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1 Breve Revisão de Cálculo Vetorial

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Breve Revisão de

Cálculo Vetorial

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1. Operações com vetores

Dados os vetores A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk,

define-se:

Produto escalar entre os vetores A e B

AB

BABABA

Daí

AB

BABABA

zzyyxx

zzyyxx

cos

,

cosBA

BA

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Produto vetorial do vetores A e B

senAB

BABABABABABA

BBB

AAA

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

BA

kji

kji

BA

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2. Uma definição física para Campo

Dada uma região D no espaço tridimensional e uma

grandeza física (escalar ou vetorial), então, essa regiãoserá chamada de campo se, nela, o valor da grandeza numdado ponto depender univocamente das coordenadasdesse ponto.

Se a grandeza for escalar (pressão, temperatura, etc.), o

campo é dito escalar.

Se a grandeza for vetorial (força, velocidade, etc), o

campo é dito vetorial.

O valor da grandeza também pode depender do tempo.

Nesse caso, o campo é dito variável (ou dinâmico). Casocontrário, ele é dito estacionário.

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Exemplos de campos escalares:

Em um campo escalar, um número é definido para cada ponto do espaço.

→ Campo de pressão em uma represa, p = γh.

→ Campos de Temperatura.

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→ Um valor escalar é definido para cada ponto do espaço

(analítico ou numérico).

Representação gráfica

0

50

100

0

50

100-10

-5

0

5

10

f

x

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→ Linhas de iso-contorno (temperatura (oC), altitude, etc.)

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-4

-2

0

2

4

6

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→ Campos escalares em 3-D

0

10

20 05

1015

200

5

10

15

20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

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Campos Vetoriais

Em um campo vetorial, um vetor é definido para cada pontodo espaço. Formalmente, temos:

→ Um campo Vetorial é definido, no 2, como uma função Fque associa a cada ponto M(x, y) em um subconjunto D do

2, um único vetor F(M) bidimensional, tal que,

→ Um campo Vetorial é definido, no 3, como uma função Fque associa a cada ponto N(x, y, z) em um subconjunto E do

3, um único vetor F(N) tridimensional, tal que,

jiFF ),(),(),()( yxQyxPyxM

kjiFF ),,(),,(),,(),,()( zyxRzyxQzyxPzyxN

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→ Campo de velocidade em uma roda ou turbina,

→ Campo gravitacional (campo do quadrado inverso),

rF ˆ2r

GMm

jiF xy

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Exemplo - Exercício

Faça um diagrama do campo vetorial

Este campo vetorial descreve a velocidade da corrente

num córrego ou rio em várias profundidades. Velocidade é

nula no leito.

iF yyx ),(

iF

iF

iF

iF

iF

iF

F

5)5,(

2)4,(

3)3,(

2)2,(

)1,(

)22()2/1,(

0)0,(

:.54,3,2,1,2

1,0:

x

x

x

x

x

x

x

TemoseydoConsideran

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Exemplo de uma representação numérica de um campo

vetorial.

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Exemplos de imagens de campos vetoriais

Há um vetor definido

para cada ponto do Es-

paço 2-D.

O tamanho das flechas

representa a magnitude

do vetor. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

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Exemplos de campos escalares e vetoriais

→ Campo escalar → Campo vetorial

Mapa de temperatura Velocidade dos ventos

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4. Operador Nabla

“Nabla” (harpa em grego)

Aplicado sobre uma campo escalar, f, define um campovetorial chamado de Gradiente de f, f.

O produto escalar com um campo vetorial, F, define um

campo escalar chamado de Divergente de F, F.

Produto vetorial com um campo vetorial, F, define um novo

campo vetorial chamado de Rotacional de F, F.

kjizyx

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5. Campos Gradientes

Se f = f(x,y) é uma função escalar de duas variáveis,

então, seu gradiente é definido por,

Se f = f(x,y,z) é uma função escalar de três variáveis,

então, seu gradiente é definido por,

Onde é o vetor Nabla.

jijiy

f

x

ffou

y

f

x

fyxf grad),(

kjikjiz

f

y

f

x

ffou

z

f

y

f

x

fzyxf grad),,(

kjizyx

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Exercícios

1) Encontre os campos gradientes das funções abaixo etrace seus diagramas de campo.

a) f(x,y) = x2 y2

(Resolução a seguir)

b) f(x,y) = x + y

c) f(x,y) = ln(x+2y)

(Resolução no quadro)

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Resolução

Interpretação

O Gradiente é um campo

vetorial cujas componentes

são as derivadas do campo

escalar.

Em qualquer ponto, o Gra-

Diente “aponta” na direção

de máxima inclinação, e sua

magnitude é a inclinação.

jiji yxxyy

f

x

ff

yxyxf

22

22

22

),(

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

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Em outras palavras,

O gradiente de uma função escalar, calculado num dado

ponto, é um vetor cujo módulo representa a máxima taxade variação de crescimento dessa função naquele ponto.

Isto significa que o vetor gradiente calculado em (x0, y0,

z0) tem a direção para a qual ocorre o máximo crescimentoda função em (x0, y0, z0).

Além disso ele é perpendicular à superfície no ponto (x0,y0), no 2, ou (x0, y0, z0) no 3.

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Visualização,

→ Mapa de cores: função – campo escalar

→ Representação de setas: campo vetorial obtido a partir

do gradiente da função escalar.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

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6. Campos conservativos e funções potenciais

Se F é um campo vetorial em duas ou três dimensões.

Então, diz-se que F é um campo conservativo numa região

do 2 ou 3, se F for o campo gradiente de alguma função f

naquela região. Isto é, F = f. A função f é chamada de

função potencial.

Exemplo

Considere o campo vetorial do quadrado inverso em duasdimensões.

Mostre que F é um campo conservativo em qualquer região

do 2 que não contenha a origem e cuja função potencialseja

)()(

),(2/322

jiF yxyx

cyx

2/122 )(),(

yx

cyxf

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Resolução

Temos que mostrar que o campo gradiente de f, em

qualquer região que não contenha a origem, é F. Para isso,

calcularemos f

Logo, F é conservativo em qualquer região do 2, exceto

na origem, já que F = f. f é, portanto, função potencial de

F.

),()()()()(

,

)()(

2/3222/3222/322

2/3222/322

yxyxyx

c

yx

cy

yx

cxf

Daí

yx

cy

y

fe

yx

cx

x

f

y

f

x

ff

Fjiji

ji

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23

y

g

x

fdiv

tesimplesmenou

yxgy

yxfx

div

F

FF

,

),(),(

7. Divergência e Rotacional

Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas

dimensões, define-se a divergência de F, denotado por divF ou

•F, ao escalar

Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k

z

h

y

g

x

fdivF

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kFFy

f

x

grot

Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas

dimensões, define-se o rotacional de F, denotado por rotF ou

xF, ao campo vetorial

Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k

kjiFFy

f

x

g

x

h

z

f

z

g

y

hrot

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0

0

gf

yxrot

kji

FF

Os resultados anteriores podem ser reescritos como:

→ Em duas dimensões,

→ Em três dimensões,

hgf

zyxrot

kji

FF

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kjiF zzyyxzyx 32),,( 32

)(),,(2/3222

kjiF zyxzyx

czyx

O divF tem valores escalares, enquanto rotF tem

valores vetoriais. Ou seja, rotF é ele próprio um

campo vetorial.

Exercícios

1) Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial

2) Mostre que a divergência do campo do quadradoinverso

é nula

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362

)3()2()(

2

32

zyxydiv

zz

zyy

yxx

div

F

F

1) Resolução

Divergência de F

Rotacional de F

kiF

kji

kji

F

23

3223

32

2

)2()()()3()2()3(

32

xyrot

x

zy

y

yx

z

yx

x

z

z

zy

y

z

zzyyx

zyxrot

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2) Resolução

Levando-se em conta que (x2 + y2 + z2)1/2 = r,

5

2

332/1222

3

23

33

3

333

333

31

22

3

)(

,

,

),,(

r

x

rr

x

x

r

xxzyx

x

r

r

xrxr

r

x

x

Sendo

cr

z

zr

y

yr

x

xdiv

Daí

r

cz

r

cy

r

cxzyx

F

kjiF

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033

)(33313131,

31

22

3

)(

31

22

3

)(

,

5

2

3

5

222

35

2

35

2

35

2

3

5

2

332/1222

3

23

33

3

5

2

332/1222

3

23

33

3

cr

r

r

cr

zyx

rc

r

z

rr

y

rr

x

rdivAssim

r

z

rr

z

z

r

zzzyx

z

r

r

zrzr

r

z

z

r

y

rr

y

y

r

yyzyx

y

r

r

yryr

r

y

y

teAnalogamen

F

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Interpretações Física e Geométrica para o divergente

O divergente de um vetor, mede a variação do fluxo

desse vetor.

O divergente pode ser entendido no contexto da

Mecânica dos fluidos como:

→ Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido, então,

divF representa a taxa líquida de variação, com relação ao

tempo, da massa de fluido que passa pelo ponto (x, y, z).

→ Em outras palavras, divF, calculado num ponto

(x0, y0, z0) mede a tendência de um fluido deferir no ponto

(x0, y0, z0).

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→ Campos magnéticos não são divergentes,

→ Uma fonte de campo magnético é ao mesmo tempo fonte

e sorvedouro do campo.

0Hdiv

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→ Campos vetoriais constantes,

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Interpretações Física e Geométrica para o rotacional

O vetor rotacional está associado com rotações.

Se F representa um campo de velocidades em Mecânica

dos fluidos, por exemplo, então, partículas próximas de umponto (x0, y0, z0), tendem a rodar em torno do eixo que

aponta para a direção definida pelo rotF calculado nesse

ponto.

A magnitude do vetor rotF é uma medida do quão rápido

as partículas se movem em torno desse eixo. A rotaçãoobedece a regra da mão direita.

Regra da mão direita Furacão Katrina 25/08/2005

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8. Alguns conceitos e teoremas importantes

Teorema 1

Se f é uma função escalar de três variáveis e que tem

derivadas parciais de segunda contínuas. Então,

Como um campo vetorial conservativo é tal que F = f,

então, o teorema anterior pode ser reescrito como: Se Frepresenta um campo vetorial conservativo, então,

0)grad( ffrot

0Frot

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Teorema 2

Se F = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k é um campo

vetorial no 3 e f, g, h têm derivadas parciais de segundaordem contínuas, então,

Laplaciano

É o resultado da aplicação do operador sobre si mesmo.É denotado por 2. Tem a forma,

Quando aplicado a uma função escalar Φ(x,y,z),

0)( Frotdiv

2

2

2

2

2

22

zyx

2

2

2

2

2

22

zyx

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Se

A equação 2Φ = 0 é conhecida como equação de Laplace.

02

2

2

2

2

22

zyx

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Fluxo de um Vetor qualquer A

A quantidade do vetor A, que passa por uma

determinada superfície dS é,

Convenciona-se que ndS = dS sempre aponta para fora e

é perpendicular à superfície fechada dS.

SAnA ddSd

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Teorema da divergência

A igualdade das duas integrais acima significa que o fluxo

do vetor A através de uma superfície fechada S é igual à

integral do divergente de A no volume V envolto por S

dSdivdVs

ASA

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Circulação de um Vetor

A circulação de um campo vetorial A ao longo de uma

linha L do ponto P ao ponto Q, conforme a figura abaixo, édada por,

dL simboliza uma parcela elementar da linha orientada L.

Q

P

Q

P dC LA

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Teorema de Stokes

O fluxo rotacional de um campo vetorial F através de

uma superfície aberta S é igual à circulação do vetor A ao

longo do caminho L que delimita S.

Se A for uma força, esse teorema é uma forma de

calcular o trabalho realizado por essa força ao longo docaminho L.

SALA drotdSL