Autómatos de pilha

1

Computabilidade e Linguagens Formais

Autómatos de pilha

Gabriel David / Cristina Ribeiro

Autómatos de pilha-2

Autómatos e autómatos de pilha Os autómatos de pilha estão para as linguagens sem contexto

como os autómatos estão para as linguagens regulares

1Start

20 0,1

1

1*0(1+0)*Linguagens regulares

E I | E+E | E×E | (E)I a | b | Ia | Ib | I0 | I1

Linguagens sem contexto

AStart

B


Ideia

Autómato de pilha é um -NFA com uma pilha de símbolos– Adiciona a possibilidade de memorizar uma quantidade infinita de

informação– Só tem acesso ao topo da pilha (LIFO), em vez de poder consultar

qualquer posição de memória, como os computadores genéricos

Controlo deestados finito

entrada

pilha

Aceita/ rejeita

Funcionamento– A parte de controlo lê e consome os

símbolos da entrada– Transição para novo estado baseada

no estado corrente, símbolo de entrada e símbolo no topo da pilha

– Transição espontânea com – Topo da pilha substituído por cadeia


Exemplo do palindroma

Lwwr = {wwR | w em (0+1)*} palindromas de comprimento par– Linguagem sem contexto gerada pela gramática P | 0P0 | 1P1

Construir um autómato de pilha– Estado inicial q0 significa que ainda não se atingiu o meio de wwR;

vai-se guardando na pilha os símbolos de w– A qualquer altura, adivinha-se que já se chegou ao meio (fim de w)

e faz-se uma transição para q1; a pilha contém w, a começar no fundo e a acabar no topo; o não determinismo é simulado pela manutenção dos dois estados

– Em q1 comparam-se os símbolos de entrada com o topo da pilha; se não houver correspondência, a aposta foi errada e este ramo da computação morre; outro poderá ter sucesso

– Se a pilha se esvaziar (e a entrada acabar) descobriu-se w e wR


Definição

Autómato de pilha (PDA) P= (Q, , , , q0, Z0, F)– Q: conjunto finito de estados : conjunto finito de símbolos de entrada : alfabeto da pilha finito : função de transição (q, a, X) = {(p1,1), …} finito

q é um estado, a um símbolo de entrada ou , X um símbolo da pilha p1 é o novo estado, 1 é a cadeia de símbolos da pilha que substitui X no topo

1= pop do topo da pilha 1= X pilha inalterada 1= YZ X substituído por Z e push do Y a seguir

– q0: estado inicial– Z0: símbolo inicial, conteúdo inicial da pilha– F: conjunto de estados de aceitação ou finais


De novo o exemplo

PDA de Lwwr P = ({q0,q1,q2}, {0,1}, {0,1,Z0}, , q0, Z0, {q2})– Z0 usado para marcar o fundo da pilha e permitir no fim da leitura

de wwR passar para o estado de aceitação q2

(q0,0,Z0)= {(q0,0Z0)} e (q0,1,Z0)= {(q0,1Z0)} topo da pilha à esquerda

(q0,0,0)= {(q0,00)}, (q0,0,1)= {(q0,01)}, (q0,1,0)= {(q0,10)}, (q0,1,1)= {(q0,11)}

(q0,,Z0)= {(q1,Z0)}, (q0, ,0)= {(q1,0)}, (q0, ,1)= {(q1,1)} (q1,0,0)= {(q1, )} e (q1,1,1)= {(q1, )} (q1,,Z0)= {(q2,Z0)}


Diagrama de transição

Nós são estados Start indica o estado inicial Arcos correspondem às transições

– Etiqueta a,X/α de q para p significa que (q,a,X) contém (p,α)– O arco indica a entrada e o topo da pilha antes e depois

Start q0 q1, Z0/Z0

, 0/0, 1/1

q2, Z0/Z0

0, Z0/0Z0

1, Z0/1Z0

0, 0/000, 1/011, 0/101, 1/11

0, 0/1, 1/


Descrição instantânea

Computação de um PDA– Evolui de configuração em configuração, em resposta a símbolos de

entrada (ou ) e alterando a pilha– Num DFA: toda a informação no estado; num PDA: estado + pilha

Descrição instantânea (q,w,)– q: estado– w: entrada remanescente (em vez de só um símbolo, conveniência) : conteúdo da pilha (topo à esquerda)

Passo de um PDA (Q, , , , q0, Z0, F)– Se (q,a,X) contiver (p,α), para todas as cadeias w em * e em *– (q, aw, X) ├P (p,w,α)– Usa-se ├* para zero ou mais passos (computação)


Ainda o exemplo Entrada w=1111 Descrição instantânea (DI) inicial: (q0, 1111, Z0)

(q0, 1111, Z0) (q1, 1111, Z0) (q2, 1111, Z0)

(q0, 111, 1Z0)

(q0, 11, 11Z0)

(q0, 1, 111Z0)

(q0, , 1111Z0) (q1, , 1111Z0)

(q1, 11, 11Z0)

(q1, 1, 1Z0)

(q2, , Z0)(q1, , Z0)

(q1, 111, 1Z0)

(q1, 11, Z0) (q2, 11, Z0)

(q1, 1, 111Z0)

(q1, , 11Z0)


Princípios relativos a DI

Se uma sequência de DIs (computação) é legal para um PDA P então a computação que resulta de adicionar uma qualquer cadeia w à entrada em cada DI também é legal

Se uma computação é legal para um PDA P então a computação que resulta de adicionar um qualquer conjunto de símbolos abaixo da pilha em cada DI também é legal

– Teorema 1: Se (q,x,α) ├* (p,y,) então (q,xw,α) ├* (p,yw,) Se uma computação é legal para um PDA P e uma cauda da

entrada não é consumida, então a computação que resulta de remover essa cauda da entrada em cada DI também é legal

– Teorema 2: Se (q,xw,α) ├* (p,yw,) então (q,x,α) ├* (p,y,)


Comentários

Dados para os quais P nunca olha não podem afectar a sua computação

Conceito semelhante à própria noção de linguagem sem contexto: o que está ao lado não influencia a computação

Teorema 2 não é o inverso do 1 porque o que está na pilha pode influenciar a computação mesmo sem ser descartado

– Pode por exemplo ir sendo retirado da pilha um símbolo de cada vez e no último passo repor tudo


Linguagens de um PDA Aceitação por estado final

– Seja o PDA P = (Q, , , , q0, Z0, F)– Linguagem de P aceite por estado final – L(P) = {w | (q0,w,Z0) ├* (q,,α)} e q F– Conteúdo final da pilha é irrelevante

Exemplo:– (q0,wwR,Z0) ├* (q0,wR,wRZ0) ├ (q1,wR,wRZ0) ├* (q1,,Z0) ├ (q2,,Z0)

Aceitação por pilha vazia– N(P) = {w | (q0,w,Z0) ├* (q,,)}– Linguagem aceite por pilha vazia, conjunto de entradas w que P consome

esvaziando ao mesmo tempo a pilha (N(P) – pilha nula) Mesmo exemplo: modificação para esvaziar a pilha e obter N(P)=L(P)

(q1,,Z0)= {(q2,Z0)} passa a ser (q1,,Z0)= {(q2,)}– (q0,wwR,Z0) ├* (q0,wR,wRZ0) ├ (q1,wR,wRZ0) ├* (q1,,Z0) ├ (q2,,)


Da pilha vazia ao estado final

Teorema: Se L = N(PN) para um PDA PN = (Q, , , N, q0, Z0) então existe um PDA PF tal que L = L(PF)

– Dois métodos de aceitação de uma entrada equivalentes– Embora para um PDA P possa ser L(P) N(P)– Partindo de PN, usa-se um novo X0 como símbolo inicial de PF e

como marcador do fundo da pilha: PF vê X0 quando pilha de PN vazia

Start, X0/Z0X0

pf

, X0/

p0

q0

PN

, X0/

, X0/

PF = (Q{p0,pf}, , {X0}, F, p0, X0,{pf})


Do estado final à pilha vazia

Start, X0/Z0X0

, any/

p0

q0

PF

, any/

, any/

p


Exemplo de conversão Defina um PDA que processe sequências de “i” e “e”,

significando if e else, construção presente em muitas linguagens de programação, detectando sequências inválidas (sequências que têm mais “e’s” que “i’s” num prefixo)

– Símbolo inicial Z; pilha com Zn significa que nº i’s - nº e’s = n-1– Aceitação por pilha vazia (balanço de mais um “e” que “i”)– Conversão para aceitação por estado final

Start

, X0/q r

Start, X0/ZX0

p q

e, Z/ i, Z/ZZ

e, Z/ i, Z/ZZ

pilha vazia Estado final


Equivalência entre PDAs e CFGs

Prova-se que as linguagens sem contexto, definidas por CFG, são as linguagens aceites por pilha vazia por um PDA e portanto também as aceites por estado final por um PDA

Ideia: dada uma CFG G construir um PDA que simula as derivações mais à esquerda de G

– Qualquer forma frásica esquerda não terminal pode ser escrita como xAα, onde A é a variável mais à esquerda. Aα é a cauda.

– CFG G = (V,T,Q,S)– PDA que aceita L(G) por pilha vazia: P = ({q}, T,VT,,q,S)– Para cada variável A: (q,,A)={(q,) | A é produção em G}– Para cada terminal a: (q,a,a)={(q,)}


De CFG para PDA Dada a CFG

Obter um PDA de aceitação por pilha vazia que aceite a mesma linguagem.

– PN = ({q}, {a,b,0,1,(,),+,×}, {a,b,0,1,(,),+,×,E,I}, , q, E) (q,,I) = {(q,a), (q,b), (q,Ia), (q,Ib), (q,I0), (q,I1)} (q,,E) = {(q,I), (q,E+E), (q,E×E), (q,(E))} (q,a,a) = {(q,)}; (q,b,b)={(q,)}, (q,0,0) = {(q,)}; (q,1,1) = {(q,)};

(q,(,() = {(q,)}; (q,),)) = {(q,)}; (q,+,+) = {(q,)}; (q,×,×) = {(q,)} Só um estado; processamento das variáveis espontâneo; só os terminais

consomem entrada

E I | E+E | E×E | (E)I a | b | Ia | Ib | I0 | I1


Exercício Usando a CFG e o PDA para a linguagem das expressões

– a) obtenha uma derivação mais à esquerda de a(a+b00)– b) obtenha o traço da respectiva computação no PDA, isto é, a sequência

de Descrições Instantâneas a)

– E E×E I×E a×E a×(E) a×(E+E) a×(I+E) – a×(a+E) a×(a+I) a×(a+I0) a×(a+I00) a×(a+b00)

b)– (q, a(a+b00), E) ├ (q, a(a+b00), EE) ├ (q, a(a+b00), IE) ├ – (q, a(a+b00), aE) ├ (q, (a+b00), E) ├ (q, (a+b00), E) ├ – (q, (a+b00), (E)) ├ (q, a+b00), E)) ├ (q, a+b00), E+E)) ├ – (q, a+b00), I+E)) ├ (q, a+b00), a+E)) ├ (q, +b00), +E)) ├ – (q, b00), E)) ├ (q, b00), I)) ├ (q, b00), I0)) ├ (q, b00), I00)) ├ – (q, b00), b00)) ├ (q, 00), 00)) ├ (q, 0), 0)) ├ (q,),)) ├ (q, , )


De PDA para CFG

Ideia: reconhecer que o evento fundamental num processamento num PDA é o pop final de um símbolo da pilha enquanto se consome entrada

Acrescentar variáveis na linguagem para– Cada eliminação definitiva de um símbolo X da pilha– Cada mudança de estado de p para q ao eliminar X, representada

por um símbolo composto [pXq] Regra: do PDA P= (Q, , , N, q0, Z0) construir CFG G=

(V, , R, S) – Variáveis V: contém S e os símbolos [pXq]


De PDA para CFG (cont)

Produções R:– Para todos os estados p, G contém S [q0Z0p]

O símbolo [q0Z0p] gera todas as cadeias w que extraem Z0 da pilha enquanto vão do estado q0 para o estado p, (q0,w,Z0) ├* (p,,)

Então S gera todas as cadeias w que esvaziam a pilha– Se (q,a,X) contém o par (r,Y1Y2…Yk), k0, a ou a= então para

todas as listas de estados r1,r2,…,rk, G contém

[qXrk] a[rY1r1][r1Y2r2]…[rk-1Ykrk] Uma forma de extrair X e ir de q a rk é ler a (pode ser ) e usar alguma

entrada para extrair Y1 ao ir de r para r1, etc.


Exemplo

Converter o PDA PN=({q},{i,e},{Z},N,q,Z) numa gramática– aceita as cadeias que violam pela 1ª vez a regra de que um “e” deve

corresponder a um “i” precedente Solução:

– só um estado q e só um símbolo de pilha Z– Duas variáveis: S, símbolo inicial; [qZq], único símbolo a partir dos

estados e símbolos de PN

– Produções: S [qZq] (se houvesse mais estados p e r teríamos S[qZp] e S[qZr]) De N(q,i,Z)={(q,ZZ)} obter [qZq]i[qZq] [qZq] (se houvesse mais

estados p e r teríamos [qZp]i[qZr] [rZp]) De N(q,e,Z)={(q,)} obter [qZq]e (Z é substituído por nada) Chamando A a [qZq] fica SA e A iAA | e


Propriedades das CFL

Simplificação das CFGs forma normal de Chomsky Eliminação de símbolos inúteis

– Símbolo útil: S * αX * w, w T*– Símbolo gerador: X * w

Qualquer terminal é gerador, dele próprio!– Símbolo atingível: S * αX– Útil = gerador + atingível– Eliminar primeiro os não geradores e depois os não atingíveis

Exemplo– S AB | a S a [B não é gerador] S a– A b A b [A não é atingível]


Eliminação de símbolos inúteis

Algoritmo: descobrir os símbolos geradores– os terminais são geradores– A α e α só tem geradores; então A é gerador

Algoritmo: descobrir os símbolos atingíveis– S é atingível– A é atingível, Aα; então todos os símbolos em α são atingíveis


Eliminação de produções- Variável anulável: A * Transformação: B CAD passa a B CD | CAD e

impede-se que A produza Algoritmo: descobrir as variáveis anuláveis

– A C1 C2 … Ck, todos os Ci são anuláveis; então A é anulável Se uma linguagem L tem uma CFG então L-{} tem uma

CFG sem produções-– Determinar todos os símbolos anuláveis– Para cada A X1 X2 … Xk se m Xi’s são anuláveis substituir por

2m produções com todas as combinações de presenças de Xi.– Excepção: se m=k, não se inclui o caso de todos os Xi ausentes– Produções A são eliminadas


Exemplo

Gramática– S AB– A aAA | – B bBB |

A e B são anuláveis, logo S também S AB | A | B A aAA | aA | aA | a B bBB | bB | b


Eliminação de produções unitárias Produção unitária: A B, em que A e B são variáveis

– Podem ser úteis na eliminação de ambiguidade (ex: linguagem das expressões)

– Não são imprescindíveis; introduzem passos extra nas derivações Eliminam-se por expansão

– I a | b | Ia | Ib | I0 | I1– F I | (E)– T F | T × F– E T | E + T

De E T passar a E F | T × F a E I | (E) | T × F e finalmente E a | b | Ia | Ib | I0 | I1 | (E) | T × F

– Problema no caso de ciclos


Eliminação de produções unitárias

Algoritmo: descobrir todos os pares unitários, deriváveis apenas com produções unitárias

– (A, A) é um par unitário– (A, B) é um par unitário e B C, C variável; então (A, C) é

unitário Exemplo: (E, E), (T, T), (F, F), (E, T), (E, F), (E, I), (T, F),

(T, I), (F, I) Eliminação: substituir as produções existentes de forma a

que para cada par unitário (A, B) se incluam todas as produções da forma A α em que B α é uma produção não unitária (incluir A=B)


Gramática sem produções unitárias

I a | b | Ia | Ib | I0 | I1F I | (E)T F | T × FE T | E + T

Par Produções(E, E) E E + T(E, T) E T × F(E, F) E (E)(E, I) E a | b | Ia | Ib | I0 | I1(T, T) T T × F(T, F) T (E)(T, I) T a | b | Ia | Ib | I0 | I1(F, F) F (E)(F, I) F a | b | Ia | Ib | I0 | I1(I, I) I a | b | Ia | Ib | I0 | I1


Sequência de simplificação

Se G é uma CFG que gera uma linguagem com pelo menos uma cadeia diferente de , existe uma CFG G1 que não tem produções-, produções unitárias ou símbolos inúteis e L(G1) O= L(G) – {}

– Eliminar produções-– Eliminar produções unitárias– Eliminar símbolos inúteis


Forma normal de Chomsky (CNF) Todas as CFL sem têm uma gramática na forma normal de

Chomsky: sem símbolos inúteis e em que todas as produções são da forma

– A BC (A, B, C variáveis) ou– A a (A variável e a terminal)

Transformação– Começar com uma gramática sem produções-, produções unitárias

ou símbolos inúteis– Deixar as produções A a– Passar todos os corpos de comprimento 2 ou mais para só variáveis

Variáveis novas D para os terminais d nesses corpos, substituir e D d– Partir corpos de comprimento 3 ou mais em cascatas de produções

só com 2 variáveis A B1B2…Bk para AB1C1, C1B2C2, …


Gramática das expressões Variáveis para os terminais em corpos não isolados

– A a B b Z 0 O 1– P + M × L ( R )– E EPT | TMF | LER | a | b | IA | IB | IZ | IO– T TMF | LER | a | b | IA | IB | IZ | IO– F LER | a | b | IA | IB | IZ | IO– I a | b | IA | IB | IZ | IO

Substituir corpos compridos– E EC1 | TC2 | LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO– T TC2 | LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO– F LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO– C1 PT C2 MF C3 ER


Lema da bombagem para CFL

Dimensão de uma árvore de análise– Considerar apenas o caso das CNF: árvores binárias em que as

folhas são terminais sem irmãos (produções Aa)– Numa gramática com árvore de análise CNF e colheita w terminal,

se o comprimento do maior caminho for n então |w| 2n-1

Seja L uma CFL. Existe uma constante n tal que, para qualquer cadeia z em L com |z|n se pode escrever z=uvwxy

– |vwx| n a parte do meio não é demasiado comprida– vx pelo menos uma é não vazia– Para todo i 0, uviwxiy Lbombagem dupla, a começar em 0


Prova

Obter uma gramática CNF G para L G contém m variáveis. Escolher n=2m. Cadeia z em L |z|

n. Qualquer árvore de análise com caminho mais longo de

comprimento até m tem colheita até 2m-1=n/2.– z seria demasiado longa; árvore para z tem caminho m+1 ou maior

Na figura, o caminho A0…Aka é de comprimento k+1, km– Há pelo menos m+1 variáveis no caminho; logo há pelo menos uma

repetição de variáveis (de Ak-m a Ak).– Supõe-se Ai=Aj com k-m i < j k


Continuação da prova Se cadeia z suficientemente

longa, tem que haver repetições de símbolos

Divide-se a árvore:– w é a colheita da subárvore de Aj

– v e x são tais que vwx é a colheita de Ai (como não há produções unitárias pelo menos um de v e x é não nulo)

– u e y são as partes de z à esquerda e à direita de vwx

u v w x yz

A0

Ai=Aj

Aj

Ak

a


Continuação da prova

Como Ai=Aj, pode-se– substituir a subárvore de Ai

pela de Aj, obtendo o caso i=0, uwy.

– substituir a subárvore de Aj pela de Ai, obtendo o caso i=2, uv2wx2y e repetir para i=3, … (bombagem)

|vwx|n porque se pegou num Ai próximo do fundo da árvore, k-im, caminho mais longo de Ai até m+1, colheita até 2m=n

u v w x y

A

A

S

u

A

S

y

w

u v x y

A

A

S

v w x

A


Lema da bombagem

no caso das LR: o lema da bombagem decorre de o número de estados de um DFA ser finito

– para aceitar uma cadeia suficientemente comprida tem que haver repetições de estados

No caso das CFL: decorre de o número de símbolos numa CFG ser finito

– para aceitar uma cadeia suficientemente comprida tem que haver repetições (“duplas”) de símbolos

LR (DFA) CFL (CFG)


Provar que uma linguagem não é CFL

Seja L = {0k1k2k | k 1}. Mostre que não é CFL.– Supondo que L é uma CFL, existe uma constante n indicada pelo

lema da bombagem; tome-se z = 0n1n2n que faz parte de L– Fazendo z=uvwxy, sujeito a |vwx| n e v, x não ambos nulos,

temos que vwx não pode conter simultaneamente 0’s e 2’s– Caso vwx não contém 2’s; então vx tem só 0’s e 1’s e tem pelo

menos um símbolo. Então, pelo lema da bombagem, uwy também deveria pertencer à linguagem. Mas tem n 2’s e menos do que n 0’s ou 1’s e portanto não pertence à linguagem.

– Caso vwx não contém 0’s: argumento semelhante.– Obtém-se contradição em ambos os casos; portanto a hipótese é

falsa e L não é uma CFL


Problemas na prova

Seja L = {0k1k | k 1}. Mostre que não é CFL.– Supondo que L é uma CFL, existe uma constante n indicada pelo

lema da bombagem; tome-se z = 0n1n que faz parte de L– Fazendo z=uvwxy, sujeito a |vwx| n e v, x não ambos nulos, pode

acontecer de escolher v= 0k e x=1k

– Neste caso uviwxiy pertence sempre a L.– Não se obtém a contradição pretendida

Não se consegue provar que L não é CFL– De facto é uma CFL


Substituição Seja um alfabeto; para cada um dos seus símbolos a

define-se uma função (substituição) que associa uma linguagem La ao símbolo

– Cadeias: se w= a1…an então s(w) é a linguagem de todas as cadeias x1…xn tais que xi está em s(ai)

– Linguagens: s(L) é a união de todos as s(w) tais que w L Exemplo:

={0,1}, s(0)={anbn | n1}, s(1)={aa,bb}– Se w=01, s(w) = s(0)s(1) = {anbnaa | n1} {anbn+2 | n1}– Se L=L(0*), s(L) = (s(0))* = an1bn1…ankbnk, para n1, …, nk qq

Teorema: seja L uma CFL e s() uma substituição que associa a cada símbolo uma CFL; então s(L) é uma CFL.


Aplicação do teorema da substituição

As CFL são fechadas para:– União– Concatenação– Fecho (*) e fecho positivo (+)– Homomorfismo– Reverso– Intersecção com uma LR

Intersecção com uma CFL não é garantida– Homomorfismo inverso


CFL e intersecção

Seja L1 = {0n1n2i | n1, i1} e L2 = {0i1n2n | n1, i1} L1 e L2 são CFL

– S AB S AB– A 0A1 | 01 A 0A | 0– B 2B | 2 B 1B2 | 12

L1 L2 = {0n1n2n | n1}– Já está provado que não é CFL

Logo as CFL não são fechadas para a intersecção


Complexidade das conversões

Conversões lineares no comprimento da representação– CFG para PDA– PDA de estado final para PDA de pilha vazia– PDA de pilha vazia para PDA de estado final

Conversão O(n3)– PDA para CFG (tamanho da CFG também O(n3))

Conversão O(n2)– CFG para CNF (tamanho da CNF também O(n2))


Propriedades de decisão das CFL

Teste de linguagem vazia– Verificar se S é gerador

Com estrutura de dados adequada, O(n) Teste de pertença numa CFL

– O(n3), usando programação dinâmica, preenchimento de tabela

X15

X14 X25

X13 X24 X35

X12 X23 X34 X45

X11 X22 X33 X44 X55

a1 a2 a3 a4 a5

{S,A,C}

{S,A,C}

{B} {B}

{S,A} {B} {S,C} {S,A}

{B} {A,C} {A,C} {B} {A,C}

b a a b a

S AB | BC

A BA | a

B CC | b

C AB | a

w=baaba X12: X11X22; X24: X22X34X23X44


Problemas não decidíveis

Não há algoritmo para responder a estas perguntas– Uma dada CFG é ambígua?– Uma dada CFL é inerentemente ambígua?– A intersecção de duas CFL é vazia?– Duas CFL dadas são a mesma linguagem?– Uma CFL é o “universo” *, em que é o seu alfabeto?

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Autómatos de pilha