Cabos - UFSC

ECV 5219 Anlise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSCProf a. ngela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)

86

2.4. Cabos

Cabos so estruturas lineares, extremamente flexveis, capazes de resistir a

esforos de trao. Os esforos cortantes, de compresso, de flexo e de toro no so

resistidos por um cabo ideal.

Os cabos so utilizados em vrios tipos de estruturas. Nas pontes pnseis e

telefricos so principais elementos portantes, nas linhas de transmisso conduzem a

energia eltrica, vencendo vos entre as torres e so empregados como elemento portante

de coberturas de grandes vos (Sssekind, 1987).

No estudo esttico, assume-se a hiptese que os cabos so perfeitamente flexveis,

isto , possuem momento fletor e esforo cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa

forma, os cabos ficam submetidos apenas a esforos normais de trao.

As formas assumidas pelo cabo dependem do carregamento que nele atua. Se o

carregamento externo for muito maior do que o peso prprio do cabo, este ltimo

desprezado no clculo. A geometria da configurao deformada do cabo, para um dado

carregamento, denominada forma funicular (do latim, funis = corda) do cabo.

Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET


87



88



89

Exemplo de formas funiculares:

Catenria

Parbola

Polgono

Trapezide

Tringulo

Carga UniformementeDistribuda ao longo do vo

Carga Uniformemente Distribuda ao longo docomprimento do cabo (peso prprio)

Forma FunicularCarregamento



90

A catenria possui uma geometria mais baixa que a parbola. Isto conseqncia

do peso prprio se concentrar mais nas regies prximas das extremidades.

A partir de estudos comparativos entre a forma da parbola e da catenria, para

vrias relaes de flecha (f) e vo entre extremidades (L), constata-se que para relaes (f

/ L) 0,2 as formas da parbola e da catenria so praticamente coincidentes. Nestes casos, mais prtico usar a forma da parbola para determinao dos lugares geomtricos

dos pontos ao longo do cabo.

f

L

y

x

Y = ax2 + bx +c



91

2.4.1. Reaes de Apoio para Cabos:

Seja um cabo que suporta duas cargas concentradas de valor P, dispostas nos

teros do vo:

PP

f

L/3 L/3 L/3

H = Ax

Ay By

H = Bx x

y

A

C D

B

Os sistemas do tipo cabo desenvolvem em suas extremidades empuxos

horizontais, exigindo que os vnculos em A e B sejam do 2o gnero.

Por ser um sistema estrutural plano, as equaes de equilbrio a serem satisfeitas

sero: 6Fx = 0;6Fy = 0;6Mz = 0.Lembrando que para qualquer ponto ao longo do cabo o momento fletor nulo

devido sua flexibilidade.

Aplicando as equaes de equilbrio ao cabo ACDB :6Fx = 0 Ax Bx = 0, logo Ax = Bx = H (empuxo horizontal);6MA = 0 PL / 3 + P (2L / 3) By.L = 0, portanto By = P;6Fy = 0 Ay + By = 2P, ento Ay = 2P By = P.Para o clculo do empuxo horizontal H necessria uma Quarta equao de

equilbrio que sai da hiptese de momento fletro nulo (M = 0) para qualquer ponto ao

longo do cabo. Escolhendo-se o ponto C: 6Mc = 0.Grupo de Experimentao e Anlise de Estruturas - GRUPEXColaborao: Programa de Educao Tutorial - PET


92

Faz-se uma seo no cabo que coincida com o ponto C escolhido e trabalha-se

com a parte a esquerda ou a direita do ponto C, substituindo pelo seu efeito na seo.

AH

L/3

Ay = P

C

P

NCDf

6Mc = 0 - H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P . L) / 3f.Observe-se que quanto menor a flecha f, maior o empuxo H. E assim encontram-

se as reaes de apoio do cabo.

interessante a seguinte comparao:

D

L/3

A

L/3

H

PC

P

B H = PL / 3f

L/3

P

f

P

P

Ay* = P

A

P

By* = P

B

L/3 L/3 L/3



93

Observa-se que as reaes de apoio verticais coincidem para o cabo AB e para a

viga AB de idntico vo e carregamento. Logo, as reaes de apoio verticais do cabo

podem ser encontradas pela substituio do cabo por uma viga com idntico vo e

carregamento:

Ay e By (no cabo) = Ay* e By* (na viga).

Doravante, toda referncia a reaes de apoio e esforos na viga de substituio

sero identificados por um asterisco.

No entanto, a vantagem de comparar o cabo AB a uma viga de substituio AB

no est somente nas reaes de apoio verticais. Comparemos o empuxo horizontal no

cabo ao diagrama de momentos fletores da viga de substituio.

D

P

P

A

P

PL / 3f

C

A

P

P

B

P

H = PL / 3fB

PL/3

(+)

DMF

PL/3

L/3L/3 L/3

f

L/3 L/3 L/3

M*mx = PL / 3, logo H = PL / 3f = M*mx / f.

Onde f a distncia vertical mxima do cabo at a linha de fechamento entre as

extremidades A e B do cabo.

Vejamos para outras condies de carregamento:



94

a)

L/2 L/2

P

f

P/2P/2

PL / 4f H = PL / 4f

P

L/2 L/2P/2 P/2

(+)

PL/4

DMF

C

6Mc = 0 - H.f + (P/2).(L/2) = 0,portanto H = (P . L) / 4f = M*max/f



95

b)

(+)

qL /8

DMF

L

f

qL/2

H = qL / 8fqL / 8f

qL/2

q

q

L

qL/2qL/2

2

2

Portanto, as reaes de apoio nos cabos podem ser obtidas atravs de uma vigas

de substituio:

Ay = Ay*

By = By*

H = M*max / f



96

2.4.2. Esforos Normais de Trao Atuantes em Cabos

Uma vez conhecidas as reaes de apoio, possvel determinar os esforos

normais atuantes no cabo.

Usando mais uma vez o exemplo do cabo submetido a duas cargas concentradas

eqidistantes, de valor P cada uma:

BA xPL/3fPL/3f

y

PDC

P

P

P

E

L/3L/3 L/3

f

Esforo normal no trecho AC:

Substitui-se a parte do cabo

retirada, pelo seu efeito, a Fora Normal

NAC. Aplicam-se as equaes de

equilbrio:

6Fx = 0 NACx = P L / 3 f;6Fy = 0 NAC y = P, logoNAC2 = (NACx) 2 + (NACy) 2 ;

NAC = [ (P L / 3 f) 2 + P 2 ]

PL/3f A

E

P

NAC

y

y

x

NACy

NACx



97

Esforo normal no trecho CD:

f

P

P

F

C

APL/3f

NCD

6Fx = 0 NCD = H = P L / 3 f;6Fy = 0 P P = 0, equilbrio satisfeitoEsforo normal no trecho DB:

NDB = NAC = [ (P L / 3 f) 2 + P 2 ]

Observa-se, da comparao entre NAC e NCD, que o esforo normal mximo de

trao no cabo AB ocorre nos trechos AC e DB, trechos adjacentes aos apoios das

extremidades. Esta uma das caractersticas dos cabos, os esforos normais mximos

ocorrem nas sees dos cabos prximas aos vnculos externos, pois onde a componente

vertical do esforo normal, NY, de maior valor.

Calculando agora os esforos normais para um cabo com carga uniformemente

distribuda ao longo do vo:

y

q

L

qL/2

H

x

qL/2

f

H = qL / 8f



98

Cortando o cabo em uma seo genrica de coordenadas (x,y):

Nsy

y

q

S

H

qL/2

x

Ns

Nsx

Aplicando-se as equaes de equilbrio:6Fx = 0 NSx = H ; 6Fy = 0 NSy q L / 2 + q x = 0NSy = q L / 2 - q x, sendo

para x = 0, NSy = q L / 2 ;

para x = L/2, NSy = 0.

Para o ponto x = L / 2, onde ocorre a flecha f, distncia mxima da linha AB, no

h componente vertical do esforo normal de trao.

Logo, o esforo normal varia ao longo do comprimento do cabo:

Para x = 0 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ]

NS = [ (H)2 + (q L /2)2 ] Valor MximoPara x = L / 2 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ]

NS = [ (H)2 + (0)2 ]

NS = H Valor MnimoComparando o valor de NSy com os esforos da viga de substituio submetida a

idntico carregamento, constata-se que a variao de NSy para x=0 q L / 2 e para x=L/2

nulo, coincidindo com a variao do esforo cortante na viga:



99

Portanto, pode-se concluir que o esforo normal de trao para um cabo

estimado pela expresso:

NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ]

NS = [ (H)2 + (VS*)2 ]

Onde H: Empuxo horizontal nas extremidades do cabo e;

VS*: Esforo cortante para uma seo genrica da viga de substituio.

Exerccio Proposto: Determinar os esforos normais para cada trecho da estrutura:



100

Respostas:

NAC = NEB = 1.639,12 tf;

NCD = NDE = 1.598,80 tf.

Uma vez conhecida a fora normal de trao mxima no cabo, a tenso normal de

trao ser:

Onde fst = resistncia trao do ao;

A = rea til da seo transversal.

t = Nmx / A fst

25 m

yc = 6m

25 m

256 tf

383 tf C

H = 1593,75 tfA

25 m25 m

ye = 6myd = 8m

383 tf

256 tf254 tf

DE

H = 1593,75 tfB



101

2.4.3. Conformao Geomtrica Final do Cabo:

Fazendo, mais uma vez, uso da viga da hiptese de momentos fletores nulos para

qualquer ponto genrico sobre o cabo AB.

BA PL/3fPL/3f

L/3L/3L/3

f

PDC

P

P

P

E

X

Y

Para um ponto genrico E que pertena ao cabo e tenha coordenadas (x,y)

PL/3f A

E

P

NAC

y

y

C

Para um ponto E situado a uma distncia x do apoio A do cabo AB, a equao

de momentos fletores dada pela equao:6ME = 0 - H.y + P.x = 0, portanto y = P . x / H = 3f . x / L.A configurao geomtrica do cabo para o trecho AC definida por uma equao

do 1o. grau.



102

6ME* = 0 P . x ME* = 0, logo ME* = P . xComparando a expresso do momento no ponto E para a viga de substituio

com a expresso encontrada para a configurao geomtrica do cabo para o ponto E:

Viga de Substituio ME* = P . x ;Cabo yE = (P . xE) / H.

Percebe-se que mais uma vez existe uma relao entre a cota vertical y do cabo e

o momento fletor para a viga de substituio na mesma seo, portanto, deduz-se que a

cota vertical ys, para uma seo genrica S do cabo, igual ao Ms* dividida pelo empuxo

horizontal H na viga de substituio para uma seo S de mesma posio horizontal que

no cabo:

Ys = Ms* / H

Dessa forma, pode-se determinar a posio vertical de qualquer ponto do cabo a

partir do momento fletor na viga de substituio. Uma concluso adicional desta relao

PL/3

(+)

DMF

P

A EME*

L/3L/3

P

P

A

L/3

P

P

B

E



103

y = Ms* / H constatada ao comparar-se a forma do diagrama de momentos fletores para

a viga de substituio e a forma funicular do cabo:

M* = f (x) - parbola

DMF

q

P

DMF

M* = f (x)

P P

DMF

M* = f (x)

q

H H

y = M * / H

H

P

y = M* / H

H

H

P P

y = M* /H

H



104

Exerccio Proposto: Determinar as reaes de apoio no cabo AB e as cotas

verticais nos pontos C e E.

Respostas:

Ay = By = 383 tf

H = 1.593,75 tf

yC = yE = 6,0 m

Pode-se tambm deduzir a forma funicular para um cabo submetido a carga

uniformemente distribuda ao longo do vo:

q

qL / 8f H = qL / 8f X

y

qL/2 qL/2

fC

A

C E

256 tf

B

D

254 tf256 tf

25 m 25 m 25 m25 m

y = 8m

D



105

Reaes de Apoio:

Ay = By = qL/2

H = M*mx / f = qL2 / 8f

Escolhendo um ponto genrico C, com posio (xC, yC), passando uma seo, o

diagrama de equilbrio esttico fica:

6MC = 0 qL . xC q . xC2 H . yC = 0

yC = q . (L . xC - xC2) / 2H

yC = 4 f . (L . xC - xC2) / L2

Generalizando para um ponto qualquer sobre o cabo, de coordenadas (x,y):

y = 4 f . (L . x - x2) / L2 Equao da Conformao Geomtrica do Cabo.Equao de parbola quadrtica para o caso de carregamento uniformemente

distribudo ao longo do vo.

Uma vez conhecida a linha elstica do cabo na conformao deformada, pode-se

estimar o comprimento total do cabo: Lc.

O comprimento total do cabo Lc obtido a partir da expresso da linha elstica y=

f(x), atravs da integrao ao longo do comprimento:

dL2 = dx2 + dy2

( )2

2

222

dx

dy+1dx=dx/dy+1dx=dL

L L dxdxdydLLc 0 0 221dL

dx

dy

qL/2

qL / 8f

C

Nc

yc

y



106

Para a situao de carregamento uniformemente distribudo ao longo do vo:

y = 4 f . (L . x - x2) / L2 .

dy / dx = 4 f . (L 2 x) / L2, substituindo na integral:

0

5,02

22

41

L

dxxLL

fLc

A soluo desta integral feita pelo desenvolvimento do integrando sob a forma

de srie. Utilizando este tipo de resoluo de integrais definidas, encontra-se a seguinte

expresso:

Lc # L [ 1 + 8/3 ( f / L )2 ]Comprimento total de um cabo de forma funicular parablica, submetido carga

uniformemente distribuda ao longo do vo.

Nas situaes de cabos submetidos a peso prprio, cuja forma funicular uma

catenria, mas para a relao f/LU 0,2, pode-se utilizar a mesma expresso anterior para estimar o comprimento total do cabo Lc.



107

Exemplo:

Qual o comprimento total do cabo que suporta uma sobrecarga uniformemente

distribuda ao longo do vo de 100 N/m e que possui peso prprio igual a 50 N/m,

sabendo-se que os pontos de fixao esto no topo de postes de 6 m de altura e que esto

afastados entre si de 50 m? Alm disso, h a informao que o ponto mais baixo do cabo

est 4,5 m acima do solo.

Flecha:f = 6m 4,5m = 1,5 m

f / L = 1,5 / 50 = 0,03 U 0,2 Pode-se utilizar a expresso da parbola para substituir a geometria da catenria: Lc # L [ 1 + 8/3 ( f / L )2 ].

Considerando-se o erro na substituio da catenria pela parbola desprezvel:

Lc = 50 [ 1 + 8/3 ( 1,5 / 50 )2 ] = 50,12 m

q = 100 N/m - Parbola

g = 50 N/m - Catenria

f

4,5m

6m

L = 50m



108

Exemplo de Aplicao (Extrado de Salvadori e Levy, pg.194)

Uma passarela, que liga duas edificaes afastadas de 15,0 m, possui 3,0 m de largura e

deve suportar uma sobrecarga de 5 kN/m2 alm de seu peso prprio, tambm estimado

em 5 kN/m2. A passarela ser suspensa por 2 cabos com um flecha de 3m. Determine a

fora normal mxima que tracionar o cabo.

Reaes de Apoio: H = ?; Ay = ?; By = ?

H

qL/2 qL/2

H

Parbola

L = 15m

f = 3m

A B

5 kN/m

5 kN/mCargas

2

2

Sobrecarga

Peso Prprio

Planta

1,5

1,5

3



109

Carga distribuda por cabo qA/2L = (5 + 5)kN/m x (15x3)m / 2 x 15m = 15kN/mComo o cabo e o carregamento so simtricos Ay = By, ento:

Ay = By = 15 x 15 / 2 = 112,5 kN;

H = M*max / f H = q L2 / 8 f = 15 kN/m x (15m)2 / 8 x 3mH = 140,63 kN.

Fora Normal Mxima:

NS = [ (H)2 + (VS*)2 ] V*s = Vmax*, para Nmax

Vmax* = 112,5 kN, nos apoios

NS = [ (H)2 + (VS*)2 ] NS = [ (140,63)2 + (112,5)2 ] NS = 180,09 kN

Resposta: O esforo normal mximo ocorre nos extremos, prximo aos vnculos A e

B e vale 180,09 kN.

112,5 kN 112,5 kN

15 kN / m

112,5

-112,5

(+)

(-)

DEC (kN)

15 kN/m

Mmax* = qL/8


Documents

Cabos - UFSC