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VETORES 1 Vetores são grandezas que têm: - módulo ou intensidade; - direção; - sentido Um vetor “0A” é representado geometricamente por um segmento de reta orientado, de origem em “0” e extremidade em “A”. O seu sentido é representado pela ponta de flecha em “A”. Representação de um vetor : Ex.: força, deslocamento, velocidade, aceleração, etc.

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VETORES

1

Vetores são grandezas que têm:

- módulo ou intensidade;

- direção;

- sentido

Um vetor “0A” é representado geometricamente por um segmento de reta orientado, de origem em “0” e extremidade em “A”. O seu sentido é representado pela ponta de flecha em “A”.

Representação de um vetor:

Ex.: força, deslocamento, velocidade, aceleração, etc.

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VETORES

Um vetor é caracterizado por:

- Módulo;

- Direção;

- Sentido.

2

A

0

0A

Módulo do vetor: é indicado pelo comprimento da flecha (usa-se uma escala apropriada para desenhar o vetor).

Direção do vetor: é indicada pela própria direção da flecha que representa o vetor.

Sentido do vetor: é indicado pelo próprio sentido da flecha que representa o vetor.

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3

Soma de vetores: Método Gráfico

a ba b+ = s

a b

s

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Etapas para efetuar a soma de dois vetores - Método gráfico:

1) Desenhe, em escala, o primeiro vetor com direção e sentido corretos em um sistema de coordenadas adequado.

2) Desenhe o segundo vetor, na mesma escala, com sua origem na ponta do primeiro vetor (anteriormente desenhado).

3) Trace uma linha com origem no primeiro vetor até à extremidade do segundo vetor. Obtém-se assim, o vetor soma.

Observação:No caso da soma de mais de dois vetores, cada vetor é sucessivamente colocado com sua origem na ponta do vetor anterior. O vetor soma é desenhado da origem do primeiro vetor até à extremidade do último.

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5

Subtração de vetores: Método Gráfico

O negativo de um vetor é um outro vetor de mesmo módulo e direção, mas de sentido oposto.

a b- a - b

a b- = a ( -b )+

Assim, a subtração segue a mesma regra da soma.

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Exercícios

1) Um barco parte de um ponto “P” e executa os seguintes deslocamentos retilíneos sucessivos: 50 Km para o oeste; 30 Km para o norte e 20 Km para o leste, atingindo um ponto “Q’. Pede-se:

a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do barco;

b) A distância percorrida pelo barco.

c) O deslocamento total do barco, indicando o módulo, a direção e sentido.

2) Um estudante, inicialmente em repouso, parte de um ponto “A” de uma praça, desloca-se, a partir daí, 50m a norte, em seguida, 40m a leste, e finalmente, 20m a sul, chegando a um ponto “B”. Pede-se:

a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do estudante;

b) A distância percorrida pelo estudante;

c) O deslocamento total do estudante, indicando o módulo, a direção e sentido.

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Exercícios

3) Uma criança movimenta-se a parte de um ponto “A” da seguinte forma: 60m a sul, seguido de 40m a leste, quando, por fim, se desloca de 30m a norte, chegando a um ponto “B”. Pede-se:

a) Faça um desenho representando o movimento da criança, por meio de vetores, do ponto “A” até o ponto “B”;

b) A distância percorrida pela criança;

c) O deslocamento total da criança, indicando o módulo, a direção e sentido.

4) Um avião foi de uma cidade “A” até uma cidade “B”, efetuando um deslocamento vetorial de intensidade 400Km, direção vertical e sentido norte. Em seguida, o avião foi da cidade “B” para a cidade “C”, efetuando um deslocamento vetorial de intensidade 300Km, direção horizontal, sentido leste. Com base nesses dados, pede-se:

a) A distância percorrida pelo avião;

c) O deslocamento total do avião, indicando o módulo, a direção e sentido.

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Soma de vetores: Método Analítico

A soma de vetores pelo método analítico envolve a decomposição de um vetor em suas componentes com relação a um sistema de coordenadas particular.

a

axx

y

ay

0

ax = a.cos

ay = a.sen

a = ax2 + ay

2

tg = ay ax

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Exercício

1) Um avião viaja 209Km em um curso retilíneo a 22,5o a leste do norte. Qual o deslocamento para norte e para leste do avião, em relação ao seu ponto de partida.

2) Um carro viaja para leste numa estrada plana por 32Km. Ele então vira para norte em um cruzamento e viaja 47Km antes de parar. Ache o deslocamento resultante do carro.

3) Uma motocicleta viaja para norte numa estrada retilínea por 50Km. Ela então vira para leste em um cruzamento e viaja 80Km antes de parar. Determine o deslocamento resultante da motocicleta.4) Um helicóptero viaja 150Km em um curso retilíneo a 30o a leste do sul. Qual o deslocamento para sul e para leste do helicóptero, em relação ao seu ponto de partida.

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EM TRÊS DIMENSÕES

ax = a.sen.cos

ay = a.sen.sena

ay

y

z

az

0

x

ax

az = a.cos

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11

j

y

z

0

xi

k

OBSERVAÇÃO: Quando um vetor e decomposto em suas componentes, é conveniente utilizar vetores unitários ( i , j , k ) nos sentidos positivos dos eixos “x”, “y” e “z”, respectivamente.

Deste modo, um vetor “ a “ em um sistema de coordenadas tridimensional é escrito em termos de suas componentes e dos vetores unitários.

a = ax i + ay j + az k

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Exemplo 1: tridimensional

a = ax i + ay j + az k

a

ay

y

z

az

0

x

ax

Considere: = 30o; = 60o e intensidade do vetor a = 20m. Pede-se: escreva o vetor a em termos de suas componentes e dos vetores unitários ( i , j , k ).

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Uma partícula se move em um plano “xy” de tal forma que suas coordenadas “x” e “y” variam com o tempo de acordo com x(t) = t3 - 32t e y(t) = 5t2 + 12. Aqui “x” e “y” estão expressos em metros e “t” em segundos. Ache a posição, velocidade e aceleração da partícula quando t = 3s.

Exemplo 2: Movimento bi-dimensional

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Soma de vetores: Método das Componentes

a b+=s

Se dois vetores são iguais, eles têm de ter:

- mesmo módulo;

- mesma direção;

- mesmo sentido.

Isto somente pode ocorrer se suas componentes correspondentes são iguais.

+=sx i sy j+ ax i ay j bx i+ + by j

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Soma de vetores: Método das Componentes

Como as componentes correspondentes são iguais, tem-se:

=sx i sy j+ (ax + bx) i + (ay + by) j

Sx = ax + bx e Sy = ay + by

Módulo e direção de S:

S = Sx2 + Sy

2 S = (ax+bx)2 + (ay+by)2

tg = Sy

Sx tg =

ay + by

ax + bx

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Exercícios

1) Três vetores coplanares são expressos com relação a um certo sistema de coordenadas retangular como: a = 4,3 i - 1,7 j ; b = -2,9 i + 2,2 j ; c = -3,6 j , nas quais as componentes são dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que é a soma dos três vetores.

2) Quatro vetores coplanares são expressos com relação a um certo sistema de coordenadas retangular como: a = 5,2 i + 3,4 j ; b = -3,6 i + 6,2 j ; c = -2,8 j ; d = - 3 i , nas quais as componentes são dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que é a soma dos quatro vetores.

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Multiplicação de vetores

Como os vetores têm módulo, direção e sentido, a multiplicação vetorial não segue exatamente as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar.

Tipos de operações de multiplicação de vetores que vamos estudar:

1) Multiplicação de um vetor por um escalar;

2) Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar;

3) Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor.

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Multiplicação de um vetor por um escalar

a 1,4 a-0,5 a

Observação: A multiplicação de um vetor “ a “ por um escalar “c” resulta no vetor “c a “, cujo módulo é “c” vezes o módulo de “ a “. O vetor “c a “ tem o mesmo sentido de “ a “ se “c” é positivo e sentido oposto se “c” é negativo.

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Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar

O produto escalar de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como:

ab

a b = a. b cos

ângulo entre os dois vetores a e b

Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas como produto escalar de dois vetores:

- Trabalho mecânico; - Energia potencial; - Potência elétrica.

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Observação: Se dois vetores são perpendiculares entre si, seu produto escalar é nulo.

j

y

z

0

x i

ki . i = j . j = k . k = 1

i . j = i . k = j . k = 0

Resultados do produto escalar entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ):

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j

y

z

0

x i

ka = ax i + ay j + az k

Produto escalar entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”:

b = bx i + by j + bz k

a . b = (ax.bx )+(ay.by)+(az.bz)

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Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor

O produto vetorial de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como: (um outro vetor), cujo: a b = c

a b = a. b senMódulo de c é:

Direção de c é: a perpendicular ao plano formado por a e b. Sentido de c é: Regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido).

a

b

c = a b

a

b

c = b a

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Observação: Se dois vetores são paralelos entre si, seu produto vetorial é nulo.

j

y

z

0

x i

k

i i = j j = k k = 0

i j = k

Resultados do produto vetorial entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ):

j k = i

k i = j

j i = -k

k j = -i

i k = -j

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j

y

z

0

x i

ka = ax i + ay j + az k

Produto vetorial entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”:

b = bx i + by j + bz k

a b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) k

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1) Um certo vetor “ a “ no plano “xy” está dirigido a 250o no sentido anti-horário a partir do eixo “x” e tem módulo de 7,4 unidades. O vetor “ b “ tem módulo de 5 unidades e é paralelo ao eixo “z”. Pede-se:

a) O produto escalar (a . b);

b) O produto vetorial (a b).

Exercícios

Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas com produto vetorial de dois vetores:

- Torque; - Momento angular; - Fluxo de energia eletromagnética.