Autarquia Educacional do Vale do So FranciscoFaculdade de Cincias Aplicadas e Sociais de Petrolina Probabilidade e Estatstica-Caderno de Orientao-(De acordo com a bibliografia indicada) Prof. Reginaldo SantosAgosto20071AUTARQUIA EDUCACIONAL DO VALE DO SO FRANCISCO AEVSFFACULDADE DE CINCIAS APLICADAS E SOCIAIS DE PETROLINA FACAPEPROGRA M A DA DISCI PLINA Disciplina :Probabilidade e EstatsticaTurma:perodo Curso : Cincias da Computao Cdigo: 03.05.1.19 Perodo: 4Carga horria Semestral: 60h/aAno/Exerccio: 2005/2 Pr-requisito:Clculo IIEmenta:Exposio sintticaeexploratriadasprincipaismedidasdeposio, variao e Separatrizes. Estudo dosfenmenosaleatrioscomoauxliodoclculodas probabilidades. Apresentaoediscussodosprincipaismodelosprobabilsticos contnuose discretose o estudo das distribuies amostraiscomo suportepara a tomada de deciso com base no teste de Hiptese e o intervalo de confiana para os estimadores.Objetivo : Apresentarasprincipais tcnicasqueobjetivamdescrever, analisar, interpretar elementos de uma populao atravs de estimativas pontuais. Apresentar e exercitar os modelos que regemos fenmenos aleatrios,bem comofazer infernciasobrepopulaesa partir de dadosamostrais, bem comoa justeza dessasestimativas. Contedo Programtico 1. Estatstica Descritiva 1.1 Populao e Amostra Definies bsicas da Estatstica 1.2 Representao de dados Grfica e tabular 1.3 Tcnicas de amostragem 1.4Medidas de Tendncia Central 1.5 Medidas de Disperso 1.6 Medidas de Posio 1.57 Medidas de Assimetria e Curtose 2. Clculo das Probabilidades 2.1 Experimento Aleatrio 2.2 Espao Amostral e Eventos Eventos mutuamente exclusivos 2.3 Definio de Probabilidade e Principais Teoremas 2.4 Probabilidade Condicional e Teorema do Produto 2.5 Independncia Estatstica e o Teorema de Bayes 3. Variveis AleatriasDiscretas 3.1 Definies 3.2 Esperana Matemtica e Varincia 3.3 Distribuio Conjunta de duas Variveis Aleatrias 3.4 Funo de Distribuio 4. Distribuies Tericas de Probabilidade de Variveis Aleatrias Discretas 4.1 Distribuio de Bernouilli 4.2 Distribuio Binomial 4.3 Distribuio de Poisson 5. Variveis Aleatrias Contnuas 5.1 Distribuio Uniforme 5.2 Distribuio Exponencial 5.3 Distribuio Normal 5.4 Distribuio de Funes de Variveis Aleatrias Normais 5.6 Aproximao da Distribuio Binomial pela distribuio Normal 2 6. Distribuio Amostral dos Estimadores 6.1Distribuio Amostral da Mdia 6.2Dimensionamento de uma amostra 6.3Distribuio Amostral das Propores 6.4Exerccios de Aplicao 7. Estimao 7.1Inferncia Estatstica7.2Estimao de Parmetros7.3Estimao por Ponto7.4Estimao por Intervalo

8. Intervalo de Confiana para Mdias e Propores 8.1I.C. para a Mdia de uma Populao Normal quando 2 Conhecida 8.2I.C. para a Mdia de uma Populao Normal quando a Desconhecida 8.3I.C. para Propores 8.4Aplicaes Cincia da Computao 9 Testes de Hiptese 9.1 Testes de Hiptesespara a Mdia de Populaes Normais com 2 Conhecida 9.2 Teste Unilateral Esquerda e Direita 9.3 Teste de Hipteses para Propores 10 Erros de Deciso 10.1 Probabilidade de Cometer os Erros tipos I e II 10.2 Funo Poder de um Teste ou Potncia de um Teste 11Distribuio t de Student IC e TH para Mdia dePop. Normais com 2 Desconhecida 11.1 A Distribuio de t de Student- Graus de liberdade, uso da Tabela 11.2IC e TH para a de Populao Normal quando 2 Desconhecido

METODOLOGIA DE ENSINO Aula terica e prtica em laboratrio e em sala de aula com exposio em quadro branco. Sero feitas aplicaes, com trabalhos voltados informtica, utilizando recursos do computador, calculadora e pincel atmico. CRITRIOS DE AVALIAO Prova escrita,realizao de projeto cientfico e desempenho individual do aluno nas trs avaliaes e exerccios em sala de aula, individual e em grupo. BIBLIOGRAFIA BSICA - Fonseca, Jairo Simon Curso de Estatstica, 6 ed. So Paulo: Atlas 1996 - Barbetta, Pedro Alberto -Estatstica para os cursos de engenharia e informtica/ So Paulo: Atlas, 2004 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR -Morettin, Luiz Gonzaga - Estatstica Bsica/ Volunes 1 e 2 Probabilidade/ Inferncia So Paulo: MakronBooks - 1999 - Spiegel, Murray Ralph Probabilidade e Estatstica Makron Books do Brasil Ed. Ltda SP - Wilton de Bussab/ Morettin, Luiz Gonzaga Estatstica bsica, 5 ed. So Paulo: Saraiva 20063 1A NATUREZA DA ESTATSTICAIntroduoANTIGUIDADE - Os povos j registravam o nmero de habitantes, os nascimentos, bitos e faziam estatsticas. IDADE MDIA -As informaes eram tabuladas com finalidades tributrias e blicas.SCULOVI -Surgemasprimeirasanlisessistemticas, asprimeirastabelaseos nmeros relativos.SCULO VII - A Estatstica, j com feio cientfica, batizada por Godofredo Achenwall. Astabelasficammaiscompletas, surgemasprimeirasrepresentaesgrficaseos clculos com probabilidades. A Estatstica deixa de ser uma simples tabulao de dados numricos para se tornar Oestudo de como se chegar a concluses sobre uma populao, partindo da observao de partes dessa populao (amostra).1.1 EstatsticaParte da matemtica aplicada que fornece mtodos para a coleta, organizao descrio, anlise e interpretao de dados, bem como na utilizao dos mesmos para tomada de deciso.Acoleta, organizao, descrio ficama cargo da chamada Estatstica Descritiva, enquanto que a anlise e interpretao dos dados, associado a uma margemde incerteza, dizem respeito Estatstica Indutiva ou Inferencial que se fundamenta na teoria e clculo das probabilidades.1.2 O Mtodo EstatsticoMtodo: um meio mais eficaz para atingir determinada meta.1.2.1 Mtodo Cientfico Mtodo ExperimentalMtodo Estatstico1.2.1.1 Mtodo Experimental Consiste em manter constante todas as variveis, menos uma que aquela que justamente sofre variao para se observar seus efeitos, caso existam. Ex. Estudos de Qumica, Fsica,etc.1.2.1.2 Mtodo Estatstico aquele que diante da impossibilidade de manteras causas constantes admitem todasessascausaspresentes,variando-as eregistrandoessasvariaesprocurando determinar noresultadofinal queinflunciascabemacadaumadelas. Ex. Quaisas causas que definem o preo de uma mercadoria quando sua oferta diminui. 1.3FASES DO MTODO ESTATSTICO1-Definio do Problema:Consisteemsaberexatamenteaquilo quesepretende pesquisar. o mesmo que definir corretamente o problema;2 - Planejamento: Consiste em responder s questes do tipo: 4como levantar informaes? Que dados devero ser coletados? Que tipo de levantamento dever ser utilizado? censitrio ou por amostragem? Qual o cronograma de atividades? Quais os custos envolvidos? etc.3 - Coleta de Dados: o registro sistemtico de dados com um objetivo determinado. Quanto origem dos dados, os mesmos podem ser: Dados Primrios Soaquelesquesopublicadospelaprpriapessoaouorganizaoqueos coletou. Ex: Tabelas do censo demogrfico do IBGE. Dados Secundrios Quando so utilizados ou publicados por outra organizao. Ex:quando determinado jornalpublica estatsticas referentes ao censo demogrfico do IBGE.OBS sempre mais seguro trabalhar com dados de fontes primrias. O uso de fontes secundrias traz o risco de erros de transcrio. Coleta Direta Quando obtida diretamente da fonte. Ex: empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferncia dos consumidores pela sua marca.A coleta de dados, quanto ao espao temporal pode ser : Contnua registro de nascimentos, bitos, casamentos, etc. Peridica recenseamento demogrfico, censo industrial, PNAD e, Ocasional registro de casos de dengue e outros Coleta Indireta feita por dedues a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliao, indcios ou proporcionalizao.4Apurao dos Dados Consiste em resumir os dados atravs de sua contagem e agrupamento. a tabulao dos dados, propriamente dita.5 Apresentao dos DadosQuanto apresentao dos dados, existem duas formas que no so excludentes. A apresentao tabular e a apresentao grfica6 Anlise e Interpretao dos DadosEsta a ltima fase do trabalho estatstico e tambm a mais importante e delicada.Est ligada essencialmente ao clculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal 5 descrever o fenmeno (estatstica descritiva). Enquanto que a estatstica indutiva cuida da interpretao dos dados e se fundamenta na teoria da probabilidade.Praticando o que aprendeu1. Defina o que a cincia Estatstica2. O que voc entende porum mtodo?3. Qual a diferena entre o mtodo experimental e o mtodo estatstico? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Cite 3 exemplos do mtodo experimental e 3 do mtodo estatstico 1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1.- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5. quantas e quais so as fases do mtodo estatstico?- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6. Numere a 2 coluna de acordo com a 1 1. Contempla o tipo de levantamento,( ) Apresentao cronograma, custos envolvidos etc 2. Definir o que se deseja pesquisar ( )Definio 3.Esto associadas ao clculo de medidase coeficientes( ) Tabulao 4. Esto dispostos em forma de grficose tabelas( )Planejamento 5. Registro sistemtico de dados com um fim especfico( ) Coleta dos dados7. Qual o objetivo da anlise e interpretao dos dados no mtodo estatstico?- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1.4 DEFINIES BSICAS DA ESTATSTICAFenmeno Estatstico qualquer evento que se pretende analisar, cujo estudo seja possvel da aplicao do mtodo estatstico e so divididos em trs grupos:Fenmenos de massa ou coletivo So aqueles que no podem ser definidos por uma simples observao. Ex: A natalidade numa metrpole, o IPCA no Vale do So Francisco

Fenmenos Individuais so aqueles que iro compor os fenmenos coletivos. Ex: cada nascimento numa metrpole, preos individuais dos produtos que compem a cesta para o clculo de IPCA .Dado Estatstico - um dado numrico e considerado a matria prima sobre a qual iremos aplicar os mtodos estatsticos.Populao - o conjunto total de elementos portadores, de pelo menos, uma caracterstica comum.Amostra-umaparcelarepresentativadapopulaoqueserexaminadacomo propsito de tirarmos concluses sobre essa populao.Parmetro-Sovaloressingulares queexistemnapopulaoequeservempara caracteriz-la.Estimativa - um valor do parmetro e calculado a partir da amostraAtributo - So qualidades apresentadas nos dados estatsticos.Exemplos da classificao dicotmica do atributo: Classificao dos alunos da FACAPE quanto ao sexo.Atributo: sexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . classe :alunos da FACAPEDicotomia: duas subclasses (masculino e feminino)Varivel Uma varivel, convencionalmente, o conjunto de todos os resultados possveis de um fenmenoVarivel QualitativaQuandoseusvaloressoexpressospor atributos, tipo, sexo, estado civil, cor da pele, etc Varivel Quantitativa Quando os dados so de carter nitidamente quantitativos, e o conjunto de resultados possui uma estrutura numrica, trata-se portanto da estatstica de varivel e se divide em:Varivel Discreta ou Descontnua Quando seus valores so expressos geralmente por valores inteiros no negativos e resulta geralmente de contagens. Ex: N de alunos da rede pblica municipal, N de nascidos vivos, etcVarivel Contnua 7 Resulta normalmente de uma mensurao e a escala numrica de seus valores corresponde ao conjunto R , ou seja podem assumir, teoricamente qualquer valor num intervalo.Exerccios para fixao do contedo1. Responda o que se pedea)Qualquerfatoeconmicoousocial quesepretendeanalisar, cujoestudosepossa aplicar o mtodo estatstico. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) Fenmenos que no podem ser definidos por uma simples observao.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) Fenmenos que fazem parte dos fenmenos coletivos. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - d) valor numrico, considerado a matria prima sobre a qual iremos aplicar os mtodos estatsticos.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e)Conjunto de seres, elementos ou indivduos que possuempelo menos uma caracterstica em comum. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2. Enumere a 2 coluna de acordo com a 1 1.Valores singulares que existem na populao( ) Atributos e que servem para caracteriz-la.2. Valor do parmetro ecalculado a partir da amostra( ) Varivel 3. So qualidades apresentadas nos dados estatsticos. ( ) Parmetro4. Conjunto de todos os resultados possveis de um( ) Estimativafenmeno estatstico. 5. Parcela representativa da populao( ) Amostra 3Coloque V ou F. Em caso de F, justifique sua resposta. a) Uma varivel qualitativa, quando seus valores forem expressos por nmeros. ( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b)Quando os valores de uma varivel so expressos por nmeros, dizemos que essa varivel qualitativa ( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) Aidade, arendafamiliar, atemperatura, volumedeuva, etc. soexemplosde variveis qualitativas.( )8- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - d) Cor dos olhos e dos cabelos dos alunos dessa turma representam variveis qualitativas ( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e) Uma varivel discreta sinnimo de varivel descontnua. e seus valoresresultam, via de regra, de contagens. ( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - f) Diz-se que varivel contnua quando seus valores resultam normalmente de medidas ou mensuraes.( )- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4.Classifique as variveis dos fenmenos abaixo em D (discreta) e C (contnua)a) Nmero de propagandas no horrio nobre num canal de TV( )b) Peso dos candidatos inscritos num vestibular( )c) Temperatura mdia diria numa cidade litornea ( )d) Nmero de candidatos a deputado estadual numa eleio estadual ( )e) Renda familiar mdia dos universitrios inscritos no FIES ( )f) Numero de alunos matriculados na rede pblica municipal ( )g) Volume de manga exportada para Europa no ltimo trimestre ( )5. Em cada caso:a) Estabelea a varivel b) Classifique a varivel em qualitativa ou quantitativa c) Das variveis quantitativas, diga quais so contnuas ou discretasSiga o exemplo:1. Cor dos olhos das modelos, numa final de concurso de beleza a) cor dos olhosb) qualitativac) discreta 2. Os salrios dos funcionrios de uma empresa de Web Design a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -3. Volume de dinheiro gasto por estudantes num congresso de Comunicao Sociala) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -4. O nmero de filmes disponveis num hotel , por dia , para seus hspedesa) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -5. A quantidade de alimento, em gramas, ingerida por pessoa num restaurante Xa) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -6. O nmero de pessoas da terceira idade que estudam na FASJ9a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -7. O nmero de filhos dos estudantes de Publicidade e Propaganda a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -8. O nmero de casamentos ocorridos entre pessoas que se conheceram em Woodstocka) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -9. Produo de carne bovina no Brasila) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -10. Produo de DVDs piratas no Brasila) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -11. A idade mdia dos alunos da melhor idade da USPa) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -12.Volume de recursos investido por uma empresa de publicidadea) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -13. Nmero de vinhetas exibidas no programa do J a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - -c) - - - - - - - - - - - - - - - - -Dvidas E Anotaes- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 TCNICAS de AMOSTRAGEM Amostragem o processo pelo qual se faz seleo de amostras e deve garantir tanto quanto possvel o acaso na escolha.2.1 MTODOS PROBABILSTICOS So mtodosque exigemque cadaelemento dapopulao possua a mesma probabilidade de ser selecionado. Assim, se N for o tamanho da populao, a probabilidade de cada elemento ser sorteado ser 1/N. Portanto trata-se do mtodo que garantecientificamenteaaplicaodastcnicasestatsticasdeinfernciasesomente combase emamostragens probabilsticas que se podemrealizar inferncias ou indues sobre a populao a partir da anlise da amostra.2.1.1 Tipos de Amostragens2.1.1.1 Amostragem Aleatria Simples o processo mais elementar e mais freqentemente utilizado. equivalente a um sorteio lotrico. Pode ser realizada numerando-se a populao de 1 a N e sorteando-se a seguir,pormeiodeumdispositivoaleatrioqualquer,xnmerosdessaseqncia,os quais correspondero aos elementos pertencentes amostra.Exemplo:Vamosobter umaamostrade10%representativaparaumapesquisada estatura de 80 alunos de uma escola qualquer.1- numeramos os alunos de 01 a 902 - escrevemososnmerosdosalunosde01a80empedaosiguaisdepapel, colocamos numa urna e aps misturar, retiramos, um a um oito nmeros que iro compor a amostra.OBS:quando o nmero de elementos da amostra muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma tabela de nmeros pseudo-aleatrios, construda de modo que os algarismos de 0 a 9 so distribudos ao acaso nas linhas e colunas.2.1.1.2Amostragem Proporcional Estratificada Quando a populao se divide em estratos (sub-populaes), convm que o sorteio dos elementos da amostra leve em considerao tais estratos, da obtermos os elementos da amostra proporcional ao nmero de elementos desses estratos.Exemplo:Vamosobter umaamostraproporcional estratificada, de10%doexemplo anterior, supondo que dos 80 alunos, 54 seja meninos e 26 sejam meninas. So portanto dois estratos (sexo masculino e feminino). Logo, temos:SEXO POPUILAO 10%AMOSTRAMASCULINO 54 5,45FEMININO 26 2,63TOTAL 808,08 11Numeramos, ento os alunos de 01 a 80, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 80 meninas e procedemos o sorteio casual com uma urna ou a tabela de nmeros aleatrios.2.1.1.3Amostragem Aleatria SistemticaQuandooselementosdapopulaojseencontramordenados, noh necessidadedeconstruir osistemadereferncia. Soexemplos, ospronturiosde hospitais, os prdios de uma rua, uma lista telefnica, etc. Nesses casos, a seleo dos elementos que constituiro aamostra pode ser feita por umsistema imposto pelo pesquisador, da seguinte maneira:Exemplo Suponha uma rua com 300 casas, das quis desejamos obter uma amostra formada por 30 casas para uma pesquisa de opinio1 - Divide-se o tamanho da populao pelo tamanho da amostra, ou seja, 300/30 =102 - Escolhe-se por sorteio casual, um nmero entre 01 e 10. Supondo que esse nmero fosse 3, a amostra seria: 3 casa, 13 casa, 23 casa, 33 43 e assim por diante, at completar a amostra de 30 residncias.2.1.1.4Amostragem por conglomerados ou Agrupamentos Algumas populaes no permitem ou se tornam difcil que se identifique seus elementos. No obstante isso, pode ser relativamente fcil identificar alguns subgrupos da populao. Em tais casos, uma amostra aleatria simples desses grupos (conglomerados) podeser escolhidaeumacontagemcompletadeveser feitaparaoconglomerado sorteado. Agrupamentos tpicos so quarteires, famlias organizaes, agncias, edifcios, etc.Exemplo:Numlevantamentodapopulaodeumacidade, podemosdispordomapa indicando cada quarteiro e no dispor de uma relao atualizada dos seus moradores. Pode-se, ento, colherumaamostradosquarteiresefazeracontagemcompletade todos os que residem naqueles quarteires sorteados.2.2 Mtodos No ProbabilsticosSo amostragens em que h uma escolha deliberada dos elementos amostrais. Nopossvel generalizar os resultadosdas pesquisas paraapopulao, poisas amostras no-probabilsticas no garantem a representatividade da populao.2.2.1 Amostragem Acidental Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vo aparecendo e que so possveis de se obter at completar o tamanho da amostra. Geralmente este tipo de amostragem utilizado empesquisa de opinio, emque os entrevistados so acidentalmente escolhidos.Exemplo:pesquisasdeopinioempraaspblicas, ruasmovimentadasdegrandes cidades, etc.2.2.2 Amostragem Intencional So amostragens realizadas de acordo com determinado critrio. scolhe-se intencionalmente um grupo de elementos que iro compor a amostra e intencionalmente o investigador coleta a opinio desses elementos.Exemplo: Numa pesquisa sobre a preferncia por determinado cosmtico, o pesquisador se dirige a um grande salo de beleza e entrevista as pessoas que ali s encontram.122.2.3 Amostragem por QuotasEste o mtodo de amostragem mais comumente utilizado em pesquisas de mercado e em prvias eleitorais. Ela abrange trs fases:1-Classificaodapopulaoemtermosdepropriedadesquesesabeoupresume serem relevantes para a caracterstica a ser estudada;2- Determinaodaproporodapopulaoparacadacaracterstica, combasena constituio conhecida, presumida ou estimada da populao; 3 - Fixao de quotas para cada entrevistador, a quem caber a responsabilidade de selecionar osentrevistados, demodoqueaamostratotal observadaouentrevistada contenha a proporo de cada classe, tal como determinada na 2 fase.Exemplo: Numa pesquisa sobre o trabalho da mulher na atualidade. Provavelmente se ter interesse em considerar: a diviso, cidade e campo, a habitao, moradia, idade dos filhos, renda mdia, as faixas etrias, etc.A primeira tarefa descobrir as propores dessas caractersticas na populao. Imagina-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na populao. Logo uma amostra de 50 pessoas dever ter 23 homens e 27 mulheres. Ento o pesquisador receber uma quota para entrevistar 27 mulheres. A considerao de vrias categorias exigir uma composio amostral que atenda ao n determinado e s propores populacionais estipuladas.Exerccios1. Uma escola de primeiro grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa correspondente a 15% da populao, utilizando como ponto deinicio dalinha da tabela de nmeros aleatrios.2. Tenho 80 lmpadas numeradas, dentro deuma caixa. Como obtemos uma amostra de 12 lmpadas?3. Uma populao encontra-se dividida em 3 estratos, comn1 = 40, n2 = 100 e n3= 60. Sabendo-sequeaorealizar umaamostragemestratificadaproporcional, 9elementos foram retirados do 3estrato, determine o nmero de elementos da amostra.3. Sugiraummtododeamostragemadequadoquepoderiaser utilizadoparaobter informaes sobre:(a) a atitude dos passageiros em relao a fumar em servios de nibus locais.(b) A porcentagem de componentes defeituosos produzidos a cada semana em uma linha de produoasatitudesdosfuncionriosemrelaoexistnciadeumberrionolocal de trabalho em uma grande empresa.d) A opinio dos motoristas de carros em relao s medidas de diminuio do trfego em uma rua residencial(e) Os provveis nmeros de vendas de um novo tipo de saquinho de ch4. O quadro abaixo uma lista de um grupo de seminrio de alunos no 3 ano de um curso de Comunicao Social. Com o auxlio da tabela de nmeros aleatrios a seguir voc solicitado a selecionar uma amostra de quatro pessoas utilizando.13a) amostragem aleatria simplesb) Amostragem aleatria baseada no sexoc) Amostragem aleatria sistemticaNome NomeAna CrisstomoJoo SecundinoHelenaOnomatopiaPedro TraineeBruno TwistngelaRisoletaSara Gram BellJoana Hobin HoodDavi CrosBolEulmpio AdrenalinaNmero aleatrios12 15 06 15 17 13 17 20 14 02 2318 14 10 02 09 13 07 12 16 12 1215 16 10 07 13 16 01 14 19 18 2901 27 32 14 19 09 15 18 03 41 205. A gerente representante de uma loja de departamentos local pediu a seu assistente de marketing para conduzir uma pesquisa sobre a possibilidade de abrir at tarde nas noites de teras e quintas. A gerente no possui uma lista dos clientes da loja, mas estima que deve haver mais de 10.000 deles, com90%sendo moradores locais. Ela possui, entretanto, umaanlisedeportadoresdecartodalojabaseadaemidadeegnero, como exibido na tabela abaixo: GneroIdadeMasculino FemininoAbaixo de 20 anos 3 620 a 29 6 1430 34 9 2145 59 7 2060 anos ou mais 4 10Dadoqueoassistentedemarketingpossui um pequenooramento paraimpressoe produtos de papelaria, e que os resultados da pesquisa foram solicitados para daquia duas semanas, sugira um tamanho de amostra adequado e um mtodo de amostragem. D motivos para sua escolha6. Voc foi encarregado, por umjornal dirio nacional independente e de grande circulaoparaempreender umapesquisanacional sobreareaodaspessoasem relao a vrios assuntos, incluindo o tratamento da economia por parte do governo. Voc foi instrudo que para a pesquisa tenha alguma credibilidade, ser necessrio pesquisar uma amostra representativa de pelo menos 5.000 pessoas. Considere, detalhadamente, os mtodos da amostragem e de coleta de dados que voc utilizaria para executar essa 14pesquisa, prestando uma ateno especials exigncias de um grupo de participantes grande e representativoSoluo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 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Uma tabela um quadro que resume um conjunto de dados dispostos em linhas e colunas de maneira sistemtica.De acordo com a resoluo 886 do IBGE, nas casa ou clulas da tabela devemos colocar:(trao horizontal) quando o valor zero (trs pontos) quando no dispomos dos dados0( zero)quando o valor muito pequeno? (ponto de interrogao) quando temos dvida, quanto exatido de determinado valorOBS: Tanto o lado esquerdo quanto direito de uma tabela devem ser abertos.3.1 TIPOS DE SRIES3.1.1 Sries homgradas So aquelas em que a varivel descrita apresenta variao discreta ou descontnua. Podem ser do tipo:3.1.1.1 Srie Temporal Identifica-se pelo carter varivel do fator cronolgico. Portanto o local e fenmeno so elementosfixos. tambm chamada de histrica ou evolutivaABC VECULOS LTDAVendas no 1 trimestre de 2005Perodo Unidades vendidas (1.000 unid.)Jan/96 20Fev/96 10Mar 15Total 453.1.1.2 Srie Geogrfica Apresenta como elemento varivel o fator geogrfico. A poca e o fato so elementos fixos.ABC VECULOS LTDAVendas no 1 trimestre de 2005Perodo Unidades vendidas (1.000 unid.)So Paulo 20Rio de Janeiro 10Recife 15Total 45163.1.1.3 Sries Especificadas O que variaapenasofato ou o fenmeno,permanecendofixos o tempo e o local. Tambm chamada de srie categrica. Veja o exemplo:ABC VECULOS LTDAVendas no 1 trimestre de 2005perodo unidades vendidas (1.000 unid.)Fiat 20Gm 10Chevrolet 15TOTAL 453.1.2 Sries Conjugadas Tambmchamadasdetabelasdeduplaentrada. Soapropriadasapresentaode duas ou mais sries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificao: uma horizontal e outra vertical. Veja o exemplo:FiliaisJaneiroFevereiroMaroSo Paulo10 7 8Rio de Janeiro12 5 6 Recife15 3 5Total37 25193.1.3Sries HetergradasSosries tabeladas em forma de distribuio de freqncias.3.2DEFINIES3.2.1 Dados Brutos- So dados que ainda no foram numericamente organizados. Portanto difcil termos uma idia exata do comportamento do grupo como um todo.Ex: 45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 3.2.2 Rol - Um rol a tabela obtida aps a ordenao dos dados.Ex: 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 603.2.3Distribuio de Freqncia sem Intervalos de Classe: a simples condensao dos dados conforme a repetio de seus valores.Ex:Dados 41424344454650515254575860 Totalf 3 2 1 1 1221111 2 2 203.2.4Distribuio de Freqncia com Intervalo de Classe Quandootamanhodaamostramaiselevado, maisracional efetuar o agrupamento dos valores em intervalos de classe. , conforme abaixo: i ClasseFreqncia ( f )1 4145 72 4549 3 34953 4 4 5357 1175 5761 5 Total203.3ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIA (com intervalo de classe)3.3.1 Classe o intervalo de variao da varivel e simbolizado por i e o nmero total de classe simbolizado por kEx: na tabela anteriork = 5 e i = 1, 2, ... , 53.3.2Limites de Classe Soos extremos de cada classe. O menor nmero o limite inferior de classe (li) e o maior nmero limite superior de classe (ls).Ex: na classe 49 53 , li = 49e ls= 53 . O smbolo representa um intervalo fechado esquerda e aberto direita. O valor 53 pertence a 4 classe e no a 3.3.3.3Amplitude do Intervalo de Classe obtida por meio da diferena entre o limite superior e inferior da classe e simbolizada por i s il l h . No exemplo anterior 4 49 53 ih 3.3.4 Ponto Mdio da Classe o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Ex. na classe de 49 a 53, o ponto mdio 51 2 / ) 49 53 ( +3.3.5 Amplitude Total da Distribuio a diferena entre o ponto mdio da ltima classe e o ponto mdio da primeira classe. No exemplo anterior, 16 43 59 TA 3.3.6Amplitude Total da Amostra (Rol) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo do rol. Em nosso exemplo: 20 41 61 TA 3.4 MTODO PRATICO PARA A CONSTRUO DE UMA TABELA DE DISTRIBUIO DE FREQNCIAS COM INTERVALOS DE CLASSE 1)Organizar os dados brutos em um rol;2)Calcular a amplitude total da amostra;3)Calcular o n de classes, utilizando a frmula de Sturgesk = 1+ 3,22 + log n, onde n o nmero de dados ou de observaes;4) Determinar a amplitude do intervalo de classe, dividindo a amplitude total ATda amostra pelo nmero de classes k, ou seja , faa h = AT / k. Aplicao:Os dados a seguir representam o tempo ( em segundos) para carga de um aplicativo, num sistema compartilhado5,2 6,4 5,7 8,3 7,0 5,4 4,8 9,1 5,5 6,24,9 5,7 6,3 5,1 8,4 6,2 8,9 7,3 5,4 4,85,6 6,8 5,0 6,7 8,2 7,1 4,9 5,0 8,2 9,95,4 5,6 5,7 6,2 4,9 5,1 6,0 4,7 14,1 5,34,9 5,0 5,7 6,3 6,0 6,8 7,3 6,9 6,5 5,9Com base nesses dados, determine:a) o rolb) a amplitude total (amostral)c) o nmero de classesd) a amplitude das classese) os limites de classef) os pontos mdios das classes18g) as freqncias absolutas das classesh) as freqncias relativasi) as freqncias absolutas acumuladasj) as freqncias relativas acumuladasSoluo e anotaes- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 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A soma das freqncias simples igual ao nmero total dos dados da distribuio.4.3 Freqncia Simples Acumulada de uma classe: o total das freqncias de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe.4.4FreqnciasRelativas:Soosvaloresobtidosatravsdoquocienteentreas freqncias simples de cada classe e o total das freqncias da distribuio. A soma das freqncias relativas 1 ou 100%.4.5FreqnciaRelativaAcumuladadeumaclasse:afreqnciaacumuladada classe dividida pela freqncia total da distribuio.4.6 Polgono de Freqncias Simples: um grfico formado por uma linha poligonal fechada, traadaapartir dospontosmdiosdabasesuperior decadaretngulodos intervalos de classe. Para realmente obtermos alinha fechada temos que ligar os extremos da linha obtida aos pontos mdios da classe anterior primeira e da posterior ltima, da distribuio.4.7 Polgono de freqncia Acumulada traado marcando-se as freqncias acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadasnospontosmdioscorrespondentesaoslimitessuperioresdos intervalos de classe.AplicaoCLASSE fi5054 35458 75862106266 156670 47074 1Com base na tabela acima, pede-se: a) os pontos mdios da distribuiob) as freqncias absolutas acumuladasc) as freqncias relativas20d) as freqncias relativas acumuladase) construir o histogramaf) construir o polgono de freqnciasg) construir o polgono de freqncias acumuladasClculos e Anotaes- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 21- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRALSo medidas que fornecem o valor do ponto em torno do qual se distribuem os dados.5.1 A MDIA ARITMTICA mdia aritmtica uma medida estatstica que calculada -se todos os possveis valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo nmero de itens desse mesmo conjunto. Vamos considerar dois casos:1) Para dados no-agrupados ou dados brutosUtilizamos a expresso nxXi Ex. 1 Calculara mdia de peso, em gramas, de ratos machos da raa Wistar com 30 dias de idade, segundo os dados abaixo:50 6270 86 60 64 66 77 58 5582 74 67 67128041274 ..... 62 50 + + + X X gramas2) Para dados agrupados:Dados agrupados so aqueles que esto dispostos em uma tabela de distribuio de freqncias. Utilizamos a expresso:..nf xXi i ;onde if nEx. 2 Encontrara mdia dos dados a seguir, que considera o nmero de aulas perdidas por uma turma de alunos em determinada semana.N de aulas perdidas (x)Nmero de alunos (f)0 81 102 123 636Logo 44 , 1 36 / 52 X aulas perdidas nessa semanaEx. 3 Calculara mdia dos nascidos vivos ao nascer segundo opeso, em kg dos dados que se encontram dispostos na tabela abaixoClasse (i) Ponto Mdio (Xi)Freqncia (fi)1,5 2,0 32,02,5 162,53,0 313,03,5 343,54,0 114,0 4,5 44,55,0 122Logoa mdia aritmtica ser: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5.2A MEDIANA A mediana o valor que ocupa a posio central de uma distribuio de dados ordenados em um rol. Consideremos tambm dois casos:1)PARA DADOS NAO AGRUPADOS5.2.1 Amostras de tamanho impar -Ex:1, 4, 6, 9 e 11 M d = 65.2.2Amostras de tamanho par -Ex: 1, 5, 7, 10, e 11 M d= (7 + 8) /2= 7,5 2)PARADADOS AGRUPADOS. Utilizamos a expresso:

hffnl Mmdimd d.2

,_

+ ,Onde: l m d = LimiteInferior da classe que contm a M d

h= Amplitude da classe M d n=Tamanho da amostra f= Somatrio das freqncia anteriores M d f m d=Freqncia absoluta da classe M d Exemplo 2:Calcular a mediana dos dados da tabela abaixo Classes fiFi 35 45 5 45 55 12 55 65 18 65 75 14 75 85 6 85 95 31 Passo:Calcula-se n / 2. Comon = 58, 58 / 2 = 29 posio 2 Passo: Identifica-se a classe mediana pela Fi. 3 Passo : Aplica-se a frmula. Nesse caso, temos:l m d =55; n = 58; f i = 17;h = 10;f m d = 18.Da,Vamos calcular: M d = 23 5.3A MODA o valor que ocorre com mais ou maior freqncia em uma distribuio de dadosAqui, tambm temos que considerar dois casos:1)5.3.1DADOS NO AGRUPADOSExemplo 1: Indivduos, segundo o tipo de sangue Tipo de sangue O A B ABModa = - - - - -Freqncia 547 441 123 25 2)5.3.2DADOS AGRUPADOS 1 Passo :Identifica-se a classe modal. A classe modal aquela que possui maior freqncia.2Passo : Aplica-se a frmula: h l Mi o.2 11 + + Onde: il= Limite inferior da classe modal;1 =Diferena entre a freqncia da classe modal ea classe anterior ;2 =Diferena entre a freqncia da classe modal ea classe posterior;h =Amplitude da classe.Exemplo 1: Considere os dados da tabela abaixo para calcular a moda

Classes fiFi 35 45 5 45 55 12 55 65 18 65 75 14 75 85 6 85 95 358Neste caso, a classe de maior freqncia a- - - - - classe, ento: l i=55;1 =18 12 = 6;2= 18 14 =4eh = 10Logo, qual seria a moda?

M o=

24QUESTES PARA AVALIAO de APRENDIZAGEM1. A mdia aritmtica a razo entre (a)o nmero de valores e o somatrio deles(b)os dois valores centrais(c)o somatrio dos valores e o nmero deles(d)os valores extremos 2. Na srie 60,90,80,60,50a moda : (a)50 (b)60(c) 80 ( d)90(e)853. A medida que tem o mesmo nmero de valores abaixo e acima dela: (a)a moda(b) a mediana(c) a mdia(d) o lugar mediano4. A soma dos desvios entre cada valor e a mdia : (a) positiva (b) diferente de zero (c) negativa(d) zero(e) No sei dizer5. Na srie 60,50,70,80,90 o valor 70 ser: (a)a mdia e a moda(c)a mediana e a moda (b)a mdia e a mediana6. Quando queremos verificar a questo de uma prova que apresentou maior nmero de erros, utilizamos: (a) moda (b) mediana (c)mdia(d)amplitude total(e)freqncia acumulada7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retngulos foram anotadas as freqncias absolutas, ento a mediana : 30 2520 10 15 24 68 10 12 (a) 6,5 (c) 7,5(b)8,0 (d) 7,0 (e) 308. Na srie 15, 20, 30, 40, 50, h abaixo da mediana:(a)3 valores(b) 3,5 valores(c)2 valores(d)4 valores (e) nenhum valor 9. O clculo da mediana pressupe o conhecimento da (o): (a)mdia(b)desvio padro (c)moda(d) ponto mdio (e) pessoa que sabe10. Analisando os dados de uma folha de pagamentos, que medidasse utilizaria para:

a) descobrir o salrio mais freqente - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --b) o salrio que divide os pagamentos em partes iguais - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) descobrir o salrio mdio dos funcionrios- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11. Dados os salrios anuais, em reais, de cinco jornalistas autnomos, calcule a mdia, a mediana e a moda. Que medida de tendncia centralfornece a medida resumo mais adequada?17.000 18.00020.000 23.000 65.00012. Considere a seguinte srie: 4, 5, 6, 6, 6. 7, 8, a) Calcule a mdia, a moda e a mediana25b) Substitua o valor 8 pelo valor 18 e faa novamente os clculos. c) que aconteceu com a mdia? E com a moda? E a mediana? d) Que concluses voc pode tirar a respeito desse fato?13. Suponha que voc no se encontrando em sua profisso, resolveu entrar no ramo de Delivery de alimentos e aps 40 semanas de vendas, resolveu fazer um levantamento geral das atividades. O quadro abaixo mostra os valores das vendas em milhares de R$: 16 29 16 19 24 17 18 20 19 22 17 2423 34 20 19 22 11 14 13 19 20 26 19 2122 21 27 24 20 17 18 23 18 20 24 17 2220

Com base nas suas vendas, determinar:a) O rol; b) a amplitude mxima;c) amplitude de classes de freqncias; d) distribuio em classes de freqncias;14. Elaborar:15. Calcular: a)histograma; a) a mdia;b)histograma de freqncia acumulada;b) a mediana;c)polgono de freqncia acumulada;c) a moda;

16. Num restaurante foi observado o consumo mensal de energia eltrica 290 321 308213318 302358286 393 398352 235 329333409 351325458 314 181396 340 356369281 386334331 348 339321 415 327377344 209327245 297 355a) Organize os dados em ordem crescente (Rol)b) qual o menor consumo? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -c) qual o maior consumo?- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - d) qual a amplitude total da distribuio? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e) qual sua sugesto para o nmero de classes? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -f) qual a amplitude do intervalo de classe? - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -g) construa a distribuio de freqncias N da classe(classes)(fi)h) Qual o limite inferior da segunda classe?i) Qual o limite superior da quarta classe?j) Qual a freqncia absoluta da quarta classe?k) Qual a freqncia relativa da quinta classe?l) Calcule a mdia aritmticam) Calcule a mediana 26n) Calcule a Modao) Qual dessas medidas representa melhor esse consumo de energia?17. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que:(a) A moda maior do que a mediana e menor de que a mdia(b) A moda menor do que a mediana e maior do que a mdia(c) A moda menor do que a mediana e esta maior do que a mdia(d) A mediana maior do que a mdia e menor do que a moda(e) A mdia igual a mediana e esta igual a moda18. Utilizando a srie de dados: 2, 5, 7, 8, comprove as seguintes propriedades da mdia aritmtica.a) A soma dos desvios em torno da mdia igual a zero, isto (X i X) = 0.b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrria de todos os valores da srie, c) a mdia ficar aumentada ou diminuda dessa mesma quantidade.d) multiplicando ou dividindo cada termo de uma srie por uma constante, a mdiaficar multiplicada ou divida pela constante.e) a soma dos quadrados dos desvios medidos em relao mdia um mnimo, ou seja, sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relao aoutro valor qualquer, isto , (X i X)2 = 0.Anotaes e Clculos 276MEDIDAS DE POSIOAs medidas de posio so medidas ou separatrizes que dividem a rea de uma distribuio de freqncias em regies de reas iguais e.6.1QUARTIS So Separatrizes que dividem um conjunto dedados em quatro partes iguais 0% 25% 50% 75% 100%Q1Q2Q3 6.1.1 Primeiro Quartil- Q1 Separatriz que divide a distribuio em duas partes, tal que 25% dos valores sejam menores que ele e 75%maiores que ele.6.1.2 Segundo Quartil - Q2

O segundo quartil coincide exatamente com a mediana. o valor que divide a distribuioem exatamente metadedos elementos.6.1.3 Terceiro Quartil - Q3

Valor que deixa 75% dos valores sua esquerda e os 25% restante sua direita - Frmula para o Clculo dos Quartis.

a mesma utilizada para o clculo da mediana, com pequenas adaptaes.

hffnl QQantQ.411 1

,_

+ Determinao de Q 11Passo :Calcula-sen/4;2Passo :Identifica-se a classe Q1, atravs da Fi ;3Passo :Aplica-se a frmula.- Determinao de Q3

1Passo : Calcula-se 3n/4;2 Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fi;3 Passo: Aplica-se a frmula :Aplicao: Dada a distribuio abaixo, determinarQ1, Q2 e Q3.Classes71717 272737374747 57 fi 6152010 556 Fi 6 214151 56 --Q1Q3 28Q 2 = M d 1 Passo : n=56Q1 =?Q2=MdQ3=?n 4= 14n 2=28 3n 4 =42 2 Passo:Atravs daF i, identifica-se a classe Q1,M d e aQ 33 Passo : Uso das frmulas: Q1 l Q1 = 17 n = 56 f ant=6h = 10 f Q1 = 15Para M d l m d = 27n = 56 f ant= 21h = 10 f md = 20 Q3 l Q 3 = n = f ant= h =fQ3 = Aplicando esses resultados em suas respectivas frmulas , obtemos:Q1 = 22,33 Q2 = M d = 30,5 Q 3 = 38 O que isso significa? 25%25% 25%25%

722,23 30,5 38 57- O valor 22,33 deixa dos elementos- O valor 30,5 deixa 50%38 deixa dos elementos 6.2DECIS - Di

Soseparatrizes que dividem uma srie ou uma seqncia de dados ou de observaes em 10 partes iguais.0%10 % 20% 30%40%50% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90% 100% D1 D2D3 D4D5D6D7 D8 D9D10 - FrmulaA frmula, neste caso, tambm idntica s separatrizes anteriores.- Procedimento1 passo : Calcula-se (i . n) / 10,i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 92 passo: Identifica-se a classeD ipela F ac.3 passo : Aplica-se a frmula: hffinl DDiacDi i.10

,_

+ Onde : l D i =limite inferior da classe D i , i = 1,2,3, ..9n = tamanho da amostrah = amplitude de classef D i= freqncia da classe D i f ant = soma das freqncias anteriores classe D i29_6.3PERCENTIS - PiSo as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. 0% 1%2% 3% 4% .......50%....97%98%99% 100%P1 P2 P3 P4 ..P50 ............P70 P97 P98P99 P100 - Procedimento:1 Passo: Calcula-se in / 100 ,comi=1,2,3,......, 98,99.2 Passo: Identifica-se a classe Pi pela F ac3 Passo: Usa-se a mesma frmulados Decis, trocando-sel di porl Pi ef Di por f Pi - Exemplo: Determinar o D4 e o P72da seguinte distribuio: Classe499 1414 1919 24Frmula f i 8 1217 3

f ac 8203740 classe D4 classe P72

Clculo de D4 Clculo de P721 Passo: in /10 =4. 40 / 10 = 16 in / 100 = 72 .40 /100 = 28,82 Passo:Identifica-se a classe D4eP72pela F ac 3 Passo:Utilizao das frmulasPara D 4 l D4 =; f= ;h =; f D4 = ;n = P 72 l P72 = ; f= ;h =; f P72 = ;n = Substituindo nas frmulas ,D4= 12, 33e P72 = 16,89- Anlise e ConclusoO valor 12,33 divide a amostra em duas partes, sendo uma contendodos dados e outra contendo Enquantoqueovalor16,89indicaquedadistribuioestoabaixodelee acima.Anotaes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -30- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7 MEDIDAS DEDISPERSO (VARIABILIDADE)

So medidas que servem fundamentalmente para verificar a representatividade das medidas de tendncia central, pois, estas,por si s, no so suficientes para caracterizar totalmente uma seqncia numrica.Considere as seguintes sriesMDIA X 13 71010 11 1518 2035 13 Y1212 121313 13 1314 1414 13

Z1313 131313 13 1313 131313 Anlise: Concluso:7.1A AMPLITUDE TOTAL a diferena entre o maior e o menor valor de uma seqncia de dados,ou seja,

min maxX X A Como se Calcula ?SriesA m p l i t u d e 1 -iX:910 1120 2. X i4 5 79 fi 1610 3

3.Classes24 46 6 8 8 101012

fi 510 20 74 Vantagem: ----------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------

Desvantagem: ------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------317.2A VARINCIA E O DESVIO-PADRO1. Nosso propsito medir o grau de concentrao dos dados em torno da mdia;2. Nada mais interessante de queestudarmos os desvios de cada valor em relao media, isto , ) ( X Xi 3. Tomando-se o somatrio de todos esses desvios, temos que: 0 ) ( X X di i4. Para solucionar esse problema, pelo menos duas solues foram apresentadas. Quais foram?1 2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7.3O DESVIO MDIO iiMfnX XD . 7.3.1Clculo da Varincia e do Desvio-padro: Para o clculo da varincia e do desvio-padro vamos considerar as seguintes expresses:Varincia Desvio-padro Universo nf X Xi i. ) (222 Populacional

1. ) (22nf X XSi i 2SAmostral Comentrios 1 - No clculo da varincia, quando elevamos os desvios ao quadrado, a unidade de medida tambm ficar elevada ao quadrado, sempre;2 - Em diversas situaes, a unidade de medida da varincia nem faz sentido. o casopor exemplo, emqueosdadossoexpressosemlitros, pizzas, salrios, etc... Portanto, ovalordavarincianopodesercomparadodiretamentecomosdadosda srie, ou seja, a varincia no tem interpretao3 - Exatamente para suprir essa deficincia da varincia que lanamos mo da definio do desvio-padro, que por sua vez, ter sempre a mesma unidade de medida da srie e portanto admite interpretao. 7.3.3 Interpretao do Desvio-padro O desvio-padro , sem dvida a mais importante das medidas de disperso e vital queopesquisador consigarelacionar ovalor obtidoatravsdafrmula, comos dados da srie. Quando uma curva de freqncia representativa de uma srie perfeitamente simtrica , a construo grfica em forma de sino corresponde curva normal (curva de Gauss) e podemos afirmar que:32

3 2 X ++2+3 Zona de normalidade (2 )

Intervalo (%) de valores contidos da srie

) ( t X68 ) 2 ( t X 95 ) 3 ( t X 99- ZONA DE NORMALIDADEA zona de normalidade definida por um conjunto de valores (ou uma regio) em torno da mdia aritmtica, contidos num intervalo de amplitude 2 , ou seja, -antes da mdia e + depois da mdiaAplicao:Um restaurante cobra o almoo de cada cliente mediantepeso (por quilo) da quantidade de alimento consumida. Foi observado, durante um ms, que as quantidades de alimento consumidas so normalmente distribudas com uma mdia de 550 g e desvio padro de 200 g, Calcular:a) a amplitude do intervalo da zona de normalidade.Sendo: g X 550 e= 200 g , calcula-se o intervalo:300 200 550 X g750 200 550 + + X g Portanto, a amplitude do intervalo da zona de neutralidadeou de normalidade, de 350 g at 750 g. Isso significa que 68% da clientela consomem entre 300 e 750 g de alimentos b)a amplitude dos 95% centrais. Este com vocs!

7.4 O COEFICIENTE DE VARIAO (Disperso Relativa)Considere as sries abaixo e suas respectivas estatsticas:

VarivelMdiaDesvio-padro C V X 102 Y 1005 Analisando osresultados:1.Qual srie possui maior disperso? 2.Que tipo de disperso?

3.. Levando-se em considerao as mdias das duas sries, o desvio-padro de Y que em relaoa sua mdia que - - - - - -, menos significativo que o desvio-padro deX que - - - - - -em relao a - - - - - -.

334. Este fato nos leva a definir umamedida de disperso relativa, que o Coeficiente de Variao, ou seja,

XCv

Concluso1. Ocoeficientedevariaoumnmeropuro, portantopodeser expressoem percentual.2. O coeficiente de variao leva em considerao tanto a mdia quanto a disperso absoluta dasrie, portanto uma medida mais completa do queadisperso absoluta isoladamente; 3 . Para nosso exemplo, comparando os C V de X e Y conclui-se queY tem menor disperso relativa do que X.Ser que Voc Consegue?tente.1. Qual a desvantagem da utilizao da varincia como medida de disperso? 2. Qual amedida que se utiliza para compensar essa desvantagem?3. O coeficiente de variao uma medida que expressa a razo entre: (a) A mdia e o desvio padro(a) O desvio padro e a mdia(c) O desvio padro e a moda(d) a soma dos desvios e amdia(e) o desvio padro e a mediana4. O desvio padro de uma distribuio 9 . A varincia ser: (a)3( b)36 (c)18(d) 81 (e) 35. Realizou-se uma prova de microeconomia para duas turmas. O resultados foram os seguintes:Turma MdiaDesvio padroA52,5B42,0(a) A turma B apresentou maior disperso absoluta(b) A disperso relativa de A igual disperso relativa de B(c) Tanto a disperso absoluta quanto a disperso relativa so maiores para a turma B(d) A disperso absoluta de A maior do que a de B, mas em termos relativos as duas nodiferem quanto ao grau de disperso das notas(e)A turma A menos dispersa do que a turma B6. Examinando a figura abaixo podemos concluir que:

B34 A

x(a) Tanto o desvio padro quanto a mdia de A so diferentes de B(b) O desvio padro de A maior do que o de B e as mdias so iguais(c) O desvio padro de A menor do que o de B e as mdias so diferentes(d) O desvio padro de A igual ao de B e independe do valor da mdia(e) As duas distribuies possuem o mesmo coeficiente de variao.7.Dentre as amostras:Amostra 1:0,1,2Amostra 2: 13,1 ,13,3,13,5,13,7Amostra 3: 26,27 ,28 Amostra 4: 1001,1002, 1003Amostra 5: - 5,10, 25A de maior desvio-padro : (a) 1( b) 2( c)3( d)4( e) 58) Nas operaes financeiras, o investidor tenta estabelecer um valor mdio de rentabilidade. O risco da operao medido atravs:a) mdia das rentabilidades b) desvio-padro das rentabilidadesc) desvio-padro d) desvio modale) mdia ponderada9. Os coeficientes de variao das estatsticas abaixo so respectivamente: DisciplinaX S Estatstica80 16

Clculo I20 5(a) 16% e 40% (b) 50% e 25%(c) 20% 25% (d)50% e 40% (e) 80% e 40%10. Para quaisquer valores de X, quanto vale a expresso (X X)?(a) 5 (b) 3(c)2(d) 0(e) 111. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos que medida voc utilizaria para descobrir a disperso absoluta em torno da mdia?12. Numa distribuio de valores iguais, o desvio padro :(a) negativo (b) positivo(c) a unidade(d) zero(e) no sei do que se trata 13. O clculo da varincia supe o conhecimento da: (a)mediana (b)ponto mdio(c) mdia(d) da moda(e) do desvio padro 3515. Qual a posio da mdia, moda e mediana para distribuies consideradas simtricas? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _16. Qual a forma e o nome da curva que representa as distribuies simtricas?(a) Sino e Gosset(b)Ferradura e Laplace (c) Sino e Gauss(d) Jota e t - Student17. Falando em distribuio simtrica, preencha o quadro abaixo:Intervalo % Significado t X ------ ---------------------------------------------------------------------------------- 95 ---------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------18. Num determinado bairro residencialde classe mdia, constatou-se que o consumo mdio de energia se distribuinormalmente, com uma mdia de 250 kW, com desvio padro de 30 kW.Calcule:(a) a amplitude do intervalo da zona de normalidade.(b) Se este bairro possui 7.200 famlias, quantas famlias pertencem zona de neutralidade de amplitude dos 95% centraisAnotaes 368 MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Assimetria o grau de afastamento de uma distribuio da unidade de simetria.Quando uma distribuio simtrica, os valores da mdia, da moda e da mediana so coincidentes. A figura abaixo (a) mostra uma distribuio simtrica; (b) assimtrica positiva e (c) assimtrica negativa. (a) (b) (c) f f f

d oM M X

X M Md o

o dM M X

simtrica assimtrica positivaassimtrica negativa8.1 COEFICIENTE DE ASSIMETRIA 1 Coeficiente de Pearson 2 Coeficiente de Pearson (Bowley) ) (osM XA 1 33 1) 2 (Q QM Q QAds + Observaes 1 O uso de um ou outro coeficiente vai depender da dificuldade de se calcularuma ououtra estatstica. 2(Q3 Q1) Chama-se Intervalo Interqualtico. =0 Simtrica. 3A S < 0 distribuioAssimtrica Negativa>0AssimtricaPositiva Aplicao

Determinar o coeficiente de assimetria pelos dois processos e classificar a curva para a distribuio abaixo:Classe x i f iF i 02 24 4637 688 10Clculos

389.MEDIDAS DE CURTOSECurtose o grau de achatamento de uma distribuio. Asfigurasa, b, ecmostramastrsformasqueumadistribuiopodeseapresentar segundo sua curtose.(b) f f f (a) (c) mesocrticaleptocrticaplaticrtica

k = 0,263k > 0,263 k < 0,263

9.1 CLCULO DO COEFICIENTE DE CURTOSE

Para se medir o Grau de Achatamento ou de Curtose de uma distribuio utiliza-se o Coeficiente: 10 90P PQK

que chamado de Coeficiente Percentlico de CurtoseOndeQ= 1/2 (Q 3 - Q 1) chamado de Intervalo Semi-interqualtico- Exemplo Classificar a curva que corresponde distribuio:Classes 3 8 81313 18 18 23

f i 5 152010 FacClculos

39

10TEORIA E CLCULO DAS PROBABILIDADESIntroduoConsciente ou inconscientemente a probabilidade utilizada por qualquer indivduo que toma deciso em momentos de incerteza. Conhecendo-se ou no as regras para seu clculo, muitas pessoas interessam-se por eventos ligados probabilidade. Do contrrio com poderamos explicar o grande nmero de pessoas que arriscam a sorte, jogando em loterias, bingos, corridasdecavalos, etc. Alis, asaplicaesiniciaisdoclculodas probabilidades tiveram inicio no sculo XVII em funo dos jogos de azar.Autilizaodasprobabilidadesindicaaexistnciadeumelementoaoacasooude incerteza quanto ocorrncia ou no de um evento aleatrio.Ao estudarmos um fenmeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o prprio fenmeno e o modelo matemtico associado ao mesmo, que permita explic-lo da melhor forma possvel. Ateoriadasprobabilidadesummodelomatemticoutilizadoparaexplicar fenmenos aleatrios coletivos e fornecem estratgias para a tomada de deciso. Tais fenmenos, mesmo em condies normais de experimentao, seus resultados variam de uma observao para outra, dificultandoa previso de um resultado futuro.10.1 Tipos de Fenmenos a) Determinsticos Os resultados so sempre os mesmos, quaisquer que sejam as n repeties.Exemplo: a gua submetida temperatura de 100, passar do estado lquido para o gasoso, sempre.b) AleatriosCasuaisouNo-DeterminsticosOsresultadosnoso previsveis, mesmo que haja nrepeties.Exemplo: Num pomar com centenas de laranjeiras, as produes da cada planta sero diferentes e no previsveis, mesmo estando todas, sob as mesmas condies de solo, temperatura, umidade, etc... Obs.1.Quando umfenmeno -------------------------------a teoria dasprobabilidadesno fornece um modelo matemtico adequado para explicar o fenmeno; 2. O objeto da teoria ------------------------------------ so os fenmenos aleatrios;3. Parafacilitar odesenvolvimentodateoriasemusar recursosmatemticosmais sofisticados, por ora, vamos restringir nosso estudo a uma classe de fenmenos aleatrios chamados de ------------------------------------------------------ 10.2 Experimento Aleatrio E 40 Os experimentos so fenmenos aleatriose mesmo que as condies iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada tentativa, sero diferentes e no previsveis e possui as seguintes caractersticas: a) Poder ser repetido indefinidamente sob as mesmas condies;b) No se conhece, a priori, um valor particular do experimento, porm pode-se descrever todos seuspossveis resultados;c) Quando for repetido um grande nmero de vezes, surgir umaregularidade, ou seja, haver uma estabilidade da frao f = r/n , onde :r = o nmero de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realizao do experimento n = o nmero de repeties f

1 0n 10.3Espao Amostral Finito Equiprovvel S UmEspaoAmostral oconjuntodetodosospossveisresultadosdeum experimento aleatrio. Ele ser Equiprovvel ou Uniformequandoassociacada ponto do espao amostral a mesma probabilidade de ocorrncia.Exemplos

E1 =Lanar um dado no viciado e anotar o nmero de pontos; S1 = {1, 2, 3,4, 5, 6}E2 = Lanar uma moeda e anotar a face voltada para cima;S2 = { E3 = Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, anotar o naipeS3 = { E4 = lanar duas moedas e observar as faces voltadas para cima.S4 = {E5 = Lanar uma moeda sucessivamente at que se obtenha a 1 caraS5 = {E6 = Escolha de um ponto no intervalo [3 , 12] e anotar a distncia do ponto escolhido P ao ponto 5;S6 = { 41E7 = Jogar uma moeda 4 vezes e anotar o nmero de caras obtidas S7 = { E8 = O nmero de rebites utilizados na asa de um avio S8 = {10.4 Evento e Operaes com EventosUm evento qualquer subconjunto do espao amostral S. Considere S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, o espao amostral relativo ao lanamento de um dado.Note que, se A = {1, 2}; B = {2, 4}e C = { }, so subconjuntos de S e portanto so eventos. Dessa forma: O prprio espao amostral S e o so eventos; S dito o evento certo de ocorrer e o evento impossvel; Usando as operaes com conjuntos, podemos formar novos eventos:i) A B = {x S / x A e x B } evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou ambos ocorrem.II) A B = { x S / x A ou x B }evento que ocorre se A e B ocorrerem ao mesmo tempoIII) A ou CA evento que ocorre se A no ocorrerExemplo

Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6};Se A = {1, 2, 3}B ={2, 3, 6 } C = {2, 3, 4}A B ={} A C = { }CA = { } CB= {}C (A B) = { }C(A C) = { } 10.5 Eventos Mutuamente ExclusivosDois eventos A e B so mutuamente exclusivos quando a ocorrncia de um deles exclui a possibilidade da ocorrncia do outro, ou seja, eles no podemocorrer simultaneamente, isto ,A B=Exemplo:E : jogar um dado e observar o resultado S='1, 2, 3, 4, 5, 6;. Sejam os eventos : A=ocorrer n par A = ' 2, 4, 6; e B=ocorrer n mpar B=' 1, 3, 5;Logo, A B= .O que isto significa? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10.6 Definio de Probabilidade Probabilidade uma funo que associa a cada evento Sum nmero reale satisfaz aos seguintes axiomas: SR PBA[0 ,1] C42I)0 P (A) 1II)P (S) =1III)Se E1,E2, ..........En, forem mutuamente excludentes, ento:

P (E1 E2 .........En ) = P (E1) + P (E2) +. . . . + P(En)10.7 Principais Teoremas8.1 -Se o conjunto vazio, ento:P( ) = 08.2 - SeA o complementar de A , ento:P( A ) = 1 P (A)8.3 - Se A B,ento: P (A) P (B)8.4 - Se A e B so dois eventos quaisquer, ento:P (A B) = P (A)+ P (B) P (A B) 8.5 Se A, B e C forem trs eventos quaisquer, ento: P (A B C) =P (A)+ P (B) + P (C)10.8 Eventos Equiprovveis Soaqueles que tm amesma probabilidadede ocorrerem, ou seja se oespao amostral S contm n pontos e a probabilidade de cada ponto ser : Pi = 1 np = 1 p = 1/nPor outro lado, se um evento A contm r pontos, ento:P(A) =r . (1/n) . Este o mtodo de avaliar P(A). e enunciado da seguinte forma:N de casos favorveisP(A)= N de casos possveisExemplo Retira-seumacartadeumbaralhocomum, bemembaralhadode52cartas. Qual a probabilidade de:a) A=Sair um reiP(A)=4/52b) B= Sair uma carta de espadas P(B)=13/52c) C=Sair um rei ou uma carta de espadas P(A B) = ?

P(A B)=P(A) + P(B) P(A B)P(A B) =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - Logo, P(A B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Praticando o que aprendeu1. Considere o espao amostral do lanamento de um dado e a observao da face superior. Descreva, por seus elementos, os seguintes eventos;a) Sair face par - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -b) Sair face primo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) Sair face maior que 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -d) Sair face maior que 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e) Sair face mltipla de 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -f) Sair face menor ou igual a 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 432. Considere o espao amostralS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e os seguintes eventos: A = {2, 3, 4};B = {1, 3, 5, 7, 9};C = {5};D = {1, 2, 3};E ={2, 4, 6}Determinar:a) A B b) A B c) A Cd) CAe) CB f)C(A B) 3. Se P (A) = 1/2 ; P (B) =1/4 , sendo A e B mutuamente exclusivos, calcular:a) P (A) b) P (B) c) e)P (A B)d) P (A B) e) P (AB)2. Determine a probabilidade de cada evento:a) Um nmero par aparecer no lanamento de um dado no viciado;b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho;c) Pelo menos uma cara aparece no lanamento de trs moedas;d) Duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho.3. Dois dados so lanados simultaneamente. Qual a probabilidade de:a) A soma ser menor que 4b) A soma ser 9c) O primeiro resultado ser maior do que o segundod) O primeiro resultado ser igual ao segundo4. Umaurnacontm5bolasbrancase6pretas. Trsbolassoretiradas. Calculara probabilidade de:a) Todas serem pretasb) Exatamente uma ser brancac) Ao menos uma ser preta5. Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:a) Ela no tenha defeitos gravesb) Ela no tenha defeitosc) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves6. Um experimento consiste em lanar trs moedas e observar a diferena entre o nmero decaras eonmerodecoroas obtidos nestelanamento, Expliciteesseespao amostral.7. Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agncia de viagens, 100 viajam para Petrolina e 80 para Juazeiro e 30 viajam para as duas cidades simultaneamente. Qual a probabilidade de um turista escolhido ao acaso estar de viagem para:a) Petrolina b) Juazeiro c) Petrolina ou JuazeiroAnotaes- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -