Biologia Estrutural - Laboratory of BioMolecular · PDF fileFonte: wfdaj.sites.uol.com.br. Ondas Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas,

Biologia EstruturalOndas e Lei de Bragg

Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.

wfdaj.sites.uol.com.br © 2006 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.


Fenômenos OndulatóriosPulso de OndasOndasOnda EletromagnéticaRadiação EletromagnéticaInterferênciaRepresentação Matemática de OndasLei de BraggReferências

Resumo


Fenômenos Ondulatórios

Fenômenos ondulatórios são comuns na natureza, desde de exemplos bucólicos, como uma onda formada num lago, devido a ação da queda de uma pedra, a fenômenos não tão óbvios, como a propagação de ondas eletromagnéticas. A representação gráfica, normalmente satisfatória para os propósitos da interação da radiação eletromagnética com cristais, faz uso de funções periódicas, como a função senoidal, representada ao lado.

Pulso de Ondas

Podemos pensar em ondas como a propagação de energia, caso essa propagação ocorra em um meio material, como o ar, teremos ondas mecânicas, se as ondas propagam-se no vácuo teremos ondas eletromagnéticas. As ondas sonoras são ondas mecânicas e podem propagar-se em meios sólidos, líquidos e gasosos. Na figura abaixo temos a propagação de um pulso de uma onda em um meio material, uma corda. O pulso de uma onda é a propagação da pertubação através do meio.

Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.html

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OndasCaracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação dos átomos e moléculas que compõem o meio, onde a onda se propaga. A freqüência da onda (f) é a freqüência de oscilação do átomos e moléculas do meio. O período, T = 1 / f, é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda (λ) é a distância, entre dois átomos, que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação da onda mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude em função da posição x.


x

λ

A


OndasA amplitude de uma onda caracteriza a grandeza física que varia com o tempo de forma periódica, normalmente representada graficamente no eixo y do gráfico. A amplitude pode ser o campo elétrico, o deslocamento, a intensidade entre outras grandezas físicas. O período da onda abaixo é de 0,00227 s, o que representa uma onda de freqüência f = 1/T = 440,5 Hz, a amplitude da onda é 1. Na representação abaixo temos a variação da amplitude em função do tempo t.

t(s)

Τ=0,00227s

A

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Ondas

Temos uma relação simples entra o comprimento de onda, velocidade de propagação da onda (v) e a freqüência da onda (f), que é dada por:

v = f.λ

Por exemplo: Consideremos uma onda do mar que aproxima-se da praia com velocidade de 1,8 m/s e um comprimento de onda de 2,4 m. Com qual freqüência a onda atinge a praia?

Solução: f = v / λ = (1,8 m/s) / (2,4 m) = 0,75 s-1 ou 0,75 Hz .

O Hertz é a unidade de medida de freqüência, e é representado por Hz.


Ondas

Vamos considerar outro exemplo. A figura abaixo mostra uma onda. Qual é o seu comprimento de onda? Se a frequência for de 12 Hz, qual é a sua velocidade de propagação?

Solução: O comprimento de onda é de 3 m. Vemos claramente na figura que num total de 6 m a onda repete-se duas vezes. Com λ=3 m, temos que a velocidade de propagação (v) é dada como segue: v = fλ = 12 Hz. 3m = 36 m/s .


6m


São constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B) oscilantes, propagando-se com velocidade constante. Exemplos: raios X, radiação gama, ondas de rádio, ondas luminosas, radiação ultravioleta, radiação infravermelha. Como não temos, necessariamente, a oscilação de átomos e moléculas na onda eletromagnética, a mesma pode propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas.

E

B

x


Onda Eletromagnética


E

B

x

λ

f = cλComprimento de onda

freqüênciaVelocidade da luz


Onda Eletromagnética


Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos:

f = c = 3 .10 m/sλ8


Radiação Eletromagnética


1 km103

3 MHz102

30 MHz10

300 MHz1

10 cm 10-1

1 cm10-2

1 mm10-3

100 µm10-4

10 µm10-5

1 µm10-6

7000 Å

4000 Å

1000 Å10-7

100 Å10-8

10 Å = 1 nm10-9

1,0 Å10-10

0,1 Å10-11

1,24 MeV10-12

10-15

RadiaçãoOutras unidadesComprimento de onda (m)

Fonte: Okuno, E., Caldas, I. L., Chow, C. Física para ciências biológicas e biomédicas. Editora Harbra, 1982, pg. 3.

Raios gama e raios X

Ultravioleta

Luz visível

Infravermelha

Ondas de rádio

Radiação Eletromagnética

Interferência

Quando temos duas ou mais ondas, viajando no mesmo meio independentemente, podemos ter situações onde elas passam uma através da outra. Temos a soma das ondas, que pode resultar numa interferência construtiva, as amplitudes das ondas somam-se, como na figura abaixo.


Tempo = 0

Tempo = 1

Tempo = 2



Interferência

Analisando-se a interferência construtiva de ondas senoidais, como representado nas figuras ao lado, temos que duas ondas em fase, ondas 1 e 2, onde seus máximos e mínimos coincidem e a onda apresenta o mesmo comprimento de onda, o resultado da soma das duas e uma onda com a amplitude resultante igual à soma das amplitudes das ondas 1 e 2. No caso de interferência destrutiva temos as ondas fora de fase, exatamente meio comprimento de onda, onde o máximo da onda 1 coincide com o mínimo da onda 2, o resultado da soma é uma onda de amplitude zero.

Interferência construtiva

Interferência destrutiva



Representação Matemática de Ondas

Podemos representar matematicamente ondas, e consequentemente, fenômenos ondulatórios, por meios de funções periódicas como seno e coseno, ou combinações dessas funções. A onda ao lado pode ser representada pela seguinte função: E1 (t) = A . sen ( ω.t) , onde A indica a amplitude da onda, ω é a freqüência angular ( ω= 2π.f ), onde f é a freqüência.

E(t)

t


A



Vamos considerar a soma de duas ondas (E1 e E2), ambas com mesma freqüência, mas com amplitudes 2 u. a. e 3 u. a., respectivamente, como representado ao lado, u.a. é unidade de amplitude, para deixarmos de uma forma geral.

2 u. a.

3 u. a.

5 u. a.

E1 (t) = 2.sen(ω.t) E2 (t) = 3.sen(ω.t)

E(t) = E1(t) + E2(t) =

E(t) = 2.sen(ω.t ) + 3.sen(ω.t) =5. sen(ω.t)


E1 (t) = 2.sen(ω.t)

E2 (t) = 3.sen(ω.t)

E(t) = 5. sen(ω.t)



Consideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A, comprimento de onda λ e deslocada um ângulo de fase α, em relação a onda 1. Podemos representar matematicamente a onda 2 por meios da seguinte função: E2 (t) = A . sen ( ω.t + α), onde A indica a amplitude da onda, ω é a freqüência angular ω = 2π.f , onde f é a freqüência, α indica a fase da onda.

E(t)

t


A

α



Uma onda com comprimento de onda constante (λ) é caracterizada por duas quantidades, a amplitude (A) e o ângulo de fase (α). Essas duas quantidades caracterizam um vetor de módulo (A), no plano complexo, que faz um ângulo (α) com o eixo dos reais. Quantidades complexas (Z) são representadas no plano complexo, onde o eixo x é chamado de eixo real, e o eixo y eixo complexo.

Z = a + ib = A.cos(α) + A.sen(α) = = A. [cos(α) + sen(α) ] = A. eiα, onde i é o número

complexo i = (-1)1/2


Eixo Real

Eixo Imaginário

Z = a + ib

a

b A

Z = A.ei.α

α



E(t)

t

Eixo imaginário

EixoReal


α

αE2

E1



E(t)

t

Eixo imaginário

EixoReal

A somatória das duas ondas pode ser representada comosegue:E(t) = E1(t) + E2(t) = E1[1 + ei.α]


α

E1 (t) = A.sen(ω.t)E2 (t) = E1ei.α

αE2

E1

Lei de Bragg


θ θ

Considere um conjunto de planos paralelos de um retículo cristalino, como mostrado na figura ao lado, com distância interplanar (d). Incidindo sobre este conjunto de planos paralelos temos raios X de comprimento de onda λ. Podemos analisar a difração de raios X como se fosse resultado da reflexão dos raios X pelos planos. Para que ocorra difração num dado ângulo θé necessário que as ondas difratada sofram interferência construtiva.

d

Lei de Bragg


Analisemos a diferença de caminho ótico dos feixes 1 e 2, indicados na figura. O feixe 2 percorre a distância A + B a mais que o feixe 1. Assim, para que as ondas dos feixes 1 e 2 sofram interferência construtiva, a diferença de caminho ótico entre elas deve ser um número inteiro de comprimentos de onda.

θ θ

θθθ θ

A B

A + B = 2.A = 2 d.sen θ

dd

θd

d.sen θ

1

2

1

2

Lei de Bragg


A diferença de caminho ótico (2 d.sen θ ) tem que ser um número inteiro de comprimento de onda (n.λ), onde n é inteiro, assim temos:

2 d.sen θ = n.λ (Lei de Bragg)

θ θ

θθθ θ

A Bd

d

θd

d.sen θ

1

2

1

2

Aplicação da Lei de Bragg


Num experimento típico de difração de raios X, temos a fonte de radiação o cristal e detector, como mostrado no diagrama esquemático abaixo. Normalmente os ângulos de difração são expressos em relação ao feixe incidente, ou seja, 2 θ.

2θ

θ

θFonte de raios X

Cristal

Detector



Ao coletarmos dados de difração de raios X de um cristal, usando-se uma geometria como a mostrada no slide anterior teremos picos de difração para todos os ângulos 2θque satisfaçam à lei de Bragg. Se graficarmos a intensidade da radiação difratada contra o ângulo de espalhamento (2θ), teremos um gráfico com o seguinte aspecto.



Equipamentos que medem o padrão de difração de raios X são chamados de difratômetros. Há uma grande variedade de tipos e formas de difratômetro de raios X, dependendo do tipo de experimento que se deseja realizar. A figura abaixo mostra um difratômetro de pó, usado para amostras policristalinas.



No caso de colocarmos um filme fotográfico para registrar a imagem de difração de raios X, como mostrado no diagrama abaixo, teremos um padrão de difração de raios X bidimensional, quanto mais distante o ponto de difração de raios X do ponto central da figura (feixe direto) maior o ângulo de espalhamento (2θ).

2θ

θ

θ

Cristal

Filme fotográfico ou placa de imagem

Feixe de raios X

Feixedireto



Consideremos um cristal cúbico primitivo com parâmetro de cela unitária a = 4 Å. Determine a posição angular, das 4 primeiras linhas de difração de raios X desse cristal, sabendo-se que o comprimento de onda da radiação incidente é 1,54 Å.

a = 4 Å

Pela lei de Bragg temos: 2 d.sen θ = n.λ , determinaremos para n=1,2,3 e 4. Isolando-seo ângulo θ na lei de Bragg temos:

sen θ = n.λ/2.d θ = arcsen (n.λ/2.d )

Sabemos o comprimento de onda (λ) e a distância interplanar (a = 4 Å), variando-seo n de 1 a 4 teremos os ângulos de difração.



n θ (° ) 2. θ (° )1 11,10 22,202 22,64 45,284 35,28 70,564 50,35 100,70

Para n = 1 temos:θ = arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (1.1,54/2.4) = arcsen (0,1925 ) = 11,10 °

Para n = 2 temos:θ= arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (2.1,54/2.4) = arcsen (0,385 ) = 22,64 °



Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer-Verlag.

Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2nd ed.San Diego: Academic Press.

Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons.

Referências


Documents

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