Aula_11- Diferencas Finitas

UNIVRSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenharia

Transmisso de calorTransmisso de calor

3 ano

Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 1

Aula 11 # 5. Mtodos Numricos em Transferncia de Calor

Formulao de Equaes Diferenciais pelo Mtodo de

Diferenas Finitas

Conduo Unidimensional em Regime Permanente

Conduo Bidimensional em Regime Permanente Conduo Bidimensional em Regime Permanente

Conduo Unidimensional em Regime Transiente

Conduo Bidimensional em Regime Transiente

Soluo das Equaes de Elementos Finitos


Soluo das Equaes de Elementos Finitos

5. 1 Formulao de Equaes Diferenciais l d d Dif i ipelo Mtodo de Diferenas Finitas

At agora consideraram-se problemas de conduo de calor At agora consideraram-se problemas de conduo de calor At agora consideraram se problemas de conduo de calor

relativamente simples envolvendo geometrias simples com

condies de contorno simples, pois s estes problemas

At agora consideraram se problemas de conduo de calor

relativamente simples envolvendo geometrias simples com

condies de contorno simples, pois s estes problemas

podem ser resolvidos analiticamente. Muitos dos problemas

encontrados na prtica, envolvem geometrias complexas com

podem ser resolvidos analiticamente. Muitos dos problemas

encontrados na prtica, envolvem geometrias complexas com

condies de contorno tambm complexas ou propriedades

variveis e no podem ser resolvidos analiticamente. Em tais

condies de contorno tambm complexas ou propriedades

variveis e no podem ser resolvidos analiticamente. Em tais

casos, solues aproximadas, suficientemente precisas podem

ser obtidas por computadores usando um mtodo numrico.

casos, solues aproximadas, suficientemente precisas podem

ser obtidas por computadores usando um mtodo numrico.

Prof Dr. Eng Jorge Nhambiu 3


Os mtodos numricos para resolver equaes diferenciaisOs mtodos numricos para resolver equaes diferenciais,

baseiam-se na substituio das equaes diferenciais por

l b i N d d l d difequaes algbricas. No caso do mtodo popular de diferenas

finitas, isso feito atravs da substituio das derivadas pelas

diferenas.

As derivadas so os blocos de construo das equaes

diferenciais, assim primeiro vai-se fazer uma breve reviso das

derivadas.



Considere-se uma funo f que depende de x, como se apresenta na figura Ase apresenta na figura. A primeira derivada de f(x)num ponto, equivalente a inclinao de uma linha tangente curva nesse ponto e definida como:

( ) ( )0 0

( ) lim limx x

f x x f xdf x fdx x x

+ = = (5.1)


dx x x


que a razo enrtre o incremento f da funo e o incrementoque a razo enrtre o incremento f da funo e o incremento

x da varivel independente, quando x0. Se no se tomar

em conta o limite indicado tem se a seguinte relaoem conta o limite indicado, tem-se a seguinte relao

aproximada para a derivada:

( ) ( )( ) f x x f xdf xdx x

+ (5.2)

Esta equao aproximada da derivada, na forma de diferenas,

a expresso de diferenas finitas da derivada de primeira ordem


a expresso de diferenas finitas da derivada de primeira ordem.


Considere se a transferncia de calorConsidere-se a transferncia de calor unidimensional em regime estacionrio, numa parede plana de espessura L, com gerao de calor. Aespessura L, com gerao de calor. A parede subdividida em M seces de igual espessura x = L/M na direco x, separadas por planos que passam p p p q ppor M + 1 pontos 0, 1, 2,. . . , m - 1, m, m + 1,. . . , M chamados ns ou pontos nodais, como se mostra na figura. A coordenada x de qualquer ponto m simplesmente xm=mx, e a temperatura nesse ponto T(xm)=Tm.



A equao de conduo de calor envolve derivadas de segunda ordem de temperatura em relao s variveis espaciais naordem de temperatura em relao s variveis espaciais, na forma d2T/dx2 e a formulao de diferenas finitas baseia-se na substituio das derivados de segunda ordem pelas diferenas adequadas. Para iniciar o processo precisa-se de ter as derivadas de primeira ordem. Usando a Equao 5.2, a primeira derivada da temperatura dT/dx nos pontos mdios m- e m+ p pdas seces em torno do n m pode ser expressa como:

T T T TdT dT1 11 12 2

e m m m mm m

T T T TdT dTdx x dx x

+ +

(5.3)



de notar que a segunda derivada simplesmente a derivada da primeira derivada. A segunda derivada da temperatura no n mpode ser expressa como:

1 11 121 12 2

2 2

2 = =m m m m

m mm m m

dT dT T T T Tdx dx T T Td T x x

d

+ + + +

(5.4)2 2

mdx x x x que a representao em diferenas finitas da derivada segunda num n interno geral m. Note-se que a segunda derivada da temperatura num n m expressa em termos das temperaturas no n m e dos seus dois ns vizinhos


no n m e dos seus dois ns vizinhos.


Ento a equao diferencial:2

2 0d T gdx k

+ =& (5.5)que a equao governante para transferncia de calor bidimensional em regime estacionrio de em uma parede plana

d l d ti id d t i t t d

2T T T g+ &

com gerao de calor e condutividade trmica constante, e pode ser expressa sob a forma de diferenas finitas como:

1 12

2 0, 1,2,3,..., -1m m m mT T T g m Mx k

+ + + = = (5.6)

Onde g a taxa de gerao por unidade de volume no n m


Onde gm a taxa de gerao por unidade de volume no n m.


A formulao de diferenas j vista, pode ser facilmente estendida problemas de transferncia de calor bi ou tridimensionais problemas de transferncia de calor bi ou tridimensionais, substituindo cada segunda derivada de uma equao de diferenas finitas nesse sentido. Por exemplo, a formulao de diferenas finitas para conduo de calor bidimensional em regime estacionrio numa regio com gerao de calor e ondutividade trmica constante pode ser expressa em

1 1 1 12 2 0m n m n m n m n m n m n m nT T T T T T g+ + + + & (5 7)

p pcoordenadas rectangulares como:

1, , 1, , 1 , , 1 ,2 2 0

m n m n m n m n m n m n m ngx y k

+ ++ + = (5.7)Para m=1,2,3,M-1 e n=1,2,3,N-1 num qualquer n interiro


(m,n)


Malha de

diferenas finitas

Malha de

diferenas finitas diferenas finitas

para a conduo

diferenas finitas

para a conduo

bidimensional em

coordenadas

bidimensional em

coordenadas

retangulares.retangulares.


5.2 Conduo Unidimensional em Regime PPermanente

Passa-se agora ao desenvolvimento da formulao Passa-se agora ao desenvolvimento da formulao Passa se agora ao desenvolvimento da formulao

de diferenas finitas de conduo de calor numa

d l t d b l d i

Passa se agora ao desenvolvimento da formulao

de diferenas finitas de conduo de calor numa

d l t d b l d i parede plana, atravs do balano de energia e a

soluo das equaes dai resultantes. O mtodo de

parede plana, atravs do balano de energia e a

soluo das equaes dai resultantes. O mtodo de

balano de energia, baseia-se na subdiviso do

meio num nmero suficiente de volumes

balano de energia, baseia-se na subdiviso do

meio num nmero suficiente de volumes

elementares e na aplicao do balano de energia a

cada um dos elementos.

elementares e na aplicao do balano de energia a

cada um dos elementos.

Prof Doutor. Eng Jorge Nhambiu 13

5.2 Conduo Unidimensional em Regime PermanentePontos nodais ePontos nodais ePontos nodais e

volumes elementares

f l d

Pontos nodais e

volumes elementares

f l dpara a formulao de

diferenas finitas da

para a formulao de

diferenas finitas da

conduo

unidimensional numa

conduo

unidimensional numa

parede plana.parede plana.


5.2 Conduo Unidimensional em Regime PermanentePara obter-se uma equao de diferenas finitas no geral, para os q f f g , pns interiores, considere-se o elemento representado pelo n m e os dois ns vizinhos m - 1 e m + 1. Assumindo-se que a conduo de calor para dentro do elemento em todas as superfcies o

Ta a deTa a de T d

de calor para dentro do elemento em todas as superfcies, o balano de energia para o elemento pode ser expresso como:

Taxa de Calor

conduzido na superfcie

Taxa de Calor

conduzido na superfcie

Taxa de Calor conduzido na

superfcie direita

Taxa de calor gerado no elemento

Taxa de variao da

energia contida no

- + =p

esquerdap

esquerda direitacontida no elemento

elementd d di l t

EQ Q G + =& & &Ou seja:

(5.8)


, ,cond esq cond dir elementQ Q G t+ ( )


S t d ti d i ( t d l ) ltSe o contedo energtico de um meio (ou parte dele) no alterar-se em condies de equilbrio e portanto, Eelemento=0. A taxa de gerao de calor dentro do elemento pode ser expressa como:

elemento m elemento mG g V g A x= = & & & (5.9) de lembrar que quando a temperatura varia linearmente, a taxa constante de conduo de calor atravs de uma parede plana de espessura L pode ser expressa como:p p p

condTQ kAL= (5.10)


L

5.2 Conduo Unidimensional em Regime PermanenteNa formulao Na formulao a o u ao

das diferenas

finitas assume

a o u ao

das diferenas

finitas assumefinitas, assume-

se que a

finitas, assume-

se que a

temperatura

varia

temperatura

varia

linearmente

entre os ns.

linearmente

entre os ns.



Se a direo da transferncia de calor em ambas as superfcies do elemento, for assumida como sendo na direo do n m, a taxa de conduo de calor no lado esquerdo e direito das superfcies pode ser expressa como como:superfcies pode ser expressa como como:

1 1, , e m m m mcond esq cond dir

T T T TQ kA Q kAx x

+ = = (5.11)

Substituindo as Equaes 5.11 e 5.9 na 5.8 obtem-se:

1 1 0m m m m mT T T TkA kA g A x

x x + + + = (5.12)



Que pode ser simplificada para:

1 12

2 0, 1,2,3,..., -1m m m mT T T g m Mx k

+ + + = =&

(5.13)

que idntica equao de diferena finitas obtida anteriormente. Esta equao aplicvel a cada um dos M-1 ns internos, e sua aplicao d M-1 equaes para a determinao das temperaturas nos M+1 ns. As duas equaes adicionais necessrios para determinar as M+1 temperaturas nodais p pdesconhecidas, so obtidas atravs da aplicao do balano de energia aos dois elementos nas fronteiras (a no ser claro, que as temperaturas limites sejam especificadas)


temperaturas limites sejam especificadas).

5.2 Conduo Unidimensional em Regime PPermanenteDepois de desenvolvida a equao de diferenas finitas Depois de desenvolvida a equao de diferenas finitas Depois de desenvolvida a equao de diferenas finitas

para cada n interior de uma parede plana que no

aplicvel aos ns fronteirios pois ela exige a presena

Depois de desenvolvida a equao de diferenas finitas

para cada n interior de uma parede plana que no

aplicvel aos ns fronteirios pois ela exige a presena aplicvel aos ns fronteirios, pois ela exige a presena

de ns em ambos os lados do n em questo, precisa-se

de obter as equaes de diferenas finitas

aplicvel aos ns fronteirios, pois ela exige a presena

de ns em ambos os lados do n em questo, precisa-se

de obter as equaes de diferenas finitas de obter as equaes de diferenas finitas

separadamente para os ns na fronteira. A melhor

maneira de obt las atravs da aplicao do balano

de obter as equaes de diferenas finitas

separadamente para os ns na fronteira. A melhor

maneira de obt las atravs da aplicao do balano maneira de obt-las atravs da aplicao do balano

de energia aos volumes de controle dos ns de fronteira.

maneira de obt-las atravs da aplicao do balano

de energia aos volumes de controle dos ns de fronteira.



A condio de contorno de temperatura especificada a condio mais simples de lidar com ela Para uma transferncia de calorsimples de lidar com ela. Para uma transferncia de calor tridimensional atravs de uma parede plana de espessura L, as condies de temperatura especificada nos limites esquerdo e direito da superfcie podem ser expressas como:da superfcie podem ser expressas como:

( ) 00 T T Valor especificado= =(5 14)

onde T0 e TM so as temperaturas prescritas na superfcie em x=0 e

( ) MT L T Valor especificado= = (5.14)

onde 0 e M so as tempe atu as p esc itas na supe fcie em x 0 ex=L, respectivamente. Portanto, as condies de contorno de temperaturas especificadas, so incorporados atribuindo simplesmente as temperaturas da superfcie dada aos ns de fronteira


as temperaturas da superfcie dada aos ns de fronteira.

5.2 Conduo Unidimensional em Regime PPermanenteFormulao das Formulao das

condies de

temperatura

condies de

temperatura

prescrita em

diferenas finitas

prescrita em

diferenas finitasdiferenas finitas

em ambas as faces

de uma parede

diferenas finitas

em ambas as faces

de uma paredede uma parede

plana.

de uma parede

plana.



Quando outras condies de fronteira, como o fluxo de calor prescrito, conveco, radiao ou conveco combinada com radiao so especificados na fronteira, a equao de diferenas finitas para o n fronteirio obtida por meio do balano definitas para o n fronteirio obtida por meio do balano de energia no volume de controle nessa fronteira. O balano de energia expresso como:

(5.15)

0elementoTodos os lados

Q G+ =Para transferncia de calor em regime estacionrio


5.2 Conduo Unidimensional em Regime PPermanenteA formulao das diferenas finitas no n m=0 (no limite esquerdo onde x=0) de uma parede plana de espessura L durante a conduo de calor unidimensional em regime estacionrio pode ser expressa como:pode ser expressa como:

(5.16)1 0superficie esquerda 0 02

T T xQ kA g Ax + + =

onde Ax/2 o volume do volume elementar (note-se que o elemento de fronteira tem metade da espessura), g0 a taxa de

x

gerao de calor por unidade de volume (em W/m3) em x = 0, e A a rea de transferncia de calor, que constante para uma parede plana.


parede plana.


Esquema para a

formulao de

Esquema para a

formulao de

diferenas finitas

de um n de

diferenas finitas

de um n de

fronteira esquerdo

de uma parede

fronteira esquerdo

de uma paredede uma parede

plana.

de uma parede

plana.


5.2 Conduo Unidimensional em Regime PermanenteA equao de diferenas finitas para diferentes condies de contorno pode ser obtida da Equao 5 16 bastando para talcontorno pode ser obtida da Equao 5.16 bastando para tal substituir Qsuperfcie esquerda pela expresso adequada. Em seguida isso feito para vrias condies de contorno na fronteira esquerda.

Condio de Fluxo de Calor Prescrito

(5.17)1 0

0 02oT T xq A kA g A

x + + =

Co dio de luxo de Calo esc ito

( )

1 00 0

T T xkA g A + =

Caso especial Fronteira isolada (q0=0)

(5.18)


0 02kA g A

x+ ( )


(5.19)( ) 1 0 0T T xhA T T kA g A + + = Conveco como condio de contorno

(5 9)( )0 0 02hA T T kA g Ax + + R di di d t

(5 20)

Radiao como condio de contorno

( )4 4 1 0 0T T xA T T kA A (5.20)( )4 4 1 0sup 0 0 02A T T kA g Ax + + =



Conveco e Radiao como condies de contorno

(5.21)( ) ( )4 4 1 00 0 0 02T T xhA T T A T T kA g Ax + + + = Conveco e Radiao como condies de contorno

( ) 1 00 0 02combinadoT T xh A T T kA g A

x + + =

ou

(5.22)

Conveco, Radiao e Fluxo prescrito como condies de t

2x ( )

(5.23)

contorno

( ) ( )4 4 1 00 0 0 0 02T T xq A hA T T A T T kA g Ax + + + + = Prof. Doutor Eng Jorge Nhambiu 28

( ) 2x


Esquema para a Esquema para a Esquema para a

formulao de

diferenas finitas com

Esquema para a

formulao de

diferenas finitas com diferenas finitas com

conveco e radiao

combinadas como

diferenas finitas com

conveco e radiao

combinadas como

condio de contorno

no lado esquerdo de

condio de contorno

no lado esquerdo de

uma parede plana.uma parede plana.


5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanenteMuitos problemas de transferncia de calor encontrados na Muitos problemas de transferncia de calor encontrados na

prtica, podem ser aproximados a problemas

unidimensionais, mas isso nem sempre possvel. As vezes,

prtica, podem ser aproximados a problemas

unidimensionais, mas isso nem sempre possvel. As vezes,

necessrio considerar-se a transferncia de calor em outras

direces, quando a variao da temperatura nessas outras

necessrio considerar-se a transferncia de calor em outras

direces, quando a variao da temperatura nessas outras

direces significativa. Considera-se agora a formulao

numrica e soluo de problemas de conduo de calor

direces significativa. Considera-se agora a formulao

numrica e soluo de problemas de conduo de calor

bidimensional estacionria em coordenadas rectangulares

usando o mtodo de diferenas finitas. A abordagem

apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais

bidimensional estacionria em coordenadas rectangulares

usando o mtodo de diferenas finitas. A abordagem

apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais


apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais.apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais.

5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanente

Malha para a

formulao de

Malha para a

formulao de

diferenas finitas de

conduo de calor

diferenas finitas de

conduo de calor

bidimensional em

coordenadas

t l

bidimensional em

coordenadas

t lretangulares.retangulares.



Considere-se um volume elementar do tamanho xy1 centrado num n geral interior (m,n) numa regio em que o calor gerado a uma taxa g e a condutividade trmica k constante. Assume-se que a direco de conduo de calor em todas as superfcies para o n em considerao, o balano de energia no volume elementar pode ser expresso como:

Taxa de Calor conduzido nas

superfcies esquerda, direita de cima e de

Taxa de Calor conduzido nas

superfcies esquerda, direita de cima e de

Taxa de calor gerado no elemento

Taxa de variao da

energia contida no

+ =direita, de cima e de

baixodireita, de cima e de

baixoelemento contida no

elemento

0elementEQ Q Q Q G + + + + = =& & & & &Ou seja:

(5.24)


, , , , 0cond esq cond topo cond dir cond baixo elementQ Q Q Q G t+ + + + = =

( )


Volume elementar de

um n interior no geral

Volume elementar de

um n interior no geral

(m,n), para a conduo

bidimensional em

(m,n), para a conduo

bidimensional em

coordenadas

retangulares.

coordenadas

retangulares.



Assumindo-se que as temperaturas entre os ns adjacentes varia de forma linear e observando que a rea de transferncia de calor Ax=y x 1= y na direco x e Ay=x x 1=x na direco y, a equao de balano de energia torna-se:direco y, a equao de balano de energia torna se:

1, , , 1 , 1, ,m n m n m n m n m n m nT T T T T Tk k k + + + + , , , , , ,

, 1 , 0

m n m n m n m n m n m n

m n m n

k y k x k yx y x

T Tk x g x y

+ + + + =

(5.25)

, 0m nk x g x yy+ +



Dividindo cada termo por y x y obtm-se:

1, , 1, , 1 , , 1 ,2 2

2 20m n m n m n m n m n m n m n

T T T T T T gx y k

+ + + ++ + = (5.26)

Para m=1,2,3,M-1 e n=1,2,3,N-1

Na anlise de diferenas finitas normal usar-se uma malha quadrada para simplificar, (excepto quando as magnitudes de

d di d i i dif ) d itemperatura da direco dos eixos x e y so muito diferentes) dai y e y so tomados iguais.Dai y = y =l ento a Equao 5.26 simplifica-se em:


y y q p f


2,

1, 1, , 1 , 1 ,4 0m n

m n m n m n m n m n

g lT T T T T

k + + + + + + = (5.27)1, 1, , 1 , 1 ,m n m n m n m n m n k+ +

Esta a formulao de diferenas finitas para um n interior que se obtm pela soma das temperaturas dos quatro ns vizinhos ao p p qn, subtraindo quatro vezes a temperatura do n em referencia e somando o termo de tambm se pode expressar da seguinte forma de fcil memorizaode fcil memorizao.

2

4 0nesquerda topo direita baixo ng lT T T T T

k+ + + + = (5.28)

kApresentam-se em seguida algumas das equaes mais utilizadas para a soluo de problemas bidimensionais em regime


permanente.


Caso1 - N interior

m,n+1

y04TTTTTm-1,n

m+1,n

m,n 04 ,,1,11,1, =+++ ++ nmnmnmnmnm TTTTT

m,n-1x


5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanenteCaso2 - N num vrtice interior com conveco

m,n+1

Caso2 N num vrtice interior com conveco

ym,n

m+1,nm-1,n

m,n-1x

T, h

( ) ( ) 03222 ,1,,11,,1 =+++++ ++ nmnmnmnmnm Tk

xhTk

xhTTTT


kk

5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanenteCaso 3 - N numa superfcie plana com conveco

m,n+1

y

p f p

T, h

1

ym,n

m-1,n

m,n-1x

( ) 02222 ,1,1,,1 = ++++ + nmnmnmnm Tk

xhTk

xhTTT


kk


Caso 4 N num vrtice externo com conveco

m-1,n

Caso 4 - N num vrtice externo com conveco

m,n-1y m,n

x

( ) 0122 ,,11, = +++ nmnmnm Tk

xhTk

xhTT


5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanenteCaso 5 - N numa superfcie plana com um fluxo de calor

m,n+1

Caso 5 N numa superfcie plana com um fluxo de calor uniforme

ym,n q ( ) 0422 111 =+++ + nmnmnmnm Tk xqTTT

m-1,n

m n 1x

q ( ) ,1,1,,1 + nmnmnmnm k

m,n-1x


5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanenteA formulao de diferenas finitas de ns na fronteira de problemas bi ou tri dimensionais similar ao dos problemas unidimensionais. A regio dividida em ns, formando volumes elementares ao redor dos mesmos e um balano energtico feitoelementares ao redor dos mesmos e um balano energtico feito para cada n de fronteira. Para a transferncia de calor em regime estacionrio, a equao bsica que se deve ter em mente quando se estiver a fa er obsica que se deve ter em mente quando se estiver a fazer o balano de energia num volume elementar :

0elementoTodos os lados

Q gV+ = (5.29)Se o problema for uni bi ou tridimensional


Se o problema for uni, bi, ou tridimensional

5.3 Conduo Bidimensional em Regime PPermanenteEm problemas com geometrias simples, pode-se preencher toda a Em problemas com geometrias simples, pode-se preencher toda a

regio, usando elementos de volume simples, como as faixas de uma

parede plana ou elementos retangulares de duas dimenses de

regio, usando elementos de volume simples, como as faixas de uma

parede plana ou elementos retangulares de duas dimenses de

conduo numa regio rectangular. Tambm pode-se usar elementos

de casca cilndrica ou esfrica, para cobrir totalmente um corpo

conduo numa regio rectangular. Tambm pode-se usar elementos

de casca cilndrica ou esfrica, para cobrir totalmente um corpo

cilndrico e esfrico. No entanto, muitas geometrias encontradas na

prtica, tais como as ps de turbinas ou os blocos de motor, no tm

cilndrico e esfrico. No entanto, muitas geometrias encontradas na

prtica, tais como as ps de turbinas ou os blocos de motor, no tm

formas simples e difcil preencher as geometrias com essas fronteiras

irregulares atravs de volumes elementares simples.

formas simples e difcil preencher as geometrias com essas fronteiras

irregulares atravs de volumes elementares simples.



Uma maneira prtica

de lidar com

Uma maneira prtica

de lidar com

geometrias irregulares

substitui-las por uma

geometrias irregulares

substitui-las por uma

srie de volumes

elementares simples,

t

srie de volumes

elementares simples,

tcomo se mostra na

figura.

como se mostra na

figura.


5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransienteEm problemas de regime transiente h variao da temperatura com o Em problemas de regime transiente h variao da temperatura com o

tempo, bem como no espaoe, portanto, a soluo de diferenas finitas

de problemas em regime transiente, requer a discretizao no tempo,

tempo, bem como no espaoe, portanto, a soluo de diferenas finitas

de problemas em regime transiente, requer a discretizao no tempo,

alm da discretizao no espao. Isto feito selecionando um intervalo

de tempo adequado t e resolvendo as temperaturas nodais

alm da discretizao no espao. Isto feito selecionando um intervalo

de tempo adequado t e resolvendo as temperaturas nodais

desconhecidos repetidamente para cada t, at que a soluo no

tempo desejado seja obtida.

desconhecidos repetidamente para cada t, at que a soluo no

tempo desejado seja obtida.

Em problemas de regime transiente o sobrescrito i usado como ndice

ou contador de intervalos de tempo, i = 0 corresponde condio

inicial

Em problemas de regime transiente o sobrescrito i usado como ndice

ou contador de intervalos de tempo, i = 0 corresponde condio

inicial


inicial.inicial.

5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransiente

Os ns e os volumes elementares em problemas de regimeOs ns e os volumes elementares, em problemas de regime transiente, so selecionados como no caso do regime estacionrio e novamente assume-se que toda a transferncia de calor feita

l t P i i b l d ipara o elemento. Por convenincia, o balano de energia num volume elementar, durante um intervalo de tempo t, pode ser expresso como:

Calor transferido para dentro do elemento

Calor transferido para dentro do elemento Taxa de calor d

Taxa de variao da

ipor todas a superfcies durante

t

por todas a superfcies durante

t

gerado no elemento

durante t

energia contida no elemento

durante t

+ =



Ou seja:

(5.30)elemento elementot Q t gV E + = Todos os lados

onde a taxa de transferncia de calor Q consiste normalmente naonde a taxa de transferncia de calor Q, consiste normalmente na conduo para os ns internos, mas pode envolver tambem fluxo de calor por conveco e radiao para os ns de fronteira. d d de notar que Eelemento=mCT=Velemento CT, onde a massa especfica e C o calor especfico do elemento.


5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransienteDividindo a relao anterior por t obtm-se:

(5.31)

elementoelemento elemento

Todos os lados

E TQ gV V Ct t

+ = = ou, para qualquer n m no meio e seu volume elementar:

1i im mT TQ G V C+ (5 32)

m melemento elemento

Todos os ladosQ G V C

t+ = (5.32)

onde Tim e Ti+1m so as temperaturas do n m no tempo ti=it e m m p p iti+1=(i+1) t, respectivamente e Ti+1m - Tim representam a variao da temperatura do n durante o intervalo de tempo tentre o passo de tempo i e i+1


entre o passo de tempo i e i+1.


As temperaturas nodais em problemas em regime transientenormalmente alteram se a cada intervalo de tempo e existenormalmente alteram-se a cada intervalo de tempo, e existe sempre a interrogao se deve-se usar temperaturas no passo de tempo anterior i ou no novo passo de tempo i+1 nos termos do lado esquerdo da Equao 5.32. Ambas so abordagens razoveis e usadas na prtica. A abordagem de diferenas finitas chamada mtodo explcito no primeiro caso e mtodo implcito no segundo

(5 33)Mtodo explcito1i i

i i m mT TQ G V C+ + =

p p p gcaso.

(5.33)Mtodo explcito

Mtodo implcito (5.34)

elemento elemento

Todos os ladosQ G V C

t+ =

11 1

i ii i m m

l t l tT TQ G V C

++ + + =


p (5.34)

elemento elementoTodos os lados

Q G V Ct

+


Considere a conduo de calor bidimensional em regime transiente numa parede plana de espessura L, com gerao de calor g(x,t), que pode variar no tempo g( , ), q p pe no espao e com a condutividade kconstante com uma malha x=L/M e ns 0 1 2 M na direco x como0, 1 , 2. . . , M na direco x, como mostrado na figura. A formulao de diferenas finitas em regime transiente

(5.35)

para um n interior fica:1

1 1i i

m m m m m mm

T T T T T TkA kA g A x A xC+

+ + + =


( )mgx x t

5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransienteCancelando a rea A da superfcie e multiplicando por x/k, simplifica-se em:

( )2 2 1i ig x x + (5.36)( )11 12 i imm m m m mg x xT T T T Tk t + + + + = Onde =k/C a difusibilidade trmica do material da parede. Definamos a malha adimensional do nmero de Fourier como:

2

tx

= (5.37)



Ento a Equao 5 36 transforma se em:Ento a Equao 5.36 transforma-se em:

(5 38)( )12 i iT Tg x + (5.38)( )1 12

m mmm m m

T Tg xT T Tk + + + =

(5.35)

Note que o lado esquerdo desta equao simplesmente a formulao de diferenas finitas do problema para o caso estacionrio. Isto no surpreendente uma vez que a p qformulao reduz-se para o regime estacioonrio no caso em que Ti+1m = Tim.


5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransienteObtem-se a formulao explcita de diferenas finitas,

d l d d d E 5 36 dexpressando o lado esquerdo da Equao 5.36 no passo de tempo i como:

2 1i i iT T+ (5.39)

Esta equao pode ser resolvida explicitamente para a nova

2 1

1 12i i i

i i i m m mm m m

g x T TT T Tk

+ +

+ + =Esta equao pode ser resolvida explicitamente para a nova temperatura Ti+1m (e, portanto, o mtodo explcito) obtendo-se:

( ) ( ) 21 1 2 ii i i i mg xT T T T+ (5.40)( ) ( )1 1 1 1 2i i i i mm m m m gT T T T k + += + + +Para todos os ns internos m=1,2,3,M-1 na parede plana


, , , p p

5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransienteExpressando a parte esquerda da Equao 5.36 no tempo i+1

d t i bt f l d t d i l it

(5.41)

em vez do tempo i obtm-se a formulao do mtodo implcito1 2 1

1 1 11 12

i i ii i i m m m

m m mg x T TT T T

k + +

+ + + +

+ + =Que pode ser rearranjado resultando em:

(5 42)

k

( ) 1 21 1 11 2 0ii i i img xT T T T++ + + + + + + (5.42)( )1 1 11 11 2 0i i i imm m m mgT T T Tk + + + + + + + + =A aplicao de uma formulao explcita ou implcita para cada

d M 1 d M 1 A dum dos M-1 ns interiores d M-1 equaes. As duas restantes equaes so obtidas aplicando o mesmo mtodo para os dois ns de fronteira a menos, que as temperaturas limites sejam

Prof. Doutor. Eng Jorge Nhambiu 54

f q p jespecificados como constantes (invariantes com o tempo)

5.4 Conduo Unidimensional em Regime T iTransientePor exemplo, a formulao da condio de contorno de conveco na fronteira esquerda (n 0) para o caso explcito pode ser expressa como:

(5.43)( ) 11 0 0 00 0 2 2i i i i

i iT T T Tx xhA T T kA g A A Cx t

+

+ + =

Que se simplifica para:

(5.44)21 0

0 0 11 2 2 2 2i

i i i g xh x h xT T T Tk k k

+ = + + + Prof. Doutor. Eng Jorge Nhambiu 55

k k k


Se o passo de tempo t no suficientemente pequeno, as p p f p q ,solues obtidas pelo mtodo explcito podem oscilar descontroladamente e divergir da soluo real. Para evitar tais oscilaes divergentes nas temperaturas nodais o valor de toscilaes divergentes nas temperaturas nodais, o valor de t deve ser mantido abaixo de um certo limite mximo estabelecido pelo critrio de estabilidade. O d b l d d bl dO critrio de estabilidade para ns internos em problemas de transferncia de calor unidimensionais em coordenadas rectangulares dado por:g p

(5 45)212

t = Prof. Doutor. Eng Jorge Nhambiu 56

(5.45)2 2x

5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransienteConsidere-se uma regio retangular em que a conduo de calor Considere-se uma regio retangular em que a conduo de calor

significativa nas directes x e y, e considere-se a espessura z = 1 na

direo z. O calor pode ser gerado no meio a uma taxa de g(x, y, t), que

significativa nas directes x e y, e considere-se a espessura z = 1 na

direo z. O calor pode ser gerado no meio a uma taxa de g(x, y, t), que

pode variar com o tempo e posio, com a a condutividade trmica do

meio k assumida constante.

pode variar com o tempo e posio, com a a condutividade trmica do

meio k assumida constante.

Dividinda-se o plano da regio numa malha retangular de pontos

nodais espaadas x e y nas direces x e y respectivamente, e

Dividinda-se o plano da regio numa malha retangular de pontos

nodais espaadas x e y nas direces x e y respectivamente, e

considere-se um n geral interior (m, n), cujas coordenadas so x = m

X e Y = ny.

considere-se um n geral interior (m, n), cujas coordenadas so x = m

X e Y = ny.


5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransiente

A formulao transiente de diferenas finitas para um n interiorA formulao transiente de diferenas finitas para um n interior em geral pode ser expressa como:

1, , , 1 , 1, ,m n m n m n m n m n m nT T T T T Tk y k x k yx y x

+ + + + 1

, 1 ,,

i im n m n m m

m n

T T T Tk x g x y x yCy t

+

+ + = (5.46)

Utilizando-se uma malha quadrada x=y=l e dividindo cada termo da expresso por k, aps a simplificao obtm-se:



2 1,

1, 1, , 1 , 1 ,4i i

m n m mm n m n m n m n m n

g l T TT T T T Tk

+ + +

+ + + + = (5.47)1, 1, , 1 , 1 ,m n m n m n m n m n k + +Onde =k/C a difusividade trmica do material e = t/l2 o nmero adimensional da malha de Fourier. Tambm se pode pexpressar em termos das temperaturas dos ns vizinhos pela seguinte formula fcil de memorizar:

2 1

4i i

n n nesquerda topo direita baixo n

g l T TT T T T Tk

+ + + + + = (5.48)


5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransienteObtem-se a formulao explcita de diferenas finitas, expressando o lado esquerdo no passo de tempo i como:

(5.49)2 1

4i i i

i i i i i n n nesquerda topo direita baixo n

g l T TT T T T Tk

+ + + + + =expressando o lado esquerdo no passo de tempo i como:

Expressando o lado esquerdo na etapa de tempo i + 1 em vez de i obtm-se a formulao implcita. Esta equao pode ser resolvida

k

f p q pexplicitamente para a nova temperatura Tni+1 para se obter:

(5.50)( ) ( ) 21 1 4 ii i i i i i n d d b g lT T T T T T + = + + + + + ( )( ) ( )1 4n esquerda topo direita baixo nT T T T T T k + + + + +Para todos os ns internos (m,n) onde m=1,2,3,M-1 e n=1 2 3 N-1 no meio


n 1,2,3,N 1 no meio


O critrio de estabilidade requer que o coeficiente de Tmi na T i+1 d i i l d expresso Tmi+1 deva ser maior ou igual a zero para todos os ns,

igualmente vlida para os casos bi ou tri dimensionais e limita severamente o tamanho do passo de tempo t que pode ser usado p p q pno mtodo explcito.Para ns internos de transferncia de calor bidimensional em coordenadas retangulares o critrio de estabilidade dado por:coordenadas retangulares o critrio de estabilidade dado por:

(5.51)214

tl = l

Apresentam-se em seguida algumas das equaes mais utilizadas para a soluo de problemas bidimensionais em regime

Prof. Doutor. Eng Jorge Nhambiu 61

transiente.

5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransienteCaso1 - N interior

m,n+1

y 1FoCritrio de estabilidadeCritrio de estabilidade

Caso1 N interior

m-1,n

m+1,n

ym,n 4

Fo

m,n-1x

T h

( ) ( )1, , 1 , 1 1, 1, ,1 4i i i i i im n m n m n m n m n m nT T T T T T + + + = + + + + T,h

Equao nodal Equao nodal x = x = yy


( ) ( ), , , , , ,

5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransienteCaso2 - N num vrtice interior com conveco

m,n+1 Critrio de estabilidadeCritrio de estabilidade

Caso2 N num vrtice interior com conveco

ym,n ( )

433 + BiFo

m+1,nm-1,n

m,n-1x

T, h

( )1, 1, , 1 1, , 1 ,2 42 2 2 1 43 3i i i i i i im n m n m n m n m n m nT T T T T Bi T Bi T + + + = + + + + +

Equao nodal Equao nodal x = x = yy


( ), 1, , 1 1, , 1 ,3 3m n m n m n m n m n m n+ +

5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransienteCaso 3 - N numa superfcie plana com conveco

m,n+1

y Critrio de estabilidadeCritrio de estabilidade

Caso 3 N numa superfcie plana com conveco

T, h

1

ym,n 1

4

m-1,n

m,n-1x

4

( ) [ ]1, 1, , 1 , 1 ,2 1 4i i i i im n m n m n m n m nT T T T T + + = + + + +Equao nodal Equao nodal x = x = yy


( )

5.5 Conduo Bidimensional em Regime T iTransienteCaso 4 - N num vrtice externo com conveco

m-1,n Critrio de estabilidadeCritrio de estabilidade

Caso 4 N num vrtice externo com conveco

m,n-1y m,n ( ) 11

4Bi +

x

( ) ( )1, , 1 1, ,2 2 1 4 4i i i p im n m n m n m nT T T Bi T Bi T + = + + + + Equao nodal Equao nodal x = x = yy


5.6 Soluo das Equaes de Elementos i iFinitos

Considerando um sistema de N equaes diferentes correspondentes a N temperaturas desconhecidas, a metodologia de soluo comea por expressar as equaes:

NN

NN

CTaTaTaTaCTaTaTaTa

=++++=++++

LL

22323222121

11313212111

NNNNNNN

NN

CTaTaTaTa

CTaTaTaTa

=++++

++++

LMMMMMM

332211

22323222121

(5.52)

Onde a11, a12,...C1,...so coeficientes e constantes conhecidas relacionadas com x, k, h e T


relacionadas com x, k, h e T


Usando a notao Matricial pode-se escrever:

[ ][ ] [ ]CTA = (5.53)

Onde:

NN

CC

CTT

Taaaaaa

A MMMMMLL

2

1

2

1

22221

11211

,, (5.54)

NNNNNN CTaaa

MML

MMM21

,, (5.54)



O vector soluo de temperaturas pode ento ser escrito como:

[ ] [ ] [ ]CAT 1= (5.55)Onde [A]-1 a matriz inversa de [A] e definida por:

[ ]

NN

bbbbbb

ALL

22221

11211

1 (5 56)[ ]

NNNN bbb

A

LMMM

21

(5.56)



Resolvendo o lado direito da Equao 5.52 segue a soluo:

NN

NN

CbCbCbTCbCbCbT

+++=+++=

LL

22221212

12121111

(5 57)

NNNNNN

NN

CbCbCbT +++= LMMMMM

2211

22221212 (5.57)


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Aula_11- Diferencas Finitas