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alculo A Fun¸ ao Exponencial e logar´ ıtmica 1 1. Expresse as quantidades abaixo na forma de um ´ unico logaritmo a) log 5 a + log 5 b - log 5 c b) log 2 x + 5 log 2 (x + 1) + 1 2 log 2 (x - 1) c) 1 3 ln x - 4 ln (2x + 3) d) ln x + a ln y - b ln z 2. Resolva as seguintes equa¸c˜ oes a) log 2 x =3 b) 2 = log 5 (x - 1) c)3 x+2 = m (m> 0) d) ln x =2 e) ln x = ln 2 + ln 8 f ) ln (e 2x-1 )=5 g) m = ln(ln x) 3. Determine o dom´ ınio das fun¸c˜ oes (a) f (x)= 1 16 x 2 -2 x (b) f (x)= 2 x - 3 x (c) f (x) = log 2 x 2 f (x) = 2 log 2 x (d) f (x) = log x 5 (e) f (x)= 1 log(100-x) (f) f (x) = ln x + ln(x - 1) (g) f (x) = ln x(x - 1) (h) f (x) = log 3+x (x 2 - 1) (i) f (x) = log 3 (log 1 2 x) (j) f (x) = log(x 2 + 1) (k) f (x) = log ( 3x-x 2 x-1 ) (l) f (x)= q log 3 2x-3 x-1 (m) f (x)= x+5 log(9-5x) (n) f (x)= x 2 -4 log 2 (x 2 +2x-3) (o) f (x) = log x+1 (x 2 - 3x + 2) 1 (i) Ao escrevermos log x, sem especificar a base do sistema de logaritmos que estamos empregando, assume-se que a base ´ e qualquer n´ umero real positivo. (ii) Por ln x entendemos log e x, onde e =2.71... 1

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Calculo A

Funcao Exponencial e logarıtmica 1

1. Expresse as quantidades abaixo na forma de um unico logaritmo

a) log5 a+ log5 b− log5 c

b) log2 x+ 5 log2 (x+ 1) + 12

log2 (x− 1)

c) 13

ln x− 4 ln (2x+ 3)

d) ln x+ a ln y − b ln z

2. Resolva as seguintes equacoes

a) log2 x = 3 b) 2 = log5 (x− 1) c) 3x+2 = m (m > 0) d) ln x = 2

e) ln x = ln 2 + ln 8 f) ln (e2x−1) = 5 g)m = ln(lnx)

3. Determine o domınio das funcoes

(a) f(x) = 1

16x2−2x

(b) f(x) =√

2x − 3x

(c) f(x) = log2 x2

f(x) = 2 log2 x

(d) f(x) = logx 5

(e) f(x) = 1log(100−x)

(f) f(x) = lnx+ ln(x− 1)

(g) f(x) = lnx(x− 1)

(h) f(x) = log3+x(x2 − 1)

(i) f(x) = log3(log 12x)

(j) f(x) = log(x2 + 1)

(k) f(x) = log(3x−x2x−1

)(l) f(x) =

√log3

2x−3x−1

(m) f(x) =√x+5

log(9−5x)

(n) f(x) =√x2−4

log2(x2+2x−3)

(o) f(x) = logx+1(x2 − 3x+ 2)

1(i) Ao escrevermos log x, sem especificar a base do sistema de logaritmos que estamos empregando,

assume-se que a base e qualquer numero real positivo.

(ii) Por lnx entendemos loge x, onde e = 2.71...

1

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(p) f(x) = logx log 12(43− 2x−1)

4. Determine a imagem das funcoes

(a) f(x) = 10−x2

(b) f(x) = 11−2−x

(c) f(x) = 4x − 2x + 1

(d) f(x) = log(x2 + 10)

(e) f(x) = log2(4− x4)

(f) f(x) = log3 x+ logx 3

5. Determine x solucao de log 14(x+ 1) = log4(x− 1)

6. Seja f : A→ R definida por f(x) = | ln(x2−x+1)|. Determine A de modo a termos

f injetiva.

7. Seja f(x) = ln(x2 + x + 1), x ∈ R. Determine funcoes h, g : R → R tais que

f(x) = g(x) + h(x),∀x ∈ R, sendo h uma funcao par e g uma funcao ımpar.

8. Seja a2 + b2 = 7ab. Mostre que log a+b3

= 12(log a+ log b)

9. Mostre

a) loga b logb c = loga c

b) loga b = 1logb a

10. Mostre que log2 5 e irracional. Isto e, mostre que ele nao pode ser escrito na formapq

com p, q ∈ Z.

11. Suponha que b, c, p, q sao positivos e que b/c = p/q. Mostre que ln b−ln c = ln p−ln q.

12. Seja

f(x) =ex

e2x + 1

Mostre que f e funcao par.

13. Seja f(x) = 12(ax + a−x), (a > 0). Mostrar que

f(x+ y) + f(x− y) = 2f(x)f(y)

14. Mostre que loga nlogam n

= 1 + logam

2

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15. Sejam x, y, z tal que se tenha

x(y + z − x)

log x=y(z + x− y)

log y=z(x+ y − z)

log z

Mostre que xyyx = zyyz = xzzx

16. Simplifique a expressao

alog(log a)

log a

17. Sejam y = 101

1−log10 x , z = 101

1−log10 y . Mostre que x = 101

1−log10 z

18. Sejam a, b, c numeros reais positivos satisfazendo a2 + b2 = c2. Mostre que

logb+c a+ logc−b a = 2 logc+b a logc−b a

19. Sejam a > 0, c > 0, b =√ac, a 6= 1, c 6= 1, ac 6= 1 e N > 0. Mostre que

logaN

logcN=

logaN − logbN

logbN − logcN

20. Mostre que

loga1a2...an x =1

1loga1 x

+ 1loga2 x

+ ...+ 1logan x

21. Sejam dadas

a, a1, a2, ..., an, ... : progressao geometrica de razao q > 0

b, b1, b2, ..., bn, ... : progressao aritmetica com diferenca r > 0.

Encontre a base β de um sistema de logarıtmos onde se tem

logβ an − bn = logβ a− b, ∀n ∈ N

Respostas

1. (a) log5abc

(b) log2x(x+1)5√

x−1

(c) ln3√x

(2x+3)4

(d) ln xya

zb

2. (a) x = 8

(b) x = 26

3

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(c) x = −2 + log3m

(d) x = e2

(e) x = 16

(f) x = 3

(g) x = eem

3. (a) R− {0, 14}

(b) (−∞, 0]

(c) R− {0}(0,∞)

(d) (0, 1) ∪ (1,∞)

(e) (−∞, 99) ∪ (99, 100)

(f) (1,∞)

(g) (−∞, 0) ∪ (1,∞)

(h) (−3,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,∞)

(i) (0, 1)

(j) R

(k) (−∞, 0) ∪ (1, 3)

(l) (−∞, 1) ∪ [2,∞)

(m) [−5, 85) ∪ (8

5, 95)

(n) (−∞,−1−√

5) ∪ (−1−√

5,−3) ∪ [2,∞)

(o) (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (2,∞)

(p) (0, 1) ∪ (1, 1 + log243)

4. (a) (0, 1]

(b) (−∞, 0) ∪ (1,∞)

(c) [34,∞)

(d) [1,∞)

(e) (−∞, 2]

(f) (−∞,−2] ∪ [2,∞)

5.√

2

4

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6. A = [0, 12] ou A = (−∞, 0], ou A = [1

2, 1] ou A = [1,∞)

7. g(x) = 12

ln(x2+x+1x2−x+1

)h(x) = 1

2ln(x4 + x2 + 1)

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. log a

17.

18.

19.

20.

21. β = q1r

5

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