Bases Matemáticas - Aula 12 – Funções reais e seus gráficos

Bases MatemáticasAula 12 – Funções reais e seus gráficos

Rodrigo Hausen

7 de novembro de 2012

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Função real

Definição 1Uma função f ∶ A→ B é chamada função real com variável real(ou simplesmente função real) se A ⊂ R e B ⊂ R.

Podemos visualizar funções reais usando diagramas de Venn ou pormeio de “caixas pretas,” como vimos na aula passada para funçõesem geral.

Porém, a visualização de funções reais por meio de seus gráficosno plano cartesiano costuma ser a representação que fornece maisinformação a respeito de suas propriedades.

v. 2012-11-8 2/35

Função real

Definição 1Uma função f ∶ A→ B é chamada função real com variável real(ou simplesmente função real) se A ⊂ R e B ⊂ R.

Podemos visualizar funções reais usando diagramas de Venn ou pormeio de “caixas pretas,” como vimos na aula passada para funçõesem geral.

Porém, a visualização de funções reais por meio de seus gráficosno plano cartesiano costuma ser a representação que fornece maisinformação a respeito de suas propriedades.

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O plano cartesiano

Definição 2O conjunto dos pares ordenados (x , y) tais que x ∈ R e y ∈ R échamado plano com coordenadas reais, plano cartesiano ou,simplesmente, R2.

um par ordenado (x , y) ∈ R2 também é chamado de pontono plano, ou simplesmente ponto se está implícito queestamos trabalhando apenas em R2

x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenadadizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2

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O plano cartesiano




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O plano cartesiano



x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)

a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenadadizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2

v. 2012-11-8 3/35

O plano cartesiano



x e y são chamados de coordenadas do ponto (x , y)a primeira coordenada é chamada de abscissa e a segundaleva o nome de ordenada

dizemos que (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 ey1 = y2

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O plano cartesiano




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Representação gráfica do plano cartesiano e de pontos

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35




−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)

(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35




−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35




−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)

(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35




−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35


1º quadrante

2º quadrante


−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35




−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35



3º quadrante

4º quadrante

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

v. 2012-11-8 4/35




−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Y

X

(1,1)(−2,1)

(−1,−1,5)(2,5,−1,9)

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Gráfico de uma função real

Definição 3Seja f ∶ D → C uma função real. O gráfico de f é o subconjuntodo plano cartesiano

Gráf (f ) = {(x , y) ∈ R2 ∣ y = f (x)}

Definição equivalente: Gráf (f ) = {(x , f (x)) ∣ x ∈ D}

v. 2012-11-8 5/35

Gráfico de uma função real

Definição 3Seja f ∶ D → C uma função real. O gráfico de f é o subconjuntodo plano cartesiano

Gráf (f ) = {(x , y) ∈ R2 ∣ y = f (x)}

Definição equivalente: Gráf (f ) = {(x , f (x)) ∣ x ∈ D}

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Gráfico de uma função real: exemplos

Exemplo 1Represente o gráfico de f ∶ R → R

x ↦ f (x) = x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

XDom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 6/35



x ↦ f (x) = x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

X

Dom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 6/35



x ↦ f (x) = x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

XDom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 6/35



x ↦ f (x) = x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

XDom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 6/35



x ↦ f (x) = −x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

XDom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 7/35



x ↦ f (x) = −x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

X

Dom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 7/35



x ↦ f (x) = −x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

XDom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 7/35



x ↦ f (x) = −x

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2Y

XDom f = R

Im f = R

v. 2012-11-8 7/35


Exemplo 3Represente o gráfico de f ∶ [−1,2] → R

x ↦ f (x) = x2

−2 −1 0 1 2

1

2

3

4Y

X

Dom f = [−1,2]

Im f = [0,4]

v. 2012-11-8 8/35



x ↦ f (x) = x2

−2 −1 0 1 2

1

2

3

4Y

X

Dom f = [−1,2]

Im f = [0,4]

v. 2012-11-8 8/35



x ↦ f (x) = x2

−2 −1 0 1 2

1

2

3

4Y

X

Dom f = [−1,2]

Im f = [0,4]

v. 2012-11-8 8/35



x ↦ f (x) = x2

−2 −1 0 1 2

1

2

3

4Y

X

Dom f = [−1,2]

Im f = [0,4]

v. 2012-11-8 8/35


Exemplo 4Represente o gráfico de g ∶ Z → N

n ↦ g(n) = ∣n∣

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3Y

X

Dom g = Z

Im g = N

v. 2012-11-8 9/35



n ↦ g(n) = ∣n∣

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3Y

X

Dom g = Z

Im g = N

v. 2012-11-8 9/35



n ↦ g(n) = ∣n∣

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3Y

X

Dom g = Z

Im g = N

v. 2012-11-8 9/35



n ↦ g(n) = ∣n∣

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3Y

X

Dom g = Z

Im g = N

v. 2012-11-8 9/35


Exemplo 5Represente o gráfico de h ∶ R→ R tal que

h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

1

2

3Y

X

Dom h = R

Im h = R

v. 2012-11-8 10/35



h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

1

2

3Y

X

Dom h = R

Im h = R

v. 2012-11-8 10/35



h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

1

2

3Y

X

Dom h = R

Im h = R

v. 2012-11-8 10/35



h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

1

2

3Y

X

Dom h = R

Im h = R

v. 2012-11-8 10/35



h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

1

2

3Y

X

Dom h = R

Im h = R

v. 2012-11-8 10/35



h(x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−x se x < −11 se −1 ≤ x < 12 − x se x ≥ 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1

1

2

3Y

X

Dom h = R

Im h = R

v. 2012-11-8 10/35

Propriedades de funções a partir de seus gráficos

f (x)

1 2 3 4-1-2-2,3

X

Y

Para quais valores de x :f (x) = 0?

f (x) ≥ 0?g(x) < 0?f (x) − g(x) > 0?

v. 2012-11-8 11/35


f (x)

1 2 3 4-1-2-2,3

X

Y

Para quais valores de x :f (x) = 0?f (x) ≥ 0?

g(x) < 0?f (x) − g(x) > 0?

v. 2012-11-8 11/35


g(x)

1 2 3 4

2,5 4,3

-1-2X

Y

Para quais valores de x :f (x) = 0?f (x) ≥ 0?g(x) < 0?

f (x) − g(x) > 0?

v. 2012-11-8 11/35


g(x)

f (x)

1 2 3 4

2,5 4,3

4,8-1-2

-2,3

X

Y

Para quais valores de x :f (x) = 0?f (x) ≥ 0?g(x) < 0?f (x) − g(x) > 0?

v. 2012-11-8 11/35


A função cujo gráfico está abaixo é injetora?

Y

X

v. 2012-11-8 12/35



Y

X sim!

v. 2012-11-8 12/35



Y

X

v. 2012-11-8 12/35



Y

Xx1 x2

f (x1) = f (x2)

v. 2012-11-8 12/35



Y

Xx1 x2

f (x1) = f (x2)

não!

v. 2012-11-8 12/35


O que podemos dizer do gráfico abaixo?

Y

X

v. 2012-11-8 13/35



Y

Xx

v. 2012-11-8 13/35



Y

Xx

f (x)?

f (x)?

v. 2012-11-8 13/35



Y

Xx

f (x)?

f (x)?

com certeza não égráfico de função!

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Transformações do gráfico: translações

Seja f a função real cujo gráfico está abaixo.

Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x) + c, para alguma constante c ∈ R.

f (x)

X

Y

v. 2012-11-8 14/35


Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x) + c, para alguma constante c ∈ R.

f (x)

X

Y

g (x)

+c

se c > 0

v. 2012-11-8 14/35


Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x) + c, para alguma constante c ∈ R.

f (x)

X

Y

g (x)

+c

se c < 0

v. 2012-11-8 14/35



Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.

f (x)

X

Y

v. 2012-11-8 15/35


Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.

f (x)

X

Y

g (x)

c

se c > 0

v. 2012-11-8 15/35


Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (x + c), para alguma constante c ∈ R.

f (x)

X

Y

g (x)

c

se c < 0

v. 2012-11-8 15/35

Transformações do gráfico: translaçõesSeja f uma função real e c ∈ R:

se g(x) = f (x) + c, o gráfico de g é uma translação verticaldo gráfico de f (acima, se c > 0, ou abaixo, se c < 0)

se h(x) = f (x + c), o gráfico de h é uma translaçãohorizontal do gráfico de f (à esquerda, se c > 0, ou à direita,se c < 0)

Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =

√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).

Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.

v. 2012-11-8 16/35





√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


v. 2012-11-8 16/35




Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,

g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =

√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


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Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.

Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =

√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


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Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞)

Im g1 = [1;+∞)Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =

√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


v. 2012-11-8 16/35




Obs. 1: na translação vertical, a imagem é deslocadaEx.: f1(x) = x2,g1(x) = f1(x) + 1.Im f1 = [0;+∞) Im g1 = [1;+∞)

Obs. 2: na translação horizontal, o domínio é deslocadoEx.: f2(x) =

√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


v. 2012-11-8 16/35





√1 − x2,

h2(x) = f2(x + 2).Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.

v. 2012-11-8 16/35





√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


v. 2012-11-8 16/35





√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).

Dom f2 = [−1;1]

Dom h2 = [−3;−1]Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.

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√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).

Dom f2 = [−1;1] Dom h2 = [−3;−1]

Obs. 3: Podemos compor translações verticais e horizontais.Por exemplo, considere G tal que G(x) = f (x + 1) + 2.

v. 2012-11-8 16/35





√1 − x2,h2(x) = f2(x + 2).


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Transformações do gráfico: homotetias


Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.

f

X

Y

v. 2012-11-8 17/35


Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = c ⋅ f (x), para alguma constante c ∈ R.

f

X

Y

x

f(x)

c f(x) gse c > 1

v. 2012-11-8 17/35



f

X

Y

x

f(x)

c f(x) g

se 0 < c < 1

v. 2012-11-8 17/35



f

X

Y

x

f(x)

-- f(x) g

se c = −1

v. 2012-11-8 17/35



f

X

Y

x

f(x)

c f(x) g

-- f

se −1 < c < 0

v. 2012-11-8 17/35



f

X

Y

x

f(x)

c f(x) g-- f

se c < −1

v. 2012-11-8 17/35

Transformações do gráfico: homotetias verticais

Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = c ⋅ f (x).

se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de f

se 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical

Observe que o conjunto Im g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Im f .

v. 2012-11-8 18/35



se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de f

se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical


v. 2012-11-8 18/35



se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f

se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical


v. 2012-11-8 18/35



se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração vertical

se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical


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se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical


v. 2012-11-8 18/35



se c > 1, o gráfico de g é dilatado verticalmente em relaçãoao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é contraído verticalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Xdo gráfico de f , seguida de uma contração verticalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo X dográfico de f , seguida de uma dilatação vertical


v. 2012-11-8 18/35

Transformações do gráfico: homotetias horizontais


Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.

f

X

Y

v. 2012-11-8 19/35


Seja f a função real cujo gráfico está abaixo. Considere a funçãoreal g tal que g(x) = f (c ⋅ x), para alguma constante c ∈ R.

f

X

Y

g

x/c x

g(x/c) = f(x)

se c > 1

v. 2012-11-8 19/35



f

X

Y

g

x/cx

g(x/c) = f(x)

se 0 < c < 1

v. 2012-11-8 19/35



f

X

Y

g

x

g(--x) = f(x)

--x

se c = −1

v. 2012-11-8 19/35



f

X

Y

g

xx/c

se −1 < c < 0

v. 2012-11-8 19/35



f

X

Y

g

xx/c

se c < −1

v. 2012-11-8 19/35


Sejam f uma função real, c ∈ R e g a função tal queg(x) = f (c ⋅ x).

se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de f

se 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal

Observe que o conjunto Dom g é dilatado/contraído/refletido emrelação a Dom f .

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se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de f

se c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal


v. 2012-11-8 20/35



se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f

se −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal


v. 2012-11-8 20/35



se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontal

se c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal


v. 2012-11-8 20/35



se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal


v. 2012-11-8 20/35



se c > 1, o gráfico de g é contraído horizontalmente emrelação ao gráfico de fse 0 < c < 1, o gráfico de g é dilatado horizontalmente emrelação ao gráfico de fse c = −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de fse −1 < c < 0, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Ydo gráfico de f , seguida de uma dilatação horizontalse c < −1, o gráfico de g é a reflexão relativa ao eixo Y dográfico de f , seguida de uma contração horizontal


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Transformações do gráfico: reflexões

Sejam f uma função real, c ∈ R e as funções g ,h tais que:

g(x) = −f (x)h(x) = f (−x)

Ambas são casos especiais de homotetias:

o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráficode fo gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráficode f

v. 2012-11-8 21/35



g(x) = −f (x)h(x) = f (−x)

Ambas são casos especiais de homotetias:o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráficode f

o gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráficode f

v. 2012-11-8 21/35



g(x) = −f (x)h(x) = f (−x)

Ambas são casos especiais de homotetias:o gráfico de g é a reflexão em relação ao eixo X do gráficode fo gráfico de h é a reflexão em relação ao eixo Y do gráficode f

v. 2012-11-8 21/35

O gráfico da função inversa

Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.

Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)

Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)

(y , x)O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.

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Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .

Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)

Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


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Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?

Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)

Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35


Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x).

Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)

Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


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Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .

Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


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Seja f ∶ A→ B uma função real bijetora.Sabemos que existef −1 ∶ B → A, a função inversa de f .Como podemos construir o gráfico de f −1 a partir do gráfico de f ?Seja y = f (x). Pela definição de f −1, temos que f −1(y) = x .Ou seja, (x , y) ∈ Gráf (f ) ⇐⇒ (y , x) ∈ Gráf (f −1)

Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


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Y

X

(x , y)

(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35



Y

X

(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35



Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35



Y

X

(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35



Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35



Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)

(y , x)

O gráfico de f −1 é a reflexão do grá-fico de f em relação à bissetriz doprimeiro e terceiro quadrantes.

v. 2012-11-8 22/35



Y

X

(x , y)(y , x)(x , y)(y , x)

(x , y)(y , x)

(x , y)


v. 2012-11-8 22/35


Exemplo: Seja f ∶ R→ R . Determine f −1 e esboce o seugráfico. x ↦ f (x) = x3

Y

X

f

v. 2012-11-8 23/35



Y

X

f

f −1

v. 2012-11-8 23/35



Y

X

f −1

f −1(x) = 3√x

v. 2012-11-8 23/35


Exemplo: Seja f ∶ [0,+∞)→ R . Determine f −1 e esboceo seu gráfico. x ↦ f (x) = x2

Y

X

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Y

X

f

v. 2012-11-8 24/35



Y

X

f

v. 2012-11-8 24/35



Y

X

f

f −1

v. 2012-11-8 24/35



Y

X

f −1

f −1(x) = √x

v. 2012-11-8 24/35

Simetrias do gráfico de uma função

Seja f como abaixo. Determine o gráfico de g tal queg(x) = { f (x) se x ≥ 0

f (−x) se x < 0Y

X

f

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f (−x) se x < 0Y

X

f

g

v. 2012-11-8 25/35



f (−x) se x < 0Y

Xg

v. 2012-11-8 25/35



f (−x) se x < 0Y

Xg

Uma função real g échamada função par seg(x) = g(−x) para todo xno domínio de g .

v. 2012-11-8 25/35


Seja f como abaixo. Determine o gráfico de h tal queh(x) = { f (x) se x ≥ 0

−f (−x) se x < 0Y

Xf

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−f (−x) se x < 0Y

Xf h

v. 2012-11-8 26/35



−f (−x) se x < 0Y

X

h

v. 2012-11-8 26/35



−f (−x) se x < 0Y

X

hUma função real h é cha-mada função ímpar seh(−x) = −h(x) para todox no domínio de g .

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Funções pares, funções ímpares

Definição 4 (funções simétricas)Seja f ∶ D → C uma função real. Dizemos que:

f é par se, e somente se, f (−x) = f (x) para todo x ∈ D

f é ímpar se, e somente se, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Y .

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem(0,0).

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f é par se, e somente se, f (−x) = f (x) para todo x ∈ Df é ímpar se, e somente se, f (−x) = −f (x) para todo x ∈ D



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v. 2012-11-8 27/35






v. 2012-11-8 27/35

Exemplo de função parA função f tal que f (x) = x4 − 4x2 + 1 é par.

Y

X

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Exemplo de função par

A função módulo é par.

Y

X

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Exemplo de função par

A função cosseno é par.

Y

X

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Exemplo de função ímparA função f tal que f (x) = x5 − 3x3 + 2x é ímpar.

Y

X

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Exemplo de função ímparA função identidade é ímpar (função f tal que f (x) = x).

Y

X

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Exemplo de função ímpar

A função seno é ímpar.

Y

X

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Exemplo de função nem par, nem ímparA função f tal que f (x) = x3 + x2 não é par nem ímpar.

Y

X

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Para casa

Ler capítulo 7

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Bases Matemáticas - Aula 12 – Funções reais e seus gráficos