CA P Í T U L O - ICMC·28-Geometria Analítica - um tratamento vetorialIIXERCÍCldS CX =(1-p)CA +pCB Faça figuras ilustrativas: uma, com A, B e C não-colineares, outras, com A,

CA P Í T U L O .

APLICAÇÕES"GEOMETRICAS

Neste capítulo são apresentadas algumas aplicaçõesdos vetares à Geometria Euclidiana.

o objetivo deste capítulo é dar uma idéia de como os vetores podem ser úteis na obtenção ;>

resultados geométricos, e para isso faremos demonstrações de alguns fatos da Geometria EuclidianaA técnica vetorial pode simplificar bastante a resolução de problemas geométricos, mas isso nãacontece sempre. O ideal é conhecer suas virtudes e suas limitações, para utilizá-Ia em nosbenefício.

> Prove que as diagonais de um paralelo gramo têm o mesmo ponto médio.ExercicioResolvido

ResoluçãoSendo ABCD um paralelogramo e M o ponto médio da diagonal AC (Figura 5-1 (a)).valem as igualdades BC = AD e CM = .MÃ. Para concluir que M também é pontomédio da diagonal DB, basta mostrar que lfM = MJ5:

c

Q7CA B

Mr-------\

A(a) (b)

Figura 5-1

B

-

ExercicioResolvido

Capítulo 5 - Aplicações geométricas - 27

Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo éparalelo ao terceiro e tem a metade da sua medida.

Resolução

No triângulo ABC, sejam M o ponto médio de AC e N o de BC (Figura 5-1 (b)). Assim,podemos escrever

MN=MC+ CN= ~AC+~ Bi =~(AC+ Bi) =~ Ali2 2 2 2

Logo, MN//AB e IIMJVII= 11ÃB1I/2.

Em vários exercícios usaremos o conceito de razão em que um ponto P divide um segmen-to orientado não-nulo (A,B), que é o número real r tal que AP = rjijj. É fácil ver que esse número

/. P 'AB P B S b di - IIAPII d Pso existe se pertence a reta e ;é . o essas con içoes, r = -=- quan o pertence aoIIPBII

IIAPII _segmento AB e r = - -=- quando nao pertence.

IIPBII

ExercicioResolvido

ExercicioResolvido

Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (A,B). Prove- r-que r ;é -1 e que AP = -- AB.

1 + r

Resolução

Se r fosse igual a-I, AP seria o vetor oposto de PB e, portanto, AB = AP + jijj = 5,contradizendo a hipótese de que o segmento orientado (A,B) é não-nulo. -<Como AP = rPB, podemos escrever

AP = r(PÃ + Ali) = r(-AP + AB) = -rAP + rAB

--- -- -r-Logo, AP + rAP = rAB, ou seja, (1 + r)AP = rAB e, portanto, AP = -- AB.1 + r

Sejam A, B e C pontos distintos e p um número real. Seja X o ponto tal que AX = pAB.Exprima CX em função de CA, CB, p.

Resolução

CX= CÃ +AX= CÃ + pAli

= CA +p(AC + CB)

= CA + p(-CA + CB)= CÃ - pCA + pCB

Logo,

·28 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial

IIXERCÍCldS

CX = (1- p)CA +pCB

Faça figuras ilustrativas: uma, com A, B e C não-colineares, outras, com A, B e Ccolineares e X ora interior, ora exterior ao segmento AB.

5-1 Considerando A, B, C e X como no exercício resolvido anterior, seja m a razão em que X divide

(A,B). Exprima CX em função de CA, CB, m. Exprima p em função de m.

5-2 Sejam OABC um tetraedro e X o ponto definido por BX = mBC. Exprima OX e AX em função de

6Ã,Oã,oc,m.

5-3 (a) No triângulo ABCda Figura 5-2 (a), Mdivide (A,B) eNdivide (C,B) na mesma razão r. Prove

IIMNIIque MN//ACe calcule-=-.

IIACII

(b) No quadrilátero ABCO (eventualmente reverso, como na Figura 5-2 (b)), M divide (A,B),

N divide (C,8), P divide (C,O) e Q divide (A,O), todos na razão r. Prove que o quadrilátero

MNPQ é um paralelogramo.

(c) Suponha que o quadrilátero ABCO do item anterior seja um paralelogramo. Mostre que as

quatro diagonais (as duas de ABCO e as duas de MNPQ) têm um ponto comum.

B

M N

A C

ngura 5-2

5-4 Sejam A, B e C pontos quaisquer, A ~ B. Prove que:

(a) X pertence à reta AB se, e somente se, existem a e fJ tais que CX = aCA + fJCB e a + fJ = 1;

(b) X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem a e fJ tais que CX = aCA + fJCB, a ~ 0,

fJ~Oea+fJ=1;(c) X é interior ao segmento AB (isto é, existe À tal que °< À < 1 e AX = ÀAB) se, e somente se,

XÃ e Xã são de sentido contrário.

5-5 • Prove que X é um ponto interior ao triângulo de vértices A, B e C se, e somente se, existem ae fJ tais que a > 0, fJ > 0, a + fJ < 1 e CX = aCA + fJCB. (Um ponto é interior a um triângulo se

é interior a um segmento que tem por extremidades um vértice e um ponto interior ao lado

oposto.)

EJferdçioReso1lf.ido

:<-'5


5-6 Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paratelos de um trapézio é

paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases (Figura 5-3 (a)).

5-7 Prove que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às

bases, e sua medida é a semidiferença das medidas das bases (Figura 5-3 (b)).

D_~ C Dr-::- 7\C

Mf-----------\ N

BA I' B A

(a) (b)

Figura 5-3

5-8 Suponha que, no trapézio da Figura 5-3 (a), as razões em que M divide (D,A) e N divide (C,B)

são iguais a r.Mostre que MN = _r_ AB + _1_ OC. Deduza que MN// AB e que a medida de1+r 1+r

MN é igual a rllABII + IIOCII1 + r

Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângu-lo ABC (Figura 5-4).

(a) Exprima BP, AN e CM em função de CA, CB.

(b) Prove que as retas-suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concor-rentes.

(c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide (A,N), (B,P)e (C,M) na razão 2 (conhecido como baricentro do triângulo).

c

p N

A L..- ~ -"" BM

Figura 5-4

Resolução ,

(a) Comecemos por lfP. Note que CP = CÃ/2, pois P é o ponto médio de AC. Logo,

30 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial

-- - 1-Analogamente se obtém, para AN, AN = - CA + - CB2

Quanto a CM, trata-se de um caso particular do Exercício Resolvido 5-4, em queX=Mep= 1/2:

CM= CA +AM= CÃ + -.LAB2

= CA + -.L (AC + CiJ)2

- 1 - -= CA + - (- CA + CB)2

- 1- 1-= CA - - CA + - CB2 2

Portanto,

- 1- 1-CM= -CA+-CB2 2

(Note que, com procedimento e notação diferentes, já havíamos obtido esse re-sultado no Exercício Resolvido 3-8.) -<

(b) Uma vez que as retas AN e BP são coplanares, para concluir que são concorrentesbasta provar que AN e BP não são paralelos (e o procedimento é análogo para osoutros pares de retas). Raciocinemos por redução ao absurdo: se esses vetoresfossem paralelos, existiria (Proposição 3-6) um número real À. tal que BP = À.AN.Devido à parte (a), esta igualdade fornece

- 1- - 1- - ..1.--CB +- CA = À.(-CA + - CB) = -À.CA + - CB

2 2 2

Sendo CÃ e CiJnão-paralelos, isso acarreta, pelo Corolário 3-11,-2 = À. = -1/2, oque é impossível. Concluímos que AR e BP não são paralelos. -<

(c) Chamemos G o ponto comum às retas AN e BP, e H o ponto comum às retas ANe CM. Provaremos que G = H e que esse ponto pertence às três medianas, isto é,aos segmentos AN, BP e CM.Sendo A, G e N colineares, existe À.tal que AG = À.AN; logo, G = A + À.AN. Damesma forma, existe fl tal que G =B +flBP. Portanto, A +À.AN=B +flBP. ComoB = A + AB, podemos escrever

Usando PI e P2 (Proposição 4-2), concluimos que

ExercicioResolvido


Substituindo AB por CB- CAe AR e BP por suas expressões deduzidas na parte(a), obtemos

Como CAe CBnão são paralelos, podemos aplicar o Corolário 3-11:

À-= 1-,u2

Estas igualdades fornecem À = ,lI = 2/3 e, portanto,

2 - 2-G=A+-AN=B+ -BP3 3

[5-1]

Quanto a H, existem a e (3 tais que H = A + aA.N = C + (3CM.Um procedimentointeiramente análogo ao anterior leva à conclusão de que a = (3 = 2/3, de modoque

[5-2]

Comparando [5-1]e [5-2],vemos que

2- 2- 2~G=H=A+ -AN=B+ -BP= C+ -CM333

o que acarreta

[5-3]

Assim, podemos concluir que G pertence às três medianas, já que O< 2/3 < 1.Além disso, da primeira igualdade de [5-3], obtemos

e, portanto, AG/3 = 2GN/3, ou seja,

Isto quer dizer que G divide (A,N) na razão 2. Analogamente, prova-se que Gdivide (B,P) e (C,M) na razão 2, conforme foi enunciado. -(

Dado um triângulo ABC qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos econgruentes às medianas do primeiro.

Resoluçêo

Usaremos a notação do Exercício Resolvido 5-5 (acompanhe na Figura 5-5).

I I

32 - Geometria Analítica - um tratamento vetoria/

c

x

A~-----------L----------~BM

Figura 5-5

Tomemos um ponto O qualquer. Sejam X = O + AN, Y = X + BP e Z = Y + eM.Inicialmente, mostremos que Z = O. Usando as expressões obtidas na parte (a) doExercício Resolvido 5-5 paraAN, ifP e eM, vemos facilmente queAN + ifP +EM= Õ.Então,

Além disso, como XY =BP e YZ=eM, decorre do Exercício Resolvido 5-5 (b) que XVe yz não são paralelos. Logo, X, Ye Z, ou seja, X, Ye O, não são colineares. Existe,pois, um triângulo de vértices X, Ye O. Como OX =AN, XY = BP e YO = eM, os ladosdo triângulo XYO são paralelos e congruentes a AN, BP e eM. -(

5-9 (a) Mostre que o baricentro de um triângulo ABC (ponto comum às três medianas do triângulo)

é também o baricentro dos pontos A, B, C, como foi definido no Exercício 4-13.

(b) Sejam OABC um tetraedro e X o baricentro do triângulo ABG. Exprima OX em função de OA,OOe OCo

5-10 • Os segmentos AN, BP e CM são dois a dois não-paralelos. Dê uma condição sobre os vetores

AN, Bf3 e eM, que não envolva suas normas, para que exista um triângulo de lados paralelos e

congruentes a AN, BP e CM.

5-11 (a) Dado o triângulo ABC, sejam M, N e P pontos tais que 2AM = Aã, 2BN = 5BC e 2CP= CA.

Exprima AN, Bf3 e eM em função de CA e CB, e prove que existe um triângulo de lados

paralelos a AN, BP e CM.

• (b) Dado o triângulo ABC, sejam M, N e P pontos tais que AM = aAã, BN = j3BC e CP = yCA,com a, 13 e y em [0,1]. Prove que existe um triângulo de lados paralelos e congruentes a AN,

BP e CM se, e somente se, a = 13 = y.

5-12 O ponto Xdivide (A, B) na razão a, Ydivide (B,C) na razão 13 e Zdivide (C,A) na razãoy. Exprima

CX, AV e BZ em função de CA, Cã, a, 13, y.

5-13 Dado o triângulo ABC, sejam X o ponto que divide (A,B) na razão 2 e Yo ponto que divide (B,C)

na razão 3.

,_\ Cv",.im", r.x e AV em função de Aã, AO.

•• Bxercicio"~

Resolvido


(b) Prove que as retas CX e AY são concorrentes e exprima o ponto de concorrência P em

função de A, AB, AC.

5-14 Dado o triângulo ABC, sejam X e Yos pontos tais que BX = aBC e AV = f3AC (Figura 5-6).

(a) Prove que AX//BY se, e somente se, (a - 1)(/3- 1) = 1.

(b) Mostre que, se X é interior ao lado BC e Y é interior ao lado AC, então as retas AX e BY são

concorrentes.

A B

Figura 5-6

5-15 Dado o triângulo ABC, tome O na reta BC tal que C seja o ponto médio de BO e Y na reta AC tal

que as retas AO e BY sejam paralelas. Exprima AV em função de BA, BC e mostre que C é o

ponto médio de AY.

Dado o triângulo ABC, seja ü = CA/2 + CB/3 .

(a) Explique por que existe e é único o ponto X da reta AR tal que CX//ü (Figura 5-7).

(b) Mostre que X pertence ao segmento AB e exprima CX em função de CA, CB.

(c) Calcule IIAXII e a razão em que X divide (B,A).11XE11

A B

Figura 5-7

Resolução

(a) O vetor ü não é paralelo a AJj pois, se fosse, existiria um número real À, tal queCAI2 + CB/3 =ME =À,Ç4C+ CB) = -À,CA +À,CB, e então -1/2 =À,= 1/3, o que éimpossível. Conseqüentemente, a reta paralela a ü que contém C não é paralela à


m~~RGÍCIOS•.~~

retaAB. Como se trata de retas coplanares, concluímos que elas são concorrentese que, portanto, o ponto X existe e é único. «

(b) Como X, A e B são colineares, podemos escrever AX = aAB.Do Exercício Resol-vido 5-4 resulta

cx= (l-a)CA +aCB [5-4]

Por outro lado, CX//ü;logo, existe À tal que

~-À~À-CX= Àu = - CA+ - CB

2 3[5-5]

De [5-4] e [5-5], obtemos

~ - ..1.- ..1.-(1-a)CA +aCB= -CA + -CB

2 3

Como CAe CBnão são paralelos, concluímos que 1 - a =À/2 e a =À/3 (Corolário3-11) e que, portanto, ..1.=6/5 e a = 2/5. Logo, AX = aAB e O< a < 1, o que garanteque X pertence ao segmento AB. Voltando a [5-5], obtemos

~ 3 ~ 2-CX= -CA+ -CB

5 5

(c) Vimos em (b) que AX = 2AB/5. Logo, AX = 2(AX + XJJ)/5 e, portanto, 3AX/5 =2XB/5, ou seja, M= 3XÃ/2. Isso quer dizer que X divide (B,A) na razão 3/2. «Tomando normas, obtemos IIMII = 31tX4I1/2;logo,

2 _ IIXAII _ IIAXII3 - IIMII - IIXBII

5-16 Sejam A, B e C vértices de um triângulo.

(a) Prove que, se m + n "#- O, então existe um ponto X na reta AB tal que CX seja paralelo a

mGA + nGB. Exprima CX em função de GA, GB, m, n.(b) Relacione o caso particular em que m + n = 1 com o Exercício 5-4.

(c) Prove (algebricamente) que não existe o ponto X quando m + n = O. Interprete geometrica-

mente este caso.

5-17 No triângulo ABC, sejam ü = GA, v = GB, W = ü - 2v. Calcule a para que X = C + aw pertença àreta AB.

5-18 Dado o triângulo ABC, seja X a interseção do lado AB com a bissetriz do ângulo interno de

vértice C (Figura 5-8) e sejam a = IIGBII e b = IlGAII.

3


(a) Explique geometricamente por que CX é paralelo a CÃlb + Cãla.

(b) Exprima CX em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima AX em função de AB, a, b.

. . _ IIAXII 11§XII(c) Mostre que X divide (A,B) na razao bla e conclua que -- = --.

b a

<.

y A x B

Figura 5-8

5-19 No triângulo da Figura 5-8, sejam a = llCãll e b = llCÃII; suponhamos que a ;é b. Seja Ya

interseção da reta AB com a bissetriz do ângulo externo de vértice C.

(a) Explique geometricamente por que CY é paralelo a CÃlb - Cãla.

(b) Exprima CY em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima AV em função de AB, a, b.

. . _ IIAVII IIavll(c) Mostre que Y divide (A,B) na razao -bla e conclua que -- = --.

b a

(d) O que ocorreria se llCÃII e llCãll fossem iguais?

5-20 • Prove que existe um único ponto comum às bissetrizes internas de um triângulo e que esse

ponto, conhecido como incentro do triângulo, é interior a ele.

5-21 Dado o triângulo ABC não-retângulo, sejam a = tgÂ, b = tg8 e c = tgê.

(a) Sendo CX a altura relativa ao vértice C, prove que aAX = bXB e exprima CX em função de

CÃ, Cã, a, b.

(b) Sendo AYa altura relativa ao vértice A e BZ a altura relativa ao vértice B, exprima AV em

função de CÃ, Cã, b, c, e BZ em função de CÃ, Cã, a, c.

• (c) Mostre que as retas-suportes das três alturas do triângulo ABC têm um único ponto comum

(ortocentro). Sendo P este ponto, mostre que

CP= a+ b CXa+b+c

AP= b+ c AVa+ b+ c

BP= a+ c BZa+b+c

• (d) Prove que o ortocentro é interior ao triângulo se, e somente se, ele for acutângulo.

(No caso em que o triângulo é retângulo, é imediato verificar que as três alturas têm um único

ponto comum, que é o vértice do ângulo reto.)

5-22 Na Figura 5-9, IIAMII = 211Mãll e 311ANII = IINell. Exprima X em função de A, AB, AC.

1 5-23 Sejam A, B, C e O vértices de um quadrado, E um ponto de AO e F um ponto de CO, tais que o

triângulo BEF seja eqüilátero. Calcule a razão em que E divide (A,O) e a razão em que F divide

(O,C).


c

N

AL-----------------~----~==~BM

Figura 5-9

5-24 (a) Dado o triângulo ABC, sejam P, O e R pontos tais que AB = aP8, AC = (3QC,aPR = (30R.Prove que, se a ~ 1, então B, C e R são colineares .

•• (b) Sejam s, e t, duas retas concorrentes em B, tangentes à circunferência de centro A e raio r,(Figura 5-10). Com centro em um ponto P da sem i-reta de origem B que contém A, traça-se

a circunferência de raio r2 (menor que r,), tangente às retas s, e t,. Sejam $2 e ~ duas retas

tangentes à segunda circunferência, concorrentes em R. Com centro em um ponto Q da

semi-reta de origem R que contém P, traça-se a circunferência de raio r3 (menor que r2),

tangente às retas $2 e t2. Sejam $3 e t3 as retas tangentes comuns à primeira e à terceira

circunferências que tenham em comum um ponto C da reta AO, exterior ao segmento AO.Prove que B, C e R são colineares.

t,

~.""",----j'-::>'r~.------------:::;,....:='----=------t3

AB

S2

t2

Figura 5-10

S,

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