Anlise de SensibilidadeProf. M.Sc. Fbio Francisco da Costa Fontes

Outubro - 2009

IntroduoUma das hipteses dos problemas de programao linear a considerao de certeza nos coeficientes e constantes. Isto , a soluo otimizada dependente dos coeficientes da funo objetivo (geralmente lucro, receita ou custo) e dos coeficientes e constantes das restries (geralmente necessidades por produto e disponibilidade de um recurso).

IntroduoNo mundo real, quase nunca temos certeza destes valores; portanto, devemos saber o quanto a soluo otimizada est dependente de uma determinada constante ou coeficiente. Se observarmos uma alta dependncia, devemos tomar um grande cuidado na determinao da mesma.

IntroduoPara amenizar essa hiptese realizamos uma anlise ps-otimizao verificando as possveis variaes, para cima e para baixo, dos valores dos coeficientes da funo objetivo, dos coeficientes e das constantes das restries, sem que a soluo tima (x1, x2, ..., xn) seja alterada.

Introduo Este estudo se denomina Anlise de Sensibilidade. Em uma Anlise de Sensibilidade deveremos responder basicamente a trs perguntas:Qual o efeito de uma mudana num coeficiente da funo objetivo?Qual o efeito de uma mudana numa constante de uma restrio?Qual o efeito de uma mudana num coeficiente de uma restrio?

IntroduoExistem dois tipos bsicos de anlise de sensibilidade. O primeiro estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes da funo objetivo e para as constantes das restries.O segundo verifica se mais de uma mudana simultnea em um problema altera a sua soluo tima.

Alterao em um dos coeficientes da Funo ObjetivoConsidere o problema abaixo e sua soluo grfica

Max Z = 5x1 + 2x2Sujeito a: 4x1 + x2 10(A) x1 + 2x2 9 (B) x1 0 e x2 0

Alterao em um dos coeficientes da Funo ObjetivoZ

Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo A reta que define a funo objetivo do problema anterior dada por:Z = 5x1 + 2x2

Alterao em um dos coeficientes da Funo ObjetivoNa soluo tima, os valores de x1 e x2 so iguais para as duas equaes das retas que limitam a soluo. Portanto, resolvendo este sistema de equaes poderemos encontrar a soluo tima.

Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo 4x1 + x2 = 10 x2 = - 4x1 + 10x1 + 2x2 = 9 x2 = (- x1 + 9)/2- 4x1 + 10 = (- x1 + 9)/2

x1 = 11/7 e x2 = 26/7

Alterao em um dos coeficientes da Funo ObjetivoA alterao em um dos coeficientes provoca uma alterao no coeficiente angular (inclinao) da reta que define a funo objetivo. Visualmente podemos notar que se a variao na inclinao for pequena a soluo tima (valor das variveis de deciso que produzem o maior valor da funo objetivo) no sofrer alterao. Devemos deixar claro que o valor mximo (Z) a ser produzido pela soluo tima ser diferente, independentemente da manuteno da soluo tima.

A figura abaixo mostra quanto a inclinao (rea sombreada) da funo objetivo pode mudar sem que a soluo tima seja alterada.Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

As retas A, B e a funo objetivo apresentadas na figura pertencem a uma mesma famlia de retas pois tm o ponto (11/7, 26/7) em comum, isto , uma caracterstica em comum, e a diferena ente elas est no coeficiente angular. Portanto, enquanto o coeficiente angular da funo objetivo estiver entre os coeficientes das retas que determinam a soluo tima esta no se alterar. Matematicamente, isto pode ser representado por:Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Alterao em um dos coeficientes da Funo ObjetivoDeclividade Declividade Declividade da Linha A da Funo da Linha B Objetivo

4x1 + x2 = 10 x1 + 2x2 = 9x2 = -4x1 + 10 x2 = (-1/2)x1 + 9/2

-4 Declividade -0,5da Funo Objetivo

De uma forma geral, podemos obter o valor do coeficiente angular de uma funo objetivo por Z = c1x1 + c2x2 ou por:

Isto , o coeficiente angular dado por c1/c2. Logo, no caso, queremos - 4 c1/c2 - 0,5Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

A anlise que faremos a seguir supe que apenas um dos coeficientes da funo objetivo pode sofrer alterao de cada vez. Supondo primeiramente que apenas c1 sofrer alterao, este poder variar de 1 c1 8. Matematicamente estes limites podem ser obtidos da seguinte maneira:

Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

-4 - c1/c2 - 0,5 para c2 = 2 temos

-c1/2 -4 c1 8-4 -c1/2 -0,5 -c1/2 -0,5 c1 1

1 c1 8Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Assumindo agora que apenas c2 sofrer alterao, este poder variar de 1,25 c2 10. Matematicamente estes limites podem ser obtidos da seguinte maneira:-4 -c1/c2 - 0,5 para c1 = 5 temos-5/c2 -4 c2 5/4 (para c20)-4 -5/c2 -0,5 -5/c2 -0,5 c2 10 (para c2 0)5/4 c2 10 Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Neste caso tivemos a nossa tarefa facilitada, pois existiam limites bem claros para a alterao do coeficiente angular, dado pelas duas retas das restries. Contudo, nem sempre existem estes limites de forma clara. Considere agora o problema a seguir, que difere do nosso problema original apenas pela alterao do coeficiente da varivel x1.Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Max Z = 15x1 + 2x2Sujeito a: 4x1 + x2 10(A) x1 + 2x2 9 (B) x1 0 e x2 0Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

A representao grfica deste novo problema muito parecida com a anterior, j que os conjuntos de restries (portanto, as solues viveis) so os mesmos para ambos os problemas. A figura mostra o conjunto de solues viveis, bem como a soluo tima.

Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Quando a rotao da funo objetivo em torno do extremo timo passa pela reta vertical, significa que ou o limite superior ou o inferior para a declividade no existem (a funo tangente no definida em 90). Neste problema um dos limites dado pela reta limite da restrio 4x1 + x2 10. O outro limite vai ser dado pela reta vertical que passa pelo ponto (5/2, 0).Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Para a funo objetivo ter cruzado a reta vertical, o coeficiente angular deve ser positivo, ou seja, o sinal do coeficiente da varivel x1 teria de ser negativo (mantido o coeficiente de x2).Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

Por exemplo: se a funo objetivo fosse dada por Z = -10x1 + 2x2, seu coeficiente angular seria igual a 5. Como estamos desejando maximizar a funo objetivo, podemos facilmente notar que a soluo tima seria alterada de (5/2, 0), j que quanto mais aumentarmos x1 menor ser o valor de Z devido ao coeficiente negativo de x1. Portanto, deveramos minimizar x1 e maximizar x2, o que nos levaria a soluo tima de (0, 9/2) e um valor mximo de 9. Alterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo

24682468ABAlterao em um dos coeficientes da Funo Objetivo(0, 9/2)

Alterando o valor da Constante da RestrioUma mudana em qualquer das constantes das restries pode tambm alterar a soluo tima de um problema. Esta mudana geralmente acarreta uma alterao no conjunto de solues viveis, aumentando ou diminuindo o mesmo. A alterao resultante no valor da funo objetivo devido ao incremento de uma unidade na constante de uma restrio denominada preo-sombra (shadow price). A interpretao do preo-sombra feita s vezes de custos ou receitas marginais, dependendo das variveis envolvidas.

Considere o problema abaixo, onde alteramos o nosso problema inicial modificando o valor da constante da segunda restrio de 9 para 15.

Max Z = 15x1 + 2x2Sujeito a: 4x1 + x2 10(A) x1 + 2x2 15 (B) x1 0 e x2 0

Alterando o valor da Constante da Restrio

A Figura mostra esta modificao graficamente, bem como a diferena no conjunto de solues viveis. Vale notar que esta mudana no alterou a soluo tima. A razo est no fato desta restrio no limitar a soluo tima. Neste caso as duas restries que limitam a soluo tima so

4x1 + x2 10 e x1 0.Alterando o valor da Constante da Restrio

Alterando o valor da Constante da Restrio

Considere agora o problema a seguir, em que alteramos a constante da primeira restrio de 10 para 15. Como esta restrio limita a soluo tima, seu valor ser alterado.

Max Z = 15x1 + 2x2Sujeito a: 4x1 + x2 15(A) x1 + 2x2 9 (B) x1 0 e x2 0

Alterando o valor da Constante da Restrio

A figura abaixo mostra a alterao do conjunto de solues viveis e da soluo tima.Alterando o valor da Constante da Restrio

A alterao de cinco unidades da constante da primeira restrio provocou uma alterao no valor mximo da funo objetivo de 37,5 para 56,25. Logo, o preo-sombra deste recurso pode ser obtido como:

Preo-sombra = (56,25-37,5)/5 = 3,75

Alterando o valor da Constante da Restrio

Agora se alterarmos em 26 unidades ao invs de 5 unidades a constante da primeira restrio (10 para 36) provoca uma alterao no valor mximo da funo objetivo de 37,5 para 135. Logo, o preo-sombra deste recurso pode ser obtido como:

Preo-sombra = (135 37,5)/26 = 3,75 Alterando o valor da Constante da Restrio

Note que o valor do preo sombra o mesmo. Isto acontece dentro de um intervalo de valores apenas. A soluo grfica desta segunda alterao do problema original est representada a seguir.Alterando o valor da Constante da Restrio

Alterando o valor da Constante da Restrio

Fazendo agora a terceira modificao no problema aumentando o valor da constante para 37 (qualquer nmero maior que 36), o modelo seria o apresentado a seguir e sua soluo grfica a apresentada na prxima figura.Max Z = 15x1 + 2x2Sujeito a: 4x1 + x2 37(D) x1 + 2x2 9(B) x1 0 e x2 0

Alterando o valor da Constante da Restrio

Nesta alterao o valor da funo objetivo continuou o mesmo (135); portanto,

Preo-sombra = (135-135)/1 = 0Alterando o valor da Constante da Restrio

Alterando o valor da Constante da Restrio

Vale notar que a primeira restrio deixou de ser limitante da soluo tima. As restries limitantes so agora x1 + 2x2 9 e x1 0. Podemos concluir que, enquanto a restrio continuar como limitante da soluo tima, o preo-sombra permanece o mesmo, tornando-se zero quando ela deixa de ser limitante da soluo tima.Alterando o valor da Constante da Restrio

ExerccioA Fashion Things Ltda. uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessrios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo-padro (preo mdio) quanto para as bolsas do modelo de luxo (preo alto). A confiana do distribuidor to acentuada que ele garante que ele ir comprar todas as bolsas que forem produzidas nos prximos trs meses.

ExerccioUma anlise detalhada dos requisitos de fabricao resultaram na especificao da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido (em horas) para a realizao das quatro operaes que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa:

Exerccio

A) Supondo que a empresa deseja maximizar o lucro, determine quantas bolsas de cada modelo devem ser fabricadas.B) Qual o lucro obtido pela quantidade tima de bolsas fabricadas?C) Quanto tempo deve ser programado para cada operao do processo produtivo?D) Qual o tempo de sobra em cada operao?E) Calcule o espectro de otimalidade dos coeficientes da funo objetivo? (o intervalo de variao para os coeficientes da funo objetivo)

F) Detemine o valor de 1 hora adicional de corte e colorao?G) Qual o preo-sombra para a restrio de corte e colorao?H) Qual o preo sombra para a restrio de costura?

RefernciasLACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decises: modelagem em Excel. So Paulo: Campus, 2006.