aula1

SERVIO PBLICO FEDERAL

Ministrio da Educao

Universidade Federal do Rio Grande

Universidade Aberta do Brasil

Administrao Bacharelado

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas III

Prof. Denise Maria Varella Martinez

Curso de Administrao 2

Unidade 1

1.1. Incremento e taxa mdia de variao:

A partir de agora, veremos um dos conceitos mais importantes do clculo diferencial: a

derivada de uma funo. Para introduzir o conceito de derivada recorreremos a dois problemas:

um fsico e outro geomtrico. O primeiro refere-se ao clculo da velocidade instantnea de um

mvel, e o segundo diz respeito definio de reta tangente a uma curva num ponto da

mesma. Ambos os problemas conduzem ao mesmo clculo, o limite de um quociente de

incrementos ou taxas de variao quando o denominador tende a zero.

Dada a funo y= f(x) representada pela curva abaixo. Quando a varivel independente

passa de um valor inicial x para um valor final (x+h), temos o incremento em x ou a taxa de

variao x (leia-se delta x). Conseqentemente, o valor da funo passa de f(x) para f(x+h)

sofrendo, portanto, uma variao y = f(x+h) - f(x) (leia-se delta y).

Figura 1 Taxa mdia de variao ou incremento de uma funo.

O quociente y/ x recebe o nome de taxa mdia de variao da funo f(x) quando

x passa do valor x para (x+h). Fisicamente esta taxa de variao pode ser considerada como

sendo a velocidade mdia de um mvel que percorre uma distncia y em um tempo x.

Geometricamente, esta taxa de variao corresponde a inclinao da reta secante ao grfico de

f, que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x+h, f(x+h)), dada por h

)x(f)hx(f

x

y

x

fmsec

+=

=

= .

Vale destacar:

A taxa mdia de variao da funo f(x) quando x passa para o valor x+h, dada por

h

)x(f)hx(f

xhx

)x(f)hx(f

x

y +=

+

+=

, expressa a variao mdia sofrida pelos valores da

funo f(x) entre estes dois pontos.

x hx +

)x(f

)hx(f +

)x(f)hx(fy += hxhxx =+=

x

y

)x(fy =

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 3

Exemplo 1: Consideremos a funo 1x)x(f 2 += , para x R, e calculemos a taxa mdia de

variao de f, quando x passa de x=2 para x+h=3.

Resoluo: Como x+h=3, temos que 2+h= 3, ento h=3-2=1; e

1)2()2(f)x(f 2 +=

1)3()3(f)hx(f 2 +=+

Logo, a taxa de variao ( ) ( )

51

510

1

1)2(1)3(

h

)x(f)hx(f

x

y 22=

=

++=

+=

.

Exemplo 2: Consideremos que a funo custo total (olhe a apostila da matemtica I) para

produzir x unidades de uma mercadoria, C(x), em reais, dada pela equao 10x)x(C += .

Podemos a taxa mdia de variao do custo total em relao a x, quando x (custo varivel)

varia de 10 reais para 15 reais.

Resoluo: Sabemos que a taxa mdia de variao do custo total dada por

x

)x(C)xx(C

x

C

+

=

. Como x varia de 10 para 15, ento 5x =

Assim 201010)10(C)x(Ce251015)15(C)xx(C =+===+==+ , logo

15

2025

x

)x(C)xx(C

x

C=

=

+

=

.

Exemplo 3: Consideremos novamente a funo 10x)x(C += e calculemos a taxa mdia de

variao a partir de um ponto genrico de abscissa x e um acrscimo tambm genrico x.

Resoluo:

1x

x

x

10x10xx

x

)10x()10xx(

x

)x(C)xx(C

x

C=

=

++

=

+++

=

+

=

.

Exemplo 4: Consideremos a funo 2x)x(f = e calculemos a taxa mdia de variao a partir

de um ponto genrico de abscissa x e um acrscimo tambm genrico x.

Resoluo:

( )xx2

x

)xx2(x

x

xxxx2x

x

)x()xx(

x

)x(f)xx(f

x

f 22222

+=

+=

++

=

+

=

+

=

.

Assim, por exemplo, se quisermos a taxa mdia de variao a partir do ponto x=3 com variao

x=2, o resultado ser 8232 =+ .

O que acabamos de mencionar e exemplificar, (conceito de taxa mdia de variao ou

incremento), nos motiva a seguinte definio:


1.2. Derivada de uma funo:

Como agora j entendemos o que vem a ser taxa mdia de variao de uma funo

podemos introduzir o conceito de derivada recorrendo ao problema geomtrico anteriormente

citado. Vamos, ento, considerar que o ponto (x+h) se aproxima de x, ou seja, o incremento x

tende a zero. Desta forma a reta secante passa a ser uma reta tangente ao grfico de f(x) no

ponto (x,f(x)), ou seja, o coeficiente angular dessa reta tangente dado por

h

)x(f)hx(flim

x

ylimm

0h0xtg

+=

=

.

Figura 2 - Interpretao geomtrica da derivada de uma funo

Da mesma forma o problema fsico pode ser resolvido: conhecendo-se a velocidade

mdia de um mvel podemos determinar a velocidade instantnea, levando ao limite a taxa

mdia de variao, quando h0 ou x0. Assim a velocidade instantnea de um mvel em

um instante de tempo dada por: h

)x(f)hx(flim

x

ylimvel

0h0xint

+=

=

.

1.2.1. Derivada em um ponto qualquer:

Seja f(x) uma funo e x um ponto genrico do seu domnio. Chamamos de funo derivada de f(x) no ponto x , se existir e for finito, o limite dado por:

Reta secante

x hx +

)x(f)hx(fy +=

hxhxx =+=)x(f

)hx(f +

x

y

)x(fy = h

)x(f)hx(f

x

ymsec

+=

=

Reta tangente

Ricardo GomesHighlight


h

)x(f)hx(flim

x

flim)x('f

0h0x

+=

=

. O domnio dessa funo o conjunto dos

valores de x para os quais existe a derivada de f(x).

Indica-se a derivada de f(x) no ponto x por )x('f ou dx

df ou ainda por

dx

dy.

1.2.2. Derivada em um ponto:

Seja f(x) uma funo e 0x um ponto de seu domnio. Chamamos de derivada de f(x) no ponto 0x , se existir e for finito, o limite dado por:

h

)x(f)hx(flim

x

flim 00

0h0x

+=

.

Indica-se a derivada de f(x) no ponto 0x por )x('f 0 ou )x(dx

df0 ou ainda por )x(

dx

dy0 .

Exemplo 5: Qual a derivada da funo, usando a definio:

a) 3)x(f =

0h

0lim

h

)3()3(lim

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h0h0h==

=

+=

portanto 0)x('f = , logo a derivada de qualquer funo constante igual a zero.

b) ax)x(f +=

1h

hlim

h

)ax()ahx(lim

h

)ax()ahx(lim

h

)ax()ahx(lim

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h0h

0h0h0h

==

+++

=

+++=

+++=

+=

portanto 1)x('f = , logo a derivada da funo identidade igual a um.

c) ax)x(f 2 +=

x2hx2limh

)hx2(hlim

h

axahxh2xlim

h

)a)x(()a)hx((lim

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h0h

222

0h

22

0h0h

=+=+

=

+++=

+++=

+=

portanto x2)x('f = .

d) 1x)x(f +=


( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )1x2

1

1x1x

1

1x1hx

1lim

1x1hxh

hlim

1x1hxh

1x1hxlim

1x1hxh

1x1hx1x1hxlim

0

0

h

1x1hxlim

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h0h0h

0h0h0h

+

=

+++=

++++=

++++=

++++

++

=

++++

+++++++==

+++=

+=

portanto 1x2

1)x('f

+= .

e) x2

x1)x(f

+

=

2

0h0h

22

0h

22

0h0h

0h0h0h

)x2(

3

)x2)(hx2(

3lim

)x2)(hx2(h

h3lim

)x2)(hx2(h

)xhhxx2h2xhxx2(lim

)x2)(hx2(h

)xhhxx2()h2xhxx2(lim

h

)x2)(hx2(

)hx2)(x1()x2)(hx1(

lim

h

)x2(

)x1(

)hx2(

))hx1(

lim0

0

h

)x2(

)x1(

)hx2(

))hx(1(

limh

)x(f)hx(flim)x('f

+

=

=

+++

=

+++

=

+++

+++

=

+++

+=

+++

+++

=

+

++

==+

++

+

=

+=

portanto 2)x2(

3)x('f

+

= .

Conseguiu acompanhar o contedo estudado at aqui? Para saber se aprendeu, procure resolver os exerccios propostos sobre derivada de uma funo. Caso encontre dificuldades, busque apoio junto ao tutor.

Exerccios propostos I:

Determine, usando a definio, a derivada de cada uma das funes abaixo:

1) x)x(f =

2) 2xx)x(f 2 ++=

3) x

1)x(f =

4) x3)x(f =


5) 2)x(f =

6) 1x

1x)x(f

+=

1.2.3. Existncia da derivada de uma funo em um ponto:

1) Se no existe o limite finito da razo incremental ou se ele igual a ,

dizemos que a funo no derivvel.

2) Se o limite lateral direita do ponto 0x da razo incremental, 00

00

0h xhx

)x(f)hx(flim

+

+

,

chamado de derivada lateral direita, for igual ao limite esquerda do ponto 0x da

razo incremental, 00

00

0h xhx

)x(f)hx(flim

+

+

, chamado de derivada lateral esquerda,

dizemos que a derivada da funo existe no ponto 0xx = . Caso contrrio, a derivada

no existe no ponto.

Um exemplo tpico, do que foi mencionado acima, o caso da funo mdulo no ponto

onde a funo se anula.

Por exemplo, seja 1x)x(f = , vamos analisar a funo no ponto 1x = . Sabemos que esta

uma funo contnua, ou seja, )x(flim)x(flim)x(f00xxxx

0+

== , mas mostraremos que ela no

derivvel em 1x = . A funo 1x)x(f = definida por duas sentenas:

), ento a derivada lateral

direita de 1x = dada por:

1h

hlim

h

)11()1h1(lim

h

)1(f)h1(flim)1('f

0h0h0h==

+=

+=

+

b) esquerda de 1x = , usaremos a funo 1x)x(f += (para 1x < ) , ento a derivada

lateral esquerda de 1x = dada por:



1h

hlim

h

)11()1h1(lim

h

)1(f)h1(flim)1('f

0h0h0h=

=

++=

+=

Desta forma podemos verificar que no existe a derivada da funo 1x)x(f = no

ponto 1x = , pois as derivadas laterais so diferentes, mesmo sendo contnua a funo(no

confundir derivada lateral com limite lateral).

Do mencionado acima podemos dizer que:

Toda funo derivvel num ponto contnua nesse ponto. Uma funo

derivvel em um ponto, quando as derivadas direita e esquerda

nesse ponto existem e so iguais. Quando as derivadas (direita e

esquerda) existem e so diferentes em um ponto, dizemos que este um

ponto anguloso do grfico da funo.

Como podemos observar na figura 2, a derivada de uma funo num ponto representa o

coeficiente angular da reta tangente ao grfico de )x(fy = naquele ponto, assim podemos

dizer que num ponto anguloso, como o caso do grfico da funo modular, temos duas retas

de coeficientes angulares diferentes, logo no pode existir a derivada da funo naquele ponto.

Figura 3 Funo modular

Em contrapartida no grfico abaixo, no ponto )y,x( 11 , temos uma nica reta tangente,

mostrando que existe a derivada da funo nesse ponto. A reta tangente curva )x(fy = tem

coeficiente angular dado por )x('f 1 e equao reduzida dada por 111 y)xx)(x('fy += .

1 x

y

Em x=1 no existe derivada da funo, pois por este ponto

passam duas retas com coeficientes angulares diferentes (um positivo e outro negativo).



Ricardo GomesSticky Note




Figura 4 Interpretao geomtrica de derivada

Podemos dizer que a derivada de uma funo f(x) quando existe,

assume em cada ponto x0, um valor que igual ao coeficiente angular

da reta tangente ao grfico de f(x), no ponto de abscissa x0.

Exemplo 6: Determinar a equao da reta tangente curva 1x)x(f 2 = no ponto (1,0).

Resoluo: Este um problema de aplicao geomtrica da derivada de uma funo. Em

primeiro lugar vamos determinar a derivada da funo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x2

h

hx2hlim

h

hxh2lim

h

1x1hxh2xlim

h

1x1)hx(lim)x('f

0h

2

0h

222

0h

22

0h=

+=

+=

++=

+=

Sabendo-se que a derivada da funo 2x, podemos calcular o coeficiente angular da reta

tangente a 1x)x(f 2 = em x=1. Assim, 2)1(2)1('fm gtan === , logo a equao da reta

tangente a curva 1xy 2 = , no ponto (1,0), 2x20)1x(2y =+= .

Nesta unidade, voc estudou a taxa mdia de variao,

estudou tambm a definio de derivada de uma funo,

existncia da derivada de uma funo num ponto e

interpretao geomtrica. importante lembrar que a

compreenso destes contedos fundamental para que

voc possa acompanhar a disciplina. S prossiga aps

refazer os exemplos e os exerccios propostos. Consulte o

tutor sempre que achar necessrio. No carregue dvidas!!!

y

y1

X1 x

Reta tangente a curva y=f(x) no ponto (x1, y1) e que tem coeficiente angular

igual a )x('f)x(dx

dym 11 == , sendo

)xx)(x('fyy 111 = a equao da

reta.

RESUMO


Saiba Mais ...

Para aprofundar os contedos abordados nesta aula consulte:

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Clculo funes de uma

e vrias variveis, 5a ed. So Paulo: Saraiva, 2006.

ANTON, H. Clculo: Um Novo Horizonte, volume 1, 6a ed. So Paulo: Editora Bookman,

2000.

SCHNEIDER, D. I., LAY, D. C., GOLDSTEIN, L. J. Matemtica Aplicada Economia,

Administrao e Contabilidade, 10a ed. So Paulo: Editora Bookman, 2006.

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