AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDO … · AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDO OS EFEITOS DA VOLATILIDADE DA VOLATILIDADE Maurel Alexis Weichert UFRJ –

AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDOOS EFEITOS DA VOLATILIDADE DA VOLATILIDADE

Maurel Alexis Weichert

UFRJ – Universidade Federal do Rio de JaneiroInstituto Coppead de Administração

Mestrado em Administração

Orientador: Eduardo Facó LemgruberPh. D. em Finanças

Rio de Janeiro2002

ii

AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDOOS EFEITOS DA VOLATILIDADE DA VOLATILIDADE

Maurel Alexis Weichert

Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto Coppead de

Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro – COPPEAD/UFRJ,

como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em

Ciências (M.Sc.) em Administração.

Aprovada por:

__________________________________________

Prof. Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D. – Orientador

__________________________________________

Prof. Eduardo Saliby, Ph.D.

__________________________________________

Dr. Octávio Manuel Bessada Lion, D.Sc.

Rio de Janeiro2002

iii

FICHA CATALOGRÁFICA

Weichert, Maurel Alexis

Avaliação de opções com barreira considerando os

efeitos da volatilidade da volatilidade/ Maurel Alexis

Weichert. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2002.

xii, 135 p. ; il

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do

Rio de Janeiro, COPPEAD, 2002.

1. Finanças - Tese. 2. Opções – Tese. 3. Opções

com Barreira – Tese. I. Título. II. Tese (Mestr. –

UFRJ/COPPEAD)

iv

À Fernanda, pelo incentivo, amor e

compreensão, e aos meus pais, que, com

muita dedicação e carinho, propiciaram a

minha educação.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço inicialmente ao Prof. Eduardo Facó Lemgruber, orientador deste

trabalho, por todo o apoio e pela confiança, não somente no desenvolvimento

de minha pesquisa mas também no decorrer de todo o curso.

Agradeço também ao Prof. Eduardo Saliby pelo interesse e pela

colaboração no desenvolvimento da pesquisa, assim como pela participação na

banca.

Não poderia também deixar de agradecer a todos os funcionários do

Coppead, em especial aos da Secretaria Acadêmica e da Biblioteca, por toda

dedicação, apoio e amizade.

Por último, devo ainda agradecer ao Banco Central do Brasil por ter me

propiciado esta oportunidade, através de minha participação em seu Programa

de Pós-Graduação. Entre muitos do Banco Central, gostaria de agradecer

especialmente ao Dr. Octávio Manuel Bessada Lion, pela participação em

minha banca, ao Dr. Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo, por toda sua

colaboração, e aos amigos Marcelo Davi Xavier da Silveira Datz e Joana

Cristina Rodrigues, pelo incentivo.

vi

RESUMO

WEICHERT, Maurel Alexis. Avaliação de opções com barreiraconsiderando os efeitos da volatilidade da volatilidade. Orientador:

Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2002.

Dissertação (Mestrado em Administração).

A importância do estudo das opções com barreira aumenta à medida que

o mercado passa a empregar com maior freqüência estes derivativos.

Paralelamente, o reconhecimento de que a volatilidade da volatilidade (vol-vol)

exerce forte influência nos preços das opções nos leva a pensar em modelos

de avaliação de opções com barreira que sejam capazes de captar os seus

efeitos. Assim sendo, este estudo se propõe a analisar o emprego de uma

fórmula analítica para as opções com barreira, capaz de considerar a

possibilidade de dois níveis distintos para a volatilidade. A análise é efetuada

através da realização de uma estratégia de negociação de arbitragem, onde o

preço fornecido por esta fórmula é contrastado diariamente com uma avaliação

alternativa obtida através de um modelo de simulação de Monte Carlo. Modelo

este que considera a volatilidade como uma função contínua do preço do ativo.

A realização da estratégia para três casos específicos nos mostra ser possível

a obtenção de lucros, sugerindo assim que a fórmula analítica não é capaz de

captar satisfatoriamente os efeitos da vol-vol.

vii

ABSTRACT

WEICHERT, Maurel Alexis. Avaliação de opções com barreiraconsiderando os efeitos da volatilidade da volatilidade. Orientador:

Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2002.

Dissertação (Mestrado em Administração).

Considering that the volatility of the volatility (vol-vol) has strong influence

on the prices of the options, this research intends to analyze the use of a

specific analytical formula for barrier options, capable of considering two

different levels for volatility. The analysis is performed employing an arbitrage

strategy where two valuations for the same barrier option are contrasted. The

price supplied by the formula is compared daily with an alternative valuation

obtained by a Monte Carlo simulation model that considers the volatility as a

continuous function of the underlying asset price. The strategy is applied in

three different cases and shows that it is possible to make profits, suggesting

that the formula is not able to consider satisfactorily the effects from vol-vol.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Alternativas de Modelos de Movimentos de Preços p.15

Figura 2 Smile da Volatilidade da Ação Preferencial da Telemar(TNLP4), obtido em 02/10/01 a partir das VolatilidadesImplícitas das Opções com Vencimento em 15/10/01 p.26

Figura 3 Árvore Binomial Estendida p.57

Figura 4 Comportamento da Ação Preferencial da Telemar (TNLP4)durante o Período de 30/07/01 a 31/01/02 p.84

Figura 5 Convergência dos Valores Simulados para o Resultado daFórmula de R&R p.91

Figura 6 Comparação entre Modelos de Simulação e a Fórmula deHeynen & Kat p.94

Figura 7 Volatilidades Implícitas nos Preços das Opções Comunssobre TNLP4, obtidas diariamente, no Período de 30/07/01a 31/01/02, para X = 31.55, 36, 39 e 42 p.96

Figura 8 Coeficientes Alfa, Beta e Gama da Função de Volatilidadeσ = Alfa*S2 + Beta*S + Gama, obtidos diariamente, noPeríodo de 30/07/01 a 31/01/02, a partir dos Smiles dasVolatilidades Implícitas nos Preços das Opções Comunssobre TNLP4 p.97

Figura 9 Preços das Opções com Barreira – Opções de compra, dotipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento em31/01/02, avaliadas diariamente, no período de 30/07/01 a31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo epela fórmula de H&K p.98

Figura 10 Diferenças de Preços das Opções com Barreira (MC-H&K)– Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, semrebate, vencimento em 31/01/02, avaliadas diariamente, noperíodo de 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo desimulação de Monte Carlo e pela fórmula de H&K p.100

Figura 11 Delta das Opções com Barreira – Opções de compra, dotipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento em31/01/02. Delta calculado diariamente, no período de30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação deMonte Carlo p.101

LISTA DE QUADROS E TABELAS

ix

Quadro 1 Tipos de Opções com Barreira p.12

Quadro 2 Síntese dos Dados considerados no Experimento p.84

Tabela 1 Convergência dos Valores Simulados para o Resultadoda Fórmula de R&R p.91

Tabela 2 Comparação entre Modelos de Simulação e a Fórmula deHeynen & Kat p.93

Tabela 3 Resultados das Estratégias de Negociação de Arbitragem– Estratégias realizadas no período de agosto de 2001 ajaneiro de 2002, com a negociação diária de opções decompra do tipo up-and-out, com K = 31.55, sem rebate evencimento em 31/01/02 p.102

Tabela 4 Quantidade de Encerramentos Parciais da Carteira emcada Estratégia – Estratégias realizadas no período deagosto de 2001 a janeiro de 2002, com a negociaçãodiária de opções de compra do tipo up-and-out, com K =31.55, sem rebate e vencimento em 31/01/02 p.103

Tabela 5 Resultados das Estratégias de Negociação de Arbitragem– Estratégias realizadas no período de 07/11/01 a31/01/02, com a negociação diária de opções de comprado tipo up-and-out, com K = 31.55, sem rebate evencimento em 31/01/02 p.105

x

LISTA DE ANEXOS

Anexo 1 Algoritmo para Cálculo de Opções com Barreira Simples apartir do Modelo desenvolvido por Reiner e Rubinstein(1991) p.118

Anexo 2 Algoritmo para Cálculo de Opções com Barreira com DoisAtivos – Outside Barrier Options - a partir do Modelodesenvolvido por Heynen e Kat (1994) p.120

Anexo 3 Estratégia de Negociação para Opção com Barreira iguala 36 p.121



Anexo 6 Estratégia Parcial para Opção com Barreira igual a 36 p.133



xi

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................... 1

1.1. A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ............................................ 1

1.2. OBJETIVOS ................................................................................ 2

1.2.1. Objetivo Principal .............................................................. 2

1.2.2. Desenvolvimento de um Modelo de Avaliação ................. 3

1.2.3. Questão a Ser Respondida pela Pesquisa ....................... 3

1.3. MOTIVAÇÃO DO ESTUDO ......................................................... 3

1.4. RELEVÂNCIA DO ESTUDO ........................................................ 6

1.5. DELIMITAÇÃO DO ESTUDO ...................................................... 6

1.6. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO .......................................... 7

2. REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................... 9

2.1. AS OPÇÕES EXÓTICAS ............................................................. 9

2.2. AS OPÇÕES COM BARREIRA ...................................................10

2.2.1. Como Funcionam as Opções com Barreira ......................10

2.2.2. Os Tipos de Opções com Barreira ....................................11

2.2.3. As Opções com Barreira com Dois Ativos ........................14

2.3. O COMPORTAMENTO DOS PREÇOS DOS ATIVOS ...............14

2.3.1. O Processo Contínuo ........................................................15

2.3.2. O Processo com Saltos .....................................................17

2.3.3. A Volatilidade.....................................................................23

2.3.4. A Volatilidade da Volatilidade (Vol-Vol) .............................27

2.4. A AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRAS........................33

2.4.1. Fórmulas Analíticas ...........................................................34

2.4.2. Métodos Numéricos...........................................................41

2.4.3. Avaliação com uso de Simulação......................................48

2.5. O HEDGE DE OPÇÕES COM BARREIRA..................................54

2.5.1. As Gregas .........................................................................54

2.5.2. A Realização do Hedge ....................................................58

2.6. A ESTRATÉGIA DE CARTEIRA DELTA-NEUTRA .....................64

xii

3. METODOLOGIA .....................................................................................67

3.1. DESCRIÇÃO GERAL DO EXPERIMENTO .................................68

3.1.1. Etapas do Experimento .....................................................68

3.1.2. Hipóteses Adotadas...........................................................71

3.2. CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE SIMULAÇÃO ......................72

3.2.1. A Simulação de Monte Carlo ............................................72

3.2.2. Definição dos Parâmetros Básicos da Simulação ............74

3.3. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SIMULAÇÃO E A

FÓRMULA DE HEYNEN & KAT .................................................76

3.3.1. Características da Opção e Ativo-Objeto .........................76

3.3.2. Modelo com 2 Níveis Distintos de Volatilidade .................77

3.3.3. Modelo para 2 Ativos com Correlação Perfeita ................77

3.3.4. Modelo com Função Quadrática para a Volatilidade ........79

3.3.5. As Limitações dos Modelos ..............................................79

3.4. EMPREGO DE UMA ESTRATÉGIA DE NEGOCIAÇÃO ............80

3.4.1. Escolha do Modelo de Simulação .....................................81

3.4.2. Seleção dos Dados ...........................................................81

3.4.3. Definição da Função de Volatilidade .................................84

3.4.4. A Estratégia de Negociação ..............................................87

4. RESULTADOS .......................................................................................90

4.1. CONVERGÊNCIA DA SIMULAÇÃO ...........................................90

4.2. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SIMULAÇÃO E A

FÓRMULA DE HEYNEN & KAT .................................................92

4.3. RESULTADOS DAS ESTRATÉGIAS DE NEGOCIAÇÃO ..........95

5. CONCLUSÃO .......................................................................................107

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................112

ANEXOS .........................................................................................................118

1. INTRODUÇÃO

1.1. A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

O emprego de opções com barreira no mercado financeiro vem se

difundindo progressivamente, tanto em nível internacional quanto no mercado

brasileiro. Com isto, ganha importância o estudo de tais opções, principalmente

no que se refere à avaliação e à realização de hedge destes instrumentos.

Merton (1973) foi o primeiro a desenvolver um modelo de avaliação para as

opções com barreira, ainda que restrito para opções de compra do tipo down-

and-out. Desde então, diversas pesquisas buscaram novas formas e modelos

de avaliação, entretanto, grande parte baseada nas mesmas premissas

adotadas pelo modelo desenvolvido por Black e Scholes (1973) para opções

comuns, isto é, sem barreiras.

Entre as premissas do modelo de Black-Scholes (B-S), destaca-se a

restrição imposta para a volatilidade, considerada constante durante toda a

vigência da opção. Evidências empíricas demonstram que a condição de

homocedasticidade não se verifica na prática. Diversos fatores, sejam estes

macroeconômicos, de condições de mercado, ou até mesmo comportamentais,

podem influir no preço e também na volatilidade de um determinado ativo. No

caso específico de ativos que são objetos de lançamento de opções, nota-se

que a volatilidade do retorno do ativo é influenciada até mesmo pelo correr do

tempo de vigência da opção, existindo assim uma forte influência do fator

tempo no preço da opção em questão. Outro fator que contribui para a variação

da volatilidade no caso das opções é o próprio nível de preço em que se

encontra o ativo-objeto: nota-se variações de preço bem distintas do ativo se

este apresenta preço baixo ou se apresenta patamares elevados. Estas

constatações conduzem à pesquisa de novos modelos de avaliação de opções

com barreira onde a premissa de homocedasticidade seja então relaxada.

2

O desenvolvimento de um modelo analítico específico para opções com

barreira com dois ativos diferentes (Heynen e Kat, 1994) vem permitindo a

avaliação de opções com um único ativo, porém com dois níveis distintos para

a volatilidade. Desta forma, tem-se um modelo de avaliação onde é possível

relaxar a premissa da homocedasticidade. Contudo, tal modelo parece

demasiadamente simplista para captar a variação da volatilidade do preço,

chamada de volatilidade da volatilidade (vol-vol), o que pode estar gerando um

significativo viés na determinação do preço justo da opção.

1.2. OBJETIVOS

1.2.1. Objetivo Principal

Esta pesquisa tem por objetivo estudar a avaliação de opções com

barreira quando considerada a variação da volatilidade do ativo-objeto ao longo

da vigência da opção, a partir de uma análise do emprego da fórmula analítica

desenvolvida por Heynen e Kat (1994), doravante referenciada como Heynen &

Kat ou simplesmente H&K. Esta fórmula, originariamente destinada para

opções com barreira com dois ativos diferentes, tem sido utilizada para a

avaliação de opções com barreira com um único ativo, porém considerando

dois níveis distintos de volatilidade. Contudo, com o intuito de verificar se este

uso específico da fórmula é capaz de captar satisfatoriamente os efeitos da vol-

vol, é realizada uma estratégia de negociação de arbitragem buscando verificar

a possibilidade de obtenção de lucros com a negociação sistemática de uma

opção com barreira e a realização simultânea de delta hedging, de forma que o

investidor se mantenha livre de risco de mercado durante toda a realização da

estratégia. As operações de arbitragem são realizadas a partir da comparação

diária do preço de uma determinada opção com barreira obtido através de um

modelo de simulação de Monte Carlo, que considera a volatilidade como sendo

uma função contínua do preço do ativo, doravante denominado MC, e o valor

fornecido por H&K.

3

1.2.2. Desenvolvimento de um Modelo de Avaliação

Para se chegar ao objetivo principal do estudo, a metodologia adota o

emprego de um modelo alternativo ao utilizado pelo mercado, contrastando os

preços fornecidos por cada um dos modelos em uma determinada estratégia

de negociação. Destarte, tem-se como objetivo secundário o desenvolvimento

deste modelo de avaliação e de cálculo do delta de opções com barreira que

leve em consideração a mudança de volatilidade do ativo-objeto em função do

valor à vista do próprio ativo-objeto.

1.2.3. Questão a Ser Respondida pela Pesquisa

Assim sendo, o experimento desenvolvido visa responder a seguinte

pergunta: “É possível a obtenção de lucros com a compra e venda sistemática

de opções com barreira através de uma estratégia de negociação de

arbitragem do tipo delta-neutro, a partir da utilização de um modelo alternativo

para a avaliação das opções, que seja capaz de melhor captar os efeitos da

vol-vol ?” A constatação de que é possível obter lucros com a realização da

estratégia se apresenta como um indicador de que H&K não é capaz de

considerar adequadamente a vol-vol e, por conseqüência, não fornece o que

seria o “preço justo” da opção com barreira. A possível constatação de que

H&K não é capaz de valorar adequadamente tais instrumentos financeiros

pode alertar os participantes deste mercado quanto a necessidade de estudo e

pesquisa de modelos que melhor reflitam o preço justo da opção.

1.3. MOTIVAÇÃO DO ESTUDO

A negociação de opções de ações com barreira teve início no ano de

1967, no mercado norte-americano, sendo a princípio somente negociadas no

mercado de balcão (over-the-counter), individualmente ou como parte de uma

operação estruturada. Desde então vem ganhando importância no mercado

financeiro, sendo hoje o tipo mais utilizado da classe das denominadas opções

exóticas. A Chicago Board Options Exchange (CBOE) e a American Stock

4

Exchange oferecem ao mercado a negociação de opções de índices de ações

com barreira do tipo up-and-out call e down-and-out put.1 No mercado de

balcão norte-americano tem sido bastante comum a negociação de opções

com barreira de commodities, taxas de juros e moedas, sendo estas últimas as

mais comuns.

No Brasil a utilização de opções com barreira é bem mais recente e

restrita, porém tal quadro vem se alterando a partir da integração e

internacionalização do mercado financeiro nacional. Algumas instituições

financeiras internacionais instaladas no Brasil já incluem as opções com

barreira no rol de seus produtos financeiros. O público-alvo é composto por

empresas e investidores institucionais que buscam um instrumento de hedge

específico e a custos mais baixos.

A Bolsa de Mercadorias e Futuros – BM&F oferece contratos já

especificados para negociação de Opções de Compra Flexíveis de Índice

Ibovespa e de Taxa de Câmbio de Reais por Dólar no mercado de balcão2.

Pelas suas características, tais instrumentos podem ser classificados na

categoria das opções com barreira. As opções flexíveis de dólar se configuram

pela determinação de um valor máximo para a taxa de câmbio para efeito de

exercício da opção, o que caracteriza uma barreira do tipo up, porém a opção

não deixa de existir quando o valor à vista da taxa de câmbio alcança a

barreira. Tal mecanismo torna esta opção similar a uma opção do tipo up-and-

out com rebate igual ao valor da barreira menos o preço de exercício (R = H -

K). Contudo, a verificação da barreira só ocorre no momento do exercício, ou

seja, ainda que o valor à vista da taxa de câmbio tenha superado a barreira

durante a vigência da opção, o titular poderá receber no exercício um valor

inferior ao “rebate”, caso neste momento o valor da taxa esteja inferior ao valor

da barreira. As opções flexíveis de Ibovespa, por sua vez, podem ser do tipo in

1 A CBOE introduziu a negociação de up-and-out calls e down-and-out puts sobre os índicesS&P500 e S&P100 em Novembro de 1991. (Kat e Verdonk, 1995)2 As especificações destes contratos podem ser obtidas no site da BM&F – www.bmf.com.br.

5

ou out, up ou down, ou até mesmo uma combinação de in com out, sendo que

neste caso a barreira do tipo out somente será válida se a barreira in já tiver

sido acionada. Podem ser também semelhantes às opções flexíveis de dólar,

no sentido de que haja apenas um limite de preço para exercício da opção,

caracterizando uma barreira do tipo up com rebate igual ao valor da barreira

menos o preço de exercício. O monitoramento das barreiras pode ser contínuo

ou discreto. No primeiro caso, adota-se o Ibovespa máximo do dia para

verificação do alcance da barreira, enquanto que no segundo caso é possível

utilizar o Ibovespa médio ou o valor de fechamento do dia. Como pode ser

constatado, a BM&F permite uma série de variações de tipos de barreiras,

cabendo às partes a definição exata do instrumento que desejam: a escolha de

prazos, preços de exercícios e barreiras, assim como as condições de

exercício, se serão opções européias ou americanas.

Dito isto, a partir deste crescimento do emprego das opções com barreira,

podemos apresentar a motivação para a realização da presente pesquisa

através dos seguintes fatores:

i) A importância das opções exóticas como produtos individualizados para

empresas e investidores que buscam instrumentos de hedge no mercado

de derivativos;

ii) O aumento progressivo do uso de opções com barreira no Brasil, o que

vem a criar uma demanda por modelos de avaliação;

iii) A escassez de literatura específica sobre a questão da avaliação de

opções com barreira quando não pressuposta a volatilidade do ativo-

objeto constante;

iv) A dificuldade inerente a opções deste gênero para realização do seguro

dinâmico de portfólio, haja vista o fato da opção tornar-se imediatamente

nula (ou efetiva) no momento em que o ativo-objeto romper a barreira,

gerando um desequilíbrio em uma carteira anteriormente delta-neutra.

6

1.4. RELEVÂNCIA DO ESTUDO

Os fatores acima, principalmente o abordado no item (ii), demonstram a

importância e a relevância do estudo para os profissionais que direta ou

indiretamente participam do mercado financeiro. A importância de se aprimorar

os modelos de avaliação de opções com barreira se refere tanto aos

lançadores (vendedores) das opções, em geral grandes instituições financeiras,

quanto aos titulares (compradores), investidores individuais ou institucionais

que buscam produtos que atendam suas necessidades específicas de

proteção. Neste último caso, as opções com barreira se apresentam como

alternativa de excelente combinação entre flexibilidade e custo. Uma melhor

avaliação e uma maior compreensão do comportamento de tais opções

contribuirá para o desenvolvimento deste mercado.

Em termos do que ora se propõe neste estudo, a possibilidade de

constatação de que a fórmula de H&K, supostamente empregada pelo

mercado, não é adequada para a valoração de tais instrumentos financeiros

pode alertar os participantes deste mercado quanto à necessidade de estudo e

pesquisa de modelos mais acurados ou, no mínimo, de empregarem os atuais

modelos conscientes de que estes não necessariamente refletem o preço justo

da opção. Ilustrando a importância do presente estudo podemos ainda citar

Derman (2001) quando diz que:

“... tesourarias de bancos de investimento geralmente possuem

substanciais posições em derivativos de longo prazo ou exóticos, que

são marcados a mercado apenas através de modelos matemáticos. A

obtenção do valor justo destes derivativos é tarefa que vem ganhando

importância e envolve mais que matemática e um modelo. Requer

software, conhecimento e bom senso...” (tradução nossa)

1.5. DELIMITAÇÃO DO ESTUDO

A primeira e principal delimitação deste estudo é que ele não se propõe a

desenvolver um modelo que possa ser considerado eficiente na valoração das

7

opções com barreira. O desenvolvimento de um modelo alternativo, capaz de

melhor considerar os efeitos da vol-vol, objetiva apenas comparar suas

avaliações com os valores fornecidos pela fórmula de H&K, testando se esta é

capaz de refletir adequadamente a variação da volatilidade ao longo da

vigência de uma opção. Em outras palavras, os preços obtidos através do

modelo alternativo não são necessariamente os preços “justos” para as opções

em análise. Além desta delimitação, é possível destacar algumas outras:

i) O estudo foi todo efetuado para opções com barreira sobre ações, não

contemplando opções sobre outros ativos financeiros;

ii) As opções utilizadas na análise foram do tipo up-and-out call, não tendo

sido realizado qualquer estudo ou cálculo para opções do tipo down, ou do

tipo in, ou mesmo para opções de venda;

iii) Também não foi considerada a possibilidade da opção possuir uma

barreira que não fosse constante no tempo (barreiras variáveis) ou mesmo

uma barreira descontínua (parcial);

As delimitações (i) e (ii) não são deveras limitações dos resultados, haja

vista que a metodologia aqui empregada pode ser repetida para outros tipos de

opções com barreira simples, assim como para outros ativos financeiros, sem

que seja esperada a obtenção de resultados diferentes dos aqui encontrados.

1.6. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO

Introduzido o assunto deste estudo, aí incluído a formulação do problema,

os objetivos, a motivação, a relevância dentro da área de finanças, em

particular, no que diz respeito à avaliação de derivativos, assim como definidos

os limites de abrangência da pesquisa, cabe agora apresentar a organização

da presente dissertação.

O Capitulo 2 discorre sobre a teoria relacionada ao assunto em estudo,

sempre fazendo referência às principais contribuições existentes na literatura.

A Seção 2.1 trata em poucas palavras do surgimento das opções exóticas. A

Seção 2.2 apresenta a definição, a descrição dos tipos e do funcionamento das

8

opções, fornecendo ainda um destaque para as opções com barreira com dois

ativos. A Seção 2.3 discorre sobre o comportamento dos preços dos ativos,

abordando os processos contínuos e com saltos, assim como discutindo a

questão da volatilidade e sua variação, a volatilidade da volatilidade (vol-vol). A

Seção 2.4, por sua vez, tem seu enfoque nos métodos existentes para

avaliação de opções com barreira. A Seção 2.5 trata especificamente do hedge

de opções com barreira e, por último, a Seção 2.6 apresenta a teoria relativa à

realização de estratégias de negociação do tipo delta-neutro.

O Capítulo 3 da dissertação apresenta a metodologia adotada para

realização do experimento aqui proposto. Inicialmente, fornece uma descrição

geral do experimento, incluindo aí a formalização das hipóteses consideradas

no estudo. A metodologia adotada para a elaboração dos modelos alternativos

de avaliação, empregados na pesquisa, é apresentada na Seção 3.2. Em

seguida, na Seção 3.3, é abordada a metodologia utilizada para comparar os

modelos desenvolvidos com a fórmula de H&K. Por último, na Seção 3.4, é

descrito o procedimento para se realizar as estratégias de negociação. Neste

capítulo encontra-se ainda a descrição dos dados empregados no experimento

e é também exposto como a vol-vol foi considerada nos modelos

desenvolvidos.

O Capítulo 4 apresenta os resultados obtidos em todas as etapas do

experimento, passando pela análise de convergência de um modelo de

simulação preliminar, pela comparação entre resultados obtidos pelos modelos

de simulação e os da fórmula de H&K, e terminando com os resultados obtidos

com a realização das estratégias de negociação. Por último, o Capítulo 5

apresenta as conclusões, incluindo também as indicações de pesquisas

futuras.

9

2. REFERENCIAL TEÓRICO

O referencial teórico desta dissertação busca inicialmente fornecer ao

leitor uma visão geral do produto financeiro denominado opção com barreira,

partindo da “família” de derivativos de qual faz parte, as opções exóticas,

chegando aos modelos de avaliação existentes. Para tanto, torna-se

necessário abordar a questão do comportamento dos preços e da volatilidade

de preços dos ativos a que se referem as opções. Adicionalmente, inclui-se

uma breve discussão a respeito da estratégia de negociação do tipo delta-

neutro, visto que o presente estudo utiliza a técnica de realização do seguro

dinâmico de uma carteira através do emprego desta estratégia.

2.1. AS OPÇÕES EXÓTICAS

Não há consenso entre os autores sobre o início da utilização de opções.

Muitos consideram o Século XVII como marco inicial, a partir do emprego de

instrumentos deste gênero na negociação de tulipas na Holanda, alguns citam

a Idade Média, com o início do comércio, enquanto outros chegam mesmo a se

referir à Grécia e à China durante o período da Antiguidade. De concreto,

porém, tem-se o registro do início das opções tradicionais (vanilla options) no

mercado financeiro no decorrer do Século XVIII. As opções exóticas, por sua

vez, são bem mais recentes, com cerca de 35 anos de existência. O termo

“exóticas”, entretanto, é ainda mais novo, possivelmente criado por Mark

Rubinstein no ano de 1990 (Ong, 1996). Na década de 60 surgiram as

primeiras opções “diferentes”, isto é, fora dos padrões até então conhecidos, e

foram inicialmente chamadas de “boutique options” ou “designer options”. As

opções do tipo down-and-out estão disponíveis no mercado de balcão nos

Estados Unidos desde 1967 (Cox e Rubinstein, 1985).

As exóticas vieram progressivamente ganhando espaço dentro do

mercado financeiro. A necessidade de controle de riscos impulsionou o

mercado das opções exóticas, na medida em que propiciam diferentes tipos de

10

payoff capazes de atender aos mais diversos problemas da engenharia

financeira. A flexibilidade é tamanha que não há limites para a criação: se há o

desejo de uma nova estrutura, inventa-se uma nova exótica.

Entre as exóticas já existentes destacam-se as opções cujos payoffs

dependem da trajetória do ativo ao longo da vigência da opção, chamadas de

path-dependent options, no qual se incluem as opções com barreira, assim

como as lookbacks, asians, ladders, entre outras3.

2.2. AS OPÇÕES COM BARREIRA

Uma opção com barreira é ativada (knocked in) ou extinta (knocked out)

quando um preço de um determinado ativo, índice ou taxa alcança determinado

nível. A mais simples opção com barreira é aquela onde este ativo é o próprio

ativo-objeto da opção. Entretanto, existem também as opções com barreira

com dois ativos, que possuem o ativo determinante da barreira diferente do

ativo utilizado para determinação do pagamento (payoff). A inclusão da barreira

em uma opção reduz seu preço e possivelmente propicia uma distribuição de

payoff que melhor se encaixe em um determinado fluxo de caixa de um hedger

ou de um especulador. Como exemplo, imaginemos uma opção de compra do

tipo down-and-out. A inclusão de uma barreira localizada abaixo do valor inicial

do ativo (H < S0), que acabe com a opção caso ultrapassada, reduz o preço de

uma opção comum, oferecendo uma proteção mais barata contra uma possível

subida do preço do ativo.

2.2.1. Como Funcionam as Opções com Barreira

Exemplificando o funcionamento de uma opção com barreira, considere-

se o caso de uma opção de compra do tipo down-and-out, onde S é o preço do

ativo, K o preço de exercício, e H, com H < S, o preço de barreira. Uma down-

3 Ong (1996) apresenta uma visão geral de um grande número de opções exóticas existentes.

11

and-out européia estará valendo max[ST - K, 0] no vencimento T, como uma

opção de compra européia comum, se S esteve acima de H ao longo de toda a

vida da opção. Porém, se St < H para qualquer t < T, a opção terá alcançado a

barreira e portanto expirado sem qualquer valor, independentemente do preço

do ativo S no vencimento. Em muitos casos, a opção com barreira não expira

sem valor quando alcança a barreira, pagando um valor fixo de rebate (R).

Opções com barreira do tipo in funcionam de forma contrária. Se a

barreira não for atingida durante toda a vigência da opção, o payoff no

vencimento será nulo ou igual ao rebate, quando existente. Porém, se a

barreira é alcançada em qualquer instante t < T, a opção é ativada, tendo no

vencimento o mesmo payoff que teria uma opção européia comum equivalente.

Pode-se dizer que as opções com barreira do tipo in se comportam como

opções comuns a partir do momento em que a barreira é alcançada (a opção é

ativada), enquanto as opções do tipo out se comportam como opções comuns

até o momento em que a barreira é alcançada (a opção é extinta).

2.2.2. Os Tipos de Opções com Barreira

Em primeiro lugar, devemos considerar que as opções com barreira

podem ser do tipo européia ou americana4, embora a grande maioria seja

européia, permitindo o exercício somente no vencimento. Este estudo estará

sempre se referindo a opções européias, quando nada dito em contrário.

Conhecido o funcionamento de uma opção com barreira, conforme

apresentado no exemplo da seção anterior, pode-se relacionar oito diferentes

tipos de opções com barreira, dependendo do tipo básico das opções (de

compra ou de venda), da natureza da barreira (in ou out) e da localização da

4 A diferença entre opções européias e americanas está na possibilidade do exercícioantecipado de uma opção americana, enquanto que a européia somente pode ser exercida emseu vencimento.

12

barreira em relação ao preço inicial do ativo-objeto (up ou down). No Quadro 1

encontra-se uma descrição dos payoffs para cada um dos tipos de opções com

barreira:

Quadro 1 – Tipos de Opções com Barreira

TipoBásico

Naturezada

BarreiraLocalizaçãoda Barreira

RelaçãoentreH e So

Payoff no Vencimento

Up H > SoMax(S*-K;0), se S(t) ≥ H para algum t ≤ TR ou zero, se S(t) < H para todo t ≤ TIn

Down H < SoMax(S*-K;0), se S(t) ≤ H para algum t ≤ TR ou zero, se S(t) > H para todo t ≤ T

Up H > SoMax(S*-K;0), se S(t) < H para todo t ≤ TR ou zero, se S(t) ≥H para algum t ≤ T

Opç

ão d

e C

ompr

a(C

all)

OutDown H < So

Max(S*-K;0), se S(t) > H para todo t ≤ TR ou zero, se S(t) ≤ H para algum t ≤ T

Up H > SoMax(K-S*;0), se S(t) ≥ H para algum t ≤ TR ou zero, se S(t) < H para todo t ≤ TIn

Down H < SoMax(K-S*;0), se S(t) ≤ H para algum t ≤ TR ou zero, se S(t) > H para todo t ≤ T

Up H > SoMax(K-S*;0), se S(t) < H para todo t ≤ TR ou zero, se S(t) ≥H para algum t ≤ T

Opç

ão d

e Ve

nda

(Put

)

OutDown H < So

Max(K-S*;0), se S(t) > H para todo t ≤ TR ou zero, se S(t) ≤ H para algum t ≤ T

Obs.: H é a barreira; S0 é o valor inicial do ativo-objeto; S* é o valor do ativo-objeto no vencimento; K é opreço de exercício; R é o valor do rebate; e T é a maturidade da opção.

Cada tipo de opção com barreira implica na modificação do payoff da

opção em relação a uma opção comum. Como exemplo, em uma opção de

compra do tipo up-and-out, a barreira está localizada dentro do dinheiro (in-the-

money), limitando assim o risco dos lançadores (emissores) e, naturalmente, o

possível lucro dos titulares. Uma opção de compra comum apresenta risco

ilimitado para seus lançadores e possibilidade de ganhos também ilimitados

para seus titulares.

Além destas classificações, as opções com barreira podem ainda se

diferenciar pela periodicidade do monitoramento da barreira e pela definição da

barreira, se são constantes no tempo ou variáveis. Seguem breves explicações

sobre estas possibilidades.

13

Monitoramento Contínuo e Monitoramento Discreto

Define-se aqui freqüência de monitoramento como sendo o intervalo de

tempo entre verificações da condição imposta pela barreira, isto é, de quanto

em quanto tempo se verifica se a barreira foi alcançada. O monitoramento pode

ser contínuo, quando se dá durante todo o decorrer da vigência da opção, ou

discreto, quando se estabelecem momentos específicos para se verificar se a

barreira foi alcançada ou não. Neste segundo caso se estabelecem

determinados momentos para se verificar se o preço do ativo-objeto S é maior

ou menor que a barreira H, indicando se a opção continua sua existência ou é

extinta (no caso das opções do tipo out). Em grande parte das vezes, o

monitoramento é diário, tomando-se o preço de fechamento do pregão como

referência, mas há opções com barreiras com monitoramento semanal, mensal,

ou até mesmo em determinadas datas específicas.

O monitoramento contínuo apresenta a priori um problema prático

representado pela necessidade de se realizar a todo momento uma verificação

da condição imposta pela barreira. Entretanto, se o ativo-objeto é negociado

em bolsa e existem registros satisfatórios dos preços realizados no decorrer do

dia, é possível solucionar a presente questão adotando, por exemplo, a regra

de realização da referida verificação no fechamento do pregão utilizando o

preço máximo (se for uma up) ou o mínimo (se for uma down) negociado

naquele dia.

Interessante observar que o emprego do monitoramento discreto reduz a

probabilidade da barreira ser atingida, o que faz com que uma opção do tipo

out tenha maior valor e do tipo in tenha menor valor do que suas equivalentes

com monitoramento contínuo.

Barreiras Constantes ou Variáveis

Algumas opções podem também variar na forma de definição da barreira,

enquanto umas podem possuir barreiras variáveis no tempo, como uma

14

barreira exponencial, outras podem estipular barreiras descontínuas ou

parciais, que se caracterizam por existirem somente durante determinado

período de tempo dentro da vigência total da opção. Outra variação possível é

a existência de múltiplas barreiras, podendo haver combinações entre barreiras

up e down, inclusive sendo uma in e outra out.

2.2.3. As Opções com Barreira com Dois Ativos

Algumas opções com barreira possuem a barreira definida por um ativo

diferente do ativo-objeto da opção, ou seja, enquanto o exercício e o respectivo

payoff são determinados por um ativo, a barreira é determinada por outro

diferente. Heynen e Kat (1994) denominam tais opções de outside barrier

options, visto possuírem uma barreira “externa”. Como exemplo, citam a

estruturação de uma call realizada em outubro de 1993 por parte do Bankers

Trust International, onde havia a opção de compra de uma cesta de ações

belgas desde que o franco belga não sofresse uma apreciação superior a

3,5%. Tais opções são bastante úteis para aqueles que estejam procurando

proteção para dois fatores de risco distintos como, por exemplo, um exportador

de uma commodity, podendo este comprar uma opção de compra de dólar com

barreira estipulada pelo próprio preço da commodity.

2.3. O COMPORTAMENTO DOS PREÇOS DOS ATIVOS

Não é possível falar de avaliação de opções sem que se aborde a

questão do comportamento dos preços dos ativos sob os quais estão lançadas

as opções. Até mesmo porque o primeiro passo para avaliar opções é

exatamente escolher o processo estocástico que governa o movimento de

preços do ativo-objeto. Sobre isto, de uma forma bastante didática, Cox e

Rubinstein (1985) apresentam três alternativas para os movimentos de preço

das ações: (i) o modelo de difusão pura, (ii) o modelo de saltos e (iii) o modelo

de difusão com saltos. A Figura 1 ilustra as três alternativas.

15

Figura 1 – Alternativas de Modelos de Movimentos de Preços

Embora Cox e Rubinstein (1985) tenham didaticamente dividido os

processos de movimentos de preços em três, estaremos aqui abordando-os

sob o enfoque de apenas dois processos, visto que o modelo de saltos não é

na prática empregado sob a forma pura. Ao final desta seção apresenta-se

ainda uma discussão específica sobre a volatilidade e a volatilidade da

volatilidade (vol-vol) dos preços dos ativos, seus efeitos nos processos de

movimentos de preços e consequentemente na avaliação das opções com

barreira.

2.3.1. O Processo Contínuo

A partir da hipótese de mercado eficiente5 é de se esperar que os preços

dos ativos se alterem aleatoriamente no decorrer do tempo, não havendo

qualquer influência do comportamento histórico no preço futuro. A eficiência de

mercado pressupõe que todas as informações passadas já estão refletidas no

preço atual e que o mercado responde imediatamente a toda nova informação

acerca do ativo. A partir destas premissas, as alterações não antecipadas no

preço do ativo são modeladas por um processo de Markov, caracterizado por

um processo estocástico sem memória, onde somente o valor atual da variável

é relevante para a estimativa futura. O modelo mais simples adotado é

5 Ross, Westerfield e Jordan (1996), assim como Brealey e Myers (2000), apresentam uma boadescrição e discussão do conceito e das formas de eficiência de mercado – fraca, semiforte ouforte.

Modelo de Difusão Pura

Modelo de Saltos Modelo de Difusão com Saltos

16

representado pela seguinte equação diferencial estocástica, conhecida como

Movimento Geométrico Browniano, estabelecida para o retorno (dS/S) do ativo:

dzdtSdS σ+µ=

O modelo é portanto composto por duas partes. A primeira é

determinística, onde µdt é a contribuição do retorno total com µ

correspondendo à taxa média de crescimento do preço do ativo ou o valor

esperado para a taxa de retorno (drift). Nos modelos mais simples, µ é tomado

como constante, enquanto que em modelos mais complexos pode ser uma

função do tempo (t) e do próprio preço do ativo (S). A segunda contribuição ao

retorno (σdz) tem característica randômica e representa as mudanças no preço

em resposta a eventos externos, tais como novas informações que influenciem

o preço do ativo. σ é a volatilidade e o termo dz é um processo de Wiener6,

onde dz é uma variável randômica gerada a partir de uma distribuição normal

com média zero e variância dt, que pode ser representada por:

dtdz ε=

onde ε é uma variável randômica obtida de uma distribuição normal

padronizada, ou seja, com média zero e desvio-padrão unitário.

O modelo assim apresentado é um exemplo de random walk, por não ser

possível prever de forma determinística a sua trajetória. Adicionalmente, a

função densidade de probabilidade adotada é a da distribuição lognormal,

caracterizando portanto um lognormal random walk.

6 O processo de Wiener é um caso particular do processo estocástico de Markov com drift iguala zero e variância anual unitária. Uma descrição formal do processo de Wiener pode serencontrada em Hull (2000).

17

2.3.2. O Processo com Saltos

Analisando a fórmula de Black-Scholes (B-S) para avaliação de opções,

Merton (1976) considera crítica a hipótese adotada por este modelo para o

comportamento dos preços, que vem a ser o modelo simples de difusão, com o

processo estocástico contínuo no tempo. A solução encontrada por B-S

somente pode ser válida se a dinâmica de alteração de preços satisfaz uma

espécie de propriedade “local” de Markov, que, de forma simples, diz que em

um curto intervalo de tempo o preço da ação pode somente sofrer pequenas

alterações. Contudo, existem evidências no mercado de que os preços das

ações sofrem alterações significativas em determinados momentos,

usualmente em resposta a determinado anúncio de nova informação,

caracterizando alterações de preços “não-locais”. Com isso, Merton (1976)

apresenta um estudo de avaliação de opções quando a dinâmica de preços

inclui a possibilidade de saltos.

Merton (1976) decompõe a variação total de preços em dois tipos de

alterações: (i) A “vibração normal” do preço, ocasionada, por exemplo, pelo

desequilíbrio temporário entre oferta e demanda, por alterações nas taxas de

juro da economia, ou até mesmo pelo surgimento de novas informações que

causem apenas alterações marginais no preço. Este componente é modelado

através do Movimento Geométrico Browniano, com variância constante ao

longo do tempo, e apresenta uma trajetória contínua. (ii) “Vibrações anormais”

do preço ocasionadas pelo surgimento de informações que causem alterações

mais que marginais no nível de preço. Geralmente são informações específicas

da empresa ou do setor em que atua. Este componente, por sua vez, é

modelado por um processo de saltos. Enquanto no primeiro caso o

componente natural do processo estocástico é baseado em um processo de

Wiener, no segundo tem-se um processo de Poisson, no qual se determinam

probabilidades de ocorrências de eventos (surgimentos de novas informações)

durante um intervalo pequeno de tempo.

18

Merton (1976) apresenta então um modelo único, que representa a

mistura dos dois tipos de processos, com a seguinte forma:

( ) dqdZdtkSdS +σ+λ−α=

onde α é o retorno esperado instantâneo da ação; σ2 é a variância instantânea

do retorno, condicional ao não surgimento de novas informações (ou seja, o

evento de Poisson não ocorre); dZ é o processo padrão de Gauss-Wiener; q(t)

é o processo de Poisson, sendo que dq e dZ são independentes; λ é o número

médio de novas informações ou número de saltos por unidade de tempo; k ≡

ε(Y-1), onde (Y-1) é a variável randômica de variação percentual no preço se o

evento de Poisson ocorre. Analisando a fórmula, nota-se que a parcela ‘σdZ’

corresponde à parte instantânea do retorno devido à “vibração normal” dos

preços, enquanto que a parcela ‘dq’ descreve a parte devida à “vibração

anormal”. Se λ = 0 e, por conseqüência, dq ≡ 0, o processo se resume ao

modelo de difusão adotado por Black-Scholes. A trajetória S(t) ocasionada pelo

modelo assim descrito é contínua na maior parte do tempo com um número

finito de saltos de diferentes tamanhos e amplitudes. A dinâmica do

comportamento do ativo, portanto, dependerá (i) do processo básico de Gauss-

Weiner, (ii) do número de saltos e (iii) da amplitude destes saltos.

Merton (1976) mostra ainda que a partir deste processo misto é possível

derivar uma fórmula para obtenção do preço de uma opção sobre este ativo,

desde que se adote a premissa de que o risco associado com os saltos é

diversificável.

Cox e Ross (1976), por sua vez, introduzem uma série de alternativas

para a modelagem dos movimentos dos preços, tanto através de processos de

difusão quanto de processos com saltos. Fazem uma análise crítica da

racionalidade dos processos puros de difusão e de saltos, e terminam por

proporem alternativas mais plausíveis economicamente, que melhor

19

representem o “mundo real”. Partem de um modelo bastante genérico

representado pela equação

sss dxdtdS σ+µ=

onde µs e σs são funções que representam o comportamento econômico do

ativo, tomados como dependentes de S (preço do próprio ativo) e do tempo t.

O termo estocástico dxs pode ser ou um termo de difusão de Wiener (dz) ou a

unidade variável do processo de Poisson (dπ). Se dxs é um termo de Poisson,

então σs é interpretado como a amplitude de um salto randômico. Portanto,

desta equação geral, saem os casos particulares já conhecidos – o modelo de

difusão e o modelo com saltos. Desta mesma equação, na busca de modelos

para avaliação de opções, Cox e Ross (1976) especificam processos de

difusão alternativos do tipo

dztSdttSdS ),(),( σµ +=

onde µ(S,t) e σ2(S,t) são, respectivamente, a média instantânea e a variância,

ambos dependentes do preço do ativo e do tempo. Em particular, é examinado

o caso onde a variância é proporcional ao preço do ativo. Hull (2000), se

referindo a este trabalho de Cox e Ross (1976), discute a racionalidade de um

dos modelos alternativos propostos, onde o preço do ativo tem a volatilidade

igual a σS-α, com 0 ≤ α ≤ 1, representado pela equação

dzSSdtdS 1 α−σ+µ=

Desta forma, a volatilidade decresce à medida que o preço do ativo sobe, o

que é considerado por Hull (2000) como bastante razoável, visto que uma

queda de preço da ação deve refletir uma redução do desempenho operacional

da empresa que, por sua vez, faz com que os custos fixos desta causem o

efeito de aumento de volatilidade do preço. Inclusive, tal comportamento é

geralmente constatado na forma do smile da volatilidade de ações.

20

Amin (1993) também estuda o processo de difusão com saltos e sua

influência na avaliação de opções. Comenta que a inclusão de saltos nos

modelos de avaliação de opções pode explicar boa parte dos vieses

encontrados empiricamente quando a fórmula de Black-Scholes é utilizada,

sugerindo assim que a adoção do processo de difusão lognormal, sem saltos,

não representa satisfatoriamente o movimento de preços dos ativos. Em seu

estudo, Amim (1993) apresenta um modelo de avaliação de opções, discreto

no tempo, baseado em um processo de difusão com saltos, capaz de

incorporar a possibilidade de exercício antecipado de opções americanas,

considerando distribuições arbitrárias de saltos ou ainda a existência de saltos

sistemáticos.

Ainda com relação aos estudos de processos alternativos ao modelo de

difusão usualmente utilizado, Zhou (1999) busca um processo que represente

melhor o comportamento do ativo no caso específico de uma opção com

barreira. Visto que esta é uma opção do tipo path-dependent, ou seja, que

depende da trajetória do preço do ativo-objeto ao longo de sua vida, Zhou

(1999) chama a atenção de que um bom modelo de avaliação de opções com

barreira deve utilizar um processo que seja capaz de descrever

apropriadamente as possíveis trajetórias. A partir disto, defende o emprego de

modelo que admita descontinuidades na trajetória do preço do ativo, propondo

então que estes preços sigam um processo de difusão com saltos. Zhou

(1999), assim como considerado por Merton (1976), considera os saltos como

eventos raros que causam alterações substanciais no preço do ativo.7 Ignorar a

possibilidade de ocorrência destes saltos, ainda que raros, implica em vieses

na valoração das opções.

7 Em seus exemplos, Zhou (1999) utiliza λ = 0,03 saltos/mês, o que corresponde aaproximadamente 1 salto a cada três anos.

21

Entre as premissas adotadas por Zhou (1999), ao desenvolver seu

modelo de difusão, está a de que o comportamento dinâmico do ativo-objeto S

segue um processo de difusão com saltos do tipo:

( ) ( )dY1dZdtSdS −Π+σ+λυ−µ=

onde µ, ν, λ e σ são constantes positivas; Z representa o processo estocástico

do Movimento Browniano padrão; dY é um processo de Poisson com

parâmetro de intensidade λ; Π > 0 é a amplitude do salto, com valor esperado

igual a ν +1; sendo que dZ, dY e Π são mutuamente independentes.

O processo representado por esta equação caracteriza um

comportamento de “vibração” do preço do ativo, parte devida a alterações

graduais nas condições econômicas e parte ocasionada pelo surgimento de

novas informações, representada pelo componente de salto presente na

equação. A partir da definição do processo de difusão com saltos, Zhou (1999)

apresenta então uma formulação analítica para a determinação de preços de

opções com barreira.

Mais que a formulação em si, é interessante destacar a descrição

efetuada por Zhou (1999) para os efeitos no valor da opção devidos à

existência de saltos no comportamento do ativo. Ele considera dois impactos

distintos na avaliação: (i) o impacto normal no preço de uma opção comum

devido ao salto de preço do ativo, e (ii) o impacto na probabilidade do preço do

ativo ultrapassar a barreira no decorrer da vida da opção. O primeiro efeito foi

anteriormente estudado por Merton (1976) e muitos outros, de forma que Zhou

(1999) focou seu estudo no segundo efeito, procurando variar a freqüência de

ocorrência dos saltos (λ) e analisar as diferenças de preços entre opções

comuns e com barreira. Entre as conclusões obtidas, destaque para a

influência da maturidade da opção: quando próximas do vencimento, as

diferenças entre preços de opções comuns e com barreira são pequenas; a

medida que a maturidade aumenta, as diferenças tornam-se significativas. Tal

22

resultado é bastante intuitivo, haja vista que quanto maior a maturidade, maior

será a probabilidade do preço do ativo ultrapassar a barreira. Ao comparar os

valores de opções com barreiras obtidos via simulação para modelos com e

sem saltos, Zhou (1999) pôde ainda constatar que a probabilidade de se

ultrapassar a barreira é menor nos modelos com saltos, o que se reflete em um

aumento do valor da opção do tipo out (redução no valor para opções do tipo

in), seja ela uma opção de compra ou de venda, down ou up. Em síntese, a

existência de saltos na trajetória do ativo-objeto reduz a possibilidade da

barreira ser ultrapassada em opções com vencimentos distantes, o que

aumenta o valor de uma out e reduz o de uma in. Importante ressaltar, no

entanto, que estes resultados são válidos tão-somente para opções sem

rebate.

Zhou (1999) prossegue seu estudo incorporando a existência de rebates

nas opções, fazendo as seguintes considerações:

valor da opção com rebate = valor da opção sem rebate + valor presente esperado do rebate

e que

valor presente esperado do rebate = R x e-rt x probabilidade da barreira ser tocada

onde R é o valor do rebate e t é o prazo para o vencimento da opção8. Quando

o rebate R é pequeno, o valor presente esperado do rebate também será

pequeno e, por conseqüência, o valor de uma opção com rebate será próximo

de uma sem rebate. Como resultado, os efeitos da existência de saltos na

trajetória do ativo para opções com rebates pequenos são semelhantes aos

das opções sem rebates. Por outro lado, os resultados são bem diferentes nas

opções com valores de rebates elevados. Para uma opção do tipo out com

rebate, uma redução da probabilidade da barreira ser ultrapassada (em virtude

da inclusão de saltos no comportamento do ativo) significa uma redução do

8 Considera-se aqui que o rebate R é pago no vencimento da opção e não no momento em quea barreira é alcançada (o que pode ocorrer em opções do tipo out).

23

valor esperado do rebate. Se esta redução do valor esperado não for

compensada pelo acréscimo do valor correspondente à opção sem rebate, a

existência de saltos pode então reduzir o valor da opção ao invés de aumentar.

Zhou (1999) exemplifica mostrando que para rebate igual a diferença entre o

preço de exercício e o valor da barreira de uma opção do tipo down-and-out (R

= K – H) ocorre uma redução do preço da opção quando considerado um

modelo que incorpore saltos no comportamento do ativo.

Com tudo que demonstrou Zhou (1999), fica clara a existência de

diferença significativa na avaliação de opções com barreira entre modelos que

consideram o comportamento do ativo como sendo realizado sob o processo

de difusão simples e o processo de difusão com saltos. O fato de o primeiro

ignorar a possibilidade de saltos no preço do ativo-objeto pode portanto gerar

possíveis vieses na valoração da opção, particularmente para as que estejam

longe do vencimento.

2.3.3. A Volatilidade

A volatilidade tem um papel central na determinação do valor justo de

uma opção. Entre os parâmetros necessários para cálculo de uma opção

através da fórmula de Black-Scholes, a volatilidade é o único que não é

diretamente observável. O preço do ativo, o preço de exercício, a maturidade e

a taxa de juros são todos conhecidos ou facilmente obtidos no mercado, porém

a volatilidade tem que ser estimada.

Figlewski (1997) apresenta um estudo bastante abrangente e criterioso

sobre a estimação de volatilidade, passando pelas características e diferenças

entre volatilidade histórica, estocástica e implícita. Destaca que, no caso da

avaliação de opções, a volatilidade a ser estimada é a correspondente à

variação de preço do ativo subjacente durante o período remanescente da

opção, ou seja, do dia em que se realiza a estimativa até o vencimento da

opção, o que se apresenta como um grande problema para os casos de

opções com vencimento em longo prazo. Ressalta que a estimação de

24

volatilidade através de dados históricos implica em supor que a volatilidade

passada será constante ao longo da vida da opção, porém Figlewski (1997)

mostra evidências empíricas de que isto não ocorre. Dessa forma, uma

alternativa para se estimar a volatilidade é através da obtenção da volatilidade

implícita nos preços das opções negociadas no mercado, fornecendo uma

estimativa mais razoável da volatilidade real do que a obtida através de dados

históricos.

A Volatilidade Implícita

O modelo de Black-Scholes (B-S) fornece o preço da opção em função da

volatilidade, considerada constante durante toda a vigência da opção.

Paralelamente, das negociações efetuadas em bolsa têm-se os preços ditos

“de mercado” para as mesmas opções, de forma que invertendo a relação de

B-S é possível obter a chamada volatilidade implícita a partir deste “preço de

mercado”.9 Em outras palavras, a volatilidade implícita é aquela que

corresponde a um valor para a opção, com uso da fórmula de B-S ou outro

modelo analítico, igual ao valor de mercado. A utilização da volatilidade

implícita nos preços das opções como estimativa da volatilidade real do ativo

parte da premissa de que o mercado é eficiente, no sentido de que os preços

de mercado refletem adequadamente todas as informações disponíveis e

relevantes para a avaliação dos ativos. Nas palavras de Figlewski (1997): “... a

volatilidade implícita é a expectativa do mercado para a volatilidade futura”.

Entretanto, na prática, observa-se que as volatilidades implícitas diferem

substancialmente em seus valores para diferentes opções sobre o mesmo

ativo, o que questiona a premissa da eficiência do mercado em valorar as

opções. Em teoria, a volatilidade implícita de um determinado ativo deveria ser

única para todas as opções existentes sobre o mesmo, porém a realidade tem

9 A fórmula de B-S não pode ser invertida analiticamente, sendo necessário o emprego detécnica numérica para se obter a volatilidade implícita.

25

mostrado que isto não ocorre, sendo a volatilidade implícita fortemente

dependente da maturidade e do preço de exercício das opções. A dependência

da volatilidade implícita em relação ao preço de exercício, para determinada

maturidade, é conhecida como “efeito smile” da volatilidade, discutido adiante.

Outro problema prático no emprego da volatilidade implícita está

relacionado ao momento em que se baseia a cotação da opção e do preço à

vista do ativo. É difícil a obtenção de cotações para ambos os produtos (opção

e preço à vista) no mesmo momento, visto que a liquidez dos dois mercados é

diferente e não há garantia de realização de operações simultâneas, ou seja,

no mesmo instante. Com isto, considerando ainda que a variação da

volatilidade no decorrer do dia é significativa (volatilidade intraday), tem-se uma

discrepância entre os momentos a que as duas cotações se referem. Muitas

vezes tal diferença é negligenciada ou mesmo considerada insignificante, de

forma que acabam por utilizar cotações de fechamento contra fechamento ou

mesmo média contra média. Todavia, o importante é ter o conhecimento de

que uma possível diferença de hora entre tomada de cotações pode levar a

valores incoerentes para a volatilidade implícita.

Harvey e Whaley (1991) realizam um experimento com opções sobre o

índice S&P100 e constatam que tanto o uso de observações não simultâneas

quanto o efeito do spread entre cotações de compra e venda podem levar a

obtenção de volatilidades implícitas com correlação serial negativa de primeira

ordem. Neste caso, Harvey e Whaley (1991) trabalham com cotações de

fechamento para obtenção das volatilidades implícitas. Porém, enquanto o

mercado de ações é encerrado às 15:00 h, o mercado de opções sobre o

índice tem seu pregão encerrado às 15:15 h. Desta forma, ainda que haja

grande liquidez em ambos os mercados, o surgimento de novas informações

neste período de 15 min pode fazer com que os preços das opções sejam

revistos.

26

Com o intuito de eliminar ou pelo menos minimizar os “ruídos” existentes

no processo de obtenção da volatilidade implícita, Figlewski (1997) cita alguns

procedimentos adotados pelos pesquisadores em geral, tais como o cálculo de

uma simples média das diferentes volatilidades implícitas obtidas ou ainda o

emprego do método dos mínimos quadrados. Adicionalmente, tem-se, ainda, a

possibilidade de determinação de uma única volatilidade implícita a partir do

cálculo de uma média ponderada das volatilidades implícitas obtidas, podendo

a ponderação ser efetuada pelo volume de negociações de cada série de

opções ou pelo vega da opção.

O Smile da Volatilidade

A Figura 2 apresenta um exemplo real da variação da volatilidade implícita

em função do preço de exercício de opções de compra sobre um mesmo ativo.

Figura 2 – Smile da Volatilidade da Ação Preferencial daTelemar (TNLP4), obtido em 02/10/01 a partir das Volatilidades

Implícitas das Opções com Vencimento em 15/10/01.Valor do ativo-objeto em 02/10/01: S = 24,71

Opções no dinheiro (S ≅ K) possuem em geral volatilidades implícitas

menores, que crescem suavemente na medida que o preço de exercício é

reduzido (opções dentro do dinheiro) ou aumentado (opções fora do dinheiro).

Esta forma em U obtida para a relação entre volatilidade implícita e preço de

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

PREÇO DE EXERCÍCIO (R$)

VO

LATI

LIDA

DE IM

PLÍC

ITA

27

exercício, para determinada maturidade, é conhecida como “smile da

volatilidade”.10

Figlewski (1997) destaca que este comportamento da volatilidade implícita

não pode ser atribuído a qualquer componente randômico, visto estar

comprovado que os preços de mercado das opções são sistematicamente

diferentes dos valores fornecidos pelos modelos analíticos de avaliação.

Considera assim que isto é uma evidência forte de que o mercado está

avaliando as opções através de um “modelo” diferente do utilizado para a

obtenção da volatilidade implícita. Premissas adotadas pela fórmula de Black-

Scholes podem estar sendo relaxadas pelos agentes do mercado ao avaliarem

os preços justos das opções: variação da taxa de juros ao longo do tempo,

processos estocásticos diferentes para o ativo, com existência de saltos ou que

possuam distribuição de retornos com caudas gordas (fat tails), por exemplo.

Figlewski (1997) cita e discute uma série de experimentos já realizados

com o intuito de testar a racionalidade do uso da volatilidade implícita como

estimador da volatilidade real. Os resultados, em geral, levam a conclusão de

que, estatisticamente, a volatilidade implícita não estima satisfatoriamente a

volatilidade futura. Conclui, então, que, assim como outras formas de estimar a

volatilidade, a volatilidade implícita não é um estimador ideal, de boa acurácia,

o que não significa que não possua informações úteis sobre a expectativa do

mercado em relação à volatilidade futura.

2.3.4. A Volatilidade da Volatilidade (Vol-Vol)

Enquanto no passado os modelos de avaliação de opções consideravam

a volatilidade constante, as exigências do mercado impõem hoje uma forte

necessidade de considerar variações de volatilidade, seja através da

10 Embora a forma em U seja usual, podem haver variações na forma do smile. Cont (1998)comenta, inclusive, que em vários mercados o smile padrão observado a partir do crash de1987 foi substituído por um perfil também côncavo, porém com decrescimento monotônico.

28

modelagem de um processo estocástico para a própria volatilidade ou da

consideração do chamado “efeito smile”. Vários autores estudaram a avaliação

de opções quando a volatilidade é estocástica11, tanto através do emprego de

soluções analíticas quanto numéricas. Johnson e Shanno (1987), assim como

Wiggins (1987), produziram soluções numéricas, enquanto Hull e White (1987)

trabalharam com soluções analíticas.

Em seu estudo, Hull e White (1987) abordam a avaliação de opções de

compra européias tanto no caso em que a volatilidade estocástica é

considerada independente do preço (correlação nula entre volatilidade e preço)

quanto no caso onde haja correlação entre a volatilidade e preço do ativo. A

principal contribuição deste estudo é a indicação de que a metodologia de B-S

leva a erros de valoração significativos para os casos heterocedásticos

(variação de volatilidade). Pelos resultados encontrados, quando a volatilidade

não é correlacionada com o preço do ativo, o preço obtido por B-S tende a

supervalorizar as opções que estejam “próximas ao dinheiro” (at-the-money)12

e a subvalorizar as que estejam muito “fora” (out-of-the-money) ou “dentro do

dinheiro” (in-the-money). Já no caso onde a volatilidade é positivamente

correlacionada ao preço do ativo, o preço de B-S fica supervalorizado tanto

para as opções que estejam in-the-money quanto para as que estejam at-the-

money, ficando subvalorizado apenas para as que estejam out-of-the-money.

Se a correlação for negativa, a comparação é inversa. Hull e White (1987)

demonstram ainda que tais efeitos são tanto maiores quanto maior for a

volatilidade, a volatilidade da volatilidade (vol-vol) e o tempo para o vencimento.

Em particular, analisando os efeitos relacionados a vol-vol nos casos onde

a correlação entre volatilidade e preço é positiva ou nula, nota-se que um

aumento da vol-vol tem por principal conseqüência a redução do valor da

11 Hull e White (1996) creditam a Johnson (1979) o pioneirismo nesta área, embora seutrabalho somente tenha sido publicado quase uma década depois, em 1987.12 A faixa onde se verifica esta supervalorização está em torno de ± 10% do preço de exercício(K) e a magnitude do erro pode chegar a cerca de 5% do valor calculado pela fórmula de B-S.

29

opção se esta estiver “próxima do dinheiro” (at-the-money), aumentando o erro

de supervalorização da fórmula de B-S. Se a opção estiver extremamente “fora

do dinheiro”, um acréscimo na vol-vol leva a um aumento do valor da opção,

aumentando assim o erro de subvalorização da fórmula de B-S. Tal

comportamento é bastante intuitivo, já que um aumento na vol-vol leva a uma

maior probabilidade de alteração do nível de preço do ativo, podendo

transformar rapidamente uma opção out-of-the-money em uma at-the-money.

Hull e White (1987) observam o efeito da correlação entre volatilidade e

preço através do impacto na distribuição final de preço do ativo. Se a

correlação é positiva, altos níveis de preço estão associados a volatilidades

altas, de forma que uma subida de preço gera um aumento da probabilidade de

grandes alterações no preço. Isto implica em dizer que a ocorrência de

altíssimos preços é mais provável do que no caso da volatilidade constante

(homocedástica). Preços baixos, por sua vez, estão associados a volatilidades

baixas, logo, se o preço cai, reduz-se também a probabilidade de ocorrência de

grandes alterações de preço, o que aumenta a probabilidade do preço terminal

se situar por esta região de preços baixos. O efeito líquido na distribuição final

de preços do ativo é uma distribuição com uma assimetria à direita, diferente

da distribuição lognormal considerada no caso homocedástico. No caso da

correlação negativa entre preço e volatilidade, um raciocínio semelhante leva à

conclusão de que a distribuição final de preços apresenta-se com pico bem

mais acentuado (leptocúrtica) do que a distribuição lognormal.

Assim, o estudo apresentado por Hull e White (1987) permitiu uma maior

compreensão do comportamento do preço das opções no caso onde a

volatilidade sofre variações ao longo da vigência da opção e em função do

nível de preço do ativo-objeto. A análise realizada considerou três alternativas

para o comportamento da volatilidade em relação ao preço, que se

caracterizaram pelas correlações positiva, negativa ou nula. No entanto, fica

ressaltado no estudo que existe a possibilidade desta correlação apresentar

comportamentos bem distintos de um período para outro, ou seja, ser positiva

30

em um ano e posteriormente tornar-se negativa. Neste aspecto, fica claro que

as vantagens de se utilizar uma metodologia deste tipo dependem da

capacidade em reconhecer a correta relação entre preço e volatilidade.

Posteriormente, Hull e White (1996) comentam que a maioria das

pesquisas teóricas e empíricas até então executadas sugere que a correlação

entre preço e volatilidade de ações é negativa, e que isto é bastante intuitivo.

Quando o preço de uma ação de uma determinada empresa tem seu valor

reduzido, a estrutura de capital da empresa se altera, ficando com maior

alavancagem financeira (relação entre o valor de mercado de sua dívida e o

valor de mercado de seu capital próprio). Este aumento na alavancagem acaba

por levar a um aumento da volatilidade do valor da empresa.13

Outro trabalho relacionado à avaliação de opções com volatilidade

estocástica é o desenvolvido por Scott (1987), onde testa a hipótese de que os

preços observados das opções são consistentes com a idéia da volatilidade

estocástica. Enquanto os estudos anteriores consideravam a variação da

volatilidade como função de outra variável, como o próprio preço da ação, Scott

(1987) considera um modelo onde a volatilidade varia randomicamente de

acordo com um processo de difusão contínua independente.14 Assim sendo, o

processo estocástico empregado foi do tipo:

( ) 2

1

dzdtd

PdzPdtdP

γ+σ−σβ=σ

σ+α=

13 Uma boa abordagem sobre estrutura de capital pode ser encontrada em Brealey e Myers(2000).14 O estudo de Hull e White (1987) já considerava a variação da volatilidade como sendoindependente do preço da ação, a partir do momento que tornava nula a correlação entre preçoe volatilidade.

31

onde dz1 e dz2 são processos de Wiener, e a volatilidade instantânea é regida

por um processo randômico de reversão à média. No caso particular de β = 0,

σ seria então um processo puro de random walk. Definidos os processos

estocásticos para preço e volatilidade, Scott (1987) então utilizou a simulação

de Monte Carlo para calcular preços de opções.

Tanto o modelo de Hull e White (1987) quanto o de Scott (1987)

caracterizam-se como generalizações do modelo de Black-Scholes, no sentido

de que relaxam a premissa da volatilidade constante, adotando processos

estocásticos para a volatilidade. Outros estudos, apresentados a seguir,

abordam a questão da avaliação de opções considerando a existência do

“efeito smile”.

Dupire (1994) busca encontrar um processo para o preço do ativo

compatível com o smile da volatilidade para as mais diversas maturidades.

Mais especificamente, seu objetivo é obter um processo de difusão do ativo,

sob a condição de neutralidade a risco, sob a forma da equação

dWtSdttrSdS ),()( σ+=

onde a volatilidade instantânea σ é uma função determinística do preço do

ativo S e do tempo t. Ele acaba por demonstrar que sob a condição de

neutralidade a risco [r(t) = rF, onde rF é a taxa livre de risco] existe apenas uma

única função σ(S,t) que seja capaz de fornecer os preços observados no

mercado para as opções européias em vigor, ou seja, ele se utiliza de um

processo recursivo semelhante ao que se faz com a fórmula de B-S para a

obtenção da volatilidade implícita. Com isto, fica definido um único processo de

difusão para o ativo-objeto, compatível com a premissa de neutralidade a risco

e que considere a variação de volatilidade originada pelo “efeito smile” e pelas

diferenças de maturidades das opções.

32

Rubinstein (1994) apresenta uma metodologia para construção de uma

árvore binomial que seja consistente com os valores de mercado das opções

(valores observados), conseqüentemente, consistente com o smile da

volatilidade. Para tanto, desenvolve um novo método de obtenção das

probabilidades de neutralidade a risco, a partir dos preços observados para

opções européias. Esta árvore é única, por existir apenas uma solução que

corresponda às probabilidades obtidas, e é denominada de árvore binomial

implícita.

Dumas, Fleming e Whaley (1998) realizam testes empíricos com opções

do índice S&P500 exatamente com o intuito de estudar a hipótese da

volatilidade do ativo ser determinada pelo seu nível de preço e pelo decorrer do

tempo. Da mesma forma que a metodologia da árvore binomial implícita, o

método agora utilizado supõe que a variação da volatilidade é uma função

determinística do preço do ativo e do tempo. São estipulados 4 diferentes

modelos que especificam a função volatilidade - σ(K,T), onde K é o preço de

exercício e T o prazo de vencimento da opção:

Modelo 0: );,01.0max( 0a=σModelo 1: );,01.0max( 2

210 KaKaa ++=σModelo 2: );,01.0max( 53

2210 KTaTaKaKaa ++++=σ

Modelo 3: ).,01.0max( 52

432

210 KTaTaTaKaKaa +++++=σ

O Modelo 0 corresponde a função volatilidade da metodologia de Black-

Scholes, onde a volatilidade é constante. O Modelo 1 busca captar a variação

da volatilidade que seria atribuída ao preço do ativo, e os Modelos 2 e 3

buscam ainda captar uma variação adicional atribuída ao tempo. É imposto um

valor mínimo para a volatilidade com o intuito de prevenir valores negativos.

Os resultados encontrados a partir da análise dos testes empíricos acabam

indicando que apenas os termos linear e quadrático no preço do ativo e o termo

linear no tempo são necessários para determinação da volatilidade. No entanto,

o modelo da forma como foi desenvolvido considera que a função determinada

para a volatilidade seria constante ao longo do tempo, o que pode ser

33

considerado um ponto crítico do modelo, conforme confirmado pelos próprios

autores a partir dos resultados encontrados para as opções do S&P500.

Finalmente, nota-se que há ainda muito a pesquisar sobre a volatilidade e

sua variação, ou seja, a vol-vol. O que se tem de concreto são as evidências

de que a premissa de homocedasticidade adotada pelo modelo de Black-

Scholes não corresponde à realidade. Contudo, o emprego de modelos

heterocedásticos é bem mais complexo e nem sempre garante melhora

significativa no processo de avaliação das opções, o que vem justificando o

fato do mercado ainda utilizar a simples formulação de B-S.

2.4. A AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRAS

Os primeiros estudos para a avaliação de opções com barreira partiram

naturalmente dos modelos já existentes para opções simples (vanilla options),

especialmente os fundamentados na fórmula de Black-Scholes. Ou seja,

tratavam-se de fórmulas analíticas desenvolvidas a partir das premissas

básicas de Black-Scholes, entre as quais destaca-se a homocedasticidade. No

âmbito das fórmulas analíticas para valoração das opções com barreira

destacam-se os estudos de Merton (1973) e de Reiner e Rubinstein (1991),

pelo desenvolvimento das fórmulas atualmente disponíveis para cálculo do

preço de opções com barreira com um único ativo e considerando a premissa

de volatilidade constante.

Entretanto, por sua configuração complexa, muitos derivativos não podem

ser avaliados de forma precisa por fórmulas analíticas, exigindo o emprego de

técnicas numéricas ou de simulação, sendo este o caso das opções com

barreira. O emprego de fórmulas fechadas geralmente leva a vieses no preço

da opção. Benson e Daniel (1992) comentam que, em geral, as fórmulas

analíticas tendem a subavaliar as opções com barreira.

Esta seção apresenta os modelos existentes para avaliação de opções

com barreira, classificados em modelos analíticos, numéricos e de simulação,

34

descrevendo o histórico do desenvolvimento e das principais contribuições para

a elaboração dos modelos.

2.4.1. Fórmulas Analíticas

Merton (1973) pode ser considerado o pioneiro na avaliação de opções

com barreira, especificamente pela fórmula que desenvolveu para as opções

de compra do tipo down-and-out. Tratava-se do primeiro passo na elaboração

de uma fórmula generalizada para os mais diversos tipos de opções com

barreira. A origem da fórmula foi o modelo de Black-Scholes, mantidas portanto

as premissas básicas de volatilidade constante e de que o processo

estocástico determinante da trajetória do ativo-objeto segue o Movimento

Geométrico Browniano, representado pela equação

dzdt)t,S(SdS σ+µ=

onde µ(S,t) e σ2 são, respectivamente, a média instantânea e a variância do

ativo-objeto S. A equação desenvolvida por Merton (1973) tem ainda duas

restrições: (i) considera o monitoramento contínuo da barreira, ou seja, a opção

se extingue se o valor da barreira for alcançado em qualquer instante no

decorrer da vigência da opção, não podendo ser utilizada para monitoramento

discreto; e (ii) se aplica somente a opções do tipo europeu. Contudo, esta

última restrição não se dá apenas com a equação desenvolvida por Merton

(1973), visto que, na verdade, todos os modelos fechados não consideram a

possibilidade do exercício antecipado, característica das opções americanas.

Cox e Rubinstein (1985) abordam a questão da avaliação de opções com

barreira comentando que a fórmula analítica para cálculo do preço de opções

do tipo down-and-out, desenvolvida por Merton (1973), é obtida a partir da

imposição de condições limites em um modelo binomial simples. Destacam que

o valor de uma opção de compra deste tipo pode ser escrito como uma soma

de três termos: (i) o valor de uma opção de compra européia comum, isto é,

35

sem barreira, (ii) menos a redução do valor devido a possibilidade da extinção

prematura da opção quando a barreira é alcançada, (iii) mais o valor do rebate,

se existente.

Posteriormente, Reiner e Rubinstein (1991) generalizam as fórmulas até

então restritas para opções do tipo down-and-out e são os responsáveis pela

apresentação da formulação na forma que hoje se utiliza para avaliação de

opções com barreira em geral. O desenvolvimento parte também das

premissas do modelo de Black-Scholes, entre as quais (i) o movimento de

preços do tipo lognormal random walk, (ii) a neutralidade a risco e (iii) a

utilização da taxa livre de risco tanto como taxa de desconto quanto como valor

esperado para a apreciação do ativo-objeto.

Reiner e Rubinstein (1991) chamam a atenção da dificuldade proveniente

da existência do rebate. Para opções do tipo in, não é possível receber o

rebate antes do vencimento da opção, visto que não se sabe até então se a

barreira será alcançada ou não. Entretanto, para uma opção do tipo out, é

possível que o rebate seja pago no momento em que a barreira é alcançada,

antes do vencimento estipulado para a opção. Esta possibilidade complica

sensivelmente o problema da avaliação em ambiente de neutralidade a risco,

visto que o momento do pagamento do rebate não é antecipadamente

conhecido. Tal questão é solucionada através da incorporação ao modelo de

uma função de densidade de probabilidade adicional para determinação do

momento da primeira passagem do ativo-objeto pela barreira. O valor do

rebate, portanto, fica sendo igual ao valor esperado do rebate descontado pela

taxa livre de risco elevada à potência correspondente à primeira passagem

pela barreira.

36

A título de exemplo, apresenta-se a seguir a fórmula para uma opção de

compra do tipo up-and-out, desenvolvida por Reiner e Rubinstein (1991), a

partir da generalização do estudo inicial de Merton (1973), e conforme

didaticamente estruturada por Haug (1997)15:

FDCBACuo +−+−=

sendo

15 Encontra-se no Anexo 1 um algoritmo apresentado por Haug (1997) para cálculo das opçõescom barreira a partir das fórmulas desenvolvidas por Merton (1973) e Reiner e Rubinstein(1991). A totalidade das fórmulas pode ser vista em HAUG, E.G. The complete guide to optionpricing formulas. McGraw-Hill, 1997, p.70-71.

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) λσ+−+−=

σ+−−−=

σ+−−−=

σ−−=

σ−−=

λ−µλ+µ

µ−+µ

µ−+µ

−

−

T2zNSHzNS

HRF

)Ty(NSHKeyNS

HSeD

)Ty(NSHKeyNS

HSeC

)Tx(NKexNSeB

)Tx(NKexNSeA

2

2TR2

12T

1

2TR1

12T

2TR

2T

1TR

1T

F

F

F

F

37

onde

e com S, K, H, σ, T, RF, representando respectivamente o preço do ativo-

objeto, o preço de exercício, a barreira, a volatilidade, a maturidade e a taxa

livre de risco. N(x) indica a função distribuição normal acumulada.

Durante muito tempo os estudos estiveram concentrados na avaliação

destas opções, porém, com o surgimento das opções com dois ativos, as

outside barrier options, Heynen e Kat (1994) desenvolvem um modelo analítico

para avaliação destas, baseado em uma distribuição normal bivariada para o

preço dos dois ativos, visto que o valor de uma opção deste gênero se

caracteriza pela dependência do preço dos dois ativos distintos, onde o

primeiro (S1) é responsável pela determinação do exercício (se está dentro ou

fora do dinheiro) e pelo payoff (S1-K, no caso de uma opção de compra),

enquanto que o segundo ativo (S2) é o que estipula a barreira (H). A

formulação proposta também parte das premissas observadas no modelo de

Black-Scholes, porém consideradas para dois ativos ao invés de apenas um.

Cada ativo possui seu próprio processo estocástico em um mundo de

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2F2

2

2F

2

2

1

2

1

R2

2R

TTSHln

z

T1TSHln

y

T1TSKHln

y

T1THSln

x

T1TKSln

x

σ+µ=λ

σσ−

=µ

λσ+σ

=

σµ++σ

=

σµ++σ

=

σµ++σ

=

σµ++σ

=

38

neutralidade a risco, conforme as equações abaixo:

222222

111111

dzSdtSdSdzSdtSdS

σ+µ=σ+µ=

onde µi e σi, com i = 1, 2, representam respectivamente o drift e a volatilidade

do ativo i, enquanto que dz1 e dz2 são dois diferentes processos de Gauss-

Wiener, ainda que correlacionados. A correlação entre os retornos dos dois

ativos é suposta constante e representada por ρ. As duas equações acima se

apresentam em uma forma bem genérica. No caso específico de opções sobre

ações tem-se ainda que:

22i

Fi r σµ −=

onde rF é a taxa livre de risco. Por outro lado, caso um dos ativos seja uma taxa

de câmbio, tem-se a seguinte relação para o drift:

( ) 22

* iFFi rr σµ −−=

onde rF é a taxa livre de risco doméstica e rF* a taxa de juros livre de risco da

moeda estrangeira.

Definidos os processos de formação dos preços dos ativos, a partir das

premissas adotadas, Heynen e Kat (1994) obtêm então o preço das opções

com o cálculo do valor esperado dos payoffs no vencimento descontado à taxa

de juros livre de risco. A título de exemplo, apresenta-se a seguir a fórmula de

H&K para uma opção de compra do tipo up-and-out, conforme didaticamente

estruturada por Haug (1997)16:

16 Encontra-se no Anexo 2 um algoritmo apresentado por Haug (1997) para cálculo das opçõescom barreira para dois ativos a partir das fórmulas desenvolvidas por Heynen e Kat (1994). Atotalidade das fórmulas pode ser vista em HAUG, E.G. The complete guide to option pricingformulas. McGraw-Hill, 1997, p.79-81.

39

onde

e com K, H, T, RF, representando respectivamente o preço de exercício, a

barreira, a maturidade e a taxa livre de risco. Si e σi indicam o preço e a

volatilidade do ativo i, enquanto ρ é a correlação entre os dois ativos. M(x)

indica ainda a função distribuição normal bivariada acumulada.

( )( ) ( )

( )

ρ−−ρ−=

σσρσ+µ

;e,dMe;e,dMeSC 33

SHln2

11T

1uo

22

2212

( )( )

( )

ρ−−ρ−−

σµ

− ;e,dMe;e,dMKe 44

SHln2

22TR 2

2

22

F

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2R

2R

TSHln2

ee

TSHln2

ee

Tee

TTSHln

e

TSHln2

dd

TSHln2

dd

Tdd

TTKSln

d

22F2

21F1

2

224

2

213

112

2

21221

2

224

2

213

112

1

2111

1

σ−=µ

σ−=µ

σ−=

σρ

−=

ρσ+=

σσρσ+µ−

=

σρ

+=

σρ

+=

σ−=

σσ+µ+

=

40

Neste modelo, é bastante interessante discutir as diferenças entre

resultados a partir dos distintos valores que a correlação entre os ativos pode

assumir. A forma na qual a correlação influi no preço da opção depende do tipo

da opção. No caso de uma down-and-out call, por exemplo, quando os ativos

são negativamente correlacionados, à medida que S1 aumenta, entrando a

opção mais “no dinheiro”, S2 irá diminuir de valor, o que aumentará a

probabilidade da barreira ser ultrapassada. Por outro lado, se a correlação for

positiva, a probabilidade de que a opção fique cada vez mais “no dinheiro” sem

que a barreira seja ultrapassada é bem maior. Em resumo, para uma down-

and-out call, quanto maior o coeficiente de correlação, maior o preço da opção.

Para uma opção de compra do tipo down-and-in tem-se exatamente o

comportamento contrário, de forma que quanto maior o coeficiente de

correlação, menor será o preço da opção. A influência da correlação no preço

depende também da maturidade da opção. Quanto menor este período, menor

será a variação de preço da opção frente a uma alteração na correlação.

Finalizando, no caso extremo onde ρ =1, tem-se que o preço da outside barrier

option será idêntico ao de uma opção com barreira simples (inside barrier

option), visto que as variáveis determinantes do payoff e da barreira são

efetivamente as mesmas. Uma conclusão relevante neste aspecto é que uma

outside barrier option, quando ρ < 1, será sempre mais barata que opções com

barreira simples.

Embora desenvolvido para ser aplicado especificamente na valoração de

outside barrier options, o modelo de Heynen e Kat (1994) se mostrou de

grande utilidade para a avaliação de opções com barreira de apenas um ativo,

permitindo a adoção de dois níveis distintos para a volatilidade deste ativo. A

adaptação da fórmula para o caso de um único ativo permite assim relaxar a

hipótese de volatilidade constante, passando então a considerar uma variação

discreta da volatilidade, ainda que em apenas dois níveis. Wilmott (1998)

comenta sobre a utilização desta adaptação pelo mercado, mostrando que as

volatilidades consideradas na fórmula são as volatilidades implícitas nos preços

das opções comuns. Nesta adaptação utiliza-se σK como sendo a volatilidade

41

implícita obtida de uma opção que tenha seu preço de exercício igual ao preço

de exercício (K) da opção com barreira e σH como a volatilidade implícita de

uma opção com preço de exercício igual ao valor da barreira (H) da opção com

barreira.

Ainda relacionado aos modelos analíticos de avaliação de opções com

barreira, Broadie, Glasserman e Kou (1997) chamam a atenção de que os

modelos até então desenvolvidos são indicados em geral para os casos de

monitoramento contínuo da barreira. Nestes casos, é possível a obtenção de

fórmulas fechadas para avaliação da opção. No entanto, boa parte, ou

possivelmente a maioria, dos contratos reais estipula um monitoramento

discreto, em geral realizado com o preço de fechamento diário do ativo-objeto.

Para estes casos inexistem fórmulas fechadas para avaliação das opções, e

até mesmo os procedimentos numéricos tornam-se mais difíceis. Em seu

estudo demonstram que existem diferenças substanciais de preço entre opções

com barreiras contínuas e discretas, impossibilitando assim o emprego direto

dos resultados disponíveis para as barreiras contínuas no caso discreto.

Assim sendo, Broadie, Glasserman e Kou (1997) apresentam um

procedimento para avaliação de opções com barreira discreta a partir de

fórmulas utilizadas para barreiras contínuas aplicando uma simples correção à

barreira. Tal correção desloca a barreira por um fator igual a e(βσ√∆t) , onde β ≈

0,5826, σ é a volatilidade do ativo-objeto e ∆t é o tempo decorrido entre dois

instantes de monitoramento. Os resultados obtidos indicam boa acurácia no

emprego de tal metodologia, com exceção dos casos onde o preço do ativo-

objeto está muito próximo da barreira.

2.4.2. Métodos Numéricos

A utilização de métodos numéricos ocorre nos casos onde não há fórmula

fechada, determinística, para a obtenção do preço da opção. Existem diversas

técnicas numéricas para obtenção de um valor aproximado para o preço de

uma opção, sendo o modelo binomial o mais utilizado, em especial o

42

desenvolvido por Cox, Ross e Rubinstein (1979), doravante referido como

CRR. Modelos trinomiais, método de elementos finitos e método das diferenças

finitas são outros tipos de técnicas numéricas adotadas, embora não tão

difundidas quanto o modelo binomial. Os modelos trinomiais são mais usados

para o caso das opções exóticas, visto que no caso das opções comuns não há

significativa vantagem em se adotar árvores trinomiais no lugar das binomiais.

Quanto às outras duas técnicas, são metodologias originariamente

desenvolvidas para a solução de equações diferenciais parciais encontradas na

física e na engenharia, que porém vieram a ser adaptadas para solução de

problemas em finanças. Ambas, porém, são utilizadas com menor freqüência

que os métodos binomiais e trinomiais. Os métodos de simulação também são

classificados como métodos numéricos, porém serão abordados aqui em

separado (seção 2.4.3), devido às suas características específicas e a

importância crescente da simulação para a solução de problemas em finanças,

em particular na valoração de opções exóticas.

Os métodos numéricos são baseados em processos discretos no tempo,

que porém se aproximam da teoria dos modelos contínuos, adotada em Black-

Scholes e demais modelos analíticos, na medida em que o número de períodos

(N), em que é subdividido o tempo (T), tende ao infinito. Dessarte,

aumentando-se o número de passos (N) do processo numérico, melhora-se a

acurácia do valor aproximado. Entretanto, a convergência do valor obtido

numericamente não é monotônica, o que ocorre devido a existência de não-

linearidade do preço da opção em relação ao preço do ativo-objeto na região

em torno do preço de exercício no vencimento. No caso específico das opções

com barreira a área próxima à barreira também se apresenta como outra região

de não-linearidade do preço, agravando ainda mais o problema de

convergência dos modelos numéricos. A descrição das teorias básicas

43

relacionadas a cada um dos métodos numéricos não será aqui abordada17.

Segue uma breve descrição dos principais trabalhos que abordam o emprego

de técnicas numéricas, especialmente dos modelos binomiais e trinomiais, no

caso de opções com barreira, destacando as principais conclusões e

contribuições para o avanço da pesquisa na área de avaliação de tais opções.

Boyle e Lau (1994) demonstram que a aplicação descuidada dos modelos

binomiais tradicionais para avaliação de opções com barreira pode levar a

erros significativos, ainda que um número grande de passos seja utilizado, e a

uma demora muito grande na convergência. Apresentam então uma

metodologia para definir o que consideram o número ótimo de passos para a

avaliação de tais opções. A possibilidade de a barreira estar situada entre duas

fileiras de nós adjacentes na árvore binomial e o fato da probabilidade ser

discreta induzem um viés na avaliação, o que vem a ser corrigido através da

escolha de um número ideal de passos que implique em uma árvore binomial

onde a barreira fique imediatamente acima (se for uma down) ou abaixo (se for

uma up), e mais próxima possível, de uma fileira de nós.

Ritchken (1995) também chama a atenção dos problemas relacionados à

utilização de modelos binomiais para avaliação de opções com barreira,

especialmente àquelas que possuem barreiras variáveis ou múltiplas barreiras.

Nestes casos, embora de difícil implementação, o procedimento apresentado

por Boyle e Lau (1994) pode até reduzir o viés, porém Ritchken (1995)

desenvolve um modelo trinomial capaz de valorar e realizar hedge das opções

de forma mais simples e eficiente. A árvore trinomial é construída de forma que

passe exatamente sobre os pontos da barreira, ainda que esta não seja

constante no tempo. É demonstrado que para barreiras exponenciais o modelo

17 A descrição da teoria dos modelos binomiais e trinomiais pode ser encontrada em Figlewskie Gao (1999), em Hull (2000), em Lemgruber (1995), assim como nos diversos livros deavaliação de opções. Em relação aos métodos de diferenças finitas, ver Hull (2000) ou Hull eWhite (1996). Uma breve descrição sobre o método de elementos finitos pode ser vista emMcIver (1996).

44

trinomial pode ter seus movimentos de subida, descida e intermediário

multiplicados por fatores λu, λd e (λu - λd), respectivamente, selecionados de

forma que o movimento intermediário corresponda ao comportamento

exponencial da barreira. Ritchken (1995) comenta ainda que o modelo pode ser

aplicado a outros tipos de barreira variável, porém a complexidade na definição

dos movimentos da árvore trinomial aumenta. Para as opções com múltiplas

barreiras, como a double knock-out option, são selecionados determinados

parâmetros que modificam os movimentos de subida e descida, mantendo o

movimento intermediário nulo, de forma a obter uma coincidência de nós da

árvore com as barreiras. Deve-se, no entanto, destacar que tal metodologia

ainda apresenta certa dificuldade de implementação no caso do preço do ativo-

objeto já se encontrar muito próximo da barreira.

Derman et al (1995) analisam os vieses obtidos na avaliação de opções

com barreira quando se empregam métodos numéricos com malhas, tais como

os modelos binomiais e trinomiais, e os que se baseiam em diferenças finitas.

Mostram que o problema é maior no caso de barreiras complexas (não

constantes no tempo, por exemplo) ou quando a variação da volatilidade é

mais significativa. Posteriormente, Derman, Kani e Chriss (1996) apresentam

em detalhes como construir árvores binomiais e trinomiais em acordo com o

smile da volatilidade. Eles chamam a atenção de que a premissa de

volatilidade constante, adotada na teoria de Black-Scholes e na árvore binomial

padrão de CRR, não corresponde ao que vem sendo observado na prática,

onde a volatilidade implícita apresenta comportamento variável com o preço de

exercício e a maturidade das opções, conforme já comentado. Dessarte,

propõem a construção de árvores trinomiais ajustadas ao smile, que permitam

então considerar a variação da volatilidade. As árvores padrão representam o

mundo de volatilidade constante, enquanto as implícitas possuem uma malha

irregular conforme variação da volatilidade local com o nível de preço e tempo.

Uma vez construída uma árvore implícita que reflita o smile da

volatilidade, pode-se utilizá-la da mesma forma que uma árvore padrão, ou

45

seja, obtendo-se, além do preço da opção, a razão de hedge (∆) e outras

razões de sensibilidade, como o gamma e o theta. Para aplicação em opções

exóticas, como o caso das opções com barreira, é necessário impor as devidas

condições de fronteira na árvore.

Cheuk e Vorst (1996) desenvolvem em seguida um novo modelo trinomial

para avaliação de opções com barreira, modelo este que utiliza um shift

dependente do tempo para otimizar o posicionamento com relação à barreira.

O modelo é bastante flexível permitindo sua aplicação em opções com

estruturas de barreira variando com o tempo – complex barrier options,

incluindo as time-varying single ou double barriers. O modelo pode tanto ser

usado para opções com barreiras contínuas como para barreiras discretas.

Serve também para avaliação de opções com dois ativos, onde a condição de

barreira é imposta por um ativo, enquanto o payoff é determinado pelo outro.

Em seu estudo, mostram que o melhor posicionamento é diferenciado em

função da observação da barreira ser contínua ou discreta. Para barreiras de

observação contínua é preferível que uma fileira de nós caia exatamente em

cima ou imediatamente abaixo da barreira. Para barreiras de observações

discretas, é desejável que se posicione a malha de tal forma que a barreira

fique localizada no meio de dois nós, na direção vertical, em escala logarítmica.

O modelo é ainda aplicável a uma segunda barreira a partir do emprego de um

parâmetro de dispersão.

Confirmando constatações anteriores, Cheuk e Vorst (1996) verificam

que, no caso de opções com barreira, a convergência do modelo trinomial é

melhor do que em um modelo binomial. Adicionalmente, constatam também

que opções com barreiras com observação discreta requerem mais tempo para

convergir do que no caso de barreiras contínuas. No que diz respeito à

realização de hedge de opções com barreira, citam a aplicação da metodologia

de Pelsser e Vorst (1994) para cálculo das gregas, possível de ser utilizada em

modelos trinomiais. A grande contribuição fornecida pelo trabalho de Cheuk e

Vorst (1996) está relacionada ao fato do modelo produzir resultados bastante

46

acurados com um pequeno número de passos, mesmo quando o valor do

ativo-objeto está muito próximo da barreira, o que até então era uma das

grandes dificuldades na avaliação destas opções. Desta forma, o modelo

demonstrou boa eficiência e ser bastante genérico, sendo capaz de avaliar e

permitir a realização hedge para os mais diversos tipos existentes de opção

com barreira.

Figlewski e Gao (1999) apresentam um aperfeiçoamento a ser empregado

no método trinomial que denominam de AMM – Adaptive Mesh Model. Esta

técnica implica em aplicar uma malha de alta resolução (pequeno ∆t) em

determinado(s) trecho(s) da árvore trinomial (de grande ∆t), permitindo assim

reduzir o chamado “erro de não-linearidade”, inerente aos modelos numéricos

em geral. Apresentam três diferentes estruturas para o AMM: uma para a

avaliação de opções comuns, outra para a avaliação de opções com barreira, e

uma terceira para cálculo do delta e do gamma. Em síntese, a técnica

apresentada está relacionada com a construção desta malha mais fina nas

regiões onde haja problema de não-linearidade do preço da opção, como

próximo do preço de exercício no vencimento e próximo da barreira, no caso

específico de opções com barreira. A inclusão destas malhas mais finas sobre

uma mais espaçada permite melhorar a acurácia do modelo, reduzindo o erro

de não-linearidade, com um tempo de processamento menor do que no caso

de emprego de uma malha fina em toda a árvore trinomial.

Posteriormente, Ahn, Figlewski e Gao (1999) empregam o AMM para

avaliação de opções com barreira quando o monitoramento é discreto. Partem

também de um modelo trinomial gerado a partir de um processo de difusão

padrão para o preço do ativo-objeto, baseado no Movimento Geométrico

Browniano, que de forma discreta apresenta a seguinte formulação:

47

=σ−α

−=α

=σ+α

=−+

2d

2m

2u

tkt

h2kpadeprobabilidcom,hk

hk1padeprobabilidcom,k

h2kpadeprobabilidcom,hk

XX

onde X ≡ ln S e α ≡ (r – q - σ2/2), considerando que S é o preço do ativo-

objeto, r é a taxa de juros livre de risco, q é a taxa de pagamento de

dividendos, σ é a volatilidade do preço do ativo, k é o período entre dois

momentos de monitoramento (passos), e h é o degrau no preço. As

probabilidades de alta, média e de baixa são representadas por pu, pm e pd

respectivamente. Tendo a malha principal do modelo trinomial definida, criam-

se malhas adicionais mais finas nas regiões de monitoramento da barreira. Os

resultados obtidos pelo uso deste modelo se mostraram consideravelmente

mais acurados do que os obtidos pelos modelos trinomiais tradicionais.

Dentre os estudos dos modelos numéricos empregados para a avaliação

das opções com barreira, alguns autores buscaram analisar o efeito da

variação da volatilidade (vol-vol) no processo de valoração das opções.18

Derman e Kani (1994), por exemplo, demonstram como construir um modelo

binomial para avaliação de opções que leve em consideração o “efeito smile”

da volatilidade. Neste caso, definem o smile como uma combinação de dois

efeitos observados no comportamento da volatilidade: a redução da volatilidade

implícita a partir do aumento do preço de exercício da opção (volatility skew); e

o aumento da volatilidade implícita com o aumento do tempo a expirar de uma

opção que esteja at-the-money (volatility term structure). A metodologia

proposta utiliza o valor da volatilidade σ(S,t) retirada do smile para construção

de uma árvore binomial implícita (implied tree). Uma vez construída esta árvore

18 A seção 2.3.4 apresentou alguns trabalhos desenvolvidos nesta área, tais como Dupire(1994) e Rubinstein (1994). Cabe agora apenas apresentar os trabalhos relacionados àavaliação de opções com barreira.

48

implícita, pode-se obter a distribuição dos payoffs da opção no vencimento e

com isso determinar o valor presente da opção. Derman e Kani (1994)

encerram seu estudo destacando a importância do modelo para avaliação de

opções com barreira, onde a probabilidade do preço do ativo alcançar a

barreira é bastante sensitiva à forma do smile.

Ainda nesta linha, Brenner (1996) questiona a utilização das fórmulas

tradicionais de avaliação de opções, tal como a de B-S, para as opções com

barreira. Isto porque o valor de uma opção com barreira depende do caminho

a ser percorrido pelo ativo durante sua vigência, caracterizando-a como uma

opção do tipo path-dependent, o que faz com que seu preço seja

particularmente sensível à variação da volatilidade. Brenner (1996) atribui o

comportamento não constante da volatilidade a três tipos de variação: a curva

de volatilidade, o “efeito smile” e a volatilidade estocástica. Em seu estudo fica

demonstrado o efeito de se alterar a curva a termo da volatilidade tanto para

uma down-and-out quanto para uma up-and-out. Da mesma forma que Derman

e Kani (1994), discute também uma técnica para se construir uma árvore

trinomial que possibilite a incorporação dos efeitos tanto da estrutura a termo

da volatilidade quanto do smile no preço de uma opção com barreira do tipo

out.

2.4.3. Avaliação com uso de Simulação

Inicialmente aplicada em outras ciências, especialmente na física, a

simulação veio a ser empregada pela primeira vez em finanças por Boyle

(1977)19, que desenvolve um modelo de simulação de Monte Carlo para

solucionar uma série de problemas relacionados à avaliação das opções.

O método de Monte Carlo é adotado para casos em que uma solução analítica

não está disponível, sendo assim bastante útil para avaliação de derivativos

19 O pioneirismo de Boyle (1977) pelo emprego da simulação de Monte Carlo em finanças écitado em Paiva e Paiva (1997a).

49

exóticos. Uma das vantagens da simulação está na simplicidade e flexibilidade

da metodologia, no sentido de que esta facilmente pode ser modificada de

forma a considerar diferentes processos de geração de retornos dos ativos. Por

exemplo, é relativamente fácil adotar um comportamento de preços formado a

partir de uma mistura de um processo contínuo com outro com saltos, tal qual o

modelo de difusão proposto por Merton (1976). Outra vantagem do emprego da

simulação está na obtenção imediata do desvio-padrão do valor estimado, de

forma que é possível estabelecer o nível de precisão do resultado. Ressalte-se,

entretanto, que o desvio-padrão da estimativa é inversamente proporcional à

raiz quadrada do número de iterações da simulação, sendo assim necessário

um número muito grande de iterações para que se obtenha uma estimativa

razoável – para se reduzir o desvio-padrão por um fator igual a dez é

necessário aumentar o número de iterações em 100 vezes. Existem, porém,

algumas técnicas que permitem aumentar a eficiência do modelo de simulação,

como a técnica de redução da variância, utilizada por Boyle (1977) em seu

modelo.

O modelo elaborado por Boyle (1977) simula o processo de geração de

preços do ativo-objeto e se baseia na premissa de neutralidade a risco para

obter numericamente o valor da opção. O caminho do preço do ativo a partir da

data presente até o vencimento da opção é simulado um certo número de

vezes, sendo então calculado o valor esperado da opção como sendo igual ao

valor presente da média de todos os preços obtidos para a opção no

vencimento.

Johnson e Shanno (1987) também utilizam o método de simulação de

Monte Carlo para a avaliação de opções, porém consideram ainda um

comportamento estocástico para a volatilidade do ativo-objeto. O modelo

analisado pressupõe que o comportamento do preço (S) e da volatilidade (σ)

do ativo seguem respectivamente as seguintes equações:

50

dzSSdtdS ασµ += )0( ≥α

SSS dzdtd βσσσµσ += )0( ≥β

onde dz e dzs são dois processos distintos de Gauss-Wiener com correlação ρ.

O modelo de Black-Scholes pode ser visto como um caso particular deste,

onde µs = σs = 0 e α = 1. Os preços das opções são obtidos a partir destas

equações, onde dz e dzs são gerados de acordo com a fatorização de

Cholesky20, garantindo assim a presença da correlação ρ entre o ativo e sua

volatilidade, no decorrer da simulação.

O problema da lenta convergência do método de Monte Carlo é discutido

por Brotherton-Ratcliffe (1994), que cita algumas técnicas de redução da

variância, capazes de melhorar a velocidade de convergência. Boyle (1977) já

havia discutido anteriormente o emprego do antithetic variate method e do

control variate method, de forma que Brotherton-Ratcliffe (1994) concentra

seus estudos no uso de seqüências quasi-randômicas, em particular na

seqüência numérica de Sobol, para reduzir os erros na avaliação de opções. O

autor conclui que o emprego da amostragem quasi-randômica não somente

aumenta a eficiência da simulação de Monte Carlo como também se apresenta

como mais eficiente do que outras técnicas de redução de variância, incluindo

o antithetic method.

Paiva e Paiva (1997a), ao abordarem o emprego de simulações de Monte

Carlo em finanças, apresentam uma breve explanação sobre a geração de

números aleatórios, destacando que na verdade tratam-se de números pseudo-

aleatórios, visto que são em geral produzidos por meio de algoritmos

20 Técnica desenvolvida por Iman e Conover (1982) para induzir determinada matriz decorrelação em variáveis multidimensionais na aplicação em experimentos de simulação. (Salibye Moreira, 2000)

51

numéricos, não sendo portanto números verdadeiramente aleatórios. Os

geradores existentes fornecem números pseudo-aleatórios distribuídos

uniformemente entre 0 e 1. Entretanto, ao utilizar Monte Carlo para geração de

trajetórias de preço consoante o Movimento Geométrico Browniano, o que

geralmente é adotado nos modelos de valoração de opções, é necessária a

geração de seqüência de números aleatórios segundo uma distribuição normal

padrão, isto é, com média µ = 0 e variância σ2 = 1. Paiva e Paiva (1997a)

apresentam três métodos que podem vir a ser utilizados para geração de tais

seqüências a partir da geração original de números de uma distribuição

uniforme: Método de Box-Müller, Método Estatístico e Método de Integração.

Nos limitaremos a apresentar aqui apenas o primeiro deles, de fácil utilização,

e que não chega a demandar significativos acréscimos de tempo

computacional.

O método de Box-Müller, também conhecido como método ou

transformação polar, parte de dois números randômicos independentes - u1 e

u2, originados de uma distribuição uniforme entre 0 e 1, que, a partir das

equações:

( )( )212

211

2senlog2

2coslog2

uuy

uuy

ππ

−=

−=

são transformados em dois novos números independentes – y1 e y2,

distribuídos normalmente com média zero e desvio-padrão igual a um, ou seja,

pertencentes a uma normal padrão.21

Paiva e Paiva (1997b) realizam uma série de comparações entre várias

simulações de Monte Carlo para a avaliação de opções, a partir da variação de

diversos parâmetros e características relacionadas à própria simulação. Em

cada simulação realizada calculam o erro percentual de aproximação, ou seja,

21 Uma descrição detalhada do método pode ser encontrada em Ross (1990), p.68-72.

52

a diferença percentual entre o valor da opção obtido via simulação e o valor

teórico, obtido analiticamente através da fórmula de Black-Scholes. A análise

dos parâmetros envolvidos é então efetuada a partir da comparação entre

erros. Descreve-se a seguir alguns dos resultados a que chegaram os autores.

A primeira análise refere-se exatamente à metodologia adotada para

gerar números aleatórios distribuídos segundo uma normal padrão. Conclui-se

que os três métodos, apresentados em Paiva e Paiva (1997a) e aqui citados -

Método de Box-Müller, Método Estatístico e Método de Integração,

demonstram boa eficácia e resultados semelhantes quando a quantidade de

números gerados é razoavelmente grande. Especificamente, mostram que a

partir de 10.000 sorteios (trajetórias para o ativo) não há diferença significativa

entre os três métodos. Ressaltam apenas que o Método Estatístico é seis

vezes mais lento que os outros dois.

Realizam também uma análise para verificar a influência da semente

utilizada na geração dos números. Notam que o emprego de sementes

distintas implica em uma grande variação no erro, ainda que aumentem

acentuadamente o número de sorteios. Chegam até mesmo a realizar

simulações com 100.000 sorteios, sem que seja possível vislumbrar uma

redução na diferença entre erros.

Comparam ainda os erros quando variado o número de passos e o

número de trajetórias. No primeiro caso realizam simulações com número de

passos (N) variando de 1 a 21. Visto realizarem o estudo para opção com

prazo de vencimento ou maturidade (T) igual a 21 dias, isto significa uma

divisão do período em sub-períodos de tempo (dt = T/N) de no mínimo 1 dia.

Considerando que o erro é calculado ao se comparar o resultado simulado

(discreto no tempo) com o analítico, e que este é definido no espaço de tempo

contínuo, o número de passos (N) deve ser significativamente maior para que

se encontre redução no erro. É compreensível, portanto, que não tenham

encontrado redução significativa do erro ao variarem o número de passos

dentro da faixa estabelecida. Por outro lado, quando variado o número de

53

trajetórias, e portanto o tamanho da amostra aleatória utilizada em cada

simulação, na faixa compreendida entre 1.000 e 30.000 trajetórias, constatou-

se uma grande melhora nos resultados, com convergência do valor dos erros

para 0%, ou seja, convergência do valor simulado para o valor analítico

fornecido por Black-Scholes. Na verdade, a partir de 15.000 trajetórias já foi

possível obter resultados mais que satisfatórios (erros já bem próximos de 0%),

não havendo melhora significativa a partir de então.

Encerrando esta seção relativa aos modelos de avaliações com barreira,

cabe ainda comentar o trabalho desenvolvido por Barros (1996), no qual

apresenta um estudo objetivando aumentar a compreensão das opções com

barreira, em particular das opções do tipo down-and-in call e down-and-out call,

através da comparação entre técnicas analíticas, numéricas e de simulação

para a valoração de tais opções. Para obtenção de uma fórmula analítica aplica

diretamente a teoria de processos estocásticos e, em seguida, testa a

eficiência de modelos binomiais e de Monte Carlo, comparando seus

resultados com os obtidos analiticamente. No emprego do modelo binomial

padrão encontra problemas de convergência, conforme Boyle e Lau (1994) já

haviam demonstrado. Contudo, quando utilizam o modelo binomial modificado,

apresentado por Boyle e Lau (1994), onde é definido e adotado um número

ótimo de passos, o resultado já é considerado satisfatório, com uma

convergência adequada. Já o emprego da simulação de Monte Carlo não se

mostrou satisfatório, com menor convergência de seu resultado para o obtido

analiticamente. Com isso, Barros (1996) defende a utilização do modelo

binomial modificado, e não da simulação de Monte Carlo. Não obstante, cabe

destacar que realizam a simulação com um número relativamente baixo de

passos (N = 365) em cada trajetória simulada, de forma que o resultado

encontrado via simulação é determinado por um processo discreto no tempo,

sendo então comparado com o resultado analítico, derivado de um processo

contínuo. A convergência da simulação seria melhor com o emprego de um N

maior, o que poderia alterar a conclusão a que chegou o autor.

54

2.5. O HEDGE DE OPÇÕES COM BARREIRA

Quando uma instituição financeira vende uma opção para um cliente no

mercado de balcão ela estará imediatamente preocupada em se proteger

quanto ao risco de mercado inerente a esta operação. Quando esta opção for

também negociada em bolsa, é fácil para a instituição neutralizar sua

exposição, simplesmente assumindo uma posição comprada na bolsa. No

entanto, as opções com barreira negociadas em balcão geralmente não

possuem similares nas bolsas, dificultando assim o gerenciamento do risco por

parte da instituição financeira. Opções comuns, ainda que não negociadas em

bolsa, podem ter seu respectivo hedge realizado através da criação de opções

sintéticas, conforme comenta e demonstra Hull (2000). Porém, quando se trata

de opções com barreira, a dificuldade na realização do hedge é bem maior.

2.5.1. As Gregas

Para administração e controle do risco de uma carteira composta por

opções é necessário o conhecimento das possíveis variações de preço da

opção em relação ao próprio ativo-objeto e às variáveis determinantes de seu

preço, ou seja, das derivadas parciais do preço, o que se dá através do cálculo

das denominadas “letras gregas”: delta (∆), gamma (Γ), vega (ν), theta (θ) e rho

(ρ), que medem a sensibilidade do preço da opção em relação ao preço do

ativo (S), ao próprio delta, à volatilidade (σ), à maturidade (T) e à taxa livre de

risco (r), respectivamente. Fórmulas analíticas para cálculo das “gregas” de

opções comuns de compra e venda são facilmente obtidas a partir da

formulação de Black-Scholes.22 Contudo, no caso das opções com barreira a

determinação das “gregas” é bastante complexa. O delta da opção, por

exemplo, é descontínuo, em virtude da existência da barreira, o que vem então

22 As fórmulas analíticas podem ser encontradas em Lemgruber (1995), Jorion (1997) e Hull(2000), assim como nos principais livros de derivativos.

55

dificultar a manutenção de uma carteira com delta neutro ao longo do tempo.23

No momento em que o preço do ativo determinante da barreira alcança o valor

referenciado como tal, uma opção do tipo out passa automaticamente a valer

zero (ou um valor de rebate), de forma que seu titular, se estiver adotando o

seguro dinâmico (delta hedging) em sua carteira, fica de um momento para o

outro totalmente desprotegido. Na verdade, é até mesmo mais difícil de

entender intuitivamente o comportamento das derivadas parciais (as “gregas”)

do preço das opções com barreira. Consideremos aqui dois exemplos

específicos de opções com barreira e suas sensibilidades à variação de preço

do ativo-objeto:

• Uma opção de compra do tipo up-and-out que esteja muito próxima da

barreira e do vencimento: o delta da opção troca de sinal e, por

conseqüência, o gamma se torna extremamente grande, o que gera uma

necessidade imediata de alterar uma posição de hedge, revertendo uma

posição comprada para vendida ou vice-versa.

• Uma opção de compra do tipo down-and-out: o delta da opção é maior que

1, pois um pequeno acréscimo (decréscimo) no preço do ativo não somente

aumenta (diminui) a probabilidade da opção terminar dentro do dinheiro (in-

the-money), mas também reduz (aumenta) significativamente a

probabilidade do ativo alcançar a barreira. Estes dois efeitos combinados

fazem com que as down-and-out calls sejam fortemente sensitivas a

movimentos de preço do ativo-objeto.

Em virtude destas complicações, a realização do seguro dinâmico implica

em ajustes periódicos significativos na carteira, de forma a mantê-la com o

delta neutro. Porém, isto torna a estratégia geralmente cara e complexa, o que

motivou alguns pesquisadores na busca de alternativas para a realização do

hedge, conforme abordado na seção seguinte.

23 Conforme definição dada por Hull (2000, p.662), uma carteira delta-neutra possui seu deltaigual a zero, de tal forma que não é sensível a pequenas variações do preço do ativocorrespondente.

56

A utilização de métodos numéricos para avaliação de opções com barreira

permite também cálculos aproximados para as “gregas”, a semelhança do que

é realizado com opções comuns. Assim como é obtido numericamente o valor

da opção (C) para um respectivo valor inicial do ativo-objeto (S0), é possível

obter valores C+0.01 e C-0.01 a partir de valores iniciais para o ativo-objeto

aumentado e reduzido de +0,01 e –0,01, respectivamente. Com isto, sendo o

delta definido como:

SC

∂∂=∆

é possível estimá-lo tomando ∆S por ∂S, obtendo uma aproximação do tipo:

02.0CC

SC 01.001.0 −+ −

=∆∆=∆

Este procedimento pode ser adotado tanto nos modelos binomiais quanto

nos modelos de simulação de Monte Carlo. Na simulação, o emprego desta

técnica corresponde à chamada ressimulação, o que exige um maior tempo

computacional, visto que há necessidade de geração de novas trajetórias para

o ativo-objeto.

Alguns autores sugerem outras formas de obtenção de aproximações

para as “gregas” quando adotados métodos numéricos para avaliação de

opções. Pelsser e Vorst (1994), por exemplo, demonstram que, entre

aproximações por diferenças numéricas e por uma árvore binomial estendida,

esta última fornece resultados mais confiáveis, quando o modelo binomial é

empregado para avaliação da opção. Esta metodologia adota a idéia da árvore

binomial estendida, conforme a apresentada na Figura 3. Neste caso, na

definição do preço do ativo em cada ponto como sendo Sn,j = Sujdn-j, tem-

se valores negativos para n e j em datas anteriores à data zero.

57

Figura 3 – Árvore Binomial Estendida

Estando a árvore definida desta forma, pode-se calcular o ∆ de uma

opção na data zero como sendo:

1,01,0

1,01,0 )()(

−

−

−−

=∆SS

SCSC

e, de forma análoga, o Γ como sendo:

−−

−−−

×−

=Γ−

−

− 1,0

1,0

1,0

1,0

1,01,0

)()()()(2SS

SCSCSS

SCSCSS

Broadie e Glasserman (1996), por outro lado, apresentam dois métodos

considerados diretos para estimação das derivadas utilizando a simulação de

Monte Carlo, em contraposição aos métodos até então empregados,

considerados como métodos indiretos ou de ressimulação. A principal

vantagem de tais métodos diretos, pathwise method e likelihood ratio method24,

24 Uma descrição detalhada dos métodos pode ser encontrada em Broadie e Glasserman(1996).

S-1,0

S0,1

S1,2

S2,3

S-2,-1

S-1,-1

S2,2

S1,1

S

S2,1

S1,0

S2,0 S0,-1

S1,-1

S2,-1

58

é a redução do tempo necessário para processamento da simulação. Os

autores defendem ainda que tais métodos fornecem estimativas não viesadas,

diferente do que geralmente ocorre com a ressimulação. Broadie e Glasserman

(1996) apresentam ainda exemplos do emprego destas duas metodologias

diretas quando o emprego de modelos analíticos não é possível, tais como no

caso de uma Asian Options25 e em opções com volatilidade estocástica, ou

seja, quando a volatilidade não é constante no tempo.

2.5.2. A Realização do Hedge

Quando falamos em realizar o hedge de uma opção, a primeira e mais

simples estratégia a adotar é o emprego do delta hedging,26 que se caracteriza

pela venda (compra) de ∆ ações quando se está comprado (vendido) em uma

opção de compra desta ação, mantendo assim a carteira com delta neutro ou

nulo. Importante destacar, porém, que a posição estará protegida, com delta

nulo, somente por um período curto de tempo, já que o delta da opção estará

se alterando continuamente, de forma que se torna necessário um

rebalanceamento periódico. Devido a isto, esta estratégia de proteção é

também denominada de hedge dinâmico.

No entanto, quando se fala em proteger uma posição de opção com

barreira, muitos autores questionam o emprego do hedge dinâmico. Uma

posição inicialmente protegida pode se tornar completamente desprotegida em

um intervalo muito pequeno de tempo, principalmente quando o preço do ativo-

objeto da opção estiver se aproximando da barreira, o que ocorre devido à

descontinuidade do payoff de uma opção deste tipo, conforme já discutido

anteriormente. Assim sendo, a necessidade do rebalanceamento periódico do

hedge dinâmico em opções com barreira é ainda mais importante.

25 Assim como as opções com barreira, as Asian Options são opções exóticas cujos preçosdependem da trajetória do ativo-objeto, ou seja, pertencem à classe das path dependentoptions.26 Hull (2000, p.310) apresenta uma boa explanação sobre esta técnica.

59

Entre os autores que questionam o emprego do hedge dinâmico, Bowie e

Carr (1994) apresentam uma técnica para realização de um hedge estático

para opções exóticas a partir de uma “carteira replicada” formada por opções

comuns e pelo ativo-objeto. Defendem a utilização deste hedge estático pelo

fato de permitir uma redução dos custos de hedge, principalmente por diminuir

consideravelmente os custos de transação, tão significativos no hedge

dinâmico, devido a necessidade constante de se reajustar a carteira através da

compra e venda de novos ativos. A idéia por trás do conceito de “carteira

replicada” é a de formar uma carteira com o ativo-objeto e diversas opções,

com preços de exercício e maturidades diferentes, que forneça o mesmo payoff

que a opção exótica, seja qual for a trajetória do ativo-objeto. Utilizam nesta

técnica o conceito da put call symmetry (Carr apud Bowie e Carr, 1994),

apresentado a seguir.

A Put Call Symmetry

A dedução da Put Call Symmetry (PCS) surge a partir da Put Call Parity

(PCP), conhecida relação existente entre preços de opções européias de

compra e venda com mesmo preço de exercício e vencimento, apresentada a

seguir:

0TR SPKeC F +=+ −

onde C e P são respectivamente os preços das opções européias de compra e

venda de ação que não paga dividendos, ambas com preço de exercício K e

maturidade T, S0 é o valor atual do ativo-objeto, e RF é a taxa livre de risco. A

PCP mostra que é possível obter o preço de uma opção de compra européia

com determinado preço de exercício e vencimento a partir do valor de uma

opção de venda com mesmo preço de exercício e vencimento, e vice-versa.27

27 Uma apresentação mais detalhada da Put-Call Parity pode ser encontrada em Hull (2000).

60

A PCS, por sua vez, também é uma relação entre preços de opções

européias de compra e venda, porém com preços de exercício diferentes.

Entretanto, para seu desenvolvimento, é imposta uma restrição na definição do

processo estocástico para o preço do ativo-objeto, não existente no caso da

PCP. Considera-se que o preço a termo do ativo-objeto segue um processo de

difusão onde a volatilidade satisfaz certa condição de simetria, apresentada

mais adiante, de forma que a relação entre preços de opções de compra e

venda é válida para preços de exercício cuja média geométrica é o preço a

termo do ativo.

Em uma definição formal, Carr (1995) define a European Put Call

Symmetry da seguinte forma:

Considerando um mercado sem fricção, sem oportunidades para

arbitragens, e a seguinte condição de simetria:

σ(x,t) = σ(-x,t), para todo x є R e t є [0,T],

existe a seguinte relação de paridade entre o preço de uma opção

européia de compra, C0(Kc), e o preço de uma opção européia de

venda, P0(Kp):

( ) ( )p

p

c

c

K

KP

KKC 00 =

onde a média geométrica do preço de exercício da opção de compra,

Kc, e do preço de exercício da opção de venda, Kp, é igual ao preço a

termo do ativo no tempo 0, F0:

0FKK pc =

Como exemplo, uma opção de compra com preço de exercício duas

vezes maior que o preço a termo do ativo tem seu valor igual ao dobro do valor

de uma opção de venda com preço de exercício igual à metade do preço a

61

termo do ativo [C(2F0) = 2 P(F0/2)]. Um caso particular da PCS é a relação que

diz que os preços das opções de compra e venda são exatamente iguais

quando o preço de exercício de ambas é igual ao preço a termo do ativo.

Apresentada a Put Call Symmetry, segue-se a apresentação dos estudos

relacionados ao hedge de opções com barreira. Paralelamente a Bowie e Carr

(1994), Derman, Ergener e Kani (1994 e 1995) também desenvolvem uma

metodologia de hedge estático, aplicável a opções exóticas em geral, baseada

no mesmo conceito da “carteira replicada” (static replicating portfolio), porém

formada apenas por opções comuns, com diferentes preços de exercícios e

maturidades, e em quantidades tais que não haja necessidade de qualquer

ajuste posterior. O modelo utiliza opções para a realização do hedge de

opções, de forma que possibilita naturalmente uma proteção tanto para a

volatilidade quanto para o gamma, ainda que ocorra o “efeito smile” na

volatilidade. O desenvolvimento teórico do modelo passa pela utilização de um

número infinito de opções, isto é, para que se obtenha uma proteção total da

posição comprada ou vendida em uma determinada opção com barreira é

necessária a formação de uma carteira composta por infinitas opções comuns.

Entretanto, a utilização de um número limitado de opções já é capaz de

propiciar proteção em nível mais que satisfatório. Ou seja, o acréscimo no

número de opções aumenta a acurácia na realização do hedge, porém uma

pequena quantidade de opções já é capaz de fornecer seguro para uma ampla

faixa de condições futuras do mercado.

O princípio básico desta metodologia desenvolvida por Derman, Ergener e

Kani (1994 e 1995) está na replicação estática do valor futuro de uma

determinada carteira, considerando todas as possibilidades futuras para os

preços dos ativos envolvidos em todo o período de tempo a decorrer entre a

data base (data atual) e o vencimento/maturidade da carteira. Isto se dá

através do levantamento do fluxo de caixa líquido nas condições de contorno

da carteira, em um modelo binomial, construindo-se uma segunda carteira

62

(static replicating portfolio), composta por opções comuns, que apresenta o

mesmo fluxo de caixa líquido nas condições de contorno. Tal metodologia não

só serve para realização do hedge, como também pode ser utilizada como

forma de determinação do valor justo da opção exótica. Visto que a carteira

replicada possui o mesmo payoff da opção exótica, seus valores devem ser

equivalentes, logo o valor da opção exótica deve corresponder ao valor da

carteira replicada.

Em Derman, Ergener e Kani (1994), os autores apresentam um exemplo

numérico no qual replicam uma posição comprada em uma opção de compra

do tipo up-and-out, com preço de exercício igual a 70, barreira igual a 120,

maturidade de cinco anos, cujo preço do ativo se encontra em 100. Para a

aplicação da metodologia, inicia-se pela definição das condições de contorno,

no caso, os nós da árvore binomial que estão sobre a barreira ou no

vencimento. Inicia-se então a formação da carteira secundária (replicada) a

partir da posição comprada de uma opção de compra comum com mesmo

preço de exercício que a up-and-out, isto porque é sabido que tal opção possui

os mesmos valores no vencimento abaixo da barreira que a opção primária.

Em seguida, sistematicamente, corrigem-se os valores acima da barreira com o

emprego de opções com preço de exercício igual ao valor da barreira e outras

com maturidade menor. No caso específico do exemplo, a replicação foi

realizada com a formação da seguinte carteira:

Posição comprada de 1 opção de compra com T = 5 anos e K = 70Posição vendida de 10 opções de compra com T = 5 anos e K = 120Posição comprada de 5 opções de compra com T = 3 anos e K = 120

Em síntese, quando a situação de contorno provocada pela existência da

barreira está localizada em nível de preços superior ao preço corrente do ativo-

objeto, como no caso do exemplo, utilizam-se opções de compra com preços

de exercício iguais ou superiores ao valor da condição de contorno. Em

contrário, quando a condição de contorno é inferior ao preço corrente do ativo,

como no caso de uma down-and-out, utilizam-se opções de venda com preços

de exercício iguais ou inferiores à condição de contorno.

63

Entretanto, os autores chamam a atenção de que somente é possível

replicar a posição com um número finito de opções em um ambiente teórico,

aqui representado pelo modelo binomial, visto que as condições de contorno

também são finitas. No mundo real, onde o preço tem comportamento contínuo

no tempo, há a necessidade de emprego de um número infinito de opções,

porém, conforme já comentado, encontra-se resultados bastante satisfatórios

com o emprego de número limitado de opções.

Posteriormente, Carr, Ellis e Gupta (1998) apresentam novo estudo

relacionado ao hedge estático de opções exóticas. Similar ao que já havia sido

proposto, a metodologia se baseia na construção de carteiras compostas por

opções comuns de compra e venda com diferentes preços de exercícios, cujos

valores contrabalancem o payoff da opção exótica. A construção das carteiras

é também fundamentada na Put Call Symmetry (PCS). O modelo pode ser

aplicado a opções com barreira, inclusive às com múltiplas barreiras.

Porém, no mesmo ano, Toft e Xuan (1998) analisam a eficiência do hedge

estático no caso de opções com barreira, quando considerado um modelo

estocástico para a volatilidade. Utilizam modelos de simulação, tanto para o

ativo quanto para a volatilidade, e acabam por concluir que o hedge estático

somente é capaz de replicar satisfatoriamente opções com barreira quando a

volatilidade da volatilidade (vol-vol) é moderada ou quando o payoff da opção

não apresenta descontinuidade, como no caso de uma opção do tipo up-and-

out com rebate igual a diferença entre o valor da barreira e o preço de exercício

(R = H – K). Constatam, então, que havendo descontinuidade no payoff, o que

ocorre em todas as opções sem rebate, por exemplo, e com vol-vol elevada, a

eficiência do hedge estático fica bastante comprometida. Assim sendo, o

seguro dinâmico, embora mais custoso no caso das opções com barreira,

ainda se configura como alternativa para manutenção de uma carteira delta-

neutra e, portanto, livre de risco de mercado, para pequenas alterações no

preço do ativo-objeto da opção.

64

2.6. A ESTRATÉGIA DE CARTEIRA DELTA-NEUTRA

A existência de diversas estratégias de negociação sistemática de ativos

financeiros está diretamente relacionada com a questão da eficiência de

mercado. Mais especificamente, a idéia por trás de uma estratégia de

negociação é a obtenção de lucros econômicos sistemáticos em determinado

mercado a partir da possibilidade deste não apresentar a forma forte de

eficiência de mercado. Entende-se como lucro econômico o retorno excessivo

ajustado para o nível de risco e livre de despesas com negociações (custos de

transação). Uma estratégia capaz de testar a eficiência do mercado de opções

é a denominada estratégia de carteira delta-neutra ou delta-nula, que se

caracteriza pela realização de um seguro dinâmico da carteira que a mantenha

com um delta nulo, de tal forma que a carteira seja insensível a pequenas

variações no preço do ativo.

Becker e Lemgruber (1989) descrevem a estratégia a partir da

composição de uma carteira composta por uma opção e uma fração da ação-

objeto, fração esta determinada pelo delta (∆c) da opção. Para uma posição

comprada em opção de compra mantém-se uma posição vendida em ∆c ações,

o que implica na obtenção de uma carteira com delta nulo. O delta de uma

carteira é obtido a partir da ponderação dos deltas de seus componentes pela

quantidade de cada ativo, conforme apresentado na seguinte equação:

SSccp NN ∆×+∆×=∆

onde ∆p, ∆c e ∆s são respectivamente os deltas da carteira, da opção e da

ação, enquanto que Nc e Ns são as quantidades de opções e ações existentes

na carteira. Como o delta de uma ação é igual a unidade (∆s = 1), para que a

carteira tenha delta nulo (∆p = 0) é necessário que a quantidade de ações

mantidas na carteira (Ns) seja igual a – (Nc x ∆c).

65

Esta estratégia, porém, não garante uma posição permanentemente

neutra, visto que há uma limitação prática na realização do ajuste do

balanceamento da carteira. Ou seja, a realização de um único ajuste diário não

garante a manutenção do delta nulo entre ajustes, o que somente seria

possível se ocorresse ajuste da carteira a cada mudança de preços da ação-

objeto. Como conseqüência, a carteira formada conforme esta estratégia não é

uma carteira absolutamente livre de risco.

A metodologia adotada por Becker e Lemgruber (1989) para construção

da carteira passa por uma comparação entre o preço da opção conforme o

modelo de Black-Scholes (CBS) e o preço de fechamento no mercado (CM). 28

Supondo-se que CBS está correto, a opção é comprada se estiver subavaliada

pelo mercado (CM < CBS) ou é vendida se estiver superavaliada (CM > CBS).

Como a estratégia implica na carteira com delta nulo, o ajustamento de hedge

é efetuado pela venda ou compra de ∆c ações-objeto, completando assim a

composição da carteira. A estratégia é realizada para três prazos distintos - 1

dia, 1 semana e até o vencimento da opção, com ajustes diários da carteira a

partir dos novos preços das opções (tanto CBS quanto CM), sendo encerrada no

último dia do período com o fechamento das posições e cálculo do lucro ou

perda da estratégia. O resultado encontrado neste estudou indicou a obtenção

de lucros com a realização da estratégia, porém insuficientes para cobrir os

custos de transação, o que levou à conclusão de que o mercado seria eficiente.

Se o montante de lucros auferidos tivesse sido mais que suficiente para a

cobertura dos custos de transação, a conclusão seria pela ineficiência do

mercado na valoração das opções, partindo, é claro, da suposição de que

Black-Scholes avalia corretamente o valor das opções.

Em outros testes de eficiência realizados no mercado brasileiro, Calôba

(2000) e Fuchs (2001) encontram a possibilidade de obtenção de lucros

28 O estudo de Becker e Lemgruber (1989) se propôs a estudar a eficiência do mercadobrasileiro de opções durante o período de vigência do Plano Cruzado – março a novembro de1986.

66

significativos com o emprego de carteiras delta-neutras, indicando um certo

grau de ineficiência do mercado de opções.29

De fato, o que se quer aqui destacar é que a utilização de uma estratégia

deste gênero permite avaliar a eficiência de um determinado mercado na

avaliação dos seus ativos, ou seja, se o mercado é eficiente não há a

possibilidade de um determinado investidor obter ganhos sistemáticos através

de negociações com ativos deste mercado, sem que incorra em risco de

mercado.

29 O estudo de Calôba (2000) utiliza redes neurais para a previsão da variação diária davolatilidade implícita nas opções sobre Telebrás PN, no período de agosto de 1994 a novembrode 1996. O estudo de Fuchs (2001), por sua vez, parte da hipótese de que as auto-correlaçõestemporais de ordem 1 dos quadrados dos retornos não são iguais quando calculadas nos diasde retornos negativos e positivos, realizando assim estratégias com carteiras delta-neutras comopções sobre Telebrás PN, no período de janeiro de 1997 a maio de 2000.

67

3. METODOLOGIA

O emprego da fórmula analítica de Heynen e Kat (1994), originariamente

desenvolvida para opções com dois ativos distintos30, para a avaliação de

opções com barreira com um único ativo se apresenta como uma alternativa à

fórmula analítica tradicional desenvolvida por Reiner e Rubinstein (1991)31,

trazendo uma significativa melhora no processo de valorar as opções, isto

porque esta última não considera a possibilidade de qualquer variação da

volatilidade enquanto a outra permite o emprego de dois valores distintos.

Entretanto, questiona-se aqui se esta melhora é satisfatória na atividade de

valorar as opções com barreira, acreditando que o efeito da vol-vol é bastante

significativo no preço de uma opção com barreira e que, desta forma, o

emprego da fórmula de H&K é ainda insuficiente para obtenção de uma

avaliação precisa.

Logo, considerando o objetivo do presente estudo, conforme apresentado

no item 1.2, a metodologia aqui empregada parte do desenvolvimento de

modelos alternativos de avaliação de opções com barreira que sejam capazes

de considerar a possibilidade da volatilidade do preço do ativo subjacente

sofrer variações ao longo da vigência da opção. É utilizada a simulação de

Monte Carlo no desenvolvimento destes modelos. Em seguida, escolhe-se um

dos modelos desenvolvidos para ser empregado em uma estratégia de

negociação, onde diariamente é contrastado o preço da opção obtido pelo

modelo com os fornecidos pela fórmula analítica de Heynen & Kat, de forma a

se testar a adequabilidade do uso da fórmula, adaptada para a avaliação de

opções com barreira com um único ativo.

30 Denominadas por Heynen e Kat (1994) como outside barrier options. Conforme já colocadoanteriormente, utilizou-se nesta dissertação o termo Heynen & Kat, ou simplesmente H&K, parafazer referência a fórmula.31 Da mesma forma, adotaram-se os termos Reiner & Rubinstein e R&R para fazer referência àfórmula desenvolvida por Reiner e Rubinstein (1991).

68

A descrição da metodologia adotada está organizada da seguinte forma: a

Seção 3.1 apresenta uma descrição sucinta do experimento, incluindo a

enumeração das hipóteses consideradas; a Seção 3.2 descreve a construção

básica dos modelos de simulação; a Seção 3.3 mostra como é realizada a

comparação entre o emprego de modelos de simulação de Monte Carlo e a

fórmula analítica de Heynen & Kat, de forma a avaliar se o uso desta última é

capaz de gerar avaliações coerentes com o comportamento da vol-vol; por

último, na Seção 3.4, é estruturada a estratégia de negociação sistemática da

opção, baseada na diferença de preços entre o obtido via simulação de Monte

Carlo, capaz de considerar melhor a variação da volatilidade, e o fornecido pela

fórmula analítica.

3.1. DESCRIÇÃO GERAL DO EXPERIMENTO

Esta primeira seção do capítulo da metodologia apresenta uma primeira

descrição do experimento, de forma a facilitar a compreensão geral do que foi

proposto e realizado, incluindo a descrição das etapas e enumeração das

hipóteses adotadas.

3.1.1. Etapas do Experimento

Podemos dividir o experimento realizado em três etapas principais: (i) a

definição dos parâmetros básicos determinantes dos processos de simulação;

(ii) a comparação entre o emprego de modelos de simulação e a fórmula

analítica de Heynen & Kat; e (iii) a realização de uma estratégia de negociação

sistemática de uma opção, contrastando o uso de um dos modelos de

simulação com o da fórmula de Heynen & Kat.

Definição dos Parâmetros Básicos das Simulações:

Considerando a proposta de emprego de modelos de simulação de Monte

Carlo para a avaliação de opções com barreira, torna-se necessária a definição

de determinados parâmetros a serem empregados nas simulações, tais como o

69

número de trajetórias (I) a serem simuladas e o número de passos (N) de cada

trajetória. A determinação destes é feita a partir da comparação dos resultados

obtidos de um modelo de simulação, com volatilidade constante, com os

fornecidos pela fórmula analítica de Reiner & Rubinstein. Varia-se I e N até que

se encontre uma boa convergência do valor simulado para o valor da fórmula

analítica.

É importante mencionar que esta etapa se faz necessária pois só há

como constatar se um valor de uma variável simulada é satisfatoriamente

preciso quando houver uma forma analítica de se obter o valor para a mesma

variável. Ou seja, simula-se o valor de uma opção com barreira considerando

um processo de movimento de preços com volatilidade constante, pois neste

caso existe uma fórmula analítica para cálculo do preço desta opção - a

fórmula de Reiner & Rubinstein.

Comparação entre Modelos de Simulação e Fórmula de Heynen & Kat:

Nesta etapa são desenvolvidos três diferentes modelos de simulação de

Monte Carlo que de alguma forma considerem a possibilidade da variação da

volatilidade ao longo da vigência da opção. O objetivo é o de comparar os

resultados simulados com o fornecido pela fórmula de Heynen & Kat,

empregada com correlação entre os dois ativos igual a 1.

O primeiro modelo de simulação (MC1) adota 2 níveis discretos de

volatilidade: se o preço do ativo (St) ao longo da trajetóra simulada for menor

que determinado nível S*, a volatilidade considerada no processo estocástico

do preço é igual a σ1; se St for maior que S*, a volatilidade é igual a σ2. O nível

S* considerado foi localizado no meio da distância entre o preço de exercício K

e a barreira H. O segundo modelo (MC2) considera a simulação de duas

trajetórias para o mesmo ativo através da geração de dois processos

estocásticos com volatilidades distintas σ1 e σ2, porém com correlação igual a

1. Este modelo adota um processo de definição das trajetórias de preço do

ativo análogo ao que é considerado na fórmula de Heynen & Kat. O terceiro e

70

último modelo (MC3) considera uma função quadrática para a volatilidade,

obtida a partir do smile da volatilidade, adotando assim um comportamento

contínuo desta em função do nível de preço do ativo.

Definidos os modelos de simulação de Monte Carlo, estimou-se os

valores para uma determinada opção com barreira com base nos três modelos

e para diferentes números de passos (N), comparando-os com o resultado da

fórmula analítica de Heynen & Kat. É de se esperar que os resultados de MC1

e MC3 não convirjam para H&K, o que já não deve acontecer para MC2, de

fundamentos análogos à fórmula.

Emprego de Uma Estratégia de Negociação:

Realizada a comparação dos resultados obtidos com os três modelos de

simulação e a fórmula de H&K, estrutura-se então uma estratégia de

negociação sistemática de uma determinada opção com barreira baseada na

manutenção diária de uma carteira com ∆ nulo, composta por ±Nc opções com

barreira e ±∆c do ativo subjacente. A realização da estratégia de arbitragem,

comprando ou vendendo opções quando esta estiver subavaliada ou

superavaliada, com a realização simultânea do hedge dinâmico, através da

compra ou venda do ativo subjacente, deve garantir ao investidor a

possibilidade de auferir lucros sem que incorra em risco de mercado.

O modelo de simulação de Monte Carlo que considera a função

quadrática para a volatilidade (MC3) é utilizado para avaliar diariamente o

“preço justo” da opção, contrastanto com o valor fornecido pela fórmula de

H&K. É adotada a premissa de que o mercado se utiliza de H&K para avaliar as

opções com barreira. A comparação permite então definir se a opção está sub

ou superavaliada pelo mercado, e, consequentemente, decidir pela compra ou

venda da opção no decorrer da realização da estratégia.

71

3.1.2. Hipóteses Adotadas

As hipóteses adotadas no experimento podem ser dividas em dois tipos:

hipóteses gerais e hipótese a ser testada pelo experimento. As primeiras são

básicas tanto para emprego dos modelos utilizados para avaliação das opções

quanto para a realização da estratégia de arbitragem, enquanto a última se

apresenta exatamente como a hipótese a ser comprovada ou rejeitada pela

análise que ora se realiza. Dito isto, segue a apresentação do rol de hipóteses.

Hipóteses gerais do modelo:

Relacionadas à metodologia adotada neste estudo:32

a) O mercado utiliza a fórmula analítica desenvolvida por Heynen e Kat (1994)

para outside barrier options, apresentada na Seção 2.4.1, para avaliar as

opções com barreira com um único ativo, a partir do emprego de dois

valores distintos de volatilidade, sendo o primeiro (σ1) igual a volatilidade

implícita de uma opção comum com preço de exercício igual ao preço de

exercício da opção com barreira e o segundo (σ2) igual a volatilidade

implícita de uma opção comum com preço de exercício igual ao valor da

barreira da opção com barreira, e considerando a correlação (ρ) igual a 1;

b) É permitida a venda a descoberto de ações;

c) Não há custos de transação ou impostos;

d) Os ativos são perfeitamente divisíveis;

e) Não há pagamento de dividendos;

f) A taxa livre de risco é constante no tempo e igual para todas as

maturidades.

32 As hipóteses consideradas nos itens (b) a (f) são também premissas adotadas pelo modelode Black-Scholes.

72

Específicas sobre os modelos de simulação desenvolvidos para avaliar as

opções:

g) O preço do ativo-objeto (uma ação, no caso) segue um processo contínuo

de difusão do tipo ( )( )dzSdt

1tt eSS σ+µ−= , onde 2R

2

Fσ−=µ é o drift e

dtdz ε= é um processo de Wiener, sendo ε um randômico obtido de uma

distribuição normal padronizada;

Hipótese a ser testada pelo experimento:

h) O mercado não está sendo capaz de avaliar o preço justo das opções com

barreira ao utilizar a fórmula analítica de Heynen & Kat com duas

volatilidades distintas.

3.2. CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE SIMULAÇÃO

Inicialmente, é importante colocar que a definição pelo uso da simulação

de Monte Carlo para avaliação de opções com barreira se deu a partir da

consideração de que a variação da volatilidade no processo de geração de

preços torna complexo o emprego de fórmulas analíticas e até mesmo de

outros métodos numéricos para a avaliação das opções. Assim sendo, optou-

se pela utilização de Monte Carlo, concedendo ao modelo a flexibilidade que

este exige. Na presente seção é inicialmente apresentado o modelo básico de

simulação adotado e, em seguida, demonstrada a metodologia empregada

para definir os parâmetros básicos da simulação.

3.2.1. A Simulação de Monte Carlo

Os modelos de simulação propostos neste estudo adotam todos um

processo contínuo de geração de preços sem saltos (modelo de difusão pura)

onde a volatilidade, de alguma forma, é função do próprio preço do ativo, que,

73

por sua vez, é variável no decorrer do tempo. Ou seja, a volatilidade é

considerada como sendo uma função σ = f(S,t).

Os modelos partem do conceito de avaliação sob a premissa de

neutralidade a risco,33 onde a simulação da trajetória do preço da ação segue

um Movimento Geométrico Browniano do tipo:

( ) ( )dzt,Sdtt,SSdSln σ+µ=

onde ln(dS/S) é o retorno logarítmico do ativo S, µ(S,t) é a taxa média de

crescimento do preço do ativo (drift), σ(S,t) é a função de volatilidade do ativo e

dz um processo de Wiener. Considerando o drift como sendo determinado pela

função:

( ) ( )2

t,SRt,S2

Fσ−=µ

sendo RF é a taxa livre de risco, e o processo de Wiener expresso por:

dtdz ε=

onde ε é uma variável randômica obtida de uma distribuição normal

padronizada, ou seja, com média zero e desvio-padrão unitário – N(0;1), tem-

se o preço do ativo na data t determinado pela expressão:

( ) ( )

εσ+

σ−

−=dtt,Sdt

2t,S

R

1tt

t

2t

F

eSS

33 Uma explanação sobre o conceito de avaliação de ativos em um ambiente de neutralidade arisco pode ser encontrada em Hull (2000, p.406).

74

Esta é portanto a expressão geral para o movimento de preços do ativo-

objeto adotada em todos os modelos de simulação empregados no presente

estudo. O que irá diferenciar os diversos modelos será a definição da função

volatilidade σ(S,t). A simulação é portanto desenvolvida de forma a estimar as

mais diversas trajetórias para o ativo-objeto, em conformidade com o processo

estocástico apresentado, onde a cada passo da simulação (dt = T/N) é

realizada uma verificação da barreira, isto é, se esta foi alcançada ou não.

Caso alcançada, o payoff desta trajetória se torna igual a zero.34 Caso a

barreira não seja alcançada durante todo o período T de vigência da opção, o

payoff da trajetória é tomado como igual ao máximo entre ST-K e zero. A

simulação é estruturada de tal forma que forneça uma distribuição de possíveis

valores para o pagamento da opção no vencimento (payoff). O valor presente

da média desta distribuição (descontado pela taxa livre de risco) corresponde a

estimativa do modelo para o valor da opção em análise.

3.2.2. Definição dos Parâmetros Básicos da Simulação

Como os modelos numéricos em geral, a simulação de trajetórias de

preços se caracteriza por um processo discreto no tempo, sendo necessário a

adoção de um número grande de passos (N) em cada trajetória simulada, de

forma que o processo discreto se aproxime de um processo contínuo. Ou seja,

quando N ! ∞, e por conseqüência dt ! 0, temos o valor obtido via simulação

(uma aproximação, por definição) tendendo a um valor teórico ou real.

Paralelamente, a simulação de cada trajetória de preço gera um respectivo

payoff para a opção no vencimento. O processo de simulação exige a geração

de um grande número de trajetórias (I) de tal forma que tenhamos no

vencimento uma distribuição de payoffs para a opção, sendo assim possível

obter o valor esperado da opção como sendo igual ao valor presente da média

desta distribuição. Assim sendo, quanto maior o número de trajetórias geradas

34 Não foi considerada a existência de rebate, que acarretaria em um payoff igual ao valor dorebate quando a barreira fosse alcançada em uma trajetória.

75

(I), maior será a precisão do valor simulado. Em síntese, é necessário

encontrar valores para N e I que garantam uma precisão satisfatória para o

valor calculado, o que geralmente é feito aumentando-se ambos os parâmetros

até que o resultado obtido convirja para um valor teórico ou real disponível.

Entretanto, este estudo objetiva desenvolver modelos de simulação que

considerem a variação da volatilidade no decorrer do tempo, fato que não

permite comparar resultados simulados com resultados teóricos, haja vista que

não há fórmulas analíticas específicas para cálculo de opções com barreira que

considerem a existência da vol-vol. Dessarte, a análise de convergência do

resultado simulado para um valor teórico é realizada para um modelo de

simulação que não contemple a variação da volatilidade, o que pode vir a ser

considerado como um caso particular de nosso modelo de simulação onde

σ(S,t) = σ. Considerando a volatilidade constante é possível contrastar os

resultados simulados com os fornecidos pela fórmula analítica desenvolvida por

Reiner & Rubinstein.

Portanto, para análise da convergência foram comparados valores obtidos

em um modelo de simulação de Monte Carlo para opções com barreira, onde o

processo estocástico empregado foi o de difusão comum, com volatilidade

constante, com os resultados da fórmula R&R. Tal procedimento é adotado

para uma única opção de compra do tipo up-and-out, porém considerando

diversos valores iniciais para o preço do ativo-objeto (S0), de forma a

contemplar casos onde a opção estaria fora, no e dentro do dinheiro, assim

como considerar a possibilidade do preço já estar próximo da barreira

estipulada. Para todos os casos, são realizadas diversas simulações

aumentando-se N e I até que sejam encontrados valores para ambos os

parâmetros que correspondam a uma boa aproximação do valor teórico

fornecido por R&R.

76

3.3. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SIMULAÇÃO E AFÓRMULA DE HEYNEN & KAT

Definido o escopo geral dos modelos de simulação de Monte Carlo,

inclusive os parâmetros I e N, respectivamente o número de trajetórias e o

número de passos em cada trajetória, que garantem uma boa convergência do

resultado, prosseguimos a apresentação da metodologia empregada neste

estudo com a comparação entre três modelos distintos de simulação e a

fórmula analítica de Heynen & Kat. Porém, antes de discutirmos as

características de cada modelo, naquilo que os diferenciam (a função de

volatilidade), definiremos a opção a ser empregada nesta comparação.

3.3.1. Características da Opção e Ativo-Objeto

Nesta etapa do experimento, a comparação de resultados simulados com

a fórmula de H&K foi realizada para uma opção de compra com barreira dotipo up-and-out com as seguintes características:

• preço de exercício:K = 30

• valor da barreira: H = 36• maturidade: T = 63 dias úteis (3 meses)

e com os seguintes valores para o ativo-objeto e taxa livre de risco:

• valor do ativo-objeto: S0 = 30• taxa de juro livre de risco: RF = 19% a.a.

A volatilidade do ativo-objeto foi considerada de forma diferenciada em

cada modelo empregado, porém partindo de volatilidades distintas para dois

níveis de preço diferentes: σ1 = 35% a.a. quando S = K; e σ2 = 40% a.a.

quando S = H. Portanto, no cálculo do valor da opção a partir da fórmula de

H&K são considerados estes dois valores como σ1 e σ2, enquanto que nos

modelos de simulação são empregados valores equivalentes a estes conforme

metodologia específica de cada modelo.

77

3.3.2. Modelo com 2 Níveis Distintos de Volatilidade

Este modelo de simulação considera uma função discreta para a

volatilidade do preço do ativo-objeto da seguinte forma:

( )

>≤

=σ33Sse%,4033Sse%,35

St

ttt

A volatilidade assim definida permite uma flexibilidade em seu valor,

assumindo dois valores distintos em função do nível de preço em que se

encontra o ativo-objeto no decorrer da simulação de cada trajetória. Os valores

da volatilidade adotados para cálculo através da fórmula de H&K estão assim

coerentes com a definição aqui adotada, a saber σ1 = 35% a.a. quando S = K =

31,55 e σ2 = 40% a.a. quando S = H = 36. Cabe ainda comentar que a escolha

do valor 33 como “divisor de águas” foi baseada no fato deste ser o ponto

médio entre K e H. A partir desta definição para a função volatilidade e

considerando o escopo do modelo de simulação apresentado em 3.2, obtém-se

valores para a opção com barreira em estudo.

3.3.3. Modelo para 2 Ativos com Correlação Perfeita

Este segundo modelo de simulação considera o que teoricamente seria

semelhante ao emprego da fórmula de H&K para o caso de opção com barreira

de um único ativo, porém com duas volatilidades distintas. Neste caso, são

sempre simuladas duas trajetórias em paralelo para o ativo-objeto, partindo

ambas do mesmo valor inicial S0 para o ativo, porém com volatilidades

distintas. Ambas as trajetórias geradas em cada corrida da simulação seguem

o processo de difusão de preços apresentada em 3.2, porém os componentes

aleatórios dos processos de Wiener (ε) de cada um dos movimentos de preço

não são independentes, sendo o segundo gerado em correspondência ao

78

primeiro, de acordo com a transformação de Cholesky,35 considerando a

correlação igual a um.

Desta forma os dois processos que se desenvolvem simultaneamente são

representados pelas seguintes expressões:

εσ+

σ−

−

εσ+

σ−

−

=

=

dtdt2

R

1t,2t,2

dtdt2

R

1t,1t,1

22

22

F

11

21

F

eSS

eSS

com

( ) 2212

12

11

1 ηρ−+ρη=ε

η=ε

onde η1 e η2 são números pseudo-aleatórios obtidos de uma normal

padronizada – N(0;1), e ρ é o coeficiente de correlação entre os dois

movimentos de preço.

O primeiro processo corresponde ao movimento de preços do ativo

determinante do payoff e é simulado para a volatilidade σ1 = 35%, que

corresponde à volatilidade quando o nível de preço é igual ou próximo ao preço

de exercício (S ≅ K). O segundo processo, por sua vez, se refere ao movimento

de preços do ativo responsável pela determinação do rompimento da barreira

(em nosso caso o mesmo ativo) e é simulado considerando σ2 = 40%, que

corresponde à volatilidade quando o nível de preço é igual ou próximo a

barreira (S ≅ H). Visto que ambos os processos são gerados para o mesmo

ativo, ainda que com volatilidades diferentes, a correlação é tomada como

35 A apresentação formal da Transformada ou Fatorização de Cholesky, inclusive em sua formagenérica matricial, pode ser vista em Jorion (1997), parte 3, capítulo 12, ou em Saliby e Moreira(2000).

79

unitária (ρ = 1) e o valor inicial do ativo-objeto para ambos os processos é igual

(S1,0 = S2,0 = S0 = 31,55).

3.3.4. Modelo com Função Quadrática para a Volatilidade

O terceiro modelo adotado neste experimento procura aumentar a

capacidade em considerar a vol-vol, através do emprego de uma função

contínua para a volatilidade, representada por uma função quadrática do preço

do ativo do tipo:

( ) cbSaSS 1t2

1tt ++=σ −−

Optou-se pela utilização de uma função quadrática por sua semelhança

com o smile da volatilidade36, obtido a partir das volatilidades implícitas das

opções comuns. Para o caso específico da avaliação da opção em questão a

função foi definida com os seguintes coeficientes:

a = +0,00283b = -0,178455c = +3,156391

escolhidos de forma que as volatilidades adotadas para cálculo através da

fórmula de H&K estejam coerentes com a definição aqui adotada, a saber σ1 =

35% a.a. quando S = K = 31,55 e σ2 = 40% a.a. quando S = H = 36. Definida a

função para a volatilidade e considerando o modelo de simulação de Monte

Carlo apresentado em 3.2, obtém-se os valores para a opção com barreira em

questão.

3.3.5. As Limitações dos Modelos

Os modelos ora desenvolvidos foram todos especificados para opções de

compra com barreira do tipo up-and-out, não estando preparados para as

36 Conforme discutido por Figlewski (1997).

80

opções com barreira dos demais tipos. Quanto à barreira, os modelos são

específicos para opções com barreira simples, isto é, com uma única barreira,

constante ao longo do tempo. Logo, não são capazes de avaliar opções com

múltiplas barreiras (como a de barreira dupla) ou ainda opções com barreiras

variáveis no tempo, como a barreira exponencial. Opções com barreiras

parciais também não são consideradas.

Outra especificidade dos modelos está relacionada ao ativo-objeto da

opção. Os modelos adotados foram desenhados para avaliar opções de ações

e, em particular, sem considerar a possibilidade de pagamento de dividendos.

Não sendo os modelos destinados para avaliação de opções de dólar, juros,

commodities, etc.

Contudo, todas as limitações acima colocadas podem ser solucionadas

através de simples adaptações nos modelos, visto que uma das maiores

vantagens da metodologia de simulação de Monte Carlo é a sua flexibilidade e

adaptabilidade.

3.4. EMPREGO DE UMA ESTRATÉGIA DE NEGOCIAÇÃO

Após a comparação entre as avaliações de uma opção com barreira

obtidas via simulação e o valor fornecido pela fórmula de H&K, o estudo se

propõe a realizar uma estratégia de negociação de arbitragem que verifique a

possibilidade de se auferir lucros com a realização desta estratégia, a partir da

existência de diferenças de avaliação entre o obtido por um modelo de

simulação e a fórmula de H&K, supondo que é sempre possível comprar e

vender a opção com barreira pelo preço fornecido pela fórmula analítica. A

idéia básica é de que o mercado estaria negociando a opção com barreira por

um preço diferente do “valor justo” ao utilizar a fórmula de H&K como

referência. Portanto, comprando e vendendo a opção diariamente, durante um

período de tempo determinado, e mantendo a carteira protegida através da

realização do hedge dinâmico, com a compra e venda de fração do ativo-

objeto, é possível obter lucros sem que se incorra em risco de mercado. O

81

experimento foi realizado para três diferentes opções de compra do tipo up-

and-out. Todas as três opções consideradas possuem o mesmo ativo-objeto,

vencimento, valor inicial do ativo e preço de exercício, ficando a diferença entre

elas restrita ao valor da barreira.

3.4.1. Escolha do Modelo de Simulação

Para realização da estratégia de arbitragem é necessário que haja um

modelo alternativo de valoração das opções com barreira, a ser comparado

com o modelo supostamente adotado pelo mercado, no caso, a fórmula de

H&K. Pela sua capacidade de considerar uma função contínua para a

volatilidade, optou-se pelo modelo de simulação com a função quadrática para

a volatilidade (MC3), apresentado na Seção 3.3.4. Adicionalmente, as fortes

evidências empíricas da existência do “efeito smile” e sua semelhança com a

forma de uma função quadrática, contribuíram para a escolha deste modelo.

No entanto, o modelo agora não apenas fornece uma aproximação para o

preço da opção com barreira como também uma aproximação para o delta da

opção. Além da distribuição do payoff da opção no vencimento, o modelo

fornece duas outras distribuições de payoff no vencimento, que correspondem

a distribuições simuladas considerando o valor inicial do ativo como sendo igual

a (S0 + 0,01) e (S0 - 0,01), conforme técnica apresentada na Seção 2.5.1.,

permitindo o cálculo do delta como sendo igual a (C+0,01 - C-0,01)/0,02.

3.4.2. Seleção dos Dados

A premissa de que é possível obter lucros livres de risco com a realização

de uma estratégia de negociação de arbitragem leva em consideração que esta

será realizada sistematicamente durante um período razoável de tempo. Ou

seja, não é de um dia para o seguinte que estará garantida a obtenção de

lucros. Portanto, a realização da estratégia é efetuada durante um período de

seis meses, com negociação diária da opção (compra ou venda) e o respectivo

ajuste do hedge com a negociação do ativo-objeto. Assim sendo, foi escolhido

82

o período compreendido entre os meses de agosto de 2001 e janeiro de 2002

para realização do experimento, em particular, do dia 31 de julho de 2001 a 31

de janeiro de 2002.

Outra característica escolhida para a opção a ser empregada no

experimento é de que seu preço de exercício seja igual ao valor do ativo-objeto

na data de lançamento da opção. Portanto, considerando que a estratégia tem

início no dia 31/07/01, com o lançamento e primeira negociação da opção, esta

possui seu preço de exercício (K) igual ao valor do ativo-objeto (S0), tomado

como igual a cotação de fechamento do dia 30/07/01.

Considerando que no Brasil as opções com barreira não são negociadas

no mercado de bolsa (pregão), apenas no mercado de balcão, não se tem

publicamente disponível uma série de cotações de preços para opções com

barreira.37 Assim sendo, o experimento realizado nesta etapa considerou uma

opção de compra do tipo up-and-out hipotética, ou seja, sem que haja qualquer

referência de que uma opção com tais características tenha sido negociada no

mercado. Para realização da estratégia de arbitragem foi portanto adotada a

fórmula de H&K para cálculo do “valor de mercado” da opção, supondo que os

agentes do mercado se utilizam desta metodologia para avaliarem tais tipos de

opção, conforme hipótese (a) da Seção 3.1.2.

Entretanto, o ativo-objeto da opção com barreira foi escolhido entre as

ações existentes no mercado, considerando dois critérios de escolha:

apresentar boa liquidez e possuir uma quantidade significativa de séries de

opções comuns negociadas em bolsa. Embora a opção com barreira tenha

sido criada especificamente para o experimento, a utilização de uma ação que

atenda a estes critérios nos permite obter os smiles de volatilidade a partir dos

37 A BM&F divulga apenas alguns dados gerais dos contratos de opções flexíveis de Dólar eIbovespa, tais como número de negócios, quantidade de contratos, volume financeiro, prêmiose preços de exercício médios por vencimentos.

83

preços de mercado das opções comuns negociadas. O valor de mercado da

ação também é utilizado para a realização da estratégia de negociação.

Atendendo ao critério estabelecido para escolha do ativo-objeto, decidiu-

se pela ação preferêncial da Telemar (TNLP4), por apresentar no período

escolhido para realização do experimento (30 de julho de 2001 a 31 de janeiro

de 2002) uma maior quantidade de séries de opções em aberto e também por

oferecer maior liquidez, representada esta pelo número de negócios realizados

e quantidade de títulos negociados. Portanto, definido o ativo-objeto, foram

utilizadas as cotações diárias de fechamento da TNLP4 e das respectivas

opções para obtenção das volatilidades implícitas no decorrer do experimento.

Todas as cotações foram obtidas através da Bovespa – Bolsa de Valores de

São Paulo.

Definido o ativo-objeto da opção e por conseqüência seu preço de

exercício (igual ao valor inicial do ativo-objeto), resta ainda estipular o valor das

barreiras. Sendo previamente conhecido o movimento real do preço do ativo-

objeto durante o período do experimento, conforme apresentado na Figura 4,

foram escolhidas três barreiras (uma para cada opção) de acordo com o

seguinte critério: (i) uma barreira H1 que seja alcançada durante o período de

realização do experimento; (ii) uma barreira H2 que embora não seja

alcançada, esteja próxima do valor máximo do ativo ao longo do período; e (iii)

uma barreira H3 distante do valor máximo do ativo no período. A Figura 4

apresenta o movimento real da ação objeto com o preço de exercício e as

barreiras de cada opção negociada.

84

Figura 4 – Comportamento da Ação Preferencial da Telemar (TNLP4)durante o Período de 30/07/01 a 31/01/02

Concluindo a escolha dos dados, adotou-se a taxa DI-Over (taxa diária

“anualizada” dos depósitos interbancários) como taxa livre de risco (RF). O

Quadro 2 apresenta uma síntese dos dados considerados no experimento.

Quadro 2 – Síntese dos Dados Considerados no ExperimentoPeríodo: De 31/07/01 a 31/01/02Opções com Barreira:

Tipo: up-and-out, européia, barreira constanteAtivo-objeto: TNLP4 (ação preferencial da Telemar)Vencimento: 31/01/02

Preço de exercício: K = 31,55 (igual a cotação inicial do ativo)Barreiras: H1 = 36; H2 = 39; H3 = 42

Volatilidade: Obtida diariamente do smile das volatilidadesimplícitas das opções sobre TNLP4

Taxa livre de risco: DI-Over (taxa diária “anualizada”)

3.4.3. Definição da Função de Volatilidade

A partir da escolha do modelo de simulação de Monte Carlo que adota a

função quadrática para a volatilidade (MC3), torna-se de grande importância o

trabalho de definição desta função a ser utilizada no processo de difusão de

preços empregado na simulação. Sendo a opção com barreira avaliada

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

30/07

/01

06/08

/01

13/08

/01

20/08

/01

27/08

/01

03/09

/01

10/09

/01

17/09

/01

24/09

/01

01/10

/01

08/10

/01

15/10

/01

22/10

/01

29/10

/01

05/11

/01

12/11

/01

19/11

/01

26/11

/01

03/12

/01

10/12

/01

17/12

/01

24/12

/01

31/12

/01

07/01

/02

14/01

/02

21/01

/02

28/01

/02

Val

or d

a A

ção

(R$)

barreira: H = 36

preço de exercício: K = 31.55

barreira: H = 42

barreira: H = 39

85

diariamente durante o período de realização da estratégia, a função da

volatilidade é também ajustada diariamente a partir do smile diário obtido das

volatilidades implícitas. O procedimento adotado pode ser dividido nas

seguintes etapas, realizadas diariamente durante todo o período do

experimento:

i) Cálculo da volatilidade implícita (σBS) para cada série de opções de mesmo

vencimento; ou seja, obtenção da volatilidade que corresponda a um valor

para a opção calculado pela fórmula de B-S (CBS) igual ao valor de mercado

(cotação de fechamento);38

ii) Plotagem dos pares (K, σBS) obtidos pela etapa anterior, sendo traçada a

função quadrática que melhor se adapte nos pontos, através do método dos

mínimos quadrados, definindo-se assim a função a ser utilizada no modelo

de avaliação para representar a variação da volatilidade (vol-vol).39

Convém esclarecer que em determinados dias há séries de opções com

dois vencimentos distintos, de forma que é muitas vezes possível obter dois

smiles para as volatilidades implícitas (um para cada vencimento).40

Entretanto, adotou-se como critério a escolha do smile obtido com as séries de

vencimento mais distante possível, desde que as volatilidades implícitas

apresentem um smile satisfatório, o que só vem a ocorrer no momento em que

as opções passam a ter uma liquidez significativa.

Outro problema encontrado diz respeito à questão da não simultaneidade

das cotações. Para cálculo da volatilidade implícita em cada opção foi

considerada a cotação de fechamento tanto para as opções quanto para o

preço à vista do ativo-objeto, o que implica na possibilidade de valores

incongruentes para a volatilidade implícita. Isto se dá pelo fato da cotação de

38 Foi utilizada a ferramenta “Atingir Meta” do software Microsoft Excel.39 Foi utilizada a ferramenta gráfica “Adicionar Linha de Tendência” do software Microsoft Excel.40 As opções de ações regulamentadas e negociadas na Bovespa possuem vencimentos nosmeses pares (sempre na terceira segunda-feira do mês).

86

fechamento não corresponder necessariamente ao mesmo momento para a

opção e para a ação. A volatilidade implícita calculada com cotações de

instantes distintos não será rigorosamente correta na medida que a volatilidade

do ativo sofra variações no decorrer do dia. Não obstante, a possibilidade de

volatilidades implícitas imprecisas não invalidam o presente estudo, visto que a

função quadrática representativa do smile da volatilidade será aquela que

melhor se ajuste às volatilidades implícitas calculadas, ou seja, já se trata de

uma aproximação da variação da volatilidade em relação ao nível de preço do

ativo, portanto já existindo um certo grau de imprecisão no próprio método de

definição da função representativa do smile.

Enquanto o modelo de avaliação através da simulação se utiliza da

função quadrática para determinar o valor da volatilidade a cada passo da

trajetória do ativo, a fórmula de H&K, representativa do “valor de mercado” da

opção, fornece o preço da opção a partir das volatilidades σK e σH

correspondentes respectivamente às volatilidades quando o valor do ativo é

igual ao preço de exercício e ao valor da barreira. As volatilidades σK e σH são

também volatilidades implícitas retiradas diariamente dos preços das opções

negociadas na Bovespa. A volatilidade σK, com K = 31,55, é geralmente obtida

através da interpolação das volatilidades implícitas para K = 30 e K = 32, visto

não existir opção comum com preço de exercício igual a 31,55. A volatilidade

σH (sendo H = 36, 39 ou 42, dependendo da opção), por sua vez, é obtida

implicitamente da opção com preço de exercício igual a H, quando H = 36 ou H

= 42, e interpolada das volatilidade implícitas para K = 38 e K = 40, quando H =

39. Entretanto, há dias em que determinada opção pode não ter sido negociada

na bolsa, de forma que não há sua respectiva cotação. Nestes casos, a

volatilidade a ser utilizada é obtida através de interpolação das volatilidades

implícitas das opções com K imediatamente acima e abaixo, desde que tenham

sido negociadas na data. Porém, se não houve negociação de opções com K

superior ou inferior, utiliza-se a volatilidade implícita da opção com K

imediatamente abaixo ou acima que tenha tido negociação na data. Em outras

palavras, a interpolação de volatilidades implícitas somente é realizada no

87

intervalo que contenha cotações observadas. Fora deste intervalo, as

volatilidades implícitas são extrapoladas mantendo-as constantes a partir do

último ponto onde haja cotação observada na data. Tal procedimento é

defendido por Castor (2000), seguindo o que havia feito anteriormente Campa

Chang e Reider (1997).41 Malz (1997) comenta, inclusive, que a forma de

extrapolação adotada para esses trechos influencia pouco os valores das

distribuições de probabilidade neutras a risco.

3.4.4. A Estratégia de Negociação

A estratégia de negociação de arbitragem adota o conceito de

manutenção da carteira com delta nulo, de forma que seja possível manter uma

posição teoricamente livre de risco. A possibilidade de arbitragem parte da

constatação de que o mercado estaria negociando a opção com barreira por

um preço diferente do que seria o “valor justo”. Se um investidor possui meios

de obter este “valor justo” e compará-lo com o “valor de mercado”, terá em

suas mãos a possibilidade de comprar ou vender a opção pelo preço de

mercado, quando verificar que a opção está sub ou superavaliada.

Naturalmente, assume-se que haverá sempre participantes no mercado

dispostos a vender ou comprar por este preço. Paralelamente, este investidor

estará sempre mantendo uma posição comprada ou vendida no ativo-objeto da

opção, de forma a manter uma carteira teoricamente livre de risco.

A estratégia considera a possibilidade de formar uma carteira com n

opções compradas ou vendidas, a depender do número n de dias seguidos em

que a opção esteja sendo subavaliada ou superavaliada pelo mercado, visto

que se compra ou vende uma opção sempre que há oportunidade de realizar

lucros sem riscos. A realização da estratégia pode ser descrita nas seguintes

etapas:

41 O trabalho de Castor (2000) se refere a análise das probabilidades neutras a risco da taxade câmbio do dólar comercial no Brasil, que estão implícitas nos preços das opções de dólarnegociadas em bolsa.

88

i) Em t0, inicia-se a estratégia a partir da comparação entre os dois preços

existentes para a opção com barreira, sendo um o obtido através do modelo

desenvolvido (simulação de Monte Carlo com função quadrática para a

volatilidade) e o outro através da fórmula de Heynen e Kat, suposto como

sendo o modelo utilizado pelo mercado. Pela comparação é possível

verificar se o preço adotado pelo mercado está superavaliado ou

subavaliado.

ii) Se a opção estiver subavaliada forma-se uma carteira com posição

comprada na opção e posição comprada ou vendida (dependendo do sinal

do delta42) de ∆ ações correspondentes, de forma a ficar com uma carteira

com delta igual a zero, portanto livre de risco.

iii) No dia seguinte, realiza-se nova comparação entre o preço do modelo e da

fórmula. Caso o status tenha se alterado (de compra para venda ou vice-

versa), desfaz-se a posição de forma a calcular o lucro/prejuízo obtido e, em

seguida, monta-se nova carteira conforme o procedimento da etapa (ii).

Caso o status não tenha sido alterado, o que significa que a opção continua

sendo subavaliada ou superavaliada pelo mercado, tal qual no dia anterior,

compra-se ou vende-se mais uma opção e ajusta-se a carteira ao novo ∆ da

opção e à nova quantidade de opções, através da compra ou venda de

fração da ação, de forma a manter a carteira ajustada ao risco, isto é, com

delta igual a zero.

iv) O procedimento (iii) é então repetido durante todo o período de realização

da estratégia, calculando-se diariamente o fluxo de caixa da negociação e

calculando também o lucro realizado sempre que a posição se inverter (de

comprado para vendido ou vice-versa). No caso do status se manter por n

dias inalterado (indicação de compra ou venda), a carteira ficará composta

por (±nC±n∆S).

42 As opções com barreira, tanto as de compra quanto as de venda, podem apresentar deltapositivo ou negativo.

89

v) No último dia da estratégia, tomado como dia do vencimento da opção, é

encerrada a posição através do exercício da(s) opção(ões) (se S > K,

naturalmente, e a opção não tiver expirado antecipadamente por

rompimento da barreira) e da compra ou venda da(s) ação(ões). Calcula-se,

então, o último fluxo de caixa gerado pelo encerramento e os lucros parcial

e total obtidos na estratégia.

Caso a opção expire antes do vencimento, devido ao fato da barreira ter

sido alcançada, a etapa (v) não chega a ocorrer, encerrando-se a estratégia

antecipadamente no dia em que a opção deixar de existir. Neste dia, a opção

expira sem que haja qualquer pagamento ao seu titular, já que não há rebate, e

a posição comprada ou vendida em ações é fechada, calculando-se o fluxo de

caixa gerado neste dia e os lucros parcial e total obtidos.

90

4. RESULTADOS

A apresentação dos resultados é realizada em três partes. A Seção 4.1

demonstra os resultados obtidos na análise de convergência do modelo de

simulação de Monte Carlo que considera a volatilidade constante. Esta análise

é realizada com o objetivo de determinar os parâmetros básicos da simulação,

a saber, o número de trajetórias a serem geradas (I) e o número de passos de

cada trajetória (N). A Seção 4.2 apresenta os resultados comparativos entre os

modelos de simulação desenvolvidos e a fórmula de H&K. Neste caso, os

modelos já consideram a possibilidade da volatilidade variar durante a vigência

da opção. A última seção deste capítulo, a Seção 4.3, trata de apresentar os

resultados obtidos com a realização das estratégias de negociação de

arbitragem.

4.1. CONVERGÊNCIA DA SIMULAÇÃO

Antes da realização do experimento propriamente dito efetuou-se uma

análise da convergência de um modelo de simulação de Monte Carlo para

opções com barreira considerando a volatilidade constante. Foram calculados

os preços para uma opção com barreira do tipo up-and-out, com preço de

exercício igual a 30, barreira igual a 36, sem rebate, vencimento em 1 mês (21

dias úteis), para volatilidade igual a 35% a.a. e taxa livre de risco igual a 19%

a.a., para diversos valores iniciais do ativo-objeto (S0), de forma a considerar a

possibilidade da opção estar dentro, no e fora do dinheiro. Os cálculos foram

realizados variando o número de trajetórias simuladas (I) e o número de passos

em cada trajetória (N), comparando os resultados com o resultado analítico

fornecido pela fórmula de Reiner & Rubinstein.

A Tabela 1 apresenta os valores calculados através da simulação e os

obtidos pela fórmula analítica, assim como a diferença no preço entre ambos

os valores, para diversos números de passos, considerando 20.000 trajetórias

simuladas.

91

A Figura 5 mostra o gráfico das diferenças entre avaliações para alguns

dos valores iniciais e na medida que se aumenta o valor de N.

Figura 5 - Convergência dos Valores Simulados para o Resultado da Fórmula de R&R

So 26 28 29 30 31 32 34 35 35.9N

21 0.1236 0.4785 0.7438 1.0175 1.2378 1.3473 1.0498 0.6857 0.299642 0.1219 0.4685 0.7313 0.9983 1.2003 1.2843 0.9651 0.5904 0.212963 0.1200 0.4557 0.7185 0.9900 1.1933 1.2890 0.9330 0.5677 0.1853125 0.1279 0.4629 0.6991 0.9530 1.1455 1.2303 0.9024 0.5211 0.1348250 0.1248 0.4487 0.6871 0.9515 1.1506 1.2272 0.8645 0.4825 0.1037375 0.1295 0.4690 0.7104 0.9578 1.1313 1.2064 0.8538 0.4800 0.0936500 0.1282 0.4558 0.6938 0.9409 1.1388 1.2250 0.8387 0.4564 0.0823

1000 0.1301 0.4561 0.6945 0.9520 1.1287 1.1882 0.8321 0.4579 0.07142000 0.1293 0.4677 0.7069 0.9416 1.1090 1.1710 0.8029 0.4373 0.05824000 0.1300 0.4477 0.6889 0.9412 1.1156 1.1614 0.7936 0.4330 0.0498

0.1280 0.4580 0.6894 0.9288 1.1052 1.1567 0.7838 0.4112 0.0407

N21 (0.00) 0.02 0.05 0.09 0.13 0.19 0.27 0.27 0.2642 (0.01) 0.01 0.04 0.07 0.10 0.13 0.18 0.18 0.1763 (0.01) (0.00) 0.03 0.06 0.09 0.13 0.15 0.16 0.14125 (0.00) 0.00 0.01 0.02 0.04 0.07 0.12 0.11 0.09250 (0.00) (0.01) (0.00) 0.02 0.05 0.07 0.08 0.07 0.06375 0.00 0.01 0.02 0.03 0.03 0.05 0.07 0.07 0.05500 0.00 (0.00) 0.00 0.01 0.03 0.07 0.05 0.05 0.04

1000 0.00 (0.00) 0.01 0.02 0.02 0.03 0.05 0.05 0.032000 0.00 0.01 0.02 0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.024000 0.00 (0.01) (0.00) 0.01 0.01 0.00 0.01 0.02 0.01

sim

ulaç

ãosi

mul

ação

diferença em relação à R&R (R$)

preços (R$)

Opção do tipo up-and-out ; K = 30; H = 36; R = 0; T = 21 d.u.; σσσσ = 35%; RF = 19% Valores calculados com modelo de simulação de Monte Carlo com I = 20.000 trajetórias

Tabela 1 - Convergência dos Valores Simulados para o Resultado da Fórmula de R&R

R&R

DIFERENÇA DE PREÇOS ENTRE MC E R&RDiferença no Preço (MC-R&R) X Número de Passos X Valor Inicial do Ativo-Objeto

(0.05)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Número de Passos (N)

Dife

renç

a no

Pre

ço d

a A

valia

ção

(R$)

So = 26So = 30So = 34So = 35So = 35.9

Opção do tipo up-and-out; K = 30; H = 36; R = 0; T = 21 d.u.; s = 35%; RF = 19%Valores calculados com modelo de simulação de Monte Carlo com I = 20.000 trajetórias

92

Com base nesta análise foram escolhidos os parâmetros básicos, número

de trajetórias (I) e número de passos por trajetória (N), a serem utilizados em

todos os modelos de simulação empregados neste estudo. Optou-se por

trabalhar com 20.000 trajetórias e 4.000 passos, visto que um aumento nestes

dois valores não foi capaz de aumentar significativamente a acurácia do

resultado. Embora não apresentado na Tabela 1 e na Figura 5, foram também

realizadas simulações para valores inferiores de trajetórias (variação de 1.000

a 20.000), porém com resultados inferiores.

Importante destacar que a escolha da semente a ser empregada no

gerador de números aleatórios se mostrou bastante significante, em acordo

com o que Paiva e Paiva (1997b) já haviam constatado. O emprego de

sementes variadas leva a padrões de convergência diferentes. Algumas

sementes chegam até mesmo a retardar a convergência do valor simulado

para o da fórmula analítica, exigindo um número maior de trajetórias e/ou de

passos do que outras. Contudo, com a adoção de 20.000 trajetórias e 4.000

passos, esta diferença é praticamente desprezível. Ainda assim, optou-se pelo

uso de uma semente única para todas as simulações realizadas, sendo a que

corresponde aos resultados aqui apresentados.

4.2. COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SIMULAÇÃO E AFÓRMULA DE HEYNEN & KAT

Nesta etapa do experimento, visando comparar os três modelos de

simulação de Monte Carlo (MC1, MC2 e MC3) com a fórmula analítica de

Heynen & Kat, obteve-se o resultado apresentado na Tabela 2 e na Figura 6.

Foram calculados os valores para uma determinada opção com barreira,

definida em 3.3.1, para I = 20.000 trajetórias simuladas e para diversos valores

de N, variando de 21 a 4.000 passos. O modelo MC1 considera a existência de

dois níveis distintos para a volatilidade em função do nível de preço em que se

encontra o ativo-objeto. O modelo MC2 simula em paralelo dois caminhos

distintos para o ativo-objeto: o primeiro, com volatilidade σK, determina o payoff

93

da opção no vencimento; e o segundo, com volatilidade σH, determina o

alcance da barreira. O terceiro modelo, o MC3, considera uma função contínua

para a volatilidade, no caso, uma função quadrática em relação ao preço do

ativo-objeto. Maiores detalhes sobre cada um dos modelos podem ser

encontrados na Seção 3.3.

Os resultados mostram que os modelos MC1 e MC3 não convergem para

o valor fornecido pela fórmula analítica. Por outro lado, os resultados do

modelo MC2 convergem para o valor “teórico” fornecido pela fórmula, na

medida em que se aumenta o número de passos (N) de cada trajetória

simulada. Era de se esperar tal resultado para MC2 visto que sua construção é

fundamentada nas mesmas premissas consideradas no emprego da fórmula de

H&K para o caso particular de um único ativo. A fórmula, originariamente

desenvolvida para opções com barreira com 2 ativos, tem aqui seu emprego

considerando apenas um único ativo, porém com duas volatilidades distintas,

σK e σH, respectivamente para a volatilidade do preço quando S = K e quando

S = H. O modelo MC2 é construído de forma semelhante, com a geração de 2

N MC1 MC2 MC3 H&K21 0.5619 0.4881 0.647142 0.5086 0.4505 0.588563 0.5162 0.4405 0.6021125 0.4654 0.4077 0.5421250 0.4602 0.3953 0.5339375 0.4507 0.3881 0.5261500 0.4547 0.3944 0.5317750 0.4433 0.3818 0.5180

1000 0.4385 0.3754 0.51371500 0.4273 0.3673 0.49962000 0.4307 0.3678 0.49973000 0.4222 0.3579 0.48584000 0.4156 0.3495 0.4819

Tabela 2 - Comparação entre Modelos de Simulação

Opção do tipo up-and-out ; S0 = 30; K = 30; H = 36; R = 0; T = 63 d.u.; RF = 19% Valores calculados com modelos de simulação com I = 20.000 trajetórias

0.3460

e a Fórmula de Heynen & Kat

H&K: fórmula analítica de Heynen & Kat, utilizada para somente um ativo com duas volatilidades distintas, σK = 35% e σH = 40%

MC1: simulação de Monte Carlo com 2 níveis de volatilidadeMC2: simulação de Monte Carlo com 2 caminhos distintosMC3: simulação de Monte Carlo com função quadrática para a volatilidade

94

caminhos aleatórios para o ativo-objeto, sendo um deles com volatilidade σK e

o outro com σH, e ambos perfeitamente correlacionados (ρ = 1).

Figura 6 – Comparação entre Modelos de Simulação e a Fórmula de Heynen & Kat

Pelos resultados, nota-se que os valores aproximados obtidos pelos

modelos MC1 e MC3 convergem para valores diferentes do fornecido pela

fórmula (0,3460). Considerando que ambos os modelos possuem uma maior

capacidade em considerar a vol-vol, principalmente o modelo MC3, que adota

uma função contínua para a volatilidade, é possível concluir que o emprego da

fórmula de H&K para o caso de opção com barreira de um único ativo não é

apropriado, pois esta não representa bem a variação da volatilidade. Além

disso, para esta opção, ambos os modelos indicam que a fórmula está

subavaliando o valor da opção.

A partir da constatação de que a fórmula de H&K não é capaz de

determinar o “valor justo” da opção e da hipótese de que há no mercado

agentes dispostos a negociar opções com barreira pelo preço fornecido pela

fórmula, é possível supor que existe a possibilidade de obtenção de lucros com

P R E Ç O S D A O P Ç Ã O C O M B AR R E IR AO pção do tipo up-and-out ; S 0 = 30; K = 30; H = 36; R = 0; T = 63 d.u.; R F = 19%

V alores calculados com m odelos de s im ulação com I = 20.000 trajetórias

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0.5000

0.5500

0.6000

0.6500

0.7000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Núm ero de passos (N)

Valo

r da

opçã

o (R

$)

M C1 (sim ulação de M onte Carlo com 2 níve is de volatilidade)M C2 (sim ulação de M onte Carlo com 2 cam inhos dis tin tos)M C3 (sim ulação de M onte Carlo com função quadrática para a vo la tilidade)H&K (fórm ula de Heynen & Kat)

95

a realização de uma estratégia de negociação baseada em operações de

arbitragem.

96

4.3. RESULTADOS DAS ESTRATÉGIAS DE NEGOCIAÇÃO

A última parte do experimento refere-se à realização de estratégia de

negociação de arbitragem para três diferentes opções com barreira, conforme

metodologia apresentada na seção 3.4. O principal resultado a ser obtido nesta

parte é o montante financeiro resultante da execução de cada uma das

estratégias, confirmando ou não a hipótese de que é possível auferir lucros

com a realização sistemática das operações de arbitragem. Tais valores são

apresentados mais adiante. Antes porém, é oportuno analisar outros aspectos

do experimento, tais como o comportamento da volatilidade, os preços

diariamente obtidos para as opções e a variação do delta.

Conhecido o movimento de preços da ação da Telemar e as cotações

das respectivas opções, assim como as taxas de juro diárias, tem-se as

volatilidades implícitas e os respectivos smiles diários. A Figura 7 apresenta a

variação das volatilidades implícitas no período, onde estão plotadas as

volatilidades correspondentes ao preço de exercício das opções com barreira

(K = 31,55) e às barreiras consideradas (H1 = 36, H2 = 39 e H3 = 42).43 Essas

volatilidades implícitas foram utilizadas para cálculo do valor da opção com

barreira através da fórmula H&K, correspondendo a σK e σH, volatilidade do

ativo determinante do payoff e do ativo determinante do alcance da barreira,

respectivamente. A análise da Figura 7 permite verificar que a volatilidade

iniciou um processo de crescimento a partir do início do mês de setembro de

2001, tendo explodido após 11 de setembro, data que corresponde ao ataque

terrorista nos Estados Unidos. Pode-se dizer que em períodos de normalidade

do mercado a volatilidade variou na faixa de 35% a 50%, tendo no entanto

chegado perto dos 100% no período pós ataque terrorista. Os padrões normais

de volatilidade se restabeleceram abruptamente no início do mês de outubro.

43 Visto não haver séries de opções comuns com preços de exercício igual a 31,55 e 39, osvalores relativos a K e H2 foram obtidos através de interpolação linear efetuada entre os valoresmais próximos: 30 e 32 para K; 38 e 40 para H2.

97

Figura 7 - Volatilidades Implícitas nos Preços das Opções Comuns sobre TNLP4,obtidas diariamente, no Período de 30/07/01 a 31/01/02, para X = 31.55, 36, 39 e 42

Nota-se, ainda, que existe uma alternância entre maiores e menores

volatilidades implícitas a cada dia, o que se reflete na forma do smile e,

consequentemente, na definição da função quadrática, muito embora a

volatilidade relativa à maior barreira (H3 = 42) foi a maior na grande maioria dos

dias. Os smiles diários formados pelo conjunto das volatilidades implícitas se

prestaram para definição das funções quadráticas da volatilidade, empregadas

nos modelos de simulação de Monte Carlo. Nota-se, neste caso, uma grande

variação da função quadrática, representada pela variação de seus

coeficientes, o que naturalmente acompanha a variação das volatilidades

implícitas nas opções. A Figura 8 apresenta a variação dos coeficientes alfa,

beta e gama da função quadrática da volatilidade, definida como:

( ) GamaSBetaSAlfaS t2tt +×+×=σ

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

30/07

/01

06/08

/01

13/08

/01

20/08

/01

27/08

/01

03/09

/01

10/09

/01

17/09

/01

24/09

/01

01/10

/01

08/10

/01

15/10

/01

22/10

/01

29/10

/01

05/11

/01

12/11

/01

19/11

/01

26/11

/01

03/12

/01

10/12

/01

17/12

/01

24/12

/01

31/12

/01

07/01

/02

14/01

/02

21/01

/02

28/01

/02

Vola

tilid

ade

Diá

ria A

nual

izad

a

X = K = 31.55

X = H1 = 36

X = H2 = 39

X = H3 = 42

98

Figura 8 – Coeficientes Alfa, Beta e Gama da Função de Volatilidadeσσσσ = Alfa*S2 + Beta*S + Gama, obtidos diariamente, no Período de

30/07/01 a 31/01/02, a partir dos Smiles das Volatilidades Implícitasnos Preços das Opções Comuns sobre TNLP4

Em seguida, a partir das volatilidades implícitas σK e σH, e com as

funções quadráticas definidas, foram respectivamente calculados os preços

das opções com barreira através da fórmula H&K e do modelo desenvolvido

(MC). A Figura 9 apresenta a variação dos preços para cada uma das opções

com barreira.

A l f a

- 0 . 0 0 4 0

- 0 . 0 0 2 0

0 .0 0 0 0

0 .0 0 2 0

0 .0 0 4 0

0 .0 0 6 0

0 .0 0 8 0

0 .0 1 0 0

30/07

/01

06/08

/01

13/08

/01

20/08

/01

27/08

/01

03/09

/01

10/09

/01

17/09

/01

24/09

/01

01/10

/01

08/10

/01

15/10

/01

22/10

/01

29/10

/01

05/11

/01

12/11

/01

19/11

/01

26/11

/01

03/12

/01

10/12

/01

17/12

/01

24/12

/01

31/12

/01

07/01

/02

14/01

/02

21/01

/02

28/01

/02

B e t a

- 0 . 6 0 0 0

- 0 . 5 0 0 0

- 0 . 4 0 0 0

- 0 . 3 0 0 0

- 0 . 2 0 0 0

- 0 . 1 0 0 0

0 .0 0 0 0

0 .1 0 0 0

0 .2 0 0 0

30/07

/01

06/08

/01

13/08

/01

20/08

/01

27/08

/01

03/09

/01

10/09

/01

17/09

/01

24/09

/01

01/10

/01

08/10

/01

15/10

/01

22/10

/01

29/10

/01

05/11

/01

12/11

/01

19/11

/01

26/11

/01

03/12

/01

10/12

/01

17/12

/01

24/12

/01

31/12

/01

07/01

/02

14/01

/02

21/01

/02

28/01

/02

G a m a

- 2 . 0 0 0 0

0 .0 0 0 0

2 .0 0 0 0

4 .0 0 0 0

6 .0 0 0 0

8 .0 0 0 0

1 0 .0 0 0 0

30/07

/01

06/08

/01

13/08

/01

20/08

/01

27/08

/01

03/09

/01

10/09

/01

17/09

/01

24/09

/01

01/10

/01

08/10

/01

15/10

/01

22/10

/01

29/10

/01

05/11

/01

12/11

/01

19/11

/01

26/11

/01

03/12

/01

10/12

/01

17/12

/01

24/12

/01

31/12

/01

07/01

/02

14/01

/02

21/01

/02

28/01

/02

99

Figura 9 - Preços das Opções com BarreiraOpções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento

em 31/01/02, avaliadas diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02,por um modelo de simulação de Monte Carlo e pela fórmula de H&K

É interessante analisar o comportamento dos preços das opções em

conjunto com a trajetória de preço da ação, apresentada anteriormente na

Figura 4. Na primeira metade do período, de agosto a outubro de 2001, com a

crise provocada pela forte recessão internacional, agravada pelos ataques

terroristas, a redução do preço da ação fez com que as opções estivessem

B a rre ira H 1 = 3 6

0 .0 0

0 .5 0

1 .0 0

1 .5 0

2 .0 0

2 .5 0

3 .0 0

3 .5 0

4 .0 0

30/0

7/01

06/0

8/01

13/0

8/01

20/0

8/01

27/0

8/01

03/0

9/01

10/0

9/01

17/0

9/01

24/0

9/01

01/1

0/01

08/1

0/01

15/1

0/01

22/1

0/01

29/1

0/01

05/1

1/01

12/1

1/01

19/1

1/01

26/1

1/01

03/1

2/01

10/1

2/01

17/1

2/01

24/1

2/01

31/1

2/01

07/0

1/02

14/0

1/02

21/0

1/02

28/0

1/02

Preç

o da

Opç

ão (R

$)M o n te C a r lo

H e yn e n & K a t


0 .0 0

0 .5 0

1 .0 0

1 .5 0

2 .0 0

2 .5 0

3 .0 0

3 .5 0

4 .0 0

30/0

7/01

06/0

8/01

13/0

8/01

20/0

8/01

27/0

8/01

03/0

9/01

10/0

9/01

17/0

9/01

24/0

9/01

01/1

0/01

08/1

0/01

15/1

0/01

22/1

0/01

29/1

0/01

05/1

1/01

12/1

1/01

19/1

1/01

26/1

1/01

03/1

2/01

10/1

2/01

17/1

2/01

24/1

2/01

31/1

2/01

07/0

1/02

14/0

1/02

21/0

1/02

28/0

1/02

Preç

o da

Opç

ão (R

$)

M o n te C a r lo

H e yn e n & K a t


0 .0 0

0 .5 0

1 .0 0

1 .5 0

2 .0 0

2 .5 0

3 .0 0

3 .5 0

4 .0 0

30/0

7/01

06/0

8/01

13/0

8/01

20/0

8/01

27/0

8/01

03/0

9/01

10/0

9/01

17/0

9/01

24/0

9/01

01/1

0/01

08/1

0/01

15/1

0/01

22/1

0/01

29/1

0/01

05/1

1/01

12/1

1/01

19/1

1/01

26/1

1/01

03/1

2/01

10/1

2/01

17/1

2/01

24/1

2/01

31/1

2/01

07/0

1/02

14/0

1/02

21/0

1/02

28/0

1/02

Preç

o da

Opç

ão (R

$)

M o n te C a r lo

H e yn e n & K a t

100

“fora do dinheiro”. No período mais crítico, entre meio de setembro e meio de

outubro, todas as três opções possuíam valores muito pequenos, abaixo de 50

centavos, de forma que as diferenças de preços entre as avaliações (H&K e

MC) fossem de pouca relevância. Até mesmo as diferenças de preços entre as

opções eram pequenas, pois o preço da ação se encontrava demasiadamente

longe do valor da barreira para todas as três opções. Ou seja, a probabilidade

da barreira ser rompida era muito pequena para todas as opções, o que

significa dizer que os preços das três opções com barreira eram próximos do

preço de uma opção comum equivalente (sem barreira, com mesmo preço de

exercício e vencimento).

Com a recuperação dos mercados, já a partir do meio de outubro, as

opções apresentaram elevação de preço, porém a diferente proximidade do

preço da ação em relação às barreiras provocou comportamentos distintos. A

opção com barreira menor (H1 = 36) não acompanhou a subida do preço da

ação, visto que a probabilidade de rompimento da barreira crescia

acentuadamente, reduzindo o valor da opção. No extremo oposto, a opção com

maior barreira (H3 = 42) teve maior crescimento de preço, enquanto a opção

com barreira intermediária (H2 = 39) teve um certo crescimento de preço até o

momento em que a probabilidade de rompimento tornou-se mais significativa

que a probabilidade de exercício, o que resultou em nova redução do preço da

opção, a partir da metade do mês de dezembro de 2001. No final deste mês, o

preço da ação ultrapassou o valor da menor barreira (H1 = 36), de forma que a

respectiva opção expirou antecipadamente. No término do período, uma queda

no preço da ação resultou em queda também no preço das duas opções

restantes, que ainda assim terminaram ligeiramente “dentro do dinheiro”,

permitindo o exercício.

A Figura 10 apresenta ainda a diferença de preços entre as duas

avaliações para cada uma das três opções. Pela análise do gráfico, é possível

constatar que houve predominância de valores maiores para os preços obtido

via MC, o que implica em maior incidência de diferenças de preço positivas,

indicando que, em geral, a fórmula H&K subavalia as opções com barreira.

101

Conforme já comentado, as diferenças são pequenas quando as opções estão

“fora do dinheiro”, sendo mais significativas quando “dentro do dinheiro”.

Figura 10 – Diferenças de Preços das Opções com Barreira (MC-H&K)Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento em

31/01/02, avaliadas diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo e pela fórmula de H&K

A análise do comportamento do delta das opções, calculado através do

modelo de Monte Carlo, é também bastante interessante. Conforme pode ser

observado na Figura 11, a variação dos deltas é bastante significativa,

assumindo valores negativos com a proximidade do preço da ação com as

barreiras. Na primeira metade do período, caracterizado pela baixa do

mercado, os deltas das opções são predominantemente positivos e pequenos,

visto que as probabilidades de rompimento das barreiras são reduzidas e as

opções se encontram “fora do dinheiro”. A partir do momento em que o preço

da ação sobe, aproximando-se das barreiras, inicia-se a incidência de deltas

negativos, visto que a continuidade da subida de preço da ação resulta em

menores valores para as opções, principalmente para a opção com menor

barreira (H1 = 36), que acaba sendo alcançada. Com a redução do preço da

ação a partir do início de janeiro de 2002, os deltas das duas outras opções

restantes começam a crescer, visto que uma nova alta de preço da ação

refletiria em alta do preço da opção, até mesmo porque a probabilidade de

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

07/30

/2001

08/06

/2001

08/13

/2001

08/20

/2001

08/27

/2001

09/03

/2001

09/10

/2001

09/17

/2001

09/24

/2001

10/01

/2001

10/08

/2001

10/15

/2001

10/22

/2001

10/29

/2001

11/05

/2001

11/12

/2001

11/19

/2001

11/26

/2001

12/03

/2001

12/10

/2001

12/17

/2001

12/24

/2001

12/31

/2001

01/07

/2002

01/14

/2002

01/21

/2002

01/28

/2002

R$

H = 36

H = 39

H = 42

102

rompimento da barreira estaria sendo reduzida pela proximidade do

vencimento.

Figura 11 – Delta das Opções com BarreiraOpções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate,

vencimento em 31/01/02. Delta calculado diariamente, no períodode 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo

Obtidos os preços para as opções com barreira, através de ambos os

modelos, assim como os deltas, as estratégias de negociação foram então

realizadas para as três opções em estudo. Em todos os três casos, os

resultados finais obtidos para o período considerado - de 31 de julho de 2001 a

31 de janeiro de 2002 (vencimento das opções), foram positivos, conforme

apresentado na Tabela 3. Ressalte-se que no primeiro caso, da opção com

barreira igual a 36, a estratégia se encerrou antecipadamente, na data de 27 de

dezembro de 2001, visto que o preço da ação ultrapassou o valor da barreira.

Nos Anexos 3 a 5 encontram-se as planilhas empregadas para estruturação e

realização da estratégia para as três opções com barreira, onde é possível

acompanhar diariamente as operações realizadas e os respectivos fluxos de

caixa e lucros obtidos.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30/07

/01

06/08

/01

13/08

/01

20/08

/01

27/08

/01

03/09

/01

10/09

/01

17/09

/01

24/09

/01

01/10

/01

08/10

/01

15/10

/01

22/10

/01

29/10

/01

05/11

/01

12/11

/01

19/11

/01

26/11

/01

03/12

/01

10/12

/01

17/12

/01

24/12

/01

31/12

/01

07/01

/02

14/01

/02

21/01

/02

28/01

/02

Del

ta d

a op

ção

H = 36

H = 39

H = 42

103

Tabela 3 – Resultados das Estratégias de Negociação de ArbitragemEstratégias realizadas no período de agosto de 2001 a janeiro de 2002, com a negociação diária de

opções de compra do tipo up-and-out, com K = 31,55, sem rebate e vencimento em 31/01/02.Valor da Barreira (H) Resultado Financeiro

36 R$ 2,3939 R$ 14,7942 R$ 11,36

A opção com barreira igual a 36 apresentou menor resultado financeiro, o

que pode ser explicado pelas diferenças significativamente menores entre

preços dos dois modelos – MC e H&K (Figura 10), o que acaba por permitir

ganhos absolutos menores na realização da arbitragem. A diferença menor

entre preços é explicada pelo fato da barreira estar mais próxima do valor do

ativo e, por conseqüência, os preços da opção serem menores. Muito embora

seja compreensível o menor lucro para a opção com barreira igual a 36, é

importante destacar que a realização da estratégia para cada barreira envolve

volume financeiro distinto, em função dos diferentes preços e deltas para cada

uma das opções, o que não permite comparar a magnitude do lucro de cada

uma das estratégias. Pode-se dizer que o experimento não foi controlado pelo

nível de risco envolvido, ou seja, que o valor investido ou colocado em risco é

diferente em cada estratégia, não sendo possível comparar o lucro.44

Analisando as estratégias (Anexos 3 a 5), nota-se que o status de

compra e venda das opções se altera inúmeras vezes, implicando em

alterações na posição em opções de compradas para vendidas (ou o contrário).

A cada inversão desta, a carteira é fechada, calculando-se o resultado parcial,

e reaberta novamente com a posição contrária na opção e o respectivo hedge

na ação. Contudo, nestas inversões, nem sempre foram obtidos lucros,

havendo diversos casos onde se constatou prejuízo após o encerramento

parcial da carteira. Como exemplo, no caso da opção com barreira igual a 42

(Anexo 5), durante o período de 12 a 21/11/01 manteve-se uma carteira com

44 Fuchs (2001) desenvolve um estudo de eficiência do mercado brasileiro de opções no qualutiliza estratégias de investimento controladas pelo nível de risco.

104

posição comprada em opções e vendida em fração da ação por 7 dias

consecutivos, tendo sido fechada no dia 21 com um prejuízo parcial de 5

centavos. Prejuízos maiores também foram constatados (de até R$ 1,9145),

porém com fechamento de posições mantidas por um número menor de dias

consecutivos. A Tabela 4 apresenta uma consolidação do número de vezes

em cada estratégia em que a carteira foi encerrada devido a uma inversão do

status.

Tabela 4 – Quantidade de Encerramentos Parciais da Carteira em Cada EstratégiaEstratégias realizadas no período de agosto de 2001 a janeiro de 2002, com a negociação diária de

opções de compra do tipo up-and-out, com K = 31,55, sem rebate e vencimento em 31/01/02.Quantidade de Encerramentos Parciais da Carteira

Com Lucro Com PrejuízoValor daBarreira (H) qtde % qtde % Total

36 17 68% 8 32% 2539 27 63% 16 37% 4342 30 67% 15 33% 45

A obtenção de prejuízos nos fechamentos parciais de posição indica a

impossibilidade de obtenção de ganhos de arbitragens nestes dias ou períodos.

Isto significa que nem sempre o modelo alternativo é capaz de melhor avaliar a

opção do que a fórmula de H&K. Em determinados dias, o modelo de

simulação não é capaz de refletir satisfatoriamente a volatilidade do ativo e sua

variação, a vol-vol. Contudo, vale aqui recordar que a maior dificuldade na

avaliação das opções está exatamente em estimar o comportamento da

volatilidade no futuro.

Não obstante, a deficiência do modelo não o invalida. Conforme pode

ser observado na Tabela 4, obtém-se lucros parciais na maioria das operações

de fechamento de carteira, em cerca de 2/3 dos casos, o que demonstra que,

em geral, obtém-se ganhos de arbitragens quando contrastadas as avaliações

via simulação (MC) e via fórmula de H&K. Nota-se, entretanto, que a obtenção

45 Em 07/01/02, no caso da opção com barreira igual a 42 (Anexo 5). Neste caso a carteiraestava formada por posição vendida em 3 opções e também vendida em 1,215 ações. No diaútil anterior (04/01/02), o delta da opção alcançou o seu maior valor negativo durante todo operíodo analisado, exigindo uma posição vendida no ativo de maior proporção.

105

de lucros na realização de operações de arbitragem não é sempre garantida.

Resultado este que não causa nenhum espanto, haja vista a impossibilidade de

um modelo refletir com perfeição os efeitos futuros da volatilidade e da vol-vol.

E é exatamente devido a esta impossibilidade, que se escolheu um período

relativamente longo (6 meses) para efetivação das estratégias. Muito embora o

lucro não seja garantido em operações pontuais ou por prazos curtos, a

realização das operações de arbitragem por um período dilatado tende a

garantir a obtenção de ganhos de arbitragem, visto que as imprecisões das

avaliações ficam diluídas e compensadas entre si.

Outro ponto que merece ser discutido é a incidência de seguidos valores

negativos para o delta da opção, conforme comentado anteriormente e

ilustrado na Figura 11. O delta negativo implica em formação de carteira com

posição comprada em opções e também comprada em fração da ação, em

conseqüência da realização do delta hedging, ou vendida na ação quando

também vendida na opção. O primeiro caso, comprado em opções e na ação,

não apresenta maiores complicações quando o preço da ação alcançar a

barreira, já que a venda da ação gerará um lucro, visto que subiu de preço,

embora a opção tenha expirado sem qualquer valor. O caso inverso, da

posição vendida tanto em opções quanto em ação, é mais crítico. A extinção da

opção devido ao rompimento da barreira não requer qualquer desembolso,

entretanto, para fechar a carteira, encerrando a estratégia, é necessário

comprar a fração correspondente da ação, que estará porém com um preço

mais elevado do que quando vendida. Muito embora o investidor tenha

recebido anteriormente o pagamento pelas posições vendidas (opção e ação),

e aplicado tal montante à taxa livre de risco, pode ser necessário um valor

superior ao recebido e corrigido monetariamente para se fechar a posição

vendida na ação. Isto pode ocorrer no caso da ação alcançar valor

significativamente superior à barreira. Tal situação, olhada pontualmente,

fornece a intuição de que a operação pode acabar em prejuízo.

106

Devido a essa questão, procedeu-se uma análise adicional com a

realização parcial da estratégia somente pelo período onde há predominância

de deltas negativos, o que corresponde ao final do período integral até então

adotado. Iniciou-se a estratégia parcial na data de 07/11/01, encerrando-a no

vencimento das opções, dia 31/01/02.46 Os resultados então obtidos estão

apresentados na Tabela 5. A íntegra das estratégias parciais encontra-se nos

Anexos 6, 7 e 8.

Tabela 5 – Resultados das Estratégias de Negociação de ArbitragemEstratégias realizadas no período de 07/11/01 a 31/01/02, com a negociação diária de opções de

compra do tipo up-and-out, com K = 31,55, sem rebate e vencimento em 31/01/02Valor da Barreira (H) Resultado Financeiro

36 R$ 0,3239 R$ 1,8942 (R$ 2,45)

A predominância de deltas negativos durante este período é mais

acentuada para o caso da opção com menor barreira (H1 = 36). Entretanto,

apesar de corresponder a um maior número de dias com posições inteiramente

compradas ou vendidas em ambos os produtos (ação e opção), a realização da

estratégia resultou em lucro de R$ 0,32, o que demonstra que a existência de

deltas negativos seqüências não implica necessariamente em prejuízos. Por

outro lado, a estratégia realizada para a opção com barreira igual a 42, muito

embora correspondesse a menor incidência de deltas negativos, apresentou

resultado negativo, com prejuízo de R$ 2,45.47

Analisando conjuntamente os resultados obtidos tanto para as estratégias

no período integral, ou seja, seis meses, quanto para o período parcial, inferior

a três meses, pode-se inferir dois pontos fundamentais: (i) a ocorrência de

seguidos deltas negativos não impede a obtenção de lucros na realização da

estratégia de arbitragem; e (ii) a obtenção de lucros com a realização de uma

46 Com exceção da estratégia para a opção com barreira igual a 36, que se encerrou no dia28/12/01, quando a barreira foi alcançada.47 Novamente chamamos a atenção de que não foi realizada qualquer avaliação da magnitudedo resultado, visto que as estratégias não foram controladas pelo nível de risco.

107

estratégia de arbitragem conforme aqui proposta não é garantida em prazos

curtos, considerando como curtos os períodos inferiores a seis meses.

Contudo, para o período integral da estratégia (6 meses), a constatação

de que é possível obter lucros permite sugerir que a fórmula H&K não é

indicada para a avaliação de opções com barreira de somente um ativo. Além

disso, já que o modelo alternativo (MC) difere da fórmula essencialmente no

modo como considera a vol-vol, pode-se dizer que a possibilidade de obtenção

de lucros é devida à deficiência da fórmula H&K em considerar adequadamente

as variações da volatilidade. Ao supor que o mercado esteja adotando a

fórmula H&K para avaliar opções deste tipo, é possível concluir que o emprego

de metodologia de avaliação distinta, capaz de melhor captar a vol-vol, ainda

que não seja de forma perfeita, permite a obtenção de lucros através da

realização de uma negociação sistemática de arbitragem, sem que haja

exposição ao risco de mercado.

108

5. CONCLUSÃO

O estudo realizado nesta dissertação partiu da observação realizada por

Wilmott (1998) de que o mercado estaria utilizando a fórmula apresentada por

Heynen e Kat (1994), originariamente desenvolvida para o caso específico de

opções com barreira com dois ativos, para a determinação do preço de opções

com barreira que tenham apenas um único ativo. Desta forma estaria sendo

possível considerar dois níveis distintos de volatilidade para determinação do

preço, o que configura um avanço no processo de avaliação de opções em

relação aos demais modelos analíticos existentes. Entretanto, a análise ora

realizada sugere que a referida fórmula não é ainda suficiente para representar

satisfatoriamente os efeitos da vol-vol no preço das opções. A realização de

estratégias de negociação de arbitragem do tipo delta-neutro para três

diferentes opções com barreira permitiu mostrar que é possível obter lucros

quando realizadas operações diárias de arbitragem, ao se comparar

diariamente o preço fornecido pela fórmula H&K com uma avaliação alternativa

obtida através de um modelo de simulação de Monte Carlo que considera a

volatilidade como uma função contínua do preço do ativo.

A constatação empírica de que a volatilidade tem uma forte influência no

preço das opções faz com que os pesquisadores busquem hoje encontrar

modelos de avaliação que sejam capazes de captar os efeitos da volatilidade

da volatilidade, relaxando assim a premissa de homocedasticidade, usualmente

considerada nos modelos analíticos. O emprego adaptado da fórmula de H&K

se apresenta como uma alternativa ao modelo analítico anteriormente

empregado, desenvolvido por Reiner e Rubinstein (1991), fundamentado na

premissa da homocedasticidade.

A construção de modelos alternativos, baseados em métodos de

simulação, ainda que consumam maior tempo computacional para cálculo,

permitem a valoração das opções com barreira onde a vol-vol seja melhor

representada. Este estudo, portanto, buscou desenvolver tais modelos, com o

109

intuito de melhor representar a variação da volatilidade no processo de geração

de preços do ativo-objeto. Antes, porém, foi efetuada uma análise da

convergência de um modelo de simulação de Monte Carlo para opções com

barreira considerando a volatilidade constante, de forma a se definir os

parâmetros básicos da simulação que garantam uma boa convergência do

modelo. Prosseguindo o estudo, foram então elaborados três modelos distintos

de simulação que de alguma forma consideram a vol-vol. Destes, um deles

apresentou resultados semelhantes ao emprego da fórmula adaptada de H&K,

o que era inicialmente esperado, visto ter sido desenvolvido com as mesmas

premissas e considerações implícitas no emprego adaptado da fórmula. Os

outros dois modelos, no entanto, mostraram que o valor da opção converge

para outros resultados, diferentes do fornecido pela fórmula de H&K. Enfim, os

resultados desta comparação nos mostra que quando considerada a

possibilidade da volatilidade sofrer variações ao longo da vigência da opção,

seja essa variação discreta ou contínua, o resultado fornecido por H&K pode

não ser o “valor justo” da opção.

Em seguida, escolheu-se um dos modelos de simulação desenvolvidos, o

modelo que considera a volatilidade como uma função contínua do preço do

ativo, para ser contrastado diariamente com o emprego da fórmula de H&K,

durante um período de seis meses, verificando a possibilidade de obtenção de

lucros através da realização de uma estratégia de negociação de arbitragem.

Isto foi efetuado para três opções com barreira sobre a ação preferencial da

Telemar, distintas apenas no valor estipulado para a barreira. A cada dia,

dentro do período estabelecido para a realização da estratégia, comparou-se o

preço da fórmula de H&K com o obtido via modelo de simulação,

determinando-se a compra ou venda da opção, aproveitando uma oportunidade

de arbitragem de preço, e a respectiva compra ou venda da ação, de forma a

manter a posição livre de risco, através da manutenção de um hedge dinâmico.

Ao término das estratégias, após seis meses de negociações diárias, foi

possível obter lucro em todos os três casos, ou seja, para as três opções em

questão. Entretanto, foram observados prejuízos pontuais em momentos onde

110

a carteira era encerrada e novamente reaberta (o que se dá quando o status de

compra da opção se altera para venda ou vice-versa), o que indica que os

ganhos de arbitragem não são garantidos para operações pontuais ou

realizadas por prazos curtos. O fato da arbitragem realizada através da

comparação das avaliações obtidas via simulação de Monte Carlo e via fórmula

de H&K não permitir ganhos em todas as operações provém da incapacidade

do modelo de simulação em refletir perfeitamente o comportamento da

volatilidade e da vol-vol.

A constatação de que o delta das opções assumiu valores negativos

consecutivos, visto a proximidade do preço do ativo com a barreira, motivou

uma verificação adicional através da realização das estratégias por um período

parcial de tempo, inferior a três meses, correspondente à fase final do período

original do experimento. O objetivo era de verificar se uma posição comprada

ou vendida em ambos os produtos (opção e ação), conseqüência do delta

negativo, pode impedir a obtenção de lucros. Ainda que a opção com menor

barreira correspondesse ao caso mais crítico em relação à existência de deltas

negativos consecutivos, o resultado financeiro final neste caso foi positivo,

confirmando a possibilidade de obtenção de lucros, independentemente do

sinal do delta. Contudo, o caso da opção com barreira mais afastada e, por

conseqüência, com menor predominância de deltas negativos, resultou em

prejuízo na realização da estratégia. Importante destacar, inclusive, que, neste

caso, a estratégia foi encerrada sem o rompimento da barreira e após um

período de deltas positivos. A justificativa para este prejuízo vem da ocorrência

de diversos prejuízos parciais obtidos nos momentos de fechamento e

reabertura das carteiras. Ou seja, a impossibilidade de ganhos de arbitragem

neste caso é devido ao período curto de realização dessas estratégias parciais

e não da incidência de deltas negativos consecutivos.

Importante enfatizar que o estudo ora realizado se restringiu a três opções

com barreira do mesmo tipo (up-and-out) e com o mesmo ativo-objeto (ação da

Telemar), diferentes apenas no valor da barreira, o que o caracteriza como um

111

estudo de caso. Portanto, embora tenhamos obtido lucros na realização das

estratégias para as três opções escolhidas, quando considerado o período

integral do experimento (6 meses), o resultado não pode ser generalizado para

todas as opções com barreira, não sendo possível inferir qualquer resultado

estatisticamente significativo. O estudo também não considerou a existência de

custos de transação, que naturalmente reduziriam os lucros obtidos.

Conforme comentado, a impossibilidade de se obter lucros em todas as

operações de arbitragens é conseqüência da incapacidade do modelo

alternativo de avaliação em considerar com perfeição a volatilidade do ativo-

objeto e sua variação, a vol-vol. Assim sendo, podemos supor que a decisão de

realizar o experimento com base em um ativo-objeto real (ação preferencial da

Telemar) pode ter introduzido uma deficiência na análise da fórmula de Heynen

& Kat, objetivo básico deste estudo. O emprego de um ativo real trouxe consigo

a problemática de se estimar sua volatilidade futura e respectiva vol-vol, o que

possivelmente implica na indução de diferenças de preços entre fórmula e

simulação ocasionadas tão-somente pela adoção de valores inadequados para

a volatilidade e não por conseqüência da incapacidade da fórmula em

considerar uma variação desta ao longo da vigência da opção. Desta forma,

nos parece interessante propor a realização futura de novas investigações

onde o exercício aqui realizado, representado pela realização da estratégia de

negociações de arbitragem entre fórmula e simulação, seja efetuado para uma

opção com barreira hipotética onde até mesmo o ativo-objeto da opção seja

artificial, com volatilidade e vol-vol conhecidos. Com isto, estará se

estabelecendo um maior controle sobre o experimento, o que possibilitará uma

melhor comparação entre os preços fornecidos pela fórmula de H&K e pelo

modelo alternativo de simulação de Monte Carlo. Na prática, isto pode ser

realizado com o emprego de valores constantes para a volatilidade no tempo,

embora variáveis com o nível de preço do ativo, representados por uma função

quadrática única para a volatilidade durante todo o período de realização da

estratégia.

112

Ainda no que diz respeito a futuras investigações, visto que se empregou

o método de Monte Carlo para desenvolvimento do modelo alternativo de

avaliação das opções com barreira, seria interessante aprofundar os estudos

relativos à simulação, tanto no emprego de métodos alternativos de

amostragem, tais como o Hipercubo Latino, a Amostragem Descritiva e as

seqüências quase-randômicas, quanto na utilização de técnicas de redução de

variância, que venham permitir um aumento da acurácia e eficiência na

valoração das opções via simulação.

Adicionalmente, novas investigações podem ampliar o número e tipos de

opções com barreira a serem testadas, considerar a incidência de custos de

transação, de forma que seja possível verificar se os lucros obtidos são

suficientes para cobrirem os custos envolvidos na negociação, analisar a

possível influência da existência de rebate, comparar resultados para prazos

distintos de realização da estratégia e, ainda, buscar novas formas de

consideração da vol-vol no processo de valoração das opções.

113

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ANEXO 1Algoritmo para Cálculo de Opções com Barreira Simples a

partir do Modelo desenvolvido por Reiner e Rubinstein (1991)- Fonte: HAUG, E.G. The complete guide to option pricing formulas. McGraw-Hill, 1997, p.70-71 -

'// Standard barrier optionsFunction StandardBarrier(TypeFlag As String, S As Double, X As Double, H As Double, K AsDouble, T As Double, r As Double, b As Double, v As Double)

Dim mu As Double Dim lambda As Double Dim X1 As Double, X2 As Double Dim y1 As Double, y2 As Double Dim Z As Double

Dim eta As Integer 'Binary variable that can take the value of 1 or -1 Dim phi As Integer 'Binary variable that can take the value of 1 or -1

Dim f1 As Double 'Equal to formula "A" Dim f2 As Double 'Equal to formula "B" Dim f3 As Double 'Equal to formula "C" Dim f4 As Double 'Equal to formula "D" Dim f5 As Double 'Equal to formula "E" Dim f6 As Double 'Equal to formula "F"

mu = (b - v ^ 2 / 2) / v ^ 2 lambda = Sqr(mu ^ 2 + 2 * r / v ^ 2) X1 = Log(S / X) / (v * Sqr(T)) + (1 + mu) * v * Sqr(T) X2 = Log(S / H) / (v * Sqr(T)) + (1 + mu) * v * Sqr(T) y1 = Log(H ^ 2 / (S * X)) / (v * Sqr(T)) + (1 + mu) * v * Sqr(T) y2 = Log(H / S) / (v * Sqr(T)) + (1 + mu) * v * Sqr(T) Z = Log(H / S) / (v * Sqr(T)) + lambda * v * Sqr(T)

If TypeFlag = "cdi" Or TypeFlag = "cdo" Then eta = 1 phi = 1 ElseIf TypeFlag = "cui" Or TypeFlag = "cuo" Then eta = -1 phi = 1 ElseIf TypeFlag = "pdi" Or TypeFlag = "pdo" Then eta = 1 phi = -1 ElseIf TypeFlag = "pui" Or TypeFlag = "puo" Then eta = -1 phi = -1 End If

f1 = phi * S * Exp((b - r) * T) * CND(phi * X1) - phi * X * Exp(-r * T) * CND(phi *X1 - phi * v * Sqr(T)) f2 = phi * S * Exp((b - r) * T) * CND(phi * X2) - phi * X * Exp(-r * T) * CND(phi *X2 - phi * v * Sqr(T)) f3 = phi * S * Exp((b - r) * T) * (H / S) ^ (2 * (mu + 1)) * CND(eta * y1) - phi * X* Exp(-r * T) * (H / S) ^ (2 * mu) * CND(eta * y1 - eta * v * Sqr(T)) f4 = phi * S * Exp((b - r) * T) * (H / S) ^ (2 * (mu + 1)) * CND(eta * y2) - phi * X* Exp(-r * T) * (H / S) ^ (2 * mu) * CND(eta * y2 - eta * v * Sqr(T)) f5 = K * Exp(-r * T) * (CND(eta * X2 - eta * v * Sqr(T)) - (H / S) ^ (2 * mu) *CND(eta * y2 - eta * v * Sqr(T))) f6 = K * ((H / S) ^ (mu + lambda) * CND(eta * Z) + (H / S) ^ (mu - lambda) * CND(eta* Z - 2 * eta * lambda * v * Sqr(T)))

If X > H Then Select Case TypeFlag Case Is = "cdi" StandardBarrier = f3 + f5 Case Is = "cui" StandardBarrier = f1 + f5

119

Case Is = "pdi" StandardBarrier = f2 - f3 + f4 + f5 Case Is = "pui" StandardBarrier = f1 - f2 + f4 + f5 Case Is = "cdo" StandardBarrier = f1 - f3 + f6 Case Is = "cuo" StandardBarrier = f6 Case Is = "pdo" StandardBarrier = f1 - f2 + f3 - f4 + f6 Case Is = "puo" StandardBarrier = f2 - f4 + f6 End Select ElseIf X < H Then Select Case TypeFlag Case Is = "cdi" StandardBarrier = f1 - f2 + f4 + f5 Case Is = "cui" StandardBarrier = f2 - f3 + f4 + f5 Case Is = "pdi" StandardBarrier = f1 + f5 Case Is = "pui" StandardBarrier = f3 + f5 Case Is = "cdo" StandardBarrier = f2 + f6 - f4 Case Is = "cuo" StandardBarrier = f1 - f2 + f3 - f4 + f6 Case Is = "pdo" StandardBarrier = f6 Case Is = "puo" StandardBarrier = f1 - f3 + f6 End Select End IfEnd Function

120

ANEXO 2Algoritmo para Cálculo de Opções com Barreira com Dois

Ativos – Outside Barrier Options - a partir do Modelodesenvolvido por Heynen e Kat (1994)

- Fonte: HAUG, E.G. The complete guide to option pricing formulas. McGraw-Hill, 1997, p.79-81 -

'// Two asset barrier optionsPublic Function TwoAssetBarrier(TypeFlag As String, S1 As Double, S2 As Double, X AsDouble, H As Double, T As Double, r As Double, b1 As Double, b2 As Double, v1 As Double,v2 As Double, rho As Double) As Double

Dim d1 As Double, d2 As Double, d3 As Double, d4 As Double Dim e1 As Double, e2 As Double, e3 As Double, e4 As Double Dim mu1 As Double, mu2 As Double Dim eta As Integer 'Binary variable: 1 for call options and -1 for put options Dim phi As Integer 'Binary variable: 1 for up options and -1 for down options Dim KnockOutValue As Double

mu1 = b1 - v1 ^ 2 / 2 mu2 = b2 - v2 ^ 2 / 2

d1 = (Log(S1 / X) + (mu1 + v1 ^ 2 / 2) * T) / (v1 * Sqr(T)) d2 = d1 - v1 * Sqr(T) d3 = d1 + 2 * rho * Log(H / S2) / (v2 * Sqr(T)) d4 = d2 + 2 * rho * Log(H / S2) / (v2 * Sqr(T)) e1 = (Log(H / S2) - (mu2 + rho * v1 * v2) * T) / (v2 * Sqr(T)) e2 = e1 + rho * v1 * Sqr(T) e3 = e1 - 2 * Log(H / S2) / (v2 * Sqr(T)) e4 = e2 - 2 * Log(H / S2) / (v2 * Sqr(T))

If TypeFlag = "cuo" Or TypeFlag = "cui" Then eta = 1: phi = 1 ElseIf TypeFlag = "cdo" Or TypeFlag = "cdi" Then eta = 1: phi = -1 ElseIf TypeFlag = "puo" Or TypeFlag = "pui" Then eta = -1: phi = 1 ElseIf TypeFlag = "pdo" Or TypeFlag = "pdi" Then eta = -1: phi = -1 End If KnockOutValue = eta * S1 * Exp((b1 - r) * T) * (CBND(eta * d1, phi * e1, -eta * phi* rho) - Exp(2 * (mu2 + rho * v1 * v2) * Log(H / S2) / v2 ^ 2) * CBND(eta * d3, phi *e3, -eta * phi * rho)) - eta * Exp(-r * T) * X * (CBND(eta * d2, phi * e2, -eta * phi *rho) - Exp(2 * mu2 * Log(H / S2) / v2 ^ 2) * CBND(eta * d4, phi * e4, -eta * phi * rho)) If TypeFlag = "cuo" Or TypeFlag = "cdo" Or TypeFlag = "puo" Or TypeFlag = "pdo" Then TwoAssetBarrier = KnockOutValue ElseIf TypeFlag = "cui" Or TypeFlag = "cdi" Then TwoAssetBarrier = GBlackScholes("c", S1, X, T, r, b1, v1) - KnockOutValue ElseIf TypeFlag = "pui" Or TypeFlag = "pdi" Then TwoAssetBarrier = GBlackScholes("p", S1, X, T, r, b1, v1) - KnockOutValue End If

End Function

121

ANEXO 3Estratégia de Negociação para Opção com Barreira Igual a 36

ativo: TNLP4 K = 31.55vcto: 31/01/02 H = 36.00

Características da Opção com Barreira

a) Planilha de Avaliação (preços e delta) e Decisões da Estratégia

Status Decisãoda da

t (dias) t/252 a b c Opção Estratégia-1 30/07/01 124 0.4921 18.96% 31.55 37.25% 39.38% 0.0023 -0.1549 3.0121 0.0557 -0.021 0.0476 0.01 barato compra0 31/07/01 123 0.4881 18.96% 31.15 36.35% 39.23% 0.0027 -0.1740 3.1603 0.0791 -0.035 0.0542 0.02 barato compra1 01/08/01 122 0.4841 18.97% 31.16 35.61% 40.78% 0.0035 -0.2224 3.8931 0.0763 0.008 0.0545 0.02 barato compra2 02/08/01 121 0.4802 18.96% 31.50 47.62% 42.57% 0.0038 -0.2674 5.1634 0.0385 -0.007 0.0218 0.02 barato compra3 03/08/01 120 0.4762 18.97% 31.95 34.80% 37.26% 0.0061 -0.4209 7.5501 0.1233 -0.035 0.0576 0.07 barato compra4 06/08/01 119 0.4722 18.98% 32.90 49.14% 39.84% 0.0071 -0.5069 9.3952 0.0434 -0.015 0.0108 0.03 barato compra5 07/08/01 118 0.4683 19.00% 32.83 38.38% 35.43% 0.0014 -0.0863 1.6178 0.0934 -0.045 0.0362 0.06 barato compra6 08/08/01 117 0.4643 19.00% 32.46 40.17% 37.80% -0.0003 0.0132 0.2708 0.0561 -0.024 0.0352 0.02 barato compra7 09/08/01 116 0.4603 19.00% 32.01 39.23% 36.45% -0.0002 0.0096 0.2671 0.0679 -0.035 0.0454 0.02 barato compra8 10/08/01 115 0.4563 18.99% 31.78 35.22% 33.77% 0.0007 -0.0500 1.2473 0.0762 -0.049 0.0688 0.01 barato compra9 13/08/01 114 0.4524 19.01% 31.55 36.43% 34.59% 0.0007 -0.0506 1.2003 0.1366 -0.007 0.0670 0.07 barato compra10 14/08/01 113 0.4484 19.01% 31.55 34.20% 34.90% -0.0005 0.0411 -0.4303 0.0618 -0.011 0.0756 -0.01 caro vende11 15/08/01 112 0.4444 19.01% 31.20 37.36% 37.17% -0.0004 0.0284 -0.1242 0.0699 0.011 0.0640 0.01 barato compra12 16/08/01 111 0.4405 19.02% 30.70 34.49% 35.13% 0.0001 -0.0065 0.3960 0.1540 -0.025 0.0867 0.07 barato compra13 17/08/01 110 0.4365 19.03% 29.75 38.52% 37.85% 0.0003 -0.0198 0.7240 0.0778 0.025 0.0759 0.00 barato compra14 20/08/01 109 0.4325 19.03% 30.56 38.47% 37.11% 0.0007 -0.0465 1.1939 0.0619 0.012 0.0720 -0.01 caro vende15 21/08/01 108 0.4286 19.04% 29.85 38.98% 38.16% 0.0006 -0.0436 1.1312 0.1154 -0.032 0.0751 0.04 barato compra16 22/08/01 107 0.4246 19.06% 29.70 38.37% 38.51% 0.0004 -0.0266 0.8345 0.0836 0.023 0.0764 0.01 barato compra17 23/08/01 106 0.4206 19.03% 28.75 39.02% 39.42% -0.0001 0.0125 0.1070 0.0770 -0.044 0.0774 0.00 caro vende18 24/08/01 105 0.4167 19.04% 29.20 36.35% 36.63% 0.0000 0.0081 0.1269 0.1043 0.012 0.0953 0.01 barato compra19 27/08/01 104 0.4127 19.03% 29.00 39.86% 38.37% 0.0013 -0.0919 1.9686 0.1266 -0.039 0.0858 0.04 barato compra20 28/08/01 103 0.4087 19.02% 29.20 38.14% 37.35% 0.0003 -0.0211 0.7148 0.1244 -0.023 0.0927 0.03 barato compra21 29/08/01 102 0.4048 19.00% 29.10 36.95% 36.80% 0.0007 -0.0422 1.0342 0.0870 -0.043 0.0987 -0.01 caro vende22 30/08/01 101 0.4008 19.02% 28.49 34.98% 37.70% 0.0008 -0.0445 0.9829 0.1001 -0.034 0.0905 0.01 barato compra23 31/08/01 100 0.3968 19.04% 27.80 37.93% 40.03% 0.0010 -0.0605 1.2957 0.1074 0.002 0.0781 0.03 barato compra24 03/09/01 99 0.3929 19.04% 27.75 36.69% 39.96% 0.0013 -0.0821 1.6295 0.1494 -0.005 0.0756 0.07 barato compra25 04/09/01 98 0.3889 19.02% 27.76 34.34% 39.43% 0.0009 -0.0518 1.1077 0.1133 -0.013 0.0727 0.04 barato compra26 05/09/01 97 0.3849 19.02% 27.40 33.86% 40.62% 0.0013 -0.0779 1.5439 0.1108 0.026 0.0592 0.05 barato compra27 06/09/01 96 0.3810 19.02% 26.60 34.98% 43.60% 0.0010 -0.0568 1.1432 0.1291 0.027 0.0376 0.09 barato compra28 10/09/01 95 0.3770 19.04% 24.95 39.47% 50.26% 0.0012 -0.0655 1.2265 0.0950 -0.006 0.0131 0.08 barato compra29 11/09/01 94 0.3730 19.03% 23.10 51.56% 56.91% 0.0019 -0.1090 2.0757 0.0559 0.031 0.0132 0.04 barato compra30 12/09/01 93 0.3690 19.03% 23.60 49.35% 55.61% 0.0008 -0.0373 0.8536 0.0555 0.031 0.0142 0.04 barato compra31 13/09/01 92 0.3651 19.02% 21.73 56.89% 60.53% 0.0009 -0.0392 0.8767 0.0365 0.012 0.0107 0.03 barato compra32 14/09/01 91 0.3611 19.04% 21.60 65.50% 70.02% 0.0019 -0.1090 2.2313 0.0341 -0.012 0.0037 0.03 barato compra33 17/09/01 90 0.3571 19.04% 23.06 54.06% 63.05% 0.0011 -0.0522 1.0874 0.0442 0.005 0.0052 0.04 barato compra34 18/09/01 89 0.3532 19.04% 22.10 57.63% 70.29% 0.0014 -0.0632 1.2046 0.0306 0.013 0.0004 0.03 barato compra35 19/09/01 88 0.3492 19.03% 22.95 60.03% 68.67% 0.0021 -0.1160 2.1842 0.0421 0.002 0.0036 0.04 barato compra36 20/09/01 87 0.3452 19.03% 23.13 56.50% 69.36% 0.0022 -0.1215 2.1475 0.0536 0.022 0.0015 0.05 barato compra37 21/09/01 86 0.3413 19.05% 24.12 51.56% 64.35% 0.0032 -0.1919 3.4224 0.0594 0.002 0.0043 0.06 barato compra38 24/09/01 85 0.3373 19.04% 23.86 59.31% 69.99% 0.0027 -0.1496 2.5575 0.0541 0.006 0.0038 0.05 barato compra39 25/09/01 84 0.3333 19.06% 22.75 64.42% 70.09% 0.0023 -0.1067 1.7367 0.0275 0.002 0.0056 0.02 barato compra40 26/09/01 83 0.3294 19.08% 22.20 65.99% 77.80% 0.0026 -0.1255 1.9803 0.0287 0.002 0.0003 0.03 barato compra41 27/09/01 82 0.3254 19.09% 23.70 62.68% 69.43% 0.0045 -0.2424 3.7358 0.0403 0.017 0.0070 0.03 barato compra42 28/09/01 81 0.3214 19.09% 24.21 60.58% 68.52% 0.0023 -0.1137 1.8928 0.0408 0.023 0.0078 0.03 barato compra43 01/10/01 80 0.3175 19.10% 24.76 60.03% 78.17% 0.0034 -0.1909 3.1761 0.0583 -0.003 0.0014 0.06 barato compra44 02/10/01 79 0.3135 19.11% 24.71 64.12% 84.09% 0.0047 -0.2575 4.0021 0.0489 -0.023 0.0005 0.05 barato compra45 03/10/01 78 0.3095 19.11% 24.30 72.00% 93.80% 0.0087 -0.4884 7.3984 0.0380 0.004 0.0000 0.04 barato compra46 04/10/01 77 0.3056 19.09% 22.69 43.35% 43.76% 0.0012 -0.0654 1.2826 0.0531 0.025 0.0498 0.00 barato compra47 05/10/01 76 0.3016 19.08% 22.91 43.34% 43.82% 0.0003 -0.0179 0.6779 0.0685 0.030 0.0518 0.02 barato compra48 08/10/01 75 0.2976 19.07% 22.71 41.21% 41.21% -0.0022 0.1139 -1.0738 0.0980 0.017 0.0547 0.04 barato compra49 09/10/01 74 0.2937 19.06% 23.30 45.97% 46.76% 0.0033 -0.1857 3.0075 0.0591 0.020 0.0507 0.01 barato compra50 10/10/01 73 0.2897 19.04% 23.97 42.08% 40.38% 0.0001 -0.0105 0.6120 0.1003 -0.013 0.0931 0.01 barato compra51 11/10/01 72 0.2857 19.04% 24.93 45.54% 46.56% 0.0003 -0.0242 0.9073 0.1054 0.038 0.0655 0.04 barato compra52 15/10/01 71 0.2817 19.04% 26.90 39.75% 42.69% 0.0011 -0.0746 1.6450 0.1605 0.010 0.0838 0.08 barato compra53 16/10/01 70 0.2778 19.03% 27.00 39.40% 38.93% 0.0023 -0.1512 2.8138 0.2026 0.029 0.1309 0.07 barato compra54 17/10/01 69 0.2738 19.02% 26.70 38.21% 39.24% 0.0015 -0.1015 2.0402 0.1990 0.043 0.1125 0.09 barato compra55 18/10/01 68 0.2698 19.04% 25.95 39.38% 40.25% 0.0007 -0.0467 1.1586 0.1394 0.006 0.0997 0.04 barato compra56 19/10/01 67 0.2659 19.03% 27.10 40.90% 40.23% 0.0012 -0.0780 1.7034 0.1283 -0.025 0.1298 0.00 caro vende57 22/10/01 66 0.2619 19.03% 28.01 41.30% 39.06% 0.0008 -0.0635 1.5836 0.2037 0.014 0.1577 0.05 barato compra58 23/10/01 65 0.2579 19.04% 27.76 42.00% 40.31% 0.0027 -0.1760 3.2676 0.1604 0.028 0.1449 0.02 barato compra

Volatilidades Implícitas de OpçõesDia (t) Data St Vol(X=K) Vol(X=H) Função Vol(X) = aX2 + bX + c

DI Over (%a.a.)

Tempo p/ Vcto Avaliação da Opção c/ Barreira(*1)

MC ∆∆∆∆(MC) HK Diferença(MC-HK)

122


t (dias) t/252 a b c Opção Estratégia59 24/10/01 64 0.2540 19.04% 27.10 40.75% 40.44% 0.0010 -0.0651 1.4960 0.1344 0.010 0.1299 0.00 barato compra60 25/10/01 63 0.2500 19.03% 28.10 40.94% 38.54% 0.0027 -0.1757 3.2702 0.1554 -0.033 0.1712 -0.02 caro vende61 26/10/01 62 0.2460 19.02% 28.66 40.71% 37.69% 0.0011 -0.0778 1.7939 0.1460 -0.048 0.1868 -0.04 caro vende62 29/10/01 61 0.2421 19.04% 28.00 41.62% 38.92% 0.0006 -0.0480 1.3494 0.1585 -0.021 0.1750 -0.02 caro vende63 30/10/01 60 0.2381 19.03% 26.91 42.26% 39.80% 0.0005 -0.0359 1.0596 0.1484 0.001 0.1597 -0.01 caro vende64 31/10/01 59 0.2341 19.03% 27.21 42.88% 41.46% 0.0010 -0.0715 1.6640 0.1780 0.017 0.1430 0.04 barato compra65 01/11/01 58 0.2302 19.03% 26.86 44.11% 44.04% 0.0014 -0.0982 2.0831 0.1926 0.048 0.1152 0.08 barato compra66 05/11/01 57 0.2262 19.04% 30.70 41.42% 35.06% -0.0013 0.0801 -0.7699 0.1103 -0.012 0.2178 -0.11 caro vende67 06/11/01 56 0.2222 19.04% 31.57 42.26% 38.41% 0.0009 -0.0695 1.6676 0.2055 0.028 0.1481 0.06 barato compra68 07/11/01 55 0.2183 19.05% 32.81 43.32% 39.76% 0.0029 -0.1992 3.8406 0.1140 -0.015 0.0996 0.01 barato compra69 08/11/01 54 0.2143 19.04% 32.50 49.02% 44.65% 0.0032 -0.2220 4.2153 0.1706 -0.033 0.0785 0.09 barato compra70 09/11/01 53 0.2103 19.05% 32.80 44.39% 43.44% 0.0019 -0.1358 2.8136 0.1369 -0.026 0.0886 0.05 barato compra71 12/11/01 52 0.2063 19.05% 32.85 43.95% 44.36% -0.0001 0.0097 0.2100 0.0976 -0.022 0.0881 0.01 barato compra72 13/11/01 51 0.2024 19.04% 33.49 43.66% 44.20% 0.0003 -0.0218 0.8176 0.0958 -0.056 0.0752 0.02 barato compra73 14/11/01 50 0.1984 19.05% 33.10 45.29% 45.01% 0.0010 -0.0699 1.6904 0.0859 -0.023 0.0813 0.00 barato compra74 16/11/01 49 0.1944 19.05% 33.65 44.46% 44.02% 0.0006 -0.0450 1.2476 0.1033 -0.070 0.0731 0.03 barato compra75 19/11/01 48 0.1905 19.05% 33.60 41.16% 43.02% -0.0002 0.0200 -0.0220 0.0949 -0.015 0.0900 0.00 barato compra76 20/11/01 47 0.1865 19.05% 32.12 44.55% 44.83% 0.0004 -0.0223 0.7852 0.0976 -0.028 0.1167 -0.02 caro vende77 21/11/01 46 0.1825 19.03% 32.25 46.30% 46.24% 0.0007 -0.0474 1.2963 0.0981 -0.007 0.1068 -0.01 caro vende78 22/11/01 45 0.1786 19.05% 32.30 44.44% 44.98% 0.0005 -0.0347 1.0228 0.1479 -0.022 0.1191 0.03 barato compra79 23/11/01 44 0.1746 19.05% 33.50 46.13% 42.68% 0.0035 -0.2538 4.9300 0.1992 -0.026 0.0900 0.11 barato compra80 26/11/01 43 0.1706 19.05% 35.36 41.32% 38.65% 0.0005 -0.0389 1.1000 0.0507 -0.057 0.0304 0.02 barato compra81 27/11/01 42 0.1667 19.05% 34.70 42.51% 38.06% 0.0030 -0.2244 4.5462 0.0929 -0.124 0.0630 0.03 barato compra82 28/11/01 41 0.1627 19.05% 33.01 45.60% 42.50% -0.0001 0.0107 0.1359 0.1344 -0.017 0.1232 0.01 barato compra83 29/11/01 40 0.1587 19.05% 32.55 39.62% 44.18% 0.0017 -0.1117 2.2640 0.1573 -0.100 0.1498 0.01 barato compra84 30/11/01 39 0.1548 19.05% 33.10 45.43% 43.79% 0.0039 -0.2881 5.6732 0.2064 -0.103 0.1227 0.08 barato compra85 03/12/01 38 0.1508 19.06% 33.34 38.00% 40.41% 0.0027 -0.1928 3.8690 0.1444 -0.058 0.1635 -0.02 caro vende86 04/12/01 37 0.1468 19.06% 32.95 40.41% 42.87% 0.0010 -0.0739 1.7406 0.2124 -0.049 0.1597 0.05 barato compra87 05/12/01 36 0.1429 19.08% 33.70 40.64% 36.78% -0.0004 0.0161 0.2431 0.2582 -0.120 0.1654 0.09 barato compra88 06/12/01 35 0.1389 19.07% 34.69 34.20% 35.96% 0.0009 -0.0560 1.2706 0.0991 -0.053 0.1311 -0.03 caro vende89 07/12/01 34 0.1349 19.07% 34.30 39.30% 41.60% 0.0007 -0.0630 1.6988 0.1731 -0.089 0.1199 0.05 barato compra90 10/12/01 33 0.1310 19.06% 34.49 39.05% 41.64% 0.0004 -0.0311 1.0121 0.1138 -0.091 0.1132 0.00 barato compra91 11/12/01 32 0.1270 19.06% 34.42 34.77% 42.62% 0.0005 -0.0374 1.0745 0.1551 -0.063 0.1430 0.01 barato compra92 12/12/01 31 0.1230 19.06% 34.65 35.07% 40.87% -0.0007 0.0588 -0.8050 0.1329 -0.067 0.1345 0.00 caro vende93 13/12/01 30 0.1190 19.04% 34.15 39.83% 40.82% 0.0003 -0.0202 0.7653 0.1437 -0.046 0.1538 -0.01 caro vende94 14/12/01 29 0.1151 19.04% 33.20 42.92% 41.14% 0.0003 -0.0174 0.7085 0.1655 -0.038 0.2114 -0.05 caro vende95 17/12/01 28 0.1111 19.05% 33.45 43.44% 42.58% 0.0005 -0.0379 1.1263 0.2131 -0.065 0.1905 0.02 barato compra96 18/12/01 27 0.1071 19.05% 35.45 48.28% 43.19% 0.0008 -0.0712 1.8985 0.0622 -0.078 0.0352 0.03 barato compra97 19/12/01 26 0.1032 19.05% 35.80 50.48% 44.97% 0.0006 -0.0546 1.6201 0.0176 -0.113 0.0116 0.01 barato compra98 20/12/01 25 0.0992 19.05% 34.35 48.74% 46.36% -0.0002 0.0145 0.2492 0.1064 -0.060 0.1136 -0.01 caro vende99 21/12/01 24 0.0952 19.06% 35.65 48.17% 50.40% 0.0001 -0.0101 0.7913 0.0275 -0.058 0.0245 0.00 barato compra100 26/12/01 23 0.0913 19.03% 35.70 52.90% 51.87% 0.0002 -0.0220 1.0495 0.0228 -0.089 0.0178 0.01 barato compra101 27/12/01 22 0.0873 19.02% 36.99 50.14% 50.22% 0.0010 -0.0902 2.4118 0.0000 0.000 0.0000 0.00102 28/12/01 21 0.0833 19.02% 36.50 44.16% 49.48% 0.0025 -0.2055 4.6446103 02/01/02 20 0.0794 19.02% 37.10 53.42% 49.32% 0.0015 -0.1254 3.0898104 03/01/02 19 0.0754 19.02% 38.06 44.83% 43.17% 0.0001 -0.0080 0.6520105 04/01/02 18 0.0714 19.03% 38.30 40.98% 46.14% -0.0003 0.0173 0.1710106 07/01/02 17 0.0675 19.03% 38.45 43.37% 45.95% 0.0002 -0.0223 0.9828107 08/01/02 16 0.0635 19.02% 37.75 46.12% 45.95% 0.0006 -0.0551 1.6128108 09/01/02 15 0.0595 19.03% 37.01 47.15% 45.16% 0.0005 -0.0405 1.2955109 10/01/02 14 0.0556 19.03% 35.65 35.50% 40.02% -0.0002 0.0197 -0.0824110 11/01/02 13 0.0516 19.02% 35.55 38.42% 42.47% 0.0005 -0.0365 1.1364111 14/01/02 12 0.0476 19.02% 34.20 39.35% 42.89% 0.0001 -0.0037 0.4110112 15/01/02 11 0.0437 19.02% 33.69 44.02% 45.50% 0.0006 -0.0438 1.2604113 16/01/02 10 0.0397 19.02% 34.10 43.13% 46.87% 0.0001 -0.0046 0.5002114 17/01/02 9 0.0357 19.02% 34.81 50.22% 45.96% 0.0008 -0.0636 1.7669115 18/01/02 8 0.0317 19.02% 34.81 46.53% 44.00% 0.0010 -0.0798 2.0271116 21/01/02 7 0.0278 19.03% 34.20 46.00% 43.49% 0.0021 -0.1628 3.5674117 22/01/02 6 0.0238 19.02% 33.55 43.72% 42.82% 0.0025 -0.1942 4.1341118 23/01/02 5 0.0198 19.01% 34.50 45.33% 43.52% 0.0008 -0.0589 1.5403119 24/01/02 4 0.0159 19.02% 34.40 48.70% 45.35% 0.0009 -0.0708 1.7682120 28/01/02 3 0.0119 19.02% 33.80 46.61% 39.87% 0.0027 -0.2028 4.2483121 29/01/02 2 0.0079 19.02% 32.00 41.57% 44.73% 0.0011 -0.0733 1.6107122 30/01/02 1 0.0040 19.02% 31.79 33.19% 43.81% 0.0009 -0.0465 0.9610123 31/01/02 0 0.0000 19.03% 31.98 n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a.

(*1) valores de fechamento do dia, a serem considerados nas operações do dia seguinte.MC: modelo de simulação de Monte CarloHK: fórmula analítica de Heynen & Kat


DI Over (%a.a.)



123

b) Planilha de Realização da Estratégia de Negociação de Arbitragem

Delta Lucrodo parte 1 parte 2 diário saldo final(*1) Realizado(*2)

Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)0 31/07/01 0 0 0 0.000 abertura 1 0.021 1 0.021 0.0000 (0.71) (0.71) (0.71) n.a.1 01/08/01 1 0.021 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.050 2 0.071 0.0000 0.00 (1.60) (1.60) (2.31) n.a.2 02/08/01 2 0.071 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.095 3 -0.024 0.0000 0.00 2.89 2.89 0.57 n.a.3 03/08/01 3 -0.024 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.051 4 0.027 0.0000 0.00 (1.63) (1.63) (1.05) n.a.4 06/08/01 4 0.027 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.147 5 0.174 0.0000 0.00 (4.76) (4.76) (5.81) n.a.5 07/08/01 5 0.174 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.085 6 0.089 0.0000 0.00 2.79 2.79 (3.03) n.a.6 08/08/01 6 0.089 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.226 7 0.316 0.0000 0.00 (7.47) (7.47) (10.50) n.a.7 09/08/01 7 0.316 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.125 8 0.191 0.0000 0.00 4.02 4.02 (6.48) n.a.8 10/08/01 8 0.191 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.127 9 0.318 0.0000 0.00 (4.11) (4.11) (10.60) n.a.9 13/08/01 9 0.318 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.172 10 0.489 0.0000 0.00 (5.52) (5.52) (16.12) n.a.10 14/08/01 10 0.489 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.412 11 0.077 0.0000 0.00 12.92 12.92 (3.22) n.a.11 15/08/01 11 0.077 fechamento -11 -0.077 abertura -1 -0.011 -1 -0.011 0.0000 3.28 0.42 3.70 0.48 0.0612 16/08/01 -1 -0.011 fechamento 1 0.011 abertura 1 -0.011 1 -0.011 0.0000 (0.41) 0.29 (0.11) 0.36 0.0213 17/08/01 1 -0.011 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.062 2 0.051 0.0000 0.00 (1.99) (1.99) (1.63) n.a.14 20/08/01 2 0.051 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.126 3 -0.076 0.0000 0.00 3.68 3.68 2.05 n.a.15 21/08/01 3 -0.076 fechamento -3 0.076 abertura -1 0.012 -1 0.012 0.0000 (2.09) (0.29) (2.38) (0.33) (0.11)16 22/08/01 -1 0.012 fechamento 1 -0.012 abertura 1 0.032 1 0.032 0.0000 0.28 (1.02) (0.74) (1.07) (0.01)17 23/08/01 1 0.032 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.077 2 -0.046 0.0000 0.00 2.22 2.22 1.14 n.a.18 24/08/01 2 -0.046 fechamento -2 0.046 abertura -1 -0.044 -1 -0.044 0.0000 (1.16) 1.34 0.19 1.33 0.0419 27/08/01 -1 -0.044 fechamento 1 0.044 abertura 1 -0.012 1 -0.012 0.0000 (1.38) 0.24 (1.14) 0.19 (0.04)20 28/08/01 1 -0.012 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.089 2 0.077 0.0000 0.00 (2.67) (2.67) (2.47) n.a.21 29/08/01 2 0.077 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.010 3 0.068 0.0000 0.00 0.19 0.19 (2.29) n.a.22 30/08/01 3 0.068 fechamento -3 -0.068 abertura -1 -0.043 -1 -0.043 0.0000 2.27 1.36 3.63 1.34 0.0323 31/08/01 -1 -0.043 fechamento 1 0.043 abertura 1 0.034 1 0.034 0.0000 (1.32) (1.05) (2.37) (1.03) 0.0424 03/09/01 1 0.034 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.038 2 -0.004 0.0000 0.00 0.98 0.98 (0.06) n.a.25 04/09/01 2 -0.004 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.020 3 0.016 0.0000 0.00 (0.63) (0.63) (0.69) n.a.26 05/09/01 3 0.016 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.037 4 0.053 0.0000 0.00 (1.10) (1.10) (1.79) n.a.27 06/09/01 4 0.053 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.184 5 -0.132 0.0000 0.00 4.99 4.99 3.20 n.a.28 10/09/01 5 -0.132 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.029 6 -0.160 0.0000 0.00 0.72 0.72 3.93 n.a.29 11/09/01 6 -0.160 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.201 7 0.041 0.0000 0.00 (5.02) (5.02) (1.10) n.a.30 12/09/01 7 0.041 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.286 8 -0.245 0.0000 0.00 6.59 6.59 5.49 n.a.31 13/09/01 8 -0.245 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.035 9 -0.280 0.0000 0.00 0.81 0.81 6.30 n.a.32 14/09/01 9 -0.280 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.162 10 -0.118 0.0000 0.00 (3.53) (3.53) 2.78 n.a.33 17/09/01 10 -0.118 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.248 11 0.131 0.0000 0.00 (5.37) (5.37) (2.59) n.a.34 18/09/01 11 0.131 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.192 12 -0.062 0.0000 0.00 4.43 4.43 1.84 n.a.35 19/09/01 12 -0.062 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.105 13 -0.167 0.0000 0.00 2.32 2.32 4.15 n.a.36 20/09/01 13 -0.167 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.142 14 -0.025 0.0000 0.00 (3.26) (3.26) 0.89 n.a.37 21/09/01 14 -0.025 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.308 15 -0.332 0.0000 0.00 7.11 7.11 8.01 n.a.38 24/09/01 15 -0.332 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.301 16 -0.031 0.0000 0.00 (7.27) (7.27) 0.75 n.a.39 25/09/01 16 -0.031 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.067 17 -0.098 0.0000 0.00 1.59 1.59 2.34 n.a.40 26/09/01 17 -0.098 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.065 18 -0.033 0.0000 0.00 (1.49) (1.49) 0.85 n.a.41 27/09/01 18 -0.033 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.000 19 -0.033 0.0000 0.00 0.01 0.01 0.86 n.a.42 28/09/01 19 -0.033 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.314 20 -0.347 0.0000 0.00 7.43 7.43 8.29 n.a.43 01/10/01 20 -0.347 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.141 21 -0.488 0.0000 0.00 3.41 3.41 11.71 n.a.44 02/10/01 21 -0.488 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.544 22 0.056 0.0000 0.00 (13.47) (13.47) (1.76) n.a.45 03/10/01 22 0.056 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.475 23 0.531 0.0000 0.00 (11.74) (11.74) (13.49) n.a.46 04/10/01 23 0.531 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.621 24 -0.090 0.0000 0.00 15.10 15.10 1.59 n.a.47 05/10/01 24 -0.090 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.537 25 -0.628 0.0000 0.00 12.15 12.15 13.74 n.a.48 08/10/01 25 -0.628 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.159 26 -0.786 0.0000 0.00 3.58 3.58 17.33 n.a.49 09/10/01 26 -0.786 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.337 27 -0.449 0.0000 0.00 (7.71) (7.71) 9.63 n.a.50 10/10/01 27 -0.449 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.109 28 -0.559 0.0000 0.00 2.50 2.50 12.14 n.a.51 11/10/01 28 -0.559 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.934 29 0.375 0.0000 0.00 (22.48) (22.48) (10.33) n.a.52 15/10/01 29 0.375 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.519 30 -1.144 0.0000 0.00 37.81 37.81 27.47 n.a.53 16/10/01 30 -1.144 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.820 31 -0.324 0.0000 0.00 (22.15) (22.15) 5.34 n.a.54 17/10/01 31 -0.324 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.591 32 -0.915 0.0000 0.00 15.84 15.84 21.18 n.a.55 18/10/01 32 -0.915 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.500 33 -1.415 0.0000 0.00 13.25 13.25 34.45 n.a.56 19/10/01 33 -1.415 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.226 34 -0.189 0.0000 0.00 (31.92) (31.92) 2.55 n.a.57 22/10/01 34 -0.189 fechamento -34 0.189 abertura -1 -0.025 -1 -0.025 0.0000 (0.71) 0.82 0.11 2.66 1.8258 23/10/01 -1 -0.025 fechamento 1 0.025 abertura 1 -0.014 1 -0.014 0.0000 (0.87) 0.24 (0.63) 2.03 (0.05)59 24/10/01 1 -0.014 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.042 2 -0.057 0.0000 0.00 1.03 1.03 3.07 n.a.60 25/10/01 2 -0.057 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.026 3 -0.030 0.0000 0.00 (0.85) (0.85) 2.22 n.a.61 26/10/01 3 -0.030 fechamento -3 0.030 abertura -1 -0.033 -1 -0.033 0.0000 (0.34) 1.11 0.77 2.99 0.1062 29/10/01 -1 -0.033 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.062 -2 -0.095 0.0000 0.00 1.97 1.97 4.96 n.a.63 30/10/01 -2 -0.095 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.034 -3 -0.062 0.0000 0.00 (0.76) (0.76) 4.20 n.a.64 31/10/01 -3 -0.062 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.066 -4 0.004 0.0000 0.00 (1.61) (1.61) 2.59 n.a.65 01/11/01 -4 0.004 fechamento 4 -0.004 abertura 1 -0.017 1 -0.017 0.0000 (0.46) 0.32 (0.15) 2.45 0.2466 05/11/01 1 -0.017 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.079 2 -0.096 0.0000 0.00 2.01 2.01 4.46 n.a.67 06/11/01 2 -0.096 fechamento -2 0.096 abertura -1 -0.012 -1 -0.012 0.0000 (2.51) 0.60 (1.91) 2.55 (0.18)68 07/11/01 -1 -0.012 fechamento 1 0.012 abertura 1 -0.028 1 -0.028 0.0000 (0.54) 0.75 0.21 2.76 0.06

Dia (t) DataPortfólio

InicialFluxo de CaixaPortfólio

FinalOperação no Dia

Parte 1 Parte 2

124


Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)69 08/11/01 1 -0.028 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.058 2 0.029 0.0000 0.00 (2.00) (2.00) 0.77 n.a.70 09/11/01 2 0.029 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.070 3 0.100 0.0000 0.00 (2.36) (2.36) (1.59) n.a.71 12/11/01 3 0.100 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 4 0.105 0.0000 0.00 (0.25) (0.25) (1.85) n.a.72 13/11/01 4 0.105 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 5 0.110 0.0000 0.00 (0.26) (0.26) (2.11) n.a.73 14/11/01 5 0.110 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.227 6 0.337 0.0000 0.00 (7.68) (7.68) (9.79) n.a.74 16/11/01 6 0.337 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.173 7 0.164 0.0000 0.00 5.66 5.66 (4.14) n.a.75 19/11/01 7 0.164 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.397 8 0.560 0.0000 0.00 (13.42) (13.42) (17.56) n.a.76 20/11/01 8 0.560 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.429 9 0.131 0.0000 0.00 14.32 14.32 (3.26) n.a.77 21/11/01 9 0.131 fechamento -9 -0.131 abertura -1 -0.028 -1 -0.028 0.0000 5.27 1.03 6.30 3.04 (0.00)78 22/11/01 -1 -0.028 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.014 -2 -0.014 0.0000 0.00 (0.35) (0.35) 2.69 n.a.79 23/11/01 -2 -0.014 fechamento 2 0.014 abertura 1 0.022 1 0.022 0.0000 (0.69) (0.84) (1.53) 1.16 (0.01)80 26/11/01 1 0.022 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.030 2 0.052 0.0000 0.00 (1.08) (1.08) 0.08 n.a.81 27/11/01 2 0.052 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.120 3 0.172 0.0000 0.00 (4.27) (4.27) (4.19) n.a.82 28/11/01 3 0.172 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.324 4 0.496 0.0000 0.00 (11.31) (11.31) (15.50) n.a.83 29/11/01 4 0.496 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.409 5 0.087 0.0000 0.00 13.38 13.38 (2.13) n.a.84 30/11/01 5 0.087 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.511 6 0.597 0.0000 0.00 (16.77) (16.77) (18.90) n.a.85 03/12/01 6 0.597 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.126 7 0.723 0.0000 0.00 (4.30) (4.30) (23.22) n.a.86 04/12/01 7 0.723 fechamento -7 -0.723 abertura -1 -0.058 -1 -0.058 0.0000 25.26 2.11 27.37 4.13 0.0387 05/12/01 -1 -0.058 fechamento 1 0.058 abertura 1 0.049 1 0.049 0.0000 (2.08) (1.78) (3.86) 0.28 0.0388 06/12/01 1 0.049 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.192 2 0.241 0.0000 0.00 (6.63) (6.63) (6.35) n.a.89 07/12/01 2 0.241 fechamento -2 -0.241 abertura -1 -0.053 -1 -0.053 0.0000 8.62 1.95 10.57 4.22 0.2190 10/12/01 -1 -0.053 fechamento 1 0.053 abertura 1 0.089 1 0.089 0.0000 (1.92) (3.17) (5.09) (0.87) 0.0391 11/12/01 1 0.089 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.093 2 0.182 0.0000 0.00 (3.30) (3.30) (4.18) n.a.92 12/12/01 2 0.182 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.009 3 0.190 0.0000 0.00 (0.45) (0.45) (4.63) n.a.93 13/12/01 3 0.190 fechamento -3 -0.190 abertura -1 -0.067 -1 -0.067 0.0000 7.00 2.46 9.46 4.83 0.0794 14/12/01 -1 -0.067 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.025 -2 -0.093 0.0000 0.00 1.02 1.02 5.85 n.a.95 17/12/01 -2 -0.093 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.021 -3 -0.113 0.0000 0.00 0.90 0.90 6.75 n.a.96 18/12/01 -3 -0.113 fechamento 3 0.113 abertura 1 0.065 1 0.065 0.0000 (4.36) (2.36) (6.72) 0.04 0.0397 19/12/01 1 0.065 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.091 2 0.156 0.0000 0.00 (3.27) (3.27) (3.22) n.a.98 20/12/01 2 0.156 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.184 3 0.340 0.0000 0.00 (6.59) (6.59) (9.82) n.a.99 21/12/01 3 0.340 fechamento -3 -0.340 abertura -1 -0.060 -1 -0.060 0.0000 12.02 2.19 14.21 4.38 (0.21)100 26/12/01 -1 -0.060 fechamento 1 0.060 abertura 1 0.058 1 0.058 0.0000 (2.18) (2.09) (4.27) 0.11 0.01101 27/12/01 1 0.058 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.121 2 0.179 0.0000 0.00 (4.32) (4.32) (4.21) n.a.102 28/12/01 2 0.179 fim(*3) -2 -0.179 0 0.000 0.0000 6.61 0.00 6.61 2.39 0.19103 02/01/02104 03/01/02105 04/01/02106 07/01/02107 08/01/02108 09/01/02109 10/01/02110 11/01/02111 14/01/02112 15/01/02113 16/01/02114 17/01/02115 18/01/02116 21/01/02117 22/01/02118 23/01/02119 24/01/02120 28/01/02121 29/01/02122 30/01/02123 31/01/02

(*1) saldo anterior corrigido pela Rf + fluxo do dia 2.3904(*2) lucro obtido com o encerramento da carteira, entre mudanças de status.(*3) fim antecipado da estratégia devido ao rompimento da barreira.

Dia (t) DataPortfólio

InicialFluxo de CaixaPortfólio

FinalOperação no Dia

Parte 1 Parte 2

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t (dias) t/252 a b c Opção Estratégia-1 30/07/01 124 0.4921 18.96% 31.55 37.25% 43.43% 0.0023 -0.1549 3.0121 0.2729 -0.044 0.2362 0.04 barato compra0 31/07/01 123 0.4881 18.96% 31.15 36.35% 45.90% 0.0027 -0.1740 3.1603 0.3401 0.019 0.2224 0.12 barato compra1 01/08/01 122 0.4841 18.97% 31.16 35.61% 44.12% 0.0035 -0.2224 3.8931 0.3141 -0.042 0.2443 0.07 barato compra2 02/08/01 121 0.4802 18.96% 31.50 47.62% 46.37% 0.0038 -0.2674 5.1634 0.2326 -0.011 0.1637 0.07 barato compra3 03/08/01 120 0.4762 18.97% 31.95 34.80% 45.59% 0.0061 -0.4209 7.5501 0.6224 -0.053 0.2418 0.38 barato compra4 06/08/01 119 0.4722 18.98% 32.90 49.14% 44.53% 0.0071 -0.5069 9.3952 0.4022 -0.041 0.1388 0.26 barato compra5 07/08/01 118 0.4683 19.00% 32.83 38.38% 45.88% 0.0014 -0.0863 1.6178 0.4646 -0.098 0.2102 0.25 barato compra6 08/08/01 117 0.4643 19.00% 32.46 40.17% 34.79% -0.0003 0.0132 0.2708 0.3451 -0.022 0.3164 0.03 barato compra7 09/08/01 116 0.4603 19.00% 32.01 39.23% 35.75% -0.0002 0.0096 0.2671 0.3701 -0.062 0.3346 0.04 barato compra8 10/08/01 115 0.4563 18.99% 31.78 35.22% 34.55% 0.0007 -0.0500 1.2473 0.3948 -0.059 0.4020 -0.01 caro vende9 13/08/01 114 0.4524 19.01% 31.55 36.43% 35.48% 0.0007 -0.0506 1.2003 0.6514 -0.045 0.3859 0.27 barato compra10 14/08/01 113 0.4484 19.01% 31.55 34.20% 35.88% -0.0005 0.0411 -0.4303 0.3037 -0.009 0.3958 -0.09 caro vende11 15/08/01 112 0.4444 19.01% 31.20 37.36% 36.35% -0.0004 0.0284 -0.1242 0.3499 -0.056 0.3811 -0.03 caro vende12 16/08/01 111 0.4405 19.02% 30.70 34.49% 36.06% 0.0001 -0.0065 0.3960 0.6570 -0.008 0.4108 0.25 barato compra13 17/08/01 110 0.4365 19.03% 29.75 38.52% 38.20% 0.0003 -0.0198 0.7240 0.3571 0.033 0.3692 -0.01 caro vende14 20/08/01 109 0.4325 19.03% 30.56 38.47% 38.63% 0.0007 -0.0465 1.1939 0.2993 -0.043 0.3542 -0.05 caro vende15 21/08/01 108 0.4286 19.04% 29.85 38.98% 39.30% 0.0006 -0.0436 1.1312 0.5153 -0.036 0.3506 0.16 barato compra16 22/08/01 107 0.4246 19.06% 29.70 38.37% 39.06% 0.0004 -0.0266 0.8345 0.3793 0.098 0.3595 0.02 barato compra17 23/08/01 106 0.4206 19.03% 28.75 39.02% 40.15% -0.0001 0.0125 0.1070 0.3245 -0.017 0.3364 -0.01 caro vende18 24/08/01 105 0.4167 19.04% 29.20 36.35% 39.14% 0.0000 0.0081 0.1269 0.4203 0.052 0.3541 0.07 barato compra19 27/08/01 104 0.4127 19.03% 29.00 39.86% 41.39% 0.0013 -0.0919 1.9686 0.5294 0.007 0.3199 0.21 barato compra20 28/08/01 103 0.4087 19.02% 29.20 38.14% 39.84% 0.0003 -0.0211 0.7148 0.5192 -0.025 0.3522 0.17 barato compra21 29/08/01 102 0.4048 19.00% 29.10 36.95% 40.44% 0.0007 -0.0422 1.0342 0.3566 -0.021 0.3338 0.02 barato compra22 30/08/01 101 0.4008 19.02% 28.49 34.98% 41.86% 0.0008 -0.0445 0.9829 0.3808 0.047 0.2780 0.10 barato compra23 31/08/01 100 0.3968 19.04% 27.80 37.93% 44.88% 0.0010 -0.0605 1.2957 0.3847 -0.047 0.2275 0.16 barato compra24 03/09/01 99 0.3929 19.04% 27.75 36.69% 45.16% 0.0013 -0.0821 1.6295 0.4799 -0.004 0.2128 0.27 barato compra25 04/09/01 98 0.3889 19.02% 27.76 34.34% 41.85% 0.0009 -0.0518 1.1077 0.3926 -0.015 0.2508 0.14 barato compra26 05/09/01 97 0.3849 19.02% 27.40 33.86% 44.27% 0.0013 -0.0779 1.5439 0.3692 0.067 0.1898 0.18 barato compra27 06/09/01 96 0.3810 19.02% 26.60 34.98% 46.75% 0.0010 -0.0568 1.1432 0.3591 0.035 0.1370 0.22 barato compra28 10/09/01 95 0.3770 19.04% 24.95 39.47% 52.51% 0.0012 -0.0655 1.2265 0.2426 0.058 0.0714 0.17 barato compra29 11/09/01 94 0.3730 19.03% 23.10 51.56% 62.60% 0.0019 -0.1090 2.0757 0.1598 0.008 0.0457 0.11 barato compra30 12/09/01 93 0.3690 19.03% 23.60 49.35% 64.48% 0.0008 -0.0373 0.8536 0.1622 0.050 0.0336 0.13 barato compra31 13/09/01 92 0.3651 19.02% 21.73 56.89% 60.53% 0.0009 -0.0392 0.8767 0.0976 0.002 0.0750 0.02 barato compra32 14/09/01 91 0.3611 19.04% 21.60 65.50% 76.88% 0.0019 -0.1090 2.2313 0.1099 -0.001 0.0206 0.09 barato compra33 17/09/01 90 0.3571 19.04% 23.06 54.06% 72.78% 0.0011 -0.0522 1.0874 0.1290 0.063 0.0166 0.11 barato compra34 18/09/01 89 0.3532 19.04% 22.10 57.63% 76.80% 0.0014 -0.0632 1.2046 0.0939 0.009 0.0092 0.08 barato compra35 19/09/01 88 0.3492 19.03% 22.95 60.03% 68.67% 0.0021 -0.1160 2.1842 0.1281 -0.002 0.0498 0.08 barato compra36 20/09/01 87 0.3452 19.03% 23.13 56.50% 76.80% 0.0022 -0.1215 2.1475 0.1471 0.005 0.0139 0.13 barato compra37 21/09/01 86 0.3413 19.05% 24.12 51.56% 71.43% 0.0032 -0.1919 3.4224 0.1837 0.026 0.0241 0.16 barato compra38 24/09/01 85 0.3373 19.04% 23.86 59.31% 77.33% 0.0027 -0.1496 2.5575 0.1527 0.057 0.0240 0.13 barato compra39 25/09/01 84 0.3333 19.06% 22.75 64.42% 70.09% 0.0023 -0.1067 1.7367 0.0787 0.031 0.0603 0.02 barato compra40 26/09/01 83 0.3294 19.08% 22.20 65.99% 77.80% 0.0026 -0.1255 1.9803 0.0797 -0.025 0.0258 0.05 barato compra41 27/09/01 82 0.3254 19.09% 23.70 62.68% 69.43% 0.0045 -0.2424 3.7358 0.1086 0.013 0.0678 0.04 barato compra42 28/09/01 81 0.3214 19.09% 24.21 60.58% 92.21% 0.0023 -0.1137 1.8928 0.1156 0.012 0.0068 0.11 barato compra43 01/10/01 80 0.3175 19.10% 24.76 60.03% 92.78% 0.0034 -0.1909 3.1761 0.1626 0.007 0.0091 0.15 barato compra44 02/10/01 79 0.3135 19.11% 24.71 64.12% 84.09% 0.0047 -0.2575 4.0021 0.1268 0.007 0.0253 0.10 barato compra45 03/10/01 78 0.3095 19.11% 24.30 72.00% 93.80% 0.0087 -0.4884 7.3984 0.1014 0.000 0.0147 0.09 barato compra46 04/10/01 77 0.3056 19.09% 22.69 43.35% 43.76% 0.0012 -0.0654 1.2826 0.1218 0.057 0.1483 -0.03 caro vende47 05/10/01 76 0.3016 19.08% 22.91 43.34% 43.82% 0.0003 -0.0179 0.6779 0.1597 0.051 0.1555 0.00 barato compra48 08/10/01 75 0.2976 19.07% 22.71 41.21% 41.21% -0.0022 0.1139 -1.0738 0.2162 0.106 0.1454 0.07 barato compra49 09/10/01 74 0.2937 19.06% 23.30 45.97% 46.76% 0.0033 -0.1857 3.0075 0.1333 0.042 0.1677 -0.03 caro vende50 10/10/01 73 0.2897 19.04% 23.97 42.08% 40.38% 0.0001 -0.0105 0.6120 0.2322 0.063 0.2406 -0.01 caro vende51 11/10/01 72 0.2857 19.04% 24.93 45.54% 43.15% 0.0003 -0.0242 0.9073 0.3214 0.051 0.3066 0.01 barato compra52 15/10/01 71 0.2817 19.04% 26.90 39.75% 39.09% 0.0011 -0.0746 1.6450 0.4664 0.097 0.4094 0.06 barato compra53 16/10/01 70 0.2778 19.03% 27.00 39.40% 44.26% 0.0023 -0.1512 2.8138 0.5105 0.102 0.2735 0.24 barato compra54 17/10/01 69 0.2738 19.02% 26.70 38.21% 39.64% 0.0015 -0.1015 2.0402 0.4874 0.092 0.3471 0.14 barato compra55 18/10/01 68 0.2698 19.04% 25.95 39.38% 41.38% 0.0007 -0.0467 1.1586 0.3718 0.061 0.2796 0.09 barato compra56 19/10/01 67 0.2659 19.03% 27.10 40.90% 44.79% 0.0012 -0.0780 1.7034 0.4075 0.013 0.2954 0.11 barato compra57 22/10/01 66 0.2619 19.03% 28.01 41.30% 41.38% 0.0008 -0.0635 1.5836 0.6639 0.085 0.4420 0.22 barato compra58 23/10/01 65 0.2579 19.04% 27.76 42.00% 42.25% 0.0027 -0.1760 3.2676 0.4895 0.039 0.4185 0.07 barato compra




DI Over (%a.a.)

126


t (dias) t/252 a b c Opção Estratégia59 24/10/01 64 0.2540 19.04% 27.10 40.75% 43.60% 0.0010 -0.0651 1.4960 0.4113 -0.004 0.3250 0.09 barato compra60 25/10/01 63 0.2500 19.03% 28.10 40.94% 38.82% 0.0027 -0.1757 3.2702 0.4909 0.074 0.5366 -0.05 caro vende61 26/10/01 62 0.2460 19.02% 28.66 40.71% 39.27% 0.0011 -0.0778 1.7939 0.5438 0.093 0.5519 -0.01 caro vende62 29/10/01 61 0.2421 19.04% 28.00 41.62% 37.48% 0.0006 -0.0480 1.3494 0.5540 0.078 0.6023 -0.05 caro vende63 30/10/01 60 0.2381 19.03% 26.91 42.26% 42.59% 0.0005 -0.0359 1.0596 0.4389 0.040 0.3732 0.07 barato compra64 31/10/01 59 0.2341 19.03% 27.21 42.88% 42.16% 0.0010 -0.0715 1.6640 0.5104 0.107 0.4189 0.09 barato compra65 01/11/01 58 0.2302 19.03% 26.86 44.11% 42.16% 0.0014 -0.0982 2.0831 0.5098 0.070 0.4229 0.09 barato compra66 05/11/01 57 0.2262 19.04% 30.70 41.42% 35.01% -0.0013 0.0801 -0.7699 0.5552 -0.037 0.8664 -0.31 caro vende67 06/11/01 56 0.2222 19.04% 31.57 42.26% 40.06% 0.0009 -0.0695 1.6676 0.9419 -0.016 0.6511 0.29 barato compra68 07/11/01 55 0.2183 19.05% 32.81 43.32% 42.15% 0.0029 -0.1992 3.8406 0.5833 -0.011 0.5572 0.03 barato compra69 08/11/01 54 0.2143 19.04% 32.50 49.02% 44.40% 0.0032 -0.2220 4.2153 0.8206 -0.079 0.5084 0.31 barato compra70 09/11/01 53 0.2103 19.05% 32.80 44.39% 46.16% 0.0019 -0.1358 2.8136 0.7286 -0.191 0.4813 0.25 barato compra71 12/11/01 52 0.2063 19.05% 32.85 43.95% 45.08% -0.0001 0.0097 0.2100 0.5389 -0.097 0.5156 0.02 barato compra72 13/11/01 51 0.2024 19.04% 33.49 43.66% 44.18% 0.0003 -0.0218 0.8176 0.5788 -0.015 0.5208 0.06 barato compra73 14/11/01 50 0.1984 19.05% 33.10 45.29% 45.96% 0.0010 -0.0699 1.6904 0.4887 -0.091 0.5040 -0.02 caro vende74 16/11/01 49 0.1944 19.05% 33.65 44.46% 43.99% 0.0006 -0.0450 1.2476 0.6544 0.084 0.5355 0.12 barato compra75 19/11/01 48 0.1905 19.05% 33.60 41.16% 44.42% -0.0002 0.0200 -0.0220 0.5590 -0.204 0.5647 -0.01 caro vende76 20/11/01 47 0.1865 19.05% 32.12 44.55% 46.63% 0.0004 -0.0223 0.7852 0.4888 -0.056 0.5516 -0.06 caro vende77 21/11/01 46 0.1825 19.03% 32.25 46.30% 48.77% 0.0007 -0.0474 1.2963 0.5068 -0.088 0.5100 0.00 caro vende78 22/11/01 45 0.1786 19.05% 32.30 44.44% 48.39% 0.0005 -0.0347 1.0228 0.7208 -0.067 0.5308 0.19 barato compra79 23/11/01 44 0.1746 19.05% 33.50 46.13% 44.53% 0.0035 -0.2538 4.9300 1.1604 -0.110 0.5938 0.57 barato compra80 26/11/01 43 0.1706 19.05% 35.36 41.32% 40.19% 0.0005 -0.0389 1.1000 0.8342 -0.121 0.5786 0.26 barato compra81 27/11/01 42 0.1667 19.05% 34.70 42.51% 42.04% 0.0030 -0.2244 4.5462 0.9322 -0.186 0.6190 0.31 barato compra82 28/11/01 41 0.1627 19.05% 33.01 45.60% 46.46% -0.0001 0.0107 0.1359 0.6861 -0.077 0.6185 0.07 barato compra83 29/11/01 40 0.1587 19.05% 32.55 39.62% 48.30% 0.0017 -0.1117 2.2640 0.7345 -0.028 0.6013 0.13 barato compra84 30/11/01 39 0.1548 19.05% 33.10 45.43% 46.18% 0.0039 -0.2881 5.6732 1.1546 -0.271 0.6571 0.50 barato compra85 03/12/01 38 0.1508 19.06% 33.34 38.00% 44.72% 0.0027 -0.1928 3.8690 0.8107 -0.041 0.7400 0.07 barato compra86 04/12/01 37 0.1468 19.06% 32.95 40.41% 40.47% 0.0010 -0.0739 1.7406 1.0542 0.033 0.9055 0.15 barato compra87 05/12/01 36 0.1429 19.08% 33.70 40.64% 34.84% -0.0004 0.0161 0.2431 1.5261 -0.104 1.1623 0.36 barato compra88 06/12/01 35 0.1389 19.07% 34.69 34.20% 39.11% 0.0009 -0.0560 1.2706 0.7692 -0.139 0.9710 -0.20 caro vende89 07/12/01 34 0.1349 19.07% 34.30 39.30% 38.39% 0.0007 -0.0630 1.6988 1.3159 -0.032 0.9990 0.32 barato compra90 10/12/01 33 0.1310 19.06% 34.49 39.05% 41.40% 0.0004 -0.0311 1.0121 0.8852 -0.073 0.8989 -0.01 caro vende91 11/12/01 32 0.1270 19.06% 34.42 34.77% 40.05% 0.0005 -0.0374 1.0745 1.1104 -0.194 1.0350 0.08 barato compra92 12/12/01 31 0.1230 19.06% 34.65 35.07% 41.12% -0.0007 0.0588 -0.8050 0.9493 -0.169 1.0060 -0.06 caro vende93 13/12/01 30 0.1190 19.04% 34.15 39.83% 41.41% 0.0003 -0.0202 0.7653 0.9456 -0.112 1.0081 -0.06 caro vende94 14/12/01 29 0.1151 19.04% 33.20 42.92% 43.19% 0.0003 -0.0174 0.7085 0.8517 -0.066 0.9917 -0.14 caro vende95 17/12/01 28 0.1111 19.05% 33.45 43.44% 41.65% 0.0005 -0.0379 1.1263 1.1285 0.121 1.0832 0.05 barato compra96 18/12/01 27 0.1071 19.05% 35.45 48.28% 39.42% 0.0008 -0.0712 1.8985 1.1984 -0.247 0.9058 0.29 barato compra97 19/12/01 26 0.1032 19.05% 35.80 50.48% 43.32% 0.0006 -0.0546 1.6201 0.8525 -0.054 0.7222 0.13 barato compra98 20/12/01 25 0.0992 19.05% 34.35 48.74% 47.09% -0.0002 0.0145 0.2492 0.7601 -0.067 0.8945 -0.13 caro vende99 21/12/01 24 0.0952 19.06% 35.65 48.17% 46.44% 0.0001 -0.0101 0.7913 0.7097 -0.136 0.7745 -0.06 caro vende100 26/12/01 23 0.0913 19.03% 35.70 52.90% 48.35% 0.0002 -0.0220 1.0495 0.6647 -0.168 0.7034 -0.04 caro vende101 27/12/01 22 0.0873 19.02% 36.99 50.14% 45.04% 0.0010 -0.0902 2.4118 0.6387 -0.209 0.5428 0.10 barato compra102 28/12/01 21 0.0833 19.02% 36.50 44.16% 44.51% 0.0025 -0.2055 4.6446 0.7223 -0.292 0.8105 -0.09 caro vende103 02/01/02 20 0.0794 19.02% 37.10 53.42% 45.17% 0.0015 -0.1254 3.0898 0.5151 -0.274 0.5356 -0.02 caro vende104 03/01/02 19 0.0754 19.02% 38.06 44.83% 40.80% 0.0001 -0.0080 0.6520 0.4267 -0.430 0.3848 0.04 barato compra105 04/01/02 18 0.0714 19.03% 38.30 40.98% 42.16% -0.0003 0.0173 0.1710 0.3757 -0.620 0.3306 0.05 barato compra106 07/01/02 17 0.0675 19.03% 38.45 43.37% 41.77% 0.0002 -0.0223 0.9828 0.2729 -0.410 0.2603 0.01 barato compra107 08/01/02 16 0.0635 19.02% 37.75 46.12% 41.51% 0.0006 -0.0551 1.6128 0.7500 -0.487 0.5972 0.15 barato compra108 09/01/02 15 0.0595 19.03% 37.01 47.15% 42.35% 0.0005 -0.0405 1.2955 0.8228 -0.320 0.9652 -0.14 caro vende109 10/01/02 14 0.0556 19.03% 35.65 35.50% 39.18% -0.0002 0.0197 -0.0824 2.0385 -0.358 1.9310 0.11 barato compra110 11/01/02 13 0.0516 19.02% 35.55 38.42% 41.31% 0.0005 -0.0365 1.1364 1.4907 -0.273 1.8886 -0.40 caro vende111 14/01/02 12 0.0476 19.02% 34.20 39.35% 42.92% 0.0001 -0.0037 0.4110 2.0346 0.147 1.9220 0.11 barato compra112 15/01/02 11 0.0437 19.02% 33.69 44.02% 44.40% 0.0006 -0.0438 1.2604 1.7902 0.033 1.8430 -0.05 caro vende113 16/01/02 10 0.0397 19.02% 34.10 43.13% 45.98% 0.0001 -0.0046 0.5002 1.9875 0.218 1.9415 0.05 barato compra114 17/01/02 9 0.0357 19.02% 34.81 50.22% 43.93% 0.0008 -0.0636 1.7669 1.8720 -0.129 2.2223 -0.35 caro vende115 18/01/02 8 0.0317 19.02% 34.81 46.53% 43.00% 0.0010 -0.0798 2.0271 2.3833 0.238 2.4389 -0.06 caro vende116 21/01/02 7 0.0278 19.03% 34.20 46.00% 43.14% 0.0021 -0.1628 3.5674 2.4873 0.508 2.4158 0.07 barato compra117 22/01/02 6 0.0238 19.02% 33.55 43.72% 43.34% 0.0025 -0.1942 4.1341 2.2532 0.712 2.1347 0.12 barato compra118 23/01/02 5 0.0198 19.01% 34.50 45.33% 44.93% 0.0008 -0.0589 1.5403 2.7089 0.592 2.7190 -0.01 caro vende119 24/01/02 4 0.0159 19.02% 34.40 48.70% 43.35% 0.0009 -0.0708 1.7682 2.8896 0.828 2.8249 0.06 barato compra120 28/01/02 3 0.0119 19.02% 33.80 46.61% 41.36% 0.0027 -0.2028 4.2483 2.3772 0.861 2.3687 0.01 barato compra121 29/01/02 2 0.0079 19.02% 32.00 41.57% 49.13% 0.0011 -0.0733 1.6107 0.7332 0.676 0.7591 -0.03 caro vende122 30/01/02 1 0.0040 19.02% 31.79 33.19% 48.33% 0.0009 -0.0465 0.9610 0.4593 0.640 0.4166 0.04 barato compra123 31/01/02 0 0.0000 19.03% 31.98 n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a.





DI Over (%a.a.)

127



Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)0 31/07/01 0 0 0 0.000 abertura 1 0.044 1 0.044 0.0000 (1.64) (1.64) (1.64) n.a.1 01/08/01 1 0.044 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.083 2 -0.038 0.0000 0.00 2.35 2.35 0.71 n.a.2 02/08/01 2 -0.038 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.163 3 0.125 0.0000 0.00 (5.32) (5.32) (4.61) n.a.3 03/08/01 3 0.125 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.082 4 0.042 0.0000 0.00 2.43 2.43 (2.18) n.a.4 06/08/01 4 0.042 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.222 5 0.264 0.0000 0.00 (7.33) (7.33) (9.52) n.a.5 07/08/01 5 0.264 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.018 6 0.246 0.0000 0.00 0.45 0.45 (9.07) n.a.6 08/08/01 6 0.246 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.437 7 0.684 0.0000 0.00 (14.56) (14.56) (23.64) n.a.7 09/08/01 7 0.684 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.504 8 0.180 0.0000 0.00 16.04 16.04 (7.62) n.a.8 10/08/01 8 0.180 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.380 9 0.560 0.0000 0.00 (12.50) (12.50) (20.12) n.a.9 13/08/01 9 0.560 fechamento -9 -0.560 abertura -1 -0.059 -1 -0.059 0.0000 21.40 2.29 23.69 3.56 1.2710 14/08/01 -1 -0.059 fechamento 1 0.059 abertura 1 0.045 1 0.045 0.0000 (2.26) (1.79) (4.05) (0.49) 0.0311 15/08/01 1 0.045 fechamento -1 -0.045 abertura -1 -0.009 -1 -0.009 0.0000 1.80 0.67 2.47 1.98 0.0112 16/08/01 -1 -0.009 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.103 -2 -0.111 0.0000 0.00 3.59 3.59 5.57 n.a.13 17/08/01 -2 -0.111 fechamento 2 0.111 abertura 1 0.008 1 0.008 0.0000 (4.24) (0.66) (4.91) 0.66 0.0214 20/08/01 1 0.008 fechamento -1 -0.008 abertura -1 0.033 -1 0.033 0.0000 0.62 (0.62) (0.00) 0.66 (0.05)15 21/08/01 -1 0.033 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.119 -2 -0.085 0.0000 0.00 3.98 3.98 4.64 n.a.16 22/08/01 -2 -0.085 fechamento 2 0.085 abertura 1 0.036 1 0.036 0.0000 (3.25) (1.44) (4.69) (0.05) 0.1117 23/08/01 1 0.036 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.232 2 -0.195 0.0000 0.00 6.52 6.52 6.48 n.a.18 24/08/01 2 -0.195 fechamento -2 0.195 abertura -1 -0.017 -1 -0.017 0.0000 (4.94) 0.83 (4.11) 2.37 0.1519 27/08/01 -1 -0.017 fechamento 1 0.017 abertura 1 -0.052 1 -0.052 0.0000 (0.85) 1.16 0.30 2.67 (0.02)20 28/08/01 1 -0.052 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.038 2 -0.014 0.0000 0.00 (1.41) (1.41) 1.27 n.a.21 29/08/01 2 -0.014 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.089 3 0.074 0.0000 0.00 (2.94) (2.94) (1.67) n.a.22 30/08/01 3 0.074 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.010 4 0.085 0.0000 0.00 (0.64) (0.64) (2.31) n.a.23 31/08/01 4 0.085 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.322 5 -0.237 0.0000 0.00 8.90 8.90 6.59 n.a.24 03/09/01 5 -0.237 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.519 6 0.282 0.0000 0.00 (14.66) (14.66) (8.06) n.a.25 04/09/01 6 0.282 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.254 7 0.028 0.0000 0.00 6.83 6.83 (1.24) n.a.26 05/09/01 7 0.028 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.095 8 0.123 0.0000 0.00 (2.89) (2.89) (4.13) n.a.27 06/09/01 8 0.123 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.724 9 -0.601 0.0000 0.00 19.63 19.63 15.50 n.a.28 10/09/01 9 -0.601 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.249 10 -0.351 0.0000 0.00 (6.76) (6.76) 8.75 n.a.29 11/09/01 10 -0.351 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.286 11 -0.638 0.0000 0.00 7.07 7.07 15.82 n.a.30 12/09/01 11 -0.638 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.546 12 -0.091 0.0000 0.00 (12.66) (12.66) 3.17 n.a.31 13/09/01 12 -0.091 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.564 13 -0.655 0.0000 0.00 13.27 13.27 16.45 n.a.32 14/09/01 13 -0.655 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.632 14 -0.023 0.0000 0.00 (13.80) (13.80) 2.66 n.a.33 17/09/01 14 -0.023 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.040 15 0.016 0.0000 0.00 (0.88) (0.88) 1.78 n.a.34 18/09/01 15 0.016 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.020 16 -1.003 0.0000 0.00 23.50 23.50 25.28 n.a.35 19/09/01 16 -1.003 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.847 17 -0.157 0.0000 0.00 (18.72) (18.72) 6.57 n.a.36 20/09/01 17 -0.157 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.190 18 0.033 0.0000 0.00 (4.41) (4.41) 2.17 n.a.37 21/09/01 18 0.033 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.129 19 -0.096 0.0000 0.00 2.97 2.97 5.14 n.a.38 24/09/01 19 -0.096 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.434 20 -0.530 0.0000 0.00 10.44 10.44 15.59 n.a.39 25/09/01 20 -0.530 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.667 21 -1.197 0.0000 0.00 15.90 15.90 31.50 n.a.40 26/09/01 21 -1.197 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.508 22 -0.689 0.0000 0.00 (11.63) (11.63) 19.90 n.a.41 27/09/01 22 -0.689 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.270 23 0.581 0.0000 0.00 (28.22) (28.22) (8.31) n.a.42 28/09/01 23 0.581 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.891 24 -0.310 0.0000 0.00 21.05 21.05 12.74 n.a.43 01/10/01 24 -0.310 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.002 25 -0.312 0.0000 0.00 0.04 0.04 12.79 n.a.44 02/10/01 25 -0.312 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.127 26 -0.184 0.0000 0.00 (3.16) (3.16) 9.63 n.a.45 03/10/01 26 -0.184 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.003 27 -0.181 0.0000 0.00 (0.10) (0.10) 9.54 n.a.46 04/10/01 27 -0.181 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.180 28 -0.001 0.0000 0.00 (4.39) (4.39) 5.16 n.a.47 05/10/01 28 -0.001 fechamento -28 0.001 abertura -1 0.057 -1 0.057 0.0000 4.13 (1.14) 2.98 8.15 7.7748 08/10/01 -1 0.057 fechamento 1 -0.057 abertura 1 -0.051 1 -0.051 0.0000 1.15 1.02 2.17 10.32 0.0149 09/10/01 1 -0.051 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.161 2 -0.213 0.0000 0.00 3.52 3.52 13.84 n.a.50 10/10/01 2 -0.213 fechamento -2 0.213 abertura -1 0.042 -1 0.042 0.0000 (4.62) (0.81) (5.43) 8.43 (0.06)51 11/10/01 -1 0.042 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.084 -2 0.126 0.0000 0.00 (1.78) (1.78) 6.66 n.a.52 15/10/01 -2 0.126 fechamento 2 -0.126 abertura 1 -0.051 1 -0.051 0.0000 2.53 0.96 3.50 10.16 (0.04)53 16/10/01 1 -0.051 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.143 2 -0.194 0.0000 0.00 3.43 3.43 13.59 n.a.54 17/10/01 2 -0.194 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.113 3 -0.307 0.0000 0.00 2.78 2.78 16.38 n.a.55 18/10/01 3 -0.307 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.060 4 -0.366 0.0000 0.00 1.24 1.24 17.64 n.a.56 19/10/01 4 -0.366 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.060 5 -0.306 0.0000 0.00 (1.84) (1.84) 15.82 n.a.57 22/10/01 5 -0.306 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.228 6 -0.079 0.0000 0.00 (6.47) (6.47) 9.36 n.a.58 23/10/01 6 -0.079 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.518 7 -0.596 0.0000 0.00 14.06 14.06 23.43 n.a.59 24/10/01 7 -0.596 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.285 8 -0.312 0.0000 0.00 (8.33) (8.33) 15.12 n.a.60 25/10/01 8 -0.312 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.347 9 0.035 0.0000 0.00 (9.72) (9.72) 5.42 n.a.61 26/10/01 9 0.035 fechamento -9 -0.035 abertura -1 0.074 -1 0.074 0.0000 5.81 (1.54) 4.27 9.69 2.0462 29/10/01 -1 0.074 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.111 -2 0.185 0.0000 0.00 (2.64) (2.64) 7.06 n.a.63 30/10/01 -2 0.185 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.047 -3 0.233 0.0000 0.00 (0.72) (0.72) 6.35 n.a.64 31/10/01 -3 0.233 fechamento 3 -0.233 abertura 1 -0.040 1 -0.040 0.0000 5.14 0.70 5.83 12.19 0.2565 01/11/01 1 -0.040 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.174 2 -0.214 0.0000 0.00 4.32 4.32 16.51 n.a.66 05/11/01 2 -0.214 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 3 -0.209 0.0000 0.00 (0.57) (0.57) 15.96 n.a.67 06/11/01 3 -0.209 fechamento -3 0.209 abertura -1 -0.037 -1 -0.037 0.0000 (3.80) 2.00 (1.80) 14.17 0.6868 07/11/01 -1 -0.037 fechamento 1 0.037 abertura 1 0.016 1 0.016 0.0000 (1.82) (1.16) (2.98) 11.20 0.19

Portfólio Inicial

Fluxo de CaixaPortfólio Final

Operação no DiaParte 1 Parte 2Dia (t) Data

128


Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)69 08/11/01 1 0.016 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 2 0.021 0.0000 0.00 (0.72) (0.72) 10.49 n.a.70 09/11/01 2 0.021 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.215 3 0.237 0.0000 0.00 (7.51) (7.51) 2.99 n.a.71 12/11/01 3 0.237 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.529 4 0.766 0.0000 0.00 (17.85) (17.85) (14.86) n.a.72 13/11/01 4 0.766 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.281 5 0.485 0.0000 0.00 8.72 8.72 (6.14) n.a.73 14/11/01 5 0.485 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.394 6 0.091 0.0000 0.00 12.67 12.67 6.52 n.a.74 16/11/01 6 0.091 fechamento -6 -0.091 abertura -1 -0.091 -1 -0.091 0.0000 6.03 3.50 9.53 16.06 0.1975 19/11/01 -1 -0.091 fechamento 1 0.091 abertura 1 -0.084 1 -0.084 0.0000 (3.58) 2.30 (1.28) 14.79 (0.07)76 20/11/01 1 -0.084 fechamento -1 0.084 abertura -1 -0.204 -1 -0.204 0.0000 (2.27) 7.41 5.14 19.94 0.0477 21/11/01 -1 -0.204 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.092 -2 -0.111 0.0000 0.00 (2.41) (2.41) 17.54 n.a.78 22/11/01 -2 -0.111 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.152 -3 -0.264 0.0000 0.00 5.42 5.42 22.97 n.a.79 23/11/01 -3 -0.264 fechamento 3 0.264 abertura 1 0.067 1 0.067 0.0000 (10.10) (2.68) (12.79) 10.20 0.3580 26/11/01 1 0.067 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.154 2 0.220 0.0000 0.00 (5.74) (5.74) 4.47 n.a.81 27/11/01 2 0.220 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.144 3 0.364 0.0000 0.00 (5.67) (5.67) (1.20) n.a.82 28/11/01 3 0.364 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.382 4 0.746 0.0000 0.00 (13.86) (13.86) (15.06) n.a.83 29/11/01 4 0.746 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.362 5 0.384 0.0000 0.00 11.32 11.32 (3.75) n.a.84 30/11/01 5 0.384 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.214 6 0.170 0.0000 0.00 6.38 6.38 2.63 n.a.85 03/12/01 6 0.170 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.727 7 1.896 0.0000 0.00 (57.81) (57.81) (55.18) n.a.86 04/12/01 7 1.896 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.571 8 0.325 0.0000 0.00 51.63 51.63 (3.59) n.a.87 05/12/01 8 0.325 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.626 9 -0.300 0.0000 0.00 19.72 19.72 16.13 n.a.88 06/12/01 9 -0.300 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.338 10 1.038 0.0000 0.00 (46.26) (46.26) (30.11) n.a.89 07/12/01 10 1.038 fechamento -10 -1.038 abertura -1 -0.139 -1 -0.139 0.0000 45.70 5.80 51.50 21.37 2.6890 10/12/01 -1 -0.139 fechamento 1 0.139 abertura 1 0.032 1 0.032 0.0000 (5.77) (2.09) (7.86) 13.52 0.0491 11/12/01 1 0.032 fechamento -1 -0.032 abertura -1 -0.073 -1 -0.073 0.0000 1.99 3.43 5.42 18.95 (0.08)92 12/12/01 -1 -0.073 fechamento 1 0.073 abertura 1 0.194 1 0.194 0.0000 (3.56) (7.71) (11.26) 7.70 (0.12)93 13/12/01 1 0.194 fechamento -1 -0.194 abertura -1 -0.169 -1 -0.169 0.0000 7.72 6.88 14.60 22.31 0.0294 14/12/01 -1 -0.169 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.054 -2 -0.223 0.0000 0.00 2.84 2.84 25.17 n.a.95 17/12/01 -2 -0.223 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.027 -3 -0.197 0.0000 0.00 0.11 0.11 25.30 n.a.96 18/12/01 -3 -0.197 fechamento 3 0.197 abertura 1 -0.121 1 -0.121 0.0000 (9.83) 2.97 (6.86) 18.46 0.0697 19/12/01 1 -0.121 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.616 2 0.494 0.0000 0.00 (22.73) (22.73) (4.25) n.a.98 20/12/01 2 0.494 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.333 3 0.161 0.0000 0.00 11.20 11.20 6.94 n.a.99 21/12/01 3 0.161 fechamento -3 -0.161 abertura -1 -0.067 -1 -0.067 0.0000 8.23 3.18 11.41 18.36 (0.32)100 26/12/01 -1 -0.067 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.206 -2 -0.273 0.0000 0.00 8.12 8.12 26.49 n.a.101 27/12/01 -2 -0.273 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.231 -3 -0.503 0.0000 0.00 8.94 8.94 35.45 n.a.102 28/12/01 -3 -0.503 fechamento 3 0.503 abertura 1 0.209 1 0.209 0.0000 (20.25) (8.26) (28.50) 6.97 0.06103 02/01/02 1 0.209 fechamento -1 -0.209 abertura -1 -0.292 -1 -0.292 0.0000 8.42 11.47 19.89 26.87 0.17104 03/01/02 -1 -0.292 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.255 -2 -0.547 0.0000 0.00 9.99 9.99 36.89 n.a.105 04/01/02 -2 -0.547 fechamento 2 0.547 abertura 1 0.430 1 0.430 0.0000 (21.59) (16.75) (38.34) (1.43) (0.08)106 07/01/02 1 0.430 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.810 2 1.240 0.0000 0.00 (31.34) (31.34) (32.77) n.a.107 08/01/02 2 1.240 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.010 3 1.230 0.0000 0.00 0.11 0.11 (32.69) n.a.108 09/01/02 3 1.230 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.719 4 1.949 0.0000 0.00 (27.73) (27.73) (60.44) n.a.109 10/01/02 4 1.949 fechamento -4 -1.949 abertura -1 -0.320 -1 -0.320 0.0000 75.99 12.82 88.81 28.32 0.18110 11/01/02 -1 -0.320 fechamento 1 0.320 abertura 1 0.358 1 0.358 0.0000 (13.35) (14.68) (28.04) 0.31 (0.51)111 14/01/02 1 0.358 fechamento -1 -0.358 abertura -1 -0.273 -1 -0.273 0.0000 14.61 11.61 26.21 26.52 (0.08)112 15/01/02 -1 -0.273 fechamento 1 0.273 abertura 1 -0.147 1 -0.147 0.0000 (11.27) 3.10 (8.18) 18.37 0.36113 16/01/02 1 -0.147 fechamento -1 0.147 abertura -1 0.033 -1 0.033 0.0000 (3.10) 0.74 (2.36) 16.02 0.01114 17/01/02 -1 0.033 fechamento 1 -0.033 abertura 1 -0.218 1 -0.218 0.0000 (0.82) 5.50 4.67 20.70 (0.07)115 18/01/02 1 -0.218 fechamento -1 0.218 abertura -1 -0.129 -1 -0.129 0.0000 (5.37) 6.72 1.35 22.07 0.14116 21/01/02 -1 -0.129 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.606 -2 0.477 0.0000 0.00 (18.66) (18.66) 3.43 n.a.117 22/01/02 -2 0.477 fechamento 2 -0.477 abertura 1 -0.508 1 -0.508 0.0000 11.48 14.97 26.45 29.88 (0.44)118 23/01/02 1 -0.508 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.916 2 -1.424 0.0000 0.00 28.58 28.58 58.49 n.a.119 24/01/02 2 -1.424 fechamento -2 1.424 abertura -1 0.592 -1 0.592 0.0000 (43.69) (17.69) (61.38) (2.85) (0.07)120 28/01/02 -1 0.592 fechamento 1 -0.592 abertura 1 -0.828 1 -0.828 0.0000 17.52 25.66 43.19 40.33 (0.17)121 29/01/02 1 -0.828 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.893 2 -1.721 0.0000 0.00 27.81 27.81 68.18 n.a.122 30/01/02 2 -1.721 fechamento -2 1.721 abertura -1 0.676 -1 0.676 0.0000 (53.56) (20.87) (74.43) (6.20) 0.00

-1 0.676 fechamento 1 -0.676 abertura 1 -0.640 1 -0.640 0.0000 21.08 19.93 41.00 34.80 0.201 -0.640 fim(*3) -1 0.640 n.a. n.a. n.a. 0 0.000 0.0000 (20.04) 0.00 (20.04) 14.79 (0.08)

(*1) saldo anterior corrigido pela Rf + fluxo do dia 14.7872(*2) lucro obtido com o encerramento da carteira, entre mudanças de status.(*3) fim da estratégia com o exercício da opção e fechamento da posição no ativo.

Portfólio Inicial


Operação no DiaParte 1 Parte 2

123 31/01/02

Dia (t) Data

129






t (dias) t/252 a b c Opção Estratégia-1 30/07/01 124 0.4921 18.96% 31.55 37.25% 50.33% 0.0023 -0.1549 3.0121 0.6629 -0.025 0.4741 0.19 barato compra0 31/07/01 123 0.4881 18.96% 31.15 36.35% 49.37% 0.0027 -0.1740 3.1603 0.7500 -0.034 0.4888 0.26 barato compra1 01/08/01 122 0.4841 18.97% 31.16 35.61% 44.12% 0.0035 -0.2224 3.8931 0.6682 0.003 0.6117 0.06 barato compra2 02/08/01 121 0.4802 18.96% 31.50 47.62% 48.78% 0.0038 -0.2674 5.1634 0.5873 -0.014 0.4486 0.14 barato compra3 03/08/01 120 0.4762 18.97% 31.95 34.80% 48.27% 0.0061 -0.4209 7.5501 1.2577 -0.141 0.5523 0.71 barato compra4 06/08/01 119 0.4722 18.98% 32.90 49.14% 47.44% 0.0071 -0.5069 9.3952 1.0173 -0.037 0.4345 0.58 barato compra5 07/08/01 118 0.4683 19.00% 32.83 38.38% 50.61% 0.0014 -0.0863 1.6178 1.0581 0.024 0.4995 0.56 barato compra6 08/08/01 117 0.4643 19.00% 32.46 40.17% 34.72% -0.0003 0.0132 0.2708 1.0268 0.053 0.9475 0.08 barato compra7 09/08/01 116 0.4603 19.00% 32.01 39.23% 35.45% -0.0002 0.0096 0.2671 1.0305 -0.004 0.9514 0.08 barato compra8 10/08/01 115 0.4563 18.99% 31.78 35.22% 34.96% 0.0007 -0.0500 1.2473 1.0070 -0.034 1.0122 -0.01 caro vende9 13/08/01 114 0.4524 19.01% 31.55 36.43% 34.79% 0.0007 -0.0506 1.2003 1.4853 -0.038 1.0292 0.46 barato compra10 14/08/01 113 0.4484 19.01% 31.55 34.20% 35.29% -0.0005 0.0411 -0.4303 0.7685 -0.040 1.0138 -0.25 caro vende11 15/08/01 112 0.4444 19.01% 31.20 37.36% 36.63% -0.0004 0.0284 -0.1242 0.9049 0.015 0.9481 -0.04 caro vende12 16/08/01 111 0.4405 19.02% 30.70 34.49% 37.00% 0.0001 -0.0065 0.3960 1.3853 0.099 0.9199 0.47 barato compra13 17/08/01 110 0.4365 19.03% 29.75 38.52% 39.27% 0.0003 -0.0198 0.7240 0.8392 -0.066 0.8134 0.03 barato compra14 20/08/01 109 0.4325 19.03% 30.56 38.47% 40.37% 0.0007 -0.0465 1.1939 0.7383 -0.056 0.7913 -0.05 caro vende15 21/08/01 108 0.4286 19.04% 29.85 38.98% 41.44% 0.0006 -0.0436 1.1312 1.1279 0.164 0.7370 0.39 barato compra16 22/08/01 107 0.4246 19.06% 29.70 38.37% 41.32% 0.0004 -0.0266 0.8345 0.8703 -0.009 0.7372 0.13 barato compra17 23/08/01 106 0.4206 19.03% 28.75 39.02% 43.66% -0.0001 0.0125 0.1070 0.7087 0.082 0.6153 0.09 barato compra18 24/08/01 105 0.4167 19.04% 29.20 36.35% 42.66% 0.0000 0.0081 0.1269 0.8633 -0.052 0.6477 0.22 barato compra19 27/08/01 104 0.4127 19.03% 29.00 39.86% 43.42% 0.0013 -0.0919 1.9686 1.0757 0.094 0.6543 0.42 barato compra20 28/08/01 103 0.4087 19.02% 29.20 38.14% 40.61% 0.0003 -0.0211 0.7148 1.0589 0.076 0.7601 0.30 barato compra21 29/08/01 102 0.4048 19.00% 29.10 36.95% 39.30% 0.0007 -0.0422 1.0342 0.7694 0.057 0.7993 -0.03 caro vende22 30/08/01 101 0.4008 19.02% 28.49 34.98% 42.20% 0.0008 -0.0445 0.9829 0.7227 0.053 0.6044 0.12 barato compra23 31/08/01 100 0.3968 19.04% 27.80 37.93% 45.84% 0.0010 -0.0605 1.2957 0.7152 0.043 0.4879 0.23 barato compra24 03/09/01 99 0.3929 19.04% 27.75 36.69% 46.92% 0.0013 -0.0821 1.6295 0.8202 0.154 0.4359 0.38 barato compra25 04/09/01 98 0.3889 19.02% 27.76 34.34% 47.88% 0.0009 -0.0518 1.1077 0.7010 -0.012 0.3765 0.32 barato compra26 05/09/01 97 0.3849 19.02% 27.40 33.86% 50.57% 0.0013 -0.0779 1.5439 0.6614 0.103 0.2882 0.37 barato compra27 06/09/01 96 0.3810 19.02% 26.60 34.98% 49.72% 0.0010 -0.0568 1.1432 0.5933 0.119 0.2640 0.33 barato compra28 10/09/01 95 0.3770 19.04% 24.95 39.47% 52.51% 0.0012 -0.0655 1.2265 0.3550 0.151 0.1905 0.16 barato compra29 11/09/01 94 0.3730 19.03% 23.10 51.56% 62.60% 0.0019 -0.1090 2.0757 0.2892 0.064 0.1363 0.15 barato compra30 12/09/01 93 0.3690 19.03% 23.60 49.35% 67.23% 0.0008 -0.0373 0.8536 0.2744 0.006 0.0880 0.19 barato compra31 13/09/01 92 0.3651 19.02% 21.73 56.89% 60.53% 0.0009 -0.0392 0.8767 0.1619 0.092 0.1824 -0.02 caro vende32 14/09/01 91 0.3611 19.04% 21.60 65.50% 76.88% 0.0019 -0.1090 2.2313 0.2144 0.047 0.0809 0.13 barato compra33 17/09/01 90 0.3571 19.04% 23.06 54.06% 75.88% 0.0011 -0.0522 1.0874 0.2321 0.093 0.0531 0.18 barato compra34 18/09/01 89 0.3532 19.04% 22.10 57.63% 76.80% 0.0014 -0.0632 1.2046 0.1626 0.019 0.0493 0.11 barato compra35 19/09/01 88 0.3492 19.03% 22.95 60.03% 68.67% 0.0021 -0.1160 2.1842 0.2366 -0.038 0.1475 0.09 barato compra36 20/09/01 87 0.3452 19.03% 23.13 56.50% 76.80% 0.0022 -0.1215 2.1475 0.2511 0.032 0.0628 0.19 barato compra37 21/09/01 86 0.3413 19.05% 24.12 51.56% 71.43% 0.0032 -0.1919 3.4224 0.3310 -0.016 0.0893 0.24 barato compra38 24/09/01 85 0.3373 19.04% 23.86 59.31% 77.33% 0.0027 -0.1496 2.5575 0.2628 0.065 0.0905 0.17 barato compra39 25/09/01 84 0.3333 19.06% 22.75 64.42% 70.09% 0.0023 -0.1067 1.7367 0.1452 -0.021 0.1692 -0.02 caro vende40 26/09/01 83 0.3294 19.08% 22.20 65.99% 77.80% 0.0026 -0.1255 1.9803 0.1294 0.057 0.0939 0.04 barato compra41 27/09/01 82 0.3254 19.09% 23.70 62.68% 69.43% 0.0045 -0.2424 3.7358 0.1781 -0.042 0.1889 -0.01 caro vende42 28/09/01 81 0.3214 19.09% 24.21 60.58% 96.69% 0.0023 -0.1137 1.8928 0.2065 0.010 0.0293 0.18 barato compra43 01/10/01 80 0.3175 19.10% 24.76 60.03% 97.65% 0.0034 -0.1909 3.1761 0.2722 0.045 0.0342 0.24 barato compra44 02/10/01 79 0.3135 19.11% 24.71 64.12% 84.09% 0.0047 -0.2575 4.0021 0.2105 0.032 0.0941 0.12 barato compra45 03/10/01 78 0.3095 19.11% 24.30 72.00% 93.80% 0.0087 -0.4884 7.3984 0.1613 -0.004 0.0665 0.09 barato compra46 04/10/01 77 0.3056 19.09% 22.69 43.35% 43.76% 0.0012 -0.0654 1.2826 0.1811 0.071 0.2415 -0.06 caro vende47 05/10/01 76 0.3016 19.08% 22.91 43.34% 43.82% 0.0003 -0.0179 0.6779 0.2450 0.099 0.2545 -0.01 caro vende48 08/10/01 75 0.2976 19.07% 22.71 41.21% 41.21% -0.0022 0.1139 -1.0738 0.2168 0.106 0.2206 0.00 caro vende49 09/10/01 74 0.2937 19.06% 23.30 45.97% 46.76% 0.0033 -0.1857 3.0075 0.1886 0.081 0.2921 -0.10 caro vende50 10/10/01 73 0.2897 19.04% 23.97 42.08% 40.38% 0.0001 -0.0105 0.6120 0.3468 0.122 0.3650 -0.02 caro vende51 11/10/01 72 0.2857 19.04% 24.93 45.54% 43.15% 0.0003 -0.0242 0.9073 0.5276 0.103 0.5090 0.02 barato compra52 15/10/01 71 0.2817 19.04% 26.90 39.75% 39.09% 0.0011 -0.0746 1.6450 0.7482 0.181 0.6975 0.05 barato compra53 16/10/01 70 0.2778 19.03% 27.00 39.40% 44.26% 0.0023 -0.1512 2.8138 0.7095 0.173 0.5314 0.18 barato compra54 17/10/01 69 0.2738 19.02% 26.70 38.21% 39.64% 0.0015 -0.1015 2.0402 0.6731 0.116 0.5927 0.08 barato compra55 18/10/01 68 0.2698 19.04% 25.95 39.38% 41.38% 0.0007 -0.0467 1.1586 0.5509 0.110 0.4779 0.07 barato compra56 19/10/01 67 0.2659 19.03% 27.10 40.90% 44.79% 0.0012 -0.0780 1.7034 0.7134 0.141 0.5668 0.15 barato compra57 22/10/01 66 0.2619 19.03% 28.01 41.30% 41.38% 0.0008 -0.0635 1.5836 1.0748 0.169 0.8125 0.26 barato compra58 23/10/01 65 0.2579 19.04% 27.76 42.00% 42.25% 0.0027 -0.1760 3.2676 0.7964 0.175 0.7667 0.03 barato compra




DI Over (%a.a.)

130


t (dias) t/252 a b c Opção Estratégia59 24/10/01 64 0.2540 19.04% 27.10 40.75% 43.60% 0.0010 -0.0651 1.4960 0.7144 0.106 0.5957 0.12 barato compra60 25/10/01 63 0.2500 19.03% 28.10 40.94% 38.82% 0.0027 -0.1757 3.2702 0.8135 0.119 0.9175 -0.10 caro vende61 26/10/01 62 0.2460 19.02% 28.66 40.71% 39.27% 0.0011 -0.0778 1.7939 0.9947 0.070 0.9809 0.01 barato compra62 29/10/01 61 0.2421 19.04% 28.00 41.62% 37.48% 0.0006 -0.0480 1.3494 0.9908 0.243 0.9740 0.02 barato compra63 30/10/01 60 0.2381 19.03% 26.91 42.26% 42.59% 0.0005 -0.0359 1.0596 0.7136 0.139 0.6365 0.08 barato compra64 31/10/01 59 0.2341 19.03% 27.21 42.88% 42.16% 0.0010 -0.0715 1.6640 0.7987 0.113 0.7101 0.09 barato compra65 01/11/01 58 0.2302 19.03% 26.86 44.11% 42.16% 0.0014 -0.0982 2.0831 0.7213 0.187 0.6931 0.03 barato compra66 05/11/01 57 0.2262 19.04% 30.70 41.42% 35.01% -0.0013 0.0801 -0.7699 1.3205 0.152 1.5936 -0.27 caro vende67 06/11/01 56 0.2222 19.04% 31.57 42.26% 40.06% 0.0009 -0.0695 1.6676 1.7930 0.150 1.3958 0.40 barato compra68 07/11/01 55 0.2183 19.05% 32.81 43.32% 43.09% 0.0029 -0.1992 3.8406 1.3049 -0.061 1.3085 0.00 caro vende69 08/11/01 54 0.2143 19.04% 32.50 49.02% 47.84% 0.0032 -0.2220 4.2153 1.6202 0.091 1.1024 0.52 barato compra70 09/11/01 53 0.2103 19.05% 32.80 44.39% 50.03% 0.0019 -0.1358 2.8136 1.6345 0.147 1.0266 0.61 barato compra71 12/11/01 52 0.2063 19.05% 32.85 43.95% 46.77% -0.0001 0.0097 0.2100 1.3061 0.031 1.1823 0.12 barato compra72 13/11/01 51 0.2024 19.04% 33.49 43.66% 46.03% 0.0003 -0.0218 0.8176 1.4722 0.027 1.2479 0.22 barato compra73 14/11/01 50 0.1984 19.05% 33.10 45.29% 48.57% 0.0010 -0.0699 1.6904 1.2303 0.151 1.1468 0.08 barato compra74 16/11/01 49 0.1944 19.05% 33.65 44.46% 46.07% 0.0006 -0.0450 1.2476 1.6524 0.082 1.2882 0.36 barato compra75 19/11/01 48 0.1905 19.05% 33.60 41.16% 45.96% -0.0002 0.0200 -0.0220 1.3864 0.037 1.3259 0.06 barato compra76 20/11/01 47 0.1865 19.05% 32.12 44.55% 48.09% 0.0004 -0.0223 0.7852 1.1205 0.122 1.1781 -0.06 caro vende77 21/11/01 46 0.1825 19.03% 32.25 46.30% 50.49% 0.0007 -0.0474 1.2963 1.1896 0.066 1.1114 0.08 barato compra78 22/11/01 45 0.1786 19.05% 32.30 44.44% 48.45% 0.0005 -0.0347 1.0228 1.5344 0.052 1.2093 0.33 barato compra79 23/11/01 44 0.1746 19.05% 33.50 46.13% 46.79% 0.0035 -0.2538 4.9300 2.2790 0.129 1.3712 0.91 barato compra80 26/11/01 43 0.1706 19.05% 35.36 41.32% 42.18% 0.0005 -0.0389 1.1000 2.2986 -0.073 1.6319 0.67 barato compra81 27/11/01 42 0.1667 19.05% 34.70 42.51% 44.66% 0.0030 -0.2244 4.5462 2.3314 0.149 1.5486 0.78 barato compra82 28/11/01 41 0.1627 19.05% 33.01 45.60% 49.41% -0.0001 0.0107 0.1359 1.5144 0.049 1.3020 0.21 barato compra83 29/11/01 40 0.1587 19.05% 32.55 39.62% 56.90% 0.0017 -0.1117 2.2640 1.4644 0.005 0.9782 0.49 barato compra84 30/11/01 39 0.1548 19.05% 33.10 45.43% 50.43% 0.0039 -0.2881 5.6732 2.2693 0.127 1.3086 0.96 barato compra85 03/12/01 38 0.1508 19.06% 33.34 38.00% 47.52% 0.0027 -0.1928 3.8690 1.7820 -0.038 1.4702 0.31 barato compra86 04/12/01 37 0.1468 19.06% 32.95 40.41% 40.47% 0.0010 -0.0739 1.7406 2.0592 0.227 1.8486 0.21 barato compra87 05/12/01 36 0.1429 19.08% 33.70 40.64% 34.84% -0.0004 0.0161 0.2431 2.9264 0.488 2.4055 0.52 barato compra88 06/12/01 35 0.1389 19.07% 34.69 34.20% 40.34% 0.0009 -0.0560 1.2706 1.8575 -0.098 2.1376 -0.28 caro vende89 07/12/01 34 0.1349 19.07% 34.30 39.30% 37.04% 0.0007 -0.0630 1.6988 2.8884 0.369 2.3626 0.53 barato compra90 10/12/01 33 0.1310 19.06% 34.49 39.05% 40.85% 0.0004 -0.0311 1.0121 2.1702 -0.040 2.1374 0.03 barato compra91 11/12/01 32 0.1270 19.06% 34.42 34.77% 40.44% 0.0005 -0.0374 1.0745 2.4495 0.072 2.2106 0.24 barato compra92 12/12/01 31 0.1230 19.06% 34.65 35.07% 41.53% -0.0007 0.0588 -0.8050 2.1674 -0.026 2.2116 -0.04 caro vende93 13/12/01 30 0.1190 19.04% 34.15 39.83% 42.14% 0.0003 -0.0202 0.7653 2.1026 0.181 2.1362 -0.03 caro vende94 14/12/01 29 0.1151 19.04% 33.20 42.92% 45.21% 0.0003 -0.0174 0.7085 1.7659 0.195 1.8531 -0.09 caro vende95 17/12/01 28 0.1111 19.05% 33.45 43.44% 41.86% 0.0005 -0.0379 1.1263 2.2142 0.145 2.1357 0.08 barato compra96 18/12/01 27 0.1071 19.05% 35.45 48.28% 37.58% 0.0008 -0.0712 1.8985 3.1039 0.287 2.6973 0.41 barato compra97 19/12/01 26 0.1032 19.05% 35.80 50.48% 39.88% 0.0006 -0.0546 1.6201 2.5621 -0.003 2.5157 0.05 barato compra98 20/12/01 25 0.0992 19.05% 34.35 48.74% 44.93% -0.0002 0.0145 0.2492 1.8765 0.020 2.2306 -0.35 caro vende99 21/12/01 24 0.0952 19.06% 35.65 48.17% 44.50% 0.0001 -0.0101 0.7913 2.1364 -0.050 2.3416 -0.21 caro vende100 26/12/01 23 0.0913 19.03% 35.70 52.90% 44.24% 0.0002 -0.0220 1.0495 2.0563 -0.157 2.3950 -0.34 caro vende101 27/12/01 22 0.0873 19.02% 36.99 50.14% 42.93% 0.0010 -0.0902 2.4118 2.6212 -0.114 2.3854 0.24 barato compra102 28/12/01 21 0.0833 19.02% 36.50 44.16% 42.47% 0.0025 -0.2055 4.6446 2.6447 -0.368 2.7172 -0.07 caro vende103 02/01/02 20 0.0794 19.02% 37.10 53.42% 43.49% 0.0015 -0.1254 3.0898 2.2338 -0.357 2.4575 -0.22 caro vende104 03/01/02 19 0.0754 19.02% 38.06 44.83% 40.07% 0.0001 -0.0080 0.6520 2.6472 -0.405 2.6741 -0.03 caro vende105 04/01/02 18 0.0714 19.03% 38.30 40.98% 38.87% -0.0003 0.0173 0.1710 2.9527 -0.777 2.8891 0.06 barato compra106 07/01/02 17 0.0675 19.03% 38.45 43.37% 38.48% 0.0002 -0.0223 0.9828 2.6900 -0.551 2.9054 -0.22 caro vende107 08/01/02 16 0.0635 19.02% 37.75 46.12% 39.74% 0.0006 -0.0551 1.6128 3.5904 -0.489 3.2013 0.39 barato compra108 09/01/02 15 0.0595 19.03% 37.01 47.15% 40.40% 0.0005 -0.0405 1.2955 2.8907 -0.319 3.4766 -0.59 caro vende109 10/01/02 14 0.0556 19.03% 35.65 35.50% 39.76% -0.0002 0.0197 -0.0824 3.7517 0.458 3.6177 0.13 barato compra110 11/01/02 13 0.0516 19.02% 35.55 38.42% 40.92% 0.0005 -0.0365 1.1364 3.1913 0.158 3.5826 -0.39 caro vende111 14/01/02 12 0.0476 19.02% 34.20 39.35% 44.74% 0.0001 -0.0037 0.4110 2.8782 0.632 2.7813 0.10 barato compra112 15/01/02 11 0.0437 19.02% 33.69 44.02% 45.07% 0.0006 -0.0438 1.2604 2.5429 0.486 2.5399 0.00 barato compra113 16/01/02 10 0.0397 19.02% 34.10 43.13% 45.62% 0.0001 -0.0046 0.5002 2.7954 0.656 2.7859 0.01 barato compra114 17/01/02 9 0.0357 19.02% 34.81 50.22% 44.34% 0.0008 -0.0636 1.7669 3.1792 0.573 3.3718 -0.19 caro vende115 18/01/02 8 0.0317 19.02% 34.81 46.53% 44.31% 0.0010 -0.0798 2.0271 3.3919 0.659 3.3799 0.01 barato compra116 21/01/02 7 0.0278 19.03% 34.20 46.00% 44.93% 0.0021 -0.1628 3.5674 2.9676 0.699 2.9104 0.06 barato compra117 22/01/02 6 0.0238 19.02% 33.55 43.72% 46.45% 0.0025 -0.1942 4.1341 2.3613 0.812 2.3137 0.05 barato compra118 23/01/02 5 0.0198 19.01% 34.50 45.33% 47.32% 0.0008 -0.0589 1.5403 3.1186 0.896 3.1020 0.02 barato compra119 24/01/02 4 0.0159 19.02% 34.40 48.70% 45.02% 0.0009 -0.0708 1.7682 2.9708 0.957 3.0046 -0.03 caro vende120 28/01/02 3 0.0119 19.02% 33.80 46.61% 45.02% 0.0027 -0.2028 4.2483 2.4017 0.897 2.3821 0.02 barato compra121 29/01/02 2 0.0079 19.02% 32.00 41.57% 54.20% 0.0011 -0.0733 1.6107 0.7332 0.676 0.7592 -0.03 caro vende122 30/01/02 1 0.0040 19.02% 31.79 33.19% 53.27% 0.0009 -0.0465 0.9610 0.4593 0.640 0.4166 0.04 barato compra123 31/01/02 0 0.0000 19.03% 31.98 n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a. n.a.





DI Over (%a.a.)

131



Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)0 31/07/01 0 0 0 0.000 abertura 1 0.025 1 0.025 0.0000 (1.27) (1.27) (1.27) n.a.1 01/08/01 1 0.025 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.044 2 0.069 0.0000 0.00 (1.85) (1.85) (3.12) n.a.2 02/08/01 2 0.069 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.078 3 -0.009 0.0000 0.00 1.83 1.83 (1.30) n.a.3 03/08/01 3 -0.009 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.067 4 0.057 0.0000 0.00 (2.55) (2.55) (3.85) n.a.4 06/08/01 4 0.057 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.650 5 0.707 0.0000 0.00 (21.32) (21.32) (25.17) n.a.5 07/08/01 5 0.707 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.484 6 0.223 0.0000 0.00 15.50 15.50 (9.70) n.a.6 08/08/01 6 0.223 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.389 7 -0.166 0.0000 0.00 12.27 12.27 2.57 n.a.7 09/08/01 7 -0.166 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.256 8 -0.422 0.0000 0.00 7.37 7.37 9.94 n.a.8 10/08/01 8 -0.422 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.458 9 0.036 0.0000 0.00 (15.61) (15.61) (5.66) n.a.9 13/08/01 9 0.036 fechamento -9 -0.036 abertura -1 -0.034 -1 -0.034 0.0000 10.25 2.09 12.34 6.67 4.5910 14/08/01 -1 -0.034 fechamento 1 0.034 abertura 1 0.038 1 0.038 0.0000 (2.10) (2.24) (4.34) 2.34 (0.00)11 15/08/01 1 0.038 fechamento -1 -0.038 abertura -1 -0.040 -1 -0.040 0.0000 2.22 2.26 4.49 6.83 (0.01)12 16/08/01 -1 -0.040 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.070 -2 0.031 0.0000 0.00 (1.24) (1.24) 5.59 n.a.13 17/08/01 -2 0.031 fechamento 2 -0.031 abertura 1 -0.099 1 -0.099 0.0000 (0.90) 2.11 1.21 6.81 0.1314 20/08/01 1 -0.099 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.230 2 0.132 0.0000 0.00 (7.66) (7.66) (0.85) n.a.15 21/08/01 2 0.132 fechamento -2 -0.132 abertura -1 -0.056 -1 -0.056 0.0000 5.60 2.50 8.10 7.25 0.0516 22/08/01 -1 -0.056 fechamento 1 0.056 abertura 1 -0.164 1 -0.164 0.0000 (2.41) 4.14 1.74 9.00 0.1017 23/08/01 1 -0.164 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.181 2 0.018 0.0000 0.00 (6.13) (6.13) 2.88 n.a.18 24/08/01 2 0.018 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.263 3 -0.246 0.0000 0.00 6.96 6.96 9.84 n.a.19 27/08/01 3 -0.246 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.455 4 0.210 0.0000 0.00 (13.94) (13.94) (4.09) n.a.20 28/08/01 4 0.210 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.680 5 -0.470 0.0000 0.00 19.07 19.07 14.97 n.a.21 29/08/01 5 -0.470 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.017 6 -0.454 0.0000 0.00 (1.24) (1.24) 13.74 n.a.22 30/08/01 6 -0.454 fechamento -6 0.454 abertura -1 0.057 -1 0.057 0.0000 (8.41) (0.86) (9.27) 4.48 0.4923 31/08/01 -1 0.057 fechamento 1 -0.057 abertura 1 -0.053 1 -0.053 0.0000 1.02 0.91 1.93 6.41 0.1624 03/09/01 1 -0.053 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.032 2 -0.086 0.0000 0.00 0.41 0.41 6.83 n.a.25 04/09/01 2 -0.086 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.375 3 -0.461 0.0000 0.00 9.97 9.97 16.81 n.a.26 05/09/01 3 -0.461 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.510 4 0.049 0.0000 0.00 (14.53) (14.53) 2.29 n.a.27 06/09/01 4 0.049 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.563 5 -0.514 0.0000 0.00 15.15 15.15 17.44 n.a.28 10/09/01 5 -0.514 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.199 6 -0.713 0.0000 0.00 5.03 5.03 22.49 n.a.29 11/09/01 6 -0.713 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.342 7 -1.055 0.0000 0.00 8.34 8.34 30.84 n.a.30 12/09/01 7 -1.055 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.542 8 -0.513 0.0000 0.00 (12.66) (12.66) 18.20 n.a.31 13/09/01 8 -0.513 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.462 9 -0.051 0.0000 0.00 (10.99) (10.99) 7.23 n.a.32 14/09/01 9 -0.051 fechamento -9 0.051 abertura -1 0.092 -1 0.092 0.0000 0.53 (1.83) (1.30) 5.94 2.2733 17/09/01 -1 0.092 fechamento 1 -0.092 abertura 1 -0.047 1 -0.047 0.0000 1.92 0.93 2.85 8.79 0.0934 18/09/01 1 -0.047 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.139 2 -0.186 0.0000 0.00 3.16 3.16 11.96 n.a.35 19/09/01 2 -0.186 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.130 3 -0.056 0.0000 0.00 (2.93) (2.93) 9.04 n.a.36 20/09/01 3 -0.056 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.209 4 0.153 0.0000 0.00 (4.94) (4.94) 4.11 n.a.37 21/09/01 4 0.153 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.313 5 -0.160 0.0000 0.00 7.17 7.17 11.28 n.a.38 24/09/01 5 -0.160 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.258 6 0.098 0.0000 0.00 (6.31) (6.31) 4.98 n.a.39 25/09/01 6 0.098 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.556 7 -0.458 0.0000 0.00 13.18 13.18 18.16 n.a.40 26/09/01 7 -0.458 fechamento -7 0.458 abertura -1 -0.021 -1 -0.021 0.0000 (9.24) 0.64 (8.59) 9.58 1.0841 27/09/01 -1 -0.021 fechamento 1 0.021 abertura 1 -0.057 1 -0.057 0.0000 (0.56) 1.17 0.62 10.20 0.0942 28/09/01 1 -0.057 fechamento -1 0.057 abertura -1 -0.042 -1 -0.042 0.0000 (1.16) 1.18 0.01 10.22 0.0243 01/10/01 -1 -0.042 fechamento 1 0.042 abertura 1 -0.010 1 -0.010 0.0000 (1.04) 0.21 (0.83) 9.41 0.1544 02/10/01 1 -0.010 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.080 2 -0.090 0.0000 0.00 1.96 1.96 11.37 n.a.45 03/10/01 2 -0.090 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.007 3 -0.097 0.0000 0.00 0.07 0.07 11.45 n.a.46 04/10/01 3 -0.097 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.112 4 0.015 0.0000 0.00 (2.78) (2.78) 8.68 n.a.47 05/10/01 4 0.015 fechamento -4 -0.015 abertura -1 0.071 -1 0.071 0.0000 1.30 (1.37) (0.07) 8.62 0.7948 08/10/01 -1 0.071 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.126 -2 0.197 0.0000 0.00 (2.64) (2.64) 5.98 n.a.49 09/10/01 -2 0.197 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.121 -3 0.319 0.0000 0.00 (2.54) (2.54) 3.45 n.a.50 10/10/01 -3 0.319 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.005 -4 0.324 0.0000 0.00 0.17 0.17 3.62 n.a.51 11/10/01 -4 0.324 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.285 -5 0.609 0.0000 0.00 (6.46) (6.46) (2.84) n.a.52 15/10/01 -5 0.609 fechamento 5 -0.609 abertura 1 -0.103 1 -0.103 0.0000 12.63 2.05 14.68 11.84 (0.19)53 16/10/01 1 -0.103 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.260 2 -0.363 0.0000 0.00 6.30 6.30 18.15 n.a.54 17/10/01 2 -0.363 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.155 3 -0.518 0.0000 0.00 3.65 3.65 21.81 n.a.55 18/10/01 3 -0.518 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.054 4 -0.464 0.0000 0.00 (2.03) (2.03) 19.80 n.a.56 19/10/01 4 -0.464 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.089 5 -0.552 0.0000 0.00 1.82 1.82 21.64 n.a.57 22/10/01 5 -0.552 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.291 6 -0.843 0.0000 0.00 7.32 7.32 28.97 n.a.58 23/10/01 6 -0.843 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.337 7 -1.181 0.0000 0.00 8.63 8.63 37.63 n.a.59 24/10/01 7 -1.181 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.219 8 -1.400 0.0000 0.00 5.33 5.33 42.98 n.a.60 25/10/01 8 -1.400 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.449 9 -0.951 0.0000 0.00 (12.78) (12.78) 30.24 n.a.61 26/10/01 9 -0.951 fechamento -9 0.951 abertura -1 0.119 -1 0.119 0.0000 (18.45) (2.41) (20.87) 9.39 2.0162 29/10/01 -1 0.119 fechamento 1 -0.119 abertura 1 -0.070 1 -0.070 0.0000 2.42 1.01 3.43 12.83 0.0163 30/10/01 1 -0.070 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.416 2 -0.485 0.0000 0.00 10.67 10.67 23.51 n.a.64 31/10/01 2 -0.485 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.069 3 -0.417 0.0000 0.00 (2.48) (2.48) 21.04 n.a.65 01/11/01 3 -0.417 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.037 4 -0.454 0.0000 0.00 0.30 0.30 21.36 n.a.66 05/11/01 4 -0.454 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.480 5 -0.934 0.0000 0.00 12.20 12.20 33.57 n.a.67 06/11/01 5 -0.934 fechamento -5 0.934 abertura -1 0.152 -1 0.152 0.0000 (20.70) (3.06) (23.76) 9.83 1.0868 07/11/01 -1 0.152 fechamento 1 -0.152 abertura 1 -0.150 1 -0.150 0.0000 3.39 3.34 6.73 16.57 0.34

Portfólio Inicial


Operação no DiaParte 1 Parte 2Dia (t) Data

132


Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)69 08/11/01 1 -0.150 fechamento -1 0.150 abertura -1 -0.061 -1 -0.061 0.0000 (3.61) 3.30 (0.31) 16.27 (0.26)70 09/11/01 -1 -0.061 fechamento 1 0.061 abertura 1 -0.091 1 -0.091 0.0000 (3.07) 1.86 (1.21) 15.07 0.2471 12/11/01 1 -0.091 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.204 2 -0.295 0.0000 0.00 5.66 5.66 20.74 n.a.72 13/11/01 2 -0.295 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.201 3 -0.094 0.0000 0.00 (7.77) (7.77) 12.99 n.a.73 14/11/01 3 -0.094 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.012 4 -0.107 0.0000 0.00 (0.83) (0.83) 12.16 n.a.74 16/11/01 4 -0.107 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.646 5 -0.753 0.0000 0.00 20.24 20.24 32.41 n.a.75 19/11/01 5 -0.753 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.262 6 -0.491 0.0000 0.00 (10.10) (10.10) 22.34 n.a.76 20/11/01 6 -0.491 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.234 7 -0.257 0.0000 0.00 (9.20) (9.20) 13.15 n.a.77 21/11/01 7 -0.257 fechamento -7 0.257 abertura -1 0.122 -1 0.122 0.0000 (0.00) (2.76) (2.76) 10.41 (0.05)78 22/11/01 -1 0.122 fechamento 1 -0.122 abertura 1 -0.066 1 -0.066 0.0000 2.84 1.03 3.87 14.29 0.0979 23/11/01 1 -0.066 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.037 2 -0.104 0.0000 0.00 (0.01) (0.01) 14.28 n.a.80 26/11/01 2 -0.104 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.285 3 -0.388 0.0000 0.00 8.16 8.16 22.46 n.a.81 27/11/01 3 -0.388 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.681 4 0.293 0.0000 0.00 (25.72) (25.72) (3.24) n.a.82 28/11/01 4 0.293 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.037 5 -0.744 0.0000 0.00 34.42 34.42 31.18 n.a.83 29/11/01 5 -0.744 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.452 6 -0.291 0.0000 0.00 (16.23) (16.23) 14.97 n.a.84 30/11/01 6 -0.291 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.257 7 -0.035 0.0000 0.00 (9.33) (9.33) 5.65 n.a.85 03/12/01 7 -0.035 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.980 8 -1.015 0.0000 0.00 31.13 31.13 36.79 n.a.86 04/12/01 8 -1.015 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.359 9 0.344 0.0000 0.00 (46.78) (46.78) (9.96) n.a.87 05/12/01 9 0.344 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -2.615 10 -2.271 0.0000 0.00 84.31 84.31 74.35 n.a.88 06/12/01 10 -2.271 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -3.095 11 -5.366 0.0000 0.00 101.89 101.89 176.30 n.a.89 07/12/01 11 -5.366 fechamento -11 5.366 abertura -1 -0.098 -1 -0.098 0.0000 (162.63) 5.54 (157.09) 19.34 0.5590 10/12/01 -1 -0.098 fechamento 1 0.098 abertura 1 -0.369 1 -0.369 0.0000 (5.73) 10.28 4.56 23.91 (0.17)91 11/12/01 1 -0.369 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.449 2 0.081 0.0000 0.00 (17.63) (17.63) 6.30 n.a.92 12/12/01 2 0.081 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.296 3 -0.216 0.0000 0.00 7.99 7.99 14.29 n.a.93 13/12/01 3 -0.216 fechamento -3 0.216 abertura -1 -0.026 -1 -0.026 0.0000 (0.84) 3.11 2.27 16.57 (0.17)94 14/12/01 -1 -0.026 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.387 -2 0.362 0.0000 0.00 (11.09) (11.09) 5.49 n.a.95 17/12/01 -2 0.362 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.224 -3 0.586 0.0000 0.00 (5.59) (5.59) (0.09) n.a.96 18/12/01 -3 0.586 fechamento 3 -0.586 abertura 1 -0.145 1 -0.145 0.0000 13.18 2.71 15.89 15.80 (0.37)97 19/12/01 1 -0.145 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.429 2 -0.574 0.0000 0.00 12.52 12.52 28.34 n.a.98 20/12/01 2 -0.574 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.583 3 0.008 0.0000 0.00 (23.37) (23.37) 4.99 n.a.99 21/12/01 3 0.008 fechamento -3 -0.008 abertura -1 0.020 -1 0.020 0.0000 6.98 1.56 8.53 13.52 (1.12)100 26/12/01 -1 0.020 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.119 -2 -0.099 0.0000 0.00 6.58 6.58 20.12 n.a.101 27/12/01 -2 -0.099 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.373 -3 -0.472 0.0000 0.00 15.70 15.70 35.83 n.a.102 28/12/01 -3 -0.472 fechamento 3 0.472 abertura 1 0.114 1 0.114 0.0000 (24.62) (6.61) (31.23) 4.63 (0.72)103 02/01/02 1 0.114 fechamento -1 -0.114 abertura -1 -0.368 -1 -0.368 0.0000 6.89 16.14 23.03 27.66 0.28104 03/01/02 -1 -0.368 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.347 -2 -0.715 0.0000 0.00 15.34 15.34 43.02 n.a.105 04/01/02 -2 -0.715 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.500 -3 -1.215 0.0000 0.00 21.71 21.71 64.76 n.a.106 07/01/02 -3 -1.215 fechamento 3 1.215 abertura 1 0.777 1 0.777 0.0000 (55.20) (32.65) (87.85) (23.04) (1.91)107 08/01/02 1 0.777 fechamento -1 -0.777 abertura -1 -0.551 -1 -0.551 0.0000 32.78 24.11 56.89 33.83 0.12108 09/01/02 -1 -0.551 fechamento 1 0.551 abertura 1 0.489 1 0.489 0.0000 (24.02) (21.66) (45.67) (11.82) 0.12109 10/01/02 1 0.489 fechamento -1 -0.489 abertura -1 -0.319 -1 -0.319 0.0000 21.57 15.30 36.87 25.04 (0.10)110 11/01/02 -1 -0.319 fechamento 1 0.319 abertura 1 -0.458 1 -0.458 0.0000 (15.01) 12.72 (2.28) 22.78 0.31111 14/01/02 1 -0.458 fechamento -1 0.458 abertura -1 0.158 -1 0.158 0.0000 (12.71) (2.04) (14.75) 8.04 0.03112 15/01/02 -1 0.158 fechamento 1 -0.158 abertura 1 -0.632 1 -0.632 0.0000 2.63 18.82 21.45 29.50 0.59113 16/01/02 1 -0.632 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.340 2 -0.972 0.0000 0.00 8.93 8.93 38.44 n.a.114 17/01/02 2 -0.972 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.997 3 -1.969 0.0000 0.00 31.23 31.23 69.70 n.a.115 18/01/02 3 -1.969 fechamento -3 1.969 abertura -1 0.573 -1 0.573 0.0000 (58.44) (16.57) (75.01) (5.26) 0.64116 21/01/02 -1 0.573 fechamento 1 -0.573 abertura 1 -0.659 1 -0.659 0.0000 16.57 19.57 36.14 30.87 (0.01)117 22/01/02 1 -0.659 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.739 2 -1.398 0.0000 0.00 22.37 22.37 53.26 n.a.118 23/01/02 2 -1.398 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.036 3 -2.435 0.0000 0.00 32.45 32.45 85.76 n.a.119 24/01/02 3 -2.435 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.149 4 -3.584 0.0000 0.00 36.55 36.55 122.37 n.a.120 28/01/02 4 -3.584 fechamento -4 3.584 abertura -1 0.957 -1 0.957 0.0000 (111.27) (29.93) (141.21) (18.74) (0.11)121 29/01/02 -1 0.957 fechamento 1 -0.957 abertura 1 -0.897 1 -0.897 0.0000 29.98 27.95 57.93 39.17 0.03122 30/01/02 1 -0.897 fechamento -1 0.897 abertura -1 0.676 -1 0.676 0.0000 (27.95) (20.87) (48.83) (9.63) 0.02



Portfólio Inicial


Operação no DiaParte 1 Parte 2

123 31/01/02

Dia (t) Data

133

ANEXO 6Estratégia Parcial para Opção com Barreira Igual a 36




Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)0 07/11/01 0 0.000 fechamento 0 0.000 abertura 1 -0.028 1 -0.028 0.0000 0.00 0.75 0.75 0.75 n.a.1 08/11/01 1 -0.028 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.058 2 0.029 0.0000 0.00 (2.00) (2.00) (1.25) n.a.2 09/11/01 2 0.029 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.070 3 0.100 0.0000 0.00 (2.36) (2.36) (3.61) n.a.3 12/11/01 3 0.100 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 4 0.105 0.0000 0.00 (0.25) (0.25) (3.87) n.a.4 13/11/01 4 0.105 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 5 0.110 0.0000 0.00 (0.26) (0.26) (4.13) n.a.5 14/11/01 5 0.110 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.227 6 0.337 0.0000 0.00 (7.68) (7.68) (11.81) n.a.6 16/11/01 6 0.337 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.173 7 0.164 0.0000 0.00 5.66 5.66 (6.16) n.a.7 19/11/01 7 0.164 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.397 8 0.560 0.0000 0.00 (13.42) (13.42) (19.58) n.a.8 20/11/01 8 0.560 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.429 9 0.131 0.0000 0.00 14.32 14.32 (5.28) n.a.9 21/11/01 9 0.131 fechamento -9 -0.131 abertura -1 -0.028 -1 -0.028 0.0000 5.27 1.03 6.30 1.01 (0.02)10 22/11/01 -1 -0.028 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.014 -2 -0.014 0.0000 0.00 (0.35) (0.35) 0.66 n.a.11 23/11/01 -2 -0.014 fechamento 2 0.014 abertura 1 0.022 1 0.022 0.0000 (0.69) (0.84) (1.53) (0.87) (0.02)12 26/11/01 1 0.022 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.030 2 0.052 0.0000 0.00 (1.08) (1.08) (1.95) n.a.13 27/11/01 2 0.052 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.120 3 0.172 0.0000 0.00 (4.27) (4.27) (6.23) n.a.14 28/11/01 3 0.172 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.324 4 0.496 0.0000 0.00 (11.31) (11.31) (17.54) n.a.15 29/11/01 4 0.496 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.409 5 0.087 0.0000 0.00 13.38 13.38 (4.17) n.a.16 30/11/01 5 0.087 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.511 6 0.597 0.0000 0.00 (16.77) (16.77) (20.94) n.a.17 03/12/01 6 0.597 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.126 7 0.723 0.0000 0.00 (4.30) (4.30) (25.26) n.a.18 04/12/01 7 0.723 fechamento -7 -0.723 abertura -1 -0.058 -1 -0.058 0.0000 25.26 2.11 27.37 2.09 0.0219 05/12/01 -1 -0.058 fechamento 1 0.058 abertura 1 0.049 1 0.049 0.0000 (2.08) (1.78) (3.86) (1.76) 0.0320 06/12/01 1 0.049 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.192 2 0.241 0.0000 0.00 (6.63) (6.63) (8.39) n.a.21 07/12/01 2 0.241 fechamento -2 -0.241 abertura -1 -0.053 -1 -0.053 0.0000 8.62 1.95 10.57 2.17 0.2022 10/12/01 -1 -0.053 fechamento 1 0.053 abertura 1 0.089 1 0.089 0.0000 (1.92) (3.17) (5.09) (2.92) 0.0323 11/12/01 1 0.089 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.093 2 0.182 0.0000 0.00 (3.30) (3.30) (6.22) n.a.24 12/12/01 2 0.182 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.009 3 0.190 0.0000 0.00 (0.45) (0.45) (6.68) n.a.25 13/12/01 3 0.190 fechamento -3 -0.190 abertura -1 -0.067 -1 -0.067 0.0000 7.00 2.46 9.46 2.78 0.0626 14/12/01 -1 -0.067 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.025 -2 -0.093 0.0000 0.00 1.02 1.02 3.80 n.a.27 17/12/01 -2 -0.093 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.021 -3 -0.113 0.0000 0.00 0.90 0.90 4.70 n.a.28 18/12/01 -3 -0.113 fechamento 3 0.113 abertura 1 0.065 1 0.065 0.0000 (4.36) (2.36) (6.72) (2.01) 0.0329 19/12/01 1 0.065 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.091 2 0.156 0.0000 0.00 (3.27) (3.27) (5.28) n.a.30 20/12/01 2 0.156 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.184 3 0.340 0.0000 0.00 (6.59) (6.59) (11.88) n.a.31 21/12/01 3 0.340 fechamento -3 -0.340 abertura -1 -0.060 -1 -0.060 0.0000 12.02 2.19 14.21 2.32 (0.22)32 26/12/01 -1 -0.060 fechamento 1 0.060 abertura 1 0.058 1 0.058 0.0000 (2.18) (2.09) (4.27) (1.95) 0.0133 27/12/01 1 0.058 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.121 2 0.179 0.0000 0.00 (4.32) (4.32) (6.28) n.a.34 28/12/01 2 0.179 fim(*3) -2 -0.179 0 0.000 0.0000 6.61 0.00 6.61 0.32 0.1835 02/01/0236 03/01/0237 04/01/0238 07/01/0239 08/01/0240 09/01/0241 10/01/0242 11/01/0243 14/01/0244 15/01/0245 16/01/0246 17/01/0247 18/01/0248 21/01/0249 22/01/0250 23/01/0251 24/01/0252 28/01/0253 29/01/0254 30/01/0255 31/01/02

(*1) saldo anterior corrigido pela Rf + fluxo do dia 0.3249(*2) lucro obtido com o encerramento da carteira, entre mudanças de status.(*3) fim antecipado da estratégia devido ao rompimento da barreira.

Portfólio Final

Fluxo de CaixaParte 1 Parte 2Dia (t) Data

Portfólio Inicial

Operação no Dia

134





Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)0 07/11/01 0 0.000 fechamento 0 0.000 abertura 1 0.016 1 0.016 0.0000 0.00 (1.16) (1.16) (1.16) n.a.1 08/11/01 1 0.016 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.005 2 0.021 0.0000 0.00 (0.72) (0.72) (1.88) n.a.2 09/11/01 2 0.021 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.215 3 0.237 0.0000 0.00 (7.51) (7.51) (9.39) n.a.3 12/11/01 3 0.237 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.529 4 0.766 0.0000 0.00 (17.85) (17.85) (27.25) n.a.4 13/11/01 4 0.766 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.281 5 0.485 0.0000 0.00 8.72 8.72 (18.54) n.a.5 14/11/01 5 0.485 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.394 6 0.091 0.0000 0.00 12.67 12.67 (5.89) n.a.6 16/11/01 6 0.091 fechamento -6 -0.091 abertura -1 -0.091 -1 -0.091 0.0000 6.03 3.50 9.53 3.64 0.147 19/11/01 -1 -0.091 fechamento 1 0.091 abertura 1 -0.084 1 -0.084 0.0000 (3.58) 2.30 (1.28) 2.36 (0.08)8 20/11/01 1 -0.084 fechamento -1 0.084 abertura -1 -0.204 -1 -0.204 0.0000 (2.27) 7.41 5.14 7.50 0.049 21/11/01 -1 -0.204 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.092 -2 -0.111 0.0000 0.00 (2.41) (2.41) 5.09 n.a.10 22/11/01 -2 -0.111 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.152 -3 -0.264 0.0000 0.00 5.42 5.42 10.52 n.a.11 23/11/01 -3 -0.264 fechamento 3 0.264 abertura 1 0.067 1 0.067 0.0000 (10.10) (2.68) (12.79) (2.26) 0.3212 26/11/01 1 0.067 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.154 2 0.220 0.0000 0.00 (5.74) (5.74) (8.00) n.a.13 27/11/01 2 0.220 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.144 3 0.364 0.0000 0.00 (5.67) (5.67) (13.68) n.a.14 28/11/01 3 0.364 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.382 4 0.746 0.0000 0.00 (13.86) (13.86) (27.55) n.a.15 29/11/01 4 0.746 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.362 5 0.384 0.0000 0.00 11.32 11.32 (16.25) n.a.16 30/11/01 5 0.384 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.214 6 0.170 0.0000 0.00 6.38 6.38 (9.88) n.a.17 03/12/01 6 0.170 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.727 7 1.896 0.0000 0.00 (57.81) (57.81) (67.70) n.a.18 04/12/01 7 1.896 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.571 8 0.325 0.0000 0.00 51.63 51.63 (16.12) n.a.19 05/12/01 8 0.325 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.626 9 -0.300 0.0000 0.00 19.72 19.72 3.59 n.a.20 06/12/01 9 -0.300 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.338 10 1.038 0.0000 0.00 (46.26) (46.26) (42.66) n.a.21 07/12/01 10 1.038 fechamento -10 -1.038 abertura -1 -0.139 -1 -0.139 0.0000 45.70 5.80 51.50 8.81 2.5922 10/12/01 -1 -0.139 fechamento 1 0.139 abertura 1 0.032 1 0.032 0.0000 (5.77) (2.09) (7.86) 0.95 0.0323 11/12/01 1 0.032 fechamento -1 -0.032 abertura -1 -0.073 -1 -0.073 0.0000 1.99 3.43 5.42 6.37 (0.09)24 12/12/01 -1 -0.073 fechamento 1 0.073 abertura 1 0.194 1 0.194 0.0000 (3.56) (7.71) (11.26) (4.88) (0.13)25 13/12/01 1 0.194 fechamento -1 -0.194 abertura -1 -0.169 -1 -0.169 0.0000 7.72 6.88 14.60 9.71 0.0126 14/12/01 -1 -0.169 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.054 -2 -0.223 0.0000 0.00 2.84 2.84 12.56 n.a.27 17/12/01 -2 -0.223 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.027 -3 -0.197 0.0000 0.00 0.11 0.11 12.68 n.a.28 18/12/01 -3 -0.197 fechamento 3 0.197 abertura 1 -0.121 1 -0.121 0.0000 (9.83) 2.97 (6.86) 5.83 0.0329 19/12/01 1 -0.121 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.616 2 0.494 0.0000 0.00 (22.73) (22.73) (16.89) n.a.30 20/12/01 2 0.494 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.333 3 0.161 0.0000 0.00 11.20 11.20 (5.71) n.a.31 21/12/01 3 0.161 fechamento -3 -0.161 abertura -1 -0.067 -1 -0.067 0.0000 8.23 3.18 11.41 5.70 (0.34)32 26/12/01 -1 -0.067 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.206 -2 -0.273 0.0000 0.00 8.12 8.12 13.82 n.a.33 27/12/01 -2 -0.273 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.231 -3 -0.503 0.0000 0.00 8.94 8.94 22.77 n.a.34 28/12/01 -3 -0.503 fechamento 3 0.503 abertura 1 0.209 1 0.209 0.0000 (20.25) (8.26) (28.50) (5.71) 0.0335 02/01/02 1 0.209 fechamento -1 -0.209 abertura -1 -0.292 -1 -0.292 0.0000 8.42 11.47 19.89 14.18 0.1636 03/01/02 -1 -0.292 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.255 -2 -0.547 0.0000 0.00 9.99 9.99 24.18 n.a.37 04/01/02 -2 -0.547 fechamento 2 0.547 abertura 1 0.430 1 0.430 0.0000 (21.59) (16.75) (38.34) (14.14) (0.09)38 07/01/02 1 0.430 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.810 2 1.240 0.0000 0.00 (31.34) (31.34) (45.49) n.a.39 08/01/02 2 1.240 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.010 3 1.230 0.0000 0.00 0.11 0.11 (45.42) n.a.40 09/01/02 3 1.230 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.719 4 1.949 0.0000 0.00 (27.73) (27.73) (73.18) n.a.41 10/01/02 4 1.949 fechamento -4 -1.949 abertura -1 -0.320 -1 -0.320 0.0000 75.99 12.82 88.81 15.57 0.1442 11/01/02 -1 -0.320 fechamento 1 0.320 abertura 1 0.358 1 0.358 0.0000 (13.35) (14.68) (28.04) (12.45) (0.52)43 14/01/02 1 0.358 fechamento -1 -0.358 abertura -1 -0.273 -1 -0.273 0.0000 14.61 11.61 26.21 13.75 (0.09)44 15/01/02 -1 -0.273 fechamento 1 0.273 abertura 1 -0.147 1 -0.147 0.0000 (11.27) 3.10 (8.18) 5.59 0.3545 16/01/02 1 -0.147 fechamento -1 0.147 abertura -1 0.033 -1 0.033 0.0000 (3.10) 0.74 (2.36) 3.23 0.0046 17/01/02 -1 0.033 fechamento 1 -0.033 abertura 1 -0.218 1 -0.218 0.0000 (0.82) 5.50 4.67 7.90 (0.08)47 18/01/02 1 -0.218 fechamento -1 0.218 abertura -1 -0.129 -1 -0.129 0.0000 (5.37) 6.72 1.35 9.26 0.1348 21/01/02 -1 -0.129 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.606 -2 0.477 0.0000 0.00 (18.66) (18.66) (9.39) n.a.49 22/01/02 -2 0.477 fechamento 2 -0.477 abertura 1 -0.508 1 -0.508 0.0000 11.48 14.97 26.45 17.05 (0.46)50 23/01/02 1 -0.508 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.916 2 -1.424 0.0000 0.00 28.58 28.58 45.65 n.a.51 24/01/02 2 -1.424 fechamento -2 1.424 abertura -1 0.592 -1 0.592 0.0000 (43.69) (17.69) (61.38) (15.70) (0.09)52 28/01/02 -1 0.592 fechamento 1 -0.592 abertura 1 -0.828 1 -0.828 0.0000 17.52 25.66 43.19 27.48 (0.18)53 29/01/02 1 -0.828 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.893 2 -1.721 0.0000 0.00 27.81 27.81 55.31 n.a.54 30/01/02 2 -1.721 fechamento -2 1.721 abertura -1 0.676 -1 0.676 0.0000 (53.56) (20.87) (74.43) (19.08) (0.02)



Parte 1 Parte 2Dia (t) DataPortfólio

InicialOperação no Dia

55 31/01/02

Portfólio Final

Fluxo de Caixa

135





Nc Ns descrição C S descrição C S Nc Ns Potfólio (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)0 07/11/01 0 0.000 fechamento 0 0.000 abertura 1 -0.150 1 -0.150 0.0000 0.00 3.34 3.34 3.34 n.a.1 08/11/01 1 -0.150 fechamento -1 0.150 abertura -1 -0.061 -1 -0.061 0.0000 (3.61) 3.30 (0.31) 3.03 (0.27)2 09/11/01 -1 -0.061 fechamento 1 0.061 abertura 1 -0.091 1 -0.091 0.0000 (3.07) 1.86 (1.21) 1.82 0.233 12/11/01 1 -0.091 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.204 2 -0.295 0.0000 0.00 5.66 5.66 7.48 n.a.4 13/11/01 2 -0.295 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.201 3 -0.094 0.0000 0.00 (7.77) (7.77) (0.29) n.a.5 14/11/01 3 -0.094 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.012 4 -0.107 0.0000 0.00 (0.83) (0.83) (1.12) n.a.6 16/11/01 4 -0.107 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.646 5 -0.753 0.0000 0.00 20.24 20.24 19.12 n.a.7 19/11/01 5 -0.753 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.262 6 -0.491 0.0000 0.00 (10.10) (10.10) 9.03 n.a.8 20/11/01 6 -0.491 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.234 7 -0.257 0.0000 0.00 (9.20) (9.20) (0.16) n.a.9 21/11/01 7 -0.257 fechamento -7 0.257 abertura -1 0.122 -1 0.122 0.0000 (0.00) (2.76) (2.76) (2.92) (0.12)10 22/11/01 -1 0.122 fechamento 1 -0.122 abertura 1 -0.066 1 -0.066 0.0000 2.84 1.03 3.87 0.95 0.0811 23/11/01 1 -0.066 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.037 2 -0.104 0.0000 0.00 (0.01) (0.01) 0.94 n.a.12 26/11/01 2 -0.104 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.285 3 -0.388 0.0000 0.00 8.16 8.16 9.11 n.a.13 27/11/01 3 -0.388 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.681 4 0.293 0.0000 0.00 (25.72) (25.72) (16.60) n.a.14 28/11/01 4 0.293 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.037 5 -0.744 0.0000 0.00 34.42 34.42 17.81 n.a.15 29/11/01 5 -0.744 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.452 6 -0.291 0.0000 0.00 (16.23) (16.23) 1.59 n.a.16 30/11/01 6 -0.291 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.257 7 -0.035 0.0000 0.00 (9.33) (9.33) (7.74) n.a.17 03/12/01 7 -0.035 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.980 8 -1.015 0.0000 0.00 31.13 31.13 23.39 n.a.18 04/12/01 8 -1.015 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 1.359 9 0.344 0.0000 0.00 (46.78) (46.78) (23.37) n.a.19 05/12/01 9 0.344 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -2.615 10 -2.271 0.0000 0.00 84.31 84.31 60.92 n.a.20 06/12/01 10 -2.271 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -3.095 11 -5.366 0.0000 0.00 101.89 101.89 162.86 n.a.21 07/12/01 11 -5.366 fechamento -11 5.366 abertura -1 -0.098 -1 -0.098 0.0000 (162.63) 5.54 (157.09) 5.90 0.4422 10/12/01 -1 -0.098 fechamento 1 0.098 abertura 1 -0.369 1 -0.369 0.0000 (5.73) 10.28 4.56 10.46 (0.18)23 11/12/01 1 -0.369 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.449 2 0.081 0.0000 0.00 (17.63) (17.63) (7.17) n.a.24 12/12/01 2 0.081 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.296 3 -0.216 0.0000 0.00 7.99 7.99 0.82 n.a.25 13/12/01 3 -0.216 fechamento -3 0.216 abertura -1 -0.026 -1 -0.026 0.0000 (0.84) 3.11 2.27 3.08 (0.20)26 14/12/01 -1 -0.026 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.387 -2 0.362 0.0000 0.00 (11.09) (11.09) (8.01) n.a.27 17/12/01 -2 0.362 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 0.224 -3 0.586 0.0000 0.00 (5.59) (5.59) (13.60) n.a.28 18/12/01 -3 0.586 fechamento 3 -0.586 abertura 1 -0.145 1 -0.145 0.0000 13.18 2.71 15.89 2.28 (0.40)29 19/12/01 1 -0.145 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.429 2 -0.574 0.0000 0.00 12.52 12.52 14.81 n.a.30 20/12/01 2 -0.574 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 0.583 3 0.008 0.0000 0.00 (23.37) (23.37) (8.55) n.a.31 21/12/01 3 0.008 fechamento -3 -0.008 abertura -1 0.020 -1 0.020 0.0000 6.98 1.56 8.53 (0.02) (1.15)32 26/12/01 -1 0.020 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.119 -2 -0.099 0.0000 0.00 6.58 6.58 6.56 n.a.33 27/12/01 -2 -0.099 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.373 -3 -0.472 0.0000 0.00 15.70 15.70 22.26 n.a.34 28/12/01 -3 -0.472 fechamento 3 0.472 abertura 1 0.114 1 0.114 0.0000 (24.62) (6.61) (31.23) (8.95) (0.76)35 02/01/02 1 0.114 fechamento -1 -0.114 abertura -1 -0.368 -1 -0.368 0.0000 6.89 16.14 23.03 14.07 0.2736 03/01/02 -1 -0.368 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.347 -2 -0.715 0.0000 0.00 15.34 15.34 29.42 n.a.37 04/01/02 -2 -0.715 reavaliação 0 0.000 reajuste -1 -0.500 -3 -1.215 0.0000 0.00 21.71 21.71 51.15 n.a.38 07/01/02 -3 -1.215 fechamento 3 1.215 abertura 1 0.777 1 0.777 0.0000 (55.20) (32.65) (87.85) (36.66) (1.95)39 08/01/02 1 0.777 fechamento -1 -0.777 abertura -1 -0.551 -1 -0.551 0.0000 32.78 24.11 56.89 20.20 0.1140 09/01/02 -1 -0.551 fechamento 1 0.551 abertura 1 0.489 1 0.489 0.0000 (24.02) (21.66) (45.67) (25.46) 0.1141 10/01/02 1 0.489 fechamento -1 -0.489 abertura -1 -0.319 -1 -0.319 0.0000 21.57 15.30 36.87 11.39 (0.11)42 11/01/02 -1 -0.319 fechamento 1 0.319 abertura 1 -0.458 1 -0.458 0.0000 (15.01) 12.72 (2.28) 9.12 0.3043 14/01/02 1 -0.458 fechamento -1 0.458 abertura -1 0.158 -1 0.158 0.0000 (12.71) (2.04) (14.75) (5.63) 0.0244 15/01/02 -1 0.158 fechamento 1 -0.158 abertura 1 -0.632 1 -0.632 0.0000 2.63 18.82 21.45 15.81 0.5845 16/01/02 1 -0.632 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.340 2 -0.972 0.0000 0.00 8.93 8.93 24.75 n.a.46 17/01/02 2 -0.972 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.997 3 -1.969 0.0000 0.00 31.23 31.23 56.00 n.a.47 18/01/02 3 -1.969 fechamento -3 1.969 abertura -1 0.573 -1 0.573 0.0000 (58.44) (16.57) (75.01) (18.97) 0.6148 21/01/02 -1 0.573 fechamento 1 -0.573 abertura 1 -0.659 1 -0.659 0.0000 16.57 19.57 36.14 17.15 (0.02)49 22/01/02 1 -0.659 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -0.739 2 -1.398 0.0000 0.00 22.37 22.37 39.53 n.a.50 23/01/02 2 -1.398 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.036 3 -2.435 0.0000 0.00 32.45 32.45 72.01 n.a.51 24/01/02 3 -2.435 reavaliação 0 0.000 reajuste 1 -1.149 4 -3.584 0.0000 0.00 36.55 36.55 108.62 n.a.52 28/01/02 4 -3.584 fechamento -4 3.584 abertura -1 0.957 -1 0.957 0.0000 (111.27) (29.93) (141.21) (32.51) (0.15)53 29/01/02 -1 0.957 fechamento 1 -0.957 abertura 1 -0.897 1 -0.897 0.0000 29.98 27.95 57.93 25.40 0.0254 30/01/02 1 -0.897 fechamento -1 0.897 abertura -1 0.676 -1 0.676 0.0000 (27.95) (20.87) (48.83) (23.41) 0.01

-1 0.676 fechamento 1 -0.676 abertura 1 -0.640 1 -0.640 0.0000 21.08 19.93 41.00 17.57 0.181 -0.640 fim(*3) -1 0.640 n.a. n.a. n.a. 0 0.000 0.0000 (20.04) 0.00 (20.04) (2.45) (0.09)

(*1) saldo anterior corrigido pela Rf + fluxo do dia (2.4493)(*2) lucro obtido com o encerramento da carteira, entre mudanças de status.(*3) fim da estratégia com o exercício da opção e fechamento da posição no ativo.

55 31/01/02

Portfólio Final

Fluxo de CaixaParte 1 Parte 2Dia (t) Data

Portfólio Inicial

Operação no Dia

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