AVALIAÇÃO DA PUNÇÃO EM LAJES LISAS DE CONCRETO … · AVALIAÇÃO DA PUNÇÃO EM LAJES LISAS DE CONCRETO ARMADO Priscila Pinheiro de Toledo Werneck Projeto de Graduação apresentado

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AVALIAÇÃO DA PUNÇÃO EM LAJES LISAS DE CONCRETO

ARMADO

Priscila Pinheiro de Toledo Werneck

Projeto de Graduação apresentado ao curso de

Engenharia Civil da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheira Civil.

Orientadoras:

Flávia Moll de Souza Judice

Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

Rio de Janeiro

Setembro de 2017

ii

AVALIAÇÃO DA PUNÇÃO EM LAJES LISAS DE CONCRETO ARMADO


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRA CIVIL

Examinado por:

__________________________________________

Flavia Moll de Souza Judice (Orientadora)

D. Sc, Prof. Associado – Poli/UFRJ

__________________________________________

Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro (Orientadora)

D. Sc, Prof. Adjunto – UFF

__________________________________________

Sergio Hampshire de Carvalho Santos

D. Sc, Prof. Titular - Poli/UFRJ

__________________________________________

Ricardo Valeriano Alves

D. Sc, Prof. Associado - Poli/UFRJ

iii

Werneck, Priscila Pinheiro de Toledo

Avaliação da Punção em Lajes Lisas de Concreto

Armado/ Priscila Pinheiro de Toledo Werneck . – Rio de

Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.

XI, 138 p.: il., 29,7cm.

Orientadoras : Flavia Moll de Souza Júdice e Mayra

Soares Pereira Lima Perlingeiro

Projeto de Graduação - UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Civil, 2017.

Referencias Biliográficas: p. 120 – 123.

1. Punção 2. Laje lisa 3. Concreto Armado 4.

Normatização. I. Júdice, Flávia Moll de Souza et all. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,

Curso de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheira Civil

Avaliação da Punção em Lajes Lisas de Concreto Armado


Setembro/2017

Orientadoras: Flavia Moll de Souza Júdice e Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

Curso: Engenharia Civil

Na última década, houve um aumento significativo na utilização de lajes lisas. Neste tipo de

estrutura, a laje se apoia diretamente sobre os pilares, sem o auxílio de vigas na transmissão do

carregamento. Porém, este sistema gera uma zona de fragilidade na ligação laje-pilar devido à

elevada tensão de cisalhamento que se concentra nesta região, podendo ocorrer o fenômeno da

punção. Este fenômeno é de suma importância, visto que afeta a integridade da estrutura,

podendo levar ao colapso total mediante acidentes catastróficos e sem sinais prévios. Realiza-

se, nesse contexto, um estudo sobre punção, avaliando-se fatores que afetam a resistência da

laje e o histórico dos estudos existentes até a data. Apresenta-se a metodologia de cálculo

segundo as normas brasileira, NBR6118:2014, americana, ACI318:2014 e européia,

EUROCODE2:2004, destacando suas semelhanças e diferenças. É realizado um estudo de caso

sobre o pavimento tipo de uma edificação real que faz uso de lajes lisas, analisando-se um pilar

interno e um de borda. Elabora-se um modelo computacional por meio do programa SAP2000

para obtenção dos esforços nos pilares estudados e realiza-se o dimensionamento da armadura

de punção segundo as normas apresentadas. Os resultados indicam maior conservadorismo da

norma americana, exigindo armadura maior para os mesmos esforços solicitantes, seguida da

norma europeia e da brasileira.

Palavras-chave: Concreto armado; lajes lisas; punção; normalização.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Engineer

Punching Shear Evaluation on Reinforced Concrete Flat Slabs


September/2017

Advisors: Flavia Moll de Souza Júdice e Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

Major: Civil Engineering

Over the last decade, there has been a significant increase in flat slabs usage. In this structure

the slabs are directly supported by columns, without the beams aid in the load transmission.

However, this system creates a fragility zone in the slab-column connection due to concentrated

shear stresses and punching shear may occur. The punching shear is a relevant effect because

it might affect the structural integrity, being able to lead to total collapse through catastrophic

accidents that don’t show previous signs. A study on punching shear is carried out, evaluating

factors that affect the slab punching shear resistance and the studies made to date. For punching

shear verification, this work stands to compare the calculation methods proposed by three

standarts: the Brazilian NBR6118:2014, the American ACI318:2014 and the European

EUROCODE2:2004. The differences and similarities on these codes are highlighted. A case

study is presented considering a real building flat slab. The analysis is made for an inner column

and an edge column. The computacional model is developed using SAP2000 software in order

to obtain the bending moments and vertical support reactions. The punching shear

reinforcement design is based on the standarts presented. The results indicates a greater

conservadorism of the American code as it requires the bigger reinforcement, followed by the

European and Brazilian standarts.

Keywords: Reinforced concrete; flat slabs; punching shear; codes.

vi

Sumário

1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................................... 1

1.1. OBJETIVOS E METODOLOGIA ........................................................................................................... 4

1.2. APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ....................................................................................................... 4

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................................................................... 6

2.1. FATORES QUE INFLUENCIAM NA RESISTÊNCIA À PUNÇÃO .................................................................... 8

2.1.1. Altura útil da laje ................................................................................................................... 8

2.1.2. Dimensões, geometria e posição dos pilares ......................................................................... 9

2.1.3. Resistência do concreto ....................................................................................................... 10

2.1.4. Taxa de armadura de flexão ................................................................................................ 10

2.1.5. Uso de armadura transversal .............................................................................................. 11

2.1.6. Colapso Progressivo ............................................................................................................ 14

2.2. ESTUDOS REALIZADOS................................................................................................................... 15

3. PRESCRIÇÕES NORMATIVAS ....................................................................................................... 21

3.1. NORMA BRASILEIRA - NBR6118:2014 ................................................................................................. 21

3.1.1. Pilar interno, com carregamento simétrico ......................................................................... 24

3.1.2. Pilar interno, com efeito de momento .................................................................................. 25

3.1.3. Pilares de borda, sem momento no plano paralelo à borda livre ........................................ 26

3.1.4. Pilares de borda, com momento no plano paralelo à borda livre ....................................... 27

3.1.5. Pilares de canto ................................................................................................................... 28

3.1.6. Tensão resistente ................................................................................................................. 28

3.1.7. Definição da Superfície Crítica C” ..................................................................................... 31

3.1.8. Armadura de punção obrigatória ........................................................................................ 32

3.1.9. Armadura contra colapso progressivo ................................................................................ 32

3.1.10. Informações adicionais ........................................................................................................ 33

3.2. NORMA AMERICANA - ACI318 ......................................................................................................... 37

3.2.1 Tensões resistentes ................................................................................................................... 38

3.2.2 Tensão solicitante no perímetro efetivo 𝑏0 .............................................................................. 41

3.2.3 Detalhamento das Armaduras .................................................................................................. 44

3.3. NORMA EUROPEIA - EUROCODE 2 ................................................................................................. 48

3.3.1. Distribuição do Carregamento e o Perímetro de Controle.......................................................... 49

3.3.2 Tensão solicitante ..................................................................................................................... 52

3.3.3. Tensão resistente ......................................................................................................................... 55

3.3.4. Tensão resistente sem armadura de punção ............................................................................... 56

3.3.4. Tensão resistente com armadura de punção ................................................................................ 58

3.4. ANÁLISE COMPARATIVA DAS NORMAS .......................................................................................... 61

3.4.1. Resistência à compressão do concreto ................................................................................ 61

3.4.2. Superfícies Críticas .............................................................................................................. 62

vii

3.4.3. Detalhamento ....................................................................................................................... 62

4. ESTUDO DE CASO ............................................................................................................................. 64

4.1. MODELO COMPUTACIONAL ........................................................................................................... 64

4.2. ESFORÇOS SOLICITANTES .............................................................................................................. 68

4.3. COBRIMENTO E ALTURA ÚTIL ......................................................................................................... 71

4.4. ARMADURA DE FLEXÃO ................................................................................................................. 72

4.4.1. Armadura negativa .............................................................................................................. 72

4.4.2. Armadura positiva ............................................................................................................... 74

4.4.3. Taxa de armadura de flexão ................................................................................................ 75

4.5. NBR6118 (2014) ........................................................................................................................... 77

4.5.1. Pilar interno, com efeito de momento .................................................................................. 77

4.5.2. Pilar de borda, com momento paralelo à borda livre ......................................................... 80

4.5.3. Detalhamento ....................................................................................................................... 84

4.6. EUROCODE 2 (2004) ................................................................................................................... 85

4.6.1. Pilar Interno ........................................................................................................................ 85

4.6.2. Pilar de Borda ..................................................................................................................... 88

4.6.3. Detalhamento ....................................................................................................................... 91

4.7. ACI318 (2014) .............................................................................................................................. 93

4.7.1 Pilar Interno .............................................................................................................................. 93

4.7.2. Pilar de Borda ..................................................................................................................... 96

4.7.3. Detalhamento ....................................................................................................................... 99

4.7.4. Análise Computacional pelo DECON Studrail .................................................................. 101

5. ANÁLISE DE RESULTADOS .......................................................................................................... 107

5.1. CONTORNO DO PILAR ................................................................................................................... 107

5.2. PRIMEIRO PERÍMETRO DE CONTROLE ........................................................................................... 108

5.2.1. Tensão solicitante .............................................................................................................. 109

5.2.2. Tensão resistente, sem armadura de punção ..................................................................... 109

5.2.3. Tensão resistente, com armadura de punção..................................................................... 110

5.3. SEGUNDO PERÍMETRO DE CONTROLE ........................................................................................... 112

6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES....................................................................................................... 116

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 119

APÊNDICE I ............................................................................................................................................... 124

APÊNDICE II .............................................................................................................................................. 126

APÊNDICE III ............................................................................................................................................ 127

APÊNDICE IV ............................................................................................................................................. 129

viii

Lista de Figuras

Figura 1 – Colapso de área de lazer de condomínio residencial (Gazeta, 2016). .................. 2

Figura 2 – Desabamento do Shopping Rio Poty (Terra, 2013). ............................................ 2

Figura 3 – Colapso de laje protendida na Nova Zelândia (Middleton, 2013). ...................... 3

Figura 4 – Pilares intactos após colapso do Cassino Tropicana (CTL Group, 2003). ........... 3

Figura 5 - Linhas dos momentos principais (Leonhardt, 1977) ............................................ 6

Figura 6 - Processo de formação de fissuras (Rabelo, 2010). ............................................... 7

Figura 7 – Superfície cônica de ruptura (Melges, 1995) ....................................................... 7

Figura 8 - Capitél em Pilares de Estacionamento (Ibracon, 2013) ........................................ 9

Figura 9 - Superfície de ruptura nos diferentes pilares (Ibracon, 2015). ............................. 10

Figura 10 – Efeito pino (Ibracon, 2015) .............................................................................. 11

Figura 11 – Tipos de ruptura em relação à armadura de cisalhamento (Ibracon, 2013). .... 12

Figura 12 - Conector tipo Stud (Trejor, 2013). ................................................................... 12

Figura 13 - Disposição dos estribos (Melges, 1995). .......................................................... 13

Figura 14 - Disposição do conector e armadura de flexão (Melges, 1995). ........................ 13

Figura 15 - Ilustração de estribos como armadura de punção (Melges, 2001). ................... 13

Figura 16 - Ilustração de conectores tipo Stud (Melges, 2001). .......................................... 13

Figura 17 - Estado pós-punção (Ibracon, 2013). ................................................................. 14

Figura 18 - Efeito da armadura contra colapso progressivo (Ibracon, 2013). ..................... 15

Figura 19 - Comparação dasresistências à punção e à compressão (IBRACON, 2013). .. 16

Figura 20 – Armadura com pefil "I" (Barreto, 2002). ......................................................... 17

Figura 21 - Armadura do tipo Riss Star (Trautwein, 2006 apud Rabello 2010). ................ 17

Figura 22 - Armadura tipo pino com chapa de anccoragem (Barreto, 2002). ..................... 18

Figura 23 - Barras dobradas (Barreto, 2002). ...................................................................... 18

Figura 24 - Shearband System (Sheffield, 2017). ............................................................... 19

Figura 25 - Pinos tipo "Shear Bolt" (Bu, 2008). .................................................................. 19

Figura 26 – Perímetro crítico C’ (NBR6118, 2014). ........................................................... 22

Figura 27 – Esquema representativo de aberturas na laje (NBR6118, 2014)...................... 22

Figura 28 - Superfícies C'1 e C'2 (NBR6118, 2014). ........................................................... 23

Figura 29 – Perímetro crítico em pilares de borda (NBR6118, 2014) ................................ 27

Figura 30 – Perímetro crítico em pilares de canto (NBR6118, 2014). ................................ 28

Figura 31 - Disposição da armadura de punção (NBR6118, 2014) .................................... 31

Figura 32 - Distribuição da armadura em pilar de borda (Longo, 2017)............................. 31

ix

Figura 33 - Espaçamento entre conectores (NBR6118, 2014) ............................................ 32

Figura 34 – Armadura contra colapso progressivo (NBR6118, 2014). ............................... 32

Figura 35 - Distribuição radial das armaduras, para pilar interno (Ibracon, 2015). ............ 34

Figura 36 - Distribuição das armaduras para pilar de borda (Ibracon, 2015). ..................... 34

Figura 37 - Seção crítica (ACI421, 2008). .......................................................................... 37

Figura 38 – Perímetro reduzido 𝑏0 ∗ (ACI, 2014 - modificado). ........................................ 38

Figura 39 - Seção crítica de pilares tipo L. (ACI318, 2014 - modificado). ......................... 39

Figura 40 - Influência da posição do pilar na seção crítica (ACI, 2014) ............................. 42

Figura 41 - Detalhe de estribos em pilar interno (ACI318, 2014 – modificado) ............... 44

Figura 42 - Detalhe de estribos em pilares de borda (ACI318, 2014 – modificado)........... 45

Figura 43 - Detalhes dos estribos (ACI318,2014 – modificado) ......................................... 45

Figura 44 - Detalhe da altura do conector (ACI 421, 2008 – modificado).......................... 46

Figura 45 - Detalhamento dos conectores (ACI318, 2014 – modificado)........................... 47

Figura 46 - Corte transversal dos conectores (ACI318, 2014 – modificado). ..................... 47

Figura 47 - Definição da superfície de controle (Eurocode 2, 2004 – modificado). ........... 48

Figura 48 - Perímetros de controle u1. (Eurocode 2, 2004).................................................. 49

Figura 49 - Perímetro de controle reduzido (Eurocode 2, 2004 – modificado)................... 50

Figura 50 - Perímetro de controle para pilares de borda e de canto (Eurocode 2, 2004). ... 50

Figura 51 - Laje com capitel (Eurocode 2, 2004 – modificado).......................................... 50

Figura 52 - Superfícies de controle na cabeça do pilar (Eurocode 2, 2004 – modificado). 51

Figura 53 - Distribuição das tensões cisalhantes (Eurocode 2, 2004). ................................ 53

Figura 54 - Perímetro reduzido 𝑢1 ∗ (Eurocode 2, 2004 – modificado). ............................ 54

Figura 55 - Valores recomendados de 𝛽 (Eurocode 2, 2004 – modificado). ...................... 55

Figura 56 – Perímetros uout, e uout,ef (Eurocode2, 2004 – modificado). ............................... 56

Figura 57 - Utilização de barras dobradas (Eurocode 2, 2014 – modificado). .................... 58

Figura 58 - Espaçamento de estribos (Eurocode 2, 2004 - modificado). ............................ 60

Figura 59 - Distribuição de barras dobradas (Eurocode 2, 2004) ........................................ 60

Figura 60 – Planta de formas do pavimento tipo. ................................................................ 64

Figura 61 - Modelo computacional em perspectiva. ........................................................... 65

Figura 62 - Modelo computacional em planta. .................................................................... 65

Figura 63 - Modelo computacional extrudado. ................................................................... 66

Figura 64 - Representação dos "pés-de-galinha". ................................................................ 66

Figura 65 - Representação do carregamento de borda das varandas. ................................. 67

x

Figura 66 - Representação do carregamento de borda da laje. ............................................ 68

Figura 67 - Combinações de carregamentos de acordo com a NBR6118 (2014). .............. 68

Figura 68 - Esforços no topo do pilar P24. .......................................................................... 69

Figura 69 - Representação do momento no pilar P24. ........................................................ 69

Figura 70 - Força axial de cálculo no pilar P2P6. ............................................................... 70

Figura 71 – Momentos fletores no pilar P6. ........................................................................ 70

Figura 72 - Representação dos momentos do pilar P6. ....................................................... 70

Figura 73 - Momentos fletores de cálculo (kN.m/m) na direção horizontal (M11). ........... 72

Figura 74 – Momentos fletores de cálculo (kNm/m) na direção vertical (M22). ................ 73

Figura 75 - Detalhamento do pilar interno pela NBR6118:2014. ....................................... 84

Figura 76 - Detalhamento do pilar de borda pela NBR6118:2014. ..................................... 85

Figura 77 - Determinação de C1 e C2. ................................................................................ 88

Figura 78 - Detalhamento do pilar interno pelo EN2. ......................................................... 92

Figura 79 - Detalhamento do pilar de borda P6 pelo EN2. ................................................. 92

Figura 80 - Seção crítica do pilar de borda. ......................................................................... 96

Figura 81 - Detalhamento do pilar interno pelo ACI318:2014. ........................................ 100

Figura 82 - Detalhamento do pilar de borda pelo ACI318:2014. ...................................... 100

Figura 83 - Dados de entrada no programa DECON Studrail. .......................................... 102

Figura 84 - Vistas da armadura de punção calculada. ....................................................... 103

Figura 85 – Vista em perspectiva da armadura de punção no pilar P6. ............................ 103

Figura 86 - Corte da armadura de punção no pilar P6. ...................................................... 104

Figura 87 - Comparação dos perímetros de controle. ........................................................ 107

Figura 88 - Porcentagem de resistência mobilizada. ......................................................... 108

Figura 89 - Porcentagem de mobilização das resistências sem armadura de punção........ 110

Figura 90 - Comparação percentual das áreas de aço em relação à NBR6118:2014. ....... 111

Figura 91 - Comparação percentual da quantidade de contornos de armadura. ................ 113

Figura 92 - Detalhamento da armadura do pilar interno. .................................................. 113

Figura 93 - Detalhamento da armadura do pilar de borda. ................................................ 114

Figura 94 - Primeira seção crítica do pilar interno. ........................................................... 124

Figura 95 - Segunda seção crítica do pilar interno P24. .................................................... 125

Figura 96 - Primeira seção crítica do pilar de borda P6. ................................................... 126

Figura 97 - Segunda seção crítica do pilar de borda P6. ................................................... 127

Figura 98 - Segunda seção crítica do pilar de borda P6. ................................................... 129

xi

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Valores de K (NBR6118, 2014. Adaptado) ....................................................... 25

Tabela 2 - Perímetros críticos para pilar interno (Ibracon, 2015). ...................................... 33

Tabela 3 - Determinação do módulo de resistência plástico (Ibracon, 2015). .................... 34

Tabela 4 - Perímetros críticos para pilar de borda (Ibracon, 2015). .................................... 35

Tabela 5 - Excentricidades das superfícies crítcas do pilar de borda (Ibracon, 2015) ........ 35

Tabela 6 - Excentricidade do perímetro crítico em relação à borda livre (Ibracon, 2015). . 35

Tabela 7 - Wp1 para pilares de borda (Ibracon, 2015). ......................................................... 36

Tabela 8 - Wp2 para pilares de borda (Ibracon, 2015) ......................................................... 36

Tabela 9 – Distribuição dos estribos.................................................................................... 44

Tabela 10 - Comprimento do gancho (ACI318, 2014 – modificado) ................................. 46

Tabela 11 – Distribuição de conectores tipo Stud. .............................................................. 48

Tabela 12 - Valores de K (Eurocode2, 2004 – modificado). ............................................... 53

Tabela 13 - Comparação da posição das superfícies críticas............................................... 62

Tabela 14 - Esforços de cálculo nos pilares. ....................................................................... 71

Tabela 15 - Armadura negativa na direção horizontal. ....................................................... 73

Tabela 16 - Armadura negativa na direção vertical. ............................................................ 74

Tabela 17 - Armadura negativa na região dos pilares. ........................................................ 74

Tabela 18 - Armadura contra colapso progressivo. ............................................................. 75

Tabela 19 - Armadura positiva na região dos pilares. ......................................................... 75

Tabela 20 - Taxas de armadura geométricas. ...................................................................... 77

Tabela 21 – Resultados no primeiro perímetro de controle, no pilar P24. ........................ 104

Tabela 22 - Resultados no segundo perímetro de controle, no pilar P24. ......................... 105

Tabela 23 - Resultados no primeiro perímetro de controle, no pilar P6. ........................... 105

Tabela 24 - Resultados no segundo perímetro de controle, no pilar P6. ........................... 105

Tabela 25 - Comparação das tensões no contorno do pilar. .............................................. 107

Tabela 26 - Tensões solicitantes no primeiro perímetro de controle. ................................ 109

Tabela 27 - Tensões resistentes sem armadura de punção. ............................................... 109

Tabela 28 - Armaduras de punção. .................................................................................... 111

Tabela 29 - Tensões resistentes com armadura de punção. ............................................... 112

Tabela 30 - Distância do pilar até o último contorno de armadura. .................................. 112

Tabela 31 - Quantidade de contornos de armadura. .......................................................... 113

Tabela 32 - Tensões no segundo perímetro de controle. ................................................... 115

1

1. Introdução

Apesar do atual cenário político de instabilidade e o consequente enfraquecimento

econômico que provocam uma crise na construção civil, estima-se que o mercado retome o

crescimento do setor em um curto período de tempo. Desta forma, espera-se que a demanda por

novos empreendimentos volte a crescer, seguindo as tendências anteriores.

Na última década, houve um aumento substancial na procura da utilização de lajes

lisas nos empreendimentos, em função das vantagens que este sistema apresenta em

comparação com o sistema comumente utilizado no país, composto de lajes, vigas e pilares. As

estruturas compostas por lajes lisas causam menos interferências no projeto arquitetônico,

permitindo aumento do pé direito nas unidades ou a construção de mais pavimentos sem

alteração no gabarito da edificação, havendo assim, melhor aproveitamento da construção sob

os mesmos limites estabelecidos pela prefeitura local. Além disso, a execução de formas e

armaduras é mais simples, podendo gerar redução no custo de mão de obra e no tempo de

construção.

Nas edificações de alto padrão, tanto residenciais quanto comerciais, as vantagens são

ainda maiores. A necessidade de ambientes de maiores dimensões aliadas à possibilidade de

aumento nos vãos livres da estrutura flexibiliza este arranjo arquitetônico. Pode-se citar ainda

a melhora na distribuição das instalações prediais, visto que há menos interferência da estrutura

nos seus traçados.

Porém, a utilização deste sistema estrutural pode apresentar desvantagem quanto à

segurança estrutural, já que a ausência de vigas gera um ponto de fragilidade na ligação laje-

pilar, onde pode ocorrer a punção. Este fenômeno provoca rupturas abruptas que não

demonstram sinais prévios e são, geralmente, catastróficos, tal como ocorreu em acidente na

cidade de Vitória, ES, em julho de 2016, que deixou uma vítima fatal. A perícia realizada no

local aponta alguns erros executivos, porém os cálculos estruturais não foram analisados, o que

seria condição essencial para o laudo técnico do sinistro. Após estudos realizados por

engenheiros no local, ficou claro que, proveniente de erros executivos ou de dimensionamento,

a laje protendida que sustentava a área de lazer sofreu punção, colapsando sobre o pavimento

inferior.

A Figura 1 apresenta vista aérea da área de lazer da edificação situada em Vitória,ES.

Nesta figura, tem-se a impressão de que os pilares furam a laje, indicando ruptura por punção.

2

Figura 1 – Colapso de área de lazer de condomínio residencial (Gazeta, 2016).

Outro grave acidente ocorreu em 2013, com o desabamento de parte da obra do

Shopping Rio Poty, em Teresina, PI, conforme apresentado na Figura 2. O acidente, felizmente,

causou apenas ferimentos leves em uma vítima, devido ao fato de ter ocorrido durante a

madrugada. Segundo relatório elaborado pelo CREA-PI (2013), a perícia realizada pela

Contarini Engenharia constatou o comprometimento da resistência à punção da laje, decorrente

das furações no entorno dos pilares que, além de concentrar tensões, impediram a distribuição

mais eficiente das armaduras.

Figura 2 – Desabamento do Shopping Rio Poty (Terra, 2013).

Em 2011, na cidade de Christchurch, na Nova Zelândia, um edifício garagem

composto de três pavimentos de lajes protendidas colapsou após a ocorrência de um terremoto.

3

Após as inspeções, constatou-se que a laje do pavimento superior colapsou demonstrando um

caso clássico de punção, conforme mostra a Figura 3.

Figura 3 – Colapso de laje protendida na Nova Zelândia (Middleton, 2013).

Na cidade de Atlantic City, nos Estados Unidos, em 2013, ocorreu o colapso do

Cassino Tropicana, ainda em fase construtiva, levando a quatro vítimas fatais e mais de 30

feridos. A declaração oficial, após o julgamento do caso, afirmou que não havia armadura

suficiente na ligação laje-pilar. O fato de as colunas à esquerda da edificação estarem intactas,

conforme mostra a Figura 4, e de as lajes não estarem conectadas são indicações de ruptura por

punção.

Figura 4 – Pilares intactos após colapso do Cassino Tropicana (CTL Group, 2003).

Os graves acidentes por punção registrados recentemente mostram a importância de

um adequado dimensionamento da ligação laje-pilar. Para equilibrar a segurança estrutural com

4

a economia de custos, sem desperdício de recursos, é preciso conhecimento profundo sobre o

fenômeno, tornando fundamental análise detalhada sobre o assunto.

1.1. Objetivos e Metodologia

Tendo em vista a gravidade dos acidentes registrados e sua análoga importância, este

trabalho pretende apresentar a verificação do fenômeno de punção em lajes lisas por meio de

revisão bibliográfica, apresentando fundamentos, expressões e critérios normativos para o

dimensionamento adequado da estrutura de modo a resistir aos esforços de cisalhamento.

É apresentado, também, um estudo de caso baseado no projeto estrutural de uma

edificação real com o emprego de lajes lisas. A análise estrutural é feita a partir de modelo

computacional com o uso do métodos dos elementos finitos. Os resultados são avaliados

segundo prescrições da ABNT NBR6118 (2014), da norma americana ACI 318 (2014) e da

norma européia EN 2, parte I (2004).

1.2. Apresentação do Trabalho

O trabalho é dividido em capítulos a fim de categorizar o estudo e facilitar o

entendimento.

O capítulo 2 descreve a fundamentação teórica, apontando os diversos fatores que

influenciam a resistência à punção das lajes lisas, assim como alguns estudos de destaque na

área. Propõe-se, com isso, a apresentação de um histórico envolvendo o estágio atual do

conhecimento relativo a pesquisas brasileiras e internacionais.

O capítulo 3 aborda as prescrições normativas relativas à punção, demonstrando

procedimentos de cálculo para o dimensionamento das ligações laje-pilar. São apresentadas as

considerações da norma brasileira NBR6118 (2014), assim como a norma americana ACI318

(2014) e o EN 2 (2004) sobre os requisitos necessários à estrutura de edificíos de concreto. Faz-

se ainda uma comparação qualitativa entre as normas.

O capítulo 4 aborda um estudo de caso. Apresenta-se a modelagem computacional do

pavimento tipo de uma edificação real elaborada em lajes lisas. Por meio da análise estrutural

do modelo, obtém-se os esforços na laje e nos pilares. A partir dos dados necessários para a

avaliação da punção, como o cobrimento, altura útil e a armadura de flexão inferior e superior,

são feitos a verificação e o dimensionamento à punção, tomando como base três pilares: um

5

interno, um de borda e um de canto, levando-se em conta as normas apresentadas no capítulo

3.

No capítulo 5 realiza-se a análise dos resultados. Apresenta-se a comparação dos

resultados obtidos por meio das diferentes metologias normativas. Destaca-se a desigualdade

nas tensões solicitantes, resistentes e nas armaduras de punção necessárias. Salienta-se as

semelhanças e diferenças nas formulações, buscando as razões para a discrepância dos

resultados. Mostram-se, ainda, dificuldades e deficiências encontradas na interpretação das

normas.

O capítulo 6 apresenta as conclusões e a proposição de continuação do estudo em

novos trabalhos.

6

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

As lajes lisas são estruturas laminares planas, horizontais, apoiadas diretamente sobre

pilares, sem o auxílio de vigas na transição dos carregamentos. A inexistência de vigamentos,

naturalmente, leva à menor rigidez da edificação pela ausência da formação dos pórticos viga-

pilar, acarretando, muitas vezes, em grandes deslocamentos transversais e problemas

relacionados à estabilidade global. Além disso, como não há uma estrutura que auxilie a

transição dos carregamentos da laje para os pilares, cria-se um ponto de concentração de

esforços na ligação laje-pilar, onde pode ocorrer o fenômeno de punção.

De acordo com Leonhardt (1977), extensivos ensaios de punção em lajes tiveram

início nos anos 60 com Kinnunen e Nylander. Até os anos 70, tentativas de melhoria desse

método foram feitas, porém, sem sucesso, não existindo, àquela época, teoria plenamente

confiável e satisfatória para o dimensionamento da punção.

Ainda segundo Leonhardt (1977), o desenvolvimento dos momentos radial e

tangencial depende da distribuição das forças de compressão no pilar. A força cortante, por sua

vez, aumenta hiperbolicamente em direção ao pilar. Assim, elevados valores de forças cortantes

coincidem com os momentos principais negativos nas duas direções, o que causa a solicitação

desfavorável que pode levar à punção. Devido a esta fragilidade, o dimensionamento da ligação

laje-pilar é o ponto mais crítico do projeto de uma estrutura em lajes lisas.

Conforme exposto por Leonhardt (1977), as trajetórias das linhas de momentos

principais em laje lisa submetida à carga uniforme indica o desenvolvimento de momentos

radiais e tangenciais, ambos negativos, na proximidade do pilar, como pode ser observado na

Figura 5.

Figura 5 - Linhas dos momentos principais (Leonhardt, 1977)

7

As deformações tangenciais inicialmente são maiores que as radiais, independente do

tipo de armadura. Devido a este fato, as fissuras radiais surgem primeiro e somente

carregamentos altíssimos ocasionam algumas fissuras circulares, conforme ilustra a Figura 6.

Figura 6 - Processo de formação de fissuras (Rabelo, 2010).

Segundo Cordovil e Fusco (1995), o que se convencionou chamar de punção é a

ruptura transversal por cisalhamento em torno de regiões pequenas submetidas à carregamentos

localizados, ou seja, é a aplicação de carregamento de grande intensidade em área reduzida,

gerando elevadas tensões cisalhantes que, por consequência, ocasionam microfissuras,

evoluindo para fissurações radiais até sua ruptura.

A ruptura por punção caracteriza um estado limite último (ELU), onde ocorre o

cisalhamento da ligação laje-pilar, isto é, no entorno da carga concentrada, antes da capacidade

resistente à flexão ser atingida. De acordo com Leonhardt (1977), este tipo de ruptura acontece

ao longo de uma superfície de ruptura cônica, com inclinação de 30 a 35 graus, conforme

ilustrado na Figura 7.

Figura 7 – Superfície cônica de ruptura (Melges, 1995)

8

Como o fenômeno de punção é um tipo de ruína frágil, que causa um colapso

repentino, deve-se, como diretriz de projeto, garantir a segurança das ligações de modo a

prevenir seu acontecimento.

2.1. Fatores que influenciam na resistência à punção

Segundo Rabello (2010) são inúmeros os fatores que influenciam na resistência à

punção nas lajes lisas, sendo os mais relevantes a altura útil da laje, suas dimensões, formato e

posição do pilar na laje, a resistência do concreto, a relação entre o momento fletor e o esforço

cortante, a taxa de armadura de flexão e a existência de armadura de punção.

Devido à quantidade de fatores, o problema se torna complexo para ser avaliado a

partir de modelos matemáticos exatos, tanto que as formulações com maior aceitação no meio

científico, utilizadas pelas normas, são baseadas em modelos empíricos, desenvolvidos a partir

de ensaios realizados onde se variou cada fator de influência até obter uma relação plausível

que originasse valores de solicitação e resistência que equilibrassem segurança e economia.

O método mais difundido atualmente, e o mais utilizado pelas normas, consiste na

definição de perímetros de controle, onde são verificadas as tensões atuantes e resistentes,

garantindo a segurança da estrutura.

2.1.1. Altura útil da laje

Conforme representação da Figura 7, a ruptura por punção acontece ao longo de uma

superfície cônica. Deste modo, com o aumento da espessura da laje e o consequente aumento

da altura útil, o perímetro de ruptura aumenta, aliviando as tensões atuantes, quando

considerado um carregamento constante. Portanto, aumentar a espessura da laje causa um

aumento na resistência à punção.

Esta solução, embora às vezes seja necessária, também trás inconvenientes,

principalmente no caso de lajes maciças, já que aumenta consideravelmente o peso próprio e,

consequentemente, o custo da obra. Assim, apesar do aumento das tensões resistentes, há um

aumento simultâneo das tensões solicitantes, de modo que o processo não é eficiente.

É possível, para aliviar este aumento do peso próprio, que se faça uso de capitéis. O

capitel é definido como um engrossamento da laje apenas na região da ligação com o pilar e,

9

deste modo, não causa um aumento exagerado do peso próprio da estrutura. Porém, esta solução

apresenta desvantagens arquitetônicas, como é possível observar na Figura 8.

Figura 8 - Capitél em Pilares de Estacionamento (Ibracon, 2013)

2.1.2. Dimensões, geometria e posição dos pilares

Segundo Leonhardt (1977) as relações de rigidez entre os pilares e lajes podem ser

muito diferentes e o fato se torna ainda mais relevante para pilares de cantos e bordas. Os

momentos principais longitudinais e tranversais podem ser muito diferentes, sendo o momento

transversal dependente primordialmente da rigidez à flexão do pilar; este também decresce no

surgimento de fissuras de flexão na laje, caracterizando a entrada no estado de ruptura. Porém,

os momentos fletores longitudinais ao bordo da laje que são os determinantes para a punção,

geralmente. Assim, o dimensionamento à punção deve ser feito com os momentos fletores

máximos e em uma área de punção reduzida.

É intuitivo perceber que, no caso dos pilares de borda e de canto, não há superfície

suficiente para desenvolver completamente o cone de ruptura de punção, o que gera um

acréscimo de tensão na superfície de ruptura formada. Além disso, esta superfície possui um

comportamento diferenciado e mais complexo devido a presença de momentos torsores e

fletores na ligação. Na Figura 9, apresentam-se as superfícies de ruptura nas diferentes posições

relativas dos pilares na laje.

10

Figura 9 - Superfície de ruptura nos diferentes pilares (Ibracon, 2015).

Leonhardt (1977) sugere que, no projeto de estruturas, deve-se evitar locar os pilares

totalmente no bordo da laje, o que facilita a execução da armadura e diminui o risco de punção.

Quanto ao formato, Brastrup e Reagan (1985, apud MELGES 2001) demonstram que

pilares retangulares tendem a concentrar tensões nos cantos, de forma que possuem resistência

em torno de 15% menor em relação a pilares circulares de mesma área. Melges (2001) comenta,

ainda, que, para pilares retangulares em que o lado maior é em torno de duas vezes o lado

menor, a ruptura é mais abrupta do que pilares de seções quadradas, tendo em vista que o cone

de punção e a resistência da ligação são menores, já que há um acúmulo de tensões nos cantos

e nos lados de menor dimensão.

2.1.3. Resistência do concreto

Parte do carregamento aplicado na ligação é suportado pela resistência a tração do

concreto. No caso de não haver armadura de punção, a totalidade do carregamento depende

desta resistência. Para fins de projeto, a definição da resistência à compressão do concreto é o

passo inicial e do qual dependem as formulações normativas para dimensionamento. Então,

costuma-se correlacionar a resistência à tração como uma fração da resistência à compressão.

2.1.4. Taxa de armadura de flexão

A taxa de armadura de flexão tracionada é definida como a razão entre a área de

armadura de flexão tracionada pela área de concreto na seção crítica.

Segundo Fusco (1984) a taxa de armadura de flexão influencia o efeito de pino da

armadura longitudinal após o início da fissuração da borda tracionada da peça. Este efeito é

11

demonstrado na Figura 10. Para que este efeito ocorra é fundamental que a ancoragem da

armadura de flexão seja feita além da superfície de ruptura de punção. Além disso, Fusco

(1984) também registra que uma taxa de armadura maior gera uma menor incidência de fissuras.

Figura 10 – Efeito pino (Ibracon, 2015).

2.1.5. Uso de armadura transversal

Nos casos em que é necessário aumentar a resistência da ligação, soluções como

capitéis podem ser indesejáveis do ponto de vista arquitetônico ou construtivo. Por isso, o uso

de armaduras de cisalhamento para combater à punção é uma alternativa vantajosa do ponto de

vista estrutural visto que, além de aumentar a resistência, aumenta também a ductilidade da

ligação.

Nas lajes que fazem uso da armadura de punção podem ocorrer três tipos de rupturas

diferentes. Idealmente, a ruptura ocorre na região da armadura, indicando que o aço foi

solicitado em sua capacidade máxima, atingindo assim o escoamento plástico, conforme Figura

11 a. O segundo ocorre devido aos esforços compressivos serem maiores que a capacidade

resistente da biela de compressão, rompendo antes no início da armadura, como representado

na Figura 11 b. Já o terceiro demonstra que a armadura não foi suficiente para combater aos

esforços de modo que a ruptura ocorre fora da zona de distribuição da armadura de

cisalhamento, precisando assim, aumentar o seu comprimento de distribuição.

12

Figura 11 – Tipos de ruptura em relação à armadura de cisalhamento (Ibracon, 2013).

Podem ser utilizados estribos ou conectores do tipo Stud, Figura 12, como armadura

de punção. A maioria dos pesquisadores e normas demonstram preferência pelo segundo tipo.

O IBRACON (2003) indica que os conectores tipo Stud são de facil manuseio, transporte e

montagem, o que facilita a utlização de armaduras de punção em lajes lisas de pequena

espessura. Além disso, estes conectores não interferem nas armaduras da laje.

Figura 12 - Conector tipo Stud (Trejor, 2013).

A armadura adotada deve estar devidamente ancorada, pois, caso contrário, será

considerada nos cálculos uma resistência adicional na ligação, que, na prática, não existirá,

comprometendo o dimensionamento. No caso de estribos deve-se garantir o contato metálico

entre as barras longitudinais e os cantos dos estribos, sem folga, conforme a Figura 13 e no caso

de conectores tipo Stud, a extremidade mais alargada dos pinos deve ultrapassar a armadura de

flexão negativa e positiva, conforme é demonstrado na Figura 14, de modo a garantir a

acoragem adequada.

13

Figura 13 - Disposição dos estribos (Melges, 1995).

Figura 14 - Disposição do conector e armadura de flexão (Melges, 1995).

Segue abaixo, ilustração prática das armaduras de punção. Na Figura 15 é apresentada

utilização de estribos e na Figura 16 é apresentada a utilização de conectores tipo Stud.

Figura 15 - Ilustração de estribos como armadura de punção (Melges, 2001).

Figura 16 - Ilustração de conectores tipo Stud (Melges, 2001).

https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjjrtKesf_TAhXLhpAKHdMXBbUQjRwIBw&url=http://www.estruturas.ufpr.br/tag/puncao/&psig=AFQjCNEGXWDYQ4YSSYxBCufZbuGDW8M2kA&ust=1495401044700702

14

2.1.6. Colapso Progressivo

O colapso progressivo é caracterizado pelo rompimento da ligação laje-pilar que

provoca a queda da laje sobre o pavimento inferior, aumentando significativamente o

carregamento sobre esta, que na ausência de dimensionamento para tal esforço, colapsa

também, gerando um ciclo de destruição que pode colapsar as lajes subsequentes até a ruína

completa da edificação.

O fenômeno ocorre devido à falta de capacidade da ligação de absorver completamente

as tensões cisalhantes residuais do comportamento pós-punção. A principal medida para evitar

o colapso progressivo é a garantia da ductilidade local. Assim, no caso de colapso, a ruptura

que seria abrupta se torna mais lenta e com o ganho de tempo, há a possibilidade de evacuação

do local.

As armaduras negativas, na parte superior da laje, aumentam a resistência, mas não a

ductilidade. Estas armaduras tendem a romper o cobrimento superior, deformando

consideravelmente a laje. A Figura 17 demonstra o efeito de punção em seu estado inicial,

frizando o destacamento da armadura superior e final, apresentando o colapso total da estrutura,

considerando uma ligação laje-pilar realizada sem a utilização da armadura contra colapso

progressivo.

Figura 17 - Estado pós-punção (Ibracon, 2013).

Já a Figura 18, demonstra efeito similar pós-punção, porém, considerando a utilização

da armadura contra colapso progressivo. A solução que mostra melhores resultados até a data

é a utilização de barras na face inferior da laje, passando pelos pilares ou ancoradas neles. É

possível perceber que a laje colapsada passa a ser sustentada por estas barras inferiores,

impedindo que esta caia completamente sobre o pavimento inferior.

15

Figura 18 - Efeito da armadura contra colapso progressivo (Ibracon, 2013).

2.2. Estudos Realizados

Devido a gravidade dos acidentes e a importância do assunto, há enorme quantidade

de pesquisas e estudos realizados buscando compreender melhor o mecanismo da punção, assim

como preveni-lo de modo mais eficiente. Apresentam-se, aqui, alguns desses estudos de modo

a sintetizar o conhecimento que se tem até a data.

A pesquisa de Talbot (1913) foi a pioneira no estudo da punção, segundo Alves (2017).

Ele impôs a ruína a 197 sapatas, sendo 114 apoiadas em muros e 83 em pilares. Destas, 20

romperam por punção. A partir desta análise, Talbot (1913) criou a primeira metodologia de

cálculo para a resistência à punção, porém, esta considerava apenas a resistência à tração do

concreto.

Richart (1948) também realizando testes em sapatas percebeu que o aumento da taxa

da armadura de flexão estava diretamente relacionado ao aumento da resistência à punção. A

primeira proposta de cálculo que considerou esta descoberta foi elaborada por Elstner e

Hognestad (1956).

Kinnunem e Nylander (1960) elaboraram o primeiro modelo teórico para determinação

da resistência à punção a partir de ensaios em diversas lajes circulares com pilar central. Estas

lajes não apresentavam armadura de cisalhamento, apenas de flexão em três apresentações

diferentes: circunferencial, circunferencial e radial e armadura disposta em malha. Esta

pesquisa é base da norma sueca quanto à punção.

Moe, J (1961, apud Sacramento et al. 2012) propôs que a resistência à punção poderia

ser expressa com uma função proporcional à raiz quadrada da resistência à compressão do

16

concreto, proposição que até hoje é base da prescrição da norma americana ACI318. Porém,

em pesquisas recentes, foi identificado que essa relação não é válida para concretos de

resistências muito elevadas, pois superestima sua influência. Por esse motivo, a ACI limita o

uso da expressão para concretos de resistência de até 69MPa.

Shehata (1985 apud Holanda 2002) utilizou o modelo mecânico de Kinnunem e

Nylander (1960) como base para seu estudo. Desenvolveu metodologia de cálculo da punção

em pilares internos, com carregamento simétrico e sem armadura de punção. Em 1990, Shehata

atualizou seu trabalho, considerando um modelo de biela-tirante.

A divisão da ruína por punção foi dividida em três superfícies de ruptura, junto à face

do pilar, na região com armadura transversal e após a região armada, por Regan (1985). Neste

estudo, estimou-se que a superfície de ruptura formava um ângulo de 25° com o plano da laje,

com origem no pilar. Sugeriu-se, então, o uso de armadura de cisalhamento de modo que se

aumentasse o ângulo da superfície de ruptura, mobilizando uma resistência maior do concreto,

o que ocorre principalmente quando este ângulo passa de 45°.

Marzouk e Hussein (1991) analisaram estas lajes com concreto de altíssima resistência

e concluíram que a raíz cúbica da resistência de compressão do concreto traduz melhor a

tendência dos resultados experimentais, descoberta que é defendida por muitos outros

pesquisadores e é utilizada na norma europeia EUROCODE2. A Figura 19 mostra um gráfico

que avalia a influência do concreto na capacidade resistente ao cisalhamento comparando

resultados obtidos em ensaios realizados por uma série de pesquisadores à tendência obtida

utilizando uma função proporcional a raíz cúbica.

Figura 19 - Comparação dasresistências à punção e à compressão (IBRACON, 2013).

Gomes (1991 apud Rabello 2010) introduziu armadura de cisalhamento ao utilizar

perfis metálicos de seção “I” transversalmente na laje conforme a Figura 20. Conclui-se que o

uso desta armadura ocasiona um aumento de resistência à punção de mais de 100%. Através

17

dos ensaios, percebeu-se que a forma de distribuição de tal armadura era fundamental na

otimização deste ganho de resistência, não sendo recomendado um espaçamento maior de 0,5d

entre estes elementos.

Figura 20 – Armadura com pefil "I" (Barreto, 2002).

Em 1993, Regan realizou novo ensaio, considerando uma armadura de cisalhamento

em forma de estrela, denominada Riss Star, conforme a Figura 21. A armadura gerou um

aumento de resistência à punção de aproximadamente 65% ao comparar-se com lajes

semelhantes sem armadura.

Figura 21 - Armadura do tipo Riss Star (Trautwein, 2006 apud Rabello 2010).

Melo (1994) introduziu o conceito de armadura que proteja a estrutura do colapso

progressivo. Esta deve ser distribuída junto à armadura de flexão inferior na laje, sendo

acionada caso ocorra a ruptura da ligação laje-pilar, impedindo que a laje colapse sobre a laje

inferior. Esta armadura é indicada na norma NBR6118.

Cordovil e Fusco (1995) estudaram o uso de armadura do tipo pino com chapas de

ancoragem, conforme a Figura 22. Considerando-se carregamento simétrico, houve aumento

18

de 17% na resistência das placas com três camadas de armadura de cisalhamento distribuídas

em linhas duplas transversais quando comparado aos resultados obtidos sem o uso desta

armadura. Já considerando-se carregamento excêntrico, o aumento foi de 54%. Também

ressaltou-se a otimização da distribuição de armaduras, visto que os pinos não interferem na

armadura de flexão.

Figura 22 - Armadura tipo pino com chapa de anccoragem (Barreto, 2002).

Hallgreen (1996 apud Barreto 2002) experimentou com concreto de alto desempenho

e armadura de cisalhamento feita de barras dobradas formando um ângulo de 33° com o plano

da laje conforme a Figura 23. Os resultados foram comparados a ensaios prévios com modelos

de concreto convencional, demonstrando que houve um aumento significativo na resistência ao

cisalhamento devido ao uso do concreto de alto desempenho e da armadura. Quando foi

utilizado apenas o concreto de alto desempenho, sem a armadura de cisalhamento, notou-se um

acréscimo de 20% no carregamento de ruptura e ao se utilizar este concreto e a armadura de

barras dobradas, percebeu-se um aumento de 50% do carregamento.

Figura 23 - Barras dobradas (Barreto, 2002).

Em 1997, Zambrana Vargas publicou seu estudo sobre a influência de fibras de aço.

Foram realizados testes em modelos com e sem armadura de cisalhamento, assim como de

concreto de alta resistência e convencional. Os modelos que contavam com as fibras de aço,

19

armadura de cisalhamento e o concreto de alta resistência obtiveram resistências 68% maiores

quando comparados à modelos sem a utilização destes três componentes.

Pilakoutas e Li (1997) analisou o uso de armadura de cisalhamento do tipo Shearband

System, caracterizada por uma faixa de aço maleável conforme a Figura 24. Como vantagem,

Pilakoutas concluiu serem mais econômicas, eficientes e de fácil instalação. Por terem

espessura milimétrica, podem, também, ser ancoradas na armadura negativa superior, mantendo

o mesmo cobrimento, facilitando o uso em lajes de espessura reduzida.

Figura 24 - Shearband System (Sheffield, 2017).

Azevedo realizou, em 1999, estudo similar ao de Zambrana Vargas (1997), utilizando

combinações de concreto de alta resistência, diferentes quantidades de fibra de aço e armadura

de cisalhamento do tipo pino, analisando estes modelos quanto à punção e ductilidade. Concluiu

que a utilização do concreto de alta resistência simultâneo ao emprego da armadura geraram

aumento significativo na resistência à punção e, ao introduzir as fibras de aço, a ligação laje-

pilar tornou-se mais dúctil, atingindo até duas vezes a carga de ruptura.

Em 2001, Carvalho estudou a eficiência da fixação posterior de pinos de aço como

mostra a Figura 25, conhecidos como shear bolts, como reforço estrutural a ser instalado em

regiões críticas. Obteve-se aumento de 38% a 58% em lajes reforçadas por duas ou três camadas

de parafusos de alta resistência quando se compara à laje sem a instalação deste reforço.

Figura 25 - Pinos tipo "Shear Bolt" (Bu, 2008).

https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiyuLiV5LTVAhUJHZAKHeuKCZUQjRwIBw&url=https://www.sheffield.ac.uk/ci/research/concrete/sb&psig=AFQjCNG2hReuOH8JmhKRFEnAUvEx2hc8gA&ust=1501633830795272

20

Musse pesquisou, em 2004, a adição de fibras de aço ao concreto de lajes com

armadura de punção do tipo stud. Pode-se obeservar que nos modelos com presença de fibra de

aço houve modificação no modo de ruptura da laje passando de ruptura na região externa à

armação para ruptura na região armada transversalmente. Concluiu-se que a utilização das

fibras gerou um aumento de até 75% na resistência da laje, quando comparada aos modelos sem

o uso destas.

Santos (2014) estudou sistema reforço à punção de lajes lisas com utilização de mantas

de polímero reforçados com fibra de carbono como armadura de cisalhamento. O trabalho

comparou a aplicação de normas consagradas no meio técnico com os resultados experimentais

obtidos de modelos de ligações laje-pilar internos e sem atuação de momentos fletores, apesar

destas normas não se destinarem especificamente à este tipo de reforço. A deformação obtida

mostrou-se adequada à três das quatro normas, ACI318, Eurocode2 e Model Code 2010. Porém,

a razão entre as cargas de ruína obtidas e as forças resistente calculadas foi menor que 1, o que

inviabilizou a aplicação imediata na NBR6118.

21

3. PRESCRIÇÕES NORMATIVAS

No Brasil, a verificação da resistência à punção passou a ser considerada na antiga

NB-1, na revisão de 1978. A atualização mais consistente ocorreu na revisão de 2003, da NBR

6118, baseando-se nos métodos dos perímetros críticos, bem fundamentados e aceitos

internacionalmente. Esta revisão incluiu também situações específicas, como aberturas na laje

e momentos desbalanceados. Na mais recente versão de 2014, as formulações apresentadas pela

NBR 6118 sofreram poucas alterações, sendo a mais relevante o acréscimo de resistência

devido à protensão.

Na análise das lajes à punção, o método adotado pelas normas NBR6118 (2014),

ACI318 (2014) e EN2 (2004) tem como base para o dimensionamento as superfícies de

controle. O método compara tensões cisalhantes atuantes em uma superfície pré-determinada

com as tensões resistentes nessa mesma superfície. É garantido que a estrutura atende aos

requisitos de segurança quando é possível afirmar que estas tensões resistentes são

suficientemente maiores que as solicitantes.

3.1. Norma Brasileira - NBR6118:2014

A NBR6118 (2014), em seu item 19.5, recomenda que a verificação da punção em

lajes lisas seja analisada em duas ou mais regiões, denominadas superfícies críticas. As

superfícies críticas são definidas como sendo o produto de perímetros críticos pela altura útil

da laje. Caso não seja empregada armadura transversal, devem ser analisadas duas superfícies.

Caso haja armadura transversal, deve-se adotar ainda uma terceira superfície crítica em adição

às duas anteriores. Nestas verificações, pode-se adotar a força cortante solicitante, nos

diferentes contornos, obtidas no modelo utilizado na análise estrutural.

As superfícies críticas são as regiões no entorno do pilar estudado onde existem

elevadas tensões cisalhantes e, por isso, tornam-se um ponto de fragilidade que deve ser

estudado. Primeiramente, avalia-se a compressão da biela de concreto no perímetro de controle

em torno do pilar, isso é, da carga concentrada. Esta superfície crítica é denominada de C.

A segunda superfície a ser analisada, denominada de C’, encontra-se afastada de uma

distância 2d da face do pilar, onde “d” é a altura útil da laje ao longo desta superfície, segundo

a NBR6118. Caso o contorno C apresente reentrâncias, o contorno crítico C’ deve ser paralelo

ao polígono circunscrito ao contorno C, como observa-se na Figura 26.

22

Figura 26 – Perímetro crítico C’ (NBR6118, 2014).

Em situações em que haja abertura na laje, como um shaft ou área de ventilação

próxima ao pilar em uma distância menor que 8d do contorno C, deve-se fazer uma redução no

contorno crítico C’. Para tal, traçam-se duas retas que partem do centro de gravidade da área de

aplicação da força e que tangenciam as extremidades da abertura, como indicado na Figura 27.

Figura 27 – Esquema representativo de aberturas na laje (NBR6118, 2014).

O contorno crítico C’ afasta-se 2d da face do pilar pois a superfície de ruptura no

Estado Limite Último (ELU) ocorre com uma declividade em torno de 1:2, cujo ângulo de

inclinação é definido na Eq. (3.1.)

θ = arc tg (12⁄ ) = 26,6° (3.1)

Na superfície C’ deve ser avaliada a capacidade da ligação à punção, associada à

resistência à tração diagonal no perímetro de controle. Quando a tensão solicitante ultrapassa o

limite resistente, deve ser empregada armadura transversal.

Quando há a necessidade de utilização de armadura transversal, deve-se avaliar uma

terceira superfície crítica, denominada C’’.

Com a finalidade de aumentar a capacidade resiste ao cisalhamento, é possível fazer

uso de capitéis. O capitel é caracterizado por um engrossamento da laje na região do pilar. Nesta

23

situação, deve-se fazer verificações adicionais, considerando dois novos contornos críticos C1’

e C2’, conforme indica a NBR6118, representados na Figura 28.

Figura 28 - Superfícies C'1 e C'2 (NBR6118, 2014).

Da Figura 28, tem-se as seguintes notações:

d é a altura útil da laje no contorno C2’;

dc é a altura útil da laje na face do pilar;

da é a altura útil da laje no contorno C1’;

lc é a distância entre a borda do capitel e a face do pilar.

Quando:

𝑙𝑐 ≤ 2(𝑑𝑐 − 𝑑), basta verificar o contorno C2’;

2(𝑑𝑐 – d) < 𝑙𝑐 ≤ 2 𝑑𝑐, basta verificar o contorno C1’;

𝑙𝑐 > 2𝑑𝑐, é necessário verificar os contornos C1’ e C2’.

Os pilares internos costumam apresentar ruptura numa região geométrica

aproximadamente cônica, de inclinação θ. Já os pilares de borda e de canto apresentam ruptura

mais irregular, principalmente devido aos esforços de torção e flexão. Por esses motivos, a

norma subdivide a verificação em cinco casos, são eles:

Pilares internos, com carregamento simétrico;

Pilares internos, com efeito de momento;

Pilares de borda, sem momento paralelo à borda livre;

Pilares de borda, com momento paralelo à borda livre;

Pilares de canto.

24

3.1.1. Pilar interno, com carregamento simétrico

A tensão de cisalhamento solicitante de projeto na surpefície crítica C’ devida ao efeito

de puncionamento em um pilar interno que apresente carregamento simétrico pode ser escrita

conforme a Eq. (3.2), descrita no item 19.5.2.1 da NBR6118 (2014).

𝜏𝑆𝑑 =

𝐹𝑆𝑑

𝑢 ∙ 𝑑

(3.2)

com:

𝑑 =

𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

2

(3.3)

onde:

𝜏𝑆𝑑 é a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo no contorno considerado;

𝐹𝑆𝑑 é a força ou reação de punção de cálculo;

𝑢 é o perímetro do contorno crítico C’, externo ao contorno C da área de aplicação da

força e distante 2d deste, no plano da laje;

𝑑 é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;

𝑑𝑥 𝑒 𝑑𝑦 são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;

𝑢 . 𝑑 é a área da superfície crítica.

É permitido pela NBR6118(2014) que haja redução da força de punção FSd devido ao

carregamento aplicado na face oposta da laje. Devem ser consideradas apenas as cargas que

agem fora do contorno considerado na verificação, C ou C’. Segundo LONGO (2017), essa

redução pode ser descrita pela Eq. (3.4).

𝐹𝑆𝑑,𝑅𝐸𝐷 = 𝐹𝑆𝑑 − 1,4 𝑞 ∙ 𝐴 (3.4)

onde:

q é a carga distribuída na laje;

A é a área dentro do contorno considerado, C ou C’.

25

3.1.2. Pilar interno, com efeito de momento

Em pilares internos, onde há transferência de momento da laje para o pilar, deve-se

considerar o efeito da assimetria no cálculo da tensão de cisalhamento solicitante, tal que:

𝜏𝑆𝑑 =

𝐹𝑆𝑑

𝑢 ∙ 𝑑+

𝐾 ∙ 𝑀𝑆𝑑

𝑊𝑝 ∙ 𝑑

(3.5)

onde:

K é o coeficiente que representa a parcela do momento transmitida ao pilar por

cisalhamento e que depende da relação 𝐶1

𝐶2⁄ , sendo C1 e C2 as dimensões do pilar,

respectivamente, paralela e perpendicular à excentricidade da força;

𝑀𝑆𝑑 é o momento fletor de cálculo transmitido pela laje ao pilar;

Wp é o módulo de resistência plástica do perímetro crítico u.

A NBR6118, em sua tabela 19.2, prescreve os valores para o parâmetro K

apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 – Valores de K (NBR6118, 2014. Adaptado)

Pilares Retangulares Pilares Circulares

𝐶1𝐶2

⁄ 0,5 1,0 2,0 3,0 -

K 0,45 0,60 0,70 0,80 0,60

Os valores de Wp devem ser obtidos a partir das expressões:

Para pilares retangulares:

𝑊𝑃 =

𝐶12

2⁄ + 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4 𝐶2 ∙ 𝑑 + 16 𝑑2 + 2𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1

(3.6)

Para pilares circulares:

𝑊𝑝 = (𝐷 + 4𝑑)2 (3.7)

26

onde:

D é o diâmetro do pilar.

O módulo de resistência plástica, Wp, pode ainda ser calculado desprezando a curvatura

dos cantos do perímetro crítico e, neste caso, a expressão a ser utilizada é:

𝑊𝑃 = ∫ |𝑒|

𝑢

0

𝑑𝑙 (3.8)

onde:

dl é o comprimento infinitesimal no perímetro crítico u;

e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento

fletor MSd.

3.1.3. Pilares de borda, sem momento no plano paralelo à

borda livre

Para os pilares de borda e de canto, o puncionamento é mais crítico. De modo a

considerar esse efeito, o perímetro crítico é reduzido. Assim, para os casos em que não haja

momento paralelo à borda livre, a tensão de cisalhamento de projeto é definida por:

𝜏𝑆𝑑 =

𝐹𝑆𝑑

𝑢∗ ∙ 𝑑+

𝐾1 ∙ 𝑀𝑆𝑑1

𝑊𝑃1 ∙ 𝑑

(3.9)

sendo:

𝑀𝑆𝑑1 = (𝑀𝑆𝑑 − 𝑀𝑆𝑑∗) ≥ 0 (3.10)

onde:

𝑢∗ é o perímetro crítico reduzido;

𝑀𝑆𝑑 é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido

u* em relação ao centro do pilar;

WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o

perímetro u.

27

O coeficiente K1 assume os valores de K dados na Tabela 1. A Figura 29 ilustra a

redução do perímetro u para o perímetro reduzido 𝑢∗ em pilares de borda.

Figura 29 – Perímetro crítico em pilares de borda (NBR6118, 2014)

3.1.4. Pilares de borda, com momento no plano paralelo à

borda livre

Quando atuam, simultaneamente, momentos nos planos paralelo e perpendicular à

borda livre, a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo deve ser obtida de acordo com a

seguinte expressão:

𝜏𝑆𝑑 =

𝐹𝑆𝑑

𝑢∗ ∙ 𝑑+


𝑊𝑃1 ∙ 𝑑+


𝑊𝑃2 ∙ 𝑑

(3.11)

onde:

MSd1 é o momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre;

MSd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre;

WP1 é o módulo de resistência plástica na direção perpendicular à borda livre, calculado

para o perímetro u;

WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado para o

perímetro u.

O coeficiente K, assume os valores fornecidos na Tabela 1, substituindo-se a razão de

entrada 𝐶1

𝐶2⁄ por

𝐶22 𝐶1

⁄ , com C1 e C2 definidos conforme a Figura 29.

28

3.1.5. Pilares de canto

A verificação à punção de pilares de canto é feita de forma semelhante aos pilares de

borda, quando não há ação de momento no plano paralelo à borda. Como o pilar de canto

apresenta duas bordas livres, deve-se fazer a verificação separadamente para cada uma delas,

considerando o momento fletor perpendicular à borda livre adotada.

O cálculo segue como o apresentado no item 3.1.3. Na utilização da Tabela 1, tem-se

a relação 𝐶1

𝐶2⁄ , sendo C1 o lado do pilar perpendicular à borda livre adotada e C2 o lado paralelo

à borda considerada. Assim, a fração se inverte no cálculo das duas bordas livres.

O perímetro crítico reduzido u* deve ser considerado conforme indicado na Figura 30.

Figura 30 – Perímetro crítico em pilares de canto (NBR6118, 2014).

3.1.6. Tensão resistente

Nas sessões anteriores, foram definidas as tensões solicitantes de cisalhamento para as

variadas posições relativas dos pilares na laje. De modo a garantir a segurança estrutural, é

preciso verificar se essas tensões solicitantes são menores que a tensão resistente.

a) Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na

superfície crítica C

Na superfície crítica C, é necessário verificar a compressão diagonal do concreto. Esta

verificação deve ser realizada em lajes submetidas à punção, com ou sem a utilização de

armadura, tal que:

𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 𝛼𝑣 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (3.12)

29

onde:

αv = (1 – fck/250), com fck em megapascal;

𝜏𝑆𝑑 é calculado como na Eq. (3.2), substituindo u por u0 (perímetro do contorno C).

A NBR6118 (2014) permite ainda que o valor resistente 𝜏𝑅𝑑2 seja ampliado em 20%

em pilares internos, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50% e não

existem aberturas nas redondezas do pilar. Esta ampliação é possível devido ao estado múltiplo

de tensões.

Se a verificação no contorno C não for atendida, pode-se aumentar a espessura da laje

na região com o auxílio de capitéis, aumentar as dimensões do pilar ou ainda aumentar o fck.

b) Verificação da tensão resistente na superfície C’ em elementos estruturais

ou trechos sem armadura de punção

Na superfície crítica C’ de elementos estruturais ou trechos sem armadura de punção

deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à tração diagonal do concreto

de acordo com a equação:

𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑1 = 0,13 (1 + √20

𝑑⁄ ) ∙ (100 𝜌 . 𝑓𝑐𝑘)1

3⁄ + 0,10 𝜎𝑐𝑝 (3.13)

Os parâmetros 𝜌 e d são descritos por:

𝜌 = √(𝜌𝑥 ∙ 𝜌𝑦)

(3.14)

𝑑 =

𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

2

(3.15)

onde:

𝜎𝑐𝑝 é a tensão normal no concreto devida à protensão;

d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’ da área de aplicação da força (em

centímetros);

ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente (a armadura não aderente deve ser

desprezada);

ρx e ρy são as taxas de armadura de flexão nas duas direções ortogonais.

30

Para o cálculo das taxas de armadura de flexão, 𝜌𝑥 𝑒 𝜌𝑦, deve ser considerada a

armadura existente na faixa de largura igual à dimensão ou área carregada do pilar, somadas a

uma distância 3d para cada um dos lados. Já no caso de pilar próximo de borda, prevalece a

distância até a borda, quando esta for menor que 3d.

Na existência de capitel, esta verificação deve ser realizada nos contornos críticos C1’

e C2’.

c) Verificação da tensão resistente na superfície C’com armadura de punção

Nesse caso, a verificação na superfície crítica C’ deve ser feita da seguinte maneira:

𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑3 = 0,10 (1 + √20𝑑⁄ ) (100 𝜌 ∙ 𝑓𝑐𝑘)

13⁄ + 0,10 𝜎𝑐𝑝 + 1,5

𝑑

𝑠𝑟 𝐴𝑠𝑤 ∙𝑓𝑦𝑤𝑑 ∙sen 𝛼

𝑢 ∙ 𝑑

(3.16)

onde:

sr é o espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, não maior que 0,75d;

Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo a C’;

α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;

fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para

conectores ou 250MPa para estribos de aço CA-50 ou CA-60.

A NBR6118 (2014) especifica que, no caso de lajes com espessura maior que 15cm,

os valores de fywd podem ser aumentados. Para lajes com espessura até 15cm, é considerado o

valor de 250 MPa e, para lajes com espessura maior que 35cm, é considerado o valor de

435MPa. Para quaisquer valores entre 15cm e 35cm, deve ser feita interpolação linear.

A armadura determinada deve conter três ou mais linhas de conectores tipo pino com

extremidade alargada, dispostas radialmente a partir do perímetro do pilar. Cada extremidade

deve estar ancorada fora do plano da armadura de flexão correspondente.

Caso a vericação no contorno C’ não seja atendida, pode-se aumentar a taxa de

armadura de flexão da laje na região; aumentar o diâmetro dos pinos; aumentar o número de

conectores por perímetro paralelo ao contorno C’ ou diminuir o espaçamento entre estes

contornos.

31

3.1.7. Definição da Superfície Crítica C”

Quando for necessária a utilização de armadura transversal de punção, esta deve ser

distribuída em contornos paralelos à superfície crítica C’ até que, em um contorno C” afastado

2d do último contorno de armadura, a armadura não seja mais necessária (𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏𝑅𝑑1), sendo

𝜏𝑅𝑑1 obtido pela conforme Eq. (3.13). A norma sugere uma distribuição de armadura de punção

conforme mostra a Figura 31.

Figura 31 - Disposição da armadura de punção (NBR6118, 2014)

Para os pilares de borda e de canto, o Ibracon (2004 apud Longo, 2017) recomenda

distribuir os conectores além do perímetro crítico reduzido, embora essa área extra de aço não

possa ser considerada na verificação, como mostra a Figura 32.

Figura 32 - Distribuição da armadura em pilar de borda (Longo, 2017).

Como a superfície C’’ depende da disposição da armadura de punção, pode-se

aumentar o número de linhas de conectores para aumentar o contorno C’’.

A Figura 33 apresenta a disposição da armadura transversal na ligação laje-pilar. Deve-

se atentar aos espaçamentos mínimos entre as linhas de conectores e entre o pilar e o início da

disposição da armadura, estabelecidos pela norma brasileira.

32

Figura 33 - Espaçamento entre conectores (NBR6118, 2014)

Segundo recomendações da NBR6118 (2014), item 20.4, deve-se preferir a armadura

de punção de conectores tipo stud em detrimento à utilização de estribos verticais.

O diâmetro da armadura de estribos, quando empregados, não pode superar ℎ 20⁄ da

laje e deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos.

3.1.8. Armadura de punção obrigatória

Caso a estabilidade global da estrutura relativa à forças horizontais dependa da

resistência à punção da laje, a norma torna obrigatório o uso de armadura mínima de punção,

mesmo que 𝜏𝑆𝑑 < 𝜏𝑅𝑑1. A armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de FSd.

3.1.9. Armadura contra colapso progressivo

Para garantir a dutilidade local e proteger a estrutura contra o colapso progressivo, a

armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C deve ser empregada em todos os pilares

em que há caracterização de puncionamento, conforme ilustra a Figura 34.

Figura 34 – Armadura contra colapso progressivo (NBR6118, 2014).

33

Essa armadura deve estar suficientemente ancorada além do contorno C’ ou C’’, de

um comprimento de ancoragem lb, conforme mostra a Figura 34, e deve ser tal que:

𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠,𝑐𝑐𝑝 ≥ 1,5 ∙ 𝐹𝑆𝑑 (3.17)

onde:

As,ccp é o somatório de todas as áreas das barras inferiores que cruzam cada uma das

faces do pilar

FSd pode ser calculado com 𝛾𝑓 igual a 1,2

A norma, no item 20.3.2.6, prevê ainda que, no caso da utilização de armaduras de

protensão na estrutura, é possível dispensar a armadura passiva contra colapso progressivo,

desde que, em cada direção ortogonal, pelo menos um cabo passe pelo interior da armadura

longitudinal presente na seção transversal dos pilares ou elementos de apoio das lajes lisas.

3.1.10. Informações adicionais

Algumas informações adicionais são necessárias para o completo dimensionamento

da ligação laje-pilar, sendo eles: determinação das excentricidades, perímetros e dos módulos

de resistência plástica para os diferentes perímetros de controle. O Ibracon (2015) apresenta os

cometários e exemplos de aplicação da norma NBR6118:2014, onde são definidas expressões

para esses parâmetros.

Pilar interno:

Para pilares internos, os perímetros críticos podem ser definidos conforme apresenta a

Tabela 2.

Tabela 2 - Perímetros críticos para pilar interno (Ibracon, 2015).

Contorno crítico Perímetro crítico u

C 𝑢 = 2 ∙ (𝑐1 + 𝑐2)

C’ 𝑢 = 2 ∙ (𝑐1 + 𝑐2) + 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑

C’’ 𝑢 = 2 ∙ (𝑐1 + 𝑐2) + 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑝

34

Na expressão do perímetro crítico C’’, admite-se distribuição radial das armaduras de

punção em relação aos cantos do pilar, tal como mostra a , e p é a distância entre a face do pilar

e os conectores mais distantes da face.

Figura 35 - Distribuição radial das armaduras, para pilar interno (Ibracon, 2015).

Os módulos de resistência plásticos podem ser definidos como mostra a Tabela 3.

Tabela 3 - Determinação do módulo de resistência plástico (Ibracon, 2015).

Contorno crítico Wp

C Não se considera a influência do momento fletor neste perímetro

C’ 𝑊𝑝 =

𝐶12

2+ 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑑 + 16𝑑2 + 2𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1

C’’ 𝑊𝑝1 = 𝑊𝑝2 =

𝐶12

2+ 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑑 + 16𝑑2 + 2𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1

+ 2𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1 + 2 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑝 + 16 ∙ 𝑑 ∙ 𝑝 + 4 ∙ 𝑝2 + 𝜋

∙ 𝐶1 ∙ 𝑝

Para a determinação do módulo de resistência plástico no perímetro C’’ também

considera-se distribuição radial de armaduras, conforme mostra a Figura 35.

Pilar de borda:

As formulações apresentadas para o perímetro crítico C’’ dependem da distribuição da

armadura de punção, adotada como radial, conforme a Figura 36.

Figura 36 - Distribuição das armaduras para pilar de borda (Ibracon, 2015).

35

A Tabela 4 apresenta os perímetros críticos para pilares de borda.

Tabela 4 - Perímetros críticos para pilar de borda (Ibracon, 2015).

Contorno crítico Perímetro crítico u

C 𝑢∗ = 2 ∙ 𝑎 + 𝑐2

C’ 𝑢∗ = 2 ∙ 𝑎 + 𝑐2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑

C’’ 𝑢∗ = 2 ∙ 𝑎 + 𝑐2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 + 𝜋 ∙ 𝑝

O perímetro crítico reduzido para o pilar de borda apresenta uma excentricidade em

relação ao eixo do pilar. Estas excentricidades são apresentadas na Tabela 5.

Tabela 5 - Excentricidades das superfícies crítcas do pilar de borda (Ibracon, 2015)

Contorn

o crítico

𝑒∗


C’

𝑒∗ = 𝐶1 ∙ 𝑎 − 𝑎2 +

𝐶1 ∙ 𝐶2

2 + 2 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑑 + 8𝑑2 + 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1

2 ∙ 𝑎 + 𝐶2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑

C’’ 𝑒∗

= 𝐶1 ∙ 𝑎 − 𝑎2 +

𝐶1 ∙ 𝐶22

+ 2 ∙ 𝐶2 ∙ 𝑑 + 8𝑑2 + 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1 + 𝐶2. 𝑝 + 8. 𝑑. 𝑝 +𝜋. 𝑝. 𝐶1

2+ 2𝑝²

2 . 𝑎 + 𝐶2 + 2. 𝜋 . 𝑑 + 𝜋. 𝑝

Segundo o Ibracon (2015), os módulos de resistência plástica na direção perpendicular

à borda livre, Wp1, nos contornos críticos C’ e C’’do pilar de borda podem ser calculados em

função da excentricidade do perímetro crítico em relação à borda livre, ec, como apresentado

na Tabela 6.

Tabela 6 - Excentricidade do perímetro crítico em relação à borda livre (Ibracon, 2015).

Contorno crítico ec


C’ 𝑒𝑐′ =

𝐶12 + 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 2 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1 + 8 ∙ 𝑑²

2 ∙ 𝐶1 + 𝐶2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑

C’’

𝑒𝑐′′ =𝐶1

2 + 𝜋 ∙ (𝑝 + 2𝑑) ∙ [𝐶1 +2 ∙ (𝑝 + 2𝑑)

𝜋 ] + 𝐶2 ∙ (𝐶1 + 𝑝 + 2𝑑)

2 ∙ 𝐶1 + 𝐶2 + 𝜋 ∙ (𝑝 + 2𝑑)

36

Os módulos de resistência plástica na direção perpendicular à borda livre, Wp1, são

calculados como mostra a Tabela 7.

Tabela 7 - Wp1 para pilares de borda (Ibracon, 2015).

Contorno

crítico

Wp1


C’ Se 𝑒𝑐′ ≤ 𝐶1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑊𝑝1 = 2 ∙ 𝑒𝑐′2

Se 𝐶1 < 𝑒𝑐′ ≤ 𝐶1 + 4𝑑𝜋⁄ , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:

𝑊𝑝1 = 2 ∙ 𝐶1 ∙ (𝑒𝑐′ −𝐶1

2) + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑 (𝐶1 +

4𝑑

𝜋− 𝑒𝑐′) + 𝐶2. (𝐶1 + 2𝑑 − 𝑒𝑐′)

Se 𝑒𝑐′ > 𝐶1 + 4𝑑𝜋⁄ , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:

𝑊𝑝1 = 2 ∙ 𝐶1 ∙ (𝑒𝑐′ −𝐶1

2) + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑑. (𝑒𝑐′ − 𝐶1 −

4𝑑

𝜋) + 𝐶2. (𝐶1 + 2𝑑 − 𝑒𝑐′)

C’’ Se 𝑒𝑐′′ ≤ 𝐶1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑊𝑝1 = 2. 𝑒𝑐′′2

Se 𝐶1 < 𝑒𝑐′′ ≤ 2.(𝑝 + 2𝑑)

𝜋⁄ , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:

𝑊𝑝1 = 2 ∙ 𝐶1 ∙ (𝑒𝑐′′ −𝐶1

2) + 𝜋 ∙ (𝑝 + 2𝑑) ∙ (𝐶1 +

2. (𝑝 + 2𝑑)

𝜋− 𝑒𝑐′′) + 𝐶2

∙ (𝐶1 + 𝑝 + 2𝑑 − 𝑒𝑐′′)

Se 𝑒𝑐′′ > 2.(𝑝 + 2𝑑)

𝜋⁄ , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:

𝑊𝑝1 = 2. 𝐶1 ∙ (𝑒𝑐′′ −𝐶1

2) + 𝜋 ∙ (𝑝 + 2𝑑) ∙ (𝑒𝑐′′ − 𝐶1 −

2 ∙ (𝑝 + 2𝑑)

𝜋) + 𝐶2

∙ (𝐶1 + 𝑝 + 2𝑑 − 𝑒𝑐′′)

Os módulos de resistência plástica na direção paralela à borda livre, Wp2, são definidos

na Tabela 8.

Tabela 8 - Wp2 para pilares de borda (Ibracon, 2015)

Contorno crítico Wp2


C’ 𝑊𝑝2 =

𝐶22

4+ 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4 ∙ 𝐶1 ∙ 𝑑 + 8𝑑2 + 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶2

C’’ 𝑊𝑝2 =

𝐶22

4+ 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4 ∙ 𝐶1 ∙ 𝑑 + 8𝑑2 + 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1 + 2𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶2

+ 2 ∙ 𝐶1 ∙ 𝑝 + 8 ∙ 𝑑 ∙ 𝑝 +𝜋 ∙ 𝑝 ∙ 𝐶2

2+ 2𝑝²

37

Definições similares para o pilar de canto podem ser encontradas no manual

“Comentários e Exemplos de Aplicação da ABNT NBR6118:2014” publicado pelo Ibracon

(2015).

3.2. Norma Americana - ACI318

Assim como a NBR6118 (ABNT, 2014), a norma americana propõe superfícies

críticas de controle e os locais de avaliação da segurança da ligação laje-pilar em relação à

punção. As superfícies críticas não representam o local de ruptura por punção, mas, sim, um

local de referência de análise.

Duas superfícies críticas devem ser verificadas, a primeira localizada a 𝑑 2⁄ da face do

pilar, onde d é a altura útil da laje, conforme mostra a Figura 37. Esta região também pode ser

definida como a área de concentração de cargas e de variações de espessura da laje, como bordas

de capitéis. A segunda superfície de controle fica localizada a 𝑑2⁄ do último contorno de

armadura, quando esta é necessária.

Figura 37 - Seção crítica (ACI421, 2008).

O perímetro crítico 𝑏0 possui lados paralelos ao contorno dos pilares, se forem

localizados no interior das lajes. No caso de aberturas na laje, distantes em até 10 vezes a

espessura da laje em relação à face do pilar, o perímetro crítico efetivo para a análise de punção

deve ser considerado como o perímetro reduzido 𝑏0∗. Neste novo contorno, desconta-se o trecho

delimitado por retas que se projetam do centro geométrico do pilar à abertura em questão em

lados opostos, conforme mostra a Figura 38. Para pilares de borda, deve-se desconsiderar os

trechos externos.

38

Figura 38 – Perímetro reduzido 𝒃𝟎∗ (ACI, 2014 - modificado).

Nos perímetros 𝑏0 𝑜𝑢 𝑏0∗, faz-se uma comparação entre a tensão solicitante e a

resistente, para garantir que a primeira seja sempre menor que a segunda. Caso a tensão

solicitante seja maior, produz-se um aumento na tensão resistente com o emprego de armaduras

de punção, por exemplo.

3.2.1 Tensões resistentes

Em lajes com armaduras de punção, a tensão resistente é devida ao concreto e ao aço

da armadura. A verificação da punção pode ser satisfeita com outras soluções alternativas tais

como o aumento da espessura da laje ou mudanças no projeto, diminuindo os vãos livres, de

modo que a tensão solicitante no pilar se torne menor.

a) Tensão resistente no primeiro perímetro crítico, sem armadura de punção

Na ausência de armadura de punção na laje, a tensão resistente é proveniente do

concreto. Esta tensão é definida como o menor entre os valores das tensões resistêntes do

concreto dadas a seguir:

𝜈𝑐 =

1

12( 2 + 4 𝛽⁄ ) √𝑓′

𝑐

(3.19)

𝜈𝑐 =

1

12 (

𝛼𝑠. 𝑑

𝑏0+ 2) √𝑓′

𝑐

(3.20)

𝜈𝑐 =

√𝑓′𝑐

3

(3.21)

onde:

𝜈𝑐 é a tensão resistente do concreto, em MPa;

39

𝛽 é a relação entre a maior e a menor dimensão do pilar, denominados de C1 e C2,

respectivamente;

d é a altura útil da laje no perímetro crítico, em m;

b0 é o perímetro crítico, em m;

αs é uma constante que depende da posição do pilar no pavimento. Define-se como 40

para pilares internos, 30 para pilares de borda e 20 para pilares de canto.

𝑓′𝑐 é a resistência específica cilíndrica do concreto. Este fator difere do comumente

utilizado no Brasil, fck, resistência característica do concreto. A relação entre os dois valores é

apresentada no item 3.4.2 desse trabalho.

Para pilares tipo L, β é a razão entre a maior distância existente dentro da área efetiva

carregada e o maior comprimento perpendicular, bn, a esta distância. A área efetiva carregada

é definida como a área que engloba toda a região carregada que resulte em um perímetro

mínimo, conforme ilustra a Figura 39.

Figura 39 - Seção crítica de pilares tipo L. (ACI318, 2014 - modificado).

Obtida a tensão resistente do concreto, 𝜈𝑐, pode-se realizar a verificação da ligação,

onde ∅ é o coeficiente de minoração da resistência que, para cisalhamento, apresenta valor igual

a 0,75, conforme segue:

𝜈𝑢 ≤ ∅ ∙ 𝜈𝑐 (3.22)

b) Tensão resistente no primeiro perímetro crítico, com armadura de punção

A tensão resistente total é considerada como a soma das parcelas de resistências ao

cisalhamento do concreto e da armadura, expressas por:

40

𝜈𝑛 = 𝜈𝑐 + 𝜈𝑠 ≤ 0,5 √𝑓′𝑐 (3.23)

𝜈𝑐 ≤ 0,25 √𝑓′𝑐 (3.24)

𝜈𝑠 = 𝐴𝑣

𝑓𝑦𝑡 (sin 𝛼 + cos 𝛼)

𝑠 ∙ 𝑏0

(3.25)

onde:

𝜈𝑠 é a tensão resistente relativa ao aço da armadura;

Av é a área da armadura transversal da laje, em cm²;

fyt é a tensão de escoamento da armadura transversal, não superior a 420MPa;

𝛼 é o ângulo de inclinação da armadura de punção em relação ao plano da laje;

s é o espaçamento da armadura de punção, em mm.

A armadura de punção deve ser estendida em contornos paralelos ao pilar até que a

tensão de cisalhamento solicitante, νu, não exceda a tensão resistente do concreto, νc.

No item 22.6.8.3 da norma, exige-se, quando opta-se pelo uso de Studs, que a razão da

armadura pelo espaçamento cumpra um limite mínimo, como segue:

𝐴𝑣

𝑠≥ 0,17 ∙ √𝑓𝑐

′ ∙ 𝑏0

𝑓𝑦𝑡

(3.26)

Obtida a tensão total resistente, 𝜈𝑐, pode-se realizar a verificação da ligação, conforme

segue:

𝜈𝑢 ≤ ∅ . 𝜈𝑛 (3.27)

c) Tensão resistente no segundo perímetro crítico

A tensão resistente a ser considerada no segundo perímetro crítico é dada por:

𝜈𝑐 ≤√𝑓𝑐

′

6

(3.28)

A verificação a ser realizada é conforme segue:

𝜈𝑢 ≤ ∅ ∙ 𝜈𝑐 (3.29)

41

3.2.2 Tensão solicitante no perímetro efetivo 𝑏0

A tensão cisalhante atuante nas seções críticas é definida pelo esforço cortante

transmitido diretamente pelo pilar ou carga concentrada à laje somado à parcela do momento

fletor transferido à ligação laje-pilar por cisalhamento. Esta tensão é suposta variando

linearmente, conforme mostra a Figura 40. Para o cálculo desta tensão, a ACI318:2014 define:

𝜈𝑢(𝐴𝐵) = 𝜈𝑢𝑔 +

𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑢 ∙ 𝑐𝐴𝐵

𝐽𝑐

(3.30)

𝜈𝑢(𝐶𝐷) = 𝜈𝑢𝑔 +

𝛾𝑣 ∙ 𝑀𝑢 ∙ 𝑐𝐶𝐷

𝐽𝑐

(3.31)

onde:

𝜈u é a tensão cisalhante majorada pela consideração do momento;

𝜈ug é a parcela da tensão cisalhante devida à força no pilar;

Mu é o momento solicitante de cálculo considerando-se o momento devido à

excentricidade da força cortante;

cAB e cCD são as distâncias do centróide da superfície crítica ou área de concentração de

cargas à borda da seção crítica;

Jc é uma propriedade da seção crítica, análoga ao momento de inércia polar da seção

crítica.

Para os fatores 𝛾𝜈 , no primeiro perímetro de controle e para pilares internos, tem-se:

𝛾𝑣 = 1 −

1

1 + 23 √

𝑙𝑥𝑙𝑦

(3.32)

onde:

lx e ly são os comprimentos dos lados da seção crítica nas direções x e y.

Caso o pilar seja retângular e o momento aplicado seja em torno do eixo y, o fator 𝐽𝑐 pode

ser assumido como:

𝐽𝑐 =

𝑑 ∙ (𝑐1 + 𝑑)3

6+

(𝑐2 + 𝑑) ∙ 𝑑3

6+

𝑑 ∙ (𝑐2 + 𝑑) ∙ (𝑐1 + 𝑑)2

2

(3.32)

42

onde:

c1 e c2 são as dimensões do pilar em questão.

Figura 40 - Influência da posição do pilar na seção crítica (ACI, 2014)

A ACI421 (2008) apresenta comentários sobre o uso de armadura de punção,

empregada na ACI318 (2014). Embora publicada anteriormente à versão atual da ACI318

(2014), não há diferenças entre as duas formulações.

Em seus comentários, a ACI421 (2008) demonstra, de maneira detalhada, como deve

ser o cálculo da tensão solicitante para o caso de pilares com momentos fletores em torno dos

dois eixos principais, Mux e Muy, dada por:

𝜈𝑢 =

𝑉𝑢

𝐴𝑐+

𝛾𝑣𝑥 ∙ 𝑀𝑢𝑥 ∙ 𝑦

𝐽𝑥+

𝛾𝑣𝑦 ∙ 𝑀𝑢𝑦 ∙ 𝑥

𝐽𝑦

(3.34)

Os fatores 𝛾𝑣𝑥 𝑒 𝛾𝑣𝑦 para pilares internos, de borda e de canto, segundo o apêndice B

da ACI421, são assim obtidos:

Pilares internos:

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23 √

𝑙𝑦

𝑙𝑥

(3.35)

43

𝛾𝑣𝑦 = 1 −

1

1 + 23 √

𝑙𝑥

𝑙𝑦

(3.36)

Pilares de borda:

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23 √

𝑙𝑦

𝑙𝑥

(3.37)

𝛾𝑣𝑦 = 1 −

1

1 + 23 √

𝑙𝑥

𝑙𝑦− 0,2

(3.38)

Se 𝑙𝑥

𝑙𝑦 < 0,2, então 𝛾𝑣𝑦 = 0 (3.39)

Pilares de canto:

𝛾𝑣𝑥 = 0,4 (3.40)

𝛾𝑣𝑦 = 1 −

1

1 + 23 √

𝑙𝑥

𝑙𝑦− 0,2

(3.41)

Se 𝑙𝑥

𝑙𝑦 < 0,2, então 𝛾𝑣𝑦 = 0 (3.42)

A ACI421 (2008) define ainda a metodologia de cálculo para área Ac e dos fatores Jx

e Jy, como segue:

𝐴𝑐 = 𝑑 . ∑ 𝑙 (3.43)

𝐽𝑥 = 𝑑 ∙ ∑ [

𝑙

3∙ (𝑦𝑖

2 + 𝑦𝑖 ∙ 𝑦𝑗 + 𝑦𝑗2)]

(3.44)

𝐽𝑦 = 𝑑 ∙ ∑ [

𝑙

3∙ (𝑥𝑖

2 + 𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝑗 + 𝑥𝑗2)]

(3.45)

onde:

x e y são coordenadas das extremidades dos segmentos da seção crítica;

l é o comprimento dos segmentos da seção crítica.

44

3.2.3 Detalhamento das Armaduras

A norma americana recomenda o detalhamento das armaduras segundo dois tipos de

reforço ao cisalhamento para proteção à punção, sendo eles os estribos e conectores tipo Stud.

a) Estribos

São permitidos como reforço os estribos com um ramo, U simples, múltiplo U e

estribos fechados. O uso deste tipo de armadura se torna complicado em lajes com altura útil

menor que 25cm. A localização, o espaçamento e as dobras das armaduras são dados conforme

o item 8.7.6.3 da ACI318:2014, replicados na Tabela 9.

A Figura 41 e a Figura 42 ilustram detalhes de estribos em pilares internos e de borda,

respectivamente. Em todas as situações, o estribo deve ser bem ancorado nas armaduras de

flexão superiores e inferiores da laje.

Tabela 9 – Distribuição dos estribos.

Direção da medida Descrição da medida Espaçamento e

distâncias máx

Perpendicular à face do pilar

Distância da face do pilar à

primeira linha de estribos

𝑑2⁄

Espaçamento entre estribos 𝑑2⁄

Paralela à face do pilar Espaçamento entre pernas

ou estribos verticais 2𝑑

Figura 41 - Detalhe de estribos em pilar interno (ACI318, 2014 – modificado)

45

Figura 42 - Detalhe de estribos em pilares de borda (ACI318, 2014 – modificado).

Nas ligações laje-pilar, onde pode ser desconsiderada a transferência de momentos, a

disposição da armadura deve ser simétrica em relação ao centróide da seção crítica. A armadura

e seus espaçamentos são mostrados na Figura 43, onde db é definido como o diâmetro da barra

utilizada nesta armação. Na Figura 43 (a), têm-se os detalhes para o estribo de um ramo e o

comprimento da dobra de ângulo reto é definido na Tabela 10. Na Figura 43(b), é apresentado

o detalhamento para estribos de múltiplos ramos. A Figura 43(c) mostra o detalhe de um estribo

fechado.

Figura 43 - Detalhes dos estribos (ACI318,2014 – modificado)

46

Tabela 10 - Comprimento do gancho (ACI318, 2014 – modificado)

Tipo de

gancho

Diâmetro

da barra

(mm)

Diâmetro

mínimo da

barra interna

Comprimento

do gancho lext Ilustração

90 graus

10 a 25 6db

12db

32 a 40 8db

b) Conectores Tipo Stud

A norma permite o uso de conectores do tipo Stud, desde que estes sejam instalados

perpendicularmente ao plano da laje.

Os conectores são mais eficientes quando se ancoram, o mais próximo possível, das

faces superior e inferior da laje. Para tal, deve-se descontar os cobrimentos mínimos superior e

inferior e uma tolerância equivalente à metade do diâmetro da barra da armadura de flexão

superior, conforme ilustra a Figura 44. Caso esta altura não seja respeitada, pode ocorrer uma

fissura de cisalhamento devida à punção, sem passar por esta armadura.

Figura 44 - Detalhe da altura do conector (ACI 421, 2008 – modificado).

A localização e o espaçamento dos conectores tipo Stud são dados na Tabela 11. Na Figura

45, encontram-se ilustrados os esquemas de distribuição dos conectores para pilares internos,

de borda e de canto. A Figura 46 apresenta a seção transversal desta ligação laje-pilar.

47

Figura 45 - Detalhamento dos conectores (ACI318, 2014 – modificado).

Figura 46 - Corte transversal dos conectores (ACI318, 2014 – modificado).

48

Tabela 11 – Distribuição de conectores tipo Stud.

Direção da medida Descrição da

medida Condição

Espaçamento e

distância max

Perpendicular à face

do pilar

Dist. da face do pilar à

primeira linha de

conectores

Todos 𝑑2⁄

Espaçamento entre

linhas periféricas de

conectores

Lajes lisas 𝜈𝑢 ≤ ∅6√𝑓′𝑐 3𝑑4⁄

Lajes lisas 𝜈𝑢 > ∅6√𝑓′𝑐 𝑑2⁄

Lajes protendidas 3𝑑4⁄

Paralela à face do pilar

Espaçamento entre

conectores adjacentes

na primeira linha

periférica

Todos 2𝑑

3.3. Norma Europeia - EUROCODE 2

A norma europeia também faz uso das superfícies de controle, assim como as normas

brasileira e americana. O fenômeno da punção é devido à ação de carga concentrada ou à reação

de um carregamento imposto em uma superfície relativamente pequena, com uma área definida

como Aload., ilustrada na Figura 47. A primeira superfície de controle a ser verificada é a

superfície delimitada pelas faces do pilar, a segunda superfície de controle apresenta um

perímetro u1 e uma área de controle Acont, definida a uma distância 2d do pilar, onde d é a altura

útil da laje.

Figura 47 - Definição da superfície de controle (Eurocode 2, 2004 – modificado).

49

Se for necessário o reforço em relação à punção, é preciso, também, verificar o

perímetro além dos previamente definidos, denominado de uout,ef. Este perímetro delimita a área

da laje onde não é mais necessário utilizar a armadura de punção e é definido a uma distância

rcont do centro da área carregada.

As equações da norma são formuladas, principalmente, para o caso de carregamento

distribuído uniforme.

3.3.1. Distribuição do Carregamento e o Perímetro de Controle

Conforme o item 6.4.2 da norma, o perímetro de controle u1 é definido a uma distância

2d da área carregada. Seu traçado deve corresponder a um comprimento que seja mínimo. A

Figura 48 ilustra diferentes seções de pilares com seus respectivos perímetros de controle, u1.

Figura 48 - Perímetros de controle u1. (Eurocode 2, 2004).

A altura útil da laje, d, é calculada a partir das alturas úteis da seção, dx e dy, nas duas

direções ortogonais, conforme explicita a Eq. (3.40).

𝑑 =

𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

2

(3.46)

Em casos especiais, deve-se delimitar a superfície de controle a uma distância menor

que 2d, sempre que a carga concentrada for oposta por uma pressão alta, como, por exemplo, a

tensão do solo na base, ou quando os efeitos do carregamento, ou reação, encontrarem-se a uma

distância menor que 2d do contorno da área carregada.

Para pilares localizados próximos de aberturas na laje, a uma distância inferior a 6d da

face do pilar, sendo d a altura útil da laje, deve-se reduzir o perímetro da superfície de controle.

Para tal, traçam-se duas retas tangentes à abertura, partindo do centro da área carregada. A

fração do perímetro localizada entre estas retas deve ser desconsiderada, conforme mostra a

Figura 49 .

50

Figura 49 - Perímetro de controle reduzido (Eurocode 2, 2004 – modificado).

No caso de pilar localizado na borda, próximo dela ou em cantos de laje, deve-se

considerar o perímetro de controle, conforme ilustra a Figura 50, desde que seja um perímetro

menor do que o apresentado na Figura 48.

Para áreas carregadas situadas próximo da borda ou do canto, a uma distância menor

que a altura útil da laje, d, deve-se adotar uma armadura de reforço na borda.

Figura 50 - Perímetro de controle para pilares de borda e de canto (Eurocode 2, 2004).

Na região da laje sobre capitéis circulares, onde a distância da face do pilar à face do

capitel, lH, seja inferior a duas vezes a altura do capitel, hH, deve-se verificar as tensões

cisalhantes na seção da superfície de controle, conforme ilustra a Figura 51. A distância do

centróide do pilar, até esta seção, é determinada por:

𝑟𝑐𝑜𝑛𝑡 = 2𝑑 + 𝑙𝐻 + 0,5𝑐 (3.47)

onde:

c é o diâmetro do pilar circular.

Figura 51 - Laje com capitel (Eurocode 2, 2004 – modificado).

51

Para pilares retangulares com capitel de mesmo formato, cuja projeção horizontal, lH,

seja menor que duas vezes a sua altura, hH, e de dimensões l1 e l2 definidas conforme as Eq.

(3.48) e (3.49), rcont é a menor distância determinada pelas Eq. (3.50) e (3.51).

𝑙1 = 𝑐1 + 2𝑙𝐻1 (3.48)

𝑙2 = 𝑐2 + 2𝑙𝐻2 (3.49)

𝑟𝑐𝑜𝑛𝑡 = 2𝑑 + 0,56 √𝑙1 ∙ 𝑙2 (3.50)

𝑟𝑐𝑜𝑛𝑡 = 2𝑑 + 0,69 𝑙1 (3.51)

onde:

c1 e c2 são as dimensões do pilar;

lH1 e lH2 são as projeções horizontais do capitel.

Para capitéis em que a projeção horizontal seja maior que duas vezes sua altura, é

preciso analisar seções, tanto no interior do capitel, como na laje, conforme ilustrado na Figura

52. Ao se executar as verificações no interior do capitel, deve-se substituir a altura útil da laje,

d, pela altura útil do capitel, dH.

Para pilares circulares, as distâncias do centróide do pilar às superfícies de controle

interna e externa são definidas por:

𝑟𝑐𝑜𝑛𝑡,𝑒𝑥𝑡 = 𝑙𝐻 + 2𝑑 + 0,5𝑐 (3.52)

𝑟𝑐𝑜𝑛𝑡,𝑖𝑛𝑡 = 2 (ℎ𝐻 + 𝑑) + 0,5𝑐 (3.53)

Figura 52 - Superfícies de controle na cabeça do pilar (Eurocode 2, 2004 – modificado).

52

3.3.2 Tensão solicitante

A tensão máxima de cisalhamento no perímetro de controle, 𝜈𝐸𝑑, deve ser considerada

conforme a Eq (3.54).

𝜈𝐸𝑑 = 𝛽

𝑉𝐸𝑑

𝑢𝑖 ∙ 𝑑

(3.54)

onde:

d é a altura útil da laje;

ui é o perímetro de controle considerado;

𝑉𝐸𝑑 é o valor de cálculo do esforço cisalhante;

Na Eq. (3.54), 𝛽 é o parâmetro que leva em consideração a excentricidade da carga, dado

por:

𝛽 = 1 + 𝐾

𝑀𝐸𝑑

𝑉𝐸𝑑 ∙

𝑢1

𝑊1

(3.55)

onde:

𝑢1 é o perímetro da primeira superfície de controle;

K é o coeficiente que relaciona a razão entre as dimensões c1 e c2 do pilar; o seu valor é

função do momento não equilibrado transmitido por tensões cisalhantes não uniformes e por

flexão e torção, como definido na Tabela 12;

W1 corresponde à distribuição das tensões cisalhantes, devido a um momento não

equilibrado na ligação laje-pilar, conforme ilustra a Figura 53, em função do primeiro

perímetro crítico u1 e é definido pela Eq. (3.56).

𝑊1 = ∫ |𝑒|

𝑢1

0

𝑑𝑙 (3.56)

onde:

dl é o comprimento infinitesimal do perímetro u1;

e é a distância do eixo do pilar até dl.

Para pilares retângulares, W1 é calculado por:

53

𝑊1 =

𝐶12

2⁄ + 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4 𝐶2 ∙ 𝑑 + 16 𝑑2 + 2𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶1

(3.57)

onde:

C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da carga;

C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da carga.

Para pilares com carga centrada, o parâmetro 𝛽 é unitário.

Tabela 12 - Valores de K (Eurocode2, 2004 – modificado).

Pilares retangulares

𝐶1 𝐶2⁄ ≤ 0,5 1,0 2,0 ≥ 3,0

K 0,45 0,60 0,70 0,80

Figura 53 - Distribuição das tensões cisalhantes (Eurocode 2, 2004).

Para pilares circulares internos, 𝛽 pode ser definido de maneira simplificada pela Eq.

(3.58), onde D é o diâmetro do pilar, tal que:

𝛽 = 1 + 0,6 𝜋 𝑒

𝐷 + 4𝑑

(3.58)

Para pilares retangulares internos com carga excêntrica aos dois eixos do pilar, pode-

se utilizar a Eq. (3.59) aproximada para o cálculo de 𝛽.

𝛽 = 1 + 1,8 √(𝑒𝑦

𝑏𝑧)

2

+ (𝑒𝑧

𝑏𝑦)

2

(3.59)

onde:

ey e ez são as excentricidades 𝑀𝐸𝑑

𝑉𝐸𝑑⁄ nos eixos y e z, respectivamente. A excentricidade

ey resulta de um momento em torno do eixo z e ez de um momento em torno do eixo y;

by e bz são as dimensões do perímetro de controle, ilustrados na Figura 48.

54

Em pilares de borda e de canto, com excentricidade da carga na direção perpendicular

à borda da laje (resultante de um momento em torno do eixo paralelo a esta borda), orientada

para o interior da laje e sem excentricidade paralela à borda, a Eq. (3.49) ainda é válida. A

tensão de cisalhamento pode ser considerada uniformemente distribuída ao longo do primeiro

perímetro de controle reduzido 𝑢1∗.

A Figura 54 ilustra o primeiro perímetro de controle reduzido em um pilar de borda e

em um pilar de canto.

Figura 54 - Perímetro reduzido 𝒖𝟏∗ (Eurocode 2, 2004 – modificado).

Nos pilares de borda, existindo excentricidade da carga atuante em ambas as direções

ortogonais, 𝛽 pode ser determinado pela Eq. (3.60).

𝛽 = 𝑢1

𝑢1∗ + 𝐾 ∙

𝑢1

𝑊1 ∙ 𝑒𝑝𝑎𝑟

(3.61)

onde:

K é o coeficiente obtido pela Tabela 12, substituindo-se a relação 𝐶1

𝐶2⁄ pela relação

𝐶12𝐶2

⁄ ;

epar é a excentricidade paralela à borda da laje, resultante de um momento em torno de

um eixo perpendicular à borda da laje;

W1 é calculado para o primeiro perímetro de controle u1*.

Para um pilar retangular, conforme mostrado na Figura 54(a), tem-se W1 igual a:

𝑊1 =

𝐶22

4+ 𝐶1 ∙ 𝐶2 + 4𝐶1 ∙ 𝑑 + 8𝑑2 + 𝜋 ∙ 𝑑 ∙ 𝐶2

(3.62)

55

Caso a excentricidade da carga na direção perpendicular ao bordo da laje não esteja

voltada para o seu interior, aplica-se a (Eq. 3.41) para o cálculo do parâmetro β.

Para os pilares de canto, quando a excentricidade não é voltada para o interior da laje,

pode-se assumir que a força de punção é uniformemente distribuída ao longo do perímetro de

controle reduzido 𝑢1∗, mostrado na Figura 54(b). O fator 𝛽 pode ser definido de acordo com a

Eq. (3.56). Quando a excentricidade é voltada para o interior da laje, a Eq. (3.49) é válida.

𝛽 = 𝑢1

𝑢1∗

(3.63)

Em estruturas em que a estabilidade lateral não depende de pórticos formados entre

lajes e pilares e os vãos livres adjacentes não variem em mais de 25%, a norma permite que se

usem valores aproximados de 𝛽. Os valores recomendados são especificados na Figura 55.

Figura 55 - Valores recomendados de 𝜷 (Eurocode 2, 2004 – modificado).

3.3.3. Tensão resistente

Conforme o item 6.4.3 da norma, devem ser feitas verificações no contorno do pilar e

no perímetro de controle u1, descrito no item 3.3.1. Se houver armadura de reforço para resistir

à punção, deve-se ainda verificar uma terceira superfície, uout,ef, onde o reforço não é mais

necessário, conforme mostra a Figura 56.

56

Figura 56 – Perímetros uout, e uout,ef (Eurocode2, 2004 – modificado).

Definem-se as tensões resistentes à punção como se segue:

𝜈𝑅𝑑,𝑐 é a tensão de cisalhamento resistente à punção, sem armadura de reforço ao longo

da superfície de controle considerada;

𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠 é a tensão de cisalhamento resistente à punção, com armadura de reforço ao

longo da superfície de controle considerada;

𝜈𝑅𝑑,𝑚á𝑥 é a tensão de cisalhamento resistente máxima à punção ao longo da superfície

de controle considerada.

No contorno do pilar estudado, ou no perímetro da área carregada, a tensão de

cisalhamento solicitante deve ser inferior à tensão de cisalhamento máxima, conforme expressa

a Eq. (3.64). Para que não haja necessidade de reforço de punção, deve ser verfificada a Eq.

(3.65).

𝜈𝐸𝑑 < 𝜈𝑅𝑑,𝑚á𝑥 = 0,5 ∙ [0,6 ∙ (1 −

𝑓𝑐𝑘

250)] ∙ 𝑓𝑐𝑑

(3.64)

𝜈𝐸𝑑 < 𝜈𝑅𝑑,𝑐 (3.65)

3.3.4. Tensão resistente sem armadura de punção

A tensão cisalhante resistente, 𝜈𝑅𝑑,𝑐, em lajes sem armadura de punção é expressa pela

Eq. (3.66), com fck em MPa. Esta tensão deve ser verificada na primeira superfície de controle

do pilar ou área carregada, tal que:

𝜈𝑅𝑑,𝑐 = 𝐶𝑅𝑑,𝑐 ∙ 𝑘 (100 ∙ 𝜌1 ∙ 𝑓𝑐𝑘)1

3⁄ + 𝑘1 ∙ 𝜎𝑐𝑝 ≥ 𝜈𝑚𝑖𝑛 + 𝑘1 ∙ 𝜎𝑐𝑝 (3.66)

onde:

57

𝐶𝑅𝑑,𝑐 = 0,18𝛾𝑐

⁄ (3.67)

𝑘1 = 0,1 (3.68)

𝜈𝑚í𝑛 = 0,035 ∙ 𝑘

32⁄ ∙ 𝑓𝑐𝑘

12⁄ (fck em MPa)

(3.69)

Tem-se ainda:

𝑘 = 1 + √200

𝑑 ≤ 2,0 ; com 𝑑 em mm

(3.70)

𝜌1 = √𝜌𝑙𝑦 + 𝜌𝑙𝑧 ≤ 0,02 (3.71)

𝜌𝑙𝑦 =

𝐴𝑠𝑙,𝑦

𝑏𝑤 ∙ 𝑑

(3.72)

𝜌𝑙𝑧 =

𝐴𝑠𝑙,𝑧

𝑏𝑤 ∙ 𝑑

(3.73)

onde:

𝜌𝑙𝑦 𝑒 𝜌𝑙𝑧 referem-se às taxas de armaduras de tração, Asl,y e Asl,z, nas direções y e z,

respectivamente. Seus valores devem ser calculados como um valor médio, considerando à

largura da faixa da laje, bw, igual a largura do pilar adicionado de 3d para cada lado.

Da Eq. (3.66), tem-se:

𝜎𝑐𝑝 =

𝜎𝑐𝑦 + 𝜎𝑐𝑧

2 (𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎)

(3.74)

onde:

𝜎𝑐𝑦 𝑒 𝜎𝑐𝑧 são as tensões normais do concreto devidas à protensão, nas direções y e z, e

positivas se de compressão, dadas por:

𝜎𝑐𝑦 =

𝑁𝐸𝑑,𝑦

𝐴𝑐𝑦

(3.75)

𝜎𝑐𝑧 =

𝑁𝐸𝑑,𝑧

𝐴𝑐𝑧

(3.76)

onde:

𝑁𝐸𝑑,𝑦 𝑒 𝑁𝐸𝑑,𝑧 são os esforços longitudinais nas faixas de laje para pilares internos, e os

esforços normais longitudinais na seção crítica de controle, para pilares de borda, decorrentes

da protensão;

58

𝐴𝑐 é a área de concreto associada ao esforço NEd.

3.3.4. Tensão resistente com armadura de punção

Em lajes com armadura de punção, a tensão de cisalhamento resistente à punção,

𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠, deve ser calculada com a expressão a seguir:

𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠 = 0,75 𝑉𝑅𝑑,𝑐 + 1,5

𝑑

𝑠𝑟∙ 𝐴𝑠𝑤 ∙ 𝑓𝑦𝑤𝑑,𝑒𝑓 ∙

1

𝑢1 ∙ 𝑑 ∙ sen 𝛼

(3.77)

onde:

Asw é a área de aço em um perímetro de armadura de punção em um contorno em torno

do do pilar (em mm²);

sr é o espaçamento radial entre os perímetros de armadura de punção (em mm);

d é a média das alturas úteis nas direções ortogonais (em mm);

𝛼 é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje;

fywd,ef é a resistência efetiva de projeto da armadura de punção e deve ser calculada por:

. 𝑓𝑦𝑤𝑑,𝑒𝑓 = 250 + 0,25 𝑑 ≤ 𝑓𝑦𝑤𝑑 , (𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎). (3.78)

Caso seja utilizada pelo menos uma linha de barras dobradas, conforme ilustra a Figura

57, a razão 𝑑 𝑠𝑟⁄ a ser utilizada na Eq. (3.58) pode-se assumir o valor de 0,67.

Figura 57 - Utilização de barras dobradas (Eurocode 2, 2014 – modificado).

Na área ao redor do pilar, a resistência à punção, 𝜈𝐸𝑑 , é limitada por:

𝜈𝐸𝑑 =

𝛽 ∙ 𝑉𝐸𝑑

𝑢0 ∙ 𝑑 ≤ 𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 0,5 ∙ 𝜈 ∙ 𝑓𝑐𝑑

(3.79)

59

onde:

β é o fator definido em itens anteriores;

u0 depende da localização do pilar, tal que:

Para pilar interno: u0 = perímetro da superfície de controle do pilar, em mm;

Para pilar de borda: u0 = C2 + 3d ≤ C1 + 2 . C2, em mm;

Para pilar de canto: u0 = 3d ≤ C1 + C2

C1 e C2 são as dimensões do pilar, ilustradas na Figura 48.

Da Eq. (3.79), tem-se ainda:

𝜈 = 0,6 (1 − 𝑓𝑐𝑘

250), com fck em MPa. (3.80)

onde:

ν é o coeficiente de redução da resistência do concreto fendilhado pelo esforço

cisalhante, dado pela Eq. (3.80).

O perímetro de controle a partir do qual não é mais necessário o uso da armadura de

punção, denominado 𝑢𝑜𝑢𝑡 𝑜𝑢 𝑢𝑜𝑢𝑡,𝑒𝑓, (Figura 47), é descrito por:

𝑢𝑜𝑢𝑡,𝑒𝑓 =

𝛽 ∙ 𝑉𝐸𝑑

𝜈𝑅𝑑,𝑐 ∙ 𝑑

(3.81)

A distribuição das armaduras pode se dar radialmente ou em faixa, como ilustrado na

Figura 56. A distância da última linha de conectores ao segundo perímetro de controle não deve

ser superior a kd. Deve-se utilizar, pelo menos, dois perímetros de conectores e o espaçamento

entre eles não pode ser menor que 0,75d, conforme mostra a Figura 59 . O espaçamento entre

conectores não deve ultrapassar 1,5d no primeiro perímetro e 2d para os perímetros mais

externos. O espaçamento entre o contorno do pilar e o primeiro perímetro de conectores também

deve ser maior que 0,3d.

Conforme o item 9.4.3 da norma, caso se utilizem barras dobradas (Figura 58), um

perímetro de conectores pode ser considerado suficiente. O espaçamento dos estribos é indicado

na Figura 59.

60

Figura 58 - Espaçamento de estribos (Eurocode 2, 2004 - modificado).

Figura 59 - Distribuição de barras dobradas (Eurocode 2, 2004)

A área de aço mínima para um conector é definida pela Eq. (3.82).

𝐴𝑆𝑊,𝑚𝑖𝑛 = (1,5 ∙ sin 𝛼 + cos 𝛼)

𝑆𝑟 . 𝑆𝑡≥ 0,08 ∙ √

𝑓𝑐𝑘

𝑓𝑦𝑘

(3.82)

onde:

𝛼 é o ângulo entre a armadura de punção e a armadura principal da laje;

𝑠𝑟 é o espaçamento entre conectores na direção radial;

𝑠𝑡 é o espaçamento dos conectores na direção tangencial;

61

3.4. Análise Comparativa das Normas

As normas diferem em diversos fatores e se assemelham em outros. De modo a

esclarecer estes fatores é realizada uma análise comparativa, ressaltando-se fatores que podem

causar diferenças nos resultados ao se elaborar o dimensionamento da ligação laje-pilar quanto

à punção.

3.4.1. Resistência à compressão do concreto

Para a correta avaliação da punção as normas estudadas, devem-se destacar as

diferenças no método de avaliação da resistência à compressão do concreto, pois o parâmetro

fck (resistência característica cilíndrica do concreto) adotado pela NBR e pelo EUROCODE é

diferente do f’c (resistência específica cilíndrica do concreto) adotado pela ACI318. Esta

diferença pode causar dificuldade na compatibilização do dimensionamento realizado pelas

diferentes normas.

As normas ACI318:2014, NBR6118:2014 e EN2:2014 quantificam a resistência à

compressão do concreto de acordo com testes realizados em corpos de prova cilíndricos, porém,

segundo SOUZA e BITTENCOURT (2003), a difereça encontra-se na quantificação da curva

de Gauss e a consequente interpretação de média e desvio padrão. As normas brasileiras e

europeia determinam o valor da resistência característica, fck, como aquele em que há apenas

5% de probabilidade de ocorrer valores menores que este adotado. Já a norma americana

determina o valor da resistência como aquele em que há apenas 1% de probabilidade de que a

média de três testes consecutivos seja inferior ao valor adotado.

SOUZA e BITTENCOURT (2003) realizaram um estudo, no qual foi possível

quantificar a diferença entre as considerações das normas a partir da compatibilização dos

valores de fck e 𝑓𝑐′ como mostra a Eq.(3.84). Esta equação pode ser utilizada sempre que a

produção do concreto obedecer altos padrões de qualidade, isto é, quando a produção for em

massa, com controle rigoroso de umidade dos agregados e com mão de obra especializada.

𝑓𝑐′ = 𝑓𝑐𝑘 − 2,04 (𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎) (3.84)

62

3.4.2. Superfícies Críticas

Conforme apresentado, as superfícies críticas não correspondem às supefícies de

ruptura, uma vez que servem apenas como referências para a verificação do carregamento

cisalhamento imposto pelo atuante na estrutura. Quanto ao posicionamento destas superfícies,

as três normas se diferenciam, conforme mostra a Tabela 13, onde d é a altura útil da laje.

Tabela 13 - Comparação da posição das superfícies críticas

NORMA

QUANT.

DE

SEÇÕES

SEÇÃO 1 SEÇÃO 2 SEÇÃO 3

ACI318 2 ou 3 -

A uma distância 𝑑 2⁄ da face

do pilar ou mudança de

espessura da laje

Caso haja armadura de

punção, a uma

distância 𝑑 2⁄ desta

armadura

NBR6118 2 ou 3 No perímetro do

pilar

A uma distância 2d da face da

área efetiva de carga


punção, a uma

distância 2d desta

armadura

EUROCODE2 2 ou 3 No perímetro do

pilar

A uma distância 2d da face da

área efetiva de carga


punção, a uma

distância kd desta

armadura

Pode-se observar da Tabela 13 que a NBR6118 e o EUROCODE2 apresentam

localizações semelhantes para as seções críticas. Já a ACI318 indica uma grande diferença nas

distâncias adotadas. Compreende-se que uma distância maior pode proporcionar uma maior

uniformidade da tensão de cisalhamento. CORDOVIL e FUSCO (1995) afirmam que a

distância ideal do segundo perímetro de controle seria de 1,25d da face do pilar, pois nesta

posição as tensões são de maior intensidade.

3.4.3. Detalhamento

Quanto ao detalhamento da armadura de punção, as três normas apresentam

diferenças. A distância máxima entre a face do pilar e a primeira linha da armadura de punção

é igual a 0,5d, segundo as normas brasileira NBR6118 (2014) e americana ACI318 (2014).

Porém, na norma europeia EN2 (2004), esta distância é de 0,3d, onde d é a altura útil da laje.

63

Além disso, a distância máxima entre linhas da armadura de punção é de 0,75d, de

acordo com as normas NBR6118:2014 e EN:2004, enquanto a ACI318 (2014) indica 0,5d.

Quanto ao espaçamento entre pinos na mesma linha de armadura, as três normas indicam a

distância de 2d.

64

4. ESTUDO DE CASO

Para aplicar as metodologias de cálculo das três normas apresentadas no capítulo 3,

adotou-se um projeto de edifício residencial com estrutura de concreto armado. Tal edifício foi

escolhido por se tratar de um caso real de lajes lisas, aproximando a execução desta análise a

uma problemática típica.

O desenho de formas do pavimento tipo é apresentado na Figura 60. A laje do

pavimento é maciça, com espessura de 22cm e possui varandas rebaixadas com espessura de

17cm. Há, ainda, aberturas na região central, onde ficam localizadas a caixa de escadas e

elevadores. O concreto utilizado apresenta resistência à compressão característica, fck, de

35MPa.

Figura 60 – Planta de formas do pavimento tipo.

4.1. Modelo Computacional

Para o desenvolvimento do estudo de caso, foi elaborado um modelo tridimensional

em elementos finitos, utilizando o programa de análise estrutural SAP2000, versão 18.0. No

65

modelo, as vigas e pilares são representados por elementos de barra e a laje é representada por

elementos de casca. Os apoios da estrutura impedem a translação em todas as direções. A

representação da continuidade da estrutura com o pavimento superior é feita por vínculos que

impedem os deslocamentos horizontais, porém permitem que a estrutura se movimente

verticalmente. O modelo discretizado é representado em perspectiva e em planta,

respectivamente, na Figura 61 e na Figura 62 e, em perspectiva extrudada, na Figura 63.

Figura 61 - Modelo computacional em perspectiva.

Figura 62 - Modelo computacional em planta.

66

Figura 63 - Modelo computacional extrudado.

A ligação laje-pilar foi elaborada na forma de “pé-de-galinha”. Busca-se, com isso,

representar mais fielmente a conexão laje-pilar, evitando-se a ligação nodal e,

consequentemente, a concentração de tensões na região do nó que une os elementos estruturais.

Assim, a ligação da estrutura ao ponto de apoio é feita por meio de diagonais rígidas auxiliares,

cujo retângulo circunscrito representa a dimensão da seção transversal do pilar, tal como mostra

a Figura 64. Para atribuir rigidez ao modelo, essas diagonais foram definidas com módulo de

elasticidade secante de 60GPa.

Figura 64 - Representação dos "pés-de-galinha".

Foram aplicados ao modelo computacional os carregamentos de 1,5kN/m² e 1,0kN/m²,

respectivamente, correspondentes às cargas acidental e de revestimento. O peso próprio foi

67

calculado automaticamente pelo programa a partir das propriedades definidas para cada seção.

Considerou-se, também, o peso dos elementos não estruturais, como paredes internas e

externas. Para tal, adicionou-se o carregamento distribuído de 2kN/m², correspondente à

alvenaria interna no pavimento, e o carregamento distribuído linear aplicado à borda da laje,

para representação da alvenaria externa e mureta das varandas, tal como apresentado a seguir:

Borda da laje de 17cm de espessura das varandas:

Alvenaria com 10cm de espessura e 5cm de argamassa de acabamento. Considerando-

se a altura da mureta de 1,10m e o peso específico da alvenaria e da argamassa de

13kN/m³ e 19kN/m³, respectivamente, chega-se a:

(0,10 ∙ 13 + 0,05 ∙ 19) ∙ 1,1 = 2,48 𝑘𝑁/m (4.1)

Este carregamento é monstrado na Figura 65.

Figura 65 - Representação do carregamento de borda das varandas.

Borda da laje de 22cm de espessura:

Alvenaria com 10cm de espessura e 5cm de argamassa de acabamento. Considerando-

se a altura do pé-direito livre de 3,00m e o peso específico da alvenaria e da argamassa

de 13kN/m³ e 19kN/m³, tem-se:

(0,10 ∙ 13 + 0,05 ∙ 19) ∙ 3,0 = 6,75 𝑘𝑁/m (4.2)

68

Este carregamento é monstrado na Figura 66.

Figura 66 - Representação do carregamento de borda da laje.

4.2. Esforços Solicitantes

Por meio da análise estrutural, foram obtidos os esforços solicitantes característicos e

os deslocamentos máximos da estrutura. Para fins de verificação e dimensionamento da

armadura de punção segundo as diversas normas, considerou-se apenas a combinação de ações

proposta pela NBR6118:2014, cujos coeficientes ponderadores das cargas permanentes e

acidentais são iguais a 1,4. Com isso, busca-se uniformizar o esforço de cálculo para que se

tenha uma comparação mais realista entre as respostas das normas em estudo.

A Figura 67 apresenta a combinação de ações no ELU aplicada ao modelo

computacional, segundo a NBR6118:2014.

Figura 67 - Combinações de carregamentos de acordo com a NBR6118 (2014).

69

Após a avaliação do modelo computacional, foram escolhidos os seguintes elementos

para análise da punção, são eles: pilar interno P24 e pilar de borda P6 (Figura 60)

A obtenção dos esforços de projeto para a verificação da punção pode ser feita pelas

solicitações de cálculo na laje, que requer a determinação dos esforços nos elementos de casca,

à esquerda e à direita do pilar, ou pelas solicitações de projeto nos pilares, determinados

diretamente nos elementos de barra que representam o pilar. Isso se deve ao fato de o nó da

ligação laje-pilar se encontrar em equilíbrio estático.

A Figura 68 mostra os valores de cálculo da força axial (568 kN) e do momento fletor

na direção 2, equivalente à direção X vetorial global (125,9 kN.m), no topo do pilar P24, obtidos

do modelo computacional no programa SAP2000. O momento é representado na Figura 69.

Figura 68 - Esforços no topo do pilar P24.

Figura 69 - Representação do momento no pilar P24.

70

A Figura 70 apresenta os valores de cálculo da força axial (368 kN) enquanto a Figura 71

apresenta os momentos fletores nas direções 2 (50,4 kN.m) e 3 (27,2 kN.m), correspondentes

às direções X e Y vetorial global, respectivamente, do pilar de borda P6. Estes momento são

representados na Figura 72.

Figura 70 - Força axial de cálculo no pilar P2P6.

Figura 71 – Momentos fletores no pilar P6.

Figura 72 - Representação dos momentos do pilar P6.

71

Em resumo, as forças axiais e momentos fletores de projeto nos pilares estudados são

apresentados na Tabela 14.

Tabela 14 - Esforços de cálculo nos pilares.

Pilar Posição Força axial

(kN)

Momento fletor

M2

(kN.m)

Momento fletor

M3

(kN.m)

P24 Interno 568 125,9 -

P6 Borda 368 50,4 27,2

4.3. Cobrimento e altura útil

Como a edificação analisada é localizada em ambiente urbano, classifica-se como

classe de agressividade ambiental II, conforme a Tabela 6.1. da NBR 6118 (2014). O

cobrimento nominal da armadura, já considerando a tolerância de 10mm, é definido na Tabela

6.2 dessa norma, e tem valor igual a 25mm. Porém, a norma permite que, para ambientes

internos secos, é possível admitir classe de agressividade mais branda, de modo que o

cobrimento nominal para a laje em questão pode ser admitido com valor igual a 20mm.

A altura útil da laje pode ser estimada a partir das Eq. (4.3) a (4.5), admitindo-se o uso

de barras de flexão de 16mm de diâmetro, tal que:

𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐 − (∅2⁄ ) = 22 − 2 − 0,8 = 19,2 𝑐𝑚 (4.3)

𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 − ∅ = 19 − 1,6 = 17,4 𝑐𝑚 (4.4)

𝑑 =

𝑑𝑥 + 𝑑𝑦

2= 18, 3𝑐𝑚 ≅ 18𝑐𝑚

(4.5)

onde:

h é a altura da laje;

c é o cobrimento estipulado;

∅ é o diâmetro da barra de aço adotada na armadura da laje.

72

4.4. Armadura de flexão

Para fins de avaliação da punção, deve-se conhecer, antecipadamente, a armadura de

flexão na região do contorno crítico do pilar. Com esse propósito, apresenta-se, a seguir, a

determinação da armadura de flexão necessária para atender aos esforços solicitantes na região

do entorno dos pilares em estudo.

Como simplificação, a armadura de flexão necessária é calculada considerando-se

apenas as prescrições normativas da NBR6118 (2014). Busca-se, assim, evitar a influência da

taxa de armadura de flexão na avaliação da resistência à punção segundo as demais normas em

análise.

4.4.1. Armadura negativa

A Figura 73 ilustra os momentos fletores de cálculo na direção horizontal (M11) devidos à

combinação das ações permanentes e acidentais.

Figura 73 - Momentos fletores de cálculo (kN.m/m) na direção horizontal (M11).

O dimensionamento da armadura negativa é realizado para o máximo momento

negativo na região dos pilares P24 e P6. O cálculo da área de aço necessária para suportar esse

esforço é feito de acordo com as equações universais para dimensionamento à flexão, dadas a

seguir:

73

𝑘𝑚𝑑 =

𝑀𝑑

𝑏 . 𝑑2. 𝑓𝑐𝑑

(4.6)

𝑘𝑥 = 1 − √1 −

2 𝑘𝑚𝑑

0,85

0,8

(4.7)

𝑘𝑧 = 1 − 0,4 𝑘𝑥 (4.8)

𝐴𝑠 =

𝑀𝑑

𝑘𝑧 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑑

(4.9)

Nas expressões anteriores, Md é o momento de cálculo, fcd é a resistência à compressão

do concreto de cálculo, b é a largura da laje, d é a altura útil, kmd, kx e kz são parâmetros

adimensionais e As é a armadura de flexão calculada.

Considerando a resistência à compressão do concreto característica, fck, de 35 MPa, a

altura útil d de 18cm e assumindo-se uma faixa de largura b igual a 1m, gera-se a Tabela 15,

onde é apresentada a área de aço por unidade de comprimento.

Tabela 15 - Armadura negativa na direção horizontal.

Região no

entorno do pilar

Md(-)

(kN.m/m) kmd kx kz

As

(cm²/m)

P24 93,0 0,1148 0,1821 0,927 12,82

P6 111,0 0,1370 0,221 0,912 15,55

De modo análogo, apresenta-se na Figura 74 os momentos fletores de cálculo na

direção vertical (M22) devidos aos carregamentos permanente e acidental.

Figura 74 – Momentos fletores de cálculo (kNm/m) na direção vertical (M22).

74

A Tabela 16 resume as áreas de aço por unidade de comprimento.

Tabela 16 - Armadura negativa na direção vertical.

Região no

entorno do pilar

Md(-)

(kN.m/m) kmd kx kz

As

(cm²/m)

P24 136,0 0,1679 0,278 0,889 19,55

P6 52,0 0,0642 0,0983 0,961 6,91

A partir das áreas de aço calculadas, podem-se definir as armaduras negativas da laje

nas regiões dos pilares estudados, nas direções horizontal e vertical, conforme mostra a Tabela

17.

Tabela 17 - Armadura negativa na região dos pilares.

Região no entorno do pilar Armadura direção

horizontal

Armadura direção vertical

P24 ∅16𝑚𝑚 𝑐 12,5𝑐𝑚 ∅16𝑚𝑚 𝑐 10𝑐𝑚

P6 ∅16𝑚𝑚 𝑐 12,5𝑐𝑚 ∅10𝑚𝑚 𝑐 10𝑐𝑚

4.4.2. Armadura positiva

Como a região dos pilares apresenta apenas momentos negativos, a armadura positiva

presente é calculada de acordo com o item 19.5.4 da NBR6118 (2014), que determina a

armadura de flexão inferior necessária para garantir a dutilidade local e a proteção contra o

colapso progressivo, visto que esta é maior que a armadura mínima positiva definida no item

17.3.5.2.1 da mesma norma.

A área de aço da armadura que atravessa as quatro faces da seção dos pilares, 𝐴𝑠,𝑐𝑐𝑝,

deve ser calculada conforme a Eq. (4.10), onde 𝐹𝑆𝑑 é a força axial de projeto atuante no pilar e

𝑓𝑦𝑑 é a resistência à tração de projeto do aço da armadura.

𝐴𝑠,𝑐𝑐𝑝 =

1,5 𝐹𝑆𝑑

𝑓𝑦𝑑

(4.10)

75

Considerando-se as forças axiais de projeto apresentadas na Tabela 14 e o aço CA-50,

cuja resistência à tração característica é igual a 500MPa, calcula-se 𝐴𝑠,𝑐𝑐𝑝, conforme mostra a

Tabela 18.

Tabela 18 - Armadura contra colapso progressivo.

Pilar Posição 𝐹𝑆𝑑 (𝑘𝑁) 𝐴𝑠,𝑐𝑐𝑝 (𝑐𝑚2)

P24 Interno 568 19,60

P6 Borda 368 12,70

A partir das áreas de aço necessárias e das dimensões dos pilares, determina-se a

armadura positiva na região dos pilares, como mostra a Tabela 19.

Tabela 19 - Armadura positiva na região dos pilares.

Região no

entorno do pilar

Dimensões

(cm)

Armadura direção

horizontal

Armadura

direção vertical

Área de aço efetiva

(cm²)

P24 25 x 65 5 ∅ 12,5𝑚𝑚 3 ∅ 12,5𝑚𝑚 19,68

P6 25 x 50 5 ∅ 12,5𝑚𝑚 2 ∅ 12,5𝑚𝑚 14,76

4.4.3. Taxa de armadura de flexão

A taxa de armadura negativa de flexão nas direções ortogonais principais, ρx e ρy, são

calculadas para uma faixa de largura igual à dimensão do pilar acrescida de 3d para cada um

dos lados ou, no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor

que 3d.

Pilar interno P24:

Na região do entorno do pilar P24, há armadura negativa de ∅16𝑚𝑚 𝑐 12,5𝑐𝑚 na

direção horizontal e de ∅16𝑚𝑚 𝑐 10𝑐𝑚 na direção vertical. Considerando-se as dimensões do

pilar de 25cm e 65cm, as larguras das faixas são dadas por:

𝑙𝑥 = 25 + 2 ∙ 3 ∙ 18 = 133𝑐𝑚 (4.11)

𝑙𝑦 = 65 + 2 ∙ 3 ∙ 18 = 173𝑐𝑚 (4.12)

A quantidade de barras nas direções x e y é dada pela razão da largura da faixa pelo

espaçamento das barras. Em favor da segurança, deve-se obter a menor taxa de armadura de

76

flexão e, portanto, a quantidade de barras calculada é arredondada para baixo. Deste modo, a

contribuição da armadura de flexão é minorada, obtendo-se resultados mais conservadores no

cálculo da armadura de punção.

Logo:

𝑞𝑥 =

173

12,5= 13,8 ≅ 13 ∅ 16𝑚𝑚

(4.13)

𝑞𝑥 =

133

10= 13,3 ≅ 13 ∅ 16𝑚𝑚

(4.14)

As taxas de armadura nas duas direções ortogonais, 𝜌𝑥 𝑒 𝜌𝑦, são obtidas conforme as

Eq. (4.15) e (4.16). As alturas úteis nas direções x e y são 19cm e 17cm, respectivamente.

𝜌𝑥 =

13 ∙ 2,01

19 ∙ 173= 0,00795

(4.15)

𝜌𝑦 =

13 ∙ 2,01

17 ∙ 133= 0,01156

(4.16)

A taxa geométrica de armadura de flexão é definida por:

𝜌 = √𝜌𝑥 . 𝜌𝑦 = 0,00959 (4.17)

Pilar de borda:

Na região do entorno do pilar P6, há armadura negativa de ∅16𝑚𝑚 𝑐 12,5𝑐𝑚 na

direção horizontal e de ∅10𝑚𝑚 𝑐 10𝑐𝑚 na direção vertical. Considerando-se as dimensões do

pilar de 25cm e 50cm, as larguras das faixas são dadas por:

𝑙𝑥 = 25 + 2 ∙ 3 ∙ 18 = 133𝑐𝑚 (4.18)

𝑙𝑦 = 50 + 3 ∙ 18 = 104𝑐𝑚 (4.19)

A quantidade de barras nas direções horizontal e vertical é determinada conforme as

Eq. (4.20) e (4.21):

𝑞𝑥 =

104

12,5= 8,3 ≅ 8 ∅ 16𝑚𝑚

(4.20)

𝑞𝑦 =

133

10= 13,3 ≅ 13 ∅ 10𝑚𝑚

(4.21)

Calculam-se as taxas de armadura nas duas direções ortogonais, 𝜌𝑥 𝑒 𝜌𝑦, conforme as

Eq. (4.22) e (4.23), tal que:

77

𝜌𝑥 =

8 . 2,01

19 . 104= 0,00814

(4.22)

𝜌𝑦 =

13 .0,79

17 . 133= 0,00454

(4.23)

A taxa geométrica de armadura de flexão é definida pela Eq. (4.24).

𝜌 = √𝜌𝑥 ∙ 𝜌𝑦 = 0,00608 (4.24)

Apresenta-se, resumidamente, os valores das taxas de armadura geométricas na Tabela

20 para as regiões no entorno dos pilares estudados.

Tabela 20 - Taxas de armadura geométricas.

Região no

entorno do pilar

Taxa de armadura

geométrica (𝜌)

P24 0,00959

P6 0,00608

4.5. NBR6118 (2014)

A partir dos dados obtidos por meio do modelo computacional, é realizada a

verificação à punção segundo a NBR6118 (2014) para dois casos contemplados nessa norma:

pilar interno (P24) e pilar de borda (P6).

4.5.1. Pilar interno, com efeito de momento

A verificação do pilar interno P24 é feita nos contornos críticos C, C’ e C’’, conforme

as prescrições normativas apresentadas no item 3.1 desse trabalho.

Tensão cisalhante no contorno C:

Para este perímetro não se considera a influência do momento fletor, de modo que a

tensão é definida por:

𝑢 = 2 ∙ (0,25 + 0,65) = 1,80 𝑚

(4.25)

78

𝜏𝑆𝑑 =

568

1,80 ∙ 0,18= 1753𝑘𝑁/𝑚²

(4.26)

Tensão cisalhante no contorno C’:

O momento atuante no pilar, definido no item 4.2 desse trabalho, atua na direção eixo

x vetorial, sendo C1 e C2 as dimensões paralela e perpendicular à excentrcidade da força,

adotadas como 0,65 e 0,25, respectivamente.

𝑢 = 2 ∙ (0,25 + 0,65) + 2 ∙ 𝜋 ∙ 2 ∙ 0,18 = 4,06 𝑚 (4.27)

𝐶1

𝐶2=

0,65

0,25= 2,60 → 𝐾 = 0,760 (Tabela 1) (4.28)

𝑊𝑝 =0,65²

2+ 0,25 ∙ 0,65 + 4 ∙ 0,25 ∙ 0,18 + 16 ∙ 0,182 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,18 ∙ 0,65

= 1,807 𝑚²

(4.29)

𝜏𝑆𝑑 =

568

4,06 ∙ 0,18+

0,76 ∙ 125,9

1,807 ∙ 0,18= 1071 𝑘𝑁/𝑚²

(4.30)

Com base no valor da resistência característica, fck, de 35MPa, obtém-se a tensão

resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica C, dada por:

𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ (1 −

35

250) ∙

35

1,4= 5,81 MPa = 5805 𝑘𝑁/𝑚²

(4.31)

Considerando-se a taxa geomátrica de armadura de flexão igual a 0,959% (Tabela 20),

calcula-se a tensão resistente na superfície C’, primeiramente considerando que não há

armadura de punção, tal que:

𝜏𝑅𝑑1 = 0,13 (1 + √20

18) (100 ∙ 0,00959 ∙ 35)

13⁄ = 0,861𝑀𝑃𝑎 = 861

𝑘𝑁

𝑚2

(4.32)

Verificação no contorno C:

79

𝜏𝑆𝑑 = 1753

kN

m2< 𝜏𝑅𝑑2 = 5805

𝑘𝑁

𝑚2

(4.33)

Portanto, não há ruptura por compressão diagonal do concreto na superfície crítica C.

Verificação no contorno C’:

𝜏𝑆𝑑 = 1071

kN

m2> 𝜏𝑅𝑑1 = 861

𝑘𝑁

𝑚2

(4.34)

Logo a tensão solicitante é maior que a tensão resistente da laje. Para aumentar a

resistência da laje, podem ser empregados conectores do tipo stud. O valor de fywd é limitado a

aproximadamente 300MPa, conforme item 19.5.3.3 da NBR6118 (2014).

Para fins de cálculo, admite-se que a primeira linha de conectores está distante 8cm

(< 0,5d) das faces do pilar e a distância entre as linhas de conectores é igual a 9cm (< 0,75d).

A partir da comparação com a tensão solicitante, é possível encontrar a área mínima de aço que,

ao ser implementada, eleva a tensão resistente da laje para o valor adequado, conforme mostra

a Eq. (4.35):

𝐴𝑠𝑤 = [1,071 − 0,10 (1 + √

20

18) (100 ∙ 0,00959 ∙ 35)

13⁄ ] .

9 ∙ 406

1,5 ∙ 300 =

3,32 cm²

(4.35)

Verificação no contorno C’ com armadura de punção:

A tensão resistente no contorno crítico C’, considerando-se a armadura de punção

calculada no item anterior, é definida por:

𝜏𝑅𝑑3 = 0,10 (1 + √20

18) (100 ∙ 0,00959 ∙ 35)

13⁄ + 1,5

3,32 ∙ 300 ∙ 1

9 ∙ 406

= 1,071 𝑀𝑃𝑎 = 1071 𝑘𝑁/𝑚²

(4.36)

Conclui-se que a armadura definida é suficiente para garantir a segurança da estrutura,

tal que:

𝜏𝑆𝑑 = 1071

kN

m2≤ 𝜏𝑅𝑑3 = 1071

𝑘𝑁

𝑚2

(4.37)

80

Tensão cisalhante no contorno C’’:

Admitindo-se a distância da face do pilar ao contorno de conectores mais afastado

igual a 0,17m (2 contornos de conectores), pode-se calcular a tensão solicitante no contorno

C’’, tal que:

𝑢 = 2 ∙ (0,25 + 0,65) + 4𝜋 ∙ 0,18 + 2𝜋 ∙ 0,17 = 5,13 𝑚 (4.38)

𝑊𝑝 =

0,65²

2+ 0,25 ∙ 0,65 + 4 ∙ 0,25 ∙ 0,18 + 16 ∙ 0,182 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,18

∙ 0,65 + 2 ∙ 0,25 ∙ 0,17 + 16 ∙ 0,18 ∙ 0,17 + 4 ∙ 0,172

+ 𝜋 ∙ 0,65 ∙ 0,17 = 2,84 𝑚²

(4.39)

𝜏𝑆𝑑 =

568

5,13 ∙ 0,18+

0.76 ∙ 125,9

2,84 ∙ 0,18= 802 𝑘𝑁/𝑚²

(4.40)

Verificação no contorno C’’:

𝜏𝑆𝑑 = 802

kN

m2≤ 𝜏𝑅𝑑1 = 861

𝑘𝑁

𝑚2

(4.41)

4.5.2. Pilar de borda, com momento paralelo à borda livre

A verificação do pilar de borda P6 é realizada tal como a do pilar interno, nos

perímetros críticos C, C’ e C’’, porém aplicam-se as diferenças prescritas na norma devidas à

posição relativa do pilar na laje.

Tensão cisalhante no contorno C:

𝑎 = 0,5 ∙ 0,50 = 0,250𝑚 < 1,5 ∙ 0,18 = 0,270𝑚 (4.42)

𝑢∗ = 2 ∙ 0,250 + 0,250 = 0,750 𝑚 (4.43)

𝜏𝑆𝑑 =

368,0

0,750 ∙ 0,18= 2726𝑘𝑁/𝑚²

(4.44)

Tensão cisalhante no contorno C’:

𝑢∗ = 2 ∙ 0,250 + 0,25 + 2𝜋 ∙ 0,18 = 1,881 𝑚 (4.45)

Para o cálculo do momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido

u* em relação ao centro do pilar,Msd1, deve-se determinar a excentricidade, e, do perímetro

crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, tal que:

81

𝑒

= (0,50 ∙ 0,25 − 0,252 +

0,25 ∙ 0,502 + 2 ∙ 0,25 ∙ 0,18 + 8 ∙ 0,182 + 𝜋 ∙ 0,18 ∙ 0,50)

2 ∙ 0,25 + 0,25 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,18

= 0,402𝑚

(4.46)

Logo, o momento de cálculo resultante é dado por:

𝑀𝑆𝑑 = 50,4 − 368 ∙ 0,402 = −97,5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 < 0 ∴ 𝑀𝑆𝑑 = 0 (4.47)

Segundo o Ibracon (2014), o módulo de resistência plástica perpendicular à borda

livre, Wp1, para o perímetro C’, depende da excentricidade do perímetro crítico em relação à

borda livre, ec’, tal que:

𝑒𝑐′ =0,502 + 0,25 ∙ 0,50 + 2 ∙ 0,18 ∙ 0,25 + 2𝜋 ∙ 0,18 ∙ 0,50 + 8 ∙ 0,18²

2 ∙ 0,50 + 0,25 + 2𝜋 ∙ 0,18

= 0,542𝑚

(4.48)

Como:

𝐶1 < 𝑒𝑐′ ≤ 0,50 +

4 ∙ 0,18

𝜋= 0,729𝑚

(4.49)

𝑊𝑝1 = 2 ∙ 0,50 ∙ (0,542 −

0,50

2) + 2𝜋 ∙ 0,18

∙ (0,50 + 4 ∙ 0,18

𝜋− 0,542) + 0,25

∙ (0,50 + 2 ∙ 0,18 − 0,542) = 0,583𝑚²

(4.50)

Define-se, ainda, o módulo de resistência plástico na direção paralela à borda livre,

Wp2, e os fatores K1 e K2, tal que:

𝑊𝑝2 =0,252

4+ 0,25 ∙ 0,50 + 4 ∙ 0,50 ∙ 0,18 + 8 ∙ 0,182 + 𝜋 ∙ 0,18 ∙ 0,25

= 0,901𝑚²

(4.51)

𝐶1

𝐶2=

0,50

0,25= 2 → 𝐾1 = 0,70 (Tabela 1)

(4.52)

𝐶2

2 ∙ 𝐶1=

0,25

2 ∙ 0,50= 0,25 → 𝐾2 = 0, 45 (Tabela 1)

(4.53)

A tensão cisalhante no contorno crítico C’ é dada conforme a Eq. (4.54).

82

𝜏𝑆𝑑 = 368

1,881 ∙ 0,18+

0,70 ∙ 0

0,583 ∙ 0,18+

0,45 ∙ 27,2

0,901 ∙ 0,18

= 1162 𝑘𝑁/𝑚²

(4.54)

Verificação no contorno C:

𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ (1 −

35

250) ∙

35

1,4= 5,81 MPa = 5805 𝑘𝑁/𝑚²

(4.55)

𝜏𝑆𝑑 = 2726

kN

m2< 𝜏𝑅𝑑2 = 5805

𝑘𝑁

𝑚2

(4.56)

Portanto, não há ruptura por compressão diagonal do concreto na superfície crítica C.

Verificação no contorno C’:

𝜏𝑅𝑑1 = 0,13 (1 + √20

18) (100 ∙ 0,00608 ∙ 35)

13⁄ = 0,740𝑀𝑃𝑎 = 740

𝑘𝑁

𝑚2

(4.57)

𝜏𝑆𝑑 = 1162

kN

m2> 𝜏𝑅𝑑1 = 740

𝑘𝑁

𝑚2

(4.58)

Sem armadura de punção, a tensão solicitante é maior que a tensão resistente da laje.

Opta-se por utilizar os mesmos conectores tipo stud definidos no item anterior, para o pilar

interno. A partir da comparação com a tensão solicitante, é possível encontrar a área mínima de

aço que, ao ser implementada, eleva a tensão resistente da laje para o valor adequado, dada por:

𝐴𝑠𝑤 = [1,162 − 0,10 (1 + √

20

18) (100 ∙ 0,00608 .∙ 35)

13⁄ ] .

9 ∙ 188,1

1,5 ∙ 300 =

2,23𝑐𝑚²

(4.59)

Verificação no contorno C’ com armadura de punção:

A tensão resistente no contorno crítico C’, considerando-se a armadura de punção

calculada no item anterior, é definida por:

𝜏𝑅𝑑3 = 0,10 (1 + √20

18) (100 ∙ 0,00608 ∙ 35)

13⁄ + 1,5

2,23 ∙ 300 ∙ 1

9 ∙ 188,1= 1,162𝑀𝑃𝑎

= 1162 𝑘𝑁/𝑚²

(4.60)

83

Compara-se a tensão resistente com a solicitante, conforme a Eq. (4.61) e conclui-se

que a armadura definida é suficiente para garantir a segurança da estrutura.

𝜏𝑆𝑑 = 1162

kN

m2= 𝜏𝑅𝑑1 = 1162

𝑘𝑁

𝑚2

(4.61)

Tensão cisalhante no contorno C’’:

Adotando-se a distância da face do pilar ao contorno de conectores mais afastado igual

a 0,35m (4 contornos de conectores), tem-se:

𝑢∗ = 2 ∙ 0,25 + 0,25 + 2𝜋 ∙ 0,18 + 𝜋 ∙ 0,33 = 2,92 𝑚 (4.62)

A excentricidade do perímetro crítico reduzido é dada por:

𝑒∗ = (0,50 ∙ 0,25 − 0,252 +0,50 ∙0,25

2+ 2 ∙ 0,18 ∙ 0,25 + 8 ∙ 0,182 + 𝜋 ∙

0,18 ∙ 0,50 + 0,25 ∙ 0,35 + 8 ∙ 0,18 ∙ 0,35 + 𝜋 ∙0,35 ∙0,50

2+ 2 ∙ 0,352) /

(2 ∙ 0,25 + 0,25 + 2𝜋 ∙ 0,18 + 𝜋 ∙ 0,35) = 0,627 𝑚

(4.63)

𝑀𝑆𝑑 = 50,4 − 368 ∙ 0,627 = −180,3 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 < 0 ∴ 𝑀𝑆𝑑 = 0 (4.64)

O módulo de resistência plástica, 𝑊𝑝1, para o perímetro crítico C’’, depende da

excentricidade, 𝑒𝑐′′, do perímetro crítico em relação à borda livre, tal que:

𝑒𝑐′′ = [0,502 + 𝜋 ∙ (0,35 + 2 ∙ 0,18) ∙ [0,50 + 2 ∙ (0,33+2 ∙ 0,18)

𝜋] + 0,25 ∙ (0,50 +

0,35 + 2 ∙ 0,18)] / [2 ∙ 0,5 + 0,25 + 𝜋 . (0,35 + 2 ∙ 0,18)] = 0,769 𝑚

(4.65)

𝐶1 < 𝑒𝑐′′ ≤ 0,50 + 2 ∙ 0,35 + 2 ∙ 0,18

𝜋= 0,952

(4.66)

Tem-se, então:

𝑊𝑝1 = 2 ∙ 0,50 ∙ (0,769 − 0,50

2) + 𝜋 ∙ (0,35 + 2 ∙ 0,18)

∙ (0,50 + 2 ∙ (0,35 + 2 ∙ 0,18)

𝜋− 0,769) + 0,25

∙ (0,50 + 0,35 + 2 ∙ 0,18 − 0,769) = 1,037𝑚²

(4.67)

84

𝑊𝑝2 =0,252

4+ 0,25 ∙ 0,50 + 4 ∙ 0,50 ∙ 0,18 + 8 ∙ 0,182 + 𝜋 ∙ 0,18 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,50

∙ 0,35 + 8 ∙ 0,18 ∙ 0,35 + 0,5 ∙ 𝜋 ∙ 0,35 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,352 = 2,13𝑚²

(4.68)

Assim, calcula-se a tensão cisalhante no contorno C’’, tal que:

𝜏𝑆𝑑 = 368

2,98 ∙ 0,18+

0,70 ∙ 0

1,037 ∙ 0,18+

0,45 ∙ 27,2

2,13 ∙ 0,18= 718 𝑘𝑁/𝑚²

(4.69)

𝜏𝑆𝑑 = 718kN

m2≤ 𝜏𝑅𝑑1 = 740

𝑘𝑁

𝑚2

4.5.3. Detalhamento

Conforme definido anteriormente, o espaçamento s0 entre o pilar e o primeiro contorno

de conectores é igual a 8,00cm e o espaçamento entre contornos consecutivos s é igual a 9,00cm

para os três pilares P24, P6 e P28.

A armadura de punção no pilar interno P24 é adotada conforme a Figura 75, onde o

espaçamento entre conectores na mesma linha é igual a 20cm. O diâmetro dos conectores

adotados é de 6,3mm. A NBR 6118:2014 sugere que a armadura deva ser, preferencialmente,

constituída de três ou mais linhas de conectores, e, portanto, adiciona-se mais um contorno de

conectores à armadura predefinida.

Figura 75 - Detalhamento do pilar interno pela NBR6118:2014.

85

No pilar de borda P6, adotam-se conectores de ∅6,3𝑚𝑚 e o espaçamento entre

conectores no mesmo contorno é definido como 15cm, como mostra a Figura 76. Conforme

apresentado na Figura 32, o Ibracon (2014, apud Longo, 2017) recomenda distribuir a armadura

além do perímetro de controle C’, porém, esta armadura não pode fazer parte da armadura

calculada.

Figura 76 - Detalhamento do pilar de borda pela NBR6118:2014.

4.6. EUROCODE 2 (2004)

Utilizando-se os mesmos esforços obtidos no programa SAP2000 e apresentados no

item 4.2 desse trabalho, verificam-se os pilares interno (P24) e de borda (P6) segundo a norma

EN2 (2004). A norma estabelece que devem ser verificados o perímetro do pilar, o primeiro

perímetro de controle u1 e, caso seja se faça uso de armadura de punção, é necessário estabelecer

o perímetro uout,ef onde esta armadura não é mais necessária.

4.6.1. Pilar Interno

Para o pilar P24, a definição das dimensões C1 e C2 é feita de acordo com a direção da

excentricidade da força atuante, de modo que a dimensão 0,65m é adotada como C1, paralela à

esta excentricidade e 0,25m como C2, perpendicular a essa.

Tensão atuante no contorno do pilar:

𝑢0 = 2 ∙ (0,25 + 0,65) = 1,80 𝑚 (4.70)

86

𝛽 = 1 (𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟

𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜) (4.71)

𝜈𝐸𝑑 = 1,0 ∙

568

1,80 ∙ 0,18= 1753 𝑘𝑁/𝑚²

(4.72)

Tensão atuante no primeiro perímetro de controle:

A tensão solicitante no primeiro perímetro de controle, localizado a 2d da face do pilar,

é definida tal que:

𝑢1 = 2 ∙ (0,25 + 0,65) + 2 ∙ 𝜋 ∙ 2 ∙ 0,18 = 4,06 𝑚 (4.73)

𝑊𝑝 =

0,65²

2+ 0,25 ∙ 0,65 + 4 ∙ 0,25 ∙ 0,18 + 16 ∙ 0,182 + 2 ∙ 𝜋

∙ 0,18 ∙ 0,65 = 1,807 𝑚²

(4.74)

𝐶1

𝐶2=

0,65

0,25= 2,60 → 𝐾 = 0,760 (Tabela 12)

𝛽 = 1 + 0,76 ∙

125,9

568 ∙

4,06

1,807= 1,379

(4.75)

𝜈𝐸𝑑 = 1,379 ∙

568

4,06 ∙ 0,18= 1071 𝑘𝑁/𝑚²

(4.76)

Faz-se, então, as verificações nos perímetros indicados, calculando-se as tensões

resistentes nestes mesmos contornos.

Verificação no contorno do pilar:

No contorno do pilar, a tensão solicitante deve ser menor do que a tensão máxima de

punção, tal que:

𝜈𝐸𝑑 < 𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 (4.77)

Com fck de 35MPa e fator de minoração das resistências igual a 1,5, a tensão máxima

de punção é definida como na Eq. (4.86).

𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 0,5 ∙ 0,6 ∙ (1 −

35

250) ∙

35

1,5= 6,02 𝑀𝑃𝑎 = 6020 𝑘𝑁/𝑚²

(4.78)

Assim, a tensão solicitante é menor que a tensão resistente, confirmando que não há

ruptura devido à compressão diagonal do concreto conforme a Eq. (4.87).

87

𝜈𝐸𝑑 = 1753

𝑘𝑁

𝑚2< 𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 6020

𝑘𝑁

𝑚2

(4.79)

Verificação no primeiro perímetro de controle sem armadura de punção:

De acordo com a Eq. (3.53), determina-se o fator k, tal que:

𝑘 = 1 + √200

180= 2,05 > 2,00 ∴ 𝑘 = 2

(4.80)

Considerando-se a taxa de armadura de flexão igual a 0,959%, conforme calculado no

item 4.4.3, tem-se:

𝜈𝑅𝑑,𝑐 = 0,18

1,5 ∙ 2 ∙ (100 ∙ 0,00959 ∙ 35)

13⁄ = 0,774 𝑀𝑃𝑎 = 774

𝑘𝑁

𝑚2

(4.81)

Esta tensão resistente precisa ser maior que a tensão resistente mínima, dada por:

𝜈𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 2

32⁄ ∙ √35 = 0,586 𝑀𝑃𝑎 = 586

𝑘𝑁

𝑚2

(4.82)

Tem-se, então:

𝜈𝐸𝑑 = 992

𝑘𝑁

𝑚2> 𝜈𝑅𝑑,𝑐 = 774

𝑘𝑁

𝑚2

Percebe-se que a tensão solicitante é maior que a tensão resistente, tornando-se

necessário reforçar a estrutura com o uso de armadura de punção.

Verificação no primeiro perímetro de controle, com armadura de punção:

Para a determinação da tensão resistente no perímetro de controle com armadura de

punção, a norma limita a resistência do aço utilizado na armadura, devendo este ser adotado

conforme a Eq. (4.83).

𝑓𝑦𝑤𝑑,𝑒𝑓 = 250 + 0,25 ∙ 180 = 295 𝑀𝑃𝑎 (4.83)

Adota-se armadura com espaçamento inicial, entre a face do pilar e o primeiro

perímetro de conectores, de 8cm e os espaçamentos subsequentes, entre perímetros

consecutivos de armadura, são de 9cm. Pode-se determinar a área de aço mínima que iguala a

tensão resistente à solicitante, como:

𝐴𝑠𝑤 =

(1,071 − 0,75 ∙ 0,774) ∙ 9 ∙ 406 ∙ 18

1,5 ∙ 18 ∙ 295 = 4,05𝑐𝑚²

(4.84)

Logo, tem-se:

88

𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠 = 1,071 𝑀𝑃𝑎 = 1071

𝑘𝑁

𝑚2

(4.85)

Comparando-se a tensão solicitante com esta tensão chega-se a:

𝜈𝐸𝑑 = 1071

𝑘𝑁

𝑚2= 𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠 = 1071

𝑘𝑁

𝑚2

(4.86)

Determinação do perímetro uout,ef:

Ao se utilizar a armadura de punção, é necessário determinar o perímetro uout,ef,

localizado a kd do último contorno de conectores. Sendo k igual a 2, tal como calculado na Eq.

(4.88), chega-se a:


1,379 ∙ 568

774 ∙ 0,18= 5,63𝑚

(4.87)

A partir da expressão para o cálculo do segundo perímetro crítico, obtém-se a distãncia

p da face do pilar ao último contorno de conectores, tal que:

𝑝 =

5,63 − 2 ∙ (0,25 + 0,65) − 4 ∙ 𝜋 ∙ 0,18

2𝜋= 0,250𝑚

(4.88)

A distância calculada é mínima, de modo que, caso seu valor não seja múltiplo dos

espaçamentos adotados durante o dimensionamento, deve-se adotar o valor imediatamente

acima. Assim, considerando-se 3 contornos de armadura, a distância p passa a ser 0,260m

(0,08cm + 3 ∙ 0,09cm).

4.6.2. Pilar de Borda

As dimensões C1 e C2 são perpendicular e paralela à borda, respectivamente, como

mostra a Figura 77.

Figura 77 - Determinação de C1 e C2.

89

Tensão solicitante no contorno do pilar:

Para pilares de borda, o perímetro reduzido no contorno é dado por:

𝑢0 = 0,25 + 3 ∙ 0,18 = 0,79𝑚 ≤ 0,50 + 2 ∙ 0,25 = 1,00𝑚 (4.89)

Assim, a tensão solicitante é:

𝜈𝐸𝑑 = 1,0 ∙ 368,0

0,79 ∙ 0,18= 2588

𝑘𝑁

𝑚2

(4.90)

Tensão solicitante no primeiro perímetro de controle:

A determinação do perímetro de controle u1 e do perímetro reduzido u1* é dada por:

𝑢 = 0,25 + 2 ∙ 0,50 + 2𝜋 ∙ 0,18 = 2,38𝑚 (4.91)

𝑎 = 0,5 ∙ 0,50 = 0,250𝑚 < 1,5 ∙ 0,18 = 0,270𝑚 (4.92)

𝑢∗ = 0,25 + 2 ∙ 0,250 + 2𝜋 ∙ 0,18 = 1,881𝑚 (4.93)

O módulo plástico é obtido por:

𝑊1 = 0,252

4+ 0,25 ∙ 0,50 + 4 ∙ 0,50 ∙ 0,18 + 8 ∙ 0,182 + 𝜋 ∙ 0,18 ∙ 0,25

= 0,901 𝑚²

(4.94)

𝑪𝟏

𝟐∙𝑪𝟐=

𝟎,𝟓𝟎

𝟐∙ 𝟎,𝟐𝟓= 𝟏, 𝟎 → 𝑲 = 𝟎, 𝟔𝟎 (Tabela 12)

(4.95)

A excentricidade paralela à borda da laje é:

𝑒𝑝𝑎𝑟 = 27,2

368= 0,0739

(4.96)

𝛽 = 2,38

1,881+ 0,60 ∙

2,38

0,901 ∙ 0,0734 = 1,382

(4.97)

𝜈𝐸𝑑 = 1,382 ∙ 368,0

1,881 ∙ 0,18 = 1502

𝑘𝑁

𝑚2

(4.98)

Verificação no contorno do pilar:

A tensão resistente no contorno do pilar é a mesma apresentada para o pilar interno e

é reproduzida na Eq. (4.99):

𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 6020

𝑘𝑁

𝑚2

(4.99)

90

A tensão atuante no contorno do pilar de borda também é suficientemente menor que

a tensão resistente neste mesmo contorno, tal que:

𝜈𝐸𝑑 = 2588

𝑘𝑁

𝑚2< 𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 6020

𝑘𝑁

𝑚2

(4.100)

Verificação no primeiro perímetro de controle, sem armadura de punção:

A tensão resistente no primeiro perímetro de controle, quando não se faz uso de

armadura de punção é definida como na Eq. (4.101). Na região do pilar de borda, a taxa de

armadura de flexão é de 0,608%

𝜈𝑅𝑑,𝑐 =

0,18

1,5 ∙ 2 ∙ (100 ∙ 0,00608 ∙ 35)

13⁄ = 0,665 𝑀𝑃𝑎

= 665𝑘𝑁

𝑚2

(4.101)

𝜈𝑚𝑖𝑛 = 0,035 ∙ 2

32⁄ ∙ √35 = 0,586 𝑀𝑃𝑎 = 586

𝑘𝑁

𝑚2

(4.102)

Pode-se então realizar a comparação com a carga atuante através da Eq. (4.103).

𝜈𝐸𝑑 = 1502

𝑘𝑁

𝑚2> 𝜈𝑅𝑑,𝑐 = 665

𝑘𝑁

𝑚2> 𝜈𝑚𝑖𝑛 = 586

𝑘𝑁

𝑚2

(4.103)

Conclui-se que a ligação laje-pilar não resiste ao carregamento aplicado sem utilização

de reforço.

Verificação no primeiro perímetro de controle, com armadura de punção:

Para fins de verificação da tensão cisalhante no primeiro perímetro de controle,

assume-se a resistência do aço como 295MPa e armadura de punção com espaçamentos

semelhantes à do pilar interno, sendo o espaçamento entre a face do pilar e a primeira linha de

conectores igual a 8cm e os espaçamentos entre linhas de conectores de 9cm. Com isso:

𝐴𝑠𝑤 =

(1,502 − 0,75 ∙ 0,665) ∙ 9 ∙ 188,1 ∙ 18

1,5 ∙ 18 ∙ 295 = 3,84 𝑐𝑚²

(4.104)

Logo:

𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠 = 1502

𝑘𝑁

𝑚2

(4.105)

Comparando-se a tensão solicitante com a resistente calculada, tem-se:

91

𝜈𝐸𝑑 = 1502

𝑘𝑁

𝑚2= 𝜈𝑅𝑑,𝑐𝑠 = 1502

𝑘𝑁

𝑚2

(4.106)

Determinação do perímetro uout,ef:

Ao se utilizar a armadura de punção, é necessário determinar o perímetro uout,ef,

localizado a kd do último contorno de conectores. Sendo k igual a 2, chega-se a:


1,382 ∙ 368

665 ∙ 0,18= 4,25𝑚

(4.107)

A distância p da face do pilar ao último contorno de conectores, pode ser definida a

partir do perímetro uout,ef, como:

𝑝 =

4,25 − 2 ∙ 0,25 − 0,25 − 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,18

𝜋= 0,754𝑚

(4.108)

A distância calculada é mínima, de modo que, caso seu valor não seja múltiplo dos

espaçamentos adotados durante o dimensionamento, deve-se adotar o valor imediatamente

acima. Assim, considerando-se 9 contornos de armadura, a distância p passa a ser 0,800m

(0,08cm + 8 ∙ 0,09cm).

4.6.3. Detalhamento

Conforme adotado ao longo do dimensionamento, o espaçamento incial s0 entre a face

do pilar e a primeira linha de conectores é igual a 8cm e os espaçamentos entre contornos de

conectores consecutivos são iguais a 9cm. Estes valores valem para os pilares interno e de

borda.

No pilar interno P24, o espaçamento entre conectores na mesma linha foi adotado

como 20cm, como mostra a Figura 78. São necessárias três linhas de conectores de ∅6,3𝑚𝑚, a

fim de suprir a distância mínima entre a face do pilar e a última linha de conectores calculada

na verificação e de valor igual a 25cm. A distância efetiva torna-se 26cm.

92

Figura 78 - Detalhamento do pilar interno pelo EN2.

A armadura utilizada no pilar de borda P6 é composta de conectores de ∅8𝑚𝑚 e o

espaçamento entre eles na mesma linha é de 15,00cm. A distância mínima entre a face do pilar

e a última linha de conectores calculada é de 75,4cm. Utilizam-se nove perímetros de

conectores, de modo que esta distância efetiva torna-se 80cm, conforme mostra a Figura 79.

Figura 79 - Detalhamento do pilar de borda P6 pelo EN2.

93

4.7. ACI318 (2014)

Desenvolve-se, nesse item, a verificação à punção dos pilares interno (P24) e de borda

(P6) segundo as prescrições da ACI318.

Há de se destacar que a norma americana, em suas formulações, faz uso da resistência

específica cilíndrica do concreto, 𝑓𝑐′, tal como apresentado no item 3.4.2 desse trabalho. Deste

modo, como a resistência à compressão característica adotada (fck) é de 35 MPa, utiliza-se, na

verificação segundo a ACI318:2014, o valor de 𝑓𝑐′ igual a 33 MPa.

4.7.1 Pilar Interno

Tensão atuante na primeira seção crítica:

Conforme ilustrado na Figura 37, a ACI318:2014 recomenda o cálculo das tensões

solicitantes no contorno crítico afastado de 𝑑 2⁄ das faces do pilar.

Sabendo-se que o pilar apresenta dimensões de 0,25m e 0,65m, correspondentes às

direções horizontal (x) e vertical (y), respectivamente, e que o momento fletor solicitante se dá

em torno do eixo x, tem-se:

𝑏0 = 2 ∙ (0,25 + 0,65 + 2 ∙ 0,18) = 2,52𝑚 (4.110)

𝐴𝑐 = 2,52 ∙ 0,18 = 0,454𝑚¹ (4.111)

𝑐𝐴𝐵 = 𝑐𝐶𝐷 =

0,65 + 0,18

2= 0,415𝑚

(4.112)

A determinação de Jx é mostrada no Apêndice I desse trabalho, sendo igual a:

𝐽𝑥 = 0,0442𝑚³ (4.113)

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23

√0,65 + 0,180,25 + 0,18

= 0,481 (4.114)

𝑣𝑢 =

568

0,454+

0,481 ∙ 125,9 ∙ 0,415

0,0442= 1820 𝑘𝑁/𝑚²

(4.115)

Verificação na primeira seção crítica sem armadura de punção:

A tensão resistente sem armadura de punção, vc, é igual ao menor valor entre as

equações a seguir:

94

𝑣𝑐 =

(1 +2

0,650,25⁄

) ∙ √33

6= 1,694 𝑀𝑃𝑎 = 1694 𝑘𝑁/𝑚²

(4.116)

𝑣𝑐 =.(

40 . 0,182,52

+ 2) .∙ √33

12= 2,33 𝑀𝑃𝑎 = 2325𝑘𝑁/𝑚²

(4.117)

𝑣𝑐 =

√33

3= 1,915 𝑀𝑃𝑎 = 1915 𝑘𝑁/𝑚²

(4.118)

Assim, tem-se:

𝑣𝑐 = 1694 𝑘𝑁/𝑚² (4.119)

∅ . 𝑣𝑐 = 0,75 ∙ 1694 = 1270 𝑘𝑁/𝑚² (4.120)

Conclui-se ser necessário o emprego de armadura de punção pois a tensão atuante é

maior que a tensão resistente, conforme segue:

𝑣𝑢 = 1820 𝑘𝑁/𝑚2 > 1270𝑘𝑁/𝑚2 (4.121)

Verificação na primeira seção crítica com armadura de punção:

Deve-se verificar a primeira seção crítica considerando o uso da armadura de punção,

formada por conectores do tipo Stud. Assume-se espaçamento entre conectores igual a 9cm

(≤ 0,5𝑑). A tensão resistente é definida pela soma das parcelas resistidas pelo aço, vs, e pelo

concreto, vc. A ACI318:2014, em seu item 11.4.2, limita o valor da tensão resistente do aço

para armadura de cisalhamento em 420MPa. Ao igualar a tensão resistente com a tensão

solicitante, obtém-se a armadura mínima capaz de resistir a essa solicitação, como segue:

𝑣𝑐 = 0,25 ∙ √33 = 1,436 𝑀𝑃𝑎 = 1436 𝑘𝑁/𝑚² (4.122)

𝑣𝑠 >

1820

0,75− 1436 = 991𝑘𝑁/𝑚²

(4.123)

𝐴𝑣 >

0,991 ∙ 9 ∙ 252

420= 5,35𝑐𝑚²

(4.124)

Porém, deve-se verificar a razão 𝐴𝑣

𝑠⁄ mínima, tal que:

𝐴𝑣 =

0,17 ∙ √33 ∙ 252 ∙ 9

420 = 5,27𝑐𝑚²

(4.125)

95

A armadura calculada para resistir ao esforço é maior que a armadura mínima, então

deve-se adotar 5,39cm² de armadura. A tensão solicitante na primeira superfície de controle

com armadura de punção, é dada por:

𝑣𝑠 =

5,35 ∙ 420

9 ∙ 252= 0,991𝑀𝑃𝑎 = 991𝑘𝑁/𝑚²

(4.126)

∅𝑣𝑛 = 0,75 ∙ (1436 + 991) = 1820𝑘𝑁/𝑚2 < ∅𝑣𝑛,𝑚𝑎𝑥 =√33

2= 2,87𝑀𝑃𝑎

= 2870𝑘𝑁/𝑚2

(4.127)

𝑣𝑢 = 1820𝑘𝑁/𝑚2 < ∅𝑣𝑛 = 1820𝑘𝑁/𝑚2 (4.128)

Verificação na segunda seção crítica:

É necessário adotar-se a distância da face do pilar ao contorno de conectores mais

afastado, acrescida de 𝑑 2⁄ , para realizar a verificação. Assumindo-se seis linhas de conectores

afastados de 9cm e a distância da primeira linha de conectores à face do pilar igual a 8cm, tem-

se que a distância total da face do pilar à ultima linha de conectores é de 53cm. A memória de

cálculo do fator Jx encontra-se no Apêndice I, bem como o perímetro crítico, b, da segunda

seção crítica, dado por:

𝑏 = 5,39𝑚 (4.129)

𝐴𝑐 = 5,39 ∙ 0,18 = 0,971𝑚² (4.130)

𝑐𝐴𝐵 = 𝑐𝐶𝐷 = 0,53 + 0,5 ∙ 0,18 + 0,5 ∙ 0,65 = 0,945𝑚 (4.131)

𝐽 = 0,397𝑚³ (4.132)

𝛾𝑣 = 1 −

1

1 + 23

√0,65 + 0,18 + 2. 0,530,25 + 0,18 + 2. 0,53

= 0,429 (4.133)

𝑣𝑢 =

568

0,971+

0,429 ∙ 125,9 ∙ 0,945

0,397= 714 𝑘𝑁/𝑚²

(4.134)

Já a tensão resistente, é dada por:

∅𝑣𝑛 = 0,75 ∙

√33

4= 1077𝑘𝑁/𝑚2

(4.135)

𝑣𝑢 = 714𝑘𝑁/𝑚2 < ∅𝑣𝑛 = 1077𝑘𝑁/𝑚2 (4.136)

96

4.7.2. Pilar de Borda

A seção crítica do pilar de borda possui apenas um eixo de simetria, além de seu eixo

de gravidade ser não colinear com o eixo do pilar conforme mostra a Figura 80. Nesse caso, é

necessário considerar-se a excentricidade causada pela transferência de esforços do eixo do

pilar para o eixo da seção crítica, de valor igual a 0,124m.

Figura 80 - Seção crítica do pilar de borda.

Tensão atuante na primeira seção crítica:

Apresenta-se o cálculo dos fatores necessários para estimar a tensão atuante na

primeira seção crítica do pilar de borda, P6. A memória de cálculo dos fatores Jx e Jy encontra-

se no Apêndice II.

𝑏0 = 2 ∙ (0,50 + 0,5 ∙ 0,18) + (0,25 + 0,18) = 1,610𝑚 (4.137)

𝐴𝑐 = 1,610 ∙ 0,18 = 0,290𝑚¹ (4.138)

𝑐𝐴𝐵 = 0,215𝑚 𝑒 𝑐𝐶𝐷 = 0,375𝑚 (4.139)

𝐽𝑥 = 0,0111𝑚4 𝑒 𝐽𝑦 = 0,0110𝑚4 (4.140)

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23

√0,590,43

= 0,438 (4.141)

𝛾𝑣𝑦 = 1 −

1

1 + 23

√0,430,59

− 0,2

= 0,327 (4.142)

𝑀𝑢𝑥 = 27,2 + 368 . 0,124 = 72,8 𝑘𝑁𝑚 (4.143)

𝑣𝑢 = 368

0,290+

0,438 ∙ 72,8 ∙ 0,374

0,0110+

0,327 ∙ 50,4 ∙ 0,216

0,0111= 2674 𝑘𝑁/𝑚²

(4.144)

Verificação na primeira seção crítica sem armadura de punção:

A tensão resistente sem armadura de punção, vc, é igual ao menor valor entre as

equações a seguir:

97

𝑣𝑐 =

(1 +2

0,500,25⁄

) ∙ √33

6= 1,915 𝑀𝑃𝑎 = 1915 𝑘𝑁/𝑚²

(4.145)

𝑣𝑐 =.(

30 . 0,181,61 + 2) ∙ √33

12= 2,563 𝑀𝑃𝑎 = 2563𝑘𝑁/𝑚²

(4.146)

𝑣𝑐 =

√33

3= 1,915 𝑀𝑃𝑎 = 1915 𝑘𝑁/𝑚²

(4.147)

Assim, tem-se:

𝑣𝑐 = 1915 𝑘𝑁/𝑚² (4.148)

∅ ∙ 𝑣𝑐 = 0,75 ∙ 1915 = 1,436 𝑘𝑁/𝑚² (4.149)

Conclui-se ser necessário o emprego de armadura de punção pois a tensão atuante é

maior que a tensão resistente, conforme segue:

𝑣𝑢 = 2674 𝑘𝑁/𝑚2 > 1436𝑘𝑁/𝑚2 (4.150)

Verificação na primeira seção crítica com armadura de punção:

Assume-se espaçamento entre conectores igual a 0,09m (≤ 0,5𝑑). A tensão resistente

é definida pela soma das parcelas resistidas pelo aço, vs, e pelo concreto, vn. Conforme abordado

no dimensionamento do pilar interno, a ACI318:2014 limita o valor da tensão resistente do aço

para armadura de cisalhamento em 420MPa.

Ao igualar a tensão resistente com a tensão solicitante, obtem-se a armadura mínima

capaz de resistir a essa solicitação, como segue:

𝑣𝑐 = 0,25 ∙ √33 = 1,436 𝑀𝑃𝑎 = 1436 𝑘𝑁/𝑚² (4.151)

𝑣𝑠 >

2674

0,75− 1436 = 2129𝑘𝑁/𝑚²

(4.152)

𝐴𝑣 >

2,129 ∙ 9 ∙ 161

420= 7,35𝑐𝑚²

(4.153)

Porém, deve-se verificar a razão 𝐴𝑣

𝑠⁄ mínima, tal que:

𝐴𝑣 =

0,17 ∙ √33 ∙ 161 ∙ 9

420 = 3,37𝑐𝑚²

(4.154)

98

A armadura necessária para resistir à solicitação atuante é maior que a mínima. Pode-

se, então, verificar a primeira superfície de controle com armadura de punção.

𝑣𝑠 =

7,35 ∙ 420

9 . 161= 2,13𝑀𝑃𝑎 = 2130𝑘𝑁/𝑚²

(4.155)

∅𝑣𝑛 = 0,75 ∙ (1436 + 2130) = 2674𝑘𝑁/𝑚2 < ∅𝑣𝑛,𝑚𝑎𝑥 =√33

2= 2,87𝑀𝑃𝑎

= 2870𝑘𝑁/𝑚2

(4.156)

𝑣𝑢 = 2674𝑘𝑁/𝑚2 < ∅𝑣𝑛 = 2674𝑘𝑁/𝑚2 (4.157)

Verificação na segunda seção crítica:

É necessário adotar-se a distância da face do pilar ao contorno de conectores mais

afastado para realizar a verificação. Assumindo-se esta distância como 1,25m, pode-se calcular

a tensão solicitante na segunda seção crítica, vn. A memória de cálculo dos fatores J encontra-

se no Apêndice III e o perímetro crítico, b, assim como as distâncias 𝑐𝐴𝐵 𝑐𝐶𝐷 𝑒 foram calculados

com o auxílio do programa Auto CAD.

𝑏 = 5,08𝑚 (4.158)

𝐴𝑐 = 5,08 ∙ 0,18 = 0,914𝑚¹ (4.159)

𝑐𝐴𝐵 = 1,307𝑚 𝑒 𝑐𝐶𝐷 = 0,803𝑚 (4.160)

𝐽𝑥 = 0,266𝑚3𝑒 𝐽𝑦 = 0,948𝑚² (4.161)

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23

√0,25 + 0,18 + 2. 1,25

0,50 + 0,5 ∙ 0,18 + 125

= 0,457 (4.162)

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23

√0,50 + 0,5 ∙ 0,18 + 1,25

0,25 + 0,18 + 2. 1,25− 0,2

= 0,304 (4.163)

𝑣𝑢 =

368

0,914+

0,457 ∙ 238,8 .0,803

0,266+

0,304 ∙ 27,2 ∙ 1,307

0,948

= 743𝑘𝑁/𝑚²

(4.164)


∅𝑣𝑛 = 0,75 ∙

√33

6= 718𝑘𝑁/𝑚2

(4.165)

𝑣𝑢 = 743𝑘𝑁/𝑚2 > ∅𝑣𝑛 = 718𝑘𝑁/𝑚2 (4.166)

99

Assumindo-se a distância p como 1,25m, a tensão solicitante tornou-se maior que a

tensão resistente. Repete-se o processo assumindo p como 1,34m.

𝑏 = 5,34𝑚 (4.167)

𝐴𝑐 = 5,34 ∙ 0,18 = 0,961𝑚¹ (4.168)

𝑐𝐴𝐵 = 1,082𝑚 𝑒 𝑐𝐶𝐷 = 0,848𝑚 (4.169)

𝐽𝑥 = 0,306𝑚3𝑒 𝐽𝑦 = 0,986𝑚² (4.170)

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23

√0,25 + 0,18 + 2 ∙ 1,34

0,50 + 0,5 ∙ 0,18 + 1,34

= 0,458 (4.171)

𝛾𝑣𝑥 = 1 −

1

1 + 23

√0,50 + 0,5 ∙ 0,18 + 1,34

0,25 + 0,18 + 2 ∙ 134− 0,2

= 0,302 (4.172)

𝑣𝑢 =

368

0,961+

0,458 ∙ 255,8 ∙ 0,848

0,306+

0,302 ∙ 27,2 ∙ 1,082

0,986

= 717 𝑘𝑁/𝑚²

(4.173)


∅𝑣𝑛 = 0,75 ∙

√33

6= 718𝑘𝑁/𝑚2

(4.174)

𝑣𝑢 = 717𝑘𝑁/𝑚2 < ∅𝑣𝑛 = 718𝑘𝑁/𝑚2 (4.175)

4.7.3. Detalhamento

Conforme adotado ao longo do dimensionamento, o espaçamento incial s0 entre a face

do pilar e a primeira linha de conectores é igual a 8cm e os espaçamentos entre contornos de

conectores consecutivos são iguais a 9cm. Estes valores valem para os pilares interno e de

borda.

No pilar interno P24, o espaçamento entre conectores na mesma linha foi adotado como

53cm (ver Figura 81). De acordo com a armadura calculada, são necessárias seis linhas de

conectores de ∅10𝑚𝑚 com 7 conectores cada. Porém, para cumprir o espaçamento mínimo

100

determinado pela ACI318:2014, recomenda-se a adição de mais 3 conectores por linha,

conforme mostra a Figura 81.

Figura 81 - Detalhamento do pilar interno pelo ACI318:2014.

A armadura utilizada no pilar de borda P6 também é composta de conectores de

∅10𝑚𝑚 e o espaçamento entre eles na mesma linha é de 15,00cm. A distância mínima entre a

face do pilar e a última linha de conectores calculada é de 1,34m. Utilizam-se quinze perímetros

de conectores, conforme mostra a Figura 82.

Figura 82 - Detalhamento do pilar de borda pelo ACI318:2014.

101

4.7.4. Análise Computacional pelo DECON Studrail

Com base em estudos realizados pelos consultores da DECON, fabricante de

conectores tipo Stud, o American Concrete Institute desenvolveu a norma ACI421:2008,

descrevendo de modo detalhado o procedimento de cálculo das armaduras de punção. Ainda

com base nesses estudos, a empresa desenvolveu um programa computacional, chamado

DECON Studrail, que verifica a ligação laje-pilar, dimensionando as armaduras de punção,

caso sejam necessárias.

O DECON Studrail, amplamente utilizado na América do Norte, apresenta uma

interface simples e de fácil entendimento que realiza análises estáticas e dinâmicas. Com o uso

desse programa é possível realizar a verificação à punção em lajes lisas segundo as normas

americana (ACI318:2014), canadense (CSA A23.3:2004) e suiça (SAI 262:2013).

Os dados de entrada compreendem as dimensões do pilar, as alturas total e útil da laje,

a resistência do concreto e os esforços atuantes (carregamento axial no pilar e momentos

fletores nas duas direções ortogonais), como também a posição do pilar no pavimento (interno,

borda ou canto). É possível incluir opções para consideração da protensão, uso de concretos

leves e ainda a existência de aberturas na laje.

Para fins de validação da verificação à punção realizada segundo as prescrições da

ACI318:2014, como também de divulgar no meio técnico o programa computacional DECON

Studrail, apresenta-se, a seguir, a aplicação do software aos pilares em estudo.

A Figura 83 apresenta os dados de entrada do programa utilizados para o cálculo do

pilar interno (P24). Por motivos de limitação dos valores de entrada de fc’ disponíveis na

biblioteca do programa, empregou-se para fc’ o valor de 32MPa, ao invés de 33MPa, que seria

o equivalente ao fck de projeto (35MPa).

102

Figura 83 - Dados de entrada no programa DECON Studrail.

Após a entrada dos dados, faz-se a verificação. Caso seja necessário o uso de armadura

de punção, é possível escolher o diâmetro do conector utilizado, assim como os espaçamentos.

A armadura adotada pode ser vista em planta, em corte e em perspectiva, conforme

mostra a Figura 84. São utilizadas sete linhas de conectores de ∅9,5𝑚𝑚, com 10 faixas de

conectores, no total.

103

Figura 84 - Vistas da armadura de punção calculada.

De modo análogo, apresenta-se a armadura calculada para o pilar de borda P6, na

Figura 85 e na Figura 86. Para este pilar, utilizam-se 14 linhas de conectores de ∅9,5𝑚𝑚, em

um total de oito faixas.

Figura 85 – Vista em perspectiva da armadura de punção no pilar P6.

104

Figura 86 - Corte da armadura de punção no pilar P6.

O programa gera um relatório completo do cálculo realizado, destacando as tensões

solicitantes e resistentes. Os relatórios referentes ao dimensionamento dos pilares P24 e P6

encontram-se no Apêndice V desse trabalho.

A Tabela 21 apresenta uma comparação entre os resultados obtidos no

dimensionamento manual, pelo ACI318:2014, e os gerados pelo programa DECON Studrail,

no primeiro perímetro de controle.

Tabela 21 – Resultados no primeiro perímetro de controle, no pilar P24.

(em MPa) 𝑣𝑢 ∅𝑣𝑐 ∅𝑣𝑛 ∅𝑣𝑛,𝑚𝑎𝑥

Manual 1,820 1,270 1,820 2,872

DECON 1,830 1,250 1,890 2,830

Comparando-se os valores das tensões apresentadas na Tabela 21, é possível perceber

que praticamente não houve diferença entre elas, obtendo-se um resultado satisfatório. A tensão

resistente do concreto minorada, ∅𝑣𝑐, e a tensão resistente máxima no contorno analisado,

∅𝑣𝑛,𝑚𝑎𝑥, apresentam pequenas divergências devido à consideração de fc’como 32MPa, ao invés

de 33MPa. A maior diferença aparece na tensão resistente ∅𝑣𝑛, composta pelo somatório da

tensão resistente do concreto, 𝑣𝑐 , e da armadura, 𝑣𝑠. Esta diferença ocorre pois o programa

calcula a tensão resistente da armadura utilizando a área de aço efetiva, que é maior que a

calculada. No cálculo manual, essa resistência obtida a partir da área de aço calculada, sendo

esta a mínima capaz de suportar a tensão solicitante.

Apresenta-se, na Tabela 22, a comparação dos valores obtidos na segunda superfície

de controle do pilar interno P24, sendo p a distância entre a face do pilar e a última linha de

conectores.

105

Tabela 22 - Resultados no segundo perímetro de controle, no pilar P24.

p (m) 𝑣𝑢 (𝑀𝑃𝑎) ∅𝑣𝑐 (𝑀𝑃𝑎)

Manual 0,530 0,714 0,718

DECON 0,620 0,650 0,710

Nota-se, da Tabela 22, que na verificação do segundo perímetro de controle do pilar

interno pelo DECON Studrail foi preciso utilizar uma linha a mais de conectores (p=0,62m),

quando comparado com o cálculo manual pelo ACI318:2014. Isto ocorre devido à resistência

à compressão do concreto adotada ser, no cálculo manual, maior (33MPa) que o valor

empregado no programa DECON Studrail (32MPa).

De modo análogo, a Tabela 23 apresenta a comparação dos resultados obtidos para o

primeiro perímetro crítico do pilar de borda P6.

Tabela 23 - Resultados no primeiro perímetro de controle, no pilar P6.

(em MPa) 𝑣𝑢 ∅𝑣𝑐 ∅𝑣𝑛 ∅𝑣𝑛,𝑚𝑎𝑥

Manual 1,510 1,436 1,810 2,872

DECON 1,480 1,410 2,100 2,830

Novamente, percebe-se, dos valores de tensões apresentados na Tabela 23, boa

convergência de resultados. No entanto, a tensão solicitante, 𝑣𝑢, apresenta uma discrepância

maior do que a encontrada no pilar interno (P24). Acredita-se que esta diferença seja decorrente

de aproximações sucessivas nos cálculos geométricos para localização do centro geométrico da

seção crítica, assim como dos fatores J, apresentados nos Apêndices II, III e IV. As diferenças

encontradas para as tensões ∅𝑣𝑐 , ∅𝑣𝑛 𝑒 ∅𝑣𝑛,𝑚𝑎𝑥 são semelhantes às discutidas para o pilar

interno P24.

Apresenta-se, na Tabela 24, a comparação dos valores obtidos na segunda superfície

de controle do pilar de borda P6.

Tabela 24 - Resultados no segundo perímetro de controle, no pilar P6.

p (m) 𝑣𝑢 (𝑀𝑃𝑎) ∅𝑣𝑐 (𝑀𝑃𝑎)

Manual 1,34 0,714 0,718

DECON 1,25 0,700 0,710

106

A segunda seção crítica do pilar de borda é a que apresenta as discrepâncias mais

significativas, visto que, ao se considerar uma linha de conectores a mais, no cálculo manual,

encontra-se tensão solicitante maior do que ao se considerar um perímetro menor, calculada

pelo programa computacional, o contrário do esperado. Como apresentado anteriormente,

acredita-se que estas discrepâncias sejam provenientes das aproximações do cálculo manual,

sobretudo na excentricidade e nos fatores J, visto que estes cálculos tornam-se ainda mais

trabalhosos no segundo perímetro de controle.

107

5. ANÁLISE DE RESULTADOS

A análise dos resultados encontrados no capítulo 4 é dividida entre as verificações no

contorno do pilar, no primeiro perímetro de controle e no segundo perímetro de controle.

Porém, conforme mostra a Figura 87, a NBR6118:2014 e o EN2:2004 definem estes perímetros

como distantes 2d da face do pilar e 2d da última linha de armadura. Já a ACI318:2014 define

estas distâncias como 𝑑2⁄ , não exige verificação no contorno do pilar, além de considerar

simplificadamente o perímetro na forma poligonal. Esta diferença causa discrepâncias nos

resultados das tensões solicitantes e resistentes.

Figura 87 - Comparação dos perímetros de controle.

5.1. Contorno do pilar

A NBR6118:2014 e o EN2:2004 exigem análise no contorno do pilar, de modo a

verificar a resistência à compressão diagonal do concreto. A Tabela 25 apresenta a comparação

dos resultados obtidos para as tensões solicitantes e resistentes em ambas as normas.

Tabela 25 - Comparação das tensões no contorno do pilar.

Pilar

Tensão

solicitante

NBR6118

(MPa)

Tensão

solicitante

EN2

(MPa)

Tensão

resistente

NBR6118

(MPa)

Tensão

resistente

EN2

(MPa)

P24 (Interno) 1,753 1,753 5,805 6,020

P6 (Borda) 2,726 2,588 5,805 6,020

108

No pilar interno (P24), percebe-se que as tensões solicitantes em ambas as normas são

iguais. No pilar de borda (P6), a tensão solicitante calculada pela metodologia proposta pela

NBR6118 é maior em comparação com o EN2. Esta diferença ocorre, pois, para pilares de

borda, a tensão é calculada sobre o perímetro reduzido do pilar e as duas normas apresentam

proposições diferentes para esta consideração.

Na Figura 88, apresenta-se a porcentagem de resistência mobilizada para suportar os

esforços aplicados.

Figura 88 - Porcentagem de resistência mobilizada.

Observa-se que as tensões solicitantes são consideravelmente menores que as tensões

resistentes, ocorrendo a mobilização máxima de resistência no do pilar de borda, pelo

EN2:2004, de 47%.

Nas tensões resistentes, a discrepância entre valores ocorre nas formulações que,

embora muito semelhantes, apresentam coeficientes diferentes, tal como mostrado a seguir:

𝑁𝐵𝑅6118: 𝜏𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ (1 −

𝑓𝑐𝑘

250) ∙ 𝑓𝑐𝑑

(5.1)

𝐸𝑁2: 𝜈𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 0,3 ∙ (1 −

𝑓𝑐𝑘

250) ∙ 𝑓𝑐𝑑

(5.2)

Além disso, o fator minorador de resistência utilizado para o cálculo de 𝑓𝑐𝑑 é diferente

nas normas, sendo 1,4 para a NBR6118:2014 e 1,5 para o EN2:2004.

5.2. Primeiro perímetro de controle

No primeiro perímetro de controle, estimam-se as tensões solicitante e resistente. Esta

última deve ser calculada, primeiramente, sem a consideração de armadura de punção. Caso

30%

47%

29%

43%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

P24 P6

NBR6118:2014

EN2:2004

109

não se atenda a esta situação, deve-se determinar a tensão resistente considerando o uso da

armadura.

5.2.1. Tensão solicitante

A Tabela 26 apresenta a comparação das tensões solicitantes no primeiro perímetro de

controle, segundo as três normas abordadas.

Tabela 26 - Tensões solicitantes no primeiro perímetro de controle.

Pilar NBR6118

(MPa)

EN2

(MPa)

ACI318

(MPa)

P24 (Interno) 1,071 1,071 1,820

P6 (Borda) 1,162 1,502 2,674

As três normas apresentam metodologias bastante diferentes para o cálculo da tensão

solicitante. Mesmo assim, para o pilar interno, a NBR6118:2014 e o EN2:2004 apresentaram

resultados idênticos. A ACI318 apresenta tensões maiores, pois considera um perímetro mais

próximo do pilar. Como os esforços de cálculo são os mesmos para as três normas, a

consideração de um perímetro de menor área resulta em uma tensão maior.

5.2.2. Tensão resistente, sem armadura de punção

A Tabela 27 apresenta a comparação das tensões resistentes no primeiro perímetro de

controle, segundo as três normas abordadas, quando não é utilizada armadura de punção.

Tabela 27 - Tensões resistentes sem armadura de punção.

Pilar NBR6118

(MPa)

EN2

(MPa)

ACI318

(MPa)

P24 (Interno) 0,861 0,774 1,694

P6 (Borda) 0,740 0,665 1,915

As três normas avaliadas tiveram tensões solicitantes (Tabela 26) maiores que as

tensões resistentes sem armadura de punção (Tabela 27). Assim, todas apontaram a necessidade

de armadura.

110

As normas brasileira e europeia apresentam formulações muito similares para esta

tensão resistente. A diferença nos valores é proveniente da limitação do fator k imposta pelo

EN2 e por uma pequena diferença no coefiente da formulação, como segue:

𝑁𝐵𝑅6118: 𝜏𝑅𝑑1 = 0,13 ∙ (1 + √20

𝑑) ∙ (100 ∙ 𝜌 ∙ 𝑓𝑐𝑘 )

13⁄ (𝑑 𝑒𝑚 𝑐𝑚)

(5.3)

𝐸𝑁2: 𝜈𝑅𝑑,𝑐 =0,18

1,5 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌 ∙ 𝑓𝑐𝑘 )

13⁄ ∴ 𝑘 = 1 + √

200

𝑑≤ 2 (𝑑 𝑒𝑚 𝑚𝑚)

(5.4)

Já a metodologia proposta pela norma americana é bastante diferente. Destaca-se o

fato de a norma americana não considerar a taxa da armadura de flexão para o cálculo da tensão

resistente. Deste modo, o dimensionamento da ligação laje-pilar quanto à punção é

independente da armadura de flexão existente na laje.

Na Figura 89, apresenta-se a porcentagem de mobilização das resistências sem

armadura de punção.

Figura 89 - Porcentagem de mobilização das resistências sem armadura de punção.

5.2.3. Tensão resistente, com armadura de punção

Para o cálculo da armadura de punção, igualaram-se as tensões solicitante e resistente,

de modo a encontrar a menor armadura capaz de suportar os esforços solicitantes. A Tabela 28

apresenta a comparação das áreas de aço necessárias segundo as diferentes normas.

124%

157%138%

226%

108%

140%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

P24 P6

NBR6118:2014

EN2:2004

ACI318:2014

111

Tabela 28 - Armaduras de punção.

Pilar NBR6118

(cm²)

EN2

(cm²)

ACI318

(cm²)

P24 (Interno) 3,32 4,05 5,35

P6 (Borda) 2,23 3,84 7,35

As três normas apresentaram valores distintos. A NBR6118:2014 sugere a menor área

de aço necessária e a ACI318:2014 indica a maior. Deste modo, considerando que os esforços

solicitantes são iguais, a norma americana foi mais conservadora, exigindo mais conectores no

entorno dos dois pilares.

É importante destacar que, apesar de a norma americana apresentar a menor

mobilização de resistência (Figura 89), ela exige a maior armadura dentre as normas analisadas,

o que comprova seu conservadorismo. Essa norma também é a única dentre as três a exigir o

uso de armadura mínima de punção.

Percebe-se, também, que o EN2:2004 demandou armadura maior que a

NBR6118:2014, e que a porcentagem de resistência mobilizada também foi maior. Isto indica

a necessidade de utilização de mais armadura a fim de gerar maior ganho de resistência para

compensar o fato de o EN2:2004 considerar a resistência do concreto menor.

A Figura 90 apresenta as diferenças percentuais das armaduras calculadas pela

ACI318:2014 e pela EN2:2004 em relação à armadura obtida pela NBR6118:2014.

Figura 90 - Comparação percentual das áreas de aço em relação à NBR6118:2014.

As tensões resistentes, considerando-se o emprego das armaduras, são iguais às

tensões solicitantes (Tabela 26), visto que correspondem à menor área de aço necessária para

equilibrar a solicitação, conforme mostra a Tabela 29.

22%

72%62%

230%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

P24 P6

EN2:2004

ACI318:2014

112

Tabela 29 - Tensões resistentes com armadura de punção.

Pilar NBR6118

(MPa)

EN2

(MPa)

ACI318

(MPa)

P24 (Interno) 1,071 1,071 1,820

P6 (Borda) 1,162 1,502 2,674

Cabe ressaltar que, para o pilar interno, as tensões solicitantes e resistentes da

NBR6118:2014 e EN2:2004 são idênticas. Porém, a norma europeia exige o uso de uma área

de aço maior. Assim, percebe-se claramente que a norma EN2:2004 é mais conservadora que a

NBR6118:2014.

5.3. Segundo perímetro de controle

As normas NBR6118:2014 e ACI318:2014 propõem o cálculo de nova tensão

solicitante para este perímetro e a comparação com a tensão resistente sem armadura de punção.

Deste modo, deve-se calcular a distância, p, da face do pilar à última linha de conectores,

determinando quantos contornos são necessários. O EN2:2004 apresenta uma formulação

simplificada, de modo que encontra-se a distância p sem a necessidade de novo cálculo da

tensão solicitante. A Tabela 30 resume os valores das distâncias do pilar à última linha de

conectores segundo as normas em estudo.

Tabela 30 - Distância do pilar até o último contorno de armadura.

Pilar NBR6118

(cm)

EN2

(cm)

ACI318

(cm)

P24 (Interno) 17 26 53

P6 (Borda) 35 80 134

Pelas distâncias apresentadas na Tabela 30, é possível determinar a quantidade de

linhas de conectores necessárias em cada pilar, visto que os espaçamentos são definidos durante

o dimensionamento. O espaçamento entre contornos consecutivos foi definido como o máximo

capaz de satisfazer às três normas simultaneamente. A Tabela 31 apresenta o número de

contornos de armadura necessários.

113

Tabela 31 - Quantidade de contornos de armadura.

Pilar NBR6118 EN2 ACI318

P24 (Interno) 2 3 6

P6 (Borda) 4 9 15

A Figura 91 apresenta as diferenças percentuais entre o número de linhas de conectores

calculados pela ACI318:2014 e pela EN2:2004 em relação à armadura obtida pela

NBR6118:2014.

Figura 91 - Comparação percentual da quantidade de contornos de armadura.

A Figura 92 mostra a comparação do detalhamento das armaduras de punção para o

pilar interno, segundo as normas estudadas, onde N é o número de contornos de armadura

calculado no dimensionamento.

Figura 92 - Detalhamento da armadura do pilar interno.

50%

125%

200%

275%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

300%

P24 P6

EN2:2004

ACI318:2014

114

Ao se considerar a armadura recomendada pela NBR6118:2018, percebe-se que a

armadura determinada pelas normas brasileira e européia tornam-se iguais. Já a ACI318:2014

exige o uso de mais armadura.

A Figura 93 compara o detalhamento da armadura exigida pelas três normas para o

pilar de borda.

Figura 93 - Detalhamento da armadura do pilar de borda.

Para o pilar de borda, as três normas determinaram armaduras de punção diferentes. A

ACI318:2014 exigiu a maior armadura, seguida pelo EN2:2004 e pela NBR6118:2014.

Devido à simplificação do EN2:2004, não é possível comparar as tensões solicitantes

e resistentes no segundo perímetro crítico. A comparação destas tensões segundo a

NBR6118:2014 e à ACI318:2014 é apresentada na Tabela 32.

115

Tabela 32 - Tensões no segundo perímetro de controle.

Pilar

Tensão

solicitante

NBR6118

(MPa)

Tensão

solicitante

ACI318

(MPa)

Tensão

resistente

NBR6118

(MPa)

Tensão

resistente

ACI318

(MPa)

P24 (Interno) 0,802 0,714 0,861 0,718

P6 (Borda) 0,718 0,717 0,740 0,718

Pecebe-se que as tensões calculadas pela ACI318:2014 são menores que as da

NBR6118:2014. Isto ocorre devido à distância p (Tabela 30) ser muito maior na norma

americana, gerando um perímetro de controle consideravelmente mais afastado do pilar, onde

as tensões solicitantes são menores.

116

6. CONCLUSÕES E SUGESTÕES

O trabalho aqui apresentado desenvolveu um estudo sobre o fenômeno da punção em

lajes lisas. Apresentaram-se a motivação inicial, a explicação do fenômeno, a variedade de

fatores que influênciam a resistência da laje à punção e outras pesqusias realizadas até a presente

data.

Para demonstrar a aplicação prática da verificação da punção em lajes lisas, foi

elaborado um estudo de caso que teve como finalidade a comparação entre três metodologias

internacionalmente conceituadas, que são as normas NBR6118:2014, EN2:2004 e

ACI318:2014. Para isso, foi modelado o pavimento de uma edificação em laje lisas em concreto

armado com o uso do programa computacional SAP2000. A análise estrutural permitiu a

determinação dos esforços solicitantes. Foram escolhidos dois pilares, um interno e um de

borda, para verificação da punção. Os resultados obtidos para as tensões solicitantes e

resistentes, assim como das armaduras necessárias, formaram a base do estudo comparativo

apresentado nesse trabalho.

Quanto ao conteúdo e à organização textual, observou-se grande dificuldade na

utilização dessas prescrições normativas, cujos textos, muitas vezes, apresenta-se confuso e

incompleto.

Para realizar os cálculos segundo a NBR6118:2014, foi necessário recorrer aos

comentários da norma publicado pelo Ibracon (2015). O guia apresenta as formulações da

norma de modo detalhado, complementando as informações do texto normativo.

A ACI318:2014, por sua vez, trata do assunto da punção em muitos itens ao longo do

texto normativo, o que pode causar enganos por conta da dificuldade em localizar todas as

informações necessárias, tais como fórmulas, valores limites e métodos de cálculo.

Diferentemente, as normas brasileira e europeia apresentam o fenômeno em um capítulo

completo, facilitando o acesso a estas informações. Para melhor entendimento da norma

americana, foi necessário recorrer à norma ACI421:2008, que traz um guia para o

dimensionamento de armaduras de cisalhamento. Este guia apresenta, de maneira detalhada, as

formulações da ACI318. Dentre as dificuldades encontradas, podem-se citar a definição dos

parâmetros J (propriedade da seção crítica, análoga ao momento de inércia polar), que a

117

ACI318:2014 define apenas para uma situação específica de geometria e carregamento, assim

como o cálculo das tensões atuantes para o caso de momento em mais de uma direção.

De modo geral, a EN2:2004 apresenta um texto mais claro, objetivo e completo. A

norma também apresenta simplificações, principalmente quanto à verificação no segundo

perímetro de controle, deixando o dimensionamento consideravelmente mais curto quando

comparado às outras duas normas.

Percebeu-se grande semelhança nas formulações da NBR6118:2014 e da EN2:2004,

sobretudo nas tensões resistentes, enquanto a ACI318:2014 apresenta grandes diferenças em

relação às demais. A norma americana também mostrou-se mais conservadora , exigindo maior

armadura de punção para os mesmos esforços solicitantes, seguida pela norma europeia e

brasileira.

O programa DECON Studrail, para verificação e dimensionamento da armadura de

punção, mostrou-se extremamente útil e de simples utilização. É uma ferramenta de uso gratuito

que apresenta uma excelente interface com o usuário, com resultados confiáveis. No entanto,

aplica-se apenas às normas ACI318, CSA A23 e SAI262.

As normas NBR6118:2014 e EN2:2004 exigem verificação da compressão diagonal

do concreto no contorno do pilar. Comparando-se as tensões solicitantes e resistentes, percebe-

se que os resultados obtidos pelas duas normas são semelhantes. Em ambas, os esforços

solicitantes mobilizam, no máximo, a metade da tensão resistente.

No primeiro perímetro de controle, as estimativas da tensão solicitante propostas pela

NBR6118:2014 e pelo EN2:2004 obtiveram resultados idênticos para o pilar interno e

semelhantes para o pilar de borda. Já a ACI318:2004 apresentou tensões mais elevadas, devido

ao menor perímetro crítico considerado em suas prescrições. As três normas apresentaram

tensões solicitantes maiores que as resistentes, indicando a necessidade de armadura de punção.

Comparando-se as armaduras calculadas, a norma americana sugere a maior área de

aço, mesmo apresentando a menor resistência mobilizada. A norma europeia demandou maior

armadura que a norma brasileira, porém, também apresentou maior mobilização da resistência.

Isto acontece pelo fato do EN2:2004 considerar menor resistência do concreto, justificando o

aumento no uso de armadura.

118

Nas verificações no segundo perímetro de controle, determinou-se quantas linhas de

armadura são exigidas em cada norma. A norma americana apresentou o maior número, seguida

da norma europeia e da brasileira, assim como na comparação das áreas de aço necessárias.

Assim, percebe-se que a ACI318:2014 mostrou-se mais conservadora, exigindo

amadura maior para os mesmos esforços solicitantes. Já as normas NBR6118:2014 e EN2:2004

apresentaram resultados mais próximos, com a diferença entre elas causada pela minoração da

resistência do concreto por parte da norma europeia.

Como sugestões para trabalhos futuros, recomenda-se a realização de análise

semelhante considerando pilares de canto, aberturas no entorno do pilar e o uso de capiteis.

Além disso, podem-se variar os fatores que influenciam no dimensionamento da punção, como

a altura útil da laje, a taxa de armadura de flexão e a resistência à compressão do concreto,

analisando o impacto destas alterações. Pode-se, ainda, verificar a influência da protensão na

resistência à punção de lajes lisas.

119

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. ALVES, V. S. S. Avaliação do efeito de punção em lajes lisas de concreto armado

com fibras de aço com a variação do índice de retangularidade. 2017. Dissertação

(Mestrado). UFB. Uberlândia, 2017.

2. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 318: Building Code Requirements for

Structural Concrete, 2014. 517 p.

3. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. ACI 421: Guide to Shear Reinforcement for

Slabs, 2008. 27 p

4. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de

Estruturas de Concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 238 p.

5. AZEVEDO, Aline Passos de. Resistência e ductilidade das ligações laje-pilar em lajes

de concreto de alta resistência armado com fibras de aço e armadura transversal

de pinos. 1999. Dissertação (Mestrado). USP. São Carlos, 1999.

6. AZEVEDO, Aline Passos de; HANAI, João Bento de. Resitência e ductilidade das

ligações laje-pilar em lajes-cogumelo de concreto de alta resistência armado com

fibras de aço e armadura tranversal de pinos. São Carlos: Editora da USP, 2003. 36

p.

7. BARRETO, Nilton Roberto. Punção em lajes cogumelo de concreto armado com

armadura de cisalhamento tipo estribo inclinado aberto e tipo vertical contínua.

2002. Dissertação (Mestrado). UNB. Brasília, 2002.

8. CAVALCANTE, Jonathan W. L.. Estudo de punção em lajes - modelos teóricos e

análise em códigos computacionais. 2016. 66 f. TCC (Graduação) - Curso de

Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rn, 2016.

120

9. CARVALHO, Julianne Santos. Lajes cogumelo de concreto armado reforçadas ao

puncionamento com parafusos de alta resistência. 2001. Dissertação (Mestrado).

UNB. Brasília, 2001.

10. CORDOVIL, F. A. B. e FUSCO, P. B. Ensaios de placas de concreto armado –

Punção excêntrica. Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP. São Paulo, 1995.

11. CTP GROUP. Tropicana Reinforced Concrete Parking Garage Collapse Evaluation.

days [2003]. 1 fotografia, color. Disponível em:<

http://www.ctlgroup.com/projects/tropicana-reinforced-concrete-parking-garage-

collapse-evaluation/>. Acesso em: 12 Mai. 2017

12. ELSTNER, Richard C.; HOGNESTAD, Eivind. Shearing Strength of Reinforced

Concrete Slabs. Urbana-champaign: American Concrete Institute, 1956. 30 p.

13. EUROPEAN STANDARD. EUROCODE 2: Design of Concrete Structures – General

Rules for Buildings, 2004. 230 p.

14. FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto: Solicitações Tangenciais. São

Paulo: Pini, 2008. 332 p.

15. HOLANDA, Kristiane M. A.. Análise dos mecanismos resistentes e das similaridades

de efeitos da adição de fibras de aõ na resitência e na ductilidade à punção de lajes-

cogumelo e ao cisalhamento de vigas de concreto. 2012. 302 f. Tese (Doutorado) -

Curso de Engenharia Civil, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2002.

16. IBRACON, Comitée de coordenadores. ABNT NBR 6118:2014 Comentários e

Exemplos de Aplicação. 2015. 480f. Ibracon, 2015.

17. KINNUNEN, S e NYLANDER, H. Punching of Concrete Slabs Without Shear

Reinforcement. 2009. 112f. Transactions of the Royal Institute of Technology.

Stockholm, 1960.

121

18. LEONHARDT, F.; MONNIG, E.. Construções de Concreto: Casos Especiais de

Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado. Rio de Janeiro: Interciência,

1977. 6 v.

19. LONGO, Henrique Inecco. Considerações sobre o Projeto de Estruturas de

Edificações de Concreto Armado. Rio de Janeiro: Apostila, 2017. 248 p.

20. MARZOUK, H.; HUSSEIN, A., Experimental Investigation on the Behavior of

HighStrength Concrete Slabs. ACI Structural Journal, V. 88, No. 6, Nov.-Dec. 1991,

pp. 701-713.

21. MELGES, João Luiz Pinheiro. Punção em Lajes: Exemplos de Cálculo e Análise

Teórico-Experimental. 1994. 252 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Engenharia de

Estruturas, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1995.

22. MELGES, João Luiz Pinheiro. Análise experimental na punção em lajes de concreto

armado e protendido. São Carlos, 2001. 414 f. Tese (Doutourado) - Curso de

Engenharia de Estruturas, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2001.

23. MELO, Guillherme S. S. A. Proposição de item da norma com referência ao cálculo

de armadura contra colapso progressivo em lajes cogumelo. REIBRAC, 36, p. 725-

734. Porto Alegre, 1994.

24. MIDDLETON, Reid., Christchurch Earthquake Reconnaissance Part 1: The First 3

days [2011]. 1 fotografia, color. Disponível em:< http://www.reidmiddleton.com/

reidourblog/5-2/ >. Acesso em: 20 jul. 2017.

25. MUSSE, Taís Helena. Punção em lajes cogumelo: fibras de aço e armadura de

cisalhamento. 2004. Dissertação (Mestrado). UFG. Goiânia, 2004.

26. OLIVEIRA, P. R. F. et all. Síntese do laudo técnico sobre as causas do desabamento

da obra do Shopping Rio Poty. Conselho Regional de Engenharia e Agronomia do

Piauí. 2013.

122

27. PILAKOUTAS, K; LI, X. Shear band: novel punching shear reinforcement for flat

slabs. The Mouchel Centenary on Innovation on Civil and Structural Engineering. P.35-

45. England, 1997.

28. PREST, Marcelo. Veja fotos do desabamento da área de lazer de um condomínio de

luxo em Vitória [2016]. 1 fotografia, color. Disponível em:

http://www.gazetaonline.com.br/noticias/cidades/2016/07/veja-fotos-do-desabamento-

da-area-de-lazer-de-um-condominio-de-luxo-em-vitoria-1013959030.html.> Acesso

em: 13 abr. 2017.

29. RABELO, Fernando Toppan. Análise comparativa de normas para a punção em lajes

de concreto armado. 2009. Dissertação (Mestrado), UFSC, 2010.

30. REGAN, P.E. Punching Tests of Concrete Slabs with Riss Star Shear

Reinforcement. School of Architecture e Engineering, University of Westminster.

London, 1993.

31. REGAN, P.E. Shear combs, reinforcement against punching. The Structural

Engineer. London, 1985.

32. RICHART, Frank. E.. Reinforced Concrete Wall and Column Footings. Urbana-

champaign: American Concrete Institute, 1948. 31 p.

33. SACRAMENTO, P. V. P. et al. Revista IBRACON de Estruturas e Materiais: Punção

em Lajes Lisas de Concreto Armado sem Armadura de Cisalhamento. 5. ed. Rio de

Janeiro: Ibracon, 2012. 691 p.

34. SANTOS, G.S. et al. Revista IBRACON de Estruturas e Materiais: Sistema de

reforço à punção de lajes lisas de concreto armado com polímeros reforçados com fibra

de carbono (PRFC). 7. ed. Rio de Janeiro: Ibracon, 2014. 625 p.

123

35. SENA, Yala. Obra de shopping desaba e operário fica ferido em Teresina [2013]. 1

fotografia, color. Disponível em: < https://www.terra.com.br/noticias/brasil/cidades/pi-

obra-de-shopping-desaba-e-operario-fica-ferido-em teresina.html>. Acesso em: 13 abr.

2017.

36. SOUZA, R.A.; BITTENCOURT, T.N. Definição de expressões visando relacionar fc’

e fck. 2003. IV Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura, Maringá,

Novembro, Vol.1. 290p.

37. TALBOT, Arthur N.. Reinforced Concrete Wall Footings and Column Footings.

1912. 130 f. Tese (Doutorado) - Curso de Civil Engineering, University Of Illinois,

Urbana-champaign, 1913.

38. ZAMBRANA VARGAS, Elioth Neyl. Punção em lajes-cogumelo de concreto de alta

resistência reforçado com fibras de aço. 1997. Dissertação (Mestrado). USP. São

Carlos, 1997.

124

Apêndice I

O fator J para a primeira seção crítica do pilar interno P24 é definido aplicando-se a

equação apresentada na norma ACI421:2008, as medidas necessárias são demonstradas na

Figura 94.

𝐽𝑥 = 𝑑 . ∑

𝑙

3 . (𝑦𝑖

2 + 𝑦𝑖 . 𝑦𝑗 + 𝑦𝑗2)

(I.1)

1. 0,43

3 . [ (0,415)2 + (0,415) . (0,415) + (0,415)²] = 0,0741 (I.2)

2. 0,83

3. [(0,415)2 + (0,415). (−0,415) + (0,415)2] = 0,0476 (I.3)

3. 0,0741 (I.4)

4. 0,0476 (I.5)

∑ = 0,243 (I.10)

Jx = 0,243 . 0,18 = 0,0438m4 (I.11)

Figura 94 - Primeira seção crítica do pilar interno.

O fator J para a segunda seção crítica do pilar interno P24 é definido a seguir. As

medidas necessárias foram obtidas a partir da modelagem da superfície de controle no programa

Auto CAD, como segue:

125

Figura 95 - Segunda seção crítica do pilar interno P24.

5. 0,325

3 . [ (0,955)2 + (0,955) . (0,955) + (0,955)²] = 0,296 (I.12)

6. 0,838

3. [(0,955)2 + (0,955). (0,362) + (0,362)2] = 0,388 (I.13)

7. 0,725

3. [(0,362)2 + (0,362). (−0,362) + (−0,362)2] = 0,0317 (I.14)

8. 0,388 (I.15)

9. 0,296 (I.16)

10. 0,388 (I.17)

11. 0,0317 (I.18)

12. 0,388 (I.19)

∑ = 2,207 (I.20)

Jx = 2,207 . 0,18 = 0,397m4 (I.21)

126

Apêndice II

De modo análogo ao Apêndice I, os fatores Jx e Jy para a primeira seção crítica do

pilar de borda P6 são definidos a seguir. As medidas necessárias foram obtidas a partir da

modelagem da superfície de controle no programa Auto CAD, como segue:

Figura 96 - Primeira seção crítica do pilar de borda P6.

𝐽𝑦 = ∑𝑙

3 . (𝑥𝑖

2 + 𝑥𝑖 . 𝑥𝑗 + 𝑥𝑗2)

(II.1)

1. 0,59

3 . [ (−0,215)2 + (−0,215) . (−0,215) + (0,215)²] = 0,0273 (II.2)

2. 0,43

3 . [ (−0,215)2 + (−0,215) . (0,215) + (0,215)²] = 0,00663 (II.3)

3. 0,0273 (II.4)

∑ = 0,0612 (II.5)

𝐽𝑦 = 0,0612 . 0,18 = 0,0110 (II.6)

𝐽𝑥 = ∑𝑙

3 . (𝑦𝑖

2 + 𝑦𝑖 . 𝑦𝑗 + 𝑦𝑗2)

(II.7)

1. 0,59

3 . [ (−0,216)2 + (−0,216) . (0,374) + (0,374)²] = 0,0208 (II.8)

2. 0,43

3 . [ (−0,216)2 + (−0,216) . (−0,216) + (0,216)²] = 0,0201 (II.9)

3. 0,0208 (II.10)

∑ = 0,0617 (II.11)

𝐽𝑥 = 0,0617 . 0,18 = 0,0111m4 (II.12)

127

Apêndice III

Os fatores Jx e Jy para a primeira seção crítica do pilar de borda P6, assumindo p igual

a 1,25m são definidos a seguir. As medidas necessárias foram obtidas a partir da modelagem

da superfície de controle no programa Auto CAD, como segue:

Figura 97 - Segunda seção crítica do pilar de borda P6.

𝐽𝑦 = ∑𝑙

3 . (𝑥𝑖

2 + 𝑥𝑖 . 𝑥𝑗 + 𝑥𝑗2)

(III.1)

1. 0,537

3 . [ (−1,465)2 + (−1,465) . (−1,465) + (−1,465)²] = 1,153 (III.2)

2. 1,84

3 . [ (−1,465)2 + (−1,465) . (−0,1623) + (−0,1623)²] = 1,478 (III.3)

3. 0,325

3 . [ (−1,623)2 + (−1,623) . (0,1623) + (0,1623)²] = 0,00285 (III.4)

4. 1,478 (III.5)

5. 1,153 (III.6)

∑ = 5,26 (III.7)

𝐽𝑦 = 5,26 . 0,18 = 0,948 (III.8)

𝐽𝑥 = ∑𝑙

3 . (𝑦𝑖

2 + 𝑦𝑖 . 𝑦𝑗 + 𝑦𝑗2)

(III.9)

1. 0,537

3 . [ (1,037)2 + (1,037) . (0,500) + (0,500)²] = 0,330 (III.10)

128

2. 1,84

3 . [ (0,500)2 + (0,500) . (−0,803) + (−0,803)²] = 0,303 (III.11)

3. 0,325

3 . [ (−0,162)2 + (−0,162) . (0,162) + (0,162)²] = 0,0028 (III.12)

4. 0,303 (III.13)

5. 0,330 (III.14)

∑ = 1,476 (III.15)

𝐽𝑥 = 1,476 . 0,18 = 0,266m4 (III.16)

129

Apêndice IV

Os fatores Jx e Jy para a primeira seção crítica do pilar de borda P6 são definidos a

seguir. As medidas necessárias foram obtidas a partir da modelagem da superfície de controle

no programa Auto CAD, como segue:

Figura 98 - Segunda seção crítica do pilar de borda P6.

𝐽𝑦 = ∑𝑙

3 . (𝑥𝑖

2 + 𝑥𝑖 . 𝑥𝑗 + 𝑥𝑗2)

(IV.1)

1. 0,537

3 . [ (−1,555)2 + (−1,555) . (−1,555) + (−1,555)²] = 1,298 (IV.2)

2. 1,97

3 . [ (−1,555)2 + (−1,555) . (−0,1623) + (−0,1623)²] = 1,771 (IV.3)

3. 0,325

3 . [ (−1,623)2 + (−1,623) . (0,1623) + (0,1623)²] = 0,00285 (IV.4)

4. 1,4771 (IV.5)

5. 1,298 (IV.6)

∑ = 6,14 (IV.7)

𝐽𝑦 = 6,14 . 0,18 = 1,105 (IV.8)

130

𝐽𝑥 = ∑𝑙

3 . (𝑦𝑖

2 + 𝑦𝑖 . 𝑦𝑗 + 𝑦𝑗2)

(IV.9)

1. 0,537

3 . [ (1,082)2 + (1,082) . (0,545) + (0,545)²] = 0,368 (IV.10)

2. 2,11

3 . [ (0,545)2 + (0,545) . (−0,848) + (−0,848)²] = 0,364 (IV.11)

3. 0,325

3 . [ (−0,848)2 + (−0,848) . (−0,848) + (−0,848)²] = 0,234 (IV.12)

4. 0,364 (IV.13)

5. 0,368 (IV.14)

∑ = 1,707 (IV.15)

𝐽𝑦 = 1,707 . 0,18 = 0,307m4 (IV.16)

131

Apêndice V

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