Caderno Universitrio 2 semestre de 2008 Anlise de Circuitos em Corrente Alternada Por Joo Carlos Vernetti dos Santos Curso de Engenharia Eltrica (ULBRA/Canoas) 2 NDICE INTRODUO.................................................................................................................................. 3 ONDAS SENOIDAIS, FASORES E LGEBRA FASORIAL...................................................... 4 MTODOS DE ANLISE DE CIRCUITOS EM REGIME SENOIDAL................................. 10 LEIS DE KIRCHHOFF........................................................................................................................ 10 TRANSFORMAO DE FONTES......................................................................................................... 12 MTODO DE MALHAS ..................................................................................................................... 15 MTODO DE NS............................................................................................................................. 18 IMPEDNCIA DE ACESSO EM FUNO DA FREQNCIA.................................................................... 21 DIAGRAMAS FASORIAIS .................................................................................................................. 25 DIAGRAMAS DE LOCI ...................................................................................................................... 26 MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA E TEOREMAS DE THVENIN E NORTON............................ 32 PRINCPIO DA SUPERPOSIO.......................................................................................................... 34 POTNCIA COMPLEXA E FATOR DE POTNCIA.................................................................................. 35 INDUTNCIA MTUA E TRANSFORMADORES .................................................................. 39 POLARIDADE DA TENSO INDUZIDA (REGRA DO PONTO) ................................................................. 39 TRANSFORMADOR LINEAR (COM NCLEO DE AR) ........................................................................... 40 TRANSFORMADOR IDEAL (COM NCLEO DE FERRO) E CASAMENTO DE IMPEDNCIAS ..................... 46 AUTOTRANSFORMADOR.................................................................................................................. 50 CIRCUITOS POLIFSICOS......................................................................................................... 52 CARGAS EQUILIBRADAS CONECTADAS EM Y E EM ....................................................................... 52 CARGAS DESEQUILIBRADAS CONECTADAS EM Y E EM ................................................................. 56 MEDIO DE POTNCIA TRIFSICA ................................................................................................. 57 PRTICAS DE LABORATRIO................................................................................................. 58 LABORATRIO I GRANDEZAS FASORIAIS...................................................................................... 58 LABORATRIO II FATOR DE POTNCIA. ........................................................................................ 59 LABORATRIO III - SOLUO DE SISTEMAS DE EQUAES LINEARES COM O MATLAB ............. 60 CONSIDERAES FINAIS.......................................................................................................... 63 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS........................................................................................... 64 3 Introduo Estecadernouniversitrioapresentalistasdeexerccios,laboratriosequestesdeprovas aplicadas na disciplina de Anlise de Circuitos em Corrente Alternada. Estematerialobjetivacomplementarocontedodadisciplinaapresentadoemaula,bem como indicar bibliografias recomendadas. Ocadernouniversitriocontmexerccios,respostasdeexercciosselecionadosealgumas soluescomentadas.Porm,paraobomdesempenhonestadisciplina,recomenda-sealmda resoluodosexercciosaquipropostos,oacompanhamentodasaulastericasedelaboratrio, bem como o imprescindvel estudo do contedo dos livros indicados nas referncias bibliogrficas. 4 Ondas senoidais, fasores e lgebra fasorial 1.Expressar as seguintes ondas na forma co-senoidal. (a)( ) 30 50 t sen (b)( ) 130 50 t sen (c)( ) + 60 50 t sen (d)( ) 230 50 t sen Resp.:(a)50cos(t - 120); (b) 50cos(t + 140); (c)50cos(t - 30); (d) 50sen(t + 130). 2.Transformar as seguintes expresses para a forma fasorial. (a)( ) 30 377 220 t sen(b)( ) 130 70 60 t sen(c)( ) + 60 4 10 t sen (d)( ) 230 10 2 cos 503t Resp.:(a) 30 220 ; (b) 130 60 ; (c) 60 10 ; (d) 230 50 . 3.Determinaraamplitude,operodo,afreqnciacclicaeafreqnciaangulardasondasdo problema anterior. Resp.:(a)220, 2/377, 377/2, 377 (b) 60, 2/70, 70/2, 70 (c)10, 2/4, 4/2, 4 (d) 50, 1, 1, 2 4.Efetuarasseguintesoperaesnodomniodafreqnciaeobterarespostanodomniodo tempo. Dados: ) 78 3 ( 10 ) ( ) 69 2 ( 14 ) ( ) 49 2 ( 5 ) ( 2 cos 7 ) (4 3 2 1 = = + = = t sen t v t sen t v t sen t v t t v (a)v1 + v2 (b) v1 + v3 (c)v2 + v3 (d) v1 + v2 + v3 (e)v2 + v4 Resp.:(a)11,26sen(2t + 73,1); (b) 7,875sen(2t 50,4); (c)12,461sen(2t 48,3); 5 (d) 8,61sen(2t 15,5); (e)5sen(2t + 49) + 10sen(3t 78) 5.Calcularosseguintesvaloresinstantneosapartirdasexpressesdadasnoproblemaanterior, sabendo que T o perodo da onda senoidal: (a) v1(3s); (b) v3(4,7ms); (c) v1(-2T/3). Resp.:(a)6,721 (b) 13,022 (c)3,5 6.Transformar os nmeros abaixo para a forma polar: (a)4 3 j +(b)3 1 j +(c)30 , 0 48 , 2 j (d)66 , 8 5 j +(e)34 , 1 5 j (f)900 900 j +(g)900 900 j (h)900 900 j + (i)900 900 j (j)3600 2400 j + (k)9 5 j (l)60 15 j (m)2 2 j (n)2 2 j + Resp.:(a) 13 , 53 5(b) 60 2(c) 9 , 6 498 , 2(d) 60 10(e)5,176-15 (f)1272,845 (g) 1272,8-45 (h) 1272,8135 (i)1272,8-135 (j)4326,66123,7 (k) 10,29-60,9 (l)61,85-104,04 (m) 2,83-45 (n) 2,8345 7.Transformar os nmeros abaixo da forma polar para a forma retangular: (a) 95 , 60 296 , 10(b) 45 3(c) 27 20(d) 127 7 , 2(e) 187 360(f) 277 1030(g) 315 5320 (h) 90 30(i) 90 30(j) 0 30(k) 180 30(l) 87 , 36 5(m) 69 , 123 66 , 4326(n) 04 , 104 85 , 61 6 Resp.:(a)5-j9 (b) 2,12+j2,12 (c)17,82-j9,08 (d) 1,625+j2,156 (e)357,32-j43,87 (f)125,53-j1022,32 (g) 3761,81-j3761,81 (h) j30 (i)j30 (j)30 (k) 30 (l)4+j3 (m) 2400+j3600 (n) 15-j60 8.Fazer um esboo no plano complexo dos nmeros complexos dos dois problemas anteriores. 9.Expressarosfasoresabaixo,representadosnoplanocomplexo,naformaretangularenaforma polar. 35ImReo|B| =5 (a) 35ReImo|B| = 5 (b) ImRe-54 (c) 54ReIm (d) 7 215ReImo|B| = 5 (e) ReIm355o|B| = 5 (f) -5-4ReIm (g) 5-4ReIm (h) Resp.: (a)-4,096+j2,868; 5145 (b) 4,096+j2,868; 535 (c)-5+j4; 6,403141,34 (d) 5+j4; 6,40338,66 (e)-4,096-j2,868; 5215 (f)4,98-j0,436; 5355 (g) -5-j4; 6,403-141,34 (h) 5-j4; 6,403-38,66 10.Considerandoosfasores 4 3 j A + =&, 3 1 j B + =&e = 60 2 C&,efetuarasoperaes algbricas abaixo: (a)B A& & +(b)B A& & (c)C B A& & & +(d)( )*A& (e) C B A&& & + (f) CB A&& &+3 (g) ( )*C BA A& && &+ (h)( )*A A& & (i)( )*A A& & (j) ( )*AA&& (k)( ) ( ) [ ]*C C B A& & & &+ +(l) ( )( )*BC B A&& & &+ (m)C B A& & & + 2 3(n)4 / 2 2 / C B A& & & + 8 Resp.: (a)4+j5,732 (b) 2+j2,268 (c)3+j4 (d) 3-j4 (e)j8 (f)25 (g) -0,28+j0,96 (h) 3,482-j0,299 (i)0,0113+j2,294 (j)6/0 = (k) 8+j11,464 (l)-9,928+j1,196 (m) 4+j5,732 (n) 3,25+j5,031 11.Efetuar as operaes abaixo e obter a resposta na forma retangular. (a)( ) ( ) 2 , 0 6 , 7 8 , 6 2 , 4 j j + + +(b)( ) ( ) 5 10 7 76 10 47 6j j + + (c)( ) ( ) 68 4 78 36 j j + (d) + 80 8 20 6(e) + 120 70 60 62 45 42 Resp.: (a)11,8+j7 (b) 4,7.10-6+j81 (c)-32+j146 (d) 7,027+j9,931 (e)95,698+j22,77 12.Efetuar as operaes abaixo e obter a resposta na forma polar. (a)( ) ( ) 360 8 80 65(b)( ) ( ) 3 2 8 8 j j + +(c)( ) ( ) + 45 5 16 8 j(d)( ) ( ) 90 5 5 5 j(e) + 60 6260 250 4 (f) 60 825 , 0 5 , 0jj+ (g) +50 35 55 5jj (h) 20 30120 002 , 0 Resp.:(a)520-50o (b) 40,79101,3 (c)89,44108,4 (d) 35,355-45 (e)61,9859,97 (f)0,0092108,97 (g) 3-40 9 (h) 66,67.10-6100 13.Determinar x, sabendo que ( ) ( ) 72 , 25 64 , 30 60 20 10 j x = Resp.: x = 4 14.Determinar , sabendo que 2 464 , 3200 80j = Resp.: = 30 15.Transformar as expresses abaixo para o domnio da freqncia. (a)( ) + 30 10 t sen (b)( ) 40 157 5 t sen(c)( ) + 20 cos 10 66t (d)t 3 cos 3 Resp.: (a)1030 (b) 5-40 (c)6.10-620 (d) 30 16.Transformar as expresses abaixo para o domnio do tempo, sabendo que f = 60Hz. (a)A I = 20 40& (b)mA I = 120 8& (c)V V = 0 120& (d)V V = 90 5& Resp.: (a)40sen(377t + 20)A; (b) 8sen(377t + 120)mA; (c)120sen(377t + 0)V; (d) 5sen(377t + 90)V 10Mtodos de Anlise de Circuitos em Regime Senoidal Leis de Kirchhoff 17.Para o circuito abaixo, aplicar LKT para obter vb(t), sabendo que vF(t) = 60sen(377t + 20)V e va(t) = 20sen377tV. +v-+ v-+v-Fab Resp.: 41,77sen(377t + 29,43)V 18.Para o circuito abaixo, obter i(t), sabendo que i1(t) = 20.10-6sen(377t + 90)V e i2(t) = 6.10-6sen(377t 60o)V. ii1i2 Resp.: 15,10578,54A 19.Para cada um dos circuitos abaixo, determinar a resposta solicitada em regime permanente, tanto no domnio da freqncia como no domnio do tempo. 2+( )-v t 2 4 A sent (a) 22H i t ( )+20 2000 V-sen t (b) 25H+( )-v t 2 5 A cos t (c) +-501/5Fi t ( )+10 (50 + 60 )V-cos t o (d) 115i t ( )1/9F+5 (3 + 50 )V-cos t o (e) 2 1/2H 1/8F+( )-v t5 4 A cos t (f) 101/20H1/5F+( )-v t R+( )-v t F+( ) - v t C-( ) + v t L10 10 A cos t (g) 506mH0,1 F +( )-v t+100 10000 V-sen t (h) Resp.:(a)40V; 4sen(4t)V (b) 5-89,97mA; 5sen(2000t 89,97)mA (c)3,9874,57V; 3,987cos(5t + 4,57)V (d) 0,260,11A; 0,2cos(50t + 60,11)A (e)1,667140A; 1,667cos(3t + 140)A (f)100V; 10cos(4t)V (g) VC=5-90V; 5cos(10t-90)V; VR=1000V; 100cos(10t)V; VL=590V; 5cos(10t+90)V; VF=1000V; 100cos(10t)V (h) 3,936128,08V; 3,936sen(10000t + 128,08)V 20.Aquedadetensonareatnciaj2docircuitoabaixo 015 04 , 13 V = .DeterminarZ.( Prova PAG2-2.sem.2004) +120--120V09 j2 Z Resp.: (4,01 j15,01) 21.Para o circuito abaixo, calcular o fasor corrente indicado. +5-20 V02 2 I22j4 j4 - 1j 1222.Nocircuitoabaixo,humarededesconhecidadeimpednciaZx.Paradeterminarasua natureza, foram efetuadas duas medies, resultando nas leituras indicadas ao lado. Determinar Zx, sabendo-se que o fasor I1 est atrasado em relao ao fasor Vx. (Prova G1-A-1.sem.2008). 0010010 V+-+-ZxVxVxV1V1I1= 90V= 30VLeituras:+- Resp.: (5,56 + j29,48) 23.Nocircuitoabaixo,humarededesconhecidadeimpednciaZx.Paradeterminarasua natureza, foram efetuadas duas medies, resultando nas leituras indicadas ao lado. Determinar Zx, sabendo-se que o fasor I1 est adiantado em relao ao fasor Vx. (Prova G1-B-1.sem.2008). 0010010 V+-+-ZxVxVxV1V1I1= 90V= 30VLeituras:+- Resp.: (5,56 - j29,48) Transformao de fontes 24.Para o circuito abaixo, converter a seo esquerda dos terminais ab em um outro com uma fonte de corrente. +200 V-02 j5ZLba Resp. 3,5-69 A02j5ZL 25.Para o circuito abaixo, converter a seo esquerda dos terminais ab em um outro com uma fonte de tenso. 133-30A042j3ZLab 26.DeterminaratensoV0nocircuitoabaixo,convertendoafontedetensoemfontede corrente e simplificando o circuito. +200 V-0110j3j2-j4+V-0 SOLUO: O capacitor no pode ser envolvido nas transformaes de fontes, j que a tenso V0 seriaalterada.Oproblemapodeserresolvidoemquatroetapas.Primeiro,afontedetenso transformada em fonte de corrente, ou seja, (4 - j12)A1 10j3 j2-j4+V-0 Segundo, os dois ramos de impedncias so associados em paralelo. (4 - j12)A1,4j2,27-j4+V-0 Terceiro, a fonte de corrente convertida em fonte de tenso. +33,74-13,23 V-01,4 j2,27-j4+V-0 Finalmente, a tenso V pode ser obtida aplicando a regra do divisor de tenso, ou seja, 14 ( )( )( )Vj jjV = + = 2 , 52 6 , 604 27 , 2 4 , 1423 , 13 74 , 330 27.Atravsdetransformaesesubstituiesapropriadasdefontes,determinarastensese correntes em cada elemento passivo do circuito abaixo. 10A1235- 10V + SOLUO:Comoaspolaridadesdastenseseossentidosdascorrentesnosomencionadosnoenunciado, eles devem ser arbitrados, como por exemplo, no circuito abaixo. 10Aa bc di1i2i5i3+ - v2+ - v5+-v3+-v1 1235- 10V + Aplicando a tcnica de substituio de fontes fonte de corrente (ns adc) e fonte de tenso (ns bcd),obtm-seocircuitoabaixo,oqualpermaneceinalteradoemrelaoaoselementospassivos (correntesetensesnesteselementosnosoalteradas).Apenasoramobdfoialterado,masisso no problema, j que no h elemento passivo de interesse neste ramo. 10A10Aa bc di1i2i5i3+ - v2+ 10V -+ - v5-10V++-v3+-v1 1235 O problema agora pode ser resolvido aplicando transformao das fontes de corrente ou de tenso. Transformando as fontes de corrente em fontes de tenso, por exemplo, resulta o circuito abaixo. 15+10V-Alteradoa bc di2i3+ - v2+ 10V -+ 50V --10V++-v31235 importanteobservarqueastransformaesdasfontesdecorrenteprovocaramalteraode configuraodosresistoresde1e5,osquaissodeinteressenaanlise.Comoestaparteda rede foi alterada, nada pode ser afirmado sobre i1, i5, v1 e v5. Por outro lado, o caminho abd indica que i2 = 0, de acordo com a LKT. O caminho bcd indica que i3 = 60/8 = 7,5A. Analisando a rede original com i2 = 0 e i3 = 7,5A, conclui-se por LKC que i1 = 10A ei5=-2,5A.Finalmente,aplicandoaleideOhm,obtm-seatensoemcadaelementopassivo conforme as polaridades arbitradas, ou seja, v1 = 10V, v2 = 0V, v3 = 22,5V e v5 = -12,5V. 28.Reduzir o circuito abaixo para uma fonte de corrente em paralelo com uma impedncia. +200-40oV25abj4-j3 Resp.: 52,95411,64A e 3,77728,36 Mtodo de Malhas 29.Para o circuito abaixo, determinar as correntes de malha. 10 0oV+-j8 j3- 2 j 6 I1 I2 30.Para o circuito abaixo, determinar a tenso vab aplicando o mtodo de malhas. 161625015ooVV+-+-vab+-- 9 j j5j2245 ab 31.Para o circuito abaixo, determinar a tenso v(t) sobre o resistor usando o mtodo de malhas. +20 3 V-cos t 0,2H0,3H0,4H2+-vab 32.Para o circuito abaixo, determinar a corre3nte atravs o resistor de 6 usando o mtodo de malhas. 101000ooVV+-+ -j6 j8 4I1I26- 2 j 33.Para o circuito abaixo, determinar a tenso sobre o resistor de 4 . 10 0oV+-844I5I 34.Para o circuito abaixo, determinar a tenso V1. 2V 200+2-+ V- 11,4V1- 5 j j6 1735.Determinaramximapotnciamdiaquepodesersolicitadadeumgeradordecorrente alternada, cuja impedncia interna 60 150e a tenso de circuito aberto 12,5kV. 36.Paraaredeabaixo,determinar(ProvaPAG2-2.sem.2004):(a)ovalordeZqueconsomea mximapotncia;(b)comovalordeZobtidonoitem(a),determinaratensoemregime permanente v(t). +20 3 V-cos t 0,2H20,4HZ+-vab Resp.: (a) (0,165 j1,75); (b) v(t) = 102,05.cos(3t 101,3) V 37.Para o circuito abaixo, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008): a)O circuito equivalente de Thvenin visto dos terminais ab; b)A impedncia em ab que consome a mxima potncia; c)A potncia mdia consumida na situao do item (b). 0012012 120 60 - 40j V+-+-+-Vx10VxabEquiv.Thvenin Resp.: (784 - j288)V; (6,688 - j41,42); (6,688 + j41,42); 26,077kW 38.Para o circuito abaixo, calcular a corrente Ix usando o mtodo de malhas. +20-+20-0 V00 V03j5-j122Ix I1I2 39.Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente que flui atravs do resistor de 8. 18I-j1564812-j12+220-40oV Resp.: 7,616-68,8A 40.Para o circuito abaixo, determinar os fasores correntes de malha I1 e I2, bem como os fasores Ix, V1, V2 e V3. +150-0oV3j5 j4-j12102+15-IxIx I1I2+ - V1+

-V3+ - V2 Resp.: I1= 12,611-97,5A; I2= 19,189-99,6A; Ix= 6,60276,5A; V1= 73,53-38,45V; V2= 85,82-36,12V; V3= 103,12726,32V Mtodo de Ns 41.Para o circuito abaixo, calcular a corrente Ix usando o mtodo de ns. +20-+20-0 V00 V03Vj5-j122Ix 42.Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente Ix usando o mtodo de ns. 19+150-0oV3j5 j4-j12102+15-IxIx 43.Para o circuito abaixo, determinar o fasor tenso sobre os terminais da impedncia Z = (2,5 j15), usando o mtodo dos ns. 20301830o25o50oAAA2,52V1V24- 15 j 44.Para o circuito abaixo, determinar as correntes I1, I2, I3 e Ix aplicando o mtodo de ns. 10 0oA-j4j2102 4+35-IxIx IaIcIb 45.Para o circuito abaixo, calcular a tenso V0 usando o mtodo de ns. -j42j21 1+ 120V -0+V-0 Resp.: 13,57-36.2 V 46.Calcular V1 e V2 usando o mtodo de ns. 20+5-20A05 j4 - 4j + 1210V -0V1 V2 47.Calcular V1 e V2 usando o mtodo de ns. 250A03I0I03 j4 + 240V -0V1 V2 48.Calcular V0 usando o mtodo de ns. +6-0V02 2 2 j4 - 1j + 4 0V -0V1+V0-+Vx-+V 2-xV3V2 49.Para o circuito abaixo, aplicar o mtodo de ns para determinar: (a) a corrente fornecida pela fonte de tenso; (b) a tenso sobre a fonte de corrente. 12Arms+12V-rms1064j4j2 21Impedncia de acesso em funo da freqncia 50.Para o circuito abaixo, calcular a impedncia Zab. 3 7 2 j4 - 1j ab 51.Para o circuito abaixo, calcular Z(j) para f = 60 Hz. 3 2 10mH400 F 52.Para o circuito abaixo, determinar Zab nas formas polar e retangular. 6ab31810j20j9- 6 j - 10 j 53.Para o circuito abaixo, determinar Zab e Yab. ab34418j6j2- 12 j 54.Para o circuito abaixo, determinar Zab na freqncia de 40kHz. 22ab102mH0,1 F -+va+3 - va 55.Paraocircuitoabaixo,determinarafreqncianaaqualaimpednciaZabpuramente resistiva. ab100 0,5mH10 F n 56.Para o circuito abaixo, calcular a impedncia de acesso Zab. 1 1 1 j1 - 1j ab Resp.: 2 57.CalcularovalordaindutnciaLparaqueaimpednciadeacessodaredeabaixoseja puramente resistiva na freqncia de 60 Hz. 10mFL12abResp.: 703.6 H 58.Determinar as condies em que as redes (a) e (b) abaixo apresentam a mesma impedncia. 23Rede (a) Rede (b)R1C1R2C2 59.DeterminarosvaloresdeR1eC1paraqueasduasredesabaixoapresentemamesma impedncia na freqncia de 50krad/s. Rede (a) Rede (b)R1C1400100nF 60.DeterminarosvaloresdeR2eC2paraqueasduasredesabaixoapresentemamesma impedncia na freqncia de 20krad/s. Rede (a) Rede (b)R2500C2150nF 61.Determinar as condies em que as redes (a) e (b) abaixo apresentam a mesma impedncia. Rede (a) Rede (b)R1L1L2R2 62.DeterminarosvaloresdeR1eL1paraqueasduasredesabaixoapresentemamesma impedncia na freqncia de 10krad/s. Rede (a) Rede (b)R1L12,0H4k 24 63.DeterminarosvaloresdeR2eL2paraqueasduasredesabaixoapresentemamesma impedncia na freqncia de 5krad/s. Rede (a) Rede (b)L20,4HR21k 64.Paraaredeabaixo,determinaraimpednciavistadosterminaisab.(ProvaPBG2-2.sem.2003) 331- 2 j j4- 3 j ab 65.Para o circuito ao lado, determinar a impedncia de entrada nos terminais, para = 1 krad/s (Prova G1-A-1.sem.2008):a) a-b; b) a-c; c) a-b, se os terminais c e d forem ligados em comum. acb d50mH10 F 20 F 50mH Resp.: j50 ; j75 ; j50 66.Paraocircuitoaolado,determinaraimpednciadeentradanosterminais(ProvaG1-B-1.sem.2008):(a) c-d; (b) a-c; (c) c-d, se os terminais a e b forem ligados em comum. 25acb d50mH10 F 20 F 50mH Resp.: j25 ; j75 ; j25 Diagramas Fasoriais 67.Paraocircuitoabaixo,fazerumesboododiagramafasorialdofasorVparaasseguintes condies: (a) L > 1/C; (b) L = 1/C e (c) L < 1/C. i t ( )+( )-v tRCL Resp.: VCVRIVVL (a) VCVR IV V =RVL (b) I = IMAX VCIVVL VR (c) 68.Paraocircuitoabaixo,fazerumesboododiagramafasorialdofasorIparaasseguintes condies: (a) L > 1/C; (b) L = 1/C e (c) L < 1/C. +( )-v ti t ( )i t 1( )i t 2( )i t 3( )R LC Resp.: ILIRVIIC (a) ILIR VI = IRIC ILVIIC IR (c) 26(b) I = IMIN Diagramas de Loci 69.Considerando o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor V, quando varia de 0 at . i t ( )+( )-v tRCL Resp.: VCVRIVVL8 0Lugar das razes 70.Considerando o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando varia de 0 at . +( )-v ti t ( )i t 1( )i t 2( )i t 3( )R LC Resp.: ICIRVIIL8 0Lugar das razes 71.Para o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando L varia de 0 at . 27RL+( )-v t Resp.: Para L = 0, I = V/R; para L = , I = 0. Para L variando entre 0 e , vale a expresso ( )( )( )( )jy xL RV L j V RL j RL j RL j RVI =+ =+=2 200 Assim, ( )2 2L RV Rx +=e ( )2 2L RV Ly+ =Estas equaes satisfazem a equao que descreve uma semicircunferncia, ou seja, 2 222 2||

\|= ||

\|+ +LVLVy x Portanto, o lugar geomtrico de I uma semicircunferncia com dimetro igual a V/R, como indica o esboo abaixo VV VI8 LL0Lugar das razes2R2RVR 72.Para o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando R varia de 0 at . RL+( )-v t Resp.:ParaR=0,I=-jV/L;paraR=,I=0.Comonoexerccioanterior,aexpressoparao fasor corrente ( )( )( )( )jy xL RV L j V RL j RL j RL j RVI =+ =+=2 200 aqualrepresentaaequaodeumasemicircunferncia.Portanto,olugargeomtricodeIuma semicircunferncia com dimetro igual a V/L, como indica o esboo abaixo: 28VVVI8 RR 0Lugar das razes 2L2LVL 73.Para o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando R varia de 0 at . +( )-vtRCi t ( ) Resp.: O fasor corrente dado pela seguinte equao: ( )( )( )( )jy xX RV jX V RjX RjX RjX RVICCCCC+ =+ + =++=2 200 Para R = , I = 0. Para R = 0, o fasor corrente torna-se ( )CCCXVjXV jXI ==2 Portanto, o lugar geomtrico de I uma semicircunferncia com dimetro igual a V/XC, como indica o esboo abaixo: VVI8RR0Lugar das razesXCV2XCV2XC 74.Para o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando XC varia de 0 at . 29+( )-vtRCi t ( ) Resp.: O fasor corrente dado pela seguinte equao: ( )( )( )( )jy xX RV jX V RjX RjX RjX RVICCCCC+ =+ + =++=2 200 Para XC = , I = 0. Para XC = 0, o fasor corrente torna-se RVI = Portanto, o lugar geomtrico de I uma semicircunferncia com dimetro igual a V/R, como indica o esboo abaixo: VVVI8 XCXC 0Lugar das razes2R2RVR 75.Para o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando a freqncia varia de 0 at . +( )-v tR 2R 1Ci t ( )i t1( )i t2( ) Resp.: No circuito dado, variar equivale a variar C ou XC. Como os trs ramos esto em paralelo, a tenso a mesma em todos. Assim, o fasor corrente I2 ( )( )( )( )2 22222200CCCCCX RV jX V RjX RjX RjX RVI+ + =++= Para XC = (ou seja, = 0), I2 = 0. Para XC = 0 (ou seja, = ), o fasor corrente I2 torna-se 2RVI = Portanto,olugargeomtricodeI2umasemicircunfernciacomdimetroigualaV/R2,como indica o esboo abaixo: 30VVVI80Lugar das razes2R2 2R2VR2 O fasor corrente I1 constante e est em fase com a tenso da fonte. Como a corrente fornecida pela fonte de tenso a soma das correntes nos dois ramos, o lugar geomtrico do fasor I como indica o esboo abaixo: VVVII2I180Lugar das razes2R2 2R2VR2 76.Para o circuito abaixo, fazer um esboo do diagrama de loci do fasor I, quando R2 varia de 0 at . +( )-v tR 2R 1Ci t ( )i t1( )i t2( ) 77.Fazer um esboo do diagrama de lcus da impedncia Z e daadmitncia Y da rede abaixo, quando X variando de at +. R 1jX Resp.: Como o valor de R1 e constante, o diagrama de lcus de Z a unio dos pontos que formam uma linha vertical, como indicado no plano Z abaixo. R 1ZRXLugar das razesPl ano Z A admitncia da rede tem a seguinte expresso para X variando de at +: 31 jB GX RjX RjX RY mm=+==2 21111 Demodoanlogoaodiagramadelocidacorrente,aadmitnciarepresentauma semicircunfernciaquandoalgumdeseuselementosvaria.SeX=,Y=0.SeX=0,a admitncia torna-se 11RY = . O diagrama de loci de Y para X variando de at +. indicado no plano Y abaixo, o qual representa um crculo centrado em |||

\|0 ,211Rcomraio de 121R. GB18 X =X = 0aumentaXLaumenta XCLugar das razes2R11R1Plano Y 78.FazerumesboododiagramadelcusdaimpednciaZedaadmitnciaYdaredeabaixo para R variando de at +. RjX1 79.FazerumesboododiagramadelcusdaimpednciaZedaadmitnciaYdaredeabaixo para R variando de at +. -jX1R 80.Fazer um esboo o lugar geomtrico da admitncia Y2 da rede abaixo para X variando de at +. 32jX1-jXR1I1II2R2 81.Considerandoocircuitoabaixo,mostrarqueV0=V1, masqueV0podeserforadoa ficar atrasado de V1 de um ngulo entre 0 e 180 atravs da variao de R1. +( )-v t1+( )-v tR1+( )-v tC+( ) - v t0R 2R 2R 1CBAFD Mxima Transferncia de Potncia e Teoremas de Thvenin e Norton 82.Para o circuito abaixo, determinar o circuito equivalente de Thvenin do ponto de vista dos terminais de R e a impedncia para a qual o circuito fornece a mxima potncia. 10 0oV+-j8- 2 j R 83.Para o circuito abaixo, determinar o circuito equivalente de Thvenin do ponto de vista dos terminais ab. 1625015ooVV+-+-- 9 j j5j2245 ab 84.Paraocircuitoabaixo,determinaratensov(t)sobreoresistorusandooteoremade Thvenin no domnio da freqncia. 33 +20 3 V-cos t 0,2H0,3H0,4H2+-vab 85.Paraocircuitoabaixo,determinarocircuitoequivalentedeNortondopontodevistados terminais ab. 10 0oV+-j888- 2 j ab 86.Paraocircuitoabaixo,determinarocircuitoequivalentedeNortondopontodevistados terminais ab. 10 0oV+-8 4I5Iab 87.Para o circuito abaixo, determinar a impedncia vista dos terminais ab usando o teorema de Norton. 2+ V- 11,4V1- 5 j j6ab 88.Determinaramximapotnciamdiaquepodesersolicitadadeumgeradordecorrente alternada, cuja impedncia interna 60 150e a tenso de circuito aberto 12,5kV. 89.Paraaredeabaixo,determinar(ProvaPAG2-2.sem.2004):(a)ovalordeZqueconsomea mximapotncia;(b)comovalordeZobtidonoitem(a),determinaratensoemregime permanente v(t). 34+20 3 V-cos t 0,2H20,4HZ+-vab Resp.: (a) (0,165 j1,75); (b) v(t) = 102,05.cos(3t 101,3) V 90.Para o circuito abaixo, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008): d)O circuito equivalente de Thvenin visto dos terminais ab; e)A impedncia em ab que consome a mxima potncia; f)A potncia mdia consumida na situao do item (b). 0012012 120 60 - 40j V+-+-+-Vx10VxabEquiv.Thvenin Resp.: (784-j288)V; (6,688-j41,42);26,077kW 91.Para o circuito abaixo, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008): g)O circuito equivalente de Thvenin visto dos terminais ab; h)A impedncia em ab que consome a mxima potncia; i)A potncia mdia consumida na situao do item (b). 0022012 120 60 - 40j V+-+-+-Vx10VxabEquiv.Thvenin Princpio da superposio 92.Para o circuito abaixo, determinar a corrente i(t) aplicando superposio. 6mH i6+20 (3000- 30 ) V-cos to5 (2000 ) sen tA 35 93.Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente aplicando superposio. -j481000ooVV+--+j8j8I 94.Para o circuito abaixo, determinar o fasor corrente aplicando superposio. -j416800ooVA+-j8 8I 95.Calcular V0 na rede abaixo usando (a) anlise de malhas, (b) superposio e (c) teorema de Thvenin. -j142j2 120 V020A0+V-0+- Resp.: 5,424,57 V Potncia complexa e fator de potncia 96.Para o circuito abaixo, determinar (Prova PBG2-2.sem.2003): (a) O fator de potncia atual da carga total;(b) O mdulo da corrente atual solicitada pela carga total; (c) Os valores atuais das potncias ativa, reativa e aparente; (d) A potncia reativa que deve ser acrescentada ao circuito para corrigir o fator de potncia para 0,92; (e) O mdulo da nova corrente. +220V-rms96,86j26 3697.Para o circuito abaixo, determinar: (a) a corrente; (b) o fasor potncia complexa; (c) o fator de potncia da rede; (d) a potncia ativa; (e) a potncia reativa; (f) a potncia aparente. 220V/60Hz1452mH Resp.: (5,31 j7,43) A; (1167,64 + j1635,16) VA; 0,58; 1167,64 W; 1635,16 Var; 2009,26 VA 98.Uma rede alimentada com tenso de 120V possui a impedncia = 30 20 Z. Determinar: (a) a corrente; (b)o fasor potnciacomplexa; (c) o fator depotncia darede; (d) a potnciaativa; (e) a potncia reativa; (f) a potncia aparente; (g) a potncia reativa que deve seracrescentada em paralelocargaparaelevarofatordepotnciapara0,92;(h)acapacitnciadacargareativa acrescentada ao circuito. 99.Um motor de 10HP, com fator de potncia igual a 0,63 atrasado e com eficincia de 93% alimentado por uma fonte de 220V/60Hz. Determinar:(a) o tringulo de potncias para a carga;(b) a capacitncia requerida para tornar o fator de potncia unitrio;(c) a reduo de corrente obtida com a correo do fator de potncia do item (b); (d) a capacitncia requerida para elevar o fator de potncia para 0,92; (e) a reduo de corrente obtida com a correo do fator de potncia do item (d); (f) esboar os circuitos equivalentes para as quatro situaes descritas. 100.Para o circuito abaixo, considere todos os fasores de tenso e corrente como valores eficazes e Vab = 220 Vrms. Dadas as duas cargas, determinar (Prova G1-A-1.sem.2008): a)O fator de potncia e a potncia aparente do grupo de cargas; b)O mdulo da corrente de linha; c)A potncia mdia dissipada na linha, ou seja, em (0,5+j0,5) ; d)A potncia reativa requerida para corrigir o fp do grupo para 0,92; e) A potncia mdia dissipada na linha com o fp do grupo corrigido para 0,92 ind. 0,5 a b j0,5 8kW0,7 ind.20kVA0,6 ind.I 101.Paraocircuitoaolado,consideretodososfasoresdetensoecorrentecomovalores eficazes e Vab = 220 Vrms. Dadas as duas cargas, determinar (Prova G1-B-1.sem.2008): a)O fator de potncia e a potncia aparente do grupo de cargas b)O mdulo da corrente de linha c)A potncia mdia dissipada na linha, ou seja, em (0,5+j0,5) ; d)A potncia reativa requerida para corrigir o fp do grupo para 0,92 ind.; e) A potncia mdia dissipada na linha com o fp do grupo corrigido para 0,92 ind. 370,5 a b j0,5 8kW0,6 ind.20kVA0,7 ind.I 102.Para o circuito abaixo, determinar: (a) o fasor corrente e a potncia complexa fornecida pela fonte de tenso; (b) o fasor tenso sobre a fonte de corrente. 12 0A0+12 0V-01064j4j2 103.No circuito abaixo, calcular a potncia media fornecida por cada fonte. 1j1-j1 100V0+-230A0 Resp.: 8,66 W e 50 W 104.Paraocircuitoabaixo,calcularaimpednciaqueabsorveamximapotnciaeovalorda potncia mxima. 11-j1 120 V060V0+-+-ZL Resp.: (0,5 + j0,5) e 90 W 105.Para a figura abaixo, calcular o valor eficaz da forma de onda. 38 Resp.: 3.87 Vrms 106.No circuito abaixo, calcular a tenso da fonte. 0,1 j0,5+-2400V0rms60 kWfp = 0,85atrasado40 kWfp = 0,78atrasado+V-F Resp.: 460,1723,02 Vrms. 107.Uma unidade fabril alimentada por uma linha de 240Vrms, 60 Hz, consome 75 kW com um fator de potncia de 0,70 em atraso. Calcular o valor do capacitor que colocado em paralelo com a carga altera o fator de potncia para 0,90 em atraso. Resp.: 1850.8 F 39Indutncia Mtua e Transformadores Polaridade da tenso induzida (regra do ponto) 108.Indicar o sentido do fluxo magntico produzido por uma corrente senoidal entrando em cada um dos terminais assinalados (a, b, c e d) do circuito abaixo. (a) i( ) t (b) i( ) t (c) i( ) t 109.No circuito magntico abaixo, determinar o sentido do fluxo magntico produzido por uma corrente varivel i(t) entrando no (a) terminal 1, (b) terminal 2, (c) terminal 3 e (d) terminal 4. ( ) t1234 110.Colocar os pontos que esto faltando nos circuitos magnticos abaixo: (a) ( ) t (b) ( ) t (c) ( ) t 40 111.Para o circuito abaixo, escrever a expresso de v2(t). M+( )_v t 1L1 L2+( )_v t 2i t 1( ) (a) M+( )_v t 1L1 L2+( )_v t 2i t 1( ) (b) M+( )_v t1L1 L2+( )_v t 2i t 1( ) (c) M+( )_v t1L1 L2+( )_v t 2i t 1( ) (d) M+( )_v t1L1 L2+( )_v t 2i t 2( ) (e) M+( )_v t1L1 L2+( )_v t 2i t 2( ) (f) Resp.: (a) dtdiM t v12) ( = ; (c) dtdiM t v12) ( = ; (e) dtdiM t v21) ( = 112.Determinaraexpressodatensoinduzidav2(t)considerandoapolaridadeindicadapara cada um dos circuitos abaixo. M+( )_v t 1L1 L2 ZL+( )_v t 2i t 1( ) i t 2( ) (a) M+( )_v t 1L1 L2 ZL+( )_v t 2i t 1( ) i t 2( ) (b) Resp.:(a) dtdiMdtdiL t v1 22 2) ( + = Transformador Linear (com ncleo de ar) 113.A corrente no primrio de um transformador com ncleo de ar 0,2 A e no secundrio, 0,1 A. Estas correntes produzem os seguintes fluxos magnticos: L1 = 40 Wb, L2 = 30 Wb, m2 = 10 Wb. Calcular m1, L1, L2, M e k, sabendo que N1 = 30 e N2 = 50. Resp.: 12 Wb, 7,8 H, 20 H, 3 H e 0,24. 41 114.Calcularamaiorindutnciamtuapossvelparaumtransformadorlinearquetemauto-indutncias de 180 mH e 80 mH. Resp.: 0,12 115.Para cada um dos seguintes itens, determinar a quantidade que est faltando, ou seja, L1, L2, M ou k: (a) L1 = 130 mH, L2 = 200 mH, M = 64,5 mH (b) L1 = 2,6 H, L2 = 3 H, k = 0,4 (c) L1 = 350 mH, M = 100 mH, k = 0,3 Resp.: 0,4, 1,12 H, 317 mH 116.Umatensode70Vinduzidanoenrolamentosecundrioemcircuitoabertodeum transformadorlinearquandocirculaumacorrentede0,3Anoenrolamentoprimrio,oqual alimentado com uma tenso de 120 V, 600 Hz. Determinar a indutncia mtua e a auto-indutncia do primrio. Resp.: 61,9 mH, 106 mH 117.Osecundrioemcurtocircuitodeumtransformadorlineartemumacorrentede90mA, quando uma tenso de 50 V, 400 Hz, aplicada no enrolamento primrio produz neste uma corrente de 150 mA. Determinar as auto-indutncias, sabendo que a indutncia mtua 110 mH. Resp.: 199 mH, 183 mH 118.Um transformador linear com secundrio em curto-circuito tem indutncias de L1 = 0,6 H, L2 = 0,4 H e M = 0,2 H. Determinar as coprrentes do primrio e secundrio quando uma tenso de 500 V, 60 Hz, aplicada ao primrio. Resp.: 265 mA, 133 mA 119.Umtransformadortemauto-indutnciasde1He0,6H.Umaconexoemsriedos enrolamentos resulta em uma indutncia total de 1 H. Determinar o coeficiente de acoplamento. Resp.: 0,387 120.Calcular V0 na rede abaixo. j1j1j2 j221110 0A0+V-0 Soluo: O primeiro passo na soluo deste problema aplicar transformao de fontes na seo de rede que contm a fonte de corrente de 100A em paralelo com o resistor de 1 para uma fonte de tenso de 100V em srie com o resistor de 1, como mostra a figura abaixo, j com os resistores de 1 e 2 associados em srie. j1j1j2 j23110 0V0+V-0+V-1+V-2+-I1I2 42 As equaes para esta rede so -10 + 3I1 + V1 = 0 -V2 + I2(1 + j1) = 0 AstensesinduzidasV1eV2incluemosefeitosdoscamposmagnticosproduzidosporI1eI2 atravs das indutncias prprias de j2 e da indutncia mtua de j1. Explicitando estes efeitos de induo magntica, as equaes acima tornam-se (3 + j2) I1 + j1 I2 = 10 j1 I1 + (1 + j3) I2 = 0 Resolvendo o sistema de equaes, obtm-se a corrente I2, a qual necessria para calcular a tenso V0, ou seja, I2 = -0,89410,3 A E, finalmente, V0 = 1I2 = -0,89410,3 V 121.Determinar a impedncia vista pela fonte no circuito abaixo. j2-j2j1-j1j2 j41321120 0V0+- Soluo:Aimpednciatotaldaseoderededoladodireitodeterminadaapartirdafigura abaixo: j2-j221ZL Assim, ( ) ( ) ( ) = + + = 2 6 2 // 2 1 2 j j j ZL A rede original redesenhada, ficando como mostra a figura abaixo: 43-j2j1-j1j2 j4136120 0V0+-I1I2 Aplicando LKV, obtm-se as seguintes equaes: (4 + j3) I1 + j1 I2 = 120 j1 I1 + 6 I2 = 0 Isolando I2 na segunda equao e substituindo o resultado na primeira equao, obtm-se 120613 41 =||

\|+ + I j Portanto, a impedncia vista pela fonte, ZF, pode ser calculada como segue: ( ) + = = 3 167 , 41201jIZF 122.Para o circuito abaixo, calcular i(t) para = 1000 rad/s. 200+200-100Vj120(400- 1000) j j230j400 I Resp.: 103 sen(1000t 73,10) V 123.Para o circuito abaixo, calcular i(t) para = 2 rad/s. 3 120 V -250j4 j10 j3 6 - 4j Resp.: 24 sen(2t 76,60) A 124.Para o circuito abaixo, pede-se: (a)o fasor tenso V; (b) trocar o ponto de um dos enrolamentos e calcular o fasor V novamente; (c)colocarumcurto-circuitonosterminaisabedeterminaracorrentedecurto-circuitocom sentido de a para b; 44(d) determinar a impedncia que consome a mxima potncia; (e)o valor da potncia mxima consumida pela impedncia do item (d). 30 100 V+V_150j25 j10 j 40 ab Resp.: (a) (61,7 + j78,69)V; (b) (37,02 + j47,22)V; (c) (1,84 j0,14)A; (d) (30,02 j45,01);(e) 83,3 W 125.Para o circuito abaixo, determinar as correntes do primrio e do secundrio. 2 2+220V-rms5j8j2j7 j9j4-j3 126.Para o circuito abaixo, calcular as correntes do primrio e do secundrio. 2 2VV200-300 +100-+70-j8j2j7 j9j4 127.Para o circuito abaixo, determinar as potncias aparente, ativa e reativa e o fator de potncia da carga ZL. 2 3+220V-rms5ZLj8j2- 3 j j7 j9j2-j3 128.Umtransformadorlineartemindutnciamtuade80mHeumaauto-indutnciado secundrio de 200 mH. Um resistor de 2 k e um indutor de 100 mH so conectados em srie com o enrolamento do secundrio. Determinar a impedncia do secundrio refletida para o primrio para = 10 krad/s. Resp.: (98,762 j148,088) 45129.Para o circuito abaixo, determinar: (a) a auto-impedncia do primrio; (b) a auto-impedncia do secundrio; (c) a impedncia refletida para o primrio; (d) a impedncia vista dos terminais ab; (e)ofasorcorrentedoprimrio;(f)ofasorcorrentedosecundrio;(g)ofasortensoV2;(h)a potnciaativafornecidacarga( ) = 1500 600 j Z ;(i)apotnciamdiafornecidapelafontede tenso; (j) o rendimento do sistema de suprimento da carga Z. acbd80130 220 120+220V-rmsj200j100j400j250-j460 130.Para o circuito abaixo, determinar (Prova PBG2-2.sem.2003): (a) O fasor V2;(b) O fator de acoplamento; (c) A impedncia Zab;. (d) A impedncia ZL que absorve a mxima potncia do restante do circuito; (e) A mxima potncia fornecida carga ZL obtida no item anterior. +120V-rms+V-22204 j4 j6j18j8j18j72abZL 131.Paraocircuitoabaixo,determinarosseguintesdadosreferentescargaZ:(a)apotncia complexa;(b)apotnciaaparente;(c)apotnciaativa;(d)apotnciareativa;(e)ofatorde potncia. acbd80130 220+220V-rmsj200j100j400j250Z = (250 -j460) 132.Paraocircuitoabaixo,determinaraimpednciaZparaaqualocircuitorestantefornecea mxima potncia. acbd80130 220Z+220V-rmsj200j100j400j250 46 133.Para o circuito abaixo, determinar a impedncia ZL para a qual o circuito restante fornece a mxima potncia e o valor da mxima potncia. 2 3+220V-rms ZLj8j1j7 j9j5 Transformador Ideal (com ncleo de ferro) e casamento de impedncias 134.Calculararelaodetransformaodeumtransformadorcom689espirasnoenrolamento primrio e 36 espiras no secundrio. 135.Calculararelaodetransformaodeumtransformadorcomumacorrentede6,25Ano enrolamento primrio e 50 A no secundrio. 136.Calculararelaodetransformaodeumtransformadorcomtensode12470Vno enrolamento primrio e 240 V espiras no secundrio. 137.Calcularacorrentemximanoenrolamentoprimrioenoenrolamentosecundriodeum transformadorcomtensesnominaisnoprimrioesecundriode2500/240V,respectivamente, com potncia nominal de 50 kVA. 138.Calcularacorrentemximanoenrolamentoprimrioenoenrolamentosecundriodeum transformadorcomtensesnominaisnoprimrioesecundriode7200/120V,respectivamente, com potncia nominal de 25 kVA. 139.Calcular a potncia nominal (emkVA)eacorrente no secundrio de umtransformador de 12500/240 V, cuja corrente no enrolamento primrio 50 A. 140.Calcular a potncia nominal (emkVA)eacorrente no secundrio de umtransformador de 13200/480 V, cuja corrente no enrolamento primrio 152 A. 141.Umtransformadorcomncleodeferrotem400espirasnoenrolamentoprimrioe100 espiras no secundrio. Se a tenso do primrio 240 Vrms, 60 Hz, calcular a tenso no secundrio e o valor de pico do fluxo magntico. 142.Umtransformadorcomncleodeferrotem3089espirasnoenrolamentoprimrioe62 espiras no secundrio. Se a tenso do primrio 13800 Vrms, 60 Hz, calcular a tenso no secundrio e o valor de pico do fluxo magntico. 143.Se um enrolamento de um transformador com ncleo de ferro tem 27 espiras, tenso eficaz de120Vevalordepicodofluxomagnticode20mWb,calcularafreqnciadafontede alimentao.Calcularafreqnciadafontedealimentaosehouvessem50espirasno enrolamento. 47144.O transformador de ncleo de ferro possui 1620 voltas no enrolamento primrio e 54 espiras nosecundrio.CalcularaquedadetensoemumaresistnciaRligadanosecundrioquandoa corrente varivel no primrio atingir o valor de 0,1 A. 145.Otransformadordencleodeferropossui1500voltasnoenrolamentoprimrioe500 espirasnosecundrio.CalcularaquedadetensoemumaresistnciaRligadanosecundrio quando a corrente varivel no primrio atingir o valor de 5 A. 146.Oestgiodesadadeumsistemadeudiotemresistnciadesadade2k.Um transformadorfazocasamentoderesistnciascomummicrofonede6.Calcularonmerode espiras do enrolamento secundrio, se o enrolamento primrio dever ter 400 voltas. 147.Calcular a relao de transformao de um transformador que conecta um microfone de 4 em um sistema de udio com resistncia de sada de 1600 . 148.Determinar I1, I2, V1 e V2 no circuito abaixo. 1 31 0V02 0V0+V-1+V-2+-+-I1I2Ideal1:2 Soluo: Aplicando LKT, obtm-se as seguintes equaes: ( )( ) = = + 0 2 30 1 12 21 1V IV I Como se trata de um transformador ideal, a relao de transformao produz as seguintes equaes: 21211221==IIVV importante observar que a tenso V1 o produto da relao de transformao e da tenso V2 com sinalnegativoporqueospontosestoemterminaisopostos.Comoasduascorrentesestosaindo dospontos,I2oprodutodarelaodetransformaoedacorrenteI1comsinalnegativo. Combinando os dois conjuntos de equaes, obtm-se o seguinte sistema de equaes: 2 22311 11 1 = + ||

\| = +V IV I Resolvendo estas equaes obtm-se I1 = 1.1420A V1 = 0.142180 V 48 Portanto, I2 = 0,571180 A V2 = 0.2840 V 149.Considerando o circuito abaixo, determinar as duas redes obtidas substituindo (a) o primrio e o transformador ideal por um circuito equivalente e (b) o transformador ideal e o secundrio por um circuito equivalente. 1 31 0V02 0V0+V-1+V-2+-+-I1I2Ideal1:2 Soluo: As equaes do transformador ideal so 21211221==IIVV A equao para a impedncia refletida para o secundrio S S PZ ZNNZ = |||

\|=41221 As trs equaes so necessrias para desenvolver os circuitos equivalentes. (a) Cada impedncia refletida (1/a)2 vezes a impedncia original. A tenso da fonte refletida para o secundrio multiplicando-a por 1/a e invertendo a polaridade, j que os pontos esto colocados em terminais opostos. Assim, ZSR = 4(1) = 4 e V2R = -2(10) = 2180 V Portanto, o circuito equivalente neste caso mostrado na figura abaixo. 4 32 0V02 0V0+V-2+-+-I2 (b) Novamente, usando as equaes do transformador ideal refletidas para o secundrio obtm o seguinte circuito equivalente (o estudante deve conferir as polaridades): 491 3/41 0V01 0V0+V-1+-+-I1 150.Para o circuito abaixo, calcular as correntes i1(t), i2(t) e i3(t). 3:11:2200(2 ) V sen t5 i1i2i33 8 Resp.: 4 sen(2t) A, -12 sen(2t) A, - 6 sen(2t) A 151.Para o circuito abaixo, calcular as correntes i1(t), i2(t) e i3(t). 2:13:1480 (3 ) V sen t24 i1i2i36 H2 Resp.: 4 sen(3t 36,90) A, 8 sen(3t 36,90) A, -24 sen(3t 36,90) A 152.Para o circuito abaixo, calcular: (a) o valor de R para o consumo mximo de potncia; (b) o valor de I2 para R igual a 3 ; (c) Determinar se a conexo de um condutor entre os terminais b e d ir alterar estes resultados. 220 V 00+_30 Rabcd6:3Ncleo def erroI1I2 153.Para o circuito abaixo, calcular o valor de a e da reatncia indutiva X para que a impedncia de carga consuma a mxima potncia e o valor da potncia mxima. a:150220 1,442V -53,13000-53,130jX 50154.Paraocircuitoabaixo,calcularovalordeaedareatnciacapacitivaXparaquea impedncia de carga consuma a mxima potncia e o valor da potncia mxima. a:150220 4V 40000200-jX Autotransformador 155.Compararascorrentesdosenrolamentosdeumtransformadordedoisenrolamentos, 277/120 V, 50 kVA, a plena carga e um autotransformador de mesma potncia. Resp.: A figura abaixo mostra a situao do transformadorconvencional. O enrolamento demaior tensopodeconduzir50000/277=180,505A(~181A)eoenrolamentodemenortenso, 50000/120=416,67A (~417A). Um enrolamento conduz a corrente da fonte e o outro a da carga. +277 V_-120 V+181A417AZL Noautotransformador,partedoenrolamentodeveconduzirapenasadiferenaentreacorrenteda fonteedacarga(417-181=236A),comomostraafiguraabaixo.Conseqentemente,condutores menorespodemserusadosnoautotransformador,resultandoemmenorvolume,maislevee economia de cobre. A carga solicita 50 kVA, os quais so fornecidos pela fonte. +277 V_+157 V_+120 V_181A417A417A181A236A ZL 156.Umtransformadorconvencionalde12400/277V,50kVA,conectadocomoum autotransformador conforme a figura abaixo. Determinar a taxa de potncia que pode ser fornecida para a carga. +12747 V_+277 V_+12470 V_180,50A184,51A184,51A18,05A4,01A ZL Resp. 2300 kVA 51157.Omesmotransformadorconvencionaldoproblemaanterior,de12400/277V,50kVA, conectadocomoumautotransformadorconformeafiguraabaixo.Determinarataxadepotncia que pode ser fornecida para a carga. +12747 V_+12470 V_+277 V_180,50A184,51A184,51A4, 01A4, 01AZL Resp. 51,1 kVA 158.Calcular I1, I2 e I3 para o circuito abaixo. +277 V_+120 V_I3I1I2100 Resp.: 1,2 A, 0,52 A e 0,68 A 159.Determinararelaodetransformaodeumtransformadordencleodeferrodedois enrolamentos que pode ser conectado como um autotransformador de 277/120 V. Resp.: 1,31 ou 0,764 52Circuitos polifsicos Cargas equilibradas conectadas em Y e em 160.Em um sistematrifsico Y-Y balanceado, atenso de fase da fonte Van = 12040o Vrms com seqncia de fase abc. A impedncia por fase (10 + j8). Se a impedncia de linha por fase (0,6 + j0,4), calcular as correntes de linha e as tenses da carga. Soluo: Como se trata de um sistema balanceado, pode se considerar apenas uma fase do sistema. Asoutrasduascorrentesteroamesmamagnitude,porm,estarodefasadasde120oe240o, respectivamente.O circuito da fase a mostrado na figura abaixo. j8j0,40,61012040V0rms+-a AnNIaA A corrente de linha para a fase a calculada como segue: rmsL linhaanaAAj Z ZVI =+ =+= 6 , 1 87 , 84 , 8 6 , 1040 120 Ento, a tenso da carga para esta fase ( )( )rms L aA ANV j Z I V = + = = 26 , 40 59 , 113 8 10 6 , 1 87 , 8 Os resultados para as fases restantes so IbB = 8.87-118.4 Arms,e VBN = 113.59-79.74Vrms IcC = 8.87-238.4 Arms e VCN = 113.59-199.74Vrms. 161.Um sistema Y-Y alimenta umacargatrifsicaequilibradacomseqncia de faseabc. Sea tenso de fase do gerador Van = 44040 Vrms, a tenso de fase da carga VAN = 41039 Vrms e a impedncia na linha (1,5 + j1,0), calcular a impedncia da carga. Soluo: O circuito monofsico equivalente mostrado abaixo: j1 1,5ZL+-+-a AnNIaAVanVAN 53Empregando, por exemplo, a regra do divisor de tenso, a tenso de fase da carga pode ser escrita como ((

+=linha LLan ANZ ZZV V Isolando ZL, obtm-se 1 =ANanlinhaLVVZZ Outra possibilidade seria calcular ZL usando a corrente de linha, ou seja, aAANLIVZ =A corrente de linha pode ser calculada como segue: rmsAN anaAAjV VI =+= 6 , 19 15 , 171 5 , 1 Assim, obtm-se o valor de ZL: ZL = 23,9119,4 162.EmumsistematrifsicoY-,atensodefasedafonteVan=12030Vrmscom seqnciadefaseabc.Asimpednciasporfasedalinhaedacargaso,respectivamente,(0,6+ j0,4) e (24 + j12). Calcular as correntes de fase na carga trifsica. Soluo:Comoosistematodoequilibrado,umcircuitoequivalentemonofsicopodeser utilizado. Para isso, a carga em ligao deve ser convertida para ligao Y, ou seja, + = =) 4 8 (3jZZY O circuito equivalente mostrado na figura abaixo. j4j0,40,6812030V0rms+-a AnNIaA A corrente de linha para este circuito 54rms aAAjI =+ = 9 , 2 42 , 124 , 4 6 , 830 120 Esta a corrente de linha na fase a da carga Y equivalente. Esta corrente deve ser convertida para a corrente na fase AB da ligao em da seguinte forma: ( )rms IaAABAIIaA = + = 9 , 32 17 , 7 303 As correntes nas fases restantes (na carga Z) so IBC = 7,17-87,1Arms e ICA = 7,17-207,1Arms. 163.Uma fonte de tenso trifsica alimenta duas cargas trifsicas: a carga 1 possui 32 kVA com fatordepotnciade0,85atrasadoeacarga2,20kVAcomfatordepotnciade0,6atrasado.A tenso de linha 208 Vrms a 60Hz. Determinar a corrente de linha e o fator de potncia combinado (total) da carga.Soluo: Os ngulos de fase das duas cargas trifsicas so ( ) = = 79 , 31 85 , 0 arccos1 Le( ) = = 13 , 53 6 , 0 arccos2 L A potncia complexa trifsica na carga ( ) kVA kV S S SL LTotalL = + = + = 97 , 39 15 , 51 13 , 53 20 79 , 31 322 3 1 3 3 Como a magnitude da potncia trifsica L L LI V S = 33, a corrente de linha rms LAkI 98 , 141208 315 , 51== O fator de potncia total da carga fpL-Total = cos(39.97) = 0,766 atrasado 164.Uma fonte de tenso trifsica em Y com tenso de fase Van = 2200Vrms com seqncia de fasepositivasuprepotnciaparaumacargaconectadaemY,aqualconsome36kWdepotncia comfatordepotnciade0,75atrasadoemcadafase.Trscapacitores,cadaumcomuma impedncia de j2,0, so conectados em paralelocomacarga original em umaconfiguraoem Y. Determinar o fator de potncia total visto pela fonte. Soluo: A situao original, antes de adicionar os capacitores, Pantes = 36 kW antes = arccos(0,75) = 41,41 Qantes = Pantes tan(antes) = 36.000 tan(41,41) = 31.749 VAr Portanto, a potncia complexa em cada fase Santes = (36 + j31.749) kVA Adicionando os capacitores, a potncia ativa permanence inalterada, ou seja, 55 Pdepois = Pantes = 36 kW A potncia reativa anterior recebe a adio da potncia reativa do capacitor (QC), ou seja, Qdepois = Qantes + QC A potncia reativa fornecida pelo capacitor calculada como segue, em que V ~e o valor eficaz da tenso: ( )kVArZVQCC2 , 2422202 2 === Portanto, Qdepois = (31,79 24,2)kVAr = 7,59 kVAr Assim, Sdepois = Pdepois + jQdepois = (36 + j7,59)kVA = 36,7911,9 kVA e fpdepois =cos(depois) = cos(11,9) = 0,98 atrasado 165.Umacargatrifsicaequilibrada,comligaoemY,alimentadaporumgeradortrifsico em Y com neutro. A tenso de linha 220V com seqncia de fase CBA e a carga = 25 50 Z . Determinar as correntes de linha e a corrente no neutro. 166.Umacargatrifsicaequilibrada,comligaoem,alimentadaporumgeradortrifsico em Y sem neutro. A tenso de linha 117V com seqncia de fase ABC e a carga = 45 45 Z . Determinar as correntes de linha. 167.Paraumsistemaequilibradocomgeradortrifsicoconectadoemestrelaecargaconectada tambmemestrela,comtensodelinhade440Vetrscargasresistivasiguaisde100, determinar os mdulos (a) da tenso de fase, (b) da corrente de fase e (c) da corrente de linha. Resp.: 254V, 2,54A e 2,54A 168.Paraumsistemaequilibradocomgeradortrifsicoecargaconectadosemtringulo,com tensodelinhade440Vetrscargasresistivasiguaisde100,determinarosmdulos(a)da tenso de fase, (b) da corrente de fase e (c) da corrente de linha. Resp.: 440V, 4,4A e 7,62A 169.Umgeradortrifsicoconectadoemestrelacomumatensodefasede80Vconectadoa uma carga equilibrada conectada em tringulo, consistindo de trs resistores de 120 . Determinar: (a) a tenso de linha, (b) a tenso sobre o resistor de carga e (c) a corrente atravs de um resistor de carga. Resp.: 138,6V, 138,6V e 1,16A 170.Calcularapotnciaconsumidaporumacargaconectadaemestrelaformadaportrs resistores de 100 , quando a tenso de linha da alimentao trifsica 440V. 56Resp.: 1936W 171.Calcularapotnciaconsumidaporumacargaequilibradaconectadaemtringulo, alimentadaporumafontetrifsicaequilibradacomtensodelinhade440V.Acargapossuiuma impedncia de 50 por fase e um fator de potncia de 0,8 indutivo. Resp.: 9293W 172.Ummotortrifsicoalimentadoporumafontetrifsicacomtensodelinhade415Ve corrente de linha de 3,0A. O motor representa uma carga equilibrada com fator de potncia igual a 0,8 indutivo. Resp.: 1725W 173.Um motor trifsico com uma sada de 1,2 kW conectado a uma alimentao trifsica com tenso de linha de 415V e corrente de linha de 2,5A. O motor uma carga equilibrada com fator de potncia igual a 0,8 indutivo. Calcular a eficincia do motor sob estas condies operacionais. 174.Um motor trifsico com uma sada de 3 kW e uma eficincia de 95% representa uma carga equilibradaconectadaemtringulocomumfatordepotnciade0,9indutivo.Calcularacorrente em cada enrolamento do motor para uma alimentao com tenso de linha de 415V. Cargas desequilibradas conectadas em Y e em 175.Umacargatrifsicaa4fios(comligaoemY),noequilibrada,alimentadaporum geradortrifsicoemYcomneutro.Atensodelinha220VcomseqnciadefaseCBAeas cargassoZa=500,Zb=4625eZc=5065.Determinarascorrentesdelinhaea corrente no neutro. 176.Um gerador trifsico em Y a trs condutores alimenta uma carga em Y desequilibrada, com impednciasZa=500,Zb=4625eZc=5065.Atensodelinha220Vcom seqncia de fase CBA. Determinar a tenso de deslocamento do neutro. 177.Um gerador trifsico em Y a trs condutores alimenta uma carga em desequilibrada, com impednciasZa=500,Zb=4625eZc=5065.Atensodelinha220Vcom seqncia de fase CBA. Determinar as correntes de linha e de fase na carga. 178.Uma carga trifsica a quatro fios (conectada em estrela) possui as seguintes impedncias: Za = 1030, Zb = 1560 e Zc = 20-45. Sabendo que a tenso de linha 415V, calcular: (a) acorrentenocondutorneutro,(b)apotnciaativatrifsica,(c)apotnciareativatrifsica,(d)a potncia aparente trifsica e (e) o fator de potncia da carga trifsica. Resp.: (a) 11,2-127A, (b) 8944W 179.Umacargatrifsicaconectadaemtringulopossuiasseguintesimpedncias:Zab= 2030, Zbc = 1060 e Zca = 2030. Sabendo que a tenso de linha 400V, calcular: (a) ascorrentesdelinha,(b)ascorrentesdefase,(c)apotnciamdiaemcadafase,(d)apotncia reativa em cada fase, (e) a potncia aparente em cada fase, (f) o fator de potncia da carga trifsica e (g) o fasor potncia complexa trifsica. Resp.: (a) 20-30A, 40-180A e 20-270A, (b) 34,6-60A, 58,2-170A e 44,726,6A 180.Uma carga trifsica a quatro fios (conectada em estrela) possui as seguintes impedncias: Za = 1030, Zb = 15-45 e Zc = 2060. Sabendo que a tenso de linha 440V, calcular: (a) 57acorrentenocondutorneutro,(b)apotnciaativatrifsica,(c)apotnciareativatrifsica,(d)a potncia aparente trifsica e (e) o fator de potncia da carga trifsica. 181.Umacargatrifsicaconectadaemtringulopossuiasseguintesimpedncias:Zab=10-45,Zbc=150eZca=1230.Sabendoqueatensodelinha300V,calcular:(a)as correntes de linha, (b) as correntes de fase, (c) a potncia mdia em cada fase, (d) a potncia reativa em cada fase, (e) a potncia aparente em cada fase, (f) o fator de potncia da carga trifsica e (g) o fasor potncia complexa trifsica. Medio de potncia trifsica 182.AmediodepotnciastrifsicaspelomtododosdoisWattmetrosindicouosseguintes valores: P1 = 60W e P2 = -27W. Determinar a potncia ativa trifsica e o fator de potncia. 183.9Doiswattmetrossoutilizadosparamedirapotnciaconsumidaporumsistemade cargasequilibradasatrsfios(conexoemY).Osinstrumentosindicamleiturasde50kWe-30 kW. Calcular a potncia total consumida e o fator de potncia. Resp.: 20 kW e 0,14 184.Dois wattmetros so utilizados para medir a potncia consumida por um sistema de cargas equilibradas a trs fios (conexo em Y). Os instrumentos indicam leituras de 8 kW e 3 kW. Calcular a potncia total consumida e o fator de potncia. 58PRTICAS DE LABORATRIO Laboratrio I Grandezas fasoriais. EXPERIMENTO 1 Montar o circuito abaixo. +12sen377 V-t101,0H220ZL (a)SupondoqueacargaZLsejadesconhecida,mediratensosobreoresistorde10esobreos terminais da carga ZL. (b) Sabendo que a carga ZL de natureza indutiva, calcular os valores de RL e de XL. MATERIAL Transformador 110v;12V (07) Multmetro (07) Protoboard (07) alicates (07) fios Resistores220 5% (07) 10 5% (07) Capacitores 1,0 F (07) 2,2 F (07) Indutor1,0 H (07) 59 Laboratrio II Fator de potncia. EXPERIMENTO 1 Montar o circuito abaixo. +12sen377 V-t101,0H220ZL (a) Supondo que a carga ZL representa um motor eltrico operando a plena carga e que a resistncia de 10 seja a resistncia da linha, calcular o fator de potncia do motor eltrico. (b) Determinar a potencia reativa e o valor do capacitor requerido para corrigir o fator de potncia de ZL para 0,92. (c)Selecionarcapacitoresdemodoaformaracapacitnciacalculadanoitemanterioreligaro arranjodecapacitoresemparalelocomZL. Determinaromdulodanovacorrenteatravsda medio da tenso sobre o resistor de 10. MATERIAL Transformador 110v;12V (07) Multmetro (07) Protoboard (07) alicates (07) fios Resistores220 5% (07) 10 5% (07) Capacitores 1,0 F (07) 2,2 F (07) Indutor1,0 H (07) 60Laboratrio III - Soluo de sistemas de equaes lineares com o MATLAB Teoria O MATLAB aceita o uso direto de nmeros complexos na forma retangular, reconhecendo i ejcomo nmeroimaginrio.Por exemplo, se for digitadoz=2+3jseguido de ENTER, ocorre o seguinte (a verso aqui utilizada MATLAB Student 5.3): Outro exemplo consiste em digitar z1=3-4i seguido de ENTER, ou seja: O MATLAB trabalha com ngulo em radianos. Assim, para escrever o nmero complexo 030 20 = zna forma retangular, procede-se como segue: Para obter-se as partes real (a) e imaginria (b) do nmero complexo z = (17,3205 + j10,0) = (a + jb), faz-se o seguinte (aqui, supe-se que z ainda esteja na memria do programa): EDU z1=3-4i z1 = 3.0000 - 4.0000i EDU EDU z=2+3j z = 2.0000 + 3.0000i EDU EDU %converso do ngulo em graus para radianos: EDU ar=30*pi/180 ar = 0.5236 EDU %definir o mdulo: EDU M=20 M = 20 EDU %parte real: EDU a=M*cos(ar) a = 17.3205 EDU %parte imaginria: EDU b=M*sin(ar) b = 10.0000 EDU %o nmero na forma a+bi: EDU z=a+b*j z = 17.3205 +10.0000i EDU 61 Para calcular o mdulo de z e o seu argumento (ngulo), faz-se o seguinte: EXEMPLO DE APLICAO Como exemplo de aplicao, o circuito abaixo ser analisado empregando o mtodo de malhas e o sistema de equaes resultante ser resolvido no MATLAB. 2 2I1I2VV200-300 +100-+70-j8j2j7 j9j4 As equaes de malha na forma matricial so: ((

=((

+ + + +=0030 7020 100*) 4 7 ( 2 88 ) 9 2 ( 2*Ij jj jV I Z No MATLAB, estas equaes so resolvidas como segue: EDU %parte real de z: EDU a=real(z) a = 17.3205 EDU %parte imaginria de z: EDU b=imag(z) b = 10.0000 EDU EDU %clculo do mdulo de z: EDU m=abs(z) m = 20 EDU %clculo do ngulo de z em radianos: EDU ar=angle(z) ar = 0.5236 EDU %clculo do ngulo ar em graus: EDU ar=ar*180/pi ar = 30.0000 EDU 62 importante observar que o clculo das correntes de malha se d na forma matricial, ou seja, V Z inv I * ) ( = As correntes de malha nas formas retangular e polar so, respectivamente, A A j I ) 11 , 13 25 , 11 ( ) 5508 , 2 9527 , 10 (01 = =A A j I ) 46 , 28 54 , 11 ( ) 5008 , 5 1473 , 10 (02 = + = Se fosse o mtodo dos ns, as equaes na forma matricial seriam da forma I V Y = * As tenses nodais seriam calculadas como segue: I Y inv V * ) ( = EDU %Definio da matriz impedncia: EDU Z=[2+(2+9)*j,-8*j; %primeira linha -8*j, 2+(7+4)*j] %segunda linha Z = 2.0000 +11.0000i0 - 8.0000i 0 - 8.0000i 2.0000 +11.0000i EDU %Definio da matriz das fontes: EDU V=[93.97+34.2*j; %primeira linha -60.62+35*j]%segunda linha V = 93.9700 +34.2000i -60.6200 +35.0000i EDU %Clculo das correntes de malha: EDU I=inv(Z)*V I = 10.9527 - 2.5508i 10.1473 + 5.5008i EDU63Consideraes finais Para a elaborao do contedo deste caderno universitrio, a lista de exerccios e as prticas delaboratrioforamorganizadasdeformaaconteraestruturapropostadadisciplina,como objetivo de apoiar o aluno em seus estudos.Este material, contudo, no abrange todo o contedo necessrio para esta disciplina. Oalunodeverseaprofundarsobreosdiversosassuntostratadosaquieemsaladeaula atravs dos livros. Portanto, este caderno universitrio no substitui os livros em hiptese alguma. 64REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS BOYLESTAD,RobertL.IntroduoAnlisedeCircuitos.Prentice-HalldoBrasil.Riode Janeiro, 1998 EDMINISTER,JosephA.CircuitosEltricos.EditoraMcGraw-HilldoBrasilLtda.SoPaulo, 1991 ISBN 0-07-460639-5 GUSSOW, M. Eletricidade Bsica. Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda. So Paulo, 1996 ISBN 85-346-0612-9 IRWIN, J. David. Anlise de Circuitos Eltricos em Engenharia. Makron Books do Brasil Editora Ltda. So Paulo, 2000 ISBN 85-346-0693-5 JOHNSON,DavidE.;HILBURN,JohnL.;JOHNSON,JohnnyR.FundamentosdeAnlisede Circuitos Eltricos. Prentice-Hall do Brasil Ltda. Rio de Janeiro, 1994 ISBN 85-7054-047-7 NILSSON, James W.; RIEDEL, Susan A. Circuitos Eltricos. Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio de Janeiro, 1999 ISBN 85-216-1147-1 OMALLEY, John. Anlise de Circuitos. Makron Books do Brasil Editora Ltda. So Paulo, 1994 ISBN 85-346-0119-4 SANTOS,JooCarlosVernettidos.FenmenosEletromagnticos.CadernoUniversitrio(No. 188), edio 2004/2. Editora da ULBRA. Canoas, 2004 SANTOS,JooCarlosVernettidos.FundamentosdeEletroeletrnicaI.CadernoUniversitrio (No. 356???), edio 2006/2. Editora da ULBRA. Canoas, 2006