Caderno de Provas Nacionais - MAtemática B

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CADERNO DE PROVAS NACIONAIS

MATEMÁTICA B

Provas e Propostas de Resolução de 2006 a 2008

V.S.F.F.735/1

PROVA 735/11 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

11.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março)

Curso Científico-Humanístico

de Artes Visuais

Duração da prova: 150 minutos 1.ª FASE

2006

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA - B

735/2

Identifique claramente os grupos e os itens a que responde.

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta(excepto nas respostas que impliquem a elaboração deconstruções, desenhos ou outras representações).

É interdito o uso de «esferográfica-lápis» e de corrector.

As cotações da prova encontram-se na página 10.

A prova inclui um formulário (pág. 11).

V.S.F.F.735/3

Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara,indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que umaresposta, deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada(riscando todas as que pretende anular).

Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresentetodos os elementos recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:

• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente ográfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes paraa resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos deintersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);

• sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, asapresente todas linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto;

• sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desviopadrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma recta deregressão, etc.), as listas que introduziu na calculadora para as obter.apresente

735/4

V.S.F.F.735/5

1. A turma da Isabel decidiu fazer arranjos florais, utilizando flores do horto da escola, para

vender no Dia dos Namorados.

Idealizaram arranjos formados por margaridas, rosas e violetas.

Dispõem de: 192 margaridas, 88 rosas e 112 violetas.

Pensaram formar dois tipos de arranjos: A e B.

Cada arranjo do tipo A:

• será composto por 16 margaridas, 4 rosas e 8 violetas;

• dará um lucro de 3 euros.

Cada arranjo do tipo B:

• será composto por 8 margaridas, 8 rosas e 8 violetas;

• dará um lucro de 2 euros.

1.1. A Isabel sugeriu que se fizessem 7 arranjos de cada tipo.

O Dinis sugeriu que se fizessem 10 arranjos do tipo A e 5 do tipo B.

Averigúe se cada uma destas propostas é, ou não, viável, tendo em conta as flores

disponíveis.

1.2. Determine o número de arranjos de cada tipo que os alunos devem produzir, para

obterem o maior lucro possível (admitindo que vendem todos os arranjos).

735/6

2. Numa festa de aldeia, foi montado um palco para a realização de um espectáculo. Em frente deste, colocou-se uma plateia, com um total de 465 cadeiras, dispostas em filas. Em cada fila, as cadeiras foram encostadas umas às outras, sem intervalos entre elas. A primeira fila tem 10 cadeiras e a última fila tem 52 cadeiras. A segunda fila tem mais cadeiras do que a primeira. A terceira fila tem também mais 5 5

cadeiras do que a segunda, e assim sucessivamente. Cada fila tem, portanto, mais 5cadeiras do que a anterior.

2.1. Mostre que a plateia tem 15 filas.

2.2. Determine o valor de .5

2.3. A organização decidiu distribuirdo espectáculo , ao acaso, os 465 bilhetes para oslugares sentados. A Nazaré recebeu um bilhete. Ela sabe que, em cada fila, os doislugares situados nas extremidades (um em cada ponta) têm má visibilidade para opalco, pelo que gostaria que não lhe calhasse um lugar desses.

Qual é a probabilidade de a Nazaré ver satisfeita a sua pretensão? Apresente oresultado na forma de fracção irredutível.

3. A Margarida, aluna do curso de Artes Visuais, pretende fazer uma composição artísticanum pedaço de tecido. Para isso, começou por entornar um frasco de tinta azul no tecido.Admita que a mancha produzida pela tinta sobre o tecido é um círculo cujo raio vaiaumentando com o decorrer do tempo.

Sabe-se que, segundos após o frasco ter sido completamente entornado, a > área (em-7#) de tecido ocupada pela mancha é dada, para um certo valor de , por5

EÐ>Ñ œ > !"!!

"�% /5>, sendo

3.1. Supondo que, ao fim de cinco segundos, o raio da mancha circular é de ,% -7determine o valor de . Apresente o resultado arredondado às centésimas.5

3.2. Admita agora que .5 œ � ! #&, Calcule a taxa de variação média da função no intervalo , apresentando oE Ò!ß %Ó

resultado arredondado às unidades. Interprete o valor obtido, no contexto do problema.

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4. Para analisar o som produzido pela vibração de um diapasão, recolheram-se alguns dadoscom um sensor ligado a uma calculadora gráfica.

O sensor mede a variação de uma certa grandeza (que designaremos por ), ao longoCdo tempo (que designaremos por ).B

A partir dos dados, recolhidos em intervalos de tempo iguais, obteve-se, na calculadora, odiagrama de dispersão que se pode observar nas figuras 1 e 2 (o eixo das abcissascorresponde à variável e o das ordenadas à variável ). B C

Figura 1 Figura 2

Em cada uma das figuras, está representada a posição do cursor no visor da calculadora. Na figura 1, o cursor encontra-se num ponto cuja ordenada é o máximo de .C Na figura 2, o cursor encontra-se num ponto cuja ordenada é o mínimo de .C

Admita que o fenómeno é bem modelado por uma função definida por uma expressão dotipo onde , e são constantes reais positivas.C œ + � , Ð- BÑ + , -cos ,

4.1. Relativamente a qualquer função definida por uma expressão do tipo indicado,justifique que:

4.1.1. O contradomínio é o intervalo Ò + � ,ß + � ,Ó

4.1.2. #

-

1

é período da função.

4.2. Determine os valores dos parâmetros , e , tendo em conta:+ , -

• os dados contidos nas figuras 1 e 2

• a alínea 4.1.1.

• a alínea 4.1.2. e o facto de não existir nenhum período positivo inferior a #

-

1

Apresente o valor de arredondado às unidades.-

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5. A empresa de telecomunicações TLV efectuou um estudo estatístico relativo a todos osmodelos de telemóveis já vendidos pela empresa.

Este estudo revelou que o número , em , de vendidas, depende do8 milhares unidades preço (em euros) de cada telemóvel, de acordo com o seguinte diagrama de dispersão.:

5.1. Admita que a empresa possui um ficheiro com os nomes de todos os clientes e,para cada um deles, o preço do telemóvel adquirido (cada cliente adquiriu apenasum telemóvel). Para assinalar o seu aniversário, a resolveu sortear uma TLV

viagem entre os seus clientes. Qual é a probabilidade de a viagem sair a um cliente que tenha comprado um

telemóvel por um preço inferior a 180 euros? Apresente o resultado na forma defracção irredutível.

5.2. entreRecorrendo à sua calculadora, determine o coeficiente de correlação linear as variáveis e . Apresente o valor pedido arredondado às centésimas.: 8Explique como procedeu, reproduzindo na sua folha de prova as listas queintroduziu na calculadora.

Tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado na figura acima, interprete ovalor obtido.

5.3. A vai lançar um novo modelo de telemóvel. Com base no estudo efectuado, TLV

bem como noutros indicadores, esta empresa prevê, relativamente ao modelo que

vai ser lançado, que a relação entre (número, em , de telemóveis que8 milhares

serão vendidos) e (preço de cada telemóvel do novo modelo) estará de acordo:com a expressão

8 œ � ! !$ : � "!,

Seja a quantia (em euros) que a empresa prevê vir a receber pela venda dos;telemóveis do novo modelo.

Escreva uma expressão que dê a quantia , em função do preço de cada; :telemóvel. Apresente essa expressão na forma de um polinómio reduzido.

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6. Pretende-se construir um filtro de forma cónica, com uma capacidade superior a meio litro.

Para o efeito, dispõe-se de uma folha de papel de filtro, de forma rectangular, de 32 cm decomprimento e 18 cm de largura.

Na figura, está representado um esquema de uma possível planificação do filtro. Como sepode observar, essa planificação é um sector circular, de raio igual à largura da folha depapel.

Averigúe se o filtro construído de acordo com esta planificação tem, ou não, umacapacidade superior a meio litro.

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, nomínimo, quatro casas decimais.

Percorra sucessivamente as seguin-

tes etapas:

• Determine a amplitude, em

radianos, do ângulo , represen-α

tado na figura junta.

• Determine o perímetro da base do

cone.

• Determine o raio da base do

cone.

• Determine a altura do cone.

• Determine o volume do cone e

responda à questão colocada.

(recorde que )" 63><9 œ "!!! -7$

FIM

735/10

COTAÇÕES

1. ............................................................................................. 30

1.1. .......................................................................... 10

1.2. .......................................................................... 20

2. ............................................................................................. 30

2.1. .......................................................................... 10

2.2. .......................................................................... 10

2.3. .......................................................................... 10

3. ............................................................................................. 30

3.1. ......................................................................... 15

3.2. .......................................................................... 15

4. ............................................................................................. 45

4.1. ......................................................................... 30 4.1.1. .................................................. 15 4.1.2. .................................................. 15

4.2. .......................................................................... 15

5. ............................................................................................. 35

5.1. .......................................................................... 10

5.2. .......................................................................... 10

5.3. .......................................................................... 15

6. ............................................................................................. 30

TOTAL .................................................................................................. 200

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Formulário

Comprimento de um arco de circunferência

α α< � < ( )amplitude, em radianos, do ângulo ao centro raio; �

Áreas de figuras planas

Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+

Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚

Sector circular: α <#

#

(α� amplitude,

em radianos, do ângulo ao centro raio; < � )

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: 1 < 1( )< 1� �raio da base geratriz;

Área de uma superfície esférica: % <1#

( )< � raio

Volumes

Pirâmide: "$‚ Área da base Altura‚

Cone: "$‚ Área da base Altura‚

Esfera: %$

$1 ( )< < � raio

Progressões

Soma dos primeiros termos de uma8

Prog. Aritmética: ? �?

#

" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""� <

"� <

8

1

Resolução da Prova 735 (Matemática B) 1. 1.1 Proposta da Isabel:

margaridas rosas violetas

7 arranjos tipo A 112 28 56

7 arranjos tipo B 56 56 56

Total de flores necessárias 168 84 112

Proposta do Dinis:

margaridas rosas violetas

10 arranjos tipo A 160 40 80

5 arranjos tipo B 40 40 40

Total de flores necessárias 200 80 120 A proposta da Isabel é viável e a proposta do Dinis não é viável, uma vez que não

existem margaridas (nem violetas) em número suficiente. 1.2. Sejam x = n.º arranjos do tipo A e y = n.º arranjos do tipo B. Pretendemos maximizar a função yxL 23 += (função objectivo). De acordo com o problema podemos organizar os dados do seguinte modo:

n.º margaridas n.º rosas n. violetas

x arranjos do tipo A 16x 4x 8x

y arranjos do tipo B 8y 8y 8y

n.º total de flores 16x+8y 4x+8y 8x+8y

constrangimentos 16x+8y≤ 192 4x+8y≤ 88 8x+8y≤ 112

As restrições para as variáveis são, então,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈≤+≤+≤+

0,112888884192816

lNyxyxyxyx

⇔ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−≤+−≤+−≤

14115,0

242

xyxy

xy

2

Geometricamente, tem-se:

1.º processo:

25,123 LxyyxL +−=⇔+= .

Esta expressão define a família de rectas com declive 5,1− . A recta da família que nos dá a informação sobre o maior lucro é, por observação geométrica, a que contém o ponto de coordenadas (10, 4).

Logo, devem produzir-se 10 arranjos do tipo A e 4 do tipo B (o lucro será de 38 euros ( )42103 ×+× ).

2.º processo: A solução óptima é, habitualmente, um dos vértices do polígono de

constrangimentos. Assim, basta testar cada uma das soluções. Verifica-se que o lucro máximo é no ponto (10, 4).

x y L =3x+2y

0 11 22

6 8 34

10 4 38

12 0 36

3

2. 2.1. O n.º de cadeiras de cada uma das n filas da plateia são termos consecutivos

de uma progressão aritmética. Sabemos que a soma destes n termos é igual a 465. Assim,

15465314652

5210=⇔=⇔=×

+ nnn

Logo, confirma-se que a plateia tem 15 filas. 2.2.

1.ª fila 2.ª fila 3.ª fila … 15.ª fila

10 10 + k 10 + 2k … 10 + 14k Tem-se, então,

3141052 =⇔+= kk Assim, o valor de k é igual a 3. 2.3. Das 15 filas da plateia existem 30 lugares com má visibilidade, 2 em cada

uma das filas. Assim, a Nazaré verá satisfeita a sua pretensão se lhe for atribuído um dos 435 bilhetes correspondentes aos restantes lugares.

Tem-se:

3129

465435

==p ou 3129

465301 =−=p

Logo, a probabilidade pedida é igual a 3129

3. 3.1. ππ 1644 2 =×=⇒= Ar (cm2) → área da mancha circular de raio 4 Para determinar o valor pedido tem de resolver-se a condição π16)5( =A ,

equivalente a

π1641100

5 =+ ke

.

Considerando as funções xey 51 41

100+

= e π162 =y , vamos calcular o ponto de

intersecção dos seus gráficos. No editor de funções da calculadora obtém-se: O valor de k é aproximadamente igual a -0,28.

y1 = 16πy2

4

3.2.

[ ]

( ) ( ) 54

20461,404

04...4;0

≈−

=−

=AAvmt (cm2/s)

Durante os quatro primeiros segundos, a área da mancha

aumentou, em média, 5 2cm por segundo. 4. 4.1.1. Sabe-se que 1)(cos1 ≤≤− cx , para todo o valor de x . Como 0>b , virá bcxbb ≤≤− )(cos e bacxbaba +≤+≤− )(cos , ou seja, bayba +≤≤− Assim, como queríamos mostrar, o contradomínio da função é o intervalo

[ ]baba +− , .

4.1.2. cπ2 é período da função se e só se

( )xyc

xy =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π2 , para todo o valor de x do domínio da função.

Tem-se

Confirma-se, assim, o pretendido. 4.2. Por observação das figuras 1 e 2 o contradomínio da função é

[ ]87,0;71,0− , intervalo de amplitude 1,58. Amplitude do intervalo [ ] bbaba 2, =+− . Logo, 79,058,12 =⇔= bb . Como 87,0=+ ba , temos 08,079,087,0 =−=a Finalmente, dois maximizantes consecutivos são 0,002 e 0,004. O período

positivo mínimo da função é 0,002. Assim,

3142002,02≈⇔= c

cπ

Logo, 79,0,08,0 == ba e 3142≈c .5.

π2 é período da função co-seno

( ) ( ) ( )xyxcbaxcbac

xcbac

xy =+=++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + cos2cos2cos2 πππ

5

5.1. O número total de clientes é igual ao número total de telemóveis vendidos. Assim, a empresa vendeu 28,5 milhares de telemóveis (7 + 6,5 + 5 + 4,5 + 3 + 2,5).

Destes, 13,5 milhares foram vendidos a um preço inferior a 180 euros.

A probabilidade pedida é, assim, 199

5,285,13==p .

5.2. Introduzindo em L1 o preço, em euros, de cada telemóvel e em L2 o número

de unidades vendidas, em milhares, obtém-se

Para este conjunto de dados, o coeficiente de

correlação linear é aproximadamente igual a -0,97 (ver figura ao lado).

Este valor indica-nos que existe uma correlação

negativa muito forte entre as variáveis n e p . As variáveis variam inversamente, isto é, à medida que o preço do telemóvel aumenta, o número de unidades vendidas diminui e vice-versa.

5.3. A quantia, em euros, que a empresa prevê vir a receber pela venda dos

telemóveis do novo modelo é dada por pnq ×= 1000

Dado que 1003,0 +−= pn , vem ( ) pppppnq 10000301003,010001000 2 +−=+−=×=

6.

• 0949,11816

≈⇒= ααsen (radianos)

• Sabe-se que απ 22

18. conedobaseraiodecircunf PP=

Assim,

0949,122182

×=

× conedobasePπ

π⇔ 4164,39=conedobaseP cm

6

• Cálculo do raio da base do cone:

2733,624164,394164,3922 ≈=⇔=⇔=π

ππ rrrPbase cm

• Cálculo da altura do cone:

cmhh

8714,162733,618 22

≈

⇔−=

• Cálculo do volume do cone:

3

2

3,695

8714,162733,631

cmV

V

≈

⇔×××= π

Ora, 33 5003,695 cmcm > , pelo que o filtro construído tem capacidade

superior a meio litro.

Fim

Esta proposta de resolução também pode ser consultada em http://www.apm.pt

V.S.F.F.

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PROVA 735/11 Págs.


11.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março)

Curso Científico-Humanístico

de Artes Visuais


2006

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA B

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Identifique claramente os grupos e os itens a que responde.




A prova inclui um formulário (pág. 11).

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Em todas as questões da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara,indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificaçõesnecessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que umaresposta, deve indicar de forma inequívoca a que pretende que seja classificada(riscando todas as que pretende anular).


• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente ográfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes paraa resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos deintersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);



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V.S.F.F.

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1. Num certo concelho do nosso país, uma empresa de informática vai facultar um estágio,durante as férias do Verão, aos alunos do 11.º ano, das escolas desse concelho, quetenham obtido classificação final superior a 15 valores, quer a Matemática, quer aInformática.

As classificações finais nas disciplinas de Matemática e de Informática obtidas pelos 50alunos desse concelho que satisfaziam as condições requeridas foram tratadasestatisticamente.

Desse tratamento resultaram os gráficos apresentados a seguir.

Matemática Informática

1.1. Depois de ter calculado, para cada uma das disciplinas, a média e o desvio padrãodas classificações, a Ângela comentou: «As médias das classificações a Matemáticae a Informática são iguais, mas o mesmo não se passa com os desvios padrão».

1.1.1. Conclua que a Ângela tem razão na sua afirmação, calculando, para cadauma das disciplinas, a média e o desvio padrão das classificações.

1.1.2. O Pedro, que estava a tratar os dados em conjunto com a Ângela,comentou: «Quando me disseste que as médias eram iguais, eu,observando os gráficos, concluí logo que os desvios padrão eramdiferentes».

Tendo em conta que o desvio padrão mede a variabilidade dos dadosrelativamente à média, explique como poderá o Pedro ter chegado àquelaconclusão.

1.2. Sabe-se que, dos alunos que obtiveram 20 a Informática, metade obteve também 20a Matemática.

A empresa vai sortear um prémio entre os alunos que obtiveram classificação igualou superior a 19, na disciplina de Matemática.

Qual é a probabilidade de o prémio sair a um aluno que obteve 20 nas duasdisciplinas? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

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2. A Ana e a Fátima têm de ler, para a disciplina de Português, um livro com 255 páginas

numeradas, da página 1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro).

2.1. As duas raparigas começam a ler o livro no mesmo dia, na página 1.

A Ana lê uma página no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê o dobro

do número de páginas do dia anterior.

A Fátima lê três páginas no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, lê mais

duas páginas do que no dia anterior.

2.1.1. Verifique que, ao fim de dias, a Ana já leu páginas e a Fátima8 # � "8

já leu páginas.8 � #8#

2.1.2. Admita que a Ana acaba de ler o livro no dia 18 de Abril. Em que dia acaba

a Fátima de ler o livro? Justifique a sua resposta.

2.2. Escolhida, ao acaso, uma das 255 páginas numeradas do mesmo livro, qual é a

probabilidade de o número dessa página ter, pelo menos, dois algarismos e

começar por 2? Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às

unidades.

3. Admita que, em condições ambientais normais, o número aproximado de aves de uma

certa população, anos após um determinado instante inicial, é dado por>

RÐ>Ñ œ > ! E"#&E

E�Ð"#&�EÑ /�! # >,

� �e constante positiva

3.1. Verifique que é o número de aves existentes no instante inicial.E

3.2. Ao longo dos cinco anos que se seguiram ao instante inicial, a população cresceu

em condições ambientais normais. Nasceram 80 aves e morreram 57, não tendo

entrado nem saído mais aves da população.

Estime o número de aves que havia nessa população, no instante inicial, sabendo

que esse número era inferior a 25.

V.S.F.F.

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4. Na figura, está representado um projecto de uma escultura em cimento para o jardim deuma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desseprojecto.

4.1. Designemos por o raio da esfera (em metros).B

4.1.1. Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valoresque a variável pode assumir.B

4.1.2. Mostre que o volume total, , em metros cúbicos, da escultura é dado, emZfunção de , porB

Z ÐBÑ œ B � #%B � #%B � )% �#%

$1 $ #

4.1.3. e a aresta do cuboDetermine o raio da esfera de modo que o volume totalda escultura seja mínimo. Apresente os resultados em metros,arredondados às centésimas.

4.2. Admita agora que o raio da esfera é metade da aresta do cubo.

Pretende-se pintar toda a superfície da escultura, excepto, naturalmente, a face docubo que está assente no chão.

Cada litro da tinta que vai ser utilizada permite pintar uma superfície de .# &7, #

Admitindo que esta tinta só é vendida em latas de 1 litro, quantas latas seránecessário comprar?

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5. Como sabe, a Terra descreveuma órbita elíptica em torno doSol.

Na figura está representado umesquema dessa órbita. Estáassinalado o , o pontoperiélio

da órbita da Terra mais próximodo Sol.

Na figura está assinalado um ângulo de amplitude radianos .B B − Ò!ß # Ò ˆ ‰1

Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no e o seu ladoperiélio

extremidade passa na Terra.

A distância , em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada,.em função de porBß

, , . œ "%* ' Ð" � ! !"'( BÑcos

5.1. Determine a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol. Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às

décimas.

5.2. Sabe-se que verifica a relação em queB œ B � ! !"'( B# >X1 , , sen

• é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo > periélio atéao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo ;B

• é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa ( dias).X $'& #%,

5.2.1. Mostre que, para , se tem .B œ > œ1X#

Interprete este resultado no contexto da situação descrita.

5.2.2. Sabe-se que a última passagem da Terra pelo ocorreu a uma certaperiélio

hora do dia 4 de Janeiro. Determine a distância a que a Terra seencontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente oresultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nosvalores intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais.

: a resolução desta questão envolve uma equação que deve serNota

resolvida graficamente, com recurso à calculadora.

V.S.F.F.

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6. Para estudar a Lei do Arrefecimento de um Corpo, a Joana aqueceu uma pequenaquantidade de água. Em seguida, deixou-a a arrefecer, medindo a temperatura em váriosinstantes, a partir de um certo instante inicial.

De acordo com a referida lei, em cada instante, a taxa de variação da temperatura édirectamente proporcional à diferença entre a temperatura da água, nesse instante, e atemperatura ambiente, que se considera constante.

Tem-se, portanto, que

X Ð>Ñ œ 5 X Ð>Ñ � Ew c d em que:

• X Ð>Ñ >designa a temperatura da água, no instante ;

• X Ð>Ñw designa a taxa de variação da temperatura, nesse mesmo instante;

• E designa a temperatura ambiente;• 5 é a constante de proporcionalidade.

Admita que, durante a experiência, o tempo foi medido em minutos e a temperatura emgraus Celsius.Na tabela seguinte, estão valores da temperatura da água, registados de em ! & ! &, ,minutos, com início no instante .> œ #

> # # & $ $ &XÐ>Ñ )& ! )$ ) )# ' )" &

, ,, , , ,

Tendo em conta os dados desta tabela e sabendo que a temperatura ambiente, no localda experiência, era de 25 graus Celsius, estime o valor de .5Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Percorra sucessivamente as seguintes etapas:

• Determine a taxa de variação média da temperatura da água, nos intervalos

c d c d c d# à $ & # à $ # à # &, , e , .

• Tendo em conta os valores obtidos, estime a taxa de variação instantânea da

temperatura da água, no instante .> œ #

• Tendo em conta a fórmula dada acima, estime o valor de .5

FIM

735/10

COTAÇÕES

1. ............................................................................................. 25

1.1. .......................................................................... 15 1.1.1. .................................................... 8 1.1.2. .................................................... 7

1.2. .......................................................................... 10

2. ............................................................................................. 32

2.1. .......................................................................... 22 2.1.1. .................................................. 12 2.1.2. .................................................. 10

2.2. .......................................................................... 10

3. ............................................................................................. 30

3.1. ......................................................................... 15

3.2. .......................................................................... 15

4. ............................................................................................. 43

4.1. ......................................................................... 30 4.1.1. .................................................... 5 4.1.2. .................................................. 15 4.1.3. .................................................. 10

4.2. .......................................................................... 13

5. ............................................................................................. 45

5.1. .......................................................................... 15

5.2. .......................................................................... 30 5.2.1. .................................................. 15 5.2.2. .................................................. 15

6. ............................................................................................. 25

TOTAL .................................................................................................. 200

735/11

Formulário




Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+



#

(α� amplitude,





( )< � raio

Volumes



Esfera: %$

$1 ( )< < � raio

Progressões



#" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""� <"� <

8

PROPOSTA DE RESOLUCAO DO EXAME NACIONAL DE MATEMATICA B12oAno – Prova 735 – 2aFase - 2006

(Esta proposta de correccao tambem pode ser consultada em www.apm.pt)

1. aaa

1.1 a1.1.1 a

Nº. de alunos

Classificação Matemática Informática Matemática Informática

1617181920

6111797

131139

14

Total 50 50

18x = 18x =σ = 1,2 σ = 1,6

Confirma-se que as medias das classificacoes as duas disciplinas sao iguais e os desvios padraosao diferentes.

1.1.2 Em Matematica a maioria dos alunos tem classificacao igual ao valor medio (18) ou proximodeste (17 ou 19), enquanto que em Informatica se verifica que a maioria das classificacoes saomais afastadas do valor medio (16 ou 20). Logo, o Pedro concluiu que o desvio padrao dasclassificacoes em Informatica e maior.

1.2. Dos 14 alunos que obtiveram 20 a Informatica, 7 obtiveram, tambem, 20 a Matematica.Ha 16 (9 + 7) alunos com classificacao maior ou igual a 19 valores na disciplina de Matematica.Escolhendo um destes alunos ao acaso, a probabilidade de ter 20 nas duas disciplinas e entao

p =716

.

2 aa

2.1 aa2.1.1 Numero de paginas lidas pela Ana no dia n:

n

n

na

124816

12345… …

2n−1

×2 A sucessao (an) e uma progressao geometrica de razao 2, pelo que a somados n primeiros termos e dada pela expressao:

Sn = 1 · 1 − 2n

1 − 2=

1 − 2n

−1= 2n − 1.

Esta expressao representa o numero de paginas que a Ana ja leu ao fim den dias.

1

Numero de paginas lidas pela Fatima no dia n:

n

n

357911

12345… …

+2

fn

2n + 1

A sucessao (fn) e uma progressao aritmetica de razao 2, pelo que a somados n primeiros termos, numero de paginas lidas pela Fatima ao fim de ndias, e dada pela expressao:

Sn =3 + 2n + 1

2× n =

4 + 2n

2× n = (2 + n)n = 2n + n2.

2.1.2 a

1234

8

15

……

1248

128

…

13715

255

…

3579

17

31

……

381524

80

255…

…

n an Σan fn Σfn

A Ana demorou 8 dias a ler o livro; a Fatima demorou 15 dias (mais 7 dias do que a Ana).Assim, como a Ana acabou a 18 de Abril, a Fatima tera terminado no dia 25 de Abril (18 + 7).

2.2 Numero de paginas em que o numero comeca pelo algarismo 2:

2 02 1...

...2 9

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

10 paginas

2 0 02 0 1...

...2 5 5

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

56 paginas

Existem, entao, 66 paginas nas condicoes pretendidas. A probabilidade e

p =66255

≈ 0, 26.

R.: A probabilidade pedida e 26%.

3 a

3.1 a

3.1.1 aa

N(0) =125A

A + (125 − A)e−0,2×0⇔ N(0) =

125A

A + (125 − A) × 1⇔ N(0) =

125A

125⇔ N(0) = A.

Verifica-se, assim, que o numero de aves existente no instante inicial e A.

3.2 Ao fim de 5 anos existem mais 23 (80 − 57) aves do que no instante inicial. Assim, N(5) = A + 23,ou seja,

125A

A + (125 − A)e−0,2×5= A + 23 ⇔ 125A

A + (125 − A)e−1= A + 23.

2

Inserindo no editor de funcoes da calculadora as funcoes

Y1 =125x

x + (125 − x) × e−1e Y2 = x + 23

e procurando as coordenadas do ponto de interseccao, obtem-se x ≈ 21:

R.: Estima-se que o numero de aves existentes no instante inicial era 21.

3.2 (Outra resolucao.)80 − 57 = 23. Entao, N(5) − N(0) = 23.Como A e um numero inteiro positivo e menor que 25, temos um numero finito de possıveis solucoes,pelo que poderemos resolver o problema por tentativa e erro.Se A = 24 entao,

N(t) =125 × 24

(24 + 101)e−0,2t

e na tabela observa-se

05

2449,1

t N

resultando N(5) − N(0) = 25, 1.Para outros valores de A obtem-se os resultados:

05

2347,5

t N05

2245,9

t N05

2144,3

t N05

2042,6

t N

A = 23 A = 22 A = 21 A = 20

24,5 23,9 23,3 22,6

R.: Atendendo a que existe uma unica solucao (de acordo com o enunciado), A = 21 parece ser ovalor que melhor traduz esta situacao.

4. a

4.1 a

4.1.1 0 < diametro da esfera < 2 logo,0 < raio da esfera < 1.

R.: ]0, 1[.4.1.2 a

Volume da esfera de raio x:43πx3.

Aresta do cubo: a = 2 − 2x

3

Volume do cubo: (2 − 2x)3

Volume da escultura:43πx3 + (2 − 2x)3 = V (x).

Falta, agora, mostrar que esta expressao e equivalente a do enunciado. Podemos faze-lo recor-rendo a calculadora ou analiticamente.Introduzindo na calculadora, editor de funcoes, as expressoes

Y1 =43πx3 + (2 − 2x)3 e Y2 =

(4π − 24

3

)x3 + 24x2 − 24x + 8,

verifica-se a sobreposicao dos dois graficos. Utilizando o cursor podemos confirmar a igualdadedas coordenadas de varios pontos das duas funcoes.

A mesma igualdade tambem pode ser observada recorrendo a uma tabela com alguns valores:

Duas funcoes cubicas que coincidem em, pelo menos 4 pontos sao identicas. Assim, o volume daescultura pode ser definido pela expressao dada no enunciado.

Resolucao analıtica.

V (x) =43πx3 + (8 − 24x + 24x2 − 8x3) ⇔ V (x) =

(43π − 8

)x3 + 24x2 − 24x + 8 ⇔

⇔ V (x) =(

4π − 243

)x3 + 24x2 − 24x + 8.

Como se queria mostrar.Calculos auxiliares.

(2 − 2x)3 = (2 − 2x)2(2 − 2x) = (4 − 8x + 4x2)(2 − 2x) =

= 8 − 8x − 16x + 16x2 + 8x2 − 8x3 = 8 − 24x + 24x2 − 8x3.

4

4.1.3 Pela visualizacao do grafico da funcao volume confirmamos que existe um mınimo igual a 1, 41,para x = 0, 58. Assim, o volume da escultura e mınimo se o raio da esfera for = 0, 58 metros e aaresta do cubo igual a 0, 84 metros (2 − 2 × 0, 58).

4.2 araio da esfera = 0, 5m;aresta do cubo = 1m;area da superfıcie esferica = 4π · (0, 5)2 ≈ 3, 142m2;area das cinco faces do cubo = 5 × 1 = 5m2;area total = 8, 142m2

1 lata −→ 2, 5m2;2 latas −→ 5m2;3 latas −→ 7, 5m2 (insuficiente);4 latas −→ 10m2;R.: Sera necessario comprar 4 latas de tinta.

5. a

5.1 A distancia mınima da Terra ao Sol verifica-se no perielio, para x = 0. Esta distancia e igual ad = 149, 6(1 − 0, 0167cos 0) ≈ 147, 1 milhoes de quilometros.A distancia maxima da Terra ao Sol verifica-se para x = π, por observacao da figura, e e dada pord = 149, 6(1 − 0, 0167cos π) ≈ 152, 1 milhoes de quilometros.Podemos tambem obter estes valores graficamente:

5.2 a

5.2.1 Para x = π, tem-se

2πt

T= π − 0, 0167senπ ⇔ 2πt

T= π ⇔ 2πt = πT ⇔ 2t = T ⇔ t =

T

2.

A Terra demora metade de um ano (365, 24/2) a descrever metade da orbita.

5

5.2.2 at = 0 �� 4 Janeiro

��t = 41 14 Fevereiro��

x =?

2π × 41365, 24

= x − 0, 0167senx

Considerando

Y1 = x − 0, 0167senx e Y2 =2π × 41365, 24

pretende-se determinar a interseccao dos dois graficos.

Obtem-se x ≈ 0, 71628. Logo, d = 149, 6(1 − 0, 0167 · cos(0, 71628)) ≈ 147, 7 milhoes dequilometros.

Calculo de d (outro processo).Inserir a funcao d em Y3 e procurar a ordenada do ponto de abcissa x = 0, 71628.

6. aT.m.v[2;3,5] =

81, 5 − 853, 5 − 2

= −2, 333 ◦C/min

T.m.v[2,3] =82, 6 − 85

3 − 2= −2, 4 ◦C/min

T.m.v[2;2,5] =83, 8 − 852, 5 − 2

= −2, 4 ◦C/min

De acordo com os valores obtidos, estima-se que a taxa de variacao instantanea da temperatura da aguano instante t = 2 possa ser −2, 4 ◦C/min. Tendo em conta a formula dada no enunciado e que T (2) = 85e A = 25,

−2, 4 = k(85 − 25) ⇔ −2, 4 = 60k ⇔ k = −2, 460

⇔ k = −0, 04.

R.: k = −0.04.

6

V.S.F.F.735/1

PROVA 735/11 Págs.


10.º/11.º ou 11.º/12.º Anos de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004,de 26 de Março


2007


735/2

Identifique claramente os itens a que responde.




A prova inclui um formulário (página 11).

V.S.F.F.735/3

Em todos os itens da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicandotodos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta,deve indicar, de forma inequívoca, a que pretende que seja classificada (riscandotodas as que pretende anular).


• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente ográfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para aresolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos deintersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);



735/4

1. Dispõe-se de dois dados perfeitos, um tetraedro e um cubo, com faces numeradas de a"

% " ' e de a , respectivamente.

Considere a experiência aleatória que consiste em lançar, simultaneamente, os dois dados

e registar a soma do número da face que fica voltada para baixo, no caso do tetraedro,

com o número da face que fica voltada para cima, no caso do cubo.

1.1. Construa o modelo de probabilidades associado à experiência aleatória

considerada.

Apresente as probabilidades na forma de fracção.

Nota: Construir um modelo de probabilidades consiste em construir uma tabela,

associando aos resultados da experiência aleatória a respectiva probabilidade.

1.2. Com base na experiência aleatória descrita, a Ana e o João decidem fazer um jogo.

A Ana lança o tetraedro e o João lança o cubo. A Ana sugere que as regras do jogo

consistam no seguinte:

• ganha o João se a soma dos números saídos for ímpar;

• ganha a Ana se a soma dos números saídos for par.

Porém, o João diz que as regras não são justas, afirmando que a Ana tem

vantagem, uma vez que existem mais somas pares do que ímpares.

Num pequeno texto, comente o argumento do João, referindo se ele tem, ou não,

razão.

Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:

• uma análise do argumento do João, referindo o número de somas pares

e o número de somas ímpares;

• o valor da probabilidade de «sair soma par»;

• o valor da probabilidade de «sair soma ímpar»;

• conclusão final, referindo se o João tem, ou não, razão.

V.S.F.F.735/5

2. Uma autarquia pondera o abastecimento anual de energia eléctrica para iluminação da via

pública. Para o efeito, a rede nacional pode fornecer-lhe dois tipos de energia: energia de

origem convencional, maioritariamente resultante da combustão de , ou, emfuel

alternativa, energia eólica.

Para uma cobertura razoável de iluminação, no período nocturno, o consumo anual de

energia não poderá ser inferior a .%! Q[2

Por razões ambientais, a autarquia pretende que a quantidade de energia de origem

convencional não exceda a quantidade de energia eólica fornecida.

Relativamente à energia de origem convencional, tem-se:

• o preço por cada é de euros.Q[2 )!

Relativamente à energia eólica, tem-se:

• o preço por cada é de euros;Q[2 *!

• o fornecimento de energia, nesse ano, não poderá ultrapassar os .%!Q[2

Represente por a quantidade de energia de origem convencional e por a quantidadeB C

de energia eólica consumidas pela autarquia.

Determine que quantidade de energia de cada tipo deve ser consumida, por ano, de modo

que possam ser minimizados os custos, tendo em conta as condicionantes referidas.

Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• indique as restrições do problema;

• indique a função objectivo;

• represente graficamente a região admissível (referente ao sistema das

restrições);

• indique os valores de e para os quais é mínima a função objectivo.B C

735/6

3. Pretende-se elaborar um painel publicitário com a forma de um quadrado com metros"!

de lado. O painel deve conter três círculos luminosos, tangentes entre si, como mostra a

figura.

Relativamente ao painel, considere que:

• os diâmetros dos três círculos variam permanentemente e os seus centros estão

sempre na mesma mediana do quadrado;

• os círculos nunca saem fora do quadrado;

• os círculos inferior e superior são geometricamente iguais e são tangentes a

lados opostos do quadrado;

• quando os diâmetros dos círculos inferior e superior aumentam, diminui o

diâmetro do círculo central, e vice-versa, como sugere a figura seguinte.

Sejam o raio dos círculos inferior e superior e o raio do círculo central.= <

V.S.F.F.735/7

3.1. Mostre que = œ � <&

#"#

3.2. Verifique que a soma, , das áreas dos três círculos, em função de , é dada por:E <

E < œ < � & < � ! � < � &� � $ #&

# #1 1 1

# ,

4. O Pedro foi juntando algumas economias e, neste momento, tem euros que decide"!!!

colocar no banco, constituindo uma poupança.

Para o efeito dispõe de duas opções:

Opção A:

Por cada ano de aplicação do capital, o Pedro recebe euros de juros.%!

Opção B:

Por cada ano de aplicação do capital, o Pedro recebe juros à taxa anual de %, a incidir$ &,

sobre o capital total acumulado até à data.

4.1. Relativamente à , designe por a sucessão cujos termos são osopção B � �,8

valores do capital existente decorridos anos.8

Sabendo que é uma progressão geométrica, determine a razão.� �,8

Justifique a sua resposta.

4.2. Comente a seguinte afirmação:

«Comparando as duas opções apresentadas, se nos primeiros anos a opção é aA

melhor escolha, a partir de certa altura a opção torna-se mais vantajosa.»B

Sugestão: Determine o ano a partir do qual o capital acumulado de acordo com a

opção é superior ao capital acumulado caso se tivesse escolhido a opção .B A

Poderá ser útil ter em atenção que , œ "!!! ‚ " !$&88,

735/8

5. Sabe-se que a concentração, , em miligramas por litro, de um analgésico, na circulaçãoG

sanguínea, horas após a sua ingestão, é dada por:>

G > œ "! / � /� � � ��> �#>

Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios,

proceder a arredondamentos, conserve duas casas decimais.

5.1. Qual é a concentração, aproximada, do analgésico uma hora e trinta minutos após

a sua ingestão?

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

5.2. Sabe-se que o analgésico tem o efeito desejado quando a sua concentração é

superior a miligramas por litro.! &,

Considere que o analgésico foi ingerido às nove horas.

Recorrendo às potencialidades da calculadora gráficaß indique uma

aproximação do intervalo em que ele produz o efeito desejado.

Apresente os resultados em horas e minutos (com os minutos arredondados às

unidades).

V.S.F.F.735/9

6. Um farol (ponto ), situado numa ilha, encontra-se a da costa. Nesta, sobre aJ "! 57

perpendicular tirada do farol, está um observador (ponto ).E

A luz do farol descreve sucessivos círculos e tem um alcance de . Em cada"! 57

instante, o farol ilumina segundo uma trajectória rectilínea, com extremidade num ponto ,T

que percorre a circunferência representada na figura seguinte.

Sejam:

• a amplitude, em graus, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-rectaα

JE JTÞ Þ

e cujo lado extremidade é a semi-recta

• Q o ponto médio de Ò ÓET

• TF T a distância do ponto à costa

Mostre que, para :! � � ")!º ºα

6.1. a distância, do observador ao ponto é dada,ET , expressa em quilómetros, T

em função de , porα

ET œ #! =/8ˆ ‰α

#

6.2. a distância, , do ponto à costa é dada, em função. Texpressa em quilómetros,

de , porα

. œ #!� �α =/8#Š ‹α

#


• escreva , em função de JETs α

• escreva , em função de TEFs α

• escreva , em função de FT α

FIM

735/10

COTAÇÕES

1. 30 pontos...............................................................................

1.1. ...............................................................14 pontos

1.2. ...............................................................16 pontos

2. 22 pontos...............................................................................

3. 41 pontos...............................................................................

3.1. .............................................................. 19 pontos

3.2. ...............................................................22 pontos

4. 25 pontos...............................................................................

4.1. .............................................................. 10 pontos

4.2. ...............................................................15 pontos

5. 41 pontos...............................................................................

5.1.................................................................19 pontos

5.2. ...............................................................22 pontos

6. 41 pontos...............................................................................

6.1. ...............................................................19 pontos

6.2. ...............................................................22 pontos

TOTAL .................................................................... 200 pontos

735/11

Formulário




Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+



#

(α� amplitude,





( )< � raio

Volumes



Esfera: %$

$1 ( )< < � raio

Progressões



#

" 8 ‚ 8


"� <

8

Correcção Proposta pela Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática B de 2007

Prova 735, 1ª Chamada 1. 1.1. Começamos por construir uma tabela contendo os possíveis 2446 =× resultados

Tetraedro + 1 2 3 4

1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9

C u b o

6 7 8 9 10 Desta tabela segue-se que o modelo de probabilidades pode ser dado por:

Soma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Probabilidade 1/24 2/24 3/24 4/24 4/24 4/24 3/24 2/24 1/24 1.2. Se analisarmos a tabela de 1.1, verificamos que o número de somas ímpares é 4 (3, 5, 7, 9), ao passo que o número de somas pares é 5 (2, 4, 6, 8, 10). Porém, o valor da probabilidade de “sair soma par” é igual à soma das probabilidades de “sair 2”, “sair 4”, “sair 6”, “sair 8” e “sair 10”, que é 1/24 + 3/24 + 4/24 + 3/24 + 1/24 = 1/2. Do mesmo modo se verifica que o valor da probabilidade de “sair ímpar” é 1/2. A conclusão é que, do ponto de vista probabilístico, o João não tem razão. 2. Atendendo ao enunciado, as restrições são:

��

�

��

�

�

≥≤

≤≤+≤

0

400

40

x

yx

y

yx

A função objectivo é: yxyxP 9080),( += Um esboço da região admissível (a vermelho):

O mínimo da função objectivo é atingido num dos vértices da região admissível:

x y P 20 20 3400 0 40 3600

40 40 6800

Concluímos que devem ser consumidos 20 MWh de cada tipo de energia.

3. 3.1.

rsr

srssrs21

25

4210

210410222 −=⇔−=⇔−=⇔=++

3.2.

ππππππππππ2

255

23

2225

4410

425

221

25

2222

22

22

2 +−=++=��

��

+−+=�

�

��

−+=×+= rrr

rrrr

rrrAAA srt

4. 4.1. Como se sabe que bn é uma progressão geométrica podemos obter a razão pela divisão dos seus dois primeiros termos.

Obtém-se: 035,1035,11000

035,11000 2

=××

4.2. A sucessão da Opção A é: nan 401000 +=

A sucessão da Opção B é: nnb 035,11000×=

n na nb *

1 1040 1035 2 1080 1071 3 1120 1109 4 1160 1148 5 1200 1188 6 1240 1229 7 1280 1272 8 1320 1317 9 1360 1363

* Valores arredondados às unidades Conclui-se que a partir do nono ano a opção B é melhor.

5. 5.1. ( ) ( ) lmgeeC /73,1105,1 5,125,1 =−= ×−− 5.2.

O ponto A tem as coordenadas (0.05; 0.5) e o ponto B tem as coordenadas (2.94; 0.5), valores estes obtidos por meio da calculadora. 0.05 horas correspondem a 3 minutos e 2.94 horas a 2h56m, arredondando às unidades. Como o remédio foi tomado às 9h, o intervalo pedido será das 9h3m até às 11h56m. 6. 6.1. ?=AM

Considerando o triângulo [AFM] temos o 2

ˆ α=MFA

��

��

=⇔=��

��

210

102αα

senAMAM

sen

��

��

=��

��

×=×=2

202

1022αα

sensenAMAP

6.2.

� 2

º902º180ˆ αα −=−=PAF

� 22

º90º90ˆ αα =��

��

−−=BAP

� Considerando o triângulo [ABP] temos

��

��

=⇔��

��

=�

�

��

⇔=��

��

220

22022

2 αα

ααsend

sen

dsen

APBP

sen

V.S.F.F.735/1

PROVA 735/12 Págs.


10.º/11.º ou 11.º/12º Anos de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março


2007


735/2

Identifique claramente os itens a que responde.




A prova inclui um formulário (página 12).

V.S.F.F.735/3

Em todos os itens da prova, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicandotodos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Apresente uma única resposta a cada item. Se escrever mais do que uma resposta,deve indicar, de forma inequívoca, a que pretende que seja classificada (riscandotodas as que pretende anular).


• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente ográfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas de pontos relevantes para aresolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos deintersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);



735/4

1. A evolução da massa salarial de um conjunto de trabalhadores é, por vezes, explicável

através de modelos matemáticos.

Numa dada empresa, fez-se um estudo comparativo da evolução dos vencimentos (em

euros) de dois trabalhadores, e , entre 1998 e 2006.A B

• Relativamente ao trabalhador , o valor do vencimento mensal em cada ano, noA

período compreendido entre 1998 e 2006, é apresentado na tabela seguinte e

reproduzido num diagrama de dispersão.

Anos

Salário

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

*!! *") *%# *&$ *&& *() "!!! "!"& "!%$

Evolução do salário do trabalhador A

• Relativamente ao trabalhador , sabe-se que, em 1998, recebia mensalmenteB

'&# euros e que, nos anos seguintes, referentes ao período em estudo, o valor

do seu vencimento mensal pode ser obtido através do modelo

@ œ '&# ‚ " !&!#8 , 8�"

Nota: a variável está associada aos anos relativos ao período em estudo,8

concretamente, corresponde a 1998, corresponde a 1999, etc.8 œ " 8 œ #

V.S.F.F.735/5

1.1. , indiqueUtilizando a sua calculadora um valor aproximado do coeficiente de

correlação linear entre as variáveis descritas na tabela (anos/salário) referente ao

trabalhador . Apresente o resultado com duas casas decimais.A

Interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão correspondente.

1.2. Tome em atenção que o modelo que traduz a evolução do salário do trabalhador B

é uma progressão geométrica.

1.2.1. Indique o primeiro termo e a razão da progressão geométrica em questão.

1.2.2. Um trabalhador aufere, por ano, 12 ordenados mensais mais o subsídio

de férias e o décimo terceiro mês, ambos com valor igual ao do ordenado

mensal.

Utilizando a fórmula apropriada (que faz parte do formulário), calcule,

aproximadamente, o valor da totalidade dos vencimentos auferidos pelo

trabalhador entre 1998 e 2006, inclusive.B

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a

arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

735/6

2. O campo de futebol de um dado clube tem uma bancada destinada a não sócios, que leva

% !!! "! espectadores. Se o preço de cada bilhete for euros, prevê-se que a lotação

dessa bancada fique esgotada.

Com base em experiências anteriores, verifica-se que, se o preço de cada bilhete for

aumentado numa certa percentagem, , sobre o valor base ( euros), o número deB "!

espectadores baixa metade dessa percentagem. Por exemplo, se o preço dos bilhetes

aumentar % , , o número de espectadores sofre um decréscimo de %."! B œ ! " &,

Admitindo a exactidão do modelo descrito e considerando sempre o aumento percentual,

B "!, sobre o preço base ( euros), responda às questões que se seguem.

2.1. Mostre que, se for o aumento percentual do preço de cada bilhete para aquelaB

bancada, num dado jogo, então a receita de bilheteira, , é dada por:V

V B œ � #! !!! B � #! !!! B � %! !!! ! Ÿ B Ÿ #� � # , com

Tenha em atenção que:

• o preço de cada bilhete, , em função do aumento percentual, , é dado: B

por :ÐBÑ œ "! Ð" � BÑ

• o número de espectadores, , em função do aumento percentual, é8 B,

dado por 8ÐBÑ œ % !!! � # !!! B

V.S.F.F.735/7

2.2. Um dos elementos da direcção do clube sugere que o preço de cada bilhete seja

de euros, para serem maximizadas as receitas de bilheteira. Porém, um#!

segundo elemento da direcção opõe-se, dizendo que o ideal é manter o preço de

cada bilhete a euros, uma vez que as receitas de bilheteira são superiores se"!

assim for.

Num pequeno texto, comente o argumento de cada um dos elementos da

direcção do clube, tendo em conta o objectivo de maximizar as receitas de

bilheteira.

Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:

• o valor da percentagem, , que a direcção do clube deve aplicar sobre oB

preço base ( euros), para que se maximizem as receitas de bilheteira,"!

e o respectivo valor da receita (no caso de discordar da opinião de cada

um dos elementos da direcção);

• um argumento, fundamentado, referente às propostas de cada um dos

elementos da direcção, dizendo se concorda, ou não, com elas;

• todos os elementos recolhidos na utilização da sua calculadora gráfica

que se tenham mostrado relevantes.

2.3. À entrada para o recinto do jogo, cada espectador, sócio ou não sócio, recebeu um

cartão numerado para se habilitar a um sorteio. Estavam presentes ')#&

espectadores, dos quais % eram não sócios. Foram sorteados,%!

simultaneamente, dois números. Qual a probabilidade de ambos os contemplados

serem sócios?

Apresente o resultado final com aproximação às centésimas.

735/8

3. Numa determinada localidade, o responsável pelo planeamento urbanístico apresentou

uma proposta para a construção de uma rotunda com metros de diâmetro. No centro"!

da rotunda, pretende-se construir um jardim em forma de losango, com metros de#!

perímetro, como sugere a figura. À volta do jardim, serão colocados calçada e outros

elementos decorativos.

Relativamente à figura, considere que:

• os pontos e são os vértices do losango;Eß Fß G H

• o ponto é o centro da circunferência;S

• o ângulo tem de amplitude , EHS ! � �α α1

#

3.1. Mostre que a área, em , da zona destinada ao jardim é dada, em função de ,7#α

por:

E œ &! -9= Þ =/8 ! � �� α α α α , 1

#

3.2. Determine .EŠ ‹1

%

Interprete geometricamente o resultado obtido, indicando qual a forma particular do

losango, para α œ1

%

V.S.F.F.735/9

4. No período de testes que antecedeu a entrada em funcionamento de um gasómetro, com

capacidade de toneladas, procedeu-se ao seu enchimento, continuamente, durante"!!

#% horas.

Por razões de segurança, o gasómetro foi lastrado com toneladas de gás, após o que# &,

se iniciou a operação de enchimento. A partir daí, o seu enchimento foi feito de acordo

com o modelo:

, sendo Q > œ� � "!!

"�$* /�!ß%*> ! Ÿ > Ÿ #%

( representa a massa total, expressa em toneladas, existente no gasómetro horasQ >

desde o início do seu enchimento.)

Nota: Na resolução das questões seguintes, sempre que, em cálculos intermédios,

proceder a arredondamentos, conserve duas casas decimais.

4.1. Qual era a massa total, aproximada, existente no gasómetro horas após o início$

do seu enchimento?

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

4.2. Durante o período em que decorre o enchimento do gasómetro, fará sentido afirmar

que existe um dado intervalo de tempo em que a taxa de variação média do modelo

assume um valor negativo?

Justifique devidamente a sua resposta.

735/10

5. Para vedar três canteiros circulares, com metros de raio cada, um agricultor decidiu%

colocar uma rede em forma de triângulo equilátero, como a figura sugere.Ò ÓEFG ,

Relativamente à figura, considere que:

• as circunferências são tangentes entre si;

• os lados do triângulo são tangentes às circunferências;

• os pontos e são os centros das circunferências;Lß M N

• é o ponto médio de ;K FG Ò Ó

• é ponto do lado ;H EG L Ò Ó tangente à circunferência de centro

• é ponto de tangência das circunferências de centros e respectivamente;P M N ,

• é a amplitude do ângulo .α HEL

Quantos metros da rede mencionada necessita, aproximadamente, o agricultor para vedar

os três canteiros?

Apresente o resultado final arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve três

casas decimais.

Sugere-se que:

• determine a altura do triângulo ;Ò ÓLMN

• determine a altura do triângulo ;Ò ÓEFG

• determine o lado do triângulo .Ò ÓEFG

FIM

V.S.F.F.735/11

COTAÇÕES

1. 32 pontos...............................................................................

1.1 ................................................................12 pontos

1.2. ...............................................................20 pontos

1.2.1. .............................................. 8 pontos

1.2.2. ............................................ 12 pontos

2. 60 pontos...............................................................................

2.1. ...............................................................16 pontos

2.2. ...............................................................24 pontos

2.3. ...............................................................20 pontos

3. 44 pontos...............................................................................

3.1. .............................................................. 22 pontos

3.2. ...............................................................22 pontos

4. 40 pontos...............................................................................

4.1. .............................................................. 18 pontos

4.2. ...............................................................22 pontos

5. 24 pontos...............................................................................

TOTAL .................................................................... 200 pontos

735/12

Formulário




Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<

#

Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<#

‚E6>?<+



#

(α� amplitude,





( )< � raio

Volumes



Esfera: %$

$1 ( )< < � raio

Progressões



#

" 8 ‚ 8


"� <

8

Sociedade Portuguesa de Matemática Proposta de resolução da prova 735 - Matemática B

2ª fase - 13 de Julho de 2007

1.1 Recorrendo à calculadora, obtém-se para o coeficiente o valor de 0,99; podemos concluir que há uma correlação linear positiva muito forte entre as duas variáveis.

1.2.1 O primeiro termo é 6521 =v ; a razão é 0502,11 =+

n

n

vv

.

1.2.2 Comecemos por calcular a soma dos nove primeiros termos da progressão dada.

24,71950502,110502,11

6529

9 ≈−−×=S . Multiplicando este valor por 14 (12 ordenados

mensais mais subsídio de férias e décimo terceiro mês), obtém-se o resultado de 100733 euros, por arredondamento às unidades. 2.1 Das condições do problema, resulta imediatamente que )()()( xnxpxR ×= . Logo,

400002000020000)20004000()1(10)( 2 ++−=−×+= xxxxxR . Já que se trata de um aumento tem de ser 0≥x ; como )(xn tem de ser não negativo, resulta que 020004000 ≥− x e portanto 2≤x . 2.2 Comecemos por esboçar o gráfico da função R em [ ]2,0 recorrendo à calculadora.

1 2

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

x

y

A

O ponto A assinalado na figura tem as coordenadas (0,5; 45000); R tem pois o

máximo 45000, atingido para x = 0,5. Podemos concluir que nenhum dos dois elementos da direcção tem razão e que o aumento correcto para maximizar a receita é de 50%, correspondente a um preço de 15 euros por bilhete e uma receita de 45000 euros. Para o preço de 20 euros, proposto pelo primeiro director, temos um aumento de 100% sobre o preço base e portanto 1=x ; 40000)1( =R e a receita é de 40000 euros. Aparentemente, este director terá pensado que duplicando o preço dos bilhetes, a receita seria superior. Para o preço de 10 euros, proposto pelo segundo director, 0=x , 40000)0( =R e a receita é de 40000 euros. Este director terá talvez pensado que, com a lotação esgotada, a receita seria máxima. 2.3 Dos espectadores presentes, 60% são sócios, o que corresponde a

40956,06825 =× espectadores. Assim, a probabilidade pedida é 36,068244094

68254095 ≈× .

3.1 A área pedida é o quádruplo da área do triângulo rectângulo [AOD]; esta última pode ser dada por

2sencos25

2sen5cos5

2αααα =×=× OAOD

,

pelo que ααααα sencos502

sencos254)( =×=A , como se pretendia.

3.2 2m2522

22

504

sen4

cos504

=××=��

��

��

��

�=��

��

� πππA .

Para 4πα = , o losango tem os ângulos internos rectos, pelo que se trata de um

quadrado.

4.1 A massa total pedida é toneladas03,10391100

)3( 349,0 ≈+

= ×−eM .

4.2 Não; o modelo é descrito pela função )(tM , que é estritamente crescente (ver gráfico), logo a sua taxa de variação média é positiva em qualquer intervalo.

5 Seguindo a sugestão, comecemos por determinar a altura HL . Aplicando o Teorema

de Pitágoras ao triângulo rectângulo [ ]HLJ , vem 222

HLLJHJ += , donde 222 48 HL+= e 928,648 ≈=HL .

Para determinar a altura do triângulo [ ]ABC , repare-se que esta é igual a

HALHLG ++ e que só nos falta calcular o valor da última parcela, dado que 4=LG . Considerando o triângulo [ ]AHD , rectângulo em D, reparemos que º302/º60 ==α e

que AH

HD=º30sen , donde 85,0

4 ==AH .

Assim, a altura em causa é aproximadamente igual a 928,188928,64 =++ .

Considerando o triângulo rectângulo [AGC], tem-se ACAG=αcos , donde

856,21º30cos

≈= AGAC .

O perímetro do triângulo equilátero [ ]ABC é o triplo deste valor; arredondando às unidades, obtém-se 66 metros.

Prova 735 • Página 1/ 8



Prova Escrita de Matemática B

10.º/11.º anos ou 11.º/12.º anos de Escolaridade

Prova 735/1.ª Fase 8 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos

2008

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas

que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem

ser primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta.

Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que

necessário.

Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca,

aquilo que pretende que não seja classificado.

Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas

respostas.

Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um

mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Em todas as respostas, indique todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente todos os elementos

recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:

• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o gráfico, ou gráficos,

obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por

exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);

• sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as linhas da tabela

relevantes para a resolução do problema proposto;

• sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio-padrão, coeficiente de

correlação, declive e ordenada na origem de uma recta de regressão, etc.), apresente as listas que

introduziu na calculadora para as obter.

As cotações dos itens encontram-se na página 7.

A prova inclui um Formulário na página 8.


1. Pretende-se fazer um canteiro, no jardim de uma escola, com a forma de um quadrado de 7 metros de

lado.

Fig. 1

A figura 1 representa um projecto desse canteiro, designado por [ABCD ], em que a região sombreada

representa a zona que se pretende relvar, e o quadrado [EFGH] representa o local destinado a plantar

roseiras.

Tem-se, em metros:

1.1. Admita que x = 3. Pretende-se plantar 700 roseiras na zona reservada para esse efeito. Cada

roseira necessita de uma área quadrangular com 20 centímetros de lado.

Será possível plantar as 700 roseiras nessa zona? Justifique.

1.2. Mostre que a área, a, da região relvada, em metros quadrados, é dada, em função de x, por

Calcule a(0) e interprete o valor obtido no contexto da situação descrita.

2. Nos itens seguintes, considere a função , definida no intervalo [0, 7], no contexto

descrito no grupo de itens anterior.

2.1. Mostre que a taxa de variação média da função a, no intervalo [3, 4], é zero.

2.2. Do facto de a taxa de variação média da função a, no intervalo [3, 4], ser zero, podemos concluir

que a função a é constante no intervalo [3, 4]?

Justifique a sua resposta.

2.3. Atendendo ao orçamento existente, pretende-se que a zona relvada tenha a maior área possível.

Determine o valor de x para que tal aconteça.

( )2

214 xxxa −=

( )2

214 xxxa −=

AE FB GC HD x= = = =

� �

�

��

�

�

�


3. O «jogo da moedinha» consiste no seguinte: cada jogador (num conjunto de dois ou mais) esconde zero,

uma, duas ou três moedas, numa das suas mãos. Seguidamente, cada um dos jogadores tenta adivinhar

o número total de moedas «escondidas».

O David e o Pedro jogam com frequência o «jogo da moedinha». Admita que cada um deles escolhe,

aleatoriamente e com igual probabilidade, o número de moedas, entre zero e três, que vai esconder na

sua mão.

3.1. Seja Y a variável aleatória «número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro».

Construa a tabela de distribuição de probabilidade da variável aleatória Y.

Indique se é mais provável que o número total de moedas escondidas pelo David e pelo Pedro seja

menor do que dois ou maior do que três.

3.2. Considere X a variável aleatória «número de vezes por semana que os dois amigos se encontram

para realizar o referido jogo».

Admita que a seguinte tabela corresponde à distribuição de probabilidade da variável X.

Determine o valor de a e calcule o valor médio da variável aleatória X.

4. Thomas Malthus, pensador do século XVIII, elaborou um modelo para prever a evolução da população

mundial. De acordo com este modelo, a população mundial duplicaria, de 25 anos em 25 anos.

Considerando que, no ano de 1900, a população mundial era de 1,65 mil milhões de pessoas, estime, de

acordo com o Modelo de Malthus, qual teria sido o valor da população mundial em 2000.

Apresente o resultado em milhares de milhões, arredondado às unidades.

X = x i 0 1 2 3 4

P(X = x i) 0,10 0,20 a 0,25 0,15


5. A população mundial, desde 1900, evoluiu de acordo com a tabela abaixo:

Admita que a evolução da população mundial desde 1900 é bem modelada por uma função exponencial

do número de pessoas, em que a variável independente designa o número de anos após 1900.

Estime a população mundial para 2010.

Recorra à calculadora e utilize a regressão exponencial para determinar a expressão de uma função

que se ajuste aos dados da tabela, percorrendo as seguintes etapas:

• considere o ano de 1900 como o ano zero (0), o ano de 1910 como o ano dez (10), e assim

sucessivamente até ao ano de 2000 como o ano cem (100);

• escreva essa expressão (apresente os valores numéricos envolvidos na expressão e fornecidos pela

calculadora, com quatro casas decimais);

• usando essa expressão, estime a população mundial para 2010 (apresente o resultado em milhares de

milhões de habitantes, arredondado às centésimas).

AnoNúmero de pessoas

(em milhares de milhões)

1900 1,65

1910 1,75

1920 1,86

1930 2,07

1940 2,30

1950 2,56

1960 3,04

1970 3,71

1980 4,45

1990 5,28

2000 6,08


6. Na figura 2 está representado um pêndulo simples, E, oscilando no

plano DAB.

Quando um pêndulo oscila à superfície da Terra, o plano de oscilação

não se mantém fixo, vai rodando ao longo do tempo, em torno de um

eixo vertical, representado na figura por CD, devido ao movimento de

rotação da Terra. O tempo que decorre entre o início da oscilação do

pêndulo e o momento em que o plano de oscilação do pêndulo

completa uma rotação de 360º designa-se por período. Este período

não é o mesmo em todos os lugares da Terra, pois depende da latitude

do lugar em que se realiza a experiência. Vamos considerar apenas

lugares do hemisfério norte.

A relação entre o período, T, medido em horas, e a latitude do lugar, q,

medida em graus, estabelecida por Jean Foucault (1819-1868), em

1851, é:

(Lei do seno de Foucault)

6.1. Mostre que, no Pólo Norte, o pêndulo tem um período de 24 horas. Recorde que a latitude no Pólo

Norte é de 90º.

6.2. A latitude de Paris, onde Foucault realizou a experiência que confirmou a referida lei, é,

aproximadamente, de 49º.

O João declarou ter feito uma experiência semelhante à de Foucault, nas mesmas condições, tendo

obtido o valor de 48 horas para o período do pêndulo.

Num pequeno texto e usando apenas a lei do seno de Foucault:

• indique o período que Foucault terá registado na sua experiência de 1851;

• indique a latitude do local em que o João terá feito a sua experiência;

• comente, fundamentadamente, a possibilidade de a experiência do João poder ter sido realizada

em Portugal Continental, sabendo que Portugal Continental está compreendido entre,

aproximadamente, as latitudes 36º e 42º.

FIM

( )T

sen q24=


�

�

�

�

�

�

�

Fig. 2

COTAÇÕES

1. .................................................................................................................................................. 30 pontos

1.1. ...................................................................................................................... 10 pontos

1.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

2. .................................................................................................................................................. 60 pontos

2.1. ...................................................................................................................... 20 pontos

2.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

2.3. ...................................................................................................................... 20 pontos

3. .................................................................................................................................................. 40 pontos

3.1. ...................................................................................................................... 20 pontos

3.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

4. .................................................................................................................................................. 20 pontos

5. .................................................................................................................................................. 20 pontos

6. .................................................................................................................................................. 30 pontos

6.1. ...................................................................................................................... 10 pontos

6.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

______________

TOTAL .............................................................. 200 pontos


Formulário


α r (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)


Losango:

Trapézio: × Altura

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema

Sector circular: (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)


Área lateral de um cone: π r g (r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4 π r2 (r – raio)

Volumes

Pirâmide: × Área da base × Altura

Cone: × Área da base × Altura

Esfera: π r3 (r – raio)

Progressões

Soma dos n primeiros termos de uma

Progressão aritmética: × n

Progressão geométrica: u1 ×1 – rn

———–1 – r

u1 + un———–

2

4—3

1—3

1—3

α r2——

2

Base maior + Base menor————————————2

Diagonal maior × Diagonal menor————————————————

2


1

�

�� ! "�#��$��

%��&��'!��&�'�(�)�*�&��'!�&��'�+++��,��-��

�

��

Proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática Para a prova de Matemática B (código 735)

1ª. Fase – 23/06/08

1.1 Comecemos por reparar que a área do quadrado [EFGH] pode ser dada por 2

FG . Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [FBG], tem-se que

222FGBGFB =+ , donde ( ) 25373

2222 =⇔=−+ FGFG . Assim, a área deste quadrado é de 25 m2, ou, reduzindo a centímetros quadrados, de 250000 cm2. Por outro lado, as 700 roseiras necessitam de uma área de 22 cm28000020700 =× . Podemos concluir que não é possível proceder à plantação. 1.2 A área da região relvada é o quádruplo da área do triângulo rectângulo [FBG].

Assim, a área pedida é ( ) 221427

4 xxxx −=−×× .

0)0( =a ; se 0=x , os quadrados [ABCD] e [EFGH] coincidem e não existe zona relvada.

2.1 ( )0

13231442414

34)3()4(

tvm22

=×−×−×−×=−−= aa

2.2 Não, o facto de a taxa de variação média ser nula num dado intervalo implica apenas que a função assume valores iguais nos extremos do intervalo e não que é constante. No caso concreto em estudo, a representação gráfica da função é um arco de parábola, logo a função não é constante em nenhum intervalo do seu domínio. 2.3 Para obter o valor que maximiza a área, basta determinar a abcissa h do vértice da parábola definida por 2214 xxy −= .

( ) 5,322

142

=−×

−=−=a

bh

Assim, x deve ter o valor de 3,5 metros. 3.1

iyY = 0 1 2 3 4 5 6

( )iyYP = 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16

2

( ) ( ) ( )( ) 16/616/116/216/33

16/316/216/1102=++=>

=+==+==<YP

YPYPYP

Assim, é mais provável que o número de moedas escondidas seja maior que 3. 3.2 Deve ser 115,025,020,010,0 =++++ a donde 3,0=a . Quanto ao valor médio,

15,2415,0325,023,0120,0010,0 =×+×+×+×+×=Xµ .

4. Considere-se a seguinte tabela:

Ano População (em milhares de milhões) 1900 1,65 1925 3,365,12 =× 1950 6,63,32 =× 1975 2,136,62 =× 2000 4,262,132 =×

Assim, com a aproximação pedida, a resposta é 26. 5. Considere-se a seguinte tabela

L1 L2 0 1,65

10 1,75 20 1,86 30 2,07 40 2,30 50 3,56 60 3,04 70 3,71 80 4,45 90 5,28

100 6,08

Utilizando a regressão exponencial e com a aproximação indicada, obtém-se

xxf 0137,14471,1)( ×= . Para terminar, e seguindo as indicações dadas no enunciado, ao ano de 2010 corresponderá o valor 110, e assim 46,60137,14471,1)110( 110 ≈×=f .

6.1 ( ) horas.24124

º90sen24 ===T

3

6.2 O período registado por Foucault na experiência de 1851 é

( ) horas80,31º49sen

24 ≈=T . Quanto ao local onde o João terá feito a experiência, a sua

latitude q pode ser determinada resolvendo a equação ( )qsen24

48 = , donde se conclui

que º30=q . Finalmente, atendendo a que Portugal Continental está compreendido entre, aproximadamente, as latitudes 36º e 42º, conclui-se que o João não poderá ter feito a experiência em Portugal Continental.




Prova Escrita de Matemática B

10.º/11.º anos ou 11.º/12.º anos de Escolaridade

Prova 735/2.ª Fase 8 Páginas

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos

2008

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas

que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem

ser primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta.

Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que

necessário.

Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca,

aquilo que pretende que não seja classificado.

Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas

respostas.

Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um

mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.

Em todas as respostas, indique todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Sempre que, na resolução de um problema, recorrer à sua calculadora, apresente todos os elementos

recolhidos na sua utilização. Mais precisamente:

• sempre que recorrer às capacidades gráficas da sua calculadora, apresente o gráfico, ou gráficos,

obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por

exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.);

• sempre que recorrer a uma tabela obtida na sua calculadora, apresente todas as linhas da tabela

relevantes para a resolução do problema proposto;

• sempre que recorrer a estatísticas obtidas na sua calculadora (média, desvio-padrão, coeficiente de

correlação, declive e ordenada na origem de uma recta de regressão, etc.), apresente as listas que

introduziu na calculadora para as obter.

As cotações dos itens encontram-se na página 7.

A prova inclui um Formulário na página 8.


1. Numa região montanhosa, pretendia-se abrir um túnel em linha recta, unindo dois locais à mesma

altitude. Devido à escassez de meios, seguiu-se um processo que era usado na Grécia Antiga.

No esquema da figura 1, que não está à escala, a

região sombreada representa a montanha, e o

segmento [AF ] o túnel. Este esquema ilustra o

processo utilizado: sempre à mesma altitude, uma

equipa técnica deslocou-se 750 metros para leste

do ponto A, até ao ponto B ; do ponto B,

deslocou-se 450 metros para norte, até ao ponto

C, e assim sucessivamente, até ao ponto F, tal

como está indicado na figura.

No fim deste processo, a equipa decidiu-se a usar coordenadas cartesianas, para saber que direcção

deveriam tomar as escavações.

Para esse efeito, imaginou o referencial com origem

em A, indicado na figura 2. A unidade usada nos

eixos foi o metro.

Tendo em conta este referencial, responda aos

seguintes itens.

1.1. Indique as coordenadas dos pontos assina-

lados na figura (A, B, C, D, E, F).

1.2. Determine a equação reduzida da recta AF.


� ��

��

��

��

��

� ��

�

�

��

� � ��

��

��

��

��

� ��

Fig. 1

Fig. 2

2. Numa piscicultura, existe um tanque que tem actualmente 300 robalos. Ao serem introduzidas x trutas

no tanque, a proporção P(x ) do número de trutas, relativamente ao número total de peixes que

passam a existir no tanque, é tal que .

2.1. A equação P(x) = 1 é impossível.

Interprete esta impossibilidade no contexto da situação descrita.

2.2. Pretende-se que a percentagem de trutas, relativamente ao número total de peixes, seja de 25%.

Qual é o número de trutas a introduzir no tanque?

3. Admita agora que, no tanque, existem 300 robalos e 200 trutas.

3.1. Vai ser pescado, ao acaso, um peixe do tanque. Admita que cada peixe tem igual probabilidade de

ser pescado.

Qual é a probabilidade de se pescar um robalo?

3.2. Foram retirados do tanque doze robalos. Os valores dos respectivos comprimentos e pesos são os

que constam da seguinte tabela.

Recorrendo à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear entre as variáveis a e p,

arredondado às centésimas.

Interprete o valor obtido, tendo em conta a nuvem de pontos que pode visualizar na calculadora.

4. Numa pequena cidade foi colocado, em lugar de destaque,

um painel publicitário alusivo às ofertas turísticas da região.

4.1. O painel tem um mecanismo que faz accionar um ponto

luminoso (ponto P ), que descreve uma circunferência de

centro O, com cinco metros de raio, tal como a figura 3

sugere.

Sejam:

• θ a amplitude, em graus, do ângulo orientado cujo lado

origem é a semi-recta O•

A e cujo lado extremidade é a

semi-recta O•

P ;

• ;

• h a distância do ponto luminoso à base do painel.

OB=7

Comprimento

a (em mm) 157 165 168 159 172 165 166 163 159 169 171 168

Peso p (em g) 52 61 67 60 70 65 66 62 58 72 72 68

( )x

P xx

=300 +


�

�

�

�

�

�

�

�

��

Fig. 3

Comece por completar a tabela seguinte, relativa a várias posições do ponto P, ao longo de uma volta.

De seguida, mostre que, para 0º < θ < 90º, a distância, h, expressa em metros, do ponto luminoso à

base do painel, é dada, em função de θ , por

4.2. Um gabinete de publicidade turística está a projectar um painel no qual figuram dez circunferências

com o mesmo centro.

Conforme o projecto, a primeira circunferência terá 3 metros de raio, a segunda terá 3,10 metros de

raio e assim sucessivamente, de acordo com uma progressão aritmética de razão 0,10 metros. Com

o objectivo de fazer realçar o painel, à noite, pretende-se que cada uma destas dez circunferências

fique coberta com fio luminoso.

Quantos metros de fio luminoso serão necessários para executar o projecto?

Apresente o resultado arredondado às centésimas. Nos valores intermédios, use sempre, pelo

menos, três casas decimais.

5. Numa determinada região do interior, as chuvas torrenciais causaram inundações, e a região foiconsiderada zona de catástrofe. Os prejuízos acentuaram-se muito nas actividades agrícolas. Paraenfrentar esta situação, os organismos ligados aos serviços agro-pecuários decidiram adquirir raçõespara animais. Foram pedidos, com urgência, dois tipos de ração: FarX e FarY.

A FARJO é uma fábrica especializada na produção destes tipos de ração. Estas rações contêm trêsaditivos: vitaminas, sabores e conservantes.

Por cada tonelada de ração do tipo FarX, são necessários dois quilogramas de vitaminas, um quilogramade sabores e um quilograma de conservantes.

Por cada tonelada de ração do tipo FarY, são necessários um quilograma de vitaminas, dois quilogramasde sabores e três quilogramas de conservantes.

A FARJO dispõe, diariamente, de 16 quilogramas de vitaminas, 11 quilogramas de sabores e 15quilogramas de conservantes. Estas são as únicas restrições na produção destas rações.

Represente por x a quantidade de ração FarX produzida diariamente, expressa em toneladas, e por y aquantidade de ração FarY produzida diariamente, expressa em toneladas.

5.1. É possível a FARJO fabricar, num só dia, 4 toneladas de FarX e 3 toneladas de FarY?

Justifique.

5.2. Quais são as quantidades de ração de cada tipo que devem ser produzidas, de modo que aquantidade total de ração produzida diariamente seja máxima?


• indique as restrições do problema;

• indique a função objectivo;

• represente graficamente a região admissível, referente ao sistema de restrições;

• indique os valores das variáveis para os quais é máxima a função objectivo.

( )h senθ θ= 7 + 5

θ 0º 90º 180º 270º 360º

h


6. Sabe-se que Leonardo da Vinci (1456-1519) também se interessava por Matemática. Numa melancólica

nota sobre a noite de 30 de Novembro de 1504, escreveu o seguinte, numa caligrafia regular e da direita

para a esquerda (como costumava):

«Na noite de Santo André, encontrei a solução para a quadratura do círculo, quando se acabavam acandeia, a noite e o papel em que estava a escrever. Terminei-a de manhã».

Durante anos e anos, procuraram-se, entre os infindáveis cadernos que nos deixou, os manuscritos

contendo as reflexões feitas naquela noite. Em vão: nunca foram encontrados.

Nas férias da Páscoa de 2008, o Manuel foi passar uns dias a casa dos avós. Vasculhando coisas velhas

no sótão, encontrou uns papéis corroídos pelo tempo, escritos em italiano antigo e também numa

caligrafia regular, da direita para a esquerda: pareciam ser o tão procurado caderno de Leonardo sobre a

quadratura do círculo. Ficou espantado.

Imagine que o Manuel lhe pede a si que estude a possibilidade de a autoria dos papéis ser de Leonardo

da Vinci.

Admita que, numa aula de Matemática B, aprendeu que a massa de carbono 14 (C14), presente num

artefacto desde a sua produção, é dada pela fórmula

y(t) = c e–0,000121 t

em que c é a massa original de C14, em gramas, e t é o tempo, em anos, decorrido desde o momento

da produção do artefacto.

Decidiu, por isso, recorrer a um laboratório científico especializado em análises de C14, que o informou do

seguinte: o manuscrito contém 96% da massa de C14 original, ou seja, designando por c a massa de

C14 original, a massa de C14 que o manuscrito contém é de 0,96 c.

Com base nesta informação, redija um pequeno texto para o Manuel, no qual constem:

• a idade do papel (em número inteiro de anos);

• a data (em anos) em que terá sido fabricado;

• a conclusão quanto à possibilidade de Leonardo da Vinci ser o autor do manuscrito.

FIM


COTAÇÕES

1. .................................................................................................................................................. 30 pontos

1.1. ...................................................................................................................... 12 pontos

1.2. ...................................................................................................................... 18 pontos

2. .................................................................................................................................................. 40 pontos

2.1. ...................................................................................................................... 20 pontos

2.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

3. .................................................................................................................................................. 40 pontos

3.1. ...................................................................................................................... 20 pontos

3.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

4. .................................................................................................................................................. 40 pontos

4.1. ...................................................................................................................... 20 pontos

4.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

5. .................................................................................................................................................. 30 pontos

5.1. ...................................................................................................................... 10 pontos

5.2. ...................................................................................................................... 20 pontos

6. .................................................................................................................................................. 20 pontos

______________

TOTAL .............................................................. 200 pontos


Formulário


α r (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)


Losango:

Trapézio: × Altura

Polígono regular: Semiperímetro × Apótema

Sector circular: (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)


Área lateral de um cone: π r g (r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4 π r2 (r – raio)

Volumes

Pirâmide: × Área da base × Altura

Cone: × Área da base × Altura

Esfera: π r3 (r – raio)

Progressões

Soma dos n primeiros termos de uma

Progressão aritmética: × n

Progressão geométrica: u1 ×1 – rn

———–1 – r

u1 + un———–

2

4—3

1—3

1—3

α r2——

2

Base maior + Base menor————————————2

Diagonal maior × Diagonal menor————————————————

2


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Proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática

Para a prova de Matemática B (código 735) 2ª. Fase – 16/07/08

1.1 As coordenadas pedidas são:

Pontos Coordenadas A (0, 0) B (750, 0) C (750, 450) D (900, 450) E (900, 750) F (500, 750)

1.2 A equação pedida é da forma bmxy += , com m e b valores reais a determinar.

Usando as coordenadas dos pontos A e F anteriormente determinadas, somos conduzidos ao sistema

��

+⋅=+⋅=

bm

bm

50075000

, donde ��

==

5,10

m

b

A equação é xy 5,1= . 2.1 Se a equação fosse possível, isso significaria que era possível introduzir um número de trutas tal que a proporção desta espécie no tanque seria 1 (100%). Neste caso, haveria apenas trutas no tanque, o que é incompatível com a existência dos 300 robalos.

2.2 ( ) 10030025,025,0300

25,0)( =⇔+⋅=⇔=+

⇔= xxxx

xxP

É necessário introduzir 100 trutas.

3.1 6,0200300

300peixes de totalnº.

robalos denº. =+

==p

3.2 Considerem-se as seguintes listas (numa TI-83)

L1 L2 157 52 165 61 168 67 159 60 172 70 165 65 166 66 163 62 159 58 169 72 171 72 168 68

Recorrendo ao comando LinReg(ax + b), obtém-se 94,0≈r . O valor obtido, bem como a nuvem de pontos que se pode visualizar, indica a existência de uma forte correlação linear positiva entre as variáveis. 4.1 A tabela pedida é

θθθθ 0º 90º 180º 270º 360º h 7 12 7 2 7

Da figura, PDPDOBh +=+= 7 ; considerando o triângulo rectângulo [OPD], vem

θθθ sen55

sensen =⇔=⇔= PDPD

OPPD

. Substituindo na expressão de h, vem

finalmente θsen57 +=h . 4.2 Atendendo a que os raios estão em progressão aritmética de razão 0,1, estes serão 3; 3,1; 3,2; …; 3,9. A quantidade de fio pedida é assim dada pela soma dos perímetros das respectivas circunferências, ou seja, 77,2169,321,3232 ≈⋅π++⋅π+⋅π � metros. 5.1 Para fabricar 4 toneladas de FarX e 3 toneladas de FarY são necessários

111324 =×+× quilogramas de vitaminas, 102314 =×+× quilogramas de sabores e 133314 =×+× quilogramas de conservantes. Atendendo às restrições indicadas,

conclui-se que é possível.

5.2 Usando a notação sugerida no enunciado, as restrições são

��

�

��

�

�

≤+≤+≤+

≥

153

112

162

0,

yx

yx

yx

yx

A função objectivo é yxF += e a região admissível está representada a amarelo na figura

Calculando o valor da função objectivo nos vértices da região admissível, conclui-se que esta é máxima no ponto (7, 2); os valores são pois 2e7 == yx . 6. Para calcular a idade do papel, devemos resolver a equação em t

tecc 000121,096,0 −⋅= . Dividindo ambos os membros por c (c>0) e aplicando logaritmos,

vem t000121,0)96,0ln( −= e portanto 337000121,0

)96,0ln( ≈−

=t .

O texto pedido poderá então ser: Recorrendo à fórmula dada, concluímos que o papel em causa tem a idade de 337 anos, pelo que foi produzido em 1671, já que 16713372008 =− . Como Leonardo da Vinci descobriu a solução em 1504, conclui-se que o manuscrito não pode ser da sua autoria.

Documents

Caderno de Provas Nacionais - MAtemática B