C u r s o: Física Mención

MATERIAL: FM-03

CINEMÁTICA II

Tipos de movimientos

i) Movimiento rectilíneo uniforme(MRU): cuando un cuerpo se desplaza conrapidez constante a lo largo de unatrayectoria rectilínea, se dice que describeun MRU.Como ejemplo supongamos que unautomóvil se desplaza por una carreterarecta y plana, y su velocímetro siempreindica una rapidez de 60 km/h, lo cualsignifica que: en 1 h el auto recorrerá 60km, en 2 h recorrerá 120 km, en 3 hrecorrerá 180 km. Si estos datos losllevamos a un gráfico de posición v/stiempo, su comportamiento sería elsiguiente:

La ecuación de la recta nos permitiráencontrar la información de cada posiciónde la partícula en el tiempo. Esta ecuaciónse denomina ecuación itinerario.

Nota: la velocidad es constante, ya que lapendiente es única. El signo de lavelocidad se debe respetar para el cálculode desplazamientos.

x0 = posición inicial

Si x0 = 0 (m), tenemos x(t) = v · t,conocida como la expresión d = v · t.

A continuación se mostrarán loscomportamientos de la velocidad yaceleración en el tiempo para este tipo demovimiento:

Como la velocidad es constante, implicaque la aceleración en un MRU siempre escero

ii) Movimiento rectilíneo uniformementeacelerado: el movimiento con aceleraciónmás sencillo, es el rectilíneo, en el cual lavelocidad cambia a razón constante, loque implica una aceleración constante enel tiempo.

Nota: Cuando el vector velocidad yaceleración tienen distinto sentido e igualdirección, el móvil disminuye su rapidez enel tiempo se dice que es un movimientoretardado.

x(m)

t(s)

x0

pendiente = xt

= velocidad (v)

fig. 1

x(t) = x0 + v · t

t(s)

pendiente = vt

= aceleración (a)

v(m/s)

fig. 2

a(m/s2)

t(s)fig. 3

a = 0 (m/s2)

Imaginemos un móvil estacionado en unaposición x0 a la derecha del origen(posición 0 m), él comienza a moverse enlínea recta, alejándose del origenaumentando su velocidad proporcional conel tiempo, lo cual implica que suaceleración es constante. La situaciónanterior representa un movimientorectilíneo uniformemente acelerado, locual será analizado gráficamente:

La ecuación de itinerario generalizadaesta representada por:

El comportamiento de la velocidad y laaceleración en función del tiempo es elsiguiente:

De acuerdo a la figura 5, podemosdeterminar la velocidad instantánea queposee el móvil, encontrando la ecuaciónde la recta:

El gráfico de la figura 6 muestra laaceleración que se obtiene del gráfico dela figura 5.En la expresión generalizada para lavelocidad instantánea hay que tener encuenta la velocidad inicial v0:

Las ecuaciones anteriores sirven paramovimientos uniformemente acelerados,solo hay que poner cuidado con el signode velocidades y aceleraciones.

¿Qué indica el área bajo la curva enun gráfico?

Analizando dimensionalmente, el área(gráfico x v/s t) genera una multiplicaciónde posición y tiempo, lo cual en cinemáticano implica ningún concepto físico.

x(t) = x0 + v0 · t +12

a · t2

v(m/s)

t(s)fig. 5

a(m/s2)

t(s)fig. 6

v(t) = a · t

v(t) = v0 + a · t

x(m)

t(s)fig. 7

tt

v0

v1

t(s)

v(m/s)

fig. 8

x(m)

t(s)fig. 4

x0

El cálculo del área (gráfico v v/s t) genera

una multiplicación de velocidad y tiempo,

con lo cuál podemos obtener la distancia

recorrida en un intervalo de tiempo

determinado, para el cuál hay que tomar

el valor absoluto del área a calcular.

También se puede obtener desplazamiento

total teniendo en cuenta el signo.

Con el gráfico de la figura 8, podemos

demostrar la ecuación de itinerario de un

movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado, para la cual tomaremos como

posición inicial el origen (x0 = 0 m).

Calculando el área (trapecio) en intervalo

de tiempo t, tenemos:

Área = Árearectángulo + Áreatriángulo = Áreatrapecio

en la cual se obtiene lo siguiente:

Área = v0 · t +12

· (v1 – v0) · t

Utilizando un recurso matemático,

multiplicaremos por el neutro

multiplicativo la expresión del área del

triángulo:

Área = v0 · t +12

· (v1 – v0) · t ·tt

Área = x(t) = v0 · t +12

· 1 0(v v )t

· t2

El cálculo del área genera unamultiplicación entre aceleración y tiempo,con lo cual se puede obtener la variaciónde velocidad (respetando los signos).

¿Como analizar la velocidadinstantánea en un gráfico x v/s t?

Las pendientes de las rectas tangentes ent1 y t2, es un indicador de la velocidadinstantánea en los respectivos instantes detiempo. Con esto logramos verificar que larapidez de la partícula va aumentando enel sentido positivo. Con esta técnicapodemos analizar un problema desde elpunto de vista cualitativo.

Las relaciones necesarias para losejercicios de cinemática, son lassiguientes:

x(m)

t1

fig. 10

t2 t(s)

1

x(t) = v0 · t +12

· a · t2

a(m/s2)

t(s)fig. 9

A) x(t) = x0 + v0 · t 12

· a · t 2

B) v = v0 a · t

C) v2 = 20v 2 · a · d

D) Vm = d / tE) Vm = (V0 + V) / 2F) d / t = (V0 + V) / 2

A continuación veremos los distintos tipos

de proporcionalidad que se dan en las

ecuaciones que se ven en las ciencias

físicas, es de mucha ayuda para la

comprensión de los conceptos entender

cómo se relacionan las variables.

Proporcionalidad Directa

Si dos variables, x e y, cumplen que

y = k

xdonde k es una constante, entonces

se dice que x e y son directamente

proporcionales y al graficar los distintos

valores que toman estas variables se

obtiene el siguiente gráfico:

Un ejemplo de esto en física es:

Cuando se aplican distintas fuerzas sobre

una misma masa la relación entre estas

variables es:

si m es constante la fuerza y la aceleración

son directamente proporcionales, por

ejemplo si se duplica la fuerza entonces

también se duplica la aceleración.

Proporcionalidad Inversa

En este caso las variables cumplen que

x · y = k, con k constante y se dice que x

e y son inversamente proporcionales, al

graficar los distintos valores que toman

estas variables se tiene el siguiente

gráfico:

Un ejemplo de esto en física es:

Un móvil que debe recorrer una misma

distancia (d) con rapideces distintas (v)

usamos la relación d = v · t, donde d es

constante y la rapidez es inversamente

proporcional al tiempo. Como la distancia

es constante cuando el móvil recorra con

una velocidad mayor entonces la otra

variable que es el tiempo disminuirá.

Proporcionalidad al Cuadrado

Aquí una de las variables esta elevada al

cuadrado y la relación entre estas

variables puede ser de la forma y = ax2

donde, a es constante, en este caso

decimos que y es proporcional al cuadrado

de x otra forma de decirlo es que y es

directamente proporcional al cuadrado de

x. Cuando estamos en esta situación la

figura, que se obtiene al graficar los

valores que toman las variables x e y, es:

Es decir una línea recta que pasa por elorigen. Se observa que a medida quecrece la variable x también aumenta lavariable y en la misma medida.

Se observa que si una variable aumentala otra disminuye o viceversa, la curvacorresponde a una hipérbola.

x

y

fig. 11

F = m · a

x

y

fig. 12

Un ejemplo de esto en física es:

La relación entre la energía cinética (EC) y

la velocidad (v). La ecuación que las

relaciona es la siguiente:

donde 1/2 m es constante. En esta

expresión si la velocidad se duplica

entonces la energía cinética se

cuadruplica, o si v disminuye a la mitad

entonces EC disminuye a la cuarta parte,

etc.

Proporcionalidad Inversa al Cuadrado

Esta situación se da cuando la relación

entre las variables es de la forma y =2

k

x

donde k es constante, se dice que y es

inversamente proporcional al cuadrado de

x. Si se tienen distintos valores de x e y al

graficarlos obtendremos lo siguiente:

Un ejemplo de esto en física es:

La famosa Ley de la Gravitación Universal

donde se muestra la forma en que se

atraen dos masas. Por ejemplo la

atracción entre la Tierra (m1) y el Sol

(m2), la relación es la siguiente:

donde el producto G · m1 · m2 es

constante. Si la distancia entre ambos

cuerpos celestes fuese la mitad de la

actual, entonces la fuerza de atracción

entre ambos sería 4 veces mayor de lo

que es ahora.

Aquí también como en el caso dela proporcionalidad inversa si una de lasvariables crece la otra disminuye perocomo una de las variables esta elevada alcuadrado, la variable x, si esta crece aldoble por ejemplo, la variable ydisminuye a la cuarta parte.

La curva corresponde a una parábola,cuando una de las variables se duplica (x)la otra se cuadruplica (y).

x

y

fig. 13 fig. 14x

y

EC =12

· m · v2

F = G · 1 22

m m

d

EJEMPLOS

1. El viaje de una hormiga que se movió en línea recta duró 40 s. Las posiciones de lahormiga se muestran en el gráfico de la figura 15. ¿Cuál es la distancia total recorridapor la hormiga?

A) 120 mB) 80 mC) 40 mD) 20 mE) 4 m

2. Para un vehículo que estuvo viajando a lo largo de una carretera rectilínea, durante unintervalo de tiempo se registraron distintos valores de velocidad, tal como se aprecia enel grafico que muestra la figura 16. De la observación del gráfico es correcto decir que

A) la relación entre la velocidad y el tiempo transcurrido es una proporcionalidad.inversa.

B) el móvil estuvo regresando a su posición inicial.C) a medida que el tiempo transcurría la distancia viajada iba aumentando.D) el desplazamiento total fue cero.E) el móvil no experimento aceleración.

3. Para una elefanta que viajaba en forma muy apresurada se registraron los valores develocidad versus el tiempo transcurrido que se muestran en el gráfico de la figura 17.Considerando que la elefanta viajó en línea recta, es correcto decir que la distanciatotal viajada por la elefanta fue de

A) 30 mB) 100 mC) 200 mD) 220 mE) 320 m

fig. 15

t(s)

x(m)

0 40

4

20

t(s)

v(m/s)

0fig. 16

fig. 17

t(s)

v(m/s)

120

30

2

10

PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. ¿En cuál de los siguientes gráficos es correcto asegurar que la rapidez inicial es cero?

I) II) III)

A) solo en I.B) solo en II.C) solo en III.D) solo en I y II.E) en todos ellos.

2. Un auto viaja por un largo y recto camino, los valores de su velocidad fuerongraficados, tal como se aprecia en la figura 18. Del gráfico es correcto afirmar que

A) es posible obtener el desplazamiento.B) el auto comenzó a viajar en sentido opuesto a los 6 s.C) durante todo el trayecto mantuvo constante el valor de su aceleración.D) el vehículo primero se aleja y luego regresa, al punto de partida.E) la magnitud de su aceleración fue mayor entre los 6 y los 10 s.

3. Se muestra un gráfico de velocidad versus tiempo (ver figura 19), con datos tomadosde una nave espacial en los primeros segundos del despegue desde Tierra, a partir deél es correcto afirmar que

A) mantuvo una aceleración constante de módulo P/Q.B) a medida que el tiempo pasaba su aceleración

aumentaba.C) para conocer qué distancia recorrió falta conocer su

posición inicial.D) en Q segundos el módulo de su velocidad creció desde R

hasta P.E) la distancia recorrida fue (P – R) · Q.

x(m)

t(s)

v(m/s)

t(s)

a(m/s2)

t(s)

fig. 18

0

v(m/s)

10 t(s)

25

6

fig. 19

v

t

P

Q

R

4. Respecto al gráfico de rapidez versus tiempo que se muestra en la figura 20, construidocon los datos obtenidos de un auto en movimiento, es correcto afirmar que el auto

A) estuvo detenido en los primeros 20 s.B) la aceleración entre los 20 s y los 40 s duplica la aceleración que tiene al inicio.C) estuvo aumentando su aceleración en los 20 s finales.D) su aceleración entre los 20 s y los 40 s fue 0,5 m/s2.E) la distancia total recorrida fue de 300 m.

5. Al verse enfrentado al gráfico de velocidad versus tiempo como el que muestra lafigura 21, es correcto deducir que la aceleración media hasta los 30 s es

A) 0,5 m/s2

B) 2,0 m/s2

C) 15,0 m/s2

D) 30,0 m/s2

E) 110,0 m/s2

6. Una moto se desplazó por un camino recto y las posiciones que ocupó versus el tiempose muestran en el gráfico de la figura 22, respecto a este vehículo se afirma que

I) la distancia viajada hasta los 12 s es 90 m.II) hubo dos tramos de su trayectoria, donde estuvo detenido.

III) hubo dos tramos de su trayectoria donde la velocidad aumentóuniformemente.

De estas afirmaciones es (son) falsa(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo I y III.

fig. 21t(s)

v(m/s)

30

15

fig. 22

0

x(m)

12 t(s)

60

104

4

2

4

30

4

fig. 20

t(s)

v(m/s)

400

20

10

20

7. La figura 23 muestra el comportamiento de la posición que tuvo una persona al caminarpor una carretera larga y rectilínea. Gracias al gráfico es correcto afirmar que

A) la persona caminó en total 48 km.B) a las 4 h de caminata comienza a devolverse.C) el desplazamiento neto de la persona fue de 12 km.D) tuvo aceleración positiva al inicio y aceleración negativa al final.E) la velocidad media para todo el trayecto fue de magnitud 3 m/s.

8. Dos vehículos, X e Y, parten desde un mismo punto de una carretera larga y rectilínea,moviéndose en el mismo sentido. De acuerdo al gráfico es correcto que

A) ambos tienen la misma aceleración media a los 10 s.B) a los 20 s la velocidad de ambos es la misma.C) el movimiento de X corresponde a un MRUA.D) el móvil Y hasta los 20 s tiene aceleración constante.E) X e Y recorren igual distancia hasta los 20 s.

9. El gráfico de la figura 26 muestra la velocidad versus tiempo para dos cuerpos, M y N,en el se aprecian dos rectas paralelas, basándonos en el gráfico es correcto decir que larapidez media

A) es la misma para ambos cuerpos.B) es mayor en N.C) vale 50 m/s para M y 30 m/s para N.D) vale 35 para M y 15 para N.E) no es posible calcularla.

x (km)

4 8 t(h)

fig. 24

12

0 20

5

fig. 25

a(m/s2)

t(s)

X

Y

50

20

t(s)

v(m/s)

38

fig. 26

30

0

M

N

10. La distancia total recorrida por un cuerpo, cuya posición en función del tiempo semuestra en el gráfico de la figura 27, corresponde a

A) A + BB) (A + B) / (C + D + E)C) A · BD) A + 2BE) 2B – A

11. Una moto se mueve de modo que su posición varía de acuerdo a lo indicado en elgráfico de la figura 28, de acuerdo a esto la velocidad media entre los 0 s y los 16 stiene un valor igual a

A) 0 m/sB) (20/16) m/sC) (80/16) m/sD) 10 m/sE) 20 m/s

12. Un camión se mueve de tal forma que su velocidad está dada por la expresiónv = 4 + 5t, de acuerdo a esto el gráfico que muestra en forma correcta la velocidaddel camión en función del tiempo es

A) B) C)

D) E)

t(s)

x(m)

fig. 27A

B

0C D E

x(m)

t(s)164

20

fig. 28

120

v

t

v

t

v

t

v

t

v

t

13. Una persona avanza en bicicleta por un carretera rectilínea, otra persona anota losdatos de velocidad versus el tiempo para el ciclista, con el gráfico obtenido es correctoafirmar que

A) a los 5 s dejó de acelerar.B) invierte el sentido de su movimiento a los 5 s.C) el signo de su aceleración no cambia.D) recorre mayor distancia en los primeros 5 s que de 5 a 10 s.E) el módulo de la velocidad media es igual a su rapidez media.

14. Dos móviles están viajando por una camino recto. Los datos de sus velocidadesrespectivas se muestran en el gráfico de la figura 30, de él se concluye que

I) los dos tienen igual desplazamiento hasta los 10 s.II) P tiene aceleración positiva y la de Q es negativa.

III) ambos móviles se mueven en el mismo sentido.

Es (son) falsa(s)

A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) I, II y III.

v(m/s)

t(s)0 5 10

6

fig. 29

v(m/s)

t(s)0

-5

10

5

fig. 30

P

Q

15. De acuerdo al gráfico posición tiempo que se muestra en la figura 31, correspondientea un vehículo deportivo que se desplazaba en línea recta por una carretera asfaltada,es correcto afirmar que

A) la aceleración del auto cambió de signo a los 5 s.B) el desplazamiento total fue de 60 m.C) la distancia total recorrida fue de 60 m.D) a los 5 s el auto cambia el sentido de su movimiento.E) la aceleración del móvil, en m/s2, fue de 1/6.

CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 E 2 C 3 D

DMDOFM-03

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/

v(m/s)

t(s)0 5 10

30

fig. 31

-30