Aula07 projeções

PROBLEMA: desenhar uma perspectiva exata por lançamento das coordenadas dos vértices de um objeto em um sistema de eixos

cartesianos desenhado no papel

XZ

Y

O primeiro passo é desenhar os eixos, de acordo com o tipo de perspectiva pretendido.

Neste caso, foi desenhado um sistema de eixos isométricos (os eixos formam 120º entre si).

Como lançar as coordenadas de um ponto

XZ

Y A (2; 3; 0)

Supondo o ponto A, de coordenadas (2 ; 3 ; 0), na seqüência X, Y, Z.

O lançamento é feito como em um gráfico:

Lançando as coordenadas, é obtido o ponto A que pertence ao plano XY.

Y

X

A (2; 3; 0)


XZ

Y

É importante lembrar que este desenho dos eixos é uma simplificação do triedro formado pelos planos definidos pelos eixos X, Y e Z (planos XY, YZ e XZ).

A (2; 3; 0) pertencente ao plano XY

ATENÇÃO: vértices são formados pelo encontro de três ou mais arestas. Nesta apresentação, os pontos (vértices) estão marcados com círculos apenas para serem destacados. Os desenhos de prancheta NÃO devem apresentar círculos ou “bolinhas”.


XZ

Y

É importante lembrar que este desenho dos eixos é uma simplificação do triedro formado pelos planos definidos pelos eixos X, Y e Z (planos XY, YZ e XZ).

Desta forma, A yz e A xz são as projeções do pt. A nos planos YZ e XZ, respectivamente.

A yz

A xz

A (2; 3; 0) pertencente ao plano XY


XZ

Y

Neste caso, o ponto B pertence ao plano definido pelos eixos X e Z e B yz e B xy são as projeções do pt. B nos planos YZ e XY, respectivamente.

B yzB xy

B (2; 0; 3) pertencente ao plano XZ


XZ

Y

Neste caso, o ponto C pertence ao plano definido pelos eixos Y e Z e C xy e C xz são as projeções do pt. B nos planos XY e XZ, respectivamente.

C xz

C (0; 2; 3) pertencente ao plano YZ

C xy


XZ

Y

O que acontece se as coordenadas do ponto A forem (2; 3; 4) ?

O ponto A já não pertence mais a um dos planos, mas encontra-se no espaço (triedro) formado pela interseção deles.

Agora Axy é a projeção do ponto A sobre o plano XY.

A xy

A (2; 3; 4)

Onde está o ponto A no espaço do triedro?

XZ

Y

Lançando o valor de Z e traçando as linhas auxiliares correspondentes, encontram-se as projeções do ponto A nos planos XZ e YZ

Agora Axz e Ayz são as projeções do ponto A sobre os planos XZ e YZ, respectivamente.

E onde está o ponto A?

A xy

A (2; 3; 4)

A yz

A xz

Encontrando o ponto no espaço...

XZ

Y

O ponto A é encontrado no espaço traçando paralelas aos eixos X, Y e Z, a partir das projeções Axy, Axz e Ayz.

O ponto de encontro dessas paralelas é a posição do ponto A, resultante do traçado de um paralelepípedo de dimensões X=2, Y=3 e Z=4 no sistema de eixos.

A xy

A (2; 3; 4)

A yz

A xz

Ponto A (2; 3; 4) no espaço

Encontrando uma quantidade de pontos no espaço

XZ

YOs objetos reais possuem muitos vértices, o que torna inviável o lançamento das coordenadas de cada um deles da forma como foi mostrado.

Um simples paralelepípedo possui 8 vértices - pontos a serem lançados no sistema.

Além do tempo dispendido no processo, objetos mais complexos resultariam num emaranhado indecifrável de linhas de desenho.

XZ

YVoltando ao desenho simplificado dos eixos, de acordo com o tipo de perspectiva pretendido.

O lançamento das coordenadas de um ponto não pertencente a um dos planos de projeção pode ser feito de forma também simplificada, seqüencialmente e incrementalmente na ordem XYZ (ou YZX, ZXY, etc., não importa a ordem da seqüência).

Considerando novamente o ponto A (2; 3; 4):


ponto A (2; 3; 4)no espaço

XZ

YLançamos o valor de X;



X=2

XZ


Ao invés de lançar o valor de Y no eixo Y, lançamos em uma linha paralela a Y, incrementalmente a partir de X=2;



X=2

Y=3

XZ


Ao invés de lançar o valor de Y no eixo Y, lançamos em uma linha paralela a Y, incrementalmente a partir de X=2;

Traçando uma paralela a Z a partir de Y=3, lançamos o valor de Z.

Essa é a posição do ponto A no espaço.



X=2

Y=3

Z=4

XZ

YO mesmo resultado é obtido com o lançamento na seqüência ZXY...



X=2

Y=3

Z=4

XZ

YO mesmo resultado é obtido com o lançamento na seqüência ZXY...

...ou na sequência YZX.



X=2

Y=3

Z=4

XZ

YTraçar uma perspectiva isométrica, dadas as coordenadas dos vértices de um poliedro:

A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:

AB, BC, CA, AD, DE, EB, DC, EC

Desenhando uma perspectiva isométrica

XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A


XZ

Y

A


ATENÇÃO: vértices são formados pelo encontro de três ou mais arestas. Nesta apresentação, os pontos (vértices) estão marcados com círculos apenas para serem destacados. Os desenhos de prancheta NÃO devem apresentar círculos ou “bolinhas”.

XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

D


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE

Verificar a visibilidade, ou seja, tracejar

as arestas invisíveis e corrigir o desenho,

eliminando as marcações (bolinhas)

dos vértices


XZ


A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


Verificar a visibilidade, ou seja, tracejar

as arestas invisíveis e corrigir o desenho,

eliminando as marcações (bolinhas)

dos vértices

Traçar uma perspectiva isométrica, dadas as coordenadas dos vértices de um poliedro:

A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


A

B

C

DE


Traçar uma perspectiva isométrica, dadas as coordenadas dos vértices de um poliedro:

A(1;0;1)B(6;0;1)C(2;0;7)D(1;5;1)E(3;5;1)

E as arestas:


B

C

DE


XZ

YPERGUNTAS:

1. o vértice D está contido no eixo Y ?

2. a face ACD é vertical ou inclinada?

3. a face ABED é vertical ou inclinada?

4. a face ABC é horizontal ou inclinada?

5. a face ABC é um triângulo retângulo?

6. a aresta AD é vertical?

A

B

C

DE


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