1

Captulo 1

1.1 - Introduo

A travessia pnsil um dos mais antigos sistemas estruturais utilizados pelo

homem. Primitivamente os cabos eram feitos de fibras vegetais. O estudo do

comportamento dessas estruturas, bem como sua aplicao, tem-se desenvolvido

consideravelmente desde o sculo XIX.

elaborado um histrico sobre a evoluo das pontes pnseis, de sua teoria,

tecnologia e construo1, onde so enfatizados os cabos principais. No Anexo 1 listam-se

as pontes pnseis no mundo, que foram registradas durante este estudo.

Apresenta-se o estudo do comportamento do cabo pnsil no equilbrio esttico.

estudado o cabo pnsil sem as torres, com ancoragens fixas e niveladas, sem

enrijecimento de flexo, submetido a cargas concentradas aplicadas isoladamente, alm

do peso prprio w do tabuleiro, imaginado como carga vertical uniformemente distribuda

na horizontal. Sob ao exclusiva do peso prprio resultam portanto, formas parablicas

para o cabo. No sero ento estudadas as catenrias, oriundas de cargas verticais

uniformemente distribudas ao longo do comprimento do cabo.

O presente trabalho iniciou-se nos cursos de Anlise Experimental de Estruturas e

de Tenses desenvolvidos na Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Foi

construda no laboratrio uma estrutura experimental, ou seja, um cabo pnsil com 125

cm de vo, onde em um primeiro experimento foram medidos os deslocamentos verticais

com relgios de preciso de centsimo de milmetro. Os experimentos foram

reproduzidos a partir dos realizados por Pugsley [36], [37] e [38], considerado um dos

especialistas no tema. Tambm foi acompanhado o trabalho de Pippard em [34].

1 Para a tecnologia e construo, recomendamos: O Sistema de Cabos nas Pontes Estaiadas e nas Pontes Pnseis - Bases para o seu Pr-dimensionamento[25].

2

No segundo curso foi realizado o mesmo experimento, mas com transdutores

eletromagnticos tipo LVDT instalados em estaes de medio localizadas tambm nos

dcimos de vo, com o objetivo de medir os deslocamentos verticais. Apresentam-se

todos os dados experimentais dos ensaios realizados no Laboratrio de Estruturas e

Materiais Estruturais da EPUSP, durante o ano de 1994.

As pesquisas experimentais iniciaram-se antes da anlise matemtica do

comportamento da estrutura [34].

As medies experimentais, devidamente analisadas, contriburam para o

conhecimento sobre o comportamento do cabo, como se ver adiante. O segundo

experimento deu um grande impulso a este trabalho, pois foi dirigido para a anlise do

centro das foras paralelas aplicadas ao cabo, ou seja, seu centro de gravidade. Foi dada,

portanto, grande nfase na aplicao do mtodo das causas finais proposto por Euler

[44], que considera a energia potencial das foras gravitacionais.

Durante a interpretao dos experimentos, concomitantemente foram realizados os

estudos analticos e conceituais. Aps a elaborao das dedues, as formulaes so

apresentadas da forma mais simples e clara possvel, e sempre comparadas com as da

bibliografia. So apresentados diversos grficos tericos e experimentais dos

deslocamentos verticais do cabo, ou seja, as linhas de influncia dos deslocamentos.

O Teorema do Cabo apresentado detalhadamente [28].

So elucidados novos fenmenos e deduzidas novas formulaes a partir de

hipteses definidas, com exposio terica, exemplos numricos e dados experimentais.

Atravs de doze Proposies demonstrado que a formulao para o equilbrio na

posio deslocada citada na literatura pode ser melhor justificada pela Igualdade das

reas englobadas pelo cabo, ou imobilidade vertical do centro de gravidade da carga

permanente w , do que pela sua inextensibilidade, como usual no estudo clssico.

3

Consideramos os trabalhos de Pugsley2 e os de Timoshenko3 como referncia.

No equilbrio, com a aplicao da carga concentrada P , surgem os Pontos Fixos,

cujas equaes so deduzidas, bem como as expresses dos deslocamentos verticais

tericos, que so comparados com os dados experimentais, tratando-se tambm de uma

nova contribuio.

Em O Comprimento do Cabo Pnsil, deduzida uma nova formulao para o

comprimento do cabo, onde este obtido a partir das foras resultantes presentes no

polgono das foras em equilbrio.

So revistas hipteses, causas e conceitos sobre o comportamento do cabo pnsil.

Alm disto, so elaboradas novas contribuies e formulaes, como as envoltrias dos

deslocamentos verticais. Os deslocamentos para cima so chamados na lngua inglesa de

Traveling Wave [42].

Este trabalho finalizado com a comparao dos deslocamentos verticais obtidos

partir de quatro hipteses diferentes. Na Igualdade das reas a formulao matemtica

simples. Nos outros trs casos, a compatibilidade das deformaes elsticas axiais, a

compatibilidade com a metade da rigidez e a Inextensibilidade, o problema resolvido

com a soluo de uma equao transcendente.

2 Sir Alfred Grenville Pugsley (1903-1960). 3 Stephen Prokopovich Timoshenko (1878-1972).

4

1.2 - Reviso Bibliogrfica

A no linearidade do comportamento do cabo pnsil sem viga de rigidez, submetido

a cargas concentradas, j era conhecida. No entanto somente em 1862, surge uma anlise

matemtica aproximada formalizada, The Statics of Bridges - The Suspension Chain,

Vol. 25, de autoria desconhecida, no Civil Engineer and Architects Journal [38].

Na reviso bibliogrfica, encontramos o Teorema do Cabo [28], o qual

reproduzimos neste trabalho.

Timoshenko em [44], comentando as contribuies de Euler ao conhecimento da

Resistncia dos Materiais, cita o mtodo das causas finais, que consiste em obter a

curva de equilbrio do cabo livremente suspenso com a considerao da energia potencial

das foras gravitacionais.

Levi-Civita & Amaldi em [26] , estudam de forma detalhada o polgono funicular

bem como o sistema de foras paralelas aplicadas ao cabo. Dedicam inclusive o pargrafo

3 denominado Fili flessibili ed inestendibili , com 20 pginas, s propriedades dos

cabos, das pontes pnseis e das catenrias.

Schleicher em [39] tambm estuda este problema, ou seja, o cabo flexvel (ohne

Vertsteifungskonstruktion), pesado e carregado com uma carga concentrada. Este j adota

a extensibilidade, mas como desprezvel (...wenn die elastischen Formnderungen so

klein sind, da sie vernachlssigt werden knnen).

Gravina na publicao Teoria das Pontes Pnseis [17] , tambm adota a hiptese da

inextensibilidade. Mostra os deslocamentos verticais do cabo para a carga central, assim

como os pontos de deslocamento nulo nos teros de vo, chamados de Pontos Fixos no

presente trabalho.

Pugsley em A Rigidez Gravitacional de um Cabo Pnsil [37], pg.386, escreve:

Em muitos casos o cabo relativamente inextensvel e uma primeira aproximao

correspondente condio de extensibilidade nula aplicada. Esta condio expressa

aproximadamente pela relao wvdxl

= 00 onde l o vo....... O trabalho feito por

5

P ao deslocar-se na vertical armazenado no como energia de deformao elstica, mas

como energia potencial gravitacional; em outras palavras, a aplicao da carga P eleva o

centro de gravidade da carga permanente associada ao cabo. Pugsley mostra tambm os

dois Pontos Fixos nos teros do vo, para a carga central. Pugsley em [38], apresenta a

deduo aproximada da condio vdxl = 00 para diversos casos onde a extensibilidade

do cabo desprezvel. Alcana este resultado partindo do equilbrio das foras em um

elemento infinitesimal de cabo e adotando E = . Pode-se dizer que Pugsley adotou o

mtodo direto observando os comentrios histricos de Timoshenko sobre os trabalhos

de Euler, analisando o cabo atravs do equilbrio de um elemento infinitesimal.

Telemaco em [24] cita a Teoria Elstica (Teoria aproximada), a Teoria dos

Deslocamentos (Teoria exata) e a Teoria dos Deslocamentos Linearizada. Esta foi

proposta por Hans H. Bleich em Die Berechnung verankerter Hngebrcken, Viena, no

ano de 1935, para possibilitar a aplicao da propriedade da superposio dos esforos.

J OConnor em [29], pg. 369, estudando o cabo sob carga concentrada mvel,

adota a integral vdxl = 00 para o cabo inextensvel. Descreve a anlise das pontes

pnseis atravs da Teoria de Primeira Ordem, mais conhecida como Teoria Elstica e de

teorias de Segunda Ordem como a Teoria dos Deslocamentos e a Teoria dos

Deslocamentos Linearizados.

No poderamos deixar de citar a obra Theory of Structures [46], pg. 532,

novamente considerando o cabo inextensvel, aps os autores elaborarem diversos

clculos, expressando termos como s vezes simplificando, ou o erro introduzido por

esta omisso, etc., obtm exatamente os mesmos resultados.

Traduziremos o que Judd & Wheen em 1978 escreveram na introduo de [22],

Estruturas de cabos h tempos chamam a ateno no apenas pela sua inerente beleza,

mas tambm pela sua teimosa natureza em no revelar facilmente os segredos de seu

comportamento no linear.

Os primeiros pesquisadores assumiram simplificaes de forma a amenizar a

anlise de suas estruturas. Mais conhecidas talvez sejam as simplificaes adotadas por

Rankine, de que os cabos das pontes pnseis so inextensveis e que os carregamentos

concentrados so uniformemente distribudos no cabo pela trelia de rigidez.

6

Os coeficientes de flexibilidade de Pugsley tm sido adotados como padro por

Markland e, mais recentemente por OBrien.

Trancreveremos as idias de Hardesty & Wessman4 em [18]: Se no h mudanas

no comprimento, o trabalho externo despendido em deslocar o cabo deve ser igual a zero,

ento, para o caso (a) abaixo: ( ) ( ),

,w

wvdx wv dxl

l

lkl l+ + =

=

20

0 40

0 4 . Nesta

pesquisa, aparecem os seguintes grficos dos deslocamentos verticais do cabo, para

diferentes cargas acidentais:

Figura 1 - Deslocamentos mximos do cabo no enrijecido no quarto e no centro do vo, devido s cargas acidentais. Carga permanente ao longo de todo o vo [18].

4 Presentes na reunio: Hardy Cross, Leon Moisseiff, O. H. Ammann, entre outros.

7

Os deslocamentos verticais mximos do cabo no enrijecido so diretamente

associados pelos autores, aos momentos mximos na viga de rigidez.

Observam-se abscissas nas quais o cabo no se desloca, ou seja, o deslocamento

vertical nulo. Adotaram trabalho nulo realizado pelas foras externas no deslocamento

do cabo.

Como observamos, a hiptese da inextensibilidade do cabo s vezes assumida

como uma aproximao, outras como a causa dos resultados obtidos.

Timoshenko em Esttica [45], pg.123, estudando o centro de gravidade das

curvas escreve: O centro das foras paralelas do sistema ser o centro de gravidade do

fio. O estudo acima leva-nos noo de centro de gravidade das superfcies planas e das

curvas planas. Alm de sua identidade com o centro de gravidade de uma chapa delgada e

de um fio fino, estas noes tem por vezes sentido prprio e influencia na soluo de

alguns problemas de mecnica. Como as superfcies e curvas geomtricas so

imponderveis, o termo centro de gravidade a elas aplicado algo incorreto, mas est

consagrado pelo uso.

Os pendurais suspendem as cargas do tabuleiro at o cabo. Assim, tomando como

referncia o cabo, este ir se comportar como se as cargas devidas ao tabuleiro fossem um

peso acrescentado ao seu peso. O Princpio do Ponto Material ser associado idia do

centro das foras paralelas aplicadas ao cabo. Por sua vez, o centro de foras paralelas

oriundas do peso prprio do tabuleiro foi associado terminologia centro de gravidade.

8

Captulo 2

A Evoluo das Pontes Pnseis e de sua Teoria

A aplicao estrutural direta do cabo pnsil constituda pela ponte pnsil. As

antigas pontes de grandes vos foram todas pnseis. A primeira ponte pnsil registrada

chinesa, a Ponte Quan-Xian, construda em 285 A.C. com cabos principais feitos de fibras

de bambu tranadas. O Rei de Qin envia uma tropa Provncia de Sichuan, criando o

ideograma Tso, que significa ponte pnsil de bambu5. Esta ponte ainda est em uso,

tendo sido reformada em 1976 [31].

O material aplicado nas passarelas feitas pelos nativos da sia, Amrica e frica

eram as fibras vegetais, como a ponte sobre o Rio Indo, perto de Swat, no Norte do

Punjab, Paquisto, com relatos datados dos anos 400 D.C. As fibras aplicadas eram, entre

outras o bambu, a videira, o cnhamo e o vime. Estas fibras tranadas formavam os cabos

pnseis e algumas vezes tambm os corrimos. As torres eram a rocha natural ou as

rvores, e as ancoragens eram fixas em estacas de madeira, com o auxlio de pedras.

Passagens assim foram feitas em: Assam, Himalaia, Myanma (Ex-Birmnia), Java e pelos

nativos das Amricas [38], [23].

A transio das fibras naturais para o metal tambm contempla a China.

Documentos do perodo Primavera-Outono (770-476 A.C.) mencionam correntes de

ferro e a existncia de 3.609 minas de ferro, principalmente nas regies montanhosas de

Yunnan e Sichuan. Pontes pnseis de correntes de ferro j foram construdas antes da era

crist. Foi encontrada a descrio de uma ponte pnsil6 de correntes de ferro em Liuba,

Provncia de Shanxi, erigida pelo renomado General Fangui em 206 A.C.

As passagens tibetanas tiveram suas cordas substitudas por correntes de ferro

forjado com argolas de barras de cerca de uma polegada de dimetro. Steinman [43] cita o

monge chins Huan-Tsang que em uma peregrinao ndia observou pontes pnseis

5 Em 95 A.C., O Governador Li Bing de Sichuan constri sete pontes na cidade de Chengdu, sendo uma delas pnsil de bambu. o primeiro construtor registrado a utilizar o bambu. 6 A Ponte Lan-Jin de correntes, 65 A.C., em Jing-Dong, tambm citada na literatura (Fig. 2).

9

Figura 2 - A mtica Ponte Lan-Jin em Yunnan, China [31].

de correntes de ferro neste pas em 630 D.C. O mais conhecido construtor destas pontes

foi Thang-stong rGyal-po (1385-1464), um monge tibetano. As correntes foram analisadas

em 1970, e continham alta percentagem de ferro puro. O exame metalogrfico das

amostras em 1979 mostra grande quantidade de arsnico nas soldas, indicando um grande

domnio da tcnica siderrgica. O arsnico reduz o ponto de fuso do ferro. Esta tcnica

de solda atualmente desconhecida [31].

Marco Plo tambm observa as pontes pnseis chinesas em bambu, no sculo XIII.

As torres comeam a aparecer em alvenaria. Um bom exemplo deste tipo a Ponte Ji-

Hong, de 61 m de vo sobre o Rio Lan Kiang (Hwa Kiang), construda em 1586 com

dezesseis correntes de ferro, para o trfego das caravanas nas antigas estradas imperiais da

dinastia Ming [38], [31].

A primeira estrutura suspensa em correntes da Europa foi uma passarela nos Alpes

sbre o Vale Schllenen, construda em 1218 [31].

Em Florena (1615) e em Veneza (1617), Faustus Verantius publica Machinae

novae... contendo diversas invenes e entre estas, trs propostas de pontes suspensas.

10

Na Inglaterra, as correntes de ferro forjado comeam a ser utilizadas em grande

escala nas ncoras de navio. Assim, perto dos antigos portos e marinas so construdas

obras pnseis com cabo em correntes. No ano de 1741, sobre o Rio Tess7, surge a ponte

Winch com 21 m, a primeira passarela de correntes inglesa, que ruiu em 1802. Foi

reconstruda em 1824, durando at 1908. Uma ponte de correntes pouco conhecida foi

construda em 1807, por Sir John Rennie e Adam Smith sobre o Rio Humber em

Hookstow, com 40 m de vo e com torres de pedra.

John Rennie (1761-1821) foi um engenheiro escocs formado (1780-1783) pela

Universidade de Edinburgh, fundada em 1583. Em Londres inicia a carreira fazendo

moinhos de ferro ao invs de madeira, atividade que exercia durante as frias longas de

vero para se manter estudando. Construiu as docas de Londres e de Plymouth, as pontes

em arco Waterloo (1811-1817) e Southwark (1815-1819), e projetou a Nova Ponte de

Londres, que foi construda por seu filho Sir John Rennie em 1831. A New London

Bridge substituiu a Old London Bridge construda em 1176, com 19 arcos de 4,5 a 10,2

metros que obstruam a vazo das guas e a navegao no Tamisa.

A construo da primeira ponte pnsil (Fig. 3) de correntes de ferro no Ocidente

creditada ao juiz de paz James Finley, que patenteou o sistema, com um vo de 22 m

sobre o Rio Jacob em Uniontown, Pensilvnia, EUA em 1801. A Ponte Merrimac em

Figura 3 - A Ponte em Uniontown, E.U.A., de James Finley no ano de 1801 com 22 m [31].

Massachusetts, feita por John Templeman em 1809 sob licena da patente de Finley,

7 Condado de Durham, Nordeste da Inglaterra.

11

ainda existe, tendo sofrido diversas reformas.

A ponte de Finley foi a primeira ponte com estrutura racionalizada e muito bem

projetada para a poca. Havia tanto rigidez vertical proporcionada pelo guarda-corpo

treliado, como horizontal devida ao piso de madeira rgido. A flecha do cabo em

correntes de ferro forjado era grande, aproximadamente um stimo do vo.

Samuel Brown (1776-1852), ex-capito da Marinha e fabricante de correntes,

prope em 1811 e patenteia em 1817 a corrente feita com elos em chapas de ferro planas

olhavadas. Em 1820, aplica-as pela primeira vez na Ponte Union8, sobre o Rio Tweed, em

Berwick, com um vo de 136 m para a passagem de carruagens [38].

Figura 4 - Vista e planta do projeto da Ponte Dryburgh Abbey, Inglaterra, a primeira com estais auxiliares verticais e horizontais (cradling) de travamento. Foi reconstruda em 1818 [31].

A Ponte Dryburgh Abbey de 1817 (Fig.4), sobre o Tweed, ruiu devido ao vento. O

Rio Tweed divide a Esccia do Nordeste da Inglaterra. Apresentamos abaixo (Fig. 5) uma

ilustrao do colapso devido ao vento da passarela do Per de Brighton com 68,6 m de vo

em 1836, construda por Sir Samuel Brown [31]. A Ponte de Menai parcialmente

destruda durante as obras em 1825, depois em 1836 e novamente em 1839 [31]. Brown

constri tambm uma ponte em Durham em 1830 sobre o Tess com 85 m de vo que entra

em colapso com o carregamento de um trem transportando carvo para Yorkshire9.

Tambm devemos mencionar a queda da Ponte Broughton em 1831, perto de Manchester

devido marcha de 60 soldados. A maioria desses colapsos ocorreu no perodo de 1817 a

1889.

8 Considerada a primeira ponte pnsil inglesa. 9 Tyrrel, H. G. History of Bridge Engineering, publicado pelo autor em Chicago 1911 [47].

12

Figura 5 - O colapso do Per de Brighton na Inglaterra, devido ao vento, em 1836 [31].

Se nestas primeiras pontes tivessem sido adotados os bons princpios de construo

de Finley, muitos desses colapsos poderiam ter sido evitados. Ao invs do tabuleiro

rgido, adotaram-se arranjos mais econmicos como flechas menores, estais inclinados,

etc., que provaram de eficincia discutvel.

Somente em 1840, quando James Meadows Rendell (1799-1856) reconstri a Ponte

Montrose10 (131m) na Esccia, enfatiza-se novamente a importncia da rigidez do

tabuleiro.

Nos Estados Unidos em 17 de Maio de 1854 cai a ponte Wheeling, seis anos aps

sua inaugurao, um acidente devido a instabilidade aerodinmica.

Um dos mais srios acidentes foi a queda em 1850 da Ponte Basse-Chane em

Angers, onde afogaram-se 226 soldados dos 478 que marchavam sobre ela. Foi construda

por Chaley e Bordillon durante o perodo de 1836-1839 com vo de 102 m.

10 Tambm construda por Brown, ruiu com perdas humanas, quando a populao assistia a uma regata. O movimento das pessoas de um lado para o outro do tabuleiro, constitu-se em mais um tipo de carregamento dinmico torcional. Memoir of the Montrose Suspension Bridge, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, vol.1, 1841.

13

Entre os anos de 1869 e 1881, pelo menos seis pontes de cabos em fios ruram na

Frana. Em 1870 o governo francs cria rigorosas normas e especificaes para a

construo e manuteno das pontes pnseis [2].

Cabe-se salientar que em 1o de Fevereiro de 1716, foi fundada em Paris o Corps

des Ponts et Chausss. Qualquer projeto de estrada, ponte ou canal na Frana, era

previamente analisado por esta organizao e aps sua aprovao podiam ser construdos.

Seu primeiro diretor foi Jaques-Jules Gabriel (1667-1742), filho do Gabriel construtor da

Pont Royal sobre o Sena. Nesta ponte constituda por cinco arcos de alvenaria de pedra

foi adotado o caixo aberto para a execuo das fundaes.

Em 1747 fundada a cole des Ponts et Chausss para suprir a Frana com

engenheiros treinados e competentes. a primeira escola de engenharia do mundo.

14

2.2 - O Primeiro Passo: As Correntes de Ferro

As correntes constitudas por barras de chapas de ferro planas (flat iron link),

patente de Sir Samuel Brown, so a soluo para o incio das pontes pnseis inglesas.

Estas chapas olhavadas eram unidas por pinos. Assim, os ingleses e outros resolveram o

problema dos cabos principais durante o sculo seguinte, at a ponte de Florianpolis, a

maior ponte em correntes do mundo, como veremos adiante neste trabalho.

A CLASSIFICAO DO FERRO

A seguir vamos apresentar uma classificao do ferro, obtida de uma publicao

antiga [7]11, no sendo a tcnica metalrgica atual. As construes passaram a apresentar

muito mais resistncia ao fogo com a utilizao do ferro fundido.

O ferro fundido teve a sua primeira aplicao em pontes no arco de 30 m da

Coalbrook Dale Bridge no ano de 1779 sobre o rio Severn. As peas fabricadas com ferro

fundido no podem ser deformadas nem a frio nem a quente, pois se rompem. Assim so

moldadas em sua forma definitiva. A segunda ponte em ferro fundido foi feita por Telford

a apenas trs milhas da Coalbrook Dale. A primeira ponte em arco de ferro fundido norte-

americana foi feita em 1836 por Richard Delafield, do U. S. Engineers Corps. Pode-se

classificar o ferro da seguinte forma:

Ferro gusa (pig iron): nome dado s barras brutas de metal impuro corridos do alto

forno. Estas por sua vez se dividem em duas qualidades: as de fratura cinza (dark

grey), devido a grande quantidade de carbono no combinado e as de fratura prateada

(silvery) com muito pouco carbono no combinado. As primeiras so adequadas

fundio (foundry pigs) e as segundas (forge pigs) para serem convertidas em ferro

forjado (wrought iron). o produto de primeira fuso chamado ferro fundido bruto ou

gusa com 3,5 a 4,5% de carbono, sendo matria prima para ulteriores transformaes.

11 Publicado em 1922 - Inglaterra. Atualizamos algumas terminologias segundo: Metalografia macrogrfica e microgrfica dos produtos siderrgicos comuns de Hulbertus Colpaert, Boletim no. 40 do I. P. T.[5].

15

Ferro fundido (cast iron): obtido por nova fuso do ferro gusa para eliminar suas

impurezas, pela descarbonetao do ferro gusa em fornos de pudlagem. O processo pode

ser repetido at doze vezes, aps as quais o metal inicia sua deteriorao mecnica, ou

seja, apresenta perda de resistncia. Conforme a origem do gusa, divide-se em trs

classes: cinzento (grey), malhado (mottled) e branco (white).

Ferro resfriado (chilled iron): o produto de fundio que sofre um resfriamento na

sua superfcie externa que fica dura e frgil, enquanto seu interior permanece resistente.

Henry Cort em Plymouth inventa o forno de pudlagem em 1784, um processo

econmico, reduzindo o custo de produo do ferro fundido. Com sua patente de 1783

que possibilitava laminar o ferro em formas de chapas, barras e outras formas, surge um

novo material de construo: o ferro forjado. O ferro fundido apresentava baixa

resistncia trao e o ferro forjado era trs vezes mais resistente. O material adotado

inicialmente na fabricao das correntes foi o ferro forjado.

Figura 6 - O ferro forjado manualmente.

16

Ferro forjado (wrought iron): o ferro do qual, dentro do possvel, o carbono foi

eliminado. o ferro fundido pudlado que submetido ao mecnica. A massa pastosa

cortada, batida e laminada. A forja nada mais era do que o processo adotado pelo

ferreiro (fig. 6) ampliado em grande escala. So trs as qualidades, cada uma melhor que a

anterior, qualidade esta obtida pela repetio do processo: barras pudladas (puddled

bars), barras comerciais (merchant bars) e barras best. O ferro forjado soldvel a

altas temperaturas simplesmente pela justaposio das peas e aplicando-se presso ou

marteladas. Este processo de unio chamado de caldeamento.

O forjamento consistia na deformao do lingote ou do bloco enquanto estava rubro.

Eram aplicados golpes de martelo-pilo de grande peso (vrias toneladas) ou pela ao

progressiva de poderosas prensas de milhares de toneladas.

a ponte Britannia Tubular em 1850 de Robert Stephenson, que representa a

mudana definitiva do ferro fundido para o ferro forjado. William Fairbairn realizou uma

srie de experimentos com o ferro forjado para determinar a sua resistncia, bem como a

forma da seo retangular das vigas. Fairbairn chamou para auxili-lo nas formulaes o

Prof. Hodgkinson, matemtico. As dedues destes dois homens foram em parte

responsveis pela adoo do ferro forjado ao invs do ferro fundido. Estes testes tambm

provaram a Robert Stephenson que poderiam ser eliminados os cabos pnseis,

inicialmente previstos para esta ponte.

Depois de 1850 o ferro forjado adotado praticamente em todas as obras, sendo

substitudo pelo ao no fim do sculo.

17

2.3 - A Ponte de Menai

Em 1826 inaugurada a ponte de Menai feita por Thomas Telford, um verdadeiro

padro de engenharia, um recorde at 1834. Esta obra impressionou Navier e os

engenheiros da poca, feita de correntes com elos em chapas planas de ferro forjado com

olhais nos extremos12, com vo de 177 m, e com duas pistas de rolamento. As torres (fig.

7) em alvenaria de pedra com vazios representaram mais um avano na engenharia [38].

Figura 7 - Vista e corte longitudinal das torres em alvenaria da Ponte de Menai na Inglaterra, 1826 [31].

12 Barras em chapas olhavadas com pinos de ligao nos olhais, semelhante a uma corrente de bicicleta.

18

Telford entra em contato com Samuel Brown, adotando sua soluo em correntes

para os cabos principais. Haviam a soluo de Brown e o material, o ferro forjado. Todas

as barras olhavadas foram testadas trao.

Nas correntes em ferro forjado requerida boa trabalhabilidade e seguir o seguinte

teste: resistncia ltima trao no menor que 310 MPa nem maior que 340 MPa, com

elongao de 25% em um comprimento de 8 pol., e uma reduo em rea no menor que

45% no ponto da fratura [7]. Esta especificao foi publicada posteriormente.

Abaixo seguem os clculos elaborados pelo engo. James Jardine de Edinburgh, em

Maro de 1821, referentes aos esforos devidos ao peso prprio das 16 correntes da Ponte

de Menai, publicados em 1871 no Memorandum Book de Mr. Telford [12]:

Vo (ps)

Comprimento

(ps)

Eixo da curva (ps)

ngulo apoio ( o )

Trao apoio (Tons.)

Trao 16 X (Tons.)

Peso um cabo

(Tons.)

Peso 16 X (Tons.)

560

560

560

565.5

567.5

569.5

35

40

45

14 00

15 54

17 52

20.87

18.53

16.57

333.9

296.5

265.1

10.10

10.13

10.17

161.6

162.1

162.7

Tabela 1 - Clculos da Ponte de Menai, 1821 [12].

A importncia da Ponte de Menai est em chegar a Holyhead, extremo noroeste do

Pas de Gales, propiciando a ligao com Dublin na Irlanda, a partir da pela via martima.

A ponte sobreviveu com manuteno normal at 1939, quando foi consideravelmente

reformada, por ter sofrido severos danos devido ao vento, como j vimos pgina 11.

Telford constri na mesma poca mais uma ponte pnsil em Conway. O sucesso

destas duas pontes causou uma onda de entusiasmo a favor deste tipo de soluo.

Thomas Telford (1757-1834) nasceu em condies humildes no Condado de

Dumfries na Esccia. Depois de aprender muito, foi um autodidata, como pedreiro e

depois como empreiteiro em Langholm e Edinburgh, aos 25 anos segue para Londres.

Ficou famoso por suas construes, mais de 1.450 km de estradas, 120 pontes, canais

como o da Calednia e portos como os de Aberdeen e Dundee [18]. Para a New London

Bridge, Telford prope um arco nico em ferro fundido de 183 m em 1801, que como j

vimos (pg. 10), foi construda pelos Rennie em 1831, em arcos mltiplos de alvenaria.

19

2.4 - A Ponte Clifton

Sua histria inicia-se em 1753 com o testamento no valor de L 1.000 de William

Vick, um comerciante de vinhos, Sociedade dos Empreendedores Comerciais de Bristol

para vencer o vo da Avon Gorge, formando um fundo at alcanar o valor de L

10.000. Em 1829 formada a companhia que escolhe o projeto de Isambard Kingdom

Brunel, vencedor entre diversos engenheiros renomados. A construo inicia-se em 1836,

mas devido a dificuldades financeiras segue de forma intermitente at 1843, quando do

trmino da construo das torres. A obra fica paralisada at 1853, sendo a estrutura de

ferro vendida para pagar o empreiteiro, e utilizada por Brunel na Ponte Royal Albert sobre

o R. Tamar em Saltash, constituda por duas trelias lenticulares (1855-1859).

Figura 8 - Ponte Clifton em Bristol, Inglaterra em 1864 com vo de 214 m [10].

Aps a morte de Brunel em 1859, formada uma nova Clifton Suspension Bridge

Company por membros do ICE para finalizar a obra como memorial a Brunel. Em

Dezembro de 1864 a ponte (Fig.8) aberta ao trfego [6].

O que pouco sabido, que esta ponte atualmente faz parte da rede viria da regio,

com um trfego anual acima de trs milhes de veculos.

20

2.5 - O Incio da Transio das Correntes para os Fios de Ferro

A primeira idia de utilizar fios de ferro para cabos de pontes tida por Telford em

1814, nos projetos das pontes Runcorn de 300 m e sobre o Mersey de 61m em Latchford.

Ambos os projetos elaborados por William Alexander Provis,13 previam duas solues

para os cabos principais: fios e correntes. A variante em correntes escolhida. Peter W.

Barlow, professor de Matemtica e tecnologista de materiais na Academia de

Woolwich14, auxilia Telford na determinao da resistncia trao dos fios de ao.

Realiza mais de 200 ensaios, publicando em 1817 os experimentos em ferro forjado. Os

ensaios em fios de ferro so publicados em 1826, no seu livro sobre Resistncia dos

Materiais. Apesar disto, Telford nunca executou uma ponte com cabos de fios.

A primeira ponte com cabos principais de fios de ferro foi finalizada em 1816 em

Fairmont, Estados Unidos. a Ponte do Rio Schuylkill construda na forjaria e fbrica de

arames de Erskine Hazard e Josiah White.

O suo Guillaume Henry Dufour (1787-1875) se destaca em diversas atividades e

tambm como engenheiro, no desenvolvimento dos cabos de pontes feitos com fios de

ferro. Em ensaios obtm 72,5 kgf/mm2 de resistncia mdia para os fios Laferrire e

59,9 kgf/mm2 para os fios Saint Gingolf. o primeiro a pr-esticar o cabo composto de

fios, para distribuir as tenses de trao de forma mais uniforme. Recebeu inmeras

honrarias, sendo tambm condecorado pelo Imprio do Brasil. D. Pedro II visitou-o

pessoalmente.

J o inventor e empresrio francs Marc Seguin (1786-1875) cria em 1825 e

patenteia em 1827 a caldeira cilndrica, para aplicao em locomotivas. imediatamente

adotada internacionalmente e a Seguin and Biot Company obtm a concesso da

Ferrovia entre St. Etienne e Lyon inaugurada em 1829, dois anos antes da famosa ligao

Manchester-Liverpool. conjuntamente com Dufour, considerado dos que contriburam

decisivamente para a transio das correntes para os cabos para pontes composto de fios,

tendo escrito um tratado em 1824. Construiu com seus irmos (Camille, Jules, Paul e

13 Assistente de Telford desde 1805, foi o engenheiro residente da Ponte de Menai e publicou os detalhes de ambas as propostas em 1828 [31]. 14 Woolwich Naval Academy.

21

Figura 9 - Verso do projeto da Ponte Galore em Saint Vallier de Marc Seguin, com vo de 30m [31].15

Charles) 86 pontes, e nos ensaios realizados com fios Fleur obtm o valor de 66,5

kgf/mm2. Suas pontes aparecem na Itlia e na Espanha. A pioneira a passarela de

Annonay sobre o Cance de 18 metros feita em 1822 [31]. Acima, (fig. 9) verso do

projeto da Ponte Galore em Sait Vallier, elaborado por Marc Seguin, com dois cabos

principais sobrepostos. Seguin usou-a para testes em 1824, com uma relao flecha / vo

grande, de 1:7,3. A ponte no apresentou movimentos nem com o galope de um cavalo

nem com os quatro irmos Seguin marchando sobre ela.

O guarda-corpo enrijecia a estrutura, sendo a caracterstica estrutural mais

importante nesta obra. Estas trelias (Fig.10) so adotadas pelos Seguins de 1824 em

diante. Em 1840 Howe patenteia este sistema nos Estados Unidos.

Figura 10 - Trelia de rigidez adotada pelos Seguins16 em 1824 e patenteada por Howe em 1840 [31].

A soluo dos cabos principais duplos (Fig.9) abandonada, bem como a torre que

aparece direita, suscetvel ao tombamento. Este tipo de torre ainda aparece no projeto

final elaborado pelos Seguins em 1825, da Ponte Tain-Tournon sobre o Rdano em Lyon.

15 Des ponts en fil de fer, 1a ed., 1824. 16 Des ponts en fil de fer, 2a ed., 1826.

22

2.6 - O Incio da Teoria

No primeiro quartel do sculo dezenove, inicia-se o trabalho terico sobre o

assunto. Solicitado por Telford, David Gilbert, Presidente da Royal Society desenvolve

a teoria da catenria de resistncia uniforme. Brunel demonstra o conhecimento das trs

formas do cabo, quais sejam: a catenria, a catenria de resistncia uniforme e a parbola,

ao projetar a Ponte Clifton (fig. 8 na pg. 19). At este perodo, no h preocupao

terica com a rigidez do tabuleiro, atendo-se ao problema da forma e do dimensionamento

do cabo. Na prtica, pela primeira vez foram utilizados estais inclinados na ponte

Dryburgh Abbey, como vimos na figura 4 na pgina 11.

Chegamos ao ponto onde se iniciam as primeiras publicaes sobre pontes pnseis.

O primeiro artigo sobre pontes pnseis o do eminente engenheiro escocs construtor de

faris, Robert Stevenson (1772-1850) Description of Bridges of Suspension,17 que no

deve ser confundido com seu contemporneo ingls Robert Stephenson (1803-1859)

engenheiro da ponte tubular Britannia sobre o estreito de Menai, filho de George

Stephenson. O primo de Robert, George Robert Stephenson (1819-1905), tambm

engenheiro pioneiro de ferrovias, auxilia-o na construo da ponte tubular Vitria sobre o

Rio So Loureno no Canad.

Navier viajando pela Inglaterra em 1821, com o objetivo de estudar as pontes

pnseis, escreve as Mmoires sur les Ponts Suspendus publicada em 1823, em Paris.

Foi assunto de grande interesse na poca, tanto que Marc Seguin em 1824 publica Des

Ponts en Fil de Fer, sendo sua proposta de atravessar o Rio Rdano18, a Ponte Tain-

Tournon, realizada em 1825, aplicando-se cabos compostos de fios de ferro [38].

Longe, na Rssia, quando em 1794 se discutia a travessia pnsil do Neva, em So

Petersburgo, Niklaus von Fuss19 desenvolveu a teoria do cabo parablico para aplicao

prtica em pontes pnseis [38]. A primeira ponte pnsil sobre o Rio Fontanka (1826) em

So Petersburgo foi construda por engenheiros franceses [44].

17 The Edinburgh Philosophical Journal vol.5, Nov.1821. 18 Rio Rdano a traduo de Rio Rhne. 19 Fuss era um matemtico suo e Leonhard Euler foi Secretrio da Academia de Cincias do Imprio Russo em S. Petersburgo.

23

2.7 - O Relatrio de Navier sobre os Fios de Ferro

Na concorrncia para a construo da Ponte de Fribourg, Dufour sugere ao governo

consultar Navier sobre sua soluo (underspanned) que adotava cabos em fios de ferro

por baixo do tabuleiro, como um arco invertido, mesmo sabendo das opinies contrrias

de Navier quanto aplicao dos fios de ferro. No relatrio Rapport sur le Projet de

pont suspendu construire sur la Sarine Fribourg, datado de 20 de Maio de 1826,

Navier20 escreve:

Esta misso difcil, uma vez que apesar de suas dificuldades, o projeto

garantido pela tcnica e clculos elaborados por uma pessoa bem qualificada, no

devendo ser rejeitado, e por outro lado no podemos recomendar sua construo, sem

estarmos incorrendo em uma grande responsabilidade. Senhores, vocs particularmente

chamam a minha ateno ao utilizar fios de ferro para a montagem dos cabos. Como

vocs sabem, eu no tenho nenhum conhecimento de que este tipo de construo tenha

sido usado ou at sido sugerido na Amrica ou Inglaterra.

A proposta de Dufour era de uma ponte com os cabos de fios de ferro abaixo do

tabuleiro (underspaned). Esta proposta j havia sido feita por Blu e Stevenson e havia

tambm a passarela sobre o Schuylkill, tudo j tendo sido publicado pelo prprio Navier

em 1823. Continua Navier:

J foi usado em Genebra e na Frana em uma Ponte sobre o Rdano, mas no

indico este tipo de construo. Sobre a freqente questo se as barras de ferro so

preferveis aos fios de ferro, eu no encontrei ningum de confiana baseado na

experincia, que no tenha decidido a questo a favor das barras de ferro [31].

Algumas das crticas de Navier foram construtivas para Dufour, mas este perde a

concorrncia para Chaley. Navier era contra a aplicao dos cabos de fios. Um dos fatores

alegados era a maior superfcie exposta de metal nos fios, deixando-os suscetveis

corroso. A Ponte des Invalides projetada em 1826 por Navier em Paris, de 155 m no

concluda, sendo demolida.

20 Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836).

24

Segundo Ammann21, Navier em seu excelente trabalho de 1823, inspirou confiana

na catenria no enrijecida com razo flecha/vo menores, de 1/10 at 1/15. As pontes

construdas anteriormente, como por exemplo, as de Finley com relao flecha/vo 1/7

eram mais altas, com cabo menos rgido, transferindo maiores parcelas de rigidez ao

tabuleiro. Interpreta Ammann em 1922, cem anos depois, que naquela poca muita teoria

de certa forma mais prejudicou do que ajudou. Naquela poca, o maior conhecimento do

comportamento do cabo isolado, prejudicou o melhor conhecimento do comportamento

do conjunto cabo e viga de rigidez.

No Brasil, em 1874, o Prof. Gabriel Milito de Villanova Machado da Escola

Politcnica do Rio de Janeiro em Pontes Pnseis continua com as idias de Navier, no

se referindo aos novos mtodos de clculo [16], que veremos a seguir. Gravina apresenta

extensa bibliografia em ordem cronolgica, em sua obra Teoria e Clculo das Pontes

Pnseis [16].

21 Possibilities of the Modern Suspension Bridge for Moderate Spans, Engineering News-Record, 21 de Junho de 1923 [2].

25

2.8- O Relatrio de Vicat, os Fios de Ferro e Chaley

Em um relatrio de 1831, Louis Vicat22, responsvel para Ponts et Chausses da

regio do rio Rdano, sugere montar os cabos in situ, de ancoragem a ancoragem sem

emendas intermedirias, dando voltas, utilizando-se de um cabo guia. Tambm preconiza

uma catenria padro para verificao da colocao exata dos fios durante a montagem.

Figura 11 - Ponte Marie sobre o Dordogne em Argetat, Frana, de Vicat, em 1830 [31].

Figura 12 - Apoio mvel da Ponte Marie constitudo por cilindros de ferro fundido. Vicat em 1830 [31].

A corroso era um dos grandes problemas para a aplicao dos fios de ferro. O

problema da corroso era crucial para a vitria da soluo dos fios de ferro sobre a

soluo das correntes. Vicat (figs. 11 e 12) em 1830 elabora uma srie de testes e percebe

que os fios dentro do concreto no enferrujavam. Estava resolvido o problema da corroso

nas ancoragens. Surgiram problemas nas ancoragens que dispensaram as barras e ligaes

de ferro para a fixao dos fios, como no j mencionado (pg. 12) acidente da ponte

Basse-Chane em Angers, no ano de 1850, devido ruptura das ancoragens dos fios

22 Louis Joseph Vicat (1786-1861) Ponts suspendus en fil de fer sur le Rhne. Rapport au Conseiller dEtat, directeur gnral des Ponts et Chausses, APC 1831.

26

grauteados diretamente com argamassa de cimento. A descoberta por Vicat da

propriedade do cimento inibir a corroso foi de grande importncia para o subseqente

desenvolvimento do concreto armado.

Marc Seguin e seus irmos, notadamente Camille, mas tambm Jules, Paul e

Charles, adotam imediatamente as sugestes de Vicat no projeto da Ponte Bry-sur-Marne

de 1832, escolhendo torres em ferro fundido articuladas nas extremidades, evitando assim

o empuxo horizontal nas torres rgidas de alvenaria. Devemos tambm mencionar a

contribuio dos Seguins na construo de mais de 90 pontes, sendo 67 pnseis, na

fabricao de fios de ferro, na inveno da caldeira tubular para locomotivas adotada por

George Stevenson em 1829 quando venceu a competio na ferrovia Liverpool

Manchester, na construo da primeira ferrovia francesa ligando Saint-tienne a Lyon em

1826-1832, onde substituram trilhos de ferro-gusa por de ferro e dormentes por bases de

ferro, na iluminao pblica a gs, tecelagens, na navegao, portos e nas cincias.

Joseph Chaley obtm sucesso na Sua ao aplicar as idias de Vicat na Grand Pont

Suspendu de Fribourg 23 de 273 m em 1834 (Fig.13). Foi recorde europeu durante 67

anos, at 1901, quando superada pela Ponte Aramon no Rdano. Como recorde mundial

dura apenas dezesseis anos, quando construda a Ponte Wheeling de 308 m sobre o Ohio

nos EUA em 1849, por Charles Ellet Jr., que estudou na Ecole des Ponts et Chausses.

Figura 13 - Ponte Fribourg sem enrijecimento de Joseph Chaley, em 1834 com vo de 273 m [47].

a Grand Pont Suspendu de Fribourg (Fig.13) de Chaley na Sua, o grande

marco da aplicao dos cabos principais em fios de ferro paralelos, na forma como

utilizado at a atualidade. Aprendeu muito com o altamente qualificado Jules Seguin

Joseph Chaley (1795-1861) antes de construir pontes foi mdico militar, sendo

tambm um engenheiro autodidata. Escreveu Pont suspendu de Fribourg (Suisse).

23 Cada cabo principal era composto de 1056 fios de 3,08 mm.

27

2.9 - A Inglaterra e a Teoria de Rankine

No segundo quartel do sculo, iniciam-se os experimentos no sentido de enrijecer as

pontes pnseis, como a patente de James Dredge preconizando a utilizao de pendurais

inclinados ao invs de verticais, como estais, idias expressas na publicao

Mathematical Demonstration of the Principles of Dredges Patent Iron Bridges no

Mechanics Magazine de 1843. Construiu modelos experimentais e pequenas pontes

conforme sua patente, tendo inclusive concorrido para o projeto da Ponte Clifton. Sua

obra mais importante a Ponte sobre o Rio Avon em Bath, datada de 1836, com 45 m de

vo.

Surge um concorrente, Thomas Motley apresentando um processo de enrijecimento

constitudo de diagonais invertidas, no qual barras com origem no tabuleiro concorriam

radialmente para os topos das torres. Em 1838 erigida a Ponte Twerton no Rio Avon

perto de Bath, com 36 m de vo. Essas diagonais passam a ser usuais e aparecem na Ponte

de Lambeth com 85 m, de Peter W. Barlow em 1863 e na Ponte Albert, semelhante s

pontes estaiadas, de Rowland Mason Ordish24 sbre o Tamisa em 1873, com vo de 137

m.

Encerra-se um perodo de pontes pnseis com vos de 30 m a 150 m enrijecidas

com diagonais inclinadas de vrias formas, capazes de suportar trfego pesado com

pequenos deslocamentos, cuja teoria aparece condensada nos livros: A Manual of

Applied Mechanics25 (1858) e Civil Engineering (1863) de Rankine [38]. Nestas

publicaes, Rankine apresentou sua teoria aproximada para tabuleiros enrijecidos com

duas e trs articulaes. Ele e August Ritter em Berechnung einer kombinierten

Hngebrcke de 1869, lanam as bases daquela que mais tarde se devia chamar Teoria

Elstica, supondo que qualquer carga concentrada aplicada ao tabuleiro distribuda

uniformemente ao longo dos cabos pela viga de rigidez, e que a influncia dos

deslocamentos desprezvel na redistribuio dos esforos [16].

24 R. M. Ordish patenteou seu sistema de enrijecimento por meio de cabos diagonais. 25 Escreve Rankine:...a resistncia transversal da viga de rigidez deve ser 4/27 (~15%) partes da resistncia de uma viga de mesmo vo e dimensionada para suportar uma carga distribuda de mesma intensidade.

28

As Hipteses de Rankine

Alm da importncia histrica, as hipteses de Rankine so importantes como uma

introduo simples para a compreenso do funcionamento das pontes pnseis com viga de

rigidez.

Se a viga de rigidez tri-articulada, por exemplo, com uma articulao central, o

problema est estaticamente determinado. As estruturas isostticas no dependem das

caractersticas elsticas de suas peas, e sim de sua geometria [35]. Com as trs equaes

de equilbrio, conjuntamente com a quarta equao que a da imposio do momento

nulo no centro da viga, determinamos o valor qP , o acrscimo da trao nos pendurais.

Caso a viga seja bi-articulada nas extremidades, o problema apresenta-se com um

grau de hiperestaticidade. So trs as hipteses de Rankine:

1 - Os pendurais so ajustados de forma que, sob a carga permanente, os cabos

principais assumem a forma parablica. A viga de rigidez montada de forma a

apresentar momento fletor nulo na ausncia do carregamento acidental.

2 - assumida a forma parablica sob quaisquer condies de carregamentos

acidentais, implicando que estes provocam reao uniforme em todos os pendurais.

3 - Com o carregamento acidental de uma carga concentrada P, a carga no cabo

uniformemente distribuda sofre um acrscimo de qP = P/l [38].

Esta ltima hiptese, imposio de Rankine, associada s trs equaes de

equilbrio possibilita a soluo do problema. Na realidade, qP maior que P/l e tambm

no uniformemente distribuda na horizontal.

William John Macquorn Rankine (1820-1872), escocs, deixa a Universidade de

Edinburgh em 1838 para seguir carreira como engenheiro civil na rea ferroviria. Em

1855 volta Universidade em Glasgow como professor. Contribuiu para a cincia da

engenharia civil em: pontes, ferrovias, solos e estruturas. Tambm produziu trabalhos nas

reas da arquitetura naval e da termodinmica [11].

Exemplos de pontes tri-articuladas enrijecidas na suspenso so a Ponte da Torre,

figura 14, e a histrica Ponte Point, figura 22 pg. 50 e figura 24 pg. 55.

29

Na segunda metade do sculo XIX, comeam a surgir novas idias. Robert

Stephenson ao projetar a Ponte Britannia Tubular em 1845, argumenta que o

enrijecimento de tabuleiros por meios de grandes trelias dispensaria os cabos de

suspenso, alterando o projeto original pnsil. Em 1858, Peter W. Barlow na publicao

do Journal of Franklin Institute intitulada Combining Girders and Suspension Chains,

atravs de uma srie de modelos experimentais, mostra a leveza das trelias de rigidez

necessrias para distribuir as cargas concentradas ao longo do cabo pnsil, evitando assim

grandes deslocamentos [38]. A padronizao dos sistemas e detalhes sugerida pelo

trabalho de Vicat no acompanhada na Inglaterra [31].

Figura14 - A Ponte da Torre no Rio Tamisa, Londres em 1894.

A Ponte da Torre em Londres, figura 14, a mais famosa ponte basculante do

mundo. Apresenta vo central basculante de 82 m (60 m livres) e dois vos pnseis

laterais de 82 m livres. O enrijecimento feito na suspenso, resultando em uma trelia de

ao. Foi projetada pelo arquiteto Horace Jones, que faleceu em 1887, no incio da obra

[14]. substitudo pelo arquiteto George Daniel Stevenson (1846-1931) e a obra

terminada pelo engenheiro chefe John Wolfe Barry (1837-1918). O empreiteiro foi

William Arrol (1839-1913), o mesmo da gigantesca Ponte Firth of Forth (cantilever).

30

2.10 - As Fundaes e a Transio do Ferro para o

Ao

A primeira aplicao do ao em pontes ocorreu nas correntes adotadas na ponte

sobre o Danbio em Viena, ustria, construda pelo engenheiro Von Mites em 1828 [47].

Cabe ao engenheiro autodidata James Buchanan Eads (1820-1887), a primeira

aplicao significativa do ao na Ponte St. Louis de 1874 sobre o rio Mississippi. uma

das mais belas pontes, constituda por trs arcos (153-158-153 m), mesclando 2.390 tons

de ao com 3.156 tons de ferro forjado. Suas caractersticas marcantes, alm da esttica,

so: maior ponte da poca; trfego misto rodo-ferrovirio com os dois tabuleiros

sobrepostos; primeira aplicao significativa do ao; montagem dos arcos em balano

com tirantes, e os mais profundos e maiores caixes a ar comprimido at ento utilizados

nos Estados Unidos para execuo das fundaes.26 A escolha do caixo a ar comprimido

resultou da viagem de Eads Frana, no vero de 1868, onde observou este sistema em

uma ponte sobre o rio Allier. Concluiu que poderia aplicar o sistema em uma escala muito

maior, ou seja, a 41,4 metros abaixo do nvel dgua. Assim, desenvolveu e aplicou o ar

comprimido a profundidades e em uma escala, nunca dantes experimentada.27

Trabalhos abaixo da gua eram realizados desde a Antiguidade. O sino mergulhador

j era conhecido no tempo de Aristteles (384-322 A.C.). Este aparelho no permitia o

trabalho por mais de meia hora, pois o ar se viciava rapidamente, e em guas profundas, a

gua podia subir dentro do sino at os ombros do mergulhador.

Denis Papin (1647-1712), inventor da mquina a vapor e da panela de presso,

inclusive com a vlvula de segurana [9], desenvolve as idias do sino idealizando a

renovao do ar e a expulso da gua de seu interior. Vinte e seis anos aps, Halley em

1716 introduz algumas melhorias. Somente em 1788, Smeaton d feio definitiva ao

aparelho de ar comprimido, fazendo a renovao do ar por meio de bombas, tornando-o

verdadeiramente prtico em suas aplicaes [48]. adotado pela primeira vez em 1851

26 Williams Jr., J. W. J. B. Eads and his St. Louis Bridge, Civil Engineering, Out. 1977 [52]. 27 Steinman, D. B.; Watson, S. R. Bridges and Their Builders [43].

31

por John Wright em Rochester na Inglaterra e quatro anos depois por Brunel na Ponte

Royal Albert. Em 1860 o processo j era conhecido na Europa Continental.

O ao era conhecido pelo homem desde a Antiguidade. No estava, porm

disponvel a preos competitivos, por falta de um processo industrial de fabricao. O

ingls Henry Bessemer inventou em 1856 um forno para a produo do ao em larga

escala, acima de 50 tons/hora.

Vale a pena citarmos a ponte ferroviria sobre o rio Retiro, localizada a 265

quilmetros do Rio de Janeiro. Foi construda em 1875 com cinco arcos de 15 metros de

abertura cada, feitos de trilhos usados [47].

A primeira estrutura treliada totalmente em ao foi construda em 1879 no Rio

Mississippi em Glasgow, por William S. Smith. J na Inglaterra, a construo da

gigantesca Ponte Firth of Forth (cantilever) na Esccia, em ao, marca o final da era do

ferro no ano de 1889.

Ferro fundido (cast iron), ferro forjado (wrought iron) e ao (steel) so a

mesma substncia em combinao com diferentes propores de outros constituintes. O

principal ingrediente nesta combinao o carbono. O ao era obtido ou eliminando o

carbono do ferro gusa ou acrescentando carbono ao ferro forjado. Estes materiais so

diferenciados por suas composies e por suas tenses de trabalho (MPa) baseadas num

fator 4 de segurana, onde a compresso no inclui a esbeltez:

% DE CARBONO METAL TRAO COMPRESSO CISALH.TO 0 a 0,1 ferro forjado 70 57 57

0,3 a 1,8 ao 110 170 85 2,0 a 5,0 ferro fundido 20 110 28

Tabela 2 - Tenses de trabalho, em 1922 [7].

O Board of Trade fixou o limite de tenses de trabalho para pontes de ferro

forjado em 70 MPa e em ao em 90 MPa. A resistncia do ao depende da natureza

precisa de sua composio, sendo os valores acima uma referncia.

32

Outros ingredientes, alm do carbono, influem muito nas caractersticas do metal

resultante, no devendo a tabela acima ser interpretada sem restries. Suas propriedades

dependem tambm da forma na qual o carbono se apresenta: como grnulos de grafite ou

carbono livre mecanicamente misturados e facilmente detectveis, ou em combinao

qumica, no sendo percebido visualmente.

Uma maneira prtica de diferenciar estes metais, verificar seu comportamento

quando submetidos a certos tratamentos trmicos: o ao temperado (hardened)

aumenta sua resistncia quando esfriado rapidamente de altas temperaturas (acima da

temperatura crtica), por imerso em gua ou leo. Este processo no faz efeito no ferro

forjado. Ao enrijecido desta forma pode ser revenido (softened, abaixo da temperatura

crtica) novamente ou recozido (tempered, acima da temperatura crtica), aquecendo-o

e permitindo seu resfriamento lento e gradual.

O revenido eleva consideravelmente o limite de elasticidade do ao, sendo indicado

para a fabricao de molas, enquanto o recozimento apaga as texturas de tratamentos

anteriores, recristalizando o material.

33

2.11 - As Inovaes de Roebling

O mtodo francs de construir pontes pnseis com cabos atravessa o Atlntico

atravs do j citado Charles Ellet Jr. Ele constri a primeira ponte permanente de cabos

compostos de fios com 109 m sobre o R. Schuylkill, em 1842 na Filadlfia. John

Augustus Roebling perde esta concorrncia, mas acompanha a construo atentamente,

aprendendo as aplicaes das novas tcnicas francesas trazidas por Ellet.

A Fiao Area (Cable Spinning) foi aplicado por John Roebling em sua primeira

obra no Aqueduto de Allegheny em 1845, Pittsburgh. Nesta cidade tambm constri a

Ponte Smithfield Street com 8 vos de 47,4 m, sobre o rio Monongahela em 1846.

Patenteia o processo da Fiao Area em 1847, impedindo Ellet de aplic-lo na Ponte de

Wheeling [31]. Em 1854 durante uma tempestade, a Ponte Wheeling (vide pg. 26) entra

em runa e reconstruda por Ellet. reforada por Roebling em 1867.

Na obra histrica do Aqueduto de Allegheny, Roebling adota as seguintes

inovaes: aplica o procedimento da fiao area de Vicat, fiando os fios um a um; para a

fixao do cabo utiliza barras imersas na ancoragem de alvenaria e compacta os fios

formando um cabo cilndrico que era cintado com arame e pintado.

Figura 15 - Ponte do Nigara com trelia de rigidez independente nos E.U.A., em 1854 com 250m.

John Augustus Roebling ao construir sua primeira ponte ferroviria de grande vo, a

Ponte sbre as Quedas do Nigara (Fig. 15), com 250 m, combinou trs processos de

enrijecimento: pendurais verticais, pendurais radiais at as torres e a trelia de rigidez alta

e pesada. Foi to bem sucedido que ao atravessar a primeira locomotiva pesando 23

toneladas (Journal of Franklin Institute - 1855), mediu-se um deslocamento central de

34

apenas 3,5 polegadas. Desenvolve o mtodo mecanizado da montagem dos cabos

conhecido como Fiao Area dos Cabos (Aerial Cable Spinning) como utilizado at

o presente.

Neste instante, pela primeira vez percebida a importncia e influncia do peso

prprio sobre a rigidez da ponte, quando Roebling em 1855, num relato Companhia

expressa: Peso uma condio muito importante, onde rigidez um grande objetivo,

dando ao mesmo tempo um aviso proftico, de que apenas rigidez desta natureza no

preveniria oscilaes problemticas devidas ao vento.

A Ponte Covington-Cincinnati de 322 m inaugurada em 1867 em cabos de fios de

ferro, sobre o rio Ohio. Primeira ligao entre Ohio e Kentucky, era a porta de entrada

para o sul. Roebling tambm adotou estais inclinados para enrijecer a estrutura.

Com estas experincias, Roebling obteve evidentemente um entendimento intuitivo

da rigidez devida s foras gravitacionais das pesadas pontes pnseis de grande vo. Isto,

e sua prtica no desenvolvimento da fabricao de cabos para pontes pnseis, levam-o

Figura 16 - Ponte do Brooklyn em Nova York em 1883, 486m [10].

35

finalmente ao bem sucedido projeto da grande Ponte do Brooklyn (Figs.16 e 17) de 486 m

de vo. So empregados pela primeira vez fios de ao zincados (galvanizados) na

montagem dos cabos, e pela segunda vez perfis de ao laminado na estrutura.

A razo entre a altura da trelia de rigidez e o vo na ponte do Nigara 1/50 (4,8

m), enquanto na do Brooklyn de apenas 1/90 (5,2 m). Roebling ainda aplica os cabos

radiais dos primeiros projetos, mas se torna mais confiante na rigidez gravitacional

associada aos grandes vos. A Ponte do Brooklyn (Figs. 16 e 17) foi uma vitria da

engenharia intuitiva e foi guindada como a oitava maravilha do mundo (o que tambm

ocorreu com o Empire State Building). Foi um salto frente dado pela engenharia

americana, despontando-se como especializada em estruturas pnseis [38].

A Ponte do Brooklyn liga o bairro do Brooklyn a Manhattan, atravessando o Rio

East em Nova York, tendo seu perodo de construo ido de 1869 a 1883 [11].

Figura 17 - Estais inclinados e torres gticas rgidas em alvenaria de pedra.

36

As transies e inovaes da Ponte do Brooklyn, marcos na histria da engenharia

so: ltima ponte notvel com torres rgidas em alvenaria de pedra (Fig. 17); primeira

com cabos em fios de ao zincados, e a segunda a adotar perfis de ao laminado em toda

estrutura28.

John Augustus Roebling (1806 - 1869), alemo, finaliza seus estudos na Academia

Tecnolgica de Berlim em 1826. Emigrou para os Estados Unidos em 1831, onde em

1841 fabrica o seu primeiro cabo composto de fios de ferro. Morre ferido na superviso

dos trabalhos preliminares da construo da Ponte do Brooklyn. substitudo pelo seu

filho Washington Augustus Roebling (1837 - 1926) no cargo de engenheiro chefe. Em

1872 tambm sofre acidente durante a descompresso na fiscalizao das fundaes,

ficando deficiente, o que no o impediu de finalizar a obra em 1883. Isso s foi possvel

graas a dedicao de sua esposa Emily que transmitia suas orientaes ao engenheiro

residente, enquanto o marido fiscalizava a obra de binculo. Assim, apesar de Washington

no estar presente na obra, fez um excelente trabalho.

Naquela poca, pouco era conhecido sobre os riscos do trabalho sob ar comprimido,

o que levou a mais de cem acidentes desta natureza com os trabalhadores [11]. Os caixes

para a execuo das fundaes das torres da ponte do Brooklyn eram feitos de madeira.

Mediam 52 x 31 x 2,7 metros cada, e foi adotada a tenso admissvel de 6,5 kgf/cm2 para

a argila compacta [48].

Roebling visitou a obra da Ponte St. Louis de Eads, obtendo diversas solues e

detalhes, prontamente aplicados nos caixes das fundaes da Ponte do Brooklyn.

28 Robert Vogel, Building Brooklyn Bridge, the Design and Construction: 1867-1883, Smithsonian Institution, Civil Engineering, Maio de 1983 [50].

37

2.12 - A Esttica e os Mtodos Energticos

O trabalho de Grafosttica de Carl Culmann publicado em 1866, o de Otto

Christian Mohr em 1870, o de Luigi Cremona em 1872 e o de Wilhelm Ritter

Anwendungen der graphischen Statik em quatro volumes de 1888 a 1906. Mohr o

primeiro a perceber que a equao diferencial do cabo tem a mesma forma da equao

diferencial da linha elstica das vigas, respectivamente:

d y

dx

q

H

2

2= e

d y

dx

M

EI

2

2=

sendo desenvolvida a analogia de Mohr (1835-1918) para encontrar os deslocamentos das

vigas [44]. Contribuiu muito para a Teoria das Estruturas, como o crculo das tenses de

Mohr.

Luigi Frederico Mnabra, 1809-1896, um nobre, general e engenheiro italiano

publica em 1858 Nouveau principe sur la distribution des tensions dans le systme

lastique. J conceitua que as foras redundantes nas barras de uma trelia apresentam

valores que tornam a energia de deformao um mnimo.

O italiano Carlo Alberto Pio Castigliano29, 1847-1884, publica em Paris Thorme

de lquilibre des Systmes lastiques et ses Applications no ano de 1879 [38].

Francesco Crotti, 1839-1896, amigo de Castigliano e tambm engenheiro

ferrovirio, publica em 1878 Esposizione del Teorema Castigliano e suo raccordo colla

teoria dellaelasticit. Conceitua os princpios relativos energia complementar. Seu

trabalho coroado de xito quando em 1888 publica La Teoria dell`elasticita n suoi

Principi Fondamentali e nelle sue Aplicazione Pratiche alle Construzioni.

Frederich Engesser, 1848-1931, engenheiro ferrovirio na Alemanha e depois

professor no Karslruhe Polytechnic Institute , tambm publica em 1889 importante

trabalho sobre a energia complementar, introduzindo a terminologia trabalho

complementar. Aparentemente no conhecia o trabalho mais abrangente de Crotti. Suas

contribuies so notveis, especialmente na instabilidade de colunas.

29 Sua tese apresentada no Instituto Politcnico de Turim em 1873, onde no bem avaliada. Da sua posterior publicao na Frana.

38

2.13 - As Medies Inglesas do Vento

George Biddell Airy apresenta em 1867 no ICE, a memria On the use of

suspension bridges with stiffened roadways.

Quando quase toda a Ponte Tay (treliada) e um trem de passageiros sumiram nas

guas geladas do Firth, em Dezembro de 1879, era geralmente aceito que a presso do

vento era a causadora do acidente em uma estrutura no bem construda, e com m

manuteno. No foi de estranhar que a comisso de inqurito instituda pelo Board of

Trade inicialmente culpou o projetista, Sir Thomas Bouch, bem como a North British

Railway Co. por excesso de velocidade [14].

Entendeu-se que no haviam normas estabelecidas na engenharia, para o vento

atuando em estruturas ferrovirias. Quando Bouch consultou Sir George B. Airy, o

Astrnomo Real nos idos de 1870, este disse que a mxima presso do vento atuante em

uma superfcie plana, para todo o comprimento da estrutura seria de 49 kgf/m2. Foi o

valor adotado por Bouch sem fazer nenhum avaliao mais crtica, dada a peculiar

posio exposta da Tay Bridge. Na Frana era adotado o valor de 268 kgf/m2 e nos EUA

244 kgf/m2. Finalmente o Board of Trade fixa o valor em 273 kgf/m2.

Durante a construo da Ponte Firth of Forth, a presso do vento foi

cuidadosamente registrada atravs de anemmetros e um grande wind gauge. Mediu-se

o valor de 171 kgf/m2 para a presso do vento em uma forte tempestade em Janeiro de

1884, valor desta ordem de grandeza ainda nunca antes registrado.

O mesmo ocorreu na Ponte da Torre em Londres, onde John Wolfe Barry, o

engenheiro que prosseguiu a obra aps a morte de Horace Jones, tanto se interessou pelo

problema do vento, que persuadiu a City of London Corporation a instalar vrios

wind gauges de diferentes tipos e em locais diversos na obra da Ponte da Torre, com

trabalhos apresentados no ICE em 1896 [14].

39

2.14 - As Teorias

Com a finalizao da Ponte do Brooklyn so dados tambm dois grandes passos na

teoria das pontes pnseis: a Teoria Elstica e a Teoria dos Deslocamentos.

Em 1880, Celeste Clericetti30 apresenta The Theory of Modern American

Suspension Bridges nos Proceedings do ICE vol. 60. J o teuto-americano Charles

Balthasar Bender em 1872 apresenta nas Transactions da ASCE Vol.1 Historical

sketch of the successive improvement in suspension bridges to the present time, citando

inclusive o processo da fiao area dos cabos sugerido no clebre relatrio de Vicat.

seguida pela publicao da Van Nostrands Engineering Magazine de 1881,

denominada Suspension Bridges of Any Desired Degree of Stiffness [38].

Em 1885, G. Cadart publica Thorie des Ponts Amricains Tablier Rigide nos

Anais dos Ponts et Chausses, seguido por Maurice Lvy em 1886 com Mmoire sur

le Calcul des Ponts Suspendus Rigides, artigo editado pela mesma instituio que marca

uma etapa na evoluo dos conhecimentos tericos sobre as pontes pnseis. Com os

estudos de Lvy so esgotados os estudos sobre a Teoria Elstica [16].

Na Teoria Elstica o cabo se mantm na forma parablica aps a aplicao da carga

acidental P. A influncia do deslocamento real de seu eixo considerada desprezvel no

clculo da estrutura pnsil [16]. assumida a deformada parablica para o cabo, sob

quaisquer condies de carregamentos acidentais [18], [35]. Esta simplificao drstica,

implica que qualquer carregamento acidental P no tabuleiro, provoca acrscimos de trao

uniforme nos pendurais, onde qP uma incgnita. Esta constitui a Teoria de 1a Ordem.

Na Teoria dos Deslocamentos, com a carga acidental, os cabos se deslocam no

espao at a nova posio de equilbrio, no mais permanecendo na forma parablica. O

resultado da mudana de posio dos cabos o da reduo dos esforos na estrutura, pois

surge um aumento no brao de alavanca, a distncia vertical y, entre o cabo e sua corda.

Resultam estruturas mais econmicas, constituindo a Teoria de 2a Ordem.

30 O original foi publicado em 1875 em Milo: Teoria dei moderni ponti sospesi americani.

40

2.15 - As Equaes da Ponte Pnsil

A ponte pnsil resiste aos carregamentos pelo comportamento conjunto dos cabos

com a viga de rigidez, ligados na vertical pelos pendurais, considerados nesta formulao

de extensibilidade desprezvel. O momento externo Me atuante definido por:

Me = MW + MP onde: MW o momento devido ao peso prprio do tabuleiro;

Mp o momento devido a carga acidental P.

Quando da aplicao de P, o cabo sofre um deslocamento de componente vertical v.

A configurao yw de referncia se desloca para y = yw + v . O momento interno resistente

Mi definido por:

Mi = MC + M onde: M a parcela do momento resistida pela viga;

MC a parcela Hy , o momento suportado pelo

produto da componente H pelo brao y .

O TEOREMA DO CABO INTUITIVO

Teorema do Cabo ser detalhado adiante, mas vamos enunci-lo de forma mais

intuitiva: O desenho do eixo do cabo a partir da corda que une as ancoragens afim ao

diagrama de momentos fletores de uma viga imaginria associada. Sendo:

w - carga permanente uniformemente distribuda na horizontal.

P - carga concentrada acidental.

yw - ordenadas verticais da configurao de referncia do cabo, com

origem em sua corda, e sentido de cima para baixo.

Hw - componente horizontal da fora de trao no cabo, devida a w .

HP - acrscimo horizontal da fora de trao, devido a P .

H - componente horizontal final da fora de trao, devida a (w + P) .

v - deslocamentos verticais do cabo e da viga.

41

Pelo Teorema do Cabo M y HW W W= onde yw o brao de

alavanca, a distncia entre a corda e o eixo do cabo (Fig.18), que multiplicado pela

componente horizontal Hw da fora no cabo, resiste ao momento fletor Mw causado pela

carga permanente w . Analogamente:

M y v HC W= +( ) onde H H HW P= + .

Figura 18 - O cabo e a viga sob carga acidental parcial na Teoria dos Deslocamentos [18].

Igualando M Me i= , obtemos: M M M MW P C+ = +

Substituindo, temos: y H M y v H MW W P W+ = + +( ) ,

resultando na equao da Teoria dos Deslocamentos abaixo:

M y H vH MP W P= + +

Se desprezarmos os deslocamentos verticais v , fazendo v = 0 , obtemos a equao

da Teoria Elstica:

M y H MP W P= + .

42

2.16 - A Teoria Elstica

A Teoria Elstica parte das hipteses de Rankine (Pg. 28), alterando sua terceira

hiptese. O acrscimo da trao nos pendurais qP = P/l , uma imposio de Rankine,

passa a ser uma incgnita. Assim a Teoria Elstica passa a adotar as hipteses a seguir:

1 - Os pendurais so ajustados de forma que, sob a carga permanente, os cabos

principais assumem a forma parablica. A viga de rigidez montada de forma a

apresentar momento fletor nulo.

2 - assumida a forma parablica sob quaisquer condies de carregamentos

acidentais, implicando que estes provocam acrscimo de trao uniforme em todos os

pendurais [35], [38].

3 - No caso de uma carga concentrada P acidental, o acrscimo de trao nos

pendurais no tem mais o valor de qP = P/l [38] , hiptese da Teoria de Rankine. O

acrscimo horizontal da fora no cabo HP , adotado como a fora hiperesttica para

anlise pelo mtodo da energia de deformao. Enfim a Teoria Elstica o clculo da

ponte semelhante ao clculo de um arco invertido.

a primeira teoria onde a forma final do cabo apresenta deslocamentos verticais

compatveis com os da viga de rigidez [38].

Enunciado do Teorema da Energia de Deformao Mnima: Em uma estrutura

estaticamente indeterminada, estando os apoios fixos e a temperatura constante, os

esforos hiperestticos sero tais que a energia de deformao ser um mnimo [35].

Seu emprego pode ser vlido se a ponte for pequena e rgida. Estamos estabelecendo

o equilbrio inicial na 1a Ordem, desprezando a influncia dos deslocamentos na

redistribuio dos esforos. A Teoria Elstica pode ser resumida a seguir: O eixo do cabo,

representado pela ordenada y (x), fica equacionado aplicando-se a equao do equilbrio:

M H y MP P= + ,

43

onde MP o momento fletor referente ao vo l e Hp o acrscimo horizontal da fora no

cabo, ambos devidos carga acidental P . M o momento fletor na viga de rigidez.

A energia de deformao de flexo armazenada na viga definida por: UM dx

E IV V

l=

2

0 2

e a energia de deformao armazenada no cabo por: UT ds

A EC C C

S=

2

0 2

Desprezando-se o efeito das deformaes dos pendurais e das torres, que poderiam

estar sendo levados em conta, minimiza-se a energia potencial de deformao:

dU

dHP = 0 obtm-se a incgnita HP .

Esta formulao admite a propriedade da superposio dos esforos, podendo-se

ento serem utilizadas as linhas de influncia. Da sua denominao Teoria Elstica.

Gravina [17] e Pugsley [38] resolveram o problema para a carga P aplicada no

centro do vo pela Teoria Elstica. Neste ponto, simplificam admitindo o cabo

inextensvel. Obtiveram HP = 1,5625 HW e qP = 1,5625 P/l . Observe que o acrscimo

de trao nos pendurais qP 56,25% maior do que aquele imaginado por Rankine.

O cabo no segue uma relao carga X deslocamento linear, no devendo ser

aplicada a propriedade da superposio dos esforos. Os efeitos das cargas acidentais no

podem ser calculados separadamente daqueles devidos carga permanente, como seria o

caso da estrutura apresentar comportamento linear. Os mtodos de energia de deformao

so aplicados para obter uma soluo aproximada [35]. A Teoria Elstica no indicada

para o clculo de pontes e de seus deslocamentos, pois foi superada pela Teoria dos

Deslocamentos. Veja os comentrios de Moisseif na pgina seguinte.

A pesada Ponte de Williamsburg em Nova York, de 1903, uma das ltimas pontes

importantes onde foi aplicada a Teoria Elstica para o seu dimensionamento.

44

2.17 - A Teoria dos Deslocamentos

Wilhelm Ritter escreve Versteifungsfachwerke bei Bogen- und Hngebrcken em

1877, onde se comea a percepo da necessidade de serem levados em conta os

deslocamentos do cabo e do tabuleiro. Mais tarde em 1881, Mller Breslau [2] volta a

examinar o assunto e d soluo a equao diferencial fundamental do problema, sem

porm notar a importncia de sua contribuio. Em 1882, Du Bois nos Estados Unidos,

publica A New Theory of the Suspension System with a Stiffening Truss, no J. Franklin

Institute. Sem saber desta publicao, em 1888 J. Melan publica Theorie der eisernen

Bogenbrcken und der Hngebrcken no Handbuch der Ingenieurwissenschaften,

Leipzig, com a 3a edio datada de 1906, inspirado nos trabalhos de Mller Breslau,

chamando de Teoria mais Exata. Esta a nova teoria na qual os deslocamentos so

levados em conta [16].

A primeira aplicao prtica da nova teoria deve-se a Leon Solomon Moisseiff por

ocasio da verificao da Ponte do Brooklyn em 1902, pois no ano anterior rompera-se

uma srie de pendurais. Durante a verificao da segurana da Ponte do Brooklyn,

Moisseif analisou os esforos e as deformaes e comenta:

Nota-se que os deslocamentos da ponte so muito menores que os obtidos pela

Teoria Elstica. Obtm-se maior concordncia com o comportamento atual da ponte

desprezando-se a viga de rigidez e voltando-se simplesmente ao clculo dos polgonos de

equilbrio sob carga permanente (a configurao de referncia) e carga permanente com a

carga acidental (a configurao deslocada). Ficou claro que a Teoria Elstica ao desprezar

a carga permanente nos clculos das deformaes devidas carga acidental incorre em um

erro srio para grandes pontes31.

Novamente, Moisseiff aplica a Teoria dos Deslocamentos nos clculos da Ponte de

Manhattan (Figs. 19 e 20) em 1904 projetada por Gustav Lindenthal, estendendo-a para o

caso de pontes de trs vos em trelia contnua sobre os apoios das torres, e dando-lhe seu

novo nome: Teoria dos Deslocamentos. Estes clculos foram verificados pelo mesmo

31 A Generalized Deflection Theory for Suspension Bridges, David B. Steinman, ASCE Trasactions, paper No. 1918, Maro de 1934. Entre os participantes: Hans H. Bleich, Gustav Lindenthal, Leon Moisseif, Harold E. Wessman [41].

45

Figura 19 - Ponte de Manhattan, Nova York, 1909 com 448m.

mtodo por F. E. Turneaure [38], quando a ponte com um vo de 448 m estava prestes a

ser inaugurada em 1909.

A Ponte de Manhattan (Fig.19) considerada a primeira ponte pnsil moderna.

Tambm a primeira a ter torres flexveis engastadas nas bases com suas extremidades

fixas aos cabos (Fig.20). Os deslocamentos nos topos limitados pelos cabos ocasionam a

flexo das torres. Quando a torre alta e adequadamente esbelta, a resistncia ao

deslocamento horizontal do topo fica pequena, bem como o esforo de flexo na base

[42]. Esta experincia, conjuntamente com a traduo do trabalho de Melan por David

Barnard Steinman publicada em 1913, efetivaram um avano substancial no domnio do

conhecimento das pontes pnseis, que lanaram as bases para a grande expanso do seu

uso nos Estados Unidos da Amrica [38].

Quando a ponte for grande e flexvel, os deslocamentos tornam-se importantes [17].

Os cabos deslocam-se no espao at a nova posio de equilbrio, devido a aplicao da

carga acidental, no mais permanecendo na forma parablica. O resultado da mudana da

posio dos cabos o aumento da distncia vertical, o brao de alavanca, entre o cabo e

sua corda. Assim, a parcela do momento externo suportado pelo produto H x y aumenta,

comparando-se com a Teoria Elstica, diminuindo a parcela do momento devida viga de

rigidez. Obtm-se ento, estruturas mais econmicas [24].

No projeto da Ponte de Florianpolis32, este processo de clculo resultou numa

reduo de 20% e 37% nos momentos fletores da viga de rigidez, respectivamente nos

quartos e no meio do vo, comparativamente Teoria Elstica. Na Ponte Benjamin

32 Ver maiores detalhes desta ponte pg. 52.

46

Franklin, entre Filadlfia e Camden, a reduo foi de 34% e 38% respectivamente e na

Mount Hope Bridge, de 50% e 35% [24]. Estamos partindo da equao do equilbrio na

configurao deslocada (2a Ordem), constituindo a Teoria dos Deslocamentos.

Os cabos so os principais elementos estruturais e a viga de rigidez adicionada

para reduzir os deslocamentos do tabuleiro. Os deslocamentos do cabo afetam a

distribuio de carga entre a viga de rigidez e o cabo, reduzindo a flexo na viga,

comparando com a Teoria Elstica.

A alterao da inrcia da viga de rigidez altera completamente o funcionamento da

estrutura pnsil. No caso de grandes cargas permanentes no tabuleiro, e relativamente

pequenas cargas acidentais, a viga de rigidez pode ser completamente eliminada. As

equaes do cabo como veremos adiante so:

ywlH

xwH

xww w

= 2 2

2 , ( )dydx

wH

l x ed ydx

wH

w

w

w

w= =

22

2

2

Observe que a fora Hw no denominador, representa a rigidez do cabo. Quanto

maior o valor de Hw , menor a ordenada do cabo. Hw a componente horizontal de

trao no cabo devida ao peso prprio w do tabuleiro.

Um nmero adimensional, conhecido por fator de flexibilidade - , que pode

representar o comportamento da estrutura pnsil, o seguinte:

= lHEI

w , que dentro do radical apresenta a razo entre a rigidez do

cabo Hw e a da viga EI .

Na pesada ponte George Washington por exemplo, temos o valor de = 35, obtido

aps o reforo das vigas, rigidez tpica oriunda do peso prprio do tabuleiro.

Na ponte de So Vicente33, o fator de flexibilidade = 2,5 revela uma estrutura

33 Foi construda em 1914 com 180 metros de vo medidos entre os eixos das torres. O vo livre da viga de rigidez de 177,6 m, e o peso prprio total transferido aos cabos de 457,5 tf [49].

47

rgida. Telmaco em [24], refere-se aplicabilidade da propriedade da superposio dos

esforos, conforme ensaios realizados nesta ponte. uma estrutura mais leve, com a pista

composta de pranches de madeira e vigas relativamente altas.

A Teoria dos Deslocamentos pode ser resumida como segue:

Devido aos deslocamentos v do cabo, o momento fletor M na viga aliviado pelo

valor adicional (Hw + Hp) v . Estabelecendo a expresso do equilbrio na posio

deslocada e deformada da estrutura (2a Ordem), resulta o valor do momento M :

M M y H H H v como M EId v

dxP W P W P= + = ( )

2

2 , resulta:

M EId v

dxM y H H H vP W P W P= = +

2

2( )

no sendo linear em relao a v e a Hp . Fazendo:

cH H

EIe

d v

dx

y H M

EI

H H

EIvP W W P P W P2

2

2=

+=

+

+ , obtemos:

d v

dxc v c

y H M

H HW P P

W P

2

22 2= +

+

que a equao utilizada por Steinman. Hw e Hp so invariantes com x . As incgnitas

so v , M e Hp , segundo Telmaco em [24]. Solucionando a equao diferencial linear

de 2a ordem, com coeficientes constantes e no homognea, e substituindo v na primeira

equao dos momentos M , temos:

M H Ce C ec

pH

flP

cx cx

P= + [ ( )]1 2 2 2

1 8

48

que a equao geral do momento fletor na viga de rigidez, onde p a carga acidental

uniforme, causadora de MP e Hp . Esta equao mostra que M no diretamente

proporcional causa, o carregamento p . A primeira equao de M mostra que estes

valores so afetados pela carga permanente w do tabuleiro que origina Hw . No podemos

ento aplicar as linhas de influncia na teoria dos Deslocamentos. Esforos produzidos

por uma combinao de carregamentos no podem ser obtidos pela simples adio dos

esforos oriundos de cada um dos carregamentos componentes da combinao [40].

Derivando a equao anterior (pg. 47), obtemos a equao geral do esforo cortante na

viga:

VdMdx

H c Ce C ePcx cx= = [ ]1 2 , cuja derivada:

EId vdx

d Mdx

dVdx

H c Ce C e p qPcx cx

P

4

4

2

22

1 2= = = + = [ ]

nos d a expresso do carregamento acidental p no tabuleiro, por unidade de

comprimento. Observe que a ponte pnsil montada de forma a no provocar momentos

fletores na viga. Na ausncia de carregamento acidental no tabuleiro, a carga nos

pendurais w . Assim sendo, o acrscimo de trao nos pendurais qp = q - w , onde

q(x) o valor final da trao nos pendurais, por unidade de comprimento do vo. Esta

equao mostra que o carregamento de suspenso q no mais uma constante como na

Teoria Elstica, mas uma varivel na Teoria dos Deslocamentos. Estamos imaginando

uma temperatura mdia de clculo.

Obtm-se a equao de Hp , aplicando o princpio dos trabalhos virtuais. O trabalho

virtual total despendido no deslocamento v pelo carregamento suspensor q mais o peso

prprio do cabo g , deve ser igual ao trabalho virtual feito pela fora de trao T

= Tw + Tp no alongamento do cabo. Aqui, Steinman adota T ~ Hw + Hp , assumindo a

aproximao.

As constantes de integrao C1 e C2 so determinadas para cada caso de

carregamento crtico. Entram nos clculos tambm o efeito de temperatura, bem como a

verificao dos deslocamentos mximos v .

49

2.18 - As Contribuies de Moisseif em Manhattan

Figura 20 - Torres flexveis em Manhattan.

Moisseif deu dois grandes passos nesta obra: o dimensionamento pela Teoria dos

Deslocamentos para viga de trs tramos suspensos contnuos e torres flexveis engastadas

nas bases (Fig.20). A Ponte de Manhattan de 1909 com 448 m foi seguida pelas pontes: de

Florianpolis de 340 m em 1920, de Mount Hope de 365 m em 1929 projetadas por

Robinson & Steinman com a nova teoria. As Pontes do R. Delaware e do Mid-Hudson

(Fig. 21) foram projetadas por Ralph Modjesky.

Figura 21 - Ponte Mid-Hudson de 1930, com 457 m. esquerda observa-se a inspeo dos fios dos cabos principais, separados por cunhas de madeira. Consultoria da Modjesky & Masters (desde 1893) em 1993.

50

2.19 - As Idias Iniciais de Ammann

As idias iniciais de Ammann, tinham algo em comum com as de Navier em relao

aplicao dos cabos de fios de ferro. Menciona34: Muitas pontes pnseis atualmente em

uso pertencem classe das antigas pontes que foram construdas de forma imprpria.

Existem somente algumas pontes pnseis projetadas adequadamente.

O menor peso do cabo de fios, e mais especialmente sua maior elasticidade devida a

maiores tenses de trabalho dificultam o enrijecimento das pontes de vos moderados. O

cabo de fios no sendo devidamente protegido sujeito a rpida deteriorao. Os cabos de

fios so freqentemente montados sem cuidado, mau ancorados e emendados, de forma

que alguns fios ficam com tenses alm do limite elstico, enquanto outros se mantm

frouxos.

Tentativas de enrijecer as correntes no plano vertical foram feitas nas pontes de

Menai, na de Hameln sobre o Rio Weser em 1836, na ponte ferroviria sobre o Danbio

em Viena no ano de 1860. O sistema de correntes formando trelias altas tem sido

altamente promissoras nas ltimas pontes rodovirias como a Ponte Seventh Street

(Pg.55) sobre o rio Allegheny em Pittsburgh, construda por G. Lindenthal em 1884 e a

Ponte Grand Avenue em St. Louis construda por Carl Gayler em 1890. A primeira nos

Estados Unidos a Ponte Point (Fig. 22 e pg. 55) de Edward Hemberle no ano de

1877, em Pittsburgh, tri-articulada com banzo inferior parablico e banzo superior reto.

Figura 22 - Ponte Point, Pittsburgh em 1877 com vo de 243 m [52].

34 Possibilities of the Modern Suspension Bridge for Moderate Spans, 21/06/1923, Engineering News Record [2].

51

Aps sua construo, a Ponte Point (Fig. 22 e pg. 55) foi ensaiada, apresentando um

deslocamento nos quartos de vo de 2,75 polegadas, ou seja, somente 1/3500 do vo sob

uma carga acidental de 2/3 da mxima.

Em uma ponte pnsil de vo de 300 ps (90 m) com pavimento rodovirio leve, os

deslocamentos do cabo no enrijecido so da ordem de oito vezes maior que os

deslocamentos no cabo economicamente enrijecido. Para um vo de 3.000 ps (900 m)

esta relao passa para trs para um.

Na Ponte do Brooklyn, o deslocamento terico mximo da ordem de 1/300 do

vo. Para pontes ferrovirias, o deslocamento geralmente fixado em 1/1000 do vo. Nas

obras pn