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Capítulo 1 Introdução à Física Introdução à Física Na preparação para o vestibular, a física é vista por muitos como complicada, principalmente quando não se trata de uma disciplina específica nos concursos. Talvez o grande empecilho seja o enfoque matemático usado por ela para a análise dos fenômenos. Todavia, quando os conceitos são bem compreendidos e frequentemente praticados através dos exercícios propostos, não há mais dificuldades. Portanto, é muito importante a presença às aulas e a execução das tarefas extras em casa. É o esforço de cada um que determina o sucesso no vestibular. Principalmente em um contexto de competição, no qual há dezenas de pessoas por vaga concorrendo. É muito comum a desmotivação ao longo do ano, a desesperança e a vontade de desistir. Mas, sinceramente, vale insistir: isso é bem comum. É um período longo e cheio de abdicações, em que nos privamos de muitos prazeres em busca de um objetivo maior. Mas tenha certeza: vale, e muito, a pena. O ingresso na universidade abre infinitas portas e somente 2% da população têm chance de se preparar para o concurso. Por isso, aproveite muito sua chance. Nos textos que seguem, abordaremos os principais tópicos da física, todos que têm possibilidade de ocorrer em uma prova de vestibular. Procure lê-los calmamente, sem pressa de prosseguir caso haja alguma dúvida. Releia o que for preciso sempre que sentir insegurança. E pratique com os exercícios propostos. Muitos deles têm a intenção de fazê-lo refletir antes mesmo de que a teoria correspondente lhe seja apresentada. Por isso, de forma alguma veja a solução imediatamente. Boa leitura! 1. A física A física é o estudo dos fenômenos naturais (natureza = physis, em grego). Até o fim do século XIX, dividia-se em cinco grandes campos: a mecânica, o eletromagnetismo, a termologia, a óptica e o estudo das ondas. Atualmente, alguns desses campos fundiram e surgiram outros novos: a Física Relativística e a Física Quântica. Contudo, o novo foco da física só é estudado nas universidades. A relatividade trata de corpos com velocidades muito grandes, próximas da velocidade da luz. A física quântica trata de corpos muito pequenos, como os elétrons, e como eles se comportam. EXTRA _____________________________________________________________________________________ Os fenômenos naturais sempre intrigaram a humanidade. Desde coisas aparentemente simples, como o movimento, até mesmo o sol e os relâmpagos. Contudo, em épocas mais antigas, havia outras necessidades bastante prioritárias à sobrevivência, que impediam que déssemos atenção às nossas curiosidades e questionamentos. Foi no momento de estabilidade política e econômica da Grécia Antiga que, pela primeira vez na história, o homem pôde dedicar mais tempo ao desenvolvimento da intelectualidade. Surgia a ciência. Obviamente, não nos moldes atuais, mas era a sua essência. O ócio surgido em virtude do contexto histórico determinou uma série de paradigmas novos, culminando na ideologia básica de fomentação do saber e da arte, que rege nossa cultura até hoje. O desenvolvimento intelectual grego iniciou-se com a matemática e com a língua, bastante sofisticada. O prosseguimento desses estudos deu origem à filosofia, que se desenvolveu de forma considerável, visto que a religião grega não constituía um empecilho, como normalmente ocorre. Na verdade, a religião grega era bastante “livre”, isto é, não existia uma entidade consistente com o objetivo de conservar a tradição ideológica, nem de controlar as interpretações das lendas. E, justamente por se tratarem de lendas, e não dogmas, havia um tom pessoal na religião, isto é, não existia uma interpretação oficial para elas. A primeira “tese” registrada é de Tales de Mileto. Ele afirmou que todas as coisas eram feitas de água. Seu trabalho incentivou vários pensadores a dissertarem sobre o mesmo assunto. Pitágoras defendia que tudo era feito de números. Anaxímenes de Mileto propunha que as coisas, por condensação e rarefação, eram essencialmente compostas de ar. Anaximandro de Mileto afirmou que tudo era feito do indeterminado, algo que tinha como principal característica a não- definição. Heráclito de Éfeso tentou provar que as coisas eram feitas de Tales de Mileto: primeiro passo na construção da filosofia ocidental, com o questionamento acerca da essência de todas as coisas.

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  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Introduo Fsica

    Na preparao para o vestibular, a fsica vista por muitos como complicada, principalmente quando no se trata de uma disciplina especfica nos concursos. Talvez o grande empecilho seja o enfoque matemtico usado por ela para a anlise dos fenmenos. Todavia, quando os conceitos so bem compreendidos e frequentemente praticados atravs dos exerccios propostos, no h mais dificuldades.

    Portanto, muito importante a presena s aulas e a execuo das tarefas extras em casa. o esforo de cada um que determina o sucesso no vestibular. Principalmente em um contexto de competio, no qual h dezenas de pessoas por vaga concorrendo. muito comum a desmotivao ao longo do ano, a desesperana e a vontade de desistir. Mas, sinceramente, vale insistir: isso bem comum.

    um perodo longo e cheio de abdicaes, em que nos privamos de muitos prazeres em busca de um objetivo maior. Mas tenha certeza: vale, e muito, a pena. O ingresso na universidade abre infinitas portas e somente 2% da populao tm chance de se preparar para o concurso. Por isso, aproveite muito sua chance.

    Nos textos que seguem, abordaremos os principais tpicos da fsica, todos que tm possibilidade de ocorrer em uma prova de vestibular. Procure l-los calmamente, sem pressa de prosseguir caso haja alguma dvida. Releia o que for preciso sempre que sentir insegurana. E pratique com os exerccios propostos. Muitos deles tm a inteno de faz-lo refletir antes mesmo de que a teoria correspondente lhe seja apresentada. Por isso, de forma alguma veja a soluo imediatamente.

    Boa leitura!

    1. A fsica A fsica o estudo dos fenmenos naturais (natureza = physis, em grego). At o fim do sculo XIX,

    dividia-se em cinco grandes campos: a mecnica, o eletromagnetismo, a termologia, a ptica e o estudo das ondas. Atualmente, alguns desses campos fundiram e surgiram outros novos: a Fsica Relativstica e a Fsica Quntica. Contudo, o novo foco da fsica s estudado nas universidades. A relatividade trata de corpos com velocidades muito grandes, prximas da velocidade da luz. A fsica quntica trata de corpos muito pequenos, como os eltrons, e como eles se comportam.

    EXTRA

    _____________________________________________________________________________________ Os fenmenos naturais sempre intrigaram a humanidade. Desde coisas aparentemente simples, como

    o movimento, at mesmo o sol e os relmpagos. Contudo, em pocas mais antigas, havia outras necessidades bastante prioritrias sobrevivncia, que impediam que dssemos ateno s nossas curiosidades e questionamentos.

    Foi no momento de estabilidade poltica e econmica da Grcia Antiga que, pela primeira vez na histria, o homem pde dedicar mais tempo ao desenvolvimento da intelectualidade. Surgia a cincia. Obviamente, no nos moldes atuais, mas era a sua essncia. O cio surgido em virtude do contexto histrico determinou uma srie de paradigmas novos, culminando na ideologia bsica de fomentao do saber e da arte, que rege nossa cultura at hoje.

    O desenvolvimento intelectual grego iniciou-se com a matemtica e com a lngua, bastante sofisticada. O prosseguimento desses estudos deu origem filosofia, que se desenvolveu de forma considervel, visto que a religio grega no constitua um empecilho, como normalmente ocorre. Na verdade, a religio grega era bastante livre, isto , no existia uma entidade consistente com o objetivo de conservar a tradio ideolgica, nem de controlar as interpretaes das lendas. E, justamente por se tratarem de lendas, e no dogmas, havia um tom pessoal na religio, isto , no existia uma interpretao oficial para elas.

    A primeira tese registrada de Tales de Mileto. Ele afirmou que todas as coisas eram feitas de gua. Seu trabalho incentivou vrios pensadores a dissertarem sobre o mesmo assunto. Pitgoras defendia que tudo era feito de nmeros. Anaxmenes de Mileto propunha que as coisas, por condensao e rarefao, eram essencialmente compostas de ar. Anaximandro de Mileto afirmou que tudo era feito do indeterminado, algo que tinha como principal caracterstica a no-definio. Herclito de feso tentou provar que as coisas eram feitas de

    Tales de Mileto: primeiro passo na construo da filosofia ocidental, com o questionamento acerca da essncia de todas as coisas.

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    fogo pois, assim como o fogo, tudo flui (tudo est em constante mudana impossvel banhar-se duas vezes no mesmo rio).

    Parmnides de Elia contra-argumentou dizendo que se tudo muda, a lei das mudanas tambm mudar, e passar a haver algo que no muda. Logo, impossvel que tudo mude. E, em um pensamento diametralmente oposto, ele afirma que nada muda, pois tudo feito do ser. Zeno de Elia argumentava em defesa de Parmnides. Da surge o famoso paradoxo de Aquiles e a tartaruga.

    Esse grupo de filsofos gregos constituiu o embrio da ideologia do mundo ocidental. Podemos destacar trs cones: Scrates, Plato e Aristteles. Este ltimo foi a pea-chave para o desenvolvimento da fsica, em especial pela Teoria da Causalidade. Aristteles postulou que todas as coisas no mundo tm potncia de mudana e, sob esse aspecto, a qualquer processo desencadeado possvel atribuir uma causa. Em outras palavras, tudo ocorre segundo a seqncia causa fato conseqncia. _____________________________________________________________________________________

    2. Reviso matemtica: potenciao e radiciao Antes de iniciarmos o estudo dos conceitos fsicos, precisamos fixar alguns conceitos matemticos

    acerca de potenciao, em especial o uso da base 10. Se voc j domina esse tema, deve pular este tpico.

    ( )10 10 10 ...10 x vezes

    10 1000...0 (x zeros)

    x

    x

    =

    =

    bastante comum encontrarmos tambm um expoente negativo:

    110 0, 00...01 (x zeros, incluindo o zero esquerda da vrgula)

    10

    x

    x

    = =

    Da mesma forma que podemos passar o 10 para o denominador da frao trocando o expoente para

    o seu equivalente positivo, podemos tambm fazer o inverso:

    110

    10

    x

    x=

    H ainda algumas propriedades interessantes da potenciao:

    ( ) .

    10 10 10

    1010

    10

    10 10

    x y x y

    xx y

    y

    yx x y

    +

    =

    =

    =

    Quando multiplicamos um nmero intero por 10, acrescentamos um zero sua direita.

    525*10 5250= Se multiplicamos um nmero inteiro por uma potncia de 10 (10x), acrescentamos x zeros sua

    direita: 4525*10 5250000=

    Se o fazemos com um nmero racional, devemos deslocar a vrgula x casa para a direita: 35,25178*10 5251,78=

    Porm, se o nmero de casas direita da vrgula no forem suficientes para completarmos a operao, devemos continu-la complementando o nmero com zeros:

    55,25*10 525000= O procedimento para efetuarmos a diviso por 10 e suas potncias exatamente o inverso:

    2

    3

    4

    5

    525 /10 52,5

    525 /10 5,25

    525 /10 0,525

    525 /10 0,0525

    525 /10 0,00525

    =

    =

    =

    =

    =

    Propriedades gerais da potenciao

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Seja a e b um nmero real qualquer. Generalizando as propriedades vistas de potenciao, podemos

    escrever: 1. x y x ya a a + =

    2. x

    x y

    y

    aa

    a

    =

    3. ( ) .yx x ya a= H ainda outras propriedades como:

    4. ( ). .x x xa b a b=

    5. x x

    x

    a a

    b b

    =

    Radiciao Comumente calculamos a raiz quadrada de um nmero. s vezes, at mesmo a raiz cbica. A

    radiciao a operao inversa da potenciao. Podemos definir a raiz n-sima de um nmero da seguinte forma:

    1. 1

    n na a= De forma mais geral, escrevemos

    2. ( )11 .m m

    n m m n n na a a a= = = .

    Pelo fato de ser possvel escrever uma raiz na forma de potenciao, seguem algumas outras

    propriedades:

    3. .n n na b a b =

    4. n

    n

    n

    a a

    bb=

    5. Medidas Aqui, comeamos de fato o estudo da fsica. Se a fsica o estudo da natureza, precisamos de dados

    para analis-la. Esses dados so numricos, so comparaes com coisas j conhecidas. Medir, em termos tcnicos, significa comparar. Podemos por enquanto traduzir como interpretar a natureza como nmeros.

    Sempre que desejamos realizar alguma medida, no a fazemos com perfeita exatido. Isto , h uma margem de erro correspondente ao prprio instrumento e tambm devida falta de preciso humana. Por isso, quando queremos representar numericamente uma medida, devemos mostrar tambm a sua incerteza.

    Por exemplo, imaginemos que vamos medir o comprimento de algo: Comeando pelo zero, a outra extremidade do objeto ficou situada entre a medida 1,3 e 1,4. Dando

    um chute para essa medida, podemos dizer que o objeto mede 1,36 cm. Ou seja, sempre que citamos uma medida, colocamos o ltimo algarismo como sendo o algarismo

    duvidoso. Isto , dizer que esse objeto mede 1,36 cm significa afirmar que sua medida est entre 1,3 e 1,4, mas que a melhor aproximao que pudemos obter 1,36 cm.

    0 0.5 1.0 1.5

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Aristteles: estudou a natureza sem a comprovao prtica. Suas concluses foram tidas como certas ao longo de 20 sculos.

    Assim, dizemos a medida 1,36 cm contm trs algarismos significativos: 2 no duvidosos e 1 duvidoso.

    exceo de possveis zeros esquerda de um nmero, todos os seus algarismos so chamados de algarismos significativos.

    Por exemplo, a medida de tempo 0,05648 s contm 4 algarismos significativos, 3 no duvidosos e 1 duvidoso.

    EXTRA

    _____________________________________________________________________________________ A importncia das medidas no estudo dos fenmenos fsicos pode parecer bvia, mas nem sempre foi

    assim. Aristteles foi o primeiro a estudar com mais clareza a natureza, mas herdou bastante os paradigmas estabelecidos por Plato.

    Plato filosofava a respeito do mundo das idias, isto , sobre um hipottico mundo de conceitos perfeitos, ideais. Nesse mundo, por exemplo, existiria a idia de beleza, ou seja, o conceito da beleza perfeita, assim como a idia de inteligncia tambm.

    Isso fez com que Aristteles, seu seguidor, estudasse a natureza como ela deveria ser, em um suposto mundo perfeito, e no como ela . Dessa forma, chegou a diversas concluses erradas, pois afirmava que a verdade sobre as coisas deveria ser bela, ter uma boa esttica, e se enquadrar com aquilo que considerava correto e ideal.

    Tais equvocos teriam sido evitados se ele tivesse feito experimentos prticos, isto , se ele tivesse observado e medido os fenmenos. Ao longo do nosso estudo, apontaremos diversas contradies na filosofia natural aristotlica.

    Sua forma de estudar a natureza foi mantida ao longo de muitos anos. Isso ocorreu principalmente porque ela foi a base da ideologia crist. Durante muito tempo, a Igreja Catlica foi a instituio detentora do conhecimento. Graas a ela, hoje temos acesso a diversas obras da era antiga. Muitos monges tinham como nica funo traduzir textos, havia um imenso nmero de bibliotecas em posse da Igreja, os paradigmas gerados por sua ideologia eram todos baseados na razo, no conhecimento e na erudio.

    Contudo, o monoplio do conhecimento, das tradues e das interpretaes fez com que essas atividades atendessem aos interesses clericais. Isso significa dizer que as obras que de alguma forma criticavam ou discordavam dos textos defendidos pela igreja eram escondidas e seus autores perseguidos. Muitos pensadores e filsofos foram queimados por serem considerados hereges.

    Por isso, durante muito tempo, tantas coisas erradas foram mantidas como verdades indiscutveis. At mesmo porque a idia da experincia no estava incorporada mentalidade. Isso faz com que no consideremos tais teses como cientficas. Certamente, o pensamento grego antigo, principalmente o aristotlico, foi a base para a mentalidade ocidental moderna, a base para a cincia, mas faltava algo essencial: as evidncias prticas.

    Na verdade, a cincia no feita de verdades absolutas, mas qualquer tese, para ser considerada cientfica, deve ser defendida, com argumentos aceitos dentro de um conjunto de critrios. A esttica deixou de estar entre esses critrios. O principal argumento passou a ser a evidncia prtica. Mas ainda assim, teorias so ultrapassadas, e outras, mais abrangentes as substituem. A cincia o nico processo no mundo que se baseia na auto-crtica Na verdade, a cincia se define pela auto-crtica. No momento em que se chegar a uma verdade incontestvel, deixamos de ter cincia. preciso o constante progresso.

    O grande fundador desse pensamento foi Galileu Galilei. Sem dvida, ele foi a pea essencial para todo o desenvolvimento humano dos ltimos sculos. Ele estudava o movimento dos corpos manuseveis e dos planetas. Mas, revolucionariamente, todas as suas teorias eram comprovadas com experimentos que eram repetidos inmeras vezes, de forma a obter a menor incerteza possvel. Mais adiante, falaremos sobre Galileu com mais detalhes. _____________________________________________________________________________________

    6. Notao cientfica Na resoluo de um problema em fsica, existe uma maneira correta de escrever um resultado: a

    notao cientfica. A representao numrica de uma grandeza fsica ocorre da seguinte forma:

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    um nmero maior ou igual a 1 e menor que 10

    multiplicado por uma potncia de 10

    associado a uma unidade

    A impreciso ainda deve ser representada com o ltimo algarismo do nmero principal. Exemplo 1.4.1: A medida de tempo citada anteriormente (0,05648 s) deve ser reescrita da seguinte

    forma: 5,648*10-2 s

    Nesse caso, o algarismo 8 duvidoso. certo que a medida encontra-se entre 0,0564 e 0,0565. Exemplo 1.4.2: A medida de velocidade da luz (300.000 km/s) deve ser escrita em notao cientfica

    da seguinte forma: 3,0*105 km/s

    Com to poucos algarismos significativos, dois, sendo um duvidoso e outro no, essa medida bastante imprecisa para a velocidade da luz.

    7. A forma correta de solucionar um problema Sempre que resolvermos um problema de fsica, devemos apresentar um resultado que contenha o

    mesmo nmero de algarismos significativos que o(s) dado(s) fornecido(s) com o menor nmero de algarismos significativos.

    Exemplo 1.5.1: Vamos supor que comeamos uma seqncia de clculos a partir do nmero 3,457.

    J sabemos que essa medida est certamente situada entre 3,45 e 3,46, mas a melhor aproximao para ela 3,457. Assim, seu ltimo algarismo duvidoso.

    Chegamos, como resultado, no nmero 892.176. Deparamo-nos com dois problemas: Esse nmero no se encontra representado na notao cientfica; Ele contm mais algarismos significativos do que deveria. Isso quer dizer que mais de um

    algarismo duvidoso, o que no correto. Vamos portanto, primeiramente represent-lo na notao cientfica. Temos ento 8,92176*105. Inicialmente tnhamos apenas quatro algarismos significativos (3 no duvidosos e 1 duvidoso). Agora

    temos 6 algarismos significativos, portanto 3 no duvidosos e 3 duvidosos. Como devemos ter apenas 1 algarismo duvidoso, os dois ltimos algarismos (7 e 6) no sero representados. Aproximaremos, portanto, a medida para 8,921 ou para 8,922. Como o nmero a que chegamos est mais prximo da segunda opo, ns a escolheremos.

    Portanto, a forma correta de representarmos esse resultado : 8,922*105

    Suponhamos agora que iremos fazer um outro clculo usando este resultado. Deveremos multiplic-

    lo por 5,0*103. Como proceder? Multiplicaremos as potncias separadamente dos valores 8,922 e 5,0. Assim teremos como resultado:

    (8,922 * 5,0) * (105 * 103) = 44,61*108 Contudo, este resultado ainda no est correto, j que na notao cientfica, o valor que acompanha a

    potncia de 10 deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Teremos ento: 44,61*108 = 4,461*10 * 108 = 4,461*109

    Ordem de grandeza

    A ordem de grandeza de uma medida a potncia de 10 mais prxima dela. Por exemplo, a ordem de grandeza do resultado acima (4,461*109) 109. A ordem de grandeza do resultado do problema inicial (8,922*105) 106.

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    8. Grandezas Fsicas

    Definimos como grandeza fsica tudo que pode ser medido e representado numericamente, isto , que mensurvel. Para a realizao dessa medida, como vimos anteriormente, podemos utilizar determinados instrumentos, cuja preciso pode fazer com que tenhamos um maior ou menor grau de incerteza. Quanto maior a preciso do instrumento e, portanto, menor a incerteza, maior ser a quantidade de algarismos significativos utilizada para a representao numrica da grandeza.

    Posio, tempo, velocidade e massa so exemplos de grandezas fsicas, pois podem ser medidos e representados numericamente. Para essas medidas, utilizamos um padro de comparao denominado unidade.

    Por exemplo, quando dizemos que a posio da cidade A 10 quilmetros ao norte da cidade B, estamos afirmando que a distncia entre as duas cidades 10 vezes maior que a distncia equivalente a 1 quilmetro. Isto , estamos comparando a distncia entre as cidades com o espao de 1 quilmetro, ou seja, estamos utilizando a unidade quilmetro para a determinao da posio.

    Poderamos tambm compar-la com o espao de 1 metro, o que nos daria uma distncia equivalente a 10.000 metros.

    Adota-se, entretanto, um padro de unidade para cada grandeza fsica. Esse padro definido pelo Sistema Internacional. Ou seja, quando representarmos numericamente uma determinada grandeza, podemos utilizar a unidade que melhor nos convier. Contudo, a realizao de determinados clculos facilitada se utilizarmos a unidade indicada pelo Sistema Internacional (SI).

    O SI indica as seguintes unidades para as grandezas bsicas:

    Posio: metro (m) Tempo: segundos (s) Massa: quilogramas (kg) Carga: coulomb (C)

    Alm dessas, existem outras grandezas fsicas, porm todas podem ser derivadas dessas quatro. A

    velocidade, por exemplo, uma grandeza obtida com a associao entre posio e tempo. Ela pode ser medida em km/h, pois a variao de posio ocorrida em uma unidade de tempo, isto , o nmero de quilmetros percorridos em cada hora.

    Contudo, se dissermos que um carro faz uma viagem a 90 km/h, no estaremos definindo completamente a grandeza velocidade. A essa informao, cabem duas perguntas a mais:

    Em que estrada o carro viaja? Qual dos dois sentidos ele percorre?

    Porm, se dissermos que o carro viaja a 90 km/h, na rodovia Rio-Santos, sentido Santos, podemos

    definir por completo seu movimento. Dizemos que o valor numrico, acompanhado da unidade, a intensidade (ou mdulo) da velocidade. A rodovia, supondo que seja uma reta, a direo do movimento. A idia de o carro ter partido do Rio e estar a caminho de Santos o sentido do movimento.

    Observao: Cada direo admite apenas dois sentidos. A velocidade, assim como outras grandezas fsicas, , portanto, definida com essas trs informaes:

    intensidade, direo e sentido. Esse fato a caracteriza como uma grandeza vetorial. Outros exemplos de grandezas vetoriais so: posio, fora, campo eltrico, acelerao etc.

    So chamadas vetoriais por serem representadas por vetores. O vetor um ente matemtico que dispe justamente das trs caractersticas das quais precisamos: intensidade, direo e sentido.

    Entretanto, existem grandezas fsicas que podem ser perfeitamente caracterizadas apenas com a intensidade, isto , com o valor numrico acompanhado de uma unidade. Por exemplo, se dissermos que a massa de um indivduo de 70 kg, no coerente perguntar em que direo?. O mesmo vale para tempo decorrido. So grandezas no vetoriais, isto , escalares.

    9. Unidades Como vimos, a intensidade de qualquer grandeza fsica uma comparao com um padro, a

    unidade. Tambm vimos que determinada grandeza fsica admite mais de uma unidade, mas existe uma indicada pelo Sistema Internacional. De um modo geral, podemos tambm usar os mltiplos de uma

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    unidade. No toa que, assim como 1 quilograma (kg) so mil gramas (g), um quilmetro (km) so mil metros (m). Na verdade, o prefixo quilo (k) significa uma multiplicao por mil.

    Existem diversos prefixos que representam diferentes mltiplos. Eles esto tabelados a seguir: PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL

    PREFIXO SMBOLO MULTIPLICA POR exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 quilo k 103 hecto h 102 deca da 101 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18

    Os seis prefixos em negrito so os mais comumente utilizados. Os prefixos quilo, mega e giga so bastante usados quando nos referimos unidade de

    armazenamento de um computador, o byte. Os termos kbyte (quilobyte kb), megabyte (Mb) e gigabyte (Gb) so bastante utilizados.

    Quando nos referimos a comprimentos pequenos, usamos o centmetro (cm) e o milmetro (mm). As cargas pequenas geralmente so medidas em microcoulombs (mC). Alm disso, em geral, os

    microscpios nos permitem visualizar objetos na escala dos micrmetros (m). Atualmente, temos visto nos jornais o desenvolvimento da nanotecnologia, na rea de eletrnica. So

    projetos em que as distncias so medidas em nanmetros (nm).

    Exerccio 1.7.1: Um milmetro maior ou menor que um nanmetro? Quantas vezes maior/menor?

    Soluo:

    -3

    -9

    3 99 3 6

    -9 3

    1 m1 mm = 10 m = = um milsimo de metro

    1.0001 m

    1 nm = 10 m = = um bilhonsimo de metro1.000.000.000

    Portanto, um milmetro maior que um nanmetro.

    1 mm 10 m 1010 10 um milh

    1 nm 10 m 10

    = = = = = o

    Portanto, um milmetro um milho de vezes maior que um nanmetro.

    10. Anlise Dimensional Vimos que as quatro grandezas bsicas da fsica so: posio (m), tempo (s), massa (kg) e carga (C).

    Todas as outras grandezas fsicas podem ser obtidas apenas com diferentes relaes entre essas quatro. E, portanto, suas unidades de comparao tambm.

    Demos o exemplo da velocidade que, por ser uma relao entre posio e tempo, tinha como unidade uma relao entre as unidades de posio e de tempo.

    Quando representarmos a unidade de uma determinada grandeza, como a massa, por exemplo, usaremos a seguinte notao:

    [ ]m kg= , que quer dizer que uma das unidades unidade de massa o quilograma. correto tambm escrever

    [ ]m g= ,

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    ou seja, que o grama tambm uma unidade possvel para a massa. Combinao de unidades Podemos medir a fora que aplicada a um corpo em newtons (N). Veremos mais adiante alguns

    conceitos com mais detalhes que vamos, no momento, resumir: Pela segunda lei de Newton, exprime-se a fora resultante aplicada sobre um corpo por

    .RF m a= , em que m sua massa e a a acelerao adquirida por ele.

    A acelerao mdia de um corpo dada por m

    va

    t

    =

    , em que v a variao

    velocidade ocorrida no perodo de tempo t.

    A velocidade mdia de um corpo dada por m

    sv

    t

    =

    .

    Nosso objetivo agora exprimir a unidade newton em funo das unidades bsicas apresentadas anteriormente. Tomando como base os conceitos citados acima, podemos escrever, atravs da segunda lei de newton:

    [ ] [ ] [ ]

    [ ] [ ] [ ][ ]

    [ ] [ ]

    [ ][ ]

    [ ][ ] [ ]

    [ ]

    [ ]

    2

    2

    .

    .

    . .

    .

    F m a

    vF m

    t

    s

    t sF m m

    t t

    kg mF N

    s

    =

    =

    = =

    = =

    Potncia de unidades O volume de um cubo igual ao produto comprimento*largura*altura. Ou seja, a unidade de

    volume dada por

    [ ] [ ] [ ] [ ]V comprimento largura altura= . Isto , como comprimento, largura e altura so, na verdade, a mesma grandeza, de comprimento ou

    posio, uma das possibilidades para a unidade de volume o m3. Mas poderamos tambm usar o cm3, ou ainda, a potncia cbica de qualquer unidade de comprimento.

    Exerccio 1.8.1: Quantas vezes um mm3 (milmetro cbico) maior que um nm3 (nanmetro

    cbico)? Soluo: No exerccio 1.7.1. vimos que um milmetro um milho (106) de vezes maior que um

    nanmetro. Ou seja: 61 mm = 10 nm

    Mantendo a igualdade, podemos elevar ambos os termos ao cubo. Teremos

    ( ) ( )33 61 mm = 10 nm . Aplicando as propriedades de potenciao

    ( )33 3 6 33 18 3

    1 mm = 10 nm

    1 mm = 10 nm

    11. Sistema de referncia A medio de qualquer grandeza fsica vetorial depende de um sistema de referncia, isto , um

    sistema de eixos cartesianos com uma origem, representando o espao. Normalmente, os problemas fsicos falam de um observador. Ele representa a origem do sistema referencial, ou seja, o ponto zero.

    No exemplo do carro em viagem do Rio para Santos, estudamos o carter vetorial da velocidade. Vimos que essa grandeza tem uma intensidade, direo e sentido. Vimos tambm que ela pode ser, portanto, representada por um vetor.

    A representao uma grandeza vetorial se d atravs do sistema de referncia. No caso da velocidade, teramos:

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    A reta que passa pelas duas cidades a direo da velocidade. A origem do sistema (o ponto de

    cruzamento dos eixos cartesianos) foi escolhida como sendo o prprio carro. Observao: A escolha da origem de qualquer sistema fsico arbitrria. Ela deve ter como objetivo

    facilitar a resoluo do problema. A seta, indicada por v, que parte da origem, o vetor velocidade. Note que o vetor indica a direo e

    o sentido do movimento. A intensidade representada pelo tamanho do vetor, que, no caso, 90 km/h. Isto , definidas as escalas para o eixo X e o eixo Y, o comprimento do vetor velocidade dever ser igual a 90. Mais adiante, veremos mtodos eficientes para a anlise mais profunda dessa questo.

    Vejamos alguns exemplos decorrentes do uso do sistema referencial: Exemplo 1.8.1: Considere um prdio de 30 metros. No terrao, uma pessoa de 2 metros de altura,

    levanta um holofote 1 metro acima da sua cabea. Pergunta-se: qual a altura do holofote? A resposta depende crucialmente do sistema de referencial adotado, mais especificamente, da

    localizao de sua origem (o observador). Se a origem estiver na cabea da pessoa, teremos que a altura do objeto igual a1 metro. Se estiver nos seus ps, ser igual a 3 metros. Se estiver na base do edifcio, ser igual a 33 metros.

    Exemplo 1.8.2: Considere um carro se movendo em uma estrada a 60 km/h e outro, ultrapassando o

    primeiro, a 80 km/h. Pergunta-se: qual a velocidade do segundo carro? Novamente, a resposta depende do sistema de referncia adotado. Mas agora, no depende mais da

    posio da origem, mas somente da velocidade do referencial. Veremos mais adiante que podemos, sem maiores problemas, adotar um referencial se movendo com

    velocidade constante, ou seja, um referencial inercial. Na fsica clssica, no podemos adotar um referencial no inercial, ou seja, um referencial cuja velocidade varia com o tempo.

    Se o referencial estiver fixo, com a origem em um poste da estrada, por exemplo, a velocidade do segundo carro igual a 80 km/h. Se mantivermos o referencial fixo, porm mudarmos a posio da origem, colocando-a sobre um pedestre parado que v a ultrapassagem, a velocidade do segundo carro continuar igual a 80 km/h.

    Esse valor, porm, mudar se utilizarmos um sistema de referncia que se move juntamente com o carro que est sendo ultrapassado. Ou seja, o observador da ultrapassagem um dos passageiros do primeiro carro. Nesse caso, a velocidade do segundo carro igual a 20 km/h. a chamada velocidade relativa, pois medida em relao a um outro corpo.

    Exemplo 1.8.3: Considere o pedestre do exemplo anterior. Pergunta-se: ele est em repouso ou em

    movimento? A resposta, como esperado, foge do que nos intuitivo, a depender do referencial utilizado. A princpio, de acordo com o senso comum, diremos que ele est em repouso, isto , sem velocidade.

    Mas essa resposta s de fato correta, se adotarmos um referencial, por exemplo, com a origem sobre o poste ao seu lado, tambm parado.

    Mas como o passageiro do carro que passa a 60 km/h v o pedestre? Tomando esse passageiro como o observador, o seu carro est em repouso, j que se move junto com ele. A velocidade relativa entre o observador e o carro nula.

    Mas ele v o pedestre com velocidade em sentido contrrio do carro, tambm a 60 km/h. Ele v o pedestre passando para trs. Nesse referencial, o pedestre est em movimento.

    Portanto, at mesmo o conceito de repouso e movimento dependente do referencial.

    DIREO DA RODOVIA RIO-SANTOS

    Y

    X

    RIO DE JANEIRO

    SANTOS

    v

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Mas, cabe mais uma pergunta: qual ento o referencial utilizado pelo senso comum? Isto , quando

    damos a resposta intuitiva de que o pedestre est parado, qual o referencial que estamos utilizando? Normalmente, utilizamos um referencial cuja origem est no solo, na Terra, e parado em relao a ela.

    Isso vale mesmo para movimentos que transcendem o planeta. Por exemplo, antes de termos instrumentos mais avanados, pensava-se que o Sol girava ao redor da Terra, e no o contrrio. Tal afirmao verdadeira se tomarmos a Terra como origem do referencial.

    Todavia, se tomarmos o Sol como referencial, obteremos o resultado exatamente inverso: a Terra gira em torno do Sol. Mas ento, qual referencial usar? E qual dos dois resultados o verdadeiro?

    Na verdade, no existe, por exemplo, a velocidade absoluta de um corpo, ou seja, a velocidade do corpo, em relao a nada, independente de qualquer referencial. Para toda grandeza fsica que medimos, utilizamos um determinado referencial. Para problemas de pequena escala, razovel utilizar a Terra como o referencial, e medir tudo em relao a ela. Porm, para questes de maiores escalas, temos que usar um referencial melhor. Nesses casos, ento, qual o referencial razovel? O ideal utilizar algo que no interfira no sistema analisado. Por isso, normalmente, escolhe-se como origem desses referenciais, estrelas bem distantes, que, para ns, esto praticamente em repouso.

    Nesse referencial, obtemos mais alguns resultados, do que simplesmente perceber que a Terra gira em torno do Sol, e no o contrrio. Percebemos que o Sol gira em torno do centro da galxia, que por sua vez, tambm gira, em torno de algo distante o suficiente para que no o conheamos.

    importante ressaltar que esses referenciais nas estrelas distantes so utilizados simplesmente por questes de facilidade de clculo, a necessidade de ter algo que parea parado para ser tomado como referncia. Contudo, sabemos que no faz o menos sentido falarmos de velocidade independente de um referencial. O mesmo vale para o conceito mais essencial de repouso e movimento. Como toda velocidade medida em relao a algo, no faz sentido falar que algum corpo no espao esteja em repouso ou em movimento. No existe um repouso ou movimento absoluto.

    12. Posio, tempo e velocidade Vimos que posio e tempo esto entre as quatro grandezas fundamentais da fsica. Isto significa que

    outras grandezas, como a velocidade, so obtidas a partir delas, conforme veremos a seguir. A unidade de medio de tempo no Sistema Internacional (SI) o segundo (s). bvio que existem

    outras unidades, que so utilizadas a depender do propsito. Por exemplo, no vamos contar o tempo de vida de uma pessoa em segundos ou dias, mas em anos. Da mesma forma ocorre com um perodo letivo, que calculado em meses. Na rea de eletrnica, mede-se o perodo de oscilao de determinados pulsos eltricos em milisegundos (ms), microsegundos (s) ou at nanosegundos (ns).

    A unidade de medio de posio e distncia no SI o metro. Tambm utilizamos muito comumente outras unidades, como o quilmetro (km), o centmetro (cm), o milmetro (mm). Para distncias astronmicas, utilizamos o ano-luz, que a distncia percorrida pela luz no perodo de um ano, algo da ordem de 1016 metros.

    Exerccio 1.9.1: Um carro percorre em uma estrada 120 km em 2,0 h. Em mdia, quantos

    quilmetros ele percorreu em cada hora? Soluo: Est bvio que a resposta uma mdia de 60 quilmetros em cada hora. Contudo, em problemas

    mais complexos, essa resposta no ser bvia ou intuitiva. Precisamos de um mtodo fsico e matemtico para a resoluo desse problema. Ou seja, vamos analisar o que fizemos para chegar a essa resposta.

    Primeiramente, vamos imaginar a estrada, retilnea. Vamos mostrar as sucessivas posies do carro nessa estrada.

    Como vimos, a posio uma grandeza vetorial. Isso significa que deve ser representada de forma completa atravs de um vetor, com mdulo, direo e sentido. No exemplo anterior, utilizamos um sistema referencial com dois eixos. Mas poderamos ter usado um eixo somente, aproveitando-se do fato de tratar-se de um movimento retilneo. Isto , se estivssemos estudando um movimento em curva, necessariamente precisaramos utilizar dois ou at trs eixos. Mas no movimento retilneo, se colocarmos um dos eixos exatamente sobre a trajetria, o outro eixo fica dispensvel. Faremos isso com o objetivo de facilitar o raciocnio.

    0

    s0 s

    s (m) eixo das posies

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Representamos a posio com a letra s (do ingls, space). O ponto zero a origem do nosso

    referencial. O ponto s a posio atual do carro. O ponto s0 a posio inicial do corpo, isto , o ponto a partir do qual comeamos a contar as posies e o tempo.

    Os 120 km, percorridos pelo carro em 2,0 h, comeam no ponto s0 e vo at o ponto s. Por exemplo, imagine que em s0 o marco na estrada era de 50 km. Portanto, em s, o marco era de 170 km.

    A distncia percorrida equivale justamente variao de posio realizada pelo mvel. Essa variao representada por:

    0s s s =

    A letra grega (leia-se delta) significa variao. Portanto s a variao de posio. Essa

    variao de posio a diferena entre as posies atual (s) e inicial (s0). Igualmente, podemos descrever o perodo de tempo decorrido como:

    0t t t =

    E, finalmente, o que fizemos para chegar mdia de 60 quilmetros em cada hora, foi dividir os 120

    quilmetros por 2,0 horas. Ou seja, dividimos a distncia percorrida (variao da posio - s) pelo perodo de tempo em que isso ocorreu (variao do tempo - t).

    Dizer que o automvel percorreu em mdia 60 km em cada hora do seu percurso o mesmo que dizer que sua velocidade mdia foi de 60 km/h no percurso. Assim, podemos escrever:

    m

    sv

    t

    =

    Exerccio 1.9.2: Um automvel faz uma viagem em duas etapas. A primeira, contendo 50 km, foi

    feita em 30 min. A segunda, de 60 km, foi feita em 1h e 30 min. Determine: a) A velocidade mdia na primeira etapa do percurso; b) A velocidade mdia na segunda etapa do percurso; c) A velocidade mdia em todo o percurso. Soluo:

    Sabemos que a frmula para o clculo da velocidade mdia ms

    vt

    =

    . Assim teremos:

    Na primeira etapa:

    m

    1s = 50 km e t = 30 min = h = 0,5 h

    250

    v 50 2 100 km/h12

    s

    t

    = = = =

    Na segunda etapa:

    m

    3s = 60 km e t = 1h + 30 min = h = 1,5 h

    260 2

    v 60 40 km/h3 32

    s

    t

    = = = =

    Em todo o percurso:

    m

    s = 50 + 60 km e t = 30 min + 1h + 30 min = 2,0 h

    110v 55 km/h

    2,0

    s

    t

    = = =

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Calculada a velocidade mdia na primeira etapa (100 km/h) e na segunda (40 km/h), comum pensar

    que a velocidade mdia em todo o percurso a mdia entre 100 e 40, isto , 70 km/h. Contudo, isso s estaria correto se os percursos tivessem o mesmo tempo de durao. como ao longo do ano letivo em um colgio: se um aluno tira nas quatro primeiras provas nota 5,0 e 10 na ltima, sua mdia no ser 7,5, pois houve mais notas 5,0 do que notas 10. A mdia, portanto, tem que estar mais prxima de 5,0 do que de 10. Da mesma forma, o automvel passou mais tempo com a velocidade mdia de 40 km/h do que de 100 km/h. Portanto, a velocidade mdia de todo o percurso deve ser mais prxima de 40 km/h. A maneira de realizar o clculo exato a descrita acima.

    Exerccio 1.9.3: Um automvel se locomove com uma velocidade de 1,0 m/s. Qual sua velocidade

    em km/h? Soluo: Esse problema se baseia na converso das principais unidades de velocidade (m/s e km/h).

    Daqui por diante, tomaremos seu resultado como mtodo para futuras converses. 1 m

    1 m/s = 1 s

    . Para obtermos um valor em km/h, precisamos saber quantos quilmetros equivalem a

    1 m e quantas horas equivalem a 1 s. Fazendo a substituio, teremos um resultado. 3 -31 km = 10 m 1 m = 10 km

    11 h = 60 min = 60 60 s = 3600 s 1 s = h

    3600

    Substituindo, 3 3

    -31 m 10 km 10 km/h = 10 3600 km/h 3,6 km/h1 11 s h3600 3600

    = = =

    Portanto, 1 m/s = 3,6 km/h. Para outras velocidades pode-se fazer o mesmo processo, ou simplesmente realizar uma

    multiplicao (no caso da passagem de m/s para km/h) ou diviso (no caso da passagem de km/h para m/s) por 3,6.

    Por exemplo, para saber o equivalente em km/h da velocidade igual a 2 m/s, basta multiplicar esse valor por 3,6:

    2,0 m/s = 2,0 3,6 km/h = 7,2 km/h Por outro lado, se quisermos saber o equivalente em m/s da velocidade igual a 7,2 km/h, basta dividir

    esse valor por 3,6: 7,2

    7,2 km/h = m/s = 2,0 m/s3,6

    Exerccio 1.9.4: Como prtica, transforme as seguintes velocidades dadas em km/h para m/s ou vice-

    versa. Confira seus resultados com o auxlio de uma calculadora. a) 10,8 km/h b) 4,0 m/s c) 5,0 m/s d) 36 km/h e) 72 km/h f) 90 km/h g) 30 m/s

    Com a equao da velocidade mdia, podemos tambm deduzir a distncia percorrido ou o tempo de

    durao do movimento. Exerccio 1.9.5: Um maratonista realizou uma prova com uma velocidade mdia de 12 km/h. Se o

    tempo de durao dessa prova foi de 3,0 h, determine a distncia total percorrida pelo atleta em km. Exerccio 1.9.6: Um automvel, em movimento de velocidade mdia igual a 90 km/h, atravessa uma

    ponte de 525 m. Em quanto tempo ele completa a travessia?

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Nos casos anteriores, estamos estudando o conceito de velocidade mdia, que difere de velocidade

    instantnea. Como os nomes sugerem, a velocidade instantnea a rapidez momentnea de um mvel, isto , a velocidade em um dado instante, ao passo que a velocidade mdia a mdia de todas as velocidades instantneas ao longo do perodo.

    Se a velocidade mdia corresponde a um perodo de tempo t e pode ser escrita por m

    sv

    t

    =

    ,

    podemos dizer que a velocidade instantnea corresponde velocidade mdia aplicada a um instante, isto , um perodo de tempo muitssimo pequeno, que tende a zero. Matematicamente, expressamos a velocidade instantnea por:

    0limt

    vs

    t =

    Utilizamos o conceito matemtico de limite. Contudo, isso no ser to importante no nosso estudo. Basta a compreenso do conceito essencial de velocidade instantnea. Dizemos, assim, que a velocidade de um corpo a taxa de variao no tempo da sua posio. Em outras palavras, a velocidade o quanto a posio est variando por unidade de tempo.

    Quando dizemos que velocidade mdia de um carro igual a 90 km/h, isso no significa dizer que sua velocidade permaneceu a mesma, ou seja, que sua velocidade instantnea foi igual a 90 km/h em todos os instantes. Significa dizer que a velocidade instantnea pode ter variado e, se isso ocorreu, ela oscilou em torno de 90 km/h.

    13. Acelerao Vamos agora estudar a variao de velocidade ao longo de um perodo de tempo. Suponha que voc

    vai comprar um carro, e est em dvida entre dois modelos. Ambos tem a mesma velocidade mxima: de 200 km/h. Contudo, um dos modelos consegue aumentar sua velocidade de 110 a 200 km/h em 10 s. O outro faz o mesmo em 25 s. Qual dos dois modelos o melhor?

    Se voc est interessado em um carro para estradas, onde certamente voc manter uma velocidade mdia alta e, de tempos em tempos, realizar uma ultrapassagem, precisando de um aumento rpido de velocidade, claro que escolher aquele que obtm a mesma variao de velocidade em menos tempo. Dizemos que esse modelo tem uma acelerao maior do que o outro.

    Vamos verificar, para o primeiro caso, quanto ele varia sua velocidade por segundo. J sabemos que ele aumenta sua velocidade de 110 a 200 km/h. Isso nos d uma variao de 90 km/h. Obtivemos esse resultado com a subtrao: 200 110 = 90 km/h. Assim, definimos:

    0v v v =

    Essa variao de 90 km/h pode ser convertida em 25 m/s. Portanto, se a variao de velocidade total de 25 m/s em um tempo total de 10 s, quantos m/s variam em 1 s? Intuitivamente, basta dividirmos 25 por 10, e obtemos como resposta 2,5. Isso o que chamamos de acelerao mdia. Temos, ento:

    m

    va

    t

    =

    Isso, ento, quer dizer que a cada segundo, o automvel aumenta em mdia sua velocidade em 2,5

    metros por segundo. Ou seja, varia 2,5 metros por segundo, por segundo. Matematicamente, temos

    2

    2

    12,5 2,5 . 2,5 2,5mm s m m

    a m ss s s s

    = = = =

    Equivalentemente, para o segundo carro, temos:

    225 1,025m

    v m sa m s

    t s

    = = =

    Exerccio 1.10.1: Um automvel, em determinado instante, tem uma velocidade de 20 m/s. Para

    realizar uma ultrapassagem, ele pisa no acelerador de forma a oferecer uma acelerao ao veculo de 2,0 m/s2, ao longo de 5,0 s. Determine qual foi a velocidade final nesse processo?

    Soluo: Utilizaremos a relao mostrada acima para acelerao mdia:

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    0

    2,0 5,0 10

    10 20 30

    m m

    va v a t m s

    t

    v v v v v m s

    = = = =

    = = =

    Analogamente aos conceitos de velocidades instantnea e mdia, tambm diferimos as aceleraes

    instantnea da mdia. A acelerao instantnea refere-se a quanto a velocidade est variando em um determinado instante.

    Ela est relacionada, conforme veremos mais adiante, com a fora de propulso do movimento. Isto , quanto maior a fora que impulsiona o veculo para frente em um determinado momento, maior a sua acelerao. Sentimos essa diferena quando, por exemplo, em uma situao de acelerao muito grande, somos puxados pra trs.

    H tambm o caso contrrio, em que ocorre uma desacelerao forte, uma freada, em que somos jogados pra frente. A fora que nos impulsiona para frente est diretamente relacionada com a acelerao instantnea.

    A acelerao mdia, como esperado, a mdia de todas as aceleraes instantneas, e dada pela

    relaom

    va

    t

    =

    . Por isso, quando nos referimos acelerao instantnea, referimo-nos a essa relao

    aplicada no a um perodo de tempo, mas a um instante, que equivale a um perodo de tempo muitssimo pequeno. Assim, escrevemos:

    0limt

    va

    t

    =

    Dizemos, assim, que a acelerao de um corpo a taxa de variao no tempo da sua velocidade.

    Em outras palavras, a acelerao o quanto a velocidade est variando por unidade de tempo.

    14. Movimento progressivo x retrgrado Antes de prosseguirmos, devemos fazer algumas definies e classificaes importantes. Caracterizar

    um movimento como progressivo ou retrgrado significa nada mais do que, dada uma direo de um movimento, indicar o sentido da velocidade.

    Vamos considerar um movimento retilneo, ou seja, unidimensional. Assim como fizemos anteriormente, vamos usar, portanto, um s eixo para a representao das posies. Esse eixo ordenado e tem uma origem.

    A bola cinza representa o mvel que se desloca sobre essa reta. As posies crescem para a direita.

    Caso o mvel se desloque para a direita, sua posio crescer gradativamente. Isso quer dizer que, para um perodo de tempo, sua posio final ser maior que a inicial. Ou seja:

    0 0 0 0s s s s s> > >

    Isto , quando as posies aumentam, a variao de posio s positiva. Como m

    sv

    t

    =

    , nesse

    caso, a velocidade tambm positiva. Todo esse conjunto de caractersticas define o movimento progressivo, no qual a velocidade tem o mesmo sentido que a orientao do eixo das posies.

    Caso o mvel se desloque para a esquerda, sua posio diminuir gradativamente. Isso quer dizer

    que, para um perodo de tempo, sua posio final ser menor que a inicial. Ou seja:

    0 0 0 0s s s s s< < <

    Isto , quando as posies diminuem, a variao de posio s negativa. Como ms

    vt

    =

    , nesse

    caso, a velocidade tambm negativa. Todo esse conjunto de caractersticas define o movimento retrgrado, no qual a velocidade tem sentido contrrio orientao do eixo das posies.

    0

    s (m)

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    15. Movimento acelerado x retardado

    Imagine o exemplo anterior, no qual o eixo das posies representa uma estrada e o mvel um carro. Suponha tambm que o movimento seja progressivo, isto , o carro locomove-se para a direita.

    O motorista, por um motivo qualquer, pisa no acelerador, fazendo com que sua velocidade comece a aumentar. Teremos, assim, aps um perodo de tempo, uma velocidade final maior que a inicial. Ou seja:

    0 0 0 0v v v v v> > >

    Isto , quando a velocidade aumenta, a variao de velocidade v positiva. Como m

    va

    t

    =

    , nesse

    caso, a acelerao tambm positiva. Esse movimento definido como acelerado. Mas note que no o fato de a acelerao ser positiva

    que nos faz classificar o movimento dessa forma. O movimento acelerado porque o mvel est cada vez mais rpido, ou seja, o motorista pisou no acelerador. Isso no parece fazer muito sentido, pois a princpio uma coisa leva outra, mas veremos que isso no verdade. importante fixar que o movimento acelerado por estar cada vez mais rpido.

    Analogamente, temos o caso em que o motorista pisa no freio, fazendo com que sua velocidade

    comece a diminuir. Teremos, assim, aps um perodo de tempo, uma velocidade final menor que a inicial. Ou seja:

    0 0 0 0v v v v v< < <

    Isto , quando a velocidade aumenta, a variao de velocidade v negativa. Como m

    va

    t

    =

    , nesse

    caso, a acelerao tambm negativa. Esse movimento definido como retardado, pois o mvel est cada vez mais lento, o motorista pisou

    no freio. Novamente, nesse caso, essa situao leva a uma acelerao negativa, mas isso nem sempre ocorre. o fato de o mvel estar cada vez mais lento que classificamos o movimento como retardado.

    Classificaremos agora um movimento retrgrado como acelerado ou retardado. A caracterstica do

    movimento retrgrado, como vimos, o sentido do movimento ser contrrio orientao do eixo das posies, isto , a velocidade ser negativa.

    Vamos supor, como exemplo, que a velocidade do automvel seja v0 = 10 m/s. Considerando o eixo das posies orientado para a direita, sabemos que o movimento do mvel ocorre para a esquerda. Assim sendo, a cada segundo, o mvel percorre 10 metros para a esquerda.

    Se o motorista pisa no acelerador, fica mais rpido. Suponhamos que agora ele ande 15 metros a cada segundo. Sua velocidade ento v = 15 m/s. Repare que, apesar de ter ficado mais rpido, sua velocidade ficou mais negativa. Ou seja, o valor escalar da sua velocidade diminuiu. No podemos, portanto, associar rapidez a esse valor, pois uma comparao falha. Devemos associar rapidez ao mdulo da velocidade. Antes tnhamos |v0| = 10 m/s. Agora temos |v| = 15 m/s.

    Se o mdulo da velocidade aumentou, isto , o movimento est mais rpido, ns o classificamos como acelerado. Contudo, o novo valor escalar da velocidade menor do que o primeiro. Assim, podemos escrever:

    0 0 0 0v v v v v< < <

    Isto , a variao de velocidade v negativa. Como m

    va

    t

    =

    , nesse caso, a acelerao tambm ser

    negativa. Temos ento uma aparente contradio: acelerao negativa, mas movimento acelerado. Isso

    esclarecido quando consideramos que a acelerao relaciona-se com o valor escalar da velocidade e a classificao entre acelerado ou retardado relaciona-se com o mdulo da velocidade.

    Ainda no movimento retrgrado, vamos considerar agora o exemplo contrrio, em que o motorista

    pisa no freio. De incio, vamos considerar a velocidade inicial v0 = 10m/s. Isso significa que a cada segundo, o motorista percorre 10 metros para a esquerda. Pisando no freio, o movimento fica mais lento. Suponhamos que agora, ele percorra apenas 5 metros a cada segundo. Sua velocidade ento passou a ser v = 5 m/s.

    Repare que, apesar de o movimento ter ficado mais lento, sua velocidade ficou menos negativa. Ou seja, o valor escalar da sua velocidade aumentou. Novamente, conclumos que no podemos associar rapidez a esse valor, e sim ao mdulo da velocidade. Antes tnhamos |v0| = 10 m/s. Agora temos |v| = 5 m/s.

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Seguindo o mesmo raciocnio, classificamos esse movimento como retardado, apesar de a nova

    velocidade ser maior do que a inicial:

    0 0 0 0v v v v v> > >

    Isto , a variao de velocidade v positiva. Como m

    va

    t

    =

    , nesse caso, a acelerao tambm ser

    positiva, apesar de se tratar de um movimento retardado.

    16. Equaes horrias Em um breve resumo do que vimos at agora, podemos dizer que a velocidade a taxa de variao

    da posio no tempo e que a acelerao a taxa de variao da velocidade no tempo. EXTRA

    _____________________________________________________________________________________ Quem estudou todas as conseqncias dessas relaes foi Newton. Para aprimorar seu estudo de

    grandezas que exprimem a taxa de variao de outras, ele criou o mtodo matemtico chamado derivada, e o operador oposto, a integral. Tais conceitos foram fundamentais no desenvolvimento da matemtica e da fsica moderna, a partir do sculo XVI. Essas ferramentas so muito poderosas, podem abreviar muitas linhas de clculo complexo. Alm disso, propiciam uma viso cartesiana geomtrica dos fenmenos fsicos estudados. _____________________________________________________________________________________

    Portanto, dada uma posio inicial, se transcorrido um intervalo de tempo t, a nova posio

    depender das velocidades adquiridas pelo corpo ao longo desse perodo. Essas velocidades, por sua vez, dependero das aceleraes caractersticas de cada instante.

    Esses fatores geraro, em cada caso, equaes horrias caractersticas do movimento. As trs equaes horrias que sero usadas por ns sero as de posio, velocidade e acelerao, no domnio do tempo.

    Por exemplo, digamos que em um caso especfico, um corpo tenha um movimento retilneo gerido pela seguinte equao horria de posio: 2( ) 3 5 2s t t t= + (SI). Essa equao relaciona a posio do mvel a cada instante a partir do incio do movimento, em unidades do Sistema Internacional. Ou seja, atravs dela, poderamos construir a seguinte tabela:

    Tempo (s) Posio (m)

    t = 0 s(0) = 3 5.0 + 2.02 = 3 m t = 1 s s(1) = 3 5.1 + 2.12 = 0 t = 2 s s(2) = 3 5.2 + 2.22 = 1 m t = 3 s s(3) = 3 5.3 + 2.32 = 6 m t = 4 s s(4) = 3 5.4 + 2.42 = 15 m t = 5 s s(5) = 3 5.5 + 2.52 = 28 m

    Se desejarmos saber a posio do objeto em um dado instante, basta substituir o valor de t na equao

    e calcular o valor de s. Por outro lado, se quisermos saber em qual ou quais instantes o mvel tem uma dada posio, basta substituir o valor de s na equao e calcular o valor de t.

    Vamos calcular em qual instante o mvel alcana a posio 153 m. Substituiremos esse valor em s na equao:

    2

    2

    153 3 5 2

    2 5 150 0

    t t

    t t

    = +

    =

    Observao: Essa equao classificada como de segundo grau. Sua forma genrica :

    2 0ax bx c+ + =

    A frmula para solucion-la a chamada frmula de Bhskara, na verdade descoberta pelo matemtico hindu Sridhara, um sculo antes da publicao de Bhskara:

    2 4

    2

    b b acx

    a

    =

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Observe o smbolo na equao. Ele ocorre porque essa equao tem, na verdade, duas solues:

    2

    1

    4

    2

    b b acx

    a

    + = e

    2

    2

    4

    2

    b b acx

    a

    = .

    Ou seja, existem dois nmeros (x1 e x2) que satisfazem a relao 2 0ax bx c+ + = .

    Voltando equao em que nos encontrvamos, usando os coeficientes da forma genrica de

    equao do segundo grau, temos nesse caso a = 2, b = 5, c = 150. Aplicando-os equao de Bhaskara: 2

    1

    2

    ( 5) ( 5) 4.2.( 150) 5 25 1200 5 35

    2.2 4 45 35

    10 s4

    5 35t 7,5 s

    4

    t

    t

    + = = =

    += =

    = =

    Como os instantes so contados a partir de zero, no utilizamos valores negativos para o tempo. Portanto, a segunda soluo (t2) est descartada. A resposta t = 10 s, ou seja, no instante t = 10 s, o mvel ocupa a posio 153 m.

    Como no exemplo acima, as equaes horrias definem uma relao entre uma determinada grandeza

    fsica (no caso, a posio) com o tempo, isto , mostram o comportamento dessa grandeza ao longo de um perodo. Poderamos definir para o mvel, a equao horria da sua velocidade, ou ainda da sua acelerao. Os procedimentos seriam os mesmos que os exemplificados acima.

    Exerccio 1.13.1: Considere um mvel com a seguinte equao horria de velocidade:

    4 2( ) 13 36v t t t= + (km, h). Determine: a) sua velocidade no instante 5 s. b) o(s) instante(s) em que sua velocidade nula. Soluo: Repare, primeiramente, que no estamos mais trabalhando com o Sistema Internacional de

    unidades. Agora, a posio medida em quilmetros e o tempo em horas. importante ressaltar que mesmo que se trate de uma equao horria de velocidade, as unidades destacadas entre parnteses referem-se s grandezas fundamentais posio e tempo. Logo, nesse caso, a velocidade ser medida em km/h.

    a) Para determinarmos a velocidade no instante t = 5 h, devemos jogar esse valor na frmula: 4 2(5) 5 13.5 36 625 325 36 336 km/hv = + = + =

    b) Agora, queremos saber o(s) instante(s) em que a velocidade nula, isto , v = 0. Novamente,

    jogamos esse valor na frmula: 4 213 36 0t t + = .

    Essa uma equao de quarto grau, cujos mtodos de resoluo so complexos. Mas veja que as

    ocorrncias das potncias de t so t4 e t2. No aparecem na equao t e t3. Quando isso ocorre, dizemos que essa uma equao de quarto grau redutvel a segundo grau, ou uma equao biquadrada. Ou seja, vamos de alguma forma, transform-la em uma equao de segundo grau.

    Faremos isso introduzindo uma nova varivel, a fim de representar t2. Vamos chamar t2 de u. Assim, teremos:

    ( )

    2

    24 2 2

    t u

    t t u

    =

    = =

    Substituindo na equao: 2 13 36 0u u + =

    Podemos, portanto, aplicar Bhaskara para resolver a equao. Os coeficientes so a = 1, b = 13 e c = 36. Teremos:

    22 ( 13) ( 13) 4.1.364 13 5

    2 2.1 2

    b b acu

    a

    = = =

    Agora, temos duas solues, u1 e u2:

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    1

    2

    9

    4

    u

    u

    =

    =

    Como tnhamos u = t2, obteremos os instantes procurados: 21 1

    22 2

    9 3 h

    4 2 h

    t t

    t t

    = =

    = =

    Portanto, para o movimento cujas velocidades so definidas pela equao horria dada, h dois

    instantes nos quais a velocidade nula: t1 = 2 h e t2 = 3 h. Transformao das equaes horrias Esses procedimentos com as equaes horrias so relativamente simples. O grande pulo do gato

    de Newton foi perceber que poderia atravs da equao horria de uma grandeza, obter a equao horria de outra grandeza, mais especificamente, daquela que exprime a taxa de variao da primeira.

    importante relembrar que a velocidade exprime a taxa de variao da posio no domnio do tempo e a acelerao, a taxa de variao da velocidade no domnio do tempo.

    No exemplo acima, conhecamos a equao horria de velocidade do mvel: 4 2( ) 13 36v t t t= + (km, h). Se quisermos obter a equao horria da acelerao, teremos que aplicar o

    mtodo desenvolvido por Newton, a derivada. Isso quer dizer que iremos derivar a funo de velocidade.

    Quando derivamos uma funo f(t), obtemos a funo que exprime sua taxa de variao. Chamamos

    a funo derivada de f(t) e usamos a seguinte notao:

    '( ) ( )df

    f t tdt

    =

    Podemos escrever portanto:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    dsv t t

    dt

    dva t t

    dt

    =

    =

    Para calcular a derivada de 4 2( ) 13 36v t t t= + , usaremos duas propriedades:

    1

    (I) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    (II) - ( ) . ( ) . .n n

    df dg dhf t g t h t t t t

    dt dt dt

    dff t a t t a n t

    dt

    = + = +

    = =

    A propriedade (I) diz que derivar a funo v(t) significa derivar cada um de seus termos separadamente. A propriedade (II) mostra a forma de derivar um termo de funes polinomiais:

    a constante a presente no termo no alterada; o termo passa a ser multiplicado pelo expoente n de t; o expoente de t decrescido em 1 e passa a ser n 1.

    Antes de finalmente derivarmos a funo v(t), ainda preciso observar mais um aspecto importante:

    o ltimo termo da funo, + 36, no multiplicado por t. Todavia, sabemos que t0 = 1. Ento vamos reescrever a funo v(t):

    4 2 0( ) 1. 13 36.v t t t t= + Agora, vamos aplicar a derivada:

    4 1 2 1 0 1( ) 1.4. 13.2. 36.0.dvt t t t

    dt

    = +

    E, assim, podemos obter a equao horria da acelerao do mvel: 3( ) 4. 26.a t t t= (km, h)

    Observao 1: As unidades km e h so mantidas aps a aplicao da derivada, ou seja, o tempo deve

    estar baseado em horas e a acelerao, em km/h2. Observao 2: Repare que quando derivamos o ltimo termo da equao, + 36, obtivemos um

    resultado nulo. Isso quer dizer que ele no produz nenhum efeito na funo derivada, a acelerao. Ou

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    seja, se no lugar de + 36, tivssemos + 50, a funo derivada em nada seria alterada, j que esse termo, chamado termo independente (de t), seria de qualquer forma multiplicado pelo expoente de t, que zero, anulando o resultado. Por que isso ocorre?

    Essencialmente porque o nico termo de v(t) que no varia com o tempo. Tanto o termo -13t2 quanto t4 variam com o decorrer do tempo. J o termo + 36 permanece constante. A funo derivada exprime a taxa de variao da grandeza, ou, de acordo com a propriedade I, a soma das taxas de variao de cada um de seus termos. A taxa de variao de t4, como vimos, 4t3. A taxa de variao de -13t2 -26t. Se + 36 constante, sua taxa de variao deve ser nula.

    Isso fica mais claro se calcularmos a velocidade no instante zero: 4 2(0) 0 13.0 36

    (0) 36 km/h

    v

    v

    = +

    =

    Quando calculamos a velocidade no instante t = 0, todos os termos se anulam, a no ser o termo independente de t. Isso quer dizer que a velocidade inicial do movimento 36 km/h.

    Em qualquer equao horria, o termo independente de t representa o valor da grandeza no instante t = 0, pois o nico que no se anula nessa circunstncia.

    Ou seja, podemos reescrever a equao de v(t) da seguinte forma: 4 2( ) (0) ( 13 )v t v t t= +

    Nesse caso, como se dissssemos que a velocidade atual do mvel a sua velocidade inicial somada ao quanto essa velocidade variou ao longo do perodo de tempo, de 0 a t. Essa variao de velocidade v = t4 13t2. Se substituirmos v na equao, temos a relao j conhecida: v = v0 + v.

    Portanto, claro que a taxa de variao do movimento refere-se somente componente v. Exerccio 1.13.2: A posio de um mvel varia com o tempo segundo a seguinte regra:

    2( ) 5 3 5s t t t= + (m, s). Determine: a) sua posio no instante 1 s; b) sua velocidade inicial; c) sua acelerao;

    Soluo: a) Para a determinao da posio no instante 1 s, basta substituirmos esse valor na equao dada:

    2(1) 5 3.1 5.1 3 ms = + =

    b) Dispomos apenas da equao horria da posio. Se quisermos obter a velocidade em algum instante, deveremos primeiramente derivar a funo de posio.

    0 1 2

    0 1 1 1 2 1

    ( ) 5. 3 5

    ( ) 5.0. 3.1. 5.2.

    ( ) 3 10

    s t t t t

    dst t t t

    dt

    v t t

    = +

    = +

    = +

    Queremos determinar a velocidade inicial do movimento, ou seja, a velocidade para t = 0. Vamos substituir esse valor na equao:

    0

    (0) 3 10.0

    3 m/s

    v

    v

    = +

    =

    c) Para obtermos a equao horria da acelerao, vamos derivar a funo de velocidade:

    0 1

    0 1 1 1

    2

    ( ) 3. 10

    ( ) 3.0. 10.1.

    ( ) 10

    10 m/s

    v t t t

    dvt t t

    dt

    a t

    a

    = +

    = +

    =

    =

    Nesse caso, podemos concluir que a acelerao constante, isto , no varia com o tempo. Mais tarde, estudaremos movimentos com essa caracterstica, o chamado Movimento Uniformemente Variado.

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    Exerccio 1.13.3: Vamos voltar ao exemplo inicial, em que tnhamos 4 2( ) 13 36v t t t= + (km ,h).

    Determine a equao horria das posies. Soluo: De acordo com o que vimos at agora, se a velocidade a taxa de variao da posio,

    devemos ter uma funo s(t) que, quando derivada, obteramos v(t). Vamos fazer isso termo a termo. Devemos ter um termo a.tn que, quando derivado, obtm-se 1.t4. A derivada do termo a.tn a.n.tn-1.

    Vamos fazer, portanto, duas relaes: 1 4 5

    . 1 .5 1 1 5

    n n

    a n a a

    = =

    = = =

    Logo o termo que, quando derivado igual a t4, 55(1 5). 5tt = .

    Utilizando o mesmo raciocnio, podemos obter tambm outros termos da equao: 3133

    t e 36t .

    Contudo, se v(t) exprime a taxa de variao de s(t), esses termos referem-se s, pois o termo s(0) no tem nenhuma contribuio em v(t). Assim, dizemos que:

    5 3

    5 30

    1 1336

    5 3

    1 13( ) 36

    5 3

    s t t t

    s t s t t t

    = +

    = + +

    impossvel determinar s0 a partir da equao de v(t). EXTRA

    _____________________________________________________________________________________ Nos exemplos vistos, as equaes horrias eram polinomiais, isto , um somatrio do tipo a.xn.

    Vimos a regra de derivao polinomial:

    1( ) . '( ) . .n ndf

    f x a x f x a n xdx

    = = = .

    Vamos estud-la. A definio de derivada taxa de variao. Isso significa que

    0 0

    ( ) ( )lim limx x

    df f f x x f x

    dx x x

    + = =

    Suponha que f(x) represente a posio escalar de um corpo e x, o tempo.

    ( ) . ns t a t= Nesse caso, sua derivada a velocidade.

    dsv

    dt=

    Pela definio, temos

    0limt

    sv

    t

    =

    ,

    que exatamente a definio de velocidade j vista anteriormente. Desmembrando esse limite, vir

    0

    ( ) ( )limt

    s t t s tv

    t

    + =

    ,

    onde ( ) Fs t t s+ = e 0( )s t s= . Da, 0( ) ( ) Fs s t t s t s s = + = . Para simplificar, vamos tomar n = 2. Nesse caso, 2( ) .s t a t= . Substituindo na equao da velocidade,

  • Captulo 1 Introduo Fsica

    ( )

    2 2

    0

    2 2 2

    0

    2 2 2

    0

    2

    0

    2

    0

    0

    .( ) .lim

    .( 2. . ) .lim

    . 2. . . . .lim

    2. . . .lim

    2. . . .lim

    lim 2. . .

    2. .

    t

    t

    t

    t

    t

    t

    a t t a tv

    t

    a t t t t a tv

    t

    a t a t t a t a tv

    t

    a t t a tv

    t

    a t t a tv

    t t

    v a t a t

    v a t

    + =

    + +

    =

    + + =

    +

    =

    = +

    = +

    =

    ,

    como era esperado. Podemos fazer a mesma demonstrao para um valor genrico de n, mas isso requer um

    conhecimento de matemtica mais avanado. Na verdade, podemos fazer a demonstrao para qualquer tipo de funo, e no somente as polinomiais. _____________________________________________________________________________________

    17. Concluso Com esses conceitos bem fixados, ser bastante fcil o aprendizado de todo o resto da fsica. Vimos

    as notaes e os procedimentos padres para a anlise e resoluo de um problema de fsica, usamos de forma simples os sistemas de referncia, introduzimos as grandezas fundamentais da fsica, e estudamos suas relaes.

    importante ressaltar que os exemplos vistos para o estudo das equaes horrias tratavam apenas do movimento em uma nica direo. Por isso, as grandezas vetoriais posio, velocidade e acelerao j tinham sua direo definida, e a distino entre os dois sentidos possveis foi feita com o uso dos sinais positivo ou negativo. Isso quer dizer que demos um tratamento escalar a essas grandezas. No quarto captulo, veremos como trabalh-las em um mbito vetorial. Por enquanto, ainda vamos nos ater nessa restrio, porm utilizando o grfico cartesiano como artifcio alternativo s equaes horrias.

    Sendo assim, no captulo II revisaremos alguns conceitos matemticos essenciais para a expanso da teoria do movimento e, no captulo III, daremos prosseguimento cinemtica escalar com o auxlio de grficos cartesianos.