AVALIAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO … - Renan... · 2020. 5. 27. · Avaliação da produtividade de poços de petróleo através da simulação numérica de procedimentos

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO

LUCAS CRUZ SILVA

RENAN DA VENDA ACOSTA

AVALIAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO ATRAVÉS

DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE PROCEDIMENTOS DE CANHONEIO

Niterói, RJ

2016

LUCAS CRUZ SILVA

RENAN DA VENDA ACOSTA

AVALIAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO ATRAVÉS

DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE PROCEDIMENTOS DE CANHONEIO

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado ao Curso de Engenharia

de Petróleo da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial

para a obtenção do grau de Bacharel

em Engenharia de Petróleo.

Orientador:

Profa. Juliana Souza Baioco

Niterói, RJ

2016

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

S586 Silva, Lucas Cruz

Avaliação da produtividade de poços de petróleo através da

simulação numérica de procedimentos de canhoneio / Lucas Cruz

Silva, Renan da Venda Acosta. – Niterói, RJ : [s.n.], 2016.

148 f.

Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia

Química e de Petróleo – Universidade Federal Fluminense, 2016.

Orientador: Juliana Souza Baioco.

1. Poço de petróleo. 2. Canhoneio. 3. Método dos volumes finitos.

4. Equação da difusividade hidráulica. I. Acosta, Renan da Venda.

II. Título.

CDD 622.3381

AGRADECIMENTOS DA DUPLA

À UFF que propiciou um ambiente de conhecimentos e desafios que contribuíram

para a nossa evolução.

À nossa orientadora Juliana Baioco pelo apoio no desenvolvimento deste trabalho

de conclusão de curso dada desde o início, quando ainda não sabíamos ao certo sobre o que

apresentar.

Ao aluno de mestrado da UFRJ Ronnymaxwell Santana pela grande ajuda na etapa

de execução do software usado neste trabalho e pronto atendimento seja por e-mail ou em

algumas das visitas ao laboratório do SAGE, na UFRJ.

Por fim, aos amigos da UFF: Luão, 01, Ruth Bruno, Nativa, Batata, Fraga, Gabriel

(Madureira), Renatinho, Tonhão (Borracha), Jéssica, Luiza, Thiago Velho e JP.

AGRADECIMENTOS DO LUCAS

Primeiramente agradeço aos meus pais, Socorro e Valdemir, que sempre me

apoiaram nos meus estudos e sempre buscaram a melhor forma de contribuir para meu

crescimento. Além de me guiar e me dar conselhos que levarei para o resto da minha vida.

Às minhas irmãs que me inspiraram e me ajudaram nessa conquista, sempre com

incentivos aos estudos.

À equipe da Raízen, pessoas muito dedicadas e companheiras, que são

comprometidas com o trabalho, exercendo-o com extrema qualidade, além de terem contribuído

para o meu crescimento e início nessa caminhada profissional.

Aos meus amigos de infância, de Goiânia, da faculdade, de Liverpool, do TETO,

da China, do mandarim que me acompanharam ao longo da minha vida, e que de alguma forma,

contribuíram para meu crescimento, tanto profissional, quanto em momentos de lazer.

Finalmente, ao Renão (vulgo esponjinha), que contribuiu junto comigo para a

realização desse trabalho de conclusão de curso, e por ser um grande amigo que me

acompanhou desde o começo da faculdade.

AGRADECIMENTOS DO RENAN

Agradeço a Deus, por todos os desafios superados e conquistas alcançadas ao longo

destes anos, no meio pessoal, acadêmico e profissional.

À pessoa mais importante na minha vida, minha mãe, Elaine, por incondicional

apoio, carinho, amizade e esforços realizados. Ao meu pai, Luiz Fernando, pelos conselhos,

exemplos e preocupação para que eu me torne um profissional tão bom quanto ele é e acima de

tudo uma pessoa querida por todos.

Ao meu irmão, Victor, por ser para mim uma referência de responsabilidade e

caráter.

À minha namorada e amiga, Julia, por fundamental apoio e compreensão nas

diversas noites de estudo e no período de intercâmbio para a Hungria e por seu amor e carinho

nesses mais de 6 anos que estamos juntos e por muitos que ainda virão.

Aos meus avós, tios, padrasto, primos, mas em especial para meu avô, Souza (in

memoriam), pela sua dedicação, amor e amizade que sempre teve comigo, e que lamento muito

não estar presente para me ver formado como engenheiro de petróleo.

Aos meus amigos da UFF e também os que construí ao longo da vida pelos

momentos de estudo, lazer e amizade. Em especial ao meu amigo e dupla neste TCC, Lucas

(Paraíba), por sua grande amizade desde os tempos de estudo de Orgânica I ou Cálculo I em

sua casa mas também pela enorme contribuição para que este trabalho desse certo.

Ao Botafogo de Futebol e Regatas, por me proporcionar momentos de felicidade e

de sofrimento. “Botafogo, meu destino, sua estrela e seu brilho, me chamaram me atraíram, não

escolho, fui escolhido”.

Por fim, à companhia Parnaíba Gás Natural, por acreditar no meu potencial e em

especial ao time de reservatórios, equipe de enorme conhecimento técnico e que sempre me

ajudou muito durante período de estágio, não só em esclarecimento de dúvidas para realização

deste projeto de conclusão de curso, mas também passando conhecimento que considero de

grande importância na minha formação acadêmica.

"Que os vossos esforços desafiem as

impossibilidades, lembrai-vos de que as

grandes coisas do homem foram

conquistadas do que parecia impossível”.

Charles Chaplin

RESUMO

Atualmente, a operação de canhoneio é amplamente conhecida e

executada em poços de petróleo. Esta operação consiste em comunicar a região interna do poço

com o reservatório, a partir de cargas explosivas alocadas dentro de canhões que são descidos

no poço e que formam aberturas na formação, com uma certa geometria de abertura e taxa de

penetração, a depender do tipo de carga usada, tipo de rocha a ser canhoneada, etc.

Sendo assim, este trabalho tem como objetivo principal estudar este processo e

analisar a relação entre tipo de carga explosiva, geometria de abertura e taxa de penetração na

rocha com um dos principais parâmetros da indústria do petróleo, que é a produtividade dos

poços. O modelo matemático envolveu a utilização da Equação da Continuidade, Equação de

Darcy e Equação de Estado, a fim de se obter a Equação da Difusividade Hidráulica, lei que

melhor rege o escoamento de fluidos em meios porosos. O modelo numérico foi usado para se

obter uma solução aproximada, porém coerente com a realidade do sistema poço-reservatório.

Para isso, utilizou-se o Método dos Volumes Finitos e o método IMPES (Implict Pressure

Explict Saturation).

Todo equacionamento numérico-matemático foi realizado no software Wolfram

Mathematica 9, levando-se em consideração alguns parâmetros importantes, como a

determinação do grid de simulação (a fim de se coletar os melhores resultados e ser viável em

tempo computacional), determinação da permeabilidade da zona canhoneada (sendo

considerada muito maior que a permeabilidade usada para o restante do reservatório), critério

de estabilidade, entre outros parâmetros. Com isso, o principal resultado gerado é relativo à

produtividade dos poços para cada cenário estudado, que posteriormente foi analisado e

comparado.

Palavras-chave: Canhoneio, Equação da Difusividade Hidráulica, Método dos

Volumes Finitos, Método IMPES.

ABSTRACT

Nowadays, the perforation operation is widely known and executed in oil well. This

operation consists in communicate the inside region of the well with the reservoir, using

explosive charges allocated inside the gun which are put in the well and penetrate the rock

formation, with a certain open geometry and penetration rate, depending on gun charge type,

rock properties and etc.

So, this paper has as a main objective study this process and analyse the relation

between explosive charges, geometry of the perforation, penetration rate on the rock with one

of the main parameters of the petroleum engineering, which is productivity. The mathematical

model involved the development of the continuous equation, Darcy equation and the state

equation, in order to obtain the hydraulic diffusivity equation, which determines the fluid flow

through porosity environment. The numerical model was used to obtain an approximate result,

but still reliable to reality of a system well-reservoir. For that, were used finite volume method

and the implicit pressure explicit saturation method (IMPES).

All the numeric-mathematical equations was made in Wolfram Mathematica 9,

considering some important parameters, as study of the grid (important to choose a reliable

result but also in a worth time, which would use less computer work time), determination of the

permeability in the perforated zone (been considered higher than the rest of the reservoir), and

other parameters. Thereby, the main output is related to the well productivity for each case

study, which was analysed and compared.

Key-words: Perforation, hydraulic diffusivity equation, finite volume method,

implicit pressure explicit saturation method (IMPES).

LISTA DE SIGLAS

A Área de uma face

AOF Absolut open flow

API Grau API

B Fator Volume Formação

Bo

Fator Volume Formação do óleo

Boi Fator Volume Formação inicial do óleo

Bw

Fator Volume Formação da água

Bwi

Fator Volume Formação inicial da água

Cf Compressibilidade efetiva

co Compressibilidade do óleo

cw

Compressibilidade da água

g Gravidade

k Permeabilidade absoluta

kro

Permeabilidade relativa ao óleo

krw

Permeabilidade relativa à água

m Massa

mα Vazão mássica em direção α

macúmulo Massa de acúmulo

mentrada Massa de entrada

msaída Massa de saída

mfonte Massa fonte

P Pressão

p Pressão interna

Pbolha Pressão de bolha

Pc Pressão capilar

Pcow Pressão capilar óleo-água

Pmolhante Pressão molhante

Pnão molhante Pressão não molhante

Pi Pressão inicial

Po Pressão de óleo

Poi Pressão de óleo inicial

Pw Pressão de água

Pwi Pressão de água inicial

qpoço,STD Vazão de poço por unidade de volume em condições STD

qo,STD Vazão de óleo em condições STD

qw,STD Vazão de água em condições STD

r Raio

S Saturação

Sf Saturação de fluido

So Saturação de óleo

Sw Saturação de água

Soi Saturação de óleo inicial

Swi Saturação de água inicial

SPF Shot-per-foot

T Temperatura

t Tempo

V Volume

Vf Volume de fluido

Vt Volume total

Vp Volume de vazios/poros

ρ Massa específica

µ Viscosidade do fluido

µo Viscosidade do óleo

µom Viscosidade do óleo morto

µw Viscosidade da água

Φ Potencial de fluxo

ϕ Porosidade

ʋ Velocidade

ʋr Velocidade na direção r

ʋz Velocidade na direção z

ʋӨ Velocidade na direção Ө

Δt

Variação de tempo

ΔV

Variação de volume

η

Constante da difusividade hidráulica

ºAPI

Grau API

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 O desenvolvimento da tecnologia de canhoneio ................................................. 27

Figura 2.2 Canhoneio convencional ..................................................................................... 28

Figura 2.3 Canhoneio TCP ................................................................................................... 29

Figura 2.4 Canhoneio através da coluna de produção .......................................................... 29

Figura 2.5 Carga explosiva ................................................................................................... 30

Figura 2.6 Processo de canhoneio (momento da explosão) .................................................. 31

Figura 2.7 Classificação de canhoneio ................................................................................. 32

Figura 3.1 Rocha reservatório contendo três fluidos: água, óleo e gás ................................. 37

Figura 3.2 Curvas de permeabilidade relativa versus saturação de água .............................. 39

Figura 3.3 Exemplo de gráfico de fator volume formação de um óleo ................................. 42

Figura 3.4 Elemento cilíndrico e seção de análise ................................................................ 44

Figura 3.5 Malha uniforme .................................................................................................... 53

Figura 3.6 Malha não uniforme ............................................................................................. 53

Figura 4.1 Esboço da região canhoneada (cenário 1) ........................................................... 66

Figura 4.2 Esboço da região canhoneada (cenário 2) ............................................................ 66

Figura 4.3 Esboço da região canhoneada (Cenário 3) ........................................................... 67

Figura 4.4 Esboço da região canhoneada (Cenário 4) ........................................................... 67

Figura 4.5 Evolução exponencial do tempo para cada grid ................................................... 70

Figura 4.6 Comprimento na direção r de cada bloco ............................................................. 74

Figura 4.7 Número de blocos em cada região ....................................................................... 75

Figura 4.8 Tempo do passo de tempo e tempo total de simulação ........................................ 76

Figura 4.9 Utilização de malha irregular e sua função, valor de convergência da

pressão e altura da região de transição entre a região do óleo e o

aquífero ............................................................................................................. 76

Figura 4.10 Determinação de uma vazão prescrita ............................................................... 77

Figura 4.11 Pontos iniciais e finais de abertura da zona de óleo e água ............................... 77

Figura 4.12 Representação gráfica do aquífero, da zona de óleo e da zona aberta

à produção ....................................................................................................... 79

Figura 4.13 Reservatório cilíndrico e a representação da diferença da zona de

óleo e água..................................................................................................... 79

Figura 4.14 Auxiliares para preencher os valores nas matrizes............................................. 80

Figura 4.15 Gráfico fator volume – formação ....................................................................... 81

Figura 4.16 Gráfico da viscosidade da água e óleo em função da pressão ........................... 82

Figura 4.17 Gráfico da permeabilidade relativa da água e do óleo em função

da saturação .................................................................................................... 83

Figura 4.18 Gráfico da pressão capilar em função da saturação ........................................... 83

Figura 4.19 Matriz porosidade .............................................................................................. 84

Figura 4.20 Auxiliares para preenchimento da permeabilidade na zona

Canhoneada .................................................................................................... 84

Figura 4.21 Condições para colocar os pontos de alta permeabilidade na zona

canhoneada .................................................................................................... 85

Figura 4.22 Colocação da anisotropia na matriz permeabilidade ......................................... 85

Figura 4.23 Integral para descrever a região de transição ..................................................... 86

Figura 4.24 Matriz auxiliar para realizar o método IMPES .................................................. 86

Figura 4.25 Condições de simulação para que haja convergência ........................................ 87

Figura 4.26 Condições de iteração ........................................................................................ 87

Figura 4.27 Condição de execução das equações do óleo e suas equações .......................... 88

Figura 4.28 Condição para eliminar a zona de água e de injeção do problema

abordado ....................................................................................................... 89

Figura 4.29 Volume produzido acumulado ........................................................................... 89

Figura 4.30 Condição de simulação para convergir .............................................................. 89

Figura 4.31 Primeira condição – Condição de valores internos da matriz ............................ 90

Figura 4.32 Segunda condição – condição da primeira coluna sem os vértices ................... 90

Figura 4.33 Terceiro condição - condição da última coluna sem os vértices ........................ 91

Figura 4.34 Quarta condição – condição da primeira linha sem os vértices ......................... 91

Figura 4.35 Quinta condição - condição da última linha sem os vértices ............................. 91

Figura 4.36 Sexta condição – Condição do vértice 1x1 ........................................................ 91

Figura 4.37 Sétima condição - Condição do vértice Nzx1 .................................................... 92

Figura 4.38 Oitava condição - Condição do vértice 1xNr ..................................................... 92

Figura 4.39 Nona condição - Condição do vértice NzxNr .................................................... 92

Figura 4.40 Gráfico de vazão de óleo X tempo (Cenário 1) ................................................. 94




Figura 4.44 Comportamento da pressão de fundo de poço (Cenário 1) ................................ 96




Figura 4.48 Comportamento da pressão de fundo de poço ao longo do

reservatório (esboço para os cenários 4x1 e 6x1) ...................... 98

Figura 4.49 Comportamento da pressão de fundo de poço ao longo do

reservatório (esboço para os cenários 4x2 e 6x2)

...................... 99

Figura 4.50 Produção de óleo acumulado (Cenário 1) ......................................................... 99




Figura 4.54 Produção de óleo acumulada (Cenários 1, 2, 3 e 4) .......................................... 101

Figura 4.55 Produção de óleo acumulado – 5 anos (Cenário 1) .......................................... 103

Figura 4.56 Produção de óleo acumulado – 5 anos (Cenário 2) .......................................... 103

Figura 4.57 Produção de óleo acumulado – 10 anos (Cenário 1) ......................................... 104

Figura 4.58 Produção de óleo acumulado – 10 anos (Cenário 2) ........................................ 104

LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1 Características de projéteis de canhoneio ......................................................... 21

Tabela 4.1 Geometria de canhoneio dos cenários analisados ............................................. 65

Tabela 4.2 Tempo de Simulação ......................................................................................... 70

Tabela 4.3 Volume de óleo produzido para todos os grids ................................................. 71

Tabela 4.4 Casos executados no critério de permeabilidade .............................................. 73

Tabela 4.5 Tempo de simulação para permeabilidade de canhoneio mil vezes maior ....... 74

Tabela 4.6 Dados de geometria do sistema ......................................................................... 76

Tabela 4.7 Dados do reservatório ....................................................................................... 77

Tabela 4.8 Tempo de execução por cenário ........................................................................ 93

Tabela 4.9 Volume de óleo produzido .............................................................................. 101

Tabela 4.10 Volume de óleo produzido – 5 e 10 anos .................................................... 105

SUMÁRIO

1 Introdução ....................................................................................................................... 21

1.1 Estrutura do trabalho ................................................................................................ 22

2 Canhoneio ........................................................................................................................ 24

2.1 Revisão Bibliográfica ................................................................................................. 24

2.2 Histórico ...................................................................................................................... 26

2.3 Descrição do processo de canhoneio .......................................................................... 27

2.4 Classificação ............................................................................................................... 32

2.4.1 Underbalance ........................................................................................................ 33

2.4.2 Overbalance .......................................................................................................... 33

2.4.3 Extreme Overbalance ............................................................................................ 34

3 Modelagem ...................................................................................................................... 35

3.1 Propriedade das Rochas .............................................................................................. 35

3.1.1 Rochas Reservatório ............................................................................................. 35

3.1.2 Porosidade ............................................................................................................. 35

3.1.3 Compressibilidade ................................................................................................ 36

3.1.4 Saturação dos fluidos ............................................................................................ 37

3.1.5 Permeabilidade ...................................................................................................... 38

3.2 Propriedade dos fluidos ..............................................................................................

40

3.2.1 Viscosidade ........................................................................................................... 40

3.2.2 Fator Volume-Formação ....................................................................................... 41

3.2.3 Pressão Capilar ..................................................................................................... 42

3.3 Modelos matemáticos ................................................................................................. 43

3.3.1 Equação da Continuidade ..................................................................................... 43

3.3.2 Equação de Darcy ................................................................................................. 47

3.3.3 Equação de Estado ................................................................................................ 48

3.3.4 Equação da Difusividade Hidráulica .................................................................... 48

3.4 Modelo numérico ........................................................................................................ 51

3.4.1 O método dos Volumes Finitos ............................................................................ 51

3.4.2 Execução do Método dos Volumes Finitos ......................................................... 54

3.4.3 Método IMPES ..................................................................................................... 60

3.4.4 Execução do Método IMPES ................................................................................ 61

4 Estudo de Caso ................................................................................................................ 65

4.1 Critérios de simulação ................................................................................................ 68

4.1.1 Determinação do Grid ........................................................................................... 68

4.1.2 Critério de permeabilidade .................................................................................... 71

4.1.3 Critério de estabilidade ......................................................................................... 73

4.2 Construção do simulador ............................................................................................

75

4.2.1 Dados de Entrada .................................................................................................. 75

4.2.2 Procedimento de cálculo ....................................................................................... 78

4.2.3 Processo de iteração .............................................................................................. 87

4.3 Resultados ................................................................................................................... 93

4.3.1 Um ano de produção ............................................................................................. 93

4.3.2 Cinco e dez anos de produção ............................................................................... 102

5 Conclusão ......................................................................................................................... 106

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 108

APÊNDICE A ..................................................................................................................... 110

APÊNDICE B ..................................................................................................................... 111

APÊNDICE C ..................................................................................................................... 112

APÊNDICE D ..................................................................................................................... 113

APÊNDICE E ..................................................................................................................... 114

APÊNDICE F ..................................................................................................................... 115

APÊNDICE G .................................................................................................................... 116

APÊNDICE H .................................................................................................................... 117

APÊNDICE I ...................................................................................................................... 118

APÊNDICE J ...................................................................................................................... 119

APÊNDICE K .................................................................................................................... 120

1 Introdução

Após a perfuração e completação de um poço de petróleo, é necessária a realização

da etapa de canhoneio. Isso por que, é através deste processo que o poço fica de fato aberto à

produção, uma vez que, após as cargas serem disparadas, estas perfuram o revestimento (casing)

e um pequeno trecho da formação produtora de óleo, conectando a parte interna do poço com a

rocha reservatório.

Entretanto, as grandes questões a serem levantadas em um processo como este estão

relacionadas à posição do canhão e o tipo de carga a ser usada, pois, a depender do tipo de carga

escolhida, sua disposição no canhão e a quantidade, uma determinada geometria de abertura na

rocha e uma certa taxa de penetração será alcançada. A tabela 1.1 resume alguns tipos de carga

e sua penetração média na rocha. Quanto à posição do canhão, a solução para isso usualmente

é canhonear o poço em regiões afastadas da zona de água, a fim de minimizar a produção de

água.

Tabela 1.1 – Características de projéteis de canhoneio

FONTE: Adaptado de Schlumber, HSD Perforating Gun

22

Sendo assim, um grande objetivo e motivação deste trabalho é a análise de

diferentes geometrias de abertura e penetração de canhoneio e sua relação direta com a

produção de petróleo. Para isso, foi utilizado um simulador numérico de reservatórios,

desenvolvido por SANTANA (2014), a partir de equações de fluxo de fluido em meios porosos,

método dos volumes finitos e método IMPES (Implict Pressure, Explict Saturation). Na

execução dos diversos cenários de simulação, foi tomado o cuidado de manter constantes as

propriedades de rocha e fluido e apenas variar de um caso para o outro a geometria de canhoneio.

Estes cenários foram analisados para o período de 1 ano de produção, mas também para 5 e 10

anos. Após a execução, estes cenários foram alvo de análise, comparação, grande aprendizado

e desafios para trabalhos futuros.

Outra grande motivação no desenvolvimento deste trabalho foi gerar um trabalho

que pudesse servir para aprendizado e estudo para gerações futuras do curso de Engenharia de

Petróleo da Universidade Federal Fluminense, a fim de aproximar mais o aluno da simulação

de reservatórios, facilitando a análise de como cada propriedade de rocha e fluido influenciam

na produtividade de poços de petróleo.

1.1 Estrutura do trabalho

Para um melhor entendimento e compreensão do leitor, este trabalho de conclusão

de curso foi organizado da seguinte forma:

Capítulo 1: Introdução, objetivo, motivação e estrutura do trabalho;

Capítulo 2: Breve revisão bibliográfica, tratando de assuntos ligados ao canhoneio

como: Definição, histórico, descrição do processo e classificação;

Capítulo 3: Metodologia envolvida no simulador, como: Propriedades de rocha e

fluido, modelo matemático (Equação da Continuidade, Equação de Darcy, Equação de estado

e Equação da Difusividade Hidráulica) e modelo numérico (Método dos Volumes finitos e

método IMPES);

Capítulo 4: Passo a passo da funcionalidade do simulador, como: dados de

entrada, correlações adotadas, matrizes de permeabilidade e saturação, processo de iteração e

resultados obtidos. Além disso é apresentado a forma de determinação do grid de simulação,

critérios usados para determinação de permeabilidade, critério de estabilidade e comparação e

23

análise dos diversos cenários estudados;

Capítulo 5: Apresentada conclusão do trabalho e desafios para trabalhos futuros.

24

2 Canhoneio

Após a perfuração, a maioria dos poços são construídos com a utilização de tubos

de aço (revestimentos). Esse processo ocorre devido a uma série de objetivos a serem cumpridos

para a futura exploração. Um deles é possibilitar a seletividade de zonas que serão exploradas

ou injetadas, outro, por exemplo, seria evitar desmoronamento ou colapso da parede da

formação e manter um diâmetro constante. Assim, para manter essa coluna de revestimentos

fixa formando o poço, o espaço anular entre o tubo de aço e a rocha sofre uma cimentação,

promovendo total fixação. Após a cimentação, como se pode perceber, perde-se o contato do

poço com o reservatório, e para que possa ser feita uma reconexão, o canhoneio é o processo

utilizado para tal acontecimento.

O processo consiste em abrir caminhos no tubo metálico e na formação, variando

de geometria e propriedades físicas de acordo com cada diferente tipo de reservatório. São

utilizadas cargas explosivas alocadas dentro de canhões que são descidos no poço e por isso,

danos à formação acontecem no momento de abertura dos túneis, o qual prejudica o fluxo de

fluidos pela diminuição da permeabilidade dessa zona afetada. Tal perda de permeabilidade se

dá devido à compactação dos detritos da carga no processo de explosão em que os jatos das

cargas entram na formação com alta energia.

Assim, esse processo é de grande importância para que a execução seja feita de

maneira a maximizar os túneis, minimizando os possíveis danos que venham a ocorrer, para

que a vida produtiva do poço seja a maior possível.

2.1 Revisão Bibliográfica

Ao longo do desenvolvimento da indústria de petróleo, desafios para sua

prospecção foram aparecendo. No começo primitivo, os reservatórios eram tão rasos e simples

que contrastam a realidade atual de busca por essa riqueza no fundo do assoalho oceânico.

Assim, técnicas foram sendo desenvolvidas para tal complexidade. A completação, uma das

etapas do processo de upstream, sofreu um grande estudo para melhoramento e

aperfeiçoamento, já que é diretamente ligada ao desempenho do poço. Alguns estudos de

25

canhoneio são apresentados como forma de entender a geometria que esta operação condiciona

o poço e alguns avanços que esta área sofreu.

HARRIS (1966) através de equações de um sistema ideal conseguiu resolver, com

um modelo baseado em simulações computacionais, o problema de calcular fluxo em um poço

completado e canhoneado. Ele conseguiu resultados com 3% de erro, além de determinar efeitos

de skin numa série de curvas adimensionais. Assim, com esse modelo, taxas de produtividade

puderam ser rapidamente estimadas numa atividade de campo real e efeitos de anisotropia

puderam ser atribuídos ao modelo para precisão do cálculo. Harris observou uma melhor

produtividade em canhoneados mais extensos e distribuído perpendicularmente ao poço,

formando planos horizontais.

FURUI (2007) estudaram técnicas para aumentar a produtividade, já que essa parte

do canhoneio é crucial para o desempenho ao longo da vido do poço, a fim de melhorar o projeto,

dano e efeitos de turbulência. Foi determinado que o liner rasgado, fechado, canhoneado e até

mesmo o com presença de gravel-pack, mostraram um aumento de dano, caracterizando perda

de produtividade, já que o fluxo convergente para os canhoneados aumenta a velocidade do

fluido nas vizinhanças do poço e, além disso, qualquer perda redução da permeabilidade dessa

zona (devido à perfuração, completação e outros processos) aumenta o fluxo convergente e

também o fator de skin. Além disso, em seus estudos, quando ocorre significante perda de

permeabilidade, mesmo quando o canhoneio está nas zonas danificadas, a completação

canhoneada teve melhor desempenho do que utilizando o liner rasgado. Outra observação

importante foi o efeito na zona esmagada, que tem um efeito significativo na produção. Mesmo

assim, foi visto que quando o canhoneio é feito na direção de menor permeabilidade em

reservatórios anisotrópicos, esse efeito é reduzido.

Por último, BAREE (2014) estudaram possíveis tratamentos para que a

produtividade seja máxima levando em consideração fatores econômicos de investimento,

processos que aumentassem o comprimento lateral do canhoneado, faturamento e

melhoramento do projeto do poço. Foi concluído que, a longo prazo, a fratura no comprimento

afeta pouco o desempenho de recuperação, mas, num primeiro momento, o índice de

produtividade (IP) aumentou significativamente. Esse processo faz com que seja necessária

uma intervenção para realização de recuperação mais cedo no reservatório, fazendo com que

todo o processo de faturamento inicial seja repensado, pois isso poderá implicar um maior gasto

em menor tempo. Porém, caso sejam feitos tais processos em diferentes tempos, isso não afetará

26

no montante final extraído. Assim, a realização de tal técnica será feita ou não de acordo com

estratégias de mercado, aproveitando altas e baixas no preço do petróleo.

2.2 Histórico

No começo da indústria do petróleo, os poços perfurados eram simples aberturas na

rocha, onde não se fazia uso de tubos de metal para revestimento. Eram típicos buracos abertos

ou que sofriam um disparo contra a rocha com cargas explosivas para estimular o escoamento

de hidrocarbonetos para o poço. Com a evolução da indústria, os poços ficaram mais profundos

e as condições de reservatório tornaram-se mais complexas, tornando o método de completação

com invólucro de canhoneio essencial e familiar no desenvolvimento do campo de óleo. Assim,

esta é uma parte da indústria do petróleo que se dedicou a desenvolver melhores técnicas a fim

de se realizar o melhor canhoneio, em termos de performance e segurança.

No começo dos anos 1900, métodos de perfuração mecânicos foram usados. Trata-

se de uma única lâmina que perfura a tubulação através de uma rotação. A Figura 2.1 mostra

este tipo de perfuração e algumas outras, evidenciando a evolução desta técnica ao longo dos

anos.

A utilização de um projétil veio no meio dos anos 1920. O primeiro mecanismo de

canhoneio utilizado em grande escala foi arma com projétil introduzido em 1932. Nesse método,

um material de aço mais duro que da tubulação perfura o revestimento e o cimento com pouco

dano, e penetra na formação em curtas profundidades. Esse mecanismo foi substituído pelo

mecanismo canhoneio com carga moldada, conhecido como jet perforator ou jet charger.

27

Figura 2.1 – O desenvolvimento da tecnologia de canhoneio

FONTE: Roscoe e Lenn, 1996

Ao longo das décadas, sistemas de canhoneio foram desenvolvidos para uma grande

variedade de aplicações. Atualmente, sofisticados equipamentos detonadores, combinam cargas

moldadas de forma específica com o sistema de wireline, tubing ou coiled tubing, a fim de

correlacionar o melhor resultado para obter o cenário desejável. Qualquer que seja o tamanho

ou método de execução, os explosivos são desenvolvidos em um padrão de intervalo de

canhoneio.

A dimensão do canhoneio é feita de acordo com a necessidade e características do

reservatório, podendo ser feitos múltiplos disparos adjacentes, formando uma espessura na

vertical, ou até mesmo disparos em diferentes sentidos a fim de explorar outras direções do

reservatório.

2.3 Descrição do processo de canhoneio

No processo de canhoneio, é feito inicialmente um reconhecimento da região que

será canhoneada, a fim de evitar certas zonas do reservatório que poderia afetar a produtividade.

Após o reconhecimento da região desejada, as cargas moldadas são alocadas dentro de canhões,

os quais são cilindros de aço que possuem orifícios para fixação. Em seguinte, é escolhido o

método de canhoneio, podendo ser o canhoneio convencional, canhoneio TCP (Tubing

Conveyed Perfurating) ou canhoneio através da coluna de produção. (THOMAS, 2011).

28

As cargas moldadas são criadas para criar uma cavidade ou espaço entre o material

explosivo e a parede alvo. Promovendo o fenômeno conhecido como efeito Monroe, uma onda

de choque produzido pela detonação acelera e deforma o invólucro numa velocidade entre 7300

e 8200 m/s no espaço vazio. (ROSCOE, 1996)

Esse jato da explosão é capaz de cortar materiais de aço de diferente espessura,

dependendo da forma do vazio entre detonador e a tubulação de aço e distância do alvo.

Por causa da eficiência das cargas moldadas serem maiores que a cargas massivas,

elas podem oferecer uma menor quantidade de explosivo necessário para o mesmo objetivo.

No canhoneio convencional as cargas são montadas dentro de receptáculos os quais

evitam o contato delas com o fluido do poço, mostrado na Figura 2.2. O disparo é feito a partir

de um acionamento no cabo elétrico. Junto ao canhão, é descido um perfil CCL (Casing Collar

Locator) para averiguar a profundidade exata dos disparos.

Figura 2.2 - Canhoneio convencional.

FONTE: Perrin, 1999

Já no canhoneio TCP, o canhão já desce acoplado junto à coluna de tubos (Figura

2.3), o qual possui um grande diâmetro e alta densidade de disparos. Esse procedimento é

possível ser realizado com “pressão negativa” (Undebalance), quando ocorre à limpeza dos

túneis.

29

Figura 2.3 - Canhoneio TCP.

FONTE: Perrin, 1999

Por último, no processo de canhoneio através da coluna de produção, os canhões

são descidos por dentro da coluna de produção já montados com o cabo elétrico para a

realização do disparo. A grande vantagem desse processo é a não necessidade de desequipar o

poço para efetuar o canhoneio, mesmo que seja numa nova zona, como pode ser observado na

Figura 2.4.

Figura 2.4 - Canhoneio através da coluna de produção.

FONTE: Perrin, 1999

30

Os tipos de cargas disponíveis são as gun perforating e a jet perforating. A primeira,

feita com munição, perdeu um pouco seu espaço para a jet perforating, estas formadas por jatos

com cargas moldadas. Pelo seu modelo de jatos e a não utilização de munição, este método

consegue uma vantagem maior já que obtém uma melhor penetração e menor dano a formação.

(HARRIS, 1966)

No canhoneio que utiliza o método de jatos, este possui um invólucro externo

(container), o explosivo principal a carga iniciadora (espoleta) e o liner cônico metálico que

penetrará a formação. Atrás da carga iniciadora, passa o cordão de detonação que está

interligado a todas as outras cargas que sofrerão detonação, como observado na Figura 2.5.

(BELLARBY, 2009)

Figura 2.5 - Carga explosiva.

FONTE: Bellarby, 2009 modificado

O invólucro externo é feito de um material metálico e será responsável por suportar

toda a força contrária de recuo que sofrerá após a detonação e evitar interferência nas cargas

adjacentes. O formato cônico de cargas (CSC) cria cavidades cônicas para orifícios circulares

e grande penetração na formação. Combinações de múltiplas cargas são usadas para penetração

em múltiplas direções para melhor extração do hidrocarboneto. O uso de invólucros de aço ao

invés de zinco diminui o decaimento de produtividade da formação, reduz o dano dos

componentes associado à detonação e reduz o custo com fluidos de completação necessários.

31

Tem um papel muito importante para obtenção de máximo de desempenho do disparo. Cada

processo tem sua característica quantidade de carga e dimensão de explosão empregada, assim,

o invólucro externo deve seguir um padrão rígido de fabricação para desempenhar sua função.

A carga iniciadora faz a ligação do cordão de detonação e o explosivo principal,

sendo mais sensível à detonação do que o explosivo principal que será acionado por ela.

O liner cônico metálico é projetado pela explosão e direcionado para a parede da

formação e assim ocorre a formação dos túneis. Tal processo é mostrada na Figura 2.6.

No começo da utilização desse processo, esse liner era feito de um metal rígido e

resistente, o qual após a sua utilização, pedaços e resíduos ficavam na formação prejudicando

o fluxo de fluidos. Após alguns estudos, esse liner passou a ser fabricado por um metal que,

após o disparo, se pulverizava e não prejudicava a finalidade do processo, que é aumentar a

permeabilidade da zona a ser explorada.

Figura 2.6 - processo de canhoneamento (momento da explosão).

FONTE: Bellarby, 2009 modificado

32

Além dessas características levantadas, o explosivo principal pode ter diferentes

características, adequando-se a o projeto proposto. Há cargas voltadas para atingir

profundidades de canhoneado maior, como as deep penetration (DP) e a super deep penetrarion

(SDP), ou àquelas voltadas para um maior diâmetro de entrada, como a big hole (BH) e a super

big hole (SBH). (HARRIS, 1966)

2.4 Classificação

Na realização do disparo do canhoneio, há um encontro das pressões exercidas pelo

poço e pela formação. Desta forma, há uma classificação do processo perante a pressão

resultante, podendo ser de underbalance, overbalance ou extreme overbalance. (Figura 2.7)

(SILVA, 2007)

Figura 2.7 - Classificação de canhoneio.

FONTE: SILVA, 2007 modificada

33

2.4.1 Underbalance

O canhoneio underbalance é caracterizado por ser feito quando a pressão do

reservatório é maior que a pressão do poço. Este método foi empregado na indústria de petróleo,

pois estudos indicam que uma pressão maior no reservatório facilitaria a limpeza de detritos

remanescentes da explosão que por ventura poderiam se alocar nos canais abertos na formação,

gerando um tamponamento e consequentemente uma perda da permeabilidade.

Além dessa vantagem, nas limpezas dos canais, como esse método está numa

pressão menor que a do reservatório, o fluido contido no poço não invade a formação e assim

não a contamina, e o fluxo do reservatório para o poço acontece. Desta forma, como o poço já

possui a vantagem de começar a ser produzido, o poço deve estar todo completado antes da

operação de canhoneio.

Normalmente é preferível utilizar esse método de canhoneio pela sua vantagem de

limpeza de canais e de logo em seguida começar a produção mesmo com o aumento de custos

para a segurança, já que o poço estará vulnerável à pressão do reservatório.

2.4.2 Overbalance

O canhoneio overbalance é caracterizado por haver uma pressão maior no poço do

que na formação. A intensão de manter uma pressão maior é para utilizar o fluido de

completação como amortecedor, isto é, evitar surgência oriunda da formação. Assim, há uma

contaminação da rocha reservatório pelo fluido contido no poço, podendo gerar custos

adicionais futuros para a realização de um tratamento da área afetada.

Nesse método, ocorre o tamponamento causado pelo disparo e pela pressão do poço

superior a do reservatório, já que partículas do fluido, do cimento e do revestimento são

lançadas contra a formação, sendo compactados, bloqueando a passagem do fluido do

reservatório a ser produzido, gerando uma queda de produtividade.

Assim, esse método tem vantagens, pois gera uma segurança no amortecimento da

pressão e a possibilidade de ser executado antes do poço estar totalmente completado.

34

2.4.3 Extreme Overbalance

Este método de canhoneio é um aperfeiçoamento da técnica de overbalance, a

diferença nesse método é que o diferencial de pressão entre o poço e a formação e muito maior

em direção à rocha.

A ideia dessa técnica é criar fraturas de pequena penetração e alta condutividade

que extende-se desde o começo da formação e ultrapassa a zona danificada, causada pelo fluido

e pelo processo, gerando assim um raio de drenagem bem maior que o os outros métodos geram.

Como esse processo segue o padrão do método overbalance, era de se esperar o

tamponamento, porém, devido ao grande diferencial de pressão, os resíduos resultantes do

disparo acabam sendo forçados a se deslocarem para o fundo dos túneis, minimizando o seu

prejuízo na produção e assim promovendo uma região limpa para a produção. Como a pressão

é muito maior do que a que está sendo exercida na formação, isso promove a formação de

fraturas radiais de pequena penetração que contribuirão para a produção futura de fluido.

35

3 Modelagem

3.1 Propriedades das rochas

Como em todo o trabalho será lidado diretamente com equações e interferências

diretas nas rochas reservatório, o estudo e definição de algumas propriedades básicas das

mesmas se faz necessário. Sendo assim, são discutidas algumas dessas variáveis a seguir, como

porosidade, compressibilidade, saturação de fluidos e permeabilidade.

3.1.1 Rochas reservatório

Após geração e migração, o petróleo é acumulado em uma rocha chamada

reservatório. Para constituir uma rocha reservatório, esta deve apresentar porosidade (item 3.1.2)

e permeabilidade (item 3.1.5).

Apenas para contextualizar e exemplificar pode-se dizer que o mais frequente tipo

de rocha-reservatório encontrado são os arenitos, seguido pelas rochas carbonatadas, como

calcários, dolomitas, etc. Existem ainda algumas rochas como os folhelhos e alguns carbonatos,

porosos, porém impermeáveis, que podem constituir reservatórios quando se apresentam

naturalmente fraturados (Thomas, 2001).

3.1.2 Porosidade

A porosidade, uma das mais importantes propriedades de uma rocha-reservatório,

mede a capacidade da rocha armazenar fluidos. Nesse sentido, a porosidade pode ser definida

como a razão entre o volume de “espaços vazios”, interconectados ou não, da rocha e o seu

volume total. Matematicamente, essa propriedade é elucidada na equação 1.

36

Φ =

𝑉𝑝

𝑉𝑡

(1)

Do ponto de vista da engenharia de petróleo, o que mais interessa, na verdade, é a

porosidade efetiva da rocha. Essa propriedade pode ser entendida pela equação 1, porém

levando em consideração no dimensionamento do volume de vazios apenas os poros que

estejam interconectados e que possibilitem o escoamento de fluidos.

Além disso, de acordo com o período em que ocorreu a deposição do material

sedimentar, a porosidade pode ser classificada em porosidade primária ou porosidade

secundária. (Rosa, 2011).

Porosidade primária: É a porosidade que se desenvolveu durante a deposição do

material sedimentar.

Porosidade secundária: É quando a porosidade se desenvolve através de um

processo geológico que ocorreu após a deposição do material sedimentar.

3.1.3 Compressibilidade

À medida que os fluidos contidos em uma rocha-reservatório são produzidos,

ocorre uma variação de pressão interna na rocha, a qual fica sujeita a tensões resultantes

diferentes. Essa variação de pressão faz com que ocorram mudanças nos grãos, poros e algumas

vezes no volume total da rocha. Essa variação do volume poroso, chamado de

compressibilidade efetiva, que é o objetivo de descrição dessa seção. A compressibilidade

efetiva pode ser definida pela equação 2.

𝑐𝑓 =

1

𝑉𝑝

𝜕𝑉𝑝

𝜕p

(2)

Considerando o volume total da rocha constante e usando a definição de porosidade,

chega-se a definição da equação 3.

37

𝑐𝑓 =

1

ɸ

𝜕ɸ

𝜕p

(3)

3.1.4 Saturação de fluidos

Para definir o valor econômico de um reservatório, deve-se ter conhecimento do

conteúdo percentual de cada fluido – água, gás e óleo – nos espaços porosos, já que a rocha

reservatório pode estar saturada desses três fluidos em qualquer configuração, como se pode

observar, por exemplo, na figura 3.1.

Figura 3.1 - Rocha reservatório contendo três fluidos: água, óleo e gás. FONTE: ROSA, 2011

Sendo assim, define-se como saturação de um fluido em um meio poroso como a

fração ou porcentagem do volume de poros ocupado pelo fluido. Em termos matemáticos,

através da equação 4.

Sf =

𝑉𝑓

𝑉𝑝

(4)

38

3.1.5 Permeabilidade

Como dito anteriormente, um dos principais objetivos deste trabalho é comparar,

através das diferentes geometrias de abertura e penetração na rocha, alguns parâmetros

importantes relativos à produtividade de diferentes tipos de canhoneio. Sendo assim, a

permeabilidade é uma das propriedades de maior impacto neste trabalho, pois, como será visto

no capítulo 4, nas regiões afetadas pelo canhoneio serão considerados valores de

permeabilidade muito mais elevados que o adotado para todo o reservatório. É exatamente

através deste aumento de permeabilidade que as diferentes geometrias de abertura e penetração

são estabelecidas.

Essa propriedade expressa a capacidade do meio poroso se deixar atravessar por

fluido, ou seja, a facilidade de escoamento de fluidos oferecida pela rocha. Basicamente pode

ser classificada em permeabilidade absoluta, efetiva e relativa. Permeabilidade absoluta ocorre

quando apenas um fluido está saturando a rocha. Já a permeabilidade efetiva é a comparação

entre o movimento de um fluido em relação a outro e a permeabilidade relativa é a razão entre

a permeabilidade efetiva e outra medida de permeabilidade, que geralmente é a absoluta.

O valor absoluto da permeabilidade é expresso na forma tensorial, em coordenadas

cilíndricas de acordo com a equação 5:

K =

𝑘𝑟𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑘𝑟𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑘𝑟𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑘𝜃𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑘𝜃𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑘𝜃𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧)𝑘𝑧𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑘𝑧𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑘𝑧𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧)

(5)

Entretanto, os valores absolutos de permeabilidade só são aplicados quando o fluxo

em meio poroso ocorre em uma única fase. Para o fluxo de duas fases (água e óleo), deve-se

usar valores de permeabilidade relativa ao óleo e permeabilidade relativa à água. A figura 3.2

apresenta a relação das permeabilidades relativas ao óleo e à água com a saturação de água.

39

Figura 3.2 – Curvas de permeabilidade relativa versus saturação de água FONTE: ROSA, 2011

Considerando fluxo de duas fases (água e óleo), percebe-se que à medida que a

saturação de água diminui, a sua permeabilidade relativa também diminui. No início a queda é

pequena, pois o outro fluido, no caso o óleo, passa a ocupar inicialmente o centro dos capilares

de maior diâmetro, mas ainda não constitui uma fase contínua. Com a maior queda da saturação

de água – e consequente aumento da saturação de óleo – este passa a formar uma fase contínua,

começa a fluir e então o processo continua até a saturação de água atingir a saturação irredutível,

na qual a água para de fluir e então sua permeabilidade relativa é zero.

As equações 6 e 7 serão usadas neste trabalho para o cálculo da permeabilidade

relativa ao óleo e à água, respectivamente. Dessa forma, o valor efetivo de permeabilidade para

o óleo e para a água é o resultado da multiplicação da equação 5 com as equações 6 e 7,

respectivamente. (Corey, 1954)

𝑘𝑟𝑜(𝑆𝑤) = (1 −

𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖

1 − 𝑆𝑤𝑖)3

(6)

𝑘𝑟𝑤(𝑆𝑤) = (

𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖

1 − 𝑆𝑤𝑖)3

(7)

40

3.2 Propriedades dos fluidos

Assim como as propriedades das rochas, alguns conceitos acerca dos fluidos são

muito importantes e bem utilizados ao longo desse trabalho e na engenharia de petróleo de

modo geral. Com isso, algumas dessas correlações são expostas a seguir, como as em relação

ao fator volume formação, viscosidade, etc. No que diz respeito às interações químicas entre os

fluidos, estas são desconsideras no desenvolvimento deste trabalho. Portanto, não são

levantadas reações químicas entre os fluidos e estes com a rocha.

3.2.1 Viscosidade

Viscosidade é uma propriedade de fluidos que indica a resistência ao fluxo, ou seja,

é a resistência oferecida pelo líquido quando uma camada se move em relação a uma camada

subjacente. Quanto maior a viscosidade, maior é a resistência ao movimento e menor é sua

capacidade de escoar (fluir).

A viscosidade de um líquido é afetada pelas variações de temperatura e pressão de

forma que esta propriedade decresce com a temperatura e cresce com a pressão. Como neste

trabalho é assumida a pressão de reservatório maior que a pressão de bolha para todo período

de análise, a viscosidade do óleo nele existente é estimada através de um ajuste na viscosidade

desse óleo na pressão de bolha, para levar em conta o nível de subsaturação. A viscosidade do

óleo pode ser obtida de acordo com a Lei de Darcy através das correlações de Standing, equação

8. (Standing, 1981)

𝜇𝑜 = (𝜇𝑜𝑚 + 0,001 ∙ (𝑃 − 𝑃𝑏) ∙ 0,000145 ∙

(0,024𝜇𝑜𝑚1,6 + 0,038𝜇𝑜𝑚

0,56)) ∙ 10−3

(8)

onde 𝜇𝑜𝑚 é a viscosidade do óleo morto e pode ser representada matematicamente, com um

ajuste razoável, através dá equação 9.

41

𝜇𝑜𝑚 = (0,32 +

1,8. 107

°API4,53) ∙ (

360

𝑇(°𝐹) + 200)𝑎

𝑎 = 𝑎𝑛𝑡𝑖log (0,43 +8,33

°𝐴𝑃𝐼)

(9)

3.2.2 Fator Volume-Formação

Uma mistura da fase líquida em condições de reservatório é na verdade óleo com

certa quantidade de gás dissolvido. Com isso, na indústria do petróleo, para que os cálculos

sejam corretos, é necessário usar o fator volume-formação que é a razão entre o volume que a

fase líquida (óleo e gás dissolvido) ocupa em condições de pressão e temperatura quaisquer e o

volume do que permanece como fase líquida quando a mistura alcança as condições-padrão.

Para o caso do óleo, é usada a correlação apresentado na equação 10 e para a água

a equação 11.

B𝒐 =

volume de óleo + gás dissolvido nas condições p, T

volume de óleo no tanque (medido nas condições − padrão)

(10)

Bw =

volume da água nas condições p, T

volume de água (medido nas condições − padrão)

(11)

Não será exposto o fator volume formação para o gás pois neste trabalho não foi

considerado gás em solução ou capa de gás no reservatório.

De forma genérica, o fator volume formação do óleo pode ser representado através

da figura 3.3. Nela, pode-se concluir que o comportamento do fator volume formação em

pressões acima da pressão de bolha é praticamente linear. Isso se deve ao fato de que acima da

pressão de bolha a variação de volume do fluido com a pressão deve-se somente à

compressibilidade do líquido existente no reservatório, já que não há liberação de gás. Dessa

42

forma, entende-se que o fator volume formação é dependente principalmente da

compressibilidade dos fluidos, resultando na equação 12 para o óleo e na equação 13, por

analogia, para a água:

𝐵𝑜(𝑃) = 𝐵𝑜𝑖 + 𝑐𝑜 ∙ 𝐵𝑜𝑖 ∙ (𝑃𝑖 − 𝑃) (12)

𝐵𝑤(𝑃) = 𝐵𝑤𝑖 + 𝑐𝑤 ∙ 𝐵𝑤𝑖 ∙ (𝑃𝑖 − 𝑃) (13)

Figura 3.3: Exemplo de gráfico de fator volume formação de um óleo FONTE: Rosa, 2011

3.2.3 Pressão Capilar

Quando dois fluidos (no caso deste trabalho, água e óleo) estão em contato direto e

aprisionados em poros, uma descontinuidade na pressão existe através da interface que separa

esses dois fluidos, de modo que a fase que não molha preferencialmente a rocha possui maior

pressão do que a que está em contato direto com a rocha. A equação 14 aponta essa definição.

(Rosa, 2011)

43

Pc = Pnão molhante − Pmolhante

(14)

Na maioria dos reservatórios de petróleo, a fase molhante é a água e a fase não

molhante é o óleo. Sendo assim, esse trabalho seguirá essa tendência e, haja visto que

geralmente a fase molhante preenche preferencialmente os poros menores e mais fechados, será

assumido um valor de 15% para saturação de água irredutível, ou seja, água que não se desloca

ao longo de toda vida produtiva do poço. Então, a pressão capilar óleo-água pode ser observada

a partir da equação 15. (Rosa, 2011)

𝑃𝑐𝑜𝑤(𝑆𝑤) =

0,1

(𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖

1 − 𝑆𝑤𝑖)1,3 ∙ 100000

(15)

3.3 Modelos matemáticos

Ao longo de toda análise das influências acerca do processo de canhoneio em poços

de petróleo, vai ser utilizada a Equação da Difusividade Hidráulica, que é uma equação muito

utilizada na engenharia de reservatórios para predição de vazão de produção e distribuição de

pressão no reservatório. Contudo, para formulação da Equação da Difusividade Hidráulica, é

necessário introduzir algumas outras equações: Equação da Continuidade (Lei de conservação

de Massa), Equação de Darcy e Equação de estado. (Rosa, 2011)

3.3.1 Equação da Continuidade

A equação da continuidade está relacionada à conservação de massa, na qual

descreve a variação de massa dentro do meio poroso, considerando a massa que entra, a massa

que sai e uma determinada massa fonte. A equação 16 descreve a massa resultante de acúmulo.

44

𝑚𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 = 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑚𝑠𝑎𝑖 + 𝑚𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 (16)

Considerando o elemento cilíndrico apresentado na figura 3.4 e admitindo fluxo nas

direções radial, circunferencial e vertical, a massa de entrada total e saída podem ser

compreendidas através das equações 17 e 18.

Figura 3.4 – Elemento cilíndrico e seção de análise. FONTE: Ertekin, 2001

∑𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑚𝑟−∆𝑟/2 + 𝑚𝜃−∆𝜃/2 + 𝑚𝑧−∆𝑧/2 (17)

∑𝑚𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑚𝑟+∆𝑟/2 + 𝑚𝜃+∆𝜃/2 + 𝑚𝑧+∆𝑧/2 (18)

Com relação ao termo de acúmulo, este pode ser obtido através de simples variação

volumétrica no meio poroso, assumindo que o volume de controle é constante ao longo do

tempo. Segue formulação, considerando antes a equação 19 que trata da vazão mássica medida

em condições de superfície em uma direção α, na equação 20:

𝑚α = (𝜌 ∙ 𝜐

𝐵∙ 𝐴)

(19)

45

𝑚acúmulo =[(𝜌 ∙ 𝜙 ∙

𝑆𝐵)

𝑡+Δ𝑡− (𝜌 ∙ 𝜙 ∙

𝑆𝐵)

𝑡]

Δ𝑡∙ Δ𝑉

(20)

Partindo da mesma equação 19, podemos reescrever as equações 17 e 18 nas

seguintes equações 21 e 22:

∑𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = (𝜌 ∙ 𝜐𝑟

𝐵∙ 𝑟 ∙ Δ𝜃 ∙ Δ𝑧)

𝑟−Δ𝑟/2

+ (𝜌 ∙ 𝜐𝑧

𝐵∙ 𝑟 ∙ Δ𝑟 ∙ Δ𝜃)

𝑧−Δ𝑧/2+(

𝜌 ∙ 𝜐𝜃

𝐵∙ Δ𝑟 ∙ Δ𝑧)

𝜃−Δ𝜃/2

(21)

∑𝑚𝑠𝑎í𝑑𝑎 = (𝜌 ∙ 𝜐𝑟

𝐵∙ 𝑟 ∙ Δ𝜃 ∙ Δ𝑧)

𝑟+Δ𝑟/2

+ (𝜌 ∙ 𝜐𝑧

𝐵∙ 𝑟 ∙ Δ𝑟 ∙ Δ𝜃)

𝑧+Δ𝑧/2+(

𝜌 ∙ 𝜐𝜃

𝐵∙ Δ𝑟 ∙ Δ𝑧)

𝜃+Δ𝜃/2

(22)

Com relação ao termo de massa fonte, este considera a massa decorrente da

produção de fluidos através dos canhoneados e pode ser representada através da equação 23:

𝑚𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 𝜌 ∙ 𝑞𝑝𝑜ç𝑜,𝑆𝑇𝐷

(23)

Partindo das equações 20,21,22 e 23, pode-se reescrever a equação 16, já

dividindo o resultado por 𝚫𝑽 que em coordenadas cilíndricas equivale a 𝒓 ∙ 𝚫𝒓 ∙ 𝚫𝒛 ∙ 𝚫𝛉, o

que resulta na equação 24:

46

[(𝜌 ∙ 𝜙 ∙𝑆𝐵)

𝑡+Δ𝑡− (𝜌 ∙ 𝜙 ∙

𝑆𝐵)

𝑡]

Δ𝑡

=1

𝑟∙

[(𝜌 ∙ 𝜐𝑟

𝐵 ∙ 𝑟)]𝑟−

∆𝑟2

− [(𝜌 ∙ 𝜐𝑟

𝐵 ∙ 𝑟)]𝑟+

∆𝑟2

∆𝑟+

1

𝑟

∙

[(𝜌 ∙ 𝜐𝜃

𝐵 )]𝜃−

∆𝜃2

− [(𝜌 ∙ 𝜐𝑟

𝐵 )]𝜃+

∆𝜃2

∆𝜃

+

[(𝜌 ∙ 𝜐𝑧

𝐵 )]𝑧−

∆𝑧2

− [(𝜌 ∙ 𝜐𝑧

𝐵 )]𝑧+

∆𝑧2

∆𝑧+ 𝜌 ∙

𝑞𝑝𝑜ç𝑜,𝑆𝑇𝐷

∆𝑉

(24)

Para se chegar na Equação da Continuidade em coordenadas cilíndricas e em duas

fases, o último passo é considerar a vazão do poço por unidade de volume e colocar os limites

𝚫𝒓, 𝚫𝒛, 𝚫𝛉 𝐞 𝚫𝐭 tendendo a zero, o que resulta finalmente na equação 25:

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜌 ∙ 𝜙 ∙

𝑆

𝐵)

= − [1

𝑟∙

𝜕

𝜕𝑟∙ (

𝜌 ∙ 𝜐𝑟

𝐵∙ 𝑟) +

1

𝑟∙

𝜕

𝜕𝜃∙ (

𝜌 ∙ 𝜐𝜃

𝐵) +

𝜕

𝜕𝑧

∙ (𝜌 ∙ 𝜐𝑧

𝐵)] + 𝜌 ∙ 𝑞𝑝𝑜ç𝑜,𝑆𝑇𝐷

(25)

A equação 25 ainda pode ser reduzida a equação 26, se a intenção for apresentar

Equação da Conservação de Massa para uma geometria qualquer.

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜌 ∙ 𝜙 ∙

𝑆

𝐵) = −∇(�� ∙

𝜌

𝐵) + 𝜌 ∙ 𝑞𝑝𝑜ç𝑜,𝑆𝑇𝐷

(26)

47

3.3.2 Equação de Darcy

A próxima etapa para alcançar a equação da difusividade hidráulica, é a elucidação

da lei que orienta o transporte de fluidos em meio poroso, a Lei de Darcy. Esta lei relaciona a

velocidade com os gradientes de potencial, através da equação 27:

ʋ = −

𝑘(𝑥)

𝜇(𝑃)∙ ∇Φ

(27)

O termo Φ representa o potencial de fluxo. O potencial é o agente responsável e

propulsor do deslocamento do fluido no meio poroso. A regra básica é de os fluidos sempre se

deslocarem de pontos de maior para pontos de menor potencial, ou seja, o potencial diz o

sentido do escoamento no meio poroso. Se em um meio poroso existe deslocamento de fluido

de um local para outro, é intuitivo que estes locais possuem potèncias de fluxo diferentes.

Quando o fluxo é assumido na horizontal, ou seja, os pontos de observação estiverem na mesma

altura em relação a um plano horizontal, o componente gravitacional é zero e o potencial se

reduz ao efeito de pressão.

Feitas estas considerações, a equação de Darcy adotada neste trabalho será a

exposta através das equações 28 para óleo e 29 para a água.

ʋ = −

𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇∙ ∇P

(28)

ʋ = −

𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇∙ ∇P

(29)

48

3.3.3 Equação de Estado

Última das equações a ser exposta antes de introduzir a Equação da Difusividade

Hidráulica, a Equação de Estado descreve como o volume de rochas e fluidos se comportam na

variação de pressão e temperatura, através da compressibilidade de fluidos (será assumido

sistema isotérmico, assim existirão apenas variações de pressão). Para o óleo e a água, a

compressibilidade é expressa pela equação 30.

c =

1

𝜌(𝜕𝜌

𝜕𝑃)

𝑇=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

(30)

Como o óleo a água apresentam valores de compressibilidade muito baixos, estes

são considerados incompressíveis, apresentando massas específicas com valor de grandeza

muito semelhantes e constantes na posição e tempo. Sendo assim, esta será uma condição a ser

adotada no item (3.3.4), no desenvolvimento da Equação da Difusividade Hidráulica.

3.3.4 Equação da Difusividade Hidráulica

Após o desenvolvimento da Equação de Conservação de Massa, Equação de Darcy

e Equação de Estado, pode-se, enfim, reorganizá-las para se obter a Equação da Difusividade

Hidráulica. O primeiro passo é eliminar a velocidade de fluxo da equação 26, usando as

equações 28, 29 e 30, resultando na equação 31:

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜌 ∙ 𝜙 ∙

𝑆

𝐵) = ∇(𝜌 ∙

𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟

𝜇 ∙ 𝐵∙ ∇𝑃) + 𝜌 ∙ 𝑞𝑝𝑜ç𝑜,𝑆𝑇𝐷

(31)

O próximo passo é expandir os termos em parênteses da equação 31, através da

Regra da Cadeia, resultando na equação 32.

49

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜙 ∙

𝑆

𝐵) ∙ 𝜌 + (𝜙 ∙

𝑆

𝐵) ∙

𝜕𝜌

𝜕𝑡= 𝜌 ∙ ∇ (

𝑘(𝑟,𝑧)∙𝑘𝑟

𝜇∙𝐵∙ ∇𝑃) + (

𝑘(𝑟,𝑧)∙𝑘𝑟

𝜇∙𝐵∙ ∇𝑃) ∙

∇(𝜌) + 𝜌 ∙ 𝑞𝑝𝑜ç𝑜,𝑆𝑇𝐷

(32)

O último passo é a eliminação das parcelas (𝒌(𝒓,𝒛)∙𝒌𝒓

𝝁∙𝑩∙ 𝜵𝑷) ∙ 𝜵(𝝆) e (𝝓 ∙

𝑺

𝑩) ∙

𝝏𝝆

𝝏𝒕

já que os termos 𝝏𝝆

𝝏𝒕 e 𝜵(𝝆) são muito pequenos, considerados desprezíveis (simplificação para

fluidos pouco compressíveis). Sendo assim, feita esta simplificação e dividindo os outros

termos da equação 32 por 𝝆, chega-se a Equação da Difusividade Hidráulica para o óleo e para

a água, através das equações 33 e 34, respectivamente.

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜙 ∙

𝑆𝑜

𝐵𝑜) = ∇(


𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜) + 𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷

(33)

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜙 ∙

𝑆𝑤

𝐵𝑤) = ∇(


𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇𝑃𝑤) + 𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

(34)

Além disso, deve-se considerar a relação de saturação e pressão capilar entre as

fases óleo e água a partir da equação 35 e 36, respectivamente.

𝑆𝑜+𝑆𝑤 = 1

(35)

𝑃𝑜−𝑃𝑤 = 𝑃𝑐𝑜𝑤

(36)

50

Com estas relações, pode-se usar as equações 35 e 36 para eliminar os termos 𝑺𝒐 e

𝑷𝒘 das equações 33 e 34, já que, usualmente, a saturação avaliada é da água e a pressão a do

óleo. Esta alteração resulta nas equações 37 e 38:

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜙 ∙

(1 − 𝑆𝑤)

𝐵𝑜) = ∇(



(37)

𝜕

𝜕𝑡∙ (𝜙 ∙

𝑆𝑤

𝐵𝑤) = ∇(


𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) + 𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

(38)

A fim de preparar as equações para o tratamento numérico, a última manipulação

antes do mesmo é aplicar a Regra da Cadeia com respeito a 𝑷𝒐 aos termos transientes das

equações 37 e 38, resultando nas equações 39 e 40.

(1 − 𝑆𝑤) ∙ 𝐶1 ∙

𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑡− 𝐶2 ∙

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡= ∇(



(39)

𝑆𝑤 ∙ 𝐶3 ∙

𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑡+ 𝐶4 ∙

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡= ∇(


𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) + 𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

(40)

Onde:

𝐶1 = 𝜙 ∙

𝜕

𝜕𝑃𝑜(

1

𝐵𝑜) +

1

𝐵𝑜∙𝜕𝜙

𝜕𝑃𝑜

(41)

51

𝐶2 = (

𝜙

𝐵𝑜)

(42)

𝐶3 = 𝜙 ∙

𝜕

𝜕𝑃𝑜(

1

𝐵𝑤) +

1

𝐵𝑤∙𝜕𝜙

𝜕𝑃𝑜

(43)

𝐶4 = (

𝜙

𝐵𝑤)

(44)

O grande desafio ao se analisar as equações 39 e 40, é o fato da maioria dos

parâmetros destas equações serem funções das incógnitas a serem determinadas do problema,

como a pressão e saturação. Outro problema é que variáveis como permeabilidades relativas e

vazão de produção de óleo e água sofrem alterações de valor ao longo de todo o período de

estudo enquanto o poço estiver em produção e variação espacial ao longo de todo o reservatório.

Nesse sentido, o uso da modelagem numérica se apresenta como uma grande ferramenta para a

resolução deste sistema de equações e é isto que será abordado no item a seguir.

3.4 Modelo numérico

3.4.1 O Método dos Volumes Finitos

Como dito no item anterior, o grande objetivo desta seção é o desenvolvimento do

tratamento numérico das equações 39 e 40, a fim de se obter uma solução aproximada, porém

coerente com a realidade do sistema poço-reservatório. Desta forma, a primeira questão a ser

levantada é qual método de discretização adotar, ou seja, qual método mais se encaixa na análise

dos resultados obtidos no estudo das diferentes geometrias de canhoneio, que é o grande desafio

deste trabalho.

A literatura tem à disposição muitos destes métodos de discretização, como a

discretização por diferenças finitas, elementos finitos ou volumes finitos. Porém, uma série de

fatores motivaram a escolha pelo método dos volumes finitos. Este método descreve o

reservatório através de volumes de controle, assegurando a conservação das propriedades em

52

cada um destes volumes. Os fatores para a escolha foram: (Hartmann, 2011)

1. A capacidade deste método de lidar com a conservação de propriedades (balanço

de massa), característica fundamental se tratando de uma análise que envolve escoamento de

fluidos em meios porosos;

2. Como será visto a diante, o fato da geometria a ser analisada ser de pouca

complexidade, não requerendo uma malha sofisticada para análise e pretenções deste trabalho;

3. Não existir grande complexidade geológica no reservatório em questão, como

falhas por exemplo;

4. Um dos métodos mais populares e conhecidos para a resolução do problema em

questão.

Uma vez decidido pelo uso do Método dos volumes finitos, o próximo passo, antes

de manipular as equações propriamente ditas, é a exposição do padrão de discretização do

reservatório. A malha é composta por um total 𝑵𝒓𝑵𝒛 de blocos, visto que 𝑵𝒓 é o número de

segmentos no raio e 𝑵𝒛 o número de segmentos na altura.

Deve-se destacar ainda que a discretização utilizada não é uniforme. A figura 3.5

mostra uma malha uniforme e a figura 3.6 mostra um esboço da malha implementada neste

trabalho, não uniforme. Assim, percebe-se que a malha adotada nas proximidades do poço é

muito mais fina do que a adotada para regiões mais distantes. Isso é diretamente relacionado ao

objetivo do trabalho que é a análise da eficiência da geometria do canhoneio, que evidentemente

acontece em regiões próximas ao poço. O tamanho real (em metros) correspondente a cada

bloco será apresentado no capítulo 4. Também no capítulo 4 (item 4.2.1) é exposta a equação

usada para refinar o tamanho dos blocos junto ao poço.

Complementarmente, deve estar claro que cada volume apresenta propriedades

constantes, calculadas a partir de médias e que o procedimento utilizado de resolução para

pressão será implícito, ou seja, todas as pressões são consideradas desconhecidas em um

determinado intervalo de tempo.

53

Figura 3.6 - Malha Não Uniforme FONTE: Adaptado de Santana, 2014

Figura 3.5 - Malha Uniforme FONTE: Adaptado de Santana, 2014

54

3.4.2 Execução do Método dos Volumes Finitos

O método dos Volumes Finitos será aplicado às equações 39 e 40. Integrando-as

com relação ao volume de controle V em um tempo 𝜟𝒕 , se obtém as equações 45 e 46:

∫ ∭ ⌈(1 − 𝑆𝑤) ∙ 𝐶1 ∙𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑡− 𝐶2 ∙

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡⌉ 𝑑𝑉𝑑𝑡 = ∫ ∭ ∇(

𝑘(𝑟,𝑧)∙𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜∙𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜)𝑑𝑉𝑑𝑡 +

𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡

∫ ∭ (𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷 )𝑑𝑉𝑑𝑡

𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡 (45)

∫ ∭ ⌈𝑆𝑤 ∙ 𝐶3 ∙𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑡+ 𝐶4 ∙

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡⌉ 𝑑𝑉𝑑𝑡 = ∫ ∭ ∇(

𝑘(𝑟,𝑧)∙𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤∙𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) 𝑑𝑉𝑑𝑡 +

𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡

∫ ∭ (𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷 )𝑑𝑉𝑑𝑡

𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡 (46)

Relaciona-se a parcela divergente das equações 45 e 46 com as respectivas integrais

de superfície ao longo dos volumes de controle e estas integrais de superfície com um somatório

variando de 1 a 6, pois, de acordo com a figura 3.4, o volume cilíndrico apresenta 6 fáceis. Estas

relações estão expostas através das equações 47 e 48:

∫ ∭∇(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜)𝑑𝑉𝑑𝑡

𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡

= ∯(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜)𝑑𝑆

𝜕𝑉

= ∑(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜) ∙ 𝑛�� ∙ ∆𝑆𝑖

6

𝑖=1

(47)

55

∫ ∭∇(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤))𝑑𝑉𝑑𝑡

𝑉

𝑡+Δ𝑡

𝑡

= ∯ (𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) 𝑑𝑆

𝜕𝑉

= ∑(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) ∙ 𝑛�� ∙ ∆𝑆𝑖

6

𝑖=1

(48)

O passo seguinte é avaliar cada uma das parcelas das equações 47 e 48. Sendo assim,

são computados os gradientes de 𝐏𝐨 e 𝐏𝐨 − 𝐏𝐜𝐨𝐰 em cada uma das direções de fluxo, levando

em consideração que os gradientes 𝝏𝑷𝒐

𝝏𝜽 são nulos, já que se considera inexistência de

escoamento na direção circunferencial. Além disso, para as derivadas parciais restantes, aplica-

se aproximação por Series de Taylor de Primeira Ordem, se obtendo, através das equações 49

e 50, a discretização do termo difusivo do óleo e da água, respectivamente.

∑(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜) ∙ 𝑛�� ∙ ∆𝑆𝑖

6

𝑖=1

=

= (𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜)𝑒

∙𝑃𝑜,𝑒 − 𝑃𝑜,𝐶

(∆𝑟𝑒 + ∆𝑟𝐶

2 )∙ (𝑟𝐶 +

∆𝑟𝐶2

) ∙ ∆𝜃𝐶 ∙ ∆𝑧𝐶

−(𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜)𝑤

∙𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑤

(∆𝑟𝐶 + ∆𝑟𝑤

2 )∙ (𝑟𝐶 −

∆𝑟𝐶2

) ∙ ∆𝜃𝐶 ∙ ∆𝑧𝐶

+(𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜)𝑛

∙𝑃𝑜,𝑛 − 𝑃𝑜,𝐶

(∆𝑧𝑛 + ∆𝑧𝐶

2 )∙ (𝑟𝐶) ∙ ∆𝑟𝐶 ∙ ∆𝜃𝐶

−(𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜)𝑠

∙𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑠

(∆𝑧𝐶 + ∆𝑧𝑠

2 )∙ (𝑟𝐶) ∙ ∆𝑟𝐶 ∙ ∆𝜃𝐶

(49)

∑(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) ∙ 𝑛�� ∙ ∆𝑆𝑖

6

𝑖=1

= (50)

56

= (𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤)𝑒

∙(𝑃𝑜,𝑒 − 𝑃𝑜,𝐶) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑒 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶)


2 )∙ (𝑟𝐶 +

∆𝑟𝐶2

) ∙ ∆𝜃𝐶 ∙ ∆𝑧𝐶

−(𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤)𝑤

∙(𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑤) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑤)


2 )∙ (𝑟𝐶 −

∆𝑟𝐶2

) ∙ ∆𝜃𝐶

∙ ∆𝑧𝐶

+(𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤)𝑛

∙(𝑃𝑜,𝑛 − 𝑃𝑜,𝐶) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑛 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶)


2 )∙ (𝑟𝐶) ∙ ∆𝑟𝐶 ∙ ∆𝜃𝐶

−(𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤)𝑠

∙(𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑠) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑠)


2 )∙ (𝑟𝐶) ∙ ∆𝑟𝐶 ∙ ∆𝜃𝐶

Quanto o tratamento dos termos de vazão e transientes das equações 45 e 46, para

o segundo, considera-se constante ao longo de todo volume de controle para um mesmo instante

de tempo, sendo então simplificado por (∆𝑽)𝒄. Já os termos de vazão, foram calculados por

unidade volumétrica, então, a integração no volume resulta imediatamente em vazão de

produção do bloco para um dado intervalo de tempo. Sendo assim, após a integração no volume,

as equações 45 e 46 resultam nas equações 51 e 52:

∫ ⌈(1 − 𝑆𝑤) ∙ 𝐶1 ∙𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑡− 𝐶2 ∙

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡⌉ ∆𝑉𝐶𝑑𝑡 = ∫ ∑ (

𝑘(𝑟,𝑧)∙𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜∙𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜) 𝑛𝑖 ∙ ∆𝑆𝑖𝑑𝑡 +6

𝑖=1𝑡+∆𝑡

𝑡

𝑡+∆𝑡

𝑡

∫ (𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷 )𝑑𝑡

𝑡+Δ𝑡

𝑡 (51)

∫ ⌈(𝑆𝑤) ∙ 𝐶3 ∙𝜕𝑃𝑜

𝜕𝑡+ 𝐶4 ∙

𝜕𝑆𝑤

𝜕𝑡⌉ ∆𝑉𝐶𝑑𝑡 = ∫ ∑ (

𝑘(𝑟,𝑧)∙𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤∙𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) 𝑛𝑖 ∙ ∆𝑆𝑖𝑑𝑡 +6

𝑖=1𝑡+∆𝑡

𝑡

𝑡+∆𝑡

𝑡

∫ (𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷 )𝑑𝑡

𝑡+Δ𝑡

𝑡 (52)

Falta ainda realizar a integração com relação ao tempo. Com relação ao termo

difusivo, por não depender do tempo, sua integral resulta em ∆𝒕 . O termo de vazão também é

integrado em ∆𝒕 , já que em um mesmo step a vazão é assumida como constante.

Com relação a parcela transiente, os termos 𝝏𝑷𝒐

𝝏𝒕 e

𝝏𝑺𝒘

𝝏𝒕 devem ser discretizados

57

antes de serem integrados, resultando respectivamente em 𝝏𝑷𝒐

𝝏𝒕=

(𝑷𝒐−𝑷𝒐𝒊)

𝚫𝒕 e

𝝏𝑺𝒘

𝝏𝒕=

(𝑺𝒘−𝑺𝒘𝒊)

𝚫𝒕 .

Desta forma, as equações 51 e 52 geram as equações 53 e 54:

[(1 − 𝑆𝑤𝑖) ∙ 𝐶1 ∙

(𝑃𝑜 − 𝑃𝑜𝑖)

Δ𝑡− 𝐶2 ∙

(𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖)

Δ𝑡] ∙ Δ𝑉𝐶 ∙ Δ𝑡

= ∑(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜∙ ∇𝑃𝑜)𝑛𝑖 ∙ ∆𝑆𝑖 ∙ Δ𝑡 + (𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷

) ∙ Δ𝑡

6

𝑖=1

(53)

[(𝑆𝑤𝑖) ∙ 𝐶3 ∙

(𝑃𝑜 − 𝑃𝑜𝑖)

Δ𝑡+ 𝐶4 ∙

(𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖)

Δ𝑡] ∙ Δ𝑉𝐶 ∙ Δ𝑡

= ∑(𝑘(𝑟, 𝑧) ∙ 𝑘𝑟𝑤

𝜇𝑤 ∙ 𝐵𝑤∙ ∇(𝑃𝑜 − 𝑃𝑐𝑜𝑤)) 𝑛𝑖 ∙ ∆𝑆𝑖 ∙ Δ𝑡

6

𝑖=1

+ (𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷 ) ∙ Δ𝑡

(54)

Substituindo as equações 49 e 50 em 53 e 54 e dividindo tudo por 𝚫𝑽𝑪 ∙ 𝚫𝒕,

tem-se para o óleo e para a água, respectivamente as equações 55 e 56.

1

Δ𝑡∙ [(1 − 𝑆𝑤𝑖) ∙ 𝐶1 ∙ (𝑃𝑜 − 𝑃𝑜𝑖) − 𝐶2 ∙ (𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖)]

= + (𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑜


∙(𝑃𝑜,𝑒 − 𝑃𝑜,𝐶)


2)

∙(𝑟𝐶 +

∆𝑟𝐶2 )

𝑟𝐶 ∙ Δ𝑟𝐶

−(𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑜


∙(𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑤)


2 )∙(𝑟𝐶 −

∆𝑟𝐶2 )

𝑟𝐶 ∙ Δ𝑟𝐶

+(𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑜


∙(𝑃𝑜,𝑛 − 𝑃𝑜,𝐶)


2 )∙

1

Δ𝑧𝐶

(55)

58

− (𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜)𝑧

∙(𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑠)


2 )∙

1

Δ𝑧𝐶+

(𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷 )

Δ𝑉

1

Δ𝑡∙ [(𝑆𝑤𝑖) ∙ 𝐶3 ∙ (𝑃𝑜 − 𝑃𝑜𝑖) + 𝐶4 ∙ (𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖)]

= (𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑤


∙(𝑃𝑜,𝑒 − 𝑃𝑜,𝐶) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑒 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶)


2 )

∙ (𝑟𝐶 +∆𝑟𝐶2

) ∙ Δ𝜃𝐶 ∙ Δ𝑧𝐶 − (𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑤


∙(𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑤) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑤)


2 )∙ (𝑟𝐶 −

∆𝑟𝐶2

) ∙ Δ𝜃𝐶

∙ Δ𝑧𝐶 + (𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑤


∙(𝑃𝑜,𝑛 − 𝑃𝑜,𝐶) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑛 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶)


2 )

∙ (𝑟𝐶) ∙ Δ𝑟𝐶 ∙ Δ𝜃𝐶 − (𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑤


∙(𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜,𝑠) − (𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶 − 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑠)


2)

∙ (𝑟𝐶) ∙ Δ𝑟𝐶 ∙ Δ𝜃𝐶

+(𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉

(56)

Afim de simplificar um pouco as equações 55 e 56, pode-se separar os termos

dependentes de pressão e os termos constantes e aplicar variável transmissibilidade (relacionada

a comunicação de fluidos entre os blocos) resultando nas equações 57 e 58.

𝜏𝑜,𝑛 ∙ 𝑃𝑜,𝑛 + 𝜏𝑜,𝑠 ∙ 𝑃𝑜,𝑠 + 𝜏𝑜,𝑒 ∙ 𝑃𝑜,𝑒 + 𝜏𝑜,𝑤 ∙ 𝑃𝑜,𝑤 − 𝜏𝑜,𝐶 ∙ 𝑃𝑜,𝐶

= 𝐶𝑜𝑝,𝐶 ∙ (𝑃𝑜 − 𝑃𝑜𝑖) + 𝐶𝑜𝑤,𝐶 ∙ (𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖) −(𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉𝐶

(57)

59

𝜏𝑤,𝑛 ∙ 𝑃𝑜,𝑛 + 𝜏𝑤,𝑠 ∙ 𝑃𝑜,𝑠 + 𝜏𝑤,𝑒 ∙ 𝑃𝑜,𝑒 + 𝜏𝑤,𝑤 ∙ 𝑃𝑜,𝑤 − 𝜏𝑤,𝐶 ∙ 𝑃𝑜,𝐶

= 𝐶𝑤𝑝,𝐶 ∙ (𝑃𝑜 − 𝑃𝑜𝑖) + 𝐶𝑤𝑤,𝐶 ∙ (𝑆𝑤 − 𝑆𝑤𝑖) −(𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉𝐶

+ 𝐷𝑐𝑜𝑤,𝐶

(58)

Onde (equações 59 e 60):

𝜏𝑜,𝑛 = (

2

Δ𝑧𝐶 + Δz𝑛) ∙ (

1

Δ𝑧𝐶) ∙ (

𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑜


𝜏𝑜,𝑠 = (2

Δ𝑧𝐶 + Δz𝑠) ∙ (

1

Δ𝑧𝐶) ∙ (

𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑜

𝜇𝑜 ∙ 𝐵𝑜)𝑠

𝜏𝑜,𝑒 = (2

Δ𝑟𝐶 + Δr𝑒) ∙ (

1

Δ𝑟𝐶+

1

2𝑟𝐶) ∙ (

𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑜


𝜏𝑜,𝑤 = (2

Δ𝑟𝐶 + Δr𝑤) ∙ (

1

Δ𝑟𝐶−

1

2𝑟𝐶) ∙ (

𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑜


𝜏𝑜,𝐶 = 𝜏𝑜,𝑠 + 𝜏𝑜,𝑒 + 𝜏𝑜,𝑤 + 𝜏𝑜,𝑛

𝐶𝑜𝑝,𝐶 = (1 − 𝑆𝑤𝑖

Δ𝑡) ∙ [𝜙 ∙

𝜕

𝜕𝑃𝑜∙

1

𝐵𝑜+

𝜕𝜙

𝜕𝑃𝑜∙

1

𝐵𝑜]𝐶

𝐶𝑜𝑤,𝐶 = −(1

Δ𝑡) ∙ [𝜙 ∙

1

𝐵𝑜]𝐶

(59)

𝜏𝑤,𝑛 = (

2

Δ𝑧𝐶 + Δz𝑛) ∙ (

1

Δ𝑧𝐶) ∙ (

𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑤


𝜏𝑤,𝑠 = (2

Δ𝑧𝐶 + Δz𝑠) ∙ (

1

Δ𝑧𝐶) ∙ (

𝑘𝑧 ∙ 𝑘𝑟𝑤


𝜏𝑤,𝑒 = (2

Δ𝑟𝐶 + Δr𝑒) ∙ (

1

Δ𝑟𝐶+

1

2𝑟𝐶) ∙ (

𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑤


𝜏𝑤,𝑤 = (2

Δ𝑟𝐶 + Δr𝑤) ∙ (

1

Δ𝑟𝐶−

1

2𝑟𝐶) ∙ (

𝑘𝑟 ∙ 𝑘𝑟𝑤


𝜏𝑤,𝐶 = 𝜏𝑤,𝑠 + 𝜏𝑤,𝑒 + 𝜏𝑤,𝑤 + 𝜏𝑤,𝑛

𝐶𝑤𝑝,𝐶 = (𝑆𝑤𝑖

Δ𝑡) ∙ [𝜙 ∙

𝜕

𝜕𝑃𝑜∙

1

𝐵𝑤+

𝜕𝜙

𝜕𝑃𝑜∙

1

𝐵𝑤]𝐶

(60)

60

𝐶𝑤𝑤,𝐶 = +(1

Δ𝑡) ∙ [𝜙 ∙

1

𝐵𝑤]𝐶

𝐷𝑐𝑜𝑤,𝐶 = 𝜏𝑤,𝑛 ∙ 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑛 + 𝜏𝑤,𝑠 ∙ 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑠 + 𝜏𝑤,𝑒 ∙ 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑒 + 𝜏𝑤,𝑤 ∙ 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝑤

− 𝜏𝑤,𝐶 ∙ 𝑃𝑐𝑜𝑤,𝐶

As equações 57 e 58 são o produto final das manipulações matemáticas do Método

dos Volumes Finitos. Na próxima seção, estas equações são tratadas pelo Método Implict

Pressure, Explicit Saturation (IMPES), no qual são calculados os valores de pressão e saturação

em cada bloco, a fim de otimizar este procedimento.

3.4.3 Método IMPES

O método IMPES surgiu no início das simulações de reservatórios e é uma das

técnicas mais populares se tratando de resolução de equações como as equações 57 e 58, onde

os fluidos modelados são pouco compressíveis ou incompressíveis. Além disso, este método

foi escolhido devido a alguns outros fatores como: (Silva, 2008)

Facilidade de implementação, se comparado com outros métodos;

Pequeno demanda computacional, já que a única variável desconhecida é a

pressão, e, como dito, através dela é calculada a saturação;

Como dito anteriormente, produz bons resultados em fluxo bifásico

imcompressível ou pouco compressível (exatamente o caso deste trabalho);

Gera boas aproximações quando a malha a ser modelada não é muito sofisticada,

que é o caso do estudo em questão.

A grande desvantagem deste método é a exigência de pequena variação de saturação

em um mesmo passo de tempo devido à aproximação explícita para a saturação que o método

reproduz. Contudo, como será visto no capítulo seguinte, este não foi um grande problema na

execução deste trabalho.

De forma simplificada, este método visa resolver de forma parcialmente

desacoplada as variáveis de pressão e saturação, de maneira que a pressão é calculada

61

implicitamente ao longo do reservatório, enquanto que a saturação é atualizada de forma

explícita, usando os dados da própria pressão. Sendo assim, entende-se que a entrada de uma

variável serve como resultado para a outra variável. (Ertekin, 2001)

3.4.4 Execução do Método IMPES

O primeiro passo para execução deste método é o isolamento dos termos de

saturação em ambas as equações 57 e 58 e igualando-as se tem a equação 61:

1

𝐶𝑜𝑤,𝐶∙ [𝜏𝑜,𝑛 ∙ 𝑃𝑜,𝑛 + 𝜏𝑜,𝑠 ∙ 𝑃𝑜,𝑠 + 𝜏𝑜,𝑒 ∙ 𝑃𝑜,𝑒 + 𝜏𝑜,𝑤 ∙ 𝑃𝑜,𝑤 − 𝜏𝑜,𝐶 ∙ 𝑃𝑜,𝐶

− 𝐶𝑜𝑝,𝐶 ∙ (𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜𝑖) +(𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉]

=1

𝐶𝑤𝑤,𝐶

∙ [𝜏𝑤,𝑛 ∙ 𝑃𝑜,𝑛 + 𝜏𝑤,𝑠 ∙ 𝑃𝑜,𝑠 + 𝜏𝑤,𝑒 ∙ 𝑃𝑜,𝑒 + 𝜏𝑤,𝑤 ∙ 𝑃𝑜,𝑤 − 𝜏𝑤,𝐶

∙ 𝑃𝑜,𝐶 − 𝐶𝑤𝑝,𝐶 ∙ (𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜𝑖) − 𝐷𝑐𝑜𝑤,𝐶 +(𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉𝐶]

(61)

Agora, agrupando os termos em comum de pressão, encontra-se a equação 62. Esta

equação é aplicável para cada volume finito do reservatório:

𝐴𝑛 ∙ 𝑃𝑜,𝑛 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑃𝑜,𝑠 + 𝐴𝑒 ∙ 𝑃𝑜,𝑒 + 𝐴𝑤 ∙ 𝑃𝑜,𝑤 − 𝐴𝐶 ∙ 𝑃𝑜,𝐶 = 𝐵𝐶 (62)

Onde:

𝐴𝑒 = 𝜏𝑜,𝑒 −

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ 𝜏𝑤,𝑒

(63)

62

𝐴𝑤 = 𝜏𝑜,𝑤 −

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ 𝜏𝑤,𝑤

(64)

𝐴𝑛 = 𝜏𝑜,𝑛 −

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ 𝜏𝑤,𝑛

(65)

𝐴𝑠 = 𝜏𝑜,𝑠 −

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ 𝜏𝑤,𝑠

(66)

𝐴𝐶 = 𝜏𝑜,𝐶 + 𝐶𝑜𝑝,𝐶 −

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ (𝜏𝑤,𝐶 + 𝐶𝑤𝑝,𝐶)

(67)

𝐵𝐶 = [

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ (𝐶𝑤𝑝,𝐶) − 𝐶𝑜𝑝,𝐶] ∙ 𝑃𝑜𝑖 − [

𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙ (𝐷𝑐𝑜𝑤,𝐶)]

+ [𝐶𝑜𝑤,𝐶

𝐶𝑤𝑤,𝐶∙(𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉−

(𝑞𝑜,𝑆𝑇𝐷 )

Δ𝑉]

(68)

Uma forma de visualizar melhor a equação 62 é através da forma matricial:

(Santana, 2014)

[𝐴] ∙ [𝑃] = [𝐵]

(69)

Onde:

[𝐴] = Matriz de elementos 𝐴𝑖,𝑗 expressa a relação entre cada volume de controle i e os blocos

adjacentes j.Sua diagonal principal equivale aos termos 𝐴𝐶 e as diagonais imediatamente a

esquerda e a direita representam 𝐴𝑤𝑒 𝐴𝑒 respectivamente. Para os elementos posicionados na

fronteira do reservatório, 𝐴𝑤𝑒 𝐴𝑒 são iguais a zero. As outras diagonais representam os

termos simbolizados por 𝐴𝑠𝑒 𝐴𝑛, também existentes apenas para elementos que nçao estejam

na fronteira do sistema.

63

[𝑃] =

𝑃𝑜,1

𝑃𝑜,2

𝑃𝑜,3

𝑃𝑜,4

⋮⋮⋮

𝑃𝑜,𝑖

⋮⋮⋮

𝑃𝑜,𝑛−1

𝑃𝑜,𝑛

(63)

[𝐵] =

𝐵1

𝐵2

𝐵3

𝐵4

⋮⋮⋮𝐵𝑖

⋮⋮⋮

𝐵𝑛−1

𝐵𝑛

(64)

Pela abordagem matricial, finalmente a pressão implícita pode ser obtida pela

equação 62 e com a pressão conhecida, pode-se calcular a saturação do reservatório pela

equação 65:

[𝐴]−1 ∙ [𝐵] = [𝑃]

(65)

64

𝑆𝑤 = 𝑆𝑤𝑖 +1

𝐶𝑤𝑤,𝐶

∙ [𝜏𝑤,𝑛 ∙ 𝑃𝑜,𝑛 + 𝜏𝑤,𝑠 ∙ 𝑃𝑜,𝑠 + 𝜏𝑤,𝑒 ∙ 𝑃𝑜,𝑒 + 𝜏𝑤,𝑤 ∙ 𝑃𝑜,𝑤 − 𝜏𝑤,𝐶

∙ 𝑃𝑜,𝐶 − 𝐶𝑤𝑝,𝐶 ∙ (𝑃𝑜,𝐶 − 𝑃𝑜𝑖) − 𝐷𝑐𝑜𝑤,𝐶 +(𝑞𝑤,𝑆𝑇𝐷

)

Δ𝑉]

Com isso, o papel do simulador será calcular as equações 62 e 65, a medida que

atualiza os valores de constante 𝑨𝒏 , 𝑨𝒔, 𝑨𝒆, 𝑨𝒘, 𝑨𝑪 e 𝑩𝑪 em cada passo de tempo. Assim,

pode-se dizer que toda abordagem matemática e numérica foi tratada neste capítulo, o que dá o

embasamento teórico para prosseguimento do estudo de caso no capítulo a seguir.

65

4 Estudo de caso

Depois de levantados conhecimentos de canhoneio para entendimento do processo,

dados de um reservatório para uma simulação, propriedades de rocha e fluido e

desenvolvimento matemático e numérico, este capítulo tem o objetivo de explicar a construção

do simulador, para uma posterior análise e comparação dos resultados obtidos.

O programa utilizado para construção dessa simulação foi o Wolfram Mathematica

9, que foi capaz de reproduzir as equações descritas no capítulo 3, juntamente com hipóteses

matemáticas e numéricas. Esse programa foi construído com a intenção de formular um

simulador numérico de produção de reservatórios capaz de simular diversos cenários, diferindo

um cenário em relação ao outro apenas com relação à geometria de abertura e penetração do

canhoneio. Condições de produção de reservatório, bem como a movimentação de fluido na

rocha porosa, determinação de regiões de fluido, zonas canhoneadas e zonas abertas, além de

outras variáveis para efetuar o estudo de fluxo de óleo também foram levadas em consideração.

A estratégia de análise do trabalho foi de simular quatro cenários diferentes para o

período de um ano de simulação. Como dito anteriormente, a fim de comparar apenas a

interferência da geometria do canhoneio na produtividade de poços de petróleo, a única

mudança entre os cenários é a geometria do canhoneio. Estes cenários podem ser diferenciados

a partir da tabela 4.1.

Além disso, a fim de observar o comportamento da produção de óleo, pressão de

fundo, fator de recuperação, entre outros fatores, o cenário número 1 e 2 foi simulado para cinco

e dez anos.

Tabela 4.1: Geometria de canhoneio dos cenários analisados

Cenário Nomenclatura Intervalo Canhoneado (m)

1 4x1 20

2 4x2 20

3 6x1 30

4 6x2 30

66

A diferença entre os cenários 1 e 2 e entre os cenários 3 e 4 está na penetração do

canhoneio na rocha reservatório. Os cenários 2 e 4 possuem cerca de duas vezes mais

penetração que os cenários 1 e 3, porém, o critério utilizado para alcançar este valor é explicado

no item 4.1.3. As figuras 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 mostram um esboço de cada um dos cenários para

uma melhor visualização e entendimento da diferença entre os mesmos.

4.1 – Esboço da região canhoneada (cenário 1)


67



68

4.1 Critérios de simulação

4.1.1 Determinação do Grid

Antes de dar continuidade a explicação do simulador, é importante ressaltar a

determinação do grid. Em problemas de método numérico, são utilizadas soluções aproximadas

em determinadas posições, de maneira viável, trocando as soluções de conhecimento exato em

todos os pontos analisados do tempo e espaço.

A determinação de grid vai da lógica empregada no problema, da análise crítica do

engenheiro, e da viabilização de projeto. Esse processo envolve estabelecer regiões mais

relevantes para o estudo da simulação, que é adaptado de um modelo de simulação geológico

mais refinado para um mais simples, realizando o upscalling, no qual o tamanho de blocos do

grid na região mais crítica à análise, são menores, a fim de coletar melhores informações, e em

pontos mais distantes, esses blocos tornam-se maiores, perdendo essa característica refinada

para que se ganhe tempo de execução do problema, o que viabiliza o projeto, dentro das

circunstâncias, exigindo menos trabalho computacional, e ainda garante qualidade de projeto.

Assim, para escolha da malha foi levantado certos aspectos:

Os efeitos de pressão devem estar fundamentados no espaço cilíndrico do

reservatório, agrupando os pontos de interesse, como os de fronteiras e junto ao poço, e obtendo

valores de vazão com pequenas variações próximas aos grids mais refinados;

O tempo dentro de um valor que permita estabilidade e convergência dos valores,

e ao mesmo tempo, que não comprometa o tempo de simulação quando comparado com outros

grids;

Como explicado, o grid tem menor tamanho próximo à região do poço, para que

sejam criados efeitos de escoamento, no qual esses blocos estarão organizados numa função

logarítmica. Na vertical, o grid tem uma variação homogênea, facilitando determinar as regiões

aberto ao fluxo de fluido.

Durante a discretização do tempo foi notado que havia problemas para

determinação do passo de tempo, principalmente pelo uso do método IMPES, que foi um dos

principais métodos utilizados para a modelagem numérica. Diante das simulações, como tempo

69

total de simulação seria um ano, foi pensado em alguns passos de tempo, até alcançar o valor

de um dia, que, para tal, a convergência ocorria, já que mudanças bruscas nas vazões de

produção eram vistas para valores maiores. Porém, visto que os valores ainda oscilavam, foi

adotado um passo de tempo adaptativo, o qual tem papel de reduzir o passo de tempo cada vez

que o programa encontrar instabilidade de solução e assim, retomar ao valor previamente

definido. Porém, nem sempre a retomada para valores maiores conseguia garantir a

convergência, fazendo o programa permanecer numa constante mudança de passo de tempo e

assim estendendo o tempo total de simulação.

Após esse novo problema, o passo de tempo de um dia foi adotado, já que para os

grids testados, esse valor garantia a convergência além de possibilitar a utilização de uma faixa

de vazão de 100 m³/dia a 800 m³/dia.

Com esse problema resolvido, bastava determinar o número de blocos a ser usado.

Inicialmente, os grids analisados para o reservatório foram:

5x5

10x10

15x15

20x20

25x25

Para análise de grid, foi utilizado tempo de simulação de apenas dois meses. O

motivo do curto espaço de tempo de simulação foi para conseguir uma gama maior de grids

para a análise sem que levasse muito tempo de simulação e determinar a partir de qual grid

consegue-se valor com pouca discrepância. Sendo assim, foram escolhidos valores aleatórios,

porém condizentes com a realidade, e simulado para a primeira análise e comparação entre os

grids. O tempo obtido para cada grid pode ser visualizado na Tabela 4.2.

70

Tabela 4.2 – Tempo de simulação

Grid Numérico Tempo (segundos)

5x5 6

10x10 85

15x15 202

20x20 364

25x25 612

Assim, com essa análise, percebe-se inicialmente um crescimento exponencial do

tempo (figura 4.5) à medida que o grid aumenta.

Figura 4.5 – Evolução exponencial do tempo para cada grid

Ao longo do desenvolvimento dos grids, foi notado que o grid 5x5 eliminava região

de interesses para análise da região aberta a produção, sendo descartado antes de seguir para os

critérios de análise.

A partir disso, ainda falta definir qual exatamente dos grids será utilizado. Assim,

como comentado, o valor agora de critério será o resultado de volume de óleo produzido, para

visualizar em quais grids o valor gerado são próximos. Primeiramente, pode-se observar na

tabela 4.3 que a diferença entre os volumes de óleo obtidos para cada grid foram muito próximos.

5x5

10x10

15x15

20x20

25x25, 612

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6

Tem

po

Grid

Evolução do tempo de simulação

Tempo (segundos)

71

Tabela 4.3- Volume de óleo produzido para todos os grids

Grid

Numérico Volume de óleo

(m³)

Discrepância

(%)

5x5 0 -

10x10 30702 -

10x15 30660 0,14

15x15 30642 0,06

20x20 30612 0,10

25x25 30610 0,01

Assim, visto que os valores são próximos, o valor do grid 25x25 é eliminado já que

na tabela 4.2 ele apresentou um tempo de execução muito superior que os outros testes, 1543

segundos. Seguindo a mesma lógica, os grids de 20x20 e 15x15 também foram eliminados, pois

levaram tempo superior (não tão grande quanto o 25x25) que outros grids menores. Por essa

lógica, o 10x15 deveria ser eliminado e o 10x10 mantido, porém, este por ter apenas 10 blocos

na direção do raio ficaria um pouco mais limitado no dimensionamento de profundidade

alcançada pelo canhoneio. Sendo assim, o grid 10x15 foi o escolhido por ter maior quantidade

de blocos na direção do raio e ainda sim manter um tempo menor que o grid 15x15, já que na

vertical não era necessário maior divisão de blocos. O resultado de simulação não será

prejudicado e o tempo total de simulação para casos de um ano (proposta de simulação dos

casos) não será muito longo, podendo ser estudado várias situações de canhoneio.

4.1.2 Critério de permeabilidade

Após a determinação do grid de simulação a ser usado, outro critério de

fundamental importância a ser analisado é o valor de permeabilidade. Esse critério deve ser

verificado, visto que há duas regiões com diferentes permeabilidades, a do canhoneio e a da

rocha reservatório.

Nesta análise, o desafio é determinar o menor e maior valor que se pode empregar

para a permeabilidade do canhoneio e da rocha reservatório e o intervalo que o simulador gere

valores condizentes com a realidade.

72

O primeiro teste foi executar o programa com a permeabilidade de reservatório no

valor de 150mD e a permeabilidade do canhoneio no valor de 1500mD (ou seja, permeabilidade

do canhoneio 10 vezes maior). Para esse caso, o simulador convergiu sem problemas.

Sendo assim, resolvemos aumentar a permeabilidade do canhoneio para o valor de

15000mD e manter a permeabilidade do reservatório. (ou seja, nesse caso, a permeabilidade do

canhoneio seria de 100 vezes maior). Entretanto, para esse caso, o programa diminuía o passo

de tempo e não conseguia convergir (o motivo para a não convergência será explicado no item

4.1.3). Então, concluímos que o valor adotado para a permeabilidade do canhoneio estava muito

elevado.

Então, executamos mais um caso, mantendo de novo a permeabilidade do

reservatório no valor de 150mD e aumentando a permeabilidade do canhoneio agora para o

valor de 2000mD. Mais uma vez, o programa apenas reduzia o passo de tempo e não convergia

após um tempo de simulação muito grande.

Após executados estes três casos, podemos concluir que o valor máximo de

permeabilidade do canhoneio seria próximo de 1500mD. Assim, o próximo passo foi verificar

o valor mínimo a ser adotado para permeabilidade do reservatório, a fim de conseguir o maior

range entre as duas permeabilidades.

Desta maneira, executamos mais um caso, fixando dessa vez a permeabilidade do

canhoneio em 1500mD e admitindo a permeabilidade do reservatório em 1mD. Para este caso,

o programa não convergiu.

Um quinto caso foi executado, fixando mais uma vez a permeabilidade do

canhoneio em 1500mD e ajustando a permeabilidade do reservatório em 10mD, porém este

caso também não convergiu.

No momento que executamos o quinto caso que não convergiu, pensamos que a não

convergência não se deu devido aos valores usados, mas sim a grande diferença entre os dois

valores de permeabilidade (150 vezes maior). Então, executamos um sexto caso, com uma

diferença de range na ordem de 100 vezes maior e então admitimos os valores de 10mD e

1000mD para permeabilidade do reservatório e do canhoneio, respectivamente. Para este caso,

o programa executou a simulação sem problemas de convergência e em um tempo de simulação

adequado. Dessa forma, julgamos os valores estarem condizentes com a realidade e então

73

encerramos o estudo de critério de permeabilidades. A tabela 4.4 mostra de forma simplificada

todos os casos executados para o critério de permeabilidades.

Tabela 4.4 – Casos executados no critério de permeabilidade

4.1.3 Critério de estabilidade

Como foi explicado anteriormente, a ideia inicial deste trabalho é de usar uma

malha refinada junto ao poço, já que é exatamente nestes blocos que o canhoneio tem maior

influência, a fim de gerar blocos com um tamanho na direção “r” bem pequeno. Entretanto,

uma malha muito refinada perto do poço pode conduzir a soluções instáveis e, portanto, a

resultados pouco ou nada representativos. (Rosa, 2011)

Nesse sentido, o critério para análise de estabilidade e definição da malha ideal deve

obedecer ao critério de von Newmann. Este critério possui soluções para a abordagem explícita

e implícita, porém, como neste trabalho foi adotada uma análise explícita para a saturação

(Método IMPES), a solução para este caso será abordada a seguir. (Rosa, 2011)

Após manipulação matemática da formulação explícita para saturação, este critério

gera como solução a inequação 66:

∆𝑡 ≤

1

2

(∆𝑥)2

𝜂 (66)

74

onde, ∆𝑡 é intervalo de tempo, ∆𝑥 é o tamanho da malha e 𝜂 =𝑘

𝜙.𝜇.𝐶𝑡

É neste ponto que se encontra a maior adversidade deste trabalho. Ao mesmo tempo

em que devemos adotar permeabilidades elevadas justamente para caracterizar a zona

canhoneada (no item 4.1.2 foi decidido que iria ser adotado 10mD para a zona não canhoneada

e 1000mD para a zona canhoneada), a constante da difusividade hidráulica (𝜂) acaba ficando

com um valor elevado e então o tamanho da malha deverá ser maior para que o lado direito da

inequação 66 seja maior que o lado esquerdo (∆𝑡). É exatamente esta a explicação para muitos

casos não convergirem quando simulados no item 4.1.2. Um exemplo desta não convergência

pode ser visualizado na tabela 4.5, onde foi simulado para uma permeabilidade mil vezes maior

na região de canhoneio e com o aumento do grid, houve diminuição do tamanho do bloco (∆𝑥).

Tabela 4.5- Tempo de simulação para permeabilidade de canhoneio mil vezes maior

Grid

Numérico Tempo

(segundos)

5x5 6

10x10 87

10x15 137

15x15 não converge

20x20 não converge

25x25 não converge

Sendo assim, visando a convergência do simulador e após uma série de rodadas de

simulação, foi adotado que a malha usada para todos os cenários simulados deveria ser a exposta

na figura 4.6. Esta figura deve ser entendida como o primeiro valor sendo o tamanho na direção

r do primeiro bloco (17,3568 metros), o segundo valor o tamanho do segundo bloco (24,4924

metros), e assim por diante, totalizando os 600 metros que é tamanho do raio usado para o

reservatório.

Figura 4.6 – Comprimento na direção r de cada bloco

75

4.2 Construção do simulador

Nesse momento, são explicados minuciosamente os principais códigos do programa

Wolfram Mathematica, levantando os pontos mais importantes para posterior análise e

comparação dos cenários. Vale ressaltar que o simulador em si foi construído de forma genérica

(para ser aplicado em qualquer tipo de reservatório) e, por conta disso, considera alguns

fenômenos irrelevantes para este trabalho em específico, como injeção/produção de água.

Sendo assim, tais condições foram mantidas no simulador, porém inativas, como é exposto mais

a diante.

4.2.1 Dados de entrada

Os dados de entrada correspondem às informações iniciais de reservatório, além de

outras condições iniciais que dizem respeito ao funcionamento do simulador em si. Os dados

que caracterizam o reservatório foram escolhidos de forma a representar um reservatório

genérico, porém condizente com a realidade. São elas:

Número de blocos na zona do óleo e água (Figura 4.7)

Figura 4.7 – Número de blocos em cada região

Tempo do Time-Step e tempo de simulação (Figura 4.4). Como pode-se observar

na figura 4.8 (os valores encontram-se em segundos), foi utilizado um passo de tempo na

simulação de 1 dia.

76

Figura 4.8 – Tempo do passo de tempo e tempo total de simulação

Malha irregular no sentido do raio, representado pela equação de malha

logarítmica, descrevendo o upscaling. O erro máximo de pressão no qual o programa reinicia o

looping caso o erro seja maior que o declarado. Por último, a altura de transição de água e óleo,

na qual representa o intervalo que saturação varia gradativamente, que será descrito futuramente

no programa. (Figura 4.9)

Figura 4.9 – Utilização de malha irregular e sua função, valor de convergência da pressão e altura da região de

transição entre a região do óleo e o aquífero

Dados de geometria do sistema e pontos iniciais (Tabela 4.6)

Tabela 4.6: Dados de geometria do sistema

Nomenclatura no Wolfram

Mathematica Valor Unidade Descrição

radius 600 m Raio do reservatório

height 50 m Altura da zona de óleo

azimuth 2𝜋 - Variação radial do reservatório

aquifer 2 -

Proporção do aquífero sobre a

espessura da camada de óleo

rwf 3,5*0,0254 m Raio do poço

R0 3.5*0,0254 m Equivalente ao valor do raio do poço

Z0 0 -

𝜃0 0 -

T0 0 -

Condição de contorno interno, importante para iniciar o programa com vazão

prescrita e não com a pressão. (Figura 4.10). Trata-se da região onde o fluido é produzido,

consequentemente a região canhoneada de interesse, podendo ser dupla ou até mesmo com

injeção de água. Nesse trabalho, foi abordado a completação simples no óleo.

77

Figura 4.10 – Determinação de uma vazão prescrita

O intervalo Δo1 e Δo2 representam a região aberta do poço, bastante importante

para essa simulação, já que será a região onde ocorre o canhoneio, portanto, região onde a

geometria do mesmo é descrita. É de fundamental entendimento que a geometria da região

canhoneada é descrita por meio dos valores de permeabilidade mais elevados e pela condição

de que pontos de canhoneio possuem a vazão não nula ou pressão prescrita (Figura 4.10). O

intervalo Δw1 e Δw2 representa a região aberta do poço no aquífero, entretanto neste trabalho

não haverá região aberta no aquífero, portanto foram adotados valores iguais. (Figura 4.11)

Figura 4.11 – Pontos iniciais e finais de abertura da zona de óleo e água

Dados relacionados ao reservatório, como propriedades de rocha

(compressibilidade, saturação, etc.), propriedades de fluido (viscosidade, fator volume-

formação, densidade, etc.), vazões de produção de óleo e de água (esta última considerada igual

à zero), etc., fechando assim o conjunto de dados para iniciar o programa (Tabela 4.7). Note

que nessa parte adotam-se dois valores de permeabilidade horizontal: a do reservatório e a do

canhoneio, sendo a permeabilidade do canhoneio muito maior que a do reservatório, pois, como

dito anteriormente, é feito isso para caracterizar a zona aberta após a operação de canhoneio,

zona de produção.

Tabela 4.7: Dados do reservatório

Nomenclatura no

Wolfram Mathematica Valor Unidade Descrição

Pinic 2 ∗ 107 Pa Pressão inicial do reservatório

Pbolha 8 ∗ 106 Pa Pressão de bolha

78

Pwf 8 ∗ 106 Pa Pressão de fundo de poço (igual à pressão de

bolha para garantia de não formação de gás)

PwfW 8 ∗ 106 Pa Pressão de fundo na água

Qprod 400 𝑚3/𝑑 Vazão de produção de óleo

QprodW 0 𝑚3/𝑑 Vazão de produção de água

Boi 1,104 - Fator volume formação inicial do óleo

Bwi 1,04 - Fator volume formação inicial de água

𝜙𝑐 0,15 - Porosidade

co 1,5 ∗ 10−9 𝑃𝑎−1 Compressibilidade do óleo

cw 4 ∗ 10−10 𝑃𝑎−1 Compressibilidade da água

cf 4,4 ∗ 10−10 𝑃𝑎−1 Compressibilidade da formação

k 10 mD Permeabilidade

kcanhoneio 1000 mD Permeabilidade da região afetada pelo

canhoneio

kvh 0,1 - Permeabilidade na vertical

Temp 80 ºC Temperatura

𝑑𝑜60,60 0,875 - Densidade do óleo

𝜌𝑤 1 ∗ 103 𝑘𝑔/𝑚3 Massa específica da água

𝜌𝑜 0,9 ∗ 103 𝑘𝑔/𝑚3 Massa específica do óleo

g 9,81 𝑚/𝑠2 Gravidade

𝜇𝑤𝑖 0,7 cp Viscosidade inicial da água

Swi 0,2 - Saturação inicial de água

Swcon 0,15 - Saturação de água conata

4.2.2 Procedimento de cálculo

Nesta etapa do programa, são executadas as constantes e plotados gráficos para

melhor visualização da região do canhoneio, zona de óleo, zona de água e reservatório. A figura

4.12 monstra a divisão da região da água e do óleo, além da região aberta a ser produzida.

Também fica visível que o aquífero é o dobro do tamanho da zona do óleo. Já a figura 4.13, na

79

primeira parte mostra como um todo a região do reservatório, sendo este em geometria

cilíndrica. O escoamento circunferencial foi descartado, já que as propriedades serão

consideradas homogêneas e assim o modelo torna-se uma análise bidimensional, mostrada do

lado direito da imagem.

Figura 4.12 – Representação gráfica do aquífero, da zona de óleo e da zona aberta à produção

Figura 4.13 – Reservatório cilíndrico e a representação da diferença da zona de óleo e água

Para tal condição, fica nítido o porquê da consideração de uma pressão inicial de

reservatório, mostrada nos dados de entrada, de 2 x107 Pascais.

80

É neste momento também que o grid é executado, utilizando os dados de entrada,

além de auxiliares para descrever as matrizes de saturação de permeabilidade. Tais auxiliares

irão descrever os pontos dentro das matrizes, e assim não precisarão ser inseridos os valores,

um por um, nas matrizes. (Figura 4.14)

Figura 4.14 – Auxiliares para preencher os valores nas matrizes

Em seguida, são declaradas funções para caracterização do programa, tais como

determinação da malha irregular, dimensionamento dos blocos em “r”, já que nessa direção que

ocorre a variação irregular dos blocos, ademais dimensionamento da matriz raio e volume de

blocos, necessário para aplicação do método de volumes finitos.

Juntamente com essa descrição, são colocadas as equações para cálculo do método

de volumes finitos, dentre elas estão: fator volume formação de óleo e água, grau API,

viscosidade do óleo e água, sendo feito uma plotagem para melhor visualização dessas

propriedades com a variação de pressão, como o do fator volume-formação. (Figura 4.15)

81

Figura 4.15 – Gráfico fator volume - formação

Em relação à viscosidade, como foi explicado no capítulo 3, foi utilizado a

viscosidade do óleo, obtida de acordo com a Lei de Darcy através das correlações de Standing.

(Standing, 1981). Para a água, a viscosidade foi assumida como constante e igual a 0,7

centipoise, em condições de reservatório (temperaturas elevadas) (Figura 4.16).

82

Figura 4.16 – Gráfico da viscosidade da água (Pa.s) e óleo em função da pressão (Pa).

São também apresentadas curvas de permeabilidade de óleo e água (Figura 4.17).

A pressão capilar adotada no modelo é exposta na figura 4.18. Nela, fica evidenciado que a

pressão capilar é considerada nula a partir da saturação de água conata e depois assumida

constante para evitar problemas de convergência. Também é feito uma plotagem em função de

saturação para visualizar a variação dessas propriedades.

83

Figura 4.17 – Gráfico da permeabilidade relativa da água e do óleo em função da saturação.

Figura 4.18 – Gráfico da pressão capilar em função da saturação

Partindo da hipótese que a água molha mais a rocha e há uma maior possibilidade

dela se alocar em poros menores da rocha, sendo assim adsorvida, o modelo assume que essa

água alocada nesses poros e em regiões menos aberta a produção, serão incapazes de ser

produzida, fazendo com que seja adotado um valor de 15% de saturação de água irredutível.

84

Após a execução de todos esses dados, iniciam-se as matrizes do programa.

Primeiramente a de porosidade (Figura 4.19), depois a de permeabilidade, sendo esta formada

primeiramente pelo valor do canhoneio do reservatório, e logo após, utilizando auxiliares 5 e 6

para descrever a região de permeabilidade do canhoneio. (Figura 4.20)

Figura 4.19 – Matriz porosidade

Figura 4.20 – Auxiliares para preenchimento da permeabilidade na zona canhoneada

Estes auxiliares são equações que posicionam a permeabilidade de canhoneio,

descrita nos dados, na região que foi adotada. Ao colocar as matrizes da permeabilidade, os

auxiliares entram no equacionamento para localizar essa região. (Figura 4.21)

85

Figura 4.21 – Condições para colocar os pontos de alta permeabilidade na zona canhoneada.

O canhoneio foi dimensionado apresentando uma região da matriz permeabilidade

com um valor muito alto, ficando simples a visualização e funcional a quantificação dessa

região, representado pela região vermelha na matriz exposta no apêndice A.

Depois, com os primeiros auxiliares descritos, é feito condições com as fronteiras

dos blocos, sendo na vertical, aplicado a anisotropia e na horizontal mantem as condições de

permeabilidade previamente descritas. (Figura 4.22)

Figura 4.22 – Colocação da anisotropia na matriz permeabilidade

Após esse procedimento, finaliza-se com as matrizes de pressão e saturação,

realizando o mesmo método que foi feito com a permeabilidade, porém, utilizando-se de uma

86

integral (figura 4.23) para acompanhar a variação dessas matrizes, já que é assumida certa

molhabilidade da rocha.

Figura 4.23 – Integral para descrever a região de transição

Devido a molhabilidade da rocha, na zona de óleo encontra-se água, além de existir

uma zona de transição com crescentes valores de saturação de água que aumentam

gradativamente até o valor de 100%, que representa a região do aquífero. A matriz de saturação

pode ser vista no Apêndice B.

Vale ressaltar que é criado uma matriz auxiliar a saturação para executar o método

IMPES. (Figura 4.24)

Figura 4.24 – Matriz auxiliar para o realizar o método IMPES

Para finalizar o método, são construídas equações de transmissibilidade, explicadas

no capítulo 3, nas quatro direções dos blocos, e depois são rearranjadas as constantes para

melhor visualização e escrita do cálculo no momento das iterações. Além disso, tais rearranjos

serão usados para construção da matriz inversa (também definidas no capítulo 3), que será

utilizada no looping para cálculo das pressões. Ao final, são colocadas condições de

convergências do programa para evitar erros de simulação numérica. (Figura 4.25)

87

Figura 4.25 – Condições de simulação para que haja convergência

4.2.3 Processo de iteração

Num primeiro momento de iteração são determinadas condições de execução para

o programa, para que este continue iterando dentro dessa condição toda vez que retornar o

looping, além de ser o momento em que é acionado o método IMPES, entrando as equações

declaradas previamente. (Figura 4.26)

Figura 4.26 – Condições de iteração

Após as condições de simulação terem sido colocadas, são determinadas as

premissas de zona de óleo, água e injeção a ser analisadas no looping. Neste problema, o foco

está na zona canhoneada de óleo, sendo descartada do processo de produção, a zona de água e

a injeção. Sendo assim, dentro do looping são construídos testes para que sejam executadas as

equações utilizando esses valores de zona, como por exemplo, o ponto inicial e final de abertura

de óleo serem valores diferentes, enquanto os pontos aberto na zona de água e de injeção, serem

88

valores iguais, fazendo com que o programa pule esta parte e foque no objetivo principal. A

figura 4.27 mostra a completa execução de óleo e a figura 4.28 apenas a condição de inatividade

da região da água e de injeção, já que estas não são o objetivo deste trabalho.

Figura 4.27 – Condição de execução das equações do óleo e suas equações

89

Figura 4.28 – Condição para eliminar a zona de água e de injeção do problema abordado

Assim, são calculadas vazões de óleo em cada passo de tempo e a cada iteração

somada para obtenção do volume total. (Figura 4.29)

Figura 4.29 – Volume produzido acumulado

Após o término do cálculo das vazões, inicia-se o processo de cálculo de pressões.

No método IMPES, essa parte utiliza-se a matriz inversa daquele rearranjo feito na matriz da

transmissibilidade, que foi falado previamente, sendo o primeiro passo a ser feito. Logo após,

é feita a condição de simulação para convergência, que não é nada mais do que reduzir o passo

de tempo, caso o programa não consiga convergir naquele pré-estabelecido. (Figura 4.30)

Figura 4.30 – Condição de simulação para convergir

Depois, seguindo a lógica que foi feito no cálculo das vazões, são colocadas as

condições de zonas produzidas, eliminando a região aberta da zona de e a região de injeção

água (isto é eliminado apenas com a aplicação de um mesmo valor para os pontos inicial e final),

que nesse estudo de caso será considerado.

90

No cálculo das saturações são criadas nove condições. Cada condição trabalha com

uma determinada região. A primeira condição isola a região de fronteira, excluindo a posição

inicial (i≠1 e j≠1) e final da matriz (i≠Nr e j≠Nz) colocando um sinal de diferente para a

condição verdadeira, executando assim as equações para os valores internos da matriz. (Figura

4.31)

[

𝒂𝟏𝒙𝟏 𝒂𝟏𝒙𝟐 ⋯ 𝒂𝟏𝒙𝑵𝒓−𝟏 𝒂𝟏𝒙𝑵𝒓

𝒂𝟐𝒙𝟏 𝒂𝟐𝒙𝟐 … 𝒂𝟐𝒙𝑵𝒓−𝟏 𝒂𝟐𝒙𝑵𝒓

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮𝒂𝑵𝒛−𝟏𝒙𝟏 𝒂𝑵𝒛−𝟏𝒙𝟐 ⋯ 𝒂𝑵𝒛−𝟏𝒙𝑵𝒓−𝟏 𝒂𝑵𝒛−𝟏𝒙𝑵𝒓

𝒂𝑵𝒛𝒙𝟏 𝒂𝑵𝒛𝒙𝟐 ⋯ 𝒂𝑵𝒛𝒙𝑵𝒓−𝟏 𝒂𝑵𝒛𝒙𝑵𝒓 ]

𝒋𝒙𝒊

Figura 4.31 - Primeira condição – Condição de valores internos da matriz

Na segunda condição, é analisada a primeira coluna da matriz (i=1), excluindo

valores da extremidade dessa coluna (j≠1 e j≠Nz). (Figura 4.32)

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.32 - Segunda condição – condição da primeira coluna sem os vértices

O mesmo ocorre para análise da terceira, quarta e quinta condição; sendo a última

coluna excluindo as extremidades (i=Nr, j≠1 e j≠Nz) (Figura 4.33), a primeira linha salvo das

extremidades (j=1, i≠1 e i≠Nr) (Figura 4.34), e a última linha também sem as extremidades

(j=Nz, i≠1 e i≠Nr) (Figura 4.35), respectivamente.

91

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.33 - Terceiro condição - condição da última coluna sem os vértices

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.34 – Quarta condição – condição da primeira linha sem os vértices

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.35 - Quinta condição - condição da última linha sem os vértices

Após esse passo, completamos cinco das nove condições citadas e fica claro

visualizar que faltam as condições dos quatro vértices da matriz, sendo assim, temos as

condições do primeiro vértice (i=1 e j=1) (Figura 4.36) depois do final da primeira coluna (i=1

e j=Nz) (Figura 4.37), seguido do terceiro vértice na última coluna e primeira linha (i=Nr e j=1)

(Figura 4.38) e por último, o último ponto (i=Nr e j=Nz) (Figura 4.39).

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.36 - Sexta condição – Condição do vértice 1x1

92

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.37 - Sétima condição - Condição do vértice Nzx1

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.38 - Oitava condição - Condição do vértice 1xNr

[





𝒋𝒙𝒊

Figura 4.39 - Nona condição - Condição do vértice NzxNr

Com essas condições, são montadas as equações para cada região da matriz,

utilizando o método IMPES com as matrizes de transmissibilidade.

Ao final, novamente os valores vão sendo acumulados, e é refeito o teste de

simulação, isto é, o teste para verificar caso necessite de redução de passo de tempo para

reexecutar o processo em um passo de tempo menor.

Assim, ao final do cálculo da vazão, pressão e saturação, o processo iterativo acaba

e assim avança-se para a parte final do programa.

93

4.3 Resultados

Após as etapas de determinação do grid, testes para escolha da permeabilidade ideal

a ser usada para a região de canhoneio e para região do reservatório, critério de estabilidade e

execução de todo o processo iterativo como descrito anteriormente, finalmente chega-se aos

resultados desta análise. Primeiramente serão apresentados os resultados para os cenários 1 a 4,

no tempo de simulação de um ano. Depois serão expostos os resultados do cenário para cinco

e dez anos.

4.3.1 Um ano de produção

A tabela 4.8 mostra o tempo que o computador levou para simular cada cenário para

o período de produção de um ano. O computador utilizado para tais simulações foi um de

processador i5 – 2410M de 2,30 GHz.

Tabela 4.8: Tempo de execução por cenário

Cenários Tempo de execução (s)

1 910,96

2 771,74

3 1655,12

4 1521,98

Um dos principais resultados obtidos pela simulação é a vazão de óleo alcançada

durante o período de um ano. As figuras 4.40, 4.41, 4.42 e 4.43 mostram os patamares

alcançados para os cenários 1,2,3 e 4, respectivamente.(apenas para relembrar: os cenários 1 e

2 tem intervalo canhoneado de 20 metros e os cenários 3 e 4 tem intervalo de 30 metros). Como

era de se esperar, todos os casos permanecem, no início da simulação, com vazão constante e

igual a 400 m³/d, já que foi assumido como dado de entrada este valor fixo de vazão. Acontece

que, como já explicado no início deste capítulo, a pressão de fundo de poço deve cair e atingir

no mínimo valor igual a pressão de bolha, a fim de evitar a produção de gás. Dessa forma, no

94

momento em que a pressão atinge a pressão de bolha, como esta não pode mais reduzir, a vazão

começa a diminuir. Sendo assim, a comparação entre os cenários no que diz respeito à vazão

deve ser avaliada no que diz respeito ao tempo que o poço consegue produzir no patamar de

400 m³/d. Através dos gráficos pode-se observar que o cenário 2 tem um tempo maior com a

vazão inicial do que o cenário 1 e o mesmo ocorre na comparação dos cenários 4 e 3.

Figura 4.40 – Gráfico de Vazão de óleo X Tempo (Cenário 1)


95



Outros gráficos que são interessantes de serem analisados são os que dizem respeito

á pressão de fundo de poço. As figuras 4.44, 4.45, 4.46 e 4.47 mostram o comportamento de

pressão de fundo para os cenários 1,2,3 e 4 respectivamente. Neles pode-se analisar o

decaimento da pressão de fundo até atingir o valor de pressão de bolha, e a partir deste dia, a

pressão se mantem constante até o final da simulação. Este comportamento já era esperado,

uma vez que nos dados iniciais é imposta essa condição. Entretanto, assim como a vazão, a

análise também reside no tempo que a pressão leva para atingir a pressão de bolha.

96

Comparando os cenários, percebe-se que os que possuem maior penetração de

canhoneio (cenários 2 e 4) levam mais tempo para terem a pressão de fundo atingindo a pressão

de bolha. Para um melhor entendimento deste fenômeno, um esboço de decaimento da pressão

de fundo pode ser analisado através das figuras 4.48 e 4.49. Na figura 4.48, pode-se perceber

que a pressão possui uma tendência de decaimento, mas quando encontra a zona de maior

permeabilidade, este comportamento muda, levando um maior tempo para atingir a pressão de

bolha. A figura 4.49 mostra a mesma ideia da figura 4.48, porém esta, por ter uma zona maior

ainda de permeabilidade, leva ainda mais tempo para atingir a pressão de bolha.

Figura 4.44 – Comportamento da pressão de fundo de poço (Cenário 1)

97



98


Figura 4.48: Comportamento da pressão de fundo ao longo do reservatório (esboço para os cenários 4x1 e 6x1)

99

Figura 4.49: Comportamento da pressão de fundo ao longo do reservatório (esboço para os cenários 4x2 e 6x2)

As figuras 4.50, 4.51, 4.52 e 4.53 mostram a produção acumulada de óleo, no

período de um ano, para os cenários 1,2,3 e 4 respectivamente. Como era de se esperar, os

cenários 2 e 4 possuem os maiores níveis de produtividade, se comparados com os cenários 1 e

3, respectivamente. A tabela 4.9 evidencia os valores exatos acumulados para cada cenário e a

figura 4.54 os valores de volume de óleo acumulado em um único gráfico, a fim de se obter

uma melhor comparação entre os cenários.

Figura 4.50: Produção de óleo acumulada (Cenário 1)

100



101


Figura 4.54: Produção de óleo acumulada (Cenários 1, 2, 3 e 4)

Tabela 4.9: Volume de óleo produzido

Cenários Volume de óleo produzido (m³)

1 121 111

2 124 641

3 122 512

4 142 657

110000

115000

120000

125000

130000

135000

140000

145000

.

Produção de Óleo durante 1 ano

Cenário 1

Cenário 2

Cenário 3

Cenário 4Vo

lum

e d

e ó

leo

(m

³)

102

Deve-se relembrar também que é muito importante saber o volume de óleo in place

quando se analisa o volume de óleo produzido. Considerando a geometria cilíndrica do

reservatório (com raio igual a 600 metros e altura da zona de óleo de 50 metros), porosidade

(neste trabalho a porosidade adotada foi de 15%), saturação de óleo na zona de óleo (neste

trabalho a saturação de óleo adotada foi de 80%) e fator volume-formação inicial (adotado

1,104), chega-se ao valor de aproximadamente 6 146 594,32 m³ para o volume de óleo in place

na zona de óleo.

Como não é o foco deste trabalho, a produção de água não será apresentada.

Contudo, os valores de volume de água acumulada são extremamente baixos (na ordem de 3%

em relação ao volume de óleo). Isto porque a saturação de água inicial assumida na zona de

óleo foi de 20% e de água irredutível de 15%, então o volume de água a ser produzido na zona

de óleo é muito baixo. Soma-se a isso o fato da mobilidade da água ser próxima de zero para

valores abaixo de 20% de saturação de água, como pode ser visto no gráfico de permeabilidades

relativas (Figura 4.17).

O último resultado a ser analisado consiste nas matrizes de saturação e pressão de

fundo obtidas após o período de um ano de simulação para os cenários 1, 2, 3 e 4. Estas podem

ser encontradas nos apêndices C, D, E F, G, H, I e J, respectivamente. O que pode ser analisado

nelas, é que como o período de simulação é curto (um ano), as mudanças em relação as matrizes

iniciais de saturação e pressão (apêndices A e B) são bem sensíveis.

4.3.2 Cinco e dez anos de simulação

Como dito anteriormente, o objetivo de simular os cenários 1 e 2 para cinco e dez

anos é de avaliar a produtividade em um período maior de tempo. Sendo assim, as figuras 4.55

e 4.56 apresentam o volume de óleo acumulado em cinco anos para os cenários 1 e 2,

respectivamente e as figuras 4.57 e 4.58 apresentam o volume de óleo acumulado em dez anos

para os cenários 1 e 2, respectivamente.

103

Figura 4.55: Produção de óleo acumulada – 5 anos (Cenário 1)


104



Para uma melhor visualização, a tabela 4.10 evidencia os valores exatos

acumulados para cada cenário.

105

Tabela 4.10: Volume de óleo produzido – 5 e 10 anos

Cenário Tempo de

Produção (anos) Volume de óleo acumulado (m³)

1 5 259 975

2 10 267 852

1 5 307 779

2 10 316 968

106

5 Conclusão

Este trabalho analisou, através de simulação numérica, como a geometria de

canhoneio afeta a produtividade de poços de petróleo, parâmetro de grande importância na

indústria de petróleo. Para esta análise, foi necessária uma grande abordagem acerca das

principais equações que regem o escoamento de fluidos em meios porosos, a fim de se obter a

Equação da Difusividade Hidráulica. A partir desta equação, foi preciso um estudo extenso no

que diz respeito a métodos numéricos para então adotar a metodologia mais adequada para este

estudo, que foram os Métodos dos Volumes Finitos e o Método IMPES.

Após abordagem teórica, toda modelagem matemática foi transferida para o

simulador. Nesta etapa, um grande estudo em determinação de grid, no que diz respeito à

critério de permeabilidades e análise de estabilidade foi realizado, a fim de se obter resultados

mais próximos do real e coerentes com a literatura.

De maneira geral, os resultados obtidos para os diversos cenários simulados foram

qualitativa e comparativamente satisfatórios. Pôde-se cumprir com o objetivo inicial do

trabalho que era de comprovar e comparar como diferentes tipos de aberturas do poço para

produção, ou seja, diferentes geometrias de abertura e penetração de canhoneio interferem

diretamente na produtividade de poços de petróleo. Entende-se que é de fundamental

importância para o profissional que trabalha na área, tomar esta decisão de forma acertada, de

acordo com as características do reservatório, a fim de conseguir a maior produtividade possível,

sem afetar negativamente o reservatório. Além disso, vale destacar a resposta da pressão de

fundo para cada cenário analisado. Esta propriedade se comportou como era esperado, decaindo

à medida que a produção se desenvolvia e se mantendo constante após alcançar a pressão de

bolha.

É importante destacar ainda que existem algumas melhorias que podem ser

implementadas neste trabalho para gerar resultados ainda mais realísticos. A principal delas é

quanto o refinamento do grid próximo ao poço. Neste trabalho, foi possível representar de forma

condizente com a realidade o intervalo de canhoneio. Entretanto, no que diz respeito á

geometria de penetração, devido à escolha de simulação de forma explícita para a saturação, a

análise ficou mais no campo comparativo. Isto porque não foi possível conciliar o refino da

107

malha próxima ao poço e ao mesmo tempo usar valores elevados para representar a

permeabilidade na zona afetada pelo canhoneio sem ocorrerem problemas de estabilidade.

108

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STANDING, M.B., Volumetric and Phase Behavior of Oil Field Hydrocarbon Systems, Nona

Edição. Richardson, Texas, 1981

110

APÊNDICE A

Representação da matriz permeabilidade com zona aberta do poço destacada

111

APÊNDICE B

Matriz de saturação inicial na zona do óleo, transição e aquífero

112

APÊNDICE C

Matriz de Saturação final (Cenário 1)

113

APÊNDICE D

Matriz de Pressão final (Cenário 1)

114

APÊNDICE E


115

APÊNDICE F


116

APÊNDICE G


117

APÊNDICE H


118

APÊNDICE I


119

APÊNDICE J


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APÊNDICE K

Simulador de Produtividade de Canhoneio

Alunos: Lucas Cruz Silva

Renan da Venda Acosta

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AVALIAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO … - Renan... · 2020. 5. 27. · Avaliação da produtividade de poços de petróleo através da simulação numérica de procedimentos