Breve introdução aos plasmas quânticos

Fernando Haas

UFPR

Colaboradores: P. K. Shukla e B. Eliasson (Bochum, Alemanha)M. Marklund e G. Brodin (Umea, Suécia)G. Manfredi e P.-A. Hervieux (Strasbourg,

França) A. Bret (Ciudad Real, Espanha)

Efeitos quânticos em plasmas

Altas densidades ou dimensões pequenas: comprimento de onda de de Broglie comparável a distância média entre partículas ou outra largura característica (ex.: dispositivos eletrônicos nanoscópicos, etc.)

Efeitos estatísticos: spin, estatística de Fermi-Dirac, comportamento ferromagnético; plasmas frios ou sob intenso campo magnético (ex.: pulsares, magnetares)

Plasma quântico estado genérico da matéria ionizada sob altas densidades e/ou baixas temperaturas (ou ainda: sistemas de partículas carregadas confinadas em regiões diminutas)

Obs.: parâmetros do núcleo do sol ~ ICF (inertial confinement fusion)

Parâmetro de degenerescência

Dirac-Fermi de aestatistic1

3/22

>X

Tmk

n=

T

T=X

B

F

Alguns plasmas quânticos

Plasmas gerados na interação laser-sólido : nova geração de lasers ultra-intensos

Dispositivos eletrônicos ultra-pequenos Objetos astronômicos ultra-densos (ex.: plasmas

em anãs brancas ou estrelas de nêutrons) Gás de elétrons em um metal (Klimontovitch e

Silin, 1952; Lindhard, 1954; Nozieres e Pines, 1958) rede cristalina fundo iônico homogêneo

Parâmetro de acoplamento clássico

Tk

ne~

E

E=g

Bcinetica

potencialC

0

3/12

Parâmetro de acoplamento quântico

3/10

2 n

me²~

E

E=g

E~E

Fermi

potencialQ

Fermicinetica

)(1

)(1

1

1

MBacopladofortementeg

FDacopladofortementeg

BoltzmannMaxwell

DiracFermi

C

Q

Notas históricas

Nozieres e Pines (60’s): abordagem por variáveis coletivas, segunda quantização, plasmas de estado sólido

Silin, Vedenov, Klimontovich (60’s): equação de Wigner não colisional

Dinâmica (propagação de ondas): restrita a teorias lineares

Última década: modelos hidrodinâmicos fenômenos não lineares

Modelando plasmas quânticos

Modelos microscópicos:

função de onda de N-corpos matriz densidade função de Wigner f(x,v,t)

Modelos macroscópicos:

equações hidrodinâmicas

A função de Wigner

t

sx

sx

imvsds

mtvxf ,

2,

2exp

2),,(

Momentos da função de Wigner (estado puro)

,|),(|),,( 2txtvxfn

xx

ivdvtvxfJ

2

),,(

Sistema de Wigner-Poisson (plasma eletrostático)

t)).n(x,-(n

,,'´

00

00

efdv)(n

ε

e=

x

E

,t)xf(vt)x,v,K(v'dv=x

fv+

t

f

Limite clássico equação de Vlasov para f(x,v,t)

Obs.: a função de Wigner não é uma função distribuição de probabilidades (pode assumir valores negativos etc.)

Em todo caso: f(x,v,t) fornece as densidades de carga, de corrente, de energia etc.

0

v

f

m

eE

x

fv

t

f

Variáveis hidrodinâmicas

.

1

22 nudvfvm=P

,dvfvn

=u

,dvf=n

Modelo hidrodinâmico quântico para plasmas eletrostáticos [Manfredi e Haas, 2002]

1926) (Madelung,

r Schrodinge de equacao a para icahidrodinam versao0 p

.

/

2m

1

0,

00

22

2

2

p(n)=p

n),(nε

e=

x

E

,n

xn

x+E

m

e

x

p

mn=

x

uu+

t

u

=(nu)x

+t

n

n

xn

x

22

2

2 /

2m

Potencial de Bohm fenômenos ondulatórios

Aproximação de campo médio:

)(...)2()1(),...,2,1( NfffNfN

Relação de dispersão, ondas lineares de alta freqüência (perturbações ~ exp[i(kx-wt)]):

Se for completamente degenerado:

generadodenaoplasmam

kk

m

TBp ,

4

32

42222

FB ET

Propagação de ondas lineares: instabilidade do duplo feixe (Haas, Manfredi e Feix, 2000)

Parâmetro medindo os efeitos ondulatórios (instabilidade do feixe duplo):

20

p

mu

ω=H

Estados estacionários

.

,~,/

2

1

2,1,0)(

2

10

0

322

2

2

i

i

ii

i

ii

i

ii

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nne

dx

dE

npn

dxnd

dx

d

mm

eE

dx

dp

mndx

duu

iundx

d

Estados estacionários

Hidrodinâmica quântica para plasmas magnetizados

mais equações de Maxwell e equação de estado

[p = p(n)] Magnetohidrodinâmica quântica [Haas (2005)]

,2m

1

0,

2

2

2

n

n+)Bu+E(

m

ep

mn=uu+

t

u

=)u(n+t

n

Papel do potencial de Bohm

Destruição de soluções do tipo sóliton Dispersão de ordem mais alta Inexistência de colapso de pacotes de onda

de Langmuir (q-Zakharov 2D e 3D) TunelamentoDifusão do pacote de ondasDispositivos eletrônicos quânticos [ex: diodo

túnel resonante]: resistência diferencial negativa (dI/dV < 0)

Efeitos da estatística de Fermi-Dirac

Equação de estado para um gás de Fermi inclusão fenomenológica

Princípio : equação de Pauli efeitos relativísticos de ordem mais baixa (Marklund e Brodin, 2007)

Termo de forca quântica de spin, efeitos ferromagnéticos

Aplicação a magnetars (B ~ 10^9 T)

Experimentos

Femtosecond pump-probe spectroscopy (thin metal films, metallic nanostructures)

X-ray Thomson scattering (Glenzer and Redmer, 2009) frequency shifts on high frequency waves dispersion relation

keV free electron lasers (Gregori and Gericke, 2009) frequency shifts on low frequency waves dispersion relation

Limite teórico para o tamanho de dispositivos plasmônicos, devido ao “alargamento efetivo” da camada de transição devido a efeitos quânticos (Marklund et al. 2008)

Efeitos relativísticos

Asenjo e Mahajan (2010) hidrodinâmica quântica relativística a partir da equação de Dirac

Zhu e Ji (2010) efeitos quânticos relativísticos para a aceleração do tipo “wakefield” em lasers

Tito Mendonça (2011) sistema de Wigner-Maxwell relativístico

Eliasson e Shukla (2011) Dirac-Maxwell

Referências

Haas, F.: Quantum plasmas – an hydrodynamic approach (Springer, New York, 2011)

Shukla, P. K. and Eliasson, B.: Nonlinear collective interactions in quantum plasmas with degenerate electron fluids. Rev. Mod. Phys. 83, 885 (2011)

Haas, F.: An introduction to quantum plasmas (BJP, in print)

Para concluir

Vimos em que situações efeitos quânticos são relevantes em plasmas

Consideramos alguns modelos: Wigner-Poisson,equações hidrodinâmicas

Analisamos o papel do potencial de Bohm Algumas aplicações: ondas lineares e não

lineares Extensões: efeitos de spin e relativísticos