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Números e fuNções

ExperimentoAvalanches

Objetivos da unidadeModelar o fenômeno de avalanches;1. Construir gráficos;2. Linearizar gráficos através de logaritmos.3.

O experimento

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O experimento

SinopseEste experimento propõe modelar matematicamente avalanches provocadas por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um recipiente qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches, verificando suas intensidades pela quantidade de grãos que desmoronam. A partir daí, construirão gráficos com os dados coletados, obtendo uma curva. Aplicando logaritmo torna-se possível analisar a função que modela o fenômeno e até fazer algumas previsões.

ConteúdosLogaritmos e suas aplicações.

Objetivos da unidadeModelar o fenômeno de avalanches;1. Construir gráficos;2. Linearizar gráficos através de logaritmos.3.

DuraçãoUma aula dupla.

Avalanches

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Introdução

A modelagem é uma área muito importante dentro da Matemática, com aplicações em diversos campos como economia, biologia, etc. Usando modelagem é possível prever desde terremotos, furacões ou até o comportamento de um simples íon dentro de uma célula do corpo humano. A previsão de grandes avalanches e outros fenômenos torna-se importante para o impedimento de tragédias, como muitas já ocorridas na história de nossa civilização. Neste experimento, os alunos são convidados a vivenciar um pouco de como cientistas desenvolvem seus modelos. Através de pequenas avalanches produzidas com materiais simples, os alunos poderão entender e descobrir um pouco dessa grande área que é a modelagem matemática.

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O Experimento

Material necessário

Grãos de feijão ( � dois pacotes de meio quilo);Grãos de pipoca � (dois pacotes de meio quilo);Copos de plástico. �

Materiais alternativosPode ser usado qualquer outro tipo de �

recipiente com raio próximo ao de um copo;Podem ser usados outros grãos, contanto que �

tenham tamanho próximo aos sugeridos.

Preparação

Inicialmente divida a sala em dois grupos (com aproximadamente o mesmo número de alunos) de forma que cada um receberá um tipo diferente de grão. Isso é necessário para que, no Fechamento, seja possível discutir as diferenças entre as funções encontradas para cada um dos tipos. Divida, então, novamente cada grupo em equipes de 3 alunos, para os quais serão distribuídos um recipiente, os grãos e uma Folha do Aluno.

Coleta dos dados

Cada grupo deve preencher o recipiente com o máximo de grãos possível de modo que se acomodem e formem um morrinho sobre o copo. A partir dessa situação, os próximos grãos devem ser colocados cuidadosamente, um de cada vez, em qualquer lugar do morrinho até que comecem a cair. A queda desse grãos em excesso chama-se avalanche. O número de grãos que cai em uma avalanche será chamado de intensidade.

Peça aos alunos para ºapoiarem a montagem sobre uma folha de sulfite, ou caderno, a fim de facilitar a contagem dos grãos, e também para garantir que eles não se percam.

Talvez seja necessário ºdescartar as primeiras avalanches até a pilha ficar estável.

fig. 1

etapa

1

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As equipes devem produzir avalanches durante dez minutos e as intensidades de todas elas devem ser registradas. Uma tabela deverá ser produzida por cada grupo conforme mostra o exemplo abaixo, figura 3, onde Q é o número de vezes que a avalanche de intensidade I ocorreu para esse grupo.

O cuidado, ou a sua falta, na colocação de cada grão pode provocar variações nos dados obtidos por diferentes grupos, porém, como serão todos reunidos no final, essas variações devem ser pouco relevantes. Terminada a coleta dos dados, cada grupo deverá escrever os seus dados na lousa, numa nova tabela, como já feita pelos alunos dentro de suas equipes, mostrada abaixo, na qual I é a intensidade, ou seja, a quantidade de grãos que caem de uma avalanche, e Q é a quantidade de vezes que a avalanche de intensidade I ocorreu durante o experimento.

Cuide para que os !alunos não esbarrem na montagem.

Professor, deixe ºessa tabela montada previamente para que os alunos a preencham à medida que terminarem a coleta.

fig. 2 Colocação dos grãos e contagem dos que caem

fig. 3 Tabela construída na lousa com os resultados finais de todas as equipes de um mesmo grupo da sala.

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Na Folha do AluNo, há uma pergunta que aborda o formato desse gráfico e questiona se os alunos conhecem alguma função que se aproxime da figura encontrada. Como podemos ver abaixo, o formato do gráfico se assemelha, em linhas gerais, ao formato do gráfico da função y = k/x, com kx > 0. Para mais informações, vide Guia do Professor.

Representação gráfica

Após terminado o preenchimento da tabela na lousa, oriente seus alunos para copiarem em seus cadernos.

Feito isso, os alunos devem construir um gráfico de I ×Q utilizando os valores reunidos de seu grupo, na tabela 1.

I Q

1 54

2 26

3 18

4 4

5 1

6 1

7 2

8 3

9 1

Tabela 1 Tabela para ser reproduzida no caderno.

Professor, a tabela ao lado ºe os gráficos seguintes correspondem a apenas um tipo de grão, feijão.

Os alunos devem construir !um gráfico de dispersão. Isso significa que eles não precisam se preocupar em ligar os pontos.

etapa

2

fig. 4 Gráfico de I x Q

fig. 5 Gráfico de I x Q

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Se chamarmos logQ de Y, log(I) de X e log(a) = c, temos a seguinte função:

Y = c− b ·X

Portanto, a equação original foi transformada na equação de uma reta que relaciona não mais os dados coletados diretamente, mas seus logaritmos. Assim, para simplificar a análise dos dados encontrados pelos alunos, ajude-os a construir uma tabela, convertendo os valores de I e Q, para log I e logQ. A fim de facilitar esse cálculo, há um anexo com valores já calculados dos logaritmos na base 2. Essa base foi escolhida por fornecer melhores valores para uma posterior produção de gráficos. Podem ocorrer valores de I não inclusos no anexo. Fica, então, a critério do professor, fazer o cálculo do logaritmo numa calcula-dora científica ou descartar esses dados. Terminada a conversão dos valores, os alunos devem construir o gráfico de log2 I × log2 Q.

Uma nova representação

Um modelo matemático que pode descrever os fenômenos naturais de avalanches ou desmoronamentos é descrito pela função:

Q = a · 1

Ib

onde a e b são constantes. Esta função é adequada pois o gráfico da figura 5 é do tipo 1/x, que é a mesma função, mas com a = b = 1. Mas como descobrir os coeficientes a e b da equação através do gráfico obtido? Para facilitar a análise desse tipo de equação podemos utilizar uma ferramenta matemática capaz de transformar a equação dada na equação de uma reta, cujos coeficientes são facilmente encontrados através de seu gráfico. A melhor ferramenta nesse caso é o logaritmo, no qual uma divisão é transformada numa subtração, e uma potenciação numa multiplicação. Aplicando logaritmo nos dois lados da equação, obtemos:

logQ = log(a · 1

Ib)

logQ = log(a) + (log(I−b))

logQ = log(a)− b · log(I)

etapa

3Note que os cálculos feitos !independem da base do logaritmo.

Alerte os alunos em !relação à escala utilizada, pois os valores estão em decimais.

fig. 6 Gráfico de log²I x log²Q.

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O ângulo α é

A tangente do ângulo α nos fornece o coeficiente angular da reta. Calculando, então, obtemos:

tgα = m = ∆y/∆x

Como exemplo vamos usar os pontos (3, 17; 0) e (0; 6, 4) da reta

m = (6, 4− 0)/(0− 3, 17)

= 6, 4/− 3, 17

≈ −2, 0

O coeficiente linear é a coordenada Y do ponto onde a reta cruza o eixo Y. No nosso caso: 6, 4. Assim, com os valores que utilizamos nos exemplos, a equação da reta obtida é:

Y = 6, 4− 2, 0 ·X

Observando o gráfico, é possível perceber que a maior parte dos pontos segue uma tendência linear. Nos pontos referentes às intensidades mais baixas, a quantidade de avalanches é muito maior que nos de intensidades mais altas. Assim, a tendência linear é muito mais visível para os pontos iniciais do gráfico. Quanto menor a quantidade de avalan-ches medidas, ou seja, quanto menos dados coletados, maior a flutuação (estatística), o que torna a modelagem menos precisa.

Cálculo dos CoeficientesO próximo passo é encontrar a melhor reta que se ajuste nos pontos do gráfico. O método formal para encontrá-la é chamado de Mínimos Quadrados. Ele ajusta uma reta tal que a somatória dos quadrados da variação de y entre a reta e cada ponto seja mínima. Porém, este é um procedimento que requer muitos cálculos que não serão necessários para o sucesso do experimento. Assim, com ajuda de uma régua, os alunos devem traçar uma reta que esteja o mais próximo possível da maior parte dos pontos. É muito importante frisar que esta reta não precisa passar por todos os pontos e nem ligá-los, podendo até não passar pela maioria deles. Traçada a reta, é possível calcular os coeficientes linear e angular, e chegar a uma equação que modele as avalanches deste experimento.

fig. 7 Gráfico de log²I x log²Q.

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Fechamento

Finalizadas as etapas anteriores, os alunos podem socializar os valores encontrados dos coefi cientes da equação da reta. A tendência é que os coefi cientes encon-trados por equipes com o mesmo grão sejam muito próximos, afi nal eles usaram os mesmos dados. Por outro lado, pequenas variações podem ocorrer, pois cada grupo traçou a reta ao seu modo. O que sugerimos para o fechamento desse experimento é uma comparação entre os coefi cientes obtidos pelos grupos com grãos diferentes, especialmente o coefi ciente angular. Reúna os coefi cientes calculados por cada equipe na lousa e calcule a média para cada tipo de grão, a fi m de comparar esses valores. Esperamos que haja uma diferença signifi cativa, o que caracterizaria o grão utilizado. Podemos pensar que o coefi ciente angular é um tipo de “coefi ciente de granulação”, que refl ete a maior ou menor tendência de desmoronar. No nosso caso, o coefi ciente angular foi aproximadamente –2,0. Coefi cientes maiores, ou seja, retas mais próximas da horizontal, signifi cam mais ocorrências de avalanches maiores, por exemplo, o gráfi co a seguir:

00

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A figura 8 é referente a equação y = 6, 5− 0, 5x, e a figura 9 é referente a equação y = 84, 4x−0,5, onde se aplicado logaritmo, encontrar-se-á a anterior.

Uma mudança no tipo ºde recipiente utilizado também provoca uma mudança nos coefi cientes obtidos. Se desejar, explore essa variação com os seus alunos.

fig. 8

00

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fig. 9

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Será que isso tem a ver com o tamanho do grão? Com o formato? Com o tamanho do recipiente? Com o atrito entre os grãos? E se fosse em um contexto de desmoronamento de morro, será que é possível analisar o “coefi ciente de desmoronamento” para diferentes tipos de solos? Discuta essas questões com seus alunos!

00

10

20

30

40

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A figura 10 é referente a equação y = 6, 4− 3x, e a figura 11 é referente a equação y = 84, 4x−3, onde se aplicado logaritmo, encontrar-se-á a anterior.

�

-��

-��

-��

-�

�

�

� � � � � � � � � ��

fig. 10

fig. 11

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutorSamuel Rocha de Oliveira

Coordenação de redaçãoLeonardo Barichello

RedaçãoMariana Sacrini Ayres Ferraz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto