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AULA 12 INTRODUO TRANSFERNCIA DE

CALOR CONVECTIVA

Lei de Resfriamento de Newton

J vimos que a transferncia de calor por conveco regida pela simples de lei de

resfriamento de Newton, dada por:

)( TTAhq S

onde,

Ts, T temperatura da superfcie aquecida e do fluido ao longe;

A rea de troca de calor, isto , a rea de contato do fluido com a superfcie;

h = coeficiente de transferncia de calor por conveco.

O problema fundamental da transferncia de calor por conveco a determinao do

valor d h para o problema em anlise. Nota-se que a expresso da transferncia de calor

consideravelmente mais simples que a da conduo. No presente caso, basta resolver

uma equao algbrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se

conhea o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a soluo da equao

diferencial da conduo de calor. Essa aparente simplicidade , no entanto, enganosa,

pois na verdade, em geral, h funo de um grande nmero de variveis, tais como as

propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade trmica),

velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas,

sero apreentadas expresses e mtodos de obteno daquela grandeza para diversas

condies de interesse prtico. Mas, antes, vamos apresentar os nmeros adimensionais

que controlam a transferncia de calor convectiva.

Anlise Dimensional

A anlise dimensional um mtodo de reduzir o nmero de variveis de um problema

para um conjunto menor de variveis, as quais no possuem dimenso fsica, isto,

tratam-se de nmeros adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno j deve estar

familiarizado a essa altura so o nmero de Reynolds na Mecnica dos Fluidos, os

nmeros de Biot e de Fourier.

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A maior limitao da anlise dimensional que ela no fornece qualquer informao

sobre a natureza do fenmeno. Todas as variaes que influenciam devem ser

conhecidas de antemo. Por isso deve se ter uma compreenso fsica preliminar correta

do problema em anlise.

O primeiro passo da aplicao do mtodo consiste na determinao das dimenses

primrias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em

funo destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primrio de grandezas

MLtT, onde:

Comprimento L

Tempo t

Massa M

Temperatura T

Nesse sistema de grandezas primrias, por exemplo, a grandeza fora tem as seguintes

dimenses:

Fora ML/t2

O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:

Condutividade trmica ML/t3T

Calor ML2/t

2

Velocidade L/t

Densidade M/L3

Velocidade M/Lt

Calor especfico a presso constante L2/t

2T

Coeficiente De transmisso de calor M/t3T

Teorema dos ou de Buckingham

Esse teorema permite obter o nmero de adimensionais independentes de um problema.

dado por:

M = N P

Onde,

M nmero de grupos adimensionais independentes;

N nmero de variveis fsicas dos problemas;

P nmero de dimenses primrias;

Sendo um adimensional genrico, pode-se escrever, ento:

0),...,( 21 mF

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Para exemplificar, considere um fenmeno fsico de 5 variveis e trs dimenses

primarias. Logo,

M = 5-3 = 2, de onde se obtm:

0),( 21 F ou

pode-se escrever um adimensional como funo do outro da seguinte forma.

)( 21 f

Essa relao funcional pode ser terica ou experimental, obtida em laboratrio, como

indicado no grfico abaixo. Note que seria necessrio se realizar experimentos com

apenas uma varivel (grupo adimensional 2) e observar a dependncia de 1. Com

isso, reduz-se drasticamente o nmero de experimentos. Caso contrrio, seria necessrio

fazer experimentos envolvendo as 5 variveis originais do problema.

1

2

erimentalcurvaf exp)( 2

Outro exemplo, seria o caso de um fenmeno descrito por 3 grupos adimensionais.

Nesse caso, tem-se:

0),,( 321 F , ou ),( 321 f

Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constante, e variando

2, observando como 1 varia, como ilustrado no grfico abaixo.

2

tesconsdecurvas tan31

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Adimensionais da transferncia de calor por conveco forada

Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura

abaixo.

fluido

V

Tubo

aquecido

D

Sabe-se de antemo que as grandezas que interferem na transferncia de calor so:

Variveis Eq. Dimensional D Dimetro do Tubo L

k Condutividade trmica do fluido ML/t3T

V Velocidade do fluido L/t

Densidade do fluido M/L3

Viscosidade do fluido M/Lt

CP Calor especifico a presso constante L2/t

2T

h Coef. de transferncia de calor M/t3T

Portanto, h N = 7 grandezas e P = 4 dimenses primrias, do que resulta em:

M = 7 4 = 3 (3 grupos adimensionais)

Seja um grupo adimensional genrico do tipo:

g

c

f

p

edcba hcVKD

Substituindo as equaes dimensionais de cada grandeza, vem:

gfedcb

a

Tt

M

Tt

L

Lt

M

L

M

t

L

Tt

MLL

32

2

33

ou, aps rearranjo, vem:

gfbgfecbfedcbagedb TtLM 32323

Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto :

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0

0323

023

0

gfb

gfecb

fedcba

gedb

H um sistema de 7 incgnitas e 4 equaes. Portanto, o sistema est indefinido. O

mtodo pressupe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui um ponto

crtico do mtodo, pois h de se fornecer valores com critrios. Por exemplo,

(A) Como h uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de

valores

0

1

dc

g

Assim, pode-se resolver a equao do grupo adimensional, resultando em:

a = 1

b = -1

e = f = 0

Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de nmero de Nusselt, definido por:

Nuk

Dh1

(B) Agora vamos eliminar h e assumir outros valores

0

1

0

f

a

g

(para no aparecer h)

A soluo do sistema fornece:

b = 0

c = d = 1

e = -1

De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que o nmero de

Reynolds, dado por:

D

VDRe2

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(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores

e = f =1

b = -1

Da resulta, o terceiro e ltimo nmero adimensional que recebe o nome de nmero de

Prandtl,

Pr3 k

cp

Ento, h uma funo do tipo

0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .

Isolando o nmero de Nusselt, vem:

),( PrReDfNu

Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variveis (os

grupos adimensionais) ao invs de sete (as grandezas que interferem no fenmeno).

Vimos, ento, que:

),( PrReDfNu

Diversos experimentos realizados com ar, leo e gua mostraram que existe uma tima

correlao envolvendo estes trs adimensionais, conforme ilustrado no grfico abaixo.

Note que, ar, gua e leo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no

entanto, os coeficientes de transferncia de calor nesses trs fluidos podem ser

correlacionados por meio dos nmeros adimensionais. Isto tambm indica que, uma vez

obtida a expresso que rege a transferncia de calor, nos sentimos vontade para usar

com outros fluido, caso no existam dados experimentais de laboratrio disponveis.

10 1001

1

3,0Pr

Nu

4,03,0 RePr82,0Nu

gua

leoar

3

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AULA 13 CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA

PLACA OU SUPERFICIE PLANA

Na aula passada vimos que a transferncia de calor no escoamento externo sobre uma

superfcie resulta na existncia de 3 nmeros adimensionais que controlam o fenmeno.

Essas grandezas so o nmero de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De

forma que existe uma relao do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma

experimental ou analtica em algumas poucas situaes.

Na aula de hoje apresentar-se- uma situao particular em que esta relao pode ser

obtida de forma analtica e exata. Para isso, sero apresentadas as equaes diferenciais

que regem a transferncia de calor em escoamento sobre uma superfcie plana em

regime laminar. Depois ser indicada a soluo dessas equaes. Para comear o estudo,

considere o escoamento de um fluido sobre uma superfcie ou placa plana, conforme

ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)

antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai

desacelerar as pores de fluido adjacentes placa, dando incio a uma camada limite

laminar que cresce em espessura medida que o fluido escoa ao longo da superfcie.

Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente at que instabilidades

vo induzir a uma transio de regime para dar incio ao regime turbulento, se a

extremidade da placa (borda de fuga) no for antes atingida. Admite que a transio

ocorra para a seguinte condio 5105Re

xuxtransio (s vezes tambm se usa

3 105), onde x a distncia a partir do incio da placa (borda de ataque).

y

u

laminar

xTransio Turbulento

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No regime laminar, o fluido escoa como se fossem lminas deslizantes, sendo que a

tenso de cisalhamento (originria do atrito entre essas camadas) dada por dy

du

para um fluido newtoniano (como o ar, gua e leo). Essa condio e geometria de

escoamento permitem uma soluo exata, como se ver a seguir.

Equaes da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar

Hipteses principais:

- Fluido incompressvel - Regime permanente - Presso constante na direo perpendicular placa - Propriedades constantes - Fora de cisalhamento na direo y constante

Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),

como indicado.

x

ydy

dx

Equao da continuidade ou da conservao de massa.

dydxx

uu )(

dxdyy

vv )(

vdx

udy

dx

dy

Como entrasai mm , ento substituindo os termos, vem:

dydxx

uudxdy

y

vvvdxudy )()(

. Simplificando, tem-se

0

y

v

x

u ou 0VDiv

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Equao da conservao da quantidade de movimento

Da 2 lei de Newton, tem-se que

extF variao do fluxo da quantidade de movimento

Balano de foras na direo x.

Foras externas (presso e atrito gravidade desprezvel)

dxdyy

)(

dx

pdydydx

x

pp )(

dydxx

ppdxdxdy

ypdyFx )()(

ou, simplificando, dxdyx

pdxdy

yFx

Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se dy

du que, substituindo, em.

dxdyx

pdxdy

y

uFx

2

2

Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direo x)

dxdyy

uudy

y

vv ))((

vudx

dydxx

uu 2)(

dyu2

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Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expresso:

superior ordem de termos2

)(

)(2

))(()(

2

222

22

dxdyy

vudxdy

y

uvdxdy

x

uu

uvdxdxdyy

u

y

v

dxdyy

vudxdy

y

uvvudxdyudydx

x

udxdy

x

uudyu

uvdxdxdyy

uudy

y

vvdyudydx

x

uu

Ainda possvel simplificar esta equao para obter

dxdyy

v

x

uudxdy

y

uv

x

uu

decontinuida

0

)()(

dxdyx

uv

x

uu )(

Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das foras externas com a

variao do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equao:

x

p

y

u

y

uv

x

uu

2

2

)(

Equao da conservao da energia, ou primeira lei da termodinmica

- Conduo na direo x desprezvel - Energia cintica desprezvel face entalpia

dxdyy

uudy

y

vv ))((

dydxx

uu 2)(

dxdyy

uu )

)((

)(

2

2

dyy

T

y

Tkdx

dx

dy

y

Tkdx

dxuvhdx

uhdy

Potncia (trmica) lquida das foras viscosas

dydyx

hhdy

x

uu ))((

dydyy

hhdy

y

uu ))((

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95

dydxy

uuu

ydydx

y

udxudxdy

y

uu

)()(

Conservao de energia:

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeo deixa

que energia de fluxo

tempode unidade

na realizado

lquido trabalho

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeno entra

que energia de fluxo

Agora, vamos tratar cada termo em particular

Fluxo de energia que entra

Entalpia + Conduo de calor (note que a conduo na direo x desprezvel)

y

Tkdxuhdyvhdx

Trabalho na unidade de tempo (potncia trmica gerada pelas foras viscosas)

dxdyy

uu

y

Fluxo de energia que entra

)())(())((2

2

dyy

T

y

Tkdxdydx

x

hhdx

x

uudxdy

y

hhdy

y

vv

Desprezado os termos de ordem superior

dxdyx

ukdxdy

y

vhdxdy

y

hvdxdy

x

uhdxdy

x

hudydx

y

uu

y 2

2

00

2

2

0

)(x

uk

y

v

x

uh

x

hv

x

hu

y

uu

y

decontinuida

Com Tch p e substituindo todos os termos na equao de balano, resulta na forma

diferencial da equao da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:

y

uu

yy

Tk

y

Tvc

x

Tuc pp 2

2

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Em geral a potncia trmica gerada pelas foras viscosas (ltimo termo) desprezvel

face ao termo da conduo de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).

Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equao da energia pode ser simplificada

para:

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Retornando agora equao da conservao da quantidade de movimento. Se o

escoamento se der presso constante, aquela equao pode ainda ser reescrita como:

2

2

y

u

y

uv

x

uu

onde,

a viscosidade cinemtica

Comparando as duas equaes acima, nota-se que quando , ou seja, 1Pr

corresponde ao caso em que a distribuio da temperatura idntica a distribuio de

velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, j que 1Pr65,0 .

Em resumo, as trs equaes diferenciais que regem a transferncia de calor na camada

limite laminar so:

Conservao de massa 0

y

v

x

u

Conservao da quantidade de movimento

direo x

x

p

y

u

x

uv

x

uu

2

2

)(

2

2

y

u

x

uv

x

uu

presso constante

Conservao de energia 2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Ver soluo das camadas limites laminares hidrodinmica e trmico no apndice B do

Holman e item 7.2 do Incropera. Soluo de Blasius.

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Os principais resultados da soluo dessas equaes diferenciais so os seguintes:

Crescimento da camada limite hidrodinmica (CLH): x

x

Re

5 ;

Coeficiente local de atrito local : 2/1

, Re664,0

xxfc ;

Coeficiente local de atrito mdio desde a borda de ataque: 2/1

, Re328,1

LLfc ;

Razo entre camadas limites hidrodinmica (CLH) e trmica (CLT): 3/1Prt

;

Nmero de Nusselt local: Pr6,0PrRe332,0 3/12/1

xxNu 50

Nmero de Nusselt mdio: 3/12/1

PrRe664,0 LLuN .

Definio do coeficiente de atrito: 2/

2

u

c sf

, s tenso de cisalhamento na parede

Os grficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o nmero

de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.

Tu ,

)1(Pr T

)1(Pr T

)1(Pr T

x

C.L.T C.L.H

TS

T u

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AULA 14 CAMADA LIMITE LAMINAR SOLUO

INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN

Na aula passada, vimos as equaes diferenciais da camada limite laminar. Os

resultados da soluo clssica de Blasius foram apresentados. A soluo per si no foi

discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de soluo

para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma soluo aproximada baseada

no mtodo integral, tambm conhecida como soluo de von Karman.

Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direo x do

escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para alm da camada limite,

isto , H , conforme ilustrado na figura abaixo.

x

y

1 2

A A

dx

H

Leis de conservao na camada limite laminar no elemento diferencial acima:

Balano de massa

Fluxo mssico na face 1 A: H

udy0

Fluxo mssico na face 2 A: dxudydx

dudy

HH

00

Balano de fluxo de quantidade de movimento

Fluxo de Q. M. na Face 1 A: H

dyu0

2

Fluxo de Q. M. na Face 2 A: dxdyudx

ddyu

HH

0

2

0

2

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Fluxo de Q. M. na Face A A: dxudydx

du

H

0

Fluxo lquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle

(face 2-A) (face A A) (face 1 A) =

Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx

dudxdyu

dx

dHH

00

2

Lembrando da regra do produto de diferenciao que:

)()()( ddd ou

)()()( ddd

Fazendo u

H

udy0

, vem

dxdx

duudydxudyu

dx

ddxudy

dx

du

HHH

000

dxudydx

dudxudyu

dx

dHH

00

Agora, substituindo na expresso do fluxo lquido de Q. M, vem:

dxudydx

dudxudyu

dx

ddxdyu

dx

dMQfluxo

HHH

000

2..

Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma

mais compacta:

dxudydx

dudxudyuu

dx

dMQfluxo

HH

00

)(..

Agora, vamos obter a resultante das foras externas. No presente caso, s vamos

considerar as foras de presso e de atrito.

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100

- fora resultante da presso: dxdx

dPH

- fora de cisalhamento na parede: -dx

0

y

py

udx

p

dx

dxdx

dPP

P

Finalmente, a equao integral da camada limite laminar hidrodinmica pode agora ser

escrita (2 lei de Newton):

dxudydx

dudxudyuudx

dx

dPH

y

udx

HH

y

000

)(

Se a presso for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento

sobre uma superfcie plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa

hiptese no vale): 0dx

dP

Essa hiptese de P = cte. tambm implica em que a velocidade ao longe tambm seja

constante, j que, fora da camada limite, valida a eq. de Bernoulli, ou

cteuP

2

De forma que, na forma diferencial: 002

2

duduudP

Assim, a equao da conservao da Q. M. se resume a:

H

y

udyuudx

dp

y

u

00

)(

Mas como H > a velocidade constante u = u, ento:

00

)(

yy

uudyuu

dx

d

Esta a forma final da equao da conservao da Q.M., vlida para o escoamento

laminar sobre uma superfcie ou placa plana. At o presente momento, o

equacionamento exato, pois nenhuma aproximao foi empregada. A questo : se

conhecermos o perfil de velocidades u(y), ento, a equao acima pode ser integrada.

Da, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar

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101

hidrodinmica, isto , a espessura da camada limite laminar numa posio x a partir da

borda de ataque. (x).

A soluo aproximada, objeto desta anlise, comea quando se admite um perfil de

velocidades na direo perpendicular ao escoamento, isto , u(y). Claro que a adoo

desse perfil deve seguir certos critrios. Pense: Se voc tivesse que admitir tal perfil de

velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto , voc imporia

um polinmio de grau tal que as condies de contorno do perfil de velocidades fossem

satisfeitas. Certo? Pois exatamente isso que feito. Ento, primeiro passemos a

analisar as condies de contorno do problema , que so:

0/0

/0

/

0/0

2

2

ypy

u

ypy

u

ypuu

ypu

As trs primeiras condies de contorno so simples e de deduo direta. A primeira

informa que a velocidade na superfcie da placa nula (princpio de no-

escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade a da corrente fluida e a

terceira diz que a transio entre a CL e a corrente livre suave, da a derivada ser

nula. A ltima c.c. um pouco mais difcil de perceber. H de se analisar a equao

diferencial da conservao da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula

anterior que requer que essa condio seja nula sobre a superfcie da placa). Como so

quatro as condies de contorno, uma distribuio que satisfaz estas condies de

contorno um polinmio do 3 grau, dado por:

3

4

2

321)( yCyCyCCyu

Da, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado

de velocidades: 3

2

1

2

3)(

yy

u

yu

Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:

00

33

2

2

1

2

3

2

1

2

31

yy

udy

yyyy

dx

du

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102

Do que resulta, aps algum trabalho:

uu

dx

d

2

3

280

39 2

Integrado essa equao, lembrando que para x = 0 = 0 (a CL comea na borda de

ataque):

u

vxx 64,4)( , ou

xx

x

Re

64,4)(

Lembrando da aula anterior que soluo exata (Blasius) fornecia: x

x

x

Re

5)(

Ver Holman Apndice B ou Incropera

Considerando as aproximaes realizadas, o resultado aproximado bastante razovel.

Camada Limite Trmica Laminar

Uma vez resolvido o problema hidrodinmico acima, agora pode-se resolver o problema

trmico. O objetivo o clculo do coeficiente de transferncia de calor, h. Note que

junto superfcie todo calor transferido da mesma para o fluido se d por conduo de

calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os

dois termos da seguinte maneira:

0

)(

y

py

TkTTh , ou

TT

y

Tk

hp

y 0

Assim, para se obter o coeficiente de transferncia de calor preciso conhecer a

distribuio de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso

hidrodinmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuio de temperaturas:

Condies de contorno

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103

0/0

/

/0

0/

2

2

ypy

T

ypTT

ypy

T

ypTT

t

t

p

Mtodo integral (aproximado)

x

y

x0

t

u

T

cteTp

Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfcie comea a partir de um

ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma anloga ao caso hidrodinmico,

desenvolvendo um balano de energia num V.C. de espessura maior que , vem:

(ver Holmam)

00

2

0

)(

y

H

p

H

y

Tdy

dy

du

cudyTT

dx

d

Admitindo uma distribuio polinomial de grau 3 para a distribuio de temperaturas e

aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3

2

1

2

3)()(

ttp

p yy

TT

TyTy

(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. so as mesmas)

Desprezando o termo de dissipao viscosa, obtm-se a seguinte relao entre as

espessuras de camadas limites:

3/1

4/3

03/1 1Pr026,1

1

x

xt

Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos

3/1Pr026,1

1

t

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104

No desenvolvimento admitiu-se t < o que razovel para gases e lquidos

11

11

/Pr

t

Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituio da distribuio de

velocidades, calculada junto parede

tttp

p

p

y

x

kk

TT

TTk

TT

y

Tk

h

2

3

2

3

2

3

)(

)(0, ou

3/14/3

03/1

1Pr026,1

2

3

x

xkhx

, ou ainda

3/1

4/3

0

2/1

3/1 1Pr332,0

x

x

x

ukhx

Lembrando da definio do nmero de Nusselt, k

xhNu xx , vem:

3/14/3

02/13/1 1RePr332,0

x

xNu xx

As equaes anteriores so para valores locais.

O coeficiente mdio de transferncia de calor ser, se x0 = 0:

L

x

dxu

L

dxh

h

LL

x

L

0

2/1

2/1

3/1

0

Pr332,0

, ou

2/

Pr332,0 2/12/1

3/1

L

Lu

hL

, ou finamente:

LxL hL

uh

2Pr332,02

2/1

3/1

Analogamente, para esse caso:

LxL Nuk

LhuN 2

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105

Quando a diferena de temperatura do fluido e da placa for substancial, as

propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas temperatura de pelcula, Tf

2

TTT

p

f

E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:

3/12/1 PrRe453,0 LLk

hLNu

Ver exerccios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5

Exemplo resolvido (extrado do livro de Pitts e Sissom)

Num processo farmacutico, leo de rcino (mamona) a 40C escoa sobre uma placa

aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma

temperatura de 90C. Determine:

(a) a espessura da camada limite hidrodinmica ao final da placa

(b) a espessura da camada limite trmica t no final da placa (c) o coeficiente de transferncia de calor local e mdio ao final da placa (d) o fluxo de calor total transferido da superfcie aquecida.

So dados:

Propriedades calculadas a CT f065

2

9040

= 7,3810-8 ms/s

fk = 0,213 W/moC

= 6,510-5 m2/s

= 9,57102 kg/m3

= 6,2210-2 N.s/m2

pC = 3016 Ck

J

g

CTp 90

u

T

t

Soluo

Verificao se o escoamento laminar ai final da placa

)105(Re5538105,6

606,0Re 5

5

transioL

Lu

(a) x

x Re

5

; x = L = 6m

m40,05538

65

(b) 3/1

8

53/13/1 881

1038,7

105,6)/(Pr

t

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106

mt 042,0881

4,03/1

(c)

2/1

3/1Pr332,0

L

ukhx

Cm

Whx

2

2/1

5

3/1 4,86105,6

06,0)881(213,0332,0

Cm

Whh LxL

28,164,822

(d) )( TThAq s m

WTTLh

L

qs

p

5040)4090(68,16)(

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107

AULA 15 ANALOGIA DE TRANSFERNCIA DE

CALOR E DE ATRITO REYNOLDS-COLBURN E

CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERNCIA

DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO

2.5 Analogia de Reynolds Colburn

Como visto nas aulas anteriores, a transferncia de calor e de quantidade de movimento

(atrito superficial) so regidas por equaes diferenciais anlogas. Na verdade, esta

analogia entre os dois fenmenos muito til e ser explorada nesta aula. Essa a

chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com

a transferncia de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medio

laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente

de transferncia de calor. Isto uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os

dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferncia de calor.

Por definio, o coeficiente de atrito dado por:

2

2

u

Cp

f

Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),

a tenso de cisalhamento na parede :

0

y

py

u

Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:

3

2

1

2

3

yy

u

u,

temos que a derivada junto parede resulta em:

u

y

u

y2

3

0

Por outro lado, usando o resultado da soluo integral ou aproximada da espessura da

camada limite, isto , x

x Re

64,4

que, mediante substituio na definio da tenso de

cisalhamento na parede, resulta em:

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108

x

uu xp

Re323,0

2

3

Substituindo este resultado na equao da definio do coeficiente de atrito, vem:

x

xfx

xu

uC

Re

323,0Re323,0

2 2

Por outro lado, da aula anterior, chegou-se seguinte expresso para o nmero de

Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:

2/13/2 RePr332,0PrRe

x

St

x

x

x

Nu

, onde Stx

uc

h

p

x

o nmero de Stanton. Ento,

reescrevendo de forma compacta:

x

xStRe

332,0Pr 3/2

Comparando as duas equaes anteriores em destaque, notamos que eles so iguais a

menos de uma diferena de cerca de 3% no valor da constante, ento, esquecendo desta

pequena diferena podemos igualar as duas expresses para obter:

2Pr 3/2

fx

x

cSt

Esta a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito

com a transferncia de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa

forma, a transferncia de calor pode ser determinada a partir das medidas da fora de

arrasto sobre a placa. Ela tambm pode ser aplicada para regime turbulento (que ser

visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no

interior de tubos. Ela vlida tanto para valores locais, como para valores mdios.

______________________________________________________________________

Exemplo resolvido continuao do anterior

Calcule a fora de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).

Sabe-se que 3/2Pr2

tSC f

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109

Por outro lado, 52

1070,906,030161057,9

8,16

uc

htS

p

L

Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 fC , de forma

que a tenso de cisalhamento na superfcie :

2

2222

1007,32

)06,0(9571078,1

2 m

NuC fp

Finalmente, a fora de atrito por unidade de comprimento :

m

NL

L

Fp

p

184,061007,3 2

______________________________________________________________________

Camada Limite Turbulenta

A transferncia de calor covectiva na camada limite turbulenta fenomenologicamente

diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da

transferncia de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui trs

subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:

x

yturbulenta

Camada amortecedora

Sub camada laminar

A CLT subdividida em:

- subcamada laminar semelhante ao escoamento laminar ao molecular - camada amortecedora efeitos moleculares ainda so sentidas - turbulento misturas macroscpicas de fluido

Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exerccio de observar o

comportamento da velocidade local, o que ilustrado no grfico temporal abaixo.

t

u

u

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110

Do grfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantnea, u, flutua

consideravelmente em torno de um valor mdio, u . Este fato de flutuao da

velocidade local em conjuno com a flutuao de outras grandezas, embora possa

parecer irrelevante, o que introduz as maiores dificuldades do perfeito

equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a

velocidade instantnea em dois componentes: um valor mdio e outro de flutuao,

como indicado:

velocidade na direo paralela: 'uuu

velocidade na direo transversal: 'vvv

presso: fluctuacomedio

tneoinsvalor

PPP '

tan

Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor mdio e um apstrofe,

valor de flutuao. Os termos de flutuao so responsveis pelo surgimento de foras

aparentes que so chamadas de tenses aparentes de Reynolds, as quais devem ser

consideradas na anlise.

Para se ter uma viso fenomenolgica das tenses aparentes, considere a ilustrao da

camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se

desliza sobre a superfcie, no caso turbulento h misturas macroscpicas de pores

de fluido. No exemplo ilustrado, uma poro de fluido (1) est se movimentando para

cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna

(transferncia de calor). Evidentemente, uma porocorrespondente (2) desce para

ocupar o lugar da outra. Isso o que d origem s flutuaes. Do ponto de vista de

modelagem matemtica, essas simples movimentaes do fluido dentro da camada

limite do origem s maiores dificuldades de modelagem.

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111

Uma anlise mais detalhada do problema da transferncia de calor turbulenta foge do

escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais especfica para uma anlise

mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.

O primeiro passo escrever as equaes de conservao (massa e quantidade de

movimento) aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantneos pelos termos

correspondentes de mdia e flutuao, isto , 'uuu , 'vvv e 'PPP . Em

seguida, realiza-se uma integral sobre um perodo de tempo longo o suficiente, isto ,

realiza-se uma mdia temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equao diferencial:

''

1uv

y

u

yx

P

y

uv

x

uu

No processo de obteno desta equao, admitiu-se que a mdia temporal das flutuaes

e suas derivadas so nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a mdia temporal

do produto das flutuaes (ltimos dois termos direita). Aqui reside grande parte do

problema da turbulncia que justamente se estabelecer modelos para estimar estes

valores no desprezveis. Estes termos do origem s chamadas tenses aparentes de

Reynolds que tm um tratamento parte e no vamos nos preocupar aqui.

O importante saber que existem dois regimes de transferncia de calor: laminar e

turbulento. Tambm existe uma regio de transio entre os dois regimes. Expresses

apropriadas para cada regime em separado e em combinao esto indicadas na tabela

7.9 do Incropera e Witt.

Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu 60Pr6,010Re8 x

Mdio : 318,0 Pr871Re037,0 LLNu 810Re L

2,0Re37,0 xx

810Re L

Nota: outras expresses ver livro-texto ou tabela ao final desta aula.

As propriedades de transporte so avaliadas temperatura de mistura (mdia

entre superfcie e ao longe). Reynolds crtico = 5 105

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112

______________________________________________________________________

Exemplo resolvido (Holman 5-7)

Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de

comprimento e mantida a 60C. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.

Propriedades avaliadas CT

402

6020

Ckg

kJc p

007,1

3128,1

m

kg 7,0Pr

Cm

Wk

02723,0

ms

kgx 510007,2

610475,1Re xVL

L

2055)871Re037,0(Pr8,03/1 LL

k

LhNu

CmWNuL

kh L

2/6,74

WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(

______________________________________________________________________

Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos

No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, anlise se torna mais

complexa. O nmero de Nusselt local, dado em funo do ngulo de incidncia , isto ,

Nu(), fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.

A figura ao lado indica o que acontece com o

nmero local de Nusselt. Para ReD 105, o

nmero de Nusselt decresce como conseqncia

do crescimento da camada limite laminar (CLL)

at cerca de 80o. Aps este ponto, o escoamento

se descola da superfcie destruindo a CLL e

gerando um sistema de vrtices e mistura que

melhora a transferncia de calor (aumento de

Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transio e

formao da camada limite turbulenta (CLT). Na

fase de transio (80o a 100

o) ocorre a melhora

da transferncia de calor. Uma vez iniciada a

CLT, novamente se verifica a diminuio do

coeficiente local de transferncia de calor devido

ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,

descolar o escoamento da superfcie que destri

a CLT para, ento, gerar o sistema de vrtices e

mistura que volta a melhorar a transferncia de

calor. No caso turbulento h, portanto, dois

mnimos.

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113

Embora do ponto de vista de melhoria da transferncia de calor possa ser importante

analisar os efeitos locais do nmero de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de

outros usurios mais proveitoso que se tenha uma expresso para a transferncia de

calor mdia. Assim, uma expresso bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da

correlao emprica de Hilpert, dada por:

3

1

PrRemDD Ck

DhNu

onde, D o dimetro do tubo. As constantes C e m so dadas na tabela abaixo como

funo do nmero de Reynolds.

ReD C m

0,4 4 0,989 0,330

4 40 0,911 0,385

40 4.000 0,683 0,466

4.000 40000 0,193 0,618

40.000 400.000 0,027 0,805

No caso de escoamento cruzado de um gs sobre outras sees transversais, a mesma

expressso de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na

prxima tabela (Jakob, 1949).

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114

Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expresso

mais atual bastante usada devida a Zhukauskas, dada por

4/1

Pr

PrPrRe

s

nm

DD CNu vlida para

610Re1

500Pr7,0

D

,

onde as constantes C e m so obtidas da tabela abaixo. Todas s propriedades so

avaliadas T, exceto Prs que avaliado na temperatura de superfcie (parede). Se Pr

10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.

ReD C m 1 40 0,75 0,4

40 1.000 0,51 0,5

1.000 2105 0,26 0,6

2105 10

6 0,076 0,7

____________________________________________________________

Escoamento sobre Banco de Tubos

Escoamento cruzado sobre um banco de tubos muito comum em trocadores de calor.

Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula

internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos tpicos. O primeiro

chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicncio.

Arranjos em linha ou quicncio

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115

Existem vrias expresses prticas para a transferncia de calor sobre banco de tubos.

Para o ar, pode se usar a expresso de Grimison, que tambm pode ser modificada para

outros fluidos, como discutido em Incropera (Seo 7.6). Mais recentemente,

Zhukauskas apresentou a seguinte expresso:

4/1

36,0

max,Pr

PrPrRe

s

m

DD CNu

vlida para

6

max, 10.2Re1000

500Pr7,0

20

D

LN

onde, NL o nmero de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que

avaliada temperatura da superfcie dos tubos) so avaliadas temperatura mdia entre

a entrada e a sada do fluido e as constantes C e m esto listadas na tabela abaixo.

Configurao ReD,max C m

Alinhada 10-102 0,80 0,40

Em quicncio 10-102 0,90 0,40

Alinhada

Em quicncio

102-10

3 Aproximado como um nico

102-10

3 cilndro (isolado)

Alinhada

(ST/SL>0,7)a

103-210

5 0,27 0,63

Em quicncio

(ST/SL2) 10

3-210

5 0,40 0,60

Alinhada 2x105-210

6 0,021 0,84

Em quicncio 2x105-210

6 0,022 0,84

a Para ST/SL>0,7 a transferncia de calor ineficiente, e tubos alinhados no deveriam ser utilizados.

Se o nmero de fileiras de tubos for inferior a 20, isto , NL < 20, ento deve-se corrigir

a expresso acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme

expresso abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.

202

20

LL ND

ND NuCNu

Tabela com o fator de correo C2 para NL103)

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16

Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Em quicncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

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116

O nmero de Reynolds ReD,max calculado para a velocidade mxima do fluido que

percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade mxima ocorre em

VDS

SV

T

T

max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em

quicncio ou desalinhado, a velocidade mxima pode ocorrer em duas regies,

conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrer na seo A2 se a seguinte condio

for satisfeita )()(2 DSDS TD que, aps uma anlise trigonomtrica simples, se

obtm a seguinte condio equivalente 22

212

2 DSSSS TTLD

. Se isso

acontecer, ento: VDS

SV

D

T

)(2max

. Caso essa condio no seja satisfeita, ento, a

velocidade mxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS

SV

T

T

max .

Tabelas- resumo com as equaes (Incropera & Witt)

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117

______________________________________________________________________

Exerccio de Aplicao

Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30C.

Neste escoamento de ar colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de

25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa de 60C.

Posteriormente, a placa enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro

sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais

condies so mantidas. Pede-se:

(a) Em qual caso a troca de calor maior.

(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.

(c) Analisar se sempre h maior troca de calor numa dada configurao do que na

outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua

resposta atravs de um memorial de clculo.

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118

Soluo

Propriedades do ar CTT

Tp

452

= 1,68 x 10-5

m2/s

k = 2,69 x 10-2

W/mK

Pr = 0,706

Placa

L=0,25m

CTp 60

smu /4

CT 30

critL xLu

Re1095,51068,1

25,04Re 4

5

5105

2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1

xNu LL

Assim CmWL

kNuhL

2/56,15

25,0

02697,02,144

Cilindro

D

CTs 60 Tu ,

D = L D = 0,25/ = 0,0796 m

Assim, 45

10895,11068,1

0796,04Re

D

Usando a expresso de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)

3/1PrRemDD CNu p/ReD=1,89510

4 C = 0,193

m = 0,618

Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu

de forma que: KmWD

kNuh

DD

2/63,250796,0

02697,063,75

a) A transferncia de calor maior no caso do cilindro pois LD hh e a rea de troca de

calor a mesma.

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119

]b)

Placa

WQ

TTAhQ

placa

ppplaca

7,116

3025,056,15

)(

Cilindro

WQ

TTAhQ

cil

pccil

2,192

3025,063,25

)(

c) Poro laminar 5, 105Re Lcrit

Note que 51059,1Re/ReRe DLD sendo equivalente ao crtico.

3/12/1 PrRe664,0

LL

L

kh

(A)

m

D

m

DD CL

kC

D

kh Re

PrRePr

3/13/1 (B)

Portanto de (A), 2/1

3/1

Re664,0

Pr

L

Lh

L

k , que, pode ser subst. em (B), para obter

Lm

D

D

Lm

DD hC

hCh 5,0

2/1Re669,2

Re664,0

Re

Ou 5,0Re669,2 mDL

DC

h

h para o caso laminar na placa

Poro laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105

3/18,0 Pr)871Re037,0( LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)

De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( LL

k

Lh e

871Re037,0

Pr8,0

3/1

L

Lh

L

k (C)

sub. em (B), vem 871Re037,0

Re8,0

L

Lm

DD

hCh

Subs. ReL = ReD, vem: 871Re037,0

Re8,0

L

m

D

L

D C

h

h

Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa

871Re037,0

Re8,0

L

m

D

L

D C

h

h

Notas de aula de PME 2361 Processos de Transferncia de Calor

____________________________

www.pme.poli.usp.br/sisea - Jos R. Simes Moreira atualizao set/2012

120

Os diversos valores de C e m da expresso de Hilpert foram substitudos nas expresses

das razes entre os coeficientes de transferncia de calor e aparecem na tabela abaixo e,

em forma grfica. Evidentemente, a transferncia de calor ser sempre maior no caso do

cilindro (na faixa de validade das expresses)

ReD C m hD/hL regime

4 0,898 0,33 2,09 laminar

40 0,911 0,385 1,59

4000 0,683 0,466 1,38

40000 0,193 0,618 1,8

159000 0,027 0,805 2,78

200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb

400000 0,027 0,805 1,43

L

D

h

h

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

ReD