Aulas - Condução de Calor

ESCOLA POLITÉCNICA DA USP

DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS

www.pme.poli.usp.br/sisea

PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr

Prof. Dr. José R Simões Moreira

2o semestre/2012

versão 1.3

primeira versão: 2005

Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2012

2

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Este trabalho perfazem as Notas de Aula da disciplina de

PME 2361 - Processos de Transferência de Calor ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman.

O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais completo e deve ser consultado e estudado.



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Prof. José R. Simões Moreira

Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644

Breve Biografia

Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em

Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica -

Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na

Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da

Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação interinstitucional do

Instituto de Eletrotécnica e Energia (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de

pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq - nível 2, consultor

ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM,

Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica,

atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e

processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos e

sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários

congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de

Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas

Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos

de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de

Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural,

termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de

especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por

meio do PECE da Poli desde 2011 em sua quarta edição. Tem sido professor de cursos de

extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações

indústriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos

de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq,

Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 2006 com a

medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na

UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em

Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa

ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`.

Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor

visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e

julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria

(Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área

automobilística. É autor de mais de 90 artigos técnico-científicos, além de ser autor de um livro

intitulado "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e autor de um capítulo do livro

"Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou 13 mestres e 4 doutores, além

de cerca de 40 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos

de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um

número superior a 80 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-

científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa

da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.



4

AULA 1 - APRESENTAÇÃO

1.1. INTRODUÇÃO

Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de

Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a

seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há

diferença entre elas”?

Para desfazer essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de

aplicação de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da

Termodinâmica.

A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é

baseada em três leis fundamentais:

- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – princípio de medida de

temperatura e escala de temperatura)

- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva)

- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de

conversão de uma forma de energia em outra”)

Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas:

(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira

Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois o mesmo é

colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Suponha fG TT

inicial final

Que análises podem ser realizadas, de acordo com as duas disciplinas:

Termodinâmica: TmcUQT - fornece o calor total necessário a ser transferido do

frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico

médios – APENAS ISTO!

frasco

ambientef TT Gf TT

t



5

Transferência de calor: responde outras questões importantes no âmbito da

engenharia, tais como: quanto tempo t levará para que o novo equilíbrio térmico, ou

seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?

Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para

que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja

atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para

que o novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a transferência de calor vai permitir

estimar o tempo t , bem como definir em quais parâmetros podemos interferir para que

esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse.

De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de

temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode

ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou

sistema (fluido).

(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor

TERMIDINÂMICA: cec qqw : não permite dimensionar os equipamentos

(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo),

apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento,

como o COP:

c

e

w

qCOP

TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de

transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas:

- Qual o tamanho do evaporador / condensador?

- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos?

- Como atingir maior / menor troca de calor?

- Outras questões semelhantes.

Problema chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor

cw

cq

eq

compressor válvula

condensador

evaporador



6

O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite:

- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.;

- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio

ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de

circuitos de refrigeração;

- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores,

etc.

1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR

A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e

radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.

(a) Condução de calor

- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta

temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para

as menos energéticas.

- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por

elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos.

Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E

isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral).

A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)

dx

dTAq

x

onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq

T : temperatura

A constante de proporcionalidade é a condutividade ou condutibilidade térmica do

material, k, ou seja:

dx

dTkAqx

2T

1T

. .

x

sólido

xq



7

As unidades no SI das grandezas envolvidas são:

[xq ] = W ,

[ A ] = 2m ,

[T ] = K ou Co ,

[ x ] = m .

assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm

Wo

ou Km

W

A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os

valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção

de apêndices dos livros-texto.

Necessidade do valor de (-) na expressão

Dada a seguinte distribuição de temperatura:

Para 12 TT

T2

T1

T

x

T

xx1 x2

0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,

portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)

Além disso, do esquema; 00

0

x

T

x

T, daí tem-se que o gradiente também será

positivo, isto é:

0dx

dT mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), concluí-se que,

então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de

Fourier) para manter a convenção de que 0xq

Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT , conforme próximo esquema, a

equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)



8

xqT2T1

sólido

x

De forma que a Lei da Condução de Calor é:

Lei de Fourier (1822)

(b) Convecção de Calor

A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)

)( TTAq S

, onde a proporcionalidade é dada pelo coeficiente de transferência de calor por

convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:

onde:

A : Área de troca de calor;

ST : Temperatura da superfície;

T : Temperatura do fluido ao longe.

- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de

muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área, rugosidade, etc), propriedades

termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades, etc.

dx

dTkAq

x

)( TThAq S



9

(c) Radiação Térmica

A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de

Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e

Boltzmann, de forma teórica (1884).

Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica

(para um corpo negro)

constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8

W/m2 K

4)

Corpos reais (cinzentos) 4ATq , onde é a emissividade que é sempre 1

Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas

ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de

meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência

de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de

calor devido à irradiação solar que atinge nosso planeta.

4ATq


____________________________

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10

AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR

CONDUÇÃO DE CALOR

Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k

Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente

proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:

x

Tkq

, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a

condutividade térmica do material.

As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:

x

TA

qk

m

Cm

Wk

o2

Cm

Wk

o ou

Km

W

.

Sendo:

k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma

experimental.

Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k

isolante

x

A

Resistência

elétrica

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

i

Pontos de medição de

temperatura

q

A


____________________________


11

No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica

enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido

dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de

temperatura (termopares, p. ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de

temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil

seria linear, como vai se ver adiante, no entanto, a fim de ilustrar os resultados ilustrou-

se um perfil qualquer de temperaturas. De forma que, o gradiente de temperatura pode

ser medido a partir do gráfico, ou seja tgx

T

. Por outro lado, o fluxo de calor é a

própria potência elétrica IUIRq 2 . Sendo a seção transversal A conhecida, então,

da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k.

Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é

diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os

mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.

Gases

O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais

energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a

temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento

molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica

(fluido) se movimenta. Pode-se mostrar que.

Tk

Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados

tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,

desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.

Líquidos

Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos

líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais

complexa devido à menor mobilidade das moléculas.


____________________________


12

Sólidos

Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:

vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais

efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons

condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de

calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.

O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade

térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para

líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.

EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS

CARTESIANAS

Balanço de energia em um

volume de controle elementar


____________________________


13

BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)

Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de

calor calor de variação calor que

que entra no + gerada = da energia + deixa o

que V.C. no V.C. interna no V.C. V.C.

(I) (II) (III) (IV)

Sejam os termos:

(I) Fluxo de calor que entra no V.C.

Direção x

x

TdAk

x

Tdzdykq xxx

-

Direção y

y

Tdzdxkq yy

y

Tdzdxkq yy

Direção z y

Tdydxkq zz

(II) Taxa de calor gerado

dz q '''

G dydxEG

onde: '''

gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3mW

(III) Taxa temporal de variação da energia interna

t

Tcdzdydx

t

um

t

UEar

onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/

(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:

Direção x

xdx

qqq xxdxx

)(0 2dxdx

x

qqq x

xdxx

Direção y

dy

y

qqq

y

ydyy

z

Tdydxkq zz


____________________________


14

Direção z

dz

z

qqq z

zdzz

Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:

dzz

qqdy

y

qqdx

x

qq

t

Tcdxdydzdxdydzqqqq z

z

y

y

x

xGzyx

'''

+ ordem superior

simplificando os termos zyx qqq e , , vem:

, ''' dzz

qdy

y

qdx

x

q

t

Tcdxdydzdxdydzq zyx

G

e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,

dxdydzkz

dxdydzky

dxdydzkxt

Tcdxdydzdxdydzq zyxG

z

T

y

T

x

T '''

Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:

Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica

para a mesma. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da

geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de

contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT . A seguir

são apresentados alguns casos básicos.

Casos:

A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe

de T)

kkkk zyx

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T g

T

1

'''

2

2

2

2

2

2

2

t

T

z

T

y

T

x

T "'

cqk

zk

yk

xGzyx


____________________________


15

onde, = c

k

= difusibilidade ou difusividade térmica.

Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:

onde:

2

2

2

2

2

22

zyx

é o operador matemático chamado de Laplaciano no

sistema cartesiano de coordenadas.

Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,

embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é

independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesse em usar outros

sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como

exemplificado abaixo,

- Cilíndrico: 2

2

2

2

2

2 11

zrrr

rr

- Esférico: 2

2

222

2

2

2 sen

1 sen

sen

11

rrrr

rr

B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq

(Eq. de Fourier)

C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0

t

T

(Eq. de Poisson)

D) Regime permanente e k constante e uniforme

(Eq. de Laplace)

t

T

k

qT G

1'''

2

12

t

TT

0'''

2 k

qT G

02 T


____________________________


16

AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME

PERMANENTE SER GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA

O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o

caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e

propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado

na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma

temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se

imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de

temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da

parede é linear.

Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida

na aula anterior, isto é:

t

T

k

qT G

1'''

2

Introduzindo as simplificações do problema, vem:

i. Não há geração interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional: D1 2

22

x

Assim, com essas condições, vem que 02

2

x

Td, e a solução procurada é do tipo T(x).

Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx

dT

Logo, substituindo na equação, vem que 0dx

d


____________________________


17

Integrando por separação de variáveis vem:

1Cd , ou seja: 1C

Mas, como foi definido dx

dT 1C

dx

dT

Integrando a equação mais uma vez, vem:

21)( CxCxT que é a equação de uma reta, como já antecipado.

Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse

exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos

matemáticos isso quer dizer que

(A) em x = 0 1TT

(B) e em x = L 2TT

De (A): 12 TC

e de (B): 112 TLCT L

TTC 12

1

Assim,

Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT , como mostrado na figura ao lado.

Cálculo do fluxo de calor transmitido através da

parede

.

Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:

dx

dTkq

e, substituindo a distribuição de temperaturas,

vem:

L

TTkT

L

xTT

dx

dkq 12

112

, ou,

em termos de fluxo de calor por unidade de área,

temos: mW 212''

L

TTk

qq

Esquecendo o sinal de (-), vem

112 )()( TL

xTTxT

L

Tkq

''


____________________________


18

Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos:

aumentar o fluxo de calor q”

. com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k

. ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L

ou diminuir o fluxo de calor q”

. com o uso de material isolante térmico k

. ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM

GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.

Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica

constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua

aplicação é para tubos cilíndricos.

A equação geral é da forma t

T

k

qT G

1'''

2

Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em

coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:

t

T

k

q

z

TT

rr

Tr

rr

G

111 '''

2

2

2

2

2

Introduzindo as simplificações:

i. Não há geração interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional: D1 , que é válido para um tubo muito longo, ou

seja, T não depende de z, logo 02

2

z

T

iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02

2

T

As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na

direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:


____________________________


19

0

dr

dTr

dr

d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT

As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:

A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr

A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:

ee TTrr

Solução:

1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:

10 Cdrdr

dr

dTrd 1C

dr

dTr

Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:

21 Cr

drCdT

Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não

linear como no caso da parede plana.

Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno:

(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii

(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee

Fazendo-se (A) – (B), temos que e

i1

r

rln CTT ei , ou

e

i1

r

rln

ei TTC

Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:

Distribuição de temperatura, supondo ei TT .

21 )ln( CrCrT

e

ei TTT

rT

e

e

i r

rln

r

rln


____________________________


20

Te

Ti

re ri raio

Lei logarítmica T

O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é, dr

dTkq

Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área

transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica

ilustrada abaixo.

rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo

Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,

21 )ln()( CrCrT , vem:

])ln([2 21 CrCdr

drLkq

ou, efetuando a derivação, temos:

r

kLrCq1

2 1

ou, ainda: 12 kLCq

Substituindo, 1C :

e

i

r

rln

2 ie TTkLq

(W)

O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!

Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial

e

i

ie

r

r

TT

rL

kL

A

qq

ln

)(

2

2''

e

i

ie

r

r

TT

r

kq

ln

)('' 2mW


____________________________


21

AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS

Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes

compostas.

Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o

mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as

seguintes equações:

- parede 1: 1

211

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

1

121

- parede 2: 2

322

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

2

232

- parede 3: 3

433

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

3

343

Assim, somando os termos _____________

de todas as paredes: Ak

LqTT

i

i 41

ou, simplesmente,

R

Tq

onde o T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a

resistência térmica da parede composta, dada por Ak

LR

i

i

ANALOGIA ELÉTRICA

Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos

de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência: qi

TU

TÉRMICOÔHMICORR


____________________________


22

Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de

paredes podem ser resolvidas.

Circuito elétrico equivalente

Fluxo de calor que é:

T

total

R

Tq

5//1 RRRRT

com

432//

1111

RRRR

CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR

Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor.

Exemplos de formas de energia convertidas em calor:

1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor

2RIP (W)

Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W)

R : resistência ôhmica ( )

I : corrente elétrica (A)

Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)

UIP ou R

UP

2

q


____________________________


23

Em termos volumétricos, '''

Gq )/( 3mW , V

PqG

''' (W/m

3), onde V : volume onde o

calor é gerado.

2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0('''Gq como, por

exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma

reação endotérmica, 0'''Gq .

3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc...

Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana).

Lb

T1

T2

2L

2b

i

Equação geral

t

T

k

qT G

1'''

2 sendo que 0

t

T (regime permanente.)

0

'''

2 k

qT G )(xTT

Condições de contorno:

(1) Lx 1TT

(2) Lx 2TT


____________________________


24

Solução

Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx

dT ,

Então k

q

dx

d G

'''

Integrando essa equação por partes, vem:

1

'''

Cdxk

qd G , mas como

1

'''

então , Cxk

q

dx

dT G

Integrando novamente:

Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.

Como no caso da resistência elétrica '''

Gq (geração de calor) é positivo e,

claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa

parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''

Gq

for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas

(processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.

Determinação das constantes 1C e 2C :

Condições de contorno

(1) 21

2'''

12

CLCk

LqT G - temperatura da face esquerda conhecida

(2) 21

2'''

22

CLCk

LqT G - temperatura da face direita conhecida

Somando (1)+(2), vem:

2

2'''

21 2Ck

LqTT G

k

LqTTC G

22

2'''

212

.

Substituindo em (1) ou (2), tem-se L

TTC

2

121

Então, a distribuição final de temperaturas é:

21

2'''

2)( CxC

k

xqxT G

22)(

2

)()( 21

12

22'''TT

L

xTT

k

xLqxT G


____________________________


25

CASOS:

(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma

temperatura: STTT 21 . Daí, resulta que:

É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso,

ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco

comum de uma reação endotérmica, ou '''

Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo

e, no plano central, haveria a mínima temperatura.

Também poderia se chegar a essa expressão usando 0dx

dT

S

GCMÁX

Tk

LqTT

2

2'''

O fluxo de calor (lei de Fourier)

dx

dTkAq ou

dx

dTk

A

qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:

S

G Tk

xLq

dx

dkq

2

)( 22'''

'' ,

ou, simplesmente:

No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das

condições de contorno.

Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q

SG T

k

xLqxT

2

)()(

22'''

'''''

Gxqq


____________________________


26

(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT

Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx )

Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :

0

máxxdx

dTk ou

022

)()(2

2112

22

'''

TT

L

xTTxL

k

q

dx

d G , que resulta em:

02

)( 12

'''

L

TTx

k

qmáx

G

cuja solução é:

Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se

o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!

PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer

sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.

Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não

sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima?

'''

12

2

)(

G

máxLq

kTTx


____________________________


27

AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS

MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO

INTERNA DE CALOR

Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna

de calor em cilindros maciços. Como exemplo de

aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule

devido à passagem de corrente elétrica em fios

elétricos, como indicado na figura ao lado.

Partindo da equação geral da condução de calor:

01

'''

2

t

T

k

qT G

(regime permanente)

onde, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:

2

2

2

2

2

2 11

z

TT

rr

Tr

rrT

Hipóteses adicionais

- simetria radial: 02

2

(não há influência da posição angular numa seção

transversal)

- o tubo é muito longo: 02

2

z (não há efeitos de borda na direção axial)

Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou

seja, )(rTT

Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:

01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Ou, integrando por partes:

1

'''

Crdrk

q

dr

dTrd G

, ou, ainda:

1

2'''

2C

k

rq

dr

dTr G

Integrando novamente por separação de variáveis:

2

1

'''

2Cdr

r

Cr

k

qdT G

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G


____________________________


28

* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2:

(1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida

(2) 00

rdr

dT simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,

também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.

Da segunda condição de contorno, vem que:

02

lim 1

'''

0

r

C

k

rqG

r

Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.

Da primeira condição de contorno.

2

2'''

4C

k

rqT G

S ou, k

rqTC G

S4

2

0

'''

2

Finalmente, a equação da condução de calor fica:

É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !

Sendo, SG

máx Tk

rqT

4

20

'''

SG Trrk

qT 22

0

'''

4


____________________________


29

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado

externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .

Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''

Gq uniforme.

a) calcule a distribuição de temperaturas;

b) determine o fluxo de calor total removido (internamente);

c) determine a temperatura da superfície externa.

Solução:

Hipóteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Condições de contorno:

(1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)

(2) 0erdr

dT (fluxo de calor nulo na superfície)

A solução geral, como já visto, é:

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G

Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:

k

rqC eG

2

2'''

1 ;

)ln(2

4

22'''

2 i

e

ieGi r

r

r

k

rqTC


____________________________


30

i

ie

ieG Tr

r

r

rr

k

rqrT

ln2

4)(

2

222'''

Assim,

O fluxo de calor é:

dr

dTkAq

)()2( rTdr

drLkq

Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:

22'''

ieG rrqL

q (W/m)

A temperatura máxima é:

emáx TT

i

i

e

e

eieGemáx T

r

r

r

rr

k

rqTT ln2

4 2

222'''

OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada

uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de

transferência de calor vale CmkW o2/10 .

Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua

condutibilidade térmica vale CmWo/5,22


____________________________


31

CT o

c 267

Solução:

Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.

R

URiP

22 ;

A

LR

m 81070

mL 3,0 , 26232

100425,84

)102,3(

4m

DA

2

6

8

106111,2100425,8

3,01070R

kWP 830,3106111,2

1002

3,0100425,8

1083,31083,36

33

LAV

PqG

3

910587,1m

WqG

hA

PTTTThAP PP )(

3,0)102,3(1010

1083,395

33

3

PT

CT o

P 222

k

rqTT oG

Pc4

2

5,224

)106,1(10587,1222

239

cT


____________________________


32

RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações

- paredes planas

R

TTq 21

kA

LR

- circuito elétrico

- paredes compostas

- Circuito elétrico

Ainda,

onde

432//

1111

RRRR

5//1 RRRREQ

EQR

TTq 21

- Tubo cilíndrico


____________________________


33

R

TTq ei ;

kL

rr

R i

e

2

ln

- Tubo cilíndrico composto


ieq RR

Para dois tubos:

Lk

r

r

R1

1

2

12

ln

Lk

r

r

R2

2

3

22

ln

Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?

Lk

r

r

Ri

i

i

eq2

ln 1


____________________________


34

Lei de convecção (Newton)

)( TThAq p e

hA

TTq

p

1

onde, hA

1 é a resistência térmica de convecção


Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:

- Convecção em tubo cilíndrico


____________________________


35

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U

O coeficiente global de transferência de calor é definido por:

totalTUAq

Claramente, U está associado com a resistência térmica,

- parede plana

AhkAAhR

21

111

TUAR

Tq

RUA

1 ou

RAU

1

Logo,

21

11

1

hk

L

h

U

- tubo cilíndrico

Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à

área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são

intercambiáveis mediante a seguinte expressão:

totaliitotalee TAUTAU

Logo, iiee AUAU


____________________________


36

U referido à área externa

e

rr

e

e

hkL

AU

i

e 1

2

ln

1

U referido à área interna

ee

irr

i

i

hA

A

kL

AU

i

e

2

ln

1

RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO

As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio

ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica

em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de

camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais

pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta

operação.

hLrkL

TTq

e

rr

i

i

e

2

1

2

ln

ou,

hrk

TTLq

e

rr

i

i

e 1ln

)(2

Note que no denominador dessa expressão que

o raio externo tem duas contribuições: um no

termo de condução e a outra no termo de

convecção. De forma que, se o raio externo do

isolamento aumentar por um lado ele diminui

uma das resistências térmicas (a de condução),

enquanto que por outro lado a resistência

térmica de convecção aumenta. Isto está


____________________________


37

h

krcrit

ilustrado no gráfico acima e dá origem a um ponto de maximização. Do Cálculo, sabe-

se que o máximo da transferência de calor ocorre em:

2.1

.1

2

1ln

)(20

erherk

hrk

TTL

dr

dq

e

rr

i

ei

e

Assim,

2

11

ee hrkr

critr é o chamado raio crítico de isolamento.

Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h

k a transferência de calor

será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio

crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao

desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de

isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão

de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por

convecção de h = Cm

Wo2

7 (convecção natural), teste de alguns valores da

condutividade de materiais isolantes.

material Cm

Wok

er (cm)

Lã de vidro 0,038 0,54

Silicato de cálcio 0,055 0,79

Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos.

Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38


____________________________


38

AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.

Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por,

TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a

área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).

Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por

exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,

aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o

fluxo de calor trocado, como dado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar

e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de

movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).

Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste

em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada

abaixo.

Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo

aumento da área exposta.

Exemplos de aplicação de aletas:

(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca);

(2) motores elétricos;

(3) condensadores;

(4) dissipadores de componentes eletrônicos.


____________________________


39

TIPOS DE ALETAS

A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem

centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao

processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).

Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kern e Kraus. (a)

aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil

retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil

parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) pino cilíndrico; (g) pino

cônico truncado; (g) pino parabólico.

EQUAÇÃO GERAL DA ALETA

Volume de controle

elementar, C

Hipóteses:

- regime permanente;

- temperatura uniforme na seção transversal;

- propriedades constantes.


____________________________


40

Balanço de energia

convecçãopCVdo

saiquequecalordefluxo

III

conduçãopCVo

deixaquequecalordefluxo

II

conduçãopCVno

entraquecalordefluxo

I

/../../..

(I) dx

dTkAq xx

(II) )( 2dxodxdx

dqqq x

xdxx expansão em serie de Taylor

(III) )( TThAqc

)( TThPdxqc

P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em

contato com o fluido.

Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:

dxTThPdxdxdx

dqqq x

xx )(

0)( TThPdx

dqx

Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:

0)(

TThP

dx

dTA

dx

dk x

Sendo dTdTT

0

k

hP

dx

dA

dx

d Equação Geral da Aleta

)(x

)(xAA

ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR

Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de

seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou

circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem:


____________________________


41

02

2

2

m

d

d,

kA

hPm 2

A solução é do tipo: ,

conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio

característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m).

LEMBRETE DE CÁLCULO

Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constates

02

2

cydx

dyb

dx

yd

Assume nxey

Substituindo, vem

nxnxnx cebmeem 2 nxe

Obtém-se o polinômio característico

02 cbnn

Caso 1: 1n e 2n reais e distintos

xnxn

ececy 21

21

Caso 2: 1n e 2n reais iguais

xnxn

xececy 11

21

Caso 3: conjugados complexos

qipn 1 ; qipn 2

)]()cos([ 21 qxsencqxcey px

Onde, 2

bp ;

2

4 2bcq


____________________________


42

Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno:

a1 Condição de Contorno

TT

TTxpara

bb

b

0

0

2

0

1

ececb

A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme

os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:

(a) aleta muito longa

Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do

ponto de vista matemático, tem-se

0 ouTTx

Assim,

b

mxmx

xccecec 2121 0lim0

De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:

Ou, substituindo a definição de , vem:


____________________________


43

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O fluxo de calor total transferido pela aleta pode

ser calculado por dois métodos:

(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total

transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)

(2) dxTThPqaleta )(0

(o fluxo de calor total transferido é a integral do

fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)

Usando o método (1), vem:

00

x

b

x

baletadx

dkA

dx

dTkAq

Mas, cteAAb

0

)(

x

mx

b

mx

baleta emkAedx

dkAq

kA

hPkAq baleta

hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta

Pelo outro método (2):

dxhPqaleta

0

; cteP

dxehPq mx

baleta

0

bbmb

mx

bmx

baleta hPkAm

hPe

m

hP

m

ehPdxehPq

1limlimlim

00

ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!

(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática

(finito)

Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na

extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto,


____________________________


44

admite-se que é adiabático:

LxLx dx

d

dx

dT

0 (extremidade adiabática), ou 021 mxmx ececdx

d

De onde, se obtém, mLmL

mL

b

ee

ec

2

Mas como bcc 21 , então:

Logo, substituindo na equação, vem:

mx

c

mLmL

mLmx

c

mLmL

mL

b

eee

ee

ee

e

21

Ou

2/

2/)()(

mLmL

xLmxLm

b ee

ee

ou

mL

xLmx

b cosh

)(cosh)(

lembrete de funções hiperpólicas:

FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA

senhx

2

xx ee

xcosh

xcosh

2

xx ee

senhx

tghx

x

senhx

cosh

xh2sec

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O mesmo resultado do caso anterior

00 cosh

)(cosh

x

b

x

aletamL

mxL

dx

dkA

dx

dkAq

)()cosh(

)(m

mL

mLsenhkA b

)(mLtghmkA b


____________________________


45

)(mLtghhPkAq b

(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade

Caso realista.

Condição de contorno na extremidade:

em

)( TThdx

dTkLx L

Lx

condução na extremidade = convecção

Distribuição de temperaturas

Fluxo de calor

Comprimento Corrigido de Aleta

Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –

mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da

espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,

LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.

b t

L t/2

Lc=L+t/2

2/tLLc

L t/2

Lc

O erro introduzido por

essa aproximação será

menor que 8% desde que

5,0k

ht


____________________________


46

AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS

Eficiência de Aleta

A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para

o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples,

existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal

constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais

complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial

geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a selação de

aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da

aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por

idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo

realcasoaletapotransmitidcalordefluxoA

.

/

q

qb

qb= cte

L

Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2

Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a

aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:

c

c

bc

cbA

mL

mLtgh

hPL

mLtghhPkA )()(

q

q , com

kA

hPm

Por outro lado, o perímetro molhado é dado por

btbP 2)(2 (para t << b, aleta fina), sendo btA , de onde se obtém:

cc Lkt

hmL

2


____________________________


47

Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta

Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode

ser obtido por meio de maxqq AA , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é

aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:

bahAq qmax ,

onde Aa é a área total exposta da aleta e TTbbq

Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:

baaA hAq q

Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.

Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas.

Deve-se usar aleta quando:

(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico)

(2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e

alumínio, por razões que veremos adiante.

O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade.

Exemplo de Aplicação

Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são

instaladas aletas circulares de alumínio por um processo

de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de

0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm,

como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC

e o coeficiente de transferência de calor for de 65

W/m2

K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.

Solução

Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de

aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades

termofísicas do sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado

na página 47 à frente.


____________________________


48

mt

LLmL

mt

c 0155,02

015,001,02

)5,25,5(

001,0

255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123

c25

PcP kAhLmtLA

Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio

interno da aleta.

24,225,1

2/1,075,22/

1

2

1

2

r

tr

r

r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos

%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é:

, 5,177500394,06591,0 WhAq baaA q já que a área exposta da aleta,

vale, . 00394,02 221

22 mrrA ca

Exemplo de Aplicação (cont...)

Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor

total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento.

Solução

O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo

anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:

aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq

221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa

Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065

O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100

Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será

Wqqq casaT 5,209417506,344

Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.


____________________________


49

Ap – área de seção transversal de aleta

Tipo Aa área total exposta da aleta

b – largura da

aleta

Lc = L-corrigido

t = espessura

Retangular cbL2

Triangular 2/122 )2/(2 LLb

Parabólica 2/122 )2/(05,2 LLb

Anular 2/121

222 rrb c

Fluxo de calor transmitido

pela aleta:

baahAq q

Área total da aleta

Eficiencia da aleta

(f da figura)

TTbbq

base Aa é a área total exposta da

aleta

Para obter a eficiência da

aleta, use os dados

geométricos disponíveis e

os indicados nos gráficos.

Uma vez obtida a

eficiência da aleta, calcule

o fluxo real de calor

através da simples

expressão acima.

Comentários:

Aleta triangular (y ~ x)

requer menos material

(volume) para uma mesma

dissipação de calor do que

a aleta retangular. Contudo,

a aleta de perfil parabólico

é a que tem melhor índice

de dissipação de calor por

unidade de volume (q/V),

mais é apenas um pouco

superior ao perfil triangular

e seu uso é raramente

justificado em função de

maior custo de produção.

A aleta anular é usada em

tubos.


____________________________


50

Efetividade da Aleta

Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não

indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas.

Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de

aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da

análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso

ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, .

Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo

de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja:

bb

aleta

aletas

aleta

hA

q

q

q

q

/

Ab, Tb

Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta,

conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.

Para aleta retangular da extremidade adiabática

bb

cb

hA

mLtghhPkA

q

q

)(

Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA

mLtgh c

/

)(


____________________________


51

Exemplos de Aplicação

Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L

= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam:

A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K

B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K

C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K

Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados

- k aço inox = 19 W/m K

- Comprimento corrigido: Formula

L= 5cm

Solução:

kPhA

mLtgh c

/

)( , com

hh

kr

h

rk

rh

kA

hPm 24,3

01,0.19

2222

e 2/01,005,024,3 hmLc , ou

seja: hmLc 178,0 .

No denominador tem-se: hh

k

hr

rk

rh

kP

hA0162,0

19.2

01,0.

22

2

.

Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:

h

htgh

0162,0

)178,0(


____________________________


52

Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)

Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0

145,1

1

50000162,0

)5000178,0(

tgh

Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5

162,0

945,0

1000162,0

)100178,0(

tgh

Caso C : h = 10 W/m2K 0,10

051,0

510,0

100162,0

)10178,0(

tgh

Comentário

- Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No

caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério

básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas.

Caso (A) 31,1kP

hA

Caso (B) 026,0kP

hA

Caso (C) 00262,0kP

hA

- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor

coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica.

Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja

constituída de dois materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h

= 100 W/m2 o

C. Calcule a efetividade.

Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se:

A – Cobre k = 368 W/m K

B – Aço inox k = 19 W/m K

C – Alumínio k = 240 W/m K

Solução:

kkkr

hm

4,141

01,0.

100.22 e, portanto,

kkmLc

76,72/01,005,0

4,141


____________________________


53

No denominador, agora temos: kkk

hr

kP

hA

2

1

2

01,0.100

2

Substituindo ambos resultados, obtém-se:

)/76,7(2 ktghk

Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7

Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8

Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1

Comentário:

O material da aleta é bastante importante no que toca a efetividade de uma aleta. Deve-

se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).

Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais

como:

(1) é fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;

(2) tem custo relativamente baixo;

(3) possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do

equipamento;

(4) tem excelente condutividade térmica.

Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do

projeto original do equipamento e serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre

com as carcaças de motores elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por

exemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do mesmo material da carcaça do motor.


____________________________


54

AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME

TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO

Introdução

Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas

condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um

novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico.

Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento

térmico, entre outros.

No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma

temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma

temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está

indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de

certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência

pessoal.

T0

1T

10 TT

Tempo t=0

2T

2T

T0

t

t

T(t)

Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo

ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma

uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a

temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas


____________________________


55

de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é

uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da

difusão interna do calor, é um pouco complexa do ponto de vista matemático, mas pode ser

resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simplificadas. Casos

mais complexos podem ser resolvidas de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de

hoje é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos

práticos. A idéia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura

uniforme a cada instante, como foi ilustrado anteriormente, de forma que se despreze a não

uniformidade da temperatura interna. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado,

como discutido na seqüência.

2T

T0

t

Ts

T0

TC

2T

T

T0

Sistema

Concentrado

TC

Sistema Concentrado

A hipótese é que a cada instante de tempo t, o sistema tenha uma só temperatura

uniforme T(t). Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua

resistência interna à condução desprezível face à resistência externa à troca de calor

(geralmente convecção).

Para conduzir essa análise, será lançado mão do esquema abaixo para o qual se realiza

um balanço de energia, indicado a seguir.

T0

T

q convecção


____________________________


56

Balança de energia

=

Termo (I):

dt

dTc

dt

du

dt

dum

dt

dU

m = massa do corpo;

U = energia interna do corpo;

u = energia interna específica do corpo;

ρ = densidade do corpo;

= volume do corpo;

c = calor específico do corpo.

Termo (II):

)( TThAqconv

h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho;

A = área da superfície do corpo em contato com o fluido;

T = temperatura instantânea do corpo T = T (t);

T = temperatura ao longe do fluido.

Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:

)( TThAdt

dTc

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0

Separando as variáveis para se realizar um integração por partes, vem:

dtc

hA

TT

dT

Por simplicidade, seja dTdTT , então:

Taxa temporal de

variação de energia

interna do corpo

(I)

Fluxo de calor

Trocado por

convecção

(II)


____________________________


57

dtc

hAd

, ou

t

t

dtc

hAd

00

, do que resulta em:

tc

hA

0

ln .

Finalmente,

tc

hA

e

0

ou

tc

hA

eTT

TT

0

Analogia Elétrica

Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo

ocorrem em diversas situações, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia

perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,

como ilustrado no esquema abaixo.

V

t

V0 C R

V0

Inicialmente o capacitor C é carregado at uma tenção elétrica V0 (chave ligada). Depois,

a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.

A solução desse circuito RC paralelo é

RC

t

eV

V

0

Note a Analogia

Elétrica Térmica

Tensão, V TT

Capacitância, C c

Resistência, R hA/1


____________________________


58

Circuito térmico equivalente V

t

T0

V0

c hA/1

T Constante de tempo do circuito elétrico,

RC

A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápido o

capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de t é o instante em que a tensão do

sistema atingiu o valor de e-1

~ 0,368

368,011

0

eee

V

V

Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico

abaixo que indica a influência da tensão no capacitor para diferentes constantes de tempo.

Quanto maior a constante de tempo, mais o sistema demora para atingir o valor de 0,368V0. V

t

V0

IIIIIIIV

1 2 3 4

0,368V0

Por analogia, a constante de tempo térmica é tudo o que “sobrar” no denominador do valor

da exponencial, isto é:

t

tt

c

hA

eeTT

TT

0

→ hA

ct

Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.


____________________________


59

tt

TT

TT0

)(368,0 0 TT

Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da

medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem

de dois fios fundidos em uma extremidade que formam uma pequena “bolinha” a qual é

exposta a um ambiente em que se deseja mediar sua temperatura. Suponha de forma

ilustrativa, um ambiente que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado

pela linha cheia no esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de

período em período (onda quadrada). Agora deseja-se selecionar um sensor que acompanhe

o mais próximo possível o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas

diferentes são mostrados. Note que o sensor de maior constante térmica, 3 , praticamente

não “sente” as variações de temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica

acompanha melhor as variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um

motor de combustão interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e

combustão dos gases. Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante

térmica.

t

10 TT

TT

20 TT

tP 2tP 3tP

12 1

13


____________________________


60

A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter

a seguinte forma

,

0

FoBieTT

TT

onde

Onde, Bi é o número de Biot, definido por k

hLBi ,

e Fo é o número de Fourier, definido por 2L

tFo

(trata-se de um “tempo” adimensional)

h = coeficiente transferência de calor por convecção;

= difusividade térmica;

k = condutividade térmica;

L = comprimento característico do corpo;

O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência

externa à convecção.

Pode-se tomar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca

de calor.

expostaárea

corpodoolume

v

A

VL

Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema

concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável

desde que

1,0Bi

EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)

Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são

formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas

extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,

ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para

medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,


____________________________


61

c = 400 J/kg K e = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25

oC e é

inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o

sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 o

C seja indicada pelo

instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.

SOLUÇÃO

Comprimento característico: mD

A

VL 4

3

10167,16

107,0

6

Número de Biot: 34

10333,220

10167,1400

k

hLBi

Da expressão da temperatura, vem 76,320020025

2009,199ln

10333,2

1ln

13

0

TT

TT

BiFo

Dado que 610883,54008500

20

c

k

e

2L

tFo

, vem:

s

LFot 4,7

10883,5

10167,176,32006

242

Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0Bi

. Um tempo relativamente longo é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura.

O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade?

EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2

Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma

melancia a 25 oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5

oC. Você

acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de

alguns minutos, você partir a melancia, a fatia da mesma estará a temperaturas diferentes?

Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas


____________________________


62

propriedades termofísicas sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de

transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC.

Solução:

Cálculo do Nº de Biot

, sendo

D= 0,3 m

Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua

experiência?

D = 0,3 m


____________________________

www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Set/2012

63


TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO

Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito

Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas

concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui

dimensões maiores de forma que a resistência interna à condução não pode ser

desprezada (Bi > 0,1). Soluções analíticas existem para casos em que uma das

dimensões é predominante e muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito.

Considere o esquema abaixo de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor

(à esquerda) e sua dimensão se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-

infinito). A face exposta sobre bruscas mudanças de condição de contorno, como se

verá.

Condições de contorno

(A) Temperatura constante na face exposta:

TiT0

x

Solução: T(x, t)

Equação geral condução de calor

t

T

k

qT

1'''2

por não haver geração interna de calor, vem que t

T

x

T

12

2

, a qual é submetida as

seguintes condições:

- Condição inicial: iTxT )0,(

- Condição de contorno: 0),0( TtT

Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de

temperaturas é dada por:


____________________________


64

t

xerf

TT

TT

i 20

0 , onde

erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:

t

x

det

xerf

2

0

22

2

Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.

Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera

e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.

Tabela B-2 do Incropera


____________________________


65

Fluxo de calor numa posição x e tempo t

Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a

lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas

acima, na equação de Fourier, isto é:

t

x

iix dex

TTkAt

xerfTTT

xkA

x

TkAq

2

0

000

22)()

2()(

t

x

xe

TTkAt

x

i

2

)(240

2

, do que, finalmente, resulta em:

t

x

ix e

t

TTkAq

40

2

)(

(B) Fluxo de calor constante na face exposta:

Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor

constante,

Tiq0qx

x

Partindo da equação da condução de calor t

T

x

T

12

2

, submetida as seguintes

condições:

- Condição inicial: iTxT )0,(

- Condição de contorno: 0

0

qx

TkA

x


____________________________


66

A solução é:

t

xerf

kA

xq

kA

et

q

TT

t

x

i

21

20

40

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!

(C) Convecção de calor na face exposta

Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face

exposta à esquerda.

Tiqx

x

T

Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:

t

T

x

T

12

2

, a qual é submetida às seguintes condições:

- Condição inicial: T (x,o) = Ti

- Condição de contorno:

TtThA

x

TkA

x

),0(0

(condução interna =

convecção)

A solução é:

k

th

t

xerfe

t

xerf

TiT

TTk

th

k

hx

i

21

21

2

2

(

NOTA: Obtenha o fluxo de calor ! – use a Lei de Fourier!


____________________________


67

Outros casos de condução transitória de intersse

Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças

mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de

sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação

geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler

desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.

Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler

Placas cuja espessura é

pequena em relação as outras

dimensões

Cilindros cujos diâmetros são

pequenos quando comparados

com o comprimento

Esferas

T0 Te

x

2L

T

T

Te r0

r0

rTe

T

TtrTouTtxT ),(),(

TTii

TT00

TTee

Número de Biot: k

hLBi

L – dimensão características (dada no gráfico)

Numero de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por

220cs

kt

L

tF

Calor total trocado pelo corpo Qi

iii cTTcQ )(


____________________________


68

Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias(esfera e

cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt


____________________________


69

Exemplo:

Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de

425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,

T = 65 ºC com hmédio = 285 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da

placa e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.

Dados:

k = 43,2 W/mk

α = 1,19 x 10-5

m2/s

x

5 cm

h

Solução:

2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m

1,0165,02,43

025,0285

k

hLBi

Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para

isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:

1,6165,0

11

Bi e 43,3

025,0

1801019,12

5

20

L

tF

Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:

e 2816,0).65425(65 . Assim,

CT o2810 Na linha de centro após 3 mim

Do gráfico para uma posição qualquer x:

1,6/1 iB

5,005,0

0125,0/ Lx

97,00

97,0)65281(6597,0)( 0 TTTT

CT o5,274 p/ min3,5,0 tL

x

1,6165,0

11

iB

43,30 F

6,00 i

70

____________________________



PERMANENTE BIDIMENSIONAL

Condução Bidimensional

Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor

unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição

espacial da temperatura para além de uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas

reais são bi ou tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de

problemas. Os casos mais realistas devem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto,

neste curso introdutório é importante que o estudante tenha uma visão das soluções

analíticas existentes e, para isso, é resolvido um problema clássico que é o método da

separação das variáveis para uma placa retangular bidimensional.

O Método da Separação de Variáveis

Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos

os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.

y

b

T2

T1

T1

T1

L

T(x,y)

x

Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y)

Equação da condução de calor

t

T

k

qT

1'''2

Hipóteses:

(1) regime permanente

(2) sem geração interna de calor

(3) bidimensional

71

____________________________


As hipóteses resultam em: 02 T ou 02

2

2

2

y

T

x

T

Condição de contorno – temperaturas dos quatro lados

(1) T(0,y) = T1

(2) T(L,y) = T1

(3) T(x,0) = T1

(4) T(x,b) = T2

É conveniente realizar uma mudança de variáveis

12

1

TT

TT

Condições de contorno na nova variável θ são:

(1) θ(0,y) = 0

(2) θ(L,y) = 0

(3) θ(x,0) = 0

(4) θ(x,b) = 1

De onde se tem também que a variação elementar de temp. é dTT

dT

12

Então, 02

2

2

2

yx

Esta é a equação da condução na nova variável.

A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas

θ(x,y), é o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções

exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, respectivamente, isto é:

yYxXyx ),(

Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:

Primeira derivada: dx

dXY

x

Segunda derivada: 2

2

2

2

dx

XdY

x

Analogamente em relação à y:

Segunda derivada: 2

2

2

2

dy

YdX

y

72

____________________________


Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da

condução, vem:

02

2

2

2

dy

YdX

dx

XdY

ou, dividindo pelo produto XY, vem:

2

2

2

2 11

dx

Xd

Xdy

Yd

Y

É digna de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y

e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da igualdade são

sempre iguais. Isto implica dizer que a igualdade não pode ser nem função de x, nem de

y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida. De forma

que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se usa o

símbolo 2 . Dessa forma, tem se:

2

2

21

dx

Xd

X e

2

2

21

dy

Yd

Y

Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações

diferenciais comuns ou ordinárias, mostradas acima. As soluções dessas duas novas

equações são bem conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:

xsenCxCxX 21 cos , e

yy eCeCyY 43

De forma que, voltando à variável original, yYxXyx ),( , a solução global é:

yy eCeCxsenCxCyx 4321 .cos,

Nesse ponto, a análise se volta para cada caso especifico dado pelas condições de

contorno. É preciso fazer isso com critério.

Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0

yy eCeCsenCCy 4321 .0.0.cos,0

73

____________________________


De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C

Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0

432 .0 CCxsenC

de onde se obtém que 043 CC 43 CC

Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0

)(.0 42

yy eeCLsenC

mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:

042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen

Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: nL

ou, seja L

n n = 1,2,3, .....

nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada.

Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:

)(

422

2,

L

ynsenh

L

yn

L

yn

C

ee

L

xnsenCCyx

n

ou, seja )()(,L

ynsenh

L

xnsenCyx n

Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as

constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n.

Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.

L

ynsenh

L

xnsenCyx

n

n

1

,

Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:

L

bnsenh

L

xnsenC

n

n

1

1

74

____________________________


A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para

obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das

funções ortogonais, revista abaixo.

REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS

Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa , se

b

a

nm nmpdxxgxg /0)()(

(dica: note que se parece com produto escalar de vetores: dois vetores

ortogonais tem o produto escalar nulo)

Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L

xnsen e )cos(

L

xn em

Lx 0

Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções

ortogonais, ou seja:

1

)()(m

mm xgAxf

Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:

(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:

1

)()()()(m

mmnn xgAxgxfxg

(2) Integra-se no intervalo de interesse:

dxxgAxgdxxfxgb

am

mmn

b

an

1

)()()()(

Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja

nmsedxxgxgb

anm 0)()(

Pode-se eliminar a somatória, então:

dxxgAdxxfxgb

amm

b

am )()()(

2

Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:

dxxg

dxxfxgA

b

am

b

am

m

)(

)()(

2

75

____________________________


Voltando ao problema, tem-se:

1

1n

nL

bnsenh

L

xnsenC

(A)

Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que

,....2,1;)(

n

L

xnsenxg

ortogonalfuncão

n

Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem

1

1n

nL

xnsenA

Assim, pode-se obter os coeficientes da série do já visto na revisão aciam:

ndx

L

xnsen

dxL

xnsen

An

L

L

n

1)1(2 1

0

2

0

Então,

1

1 1)1(21

n

n

L

xnsen

n

(B)

Comparando (A) com (B), vem:

1

1

1

1)1(2

n

n

n

nL

xnsen

nL

bnsenh

L

xnsenC

Então, da igualdade das séries:

,....3,2,1;

1)1(2 1

n

L

bnsenhn

Cn

n

De forma que a solução final do problema é:

1

1 1)1(2),(

n

n

L

bnsenh

L

ynsenh

L

xnsen

nyx

76

____________________________


É interessante ver o gráfico desta função

y

b

Lx

1

75.0

50.0

25.0

10.0

0

00

Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de

calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:

ix

Tkqx

e j

y

Tkq y

. Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq

e o

módulo do fluxo de calor será 22

yx qqq em W/m2

Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt

Método Gráfico

O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições

de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é

construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante.

Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície

interna é mantida a T1 e a externa T2.

T2

T1

(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema

tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.

T2

T1

SIMETRIA

SIMETRIA

77

____________________________


(2) As linha de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção

perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor

constante.

T2

T1

PAREDES

ADIBATICAS

(3) Traças algumas linha de temperatura constante. Lembre-se que elas são

perpendiculares às linhas de fluxo constante.

T2

T1

(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados

curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas

de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados

tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.

qX

DL

LINHAS DE

FLUXO CTE.

(ADIABÁTICO)

(OU QUADRADO

CURVILÍNEO)

(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o

ângulo formado pelas duas superfícies

T

T

LINHA DE

FLUXO CTE.

O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro

curvilíneo ilustrado é:

D

DD

l

Tlkqi (1)

qi

DL

DL

78

____________________________


O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada

pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.

N

TTT 12 D (2)

T1

T2

Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5).

Assim, de (1)

N

TTkqi

)( 12 (3)

O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas

adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)

)( 12

1

TTkN

Mqq

M

i

i

Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:

)(5 12 TTkq


____________________________


79

AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DEFERENÇAS FINITAS

Como se viu, a solução da equação da condução de calor em muitas situações é bastante

complexa e, verdadeiramente, na maioria dos casos práticos não existe nem solução

analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos numéricos. Há uma grande variedade de

métodos disponíveis na literatura, mas vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das

diferenças finitas.

A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinadas em pontos discretos ou

pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado

abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo em que se dá a transferência de calor em um

meio discreto formado por uma matriz de pontos com propriedades que “concentram” as

informações do meio contínuo original. Veja a figura abaixo. Após a discretização do meio

contínuo, considere o ponto nodal (m,n) indicado na figura abaixo, tendo como vizinhos os

pontos nodais (m-1,n) à esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A

distância entre os pontos nodais é x e y, nas duas direções principais.

m,n

x

y

m,nm+1,nm-1,n

m,n+1

m,n-1

y,n

x,m

Pontos Nodais


____________________________


80

A equação da condução de calor 02

2

2

2

y

T

x

T pode assim ser discretizada:

x

TT

x

T nmnm

nm

)( ,1,

,2

1 (primeira derivada na direção x – face esquerda)

x

TT

x

T nmnm

nm

)( ,,1

,2

1 (primeira derivada na direção x – face direita)

Assim,

x

x

T

x

T

x

T nmnm

,2

1,

2

1

2

2

(segunda derivada na direção x – centro)

Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2

,,1,1

,

2

2

)(

2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm

Analogamente, na direção y: 2

,1,1,

,

2

2

)(

2

y

TTT

y

T nmnmnm

nm

Assim, a equação da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma equação

algébrica,

2

2

2

2

y

T

x

T04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT se Δx = Δy

A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas. Note que a

temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas da sua

redondeza.


____________________________


81

O que acontece nas regiões de contorno do problema?

Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a

superfície ou contorno do meio.

m,nm-1,n

m,n+1

m,n-1

Convecção

T

Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão

)()(

2

)(

2

)(,

1,,1,,,1,

TTyh

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk nm

nmnmnmnmnmnm

se Δx = Δy

0)2(2

12 1,1,,1,

nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.

Por exemplo, um canto superior à direita:

m,nm-1,n

m,n-1

Ty

x

x = y

0)(212 1,,1,

nmnmnm TTT

k

xh

k

xhT

Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.


____________________________


82

Uma vez que as equações de todos os pontos nodais foram estabelecidas, obtém-se um

sistema de N equações por N incógnitas do tipo (N=m.n):

NNNNNN

NN

NN

cTaTaTa

cTaTaTa

cTaTaTa

...

....

....

....

...

...

2211

22222121

11212111

Ou, em notação simplificada, vem:

][]].[[ CTA

Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)

Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado

método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:

0...2211 nnmnmm cTaTaTa

Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o procedimento de solução:

1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;

2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;

3 – “Relaxar”o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura

do ponto nodal correspondente;

4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;

5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.

Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um

sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o

método de eliminação gaussiana.


____________________________


83

Exemplo Resolvido

Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se

calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:

h = 200 W/m2 ºC

T = 20 ºC

k = 10 W/m ºC

x = y = 10 cm

5 6 7 6 5

3 4 3

1 2 1

20T C

100°C

100°C

100°C

OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)

Solução:

Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:

04 ,1,1,,1,1 NMNMNMNMNM TTTTT

Portanto,

042:4

01004:3

010042:2

0)100(24:1

7432

6431

421

321

TTTTnó

TTTTnó

TTTnó

TTTnó

Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação

0)(2 ,1,

fixonmnm TTT

k

xh

k

xhT


____________________________


84

nó 5: 0)100(2010

1,02002

10

1,020065

TT , ou

01404 65 TT

Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:

022

12 ,1,11,,

nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

nó 6: 022

120

10

1,02002

10

1,02007536

TTTT , ou

022

120

10

1,02002

10

1,02007536

TTTT , ou ainda,

0402

14

2

17653 TTTT

nó 7: 0)22(2

1404 647 TTT , ou

0404 764 TTT

Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana

CT

CT

CT

CT

CT

CT

CT

7,36

8,38

7,44

2,68

3,74

2,87

4,90

7

6

5

4

3

2

1

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