Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Marcela Guerrini Alves · 2017. 11. 16. · À primeira professora de Matemática que me ensinou o encanto das possibilidades,

Realização de Campos Livresde Álgebras de Kac-Moody Afim

Marcela Guerrini Alves

Dissertação apresentada

ao

Instituto de Matemática e Estatística

da

Universidade de São Paulo

para

obtenção do título

de

Mestre em Matemática

Área de Concentração: Álgebra

Orientador: Prof. Dr. Vyacheslav Futorny

Durante o desenvolvimento deste trabalho a autora recebeu auxílio financeiro do CNPq

-São Paulo, 08 de agosto de 2016-

Realização de Campos Livresde Álgebras de Kac-Moody Afim

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 08/08/2016. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Vyacheslav Futorny (orientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Raul Antonio Ferraz - IME-USP

• Prof. Dr. Renato Alessandro Martins - UNIFESP

Agradecimentos

À minha mãe Elisa, por tudo o que aprendi através do exemplo.

À primeira professora de Matemática que me ensinou o encanto das possibilidades, Elisabete

Teresinha Guerato. Minha gratidão também a todos os outros professores que fizeram e ainda fazem

parte da minha história, fundamentais para o meu desenvolvimento.

Ao Rômulo, meu marido, por ter acreditado e respeitado os caminhos que decidi trilhar, mesmo

nos momentos de maior dificuldade, em que isso tenha afetado significativamente nossa vida.

Aos meus amigos, dentro e fora da Universidade, importantíssimos nesse intrincado quebra-

cabeça que é a existência humana.

Tenho imensa gratidão à vida, por todas as oportunidades que me foram dadas, e estudar

Matemática foi uma delas, sem dúvida uma das mais transformadoras.

Agradeço ao CNPq pelo auxílio financeiro.

i

ii

Resumo

ALVES, M. G. Realização de Campos Livres de Álgebras de Kac-Moody Afim. 2016.

Dissertação de Mestrado - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São

Paulo, 2016.

Este trabalho tem como objetivo principal estudar módulos irredutíveis sobre as álgebras de

Kac-Moody afim, conforme [7].

Em particular, a técnica de localização foi aplicada aos módulos de Verma imaginários sobre a

álgebra de Lie afim A(1)1 , com o objetivo de obter novos módulos irredutíveis sobre essa álgebra.

Conforme [8] e [6], é o mesmo que aplicar a técnica de localização à primeira realização de campos

livres de A(1)1 .

Para cumprir o objetivo, introduzimos as álgebras de Kac-Moody, tendo como foco principal as

álgebras de Kac-Moody do tipo afim, conforme [14]. Em seguida, definimos os módulos de Verma,

destacando os módulos de Verma imaginários sobre a álgebra de Lie afim A(1)1 , conforme [8].

Palavras-chave: álgebras de Kac-Moody afim, módulos de Verma, localização, realização de cam-

pos livres.

iii

iv

Abstract

ALVES, M. G. Free Fields Realization of Affine Kac-Moody Algebras. 2016. Dissertação

de Mestrado - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2016.

The main purpose of this work is to study the irreducible modules of affine Kac-Moody algebras,

according to [7].

In particular, the localization technique was applied to the imaginary Verma modules of affine

Lie algebra A(1)1 , with the purpose to obtain new irreducible modules of this algebra. According to

[8] and [6], it is the same as to apply the localization technique to the first realization of free fields

of A(1)1 .

To achieve the purpose, we introduced the Kac-Moody algebras, having the main focus the af-

fine Kac-Moody algebras, according to [14]. Following, we defined the Verma modules, highlighting

imaginary Verma modules of affine Lie algebra A(1)1 , according to [8].

Keywords: affine Kac-Moody algebras, Verma modules, localization, free fields realization.

v

vi

Sumário

Lista de Símbolos ix

Introdução xi

1 Álgebras de Kac-Moody 1

1.1 Definições e Construções Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Realização de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Construção da Álgebra de Lie Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Construção da Álgebra de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 A Forma Bilinear Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Representações Integráveis e o Grupo de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Uma Classificação das Matrizes de Cartan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Raízes Reais e Raízes Imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Álgebras de Kac-Moody Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Módulos de Verma 31

2.1 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Decomposição Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Módulos de Verma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1 A Categoria O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Módulos de Verma Imaginários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.1 Módulos de Verma Imaginários sobre a Álgebra de Lie Afim A(1)1 . . . . . . . 47

2.5 Módulos de Verma J-Imaginários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.1 Realização de Campos Livres de sl(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Realização de Campos Livres 59

3.1 Caso de Dimensão Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

vii

viii SUMÁRIO

3.2 Caso Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Segunda Realização de Campos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Localização de Álgebras não Comutativas 79

4.1 Anéis Comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Módulos sobre Anéis Comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Anéis não Comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Módulos sobre Anéis não Comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3 Um Caso Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Localização da Primeira Realização de Campos Livres 105

5.1 Notação e Convenções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.1 Módulos de Verma Imaginários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2.2 Primeira Realização de Campos Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Irredutibilidade de Módulos Localizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4 Demonstração do Teorema 5.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.1 Vetores Primitivos no Caso J − iK ∈ Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.2 O Caso K 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.3 O Caso K = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

A Notação, Definições e Resultados Básicos 137

A.1 Anéis e Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.2 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

A.2.1 Representações de Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.3 Álgebras Envolventes Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.4 Extensões Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Referências Bibliográficas 157

Lista de Símbolos

At a matriz transposta da matriz A

N o conjunto dos números inteiros estritamente positivos

Z o conjunto dos números inteiros

Z+ o conjunto dos números inteiros não negativos

Q o corpo dos números racionais

R o corpo dos números reais

C o corpo dos números complexos

K o corpo Q, R ou C

V ∗ o espaço dual de um espaço vetorial V

〈., .〉 o pareamento entre um espaço vetorial e seu dual

ix

x LISTA DE SÍMBOLOS

Introdução

O objetivo principal desta dissertação é estudar uma nova família de módulos sobre a álgebra de

Kac-Moody afim sl(2,C), obtidos a partir da primeira realização de campos livres, bem como os cri-

térios de irredutibilidade desses novos módulos, seguindo um dos resultados obtidos por Vyacheslav

Futorny, Dimitar Grantcharov e Renato A. Martins em [7], no ano de 2014.

Descreveremos a seguir a forma como o trabalho será organizado, e o conteúdo em cada capítulo.

Em primeiro lugar, destacamos a importância de apresentar definições e resultados básicos sobre

as álgebras de Lie e suas representações. Isso será feito no apêndice A, que divide-se da seguinte

forma: na primeira seção, enunciaremos alguns conceitos necessários para a construção da teoria de

localização em anéis (e álgebras) não comutativos, tendo em vista sua utilização no Capítulo 4. Em

seguida, teremos o conteúdo referente às álgebras de Lie propriamente ditas: álgebras de Lie e suas

representações, álgebras envolventes universais e extensões centrais. Ao longo do apêndice, faremos

referência à bibliografia onde cada resultado pode ser encontrado sem maior dificuldade.

O Capítulo 1 tem por objetivo introduzir as álgebras de Kac-Moody, seguindo exclusivamente

[14]. Ao longo das seções, passaremos pelos resultados importantes sobre essas álgebras, e utiliza-

remos as matrizes de Cartan generalizadas para que possamos classificá-las em tipos: finito, afim

e indeterminado. Após a classificação, estudaremos especificamente as do tipo afim, grupo ao qual

pertence o objeto de estudo deste trabalho, a álgebra de Kac-Moody afim sl(2,C), que é uma álgebra

de Lie de dimensão infinita.

No Capítulo 2, o principal objeto de estudo serão os módulos de Verma imaginários sobre as

álgebras de Kac-Moody afim, sua caracterização e critérios de irredutiblilidade. O capítulo divide-se

em seções nas quais definiremos decomposição triangular de uma álgebra de Lie, módulos de Verma

padrão sobre uma álgebra de Lie com decomposição triangular, módulos de Verma imaginários

sobre álgebras de Lie afim, enunciando os resultados apresentados por Futorny em [8], e em seguida

os módulos de Verma imaginários sobre sl(2,C), seguindo [9]. Ao final da seção, apresentaremos

brevemente os módulos de Verma J-imaginários, estudados por Renato A.Martins em [16].

xi

xii INTRODUÇÃO

Na sequência, o Capítulo 3 destina-se a apresentar ao leitor o conceito de realização de campos

livres de álgebras de Kac-Moody afim. Em particular, para a álgebra sl(2,C), explicitaremos a

primeira realização através de exemplos. Como complemento à teoria, optamos por fornecer ao

leitor uma breve exposição da segunda realização, também para a álgebra objeto de nosso estudo.

No Capítulo 4 construiremos o anel de frações (ou álgebra de frações) para uma álgebra as-

sociativa, com unidade, não necessariamente comutativa. Tal construção nos é interessante para

aplicação à álgebra envolvente universal de sl(2,C), tendo em vista que ao demonstrarmos os crité-

rios de irredutibilidade dos novos módulos que encontraremos necessitaremos "mergulhar"a álgebra

envolvente em outra álgebra, onde certos elementos particulares possuam inversos.

Por fim, o Capítulo 5 destina-se ao objetivo principal deste trabalho. Partindo da primeira reali-

zação de campos livres, e fixando um número inteiro, serão exibidos os novos módulos e será provado

o teorema que explicita os critérios de irredutibilidade dos mesmos, e a técnica de localização será

aplicada exatamente nessa demonstração. O capítulo será dividido em seções e subseções de modo

a desenvolver a demonstração dos lemas, proposições e corolários que nos fornecem a demonstração

desejada.

Capítulo 1

Álgebras de Kac-Moody

Nosso principal objetivo neste capítulo é estudar a construção das álgebras de Kac-Moodyafim "não torcidas", o que será feito através de duas abordagens. Na primeira delas, estudaremosa construção a partir das matrizes de Cartan generalizadas; na segunda, como uma extensão deálgebras de Kac-Moody do tipo finito. A notação, bem como a maioria das construções destecapítulo, seguem ([14]). Destacamos que algumas informações são também encontradas em detalhesem ([4]).

1.1 Definições e Construções Iniciais

1.1.1 Realização de Matrizes

Definição 1.1.1. Seja A = (aij)ni,j=1 uma matriz complexa n × n. A é uma matriz de Cartan

generalizada se, para todo i, j = 1, ..., n, satisfaz as seguintes condições:

(a) aii = 2;

(b) aij são inteiros não positivos, se i 6= j;

(c) aij = 0 implica aji = 0.

Definição 1.1.2. Seja A = (aij)ni,j=1 uma matriz complexa n × n de posto l. Uma realização

de A é uma tripla(h,Π,ΠV

), em que h é um espaço vetorial sobre C, Π = {α1, ..., αn} ⊂ h∗ e

ΠV = {αV1 , ..., αVn } ⊂ h são subconjuntos indexados em h∗ e h, respectivamente, satisfazendo asseguintes condições:

(a) ambos os conjuntos Π e ΠV são linearmente independentes;

(b) 〈αVi , αj〉 = aij, (i,j=1,...,n);

(c) n− l = dim h− n.

Definição 1.1.3. Seja A = (aij)ni,j=1 uma matriz complexa n × n de posto l. Sejam

(h,Π,ΠV

)e(

h1,Π1,ΠV1

)duas realizações de A, em que Π = {α1, ..., αn}, ΠV = {αV1 , ..., αVn }, Π1 = {β1, ..., βn}

e ΠV1 = {βV1 , ..., βVn }. Diremos que essas realizações são isomorfas se existe um isomorfismo de

espaços vetoriais φ : h −→ h1 tal que φ(αVi)

= βVi e φ∗ (βi) = αi, em que φ∗ é a transformaçãolinear (isomorfismo) transposta de φ.

1

2 ÁLGEBRAS DE KAC-MOODY 1.1

Proposição 1.1.4. Seja A = (aij)ni,j=1 uma matriz complexa n×n. Então, a menos de isomorfismo,

existe uma única realização de A.

(vide [14, p.2]).

Observação 1.1.5. Seja A = (aij)ni,j=1 uma matriz complexa n×n. Se

(h,Π,ΠV

)é uma realização

de A, então(h∗,ΠV ,Π

)é uma realização de At.

Definição 1.1.6. Dadas duas matrizes complexas A1 e A2, e suas realizações(h1,Π1,Π

V1

)e(

h2,Π2,ΠV2

), podemos obter uma realização da soma direta

(A1 0

0 A2

)dessas matrizes:

(h1 ⊕ h2,Π1 × {0} ∪ {0} ×Π2,Π

V1 × {0} ∪ {0} ×ΠV

2

),

denominada soma direta das realizações.

Definição 1.1.7. Uma matriz complexa A (e sua correspondente realização) é denominada decom-ponível se, após reordenar os índices (isto é, efetuar uma permutação de suas linhas e a mesmapermutação das colunas), A decompõe-se em uma soma direta não trivial.

Destacamos a seguir alguma notação e nomenclatura que serão utilizadas com frequência aolongo do capítulo:

• Para os conjuntos da Definição 1.1.2, usamos a seguinte terminologia: Π é denominado basede raízes, ΠV base de co-raízes, e seus elementos são respectivamente as raízes simplese co-raízes simples.

• Definimos também:

Q =n∑i=1

Zαi e Q+ =n∑i=1

Z+αi.

Q é denominado reticulado de raízes.

• Para α =n∑i=1

kiαi ∈ Q, o número htα :=n∑i=1

ki é a altura de α.

• Introduzimos uma ordem parcial ≥ em h∗ definindo λ ≥ µ se λ− µ ∈ Q+.

1.1.2 Construção da Álgebra de Lie Auxiliar

Nesta seção daremos os primeiros passos na construção de uma álgebra de Kac-Moody a partirde uma matriz de Cartan generalizada.

Seja A = (aij)ni,j=1 uma matriz n × n sobre C, e seja

(h,Π,ΠV

)uma realização de A. Em

primeiro lugar, introduzimos uma álgebra de Lie auxiliar g(A) com geradores ei, fi (i = 1, ..., n) eh, e definida pelas seguintes relações:

[ei, fj ] = δijαVi (i, j = 1, ..., n),

[h, h′] = 0 (h, h′ ∈ h),

[h, ei] = 〈αi, h〉ei[h, fi] = −〈αi, h〉fi (i = 1, ..., n;h ∈ h).

(1.1)

1.1 DEFINIÇÕES E CONSTRUÇÕES INICIAIS 3

Pela unicidade da realização de A (Proposição 1.1.4), g(A) depende apenas de A.Denotando por n+ (respectivamente n−) a subálgebra de g(A) gerada por e1, ..., en (respectiva-

mente f1, ..., fn), temos o seguinte resultado:

Teorema 1.1.8. (a) g(A) = n− ⊕ h⊕ n+ (soma direta de espaços vetoriais).

(b) n+ (respectivamente n−) é livremente gerada por e1, ..., en (respectivamente f1, ..., fn).

(c) A aplicação ei 7−→ −fi, fi 7−→ −ei (i = 1, ..., n), h 7−→ −h (h ∈ h), pode ser unicamenteestendida a uma involução ω da álgebra de Lie g(A).

(d) Em relação a h, existe uma decomposição em espaços de raízes:

g(A) = (⊕α∈Q+α 6=0

g−α)⊕ h⊕ (⊕α∈Q+α 6=0

gα), (1.2)

em que gα = {x ∈ g(A) | [h, x] = α(h)x para todo h ∈ h}. Além disso, dimgα < ∞, egα ⊂ n±, para ±α ∈ Q+, α 6= 0.

(e) Dentre os ideais de g(A) intersectando h trivialmente, existe um único ideal maximal τ . Alémdisso,

τ = (τ ∩ n−)⊕ (τ ∩ n+) (soma direta de ideais).

(vide [14, p.4-5]).

Observação 1.1.9. Por definição, n+ é gerada por monômios de Lie em e1, ..., en, e n− por monô-mios de Lie em f1, ..., fn.

Da demonstração do item (d) do teorema anterior,

n+ =⊕α∈Q+α 6=0

gα , n− =⊕α∈Q+α 6=0

g−α e h = g0, (1.3)

o que implica gα ⊂ n+ e g−α ⊂ n−, para todo α ∈ Q+, α 6= 0.Portanto, gα e g−α são gerados por monômios de Lie em e1, ..., en e f1, ..., fn, respectivamente,

e podemos descrever esses monômios.

Seja α ∈ Q+, α 6= 0, α =n∑i=1

kiαi. Usando as relações (1.1) e a identidade de Jacobi, prova-se que

um monômio em e1, ..., en é um elemento de gα se e somente se ei "aparece"exatamente ki vezes paracada i; e um monômio em f1, ..., fn é um elemento de g−α se e somente se fi "aparece"exatamenteki vezes, para cada i.

Portanto, para todo α ∈ Q+, α 6= 0,

gα =∑

αi1+...+αis=α

C[...[[ei1 , ei2 ], ei3 ]...eis ]

g−α =∑

αi1+...+αis=α

C[...[[fi1 , fi2 ], fi3 ]...fis ].


Em particular, gαi = Cei, g−αi = Cfi e gsα = {0}, se |s| > 1.Utilizando a identidade de Jacobi, temos ainda que [gα, gβ] ⊂ gα+β , para todo α, β ∈ Q.

1.1.3 Construção da Álgebra de Kac-Moody

Sejam A uma matriz complexa n × n,(h,Π,ΠV

)uma realização de A, e g(A) a álgebra de

Lie com geradores ei, fi(i = 1, ..., n) e h, definida pelas relações (1.1). Pelo Teorema 1.1.8 (a), aaplicação natural h −→ g(A) é injetiva. Seja τ o ideal maximal nas condições de (e). Definimosentão a álgebra de Lie

g(A) = g(A)/τ.

Cabem aqui algumas considerações importantes, sintetizando o que já vimos:

• A matriz A é denominada matriz de Cartan da álgebra de Lie g(A), e n é o posto de g(A).

• A álgebra de Lie g(A) cuja matriz de Cartan é uma matriz de Cartan generalizada é denomi-nada álgebra de Kac-Moody.

• Será mantida a mesma notação para as imagens de ei, fi(i = 1, ..., n), h em g(A). Portanto,salvo menção em contrário, ao utilizar essa notação estaremos nos referindo aos elementos emg(A).

• A subálgebra h de g(A) é denominada subálgebra de Cartan, e os elementos ei, fi, comi = 1, ..., n, são os geradores de Chevalley. Como τ intersecta h trivialmente, a subálgebrade Cartan h em g(A) tem dimensão 2n− l, em que l é o posto de A.

A partir da estrutura de g(A) vista no Teorema 1.1.8, podemos obter alguns detalhes a respeitoda estrutura de g(A), que listamos abaixo.

Segue de (1.2) que existe a seguinte decomposição em espaços de raízes com respeito a h:

g(A) =⊕α∈Q

gα, (1.4)

em que gα = {x ∈ g(A) | [h, x] = α(h)x, para todo h ∈ h} é o espaço de raízes ligado a α, comgα ∼= gα/τα, τα = τ ∩ gα. Em particular, g0

∼= h, pois τ intersecta h trivialmente .(estamos fazendouso da Proposição 1.5 de ([14, p.8-9]), que nos fornece τ =

⊕α∈Q

τ ∩ gα).

O número multα := dimgα é a multiplicidade de α. Como gα ∼= gα/τα, multα < ∞, paratodo α ∈ Q.

Um elemento α ∈ Q é denominado raiz se α 6= 0 e multα 6= 0. Uma raiz α > 0 (respectivamenteα < 0) é denominada positiva (respectivamente negativa). Segue de (1.2) que cada raiz é oupositiva ou negativa. Denotaremos por ∆, ∆+ e ∆− os conjuntos de todas as raízes, raízes positivase raízes negativas respectivamente. Então,

∆ = ∆+ ∪∆− (união disjunta).

Notemos que se α > 0, então gα é gerado por elementos da forma [...[[ei1 , ei2 ], ei3 ]...eis ]; e seα < 0, gα é gerado por elementos da forma [...[[fi1 , fi2 ], fi3 ]...fis ], tais que αi1 + ... + αis = α no

1.2 A FORMA BILINEAR INVARIANTE 5

primeiro caso, e −α no segundo. Em particular,

gαi = Cei, g−αi = Cfi, gsαi = {0}, se |s| > 1, (i = 1, ..., n). (1.5)

Observamos ainda que ei 6= 0 em g(A), pois se ei ∈ τ , então αVi = [ei, fi] ∈ τ ∩ h, o que contradizh ∩ τ = {0}; de modo análogo, fi 6= 0 em g(A).

Seja n+ (respectivamente n−) a subálgebra de g(A) gerada por e1, ..., en (respectivamentef1, ..., fn). Então,

n+ =⊕α>0

gα ∼= n+/τ ∩ n+, n− =⊕α<0

gα ∼= n−/τ ∩ n−,

e temos a decomposição triangular

g(A) = n− ⊕ h⊕ n+ (soma direta de espaços vetoriais),

A involução ω induz um automorfismo involutivo ω na álgebra de Lie g(A), denominado invo-lução de Chevalley, determinado por

ω(ei) = −fi, ω(fi) = −ei, (i = 1, ..., n) (1.6)

ω(h) = −h, se h ∈ h. (1.7)

Como τ é um ideal maximal de g(A), e ω é um automorfismo involutivo, temos que ω(τ) é um idealmaximal de g(A). Como ω(τ) ⊂ n− ⊕ n+, então intersecta h trivialmente, de onde concluímos queω(τ) = τ . Assim, ω induz um automorfismo involutivo

ω : g(A) −→ g(A)

x 7−→ ω(x)

com as propriedades desejadas. Como uma consequência imediata temos que ω(gα) = g−α, o quenos dá multα = mult(−α). Em particular, ∆− = −∆+.

Proposição 1.1.10. O centro da álgebra de Lie g(A) é igual a

c := {h ∈ h | 〈αi, h〉 = 0,∀i = 1, ..., n}.

Além disso, dim c = n− l.

(vide [14, p.11]).

1.2 A Forma Bilinear Invariante

Nesta seção, nosso objetivo é a obtenção de uma forma simétrica bilinear não degenerada (einvariante) em g(A). Para tanto, iniciamos com a definição de uma forma simétrica bilinear nasubálgebra h de g(A).

Definição 1.2.1. Seja A = (aij) uma matriz n× n. Diremos que A é simetrizável se existe uma


matriz diagonal inversível D = diag(ε1, ..., εn) e uma matriz simétrica B = (bij) tais que

A = DB. (1.8)

A matriz B é então denominada simetrização de A e g(A) é denominada álgebra de Lie sime-trizável.

Sejam agora A uma matriz simetrizável com uma decomposição (1.8) fixada e(h,Π,ΠV

)uma

realização de A. Fixando um subespaço h′′ complementar a h′ =∑

CαVi em h, definimos uma formasimétrica bilinear a valores em C (. | .) em h pelas seguintes equações:

(αVi | h) = 〈αi, h〉εi,∀h ∈ h, i = 1, ..., n; (1.9)

(h′ | h′′) = 0,∀h′, h′′ ∈ h′′. (1.10)

Por (1.8) e aplicando (1.9), temos

(αVi | αVj ) = 〈αi, αVj 〉εi = ajiεi = bijεiεj = 〈αj , αVi 〉εj = (αVj | αVi ) (i, j = 1, ..., n). (1.11)

Como αVi , ..., αVn são linearmente independentes, então (. | .) está bem definida.

Lema 1.2.2. (a) O kernel da restrição da forma bilinear (. | .) a h′ coincide com c.

(b) A forma bilinear (. | .) é não degenerada em h.

Demonstração. (a) Por definição, o kernel da restrição da forma bilinear (. | .) a h′ é o conjunto

{y ∈ h | (αVi | y) = 0,∀i = 1, ..., n},

que é o próprio c, conforme Proposição 1.1.10.

(b) Suponhamos que exista um elementon∑i=1

ciαVi tal que para todo h ∈ h

0 = (n∑i=1

ciαVi | h) = 〈

n∑i=1

ciεiαi, h〉.

Então,n∑i=1

ciεiαi = 0, pois o pareamento entre um espaço vetorial e seu dual é uma forma

bilinear não degenerada. Portanto, ci = 0(i = 1, ..., n), já que α1, ..., αn são linearmenteindependentes e εi 6= 0,∀i.

�

Tendo em vista que a forma bilinear (. | .) é não degenerada, temos um isomorfismo ν : h −→ h∗

definido por

〈ν(h), h1〉 = (h | h1), h, h1 ∈ h,

e a forma bilinear (. | .) induzida em h∗ (para definir a forma bilinear em h∗, podemos pensar emum caminho natural, que é (α | β) = (ν−1(α) | ν−1(β)),∀α, β ∈ h∗).

1.2 A FORMA BILINEAR INVARIANTE 7

Por (1.9), para todo h ∈ h

ν(αVi )(h) = (αVi | h) = 〈αi, h〉εi = εiαi(h), o que implica ν(αVi ) = εiαi, i = 1, ..., n. (1.12)

Por (1.11) deduzimos

(αi | αj) = 〈αi, αVj 〉ε−1j = ajiε

−1j = bij = aijε

−1i = 〈αj , αVi 〉ε−1

i = (αj | αi) i, j = 1, ..., n. (1.13)

Teorema 1.2.3. Seja g(A) uma álgebra de Lie simetrizável. Fixemos uma decomposição (1.8) deA. Então, existe uma forma bilinear simétrica não degenerada a valores em C (. | .) em g(A) talque:

(a) (. | .) é invariante, isto é, ([x, y] | z) = (x | [y, z]), para todo x, y, z ∈ g(A).

(b) (. | .)�h é definida por (1.9) e (1.10) e é não degenerada.

(c) (gα | gβ) = 0, se α+ β 6= 0.

(d) (. | .)�gα+g−α é não degenerada para α 6= 0, e consequentemente gα e g−α são pareados deforma não degenerada por (. | .).

(e) [x, y] = (x | y)ν−1(α), para x ∈ gα, y ∈ g−α, α ∈ ∆.

(vide [14, p.17-19])Dada uma matriz A simetrizável, a forma bilinear simétrica não degenerada invariante (. | .) em

g(A) fornecida pelo teorema anterior depende da decomposição fixada para A e do subespaço deh complementar a h′. Contudo, uma vez fixados a decomposição e o subespaço, se definirmos umaforma (. | .) em h pelas relações (1.9),(1.10) e (1.11), podemos provar que existe uma única formabilinear simétrica não degenerada invariante em g(A) que estende a forma definida em h por essasrelações. De forma mais geral, temos o seguinte teorema:

Teorema 1.2.4. Seja A uma matriz simetrizável e g(A) a álgebra de Lie associada a ela. Sejam(. | .)1 e (. | .)2 duas formas bilineares simétricas não degeneradas invariantes sobre g(A). Se asrestrições de (. | .)1 e (. | .)2 a h coincidem, então (. | .)1 = (. | .)2 em g(A).

Demonstração. É suficiente provar que para todo α, β ∈ ∆ ∪ {0}, temos

(x | y)1 = (x | y)2, para todo x ∈ gα e y ∈ gβ.

Se α+β 6= 0, pelo item (c) do Teorema 1.2.3, (x | y)1 = 0 = (x | y)2, para todo x ∈ gα e y ∈ gβ .Se α + β = 0, então β = −α; se α = β = 0, pela hipótese do teorema, (x | y)1 = (x | y)2, para

x, y ∈ g0 = h.Se α 6= 0, pelo item (e) do Teorema 1.2.3, [x, y] = (x | y)1ν

−1(α) = (x | y)2ν−1(α), para x ∈ gα

e y ∈ g−α.�


Observação 1.2.5. Suponhamos agora que A = (aij) seja uma matriz de Cartan generalizadasimetrizável. Podemos fixar uma decomposição

A = diag(ε1, ..., εn)(bij)ni,j=1, (1.14)

em que εi são números racionais positivos, para todo i = 1, ..., n, e (bij) é uma matriz simétrica comentradas no conjunto dos números racionais.

Notemos que uma decomposição como em (1.14) sempre existe, pois é equivalente a um sistemade equações lineares homogêneas e desigualdades sobre Q com ε−1

i e bij não conhecidos:

ε−1i 6= 0; diag(ε−1

1 , ..., ε−1n )A = (bij); bij = bji

Como A é simetrizável, o sistema tem solução em C; consequentemente, tem solução em Q.Podemos assumir que A seja também indecomponível. Então, para todo 1 < j ≤ n existe uma

sequência 1 = i1 < i2 < ... < ik−1 < ik = j tal que ais,is+1 < 0. Temos:

ais,is+1εis+1 = ais+1,isεis(s = 1, ..., k − 1),

implicando que εjε1 > 0, para todo j = 1, ..., n, o que nos permite escolher todos os εj positivos,obtendo o resultado desejado.

Além disso, se A é indecomponível, a matriz diag(ε1, ..., εn) é unicamente determinada por(1.14), a menos de um fator constante.

Fixando uma forma simétrica bilinear não degenerada (. | .), associada à decomposição (1.14),por (1.13), temos:

(αi | αi) = aiiε−1i = 2ε−1

i > 0, i = 1, ..., n; (1.15)

(αi | αj) = aijε−1i ≤ 0; (1.16)

αVi = ν−1(αiεi) = εiν−1(αi) =

2

(αi | αi)ν−1(αi). (1.17)

Com as relações acima, obtemos a expressão usual para a matriz de Cartan generalizada:

A =

(2(αi | αj)(αi | αi)

)ni,j=1

.

A forma bilinear (. | .) em g(A) fornecida pelo Teorema 1.2.3 e satisfazendo (1.15) é denominadaforma invariante padrão.

1.3 Representações Integráveis e o Grupo de Weyl

A partir da Definição 1.1.1, é imediato que a transposta de uma matriz de Cartan generalizada éainda uma matriz do mesmo tipo; e como já vimos anteriormente, se

(h,Π,ΠV

)é uma realização de

uma matriz A, então(h∗,ΠV ,Π

)é uma realização de At. Assim, do mesmo modo que construímos

a álgebra de Kac-Moody g(A) associada a A, podemos construir uma álgebra de Kac-Moody g(At)

associada a At, e elas serão denominadas dual uma da outra.

1.3 REPRESENTAÇÕES INTEGRÁVEIS E O GRUPO DE WEYL 9

O reticulado de raízes dual de g(A)

QV :=n∑i=1

ZαVi

é exatamente o reticulado de raízes de g(At).O sistema de raízes de g(At), denotado por ∆V ⊂ QV , é o sistema de raízes dual.Seja g(A) uma álgebra de Kac-Moody, e sejam ei, fi(i = 1, ..., n) seus geradores de Chevalley.

Seja g(i) = Cei + CαVi + Cfi; então, g(i) é isomorfo a sl(2,C), com base padrão {ei, αVi , fi}, e oisomorfismo é dado por

fi 7−→

(0 0

1 0

), αVi 7−→

(1 0

0 −1

)e ei 7−→

(0 1

0 0

).

Algumas vezes, torna-se bastante útil olhar para essa cópia isomórfica de sl(2,C) que existe emg(A), pois podemos aplicar resultados que são válidos em sl(2,C); um exemplo disso é a demons-tração das bem conhecidas relações entre os geradores de Chevalley de g(A):

(ad ei)1−aijej = 0; (ad fi)

1−aijfj = 0, se i 6= j (1.18)

Para efetuar a demonstração, utilizaremos o seguinte resultado:

Lema 1.3.1. Seja V um sl(2,C)-módulo e seja v ∈ V tal que

h(v) = λv, para algum λ ∈ C

Seja vj = (j!)−1f j(v). Então,

h(vj) = (λ− 2j)vj

Se, além disso, e(v)=0, então

e(vj) = (λ− j + 1)vj−1

(vide [14, p.31]).

Demonstração. (Relações) Faremos aqui a demonstração da segunda igualdade; a primeira podeser obtida fazendo uso da involução de Chevalley.

Para aplicar o lema, iremos considerar g(A) como um g(i)-módulo pela restrição da representaçãoadjunta; fazendo a identificação ei = e, fi = f , αVi = h, tomando v = fj , θij = (ad fi)

1−aijfj , eutilizando as relações (1.1), temos:

αVi (v) = −aijv; ei(v) = 0, se i 6= j

fazendo agora λ = −aij e j = 1− aij , podemos aplicar o Lema, e junto com as propriedades (C1)


e (C2) da matriz A:

[ei, θij ] = (1− aij)![ei, v1−aij ] = (1− aij)(−aij − (1− aij) + 1)(ad fi)−aijfj = 0, se i 6= j.

Temos também que se k 6= i, k 6= j, fazendo uso da identidade de Jacobi e pelas relações (1.1), ekcomuta com θij ; o mesmo ocorre se k = j e aij 6= 0. Vamos agora analisar o caso k = j e aij = 0:

[ej , θij ] = [ej , [fi, fj ]] = [[fj , ej ], fi] + [[ej , fi], fj ] = −[αVj , fi] = 〈αi, αVj 〉fi = ajifi = 0,

pela propriedade (C3) da matriz A e utilizando a identidade de Jacobi.Pelo Lema (1.5) em ([14, p.10]), se a ∈ n− é tal que [a, ei] = 0, para todo i = 1, ..., n, então

a = 0. Assim, θij = 0.�

Definição 1.3.2. Sejam g uma álgebra de Lie e V um módulo sobre g. Diz-se que um elementox ∈ g é localmente nilpotente em V se, para cada v ∈ V , existe um inteiro positivo N tal quexN (v) = 0.

Lema 1.3.3. Seja g(A) uma álgebra de Kac-Moody. Então, (ad ei) e (ad fi) são localmente nilpo-tentes em g(A), para todo i ∈ {1, ..., n}.

Demonstração. Para mostrar o que desejamos, basta verificar que (ad ei) e (ad fi) são localmentenilpotentes no sistema de geradores {h, ei, fi, i = 1, ..., n}, pois pelo Lema 3.4(a) em ([14, p.32-33]),para qualquer elemento x ∈ g, com g uma álgebra de Lie qualquer, (ad x) é localmente nilpotenteem g se o for em algum sistema de geradores. Assim, utilizando as relações (1.1),temos:

(ad ei)2h = [ei, [ei, h]] = [ei,−〈αi, h〉ei] = −〈αi, h〉[ei, ei] = 0,

(ad fi)2h = [fi, [fi, h]] = [fi, 〈αi, h〉fi] = 〈αi, h〉[fi, fi] = 0∀h ∈ h,

(ad ei)3fi = [ei, [ei, [ei, fi]]] = [ei, [ei, α

Vi ]] = [ei,−〈αi, αVi 〉ei] = 0 = (ad ei)

1+2fi = (ad ei)1+|aii|fi,

(ad ei)fj = 0, se i 6= j, e (ad ei)ei = 0;

e pelas relações (1.18), (ad ei) é localmente nilpotente em ej e (ad fi) é localmente nilpotente emfj , para i 6= j, (i = 1, ..., n). Podemos então concluir que

(ad ei)|aij |+1x = 0 = (ad fi)

|aij |+1x,

se x = ej ou x = fj e (ad ei)2h = 0 = (ad fi)

2h, se h ∈ h, obtendo o resultado desejado.�

Definição 1.3.4. Sejam g(A) uma álgebra de Kac-Moody e h sua subálgebra de Cartan. Diremosque um g(A)-módulo V é h-diagonalizável se

V =⊕λ∈h∗

Vλ,

em que Vλ = {v ∈ V | h(v) = 〈λ, h〉v, para todo h ∈ h}. Vλ é denominado epaço de peso,λ ∈ h∗ é denominado peso se Vλ 6= {0}, a dimensão de Vλ é denominada multiplicidade de λ e é

1.3 REPRESENTAÇÕES INTEGRÁVEIS E O GRUPO DE WEYL 11

denotada por multV λ.

Definição 1.3.5. Um módulo h-diagonalizável sobre uma álgebra de Kac-Moody g(A) é denominadointegrável se todos os ei, fi(i = 1, ..., n) são localmente nilpotentes em V .

Observação 1.3.6. A partir do Lema 1.3.3, podemos concluir que o módulo subjacente da repre-sentação adjunta de uma álgebra de Kac-Moody é um módulo integrável.

Proposição 1.3.7. Seja V um g(A)-módulo integrável.

(a) Como um g(i)-módulo, V se decompõe em uma soma direta de módulos h-invariantes irredu-tíveis de dimensão finita.

(b) Seja λ ∈ h∗ um peso de V e seja αi uma raiz simples de g(A). Denote por M o conjunto detodos os t ∈ Z tais que λ+ tαi é um peso de V , e seja mt = multV (λ+ tαi). Então,

(i) M é o intervalo fechado de inteiros [−p, q], em que p e q são ambos ou inteiros nãonegativos ou ∞ e p− q = 〈λ, αVi 〉, quando p e q são finitos; se multV λ <∞, então p eq são finitos;

(ii) ei : Vλ+tαi −→ Vλ+(t+1)αi é injetiva para t ∈ [−p,−12〈λ, α

Vi 〉); em particular, a função

t 7−→ mt é crescente nesse intervalo;

(iii) a função t 7−→ mt é simétrica com respeito a t = −12〈λ, α

Vi 〉;

(iv) se tanto λ como λ+ αi são pesos, então ei(Vλ) 6= 0.

(vide [14, p.34]).O Corolário abaixo tem importantes aplicações práticas.

Corolário 1.3.8. (a) Se λ é um peso de um g(A)-módulo integrável V e λ+ αi(respectivamenteλ− αi) não é um peso, então 〈λ, αVi 〉 ≥ 0 (respectivamente 〈λ, αVi 〉 ≤ 0).

(b) Se λ é um peso de V , então λ− 〈λ, αVi 〉αi é também um peso de mesma multiplicidade.

Definição 1.3.9. Seja g(A) uma álgebra de Kac-Moody. Para cada i = 1, ..., n, definimos a refle-xão fundamental ri do espaço h∗ por

ri(λ) = λ− 〈λ, αVi 〉αi, λ ∈ h∗. (1.19)

Em particular, ri(αj) = αj − 〈αj , αVi 〉αi = αj − aijαi ∈ Q (ri(αi) = −αi), o que nos dá riQ ⊂ Q.Como o conjunto {α1, ..., αn} é um subconjunto linearmente independente de h∗, podemos completá-lo para obter uma base. Para cada i fixado, escrevendo a matriz de ri nessa base, teremos quedetri = −1, e ela é sua própria inversa. Assim, r2

i = Id.O conjunto dos pontos fixos de ri é Ti = {λ ∈ h∗ | 〈λ, αVi 〉 = 0}, que é um hiperplano de h∗.

Assim, ri é de fato uma reflexão, para todo i = 1, ..., n.O subgrupoW dos automorfismos de h∗ gerado por todas as reflexões fundamentais é denominado

grupo de Weyl de g(A).


A reflexão fundamental ri induz uma reflexão fundamental dual r∗i em h tal que

〈r∗i (h), λ〉 = 〈h, ri(λ)〉 ∀h ∈ h, λ ∈ h∗

substituindo (1.19) na equação acima, temos:

〈r∗i (h), λ〉 = 〈h, λ− 〈λ, αVi 〉αi〉

= 〈h, λ〉 − 〈h, 〈λ, αVi 〉αi〉

= 〈h, λ〉 − 〈λ, αVi 〉〈h, αi〉

= 〈λ, h− 〈h, αi〉αVi 〉

Consequentemente, r∗i (h) = h−〈h, αi〉αVi , pois o pareamento 〈, 〉 é uma forma bilinear não degene-rada.

Proposição 1.3.10. (a) Seja V um módulo integrável sobre uma álgebra de Kac-Moody g(A).Então, multV λ = multV w(λ), para cada λ ∈ h∗ e w ∈ W . Em particular, o conjunto dospesos de V é W -invariante.

(b) O sistema de raízes ∆ de g(A) é W -invariante, e multα = mult w(α) para cada α ∈ ∆ ew ∈W .

Demonstração. (a) Seja λ ∈ h∗. Se λ for um peso de V , então ri(λ) também o será, e ambos terãoa mesma multiplicidade, pelo item (b) do Corolário 1.3.8, para todo i = 1, ..., n, e teremosque o resultado é válido para todo w ∈ W . Por outro lado, se λ não for um peso de V ,então ri(λ) também não será, para nenhum i = 1, ..., n, ou teríamos uma contradição, já quer2i = 1. Portanto, multV λ = 0 = multV (λ − 〈λ, αVi 〉αi), e temos o resultado desejado paratodo λ ∈ h∗.

(b) Para mostrar que ∆ é W -invariante, e multα = mult w(α), para todo α ∈ ∆ e todo w ∈W ,basta mostrar que isso ocorre com relação a ri para todo i = 1, ...n. Pela Observação 1.3.6,podemos aplicar o Corolário 1.3.8(b) para g(A). O sistema de raízes ∆ é, em particular umconjunto de pesos não nulos de g(A). Então, pelo Corolário 1.3.8(b), temos que para todoα ∈ ∆, ri(α) é ainda um peso de g(A), com a mesma multiplicidade de α. Como α 6= 0,ri(α) 6= 0, já que para cada i = 1, ..., n, ri é uma bijeção, o que nos fornece o resultadodesejado.

�

Observação 1.3.11. Consideremos α ∈ ∆+ \ {αi}, i = 1, ..., n. Como cada raiz é positiva ounegativa, então (1.5) implica que se α+ tαi for uma raiz, com t ∈ Z, será necessariamente uma raizpositiva, isto é, (α+ Zαi) ∩∆ ⊂ ∆+.

Portanto, se α ∈ ∆+ e ri(α) < 0, então α = αi. Logo, ∆+ \ {αi} é ri-invariante.

Proposição 1.3.12. Seja A uma matriz de Cartan generalizada simetrizável e seja (. | .) a formabilinear invariante padrão em g(A). A restrição de (. | .) a h∗ é W -invariante.

1.4 UMA CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES DE CARTAN GENERALIZADAS 13

Demonstração. Sejam λ, ρ ∈ h∗. Então, para todo i = 1, ..., n, utilizando a equação (1.17) e adefinição de ν, temos:

(ri(λ) | ri(ρ)) = (λ− 〈λ, αVi 〉αi | ρ− 〈ρ, αVi 〉αi)

= (λ | ρ)− 〈ρ, αVi 〉(λ | αi)− 〈λ, αVi 〉(ρ | αi) + 〈λ, αVi 〉〈ρ, αVi 〉(αi | αi)

= (λ | ρ)− 〈ρ, αVi 〉(ν−1(λ) | ν−1(αi))− 〈λ, αVi 〉(ν−1(ρ) | ν−1(αi)) + 〈λ, αVi 〉〈ρ, αVi 〉(αi | αi)

= (λ | ρ)− ε−1i 〈ρ, α

Vi 〉〈νν−1(λ), αVi 〉 − ε−1

i 〈λ, αVi 〉〈νν−1(ρ), αVi 〉+ 〈λ, αVi 〉〈ρ, αVi 〉(αi | αi)

= (λ | ρ)− 2ε−1i 〈ρ, α

Vi 〉〈λ, αVi 〉+ 〈λ, 2

(αi | αi)ν−1(αi)〉〈ρ, αVi 〉(αi | αi)

= (λ | ρ)− 2ε−1i 〈ρ, α

Vi 〉〈λ, αVi 〉+ 2ε−1

i 〈λ, αVi 〉〈ρ, αVi 〉

= (λ | ρ).

�

1.4 Uma Classificação das Matrizes de Cartan Generalizadas

Nesta seção, nosso objetivo é enunciar os principais resultados que nos levarão à classificaçãodas matrizes de Cartan generalizadas dos tipos finito e afim. Essa classificação será efetuadautilizando-se o diagrama de Dynkin.

Trabalharemos com matrizes A = (aij) reais n× n, que satisfaçam as seguintes propriedades:

(m1) A é indecomponível;

(m2) aij ≤ 0, para i 6= j;

(m3) aij = 0 implica aji = 0.

Podemos assumir, sem perda de generalidade, que uma matriz de Cartan generalizada satisfaça(m1).

O próximo teorema é o resultado mais importante desta seção.

Teorema 1.4.1. Seja A uma matriz real n × n satisfazendo (m1), (m2) e (m3). Então, uma eapenas uma das três seguintes possibilidades vale para ambas A e At:(Fin) det A 6= 0; existe u > 0 tal que Au > 0; Av ≥ 0 implica v > 0 ou v = 0;(Aff) n− posto A = 1; existe u > 0 tal que Au = 0; Av ≥ 0 implica Av = 0;(Ind) existe u > 0 tal que Au < 0; Av ≥ 0, v ≥ 0 implica v = 0,em que u e v são vetores coluna com entradas em R.

(vide [14, p.48-49])Diremos que A é do tipo finito, afim ou indefinido, conforme satisfaça as condições (Fin),

(Aff) ou (Ind), respectivamente.Ao associarmos a cada uma dessas matrizes o correspondente diagrama de Dynkin, o mesmo

acompanhará essa classificação.De acordo com a Proposição 4.7 (vide [14, p.51]), temos o seguinte resumo dos resultados para

uma matriz de Cartan generalizada indecomponível A:


(a) A é do tipo finito se e somente se todos os seus menores principais são positivos.

(b) A é do tipo afim se e somente se todos os seus menores principais próprios são positivos edet A = 0.

(c) A é do tipo afim se e somente se existe δ > 0 tal que Aδ = 0; tal δ é único a menos demultiplicação por uma constante.

Os diagramas de Dynkin, que estudaremos a seguir, permitem-nos listar todas as matrizes deCartan generalizadas dos tipos finito e afim.

Teorema 1.4.2. (a) Os diagramas de Dynkin de todas as matrizes de Cartan generalizadas dotipo finito estão listados na tabela Fin.

(b) Os diagramas de Dynkin de todas as matrizes de Cartan generalizadas do tipo afim estãolistados nas tabelas Aff 1, Aff 2 e Aff 3 (todos eles possuem l + 1 vértices).

(c) A numeração nos diagramas das tabelas do item (b) são as coordenadas do único vetorδ = (ao, a1, ..., al)

t tal que Aδ = 0 e os ai são inteiros positivos relativamente primos, comi = 0, ..., l.

(vide [14, p. 52-53])

Observação 1.4.3. A enumeração dos vértices nos diagramas de Dynkin é feita da seguinte forma:

(1) Na tabela Fin, os vértices dos diagramas estão enumerados pelos símbolos α1, ..., αl;

(2) Cada diagrama X(1)l da tabela Aff 1 é obtido do diagrama Xl pela adição de um vértice,

enumerado por α0, mantendo o restante da enumeração já existente nos vértices originais.

(3) Os números entre parênteses na tabela Fin são detA.

(4) As etiquetas numéricas nas tabelas Aff são os coeficientes de uma dependência linear entre ascolunas de A.

Exemplo 1.4.4. Consideremos uma matriz A do tipo F4 da tabela (Fin). Temos então que

A =

2 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −2 2 −1

0 0 −1 2

Assim, a matriz B do tipo F (1)

4 da tabela (Aff1), obtida através dela é da forma

B =

2 −1 0 0 0

−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 0

0 0 −2 2 −1

0 0 0 −1 2


Se denotarmos as colunas de B por c0, c1, ..., c4, notemos que c0 + 2c1 + 3c2 + 4c3 + 2c4 = 0,mostrando que as etiquetas numéricas são realmente coeficientes de uma dependência linear entreas colunas de B. Notemos também que o posto de A é 4, sendo seu determinante diferente de zero;já o posto de B é 4 e seu determinante é zero.

Observação 1.4.5. As álgebras de Kac-Moody g(A) associadas às matrizes de Cartan generalizadasindecomponíveis do tipo finito são álgebras de Lie simples de dimensão finita, conforme pode serverificado em [14] .


Al α1 α2

. . .αl−1 αl

(l+1)

Bl α1 α2

. . .αl−1 αl⇒ (2)

Cl α1 α2

. . .αl−1 αl⇐ (2)

Dl α1 α2

. . .αl−2 αl−1

αl

(4)

E6 α1 α2 α3 α4 α5

α6

(3)

E7 α1 α2 α3 α4 α5 α6

α7

(2)

E8 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

(1)

F4 α1 α2 α3 α4

⇒ (1)

G2 α1 α2

V (1)

Tabela 1.1: Fin


A(1)1

1 1⇐⇒

A(1)l (l ≥ 2)

1 1. . .

1 1

1

B(1)l (l ≥ 3)

1 2 2. . .

2 2

1

⇒

C(1)l (l ≥ 2)

1 2. . .

2 1⇒ ⇐

D(1)l (l ≥ 4)

1 2 2. . .

2 1

1 1

G(1)2

1 2 3V

F(1)4

1 2 3 4 2⇒

E(1)6

1 2 3 2 1

2

1

E(1)7

1 2 3 4 3 2 1

2

E(1)8

1 2 3 4 5 6 4 2

3

Tabela 1.2: Aff1


A(2)2

2

α0

1

α1

A(2)2l (l ≥ 2)

2

α0

2

α1

. . .2

αl−1

1

αl⇐

A(2)2l−1(l ≥ 3)

1

α1 α2

2 2

α3

. . .2

αl−1

1

αl⇐

α0

1

D(2)l+1(l ≥ 2)

1

α0

1

α1

. . .1

αl−1

1

αl⇐ ⇒

E(2)6

1

α0

2

α1

3

α2

2

α3

1

α4

⇐

Tabela 1.3: Aff 2

D(3)4

1

α0

2

α1

1

α2

W

Tabela 1.4: Aff 3

1.5 RAÍZES REAIS E RAÍZES IMAGINÁRIAS 19

1.5 Raízes Reais e Raízes Imaginárias

Nesta seção estudaremos o sistema de raízes ∆ de uma álgebra de Kac-Moody g(A), exibindotodas as raízes no caso em que essa álgebra for do tipo afim.

Definição 1.5.1. Uma raiz α ∈ ∆ é denominada real se existe w ∈ W tal que w(α) é umaraiz simples. Os conjuntos de todas as raízes reais e das raízes reais positivas serão denotadosrespectivamente por ∆re e ∆re

+ .

Seja agora α ∈ ∆re. Então, α = w(αi) para algum αi ∈ Π(i = 1, ..., n) e w ∈ W . Podemosdefinir a raiz (real) dual αV por αV = w(αVi ).

Definimos também uma reflexão rα com respeito a α ∈ ∆re por

rα(λ) = λ− 〈λ, αV 〉α, λ ∈ h∗.

Proposição 1.5.2. Seja α uma raiz real de uma ágebra de Kac-Moody g(A). Então,

(a) mult α = 1;

(b) kα é uma raiz se e somente se k = ±1;

(c) Se β ∈ ∆, então existem inteiros não negativos p e q relacionados pela equação

p− q = 〈β, αV 〉,

tais que β + kα ∈ ∆ ∪ {0} se e somente se −p ≤ k ≤ q, k ∈ Z;

(d) Suponha que A é simetrizável e seja (. | .) a forma bilinear invariante padrão em g(A). Então,

(i) (α | α) > 0;

(ii) αV = 2ν−1(α)/(α | α);

(iii) se α =∑ikiαi, então ki(αi | αi) ∈ (α | α)Z.

(e) Devido a ±α 6∈ Π, existe i tal que

|ht ri(α)| < |ht α|.

(vide [14, p.60]).Seja A uma matriz de Cartan generalizada simetrizável, e seja (. | .) a forma bilinear invariante

padrão. Então, dada uma raiz real α, temos (α | α) = (w(αi) | w(αi)) = (αi | αi), para alguma raizsimples αi.

Definição 1.5.3. Diremos que α é uma raiz real curta (respectivamente longa) se

(α | α) = mini(αi | αi)

(respectivamente (α | α) = maxi(αi | αi)).


Definição 1.5.4. Uma raiz α que não é real é denominada raiz imaginária. Denotaremos por∆im e ∆im

+ os conjuntos de todas as raízes imaginárias e das raízes imaginárias positivas, respecti-vamente.

Assim, ∆ = ∆re ∪∆im, que é uma união disjunta; e também ∆im = ∆im+ ∪ (−∆im

+ ).

Proposição 1.5.5. (a) O conjunto ∆im+ é W -invariante.

(b) Para todo α ∈ ∆im+ existe uma única raiz β ∈ −CV (isto é, 〈β, αVi 〉 ≤ 0 para todo i), que é

W -equivalente a α.

(c) Se A é simetrizável e (. | .) é a forma bilinear invariante padrão, então uma raiz α é imagináriase e somente se (α | α) ≤ 0.

(vide [14, p.61-62])

Definição 1.5.6. Para α =∑ikiαi ∈ Q, definimos o suporte de α (supp α) como sendo o

subdiagrama do diagrama de Dynkin que consiste dos vértices i tais que ki 6= 0, e de todas asarestas que ligam esses vértices.

Pelo Lema 1.6 em [14, p.11], o suporte de toda raiz α de uma álgebra de Lie g(A) é conectado.

Teorema 1.5.7. Seja A uma matriz de Cartan generalizada indecomponível.

(a) Se A é do tipo finito, então o conjunto ∆im é vazio.

(b) Se A é do tipo afim, então

∆im+ = {nδ(n = 1, 2, ...)},

em que δ =l∑

i=0aiαi, e os αi são as etiquetas do diagrama de Dynkin na tabela Aff.

(c) Se A é do tipo indeterminado, então existe uma raiz imaginária positiva α =∑ikiαi tal que

ki > 0 e 〈α, αVi 〉 < 0, para todo i = 1, ..., n.

Demonstração. Pelos resultados da seção anterior, o conjunto

{α ∈ Q+ | 〈α, αVi 〉 ≤ 0, i = 1, ..., n}

é {0} se A é do tipo finito, é igual a Zδ se A é do tipo afim, e existe α =∑ikiαi tal que ki > 0 e

〈α, αVi 〉 < 0, para todo i, se A é de tipo indeterminado. Definimos

K = {α ∈ Q+ \ {0} | 〈α, αVi 〉 ≤ 0 para todo i e supp α é conectado}

e utilizamos o Teorema 5.4 em [14, p.63], que nos diz que

∆im+ =

⋃w∈W

w(K)

1.5 RAÍZES REAIS E RAÍZES IMAGINÁRIAS 21

Observamos que w(δ) = δ, para todo w ∈W e temos o resultado desejado.�

Pelo Teorema 1.5.7, temos os conjuntos de raízes imaginárias e raízes imaginárias positivas deuma álgebra de Lie afim:

∆im = {±δ,±2δ, ...}, ∆im+ = {δ, 2δ, ...}.

Podemos então descrever os conjuntos das raízes reais ∆re e das raízes reais positivas ∆re+ das

álgebras de Lie afim da tabela Aff 1 em termos de ∆ e δ, em que ∆ é o sistema de raízes associadoà álgebra de Kac-Moody g = g(A), com A obtida de A pela remoção da 0-ésima linha e coluna.

Proposição 1.5.8. (a) ∆re = {α+ nδ | α ∈ ∆, n ∈ Z}.

(b) ∆re + δ = ∆re.

(c) ∆re+ = {α ∈ ∆recom n > 0} ∪ ∆+.

Demonstração. Notemos que (b) e (c) seguem de (a). Para mostrar (a), utilizaremos a Proposição5.10 em [14, p.67]. Denotemos por a e b os quadrados dos comprimentos de uma raiz curta e umaraiz longa, respectivamente, e sejam ∆re

s , ∆rel os conjuntos das raízes reais curtas e raízes reais

longas.Pelos diagramas de Dynkin da tabela Aff1, a raiz imaginária positiva minimal é sempre da forma

δ = α0 + a1α1 + ...+ alαl. Se α =l∑

i=0kiαi ∈ ∆re

s , então a = |α|2 = |α− k0δ|2, pois (αi | δ) = 0,∀i

e (δ | δ) = 0 (conforme [14, p.82]). Pela Proposição 5.10 (a), o conjunto das raízes reais curtas é

{α ∈ Q | |α|2 = a = mini|αi|2}.

Logo, α − k0δ ∈ ∆s. Fazendo β = α − k0δ, temos α = β + k0δ, com β ∈ ∆s e k0 ∈ Z, de onde∆res ⊂ {α+ nδ | α ∈ ∆s, n ∈ Z}.Para a inclusão contrária, consideremos α ∈ ∆s. Então, |α|2 = a, o que implica |α+ rδ|2 = a,

para todo r ∈ Z, isto é, para todo α ∈ ∆s, α+ rδ ∈ ∆res , novamente pela Proposição 5.10 (a).

Seja agora α ∈ ∆l. Então, b = |α|2 = |α+ sδ|2,∀s ∈ Z. Como α0 é uma raiz longa (pelosdiagramas de Dynkin), usando a relação (α0 | α0) = aV0 a

−10 a00 = 2, temos b = 2. Pela Proposição

5.10 (b), o conjunto de todas as raízes reais longas é exatamente

{α =∑j

kjαj ∈ Q | |α|2 > 0 e kj |αj |2/|α|2 ∈ Z ∀j}.

Escrevendo α =l∑

i=1kiαi, a Proposição 5.10 (b) fornece ki|αi|2/|α|2 ∈ Z, para todo i = 1, ..., l;

pela mesma proposição, α + sδ ∈ ∆rel se e somente se sai|αi|2/|α|2 ∈ Z, para i = 1, ..., l. Como

|αi|2 = 2aVi /ai, a condição é 2aVi(α|α)s ∈ Z, para i = 1, ..., l. Como |α|2 = 2, a condição que precisamos

satisfazer é saVi ∈ Z, o que naturalmente já está satisfeito, e nos dá α+ sδ ∈ ∆rel .

Para a inclusão contrária, consideremos β =l∑

i=0kiαi ∈ ∆re

l . Então, β − k0δ =l∑

i=1(ki − k0ai)αi,

|β − k0δ|2 = |β|2 = 2, e pela Proposição 5.10 (b), ki|αi|2/|β|2 ∈ Z, para i = 0, 1, ..., l. Como |β|2 = 2


e também |αi|2 = 2aVi /ai, então k0ai|αi|2/|β|2 ∈ Z. Assim, pela Proposição 5.10(b), β − k0δ ∈ ∆l,e β = α+ k0δ, para algum α ∈ ∆l e k0 ∈ Z.

�

Observação 1.5.9. Há aqui a necessidade de justificar a notação utilizada na demonstração ante-rior.

Se A é uma matriz de Cartan generalizada do tipo afim de ordem l+1 (e posto l), seu diagramade Dynkin pertence à tabela Aff1 e a0, ..., al são as etiquetas numéricas no diagrama, podemos notarque a0 = 1.

Denotamos por aVi (i = 0, ..., l) as etiquetas do diagrama de At, que é obtido do diagrama originalrevertendo as direções das setas e mantendo a mesma enumeração dos vértices. Então, aV0 = 1.

Conforme resultados estudados em [14], a matrizA é simetrizável eA = diag(a0aV−10 , ..., ala

V−1l )B,

em que B = Bt.

1.6 Álgebras de Kac-Moody Afim

Na Seção 1.1 tivemos uma ideia geral da construção das álgebras de Kac-Moody a partir deuma matriz de Cartan generalizada; já na Seção 1.4, estudamos como classificam-se essas matrizes,e consequentemente as álgebras associadas a elas. Nesta seção, estudaremos uma construção maisconcreta, que será efetuada em alguns importantes passos, porém iremos manter nosso foco naconstrução das álgebras de Lie do tipo afim, mais especificamente aquelas associadas às matrizesda tabela Aff 1.

Seja L = C[t, t−1] a álgebra dos polinômios de Laurent na variável t. Um polinômio em L é daforma P =

∑k∈Z

cktk em que todos os ck, exceto uma quantidade finita, são nulos.

Definição 1.6.1. O resíduo de um polinômio de Laurent é definido por Res P = c−1, e é umfuncional linear em L caracterizado pelas propriedades:

Res t−1 = 1; ResdP

dt= 0.

Definimos uma função bilinear ϕ : L × L −→ C por

ϕ(P,Q) = ResdP

dtQ,

e são válidas as seguintes propriedades:

ϕ(P,Q) = −ϕ(Q,P ) (1.20)

ϕ(PQ,R) + ϕ(QR,P )+ϕ(RP,Q) = 0, (1.21)

para todo P,Q,R ∈ L.De fato, como

d(PQ)

dt=dP

dtQ+ P

dQ

dte Res

dP

dt= 0, para todo P,Q ∈ L,

1.6 ÁLGEBRAS DE KAC-MOODY AFIM 23

então

0 = Resd(PQ)

dt= Res

(dP

dtQ+ P

dQ

dt

)= Res

dP

dtQ+Res P

dQ

dt,

o que nos dá −Res P dQdt = Res dP

dt Q, que é a igualdade desejada. Para a segunda igualdade,utilizamos a primeira:

ϕ(PQ,R) = Resd(PQ)

dtR = Res

(dP

dtQR+

dQ

dtPR

)= Res

dP

dtQR+Res

dQ

dtPR = ϕ(P,QR) + ϕ(Q,PR) = −ϕ(QR,P )− ϕ(PR,Q),

o que nos dá ϕ(PQ,R) + ϕ(QR,P ) + ϕ(RP,Q) = 0.

Definição 1.6.2. A álgebra de Kac-Moody afim associada a uma matriz de Cartan generalizadado tipo X(1)

l (ver Tabela Aff 1) é denominada álgebra de Kac-Moody afim não torcida. Amatriz de Cartan generalizada A do tipo X(1)

l (em que X = A,B, ..., G) é conhecida como matrizde Cartan estendida da álgebra de Lie simples de dimensão finita g := g(A), cuja matriz de CartanA é uma matriz do tipo finito Xl (obtida de A removendo-se a 0-ésima coluna e a 0-ésima linha).

A partir de agora, passaremos à construção das álgebras de Kac-Moody afim não torcidas, everemos que uma álgebra desse tipo pode ser totalmente realizada em termos de uma álgebra deLie simples de dimensão finita g "subjacente"a ela.

Em primeiro lugar, consideremos a álgebra de loop

L(g) := L ⊗C g.

L(g) é uma álgebra de Lie complexa de dimensão infinita com o colchete [ , ]0 definido por

[tm ⊗ x, tn ⊗ y]0 = tm+n ⊗ [x, y] (m,n ∈ Z;x, y ∈ g)

e linearidade.Em seguida, fixamos uma forma bilinear simétrica invariante não degenerada (. | .) em g, a

valores em C, cuja existência é garantida pelo Teorema 1.2.3. Estendemos (. | .) a uma formabilinear simétrica não degenerada (. | .)t em L(g) a valores em L por

(tm ⊗ x | tn ⊗ y)t = tm+n(x | y) (m,n ∈ Z;x, y ∈ g)

e linearidade.


Vejamos que (. | .)t é também invariante:

([tm ⊗ x, tn ⊗ y]0 | tl ⊗ z)t = (tm+n ⊗ [x, y] | tl ⊗ z)t= t(m+n)+l([x, y] | z) e

(tm ⊗ x | [tn ⊗ y, tl ⊗ z]0)t = (tm ⊗ x | tn+l ⊗ [y, z])t

= tm+(n+l)(x | [y, z]).

Como (. | .) é invariante, temos o resultado desejado.Estendemos também cada derivação D da álgebra L a uma derivação da álgebra de Lie L(g)

por

D(tm ⊗ x) = D(tm)⊗ x, (m ∈ Z;x ∈ g)

e linearidade.

Definição 1.6.3. Seja g uma álgebra de Lie. Um 2-cociclo sobre g a valores em C é uma funçãobilinear ψ, a valores em C, satisfazendo as seguintes condições:

(a) ψ(a, b) = −ψ(b, a)

(b) ψ([a, b], c) + ψ([b, c], a) + ψ([c, a]b) = 0, (a, b, c ∈ g).

Agora então podemos definir um 2-cociclo na álgebra de Lie L(g) a valores em C por

ψ(a, b) = Res

(da

dt| b)t

(a, b ∈ L(g)).

Veremos que, de fato, ψ é um 2-cociclo.

(a) Sejam a = tm ⊗ x, b = tn ⊗ y, com m,n ∈ Z;x, y ∈ g. Então,

ψ(tm ⊗ x, tn ⊗ y) = Res

(d(tm ⊗ x)

dt| tn ⊗ y

)t

= Res

(dtm

dt⊗ x | tn ⊗ y

)t

= Res

(dtm

dttn(x | y)

)= (x | y)Res

(dtm

dttn)

= (x | y)ϕ(tm, tn).

Por (1.20), temos ψ(tm ⊗ x, tn ⊗ y) = (x | y)ϕ(tm, tn) = −(x | y)ϕ(tn, tm). Por outro lado,

−(x | y)ϕ(tn, tm) = −(y | x)Res

(dtn

dttm)

= −Res(dtn

dttm(y | x)

)= −Res

(dtn

dt⊗ y | tm ⊗ x)

)t

= −ψ(tn ⊗ y, tm ⊗ x),

o que nos mostra a validade de (a).


(b) Sejam a = tm ⊗ x, b = tn ⊗ y, c = tl ⊗ z, com m,n, l ∈ Z;x, y, z ∈ g. Então,

ψ([tm ⊗ x, tn ⊗ y]0, tl ⊗ z) = ψ(tm+n ⊗ [x, y], tl ⊗ z)

= Res

(d(tm+n ⊗ [x, y])

dt| tl ⊗ z

)t

= Res

(dtm+n

dt⊗ [x, y] | tl ⊗ z

)t

= Res

(dtm+n

dttl([x, y] | z)

)= ([x, y] | z)Res

(dtm+n

dttl)

= ([x, y] | z)ϕ(tm+n, tl).

Com cálculos análogos,

ψ([tn ⊗ y, tl ⊗ z]0, tm ⊗ x) = ([y, z] | x)ϕ(tn+l, tm)

= (x | [y, z])ϕ(tn+l, tm) = ([x, y] | z)ϕ(tn+l, tm) e

ψ([tl ⊗ z, tm ⊗ x]0, tn ⊗ y) = ([z, x] | y)ϕ(tl+m, tn)

= (z | [x, y])ϕ(tl+m, tn) = ([x, y] | z)ϕ(tl+m, tn).

Por (1.21)

ψ([tm ⊗ x, tn ⊗ y]0, tl ⊗ z) + ψ([tn ⊗ y, tl ⊗ z]0, tm ⊗ x) + ψ([tl ⊗ z, tm ⊗ x]0, t

n ⊗ y)

= ([x, y] | z)(ϕ(tm+n, tl) + ϕ(tn+l, tm) + ϕ(tl+m, tn))

= ([x, y] | z)0 = 0.

Denotemos agora por L(g) a extensão central da álgebra de Lie L(g) por um centro unidimen-sional, associado ao cociclo ψ. Explicitamente, L(g) = L(g)⊕Cc (soma direta de espaços vetoriais)e o colchete é dado por

[a+ λc, b+ µc] = [a, b]0 + ψ(a, b)c (a, b ∈ L(g);λ, µ ∈ C). (1.22)

Lema 1.6.4. L(g) é uma álgebra de Lie com respeito ao colchete definido acima.

Demonstração. Da bilinearidade de [ , ]0 e ψ, temos a bilinearidade desse novo colchete definidoem L(g). Assim, para mostrar que L(g) é de fato uma álgebra de Lie, precisamos apenas mostraras propriedades do colchete de Lie.

(a) O colchete é naturalmente anti simétrico, pois [a, b]0 = −[b, a]0, para todo a, b ∈ L(g), e comoψ é um 2- cociclo, satisfaz (1.20).

(b) Para ter [a + λc, a + λc] = 0, basta notarmos que, como C é um corpo de característicadiferente de 2, ψ(a, a) = −ψ(a, a) = 0, já que ψ satisfaz (1.20), e também [a, a]0 = 0, paratodo a ∈ L(g).


(c) (Identidade de Jacobi) Sejam a+ λc, b+ µc, d+ γc ∈ L(g). Então,

[[a+ λc, b+ µc], d+ γc] = [[a, b]0 + ψ(a, b)c, d+ γc]

= [[a, b]0, d]0 + ψ([a, b]0, d)c

= −[[b, d]0, a]0 − [[d, a]0, b]0 − ψ([b, d]0, a)c− ψ([d, a]0, b)c

= −[[b+ µc, d+ γc], a+ λc]− [[d+ γc, a+ λc], b+ µc],

de onde segue a igualdade desejada.

�

Definimos agora uma derivação d de L(g) por

d(tm ⊗ x) = mtm ⊗ x (m ∈ Z;x ∈ g),

e linearidade, isto é, d = t ddt .

Lema 1.6.5. d é uma derivação de L(g).

Demonstração. Sejam tm ⊗ x, tn ⊗ y, m,n ∈ Z;x, y ∈ g. Então,

d([tm ⊗ x, tn ⊗ y]0) = d(tm+n ⊗ [x, y]) = (m+ n)tm+n[x, y];

[d(tm ⊗ x), tn ⊗ y]0 + [tm ⊗ x, d(tn ⊗ y)]0

= [mtm ⊗ x, tn ⊗ y]0 + [tm ⊗ x, ntn ⊗ y]0

= mtm+n ⊗ [x, y] + ntm+n ⊗ [x, y],

de onde d é de fato uma derivação.�

Finalmente, denotemos por L(g) a álgebra de Lie que é obtida pela adjunção a L(g) de umaderivação d, que age em L(g) como t ddt e d(c) = 0. Assim, L(g) é um espaço vetorial sobre C

L(g) = L(g)⊗ Cc⊗ Cd

com o colchete definido por

[tm ⊗ x+ λc+ µd, tn ⊗ y + λ1c+ µ1d]

= (tm+n ⊗ [x, y] + µntn ⊗ y − µ1mtm ⊗ x) +mδm,−n(x | y)c, (x, y ∈ g, λ, λ1, µ, µ1 ∈ C).

Antes de mostrarmos que L(g) é de fato uma álgebra de Kac-Moody afim associada à matriz Ado tipo X(1)

l , iremos mostrar que d é uma derivação da álgebra de Lie L(g). Faremos isso de formamais geral. Denotemos por ds o endomorfismo do espaço vetorial L(g) definido por

ds�L(g) = −ts+1 d

dt; ds(c) = 0. (1.23)


Em particular, d0 = −d.

Proposição 1.6.6. ds é uma derivação em L(g).

Demonstração. Seja D := ds; claramente, D é uma derivação em L, e podemos estendê-la a umaderivação em L(g). Então, como D é uma derivação em L(g), para todo a, b ∈ L(g) e λ, µ ∈ C,temos:

D([a+ λc, b+ µc]) = D([a, b]0) +D(ψ(a, b)c) = D([a, b]0) = [D(a), b]0 + [a,D(b)]0,

e queremos mostrar que

D([a+ λc, b+ µc]) = [D(a+ λc), b+ µc] + [a+ λc,D(b+ µc)] = [a,D(b)] + [D(a), b].

Por outro lado, temos as igualdades:

[D(a), b] = [D(a), b]0 + ψ(D(a), b)c

[a,D(b)] = [a,D(b)]0 + ψ(a,D(b))c.

Para obter o resultado desejado, precisamos então verificar que

ψ(D(a), b) + ψ(a,D(b)) = 0. (1.24)

Sejam agora a = P ⊗ x, b = Q⊗ y (P,Q ∈ L;x, y ∈ g); então, o lado esquerdo da equação (1.24) é:

ψ(D(P ⊗ x), Q⊗ y) + ψ(P ⊗ x,D(Q⊗ y))

= ψ(D(P )⊗ x,Q⊗ y) + ψ(P ⊗ x,D(Q)⊗ y)

= Res

(dD(P )

dt⊗ x | Q⊗ y

)t

+Res

(dP

dt⊗ x | D(Q)⊗ y

)t

= Res

(dD(P )

dtQ(x | y)

)+Res

(dP

dtD(Q)(x | y)

)= (x | y)(ϕ(D(P ), Q) + ϕ(P,D(Q))

= (x | y)(−ϕ(Q,D(P )) + ϕ(P,D(Q)))

= (x | y)Res

(−dQdtts+1dP

dt+dP

dtts+1dQ

dt

)= 0,

fornecendo o resultado desejado.�

Mostraremos agora que L(g) = L(g)⊗Cc⊗Cd é uma álgebra de Kac-Moody afim associada àmatriz A do tipo X(1)

l .Sejam h a subálgebra de Cartan de g, e ∆ ⊂ h∗ o sistema de raízes de g. Consideremos também

{α1, ..., αl} a base de raízes, e {H1, ...,Hl} a base de co-raízes; Ei, Fi(i = 1, ..., l) os geradores de

Chevalley. Seja θ =l∑

i=1a1αi a raiz de altura máxima do sistema de raízes ∆, e g =

⊕α∈∆∪{0}

gα a

decomposição em espaços de raízes de g. Conforme Proposição 1.5.2, (α | α) 6= 0 e dimgα = 1,


para todo α ∈ ∆, já que não existem raízes imaginárias no sistema de raízes de uma álgebra deKac-Moody do tipo finito. Seja também ω a involução de Chevalley de g.

Escolhemos F0 ∈ gθ tal que (F0 | ω(F0)) = −2/(θ | θ) e definimos E0 = ω(F0). Assim, definindoθV = 2

(θ|θ)ν−1(θ), pelo Teorema 1.2.3(e), temos:

[E0, F0] = (E0 | F0)ν−1(θ) = − 2

(θ | θ)ν−1(θ) = −θV , (1.25)

pois ω(E0) ∈ g−θ.Os elementos Ei(i = 0, 1, ..., l) geram a álgebra de Lie g. De fato, como g é simples, então sob a

ação da representação adjunta dos elementos de U(g) em E0, g = U(g)·E0.Voltando a L(g), temos que Cc é seu centro de dimensão 1. Observemos ainda que 1⊗ g é uma

subálgebra de L(g), com a qual g pode ser identificada fazendo x 7−→ 1⊗ x, para todo x ∈ g.Além disso,

h := h + Cc+ Cd

é uma subálgebra comutativa de L(g), de dimensão l+ 2. Estendemos λ ∈ h∗ a um funcional linearsobre h definindo 〈λ, c〉 = 〈λ, d〉 = 0, de modo a identificar h∗ como um subespaço de h∗. Denotamospor δ o funcional linear sobre h definido por δ�h+Cc

= 0, 〈δ, d〉 = 1. Sejam agora

e0 = t⊗ E0, f0 = t−1 ⊗ F0,

ei = 1⊗ Ei, fi = 1⊗ Fi,

para todo i = 1, ..., l. Por (1.25), temos:

[e0, f0] = [t⊗ E0, t−1 ⊗ F0] = 1⊗ [E0, F0] + (E0 | F0)c =

2

(θ | θ)c− θV .

Descreveremos em seguida o sistema de raízes e a decomposição em espaços de raízes de L(g)

com respeito a h:

∆ = {jδ + γ, em que j ∈ Z, γ ∈ ∆} ∪ {jδ, em que j ∈ Z \ {0}},

L(g) = h⊕(⊕α∈∆

L(g)α

), em que

L(g)jδ+γ = tj ⊗ gγ , L(g)jδ = tj ⊗ h.

Definimos também:

Π = {α0 := δ − θ, α1, ..., αl},

ΠV = {αV0 :=2

(θ | θ)c− 1⊗ θV , αV1 := 1⊗H1, ..., α

Vl := 1⊗Hl}.


Na seção 6.4 de [14] foi introduzido o elemento

θ = δ − a0α0 =

l∑i=1

aiαi ∈ Q,

que é exatamente o mesmo θ que estamos definindo agora. Assim, pela Proposição 6.4(a) em [14,p.85],

A = (〈αj , αVi 〉)li,j=0.

Portanto, (h,Π,ΠV ) é uma realização da matriz afim A com a qual iniciamos a construção. Naverdade, Π e ΠV são linearmente independentes e 2n− postoA = 2(l + 1)− l = l + 2 = dim h.

Teorema 1.6.7. Seja g uma álgebra de Lie simples complexa de dimensão finita, e seja A suamatriz de Cartan estendida. Então, L(g) é a álgebra de Kac-Moody afim associada à matriz afimA, h é sua subálgebra de Cartan, Π e ΠV são as bases de raízes e co-raízes, e e0, ..., el, f0, ..., fl sãoos geradores de Chevalley.

(vide [14, p.101].

Corolário 1.6.8. Seja g(A) uma álgebra de Lie afim não torcida de posto l+ 1. Então, a multipli-cidade de cada raiz imaginária de g(A) é l.

Observação 1.6.9. Dada uma álgebra de Lie simples de dimensão finita g, a álgebra de Lie L(g)

é usualmente referenciada na literatura por álgebra afim associada a g ou afinização de g.

Podemos ainda descrever o restante das noções clássicas para álgebras de Kac-Moody afim.Em primeiro lugar, na seção 6.2 de [14], foi introduzida uma forma invariante normalizada, que

pode ser descrita como segue. Tomando a forma invariante normalizada (. | .) em g e estendendopara toda a álgebra L(g) por

(P ⊗ x | Q⊗ y) = (Res t−1PQ)(x | y), (x, y ∈ g, P,Q ∈ L);

(Cc+ Cd | L(g)) = 0; (c | c) = (d | d) = 0; (c | d) = 1.

Seja agora g = n− ⊕ h⊕ n+ a decomposição triangular de g. Então, a decomposição triangularde L(g) pode ser expressa como segue:

L(g) = n− ⊕ h⊕ n+, em que

n− = (t−1C[t−1]⊗ (n+ + h)) + C[t−1]⊗ n−

n+ = (tC[t]⊗ (n− + h)) + C[t]⊗ n+.

Finalmente, expressamos a involução de Chevalley ω de L(g) em termos da involução de Che-valley ω de g:


ω(P (t)⊗ x+ λc+ µd) = P (t−1)⊗ ω(x)− λc− µd,

em que P (t) ∈ L, x ∈ g; λ, µ ∈ C. Na verdade, temos ω(ei) = −fi, ω(fi) = −ei (i = 1, ..., l) eω�h = −Id. Além disso,

ω(e0) = ω(t⊗ E0) = t−1 ⊗ ω(E0) = −t−1 ⊗ F0 = −f0,

e similarmente ω(f0) = −e0.Um exemplo de álgebra de Kac-Moody afim é a álgebra objeto de estudo deste trabalho, deno-

tada por sl(2,C):

Exemplo 1.6.10. A álgebra de Kac-Moody afim que denotamos por sl(2,C) é a afinização daálgebra de Lie das matrizes 2× 2 de traço zero g = sl(2,C):

sl(2,C) = (sl(2,C)⊗ C[t, t−1])⊕ Cc⊕ Cd,

com colchete dado por :

[a⊗ tm, b⊗ tn] = [a, b]⊗ tm+n + δm,−n(a | b)c, [d, a⊗ tm] = ma⊗ tm, [c, g] = 0,

para todo a, b ∈ g, m,n ∈ Z, e a forma bilinear (. | .) é a forma de Killing de g, definida por(a | b) = tr(ab), para todo a, b ∈ g.

Temos ainda que g é a álgebra de Lie simples associada à matriz A1 = (2), e sl(2,C) está

associada à matriz A(1)1 =

(2 −2

−2 2

).

Capítulo 2

Módulos de Verma

Este capítulo tem por objetivo o estudo dos módulos de Verma sobre álgebras de Lie com decom-posição triangular. Em particular, para as álgebras de Kac-Moody afim, estudaremos a construçãodos módulos de Verma imaginários (IVM) e J-imaginários.

2.1 Produto Tensorial

Iniciamos o capítulo com algumas considerações a respeito do produto tensorial de módulossobre álgebras não comutativas, tendo em vista a sua utilização na construção dos módulos deVerma, dos módulos de Verma imaginários, e dos J-imaginários.

Ao longo desta seção A denotará uma álgebra associativa, não necessariamente comutativasobre C. Destacamos que é suficiente considerar álgebras associativas, pois estamos interessados noproduto tensorial de módulos sobre álgebras envolventes universais.

Definição 2.1.1. Sejam A uma álgebra,MA um A-módulo à direita e AN um A-módulo à esquerda,e seja G um grupo abeliano (aditivo). Uma função f : M × N −→ G é chamada de A-biaditivase, para todo m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N e a ∈ A,

f(m+m′, n) = f(m,n) + f(m′, n),

f(m,n+ n′) = f(m,n) + f(m,n′) e

f(ma, n) = f(m, an).

Definição 2.1.2. Dada uma álgebra A e módulos MA e AN , o produto tensorial de M e N éum par (M ⊗A N,⊗), em que M ⊗A N é um grupo abeliano, e ⊗ é uma função A-biaditiva

⊗ : M ×N −→M ⊗A N

tal que, para cada grupo abeliano G e cada função A-biaditiva f : M × N −→ G, existe umúnico homomorfismo de Z-módulos g : M ⊗A N −→ G que torna o diagrama abaixo comutativo

31

32 MÓDULOS DE VERMA 2.1

M ×Nf��

⊗//M ⊗ A N

gxx

G

Observação 2.1.3. Notemos que, se um produto tensorial de M e N existe, então ele é único amenos de isomorfismo.

De fato, se ((M⊗AN)1,⊗1) e ((M⊗AN)2,⊗2) são produtos tensoriais deM e N , então existemúnicos homomorfismos de Z-módulos

g1 : (M ⊗A N)1 −→ (M ⊗A N)2

tal que g1 ◦ ⊗1 = ⊗2 e

g2 : (M ⊗A N)2 −→ (M ⊗A N)1

tal que g2 ◦ ⊗2 = ⊗1, pela definição de produto tensorial.Portanto, para todom ∈M e n ∈ N , é fácil ver que g1◦g2 : (M⊗AN)2 −→ (M⊗AN)2 é tal que

g1(g2(m⊗2 n)) = m⊗2 n, e g2 ◦ g1 : (M ⊗AN)1 −→ (M ⊗AN)1 é tal que g2(g1(m⊗1 n)) = m⊗1 n.Porém, ainda pela definição e propriedades do produto tensorial, Id2 : (M ⊗AN)2 −→ (M ⊗AN)2

é o único Z-homomorfismo tal que Id2(m⊗2n) = m⊗2n, o que nos dá Id2 = g1◦g2. Analogamente,Id1 = g2 ◦ g1. Concluímos que g1 e g2 são Z-homomorfismos inversos um do outro, mostrando que(M ⊗A N)1

∼= (M ⊗A N)2.

Proposição 2.1.4. Se A é uma álgebra e MA e AN são módulos, então existe o produto tensorialde M e N .

(vide [19, p. 576-577]).No caso em que A é uma álgebra comutativa, M ⊗A N tem uma estrutura de módulo sobre

A, o que não ocorre no caso não comutativo. Veremos agora que, sob algumas condições, pode-seobter uma estrutura de módulo para o grupo abeliano M ⊗A N , ainda que não seja sobre A.

Definição 2.1.5. Sejam A e B álgebras, e seja M um grupo abeliano. Então, diremos que M é um(A,B)-bimódulo, denotado por AMB, se M é um A-módulo à esquerda e um B-módulo à direita,e as duas multiplicações por escalar estão relacionadas por uma lei associativa:

a(mb) = (am)b,

para todo a ∈ A, b ∈ B e m ∈M .

Se M é um (A,B)-bimódulo, é permitido escrever amb sem os parênteses.

Lema 2.1.6. Sejam A e B álgebras, AMB um (A,B)-bimódulo e consideremos BN . Então, o produtotensorial M ⊗B N é um A-módulo à esquerda, em que a(m ⊗ n) = (am) ⊗ n, para todo a ∈ A,m ∈M e n ∈ N . Similarmente, dados MB e BNA, o produto tensorial M ⊗B N é um A-módulo àdireita, em que (m⊗ n)a = m⊗ (na), para todo a ∈ A, m ∈M e n ∈ N .

2.1 PRODUTO TENSORIAL 33

Demonstração. Faremos a demonstração da segunda afirmação.Pela definição de produto tensorial, M ⊗B N é um grupo abeliano. Precisamos então verificar

que M ⊗B N é um espaço vetorial sobre C, e que os axiomas de módulo estão satisfeitos.Para cada a ∈ A fixado, vamos considerar a função

fa : M ×N −→M ⊗B N

(m,n) 7−→ m⊗ (na),

para todo m ∈M e n ∈ N , e mostrar que fa é uma função B-biaditiva. De fato,

fa(m1 +m2, n) = (m1 +m2)⊗ (na) = m1 ⊗ (na) +m2 ⊗ (na) = fa(m1, n) + fa(m2, n);

fa(m,n1 + n2) = m⊗ ((n1 + n2)a) = m⊗ (n1a+ n2a) = m⊗ (n1a) +m⊗ (n2a)

= fa(m,n1) + fa(m,n2);

fa(mb, n) = (mb)⊗ (na) = m⊗ (b(na)) = m⊗ ((bn)a) = fa(m, bn),

para todo m,m1,m2 ∈ M , n, n1, n2 ∈ N e b ∈ B. Pela definição e propridades do produtotensorial de M e N , existe um único homomorfismo de Z-módulos φa : M ⊗B N −→ M ⊗B N talque φa ◦ ⊗ = fa, isto é, φa(m⊗ n) = fa(m,n) = m⊗ (na), para todo m ∈M , n ∈ N .

Definimos então a multiplicação à direita por um elemento de A da seguinte forma:

xa := φa(x),

para todo x ∈ M ⊗B N e todo a ∈ A. Em particular, para todo m ∈ M e n ∈ N , teremos

(m⊗n)a = φa(m⊗n) = m⊗ (na). Como todo elemento x ∈M ⊗BN é da forma x =k∑i=1

(mi⊗ni),

com mi ∈M e ni ∈ N , para todo i ∈ {1, ..., k}, temos:

xa = φa(x) = φa

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)=

k∑i=1

(φa(mi ⊗ ni)) =k∑i=1

(mi ⊗ (nia)). (2.1)

M ⊗B N é de fato um A-módulo à direita:

(a) Se A é uma álgebra com unidade 1, então

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)1 =2.1

k∑i=1

(mi ⊗ (ni1)) =k∑i=1

(mi ⊗ ni).


(b) Como φa é um homomorfismo de grupos abelianos, para todo a ∈ A, então k∑i=1

(mi ⊗ ni) +l∑

j=1

(mj ⊗ nj)

a =

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)a+

l∑j=1

(mj ⊗ nj)

a.

(c) Para a, b ∈ A,

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)(a+ b) =2.1

k∑i=1

(mi ⊗ (ni(a+ b))) =

k∑i=1

(mi ⊗ (nia+ nib))

=k∑i=1

((mi ⊗ (nia)) + (mi ⊗ (nib))) =k∑i=1

(mi ⊗ (nia)) +k∑i=1

(mi ⊗ (nib))

=2.1

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)a+

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)b.

(d) Para a, b ∈ A,

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)(ab) =2.1

k∑i=1

(mi ⊗ (ni(ab))) =k∑i=1

(mi ⊗ ((nia)b))

=

(k∑i=1

(mi ⊗ (nia))

)b =

((k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)a

)b.

(e) Para cada α ∈ C, definimos a função

gα : M ×N −→M ⊗B N

(m,n) 7−→ m⊗ (αn),

para todo m ∈ M , n ∈ N , e com cálculos análogos aos efetuados na demonstração de quefa é uma função B-biaditiva, é possível mostrar que gα é também uma função B-biaditiva,observando que, pelas propriedades de módulo sobre uma álgebra, α(bn) = (αb)n = b(αn)

para todo n ∈ N , b ∈ B e α ∈ C e então

gα(mb, n) = (mb)⊗ (αn) = m⊗ (b(αn)) = m⊗ (α(bn)) = gα(m, bn).

De modo análogo ao da verificação dos axiomas de módulo que já foram mostrados até aqui,verifica-se queM⊗BN é um espaço vetorial sobre C, com a multiplicação por escalar definida

2.2 DECOMPOSIÇÃO TRIANGULAR 35

por

αy := ηα(y),

para todo y ∈ M ⊗B N , em que ηα : M ⊗B N −→ M ⊗B N é o único Z-homomorfismo talque ηα ◦ ⊗ = gα. Finalmente, verificaremos o último axioma de módulo, como segue:

(f) Para a ∈ A, α ∈ C,(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)(αa) =2.1

k∑i=1

(mi ⊗ (ni(αa))) =k∑i=1

(mi ⊗ (αni)a)

=

(k∑i=1

(mi ⊗ (αni))

)a =

(α

(k∑i=1

(mi ⊗ ni)

))a

= α

((k∑i=1

(mi ⊗ ni)

)a

).

�

Observação 2.1.7. Notemos que, no caso particular em que B é uma subálgebra de A, A⊗BW éum A-módulo à esquerda, para qualquer B-módulo W à esquerda.

2.2 Decomposição Triangular

Tendo como base a ideia de que as álgebras de Lie gl(n,C), n ∈ N, podem ser naturalmentedecompostas em uma soma direta de três subálgebras: a álgebra das matrizes triangulares estrita-mente superiores, a álgebra das matrizes triangulares estritamente inferiores e a álgebra das matrizesdiagonais, surge o conceito de decomposição triangular de uma álgebra de Lie qualquer. Há umacerta quantidade de resultados e construções que podem ser feitos utilizando o fato de que umaálgebra de Lie possui essa decomposição, incluindo a obtenção dos módulos de Verma.

Nesta seção, estudaremos a decomposição triangular de álgebras de Lie sobre C.

Definição 2.2.1. Sejam h uma álgebra de Lie abeliana, π : h −→ gl(V ) uma representação de h

em um C-espaço vetorial V , e φ ∈ h∗. Um vetor não nulo v ∈ V é chamado de vetor de peso compeso φ (relativo a h e π) se para todo h ∈ h

π(h)v = φ(h)v.

Para cada φ ∈ h∗, definimos o φ-espaço de peso Vφ por

Vφ = {v ∈ V | π(h)v = φ(h)v, para todo h ∈ h},

que é um h-submódulo de V .

Definição 2.2.2. Seja h uma álgebra de Lie abeliana, e seja π : h −→ gl(V ) uma representação deh em um C-espaço vetorial V . Dizemos que o h-módulo V admite uma decomposição em espaços


de peso se V =⊕φ∈h∗

Vφ. Os funcionais lineares φ ∈ h∗ para os quais Vφ 6= {0} são chamados de

pesos de V relativos a h e π. Para cada φ ∈ h∗, dimVφ é chamada de multiplicidade de φ em V

e denotada por multV (φ). Denotamos por P (V ) o conjunto de todos os pesos de V .

Proposição 2.2.3. Sejam g uma álgebra de Lie, e π : h −→ Derg uma representação de uma álge-bra de Lie abeliana h como uma álgebra de Lie de derivações em g. Se g admite uma decomposiçãoem espaços de peso

g =⊕α∈h∗

gα,

com respeito a h sob a representação π, então

[gα, gβ] ⊂ gα+β,

para todo α, β ∈ h∗.

Demonstração. Como π(h) ∈ Derg, para todo h ∈ h, então π(h)[x, y] = [π(h)x, y]+[x, π(h)y], paratodo x, y ∈ g. Em particular, para x ∈ gα e y ∈ gβ ,

π(h)[x, y] = [α(h)x, y] + [x, β(h)y] = (α(h) + β(h))[x, y] = (α+ β)(h)[x, y] ∈ gα+β,

como desejado.�

Com as definições e notação estabelecidas até aqui, passaremos à definição e ao estudo dadecomposição triangular propriamente dita.

Definição 2.2.4. Seja g uma álgebra de Lie. Uma decomposição triangular de g consiste deuma subálgebra abeliana h 6= {0} e duas subálgebras g+ e g− tais que

(a) g = g− ⊕ h⊕ g+;

(b) g+ 6= {0}, [h, g+] ⊂ g+, e g+ admite uma decomposição em espaços de peso relativa a h (sob arepresentação adjunta) com pesos α 6= 0 pertencendo a um semigrupo aditivo livre Q+ ⊂ h∗;

(c) existe uma anti-involução σ (isto é, um antiautomorfismo de período 2) em g tal que

σ(g+) = g−,

σ �h = Idh;

(d) existe uma base {αj}j∈J de Q+ consistindo de elementos linearmente independentes de h∗.Em particular, Q+ consiste de todas as somas finitas não nulas da forma

∑j∈J

mjαj , mj ∈ N.


Uma decomposição triangular é dita regular se os espaços de peso de g+ em (b) são de dimensãofinita.

Observação 2.2.5. Podemos obter uma definição mais geral de decomposição triangular retirandoa condição (d) e não exigindo em (b) que os pesos α 6= 0 pertençam a um semigrupo aditivo livreQ+ ⊂ h∗.

Como consequência direta da definição, temos:

(1) a condição 0 6∈ Q+ é equivalente a Q+ ∩ (−Q+) = ∅ e

(2) σ(g−) = g+, pois σ é um antiautomorfismo de período 2.

Observação 2.2.6. Seja g uma álgebra de Lie admitindo uma decomposição triangular. Conside-remos x ∈ (g+)α, α ∈ Q+. Então [h, σx] = [σh, σx] = σ[x, h] = σ(−[h, x]) = −α(h)σx, para todoh ∈ h, isto é, σx é um elemento de (g−)−α. Portanto, g− admite uma decomposição em espaços depeso relativa a h, com pesos em −Q+. Ainda,

(a)

(g−)−α = σ(g+)α,

dim(g−)−α = dim(g+)α, para todo α ∈ Q+;

e g admite um decomposição em espaços de peso relativa a h com

(b)

gα =

(g+)α, se α ∈ Q+,

(g−)α, se −α ∈ Q+,

h, se α = 0,

0 caso contrário.

Observação 2.2.7. Claramente, h ⊂ g0, mas não é imediato que h = g0. Porém, se mostramos queg =

⊕α∈Q

gα, em que Q =⊕j∈J

Zαj , teremos o resultado desejado, já que h ⊂ g0.

Proposição 2.2.8. Seja g uma álgebra de Lie admitindo uma decomposição triangular. Então, coma notação utilizada na Definição 2.2.4, existe uma decomposição em espaços de peso g =

⊕α∈Q

gα.

Demonstração. Como h ⊂ g0 e tanto g− como g+ possuem decomposição em espaços de peso, játemos que g =

∑α∈Q

gα, e precisamos apenas mostrar que a soma é direta.

Para tanto, iremos mostrar que, para cada soma finita da forma x1 + ...+ xk = 0, com xi ∈ gβi ,com β1, ..., βk distintos, implica xi = 0, para todo i. Vamos então supor que a afirmação não sejaverdadeira. Escolhemos um valor mínimo de k para o qual é falsa. Assim, para este k, temos quex1 + ...+ xk = 0, mas não é verdade que xi = 0 para todo i. Então, para todo h ∈ h,

0 = [h, x1 + ...+ xk] = [h, x1] + ...+ [h, xk] = β1(h)x1 + ...+ βk(h)xk.


Temos também que

βk(h)x1 + ...+ βk(h)xk = 0,

de onde

(β1(h)− βk(h))x1 + ...+ (βk−1(h)− βk(h))xk−1 = 0.

Pela minimalidade de k, temos

(βi(h)− βk(h))xi = 0, para i = 1, ..., k − 1.

Como βi 6= βk, existe h′ ∈ h tal que βi(h′) 6= βk(h′). Logo, xi = 0, para i = 1, ..., k − 1, o que

implica xk = 0, contrariando o que assumimos no início. Podemos então concluir que a soma é defato direta.

�

Definição 2.2.9. Seja g uma álgebra de Lie com decomposição triangular. Então, Q =⊕j∈J

Zαj

será chamado de reticulado de raízes.Diremos que os α ∈ Q tais que α 6= 0 e para os quais gα 6= {0} são raízes de g (com relação

a h); e os correspondentes espaços gα são os espaços de raízes. Para cada raiz α, a dimensãode gα será chamada de multiplicidade de α. Como usual, chamaremos de sistema de raízes aoconjunto ∆ de todas as raízes de g; definindo ∆ ∩Q+ = ∆+ e ∆− = −∆+, temos respectivamenteos conjuntos das raízes positivas e negativas de g.

Na bibliografia, em geral, podemos encontrar autores que consideram α = 0 como raiz. Aqui,para manter a uniformidade da notação que está sendo utilizada para as álgebras de Kac-Moody,não consideraremos 0 como uma raiz de g.

Exemplo 2.2.10. Seja g uma álgebra de Lie com decomposição triangular g = g−⊕h⊕g+. Então,nessas condições, h é uma subálgebra de Cartan de g. Pela Definição 2.2.4, temos que h é uma álgebraabeliana e, portanto, nilpotente. Assim, iremos mostrar apenas que h é seu próprio normalizador.De fato, consideremos um elemento x ∈ g tal que [x, h] ∈ h, para todo h ∈ h. Como, por hipótese,g admite uma decomposição triangular, então x se escreve de forma única como x = x1 + h′ + x2,com x1 ∈ g−, h′ ∈ h e x2 ∈ g+. Temos então

[x1 + h′ + x2, h] = [x1, h] + [x2, h] ∈ h ∩ (g− + g+),

o que nos permite concluir que [x, h] = 0, para todo h ∈ h e, portanto, x ∈ g0. Como g0 = h, temosque h é seu próprio normalizador.

Exemplo 2.2.11. Consideremos g = sl(n,C), com n > 1. Sejam g+ a subálgebra de g das matrizestriangulares estritamente superiores, g− a subálgebra das matrizes triangulares estritamente inferio-res e h a subálgebra das matrizes diagonais, que claramente é uma subálgebra abeliana. Conhecemosa decomposição

g = g− ⊕ h⊕ g+,


que mostraremos ser de fato uma decomposição triangular.

σ : g −→ g

A 7−→ At

é a anti-involução da definição, pois fixa os pontos de h, e permuta g+ e g−.Para determinar a decomposição em espaços de peso, introduzimos as matrizes unitárias Eij ,

1 ≤ i, j ≤ n: a matriz com 1 na entrada (i, j) e 0 nas outras. Sejam ε1, ..., εn ∈ gl(n,C)∗ definidospor

εi(Ejj) = δij ,

e sejam α1, ..., αn−1 definidos por

αi := (εi − εi+1) �h .

Como {(∑aiεi

)�h | ai ∈ C,

∑ai = 0

}= h∗,

já que ε1 + ...+ εn é o funcional nulo quando restrito a h, então α1, ..., αn−1 é uma base de h∗. Parah ∈ h,

[h,Eij ] = hEij − Eijh = (εi − εj)(h)Eij

e, em particular, para i < j, [h,Eij ] = (αi + ...+ αj−1)(h)Eij . Assim, Eij ∈ g+ é um vetor de pesocom peso αi + ...+ αj−1.

Definimos então Q+ := {∑miαi | mi ∈ N} e

g+ =⊕α∈Q+

(g+)α =⊕i<j

CEij

é a decomposição em espaços de peso. Temos ainda que Eji = Etij tem peso −(αi+ ...+αj−1), paratodo i < j e

g− =⊕i>j

CEij

é a decomposição em espaços de peso de g−. Assim, temos uma decomposição triangular regularpara g = sl(n,C).

Observação 2.2.12. Notemos que, para o caso especial em que g = sl(2,C), temos

g = Cf ⊕ Ch⊕ Ce,

em que {e, f, h} é a base padrão de g, ou seja, h = Ch. Assim, Q+ = Nα, em que α : h −→ C eα(h) = 2.


A partir de agora, apresentaremos algumas definições e resultados fundamentais para o estudodos módulos de Verma.

Definição 2.2.13. Seja g uma álgebra de Lie admitindo uma decomposição triangular, e escrevag = g− ⊕ h ⊕ g+. Seja π uma representação de g em um C-espaço vetorial V . Um vetor não nulov ∈ V é chamado de vetor de peso máximo para g (relativo à decomposição triangular) se:

(a) v é um vetor de peso relativo à ação de h.

(b) π(x)v = 0, para todo x ∈ g+.

Algumas vezes, principalmente na literatura física, um vetor de peso máximo é também chamadode vetor de vácuo ou vetor nulo.

Definição 2.2.14. Um g-módulo V é dito ser um módulo de peso máximo se V contém um vetorde peso máximo v que o gera, isto é,

π(U(g))v := {π(u)v | u ∈ U(g)} = V,

observando que aqui estamos usando a notação π também para a representação de U(g) em V

fornecida pela representação de g em V . O peso λ ∈ h∗ do vetor de peso máximo v é chamado depeso máximo de V . A representação de g em V é chamada de representação de peso máximo.

Notemos que, dada a decomposição triangular g = g−⊕h⊕g+, pelo Teorema A.3.5, temos umacorrespondente decomposição triangular da álgebra envolvente universal de g

U(g) = U(g−)U(h)U(g+),

o que nos permite substituir a condição π(U(g))v = V por π(U(g−))v.

Observação 2.2.15. Conforme Proposição 2.2.1 em [18, p.104], se g é uma álgebra de Lie admitindouma decomposição triangular g = g− ⊕ h ⊕ g+, com reticulado de raízes denotado por Q, entãoqualquer módulo V de peso máximo λ, e vetor de peso máximo v, admite uma decomposição emespaços de peso relativa a h, com todos os pesos no conjunto {λ} ∪ {λ− β | β ∈ Q+}. Além disso,Vλ = Cv. Se a decomposição triangular de g for regular, ainda teremos todos os espaços de pesocom dimensão finita.

2.3 Módulos de Verma

Nesta seção serão definidos os módulos de Verma sobre álgebras de Lie com decomposiçãotriangular. Mostraremos ainda, de forma construtiva, a existência desses módulos, isto é, dadoλ ∈ h∗, existe um módulo de Verma de peso máximo λ associado a ele.

Observação 2.3.1. Notação: Sejam g uma álgebra de Lie, e π uma representação de g em umespaço vetorial V . Sabemos que os conceitos de módulo e representação são equivalentes. Assim,quando estivermos interessados em estudar V como módulo sobre g, usaremos a notação xv, aoinvés de π(x)v, para indicar a ação de um elemento da álgebra em um elemento de V .

2.3 MÓDULOS DE VERMA 41

Definição 2.3.2 (Módulos de Verma). Sejam g uma álgebra de Lie admitindo uma decomposiçãotriangular g = g− ⊕ h ⊕ g+, e λ ∈ h∗. Um g-módulo M(λ) de peso máximo λ, com vetor depeso máximo vλ é chamado de módulo de Verma se, dado qualquer outro g-módulo M de pesomáximo, com peso máximo λ e vetor de peso máximo v′λ, existe um homomorfismo de g-módulosη : M(λ) −→M tal que vλ 7−→ v′λ.

Um módulo de Verma é universal no sentido de que cada g-módulo de peso máximo com omesmo peso máximo é uma imagem homomórfica dele.

Proposição 2.3.3. Seja g uma álgebra de Lie com decomposição triangular g = g−⊕h⊕g+. Então,para todo λ ∈ h∗, g possui um módulo de Verma M(λ) de peso máximo λ.

Demonstração. Seja b a subálgebra h ⊕ g+ de g. Seja Cvλ um C-espaço vetorial unidimensional,ao qual podemos dar uma estrutura de b-módulo à esquerda, definindo uma multiplicação por umelemento de b:

hvλ = λ(h)vλ, para todo h ∈ h,

g+vλ = 0.

Dos resultados para a álgebra envolvente universal, temos os seguintes fatos:

(a) Cvλ é um U(b)-módulo à esquerda;

(b) U(g) tem estrutura de U(b)-módulo à direita.

Pode-se então formar o módulo induzido obtido de Cvλ

M(λ) := U(g)⊗U(b) Cvλ,

que é um U(g)-módulo à esquerda (pelo Lema 2.1.6) que, novamente pelos resultados para álgebrasenvolventes, é um g-módulo à esquerda. Considere 1⊗ vλ ∈M(λ). Para x ∈ g+,

x(1⊗ vλ) = 1⊗ xvλ = 0,

e para todo h ∈ h,

h(1⊗ vλ) = 1⊗ hvλ = 1⊗ λ(h)vλ.

Temos também que U(g)(1 ⊗ vλ) =U(g)⊗U(b)Cvλ=M(λ). Assim, M(λ) é um módulo de peso má-ximo, com vetor de peso máximo 1⊗ vλ, de peso máximo λ.

Seja agora M ′ um outro módulo de peso máximo, com vetor de peso máximo v′λ e peso máximoλ. A função

f : U(g)× Cvλ −→M ′

(u, αvλ) 7−→ αu v′λ,


é U(b)-biaditiva. De fato,

f(u1 + u2, αvλ) = (α(u1 + u2))v′λ = (αu1 + αu2)v′λ = (αu1)v′λ + (αu2)v′λ

= f(u1, αvλ) + f(u2, αvλ)

f(u, αvλ + βvλ) = ((α+ β)u)v′λ = (αu)v′λ + (βu)v′λ = f(u, αvλ) + f(u, βvλ)

f(ub, αvλ) = (α(ub))v′λ = ((αu)b)v′λ = (αu)(bv′λ) = f(u, α(bvλ)) = f(u, b(αvλ)),

para todo u, u1, u2 ∈ U(g), α, β ∈ C, b ∈ U(b).Assim, existe um único Z-homomorfismo g : U(g)⊗U(b)Cvλ−→ M ′ tal que g ◦ ⊗ = f , isto é,

g(1⊗ vλ) = f(1, vλ) = v′λ, que é um homomorfismo sobrejetor de U(g)-módulos.�

Usando a universalidade, temos também a unicidade, a menos de isomorfismo, de um módulode Verma de peso máximo λ sobre g.

Estudaremos agora alguns resultados clássicos a respeito da estrutura dos módulos de Verma.

Proposição 2.3.4. Seja g uma álgebra de Lie com decomposição triangular g = g− ⊕ h ⊕ g+, eseja λ ∈ h∗.

(i) Se M(λ) é o módulo de Verma de peso máximo λ, então

(ia) cada submódulo próprio N deM(λ) possui uma decomposição em espaços de peso relativaa h, e os pesos estão em λ−Q+, isto é, os pesos são da forma λ− α, com α ∈ Q+;

(ib) M(λ) possui um único submódulo próprio maximal N(λ);

(ic) L(λ) := M(λ)/N(λ) é irredutível e, a menos de isomorfismo, L(λ) é o único módulo depeso máximo irredutível de g, com peso máximo λ;

(ii) Qualquer módulo de peso máximo M com peso máximo λ contém um único submódulo própriomaximal N . Além disso, M/N ∼= L(λ).

Demonstração. (i) (ia) Seja N um g-submódulo de M(λ). Em particular, N é um h-submódulode M(λ). Já sabemos que M(λ) admite uma decomposição em espaços de peso relativaa h. Assim, conforme Proposição 2.1.1 em ([18, p.92]), N admite uma decomposição emespaços de peso Nφ = Mφ ∩N , para todo φ ∈ h∗. Quando λ é um peso de N , temos queNλ = M(λ)λ = Cvλ, em que vλ é o vetor de peso máximo de M(λ), e então N = M ,visto que vλ gera M(λ) como g-módulo. Portanto, se N é um submódulo próprio, todosos pesos estão em λ−Q+.

(ib) Seja N(λ) a soma de todos os g-submódulos próprios de M(λ). Conforme vimos nademonstração do item anterior, λ não é um peso para nenhum deles; consequentemente,também não o é para N(λ), já que nenhum submódulo próprio poderá contribuir paraM(λ)λ. Assim, N(λ) é um submódulo próprio deM(λ) com as características desejadas.

2.3 MÓDULOS DE VERMA 43

(ic) L(λ) = M(λ)/N(λ) é um módulo de peso máximo com peso máximo λ, e é irredutível,pois N(λ) é maximal. Precisamos mostrar que L(λ) é, a menos de isomorfismo, o úniconessas condições.

Seja então L′ um outro módulo de peso máximo, irredutível, com peso máximo λ. ComoM(λ) é um módulo de Verma, existe um homomorfismo sobrejetivo

η : M(λ) −→ L′

tal que η(M(λ)φ) = L′φ, para todos os pesos φ de M(λ). Pelo Teorema Fundamentaldo Isomorfismo para Módulos, M(λ)/Kerη ∼= L′. Como L′ é irredutível, M(λ)/Kerη

também o é, e Kerη é um submódulo próprio maximal de M(λ). Pelo item anterior,η(N(λ)) = {0} e M(λ)/N(λ) ∼= L′.

(ii) SejaM um módulo de peso máximo λ. ComoM(λ) é um módulo de Verma, pela propriedadeuniversal, existe um homomorfismo sobrejetor M(λ) −→ M , que leva espaços de peso emespaços de peso. Assim, a imagem de N(λ) por esse homomorfismo é um submódulo próprioN de M . Então, N é maximal, e M/N ∼= M(λ)/N(λ) = L(λ).

�

Proposição 2.3.5. Sejam g uma álgebra de Lie admitindo uma decomposição triangular

g = g− ⊕ h⊕ g+,

e µ, λ ∈ h∗. Então, qualquer homomorfismo não nulo ϕ : M(µ) −→M(λ) é injetivo.

Demonstração. Sejam vµ, vλ os vetores de peso máximo que geram M(µ) e M(λ), respectivamente.Pela definição de módulos de Verma, sabemos que M(λ) = U(g−)vλ; assim, ϕ(vµ) = uvλ, para umúnico u ∈ U(g−). Por outro lado, ϕ(u′vµ) = u′ϕ(vµ) = u′uvλ, para todo u′ ∈ U(g−). Assim, ϕ éunicamente determinada por u e podemos ver que ϕ corresponde a uma aplicação U(g−) −→ U(g−).Assim, como a álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie não possui divisores de zero,temos que Kerϕ = {0} e, portanto, ϕ é injetora.

�

2.3.1 A Categoria O

Ao estudarmos os módulos de Verma, não há como não passarmos pelas representações dasálgebras de Kac-Moody, especificamente pelos seus módulos de peso máximo. Para tanto, conforme[14], introduzimos uma categoria de módulos sobre essas álgebras, que dá nome a esta subseção.

Seja g = g(A) a álgebra de Lie associada à uma matriz complexa n × n, como definido noCapítulo 1, que possui uma decomposição triangular:

g = n− ⊕ h⊕ n+,

em que h é uma subálgebra de Cartan de g. De acordo com o Teorema A.3.5, temos ainda a seguintedecomposição de U(g):


U(g) = U(n−)⊗ U(h)⊗ U(n+).

A Categoria O é então definida: seus objetos são os g-módulos V que admitem uma decomposiçãoem espaços de peso V =

⊕λ∈h∗

Vλ, com cada um desses espaços de dimensão finita, e tais que existe

uma quantidade finita de elementos λ1, ..., λs ∈ h∗ tais que

P (V ) ⊂s⋃i=1

D(λi),

em que P (V ) = {λ ∈ h∗ | Vλ 6= 0}, e D(λ) = {µ ∈ h∗ | µ ≤ λ}. Os morfismos são os homomorfismosde g-módulos.

Os principais exemplos dos objetos desta categoria são os módulos de peso máximo; em parti-cular, os módulos de Verma.

Os módulos de peso máximo para uma álgebra de Kac-Moody, assim como os módulos de Verma,são definidos exatamente da mesma forma que foram definidos para uma álgebra de Lie qualquer.

2.4 Módulos de Verma Imaginários

Na seção anterior foram definidos os módulos de Verma sobre álgebras de Lie com decomposiçãotriangular. De certa forma, estava implícita a ideia de que tal decomposição estava diretamenterelacionada com o conjunto das raízes positivas. No caso particular das álgebras de Kac-Moodyafim esse conjunto é ∆+ ⊂ ∆.

Em [9] foram estudados os módulos de Verma imaginários sobre álgebras de Kac-Moody afimassociados a um outro tipo de subconjunto (fechado) de ∆, que não necessariamente ∆+.

Conforme [14, p.145-146], módulos de Verma sobre álgebras de Kac-Moody possuem decompo-sição em espaços de peso, em que cada um desses subespaços tem dimensão finita. Veremos que, nadecomposição dos módulos de Verma imaginários, aparecem tanto espaços de peso com dimensãofinita, como infinita.

Nesta seção, os módulos de Verma imaginários serão definidos, de forma construtiva, e serãoenunciados resultados que descrevem os espaços de peso, bem como um critério de irredutibilidadepara esses módulos. Em seguida, baseados em [8], estudaremos o caso específico da álgebra de Lieafim A

(1)1 , enunciando também um critério de irredutibilidade.

Iniciando com algumas considerações gerais, sejam A = (aij), 1 ≤ i, j ≤ n, uma matriz deCartan afim, e g = g(A) a correspondente álgebra de Lie afim com subálgebra de Cartan h, sistemade raízes ∆ e centro unidimensional Cc.

Definição 2.4.1. Seja P ⊂ ∆. Diremos que P é um subconjunto fechado de ∆ se para todoα, β ∈ P , com α+ β ∈ ∆, α+ β ∈ P .

Notemos que, em particular, o conjunto das raízes positivas ∆+ ⊂ ∆ é um subconjunto fechado,além de possuir a propriedade ∆+ ∪∆− = ∆, ∆+ ∩∆− = ∅.

2.4 MÓDULOS DE VERMA IMAGINÁRIOS 45

Sejam {α0, α1, ..., αn} o conjunto das raízes simples de ∆ e δ =n∑i=0

kiαi, ki ∈ N, para todo

i ∈ {0, 1, ..., n}, a raiz imaginária positiva minimal em ∆. O conjunto das raízes simples pode serindexado de modo que k0 = 1 e

(a) ou −α0 + δ ∈ ∆,

(b) ou 12(−α0 + δ) ∈ ∆.

Estudando os diagramas de Dynkin das tabelas (Aff), verifica-se que é sempre possível fazeressa indexação, pois em todos os casos existe pelo menos um i tal que ki = 1, e para algumaescolha conveniente de α0, de modo que k0 = 1, −α0 + δ ou 1

2(−α0 + δ) será obtido de uma dasraízes simples, utilizando a aplicação sucessiva das reflexões fundamentais, quando necessário, o queilustramos no exemplo abaixo:

Exemplo 2.4.2. (a) Vamos considerar a álgebra de Lie afim associada ao diagrama D(3)4 da

tabela (Aff 3)

1

α0

2

α1

1

α2

W ,

cuja raiz imaginária positiva minimal é δ = α0+2α1+α2; neste caso, será mantida a indexaçãooriginal das raízes simples. Ao aplicarmos a reflexão fundamental r2 em α1 obtemos α1 + α2;aplicando a reflexão fundamental r1 em α1+α2 obtemos 2α1+α2. Assim, r1(r2(α1)) = −α0+δ

é uma raiz real de ∆, já que r1 ◦ r2 é um elemento do grupo de Weyl da álgebra.

(b) Considerando agora a álgebra de Lie afim associada ao diagrama A(2)2 da tabela (Aff 2)

2

α0

1

α1,

a raiz imaginária positiva minimal é δ = 2α0 + α1; neste caso, indexaremos o conjunto dasraízes simples trocando α0 por α1 e iremos obter −α0 + δ = 2α1; como α1 é uma raiz simples,então 1

2(−α0 + δ) ∈ ∆.

Seja ψ =n∑i=1

α∗i − (n∑i=1

ki)α∗0, em que α∗i ∈ h, α∗i (αj) = δi,j . Consideremos o conjunto

N = {α ∈ ∆ | ψ(α) > 0} ∪ {kδ | k ∈ N} ⊂ ∆.

Temos então que N ∪ (−N) = ∆ e N ∩ (−N) = ∅, em que

−N = {α ∈ ∆ | ψ(α) < 0} ∪ {kδ | k ∈ Z, k < 0}.

Tendo em vista que o conjunto das raízes simples foi indexado de modo que k0 = 1, notemos entãoque ψ(δ) = 0.


Para cada F ⊂ ∆, definimos gF =∑α∈F

gα, em que gα = {x ∈ g | [h, x] = α(h)x,∀h ∈ h}.

Consideremos então BN = gN ⊕ h, que é chamada de subálgebra de Borel imaginária.Já temos então condições de definir os novos módulos de Verma que são objeto desta seção.Com as considerações iniciais, temos a seguinte decomposição de g:

g = g−N ⊕BN .

Definição 2.4.3. Sejam λ ∈ h∗ e V um g-módulo. Um vetor não nulo v ∈ V é chamado de vetorde peso máximo imaginário de peso λ se gNv = 0 e hv = λ(h)v para todo h ∈ h.

Consideremos agora a álgebra envolvente universal U(g) de g, λ ∈ h∗, e C1 (espaço vetorialunidimensional) como um BN -módulo sob a ação

(h+ x)1 = λ(h)1, para todo h ∈ h, e x ∈ gN .

Definimos então o módulo de Verma imaginário

M(λ) = U(g)⊗U(BN ) C1

associado a N e λ.

Proposição 2.4.4. ([9])

(a) M(λ) é um U(g−N )-módulo livre gerado pelo vetor de peso máximo imaginário 1⊗ 1, de pesoλ.

(b) dimM(λ)λ = 1; 0 < dimM(λ)λ−kδ <∞, para todo inteiro k > 0; se M(λ)µ 6= 0, µ 6= λ− kδpara todos os inteiros k ≥ 0, então dimM(λ)µ =∞.

(c) Seja V algum g-módulo gerado por um vetor de peso máximo imaginário v com peso λ. Então,existe um único homomorfismo sobrejetivo f : M(λ) −→ V tal que f(1⊗ 1) = v.

(d) O módulo M(λ) possui um único submódulo maximal.

(e) Sejam λ, µ ∈ h∗. Qualquer elemento não nulo de Homg(M(λ), M(µ)) é injetivo.

O único quociente irredutível de M(λ) é denotado por L(λ).Um resultado primordial em [9] é o critério de irredutibilidade dos módulos de Verma imaginá-

rios, fornecido pelo Teorema 1, a saber: M(λ) é irredutível se e somente se λ(c) 6= 0. Além disso,se λ(c) = 0, mas λ(hi) 6= 0, para 1 ≤ i ≤ n, então o submódulo maximal de M(λ) é gerado por∞∑k=1

M(λ)λ−kδ.


2.4.1 Módulos de Verma Imaginários sobre a Álgebra de Lie Afim A(1)1

Nesta seção estudaremos os módulos de Verma imaginários para a álgebra de Lie afim A(1)1 , uti-

lizando a realização que encontra-se em [14]. Seguindo exclusivamente [8], definiremos tais módulose enunciaremos os teoremas que versam sobre sua irredutibilidade.

Seja g = sl(2,C), com base padrão {e, f, h}, satisfazendo as relações:

[e, f ] = h, [h, e] = 2e e [h, f ] = −2f.

Consideremos a álgebra dos polinômios de Laurent C[t, t−1] e a álgebra de loop

L(g) = g⊗C C[t, t−1],

com colchete de Lie

[x⊗ tm, y ⊗ tn] = [x, y]⊗ tm+n,

para todo x, y ∈ g e m,n ∈ Z. Notemos que g pode ser vista como uma subálgebra de L(g)

através da identificação x 7−→ x⊗ 1, em que x ∈ {e, f, h}.Seja agora a extensão central de L(g), pelo centro unidimensional Cc, isto é, L(g) = L(g)⊕Cc,

em que

[x⊗ tn, c] = 0 e [x⊗ tn, y ⊗ tm] = [x, y]⊗ tn+m + nδm+n,0(x | y)c,

para todo x, y ∈ g e m,n ∈ Z, em que (. | .) é uma forma simétrica bilinear não degenerada emg. Finalmente, temos a álgebra de Lie afim desejada, que é a extensão de L(g) por uma derivaçãod:

L(g) = L(g)⊕ Cd,

com [c, d] = 0 e [d, x ⊗ tn] = nx ⊗ tn, para todo x ∈ g, n ∈ Z. Essa álgebra é denotada porsl(2,C).

Sejam ∆ o sistema de raízes de sl(2,C), π = {α, β} uma base de ∆, δ = α + β a raiz positivaimaginária minimal e ∆im = {kδ | k ∈ Z \ {0}} o conjunto das raízes imaginárias em ∆.

Definimos também

P = Pπ,β = {−β + kδ | k ∈ Z} ∪ {kδ | k ∈ N},

e temos ∆ = P ∪ −P e P ∩ −P = ∅. Para verificar que isso de fato ocorre, basta observar que∆ = ∆re ∪ ∆im, em que ∆re = {γ + nδ | γ ∈ g, n ∈ Z}. No caso da álgebra sl(2,C), seguindo anotação utilizada no capítulo 1, denotaremos α = α1 ∈ ∆ e α0 = β. Logo, ∆ = {α,−α}.


Temos então a seguinte decomposição de sl(2,C) em espaços de raízes:

sl(2,C) = h⊕∑ϕ∈∆

gϕ,

em que h = Ch⊕ Cc⊕ Cd é uma subálgebra de Cartan de sl(2,C), e

gϕ = {x ∈ sl(2,C) | [h, x] = ϕ(h)x, para todo h ∈ h}.

Cada um dos espaços de raízes gϕ, ϕ ∈ ∆ tem dimensão 1, com as seguintes bases Xϕ:

Xβ+kδ = f ⊗ tk+1, X−β+kδ = e⊗ tk−1, k ∈ Z

Xnδ = h⊗ tn, n ∈ Z \ {0}.

Para mostrar que os espaços de peso possuem essas bases, utilizaremos a definição do funcionallinear δ, conforme Capítulo 1: δ(d) = 1 e δ �Ch+Cc= 0; utilizaremos também que α(d) = α(c) = 0.Queremos avaliar como um elemento de h age em cada uma dessas bases, e para isso basta avaliarcomo h e d agem, já que c é um elemento central em sl(2,C). De fato,

[h,Xβ+kδ] = [h, f ⊗ tk+1] = [h, f ]⊗ tk+1 = −2f ⊗ tk+1 = −α(h)f ⊗ tk+1 = (β + kδ)(h)f ⊗ tk+1

[d,Xβ+kδ] = [d, f ⊗ tk+1] = (k + 1)f ⊗ tk+1 = (k + 1)δ(d)f ⊗ tk+1 = (β + kδ)(d)f ⊗ tk+1

[h,X−β+kδ] = [h, e⊗ tk−1] = [h, e]⊗ tk−1 = 2e⊗ tk−1 = α(h)e⊗ tk−1 = (−β + kδ)(h)e⊗ tk−1

[d,X−β+kδ] = [d, e⊗ tk−1] = (k − 1)e⊗ tk−1 = (k − 1)δ(d)e⊗ tk−1 = (−β + kδ)(d)e⊗ tk−1

[h,Xnδ] = [h, h⊗ tn] = [h, h]︸︷︷︸0

⊗tn = 0 = nδ(h)h⊗ tn

[d,Xnδ] = [d, h⊗ tn] = nh⊗ tn = nδ(d)h⊗ tn,

e temos o resultado desejado.Para quaisquer k,m ∈ Z, os colchetes entre esses elementos das bases são dados por:


[Xkδ, Xmδ] = [h⊗ tk, h⊗ tm] = [h, h]︸︷︷︸0

⊗tk+m + kδk+m,0 (h | h)︸︷︷︸2

c (2.2)

=

{0, m+ k 6= 0

2kc, m+ k = 0,

[Xkδ, Xβ+mδ] = [h⊗ tk, f ⊗ tm+1] = [h, f ]⊗ tk+m+1 + kδk+m+1,0 (h | f)︸︷︷︸0

c

= −2f ⊗ tk+m+1 = −2Xβ+(k+m)δ,

[Xkδ, X−β+mδ] = [h⊗ tk, e⊗ tm−1] = [h, e]⊗ tk+m−1 + kδk+m−1,0 (h | e)︸︷︷︸0

c

= 2e⊗ tk+m−1 = 2X−β+(k+m)δ,

[Xβ+kδ, X−β+mδ] = [f ⊗ tk+1, e⊗ tm−1] = [f, e]⊗ tk+m + (k + 1)δm+k,0 (f | e)︸︷︷︸1

c

=

{−X(m+k)δ, m+ k 6= 0,

−h+ (k + 1)c, m+ k = 0.

Definiremos agora os módulos que são o objeto principal desta subseção. Começaremos consi-derando as subálgebras (são subálgebras devido às relações (2.2)) de sl(2,C):

g+ =∑ϕ∈P

gϕ, g− =∑ϕ∈−P

gϕ.

Então, temos uma decomposição de sl(2,C) em uma soma direta de espaços vetoriais:

sl(2,C) = g+ ⊕ h⊕ g−.

Definição 2.4.5. Seja V um sl(2,C)-módulo. Diremos que V é um módulo de peso se

V =⊕λ∈h∗

Vλ,

em que Vλ = {v ∈ V | hv = λ(h)v,∀h ∈ h}.

Seja V um módulo de peso sobre sl(2,C). Denotaremos por P (V ) o conjunto de todos os µ ∈ h∗

tais que Vµ 6= {0}.

Definição 2.4.6. Seja λ ∈ P (V ). Um elemento não nulo v ∈ Vλ é chamado de vetor de vácuoimaginário de peso λ se g+v = 0.

Com as definições estabelecidas, podemos construir o módulo de Verma imaginário sobre sl(2,C),de forma análoga ao que fizemos para os módulos de Verma padrão, como segue:

Sejam U(sl(2,C)) a álgebra envolvente universal de sl(2,C), e λ ∈ h∗. Definimos sobre o espaçovetorial unidimensional C1 uma estrutura de módulo sobre a subálgebra h⊕ g+ de sl(2,C), com a


ação dada por

(h+ x)1 = λ(h)1, para todo x ∈ g+, e h ∈ h.

Consideremos então o módulo

M(λ) = U(sl(2,C))⊗U(h⊗g+) C1

associado com π, β, λ. M(λ) é um módulo de peso e M(λ)λ = 1⊗ C ∼= C.

Proposição 2.4.7. ([8])

(a) M(λ) é um U(g−)-módulo livre gerado pelo vetor de vácuo imaginário 1⊗ 1;

(b) M(λ) tem um único sl(2,C)-submódulo próprio maximal;

(c) P (M(λ)) = {λ+ kβ +mδ | k,m ∈ Z, k > 0} ∪ {λ− nδ | n ≥ 0};

(d) dimM(λ)λ+kβ+mδ =∞, k > 0

dimM(λ)λ−nβ =

{1, n = 0, M(λ)λ = C(1⊗ 1) = 1⊗ C1 ∼= C

P (n), n > 0,

em que P (n) é a quantidade de partições de n.

O módulo M(λ) será chamado de módulo de Verma imaginário(IVM). Denotaremos porN(λ) o único submódulo próprio maximal, e por L(λ) o quociente irredutível M(λ)/N(λ). Notemosque o quociente irredutível é também um módulo de peso com vetor de vácuo imaginário de peso λ.Mais especificamente, esse vetor será a imagem do vetor de vácuo imaginário que gera M(λ) pelohomomorfismo canônico.

Seguindo ainda as mesmas ideias utilizadas no caso do módulo de Verma padrão, temos oseguinte:

Se existir algum sl(2,C)-módulo de peso V gerado por um vetor de vácuo imaginário v de pesoλ, então existe um único epimorfismo f : M(λ) −→ V tal que f(1⊗ 1) = v

Proposição 2.4.8. Seja V um sl(2,C)-módulo de peso irredutível com vetor de vácuo imagináriode peso λ. Então,

V ∼= L(λ).

O teorema a seguir, cuja demonstração encontra-se em ([8]), fornece um critério para a irredu-tibilidade de M(λ).

Teorema 2.4.9. O módulo M(λ) é irredutível se e somente se λ(c) 6= 0.

A partir daqui, veremos o que ocorre se λ(c) = 0, para λ ∈ h∗; um funcional linear com essapropriedade será denotado por λ0. Mesmo que já saibamos que nesse caso M(λ) não é irredutível,analisaremos a irredutibilidade de quocientes de M(λ).


Consideremos em sl(2,C) o subespaço vetorial

g+ =∑

ϕ∈P∪∆im

gϕ

e a subálgebra comutativa

g− =∑

ϕ∈−P\∆im

gϕ.

Então, temos a seguinte decomposição de sl(2,C) como soma direta de espaços vetoriais:

sl(2,C) = g+ ⊕ h⊕ g−

Definição 2.4.10. Seja V um sl(2,C)-módulo de peso, λ ∈ P (V ). Um elemento não nulo v ∈ Vλé chamado de vetor de vácuo imaginário especial (s.i.v.v.) de peso λ se g+v = 0.

Seja λ0 ∈ h∗ um funcional linear tal que λ0(c) = 0. Definimos então no espaço unidimensionalC1 uma estrutura de h⊕ g+-módulo através da ação

(h+ x)1 = λ0(h)1, para todo h ∈ h e x ∈ g+.

Em seguida, consideramos o sl(2,C)-módulo

M(λ0) = U(sl(2,C))⊗

U(h⊗g+)

C1.

Temos então as seguintes propriedades para esse novo módulo que acabamos de construir:

Proposição 2.4.11. (a) M(λ0) é um sl(2,C)-módulo de peso gerado pelo s.i.v.v. 1⊗ 1;

(b) M(λ0) tem um único submódulo maximal N(λ0);

(c) Existe um epimorfismo f : M(λ0) −→ M(λ0);

(d) Seja V um sl(2,C)-módulo de peso irredutível com s.i.v.v. de peso λ0. Então,

V ∼= M(λ0)/N(λ0) ∼= L(λ0);

(e) P (M(λ0)) = {λ0 + nβ + kδ | k ∈ Z, n > 0} ∪ {λ0}, dimM(λ0)λ0+nβ+kδ = ∞, n > 1,dimM(λ0)λ0+β+kδ = dimM(λ0)λ0 = 1.

E o resultado que buscamos, que é o critério de irredutibilidade para M(λ) é dado pelo seguinteteorema, conforme [8]:


Teorema 2.4.12. (a) M(λ0) é irredutível se e somente se λ0(h) 6= 0;

(b) Se λ0(h) = 0, então L(λ0) é o sl(2,C)-módulo trivial unidimensional.

2.5 Módulos de Verma J-Imaginários

Assim como no caso dos módulos de Verma imaginários, o que diferencia a construção dosmódulos de Verma J-imaginários da construção dos módulos de Verma, é o tipo de partição (fechada)das raízes que está sendo utilizada.

Nesta seção, com base principalmente em [16], estudaremos os módulos de Verma J-imagináriospara a álgebra de Lie afim sl(n,C), enunciaremos os principais resultados, e exemplificaremos como caso da álgebra de Lie afim sl(2,C).

Em primeiro lugar, apresentaremos algumas definições e considerações gerais que serão neces-sárias para as construções que serão feitas.

Seja sl(n,C) a álgebra de Lie complexa das matrizes n×n com traço zero, com forma de Killing(X | Y ) = tr(XY ), para todo X,Y ∈ sl(n,C). Denotando por Eij as matrizes unitárias (quepossuem 1 na entrada (i, j) e 0 nas outras), 1 ≤ i, j ≤ n, definimos:

Hi = Eii − Ei+1,i+1, Ei = Ei,i+1, Fi = Ei+1,i, i = 1, ..., n− 1.

Assim, Ei, Fi, Hi, i = 1, ..., n − 1, formam um conjunto gerador para sl(n,C). Notemos quealguns elementos que fazem parte da base como espaço vetorial não aparecem aqui, pois quandoolhamos para a estrutura de álgebra de Lie, esses elementos podem ser obtidos através do colcheteentre outros elementos.

Temos então a álgebra de Lie afim sl(n,C) = sl(n,C)⊗C[t, t−1]⊕Cc⊕Cd, em que Cc é o centrounidimensional e d uma derivação. Para todo X ∈ sl(n,C) e m ∈ Z, seja Xm = tm ⊗ X. Entãosl(n,C) é gerada por Eim, Fim, Him, com 1 ≤ i ≤ n − 1, c e d. Os elementos Hi, i = 1, ..., n − 1,junto com c e d geram uma subálgebra de Cartan de sl(n,C).

Fixando γ ∈ C∗, e para todo 1 ≤ i ≤ n− 1, fixemos λi ∈ C, defina:

C[x] = C[xij,m | i, j,m ∈ Z, 1 ≤ i, j ≤ n− 1]

C[y] = C[yim | i,m ∈ N∗, 1 ≤ i ≤ n− 1],

como sendo as álgebras geradas sobre C por xij,m e yim, respectivamente. Em C[x], defina osoperadores

aij,m = −xij,m,

a∗ij,m =∂

∂xij,−m,

em que [aij,m, a∗kl,p] = δi,kδj,lδm,−p.

2.5 MÓDULOS DE VERMA J-IMAGINÁRIOS 53

Fixe agora J ⊂ N∗ arbitrário. Em C[y], defina operadores bim, com m ∈ Z e 1 ≤ i ≤ n− 1, daseguinte forma:

bim =

−γ−1λi se m = 0,

−γm ∂∂yim

se m ∈ N∗ \ J−γ−1yim se m ∈ J,γm ∂

∂yi,−mse −m ∈ J,

−γ−1yi,−m se −m ∈ N∗ \ J,

e temos as relações [bim, bjp] = mδi,jδm,−p.Com isso, temos os elementos necessários para tratar do objeto principal desta seção.

Definição 2.5.1. Seja J ⊂ N∗ fixado, e seja ψJ : Z∗ −→ {0, 1} a função dada por

ψJ =

{1 se m ∈ J ou−m ∈ N∗ \ J,0 se m ∈ N∗ \ J ou−m ∈ J.

Seja agora g = sl(n,C) e consideremos

SψJ = {α+mδ | α ∈ ∆+,m ∈ Z} ∪ {mδ | m ∈ N, ϕJ(m) = 1} ∪ {−mδ | m ∈ N, ϕ(m) = 0}.

Os espaços

gSψJ =⊕α∈SψJ

gα e g−SψJ =⊕

α∈−SψJ

gα,

em que

−SψJ = {α+mδ | α ∈ ∆−,m ∈ Z} ∪ {mδ | m ∈ N, ϕJ(m) = 0} ∪ {−mδ | m ∈ N, ϕJ(m) = 1},

são subálgebras de fornecem uma decomposição triangular

g = gSψJ ⊕ h⊕ g−SψJ .

Sejam agora λ ∈ h∗, e bψJ = h⊕gSψJ a subálgebra de Borel correspondente a SψJ . Consideremostambém um espaço vetorial unidimensional Cvλ ao qual é dada uma estrutura de módulo sobre bψJ

sob a ação

hvλ = λ(h)vλ, para todo h ∈ h

gSψJvλ = 0.


Definição 2.5.2. Definimos então o módulo

MψJ(λ) = MbψJ(λ) = U(g)⊗U(bψJ ) Cvλ,

que será chamado de módulo de Verma J-imaginário.

Enunciaremos agora algumas propriedades de MψJ(λ):

Proposição 2.5.3 (([2]),Proposição 3.4 ). Seja λ ∈ h∗ tal que λ(c) = a. Se a 6= 0, então MψJ(λ)

tem as seguintes propriedades:

(a) MψJ(λ) é um U(g−SψJ )-módulo livre de posto 1.

(b) MψJ(λ) tem um único submódulo maximal e consequentemente um único quociente irredutível.

(c) P (MψJ(λ)) =⋃

β∈Q+

{λ − β + nδ | n ∈ Z}, em que Q+ é o monóide abeliano livre gerado por

todas as raízes simples da base Π de ∆+.

(d) Se ψJ(k) 6= ψJ(l) para alguns k, l ∈ N, então dimMψJ(λ)µ =∞, para qualquer µ ∈ P (MψJ(λ)).

Em seguida, temos um critério de irredutibilidade:

Teorema 2.5.4 (([2]), Teorema 3.5). Seja λ ∈ h∗ tal que λ(c) = a. Então, MψJ(λ) é irredutível see somente se a 6= 0.

2.5.1 Realização de Campos Livres de sl(2,C)

Nesta subseção, seguindo [16], estudaremos a construção de uma realização ρJ dos módulos deVerma J-imaginários para sl(2,C). Inicialmente, será construída uma candidata ϕJ, que preservao colchete de Lie, mas não está bem definida. Em seguida, será efetuada a correção do problema,através da aplicação de duas convenientes anti-involuções.

Notemos que aqui, como 1 ≤ i, j ≤ 2, podemos usar a notação Em, Fm, Hm, ao invés deE1m, F1m, H1m, bem como xm, ym, ao invés de x11,m, y1m, etc., com m ∈ Z.

Definindo C[x,y] = C[x]⊗C C[y], consideremos a função ϕJ : sl(2,C) −→ gl(C[x,y]) dada por:

ϕJ(Em) = − ∂

∂xm,

ϕJ(Fm) =∑l,j∈Z

xlxj−l−m∂

∂xj+∑j∈J

xj−m∂

∂yj+ 2K

∑j∈J

jyjx−j−m +Kmx−m − 2Jx−m,

ϕJ(Hm) = −2∑j∈Z

xj−m∂

∂xj− ψJ(m)

∂

∂ym+ ψJ(−m)2mKy−m + 2δm,0J.

Em seguida, mostraremos que o colchete de Lie é preservado por essas relações. Para todom,n ∈ Z, temos:


[ϕJ(Hm), ϕJ(En)] =

−2∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

− ψJ(m)∂

∂ym+ ψJ(−m)2mKy−m + 2δm,0J,−

∂

∂xn

= 2

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

,∂

∂xn

= −2∂

∂xm+n

= 2ϕJ(Em+n) = ϕJ([Hm, En]);

[ϕJ(Hm), ϕJ(Hn)] =

−2∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

− ψJ(m)∂

∂ym+ ψJ(−m)2mKy−m + 2δm,0J,

−2∑i∈Z

xi−n∂

∂xi

− ψJ(n)∂

∂yn+ ψJ(−n)2nKy−n + 2δn,0J

]

= 4

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

,∑i∈Z

xi−n∂

∂xi

− [ψJ(m)∂

∂ym, ψJ(−n)2nKy−n

]

−[ψJ(−m)2mKy−m, ψJ(n)

∂

∂yn

]=(?) 4

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj+n

− 4∑i∈Z

xi−n∂

∂xi+m︸︷︷︸0

−2δm,−nψJ(m)ψJ(−n)nK + 2δm,−nψJ(n)ψJ(−m)mK

= 2δm,−nmK(ψJ(m)ψJ(−n) + ψJ(n)ψJ(−m))

=(??) 2δm,−nmK (ψJ(m)ψJ(m) + ψJ(n)ψJ(n))︸︷︷︸1

= ϕJ([Hm, Hn]);

(?):Fazendo k = j + n em 4∑j∈Z

xj−m∂

∂xj+ne k = i+m em −4

∑i∈Z

xi−n∂

∂xi+m

(??):Se m = n = 0, o colchete está naturalmente preservado, pois [H0, H0] = 0. Suponhamos entãoque m 6= 0. Assim, se ψJ(m) = 0, ou m ∈ N∗ \ J ou −m ∈ J. Em ambos os casos, ψJ(−m) = 1. Omesmo raciocínio pode ser usado se ψJ(m) = 1.


[ϕJ(Hm), ϕJ(Fn)] =

−2∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

− ψJ(m)∂

∂ym+ ψJ(−m)2mKy−m + 2δm,0J,

∑l,i∈Z

xlxi−l−n∂

∂xi

+∑i∈J

xi−n∂

∂yi+ 2K

∑i∈J

iyix−i−n +Knx−n − 2Jx−n

= −2

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

,∑l,i∈Z

xlxi−l−n∂

∂xi

− 2

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

,∑i∈J

xi−n∂

∂yi

− 4K

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

,∑i∈J

iyix−i−n

− 2K

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

, nx−n

+ 4J

∑j∈Z

xj−m∂

∂xj

, x−n

− 2K

ψJ(m)∂

∂ym,∑i∈J

iyix−i−n

+

ψJ(−m)2mKy−m,∑i∈J

xi−n∂

∂yi

= −2

∑j∈Z

xj−m∑i∈Z

xi−j−n∂

∂xi

− 2∑j∈Z

xj−m∑l∈Z

xl∂

∂xj+l+n

+ 2∑l,i∈Z

xlxi−l−n∂

∂xi+m

− 2∑j∈Z

xj−mψJ(j + n)∂

∂yj+n

− 4K∑j∈Z

xj−mψJ(−j − n)(−j − n)y−j−n − 2Knx−n−m

+ 4Jx−n−m − 2KψJ(m)ψJ(m)mx−m−n − 2KψJ(−m)ψJ(−m)mx−m−n

=(?) 2∑j,l∈Z

xlxj−m−l−n∂

∂xj

− 4∑k,i∈Z

xkxi−k−m−n∂

∂xi

− 2∑i∈Z

xi−n−mψJ(i)∂

∂yi

− 4K∑k∈Z

xk−n−mψJ(−k)(−k)y−k − 2Knx−n−m + 4Jx−n−m − 2Kmx−m−n

=(??) −2∑j,l∈Z

xlxj−m−l−n∂

∂xj

− 2∑i∈J

xi−n−m∂

∂yi− 4K

∑l∈J

x−l−m−nlyl

− 2K(m+ n)x−m−n + 4Jx−n−m = −2ϕJ(Fm+n)

= ϕJ([Hm, Fn]);

(?):Fazendo j = i+m em 2∑l,i∈Z

xlxi−l−n∂

∂xi+m;k = j −m em −2

∑j,i∈Z

xj−mxi−j−n∂∂xi

;

k = j + l + n em −2∑j,l∈Z

xj−mxl∂

∂xj+l+n;i = j + n em −2

∑j∈Z

xj−mψJ(j + n) ∂∂yj+n

;

k = j + n em −4K∑j∈Z

xj−mψJ(−j − n)(−j − n)y−j−n;

(??):Fazendo l = −k em −4K∑k∈Z

xk−n−mψJ(−k)(−k)y−k


[ϕJ(Em), ϕJ(Fn)] =

− ∂

∂xm

,∑l,j∈Z

xlxj−l−n∂

∂xj

+∑j∈J

xj−n∂

∂yj+ 2K

∑j∈J

jyjx−j−n +Knx−n − 2Jx−n

= −

∂

∂xm

,∑l,j∈Z

xlxj−l−n∂

∂xj

− ∂

∂xm

,∑j∈J

xj−n∂

∂yj

− 2K

∂

∂xm

,∑j∈J

jyjx−j−n

−K

[∂

∂xm

, nx−n

]+ 2J

[∂

∂xm

, x−n

]= −

∑j∈Z

xj−m−n∂

∂xj

−∑l∈Z

xl∂

∂xm+l+n

− ψJ(m+ n)∂

∂ym+n

+ 2K(m+ n)ψJ(−m− n)y−m−n

+ δm,−n(Km+ 2J)

=(?) −2∑j∈Z

xj−m−n∂

∂xj

− ψJ(m+ n)∂

∂ym+n

+ 2ψJ(−m− n)(m+ n)Ky−m−n + 2δm,−nJ +Kmδm,−n

= ϕJ(Hm+n) +Kmδm,−n = ϕJ([Em, Fn]).

(?):Fazendo j = l +m+ n em −∑l∈Z

xl∂

∂xl+m+n.

Notemos porém que ϕJ(Fm) não está bem definida, pois se J ⊂ N∗ for um conjunto infinito, aoaplicarmos esse operador no 1, teremos uma soma infinita. A correção do problema é feita atravésda utilização de duas anti-involuções:

ρ1 : sl(2,C) −→ sl(2,C) dada por

ρ1(Em) = −F−m, ρ1(Fm) = −E−m, ρ1(Hm) = H−m e ρ1(K) = K,

e ρ2 : gl(C[x,y]) −→ gl(C[x,y]) dada por

ρ2(x−m) =∂

∂xm, ρ2

(∂

∂xm

)= x−m, ρ2(yk) = − ∂

∂yke ρ2

(∂

∂yk

)= −yk.

Definimos então ρJ : sl(2,C) −→ gl(C[x,y]) como ρJ := ρ2 ◦ϕJ ◦ ρ1, e teremos o homomorfismodesejado:

ρJ(Fm) = xm,

ρJ(Em) = −∑l,j∈Z

xj+l+m∂

∂xl

∂

∂xj+∑j∈J

yj∂

∂x−j−m+ 2K

∑j∈J

j∂

∂yj

∂

∂xj−m+ (Km+ 2J)

∂

∂x−m,

ρJ(Hm) = −2∑j∈Z

xj+m∂

∂xj+ ψJ(−m)y−m + ψJ(m)2mK

∂

∂ym+ 2δm,0J.

Trata-se realmente de uma representação, pois ϕJ já preservava o colchete de Lie, e estamosagora apenas compondo com duas anti-involuções.

Observação 2.5.5. Para o caso em que n > 2, ainda em [16], é construída a realização de camposlivres ρJ para sl(n,C), utilizando a linguagem de distribuições formais.


A realização é dada pela função ρJ : sl(n,C) −→ gl(C[x,y]) da seguinte forma:

ρJ(Frm) = ar,r+1,m +

r−1∑j=1

∑l∈Z

aj,r+1,m−la∗j,r,l,

ρJ(Erm) =∑l1,l2∈Z

ar,r+1,m−l1−l2a∗r,r+1,l1a

∗r,r+1,l2 +

∑l∈Z

− n∑j=r+2

ar+1,j,m−la∗r+1,j,l

+∑l1,l2∈Z

ar,j,m−l1−l2a∗r,j,l1a

∗r,j,l2 −

∑l1,l2∈Z

ar+1,j,m−l1−l2a∗r+1,j,l1a

∗r,r+1,l2

− γ∑l∈Z

(a∗r,r+1,lbr,m−l +

1

2δm<0(a∗r,r+1,lbr−1,m−l + a∗r,r+1,lbr+1,m−l)

)− γ

2a∗r,r+1,m+1,

ρJ(Hrm) =∑l∈Z

(2ar,r+1,m−la

∗r,r+1,l +

r−1∑i=1

ai,r+1,m−la∗i,r+1,l

−r−1∑i=1

ai,r,m−la∗i,r,l +

n∑j=r+2

ar,j,m−la∗r,j,l −

n∑j=r+2

ar+1,j,m−la∗r+1,j,n

−γbrm + δm<0γ

2(br−1,m + br+1,m)

).

Capítulo 3

Realização de Campos Livres

Muitas vezes, ao buscarmos representar uma álgebra de Lie em um espaço vetorial, queremosque o mesmo seja um espaço de polinômios. Na verdade, queremos encontrar "cópias"dessa álgebraem anéis de operadores diferenciais sobre algum espaço vetorial de polinômios, pois os elementosdesses anéis são relativamente fáceis de serem manuseados.

Assim, este capítulo é dedicado à introdução do conceito de realização de campos livres, que éum tipo de representação em algum espaço de polinômios, com destaque para a primeira realizaçãode campos livres, passando em seguida rapidamente pela segunda realização.

Não iremos nos ater à construção propriamente dita, que utiliza tanto conceitos e resultados deVariedades e Grupos de Lie, como de Geometria Algébrica, tendo em vista que não é o foco destetrabalho, e os detalhes podem ser consultados em [5] e [6]. Nossa abordagem do assunto será atravésda exibição de exemplos, que ilustram de forma eficiente o que precisamos, dentro do contexto dasálgebras de Lie afim.

Em primeiro lugar, estudaremos um exemplo de representação em que a álgebra de Lie é simplesde dimensão finita, o que servirá como modelo para o caso em que é uma álgebra de Kac-Moodydo tipo afim, dando origem à primeira realização.

3.1 Caso de Dimensão Finita

Seja g uma álgebra de Lie simples de dimensão finita, com decomposição triangular n+⊕ h⊕ n−,em que h é a subálgebra de Cartan de g. A construção efetuada nas referências citadas fornece-nosuma representação de g no espaço dos polinômios em m = |∆+| variáveis. Na verdade, temos umhomomorfismo de álgebras de Lie de g na álgebra de Weyl em m variáveis Am, em que Am é aálgebra não comutativa gerada pelos operadores multiplicação x1, ..., xm e pelas derivações ∂

∂xi, com

i ∈ {1, ...,m} nesse espaço de polinômios.Além disso, o espaço de polinômios em m variáveis acima citado é isomorfo a M∗(0), como

g-módulo, em que M∗(0) é o módulo contragradiente ao módulo de Verma M(0) sobre g, com pesomáximo 0.

Destacamos que o módulo contragradiente que estamos denotando por M∗(0) é o módulo dualrestrito deM(0), com respeito à decomposição de peso induzida pela ação de h, já queM(0) possuiuma decomposição em espaços de peso, em que cada um desses espaços possui dimensão finita, e aação de g em M∗(0) é dada por

59

60 REALIZAÇÃO DE CAMPOS LIVRES 3.2

(xf)(v) = f(ω(x)v), para todo v ∈M(0), x ∈ g e f ∈M∗(0),

em que ω é uma anti-involução em g que preserva h e permuta os geradores de Chevalley ei e fi.Dito de outra forma, se M(0) =

⊕µ∈h∗

Mµ é a decomposição em espaços de peso do módulo de

Verma M(0), então M∗(0) =⊕µ∈h∗

M∗µ é o módulo contragradiente.

Exemplo 3.1.1. Para o primeiro exemplo, naturalmente, tomaremos g = sl(2,C), com a basepadrão

e =

(0 1

0 0

), h =

(1 0

0 −1

), f =

(0 0

1 0

),

e colchete de Lie dado por [e, f ] = h, [h, e] = 2e e [h, f ] = −2f . Após efetuada a construçãocomo em [6], será obtida uma representação ρ : g −→ gl(C[x]) no espaço C[x] dada por:

e 7−→ d

dx, h 7−→ −2x

d

dx, f 7−→ −x2 d

dx.

Para mostrar que ρ é de fato um homomorfismo de álgebras de Lie, basta analisar o que ocorre emum monômio xm ∈ C[x],m ∈ Z+. Temos então

[ρ(e), ρ(f)](xm) = (−m(m+ 1) +m(m− 1))xm = −2mxm = ρ(h)(xm) = ρ([e, f ])(xm);

[ρ(h), ρ(e)](xm) = (−2m(m− 1) + 2m2)xm−1 = 2mxm−1 = ρ(2e)(xm) = ρ([h, e])(xm);

[ρ(h), ρ(f)](xm) = (2m(m+ 1)− 2m2)xm+1 = 2mxm+1 = ρ(−2f)(xm) = ρ([h, f ])(xm).

Ainda conforme [6], teremos C[x] ∼= M∗(0), como g-módulos.

Observação 3.1.2. Considerando ainda g = sl(2,C), mas já antecipando o que será necessário nocaso de uma álgebra de Kac-Moody afim, podemos tomar outro caminho para obter uma represen-tação θ : g −→ gl(C[x]), aplicando a g uma composição de duas anti-involuções:

e↔ f, h↔ h;x↔ d

dx.

Teremos a seguinte realização do módulo de VermaM(0) em operadores diferenciais de segundaordem:

e 7−→ −x(d

dx

)2

, h 7−→ −2xd

dx, f 7−→ x.

Como o colchete de Lie já estava preservado anteriormente, a aplicação das duas anti-involuçõesfornece ainda um homomorfismo.

3.2 CASO AFIM 61

3.2 Caso Afim

Como feito anteriormente no caso de dimensão finita, faremos apenas algumas consideraçõessobre o caso geral, e trataremos de um exemplo específico. No caso das álgebras de Kac-Moody dotipo afim, esse caso específico será a álgebra sl(2,C).

No caso atual, ao serem efetuadas construções análogas às que foram efetuadas para o casode dimensão finita, seguindo [6], iremos obter uma representação da álgebra de Kac-Moody afimem um espaço vetorial de polinômios em infinitas variáveis, em que teremos uma ação da mesmaatravés de operadores diferenciais, o que fornece uma realização para o módulo contragradiente aomódulo de Verma M(0).

Destacamos que, no caso atual, não é possível obter módulos de Verma padrão a partir dessaconstrução, o que é uma importante diferença entre este e o caso de dimensão finita.

Exemplo 3.2.1. Para ilustrar o caso de uma álgebra de Kac-Moody afim, tomaremos g = sl(2,C)

como sendo a álgebra de Lie simples de dimensão finita a partir da qual obtemos L(g), que deno-taremos por sl(2,C). Mantendo a notação usual, temos que os elementos

en = e⊗ tn, hn = h⊗ tn, fn = f ⊗ tn, n ∈ Z,

em que e, f, h formam uma base de sl(2,C), juntamente com o elemento central c e a derivação dformam uma base de sl(2,C).

Novamente seguindo [6], após efetuada a construção geométrica, iremos obter uma candidataρ : sl(2,C) −→ gl(C[xm,m ∈ Z]) à representação de sl(2,C) no anel de polinômios C[xm,m ∈ Z],como segue:

en 7−→∂

∂xn, hn 7−→ −2

∑m∈Z

xm∂

∂xn+m, fn 7−→ −

∑m,k∈Z

xmxk∂

∂xn+m+k.

Para simplificar a notação, denotaremos ∂∂xj

apenas por ∂xj , para todo j ∈ Z.É possível verificar que o colchete de Lie é preservado através desses operadores, sendo suficiente

analisar em um monômio xα1m1...xαlml ∈ C[xm,m ∈ Z], αi ∈ Z+, em que i ∈ {1, ..., l}.

De fato, para todo n1, n2 ∈ Z, temos:


[ρ(hn1), ρ(en2)] =

(−2∑m∈Z

xm∂xn1+m

)∂xn2 + ∂xn2

(2∑m∈Z

xm∂xn1+m

)= 2∂xn1+n2

= ρ(2en1+n2) = ρ([hn1 , en2 ]);

[ρ(hn1), ρ(fn2)] =

2∑j∈Z

xj∂xn1+j

∑m,k∈Z

xmxk∂xn2+m+k

−

∑m,k∈Z

xmxk∂xn2+m+k

2∑j∈Z

xj∂xn1+j

= 2

∑j∈Z

xj

(∑m∈Z

xm∂xn2+m+n1+j+∑k∈Z

xk∂xn2+n1+j+k

)− 2

∑m,k∈Z

xmxk∂xn1+n2+m+k

= 2∑j,m∈Z

xjxm∂xn2+m+n1+j

= ρ(−2fn1+n2) = ρ([hn1 , fn2 ]);

[ρ(en1), ρ(fn2)] = −∂xn1

∑m,k∈Z

xmxk∂xn2+m+k

+

∑m,k∈Z

xmxk∂xn2+m+k

∂xn1

= −∑m∈Z

xm∂xn2+m+n1−∑k∈Z

xk∂xn2+n1+k

= −2∑m∈Z

xm∂xn2+n1+m

= ρ(hn1+n2) = ρ([en1 , fn2 ]).

Notemos que ainda não temos uma representação em C[xm,m ∈ Z], pois o operador cor-respondente a fn não está bem definido, já que aplicado sucessivamente a elementos do espaçoC[xm,m ∈ Z] produzirá uma soma infinita de monômios. Um caminho para que esse fato sejacorrigido é a aplicação das anti-involuções:

en ↔ fn, h↔ h;xn ↔ ∂xn,

que nos fornecerá:

fn 7−→ xn, hn 7−→ −2∑m∈Z

xn+m∂xm , en 7−→ −∑m,k∈Z

xn+m+k∂xm∂xk . (3.1)

Tendo em vista que o colchete de Lie já era preservado por ρ, mesmo antes da aplicação dasanti-involuções, ele continua preservado pelas novas fórmulas.

As fórmulas (3.1) definem a primeira realização de campos livres de sl(2,C) no anel depolinômios C[xm,m ∈ Z]. Este módulo é um quociente do módulo de Verma imaginário de pesomáximo 0 por um submódulo gerado pelos elementos hn ⊗ 1, n < 0.

3.2 CASO AFIM 63

Destacamos que estamos considerando o elemento central c e h0 agindo no módulo C[xm,m ∈ Z]

como multiplicação por 0. A ação da derivação d pode ser a multiplicação por um escalar qualquerµ ∈ C.

Bernard e Felder utilizaram a construção de Borel-Weyl (que não foi estudada neste trabalho),para obter uma realização do módulo de Verma imaginário com uma ação não trivial do elementocentral.

A partir dessa construção, com a aplicação das anti-involuções:

en ↔ −f−n, hn ↔ h−n, c↔ c e (3.2)

x−n ↔ ∂xn , yk ↔ −∂yk ,

é obtida a seguinte representação ρ : sl(2,C) −→ gl(C[xm,m ∈ Z]⊗ C[yn, n > 0]) de sl(2,C):

fn 7−→ xn, hn 7−→ −2∑m∈Z

xm+n∂xm + δn<0y−n + δn>02nK∂yn + δn,0J,

en 7−→ −∑m,k∈Z

xk+m+n∂xk∂xm +∑k>0

yk∂x−k−n + 2K∑m>0

m∂ym∂xm−n + (Kn+ J)∂x−n ,

em que c age como multiplicação por um escalar K e h0 age como multiplicação por um escalar J .Conforme os critérios enunciados no Capítulo 2, trata-se de um módulo irredutível se e somente seK 6= 0. Se K = 0 e J 6= 0, o quociente deste módulo pelo submódulo gerado pelos elementos daforma ym,m > 0 é irredutível.

Observamos ainda que, tratando-se do módulo de Verma imaginário M(λ), λ ∈ h∗, λ(c) = K,λ(h0) = J .

Verificaremos agora que trata-se realmente de um homomorfismo de álgebras de Lie: sejamn1, n2 ∈ Z, então


[ρ(hn1), ρ(en2)] =

[−2∑m∈Z

xm+n1∂xm + δn1<0y−n1 + δn1>02n1K∂yn1 + δn1,0J,

−∑j,k∈Z

xk+j+n2∂xk∂xj +∑k>0

yk∂x−k−n2 + 2K∑j>0

j∂yj∂xj−n2 + (Kn2 + J)∂x−n2

= 2

∑m∈Z

xm+n1∂xm ,∑j,k∈Z

xk+j+n2∂xk∂xj

− 2

[∑m∈Z

xm+n1∂xm ,∑k>0

yk∂x−k−n2

]

− 2

∑m∈Z

xm+n1∂xm , 2K∑j>0

j∂yj∂xj−n2

− 2

[∑m∈Z

xm+n1∂xm , (Kn2 + J)∂x−n2

]

+

δn1<0y−n1 , 2K∑j>0

j∂yj∂xj−n2

+

[δn1>02n1K∂yn1 ,

∑k>0

yk∂x−k−n2

]

=(∗) 2∑j,k∈Z

xk+j+n1+n2

∑j,k∈Z

∂xk∂xj − 2∑j,m∈Z

xm+n1+j+n2∂xj∂xm − 2∑k,m∈Z

xk+m+n1+n2∂xk∂xm

+ 2∑k>0

yk∂x−k−(n1+n2)+ 4K

∑j>0

j∂yj∂xj−(n1+n2)+ 2(Kn2 + J)∂x−(n1+n2)

+ 2Kn1∂x−(n1+n2)

= ρ([hn1 , en2 ]);

[ρ(hn1), ρ(fn2)] =

[−2∑m∈Z

xm+n1∂xm + δn1<0y−n1 + δn1>02n1K∂yn1 + δn1,0J, xn2

]

=

[−2∑m∈Z

xm+n1∂xm , xn2

]= −2xn1+n2

= ρ([hn1 , fn2 ]);

[ρ(hn1), ρ(hn2)] =

[−2∑m∈Z

xm+n1∂xm + δn1<0y−n1 + δn1>02n1K∂yn1 + δn1,0J

−2∑j∈Z

xj+n2∂xj + δn2<0y−n2 + δn2>02n2K∂yn2 + δn2,0J

= 4

∑m∈Z

xm+n1∂xm ,∑j∈Z

xj+n2∂xj

+ [δn1<0y−n1 , δn2>02n2K∂yn2 ]

+ [δn1>02n1K∂yn1 , δn2<0y−n2 ]

=(∗) 4∑j∈Z

xj+n1+n2

∑j∈Z

∂xj − 4∑m∈Z

xm+n1+n2

∑m∈Z

∂xm + 2δn1,−n2Kn1

= 4∑j∈Z

xj+n1+n2∂xj − 4∑m∈Z

xm+n1+n2∂xm + 2δn1,−n2Kn1

= 2δn1,−n2Kn1 = ρ([hn1 , hn2 ]);

3.2 CASO AFIM 65

[ρ(en1), ρ(fn2)] =

− ∑m,k∈Z

xk+m+n1∂xk∂xm +∑k>0

yk∂x−k−n1 + 2K∑m>0

m∂ym∂xm−n1 + (Kn1 + J)∂x−n1 , xn2

= −

∑m,k∈Z

xk+m+n1∂xk∂xm , xn2

+

[∑k>0

yk∂x−k−n1 , xn2

]

+ 2K

[∑m>0

m∂ym∂xm−n1 , xn2

]+ [(Kn1 + J)∂x−n1 , xn2 ]

= −∑k∈Z

xk+n1+n2∂xk −∑m∈Z

xm+n1+n2∂xm + δ(n1+n2)<0y−(n1+n2)

+ 2Kδn1+n2>0(n1 + n2)∂yn1+n2 + (Kn1 + J)δn1+n2,0

= −2∑j∈Z

xj+n1+n2∂xj + δn1+n2<0y−(n1+n2) + δn1+n2>02(n1 + n2)K∂yn1+n2

+ δn1+n2,0J + n1Kδn1+n2,0 = ρ([en1 , fn2 ]).

(∗):ou δn1>0 = 0 ou δn1<0 = 0.

3.2.1 Segunda Realização de Campos Livres

Existe um outro caminho através do qual as fórmulas obtidas no Exemplo 3.2.1 podem sercorrigidas, o que leva à segunda realização de campos livres. Embora não a estejamos utilizandoneste trabalho, faremos algumas considerações a respeito.

Para tanto, denotemos an = ∂xn , a∗n = x−n, n ∈ Z, e consideremos as séries formais de potências:

a(z) =∑n∈Z

anz−n−1, a∗(z) =

∑n∈Z

a∗nz−n. (3.3)

As séries (3.3) são chamadas de distribuições formais.Consideremos ainda uma distribuição formal especial, chamada de função formal delta e

denotada por δ(z, w) =∑n∈Z

z−n−1wn. Ao longo desta seção também surgirá a distribuição formal

δ(w, z) =∑n∈Z

w−n−1zn. Usaremos ambas, sem distinção, de acordo com a necessidade, pois conforme

[13], δ(z, w) = δ(w, z).Notemos que [an, a

∗m] = δn+m,0 e [an, am] = [a∗n, a

∗m] = 0, para todo n,m ∈ Z. Utilizando esses

conceitos, as fórmulas no Exemplo 3.2.1 podem ser reescritas como segue:

e(z) 7−→ a(z), h(z) 7−→ −2a∗(z)a(z), f(z) 7−→ −a∗(z)2a(z), c 7−→ 0,

em que g(z) =∑n∈Z

gnz−n−1, para g ∈ {e, f, h}.

Nosso objetivo é obter, a partir dessas fórmulas, utilizando a linguagem de distribuições formais,uma representação ρ : sl(2,C) −→ gl(C[xm,m ∈ Z]).

Para verificar se o colchete de Lie é preservado, faremos uso do seguinte teorema:


Teorema 3.2.2. Em sl(2,C) são válidas as seguintes relações:

(a) [h(z), e(w)] = 2δ(z, w)e(w);

(b) [h(z), f(w)] = −2δ(z, w)f(w);

(c) [e(z), f(w)] = δ(z, w)h(w) + ∂wδ(z, w)c;

(d) [h(z), h(w)] = 2c∂wδ(z, w),

em que ∂z e ∂w são as derivadas de δ(z, w) nas variáveis z e w respectivamente.

Demonstração.

[h(z), e(w)] =

[∑n∈Z

hnz−n−1,

∑m∈Z

emw−m−1

]=∑n,m∈Z

[hn, em]z−n−1w−m−1

=∑n,m∈Z

[h, e]n+mz−n−1w−m−1 +

∑n,m∈Z

nδn,−m (h | e)︸︷︷︸0

cz−n−1w−m−1

=(∗)∑n∈Z

z−n−1wn∑m∈Z

[h, e]mw−m−1

= 2δ(z, w)e(w);

[h(z), f(w)] =

[∑n∈Z

hnz−n−1,

∑m∈Z

fmw−m−1

]=∑n,m∈Z

[hn, fm]z−n−1w−m−1

=∑n,m∈Z

[h, f ]n+mz−n−1w−m−1 +

∑n,m∈Z

nδn,−m (h | f)︸︷︷︸0

cz−n−1w−m−1

=(∗)∑n∈Z

z−n−1wn∑m∈Z

[h, f ]mw−m−1

= −2δ(z, w)f(w);

[e(z), f(w)] =

[∑n∈Z

enz−n−1,

∑m∈Z

fmw−m−1

]=∑n,m∈Z

[en, fm]z−n−1w−m−1

=∑n,m∈Z

[e, f ]n+mz−n−1w−m−1 +

∑n,m∈Z

nδn,−m (e | f)︸︷︷︸1

cz−n−1w−m−1

=(∗)∑n∈Z

z−n−1wn∑m∈Z

[e, f ]mw−m−1 −

∑m∈Z

mczm−1w−m−1

= δ(z, w)h(w)− ∂zδ(w, z)c = δ(z, w)h(w)− ∂zδ(z, w)c

= δ(z, w)h(w) + ∂wδ(z, w)c;

[h(z), h(w)] =

[∑n∈Z

hnz−n−1,

∑m∈Z

hmw−m−1

]=∑n,m∈Z

[hn, hm]z−n−1w−m−1

=∑n,m∈Z

[h, h]n+m︸︷︷︸0

z−n−1w−m−1 +∑n,m∈Z

nδn,−m (h | h)︸︷︷︸2

cz−n−1w−m−1

= −2∑m∈Z

mczm−1w−m−1

= −2c∂zδ(w, z) = −2c∂zδ(z, w) = 2c∂wδ(z, w).

3.2 CASO AFIM 67

(∗):como n,m ∈ Z, para cada n fixado, trocamos m por m− n.Destacamos que fizemos uso da igualdade ∂wδ(z, w) = −∂zδ(z, w), conforme [13].

�

Verificaremos agora que o colchete realmente é preservado. Utilizaremos repetidas vezes a se-guinte igualdade:

[a(w), a∗(z)] =

[∑m∈Z

amw−m−1,

∑n∈Z

a∗nz−n

]=

∑m,n∈Z

[am, a∗n]w−m−1z−n

(3.4)

=

(∑m∈Z

w−m−1zm

)= δ(w, z) = δ(z, w).

Utilizaremos também as igualdades δ(z, w)a(w) = δ(z, w)a(z) e ∂wδ(z, w) = −∂zδ(z, w), con-forme [13].


[−2a∗(z)a(z), a(w)] = −2a∗(z) [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

−2[a∗(z), a(w)]a(z)

= 2[a(w), a∗(z)]a(z) =3.4 2δ(w, z)a(z) = 2δ(z, w)a(w);

[−2a∗(z)a(z),−a∗(w)a∗(w)a(w)] = 2[a∗(z)a(z), a∗(w)a∗(w)a(w)]

= 2[a∗(z)a(z), a∗(w)]a∗(w)a(w)

+ 2a∗(w)[a∗(z)a(z), a∗(w)]a(w) + 2a∗(w)a∗(w)[a∗(z)a(z), a(w)]

= 2a∗(z)[a(z), a∗(w)]a∗(w)a(w) + 2 [a∗(z), a∗(w)]︸︷︷︸0

a(z)a∗(w)a(w)

+ 2a∗(w)a∗(z)[a(z), a∗(w)]a(w) + 2a∗(w) [a∗(z), a∗(w)]︸︷︷︸0

a(z)a(w)

+ 2a∗(w)a∗(w)a∗(z) [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

−2a∗(w)a∗(w)[a(w), a∗(z)]a(z)

=3.4 2a∗(z)δ(z, w)a∗(w)a(w)

+ 2a∗(w)a∗(z)δ(z, w)a(w)− 2a∗(w)a∗(w)δ(w, z)a(z)

= 2δ(z, w)a∗(w)2a(w);

[a(z),−a∗(w)a∗(w)a(w)] = −[a(z), a∗(w)a∗(w)a(w)]

= −[a(z), a∗(w)]a∗(w)a(w)− a∗(w)[a(z), a∗(w)]a(w)− a∗(w)a∗(w) [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

=3.4 −δ(z, w)a∗(w)a(w)− a∗(w)δ(z, w)a(w)

= −2δ(z, w)a∗(w)a(w);

[−2a∗(z)a(z),−2a∗(w)a(w)] = 4[a∗(z)a(z), a∗(w)a(w)]

= 4[a∗(z)a(z), a∗(w)]a(w) + 4a∗(w)[a∗(z)a(z), a(w)]

= 4a∗(z)[a(z), a∗(w)]a(w) + 4 [a∗(z), a∗(w)]︸︷︷︸0

a(z)a(w)

+ 4a∗(w)a∗(z) [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

+4a∗(w)[a∗(z), a(w)]a(z)

= 4a∗(z)[a(z), a∗(w)]a(w)− 4a∗(w)[a(w), a∗(z)]a(z)

=3.4 −4a∗(w)δ(w, z)a(z) + 4a∗(z)δ(z, w)a(w)

= −4δ(z, w)a∗(w)a(w) + 4δ(z, w)a∗(w)a(w) = 0.

Essa realização não está bem definida, pois os operadores aniquilação e criação não estão aindana ordem correta. Para torná-la bem definida, aplicamos as duas anti-involuções (3.2), e temos asfórmulas:

f(z) 7−→ a(z), h(z) 7−→ 2a(z)a∗(z), e(z) 7−→ −a(z)a∗(z)2,

em que an e a∗n têm agora o seguinte significado an = xn e a∗n = −∂x−n . Esse é um quociente domódulo de Verma imaginário.

Uma abordagem diferente, que introduz o conceito de ordem normal, foi sugerida em [21].Denote

3.2 CASO AFIM 69

a(z)− =∑n<0

anz−n−1, a(z)+ =

∑n≥0

anz−n−1 e b(z) =

∑n∈Z

bnz−n−1

e defina a ordem normal como segue:

: a(z)b(z) := a(z)−b(z) + b(z)a(z)+,

em que

an =

{xn, n < 0

∂xn , n ≥ 0, a∗n =

{x−n, n ≤ 0

−∂x−n , n > 0, bm =

{2Km∂ym m ≥ 0

y−m, m < 0.

Notemos que [an, a∗m] = δn+m,0 e [bn, bm] = 2Knδn+m,0, para todo m,n ∈ Z.

Com essa notação, temos o seguinte teorema:

Teorema 3.2.3. [21] As fórmulas

c 7−→ K, e(z) 7−→ a(z), h(z) 7−→ −2 : a∗(z)a(z) : +b(z),

f(z) 7−→ − : a∗(z)2a(z) : +K∂za∗(z) + a∗(z)b(z)

definem a segunda realização de campos livres ρ : sl(2,C) −→ gl(C[xn, n ∈ Z]⊗C[ym,m > 0])

da álgebra de Lie afim sl(2,C).

Mostraremos que as relações do Teorema 3.2.2 estão satisfeitas. Novamente, utilizaremos arelação (3.4) e as igualdades ∂wδ(z, w) = −∂zδ(z, w) e δ(z, w)a(z) = δ(z, w)a(w). A igualdade: a(z)b(z)c(z) :=: a(z)(: b(z)c(z) :) : ([5]) também será necessária.


Demonstração.

[ρ(h)(z), ρ(e)(w)] = [−2 : a∗(z)a(z) : +b(z), a(w)] = [−2(a∗(z)−a(z) + a(z)a∗(z)+) + b(z), a(w)]

= −2[a∗(z)−a(z), a(w)]− 2[a(z)a∗(z)+, a(w)] + [b(z), a(w)]︸︷︷︸0

= −2a∗(z)− [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

+2[a(w), a∗(z)−]a(z)− 2a(z)[a∗(z)+, a(w)]

+ 2 [a(w), a(z)]︸︷︷︸0

a∗(z)+

= 2

[∑n∈Z

anw−n−1,

∑m<0

a∗mz−m

]a(z) + 2a(z)

∑n∈Z

anw−n−1,

∑m≥0

a∗mz−m

= 2

(∑n>0

w−n−1zn

)a(z) + 2a(z)

∑n≤0

w−n−1zn

= 2a(z)

∑n>0

w−n−1zn +∑n≤0

w−n−1zn

= 2δ(w, z)a(z) = 2δ(z, w)a(w);

3.2 CASO AFIM 71

[ρ(e)(z), ρ(f)(w)] =[a(z),− : a∗(w)2a(w) : +K∂wa∗(w) + a∗(w)b(w)]

= [a(z),− : a∗(w)(: a∗(w)a(w) :) : +K∂wa∗(w) + a∗(w)b(w)]

= −[a(z), : a∗(w)(: a∗(w)a(w) :) :] + [a(z),K∂wa∗(w)] + [a(z), a∗(w)b(w)]

= −[a(z), : a∗(w)(a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+) :] +K

[∑n∈Z

anz−n−1, ∂w

∑m∈Z

a∗mw−m

]− a∗(w) [b(w), a(z)]︸︷︷︸

0

+[a(z), a∗(w)]b(w)

=3.4 −[a(z), a∗(w)−(a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+)]

− [a(z), (a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+)a∗(w)+]

+K

[∑n∈Z

anz−n−1,

∑m∈Z

(−m)a∗mw−m−1

]+ δ(z, w)b(w)

= −[a(z), a∗(w)−a∗(w)−a(w)]− 2[a(z), a∗(w)−a(w)a∗(w)+]− [a(z), a(w)a∗(w)+a

∗(w)+]

+K

∑n,m∈Z

(−m)[an, a∗m]z−n−1w−m−1

+ δ(z, w)b(w)

= −[a(z), a∗(w)−]a∗(w)−a(w)− a∗(w)−[a(z), a∗(w)−]a(w)− a∗(w)−a∗(w)− [a(z), a(w)]︸︷︷︸

0

− 2[a(z), a∗(w)−]a(w)a∗(w)+ − 2a∗(w)− [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

a∗(w)+ − 2a∗(w)−a(w)[a(z), a∗(w)+]

− [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

a∗(w)+a∗(w)+ − a(w)[a(z), a∗(w)+]a∗(w)+ − a(w)a∗(w)+[a(z), a∗(w)+]

+K∑n∈Z

nz−n−1wn−1 + δ(z, w)b(w)

= −2[a(z), a∗(w)−]a∗(w)−a(w)− 2a(w)a∗(w)+[a(z), a∗(w)+]− 2[a(z), a∗(w)−]a(w)a∗(w)+

− 2a∗(w)−a(w)[a(z), a∗(w)+] +K∂wδ(z, w) + δ(z, w)b(w)

= −2[a(z), a∗(w)−](a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+)

− 2[a(z), a∗(w)+](a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+) +K∂wδ(z, w) + δ(z, w)b(w)

= −2([a(z), a∗(w)−] + [a(z), a∗(w)+])(a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+)

+K∂wδ(z, w) + δ(z, w)b(w)

= −2[a(z), a∗(w)](a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+)


=3.4 −2δ(z, w)(a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+)


= δ(z, w)(−2 : a∗(w)a(w) : +b(w)) + ∂wδ(z, w)K;


[ρ(h)(z), ρ(h)(w)] = [−2 : a∗(z)a(z) : +b(z),−2 : a∗(w)a(w) : +b(w)]

= 4[: a∗(z)a(z) :, : a∗(w)a(w) :]− 2[: a∗(z)a(z) :, b(w)]− 2[b(z), : a∗(w)a(w) :] + [b(z), b(w)]

= 4[a∗(z)−a(z) + a(z)a∗(z)+, a∗(w)−a(w) + a(w)a∗(w)+]− 2 [: a∗(z)a(z) :, b(w)]︸︷︷︸

0

− 2 [b(z), : a∗(w)a(w) :]︸︷︷︸0

+

[∑n∈Z

bnz−n−1,

∑m∈Z

b−m−1m

]

= 4[a∗(z)−a(z), a∗(w)−a(w)] + 4[a∗(z)−a(z), a(w)a∗(w)+]

+ 4[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−a(w)] + 4[a(z)a∗(z)+, a(w)a∗(w)+] +

∑n,m∈Z

[bn, bm]z−n−1w−m−1

= 4[a∗(z)−a(z), a∗(w)−]a(w) + 4a∗(w)−[a∗(z)−a(z), a(w)]

+ 4[a∗(z)−a(z), a(w)]a∗(w)+ + 4a(w)[a∗(z)−a(z), a∗(w)+]

+ 4[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−]a(w) + 4a∗(w)−[a(z)a∗(z)+, a(w)]

+ 4[a(z)a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+ + 4a(w)[a(z)a∗(z)+, a∗(w)+] +

∑n,m∈Z

2nKδn+m,0z−n−1w−m−1

= 4a∗(z)−[a(z), a∗(w)−]a(w) + 4 [a∗(z)−, a∗(w)−]︸︷︷︸

0

a(z)a(w)

+ 4a∗(w)−a∗(z)− [a(z), a(w)]︸︷︷︸

0

+4a∗(w)−[a∗(z)−, a(w)]a(z)

+ 4a∗(z)− [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

a∗(w)+ + 4[a∗(z)−, a(w)]a(z)a∗(w)+

+ 4a(w)a∗(z)−[a(z), a∗(w)+] + 4a(w) [a∗(z)−, a∗(w)+]︸︷︷︸

0

a(z)

+ 4a(z) [a∗(z)+, a∗(w)−]︸︷︷︸

0

a(w) + 4[a(z), a∗(w)−]a∗(z)+a(w)

+ 4a∗(w)−a(z)[a∗(z)+, a(w)] + 4a∗(w)− [a(z), a(w)︸︷︷︸0

a∗(z)+

+ 4a(z)[a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+ + 4 [a(z), a(w)]︸︷︷︸0

a∗(z)+a∗(w)+

+ 4a(w)a(z) [a∗(z)+, a∗(w)+]︸︷︷︸

0

+4a(w)[a(z), a∗(w)+]a∗(z)+ − 2K∑m∈Z

mzm−1w−m−1

= 4a∗(z)−[a(z), a∗(w)−]a(w)− 4a∗(w)−[a(w), a∗(z)−]a(z)− 4[a(w), a∗(z)−]a(z)a∗(w)+

+ 4a(w)a∗(z)−[a(z), a∗(w)+] + 4[a(z), a∗(w)−]a∗(z)+a(w)− 4a∗(w)−a(z)[a(w), a∗(z)+]

− 4a(z)[a(w), a∗(z)+]a∗(w)+ + 4a(w)[a(z), a∗(w)+]a∗(z)+ − 2K∂zδ(w, z)

= −4a∗(w)−a(z)([a(w), a∗(z)−] + [a(w), a∗(z)+])

− 4a(z)a∗(w)+([a(w), a∗(z)−] + [a(w), a∗(z)+])

+ 4a∗(z)−a(w)([a(z), a∗(w)−] + [a(z), a∗(w)+]) + 4[a(w), a∗(z)−][a(z), a∗(w)+]

+ 4a(w)a∗(z)+([a(z), a∗(w)+] + [a(z), a∗(w)−])− 4[a(z), a∗(w)−][a(w), a∗(z)+]

− 2K∂zδ(w, z)

=3.4,(?) 4[a(w), a∗(z)−][a(z), a∗(w)+]− 4[a(z), a∗(w)−][a(w), a∗(z)+]− 2K∂zδ(w, z)

= 4[a(w), a∗(z)− + a∗(z)+][a(z), a∗(w)+]− 4[a(w), a∗(z)+][a(z), a∗(w)+]

− 4[a(z), a∗(w)− + a∗(w)+][a(w), a∗(z)+] + 4[a(z), a∗(w)+][a(w), a∗(z)+]− 2K∂zδ(w, z)

=3.4,(??) −2K∂zδ(w, z) = 2K∂wδ(z, w);

3.2 CASO AFIM 73

(?) : −4a∗(w)−a(z)δ(w, z)− 4a(z)a∗(w)+δ(w, z) + 4a∗(z)−a(w)δ(z, w) + 4a(w)a∗(z)+δ(z, w) = 0

(??) : 4δ(w, z)[a(z), a∗(w)+]− 4δ(z, w)[a(w), a∗(z)+] = 0

4[a(w), a∗(z)+]([a(z), a∗(w)+]− [a(z), a∗(w)+]) = 0

[ρ(h)(z), ρ(f)(w)] = [−2 : a∗(z)a(z) : +b(z),− : a∗(w)a∗(w)a(w) : +K∂wa∗(w) + a∗(w)b(w)]

= 2[: a∗(z)a(z) :, : a∗(w)a∗(w)a(w) :]− 2[: a∗(z)a(z) :,K∂wa∗(w)]− 2[: a∗(z)a(z) :, a∗(w)b(w)]

−[b(z), : a∗(w)a∗(w)a(w) :]︸︷︷︸0

+ [b(z),K∂wa∗(w)]︸︷︷︸

0

+[b(z), a∗(w)b(w)].

Para mostrar que esse colchete, em particular, é preservado, são necessários cálculos mais longosdo que os anteriores. Sendo assim, serão feitos separadamente, como segue:


[b(z), a∗(w)b(w)] = [b(z), a∗(w)]︸︷︷︸0

b(w) + a∗(w)[b(z), b(w)]

= a∗(w)

[∑n∈Z

bnz−n−1,

∑m∈Z

bmw−m−1

]= a∗(w)

∑n,m∈Z

[bn, bm]z−n−1w−m−1

= a∗(w)

(∑n∈Z

2nKz−n−1wn−1

)= a∗(w)2K∂wδ(z, w).

−2[: a∗(z)a(z) :, a∗(w)b(w)] = −2[a∗(z)−a(z) + a(z)a∗(z)+, a∗(w)b(w)]

= −2[a∗(z)−a(z), a∗(w)b(w)]− 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)b(w)]

= −2[a∗(z)−a(z), a∗(w)]b(w)− 2a∗(w)[a∗(z)−a(z), b(w)]

− 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)]b(w)− 2a∗(w)[a(z)a∗(z)+, b(w)]

= −2a∗(z)−[a(z), a∗(w)]b(w)− 2 [a∗(z)−, a∗(w)]︸︷︷︸

0

a(z)b(w)

− 2a∗(w)a∗(z)− [a(z), b(w)]︸︷︷︸0

−2a∗(w) [a∗(z)−, b(w)]︸︷︷︸0

a(z)

− 2a(z) [a∗(z)+, a∗(w)]︸︷︷︸

0

b(w)− 2[a(z), a∗(w)]a∗(z)+b(w)

= −2a∗(w)a(z) [a∗(z)+, b(w)]︸︷︷︸0

−2a∗(w) [a(z), b(w)]︸︷︷︸0

a∗(z)+

= −2[a(z), a∗(w)](a∗(z)−b(w) + a∗(z)+b(w)) =3.4 −2δ(z, w)a∗(z)b(w)

= −2δ(z, w)a∗(w)b(w).

−2[: a∗(z)a(z) :,K∂wa∗(w)] = −2[a∗(z)−a(z) + a(z)a∗(z)+,K∂wa

∗(w)]

= −2[a∗(z)−a(z),K∂wa∗(w)]− 2[a(z)a∗(z)+,K∂wa

∗(w)]

= −2Ka∗(z)−[a(z), ∂wa∗(w)]− 2K [a∗(z)−, ∂wa

∗(w)]︸︷︷︸0

a(z)

− 2Ka(z) [a∗(z)+, ∂wa∗(w)]︸︷︷︸

0

−2K[a(z), ∂wa∗(w)]a∗(z)+

= −2K[a(z), ∂wa∗(w)](a∗(z)− + a∗(z)+) = −2K[a(z), ∂wa

∗(w)]a∗(z)

= −2K

[∑n∈Z

anz−n−1,

∑m∈Z

(−m)a∗mw−m−1

]a∗(z)

= −2K

∑n,m∈Z

(−m)[an, a∗m]z−n−1w−m−1

a∗(z) = −2K

(∑n∈Z

nz−n−1wn−1

)a∗(z)

= −2K∂wδ(z, w)a∗(z).

Notemos que

3.2 CASO AFIM 75

−2K∂wδ(z, w)a∗(z) + 2K∂wδ(z, w)a∗(w) = 2K∂zδ(z, w)a∗(z) + 2K∂wδ(z, w)a∗(w)

= 2K∑n∈Z

(−n− 1)z−n−1−1wn∑m∈Z

a∗mz−m

+ 2K∑n∈Z

nz−n−1wn−1∑m∈Z

a∗mw−m

=(?) 2K∑n,m∈Z

(−n+m+ 1− 1)a∗mz−n−1wnw−m−1

+ 2K∑n∈Z

nz−n−1wn∑m∈Z

a∗mw−m−1

= 2K∑n∈Z

z−n−1wn∑m∈Z

ma∗mw−m−1

= −2Kδ(z, w)∂wa∗(w).

(?):como m,n ∈ Z, para cada m, podemos trocar n por n−m− 1.


2[: a∗(z)a(z) :, : a∗(w)a∗(w)a(w) :] = 2[a∗(z)−a(z), : a∗(w)a∗(w)a(w) :] + 2[a(z)a∗(z)+, : a∗(w)a∗(w)a(w) :]

= 2[a∗(z)−a(z), a∗(w)−a∗(w)−a(w)] + 2[a∗(z)−a(z), a∗(w)−a(w)a∗(w)+]

+ 2[a∗(z)−a(z), a∗(w)−a(w)a∗(w)+] + 2[a∗(z)−a(z), a(w)a∗(w)+a∗(w)+]

+ 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−a

∗(w)−a(w)] + 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−a(w)a∗(w)+]

+ 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−a(w)a∗(w)+] + 2[a(z)a∗(z)+, a(w)a∗(w)+a

∗(w)+]

= 2[a∗(z)−a(z), a∗(w)−]a∗(w)−a(w) + 2a∗(w)−[a∗(z)−a(z), a∗(w)−]a(w)

+ 2a∗(w)−a∗(w)−[a∗(z)−a(z), a(w)] + 2[a∗(z)−a(z), a∗(w)−]a(w)a∗(w)+

+ 2a∗(w)−[a∗(z)−a(z), a(w)]a∗(w)+ + 2a∗(w)−a(w)[a∗(z)−a(z), a∗(w)+]

= 2[a∗(z)−a(z), a∗(w)−]a(w)a∗(w)+ + 2a∗(w)−[a∗(z)−a(z), a(w)]a∗(w)+

+ 2a∗(w)−a(w)[a∗(z)−a(z), a∗(w)+] + 2[a∗(z)−a(z), a(w)]a∗(w)+a∗(w)+

+ 2a(w)[a∗(z)−a(z), a∗(w)+]a∗(w)+ + 2a(w)a∗(w)+[a∗(z)−a(z), a∗(w)+]

+ 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−]a∗(w)−a(w) + 2a∗(w)−[a(z)a∗(z)+, a

∗(w)−]a(w)

+ 2a∗(w)−a∗(w)−[a(z)a∗(z)+, a(w)] + 2[a(z)a∗(z)+, a

∗(w)−]a(w)a∗(w)+

+ 2a∗(w)−[a(z)a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+ + 2a∗(w)−a∗(w)−[a(z)a∗(z)+, a

∗(w)+]

+ 2[a(z)a∗(z)+, a∗(w)−]a(w)a∗(w)+ + 2a∗(w)−[a(z)a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+

+ 2a∗(w)−a(w)[a(z)a∗(z)+, a∗(w)+] + 2[a(z)a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+a

∗(w)+

+ 2a(w)[a(z)a∗(z)+, a∗(w)+]a∗(w)+ + 2a(w)a∗(w)+[a(z)a∗(z)+, a

∗(w)+]

= 2a∗(z)−[a(z), a∗(w)−]a∗(w)−a(w) + 2a∗(w)−a∗(z)−[a(z), a∗(w)−]a(w)

+ 2a∗(w)−a∗(w)−[a∗(z)−, a(w)]a(z) + 2a∗(z)−[a(z), a∗(w)−]a(w)a∗(w)+

+ 2a∗(w)−[a∗(z)−, a(w)]a(z)a∗(w)+ + 2a∗(w)−a(w)a∗(z)−[a(z), a∗(w)+]

+ 2a∗(z)−[a(z), a∗(w)−]a(w)a∗(w)+ + 2a∗(w)−[a∗(z)−, a(w)]a(z)a∗(w)+

+ 2a∗(w)−a(w)a∗(z)−[a(z), a∗(w)+] + 2[a∗(z)−, a(w)]a(z)a∗(w)+a∗(w)+

+ 2a(w)a∗(z)−[a(z), a∗(w)+]a∗(w)+ + 2a(w)a∗(w)+a∗(z)−[a(z), a∗(w)+]

+ 2[a(z), a∗(w)−]a∗(z)+a∗(w)−a(w) + 2a∗(w)−[a(z), a∗(w)−]a∗(z)+a(w)

+ 2a∗(w)−a∗(w)−a(z)[a∗(z)+, a(w)] + 2[a(z), a∗(w)−]a∗(z)+a(w)a∗(w)+

+ 2a∗(w)−a(z)[a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+ + 2a∗(w)−a(w)[a(z), a∗(w)+]a∗(z)+

+ 2[a(z), a∗(w)−]a∗(z)+a(w)a∗(w)+ + 2a∗(w)−a(z)[a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+

+ 2a∗(w)−a(w)[a(z), a∗(w)+]a∗(z)+ + 2a(z)[a∗(z)+, a(w)]a∗(w)+a∗(w)+

+ 2a(w)[a(z), a∗(w)+]a∗(z)+a∗(w)+ + 2a(w)a∗(w)+[a(z), a∗(w)+]a∗(z)+

=3.4 −2δ(w, z)a∗(w)−a∗(w)−a(z)− 4δ(w, z)a∗(w)−a(z)a∗(w)+

− 2δ(w, z)a(z)a∗(w)+a∗(w)+

+ 4a∗(w)−a∗(z)−a(w)([a(z), a∗(w)−] + [a(z), a∗(w)+])

+ 4a∗(w)−[a(w), a∗(z)−][a(z), a∗(w)+]− 4a∗(w)+[a(w), a∗(z)+][a(z), a∗(w)−]

+ 4a(w)a∗(z)+a∗(w)+([a(z), a∗(w)+] + [a(z), a∗(w)−])

+ 4a∗(z)−a(w)a∗(w)+([a(z), a∗(w)−] + [a(z), a∗(w)+])

+ 4a∗(w)+[a(w), a∗(z)−][a(z), a∗(w)+]− 4a∗(w)−[a(w), a∗(z)+][a(z), a∗(w)−]

+ 4a∗(w)−a(w)a∗(z)+([a(z), a∗(w)+] + [a(z), a∗(w)−])

=3.4,(??) −2δ(w, z)a∗(w)−a∗(w)−a(z)− 4δ(w, z)a∗(w)−a(z)a∗(w)+

− 2δ(w, z)a(z)a∗(w)+a∗(w)+

+ 4δ(z, w)a∗(w)−a∗(z)−a(w) + 4δ(z, w)a(w)a∗(z)+a

∗(w)+

+ 4a∗(z)−a(w)a∗(w)+δ(z, w) + 4a∗(w)−a(w)a∗(z)+δ(z, w).

3.2 CASO AFIM 77

Portanto,

2[: a∗(z)a(z) :, : a∗(w)a∗(w)a(w) :] = 2δ(z, w)a∗(w)−a∗(w)−a(w) + 2δ(z, w)a(w)a∗(w)+a

∗(w)+

4δ(z, w)a∗(w)−a(w)a∗(w)+ = −2δ(z, w)(− : a∗(w)2a(w) :)

(??) : −4a∗(w)[a(w), a∗(z)+][a(z), a∗(w)−] + 4a∗(w)[a(w), a∗(z)−][a(z), a∗(w)+] = 0

�

Esses módulos são conhecidos como módulos de Wakimoto.


Capítulo 4

Localização de Álgebras nãoComutativas

Dados um anel A arbitrário e S ⊆ A, nem sempre os elementos de S são inversíveis em A.Algumas vezes, porém, precisamos desses inversos com alguma finalidade específica, de onde surgenaturalmente o questionamento: existe um outro anel, contendo A como subanel, no qual os ele-mentos de S sejam inversíveis?

Neste capítulo veremos que, sob algumas condições impostas a S, é possível construir um anelsatisfazendo as condições desejadas. Observamos que estamos particularmente interessados em es-tudar anéis que não sejam necessariamente comutativos.

Como motivação, dedicaremos uma seção ao caso comutativo. Em seguida, teremos uma seçãopara o caso não comutativo, que será dividida em duas partes: em primeiro lugar, faremos a cons-trução explícita quando S satisfaz todas as condições para que haja a imersão de A no novo anel;na sequência, retirando uma das condições impostas a S, enunciaremos um resultado que mostraque ainda é possível a construção de um novo anel, com algumas propriedades interessantes, masque não contém o anel original como subanel.

4.1 Anéis Comutativos

Seja A um anel comutativo, associativo, com elemento identidade 1 6= 0. Dedicaremos estaseção à construção do anel de frações de A, como uma generalização da construção do corpo defrações de um domínio de integridade. Em seguida, como uma extensão natural dessa construção,estudaremos também módulos de frações sobre o anel de frações de A. Os resultados aqui enunciadosencontram-se demonstrados em [20].

A proposição abaixo tem a finalidade de recordar o conceito de corpo de frações.

Proposição 4.1.1. Seja A um domínio de integridade. Então, existem um corpo K e um homo-morfismo injetivo de anéis f : A −→ K tais que cada elemento de K pode ser escrito na formaf(a)f(s)−1, para alguns a, s ∈ A, com s 6= 0.

Demonstração. Faremos apenas um esboço da demonstração. Seja S = A\{0}. Estabelecemos umarelação de equivalência ∼ em A× S como segue: para (a, b), (c, d) ∈ A× S, escrevemos

(a, b) ∼ (c, d)⇐⇒ ad = bc.

79

80 LOCALIZAÇÃO DE ÁLGEBRAS NÃO COMUTATIVAS 4.1

Para cada (a, b) ∈ A× S, denotaremos a classe de equivalência que contém (a, b) por a/b ou ab .

O conjunto K de todas as classes de equivalência de ∼ possui uma estrutura de corpo sob asoperações de adição e multiplicação abaixo:

a

b+c

d:=

ad+ bc

bd,

a

b

c

d:=

ac

bd,

para todo a/b, c/d ∈ K; o elemento neutro aditivo desse corpo é 0/1, e o elemento identidade é 1/1,(que é igual a a/a para todo a ∈ S).

A aplicação f : A −→ K definida por f(a) = a/1, para todo a ∈ A, é um homomorfismo injetivode anéis com as propriedades desejadas.

�

Devido ao homomorfismo injetivo na Proposição 4.1.1,A pode ser imerso emK como um subanel,e K é chamado de corpo de frações do domínio de integridade A. Destacamos que qualquer outrocorpo de frações de A é isomorfo a K.

Consideremos agora um anel A qualquer, e S ⊆ A um conjunto multiplicativo. Iremos nova-mente considerar uma relação de equivalência no conjunto A × S. Neste caso, porém, a relaçãode equivalência a ser definida deverá ser capaz de superar os problemas que podem ocorrer com aeventual presença de divisores de zero em A.

Uma vez definida a relação de equivalência conveniente, a construção será muito próxima à quefoi efetuada na Proposição 4.1.1, embora na maioria dos casos o resultado final seja um anel, quedenotaremos por S−1A e diremos que é o anel de frações de A com respeito a S. Esse novo anelpode ter divisores de zero, e embora exista um homomorfismo natural de anéis f : A −→ S−1A, elenão será necessariamente injetivo.

Lema 4.1.2. Sejam A um anel e S um subconjunto multiplicativo de A. Definimos a relação ∼ emA× S como segue: para (a, s), (b, t) ∈ A× S, escrevemos

(a, s) ∼ (b, t)⇐⇒ ∃ u ∈ S com u(ta− sb) = 0.

Então, ∼ é uma relação de equivalência em A× S.

(vide [20, p.81]).Para cada (a, s) ∈ A× S, denotaremos a classe de equivalência que contém (a, s) por a/s ou a

s ,e o conjunto de todas as classes de equivalência de ∼ por S−1A.

Proposição 4.1.3. Sejam A um anel e S um subconjunto multiplicativo de A. Então, S−1A possuiestrutura de anel comutativo, associativo, com elemento identidade, sob as operações de adição emultiplicação abaixo:

a

s+b

t:=

ta+ sb

st,

a

s

b

t:=

ab

st,

para todo a, b ∈ A e s, t ∈ S.

4.1 ANÉIS COMUTATIVOS 81

Observemos que se s = t, então a/s + b/s = (a + b)/s. S−1A é chamado de anel de fraçõesde A com respeito a S; seu elemento neutro aditivo é 0/1 e seu elemento identidade é 1/1.

Existe um homomorfismo de anéis f : A −→ S−1A dado por f(a) = a/1, para todo a ∈ A; f édenominado homomorfismo natural de anéis.

(vide [20, p.81-82]).

Observação 4.1.4. Sejam a ∈ A e s ∈ S. Então, a/s = 0/1 se e somente se existe t ∈ S tal quet(1a − s0) = 0, isto é, se e somente se existe t ∈ S tal que ta = 0. Assim, o anel S−1A é trivial(1/1 = 0/1) se e somente se existe t ∈ S tal que t1 = 0, isto é, se e somente se 0 ∈ S. Em geral,como não queremos construir anéis triviais, podemos impor a condição adicional 0 6∈ S.

Observação 4.1.5. Sejam A um domínio de integridade e S = A \ {0} (que é um conjuntomultiplicativo). Se construirmos o anel de frações S−1A como no Lema 4.1.2 e Proposição 4.1.3,iremos obter precisamente o corpo de frações de A. De fato, como S é o conjunto dos elementosque não são divisores de zero em A, para a, b ∈ A e s, t ∈ S, existe u ∈ S com u(ta − sb) = 0 see somente se (ta − sb) = 0. Então, a relação de equivalência usada na Proposição 4.1.3 (para estecaso especial) é a mesma usada na Proposição 4.1.1; além disso, as operações de anel no conjuntodas classes de equivalência são as mesmas nas duas situações.

Notemos que, neste caso, em que A é um domínio de integridade, o homomorfismo natural deanéis f : A −→ S−1A é injetivo e A é imerso como um subanel em seu corpo de frações.

Exemplo 4.1.6. Sejam A um anel, P um ideal primo de A, e S = A \ P : neste caso, S será umsubconjunto multiplicativo de A e o anel de frações S−1A será denotado por AP .

As propriedades abaixo são importantes para mostrar que, a menos de isomorfismo, o anel defrações de A é único:

Observação 4.1.7. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto multiplicativo, e f : A −→ S−1A ohomomorfismo natural de anéis. Notemos que f tem as seguintes propriedades:

(a) Para cada s ∈ S, o elemento f(s) = s/1 é uma unidade em S−1A, com inverso 1/s;

(b) Se a ∈ Ker f , então existe s ∈ S tal que sa = 0;

(c) Cada elemento a/s de S−1A (em que a ∈ A, s ∈ S) pode ser escrito como a/s = f(a)f(s)−1,uma vez que

a

s=a

1

1

s=a

1

(s1

)−1= f(a)f(s)−1.

Finalmente, a proposição abaixo nos dá a unicidade:

Proposição 4.1.8. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto multiplicativo. Suponhamos que B sejaum anel comutativo e que exista um homomorfismo de anéis g : A −→ B satisfazendo as mesmaspropriedades satisfeitas por f na Observação 4.1.7. Então, existe um único isomorfismo de anéish : S−1A −→ B tal que h ◦ f = g.

(vide [20, p.87]).


4.1.1 Módulos sobre Anéis Comutativos

Sejam A um anel, e M um A-módulo. Esta subseção dedica-se à construção de um módulo defrações para M .

Aqui, tanto o elemento neutro aditivo de um anel, como o elemento neutro aditivo de um módulosobre esse anel, serão denotados apenas por 0.

A próxima proposição será apenas enunciada. Na bibliografia utilizada, a demonstração é dei-xada como exercício, tendo em vista que os cálculos são análogos aos efetuados no caso do anel defrações de A.

Proposição 4.1.9. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto multiplicativo, e M um A-módulo. Para(m, s), (n, t) ∈M × S, definimos a relação ∼ como segue:

(m, s) ∼ (n, t)⇐⇒ ∃ u ∈ S com u(tm− sn) = 0.

A relação ∼ é uma relação de equivalência em M × S.Para (m, s) ∈M×S, a classe de equivalência de ∼ que contém (m, s) será denotada por m/s ou

ms , e o conjunto de todas as classes de equivalência de ∼ será denotado por S−1M . Assim, S−1M

tem estrutura de S−1A-módulo sob a adição e a lei de composição externa abaixo:

m

s+n

t:=

tm+ sn

st,

a

s

n

t:=

an

st,

para todo m,n ∈ M , s, t ∈ S e a ∈ A. Se s = t, então m/s+ n/s = (m+ n)/s. S−1M é chamadode módulo de frações de M com respeito a S; seu elemento neutro da adição é 0/1, e é igual a0/s, para todo s ∈ S.

Observação 4.1.10. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto multiplicativo, e M um A-módulo. Aaplicação g : M −→ S−1M definida por g(m) = m/1, para todo m ∈ M , é um homomorfismo deA-módulos quando S−1M é considerado como um A-módulo, usando o homomorfismo natural deanéis f : A −→ S−1A (isto é, pela restrição de escalares).

A seguir, enunciaremos alguns resultados que ilustram a relação entre os homomorfismos deA-módulos e os homomorfismos de S−1A-módulos.

Lema 4.1.11. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto multiplicativo, e L e M módulos sobre A.Se f : L −→ M é um homomorfismo de A-módulos, então f induz um homomorfismo de módulossobre S−1A:

S−1f : S−1L −→ S−1M

tal que S−1f(a/s) = f(a)/s para todo a ∈ L, s ∈ S.

(vide [20, p.170-171]

Observação 4.1.12. Sejam A um anel, L, M , N módulos sobre A, e S um subconjunto multipli-cativo de A. Sejam f, f ′ : L −→M e g : M −→ N homomorfismos de A-módulos. Então:

4.2 ANÉIS NÃO COMUTATIVOS 83

(a) S−1(f + f ′) = S−1f + S−1f ′;

(b) S−1z, em que z denota o homomorfismo nulo de L em M , é o homomorfismo nulo de S−1L

em S−1M ;

(c) S−1(g ◦ f) = S−1g ◦ S−1f ;

(d) S−1(IdM ) = IdS−1M ; e

(e) Se f é um isomorfismo de A-módulos, então S−1f é um isomorfismo de S−1A-módulos.

Com essa observação, mais precisamente com os itens (a), (c) e (d), temos que "S−1"pode servisto como um funtor covariante aditivo da categoria dos A-módulos e homomorfismos de A-módulosna categoria dos S−1A-módulos e homomorfismos de S−1A-módulos.

Lema 4.1.13. Sejam A um anel, L, M , N módulos sobre A e

Lf//M

g// N

uma sequência exata de módulos e homomorfismos sobre A. Seja S um subconjunto multiplicativode A. Então

S−1LS−1f

// S−1MS−1g

// S−1N

é exata também.

(vide [20, p.171-172]).

Proposição 4.1.14. Sejam A um anel e M um A-módulo. Então, os S−1A-módulos S−1M eS−1A⊗AM são isomorfos; mais precisamente, existe um único isomorfismo

f : S−1A⊗AM −→ S−1M

para o qual f((a/s)⊗m) = am/s; ∀a ∈ A,m ∈M, s ∈ S.Notemos que S−1A⊗AM é um S−1A-módulo devido à Definição A.1.6.

(vide [1, p.39-40]).

Observação 4.1.15. Para anéis comutativos e módulos sobre anéis comutativos o processo deconstrução de anéis e módulos de frações é sempre possível, pois todo anel comutativo possui pelomenos um ideal maximal, que é primo.

4.2 Anéis não Comutativos

Seja A um anel associativo, não necessariamente comutativo, com elemento identidade 1 6= 0.Nesta seção, como na anterior, vamos considerar um conjunto multiplicativo S ⊆ A, e construir oanel de frações de A. Mas aqui, diferente do caso comutativo, há duas possibilidades: a construção


do anel de frações à direita, ou do anel de frações à esquerda, dependendo das condições que sejamsatisfeitas por S.

Tendo em vista a aplicação prática que os anéis de frações têm neste trabalho, estamos parti-cularmente interessados no caso em que S é um conjunto de Ore formado apenas por elementosregulares de A (0 não é um elemento regular). Estudaremos a construção explícita para este caso,tanto para o anel de frações à esquerda (respectivamente à direita) de A, como para módulos defrações sobre ele.

Em seguida, enunciaremos os resultados para o caso geral, em que S é um conjunto multiplicativoque satisfaz apenas uma das condições de Ore (à direita ou à esquerda), e pode possuir elementosnão regulares de A. Veremos que, neste caso, a definição de anel de frações é ligeiramente diferente.

Os resultados aqui enunciados podem ser encontrados em [10].

Definição 4.2.1. Sejam A um anel e S ⊆ A um subconjunto multiplicativo formado apenas porelementos regulares de A. Um anel de frações à esquerda (ou anel quociente de Ore à esquerda)para A com respeito a S é um anel B, contendo A como subanel, tal que:

(a) cada elemento de S é inversível em B, e

(b) cada elemento de B pode ser expresso na forma s−1a, para alguns a ∈ A e s ∈ S.

Anéis de frações à direita são definidos de modo análogo, usando a forma as−1.

Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto de Ore formado apenas por elementos regulares de A.Explicitaremos a construção de um anel de frações à esquerda de A, com respeito a S. Em seguida,mostraremos que o novo anel será também um anel de frações à direita de A.

(1) Definimos em A× S uma relação ∼ como segue:

(a1, s1) ∼ (a2, s2)⇐⇒ existem c, d ∈ A tais que ca1 = da2 e cs1 = ds2 ∈ S,

para todo a1, a2 ∈ A e s1, s2 ∈ S. Então, ∼ é uma relação de equivalência.

Observação 4.2.2. Sejam (a, s), (b, t) ∈ A × S tais que (a, s) ∼ (b, t). Então, se existiremc′, d′ ∈ A tais que c′s = d′t ∈ S, teremos c′a = d′b.

Demonstração. Existem c, d ∈ A tais que ca = db e cs = dt ∈ S; existem c′, d′ ∈ A tais quec′s = d′t ∈ S; pelas propriedades de S, existem e ∈ A e e′ ∈ S tais que e(cs) = e′(c′s), de ondee(dt) = e′(d′t); como S possui apenas elementos regulares de A, então ec = e′c′ e ed = e′d′.Assim,

(e′c′)a = (ec)a = e(ca) = e(db) = (ed)b = (e′d′)b =⇒ c′a = d′b.

�

Demonstração. (∼ é uma relação de equivalência)


(a) ∼ é reflexiva, pois para todo t ∈ S, ta = ta e ts = ts ∈ S, para todo a ∈ A e s ∈ S, jáque S é um conjunto multiplicativo.

(b) Claramente, ∼ é simétrica.

(c) Sejam a, b, c ∈ A, e s, t, u ∈ S, com (a, s) ∼ (b, t) ∼ (c, u).

(a, s) ∼ (b, t) =⇒ ∃ u, u′ ∈ A tais que ua = u′b e us = u′t ∈ S.

(b, t) ∼ (c, u) =⇒ ∃ v, v′ ∈ A tais que vb = v′c e vt = v′u ∈ S.

Existem z ∈ S e z′ ∈ A tais que z(u′t) = z′(vt) =⇒ (zu′)t = (z′v)t =⇒ zu′ = z′v, pois té um elemento regular. Assim,

z(us) = z(u′t) = (zu′)t = (z′v)t = z′(vt) = z′(v′u) ∈ S,

pois z(us) ∈ S. Concluímos que ∃ d, e, f ∈ A tais que ds = et = fu ∈ S. Usando aObservação 4.2.2, da = eb = fc =⇒ (a, s) ∼ (c, u); ∼ é transitiva.

�

Para cada (a, s) ∈ A × S, denotaremos a classe de equivalência de ∼ que contém (a, s) pors−1a e denotaremos por B o conjunto de todas essas classes de equivalência.

(2) Definimos uma adição em B.Como S é um conjunto de Ore à esquerda, existem c, d ∈ A tais que cs = dt = s′ ∈ S, paratodo s, t ∈ S. Definimos:

s−1a+ t−1b := s′−1(ca+ db),

para todo a, b ∈ A, s, t ∈ S.

Notemos que, se s = t, então s−1a+ t−1b = s−1(a+ b).

A adição está bem definida, isto é, dados a, a′, b, b′ ∈ A; s, s′, t, t′ ∈ S, com s−1a = s′−1a′ et−1b = t′−1b′, então s−1a+ t−1b = s′−1a′ + t′−1b′.

Demonstração. Existem c, d ∈ A tais que cs = dt ∈ S e c′, d′ ∈ A tais que c′s′ = d′t′ ∈ S;eexistem também x, y ∈ A tais que x(cs) = y(c′s′) ∈ S, e x(dt) = y(d′t′) ∈ S.

x(cs) = y(c′s′) ∈ S =⇒ (xc)a = (yc′)a′ e

x(dt) = y(d′t′) ∈ S =⇒ (xd)b = (yd′)b′,

pela Observação 4.2.2. Assim, x(ca+ db) = y(c′a′ + d′b′), e segue o resultado.

�


Se existirem u, v ∈ A tais que us = vt ∈ S, como

(cs)−1ca = s−1a = (us)−1ua e (dt)−1db = t−1b = (vt)−1vb,

a escolha do par não afetará a adição, já que a mesma está bem definida.

(3) Definimos uma multiplicação em B.Como S satisfaz a condição de Ore à esquerda, existem c ∈ S e d ∈ A tais que ca = dt, paratodo a ∈ A e t ∈ S. Definimos:

(s−1a)(t−1b) := (cs)−1db,

para todo a, b ∈ A; s, t ∈ S.

A multiplicação está bem definida, isto é, dados a, a′, b, b′ ∈ A; s, s′, t, t′ ∈ S, coms−1a = s′−1a′ e t−1b = t′−1b′, então (s−1a)(t−1b) = (s′−1a′)(t′−1b′).

Demonstração. Existem u ∈ S e u′ ∈ A tais que ut = u′t′ ∈ S =⇒ ub = u′b′, pela Observação4.2.2; existem também v ∈ S e c ∈ A tais que va = c(ut) = (cu)t e v′ ∈ S, c′ ∈ A tais quev′a′ = c′(u′t′) = (c′u′)t′.

Com as igualdades que temos, aplicando a definição da multiplicação em B, segue que

(s−1a)(t−1b) = (vs)−1cub e (s′−1a′)(t′−1b′) = (v′s′)−1c′u′b′.

Precisamos então mostrar que (vs)−1cub = (v′s′)−1c′u′b′; existem x ∈ S e x′ ∈ A tais quex(vs) = x′(v′s′) ∈ S. Pela Observação 4.2.2, temos (xv)a = (x′v′)a′, já que s−1a = s′−1a′.

x(va) = x′(v′a′) =⇒ x(cut) = x′(c′u′t′) =⇒ xc = x′c′,

pois S possui apenas elementos regulares de A.

Então, (xc)(ub) = (x′c′)(u′b′) =⇒ x(cub) = x′(c′u′b′) =⇒ (cub, vs) ∼ (c′u′b′, v′s′), o que nosdá a igualdade desejada.

�

Se existirem c, c′ ∈ S e d, d′ ∈ A com ca = dt e c′a = d′t, então

(s−1a)(t−1b) = (cs)−1db = (c′s)−1d′b,

para todo a, b ∈ A; s, t ∈ S.

Demonstração. Existem x ∈ S e x′ ∈ A tais que xc = x′c′ ∈ S, de onde (xc)s = (x′c′)s ∈ S;(xc)a = (x′c′)a =⇒ x(dt) = x′(d′t), de onde xd = x′d′, pois t é um elemento regular. Assim,(xd)b = (x′d′)b e, portanto, (db, cs) ∼ (d′b, c′s), como queremos.


�

(4) O conjunto B munido das operações de adição e multiplicação definidas nos passos anterioresé um anel associativo (não necessariamente comutativo), com elemento identidade, e no qualos elementos da forma 1−1s são inversíveis, para todo s ∈ S.

(a) Notemos que a adição em B é comutativa, pois s−1a + s−1b = s−1b + s−1a, para todoa, b ∈ A, s ∈ S.

(b) Para todo a, b, c ∈ A; s ∈ S,

(s−1a+ s−1b) + s−1c = s−1(a+ b) + s−1c = s−1((a+ b) + c)

= s−1(a+ (b+ c)) = s−1a+ s−1(b+ c)

= s−1a+ (s−1b+ s−1c),

e pelo Lema A.1.3 temos a associatividade da adição.

(c) Para todo a ∈ A e s ∈ S, existem c, d ∈ A tais que cs = d1 = d ∈ S, devido àspropriedades de S.

s−1a+ 1−10 = d−1(ca+ d0) = d−1(ca+ 0) = d−1(ca) = (cs)−1ca = s−1a.

(d) Claramente, para todo a ∈ A, s ∈ S, s−1(−a) é o oposto aditivo de s−1a em B, em que(−a) é o oposto aditivo de a em A.

(e) Para todo s−1a, t−1b, u−1c ∈ B, ((s−1a)(t−1b))u−1c = s−1a((t−1b)(u−1c)). De fato, pelaspropriedades de S, existem d ∈ A, v ∈ S tais que du = vb; e ∈ A, w ∈ S tais quewa = e(vt) = (ev)t;

s−1a((t−1b)(u−1c)) = s−1a((vt)−1dc) = (ws)−1edc

wa = (ev)t =⇒ (s−1a)(t−1b) = (ws)−1evb =⇒ ((s−1a)(t−1b))u−1c = ((ws)−1evb)u−1c

du = vb =⇒ e(du) = (ed)u = e(vb) =⇒ ((ws)−1evb)u−1c = (ws)−1edc,

e temos a igualdade desejada.

(f) Para todo a ∈ A e s ∈ S, pelas propriedades de S, existem c ∈ A, d ∈ S tais que da = c1;assim, (s−1a)(1−11) = (ds)−1c1 = (ds)−1da = s−1a. Analogamente, existem c′ ∈ A,d′ ∈ S tais que d′ = d′1 = c′s, e temos (1−11)(s−1a) = (d′1)−1c′a = (c′s)−1c′a = s−1a.


Logo, 1−11 é o elemento identidade de B.

(g) Para todo s ∈ S, (1−1s)(s−11) = t−1t = 1−11; e (s−11)(1−1s) = (ts)−1ts = 1−11, paratodo t ∈ S.

Notemos que para todo a ∈ A e todo s, t ∈ S, (s−11)(1−1a) = (ts)−1ta = s−1a.

(h) Para mostrar as leis distributivas em B, usaremos que (s−11)(1−1a) = s−1a, para todoa ∈ A e s ∈ S.

Para mostrar a lei à esquerda, é suficiente mostrar que

1−1a(t−1b+ t−1c) = (1−1a)(t−1b) + (1−1a)(t−1c),

para todo a, b, c ∈ A e t ∈ S.

Demonstração. Existem u ∈ A e v ∈ S tais que va = ut e então

1−1a(t−1(b+ c)) = v−1(u(b+ c)) = v−1(ub+ uc) = v−1(ub) + v−1(uc)

= (1−1a)(t−1b) + (1−1a)(t−1c).

�

Para mostrar a lei à direita, mostraremos que

(t′−1(b′ + c′))1−1f = (t′−1b′)(1−1f) + (t′−1c′)(1−1f),

para todo b′, c′, f ∈ A e t′ ∈ S.

Demonstração. Existem u′ ∈ A e v′ ∈ S tais que u′1 = v′(b′ + c′) e

(t′−1(b′ + c′))1−1f = (v′t′)−1u′f = (v′t′)−1(v′(b′ + c′))f = (v′t′)−1v′((b′ + c′)f)

= t′−1((b′ + c′)f) = (t′−1b′)(1−1f) + (t′−1c′)(1−1f).

�

Proposição 4.2.3. A aplicação f : A −→ B, dada por f(a) = 1−1a define um isomorfismo de Aem um subanel de B; e quando A é identificado com esse subanel, B torna-se o anel de frações àesquerda de A com respeito a S.

Demonstração. (a) f é um homomorfismo de anéis. De fato, para todo a, b ∈ A,

f(a+ b) = 1−1(a+ b) = 1−1a+ 1−1b = f(a) + f(b) e

f(ab) = 1−1(ab) = (1−1a)(1−1b) = f(a)f(b);

(b) Seja a ∈ A tal que f(a) = 1−1a = 1−10; pela Observação 4.2.2, a = 1a = 0, de onde segue


que f é injetiva. A será então isomorfo a f(A) ⊆ B, que é um subanel de B.�

A partir de agora, denotaremos B por S−1A. Após a identificação de A com um subanel deS−1A, podemos afirmar que cada elemento de S é inversível em S−1A; e denotaremos esse inversopor s−1, para todo s ∈ S;

De forma análoga, podemos construir o anel de frações à direita de A, denotado por AS−1, apartir do mesmo conjunto S ⊆ A, que é também um conjunto de Ore à direita.

Proposição 4.2.4. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto de Ore, formado apenas por elementosregulares de A. Então, AS−1 = S−1A, isto é, um anel de frações à direita de A com respeito a S étambém um anel de frações à esquerda de A com respeito a S e vice-versa.

Demonstração. Como S−1A é um anel de frações à esquerda de A com respeito a S, temos queA ⊆ S−1A como subanel e todos os elementos de S são inversíveis em S−1A, e ainda que todoelemento de S−1A pode ser escrito da forma s−1a, para algum a ∈ A e s ∈ S. Como S é umconjunto de Ore à direita, existem b ∈ A e t ∈ S tais que

at = sb =⇒ s−1a = bt−1

=⇒ s−1a ∈ AS−1 =⇒ S−1A ⊆ AS−1.

De modo análogo, mostra-se que AS−1 ⊆ S−1A.�

Podemos então concluir que S−1A = AS−1 satisfaz as condições da Definição 4.2.1.Nossa abordagem para mostrar a existência de um anel de frações à esquerda (respectivamente

à direita) de A foi totalmente construtiva. Esta, porém, não é a única forma possível, conforme oteorema que enunciaremos a seguir.

Teorema 4.2.5 (Ore,Asano). Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto multiplicativo formadoapenas por elementos regulares. Então, existe um anel de frações à esquerda (respectivamente àdireita) de A com respeito a S se e somente se S é um conjunto de Ore à esquerda (respectivamenteà direita).

(vide [10, p.108-109]).Neste ponto, surge naturalmente o questionamento sobre a unicidade do anel de frações à es-

querda (respectivamente à direita) de A. A proposição e o corolário abaixo fornecem a unicidadeutilizando a abordagem não construtiva, e o resultado é válido quando S é um conjunto de Oreà esquerda formado apenas por elementos regulares. Como sempre, resultado análogo pode serenunciado para conjuntos de Ore à direita e anéis de frações à direita.

Proposição 4.2.6. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda de A, formadoapenas por elementos regulares. Seja S−1A o anel de frações à esquerda de A com respeito a S.Suponha que φ : A −→ T seja um homomorfismo de anéis tal que φ(s) é inversível em T , para todos ∈ S. Então, φ estende-se unicamente a um homomorfismo de anéis ψ : S−1A −→ T .

(vide [10, p.110]).


Corolário 4.2.7. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda formado apenas porelementos regulares. Sejam (S−1A)1 e (S−1A)2 anéis de frações à esquerda de A com respeito aS. Então, a aplicação identidade de A estende-se unicamente a um isomorfismo de (S−1A)1 em(S−1A)2 .

Demonstração. Suponha que (S−1A)1 e (S−1A)2 sejam anéis de frações à esquerda de A. Então,como A pode ser identificado com um subanel de (S−1A)2, podemos aplicar a Proposição 4.2.6com φ : A −→ (S−1A)2 sendo a aplicação inclusão de A em (S−1A)2. Assim, existe um únicohomomorfismo de anéis ψ1 : (S−1A)1 −→ (S−1A)2 tal que ψ1 �A= φ, ou seja, podemos dizer queψ1 restrito a A é a aplicação identidade de A. De modo análogo, existe um único homomorfismode anéis ψ2 : (S−1A)2 −→ (S−1A)1 tal que ψ2 restrito a A é a aplicação identidade de A. Logo,ψ2 ◦ ψ1 : (S−1A)1 −→ (S−1A)1 é um homomorfismo de anéis tal que (ψ2 ◦ ψ1) �A é a aplicaçãoidentidade de A. Mas a aplicação identidade de (S−1A)1 possui a mesma propriedade. Na verdade,aplicando novamente a Proposição 4.2.6 com T = (S−1A)1, temos que é a única aplicação de(S−1A)1 em (S−1A)1 com essa propriedade. De modo análogo, ψ1 ◦ ψ2 é a aplicação identidade de(S−1A)2. Assim, ψ1 e ψ2 são isomorfismos inversos um do outro, e temos o resultado desejado.

�

Para o caso geral, em que S não é necessariamente um conjunto formado apenas por elementosregulares, temos uma definição ligeiramente diferente para anéis de frações à esquerda (respectiva-mente à direita) de A:

Definição 4.2.8. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto multiplicativo. Um anel de frações àesquerda (ou anel quociente de Ore à esquerda, ou localização de Ore à esquerda) de A com respeitoa S é um homomorfismo de anéis φ : A −→ B tal que:

(a) φ(s) é uma unidade de B, para todo s ∈ S;

(b) Cada elemento de B tem a forma φ(s)−1φ(a), para alguns a ∈ A e s ∈ S;

(c) Ker φ = {a ∈ A | sa = 0, para algum s ∈ S}.

Notemos que aqui, como há a possibilidade de encontrarmos divisores de zero em S, Ker φ nãoprecisa ser trivial, e por isso não temos necessariamente a imersão de A em B como subanel.

De modo análogo, definimos localização de Ore à direita de A com respeito a S, quando S é umconjunto de Ore à direita, utilizando φ(a)φ(s)−1, para a ∈ A e s ∈ S.

Para que seja enunciado o teorema que trata do caso geral, necessitamos de algumas definiçõesadicionais:

Definição 4.2.9. Seja S um conjunto multiplicativo em um anel A. Então, S é anulável à es-querda se e somente se para a ∈ A e s ∈ S tais que as = 0, existe s′ ∈ S tal que s′a = 0. Umconjunto denominador à esquerda é um conjunto de Ore à esquerda, que é anulável à esquerda.

De modo análogo, definimos conjunto anulável à direita e conjunto denominador à direita. Umconjunto denominador é um conjunto que é simultaneamente denominador à direita e à esquerda.

Teorema 4.2.10 (Gabriel). Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto multiplicativo. Então, existeum anel de frações à esquerda (respectivamente à direita) para A com respeito a S se e somente seS é um conjunto denominador à esquerda (respectivamente à direita).


(vide [10, p.169-170]).A proposição e o Corolário abaixo fornecem a unicidade no caso de um anel de frações à esquerda.

Mas o análogo para um anel de frações à direita também é válido.

Proposição 4.2.11. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto denominador à esquerda. Considereφ : A −→ B um anel de frações à esquerda de A com respeito a S. Se ψ : A −→ T é umhomomorfismo de anéis tal que ψ(s) é inversível em T para todo s ∈ S, então existe um únicohomomorfismo de anéis η : B −→ T tal que ψ = η ◦ φ.

(vide [10, p.170]).Usando os argumentos clássicos para objetos com propriedades universais, mostra-se então a

unicidade:

Corolário 4.2.12. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto denominador à esquerda, e suponhaque φ1 : A −→ B1 e φ2 : A −→ B2 são anéis de frações à esquerda de A com respeito a S. Então,existe um único isomorfismo η : B1 −→ B2 tal que η ◦ φ1 = φ2.

4.2.1 Módulos sobre Anéis não Comutativos

Seja M um A-módulo à esquerda. Nesta subseção, construiremos um S−1A-módulo à esquerda,denominado módulo de frações de M com respeito a S. Simetricamente, podemos repetir a cons-trução para módulos à direita, a partir de conjuntos de Ore à direita.

Denotaremos tanto o elemento neutro da adição do anel, como o de um módulo sobre esse anelapenas por 0.

Definição 4.2.13. Sejam A um anel e S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda formado apenas porelementos regulares de A. Considere M um A-módulo à esquerda. Um módulo de frações paraM com respeito a S consiste de um S−1A-módulo M ′ à esquerda, junto com um homomorfismo deA-módulos ψ : M −→M ′ tal que:

(a) Cada elemento de M ′ tem a forma s−1ψ(m), para algum m ∈M e s ∈ S;

(b) Ker ψ = {m ∈M | sm = 0, para algum s ∈ S}.

Muitas vezes, por um abuso de notação, nos referimos a M ′ como módulo de frações de M , aoinvés de citarmos o par M ′, ψ.

De modo análogo, quando S for um conjunto de Ore à direita, definimos módulo de frações paraum A-módulo N à direita.

No caso geral, em que S pode eventualmente possuir divisores de zero em A, exigimos que S sejaum conjunto denominador à esquerda (respectivamente à direita), ao invés de apenas um conjuntode Ore à esquerda (respectivamente à direita) na Definição 4.2.13.

A seguir, construiremos o módulo de frações para M , em que M é um módulo à esquerda de A.

(1) Definimos uma relação ∼ em M × S, como segue:

(m1, s1) ∼ (m2, s2)⇐⇒ ∃ c, d ∈ A tais que cm1 = dm2 e cs1 = ds2 ∈ S,

para todo m1,m2 ∈M e s1, s2 ∈ S. Então, ∼ é uma relação de equivalência.


Demonstração. (a) Notemos que∼ é reflexiva, pois para todo t ∈ S, tm = tm e ts = ts ∈ S,para todo m ∈M , s ∈ S, já que S é um conjunto multiplicativo.

(b) Claramente, ∼ é simétrica.

(c) Sejam m1,m2,m3 ∈M , s1, s2, s3 ∈ S com (m1, s1) ∼ (m2, s2) ∼ (m3, s3)

(m1, s1) ∼ (m2, s2) =⇒ ∃ u, u′ ∈ A tais que um1 = u′m2 e us1 = u′s2 ∈ S

(m2, s2) ∼ (m3, s3) =⇒ ∃ v, v′ ∈ A tais que vm2 = v′m3 e vs2 = v′s3 ∈ S

∃ z ∈ S e z′ ∈ A tais que z(u′s2) = z′(vs2) =⇒ (zu′)s2 = (z′v)s2 =⇒ zu′ = z′v,

pois S possui apenas elementos regulares de A. Assim,

z(us1) = z(u′s2) = (zu′)s2 = (z′v)s2 = z′(vs2) = z′(v′s3) ∈ S,

pois z(us1) ∈ S, já que S é um conjunto multiplicativo.

De modo análogo,

z(um1) = z(u′m2) = (zu′)m2 = (z′v)m2 = z′(vm2) = z′(v′m3) =⇒ (zu)m1 = (z′v′)m3,

e ∼ é transitiva.

�

Para cada (m, s) ∈M × S, denotaremos a classe de equivalência de ∼ que contém (m, s) pors−1m e o conjunto de todas essas classes por S−1M .

(2) Definimos uma adição em S−1M .

Sejam m1,m2 ∈M e s1, s2 ∈ S. Como S é um conjunto de Ore à esquerda, existem c, d ∈ Atais que cs1 = ds2 = t ∈ S. Definimos:

s−11 m1 + s−1

2 m2 := t−1(cm1 + dm2)

No caso particular em que s1 = s2, s−11 m1 + s−1

1 m2 = s−11 (m1 +m2).

É necessário mostrar que a adição está bem definida, isto é, dados m1,m2,m3,m4 ∈ M e


s1, s2, s3, s4 ∈ S, com s−11 m1 = s−1

3 m3 e s−12 m2 = s−1

4 m4, então

s−11 m1 + s−1

2 m2 = s−13 m3 + s−1

4 m4

Mostraremos que a adição não depende da escolha do representante da classe de s−11 m1.

De modo análogo, é possível mostrar que também não depende da escolha do representanteda classe de s−1

2 m2.

Demonstração. Em primeiro lugar, pela definição de adição,

s−11 m1 + s−1

2 m2 = (r1s1)−1(r1m1 + r2m2),

para r1, r2 ∈ A, tais que r1s1 = r2s2 ∈ S.

Por outro lado, como s−11 m1 = s−1

3 m3, existem r, s ∈ A tais que rs1 = ss3 ∈ S e rm1 = sm3.Assim, s−1

1 m1 = (rs1)−1rm1 = (ss3)−1sm3 = s−13 m3.

Como S é um conjunto de Ore à esquerda, existem r3 ∈ S e r4 ∈ A tais que r3rs1 = r4r1s1 ∈ S.Então, r3rs1 = r4r1s1 = r4r2s2 ∈ S. Como S é formado apenas por elementos regulares, temosainda r3r = r4r1. Portanto,

(rs1)−1rm1 + s−12 m2 = (r3rs1)−1(r3rm1 + r4r2m2)

= (r4r1s1)−1(r4r1m1 + r4r2m2) = (r1s1)−1(r1m1 + r2m2),

o que fornece a igualdade desejada.

�

Se existirem u, v ∈ A tais que us1 = vs2 ∈ S, veremos que a adição não depende da escolhado par:

Demonstração. Existem r3 ∈ A, r4 ∈ S tais que r3r1s1 = r4us1 ∈ S, pois S é um conjuntode Ore à esquerda. Então, r3r1s1 = r4us1 = r4vs2 ∈ S. Como S possui apenas elementosregulares, temos ainda que r3r1 = r4u. Assim,

(r1s1)−1(r1m1 + r2m2) = (r3r1s1)−1(r3r1m1 + r3r2m2) = (r4us1)−1(r4um1 + r3r2m2)

Por outro lado, r3r2s2 = r3r1s1 = r4us1 = r4vs2, o que nos dá r3r2 = r4v, pois S possuiapenas elementos regulares. Assim,


(r4us1)−1(r4um1 + r3r2m2) = (r4us1)−1(r4um1 + r4vm2) = (us1)−1(um1 + vm2),

como queríamos.

�

(3) S−1M é um grupo abeliano com relação à adição.

(a) A adição é comutativa;

(b) A adição é associativa;

(c) s−10 é o elemento neutro aditivo em S−1M , com 0 ∈M e 1 ∈ S; e

(d) Para todo m ∈ M , s ∈ S, s−1(−m) é o oposto aditivo de s−1m, onde (−m) é o opostoaditivo de m em M .

A demonstração dos itens acima é análoga a que fizemos para demonstrar que S−1A é umgrupo abeliano em relação à adição.

(4) Definimos uma lei de composição externa em S−1A × S−1M : para todo m ∈ M , a ∈ A,s, t ∈ S, existem c ∈ A, d ∈ S tais que da = ct e

s−1a · t−1m := (ds)−1cm

A lei de composição está bem definida:

Demonstração. Sejam m1,m2 ∈ M , s1, s2, t1, t2 ∈ S, a1, a2 ∈ A, com s1−1a1 = s2

−1a2 et1−1m1 = t2

−1m2; existem u1, u2 ∈ A tais que u1m1 = u2m2 e u1t1 = u2t2 ∈ S, e v1, v2 ∈ S,c1, c2 ∈ A tais que v1a1 = c1(u1t1) e v2a2 = c2(u2t2).

s1−1a1 · t1−1m1 = (v1s1)−1(c1u1m1)

s2−1a2 · t2−1m2 = (v2s2)−1(c2u2m2)

Existem x1, x2 ∈ A tais que x1(v1s1) = x2(v2s2) ∈ S. Pela Observação 4.2.2, temos

(x1v1)a1 = (x2v2)a2 =⇒ x1c1u1t1 = x2c2u2t2 =⇒ x1c1 = x2c2 =⇒ x1c1u1m1 = x2c2u2m2,

de onde s1−1a1 · t1−1m1 = s2

−1a2 · t2−1m2.

�

Se existirem c′ ∈ A, d′ ∈ S tais que d′a = c′t, então (ds)−1cm = (d′s)−1c′m.


Demonstração. Existem x1, x2 ∈ A tais que x1d = x2d′ ∈ S, de onde x1(ds) = x2(d′s) ∈ S.

Assim,

(x1d)a = (x2d′)a =⇒ x1(da) = x2(d′a) =⇒ x1(ct) = x2(c′t) =⇒ x1c = x2c

′

=⇒ (x1c)m = (x2c′)m =⇒ x1(cm) = x2(c′m)

=⇒ (ds)−1cm = (d′s)−1c′m.

�

(5) S−1M é um S−1A-módulo à esquerda, com respeito à lei de composição externa que acabamosde definir.

(a) Para todo t ∈ S, m ∈M , 1−11 · t−1m = (t1)−11m = t−1m.

(b) Para todo a1, a2 ∈ A, m ∈M , s1, s2, t ∈ S,

((s−11 a1)(s−1

2 a2)) · t−1m = s−11 a1 · (s−1

2 a2 · t−1m)

Demonstração. Existem c ∈ A, d ∈ S tais que

da2 = ct =⇒ s2−1a2 · t−1m = (ds2)−1cm;

existem c′ ∈ A, d′ ∈ S tais que

d′a1 = c′(ds2) =⇒ s1−1a1 · (ds2)−1cm = (d′s1)−1c′cm.

Claramente, (s1−1a1)(s2

−1a2) = (d′s1)−1(c′da2). Notemos que c′(da2) = c′(ct), o quenos dá (d′s1)−1(c′da2) · t−1m = (d′s1)−1(c′cm), e temos a igualdade desejada.

�

(c) Leis distributivasJá vimos que (s−11)(1−1a) = s−1a, para todo a ∈ A e s ∈ S. Assim, para mostrar a leidistributiva à esquerda, é suficiente mostrar que

1−1a · (t−1m1 + t−1m2) = 1−1a · t−1m1 + 1−1a · t−1m2,

para todo m1,m2 ∈M , a ∈ A, t ∈ S.

Demonstração. Existem v1 ∈ S, v2 ∈ A tais que v1a = v2t. Assim,

1−1a · t−1(m1 +m2) = v1−1(v2(m1 +m2)) = v1

−1(v2m1) + v1−1(v2m2)

= 1−1a · t−1m1 + 1−1a · t−1m2.

�


Para a lei distributiva à direita, notemos que t−11 · 1−1m = t−1m, para todo m ∈ M ,t ∈ S. Assim, utilizando a validade das leis distributivas em S−1A, basta mostrar que

(s−1a1 + s−1a2) · 1−1m = s−1a1 · 1−1m+ s−1a2 · 1−1m,

para todo m ∈M , a1, a2 ∈ A e s ∈ S.

Demonstração. Existem c ∈ A, d ∈ S tais que d(a1 + a2) = c1. Assim,

s−1(a1 + a2) · 1−1m = (ds)−1cm = (ds)−1(d(a1 + a2))m

= (ds)−1d(a1m+ a2m) = s−1(a1m) + s−1(a2m)

= s−1a1 · 1−1m+ s−1a2 · 1−1m.

�

Observação 4.2.14. Sejam A um anel, M um A-módulo à esquerda, e S ⊆ A um conjunto deOre à esquerda, formado apenas por elementos regulares de A. A aplicação g : M −→ S−1M

definida por g(m) = 1−1m, para todo m ∈ M , é um homomorfismo de A-módulos quando S−1M

é considerado como um A-módulo, usando o homomorfismo injetor de anéis f : A −→ S−1A (istoé, pela restrição de escalares). Notemos que Ker g = {m ∈M | sm = 0, para algum s ∈ S}.

Podemos então concluir que S−1M satisfaz as condições da Definição 4.2.13.Para o caso geral, em que S pode eventualmente possuir divisores de zero em A, temos o seguinte

teorema:

Teorema 4.2.15. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto denominador à esquerda (respectivamenteà direita), e M um A-módulo à esquerda (respectivamente à direita). Então, existe um módulo defrações de M com respeito a S.

(vide [10, p.173]).Ainda de acordo com ([10, p.174]), o módulo de frações de M é único, a menos de isomorfismo.A partir daqui, estudaremos a caracterização dos módulos de frações, que são também chamamos

de localização de módulos, como um funtor da categoria dos A-módulos na categoria dos S−1A-módulos. Faremos as construções apenas para o caso em que S é um conjunto formado por elementosregulares de A, e assumiremos que S é um conjunto de Ore à esquerda. Como usual, todas asconstruções e definições também podem ser efetuadas quando S for um conjunto de Ore à direita.

Proposição 4.2.16. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda, formado apenaspor elementos regulares de A, e S−1A o anel de frações à esquerda de A com respeito a S. Paraquaisquer A-módulos M,N à esquerda e um homomorfismo de A-módulos à esquerda f : M −→ N ,definimos:

S−1f : S−1M −→ S−1N

S−1f(s−1m) 7−→ s−1(f(m)),

para todo m ∈M e todo s ∈ S. S−1f é um homomorfismo de S−1A-módulos.


Demonstração. (1) Para todo m,n ∈M e todo s, t ∈ S, com s−1m = t−1n, existem c, d ∈ A taisque cs = dt ∈ S e cm = dn. Assim,

f(cm) = f(dn) =⇒ cf(m) = df(n) =⇒ s−1(f(m)) = t−1(f(n)).

Portanto, S−1f está bem definida.

(2) Para todo m1,m2 ∈M e todo s1, s2 ∈ S, existem c, d ∈ A tais que cs1 = ds2 = s ∈ S. Assim,

S−1f(s1−1m1 + s2

−1m2) = S−1f(s−1(cm1 + dm2)) = s−1f(cm1 + dm2) = s−1(f(cm1) + f(dm2))

= s−1f(cm1) + s−1f(dm2) = S−1f(s−1(cm1)) + S−1f(s−1(dm2))

= S−1f(s1−1m1) + S−1f(s2

−1m2),

pois S−1f está bem definida.

Para todo a ∈ A, m ∈M e s, t ∈ S, existem b ∈ A e v ∈ S tais que va = bt. Assim,

S−1f(s−1a · t−1m) = S−1f((vs)−1bm) = (vs)−1f(bm) = (vs)−1(bf(m))

= s−1a · S−1f(t−1m).

Portanto, S−1f é um homomorfismo de S−1A-módulos.�

Proposição 4.2.17. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda, formado apenas porelementos regulares de A, e M um A-módulo à esquerda. Então, a localização de M com respeito aS é um funtor (covariante) da categoria dos A-módulos à esquerda, na categoria dos S−1A-módulosà esquerda. Denotaremos este funtor por S−1.

Demonstração. (1) Pelo processo de construção do módulo de frações, observamos que S−1 "leva"umobjeto da categoria dos A-módulos à esquerda em um objeto da categoria dos S−1A-módulosà esquerda.

(2) Pela Proposição 4.2.16, S−1 "leva"um homomorfismo f de A-módulos à esquerda em umhomomorfismo S−1f de S−1A- módulos à esquerda.

(3) Para quaisquer A-módulos à esquerda L,M,N e homomorfismos de A-módulos f : L −→M

e g : M −→ N , S−1(g ◦ f) = S−1g ◦S−1f , o que não é difícil de notar, pela própria definição.

(4) Sejam M,N A-módulos à esquerda; 1M : M −→ M o homomorfismo identidade de M ;f : M −→ N , g : N −→ M homomorfismos de A-módulos. Então, S−1(1M ) = 1S−1M , emque 1S−1M : S−1M −→ S−1M é o homomorfismo identidade de S−1M . Notemos que, nacategoria dos S−1A-módulos, para cada um dos objetos, o homomorfismo identidade é único.Assim, basta observar que S−1f ◦ S−1(1M ) = S−1(f ◦ 1M ) = S−1f e S−1(1M ) ◦ S−1g =

S−1(1M ◦ g) = S−1g, pelo item anterior, e temos a igualdade desejada.�


Observação 4.2.18. S−1 é um funtor aditivo, isto é, para todo f, f ′ : M −→ N , com M,N

A-módulos à esquerda, e f, f ′ homomorfismos de A-módulos, S−1(f + f ′) = S−1f + S−1f ′.

Demonstração.

S−1(f + f ′)(s−1m) = s−1((f + f ′)(m))

= s−1(f(m) + f ′(m)) = s−1f(m) + s−1f ′(m) = S−1f(s−1m) + S−1f ′(s−1m),

para todo m ∈M e todo s ∈ S.�

Proposição 4.2.19. S−1 é um funtor exato, isto é, dada a sequência exata de A-módulos à esquerdae homomorfismos de A-módulos

0 // Lf//M

g// N // 0 ,

a sequência

0 // S−1LS−1f

// S−1MS−1g

// S−1N // 0

também é exata.

Demonstração. Como a sequência de A-módulos e homomorfismos de A-módulos é exata,

Ker g = Im f =⇒ g ◦ f = 0 =⇒ S−1(g ◦ f) = 0 = S−1g ◦ S−1f =⇒ Im S−1f ⊆ Ker S−1g,

em que 0 denota o homomorfismo nulo. Seja agora s−1m ∈ Ker S−1g, em que s ∈ S e m ∈ M .Então,

S−1g(s−1m) = s−1g(m) = 1−10 =⇒ existem c, d ∈ A tais que cs = d1 ∈ S e cg(m) = d0 = 0,

ou seja, existe c ∈ A tal que g(cm) = 0, e cm ∈ Ker g. Como a sequência original é exata, existel ∈ L tal que f(l) = cm. Assim,

s−1m = (cs)−1cm = (cs)−1f(l) = S−1f((cs)−1l) ∈ Im S−1f.

S−1f é injetora. De fato, sejam l1, l2 ∈ L, s1, s2 ∈ S tais que S−1f(s1−1l1) = S−1f(s2

−1l2);existem c, d ∈ A tais que cs1 = ds2 ∈ S e cf(l1) = df(l2); como f é injetora,

f(cl1) = f(dl2) =⇒ cl1 = dl2 =⇒ (cs1)−1(cl1) = (ds2)−1(dl2) =⇒ s1−1l1 = s2

−1l2.

S−1g é sobrejetora, pois para todo n ∈ N , existem ∈M tal que n = g(m), já que g é sobrejetora.Assim, para todo s ∈ S, s−1n = s−1g(m) = S−1g(s−1m).

�


Finalizando esta subseção, estudaremos os módulos de frações sob o ponto de vista de produtotensorial.

Lema 4.2.20. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda, formado apenas porelementos regulares, M um A-módulo à esquerda e S−1A e S−1M como construídos anteriormente.Definimos:

f : S−1A×M −→ S−1M

(s−1a,m) 7−→ (s−1a) · (1−1m),

para todo s ∈ S, a ∈ A e m ∈M . Então, f é uma função A-biaditiva.

Demonstração. (1) f está bem definida:Sejam a1, a2 ∈ A, s1, s2 ∈ S tais que s1

−1a1 = s2−1a2. Então, existem c, d ∈ A tais que

cs1 = ds2 ∈ S e ca1 = da2. Temos

f(s1−1a1,m) = (s1

−1a1) · (1−1m) = s1−1(a1m) e

f(s2−1a2,m) = (s2

−1a2) · (1−1m) = s2−1(a2m)

Como (ca1)m = (da2)m, temos o resultado desejado.

(2) f é de fato A-biaditiva:Para m1,m2 ∈M , a ∈ A, s ∈ S,

f(s−1a,m1 +m2) = s−1a · (1−1(m1 +m2)) = s−1(a(m1 +m2)) = s−1(am1) + s−1(am2)

= f(s−1a,m1) + f(s−1a,m2).

Para a1, a2 ∈ A, s1, s2 ∈ S, m ∈M ,

f(s1−1a1 + s2

−1a2,m) = s−1(ca1 + da2) · 1−1m = s−1((ca1 + da2)m) = s−1((ca1)m+ (da2)m)

= s−1((ca1)m) + s−1((da2)m) = f(s1−1a1,m) + f(s2

−1a2,m)

com c, d ∈ A, tais que cs1 = ds2 = s ∈ S.

Para m ∈ M , a, b ∈ A, s ∈ S, podemos identificar a ∈ A com sua imagem isomórfica1−1a ∈ S−1A, e temos:

f((s−1b)a,m) = f((s−1b)(1−1a),m) = f(s−1(ba),m) = s−1(ba) · 1−1m = s−1((ba)m)

= s−1(b(am)) = f(s−1b, am).

�

Proposição 4.2.21. Sejam A um anel, S ⊆ A um conjunto de Ore à esquerda, formado apenaspor elementos regulares de A, e S−1A, S−1M como construídos anteriormente. Então,


S−1M ∼= S−1A⊗AM(como S−1A−módulos).

Demonstração. Pelo Lema 4.2.20, f é uma função A-biaditiva. Logo, pela propriedade universal doproduto tensorial, existe um único homomorfismo de grupos abelianos g : S−1A⊗AM −→ S−1M ,tal que g ◦ ⊗ = f , isto é, g((s−1a)⊗m) = f(s−1a,m) = s−1a · 1−1m = s−1(am), para todo a ∈ A,m ∈M , s ∈ S.

(a) g é homomorfismo de S−1A-módulos à esquerda:De fato, para todo mi ∈M , s, si ∈ S, a, ai ∈ A, i = 1, ..., k, k ∈ N temos:

g

(s−1a

(k∑i=1

((si−1ai)⊗mi)

))= g

(k∑i=1

((s−1a)(si−1ai)⊗mi)

)= g

(k∑i=1

((s′is)−1(a′iai)⊗mi)

)

=k∑i=1

(g((s′is)−1(a′iai)⊗mi)) =

k∑i=1

(s′is)−1((a′iai)mi)

=k∑i=1

(s′is)−1((a′i(aimi)) = s−1a

(g

(k∑i=1

((si−1ai)⊗mi)

)),

com a′i ∈ A e s′i ∈ S tais que s′ia = a′isi.

(b) g é sobrejetora, pois todo elemento em S−1M é da forma s−1m, para algum m ∈M e s ∈ S,por construção; assim, s−1m = f((s−11),m) = g(s−11⊗m).

(c) g é injetoraDe fato, um elemento de S−1A⊗AM é da forma

k∑i=1

(si−1ai ⊗mi),

com mi ∈ M , si ∈ S, ai ∈ A, i = 1, ..., k, k ∈ N. Pelo Lema A.1.4, existem x1, ..., xk ∈ A ey ∈ S tais que s−1

i ai = y−1xi, para todo i = 1, ..., k, ou seja,

k∑i=1

(si−1ai ⊗mi) =

k∑i=1

(y−1xi ⊗mi) =

k∑i=1

(y−1 ⊗ (ximi)) = y−1 ⊗

(k∑i=1

(ximi)

).

Assim, todo elemento em S−1A⊗AM é da forma y−1 ⊗m, para alguns m ∈M , y ∈ S e

g

(k∑i=1

(si−1ai ⊗mi)

)= g(y−1 ⊗m).

Se g(y−1 ⊗ m) = 1−10, então 1−10 = y−1m =⇒ existe c ∈ S tal que cm = 0. Assim,y−1 ⊗m = y−1(c−1c)⊗m = y−1c−1 ⊗ (cm) = (cy)−1 ⊗ (cm) = 0

�


Observação 4.2.22. Se A for uma álgebra sobre um corpo K, então S−1A é uma álgebra sobre omesmo corpo K, basta definir a multiplicação por escalar da seguinte forma:

K× S−1A −→ S−1A

(α, s−1a) 7−→ s−1(αa),

para todo α ∈ K, a ∈ A, s ∈ S.

(a) 1(s−1a) = s−1(1a) = s−1a, para todo a ∈ A, s ∈ S, com 1 ∈ K o elemento identidade de K;

(b) para todo a1, a2 ∈ A, s ∈ S e α ∈ K,

α(s−1a1 + s−1a2) = α(s−1(a1 + a2)) = s−1(α(a1 + a2)) = s−1(αa1 + αa2)

= s−1(αa1) + s−1(αa2) = α(s−1a1) + α(s−1a2).

(c) para todo α, β ∈ K, a ∈ A, s ∈ S,

(α+ β)s−1a = s−1((α+ β)a) = s−1((αa) + (βa)) = s−1(αa) + s−1(βa) = α(s−1a) + β(s−1a)

(d) para todo α, β ∈ K, a ∈ A, s ∈ S,

α(β(s−1a)) = α(s−1(βa)) = s−1(α(βa)) = s−1((αβ)a) = (αβ)(s−1a)

(e) para todo α ∈ K, a1, a2 ∈ A, s1, s2 ∈ S, existem c ∈ A e d ∈ S tais queda1 = cs2 =⇒ α(da1) = α(cs2) =⇒ d(αa1) = (αc)s2, o que nos dá

α((s1−1a1)(s2

−1a2)) = α((ds1)−1(ca2)) = (ds1)−1(α(ca2))

(α(s1−1a1))s2

−1a2 = (s1−1(αa1))s2

−1a2 = (ds1)−1((αc)a2) = (ds1)−1(α(ca2))

s1−1a1(α(s2

−1a2)) = s1−1a1(s2

−1(αa2)) = (ds1)−1(c(αa2)) = (ds1)−1(α(ca2)).

Observação 4.2.23. Se M é um A-módulo à esquerda sobre a álgebra A, então S−1M é ummódulo à esquerda sobre a álgebra S−1A. Basta definir a multiplicação por um escalar de K:

K× S−1M −→ S−1M

(α, s−1m) 7−→ s−1(αm),

para todo m ∈ M , s ∈ S, α ∈ K, e procedendo de modo análogo ao feito na Observação 4.2.22,mostra-se que S−1M é um espaço vetorial sobre K e que

α(s1−1a · s2

−1m) = (α(s1−1a)) · s2

−1m = s1−1a · (α(s2

−1m)),

para todo m ∈M , s1, s2 ∈ S, α ∈ K e a ∈ A.


4.3 Um Caso Particular

Esta seção dedica-se à aplicação da teoria de localização de anéis não necessariamente comuta-tivos (ou álgebras não necessariamente comutativas) ao caso particular estudado neste trabalho.

Em primeiro lugar, seja g = sl(2,C) e denotemos por U a álgebra envolvente universal U(g).Notemos que o processo estudado na seção anterior pode ser aplicado a U, pois trata-se de umaálgebra associativa, com unidade, e que não possui divisores de zero (Apêndice A). Precisamosentão definir o conjunto S ⊆ U em relação ao qual será feita a localização.

Ainda pelo Apêndice A, recordemos que há uma "cópia"de g em U, de onde, em particular,ei, fi são elementos de U, para todo i ∈ Z. Assim, para g = ei ou g = fi, definimos nosso conjuntomultiplicativo:

Sg := {gn | n ∈ Z≥0} ⊆ U, (4.1)

formado apenas por elementos regulares, já que U não possui divisores de zero e 0 6∈ Sg. Notemosainda que 1 ∈ Sg.

Para verificar que Sg é um conjunto de Ore, necessitamos do seguinte:

Definição 4.3.1. ([17]) Seja A uma álgebra associativa e seja S um subconjunto multiplicativo(por convenção: 0 6∈ S). Um elemento s ∈ S satisfaz as condições de localizabilidade de Ore se paraqualquer a ∈ A, existem s′, s′′ ∈ S, a′, a′′ ∈ A tais que sa′ = as′ e a′′s = s′′a. O conjunto S satisfaza condição de localizabilidade de Ore se todo s ∈ S satisfaz as condições acima.

Lema 4.3.2. ([17]) Seja A uma álgebra associativa e seja S um subconjunto multiplicativo geradopor elementos localmente ad-nilpotentes, isto é, para todo s ∈ S tal que s esteja no conjunto degeradores, adNa(s)(a) = 0, para todo a ∈ A, e algum Na ∈ N. Então S satisfaz a condição delocalizabilidade de Ore.

Conforme Capítulo 1, tanto ei como fi são elementos ad-localmente nilpotentes em g, para todoi ∈ Z. Assim, como a representação adjunta de g estende-se unicamente a uma representação deg em U, conforme o Apêndice A, são também ad-localmente nilpotentes em U, e podemos usar oLema 4.3.2 para concluir que Sg é um conjunto de Ore.

Portanto, existe a localização de U com relação a Sg, e será denotada por DgU. Temos aindaque há a imersão de U em DgU, como uma subálgebra.

Para cada g-módulo M , denotaremos a localização de M com relação a Sg por DgM e temosDgM ∼= DgU⊗U M .

Para z ∈ C e u ∈ DgU, definimos:

Θz(u) :=∑j≥0

(z

j

)(ad g)j(u)g−j , (4.2)

em que(zj

)= z(z−1)...(z−j+1)

j! , que é uma soma finita, uma vez que ad(g) é localmente nilpotente emU, e um elemento em DgU escreve-se da forma u = u′g−n, para algum u′ ∈ U e n ∈ Z≥0.

Em geral, para álgebras associativas, vale a seguinte fórmula de comutação à esquerda:

4.3 UM CASO PARTICULAR 103

xny =

n∑i=0

(n

i

)(ad(x)iy)xn−i, (4.3)

para todo x, y ∈ A e n ∈ N.No nosso caso, o anel localização de A é uma álgebra associativa que contém uma cópia de A.

Assim, em particular, a igualdade (4.3) é válida.Podemos então obter a seguinte relação:

snys−n =n∑i=1

(n

i

)ad(s)iys−i, (4.4)

para todo s e y no anel localização de A, e n ∈ N, concluindo que quando z ∈ N,

Θz(u) = gzug−z.


Capítulo 5

Localização da Primeira Realização deCampos Livres

Este capítulo dedica-se ao estudo de um dos resultados desenvolvidos em [7]. Em primeiro lugar,partindo da primeira realização de campos livres de sl(2,C), e fixando um número inteiro, novosmódulos são obtidos. Em seguida, estudamos a demonstração do teorema que fornece critérios deirredutibilidade para os mesmos.

Ao longo do texto a notação será a que já foi fixada nos capítulos anteriores. Porém, com oobjetivo de simplificar a leitura, exibiremos novamente alguns conceitos e resultados importantes,além de introduzir alguma linguagem específica para o que será aqui estudado.

5.1 Notação e Convenções

Seja g = sl(2,C), e (. | .) sua forma de Killing. Consideremos a álgebra de Lie afim

g = sl(2,C) = (sl(2,C)⊗ C[t, t−1])⊕ Cc⊕ Cd,

em que c é o elemento central, e d uma derivação. As relações de comutação em g são

[a⊗ tm, b⊗ tn] = [a, b]⊗ tm+n + δm,−nm(a | b)c, [d, a⊗ tm] = ma⊗ tm, [c, g] = {0},

em que a, b ∈ g, m,n ∈ Z.Fixamos uma raiz positiva β e uma base padrão e, f, h de sl(2,C). Então,

en = e⊗ tn, hn = h⊗ tn, fn = f ⊗ tn, n ∈ Z,

junto com c e d, formam uma base de g. Além disso, h = Ch0 ⊕ Cc ⊕ Cd é uma subálgebra deCartan de g. Como usual, ∆ denota o sistema de raízes de g correspondente a h. Seja δ ∈ h∗

definido por δ �Ch0⊕Cc=0 e δ(d) = 1. Então, ∆ = ∆re ∪∆im, em que ∆im = {nδ | n ∈ Z, n 6= 0} e∆re = {±β + nδ | n ∈ Z}.

105

106 LOCALIZAÇÃO DA PRIMEIRA REALIZAÇÃO DE CAMPOS LIVRES 5.2

Utilizaremos x para denotar o conjunto {xn | n ∈ Z} e y para {ym | m ∈ N}. De forma maisgeral, para um subconjunto I de Z, xI := {xn | n ∈ I}. Similarmente, para S ⊂ N, definimos yS .Além disso, para I ⊂ Z e S ⊂ N, definimos xI := {xn | n ∈ Z, n 6∈ I} e yS := {ym | m ∈ N,m 6∈ S}.Escrevemos xi para x{i} e yj para y{j}.

Sejam

C[x,y]= C[xn, ym | n ∈ Z,m ∈ N]

(polinômios em x e y) e

C[x±1,y±1] = C[x±1n , y±1

m | n ∈ Z,m ∈ N]

(polinômios de Laurent em x e y).Mais geralmente, escrevemos C[xI ,x

±1I′ ,yS ,y

±1S′ ] para o anel de polinômios em xI ,yS e po-

linômios de Laurent em xI′ ,yS′ . Por conveniência, utilizaremos também as expressões x±1I e y±1

S

quando necessário. Por exemplo, C[xi, x±1i ,y±1] = C[xi,x

±1Z\{i},y

±1].Denotaremos por A(x,y) a álgebra dos operadores diferenciais polinomiais sobre C[x,y]. Como

usual, A(x,y) é denominada álgebra de Weyl de x e y. Escrevemos ∂xi e ∂yj para ∂∂xi

e ∂∂yj

,respectivamente.

5.2 Preliminares

Um g-módulo V é chamado de módulo de peso se V =⊕λ∈h∗

Vλ, em que

Vλ = {v ∈ V | hv = λ(h)v,∀h ∈ h}.

O conjunto de todos os λ ∈ h∗ para os quais Vλ 6= {0} é chamado de suporte de V .

5.2.1 Módulos de Verma Imaginários

Fixamos uma decomposição triangular g = g− ⊕ h⊕ g+ de g, em que

g± =

(⊕n∈Z

g∓β+nδ

)⊕

(⊕m∈N

g±mδ

),

e dado λ ∈ h∗, construimos o módulo de Verma Imaginário M(λ), de peso máximo λ, como noCapítulo 2. Naquele capítulo são também elencadas suas principais propriedades, dentre as quaisdestacamos um critério de irredutibilidade: M(λ) é irredutível se e somente se λ(c) 6= 0.

5.2.2 Primeira Realização de Campos Livres

Consideremos a seguinte aplicação ρ : g −→ A(x,y):

5.2 PRELIMINARES 107

fn 7−→ xn, (5.1)

hn 7−→ −2∑m∈Z

xm+n∂xm + δn<0y−n + δn>02nK∂yn + δn,0J,

en 7−→ −∑m,k∈Z

xk+m+n∂xk∂xm +∑k>0

yk∂x−k−n + 2K∑m>0

m∂ym∂xm−n + (Kn+ J)∂x−n ,

d 7−→∑i∈Z

ixi∂xi −∑j>0

jyj∂yj , c 7−→ K.

Recordando o Capítulo 3, existe uma realização de g no espaço C[xm,m ∈ Z]⊗C[yn, n > 0], em quea ação de fn, hn, en, n ∈ Z é a mesma de (5.1). Assim, para mostrar que ρ fornece uma representaçãode g em C[x,y], precisamos apenas mostrar que, para todo n ∈ Z,

ρ([d, gn]) = [ρ(d), ρ(gn)], em que gn = en, fn, hn, n ∈ Z,

o que faremos em seguida.


Demonstração.

[ρ(d), ρ(fn)] =

∑i∈Z

ixi∂xi −∑j>0

jyj∂yj , xn

=

[∑i∈Z

ixi∂xi , xn

]= nxn = ρ(nfn) = ρ([d, fn]);

[ρ(d), ρ(hn)] =

∑i∈Z

ixi∂xi −∑j>0

jyj∂yj ,−2∑m∈Z

xm+n∂xm + δn<0y−n + δn>02nK∂yn + δn,0J

= −2

[∑i∈Z

ixi∂xi ,∑m∈Z

xm+n∂xm

]−

∑j>0

jyj∂yj , δn<0y−n

−∑j>0

jyj∂yj , δn>02nK∂yn

= −2

∑m∈Z

(m+ n)xm+n∂xm + 2∑m∈Z

xm+nm∂xm − (−n)y−nδn<0 + δn>02nKn∂yn

= −2n∑m∈Z

xm+n∂xm+ nδn<0y−n + nδn>02nK∂yn =(?) ρ(nhn) = ρ([d, hn]);

[ρ(d), ρ(en)] =

∑i∈Z

ixi∂xi −∑j>0

jyj∂yj ,

−∑m,k∈Z

xk+m+n∂xk∂xm +

∑k>0

yk∂x−k−n+ 2K

∑m>0

m∂ym∂xm−n + (Kn+ J)∂x−n

= −

∑i∈Z

ixi∂xi ,∑m,k∈Z

xk+m+n∂xk∂xm

+

[∑i∈Z

ixi∂xi ,∑k>0

yk∂x−k−n

]

+ 2K

[∑i∈Z

ixi∂xi ,∑m>0

m∂ym∂xm−n

]+

[∑i∈Z

ixi∂xi , (Kn+ J)∂x−n

]

−

∑j>0

jyj∂yj ,∑k>0

yk∂x−k−n

− 2K

∑j>0

jyj∂yj ,∑m>0

m∂ym∂xm−n

= −

∑m,k∈Z

(k +m+ n)xk+m+n∂xk∂xm +

∑m,k∈Z

xk+m+n∂xkm∂xm +

∑m,k∈Z

xk+m+n∂xmk∂xk

+∑k>0

yk(k + n)∂x−k−n−∑k>0

kyk∂x−k−n− 2K

∑m>0

m∂ym(m− n)∂xm−n

+ 2K∑m>0

m∂xm−nm∂ym + (Kn+ J)n∂x−n

= −n∑m,k∈Z

xk+m+n∂xk∂xm + n

∑k>0

yk∂x−k−n+ n2K

∑m>0

m∂ym∂xm−n + n(Kn+ J)∂x−n

= ρ(nen) = ρ([d, en]).

(?):a parcela δn,0J só é não nula se n = 0; porém, neste caso, nδn,0J = 0δn,0J = 0.�

Portanto, ρ é um homomorfismo de álgebras de Lie. Sendo assim, dá origem a um homo-morfismo Φ : U(g) −→ A(x,y) de álgebras associativas (Apêndice A), que será chamado deprimeira realização de campos livres de g ou, abreviadamente, FFFR. Com o auxílio desse ho-momorfismo, dotamos qualquer A(x,y)-módulo M com uma estrutura de g-módulo.

Para o g-módulo C[x,y], em particular, obtemos uma realização dos módulos de Verma imagi-nários. Tal resultado foi obtido, quando K = 0, por Jakobsen e Kac em [12]; para um K arbitrário,por Bernard e Felder em [3].

Teorema 5.2.1. ([12],[3]) O g-módulo C[x,y] é isomorfo ao módulo de Verma Imaginário M(λ),

5.3 IRREDUTIBILIDADE DE MÓDULOS LOCALIZADOS 109

em que λ ∈ h∗ é definido por λ(h0) = J , λ(c) = K e λ(d) = 0.

Observação 5.2.2. (a) Quando λ(d) = D 6= 0, ainda podemos obter uma realização de M(λ),deslocando ρ(d):

d 7−→ D +∑i∈Z

ixi∂xi −∑j>0

jyj∂yj ;

(b) Em [12], para K = 0, a realização é isomorfa ao quociente de M(λ) pelo submódulo geradopor hn ⊗ 1, n < 0. Além disso, a realização em [3] é equivalente à FFFR após a aplicação deduas anti-involuções.

De acordo com [8] e [9], se K = 0, o quociente de C[x,y] pelo módulo gerado por ym,m > 0, éirredutível se e somente se J 6= 0.

Esse quociente é isomorfo a C[x] e tem uma estrutura de g-módulo através do homomorfismoρ′ : g −→ A(x) definido por

fn 7−→ xn;

hn 7−→ −2∑m∈Z

xm+n∂xm + δn,0J ;

en 7−→ −∑m,k∈Z

xk+m+n∂xk∂xm + J∂x−n ;

d 7−→∑i∈Z

ixi∂xi , c 7−→ 0,

que fornece também um homomorfismo de álgebras associativas Φ′ : U(g) −→ A(x).Para esse novo módulo, temos um resultado análogo ao Teorema 5.2.1, como segue:

Teorema 5.2.3. O g-módulo C[x] é isomorfo a M(λ), em que λ ∈ h∗ é definido por λ(h0) = J ,λ(c) = 0 e λ(d) = 0.

O g-módulo C[x] é irredutível se e somente se J 6= 0. Se J = 0, então o módulo C[x] possui umúnico quociente irredutível isomorfo a C.

5.3 Irredutibilidade de Módulos Localizados

A partir de agora, fixamos i ∈ Z.Salvo menção em contrário, cada A(x,y)-módulo M será também considerado como um mó-

dulo sobre g via Φ. Por simplicidade, muitas vezes denotaremos tanto o A(x,y)-módulo como ocorrespondente g-módulo por M .

Fixando também um subconjunto finito S = {k1, ..., kn} de N, em que S = ∅ é admitido,definimos quatro espaços vetoriais de polinômios de Laurent:

NS := C[x,y±1S , yS ],

Ni,S := C[x±1i ,y±1

S , xi, yS ],IS := C[x,y±1

S\{k1}, yS\{k1}] + ...+ C[x,y±1S\{kn}, yS\{kn}],


Ii,S := C[x,y±1S , yS ] + C[x±1

i ,y±1S\{k1}, xi, yS\{k1}] + ...+ C[x±1

i ,y±1S\{kn}, xi, yS\{kn}].

Além disso, definimos:

MS := NS/IS ,Mi,S := Ni,S/Ii,S .

Observemos que os espaços que acabamos de definir são A(x,y)-módulos. Assim, usando ohomomorfismo de álgebras associativas Φ : U(g) −→ A(x,y), temos o seguinte resultado:

Proposição 5.3.1. O homomorfismo Φ define uma representação de g nos espaços NS , Ni,S ,MS

e Mi,S. Temos ainda os seguintes isomorfismos de espaços vetoriais:

MS∼= y−1

k1...y−1

knC[x,y−1

S , yS ], Mi,S∼= x−1

i y−1k1...y−1

knC[x−1

i ,y−1S , xi, yS ].

Com o auxílio dos isomorfismos dados pela Proposição 5.3.1, apresentaremos cada elemento deMS (respectivamente,Mi,S) unicamente como um polinômio com potências negativas de yk1 , ..., ykn(respectivamente, yk1 , ..., ykn e xi).

Recordemos que se K = 0 e J 6= 0, então o módulo C[x,y] é redutível e possui um únicoquociente irredutível isomorfo a C[x].

No caso em que K = 0, definimos:

Ni := C[x±1i , xi],

Ii := C[x],Mi := Ni/Ii.

Como os espaços definidos acima podem ser vistos como A(x)-módulos, temos o seguinte:

Proposição 5.3.2. O homomorfismo Φ′ define uma representação de g nos espaços vetoriais Ni eMi. Temos também o seguinte isomorfismo de espaços vetoriais:

Mi∼= x−1

i C[x−1i , xi].

Com o auxílio do isomorfismo na Proposição 5.3.2, apresentaremos cada elemento de Mi comoum polinômio com potências negativas de xi.

Com as definições e a notação estabelecidas até aqui, estudaremos os critérios de irredutibi-lidade dos g-módulos MS , Mi,S e Mi, que serão também denotados por Φ(S), Φ(i, S) e Φ′(i),respectivamente. O objetivo é a demonstração do seguinte teorema:

Teorema 5.3.3. Sejam i e S como acima.

(a) Seja K 6= 0. Então, a representação Φ(S) é irredutível, enquanto Φ(i, S) é irredutível se esomente se J − iK 6∈ Z;

(b) Seja K = 0. Então a representação Φ′(i) é irredutível se e somente se J 6∈ Z.

O Teorema 5.3.3 permite-nos construir explicitamente novas representações irredutíveis de g, apartir de módulos de Verma imaginários.

5.4 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 5.3.3 111

5.4 Demonstração do Teorema 5.3.3

Seja U = U(g) a álgebra envolvente universal de g. Para todo u ∈ U, e v ∈ MS ou v ∈ Mi,S ,denotaremos Φ(u)(v) apenas por u(v). De modo análogo, faremos u′(v′) ao invés de Φ′(u′)(v′), parau′ ∈ U e v′ ∈Mi. Denotar a ação de U dessa forma é um abuso de notação, mas tem o objetivo defacilitar a leitura.

Em primeiro lugar, será introduzida uma notação padrão necessária para o desenvolvimento dademonstração:

Definição 5.4.1. Seja

v = x−pi y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljlxα1i1...xαkik ∈Mi,S ,

em que p, γ1, ..., γn, β1, ..., βl, α1, ..., αk ∈ N. Definimos

degx(v) = −p+ α1 + ...+ αk,

degx+(v) = α1 + ...+ αk,

degy(v) = −γ1 − ...− γn + β1 + ...+ βl,

degy+(v) = β1 + ...+ βl.

As definições acima estendem-se naturalmente ao caso de um elemento arbitrário v ∈Mi,S . Porexemplo, se v = v1 + ...+ vt, em que v1, ..., vt são monômios, então definimos:

degy(v) = max{degy(vj) | j = 1, ..., t},

e diremos que degy(v) é o y-grau de v. Diremos que v = v1+...+vt é degy-homogêneo se os monômiosv1, ..., vt têm o mesmo y-grau. Similarmente, introduzimos degx(v) e degx+(v) para um elementoarbitrário v ∈Mi,S , bem como as noções de x-grau, x+-grau, degx-homogêneo e degx+-homogêneo.Finalmente, de modo análogo, introduzimos as mesmas notação e noções para os módulos MS eMi, respectivamente.

5.4.1 Vetores Primitivos no Caso J − iK ∈ Z.

Nesta subseção, focaremos no caso em que J − iK é um número inteiro. O principal objetivo éprovar que os módulos Mi,S e Mi possuem vetores e−i-primitivos, ou seja, vetores v não nulos taisque e−i(v) = 0. Como um corolário, será mostrado que Mi,S e Mi são redutíveis.

Após a demonstração, teremos condições de concluir o seguinte: para K 6= 0, se Mi,S é irredu-tível, então J − iK não pode ser um número inteiro; para K = 0, se Mi é irredutível, então J nãopode ser um número inteiro.

Destacamos ainda que, nesta subseção, será usada a seguinte notação:

εi =∑

s1>i,s2>i

xs1+s2−i∂xs1∂xs2 .


Como s1 > i e s2 > i, existem j, k ∈ Z tais que s1 − i = j > 0 e s2 − i = k > 0. Assim,s1 + s2 − i = j + i+ k + i− i = j + k + i, o que nos fornece a igualdade

εi =∑

s1>i,s2>i

xs1+s2−i∂xs1∂xs2 =∑

s1,s2>0

xs1+s2+i∂xs1+i∂xs2+i .

Lema 5.4.2. Seja N > 0. Então, existe um elemento g ∈ C[x], degx-homogêneo, que possui graudeg(g) = degx(g) = N + 1, tal que ∂xj (g) = 0, para j ≤ i e εNi (g) = 0.

Demonstração. Sejam i1, ..., iN+1 ∈ Z tais que im > i, para m ∈ {1, ..., N + 1}. Usando indução emN , é possível mostrar que

εNi (xi1 ...xiN+1) = cNxM ,

em que cN = 2N∏N+1s=2

(s2

)eM = i1+...+iN+1−Ni. Consequentemente, g = xi1 ..xiN+1−xi′1 ...xi′N+1

,em que i′m > i, para m ∈ {1, ..., N + 1}, e

∑N+1m=1 is =

∑N+1m=1 i

′s, irá satisfazer as condições do lema.

�

Proposição 5.4.3. Seja J − iK ∈ Z.

(a) Se K 6= 0, então existe um elemento não nulo v ∈Mi,S tal que e−i(v) = 0;

(b) Se K = 0, então existe um elemento não nulo v ∈Mi tal que e−i(v) = 0.

Demonstração. Em primeiro lugar, para cada K, encontraremos um vetor e−i-primitivo v ∈ Mi,∅

(isto é, S = ∅) com a propriedade ∂yj (v) = 0, para cada j > 0. Isso, em particular, implica (b).Para esta primeira etapa, fixamos um número inteiro positivo N tal que N ≥ J − iK − 2

(notemos que, como J − iK ∈ Z, isso pode ser feito). A estratégia da demonstração consiste emencontrar dois vetores e−i-primitivos no módulo Ni,∅, o segundo deles não nulo em Mi,∅.

Seja então At = t(t − 2N + J − iK − 3). Usando o Lema 5.4.2, escolhemos um polinômiohomogêneo g0 em C[x], de grau N + 2, com a propriedade ∂xj′ = 0, para cada j′ ≤ i, tal queεN+1i (g0) = 0. Então, para t = 1, ..., N , definimos gt = 1

A1...Atεti(g0).

Observação 5.4.4. Notemos que, devido à escolha de N , At 6= 0, para t = 1, ..., N . De fato, seAt = 0, então t = 0 ou t− 2N + J − iK − 3 = 0. Como 1 ≤ t ≤ N , deveríamos necessariamente tert−2N+J−iK−3 = 0, o que forneceria 2N−t = J−iK−3. Mostraremos que 2N−t > J−iK−3.

Como N ≥ J − iK − 2, então N > J − iK − 3. Por outro lado, como 1 ≤ t ≤ N , então2N − t ≥ N . Assim, 2N − t ≥ N > J − iK − 3, e At 6= 0.

Assim, usando que εi(gt) = At+1gt+1, t ≥ 0, e εN+1i (g0) = 0, verificaremos que

e−i

(N∑t=0

xtigt

)= εi(g0) +

N∑t=1

(−Atxt−1i gt + xtiεi(gt)) = 0.

Demonstração. ComoN∑t=0

xtigt = g0 +N∑t=1

xtigt, vamos avaliar e−i(g0) + e−i

(N∑t=1

xtigt

).


Tendo em vista que ∂xj′ (g0) = 0, para todo j′ ≤ i, então e−i(g0) = −εi(g0). Na sequência,vamos analisar

e−i

(N∑t=1

xtigt

)= −

∑m,k∈Z

xk+m−i∂xk∂xm

(N∑t=1

xtigt

)+ (J − iK)∂xi

(N∑t=1

xtigt

).

Por um lado,

(J − iK)∂xi

(N∑t=1

xtigt

)=

N∑t=1

(J − iK)txt−1i gt. (5.2)

A outra parcela desmembra-se da seguinte forma:

−xi∂xi∂xi

(N∑t=1

xtigt

)− 2

∑s∈Z\{i}

xs∂xs∂xi

(N∑t=1

xtigt

)− εi

(N∑t=1

xtigt

)

= −N∑t=1

t(t− 1)xixt−2i gt − 2

N∑t=1

∑s∈Z\{i}

xs∂xs(txt−1i gt)

− N∑t=1

xtiεi(gt)

= −N∑t=1

t(t− 1)xt−1i gt −N∑t=1

xtiεi(gt)−N∑t=1

(2N + 4− 2t)txt−1i gt

= −N∑t=1

t(t− 1 + 2N + 4− 2t)xt−1i gt −N∑t=1

xtiεi(gt). (5.3)

Assim, e−i(

N∑t=1

xtigt

)=

N∑t=1

((t(J − iK − 2N + t− 3)︸︷︷︸At

xt−1i gt − xtiεi(gt)), por (5.2) e (5.3), o que

implica

e−i

(N∑t=0

xtigt

)= −εi(g0) +

N∑t=1

(Atxt−1i gt − xtiεi(gt)).

Usando queεi(gt) = At+1gt+1, t ≥ 0, temos:

e−i

(N∑t=0

xtigt

)= −A1g1 +

N∑t=1

(Atxt−1i gt − xtiAt+1gt+1). (5.4)

Notemos agora que as parcelas do lado direito de (5.4) cancelam-se duas a duas, "sobrando"apenas−xNi AN+1gN+1. Mas


AN+1gN+1 = εi(gN ) = εi

(1

A1...ANεNi (g0)

)=

1

A1...ANεN+1i (g0)︸︷︷︸

0

= 0,

e temos a igualdade.�

Ainda não temos o resultado desejado, poisN∑t=0

xtigt é zero tanto em Mi,∅, como em Mi, e ainda

precisamos encontrar um vetor e−i-primitivo. Para tanto, faz-se necessário multiplicarN∑t=0

xtigt por

uma potência negativa de xi, em que o expoente seja suficientemente grande. Para atingir esseobjetivo, utilizaremos a localização de U e de N∅ (com relação ao conjunto Sfi) como ferramentas,

aplicando a fórmula (4.2) em w =N∑t=0

xtigt, para u = e−i e g = fi, e o número inteiro positivo

y = 2N + 3− (J − iK) ≥ 1. Explicitamente,

fyi e−if−yi (w) =

∑j≥0

(y

j

)(ad(fi))

j(e−i)f−ji (w).

Cabe aqui observarmos que aplicar a fórmula (4.2) a w ∈ Ni,∅ faz sentido apenas porque a localizaçãodo módulo N∅ com respeito a Sfi é o módulo Ni,∅. Para tanto, basta recordarmos a construçãoexplícita dos módulos de frações efetuada no Capítulo 4.

Assim, temos:

fyi e−if−yi (w) =

(e−i +

(y

1

)[fi, e−i]f

−1i +

(y

2

)[fi, [fi, e−i]]f

−2i

)(w)

=

(e−i −

(y

1

)(h0 − iK)f−1

i − 2

(y

2

)f−1i

)(w).

Já mostramos que e−i(w) = 0. Vamos agora avaliar(−(y1

)(h0 − iK)f−1

i − 2(y2

)f−1i

)(w):

(−(y1

)(h0 − iK)f−1

i − 2(y2

)f−1i )(w) = −y(h0 − iK + y − 1)f−1

i (w)

= −y(h0 − iK + y − 1)(x−1i w) = −y(h0(x−1

i w) + (−iK + y − 1)x−1i w)

= −y((−2

∑m∈Z

xm∂xm + J

)(x−1i w) + (−iK + 2N + 3− (J − iK)− 1)x−1

i w

)= −y

(−2

N∑t=0

( ∑m∈Z

xm∂xm(xt−1i gt)

)+ Jx−1

i w + (2N + 2− J)x−1i w

)= −y

(−2

N∑t=0

(t− 1)xt−1i gt − 2

N∑t=0

(N + 2− t)xt−1i gt + Jx−1

i w + (2N + 2− J)x−1i w

)= −y

(N∑t=0

(−2N − 2)xt−1i gt + Jx−1

i w + (2N + 2− J)x−1i w

)= 0.

Concluímos então que fyi e−if−yi (w) = 0, de onde e−i

(N∑t=0

xt−yi gt

)= 0. Logo, v =

N∑t=0

xt−yi gt é um

vetor e−i- primitivo tanto em Mi,∅ como em Mi.Como N > J − iK − 3, então 2N > J − iK − 3 +N , o que implica y > N . Consequentemente,

para 1 ≤ t ≤ N , y > t, e temos um número inteiro positivo suficientemente grande, como desejado.


Precisamos agora encontrar um vetor e−i-primitivo em Mi,S , em que S = {j1, ..., jl} ⊂ N é umconjunto não vazio arbitrário. Notemos que, quando S = ∅, não nos preocupamos com a parcela2K

∑m>0

m∂ym∂xm+i em e−i. Para o caso atual, devemos fazer escolhas convenientes para os índices

dos monômios em g0, de modo que essa parcela continue não interferindo, e possamos repetir asmesmas ideias utilizadas no caso anterior. Procedendo de modo análogo ao que fizemos no Lema5.4.2, escolhemos g0 ∈ C[x], g0 = xi1 ...xiN+2 − xi′1 ...xi′N+2

, em que i1, ..., iN+2, i′1, ..., i

′N+2 são todos

maiores do que i + max{j1, ..., jl}, tal queN+2∑s=1

is =N+2∑s=1

i′s e εN+1i (g0) = 0. Assim, substituindo

N∑t=0

xtigt por y−1j1...y−1

jl

N∑t=0

xtigt e repetindo os passos que foram feitos no caso anterior, teremos que

v = y−1j1...y−1

jl

N∑t=0

xt−yi gt é um vetor e−i- primitivo em Mi,S .

�

Corolário 5.4.5. Seja J − iK um número inteiro. Então, ambos os módulos, Mi,S(K 6= 0) eMi(K = 0) são redutíveis.

Demonstração. Seja K 6= 0. Suponha, por absurdo, queMi,S seja irredutível. Consideremos então oespaço vetorial Ti,S de todos os elementos deMi,S nos quais e−i age de forma localmente nilpotente.

Por um lado, de acordo com [14], e−i age de forma ad-localmente nilpotente em g, ou seja, paracada x ∈ g, existe m ∈ N tal que ad(e−i)

m(x) = 0; por outro, para cada v ∈ Ti,S , existe k ∈ N talque ek−i(v) = 0.

Assim, como U é uma álgebra associativa, utilizando a fórmula

(en−ix)(v) =n∑p=0

(n

p

)(ad(e−i)

n−p(x))ep−i(v),

com n = m+ k + 1, teremos que Ti,S é um submódulo de Mi,S .Pela Proposição 5.4.3 (a), Ti,S é não trivial. Consequentemente, a ação de e−i em todos os

vetores de Mi,S = Ti,S é localmente nilpotente.Porém, para t ∈ N suficientemente grande, en−i(x

−ti y−1j1...y−1

jl) 6= 0, para cada n ≥ 1.

De fato,

e−i(x−ti y−1j1...y−1

jl) = −t(t+ 1 + J − iK)x−t−1

i y−1j1...y−1

jl;

e2−i(x

−ti y−1j1...y−1

jl) = −t(t+ 1 + J − iK)(−t− 1)(J − iK + t+ 2)x−t−2

i y−1j1...y−1

jl;

...

en−i(x−ti y−1j1...y−1

jl) = (−t)(J − iK + t+ 1)...(−t− n)(J − iK + t+ n)x−t−ni y−1

j1...y−1

jl,

para qualquer n ≥ 1. Assim, se escolhermos, por exemplo, t > −(J − iK), teremos o resultadodesejado. Portanto, temos uma contradição, e Mi,S é redutível.

De modo análogo, aplicando a Proposição 5.4.3 (b), mostra-se que Mi é redutível.�


5.4.2 O Caso K 6= 0

Nesta subseção, provaremos as condições necessárias e suficientes para que os módulos MS eMi,S sejam irredutíveis, que é o item (a) do Teorema 5.3.3.

Em primeiro lugar, notemos que se K = 0, então ambos os módulos são redutíveis. Isso seguedo fato de que o submódulo gerado por y−1

k1...y−1

knyj (respectivamente x−1

i y−1k1...y−1

knyj), para algum

j 6∈ S, é um submódulo próprio não trivial de MS (respectivamente Mi,S). Perceber que é umsubmódulo não trivial, é imediato.

Para mostrar que é próprio, observamos que como K = 0, não é possível gerar potências deykt com expoentes negativos diferentes de −1, para nenhum t = 1, ..., n, já que a única parcela quepoderia contribuir para isso é δn>02nK∂yn .

Em seguida, recordamos que, pelo Corolário 5.4.5, Mi,S é redutível se J − iK ∈ Z. Assim, paramostrar o item (a) do teorema, precisamos analisar o que ocorre com MS no caso em que K 6= 0, eo que ocorre com Mi,S no caso em que K 6= 0 e J − iK 6∈ Z. Consequentemente, o Teorema 5.3.3(a) segue imediatamente da seguinte proposição:

Proposição 5.4.6. Seja K 6= 0. Então, temos o seguinte:

(a) (i) U(y−1k1...y−1

kn) = MS;

(ii) Seja v ∈MS não nulo. Então, existe u ∈ U tal que u(v) = y−1k1...y−1

kn.

(b) Seja K 6= 0 e J − iK 6∈ Z. Então,

(i) U(x−1i y−1

k1...y−1

kn) = Mi,S;

(ii) Seja v ∈Mi,S não nulo. Então existe u ∈ U tal que u(v) = x−1i y−1

k1...y−1

kn.

.

5.4.2.1 Demonstração da Proposição 5.4.6(a)(i)

Lema 5.4.7. Seja v = y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl∈ MS e seja s > 0. Então, existe u1 ∈ U tal que

u1(v) = ysv. Além disso, se s ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl}, então existe u2 ∈ U tal que u2(v) = y−1s v.

Demonstração. Como −s < 0, e v é um monômio apenas nas indeterminadas yn, n ∈ N, entãoh−s(v) = y−(−s)v = ysv. Por outro lado, usando ainda o fato de que v é um monômio onde nãoaparece nenhuma das indeterminadas xm,m ∈ Z, se s ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl}, então

hs(v) = 2sK∂ys(v) = csy−1s v,

em que

cs :=

−2ktγtK, se s = kt,

2jtβtK, se s = jt,

0, caso contrário.(5.5)


Definimos então u1 = h−s; e se s ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl}, u2 = 1cshs.

�

Demonstraremos agora a Proposição 5.4.6(a)(i): para cumprir nosso objetivo, mostraremos quecada monômio em MS pode ser obtido de y−1

k1...y−1

knatravés da ação de algum elemento u ∈ U.

Consideremos então

u′ = fαkik ...fα1i1hγ1−1k1

...hγn−1kn

hβ1−j1 ...hβl−jl ∈ U,

em que γi ≥ 1, para todo i. Vamos analisar u′(y−1k1...y−1

kn):

hβ1−j1 ...hβl−jl(y

−1k1...y−1

kn) = yβ1j1 ...y

βljly−1k1...y−1

kn,

pois a ação de h−jt em y−1k1...y−1

kné a multiplicação por yjt , para t = 1, ..., l. Em seguida, utilizando

a demonstração do Lema 5.4.7, a ação de hkt , para t = 1, ..., n é a multiplicação por ckty−1kt

, o quefornece

hγ1−1k1

...hγn−1kn

(yβ1j1 ...yβljly−1k1...y−1

kn) = Ay−γ1k1

...y−γnknyβ1j1 ...y

βljl,

em que A ∈ C e A 6= 0. Por fim, como fit fornece apenas a multiplicação por xit , para t = 1, ..., k,

fαkik ...fα1i1

(Ay−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl

) = Ay−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljlxα1i1...xαkik ,

e fazendo u = 1Au′, temos a igualdade

u(y−1k1...y−1

kn) = y−γ1k1


βljlxα1i1...xαkik ,

de onde segue que qualquer monômio pode ser obtido escolhendo expoentes convenientes no ele-mento u′ ∈ U. Portanto, como cada elemento em MS pode ser escrito como uma soma finita demonômios, U(y−1

k1...y−1

kn) = MS .

5.4.2.2 Demonstração da Proposição 5.4.6(a)(ii)

Lema 5.4.8. Seja v um vetor não nulo em MS tal que degx(v) = 0. Então, existe u ∈ U tal queu(v) = y−1

k1...y−1

kn.

Demonstração. Seja v ∈ MS um vetor não nulo. Como, por hipótese, degx(v) = 0, então v é umpolinômio cujos monômios são da forma

w = y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl. (5.6)


Como v é uma soma finita de monômios da forma (5.6), digamos v = w1 + ...+wm, temos condiçõesde aplicar o Lema 5.4.7 a cada um deles.

Em primeiro lugar, para yk1 , comparando os expoentes γ1 dentre todos os monômios, conside-remos o maior deles em módulo e denotemos por γ1max . Aplicando o Lema 5.4.7 sucessivamente,temos

hγ1max−1−k1 (v) = h

γ1max−1−k1 (w1 + ...+ wm) = h

γ1max−1−k1 (w1) + ...+ h

γ1max−1−k1 (wm),

e obtemos um polinômio não nulo no qual cada monômio possui a potência y−1k1

.Podemos repetir o processo sucessivamente, até fixarmos ykn e obtermos um elemento não nulo

v1 = y−1k1...y−1

kng(y)∈MS , em que g é um polinômio satisfazendo ∂ykt (g) = 0, para todo t = 1, ..., n.

Se degy(g) = 0, então v1 não possui nenhuma das indeterminadas yj , j 6∈ S, e temos o elementou ∈ U que satisfaz o desejado,

u = hγ1max−1−k1 ...h

γnmax−1−kn .

Se degy(g) > 0, existe s ∈ N tal que ∂ys(g) 6= 0, e notemos que s 6= kt, para todo t = 1, ..., n.Com s fixado, vamos avaliar hs(v1):

hs(v1) = 2sK∂ys(v1) = 2sKy−1k1...y−1

kn∂ys(g) = Ay−1

k1...y−1

kny−1s g, (5.7)

em que A ∈ C, A 6= 0.Com essas informações, e tomando degy(g) = 0 como base, a demonstração é feita por indução

em degy(g).Assim, se degy(g) = k > 0, vamos assumir como hipótese de indução que sempre que existir

u′ ∈ U com u′(v) = y−1k1...y−1

kng′(y), para algum polinômio g′ tal que ∂ykt (g

′) = 0, para cadat = 1, ..., n, e degy(g′) < k, podemos encontrar u ∈ U tal que uu′(v) = y−1

k1...y−1

kn.

Portanto, utilizando (5.7), e tomando u′ = 1Ahsh

γ1max−1−k1 ...h

γnmax−1−kn , temos o resultado desejado.

�

Lema 5.4.9. Seja v ∈ NS. Então, para cada j ∈ Z, existe n > 0 suficientemente grande tal que

e−n(v) = yn−j∂xj (v) + v′,

para algum v′ ∈ NS tal que ∂yn−j (v′) = 0.

Demonstração. Em primeiro lugar, notemos que v é um polinômio formado por monômios da forma

w = xα1i1...xαkik y

γ1k1...yγnkny

β1j1...yβljl . (5.8)

Fixado j ∈ Z, consideremos n > 0, com n > j, e teremos:


e−n(v) = −∑m,k∈Z

xk+m−n∂xk∂xm(v) +∑k>0

yk∂x−k+n(v) + 2K∑m>0

m∂ym∂xm+n(v)

+ (J − nK)∂xn(v)

= −∑m,k∈Z

xk+m−n∂xk∂xm(v) + yn−j∂xj (v) +∑k>0

k 6=n−j

yk∂x−k+n(v)

+ 2K∑m>0

m∂ym∂xm+n(v) + (J − nK)∂xn(v).

Tomando

v′′ = −∑m,k∈Z

xk+m−n∂xk∂xm(v) +∑k>0

k 6=n−j

yk∂x−k+n(v) + 2K∑m>0

m∂ym∂xm+n(v) + (J − nK)∂xn(v),

temos e−n(v) = yn−j∂xj (v) + v′′, com v′′ ∈ NS .Se ∂yn−j (v′′) = 0, já temos v′ = v′′ ∈ NS com as propriedades desejadas.Veremos agora o que ocorre quando ∂yn−j (v′′) 6= 0. Nesse caso, notemos que ∂yn−j (v) 6= 0, pois

a única parcela de e−n(v) que poderia produzir yn−j não aparece em v′′. Assim, a única ferramentaque temos é o controle da escolha de n > 0.

Como v é uma soma finita de monômios da forma (5.8), digamos v = w1 + ... + wq, pode-mos escolher n > 0 da seguinte forma: em primeiro lugar, como k1, ..., kn são números natu-rais fixos, tomamos m = max{j + kt, t = 1, ..., n}; em seguida, para cada monômio wr, toma-mos mr = max{j + jp, p = 1, ..., l}; por fim, tomando m′ = max{mr, r = 1, ..., q}, escolhemosn > max{m,m′}, e teremos o resultado desejado.

�

Demonstraremos agora a Proposição 5.4.6(a)(ii) por indução em degx(v), em que a base serádegx(v) = 0. A validade deste caso é uma consequência imediata do Lema 5.4.8.

Suponhamos agora que degx(v) = k ≥ 1, e fixemos j ∈ Z tal que ∂xj (v) 6= 0.Pelo Lema 5.4.9, existe n > 0 suficientemente grande tal que e−n(v) 6= 0 emMS . Como hipótese

de indução, vamos supor que para todo v ∈ MS , não nulo, com degx(v) < k, exista u ∈ U talque u(v) = y−1

k1...y−1

kn. Queremos mostrar que o mesmo é válido para degx(v) = k. Notemos que,

em particular, degx(e−n(v)) < degx(v) = k. Assim, pela hipótese de indução, existe u ∈ U tal queu(e−n(v)) = y−1

k1...y−1

kn, e ue−n ∈ U é o elemento desejado.

5.4.2.3 Demonstração da Proposição 5.4.6(b)(i)

Lema 5.4.10. Seja J − iK 6∈ Z e v = x−pi y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl∈ Mi,S. Seja s > 0. Então, existem

u1, u2 ∈ U tais que u1(v) = x−1i v e u2(v) = ysv. Além disso, se s ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl}, então

existe u3 ∈ U tal que u3(v) = y−1s v.

Demonstração. Sejam


u1 =−1

p(p+ 1 + J − iK)e−i, u2 = h−s +

2

p+ 1 + J − iKfi−se−i,

e para s ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl}, consideremos

u3 =1

cs

(hs +

2

p+ 1 + J − iKfi+se−i

),

em que cs 6= 0 foi definido em (5.5).Notemos que p 6= 0, pois v ∈Mi,S ; e também p+1+J− iK 6= 0, pois j− iK 6∈ Z e −(p+1) ∈ Z.

Mostraremos que u1, u2, u3 satisfazem as propriedades desejadas.Como

e−i(v) = −x2i−i∂2xi(v) + (J − iK)∂xi(v) = −xi(−p)(−p− 1)x−2

i v + (J − iK)(−p)x−1i v,

então

u1(v) =−1

p(p+ 1 + J − iK)(p(−p− 1)x−1

i v − p(J − iK)x−1i v)

=1

p(p+ 1 + J − iK)(p(p+ 1 + J − iK))x−1

i v = x−1i v.

Agora, para u2(v), vamos utilizar e−i(v) = −p(p+ 1 + J − iK)x−1i v. Assim,

fi−se−i(v) = −p(p+ 1 + J − iK)xi−sx−1i v e

2

p+ 1 + J − iKfi−se−i(v) = −2pxi−sx

−1i v.

Como h−s(v) = −2xi−s∂xi(v) + ysv, então

u2(v) = −2xi−s(−p)x−1i v + ysv + 2(−p)xi−sx−1

i v = ysv.

Finalmente, avaliamos u3(v): novamente, já temos e−i(v) = −p(p + 1 + J − iK)x−1i v. Assim,

fi+se−i(v) = −p(p+ 1 + J − iK)xi+sx−1i v. Consequentemente,

2

p+ 1 + J − iKfi+se−i(v) = −2pxi+sx

−1i v.

Por outro lado, se s ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl},

hs(v) = −2xi+s∂xi(v) + 2sK∂ys(v) = −2xi+s(−p)x−1i v + csy

−1s v.

Portanto,


u3(v) =1

cs

(hs +

2

p+ 1 + J − iKfi+se−i

)(v)

=1

cs

(−2xi+s(−p)x−1

i v + csy−1s v − 2pxi+sx

−1i v)

=1

cscsy−1s v = y−1

s v

�

Demonstraremos agora a Proposição 5.4.6(b)(i): De modo análogo ao que fizemos na demons-tração do item (a)(i), mostraremos que cada monômio não nulo em Mi,S pode ser obtido atravésda ação de algum elemento u ∈ U em x−1

i y−1k1...y−1

kn, e usaremos o fato de que cada polinômio em

Mi,S é uma soma finita de monômios. Consideremos o monômio

w = x−pi y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljlxα1i1...xαkik ∈Mi,S .

Encontraremos u ∈ U tal que u(x−1i y−1

k1...y−1

kn) = w.

Claramente, podemos aplicar o Lema 5.4.10 para v = x−1i y−1

k1...y−1

kn. Assim, fixando t ∈ {1, ..., l},

e fazendo s = jt,

u2(x−1i y−1

k1...y−1

kn) = yjtx

−1i y−1

k1...y−1

kn∈Mi,S .

O monômio obtido ainda satisfaz as condições para a utilização do Lema 5.4.10, e assim sucessiva-mente, e teremos

uβt2 (x−1i y−1

k1...y−1

kn) = x−1

i y−1k1...y−1

knyβtjt ∈Mi,S .

Para cada t = 1, ..., l fixado, denotando u2 por ut2 , teremos

uβ112...uβll2 (x−1

i y−1k1...y−1

kn) = x−1

i y−1k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl∈Mi,S .

Aplicaremos agora o Lema 5.4.10 para x−1i y−1

k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl∈ Mi,S . De modo análogo ao que

acabamos de fazer, fixando t ∈ {1, ..., k} e fazendo s = kt,

u3(x−1i y−1

k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl

) = y−1ktx−1i y−1

k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl∈Mi,S .

O monômio obtido ainda satisfaz as condições para a utilização do Lema 5.4.10, e assim sucessiva-mente, e teremos

uγt−13 (x−1

i y−1k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl

) = y−γtktx−1i y−1

k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl∈Mi,S ,

com γt ≥ 1. Para cada t = 1, ..., n fixado, denotando u3 por ut3 , teremos


uγ1−113

...uγn−1n3

(x−1i y−1

k1...y−1

knyβ1j1 ...y

βljl

) = x−1i y−γ1k1


βljl∈Mi,S .

Aplicando agora o Lema ao elemento obtido acima,

u1(x−1i y−γ1k1


βljl

) = x−1i x−1

i y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl∈Mi,S .

Portanto, como as condições para aplicações sucessivas são satisfeitas,

up−11 (x−1

i y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl

) = x−pi y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl∈Mi,S ,

p ≥ 1.Observando que para cada t = 1, ..., k, a ação de fit em qualquer elemento de Mi,S é a multi-

plicação por xit , aplicações sucessivas fornecem

fαtit (x−pi y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljl


yβ1j1 ...yβljlxαtit ∈Mi,S .

Consequentemente,

fα1i1...fαkik (x−pi y−γ1k1


βljl


yβ1j1 ...yβljlxα1i1...xαkik ∈Mi,S .

Concluímos então que u = fα1i1...fαkik u

p−11 uγ1−1

13...uγn−1

n3 uβ112...uβll2 ∈ U é o elemento desejado e

U(x−1i y−1

k1...y−1

kn) = Mi,S .

5.4.2.4 Demonstração da Proposição 5.4.6(b)(ii)

Lema 5.4.11. Seja J − iK 6∈ Z e v um vetor não nulo em Mi,S tal que degx+(v) = 0. Então, existeu ∈ U tal que u(v) = x−1

i y−1k1...y−1

kn.

Demonstração. Seja v ∈ Mi,S um vetor não nulo tal que degx+(v) = 0. Então, v pode ser escritocomo uma soma finita de monômios v = w1 + ...+ wr, em que cada monômio é da forma

wt = x−pti y−γ1tk1

...y−γntkn

yβ1tj1t...y

βltjlt∈Mi,S ,

com t = 1, ..., r.Seja agora γ1max = max{|γ1t|, t = 1, ..., r}. De acordo com o Lema 5.4.10, existe u12 ∈ U tal

que u12(wt) = yk1wt, para todo t = 1, ..., r. Assim, podemos considerar u12(v), de onde obtemos umnovo polinômio em Mi,S , cujos monômios ainda satisfazem as condições para a aplicação do Lema5.4.10. Com aplicações sucessivas, obtemos


uγ1max−112

(v) = yγ1max−1k1

w1 + ...+ yγ1max−1k1

wr = v1 ∈Mi,S ,

que pode ser reescrito como uma nova soma finita de monômios v1 = w′1 + ...+w′r′ , em que r′ ≤ r,e cada monômio é da forma

w′t′ = x−pt′i y−1

k1...y−γnt′kn

yβ1t′j1t′

...yβlt′jlt′∈Mi,S ,

com t′ = 1, ..., r′. Cada um desses novos monômios ainda satisfaz as condições para a aplicação doLema 5.4.10, e podemos repetir o processo sucessivamente, até fixarmos n e encontrar un2 ∈ U talque uγnmax−1

n2 (vn−1) = vn = q1 + ...+ qs, em que cada monômio é da forma

qt = x−pti y−1k1...y−1

knyβ1tj1t...y

βltjlt∈Mi,S ,

com t = 1, ..., s.Por fim, seja pmax = max{|pt|, t = 1, ..., s}, e teremos

fpmax−1i (vn) = xp−1

i vn = x−1i y−1

k1...y−1

kng(y),

em que g(y) é um polinômio não nulo em Mi,S satisfazendo ∂ykt (g) = 0, para todo t = 1, ..., n, istoé, existe u1 ∈ U tal que u1(v) = x−1

i y−1k1...y−1

kng(y).

Para concluir a demonstração, utilizaremos indução em degyg.Se degyg = 0, então u1 ∈ U é o elemento desejado, e esta é a nossa base de indução. Seja agora

degyg ≥ 1. Então, existe j ∈ N tal que ∂yj (g) 6= 0. Assim, considerando

uj3 = hj +2

2 + J − iKfi+je−i ∈ U, (5.9)

temos

uj3(x−1i y−1

k1 ...y−1kng) = 2jK∂yj (x

−1i y−1

k1 ...y−1kng) = 2jKx−1

i y−1k1 ...y

−1kn∂yj (g).

Por hipótese de indução, assumiremos que se existe u4 ∈ U, com u4(v) = x−1i y−1

k1...y−1

kng(y), em

que g(y) é um polinômio em Mi,S satisfazendo ∂ykt (g) = 0, para todo t = 1, ..., n e degyg = k,existe u′ ∈ U tal que

u′(x−1i y−1

k1...y−1

kng) = x−1

i y−1k1...y−1

kn.

Portanto, se degyg = k + 1, então


uj3(x−1i y−1

k1...y−1

kng)

é um polinômio com degyg = k, que satisfaz a hipótese de indução (basta fazer u4 = uj3u1). Assim,podemos encontrar u′ ∈ U que nos forneça o resultado desejado.

�

Definição 5.4.12. Para p ∈ C e α ∈ N, definimos:

Aα,p = −p(p+ 1− 2α+ J − iK).

A definição acima é motivada pelo seguinte:

Lema 5.4.13. Seja Z = y−γ1k1...y−γnkn

yβ1j1 ...yβljlxα1i1...xαkik , com p, γ1, ..., γn, β1, ..., βl, α1, ..., αk ∈ N.

Então,

e−i(x−pi Z) = Aα,px

−p−1i Z + x−pi Z ′ + x−p+1

i Z ′′

em Mi,S, em que α =k∑s=1

αs = degx+(x−pi Z), e Z ′ e Z ′′ são polinômios degx+-homogêneos, que são

ou nulos em Mi,S ou degx+(x−p+1i Z ′′) = degx+(x−pi Z ′) = α− 1. Em particular,

fie−i(x−1i Z) = Aα,1x

−1i Z.

Demonstração. Inicialmente, recordemos e−i:

e−i = −∑m,k∈Z

xm+k−i∂xm∂xk +∑k>0

yk∂x−k+i + 2K∑m>0

m∂ym∂xm+i + (J − iK)∂xi ,

e notemos que é possível reescrevê-lo como uma nova soma, em que possamos visualizar separada-mente os operadores que dependem de xi e os que não dependem:

e−i = −xi∂xi∂xi −∑

s1,s2∈Z\{i}s1+s2 6=2i

xs1+s2−i∂xs1∂xs2 −∑

s1,s2∈Z\{i}s1+s2=2i

xs1+s2−i∂xs1∂xs2

− 2

∑s∈Z\{i}

xs+i−i∂xs

∂xi +∑s>0

ys∂xi−s + 2K∑t>0

t∂yt∂xt+i + (J − iK)∂xi .

Assim, podemos apresentar e−i como uma soma de três operadores degx+-homogêneos

e−i = e−i,0 + e−i,1 + xie−i,2,


em que

e−i,0 = −xi∂xi∂xi − 2

∑s∈Z\{i}

xs∂xs

∂xi + (J − iK)∂xi , (5.10)

e−i,1 =∑

s1,s2∈Z\{i}s1+s2 6=2i

xs1+s2−i∂xs1∂xs2 +∑s>0

ys∂xi−s + 2K∑t>0

t∂yt∂xt+i ,

e−i,2 = −∑

s1,s2∈Z\{i}s1+s2=2i

∂xs1∂xs2 =(?) −∑

s∈Z\{i}

∂x2i−s∂xs

(?):s1 + s2 = 2i =⇒ s2 = 2i− s1.Observemos que e−i,1(x−pi Z) = x−pi e−i,1Z, pois e−i,1 não depende de xi. Pelo mesmo motivo,

xie−i,2(x−pi Z) = xix−pi e−i,2Z = x−p+1

i e−i,2Z.Portanto, fazendo Z ′ = e−i,1Z, Z ′′ = e−i,2Z, para mostrar o que desejamos basta verificar que

e−i,0(x−pi Z) = Aα,px−p−1i Z, já que

e−i(x−pi Z) = e−i,0(x−pi Z) + e−i,1(x−pi Z) + xie−i,2(x−pi Z).

De fato,

e−i,0(x−pi Z) = −xi∂xi∂xi(x−pi Z)− 2

∑s∈Z\{i}

xs∂xs

∂xi(x−pi Z) + (J − iK)∂xi(x

−pi Z)

= −xi(−p)(−p− 1)x−p−2i Z + (J − iK)(−p)x−p−1

i Z

− 2

∑s∈Z\{i}

xs∂xs

(−p)x−p−1i Z)

= (−p)(p+ 1)x−p−1i Z + (J − iK)(−p)x−p−1

i Z

− 2(α1(−p)x−p−1i Z + ...+ αk(−p)x−p−1

i Z)

=

−2k∑j=1

αj

+ p+ 1 + J − iK

(−p)x−p−1i Z

= (−p)(−2α+ p+ 1 + J − iK)x−p−1i Z = Aα,px

−p−1i Z ∈Mi,S .

Para completar a prova, temos as seguintes observações:

(a) Se em Z não houver um par xij , xij′ , com ij 6= i, ij′ 6= i, e ij + ij′ = 2i, para j, j′ ∈ {1, ..., k},então Z ′′ = e−i,2Z será o polinômio identicamente nulo;

(b) Se em Z as três situações seguintes acontecem simultaneamente:

(i) Não há um par xij , xij′ , com ij 6= i, ij′ 6= i e ij + ij′ 6= 2i, para j, j′ ∈ {1, ..., k};


(ii) Não há xit com i > it, para t ∈ {1, ..., k}, e

(iii) Para l ∈ {k1, ..., kn, j1, ..., jl} não há xit , t ∈ {1, ..., k} tal que l + i = it,

então Z ′ = e−i,1Z é o polinômio identicamente nulo.Pelas observações acima, percebemos que quando Z ′ é o polinômio identicamente nulo, o mesmo

não ocorre com Z ′′, e vice-versa. Porém, podem ser ambos não nulos, e é o caso que analisaremosem seguida.

Se ambos são diferentes do polinômio identicamente nulo, então são polinômios degx+-homogêneos,em que

degx+(x−p+1i Z ′′) = 1 + (α− 2) = α− 1 = degx+(x−pi Z ′).

Em particular,

fie−i(x−1i Z) = fi(Aα,1x

−2i Z + x−1

i Z ′ + Z ′′) = xi(Aα,1x−2i Z + x−1

i Z ′ + Z ′′)

= Aα,1x−1i Z + Z ′ + xiZ

′′ = Aα,1x−1i Z,

pois Z ′ e xiZ ′′ são elementos de Ii,S .�

Lema 5.4.14. Seja J − iK 6∈ Z. Seja v = x−1i h, em que h = h(x,y) é um polinômio degx+-

homogêneo tal que degx+h = α e ∂xi(h) = 0. Então, existe n > i tal que

w = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)e−n(v)

é não nulo em Mi,S e degx+w < degx+v.

Demonstração. Em primeiro lugar, consideremos o caso em que h(x,y)= xα1i1...xαkik g(y), ou seja, h

é um monômio em x e um polinômio em y. Seja n > max{i, i1, ..., ik}. Vamos avaliar e−n(v):

e−n(v) = e−n(x−1i h) = −

∑m,k∈Z

xk+m−n∂xk∂xm(x−1i h) +

∑k>0

yk∂x−k+n(x−1i h)

+ 2K∑m>0

m∂ym∂xm+n(x−1i h) + (J − nK)∂xn(x−1

i h)

= −x2i−n∂xi∂xi(x−1i h)− 2

k∑j=1

xij+i−n∂xij

∂xi(x−1i h)−

k∑j,t=1

xij+it−n∂xij ∂xit (x−1i h)

+ yn−i∂xi(x−1i h) +

k∑j=1

yn−ij∂xij (x−1i h),

pois como n > max{i, i1, ..., ik}, então as parcelas∑m>0

m∂ym∂xm+n(x−1i h) e (J−nK)∂xn(x−1

i h) são

nulas. Não é difícil perceber que as parcelas restantes são não nulas. Assim,


e−n(x−1i h) = −2x−3

i x2i−nh− 2

k∑j=1

xij+i−n∂xij

((−1)x−2i h)−

k∑j,t=1

xij+it−nx−1i αtαjx

−1ijx−1ith

− yn−ix−2i h+

k∑j=1

yn−ijx−1i αjx

−1ijh

= −2x−3i x2i−nh+ 2x−2

i

k∑j=1

xij+i−nαjx−1ijh

− k∑j,t=1

xij+it−nx−1i αtαjx

−1ijx−1ith

− yn−ix−2i h+

k∑j=1

yn−ijx−1i αjx

−1ijh

= −2x−3i x2i−nh+ x−2

i

2k∑j=1

αjxi+ij−nx−1ijh− yn−ih

+ x−1

i

k∑j=1

αjx−1ijyn−ijh−

k∑j,t=1

αij ,itx−1ijx−1itxij+it−nh

,

em que αij ,it = αij (αit − δj,t). Por simplicidade, seja

en = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)e−n.

Vamos agora avaliar en(v). Por facilidade, faremos os cálculos separadamente:

fie−n(v) = −2x−2i x2i−nh+ x−1

i

2k∑j=1


+

k∑j=1


k∑j,t=1


= −2x−2

i x2i−nh+ x−1i

2

k∑j=1


,

pois

(k∑j=1


k∑j,t=1


)∈ Ii,S .

Para calcular e−ifie−n(v), utilizaremos que e−i = e−i,0 + e−i,1 + xie−i,2, como definidos em(5.10). Assim,


e−ifie−n(v) = −2Aα+1,2x−3i x2i−nh− 2x−2i e−i,1(x2i−nh)− 2x−1i e−i,2(x2i−nh)

+Aα,1x−2i

2

k∑j=1


+ x−1i e−i,1

2

k∑j=1


+ xix

−1i e−i,2

2

k∑j=1


= −2Aα+1,2x

−3i x2i−nh− 2x−2i e−i,1(x2i−nh)− 2x−1i e−i,2(x2i−nh)

+Aα,1x−2i

2

k∑j=1


+ x−1i e−i,1

2

k∑j=1


,

pois xix−1i e−i,2

(2

k∑j=1


)∈ Ii,S .

Portanto,

(e−ifi −Aα+1,2)e−n(v) = −2x−2i e−i,1(x2i−nh) +Aα,1x−2i

2

k∑j=1


−Aα+1,2x

−2i

2

k∑j=1


− 2x−1i e−i,2(x2i−nh)

+ x−1i e−i,1

2

k∑j=1


−Aα+1,2x

−1i

k∑j=1


k∑j,t=1

αij ,itx−1ijx−1it xij+it−nh

.

Completaremos nos passos seguintes a análise de en(v):

fi(e−ifi −Aα+1,2)e−n(v) = −2x−1i e−i,1(x2i−nh) +Aα,1x−1i

2

k∑j=1


−Aα+1,2x

−1i

2

k∑j=1


,

pois após a aplicação de fi (que age como multiplicação por xi) o restante das parcelas está emIi,S .

Novamente utilizaremos que e−i = e−i,0 + e−i,1 + xie−i,2, como definidos em (5.10):


e−ifi(e−ifi −Aα+1,2)e−n(v) = −Aα,12x−2i e−i,1(x2i−nh)− 2x−1i e−i,1e−i,1(x2i−nh)

+Aα,1Aα,1x−2i

2

k∑j=1


+Aα,1x

−1i e−i,1

2

k∑j=1


−Aα+1,2Aα,1x

−2i

2

k∑j=1


−Aα+1,2x

−1i e−i,1

2

k∑j=1


,

pois após aplicação de xie−i,2 o restante das parcelas está em Ii,S .Portanto,

w = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)e−n(v) = −2x−1i e−i,1e−i,1(x2i−nh)

−Aα+1,2x−1i e−i,1

(2

k∑j=1


)+ 2Aα,1x

−1i e−i,2(x2i−nh)

+Aα,1Aα+1,2x−1i

(k∑j=1


k∑j,t=1


),

e podemos perceber que degx+w < degx+v.É importante destacar que há meios para controlarmos a escolha de n, de modo que não exista

yn−ij em g(y), para nenhum j ∈ {1, ..., k}. Uma possibilidade é escolher n > t+ ij , para todo t ∈ Ntal que yt está em g(y), e todo j ∈ {1, ..., k}. Simultaneamente, a condição n > max{i, i1, ..., ik}continuará sendo exigida.

Em seguida, reescreveremos w de forma mais conveniente para os nossos objetivos: para cadaj ∈ {1, ..., k}, queremos apresentar w como uma soma de dois polinômios, em que um deles possuiyn−ij e o outro não. As únicas parcelas que possuem relevância para nossa análise são aquelas emque haverá a aplicação de e−i,1, pois controlando a escolha de n para que não haja yn−ij em g(y),para nenhum j, a única forma de produzi-los é com e−i,1. Novamente, dividiremos em casos.

Em primeiro lugar, analisaremos

−Aα+1,2x−1i e−i,1

2k∑j=1


,

e o que de fato queremos avaliar é

∑s>0

ys∂xi−s

2

k∑j=1


,

pois é a única parcela que pode fornecer yn−ij , para j ∈ {1, ..., k}. Assim, para cada j ∈ {1, ..., k},


se i− s = i+ ij − n, então s = n− ij > 0. Logo,

∑s>0

ys∂xi−s

(2

k∑j=1


)

= 2k∑j=1

αjx−1ijyn−ijh+

∑s>0

s 6=n−ij

ys∂xi−s

(2

k∑j=1


),

o que nos permite separar −Aα+1,2x−1i e−i,1

(2

k∑j=1


)em uma soma do se-

guinte modo:para cada j,

−2Aα+1,2x−1i αjx

−1ijyn−ijh+ p,

em que p é um polinômio com ∂yn−ij (p) = 0.Avaliaremos em seguida −2x−1

i e−i,1e−i,1(x2i−nh):

e−i,1(x2i−nh) = −2

(k∑j=1

x2i−n+ij−i∂xij

)∂x2i−n(x2i−nh)

−∑

s1,s2∈Z\{i}s1+s2 6=2i

x2i−nxs1+s2−i∂xs1∂xs2 (h) +∑s>0

ys∂xi−s(x2i−nh) + 2K∑t>0

t∂yt∂xt+i(x2i−nh)

= −2k∑j=1

x2i−n+ij−i∂xij (h)−∑

s1,s2∈Z\{i}s1+s2 6=2i

x2i−nxs1+s2−i∂xs1∂xs2 (h) + yn−ih+∑s>0s 6=n−i

ysx2i−n∂xi−s(h)

+2K∑t>0

t∂yt∂xt+i(x2i−nh).

Observemos que foi usado o fato de que 2i−n+ ij 6= 2i, já que n > ij , para todo j ∈ {1, ..., k}, e

a parcela −2

(k∑j=1

x2i−n+ij−i∂xij

)∂x2i−n(x2i−nh) é não nula. A única parcela que poderia produzir

yn−ij , para algum j, é∑s>0

ys∂xi−s(x2i−nh), o que não ocorre, pois como n > i, h fornece apenas

elementos da forma yi−ij (quando fornece), e x2i−n fornece yn−i. Na verdade, para h, nunca serãoproduzidos novos yn−ij . Como aplicaremos e−i,1 novamente, estamos interessados nas parcelas emque foram produzidos novos xm, m ∈ Z, pois é apenas a partir deles que ainda podemos produziryn−ij , para algum j. Verificaremos também o que ocorre com x2i−n. Para avaliar e−i,1e−i,(x2i−nh),estamos interessados apenas em

∑s>0

ys∂xi−s(e−i,1(x2i−nh)), e assim, impondo mais algumas condi-

ções na escolha de n, a única parcela de fato interessante é

∑s>0

ys∂xi−s

(−2

k∑j=1

xi+ij−n∂xij (h)

)=∑s>0

ys∂xi−s

(−2

k∑j=1

αjx−1ijxi+j−nh

)

= −2k∑j=1

yn−ijαjx−1ijh+

∑s>0

s=i−ij

ys∂xi−s

(−2

k∑j=1

αjx−1ijxi+ij−nh

).

Como h não fornece yn−ij , para nenhum j, então a parcela importante é

−2k∑j=1

yn−ijαjx−1ijh


Portanto, −2x−1i e−i,1e−i,1(x2i−nh) é composto pela parcela 4x−1

i

k∑j=1

yn−ijαjx−1ijh somada a um

polinômio q no qual não temos yn−ij , para nenhum j ∈ {1, ..., k}.Resumindo os cálculos que fizemos, podemos concluir que para cada j = 1, ..., k e n suficiente-

mente grande, temos o seguinte:

w = env = αjCαx−1i x−1

ijyn−ijh+ gij ,

em que Cα = Aα,1Aα+1,2 − 2Aα+1,2 + 4 = 2(2− 2α+ J − iK)(3− 2α+ J − iK) e ∂yn−ij (gij ) = 0.É pertinente observar que, tendo em vista a possibilidade de controle na escolha de n ∈ N, ele

pode ser escolhido suficientemente grande de acordo com as necessidades. Se além das condiçõesque já foram impostas, nós também impusermos n > t+ r, para todo r 6= i, r 6= ij , e t ∈ N tal queyt está em g(y), então podemos garantir que ∂yn−r(en(x−1

i h)) = 0 se r 6= ij , j = 1, ...k, e r 6= i.Portanto, para todo i′ 6= i, temos as seguintes relações:

Se i′ 6= ij , para todo j = 1, ...k, então

∂yn−i′ (en(x−1i h)) = 0 e ∂yn−i′ (Cαx

−1i yn−i′∂xi′ (h)) = 0.

Se i′ = ij , para algum j = 1, ..., k, então

∂yn−i′ (en(x−1i h)) = ∂yn−ij (en(x−1

i h))

= ∂yn−ij (αjCαx−1i x−1

ijyn−ijh+ gij ) = ∂yn−ij (αjCαx

−1i x−1

ijyn−ijh) + ∂yn−ij (gij )

= ∂yn−ij (Cαx−1i yn−ij∂xij (h)).

Concluímos então que para i 6= i′,

∂yn−i′ (en(x−1i h)− Cαx−1

i yn−i′∂xi′ (h)) = 0. (5.11)

Como J − iK 6∈ Z, então Cα 6= 0. Também ∂xijh 6= 0, para todo j = 1, ..., k. Concluímos entãoque w 6= 0.

Consideremos agora um polinômio arbitrário h(x,y) e fixemos i′ tal que ∂xi′h 6= 0. Seja h =

h1 + ...+ ht, em que cada hi é um monômio em x.Aplicando (5.11) a cada hs, e então tomando a soma sobre s = 1, ..., t, temos

w = β(Cαx−1i yn−i′∂xi′ (h)) + h′,

com β ∈ N a quantidade de monômios em x nos quais xi′ "aparece", e para algum h′ tal que∂yn−i′ (h

′) = 0. Consequentemente, w 6= 0. A desigualdade degx+w < degx+v segue do Lema 5.4.13.Notemos que a hipótese de degx+-homogêneo para h garante que Cα seja sempre o mesmo.

�


Lema 5.4.15. Seja v ∈ Mi,S. Então, existe u ∈ U tal que u(v) é um elemento não nulo degx-homogêneo em Mi,S.

Demonstração. Em primeiro lugar, notemos que w ∈ Mi,S é degx-homogêneo se e somente seh0(w) = λw, para algum λ ∈ C, em que h0 = −2

∑m∈Z

xm∂xm + J . Escrevemos v como uma soma

v = w1 + ...+wt de polinômios homogêneos, e seja h0(wi) = λiwi, em que λ1, ..., λt são dois a doisdistintos. Então, para cada k = 0, ..., t− 1, temos

hk0(v) = λk1w1 + ...+ λktwt.

Teremos então um sistema da forma

h00(v) = h0

0(w1) + ...+ h00(wt) = w1 + ...+ wt

h10(v) = h0(w1) + ...+ h0(wt) = λ1w1 + ...+ λtwt

...

ht−10 (v) = ht−1

0 (w1) + ...+ ht−10 (wt) = λt−1

1 w1 + ...+ λt−1t wt.

Notemos que a matriz transposta da matriz dos coeficientes deste sistema é exatamente a matrizde Vandermonde, cujo determinante é dado por

∏1≤i<j≤t

(λj − λi),

e é não nulo, pois λj 6= λi, para todo i 6= j.Portanto, o sistema possui única solução. Podemos assim encontrar ui ∈ U tal que ui(v) = wi,

para todo i, e temos o resultado desejado.�

Demonstraremos agora a Proposição 5.4.6(b)(ii):Seja v ∈ Mi,S não nulo qualquer. Se v for um elemento da forma x−1

i g(x,y), para algumpolinômio g tal que ∂xig = 0, estamos prontos para a demonstração. Caso não seja, podemosaplicar fNi , para algum N > 0 suficientemente grande, e substitui-lo por fNi (v). Além disso, usandoo Lema 5.4.15, podemos assumir que g é degx-homogêneo, de onde segue que é degx+-homogêneo.Podemos claramente perceber que degx+(v) = degx+(g), e faremos indução em degx+(v). O Lema5.4.11 fornece o resultado desejado quando degx(v) = 0, e será nossa base de indução.

Suponhamos agora que degx(v) = α ≥ 1. Então, fixamos j ∈ Z tal que ∂xj (v) 6= 0. Assim, peloLema 5.4.14, podemos encontrar n > 0 suficientemente grande tal que en(v) 6= 0 em Mi,S , em que

en = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)e−n.

Assumindo como hipótese de indução que o resultado seja válido sempre que degx(v) < α,


em que v é um polinômio não nulo degx-homogêneo em Mi,S , teremos que en(v) a satisfaz, poisdegx(en(v)) < degx(v). Assim, podemos encontrar u1 ∈ U tal que u1(en(v)) = x−1

i y−1k1...y−1

kn. Con-

sequentemente, u = u1en ∈ U fornece o resultado desejado.

5.4.3 O Caso K = 0

Nesta seção nós demonstraremos as condições necessárias e suficientes para que Mi seja irre-dutível, que é o item (b) do Teorema 5.3.3. Pelo Corolário 5.4.5, já temos que se J ∈ Z, então Mi

é redutível. Assim, precisamos apenas analisar o que ocorre quando J 6∈ Z. A próxima Proposiçãoque provaremos será suficiente para o que desejamos.

Proposição 5.4.16. Seja K = 0 e J 6∈ Z. Então, temos o seguinte:

(a) U(x−1i ) = Mi;

(b) Seja v ∈Mi não nulo. Então, existe u ∈ U tal que u(v) = x−1i .

Começamos com o próximo Lema, que implica o item (a):

Lema 5.4.17. Seja v ∈ Mi um elemento não nulo tal que degx+(v) = 0. Então, existe u1 ∈ U talque u1(v) = x−1

i . Além disso, U(x−1i ) = Mi.

Demonstração. Em primeiro lugar, fixamos p ∈ N. Para v = x−pi , definimos u1 = fp−1i . No caso em

que v =t∑

j=1x−pji , pj ∈ N, para todo j = 1, ..., t, seja pmax = max{pj , j = 1, ..., t}. Para este pmax

fixado, pela parte anterior, encontramos u1 ∈ U tal que u1(v) = x−1i , tendo em vista que u1(v) é

um polinômio cujas parcelas ou são iguais a x−1i ou estão em Ii.

Temos também o seguinte:

−1

p(p+ 1 + J)e−i(x

−pi ) = x−p−1

i .

De fato,

e−i(x−pi ) = −xi∂xi∂xi(x

−pi ) + J∂xi(x

−pi ) = −xi(−p)(−p− 1)x−p−2

i + J(−p)x−p−1i

= (−p)(p+ 1)x−p−1i + J(−p)x−p−1

i = (−p)(p+ 1 + J)x−p−1i ,

e temos então a igualdade desejada. Observamos que como J 6∈ Z, então p(p+ 1 + J) 6= 0

Podemos perceber facilmente que também vale a identidade

k∏s=1

fαsis (x−pi ) = x−pi xα1i1...xαnin ,

para todo p ∈ N. Para mostrar que U(x−1i ) = Mi, como um polinômio em Mi pode ser escrito como

uma soma finita de monômios, precisamos apenas mostrar que cada monômio pode ser obtido dex−1i através da ação de algum elemento u ∈ U.Um monômio em Mi é da forma w = x−pi x

αji1...xαkik . Assim, basta tomar


u =

(k∏s=1

fαsis

)(−1

p(p+ 1 + J)e−i

)p−1

(x−1i ),

e teremos o resultado desejado.�

Pela primeira parte do lema acima, já vimos que para um elemento v deMi não nulo satisfazendodegx+(v) = 0, existe u ∈ U tal que u(v) = x−1

i . Precisamos ainda mostrar que o resultado é válidoquando degx+(v) > 0, para concluir a demonstração da Proposição 5.4.16.

O item (b) segue do Lema 5.4.15 (para S = ∅) e do seguinte Lema (pois a partir do momentoque podemos diminuir degx+(v), podemos obter x−1

i ):

Lema 5.4.18. Seja v ∈ Mi tal que degx+(v) > 0. Então, existe u ∈ U com u(v) = v′ 6= 0 edegx+(v′) < degx+(v).

Demonstração. Em primeiro lugar, assumiremos que v é um monômio da forma v = x−1i xα1

i1...xαkik .

Caso não seja, podemos aplicar uma potência conveniente de fi a v. Para cada s ∈ Z, s 6= i,consideremos

e−s(v) = −∑m,k∈Z

xk+m−s∂xk∂xm(v) + J∂xs(v).

Por simplicidade, faremos os cálculos separadamente:

−∑

m,k∈Zxk+m−s∂xk∂xm(v) = −x2i−s∂xi∂xi(v)− 2

( ∑m∈Z\{i}

xm+i−s∂xm

)∂xi(v)

−

( ∑m1,m2∈Z\{i}

xm1+m2−s∂xm1∂xm2

)(v)

= −x2i−s(−1)(−2)x−3i xα1

i1...xαkik − 2

( ∑m∈Z\{i}

xm+i−s∂xm

)((−1)xα1

i1...xαkik x

−2i )

−

(k∑

m1,m2=1αm1αm2x−s+im1+im2

x−1i x−1

im1x−1im2

xα1i1...xαkik

)= −2x−3

i xα1i1...xαkik x2i−s + 2x−2

i

(k∑

m=1xm+i−sαmx

−1imxα1i1...xαkik

)−x−1

i

(k∑

m1,m2=1αm1(αm2 − δm1,m2)x−s+im1+im2

x−1im1

x−1im2

xα1i1...xαkik

)= vs.

J∂xs(v) =

k∑j=1

δs,ijJαjx−1s v.

Portanto, podemos escrever e−s(v) = vs +k∑j=1

δs,ijαjJx−1s v.

Seguindo o raciocínio da demonstração do Lema 5.4.14, definimos


es = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)e−s.

Seja também

vs = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)(vs).

Suponhamos agora que es(v) = 0, para todo número inteiro s tal que s 6∈ {i1, ..., ik}. Já sabemos

que, para s nestas condiçõesk∑j=1

δs,ijJαjx−1s v = 0. Portanto, vs = 0, para todos esses s. Observemos

porém, que isto só ocorre se vs = 0, para todos esses s. Como os coeficientes de vs não dependemde s, então vs = 0, para todo s ∈ Z. Em particular, para s = i1, vi1 = 0.

Assim,

ei1(v) = (e−ifi −Aα,1)(e−ifi −Aα+1,2)(α1Jx−1i1v) = e−ifie−ifi(α1Jx

−1i1v)

− e−ifiAα+1,2(α1Jx−1i1v)−Aα,1e−ifi(α1Jx

−1i1v)

+Aα,1Aα+1,2α1Jx−1i1v = Aα,1Aα+1,2α1Jx

−1i1v,

pois ao aplicarmos fi, as outras parcelas estarão em Ii, e e−i não produz potências negativas de xi.Como Aα,1 e Aα+1,2 são não nulos, já que J 6∈ Z, então ei1(v) é não nulo; e também

degx+(ei1(v)) = α− 1 < α = degx+(v),

o que nos dá o resultado desejado quando v é um monômio.Consideremos agora v um polinômio arbitrário. Então, v pode ser escrito como

v = v1 + ...+ vt,

com v1, ..., vt linearmente independentes. Tendo em vista que podemos aplicar uma potência con-veniente de fi a v se necessário, vamos assumir que todos os monômios têm xi-grau igual a −1.Observemos então, que cada monômio é da forma

vm = x−1i xα1m

i1m...x

αkmikm

.

Repetindo os passos que fizemos para um monômio, consideremos s ∈ Z tal que s 6= i. Supo-nhamos que es(v) = 0, para todo s 6∈ {i1m, ..., ikm | m = 1, ..., t}. Como vs = (v1)s + ... + (vt)s

tem coeficientes que não dependem de s, então podemos fixar s ∈ {i1m, ..., ikm | m = 1, ..., t}, quedenotaremos por i1, por exemplo. Assim,

ei1(v) = Aα,1Aα+1,2Jx−1i1

(α1(v1)v1 + ...+ α1(vt)vt),

136 LOCALIZAÇÃO DA PRIMEIRA REALIZAÇÃO DE CAMPOS LIVRES .0

em que αj(vj) é o grau de xi1 em vj . Como os monômios são linearmente independentes, eAα,1Aα+1,2J 6= 0, e temos o resultado desejado.

�

Apêndice A

Notação, Definições e Resultados Básicos

Este apêndice tem por objetivo apresentar os conceitos fundamentais para o estudo das álgebrasde Lie e suas representações, bem como fixar notação e enunciar os principais resultados. Algunsdeles serão apenas enunciados, com a indicação da bibliografia onde as demonstrações podem serencontradas sem maior dificuldade. Apresentaremos também alguns resultados para anéis e módulos,que sejam importantes no desenvolvimento do trabalho, mas mantendo o foco principal nas álgebrasde Lie.

Destacamos ainda que as álgebras de Kac-Moody, em particular as álgebras de Lie afim, sãotratadas em capítulo específico.

A.1 Anéis e Módulos

Nesta seção, A será um anel associativo, não necessariamente comutativo, com elemento iden-tidade 1 6= 0. Quando não especificarmos se A é comutativo ou não, o resultado enunciado seráválido para ambos os casos. Denotaremos o produto de dois elementos a1, a2 ∈ A por a1a2; damesma forma, para a ∈ A e m ∈ M , em que M é um A-módulo à esquerda, a ação de A em M

será denotada por am.O que faremos aqui será especificamente utilizado no desenvolvimento do Capítulo 4.As principais referências utilizadas foram [11], [10] e [1].

Definição A.1.1. Seja A um anel. Um conjunto multiplicativo (de forma mais completa, umconjunto multiplicativamente fechado unital) em A é um subconjunto S ⊆ A tal que:

(a) 1 ∈ S, e

(b) Se s1, s2 ∈ S, então s1s2 ∈ S (isto é, S é fechado sob a multiplicação de A).

Definição A.1.2 (Condição de Ore). Sejam A um anel e S um conjunto multiplicativo em A.Diremos que S satisfaz a condição de Ore à esquerda quando, para cada s ∈ S e a ∈ A, existemt ∈ S e b ∈ A tais que ta = bs, isto é, Sa ∩ As 6= ∅. Um conjunto multiplicativo satisfazendo acondição de Ore à esquerda é chamado abreviadamente de conjunto de Ore à esquerda. Podemosdefinir simetricamente condição de Ore à direita e conjunto de Ore à direita.

Um conjunto de Ore é um conjunto multiplicativo que satisfaz as condições de Ore à esquerdae à direita simultaneamente.

137

138 NOTAÇÃO, DEFINIÇÕES E RESULTADOS BÁSICOS A.1

Notemos que, em anéis comutativos, qualquer conjunto multiplicativo é um conjunto de Ore.

Lema A.1.3. Sejam A um anel, e S um conjunto de Ore à esquerda em A. Dados quaisquerelementos s1, ..., sn ∈ S, existem a1, ..., an ∈ A tais que a1s1 = ... = ansn e a1s1 ∈ S, isto é,As1 ∩ ... ∩Asn ∩ S 6= ∅.

Demonstração. A demonstração é feita por indução em n:

• Base de Indução (n = 2): sejam s1, s2 ∈ S; existem a1 ∈ S e a2 ∈ A tais que a1s1 = a2s2, ea1s1 ∈ S, pois S é um conjunto de Ore à esquerda.

• Hipótese de Indução: suponhamos agora que o resultado seja válido para n = k > 2, isto é,dados s1, s2, ..., sk ∈ S, existem b1, b2, ..., bk ∈ A tais que b1s1 = b2s2 = ... = bksk e b1s1 ∈ S.

• Seja sk+1 ∈ S. Como S é um conjunto de Ore à esquerda, existem bk+1 ∈ A e b′1 ∈ S tais queb′1(b1s1) = bk+1sk+1. Temos também que b′1(b1s1) ∈ S, pois S é um conjunto multiplicativo, epela hipótese de indução b1s1 ∈ S.

Assim, b′1(b1s1) = b′1(b2s2) = ... = b′1(bksk) = bk+1sk+1 e b′1(b1s1) ∈ S, o que conclui a demonstra-ção.

�

Lema A.1.4. Sejam A um anel, e S um conjunto de Ore à esquerda em A. Suponha que φ : A −→ B

seja um homomorfismo de anéis tal que φ(s) é uma unidade de B, para todo s ∈ S. Então, dadosa1, ..., an ∈ A e s1, ..., sn ∈ S, existem x1, ..., xn ∈ A e y ∈ S tais que φ(si)

−1φ(ai) = φ(y)−1φ(xi),para todo i = 1, ..., n.

Demonstração. Pelo Lema A.1.3, existem b1, ..., bn ∈ A e y ∈ S tais que bisi = y, para todoi = 1, ..., n. Então,

φ(y) = φ(bisi) = φ(bi)φ(si) =⇒ φ(y)φ(si)−1 = φ(bi),

isto é, φ(bi) é uma unidade em B. Então, se xi = biai, para todo i = 1, ..., n, temos

φ(y)−1φ(xi) = φ(bisi)−1φ(biai) = φ(si)

−1φ(bi)−1φ(bi)φ(ai) = φ(si)

−1φ(ai).

�

Notemos que, usando a simetria da definição, os dois lemas anteriores podem ser enunciados edemonstrados também para um conjunto de Ore à direita.

A partir do Lema A.1.4, ao estudarmos anéis de frações no Capítulo 4, teremos condições deafirmar que as "frações"φ(si)

−1φ(ai), i = 1, ..., n, possuem um "denominador comum"φ(y).

Definição A.1.5 (Restrição de Escalares). ([1, p.27]) Sejam A e B anéis comutativos, M umB-módulo, e f : A −→ B um homomorfismo de anéis. Então, M possui estrutura de A-módulodefinida como segue: se a ∈ A e m ∈M , então am := f(a)m. Dizemos que este A-módulo é obtidode M por restrição de escalares. Em particular, f define uma estrutura de A-módulo em B.

A.1 ANÉIS E MÓDULOS 139

De modo análogo, definimos restrição de escalares para anéis não comutativos, especificando seM é um A-módulo à esquerda ou à direita.

Definição A.1.6 (Extensão de Escalares). ([1, p.28]) Sejam A e B anéis comutativos, M umA-módulo, e f : A −→ B um homomorfismo de anéis; pela Definição A.1.5, B tem estrutura deA-módulo, e podemos então obter o A-módulo MB = B ⊗AM . MB tem também uma estrutura deB-módulo tal que b(b′ ⊗m) = (bb′)⊗m, para todo b, b′ ∈ B e m ∈ M , e dizemos que foi obtido deM por extensão de escalares.

É fácil ver que a Definição A.1.5 faz sentido, pois Im f ⊆ B.A Definição A.1.6, porém, necessita de demonstração, o que optamos por não fazer aqui, apenas

enunciando (como encontrado em [1]), tendo em vista que um resultado análogo para módulos sobreanéis não comutativos é demonstrado no Capítulo 2.

O conceito de funtor é também bastante importante para o Capítulo 4, mas para que possamosdefini-lo, precisamos antes passar pelo conceito de categoria.

Definição A.1.7. ([11, p.9-10]) Uma categoria C consiste de:

(a) Uma classe ob C de objetos (geralmente denotados por A,B,C,etc.);

(b) Para cada par ordenado de objetos (A,B), um conjunto homC(A,B), cujos elementos sãochamados morfismos de A em B. Ao sabermos exatamente a qual categoria nos referimos,escrevemos simplesmente hom(A,B);

(c) Para cada tripla ordenada de objetos (A,B,C), uma aplicação (f, g) 7−→ gf dehom(A,B)× hom(B,C) em hom(A,C).

É necessário que os objetos e morfismos satisfaçam as seguintes condições:

(i) Se (A,B) 6= (C,D), então hom(A,B) e hom(C,D) são disjuntos;

(ii) (Associatividade) Se f ∈ hom(A,B), g ∈ hom(B,C) e h ∈ hom(C,D), então

(hg)f = h(gf).

De forma simplificada, escrevemos hgf ;

(iii) (Unidade) Para cada objeto A, temos um elemento 1A ∈ hom(A,A) tal que f1A = f , paratodo f ∈ hom(A,B) e 1Ag = g para cada g ∈ hom(B,A) (1A é único).

Exemplo A.1.8. A-mod, a categoria dos módulos à esquerda sobre um anel A fixado; ob A-modé a classe dos módulos à esquerda de A e os morfismos são os homomorfismos de A-módulos àesquerda; o produto de homomorfismos é a composição deles.

Definição A.1.9. ([11, p.19]) Sejam C e D categorias. Um funtor (covariante) F de C em Dconsiste de:

(a) Uma aplicação A 7−→ FA de ob C em ob D;


(b) Para cada par de objetos (A,B) de C, uma aplicação

f 7−→ F (f)

de homC(A,B) em homD(FA,FB).

É necessário que satisfaçam as seguintes condições:

(i) Se gf está definida em C, então F (gf) = F (g)F (f), e

(ii) F (1A) = 1FA.

A.2 Álgebras de Lie

Nesta seção apresentamos algumas definições e resultados básicos para as álgebras de Lie, quepodem ser encontrados principalmente em [4] e [15]. Salvo menção em contrário, todos os espaçosvetoriais serão sobre um corpo K arbitrário.

Os resultados mais específicos são apresentados nos capítulos onde se fazem necessários.

Definição A.2.1. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de um produto(colchete ou comutador)

[, ] : g× g −→ g

com as seguintes propriedades:

(a) É bilinear;

(b) Antissimétrico, isto é, [X,X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X,Y ] = −[Y,X] para todoX,Y ∈ g e é equivalente se o corpo de escalares não é de característica dois), e

(c) Satisfaz a identidade de Jacobi, isto é, para todo X,Y, Z ∈ g,

[X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0.

Esta igualdade por ser reescrita alternativamente de umas das duas formas:

(c1) [X, [Y,Z]] = [[X,Y ], Z] + [Y, [X,Z]],

(c2) [[X,Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]].

É conveniente observar que uma álgebra de Lie g não é necessariamente associativa, pois[[X,X], Y ] = 0 para quaisquer X,Y ∈ g, mas [X, [X,Y ]] nem sempre se anula.

Definição A.2.2. Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de g é um subespaço vetorial h de g

que é fechado pelo colchete, isto é, [X,Y ] ∈ h se X,Y ∈ h.

Notemos que uma subálgebra de Lie é uma álgebra de Lie com a estrutura herdada de g.

A.2 ÁLGEBRAS DE LIE 141

Exemplo A.2.3. gl(n,K): o espaço de todas as transformações lineares de um espaço vetorial dedimensão n sobre o corpo K, que é o mesmo que o espaço das matrizes n× n com coeficientes emK. O colchete é dado por

[X,Y ] = XY − Y X,

com X e Y matrizes. Algumas vezes, quando o corpo não for relevante, indicaremos essas álgebrasapenas por gl(n). Da mesma forma, indicaremos a álgebra das transformações lineares de um es-paço vetorial V qualquer (incluindo aqui espaços de dimensão infinita) por gl(V ). É importanteobservarmos que, na notação para espaços vetoriais, o espaço vetorial das transformações linearesde V é denotado por End(V ). Aqui, trata-se ainda do mesmo espaço vetorial, que ao ser dotadocom a estrutura de álgebra de Lie recebe a denominação de gl(V ) .

Notemos que o espaço de todas as transformações lineares de qualquer espaço vetorial V , dedimensão finita ou não, é uma álgebra associativa com o produto de duas transformações dado pelacomposição das mesmas. Assim, podemos generalizar o exemplo acima, como segue:

Exemplo A.2.4. (Álgebras de Lie Provenientes de Álgebras Associativas): Seja A umaálgebra associativa e em A defina o colchete pelo comutador

[x, y] = xy − yx, para todo x, y ∈ A.

Esse colchete define em A uma estrutura de álgebra de Lie, que alguns autores denotam por [A].

Exemplo A.2.5. (Subálgebras de gl(n,K)):

(a) sl(n,K) = {X ∈ gl(n,K) | tr(X) = 0}. Muitas vezes essas álgebras são denotadas apenas porsl(n);

(b) so(n,K) = {X ∈ gl(n,K) | X +Xt = 0}, em que Xt indica a matriz transposta da matriz X;

Notemos que o espaço das matrizes simétricas

{X ∈ gl(n,K) | X = Xt}

não é subálgebra de gl(n,K) se n ≥ 2, pois se X e Y são simétricas, então [X,Y ] é antissimé-trica. De fato, se X,Y ∈ gl(n,K) são tais que X = Xt e Y = Y t, então

[X,Y ] = XY − Y X

= XtY t − Y tXt = (Y X)t − (XY )t = (Y X −XY )t = −(XY − Y X)t = −[X,Y ]t;

(c) O subespaço das matrizes triangulares superiores

{X ∈ gl(n,K) | X =

a1 ∗ · · · ∗0 a2 · · · ∗...

.... . .

...0 0 · · · an

}


é uma subálgebra de gl(n,K);

(d) sp(n,K) = {X ∈ gl(2n,K) | XJ + JXt = 0}, em que J é escrito em blocos n× n como

J =

(0 −1

1 0

),

com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n×n. Para ver que esse subespaçoé de fato uma subálgebra, notemos em primeiro lugar que J2 = −1 e, portanto, X ∈ sp(n,K)

se e somente se

JXt = −XJ

JJXt = −JXJ

Xt = JXJ.

Se X,Y ∈ sp(n,K), então

[X,Y ]t = (XY − Y X)t = (XY )t − (Y X)t

= −XtY t + Y tXt

= −JXJ2Y J + JY J2XJ

= J(XY − Y X)J

= J [X,Y ]J,

isto é, [X,Y ] ∈ sp(n,K).

Definição A.2.6. Diremos que uma álgebra de Lie g é abeliana quando [X,Y ] = 0, para todoX,Y ∈ g. Neste caso, a estrutura de álgebra de Lie não acrescenta nada à estrutura de espaçovetorial.

Exemplo A.2.7. (a) Se dim g = 1, então g é abeliana;

(b) Todo subespaço de dimensão 1 de uma álgebra de Lie qualquer é uma subálgebra abeliana;

(c) O espaço das matrizes diagonais é uma subálgebra abeliana de gl(n,K).

Todo subespaço de uma álgebra abeliana é uma subálgebra.

Observação A.2.8. (Álgebras de Dimensão ≤ 2)

(a) dim g = 1, então g é abeliana;

(b) dim g = 2, existem duas possibilidades:

(i) g é abeliana ou

(ii) Existe uma base {X,Y } de g tal que [X,Y ] = Y e a partir daí, o colchete de quaisquer


dois elementos de g é dado por

[aX + bY, cX + dY ] = (ad− bc)[X,Y ] = (ad− bc)Y, com a, b, c, d ∈ K.

De fato, suponhamos que g não seja abeliana, e tomemos uma base {X ′, Y ′} de g. Então,[X ′, Y ′] 6= 0, pois caso contrário g seria abeliana. Seja Y ′′ = [X ′, Y ′] e escolha X ′′ tal que{X ′′, Y ′′} seja base de g. Então, X ′′ = aX ′ + bY ′, Y ′′ = cX ′ + dY ′, com a, b, c, d ∈ K,e [X ′′, Y ′′] = αY ′′, α ∈ K com α 6= 0 (pois {X ′′, Y ′′} é base, e se α = 0, teríamos g

abeliana). Os elementos X = 1αX′′ e Y = Y ′′ formam a base desejada. Para tanto, basta

notar que { 1αX′′, Y ′′} é um conjunto linearmente independente.

Definição A.2.9. Uma transformação linear ψ : g −→ h (com g e h álgebras de Lie) é um

(a) Homomorfismo se ψ([X,Y ]) = [ψ(X), ψ(Y )];

(b) Isomorfismo se for um homomorfismo inversível;

(c) Automorfismo se é um isomorfismo e g = h.

As álgebras g e h são isomorfas se existe um isomorfismo ψ : g −→ h.

Exemplo A.2.10. (a) Os homomorfismos entre as álgebras abelianas são as transformações li-neares. Logo, duas álgebras abelianas de dimensão finita são isomorfas se e só se elas têm amesma dimensão;

(b) Se ψ : g −→ h é um homomorfismo e h é abeliana, então Kerψ contém todos os elementos daforma [X,Y ], X,Y ∈ g, pois ψ([X,Y ]) = [ψ(X), ψ(Y )] = 0;

(c) A aplicação traço

tr : gl(n,K) −→ K

é um homomorfismo, pois tr(XY − Y X) = 0 para quaisquer transformações lineares X,Y e,portanto, tr([X,Y ]) = 0 = [tr(X), tr(Y )], já que K, por ser de dimensão 1, é uma álgebraabeliana.

Definição A.2.11. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita com base {X1, ..., Xn}. Tomandodois elementos Xi, Xj desta base, o colchete entre eles [Xi, Xj ] pode ser escrito como uma combi-nação linear

[Xi, Xj ] =n∑k=1

ckijXk.

Os coeficientes ckij ∈ K são denominados constantes de estrutura da álgebra em relação a umabase.

Conforme [15, p.22], é possível mostrar que duas álgebras de Lie de dimensão finita (ambas coma mesma dimensão) que possuem as mesmas constantes de estrutura são isomorfas. Assim, podemos


afirmar que existem apenas duas álgebras de Lie de dimensão dois, a menos de isomorfismo: umadelas é abeliana, e a outra é a que admite uma base {X,Y } tal que [X,Y ] = Y .

Definição A.2.12. Um subespaço i de g é um ideal de g se

∀Y ∈ i, X ∈ g, [X,Y ] ∈ i, isto é,

[g, i] = ger{[X,Y ] : X ∈ g, Y ∈ i} ⊆ i.

Notemos que, como o colchete de Lie é antissimétrico, todos os ideais são bilaterais.

Observação A.2.13. Todo ideal é claramente uma subálgebra. Notemos que, no entanto, nem

toda subálgebra é um ideal. De fato, consideremos o subespaço de sl(2,R) gerado por

(1 0

0 −1

).

Esse espaço é uma subálgebra de sl(2,R), pois é unidimensional. Porém, não é um ideal, já que[(1 0

0 −1

),

(0 1

0 0

)]=

(0 2

0 0

).

Notemos também que todo subespaço de uma álgebra abeliana é um ideal.Com as definições que temos até aqui, se ψ : g −→ h for um homomorfismo de álgebras de Lie,

então Kerψ é um ideal de g e Imψ é uma subálgebra de h.

Definição A.2.14. Seja g uma álgebra de Lie e h um ideal. No espaço vetorial quociente g/h,defina

[X,Y ] = [X,Y ],

em que X denota a classe X + h, para todo X ∈ g. Esse colchete define em g/h uma estrutura deálgebra de Lie.

(vide [4, p.3])

Definição A.2.15. De modo análogo ao que temos para anéis, a projeção canônica

π : g −→ g/h

X 7−→ X

é um homomorfismo sobrejetor de álgebras de Lie.

Teorema A.2.16 (Teorema Fundamental do Isomorfismo). Seja ψ : g −→ h um homomor-fismo. Então,

g/Kerψ ∼= Imψ.

Para a demonstração, o procedimento é análogo ao utilizado para a demonstração do TeoremaFundamental do Isomorfismo para anéis.


Exemplo A.2.17. Sejam

g = {X ∈ gl(3,K) | X =

0 ∗ ∗0 0 ∗0 0 0

} e

h = {X ∈ gl(3,K) | X =

0 0 ∗0 0 0

0 0 0

}.h é ideal de g, pois para todo X ∈ h, Y ∈ g, [X,Y ] = 0. O quociente g/h é uma álgebra abelianabidimensional, pois dados X,Y ∈ g, [X,Y ] ∈ h, o que nos dá [X,Y ] = [X,Y ] = 0.

A.2.1 Representações de Álgebras de Lie

A teoria de representações de álgebras de Lie tem um papel fundamental no estudo das mesmas,pois através de uma representação podemos descrever uma álgebra de Lie como uma álgebra detransformações lineares, o que algumas vezes pode facilitar bastante o trabalho.

Nesta subseção veremos apenas os resultados principais a respeito do assunto, e maiores detalhespodem ser encontrados em [4] e [15].

Definição A.2.18. Sejam V um espaço vetorial, e gl(V ) a álgebra de Lie das transformaçõeslineares de V . Seja também g uma álgebra de Lie (sobre o mesmo corpo de escalares de V ). Umarepresentação de g em V é um homomorfismo

ρ : g −→ gl(V ).

Na terminologia usual, V se denomina o espaço da representação, enquanto sua dimensão é adimensão da representação. Uma representação ρ é dita fiel se Kerρ = {0}.

Notemos que, sempre que uma representação for fiel, pelo Teorema A.2.16, podemos olhar parag como uma subálgebra da álgebra de Lie das transformações lineares de V .

Exemplo A.2.19. (a) Se g ⊆ gl(V ) é subálgebra, a inclusão define, de modo trivial, uma repre-sentação de g em V , denominada representação canônica;

(b) A aplicação

(a b

c −a

)∈ sl(2,K) 7−→

2a −2b 0

−c 0 b

0 2c −2a

∈ gl(3,K)

é uma representação de sl(2,K). De fato, seja a base {X,H, Y } de sl(2,K), em que

X =

(0 1

0 0

)H =

(1 0

0 −1

)Y =

(0 0

1 0

).


Suas constantes de estrutura são dadas por

[H,X] = 2X [H,Y ] = −2Y [X,Y ] = H.

As imagens dos elementos dessa base formam uma base de Imρ, que tem as mesmas constantesde estrutura.

Definição A.2.20. Um módulo à esquerda sobre uma álgebra de Lie g é um espaço vetorial Vsobre o mesmo corpo de escalares de g, juntamente com uma lei de composição externa g×V −→ V ,denotada por (X, v) 7−→ Xv, que satisfaz, para X,Y ∈ g, u, v ∈ V e um escalar x, as seguintespropriedades:

(a) (X + Y )v = Xv + Y v;

(b) X(u+ v) = Xu+Xv;

(c) (xX)v = X(xv);

(d) [X,Y ]v = XY v − Y Xv.

Notemos que, simetricamente, podemos definir um módulo à direita. Porém, neste texto, semperda de generalidade, ao nos referirmos aos módulos sobre uma álgebra de Lie, estaremos tratandode módulos à esquerda.

Observação A.2.21. Em um módulo V , cada X ∈ g define uma aplicação linear de V por multi-plicação à esquerda:

v ∈ V 7−→ Xv ∈ V.

Em virtude das propriedades de módulo, essas aplicações lineares definem uma representação de g

em V . Vice versa, dada uma representação ρ de g em V , o produto g× V −→ V dado por

(X, v) 7−→ Xv = ρ(X)(v)

define um módulo sobre g. Em outras palavras, os conceitos de módulo e de representação sãoequivalentes.

Definição A.2.22. Para um elemento X na álgebra de Lie g, considere a transformação linear

ad(X) : g −→ g

definida por ad(X)(Y ) = [X,Y ]. A aplicação

ad : X ∈ g 7−→ ad(X) ∈ gl(g)

define uma representação de g em g, denominada representação adjunta. O fato de ad ser linearprovém da bilinearidade do colchete. Já a propriedade de homomorfismo de ad é equivalente à


identidade de Jacobi. De fato, a igualdade ad([X,Y ]) = ad(X)ad(Y )− ad(Y )ad(X) é a mesma que

[[X,Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]], para todo Z ∈ g.

Definição A.2.23. O núcleo da representação adjunta é denominado centro de g e é denotadopor z(g):

z(g) = {X ∈ g | ad(X)(Y ) = [X,Y ] = 0, para todo Y ∈ g},

isto é, o centro de uma álgebra de Lie é o conjunto de seus elementos que comutam com todos osseus elementos. Notemos que z(g) é um ideal abeliano de g.

Podemos generalizar a definição acima para qualquer subconjunto A ⊆ g, como segue:

Definição A.2.24. O centralizador de um subconjunto A ⊆ g é definido como

z(A) = {Y ∈ g | ∀X ∈ A, [X,Y ] = 0}.

Se A = g, as definições de centro e centralizador coincidem. O centralizador de qualquer A ⊆ g

é uma subálgebra de g, pois se X,Y ∈ z(A) e Z ∈ A, então

[[X,Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y,Z]] = 0,

já que [X,Z] = [Y,Z] = 0.

Definição A.2.25. Uma representação ρ de uma álgebra de Lie g em um espaço vetorial V é ditairredutível se os únicos subespaços invariantes por ρ são V e {0}, o que é equivalente a dizer queV , como g-módulo, não possui submódulos próprios.

Definição A.2.26. Uma representação ρ de uma álgebra de Lie g em um espaço vetorial V é ditacompletamente redutível se V se decompõe como uma soma direta de subespaços invariantes taisque a restrição de ρ a cada um deles é irredutível, isto é, como g-módulo, V é uma soma diretade g-submódulos irredutíveis. As representações completamente redutíveis são também denominadasrepresentações semissimples.

Notemos que uma representação irredutível é sempre completamente redutível.

Definição A.2.27. Uma aplicação linear D : g −→ g é uma derivação da álgebra de Lie g sesatisfaz

D([X,Y ]) = [D(X), Y ] + [X,D(Y )], para todo X,Y ∈ g.

Um exemplo de derivação que surge com frequência são as adjuntas dos elementos de g. Utilizandoa identidade de Jacobi, para todo Z ∈ g, temos

ad(X)([Y,Z]) = [X, [Y,Z]] = [[X,Y ], Z] + [Y, [X,Z]] isto é,

ad(X)([Y,Z]) = [ad(X)(Y ), Z] + [Y, ad(X)(Z)],

o que nos mostra que ad(X) é de fato uma derivação.


Definição A.2.28 (Série Derivada). Seja g uma álgebra de Lie. Para dois subconjuntos A e Bquaisquer de g, denotaremos por [A,B] o subespaço de g

[A,B] =< {[X,Y ] | X ∈ A, Y ∈ B} > .

Definimos então, por indução, os seguintes subespaços de g:

g(0) = g

g′ = [g, g]

...

g(k) = [g(k−1), g(k−1)].

Esses subespaços são ideais de g, pois para quaisquer ideais i, j de g, a identidade de Jacobi implicaque [i, j] é um ideal de g.

Essa sequência de ideais é conhecida como série derivada de g e suas componentes são asálgebras derivadas de g.

Exemplo A.2.29. Seja g = sl(2,R). Então, g = g′ e, portanto, g(k) = g, para todo k ≥ 0. De fato,sejam

X =

(0 1

0 0

)H =

(1 0

0 −1

)Y =

(0 0

1 0

).

Então, [H,X] = 2X, [H,Y ] = −2Y e [X,Y ] = H e, portanto, X, Y e H estão em g′. Como{X,H, Y } é uma base de g, então g′ = g. A mesma afirmação vale para sl(2,K), desde que K sejaum corpo de característica diferente de 2.

Se a característica é 2, g′ é o subespaço de g gerado por H e, portanto, g′′ = {0}.

Definição A.2.30 (Álgebras Solúveis). Uma álgebra de Lie g é solúvel se alguma de suas álgebrasderivadas se anula, isto é,

g(k0) = {0},

para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, g(k) = {0} para todo k ≥ k0).

Exemplo A.2.31. Um exemplo clássico de álgebra solúvel são as álgebras de Lie das matrizestriangulares superiores sobre um corpo K:

g = {

∗ ∗ · · · ∗0 ∗ · · · ∗...

.... . .

...0 0 · · · ∗

n×n

},

em que g(n) = {0}.

Proposição A.2.32. Seja g uma álgebra de Lie. Então,


(a) Se g é solúvel, e h ⊆ g é subálgebra, então h também é solúvel (em particular, um ideal deuma álgebra solúvel é também solúvel);

(b) Se g é solúvel e h ⊆ g é um ideal, então g/h também é solúvel.

(vide [15, p.46])A partir do resultado acima, podemos afirmar que imagens homomórficas de álgebras solúveis

são também solúveis. De fato, se ϕ : g −→ h é um homomorfismo sobrejetor de álgebras de Lie,pelo Teorema A.2.16, g/Kerϕ ∼= h e, pela proposição acima, g/Kerϕ é solúvel, já que Kerϕ é umideal de g.

Proposição A.2.33. Sejam g uma álgebra de Lie e h ⊆ g um ideal. Suponha que tanto h quantog/h sejam solúveis. Então, g é solúvel.

(vide [15, p.47])

Definição A.2.34 (Série Central Descendente). Seja g uma álgebra de Lie. Definimos, porindução, a série central descendente como

g1 = g

g2 = [g, g] = g′

...

gk = [g, gk−1].

Como o produto de ideais é ideal, segue que gk é um ideal de g, para todo k ≥ 1. Assim, temosgk+1 = [g, gk] ⊆ gk, o que nos dá uma cadeia descendente de ideais

g1 = g ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ...

Definição A.2.35. Seja g uma álgebra de Lie. Diremos que g é nilpotente se sua série centraldescendente se anula em algum momento, isto é, gk0 = {0}, para algum k0 ≥ 1 (e, portanto,gk = {0}, para todo k ≥ k0).

Proposição A.2.36. Seja g uma álgebra de Lie nilpotente.

(a) Se h ⊆ g é subálgebra, então h é nilpotente;

(b) Se h ⊆ g é um ideal, então g/h é nilpotente.

(vide [15, p.48])

Proposição A.2.37. Seja g uma álgebra de Lie. Então, sua série derivada tem decrescimento maisrápido do que sua série central descendente, isto é,

g(k) ⊆ gk+1,

para todo k ≥ 0.


(vide [15, p.45])Notemos que a proposição acima nos permite concluir que álgebras nilpotentes são solúveis.A afirmação contrária porém, não é sempre verdadeira. Para obter um exemplo disso, basta

observarmos que a álgebra de Lie das matrizes triangulares superiores é solúvel, mas não nilpotente.Um outro exemplo de álgebra solúvel que não é nilpotente é a álgebra de dimensão dois não

abeliana. Para essa álgebra, gk 6= {0}, se k ≥ 2, mas g′′ = {0}.

Exemplo A.2.38. O centro de uma álgebra de Lie nilpotente não é trivial. De fato, existe k ∈ Ntal que gk 6= {0} e gk+1 = {0}. Assim, [g, gk] = gk+1 = {0} e, portanto, gk ⊆ z(g).

No entanto, o centro de uma álgebra solúvel pode se anular; é o que ocorre, por exemplo, coma álgebra não abeliana de dimensão dois.

Proposição A.2.39. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita. Então, existe em g um únicoideal solúvel τ ⊆ g que contém todos os ideais solúveis de g. Esse ideal é chamado de radicalsolúvel de g, e usamos a notação τ(g).

(vide [15, p.49])Na verdade, o resultado é mais geral, pois é possível prová-lo também para álgebras de Lie de

dimensão infinita.

Definição A.2.40. Uma álgebra de Lie g é semissimples se não contém ideais solúveis além doideal trivial {0}.

Definição A.2.41. Uma álgebra de Lie g é simples se

(a) Os únicos ideais de g são {0} e g, e

(b) dim g 6= 1.

Exemplo A.2.42. sl(2,R) é simples. De fato, consideremos uma base formada pelos elementos

X =

(0 1

0 0

)H =

(1 0

0 −1

)Y =

(0 0

1 0

).

Os colchetes entre eles são dados por [H,X] = 2X; [H,Y ] = −2Y e [X,Y ] = H. Suponha queexista um ideal I de sl(2,R) tal que I 6= {0} e considere Z = aX + bH + cY ∈ I, com a, b, c ∈ R epelo menos um deles não nulo. Então,

ad(X)(Z) = −2bX + cH e ad2(X)(Z) = −2cX,

de onde temos que Z, ad(X)(Z) ou ad2(X)(Z) é múltiplo não nulo de X, isto é, X ∈ I. ComoH = −[Y,X] e I é ideal, então H ∈ I; e como Y = 1/2[Y,H], temos que Y ∈ I, pelo mesmo motivo.Assim, I = sl(2,R), e sl(2,R) é simples.

Observação A.2.43. Conforme Teorema 4.25 em [4], temos que sl(n,C) é simples, para qualquern ∈ N. Na verdade, sl(n,K) é simples sempre que K for um corpo de característica diferente dedois.


Observação A.2.44. O centro de uma álgebra de Lie é um ideal abeliano e, portanto, solúvelcomo álgebra de Lie. Assim, o centro de uma álgebra semissimples é trivial.

Observação A.2.45. Como o centro de uma álgebra de Lie g semissimples é trivial, então arepresentação adjunta dessa álgebra é uma representação fiel, pois o centro de uma álgebra deLie é o núcleo de sua representação adjunta. Assim, podemos "olhar"para uma álgebra de Liesemissimples como uma subálgebra de gl(g).

Definição A.2.46. Sejam g uma álgebra de Lie, e h uma subálgebra. O normalizador de h édefinido como

n(h) = {X ∈ g | [X, h] ⊆ h}.

n(h) é uma subálgebra de g. De fato, sejam X,Y ∈ n(h), H ∈ h. Então,

[[X,Y ], H] = [[X,H], Y ] + [X, [Y,H]],

pela Identidade de Jacobi. Como [X,H] ∈ h e [Y,H] ∈ h, temos que [[X,Y ], H] ∈ h, o que nos dáo resultado desejado.

Definição A.2.47. ([18, p.635]) Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra h de g é chamada desubálgebra de Cartan de g se:

(a) Todo elemento h ∈ h é localmente nilpotente em h, isto é, fixando h ∈ h, para todo h′ ∈ h,existe m′ ∈ N tal que adm′(h)(h′) = 0;

(b) h é seu próprio normalizador em g.

Definição A.2.48. ([18, p.640]) Seja g uma álgebra de Lie de dimensão finita. Uma subálgebra h

de g é chamada de subálgebra de Cartan de g se:

(a) h é nilpotente, e

(b) h é seu próprio normalizador em g.

Exemplo A.2.49. Ao considerarmos g = sl(2) (sobre um corpo K de característica diferente de2),

h = {

(a 0

0 −a

), a ∈ K}

é uma subálgebra de Cartan, pois h é abeliana e, considerando

{X =

(0 1

0 0

), H =

(1 0

0 −1

), Y =

(0 0

1 0

)}

temos [H,αX + βH + γY ] = 2αX − 2γY , com α, β, γ ∈ K, que está em h se e só se α = γ = 0, oque nos mostra que h é igual ao seu normalizador.

Observação A.2.50. Conforme Proposição 4.26 em [4], o conjunto das matrizes diagonais emsl(n,C) tem dimensão n− 1 e é uma subálgebra de Cartan de sl(n,C), para todo n ∈ N.


A.3 Álgebras Envolventes Universais

Ao estudarmos as representações da álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie g,obtemos também informações a respeito das representações de g.

Nesta seção, iremos enunciar os principais resultados para essas álgebras envolventes, baseando-nos principalmente em [4] e [18]. Aqui, novamente, todos os espaços vetoriais serão sobre um corpoK arbitrário, salvo menção em contrário.

Destacamos ainda que, ao mencionarmos uma álgebra associativa, estaremos admitindo que elapossui elemento identidade.

Definição A.3.1. Seja g uma álgebra de Lie. Por uma álgebra envolvente universal de g iremosentender um par (U, i) composto de uma álgebra associativa U junto com uma aplicação i : g −→ U

satisfazendo as seguintes condições:

(a) A aplicação i é um homomorfismo de álgebras de Lie de g em [U]; isto é, i é linear, e paratodo x, y ∈ g, i([x, y]) = i(x)i(y)− i(y)i(x);

(b) (Propriedade Universal)Dada qualquer álgebra associativa A e qualquer homomorfismo deálgebras de Lie f : g −→ [A], existe um único homomorfismo de álgebras f ′ : U −→ A tal queo seguinte diagrama comuta:

Uf ′// A

g

i

OO

f

??

Em outras palavras, f = f ′ ◦ i.

Se uma álgebra de Lie g possui álgebras envolventes universais (U, i) e (U′, i′), então U ∼= U′, nosentido de que existe um isomorfismo f entre essas álgebras tal que f ◦ i = i′. Para a demonstra-ção, que não faremos aqui, são utilizados os argumentos clássicos para objetos com propriedadesuniversais; a existência é dada pela proposição seguinte.

Proposição A.3.2. Seja g uma álgebra de Lie. Então, g admite uma álgebra envolvente universal.

(vide [18, p.39-40])Se estudarmos em detalhes a demonstração da Proposição A.3.2, veremos que a construção

clássica da álgebra envolvente universal de g é feita utilizando-se a álgebra tensorial T do espaçovetorial g, e tomando-se o quociente dessa álgebra pelo ideal bilateral u gerado por todos os ele-mentos da forma x⊗ y− y⊗ x− [x, y], com x, y ∈ g; considerando π a aplicação canônica de T emT/u, define-se i como π�T1(g)=g

. A partir disso, notemos que U é gerada (como álgebra associativa)pelos elementos i(x), x ∈ g. A partir de agora, denotaremos a álgebra construída na ProposiçãoA.3.2 por U(g).

Observação A.3.3. Se g1 e g2 são álgebras de Lie sobre um corpo K e f : g1 −→ g2 é um

A.3 ÁLGEBRAS ENVOLVENTES UNIVERSAIS 153

homomorfismo, então existe um único homomorfismo U(f) : U(g1) −→ U(g2) tal que

g1f

//

i1��

g2

i2��

U(g1)U(f)

// U(g2)

comuta.De fato, como f(g1) ⊆ g2, então i2 ◦ f : g1 −→ U(g2) é um homomorfismo de álgebras de Lie;

pela propriedade universal, existe um único homomorfismo de álgebras U(f) : U(g1) −→ U(g2) talque U(f) ◦ i1 = i2 ◦ f .

Observação A.3.4. Seja agora g uma álgebra de Lie sobre um corpo K, e π : g −→ gl(V )

uma representação de g em um K-espaço vetorial V . Segue diretamente da propriedade universalque π estende-se a um homomorfismo de álgebras associativas (que também denotaremos por π)π : U(g) −→ gl(V ). Assim, dada uma representação de g em V , temos também uma representaçãode U(g) em V .

Por outro lado, dada uma representação π : U(g) −→ gl(V ), de U(g) em um K-espaço V ,podemos "recuperar"uma representação de g no mesmo espaço vetorial. Para isso, basta tomarπ ◦ i : g −→ gl(V ), e teremos um homomorfismo de álgebras de Lie, como desejado.

Teorema A.3.5 (Poincaré-Birkhoff-Witt(PBW)). Seja g uma álgebra de Lie sobre um corpoK, com uma base {xj | j ∈ J} indexada por algum conjunto J totalmente ordenado. Seja (U, i) aálgebra envolvente universal de g. Então, a família de elementos

i(xj1)i(xj2)...i(xjn),

com j1 ≤ j2 ≤ ... ≤ jn, n ∈ Z+, junto com 1 ∈ K formam uma base do espaço U.

(vide [18, p.41-45])

Corolário A.3.6. As imagens {i(xj)}j∈J em U(g) dos elementos da base {xj}j∈J de g formam umconjunto linearmente independente. Em particular,

i : g −→ U(g)

é injetiva.

Assim, de agora em diante, podemos identificar g como um subespaço de U(g). Se x ∈ g,escrevemos x ∈ U(g), ao invés de i(x) ∈ U(g).

Corolário A.3.7. Seja b uma subálgebra da álgebra de Lie g. Suponha que {xj}j∈J ∪{yk}k∈K sejauma base de g tal que {xj}j∈J é uma base de b e tanto J como K são totalmente ordenados. Então,

(a) A injeção b −→ g −→ U(g) pode ser estendida a uma injeção de U(b) em U(g);

(b) U(g) é um U(b)-módulo livre à esquerda (respectivamente à direita) admitindo a família{yk1 ...ykn ; k1 ≤ ... ≤ kn, n ∈ N} como uma base.

(vide [18, p.46])


Corolário A.3.8. Sejam g1, ..., gn álgebras de Lie, e defina g = g1 × ... × gn (produto direto deálgebras de Lie). Então,

U(g) ∼= U(g1)⊗ ...⊗ U(gn)

como K-espaços vetoriais.

Proposição A.3.9. Seja g uma álgebra de Lie. A representação adjunta estende-se de forma únicaa uma representação (denotada por adu e também chamada de representação adjunta ) de g emU(g) pela qual g age como uma derivação interna em U(g). Mais precisamente, para todo x ∈ g,u ∈ U(g)

adu(x)(u) = xu− ux.

(vide [18, p.47])

Proposição A.3.10. Seja g uma álgebra de Lie. Então, U(g) não possui divisores de zero,isto é,para todo a, b ∈ U(g), ab = 0 implica a = 0 ou b = 0.

(vide [18, p.48-49])

A.4 Extensões Centrais

Finalizando este apêndice, construiremos uma extensão central para uma álgebra de Lie quepossui um 2-cociclo (extensão por um 2-cociclo); tal extensão será uma ferramenta importanteno Capítulo 1, especificamente na construção de uma álgebra de Lie afim.

Definição A.4.1. Seja g uma álgebra de Lie sobre um corpo K. Um 2-cociclo a valores em K sobreg é uma forma bilinear ψ satisfazendo duas condições:

(a) ψ(a, b) = −ψ(b, a);

(b) ψ([a, b], c) + ψ([b, c], a) + ψ([c, a], b) = 0, para todo a, b, c ∈ g.

Definição A.4.2. Sejam g e c álgebras de Lie sobre um corpo K. Por uma extensão central deg por c entenderemos uma sequência exata de álgebras de Lie

0 // ci // e

π // g // 0

tal que c está no centro de e. Em outras palavras, temos um homomorfismo sobrejetor de álgebrasde Lie π : e −→ g e um homomorfismo injetor i : c −→ e tal que c ∼= Kerπ está no centro de e.

Com as definições acima, podemos efetuar a construção.Sejam g uma álgebra de Lie sobre um corpo K, ψ um 2-cociclo sobre g, e c = Kv um espaço

vetorial de dimensão 1 sobre K. Considere e = c ⊕ g (soma direta de espaços vetoriais), e teremosuma estrutura de álgebra de Lie em e, com o colchete dado por

A.4 EXTENSÕES CENTRAIS 155

[αv + g1, βv + g2] = [g1, g2]g + ψ(g1, g2)v,

para todo α, β ∈ K, g1, g2 ∈ g, e [, ]g denotando o colchete de Lie em g. A estrutura de álgebra deLie está garantida pelas propriedades de álgebra de Lie de g e pelas propriedades de 2-cociclo deψ. Notemos que, fazendo g1 = 0, temos (αv, 0) ∈ z(e), para todo α ∈ K.

Definindo então

i : c −→ e

αv 7−→ (αv, 0) e

π : e −→ g

(αv, g1) 7−→ g1,

temos Imi = Kerπ = {(αv, 0) : α ∈ K} ⊆ z(e). Assim, temos uma extensão central de g por c,chamada extensão por um 2-cociclo.


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Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Marcela Guerrini Alves · 2017. 11. 16. · À primeira professora de Matemática que me ensinou o encanto das possibilidades,