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Prof. Wanderson S. Paris [email protected] Resistência dos Materiais Aula 07 Propriedades Mecânicas dos Materiais / Coeficiente de Poisson. Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]

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Aula  07  -­‐  Propriedades  Mecânicas  dos  Materiais  /  Coeficiente  de  Poisson.  

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Propriedades  Mecânicas  dos  Materiais  

Propriedades Mecânicas dos Materiais

Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

As propriedades mecânicas de um material devem ser conhecidas para

que os engenheiros possam relacionar a

deformação medida no material com a tensão

associada a ela.

•  As  propriedades  mecânicas  de  um  material  devem  ser  conhecidas  para  que  os  engenheiros  possam  relacionar  a  deformação  medida  no  material  com  a  tensão  associada  a  ela.  

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Ensaio  de  Tração  e  Compressão  

•  Teste  principalmente  u;lizado  para  determinar  a  relação  entre  a  tensão  normal  média  e  a  deformação  normal  média.  

Ensaio de Tração e Compressão

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Resistência dos Materiais

Teste principalmente utilizado para determinar a relação entre

a tensão normal média e a deformação normal média.

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Máquina  Para  Ensaio  de  Tração  e  Compressão  Máquina Para Ensaio de Tração e Compressão

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Resistência dos Materiais

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Relações  de  Tensão  e  Deformação  

•  Com  os  dados  registrados  no  ensaio,  se  determina  a  tensão  nominal  ou  de  engenharia  dividindo  a  carga  aplicada  P  pela  área  da  seção  transversal  inicial  do  corpo  de  prova  A0.  

Relações de Tensão e Deformação

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Resistência dos Materiais

Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenhariadividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.

0A

P=!

A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-se a variação no comprimento de referência """", pelo comprimento de referência inicial L0.

0L

"# =

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Relações  de  Tensão  e  Deformação  

•  A  deformação  normal  ou  de  engenharia  é  encontrada  dividindo-­‐se  a  variação  no  comprimento  de  referência  δ,  pelo  comprimento  de  referência  inicial  L0.  

Relações de Tensão e Deformação

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Resistência dos Materiais

Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenhariadividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.

0A

P=!

A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-se a variação no comprimento de referência """", pelo comprimento de referência inicial L0.

0L

"# =

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Diagrama  Tensão  x  Deformação  Diagrama Tensão x Deformação

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Resistência dos Materiais

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Tipos  de  Falhas  em  Corpos  de  Prova  Tipos de Falhas em Corpos de Prova

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Resistência dos Materiais

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Materiais  Dúcteis  e  Frágeis  

•  Materiais  Dúcteis:  Qualquer  material  que  possa  ser  subme;do  a  grandes  deformações  antes  da  ruptura  é  chamado  de  material  dúc;l.  Freqüentemente,  os  engenheiros  escolhem  materiais  dúcteis  para  o  projeto,  pois  estes  são  capazes  de  absorver  choque  ou  energia  e,  quando  sobrecarregados,  exibem,  em  geral,  grande  deformação  antes  de  falhar.  

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Materiais  Dúcteis  e  Frágeis  

•  Materiais  Frágeis:  Os  materiais  que  apresentam  pouco  ou  nenhum  escoamento  são  chamados  de  materiais  frágeis.  

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%  de  Alongamento  e  Redução  de  Área  

•  A  porcentagem  de  alongamento  é  a  deformação  de  ruptura  do  corpo  de  prova  expressa  como  porcentagem.  

Porcentagens de Alongamento e Redução de Área

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Resistência dos Materiais

%)100(0

0 !"

=L

LLoalongamentdemporcentage

rup

%)100(0

0 !"

=A

AAáreadereduçãodemporcentage

rup

A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem.

A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a ductilidade. Ela é definida na região de estricção.

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%  de  Alongamento  e  Redução  de  Área  

•  A  porcentagem  de  redução  de  área  é  outra  maneira  de  se  determinar  a  duc;lidade.  Ela  é  definida  na  região  de  estricção.  

Porcentagens de Alongamento e Redução de Área

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Resistência dos Materiais

%)100(0

0 !"

=L

LLoalongamentdemporcentage

rup

%)100(0

0 !"

=A

AAáreadereduçãodemporcentage

rup

A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem.

A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a ductilidade. Ela é definida na região de estricção.

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                     Lei  de  Hooke  Lei de Hooke

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Resistência dos Materiais

A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade.

Conseqüentemente , um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na

deformação. Essa característica é conhecida como Lei de Hooke.

!" #= E

Onde: E = módulo de elasticidade ou constante de proporcionalidade.

•  A  maioria  dos  materiais  da  engenharia  apresentam  relação  linear  entre  tensão  e  deformação  na  região  de  elas;cidade.  Conseqüentemente  ,  um  aumento  na  tensão  provoca  um  aumento  proporcional  na  deformação.  Essa  caracterís;ca  é  conhecida  como  Lei  de  Hooke.  

Lei de Hooke

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Resistência dos Materiais

A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade.

Conseqüentemente , um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na

deformação. Essa característica é conhecida como Lei de Hooke.

!" #= E

Onde: E = módulo de elasticidade ou constante de proporcionalidade.

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Coeficiente  de  Poisson  

•  Representa  a  relação  entre  as  deformações  lateral  e  longitudinal  na  faixa  de  elas;cidade.  A  razão  entre  essas  deformações  é  uma  constante  denominada  coeficiente  de  Poisson.  

•  O  sinal  nega;vo  é  u;lizado  pois  o  alongamento  longitudinal  (deformação  posi;va)  provoca  contração  lateral  (  deformação  nega;va)  e  vice-­‐versa.  

Coeficiente de Poisson

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Resistência dos Materiais

Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão

entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.

long

lat

!

!" #=

O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração

lateral ( deformação negativa) e vice-versa.

Coeficiente de Poisson

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Resistência dos Materiais

Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão

entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.

long

lat

!

!" #=

O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração

lateral ( deformação negativa) e vice-versa.

Coeficiente de Poisson

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Resistência dos Materiais

Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão

entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.

long

lat

!

!" #=

O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração

lateral ( deformação negativa) e vice-versa.

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Coeficiente  de  Poisson  

•  O  coeficiente  de  Poisson  é  adimensional  e  seu  valor  se  encontra  entre  zero  e  meio.  

Coeficiente de Poisson

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Resistência dos Materiais

O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor se encontra entre zero e meio.

5,00 !!"

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Exercício  1  

•  A  haste  de  alumínio  mostrada  na  figura  (a)  tem  seção  transversal  circular  e  está  subme;da  a  uma  carga  axial  de  10  kN.  Se  uma  parte  do  diagrama  tensão-­‐deformação  do  material  é  mostrado  na  figura  (b),  determinar  o  alongamento  aproximado  da  haste  quando  a  carga  é  aplicada.  Suponha  que  Eal  =  70  GPa.  

Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

2)A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e estásubmetida a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação do material é mostrado na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada. Suponha que Eal = 70 GPa.

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Solução  Exercício  1  

•  Tensal  normal  em  AB   •  Tensal  normal  em  BC  Solução do Exercício 2

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Resistência dos Materiais

A tensão normal em cada segmento é:

A

PAB =!

4

10102

3

dAB

"

"=

#!

2

4

02,0104

"

"=

#! AB

83,31=AB!

A

PBC =!

4

10102

3

dBC

"

"=

#!

2

4

015,0104

"

"=

#! BC

59,56=BC! MPaMPa

Solução do Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

A tensão normal em cada segmento é:

A

PAB =!

4

10102

3

dAB

"

"=

#!

2

4

02,0104

"

"=

#! AB

83,31=AB!

A

PBC =!

4

10102

3

dBC

"

"=

#!

2

4

015,0104

"

"=

#! BC

59,56=BC! MPaMPa

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Solução  Exercício  1  

•  Pelo  diagrama  pode-­‐se  perceber  que  o  material  na  região  AB  se  deforma  elas;camente,  pois          

σe  =  40  MPa  >  31,83  MPa,  portanto,  pela  lei  de  Hooke.  

•  o  material  na  região  BC  está  deformado  plas;camente,  pois    

σe  =  40  MPa  <  56,59  MPa,  portanto,  no  gráfico  tem-­‐se  que:  

•  εBC  ≈  0,045  mm/mm  •  O  alongamento  aproximado  da  

haste  é  dado  por:  

Solução do Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

al

ABAB

E

!" =

9

6

10701083,31

#

#=AB" ! #= L"$

400045,06000004547,0 #+#=$

3,18=$

Pelo diagrama pode-se perceber que o material na região AB se deforma elasticamente, pois !e = 40 MPa > 31,83 MPa, portanto, pela lei de Hooke.

0004547,0=AB" mm/mm

o material na região BC está deformado plasticamente, pois !e = 40 MPa < 56,59 MPa, portanto, no gráfico tem-se que:

045,0%BC" mm/mm

O alongamento aproximado da haste

é dado por:

mm

Solução do Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Resistência dos Materiais

al

ABAB

E

!" =

9

6

10701083,31

#

#=AB" ! #= L"$

400045,06000004547,0 #+#=$

3,18=$

Pelo diagrama pode-se perceber que o material na região AB se deforma elasticamente, pois !e = 40 MPa > 31,83 MPa, portanto, pela lei de Hooke.

0004547,0=AB" mm/mm

o material na região BC está deformado plasticamente, pois !e = 40 MPa < 56,59 MPa, portanto, no gráfico tem-se que:

045,0%BC" mm/mm

O alongamento aproximado da haste

é dado por:

mm

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Exercícios  Propostos  

[P26]  O  diagrama  de  tensão-­‐deformação  de  uma  resina  de  poliéster  é  dado  na  figura.  Se  a  viga  rígida  é  suportada  por  uma  haste  AB  e  um  pino  CD,  ambos  feitos  a  par;r  deste  material,  e  subme;do  a  uma  carga  de  80  kN  P  =,  determinar  o  ângulo  de  inclinação  da  viga  quando  a  carga  é  aplicada.  O  diâmetro  da  haste  é  de  40  mm  e  o  diâmetro  do  pino  é  de  80  mm.  

17

From the stress–strain diagram,

Thus,

Angle of tilt :

Ans.tan a = 18.5351500

; a = 0.708°

a

dCD = eCDLCD = 0.002471(500) = 1.236 mm

dAB = eABLAB = 0.009885(2000) = 19.771 mm

eCD =sCD

E=

7.958(106)

3.22(109)= 0.002471 mm>mm

sCD =FCDACD

=40(103)p4(0.08)2 = 7.958 MPa

eAB =sAB

E=

31.83(106)

3.22(109)= 0.009885 mm>mm

sAB =FABAAB

=40(103)p4(0.04)2 = 31.83 MPa

E =32.2(10)6

0.01= 3.22(109) Pa

•3–21. The stress–strain diagram for a polyester resinis given in the figure. If the rigid beam is supported by astrut AB and post CD, both made from this material, andsubjected to a load of determine the angleof tilt of the beam when the load is applied.The diameter ofthe strut is 40 mm and the diameter of the post is 80 mm.

P = 80 kN,

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0

tension

compression

0.01 0.02 0.03 0.04

95

80

100

70605040

32.2

20

0

0.75 m

B

C

D

A

P

0.75 m 0.5 m

2 m

P (mm/mm)

s (MPa)

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Exercícios  Propostos  

[P27]  Os  cabos  de  aço  AB  e  AC  sustentam  a  massa  de  200  kg.  Se  a  tensão  axial  admissível  para  os  cabos  for  ϭadm=  130  MPa,  determine  o  diâmetro  exigido  para  cada  cabo.  Além  disso,  qual  é  o  novo  comprimento  do  cabo  AB  após  a  aplicação  da  carga?  Considere  que  o  comprimento  não  alongado  de  AB  seja  750  mm.    Eaço  =  200  GPa.    

© 2008 by R.C. Hibbeler. Published by Pearson Prentice Hall, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under allcopyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

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c03.qxd 9/19/07 10:59 AM Page 82

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Exercícios  Propostos  

[P28]  A  haste  plás;ca  de  acrílico  tem  200  mm  de  comprimento  e  15  mm  de  diâmetro.  Se  uma  carga  axial  de  300  n  for  aplicada  a  ela,  determine  a  mudança  em  seu  comprimento  e  em  seu  diâmetro  Ep  =  2,70  GPa,  Vp  =  0,4.    

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Choose,

Ans.

Ans.k = 4.23(10-6)

n = 2.73

ln (0.3310962) = n ln (0.6667)

0.3310962 = (0.6667)n

0.29800 = k(60)n

0.098667 = k(40)n

0.3 = 6030(103)

+ k(60)n

0.1 = 4030(103)

+ k(40)n

s = 60 ksi, e = 0.3

s = 40 ksi, e = 0.1

*3–24. The stress–strain diagram for many metal alloyscan be described analytically using the Ramberg-Osgoodthree parameter equation where E, k, andn are determined from measurements taken from thediagram. Using the stress–strain diagram shown in thefigure, take and determine the other twoparameters k and n and thereby obtain an analyticalexpression for the curve.

E = 3011032 ksi

P = s>E + ksn,

s (ksi)

P (10–6)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

80

60

40

20

Ans.

Ans.¢d = elatd = -0.0002515 (15) = -0.00377 mm

elat = -Velong = -0.4(0.0006288) = -0.0002515

d = elong L = 0.0006288 (200) = 0.126 mm

elong = sE

=1.697(106)

2.70(109)= 0.0006288

s = PA

= 300p4(0.015)2 = 1.697 MPa

•3–25. The acrylic plastic rod is 200 mm long and 15 mm indiameter. If an axial load of 300 N is applied to it, determinethe change in its length and the change in its diameter.

np = 0.4.Ep = 2.70 GPa,

300 N

200 mm

300 N

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Exercícios  Propostos  

[P29]  O  parafuso  de  8  mm  de  diâmetro  é  feito  de  liga  de  alumínio  e  está  instalado  em  uma  luva  de  magnésio  com  diâmetro  interno  de  12  mm  e  diâmetro  externo  de  20  mm.  Se  os  comprimentos  originais  do  parafuso  e  da  luva  forem  80  mm  e  50  mm,  respec;vamente,  determine  as  deformações  na  luva  e  no  parafuso  se  a  porca  do  parafuso  for  apertada  de  tal  modo  que  a  tensão  no  parafuso  seja  de  8  kN.  Considere  que  o  material  em  A  é  rígido  Eal=  70  GPa,    Emg=  45  GPa.    

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Normal Stress:

Normal Strain: Applying Hooke’s Law

Ans.

Ans.es =ss

Emg=

39.79(106)

45(109)= 0.000884 mm>mm

eb =sb

Eal=

159.15(106)

70(109)= 0.00227 mm>mm

ss = PAs

=8(103)

p4 (0.022 - 0.0122)

= 39.79 MPa

sb = PAb

=8(103)p4 (0.0082)

= 159.15 MPa

3–43. The 8-mm-diameter bolt is made of an aluminumalloy. It fits through a magnesium sleeve that has an innerdiameter of 12 mm and an outer diameter of 20 mm. If theoriginal lengths of the bolt and sleeve are 80 mm and50 mm, respectively, determine the strains in the sleeve andthe bolt if the nut on the bolt is tightened so that the tensionin the bolt is 8 kN. Assume the material at A is rigid.

Emg = 45 GPa.Eal = 70 GPa,

Ans.

a

Ans.

Ans.eBC =sBC

E= 55.94

29 (103)= 0.00193 in.>in.

sBC = WABC

= 0.1120.002

= 55.94 ksi

W = 0.112 kip = 112 lb

+ ©MA = 0; -(0.0672) (5) + 3(W) = 0

FDE = sDEADE = 33.56 (0.002) = 0.0672 kip

sDE = EeDE = 29(103)(0.00116) = 33.56 ksi

eDE = dL

= 0.04173(12)

= 0.00116 in.>in.

d = 0.0417 in

30.025

= 5d

3–42. The bar DA is rigid and is originally held in thehorizontal position when the weight W is supported from C.If the weight causes B to be displaced downward 0.025 in.,determine the strain in wires DE and BC. Also, if the wiresare made of A-36 steel and have a cross-sectional area of0.002 in2, determine the weight W. 2 ft 3 ft

4 ft

3 ft

D AB

E

C

W

50 mm

30 mm

A

03 Solutions 46060 5/7/10 8:45 AM Page 29

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Referências  Bibliográficas  

•  hDp://www.cronosquality.com/aulas/rm/index.html  •  Hibbeler,  R.  C.  -­‐  Resistência  dos  Materiais,  7.ed.  São  

Paulo  :Pearson  Pren;ce  Hall,  2010.  •  BEER,  F.P.  e  JOHNSTON,  JR.,  E.R.  Resistência  dos  Materiais,  3.o  

Ed.,  Makron  Books,  1995.  •  Rodrigues,  L.  E.  M.  J.  Resistência  dos  Materiais,  Ins;tuto  Federal  

de  Educação,  Ciência  e  Tecnologia  –  São  Paulo:  2009.  •  BUFFONI,  S.S.O.  Resistência  dos  Materiais,  Universidade  Federal  

Fluminense  –  Rio  de  Janeiro:  2008.  •  MILFONT,  G.  Resistência  dos  Materiais,  Universidade  de  

Pernanbuco:  2010.