Breve introdução à Mecânica dos Fluidos - Apresentaçãoeduloureiro.dominiotemporario.com/doc/MecFluidos.pdf · interno do tubo que produz o movimento do ponteiro, ... Laminar

PROPRIEDADES DOS FLUIDOS MASSA ESPECÍFICA (DENSIDADE) A densidade de um fluido é dada pela razão entre massa do fluido e o volume ocupado pelo fluido: PESO ESPECÍFICO: O peso específico é dado pela razão entre o peso do fluido e o volume ocupado pelo fluido:

3m

kg

volume

massa

3m

N

volume

peso g

água

água

CONDIÇÃO DE NÃO DESLIZAMENTO Em um escoamento não ocorre deslizamento na zona de contato entre o fluido e a superfície. ESCOAMENTO PERMANENTE Quando as propriedades não variam ao longo do tempo.

naodesliz.mov

2211 AVAV

Equação da continuidade: Conservação de massa:

s

mm

s

m 32

2211 VAVAdt

dmm

s

kg

s

m

m

kg 3

3

PROPRIEDADES DOS FLUIDOS VISCOSIDADE A viscosidade retrata a resistência que o fluido impõe ao cisalhamento. Os fluidos de maior viscosidade apresentam uma maior resistência à deformação.

2m

sN

E

V

A

F p

Viscosidade.mov

PROPRIEDADES DOS FLUIDOS VISCOSIDADE A viscosidade retrata a resistência que o fluido impõe ao cisalhamento. Os fluidos de maior viscosidade apresentam uma maior resistência à deformação.

2m

sN

E

V

A

F p

Viscosidade cinemática

Viscosidade.mov

ghpp 01

Dois pontos no mesmo fluido e à mesma profundidade estão à mesma pressão (Stevin, 1586). A Pressão aumenta quando aumentamos a profundidade.

PRESSÃO HIDROSTÁTICA

Pam

N

área

forçaP

2

23 m

Nm

m

NhP

O macaco hidráulico: Se alguém exerce uma força de 100 N na alavanca do macaco hidráulico da figura, qual a carga que o macaco pode levantar?

Lei de PASCAL: A pressão aplicada a um corpo fluido é transmitida igualmente a cada porção do fluido e à superfície do recipiente que o contém.

O macaco hidráulico: Se alguém exerce uma força de 100 N na alavanca do macaco hidráulico da figura, qual a carga que o macaco pode levantar?

Lei de PASCAL: A pressão aplicada a um corpo fluido é transmitida igualmente a cada porção do fluido e à superfície do recipiente que o contém.

0 CM

NF

F

110003,0

33

03,033,0100

1

1

2

6

21

1

11

1022,6015,0

41100

m

NP

A

FP

21 PP

kNF

A

FP

2,124

05,01022,6

2

6

2

2

22

A diferença de pressão entre dois pontos pode ser expressa pela distância vertical h entre eles:

Nesse caso, h é denominada altura de carga que é interpretada como a altura de uma coluna de líquido de densidade (ou peso específico = ρg) necessária para fornecer a diferença de pressão.

Por exemplo: Para a água com peso específico, = 9810 N/m3, qual é a altura de carga correspondente a uma diferença de pressão de 60 kPa?

E se o fluido for mercúrio com ρ = 13600 kg/m3?

ghpp 01g

pph

01

mmN

mNh 12,6

9810

600003

2

msmmkg

mNh 45,0

81,913600

6000023

2

A pressão atmosférica pode ser medida por um barômetro no qual se mede a altura de

uma coluna de mercúrio.

Torricelli encheu completamente de mercúrio um tubo de vidro de cerca de um metro

de altura, fechado numa extremidade. Depois, tapando o bocal com um dedo, voltou o

tubo para baixo, mergulhando-o numa bacia larga e baixa, que também continha

mercúrio. Retirando o dedo, Torricelli viu que o mercúrio não saia completamente, mas

permanecia em grande parte no tubo, numa altura de cerca de 76 cm, isto porque a

pressão exercida pela atmosfera sobre o mercúrio, na bacia, era igual ao peso da coluna

de 76 cm contido no tubo. Acabara de nascer o barômetro. (primeira metade do século

XVII)

PRESSÃO ATMOSFÉRICA

PaPatm

3103,101

MANOMETRIA:

Os dispositivos que usam colunas de líquido em tubos verticais (ou inclinados) para

medição de pressão são denominados manômetros.

Tubo piezométrico: Tipo mais simples de manômetro, consiste de um tubo vertical,

aberto na parte superior, e fixado a um recipiente cuja pressão se deseja determinar.

Desta forma, a pressão manométrica, PA , pode ser determinada por:

hpA

MANOMETRIA:

Manômetros de Tubo em U:

O líquido usado no manômetro é chamado líquido manométrico.

No manômetro ao lado, observa-se que a pressão em (2) é igual à pressão em (3) [dois

pontos no mesmo líquido e à mesma cota].

Quando usamos manômetros consideramos a pressão atmosférica igual a zero:

Hidrostática Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

112 hpp A

223 hp

1122 hhpA

MANOMETRIA:

Dispositivos Mecânicos de Medição de Pressão:

No medidor de pressão de Bourdon, o elemento mecânico essencial é o tubo oco

de material elástico curvo (tubo de Bourdon), que é conectado à fonte de pressão. À

medida que a pressão no interior do tubo aumenta ele tenta desencurvar-se e, esta

deformação pode ser convertida no movimento de um ponteiro em relação a um

mostrador.

Como é a diferença de pressão entre o lado externo do tubo (atmosférica) e o lado

interno do tubo que produz o movimento do ponteiro, então a pressão indicada é a

pressão manométrica.

Hidrostática Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

Bourdon.mov

A pressão em um ponto no interior de uma massa de fluido pode ser designada ou por

pressão absoluta, ou por pressão manométrica.

A maioria dos manômetros medem diferenças de pressão. As pressões medidas em relação à

pressão atmosférica denominam-se pressões manométricas.

A pressão absoluta (medida em relação ao vácuo) deve ser usada em todos os cálculos com

gases ideais ou com equações de estado.

Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

AMANOMÉTRICAATMOSFÉRICABSOLUTA PPP

Experimento de Reynolds: Da análise dimensional:

VDVDRe

lam_turb.mov

Massa específica do fluido V Velocidade do fluido D Diâmetro do tubo Viscosidade dinâmica do fluido Viscosidade cinemática do fluido

CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS DE FLUIDOS

Laminar Um escoamento laminar é aquele em que as partículas fluidas movem-se em camadas, ou lâminas. No escoamento turbulento as partículas fluidas rapidamente se misturam, enquanto se movimentam ao longo do escoamento, devido às flutuações aleatórias no campo tridimensional de velocidades.

Turbulento

No caso de escoamento de fluido incompressível em duto, sua natureza é determinada pelo valor do número de Reynolds.

VDVDRe

O escoamento em dutos é laminar quando Re 2300

Significado físico dos números adimensionais:

Força de inércia:

Desde que V, L e T são velocidade, distância e tempo, podemos escrever:

Força viscosa:

Note-se que a razão entre:

aLmaF 3

L

V

V

L

V

T

Va

2

22

23 LV

L

VLma

AE

VF

p

VLL

L

VF

2

Recos

22

VL

VL

LV

aforçavis

rciaforçadeiné

f_vis_x_ine.mov

Quando M < 0,3 os gases podem ser tratados como fluidos incompressíveis (variações de densidade inferiores a 5%)

Escoamentos compressíveis e Incompressíveis:

Os escoamentos onde as variações de densidade do fluido são desprezíveis denominam-se incompressíveis. Quando estas variações não podem ser desprezadas os escoamentos são ditos compressíveis.

Para a maioria dos casos práticos os escoamentos de líquidos são incompressíveis.

Os gases também podem se comportar como fluidos incompressíveis desde que a velocidade do escoamento seja pequena em relação à velocidade do som.

M = número de Mach,

V = velocidade do fluido,

c = velocidade do som c

VM

Quando queremos obter parâmetros do movimento (seja de sólidos ou fluidos) aplicamos o princípio de conservação de energia.

Quando desprezamos o atrito:

Energia cinética = Energia potencial gravitacional =

Onde:

m é a massa,

v é a velocidade e

h é a altura em relação a um referencial.

Escoamento incompressível de fluidos não viscosos


A soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional é constante

2

2

1mv mgh

Quando estudamos a queda de uma bola, com velocidade inicial zero, de uma certa altura h, fazemos:



mghE

E

potencial

cinética

0

0

2

1 2

potencial

cinética

E

mvE

h

Sabemos que: Então, para os instantes inicial e final: Portanto:

cteEE potencialcinética

finalpotencialfinalcinéticainicialpotencialinicialcinética EEEE ____

2

2

1mvmgh ghv 2

h = 0

Um método similar pode ser aplicado quando estudamos um jato contínuo de liquido:

Uma partícula de liquido de massa m 'viaja' com o jato e cai de uma altura z1 para z2. A velocidade também varia de V1 para V2. O jato está atravessando o ar onde em todo o seu percurso a pressão é atmosférica então não há forças de pressão atuando no fluido. A única força atuante é a gravitacional. A soma da energia cinética e potencial permanece constante (desde que desprezamos as perdas de energia por fricção), então:

Temos uma expressão que relaciona a energia no ponto 1 e a energia no ponto 2.



2

22

2

112

1

2

1mVmgzmVmgz 2

22

2

112

1

2

1VgzVgz Massa constante

Imaginemos agora um elemento de fluido escoando no interior de um duto. Um elemento de fluido tem energia potencial devido à altura z em relação a um referencial. E também tem energia cinética devido à sua velocidade V.



Em qualquer seção reta a pressão gera uma força, o fluido escoa, movendo-se através da seção e então trabalho é realizado. Se a pressão na seção AB é p e a área da seção é A então Força em AB = pA Quando a massa m do elemento de fluido passar por AB, a seção frontal do elemento estará em A'B' então: Volume que passa por AB = Distância AA' = Trabalho realizado = Força x distância AA' =

m

A

m

pm

A

mpA




2

2

1mV

mgzz

g

V

2

2

Em qualquer seção reta a pressão gera uma força, o fluido escoa, movendo-se através da seção e então trabalho é realizado. Se a pressão na seção AB é p e a área da seção é A então Força em AB = pA Quando a massa m do elemento de fluido passar por AB, a seção frontal do elemento estará em A'B' então: Volume que passa por AB = Distância AA' = Trabalho realizado = Força x distância AA' =

m

A

m

pm

A

mpA

pm

g

p

Se o elemento tem peso mg, então: Energia potencial: por unidade de peso: Energia cinética: por unidade de peso: Trabalho realizado por unidade de peso:




2

2

1mV

mgzz

g

V

2

2

pm

g

p

Se o elemento tem peso mg, então: Energia potencial: por unidade de peso: Energia cinética: por unidade de peso: Trabalho realizado por unidade de peso:

Somando todos os termos teremos: Epressão + Ecinética + Epotencial = Etotal

ou Pelo princípio da conservação de energia, a energia total em um sistema não varia, então a equação acima pode ser escrita: Ou, finalmente:

Hzg

v

g

p

2

2

cteHzg

v

g

p

2

2

2

2

221

2

11

22z

g

v

g

pz

g

v

g

p

Equação de Bernoulli !

A equação de Bernoulli tem algumas restrições em sua aplicabilidade:

Escoamento permanente.

Fluido incompressível (densidade constante)

Perdas de atrito desprezíveis.

A equação relaciona os estados entre dois pontos ao longo de uma mesma linha de corrente.

Todas estas condições são impossíveis de satisfazer em qualquer instante de tempo. Por sorte, para muitas situações reais onde as condições são aproximadamente satisfeitas, a equação dá bons resultados.



2

2

221

2

11

22z

g

v

g

pz

g

v

g

p

Exemplo:

Um tubo em U atua como um sifão de água. A curvatura no tubo está a um metro da superfície da água; a saída do tubo está sete metros abaixo. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine a velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima da água na curvatura.



2

2

221

2

11

22gz

vpgz

vp

EXERCÍCIO: Uma pressão de 10 kPa, manométrica, é aplicada à superfície da água em um tanque fechado. A distância vertical da superfície da água para a saída é de 0,5m. Encontre a velocidade da água na saída. O diâmetro do tanque ´é muito maior que o diâmetro do tubo de saída.

P1 = P2 = Patm

Como a área do reservatório é muito maior que a área do sifão, V1 = 0. Se considerarmos o referencial em Z1, então Z1 = 0

Exemplo:

Um tubo em U atua como um sifão de água. A curvatura no tubo está a um metro da superfície da água; a saída do tubo está sete metros abaixo. A água sai pela extremidade inferior do sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine a velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima da água na curvatura.



2

2

221

2

11

22gz

vpgz

vp

0 0

2

2

221

2

11

22gz

vpgz

vp

2

2

2 2gzv s

mv 7,11781,922

Para sabermos a pressão no ponto A aplicamos Bernoulli de (1) a (A):

AAA gz

vpgz

vp

22

2

1

2

11

0 0 0

kPaPagzv

p AA

A 25,781025,78181,92

7,111000

2

322

(manométrica)

Carburador


Bernoulli e Motores

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Carburetor.svg

Bernoulli_venturi.mov

Carga total, de pressão de velocidade e potencial

Ao observar o que acontece com o exemplo de um reservatório que abastece um duto, podemos verificar a relação entre estas cargas.

Para analisar o escoamento no tubo nós aplicamos a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente do ponto 1 na superfície do reservatório até o ponto 2 na saída do tubo. E nós sabemos que a energia total por unidade de peso ou a carga total não varia - ela é constante - ao longo de uma linha de corrente. Mas, qual o valor desta constante?

Nós podemos calcular a carga total H (ou altura total, já que H é a soma de parcelas que podem ser expressas em unidades de altura de uma coluna de liquido).

No reservatório, p1 = 0 pois p1 é a pressão atmosférica e a pressão manométrica atmosférica é zero. Se o reservatório for muito grande a velocidade no ponto 1 pode ser considerada desprezível se comparada com a velocidade no tubo. Portanto v1 = 0, então, no reservatório, a altura total = H = z1 que é a elevação do reservatório.


2

2

221

2

11

22z

g

v

g

pHz

g

v

g

p


No gráfico abaixo a linha de altura total é mostrada. Se nós conectarmos piezômetros (tubos verticais abertos, preenchidos com o mesmo líquido cuja pressão desejamos medir) em diferentes pontos ao longo do tubo, quais os níveis mostrados quando o tubo estiver fechado na extremidade?

Como podemos ver, com velocidade zero, os piezômetros apresentam um mesmo nível que corresponde a linha de altura (ou carga) total.

Em cada ponto da linha, quando v = 0.

a altura de cada piezômetro corresponde à carga (ou altura) de pressão e seu valor é dado por .


Hzg

p

g

p


O que aconteceria com as alturas mostradas nos piezômetros se o fluido apresentar uma velocidade v 0?

Nós já sabemos que quando a velocidade aumenta a pressão diminui.

Na figura acima, os níveis foram reduzidos por uma quantidade igual à carga de velocidade,

.

Como o tubo tem diâmetro constante, nós podemos ver que a altura de velocidade é constante e está representada pela segunda linha tracejada horizontal.


g

v

2

2


O que aconteceria se o tubo não fosse de diâmetro constante? Vejamos na figura abaixo onde o tubo anterior foi substituído por outro com três diâmetros diferentes e com a seção intermediária de diâmetro maior.

A altura de velocidade em cada ponto é diferente agora. Isto porque a velocidade é diferente em cada ponto.


Perdas devido ao atrito

Em um tubo real há perdas de energia devido ao atrito, que devem ser levadas em conta quando forem significantes. Como se comportarão as cargas de pressão e de velocidade com o atrito? Se considerarmos novamente o tubo com diâmetro constante, nós teremos uma situação como a mostrada abaixo:

A perda de energia devido ao atrito, cujo símbolo é ht, também pode ser escrita como uma altura de coluna de líquido.


thzg

v

g

pz

g

v

g

p 2

2

221

2

11

22

Na equação, os termos entre parêntesis representam a energia mecânica em uma seção. O termo hT, igual à diferença em energia mecânica entre as duas seções (1) e (2), representa a conversão (irreversível) de energia mecânica em energia térmica indesejada e perda de energia através de transferência de calor. hT é o que chamamos de perda de carga total.

[1]

A equação [I] pode ser usada para calcular a diferença de pressão entre quaisquer dois pontos num sistema de tubos, desde que a perda de carga possa ser determinada.

Contribuindo para a perda de carga total teremos:

A soma das perdas distribuídas, hd, devidas aos efeitos de atrito no escoamento em tubos de seção constante.

A soma das perdas localizadas, hl, devidas a entradas, acessórios, mudanças de área, etc.

Perdas de carga em tubulações Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

thzg

v

g

pz

g

v

g

p

2

2

221

2

11

22

Para o escoamento num tubo de área constante, as perdas localizadas não existem, hl = 0, e a equação do balanço de energia reduz-se a:

Se o tubo for horizontal, então z2 = z1 e

[II]

Como a perda de carga representa a energia mecânica convertida em térmica, por efeitos de atrito, ela depende tão somente dos detalhes do escoamento através do conduto e independe da orientação do duto. Portanto, a perda de carga distribuída pode ser expressa como a perda de pressão.dividida pelo peso específico do líquido.

Perdas distribuídas Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

thzg

v

g

pz

g

v

g

p

2

2

221

2

11

22

dhzzg

pp

12

21

dhg

p

g

pp

21

Para o escoamento laminar a queda de pressão pode ser calculada analiticamente e a perda de carga distribuída é dada por:

Para o escoamento turbulento não podemos avaliar a queda de pressão analiticamente; devemos recorrer a dados experimentais e utilizar a análise dimensional para correlacioná-los.


g

V

D

Lhd

2Re

64 2

Para escoamento turbulento, a perda de carga localizada é diretamente proporcional à razão entre o comprimento do duto e seu diâmetro, diretamente proporcional ao quadrado da velocidade e multiplicada por um fator de atrito.

O fator de atrito é uma função do número de Reynolds e da rugosidade relativa e/D.


2

2V

D

Lfhd

Rugosidade relativa: A rugosidade relativa pode ser obtida de gráficos ou tabelas:

Tubo Rugosidade (mm)

Aço rebitado 0,9-9

Concreto 0,3-3

Madeira 0,2-0,9

Ferro fundido 0,26

Ferro galvanizado 0,15

Ferro fundido asfaltado 0,12

Aço comercial ou ferro forjado 0,046

Tubos trefilados 0,0015

O diagrama de Moody: 0006,0D

e4104Re

O diâmetro hidráulico: As correlações para escoamento turbulento em tubos são estendidas para uso com geometrias não-circulares pela introdução do diâmetro hidráulico, definido como: Onde A é a área de seção transversal e P é o perímetro molhado, o comprimento da parede em contato com o fluido escoando em qualquer seção transversal. Desta forma, para um duto circular:

P

ADh

4

4

2DA

DP

DD

D

P

ADh

2

44

4

Perdas localizadas

O escoamento em uma tubulação pode exigir a passagem do fluido através de vários acessórios, curvas ou mudanças súbitas de área. Perdas de carga são encontradas, sobretudo, devido à separação do escoamento.

As perdas de carga localizadas tradicionalmente são calculadas de duas formas:

Onde o coeficiente de perda K deve ser determinado experimentalmente para cada situação, ou

Onde Le é o comprimento equivalente de um tubo reto.


2

2VKhl

2

2V

D

Lfh e

l

Perdas localizadas

Representação das perdas localizadas.


Válvula de gaveta:

Prof. Eduardo Loureiro, DSc.

Válvula globo:


Válvula de esfera:


Válvula de retenção:


Válvula angular:


Válvula de pé com crivo:


Entradas Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

Uma entrada mal projetada de um tubo pode causar uma perda localizada considerável. Se a entrada tiver cantos vivos, a separação do escoamento ocorre nas quinas e uma vena contracta (veia contraída) é formada.

Válvulas e acessórios Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

As perdas através de válvulas e acessórios também podem ser expressas em termos de um comprimento equivalente de tubo reto. Alguns dados são apresentados na tabela. Todas as resistências são dadas para as válvulas totalmente abertas. As perdas aumentam muito com as válvulas parcialmente abertas. Os acessórios de uma tubulação podem ter conexões rosqueadas, flangeadas ou soldadas. Para pequenos diâmetros, as junções rosqueadas são mais comuns; tubulações de grandes diâmetros geralmente têm conexões flangeadas ou soldadas.

Tipo de acessório Comprimento

equivalentea

Le/D Válvula de gaveta 8

Válvula globo 340

Válvula angular 150

Válvula de esfera 3

Válvula de retenção: globo

angular

600

55

Válvula de pé com crivo: disco solto

disco articulado

420

75

Cotovelo-padrão: 90o

45o

30

16

Curva de retorno (180o), modelo estreito 50

Tê padrão: escoamento principal

escoamento lateral (ramal)

20

60

a Baseado em

2

2V

D

Lfh e

l

thzg

v

g

pz

g

v

g

p

2

2

221

2

11

22

Equação da energia: Quando há uma bomba no sistema, como a bomba fornece energia ao escoamento, soma-se a altura de carga da bomba no primeiro membro da equação. Se houver uma turbina no sistema, como a turbina retira energia do escoamento, o termo referente à altura de carga da turbina entra no segundo membro da equação.

tturbinabomba hhhzg

v

g

pz

g

v

g

p

2

2

221

2

11

22

A altura de carga da bomba (e da turbina) na equação da energia é definida como sendo a razão entre a taxa de

trabalho sendo realizada e a vazão em massa multiplicada por g:

Então:

Bombas (ou turbinas) não transmitem (ou absorvem) toda energia ao (do) escoamento devido a atrito mecânico,

dissipação viscosa e vazamentos. Estas perdas são contabilizadas no cálculo da eficiência, η, que é definida pela razão

entre a potência de saída do dispositivo e a potência que lhe foi fornecida:

Onde o termo no numerador corresponde à potencia fornecida pela bomba ao escoamento, e o termo no

denominador é a potência que foi fornecida à bomba (normalmente por meio de um eixo ligado a um motor).

Potência Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

TTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

gm

Wh B

B

gm

Wh T

T

BBBB hQhVAhgmW TTTT hQhVAhgmW

entrada

B

entrada

saidaB

W

W

P

P

Escoamento turbulento: α = 1 Escoamento laminar: α = 2

Exemplo: Na instalação da figura, determinar a potência da bomba necessária para produzir uma vazão de 10 L/s, supondo seu rendimento de 70%. Drecalque = 6,25 cm; Dsucção = 10 cm; Tubo de aço comercial (e = 0,046 mm); ν = 10-6 m2/s ρ = 1000 kg/m3; Leq1 = 20 m; Leq2 = 2 m; Leq6 = Leq7 = 1 m; K5 = 10; K8 = 1.

Potência Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro

EXEMPLO:

Na taxa máxima de geração de eletricidade, uma pequena central hidrelétrica apresenta uma vazão de 14,1 m3/s.,

para uma diferença de cota de 61 m. A perda de carga através da entrada, tubulação e saída totaliza 1,5 m. A

eficiência combinada da turbina e do gerador é de 87%. Qual é a potência elétrica que está sendo gerada?

V1 = V2 = 0

P1 = P2 = 0

hB = 0 (não há bomba no sistema)

A altura de carga fornecida à turbina é igual à diferença de elevação da barragem menos a altura correspondente às

perdas viscosas.

Potência fornecida à turbina (Potência de entrada):

Potência elétrica gerada:

LTB hhhzg

VPz

g

VP

2

2

22

21

2

11

1

22

mh

hzh

T

LT

5,595,161

1

MWms

m

m

NhQP Tentrada 23,85,591,149810

3

3

MWPP entradasaída 16,723,887,0

Documents

Breve introdução à Mecânica dos Fluidos - Apresentaçãoeduloureiro.dominiotemporario.com/doc/MecFluidos.pdf · interno do tubo que produz o movimento do ponteiro, ... Laminar