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AULA DE APOIO - 2FÍSICA–MATEMÁTICA I
Produto de convolução e afórmula da inversa
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Assuntos da aula
1 Teorema da convolução
Enunciado e prova
Aplicação
2 Fórmula da inversa de Fourier
Preliminares
Enunciado em passos elementares
ProvasFísica-Matemática. Aula 2 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Nosso estudo sobre transformada de Fourier inicia com um resultadoimportante do ponto de vista de aplicações.
O produto de convolução de duas funções f e g em L1 é a função
f ∗ g(x) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y)g(y)dy . (1)
A integral ∫∞−∞ |f (x − y)g(y)| dy pode divergir em x e, nestes casos,a convolução não existe. A convolução sempre existe se f , g ∈ L1 e gé uma função contínua e limitada. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g(x)existe para (quase) todo x ∈ R.
Física-Matemática. Aula 3 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte
h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).
h. Pela desigualdade triangular
∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx
onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo
‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .
Física-Matemática. Aula 4 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte
h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).
h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx =
∫ ∞−∞
∣∣∣∣∣ 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y)g(y)dy∣∣∣∣∣ dx
onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo
‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .
Física-Matemática. Aula 4 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte
h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).
h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx ≤ 1√
2π
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞|f (x − y)g(y)| dydx
onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo
‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .
Física-Matemática. Aula 4 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte
h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).
h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx ≤ 1√
2π
∫ ∞−∞|g(y)|
(∫ ∞−∞|f (x − y)| dx
)dy
onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo
‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .
Física-Matemática. Aula 4 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Adicionamos às propriedades enunciadas na Aula anterior o seguinte
h. Se f , g ∈ L1, então f ∗ g ∈ L1 e f ∗ g(ξ) = f (ξ)g(ξ).
h. Pela desigualdade triangular∫ ∞−∞|(f ∗ g) (x)| dx ≤ 1√
2π
∫ ∞−∞|g(y)|
(∫ ∞−∞|f (x − y)| dx
)dy
onde a integral no interior do parênteses é ‖f ‖1, concluindo
‖f ∗ g‖1 ≤1√2π‖f ‖1 ‖g‖1 .
Física-Matemática. Aula 4 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,
f ∗ g(ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
( 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y)g(y)dy)
e−iξxdx
= 1√2π
∫ ∞−∞
g(y)( 1√
2π
∫ ∞−∞
f (x − y)e−iξ(x−y)dx)
e−iξydy
= f (ξ)g(ξ) . 2
Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se
|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).
Física-Matemática. Aula 5 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,
f ∗ g(ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
( 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y)g(y)dy)
e−iξxdx
= 1√2π
∫ ∞−∞
g(y)( 1√
2π
∫ ∞−∞
f (x − y)e−iξ(x−y)dx)
e−iξydy
= f (ξ)g(ξ) . 2
Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se
|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).
Física-Matemática. Aula 5 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,
f ∗ g(ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
( 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y)g(y)dy)
e−iξxdx
= 1√2π
∫ ∞−∞
g(y)( 1√
2π
∫ ∞−∞
f (x − y)e−iξ(x−y)dx)
e−iξydy
= f (ξ)g(ξ) . 2
Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se
|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).
Física-Matemática. Aula 5 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
A troca de ordem de integração é justificada devido à integral duplaser absolutamente integravel. Analogamente,
f ∗ g(ξ) = 1√2π
∫ ∞−∞
( 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y)g(y)dy)
e−iξxdx
= 1√2π
∫ ∞−∞
g(y)( 1√
2π
∫ ∞−∞
f (x − y)e−iξ(x−y)dx)
e−iξydy
= f (ξ)g(ξ) . 2
Seja g(x) = a (f ∗ f ) (x) a convolução de f (x) =√2π(2a)−1 se
|x | ≤ a e f (x) = 0 se |x | > a, por ela mesma (veja Exemplo 1 daAula de Apoio anterior).
Física-Matemática. Aula 5 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) =
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.
Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) =
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.
Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) = 12∫ 2a
−2a
(1− |x |2a
)e−iξxdx
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.
Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) =∫ 2a
0
(1− x
2a
)cos ξx dx
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.
Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) = (1− x2a)sin ξx
ξ
∣∣∣∣∣2a
0+ 1
2a∫ 2a
0
sin ξxξ
dx
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.
Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) = a2
1− cos 2aξ(aξ)2
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
Deixamos como exercício mostrar que g(x) =√π/2 (1− |x | /(2a))
para |x | ≤ 2a e g(x) = 0 se |x | > 2a. A transformada de Fourier deg é, pelo teorema da convolução,
g(ξ) = af (ξ)2 = asin2 aξ(aξ)2 .
Confirmamos o resultado por um cálculo direto
g(ξ) = asin2 aξ(aξ)2 ,
pela relação cos 2aξ = cos2 aξ − sin2 aξ = 1− 2 sin2 aξ.
Física-Matemática. Aula 6 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
-4 -2 2 4x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
g(x)a = 1/2, 1, 2
Física-Matemática. Aula 7 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
Enunciado e provaAplicação
-5 5ξ
0.5
1.0
1.5
2.0
g(ξ)a = 1/2, 1, 2
Física-Matemática. Aula 7 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
Até esse ponto o desenvolvimento da transformada de Fourier seguiuos mesmos passos das séries de Fourier. Desejamos escrever f ∈ L1
como a anti–transformada de Fourier de f (ξ): f (x) ?= (f )(x).Antecipamos que as mesmas dificuldades encontradas naconvergência das séries de Fourier devem estar presentes no contextoda transformada de Fourier.
Dependendo das hipóteses sobre f teremos que decidir entre asfórmulas (valor principal de Cauchy ou média de Cesàro)
f (x) = limT→∞∫ T
−Tf (ξ)e iξxdξ/
√2π
f (x) = limT→∞∫ T
−T
(1− |ξ|T
)f (ξ)e iξxdξ/
√2π
Física-Matemática. Aula 8 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
Nossa habilidade em aproximar uma função f ∈ L1, 2π-periódica, porum polinômio trigonométrico T (x) de grau N foi de imenso valor.Para a transformada de Fourier, as funções da forma
B(x) = 1√2π
∫ T
−Tb(ξ)e iξxdξ (2)
desempenham um papel análogo aos polinômios trigonométricos.
Observamos que B(x) difere de T (x) = ∑Nn=−N tne inx em alguns
aspectos. Como T (n) = tn se |n| ≤ N e T (n) = 0 se |n| > N , ahipótese
∑∞n=−∞ |tn| <∞, implica em T ∈ L1(T) para todo N .
Física-Matemática. Aula 9 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
Esta propriedade não é em geral satisfeita para a função B(x).Tomando b(ξ) =
√2π(2a)−1 se |ξ| ≤ a e b(ξ) = 0 se |ξ| > a,
obtemos uma função B(x) = f (−x) = sin ax/(ax) 6∈ L1.
Dado T > 0, seja para x 6= 0 (∆T (0) = T/√2π)
∆T (x) = T√2π
(sin Tx/2Tx/2
)2
Usamos a notação para enfatizar as similaridades com o polinômiotrigonométrico ∆N(x), núcleo de Fejér. Uma delas é (Exercício)
1√2π
∫ ∞−∞
∆T (x)dx = 1 .
Física-Matemática. Aula 10 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
Suponha f ∈ L1 e x é um ponto de continuidade para f .
i. Seja B(x) uma função do tipo (2) tal que ∫T−T |b(ξ)| dξ <∞.
Então f ∗ B(x) = ∫T−T b(ξ)f (ξ)e iξxdξ/
√2π ;
j. f ∗∆T (x) = ∫T−T
(1− |ξ|T
)f (ξ)e iξxdξ/
√2π → f (x) , quando
T →∞ ;k. Se (f )(x) def.= limT→∞
∫T−T f (ξ)e iξxdξ/
√2π existe, então este
limite é f (x) ;l. Se f (ξ) = O (1/ |ξ|) para |ξ| ≥ 1, então o limite em k. existe e
(f )(x) = f (x) .
Física-Matemática. Aula 11 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
g∨(x)
T = 3
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
g∨(x)
T = 5
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
g∨(x)
T = 15
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
g∨(x)
T = 3, 5, 15
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f∨(x)
T = 5
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f∨(x)
T = 15
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f∨(x)
T = 40
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f∨(x)
T = 70
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
-4 -2 2 4x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
f∨(x)
T = 5, 15, 40, 70
Física-Matemática. Aula 12 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
i. A função B(x) é contínua (veja d.) e uniformemente limitada:
|B(x)| ≤ 1√2π
∫ T
−T|b(ξ)| dξ = 1√
2π‖b‖1
A convolução de f ∈ L1 com uma função contínua e limitada
|(f ∗ B) (x)| ≤ 1√2π
∫ ∞−∞|f (x − y)B(y)| dy ≤ ‖f ‖1 ‖b‖1
2π (3)
existe para todo x , e a estimativa permite a troca na ordem naintegração:
(f ∗ B) (x) = 1√2π
∫ ∞−∞
f (x − y) 1√2π
∫ T
−Tb(ξ)e iξydξdy
Física-Matemática. Aula 13 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
i. A função B(x) é contínua (veja d.) e uniformemente limitada:
|B(x)| ≤ 1√2π
∫ T
−T|b(ξ)| dξ = 1√
2π‖b‖1
A convolução de f ∈ L1 com uma função contínua e limitada
|(f ∗ B) (x)| ≤ 1√2π
∫ ∞−∞|f (x − y)B(y)| dy ≤ ‖f ‖1 ‖b‖1
2π (3)
existe para todo x , e a estimativa permite a troca na ordem naintegração:
(f ∗ B) (x) = 1√2π
∫ T
−Tb(ξ)e iξx 1√
2π
∫ ∞−∞
f (x − y)e−iξ(x−y)dydξ
Física-Matemática. Aula 13 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
i. A função B(x) é contínua (veja d.) e uniformemente limitada:
|B(x)| ≤ 1√2π
∫ T
−T|b(ξ)| dξ = 1√
2π‖b‖1
A convolução de f ∈ L1 com uma função contínua e limitada
|(f ∗ B) (x)| ≤ 1√2π
∫ ∞−∞|f (x − y)B(y)| dy ≤ ‖f ‖1 ‖b‖1
2π (3)
existe para todo x , e a estimativa permite a troca na ordem naintegração:
(f ∗ B) (x) = 1√2π
∫ T
−Tb(ξ)f (ξ)e iξxdξ .
Física-Matemática. Aula 13 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
j. Seja g(ξ) =√π/2(1− |ξ| /T ) se |ξ| ≤ T e g(ξ) = 0 se |ξ| > T ,
como na aplicação anterior (2a = T ). Então
g(−x) = g(x) = T2
sin2(Tx/2)(Tx/2)2 e
∆T (x) =√2/πg(x) = 1√
2π
∫ T
−T
(1− |ξ|T
)e iξxdξ
tem a forma de uma função B(x). Usando a propriedade i.,
f ∗∆T (x) = 1√2π
∫ T
−T
(1− |ξ|T
)f (ξ)e iξxdξ
Física-Matemática. Aula 14 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
E, pela normalização de ∆T (x)/√2π,
f ∗∆T (x)− f (x) = 1√2π
∫ ∞−∞
(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy .
Sendo x um ponto de continuidade para f , dado ε > 0, existe δ > 0tal que |f (x − y)− f (x)| ≤ ε para todo |y | ≤ δ. Escrevemos
f ∗∆T (x)−f (x) = 1√2π
(∫ −δ−∞
+∫ δ
−δ+∫ ∞δ
)(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy
Por definição temos que ∆T (x) ≤ 2√2/π
/(Tx 2
)e
|I1| ≤2π
( 1T δ2
∫ −δ−∞|f (x − y)|dy + |f (x)|
∫ −δ−∞
1Ty 2 dy
)
Física-Matemática. Aula 15 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
E, pela normalização de ∆T (x)/√2π,
f ∗∆T (x)− f (x) = 1√2π
∫ ∞−∞
(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy .
Sendo x um ponto de continuidade para f , dado ε > 0, existe δ > 0tal que |f (x − y)− f (x)| ≤ ε para todo |y | ≤ δ. Escrevemos
f ∗∆T (x)−f (x) = 1√2π
(∫ −δ−∞
+∫ δ
−δ+∫ ∞δ
)(f (x − y)− f (x)) ∆T (y)dy
Por definição temos que ∆T (x) ≤ 2√2/π
/(Tx 2
)e
|I1| ≤2π
( 1T δ2 ‖f ‖1 + 1
T δ |f (x)|)≤ C
TFísica-Matemática. Aula 15 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
A integral I3 é limitada similarmente e
|I2| ≤1√2π
∫ δ
−δ|f (x − y)− f (x)|∆T (y)dy
≤ ε√2π
∫ ∞−∞
∆T (y)dy = ε ,
de onde se conclui a asserção:
|f ∗∆T (x)− f (x)| ≤ 2ε
para ε > 0 qualquer tomando T suficientemente grande.
Física-Matemática. Aula 16 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
A integral I3 é limitada similarmente e
|I2| ≤1√2π
∫ δ
−δ|f (x − y)− f (x)|∆T (y)dy
≤ ε√2π
∫ ∞−∞
∆T (y)dy = ε ,
de onde se conclui a asserção:
|f ∗∆T (x)− f (x)| ≤ 2ε
para ε > 0 qualquer tomando T suficientemente grande.
Física-Matemática. Aula 16 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
A integral I3 é limitada similarmente e
|I2| ≤1√2π
∫ δ
−δ|f (x − y)− f (x)|∆T (y)dy
≤ ε√2π
∫ ∞−∞
∆T (y)dy = ε ,
de onde se conclui a asserção:
|f ∗∆T (x)− f (x)| ≤ 2ε
para ε > 0 qualquer tomando T suficientemente grande.
Física-Matemática. Aula 16 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais
I(T ) =∫ T
−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/
√2π
J(T ) =∫ T
−T
(1− |ξ|T
)h(ξ)dξ
Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):
1T∫ T
0I(t)dt =
Física-Matemática. Aula 17 / 20
Teorema da convoluçãoFórmula da inversa de Fourier
PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais
I(T ) =∫ T
−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/
√2π
J(T ) =∫ T
−T
(1− |ξ|T
)h(ξ)dξ
Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):
1T∫ T
0I(t)dt =
Física-Matemática. Aula 17 / 20
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k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais
I(T ) =∫ T
−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/
√2π
J(T ) =∫ T
−T
(1− |ξ|T
)h(ξ)dξ
Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):
1T∫ T
0I(t)dt = 1
T∫ T
0
∫ t
−th(ξ)dξdt
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k. Seja a o limite: a = (f )(x) e considere as integrais
I(T ) =∫ T
−Th(ξ)dξ , h(ξ) = f (ξ)e iξx/
√2π
J(T ) =∫ T
−T
(1− |ξ|T
)h(ξ)dξ
Vamos mostrar que se limT→∞ I(T ) = a, então limT→∞ J(T ) = a.Observe que J(T ) é a média de Cesàro de I(T ):
1T∫ T
0I(t)dt =
∫ T
−Th(ξ)
( 1T∫ T
|ξ|dt)
dξ = J(T ) .
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PreliminaresEnunciado em passos elementaresProvas
Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a =
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
0I(t)dt converge para
f (x) quando T →∞ e a = f (x).
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Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a = 1T∫ T
0(I(t)− a)dt
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
0I(t)dt converge para
f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20
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Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a = 1T∫ T0
0(I(t)− a)dt + 1
T∫ T
T0(I(t)− a)dt .
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
0I(t)dt converge para
f (x) quando T →∞ e a = f (x).Física-Matemática. Aula 18 / 20
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Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a = 1T∫ T0
0(I(t)− a)dt + 1
T∫ T
T0(I(t)− a)dt .
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
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Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a = 1T∫ T0
0(I(t)− a)dt + 1
T∫ T
T0(I(t)− a)dt .
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
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Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a = 1T∫ T0
0(I(t)− a)dt + 1
T∫ T
T0(I(t)− a)dt .
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
0I(t)dt converge para
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Pela existência do limite de I(T ), dado ε > 0, escolhemos T0 tal que|I(t)− a| < ε para todo t ≥ T0. Escrevemos
J(T )− a = 1T∫ T0
0(I(t)− a)dt + 1
T∫ T
T0(I(t)− a)dt .
Como T0 é independente de T , E1 → 0 quando T →∞ e
|E2| ≤1T∫ T
T0|I(t)− a| dt < ε
T∫ T
T0dt =
(1− T0
T
)ε .
Conclui-se que |J(T )− a| < 2ε para T suficientemente grande e aprova da asserção. Por j., J(T ) = (1/T )
∫ T
0I(t)dt converge para
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l. Pela definição de J(T ),
(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T
−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−
onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,
(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .
Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta
I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T
H (J(T )− a)− J+ + J−H
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l. Pela definição de J(T ),
(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T
−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−
onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,
(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .
Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta
I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T
H (J(T )− a)− J+ + J−H
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l. Pela definição de J(T ),
(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T
−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−
onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,
(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .
Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta
I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T
H (J(T )− a)− J+ + J−H
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l. Pela definição de J(T ),
(T + H)J(T + H) = J+ +∫ T
−T(T + H − |ξ|)h(ξ)dξ + J−
onde J± = ∫±T±H±T (T + H ∓ ξ)h(ξ)dξ. Por conseguinte,
(T + H) (J(T + H)− a)−T (J(T )− a) = J+ + H (I(T )− a) + J− .
Dividindo por H , reorganizando em seguida os termos, resulta
I(T )− a = T + HH (J(T + H)− a)− T
H (J(T )− a)− J+ + J−H
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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =
√εT , então
|E1| = 1 +√ε√
ε
∣∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣∣ < 1 +√ε√
εε <√ε
e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ
H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,
|J+|H ≤
∫ T+H
T
T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H
T = C√ε .
Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido
arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.
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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =
√εT , então
|E1| = 1 +√ε√
ε
∣∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣∣ < 1 +√ε√
εε <√ε
e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ
H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,
|J+|H ≤
∫ T+H
T
T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H
T = C√ε .
Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido
arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.
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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =
√εT , então
|E1| = 1 +√ε√
ε
∣∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣∣ < 1 +√ε√
εε <√ε
e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ
H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,
|J+|H ≤
∫ T+H
T
T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H
T = C√ε .
Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido
arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.
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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =
√εT , então
|E1| = 1 +√ε√
ε
∣∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣∣ < 1 +√ε√
εε <√ε
e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ
H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,
|J+|H ≤
∫ T+H
T
T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H
T = C√ε .
Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido
arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.
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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =
√εT , então
|E1| = 1 +√ε√
ε
∣∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣∣ < 1 +√ε√
εε <√ε
e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ
H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,
|J+|H ≤
∫ T+H
T
T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H
T = C√ε .
Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido
arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.
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Por j., dado ε > 0, existe T0 tal que |J(T )− a| < ε para T > T0. SeT > T0 e H =
√εT , então
|E1| = 1 +√ε√
ε
∣∣∣J((1 +√ε)T )− a
∣∣∣ < 1 +√ε√
εε <√ε
e a mesma estimativa é válida para E2. Notamos que no intevalo[T ,T + H ] de integração, 0 ≤ T + H − ξ
H ≤ 1 e |h(ξ)| ≤ C/T ,devido à hipótese. Logo,
|J+|H ≤
∫ T+H
T
T + H − ξH |h(ξ)| dξ ≤ C H
T = C√ε .
Similarmente, |J−|/H ≤ C√ε. Como ε > 0 pode ser escolhido
arbitrariamente pequeno, conclui-se que I(T ) tende a a = f (x)quando T →∞.
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