Física Quântica

Aula 03

A Física Quântica dos Átomos:

Ideias Precursoras à FundamentaçãoTeórica da Mecânica Quântica

Alex Gomes Dias

5 de outubro de 2015

Física Quântica

• A análise da luz emitida e absorvida pelos átomos fornece uma prova determi-

nante para o entendimento de que a dinâmica dos sistemas atômicos não pode

ser descrita pela física clássica. Os espectros atômicos mostram a existência de

níveis de energia quantizados para átomos.

Observa-se para o hidrogênio o seguinte espectro de emissão na região do visível

Essas linhas correspondem a série de Balmer, onde as transições são de

ni = 3, 4, 5, 6 para nf = 2, como veremos.

A absorção no espectro ocorre somente nos comprimentos de onda em que

também há emissão.

Física Quântica 1

Isso evidencia o fato de que os estados de energia do hidrogênio são discretos.

A explicação das linhas espectrais do hidrogênio foi um passo decisivo na funda-

mentação da física quântica, e teve forte impacto em diversas áreas da ciência e

tecnologia.

• Cada elemento tem seu espectro característico.

Física Quântica 2

Física Quântica 3

• No caso do hidrogênio a expressão empírica que dá as linhas espectrais no

visível foi encontrada por J. Balmer (1885).

1

λn,2= RH

[1

22−

1

n2

], n = 3, 4, 5, ...

onde

RH = 1, 096776× 107m−1

é a constante de Rydberg para o hidrogênio.

• Outras séries foram descobertas em seguida para o hidrogênio.

No ultravioleta, descoberta por T. Lyman (1906),

1

λn,1= RH

[1−

1

n2

], n = 2, 3, 4, ...

No infravermelho, descoberta por F. Pashen (1908),

1

λn,3= RH

[1

32−

1

n2

], n = 4, 5, 6, ...

Outras séries nomeadas para o hidrogênio são a de Brackett λm,4 e de Pfund λm,5

Física Quântica 4

• A expressão geral englobando todas essas séries é (J. R. Rydberg e W. Ritz)

1

λn,m= RH

[1

m2−

1

n2

], m < n.

Nessa notação tem-se 1/λn,2 para a série de Balmer, 1/λn,1 para a série de

Lymam, e 1/λn,3 para a série de Pashen, por exemplo.

• Essas fórmulas empíricas fornecem aproximadamente as linhas espectrais do H.

• O fato dos átomos a emitirem e absorverem radiação em comprimentos de

onda especícos só é explicado pela física quântica. De acordo com a física

clássica a emissão e absorção de radiação pelos átomos deveria ocorrer de forma

contínua.

• A observação das linhas no espectro do hidrogênio indica que a absorção e

emissão de luz decorre da transição entre estados de energia do átomo

Assim, a transição atômica de um estado de maior energia, En, para o estado

de menor energia, Em, resulta na emissão de um fóton com energia

Física Quântica 5

hνnm = En − Em

=hc

λn,m= hcRH

[1

m2−

1

n2

]Os En são os estados quânticos de energia do sistema atômico. De forma mais

precisa, na emissão há de se considerar a energia cinética, K, de recuo do átomo

de modo que

En = Em + Efoton +K

⇒ Efoton = En − Em −K

≈ En − Em paraK En − Em

• A massa do átomo esta associada ao seu núcleo, que contém carga positiva (o

elétron tem massa muito menor do que a dos núcleos).

me matomo, me ≈ 9.11× 10−31

kg, mp ≈ 1, 67× 10−27

kg

• A dimensão dos átomos está na escala de 10−10m. Como estimativa tome-

mos, por exemplo, o cloreto de sódio supondo que que o tamanho da moléculas

e dos átomos são da mesma ordem

MNaCl = 58, 44 g/mol

ρNaCl = 2, 16 g/cm3

VNaCl ≈MNaCl

ρNaCl= 27 cm

3/mol

Vatomo ≈ Vmolecula ≈VNaCl

NA

≈ 0, 45× 10−22

cm3

E a estimativa para o tamanho do átomo é

Física Quântica 6

R ≈ (Vatomo)1/3 ≈ 0, 3× 10

−7cm = 3

o

A

• A estrutura atômica foi investigada por meio do espalhamento de partículas α

pelos átomos. A partícula α é o núcleo do hélio ( 2 prótons e 2 nêutrons). O

experimento realizado foi o bombardeio de partículas α, provenientes de uma

fonte radiativa (tipo urânio ou polônio), em uma na folha de ouro.

• O experimento revelou que a carga positiva do átomo esta concentrada numa

região muito pequena em relação ao tamanho típico dos átomos.

Rnucleo ∼ 10−4

o

A 1o

A (dimensao atomica)

O núcleo deve ser, aproximadamente, 104 vezes menor do que o tamanho típico

de um átomo.

Física Quântica 7

• Modelo atômico: carga positiva concentrada em um núcleo, cujo tamanho é

bem menor do que o tamanho do átomo.

• No entanto, o modelo de Rutherford é previsto ser instável pela física clássica.

Clssicamente os elétrons em órbita têm movimento acelerado ⇒ emissão de

radiação contínua

Um sistema assim não é estável!

Fig. de Tipler.

De acordo com a eletrodinâmica clássica elétrons orbitando o núcleo atômico

devem emitir radiação eletromagnética, continuamente, até que o sistema

elétrons- núcleo colapse.

Porém, observamos átomos estáveis!

Física Quântica 8

• Observa-se que a radiação emitida e absorvida pelos elementos químicos ocorre

apenas em comprimentos de onda característicos.

• Trabalho de Neils Bohr: elaboração de um modelo atômico que explicasse as

linhas espectrais do átomo mais simples, o hidrogênio, considerando estrutura

nuclear proposta por Rutherford e que fosse estável.

O modelo de Bohr é uma construção que explica aproximadamente as linhas

espectrais do hidrogênio. Tal construção leva em conta a dinâmica clássica do

sistema elétron- núcleo, combinada com certos postulados para fundamentar a

existência do conjunto discreto de estados de energia do átomo de hidrogênio.

• A observação das linhas no espectro de emissão e absorção dos elementos deu

Física Quântica 9

luz a ideia de que os estados de energia do hidrogênio formam um conjunto

discreto

En ≡ E1, E2, E3, ...n ≡ número quântico associado ao estado de energia.

Absorção e emissão de luz→ transição entre os estados de energia do átomo

com a energia da fóton sendo, para o caso da emissão (n > m),

hνnm = En − Em

=hc

λnm= hcRH

[1

m2−

1

n2

]

Os En são as energias dos estados quânticos do sistema atômico.

• Um único fóton é envolvido na transição;

• νnm são as frequências associadas as transições (frequências de Bohr).

Física Quântica 10

• Postulados de Bohr.

- Primeiro postulado

Os elétrons permanecem em certas órbitas sem irradiar energia.

Tais órbitas estão associadas aos possíveis estados de energia do sistema, os

estados estacionários.

Estados estacionários são aqueles nos quais o sistema permanece sem emitir

radiação.

As energias dos estados formam um conjunto discreto En ≡E1, E2, E3, ....

- Segundo postulado

Os átomos irradiam quando um elétron sofre uma transição de um estado

estacionário para outro. Um fóton é emitido em cada transição. A energia do

fóton emitido se relaciona com a energia do estado estacionário inicial, En, e do

estado estacionário nal, Em, conforme

E(foton)nm = hνnm = En − Em

Física Quântica 11

Fig. de Tipler.

As transições sempre se dão de forma completa.

• Em certos limites, os resultados da teoria quântica devem corresponder aos que

se obtém com teoria clássica. Isso foi sintetizado por Bohr com um terceiro

postulado conhecido como princípio da correspondência. A ideia nesse

princípio é que:

Os resultados de processos envolvendo grandes números quânticos devem

recobrir aqueles que se obtém a partir da física clássica.

Assim, no limite de transições quânticas entre grandes órbitas os resultados

coincidem com os obtidos a partir da física clássica.

n −→ m levam aos mesmos resultados

da fısica classica quando n e m sao grandes

Quando n e m são muito grandes | En−EmEn| 1.

Física Quântica 12

• Construção do modelo de Bohr.

Seja Z o número de unidades de cargas positivas do núcleo, a energia potencial

de interação elétron-núcleo é (carga do núcleo é Z e, a carga do elétron é −e)

V = −1

4πε0

Ze2

r

Mas seria somente o potencial de Coulomb acima o único envolvido na interação

elétron-núcleo? A resposta é não. Porém, o potencial de Coulomb é o

dominante.

Sistema elétron-núcleo

−→rN é o vetor de posição do núcleo,

−→re é o vetor de posição do elétron.

O vetor−→R que que dá a posição do centro de massa é

−→R =

mN−→rN +me

−→remN +me

,

onde mN é a massa do núcleo e me a massa do elétron.

Física Quântica 13

Fixando um referencial no centro de massa temos

mN−→rN +me

−→re = 0 ,

o que resulta em−→pN +−→pe = 0 .

A energia total é a soma da cinética mais a potencial

E = T + V

=| −→pN |2

2mN

+| −→pe |2

2me

−1

4πε0

Ze2

r

=1

2

(1

mN

+1

me

)| −→pe |2 −

1

4πε0

Ze2

r

=| −→pe |2

2µ−

1

4πε0

Ze2

r,

onde µ é a massa reduzida do sistema núclo elétron denida como

1

µ=

1

mN

+1

me

µ =memN

me +mN

= me

(1

1 + memN

).

Física Quântica 14

Com a denotação rN =| −→rN | e re =| −→re | temos que, com o a origem do

sistema de referência no CM,

r = rN + re.

A condição−→R = mN

−→rN +me−→re = 0 conduz a

⇒ rN =me

mN

re

⇒ r =

(1 +

me

mN

)re =

me

µre

Para o momento angular total do sistema, com o CM na origem, é

−→L = −→pN ×−→rN +−→pe ×−→re

=(| −→pN | rN+ | −→pe | re

)z = (rN + re) | −→pe | z

= | −→pe | r z

Do equilíbrio da força elétrica com a força centrípeta

mev2e

re=

1

4πε0

Ze2

r2

| −→pe |2

mere=

1

4πε0

Ze2

r2

⇒| −→pe |2

2me

=1

8πε0

Ze2re

r2=

1

8πε0

Ze2 µme

r

⇒| −→pe |2

2µ=

1

8πε0

Ze2

r

Física Quântica 15

Com isso, a energia é escrita como

E =| −→pe |2

2µ−

1

4πε0

Ze2

r= −

1

8πε0

Ze2

r

• Considerando as órbitas dos estados estacionários,

En = −1

8πε0

Ze2

rn.

Através da comparação direta com as fórmulas empíricas pode-se supor que

En ∝1

n2

e

rn ∝ n2

O momento angular total do sistema, com o CM na origem, é

−→L = −→pn ×−→rn +−→pe ×−→re

=(| −→pn | rn+ | −→pe | re

)z

= | −→pe | r z

• A quantização das órbitas no modelo de Bohr resulta da suposição elementar

de que o momento angular é quantizado. A hipótese (regra) de quantização

do momento angular é realizada com a admição de que somente valores

discretizados para o momento angular são permitidos

|−→L | = L =| −→pe | r

L → Ln =nh

2π= n~ ,

Física Quântica 16

onde os valores possíveis para n são números inteiros, isto é, n = 1, 2, 3, ....

Deniu-se, por conveniência, a constante (h-cortado)

~ =h

2π

A regra conduz a raios quantizados | −→pe | rn = n~

rn =n~| −→pe |

r2n =

n2~2

| −→pe |2=

n2~2

µ4πε0

Ze2

rn

Portanto, os raios das órbitas quantizadas são

rn = n2~2 4πε0

µZe2≈ n2~2 4πε0

meZe2,

onde se usou a aproximação µ ≈ me.

No hidrogênio Z = 1, e o raio da primeira órbita é (n = 1)

r1 = ~2 4πε0

mee2≈ 0.529

o

A .

Esse é o raio de Bohr, que é denotado por a0 = 0.529o

A, isto é a0 ≡ r1.

As energias dos estados estacionários são

En = −1

8πε0

Ze2

rn≈ −

me

2

(Ze2

4πε0~

)21

n2, n = 1, 2, 3, ...

Física Quântica 17

A energia do fóton emitido na transição do elétron no estado En para o estado

de energia menor Em é, portanto,

hνnm = En − Em =me

2

(Ze2

4πε0~

)2 [1

m2−

1

n2

]

No caso particular do hidrogênio, Z = 1, esse resultado se aproxima bastante

do que se obtém a partir da observação das linhas espectrais (a dependência com

os números inteiros m e n).

En = −me

2

(e2

4πε0~

)21

n2≈ −

13, 6

n2eV

A teoria de Bohr dá, com certa precisão, o valor da constante RH na fórmula

empírica que fornece o comprimento de onda λnm da luz emitida pelo átomo de

hidrogênio, ao realizar uma transição do estado de energia n para o estado de

energia m. De fato, com o uso da fórmula empírica tem-se

Física Quântica 18

hνnm =hc

λnm= hcRH

[1

m2−

1

n2

]Por comparação desta última fórmula com a expressão anterior proveniente do

modelo de Bohr

hcRH =me

2

(e2

4πε0~

)2

ou seja

RH =me

2c h

(e2

4πε0~

)2

=me

4πc ~3

(e2

4πε0

)2

Com os valores das constantes físicas

me = 9, 109381880× 10−29kg

e = 1, 602176460× 10−19C

c = 299792458m/s

~ = 1, 053571475× 10−34J · s

ε0 = 8, 854187818× 10−12F/m

tem-se

RH = 1, 097373528× 107m−1

O valor medido para o hidrogênio é (Nussenzveig, Curso de Física Básica, v4)

(RH)exp = 1, 096776× 107m−1.

Física Quântica 19

A correção de massa reduzida faz RH se aproximar do valor medido.

• Estado fundamental do átomo de hidrogênio

E1 = −me

2

(e2

4πε0~

)2

≈ −13, 6 eV

= −2, 18× 10−18J

• Transições entre níveis de energia

(gura de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html)

Física Quântica 20

(guras livro P. A. Tipler, R.A. Llewellyn, Física Moderna)

- Lyman

1

λn,1=En − E1

hc= RH

[1−

1

n2

], n > 1

- Balmer

1

λn,2=En − E2

hc= RH

[1

22−

1

n2

], n > 2

Física Quântica 21

- Paschen

1

λn,3=En − E3

hc= RH

[1

32−

1

n2

], n > 3

(mostre simulador)

• Massa reduzida

Ao se reintroduzir a massa reduzida no lugar da aproximação µ ≈ me, i. e.,

me → µ =me

1 + memn

,

na expressão de RH

RH →µ

4πc ~3

(e2

4πε0

)2

e, considerando o núcleo do hidrogênio, que tem a massa do núcleo como

sendo a massa do próton, i. e., mp = 1, 672621580 × 10−27kg, me =

9, 10938188× 10−31kg

µ =me

1 + memn

≈ 0, 99946me

⇒

RH → 0, 99946× 1, 097373528× 107m−1

≈ 1, 096781× 107m−1

Física Quântica 22

o valor de RH se aproxima do que é medido para o hidrogênio

(RH)exp = 1, 096776× 107m−1

Se constata, experimentalmente, que para os núcleos mais pesados que o valor

da constante se aproxima de

R∞ =me

4πc ~3

(e2

4πε0

)2

= 1, 097373528× 107m−1

Tal valor corresponde de fato ao limite mn →∞.

• Aplicação do princípio da correspondência.

As transicoes n −→ m levam aos mesmos resultados da

fısica classica quando n e m

sao grandes

A exemplicação desse princípio pode ser feita com o exame de transições

envolvendo grandes números quânticos n (i. e., grandes rn). Para uma transições

de ∆n = 1, i. e., n→ n− 1,

Física Quântica 23

νn,n−1 =En − En−1

h=

me

4π~3

(Ze2

4πε0

)2 [1

(n− 1)2−

1

n2

]

≈me

4π~3

(Ze2

4πε0

)22

n3=

me

2πL3n

(Ze2

4πε0

)2

=Ln

2πme

(meZe

2

4πε0L2n

)2

=Ln

2πmer2n

νn,n−1 ≈ve

2πrn

De fato, conforme a teoria clássica isso corresponde a frequência de revolução

do elétron é

ν =ve

2πr

Física Quântica 24

Adendo

• Na desintegração de núcleos atômicos pesados há a emissão de partículas

carregadas. Dois tipos comuns dessa radiação são a α e a β.

• Radiação β: elétron (β−), pósitron (β+).

• Partículas α com grande energia cinética (∼MeV ) são emitidas por materiais

radiativos. No caso do urânio

Diversos núcleos pesados emitem partículas α.

• A partícula α é cerca de 8000 vezes mais pesada que um elétron. Assim, a

trajetória das partículas quase não é afetada ao colidir com elétrons dos átomos.

Física Quântica 25

• As partículas α foram utilizadas na investigação da estrutura atômica num

experimento realizado por H. W. Geiger e E. Marsden (ambos estudantes de

Rutherford). Tal experimento tinha o propósito de vericar um modelo atômico

proposto por Rutherford.

• O experimento consistia no bombardeio de partículas α, provenientes de uma

fonte radiativa (tipo urânio ou polônio), em uma na folha de ouro.

23892 U −→

23490 U +

42He (4.2MeV )

21084 Po −→

20682 Pb+

42He (5.3MeV )

onde 1MeV = 106eV

• A observação de um número signicante de partículas α espalhadas a grandes

Física Quântica 26

ângulos não tem explicação no modelo de Thomson porque levaria ao resultado

de que o número de eventos observados a grandes ângulo (que se daria via

múltiplos espalhamento) seria extremamente pequeno. A partícula α poderia,

nesse modelo penetrar no interior do átomo sem que no geral tenha grande

impacto em sua trajetória. Uma estimativa para o que se pode esperar para

o espalhamento, conforme o modelo de Thomson pode ser visto em P. Tipler,

Modern Physics; e R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics.

• A distribuição angular das partículas α é explicada se a carga positiva estiver

concentrada em uma região bem menor que o tamanho do átomo. Só assim se

pode ter espalhamento a grandes ângulos como observado.

Física Quântica 27

• Um limite superior para o raio do núcleo do ouro (Z = 79) se obtém consi-

derando o espalhamento para ângulo próximo de 180o. Nessa circunstância a

partícula α tem aproximação máxima

1

2mv

2=

1

4πε0

qαQAu

R=

1

4πε0

158e2

R

qα = 2 e, QAu = 79 e

1

4πε0

= 9× 109N ·m2

/C2, e = 1.6× 10

−19C

Assim, para a partícula α de 5.3MeV = 5.3× 106 × 1.6× 10−19J ,

R =1

4πε0

qαQAu

mv2

2

=

(9× 10

9N ·m2

C2

)158

(1.6× 10−19C

)2

5.3× 106 × 1.6× 10−19J

= 4.3× 10−14m = 4.3× 10

−4o

A

Ou seja o núcleo deve ser menor do que 10−4 vezes o tamanho típico de um

átomo.

• Rutherford propõe um modelo atômico onde a carga positiva esta concentrada

em um núcleo, cujo tamanho é bem menor do que o tamanho do átomo.

Física Quântica 28

• Com sua proposta teórica Rutherford mostrou que, num experimento de bom-

bardeamento de partículas α em átomos de elementos pesados, o espalhamento

se dá devido a força de repulsão entre o núcleo e a partícula α. Rutherford

determinou assim a fração de partículas α em função do ângulo de espalha-

mento. Detalhes desse cálculo podem ser encontrados em P. Tipler, Modern

Physics; e R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics.

• A consideração é que o núcleo se mantém xo durante o processo, o que

é razoável de se supor numa colisão com núcleos pesados e presos na rede

cristalina de um sólido. O espalhamento se daria conforme a gura

Fig. de Tipler

A força que atua na partícula é

Física Quântica 29

F =1

4πε0

qαQAu

r2

• Uma quantidade resultante do cálculo desse processo de espalhamento é o

parâmetro de impacto, denotado por b

b =1

4πε0

qαQAu

mαv2cot

θ

2

Sendo qα a carga da partícula α, QAu = ZAu a carga do núcleo, r a

distância entre a partícula α e o núcleo, e θ o ângulo de espalhamento

Fig. de Tipler

Partículas com b menor se espalham a ângulos maiores do que θ.

• Se I0 é a intensidade do feixe de partículas α, i. e., número de partículas por

centímetro quadrado por segundo que atravessam a seção transversal do feixe,

I0 =num. partıculas

cm2 · seg

Física Quântica 30

o número de partículas espalhadas pelo núcleo por segundo a ângulos maiores do

que θ é

πb2I0

A quantidade

σ = πb2 ≡ secao de choque

com dimensão de área, é chamada seção de choque. Ao se multiplicar πb2I0 pelo

número de núcleos na folha de ouro atingida pelo feixe tem-se o número total de

partículas espalhadas por segundo.

Fig. de Tipler

Com a área denotada por A por onde passa o feixe o número de núcleos na

folha de espessura t é

NAu = nAt

onde n é a densidade de núcleos

n =ρAu

matomo

=ρAuNA

Mmolar

• Número total de espalhamentos por segundo a ângulos maiores do que θ

Física Quântica 31

πb2I0nAt

Dividindo por pelo número de partículas α que atravessam a área A por segundo,

i. e., I0A, tem-se a fração espalhada a ângulos maiores que θ

f = πb2nt

A fração espalhada entre o ângulo θ e θ + dθ é

df = 2πb db nt = n t dσ

Nessa relação db deve ser negativo pois a medida que o ângulo aumenta f diminui.

A seção de choque diferencial dσdΩ é denida como

I0

dσ

dΩdΩ = Numero de espalhamentos entre angulo solido

Ω e Ω + dΩ por unidade de tempo

dΩ = 2π sinθdθ

O número de partículas espalhadas deve ser tal que

I0

dσ

dΩdΩ = 2πI0b | db |

O módulo é tomado para que se integre do ângulo mínimo até o ângulo máximo.

Repare que ao se diminuir b o ângulo θ cresce.

Agora

db = −1

8πε0

qαQAu

mαv2

1

sin2θ2

dθ

Física Quântica 32

dσ = 2πb | db |

4π

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 cotθ2sin2θ

2

dθ

= 2π

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 1

sin4θ2

sinθdθ

=

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 1

sin4θ2

dΩ

=dσ

dΩdΩ

(cosθ2 = 1

2sinθ

sinθ2

)com dΩ = 2πsinθdθ. Disso temos

dσ

dΩ=

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 1

sin4θ2

Integrando essa seção de choque diferencial e multiplicando por I tem-se o número

de partículas α espalhadas por segundo, por núcleo, no ângulo sólido.

Fig. de Tipler

Física Quântica 33

• Em termos da fração

df

dΩdΩ = n t

dσ

dΩdΩ

=

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 nt

sin4θ2

dΩ

edf

dΩ= nt

dσ

dΩ=

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 nt

sin4θ2

• O número de partículas espalhadas entre θ e θ + dθ por segundo é

df

dΩI0A = I0Ant

dσ

dΩ= I0NAu

dσ

dΩ

=

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 I0NAu

sin4θ2

= N

Essas partículas atravessam a região anular maior na gura acima por unidade

de tempo. Se dividirmos pela área da região anular maior temos o número de

partículas espalhadas entre θ e θ + dθ por segundo por unidade de área.

NArea

=1

Area

(1

8πε0

qαQAu

mαv2

)2 I0NAu

sin4θ2

Isso é o que um detetor colocado em um ângulo θ pode medir. Para a folha

de um metal diferente, com Q = Z | e |, se sendo qα = 2 | e | tem-se

Física Quântica 34

NArea

=1

Area

(1

4πε0

Z e2

mαv2

)2I0NAu

sin4θ2

• Os resultados obtidos por Geiger e Marsden são mostrados no gráco abaixo e

concordam com a teoria proposta por Rutherford.

Fig. de Tipler

• Geiger e Marsden vericaram além da dependência com sin−4θ2, a dependência

com Z2, v2 e espessura da folha, conrmando o modelo de Rutherford.

• No entanto, o modelo de Rutherford é previsto ser instável pela física clássica.

A emissão de radiação contínua impede a estabilidade de um sistema clássico

assim.

Física Quântica 35

• Aplicação do uso dos espectros: cada elemento tem seu espectro característico.

Isso é utilizado para se saber a composição de substâncias por meio da

espectroscopia. Outra aplicação é a medida de afastamento ou aproximação

de estrelas através do deslocamento da linhas espectrais em razão do efeito

Doppler.

• Aproximação maior do núcleo atômico requer partículas α mais energéticas

Física Quântica 36

ou núcleos alvo com número atômico menor (o que faz diminuir a força de

Coulomb), como o alumínio por exemplo. Al tem Z = 13 e na situação em

que a partícula α tem energia suciente para penetrar no núcleo o tratamento

de Rutherford não é mais válido.

• Uma experiência tipo a de Rutherford realizada na década de 70 mostrou que

o próton não é elementar.

• Os experimentos de colisão como o de Rutherford continuam sendo reali-

zados até hoje na investigação de partículas subatômicas e suas interações

fundamentais.

Física Quântica 37

• 1232 magnetos dipolares de 16 metros cada um comB ≈ 8 Tesla (150000×BTerra).

• 1G = 10−4T , BTerra ∼ 0.5G = 0.5× 10−4T

O LHC realizará colisões próton-próton em até 13 TeV (13 trilhões de eletronvolts)

Estado inicial→Estados nais

Física Quântica 38

Adendo

A regra de quantização de Wilson-Sommerfeld considera que para duas variáveis

canonicamente conjugadas, q e p, (ex. x e px; ϕ e pϕ = L) tem-se que

˛p dq = nh

onde n é um número inteiro. Para a variável angular ϕ e seu momento canonica-

mente conjugado pϕ = L, quando o momento angular é constante

˛Ldϕ = L 2π = nh

No caso do oscilador harmônico unidimensional tem-se˛px dx = nh

Tal regra conduz a seguinte quantização para a energia para o oscilador de

frequência angular w

E = n~wusando que

x = Asinwt

onde A é a amplitude.

Essas regras foram superadas pela formulação da mecânica quântica que se

seguiu.

Física Quântica 39