AUTOR: FERNANDA DE BRITO BENVINDO SOUZA

Dissertação de Mestrado

DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE REALCES ABERTOS/CÂMARAS

INCLINADAPROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

AUTOR: FERNANDA DE BRITO BENVINDO SOUZA

ORIENTADOR: Prof.

PROGRAMA DE PÓSOURO PRETO

Dissertação de Mestrado


INCLINADAS E PILARES VIA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

NÃO-LINEAR


ORIENTADOR: Prof. Rodrigo Peluci de Figueiredo (UFOP)

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA DA UFOPOURO PRETO - DEZEMBRO DE 2011


E PILARES VIA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA


Rodrigo Peluci de Figueiredo (UFOP)

GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA DA UFOP

Catalogação: [email protected]

S729d Souza, Fernanda de Brito Benvindo. Dimensionamento ótimo de realces abertos / câmaras inclinadas e pilares via

programação matemática não-linear [manuscrito] / Fernanda de Brito Benvindo Souza – 2011.

xi, 59f.: il., color.; grafs.; tabs. Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Peluci de Figueiredo. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Núcleo de Geotecnia - NUGEO. Área de concentração: Geotecnia Aplicada à Mineração.

1. Lavra de minas - Realces abertos - Teses. 2. Lavra subterrânea - Câmaras inclinadas - Teses. 3. Pilares (Mineração) - Teoria da área tributária - Teses. 4. Otimização matemática - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.

CDU: 624.191.86:519.853

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DEDICATÓRIA

À Ana Luíza, minha filha, minha força, minha luz...

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AGRADECIMENTO

A realização deste trabalho se deve ao apoio e colaboração de diversas pessoas, às quais transmito os mais sinceros agradecimentos:

Professor Rodrigo Peluci de Figueiredo, pela orientação e apoio;

Dr. Fábio Soares de Magalhães pela leitura crítica dos textos, incentivo e amizade;

Geólogo Ângelo Zenóbio, responsável pelo meu interesse pela geotecnia, por me ensinar a dar os “primeiros passos”;

Os amigos geólogos Dianne Faria e Alex Freitas e o Eng. Antônio Marçal, pela amizade, companhia e longas horas de estudo;

Aos amigos das empresas TEC3 Geotecnia & Recursos Hídricos, VOGBR Recursos Hídricos & Geotecnia e BVP Engenharia e Projetos, pela compreensão, amizade, apoio e incentivo ao longo de minha “vida profissional”;

Professores do NUGEO/UFOP pelos ensinamentos de grande valia, os quais sempre guardarei comigo;

À Votorantim Metais – Unidade Paracatu, pela autorização de utilização dos dados da mina de Morro Agudo;

Demais amigos espalhados pelo mundo;

Minha família, pelo apoio inabalável, compreensão e incentivo, sem os quais eu não teria conseguido;

Ao Flávio, pela paciência, compreensão, incentivo e apoio incondicional.

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RESUMO Ainda hoje o dimensionamento de vãos e pilares em minas subterrâneas consiste em se definir, por tentativa e erro, um arranjo no qual a estabilidade dos pilares seja garantida por um fator de segurança (FS) previamente arbitrado. Para um dado arranjo, calculam-se as tensões médias atuantes nos pilares (pela teoria da área tributária) e a resistência dos mesmos por alguma fórmula empírica existente. Caso o FS seja satisfeito, a recuperação decorrente do arranjo geométrico proposto é então determinada, não sendo geralmente ótima. Neste trabalho é estudada a utilização de uma metodologia de dimensionamento alternativa inicialmente proposta por Figueiredo & Curi (2003, 2004) onde um problema padrão de Programação Matemática é formulado com o objetivo de maximizar a recuperação respeitando, entretanto, as restrições de segurança dos pilares e os requisitos de estabilidade e tecnológicos/operacionais dos vãos.

Como a recuperação, a resistência dos pilares e de suas fundações, a dimensão dos vãos, etc. são funções, via de regra, não lineares dos parâmetros geométricos do arranjo, tem-se em questão um problema particularmente intrincado de programação não-linear. Utilizando-se fórmulas de resistência consagradas, são apresentados exemplos de solução para arranjos realistas aplicados à lavra por Realces Abertos e por Câmaras e Pilares inclinados. Resultados de estudos paramétricos são relatados, comparando a recuperação por meio da metodologia usualmente utilizada e a metodologia de dimensionamento ótimo proposta. Têm-se, ainda, os resultados avaliados via modelos numéricos por elementos de contorno.

Palavras-chaves: realces abertos, câmaras e pilares inclinados, programação matemática não linear, otimização, teoria da área tributária.

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ABSTRACT To this day the design of arrangements for stopes and pillars in underground mines consists of defining, by trial and error, an arrangement in which the stability of the pillars is guaranteed by a factor of safety (FoS) previously arbitrated. For a given arrangement, the average stress pillar (by tributary area theory) and its strength are calculated by an existing empirical formula. If the FoS is met, the recovery due to the geometric arrangement proposed is then determined, not generally being optimal.

In this paper is studied the use of an alternative design methodology initially proposed by Figueiredo & Curi, (2003, 2004) in which a standard Mathematical Programming problem is formulated with the purpose of maximizing the recovery respecting, however, the pillars´ safety restrictions and the stability requirements and technological/operational of the stopes. Since the recovery, pillar and their foundations´ strength, the stope dimensions, etc. are functions, non-linear as a rule, of the arrangement´s geometrical parameters, there is a particularly intricate problem of non-linear programming.

Using well known strength formulas, it is also presented examples of solutions to realistic arrangements applied to mining by Open Stopes and Inclined Rooms and Pillars. Results of parametric studies are reported, comparing the recovery using the commonly used methodology and the optimal design methodology proposed. Furthermore, there are also the results evaluated by numerical models by boundary elements.

Keywords: open stopes, inclined rooms and pillars, non-linear mathematical programming, optimization, tributary area theory.

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1 1.1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................................... 1 1.2. JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS .................................................................................... 1 1.3. ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO E CONTEÚDO ................................................... 2 CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................... 4 2.1. MÉTODOS DE LAVRA .................................................................................................. 4 2.1.1. Realces Abertos ............................................................................................................. 4 2.1.2. Câmaras e Pilares .......................................................................................................... 5 2.2. DIMENSIONAMENTO DE VÃOS E PILARES ............................................................. 7 2.2.1. Metodologias de dimensionamento (Convencional x Otimizado) ................................ 7 2.2.2. Métodos de dimensionamento ..................................................................................... 11 2.2.2.1. Determinação de Vãos Máximos (Método Empírico de Mathews-Potvin) ............ 12 2.2.2.2. Dimensionamento de Pilares ................................................................................... 17 2.2.2.2.1. Determinação da carga total no pilar – Teoria da Área Tributária (TAT) .............. 17 2.2.2.2.2. Adaptação da TAT para o método de lavra por Realces Abertos ........................... 18 2.2.2.2.3. Força resultante em pilares inclinados (Câmaras e Pilares) .................................... 20 2.2.2.2.4. Métodos Empíricos para determinação da resistência do pilar ............................... 22 CAPÍTULO 3 – DIMENSIONAMENTO ÓTIMO ................................................................ 25 3.1. PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO .................................................. 25 3.1.1. Maximização da recuperação em lavra por Realces Abertos ...................................... 25 3.1.2. Maximização da recuperação em lavra por Câmaras e Pilares (Inclinados) ............... 27 CAPÍTULO 4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ................................................................... 28 4.1. ESTUDO DE CASO I – REALCES ABERTOS SUBVERTICAIS ......................... 28

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4.1.1. Características do corpo mineral ................................................................................. 29 4.1.2. Dimensionamento convencional ................................................................................. 29 4.1.2.1. Dimensionamento de realces ................................................................................... 29 4.1.2.2. Dimensionamento de pilares ................................................................................... 31 4.1.3. Dimensionamento Otimizado ...................................................................................... 34 4.1.4. Análises numéricas e resultados .................................................................................. 40 4.2. ESTUDO DE CASO II – CÂMARAS E PILARES INCLINADOS .............................. 45 4.2.1. Características do maciço rochoso .............................................................................. 46 4.2.2. Considerações sobre o modelo numérico .................................................................... 48 4.2.3. A formulação do modelo de otimização...................................................................... 49 4.2.4. Resultados ................................................................................................................... 52 CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ................................................... 54 5.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 56

ANEXO I – Dedução da fórmula de Mark & Chase (1997) para resistência de pilares retangulares.

ANEXO II – Arquivos em Mathcad.

ANEXO III – Modelos numéricos – Análise de isofaixas de Fatores de Segurança para três realces segundo o eixo Z.

ANEXO IV – Critério de estabilidade ao tombamento.

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LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Estrutura típica de uma lavra por realces abertos (modificado de Potvin (1985)). ..... 5 Figura 2.2: Estrutura típica da lavra por câmaras e pilares em camadas inclinadas: (a) câmaras e

pilares em degraus (step room and pillar – adaptado de Atlas Copco, 2007) (b) câmaras e pilares inclinados (adaptado de Brady & Brown, 1985). ......................... 7

Figura 2.3: Fluxograma com as duas metodologias de dimensionamento: a convencional e a otimizada. ............................................................................................................... 10

Figura 2.4: Métodos de dimensionamento utilizados nesta dissertação. ..................................... 11 Figura 2.5: Gráfico para determinar o Fator A de tensão na rocha (Brady & Brown, 1985). ..... 13 Figura 2.6: Gráfico para determinar o fator B (Brady & Brown, 1985). .................................... 14 Figura 2.7: Gráfico para determinar o fator C (Brady & Brown, 1985). .................................... 14 Figura 2.8: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin (modificado de Hutchinson &

Diederichs, 1996). ................................................................................................... 15 Figura 2.9: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin para projeto de suporte com cabos

na Zona de Transição: (a) malhas; (b) comprimentos (em cores estão as curvas ajustadas); (modificado de Hutchinson & Diederichs, 1996). ................................ 16

Figura 2.10: (a) Arranjo de realces abertos e pilares em 3D; (b) visão segundo o plano xy; (c) visão segundo o plano xz; (d) visão segundo o plano yz. ....................................... 20

Figura 2.11: Forças atuantes em pilares em depósitos horizontais (modificado de Oyangüren et

al., 1984). ................................................................................................................ 21 Figura 2.12: Forças atuantes em pilares em depósitos inclinados (modificado de Oyangüren, et

al. 1984). ................................................................................................................. 22 Figura 4.1: Representação da estrutura da mina a ser analisada neste estudo de caso. ............... 30 Figura 4.2: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 20

(minério). ................................................................................................................ 32 Figura 4.3: Gráfico com os ganhos na recuperação obtidos utilizando-se as fórmulas de

resistência de Lunder & Pakalnis e de Mark & Chase. .......................................... 40 Figura 4.4: Vista em perspectiva do modelo de elementos de contorno para geometria

apresentada na Ficha 03 (8.320 elementos triangulares com interpolação linear de deslocamentos). ...................................................................................................... 41

Figura 4.5: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 40 (rocha encaixante). .................................................................................................. 42

Figura 4.6: Resultado em termos de isofaixas de Fatores de Segurança sobre as superfícies escavadas (Ficha 03), obtidas pelo dimensionamento: (a) convencional (X=30; Y=50; Z=100) e (b) otimizado (X=30; Y=30; Z=195). ............................................ 43

x

Figura 4.7: Resultado em termos de isofaixas de Fatores de Segurança em planos de corte nos pilares (Ficha 03), obtidas pelo dimensionamento: (a) convencional (Wy=14,6; Wz=21,0) e (b) otimizado (Wz=7,4; Wz=8,0) ........................................................... 44

Figura 4.8: Resultados para lavra em camada única, com altura média de 5 m, no nível 616, com pilares de 6 x 6 m. Vista de topo apresentando isofaixas de FS e volumes com FS < 1 (em amarelo). ....................................................................................................... 48

Figura 4.9: Geometria do exemplo de Morro Agudo para camada com 5 m de altura média e pilares de 6 x 6 m. Todas as dimensões em metros. ............................................... 49

Figura 4.10: Variação das cargas com o número de pilares, para painéis profundos em relação à sua extensão. A carga fornecida pela área tributária é dada pela linha horizontal preta e a fornecida pelo modelo Hoper & Menzel é representada pela curva/pontos de cor azul (apud Udd, 1969). ................................................................................ 51

Figura 4.11: Resultado obtido com o modelo de otimização implementado em MathCad para o caso de Morro Agudo, para uma camada com altura média de 5 metros, no nível 616. ......................................................................................................................... 52

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LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Algumas expressões para determinação da resistência do pilar. .............................. 23 Tabela 4.1: Dimensões “Z” de realces para 150m de profundidade. ........................................... 30 Tabela 4.2: Dimensões “Z”de realces para 250m de profundidade. ........................................... 30 Tabela 4.3: Dimensões “Z” de realces para 350m de profundidade. .......................................... 30 Tabela 4.4: Largura dos rib pillars para profundidade de 150m ................................................. 33 Tabela 4.5: Largura dos rib pillars para profundidade de 250m. ................................................ 33 Tabela 4.6: Largura dos rib pillars para profundidade de 350m. ................................................ 33 Tabela 4.7: Espessuras mínimas de sill pillars para espessura de minério de 10, 20 e 30m. ...... 34 Tabela 4.8: Fichas Respostas das análises de otimização obtidas pelo software Mathcad. ........ 36 Tabela 4.9: Resultado das recuperações: Dimensionamento Tradicional x Dimensionamento

Otimizado. .............................................................................................................. 39 Tabela 4.10: Parâmetros geomecânicos utilizados nos modelos numéricos, para minério (pilar) e

rocha encaixante (realce). ....................................................................................... 42 Tabela 4.11: Resultados limítrofes (dimensões recomendadas dos pilares) para a lavra do corpo

isolado (JK) no nível 616. ....................................................................................... 46 Tabela 4.12: Propriedades mecânicas do dolarenito para um GSI = 79, com dano pelas

detonações igual a 0.8. ............................................................................................ 47

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LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES

σv Tensão vertical σp Tensão no pilar At Área total do jazimento Ap Área do pilar R Recuperação γ Peso específico da rocha zp Profundidade Kx e Ky Coeficientes de empuxo lateral (razão das tensões in situ) FS Fator de segurança X Largura do realce Y Altura do realce Z Comprimento do realce Wx Dimensão do pilar segundo a direção x Wy Dimensão do pilar segundo a direção y Wz Dimensão do pilar segundo a direção z θ Mergulho do corpo mineralizado α Inclinação do eixo do pilar com relação ao corpo mineralizado Wp Largura do pilar (câmaras e pilares) Wo Largura da câmara C Resistência à compressão uniaxial do maciço c Coesão ϕ Ângulo de atrito H Altura do pilar (câmaras e pilares) nx Número de pilares segundo a direção x ny Número de pilares segundo a direção y σcm Resistência global do maciço RH Raio hidráulico

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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1.1. APRESENTAÇÃO

Ainda hoje o dimensionamento de arranjos de câmaras/realces e pilares em minas subterrâneas é feito principalmente pela teoria da área tributária e fórmulas empíricas de resistência. O procedimento consiste em definir, por tentativas e erros, um arranjo no qual a estabilidade da mina seja garantida por um fator de segurança previamente arbitrado.

A estrutura de uma mina subterrânea, independente do método de lavra empregado, é distribuída basicamente em realces ou câmaras, que são aberturas onde as operações de produção são conduzidas, e pilares, os quais são remanescentes de minério deixados in

loco cuja finalidade é servir de suporte para a estrutura global da mina. Esse abandono de minério tem implicações óbvias sobre a recuperação final do jazimento, ou seja, no aproveitamento da jazida.

Devido às restrições em todo mundo, principalmente no que tange a questões legais, ambientais e de segurança, é requerido um rígido controle das condições geomecânicas do maciço e um efetivo planejamento de dimensões seguras tanto dos pilares quanto dos vãos. Isso impõe, por outro lado, restrições à máxima recuperação possível do jazimento, que comumente ficará entre 50 e 60 % no caso de realces abertos e 40 a 50 % para câmaras e pilares (dependendo da profundidade, tensões in situ, resistência do maciço rochoso, etc.), quando não houver recuperação posterior dos pilares. Em função disso, tais operações de lavra ficarão cada vez mais restritas, a menos que se possa dimensionar de forma otimizada o respectivo arranjo de realces/câmaras e pilares, de forma a auferir o máximo aproveitamento da jazida.

1.2. JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS

A proposta desta dissertação é adotar uma abordagem alternativa para o dimensionamento de estruturas de lavra (Figueiredo & Curi, 2003, 2004; Brandão, 2005), de forma que se obtenha a máxima recuperação da jazida com os níveis de segurança normalmente requeridos.

A idéia consiste em formular o dimensionamento dos realces/câmaras e pilares como um problema padrão de Programação Matemática Não-Linear (Bazaraa et al., 1993) no

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qual o objetivo é maximizar a recuperação satisfazendo, todavia, as restrições impostas por questões operacionais/tecnológicas e geomecânicas. Essas últimas implicam respeitar os vãos máximos e dimensões mínimas de pilares que levem a um adequado Fator de Segurança e maximizem a recuperação, tendo em vista ser esse um dos objetivos básicos da engenharia de minas.

Para tanto existem diversas alternativas de cálculo, seja para o estabelecimento dos vãos máximos, seja para a determinação das tensões médias atuantes no pilar. Deve-se frisar que, apesar de algumas técnicas serem mais utilizadas que outras, não implica, necessariamente, que sejam mais ou menos apropriadas. A aplicabilidade de cada uma varia de acordo com as respectivas hipóteses de base.

Dentre os principais objetivos deste trabalho estão:

• Utilizar a Programação Matemática Não-Linear como ferramenta de otimização da recuperação no dimensionamento de minas subterrâneas operadas pelos métodos de realces abertos e câmaras e pilares (para corpos de minério inclinados);

• Comparar e estabelecer quais critérios, dentre alguns dos existentes na literatura, permitem dimensionar vãos e pilares levando à obtenção de uma melhor recuperação do jazimento, sem que com isso haja o comprometimento da estrutura global da mina;

• Validar, através de confrontação, os resultados obtidos pela metodologia de otimização proposta com modelos numéricos tridimensionais, de elementos de contorno, além da sua comparação com casos hipotéticos e/ou reais descritos na literatura.

1.3. ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO E CONTEÚDO

Esta dissertação está dividida em cinco capítulos, conforme segue:

• Capítulo 1 – INTRODUÇÃO - Parte inicial da dissertação com a apresentação do trabalho proposto, objetivos e justificativas para a escolha do tema proposto;

• Capítulo 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA – Apresentação de um breve resumo dos métodos de lavra trabalhados nesta dissertação, bem como dos principais

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métodos para determinação de vãos e pilares hodiernamente utilizados;

• Capítulo 3 – MODELOS DE OTIMIZAÇÃO - É apresentada a metodologia para o dimensionamento otimizado dos realces/câmaras e pilares, sendo descritas as adaptações feitas para a aplicação a cada um dos métodos de lavra aqui estudados;

• Capítulo 4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO - Aplicação da otimização em estudos de caso para o método de lavra por Realces Abertos e para Câmaras e Pilares para minério inclinado. No primeiro, para uma mina hipotética, é feita uma comparação entre os resultados de recuperação obtidos utilizando-se as duas formas de dimensionamento: a convencional e a proposta nesta dissertação. No segundo, é aplicada a metodologia de otimização à mina de Morro Agudo, da Votorantim Metais, e seu resultado comparado com uma análise numérica 3D do arranjo de lavra utilizado na mina.

• Capítulo 5 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES – Apresentação das conclusões e recomendações para estudos futuros.

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CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. MÉTODOS DE LAVRA

A escolha do método de lavra é um fator de extrema importância para o resultado econômico de uma mina, em que uma opção inadequada pode ter efeitos negativos e até abortivos para o projeto de explotação. Ela depende, em grande parte, da localização e forma do depósito mineral, além de outras condicionantes como profundidade, características mecânicas e tensões in situ atuantes no maciço. Sendo assim, deve-se sempre escolher uma opção segura e, ao mesmo tempo, o mais econômica possível. Nesta dissertação foram selecionados dois métodos a serem estudados com os modelos de otimização: o método de lavra por Realces Abertos (Open Stopes) e o de Câmaras e Pilares (Room and Pillars). Para esse último em casos específicos de corpos de minério levemente inclinados. As principais características desses métodos estão apresentadas a seguir.

2.1.1. Realces Abertos

A lavra por Realces Abertos é um método de alta-produção aplicável a grandes corpos de minério, com alto ângulo de mergulho, sendo que esses e seus maciços encaixantes devam requerer pouco ou nenhum suporte. Apesar de seu alto custo de implantação, este método de lavra é amplamente utilizado por apresentar alta produtividade e bons rendimentos com respeito ao aproveitamento da jazida mineral.

Para a aplicação deste método, o corpo de minério típico deve possuir bordas relativamente regulares, ser suficientemente grande, competente e com encaixantes auto-sustentáveis ou que necessite de um suporte artificial leve, com cabos, por exemplo. A resistência da rocha pode variar amplamente, pois pode ser compensada pelo design, mas varia a partir de um limite mínimo de 55MPa (8000 psi), sem limite superior (Haycocks & Aelick, 1992). O mergulho do footwall do corpo de minério deve ser tal que exceda o ângulo de atrito do minério fragmentado, de forma a permitir um fluxo por gravidade até os drawpoints.

Os equipamentos de grande porte utilizados restringem a espessura mínima do corpo de minério a ser lavrado, enquanto que os altos custos de desenvolvimento da mina exigem que a taxa de produção seja mantida elevada (Haycocks & Aelick, 1992).

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Neste método, os vãos são frequentemente grandes, particularmente na direção vertical, e encontram-se separados por pilares de suporte. Esses pilares são chamados rib pillars, quando segundo o mergulho do corpo ou verticais e sill pillars, quando segundo a direção do corpo, portanto, horizontais. A Figura 2.1 apresenta a estrutura típica de uma lavra por realces abertos.

Figura 2.1: Estrutura típica de uma lavra por realces abertos (modificado de Potvin (1985)).

2.1.2. Câmaras e Pilares

A lavra por Câmaras e Pilares caracteriza-se por ser um método de médio custo, alta produtividade, facilmente mecanizado e com o design relativamente simples. É utilizado em depósitos subhorizontais a levemente inclinados (mergulhos inferiores a 30°), de minério e rochas razoavelmente competentes, aonde o vão dos tetos é delimitado pelos pilares. As operações de produção são realizadas no interior do corpo mineral em aberturas regularmente espaçadas, denominadas câmaras, que, além de fonte de minério servem a múltiplos propósitos, a saber: acesso de pessoal, vias de transporte, circulação de ar, etc. Entre tais aberturas ficam os pilares, que suportam a coluna de rocha sobrejacente e delimitam os vãos dos tetos das câmaras. Os mesmos são dispostos em

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um padrão normalmente regular para simplificar o planejamento, design e operação da mina, mas podem apresentar variadas formas, sendo geralmente quadrados ou retangulares (Haycocks & Aelick, 1992).

O minério abandonado sob a forma de pilares é geralmente considerado irrecuperável e, quando recuperável, deve-se recorrer à utilização de backfill. Nestes casos, os custos relativos à sua utilização ou a potencial perda de recursos pode ser um fator limitante à aplicação do método em profundidades elevadas.

As dimensões das câmaras e pilares dependem, em grande parte, do projeto da mina, o qual inclui parâmetros intrínsecos às características do depósito, tais como resistência do minério, espessura do depósito, profundidade da mina, dentre outros. Um requisito importante é que a parede da câmara seja relativamente competente durante um curto período de tempo ou passível de suporte com rock bolts que poderão ser usados extensivamente em câmaras e pilares. O método é particularmente adequado para depósitos acamadados de espessura moderada (2 a 6 metros) tais como carvão, sal, potássio e calcário.

De particular interesse nesta dissertação, é a aplicação desse método de lavra a camadas inclinadas. A Figura 2.2 ilustra, esquematicamente, as duas principais variantes do método nessa circunstância. A primeira, apresentada na Figura 2.2a, ilustra o chamado step room and pillar (câmaras e pilares em degraus), a qual permite que os equipamentos (geralmente, de grande porte) trabalhem em um piso nivelado. Na segunda variante, apresentada na Figura 2.2b, o minério é extraído acompanhando o mergulho do corpo.

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(a)

(b)

Figura 2.2: Estrutura típica da lavra por câmaras e pilares em camadas inclinadas: (a) câmaras e pilares em degraus (step room and pillar – adaptado de Atlas Copco, 2007) (b) câmaras e pilares

inclinados (adaptado de Brady & Brown, 1985).

2.2. DIMENSIONAMENTO DE VÃOS E PILARES

2.2.1. Metodologias de dimensionamento (Convencional x Otimizado)

O dimensionamento de um arranjo geométrico de realces/câmaras e pilares é geralmente conduzido de forma que, primeiramente, são determinadas as dimensões dos vãos. Caso os vãos estabelecidos sejam auto-sustentáveis passa-se ao dimensionamento dos pilares;

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do contrário, ou as dimensões são revistas alterando-se as condições operacionais, ou é prevista a utilização de algum tipo de suporte, conforme o mais conveniente economicamente (Figueiredo & Curi, 2004). O estabelecimento dos vãos máximos pode ser feito de várias maneiras como, por exemplo, utilizando-se a teoria das lajes elásticas (Goodman, 1989), o método empírico de Mathews-Potvin (raio hidráulico) (Potvin et al. 1989) ou o método das lajes/vigas de Voussoir (Brady & Brown, 2004), dentre outros.

As dimensões dos pilares são calculadas de maneira a satisfazer, com adequada margem de segurança, a sua função de suporte estrutural da mina. Para tanto, há que se estabelecer previamente (Figueiredo & Curi, 2003, 2004):

(i) uma maneira de se calcular a carga total ou tensão média atuante no pilar;

(ii) expressões que forneçam a resistência do pilar em função de suas dimensões, forma e características geomecânicas do material do qual é constituído e,

(iii) um valor de Fator de Segurança adequado, o qual vem a ser critério de projeto.

No que diz respeito ao item (i) utiliza-se na prática da mineração principalmente a teoria da área tributária, para (ii) são empregadas basicamente fórmulas empíricas de resistência (Brady & Brown, 2004) e para (iii) adotam-se valores consagrados pela prática, obtidos através de retro-análises de casos históricos (Figueiredo & Curi, 2003, 2004). Apesar da ampla utilização da teoria da área tributária para o cálculo da carga total ou tensão média atuante no pilar, outros critérios alternativos são possíveis, como o método da Convergência-Confinamento (Gill et al., 1994), o método de Coates (Coates, 1981) e a abordagem de vigas sobre base elástica (Salamon,1976).

O dimensionamento otimizado

Na metodologia proposta por Figueiredo & Curi, (2003, 2004) e utilizada por Brandão (2005), diferentemente do usual, empregam-se técnicas de Programação Matemática Não-linear (Arora, 1988; Bazaraa et al., 1993) para maximizar a recuperação, que passa a ser o objetivo principal no dimensionamento de pilares. As estabilidades de vãos e pilares, satisfazendo a fatores de segurança estabelecidos, passam a ser vistas como

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restrições, impostas pelos condicionantes geomecânicos, à maximização da recuperação. Para tanto, os autores propõem um problema padrão de Programação Matemática, no qual a função objetivo é a recuperação, e apresentam exemplos da aplicação da metodologia utilizando, para determinação da carga no pilar, a teoria da área tributária e para a estimativa da resistência, fórmulas empíricas como as de Merwe (1999), Mark & Chase (1997) e Obert & Duvall (1967, in Figueiredo & Curi, 2004).

Nos referidos trabalhos, os problemas foram codificados para resolução no software comercial LINGO 7.0, que utiliza as condições de Kuhn-Tucker (Arora, 1988) para transformar o problema padrão de programação matemática em um problema de otimização sem restrições. Por meio de um algoritmo iterativo de linearizações locais sucessivas e, empregando, seqüencialmente, o algoritmo Simplex (Arora, 1988) em cada uma delas, o problema padrão é solucionado de modo eficiente.

A formulação do problema de programação matemática (Bazaraa et al., 1993 (in

Figueiredo & Curi, 2004)), encontra-se apresentada a seguir:

Otimize: ��

Sujeito a: �� ≤ 0, � = 1, … , �; ℎ�� = 0, � = 1, ... , p

�� ≤ �� ≤ �� e

�� ∈ ��

Onde �� = ��, ��, … , ��ɩ é o vetor de n-dimensões das variáveis de projeto; �� é a função objetivo a ser otimizada; �� ≤ 0 são as m restrições de desigualdade; ℎ�� = 0 são as p restrições de igualdade; �� ≤ �� ≤ �� são as restrições de domínio e �� ∈ �� são as restrições de tipo das variáveis (reais, inteiras, etc.).

No caso do problema em questão, a recuperação, em função das dimensões dos vãos e pilares, é a função-objetivo a ser maximizada. As restrições são funções que também envolvem essas mesmas dimensões. São estabelecidas a partir das condições geomecânicas de segurança, como resistência dos pilares e vãos adequados, e de prescrições operacionais e/ou tecnológicas, tais como área mínima para ventilação adequada, gabarito apropriado para tráfego dos equipamentos de carga, dentre outros.

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Os passos necessários ao dimensionamento pelas metodologias aqui apresentadas são mostrados nos fluxogramas da Figura 2.3.

Figura 2.3: Fluxograma com as duas metodologias de dimensionamento: a convencional e a otimizada.

Resumidamente, no dimensionamento convencional, após aplicação dos métodos adotados para definição das dimensões dos realces/câmaras e pilares, é obtido um resultado preliminar que posteriormente é verificado por modelagem numérica. Geralmente as dimensões resultantes são conservadoras e exigirão alterações iterativas que serão remodeladas numericamente, num processo de tentativas e erros, no qual não há nenhuma garantia de obtenção da máxima recuperação possível. Já na otimização, as dimensões preliminares resultantes serão aquelas que fornecem, de acordo com os

DIMENSIONAMENTO CONVENCIONAL

DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO

Definição das dimensões das câmaras/realces

Definição das dimensões dos pilares

RESULTADO PRELIMINAR

Análises numéricas

Redimensionamento por tentativas e erros

RESULTADO

Definição das dimensões das câmaras/realces

Definição das dimensões dos pilares

Otimização

Análises numéricas

RESULTADO

11

métodos adotados, a máxima recuperação. Portanto, não deverão ser tão conservadoras quanto no dimensionamento convencional. Em conseqüência, a verificação subseqüente por modelagem numérica tenderá a corroborar a dimensão inicial ou, eventualmente, indicará somente um “ajuste fino” das dimensões. Dessa forma, elimina-se o tedioso trabalho de remodelagem por tentativas e erros, que, além do mais, não garante uma recuperação ótima ao final do processo. No dimensionamento ótimo, as técnicas computacionais próprias da Programação Matemática tornam o processo praticamente automático, garantindo sempre a obtenção da melhor recuperação possível.

2.2.2. Métodos de dimensionamento

A seguir serão apresentados, dentre os diversos métodos existentes, os que serão utilizados para determinação dos vãos e pilares nesta dissertação, os quais se encontram apresentados resumidamente na Figura 2.4.

Figura 2.4: Métodos de dimensionamento utilizados nesta dissertação.

Ressalta-se que não se pretende aqui detalhar os métodos escolhidos. Dessa forma, aconselha-se, para melhor entendimento dos mesmos, um retorno às bibliografias respectivas, as quais encontram-se aqui mencionadas.

É importante salientar que cada método existente foi desenvolvido considerando

Realces

Método empírico de Mathews-

Potvin

Pilares

Carga no pilar

Teoria da área tributária

Resistência do pilar

Fórmula de Lunder &

Pakalnis (1997)

Fórmula de Mark & Chase (1997)

Fórmula de Obert & Duvall

(1967)

Fator de segurança

Retroanálise de casos históricos

12

características pré-estabelecidas do maciço rochoso e/ou assumindo certas hipóteses. Dessa forma, deve-se sempre estar atento às mesmas antes da aplicação da metodologia.

2.2.2.1. Determinação de Vãos Máximos (Método Empírico de Mathews-Potvin)

Método proposto originalmente por Mathews et al. (1980) para minas subterrâneas lavradas por realces abertos com profundidades maiores que 1.000m. Sua proposição inicial foi baseada em uma quantidade de dados relativamente pequena. Após a ampliação significativa da base de dados, principalmente para minas com profundidades menores que 1.000m, várias modificações foram propostas por Potvin et al. (1989), Stewart & Forsyth (1995) e Trueman et al. (2000).

O método baseia-se na determinação de dois fatores: o Número de Estabilidade, N’, e o Fator de Forma, S. Esses dois, em conjunto, permitem, por meio de um gráfico, delimitar zonas de vãos estáveis e instáveis.

O Número de Estabilidade é função, inicialmente, do parâmetro Q’, por sua vez, modificado do índice Q, do sistema de classificação para túneis proposto por Barton et

al. (1974). O valor de Q’ é dado por:

�� = �� ! " (2.1)

onde,

RQD é o índice de designação da qualidade da rocha (Rock Quality Designation);

Jn é índice de influência do numero de famílias das descontinuidades;

Jr é o índice de influência da rugosidade das paredes das descontinuidades;

Ja é o índice de influência da alteração das paredes das descontinuidades.

O valor de N’ é então dado por

#′ = ��. &. '. ( (2.2) onde,

A é um fator de tensão na rocha;

B é um fator de orientação das descontinuidades e

13

C é um fator de ajuste gravitacional.

O fator A é determinado por meio da razão da resistência da rocha intacta, σc, pela tensão induzida, σi (Figura 2.5), ou seja,

& = )*)� (2.3)

A tensão induzida, σi, pode ser obtida por análise numérica de tensões ou estimada a partir de soluções analíticas para a distribuição de tensões, publicadas na literatura.

Figura 2.5: Gráfico para determinar o Fator A de tensão na rocha (Brady & Brown, 1985).

O fator B ajusta a orientação das famílias de descontinuidades dominantes com relação à superfície da escavação, e é estimado conforme a Figura 2.6.

O fator C reflete o efeito que a orientação do realce tem na estabilidade, considerando o efeito da gravidade, e é determinado pela Figura 2.7.

O Fator de Forma, também conhecido como Raio Hidráulico (HR), é determinado pela relação entre área da face do realce e seu perímetro, ou seja,

+ = á-./0.-í�.2-3 (2.4)

14

Figura 2.6: Gráfico para determinar o fator B com base na orientação da família de

descontinuidades dominante (Brady & Brown, 1985).

Figura 2.7: Gráfico para determinar o fator C (Brady & Brown, 1985).

15

Conhecido N’ pode-se determinar graficamente um raio hidráulico (HR) correspondente à estabilidade da face para as condições autoportante ou com suporte. O gráfico original de Mathews consistia em três zonas separadas por bandas transicionais. Após as modificações, Potvin et al.(1989) estabeleceu uma zona estável sem suporte, uma zona instável, as quais foram demarcadas por linhas e separadas por uma zona de transição, na qual é factível o suporte com cabos. A Figura 2.8 mostra o gráfico em questão. A Figura 2.9a apresenta os espaçamentos da malha de cabos apropriada a pares de N’ e HR e a Figura 2.9b os comprimentos correspondentes dos mesmos, conforme proposto por Hutchinson & Diederichs (1996).

Figura 2.8: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin (modificado de Hutchinson &

Diederichs, 1996).

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Raio hidráulico da face (HR) - m

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

Núm

ero

de e

sta

bili

dade m

odific

ado (

N')

HC

SCLC

HC = high confidenceSC = some confidenceLC = low confidence

Suporte não requerido

Suporte inviável: ruptura

16

(a)

(b)

Figura 2.9: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin para projeto de suporte com cabos na Zona de Transição: (a) malhas; (b) comprimentos (em cores estão as curvas ajustadas); (modificado

de Hutchinson & Diederichs, 1996).

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00Raio hidráulico da face (HR) - m

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

Núm

ero

de e

sta

bili

dade m

odific

ado (

N')

2-2

.5 m

1.5

-2 m

1-1

.5 m

<1 m

Espaçamento de projeto (m):malha quadrada equivalente

Vãos equivalentes: face quadrada (túnel)

20x20 (10)

40x40 (20)

60x60 (30)

80x80 (40)

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Raio hidráulico da face (HR) - m

0.1

1.0

10.0

100.0

1000.0

Núm

ero

de

esta

bili

da

de

mo

dific

ad

o (

N')

Comprimento de projeto (m) para cabos (malha regular)

4-6

m

6-9

m

9-1

3 m

13-1

8 m

17

2.2.2.2. Dimensionamento de Pilares

2.2.2.2.1. Determinação da carga total no pilar – Teoria da Área Tributária (TAT)

A teoria da área tributária é a mais simplista e conservadora dentre as hipóteses existentes para a determinação da tensão média ou carga atuante no pilar. Baseia-se exclusivamente em noções elementares de equilíbrio estático, originariamente, apenas para a direção vertical (Brady & Brown, 1985).

A tensão média em um pilar para arranjos uniformes de pilares pode ser representada, de uma maneira geral por:

)4 = 5A7A89 . ): (2.5)

Onde ): é a tensão vertical in situ, perpendicular à seção resistente, At é a área total do jazimento (área lavrada + área dos pilares) e Ap a área dos pilares. Variando-se o arranjo uniforme, variar-se-á apenas a razão entre a área total do jazimento e a área abandonada em pilares.

Observa-se que a tensão média no pilar, sendo uma função da razão entre a área total do jazimento e a área abandonada em pilares, é uma função da própria recuperação, R, como segue (Brady & Brown, 1985):

)4 = ):�1 − R� (2.6)

Para os dois métodos de lavra estudados nesta dissertação foi necessária uma adaptação dessa teoria para cálculo do carregamento no pilar, de forma a considerar as especificidades de cada método de lavra analisado. Para Realces Abertos devem ser considerados os carregamentos em cada uma das direções principais das tensões in situ. Já para o carregamento em câmaras inclinadas e pilares, uma força resultante no plano da camada de minério deve ser calculada. A seguir estão apresentadas as adaptações feitas para cada método.

18

2.2.2.2.2. Adaptação da TAT para o método de lavra por Realces Abertos

Quando consideramos o método de lavra Realces Abertos, temos pilares que são carregados segundo três direções diferentes no espaço. O cálculo das cargas desses pilares deve ser adaptado de forma a levar em consideração as tensões atuantes em cada uma dessas três direções. Eventualmente, tais direções podem coincidir com as direções principais. Suponhamos tal coincidência e que as direções principais se alinhem segundo os eixos x, y e z (Figura 2.10). Impondo as condições de equilíbrio de forças nessas direções teremos:

= >? = 0 ⇨ )? ABC + EF�BG + H� = )?IJJJJ�HBC + KBG + BCBG� (2.7a)

= >C = 0 ⇨ )C �B? + K��BG + H� = )CIJJJJ�KBG + HB? + B?BG� (2.7b)

= >G = 0 ⇨ )G �B? + K�ABC + EF = )GIJJJJ�EB? + KBC + B?BC� (2.7c)

onde )� é a tensão in situ segundo a direção i (i = x, y ou z) e )GIJJJJ é a tensão média no pilar segundo a direção z e assim por diante para as demais direções.

As tensões )� das equações (2.7a), (2.7b) e (2.7c) são as tensões principais in situ, supostamente atuantes nas direções x, y e z. Para a direção vertical y, o valor é normalmente estimado pela hipótese litostática usual (Brady & Brown, 2004), ou seja, considerando apenas o peso do maciço rochoso sobrejacente, conforme:

)C = L. M0 (2.8)

onde γ é o peso específico das rochas sobrejacentes e zp a profundidade.

Para as direções principais relativas ao plano horizontal (x e z), o valor pode ser estimado como

)? = N?. )C e )G = NG . )C (2.9a) e (2.9b)

onde N? e NG são coeficientes de empuxo lateral. Nesta dissertação tais coeficientes foram calculados conforme as expressões propostas por Sheorey (1994).

19

Ressalta-se que para a utilização dessa teoria na obtenção da tensão axial no pilar deve-se atentar às diversas limitações implícitas ao procedimento (Brady & Brown, 1985), tais como:

• A tensão média no pilar é puramente uma quantidade conveniente para representar o estado de carregamento do pilar em uma direção dada;

• A teoria da área tributária se restringe à análise da componente de tensão normal (pré-lavra) atuante paralelamente ao eixo dos pilares. A suposição, implícita, de que outras componentes do campo de tensões não têm efeito no desempenho dos pilares, geralmente não é verdadeira;

• O efeito da localização do pilar dentro do corpo do minério é ignorado. Assim, pilares centrais receberiam o mesmo carregamento que pilares próximos aos limites do corpo (abutments), o que não é verdadeiro.

De maneira geral, a teoria da área tributária só é aproximadamente correta quando houver grande extensão de lavra e, portanto, grande número de pilares e a profundidade for pequena em relação àquela extensão.

Ressalta-se que, na adaptação da teoria da área tributária aqui apresentada, consideram-se todas as direções principais e seus respectivos carregamentos. Da mesma forma, restrições às dimensões dos pilares, conforme as suas resistências e carregamentos, têm que ser impostas. Assim, para as direções x, y e z, podem-se escrevê-las como segue:

)O?ABC, K, HF ≥ >+. )?I JJJJ�E, H, BC, BG�

)O?�BG, K, E� ≥ >+. )?I JJJJ�E, H, BC, BG�

)OC�B?, E, H� ≥ >+. )CI JJJJ�K, H, B?, BG�

)OC�BG, E, K� ≥ >+. )CI JJJJ�K, H, B?, BG�

)OG�B?, H, E� ≥ >+. )GI JJJJ�E, K, B?, BC�

)OGABC, H, KF ≥ >+. )GI JJJJ�E, K, B?, BC�

(2.10)

onde FS é um Fator de Segurança pré-definido, σRi é a resistência do pilar com eixo na

20

direção i (= x, y e z) e Piσ é a tensão média no pilar nessa mesma direção.

(a) (b)

(c) (d) Figura 2.10: (a) Arranjo de realces abertos e pilares em 3D; (b) visão segundo o plano xy; (c) visão

segundo o plano xz; (d) visão segundo o plano yz.

2.2.2.2.3. Força resultante em pilares inclinados (Câmaras e Pilares)

Um estudo que discute as tensões em pilares, tendo em conta a inclinação do depósito, é o de Oyangüren et al. (1984). Neste estudo foram analisados três casos distintos: (1) depósitos horizontais (e pilares verticais), (2) depósitos inclinados e pilares normais às camadas da rocha e (3) depósitos inclinados e pilares inclinados com relação à normal das camadas.

21

Para (1), está representada na Figura 2.11, a distribuição das tensões verticais em uma seção média horizontal. Neste caso, como os pilares estão submetidos à compressão em sua totalidade, se forem suficientemente esbeltos (altura/largura maior que 1,5), os cálculos de resistência se fazem tendo em conta que o pilar trabalha à compressão simples. Para (2) a distribuição das tensões nos pilares é definida pela soma de duas componentes: a vertical devida ao peso (área tributária) e uma horizontal, devida ao empuxo lateral do terreno, conforme apresentado na Figura 2.12(a).

Para (3) é apresentada uma formulação, devida a Troumbatchev & Melnikov (1964), onde é determinada uma inclinação ótima dos pilares, para que a distribuição de tensões seja o mais uniforme possível, aproveitando, assim, ao máximo, a sua capacidade de suporte. Para tanto, considerando uma inclinação α do eixo dos pilares com relação à normal ao depósito, o valor ótimo deste ângulo é obtido fazendo-se a direção da força resultante sobre o pilar tornar-se paralela ao seu eixo (Figura 2.12(b)). O valor da tensão no pilar apresentada é:

) = L . M . AB4 + BQFB4 cos U VW3X�Y + N� X.Z�Y (2.11)

Sendo θ o mergulho do corpo mineralizado, α a inclinação do eixo do pilar com relação à normal ao depósito, B4 e BQ a largura do pilar e o vão, respectivamente e K o coeficiente de empuxo lateral das tensões in situ.

Figura 2.11: Forças atuantes em pilares em depósitos horizontais (modificado de Oyangüren et al.,

1984).

22

(a)

(b)

Figura 2.12: Forças atuantes em pilares em depósitos inclinados (modificado de Oyangüren, et al. 1984).

2.2.2.2.4. Métodos Empíricos para determinação da resistência do pilar

Um dos principais programas de investigação da resistência de pilares iniciou-se na década de 60, após o desastre de Coalbrook, uma mina de carvão na África do Sul onde 900 pilares entraram em colapso resultando em perda de equipamentos e vidas. Um dos principais objetivos da pesquisa era estabelecer a resistência in situ de pilares de carvão. Utilizando retro-análises, Salamon & Munro (in Martin & Maybee, 2000) analisaram 125 casos históricos envolvendo pilares de carvão colapsados e propuseram que a resistência do pilar poderia ser adequadamente determinada utilizando a fórmula

)4 = (. B[\] (2.12)

onde )4 (MPa) é a resistência do pilar, C (MPa) é a resistência do volume unitário de rocha, α e β são constantes empíricas, e W e H são, respectivamente, a largura e altura do pilar em metros.

23

Desde 1972, diversas tentativas para se estabelecerem fórmulas de resistência no pilar, utilizando retro-análises foram realizadas. Algumas se encontram apresentadas na Tabela 3.1.

Tabela 2.1: Algumas expressões para determinação da resistência do pilar.

Autor Fórmula de resistência do pilar (MPa)

σc (MPa) Maciço rochoso No de

pilares Hedley & Grant

(1972) 133 . B_,`E_,a` 230 Quartzitos 28

Von Kimmelmann et al. (1984) 65 . B_,de

E_,ee 94 Metassedimentos 57

Obert & Duvall (1967) b ( f0,778 + 0,222 BE j - - -

Krauland & Soder (1987) 35,4 f0,778 + 0,222 BE j 100 Calcários 14

Potvin et al. (1989) 0,42 . )* BE - Rochas do Canadá 23

Sjöberg (1992) 74 f0,778 + 0,222 BE j 240 Calcários/Escarnitos 9

Lunder & Pakalnis (1997) 0,44 )* �0,68 + 0,52l� - Rochas duras 178a

Mark & Chase (1997) ( m0,64 + 0,54 fBK j − 0,18 5B�

KE 9n - - - a Banco de dados compilados de fontes publicadas incluindo as listadas nesta tabela. Fonte Martin & Maybee (2000) - modificado. b in Figueiredo & Curi, 2003.

As expressões empíricas utilizadas para a determinação da resistência de pilares são amplamente aceitas e, conforme pode ser observado, são função da resistência do próprio minério, da sua forma geométrica (esbeltez) e volume. Não obstante, a imensa maioria dessas expressões é limitada a pilares com seção resistente equidimensional. Pilares com seção não equidimensional (retangulares ou alongadas), como os rib pillars, apenas recentemente tem sido alvo de estudos específicos com o intuito da obtenção de expressões de resistência apropriadas (Mark & Chase,1997).

Como fórmulas de resistência para Câmaras e Pilares, foram utilizadas nesta dissertação fórmulas do tipo daquela proposta por Obert & Duvall (1967), a saber:

)O = ( o/ + p fB4\ jq (2.13)

Onde C é a resistência in situ de um cubo da rocha constituinte do pilar; a e b são

24

constantes adimensionais (tal que / + p = 1), Wp é a largura e H é a altura do pilar.

Para os pilares retangulares do método de Realces Abertos, duas expressões foram utilizadas, a saber: Lunder & Pakalnis (1997) e Mark & Chase (1997) (ver Tab. 2.1).

A expressão de Lunder & Pakalnis é uma expressão semi-empírica, desenvolvida especificamente para rib pillars. Foi estabelecida empiricamente, com base no registro de casos históricos de minas canadenses e computacionalmente, por elementos de contorno (Brady & Brown, 1985), através de estudos que visavam quantificar o efeito do confinamento decorrente da esbeltez do pilar. Na Tabela 2.1, k é uma função da esbeltez dado por

l = tan uvwW3Xx�

yzz{1 − 0,46 |log |�K� + 0,75��,d/|��

1 + 0,46 |log |�K� + 0,75��,d/|��

(2.14)

A expressão de Mark & Chase (1997) foi deduzida analiticamente, a partir de uma fórmula como a da Eq. (2.13), tendo em vista considerações sobre o efeito do acréscimo de confinamento que ocorre no pilar, devido ao aumento de uma de suas dimensões. A sua dedução para pilares retangulares está apresentada no Anexo I.

25

CAPÍTULO 3 – DIMENSIONAMENTO ÓTIMO

3.1. PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Considerando o exposto no capítulo precedente, pode-se apresentar o problema de otimização, genericamente, na forma de um problema padrão de Programação Matemática, com as devidas restrições de resistência para pilares e de estabilidade dos vãos, de forma a obter a melhor recuperação possível. Os itens 3.3.1 e 3.3.2, a seguir, apresentam os modelos propostos para a lavra por Realces Abertos e Câmaras e Pilares Inclinados, respectivamente.

3.1.1. Maximização da recuperação em lavra por Realces Abertos

Função objetivo

- Maximize: �.WAK, E, H, B?, BC, BGF; Sujeito a:

- Restrições de resistência dos pilares

)O?ABC, K, HF ≥ >+. )?I JJJJ�E, H, BC, BG�

)O?�BG, K, E� ≥ >+. )?I JJJJ�E, H, BC, BG�

)OC�B?, E, H� ≥ >+. )CI JJJJ�K, H, B?, BG�

)OC�BG, E, K� ≥ >+. )CI JJJJ�K, H, B?, BG�

)OG�B?, H, E� ≥ >+. )GI JJJJ�E, K, B?, BC�

)OGABC, H, KF ≥ >+. )GI JJJJ�E, K, B?, BC�

- Restrição dos vãos máximos dos realces

K. E2 �K + E� ≤ \�?C K. H2 �K + H� ≤ \�?G H. E2 �H + E� ≤ \�GC

Todas as dimensões referidas encontram-se (X, Wx, etc.) apresentadas na Figura 2.10. O raio hidráulico (HR) máximo é estimado com base no ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin apresentado na Figura 2.8.

Considerações sobre a Recuperação na lavra por Realces Abertos A recuperação de um jazimento é dada pela razão entre volume lavrado e volume total

26

do corpo mineral.

� = �� (3.1)

Nota-se que a recuperação é a proporção do volume lavrado em relação ao total (comumente expresso em porcentagem). Considerando uma mina lavrada por realces abertos, temos que os volumes lavrado e total são dados por:

�� = �Z? + 1�AZC + 1F�ZG + 1�KEH (3.2)

�� = ��Z? + 1�K + Z?B?��AZC + 1FE + ZCBC��ZG + 1�H + ZGBG� (3.3)

onde nx é o número de pilares no sentindo transversal ao corpo; ny o número de pilares no sentido vertical; nz o número de pilares no sentido longitudinal (segundo a direção corpo); X, Y e Z as dimensões dos realces, respectivamente, segundo as direções transversal (x), vertical (y) e longitudinal (z); Wx, Wy e Wz são as dimensões dos pilares, respectivamente, segundo as direções transversal (x), vertical (y) e longitudinal (z), conforme apresentado na Figura 2.10. Portanto, de acordo com as equações (3.1), (3.2) e (3.3), a recuperação será dada por

� = �Z? + 1�AZC + 1F�ZG + 1�KEH��Z? + 1�K + Z?B?��AZC + 1FE + ZCBC��ZG + 1�H + ZGBG� (3.4)

Para o caso particular proposto nesta dissertação, e que será trabalhado posteriormente no estudo de caso (Item 4.1), a espessura do minério será integralmente lavrada, não existindo, portanto, o rib-pillar transversal (cuja largura é Wx). Nesse caso, a recuperação pode ser particularizada como

� = �� = �&��CGK�&��CGK = �&��CG�&��CG (3.4a)

onde (Al)yz é a área lavrada no plano yz e (At)yz é a área total no mesmo plano.

Nesse caso, X é a largura tanto do volume lavrado quanto do volume total e, portanto, é cancelado no numerador e no denominador. Sendo assim, a recuperação é dada por

27

� = �&��CG�&��CG = AZC + 1F�ZG + 1�. E. H�AZC + 1FE + ZCBC��ZG + 1�H + ZGBG� (3.4b)

A Eq. (3.4b) pode ainda ser obtida diretamente da expressão geral da Eq. (3.4) se, nesta ultima, forem feitos nx e Wx iguais a zero.

3.1.2. Maximização da recuperação em lavra por Câmaras e Pilares (Inclinados)

O problema de programação matemática nesse caso é análogo àquele apresentado por Figueiredo & Curi (2003, 2004). As diferenças ficam por conta da tensão média no pilar expressa pela Eq. (2.11) e dos critérios de estabilidade ao deslizamento e tombamento (Anexo IV). Maximize: R (Wp, Wo)

Sujeito a:

- Restrições de resistência dos pilares

)OAB4, \F ≥ >+. )4 JJJJ�B4, BQ�

- Vão mínimo para tráfego dos equipamentos

BQ ≥ ��

- Condição de estabilidade à flexão dos estratos

max �B3� ≤ f2. )2. 2L j0,5

- Condição da estabilidade dos pilares ao deslizamento

tan U ≤ tan ø

- Condição da estabilidade dos pilares ao tombamento

tan U ≤ B4\ + sin U

- Condição para suprimento adequado de ar

BQ . \ ≥ &��

28

CAPÍTULO 4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO A utilização de metodologias de dimensionamento de realces/câmaras e pilares por meio de ferramentas de otimização não são comuns na literatura. As exceções são os trabalhos de Figueiredo & Curi (2003, 2004). Com o objetivo de se comparar tais ferramentas com as comumente utilizadas, optou-se aqui pela sua aplicação em dois estudos distintos: o primeiro, para realces abertos subverticais (estudo de caso I), onde será feita uma comparação entre o dimensionamento convencional e o otimizado, além de análises numéricas de ambos os resultados; e o segundo, para câmaras e pilares inclinados (estudo de caso II), no qual um arranjo de lavra proposto para a mina de Morro Agudo é comparado com os resultados de um dimensionamento otimizado.

4.1. ESTUDO DE CASO I – REALCES ABERTOS SUBVERTICAIS

Neste estudo de caso, será feito o dimensionamento de realces e pilares por meio das duas metodologias de dimensionamento, a convencional e a otimizada. Na metodologia convencional, o método de Mathews-Potvin foi utilizado para o dimensionamento de realces e a teoria da área tributária, juntamente com as fórmulas de Lunder & Pakalnis ou Mark & Chase, foram utilizadas para o dimensionamento de pilares.

No dimensionamento otimizado, os mesmos métodos utilizados no convencional foram adotados. Para tanto, os dados de entrada foram, além dos parâmetros geomecânicos do maciço rochoso (os mesmos utilizados no dimensionamento convencional), as dimensões obtidas no método convencional, que serviram como dimensões iniciais no modelo de otimização. Cabe ressaltar, no entanto, que quaisquer dimensões iniciais arbitrárias, serviriam igualmente.

Ressalta-se ainda que, para os dois tipos de dimensionamento, foram estudadas três profundidades distintas, 150m, 250m e 350m, de forma a permitir a verificação da influência da profundidade nas dimensões dos realces.

Todos os resultados foram verificados/analisados por meio de modelos numéricos tridimensionais (de elementos de contorno) com o software Examine 3D (www.rocscience.com). Os dados de entrada, bem como os resultados obtidos encontram-se apresentados a seguir.

29

4.1.1. Características do corpo mineral

As principais características do depósito são:

• Espessura média: 10 a 50 metros;

• Forma geométrica: tabular;

• Mergulho: subvertical;

• Profundidade máxima: 350 metros;

• Característica geomecânica do minério: (Q’): 20;

• Característica geomecânica da encaixante (Q’): 40;

• Resistência à compressão simples do mineiro (σcmin): 100 MPa;

• Resistência à compressão simples das encaixantes (σcenc): 120 MPa;

• Tensões in situ (vertical = horizontal): γ. zp (onde γ é o peso específico da rocha - 0,027MN/m3; e zp é a profundidade).

Ressalta-se que essas características foram extraídas de um caso real, do qual a autora tomou conhecimento durante suas atividades profissionais.

4.1.2. Dimensionamento convencional

4.1.2.1. Dimensionamento de realces

Para as características do maciço rochoso acima apresentadas, utilizou-se o método de Mathews-Potvin, já descrito no Item 2.2.2.1, para a determinação das máximas dimensões estáveis possíveis para os realces. Foram consideradas apenas condições autoportantes para os realces. A Figura 4.1 ilustra a estrutura típica da mina analisada neste estudo. Nota-se que, devido à pequena extensão do corpo segundo o eixo x, a espessura do minério será integralmente lavrada, não existindo, portanto, o pilar longitudinal.

30

Figura 4.1: Representação da estrutura da mina a ser analisada neste estudo de caso.

Resultados

As tabelas 4.1, 4.2 e 4.3, a seguir, apresentam as dimensões máximas de realces para profundidades de 150m, 250m e 350m, respectivamente. Nas mesmas, dada uma dimensão, no caso a espessura, X, de 10, 30 e 50, obtém-se outra, no caso Z ou Y, a qual está restrita por um raio hidráulico pré-estabelecido (ver Item 3.1.1).

Tabela 4.1: Dimensões “Z” ou “Y”de realces para 150m de profundidade.

Profundidade 150m

Q’ N’ RH Espessura (m) 10 30 50

40 108,7 13,3 (-) 236,5 56,9 (-) dimensão do realce não é limitada pela estabilidade geral da face.

Tabela 4.2: Dimensões “Z” ou “Y” de realces para 250m de profundidade.

Profundidade 250m



Tabela 4.3: Dimensões “Z” ou “Y” de realces para 350m de profundidade.

Profundidade 350m



31

Ressalta-se que para todas as profundidades, na espessura de 10m, mesmo quando a dimensão do realce não é limitada pela estabilidade geral da face (isto é, pelo raio hidráulico), instabilidades localizadas podem ocorrer, não representando, entretanto, riscos de rupturas globais.

Como pode ser observado nas tabelas acima, ocorre uma significativa diminuição das dimensões dos realces com o aumento da profundidade, o que pode ser facilmente explicado pelo conseqüente aumento das tensões atuantes no maciço rochoso (in situ e induzidas) com o aumento da profundidade.

4.1.2.2. Dimensionamento de pilares

O dimensionamento de pilares foi realizado utilizando-se a expressão empírica de resistência de Lunder & Pakalnis (1997). Escolheu-se essa expressão, principalmente, pelo fato de ter sido desenvolvida especificamente para rochas duras, caso deste estudo. Para a obtenção da carga atuante no pilar, a adaptação da Teoria da Área Tributária (Brady & Brown, 1985) foi utilizada.

Considerações e Resultados para Cálculo dos Rib Pillars

Para o cálculo da largura dos rib pillars pelo método convencional, assumiu-se que para o conjunto de maciços ocorrentes nos pilares, o valor de Q’ (Barton, 1995) será de aproximadamente 20. A resistência desse maciço, determinada por meio do critério de resistência empírico de Hoek & Brown (Hoek et al. ̧2002), foi fornecida pelo software RocLab, da RocScience (www.rocscience.com) e encontra-se apresentado na Figura 4.2. Para entrada de dados neste software, o Q’ foi convertido para o sistema GSI de Hoek & Brown pela expressão (Hoek et al., 1995):

�+� = 9. �Z�� + 44 (4.1)

fornecendo um valor de aproximadamente 71 para o maciço.

Assumiu-se como fator de dano por detonação (D – Hoek et al.2002) o valor 0,8, o que corresponde à detonações em que não há preocupação com o acabamento das faces escavadas, como sucede nos desmontes de produção em realces.

32

Figura 4.2: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 20

(minério).

Como recomendado por Hoek et al. (2002) utilizou-se no cálculo das dimensões dos pilares a denominada Resistência Global do Maciço, correspondente a

)*� = 2W W3Xø1 − X.Zø (4.2)

onde c e ø são, respectivamente, a coesão e o ângulo de atrito do maciço rochoso, que equivalem aos parâmetros de Hoek & Brown (Hoek et al.2002). Sendo assim, o valor assumido como resistência do maciço nesses cálculos foi de 25,665 MPa. Ressalta-se que os parâmetros considerados nos dimensionamentos dos pilares foram os correspondentes às características do minério.

As tensões in situ foram consideradas como sendo dadas por um campo gravitacional onde a componente vertical (σv) cresce linearmente com a profundidade z, segundo:

): = γM �4.3�

Onde γ é o peso específico médio do maciço (0,027MN/m3). Nos cálculos, a

33

componente horizontal que carrega o pilar foi assumida como igual à componente vertical, ou seja, tem-se um valor de K (razão das tensões in situ) igual a 1.

O dimensionamento dos rib pillars foi efetuado admitindo-se uma extensão horizontal dos realces (Z) de 50m e 100m, espessura de minério (X) 10, 30 e 50m e profundidades de 150, 250 e 350m. Os resultados obtidos correspondem à largura dos rib pillars (Wz) para fatores de segurança de 1,3, e encontram-se apresentados nas Tabelas 4.4, 4.5 e 4.6. O procedimento de cálculo implementado no software Mathcad está apresentado no Anexo II.

Tabela 4.4: Largura dos rib pillars para profundidade de 150m Espessura do minério

(X) 10 30 50

Profundidade 150m

Altura do realce (Y) 30 40 50 30 40 50 30 40 50 Z = 50m 8,7 8,7 8,7 14,6 14,6 14,6 18,4 18,4 18,4

Z = 100m 13,2 13,2 13,2 21,0 21,0 21,0 26,8 26,8 26,8

Tabela 4.5: Largura dos rib pillars para profundidade de 250m.

Espessura do minério (X) 10 30 50

Profundidade 250m


Z = 100m 20,0 20,0 20,0 29,5 29,5 29,5 37,7 37,7 37,7

Tabela 4.6: Largura dos rib pillars para profundidade de 350m. Espessura do minério

(X) 10 30 50

Profundidade 350m


Z = 100m 28,3 28,3 28,3 38,1 38,1 38,1 48,0 48,0 48,0

Foi apresentado nas tabelas o valor mais favorável (menor dimensão) entre os obtidos utilizando-se as expressões de resistência fornecidas pelos métodos de Lunder & Pakalnis (1997) e Mark & Chase (1997). Na maioria dos casos, a primeira forneceu valores de Wz ligeiramente superiores. Como tais fórmulas de resistência não dependem da altura do realce (Y), os resultados são independentes da mesma, como pode ser observado diretamente nas tabelas em questão.

34

Considerações e Resultados para Cálculo dos Sill Pillars

Para o dimensionamento dos sill pillars utilizou-se a teoria da área tributária para cálculo da carga no pilar e a fórmula de Lunder & Pakalnis (1997) para a determinação da resistência.

As combinações analisadas foram: espessura do minério (X) igual a 10m, 20m e 30m; comprimento (Z) variável conforme extensão dos realces (Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3) e profundidades de 150, 250 e 350m. As alturas consideradas foram de 50, 70 e 90m. Os resultados encontram-se na Tabela 4.7, a seguir. Para as extensões de realces (Z) ilimitadas ou maiores que 200m, considerou-se, nesses cálculos, a dimensão máxima de 200m. Tabela 4.7: Espessuras mínimas de sill pillars para espessura de minério de 10, 20 e 30m.

Profundidade (m) Espessura mínima do sill pillar Altura (Y) X = 10m X = 30m X = 50

150 50 8,7* 14,6* 18,5 70 10,6* 17,4* 22,3 90 12,3* 19,9* 25,4

250 50 12,4* 20,7* 27,0 70 15,4* 24,5* 31,7 90 18,5* 28,0* 35,8

350 50 16,4* 26,3 34,6 70 21,0* 31,2 40,3 90 25,8* 35,9 45,6

* Z máximo de 200m.

Com relação às dimensões obtidas percebe-se que, além do aumento progressivo das dimensões dos pilares com o aumento da profundidade, para um pequeno aumento na espessura considerada, a uma mesma profundidade, há um aumento relativamente pequeno na espessura do sill pillar. Por exemplo, um aumento na espessura (X) do vão, de 10 para 30 metros, a uma profundidade de 250m e altura de 70m, resulta em um aumento de apenas 9 metros na espessura do sill pillar.

4.1.3. Dimensionamento Otimizado

Utilizando-se como dados de entrada, as dimensões de realces e pilares obtidas no dimensionamento convencional apresentado anteriormente, um problema de

35

programação matemática não-linear foi codificado para resolução com o software Mathcad 15.0, tendo em vista a otimização das dimensões de realces e pilares. No Anexo II estão apresentados os arquivos codificados em Mathcad para as fórmulas de resistência de Lunder & Pakalnis (1997) e Mark & Chase (1997).

Foram feitas 30 análises de otimização, sendo 15 com a fórmula de Lunder & Pakalnis e 15 com a fórmula de Mark & Chase. Os resultados encontram-se nas fichas apresentadas na Tabela 4.8, a seguir.

Nas fichas de número 01 a 07 foram analisadas dimensões para a profundidade de 150 metros, com raio hidráulico igual a 13. Nas fichas 08 a 10 os resultados são para profundidades de 250 metros, utilizando raio hidráulico igual a 12 e, nas fichas de 11 a 15, raio hidráulico igual a 10 e profundidade de 350 metros.

Nas análises optou-se pela utilização do comprimento horizontal máximo de realces (Z) de 100 metros como dado de entrada, o que não impede que o resultado otimizado aumente esta dimensão.

Ressalta-se que a utilização desta ferramenta permite diversas respostas, sendo necessária uma análise crítica das dimensões iniciais (dados de entrada), bem como das restrições impostas, de forma a se encontrar o melhor resultado dentro das diversas possibilidades existentes.

Nas fichas 01, 11 e 13 foram analisados os mesmos dados de entrada que as fichas 02, 12 e 14, adicionando-se uma restrição de altura do realce (Y) maior que 40 metros, devido às baixas alturas obtidas (alturas entre 20 e 30 metros). Entretanto, nestes casos, mesmo com aumento das restrições impostas, o resultado da recuperação a partir das dimensões otimizadas forneceu recuperações melhores que o resultado pelo método de dimensionamento tradicional.

A Tabela 4.9, apresenta resumidamente a recuperação para cada uma das dimensões analisadas, bem como o ganho em recuperação obtido pelas otimizações para cada modelo de dimensionamento.

36

Tabela 4.8: Fichas Respostas das análises de otimização obtidas pelo software Mathcad. 01 02

Dados de entrada: Dados de entrada:C: 25,665 Mpa nx: 0 C: 25,665 Mpa nx: 0FS: 1,3 ny: 1 FS: 1,3 ny: 1Kx: 1 nz: 100 Kx: 1 nz: 100Kz: 1 z: 150m Kz: 1 z: 150m

Convencional: Otimizado: Convencional: Otimizado:LP* MC* LP MC

X: 10,0 X: 10,0 10,0 X: 10,0 X: 10,0 10,0Y: 50,0 Y: 40 40 Y: 50,0 Y: 26 26Z: 100,0 Z: 74,3 74,3 Z: 100,0 Z: 1x108 1x1010

Wx: 0,0 Wx: 0 0 Wx: 0,0 Wx: 0 0Wy: 8,7 Wy: 6 5,7 Wy: 8,7 Wy: 6,2 10Wz: 13,2 Wz: 6,9 5,9 Wz: 13,2 Wz: 6,2 10

Rec: 0,814 Rec: 0,852 0,866 Rec: 0,814 Rec: 0,894 0,898* Para Y>40

03 04Dados de entrada: Dados de entrada:C: 25,665 Mpa nx: 0 C: 25,665 Mpa nx: 0FS: 1,3 ny: 1 FS: 1,3 ny: 1Kx: 1 nz: 100 Kx: 1 nz: 100Kz: 1 z: 150m Kz: 1 z: 150m

Convencional: Otimizado: Convencional: Otimizado:LP MC LP MC

X: 30 X: 30 30 X: 50 X: 50 50Y: 50 Y: 30 30 Y: 50 Y: 50 50Z: 100 Z: 195 195 Z: 100 Z: 54,2 54,2

Wx: 0 Wx: 0 0 Wx: 0 Wx: 0 0Wy: 14,6 Wy: 9,8 7,4 Wy: 18,5 Wy: 11,8 7,8Wz: 21 Wz: 9,8 8 Wz: 26,8 Wz: 8,6 8

Rec: 0,722 Rec: 0,818 0,855 Rec: 0,667 Rec: 0,773 0,809


Convencional: Otimizado: Convencional: Otimizado:LP MC LP MP

X: 10,0 X: 10,0 10,0 X: 30 X: 30 30Y: 80,0 Y: 30,0 30,0 Y: 90 Y: 30 30Z: 100,0 Z: 195,0 195,0 Z: 100 Z: 195 195

Wx: 0,0 Wx: 0,0 0,0 Wx: 0,0 Wx: 0 0Wy: 12,3 Wy: 6,0 5,7 Wy: 19,9 Wy: 9,8 7,4Wz: 13,2 Wz: 6,0 6,1 Wz: 21 Wz: 9,8 8

Rec: 0,821 Rec: 0,881 0,884 Rec: 0,745 Rec: 0,818 0,855

FICHA RESPOSTA FICHA RESPOSTA


Resultados: Resultados:

FICHA RESPOSTAFICHA RESPOSTA



37

Tabela 4.8 (continuação) 07 08

Dados de entrada: Dados de entrada:C: 25,665 Mpa nx: 0 C: 25,665 Mpa nx: 0FS: 1,3 ny: 1 FS: 1,3 ny: 1Kx: 1 nz: 100 Kx: 1 nz: 100Kz: 1 z: 150m Kz: 1 z: 250m


X: 50 X: 50 50 X: 10,0 X: 10,0 10,0Y: 90 Y: 50 50 Y: 70,0 Y: 30,0 30,0Z: 100 Z: 54,2 54,2 Z: 100,0 Z: 120 120

Wx: 0 Wx: 0 0 Wx: 0,0 Wx: 0,0 0,0Wy: 25,4 Wy: 14,6 7,8 Wy: 15,4 Wy: 8,0 8,4Wz: 26,8 Wz: 8,6 8 Wz: 20,0 Wz: 8,0 9,1

Rec: 0,693 Rec: 0,754 0,809 Rec: 0,752 Rec: 0,827 0,816



X: 30 X: 30,0 30,0 X: 50 X: 50 50Y: 90 Y: 30 30 Y: 44 Y: 46,2 46,2Z: 100 Z: 120 120 Z: 100 Z: 46,2 46,2

Wx: 0 Wx: 0 0 Wx: 0 Wx: 0 0Wy: 28,0 Wy: 14 11,7 Wy: 25 Wy: 30 18,8Wz: 29,5 Wz: 14 13,2 Wz: 37,7 Wz: 10 9

Rec: 0,670 Rec: 0,727 0,755 Rec: 0,567 Rec: 0,621 0,696



X: 10,0 X: 10,0 10,0 X: 10,0 X: 10,0 10,0Y: 90,0 Y: 40 40 Y: 90,0 Y: 20,0 20,0Z: 100,0 Z: 40 40 Z: 100,0 Z: 5,1x107 2,8x106

Wx: 0,0 Wx: 0,0 0,0 Wx: 0,0 Wx: 0,0 0,0Wy: 25,8 Wy: 9,1 10,1 Wy: 25,8 Wy: 9,6 10,5Wz: 28,3 Wz: 9,1 10,1 Wz: 28,3 Wz: 9,6 13,5








38

Tabela 4.8 (continuação)



X: 30 X: 30,0 30,0 X: 30 X: 30 30Y: 90 Y: 40,0 40,0 Y: 90 Y: 30 30Z: 62,4 Z: 40,0 40,0 Z: 62,4 Z: 60 60

Wx: 0 Wx: 0,0 0,0 Wx: 0 Wx: 0 0Wy: 35,9 Wy: 16,2 15,0 Wy: 35,9 Wy: 16,3 14,6Wz: 30 Wz: 16,2 15,0 Wz: 30 Wz: 16,3 16,4


15Dados de entrada:C: 25,665 Mpa nx: 0FS: 1,3 ny: 1Kx: 1 nz: 100Kz: 1 z: 350m

Convencional: Otimizado:LP MC

X: 50 X: 50 50Y: 34,1 Y: 33,3 33,3Z: 100 Z: 33,3 33,3

Wx: 0 Wx: 0 0Wy: 30 Wy: 19,8 21Wz: 48 Wz: 19,8 12

Rec: 0,471 Rec: 0,486 0,560

Resultados:

FICHA RESPOSTA



39

Tabela 4.9: Resultado das recuperações: Dimensionamento Tradicional x Dimensionamento Otimizado.

Ficha Recuperação

Ganho na recuperação em comparação à metodologia

convencional

Tradicional

Otimizado Lunder & Pakalnis Mark & Chase Lunder & Pakalnis Mark & Chase

1 81,4% 85,2% 86,6% 3,80% 5,20% 2 81,4% 89,4% 89,8% 8,00% 8,40% 3 72,2% 81,8% 85,5% 9,60% 13,30% 4 66,7% 77,3% 80,9% 10,60% 14,20% 5 82,1% 88,1% 88,4% 6,00% 6,30% 6 74,5% 81,8% 85,5% 7,30% 11,00% 7 69,3% 75,4% 80,9% 6,10% 11,60% 8 75,2% 82,7% 81,6% 7,50% 6,40% 9 67,0% 72,7% 75,5% 5,70% 8,50%

10 56,7% 62,1% 69,6% 5,40% 12,90% 11 68,3% 73,3% 70,9% 5,00% 2,60% 12 68,3% 80,6% 79,2% 12,30% 10,90% 13 56,5% 59,5% 61,3% 3,00% 4,80% 14 56,5% 62,0% 63,4% 5,50% 6,90% 15 47,1% 48,6% 56,0% 1,50% 8,90%

Como pode ser observado, o dimensionamento ótimo produz bons resultados quanto à recuperação da jazida, com aumento variando de 1,5% a 12,3% com a utilização da fórmula de Lunder & Pakalnis e de 2,6% a 14,2% com a fórmula de Mark & Chase. Ressalta-se, entretanto, que o ganho na recuperação depende em grande parte das dimensões iniciais utilizadas no modelo. De qualquer forma, a recuperação final obtida será sempre a máxima.

Observa-se também que, em muitas das geometrias analisadas, as dimensões iniciais e otimizadas dos realces ficaram relativamente próximas entre si, o que não ocorreu com as dimensões dos pilares, cujos resultados fornecidos pela otimização apresentaram-se bastante inferiores às dimensões via metodologia convencional.

De uma forma geral percebe-se que a fórmula de resistência de Mark & Chase tende a apresentar resultados de recuperação melhores que os fornecidos pela fórmula de Lunder & Pakalnis (4.3), salvo raras exceções, como é o caso das fichas 08, 11 e 12, sendo que as duas últimas apresentam os mesmos dados de entrada, com modificações apenas na restrição quanto à altura (Y) do realce.

Figura 4.3: Gráfico com os ganhos na recuperação obtidode Lunder & Pakalnis e de Mark & Chase.

4.1.4. Análises numéricas e resultados

Com o intuito de se analisar a estabilidade dverificação dos fatores de segurança dvia elementos de contorno, as quais foram versão 4.0, da Rocscience. analisados tanto para as dimensões obtidas pela metodologia convencional, a otimizada. A Figura 4.4 ilustra uma geometria típica das demais análogas, com variações apenas nas dimensões d

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%

1 2 3

Ganh

o na r

ecupe

raçã

o (%

)Lunder & Pakalnis x Mark & Chase

Lunder & Pakalnis

40

os ganhos na recuperação obtidos utilizando-se as fórmulas de resistência de Lunder & Pakalnis e de Mark & Chase.

Análises numéricas e resultados

nalisar a estabilidade das geometrias estudadas, foi feita umaverificação dos fatores de segurança de realces e pilares por meio de análise numérica via elementos de contorno, as quais foram realizadas com o software

De forma a comparar os dois resultados, os modelos foram analisados tanto para as dimensões obtidas pela metodologia convencional,

4 ilustra uma geometria típica dentre as modeladas,com variações apenas nas dimensões dos realces e pilares.

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Fichas

Ganho na recuperação Lunder & Pakalnis x Mark & Chase

Lunder & Pakalnis Mark & Chase

se as fórmulas de resistência

s geometrias estudadas, foi feita uma e realces e pilares por meio de análise numérica

EXAMINE 3D, De forma a comparar os dois resultados, os modelos foram

analisados tanto para as dimensões obtidas pela metodologia convencional, quanto para modeladas, sendo que

e pilares.

14 15

41

Figura 4.4: Vista em perspectiva do modelo de elementos de contorno para geometria apresentada

na Ficha 03 (8.320 elementos triangulares com interpolação linear de deslocamentos).

De forma a obter um modelo mais condizente com as reais características da mina por Realces Abertos, optou-se pela diferenciação dos parâmetros geomecânicos do minério e rocha encaixante conforme a área do modelo a ser analisada. As rochas que compõem o minério tendem a apresentar características geomecânicas piores que as rochas encaixantes, o que é condizente com a lavra analisada. Sendo assim, para os pilares, os parâmetros utilizados foram equivalentes a esse material. Nas análises da estabilidade dos realces, os parâmetros condizem com os apresentados para as rochas encaixantes.

Para os pilares, utilizaram-se como parâmetros de entrada os resultados para Q’ igual a 20, conforme descrito no Item 4.1.2.2 e apresentado na Figura 4.2. Para obtenção dos parâmetros da rocha encaixantes, os mesmos passos foram realizados, porém para o valor de Q’ igual a 40. O fator de dano considerado também foi de 0,8. O resultado encontra-se apresentado na Figura 4.5. A Tabela 4.10 apresenta, resumidamente, os parâmetros geomecânicos utilizados nas análises numéricas tanto para o minério quanto para a rocha encaixante.

42

Figura 4.5: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 40 (rocha encaixante).

Tabela 4.10: Parâmetros geomecânicos utilizados nos modelos numéricos, para minério (pilar) e rocha encaixante (realce).

Parâmetro geomecânico Minério Encaixante Módulo de Deformabilidade (MPa) 52600 57166

Coeficiente de Poisson 0,16 0,16 Peso específico do maciço (MN/m3) 0,027 0,027

Kx e Kz 1 1 Resistência do maciço (MPa) 25,665 38,185

Coesão (MPa) 6,478 9,024 Ângulo de atrito (°) 36,43 39,41

O Anexo III traz os resultados de todos os modelos apresentados, em termos de isofaixas de Fatores de Segurança (FS=Resistência/Tensão atuante) sobre as superfícies escavadas e em planos de corte através dos pilares. As Figs. 4.6 e 4.7 exemplificam um caso desses resultados, correspondente aos dimensionamentos convencional e ótimo que estão apresentados nas fichas da Tabela 4.8.

43

(a)

(b)

Figura 4.6: Resultado em termos de isofaixas de Fatores de Segurança sobre as superfícies escavadas (Ficha 03), obtidas pelo dimensionamento: (a) convencional (X=30; Y=50; Z=100) e (b)

otimizado (X=30; Y=30; Z=195).

44

(a)

(b)

Figura 4.7: Resultado em termos de isofaixas de Fatores de Segurança em planos de corte nos pilares (Ficha 03), obtidas pelo dimensionamento: (a) convencional (Wy=14,6; Wz=21,0) e (b)

otimizado (Wy=7,4; Wz=8,0)

As fichas de números 06 e 07 não foram modeladas, uma vez que os resultados obtidos foram idênticos aos encontrados nas fichas 03 e 04, respectivamente. Para a Ficha 12, como os resultados foram uma altura (Y) de apenas 20 metros e um comprimento (Z) extremamente maior, optou-se por adicionar a restrição de altura maior ou igual que 40m, o que está apresentado na Ficha 11.

Observou-se, quase na totalidade dos casos modelados numericamente, que as dimensões analisadas apresentaram FSs satisfatórios, tanto para o dimensionamento

45

convencional quanto ótimo. Isso é esperado, uma vez que as metodologias de cálculo utilizadas são, em princípio, conservadoras. Entretanto, as geometrias obtidas com o dimensionamento convencional apresentaram-se extremamente a favor da segurança, principalmente no que tange às grandes dimensões dos pilares, com FSs por vezes superiores a 3. Isso difere bastante do que foi notado para as geometrias do dimensionamento ótimo, para as quais os FSs da análise numérica ficaram justamente em torno de 1,3, ou seja, precisamente o FS imposto nas restrições do modelo de otimização. Isso significa, basicamente, que o dimensionamento ótimo forneceu:

• as dimensões limites para vãos e pilares estáveis e que

• essas dimensões e os respectivos FSs são compatíveis e muito próximos das que seriam obtidas com técnicas sofisticadas de análise, como a modelagem numérica 3D.

Ressalta-se que, tudo isso, a um custo laboral e computacional comparativamente desprezível, uma vez que se elimina qualquer tedioso processo de tentativas e erros na busca de uma geometria de lavra otimizada.

4.2. ESTUDO DE CASO II – CÂMARAS E PILARES INCLINADOS

Neste estudo a metodologia de dimensionamento ótimo será aplicada à mina de Morro Agudo, uma mina de zinco e chumbo localizada em Paracatu, região noroeste do estado de Minas Gerais, pertencente à Votorantin Metais. O método de lavra adotado é uma espécie de “câmaras e pilares em degraus” (Fig. 2.2), muito embora, devido às excelentes características geomecânicas do maciço rochoso, utilizem-se, de acordo com as necessidades de produção e irregularidades do próprio corpo mineralizado, geometrias ousadas bastante irregulares, com grandes vãos (localmente superiores a 15m de altura) e um posicionamento nada sistemático dos pilares.

Os corpos mineralizados encontram-se alojados em maciços dolareníticos e brechas dolareníticas de características geomecânicas excelentes. Sobrepostos a estes, ocorre uma sequência Argilo-Dolomítica (SAD) com características geomecânicas piores em relação aos maciços anteriores. Diversos estudos para conhecimento e determinação das propriedades geomecânicas do maciço rochoso na mina foram realizados pelo Instituto de Pesquisas Tecnológicas de São Paulo (IPT) e, posteriormente, pela BVP Engenharia, os quais permitiram uma

46

avaliação da estabilidade das câmaras e pilares utilizados. Em 2010, devido a problemas de estabilidade relacionados ao aumento das tensões in

situ atuantes na mina, novos estudos foram realizados (BVP (2010a, 2010b, 2010c, 2010d)), nos quais foi analisada, por meio de modelagem numérica com o Examine 3D, a estabilidade de um grande número de arranjos de câmaras e pilares, propostos sem prévio critério geotécnico. As análises numéricas foram realizadas considerando dois cenários distintos: a lavra de dois corpos mineralizados (L e JK) separados por uma laje de estéril e a lavra de apenas um corpo mineralizado (L ou JK).

Neste estudo de caso, a aplicação da otimização ficará restrita à lavra de um só corpo mineralizado e os seus resultados serão comparados com aqueles da modelagem numérica realizada pela BVP, que como dito acima, empreendeu a análise de um grande número de alternativas de arranjos para concluir sobre a viabilidade de uma geometria adequada para a lavra.

4.2.1. Características do maciço rochoso

Para efeito de comparação com o dimensionamento ótimo, será aqui considerado apenas o caso da lavra isolada do corpo mineralizado (JK) para o nível 616, com corpo de altura máxima igual a 5 metros.

Na Tabela 4.11 estão apresentadas as dimensões limítrofes obtidas por meio das análises numéricas feitas pela BVP. Reitera-se que para a obtenção destes resultados, vários arranjos com dimensões estabelecidas sem nenhum critério geotécnico prévio tiveram que ser modeladas e analisadas, considerando-se, ainda, uma variação nas espessuras de minério. Tabela 4.11: Resultados limítrofes (dimensões recomendadas dos pilares) para a lavra do

corpo isolado (JK) no nível 616. Espessura do corpo (m) Pilares recomendados com base nas análises numéricas (m x m)

5 6 x 6 6 8 x 8 (admitindo-se recorte para 7 x 7 em recuo) 7 8 x 8 (admitindo-se recorte para 7 x 7 em recuo) 8 Inviável

Percebe-se que as dimensões resultantes para os pilares, no caso da camada com 5 metros de altura, foram de 6 x 6 m. O modelo numérico cujo resultado permitiu afiançar

47

a viabilidade dessas dimensões limítrofes está apresentado na Figura 4.8. Para determinação dos parâmetros geomecânicos do maciço rochoso e das tensões in

situ, utilizaram-se os resultados da retro-análise numérica 3D (BVP(2010a)) de um acidente ocorrido em 2010 na câmara 73JC do nível 550. Esses parâmetros estão apresentados na Tabela 4.12.

Tabela 4.12: Propriedades mecânicas do dolarenito para um GSI = 79, com dano pelas detonações igual a 0.8.

As tensões in situ retro-analisadas consideraram a tensão vertical dada pelo peso da coluna de rochas sobrejacentes (peso específico de 0.028 MN/m3) e razão (tensão horizontal)/(tensão vertical) = 1.7.

Para se estabelecer a resistência à compressão (C) de um cubo do maciço rochoso (para o qual a razão altura/largura = 1), a ser utilizada nas fórmulas de resistência empíricas, foi aplicada uma correção de forma de acordo com a fórmula de Obert & Duvall (1967), qual seja:

C = σc / (0,778+0,222(1/3)) = 108,4 MPa. Note-se que se admitiu σc referida a uma razão largura/altura = 1/3. Para a condição de estabilidade quanto à flexão dos estratos, o valor utilizado para a espessura dos estratos sobrejacentes, t, foi 0,5 m. Esse dado foi assumido a partir da espessura da “lasca” de rocha que se instabilizou no supramencionado acidente da câmara 73JC (BVP, 2010b).

σσσσc (MPa) σσσσt (MPa) E (MPa) υυυυ c (MPa) ø (°°°°) γγγγ (kN/m3) 92,33 4,4 21.429 0,26 8,7 42,9 30

48

Figura 4.8: Resultados para lavra em camada única, com altura média de 5 m, no nível 616, com

pilares de 6 x 6 m. Vista de topo apresentando isofaixas de FS e volumes com FS < 1 (em amarelo).

4.2.2. Considerações sobre o modelo numérico

Conforme pode ser visto na Figura 4.8, o resultado do modelo numérico feito pela BVP o qual levou à conclusão de que o pilar de 6 x 6 m era aceitável no nível 616, para uma altura de 5 metros, apresentou FS em torno de 1. A geometria adotada no modelo 3D está ilustrada na Figura 4.9. Quanto a essa geometria é importante ressaltar que:

• o corpo mineralizado possui mergulho médio de 20°;

• as dimensões ilustradas mostram que os vãos não são iguais ao longo da direção (9 m) e do mergulho (13 m). Também não são iguais, as dimensões totais do painel, que são: 53 m ao longo da direção e de 69 m a projeção horizontal do comprimento segundo o rumo de mergulho;

• a altura média da camada, de 5 m, significa uma espessura verdadeira de 5. cos 20°= 4,7 metros. Por outro lado, a altura média do pilar, é de �5,2 + 6,6� 2⁄ = 4,4 metros, visto que cada lado do pilar tem uma altura diferente.

49

Figura 4.9: Geometria do exemplo de Morro Agudo para camada com 5 m de altura média e pilares de 6 x 6 m. Todas as dimensões em metros.

4.2.3. A formulação do modelo de otimização

Por se tratar de uma geometria sem regularidade perfeita, e, principalmente, com um número muito reduzido de pilares para que seja válida uma aplicação direta da teoria da área tributária (Equação 2.5 e 2.6), a formulação de um modelo de otimização que reproduzisse as características da mina de Morro Agudo, exigiu algumas adaptações que se encontram explicadas na seqüência.

50

Adaptações no valor da carga sobre o pilar

Uma vez que a teoria da área tributária, expressa pelas equações 2.5 e 2.6, é válida apenas para um número de pilares infinito, foi necessária uma ligeira alteração na formulação proposta por Oyangüren et al. (1984) de forma que fosse contemplado o número reduzido de pilares. Essa alteração, sugerida inicialmente por Coates (1973) para um caso bidimensional, foi generalizada para o caso 3D por Figueiredo (2011), conforme segue:

&�&4 = AZ. B4 + �Z + 1�. BQF�AZ. B4F� (4.4)

Aplicando a condição de equilíbrio estático na direção perpendicular ao corpo,

∑ =⊥ 0F , tem-se que )⏊. &⏊ = )4. &4 ⇨ p

p A

A⊥⊥= σσ . Substituindo a Eq. (4.4) chega-

se a: )4 = )⏊. oAZ. B4 + �Z + 1�. BQF�

AZ. B4F� q (4.5)

onde At é a área total do painel, Ap é a área total dos pilares,σ⊥ é a tensão normal média nos pilares, n é o número de pilares, Wo e Wp são as larguras das câmaras e dos pilares, respectivamente.

Ressalta-se, ainda, que essa mesma alteração foi feita também no cálculo da recuperação, uma vez que esta também é uma função de pt AA .

O fator de correção para um número reduzido de pilares

Ainda com o intuito de corrigir a teoria da área tributária para um número reduzido de pilares, foi inserido na formulação um fator de correção, simbolizado por D, que foi extraído dos dados obtidos por Hoper & Menzel (apud Udd, 1969). Esses autores propuseram um modelo numérico válido para painéis profundos de extensão limitada, com base em soluções analíticas de vigas apoiadas sobre base elástica, conforme apresentado nos gráficos da Figura 4.10 para o caso de pilares e encaixantes com módulos de deformabilidade (elasticidade) assemelhados.

Como ali pode ser observado, à medida que o número de pilares cresce e, conseqüentemente, também a extensão do painel, a carga se aproxima daquela obtida

51

por meio da área tributária e, vice-versa, se o número de pilares for reduzido, a carga atuante torna-se substancialmente menor. Para 11 (onze) pilares, a carga máxima (atuante nos pilares centrais) já é praticamente idêntica à da área tributária. Por outro lado, para 3 (três) pilares, a carga máxima não ultrapassa 60% daquela fornecida pela área tributária. Assim sendo, para o caso de Morro Agudo, em que se têm 3 (três) pilares, utilizou-se um fator de correção da carga, D, igual a 60%, de modo a contemplar, rudimentarmente, o efeito do arqueamento das tensões, o qual reduz substancialmente o carregamento nos pilares quando seu numero é reduzido.

Figura 4.10: Variação das cargas com o número de pilares, para painéis profundos em relação à

sua extensão. A carga fornecida pela área tributária é dada pela linha horizontal preta e a fornecida pelo modelo Hoper & Menzel é representada pela curva/pontos de cor azul (apud Udd,

1969). Com relação ao fator de segurança utilizado para o dimensionamento ótimo, tendo em vista que no modelo numérico 3D os FSs aceitáveis foram próximos a 1, foi requerido

52

um FS médio de 1,1.

4.2.4. Resultados

Tendo sido feitas as adaptações supramencionadas na teoria da área tributária, necessárias à aplicação dos modelos de otimização para o caso da mina de Morro Agudo, chegou-se ao modelo e resultados ilustrados na Figura 4.11. O modelo completo está apresentado no Anexo II desta dissertação.

Figura 4.11: Resultado obtido com o modelo de otimização implementado em MathCad para o caso

de Morro Agudo, para uma camada com altura média de 5 metros, no nível 616.

Conforme apresentado na Fig. 4.11, como resultados obtiveram-se câmaras de 12 m e de pilares com 7,1 m. A projeção de Wp na horizontal fornece: 7,1.cos 20° = 6,7 m. Este

53

valor é próximo dos 6 m de largura considerados aceitáveis em face dos resultados obtidos com o modelo numérico do Examine 3D (ver Figura 4.8). Ressalta-se, entretanto, que o modelo numérico indicou rupturas parciais dos pilares, enquanto que, para o modelo de otimização, isso não ocorreria, uma vez que o FS requerido é 1.1 (maior, portanto, que 1, condição de ruptura). Com relação às câmaras tem-se uma projeção horizontal de 12.cos20° = 11,3 m. Essas mesmas projeções das dimensões das câmaras no modelo numérico de Morro Agudo são de 9 m e 13 m, conforme já mencionado e ilustrado na Fig. 4.9. Portanto, na média, tem-se uma dimensão de 11 metros, que é praticamente o valor obtido com o modelo de otimização (11,3 m). Além disso, com relação à recuperação obtida, tem-se um resultado excelente, igual a 90%. Perceba-se, pois, que mesmo diante de um exemplo no qual as teorias de base dos modelos de otimização não se aplicam diretamente, é possível obter, ainda, resultados muito próximos dos que são obtidos com técnicas numéricas bem mais sofisticadas e com um esforço/custo relativo de projeto desprezível, já que não são requeridas exaustivas análises de múltiplas alternativas. Isso porque, o dimensionamento ótimo busca sempre, de uma maneira inteiramente automatizada, uma solução que seja segura, mas com a recuperação mais elevada possível.

54

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

5.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O método proposto nesta dissertação é uma ferramenta preliminar para projeto de arranjos de lavra, isto é, para o dimensionamento de vãos e pilares, com foco na obtenção da máxima recuperação possível em cada situação específica de mina. Possibilita incorporar a influência de quaisquer tipos de restrições, sejam elas mecânicas, operacionais, tecnológicas e, caso desejado, inclusive considerações de custos, de forma simples e consistente matematicamente (Figueiredo & Curi, 2004). Além disso, propicia a realização de estudos paramétricos expeditos, nos quais a influência de determinadas variáveis, como profundidade, espessura de minério e até mesmo formulações distintas para determinação de carga nos pilares, de resistência, dentre outros, podem ser avaliadas de maneira precisa e com grande facilidade. No primeiro estudo de caso desta dissertação, envolvendo o projeto de uma mina hipotética lavrada por Realces Abertos (baseada em dados reais), estudos paramétricos foram feitos de forma a comparar os resultados obtidos pelas metodologias de dimensionamento convencional e ótimo. Neste caso ficou clara a vantagem da utilização do dimensionamento ótimo, obtendo-se um ganho substancial na recuperação, com uma diminuição significativa do tempo gasto nos cálculos de projeto, uma vez que é necessário pouco ou nenhum ajuste nas dimensões obtidas pela programação matemática, em relação às verificações posteriormente feitas com técnicas sofisticadas de análise numérica. O afirmado acima pôde ser claramente demonstrado por meio de resultados de análises numéricas com elementos de contorno: o projeto ótimo forneceu FSs muito próximos aos verificados nessas análises mais sofisticadas.

Esses resultados possibilitaram também observar que o dimensionamento convencional, quando não ajustado por meio de análises numéricas e revisados por tentativas e erros, apresentou-se extremamente conservador, principalmente no que tange as dimensões dos pilares, cujos fatores de segurança ficaram comumente acima de 3. Diferentemente, com o dimensionamento ótimo, as dimensões são significativamente reduzidas e forneceram um fator de segurança igual a 1,3.

Deve-se ressaltar, entretanto, que a resposta do dimensionamento ótimo depende dos

55

métodos de calculo escolhidos (por exemplo, teoria da área tributária, método de Mathews-Potvin, métodos empíricos de resistência do pilar, etc.). Sendo assim, é importante sempre estar atento à escolha desses métodos, uma vez que cada um tem suas aplicabilidades limitadas a determinadas características dos maciços e da lavra em questão. Para o segundo estudo de caso, relativo à lavra por Câmaras e Pilares Inclinados na mina de Morro Agudo, mostrou-se que as dimensões obtidas por meio do dimensionamento ótimo foram praticamente coincidentes com as que se mostraram viáveis nas exaustivas análises computacionais 3D que foram empreendidas pela BVP Engenharia. Assim sendo, pôde-se concluir que, mesmo quando as formulações incorporadas aos modelos de otimização não se aplicam diretamente ao problema, é ainda possível adaptá-las, conscienciosamente, para que se obtenha de maneira muito simples, uma solução de projeto otimizada, quase sempre bastante satisfatória quanto à segurança e recuperação.

A título de recomendação sugere-se que, para determinação da carga sobre os pilares em problemas envolvendo painéis de dimensões reduzidas (e, portanto, com poucos pilares), sejam implementadas e testadas futuramente as teorias da convergência-confinamento (Gill et al. , 1994) e/ou o método analítico proposto por Dhar & Coates (1972). Com relação ao segundo estudo de caso, recomenda-se, ainda, que sejam feitas adaptações na formulação dos modelos de otimização para permitir a consideração de duas camadas separadas por uma laje intermediária (p. ex., Heasley & Akinkugbe, 2005), característica esta, comum na mina de Morro Agudo.

56

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ANEXO I DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE MARK & CHASE (1997) PARA RESISTÊNCIA DE

PILARES RETANGULARES

I. 2

RESISTÊNCIA DE PILARES RETANGULARES

A resistência dos pilares pode ser avaliada por expressões empíricas amplamente aceitas, que são função da resistência do próprio minério, da sua forma geométrica (esbeltez) e volume. Neste estudo utilizamos a fórmula proposta por Bieniawski (Brady & Brown, 2004), a saber:

�� = � �� + � �� (I.1)

Onde C é a resistência in situ de um cubo da rocha constituinte do pilar; a e b são constantes adimensionais (tal que � + � = 1), W é a largura e H é a altura do pilar.

Foi demonstrado recentemente por Pariseau (2007), que expressões empíricas com o formato acima são dedutíveis a partir do efeito de restrição à deformação lateral, que é imposta pelo atrito nas interfaces existentes entre topo e base do pilar e as rochas encaixantes. Assim sendo, tais fórmulas, ainda que puramente empíricas em sua origem, têm uma fundamentação racional e mecanicista. Originalmente, essa fórmula foi desenvolvida para pilares com uma seção resistente quadrada. Para adaptá-la a seções resistentes retangulares, como é o caso na lavra por realces abertos, utilizamos um método sugerido por Mark & Chase (1997), cujo desenvolvimento é apresentado na seqüência. Fazendo referência à Figura I.1, admitamos uma seção resistente no plano xy e o carregamento segundo a direção z. A altura do pilar ficará alinhada com essa direção. No caso de pilares de seção resistente quadrada temos X = Y = W (largura). Daí se pode escrever que a força resistente total (R) será:

( ) ( )22 36.064.0136.064.01 YZ

XCXY

Z

XCR

+=

+= (I.2)

Um acréscimo infinitesimal de área, devido a um acréscimo infinitesimal em y (dy) será: dA = 2Wdy = 2Ydy = 2Xdy (pois A = W2 = Y2 = X2). O acréscimo na força resistente (dR), correspondente a esse acréscimo na área, será obtido diferenciando-se a Equação (I.2) com relação a y:

I. 3

dyZ

XYCdR

+=

208.128.11

(I.3)

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura I.1 – Representação esquemática: (a) da seção plana resistente (xy) de um pilar; (b) da distribuição de σσσσz(x,y) em um pilar com seção resistente quadrada; (c) da distribuição de σσσσz(x,y)

em um pilar retangular muito longo (obtida de uma extensão do pilar quadrado segundo a direção y); (d) da distribuição de σσσσz(x,y) para um pilar retangular curto.

I. 4

Assumindo que a distribuição da tensão segundo z (σz) é uma função contínua e decrescente de x e y e também simétrica em relação à origem (x = 0 e y = 0) no centro do pilar (ver esquema na Figura I.1(b)), pode-se escrever que:

∫∫= dxdyyxdR z ),(4 σ (I.4)

Na obtenção de um pilar retangular admite-se que o acréscimo de área será somente segundo y, isto é, devido a dy. Pode-se então igualar (I.3) e (I.4):

∫∫=

+ dxdydy

Z

XYC zσ408.128.11

2 (I.5a))

Supondo, adicionalmente, que para acréscimos dy a função σz(x,y) não irá variar com y, ou seja, que será uma função apenas de x (ver esquema ilustrativo na Figura I.1(c) à direita), a Equação (I.5a) resultará simplificada para:

+=∫ Z

XYCdxx

X

z

22/

027.032.01)(σ (I.5b)

Portanto, a σz(x) que satisfaz (I.5b) será:

+=

Z

XCxz 16.264.01)(σ (I.6)

Rigorosamente, a Equação (I.6) vale para um pilar retangular muito longo (em tese, infinito), no qual os efeitos da variação de σz com y, próximo às extremidades, podem ser desprezados (Fig. I.1(c) à esquerda). Para se determinar a força resistente de um pilar retangular curto (Fig. I.1(d)), de comprimento finito total Y, deve-se, primeiramente, integrar a Eq. (I.6) considerando um comprimento parcial (Y – X), senão vejamos:

∫

+−=

+−=

2/

054.064.01))((16.264.01)(2

X

Z

XCXXYdx

Z

XCXYR (I.7)

Soma-se, então, à resistência obtida em (I.7), o complemento de resistência que

I. 5

corresponde às extremidades do pilar. Isso equivale exatamente à resistência de um pilar quadrado (dada pela Equação (I.2). Assim:

( )236.064.0154.064.01))(( XYZ

XC

Z

XCXXYRRETANGULAR

++

+−=

(I.8)

Simplificando:

−

+=

Z

X

Z

YXXYCRRETANGULAR

3218.054.064.01 (I.9)

Finalmente, dividindo pela área total XY (ver Figura I.1(d)), chega-se à procurada expressão para a resistência do pilar retangular, qual seja:

−

+=

YZ

X

Z

XCR

218.054.064.01σ (I.10)

Para os pilares cujas seções resistentes estão nos planos xz (carregamento segundo y) e yz (carregamento segundo x) basta alterar adequadamente a equação (I.10), caso a caso.

I. 6

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Brady, B. H. G. & Brown E. T. (2004). Rock Mechanics for Underground Mining,

London: Kluwer;

Mark, C. & F. E. Chase (1997). Analysis of retreat mining pillar stability – Proc. New Technologies for Ground Control in Retreat Mining, NIOSH Publication no 97-133 (www.cdc.gov/niosh), Pittsburgh, pp. 17-34;

Miller-Tait, L; R. Pakalnis e R. Poulin (1995). UBC Mining Method Selection. In : Mine Planning and Equipment Selection, Singhal et al. (eds.), Rotterdam: Balkema, pp. 163-168;

Pariseau, W. G. (2007). Design Analysis in Rock Mechanics. London: Taylor & Francis, 560 p.;

ANEXO II ARQUIVOS EM MATHCAD

Dimensionamento tradicional de rib pillars pelo método de

Lunder & Pakalnis (1997)

Dados de entrada:

FS 1.3:= Fator de segurança

K 1:= Razão das tensões in situ

γ 0.027:= Peso específico (MN/m3)

z 150:= Profundidade (m)

X 30:= Espessura do minério (m)

H 50:= Altura do realce (m)

Z 100:= Vão do realce (m)

σ 29.61:= Resistência à compressão uniaxial de um cubo (MPa)

C 25.67:= Resistência à compressão unixial do maciço (MPa)

W 10:= Estimativa inicial para largura do pilar (m)

Cálculos:

K γ⋅ z⋅W Z+( )

W⋅ 44.55= Tensão média atuante no pilar (MPa)

Wlp root C 0.68 0.52 tan acos

1 0.46 logW

X

0.75+

1.4

W

X

⋅−

1 0.46 logW

X

0.75+

1.4

W

X

⋅+

⋅+

⋅ K γ⋅ z⋅W Z+

W

⋅ FS⋅− W,

:=

Wlp 21.004= Largura do rib pillar (m)

II.2

Dimensionamento otimizado de rib pillars pelo método

de Lunder e Pakalnis (1997)

Dados de Entrada:

FS 1.3:= Fator de Segurança

γ 0.027:= Peso Específico (MN/m3)

zp 350:= Profundidade (m)

Kx 1.0:= Kz 1.0:= Razões das Tensões In Situ

Wx 0:= Wy 25.8:= Wz 28.3:= Dimensões dos Pilares (m)

X 10:= Y 90:= Z 100:= Dimensões dos Realces (m)

C1 25.665:= Resistência do Maciço (MPa)

nx 0:= ny 1:= nz 100:= Número de Pilares em x, y e z

RHxy 10:= RHxz 10:= RHzy 10:= Raios Hidráulicos

Função de Recuperação:

Rec Y Z, Wx, Wy, Wz, ( )nx 1+( ) ny 1+( )⋅ nz 1+( )⋅ X⋅ Y⋅ Z⋅

nx 1+( ) X⋅ nx Wx⋅+[ ] ny 1+( ) Y⋅ ny Wy⋅+[ ]⋅ nz 1+( ) Z⋅ nz Wz⋅+[ ]⋅:=

Rec Y Z, Wx, Wy, Wz, ( ) 0.683=

Restrições de Resistência:

Given

FS Kx⋅ γ⋅ zp⋅ Y Wy+( )⋅ Z Wz+( )⋅

Wy Wz⋅ Y Wz⋅+ Wy Z⋅+C1 0.68 0.52 tan acos

1 0.46 logWy

X

0.75+

1.4

Wy

X

⋅−

1 0.46 logWy

X

0.75+

1.4

Wy

X

⋅+

⋅+

⋅≤

II.3

FS Kx⋅ γ⋅ zp⋅ Y Wy+( )⋅ Z Wz+( )⋅

Wy Wz⋅ Y Wz⋅+ Wy Z⋅+C1 0.68 0.52 tan acos

1 0.46 logWz

X

0.75+

1.4

Wz

X

⋅−

1 0.46 logWz

X

0.75+

1.4

Wz

X

⋅+

⋅+

⋅≤

FS γ⋅ zp⋅ X Wx+( )⋅ Z Wz+( )⋅

WyWz⋅ Y Wz⋅+ Wy Z⋅+C1 0.68 0.52 tan acos

1 0.46 logWz

Y

0.75+

1.4

Wz

Y

⋅−

1 0.46 logWz

Y

0.75+

1.4

Wz

Y

⋅+

⋅+

⋅≤

Y 0≥ Z 0≥ Wy 0≥ Wz 0≥

X Y⋅

2 X Y+( )⋅RHxy≤

X Z⋅

2 X Z+( )⋅RHxz≤

Z Y⋅

2 Z Y+( )⋅RHzy≤

Wmax Maximize Rec Y, Z, Wx, Wy, Wz, ( ):=

X 10=

Wmax

20

5.154 107

×

0

9.61

9.61

=

Rec Wmax0Wmax

1, Wmax

2, Wmax

3, Wmax

4, ( ) 0.806=

II.4

Dimensionamento otimizado de rib pillars pelo método

de Mark e Chase (1997)

Dados de Entrada:




Kx 1.0:= Kz 1.0:= Razões das Tensões In Situ

Wx 0:= Wy 25:= Wz 37.7:= Dimensões dos Pilares (m)

X 50:= Y 44:= Z 100:= Dimensões dos Realces (m)

C1 25.665:= Resistência do Maciço (MPa)

c 29.61:= Resistência de um cubo do Maciço (MPa)

nx 0:= ny 1:= nz 100:= Número de Pilares em x, y e z

RHxy 12:= RHxz 12:= RHzy 12:= Raios Hidráulicos

Função de Recuperação:

Rec Y Z, Wx, Wy, Wz, ( )nx 1+( ) ny 1+( )⋅ nz 1+( )⋅ X⋅ Y⋅ Z⋅

nx 1+( ) X⋅ nx Wx⋅+[ ] ny 1+( ) Y⋅ ny Wy⋅+[ ]⋅ nz 1+( ) Z⋅ nz Wz⋅+[ ]⋅:=

Rec Y Z, Wx, Wy, Wz, ( ) 0.567=

Restrições de Resistência:

Given

FS Kx⋅ γ⋅ zp⋅ Y Wy+( )⋅ Z Wz+( )⋅

Wy Wz⋅ Y Wz⋅+ Wy Z⋅+c 0.64 0.54

Wy

X

⋅+ 0.18Wy

2

Z X⋅

⋅−

⋅≤

FS Kx⋅ γ⋅ zp⋅ Y Wy+( )⋅ Z Wz+( )⋅

Wy Wz⋅ Y Wz⋅+ Wy Z⋅+c 0.64 0.54

Wz

X

⋅+ 0.18Wz

2

Y X⋅

⋅−

⋅≤

FS γ⋅ zp⋅ X Wx+( )⋅ Z Wz+( )⋅

WyWz⋅ Y Wz⋅+ Wy Z⋅+c 0.64 0.54

Wz

Y

⋅+ 0.18Wz

2

Y X⋅

⋅−

⋅≤

II.5

X Y⋅

2 X Y+( )⋅RHxy≤

X Z⋅

2 X Z+( )⋅RHxz≤

Z Y⋅

2 Z Y+( )⋅RHzy≤

Y 0≥ Z 0≥ Wy 0≥ Wz 9≥

Wmax Maximize Rec Y, Z, Wx, Wy, Wz, ( ):=

X 50= Wx 0=

Wmax

46.154

46.154

15.683

18.809

9

=

Rec Wmax0Wmax

1, Wmax

2, Wmax

3, Wmax

4, ( ) 0.696=

II.6

Modelo de otimização adaptado para a câmaras subhorizontais adaptado para a Mina de

Morro Agudo, utilizando fórmula de Obert & Duvall.

Dados de entrada:

D 0.6:= Fator de Correção para pequeno número de pilares

n 3:= Número de pilares alinhados

C 108.4:= Constante do material para volume 1m3 (MPa)

a 0.778:= b 0.222:= Constantes da função




H 4.1:= Espessura da camada mineralizada (m)

Lmin 4:= Largura mínima parav tráfego dos equipamentos (m)

σt 4.4:= Resistência à tração (MPa)

t 0.5:= Espessura dos estratos sobrejacentes imediatos (m)

Wp 4:= Wo 14:= Dimensões iniciais dos pilares e vãos (m)

θ 20deg:= Mergulho do corpo mineralizado ( °)

K 1.7:= Razão das tensões in situ

α 20deg:= Inclinação do eixo do pilar com relação à camada ( °)

ϕ 42.9deg:= Ângulo de atrito da interface pilar-teto ( °)

Função objetivo:

Rec Wp Wo, ( ) 1n Wp⋅( )

2

n 1+( ) Wo⋅ n Wp⋅+[ ]2

−:=

Rec Wp Wo, ( ) 0.969=

II.7

Restrições:

Given

Dγ zp⋅ n 1+( ) Wo⋅ n Wp⋅+[ ]2

⋅

n Wp⋅( )2

cos α( )⋅ cos θ( )2

K2sin θ( )

2+⋅ C

a bWp

H

cos α( )

⋅+

FS⋅≤

Wo Lmin≥Vão mínimo para tráfego dos equipamentos.

Condição da estabilidade à flexão dos estratos.Wo

2 σt⋅ t⋅

γ FS⋅

0.5

≤

Wp 0>

tan α( ) tan ϕ( )≤ Condição da estabilidade dos pilares ao deslizamento

tan α( )Wp

Hsin α( )+≤ Condição da estabilidade dos pilares ao tombamento

Wmax Maximize Rec Wp, Wo, ( ):=

Wmax7.1

12

=

Rec Wmax0Wmax

1, ( ) 0.9=

II.8

ANEXO III

MODELOS NUMÉRICOS

Análise de isofaixas de Fatores de Segurança para três realces segundo o eixo Z.

III. 2

FICHA 01 X: 10,0 Y: 50,0 Z: 100,0 Wx: 0,0 Wy: 8,7 Wz: 13,2 Recuperação 81,4% Convencional

III. 3

FICHA 01 X: 10,0 Y: 40,0 Z: 74,3 Wx: 0,0 Wy: 5,7 Wz: 5,9 Recuperação 86,6%

(Mark & Chase)

III. 4

FICHA 02 X: 10,0 Y: 26,0 Z: 200 Wx: 0,0 Wy: 10 Wz: 10 Recuperação 86,6%

(Mark & Chase)

III. 5


III. 6


(Mark & Chase)

III. 7


III. 8


(Mark & Chase)

III. 9


III. 10


(Lunder & Pakalnis)

III. 11


III. 12


(Lunder & Pakalnis)

III. 13


Convencional

III. 14

X: 30,0 Y: 30,0 Z: 120,0 Wx: 0,0 Wy: 11,7 Wz: 13,2 Recuperação 75,5%

(Mark & Chase)

FICHA 09

III. 15


III. 16


(Mark & Chase)

III. 17


III. 18


(Lunder & Pakalnis)

III. 19


(Mark & Chase)

III. 20


III. 21


(Mark & Chase)

III. 22


III. 23


(Mark & Chase)

III. 24


(Mark & Chase)

ANEXO IV CRITÉRIO DE ESTABILIDADE AO TOMBAMENTO

IV.2

Critério de estabilidade ao tombamento - Fomulação de Oyangüren et al. (1984)

Na Formulação de Oyangüren et al. (1984), R (força resultante) é paralela ao eixo do pilar, conforme mostrado na fig. IV.1. Propõe-se introduzir uma restrição nos modelos de otimização utilizados no exemplo da mina de Morro Agudo, que corresponderia a satisfazer o critério de estabilidade dos pilares ao tombamento. Dessa forma, tomando o equilíbrio limite dos momentos em relação ao ponto P tem-se que:

� �� = 0

��. � �. � − ��. cos �. �� + �. � � = 0

Sendo assim, o critério de estabilidade ao tombamento será ��. � �. � < ��. cos �. �� + �. � �

Ou seja,

tan < �� + �

Figura IV.1: Equilíbrio limite dos momentos atuantes no pilar.

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AUTOR: FERNANDA DE BRITO BENVINDO SOUZA