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  • CABRI GEOMETRY II Plus

    Manual do Usurio

  • B O A S - V I N D A S !

    3

    Bem-vindo ao mundo dinmico de Cabri Geometry !

    A primeira verso de Cabri Geometry foi desenvolvida noslaboratrios de pesquisas do CNRS (Centro Nacional da PesquisaCientifica) e da universidade Joseph Fourier de Grenoble, com oincentivo de Jean-Marie LABORDE, diretor de pesquisa.Hoje mais de dez milhes de pessoas atravs do mundo utilizamCabri Geometry nos computadores dotados dos sistemas MacOS e Windows, e igualmente nas calculadoras TI-92, TI-92 Plus,TI voyage 200, TI-89, e TI-83 Plus de Texas Instruments.

    A construo de figuras geomtricas nos computadores traz umanova dimenso em relao s construes clssicas que utilizampapel, lpis, rgua e compasso.

    As numerosas funcionalidades de Cabri Geometry II Plus,potentes e com utilizaes muito fceis, permitem construir eexplorar todas as figuras da geometria plana e do espao, dasmais simples s mais complexas.

    A todo momento, pode-se manipular livremente a figura, testarsua construo, emitir conjecturas, medir, calcular, apagar, modifi-car e voltar atrs.

    Cabri Geometry II Plus o programa sonhado para o aprendi-zado da geometria, tanto para os alunos como para os professo-res, em todos os nveis, da escola primria at a universidade.

    Cabri Geometry II Plus a ltima verso do software CabriGeometry. Ela inclui vrias novidades e novas funcionalidades deseja-das pelos utilizadores, o que a torna ainda mais potente e convivial :

    Interface : Os novos cones so maiores e mais legveis.O menu de resoluo das ambigidades de seleo mais intuiti-vo. Pode-se modificar com alguns clics os atributos de todos osobjetos, com a ajuda do menu contextual.

    Nomear : Pode-se nomear todos os objetos grficos, e posicio-nar a etiqueta do nome livremente sobre o objeto.

  • Expresses : Define-se as expresses a uma ou diversasvariveis, calcula-se valores, eles evoluem automaticamente coma figura.

    Grfico instantneo : muito simples de traar e estudar gra-ficamente as curvas representativas de uma ou vrias funesdependendo de parmetros. A manipulao direta permite explo-rar a influncia dos parmetros sobre a funo.

    Lugares : Podemos visualizar facilmente os campos de vetores,explorar os campos das escalas, graas aos lugares dos pontossobre uma grade. Com a ferramenta Lugar, obtemos as curvastraadas de equaes algbricas. O traado dos lugares maispreciso, graas a um novo algoritmo adaptativo. As intersecescom os lugares so agora tomadas em considerao.

    Retas inteligentes : Reduzimos automaticamente a visualizaodas retas sua poro til, que podemos livremente redefinir.

    Cores : Podemos escolher a cor dos objetos, textos, e superf-cie numa nova paleta de cores, ou utilizamos a nova funcionali-dade de cor dinmica.

    Imagens/Texturas : Fixe as imagens de sua escolha a objetosda figura (pontos, segmentos, polgonos) ou a segundos - planos.A forma das imagens acompanhar a animao ou a manipulaodos objetos geomtricos aos quais elas foram associadas.

    Textos : Podemos modificar livremente o estilo, tipo de letra, ea cor de qualquer parte selecionada do texto.

    Texto de Descrio : Uma janela apresenta uma descrio emtexto de todas as etapas da construo.

    Registra-se uma sesso de utilizao do software; pode-seem seguida visualiz-la e imprimi-la para compreender a progres-so dos alunos e suas dificuldades.

    Import / Export de arquivos de figuras entre Cabri Geometry IIPlus de seu PC e Cabri Junior instalado nas calculadoras Ti-83 Plusou Ti-83 Plus Silver Edition.

    4

  • 2003 CABRILOG S.A.S.Autor inicial: Eric BainvilleTraduzido por: Vicenzo Bongiovanni; Paulo Abinoan de Siqueiraltima atualizao: Julho de 2003Evolues: www.cabri.comErros a nos comunicar: [email protected] grfica e configurao de pgina: LaDyBird - grupoOMNIA, Frana

    5

    Cabri Geometry II Plus de agora em diante designado CabriGeometry.

    Este manual dividido em trs partes.A primeira parte [I]DESCOBERTA destinada aos novos utilizado-res, e apresenta atividades de nvel colgio e liceu. A segundaparte [II]REFERNCIA uma descrio completa do software.Enfim, a terceira parte. [III]APROFUNDAMENTO apresenta outrasatividades mais avanadas, de nvel do liceu e do primeiro ciclouniversitrio ou vestibulares.As diferentes atividades da primeira e terceira parte so bastanteindependentes. O leitor convidado a fazer as construes detal-hadas, em seguida os exerccios propostos. Os exerccios marca-dos com um * so mais difceis.

    Antes de utilizar Cabri Geometry pela primeira vez, ns aconsel-hamos aos novos utilizadores de ler o captulo da introduo[1]CONTATO INICIAL afim de se familiarizar com a interface deCabri Geometry e com as convenes de utilizao do mouse.Todavia, a experincia mostra que o domnio de Cabri Geometry muito rpido, e, na aula, os alunos j fazem geometria na pri-meira meia hora de utilizao do software.

    Nosso site www.cabri.com lhes d acesso s ltimas atualizaese s novidades dos nossos produtos, em particular s novas ver-ses deste documento. O site contm igualmente ligaes emdireo de dezenas de pginas Internet e livros sobre a geome-tria e sobre Cabri Geometry .Toda equipe de CABRILOG deseja-lhes longas e apaixonanteshoras de construes, exploraes, e descobertas.

    2003 CABRILOG S.A.S.Cabri Geometry uma marca da sociedade CABRILOG S.A.S.

  • N D I C E G E R A L

    7

    PRIMEIRA PARTE

    Descoberta

    SEGUNDA PARTE

    Referncia

    C A P T U L O 1

    CONTATO INICIAL

    C A P T U L O 2

    RETA DE EULER DO TRINGULO

    C A P T U L O 3

    A PROCURA DO PONTO MISTERIOSO

    C A P T U L O 4

    O QUADRILTERO DE VARIGNON

    C A P T U L O 5

    OBJETOS E FERRAMENTAS

    1.11.1 FILOSOFIA

    1.21.2 INTERFACE DA APLICAO

    1.31.3 UTILIZAO DO MOUSE

    1.41.4 PRIMEIRA CONSTRUO

    5.15.1 PONTO

    5.25.2 RETA

    5.35.3 SEGMENTO

    5.45.4 SEMI-RETA

    p 27

    p 35

    p 13

    p 41

    p 49

    p 13

    p 14

    p 16

    p 18

    p 49

    p 50

    p 51

    p 51

  • 8C A P T U L O 6

    FERRAMENTAS DE EXPLORAO

    p 52

    p 52

    p 52

    p 53

    p 54

    p 54

    p 54

    p 55

    p 57

    p 59

    p 61

    p 62

    p 62

    p 63

    p 64

    p 64

    p 65

    5.5 5.5 VETOR

    5.6 5.6 TRINGULO

    5.7 5.7 POLGONO

    5.8 5.8 CIRCUNFERNCIA

    5.9 5.9 ARCO DE CIRCUNFERNCIA

    5.10 5.10 CNICA

    5.11 5.11 LUGAR GEOMTRICO

    5.12 5.12 TRANSFORMAO

    5.13 5.13 MACRO

    5.14 5.14 NMERO

    5.15 5.15 PROPRIEDADE

    5.16 5.16 EXPRESSO

    5.17 5.17 TEXTO

    5.18 5.18 MARCA DE NGULO

    5.19 5.19 EIXOS

    5.20 5.20 GRADE

    5.21 5.21 TABELA

    6.1 6.1 RASTRO

    6.2 6.2 FIXO / LIVRE (PERCEVEJO)

    6.3 6.3 REDEFINIO

    6.4 6.4 ANIMAO

    6.5 6.5 REGISTRO DE UMA SESSO

    6.6 6.6 DESCRIO DA FIGURA

    p 67

    p 67

    p 67

    p 68

    p 68

    p 69

    p 67

  • 9C A P T U L O 7

    ATRIBUTOS

    C A P T U L O 8

    PREFERNCIASE PERSONALIZAO

    7.17.1 COR

    7.27.2 COR DE PREENCHIMENTO

    7.37.3 COR DE TEXTO

    7.47.4 TIPO E TAMANHO DE PONTO

    7.57.5 TIPO E ESPESSURA DE TRAO, RETAS INTELIGENTES

    7.67.6 FONTE E ALINHAMENTO

    7.77.7 EQUAES E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

    7.87.8 IMAGENS FIXADAS AOS OBJETOS

    8.18.1 CAIXA DE DILOGO DAS PREFERNCIAS

    8.1.18.1.1 Lugares geomtricos

    8.1.28.1.2 Estilos

    8.1.38.1.3 Geometria

    8.1.48.1.4 Preferncias do sistema

    8.1.58.1.5 Exibir preciso e unidades

    8.1.68.1.6 Sistema de equao e coordenadas

    p 71

    p 77

    p 83

    p 71

    p 72

    p 73

    p 73

    p 73

    p 73

    p 74

    p 74

    7.97.9 UTILIZANDO DE IMEDIATO A BARRA DE ATRIBUTOS p 74

    p 77

    8.28.2 BARRAS DE FERRAMENTAS PERSONALIZADAS p 80

    8.38.3 IDIOMA p 81

    9.19.1 BARRA DE MENUS p 83

    p 78

    p 78

    p 78

    p 79

    p 79

    p 80

    C A P T U L O 9

    INTERFACE

    1 Men Arquivo

    2 Men Editar

    p 83

    p 84

  • 10

    9.2 9.2 BARRA DE FERRAMENTAS

    C A P T U L O 10

    EXPORTAO E IMPRESSO

    3 Men Opes

    4 Men Janela

    5 Men Sesso

    6 Men Ajuda

    7 Outros

    1 Manipulao

    2 Pontos

    3 Linhas

    4 Curvas

    5 Construes

    6 Transformaes

    7 Macros

    8 Propriedades

    9 Medida

    10 Textos e smbolos

    11 Attributos

    12 Calculadora

    p 86

    9.3 9.3 BARRA DE ATRIBUTOSp 86

    p 84

    p 84

    p 85

    p 85

    p 85

    p 87

    p 87

    p 88

    p 88

    p 89

    p 90

    p 90

    p 90

    p 91

    p 92

    p 92

    p 93

    p 107

    p 101

    p 97

    TERCEIRA PARTE

    Aprofundamento

    C A P T U L O 11

    TRINGULOS PEDAIS

    C A P T U L O 12

    FUNES

  • 11

    p 113C A P T U L O 13

    PAVIMENTAO

    NDICE

    Notasp 119

  • 1.1 FILOSOFIA

    13

    C A P T U L O 1

    CONTATO INICIAL

    A filosofia de Cabri Geometry de permitir o mximo de inter-ao (mouse, teclado,..) entre o usurio e o programa e, em cadacaso, de fazer aquilo que o usurio espera que o programa faa,respeitando de um lado os comportamentos usuais das aplicacese do sistema, e de outro lado o comportamento matemtico maisplausvel.

    Um documento Cabri Geometry composto de uma figuraconstruda livremente sobre uma nica folha de papel virtual deum metro quadrado (l m por l m). Uma figura composta deobjetos geomtricos tais como (pontos, retas, circunferncias...)mas igualmente de outros objetos (nmeros, textos, frmulas,...)

    Um documento pode tambm comportar macro-construes,que permitem, memorizando construes intermedirias, estenderas funcionalidades do programa. A aplicao permite abrir simul-taneamente vrios documentos.

    1.1

  • 14

    1.2 1.2 INTERFACE DA APLICAO

    A figura 1.1 mostra a janela principal da aplicao e suas diferenteszonas. Na abertura de Cabri Geometry, a barra de atributos, a janelade ajuda e a janela texto no so visveis.

    A barra de ttulo indica o nome do arquivo contendo a figura, ouFigura n,1, 2,... se a figura no estiver ainda registrada.

    A barra de menus permite acessar os comandos da aplicao quecorrespondem aos comandos encontrados usualmente nos progra-mas. Na sequncia deste documento, designaremos a entrada Aodo menu Menu como [Menu]Ao. Por exemplo, [Arquivo] Salvarcomo... designa a entrada Salvar como... do menu Arquivo.

    A barra de ferramentas fornece as ferramentas que permitemcriar e manipular a figura. Ela constituda de vrias caixas deferramentas, comportando, cada uma, uma ferramenta visvel,correspondendo a um cone da barra. A ferramenta ativa repre-sentada por um boto afundado, com um fundo branco.As outras ferramentas so representadas por botes no afunda-dos, com um fundo cinza. Um clique curto sobre um boto ativaa ferramenta correspondente. Uma presso prolongada sobre umboto abre a caixa de ferramentas e permite escolher uma outraferramenta. Esta ferramenta torna-se a ferramenta visvel da caixa

    Figura 1.1 A janela de Cabri Geometry e suas diferentes zonas

  • 15

    Na seqncia deste documento, designaremos a ferramentaFerramenta da caixa Caixa por [Caixa]Ferramenta, com o conecorrespondente lembrado na margem (algumas denominaesmuito longas foram abreviadas para caberem na margem).Por exemplo [linhas]Semi-reta representa a ferramenta Semiretada caixa de ferramentas Linhas.Os cones da barra de ferramentas podem ser exibidos em doistamanhos. Para mudar de tamanho, clicar no boto direito domouse depois de ter deslocado o cursor na barra de ferramentas, direita da ltima ferramenta.

    A barra de estado indica, abaixo da janela, e permanentemente,qual a ferramenta ativa.

    A barra de atributos permite modificar os atributos dos obje-tos: cores, estilos, tamanhos,... Ela ativada pelo comando[Opes]Mostrar os atributos, e oculta de novo por[Opes]Esconder os atributos, ou pela tecla F9.

    A janela de ajuda fornece uma ajuda sucinta sobre a ferramentaselecionada. Ela indica quais so os objetos esperados pela ferra-menta, e o que ser construdo. Ela ativada/oculta pela tecla F1.

    Figura 1.2 A barra de ferramentas por default de CabriGeometry, e os nomes das diferentes caixas de ferramentas.

    de ferramentas e a ferramenta ativa. A barra de ferramentas podeser recomposta livremente pelo usurio e eventualmente blo-queada dentro de uma configurao fixada para uma utilizaoem classe (ver captulo [8] PREFERNCIAS E PERSONALIZAO daparte [II]REFERNCIA).

  • 16

    1.3 1.3 UTILIZAO DO MOUSE

    A maioria das funcionalidades do programa realizada utilizandoo mouse. As aes sobre o mouse so o deslocamento, a pressosobre um boto, e a soltura do boto. Na ausncia de indicaocontrria, tratar-se- do boto principal do mouse, que geral-mente o boto esquerda. Uma seqncia pressionar-soltar chamada clique. Uma seqncia pressionar-soltar-pressionar-soltar chamadaduplo-clique. Uma seqncia pressionar-deslocar-soltar chamada arra-star-posicionar.

    Se uma das teclas modificadoras Alt, Ctrl apertada nodecorrer da seqncia, geralmente usada para que a ao sejamodificada. A indicao Ctrl+clique significar um clique efe-tuado com a tecla Ctrl presa, e da mesma forma para as outrascombinaes.Quando se desloca o mouse na zona de trabalho, o programanos informa de trs maneiras daquilo que vai produzir um cliqueou um arrastar-posicionar:

    a forma do cursor, o texto exibido ao lado do cursor, uma representao parcial do objeto em fase de construo.

    Segundo os casos, o texto e a representao parcial podem noser exibidos.

    A janela texto contm uma descrio da figura sob forma detexto. Encontramos nela o conjunto dos objetos construdos e seumtodo de construo. ativada pelo comando [Opes]Mostrara descrio, e oculta novamente por [Opes]Esconder a descri-o, ou pela tecla F10.

    Enfim, a zona de trabalho representa uma poro da folha detrabalho. na zona de trabalho que efetuamos as construesgeomtricas.

  • 17

    Os diferentes cursores so os seguintes:

    Um objeto existente pode ser selecionado.

    Um objeto existente pode ser selecionado, ou deslocado, ou utili-zado em uma construo.

    Aparece quando clicamos sobre um objeto existente para selecio-n-lo, ou utiliz-lo em uma construo.

    Vrias selees so possveis sob o cursor. Um clique provocara apario de um menu permitindo precisar os objetos a seremselecionados entre todas as possibilidades.

    Aparece durante o deslocamento de um objeto.

    O cursor est numa parte livre da folha, e pode-se definir umaseleo retangular por arrastar-posicionar.

    Indica o modo de deslocamento da folha. Pode-se entrar nessemodo a todo momento apertando e segurando a tecla Ctrl.Nesse modo, o arrastar-posicionar deslocar a folha na janela.

    Aparece durante o deslocamento da folha.

    Indica que um clique vai criar um novo ponto livre na folha.

    Indica que um clique vai criar um novo ponto livre sobre umobjeto existente, ou um novo ponto na interseco de dois obje-tos existentes.

    Indica que um clique vai preencher o objeto sob o cursor com acor corrente.

    Indica que um clique vai mudar o atributo (por exemplo a cor, oestilo, a espessura, ....) do objeto sob o cursor.

  • 18

    1.4 1.4 PRIMEIRA CONSTRUO

    Para ilustrar este captulo que apresenta um contato inicial com oprograma, vamos construir um quadrado a partir de uma de suasdiagonais. Na abertura de Cabri Geometry, um novo documentovazio criado, e pode-se imediatamente comear uma construo.

    Vamos em primeiro lugar construir o segmento que servir dediagonal para o quadrado. Ativa-se a ferramenta [linhas]Segmentoclicando sobre o cone da direita e mantendo o boto do mouseapertado para abrir a caixa de ferramentas. Em seguida, desloca-se o cursor sobre a ferramenta segmento e solta-se o boto domouse para ativ-la.

    Figura 1.3 Seleo da ferramenta[linhas]Segmento.

    Figura 1.4 Construo do primeiroponto. Uma imagem do segmento finaldesloca-se com o cursor por ocasio daseleo do segundo ponto.

    Figura 1.5 O segmento construdodepois da seleo do segundo ponto.A ferramenta [linhas]Segmento perma-nece ativa, permitindo a construode um outro segmento.

  • 19

    Figura 1.6 Construo doponto mdio do segmento.

    Desloquemos agora o cursor na zona de trabalho onde ele tomaa forma . Cria-se o primeiro ponto com um clique.Continuemos a deslocar o cursor na zona de trabalho.Um segmento traado entre o primeiro ponto e o cursor materia-liza o segmento que ser construdo. Cria-se o segundo pontocom um clique. Nossa figura comporta agora dois pontos e umsegmento.Para construir o quadrado, poderemos utilizar a circunfernciatendo este segmento por dimetro. O centro desta circunferncia o ponto mdio do segmento. Para construir esse ponto mdio,ativa-se a ferramenta [construes]Ponto mdio, depois desloca-seo cursor sobre o segmento. O texto Ponto mdio deste seg-mento aparece ento ao lado do cursor, que toma a forma .Clicando, constri-se o ponto mdio do segmento.

    Ativa-se em seguida a ferramenta [curvas]Circunferncia, e deslo-ca-se o cursor prximo ao ponto mdio construdo. O texto Esteponto como centro ento aparece e clica-se para selecionar oponto mdio do segmento como centro da circunferncia.Em seguida, a ferramenta circunferncia espera um ponto da cir-cunferncia. Durante o deslocamento, uma imagem da circunfe-rncia mostrada. Desloca-se o cursor prximo a uma extremida-de do segmento, e a mensagem passando por este ponto exibida. Clica-se e a circunferncia passando por esta extremidade construda.

  • 20

    Figura 1.7 Construo da circunfernciatendo por dimetro o segmento.

    Podemos ativar a ferramenta [manipulao]Ponteiro para manipu-lar a figura. Deslocando-se sobre as extremidades do segmento,que so os pontos livres da figura, o cursor torna-se e otexto indica este ponto. Pode-se deslocar o ponto por arrastar-posicionar. Neste caso, o conjunto da construo atualizado: osegmento redesenhado, seu ponto mdio em consequncia deslocado, e a circuferncia segue.

    Para construir o nosso quadrado, falta encontrar a outra diagonal,que o dimetro da circunferncia perpendicular ao segmentode partida. Vamos construir a mediatriz do segmento, uma retaperpendicular ao segmento e passando pelo seu ponto mdio.Ativa-se a ferramenta [construo]Mediatriz, depois seleciona-seo segmento para construir a mediatriz.

  • 21

    Figura 1.8 Construo damediatriz do segmento, determi-nando a outra diagonal do qua-drado.

    Figura 1.9 Construo do quadrado, sele-cionando implicitamente as intersecesentre a circunferncia e a mediatriz.

    Para terminar, vamos ativar a ferramenta [linhas]Polgono.Esta ferramenta espera a seleo de uma seqncia de pontosdefinindo um polgono qualquer. A execuo est terminadaquando selecionamos de novo o ponto inicial, ou clicando duasvezes por ocasio da seleo do ltimo ponto. Os dois pontos deinterseco da circunferncia e da mediatriz no esto aindaexplicitamente construdos, mas Cabri Geometry, permite selecio-n-los implicitamente no momento de sua utilizao.

  • 22

    Selecionamos ento uma extremidade do segmento (texto Esteponto) como primeiro vrtice do polgono, depois deslocamos ocursor sobre uma das duas interseces entre a circunferncia e amediatriz. O texto indica ento Ponto nesta interseco paraindicar que um clique vai construir o ponto de interseco eselecion-lo como vrtice seguinte do polgono. Selecionamosento este ponto, depois a outra extremidade do segmento,depois o outro ponto de interseco, e enfim selecionamos denovo o ponto inicial. O quadrado se constri.

    Figura 1.10 Sua primeira con-struo com Cabri Geometry!

  • PRIMEIRA PARTEDescoberta

    25

    I

    Des

    cobe

    rta

    C A P T U L O 2

    RETA DE EULER DO TRINGULO

    C A P T U L O 3

    A PROCURA DO PONTOMISTERIOSO

    C A P T U L O 4

    O QUADRILTERO DE VARIGNON

  • 27

    Descoberta

    C A P T U L O 2

    RETA DE EULER DO TRINGULO

    Vamos construir um tringulo ABC qualquer, depois as trsmedianas desse tringulo: so as retas ligando um vrtice aoponto mdio do lado oposto. Construiremos em seguida as trsalturas do tringulo: as retas perpendiculares a um lado e passan-do pelo vrtice oposto. Enfim, construiremos as trs mediatrizesdos lados do tringulo: as retas perpendiculares a um lado e pas-sando pelo seu ponto mdio.Como se sabe, as trs alturas, as trs medianas, e as trs mediatrizesso respectivamente concorrentes, e os pontos de interseco estoalinhados sobre uma reta chamada reta de Euler do tringulo.

    Para construir um tringulo, escolheremos a ferramenta[linhas]Tringulo. Devemos ler o captulo [1] CONTATO INICIALda introduo para a manipulao da barra de ferramentas.Uma vez ativada a ferramenta [linhas]Tringulo, basta criar entotrs novos pontos na janela, clicando nas zonas vazias. Podemosnomear os pontos imediatamente aps a criao aproveitandoa ocasio simplesmente digitando seus nomes no teclado.Uma vez o tringulo construdo, os nomes podem ser deslocadosao redor dos pontos, por exemplo para posicion-los no exteriordo tringulo.

    Figura 2.1 Tringulo constru-do com a ferramenta[linhas]Tringulo. Os pontos sonomeados simultaneamentedigitando seus nomes nomomento da sua criao.

    1 Lonard Euler,1707-1783

  • 28

    Descoberta

    Para deslocar o nome de um objeto, utiliza-se a ferramenta[manipulao]Ponteiro arrastando o nome (clica-se e desloca-se ocursor mantendo o boto do mouse pressionado). Para mudar onome de um objeto, ativa-se a ferramenta [etiqueta esmbolos]Etiqueta, depois seleciona-se o nome e uma janela deedio aparece.Os pontos mdios so construdos graas ferramenta [constru-es]Ponto mdio. Para construir o ponto mdio de AB, selecio-naremos sucessivamente A e B.O ponto mdio de um segmento, ou de um lado de um polgo-no, pode ser construdo igualmente clicando diretamente sobre osegmento. O novo ponto pode ser nomeado simultaneamente,chamemo-lo C. Procede-se da mesma forma para os outros doislados construindo o ponto mdio A de BC e o ponto mdio Bde CA.

    A ferramenta [manipulao]Ponteiro nos permite deslocar livre-mente os objetos livres da figura, aqui os trs pontos A, B e C.Vemos que o conjunto da construo atualizado automaticamen-te por ocasio do deslocamento de um desses pontos. Podemosassim explorar a construo em numerosas configuraes.Para revelar os objetos livres de uma figura, basta ativar a ferra-menta [manipulao]Ponteiro e depois clicar sobre um espaovazio da folha mantendo o boto do mouse pressionado. Os obje-tos livres comeam ento a piscar.

    Figura 2.2 [ esquerda]. Os pontos mdios so construdos com aferramenta [construes]Ponto mdio, que aceita seja dois vrtices, sejaum segmento, ou ainda o lado de um polgono.[ direita]. As medianas so construdas com a ajuda da ferramenta[linhas]Reta, e sua cor alterada com a ferramenta [atributos]Cor.

  • 29

    Descoberta

    Figura 2.3 Construo do ponto de interseco das medianas e resolu-o das ambigidades de seleo.

    A ferramenta [linhas]Reta permite construir as trs medianas.Para construir a reta AA, designaremos sucessivamente A e A.

    A ferramenta [atributos]Cor permite mudar a cor dos traos.Escolhe-se a cor na paleta, depois selecionam-se os objetos a colorir.

    Depois de ter ativado a ferramenta [pontos]Ponto, aproximemoso ponteiro do ponto de interseco das trs medianas.Nesse ponto, Cabri Geometry procura criar o ponto de intersec-o de duas retas. Como h ambigidade (temos trs retas con-correntes), um menu aparece permitindo escolher qual das duasretas utilizar para a construo do ponto. Por ocasio do desloca-mento do cursor sobre as entradas do menu, a reta correspon-dente colocada em evidncia na figura. Chamemos G o pontode interseco das medianas.

  • 30

    Descoberta

    As alturas so construdas com a ferramenta [construes]Retaperpendicular. Esta ferramenta cria a nica reta perpendicular auma direo dada e passando por um ponto dado. Ela necessitada seleo de um ponto e de uma reta, ou de um segmento, oude uma semi-reta. A ordem da seleo no tem importncia.Para construir a altura em A, selecionaremos ento A, e o ladoBC. Fazemos o mesmo para as alturas em B e C.Do mesmo modo que para as medianas, escolheremos uma corpara as alturas, e construiremos seu ponto de interseco H.

    A ferramenta [construes]Mediatriz permite construir a mediatrizde um segmento. Basta selecionar o segmento ou suas extremida-des. Chamaremos O o ponto de interseco das trs mediatrizes.

    A ferramenta [propriedades]Colinear? nos d a possibilidade deverificar se os trs pontos O, H, e G esto alinhados.Selecionamos sucessivamente esses pontos, depois designamosum lugar na folha para colocar o resultado. O resultado umtexto indicando se os pontos so ou no alinhados. Quando afigura manipulada, este texto se atualiza ao mesmo tempo queos outros elementos da figura.

    Figura 2.4 [ esquerda]. As alturas so construdas com aajuda da ferramenta [construes]Reta perpendicular. [ direita].Finalmente as mediatrizes so construdas com a ajuda da ferra-menta [construes]Mediatriz.

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    Descoberta

    Figura 2.5 [ esquerda]. Verificao numrica do alinhamentodos trs pontos O, H, e G. A ferramenta [propriedades]Colinear ?constri um texto Pontos colineares ou Pontos no colinearessegundo o estado corrente da figura. [ direita]. A reta de Euler dotringulo, posta em evidncia pela sua espessura, modificada coma ferramenta [atributos]Espessura.

    Constatamos manipulando a figura que o ponto G parece perma-necer entre O e H, e mesmo que sua posio relativa sobre osegmento OH no muda.Podemos verific-lo medindo os comprimentos GO e GH.Ativamos a ferramenta [medida]Distncia e comprimento. Esta ferra-menta permite medir a distncia entre dois pontos, ou o compri-mento de um segmento, segundo os objetos selecionados.Selecionemos ento G depois O; a distncia GO aparece, medidaem cm. Fazemos o mesmo para GH.Uma vez a medida efetuada, pode-se editar o texto correspon-dente, por exemplo acrescentando os caracteres GO = antes donmero.

    Com a ferramenta [linhas]Retas, construmos a reta de Euler dotringulo que passa pelos trs pontos O, H, e G, selecionandopor exemplo O e H. A ferramenta [atributos]Espessura ser utili-zada para colocar esta reta em evidncia.

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    Descoberta

    Figura 2.6 - [ esquerda]. A ferramenta [medida]Distncia e compri-mento permite obter as distncias GO e GH.[ direita]. Com a ajuda da calculadora ferramenta[medida]Calculadora calculamos a relao GH/GO e verificamosnumericamente que igual a 2.

    Deslocando a figura, vemos que GH parece permanecer o dobrode GO. Vamos calcular a relao GH/GO para o verificar.Ativamos a ferramenta [medida]Calculadora. Selecionamos entoa distncia GH, depois o operador /(a barra da diviso), e a dis-tncia GO. Clicamos no boto = para obter o resultado, quepodemos posicionar-arrastar-posicionar sobre a folha. Quandoum nmero selecionado (ferramenta [manipulao]Ponteiro),podemos aumentar e diminuir o nmero de algarismos exibidoscom a ajuda das teclas + e -. Mostramos assim a relao com umadezena de nmeros, para constatar que permanece igual a 2.

    Exerccio 1 - Completar a figura construindo a circunfernciacircunscrita ao tringulo, centrada em O e passando por A, B, eC. Utilizaremos a ferramenta [curvas]Circunferncia.

    Exerccio 2 - Construir em seguida a circunferncia dos novepontos do tringulo. Trata-se da circunferncia centrada noponto mdio de OH, e passando pelos pontos mdios A, B e Cdos lados, os ps das alturas, e os pontos mdios dos segmentosHA , HB, e HC.

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    Descoberta

    Figura 2.7 - A figura final, com a circunferncia circunscrita ao tringu-lo e a circunferncia dos nove pontos do tringulo.

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    Descoberta

    C A P T U L O 3

    A PROCURA DO PONTO MISTERIOSO

    Vamos ento em primeiro lugar construir quatro pontos quaisquercom a ferramenta [pontos]Ponto, chamando-os A, B, C, M nomesmo instante, isto digitando seus nomes no teclado logo apsa sua criao.Cabri Geometry permite criar vetores. Cada vetor , classicamenterepresentado por um segmento com uma flecha.Construmos agora o vetor , com a ferramenta [linhas]Vetor,selecionando em primeiro lugar M depois A. Este vetor tem a suaorigem em M. Fazemos o mesmo para e .

    Construmos ento o vetor soma , ativando a ferra-menta [construes]Soma de dois vetores, a quem apresentamosos dois vetores e em seguida a origem do representante da soma,aqui escolheremos M. Chamemos N a extremidade deste repre-sentante.

    Construmos enfim um representante da soma dos trs vetores comM como origem da mesma maneira, somandocom . Chamemos P a extremidade deste representante.

    Neste captulo, apresentamos uma atividade colocando em prticaas possibilidades de explorao oferecidas por Cabri Geometry.A partir de trs pontos A, B, C dados, vamos procurar os pontosM verificando a igualdade vetorial

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    Descoberta

    Podemos agora procurar as solues do problema por manipula-o. Para faz-lo, ativa-se a ferramenta [manipulao]Ponteiro edesloca-se o ponto M. A soma dos trs vetores aparece a todoinstante por ocasio do deslocamento.Em funo da posio de M em relao aos pontos A, B, e C,observamos a norma e a orientao do vetor .Podemos ento fazer as seguintes conjecturas (entre outras):

    Uma nica posio de M permite anular a soma dos trsvetores: o problema tem uma nica soluo. Esta soluoest no interior do tringulo ABC.

    O quadriltero MANB um paralelogramo.

    O quadriltero MCPN um paralelogramo.

    Para que a soma seja nula, os vetores , e ,devem ser colineares, e tambm de normas iguais e de dire-es opostas.

    , passa sempre por um mesmo ponto, e este ponto asoluo do problema.

    A extremidade P da soma um ponto dependente de M.Definimos assim uma transformao que associa P ao pontoM. A soluo do problema um ponto invariante desta trans-formao.

    Figura 3.1 - [ esquerda]. A partir de trs pontos quaisquer A, B, e C e de umponto M, construmos os vetores , e .[ direita]. Com a ajuda da ferramenta [construes]Soma de dois vetores,construmos e .

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    Descoberta

    Seguindo as constataes feitas, a pesquisa se orientar em umaou outra direo.Suponhamos por exemplo ter observado que os vetores e ,devam ser opostos. Surge ento um outro problema: para quaisposies de M estes dois vetores so colineares? Desloquemos Mde tal maneira que os dois vetores sejam colineares. Observamosque M percorre uma reta, e que esta reta passa por C e igualmen-te pelo ponto mdio de AB. Esta reta contm ento a mediana emC do tringulo. O ponto procurado ento a interseco das trsmedianas, pois A, B e C desempenhando o mesmo papel, oponto est portanto sobre as outras medianas.

    Para uma atividade em classe, restaria ainda aos alunos proporuma construo do ponto soluo, e demonstrar esta conjeturaelaborada por explorao.

    O poder de convico de uma construo dinmica muito maiselevado que aquele de uma figura esttica realizada sobre umafolha de papel. De fato, basta manipul-la para verificar a conjetu-ra num grande nmero de casos. Uma conjetura que permanecevlida aps manipulao ser correta na maioria dos casos

    Para uma melhor utilizao em classe, seria interessante abordaros seguintes pontos com os alunos (entre outros):

    Uma construo dinmica visualmente correta est correta?

    Uma construo dinmica correta constitui uma resposta aoproblema?

    Em que momento um raciocnio pode ser qualificado dedemonstrao?

    O que falta a uma construo dinmica correta para tornar-seuma demonstrao?

    A demonstrao deve ser baseada no processo de elaboraoda figura?

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    Descoberta

    Exerccio 3 - Estender o problema a quatro pontos, procurandoos pontos M tais que:

    Exerccio 4* - Enumerar o conjunto dos caminhos de explora-o e das demonstraes para o problema inicial (trs pontos)acessveis para um aluno da 2 srie do Ensino Mdio.

    Exerccio 5* - Estudar e construir o ponto M que minimiza asoma das distncias a trs pontos A, B e C dados: MA+MB+MC.Trata-se do ponto de Fermat 1 do tringulo ABC.

    1 Pierre Simonde Fermat,1601-1665

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    Descoberta

    C A P T U L O 4

    O QUADRILTERO DE VARIGNON

    Neste captulo apresentamos algumas construes ao redor doteorema de Varignon 1.

    Vamos inicialmente construir um quadriltero qualquer ABCD.Ativa-se a ferramenta [linhas]Polgono, depois selecionamos qua-tro pontos, chamados imediatamente A, B, C e D. Para terminar opolgono, selecionamos novamente A depois de ter construdo D.

    Construmos em seguida os pontos mdios P de AB, Q de BC, Rde CD, e S de DA com a ferramenta [construes]Ponto mdio.Essa ferramenta aguarda a seleo de A depois B para construir oponto mdio de AB. Podemos igualmente selecionar diretamenteo segmento AB se este j existe, seja como segmento, ou comolado de um polgono como o caso aqui.

    Construmos enfim o quadriltero PQRS com a ferramenta[linhas]Polgono.

    Manipulando a construo, com a ferramenta [manipulao]Ponteiro, observamos que PQRS parece ser ainda um paralelogra-mo. Vamos interrogar Cabri Geometry sobre o paralelismo de PQe RS, assim como de PS e QR, utilizando a ferramenta [proprieda-des]Paralelo ?. Selecionamos os lados PQ depois RS, e um textoaparece, confirmando que os dois lados so paralelos. Ateno,aqui tambm a verificao numrica, e possvel que parafiguras muito complexas o resultado do teste esteja errado.Verificamos da mesma forma que PS e QR so paralelos.

    1 Pierre Varignon,1654-1722

  • 42

    Descoberta

    Figura 4.1 - [ esquerda]. A partir de um quadriltero qualquer ABCD,construmos o quadriltero PQRS cujos vrtices so os pontos mdios doslados de ABCD.[ direita]. Construo das diagonais de PQRS, das quais mostramos queas mesmas cortam-se em seus pontos mdios.

    Figura 4.2 - Construo per-mitindo estabelecer asegunda parte do teorema.

    Construmos ento as duas diagonais PR e QS com a ajuda daferramenta [linhas]Segmento, e seu ponto de interseco I com aferramenta [pontos]Ponto. Existem vrias maneiras de demonstrarque I o ponto mdio de PR e igualmente de QS, e ento quePQRS um paralelogramo. Por exemplo com um clculo baricn-trico: P o baricentro de {(A,1),(B,1)} e R de {(C,1),(D,1)}, e entoo ponto mdio de PR o baricentro de {(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)}, eo mesmo se d para o ponto mdio de QS. Ento os dois pontosmdios se confundem em um ponto: o ponto de interseco I.

    O teorema de Varignon o seguinte:Teorema (Varignon). O quadriltero PQRS construdo a partirdos pontos mdios de um quadriltero ABCD qualquer umparalelogramo, e sua rea a metade daquela de ABCD.

  • 43

    Descoberta

    Exerccio 6 - J estabelecemos acima a primeira parte do teore-ma. Demonstrar a segunda parte relativa rea de PQRS.Poderemos obter uma ajuda pela figura.Deixemos agora A, B e C fixos, e desloquemos D de maneira atornar PQRS um retngulo. Como j sabemos que um paralelo-gramo, basta que um de seus ngulos seja reto para poder afir-mar que um retngulo. Medimos ento o ngulo em P, com aajuda da ferramenta [medida]Medida de ngulo. Esta ferramentaaguarda a seleo de trs pontos definindo um ngulo, o vrticesendo o segundo ponto. Por exemplo aqui selecionaremos ospontos S, P (o vrtice do ngulo) e Q.

    A ferramenta [medida]Medida de ngulo pode igualmente forne-cer a medida de um ngulo anteriormente marcado com a ferra-menta [texto e smbolos]Marcar um ngulo. Esta ferramentaaguarda trs pontos definindo o ngulo, na mesma ordem quepara a ferramenta [medida]Medida do ngulo.Deslocando D de maneira que PQRS seja um retngulo, as solu-es encontradas parecem sensivelmente alinhadas.De fato se construmos as diagonais AC e BD do quadriltero ini-cial, veremos que os lados de PQRS so paralelos a estas diago-nais, e ento que PQRS um retngulo se e somente se AC e BDforem perpendiculares.Vamos agora redefinir D para que PQRS seja sempre um retnguloTracemos. A reta AC com a ferramenta [linhas]Reta selecionandoA e C, depois a perpendicular a esta reta passando por B, com aferramenta [construes]Reta perpendicular selecionando B e areta AC.

    Figura 4.3 - Medimos ongulo em P do paralelo-gramo PQRS.

  • 44

    Descoberta

    D atualmente um ponto livre no plano. Vamos modificar suadefinio, e torn-la um ponto livre sobre a perpendicular a ACque passa por B. Ativa-se a ferramenta [construes]Redefinir umobjeto, depois seleciona-se D. Um menu aparece indicando asdiferentes opes de redefinio para D. Escolhemos Pontosobre um objeto, depois selecionamos um ponto sobre a per-pendicular. D se desloca ento neste ponto, e a partir de agoraobrigado a ficar sobre a reta.A redefinio uma maneira de explorao muito poderosa, quepermite retirar ou acrescentar graus de liberdade aos elementosde uma figura sem ter de recri-la inteiramente.

    Exerccio 7 - Encontrar uma condio necessria e suficientepara que PQRS seja um quadrado. Redefinir mais uma vez D paraque a construo fornea apenas quadrados.

    Figura 4.4 - O ponto D estagora redefinido de tal manei-ra que PQRS seja sempre umretngulo. Este ponto conservaainda um grau de liberdade;ele mvel sobre uma reta.

    Figura 4.5 - Aqui, o ponto Dno tem mais nenhum graude liberdade, e PQRS agorasempre um quadrado.

  • SEGUNDA PARTEReferncia

    47

    II

    Ref

    ern

    cia

    C A P T U L O 5

    OBJETOS E FERRAMENTAS

    C A P T U L O 6

    FERRAMENTAS DE EXPLORAO

    C A P T U L O 7

    ATRIBUTOS

    C A P T U L O 8

    PREFERNCIAS E PERSONALIZAO

    C A P T U L O 9

    INTERFACE

    C A P T U L O 10

    EXPORTAO E IMPRESSO

  • 5.1 PONTO

    49

    Referncia

    C A P T U L O 5

    OBJETOS E FERRAMENTAS

    Este captulo enumera o conjunto dos objetos manipulados porCabri Geometry, e todas as maneiras de obt-los assim comoseus atributos. Os atributos e suas modificaes so detalhadosno captulo [7]ATRIBUTOS. Todos os objetos tm uma etiquetaassociada. Trata-se de um texto ligado ao objeto, por exemplo onome de um ponto. Por ocasio da criao de um objeto, pode-mos dar-lhe imediatamente uma etiqueta curta digitada no tecla-do. A etiqueta de um objeto pode ser editada mais tarde a partirda ferramenta [texto e smbolos]Etiqueta.

    O ponto o objeto de base de todas as figuras. Cabri Geometrymanipula os pontos no plano euclidiano, com um tratamentoespecial dos pontos no infinito.

    Podemos criar um ponto livre no plano utilizando a ferramenta[pontos]Ponto e selecionando um lugar vazio na folha. O pontopode em seguida ser deslocado livremente em qualquer lugar doplano (com a ferramenta [manipulao]Ponteiro).

    Podemos criar um ponto sobre uma linha (segmento, reta, semi-reta,...) ou uma curva (circunferncia, arco de circunferncia,cnica, lugar geomtrico) seja implicitamente com a ferramenta[pontos]Ponto, seja explicitamente com a ferramenta[pontos]Ponto sobre um objeto. O ponto assim construdo podeser deslocado livremente sobre o objeto.

    Podemos enfim criar um ponto na interseco de duas linhas oucurvas, seja implicitamente com a ferramenta [pontos]Ponto, sejaexplicitamente com a ferramenta [pontos]Pontos de interseco.Nesse ltimo caso, todos os pontos de interseco entre os doisobjetos so construdos simultaneamente.

    A ferramenta [construes]Ponto meio constri o ponto meio de doispontos, ou de um segmento, ou de um lado de um polgono.

    5.1

  • 50

    Referncia

    5.2 5.2 RETA

    Cabri Geometry manipula as retas do plano euclidiano, e almdisso, eventualmente, uma reta de pontos no infinito se o trata-mento do infinito for ativado nas preferncias.

    A ferramenta [linhas]Reta permite criar uma reta livre passandopor um ponto; seleciona-se inicialmente um ponto, em seguida,clicando, fixamos a posio da reta que gira em torno do primeiro.Esta ferramenta permite igualmente construir a reta passando pordois pontos. O segundo ponto pode ser criado no mesmo momen-to mantendo a tecla Alt pressionada. No caso de uma reta defini-da por dois pontos e se os dois pontos so confundidos, a reta indefinida. Construndo uma reta passando por um ponto e simul-taneamente mantendo a tecla Shift pressionada, limitar o giropossvel da reta a ngulos mltiplos de 15 (15, 30, 45, 60, 75)

    A ferramenta [construes]Reta perpendicular (resp. [construes]Reta paralela) constri a nica reta perpendicular (resp. paralela)

    A ferramenta [construes]Transferncia de medida permite trans-ferir um comprimento sobre uma semi-reta (selecionar a medida ea semi-reta), um eixo (selecionar a medida e o eixo), uma circun-ferncia (selecionar a medida, a circunferncia e um ponto sobre acircunferncia), um vetor (selecionar a medida e o vetor) ou umpolgono (selecionar a medida e o polgono). Em todos os casos,um novo ponto construdo.

    Um ponto pode ser construdo como imagem de um ponto por umatransformao, utilizando uma ferramenta da caixa [transformaes].

    Por ocasio da utilizao de outras ferramentas aguardando a sele-o de um ponto, podemos ou selecionar um ponto existente, ouconstruir um ponto implicitamente, sobre uma linha ou curva, ounuma interseco de linhas ou curvas. Nesse caso, o funcionamen-to o mesmo que para a ferramenta [pontos]Ponto.

    Por ocasio da criao de uma reta ou de uma semi-reta, podemoscriar o segundo ponto imediatamente mantendo a tecla Alt pres-sionada no momento da seleo do segundo ponto.Os atributos de um ponto so sua cor, sua forma, seu tamanho,sua etiqueta, sua imagem (opcional).

  • 51

    Referncia

    5.35.3 SEGMENTO

    A ferramenta [linhas]Segmento permite construir um segmento apartir de dois pontos. Se os dois pontos se confundirem, o segmen-to est ainda definido, mas reduzido a um ponto.Um segmento pode ser construdo como imagem de um segmentopor uma transfomao afim. Construir un segmento pressionandosimultaneamente a tecla Shift, limitar as direes possveis angulos mltiplos de 15 como para a reta.Os atributos de um segmento so sua cor, sua espessura, seu tipode trao, seu tipo de marca, sua etiqueta, sua imagem (opcional).

    5.45.4 SEMI-RETA

    A ferramenta [linhas]Semi-reta permite criar uma semi-reta livrepartindo de um ponto, selecionando este ponto, em seguida, cli-cando para fixar a direo da semi-reta que gira em torno de suaorigem. Esta ferramenta permite igualmente construir a semi-retapartindo de um ponto e passando por um segundo ponto.O segundo ponto pode ser criado de imediato mantendo a teclaAlt pressionada. Construir uma semi-reta pressionando simulta-neamente a tecla Shift, limitar as direes possveis a ngulosmltiplos de 15 como para a reta.Se uma semi-reta definida por dois pontos e se os dois pontos seconfundirem, a semi-reta indefinida. Uma semi-reta pode ser cons-truda como imagem de uma semi-reta por uma transformao afim.Os atributos de uma semi-reta so sua cor, sua espessura, seutipo de trao, sua etiqueta.

    a uma direo (dada por um segmento, uma reta, uma semi-reta,um lado de polgono, um vetor, um eixo) e passando por umponto dado.A ferramenta [construes]Mediatriz constri a reta mediatriz dedois pontos, de um segmento ou de um lado de polgono.A ferramenta [construes]Bissetriz constri a bissetriz de um ngu-lo. Selecionamos trs pontos A, B, C definindo o ngulo (BA,BC).O segundo ponto selecionado ento o vrtice do ngulo.Uma reta pode ser construda como imagem de uma reta poruma transformao afim da caixa de ferramentas transformaes.Os atributos de uma reta so sua cor, sua espessura, seu tipo detrao, sua etiqueta.

  • 52

    Referncia

    5.5 5.5 VETOR

    Um vetor est definido por dois pontos, suas extremidades. Umvetor portanto manipulado como um segmento orientado, suaorientao sendo materializada por uma flecha.

    A ferramenta [linhas]Vetor permite construir um vetor a partir dedois pontos. Se os dois pontos se confundirem, o vetor definido o vetor nulo.

    A ferramenta [construes]Soma vetores constri um representanteda soma de dois vetores. Selecionamos os dois vetores, e a ori-gem do representante da soma.

    Um vetor pode ser construdo como imagem de um vetor poruma transformao afim.Os atributos de um vetor so sua cor, sua espessura, seu tipo detrao, sua etiqueta, sua imagem (opcional).

    5.6 5.6 TRINGULO

    Um tringulo um polgono de trs vrtices. Os tringulos e ospolgonos so gerados da mesma forma. Como o tringulo delonge o polgono mais utilizado, uma ferramenta especial para ostringulos est disponvel.

    A ferramenta [linhas]Tringulo permite construir um tringulo apartir de trs pontos. Os tringulos planos so autorizados erepresentados por segmentos. Um tringulo pode at ser reduzi-do a um ponto.

    Um tringulo pode ser construdo como imagem de um tringulopor uma transformao afim.Os atributos de um tringulo so sua cor, sua espessura, seu tipode trao, seu preenchimento, sua etiqueta, sua imagem (opcional).

    5.7 5.7 POLGONO

    Em matemtica, vrias definies da noo de polgono so pos-sveis. No Cabri Geometry, chamaremos polgono o conjunto dosn segmentos definidos a partir de n pontos (n3).

    P1P2, P2P3Pn -1Pn, PnP1

  • 53

    Referncia

    5.85.8 CIRCUNFERNCIA

    A ferramenta [curvas]Circunferncia permite criar uma circunfe-rncia livre selecionando seu centro, em seguida, clicando, fixa-mos o raio da circunferncia mvel que se traa. Um segundoponto da circunferncia pode ser criado de imediato mantendo atecla Alt pressionada. Criar uma circunferncia e fixar o raiomantendo a tecla Shift pressionada, impe ao raio medidas devalores inteiros (da unidade definida).

    A ferramenta [curvas]Circunferncia permite igualmente construiruma circunferncia selecionando seu centro, depois um ponto jcriado da circunferncia.Uma circunferncia pode ser construda como imagem de umacircunferncia por uma transformao afim. Os atributos de umacircunferncia so sua cor, sua espessura, seu tipo de trao, seupreenchimento, sua etiqueta.

    A ferramenta [linhas]Polgono permite construir um polgono apartir de pelo menos trs pontos. Para terminar a construo, preciso selecionar novamente o ponto inicial, ou clicar duasvezes selecionando o ltimo ponto. Se todos os pontos foremcolineares, o polgono plano e representado por um segmento.

    A ferramenta [linhas]Polgono regular permite construir os polgo-nos regulares convexos e estrelados. Selecionamos em primeirolugar o centro do polgono, depois um primeiro vrtice. Podemosescolher em seguida o nmero que caracteriza o polgono : onumero de lados e para os polgonos estrelados, o passo.

    Na primeira fase da seleo, o texto seguindo o deslocamento docursor indica o nmero de vrtices, e para os polgonos estrela-dos, o salto entre dois vrtices consecutivos. Por exemplo, {5}representa um pentgono regular, e {10/3} um polgono estreladode dez ramos obtido ligando-se os vrtices 1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 2,5, 8, e 1 de um decgono regular.

    Um polgono pode ser construdo como imagem de um polgonopor uma transformao afim.Os atributos de um polgono so sua cor, sua espessura, seu tipode trao, seu preenchimento, sua etiqueta, sua imagem (opcio-nal) no caso de um quadriltero.

  • 54

    Referncia

    5.9 5.9 ARCO DE CIRCUNFERNCIA

    Um arco de circunferncia a parte de uma circunferncia deli-mitada por dois pontos e contendo um terceiro.

    A ferramenta [curvas]Arco permite construir um arco a partir detrs pontos: a primeira extremidade, o ponto intermedirio, e asegunda extremidade. Se os trs pontos estiverem alinhados, oarco torna-se ou um segmento, ou o complementar de um seg-mento sobre uma reta (uma reta com um buraco) seguindo asposies respectivas dos trs pontos sobre a reta.Um arco pode ser construdo como imagem de um arco por umatransformao afim.Os atributos de um arco so sua cor, sua espessura, seu tipo detrao, seu preenchimento, sua etiqueta.

    5.10 5.10 CNICA

    Cabri Geometry permite manipular todas as cnicas prprias (elip-ses, parbolas, hiprboles) do plano euclidiano. As cnicas dege-neradas em reunio de duas retas distintas so igualmente repre-sentadas.

    A ferramenta [curvas]Cnica permite construir a cnica passandopor cinco pontos. Se quatro dos pontos estiverem alinhados, ou sedois pontos se confundirem, a cnica no definida. Por outrolado, se smente trs pontos estiverem alinhados, a cnica defi-nida, e degenerada em reunio de duas retas distintas.Uma cnica pode ser construda como imagem de uma cnica poruma transformao afim.Os atributos de uma cnica so sua cor, sua espessura, seu tipo detrao, seu preenchimento, sua etiqueta.

    5.11 5.11 LUGAR GEOMTRICO

    Sob o termo de lugar geomtrico, diferentes tipos de objetosso manipulados por Cabri Geometry. De modo geral, um lugargeomtrico representa o conjunto das posies tomadas por umobjeto A quando um ponto M livre varia sobre um objeto.Normalmente, a construo de A faz intervir o ponto M.

    Um lugar geomtrico construdo utilizando a ferramenta [cons-trues]Lugar geomtrico, e selecionando o objeto A, depois o

  • 55

    Referncia

    ponto varivel M. O objeto A pode ser de um dos tipos seguin-tes: ponto, reta, semi-reta, segmento, vetor, circunferncia, arco,cnica. O ponto M pode ser um ponto livre sobre qualquer tipode linha ou curva, incluindo um lugar geomtrico, e igualmenteum ponto livre sobre uma grade.O objeto A pode igualmente ser um lugar geomtrico, e constru-mos ento um conjunto de lugares geomtricos.No caso de A ser uma reta, uma semi-reta, um segmento, umvetor, uma circunferncia ou uma cnica, o lugar geomtrico ou o envelope das retas, semi-retas, ... ou o conjunto dessesobjetos, seguindo a opo Envelope ativada nas Preferncias(ver captulo [8]PREFERNCIAS). Os vetores se comportam exa-tamente como os segmentos para os lugares geomtricos.

    O envelope de um conjunto de semi-retas, segmentos, vetores o envelope das retas suportes, restrito aos pontos efetivamenteatingidos.

    No caso de A ser um arco, o lugar geomtrico automaticamenteo conjunto das posies de A.

    Os atributos de um lugar geomtrico so sua cor, sua espessura,seu tipo de trao, sua etiqueta, seu mtodo de construo (enve-lope ou conjunto de posies), seu mtodo de traado (contnuo,conjunto de pontos), o nmero mnimo de posies calculadasem caso de traado por conjunto de pontos.

    No existe explicitamente um objeto de tipo transformao emCabri Geometry. As transformaes so manipuladas atravs dasferramentas. Cada uma destas ferramentas aplica a um objeto umatransformao definida por elementos (centro, eixo, ngulo,...).

    Cabri Geometry permite a utilizao das transformaes afins eeuclidianas usuais (homotetia, translao, simetrial axial, simetriacentral, rotao) assim como da inverso.

    Em todos os casos, devemos selecionar o objeto a transformar e oselementos de sua transformao.

    5.125.12 TRANSFORMAO

  • 56

    Referncia

    Se o objeto a transformar for do mesmo tipo que um dos elemen-tos que definem a transformao, ele deve ser selecionado em pri-meiro lugar. Nos outros casos, a ordem no tem importncia. Porexemplo, para construir o simtrico de um ponto M em relao aum ponto C, selecionamos M depois C. Para o simtrico de umareta D em relao a um ponto C, a ordem de seleo indiferente.

    O objeto a transformar pode ser um ponto, ou no importa qualtipo de linha ou curva, com a exceo dos lugares geomtricos.Para Cabri Geometry, a inverso s pode transformar pontos.Para criar a imagem por inverso de outros objetos, poderemosutilizar a ferramenta [Construo]Lugar geomtrico.

    A ferramenta [transformaes]Simetria axial aplica uma simetriaortogonal em relao a uma reta. Selecionamos o objeto a trans-formar e uma linha definindo o eixo: reta, semi-reta, segmento,vetor, lado do polgono, eixo.A ferramenta [transformaes]Simetria central aplica uma simetriaem relao a um ponto (simetria central ou meia-volta).Selecionamos o objeto a transformar e o centro de simetria (umponto).A ferramenta [transformaes]Translao aplica uma translao.Selecionamos o objeto a transformar e um vetor definindo atranslao.A ferramenta [transformaes]Homotetia aplica uma homotetia.Selecionamos o objeto a transformar, o fator (um nmero sobre afolha), e o centro da homotetia (um ponto).A ferramenta [transformaes]Rotao aplica uma rotao.Selecionamos o objeto a transformar, o centro da rotao (umponto), o ngulo da rotao. O ngulo de rotao pode ser defi-nido por: 3 pontos, existentes ou a criar. Os trs podem ser criados de imediato. um nmero, a entrar na folha com a ferramenta [texto e smbo-los]Nmero.Enfim, a ferramenta [transfomaes]Inverso constri o inversode um ponto em relao a uma circunferncia. Selecionamos oponto a transformar e a circunferncia invariante pela inverso.Lembremos que uma inverso de centro O, de potncia positivak tem para invariantes os pontos da circunferncia de centro O,com o raio sendo a raiz quadrada de k.Em Cabri Geometry a inverso se aplica a pontos. Para invertiroutros objetos, substitui a inverso por uma macro cujo uso mais flexvel.

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    Referncia

    5.135.13 MACRO

    Uma macro definida a partir de uma parte de uma figura. Umavez definida, a macro pode ser utilizada como qualquer outraferramenta, e reproduz a construo desta parte a partir de ele-mentos de base selecionados pelo usurio.

    Por exemplo, podemos definir uma macro que constri um qua-drado cuja diagonal um segmento dado. Para definir a macro, preciso realizar efetivamente a construo do quadrado a partirde um segmento qualquer, depois selecionar os objetos iniciais aqui o segmento e os objetos finais aqui o quadrado eenfim definir a macro. Disporemos em seguida de uma novaferramenta na caixa de ferramentas [macro], que aguardar aseleo de um segmento, e reproduzir a construo a partirdeste segmento. Os objetos intermedirios construdos durante aaplicao da macro esto ocultos, e no podem ser mostrados.

    Para definir uma macro, preciso ento que a construo corres-pondente tenha j sido realizada. Em seguida, ativamos a ferra-menta [macro]Objetos iniciais depois selecionamos os objetos ini-ciais. No caso de objetos do mesmo tipo, a ordem de seleo importante e ser utilizada no momento da aplicao da macro.Para objetos iniciais de tipos diferentes, a ordem de seleo notem importncia. O conjunto dos objetos iniciais posto em evi-dncia por um piscar. Para acrescentar ou retirar um objeto deum conjunto, basta selecion-lo.

    Uma vez definidos os objetos iniciais, preciso definir os objetosfinais, com a ferramenta [macro]Objetos finais.A seleo se faz da mesma maneira. Enquanto a macro no fordefinida, os conjuntos de objetos iniciais e finais ficam na mem-ria, e podem ser modificados vontade.

    A macro definida em seguida com a ferramenta [macro]Definiruma macro. Cabri Geometry verifica inicialmente que os objetosfinais podem ser efetivamente construdos a partir dos objetosiniciais. Se no for o caso, a macro no est definida, e umamensagem de advertncia aparece: esta macro-construono coerente. Cabri no pode determinar os objetosfinais a partir dos objetos iniciais.

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    Referncia

    Se a macro for coerente, uma caixa de dilogo aparece, para edi-tar os atributos da macro. S o nome da construo deve serobrigatoriamente preenchido. Os outros atributos so opcionais.

    Nome da construo. o nome da macro tal como aparecena caixa de ferramentas [macro].

    Nome do primeiro objeto final. Este nome aparecer paraidentificar o objeto no momento da passagem do cursor.Por exemplo se a macro constri a mediatriz de dois pontos, onome do primeiro objeto final poder ser Esta mediatriz.

    Senha. Se uma senha fornecida, os objetos intermediriosda macro sero inacessveis na janela mostrando a macro sobforma de texto (acessvel por F10).

    A outra parte da janela permite editar o cone da macro.O boto Salvar permite registrar a macro sozinha num arquivo.Uma macro salva na figura onde ela definida, e nas figurasonde utilizada. Uma macro carregada numa figura utilizvelnas outras figuras abertas simultaneamente.

    Se uma macro tendo o mesmo nome e construindo os mesmostipos de objetos finais j for definida, Cabri Geometry deixa aescolha entre ampliar ou substituir a macro existente.Se escolhermos ampliar, uma das duas macros ser utilizada,segundo os tipos de objetos iniciais selecionados. Por exemplo,se uma macro definida a partir de dois pontos, podemosampliar a macro por uma macro idntica definida a partir de umsegmento. As ferramentas convencionais [construes]Mediatriz,[construes]Ponto mdio, ... foram ampliadas desta maneira.

    Para utilizar a macro, ativamos a ferramenta correspondente dacaixa de ferramentas [macro], depois selecionamos os objetos ini-ciais. Quando todos os objetos iniciais so selecionados, a cons-truo reproduzida, e obtemos os novos objetos finais.Os objetos intermedirios esto ocultos, e no podem ser mostra-dos com a ferramenta [atributos]Ocultar/Mostrar.

    No momento da utilizao de uma macro, pressionando a teclaAlt por ocasio da seleo de um objeto, definimos o objetocomo argumento implcito da macro. Quando da prxima utiliza-o da macro, no ser necessrio selecionar este argumento, e o

  • 59

    Referncia

    5.145.14 NMERO

    Um nmero um real presente sobre a folha, eventualmenteacompanhado de uma unidade. Os nmeros so afixados enquan-to elementos dinmicos inseridos num texto (ver a seo [5.17]Texto). No momento da criao de um nmero, Cabri Geometrycria ento um texto contendo unicamente este nmero. Podemosdepois editar o texto livremente.

    A ferramenta [texto e smbolos]Nmero permite digitar um nme-ro diretamente sobre a folha de trabalho. O nmero pode emseguida ser editado e animado. As flechas alto e baixo que apa-recem na janela do texto que contm o nmero, bem como aanimao, aumentam ou diminuem o nmero. O passo do acr-scimo ou decrscimo depende da posio do cursor no texto.Por exemplo, se o nmero exibido for 30,29 e o cursor estiverentre os algarismos 2 e 9, as flechas e a animao modificaro onmero por incrementos de 0,1.A ferramenta [medida]Distncia e comprimento cria um nmerorepresentando a distncia entre dois pontos, um ponto e uma reta,um ponto e uma circunferncia, ou o comprimento de um segmen-to, de um vetor, ou o permetro de um polgono, de uma circunfe-rncia, de uma elipse, de um arco de circunferncia. O resultado munido de uma unidade de comprimento, por default o cm.A ferramenta [medida]rea constri um nmero representando a reade uma regio polgonal, de um crculo, de uma regio elptica. Oresultado munido de uma unidade de superfcie, por default o cm2.A ferramenta [medida]Coeficiente angular mede o coeficiente

    objeto ser automaticamente selecionado. Se por exemplo amacro aguarda dois pontos e uma circunferncia, e ns a aplicar-mos uma primeira vez selecionando dois pontos, e pressionandoAlt no momento da seleo da circunferncia, ento poderemosem seguida aplicar a macro selecionando s dois pontos, e a cir-cunferncia anteriormente selecionada ser automaticamente sele-cionada. Isto pode ser til em caso de geometria hiperblica : ohorizonte ou crculo limite do modlo de Poincar 1 pode serimplcitamente incluido na macro.

    Os atributos dos objetos finais que diferem dos atributos pordefault no momento da criao da macro sero salvos com amacro, e aplicados aos objetos criados pela utilizao da macro.

    1 Henri Poincar,1854 - 1912

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    Referncia

    angular de uma reta, de uma semi-reta, de um segmento, de umvetor. O resultado sem dimenso.A ferramenta [medida]Medida de ngulo constri a medida de umngulo. Ela aguarda ou trs pontos A, O, B definindo o ngulo(OA,OB) de vrtice O, ou uma marca de ngulo j construda.O resultado expresso na unidade de ngulo corrente (grau,radiano, ou grado) definido nas preferncias (ver o captulo[8F]PREFERNCIAS). No caso de um ngulo definido por trspontos, a medida aquela do ngulo no orientado entre asretas OA e OB, e ento includa entre 0 e 180.A ferramenta [medida]Calculadora permite fazer clculos a partirdos nmeros j presentes sobre a folha, das constantes pi e infini-to, e de reais digitados diretamente. Os operadores usuais so utili-zveis: x + y, x - y, x * y, x / y, - x, x

    y, assim como os parnteses.A calculadora reconhece igualmente as seguintes funes usuais:abs(x), sqrt(x), sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x),sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x), ln(x),log(x), exp(x), min(x,y), max(x,y), ceil(x), floor(x), round(x),sign(x), random(x,y). Diferentes variaes destas sintaxes so igual-mente reconhecidas: uma maiscula inicial, asin, sh, ash, argsh...As funes inversas podem ser selecionadas com a ajuda doboto inv seguido da funo. Por exemplo por arcsin, clicare-mos sobre os botes inv e depois sin. Isto se estende a inv-sqrt que d sqr, inv-ln que d exp (e x) inv-log que d 10 x.Com exceo dos operadores clssicos cuja semntica evidente,floor(x) significa o maior inteiro inferior ou igual a x, ceil(x)significa o menor inteiro superior ou igual a x, round(x) significao inteiro mais prximo de x em valor absoluto, sign(x) significa1, 0, ou +1 dependendo do x ser negativo, nulo, ou positivo, eenfim random(x,y) significa um nmero real aleatrio entre x e y,seguindo a lei de distribuio uniforme.Para que o resultado de random(x,y) seja atualizado quando afigura manipulada, preciso introduzir um parmetro dependen-do da figura nos argumentos de random, mesmo se este parmetrono tiver nenhum efeito sobre o resultado, por exemplo random(0,1 + 0 * a), com a dependendo de um elemento livre da figura.O boto = calcula o resultado. Pode-se em seguida arrastar-posi-cionar o resultado livremente sobre a folha. Este resultado atua-lizado no momento das manipulaes da figura.Diferentes unidades podem ser utilizadas num mesmo clculo;por exemplo a soma 1 inch + 1 cm d como resultado 3,54 cm.A ferramenta [medida]Aplicar uma expresso calcula o valor deuma expresso presente sobre a folha. Selecionamos a expresso,

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    Referncia

    5.155.15 PROPRIEDADE

    Uma propriedade exibida sob a forma de uma parte de textona figura. Ela gerada do mesmo modo que um nmero, e apa-rece no momento da manipulao da figura. O texto correspon-dente propriedade pode ser editado.

    A ferramenta [propriedades]Colinear? verifica o alinhamento detrs pontos. O texto correspondente ou Pontos colineares,ou Pontos no colineares.A ferramenta [propriedades]Paralelo? verifica o paralelismo de duasdirees. Cada direo definida por uma reta, uma semi-reta, umsegmento, um vetor, um lado de polgono, um eixo. O resultado ou Objetos paralelos, ou Objetos no paralelos.A ferramenta [propriedades]Perpendicular? verifica o perpendicu-larismo entre duas direes. Seu funcionamento idntico ferramenta [propriedades]Paralelo ?.A ferramenta [propriedades]Eqidistante? aguarda a seleo detrs pontos O, A, e B e verifica se as distncia OA e OB soiguais. O resultado ou Pontos eqidistantes ou Pontos noeqidistantes.A ferramenta [propriedades]Pertencente? aguarda a seleo de umponto e de um outro objeto que no seja um ponto, e verifica que oponto est sobre o objeto. O resultado ou Este ponto est sobreo objeto, ou Este ponto no est sobre o objeto.

    Uma propriedade herda os atributos do texto do qual faz parte(ver os atributos de texto na seo [5.17]Texto).

    depois o programa aguarda que o usurio selecione um nmeroda folha para cada uma das variveis da expresso. Por exemplose a expresso 3 * x + 2 * y - 1, Cabri Geometry aguardar umnmero para x, depois um nmero para y, depois criar um novonmero representando o resultado, que posicionaremos livremen-te sobre a folha. Este nmero poder servir de base para novosclculos. Como dissemos acima, um nmero que aparece na telaest no interior de um texto. Um nmero herda os atributos grfi-cos do texto do qual ele faz parte (ver os atributos de texto naseo [5.17]Texto). Alm desses atributos, ele possui como atri-buto especfico a quantidade de algarismos significativos exibidos.Para cada incgnita a, b, c ou x, y.. Cabri Geometry pede ovalor; quando a expresso da forma f(x), cliquando sobre oeixo, desenha-se automticamente a grfica de y = f(x).

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    Referncia

    5.16 5.16 EXPRESSO

    Uma expresso um texto representando um expresso com sintaxecorreta para a calculadora e contendo uma ou vrias variveis.Os nomes admitidos para as variveis so a, b, ..., z (letras minsculas)

    A ferramenta [texto e smbolos]Expresso permite criar uma novaexpresso. As expresses so editadas como textos. Sua correo sin-txica s verificada no momento da aplicao (ver a seo anteriorsobre os nmeros).

    Os operadores no devem ser omitidos: 3 * x identificado enquan-to 3x no . Uma expresso pode em seguida ser calculada paradiferentes valores de suas variveis, utilizando a ferramenta [medi-da]Aplicar uma expresso. Este ferramenta aguarda a seleo deuma expresso, depois nmeros sobre a folha correspondendo aosvalores das diferentes variveis. No caso da expresso f(x) comportara nica varivel x, esta ferramenta permite igualmente selecionar aexpresso, depois um eixo, e vai ento desenhar diretamente o grfi-co da funo correspondente y = f(x).Os atributos de uma expresso so seu formato de letras, seu alinha-mento, as trs cores de fundo, do quadro, e dos caracteres.

    5.17 5.17 TEXTO

    O texto um retngulo contendo caracteres estticos e elementosdinmicos. Os elementos dinmicos so atualizados com a figura:so os nmeros e as propriedades presentes sobre a folha.Todos os textos presentes sobre a folha so editveis livremente.As ferramentas construindo nmeros ou propriedades, constroemimplicitamente um texto contendo o nmero ou a propriedade. Semedirmos a distncia entre dois pontos A e B, podemos diretamen-te acrescentar os caracteres AB = diante do nmero contido notexto assim criado.

    A ferramenta [texto e smbolos]Texto permite criar ou editar umtexto. No momento da edio, podemos incluir no texto elemen-tos dinmicos tais como nmeros e propriedades. O texto dasetiquetas se atualiza automticamente com as modificaes ouevolues da figura.

    A ferramenta [medida]Equao e Coordenadas cria um texto repre-sentando as coordenadas dos pontos ou a equao de outros obje-

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    Referncia

    5.185.18 MARCA DE NGULO

    Uma marca de ngulo construda com a ajuda da ferramenta[texto e smbolos]Marcar um ngulo. A ferramenta aguarda trspontos A, O, e B e marca o ngulo (OA,OB) de vrtice O.Se o ngulo for reto, a marca toma automticamente uma formaespecfica.

    A ferramenta [Manipulao]Ponteiro permite modificar o tamanhoda marca, e tambm de marcar o ngulo cncavo a partir de umngulo convexo criado: para fazer isto, suficiente arrastar-posi-cionar a marca atravessando o vrtice do ngulo, para transferi-la para o outro lado do vrtice.

    Os atributos de uma marca de ngulo so sua cor, sua espessura,seu tipo de trao, seu tipo de marca, sua etiqueta.

    tos selecionados. Estes objetos podem ser um ponto, uma reta, umacircunferncia, uma cnica, um lugar geomtrico. No caso dos pon-tos, obtemos um texto do tipo (3,14; 2,07).

    Para os outros objetos, obtemos uma equao algbrica sob dife-rentes formas segundo a regulagem das preferncias: ax + by + c = 0ou y = ax + b para as retas e ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 ou (x - x0)

    2 / a 2 (y - y0)2 / b 2 = 1 para as cnicas.

    Para os lugares geomtricos, o algoritmo de determinao das equa-es se aplica s curvas algbricas de grau no mximo igual a 6.

    Para lugares geomtricos possuindo pontos de magnitudes muitodiferentes, erros numricos aparecem muito rapidamente quando ograu aumenta.

    Quando vrios eixos so definidos, a ferramenta [medida]Equaoe Coordenadas aguarda a seleo de um dos eixos.

    Os atributos de um texto so sua fonte de caracteres, seu alinha-mento, as trs cores de fundo, do quadro, e de texto. As equaespossuem como atributos suplementares o tipo da equao e o siste-ma de coordenadas utilizado.

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    Referncia

    5.19 5.19 EIXOS

    Um sistema de eixos composto de um ponto (a origem ) e deduas retas (os eixos) passando por este ponto e munidas cadauma de um ponto unidade. Os eixos no so necessariamenteperpendiculares, mas para que eles definam um referencial, nodevem ser confundidos.

    Toda figura dispe de uma origem e de eixos por default.A origem inicialmente no centro da folha e os eixos so per-pendiculares com uma unidade de 1cm.

    As ferramentas [atributos]Mostrar os eixos e [atributos]Esconderos eixos permitem mostrar e ocultar os eixos por default.

    A ferramenta [atributos]Novos eixos permite criar novos eixosseguindo dois possiveis procedimentos: procedimento, um ponto + duas direes: em tres cliquessucessivos seleciona-se a origem, a direo do primeiro eixo, adireo do segundo eixo. A escala automticamente indicadacomo uma unidade = 1cm para cada eixo. procedimento, um ponto + uma direo e uma escala: criarum ponto antes de ativar a ferramenta. Ativar a ferramenta e emtres cliques sucessivos selecionar a origem, fixar simultaneamentea direo do primeiro eixo e sua escala com um clique sobre oponto existente, ( tambm possivel criar o ponto de imediatopressionando a tecla Alt), finalmente selecionar a direo dosegundo eixo com o ltimo clique. Os atributos de um sistema de eixos so sua cor, sua espessura,seu tipo de trao.

    5.20 5.20 GRADE

    Uma grade definida a partir do sistema existente de eixos.Ela representa um conjunto infinito de pontos regularmente dis-tribudos segundo os eixos da folha (seja em coordenadas carte-sianas, seja em coordenadas polares).Criamos uma grade com a ferramenta [atributos]Grade selecio-nando um sistema de eixos.Os atributos de uma grade so a cor de seus pontos e o tipo desistema de coordenadas escolhido (cartesiano ou polar).

  • 65

    Referncia

    5.215.21 TABELA

    Uma tabela um quadro destinado a recolher sries de nmerosprovenientes da folha de trabalho. Uma figura s pode conteruma tabela.

    Criamos uma tabela com a ferramenta [medida]Tabela.Um primeiro clique cria a tabela na posio do cursor. Em segui-da, clicando sobre nmeros existentes, os deslocamos sobre asprimeiras clulas da primeira linha.

    Com a ferramenta [manipulao]Ponteiro pode-se selecionar atabela, e dimensionar sua janela colocando o cursor no seu cantoinferior direito. Se um texto acrescentado diante do nmero,esse texto ser utilizado como ttulo da coluna correspondente.

    Podemos em seguida manipular a figura e utilizar a tecla Tabpara criar uma nova linha com os valores correntes dos nmerosescolhidos. Se selecionarmos a tabela antes de lanar uma anima-o, a tabela ser automaticamente preenchida no momento daanimao, at 1000 linhas. Se selecionarmos uma tabela antes deefetuar o comando [Edio]Copiar, o contedo numrico databela copiado sob forma de texto na rea de tranferncia, epode ser colado tal qual num programa como Microsoft Excel,o que permite explorar os dados produzidos.

  • 6.1 RASTRO

    67

    Referncia

    C A P T U L O 6

    FERRAMENTAS DE EXPLORAO

    A ferramenta [texto e smbolos]Rastro permite selecionar os objetosdeixando um rastro no momento da manipulao da figura. Quandoa ferramenta est ativa, os objetos deixando um rastro so assinala-dos por um piscar. Acrescentamos ou suprimimos os objetos da listaselecionando-os, como para as outras ferramentas desse tipo (obje-tos iniciais e finais de uma macro, objetos ocultos.). Por ocasio damanipulao da figura, os objetos selecionados vo deixar um rastrode sua posio, o que permite estudar suas variaes.

    6.1

    6.2 FIXO / LIVRE (PERCEVEJO)

    A ferramenta [texto e smbolos]Fixo/Livre permite fixar a posiode pontos livres ou de pontos livres sobre um objeto. Esses pon-tos aparecem ento com um pequeno percevejo quando a ferra-menta ativada. Fixar um ponto com um percevejo faz com queno podemos mais manipular no s este ponto, mas igualmentetodos os objetos que intervm na sua construo. Quando fixado,le no pode ser borrado.

    6.2

    6.3 REDEFINIO

    A redefinio uma funo potente permitindo modificar a defi-nio de um elemento j construdo. Podemos por exemplosubstituir uma construo por outra, ou diminuir ou aumentar onmero de graus de liberdade de um objeto.Para redefinir um objeto, ativamos a ferramenta [construes]Redefinir um objeto, depois selecionamos o objeto. Um menu(dependente do objeto) ento aparece, permitindo escolher otipo de redifinio a efetuar. Segundo a opo escolhida, preci-so selecionar um ou vrios objetos, ou eventualmente nenhum.

    6.3

  • O menu [Sesso] permite registrar uma sesso de utilizao, porexemplo para analisar as estratgias de resoluo de um aluno ede imprimir a sesso etapa por etapa (h vrias etapas por pgi-

    68

    Referncia

    6.4 6.4 ANIMAO

    As ferramentas [texto e smbolos]Animao e [texto esmbolos]Mltipla animao permitem animar um ou vrios ele-mentos da figura. Animar uma figura consiste a lanar um ouvrios objetos segundo uma trajetria definida pelo usurio.

    Para lanar uma animao simples, ativa-se a ferramenta [texto esmbolos]Animao, depois clica-se sobre o objeto a animar emantendo o boto pressionado, desloca-se o cursor. Estendemosento uma pequena mola, que fixa a direo e a velocidade daanimao. A velocidade global da animao inicialmente deter-minada com a extenso da mola. Utilizando ento as teclas + e pode-se aumentar ou diminuir a velocidade inicial.A animao lanada quando soltamos o boto, e dura enquan-to a ferramenta estiver ativada. Um clique numa zona livre dafigura interrompe a animao. Pontos animados sobre um objetomovem-se continuamente sobre le. Pontos animados sobre umsegmento movem-se de uma extremidade a outra. Um nmero,livre ou em texto, pode animar-se de cima para baixo.

    Para definir e lanar uma animao mltipla, ativa-se a ferramenta[texto e smbolos]Mltipla animao. Uma janela de controle entoaparece. Ela permite definir e suprimir molas (botes do alto), delanar e de parar a animao (boto em baixo esquerda), e derecolocar a figura no estado inicial (boto em baixo direita).A escolha das molas a criar feita clicando sobre um ponto, emseguida, clicando novamente para definir a velocidade e a dire-o da animao. A ergonomia um pouco diferente daquela daferramenta animao simples, j que aqui no temos a manter oboto do mouse pressionado.

    Os parmetros da animao mltipla so conservados quandodeixamos esta ferramenta, e quando registramos a figura.Uma opo no momento de salvar permite lanar automatica-mente a animao mltipla nas futuras aberturas da figura.

    6.5 6.5 REGISTRO DE UMA SESSO

  • 69

    Referncia

    6.66.6 DESCRIO DA FIGURA

    A tecla F10 permite exibir e mascarar a janela texto. Nesta janela,aparece sob forma textual o conjunto de construes da figura, naordem cronolgica de sua criao.

    Um clique sobre um objeto coloca em negrito os objetos que ser-vem a constru-lo. Podemos igualmente utilizar esta janela paradesignar objetos e nomear os que no o so.

    O contedo desta janela pode ser copiado e colado em outras apli-caes, como texto descritivo da figura. A cpia se faz a partir domenu contextual aparecendo com um clique-direita na janela dedescrio. Este menu contextual permite igualmente exibir os obje-tos ocultos e os objetos intermedirios das macros (eventualmentedepois de digitar uma senha definida no momento de criar a macroou de salvar a figura).

    Um clique sobre um objeto da folha de trabalho reala a linha cor-respondente na janela Mostrar a descrio. Ao invs, um cliquesobre uma linha da janela Mostrar a descrio seleciona o objetocorrespondente da figura.

    na). Esta gravao etapa por etapa oferece uma possibilidade deundo/desfazer .

  • 7.1 COR

    71

    Referncia

    C A P T U L O 7

    ATRIBUTOS

    Os atributos de um objeto so acessveis em geral de vrias maneiras:

    utilizando uma ferramenta da caixa [atributos] mudando especifi-camente um atributo,

    utilizando a ferramenta [atributos]Aparncia,

    atravs do menu contextual do objeto, acessvel por um cliquedo boto direito quando o cursor est sobre o objeto,

    com a ajuda da barra de atributos, que tornamos visvel sele-cionando o menu [Opes]Mostrar os atributos ou pressionando atecla F9,

    a caixa de dilogo Preferncias permite modificar os atributospr defaulr dos novos objetos , mas igualmente aqueles dos objetosselecionados (ver o captulo [8]PREFERNCIAS).

    Os atributos por default dos novos objetos no momento de sua cria-o so definidos na caixa de dilogo das preferncias (ver o captu-lo [8]PREFERNCIAS).

    Para os pontos, trata-se da cor do ponto; para as curvas, da corda curva; para os textos, da cor dos caracteres.

    A cor modificada com a ferramenta [atributos]Cor, selecionan-do na paleta a cor escolhida, depois selecionando os objetos quedevem receber a cor.

    7.1

  • 72

    Referncia

    7.2 7.2 COR DE PREENCHIMENTO

    Esta cor concerne as circunferncias, arcos, polgonos e textos.Para os textos, trata-se da cor de fundo do retngulo englobandoo texto. A cor de preenchimento modificada com a ferramenta[atributos]Preencher, selecionando na paleta a cor escolhida,depois selecionando os objetos que devem receb-la. Para anularuma cor de preenchimento, basta aplicar de novo a mesma cor.A cor de preenchimento igualmente modificada com a ferra-menta da barra de atributos, selecionando o(s) objeto(s) apreencher, depois a cor.Podemos designar uma cor de preenchimento calculada a umobjeto, atravs do menu contextual do objeto. O funcionamento o mesmo que para a cor (ver seo anterior).Por default os objetos misturam sua cor. Podemos tornar um obje-to opaco/transparente ativando o seu menu contextual. A mistura feita por um e lgico, aproximando a sntese aditiva das cores.Por exemplo, a mistura de amarelo e de azul ciano produzir overde. Os objetos opacos so exibidos acima dos objetos trans-parentes, na sua ordem de criao.

    A cor igualmente modificada com a ferramenta da barrade atributos, selecionando o(s) objeto(s) a colorir, depois a cor.

    Enfim, podemos designar uma cor calculada a um objeto.Isto feito unicamente atravs do menu contextual do objeto,escolhendo [Boto direito]Cor varivel: selecionar o parmetrovermelho/verde/azul. Cabri Geometry aguarda ento a seleo deum nmero sobre a folha de trabalho. A correspondncia entre aintensidade i da componente no intervalo [0,1] e o nmero xselecionado determinada por uma funo em dentes de serro-te de perodo 2. Ela corresponde identidade (i = x) entre 0 e1, depois decresce linearmente entre 1 e 2 (i = 2 - x) para voltara 0. Por exemplo, o nmero 7,36 corresponde mesma intensi-dade que 5,36 ou 3,36 ou 1,36 ou -0,64, ... pelo fato da periodici-dade ser mdulo 2, o nmero 7,36 est entre 1 e 2, e esta inten-sidade ento de 2 - 1,36 = 0,64.

    As componentes no definidas esto no 0. Em coordenadas(Vermelho,Verde,Azul), (0,0,0) corresponde ao preto, (l, l, l) aobranco, (1,0,0) ao vermelho, (0,1,0) ao verde, (0,0,1) ao azul, (1,1,0)ao amarelo, (1,0,1) ao rosa magenta, e ( 0,1,1) ao azul ciano.

  • 73

    Referncia

    7.37.3 COR DE TEXTO

    Trata-se da cor dos caracteres de um texto.A ferramenta [atributos]Cor do texto permite modificar a cor dotexto. Selecionamos a cor, depois os objetos concernentes.A ferramenta da barra de atributos permite igualmente modifi-car a cor de texto. Selecionamos os objetos, depois a cor na paleta.

    7.47.4 TIPO E TAMANHO DE PONTO

    O tamanho dos pontos modificado pela ferramenta[atributos]Espessura. Ela acessvel igualmente pela ferramentacorrespondente da barra de atributos.O tipo dos pontos acessvel atravs da barra de ferramenta[atributo]Aparncia, e igualmente pela barra de atributos.

    7.67.6 FONTE E ALINHAMENTO

    O alinhamento das zonas de texto (esquerda, direita, centrado) modificado por intermdio do menu contextual do bloco detexto. Este menu permite igualmente modificar o formato, otamanho e o estilo da fonte selecionados de uma zona de texto.Cada fonte pode ter atributos diferentes.O menu [Opes]Fonte... permite igualmente editar os atributosdos caracteres.

    7.57.5 TIPO E ESPESSURA DE TRAO, RETAS INTELIGENTES

    O tipo (contnuo, traos, pontilhados) e a espessura (normal,espessa, muito espessa) de trao so acessveis pelas ferramentas[atributos]Pontilhado e [atributos]Espessura, e igualmente pelasferramentas correspondentes da barra de atributos.A exibio das retas e semi-retas pode ser ou limitada janela(por default), ou limitada zona utilizada das retas e semi-retas(retas inteligentes).Neste caso, Cabri Geometry determina onde parar a exibio emfuno dos pontos presentes sobre a reta. Temos duas possibili-dades de desenho para as retas inteligentes: com ou sem fle-cha. Essa escolha acessvel pela barra de atributos.A extremidade das retas inteligentes pode ser livremente deslo-cada. Quando se pede o ponto de interseo de duas retas inteli-gentes no paralelas, as retas esto automticamente extendidasalm do ponto de interseo.

  • 74

    Referncia

    7.7 7.7 EQUAES E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

    O nmero de algarismos significativos exibidos para os nmeros definido por default nas preferncias. Podemos modific-loselecionando o nmero e pressionando as teclas e +.O tipo e o formato de uma equao podem ser modificados pelomenu contextual associado equao, e igualmente pelo dilogodas preferncias.

    7.9 7.9 UTILIZANDO DE IMEDIATO A BARRA DE ATRIBUTOS

    Em caso de uma figura j iniciada, por exemplo aps um cliquesobre um ponto para construir uma reta, possivel cliquar sobrequalquer caixa de Atributos da barra de Atributos para modificarde imediato o atributo considerado (cor, espessura, intellignciade retas) da reta em fase de criao.

    7.8 7.8 IMAGENS FIXADAS AOS OBJETOS

    Cabri Geometry II Plus permite associar imagens bitmap (aos for-matos GIF, JPG ou BMP) aos pontos, aos segmentos, aos tringu-los, aos quadrilteros, e ao fundo da janela. Esta funcionalidadepermite substituir a representao por default desse objetos poruma imagem de sua escolha. No caso de um tringulo, a imagem dimensionada dentro de um paralelogramo onde trs dos vrti-ces so os do tringulo.

    Em todos os casos, o acesso a esta funcionalidade feito atravsdo menu contextual do referido objeto. No caso do fundo dajanela, clicaremos sobre o boto direito numa zona vazia.

    O menu d em seguida a escolha entre imagens por default (astelas das calculadoras TI-83, TI-89, TI-92) e a leitura de um arqui-vo no formato GIF, JPG, ou BMP.

    Uma vez a imagem fixada, podemos a suprimir por intermdiodo menu contextual.

  • 8.1 CAIXA DE DILOGO DAS PREFERNCIAS

    77

    Referncia

    C A P T U L O 8

    PREFERNCIAS E PERSONALIZAO

    A caixa de dilogo das preferncias permite modificar os atribu-tos dos objetos existentes e dos novos objetos, e igualmenteparametrizar o comportamento do programa. O seu acesso feito pelo menu [Opes]Preferncias. Esta caixa de dilogocomporta um certo nmero de tpicos temticos que detalhare-mos nos pargrafos seguintes.

    Em todos os tpicos, um boto Regulagem de origem permitelembrar no tpico corrente as regulagens de fbrica do progra-ma: so as regulagens iniciais da aplicao quando da sua insta-lao.

    Nos tpicos que modificam atributos dos objetos, um botoAplicar e duas casas a assinalar na seleo e aos novos obje-tos permitem aplicar as regulagens feitas no tpico aos objetosselecionados, e/ou memorizar esses atributos para os aplicarquando da construo de novos objetos.

    Na parte comum a todos os tpicos (abaixo), um boto Salvarpermite salvar num arquivo .ini o conjunto de prefernciasatuais. Elas so aplicadas quando este arquivo aberto pelomenu [Arquivo]Abrir.

    O boto Fechar fecha a caixa de dilogo sem aplicar nenhumamodificao suplementar e sem alterar o arquivo de configuraopor default. O boto OK fecha a caixa de dilogo aps ter apli-cado as modificaes trazidas em cada tpico, e eventualmentealterado o arquivo de configurao por default se a casaConservar como default assinalada.

    Os pargrafos seguintes detalham um por um os diferentes tpi-cos da caixa de dilogo das preferncias.

    8.1

  • 78

    Referncia

    8.1.1 8.1.1 Lugares geomtricos

    Este tpico concerne os atributos especficos dos lugares geomtri-cos. O Nmero de objetos de um lugar geomtrico o nmeromnimo de posies do ponto varivel a levar em conta para traaro lugar geomtrico. No caso de lugares geomtricos de pontos,temos a escolha entre ligar os pontos para obter uma curva, oudesenhar simplesmente um conjunto discreto de pontos.No caso de lugares geomtricos de retas, semi-retas, segmentos,vetores, circunferncias e cnicas, Cabri Geometry pode calcular oenvelope dos objetos, isto quer dizer a curva tangente a todos osobjetos do lugar geomtrico, ou desenhar simplesmente o conjun-to dos objetos, segundo a escolha assinalada na casa Envelope.

    8.1.2 8.1.2 Estilos

    Este tpico concerne os atributos comuns aos textos e aos obje-tos grficos. Para cada tipo de texto, podemos escolher umafonte de caracteres, com seu estilo, seu tamanho e sua cor. Paracada tipo de objeto grfico, escolheremos a cor, o estilo de trao,a espessura de trao, o estilo de ponto, o tamanho de ponto, oestilo de terminao, o estilo da marca do ngulo. Segundo otipo de objeto, alguns desses atributos no servem e no soportanto exibidos.

    8.1.3 8.1.3 Geometria

    Este tpico permite controlar o comportamento do motor geom-trico. Por default, Cabri Geometry cria implicitamente pontos aolongo das construes, quando selecionamos um ponto no defi-nido ainda sobre uma curva ou sob uma interseco.Freqentemente, isto acrescenta consideravelmente o conforto dautilizao e a rapidez da construo das figuras. Apesar disso,podemos desativar este comportamento.A gesto do infinito designa as extenses de Cabri Geometry aoplano euclidiano servindo de modelo geomtrico aplicao.Se esta opo ativada, o modelo estendido para uma reta noinfinito : duas retas paralelas tero um ponto de interseco,uma circunferncia poder ter o seu centro no infinito, etc.Certas construes especificamente no projetivas podem ser

  • 79

    Referncia

    8.1.48.1.4 Preferncias do sistema

    estendidas. Por exemplo, um segmento no poder ter uma desuas extremidades no infinito, e no ser portanto definido nessecaso, qualquer que seja a opo escolhida.

    8.1.58.1.5 Exibir preciso e unidades

    Este tpico controla os atributos dos nmeros obtidos quandoso utilizadas medidas nas figuras. Para os diferentes tipos denmeros (comprimentos, ngulos, outros) selecionamos o nme-ro de algarismos que sero exibidos depois da vrgula, e a unida-de (para comprimentos e ngulos).

    Este tpico permite controlar o comportamento do sistema e ainterface da aplicao.Se a opo Copiar/colar via um bitmap ativada, o pedido[Edio]Copiar colocar na rea de transferncia do sistema umaimagem bitmap do retngulo selecionado. Se esta opo no ativada, o conjunto de objetos selecionados ser colocado narea de transferncia sob forma vetorial (Windows Metafile).Para maiores detalhes sobre esta opo, ver o captulo [10] EXPORTAO E IMPRESSO.

    Se a opo Retirar anular/refazer ativada, a funo de anulaoe restaurao da ltima ao no ser ativada no menu [Edio].A tolerncia a distncia em torno da qual a aplicao procuraos elementos sob o cursor. Uma tolerncia mais importante facili-ta a seleo de objetos isolados, mas torna-se incmoda em casode objetos superpostos ou prximos.

    A fonte do cursor a fonte do caractere com o qual so exibidosos textos dinmicos que aparecem ao lado do cursor quando doseu deslocamento, por exemplo Simtrico deste ponto....

    A fonte das ferramentas utilizada quando do andamento dasdiferentes caixas de ferramentas para exibir os nomes das ferra-mentas.

  • 80

    Referncia

    8.1.6 8.1.6 Sistema de equao e coordenadas

    8.2 8.2 BARRAS DE FERRAMENTAS PERSONALIZADAS

    O usurio pode acrescentar suas prprias ferramentas (construdasutilizando as macros) na barra de ferramentas, e igualmente reuniressas ferramentas em outras caixas de ferramentas. Pode-se igual-mente eliminar ferramentas da barra de ferramentas. Esta personalizao til para estender Cabri Geometry e igual-mente em classe para trabalhar com exerccios com um nmero deferramentas restritas (por exemplo, sem perpendiculares nem para-

    Este tpico controla o estilo de exibio e o sistema de coordena-das para as equaes das retas, das circunferncias e das cnicas.Em todos os casos, Cabri Geometry tenta obter coeficientes intei-ros ou racionais nas equaes.

    Para as retas, escolhe-se entre as equaes do tipo y = ax + b(que se torna eventualmente x = Constante) e ax+ by + c = 0.

    Para as circunferncias, escolhe-se entre a equao geral x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, e a equao que faz aparecer as coorde-nadas do centro e do raio (x - x0)

    2 + (y - y0)2 = R 2. Nesse caso, se

    o centro da circunferncia estiver no infinito, e se a gesto dospontos no infinito estiver ativada, Cabri Geometry exibir umaequao do tipo y = ax + b e Reta no infinito, e a circunfernciaser representada por uma reta.

    Para as cnicas, escolhe-se entre a equao geral ax 2 + bx