Ministrio da EducaoSecretaria de Educao Bsica

Formao de Professores do Ensino Mdio

MATEMTICA

Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Mdio

Etapa II - Caderno VCuritiba

Setor de Educao da UFPR2014

MINISTRIO DA EDUCAO

SECRETARIA DE EDUCAO BSICA (SEB)

MINISTRIO DA EDUCAO SECRETARIA DE EDUCAO BSICA Esplanada dos Ministrios, Bloco L, Sala 500 CEP: 70047-900 Tel: (61)20228318 - 20228320

Brasil. Secretaria de Educao Bsica. Formao de professores do ensino mdio, Etapa II - Caderno V: Matemtica / Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica; [autores: Ana Paula Jahn... et al.]. Curitiba: UFPR/Setor de Educao, 2014. 49p. ISBN 9788589799966 (coleo) 9788584650019 (v.5) Inclui referncias Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Mdio 1. Ensino mdio. 2. Professores - Formao. 3. Matemtica Estudo e ensino. I. Jahn, Ana Paula. II. Universidade Federal do Paran. Setor de Educao. III. Matemtica. IV. Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Mdio. V. Ttulo. CDD 373.19

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANSISTEMA DE BIBLIOTECAS BIBLIOTECA CENTRAL

COORDENAO DE PROCESSOS TCNICOS

Andrea Carolina Grohs CRB 9/1384

MATEMTICAEtapa II Caderno V

AUTORESIole de Freitas Druck

Maria Cristina Bonomi

Viviana Giampaoli

Ana Paula Jahn

Italo Modesto Dutra

COORDENAO DA PRODUOMonica Ribeiro da Silva (organizadora)

Culi Mariano Jorge

Eloise Medice Colontonio

Glian Cristina Barros

Giselle Christina Corra

Lia de Cssia Fernandes Hegeto

LEITORES CRTICOSCassiano Roberto Nascimento Ogliari

Fernando Pereira dos Santos

Joo Carlos Araujo

Maria Tereza Carneiro Soares

REVISOGiselle Christina Corra

PROJETO GRFICO E EDITORAOVictor Augustus Graciotto Silva

Rafael Ferrer Kloss

CAPAYasmin Fabris

Rafael Ferrer Kloss

ARTE FINALRafael Ferrer Kloss

COORDENAO GERAL E ORGANIZAO DA PRODUO DOS MATERIAIS

Monica Ribeiro da Silva

Caro Professor, Cara Professora

Com vistas a garantir a qualidade do Ensino Mdio ofertado no Pas foi institudo por meio da Portaria Ministerial n 1.140, de 22 de novembro de 2013, o Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Mdio. Este Pacto contempla, dentre outras, a ao de formao continuada dos professores e coordenadores pedaggicos de Ensino Mdio por meio da colaborao entre Ministrio da Educao, Secretarias Estaduais de Educao e Universidades.

Esta ao tem o objetivo central de contribuir para o aperfeioamento da formao continuada de professores a partir da discusso das prticas docentes luz das novas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio DCNEM (Resoluo CNE/CEB n 2, de 31 de janeiro de 2012). Nesse sentido, a formao se articula ao de redesenho curricular em desenvolvimento nas escolas pblicas de Ensino Mdio a partir dessas Diretrizes.

A primeira etapa da Formao Continuada, em conformidade com as DCNEM, trouxe como eixo condutor Os Sujeitos do Ensino Mdio e a Formao Humana Integral e foi composta pelos seguintes Campos Temticos/Cadernos: Sujeitos do Ensino Mdio e Formao Humana Integral; Ensino Mdio e Formao Humana Integral; O Currculo do Ensino Mdio, seus sujeitos e o desafio da Formao Humana Integral; Organizao e Gesto do Trabalho Pedaggico; Avaliao no Ensino Mdio; e reas de Conhecimento e Integrao Curricular.

Nesta segunda etapa, dando continuidade ao eixo proposto, as temticas que compem os Ca-dernos de Formao do Pacto so: Organizao do Trabalho Pedaggico no Ensino Mdio e reas de Conhecimento do Ensino Mdio, em consonncia com as proposies das DCNEM, considerando o dilogo com o que vem sendo praticado em nossas escolas, a diversidade de prticas e a garantia da educao para todos. A formao continuada propiciada pelo Pacto auxiliar o debate sobre a Base Nacional Comum do Currculo que ser objeto de estudo dos diversos setores da educao em todo o territrio nacional, em articulao com a sociedade, na perspectiva da garantia do direito aprendiza-gem e ao desenvolvimento humano dos estudantes da Educao Bsica, conforme meta estabelecida no Plano Nacional de Educao.

Destacamos como ponto fundamental que nesta segunda etapa seja feita a leitura e a reflexo dos Cadernos de todas as reas por todos os professores que participam da formao do Pacto, consi-derando o objetivo de aprofundar as discusses sobre a articulao entre conhecimentos das diferen-tes disciplinas e reas, a partir da realidade escolar. A perspectiva de integrao curricular posta pelas DCNEM exige que os professores ampliem suas compreenses sobre a totalidade dos componentes curriculares, na forma de disciplinas e outras possibilidades de organizao do conhecimento escolar, a partir de quatro dimenses fundamentais: a) compreenso sobre os sujeitos do Ensino Mdio con-siderando suas experincias e suas necessidades; b) escolha de conhecimentos relevantes de modo a produzir contedos contextualizados nas diversas situaes onde a educao no Ensino Mdio produzida; c) planejamento que propicie a explicitao das prticas de docncia e que amplie a diver-sificao das intervenes no sentido da integrao nas reas e entre reas; d) avaliao que permita ao estudante compreender suas aprendizagens e ao docente identific-las para novos planejamentos.

Espera-se que esta etapa, assim como as demais que estamos preparando, seja a oportunidade para uma real e efetiva integrao entre os diversos componentes curriculares, considerando o im-pacto na melhoria de condies de aprender e desenvolver-se dos estudantes e dos professores nessa etapa conclusiva da Educao Bsica.

Secretaria da Educao Bsica

Ministrio da Educao

Sumrio

Introduo / 6

1. Contextualizao e contribuies / 8

1.1 A contribuio da Matemtica como saber escolar e sua

relao com as necessidades da vida cotidiana / 8

1.2 Os tipos de pensamento matemtico e sua relao com o fazer escolar / 9

1.3 Reconhecimento das prticas de docncia: a relao da Matemtica

com outras reas e outros componentes curriculares / 12

2. Os sujeitos estudantes do Ensino Mdio e os direitos aprendizagem e ao desenvolvimento humano na rea de Matemtica / 15

2.1 Centralidade do estudante / 16

2.2 A Matemtica na formao dos jovens do Ensino Mdio / 19

3. Trabalho, cultura, cincia e tecnologia na rea de Matemtica / 24

3.1 Breves consideraes histricas / 25

3.2 Conhecimentos matemticos pertinentes a um currculo de Ensino Mdio elaborado

com base nas dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia / 27

4. Dilogo entre as reas do conhecimento escolar: princpios e proposies pedaggico-curriculares / 32

4.1 Para finalizar... / 41

Referncias / 43

6Matemtica

Introduo

Qual o papel que a Matemtica escolar pode desempenhar na formao humana integral dos estudantes do Ensino Mdio?

Cara Professora, caro Professor, neste Caderno buscamos discutir e apontar possibilidades de res-

postas a essa questo. Evidentemente, a pergunta colocada abrangente e no h resposta simples nem

nica para ela. No entanto, uma reflexo a esse respeito necessria, no apenas por parte dos professores

de Matemtica, mas tambm por todos os que atuam no Ensino Mdio, se acreditamos que a ao curri-

cular integrada entre as reas de conhecimento fundamental para o favorecimento da formao humana

integral.

Sabemos bem do estigma que a Matemtica escolar tem de ser inacessvel, desinteressante e intil.

Isso reflexo das abordagens equivocadas que dominam o ensino desta cincia. Com isso, na escola, essa

rea tem mais contribudo para gerar inseguranas e frustraes nos estudantes do que real aprendizagem.

Buscamos, aqui, discutir as caractersticas especficas da Matemtica, capazes de favorecer de fato o de-

senvolvimento humano na escola.

Em particular, a Matemtica propicia o desenvolvimento de quatro tipos especficos de pensamen-

to: indutivo, lgico-dedutivo, geomtrico-espacial e no-determinstico. Muitos de seus conhecimentos

so teis em vrias situaes do cotidiano, alm de serem inmeras as articulaes possveis com as outras

reas de conhecimento ou componentes curriculares, intrnsecas a situaes problemas em diversos mbi-

tos. Essa discusso feita na Unidade 1 desse Caderno.

Ao longo da Unidade 2, coloca-se em pauta a centralidade do jovem com seus desejos e interes-

ses, esclarecendo que as diferentes aprendizagens so direitos de todos os jovens e que as reas precisam

encontrar maneiras adequadas para possibilitar a consecuo de tais direitos, focando particularmente as

potencialidades da Matemtica em contribuir com o estabelecimento e a execuo de atividades integra-

doras.

Na Unidade 3, apresentamos algumas contribuies da Matemtica desenvolvidas ao longo da his-

tria que evidenciam a integrao desta rea com as dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia,

desde suas origens. Tambm apontamos a necessidade da escolha de conhecimentos/contedos da rea

que, por se relacionarem intrinsecamente com essas dimenses, merecem ser destacados num currculo

desenvolvido a partir das mesmas, como proposto nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino

Mdio (DCNEM).

Na Unidade 4, inicialmente fazemos uma reflexo sobre o papel do trabalho como princpio educa-

tivo e da pesquisa como princpio pedaggico, enquanto norteadores de abordagens pedaggico-curricula-

res que visem uma formao integral. Em seguida, a partir de exemplos de prticas escolares, envolvendo

a rea de Matemtica, buscamos um entendimento mais concreto sobre as efetivas potencialidades de

articulao de conhecimentos matemticos com as demais reas, em atividades de carter integrador.

Salientamos que este Caderno pretende oferecer subsdios para a reflexo dos professores de todas

as reas. Seu objetivo, portanto, no inclui discusses e reflexes mais aprofundadas sobre conhecimentos

7Formao de Professores do Ensino Mdio

especficos da rea de Matemtica. Essa temtica seguramente necessria no contexto das finalidades

do Ensino Mdio constantes das atuais DCNEM e estar presente na terceira etapa da formao do Pacto

Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Mdio, momento em que sero promovidas discusses mais de-

talhadas sobre conhecimentos fundamentais de cada rea de conhecimento.

Esperamos contribuir com pistas fecundas para reflexes sobre possveis respostas pergunta ini-

cial, no apenas na teoria, e que sejam inspiradoras para as transformaes necessrias da prtica escolar

no Ensino Mdio, na busca pelo desenvolvimento humano e pela formao integral.

Desejamos um bom trabalho a todos e a todas!

8Matemtica

1. Contextualizao e contribuies

1.1 A contribuio da Matemtica como saber escolar e sua relao com as necessidades da vida cotidiana

O fato de a Matemtica estar to intimamente ligada atividade

escolar e, ao mesmo tempo, a um conhecimento por vezes descrito

como inalcanvel por muitos estudantes e adultos que j concluram

a Educao Bsica, torna a rea particularmente importante no con-

texto educacional. Isso porque se faz necessrio construir experin-

cias em educao matemtica capazes de superar barreiras e distncias

criadas por relaes improdutivas entre o professor, o estudante e o

conhecimento. Tais relaes so reforadas por abordagens escolares

incapazes de produzir comunicao efetiva entre os saberes dos estu-

dantes ou as suas necessidades de aprendizagem e o conhecimento,

mediada pelos professores. Sobre essa problemtica refletiremos com

mais detalhes nas demais unidades do Caderno.

Por outro lado, h um claro reconhecimento social da impor-

tncia do domnio bsico dos conceitos e das ferramentas que a Ma-

temtica oferece para a vida humana. Tal reconhecimento , muitas

vezes, confundido com a garantia de mais espao no currculo para

a Matemtica, o que no necessariamente implica em maior qualida-

de das aprendizagens em Matemtica. Em especial no Ensino Mdio,

onde h treze disciplinas/componentes curriculares obrigatrios de

acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio

(BRASIL, 2012), preciso olhar com cuidado as atividades desses

componentes e de outros definidos nas escolas, para se aproveitar das

inmeras relaes existentes entre os conceitos e assuntos que todos

eles podem englobar. Atividades integradoras entre as reas de conhe-

cimento sero discutidas na Unidade 4.

Que tal nos debruarmos um pouco mais sobre os argumentos

apresentados at aqui? Professores, qual a importncia dos conhe-

cimentos de Matemtica abordados com seus estudantes no Ensino

Mdio? Essa pergunta, por mais simples que parea, pode auxiliar na

reflexo sobre a insuficiente relao entre os conhecimentos matem-

ticos tratados na escola e o cotidiano da maioria dos estudantes brasi-

leiros. E tal pergunta tambm precisa ser levada em considerao por

aqueles professores que no so da rea de Matemtica. Isso porque

Sugerimos a leitura do artigo Por que se ensina Matemtica? de autoria de Ubiratan DAmbrsio, um dos pioneiros na pesquisa em Educao Matemtica no Brasil, disponvel em:

h t t p : / / a p o i o l o n d r i n a .pbworks .com/f /Por%20que%20ensinar%20Matema-tica.pdf

Esse texto pode suscitar algumas reflexes relati-vas unidade. Faremos uso desta leitura no fi-nal da seo na atividade compartilhada.

9Formao de Professores do Ensino Mdio

No Ensino Mdio, com-preendem-se como cam-pos da Matemtica esco-lar: nmeros e operaes, funes, equaes algbri-cas, geometria analtica, geometria, estatstica e probabilidades.

No Guia do Livro Didtico do PNLD 2012 (BRASIL, 2011, p. 14-16; p. 24-26) apresentam-se conceitos fundamentais para a com-preenso dos diferentes ti-pos de pensamento mate-mtico, trazendo inclusive um breve resgate histrico sobre a questo. Professo-res, isso pode ser conferi-do no link: www.fnde.gov.br/arquivos/category/125-guias?download=5512:pnld-2012-matematica.

precisamos garantir a ampliao de tais conhecimentos no sentido de

possibilitar o acesso desses estudantes s prticas sociais que lhes per-

mitam uma leitura de mundo mais crtica, bem como a compreenso

dos modos de produo de conhecimento em diversas reas.

Caros professores, se pararem para pensar, rapidamente podero identificar vrias situaes nas quais os conhecimentos de Matemtica so usados no dia a dia. Que tal agora tentar fazer esse exerccio pensando na relao entre os conceitos e contedos do seu componente curricular que envolvem Matemtica, e onde

eles se aplicam no cotidiano? H conceitos/contedos matemticos que voc no consegue relacionar ao seu cotidiano? Anote suas

concluses para posterior compartilhamento com os demais co-legas.

Como j comentamos anteriormente, h muitas escolhas em re-

lao aos contedos trabalhados na escola que so feitas sem levar em

considerao as necessidades dos estudantes e, principalmente, sem

que se procure organizar contextos em diversas reas que auxiliem

na atribuio de significados pelos estudantes. No texto Por que se

ensina Matemtica?, apresentado no primeiro Saiba Mais desta

Unidade, h algumas pistas que podero auxiliar nessas escolhas e na

organizao de seu planejamento.

1.2 Os tipos de pensamento matemtico e sua relao com o fazer escolar

Caracterizar o pensamento matemtico no tarefa trivial, por

mais que se queira. Em se tratando da Matemtica para a escola de

Educao Bsica, essa tarefa se torna ainda mais delicada, uma vez

que se faz necessrio superar certas tradies que vm caracterizando

a escolha de contedos escolares sem a devida ateno necessidade

de explorar as caractersticas dessa cincia, de modo que favoream o

desenvolvimento integral.

Mesmo com critrios de validao baseados em princpios lgi-

cos comuns a todos seus campos, o fazer matemtico mobiliza quatro

diferentes tipos de raciocnios ou intuies: o pensamento indutivo

(ou raciocnios plausveis, presentes no ato de criao matemtica, na

formulao intuitiva de novas conjecturas a serem validadas posterior-

mente); o raciocnio lgico-dedutivo (prprio da lgebra e Geometria,

por exemplo, e de tudo que diz respeito a provas de propriedades em

Pensando nas relaes da Matemtica com o coti-diano, o link proposto ser-ve de provocao, Onde est a Matemtica na En-genharia Civil?, ao mes-mo tempo, sugere-se uma atividade feita por um professor que tem a inten-o de ampliar os conheci-mentos a respeito de uma rea de atuao humana na modificao do espao. http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica-Aula.html?aula=27230

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Matemtica

todos os campos da Matemtica); a viso geomtrico-espacial (necessria para o aprendizado significativo

da geometria e de suas aplicaes) e o pensamento no-determinstico (caracterstico da estatstica e da

probabilidade, campos que estudam eventos que envolvem aleatoriedade).

Vamos explorar um pouco mais essas ideias? Muitas atividades e exemplos podem ser pensados no

sentido de construir estruturas que permitam a utilizao de cada tipo de pensamento.

No caso do pensamento indutivo, podemos conceber atividades que possibilitam aos estudantes

construir determinadas hipteses, por exemplo, em relao a alguns algoritmos elementares: por que o

resto de uma diviso no pode ser maior que o divisor? E como esse fato pode ser relacionado represen-

tao decimal dos nmeros racionais? Outra situao na qual utilizamos o pensamento indutivo, quando

generalizamos a partir de alguns casos particulares, como por exemplo, para a validao do Teorema de

Pitgoras a partir do que sugerem as imagens na figura a seguir.

Figura 1: Voc v o Teorema de Pitgoras?

FONTE: Os autores (2014)

Na figura anterior se pode visualizar, indutivamente, que a rea do quadrado da hipotenusa equi-

vale soma das reas dos quadrados dos catetos de um tringulo retngulo. Por outro lado, se atribuir-

mos valores genricos s medidas dos catetos e da hipotenusa do mesmo tringulo e utilizarmos, como

conhecimentos prvios j deduzidos, a expresso do trinmio do quadrado perfeito e as frmulas para a

obteno das reas do quadrado e dos tringulos, pode-se empregar o raciocnio lgico-dedutivo em uma

demonstrao algbrica do Teorema de Pitgoras.

Para o raciocnio lgico-dedutivo necessrio observar a utilizao de determinadas regras, que

podem ser simplesmente tomadas como verdadeiras ou provadas anteriormente e, a partir dessas regras,

construir novas. Assim, usamos raciocnio lgico-dedutivo na deduo da relao fundamental da trigo-

nometria (senx + cosx=1) a partir do Teorema de Pitgoras e das definies das funes seno e cosseno

no crculo trigonomtrico, por exemplo. Da mesma forma, o fazemos quando provamos a validade da

propriedade (b) a partir da propriedade (a), enunciadas a seguir:

(a) Duas retas so paralelas se, e somente se, os ngulos correspondentes determinados por elas com

uma reta transversal tm medidas iguais.

(b) Uma reta que corta dois lados de um tringulo paralela ao terceiro lado do mesmo tringulo se,

e somente se, determina um tringulo semelhante ao primeiro.

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Formao de Professores do Ensino Mdio

A primeira propriedade usualmente estudada no Ensino Fundamental II, enquanto que a segunda

muito til no Ensino Mdio.

Sabemos que a Geometria Analtica um campo da Matemtica que estabelece importantes rela-

es entre os registros grficos e algbricos de funes, o que permite, inclusive, a utilizao de programas

computacionais grficos. Assim, dois registros distintos dados - um grfico e uma equao - representam

a mesma funo se as coordenadas cartesianas de todos os pontos do grfico satisfazem a equao e, vice-

versa, se todas as solues da equao forem coordenadas de pontos do grfico dado. Consequentemente,

a propriedade (b) comentada anteriormente que nos permite comprovar, por meio de raciocnio lgico-

dedutivo, que qualquer equao do tipo y = ax + b representa uma reta no plano cartesiano.

No caso da viso geomtrico-espacial, as estruturas que permitem o uso de tal pensamento advm

da interao com os objetos e com os movimentos no espao fsico. Podemos caracteriz-lo a partir da

construo de representaes mentais que possibilitam, por exemplo, reconhecer caractersticas de figuras

geomtricas ( um paraleleppedo? um cubo?), interpretar relaes entre objetos no espao e estimar

reas e volumes sem medio direta; antecipar resultados de transformaes de figuras planas e objetos

espaciais (o que acontece quando giramos um tringulo em torno de um dos seus lados?); produzir e inter-

pretar representaes planas de objetos espaciais, plantas baixas de construes, mapas de diversos tipos,

ou maquetes. Observa-se que o desenvolvimento de viso geomtrico-espacial, em muitas situaes, pode

propiciar raciocnios indutivos e vice-versa.

J no caso do pensamento no-determinstico, entramos no campo da incerteza e da variabilidade,

duas noes que, para muitos, parecem no ter relao com a Matemtica. Entretanto, so inmeras as

situaes nas quais interagimos fazendo uso desse tipo de raciocnio: a definio de critrios e condies

que influenciam determinados fenmenos sociais (como movimentos migratrios, inteno de voto) ou

ambientais (probabilidade de chuva ou de tempestade ou valores de variao da umidade relativa do ar);

a escolha de trajetos no bairro, em uma cidade ou oferecidos por sistemas de localizao (GPS) levando

em considerao o tempo de trajeto, o trfego, dentre outros.

Muitas das escolhas de contedos feitas por ns professores parecem indicar uma abordagem mais

concentrada em um determinado tipo de pensamento matemtico, a saber, o raciocnio lgico-dedutivo.

Ainda assim, muito caracterstico das abordagens mais tradicionais, confundir o pensamento lgico-de-

dutivo com a simples memorizao de regras e frmulas. Tal equvoco frequente induz a deturpaes so-

bre a concepo da prpria natureza da Matemtica. Procedimentos e regras podem ter sua validade efeti-

vamente comprovada apenas por meio de raciocnios lgico-dedutivos. Decorar no pode ser sinnimo de

raciocinar. Executar procedimentos padro sem compreenso, em exerccios repetitivos, no promove o

desenvolvimento de raciocnio nem a aprendizagem significativa dessa cincia. A memorizao de certos

procedimentos, por meio da repetio de tcnicas ou regras de uso muito frequentes pode at ter utilidade

na continuidade dos estudos nessa rea. O indesejvel a simples prescrio de regras, sem prvia discus-

so e validao pelos estudantes, pois no contribui para a formao integral almejada.

importante proporcionar experincias escolares que promovam o desenvolvimento desses quatro

tipos de raciocnios ou intuies, fazendo escolhas mais adequadas s necessidades de compreenso e usos

dos conhecimentos matemticos em contextos enriquecedores. Para tanto, torna-se fundamental um equi-

12

Matemtica

lbrio no uso das ferramentas que a Matemtica oferece, no sentido de

construir experincias que promovam o desenvolvimento dos diferen-

tes, todavia articulados, modos de raciocinar da Matemtica, possibili-

tando aos estudantes mobiliz-los em todas as reas de conhecimento.

1.3 Reconhecimento das prticas de docncia: a relao da Matemtica com outras reas e outros componentes curriculares

A organizao curricular do Ensino Mdio tem uma base nacional comum e uma parte diversi-ficada que no devem constituir blocos distintos,

mas um todo integrado, de modo a garantir tanto conhecimentos e saberes comuns necessrios a todos os estudantes, quanto a formao que consi-dere a diversidade e as caractersticas locais e es-pecificidades regionais. (BRASIL, 2012, art. 7)

com esse esprito que as DCNEM tratam da organizao cur-

ricular para essa etapa da Educao Bsica. Nesse sentido, precisamos

dar especial ateno s prticas pedaggicas institudas e encontrar

solues que tentem alcanar o que o texto das Diretrizes prope em

relao s reas de conhecimento: o currculo deve contemplar as

quatro reas do conhecimento, com tratamento metodolgico que evi-

dencie a contextualizao e a interdisciplinaridade ou outras formas

de interao e articulao entre diferentes campos de saberes especfi-

cos. (BRASIL, 2012, art. 8 1)

A partir de uma reflexo sobre o texto das DCNEM, que pr-

ticas na docncia so mais frequentes na rotina de sua escola? O que

precisamos reorganizar para nos aproximarmos do que se prope nas

Diretrizes?

A organizao por reas de conhecimento no dilui nem exclui componentes curriculares com especificidades e saberes prprios construdos e

sistematizados, mas implica no fortalecimento das relaes entre eles e a sua contextualizao para apreenso e interveno na realidade, re-querendo planejamento e execuo conjugados e cooperativos dos seus professores. (BRASIL, 2012, art. 8 2)

No seria a interdisciplinaridade, ou outras prticas integrado-

ras da Matemtica com outros diversos conhecimentos de diferentes

reas para a compreenso ou reas de conhecimento, uma forma de

As duas obras a seguir so exemplos de uso dos conhecimentos de mate-mtica em diversas reas da atuao humana. So elas: A matemtica nos tribunais: uso e abuso dos nmeros em julga-mentos (SCHNEPS & COLMEZ, 2014); e Os Nmeros (No) Mentem: como a Matemtica pode ser usada para enganar voc (SEIFE, 2012). Uma similaridade entre as duas obras que as mesmas descrevem uma srie de atividades nas quais o co-nhecimento matemtico pode ser usado como uma ferramenta para construir narrativas no necessaria-mente verdadeiras. Pen-sando em atividades que estabeleam pontes entre a Matemtica e os demais componentes curricula-res, essas obras podem ser uma boa fonte de inspira-o para o planejamento coletivo.

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Formao de Professores do Ensino Mdio

garantir espaos curriculares mais interessantes para todos, pela construo de contextos de fato signi-

ficativos para os estudantes? Essa uma questo de extrema relevncia pois, como sabemos, bastante

comum a disputa de espao/tempo escolar entre disciplinas - os treze componentes curriculares obriga-

trios previstos nas DCNEM. Assim, a otimizao de espao/tempo pode abrir caminhos para atividades

integradoras, das quais participem especialistas de diferentes componentes curriculares. Tais atividades,

alm de trazerem vantagens no aporte de contextualizao e atribuio de significados aos estudantes,

requerem um planejamento coletivo, o que certamente implicar na discusso sobre a relevncia e per-

tinncia de vrios dos contedos abordados.

importante salientar que contextualizao e interdisciplinaridade so, muitas vezes, reduzidas

ao uso de situaes-problema ou exemplos simples em atividades de Matemtica que envolvem concei-

tos de outros diversos conhecimentos de diferentes reas para a compreenso curriculares/disciplinas,

sem estabelecer relaes mais consistentes entre eles. Assim, no podemos chamar de contexto um pro-

blema sobre movimento retilneo uniforme ou velocidade mdia, cujo nico objetivo que o estudante

escreva e resolva uma equao. Contexto no mero pretexto. No mbito do que estamos propondo

aqui, preciso que se reconhea a diferena entre exemplos simples e contextos que requerem a nego-

ciao conjunta de diversos pontos de vista, intrinsecamente pertinentes a mais de um componente ou

rea. Ou seja, verdadeiros contextos, no sentido de abordagens didtico-pedaggicas com potencial de

favorecer aprendizagens significativas, precisam envolver necessariamente diversos conhecimentos de

diferentes reas para a compreenso mais abrangente de uma situao-problema relevante. Essas ques-

tes sero retomadas em outros momentos nas Unidades 3 e 4.

14

Matemtica

REFLEXO E AO

Caro Professor, cara Professora,

No texto dessa Unidade fizemos a afirmao de que h um predomnio, nem sempre desejvel, do

pensamento lgico-dedutivo nas atividades propostas em Matemtica. Voc, Professor de Matemtica,

concorda com isso? Ou o dominante mesmo a mera prescrio de regras e procedimentos sem compro-

vao?

Vamos pensar sobre o assunto? Nos exemplos que usamos no texto, h a indicao de atividades

que podem ser pensadas por vrias reas ou componentes curriculares. Propomos que, em grupo, seja

analisado um conjunto de atividades realizadas com os estudantes no perodo de uma semana. O ideal

que sejam analisadas as atividades de todos os componentes curriculares de uma determinada turma de

estudantes na tentativa de observar e identificar os tipos de pensamento matemtico que possam estar

presentes nessas atividades. Sugerimos o uso da seguinte tabela:

Componente curricular Breve descrio da Atividade Tipos de pensamento matemtico envolvidos

... (acrescentem as linhas que forem necessrias)

Com os dados completos dessa tabela, possvel identificar os tipos de pensamento matemtico

em todas as atividades? Quais sero os tipos de pensamento mais frequentes na sua rea? A partir das ex-

plicaes e exemplos feitos no texto, pode-se verificar o que foi afirmado em relao a ser o pensamento

lgico-dedutivo o mais usado nas atividades de Matemtica? Como produzir maior equilbrio em relao

aos diversos tipos de pensamento matemtico? Como isso pode auxiliar em planejamentos individuais e

coletivos que apontem a escolha do que ser trabalhado com os jovens? importante que o produto dessa

reflexo possa ser utilizado em comparao com as outras atividades que propomos adiante.

Compartilhem essa tabela e suas reflexes em formato de artigo publicando-as no Portal EMdialo-

go, disponvel em: http://www.emdialogo.uff.br

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Formao de Professores do Ensino Mdio

2. Os sujeitos estudantes do Ensino Mdio e os direitos aprendizagem e ao desenvolvimento humano na rea de Matemtica

Professores, lembramos que no Caderno II da Etapa I desta For-

mao foi apresentada a ideia do jovem como sujeito do Ensino Mdio.

Foram fornecidas chaves analticas que possam facilitar o processo

de aproximao e conhecimento dos estudantes que chegam escola

como jovens sujeitos de experincias, saberes e desejos. (BRASIL,

2013a, p. 8). Foi apresentada ainda, na seo 1.1, a noo de juventu-

de, explicitando a ideia de que, na verdade, existem juventudes, no

plural, para enfatizar a diversidade de modos de ser jovem existente.

(BRASIL, 2013a, p. 16)

Observou-se tambm que os diversos problemas da juventude

na escola referem-se mais a questes de relacionamento entre jovens,

professores e instituies e que a busca de culpados pelos conflitos

vivenciados na escola revela-se completamente infrutfera. De fato,

a anlise dessas relaes mostra que o problema no est reduzido

somente aos jovens ou escola e seus professores. importante perce-

ber que a instituio escolar faz parte de um espao social mais amplo.

Assim todas as questes que a envolvem evidenciam dificuldades que,

numa viso macro, so encontradas de alguma forma nesse espao.

Estando isso claro, torna-se necessrio estabelecer estratgias

para que a escola busque espaos de convivncia onde todos se sin-

tam instigados a participar da construo de conhecimentos. funda-

mental superar a tendncia de procurar de quem a culpa, relativa

quela problemtica, e desenvolver um novo olhar para a instituio

escolar e para as relaes entre seus diferentes agentes, no esquecen-

do da insero de todas as juventudes, com seus saberes, desejos e

direitos, na escola.

O jovem chega ao Ensino Mdio proveniente de diferentes tri-

bos e pode, eventualmente, vir a se integrar em algum novo grupo

a partir da realidade vivida na escola. importante que a instituio

acolha os interesses juvenis. Para tanto, convm que as escolas de En-

sino Mdio desenvolvam projetos educacionais, de qualidade social,

adequados s caractersticas das juventudes que a frequentam, permi-

tindo que muitos dos desejos que trazem se transformem em projetos

que possam ser perseguidos e concretizados. Professores, no Parecer

das DCNEM, (BRASIL, 2011, p. 9) indica-se a necessidade da rein-

Para conhecimento da completude sobre a ex-tenso dos direitos legais, a Emenda Constitucional n 59, de 11 de novembro de 2009 pode ser acessada pelo link:

http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/constituicao/Emendas/Emc/emc59.htm

16

Matemtica

veno da escola. Vamos refletir sobre como a Matemtica pode contribuir nesse processo? Como ins-

tigar estudantes com a Matemtica escolar quando a sala de aula vista como um local desinteressante,

caracterizado por poucas interaes, ausncia de espontaneidade e de questionamentos?

Esta unidade est organizada em duas sees. Na primeira discutida a centralidade do jovem no

processo educativo, e mais especificamente, sero apresentadas algumas ideias de como o ensino de Mate-

mtica pode enfatizar tal centralidade. Na segunda seo, faz-se uma reflexo sobre o papel da Matemtica

no trabalho com projetos.

2.1 Centralidade do estudante

Os jovens fazem parte de grupos sociais diferentes constitudos a partir, por exemplo, de interes-

ses, convenincias, afinidades ou proximidades regionais. No podemos esquecer tambm que muitos

vivem num mundo virtual no qual esto permanentemente conectados uns com os outros, mesmo no

estando prximos fisicamente, mas acessveis e presentes o tempo todo.

Uma formao matemtica integral na Educao Bsica demanda que os saberes dos estudantes

sejam valorizados nas suas prprias formas de representao e expresso, e contrastados com os conhe-

cimentos historicamente estabelecidos, garantindo a integrao de suas vivncias e experimentaes com

aquelas prprias cincia. fundamental situar a relao dos estudantes com a Matemtica na perspec-

tiva de um sujeito ativo e social que atua na produo e transformao das realidades e da sua prpria

existncia. Neste sentido, torna-se essencial que contextos de seus efetivos interesses sejam considerados

na escola. A fim de estabelecer um permanente dilogo entre esses saberes e a prtica educativa, particu-

larmente em Matemtica, desejvel buscar situaes que possibilitem aos jovens perceber a presena

de conhecimentos desta rea em atividades diversas, sendo elas artsticas, esportivas, educacionais, de

trabalho, ou outras.

Observem, por exemplo, o trecho da msica Captulo 4, Versculo 3 dos Racionais MCs que des-

tacamos a seguir:

60% dos jovens de periferia sem antecedentes criminaisj sofreram violncia policial. A cada 4 pessoas mortas pela polcia, 3 so negras. Nas universidades brasileiras apenas 2% dos estudantes so negros. A cada quatro horas, um jovem negro morre violentamente em So Paulo. ... Vinte e sete anos contrariando a estatstica. Seu comercial de TV no me engana. Eu no preciso de status nem fama. Seu carro e sua grana j no me seduz...

Professor, professora, sugerimos a leitura da reportagem publicada no Es-tado, disponvel em: http://goo.gl/fSxBSv, na qual, Fbio Porchat, jo-vem ator e comediante, apresenta questionamentos quanto ao ensinar e o aprender a partir de sua experincia como estudante. Voc considera que seus estudantes tm a mesma percepo da escola?

17

Formao de Professores do Ensino Mdio

No contexto de gneros musicais da preferncia de certos grupos de jovens, possvel encontrar

textos como esse que tm o potencial de favorecer um trabalho integrado com professores de vrias reas,

no verdade?

A seguir, foram selecionados, para uma discusso mais aprofundada, dois aspectos que tm se mos-

trado muito presentes em todas as juventudes ou tribos que chegam ao Ensino Mdio atualmente: a

perda da curiosidade inerente infncia e a conexo com o mundo virtual, particularmente com as redes

sociais. Tal escolha deve-se ao fato de considerarmos ser a Matemtica uma rea especialmente propcia

para favorecer tanto a recuperao da curiosidade perdida, como para acolher e contrastar a febre de

conexo com o mundo virtual, dominante entre os jovens, com os conhecimentos matemticos escolares.

O tema das juventudes amplo e certamente no se esgota nesses dois aspectos.

Desde criana, o estudante normalmente possui um vasto repertrio de perguntas que vo desde o

por que?, como?, o qu? at algumas mais elaboradas do tipo e se fosse assim....? Ao chegar

escola, seu carter inquiridor, curioso, est sempre presente. H tantas coisas para descobrir, interesses

variados, estmulos interessantes

Entretanto, conforme os anos escolares vo passando, em geral a curiosidade vai tristemente dimi-

nuindo, no mesmo? Ser porque ela foi vetada por procedimentos autoritrios ou paternalistas? Paulo

Freire j refletiu sobre isto:

Se h uma prtica exemplar como negao da experincia formadora a que dificulta ou

inibe a curiosidade do educando e, em consequncia, a do educador. que o educador que, entregue a procedimentos autoritrios ou paternalistas que impedem ou dificul-tam o exerccio da curiosidade do educando, termina por igualmente tolher sua prpria curiosidade. Nenhuma curiosidade se sustenta eticamente no exerccio da negao da outra curiosidade. [...] Como professor devo saber que sem a curiosidade que me move, que me inquieta, que me insere na busca, no aprendo nem ensino. (FREIRE, 1996, p. 94)

Ao chegar no Ensino Mdio, de um modo geral, as questes de diversos jovens frequentemente no

envolvem problemticas muito elaboradas, as perguntas so cada vez mais particulares, localizadas, com

interesses imediatos.

Nos dias de hoje, dada a facilidade de acesso informao, muitos jovens, se porventura tiverem

algum questionamento ou pergunta, acreditam que a Internet possa responder e, na sua viso, de forma

rpida e eficiente. Na verdade, sites de busca podem fornecer respostas satisfatrias, mas, na maioria das

vezes, necessrio um nvel de crtica e questionamento adequados, no sendo possvel aceitar, a priori,

todas as opes que aparecem como resposta. Evidentemente, dependendo da pergunta colocada, ser ne-

cessria, alm de uma seleo criteriosa, uma leitura cuidadosa e aprofundada do material escolhido para

poder concluir sobre o assunto pesquisado. Em todo caso, o discernimento e a crtica so caractersticas

importantes a serem desenvolvidas no estudante do Ensino Mdio. essencial, paulatinamente, conduzir

o jovem para uma reviso de seus saberes ou crenas, e para, em particular, uma desmistificao do poder

absoluto da Internet.

18

Matemtica

Especificamente em atividades matemticas, fundamental a

crtica relativa aos resultados obtidos na mquina, como no caso das

aproximaes de nmeros com infinitas casas decimais. O que uma

limitao natural da mquina pode possibilitar uma discusso frut-

fera com os estudantes, que envolve um preconceito relativo to di-

fundida exatido na Matemtica. De fato, numa mquina, seja ela uma

calculadora relativamente simples ou o mais sofisticado computador,

no h espao para o infinito. No visor ou na tela sempre aparecer

uma quantidade finita de dgitos, o que, no caso de um nmero com

infinitas casas decimais, constitui uma aproximao. Outro exemplo

interessante pode ser observado numa curva desenhada utilizando um

software grfico, onde possvel perceber que, na realidade, tal curva

constituda por uma coleo de segmentos de reta. Novamente, tal

situao merece uma reflexo interessante com os estudantes.

Professores, consideramos importante ter claro que a utilizao

de qualquer tipo de tecnologia digital no tem por objetivo a simples

reduo do tempo empregado em determinada atividade que poderia

ser realizada manualmente. Isso pode at ocorrer, mas no o princi-

pal objetivo. O essencial abrir o leque de possibilidades para o fazer

e o pensar matemtico, buscando reconhecer e valorizar os conheci-

Caro professor, cara pro-fessora, o texto e o vdeo de Michel Serres apresen-tam interessantes e provo-cativas ideias para sua re-flexo sobre a importncia da insero das tecnolo-gias digitais na escola.

http://goo.gl/0Is2FN

Figura 2: Jovem e Celular.

FONTE: Multimeios - SEED/PR (2014).

Disponvel em: http://goo.gl/utMRpC

19

Formao de Professores do Ensino Mdio

mentos e diferentes formas de expresso dos estudantes, a fim de estabelecer um permanente dilogo com

a prtica educativa.

Nos dias de hoje, as transformaes culturais mais decisivas provm de mutaes tec-nolgicas. Assim sendo, as relaes entre cultura e comunicao se modificam e se

acentuam para a atual gerao juvenil. Com efeito, as tecnologias da informao e da comunicao (TICs) transformam-se em verdadeiras marcas de identidade dos jovens assim como so instrumentos de demarcao de fronteiras sociais. (BRASIL, 2014, p. 79, grifos nossos)

Como sugere Moran, a educao escolar precisa compreender e incorporar mais as novas lingua-

gens, desvendar os seus cdigos, dominar as possibilidades de expresso e as possveis manipulaes.

importante educar para usos democrticos, mais progressistas e participativos das tecnologias, que facili-

tem os processos de construo do conhecimento. (MORAN, 1999, p. 5-6). E ainda, se por um lado as TIC

favorecem a comunicao e a identificao entre os jovens propiciando novos processos de socializao,

por outro, podem tambm produzir novas e mais severas formas de excluso social, aprofundando as

desigualdades sociais. (BRASIL, 2014, p. 80)

De qualquer forma, preciso ter claro que urge a educao para as mdias, a fim de compreend-las

em seus alcances, critic-las e utiliz-las da forma mais abrangente. Cabe escola ser um lugar importante

no qual o jovem possa desenvolver sua capacidade de utilizao dessas mdias, para inclusive, exercer

plenamente sua cidadania.

Outro fato a ser considerado que, em geral, os jovens sabem mais e melhor utilizar as ferramentas

informticas do que os adultos. A possibilidade que se abre dessa maneira a de os estudantes poderem

vir a compartilhar conhecimentos com o professor. Em geral, tal situao pode ser muito prazerosa porque

os estudantes se sentem valorizados por possibilitarem aos seus professores a aprendizagem: os papis se

invertem na sala de aula.

Frota e Borges (2004, p. 2) esclarecem que superar as barreiras para o uso efetivo de tecnologias di-

gitais na sala de aula depende de dois movimentos: do professor enquanto sujeito, no sentido de se formar

para uma incorporao tecnolgica; e do sistema educacional como um todo, enquanto responsvel pela

implantao de condies para essa formao e demais aspectos relativos tal insero.

2.2 A Matemtica na formao dos jovens do Ensino Mdio

Uma das principais finalidades da Matemtica a de desenvolver as capacidades de formular

e resolver problemas, de comunicar, de analisar criticamente uma situao, considerando suas di-

ferentes possibilidades ou restries. O ensino de Matemtica com tal foco favorece a formao de

cidados aptos a realizar intervenes na realidade, a partir da compreenso de problemas e situaes

da sociedade atual.

20

Matemtica

Os tipos de raciocnios ou intuies pensamento indutivo, raciocnio lgico-dedutivo, viso

geomtrico-espacial, pensamento no-determinstico so peculiares ao fazer matemtico, como

discutido na Unidade 1, expressos por meio de linguagens que lhe so prprias. Cabe Matem-

tica escolar propiciar aos estudantes o desenvolvimento de tais modos de pensar e a apropriao

significativa das formas de representar objetos matemticos. Para tanto, ser importante promover

aes didtico-pedaggicas que levem os jovens a realizar atividades tais como: explorar/experi-

mentar, fazer conjecturas, procurar generalizaes ou o que h de invariante numa situao, entre

outras, e tambm a fazer os registros de suas observaes e hipteses, usando diferentes tipos de

representaes.

importante fazer com que o estudante compreenda que, em Matemtica, no basta uma

hiptese ou conjectura ser verificada em um ou alguns casos para concluir-se que a afirmao seja

verdadeira sempre. imprescindvel encontrar propriedades e argumentos matemticos para vali-

d-la ou fornecer um contraexemplo para rejeit-la, assim como poder comunicar suas concluses

em linguagem apropriada. Tais procedimentos levam ao desenvolvimento de aspectos essenciais

da competncia matemtica e de repertrio de linguagens especficas que permitem a comunicao

adequada das ideias na rea. nessa perspectiva que o ensino pode contribuir para desenvolver uma

atitude positiva face Matemtica e, de modo mais amplo, face cincia. De fato, levar os estudan-

tes a desenvolver a atitude/curiosidade de formular conjecturas e procurar valid-las, desenvolve o

esprito crtico, a capacidade de argumentao e a criatividade.

Entretanto, tradicionalmente a Matemtica escolar privilegia clculos e memorizao e o

ensino focado em tcnicas operatrias e prescrio de procedimentos, sem justificativas; tambm,

as avaliaes costumam restringir-se a repeties das mesmas tcnicas ou procedimentos. Assim

os estudantes incorporam a ideia de que Matemtica to somente executar aes do tipo: calcu-

lar, efetuar, simplificar, determinar etc. E mais, a nfase no seu carter tcnico e formal, a

falta de conexo entre os diferentes campos e suas aplicaes limitam a percepo dos jovens que

acabam considerando a Matemtica como um mero conjunto de regras, frmulas e procedimentos.

Pensando novamente naquela criana curiosa, que chega no incio da escolaridade querendo

saber ... e se fosse...?, podemos observar sua busca por situaes novas, talvez mais gerais, que-

rendo eventualmente descobrir padres, regularidades, o que mantidas as devidas propores, se

aproxima da atitude de uma pessoa que quer estudar ou produzir Matemtica. importante que esse

tipo de atitude seja estimulado nos jovens que, muitas vezes, perderam a curiosidade. Cabe ao pro-

fessor, nos espaos de aprendizagem de Matemtica em todos os nveis escolares, particularmente

no Ensino Mdio, resgatar essa salutar caracterstica do ser humano.

21

Formao de Professores do Ensino Mdio

Precisamos ter presente que, segundo Machado (2000), mais

do que ministrar contedos, cabe ao professor a tarefa de estimular

a elaborao de projetos. Uma vez que um projeto nasce de uma

pergunta, importante ento fazer renascer nos estudantes a capa-

cidade de formular perguntas.

Para o autor, o conhecimento exige a capacidade de es-

tabelecer conexes entre elementos informacionais, aparen-

temente desconexos, processar informaes, analis-las, rela-

cion-las, (...) organizlas em sistemas. (MACHADO, 1995,

p. 67-68). E, continuando, adverte sobre a necessidade de

[...] administrar conhecimentos disponveis, construir novos conhecimentos, administrar da-dos ou informaes disponveis, organizar-se para produzir novos dados e informaes, sem-pre em razo de uma ao intencional tendo em vista atingir objetivos previamente traa-dos, ou seja, visando realizao de um projeto. (MACHADO, 1995, p. 68, grifo nosso)

Acima do conhecimento existe o nvel da inteligncia que, se-

gundo o autor, pode ser associada capacidade de ter projetos. Mais

ainda, importante ter claro que o homem no vive sem projetos, sem

desejos, sonhos, bem como no possvel ter projetos pelos outros.

A inteligncia humana se revela na capacidade do homem esta-

belecer seus objetivos e em sua busca para concretiz-los, ou seja, em

sua capacidade de elaborar e executar um projeto.

Assim, um dos grandes objetivos da escola o de fazer com que

seus estudantes, tanto considerados individualmente como em grupos,

tenham interesses, questionamentos, queiram encontrar respostas para

suas perguntas ou, em poucas palavras, venham a ter projetos. Nesse

sentido, muito importante favorecer a formulao de perguntas por

parte dos estudantes.

Observe, professor e professora, que s possvel pensar em

uma pergunta sobre um tema se existe algum conhecimento a seu res-

peito. Assim, em lugar de apenas propor exerccios para verificar se

os estudantes conhecem as tcnicas para resolv-los, ser interessante

solicitar tambm que eles prprios proponham questes para, em se-

guida, discuti-las e validarem ou no suas respostas. Se o estudante

no aprendeu, no conseguir propor uma questo ou problema in-

teressante, original e criativo. E depois, nem mesmo saber resolver

Os projetos que destaca-mos nesta unidade so os referentes pesquisa como princpio pedaggi-co. Esses projetos podem tambm ser tratados como componentes curriculares, diferentes dos obrigat-rios. Vale salientar que estes no esto desvincu-lados dos projetos de vida dos estudantes, como vi-mos na Unidade 3 do Ca-derno II da Etapa I.

22

Matemtica

com compreenso, de maneira a avaliar criticamente os resultados,

inclusive porque acredita que resolver significa simplesmente dar uma

resposta reproduzindo uma tcnica j apresentada em sala de aula.

Talvez seja importante insistir: uma vez que se espera que o

estudante aprenda a ter projetos e, ainda antes, seja capaz de se fazer

perguntas, torna-se necessrio estimul-lo o tempo todo para isto. Ser

tambm possvel estabelecer entre os estudantes a permuta de ques-

tes criadas por eles prprios. Evidentemente, tal trabalho fornecer

muitas informaes. A questo proposta pelo estudante pertinente?

A questo proposta original? criativa? Estas e outras questes que

o professor considerar relevantes, viro a constituir um repertrio in-

teressante para que conhea melhor cada um de seus estudantes, po-

dendo ser parte de uma avaliao diagnstica qualitativa de sua classe.

Para concluir, convm salientar trs pontos: a) o estudante que

no conseguiu formular uma questo de maneira adequada no poder

ser menosprezado, mas estimulado a tentar fazer uma nova pergunta

melhor elaborada; b) atividades investigativas costumam favorecer o

engajamento dos jovens e, naturalmente, provocam questionamentos;

c) finalmente, no esqueamos que, ao ser desafiado, o jovem procura

dar uma resposta altura do esperado.

Cabe ainda uma reflexo sobre o importante papel da avalia-

o do processo educativo, particularmente em atividades com proje-

tos. necessrio possibilitar que cada um dos estudantes compreenda

suas aprendizagens e desenvolvimentos nesses processos e que estes

possam ser identificados pelos professores, assim como analisar os

sucessos e dificuldades de percurso para novos planejamentos.

importante que a avaliao de um projeto seja cuidadosamen-

te prevista e imaginada em cada etapa da execuo, ou seja, uma ava-

liao contnua. Mas afinal, o que deve ser avaliado?

Evidentemente, necessrio avaliar a consecuo dos objeti-

vos, mas isso no basta. Todas as aes empreendidas precisam ser

avaliadas, isto , importa examinar o percurso e no apenas os resulta-

dos obtidos. Na execuo de qualquer projeto, podem ocorrer mudan-

as de rota, justamente em funo dessa avaliao processual.

Uma avaliao adequada necessita considerar todas as aes,

observar como e porqu foram realizadas e tambm a participao de

todos e cada um dos agentes envolvidos, isto , que desempenharam

algum papel para o desenvolvimento do projeto.

Como afirmam Pon-te, Brocado e Oliveira (2003), investigar procu-rar conhecer o que no se sabe. Em portugus, com um significado muito pr-ximo, seno equivalente, temos os termos pesqui-sar, inquirir, examinar. Para esses pesquisadores em Educao Matemtica, as atividades investiga-tivas so de natureza ex-ploratria e aberta. Numa investigao matemtica, parte-se de uma questo geral ou de um conjunto de informaes a partir das quais se procura for-mular pergunta(s) e pro-duzir diversas conjecturas. Depois, testam-se essas conjecturas algumas podem ser descartadas ou abandonadas por meio de contraexemplos, e outras, por se revelarem corretas, podem ser aprofundadas. interessante observar que nesse processo, novas questes ou conjecturas surgem ou so formula-das e aquelas iniciais so eventualmente modifica-das ou abandonadas. As conjecturas que subsistem estimulam a busca da ne-cessria validao mate-mtica. Desta forma, a ati-vidade adquire certo grau de imprevisibilidade e demanda do professor fle-xibilidade para lidar com as novas situaes que podem surgir ao longo do processo. Para conhecer mais sobre a perspectiva desses autores, sugerimos a leitura do artigo:

PONTE, J. P. Investiga-o sobre investigaes matemticas em Portugal. Investigar em Educao, 2, p. 3-10. Disponvel em:

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/03-Ponte(Rev-SPCE).pdf

Acesso em: 24/7/2014.

23

Formao de Professores do Ensino Mdio

Na dependncia do projeto, instrumentos de avaliao podero

ser variados e diferentes, como: observaes, dirio de bordo, regis-

tros de aes e resultados, discusso entre os personagens (autoavalia-

o), discusso em grupos; diagnstico final sobre as transformaes

obtidas, comparativamente com um diagnstico inicial.

REFLEXO E AO

Caro Professor, cara Professora,

Nessa unidade discutimos sobre as juventudes no Ensino Mdio

e do reconhecimento que, em geral, a curiosidade e a criatividade so

pouco exploradas no cotidiano da escola para esses grupos. Vamos,

ento, fazer um exerccio em torno da construo de um projeto que

possa sustentar um trabalho coletivo dos estudantes e uma interao

entre os diversos componentes curriculares? Isso pode ser realizado

entre vocs professores e, depois, transposto para um planejamento

nas atividades da escola junto com os jovens.

Formulem uma ou mais perguntas em uma rea de interesse

do grupo. Percebam que necessria uma negociao para a escolha

dessas questes. Como foi a de vocs? A partir das escolhas feitas

elaborem um projeto. Para tanto, propomos discutir as justificativas

(por que o projeto importante?) e os objetivos ou finalidades (o que

se pretende alcanar com o projeto?). Outra discusso fundamental

tem a ver com a metodologia ou planejamento de atividades (como o

projeto ser desenvolvido?). Por fim, quais instrumentos podem ser

utilizados para a compreenso sobre o quanto os objetivos foram atin-

gidos e sobre a adequao do planejamento? (Avaliao processual e

das aprendizagens).

Cada rea de conhecimento ou componente curricular consegue

se inserir nesse trabalho? Como identificar conhecimentos da rea a

partir das escolhas feitas por vocs? Como planejar atividades como

essa no seu contexto? preciso modificar a diviso dos tempos e re-

pensar os espaos da escola?

Se ficaram interessados, sugerimos como leitura suplementar a

seguinte obra: Trajetrias Criativas - Caderno 7 - Iniciao Cientfica

disponvel em: http://goo.gl/HFLxDc

Aqui sugerimos uma lei-tura complementar que pode ser interessante. O texto do Prof. Paulo Abrantes e trata de avalia-o no contexto da Educa-o Matemtica. Mesmo para quem no professor de matemtica, muitas das reflexes propostas ali po-dem ser aproveitadas para todas as reas.

ABRANTES, P. Avalia-o e Educao Matem-tica. Srie Reflexes em Educao Matemtica. MEM/USU - GEPEM, (1995).

24

Matemtica

3. Trabalho, cultura, cincia e tecnologia na rea de Matemtica

No Caderno IV da Etapa I da Formao de Professores do Ensino Mdio, foi feita uma discusso

aprofundada sobre o papel de eixo integrador entre os conhecimentos de distintas naturezas, que as atu-

ais DCNEM atribuem s dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia nessa fase escolar. L so

explicitados os significados em que cada uma dessas dimenses entendida nas Diretrizes, e tambm

destacada a importncia de que o ensino escolar aborde os contedos como conhecimentos construdos historicamente que se constituem como condio necessria para que os educandos possam construir novos conhecimentos e compreender o processo histrico e social pelo qual os homens produziram e pro-

duzem sua existncia, com conquistas e problemas. (LUKCS apud BRASIL, 2013c, p. 25, grifo nosso)

Nesta Unidade iremos apresentar algumas reflexes sobre como a Matemtica articula-se espe-

cialmente com as quatro dimenses integradoras, mas, tambm com as demais reas de conhecimento no

Ensino Mdio. Professor, professora, sugerimos fortemente que releia as pginas de 20 a 36 do Caderno

IV citado. Aqui destacamos alguns trechos dos Caderno III e IV da primeira fase da formao, apenas para

relembrar os significados que as DCNEM fixaram para essas dimenses, mais amplamente discutidas nas

pginas acima mencionadas.

Entendemos como trabalho o modo pelo qual o ser humano produz para si o mundo, os objetos e as condies de que precisa para existir. [...]

Nessa perspectiva, se identificamos o trabalho com essa ao transformadora consciente

do ser humano, chamaremos de cultura o conjunto dos resultados dessa ao sobre o mundo. [...] A cultura o prprio ambiente do ser humano, socialmente formada com valores, crenas, objetos, conhecimentos etc. (BRASIL, 2013c, p. 21-22, grifos dos au-tores) A esta concepo de trabalho est associada a concepo de cincia e tecnologia: co-nhecimentos produzidos, sistematizados e legitimados socialmente ao longo da histria, como resultado de um processo empreendido pela humanidade na busca da compreen-so e da transformao dos fenmenos naturais e sociais. (BRASIL, 2013b, p. 23, grifos dos autores)

Alm disso, as DCNEM preveem no seu artigo 5, alnea VIII, que a Organizao do Ensino Mdio

baseia-se na integrao entre educao e as dimenses do trabalho, da cincia, da tecnologia e da cultura

como base da proposta e do desenvolvimento curricular. (DCNEM, 2012, grifo nosso). No artigo seguinte, l-se,

Art. 6 O currculo conceituado como a proposta de ao educativa constituda pela seleo de conhecimentos construdos pela sociedade, expressando-se por prticas esco-lares que se desdobram em torno de conhecimentos relevantes e pertinentes, permeadas pelas relaes sociais, articulando vivncias e saberes dos estudantes e contribuindo para o desenvolvimento de suas identidades e condies cognitivas e socioafetivas. (BRASIL, 2012, grifo nosso)

25

Formao de Professores do Ensino Mdio

em que o nosso grifo tem por objetivo explicitar uma das ideias que norteou a organizao dessa Unidade

3. A outra ideia partiu do destaque da citao anterior de Lukcs.

Ao longo do tempo, o homem desenvolveu por razes de sobrevivncia, meios para suprir necessi-

dades, realizando, em geral, avanos em benefcio da humanidade. Por outro lado, intervenes na natu-

reza foram feitas tambm no sentido de domin-la, para satisfazer necessidades momentneas de grupos

especficos, a servio de interesses econmicos ou outros de grupos com maior capacidade de influenciar

o poder. At hoje, observamos aes equivocadas nessa mesma direo, apesar da maior informao sobre

a necessidade de desenvolvimento sustentvel do ser humano no planeta. Reflexes sobre esses assuntos

favorecero uma formao de cidados conscientes e capazes de analisar as contradies, os avanos e os

retrocessos que homem fez para constituir a sociedade contempornea.

O que segue pretende explicitar, a partir da rea de Matemtica e em situaes mais concretas, as

questes discutidas de forma geral anteriormente e no Caderno IV, antes mencionado. Inicialmente, faze-

mos uma breve discusso sobre a Matemtica na histria, salientando como a produo desses conheci-

mentos teve ligaes estreitas com trabalho, cultura, cincia e tecnologia. A seguir, discutiremos exemplos

de conhecimentos e conceitos matemticos prprios do Ensino Mdio, que consideramos relevantes e

pertinentes se quisermos pensar um desenvolvimento curricular que efetivamente seja embasado nas di-

menses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia.

3.1 Breves consideraes histricas

As origens dos conceitos matemticos so to antigas quanto a prpria cultura. As motivaes

para a construo desses conceitos foram problemas ligados, por exemplo, ao comrcio, agricultu-

ra, s construes de grande porte ou s observaes e registros sobre corpos celestes, com a finalida-

de de produzir objetos ou condies necessrias para a existncia humana (trabalho), o que acarretou

o desenvolvimento de cincia e tecnologia, constituindo portanto a cultura das respectivas pocas e

sociedades. Em particular, a resoluo de tais problemas de ordem prtica, ou de questes culturais

mais amplas, acabou por gerar conhecimentos, e dentre eles, conhecimentos matemticos.

Assim, por exemplo, o desenvolvimento de calendrios foi uma questo central na China anti-

ga, e os babilnios elaboraram sistemas de clculo de reas e mtodos para a resoluo de problemas

comerciais, como estimativas de tempos, clculos para a fixao de preos e emprstimos, dentre

outros. Por sua vez, os egpcios usaram conhecimentos matemticos para a construo de suas pi-

rmides e, na Grcia antiga, Arquimedes (287 a.C. 212 a.C.) utilizou conhecimentos matemticos

para construir diversos tipos de artefatos.

Gerada a partir de necessidades sociais ligadas, entre outras, economia, poltica ou at a

questes blicas, a Matemtica foi uma produo humana, e portanto, uma manifestao cultural,

sendo enquanto produo humana, tanto determinante quanto determinada pelo trabalho, pela cincia

26

Matemtica

e pela tecnologia. So exemplos disso, na Antiguidade, os relgios solares e as construes arquite-

tnicas de grande porte ou catapultas de longo alcance. Alm disso, desde as inscries deixadas em

cavernas, podem-se constatar atividades tipicamente humanas de registrar, figurativamente, animais

ou cenas de caa. Enfim, registros imagticos de legados culturais de suas pocas.

Ao longo do tempo, os registros foram se transformando em acervos de esquemas de repre-

sentao, talvez primrdios das representaes hoje prprias Geometria. Embora a origem desse

campo matemtico possa ser encontrada no antigo Egito, onde surgiu a necessidade de se efetuar

medies da terra devido s inundaes peridicas do rio Nilo, so da Grcia antiga os primeiros re-

gistros encontrados de ideias desenvolvidas de maneira axiomtica, ou seja, explicitando raciocnio

lgico-dedutivo.

Assim, no sculo VI a.C., a escola pitagrica unia Matemtica, Filosofia e misticismo, deixan-

do registros de importantes relaes entre nmeros e figuras geomtricas. O legado de Os Elementos,

de Euclides de Alexandria (sculo III a. C.), imprime a marca at hoje caracterstica da Matemtica

como cincia hipottico-dedutiva. Primeiro tratado sistemtico encontrado sobre o conjunto dos co-

nhecimentos matemticos desenvolvidos da Grcia antiga, a obra contm a teoria axiomtica sobre a

Geometria Euclideana plana e espacial e a importante contribuio da teoria das propores de Eu-

doxo de Cnido (390 a.C. - 338 a. C.).

Ao longo da histria, algumas pessoas despontaram como dotadas de uma formao integrada,

como atestam as obras que deixaram. No Renascimento, Leonardo da Vinci (1452 1519) merece

destaque por ter sido - como se diria nos dias de hoje - matemtico, engenheiro, inventor, anatomista,

pintor, escultor, arquiteto e botnico. bastante conhecido o uso que fez de geometria e de propor-

es tanto em seus quadros e esculturas, como nas construes que projetou. Os esboos encontrados

de suas obras mostram com clareza a integrao da cincia com a arte, da matemtica com a biologia,

Um dos autores de uma importante edio de Os Elementos foi Teon de Alexandria, pai da primeira mulher considerada matemtica: Hiptia (370 415), uma das mulheres mais relevantes do incio da era crist. Seus estudos incluram tambm fsica, astronomia e filosofia, sendo a ltima

diretora da Biblioteca de Alexandria.

Professores, sugerimos assistir ao filme espanhol Alexandria dirigido

por Alejandro Amenbar de 2009, que relata a histria de Hiptia. Ele abre portas para reflexes sobre o contexto histrico, a valorizao da cincia,

o papel da mulher, questes que podem ser discutidas em sala de aula.

Sobre as contribuies de Eudoxo, vale a pena ler o artigo do educador matemtico Vicenzo Bongiovanni em:

http://goo.gl/A3FVz9

27

Formao de Professores do Ensino Mdio

e outras integraes tantas que se consigam elencar, como atesta o

famoso esboo do Homem Vitruviano, a seguir reproduzido.

Professor, professora, que tal aproveitar um pouco de sua

curiosidade a partir dessa imagem? Procure listar, a partir dela, noes especficas do seu componente curricular que capaz de

identificar. A ideia que no espao coletivo de discusso, ao final

da Unidade, todos os professores possam refletir em conjunto so-bre a complexidade de leituras possveis para esse esboo de Leo-nardo da Vinci.

3.2 Conhecimentos matemticos pertinentes a um currculo de Ensino Mdio elaborado com base nas dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia

Retomemos consideraes feitas no Caderno II da Etapa I:

O que muda na organizao curricular de uma escola a qual se fundamenta na possibilidade in-tegradora da articulao entre trabalho, cultura, cincia e tecnologia? [...] Essa mudana exige que cada comunidade escolar reflita, discuta e

estabelea novos consensos mnimos acerca das

Marcus Vitruvius foi um arquiteto romano em I a.C., autor do famoso tratado sobre arquitetura intitulado De Arquitetu-ra, de dez volumes. No livro III o autor indica o que considera como as propores de um corpo humano. Assim surgiu a ideia de Homem Vitru-viano. Posteriormente, no Renascimento, Leonar-do da Vinci, para ilustrar suas notas a respeito desta obra, realiza o famoso de-senho apresentado aqui. O artista, nessa obra, especi-fica mais precisamente as propores que conside-rou serem as ideais, dos pontos de vista tanto ana-tmicos como artsticos. Mais informaes no link:

http://www.uff.br/cdme/rza/rza-html/rza-vitruvian-br.html

Figura 3: Homem Vitruviano.

FONTE: Wikimedia (2014).

Disponvel em: http://goo.gl/UyFWNh

28

Matemtica

concepes de educao, de cincia, de tecnolo-gia, de trabalho, de cultura, de ser humano.

Enfim, o redesenho curricular tendo como eixo

estruturante as dimenses do trabalho, da cin-cia, da tecnologia e da cultura exige a atualiza-o do Projeto Poltico-Pedaggico das unidades escolares (BRASIL, 2013b, p. 38)

Nessa perspectiva, no esqueamos que a funo primordial de

um currculo no a de conduzir as atividades de ensino, mas sim a

de propor os caminhos que melhor possibilitem o aprendizado dos

estudantes na direo da formao integral pretendida. Currculo

percurso escolar. Deve refletir os caminhos mais adequados a serem

trilhados para que os estudantes, com suas caractersticas pessoais, so-

ciais, econmicas e culturais prprias, possam caminhar efetivamente

na direo dos direitos aprendizagem e ao desenvolvimento humano

previstos nos textos legais. Ser assim necessrio, na construo de

uma proposta curricular, fazer escolhas condizentes com os objetivos

pretendidos e coerentes com as convices e cultura prprias de cada

equipe, em sua escola. No ser necessrio superar a tradio en-

ciclopedista do Ensino Mdio, com 13 disciplinas, todas buscando

cumprir um extenso programa, refm apenas do objetivo preparar

para o vestibular? Se o foco a formao integral, no ser necess-

rio reorganizar, repensar os componentes curriculares, possibilitando

espaos que promovam uma efetiva articulao entre reas? Nesse

caso, tambm a avaliao merecer ser compartilhada para no cor-

rer o risco de provocar uma fragmentao ainda maior, com mais do

que 13 componentes, envolvendo instrumentos e notas ou pareceres

descritivos separados. Pensar em integrao requer a produo de

instrumentos de avaliao tambm integrados, que permitam um olhar

global sobre as aprendizagens dos estudantes.

A seguir apresentamos algumas consideraes que envolvem

conhecimentos matemticos fundamentais, nas quais a Matemtica e

as demais reas de conhecimento ou seus componentes possam intrin-

secamente ser articulados por via das dimenses do trabalho, cultura,

cincia e tecnologia. Professores, tambm buscamos fornecer elemen-

tos que enriqueam suas reflexes visando as formulaes de novos

currculos. Ressaltamos que as propostas apresentadas no abrangem

todos os contedos matemticos que podem ser considerados. Fize-

mos uma seleo de conhecimentos e, portanto, certamente omitimos

possibilidades importantes ou interessantes. Contamos com que vo-

O Guia do Livro Didtico do PNLD 2012 (BRA-SIL, 2011) pode ser um material interessante para consulta sobre os campos de conhecimentos mate-mticos do Ensino Mdio, com destaques para suas caractersticas e relevn-cia na formao geral dos estudantes, especialmente no trecho das pginas 16 a 38.

www.fnde.gov.br/arquivos/category/125-guias?down-load=5512:pnld-2012-mate-matica.

29

Formao de Professores do Ensino Mdio

cs, professores, inspirados nas ideias apresentadas, possam imagi-

nar um currculo onde os conhecimentos matemticos contemplados

sejam aqueles que considerem os mais relevantes para uma formao

integral.

Funes se constituem em um campo da Matemtica no Ensino Mdio que emergiu de questes pertinentes aos mbitos das quatro

dimenses articuladoras de currculos. Foram desenvolvidas como

modelos para a compreenso de fenmenos variados e so amplamen-

te utilizadas em muitos mbitos da atividade humana, como: Fsica,

Qumica, Biologia, Astronomia, Economia, Sociologia, Comunica-

o, Demografia, Informtica, Engenharia, entre outros. Assim, por

exemplo, funes trigonomtricas so teis para descrever fenmenos

peridicos, como no caso do movimento de um pndulo; as funes

logartmicas servem para descrever o decaimento radioativo de is-

topos de elementos qumicos. Em 1798, o economista e demgrafo

ingls Thomas Malthus (1766-1834) formulou um modelo para des-

crever a populao presente em um ambiente como uma funo ex-

ponencial do tempo. Esse modelo e suas posteriores modificaes so

aplicados, por exemplo, ao estudo do crescimento de bactrias. Mode-

los matemticos so teis para fazer previses sobre o comportamento

de fenmenos, porm, por serem abstratos e ideais, os resultados ob-

tidos sero sempre aproximaes. Do ponto de vista de uma formao

integral, a importncia do estudo de funes reside muito mais nas

conexes com as situaes que as originaram do que, por exemplo, no

mero treinamento de propriedades para a resoluo de equaes como

as que envolvem funes trigonomtricas ou logartmicas.

de se destacar ainda o uso cada vez mais crescente e impor-

tante de funes para o desenvolvimento de processos e artefatos: na

programao de aplicativos computacionais, em aparelhos de eletro-

cardiograma, na construo civil de grande porte, na construo e lan-

amento de foguetes espaciais, em antenas parablicas e telescpios,

em aparelhos de tomografia ou de ressonncia magntica, apenas para

citar alguns.

Ao longo da histria, a humanidade desenvolveu muitos ins-

trumentos de maneira criativa, com maior ou menor preciso diante

da necessidade de medir grandezas. O emprego de instrumentos, processos e unidades de medida adequadas para registrar e interpretar

medies nunca exato, sempre aproximado. Consequentemente,

importante o desenvolvimento da percepo sobre o grau de aproxi-

No Guia do Livro Didti-co do PNLD 2008 (BRA-SIL, 2007), na seo A Matemtica no mundo de hoje (p. 12-14) voc pode encontrar reflexes inte-ressantes sobre o que so modelos matemticos.

http://www.fnde.gov.br/ar-quivos/file/1947-guia-pnld-2008-matematica

30

Matemtica

mao que condizente com os objetivos de cada situao. Por exem-

plo, para executar uma receita culinria, uma balana de preciso di-

gital suficiente, porm, um laboratrio farmacutico utiliza balana

analtica para a anlise de determinada grandeza submetida a certas

condies ambientais.

A geometria est presente em todo lugar. Diferentes povos tm utilizado figuras geomtricas em diversas manifestaes culturais,

como em tecidos e mscaras africanas, em mandalas como os yan-

tras indianos, e a pintura corporal da etnia Kayap do Brasil. Padres

geomtricos tambm podem ser encontrados no artesanato brasileiro

como na cermica Marajoara, nos bordados fil alagoanos e na renda

renascena de origem pernambucana. Por sua vez, existiram vrios

movimentos artsticos relacionados geometria. Entre eles o Neo-

plasticismo, cujo criador e principal terico foi Piet Mondrian (1872-

1944) e o cubismo, sendo um de seus representantes o pintor Pablo

Picasso (1881-1973). No Brasil, em 1954 surgiu o Grupo Frente, do

qual Lygia Clark (1920-1988) foi uma das fundadoras. Ela apresentou

uma srie de obras nas quais os elementos geomtricos so centrais,

como em Superfcies Moduladas, 1955-57. Essas sries de obras

so instigantes e incentivam a participao ativa do observador que

pode transform-la numa nova obra. Outro grande artista plstico que

utilizou a geometria como inspirao Hlio Oiticica (1937-1980).

Como exemplo citamos a obra Magic Square # 5 (1977) localizada em

Inhotim, no estado de Minas Gerais. Nesta proposta, pode-se brin-

car com as posies ou localizaes do observador e as perspectivas

de suas vises, criando mltiplos trabalhos artsticos diferentes.

Professores, vocs conseguem idealizar uma exposio ins-pirada na obra de Lygia Clark ou Hlio Oiticica como uma ma-neira de mobilizar conhecimentos de todas as reas, a partir das dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia? Anotem suas ideias para compartilhar posteriormente com os colegas das de-mais reas.

interessante observar tambm que a localizao espacial e a criao de sistemas de referncia so fundamentais para o desenvol-vimento de vrias atividades humanas, que vo desde a confeco de

mapas impressos ou virtuais, at a determinao de rotas e distncias,

com o uso do GPS (Global Positioning System).

Reconhecer a existncia de incerteza fundamental para o de-senvolvimento do pensamento matemtico no-determinstico. Ela

Materiais interessantes sobre Lygia Clark podem encontrados em http://www.lygiaclark.org.br/noti-ciaPt.asp Informaes sobre Hlio Oiticica e Inhotim podem ser obtidas nos portais http://www.heliooiticica.org.br/home/home.php

http://www.inhotim.org.br/inhotim/arte-contemporanea/obras/invencao-da-cor-pene-travel-magic-square-5-de-lu-xe/

A obra Magic Square # 5 serviu como cenrio do v-deo musical Pelos Ares, de Adriana Calcanhoto, ht-tps://www.youtube.com/wa-tch?v=1nPTwUxTxR8&lis-t=RDHC7-vx5sCyN2k

Uma atividade relaciona-da ao GPS est descrita em:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=43507

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Formao de Professores do Ensino Mdio

est presente na vida dos jovens, por exemplo, em relao ao mercado de trabalho e seus riscos. (BRA-

SIL, 2013a). Nos mais diferentes mbitos tenta-se quantificar as incertezas utilizando probabilidade e estatstica, como no mercado financeiro, pesquisas de inteno de voto ou no esporte.

O jovem, para poder exercer inteiramente a cidadania, necessitar perceber que os nmeros, taxas,

ndices e estimativas que so apresentadas nas mdias envolvem certo grau de incerteza e aleatoriedade, mesmo que as pesquisas tenham sido feitas com o maior rigor metodolgico. A estatstica est presente em vrios campos, como por exemplo, no estudo da efetividade e segurana de um medicamento, em

anlises do funcionamento de um sistema, em campanhas eleitorais e mesmo em msicas, como vimos

na Unidade 2, na letra Captulo 4, Versculo 3 dos Racionais MCs. Logo, suas produes acabam in-

fluenciando, de alguma maneira, em inmeras atividades do ser humano todas as dimenses. Assim, a

importncia do estudo de estatstica no Ensino Mdio reside muito mais em favorecer a leitura adequada

e crtica de informaes do que a simples construo de tabelas e grficos.

REFLEXO E AO

Professor, professora, no decorrer desta Unidade propusemos dois exerccios individuais de re-

flexo a partir da sua especialidade. Chegou o momento de compartilhar suas ideias e anotaes com os

demais colegas.

a) Sobre o Homem Vitruviano propomos que:

- Compartilhem as anotaes feitas anteriormente sobre o que identificaram no desenho de Leonar-

do da Vinci.

- Explicitem quais articulaes percebem nessa obra com as dimenses do trabalho, cultura, cin-

cia, e tecnologia, compatveis com a poca em que ela foi produzida pelo artista.

b) Sobre a exposio idealizada:

- Compartilhem e debatam as anotaes feitas anteriormente sobre a idealizao da exposio.

- Registrem os conhecimentos que consideraram mobilizados em cada rea de conhecimento e as

articulaes identificadas com as dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia.

A partir desses dois exerccios de reflexo e combinando com as reflexes realizadas nas outras

duas unidades, definam critrios para a modificao das rotinas e apontem as dificuldades percebidas para

a implementao efetiva de novas rotinas de trabalho que permitam planejamentos integrados.

32

Matemtica

4. Dilogo entre as reas do conhecimento escolar: princpios e proposies pedaggico-curriculares

O desenvolvimento das discusses e propostas que faremos

nessa unidade baseado principalmente nos dois princpios destaca-

dos nas DCNEM como norteadores para a organizao dos currculos

e para a sua consecuo na prtica escolar: o trabalho como princpio

educativo e a pesquisa como princpio pedaggico.

O trabalho aqui ento entendido no seu sentido ontolgico,

como lemos em Lukcs (1981), inerente espcie humana e primeira

mediao na produo de bens, conhecimentos e cultura. O trabalho

como princpio educativo se consubstancia em atividades criativas,

portanto prazerosas, com as quais os estudantes, de maneira solidria,

se transformam, criam e recriam conhecimentos, cincia, tecnologia

e, portanto, cultura, ao mesmo tempo em que se desenvolvem para

assumir seus lugares na sociedade como cidados conscientes de seus

direitos e deveres. (BRASIL, 2013c, p. 29)

Por seu lado, a pesquisa como princpio pedaggico

[...] contribui para a construo da autonomia intelectual do educando e para uma formao orientada pela busca de compreenso e solues para as questes tericas e prticas da vida coti-diana dos sujeitos trabalhadores. Afinal, formar

integralmente os educandos implica no s que estes aprendam o significado e o sentido das

cincias, das tecnologias, das prticas culturais etc., mas preciso fundamentalmente formar as pessoas para produzirem novos conhecimentos, compreender e transformar o mundo em que se vive. (BRASIL, 2013c, p. 35-36)

So pertinentes as justificativas sobre a importncia desses

princpios e sobre possveis maneiras de concretiz-los na prtica es-

colar descritos em uma publicao recente da UNESCO:

Entendido como a forma de o ser humano pro-duzir sua realidade e transform-la, de se cons-truir e de se realizar, o trabalho tomado como princpio educativo originrio, articulando e in-tegrando as diferentes disciplinas ou reas de co-nhecimento. Isso quer dizer que toda a aprendi-zagem ter origem ou fundamento em atividades dos estudantes que visam, em ltima instncia, a uma interveno na sua realidade. Nessa pers-

Vale a pena consultar a publicao da UNESCO Currculo integrado para o Ensino Mdio: das nor-mas prtica transforma-dora, onde desenvolvida uma proposta de prottipo curricular para o Ensino Mdio voltado para uma formao bsica para o trabalho e s prticas so-ciais. Nesse documento h tambm muitas sugestes de possibilidades para o planejamento pedaggico nas quatro reas de conhe-cimento constantes nas Diretrizes para a organiza-o dos currculos do En-sino Mdio. Ele pode ser acessado pelo endereo eletrnico abaixo:

http://goo.gl/rplrIX

33

Formao de Professores do Ensino Mdio

pectiva, o currculo ser centrado no planejamento (concepo) e no desenvolvimento de propostas de trabalho individual e coletivo (execuo). Cada estudante as usar para produzir e transformar sua realidade e, ao mesmo tempo, desenvolver-se como ser hu-mano.

Associada ao trabalho, a pesquisa vista como um instrumento de articulao entre o saber acumulado pela humanidade e as propostas de trabalho que estaro no centro do currculo. Como forma de conhecimento e de crtica da realidade, a pesquisa se apoia-r nas reas de conhecimento ou nas disciplinas escolares, para auxiliar na definio

da metodologia e dos instrumentos de investigao, na identificao das variveis de

estudo e na interpretao dos resultados. Ao mesmo tempo, a anlise dos resultados da pesquisa, tambm apoiada pelas reas ou pelas disciplinas, apontar as atividades de transformao (trabalho) que so necessrias e possveis. (UNESCO, 2013, p. 198)

Analogamente ao que foi feito na unidade anterior, retomamos aqui a reflexo sobre o que foi dis-

cutido no Caderno III da primeira etapa da formao, especialmente na Unidade 4 (BRASIL, 2013b, p. 36-

43), do qual sugerimos a releitura. A partir de exemplos, buscamos um entendimento mais concreto sobre

as efetivas potencialidades de articulao de conhecimentos matemticos com conhecimentos das demais

reas ou componentes, em atividades escolares de carter integrador. Nos termos de Brasil (2013b):

Assim, as propostas voltadas para o ensino mdio, em geral, esto baseadas em meto-dologias mistas, as quais so desenvolvidas em, pelo menos, dois espaos e tempos: um voltado para as denominadas atividades integradoras e outro destinado ao aprofunda-mento conceitual no interior das disciplinas. a partir da que se apresenta uma possi-bilidade de organizao curricular do ensino mdio que potencialize uma ampliao de conhecimentos em sua totalidade e no por suas partes isoladas. (BRASIL, 2013b, p. 40, grifos nossos)

Nesse pequeno trecho so fornecidas vrias pistas do que seja necessrio para um redesenho cur-

ricular, o qual possibilite abordagens pedaggico-curriculares favorecedoras do papel formativo que as

DCNEM preveem para essa etapa escolar. A grade horria usual, com aulas de 50 minutos para que cada

disciplina cumpra um programa (em geral voltado para contedos de vestibulares), seguramente muito

contribui para a fragmentao do ensino, tradicionalmente observada no Ensino Mdio. As grades horrias

tradicionais dificultam enormemente a possibilidade de que as aqui chamadas atividades integradoras, superem o carter de ser apenas uma superposio de aplicaes simultneas de alguns conhecimentos

de diferentes componentes. Se isso mais do que a fragmentao e a falta de dilogo absoluto entre componentes ou reas de conhecimento, ainda muito menos do que o proposto nas DCNEM para a

formao integral dos estudantes. Cabe ainda observar que o espao tradicional de uma sala de aula, com

lousa, giz, sua disposio de carteiras e os estudantes sentados em linhas e colunas, de frente para o pro-

fessor expositor, tampouco favorece atividades mais dinmicas e que envolvam a iniciativa dos estudantes

em pesquisas ou a elaborao de produtos coletivos, eventualmente imprescindveis em abordagens peda-

ggico-curriculares que privilegiem o protagonismo dos estudantes no seu prprio processo de aprendiza-

gem, e que tenham por base o trabalho como princpio educativo.

Por todas essas razes, torna-se necessrio reorganizar os tempos e os espaos escolares para po-

der obter-se um currculo que estimule o protagonismo dos estudantes no seu prprio desenvolvimento

34

Matemtica

e aprendizagem, ao mesmo tempo em que promova a integrao dos conhecimentos de todas as reas de

conhecimento, articuladas pelas dimenses do trabalho, cultura, cincia e tecnologia.

Salientamos novamente a necessidade de que, em cada escola, a organizao de um currculo por

reas de conhecimento no Projeto Poltico-Pedaggico (PPP) seja estabelecida a partir do entendimento

e dos acordos possveis entre os educadores de todas as reas. Sem dvida, h mais um desafio para a

equipe escolar, a saber, o planejamento de atividades que contemplem de maneira efetiva a construo de

conhecimentos de seu componente curricular, integrada a outros componentes e/ou reas. Assim, tambm

os professores da rea de Matemtica necessitaro repensar e reconhecer as possibilidades de contribui-

es em atividades integradoras, a partir dos conhecimentos que lhe so prprios, que possuam um alto

potencial de articulao com contextos autnticos das demais reas e sejam relevantes para a formao

integral dos estudantes.

Mas como colocar na prtica de atividades escolares a pesquisa como princpio pedaggico? Mais

ainda, qual o papel dos professores em tais atividades? Certamente as respostas a estas perguntas no so

bvias nem nicas. No h receita infalvel para tanto. Vamos refletir juntos sobre elas?

Assumir a pesquisa como princpio pedaggico significa buscar situaes de interesse que contem-

plem a diversidade dos estudantes e permitam questionamentos. A partir destes, os estudantes podero

protagonizar investigaes que levem a um entendimento mais completo da situao questionada e possi-

bilitem intervenes transformadoras. Cabe aos professores serem mediadores desse processo: a media-

o do professor essencial, possibilitando aos estudantes atingirem nveis de desempenho e pensamento

que no conseguiriam por conta prpria, incentivando-os a se confrontarem com outros pontos de vista

e, assim, reconstrurem seus entendimentos e a compreenso do que investigam. (MORAES, 2010, p.

142). Segundo explicam Galiazzi e Moraes (2002) o processo de educar pela pesquisa pode ser caracteri-

zado por crculos reiterativos de trs movimentos principais questionamento, construo