Autores - UFPE

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Autores:Caio de Holanda

[email protected] Pimentel

[email protected] Cavalcanti

[email protected] Macedo

[email protected] Maranhao

[email protected] Silva

[email protected] Borges

[email protected]

Indice

1 Funcoes e Introducao a Calculo 51.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Caracterısticas de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Domınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Representacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Zeros da funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Intervalos de crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Maximos e mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Tipos de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1 Funcao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2 Funcao quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.3 Funcao Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.4 Funcao Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.5 Funcao Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.6 Funcao Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Introducao a Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Potencias e Logarıtmos 242.1 Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2 Tipos de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Logarıtmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3 Operacoes com logarıtmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Logarıtmos usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Progressao Aritimetica e geometrica 293.1 Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Progressao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Polinomios e fracoes parciais 344.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Valor numerico de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Raiz de um polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5 Igualdade de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.6 Operacoes com polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Divisao de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7.1 Metodo da chave ou divisao euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.8 Teorema de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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INDICE 4

4.9 Equacoes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.10 Multiplicidade de uma raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.11 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Matrizes e Sistemas Lineares 435.1 Conceitos basicos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Tipos de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Operacoes Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.3.1 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.2 Soma e Subtracao matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3.3 Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.4 Multiplicacao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3.5 Transposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.1 Definicao e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4.2 Calculo de Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5 Matrizes Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.5.1 Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.5.2 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.6 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6.1 Equacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6.2 Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7 Matrizes Associadas a um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.7.1 Operacoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.7.2 Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.8 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Analise Combinatoria 546.1 Arranjos fatoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1.1 Arranjo com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.1.2 Arranjo sem repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Combinacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Estatıstica Basica 577.1 Introducao a Estatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Estatıstica Descritiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.1 Tipos de variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2.2 Medidas resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.2.3 Quantis e box-plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Capıtulo 1

Funcoes e Introducao a Calculo

Bibliografia recomendada:STEWART, J. Calculo, Volume I. Cengage Learning. 8a ed. 2016.

1.1 Definicao

O conceito de funcao esta relacionado a ideia de associacao de um elemento a outro, segundo uma regraespecıfica.

Ex.: A populacao humana do mundo (P) depende do perıodo de tempo (t).

P (1950) = 2.560.000.000 ( P esta em funcao de t )

O resultado de f(x) e o valor da funcao no instante em que x varia, logo, percebe-se um relacao na qualf(x) depende de x. Denominamos entao f(x) como a variavel dependente, e x como variavel independente.Uma funcao pode ser vista como um algoritmo, ou uma maquina. Enquanto x estiver dentro do domınioda funcao ele e aceito como parametro, a maquina ou algoritmo produzira um resultado f(x) de acordocom a lei especıfica.

• Envolve uma relacao de dependencia, um elemento depende de outro ou de varios;

• Para cada relacao temos uma variavel dependente e uma ou mais variaveis independentes;Ex.: f(x, y, z) = z;

Uma funcao e uma relacao entre dois conjuntos quaisquer que associa a cada elemento do conjuntode partida um unico elemento do conjunto de chegada.

• O conjunto de partida e denominado domınio da funcao

• O conjunto de chegada e denominado contradomınio da funcao

• Os elementos do contradomınio que estao associados em algum elemento do domınio constituem oconjunto imagem da funcao

Exemplo:Dado um retangulo de base x e altura x + 2, determine a funcao f(x) que expressa a area do retangulo.Sabendo que a area de um retangulo e o produto da base pela altura, podemos escrever a funcao f(x)como: f(x) = (x) · (x+ 2) .: f(x) = x2 + 2xOu seja, a funcao f(x) que expressa a area do retangulo especificado na questao e f(x) = x2 + 2x.

1.2 Caracterısticas de uma funcao

Seja D o domınio e C o contradomınio de uma funcao f, que associa a x ∈ D um valor y ∈ C. Nessecaso:

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CAPITULO 1. FUNCOES E INTRODUCAO A CALCULO 6

• Todo elemento de D deve estar associado a um elemento de C. Ou seja, f deve estar definida paratodo o elemento x do domınio D.

• Nem todo elemento de C precisa estar associado a um elemento de D.

• Um elemento de D nao pode estar associado a dois elementos de C. Ou seja, a funcao nao podefornecer dois valores de y para um unico x.

• Um elemento de C pode estar associado a mais de um elemento de D. Ou seja, dois valores de xpodem estar associados a um mesmo y.

1.3 Domınio e Imagem

Domınio e o conjunto de todos os valores de x para os quais f esta definida.Dada uma funcao f, com domınio D, denominamos conjunto imagem (ou simplesmente Im) o conjuntode todos os valores f(x) obtidos a partir de x ∈ D.

Exemplo 1:Determine o domınio da funcao: f(x) = 1

(x2−1)

O domınio da funcao e o conjunto de todos os valores de x para os quais f(x) esta definida. Como aunica exigencia e que o denominador desta expressao nao seja zero, temosx2 − 1 6= 0⇒ x2 6= 1⇒ x 6= ±1Logo, o domınio de f eD = x ∈ R|x 6= 1 e x 6= −1

Exemplo 2:Para a funcao abaixo, determine o conjunto imagem.f(x) = 2x2 + 1A funcao f(x) pode ser calculada para qualquer x real. Desse modo, podemos afirmar que D = R. Poroutro lado, como x2 ≥ 0 para todo x real, concluımos que 2x2 + 1 ≥ 1. Assim,Im = y ∈ R|y ≥ 1

Exemplo 3:Durante um programa nacional de imunizacao da populacao contra uma forma virulenta de gripe, rep-resentantes do Ministerio da Saude constataram que o custo de vacinacao de x% da populacao era deaproximadamente f(x) = 150x

(200−x) milhoes de reais.

a) Qual e o domınio da funcao?Dado que a funcao e representada por uma fracao, sabemos que o denominador nao pode ser nulo. Daı:200− x 6= 0x 6= 200Ou seja: Dom(f) = x ∈ R : x 6= 200

b) Qual foi o custo para que os primeiros 50% da populacao fossem vacinados?Como queremos saber o custo para vacinar 50% da populacao, basta calcularmos f(50):f(50) = (150 · 50)/(200− 50)⇒ (150 · 50)/150⇒ 50Sendo assim, o custo para vacinar os primeiros 50% da populacao e de R$50 milhoes.

c) Qual a porcentagem vacinada da populacao sabendo que foram gastos R$37,5 milhoes?Se o custo de vacinar determinada porcentagem da populacao foi de R$37,5 milhoes, sabemos que f(x)= 37,5. Daı:37,5 = 150x/(200-x)150x = 37, 5 · (200− x)⇒ 150x = 7500− 37, 5x187, 5x = 7500⇒ x = 40Concluımos que 40% da populacao foi vacinada quando foram gastos R$37,5 milhoes.


1.4 Representacoes

A expressao matematica de uma funcao f que a cada ponto x de um conjunto A associa um pontof(x) de um conjunto B e dada por:f: A→Bx 7→ f(x)Neste caso, A e domınio e B o contra-domınio.

A representacao grafica de uma funcao f e um subconjunto do plano xy dado por:G = (x, y) ∈ R2 : y = f(x)

• O grafico e posicionado em um sistema de eixos cartesianos, onde o eixo horizontal contem avariavel independente x e o eixo vertical contem a variavel dependente y = f(x)

• O domınio e o conjunto de valores sobre o eixo x para os quais a funcao esta definida.

• O conjunto imagem e o conjunto de valores do eixo y associados a pontos do grafico.

• Os eixos se cruzam na origem e o sentido de crescimento se da da esquerda para direita e de baixopara cima.

A representacao grafica permite saber se e uma representacao de uma funcao ou nao. Para saberisso basta tracarmos retas paralelas ao eixo y e ver quantas vezes estas retas interceptam a curva. Seinterceptar mais de uma vez conclui-se que nao se trata do grafico de uma funcao.

Teste da Reta Vertical: Uma curva no plano xy e o grafico de uma funcao de x se e somente se nenhumareta vertical cortar a curva mais de uma vez.

1.4.1 Zeros da funcao

Os valores de x que satisfazem a equacao f(x) = 0 sao chamados de zeros de f . Esses correspondem aosinterceptos-x do grafico da funcao.

Exemplo: Determine graficamente os zeros da funcao: f(x) = x2 +1 Ao satisfazer f(x) = 0 encontram-se

os zeros da funcao. Daı x2 + 1 = 0⇒ x

2 = −1⇒ x = −2Concluımos que -2 e zero da funcao.Graficamente, temos:


1.4.2 Intervalos de crescimento e decrescimento

Seja f uma funcao definida em um intervalo D. Dizemos que

• f e crescente em D se, dados quaisquer x1 e x2 em D, tais que x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2);

• f e decrescente em D se, dados quaisquer x1 e x2 em D, tais que x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2);

• f e constante em D se, dados quaisquer x1 e x2 em D, tivermos f(x1) = f(x2);

O grafico abaixo mostra os intervalos de crescimento e decrescimento da funcao f. A partir dele, podemosinferir que

• f e crescente no intervalo (a,b) e no intervalo (d,e);

• f e decrescente no intervalo (b,c) e no intervalo (e,g);

• f e constante em [c,d];

1.4.3 Maximos e mınimos

• O valor f(x) e um maximo local – ou maximo relativo – de f se existe um intervalo (a,b) contendox, tal que: f(x) ≥ f(x) para todo x ∈ (a, b). O valor x e chamado ponto de maximo local

• O valor de f(x) e um mınimo local – ou mınimo relativo – de f se existe um intervalo (a,b), contendox, tal que:f(x) ≤ f(x) para todo x ∈ (a, b). O valor de x e chamado ponto de mınimo local.

Ao nos referirmos a valores de maximo e mınimo, usamos os adjetivos local e relativo para deixarclaro que a analise cabe apenas a uma vizinhanca de x O grafico abaixo mostra os valores de maximoslocais – a, c e e – e os de mınimos locais – b, d e g.


1.5 Simetria

Alguns graficos de funcoes possuem uma caracterıstica geometrica denominada simetria. O grafico dafuncao f(x) = x2, por exemplo, e simetrico em relacao ao eixo y. Ou seja, a parte da curva que esta aesquerda do eixo e uma imagem refletida da parte que esta a direita. Algebricamente falando, a simetriae caracterizada por:

f(x) = f(−x)

Funcao Simetrica Par: Uma funcao cujo grafico e simetrico com relacao ao eixo y e denominada par.

Outra simetria comum e a que ocorre em relacao a origem. Nesse caso, a curva nao se altera caso viremoso grafico de cabeca para baixo. Algebricamente, corresponde a dizermos que:

f(x) = −f(−x)

Funcao Simetrica ımpar: Uma funcao cujo grafico e simetrico com relacao a origem e denominado ımpar.

Resumindo, uma funcao f e par (a) se seu grafico e simetrico em relacao ao eixo y e uma funcao f e ımpar(b) se seu grafico e simetrico em relacao a origem:

Exemplo:Verifique quais funcoes abaixo sao pares e quais sao ımpares.a)f(x) = x3 − 16xb)f(x) = x4 − 12x+ 10c)f(x) = x3 − 2x2 + 1

a) Para testarmos a paridade da funcao, comecamos calculando o f(-x). Se o resultado for igual aof(x) sabemos que a funcao e par, e se for igual a –f(x) e ımpar. Entao:f(−x) = (−x3)− 16(−x)= −x3 + 16x= −(x3 − 16x), logo, = −f(x)Como f(-x)= -f(x), a funcao e ımpar.

b) De modo analogo como fizemos na letra a), teremos:f(−x) = (−x)4 − 12(−x)2 + 10= x4 − 12x2 + 10, logo, = f(x)Como f(-x)=f(x), a funcao e par.

c) Do mesmo modo, faremos:f(−x) = (−x)3 − 2(−x)2 + 1= −x3 − 2x2 + 1Como f(x) nao e igual a –f(x) ou a f(-x), a funcao nem e par nem e ımpar.


1.6 Tipos de funcao

1.6.1 Funcao Linear

Funcoes lineares sao funcoes cujos graficos descrevem retas no plano e sao expressas por:f : R→ Rx 7→ ax+ bSendo a e b constantes e sendo o domınio todos os reais.

• Se b = 0 o grafico e uma reta passando pela origem.

• Se a = 0 o grafico e uma reta paralela ao eixo x, interceptando o eixo y em b. Neste caso, e ditauma funcao constante

• a e dito o coeficiente angular da reta - se for positivo a reta tem sentido crescente, caso contrariodecrescente - e b e o coeficiente linear.

• O coeficiente angular e definido como sendo:

a =(y2 − y1)

(x2 − x1)

A resolucao pode ser dada por: x = −ba Exemplos:

1.6.2 Funcao quadratica

Funcoes quadraticas sao funcoes cujos graficos sao parabolas e sao expressas por:f : R→ Rx 7→ ax2 + bx+ c

• onde a, b e c sao constantes e a 6= 0. Dom(f) = R.

• a > 0 indica uma parabola voltada para cima.

• a < 0 indica uma parabola voltada para baixo.


• δ < 0 indica duas raızes reais e distintas.

• δ = 0 indica duas raızes reais e iguais.

• δ < 0 indica que nao ha raızes reais.

a =(y2 − y1)

(x2 − x1)

Metodo de resolucao pode ser dado atraves da Formula de Bhaskara:

x = −b±√b2−4·a·c2a

ou, atraves das relacoes de Girard ou sua forma simplificada conhecida como soma e produto:

Soma: x1 + x2 = −ba

Produto: x1 · x2 = ca

Exemplo: f(x) = x2–5x+ 6A soma precisa ser o valor de −ba , ou seja, 5.O produto deve ser correspondente a c

a , ou seja, 6.Logo, os numeros correspondentes sao: 2 e 3;Pois sua soma equivale a 5 e a seu produto a 6, o que satisfaz a premissa.

Exemplos:

1.6.3 Funcao Cubica

Sao funcoes cujos graficos recebem o mesmo nome e sao expressas por:f : R→ Rx 7→ ax3 + bx2 + cx+ dOnde a, b, c e d sao constantes e a 6= 0. Dom(f) = R.Suas resolucoes sao dadas atraves das relacoes de Girard e do calculo.


Exemplos:

1.6.4 Funcao Racional

Sao funcoes dadas pelo quociente entre dois polinomios, ou seja:

f(x) =P (x)

Q(x)

onde P(x) e Q(x) sao polinomios. Dom(f) = x ∈ R : Q(x) 6= 0Observe que ao trabalharmos com funcoes racionais devemos ter cuidado com o domınio de definicao

da funcao, uma vez que o denominador nao pode se anular. Ou seja, as funcoes nao sao definidas paradenominadores iguais a 0.

Exemplos:


1.6.5 Funcao Raiz Quadrada

Sao funcoes definidas por:f(x) =

√x

onde Dom(f) = x ∈ R : x ≥ 0Observe que ao lidarmos com funcoes de raiz quadrada precisamos atentar para o fato de que o domınioda funcao abrange apenas os numeros reais maiores ou iguais a 0. Ou seja, as funcoes de raiz quadradanao sao definidas para denominadores menores de 0.

Exemplos:

1.6.6 Funcao Valor Absoluto

A funcao valor absoluto, ou funcao modular, e uma funcao definida por partes, dada por:

f(x) =

x, se x ≥ 0−x, se x < 0

Tambem apresentamos a essa funcao por meio da notacao f(x) = |x|.

Exemplo:

Caracterısticas da funcao modular

• O domınio da funcao e R.

• O conjunto imagem e [0,∞).

• Ha um zero em x = 0.

• A funcao e decrescente em (−∞, 0) e crescente em (0,∞).

• Nao ha maximos locais.

• Ha um unico ponto de mınimo local, em x = 0.

• A funcao e par


1.7 Introducao a Calculo

1.7.1 Limite

A medida que tomamos o valor arbitrariamente de x proximo a a, o limite de f(x) torna-se arbitraria-mente proximo a L.Definicao: limx→a” f(x) = LExemplo:

limx→2′

x2 − x+ 2 = 4

1.7.2 Derivadas

O calculo diferencial calcula o valor da inclinacao da reta tangente num determinado ponto.

Definicao: f ′(x) = f(x2)−f(x1)x2−x1 talque, x2− x1 = h

limh→0”h+x1−f(x1)

h = f ′(x) no ponto x1.


Interpretacao geometrica:

Desenhando uma reta secante, de modo que, x2 tenda a x1 no limite, o coeficiente angular dela tenderaao coeficiente angular da reta tangente no ponto x1.

Exercıcios Propostos

1. Calcule as funcoes nos pontos indicados.a) f(x) = −2(x+ 1)f(−2), f(−1), f(0), f(1), f(a), f(−a)

b) g(y) = 3(y − 2)2

g(−2), g(−1), g(0), g(1), g(2)

c) h(x) = x+1x2−1

h(0), h(−2), h(1/2), h(a), h(a− 1)

d) f(w) = w − 2w

f(−1), f(1/2), f(x), f(1/x), f(2z)

e) f(y) = 1y2

f(−1), f(3), f(1/5), f(2x), f(1/x2)

2. Determine o domınio das funcoes.a) f(x) = 3x+ 2b) f(x) = 1

x−2

c) f(x) = 12x+5

d) g(x) =√x+ 9

e) f(x) =√

5− 2xf) f(x) =

√4x− 3

g) p(x) = 3√x− 2


h) f(x) = 5x5x−13

i) g(x) = 3x+14x+6

j) h(x) = 12x−1

k) f(x) =√

3−xx+1

l) f(x) =√

1−5xx2+4

m) f(x) = 1√x−3

n) f(x) = x−1√2x−7

o) f(x) = 1|x|−6

p) f(x) = 1|x−4|+2

q) f(x) =√

16− x2

r) f(x) =√x− 1 +

√5− x

3. Na superfıcie do oceano, a pressao da agua e a mesma do ar, ou seja, 1atm. Abaixo da superfıcie daagua, a pressao aumenta 1atm a cada 10m de aumento na profundidade.a) Escreva uma funcao P(x) que forneca a pressao (em atm) com relacao a profundidade (em m).Considere que x=0m na superfıcie da agua do mar.b) Determine a pressao a 75m de profundidade

4. Um instalador de aparelhos de ar condicionado cobra R$ 50,00 pela visita, alem de R$ 75,00 por horade servico (sem incluir o custo do material por ele utilizado)a) Escreva uma funcao C(t) que forneca o custo de instalacao de um aparelho ar condicionado, em relacaoao tempo gasto pelo instalador, em horas.b) Se a instalacao de um aparelho consumir 3,5 horas, qual sera o custo da mao de obra?

5. Um notebook custa R$ 2.900,00 e perde 12% de seu valor inicial a cada ano de uso.a) Escreva a funcao V(t) que fornece o valor do notebook apos t anos de usob) Determine apos quantos anos de uso o valor do notebook chega a R$ 800,00, momento em que econveniente troca-lo

6. Usando o teste da reta vertical, indique quais graficos representam funcoes

7. O grafico de uma funcao f e mostrado abaixo. Com base no grafico, determinea) os valores de f(-2), f(0) e f(4)b) o conjunto imagem de fc) os pontos em que f(x) = 2d) os pontos em que f(x) < 1


e) os pontos de maximo e mınimo localf) os intervalos de crescimento e decrescimento

8. O grafico de uma funcao f e mostrado abaixo. Com base no grafico, determinea) O conjunto imagem de fb) Os pontos zeros de fc) Os pontos em que −3 ≤ f(x) ≤ 0d) Os pontos de maximo e mınimo locale) Os intervalos de crescimento e decrescimento

9. Da-se o nome de taxa de ocupacao ao percentual de pessoas ocupadas em relacao ao numero depessoas dispostas a trabalhar. O grafico abaixo mostra a taxa de ocupacao na regiao metropolitana deSao Paulo, em junho de cada ano, segundo o IBGE.

a) Determine entre quais anos consecutivos houve maior aumento do desemprego em junho, ou seja, amaior variacao negativa da taxa de ocupacao.b) Determine entre quais anos consecutivos houve o maior aumento na taxa de ocupacao em junho.Calcule a variacao da taxa nesse caso.c) Forneca os intervalos de crescimento e decrescimento da taxa de ocupacao.d) Determine quais anos apresentaram a maior e a menor taxa de ocupacao em junho.

10. Determine algebricamente se as funcoes abaixo sao pares ımpares ou nao possuem simetria.a) f(x) = 4b) f(x) = −2x


c) f(x) = 2x− 1d) f(x) = x2 − 3e) f(x) = x2 − 4x+ 4f) f(x) = −x3 + 2xg) f(x) = 2x5 − x3 + xh) f(x) = x6 − 3x4 + x2 − 15i) f(x) = 1

x2+1

j) f(x) = 3√x

k) f(x) = x√x

l) f(x) = |x|

11. Esboce o grafico de cada uma das funcoes abaixo com base em uma tabela de valores da funcao empontos que voce escolheu.a) f(x) = 3− 2xb) f(x) = 2x2 − 3c) f(x) = (x− 1)2

d) f(x) = 1 +√x

e) f(x) =√

1 + xg) f(x) = 2/x

12. Trace o grafico das funcoes abaixo para x ∈ [−2, 4]

a) f(x) =

1− x, se x ≤ 2x, se x > 2

b) f(x) =

1, se x < 0−1, se x ≥ 0

c) f(x) =

0, se x < 1

x2 − 1, se x ≥ 1

13. As figuras abaixo mostram os graficos de funcoes definidas por partes. Escreva a expressao de cadafuncao.


14. A geracao de energia eolica no Brasil saltou de 342 GWh em 2006 para 2177 GWh em 2010.a) Escreva uma funcao linear (ou afim) E(t) que forneca aproximadamente a energia gerada (em GWh)com relacao ao numero de anos, t, decorridos desde 2006b) Esboce o grafico de E(t)

15. Explique com suas palavras o significado de:

limx→

f(x) = 15

16. Resolva a equacao abaixo:

limx→

x2 + 5x− 4

17. Dada a equacao abaixo, resolva:

limx→

x2 − 4

x− 2

18. Sendo f(x) = x2, calcule a derivada nos pontos:A)(2,4)B)(3,9)c)(1,1)

Respostas

1.a) 2; 0; -2; -4; -2 -a; -2+ab) 48; 27; 12; 3; 0c) -1 ; -1/3 ; -2 ; (1+a)/(a2 − 1); 1/(a-2)d) 1; -7/2; x – 2/x; -2x + 1/x; 2z – 1/ze) 1; 1/9; 25; 1/4x2; x4

2.a) Rb) x ∈ R | x 6= 2c) x ∈ R | x 6= −5/2d) x ∈ R | x ≥ −9e) x ∈ R | x ≤ 5/2f) x ∈ R | x ≥ 3/4g) Rh) x ∈ R | x 6= 13/5i) x ∈ R | x 6= −3/2j) x ∈ R | x ≥ 1/2k) x ∈ R | x ≤ 3, x 6= −1l) x ∈ R | x ≤ 1/5m) x ∈ R | x ≥ 0, x 6= 9n) x ∈ R | x ≥ 7/2o) x ∈ R | x 6= −6 e x 6= 6


p) Rq) x ∈ R | − 4 ≤ x ≤ 4r) x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5

3. a) P(x) = 1 + x/10 (considerando que a profundidade e um numero positivo) b) 8,5 atm

4. a) C(t) = 50 + 75t b) R$ 312,50

5. a) V(t) = 2900 – 348t b) Apos cerca de 6 anos de uso

6. a) Nao representa funcao b) Representa funcao c) Nao representa funcao d) Representa funcao

7. a) f(-2) = 6; f(0) = 2; f(4) = 1,5 b) Im = y ∈ R|y ≥ 0 c) x=0 e x=5 d) 0, 5 < x < 3 e) x=1 eponto de mınimo local, com f(1) = 0. Nao ha maximo local. f) f e decrescente em (−∞, 1) e crescenteem (1,∞)

8. a) Im = y ∈ R|y ≤ 3 b) x = -1 e x = 2,5 c) [-2,-1] ∩ [2,5;5] d) x=0 e ponto de maximo local, comf(0) = 3. Nao ha mınimo local. e) f e crescente em (−∞, 0) e decrescente em (0,∞)

9. a) Entre 2014 e 2015 b) Entre 2004 e 2005. Nesse perıodo, a taxa de ocupacao subiu 2,8% c) De 2008a 2015 d) Crescente de 2003 a 2005, de 2006 a 2008, de 2009 a 2012 e de 2013 a 2014. Decrescente entre2002 e 2003, 2005 e 2006, 2008 e 2009, 2012 e 2013 e entre 2014 e 2015 e) A menor taxa de ocupacaoocorreu em 2003 (85,5%) e a maior em 2014 (94,9%)

10. a) Par b) Impar c) Nada d) Par e) Nada f) Impar g) Impar h) Par i) Par j) Impar k) Nada l) Par

11.


12.


13.

a) f(x) =

−1, se x < 02x− 1, se 0 ≤ x < 2

3, se x ≥ 2

b) f(x) =

1, se x < −123x+ 2

3 , se − 1 ≤ x < 28− 2x, se x ≥ 2

c) f(x) =

−x

2 + 1, se x < 2x− 2, se x ≥ 2

14. a) E(t) = 342 + 458,75t

b)

15.A medida que o x tende a 2, o f(x) tende a 15, ate que possamos dizer que o limite de f(x) tendendo adois seja igual a 5.


16.A solucao desse limite e 20.

17.A solucao desse limite e 4.

18.A) 4B) 6C) 2

Capıtulo 2

Potencias e Logarıtmos

2.1 Potencias

2.1.1 Definicao

an = a · a · a · a...

a = basen = expoentea · a · a · a... = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potencia

2.1.2 Tipos de potencia

• Expoente zeroa0 = 1

• Expoente positivoan = a · a · a · a ...

• Expoente negativoa−n = 1

an

• Expoente fracionariox

ab = b√xa

2.1.3 Propriedades

• Produto de potencias de mesma basean · am = an+m

• Divisao de potencias de mesma basean

am = an−m

• Potencia da potencia(an)m = an·m

• Potencia do produto(a · b)n = (an · bn)

2.2 Logarıtmos

2.2.1 Definicao

loga(b) = x⇔ ax = b

24

CAPITULO 2. POTENCIAS E LOGARITMOS 25

a = base do logarıtmob = logaritmandox = logaritmo

2.2.2 Propriedades

• loga(1) = 0

• aloga(b) = b

• loga(am) = m

• loga(a) = 1

• loga(b) = loga(c)⇒ b = c

2.2.3 Operacoes com logarıtmos

• Logarıtimo do produtologb(xy) = logb(x) + logb(y)

• Logarıtimo do quocientelogb(

xy ) = logb(x)− logb(y)

• Logarıtimo da potencialogb(x

p) = p · logb(x)

• Mudanca de baselogb(x) = logk(x)

logk(b)

2.3 Logarıtmos usuais

Os logaritmos mais comumente empregados possuem uma notacao particular, para facilitar seu uso. Saoeles:

• O logaritmo na base 10, tambem chamado logaritmo comum ou decimal, que e apresentado sem aindicacao da base.log(x) = log10(x)

• O logaritmo na base e, tambem chamado logaritmo natural ou Neperiano, que e representado porln. ln(x) = loge(x)


1. Calcule o valor da expressao C = (10−3 · 105) : (10x104)

2. Classifique como verdadeiro ou falso:a) 57 · 52 = 59

b) 39 : 34 = 35

c) 85 : 8−3 = 82

d) 75 − 73 = 72

e) 76−5 = 76/75

f) (73)2 = 75

g) (5 + 2)2 = 52 + 22

h) 32 + 33 + 35 = 310


3. Simplifique, aplicando a propriedades de potencia:a) (3 · 7)5 · (3 · 7)2 =b) (5xy2) · (2x2y3) =c) (a2.b)2 · (a · b)3 =d) (7xy2)2 · (x3y2)4 =

4. Simplifique a expressao (a3)(a3)2b3·b7a5·b3

5. Simplifique a expressao(−5)2−32+( 2

3 )0

3−2+ 15 + 1

2

6. Supondo que x 6= 0 e y 6= 0, simplifique: (x−2)1 + (y2)−1 + 2(xy1)−1

7. Reescreva a expressao na forma k · xn: 2√x · 4x−5/2

8. Calcule pela definicao os seguintes logaritmos:

a) log218

b) log8 4c) log0,25 32

9. Calcule pela definicao os seguintes logaritmos:a) log1/2 8b) log1/4 32c) log25 0, 008

10.Calcule a soma S nos seguintes casos:

a) S = log100 0, 001 + log1,5 4/9− log1,25 0, 64

b) S = log8

√2 + log8

√8

c) S = log 8√9

√1/27− log 8

√0,5

√8 + log 8√100

6√

0, 1

11. Calcule o valor de S em: S= log4(log3 9) + log2(log81 3) + log0,8(log16 32)

12. Calcular o valor de:

a) 8log2 5

b) 3(1+log3 4)

13. Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c sao reais positivos):

a)log2( 2abc )

b) log3(a3b2

c4 )

c) log( a3

b2√

c )

14. Qual e a expressao cujo desenvolvimento logarıtmico e: 1+ log2 a− log2 b−2 log2 c (a, b e c sao reaispositivos)?

15. Se log 2 = a e log 3 = b, colocar em funcao de a e de b os seguintes logarıtmos decimaisa) log 6b) log 4c) log 12d) log

√2

e) log 0, 5f) log 20g) log 5h) log 15


16. Sabendo que log30 3 = a e log30 5 = b, calcular log10 2

17. Se logab a = 4, calcule logab =3√a√b

18. Lembrando que aloga b = b, calcule o valor das expressoes:

a) 3log3 10

b) 82+log82

c) 104−log 400

d) 7log7 3·log3 2

19. Dados log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, determine:a) log 72b) log 5, 4c) log 5d) log 32

243e) log8 27

Respostas

1. 10−3

2. a) V; b) V; c) F; d) F; e) V; f) F; g) F; h) F;

3. a)37 · 77; b) 10x3y5; c) a7 · b5; d) 49x14y12

4. a4 · b7

5. 153073

6. (x+yxy )2

7. 8x−2

8. a) −3; b) 2/3; c) −5/2

9. a) −3; b) −5/2; c) −3/2

10. a) S = −3/2; b) S = 4/6; c) S = 2

11. S = −5/2

12. a) 125; b) 12

13. a) 1 + log2 a+ log2 b− log2 cb) 3 log3 a+ 2 log3 b− 4 log3 cc) 3 log a− 2 log b− 1

2 log c

14. log2( 2abc2 )

15.a) a+bb) 2ac) 2a+bd) a/2e) -af) 1+ag) 1-ah) 1-a+b


16. 1−a−b1−a

17. 17/6

18. a) 10; b) 128; c) 25; d) 2

19. a) 1,86; b) 0,74; c) 0,7; d) -0,9

Capıtulo 3

Progressao Aritimetica e geometrica

3.1 Progressao Aritmetica

No ensino medio estudamos dois tipos de progressao: a Aritmetica (PA) e a geometrica (PG). Umaprogressao e uma serie numerica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma apos aoutra. Ela sempre e estabelecida por uma lei de formacao, que e uma formula matematica.

Na PA, cada termo e obtido com a soma do termo anterior a um certo valor constante, chamado de“razao”. Tem-se assim a seguinte formula para obtencao dos termos de uma PA:

an = a1 + (n− 1) · ran = n-esimo termo da sequenciaa1 = primeiro termon = posicao do termo na sequenciar= razao

Ainda podemos obter a soma dos termos de uma PA, utilizando a seguinte formula:

Sn = n · (a1 + an)

2Sn = soma dos n primeiros termos de uma PAn = posicao do termo na sequenciaa1 = primeiro termo da sequenciaan = n-esimo termo da sequencia

Exemplo:Encontre o decimo primeiro termo da sequencia (1, 3, 5, 7...) e encontre tambem a soma dos vinteprimeiros termos dessa sequencia:a1= 1r = 2n = 11

assim: a11 = 1 + (11− 1) · 2a11 = 21

Para sabermos a soma dos vinte primeiros termos, necessitamos primeiro achar o vigesimo termo,logo:a20 = 1 + (20− 1) · 2a20 = 39

Agora, fica claro que

S20 = 20 · (1+39)2

S20 = 400

29

CAPITULO 3. PROGRESSAO ARITIMETICA E GEOMETRICA 30

3.2 Progressao Geometrica

Na PG, a formacao da sequencia se da de forma diferente da PA. Nesse caso, o termo seguinte e obtidoatraves da multiplicacao do termo anterior pela razao. Ex: (2,4,8,16,32 ...)

Temos a formula:an = a1 · qn−1

an = n-esimo termo da sequenciaa1 = primeiro termo da sequenciaq = razaon = posicao do termo da sequencia

E para a soma dos termos de uma PG:

Sn = a1 ·(qn − 1)

q − 1

Sn = soma dos n primeiros termos de um PGa1 = primeiro termo da sequenciaq = razaon = posicao do termo na sequencia

Exemplo:Encontre o nono termo da sequencia (2,4,8,16..), tambem ache a soma dos 10 primeiros termos.a1 = 2r = 2

Assim,a9 = 2 · 2(9−1)

a9 = 512

e, tambem,S10 = (2 · (210 − 1))/(2− 1)S10 = 2048

Caso a razao (q) da PG esteja num intervalo entre -1 e 1, quando n tende a infinito, o termo qn tendea 0. Assim, a soma de uma PG infinita sera:

Sn =a1

1− q


1. O valor de x, de modo que os numeros 3x – 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em PA ea) 1b) 0c) -1d) –2

2. O centesimo numero natural par nao negativo ea) 200b) 210c) 198d) 196


3. Quantos numeros ımpares ha entre 18 e 272?a) 100b) 115c) 127d) 135

4. Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora, os precos caem emprogressao aritmetica. O valor da segunda hora e R$ 4,00 e o da setima e R$ 0,50. Quanto gastara oproprietario de um automovel estacionado 5 horas nesse local?a) R$ 17,80b) R$ 20,00c) R$ 18,00d) R$ 18,70

5. Um doente toma duas pılulas de certo remedio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis noterceiro dia e assim sucessivamente ate terminar o conteudo do vidro. Em quantos dias tera tomadotodo o conteudo, que e de 72 pılulas?a) 6b) 8c) 10d) 12

6. Se cada coelha de uma colonia gera tres coelhas, qual o numero de coelhas da 7a geracao que seraodescendentes de uma unica coelha?a) 3000b) 1840c) 2187d) 3216

7. Comprei um automovel e vou paga-lo em 7 prestacoes crescentes, de modo que a primeira prestacaoseja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual e o preco do automovel?a) R$ 12 700,00b) R$ 13 000,00c) R$ 11 800,00d) R$ 13 200,00

8. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segundahora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessario para com-pletar um percurso de:a) 480 mb) 510 m

9. Uma criacao de coelhos foi iniciada ha exatamente um ano e, durante esse perıodo, o numero decoelhos duplicou a cada 4 meses. Hoje, parte dessa criacao devera ser vendida para se ficar com aquantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a porcentagem da populacao atual dessa criacao decoelhos a ser vendida ea) 75%b) 80%c) 83,33%d) 87,5%

10. Numa PG de quatro termos, a razao e 5 e o ultimo termo e 375. O primeiro termo dessa PG ea) 1b) 2c) 3d) 4


11. A medida do lado, o perımetro e a area de um quadrado estao, nessa ordem, em progressaogeometrica. Qual a area do quadrado?

12. Sao dados quatro numeros positivos: 12, x, y, 4. Sabendo que os tres primeiros estao em PA e ostres ultimos estao em PG, achar x e y.

13. Um professor de educacao fısica organizou seus 210 alunos para formar um triangulo. Colocou umaluno na primeira linha, dois na segunda, tres na terceira, e assim por diante. O numero de linhas ea) 10b) 15c) 20d) 30e) NRA

14. Quantos termos tem a PA (5, 10, ..., 785)?a) 157b) 205c) 138d) 208

15. Um atleta corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15dias ele correu um total de 67 500 metros, o numero de metros percorridos no terceiro dia foi:a) 1000b) 2000c) 1500d) 2500e) 2600

16. Uma certa especie de bacteria divide-se em duas a cada 20 minutos, e uma outra, a cada 30 minutos.Determine, apos 3 horas, a razao entre o numero de bacterias da 1a e o da 2a especies, originadas poruma bacteria de cada especie.a) 8b) 4c) 2d) 0e) 12

17. Um pintor consegue pintar uma area de 5 m2 no primeiro dia de servico e, a cada dia, ele pinta 2m2 a mais do que pintou no dia anterior. Em que dia ele tera conseguido pintar 31 m2?a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

Respostas

1. c)

2. a)

3. c)

4. a)

5. b)


6. c)

7. a)

8. a) 4h b) 8h

9. d)

10. c)

11. 256

12. x=9 e y=6

13. c)

14. a)

15. b)

16. b)

17. d)

Capıtulo 4

Polinomios e fracoes parciais

Bibliografia recomendada:DANTE, L. Matematica, Contexto e Aplicacoes. Volume Unico. Editora Atica. 3a ed. 2008IEZZI, G. Fundamentos das Matematica Elementar, 6: complexos, polinomios, equacoes. Atual Editora.7a ed. 2005STEWART, J. Calculo, Volume I.Cengage Learning. 6a ed. 2012

4.1 Definicao

Define-se como polinomio ou expressao polinomial na variavel complexa x qualquer expressao do tipo:

a0xn + a1x

(n−1) + a2x(n−2) + ...+ an

Em que:n e um numero naturalos coeficientes a0, a1, ..., an sao numeros complexosx e a variavel do polinomioo maior expoente de x, com coeficiente nao-nulo, e o grau da expressao

Veja os seguintes exemplos:1.1 2x+ 7 : polinomio do 1o grau (grau 1)1.2 x3 + 8x : polinomio do 3o grau (grau 3)1.3 x(−1) + 4 : nao e um polinomio, pois o expoente da variavel x nao pode ser negativo

4.2 Funcoes polinomiais

As funcoes complexas definidas por expressoes polinomiais sao denominadas funcoes polinomiais. Assim,toda funcao definida por:

f(x) = a0xn + a1x

(n−1) + a2x(n−2) + ...+ an

para todo x complexo, e denominada funcao polinomial de grau n, em que n e um numero inteiro positivoou nulo e a0, a1, a2,..., an sao numeros complexos denominados coeficientes.

Exemplos:2.1 P (x) = x2 + 52.2 f(x) = −4x5 + 5x3 − 42.3 N(x) = 0

Se o grau de uma funcao polinomial for 0, entao a funcao e definida por f(x) = an e an tem que sernao-nulo. Caso todos os coeficiente sejam nulos, incluindo o an, define-se o polinomio como polinomioidenticamente nulo (PIN), e nao se define grau para este – caso do problema 2.3

34

CAPITULO 4. POLINOMIOS E FRACOES PARCIAIS 35

OBS: A cada funcao polinomial associa-se um unico polinomio (ou expressao polinomial) e vice-versa, de forma que NAO ha confusao em nos referimos indistintamente as funcoes polinomiais ou aospolinomios. Exemplo: P (x) = x2 +5, que anteriormente foi definido como funcao polinomial no exemplo2.1, e tambem um polinomio de grau 2.

Exercıcios

1. Em que condicoes o grau do polinomio p(x) = (a+ 2)x2 + (b− 3)x+ (c− 1) e 0?

2. Identifique se as seguintes funcoes sao polinomios. Caso sejam, determine o seu grau.

a)f(x) = 5x3 −√

2x2 + 13x− 10

b)g(x) = 1/x+√x

c)P (x) = 3

4.3 Valor numerico de um polinomio

O valor numerico de um polinomio P (x), para x = k, e o numero que se obtem substituindo x por k eefetuando todas as operacoes indicadas pela relacao que define o polinomio.

Exemplo:3.1 O valor numerico de P (x) = 2x2 − 3x+ 5 para x = 4 e:

P (4) = 2 · 42 − 3 · 4 + 5 = 25

Logo, P (4) = 25

O valor numerico do polinomio nulo e 0 para qualquer valor de x

Assim, dado o polinomio

f(x) = a0xn + a1x

(n−1) + a2x(n−2) + ...+ an

o valor numerico de f(x) para x = k sera:

f(k) = a0kn + a1k

(n−1) + a2k(n−2) + ...+ an

OBS: O valor numerico de P(x), para x = k, nada mais e do que a respectiva imagem do elemento kpertencente ao domınio da funcao P.

Exercıcios

3. Dado o polinomio p(x) = 2x3 − x2 + x+ 5, calcule p(2)− p(−1)

4. Um polinomio p(x) e do 2o grau. Sabendo que p(2) = 0, p(−1) = 12 e p(0) = 6, escreva o polinomioe determine p(5).

4.4 Raiz de um polinomio

Ja sabemos que P(k) e o valor numerico do polinomio P(x) para x = k. Se um numero complexo (realou imaginario) k e tal que P(k) = 0, entao esse numero k e chamado de raiz do polinomio P(x).Exemplo:4.1 Dado o polinomio p(x) = x3 − 3x2 + 2, temos:p(1) = 0⇒ 1 e raiz de p(x)p(3) = 2⇒ 3 nao e raiz de p(x)


4.5 Igualdade de polinomios

Diz-se que dois polinomios sao iguais ou identicos se, e somente se, seus valores numericos sao iguaispara todo k ∈ C. Assim:

p(x) = q(x)⇔ p(k) = q(k)(∀k ∈ C)

Para que isso aconteca, sua diferenca p(x) - q(x) deve ser o Polinomio Identicamente Nulo. Assim, doispolinomios p(x) e q(x) sao iguais se, e somente se, tem coeficientes respectivamente iguais (os coeficientesdos termos de mesmo grau sao todos iguais).

Exercıcios

5. O polinomio p(x) = x3 + ax2 + bx admite as raızes 6 e 1. Calcule os coeficientes a e b.

6. Determine os valores de a e b para que sejam iguais os polinomios p(x) = 3x+ 2 e q(x) = (a+ b)x2 +(a+ 3)x+ (2− b)

4.6 Operacoes com polinomios

Por meio de exemplos, vamos retomar operacoes conhecidas no estudo de expressoes algebricas, comoadicao, subtracao e multiplicacao de polinomios, alem da multiplicacao de um numero real por umpolinomio.

Exemplo 1:p(x) = 3x2 + 2x− 1 e q(x) = −x3 + 4x2 − 2x− 5, temos:p(x) + q(x) = −x3 + (3 + 4)x2 + (2− 2)x+ (−1− 5) = −x3 + 7x2 − 6

Exemplo 2:p(x) = 3x2 − 4x+ 1 e q(x) = 5x2 − 3x+ 4, temos:p(x)− q(x) = 3x2 − 4x+ 1− 5x2 + 3x− 4 = −2x2 − x− 3

Exemplo 3:Dado p(x) = 2x3 − 4x2 + 5x− 3, temos:7p(x) = 7(2x3 − 4x2 + 5x− 3) = 14x3 − 28x2 + 35x− 21

Exemplo 4:Dado p(x) = 3x− 4 e q(x) = −2x+ 5, temos:p(x).q(x) = (3x− 4)(−2x+ 5) = −6x2 + 15x+ 8x− 20 = −6x2 + 23x− 20

Exercıcios

7. Sabendo que a(x+2) + b

(x−1) = (7x+8)(x2+x−2) , determine os valores de a e b

4.7 Divisao de polinomios

Sejam dois polinomios P(x) e D(x), com D(x) 6= 0. Dividir P(x) por D(x) significa encontrar doispolinomios, Q(x) e R(x), que verificam as seguintes condicoes para

Onde: P(x) e o dividendo; D(x), o divisor; Q(x), o quociente; e o R(x) e o resto.

• 1a condicao: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x)


• 2a condicao: Grau (Q) = Grau (P) – Grau (D)

• 3a condicao: Grau (R) < Grau (D), ou R(x) = 0

Para a divisao de polinomios, existem 3 metodos principais:- Metodo da Chave (Divisao Euclidiana)- Metodo dos coeficientes a determinar (Metodo de Descartes)- Algorıtmo de Briot – Ruffini

Neste material so sera abordado o Metodo da Chave.

4.7.1 Metodo da chave ou divisao euclidiana

Vejamos alguns exemplos de divisao de polinomios pelo metodo da chave:

Exemplo 1:Determinar o quociente de A(x) = x3 + 4x2 + x− 6 por B(x) = x+ 2

Verificamos, facilmente, que:x3 + 4x2 + x− 6︸︷︷︸

A(x)≡

(x+ 2)︸︷︷︸B(x)

·(x2 + 2x− 3)︸︷︷︸

Q(x)

Como R(x) ≡ 0, A(x) e divisıvel por B(x).

Resposta: x2 + 2x− 3

Exemplo 2:Determinar o quociente de A(x) = x4 + x3 − 7x2 + 9x− 1 por B(x) = x2 + 3x− 2

Verificamos, facilmente, que:

x4 + x3 − 7x2 + 9x− 1︸︷︷︸A(x)

≡(x2 + 3x− 2)︸︷︷︸

B(x)·(x2 − 2x+ 1)︸︷︷︸

Q(x)+

(2x+ 1)︸︷︷︸R(x)

Como R(x) 6= 0, A(x) nao e divisıvel por B(x)


Resposta: x2 − 2x+ 1

Exercıcios

8. Efetue a divisao p(x) = 2x4 − 2x3 − 13x2 + 10x− 1 por h(x) = 2x2 + 4x− 3 e faca a verificacao

9. O polinomio p(x) = x3 − 4x2 − x+ 4 e divisıvel por h(x) = x2 − 3x− 4. Nessas condicoes, resolva aequacao x3 − 4x2 − x+ 4 = 0

4.8 Teorema de D’Alembert

”a e raiz de um polinomio P(x) se, e somente se, P(x) for divisıvel por (x - a)”

De fato:1) Se a e raiz de P(x), entao P(x) e divisıvel por x - a

Mas a e raiz, logo P(a) = 0. Portanto R = 0.2) Se P(x) e divisıvel por x - a, entao P(a) = 0

4.9 Equacoes Algebricas

Equacao polinomial e toda a equacao de forma P(x) = 0, onde P(x) e um polinomio. Raiz de umaequacao polinomial P(x) = 0 e todo numero a, tal que P(a) = 0.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA: Toda equacao polinomial P(x) = 0, de grau n (n ≥ 1),admite pelo menos uma raiz complexa.

TEOREMA DA DECOMPOSICAO EM FATORES DO 1o GRAU: Todo polinomio P (x) = a0xn +

a1x(n−1) + a2x

(n−2) + ...+ an, de grau n ≥ 1, pode ser escrito na forma fatorada.

P(x)=a0 · (x− x1) · (x− x2)...(x− xn), onde x1,x2,. . . ,xn sao todos raızes de P(x)

Baseados nesse teorema, conclui-se que: Toda equacao polinomial P(x) = 0, de grau n (n ≥ 1), possui ne somente n raızes complexas.

4.10 Multiplicidade de uma raiz

Dada a equacao a0xn + a1x

(n−1) + a2x(n−2) + ...+ an = 0(a0 6= 0), diz-se que a e raiz de multiplicidade

m (m ∈ N∗ e m < n) se, e somente se, das n raızes, apenas m forem iguais a a

Exemplo 1:Considerando a equacao polinomial (x − 4)(x − 1)2(x − 3)4(x − 2)3x2 = 0 vemos que o polinomio e degrau 12 = (1 + 2 + 4 + 3 + 2) e, portanto, tem dez raızes:

• De (x-4), concluımos que uma das raızes e 4 (raiz simples ou de multiplicidade 1)

• De (x− 1)2, concluımos que duas das raızes sao iguais a 1 (1 e raiz dupla ou de multiplicidade 2)

• De (x−3)4, concluımos que quatro das raızes sao iguais a 3 (3 e raiz quadrupla ou de multiplicidade4)

• De (x− 2)3, concluımos que tres das raızes sao iguais a 2 (2 e raiz tripla ou de multiplicidade 3)

• De x2, concluımos que duas das raızes sao raızes nulas (0 e uma raiz dupla ou de multiplicidade 2)


Exercıcios

10. Fatore o polinomio p(x) = 5x3 + 15x2 − 5x − 15, sabendo que uma das raızes e 1. Depois deencontrada as raızes, esboce o grafico da funcao P, de acordo com a multiplicidade de cada raiz.

11. Escreva o polinomio p(x) = x3 − 5x2 + 7x − 3 na forma fatorada, sabendo-se que uma raiz e 3.Esboce o grafico da funcao P, tendo como base a multiplicidade de cada raiz.

12. Utilizando a fatoracao, calcule as raızes da equacao algebrica:x3 − 4x2 + 3x = 0

13. Resolva a equacao algebrica: x4 − 5x2 + 4 = 0

14. Resolva a equacao x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0, sabendo que -2 e 1 sao raızes da equacao. Esboce ografico da funcao P, dados que P (x) = x4 − x3 − 7x2 + x+ 6.

15. Resolva a equacao x4 − 3x3 − 3x2 + 7x + 6 = 0, sabendo que -1 e raiz dupla. Esboce o grafico dafuncao P, dados que P (x) = x4 − 3x3 − 3x2 + 7x+ 6.

4.11 Fracoes Parciais

Dada a funcao racional f(x) = P (X)Q(X) , onde P e Q sao polinomios. E possıvel expressar f como uma

soma de fracoes mais simples, desde que o grau de P seja menor que o grau de Q. Essa funcao racional edenominada propria. Se f e impropria, isto e, gr(P ) ≥ gr(Q), entao devemos fazer uma etapa preliminardividindo P por Q (divisao de polinomios) ate o resto R(x) ser obtido, com gr(R) < gr(Q). O resultadoda divisao e

f(x) =P (X)

Q(X)= S(x) +

R(X)

Q(X)

Onde S e R sao polinomios tambem.

CASO 1: O DENOMINADOR Q(x) E UM PRODUTO DE FATORES LINEARESDISTINTOSIsso significa que que podemos escrever

Q(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2)...(akx+ bk)

Onde nenhum fator e repetido (e nenhum fator e multiplo constante do outro). Nesse caso o teoremadas fracoes parciais afirma que existem constantes A1, A2, ..., Ak tal que

R(X)

Q(x)=

A1

(a1x+ b1)+

A2

(a2x+ b2)+ ...+

Ak

(akx+ bk)(4.1)

Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo a seguir.

Exemplo 1:

Escreva a forma de decomposicao em fracao parcial da funcao x2+2x−12x3+3x2−2x .

Como o grau do numerador e menor que o grau do denominador, nao precisamos dividir. Fatoramoso denominador como

2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x− 2) = x(2x− 1)(x+ 2)

Como o denominador tem tres fatores lineares distintos, a decomposicao em fracoes parciais dointegrando tem a forma

x2 + 2x− 1

x(2x− 1)(x+ 2)=A

x+

B

2x− 1+

C

x+ 2


Para determinar os valores de A, B, e C, multiplicamos ambos os lados dessa equacao pelo produtodos denominadores, x(2x− 1)(x+ 2), obtendo

x2 + 2x− 1 = A(2x− 1)(x+ 2) +Bx(x+ 2) + Cx(2x− 1)

Expandindo o lado direito da Equacao anterior e escrevendo-a na forma padrao para os polinomios,temos

x2 + 2x− 1 = (2A+B + 2C)x2 + (3A+ 2B − C)x− 2A

Os polinomios da Equacao anterior sao identicos, entao seus coeficientes devem ser iguais. O coefi-ciente de x2 do lado direito, 2A+B+2C, deve ser igual ao coeficiente de x2 do lado esquerdo, ou seja, 1.Do mesmo modo, os coeficientes de x sao iguais e os termos constantes tambem. Isso resulta no seguintesistema: 2A+B + 2C = 1

3A+ 2B − C = 2−2A = −1

Resolvendo, A = 1/2, B = 1/5, C = 1/10. Assim,

x2 + 2x− 1

2x3 + 3x2 − 2x=

1/2

x+

1/5

2x− 1+

1/10

x+ 2

CASO 2: Q(x) E UM PRODUTO DE FATORES LINEARES, E ALGUNS DOS FA-TORES SAO REPETIDOS

Suponha que o primeiro fator linear (a1x + b1) seja repetido r vezes, isto e, (a1x + b1)r ocorre nafatoracao de Q(x). Entao, em vez de um unico termo A1

a1x+b1na Equacao 1.1, usarıamos

A1

a1x+ b1+

A2

(a1x+ b1)2+ ...+

Ar

(a1x+ b1)r(4.2)

Para ilustrar, poderıamos escrever

(x3 − x+ 1)

x2(x− 1)3=A

x+B

x2+

C

(x− 1)+

D

(x− 1)2+

E

(x− 1)3

CASO 3: Q(x) CONTEM FATORES QUADRATICOS IRREDUTIVEIS, NENHUMDOS QUAIS SE REPETESe Q(x) tem o fator ax2 + bx+ c, onde b2 − 4ac < 0, entao, alem das fracoes parciais nas Equacoes 4.1 e

4.2, a expressao para R(x)Q(x) tera um termo da forma

Ax+ b

ax2 + bx+ c(4.3)

Em que A e B sao as constantes a serem determinadas. Por exemplo, a funcao dada por f(x) =x

(x−2)(x2+1)(x2+4) tem uma decomposicao em fracoes parciais da forma

x

(x− 2)(x2 + 1)(x2 + 4)=

A

(x− 2)+

(Bx+ C)

(x2 + 1)+

(Dx+ E)

(x2 + 4)

CASO 4: Q(x) CONTEM FATORES QUADRATICOS IRREDUTIVEIS REPETIDOSSe Q(x) tem um fator (ax2 + bx+ c)r, onde b2 − 4ac < 0, entao, em vez de uma unica fracao parcial daforma da Equacao 4.3, a soma

(A1x+B1)

(ax2 + bx+ c)+

(A2x+B2)

(ax2 + bx+ c)2+ ...+

(Arx+Br)

(ax2 + bx+ c)r(4.4)


Ocorre na decomposicao em fracoes parciais de R(x)Q(x) . Por exemplo, a funcao dada por f(x) = 1−x+2x2−x3

x(x2+1)2

tem uma decomposicao em fracoes parciais da forma

(1− x+ 2x2 − x3)

(x(x2 + 1)2=A

x+

(Bx+ C)

(x2 + 1)+

(Dx+ E)

(x2 + 1)2

ExercıciosEscreva a forma de decomposicao em fracao parcial das seguintes funcoes:

16. x4−2x2+4x+1x3−x2−x+1

17. 2x2−x+4x3+4x

18. 1−x+2x2−x3

x(x2+1)2

19. 1+x2+x3

x(x−1)(x2+x+1)(x2+1)3

20. 4x2−3x+24x2−4x+3

Respostas

1. a = −2, b = 3, c 6= 1

2. a) Sim (grau 3) b) Nao c) Sim (grau 0)

3. 18

4. p(x) = x2 − 5x+ 6 e p(5) = 6

5. a = -7 e b = 6

6. a = 0 e b = 0

7. a = 2 e b = 3

8. Q(x) = x2 − 3x+ 1 e R(x) = −3x+ 2

9. S = -1,1,4

10. P (x) = 5 · (x− 1)(x+ 3)(x− 1)


11. P (x) = 1 · (x− 1)(x− 1)(x− 3) = 1.(x− 1)2(x− 3)

12. x = 0 ou x = 1 ou x = 3

13. S = 1, -1, 2, -2

14. S = -1, -2, 1, 3

15. S = -1, 2,3

16. A = 1, B = 2, C = -1

17. A = 1, B = 1 e C = -1

18. A = 1, B = -1, C = -1, D=1 e E = 0

19. A = -1, B = 1/8, C = D = -1, E = 15/8, F = -1/8, G = H = 3/4, I = -1/2, J = 1/2

20. 1 + (x−1)(4x2−4x+3)

Capıtulo 5

Matrizes e Sistemas Lineares

Bibliografia recomendada:BOLDRINI, Jose Luiz et al. Algebra linear. Harper & Row, 1980. BUCCHI, Paulo. Curso pratico deMatematica. 1a Edicao, v. 2, 1998.

5.1 Conceitos basicos de matrizes

Matrizes sao de ampla aplicacao na resolucao de sistemas lineares, analise de dados e em programacao,sendo uma ferramenta utilizada pela matematica principalmente nas areas de calculo, algebra linear,estatıstica e computacional.

Matrizes sao tabelas de elementos dispostos em linhas e colunas, podendo ser indicada por( ), [ ] ou ‖ ‖. Frequentemente, usa-se para referenciacao uma letra maiuscula acompanhada de umsubındice, no formato ”m×n”, onde m e n representam, respectivamente, o numero de linhas e colunas.Os elementos de uma matriz geralmente sao representados por letras minusculas acompanhadas de umsubındice no formato ”ij”, sendo i e j, respectivamente o numero da linha e coluna do elemento.Ex.:

Am×n =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

......

.... . .

...am1 am2 am3 . . . amn

Neste material, estaremos revisitando os conceitos basicos de matriz.

5.2 Tipos de Matrizes

1. Generica

• E dita generica qualquer matriz.Ex.:

A3x2 =

1 37 21 9

2. Matriz Oposta

• E definida oposta a matriz que possui todos os seus elementos simetricos aos de outra matriz.Ex.: Seja a matriz B a matriz oposta da matriz A.

B3x2 =

−1 −3−7 −2−1 −9

3. Matriz Linha

43

CAPITULO 5. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 44

• E dita matriz linha toda matriz composta apenas por uma linha.

4. Matriz Coluna

• E dita matriz coluna toda matriz composta apenas por uma coluna.

5. Matriz Nula

• A matriz nula e definida tal que: Cm×n = (cij)m×n, onde cij = 0 com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

6. Matriz Quadrada

• Quadrada e toda matriz que possui numero de linhas e colunas igual.

7. Matriz Diagonal

• E definida como qualquer matriz quadrada onde apenas os elementos da diagonal principaldiferem de 0.

8. Matriz Identidade

• Se define como: In = (aij)n×n tal que aij =

1, se i = j

0, se i 6= j∀i, j ∈ (1, . . . , n)

9. Matriz Simetrica

• E dita simetrica toda matriz quadrada cuja transposta e igual a ela mesma.Sendo An = [aij ]n×n, temos aij = aji|i, j ∈ N, com 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n

10. Matriz Inversa

• Considere a matriz An×n quadrada e inversıvel.A sua inversa se define A−1

n×n, onde o produto A ·A−1 = A−1 ·A = In.

5.3 Operacoes Matriciais

5.3.1 Igualdade de matrizes

Duas matrizes sao iguais se possuırem mesmo tipo e todos os seus termos correspondentes forem iguais.

5.3.2 Soma e Subtracao matricial

A soma de matrizes se da entre matrizes de mesmo tipo, elemento a elemento. A subtracao sendo umcaso particular da soma, onde os elementos sao subtraıdos.Ex.: A+ (−B) = A−B

Propriedades da adicao de matrizes

Sejam A, B, C, D e E matrizes de mesmo tipo onde D e matriz nula e E e matriz oposta de A.

• Associativa: (A+B) + C = A+ (B + C)

• Comutativa: A+B = B +A

• Elemento Neutro: A+D = D +A = A

• Elemento Oposto: A+ E = E +A = D


5.3.3 Multiplicacao por Escalar

Considere um numero real k e uma matriz generica A, de tipo mxn. O produto de matriz A pelo escalark se da de forma que todos os termos da matriz A sao multiplicados por k.Ex.:

k ·Am×n =

k · a11 k · a12 k · a13 . . . k · a1n

k · a21 k · a22 k · a23 . . . k · a2n

......

.... . .

...k · am1 k · am2 k · am3 . . . k · amn

5.3.4 Multiplicacao de Matrizes

Sejam A = [aij ]m×n e B = [brs]n×p. Definiremos AB = [cuv]m×ponde

cuv =

n∑k=1

aukbkv = au1b1v + · · ·+ aunbnv

O que define um produto feito ”linha por coluna”. O elemento cij (i-esima linha e j-esima coluna damatriz-produto) e obtido multiplicando os elementos da i-esima linha da primeira matriz pelos elementoscorrespondentes da j-esima coluna da segunda matriz, e somando esses produtos.Observacao: So podemos efetuar o produto de duas matrizes Am×n e Bl×p se o numero de colunas daprimeira for igual ao numero de linhas da segunda, isto e, n = l. Alem disso, a matriz-resultadoC = AB sera de ordem m× p.

5.3.5 Transposicao

Dada uma matriz A = [aij ]m×n, podemos obter outra matriz A’ = [bij ]n×m, cujas linhas sao as colunasde A, isto e, bij = aji. A’ e denominada transposta de A.

Propriedades

• Uma matriz e simetrica se, e somente se ela e igual a sua transposta, isto e A = A’

• A” = A, ou seja, a transposta da transposta de uma matriz e ela mesma.

• (A + B)’ = A’ + B’, ou seja, a transposta da soma e igual a soma das transpostas.

• (kA)’ = kA’, sendo k ∈ R.

5.4 Determinantes

5.4.1 Definicao e Propriedades

E o numero associado a uma matriz quadrada, escreve-se detA ou | A | ou det[aij ].

Propriedades

• Toda matriz quadrada que possui uma fila nula tem determinante nulo.

• O determinante de uma matriz quadrada A e igual ao determinante de sua transposta A’.

• O determinante troca de sinal quando se troca a posicao de duas filas paralelas.

• Toda matriz que possui duas filas iguais tem determinante nulo.

• Multiplicando ou dividindo uma fila de uma matriz quadrada por um numero real nao nulo, seudeterminante fica respectivamente multiplicado ou dividido por tal numero.

• Uma matriz quadrada que tem duas filas paralelas proporcionais tem seu determinante nulo.


• O determinante do produto de duas matrizes e igual ao produto dos determinantes dessas matrizes.

• Uma matriz que possui todos os elementos de um lado da diagonal principal iguais a zero tem seudeterminante igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

• Uma matriz que possui todos os elementos de um lado da diagonal secundaria iguais a zero temseu determinante igual ao produto dos elementos da diagonal secundaria vezes menos um.

• O determinante de uma matriz nao se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila qualqueruma outra fila paralela, multiplicada por uma constante nao nula.

5.4.2 Calculo de Determinante

Considere An×nPara n = 1, o determinante e dado por

detA = a11

Para o caso de n = 2, o determinante sera:

detA = a11 · a22 − a12 · a21

O que representa a subtracao da diagonal principal pela diagonal secundaria.Para uma matriz de n = 3, recomenda-se utilizar a regra de Sarrus, onde se adiciona a matriz duascolunas, sendo estas respectivamente as duas primeiras, e se realiza a soma das diagonais principaisenquanto se subtrai a soma das diagonais secundarias.

A3×3 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A3×3 =

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

detA = (a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32)− (a13 · a22 · a31 + a11 · a23 · a32 + a12 · a21 · a33)

Metodo de Laplace

Para o caso onde n = 4 ou maior, temos o metodo de Laplace, que e aplicavel para qualquer n, ou aresolucao pela formula de determinante (podendo ser consultada em Boldrini(1980)), ainda que no casode n ≥ 5, recomenda-se utilizar de aparato computacional devido ao alto numero de equacoes.Pelo metodo de Laplace, seja a matriz A3×3, tendo seu determinante descrito pela equacao ja vista paran = 3. Podemos reescreve-la como:

detA = a11(a22a33 − a23a32)− a12(a23a31 − a21a33) + a13(a21a32 − a22a31)

Que pode ser reescrito como:

detA = a11det

[a22 a23

a32 a33

]− a12det

[a21 a23

a31 a33

]+ a13det

[a21 a22

a31 a32

]ou ainda:

detA = a11detA11 − a12detA12 + a13detA13

Onde Aij e uma submatriz da inicial, retirando-se a i-esima linha e a j-esima coluna.Definindo:

∆ij = (−1)i+j | Aij |

Obtemos a expressao para o caso geral:

detAn×n =

n∑j=1

aij∆ij


5.5 Matrizes Inversas

5.5.1 Matriz Adjunta

Dada uma matriz A, lembramos que o cofator ∆ij do elemento aij da matriz e (−1)i+j , onde Aij e asubmatriz de A, obtida extraındo-se a i-esima linha e a j-esima coluna. Com estes cofatores, podemosformar uma nova matriz A, denominada matriz dos cofatores de A.

A = [∆ij ]

Ex.:

A =

[a11 a12

a21 a22

]A =

[a22 −a21

−a12 a11

]A matriz adjunta entao e definida como a transposta da matriz de cofatores.

adjA = A′

5.5.2 Matriz Inversa

Dada uma matriz A, e dita matriz inversa de A a matriz que ao realizar operacao de multiplicacao comA resulte na matriz identidade, que tera a mesma ordem de A. Podemos entao definir a matriz inversaA−1 como:

A−1 =1

detAadjA

Propriedades

• Nem toda matriz tem inversa, apenas as quadradas com determinante diferente de 0 (detA 6= 0).

• Se A e B sao matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversıveis (A−1 e B−1 existem),

entao A ·B e inversıvel e (AB)−1

= B−1 ·A−1.

• Se A e inversıvel, ou seja, existe A−1, sua inversa e unica.Logo, se existe uma matriz B, de mesma ordem que A, tal que B ·A = I, entao A e inversıvel eB = A−1

5.6 Sistemas Lineares

5.6.1 Equacao Linear

E toda equacao escrita na forma de:

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

5.6.2 Sistema Linear

Um conjunto de m equacoes lineares e n variaveis e denominado sistema linear, e e representado daseguinte forma:

a11x11 + a12x12 + · · ·+ a1nx1n = b1

a21x21 + a22x22 + · · ·+ a2nx2n = b2...

......

......

am1xm1 + am2xm2 + · · ·+ amnxmn = bm

A solucao de um sistema linear e o vetor conjunto solucao de dimensao igual ao numero de variaveis quesatisfaz todas as equacoes do sistema. Dois sistemas lineares serao equivalentes se possuırem o mesmoconjunto solucao.


Sistema Linear Homogeneo

Todo sistema linear cujas equacoes apresentam termos independentes nulos e denominado sistema linearhomogeneo. Tal sistema possui m = n, sendo b1 = b2 = · · · = bn = 0.Portanto, o este tipo de sistema admite pelo menos uma solucao, dita trivial, nula ou impropria,onde o vetor conjunto solucao e descrito por (0, 0, . . . , 0). As solucoes que diferem da trivial sao ditassolucoes proprias.

Classificacao de sistemas lineares

Quanto a sua solucao, os sistemas lineares podem ser classificados em:

• Possıvel: Quando o sistema admite pelo menos uma solucao. Temos dois casos.

– Possıvel e determinado: Quando existe uma unica solucao

– Possıvel e indeterminado: Quando existem infinitas solucoes

• Impossıvel: Quando o sistema nao tem solucao.

Quanto ao numero de equacoes, e importante notar que, caso o sistema seja possıvel, se o numerode equacoes for maior que o numero de variaveis, ha equacoes proporcionais ou repetidas. Apos a remocaodestas, se o numero de equacoes for igual ao numero de variaveis, o sistema e classificado como Possıvel edeterminado, caso o numero seja menor, e classificado como possıvel e indeterminado, admitindo infinitassolucoes.

5.7 Matrizes Associadas a um Sistema Linear

Dado um sistema linear, podemos associar a ele algumas matrizes.

• Matriz Completa ou Matriz Ampliada: e a matriz formada pelos coeficientes das variaveis e pelostermos independentes do sistema.

• Matriz Incompleta ou Matriz de Coeficientes: e a matriz formada pelos coeficientes das variaveisdo sistema.

• Vetor de Variaveis ou Matriz de Incognitas: e o vetor formado pelas variaveis do sistema.

• Matriz de Termos Independentes: e o vetor formado pelos termos independentes do sistema.

Uma vez que se decida trabalhar com a abordagem matricial para sistemas lineares, e possıvel realizaralgumas operacoes.

5.7.1 Operacoes Elementares

Sao tres as operacoes elementares sobre as linhas de uma matriz

• Permuta das i-esima e j-esima linhas; consiste na troca de posicao entre linhas. (Li ↔ Lj)

• Multiplicacao da i-esima linha por um escalar nao nulo k. (Li → kLi)

• Substituicao da i-esima linha pela i-esima linha mais k vezes a j-esima linha. (Li → Li + kLj)

Dizemos que uma matriz e linha equivalente a outra se e possıvel obter uma atraves da outra atraves deum numero finito de operacoes elementares sobre as linhas. Notacao: A→ B ou A ∼ B.Consequentemente, dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes sao equivalentes.


5.7.2 Forma Escada

Uma matriz m× n e linha reduzida a forma escada se:

• O primeiro elemento nao nulo de uma linha nao nula e 1.

• Cada coluna que contem o primeiro elemento nao nulo de alguma linha tem todos os seus outroselementos iguais a zero.

• Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas(isto e, daquelas que possuem pelo menosum elemento nao nulo).

• Se as linhas 1, . . . , r sao as linhas nao nulas, e se o primeiro elemento nao nulo da linha i ocorrena coluna ki, entao k1 < k2 < · · · < kr.

Esta ultima condicao impoe a forma escada a matriz. Ou seja, o numero de zeros precedendo o primeiroelemento nao nulo de uma linha aumenta a cada linha, ate que sobrem somente linhas nulas, se houver.Teorema: Toda matriz Am×n e linha equivalente a uma unica matriz-linha reduzida a forma escada.

Posto e Nulidade

Definicao: Dada uma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz-linha reduzida a forma escada linha equivalentea A. O posto de A, denotado por p, e o numero de linhas nao nulas de B. A nulidade de A e o numeron - p.Com o conceito de posto e nulidade, fica mais facil classificar o tipo de solucao do sistema. Assim temos:

• Um sistema de m equacoes e n incognitas admite solucao se, e somente se o posto da matrizampliada e igual ao posto da matriz dos coeficientes.

• Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n, a solucao sera unica.

• Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p ¡ n, podemos escolher n - p incognitas, e as outras pincognitas serao dadas em funcao destas.

5.8 Regra de Cramer

Definindo a mariz completa como Mc, a matriz incompleta como Mi e a matriz Mxi.

Mxie a matriz que se obtem trocando, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de xi pela coluna

dos termos independentes, para cada variavel xi do sistema.Com isso, a regra de Cramer nos garante que o sistema e possıvel e determinado se, e somente sedetMi 6= 0, e que sua solucao e dada por, para cada variavel xi:

xi =Dxi

Di

Com Dxisendo o determinante da matriz Mxi

e Di o determinante da matriz incompleta.


1. Sejam:

A =

[1 2 32 1 −1

], B =

[−2 0 13 0 1

], C =

−124

e D =[2 −1

]Encontre:a) A + Bb) A · Cc) B ·Cd) C ·D


e) D ·Af) D ·B

2. Seja A =

[2 x2

2x− 1 0

]. Se A′ = A, determine x.

3. Assinale verdadeiro ou falso:(0)(0) (−A)′ = −(A′)(1)(1) (A + B) = B′ + A′

(2)(2) Se AB = 0, entao A = 0 ou B = 0.(3)(3) (k1A)(k2A) = (k1k2)AB(4)(4) (−A)(−B) = −(AB)(5)(5) Se A e B sao matrizes simetricas, entao AB = BA(6)(6) Se A ·B = 0, entao B ·A = 0.(7)(7) Se podemos efetuar o produto A ·A, entao A e uma matriz quadrada.

4. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraneo e colonial. Aquantidade de material empregada em cada tipo de casa e dada pela matriz:

Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo( )Moderno 5 20 16 7 17Mediterraneo 7 18 12 9 21

Colonial 6 25 8 5 13

a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraneo e colonial, respectivamente,quantas unidades de cada material serao empregadas?b) Suponha agora que os precos por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente,15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual e o preco unitario de cada tipo de casa?c) Qual o custo total do material empregado?

5. Resolva o sistema de equacoes, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.2x− y + 3z = 11

4x− 3y + 2z = 0

x+ y + z = 6

3x+ y + z = 4

6. Dado o sistema

3x+ 5y = 1

2x+ z = 3

5x+ y − z = 0

escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a a

forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original.

7. Encontre todas as solucoes do sistemax+ 3y + 2z + 3w − 7t = 14

2x+ 6y + z − 2w + 5t = −2

x+ 3y − z + 2t = −1

Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas a forma escada e dandotambem seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possıvel, o grau deliberdade.

8. x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = 1


9.

x+ y + z = 4

2x+ 5y − 2z = 3

10.

x− 2y + 3z = 0

2x+ 5y + 6z = 0

11.

x+ 2y + 3z = 0

2x+ y + 3z = 0

3x+ 2y + z = 0

12. Chamamos de sistema homogeneo de n equacoes e m incognitas aquele cujos termos independentes,bi, sao todos nulos.a) Um sistema homogeneo admite ao menos uma solucao, qual e ela?b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeneo a seguir tenha uma solucao distinta datrivial.

2x− 5y + 2z = 0

x+ y + z = 0

2x+ kz = 0

13. Dado o sistema 1 2 0 −11 0 2 −11 2 2 −13 4 4 −3

xyzw

=

2248

a) Encontre uma solucao dele sem resolve-lo. (Atribua valores para x, y, z e w.)b) Agora, resolva efetivamente o sistema, isto e, encontre sua matriz-solucao.c) Resolva tambem o sistema homogeneo associado.d) Verifique que toda matriz-solucao obtida em b) e a soma de uma matriz-solucao encontrada em c)com a solucao particular que voce encontrou em a).

14. Calcule det

2 0 −13 0 24 −3 7

em relacao a segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.

15. Dadas as matrizes A =

[1 21 0

]e B =

[3 −10 1

], calcule

a) detA + detBb) det(A + B)

16. Sejam A e B matrizes do tipo n× n. Verifique se as colocacoes a seguir sao verdadeiras ou falsas.a) det(AB) = det(BA)b) det(A′) = detAc) det(2A) = 2detAd) det(A2) = (detA)2

e) detAij < detAf) Se A e uma matriz 3× 3, entaoa11∆11 + a12∆12 + a13∆13 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23

17. Calcule detA, onde

A =

3 −1 5 00 2 0 12 0 −1 31 1 2 0


18. Encontre A−1, onde

a)A =

2 3 23 6 42 4 3

b)A =

6 1, 2 31, 2 1, 5 1, 63 1, 6 9

c)A =

1 1 23 5 813 21 34

d)A =

1 2 43 5 71 0 −1

19. Mostre que det

1 1 1a b ca2 b2 c2

= (a− b)(b− c)(c− a)

20. Verdadeiro ou falso?

a) Se detA = 1, entao A−1 = A.b) Se A e uma matriz triangular superior e A−1 existe, entao tambem A−1 sera uma matriz triangularsuperior.c) Se A e uma matriz escalar n× n da forma kIn, entao detA = kn.d) Se A e uma matriz triangular, entao detA = a11 + · · ·+ ann.

21. Dado o sistema x+ y − w = 0

x− z + w = 2

y + z − w = −3

x+ y − 2w = 1

a) Calcule o posto da matriz dos coeficientes.b) Calcule o posto da matriz ampliada.c) Descreva a solucao desse sistema.d) Considere um sistema homogeneo AX = 0, onde A e uma matriz n× n.Que condicao voce deve impor sobre A, para que o sistema admita solucoes diferentes da solucao trivial(X = 0)?

Respostas

1. a)

[−1 2 45 1 0

]b)

[15−4

]c)

[61

]d)

−2 14 −28 −4

e)[0 3 7

]f)[−7 0 1

]2. x = 1.

3. V, V, F, V, F, F, F, V.

4.

a)[146 526 260 158 388

]b)

492528465

c) Cr$ 11.736,00

5. (x, y, z) = (-1, 2, 5)

6. (x, y, z) = ( 716 ,−

116 ,

178 )

7. (x, y, z, w, t) = (1 - 3y - t, y, 2 + t, 3 + 2t, t)


8. x1 = 1− 2x2 + x3 − 3x4

pa = 1; pc = 1; gL = 3;

9. x = 173 −

73z; y = − 5

3 + 43z

pa = 2 = pc; gL = 1;

10. x = 3z; y = 0pa = 2 = pc; gL = 1;

11. x = y = z = 0 = gLpa = pc = 3

12. a) xi = 0 b) k = 2

13. a) x = 0, y = z = 1, w = 0.

b)

λ11λ

c)

λ00λ

d)

λ11λ

=

λ00λ

+

0110

14. 21

15. a) 1 b) 3

16. a) V b) V c) F d) V e) F f) V

17. 12

18. a)

2 −1 0−1 2 −20 −2 3

b)

0, 216 −0, 118 −0, 051−0, 118 0, 888 −0, 118−0, 051 −0, 118 0, 149

c) Nao existe. d)

1 −0, 4 1, 2−2 1 −11 −0, 4 0, 2

20. a) F b) V c) V d) F

21. a) 3 b) 3 c)Possıvel e indeterminado. d) As linhas de A como vetores sao linearmente dependentes.Linearmente Dependente: Pelo menos uma das linhas (qualquer uma) e combinacao linear das outras.

Capıtulo 6

Analise Combinatoria

Analise Combinatoria e um conjunto de procedimentos que possibilita a construcao de grupos diferentesformados por um numero finito de elementos de um conjunto sob certas circunstancias. Nesses grupos epossıvel realizar a analise das possibilidades e combinacoes.

Observacao:Definicao de fatorial n! = n · (n− 1) · (n− 2)...2 · 1Fatorial de 0 ⇒ 0! = 11! = 1

6.1 Arranjos fatoriais

Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.

6.1.1 Arranjo com repeticao

O arranjo com repeticao e usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode sercontado mais de uma vez.

An,p = np

6.1.2 Arranjo sem repeticao

Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), considerando que nao ha repeticao,utiliza-se a seguinte expressao:

An,p =n!

(n− p)!As permutacoes sao agrupamentos ordenados, donde o numero de elementos do agrupamento e igual

ao numero de elementos disponıveis, expresso pela formula:

Pn = n · (n− 1) · (n− 2)...2 · 1 = n!

6.2 Combinacoes

Na combinacao, a ordem em que os elementos sao tomados nao e importante.

Cn,p =

(n

p

)=

n!

p!(n− p)!

Onde n e o total de elementos e p o numero de elementos escolhidos.

54

CAPITULO 6. ANALISE COMBINATORIA 55


1. De quantas maneiras distintas e possıvel dispor as letras da palavra GOL?

2. Voce possui 5 renas, Relampago, Corredora, Trovao, Rodolfo e Dancarina, e deseja que 4 delasconduzam o seu treno voador. Alem disso, voce sempre tem suas renas voando em fila unica. De quantasmaneiras diferentes voce pode organizar suas renas?

3. Voce acabou de ganhar um ingresso para andar de barco, e pode levar 2 amigos com voce! Infelizmente,voce tem 5 amigos que querem ir.Quantos grupos diferentes de amigos voce pode levar com voce?

4. Sofia esta fazendo as malas para suas ferias. Ela tem 7 livros diferentes, mas apenas 3 cabem em suamala. Quantos grupos diferentes de 3 livros ela pode levar?

5. Osmar esta fazendo as malas para suas ferias. Ele tem 9 camisas diferentes, mas apenas 5 cabem emsua mala. Quantos grupos diferentes de 5 camisas ele pode levar?

6. Quantos numeros naturais pares de tres algarismos distintos existem com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,6 e 9?

7. Quantos sao os gabaritos possıveis de um teste de 10 questoes de multipla escolha, com cinco alter-nativas por questao?

8. Seis pessoas, entre elas Joao e Pedro, vao ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e con-secutivos. O numero de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que Joao e Pedro fiquemjuntos e:a) 720b) 600c) 480d) 240e) 120

9. Quantos anagramas da palavra GARRAFA apresentam as letras A, A, A, R, R juntas em qualquerordem?

10. Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem repeticao, quantos numeros pares de tres algarismos emaiores que 234 pode-se formar?a) 110b) 119c) 125d) 129e) 132

Respostas

1. 6

2. 120

3. 10

4. 35

5. 126

6. 90

CAPITULO 6. ANALISE COMBINATORIA 56

7. 510

8. c)

9. 60

10. b)

Capıtulo 7

Estatıstica Basica

Bibliografia recomendada:BUSSAB, W. MORETTIN, P. Estatıstica Basica. Saraiva. 9a ed. 2017.MAGALHAES,M. LIMA, A. Nocoes de Probabilidade e Estatıstica. 6a ed.

7.1 Introducao a Estatıstica

A estatıstica e um conjunto de tecnicas que permite, de forma sistematica, organizar, descrever, analisare interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer area do conhecimento.

Ela se divide em tres principais areas:

• A Estatıstica Descritiva se refere a um conjunto de tecnicas destinadas a descrever e resumir osdados, a fim de que possamos tirar conclusoes a respeito de caracterısticas de interesse.

• A Probabilidade e a teoria matematica utilizada para estudar a incerteza oriunda de fenomenosde carater aleatorio.

• A Inferencia Estatıstica e compreendida como o estudo de tecnicas que possibilitam a extrap-olacao, a um grande conjunto de dados, das informacoes e conclusoes obtidas a partir de umsubconjunto de valores, usualmente de dimensao muito menor.

Ao grande conjunto de dados que contem a caracterıstica de interesse, damos o nome de populacao.O subconjunto da populacao, em geral com dimensao sensivelmente menor, o qual utilizamos para oestudo da mesma, denominamos de amostra. A condicao ou caracterıstica de um elemento de estudoque pode assumir valores diferentes em diferentes elementos, como peso, altura, e chamada de variavel.

Neste material, estudaremos principalmente a Estatıstica Descritiva e a Probabilidade.Obs: Diferenca entre Populacao e Amostra

• Populacao: Uma populacao e um conjunto de pessoas, itens ou eventos sobre os quais voce querfazer inferencias

• Amostra: Uma amostra e um subconjunto de pessoas, itens ou eventos de uma populacao maiorque voce coleta e analisa para fazer inferencias

7.2 Estatıstica Descritiva

7.2.1 Tipos de variaveis

1. Qualitativa

• Nominal: nao existe ordenacao nas possıveis respostas (ex: sexo, estado civil)

• Ordinal: existe uma certa ordem nas possıveis respostas (ex: escolaridade)

57

CAPITULO 7. ESTATISTICA BASICA 58

2. Quantitativa

• Discreta: os possıveis valores formam um conjunto finito ou enumeravel de numeros, saovariaveis de contagem (ex: numero de filhos)

• Contınua: os possıveis valores estao dentro de um intervalo, aberto ou fechado, dos numerosreais. (ex: peso de um indivıduo)

7.2.2 Medidas resumo

Medidas de posicao

Sao as estatısticas que representam uma serie de dados orientando-nos quanto a posicao da distribuicaoem relacao ao eixo horizontal do grafico da curva de frequencia.

• A Moda(mo) e a realizacao mais frequente no conjunto de valores.

• A Mediana(md) e a realizacao que ocupa a posicao central da serie de observacoes, quanto estaoordenadas em ordem crescente. Se o numero de observacoes for par, selecionamos as duas ob-servacoes centrais e calculamos a media.

• A Media Aritmetica(x) a soma das observacoes dividida pelo numero delas.

Medidas de Dispersao

Com o proposito de obter uma medida que represente a variabilidade dos dados, uma vez que conjuntosde dados diferentes podem apresentar a mesma medida de posicao (como a media), sao definidas asmedidas de dispersao.

• A Amplitude referente a uma certa variavel e definida como a diferenca entre o maior e menorvalor do conjunto de dados

• A Variancia Populacional referente a variavel X de um conjunto de dados e definida por

varobs = σ2 =1

N

N∑i=1

(xi − x)2

• Essa expressao pode ser redefinida da seguinte forma

varobs = σ2 =1

N

N∑i=1

xi − x2

• Para manter a mesma unidade dos dados originais, e conveniente definirmos o Desvio PadraoPopulacional como sendo

dpobs = σ =√varobs

• Quando os dados sao coletados de uma amostra, pode-se calcular a Variancia e o Desvio PadraoAmostrais pelas formulas, respectivamente:

s2 =1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2

s =√s2


Figure 7.1: *

Figura 1: Elementos do box-plot

7.2.3 Quantis e box-plot

Os quantis sao valores que limitam uma certa porcentagem de observacoes da variavel. Os quantis maisutilizados sao aqueles que dividem os dados em quatro partes, e sao denominados de quartis. Dessaforma, 25% das observacoes ordenadas estao abaixo do primeiro quartil (Q1) e 75% estao abaixo do 3quartil (Q3). O segundo quartil representa a mediana, discutida anteriormente.

Uma representacao grafica envolvendo quartis e o box-plot ou grafico de caixa, que permite visualizarvarios aspectos da distribuicao de dados, tais como a posicao, variablidade, assimetria e presenca devalores atıpicos.

Na Figura 1, e possıvel ver que o box-plot nos indica valores outliers, o valor maximo da distribuicao,o 3 quartil(Q3), a mediana, o 1o quartil (Q1) e o valor mınimo da distribuicao. A diferenca entre o 3o

e o 1o quartil e denominado de Intervalo Interquartil (IQ). Os valores atıpicos, tambem chamados deoutliers, usualmente sao calculados como os valores que se situam fora do intervalo, seja abaixo ou acima,denotado por [Q1 − 1, 5IQ;Q3 + 1, 5IQ]. Nem toda distribuicao apresentara esses valores extremos.

7.3 Probabilidades

7.3.1 Definicoes

• Espaco Amostral (Ω): conjunto de todos os resultados possıveis de um experimento

• Evento: subconjunto de um espaco amostral, normalmente representado por letras maiusculas

• Probabilidade: possibilidade de um dado evento ocorrer. Pode variar de 0 a 1.

7.3.2 Propriedades

• Regra da adicao de probabilidadesSejam A e B dois eventos quaisquer de Ω, entao

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

• Probabilidade condicionalDados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que B ocorreu e representada


por P (A|B) e dada por

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B), P (B) > 0

• Independencia de eventosDois eventos A e B sao independentes se a informacao da ocorrencia de B nao altera a probabilidadeda ocorrencia de A. Isto e

P (A|B) = P (A), P (B) > 0

ou ainda a seguinte forma equivalente:

P (A ∩B) = P (A) · P (B)

nao e difıcil verificar que se A e independente de B, entao B e independente de A.

• Teorema de BayesUma das relacoes mais importantes envolvendo probabilidades condicionais e dada pelo Teoremade Bayes, que e representado pela formula

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)=P (A)P (B|A)

P (B)

Ou ainda, a probabilidade de ocorrencia de um evento Ci, supondo-se a ocorrencia do evento A, edada por

P (Ci|A) =P (Ci)P (A|Ci)∑nj=1 P (Cj)P (A|Cj)


1. Classifique cada uma das variaveis abaixo em qualitativa (nominal/ordinal) ou quantitativa (disc-reta/contınua):a) Ocorrencia de hipertensao pre-natal em gravidas com mais de 35 anos (sim ou nao sao possıveis re-spostas para essa variavel)b) Intencao de voto para presidente (possıveis repostas sao os nomes dos candidatos, alem de nao sei)c) Perda de peso de maratonistas na corrida Sao Silvestre, em quilosd) Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de Sao Silvestre (leve, moderada, forte)e) Grau de satisfacao da populacao brasileira com relacao ao trabalho de seu presidente (valores de 0 a5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito)

2. Vinte e um pacientes de uma clınica medica tiveram o seu nıvel de potassio no plasma medido. Osresultados foram os seguintes:

Nıvel Frequencia2, 25 ` 2, 55 12, 55 ` 2, 75 32, 75 ` 2, 95 22, 95 ` 3, 15 43, 15 ` 3, 35 53, 35 ` 3, 65 6

a) Construa o histogramab) Determine o 1, 2 e 3 quartisc) Qual a porcentagem dos valores que estao acima do nıvel 3?


3. Uma nova racao foi fornecida a suınos recem-desmamados e deseja-se avaliar sua eficiencia. A racaotradicional dava um ganho de peso ao redor de 3,5kg em um mes. A seguir, apresentamos os dadosreferentes ao ganho, em quilos, para essa nova racao, aplicada durante um mes em 200 animais nascondicoes acima.

Ganho Frequencia1, 0 ` 2, 0 452, 0 ` 3, 0 833, 0 ` 4, 0 524, 0 ` 5, 0 155, 0 ` 6, 0 46, 0 ` 7, 0 1

a) Construa o histogramab) Determine o 1, 2 e 3 quartisc) Voce acha que a nova racao e mais eficiente que a tradicional?

4. Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaco amostral correspondente e conte seus elementos.a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se as faces obtidasb) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de face par ou ımpar e observadac) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores sao anotadas

5. Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil sao considerados esportistas. Temos, ainda, que500 alunos sao do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 sao esportistas e da biologiadiurno e 200 sao esportistas e da biologia noturno. Um aluno e escolhido, ao acaso, e pergunta-se aprobabilidade de:a) Ser esportistab) Ser esportista e aluno da biologia noturnoc) Nao ser da biologiad) Ser esportista ou aluno da biologiae) Nao ser esportista, nem aluno da biologia

6. Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Calcule:a)P (A ∩B)b)P (A ∪B)c)P (A|B)d)P (Ac)e)P ((A ∪B)c)

7. Se P (A ∪B) = 0,8; P(A) = 0,5 e P(B) = x, determine o valor de x no caso de:a) A e B serem mutuamente exclusivos.b) A e B serem independentes

8. Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P (A ∩B) = 0, 3; Calcule P(A|Bc).

9. Verifique se sao validas as afirmacoes:a) Se P(A) = 1/3 e P (B|A) = 3/5 entao A e B nao podem ser disjuntos.b) Se P(A) = 1/2, P (B|A) = 1 e P (A|B) = 1/2 entao A nao pode estar contido em B.

10. O Sao Paulo Futebol Clube ganha com probabilidade de 0,7 se chove e com 0,8 se nao chove. EmSetembro a probabilidade de chuva e de 0,3. O Sao Paulo ganhou uma partida em Setembro, qual aprobabilidade de ter chovido nesse dia?


11. Voce entrega a seu amigo uma carta, destinada a sua namorada, para ser colocada no correio.Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1. Se nao esquecer, a probabilidade de que ocorreio extravie a carta e de 0,1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade de que anamorada nao a receba e de 0,1.a) Sua namorada nao recebeu a carta. Qual a probabilidade de seu amigo ter esquecido de coloca-la nocorreio?b) Avalie a possibilidade de o namoro continuar, se este depender da chegada da carta enviada.

12. Uma companhia que fura pocos artesianos trabalha numa regiao escolhendo, aleatoriamente, o pontode furo. Nao encontrando agua nessa tentativa, sorteia outro local e, caso tambem nao tenha sucesso,faz uma terceira e ultima tentativa. Admita probabilidade de 0,7 de encontrar agua em qualquer pontodessa regiao. Calcule a probabilidade de:a) Encontrar agua na primeira tentativa.b) Encontrar agua em ate duas tentativas.c) Encontrar agua.

13. Suponha que X represente o numerode horas de atividade fısica por semana. Considere a tabela aseguir:

Sexo / Atividade 0 ≤ X < 3 3 ≤ X < 5 X ≥ 5Feminino 22 8 7Masculino 3 4 6

a) Qual e a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade fısica semanal na faixade [3,5) horas?b) Calcule P (X ≥ 5)c) Calcule a probabilidade de que um rapaz escolhido aleatoriamente dedique pelo menos 5 horas aatividade fısica. Idem para uma moca.

14. Um candidato a motorista treina na autoescola e acredita quepassa no exame com probabilidade0,7. Se nao passar, fara mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentara em 10% a probabilidadede passar, isto e, no segundo exame passara com 0,77 de probabilidade.a) Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibilidade, em que exame ele sera aprovadocom certeza?b) Qual e a possibilidade de que serem necessarios mais de 2 exames?

15. Voce esta jogando um jogo no qual voce defende sua vila de uma invasao de orcs.Ha 3 personagens(elfo, hobbit ou humano) e 5 ferramentas de defesa (magica, espada, escudo, estilingue ou guarda-chuva)para escolher.Se voce escolher aleatoriamente seu personagem e sua ferramenta, qual e a probabilidadede que voce seja um elfo que use magica?

16. Voce esta em uma loja de roupas que tinge suas roupas enquanto voce espera. Voce pode escolhera partir de uma opcao de 4 pecas de roupas (camisa, calca, meias ou chapeu) e de 3 cores (roxo, azul oularanja). Se voce escolher aleatoriamente a peca de roupa e a cor, qual e a probabilidade de que vocefique com meias que nao sejam azuis?

17. Voce esta jantando em um restaurante que serve 5 tipos de massa (espaguete, gravatinha, fettuccine,ravioli e macarrao) com 4 sabores diferentes (molho de tomate, molho de queijo, molho com carne eazeite). Se voce escolher aleatoriamente seu tipo de massa e sabor, qual e a probabilidade de que voceacabe com alguma coisa que nao seja espaguete com molho de tomate?

18. Elisabete mora em Sao Francisco e trabalha em Mountain View. De manha, ela tem 3 opcoes detransporte (pegar um onibus, um taxi ou um trem) para ir trabalhar, e, a noite, ela tem as mesmas 3opcoes para voltar para casa. Se Elisabete escolher aleatoriamente o transporte de manha e a noite, quale a probabilidade de que ela use um taxi exatamente uma vez?


19. Um pote contem 4 bolas de gude vermelhas, 4 bolas de gude verdes e 5 bolas de gude azuis. Sepegarmos uma bola de gude e depois outra, sem colocar a primeira de volta no pote, qual a probabilidadede que a primeira bola de gude seja azul e de que a segunda seja verde?

20. Se voce jogar uma moeda justa 4 vezes, qual e a probabilidade de conseguir exatamente 2 coroas?

21. Se voce jogar uma moeda justa 5 vezes, qual e a probabilidade de conseguir exatamente 3 coroas?

22. Uma sala de aula tem 7 estudantes: 5 meninos e 2 meninas. Se o professor escolher um grupo de 4estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade de que todos no grupo sejam meninos?

23. Uma sala de aula tem 8 estudantes: 4 meninos e 4 meninas. Se a professora escolher um grupo de3 estudantes aleatoriamente, qual a probabilidade de que todos no grupo sejam meninas?

Respostas

1. a) Qualitativa nominal b) Qualitativa nominal c) Quantitativa Continua d) Qualitativa ordinal e)Qualitativa ordinal

2. b) Q1 = 2, 90; Q2 = 3, 17; Q3 = 3, 39 c) 66,7%

3. b) Q1 = 2, 06;Q2 = 2, 66;Q3 = 3, 42 c) Nao. Observe Q3

4. a) Ω = CC, CR, RC, RR, com C sendo cara e R; coroa; contem 4 elementos.b) Ω = PP, PI, IP, II, com P para face par e I para ımpar; tem 4 elementos.c) Ω = AAA, AAV, AVA, VAA, AVV, VAV, VVA, VVV; sendo A bola azul e V vermelha; contem

8 elementos.

5. a) 0,4 b) 0,02 c) 0,88 d) 0,49 e) 0,51

6. a) 0 b) 0,8 c) 0 d) 0,7 e) 0,2

7. a) 0,3 b) 0,6

8. 0,67

9. a) Correta b) Incorreta

10. 0,27

11. a) 0,369 b) 0,729

12. a) 0,210 b) 0,910 c) 0,973

13. a) 0,16 b) 0,26 c) Rapaz: 0,462 Moca: 0,189

14. a) No 5o exame b) 0,069

15. 1/15

16. 1/6

17. 19/20

18. 4/9

19. 5/39


20. O numero de resultados diferentes em que ocorrem 2 coroas e: 4!2!2! = 6

O numero de resultados possıveis e: 24 = 16Portanto, a resposta e 6/16 = 3/8

21. 5/16

22. 1/7

23. 1/14

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