Aulas Práticas 07-08

GUIÃO PARA ACOMPANHAMENTO DAS AULAS

TEÓRICO-PRÁTICAS DA DISCIPLINA DE

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Elaborado por: Ana Bela Magalhães, Graça Marcos, Vítor Cardoso e com a

colaboração de Marisa Oliveira.

Departamento de Matemática, ISEP.

Descrição: Este guião destina-se ao acompanhamento das aulas teórico-práticas da

disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica do curso de Engenharia Mecânica.

Contém, para cada aula, um conjunto de exercícios resolvidos passo a passo, um

conjunto de exercícios propostos que serão resolvidos nas aulas teórico-práticas e um

conjunto de exercícios suplementares para consolidação das matérias expostas nas

aulas teóricas. Todos os exercícios vêm acompanhados da respectiva solução.

Conteúdo: 1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.................................................... 12ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da

condensação.......................................................................................................................... 53ª aula: Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem. Teorema de Laplace.......................... 94ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo de determinantes....................................... 115ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da

condensação.......................................................................................................................... 176ª aula: Sistemas de Cramer: definição. Resolução por igualdades de Cramer e por

igualdade matricial. Sistemas homogéneos........................................................................... 217ª aula: Discussão de sistemas............................................................................................. 248ª aula: Espaços vectoriais. Subespaços vectoriais.............................................................. 29

9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.......... 32

10ª aula: Bases e dimensão de um espaço vectorial.................................................... 36

11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos................... 3912ª aula: Intersecções e posições relativas........................................................................... 44

1ª aula: Operações com matrizes. Inversa de uma matriz.

ABM, MGM, VCC

1

I – Exercícios Resolvidos

1. Seja [ ]1 2 3 2 A = − ,

1 31 22 11 1

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

e [ ]2 5 C = . Calcule:

a) CBA 3+×

b) TT AB × Resolução:

a) Verificar se é possível efectuar o produto: 41: ×A , 24: ×B . Logo o produto é possível e ( ) 21: ×× BA .

[ ]

1 31 2

1 2 3 2 2 11 1

A B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥× = − × =⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 9 0 ⎡ ⎤= × + − × + × − + × − × + − × + × + × − = −⎣ ⎦

[ ] [ ] 15 6 5 2 33 ==C

Então [ ] [ ] [ ]3 9 0 6 15 3 15 A B C× + = − + = − .

b) 1º método:

1 1 2 13 2 1 1

TB− −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e

1232

TA

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Como 42: ×TB , 14: ×TA tem-se ( ) 12: ×× TT AB

11 1 2 1 2 9

3 2 1 1 3 0

2

T TB A

⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥× = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2º método:

( ) [ ] 9 9 0

0T TT TB A A B

−⎡ ⎤× = × = − = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

2. Calcule a matriz inversa da matriz 3 6

1 4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, recorrendo à definição de inversa de uma matriz.

Resolução:


ABM, MGM, VCC

2

Definição: IAA =× −1 .

3 6 1 2 33 6 1 0 3 6 3 6 1 0 3 6 0 1

1 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 6

4 1 1 2

a c aa b a c b d b d bc d a c b d a c c

b d d

+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪+ + + = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪× = ⇔ = ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + = = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

.

Logo 13 6 2 3 1

1 4 1 6 1 2

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

3. Seja 1 1

3 2

A⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Calcule 2A .

b) Resolva em ordem a X , matriz regular, a seguinte equação matricial: ( ) 12 1TA A X A− −= .

Resolução:

a) 2 1 1 1 1 4 3 3 2 3 2 9 7

A A A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= × = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

b) Como 1 0A = − ≠ , então A é regular e, assim, existe 1A− . Note-se que se A é regular, então 2A e TA

são também regulares e, logo existe ( ) 12A−

e ( ) 1TA−

.

( ) 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2T T T TA A X A A X A A A X A A A A A X I A A− − − − − − − − − −= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 1T T T T T TA X A A A X A A IX A A X A A− − − −− − − −⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

( )11 1

T TX A A X A A−− −⎡ ⎤⇔ = ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Calcular 1−A (ver exercício anterior): 1 2 13 1

A− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Fica então: 2 1 1 3 1 4

3 1 1 2 2 7

X− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.


ABM, MGM, VCC

3

II – Exercícios Propostos

1. Seja 2 1 10 1 3

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦,

3 11 1 0 2

B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e 3 12 1

C−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Determine a matriz ICBAM 32 +−×= .

b) Determine a matriz X tal que ICX =× .

2. Seja 1 2

3 2

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ e

2 1

1 1B

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

. Determine a matriz X tal que 14 −×=× AXB .

3. Sendo A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem, em que condições se verifica a igualdade

( ) 222 2 BABABA ++=+ ?

4. Sendo A e B matrizes regulares, resolva a equação ( ) ( ) 1 1T

TA X AB A− −⎡ ⎤ + =⎢ ⎥⎣ ⎦

.

5. Sejam U e V duas matrizes de ordem n simétricas. Prove que UV é simétrica se U e V são

permutáveis e vice-versa.

Soluções:

1. a) 4 5

5 4

M⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ b)

1 5 1 52 5 3 5

X⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 2.

5 3

8 4X

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

3. A e B matrizes permutáveis.

4. ( ) ( )2 1T TX A B−= −

III – Exercícios Suplementares

1. Sendo B e X matrizes regulares, resolva a seguinte equação matricial: 2 14 2B BX O−+ = .

2. Sendo A , B e X matrizes regulares, resolva a seguinte equação matricial: BAAX T =− .

3. Sendo X uma matriz simétrica, resolva a seguinte equação matricial: ( )TTXAB B CX I+ = .

4. Mostre que sendo A e B matrizes regulares tais que CAB = então ICBA =−− 11 .


ABM, MGM, VCC

4

5. Mostre que sendo A e B matrizes tais que AAB = e BBA = então AA =2 .

6. Resolva a seguinte equação matricial: ( ) IBBAX TT =−− .

7. Resolva a seguinte equação matricial: ( )( ) IBABXA T =+ −1 .

Soluções:

1. 112

X B−= −

2. ( )1 T TX I A B−= +

3. ( ) 11 TX B A C−−= +

6. ( )1 T TX B A B−= + +

7. ( ) 1 1TX A AB B A− −= −

2ª aula: Cálculo da característica e da matriz inversa, utilizando o método da condensação.

ABM, MGM, VCC

5


1. Calcule a característica da matriz A , sendo

1 2 0 32 3 1 21 1 1 01 0 2 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Resolução: Para o cálculo da característica de uma matriz pelo método da condensação, anulam-se todos os elementos

que estão acima ou abaixo da diagonal.

22

2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 32 3 1 2 0 1 1 4 0 1 1 4

1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 0 11 0 2 1 0 2 2 2 0 0 0 6L L L L L LL L L L L LL L L

← − ← −← − ← −← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Sempre que aparecer um zero na diagonal, deve tirar-se. Desta forma:

63 4 4 4 3

1 2 0 3 1 2 3 0 1 2 3 00 1 1 4 0 1 4 1 0 1 4 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0C C L L L↔ ← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

A maior sub-matriz triangular, sem zeros na diagonal, é a matriz de 3ª ordem

1 2 30 1 4 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Logo

( ) 3C A = , que é a ordem da sub-matriz.

2. Sendo

11 1 1 1 1

a bM

b

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, calcule a e ℜ∈b de modo que ( ) 2=MC .

Resolução:

2 2 11 2 2 33 3 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1L L LL L C CL L L

a ba b a b b a

b b b b← −↔ ↔← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Para que ( ) 2C M = temos de fazer 1 0 1 0 1 1b a b a− = ∧ − ≠ ⇔ = ∧ ≠


ABM, MGM, VCC

6

3. Calcule a inversa da matriz B , sendo

0 0 22 1 1 1 1 1

B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

Resolução: Só se pode operar com linhas.

23 1 2 2 1

0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 12 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0L L L L L↔ ← −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

1 321 1 2 3

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0L L L L L← + ←

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

2 2 3

1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 0L L L← +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

Então, 10 1 1

1 2 1 2 1 2 0 0

B−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


1. Sendo

2 1 10 2 1 3 0 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

calcule 1−A .

2. Considere a seguinte matriz:

1 1 21 1 1 1

A ab

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Determine os valores de ℜ∈ba, , para os quais a matriz é regular.

b) Sem efectuar cálculos, e para os valores encontrados, indique, justificando, qual a característica de

A .

c) Para 1a = e 0b = calcule, por condensação, 2−A .


ABM, MGM, VCC

7

3. Calcule a característica das matrizes:

a)

2 1 3 4 3 21 2 0 5 2 1

1 0 3 2 1 11 3 3 5 3 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

b)

1 0 22 1 1

1 2 01 1 0

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Soluções:

1. 12 1 3

1 3 1 2 5

6 3 4A−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

2. a) { } { }\ 2 \ 1a b∈ℜ ∧ ∈ℜ b) ( ) 3C A = c) 22 1 21 2 1 1 0 2

A−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3. a) ( ) 3C A = b) ( ) 3C B =

III – Exercícios Suplementares 1. Calcule a característica das seguintes matrizes:

a)

1 3 1 32 8 3 4 3 3 8 16

A⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

b)

3 2 1 42 2 1 2 5 4 2 6

B⎡ ⎤⎢ ⎥= − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

c)

2 1 3 34 3 8 4 6 18 3 16

C⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

d)

2 3 15 6 3

3 3 21 0 1

D

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

2. Considere as matrizes:

1 0 11 12 4

k kA k k k

k k

+⎡ ⎤⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e

1 0 22 1 11 2 01 1 0

B

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Discuta a característica da matriz A , em função da variação do parâmetro k .

b) Para 0=k , determine a matriz M , tal que: ( ) ( ) IMBABAM =××=×× .

c) Resolva a equação matricial em ordem a X : ( ) ( ) T TTE X I I ECD⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ .


ABM, MGM, VCC

8

3. Considere a matriz 1

2 1

pD

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Calcule a matriz C , permutável com D e cujos elementos da 1ª linha são todos iguais a 1.

b) Faça 1=p e calcule 1−D .

c) Com base nos resultados anteriores, diga justificando se, para 1=p , o sistema cuja matriz dos

coeficientes das incógnitas é D , seria possível.

4. Seja

0 1 1 0 1

1 0

aA

a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

com ℜ∈a .

a) Determine o valor do parâmetro a de modo que A seja regular.

b) Suponha 2=a .

i) Sem efectuar cálculos, indique a característica de A71

. Justifique.

ii) Resolva a equação matricial: ( )[ ] BAIBXA TT=+

−−−

111 .

5. Seja 1

1p

Aq−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

com ℜ∈qp, .

a) Determine os valores de p e de q de modo que A seja singular.

b) Supondo 0== qp , resolva a equação matricial: ( ) 1232 −−=+ AAIAB TT .

Soluções:

1. a) ( ) 3C A = b) ( ) 2C B = c) ( ) 3C C = d) ( ) 2C D =

2. a) ( ) 3,C A k= ∀ ∈ℜ b)

4 2 1 23 2 0 3 1 1 2

M− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

c) 1X CD E I−= − +

3. a) 1 1

2 1

Cp

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, { }\ 0p∈ℜ b) 1 1 12 1

D− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

c) Sim.

4. a) { }\ 0a∈ℜ b) i) 1 37

C A⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ii) ( )( ) 1 TT TX A B A I B−= −

5. a) 1qp

= − , { }\ 0p∈ℜ b) 3 2

2 3

B−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦

3ª aula: Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem. Teorema de Laplace.

ABM, MGM, VCC

9


1. Calcule o valor dos seguintes determinantes:

a) 2 1

3 -5

Δ = b)

3 1 2 1 1 0 2 4 1

−Δ = −

Resolução: a) Determinante de 2ª ordem. Regra prática.

( )2 1

2 5 3 1 133 5

Δ = = × − − × = −−

.

b) Determinante de 3ª ordem. Regra de Sarrus.

( ) ( ) ( ) ( ) 3 -1 2 1 -1 0 3 1 1 1 4 2 2 1 0 1 1 1 3 4 0 2 1 2 10 2 4 1

3 -1 2 1 -1 0

Δ = = × − × + × × + × − × − × − × − × × − × − × =

2. Calcule, aplicando o teorema de Laplace, o valor do seguinte determinante:

1 2 1 02 3 1 1

1 1 4 21 1 1 0

−−

Δ =−

−

.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Laplace à 4ª coluna vem: ( )14 24 34 440 1 2 0A A A AΔ = × + − × + × + × .

Cálculo dos complementos algébricos ijA e dos menores complementares ijM :

( )2 424 24 241A M M+= − = sendo 24

1 2 11 1 4 111 1 1

M−

= − = −−

(ver exercício 1.b))

( )3 434 34 341A M M+= − = − sendo 34

1 2 12 3 1 111 1 1

M−

= = −−

(ver exercício 1.b))

Assim, 11 2 11 33Δ = + × = .

3ª aula: Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordem. Teorema de Laplace.

ABM, MGM, VCC

10


1. Calcule os valores dos seguintes determinantes:

a) 2 3

4 5

− b)

2 13 2

2

ii

i i

−

− (onde i é a unidade imaginária)

2. Seja o determinante

1 1 2 30 3 2 02 1 3 04 2 1 1

−−−− −

. Calcule o determinante, aplicando o teorema de Laplace:

a) à 2ª linha;

b) à 4ª coluna.

3. Calcule o valor do determinante

5 0 1 32 3 1 14 1 2 13 3 1 1

−

− −−

aplicando o teorema de Laplace.

Soluções:

1. a) 22 b) 7 7i− +

2. a) 105 b) 105

3. 33


1. Considere a matriz

3

2

32

nx nz ny n x

A x y y n x

ny nx ny nx n x

⎡ ⎤+⎢ ⎥

= +⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

a) Identifique, na matriz, os elementos 12a e 21a .

b) Indique o menor complementar e o complemento algébrico do elemento 32a de A .

Soluções:

1. a) 12a ny= e 21a x y= + b) 3

32 2

nx nz n xM

x y n x

+=

+ e ( )3 2

32 321A M+= − .

4ª aula: Aplicação das propriedades ao cálculo dos determinantes.

ABM, MGM, VCC

11


1. Considere o seguinte determinante

1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6

.

a) Sem calcular o valor do determinante, represente um determinante de 3ª ordem de valor igual ao

determinante dado.

b) Calcule o valor do determinante, aplicando apenas propriedades.

Resolução: a) Se aplicarmos o Teorema de Laplace a qualquer uma das filas do determinante dado, obtém-se sempre

uma soma de vários determinantes e não um único como é pretendido. Então, vamos aplicar as propriedades

dos determinantes de forma a obtermos uma fila com apenas um elemento não nulo.

Aplicando a 8ª propriedade:

( )1 1

2 2 14 14

1 2 3 4 1 2 3 45 5 5 5 5 5

1 7 8 9 0 5 5 5 1 1 3 2 4 3 2 4

0 3 2 4 0 3 2 44 8 2 4 8 2

1 6 11 6 0 4 8 2L L LL LL

+

← −← −

= = × − =

Então

5 5 5 3 2 4 4 8 2

é um determinante de 3ª ordem de valor igual ao determinante dado.

b) Vamos anular todos os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal, para depois utilizando

a 9ª propriedade fazermos o produto dos elementos da diagonal principal, obtendo o valor pretendido.

Anulando coluna a coluna, começamos da esquerda para a direita e nunca passamos à coluna seguinte sem

anularmos todos os elementos da coluna anterior. O elemento redutor é sempre o elemento da coluna que

estamos a trabalhar e que se encontra na diagonal principal.

Na 1ª coluna o elemento redutor é 1.

2 2 14 4 1

1 2 3 4 1 2 3 41 7 8 9 0 5 5 5

0 3 2 4 0 3 2 41 6 11 6 0 4 8 2L L L

L L L← −← −

= =

O elemento redutor é agora 5. Para reduzir a zero os elementos 32a e 42a teríamos de trabalhar com

números fraccionários. Para evitar isso, dividimos a 2ª linha por 5. Dividindo também a 4ª linha por 2 vem:


ABM, MGM, VCC

12

32

3 3 24 4 2

1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1

5 2 10 0 3 2 4 0 0 1 10 2 4 1 0 0 2 1L L L

L L L← − ×← − ×

= × × = × =−

−

Na 3ª coluna o elemento redutor é -1. Fica então:

24 4 3

1 2 3 4 1 2 3 40 1 1 1 0 1 1 1

10 10 0 0 1 1 0 0 1 10 0 2 1 0 0 0 1L L L← + ×

= × = × =− −

−

Utilizando agora a 9ª propriedade (o determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é igual ao

produto dos elementos da diagonal principal) fica:

( )10 1 1 1 1 10= × × × − × = − .

2. Mostre utilizando apenas propriedades, que é nulo o seguinte determinante

1 5 4 2 12 1 3 5 14 9 11 1 30 2 1 0 01 1 1 1 1

−−

− −

− − −

.

Resolução: Aplicando a 8ª propriedade vem:

22 2 1

1 5 4 2 1 1 5 4 2 12 1 3 5 1 4 9 11 1 3

04 9 11 1 3 4 9 11 1 30 2 1 0 0 0 2 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1L L L← + ×

− −− − −

= =− − − −

− − − − − −

, porque o determinante tem duas

linhas iguais.

3. Resolva a seguinte equação:

1 1 1 1 0

1 1

bb

b= .

Resolução:

Pela regra de Sarrus obtemos 31 1

1 1 0 3 2 01 1

bb b b

b= ⇔ − + = , ou seja, temos que determinar as raízes

de um polinómio do 3º grau.


ABM, MGM, VCC

13

Para evitarmos este método, vamos obter uma matriz diagonal para podermos aplicar a 9ª propriedade à

resolução do determinante.

( )

1 1 2 1 1 3

1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1C C C C C C

b b b b b bb b b b b b

b b b← + ← +

+ += = + = + =

+ +

Vamos agora anular abaixo da diagonal:

( ) ( ) ( )2 2 1 3 23 3 1

1 1 1 1 1 12 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1

1 1 1 0 1 0 0 0 1L L L C CL L L

b b bb b b b b b b b

b b← − ↔← −

= + = + − − = − + − − =− −

( )( )( )2 1 1b b b= − + − −

A equação a resolver é então:

( )( )( )2 1 1 0 2 1b b b b b− + − − = ⇔ = − ∨ = (raiz dupla).


1. Seja

5 0 1 32 3 1 1

4 1 2 13 3 1 1

−

Δ =− −

−

.

a) Sem calcular o valor do determinante represente:

a1) um determinante de 5ª ordem sem elementos nulos e de valor igual a −Δ ;

a2) um determinante de 3ª ordem, cujos elementos da 2ª linha sejam todos iguais a 1 e de valor igual

a 2Δ ;

b) Calcule o valor do determinante aplicando propriedades.

2. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:

a) 1 a b cc a bb a c

Δ = b) 2

a b c da b c da b c da b c d

− − −Δ =

− −−

3. Decomponha o determinante seguinte num produto de factores lineares: 2

1 32 4

2

x xx x

x x x

+.


ABM, MGM, VCC

14

4. Resolva a equação: 1

02 13 2 1

x x x xx x x

x xx

= .

5. Resolva a seguinte equação:

1 1 12 1 0

6 1 11

x xx x x

x

+ − − −+ − + =− −

.

Soluções:

1. a) Por exemplo a1)

1 2 4 2 25 5 5 1 32 2 5 1 14 4 3 2 13 3 6 1 1

−

−−

a2)

2 3 221 1 1 6 6 16

−

− b) 33

2. a) ( )( )( )a b c a b c b+ + − − b) 8abcd−

3. ( )( )( )1 2 2x x x x− − +

4. 0 1x x= ∨ = (raiz tripla)

5. 5 3 1x x x= ∨ = − ∨ = −


1. Sabendo que 3 0 2 11 1 1

x y z= calcule o valor de:

a) 3 3 3 3 2 1 1 1

x y zx y zx y z+ ++ + +

b)

1 1 14 1 3 1 1 1

x y z− − −

2. Decomponha os determinantes seguintes num produto de factores lineares:

a)

2

a a aa b b aa c b a++

b)

1 1 12 1

6 1 11

x xx x x

x

+ − − −+ − +− −

c)

1 21 2

1 2

2 1

x yx y

x yy x


ABM, MGM, VCC

15

3. Com base no determinante A dado e sem o resolver, encontre um outro determinante B , apenas com

elementos inteiros tal que B kA= , com k real, e determine o valor de k .

2 3 1 6 21 2 3 4 1

1 3 4A =

4. Com base no determinante dado e sem o resolver, encontre um outro determinante de 4ª ordem com valor

simétrico do dado e apenas com elementos positivos.

2 3 11 2 4 4 1 2

5. Sem aplicar a regra de Sarrus nem o teorema de Laplace, mostre que:

( )

2 3 2 2

2 8 4 7 1 4 7 2 4 2 8 2 1 2 2 8 3 2 1 9 3 1 9

x x x xx x xx

−− = −−

6. Sem calcular o valor dos determinantes 1Δ e 2Δ , escreva um outro determinante Δ , de modo que

1 2Δ = Δ + Δ .

1

1 2 3 41 7 8 90 3 2 41 6 11 6

Δ = 2

3 4 23 2 4 4 8 2

Δ =

7. Recorrendo apenas às propriedades dos determinantes, demonstre que o valor de Δ é constante.

2

2

2

1 0 2

2 4 4 4

3 5 6 5 1

y

y y

y y

Δ = −

− +

8. Considere

1 2 1 1 4 3

1 2 1

−Δ =

−. Sem calcular Δ , escreva uma matriz A de ordem 4 tal que A tenha um

terço do valor de Δ , com elementos todos negativos e em que os elementos da terceira linha sejam iguais a -

3.


ABM, MGM, VCC

16

9. Mostre, utilizando propriedades, que 0x = é raiz da equação:

0 0 0

0

x a x bx a x cx b x c

− −+ − =+ +

; , ,a b c∈ℜ .

10. Considere o determinante:

1 1 0 11 3 1 2

1 3 2 11 1 4 0

−Δ =

−− −

. Mostre que 1π −Δ < , aplicando o teorema de

Laplace à terceira coluna.

11. Sendo

2 2

2 21

2 2

2

3

4

a a a

b b b

c c c

Δ = e

2 2

2 22

2 2

3 4

4 6

5 8

a a a

b b b

c c c

Δ = , verifique, sem resolver os determinantes,

que 2 12Δ = Δ .

12. Seja A uma matriz ortogonal, isto é, TAA =−1 . Mostre que 1±=A .

Soluções: 1. a) 1 b) 1

2. a) ( )( )a a b c b− − b) ( )( )( )1 3 5x x x+ + − c) ( )( )( )( )3 1 2 2x y x y x+ + − − −

3.

4 1 122 3 4 1 3 4

B = ; 24k =

4. Por exemplo:

1 4 4 41 2 1 3

1 3 3 71 6 2 5

6.

8 9 73 2 4 4 8 2

7. 4Δ =

8. Por exemplo:

4 9 1 3 7 9 2 33 3 5 73 3 3 35 3 5 5

A

− − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥=⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦

10. 6Δ = logo 66

1 1ππ

− = <

5ª aula: Representação matricial de um sistema. Resolução pelo método da condensação.

ABM, MGM, VCC

17


1. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas 1x , 2x e 3x : 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 031

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩

.

a) Represente-o matricialmente.

b) Classifique o sistema.

c) Resolva-o pelo método da condensação.

Resolução:

a) A representação matricial de qualquer sistema corresponde à igualdade: AX B= sendo:

A - matriz dos coeficientes;

X - matriz das incógnitas;

B - matriz dos termos independentes.

Sendo assim, vem:1

2

3

2 1 1 01 1 1 31 1 1 1

xxx

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− × =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

.

b) A classificação do sistema é feita através da comparação das características da matriz dos coeficientes e

da matriz completa do sistema

2 1 1 01 1 1 31 1 1 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

.

Para determinarmos essas características, usamos o já conhecido método da condensação.

Se tivermos o cuidado de não trocar a coluna dos termos independentes para o meio das outras colunas,

podemos determinar em simultâneo a ( )C A e ( )C A .

22 2 11 2 2 33 3 1

2 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 31 1 1 3 2 1 1 0 0 3 1 6 0 1 3 61 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 4 0 0 2 4L L LL L C CL L L

← −↔ ↔← +

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Logo ( ) ( ) 3C A C A= = . Então o sistema é possível e determinado, porque há 3 incógnitas.

c) Se durante a condensação não fizermos operações com colunas, a não ser trocar a ordem, podemos

extrair a matriz condensada de um sistema equivalente ao dado; logo, com as mesmas soluções. Neste caso,

e tendo em conta a alínea b), só foi efectuada a troca da coluna 2 com a coluna 3. Assim sendo, a coluna 2 da

matriz condensada corresponde a 3x e a coluna 3 a 2x .

Extraindo o sistema da matriz condensada, vem:


ABM, MGM, VCC

18

1 3 2 1 3 2 1

3 2 3 2

32 2

3 3 13 6 0 2

02 4 2

x x x x x x xx x x x

xx x

+ − = + − = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪− + = − ⇔ − = ⇔ = −⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪ =− = = − ⎩⎩ ⎩

Solução: ( ){ }1, 2,0− .

2. Considere o seguinte sistema nas incógnitas 1x , 2x , 3x e 4x :

1 2 3 4

1 2 3 4

1 4

2 3 4

02 3

2 33 3

x x x xx x x xx xx x x

− + − =⎧⎪ − + + =⎪⎨− − = −⎪⎪− + − = −⎩

.

a) Classifique o sistema.

b) Resolva-o pelo método da condensação e indique uma solução particular.

Resolução: a) Vamos fazer a condensação, tal como foi explicado no exercício anterior.

22 2 1 3 3 23 3 1 4 4 2

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 02 1 1 1 3 0 1 1 3 3 0 1 1 3 3

1 0 0 2 3 0 1 1 3 3 0 0 0 0 00 1 1 3 3 0 1 1 3 3 0 0 0 0 0L L L L L L

L L L L L L← − ← +← + ← +

− − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

( ) ( ) 2C A C A= = . Logo o sistema é possível e duplamente indeterminado, porque há 4 incógnitas.

b) Incógnitas principais: 1x e 2x .

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 4

2 3 42 3 4 2 3 4 2 3 4

3 33 3 3 3 3 3

4 44 4 4 4 4 4

0 3 3 23 33 3 3 3 3 3

x x x x x x x x x x k k k k x kx k kx x x x k k x k kx kx k x k x kx kx k x k x k

− + − = = − + = + − − + = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + −− + = = + − = + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ == = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ == = = ⎩⎩ ⎩ ⎩

Fazendo 3 0k = e 4 1k = tem-se uma solução particular que é dada por: ( ){ }1,0,0,1 .

II – Exercícios Propostos 1. Usando o método da condensação resolva os sistemas:

a)

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 3

12 0

2 32 3 3

x x x xx x xx x x xx x

+ − + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + − =⎪⎪ + = −⎩

b)

2 3 13 22 3 2 1

2 0

x y zx y zx y z

x y z

+ − =⎧⎪ − − =⎪⎨ − + =⎪⎪ − + =⎩


ABM, MGM, VCC

19

2. Considere o sistema

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 12

42 2 4

x x x xx x x xx x x xx x x x

+ + − =⎧⎪ + + − =⎪⎨ − + + = −⎪⎪ + − + =⎩

.

a) Prove que o sistema não é um sistema de Cramer.

b) Determine a solução geral do sistema usando o método da condensação.

3. Resolva o sistema

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

12 0

2 2 15 1

x x x xx x xx x x x

x x x x

+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨ + + − =⎪⎪ − + − = −⎩

.

Soluções: 1. a) Sistema impossível (SI) b) Sistema possível e determinado (SPD). Solução:

5 3 4, ,11 11 11

⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

2. b) Sistema possível e indeterminado (SPI). Solução: ( ){ }, 3, 1, ;k k k k k− + − ∈ℜ .

3. Sistema possível e duplamente indeterminado (SP2I). Solução: ( ){ }4 3 4 3 4 3 42 ,1 3 , , ; ,k k k k k k k− − ∈ℜ .


1. Considere as matrizes

1 1 20 4 22 2 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e

324

B⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Calcule X tal que AX B= .

2. Considere as matrizes 1 1 22 1 7

X−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

e

112

Y⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. Resolva a equação matricial 0TY X Z− = .

3. Considere o seguinte sistema de equações:

2 32 3 8

5 7

x y zx y zx z

+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪− − = −⎩

.

a) Resolva-o, utilizando o método da condensação.

b) Com base nos cálculos anteriores diga, justificando, se o sistema homogéneo obtido a partir do

sistema dado, por substituição dos termos independentes, admite como única solução a solução nula.


ABM, MGM, VCC

20

Soluções:

1. SPI – Solução: 5 3 1, , ;

2 2k k k k⎧ ⎫− −⎛ ⎞ ∈ℜ⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭.

2. 10

Z⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

3. a) SPI – Solução: ( ){ }7 5 , 2 3 , ;k k k k− − + ∈ℜ . b) Não. Solução: ( ){ }5 ,3 , ;k k k k− ∈ℜ .

6ª aula: Sistemas de Cramer: definição. Resolução por igualdades de Cramer e por igualdade matricial. Sistemas homogéneos.

ABM, MGM, VCC

21


1. Considere o sistema 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 031

x x xx x x

x x x

+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪− − − =⎩

.

a) Prove que é um sistema de Cramer.

b) Resolva-o por igualdade matricial.

c) Confirme o valor de 3x , aplicando igualdades de Cramer.

Resolução: a) Para que um sistema seja de Cramer, tem de satisfazer duas condições:

• nº de equações = nº de incógnitas – Verifica-se.

• 0A ≠ - Neste caso temos

2 1 11 1 1 2 01 1 1

A = − = ≠− − −

b) Da igualdade matricial AX B= , obtém-se 1X A B−= , pois existe 1A− , uma vez que 0A ≠ .

1º Calcular 1A− . Aplicando o já conhecido método da condensação, obtemos:

11 0 10 1 2 1 2 1 1 2 3 2

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

.

2º Efectuar o produto:

1 0 1 0 10 1 2 1 2 3 21 1 2 3 2 1 0

X⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − × = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

c) As igualdades de Cramer, permitem calcular cada incógnita através de um quociente de dois

determinantes: ,ii

cx iΔ= ∀Δ

em que cΔ é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema e iΔ é o determinante correspondente à

incógnita ix e que é obtido do determinante da matriz dos coeficientes substituindo a coluna da incógnita i

pela coluna dos termos independentes.

Então, neste caso: 33

cx Δ=Δ

, sendo:

3

2 1 01 1 3 01 1 1

Δ = − =− −

e

2 1 11 1 1 21 1 1

cΔ = − =− − −

(já anteriormente calculado). Então 30 02

x = = .


ABM, MGM, VCC

22

2. Considere o seguinte sistema, nas incógnitas x , y e z :

7 2 03 2 04 2 0

x y zx y zx z

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩

.

a) Classifique o sistema, à priori.

b) Indique, sem efectuar cálculos, uma solução do sistema.

c) Resolva-o pelo método da condensação.

Resolução: a) O sistema é um sistema homogéneo; logo, sempre possível. Poderá ser determinado ou indeterminado.

b) Sendo um sistema homogéneo, a solução nula é sempre solução do sistema. Se substituirmos todas as

incógnitas por zero, todas as equações são satisfeitas. Não se sabe ainda se a solução nula é única ou não.

c)

1 2 2 2 1 3 3 2

y x z7 2 1 0 2 7 1 0 2 7 1 0 2 7 1 03 2 1 0 2 3 1 0 0 4 2 0 0 4 2 04 0 2 0 0 4 2 0 0 4 2 0 0 0 0 0C C L L L L L L↔ ← − ← +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Então, ( ) ( )C A C A= , já que se trata de um sistema homogéneo.

( ) ( ) 2C A C A= = , logo sistema possível e simplesmente indeterminado, pois o grau de indeterminação =

nº de incógnitas ( ) 3 2 1C A− = − = . Logo e yx são incógnitas principais e z é a incógnita não principal.

Então ( ),z k k= ∈ :

A solução vem então:

542 7 0

14 2 02

y ky x zx z x k

z k z k

⎧ =⎪+ + =⎧ ⎪

⎪ ⎪− − = ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ =⎪

⎪⎩

.

O sistema apresenta uma infinidade de soluções representadas por: 1 5, , ;2 4

S k k k k⎧ ⎫⎛ ⎞= − ∈ℜ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

.

Tal como se pode verificar, a solução nula é solução do sistema (basta fazer 0k = ); mas neste caso, é uma

das muitas soluções.


ABM, MGM, VCC

23



2 15 4 0

3 2 2

x y zx y zx y z

+ − =⎧⎪− + − =⎨⎪ − + =⎩

.

a) Prove que o sistema é de Cramer.

b) Resolva o sistema, usando as fórmulas de Cramer.


1 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

2 3 4

2 03 2 1

3 2 22 4

x x x xx x xx x x x

x x x

+ + + =⎧⎪ + − =⎪⎨− + + + =⎪⎪ + + =⎩

.

a) Prove que o sistema é de Cramer.

b) Resolva o sistema usando igualdade matricial.


1 2 3

1 2 3

22 1

2 1

x x xx x x

x x x

+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − =⎩

.

a) Classifique o sistema.

b) Mostre que a solução nula é a única do sistema homogéneo associado.

Soluções:

1. b) 1 1 1, ,2 2 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

. 2. b) 9 23 21, ,13,2 2 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

.

3. a) Sistema possível e determinado (de Cramer).



1 2 3

1 2 3

12 1

2

x ax xx x x

ax x x

+ − =⎧⎪− − + = −⎨⎪ + − =⎩

.

a) Que valores deverá tomar o parâmetro a para que o sistema seja de Cramer?

b) Resolva-o, por igualdades de Cramer, para 1a = − .

Soluções:

1. a) { }\ 1,2a∈ℜ b) 1 3,0,2 2

S ⎧ ⎫⎛ ⎞= − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

.

7ª aula: Discussão de sistemas.

ABM, MGM, VCC

24


1. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas x , y e z :

x ay z ax by cz b

x ay az b

− + =⎧⎪ + + = −⎨⎪− + − =⎩

; , ,a b c∈ℜ .

Resolução: 1º : Condensa-se a matriz completa do sistema:

2 2 13 3 1

1 1 1 11 0 1 1 0 0 1L L L

L L L

a a a ab c b b a c b aa a b a b a← −

← +

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼

2º : Para fazer a discussão do sistema deve seguir-se os seguintes passos:

1º Passo: Impõem-se as condições que tornam a ( )C A máxima.

Neste caso o valor máximo que a ( )C A pode tomar é 3.

Para isso temos: ( )0

31 0 1b a b a

C Aa a+ ≠ ≠ −⎧ ⎧

= ⇒ ⇔⎨ ⎨− ≠ ≠⎩ ⎩.

2º Passo: Nas condições definidas no 1º Passo estuda-se a ( )C A .

Neste caso: ( ) ( )3

43

1b a

C A C Aa≠ −⎧

⇒ = ⇒⎨ ≠⎩. Como só existem 3 linhas disponíveis, ( )C A nunca pode

ser 4.

Então, para ( ) ( )1 3,a b a C A C A c≠ ∧ ≠ − ⇒ = = ∀ ∈ℜ .

Logo, o sistema é possível ( características de A e de A iguais ) e determinado (e iguais ao nº de

incógnitas).

3º Passo: Contrariam-se as condições encontradas no 1º Passo.

Neste caso, vem 1a b a= ∨ = − .

4º Passo: Nas condições do 3º Passo estudam-se ( )C A e ( )C A .

i) Vamos fazer 1a = na matriz condensada do sistema. Fica:

1 1 1 10 1 1 10 0 0 1

b c bb

−⎡ ⎤⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

.

• ( ) ( )1 2 3,b C A C A c≠ − ⇒ = ∧ = ∀ ∈ℜ , logo sistema impossível.

• Vamos fazer 1b = − na matriz anterior. Fica:

1 1 1 10 0 1 0 0 0 0 0

c−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.


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25

( ) ( )1 2 2c C A C A≠ ⇒ = ∧ = , logo sistema possível e simplesmente indeterminado.

( ) ( )1 1 1c C A C A= ⇒ = ∧ = , logo sistema possível e duplamente indeterminado.

ii) Vamos fazer b a= − na matriz condensada do sistema. Fica:

1 10 0 1 00 0 1 0

a aca

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦

.

• 1a = então 1b = − , que já foi analisado no ponto anterior.

• Para 1a ≠ , fica:

2 3 2 3

1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 0L L C C

a a a ac aa c

↔ ↔

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

( ) ( )/ 1 12 2 3 3 2

1 1 1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0L L a L L c L

a a a a a aac c

← − ← − −

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ ∼

Então, ( ) ( ) 2,C A C A c= = ∀ ∈ℜ , logo sistema possível e simplesmente indeterminado.

Resumo

1,b a a c≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPD

( ) ( )1 1 1 1,a b c b a a c= ∧ = − ∧ ≠ ∨ = − ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPI

1 1 1a b c= ∧ = − ∧ = 2SP I

1 1,a b c= ∧ ≠ − ∀ ∈ℜ SI

II – Exercícios Propostos 1. Discuta os sistemas:

a) 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 123 4 3

x x axx ax x bx x x

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩

b) 2

1

1

x y az

x by b zx y z b

+ + =⎧⎪

+ + =⎨⎪ + + =⎩

c)

2

2

1

1

x ay a z

x by b zx ay z b

⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + = −⎪⎩

2. Estude as diferentes soluções do seguinte sistema de equações lineares, em função dos parâmetros que

as condicionam: 1x y az ax by bzx y bz b

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

.


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26

3. Considere o seguinte sistema de equações: ( ) ( )( )

2

2 2

2

2 1 1

1

x ay a z a

x a y a a z a a

x ay a b a z b a

⎧ + + =⎪⎪ + − + + + = +⎨⎪⎪− − + + − = − +⎩

.

a) Discuta os diferentes tipos de soluções que pode obter em função da variação dos parâmetros a e b .

b) Determine o valor dos parâmetros a e b , sabendo que a solução do sistema é a seguinte:

( ){ }6, 4,0S = − .

Soluções: 1. a)

2 3,3

a a b≠ − ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPD

2 3 23

a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ =⎜ ⎟⎝ ⎠

SPI

2 3 23

a a b⎛ ⎞= − ∨ = ∧ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

SI

b)

1 1a b≠ ∧ ≠ SPD

1 1b a= ∧ ≠ SPI

1 1a b= ∧ = 2SP I

1 1a b= ∧ ≠ SI

c)

1 1b a a a≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − SPD

( ) ( )1 1 1 1b a a a a b= ∧ ≠ − ∧ ≠ ∨ = ∧ = − SPI

1 1a b= − ∧ = − 2SP I

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1a b a b b a b= = ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − SI

2.

1b b a≠ ∧ ≠ SPD

( ) ( )1 1 1b a b a a= ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ SPI

1 1b a= ∧ = 2SP I


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27

3. a)

1a a b≠ ∧ ≠ − SPD

1 1a b= ∧ = − SPI

( ) ( )1 1 1a b a a b= ∧ ≠ − ∨ ≠ ∧ = − SI

b) 2 1a b= ∧ = −


1. Discuta o sistema nas incógnitas x , y e z sendo , ,a b c parâmetros reais: 2

2x ay az a

x a y z cx ay bz b

+ + =⎧⎪

+ − = −⎨⎪ + − =⎩

.

2. Discuta o seguinte sistema nas incógnitas reais 1x , 2x e 3x : 1 2 3

1 2 32

1 2 3

x ax ax bx bx ax a

x ax a x c

⎧ + − =⎪− + − = −⎨⎪ + + = −⎩

; , ,a b c∈ℜ .

3. Considere o seguinte sistema:

1 2 32

1 2 3

1 2 3

z az az b

z bz a z az az baz c

+ − =⎧⎪− + − = −⎨⎪ + − = −⎩

; , ,a b c∈ℜ .

a) Diga quais os diferentes tipos de soluções em função dos parâmetros reais a , b e c .

b) Considere 1a = , 2b = e 1c = − . Mostre que a solução nula é a única do sistema homogéneo

associado, sem o resolver.

Soluções: 1.

0 1 2 ,a a b a c≠ ∧ ≠ ∧ ≠ − ∀ ∈ℜ SPD

( ) ( ) ( )( ) ( )0, 0 1, 1 1 2 3 1 0a b c a c b a c b b⎡ ⎤= = ∀ ∈ℜ ∨ = ∧ = − ∀ ∈ℜ ∨ = ∧ + + + − =⎣ ⎦ SPI

( ) ( ) ( )0 0 1 2 1, 2 0 1,a b c b a c b a a a c= ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ = ∀ ∈ℜ ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ℜ ∨

( )( ) ( )1 1 2 3 1 0a c b b⎡ ⎤∨ = ∧ + + + − ≠⎣ ⎦ SI

2.

0 1 ,a a a b c≠ ∧ ≠ − ∧ ≠ − ∀ ∈ℜ SPD

( ) ( ) ( )20 0 1 0a b c b a c b a b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = − ∧ = − ∧ = − ∧ ≠ ∧ = − SPI

0a b c= = = 2SP I

( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 1 0a b c a b c b a c b a b b c b= = ∧ ≠ ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ − SI


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3. a)

0 1,a b a b c≠ − ∧ ≠ ∧ ≠ ∀ ∈ℜ SPD

( ) ( ) ( )0 0 1 1 1 0 1a b c b b a c a b b b c b= ∧ ≠ ∧ = − ∨ = ∧ ≠ − ∧ = − ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ = SPI

0a b c= = = 2SP I

( ) ( ) ( )0 0 1 1, 0 1a b c a b c a b b b c b= = ∧ ≠ ∨ = − ∧ = ∀ ∈ℜ ∨ = − ∧ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ ∨

( ) ( )0 0 1 1 1a b c b b a c= ∧ ≠ ∧ ≠ − ∨ = ∧ ≠ − ∧ ≠ − SI

8ª aula: Espaços vectoriais. Subespaços vectoriais.

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29


1. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados, onde as operações de adição e multiplicação escalar são

definidas da seguinte forma:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y+ = + + e ( ) ( )1 1 1, ,0k x y kx=

Verifique se S é um espaço vectorial.

Resolução:

Vamos averiguar se S satisfaz todos os axiomas enunciados, para cada uma das operações.

Sejam ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y S∈ e k∈ .

Axiomas para a adição:

A1) A soma de dois vectores de S ainda pertence a S .

( ) ( ) ( ) Syyxxyxyx ∈++=+ 21212211 ,,, , uma vez que para pertencer a S deve ter duas coordenadas.

A2) Comutatividade.

( ) ( ) ( ) =++=+ 21212211 ,,, yyxxyxyx , pela definição de soma em S

( ) ( ) ( )11221212 ,,, yxyxyyxx +=++= , pela propriedade comutativa da soma de reais

A3) Associatividade.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) =++++=+++=++ 321321332121332211 ,,,,,, yyyxxxyxyyxxyxyxyx , pela definição

de soma em S

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]332211321321 ,,,, yxyxyxyyyxxx ++=++++= , pela propriedade associativa da soma de

reais.

A4) Existência de elemento neutro.

( ) ( ) ( ) ( )111111 ,0,00,0, yxyxyx =++=+ , pela definição de soma em S

A5) Existência de elemento oposto.

( ) ( ) ( ) ( )0,0,,, 11111111 =−−=−−+ yyxxyxyx , pela definição de soma em S

Axiomas para o produto escalar:

M1) A multiplicação escalar deve dar um vector ainda pertencente a S .

( ) ( ) Skxyxk ∈= 0,, 111 , uma vez que é um vector com duas coordenadas.

M2) ( )( ) ( )[ ]11211121 ,, yxkkyxkk = .

( )( ) ( )0,, 1211121 xkkyxkk = , por definição de multiplicação escalar em S

( ) ( )1 2 1 1 1 2 1, ,0k k x y k k x⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ , por definição de multiplicação escalar em S

( )1 2 1,0k k x= , por definição de multiplicação escalar em S

M3) ( )( ) ( ) ( )1121111121 ,,, yxkyxkyxkk +=+ .

( )( ) ( )( ) =+=+ 0,, 1211121 xkkyxkk , por definição de multiplicação escalar em S


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( )0,1211 xkxk += , pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição de nºs reais

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 1 2 1, , ,0 ,0k x y k x y k x k x+ = + = , por definição de multiplicação escalar em S

( )1 1 2 1,0k x k x= + , pela definição de soma em S

M4) ( ) ( )[ ] ( ) ( )22111122111 ,,,, yxkyxkyxyxk +=+ .

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1 2 1 2, , ,k x y x y k x x y y⎡ ⎤+ = + + =⎣ ⎦ , pela definição de soma em S

( )( )1 1 2 ,0k x x= + = , por definição de multiplicação escalar em S

( )0,2111 xkxk += , pela propriedade distributiva da multiplicação de reais

( ) ( ) ( )0,,, 2111221111 xkxkyxkyxk +=+ , pela definição de multiplicação e de soma em S

M5) ( ) ( )2121 ,,1 xxxx = .

( ) ( ) ( )1 2 1 11 , 1 ,0 ,0x x x x= = , por definição de multiplicação escalar em S

Mas ( ) ( )1 1 2,0 ,x x x≠ , logo S não é um espaço vectorial.

2. Verifique se ( ){ }1 2 3 1 2 3 1 2 3, , : 1; , ,U a a a a a a a a a= + + = ∈ é um subespaço vectorial de 3 , com as

operações de adição e multiplicação escalar usuais.

Resolução:

Condições para ser subespaço vectorial de 3 :

1) U está contido em 3 .

Verifica-se, pois U é um conjunto definido por vectores com três coordenadas reais.

2) Se Uu ∈1 e Uu ∈2 então Uuu ∈+ 21

Seja ( ) ( )21213211 1,,,, aaaaaaau −−== e ( ) ( )21213212 1,,,, bbbbbbbu −−== .

Então ( ) ( )( ) Ubbaababauu ∉+−+−++=+ 2121221121 2,, , porque a soma das três coordenadas é

igual a 2 e não igual a 1.

Logo, U não é subespaço vectorial de 3 .

II – Exercícios Propostos 1. Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vectoriais:

a) o conjunto dos polinómios de variável real, de grau menor ou igual a 6, só com potencias pares.

b) o conjunto de todos os pares ordenados, onde a soma e a multiplicação são definidas da seguinte

forma:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, , ,x y x y x y x y+ = + + e ( ) ( )1 1 1 1, ,k x y kx ky=


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2. Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços de 4 :

a) ( ){ }, , , :a a a a a∈

b) ( ){ }, 2 , , : ,a a b a b a b+ ∈

c) ( ){ }1 2 3 4 2 3 1 2 3 4, , , : 2 3 5; , , ,a a a a a a a a a a+ = ∈

Soluções: 1. a) É espaço vectorial;

b) Não é espaço vectorial porque, por exemplo, não se

verifica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2, , , , , , , ,x y x y x y x y x y x y+ = + ∀

2. a) Sim. b) Sim. c) Não.

III – Exercícios Suplementares 1. Mostre que o conjunto dos complexos, com a adição usual de complexos, e a multiplicação por um escalar

é um espaço vectorial.

2. Mostre que n , onde a adição é definida do seguinte modo:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , , , , , , , ,n n n na a a b b b a b a b a b+ =

e a multiplicação escalar definida por:

( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n na a a a a aα α α α=

não é um espaço vectorial.

3. Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços de 3 :

a) ( ){ }, , : 2 3 ; , ,x y z y x x z x y z= − ∧ = − ∈ ;

b) ( ){ }, , : 2 0 0; , ,x y z x y y z x y z+ = ∧ + = ∈ .

4. Seja ( ){ }2 2, , : 0 1; , ,S x y z z x y x y z= = ∧ + ≤ ∈ . Será S um subespaço vectorial de 3 ?

Soluções:

4. Não. Por exemplo, ( ) ( )1,0,0 ; 0,1,0 S∈ , mas ( ) ( ) ( )1,0,0 0,1,0 1,1,0 S+ = ∉ .

9ª aula: Combinação linear. Dependência e independência linear. Conjunto gerador.

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32


1. Escreva, se possível, o vector ( )2,5,4,4 como combinação linear dos vectores ( )3,1, 1,1− , ( )2,4,1,0 e

( )0,1,1,1 .

Resolução:

Fazendo a combinação linear dos três vectores dados e igualando a ( )2,5,4,4 , temos

( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,00,1,4,21,1,1,34,4,5,2 321 ααα ++−=

o que conduz ao seguinte sistema, nas variáveis 321 ,, ααα :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=++−=++

=+

44

54223

31

321

321

21

αααααααα

αα

.

Resolvendo o sistema por condensação, obtemos:

1 0 1 43 2 0 20 1 2 81 4 1 50 0 8 311 1 1 4

91 0 1 4 0 0 08

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∼

Ou seja, ( ) ( )3 4C A C A= ∧ = , logo o sistema é impossível.

Concluímos, então, que não é possível escrever o vector ( )2,5,4,4 como combinação linear dos vectores

dados.

2. Verifique se o conjunto 5 2 6 6 2 1 1 0 1

, , 1 0 0 1 0 0 0 0 0

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

é linearmente independente.

Resolução: Fazendo a combinação linear dos 3 elementos e igualando ao elemento nulo (matriz nula do mesmo tipo)

obtemos:

1 2 35 2 6 6 2 1 1 0 1 0 0 01 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

α α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 2 3

1 2

1 2 3

1 2

5 6 02 2 06 0

0

α α αα αα α αα α

+ + =⎧⎪ + =⎪⎨ + + =⎪⎪ + =⎩

.


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5 6 1 0 1 6 5 02 2 0 0 0 1 1 06 1 1 0 0 0 6 01 1 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ .

Ou seja, ( ) ( ) 3C A C A= = , logo sistema possível e determinado. Como se trata de um sistema homogéneo

a solução do sistema é ( )0,0,0 .

Concluímos, pois, que os vectores são linearmente independentes.

3. Mostre que as matrizes 1 10 1−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

, 0 10 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

e 1 10 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

não geram o espaço das matrizes quadradas de 2ª

ordem. Qual o espaço gerado?

Resolução:

Para serem geradores qualquer matriz quadrada de 2ª ordem, a bc d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, tem que poder ser escrita como

combinação linear dos elementos dados, ou seja,

1 2 31 1 0 1 1 10 1 0 0 0 1

a bc d

α α α−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1 3

1 2 3

1 3

0

ab

dc

α αα α αα α

− + =⎧⎪ + + =⎪⎨− + =⎪⎪ =⎩

.


1 0 1 1 0 11 1 1 0 1 21 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0

a ab a bd d ac c

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼

Para que o sistema seja possível as condições a impor são:

00 0

d a a dc c− = =⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩.

Logo, não são geradores do espaço das matrizes quadradas de 2ª ordem.

O sistema é possível para 0

a dc=⎧

⎨ =⎩. Logo, o conjunto das matrizes dado é gerador de:


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34

: 0; , , ,a b

T a d c a b c dc d

⎧ ⎫⎡ ⎤= = ∧ = ∈⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭, ou seja, ; ,

0d b

T b dd

⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭.


1. Sejam ( )1 1, 1,2u = − e ( )2 2,1,3u = .

a) Prove que 1u e 2u são linearmente independentes.

b) Determine um vector 3u tal que { }1 2 3, ,u u u seja linearmente independente.

c) Determine o espaço gerado por 1u e 2u .

2. Sejam os vectores: ( )1 1,1,1,0u = , ( )2 0,1,1,1u = e ( )3 1,1,0,0u = .

a) Diga se { }1 2 3, ,u u u é linearmente independente.

b) Determine um vector 4u tal que { }1 2 3 4, , ,u u u u seja linearmente independente.

c) Exprima o vector ( )1,2,3,4 como combinação linear de 1u , 2u , 3u e 4u .

Soluções:

1. b) Por exemplo, ( )3 1,0,0u = c) ( ){ }3, , : 5 3A x y z y x z= ∈ = − .

2. a) É linearmente independente. b) Por exemplo, ( )4 1,0,0,0u = c) ( ) 1 2 3 41,2,3,4 4 3u u u u= − + − + .

III – Exercícios Suplementares 1. Mostre que os conjuntos de vectores dados geram os espaços vectoriais a seguir indicados:

a) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,1 , 1,2− gera 2 ;

b) ( ) ( ){ }3 21 , 1 ,1 ,1t t t− − − gera o espaço dos polinómios de grau 3≤ .

2. Considere os vectores ( )1 1, 3,2v = − e ( )2 2, 1,1v = − .

a) Escreva o vector ( )3 1,7, 4v = − como combinação linear de 1v e 2v .

b) Para que valor de k o vector ( )1, ,5k é combinação linear de 1v e 2v ?

3. Mostre que o espaço vectorial 3 não pode ser gerado pelos vectores ( )1,2,1 e ( )3,0, 1− .


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4. Sejam os seguintes vectores de 3 : ( )1, ,k k− , ( )1, 2,2− , ( )5,6, 2k− . Determine k de modo que os

vectores sejam linearmente independentes.

5. Considere os vectores de 3 : ( )1 1,0,0u = , ( )2 2,1,1u = e ( )3 1,1,1u = . Qual o subespaço de 3

gerado por { }1 2 3, ,u u u ?

Soluções:

2. a) ( ) 1 21,7, 4 3 2v v− = − + b) 8k = −

4. 2 3k k≠ − ∧ ≠

5. ( ){ }3, , :A x y z y z= ∈ =

10ª aula: Bases e dimensão de um espaço vectorial.

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36


1. Considere o espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a dois, isto é,

{ }2 : , ,P ax bx c a b c= + + ∈ .

a) Prove que 1 2p x= , 2 1p = e 23 1p x= + formam uma base de P .

b) Escreva o polinómio 1p x= − como combinação linear de 1p , 2p e 3p .

Resolução:

O conjunto { }2 : , ,P ax bx c a b c= + + ∈ pode ser representado como ( ){ }, , : , ,P a b c a b c′ = ∈ .

a) Considerando P′ , temos ( )1 0,2,0p = , ( )2 0,0,1p = e ( )3 1,0,1p = .

As condições para { }1 2 3, ,p p p formarem uma base de P são:

(i) serem linearmente independentes:

( ) ( ) ( ) ( )3 1

1 2 3 1 2

2 3 3

0 00,0,0 0,2,0 0,0,1 1,0,1 2 0 0

0 0

α αα α α α α

α α α

= =⎧ ⎧⎪ ⎪= + + ⇔ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩⎩

Logo o conjunto { }1 2 3, ,p p p é linearmente independente.

(ii) serem geradores de P :

( ) ( ) ( ) ( )3

1 2 3 1

2 3

, , 0, 2,0 0,0,1 1,0,1 2a

a b c bc

αα α α α

α α

=⎧⎪= + + ⇔ =⎨⎪ + =⎩

.

Colocando o sistema na forma matricial, temos:

0 0 1 1 0 02 0 0 0 2 00 1 1 0 0 1

a ab bc c a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ . Como

( ) ( ) 3C A C A= = , o sistema é possível e determinado , ,a b c∀ ∈ .

Logo o conjunto { }1 2 3, ,p p p é gerador de P .

Conclusão: { }1 2 3, ,p p p forma uma base de P .

b) Se { }1 2 3, ,p p p forma uma base de P , então qualquer elemento de P é gerado, ou seja, é combinação

linear de 1p , 2p e 3p .

O polinómio 1p x= − pode ser representado pelo vector ( )0,1, 1− . Então:

( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 2 3 1 1

2 3 2

0 00,1, 1 0,2,0 0,0,1 1,0,1 2 1 1 2

1 1

α αα α α α α

α α α

= =⎧ ⎧⎪ ⎪− = + + ⇔ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = − = −⎩ ⎩

.


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37

Logo: ( ) ( ) ( )( ) ( )10,1, 1 0, 2,0 1 0,0,1 0 1,0,12

− = + − +

2. Seja ( )1 1, 1,2u = − e ( )2 2,1,3u = . Determine um espaço vectorial que tenha 1u e 2u como base, se

possível.

Resolução:

Vamos primeiro verificar se 1u e 2u são linearmente independentes.

( ) ( ) ( )1 2 1

1 2 1 2 2

1 2

2 0 00,0,0 1, 1,2 2,1,3 0 0

2 3 0 0 0

α α αα α α α α

α α

+ = =⎧ ⎧⎪ ⎪= − + ⇔ − + = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩

. Logo o conjunto { }1 2,u u é linearmente

independente.

Vamos agora determinar que sub-conjunto de 3 é gerado pelo conjunto { }1 2,u u .

( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2

1 2

2, , 1, 1,2 2,1,3

2 3

xx y z y

z

α αα α α α

α α

+ =⎧⎪= − + ⇔ − + =⎨⎪ + =⎩

.

Colocando o sistema na forma matricial, temos:

22 2 1 2 33 3 1

1 2 1 21 1 0 3 2 3 0 1 2L L L L LL L L

x xy y xz z x← + ↔← −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

33 3 2

1 2 1 20 1 2 0 1 20 3 0 0 3 5L L L

x xz x z xy x y z x

← +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼ . Então ( ) 2C A = , , ,x y z∀ ∈ .

Se 3 5 0y z x+ − = , então ( ) 2C A = . Logo o sistema possível e determinado.

Se 3 5 0y z x+ − ≠ , então ( ) 3C A = . Logo o sistema é impossível.

Então o espaço gerado por { }1 2,u u é ( ){ }3, , : 5 3S x y z y x z= ∈ = − .

Conclusão: como os vectores 1u e 2u são linearmente independentes e geram S , formam uma base de S .

II – Exercícios Propostos 1. Quais dos seguintes conjuntos são bases para:

1.1 2 ?

a) ( ) ( ){ }1,3 , 1,1

b) ( ) ( ) ( ){ }1,0 , 5, 5 , 1,1− −


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38

1.2 3 ?

a) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 0,5, 2 , 7,0, 2−

b) ( ) ( ) ( ){ }3,1, 2 , 1,0,5 , 6, 2,4− − −

2. Para que valores de k , os vectores dos seguintes conjuntos formam uma base de 3 ?

a) ( ) ( ) ( ){ }1,0, , 0,1,0 , ,0,1k k

b) ( ) ( ) ( ){ }21,0,0 , ,1,0 , , ,1k k k

3. Determine um vector 3v tal que 1v , 2v e 3v formem uma base para 3 , onde ( )1 1,0,2v = e

( )2 0,1,1v = .

Soluções: 1. 1.1 a) É base. b) Não é base. 1.2 a) É base. b) Não é base.

2. a) { }\ 1,1k∈ − b) k∀ ∈

3. Por exemplo, ( )3 0,0,1v = .


1. Mostre que o conjunto de vectores dado por ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0 , 1,1,0,0 , 1,1,1,0 , 1,1,1,1 forma uma base de

4 .

2. Mostre que o vector nulo nunca pode fazer parte de uma base.

3. Determine o espaço para o qual o conjunto ( ) ( ) ( ){ }1, 1, 2,3 , 1,1, 2,0 , 3, 1,6, 6− − − forma uma base.

Soluções:

3. ( ){ }4, , , : 2V x y z u z x= ∈ = .

11ª aula: Produto vectorial e produto escalar. Equações de rectas e de planos.

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39


1. Dados o vectores 3u i j= + e 2 2 2v i j k= + − . Determine:

a) .u v

b) .u u

Resolução:

a) . 3.2 1.2 0.( 2) 8u v = + + − = ;

b) 2 2 2 2. 2 2 ( 2) 12u u u= = + + − = .

2. Dados o vectores 3u i j= + e 2 2 2v i j k= + − . Determine u v×

Resolução:

3 1 02 2 2

i j ku v× =

−. Aplicando o Teorema de Laplace à 1ª linha, obtemos

1 1 1 2 1 31 0 3 0 3 1( 1) ( 1) ( 1) 2 6 4

2 2 2 2 2 2u v i j k i j k+ + +× = − + − + − = − + +

− −

3. Determine a área do paralelogramo determinado pelos vectores 2 3a i j k= + + e 2b i j k= − + +

Resolução:

O módulo do produto vectorial dos vectores a e b é igual à área do paralelogramo determinado por estes

vectores,

2 3 1 5 5 51 1 2

i j ka b i j k× = = − +

− e 2 2 25 ( 5) 5 75a b× = + − + = . Logo a área do paralelogramo é

igual a 75 .

u v×


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40

4. Sejam dados três pontos ( )1,1,1A = , ( )2,0, 1B = − e ( )0,3,1C = . Determine as equações da recta r

que passa em C e é paralela à recta AB .

Resolução:

Se a recta r é paralela à recta AB , então o vector director de r , r , é um vector colinear a AB . Em

particular, r AB= .

( ) ( ) ( )2,0, 1 1,1,1 1, 1, 2AB B A= − = − − = − −

Então, as equações cartesianas da recta r serão, dado o vector director ( )1, 1, 2r = − − e o ponto

( )0,3,1C = :

0 3 1 131 1 2 2

x y z zx y− − − −= = ⇔ = − =

− −.

5. Seja a recta s definida pelas seguintes equações: 1 4 2 1

2 3x y z− −

= ∧ = − .

a) Verifique se o ponto ( )1,2, 1P = − pertence à recta s .

b) Escreva as equações paramétricas da recta dada.

Resolução:

a) Se P s∈ , então P satisfaz as equações da recta.

Temos então:1 1 4 2 2 1 1 0 0 1 1

2 3− − ×

= ∧ − = − ⇔ = ∧ − = − , ou seja, são ambas proposições verdadeiras.

Logo, o ponto P pertence à recta s .

b) Temos: 11 33 3 8 41 4 2 1 , .4

12 3 1

xx y yx y z xz z

−⎧− = − =⎧− − ⎪= ∧ = − ⇔ ⇔ ∈⎨ ⎨= −⎩ ⎪ = −⎩

Seja ( ) 3, ,Q x y z ∈ um ponto genérico de s . Então:

( ) 11 3 11 3, , , , 1 0, , 1 1, ,04 4 4k

xx y z x x∈

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Portanto, as equações paramétricas de da recta s são: 11 3 ;

41

x kky k

z

=⎧⎪ −⎪ = ∈⎨⎪

= −⎪⎩

.


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41

6. Escreva a equação cartesiana do plano definido pelos pontos A , B e C do exercício 1. Verifique se o

ponto ( )1,2,3D = pertence ao plano definido.

Resolução:

Tomemos os vectores directores do plano ABC : ( )1, 1, 2AB = − − e ( )1,2,0AC = − .

Resolvendo o determinante

1 1 11 1 2 01 2 0

x y z− − −− − =

−, obtemos a equação cartesiana do plano ABC :

4 2 7 0x y z+ + − = .

Se D ABC∈ , então D satisfaz a equação do plano. Mas 4 1 2 2 3 7 0, ou seja, 4 0× + × + − = = , o que é

uma proposição falsa.

Logo o ponto D não pertence ao plano ABC .

II – Exercícios Propostos 1. Para que valores de k podemos afirmar que e são ortogonais?

a) , ; b) , .

2. Dados os vectores , , determine o produto escalar dos dois vectores. Os

dois vectores são perpendiculares? Justifique.

3. Para os seguintes vectores , e , calcule .

4. Dados os pontos ( )3,6, 7A = − , ( )5,2,3B = − , ( )4, 7, 6C = − − e ( )3,1,4D = , escreva as equações

paramétricas e cartesianas das rectas AB e CD . O ponto ( )1,2, 1E = − pertencerá a alguma das rectas?

5. Escreva as equações paramétricas para os 3 eixos coordenados e as equações cartesianas para os 3

planos coordenados.

6. Escreva a equação do plano que passa pelos pontos ( )1,1,0 , ( )1, 1, 1− − e é paralelo ao vector

( )2,1,0u = .

7. Considere a recta r definida por: 1 2

2 3x y z− −

= = . Determine uma equação vectorial do plano α que

passa pelo ponto ( )1,2,0P = e é perpendicular à recta r .


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42

8. Dado o plano α definido pelas seguintes equações paramétricas:

1 22 ; ,

xyz

λ μλ μ λ μ

λ μ

= + −⎧⎪ = − + + ∈⎨⎪ = − −⎩

, escreva

a sua equação cartesiana.

Soluções:

1. a) b) v

2. Os vectores são perpendiculares porque .

3. 108.

4. recta

3 8: 6 4 ;

7 10

xAB y

z

λλ λλ

= −⎧⎪ = − ∈⎨⎪ = − +⎩

; 3 6 7

8 4 10x y z− − += =

recta

4: 7 8 ;

6 10

xCD y

z

λλ λλ

= −⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = − +⎩

; 7 64

8 10y zx + +

− = =

O ponto E não pertence a nenhuma das rectas.

5. Eixos: : 0 ;0

xOx y

z

λλ

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

;

0: ;

0

xOy y

zλ λ

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

;

0: 0;

xOz y

zλ

λ

=⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

Planos: : 0xOy z = ; : 0xOz y = ; : 0yOz x =

6. 2 4 1 0x y z− + + =

7. ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,0,8 1,0, 2 0,1, 3 ; ,x y z λ μ λ μ= + − + − ∈

8. 2 0y z+ + =


1. Determine o vector momento angular de um ponto material de massa m em relação ao ponto O (origem

do referencial), sabendo que o vector posição e o vector quantidade de movimento desse

ponto é .


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43

2. Considere os pontos ( )1,0,0A = , ( )2,3,1B = , ( )3,1,0C = e ( )3, 4,10D = − .

a) Determine as equações paramétricas da recta AB .

b) Determine a equação cartesiana do plano que contém D e é paralelo ao plano ABC .

3. Considere os pontos ( )1,0, 1A = − , ( )1,1,0B = − .

a) Determine C de modo que ABC defina um plano. Justifique.

b) Escreva a equação vectorial do plano β perpendicular à recta AB e que passa no ponto médio M

de [ ]AB .

4. Considere os pontos ( )1,2, 1A = − − , ( )0,1, 3B = − e a recta 2

:1

yr

z= −⎧

⎨ =⎩.

a) Determine C de modo que ABC não defina um plano. Justifique.

b) Escreva as equações cartesianas da recta s perpendicular às rectas AB e r , e que passa no ponto

médio M de [ ]AB .

c) Escreva as equações paramétricas do plano λ perpendicular a yOz , paralelo a s e que passa em

B .

Soluções:

1.

2. a)

1: 3 ;

xAB y

z

λλ λλ

= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

b) 2 5 61 0x y z− + − =

3. a) ( ){ }3 \ 1 2 , , 1 :C b b b b∈ − − ∈ b)

( ) ( ) ( )1 1: , , 0, , 1,0, 2 0,1, 1 , ,2 2

x y zβ λ μ λ μ⎛ ⎞= − + + − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

4. a) ( ){ }1 , , 2 5 :C a a a a∈ − − ∈ b) 1 52 02 2

x y z= − ∧ + + =

c) : 5 2 ; ,xyz

αλ β α β

β

=⎧⎪ = − − ∈⎨⎪ =⎩

12ª aula: Intersecções e posições relativas.

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44


1. Considere as rectas definidas pelas seguintes equações:

( ) ( ) ( ): , , 0,0,0 1,2,0 ;r x y z k k= + ∈

( ) ( )7: , , ,1, 1 1, 4,1 ;2

s x y z t t⎛ ⎞= − + − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Determine a posição relativa das duas rectas.

b) Caso exista intersecção determine-a.

Resolução:

a) Consideremos os vectores ( )1,2,0ru = e ( )1, 4,1sv = − das rectas r e s respectivamente.

Como { }, \ 0r su av a≠ ∈ , então as rectas não são paralelas nem coincidentes.

Então as rectas r e s só podem ser concorrentes ou não complanares.

Tomando

7 2: 2 ; : 1 4 ;

0 1

x k x tr y k k s y t t

z z t

= = −⎧ ⎧⎪ ⎪= ∈ = + ∈⎨ ⎨⎪ ⎪= = − +⎩ ⎩

vem:

7 2 5 2 7 2 15 2

2 1 4 5 21

0 1 1

k tk

k t kt

t t

= − = −⎧ ⎧=⎧⎪ ⎪= + ⇔ = ⇔⎨ ⎨ ⎨ =⎩⎪ ⎪= − + =⎩ ⎩

. Então as rectas são concorrentes num ponto.

b) O ponto de intersecção obtém-se substituindo k nas equações da recta r ou t nas equações da recta s .

Obtemos:

5 250

xyz

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

. Portanto, { } 5 ,5,02

r s P ⎧ ⎫⎛ ⎞∩ = = ⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

.

2. Considere os pontos ( )0,0,0O = , ( )2,3,5A = , ( )2,3,0B = , ( )2,0,5C = e ( )0,0,5D = .

a) Escreva a equação do plano mediador de [ ]OA .

b) A recta que passa em C e é paralela a BD intersecta o plano yOz num ponto. Determine-o.

Resolução: a) O plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento e que passa no ponto médio

desse mesmo segmento.

( ) ( ) ( )2,3,5 0,0,0 2,3,5OA A O= − = − =

Então, a equação do plano mediador será da forma: 2 3 5 0x y z D+ + + = .

Vamos calcular o ponto médio, MP , do segmento [ ]OA .


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45

2 0 3 0 5 0 3 5, , 1, ,2 2 2 2 2 2M

O AP + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Substituindo na equação do plano vem: 9 252 0 192 2

D D+ + + = ⇔ = − .

Logo, a equação do plano mediador pedido será: 2 3 5 19 0x y z+ + − = .

b) ( ) ( ) ( )0,0,5 2,3,0 2, 3,5BD D B= − = − = − −

As equações da recta serão: 2 5

2 3 5x y z− −

= =− −

.

A intersecção com o plano yOz , corresponde à solução do sistema:

22 3 32 5: 10

2 500

x y

yx zr yoz z

xx

−⎧ =⎪ − − = −⎧⎪− −⎪ ⎪∩ = ⇔ =⎨ ⎨−⎪ ⎪ =⎩=⎪

⎪⎩

.

O ponto de intersecção é o ponto ( )0, 3,10− .

3. Sejam os planos definidos pelas equações: : 3 0x y zα − + = , : 2 2 6 5x y zβ − + = e : 2 1x y zγ − − = .

Determine a posição relativa dos 3 planos e verifique se existem planos perpendiculares.

Resolução:

Vamos intersectar os 3 planos:

3 02 2 6 5

2 1

x y zx y z

x y z

− + =⎧⎪ − + =⎨⎪ − − =⎩

.

Em forma matricial vem:

2 3 22 2 13 3 1

1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 02 2 6 5 0 0 0 5 0 1 4 11 2 1 1 0 1 4 1 0 0 0 5L LL L L

L L L

A

↔← −← −

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

Como ( ) 2C A = e ( ) 3C A = o sistema é impossível e os 3 planos não se intersectam.

Vamos verificar a intersecção dos planos dois a dois.

• 3 0 1 1 3 0

2 2 6 5 2 2 6 5x y zx y z

α β− + =⎧ −

∩ ⇔ ⇒ = = ≠⎨ − + = −⎩, logo os planos α e β são paralelos.

• 3 0

2 1x y zx y z

α γ− + =⎧

∩ ⇔ ⎨ − − =⎩.

Vem: 2 2 1

1 1 3 0 1 1 3 01 2 1 1 0 1 4 1L L L

A← −

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼


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46

1 7

3 01 4 ;

2 1

x kx y z

y k kx y z

z k

= − −⎧− + =⎧ ⎪⇔ = − − ∈⎨ ⎨− − =⎩ ⎪ =⎩

.

Logo os planos intersectam-se segundo a recta:

( ) ( ) ( ): , , 1, 1,0 7, 4,1 ;x y z k kα γ∩ = − − + − − ∈

• 2 2 6 5

2 1x y z

x y zβ γ

− + =⎧∩ ⇔ ⎨ − − =⎩

.

Vem:

22 1 2 2 1

2 2 6 5 1 2 1 1 1 2 1 11 2 1 1 2 2 6 5 0 2 8 3L L L L L

A↔ ← −

− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∼ ∼

4 72 2 6 5

3 2 4 ;2 1

x kx y z

y k kx y z

z k

= −⎧− + =⎧ ⎪⇔ = − ∈⎨ ⎨− − =⎩ ⎪ =⎩

.

Logo os planos intersectam-se segundo a recta:

( ) ( )3: , , 4, ,0 7, 4,1 ;2

x y z k kβ γ ⎛ ⎞∩ = + − − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Concluímos então que os planos α e β são paralelos e atravessados por γ .

Vamos verificar se α e γ são perpendiculares.

( )1, 1,3nu α = − e ( )1, 2, 1nv γ = − − são vectores normais aos planos α e γ , respectivamente.

( ) ( ) ( )1 1 1 2 3 1 0n nu vα γ⋅ = × + − × − + × − = .

Logo, α e γ são perpendiculares. Como α e β são paralelos, então β e γ também são perpendiculares.

4. Calcule m e n para que a recta

2: 1 ;

3 2

x kr y k k

z k

= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = −⎩

esteja contida no plano : 2 1 0mx ny zα + + − = .

Resolução:

Para que a recta r esteja contida no plano α , o sistema:

21

: ;3 2

2 1 0

x ky k

r kz kmx ny z

α

= +⎧⎪ = +⎪∩ ∈⎨ = −⎪⎪ + + − =⎩

deve ser

indeterminado. Resolvendo o sistema, obtemos:


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47

( )

213 2

4 5 2

x ky kz km n k n m

= +⎧⎪ = +⎪⎨ = −⎪⎪ + − = − − −⎩

Então, para o sistema ser indeterminado, temos que ter:

5 2 0 94 0 13

n m mm n n− − − = = −⎧ ⎧

⇔⎨ ⎨+ − = =⎩ ⎩.

Concluímos que, para a recta r estar contida no plano α , temos que ter 9m = − e 13n = .


1. Considere a recta r definida por 2 5

2 3x y zx y− + =⎧

⎨ − =⎩.

a) Determine a equação do plano π que passa no ponto ( )0, 3, 1− − e é perpendicular a r .

b) Verifique que a recta s que passa no ponto ( )0,0, 3− e tem a direcção do vector ( )2, 1,0u = −

pertence a π .

2. Qual é a posição relativa das seguintes rectas:

a) 2 3

:y x

rz x= −⎧

⎨ = −⎩ e

1 3: 4 6 ;

3

xs y

z

αα α

α

= −⎧⎪ = − ∈⎨⎪ =⎩

b) 2 4 1: 3

4 3y zr x − −

+ = = e ( ) ( ): 0,2,2 1,1, 1 ;s X t t= + − ∈

3. Considere os pontos ( )1, 4,1A = − , ( )2,3,0B = , ( )0, 2, 1C = − − e os planos : 2 2 5x y zα + + = ,

: 1y zβ + = , : 2 4 3 3 0x y zδ − − + = . Indique a posição relativa dos seguintes planos (intersecção,

paralelismo, perpendicularidade) (Obs.: na resolução dos sistemas use o método da condensação):

a) , ,α β δ ;

b) ,α ϕ onde ϕ é o plano que contém o ponto C e é perpendicular à recta 2 12

x zy z= +⎧

⎨ =⎩;

c) , ,α β γ onde γ é o plano definido pelos pontos A , B e C ;

d) , ,α β π onde π é o plano que contém a origem e a recta

12 ;1

x ky k kz

= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

.


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48

4. Considere os planos : 1 0kx ky zα + + − = , : 0x y z kβ + − + = e : 0x ky zπ + + = . Determine, se

existirem, os valores de k de modo a que:

a) os 3 planos se intersectem numa recta;

b) os planos α e β sejam perpendiculares.

Soluções:

1. a) : 2 3 9 0x y zπ + + + = .

2. a) Paralelas. b) Não complanares.

3. a) Planos oblíquos entre si, concorrentes num ponto.

b) Planos paralelos.

c) Planos oblíquos, intersectam-se numa recta.

d) α intersecta β numa recta; α intersecta π numa recta; β intersecta π numa recta; α e π são

perpendiculares.

4. a) Não existe k∈ b) 1 2k =

III – Exercícios Suplementares 1. Considere os pontos A e B , a recta r e os planos α e β , assim definidos:

( )1, 1, 2A = − − ( )2,1,3B = 1

:x ay

rz y b= +⎧

⎨ = −⎩ : 3 1 0x y zα − + − =

: 2 2 2 0x y zβ + − + =

a) Determine a intersecção entre os planos α , β e um outro plano, θ , que passa na origem e é

normal ao vector ( )3,1,0− ;

b) Condicione os parâmetros a e b de modo a que a recta r seja estritamente paralela ao plano α ;

c) Calcule a menor distancia entre o ponto ( )1,2,3C = e a recta AB ;

d) Escreva a equação de uma recta cujos pontos sejam equidistantes de A e B .

2. Considere os pontos A , B e C , a recta r e o plano β , assim definidos:

( )1,2,3A = ( )3,0,1B = ( )4,0,0C = ( ) ( ): , , 2, 2, 2 ;r x y z λ λ= − − ∈

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2: , , 5,0, 1 5,0, 1 0,5, 2 ; ,x y z k k k kβ = − + − + − ∈

a) Escreva a equação do plano π que contém A e r ;

b) As rectas r e AB são complanares? Justifique;

c) Determine a intersecção de BC com β ;

d) d1) Determine a distancia de r à origem do referencial;


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49

d2) Sem efectuar cálculos, comente a seguinte afirmação: “Existem pontos da recta r que distam 0,5

unidades da origem do referencial”.

3. Considere os pontos ( )1,2, 1A = − − , ( )0,1, 3B = − , a recta 2

:1

yr

z= −⎧

⎨ =⎩ e o plano : 0x yθ + = .

a) Qual a posição relativa das rectas r e AB ? Justifique.

b) Calcule a distancia de AB a θ .

c) Seja : 1 0ax by czϕ + + + = . Discuta a posição relativa dos planos ϕ e θ de modo que a distancia

entre eles seja nula.

Soluções:

1. a) ( )0,0,1 b) 2 0a b= ∧ ≠ c) 3 42

14 d) Por exemplo, ( ) ( ) ( ), , 0,0,4 1,0, 3 ;x y z λ λ= + − ∈

2. a) : 4 3 0x y zπ + − = b) São. c) ( )5,0, 1− d1) 0 d2) Verdadeira.

3. a) Não complanares. b) 2

2 c) ( ) ( ), 0, ,a b c c a b≠ ∀ ∈ ∨ ≠ ∀ ∈

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Aulas Práticas 07-08