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Notas de aula de PME 2361 Processos de Transferência de Calor ____________________________ www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira atualização set/2012 85 AULA 12 INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA Lei de Resfriamento de Newton Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de resfriamento de Newton, dada por: ) ( T T Ah q S onde, T s , T temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe; A área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor é consideravelmente mais simples que a da condução. No presente caso, basta resolver uma equação algébrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação diferencial da condução de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois na verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica), velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas, serão apreentadas expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais que controlam a transferência de calor convectiva. Análise Dimensional A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto, tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os números de Biot e de Fourier.

Aulas - Convecção de Calor

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    AULA 12 INTRODUO TRANSFERNCIA DE

    CALOR CONVECTIVA

    Lei de Resfriamento de Newton

    J vimos que a transferncia de calor por conveco regida pela simples de lei de

    resfriamento de Newton, dada por:

    )( TTAhq S

    onde,

    Ts, T temperatura da superfcie aquecida e do fluido ao longe;

    A rea de troca de calor, isto , a rea de contato do fluido com a superfcie;

    h = coeficiente de transferncia de calor por conveco.

    O problema fundamental da transferncia de calor por conveco a determinao do

    valor d h para o problema em anlise. Nota-se que a expresso da transferncia de calor

    consideravelmente mais simples que a da conduo. No presente caso, basta resolver

    uma equao algbrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se

    conhea o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a soluo da equao

    diferencial da conduo de calor. Essa aparente simplicidade , no entanto, enganosa,

    pois na verdade, em geral, h funo de um grande nmero de variveis, tais como as

    propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade trmica),

    velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas,

    sero apreentadas expresses e mtodos de obteno daquela grandeza para diversas

    condies de interesse prtico. Mas, antes, vamos apresentar os nmeros adimensionais

    que controlam a transferncia de calor convectiva.

    Anlise Dimensional

    A anlise dimensional um mtodo de reduzir o nmero de variveis de um problema

    para um conjunto menor de variveis, as quais no possuem dimenso fsica, isto,

    tratam-se de nmeros adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno j deve estar

    familiarizado a essa altura so o nmero de Reynolds na Mecnica dos Fluidos, os

    nmeros de Biot e de Fourier.

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    A maior limitao da anlise dimensional que ela no fornece qualquer informao

    sobre a natureza do fenmeno. Todas as variaes que influenciam devem ser

    conhecidas de antemo. Por isso deve se ter uma compreenso fsica preliminar correta

    do problema em anlise.

    O primeiro passo da aplicao do mtodo consiste na determinao das dimenses

    primrias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em

    funo destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primrio de grandezas

    MLtT, onde:

    Comprimento L

    Tempo t

    Massa M

    Temperatura T

    Nesse sistema de grandezas primrias, por exemplo, a grandeza fora tem as seguintes

    dimenses:

    Fora ML/t2

    O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:

    Condutividade trmica ML/t3T

    Calor ML2/t

    2

    Velocidade L/t

    Densidade M/L3

    Velocidade M/Lt

    Calor especfico a presso constante L2/t

    2T

    Coeficiente De transmisso de calor M/t3T

    Teorema dos ou de Buckingham

    Esse teorema permite obter o nmero de adimensionais independentes de um problema.

    dado por:

    M = N P

    Onde,

    M nmero de grupos adimensionais independentes;

    N nmero de variveis fsicas dos problemas;

    P nmero de dimenses primrias;

    Sendo um adimensional genrico, pode-se escrever, ento:

    0),...,( 21 mF

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    Para exemplificar, considere um fenmeno fsico de 5 variveis e trs dimenses

    primarias. Logo,

    M = 5-3 = 2, de onde se obtm:

    0),( 21 F ou

    pode-se escrever um adimensional como funo do outro da seguinte forma.

    )( 21 f

    Essa relao funcional pode ser terica ou experimental, obtida em laboratrio, como

    indicado no grfico abaixo. Note que seria necessrio se realizar experimentos com

    apenas uma varivel (grupo adimensional 2) e observar a dependncia de 1. Com

    isso, reduz-se drasticamente o nmero de experimentos. Caso contrrio, seria necessrio

    fazer experimentos envolvendo as 5 variveis originais do problema.

    1

    2

    erimentalcurvaf exp)( 2

    Outro exemplo, seria o caso de um fenmeno descrito por 3 grupos adimensionais.

    Nesse caso, tem-se:

    0),,( 321 F , ou ),( 321 f

    Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constante, e variando

    2, observando como 1 varia, como ilustrado no grfico abaixo.

    2

    tesconsdecurvas tan31

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    Adimensionais da transferncia de calor por conveco forada

    Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura

    abaixo.

    fluido

    V

    Tubo

    aquecido

    D

    Sabe-se de antemo que as grandezas que interferem na transferncia de calor so:

    Variveis Eq. Dimensional D Dimetro do Tubo L

    k Condutividade trmica do fluido ML/t3T

    V Velocidade do fluido L/t

    Densidade do fluido M/L3

    Viscosidade do fluido M/Lt

    CP Calor especifico a presso constante L2/t

    2T

    h Coef. de transferncia de calor M/t3T

    Portanto, h N = 7 grandezas e P = 4 dimenses primrias, do que resulta em:

    M = 7 4 = 3 (3 grupos adimensionais)

    Seja um grupo adimensional genrico do tipo:

    g

    c

    f

    p

    edcba hcVKD

    Substituindo as equaes dimensionais de cada grandeza, vem:

    gfedcb

    a

    Tt

    M

    Tt

    L

    Lt

    M

    L

    M

    t

    L

    Tt

    MLL

    32

    2

    33

    ou, aps rearranjo, vem:

    gfbgfecbfedcbagedb TtLM 32323

    Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto :

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    0

    0323

    023

    0

    gfb

    gfecb

    fedcba

    gedb

    H um sistema de 7 incgnitas e 4 equaes. Portanto, o sistema est indefinido. O

    mtodo pressupe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui um ponto

    crtico do mtodo, pois h de se fornecer valores com critrios. Por exemplo,

    (A) Como h uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de

    valores

    0

    1

    dc

    g

    Assim, pode-se resolver a equao do grupo adimensional, resultando em:

    a = 1

    b = -1

    e = f = 0

    Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de nmero de Nusselt, definido por:

    Nuk

    Dh1

    (B) Agora vamos eliminar h e assumir outros valores

    0

    1

    0

    f

    a

    g

    (para no aparecer h)

    A soluo do sistema fornece:

    b = 0

    c = d = 1

    e = -1

    De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que o nmero de

    Reynolds, dado por:

    D

    VDRe2

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    (C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores

    e = f =1

    b = -1

    Da resulta, o terceiro e ltimo nmero adimensional que recebe o nome de nmero de

    Prandtl,

    Pr3 k

    cp

    Ento, h uma funo do tipo

    0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .

    Isolando o nmero de Nusselt, vem:

    ),( PrReDfNu

    Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variveis (os

    grupos adimensionais) ao invs de sete (as grandezas que interferem no fenmeno).

    Vimos, ento, que:

    ),( PrReDfNu

    Diversos experimentos realizados com ar, leo e gua mostraram que existe uma tima

    correlao envolvendo estes trs adimensionais, conforme ilustrado no grfico abaixo.

    Note que, ar, gua e leo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no

    entanto, os coeficientes de transferncia de calor nesses trs fluidos podem ser

    correlacionados por meio dos nmeros adimensionais. Isto tambm indica que, uma vez

    obtida a expresso que rege a transferncia de calor, nos sentimos vontade para usar

    com outros fluido, caso no existam dados experimentais de laboratrio disponveis.

    10 1001

    1

    3,0Pr

    Nu

    4,03,0 RePr82,0Nu

    gua

    leoar

    3

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    AULA 13 CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA

    PLACA OU SUPERFICIE PLANA

    Na aula passada vimos que a transferncia de calor no escoamento externo sobre uma

    superfcie resulta na existncia de 3 nmeros adimensionais que controlam o fenmeno.

    Essas grandezas so o nmero de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De

    forma que existe uma relao do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma

    experimental ou analtica em algumas poucas situaes.

    Na aula de hoje apresentar-se- uma situao particular em que esta relao pode ser

    obtida de forma analtica e exata. Para isso, sero apresentadas as equaes diferenciais

    que regem a transferncia de calor em escoamento sobre uma superfcie plana em

    regime laminar. Depois ser indicada a soluo dessas equaes. Para comear o estudo,

    considere o escoamento de um fluido sobre uma superfcie ou placa plana, conforme

    ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)

    antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai

    desacelerar as pores de fluido adjacentes placa, dando incio a uma camada limite

    laminar que cresce em espessura medida que o fluido escoa ao longo da superfcie.

    Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente at que instabilidades

    vo induzir a uma transio de regime para dar incio ao regime turbulento, se a

    extremidade da placa (borda de fuga) no for antes atingida. Admite que a transio

    ocorra para a seguinte condio 5105Re

    xuxtransio (s vezes tambm se usa

    3 105), onde x a distncia a partir do incio da placa (borda de ataque).

    y

    u

    laminar

    xTransio Turbulento

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    No regime laminar, o fluido escoa como se fossem lminas deslizantes, sendo que a

    tenso de cisalhamento (originria do atrito entre essas camadas) dada por dy

    du

    para um fluido newtoniano (como o ar, gua e leo). Essa condio e geometria de

    escoamento permitem uma soluo exata, como se ver a seguir.

    Equaes da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar

    Hipteses principais:

    - Fluido incompressvel - Regime permanente - Presso constante na direo perpendicular placa - Propriedades constantes - Fora de cisalhamento na direo y constante

    Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),

    como indicado.

    x

    ydy

    dx

    Equao da continuidade ou da conservao de massa.

    dydxx

    uu )(

    dxdyy

    vv )(

    vdx

    udy

    dx

    dy

    Como entrasai mm , ento substituindo os termos, vem:

    dydxx

    uudxdy

    y

    vvvdxudy )()(

    . Simplificando, tem-se

    0

    y

    v

    x

    u ou 0VDiv

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    Equao da conservao da quantidade de movimento

    Da 2 lei de Newton, tem-se que

    extF variao do fluxo da quantidade de movimento

    Balano de foras na direo x.

    Foras externas (presso e atrito gravidade desprezvel)

    dxdyy

    )(

    dx

    pdydydx

    x

    pp )(

    dydxx

    ppdxdxdy

    ypdyFx )()(

    ou, simplificando, dxdyx

    pdxdy

    yFx

    Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se dy

    du que, substituindo, em.

    dxdyx

    pdxdy

    y

    uFx

    2

    2

    Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direo x)

    dxdyy

    uudy

    y

    vv ))((

    vudx

    dydxx

    uu 2)(

    dyu2

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    Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expresso:

    superior ordem de termos2

    )(

    )(2

    ))(()(

    2

    222

    22

    dxdyy

    vudxdy

    y

    uvdxdy

    x

    uu

    uvdxdxdyy

    u

    y

    v

    dxdyy

    vudxdy

    y

    uvvudxdyudydx

    x

    udxdy

    x

    uudyu

    uvdxdxdyy

    uudy

    y

    vvdyudydx

    x

    uu

    Ainda possvel simplificar esta equao para obter

    dxdyy

    v

    x

    uudxdy

    y

    uv

    x

    uu

    decontinuida

    0

    )()(

    dxdyx

    uv

    x

    uu )(

    Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das foras externas com a

    variao do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equao:

    x

    p

    y

    u

    y

    uv

    x

    uu

    2

    2

    )(

    Equao da conservao da energia, ou primeira lei da termodinmica

    - Conduo na direo x desprezvel - Energia cintica desprezvel face entalpia

    dxdyy

    uudy

    y

    vv ))((

    dydxx

    uu 2)(

    dxdyy

    uu )

    )((

    )(

    2

    2

    dyy

    T

    y

    Tkdx

    dx

    dy

    y

    Tkdx

    dxuvhdx

    uhdy

    Potncia (trmica) lquida das foras viscosas

    dydyx

    hhdy

    x

    uu ))((

    dydyy

    hhdy

    y

    uu ))((

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    dydxy

    uuu

    ydydx

    y

    udxudxdy

    y

    uu

    )()(

    Conservao de energia:

    tempode unidade na

    ldiferencia controle

    de volumeo deixa

    que energia de fluxo

    tempode unidade

    na realizado

    lquido trabalho

    tempode unidade na

    ldiferencia controle

    de volumeno entra

    que energia de fluxo

    Agora, vamos tratar cada termo em particular

    Fluxo de energia que entra

    Entalpia + Conduo de calor (note que a conduo na direo x desprezvel)

    y

    Tkdxuhdyvhdx

    Trabalho na unidade de tempo (potncia trmica gerada pelas foras viscosas)

    dxdyy

    uu

    y

    Fluxo de energia que entra

    )())(())((2

    2

    dyy

    T

    y

    Tkdxdydx

    x

    hhdx

    x

    uudxdy

    y

    hhdy

    y

    vv

    Desprezado os termos de ordem superior

    dxdyx

    ukdxdy

    y

    vhdxdy

    y

    hvdxdy

    x

    uhdxdy

    x

    hudydx

    y

    uu

    y 2

    2

    00

    2

    2

    0

    )(x

    uk

    y

    v

    x

    uh

    x

    hv

    x

    hu

    y

    uu

    y

    decontinuida

    Com Tch p e substituindo todos os termos na equao de balano, resulta na forma

    diferencial da equao da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:

    y

    uu

    yy

    Tk

    y

    Tvc

    x

    Tuc pp 2

    2

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    Em geral a potncia trmica gerada pelas foras viscosas (ltimo termo) desprezvel

    face ao termo da conduo de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).

    Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equao da energia pode ser simplificada

    para:

    2

    2

    y

    T

    y

    Tv

    x

    Tu

    Retornando agora equao da conservao da quantidade de movimento. Se o

    escoamento se der presso constante, aquela equao pode ainda ser reescrita como:

    2

    2

    y

    u

    y

    uv

    x

    uu

    onde,

    a viscosidade cinemtica

    Comparando as duas equaes acima, nota-se que quando , ou seja, 1Pr

    corresponde ao caso em que a distribuio da temperatura idntica a distribuio de

    velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, j que 1Pr65,0 .

    Em resumo, as trs equaes diferenciais que regem a transferncia de calor na camada

    limite laminar so:

    Conservao de massa 0

    y

    v

    x

    u

    Conservao da quantidade de movimento

    direo x

    x

    p

    y

    u

    x

    uv

    x

    uu

    2

    2

    )(

    2

    2

    y

    u

    x

    uv

    x

    uu

    presso constante

    Conservao de energia 2

    2

    y

    T

    y

    Tv

    x

    Tu

    Ver soluo das camadas limites laminares hidrodinmica e trmico no apndice B do

    Holman e item 7.2 do Incropera. Soluo de Blasius.

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    Os principais resultados da soluo dessas equaes diferenciais so os seguintes:

    Crescimento da camada limite hidrodinmica (CLH): x

    x

    Re

    5 ;

    Coeficiente local de atrito local : 2/1

    , Re664,0

    xxfc ;

    Coeficiente local de atrito mdio desde a borda de ataque: 2/1

    , Re328,1

    LLfc ;

    Razo entre camadas limites hidrodinmica (CLH) e trmica (CLT): 3/1Prt

    ;

    Nmero de Nusselt local: Pr6,0PrRe332,0 3/12/1

    xxNu 50

    Nmero de Nusselt mdio: 3/12/1

    PrRe664,0 LLuN .

    Definio do coeficiente de atrito: 2/

    2

    u

    c sf

    , s tenso de cisalhamento na parede

    Os grficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o nmero

    de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.

    Tu ,

    )1(Pr T

    )1(Pr T

    )1(Pr T

    x

    C.L.T C.L.H

    TS

    T u

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    AULA 14 CAMADA LIMITE LAMINAR SOLUO

    INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN

    Na aula passada, vimos as equaes diferenciais da camada limite laminar. Os

    resultados da soluo clssica de Blasius foram apresentados. A soluo per si no foi

    discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de soluo

    para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma soluo aproximada baseada

    no mtodo integral, tambm conhecida como soluo de von Karman.

    Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direo x do

    escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para alm da camada limite,

    isto , H , conforme ilustrado na figura abaixo.

    x

    y

    1 2

    A A

    dx

    H

    Leis de conservao na camada limite laminar no elemento diferencial acima:

    Balano de massa

    Fluxo mssico na face 1 A: H

    udy0

    Fluxo mssico na face 2 A: dxudydx

    dudy

    HH

    00

    Balano de fluxo de quantidade de movimento

    Fluxo de Q. M. na Face 1 A: H

    dyu0

    2

    Fluxo de Q. M. na Face 2 A: dxdyudx

    ddyu

    HH

    0

    2

    0

    2

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    99

    Fluxo de Q. M. na Face A A: dxudydx

    du

    H

    0

    Fluxo lquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle

    (face 2-A) (face A A) (face 1 A) =

    Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx

    dudxdyu

    dx

    dHH

    00

    2

    Lembrando da regra do produto de diferenciao que:

    )()()( ddd ou

    )()()( ddd

    Fazendo u

    H

    udy0

    , vem

    dxdx

    duudydxudyu

    dx

    ddxudy

    dx

    du

    HHH

    000

    dxudydx

    dudxudyu

    dx

    dHH

    00

    Agora, substituindo na expresso do fluxo lquido de Q. M, vem:

    dxudydx

    dudxudyu

    dx

    ddxdyu

    dx

    dMQfluxo

    HHH

    000

    2..

    Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma

    mais compacta:

    dxudydx

    dudxudyuu

    dx

    dMQfluxo

    HH

    00

    )(..

    Agora, vamos obter a resultante das foras externas. No presente caso, s vamos

    considerar as foras de presso e de atrito.

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    100

    - fora resultante da presso: dxdx

    dPH

    - fora de cisalhamento na parede: -dx

    0

    y

    py

    udx

    p

    dx

    dxdx

    dPP

    P

    Finalmente, a equao integral da camada limite laminar hidrodinmica pode agora ser

    escrita (2 lei de Newton):

    dxudydx

    dudxudyuudx

    dx

    dPH

    y

    udx

    HH

    y

    000

    )(

    Se a presso for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento

    sobre uma superfcie plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa

    hiptese no vale): 0dx

    dP

    Essa hiptese de P = cte. tambm implica em que a velocidade ao longe tambm seja

    constante, j que, fora da camada limite, valida a eq. de Bernoulli, ou

    cteuP

    2

    De forma que, na forma diferencial: 002

    2

    duduudP

    Assim, a equao da conservao da Q. M. se resume a:

    H

    y

    udyuudx

    dp

    y

    u

    00

    )(

    Mas como H > a velocidade constante u = u, ento:

    00

    )(

    yy

    uudyuu

    dx

    d

    Esta a forma final da equao da conservao da Q.M., vlida para o escoamento

    laminar sobre uma superfcie ou placa plana. At o presente momento, o

    equacionamento exato, pois nenhuma aproximao foi empregada. A questo : se

    conhecermos o perfil de velocidades u(y), ento, a equao acima pode ser integrada.

    Da, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar

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    101

    hidrodinmica, isto , a espessura da camada limite laminar numa posio x a partir da

    borda de ataque. (x).

    A soluo aproximada, objeto desta anlise, comea quando se admite um perfil de

    velocidades na direo perpendicular ao escoamento, isto , u(y). Claro que a adoo

    desse perfil deve seguir certos critrios. Pense: Se voc tivesse que admitir tal perfil de

    velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto , voc imporia

    um polinmio de grau tal que as condies de contorno do perfil de velocidades fossem

    satisfeitas. Certo? Pois exatamente isso que feito. Ento, primeiro passemos a

    analisar as condies de contorno do problema , que so:

    0/0

    /0

    /

    0/0

    2

    2

    ypy

    u

    ypy

    u

    ypuu

    ypu

    As trs primeiras condies de contorno so simples e de deduo direta. A primeira

    informa que a velocidade na superfcie da placa nula (princpio de no-

    escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade a da corrente fluida e a

    terceira diz que a transio entre a CL e a corrente livre suave, da a derivada ser

    nula. A ltima c.c. um pouco mais difcil de perceber. H de se analisar a equao

    diferencial da conservao da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula

    anterior que requer que essa condio seja nula sobre a superfcie da placa). Como so

    quatro as condies de contorno, uma distribuio que satisfaz estas condies de

    contorno um polinmio do 3 grau, dado por:

    3

    4

    2

    321)( yCyCyCCyu

    Da, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado

    de velocidades: 3

    2

    1

    2

    3)(

    yy

    u

    yu

    Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:

    00

    33

    2

    2

    1

    2

    3

    2

    1

    2

    31

    yy

    udy

    yyyy

    dx

    du

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    102

    Do que resulta, aps algum trabalho:

    uu

    dx

    d

    2

    3

    280

    39 2

    Integrado essa equao, lembrando que para x = 0 = 0 (a CL comea na borda de

    ataque):

    u

    vxx 64,4)( , ou

    xx

    x

    Re

    64,4)(

    Lembrando da aula anterior que soluo exata (Blasius) fornecia: x

    x

    x

    Re

    5)(

    Ver Holman Apndice B ou Incropera

    Considerando as aproximaes realizadas, o resultado aproximado bastante razovel.

    Camada Limite Trmica Laminar

    Uma vez resolvido o problema hidrodinmico acima, agora pode-se resolver o problema

    trmico. O objetivo o clculo do coeficiente de transferncia de calor, h. Note que

    junto superfcie todo calor transferido da mesma para o fluido se d por conduo de

    calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os

    dois termos da seguinte maneira:

    0

    )(

    y

    py

    TkTTh , ou

    TT

    y

    Tk

    hp

    y 0

    Assim, para se obter o coeficiente de transferncia de calor preciso conhecer a

    distribuio de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso

    hidrodinmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuio de temperaturas:

    Condies de contorno

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    103

    0/0

    /

    /0

    0/

    2

    2

    ypy

    T

    ypTT

    ypy

    T

    ypTT

    t

    t

    p

    Mtodo integral (aproximado)

    x

    y

    x0

    t

    u

    T

    cteTp

    Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfcie comea a partir de um

    ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma anloga ao caso hidrodinmico,

    desenvolvendo um balano de energia num V.C. de espessura maior que , vem:

    (ver Holmam)

    00

    2

    0

    )(

    y

    H

    p

    H

    y

    Tdy

    dy

    du

    cudyTT

    dx

    d

    Admitindo uma distribuio polinomial de grau 3 para a distribuio de temperaturas e

    aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3

    2

    1

    2

    3)()(

    ttp

    p yy

    TT

    TyTy

    (o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. so as mesmas)

    Desprezando o termo de dissipao viscosa, obtm-se a seguinte relao entre as

    espessuras de camadas limites:

    3/1

    4/3

    03/1 1Pr026,1

    1

    x

    xt

    Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos

    3/1Pr026,1

    1

    t

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    104

    No desenvolvimento admitiu-se t < o que razovel para gases e lquidos

    11

    11

    /Pr

    t

    Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituio da distribuio de

    velocidades, calculada junto parede

    tttp

    p

    p

    y

    x

    kk

    TT

    TTk

    TT

    y

    Tk

    h

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    )(

    )(0, ou

    3/14/3

    03/1

    1Pr026,1

    2

    3

    x

    xkhx

    , ou ainda

    3/1

    4/3

    0

    2/1

    3/1 1Pr332,0

    x

    x

    x

    ukhx

    Lembrando da definio do nmero de Nusselt, k

    xhNu xx , vem:

    3/14/3

    02/13/1 1RePr332,0

    x

    xNu xx

    As equaes anteriores so para valores locais.

    O coeficiente mdio de transferncia de calor ser, se x0 = 0:

    L

    x

    dxu

    L

    dxh

    h

    LL

    x

    L

    0

    2/1

    2/1

    3/1

    0

    Pr332,0

    , ou

    2/

    Pr332,0 2/12/1

    3/1

    L

    Lu

    hL

    , ou finamente:

    LxL hL

    uh

    2Pr332,02

    2/1

    3/1

    Analogamente, para esse caso:

    LxL Nuk

    LhuN 2

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    105

    Quando a diferena de temperatura do fluido e da placa for substancial, as

    propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas temperatura de pelcula, Tf

    2

    TTT

    p

    f

    E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:

    3/12/1 PrRe453,0 LLk

    hLNu

    Ver exerccios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5

    Exemplo resolvido (extrado do livro de Pitts e Sissom)

    Num processo farmacutico, leo de rcino (mamona) a 40C escoa sobre uma placa

    aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma

    temperatura de 90C. Determine:

    (a) a espessura da camada limite hidrodinmica ao final da placa

    (b) a espessura da camada limite trmica t no final da placa (c) o coeficiente de transferncia de calor local e mdio ao final da placa (d) o fluxo de calor total transferido da superfcie aquecida.

    So dados:

    Propriedades calculadas a CT f065

    2

    9040

    = 7,3810-8 ms/s

    fk = 0,213 W/moC

    = 6,510-5 m2/s

    = 9,57102 kg/m3

    = 6,2210-2 N.s/m2

    pC = 3016 Ck

    J

    g

    CTp 90

    u

    T

    t

    Soluo

    Verificao se o escoamento laminar ai final da placa

    )105(Re5538105,6

    606,0Re 5

    5

    transioL

    Lu

    (a) x

    x Re

    5

    ; x = L = 6m

    m40,05538

    65

    (b) 3/1

    8

    53/13/1 881

    1038,7

    105,6)/(Pr

    t

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    106

    mt 042,0881

    4,03/1

    (c)

    2/1

    3/1Pr332,0

    L

    ukhx

    Cm

    Whx

    2

    2/1

    5

    3/1 4,86105,6

    06,0)881(213,0332,0

    Cm

    Whh LxL

    28,164,822

    (d) )( TThAq s m

    WTTLh

    L

    qs

    p

    5040)4090(68,16)(

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    107

    AULA 15 ANALOGIA DE TRANSFERNCIA DE

    CALOR E DE ATRITO REYNOLDS-COLBURN E

    CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERNCIA

    DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO

    2.5 Analogia de Reynolds Colburn

    Como visto nas aulas anteriores, a transferncia de calor e de quantidade de movimento

    (atrito superficial) so regidas por equaes diferenciais anlogas. Na verdade, esta

    analogia entre os dois fenmenos muito til e ser explorada nesta aula. Essa a

    chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com

    a transferncia de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medio

    laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente

    de transferncia de calor. Isto uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os

    dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferncia de calor.

    Por definio, o coeficiente de atrito dado por:

    2

    2

    u

    Cp

    f

    Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),

    a tenso de cisalhamento na parede :

    0

    y

    py

    u

    Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:

    3

    2

    1

    2

    3

    yy

    u

    u,

    temos que a derivada junto parede resulta em:

    u

    y

    u

    y2

    3

    0

    Por outro lado, usando o resultado da soluo integral ou aproximada da espessura da

    camada limite, isto , x

    x Re

    64,4

    que, mediante substituio na definio da tenso de

    cisalhamento na parede, resulta em:

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    108

    x

    uu xp

    Re323,0

    2

    3

    Substituindo este resultado na equao da definio do coeficiente de atrito, vem:

    x

    xfx

    xu

    uC

    Re

    323,0Re323,0

    2 2

    Por outro lado, da aula anterior, chegou-se seguinte expresso para o nmero de

    Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:

    2/13/2 RePr332,0PrRe

    x

    St

    x

    x

    x

    Nu

    , onde Stx

    uc

    h

    p

    x

    o nmero de Stanton. Ento,

    reescrevendo de forma compacta:

    x

    xStRe

    332,0Pr 3/2

    Comparando as duas equaes anteriores em destaque, notamos que eles so iguais a

    menos de uma diferena de cerca de 3% no valor da constante, ento, esquecendo desta

    pequena diferena podemos igualar as duas expresses para obter:

    2Pr 3/2

    fx

    x

    cSt

    Esta a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito

    com a transferncia de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa

    forma, a transferncia de calor pode ser determinada a partir das medidas da fora de

    arrasto sobre a placa. Ela tambm pode ser aplicada para regime turbulento (que ser

    visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no

    interior de tubos. Ela vlida tanto para valores locais, como para valores mdios.

    ______________________________________________________________________

    Exemplo resolvido continuao do anterior

    Calcule a fora de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).

    Sabe-se que 3/2Pr2

    tSC f

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    109

    Por outro lado, 52

    1070,906,030161057,9

    8,16

    uc

    htS

    p

    L

    Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 fC , de forma

    que a tenso de cisalhamento na superfcie :

    2

    2222

    1007,32

    )06,0(9571078,1

    2 m

    NuC fp

    Finalmente, a fora de atrito por unidade de comprimento :

    m

    NL

    L

    Fp

    p

    184,061007,3 2

    ______________________________________________________________________

    Camada Limite Turbulenta

    A transferncia de calor covectiva na camada limite turbulenta fenomenologicamente

    diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da

    transferncia de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui trs

    subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:

    x

    yturbulenta

    Camada amortecedora

    Sub camada laminar

    A CLT subdividida em:

    - subcamada laminar semelhante ao escoamento laminar ao molecular - camada amortecedora efeitos moleculares ainda so sentidas - turbulento misturas macroscpicas de fluido

    Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exerccio de observar o

    comportamento da velocidade local, o que ilustrado no grfico temporal abaixo.

    t

    u

    u

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    110

    Do grfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantnea, u, flutua

    consideravelmente em torno de um valor mdio, u . Este fato de flutuao da

    velocidade local em conjuno com a flutuao de outras grandezas, embora possa

    parecer irrelevante, o que introduz as maiores dificuldades do perfeito

    equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a

    velocidade instantnea em dois componentes: um valor mdio e outro de flutuao,

    como indicado:

    velocidade na direo paralela: 'uuu

    velocidade na direo transversal: 'vvv

    presso: fluctuacomedio

    tneoinsvalor

    PPP '

    tan

    Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor mdio e um apstrofe,

    valor de flutuao. Os termos de flutuao so responsveis pelo surgimento de foras

    aparentes que so chamadas de tenses aparentes de Reynolds, as quais devem ser

    consideradas na anlise.

    Para se ter uma viso fenomenolgica das tenses aparentes, considere a ilustrao da

    camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se

    desliza sobre a superfcie, no caso turbulento h misturas macroscpicas de pores

    de fluido. No exemplo ilustrado, uma poro de fluido (1) est se movimentando para

    cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna

    (transferncia de calor). Evidentemente, uma porocorrespondente (2) desce para

    ocupar o lugar da outra. Isso o que d origem s flutuaes. Do ponto de vista de

    modelagem matemtica, essas simples movimentaes do fluido dentro da camada

    limite do origem s maiores dificuldades de modelagem.

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    111

    Uma anlise mais detalhada do problema da transferncia de calor turbulenta foge do

    escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais especfica para uma anlise

    mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.

    O primeiro passo escrever as equaes de conservao (massa e quantidade de

    movimento) aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantneos pelos termos

    correspondentes de mdia e flutuao, isto , 'uuu , 'vvv e 'PPP . Em

    seguida, realiza-se uma integral sobre um perodo de tempo longo o suficiente, isto ,

    realiza-se uma mdia temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equao diferencial:

    ''

    1uv

    y

    u

    yx

    P

    y

    uv

    x

    uu

    No processo de obteno desta equao, admitiu-se que a mdia temporal das flutuaes

    e suas derivadas so nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a mdia temporal

    do produto das flutuaes (ltimos dois termos direita). Aqui reside grande parte do

    problema da turbulncia que justamente se estabelecer modelos para estimar estes

    valores no desprezveis. Estes termos do origem s chamadas tenses aparentes de

    Reynolds que tm um tratamento parte e no vamos nos preocupar aqui.

    O importante saber que existem dois regimes de transferncia de calor: laminar e

    turbulento. Tambm existe uma regio de transio entre os dois regimes. Expresses

    apropriadas para cada regime em separado e em combinao esto indicadas na tabela

    7.9 do Incropera e Witt.

    Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu 60Pr6,010Re8 x

    Mdio : 318,0 Pr871Re037,0 LLNu 810Re L

    2,0Re37,0 xx

    810Re L

    Nota: outras expresses ver livro-texto ou tabela ao final desta aula.

    As propriedades de transporte so avaliadas temperatura de mistura (mdia

    entre superfcie e ao longe). Reynolds crtico = 5 105

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    ______________________________________________________________________

    Exemplo resolvido (Holman 5-7)

    Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de

    comprimento e mantida a 60C. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.

    Propriedades avaliadas CT

    402

    6020

    Ckg

    kJc p

    007,1

    3128,1

    m

    kg 7,0Pr

    Cm

    Wk

    02723,0

    ms

    kgx 510007,2

    610475,1Re xVL

    L

    2055)871Re037,0(Pr8,03/1 LL

    k

    LhNu

    CmWNuL

    kh L

    2/6,74

    WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(

    ______________________________________________________________________

    Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos

    No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, anlise se torna mais

    complexa. O nmero de Nusselt local, dado em funo do ngulo de incidncia , isto ,

    Nu(), fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.

    A figura ao lado indica o que acontece com o

    nmero local de Nusselt. Para ReD 105, o

    nmero de Nusselt decresce como conseqncia

    do crescimento da camada limite laminar (CLL)

    at cerca de 80o. Aps este ponto, o escoamento

    se descola da superfcie destruindo a CLL e

    gerando um sistema de vrtices e mistura que

    melhora a transferncia de calor (aumento de

    Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transio e

    formao da camada limite turbulenta (CLT). Na

    fase de transio (80o a 100

    o) ocorre a melhora

    da transferncia de calor. Uma vez iniciada a

    CLT, novamente se verifica a diminuio do

    coeficiente local de transferncia de calor devido

    ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,

    descolar o escoamento da superfcie que destri

    a CLT para, ento, gerar o sistema de vrtices e

    mistura que volta a melhorar a transferncia de

    calor. No caso turbulento h, portanto, dois

    mnimos.

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    113

    Embora do ponto de vista de melhoria da transferncia de calor possa ser importante

    analisar os efeitos locais do nmero de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de

    outros usurios mais proveitoso que se tenha uma expresso para a transferncia de

    calor mdia. Assim, uma expresso bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da

    correlao emprica de Hilpert, dada por:

    3

    1

    PrRemDD Ck

    DhNu

    onde, D o dimetro do tubo. As constantes C e m so dadas na tabela abaixo como

    funo do nmero de Reynolds.

    ReD C m

    0,4 4 0,989 0,330

    4 40 0,911 0,385

    40 4.000 0,683 0,466

    4.000 40000 0,193 0,618

    40.000 400.000 0,027 0,805

    No caso de escoamento cruzado de um gs sobre outras sees transversais, a mesma

    expressso de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na

    prxima tabela (Jakob, 1949).

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    114

    Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expresso

    mais atual bastante usada devida a Zhukauskas, dada por

    4/1

    Pr

    PrPrRe

    s

    nm

    DD CNu vlida para

    610Re1

    500Pr7,0

    D

    ,

    onde as constantes C e m so obtidas da tabela abaixo. Todas s propriedades so

    avaliadas T, exceto Prs que avaliado na temperatura de superfcie (parede). Se Pr

    10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.

    ReD C m 1 40 0,75 0,4

    40 1.000 0,51 0,5

    1.000 2105 0,26 0,6

    2105 10

    6 0,076 0,7

    ____________________________________________________________

    Escoamento sobre Banco de Tubos

    Escoamento cruzado sobre um banco de tubos muito comum em trocadores de calor.

    Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula

    internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos tpicos. O primeiro

    chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicncio.

    Arranjos em linha ou quicncio

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    Existem vrias expresses prticas para a transferncia de calor sobre banco de tubos.

    Para o ar, pode se usar a expresso de Grimison, que tambm pode ser modificada para

    outros fluidos, como discutido em Incropera (Seo 7.6). Mais recentemente,

    Zhukauskas apresentou a seguinte expresso:

    4/1

    36,0

    max,Pr

    PrPrRe

    s

    m

    DD CNu

    vlida para

    6

    max, 10.2Re1000

    500Pr7,0

    20

    D

    LN

    onde, NL o nmero de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que

    avaliada temperatura da superfcie dos tubos) so avaliadas temperatura mdia entre

    a entrada e a sada do fluido e as constantes C e m esto listadas na tabela abaixo.

    Configurao ReD,max C m

    Alinhada 10-102 0,80 0,40

    Em quicncio 10-102 0,90 0,40

    Alinhada

    Em quicncio

    102-10

    3 Aproximado como um nico

    102-10

    3 cilndro (isolado)

    Alinhada

    (ST/SL>0,7)a

    103-210

    5 0,27 0,63

    Em quicncio

    (ST/SL2) 10

    3-210

    5 0,40 0,60

    Alinhada 2x105-210

    6 0,021 0,84

    Em quicncio 2x105-210

    6 0,022 0,84

    a Para ST/SL>0,7 a transferncia de calor ineficiente, e tubos alinhados no deveriam ser utilizados.

    Se o nmero de fileiras de tubos for inferior a 20, isto , NL < 20, ento deve-se corrigir

    a expresso acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme

    expresso abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.

    202

    20

    LL ND

    ND NuCNu

    Tabela com o fator de correo C2 para NL103)

    NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16

    Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

    Em quicncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

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    116

    O nmero de Reynolds ReD,max calculado para a velocidade mxima do fluido que

    percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade mxima ocorre em

    VDS

    SV

    T

    T

    max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em

    quicncio ou desalinhado, a velocidade mxima pode ocorrer em duas regies,

    conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrer na seo A2 se a seguinte condio

    for satisfeita )()(2 DSDS TD que, aps uma anlise trigonomtrica simples, se

    obtm a seguinte condio equivalente 22

    212

    2 DSSSS TTLD

    . Se isso

    acontecer, ento: VDS

    SV

    D

    T

    )(2max

    . Caso essa condio no seja satisfeita, ento, a

    velocidade mxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS

    SV

    T

    T

    max .

    Tabelas- resumo com as equaes (Incropera & Witt)

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    117

    ______________________________________________________________________

    Exerccio de Aplicao

    Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30C.

    Neste escoamento de ar colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de

    25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa de 60C.

    Posteriormente, a placa enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro

    sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais

    condies so mantidas. Pede-se:

    (a) Em qual caso a troca de calor maior.

    (b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.

    (c) Analisar se sempre h maior troca de calor numa dada configurao do que na

    outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua

    resposta atravs de um memorial de clculo.

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    118

    Soluo

    Propriedades do ar CTT

    Tp

    452

    = 1,68 x 10-5

    m2/s

    k = 2,69 x 10-2

    W/mK

    Pr = 0,706

    Placa

    L=0,25m

    CTp 60

    smu /4

    CT 30

    critL xLu

    Re1095,51068,1

    25,04Re 4

    5

    5105

    2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1

    xNu LL

    Assim CmWL

    kNuhL

    2/56,15

    25,0

    02697,02,144

    Cilindro

    D

    CTs 60 Tu ,

    D = L D = 0,25/ = 0,0796 m

    Assim, 45

    10895,11068,1

    0796,04Re

    D

    Usando a expresso de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)

    3/1PrRemDD CNu p/ReD=1,89510

    4 C = 0,193

    m = 0,618

    Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu

    de forma que: KmWD

    kNuh

    DD

    2/63,250796,0

    02697,063,75

    a) A transferncia de calor maior no caso do cilindro pois LD hh e a rea de troca de

    calor a mesma.

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    119

    ]b)

    Placa

    WQ

    TTAhQ

    placa

    ppplaca

    7,116

    3025,056,15

    )(

    Cilindro

    WQ

    TTAhQ

    cil

    pccil

    2,192

    3025,063,25

    )(

    c) Poro laminar 5, 105Re Lcrit

    Note que 51059,1Re/ReRe DLD sendo equivalente ao crtico.

    3/12/1 PrRe664,0

    LL

    L

    kh

    (A)

    m

    D

    m

    DD CL

    kC

    D

    kh Re

    PrRePr

    3/13/1 (B)

    Portanto de (A), 2/1

    3/1

    Re664,0

    Pr

    L

    Lh

    L

    k , que, pode ser subst. em (B), para obter

    Lm

    D

    D

    Lm

    DD hC

    hCh 5,0

    2/1Re669,2

    Re664,0

    Re

    Ou 5,0Re669,2 mDL

    DC

    h

    h para o caso laminar na placa

    Poro laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105

    3/18,0 Pr)871Re037,0( LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)

    De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( LL

    k

    Lh e

    871Re037,0

    Pr8,0

    3/1

    L

    Lh

    L

    k (C)

    sub. em (B), vem 871Re037,0

    Re8,0

    L

    Lm

    DD

    hCh

    Subs. ReL = ReD, vem: 871Re037,0

    Re8,0

    L

    m

    D

    L

    D C

    h

    h

    Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa

    871Re037,0

    Re8,0

    L

    m

    D

    L

    D C

    h

    h

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    120

    Os diversos valores de C e m da expresso de Hilpert foram substitudos nas expresses

    das razes entre os coeficientes de transferncia de calor e aparecem na tabela abaixo e,

    em forma grfica. Evidentemente, a transferncia de calor ser sempre maior no caso do

    cilindro (na faixa de validade das expresses)

    ReD C m hD/hL regime

    4 0,898 0,33 2,09 laminar

    40 0,911 0,385 1,59

    4000 0,683 0,466 1,38

    40000 0,193 0,618 1,8

    159000 0,027 0,805 2,78

    200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb

    400000 0,027 0,805 1,43

    L

    D

    h

    h

    0,00

    0,50

    1,00

    1,50

    2,00

    2,50

    3,00

    1 10 100 1000 10000 100000 1000000

    ReD