Exerccios Resolvidos de Clculo7 de maio de 2015

Soluo de alguns exerccios de Clculo, referentes ao clculo de limites econtinuidades. A maioria destes exerccios esto propostos nos Livros deClculo do autor James Stewart.

Derivadas

Seja f uma funo contnua num ponto x. Se fizermos um pequeno encre-mento h em x, ento obtemos f (x + h). Assim o incremento correspodentena funo dado por

f (x+ h) f (x).A taxa de variao de f , isto , a variao nos valores de f dividida pela

variao dos valores de x, :

f (x+ h) f (x)(x+ h) x =

f (x+ h) f (x)h

.

O limite desta taxa de variao quando h se aproxima de 0, isto ,

limh0

f (x+ h) f (x)h

.

chamado a deriva da funo f com respeito a varivel x, usaremos asnotaes f (x), Dx f , fx(x) ou d fdx .

Exemplo 0.1 Vamos calcular a derivada da funo f (x) =

x. Por defini-o temos:

f (x) = limh0

f (x+ h) f (x)h

.

caso o limite existe. Passamos ento a calcula-lo:

f (x) = limh0

f (x+ h) f (x)h

= limh0

x+ h x

h

= limh0

x+ h x

h

x+ h+

xx+ h+

x

= limh0

x+ h xh(

x+ h+

x)

= limh0

h

h(

x+ h+

x)

= limh0

1x+ h+

x

= limh0

12

x.

exercicios resolvidos de calculo 2

Assim, como o limite exite, obtemos

f (x) = 12

x.

1. Vamos calcular a derivada de f (x) = x3.

Temos da definio:

f (x) = limh0

f (x+ h) f (x)h

= limh0

(x+ h)3 x3h

= limh0

x3 + 3x2h+ 3h2x+ h3 x3h

= limh0

3x2h+ 3h2x+ h3

h

= limh0

h (3x2 + 3hx+ h2)h

= limh0

h (3x2 + 3hx+ h2)h

= limh0 3x

2 + 3hx+ h2

= 3x2

2. Vamos agora calcular a funo derivada de g(t) =

9 t. Observamosque o domnio da funo g conjunto (, 9]. Por definio:

g(t) = limh0

9 (t + h) 9 t

h

= limh0

9 (t + h) 9 t

h

9 (t + h) + 9 t9 (t + h) + 9 t

= limh0

9 (t + h) (9 t)h(

9 (t + h) + 9 t)

= limh0

hh(

9 (t + h) + 9 t)

= limh0

19 (t + h) + 9 t

=1

2

9 t .

Aqui cabe ressaltar que o domnio de g(t) o conjunto (, 9), assim ge g possuem domnios diferentes.

exercicios resolvidos de calculo 3

3. Vamos agora calcular a derivada de H(x) = x4 + 4x. Temos ento:

H(x) = limh0

[(x+ h)4 + 4(x+ h)] (x4 + 4x)h

= limh0

(x4 + 4x3h+ 6x2h2 + 4xh3 + h4 + 4x+ 4h) (x4 + 4x)h

= limh0

(x4 + 4x3h+ 6x2h2 + 4xh3 + h4 +4x + 4h) (x4 +4x)h

= limh0

4x3h+ 6x2h2 + 4xh3 + h4 + 4hh

= limh0

h(4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3 + 4)h

= limh0

h(4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3 + 4)

h= lim

h0 4x3 + 6x2h+ 4xh2 + h3 + 4

= 4x3 + 4.

4. Vamos agora mostrar que a funo f (x) = 3

x contnua em 0, contudono diferencivel neste ponto. Para mostrarmos que f no diferen-civel em 0 vamos mostrar que o limite em questo, o da definio dederivada, no existe. De fato, temos

limh0

30+ h 30h

= limh0

30+ hh

= limh0

3hh

= limh0

h1/3

h

= limh0

1h2/3

= +.

Logo f no diferencivel em 0

5. Vamos calcular a derivada das funes sin(x) e cos(x). Usaremos asseguintes identidades trigonmetricas:

cos(a+ b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b)sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(b)

exercicios resolvidos de calculo 4

Comeamos pela funo cosseno:

limh0

cos(x+ h) cos(x)h

= limh0

[cos(x) cos(h) sin(x) sin(h)] cos(x)h

= limh0

cos(x)(cos(h) 1) sin(x) sin(h)h

= cos(x) limh0

(cos(h) 1)h

sin(x) limh0

sin(h)h

= cos(x) 0 sin(x) 1= sin(x).

De forma semelhante, isto , usando os limites fundamentais, obtemos:

limh0

sin(x+ h) sin(x)h

= limh0

[sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)] sin(x)h

= limh0

sin(x)(cos(h) 1) + sin(h) cos(x)h

= limh0

sin(x)(cos(h) 1)h

+ limh0

sin(h) cos(x)h

= sin(x) limh0

(cos(h) 1)h

+ cos(x) limh0

sin(h)h

= sin(x) 0+ cos(x) 1= cos(x).

exercicios resolvidos de calculo 5

Regras de Derivao

Recordamos algumas regras bsicas da operao de derivao:

(1)ddx(c) = 0;

(2)ddx(c f (x)) = c f (x) ;

(3)ddx( f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) ;

(4)ddx( f (x) g(x)) = f (x) g(x) ;

(5)ddx( f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g(x) ;

(6)ddx

(f (x)g(x)

)=

f (x)g(x) f (x)g(x)g(x)2

;

exercicios resolvidos de calculo 6

Regra da Cadeira

Alguns casos especiais da regra da cadeia que valem a pena serem lembrados:

Potncias: ( f (x)n) = n f (x)n1 f (x);Exponenciais:

(e f (x)

)= e f (x) f (x);

Logaritmo: (ln( f (x))) =f (x)f (x)

.

1. Vamos calcular a derivada de h(x) = cos(ln(x)). Observamos ento queesta funo pode ser escrita como h(x) = f (g(x)), onde f (x) = cos(x) eg(x) = ln(x). Aplicando a regra da cadeia obtemos:

h(x) = f (g(x))) g(x)= sin(g(x)) 1

x

= sin(ln(x)) 1x

= sin(ln(x))x

.

2. Vamos agora clcular a derivada de h(x) = sin(

1x

). Observamo, no-

vamente, que podemos escrever h(x) n forma h(x) = f (g(x)), ondef (x) = sin(x) e g(x) = 1x . Aplicamos ento a Regra da cadeia:

h(x) = f (g(x)) g(x)= cos(g(x))

(1x2

)= cos

(1x

)(1

x2

)

= cos

(1x

)x2

.

3. Agora iremos calcular a derivada da funo h(x) = ex2. Escrevendo

h(x) = f (g(x)), onde f (x) = ex e g(x) = x2, e aplicando a Regra daCadeia temos:

h(x) = f (g(x)) g(x)= eg(x) 2x= 2xex

2.

exercicios resolvidos de calculo 7

Referncias

T.M. Apostol. CALCULUS, VOLUME I, 2ND ED. Wiley India Pvt.Limited, 2007. ISBN 9788126515196. URL https://books.google.com.br/books?id=vTpbq0UPDaQC.

J. Stewart. Calculus. Cengage Learning, 2011. ISBN 9781133170693.URL https://books.google.com.br/books?id=kdg8AAAAQBAJ.

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