Booklet Limites

7/17/2019 Booklet Limites

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SucessõesDefinição

Usamos atrás o conceito de sucessão e alguns factos relacionados, queveremos agora com um pouco mais de detalhe.

Uma sucessão de números reais é uma função s : N ∩ [k , +∞[ → R. Éhabitual designar a imagem de n por s n (dito o termo de ordem n) erepresentar a sucessão na forma (s n)n≥k ou mesmo (s n)n ou

s k , s k +1, s k +2, . . . (quando é clara a intenção subjacente . . . ).

Exemplos:

((−1)n)n≥1

(n3)n

(cos n)n

1, 12 ,

13 ,

14 , . . . (é clara a intenção de sugerir a sucessão ( 1

n)n≥1)

Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 2. 1

Limites e Continuidade Sucessões

SucessõesLimite - definição

Seja (s n)n uma sucessão e seja L ∈ R. Diremos que L é o limite dasucessão (s n)n, e escreveremos limn→+∞ s n = L (ou s n → L) se, para nsuficientemente grande, s n estiver tão próximo de L quanto for requerido.

Mais precisamente, diremos que limn→+∞ s n = L se

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ Nn > p ⇒ |s n − L| < ε

s n ∈ ]L−ε,L+ε[

.

(

(

( (

L

LL-!

L-!

L+!

L+!

|

|

1

1

p n > p ...2

2 35p

...

gráfico da sucessão

termos da sucessão

s s s ss



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SucessõesLimite - exemplos

1. limn→+∞

1n

= 0 pois

!

1/!

|

|1 p2

y=1/x

dado qualquer ε > 0,basta tomar p >

1ε

para garantir que :

n > p ⇒ |1n − 0| =

1n

<1p

< ε.

2. limn→+∞

1√ n

= 0 pois

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ | 1√

n| < ε).

De facto, para um dado ε > 0, basta tomar p ∈ N maior que 1ε

2 . Entãon > p implica

| 1√

n| =

1√ n

<1√ p

< ε.



SucessõesUnicidade do limite

O limite de uma sucessão, quando existe, é único .

De facto, suponhamos que limn→+∞ s n = L1 e limn→+∞ s n = L2 comL1, L2

∈R distintos. Seja ε = |L2−L1|

2 (> 0). Como limn→+∞ s n = L1,

existe p 1 ∈ N tal que

n > p 1 ⇒ |s n − L1| < ε.

Por outro lado, como limn→+∞ s n = L2, também existe p 2 ∈ N tal que

n > p 2 ⇒ |s n − L2| < ε.

( ( (

(

LL-! L+!

2! | |

1 L21 2

Mas então, para qualquer n > max{p 1, p 2},tem-se |s n − L1| < ε e |s n − L2| < ε, o queé absurdo pois os intervalos ]L1 − ε, L1 + ε[ eL2 ε L2 + ε são dis untos.

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SucessõesExistência de limite

É fácil verificar que nem toda a sucessão tem limite, por exemplo (n2)n ou((−1)n)n. Uma sucessão com limite diz-se convergente, caso contráriodiz-se divergente.

E como é que sabemos se uma sucessão é ou não convergente? Nemsempre é fácil responder, mas há um caso em que podemos garantir aconvergência: quando a sucessão é monótona e limitada.

Dizemos que (s n)n é:

crescente se m < n ⇒ s m ≤ s n para todos m, n ∈ N;

decrescente se m < n ⇒ s m ≥ s n para todos m, n ∈ N;

monótona se for crescente ou decrescente;

limitada se {s n | n ∈ N} for um subconjunto limitado de R.



SucessõesSucessões monótonas e limitadas

Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.

Demonstração: Suponhamos que (s n)n é uma sucessão crescente elimitada (o caso decrescente é análogo). Como (s n)n é limitada, existe

L = sup{s n | n ∈ N}. Vejamos que limn→+∞ s n = L.Seja ε > 0. Como L é o supremo de {s n | n ∈ N}, existe algum s p nointervalo ]L− ε, L] (caso contrário, existiria um majorante de {s n | n ∈ N}menor que L...). Mas então, se n > p , e porque (s n)n é crescente, resultaque s n ≥ s p . Como s n ≤ L = sup{s n | n ∈ N}, concluimos ques n ∈ ]L− ε, L] e logo |s n − L| < ε. Logo

∀ε > 0 ∃p ∈ N ∀n ∈ N (n > p ⇒ |s n − L| < ε)

e portanto limn→+∞ s n = L.

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SucessõesSucessões monótonas e limitadas

Notas:

Basta que a sucessão seja monótona e limitada a partir de umdeterminado termo s p , pois é fácil ver quelimn→+∞ s n = limn→+∞ s n+p .

Toda a sucessão convergente é necessariamente limitada, pois

∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |s n − L| < ε)

implica que só um número finito de termos (s 1, . . . , s p ) podem estarfora do intervalo ]L− ε, L + ε[. Mas não tem que ser monótona! Porexemplo, limn→+∞

(−1)n

n = 0.



SucessõesSubsucessões

Uma subsucessão da sucessão (s n)n é uma sucessão que se obtém a partirde s 1, s 2, s 3, . . . eliminando alguns termos desta sucessão e mantendo osrestantes, na mesma ordem. Por exemplo, s 2, s 4, s 6, . . . = (s 2n)n é umasubsucessão de (s n)n.

Genericamente, representamos uma subsucessão de (s n)n na forma (s i n)n,onde i 1 < i 2 < i 3 < . . . são números naturais.

Exemplos: ( 12n )n≥1, ( 1

n3 )n≥1 e ( 1n! )n≥1 são subsucessões de ( 1

n)n≥1;

(1, 14 ,

12 , . . .) ou (1,

12 ,

13 ,

13 . . .) nunca poderão ser subsucessões de ( 1

n)n≥1;

para qualquer sucessão (s n)n∈N, pode-se considerar a subsucessão dostermos de índice par, (s 2n)n∈N, a subsucessão dos termos de índice ímpar,(s 2n+1)n∈N, a subsucessão dos termos cujos índices são múltiplos de 3,(s 3n)n∈N, ...

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ExercíciosTeoremas de continuidade

27 Para cada uma das seguintes funções f de R em R, determine um inteiro n tal quef (x ) = 0 para algum x entre n e n + 1.

a) f (x ) = x 3 − x + 3; b) f (x ) = x 5 + 5x 4 + 2x + 1; c) f (x ) = x 5 + x + 1.

28 Mostre que existe algum número real x tal que:

a) sen x = x − 1. b) x 179 +

163

1 + x 2 + sen2 x = 119.

29 Com o auxílio do Teorema de Bolzano e de uma calculadora:

a) determine uma solução da equação cos x = ln x com erro inferior a 0, 01;

b) determine uma solução da equação e x = −x com erro inferior a 0, 01.

30 (∗) a) Sejam a , b ∈ R tais que a < b e f : [a, b ] −→ [a, b ] uma função contínua.Mostre que existe algum x 0 ∈ [a, b ] tal que f (x 0) = x 0. (Nota: diz-se que um talx 0 é um ponto fixo de f )

b) Dê exemplo duma função contínua g : [0, 1[−→ [0, 1[ que não tenha pontosfixos.


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ExercíciosLimite de uma função num ponto

21 Sejam A ⊂ R, a um ponto de acumulação de A e f e g funções de A em R .

a) Não existindo limx →a

f (x ) e limx →a

g (x ), poderão existir limx →a

(f (x ) + g (x )) ou

limx →a

(f (x ) · g (x ))?

b) Existindo limx →a

f (x ) e limx →a

(f (x ) + g (x )), existirá sempre limx →a

g (x )?

c) Existindo limx →a

f (x ) e limx →a

(f (x ) · g (x )), poderá não existir limx →a

g (x )?

d) Mostre que se f (x ) ≤ 0, ∀x ∈ X e existir L = limx →a

f (x ), então L ≤ 0.

e) Mostre que se f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ X , então limx →a

f (x ) ≤ limx →a

g (x ) sempre que

estes limites existam.

f) Se f (x ) < g (x ), ∀x ∈ X , ter-se-á necessariamente limx →a

f (x ) < limx →a

g (x ), no caso

de existirem os referidos limites?


Limites e Continuidade Exercícios


22 Use o Teorema de Heine para mostrar a inexistência dos seguintes limites:

a) limx −→+∞

cos2x b) lim

x −→+∞x sin x

c) limx −→0+

sin(1/x )

x d) lim

x −→+∞log(|cos x | +

1

x ).

23 Calcule, usando enquadramento de limites:

a) limx −→+∞

cos2 x

2x b) lim

x −→+∞

x sin x

(x − π)2 c) lim

n−→+∞

n

|sin n| + 1.

24 Sejam f , g : R → R e a ∈ R. Supondo que f e g são contínuas e que f (a) < g (a),prove que existe δ > 0 tal que ∀x ∈ R, |x − a| < δ ⇒ f (x ) < g (x ).

25 (∗) a) Mostre que se f : R→ R é contínua, então |f | também é contínua.

b) Dê exemplo de f : R → R que não seja contínua em nenhum ponto, mas talque |f | seja contínua em todos os pontos.

26 As funções f (x ) =

1, se x ≥ 1−1, se x < 1

e g (x ) = 1x

satisfazem

f (−1) · f (1) < 0 e no entanto não têm zeros no intervalo [−1, 1]. Porque é queeste facto não contradiz o Teorema de Bolzano?

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SucessõesLimites de subsucessões

É claro que a existência de limite de uma subsucessão (s i n)n não implica aexistência de limite de (s n)n∈N; e podem até existir subsucessões de umamesma sucessão com diferentes limites.

Por exemplo,- a sucessão (s n)n∈N = ((−1)n)n∈N = (1,−1, 1,−1, . . .) não é

convergente, mas a subsucessão (s 2n)n∈N tem limite 1 (é constante = 1) ea subsucessão (s 2n+1)n∈N tem limite −1 (é constante = −1);

- para qualquer n ∈ N, a sucessão (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, . . .) temuma subsucessão convergente para n.

Por outro lado, é fácil ver que se (s 2n)n∈N → l e (s 2n+1)n∈N → l , entãotambém (s n)n∈N → l .

Isto verifica-se facilmente a partir da definição de limite e resulta do factode todos os termos da sucessão serem da forma s 2n ou s 2n+1, para algumn ∈ N.



SucessõesLimites de subsucessões

Além disso:

Se limn→+∞ s n = L, então limn→+∞ s i n = L para toda a subsucessão (s i n)nde (s n)n.

De facto, se∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |s n − L| < ε),

então também é válido

∀ε > 0 ∃p ∈ N (n > p ⇒ |s i n − L| < ε),

pois i 1 < i 2 < i 3 < . . . implica que i n ≥ n para todo n, e logo n > p implicará sempre i n > p .

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Limite de uma função num pontoNoção intuitiva

Recordamos agora a noção de limite de uma função real de variável realnum ponto.

Intuitivamente, o limite de uma função f num ponto x 0 ∈ R, quandoexiste, é o valor para o qual evoluem os valores de f (x ) quando x se

aproxima de x 0, ou seja, o valor que esperaríamos para f (x 0) tendo emconta apenas os valores que f toma próximo de x 0.Claro que nem sempre é possível fazer tais previsões, por isso nem sempreexistirá limite...

Além disso, para que esta noção tenha sequer sentido, o domínio de f teráde conter pontos arbitrariamente próximos de x 0.


Limites e Continuidade Limites de funções reais de variável real num ponto

Limite de uma função num pontoPonto de acumulação

De forma já mais precisa, diremos que limx →x 0 f (x ) = L ∈ R se f (x )estiver tão próximo de L quanto for requerido, desde que x estejasuficientemente próximo de x 0.

Para muitos fins, esta descrição não é ainda suficientemente rigorosa.

Matemáticos como Bolzano, Cauchy e Weierstrass, no século XIX,contribuíram para a seguinte formulação:

Suponhamos que x 0 é um ponto de acumulação do domínio de f (Df ),isto é, para qualquer distância arbitrária δ , existem pontos diferentes de x 0em D f que distam de x 0 menos do que δ :

∀δ > 0, ∃x ∈ Df : 0 < |x − x 0| < δ .

(Note-se que não é exigido que x 0 ∈ Df .)

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ExercíciosSucessões

15 (⋆) Seja (an)n a sucessão de números reais definida recursivamente por a 1 = 1 ean+1 = 1 + an

2 (n ≥ 1).

a) Calcule os cinco primeiros termos da sucessão.

b) Prove por indução que (an)n é monótona e limitada.

c) Usando a igualdade limn→+∞ an+1 = 1 + limn→+∞ an2 , calcule o limite da sucessão.

16 (⋆) Diga, justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:

a) Seja (s n)n uma sucessão convergente com limite L e seja t n = max{s n, L}.Então, tem-se limn→+∞ t n = L.

b) Dadas sucessões (s n)n e (t n)n, seja (u n)n a sucessão definida por u 2n = s n eu 2n+1 = t n. Então, (u n)n converge se e só se (s n)n e (t n)n convergem.

17 (⋆) Seja (s n)n uma sucessão limitada. Para cada m ∈ N sejamt m = inf {s n : n ≥ m} e u m = sup{s n : n ≥ m}. Mostre que:

a) as sucessões (t m)m e (u m)m convergem;

b) se L é limite de alguma subsucessão de (s n)n, então tem-selimm→+∞ t m ≤ L ≤ limm→+∞ u m.




18 Determine o conjunto dos pontos de acumulação [à esquerda / à direita] de cadaum dos conjuntos:

a) Z b) [−1, 1[ c) ]2, 5[\{3, 4}d) R \ Z e) {(−1)n/n : n ∈ N} f) {n/(n + 1) : n ∈ N}

19 a) Seja f : R −→ R a função definida por f (x ) = 9x − 5. Encontre δ > 0 tal que|f (x )− 4| < 1

10 para qualquer x tal que |x − 1| < δ .

b) Seja f : R −→ R a função definida por f (x ) = x 2 − x . Encontre δ > 0 tal que|f (x )− f (1)| < 1

5 para qualquer x tal que |x − 1| < δ .

20 Prove, utilizando a definição, que:

a) limx →−1

(2x − 7) = −9 b) limx →2

(x 2− 1) = 3 c) lim

x →1−[x ] = 0

d) ∼

limx →−1

(2x ) = 0

e) ∼

limx →1+

[x ] = 0

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10 Verifique se cada uma das seguintes sucessões é monótona, limitada e / ouconvergente.

a)

2n−35n+1

n∈N

b)

(−1)n

5n+1

n∈N

c)

117

nn∈N

.

11 Indique os limites das seguintes sucessões e comprove o resultado a partir dadefinição de limite:

a) (e −n)n; b) n2

1+n2 n

; c) ln( n1+n

)n.

12 Dê exemplo de uma subsucessão monótona de cada uma das seguintes sucessões:

a)

(−1)n

5n+1

n∈N

b)

sen( nπ4

)n∈N

c)

n + (−1)n

n

n∈N

.

13 Seja (an)n∈N a sucessão definida por an = n

senn π

2

, ∀n ∈ N. Diga,

justificando, se cada uma das afirmações seguintes é verdadeira ou falsa:

a) {an : n ∈ N} tem supremo.

b) {an : n ∈ N} tem mínimo.

c) (an)n∈N é limitada.

d) (an)n∈N é monótona.




e) (an)n∈N é convergente.f) (an)n∈N admite uma subsucessão constante.g) Toda a subsucessão monótona de (an)n∈N é convergente.h) Toda a subsucessão limitada de (an)n∈N é convergente.

14 Diga, justificando, se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira paraqualquer sucessão (an)n com limite real L, ou se pode ser falsa.

a) (∀n ∈ N, an ≥ 0) ⇒ L ≥ 0.

b) (∀n ∈ N, an > 0) ⇒ L > 0.

c) L > 0 ⇒ (∀n ∈ N, an > 0).

d) Se L > 0 então todos os termos da sucessão a partir de certa ordem sãopositivos.

e) Se todos os termos da sucessão são racionais, então L é racional.

f) Se L é racional então todos os termos da sucessão a partir de certa ordem sãoracionais.

Limite de uma funçãoDefinição

Escrevemos limx →x 0

f (x ) = L ∈ R se

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df (0 < |x − x 0| < δ ⇒ |f (x )− L| < ε).

( (

(

(

x +"

L

x -"

L-!

L+!

|

|

x00 0

(Note-se que, mesmo no caso em que f está definida em x 0, o valor dolimite não depende de f (x 0)).



Limite de uma funçãoLimites laterais

Se considerarmos apenas vizinhanças à esquerda (respectivamente àdireita) de x 0, obtemos o limite lateral à esquerda (respectivamente àdireita) de f em x 0.

Mais precisamente, suponhamos que x é um ponto de acumulação àesquerda de Df , isto é, para qualquer δ > 0 existe x

∈Df

∩]x 0−

δ , x 0[.

Diz-se que limx →x

−

0

f (x ) = L sse

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R (x 0 − δ < x < x 0 ⇒ |f (x )− L| < ε).

Analogamente se define o limite lateral à direita limx →x +0

f (x ) = L.

A relação com o limite bilteral é dada por

limx →x 0

f (x ) = L ⇐⇒ limx →x

−

0

f (x ) = limx →x +0

f (x ) = L.

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Limite de uma funçãoUnicidade e exemplos

De forma análoga ao caso dos limites de sucessões, o limite de uma funçãonum ponto, caso exista, é único. O mesmo vale para os limites laterais.

Exemplos:

Seja f (x ) = 3√

x . É claro que 0 é um ponto de acumulação de Df = R.Vejamos que limx →0 f (x ) = 0. Seja ε > 0. Temos |f (x )− 0| = | 3√ x |, logo,tomando δ = ε

3, resulta que

|x − 0| < δ ⇒ |f (x )− 0| < ε.

Analogamente se mostra que limx →0+

√ x = 0.



Limite de uma funçãoAritmética de limites

Os limites comutam com as operações aritméticas elementares, quandoestas estão definidas em R:

Se limx →x 0

f (x ) = K e limx →x 0

g (x ) = L, então verifica-se que:

limx →x 0

(f (x ) + g (x )) = K + L

limx →x 0

(f (x )− g (x )) = K − L

limx →x 0

f (x )g (x ) = KL

limx →x 0

f (x )

g (x ) =

K

L (se g (x ), L̸ = 0)

limx →x 0

f (x )g (x ) = K L (se f (x ), K > 0)

Teoremas de continuidadeMáximos e mínimos

Seja ε > 0. Por continuidade de f , existe δ > 0 tal que

|x − c | < δ ⇒ |f (x )− f (c )| < ε.

Por outro lado, como limn→+∞ x i n = c , existe p ∈ N tal que

n > p ⇒ |x i n − c | < δ .

Logon > p ⇒ |f (x i n)− f (c )| < ε

e portanto limn→+∞ y i n = limn→+∞ f (x i n) = f (c ). Como f (c ) ∈ Im f ,resulta que que Im f é compacto e o teorema está demonstrado.




A determinação de máximos e mínimos de funções é um problema degrande relevância em muitas aplicações.

Apesar de a sua existência para funções com domínios compactos sergarantida apenas pela continuidade da função, as técnicas mais eficazespara a sua determinação dependem da existência de derivada.

Iremos desenvolver o conceito de derivada no próximo capítulo evoltaremos ao problema da determinação de máximos e mínimos maistarde.





Se f (m) = min(Im f ), dizemos que f (m) é o mínimo da função f , e m umponto de mínimo de f . Se f (M ) = max(Im f ), dizemos que f (M ) é omáximo de f , e M um ponto de máximo de f .

Teorema de Weierstrass

Se f : [a, b ]

→R for contínua, então tem um máximo e um mínimo.

a bMm




Demonstração: Pelo Corolário do Teorema dos Valores Intermédios, Im f é um intervalo. Para mostrar que tem máximo e mínimo, basta mostrarque Im f é um intervalo fechado e limitado.

Por um teorema anterior, os intervalos fechados e limitados sãocompactos, e é fácil ver que estes são os únicos intervalos compactos.Logo basta mostrar que Im f é compacto.

Seja (y n)n uma sucessão em Im f . Para cada n ∈ N, seja x n ∈ [a, b ] talque y n = f (x n). Como [a, b ] é compacto, existe uma subsucessão (x i n)n talque limn→+∞ x i n = c ∈ [a, b ]. Vejamos que limn→+∞ f (x i n) = f (c ) ∈ Im f .

Limite de uma funçãoAritmética de limites

Por exemplo, vejamos que limx →x 0(f (x ) + g (x )) = K + L. Seja ε > 0.Como limx →x 0 f (x ) = K , existe δ 1 > 0 tal que

0̸ = |x − x 0| < δ 1 ⇒ |f (x )− K | <ε

2.

Por outro lado, como limx →x 0 g (x ) = L, também existe δ 2 > 0 tal que

0̸ = |x − x 0| < δ 2 ⇒ |g (x )− L| < ε

2.

Seja δ = min{δ 1, δ 2}. Então 0̸ = |x − x 0| < δ implica simultaneamente|f (x )− K | <

ε

2 e |g (x ) − L| < ε

2 . Logo

|f (x ) + g (x )− (K + L)| = |(f (x )− K ) + (g (x )− L)|≤ |f (x )− K | + |g (x ) − L| <

ε

2 + ε

2 = ε,

portanto limx →x 0 (f (x ) + g (x )) = K + L.



Caracterização de Heine de limiteTeorema de Heine

São já conhecidas do ensino secundário várias técnicas que ajudam adeterminar o limite de uma função. E se não houver limite? Comopoderemos chegar a uma tal conclusão?

A caracterização de Heine de limite de uma função, usando limites desucessões, é um auxiliar precioso nessa tarefa:

Teorema de Heine

As condições seguintes são equivalentes para uma função f : D → R e umponto de acumulação a do domínio de f :

limx →a

f (x ) = L.

Para toda a sucessão (x n)n em D \ {a},

limn→+∞

x n = a ⇒ limn→+∞

f (x n) = L.





Demonstração: Suponhamos que limx →a f (x ) = L. Seja (x n)n umasucessão em D \ {a}, convergente para a.

Seja ε > 0. Como limx →a f (x ) = L, existe δ > 0 tal que

0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x )− L| < ε.

Por outro lado, como limn→+∞ x n = a, existe p ∈N

tal quen > p ⇒ |x n − a| < δ .

Logo n > p implica |f (x n)− L| < ε e portanto limn→+∞ f (x n) = L.

Suponhamos agora que limx →a f (x )̸ = L. Então existe algum ε > 0 tal que

∀δ > 0 ∃x ∈ D (0 < |x − a| < δ ∧ |f (x )− L| ≥ ε).




Em particular,

∀n

∈N

∃x n ∈

D (0 < |x n−

a| <1

n ∧|f (x n)

−L|

≥ε).

É imediato que limn→+∞ x n = a mas limn→+∞ f (x n)̸ = L, o que completaa demonstração do teorema.

Nota: O Teorema de Heine admite versões análogas para limites laterais.É válido também para limites de sucessões, considerando-se n → +∞ emvez de x → a..

Teoremas de continuidadeA árvore infinita

Podemos usar a árvore infinita seguinte para representar as expressõesdeste tipo dos diversos elementos de [a, b ], onde [x ] representa acaracterística, ou seja, a parte inteira, de um número real x :

•

[a]

[a + 1] [b ]

x [n]0

0

1 9 0

9

x

[n]1

0

9

0

9

x

[n]2



Teoremas de continuidadeA árvore infinita

É fácil ver por indução que esta árvore possui um ramo x = x 0, x 1x 2x 3 . . .

em que, para todo k , há uma infinidade de termos x [n] que começam porx 0, x 1x 2 . . . x k .

Escolhemos uma subsucessão (x [i n])n de modo a que cada x [i n] comece por

x 0, x 1x 2 . . . x n. É fácil verificar que lim

n→+∞x [i n] = x ;

x ∈ [a, b ].

Nota: Esta representação dos reais na árvore infinita permite uma novaperspectiva do supremo e do ínfimo: se desenharmos na árvore todos oselementos de S simultaneamente, o supremo de S (quando S formajorado) é dado pelo ramo infinito mais à direita, e o ínfimo (quando S for minorado) pelo ramo infinito mais à esquerda.




Teoremas de continuidadeTeorema de Bolzano

Um caso particular do Teorema dos Valores Intermédios é o

Teorema de Bolzano

Se f : [a, b ] → R é contínua e f (a)f (b ) < 0, então f tem um zero em]a, b [.

De facto, se f (a)f (b ) < 0, então f (a) e f (b ) têm sinais contrários e logo 0é um valor intermédio entre f (a) e f (b ).

Exemplo: Não sabemos resolver exactamente a equação cos x = ln x , masa função f (x ) = cos x − ln x é contínua em ]0, +∞[ e f (π

4 )f (π

2 ) < 0. Logocos x = ln x para algum x ∈]π4 ,

π

2 [.

Calculando sucessivamente o valor da função nos pontos médios dosintervalos assim obtidos, podemos reduzir a amplitude do intervalo quecontém a solução, obtendo assim uma aproximação da dita.



Teoremas de continuidadeCompactos

Para simplificar, o próximo teorema de continuidade será enunciado parafunções definidas num intervalo do tipo [a, b ] mas é também válido paradomínios mais gerais, não necessariamente intervalos, que satisfazem apropriedade a seguir descrita.

Diremos que S ⊆ R é compacto se toda a sucessão em S admitir umasubsucessão convergente para algum elemento de S .

Teorema

Todo o intervalo da forma [a, b ] é compacto.

Demonstração (esboço): Seja (x [n])n uma sucessão em [a, b ], com

x [n] = x [n]0 , x

[n]1 x

[n]2 x

[n]3 . . .

Caracterização de Heine de limiteAplicações

As aplicações mais importantes do Teorema de Heine são as seguintes:

Para mostrar que limx →a f (x )̸ = L, basta encontrar uma sucessão (x n)n em D \ {a} que tenda para a e tal que (f (x n))n não tenda paraL.

Para mostrar que não existe limx →a f (x ), basta encontrar:

uma sucessão (x n)n em D \ {a} que tenda para a e tal que (f (x n))nnão tenha limite,

ou

duas sucessões (x n)n e (y n)n em D \ {a} que tendam para a e tais que limn→+∞ f (x n)̸ = limn→+∞ f (y n).



Caracterização de Heine de limiteAplicações

Exemplo:

1. Não existe limx →0 sen 1x

1

-1

f(x)=sen(1/x)

pois as sucessões (x n)n = ( 1π

2 +2nπ )n e (y n)n = ( 1

−π

2 +2nπ )n tendem ambas

para 0, mas enquanto (sen 1x n

)n é a sucessão constante (1)n, (sen 1y n

)n é asucessão constante 1 n.

i i i i i i i i l l

d d d l

i i i i i i i i l l

d d d



Teorema do enquadramento de limites

O seguinte resultado, a que iremos recorrer com frequência, permitedeterminar limites de uma função comparando-a com outras das quaisconhecemos previamente os limites.

Este teorema é conhecido nalguns países como o “teorema dos doispolícias”: se dois polícias segurarem um prisioneiro de cada lado, e sedirigirem ambos para a mesma cela, o prisioneiro entrará também na celainevitavelmente.





Se f (x ) ≤ g (x ) ≤ h(x ) numa vizinhança de x 0 elimx →x 0 f (x ) = limx →x 0 h(x ) = L, então também limx →x 0 g (x ) = L.

De facto, dado ε > 0, existem δ 1, δ 2 > 0 tais que

0 < |x − x 0| < δ 1 ⇒ |f (x ) − L| < ε ⇔ f (x ) ∈ ]L− ε, L + ε[,

0 < |x − x 0| < δ 2 ⇒ |h(x )− L| < ε ⇔ h(x ) ∈ ]L− ε, L + ε[.

Logo, se 0 < |x − x 0| < min{δ 1, δ 2}, obtemos tambémg (x ) ∈ ]L− ε, L + ε[.

Teoremas de continuidadeTeorema dos Valores Intermédios

Demonstração: Assumimos f (a) < f (b ), pois o caso f (b ) < f (a) éanálogo. Seja

S = {x ∈ [a, b ] | f (x ) ≤ u }.

Então S ̸= ∅ pois a ∈ S . Seja c = sup S .

Suponhamos que f (c ) < u . Como c < b , o Princípio da Permanência doSinal aplicado à função g (x ) = f (x )− u garante que f (d ) < u para algumd ∈]c , b [, contradizendo c = sup S . Logo f (c ) ≥ u .

Suponhamos agora que f (c ) > u . O Princípio da Permanência do Sinalaplicado à função g (x ) = f (x )− u garante que existe δ > 0 tal quef (x ) > u para todo x ∈]c − δ , c + δ [, contradizendo c = sup S . Logof (c ) = u .




O Teorema dos Valores Intermédios pode ainda ser formulado da seguinteforma:

CorolárioSe I ⊆ R é um intervalo e f : I → R é contínua, então Im f é um intervalo.

Demonstração: Sejam y , z ∈ Im f e seja u um valor intermédio entre y ez . Escrevendo y = f (a) e z = f (b ), podemos assumir que a < b em I .Como a restrição f |[a,b ] de f a [a, b ] é contínua, resulta do Teorema dosValores Intermédios que u ∈ Im f |[a,b ] ⊆ Im f . Logo Im f é um intervalo.

i i i i i i i i l l

T d i id d

i i i i i i i i l l

T d d d li i



Teoremas de continuidadePermanência do sinal

L

c+"c-"

L-!

L+!

c

Logo f (x ) e L têm o mesmosinal para x ∈ ]c − δ , c + δ [\{c }.

Corolário

Se f é contínua em c e f (c ) > 0, então existe δ > 0 tal que f é umafunção positiva em ]c − δ , c + δ [.

Se f é contínua em c e f (c ) < 0, então existe δ < 0 tal que f é umafunção negativa em ]c − δ , c + δ [.




Podemos agora provar um dos mais importantes teoremas sobre funçõescontínuas definidas em intervalos, devido a Bolzano:

Teorema dos Valores Intermédios

Seja f : [a, b ] → R contínua e seja u um valor intermédio entre f (a) e

f (b ). Então u ∈ Im f .

a bf(a)

f(b)

u

c

Teorema do enquadramento de limitesExemplo

Podemos usar o Teorema do enquadramento de limites para mostrarfacilmente que o limite quando x tende para 0 da função

y = x

y = - x f (x ) =

x sen 1

x , se x ̸= 0

0 se x = 0

é igual a 0.

Como, paratodo o x ̸= 0, −1 ≤ sen 1

x ≤ 1, então

−|x | ≤ x sen 1x ≤ |x |

e, sendo limx →0−|x | = limx →0 |x | = 0, resulta o pretendido deste teorema.



Teorema do enquadramento de limitesOutro exemplo: um famoso limite

O limite da função f (x ) = senx x

quando x tende para 0 também não podeser calculado usando a aritmética de limites, uma vez que limx →0 sen x = 0e limx →0 x = 0. É um exemplo do que se chama uma indeterminação.

Vamos usar o Teorema do enquadramento de limites para mostrar que

limx →0

sen x x

= 1.

De facto, se x > 0 for suficientemente pequeno, podemos concluir dosignificado geométrico de seno e tangente, ilustrado na figura, que

1

x

tg x

sen x

A

C

12

sen x <12

x <12

tg x ,

correspondendo a área(△OAB ) <

área do sector circular(OAB ) < área(△OCB ).

i i i i i i i i l l

T d d t d li it

i i i i i i i i l l

F õ tí



Teorema do enquadramento de limitesUm famoso limite

Logo 1 < x sen x

< 1cos x .

Como limx →01

cos x = 1limx →0 cos h = 1, resulta do enquadramento de limites

que limx →0x

senx = 1 e logo também limh→0

senx x

= 1 pela aritmética delimites.

O caso de x < 0 é análogo, substituindo x por −x .

Mais tarde voltaremos ao conceito de limite, com as definições de limitesno infinito e de limites infinitos, após desenvolvermos ferramentas quedarão um precioso auxílio na determinação destes limites e, em particular,na resolução de indeterminações.



Funções contínuasDefinição

Seja f uma função real de variável real e x 0 um ponto de Df que ésimultâneamente um ponto de acumulação do domínio.Diz-se que f é contínua em x 0 sse

limx →x 0

f (x ) = f (x 0).

Convenciona-se que f é contínua em todos os pontos isolados do domínio,isto é, em pontos que não são pontos de acumulação. Diz-se ainda que f é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.

Intuitivamente, uma função contínua é uma função previsível em que ovalor num ponto pode ser adivinhado a partir dos valores tomados numasua vizinhança.Graficamente, para funções cujo domínioé um intervalo, isto corresponde à ideiade um gráfico que pudesse ser traçado “sem

”

Funções contínuasImensos exemplos

Para lidar com funções cujo domínio é um intervalo fechado à esquerda ouà direita, também podemos definir continuidade à esquerda(lim

x →x −

0f (x ) = f (x 0)) e à direita (limx →x +0

f (x ) = f (x 0)).

Todas as funções elementares com que lidamos habitualmente (constantes,

potências, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas) sãoafortunadamente funções contínuas. Além disso:

A soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas são funções contínuas.

A composição de funções contínuas é uma função contínua.



Teoremas de continuidadePermanência do sinal

Princípio da Permanência do Sinal

Se limx →c f (x ) = L > 0, então existe δ > 0 tal que f é uma funçãopositiva em ]c − δ , c + δ [\{c }.

Se limx →c f (x ) = L < 0, então existe δ > 0 tal que f é uma funçãonegativa em ]c − δ , c + δ [\{c }.

Demonstração: Seja ε = |L|2 . Como limx →c f (x ) = L, existe δ > 0 tal que

0̸ = |x − c | < δ ⇒ |f (x )− L| < ε = |L|

2 .

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Booklet Limites