GEE031 - CONTROLE DIGITAL

DE PROCESSOS Engenharia de Controle e Automao

Aula 6 Transformada Z Inversa

(cap. 05 da apostila)

Transformada Z inversa

Necessria quando se deseja analisar ou conhecer o comportamento de uma

determinada funo ou sinal no domnio

do tempo (discreto).

A notao para a transformada :

= () transformada z direta

= () transformada z inversa

Transformada Z inversa

A correspondncia entre a transformada Z e sua funo temporal f(t) no necessariamente

nica.

O perodo de amostragem T exerce grande influncia nesta operao.

Transformada Z inversa

Dada uma funo de transferncia Y(z)

A transformada Z inversa encontra os coeficientes da sequncia de y(kT)

A funo no tempo ento determinada como:

0k

y t y kT t kT

Transformada Z inversa

Como na transformada S, para a transformada Z ser til, necessrio recorrer

aos mtodos para encontrar a transformada

inversa usando a tabela de transformadas:

Mtodos:

Sries de Potncia (Diviso Contnua)

Fraes parciais

Inverso integral

O que vamos ver

Transformada inversa

Definio

Mtodo 1 : Sries de Potncia (Diviso Contnua)

Mtodo 2: Fraes Parciais

Razes distintas

Razes Mltiplas

Mtodo 3: Convoluo Integral

Mtodo 1 : Sries de potncia

obtm-se diretamente os valores da seqnciax(kT) apartir de X(z)

Procedimento:

consiste em se efetuar uma diviso contnua do numerador pelo denominador de X(z)

efetua-se uma diviso da seguinte forma:

Mtodo 1 : Sries de potncia

Resultado ser um polinmio em z.

Associar com a seqncia de x(kT) usando-se a propriedade do operador avano e/ou atraso.

X z x k z x x z x z x zk

k

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

1 2 30 1 2 3

b z b z b z bz a z a z a

c c z c z c z

n n

n n

n n

n n0 1

1

11

1

1

0 1

1

2

2

3

3

Quociente

kckTx

cTx

cTx

cTx

cTx

)(

)3(

)2(

)1(

)0(

3

2

1

0

Mtodo 1 : Exemplo 1

2

1 2 32

14

4 8 83

zz z

Yz

zz

zz

1 2 31 4 8 8z z z

2 3 4 z z2 3 4z z

0 1,

4,

2 8,

3 8,

y

y T

y T

y T

4 4z 14 12 16z z 18 16z

2 z z

Mtodo 1 : Exemplo 1

4 8 2 8 3y t t t T t T t T

0k

y t y kT t kT

Mtodo 1 : Exerccio 1

Dado Y(z) abaixo, achar y(t).

Y(z) = z

-------------

z2 3z+2

O que vamos ver

Transformada inversa

Definio

Mtodo 1 : Sries de Potncia (Diviso Contnua)

Mtodo 2: Fraes Parciais

Razes distintas

Razes mltiplas

Mtodo 3: Convoluo Integral

Mtodo 2: Fatorao em Fraes parciais

Similar transformada Inversa de Laplace

Procedimento:

Fatorar o denominador polinomial de X(z) e encontra-se os polos de X(z)

Utiliza tabelas de transformadas Z

Que aps consulta na tabela resulta em:

Caso I: Razes reais distintas

Ento, dado X(z)

Fatorar denominador do polinmio e encontrar os plos:

Expandir em fraes parciaisCaso comum quando tem um zero na origem:

Usar este zero somente no final para

Facilitar na escolha da transformada na tabela

1 f t

F z

2 Impulso unitrio

t

1

3 Impulso unitrio atrasado de kT 1 k T kz 4 Degrau unitrio

1 t

1

z

z 5

Degrau unitrio atrasado de kT

1 1k T

1

kz zz

6

rampa unitria: t

21

Tz

z

7

parbola unitria: 2t

2

3

1

2 1

z zT

z

8

ate aT

z

z e 9

1 ate

1

1

aT

aT

z e

z z e

10

1 atat e

2

2

1 1

1

aT aT aT

aT

aT e z e aTe z

z e z

11

atte

2

aT

aT

Te z

z e

12

at bte e

aT bT

aT bT

z e e

z e z e

13

1 atat e

2

1aT

aT

z z e aT

z e

14 15

16

sen t

2

z sen T

z 2z cos T 1

17

cos t

2

z z cos T

z 2z cos T 1

18

ka z

z a 19

kk a

2

a z

z a

Quando tem razes distintas na forma

A expanso em fraes parciais

Os coeficientes podem ser encontrados como:

Caso I: Razes reais distintas

1 2 3 n

N zY z

z p z p z p z p

31 2

1 2 3

n

n

A AA AY z

z p z p z p z p

....... 1,2,. .. , ,. 3i

i i z pA z p Y z para i n

Mtodo 2: Exemplo 1

1 2

zY z

z z

1

1 2 1 2

Y z A B

z z z z z

0 0

1,

2 3,

3 7,

y

y T

y T

y T

2 1 1A z B z

1 2

z zY z

z z

1 2ky kT

Caso I: Razes reais distintas

Encontre a transformada Z inversa para a funo de transferncia:

(z2+z)

Y(z) = ---------------------------

(z-0,5)(z-0,8)(z-1)

Caso II: Razes de mltiplas ordens

1 1 1 1 1r

N z N zY z

z p z p z p z p z p

31 2

2 3

1 1 1 1

r

rY z

z p z p z p z p

1

!i

kr

r k ik

z p

X zdz p

k dz z

Quando Y(z) tem razes de mltipla ordem da forma:

Caso II: Razes de mltiplas ordens

Encontre a transformada Z inversa para a funo de transferncia:

z2 +3z - 2

Y(z) = ---------------------------

(z + 5)(z - 0,8)(z - 2)2

O que vamos ver

Transformada inversa

Definio

Mtodo 1 : Sries de Potncia (Diviso Contnua)

Mtodo 2: Fraes Parciais

Razes distintas

Razes mltiplas

Mtodo 3: Convoluo Integral

Mtodo 3: Mtodo da convoluo integral

A transformada Z inversa pode ser obtida utilizando a integral inversa, definida por:

Utilizando o teorema dos resduos, a integral acima pode ser calculada a partir de:

K1 o resduo de X(z)zk-1 do polo z1K2 o resduo de X(z)z

k-1 do polo z2Km o resduo de X(z)zk-1 do plo zm

Mtodo 3: Mtodo da convoluo integral

Se a funo tem um plo simples em (z=a) ento o resduo obtido como:

Ento:

1kz a

residuo z a Y z z

1 1 1k k kz a z b z c

Y kT z a Y z z z b Y z z z c Y z z

Mtodo 3: Exemplo 1

Encontre a transformada Z inversa para a funo de transferncia:

1 2

zY z

z z

Mtodo 3: Exerccio 1

Encontre a transformada Z inversa para a funo de transferncia:

1 2 3

zY z

z z z