CadernoApoio 3 Ciclo Final

7/21/2019 CadernoApoio 3 Ciclo Final

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METAS CURRICULARES DO ENSINO BSICOMATEMTICA

Caderno de Apoio

3. Ciclo

Antnio Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Maria Clementina Timteo


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Caderno de Apoio Introduo Pgina 1

INTRODUO

Este Caderno de Apoio, organizado por ciclos de escolaridade, constitui um complemento aodocumento Metas Curriculares de Matemtica do Ensino Bsico. Na elaborao das Metas

Curriculares utilizou-se um formato preciso e sucinto, no tendo sido includos exemplos

ilustrativos dos descritores. Neste documento apresentam-se vrias sugestes de exerccios,

problemas e atividades, alguns com propostas de resoluo, esclarecimentos relativos a

algumas opes tomadas no documento principal e informaes complementares para os

professores.

Procurou-se realar os descritores que se relacionam com contedos e capacidades

atualmente menos trabalhados no Ensino Bsico embora se tenham includo tambm outros

de modo a dar uma coerncia global s abordagens propostas. Estas escolhas no significam,porm, que se considerem menos relevantes os descritores no contemplados.

Longe de se tratar de uma lista de tarefas a cumprir, as atividades propostas tm um carter

indicativo, podendo os professores optar por alternativas que conduzam igualmente ao

cumprimento dos objetivos especficos estabelecidos nas metas.

Aos exemplos apresentados esto associados trs nveis de desempenho. Os que no se

encontram assinalados com asteriscos correspondem a um nvel de desempenho regular,

identificando-se com um ou dois asteriscos os exemplos que correspondem a nveis de

desempenho progressivamente mais avanados.

Para alm das sugestes de exerccios e problemas a propor aos alunos entendeu-se incluir

tambm textos de apoio para os professores. Destinam-se a esclarecer questes de ndole

cientfica que fundamentam os contedos destes nveis de escolaridade e que podero ajudar

seleo das metodologias mais adequadas lecionao. Tanto no 2. como no 3. ciclo,

relativamente ao domnio Geometria e Medida, reuniram-se estes textos num anexo

designado por Texto Complementar de Geometria.

Nas Metas Curriculares, no domnio da Geometria e Medida, foi privilegiada uma notao

tradicional do Ensino Bsico e Secundrio portugus e que os alunos devem conhecer.

Contudo, podero ser utilizadas outras notaes em alternativa, desde que devidamente

clarificadas e coerentes.


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Caderno de Apoio NO7 Pgina 2

7. ANO

Nmeros e Operaes NO7

Descritor Texto de apoio

1.1

( ) ( ) ( )

Ao conclurem o 2. ciclo, os alunos devero saber multiplicar e dividir doisquaisquer nmeros racionais positivos. Neste domnio, a sequncia de descritoresapresentada pretende estender estas operaes a todos os nmeros racionais,dando cumprimento ao objetivo geral enunciado, o qual poder ser trabalhado emconjunto com os descritores ALG7-1.1, 1.2, 1.3 e 1.7. Ser uma boa oportunidadepara se rever a introduo dos nmeros relativos, iniciada no 2. ciclo, incluindo asoperaes de adio e de subtrao para nmeros racionais quaisquer (cf. NO6,objetivos gerais 2, 3 e 4). Em particular importa recordar que a diferena de doisnmeros racionais pode ser expressa como a soma do primeiro com o simtrico dosegundo (cf. NO6-4.2); desta propriedade resulta que o simtrico de um nmeroracional

, soma de zero com o simtrico de

, igual diferena

(NO6-4.3),

ou, por outras palavras, o nmero racional cuja soma com igual a , o que, dealguma maneira, justifica a notao .As duas igualdades apresentadas neste descritor so uma consequncia imediatadesta caracterizao algbrica dos nmeros simtricos (dois nmeros racionais sosimtricos quando, e apenas quando, a respetiva soma nula) e das propriedadesassociativa e comutativa da operao de adio.

ExemploConsidera um nmero racional .a. Mostra que o simtrico de

.

b.

Calcula cada um dos nmeros referidos na alnea anterior no caso em que .R.:a. Para mostrar que os nmeros em causa so simtricos, vamos efetuar a

respetiva soma:

Como a soma nula, os nmeros em causa so simtricos um do outro, ou seja

.

b.

Considerando , e .Os dois nmeros so de facto simtricos, como j se sabia da alnea anterior.Exemplo*Dados dois nmeros racionais e , mostra que o simtrico de ).R.: Para mostrar que os nmeros em causa so simtricos, determina-se a respetivasoma:

Como a soma nula, os nmeros em causa so simtricos um do outro, ou seja

.


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(Tendo em conta o descritor NO6-4.2, poder optar-se por escrever, maissimplesmente, .)A igualdade pode ser deduzida de forma anloga. Se j estiverestabelecida a igualdade anterior, igualmente possvel, utilizando os descritores

NO6-4.2 e NO6-4.4, argumentar da seguinte forma:

( ) () .A igualdade que foi objeto do primeiro exemplo tambm poderia agora serimediatamente deduzida desta ltima, notando apenas que .

1.2

Neste descritor definido o produto de um nmero natural por um nmeroracional, estendendo-se a definio apresentada no descritor NO4-5.1.

A propriedade de sinal apresentada pode inicialmente ser observada em casosparticulares. Por exemplo, tomando e ,Utilizando o descritor anterior, a propriedade pode ser reconhecida de forma mais

sistemtica. Tomando e ,

Exemplo*Dado um nmero racional , mostra que .R.:

.1.3 Por extenso dos casos j estudados, define-se aqui o quociente de um nmeroracional por um nmero natural (ver os descritores NO2-9.3 e NO4-5.3 que definem,

respetivamente, o quociente entre nmeros naturais e entre nmeros racionaispositivos). imagem dos nmeros racionais positivos (ALG5-1.4), o sinal de diviso: pode ser substitudo por um trao de frao.

A propriedade de sinal uma consequncia direta dessa mesma definio, e podeser reconhecida da seguinte forma: dado um inteiro natural e um nmero racional , (onde se utilizou o descritor anterior).O produto de por igual a , logo, por definio de quociente,

.


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Exemplo*

Justifica que (ou seja, que ).R.: Para justificar que igual ao quociente de por , vamos verificar que oproduto de por igual a .Tem-se pelo que .Como

uma notao que designa o quociente , tem-se .1.4 Neste descritor define-se o produto de um nmero racional por um nmero

racional positivo . Tal como foi feito para o produto de dois nmeros racionaispositivos (NO5-1.6), a definio apresentada envolve apenas operaes jconhecidas: o produto de um nmero natural por um nmero racional e a diviso deum nmero racional por um nmero natural:

.Na prtica, o produto de dois nmeros racionais poder depois (cf.1.7 adiante) sercalculado utilizando as propriedades enunciadas nos descritores NO5-1.6 (ouutilizando o algoritmo da multiplicao no caso dos fatores estarem expressos emforma de dzima finita NO4-6.6) e NO7-1.7. Esta definio pode no entanto sertrabalhada em casos simples, permitindo em particular reconhecer a propriedadede sinal

.Para efetuar esse reconhecimento, poder proceder-se como no seguinte exemplo:

Exemplo**

Calcula, utilizando a definio de produto de dois nmeros racionais, e

verifica que igual a R.:

.

Note-se que neste clculo apenas foram utilizadas propriedades j conhecidas.

Comeando pela prpria definio de produto de um nmero racional por umnmero racional positivo, utilizaram-se sucessivamente as propriedades expressasno descritor 1.2, no descritor NO4-5.2, no descritor 1.3, no descritor NO4-5.5 efinalmente no descritor NO5-1.6.

1.5 O descritor anterior j estabelece que o produto de um nmero racional positivo por igual ao respetivo simtrico, j que .O presente descritor estende esta propriedade, por definio, a todos os racionais,estabelecendo que o produto de qualquer nmero racional por igual aorespetivo simtrico, o que constitui um primeiro passo na definio do produto

entre dois nmeros negativos.


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1.6 Neste descritor define-se o produto de dois nmeros racionais negativos. Ainda queuma definio no carea de prova, possvel observar que, se quisermos obter nofinal uma operao de multiplicao associativa, a nica possibilidade ser,considerando e positivos,

( ) ( ) () .1.8

Este descritor apresenta a definio do quociente de dois nmeros racionais,estendendo-se tambm a este caso os conceitos apresentados nos descritores NO2-9.3, NO4-5.3 e NO7-1.3. Termina-se assim o proposto no objetivo geral Multiplicar edividir nmeros racionais relativos.

A justificao da propriedade de sinal imediata. Tendo em conta a definio deproduto de dois nmeros negativos, no caso de e serem positivos (1.6), e, nosrestantes casos, a propriedade expressa no descritor 1.4, tem-se, de forma genrica

de onde se conclui, pela definio do quociente de dois

nmeros racionais, que .Da mesma forma, tem-se , de onde resulta .Uma consequncia importante desta definio (e consequente propriedade) ageneralizao das identidades

e ao caso em que , , e so nmeros inteiros relativos ( e ).A ttulo de exemplo, se e , , e forem positivos,

Desta forma, os alunos podero efetuar de forma mais expedita a soma e adiferena de dois nmeros racionais. Podero escrever, por exemplo

.1.71.9

Estes descritores, em conjunto com NO5-1.6 e NO5-1.7, apresentam um mtodoprtico para o clculo do produto e do quociente de dois nmeros racionais. Tendoem vista os descritores NO7-1.4 e NO7-1.8, torna-se relativamente fcil reconhecerestas propriedades em exemplos concretos.

Por outro lado, fundamental que os alunos adquiram destreza no manuseamentoprtico destas propriedades.


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Exemplo

Calcula R.:

.


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Caderno de Apoio GM7 Pgina 7

Geometria e Medida GM7


2.1a

2.11

Embora vrios dos objetos e conceitos referidos nestes descritores j tenham sidoabordados nos ciclos anteriores, so agora apresentadas definies precisas tendo

em vista um estudo mais rigoroso da Geometria, que se pretende efetuar no 3.ciclo (cf. Texto Complementar de Geometria - TCG - para uma anlise maispormenorizada desses conceitos e alguns complementos).

2.12 ExemploConsidera o quadriltero representado na figura.

a. Decompe o quadriltero em dois tringuloscujos vrtices sejam tambm vrtices doquadriltero.

b. Indica a soma dos ngulos internos de cada umdos tringulos.

c.

Justifica que a soma dos ngulos internos de umquadriltero igual a um ngulo giro.

2.13 Exemplo*Considera os polgonos convexos representados nas seguintes figuras:

a. Decompe o hexgono em tringulos, traando as diagonais com um dosextremos em. Quantos tringulos obtiveste?

b. Indica qual a soma das medidas de amplitude dos ngulos internos dostringulos obtidos na alnea anterior e conclui qual a soma das medidas, emgraus, das amplitudes dos ngulos internos do hexgono.

c. Por um raciocnio anlogo ao utilizado nas duas alneas anteriores, determinaa soma das medidas, em graus, das amplitudes dos ngulos internos do

decgono.

Exemplo*Considera o pentgono representado na

figura.a. Quantos ngulos rasos se formam unindo

cada ngulo interno a um externo adjacente?b.

Deduz da alnea anterior qual a soma dasmedidas, em graus, das amplitudes dosngulos externos representados na figura,tendo em conta o valor j conhecido da soma

das medidas, em graus, das amplitudes dosngulos internos.


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2.15 ExemploConsidera um quadriltero .

a. Quantos segmentos possvel definir tendo como extremos dois vrtices destafigura? Indica-os.

b. Quantos desses segmentos so diagonais do quadriltero?

2.16 Exemplo**Considera um quadriltero

a.

Prova, resolvendo as seguintes alneas, que se for um paralelogramoento as diagonais bissetam-se:a1. Traa as diagonais e designando por E o respetivo pontointerseo.a2. Justifica que os tringulos e so iguais.a3. Justifica que e que .

b.

Prova, resolvendo as seguintes alneas, que se as diagonais de umquadriltero se bissetarem ento este um paralelogramo:b1. Traa as diagonais e designando por o respetivo pontointerseo.b2. Na reflexo central de centro , qual a imagem de cada um dos vrtices?b3. Justifica que os ngulose so iguais.b4. Justifica que os ngulos e so iguais.b5. Justifica que o quadriltero um paralelogramo.

R.:a2.Como

um paralelogramo, os lados

opostos so paralelos e iguais. Logo, e, como paralela a, osngulos alternos internos e soiguais, assim como os ngulos e .Ento, pelo critrio ALA de igualdade de tringulos, os tringulos e so iguais.

a3. Os segmentos de reta e so iguais uma vez que se opem a ngulosiguais de tringulos iguais, pelo que E ponto mdio de Da mesma formase conclui que tambm o ponto mdio de

b2. Como

um quadriltero cujas

diagonais se bissetam, ou seja, tal que e , ento, na reflexode centro , os pontose so imagensum do outro bem como os pontos e .

b3. Tendo em conta a alnea anterior e sabendo que numa reflexo central asamplitudes dos ngulos so conservadas, podemos concluir que os ngulos e so iguais.

b4. O mesmo argumento de conservao das amplitudes permite afirmar que osngulose so iguais.

b5. Como os ngulos alternos internos determinados em cada par de lados opostospor uma secante so iguais, os lados opostos do quadriltero so paralelos, peloque um paralelogramo.


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2.17 Exemplo*Considera o retngulo e as respetivas diagonais e

a.Justifica que os tringulos e so iguais.b. Deduz da alnea anterior que as diagonais do retngulo so iguais.

Exemplo*Considera um paralelogramo tal que as diagonais e tm omesmo comprimento.

a.Justifica que os tringulos e so iguais.b. Conclui, da alnea anterior, que os ngulos e so iguais.c. Relembrando que dois ngulos consecutivos de um paralelogramo so

suplementares e que os ngulos opostos so iguais, conclui que oparalelogramo um retngulo.

2.18

2.192.20

Exemplo**

a.

Considera um papagaio em que .a1. Justifica que a reta a mediatriz do segmento de reta .a2. Justifica que as diagonais e so perpendiculares.a3. Justifica que as diagonais de um qualquer losango so perpendiculares.

b. Considera um paralelogramo que tem as diagonais perpendiculares.b1. Justifica que as diagonais e se bissetam.b2. Justifica que a reta a mediatriz de .b3. Justifica que um losango.

R.:

a1. Um papagaio um quadriltero que temdois pares de lados consecutivos iguais;como, por hiptese, , tambm setem . Assim, os pontos e soambos equidistantes dos pontose , peloque pertencem mediatriz do segmento . Logo a reta a mediatriz dosegmento de reta

a2. e so perpendiculares pois a mediatriz de um segmento de reta uma reta perpendicular a esse segmento de reta.

a3. Basta observar que um losango , em particular, um papagaio.

b1. Como um paralelogramo asdiagonais bissetam-se.

b2. a mediatriz de pois perpendiculara no seu ponto mdio .

b3. Sabe-se que lados opostos de um paralelogramo so iguais, ou seja, que e que .Como

a mediatriz de

ento

logo os quatro lados do

paralelogramo so iguais pelo que este um losango.


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2.212.222.232.24

Exemplo**a. Explica porque que todos os paralelogramos so trapzios.b.

Mostra que um trapzio com bases iguais um paralelogramo, comeandopor traar uma diagonal e justificando que so iguais os ngulos alternosinternos determinados por essa diagonal nos lados que no foram tomados

como bases.

R.:a.

Para que um quadriltero seja trapzio basta que tenha dois lados paralelos.Ora, um paralelogramo tem dois pares de lados paralelos logo um trapzio.

b. Um trapzio tem dois lados paralelos designados por bases.Sejam e as bases iguais. Traando adiagonal prova-se que os tringulos e so iguais (caso LAL) pelo que osngulos

e

so iguais porque se opem

a lados iguais em tringulos iguais. Logo paralelo a pelo que o trapzio umparalelogramo.3.1 Exemplo*

Justifica que os quadrados so os paralelogramos que tm as diagonaisperpendiculares e iguais.

R.: Se um paralelogramo tem as diagonais iguais ento um retngulo (2.17), ouseja, os ngulos internos so retos; como as diagonais so perpendiculares ento um losango (2.18), ou seja, tem os lados iguais. Ento tem-se um paralelogramo com

os lados iguais e os ngulos retos logo um quadrado.Inversamente, um quadrado um losango, logo tem as diagonais perpendiculares.Como tambm um retngulo, as diagonais so iguais.

Exemplo*Justifica que os quadrados so os quadrilteros com diagonais perpendiculares,iguais e que se bissetam.

Exemplo**Justifica que, num losango, cada diagonal bisseta os ngulos internos que tmvrtice nos seus extremos.

ExemploJustifica que um paralelogramo com um ngulo reto um retngulo.

ExemploNum quadriltero convexo os ngulos opostos so iguais e o ngulo internode vrtice em mede de amplitude. Determina a amplitude dos restantesngulos internos e classifica o quadriltero.

ExemploNum losango uma das diagonais mede

e forma com um dos lados um ngulo

de de amplitude. Constri esse losango justificando a construo.


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ExemploConsidera um tringulo qualquer como, porexemplo, o tringulo representadona figura.

a. Constri o ponto mdio do lado

e designa-o por .b. Determina o transformado dotringulo pela reflexo central decentrodesignando por a imagemde .

c. Justifica que o quadriltero umparalelogramo.ExemploConstri um paralelogramo cujas diagonais medem e e em que um dosngulos por elas formados mede de amplitude.R.: Traa-se um segmento de reta com 4 cm decomprimento e determina-se o respetivo ponto mdio.Uma vez que as diagonais de um paralelogramo sebissetam, o ponto mdio determinado o vrtice dongulo de de amplitude que deve serrepresentado.

Utilizando um transferidor, constri-se um ngulo de

vrtice em, em que um dos lados e o outro

tal como est representado na figura, escolhendo

e

( na semirreta oposta a ) tais que , dado que a segunda diagonal devemedir .

ExemploConsidera o trapzio issceles de basese , com .Prova que:

a. O tringulo issceles, onde designa a interseo de com a reta

paralela a

que passa por

.

b.

Os ngulos definidos pela base maior e por cada um dos lados no paralelosso iguais.

Basta agora traar os lados do paralelogramo

.


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c. Os tringulos e so iguais.d.As diagonais e so iguais.

R.: a. um paralelogramo pelo que

. Como

(o trapzio issceles) ento

tambm , ou seja, o tringulo issceles.b. Como o tringulo issceles conclui-se que uma vez que,num tringulo, a lados iguais opem-se ngulos iguais. Como poisso ngulos correspondentes determinados pela secanteem retas paralelas,ento .c. Podemos concluir que os tringulos e so iguais utilizando o caso LAL deigualdade de tringulos pois

um lado

comum aos dois tringulos, pois otrapzio issceles e tal comoprovmos na alnea anterior.d. porque, em tringulos iguais, a ngulos iguais opem-se ladosiguais.

4.5 ExemploConsidera um tringulo e duasretas e que passam por , pontomdio do lado , respetivamente

paralelas a

e a

.

Considera ainda o ponto , interseo de e e o ponto , interseo de e.Mostra que:

a. e b.

os tringulos e so iguais.c.

o ponto mdio de o ponto mdio de R.:a. Por construo, o quadriltero um paralelogramo (tem os lados

opostos paralelos). Logo, os ladosopostos so iguais (cf. GM5-2.16).

b. Atendendo a que paralela a ento e como paralela a, logo . Por outro lado , pois o ponto mdio de, pelo que, aplicando o caso ALA, ostringuloseso iguais.


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c. Tendo em conta a alnea anterior, (comprimentos de lados que seopem a ngulos iguais em tringulos

iguais). Como , podemosconcluir que

, ou seja,

o

ponto mdio de.Analogamente, , , e portanto pelo que o pontomdio de.

4.6 ExemploConsidera um tringulo e uma reta que interseta no ponto mdio e o segmento no ponto .

a. Mostra que:

a1. Se for paralela a ento .a2.** Se

ento

paralela a

.

b. Se alguma das propriedades equivalentesanteriores se verificar, mostra que .

R.:

a1. Sabe-se pelo descritor 4.5 que a reta bisseta o lado , pelo que .a2. Considerando a reta que passa por e paralela a , sabemos pelaalnea a1. que interseta no ponto mdio . Assim, as retas etm doispontos em comum (e ) logo coincidem. Conclui-se ento que paralela ab. Supondo que paralela a e considerando-se a reta s paralela a quepassa por , designando o ponto de interseo de com por , sabemos por4.5 que . Por outro lado, como um paralelogramo, ,de onde se conclui que .Observao: Neste exemplo e em outras situaes que se seguiro utilizam-seigualdades envolvendo operaes com comprimentos (igualdade entre umcomprimento e a soma de outros dois, ou entre um comprimento e o dobrodeoutro, por exemplo), quando, em rigor, apenas sabemos operar com as respetivasmedidas, fixada uma unidade de comprimento. No entanto, como se ver no textode apoio mais frente, relativo ao objetivo geral 7, os referidos resultados no

dependem da unidade de medida comum fixada. Esta questo examinada commais pormenor no TCG a propsito dos descritores 4.1 a 4.4 e do objetivo geral 7.

4.7 O Teorema de Tales estabelece a existncia de proporcionalidade entre oscomprimentos de segmentos de reta determinados em duas retas concorrentes porum par de retas paralelas situadas no mesmo plano.O descritor anterior corresponde ao caso particular do Teorema de Tales em que aconstante de proporcionalidade igual a 2.

Os exemplos apresentados em seguida correspondem a outros casos particulares doTeorema de Tales, no primeiro caso com uma constante de proporcionalidade igual

a . O processo sugerido para a respetiva demonstrao uma simples


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d. um paralelogramo porque os lados opostos so paralelos. Destaforma, os lados opostos e so iguais, bem como os lados opostose ; como, pela alnea anterior, , tambm se tem .

e.

e, analogamente,

, atendendo s alneas c. e d. e spropores estabelecidas na alnea a.f. Como

, e , podemos concluir que .

Observao: Na figura, optou-se por representar os pontos mdios dos segmentos

de reta e , designados respetivamente por e . Como ,tem-se

. Tambm, como

e

, tem-se

igualmente .Na sequncia deste exerccio, os alunospodero reconhecer que se podem iracrescentando, passo a passo, retas paralelasde modo a ir formando tringulos eparalelogramos que so respetivamente iguaisaos anteriores.

ExemploNa figura esto representadas as retas , e paralelas e intersetadas por duassemirretas de origem .

a. Utilizando as igualdades entrecomprimentos de segmentosindicadas na figura, mostra que:

a1.

a2.

b. Completa as propores utilizando medidas de comprimento

de segmentos da figura.

Em alternativa, o Teorema de Tales pode ser reconhecido utilizando reas detringulos (cf.TCG-4.7).

4.44.8

Tendo em conta o descritor 4.4, imediato que dois tringulos de ladoscorrespondentes proporcionais so semelhantes uma vez que no existemdiagonais.


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ExemploNa grelha de tringulos equilteros esto representados vrios tringulos. Tendo emconta unicamente a medida do comprimento dos lados, identifica, justificando, os

pares de tringulos semelhantes e indica, em cada caso, a razo de semelhana.

4.9 Exemplo*

Acerca dos dois tringulos

e

representados sabe-se que

e

que . Prova que os tringulos e so semelhantes respondendos seguintes questes.

a.

No tringulo marca dois pontos e que pertencem respetivamenteaos lados ee tais que e .

b. Justifica que os tringulos

e

so iguais.

c. Atendendo alnea anterior, completa a proporo comcomprimentos de lados do tringulo

d. Justifica que paralelo a .e.

Completa as igualdades seguintes utilizando o Teorema de Tales: e pelo que e .f. De acordo com o critrio LLL de semelhana de tringulos o que podes

concluir?

4.10 Exemplo*Na figura esto representados dois tringulos

e

tais que os ngulos

eso iguais bem como os ngulos e .a. No tringulo marca doispontos e que pertencemrespetivamente aos lados e e tais que e . Justifica que:a1. os tringulos e so iguais.a2. as retas e so paralelas.

b. O que que o teorema de Tales te permite concluir acerca daproporcionalidade entre os comprimentos dos lados correspondentes (opostosa ngulos iguais) nos dois tringulos e ?c. Justifica a semelhana dos dois tringulos e .


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4.11 Exemplo*Na figura esto representados dois tringulos e semelhantes e taisque

.

a. No tringulo marca dois pontos e que pertencemrespetivamente aos lados ee tais que e .

b.

Atendendo s propores do enunciado, completa a proporo com

comprimentos de lados do tringulo .c.

Utiliza o Teorema de Tales (parte recproca) para justificar que paralelo a

.

d.

Utiliza o Teorema de Tales (parte direta) para completar a proporo e. Observando que pela hiptese do enunciado

e que por construo , deduz da alnea anterior que .f. Justifica que os tringulos e so iguais.g. Identifica os pares de ngulos correspondentes (opostos a lados

proporcionais) nos tringulos e e justifica que so iguais.4.13 Neste descritor pretende-se que os alunos reconheam a propriedade unicamente

em casos concretos e utilizando triangulaes.

ExemploConsidera os quadrilteros e representados na figura em que seindicam as medidas dos comprimentos dos respetivos lados bem como as medidasde amplitude dos ngulos. Prova que os dois polgonos so semelhantesrespondendo s seguintes questes:

a.

Tendo em conta as condies expressas na figura, mostra que os tringulose so semelhantes.b. Justifica que as diagonais e esto na mesma proporo que os

pares de lados correspondentes nos dois polgonos.c.

Utilizando um raciocnio anlogo ao efetuado nas alneas anteriores,justifica que as diagonais

e

esto na mesma proporo que os

pares de lados correspondentes nos dois polgonos.d. Conclui das alneas anteriores que os quadrilteros so semelhantes.


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Exemplo**Considera os hexgonos e representados na figura, emque se indicam as medidas dos comprimentos dos respetivos lados bem como asmedidas de amplitude dos ngulos. Prova que os dois polgonos so semelhantesrecorrendo ao critrio de semelhana de polgonos que faz apenas intervir a

proporcionalidade dos comprimentos dos lados e diagonais, tal como sugerido nasalneas seguintes.

a. Tendo em conta as condies expressas na figura, mostra que os tringulose so semelhantes.b.

Justifica que as diagonais e esto na mesma proporo que osrestantes lados correspondentes dos tringulos.

c. Justifica que os ngulos e so iguais bem como os ngulos e e que por isso os tringulose so semelhantes.

d. Justifica que as diagonais e esto na mesma proporo que osrestantes lados correspondentes dos tringulos.e.

Como justificas que e esto na mesma proporo que osrestantes lados correspondentes dos tringulos definidos anteriormente?f. Se decompusssemos os hexgonos em tringulos com um vrtice comum

diferente, respetivamente, o vrtice e o vrtice o que queconcluiramos?

g.

Conclui das alneas anteriores que os hexgonos so semelhantes.

5.4 Neste descritor pretende-se que o aluno apresente uma justificao da propriedadereferida em casos concretos, tal como se exemplifica.

ExemploConsidera trs pontos no colineares, e e os respetivos transformadospela homotetia de centroe razo ,, e .Justifica que o tringulo semelhante ao tringulo eindica a respetiva razo de semelhana.

Observao: Note-se que, tal como referido no TCG-5.4, este exemplo mostra, emparticular, que uma homotetia multiplica as distncias entre pontos pelo mdulo da

respetiva razo. Assim, torna-se imediato que duas figuras homotticas sosemelhantes, de razo de semelhana igual ao mdulo da razo da homotetia.


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6.1

Exemplo *(4.7)Na figura est representado umtringulo e o ponto ,interseo da bissetriz do ngulocom o lado

.

O objetivo deste exerccio o derelacionar de forma simples a razoentre os comprimentos de e com os comprimentos dos lados dotringulo.

Para o efeito, comeamos por traar uma semirreta com origem em e paralela a, prolongando o lado AC de forma que intersete essa semirreta num pontodesignado por , tal como ilustra a figura seguinte:

a.

Utilizando o teorema de Tales, completa a igualdade: .

b. Justifica que:b1.os ngulos

e

so iguais.

b2.os ngulose so iguais.b3.os lados e do tringulo so iguais.c. Conclui a proporo

.d. Em que caso particular se poder ter ?

Exemplo (4.8)Dois tringulos e so tais que e e

a.Justifica que os tringulos so semelhantes.

b.

Identifica para cada ngulo do tringulo o ngulo igual do tringulo.Exemplo (4.9)Na figura representada tem-se que:

Justifica que os tringulos

e

so

semelhantes.


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Exemplo (4.10)Na figura est representado um

paralelogramo, a diagonal e umsegmento paralelo a . Justifica queos tringulos

e

so

semelhantes.

Exemplo (4.10)No trapzio tem-se que e .

Justifica que:a. Os ngulos e so iguais.b. Os tringulos e so

semelhantes.

Exemplo* (5.1 e 5.2)Considera os segmentos de reta paralelos e representados na figura.Determina uma homotetia que transformaem e a respectiva razo.R.:Considerando o ponto interseo das retase , a homotetia de centro e

razo transforma o segmento de reta [AB] no segmento de reta [PQ].De facto, considerando uma semirreta entre

e

e os respetivos pontos de

interseo e com e , a imagem de pela homotetia o ponto .Basta observar que pertence semirreta e que, pelo Teorema de Tales, Note-se que, pelo Teorema de Tales, .

Observao 1: Tambm se poderia ter considerado como centro da homotetia a

interseo dos segmentos de reta e e a razo .


22/222


Observao 2: Estabeleceu-se, neste exemplo, uma bijeo entre os pontos de doissegmentos de reta de comprimentos distintos. Isto significa que, num certo sentido,os segmentos tm o mesmo nmero de pontos, o que no ser intuitivo partida,uma vez que o maior contm estritamente um segmento igual ao menor.

7.17.2

ExemploConsidera uma reta onde se representaram onze pontos de tal forma que a distnciaentre dois pontos consecutivos constante.

a.

Calcula o quociente das medidas do comprimento de tomandopor unidade.b. Calcula o quociente das medidas do comprimento de tomandopor unidade.c. Calcula o quociente das medidas do comprimento de

tomando

por unidade e compara-o com os quocientes obtidos nas alneasanteriores.Observe-se que as propriedades expressas nestes descritores permitem-nos definir,sem qualquer ambiguidade, o que se entende pelo quociente de doiscomprimentos, utilizando as respetivas medidas em qualquer unidade, bem como oproduto de um comprimento por um nmero racional positivo (cf.TCG-7.1 a 7.6).

Exemplo**A medida do comprimento de cada um dos segmentos de reta e , numadada unidade

igual respetivamente a

e

(

e

nmeros naturais).

Para determinares a medida do comprimento de tomando para unidaderesolve a seguintes alneas:a. Decompondo a unidade em segmentos de reta iguais, quantos

segmentos iguais a um destes necessrio justapor para se obter umsegmento igual ? E para se obter um segmento igual a ?

b.

Atendendo aos resultados da alnea anterior, exprime a medida docomprimento de tomando para unidade atravs de uma fraode denominador .

c. Conclui da alnea anterior que a medida do comprimento de tomandopara unidade igual a .R.:a. A medida de na unidade igual a , ou seja, para obter um

segmento igual a necessrio justapor segmentos iguais aos queresultam de decompor a unidade em partes iguais; analogamente para seobter um segmento igual a necessrio justapor segmentos iguais aosque resultam de decompor a unidade nas mesmas partes iguais.

b. Atendendo alnea anterior conclumos que o segmento igual justaposio de segmentos iguais aos que resultam de decompor o segmentoem partes iguais; assim a medida do comprimento de tomandopara unidade pode exprimir-se atravs da frao .

c.

Verificmos que essa medida igual a .


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Exemplo*A medida do comprimento de cada um dos segmentos de reta e , numadada unidade igual respetivamente a e .

a.

Indica o valor do quociente .b. Se tomares agora para unidade de medida um segmento de reta cujocomprimento metade do comprimento de , ento, nessa nova unidade,quais as medidas dos comprimentos de e ? E qual o valor doquociente

?c. Se considerares para unidade de medida um segmento de reta com

medida igual a tomando para unidade, ento, nessa nova unidade ,

quais as medidas dos comprimentos de e ? E qual o valor doquociente

?d. Se considerares uma unidade de medida

cujo comprimento quatro vezes

maior do que o comprimento de , ento, nessa unidade, quais as medidasdos comprimentos de e ? E qual o valor do quociente ?

e.

Se tomares para unidade de medida um segmento com medida decomprimento na unidade , ento, nessa nova unidade, quais as medidasdos comprimentos de e ? E qual o valor do quociente ?

7.47.5

7.6

Qualquer um dos dois primeiros exemplos apresentados em seguida, relativos aodomnio Nmeros e Operaes, destina-se a preparar a resoluo do terceiro.

ExemploConsidera o nmero natural , que se decompe em fatores primos daseguinte forma: .

a. Decompe em fatores primos o nmero .b. Multiplica por 2, escreve o resultado na forma de produto de fatores

primos e identifica, explicando, qual o expoente que mpar.c.

Existir um nmero natural tal que ? Porqu?Exemplo*

Prova que no existem nmeros naturais e tais que , resolvendo asseguintes alneas:a. Suponhamos que e so nmeros naturais. Ento, pelo teoremafundamental da aritmtica aprendido no 6. ano, possvel decompor deforma nica esses nmeros em fatores primos. Explica por que razo osexpoentes da decomposio em fatores primos dos nmeros naturais e so nmeros pares.

b. Se multiplicasses por 2, ento o fator 2 ocorreria no produto comexpoente par ou mpar?

c.

Achas possvel que ? Porqu?


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ExemploNa figura est representado um tringulo retngulo issceles.

Justifica que a hipotenusa e um cateto de um tringuloretngulo issceles no so comensurveis percorrendo osseguintes passos:

a.

Prova que a altura do tringulo relativa aovrtice divide o tringulo em dois tringulosretngulos issceles iguais e .b.

Prova que quaisquer dois tringulos retngulos issceles so semelhantes econclui que os trs tringulos , e so semelhantes.

c.Supondo que a hipotenusa e um cateto do tringulo so comensurveis,numa dada unidade, as medidas de comprimento de e so dadas,respetivamente, pelos nmeros naturais e Utilizando a alnea anterior,completa a seguinte proporo:

.d.

Deduz que e conclui que o cateto e a hipotenusa de um tringuloissceles no so comensurveis.

ExemploConsidera a figura junta onde estorepresentados trs quadrados e .

a. Tendo em conta a propriedadereferida em 7.5 identificasegmentos de reta nocomensurveis.

b.

Na figura existem segmentosde reta comensurveis que no

tm o mesmo comprimento.Tendo em conta as propriedades da figura, apresenta dois exemplos e

justifica a tua escolha.

8.1

Dados dois pontose , a notao designa o comprimento do segmento dereta . No entanto, e sempre que no existir perigo de confuso, utilizaremosesta notao para designar tambm a medida desse comprimento, fixada umaunidade.

Exemplo*Prova que a rea de um papagaio, em unidades quadradas, igual ao semiprodutodas diagonais percorrendo os seguintes passos:

a. Considera um papagaio emque e .Designando o ponto de interseodas diagonais por , escreve umaexpresso que permita determinar area de cada um dos tringulose .

b. Completa as seguintes igualdades com medidas de comprimento desegmentos de reta:


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Observao: Embora na figura se tivesse considerado um papagaio convexo, amesma construo e concluso permanece vlida para papagaios cncavos (cf.TCG-8.1). Por outro lado, obviamente vlida para losangos, j que os losangos so casosparticulares de papagaios.

8.3

A frmula encontra-se demonstrada para qualquer trapzio em TCG-8.3, onde seoptou por decompor o trapzio num paralelogramo e num tringulo nas diferentessituaes. O processo utilizado no exemplo seguinte tambm permite verificar emtoda a generalidade a validade desta frmula.

ExemploNa figura est representado umquadriltero tal que

paralelo a .a.

Justifica que umtrapzio.b. Decompe o trapzio em dois tringulos traando a diagonal e,designando por a altura do trapzio relativa base , obtmexpresses para as reas dos tringulos e envolvendoapenas e, respetivamente, e .

c. Utilizando as expresses obtidas em b., prova que a rea do trapzio igualao produto da altura relativa a uma das bases pela semissoma das bases.

No exemplo seguinte trata-se apenas o caso dos trapzios em que as alturasrelativas a uma dada base a intersetam. Nesta situao possvel decompor otrapzio num paralelogramo e num tringulo traando um segmento que fica

contido no polgono. Nos restantes casos possvel utilizar um raciocnio anlogo(cf.TCG-8.3).

Exemplo*Considera o trapzio representado na

figura, sendo o p da perpendicular traadade para , que supomos ficar situado entreos pontose .Deduz uma expresso que permita calcular area do trapzio, em unidades quadradas,

percorrendo os seguintes passos:a. Decompe o trapzio num tringulo e num paralelogramo traando um

segmento paralelo ao lado , com b. Observando que pode ser utilizado como altura para ambos os

polgonos, escreve uma expresso para a rea do paralelogramo e outrapara a rea do tringulo.

c.** Utilizando a alnea anterior, mostra que:


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R.:

a.

c.

9.1 No exemplo seguinte apresenta-se uma deduo para o caso particular dospentgonos semelhantes mas possvel adapt-la a qualquer polgono de lados.Exemplo*Na figura esto representados dois pentgonos semelhantes e sendo a razoda semelhana que aplica o primeiro no segundo igual a .

a. Tendo em conta as medidas doscomprimentos dos lados de P1

indicadas na figura, escreve umaexpresso que permita calcular o

permetro de P1.b. Escreve uma expresso que

permita calcular o permetro de P2utilizando as medidas doscomprimentos dos lados do

primeiro pentgono e a razo desemelhana.

c. Calcula uma expresso simplificada de

d. Completa a frase O permetro do segundo pentgono igual ao permetro

do primeiro multiplicado por ..........

R.: a. O permetro do pentgono igual a .b. Como o pentgono semelhante, de razo ao pentgono , ento o

permetro do segundo pentgono dado por ,ou seja,

c. Como ento d. () igual ao permetro do primeiro multiplicado por .

b.


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9.2 ExemploNa seguinte grelha quadriculada esto identificados a vermelho quatro quadrados.

a.

Considerando como unidade de comprimento o lado da quadrcula, indica amedida do comprimento do lado de cada um dos quadrados.

b.

Justifica porque que os quatro quadrados so semelhantes e indica a razo desemelhana que transforma o quadrado assinalado com em cada um dosoutros quadrados.

c. Considerando como unidade de rea, a rea de uma quadrcula, indica a reade cada um dos quadrados assinalados com e

d.

Compara as reas de cada um dos quadrados com a rea do quadrado A ecalcula os seguintes quocientes: ; ; .

e.

Compara o valor das razes consideradas na alnea anterior com a razo desemelhana que transforma o quadrado

em cada um dos outros quadrados.

f.

Indica a razo da semelhana que transforma o quadrado no quadrado ecalcula a razo entre as respetivas reas. Como relacionas a razo entre asreas dos quadradose com a razo de semelhana que transforma oquadrado no quadrado ?

Exemplo**Considera um quadrado de lado e um quadrado de lado , sendo e nmerosracionais.

a. Justifica que os dois quadrados sosemelhantes.

b.

Indica a razo da semelhana que transforma oprimeiro quadrado no segundo.

c. Escreve uma expresso da rea do segundoquadrado utilizando a medida do lado do

primeiro, ou seja, .d. Calcula o quociente entre as reas do segundo e do primeiro quadrado.e.

Completa a frase: Dois quadrados so sempre semelhantes sendo a razo

entre as reas igual ao ..........................da razo de semelhana.

R.:a. Os dois quadrados so semelhantes pois os ngulos internos de cada um so

todos retos (logo iguais) e sempre igual a

qualquer quociente entre os

comprimentos de dois lados, sendo o primeiro do quadrado de lado e osegundo do quadrado de lado .

A B

C

D


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b. .c. , onde se utilizou que (definio da razo de

semelhana).

d. Da alnea anterior tem-se pelo que .e. Dois quadrados so sempre semelhantes sendo a razo entre as reas igual aoquadrado da razo de semelhana.

10.1 ExemploNa figura esto representados dois

pentgonos semelhantes, por umasemelhana que transforma um

ponto designado por uma dadaletra (por exemplo

) num ponto

designado pela mesma letraafetada de uma plica (por exemplo). Tendo em conta os dados da

figura e que , respondes seguintes perguntas.

a. Indica a razo de semelhana que transforma em .b. *Sabendo que o permetro do polgono igual a , determina o

permetro do polgono e a medida de e de .c.

Sabendo que a rea do polgono igual a determina a rea dopolgono

.

ExemploUm tringulo equiltero semelhante a um tringulo sendo a razo desemelhana que transforma o primeiro no segundo igual a .

a.

Supondo que o tringulo tem de permetro 30 cm, qual o permetrodo tringulo e qual a medida do comprimento de cada um dos lados?

b. Supondo que a rea do tringulo igual a qual a rea dotringulo ?

c.

Supondo que o permetro de igual a , qual a medida docomprimento de cada um dos lados do tringulo ?

ExemploNa figura esto representados dois tringulosretngulos escalenos e .

a. Justifica que os tringulos so semelhantes eidentifica os lados correspondentes por umasemelhana que transforme um no outro.

b. Supondo que , e que area do tringulo igual a ,indicaqual a rea do tringulo .


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Caderno de Apoio FSS7 Pgina 28

Funes, Sequncias e Sucesses FSS7


1.11.2

1.31.41.7

ExemploConsidera a funo

definida pelo diagrama

seguinte.Identifica o domnio, o contradomnio, o conjunto dechegada e o grfico de

ExemploDados os conjuntos e , a funo definida pelaexpresso

a. Determina o contradomnio de .b. Determina o grfico de

.

ExemploConsidera o grfico de uma funo definido por = .

a. Identifica o domnio e o contradomnio de .b.

Representa a funopor um diagrama de setas supondo que o contradomniocoincide com o conjunto de chegada.

c.

Supe que o contradomnio de no coincide com o conjunto de chegada.Representa por um diagrama de setas um possvel exemplo de .

d. Determina uma expresso algbrica que defina o valor de para qualquerno domnio de

.

1.9 Exemplo

Considera a funo de domnio { }e conjunto de chegada definidapor

a. Determina o contradomnio deb. Representa o grfico da funonum referencial cartesiano.

1.10 ExemploNa figura est representado o grfico de

uma funo g num referencial cartesiano.a. Indica o domnio de .b. Completa as igualdades: c.

Completa com um nmero porforma a obteres uma fraseverdadeira:.... o objeto cuja imagem .

d.

Indica se a seguinte frase verdadeira ou falsa:

imagem de um nico objeto.

ab

c

1

4

7

3


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2.12.2

ExemploConsidera os seguintes referenciais cartesianos, onde se representaramrespetivamente os grficos das funese .

a.

Indica o domnio de e de .b. Identifica o contradomnio de cada uma das funes.c. Completa com nmeros, por forma a obteres igualdades verdadeiras.d. Preenche a seguinte tabela e indica o contradomnio da funo .

e. Representa num referencial cartesiano o grfico da funo f. Identifica o domnio e determina o contradomnio das seguintes funes:

, e .Exemplo

A Carla, a Maria e o Gonalo resolveram registar numa folha de clculo as quantias,em euros, gastas no bar da escola e na papelaria durante uma semana.

Carla Maria Gonalo

Bar Papelaria Bar Papelaria Bar Papelaria

2. feira 1,20 0,50 0,80 0,40 1,80 0,20

3. feira 0,80 0 1,25 0,60 2,15 0

4. feira 1,65 0,60 2,15 0 1,26 0

5. feira 1,05 0 0,65 0,60 0,65 0,80

6. feira 1,30 0,70 0,50 0 0,80 0

a. Considera uma funoque a cada um dos jovens faz corresponder o total degastos desse jovem no bar da escola durante essa semana e uma funo quea cada jovem faz corresponder o total de gastos desse jovem na papelariadurante essa semana.a1. O que significa a expresso ? Indica o respetivo valor.a2. Indica o domnio e determina o contradomnio da funo .a

3. Traduz em linguagem comum a frase:

maior do que

e indica, justificando, se esta frase verdadeira ou falsa.

1 2 3 4


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b. *Considera funes que, a cada dia da semana, fazem corresponderrespetivamente o total de gastos da Maria, da Carla e do Gonalo no bar e na

papelaria da escola nesse dia da semana.b1. Indica o valor de e interpreta o valor obtido no

contexto do problema.

b2. Indica o domnio e determina o contradomnio da funo .2.42.6

Nestes descritores por vezes necessrio utilizar propriedades das operaesalgbricas referidas no descritor ALG7-1.1.

Exemplo1.

Considera as funes lineares f e g definidas em por e .Justifica que uma funo linear e indica a respetiva forma cannicarelacionando o coeficiente de com os coeficientes das funes e .2.* Considera dois nmeros racionais e e as funes lineares definidas por

e

. Justifica que

uma funo linear, identificando o

coeficiente.

Exemplo*Considera dois nmeros racionais e e as funes lineares definidas por e . Justifica que uma funo linear, identificando o respetivocoeficiente.

Exemplo**Dados dois nmeros racionais e , sejaa funo definida em por e a funo constante igual a . Prova que a funo linear e identifica orespetivo coeficiente.

R.:Temos, para cada em , .A funo linear de coeficiente pois para todo o em

.2.7 Exemplo

1. Considera as funes afinse definidas por e .Justifica que uma funo afim e indica a respetiva forma cannica,relacionando o coeficiente e o termo constante de

com os coeficientes e termos

independentes das funes e .2. * Considera as funes afinse definidas por e .

Justifica que uma funo afim e indica a respetiva forma cannica,relacionando o coeficiente e o termo independente de com os coeficientes etermos independentes das funes e .Exemplo**

Considera os nmeros racionais e e as funes afins definidas por e . Justifica que uma funo afim e indica a respetiva formacannica, relacionando o coeficiente e o termo independente de

com a

constante e o coeficiente e termo independente da funo .


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R.:

Temos, para cada em , .

A funo

afim de coeficiente

e termo independente

pois, para

todo o em , .O coeficiente da funo produto igual ao produto da constante pelo coeficiente de e o termo independente igual ao produto da constante pelo termoindependente da funo .

2.8 ExemploPara cada uma das funes, de em , definidas em cada uma das seguintes alneas,indica se se trata de uma funo afim, linear ou constante, apresentando a respetiva

forma cannica.

a.

b. c. d. e.

f.** .3.1 De acordo com ALG6-4.1, uma grandeza diz-se diretamente proporcional a outraquando dela depende de tal forma que, fixadas unidades, ao multiplicar a medida

da segunda por um dado nmero positivo, a medida da primeira fica tambmmultiplicada por esse nmero. Se

a funo que associa a cada medida

de

a

correspondente medidade , ento, se multiplicarmos por um nmero racionalpositivo cada valor de , a respetiva imagem ser igual imagem inicialmultiplicada por .

Medida de X (Objeto) Medida de Y(Imagem por)

Como imagem de por, tem-se que .Fazendo

ficamos com

, ou seja,

em que

.Ento uma funode proporcionalidade direta igual, no seu domnio, a umafuno linear de coeficiente Note-se que por esta afirmao se entende,em rigor, que a funo igual restrio de uma funo linear ao domnio de.At agora, entenderam-se as medidas de grandezas como valores positivos, nofazendo sentido falar em grandezas de medida nula ou negativa. Assim,implicitamente, fica determinado que o domnio de uma funo de proporcionalidadedireta apenas contm nmeros positivos. Caso se pretenda estender esta definio,considerando-se que se pode atribuir medida nula ou negativa a uma dada grandeza,h que adaptar em consonncia o resultado expresso no descritor 3.3.


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3.2 De acordo com ALG6-4.2, uma grandeza diretamente proporcional a outragrandezada qual depende quando, fixadas unidades, o quociente entre a medidada primeira e a medida da segunda constante, designando-se esta constante porconstante de proporcionalidade. Assim, sendo uma funo de proporcionalidadedireta e

e

as grandezas diretamente proporcionais a que est associada,

atendendo ao descritor anterior, tem-se que a medida da grandeza que corresponde medida da grandeza , pelo que a constante deproporcionalidade direta dada, para no nulo, por .

3.3 Exemplo**Prova que uma funo numrica definida para valores positivos de

proporcionalidade direta quando (e apenas quando) constante o quociente entree , para qualquer pertencente ao domnio de.R.: Provar esta afirmao consiste em provar que se verificam simultaneamente as

seguintes afirmaes:

1.: Se uma funo de proporcionalidade direta ento constante.2.: Se

constante ento uma funo de proporcionalidade direta.1.: Se uma funo de proporcionalidade direta ento existe um nmero tal que (isto ) para qualquer pertencente ao domnio de, ou

seja, constante.

2.: Se constante ento, para certo , , ou seja, para

pertencente ao domnio de

. Ora

e

podem ser considerados como

medidas de grandezas diretamente proporcionais j que , logo umafuno de proporcionalidade direta. imagem dos descritores ALG6-4.1 e ALG6-4.2, possvel utilizar o descritor 3.3como definio de funo de proporcionalidade direta no lugar do descritor 3.1. Noentanto, a definio apresentada em 3.1 a que justifica a designao dada a estetipo de funes, j que traduz na linguagem das funes a propriedade utilizada nadefinio original de grandezas diretamente proporcionais; no descritor 3.3 indica-seuma propriedade equivalente, e que pode, portanto, ser livremente utilizada parareconhecer que determinada funo de proporcionalidade direta.

4.1 Exemplo (3.1)Considera duas grandezas e diretamente proporcionais. Sabe-se que a umamedida igual a 1,2 de X corresponde a medida 6 de Y.Determina uma expresso algbrica para , funo de proporcionalidade diretaassociada.

Exemplo (3.1, 3.2 e 3.3)Numa promoo associada ao 25. aniversrio, uma loja efetua descontos de 25%sobre o preo de venda.

a. Determina uma expresso algbrica para uma funo que transforme o preode venda

no respetivo preo com desconto

.

b.

Justifica que uma funo de proporcionalidade direta e identifica arespetiva constante de proporcionalidade direta.


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Exemplo* (3.1, 3.2 e 3.3)Numa empresa os salrios vo sofrer um acrscimo percentual de 1,5%.

a.

Determina uma expresso algbrica da funoque faz corresponder a cadavalor do salrio anterior, o valor atualizado.

b. Justifica que

uma funo de proporcionalidade direta e indica a constante

de proporcionalidade.

Exemplo (3.1, 3.2 e 3.3)Num hipermercado foi anunciada uma nova promoo a todos os detergentes. Osdetergentes sero objeto de um desconto de tal forma que a quantia a pagar por cadaembalagem marcada originalmente com o preo , em euros, dada tambm emeuros pela expresso

a. Se cada embalagem de um dado detergente estiver marcada com o preo dee lhe for aplicado o desconto, qual o preo a pagar?b. Podes afirmar que o preo a pagar (euros) e o preo de venda marcado

(

euros) so grandezas diretamente proporcionais? Justifica.

c.

Qual a percentagem de desconto aplicada a cada embalagem de detergente?d. Podes afirmar que o desconto e o preo de venda marcado so grandezasdiretamente proporcionais? Justifica.

ExemploUma marca de iogurtes tem nas embalagens a frase pague 6 leve 8.

a.

Qual a percentagem de desconto que esto a aplicar a este produto?b. Escreve uma expresso algbrica que defina a funo que ao valor atual do

produto faz corresponder o valor que o cliente ter de pagar quando nohouver esta promoo.

ExemploNo parque de uma cidade existe um quiosque que aluga bicicletas e que tem aseguinte informao:

Preo a pagar pelo aluguer: 2 euros (taxa fixa) mais 50 cntimos por hora.a. Quanto terias de pagar se o aluguer durasse 3 horas? E 4 horas?b. O preo a pagar no diretamente proporcional ao tempo do aluguer.

Porqu?c.

D exemplo de um tarifrio em que o preo fosse diretamente proporcional aotempo do aluguer e indica a expresso na forma cannica da funo que fazcorresponder a cada valor do tempo do aluguer o preo a pagar.

6.1 Exemplo (5.1)O termo geral de uma sequncia dado pela expresso .

a. Determina os trs primeiros termos da sequncia.

b.

Sabendo que o ltimo termo da sequncia , quantos termos tem a

sequncia?

Exemplo (5.1)Considera a seguinte sequncia de pontuaes obtidas pela Joana nas primeiras seisvezes em que jogou um determinado jogo: 65, 35, 25, 20, 17, 15.

a.

Verifica se alguma das expresses seguintes permite gerar esta sequncia de

nmeros:(A) (B) (C) (D)


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b. Admitindo que a sequncia foi gerada por uma das expresses indicadas naalnea anterior e se a Joana continuasse a jogar e as pontuaes continuassema seguir este mesmo modelo, que pontuao iria obter na 10. jogada?

Exemplo(5.2)

O primeiro elemento de uma sucesso de figuras um tringulo equiltero totalmentesombreado, com rea igual a 4 unidades.Constri-se uma figura a partir da anterior marcando os pontos mdios dos lados dotringulo a sombreado e mantendo o sombreado apenas no tringulo com estesvrtices.Considera a sucesso (An) das reas das partes sombreadas dessas figuras.

a.

Indica os quatro primeiros termos desta sucesso.b.

Determina o sexto termo desta sucesso.


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Caderno de Apoio ALG7 Pgina 35

lgebra ALG7


1.1

As propriedades da multiplicao e da adio, no contexto dos nmeros racionais

positivos, foram abordadas no 2. ciclo. Algumas extenses destas propriedades aocorpo dos nmeros racionais foram j estudadas, ainda que por vezes de formaincompleta, neste ou em anos anteriores. Pretende-se aqui apresentar estesresultados de forma mais sistemtica.

A propriedade comutativa da adio pode ser reconhecida fazendo uso da definiogeomtrica da soma de dois nmeros racionais, estudada no 6. ano.

Exemplo*a. Assinala na reta numrica dois nmeros racionais positivos e . Constrigeometricamente as somas e . O que podes concluir?b. Repete este procedimento com dois nmeros negativos e dois nmeros de sinal

contrrio.

A propriedade comutativa da multiplicao uma consequncia imediata dosdescritores NO7-1.4 (a definio foi dada por forma a que a operao sejacomutativa, no caso de nmeros de sinais contrrios) e do descritor NO7-1.6(relativo ao produto de dois nmeros negativos).

Relativamente distributividade:

A multiplicao de um nmero natural por um nmero natural corresponde,por definio, soma de

parcelas iguais a

:

Desta forma, no caso do produto por um nmero natural, a distributividaderesume-se simplesmente s propriedades associativa e comutativa da operao deadio e definio da multiplicao: dados dois nmeros naturais e e umnmero natural ,

Da mesma forma, se ,vezes vezes vezes

vezes

vezes vezes vezes


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( )

o que pode ser facilmente verificado , observando que

e utilizando em seguida a definio da subtrao:

Dados agora trs nmeros racionais , e , e considerando que j se obteve umarepresentao de epor fraes com o mesmo denominador ( e , onde , e so nmeros inteiros no negativos e e nmeros naturais),tem-se:

e, de modo anlogo, se (e portanto ,

Fica assim concluda a verificao da distributividade da multiplicao em relao adio e subtrao no quadro dos nmeros racionais no negativos.

Para estender esta propriedade a quaisquer nmeros racionais, devemos distinguirvrios casos, que correspondem a afetar de sinal menos um ou mais dos nmeros ,ou acima considerados.Considerando por exemplo , com , podemos escrever :

Onde utilizmos os descritores NO7-1.1 e NO7-1.5 e a associatividade damultiplicao.

Agora, por definio do produto de dois nmeros racionais negativos (NO7-1.6) e doproduto de um nmero positivo por um nmero negativo (NO7-1.4), utilizando apropriedade distributiva no quadro dos nmeros racionais positivos:

concluindo-se assim que como sepretendia.

Os restantes casos podem ser justificados de forma anloga.


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1.3 Os descritores NO7-1.7 e NO7-1.9 reduzem as operaes de produto e quociente dedois quaisquer nmeros racionais ao produto e quociente de nmeros racionaispositivos (os respetivos valores absolutos) e utilizao de uma regra de sinais.Desta forma, as propriedades referidas neste descritor resultam de forma imediatadas correspondentes propriedades tratadas nos domnios ALG5, relativas a nmeros

racionais positivos.

1.5

Exemploa. Calcula e .O que podes conjeturar quanto ao valor de e de ?b.* Para obteres o valor de para qualquer nmero natural , resolve as duasseguintes alneas:

b1. Considera que o nmero natural par (isto , que mltiplo de : ) e utiliza as propriedades das potncias para verificares que

.

b2. Estuda agora o caso em que mpar.c. Dado um nmero natural , calcula comeando por observar que e utilizando as propriedades das potncias.R.:a.

Posso conjeturar que quando o expoente par, o resultado e quando oexpoente mpar, o resultado , logo que e que b1.Tem-se Quando par, o resultado , conforme conjeturado.b2.O nmero natural mpar quando igual a um nmero par mais : .Quando

impar, o resultado

, conforme conjeturado.

c. Se par, Se impar,

1.6 As propriedades referidas neste descritor so uma consequncia simples dodescritor anterior.

ExemploDetermina, justificando, os sinais dos seguintes nmeros:


39/222


R.:

o produto de fatores iguais a . Como o produto de nmerospositivos positivo, positivo;

Como 8 par,

Como 7 impar, .2.1 Neste descritor pretende-se que os alunos reconheam uma importante

propriedade de monotonia, em casos concretos e com recurso a uma construogeomtrica.

Exemplo

a. Assinala na reta numrica os pontose de abcissas e respetivamente. Qualdestes dois nmeros maior?

b. Constri um quadrado que tenha por lado o segmento Constri um segundoquadrado que tenha por lado o segmento

prolongando tambm o outro lado

de extremo do primeiro quadrado.c. Qual dos dois quadrados tem maior rea? Deduz, sem efetuar clculos, que

.R.:

a.

.b.


40/222


c. O quadrado de lado tem maior rea do que quadrado de lado umavez que o contm no sentido estrito. Como estes quadrados tm respetivamente

uma rea de e unidades quadradas, .2.3 Os alunos podero por exemplo construir a seguinte tabela:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 8 27 64 125 216 343 512 729Ainda que no se utilize aqui o formalismo das funes, uma tabela com estascaractersticas poder permitir ao aluno visualizar de forma eficaz a relao entrequadrados, cubos, razes quadradas e razes cbicas, reconhecendo (nos racionaispositivos) estas duas ltimas operaes como inversas das duas primeiras. Umaoutra aplicao destas tabelas ser explorada mais frente, nos descritores 2.9,2.10 e 2.11.

2.4 Neste descritor introduz-se a raiz quadrada do quociente (no nulo) de doisquadrados perfeitos como o nico nmero racional positivo cujo quadrado igual aesse mesmo quociente. Esta definio obriga a reconhecer a unicidade de um talnmero. De salientar que a propriedade de monotonia referida no descritor 2.1 temaqui um papel essencial. Pode naturalmente comear por estudar-se o caso dosquadrados perfeitos antes de se considerar, de forma mais geral, quocientes dequadrados perfeitos.

Exemplo

a. Calcula b.* Quantos nmeros racionais positivos existem com o mesmo quadrado do que ?c.* Que relao existe entre o quadrado de um nmero racional positivo e oquadrado do seu simtrico ?d.** Quantos nmeros racionais negativos existem com quadrado igual a

?R.:

a. b. Os racionais positivos inferiores a tm quadrados inferiores a e os racionaispositivos superiores a tm quadrados superiores a .Desta forma,

o nico nmero racional positivo cujo quadrado igual a .c. Tem-se porque o expoente um nmero par (cf.ALG7-1.5).Destaforma, um nmero e o seu simtrico tm o mesmo quadrado.

d. Se o quadrado de um nmero negativo for igual ao quadrado do seu

simtrico, que um nmero positivo, tambm igual a. Como sabemos que

o nico nmero positivo nessas condies, o nico nmero negativo cujo quadrado

igual a .


41/222


2.6 A prova pedida a seguinte:

Dados dois nmeros racionais e , onde e so nmerosnaturais ( , tem-se

e, se

.

Assim, e so igualmente quocientes de quadrados perfeitos.Observao:Note-se que esta etapa estritamente necessria antes de se poder

considerar as expresses . De facto, no tendo ainda sido introduzidosos nmeros reais (o que acontece no 8. ano), a raiz quadrada apenas foi definidapara nmeros racionais quocientes de quadrados perfeitos (descritor 2.4). Estesclculos podem ser substancialmente simplificados se se limitar este estudo ao casodos quadrados perfeitos (

e

).

Por outro lado,

= .Como um nmero positivo (ou nulo), por definio igual raizquadrada de : = .Da mesma forma, positivo e , pelo que, por definio deraiz quadrada, .

2.7 O reconhecimento de que existe apenas um nmero racional cujo cubo igual a umdado quociente de cubos perfeitos pode ser efetuado de forma anloga ao casotratado no descritor 2.4:

Exemplo

a. Calcula b.* Quantos nmeros racionais positivos existem com o mesmo cubo do que ?c. Quantos nmeros racionais negativos existem cujo cubo igual a

?R.:

a. .b. Os racionais positivos inferiores a

tm cubos inferiores a e os racionaispositivos superiores a

tm cubos superiores a

.

Conclui-se que o nico nmero racional positivo cujo cubo igual a .


42/222


c. O cubo de um nmero negativo negativo, pelo que no existe nenhum nmero

negativo cujo cubo seja igual a.

Consequentemente, o nico nmero racional que elevado ao cubo igual a .

O caso dos simtricos de quocientes de cubos perfeitos pode ser tratado de formasemelhante.

2.8 Dados dois nmeros racionais e quocientes (ou simtricos de quocientes) dedois cubos perfeitos, pode ser verificado, de forma anloga ao que foi sugerido a

propsito do descritor 2.4, que tambm o so e (se ).Observando que e que , resulta da definio de raiz cbica que e

que .Finalmente, como (cf.ALG7-1.5), .

2.9

Exemplo

Exprime na forma de dzima .R.:Por consulta de uma tabela, por exemplo daquela que foi construda a propsito do

descritor 2.3, e .Desta forma,

2.10 Deslocar a vrgula decimal duas (respetivamente trs) casas para a direitacorresponde a multiplicar por (respetivamente por Se seobtiver desta forma um quadrado (respetivamente um cubo) perfeito, o nmeroinicial igual ao quociente de dois quadrados (respetivamente cubos). Facilmente

se calcula ento a raiz quadrada (respetivamente cbica) do nmero inicial.

Exemplo

Exprime na forma de dzima R.:

pelo que

2.11 Exemplo

Exprime na forma de dzima .


43/222


R.:

de onde se conclui que

3.1 O conceito de equao aqui apresentado recorrendo ao formalismo das funes.De um ponto de vista metodolgico, podero ser efetuadas outras abordagens,sendo no entanto necessrio que o aluno venha a interpretar uma equao comouma igualdade entre duas expresses, cada uma delas definindo uma funo numcerto domnio e para um certo conjunto de chegada.

Note-se que uma mesma expresso pode definir funes diferentes e (se seconsiderarem domnios ou conjuntos de chegada diferentes). Nesse caso, tambmsero distintas as equaes e , onde uma funodada, podendo mesmo ter conjuntos-soluo diferentes no caso em que os

domnios deeno coincidem.Por exemplo, a equao tem, respetivamente, os conjuntos-soluo {}ou oconjunto vazio , consoante se consideram os domnios ou ; j no caso de seconsiderarem os domnios e (o conjunto formado pelos nmeros racionaispositivos), os conjuntos-soluo so ambos iguais a {}.Dada uma equao , indica-se frequentemente um domnio comum para as duas funes utilizando a expresso a equao em .

3.3 importante, neste descritor, relacionar a noo de equivalncia com a noo deimplicao. Pela definio dada, duas equaes so equivalentes quando tm omesmo conjunto-soluo. Assim, para se poder afirmar que duas equaes soequivalentes, necessrio verificar que toda a soluo da primeira soluo dasegunda e vice-versa. Cada uma destas condies traduz uma implicao. Se apenasfor verdadeira, por exemplo, a primeira (ser soluo da primeira implica ser soluoda segunda), as equaes no so equivalentes.

Para se ilustrar estas situaes podero ser consideradas, por exemplo,as equaes e em .Por um lado, se , verdade que Podemos pois afirmar que sersoluo da primeira equao implica ser soluo da segunda:

.No entanto, como , soluo da segunda equao mas no daprimeira: a implicao inversa da apresentada falsa e portanto as equaes noso equivalentes.

Por outro lado, correto afirmar que, em , uma vez que soverdadeiras ambas as implicaes

e

.


44/222


3.4 Pretende-se provar, dada uma equao numrica e um nmeroracional , que .Temos portanto de provar duas implicaes.

Por um lado, evidente que:

.De facto, se for soluo da equao , os nmerose soiguais, pelo que tambm o so os nmeros e . O elemento portanto tambm soluo da equao .Por outro lado, se for soluo da equao , tem-se

. Ora:

.Portanto,

.Acabmos de verificar que:

.Fica assim provada a equivalncia pretendida. Observando que subtrair omesmo do que adicionar , obtm-se tambm a equivalncia .Relativamente ao produto de ambos os membros de uma equao numrica por umnmero racional , teremos de forma anloga que:

.Se

, a implicao inversa tambm verdadeira: se

for soluo da equao

, temos e: .de onde se conclui que:

.Fica assim provada, para , a equivalncia

.


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A equivalncia (para )

resulta facilmente desta ltima propriedade, bastando notar que dividir por

o

mesmo do que multiplicar pelo seu inverso.

Finalmente observemos que, em geral, a multiplicao por zero de uma dadaequao no conduz a uma equao equivalente (apenas uma das implicaes, talcomo foi explicado, sempre verdadeira).

Por exemplo, o conjunto-soluo da equao , em , o conjunto ; j oconjunto-soluo da equao , nesse mesmo domnio, todo oconjunto .

3.7 Existem vrias redaes possveis para as provas pedidas. Utilizando por exemplo oformalismo das funes, podemos argumentar da seguinte forma:

Se e A funo definida nos racionais pela expresso a funoconstante de valor ( , no tomando portanto, para nenhumnmero racional, o mesmo valor do que a funo constante de valor .Logo, a equao no tem solues.

Se

e

A funo definida nos racionais pela expresso a funoconstante de valor ( , tomando assim, para qualquer nmeroracional, o mesmo valor da funo constante igual a . Logo, todo o nmeroracional soluo da equao .

Se Dividindo-se ambos os membros da equao pelo nmero racionalno nulo obtm-se a equao equivalente . Desta forma, a nicasoluo da equao

.


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Caderno de Apoio OTD7 Pgina 45

Organizao e Tratamento de Dados OTD7


1.2 ExemploDetermina a mediana do seguinte conjunto de dados:3, 4, 3, 2, 3, 5, 3, 4, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 3.

R.:Dados ordenados: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5.

A mediana 3.

1.3 ExemploDetermina a mediana do seguinte conjunto de dados:

10, 20, 10, 10, 15, 10, 20, 20, 10, 10, 10, 20, 10, 10, 10, 15.

R.:Dados ordenados: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 20, 20, 20, 20.

A mediana .

ExemploDetermina a mediana do seguinte conjunto de dados:

2, 8, 7, 15, 7, 8, 1, 2, 2, 2, 7, 2.

R.:Dados ordenados: 1, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 7, 7, 8, 8, 15.

A mediana .

1.4 Exemplo**Na turma da Marta fizeram um estudo acerca do nmero de idas ao cinema dosalunos durante o primeiro perodo e concluram que a mediana era 4. Sabe-se que aturma tem 27 alunos, que a Marta foi ao cinema s uma vez e a colega Ana foi 8

vezes.

a. Qual o nmero mnimo e mximo de alunos que foi ao cinema:a1. Mais do que 4 vezes?a2. Menos do que 4 vezes?

b.

Sabendo que a mdia do conjunto de dados 3, apresenta, justificando, umpossvel conjunto de dados correspondente a este estudo.


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Caderno de Apoio OTD7 Pgina 46

2.1 ExemploObserva atentamente o grfico de barras relativo s faltas dos alunos do 7. ano,turma A, durante o ms de setembro. Determina a mediana do conjunto de dados e onmero mdio de faltas.

R.:Dados ordenados:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 12.

Mediana: .

A mediana 0,5 faltas.

Mdia: .

O nmero mdio de 1,5 faltas.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nmerodealunos

Nmero de faltas

Faltas no ms de setembro (7. A)

valores centrais


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8. ANO

Nmeros e Operaes NO8


1.1 No primeiro objetivo geral deste domnio analisa-se a representao em forma dedzima finita ou infinita peridica dos nmeros racionais. O algoritmo da divisoconstitui um instrumento extremamente pertinente na definio e justificao daspropriedades deste tipo de representao, pelo que amplamente utilizado nosdescritores que seguem. importante que os alunos adquiram destreza naconverso de fraes em dzima e vice-versa, enriquecendo assim a compreensoconceptual do conjunto dos nmeros racionais.

O segundo objetivo geral consagrado apresentao dos nmeros irracionais.No partida intuitivo que existam pontos da reta numrica que no sorepresentados por uma frao, tendo este assunto j sido aflorado no 7. ano

(ALG7-7) no contexto dos segmentos de reta incomensurveis. Dever ficar claroque o facto de no se poderem medir todas as distncias com nmerosracionais, fixada uma unidade de comprimento, que motiva a introduo destenovo conjunto de nmeros.

Neste descritor retoma-se de forma mais sistemtica a representao sob a formade dzima dos nmeros racionais que podem ser expressos como fraes decimais,assunto que j foi abordado no 1. ciclo para alguns casos particulares (cf.NO4-6.3e NO4-6.4 e respetivos textos de apoio); tambm uma boa oportunidade pararecordar a estrutura do algoritmo da diviso inteira tal como foi analisada nostextos de apoio relativos aos descritores NO4- 2.1 a NO4-2.4 e aplicada obteno

de uma representao em dzima dos referidos nmeros racionais no descritorNO4-6.4.

Exemplo

Considera os nmeros racionais , , e .

a.

Obtm a respetiva representao em dzima comeando por transformar cada

uma das fraes em fraes decimais que lhes sejam equivalentes.

b. Obtm novamente as representaes em dzima das fraes dadas recorrendodesta vez ao algoritmo da diviso.

R.:a. ;

; ;

Comeando por decompor em fatores primos vem .


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b.1 3, 0 0 4

1 0 3, 2 52 0

0

3, 0 0

0 1 2 5

0 5 0 0 0, 0 2 40 0 0

8 7, 0 0 0 4 0

0 7 0 2, 1 7 55 0 0

2 0 0

0 0

1 2 1, 0 0 0 4 0

0 1 0 0 3, 0 2 52 0 0

0 0

Exemplo

Explica, de duas formas distintas, por que razo o nmero no possuirepresentao em dzima finita:a. Utilizando o algoritmo da diviso.b.** Mostrando que no pode ser dado por uma frao decimal.

R.:a. Utilizando o algoritmo da diviso inteira, por forma a obter aproximaes na

forma de dzima de:

1 1, 0 0 3 0

2 0 0 0, 3 6

2 0

O resto parcial j foi obtido anteriormente, pelo que o procedimento serepetir indefinidamente, enquanto continuarmos o algoritmo:

1 1, 0 0 0 0 0 3 0

2 0 0 0, 3 6 6 6 6 2 0 0

2 0 0

2 0 0

2 0


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b. Se a frao fosse equivalente a uma frao decimal, ter-se-ia uma

igualdade da forma , onde e so nmeros naturais, de onde resultaria

que

, ou seja,

Observando a igualdade anterior verifica-se que a decomposio em fatoresprimos de igual a uma decomposio que inclui o nmero , o que absurdo pois a decomposio em fatores primos de um nmero nica.

Observao: Este raciocnio aplica-se de forma mais geral a qualquer fraoirredutvel cujo denominador apresente um divisor primo distinto de e de .Assim se pode reconhecer que essas fraes no admitem representao emdzima finita.

1.21.31.41.11

Informao Complementar para o professorUma dzima finita (no negativa e de comprimento ) uma expresso da forma

onde a representao decimal de um nmero natural ou nulo e, para , um algarismo. Uma dzima finita representa um nmeroracional, de acordo com a identidade

Neste ano letivo introduz-se a noo de dzima infinita, uma expresso do tipo

formada pela representao decimal de um nmero natural ou nulo e onde, aps avrgula, est representada uma sucesso (isto , uma sequncia infinita) de algarismos , podendo ainda ser afetada de um sinal . NestaInformao Complementar consideraremos apenas dzimas positivas.

Definir em que medida uma dzima infinita representa um nmero um processo delicado.Uma primeira ideia consistiria em considerar que representa uma somainfinita da forma

Contudo, adicionar uma infinidade de nmeros corresponde matematicamente ao

conceito de srie, fora do mbito do programa do Ensino Bsico e do Secundrio. Trata-se, de facto, de uma noo difcil de definir e de manipular a este nvel. Diga-se, a estepropsito, que se no forem feitas certas hipteses sobre os termos a adicionar, umasoma infinita pode at no gozar das propriedades mais elementares da adio, como a

comutatividade ou a associatividade! Embora no seja o caso das sries associadas sdzimas infinitas, este facto d ideia das dificuldades inerentes a esse novo conceito. Estaabordagem no pode, portanto, ser seguida.

Antes de definirmos de que forma se pode, de forma mais elementar, associar de factouma dzima infinita a um nmero, recordemos alguns resultados j conhecidos desde o 1.ciclo, envolvendo a aproximao de nmeros racionais por dzimas, e que permitemmotivar essa definio.

Utilizando o algoritmo da diviso para aproximar um nmero racional (cf.1.1 e NO4-6.1 aNO4-6.5), as sucessivas aproximaes podem nunca conduzir a um resultado exato.


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Determina-se ento por esse processo uma sucesso em que cada termo uma dzimafinita obtida da anterior acrescentando-lhe um algarismo parte decimal. Ou seja, nessecaso, as aproximaes constituem uma sucesso crescente (em sentido lato) da forma

A aproximao de comprimento difere (por defeito) do nmero que se pretendeaproximar menos que

, como veremos adiante .Com esta motivao, diremos que a dzima infinita est associada a umdado nmero se, para qualquer , nmero inteiro no negativo, truncando a dzimaaps a ordem

(isto , eliminando todos os algarismos da dzima infinita que se

encontram aps ), a dzima finita assim obtida aproxima com um erro no superior a:

Ilustremos esta definio: a dzima infinita representa o nmero racional porque se tem

; ; ; ;etc.,podendo escrever-se desigualdades anlogas independentemente da ordem da truncaturaefetuada dzima infinita . bvio que este critrio fica cumprido com uma dzima finita e o nmero que representa,se acrescentarmos uma sucesso constantemente igual a zero a essa dzima por forma atransform-la numa dzima infinita.

tambm fcil verificar que se uma dada dzima infinita est associadatanto a como a , ento, forosamente , ou seja, se uma dzima est associada aum nmero esse nmero fica determinado de maneira nica, o que permite utilizar aprpria dzima, sem qualquer ambiguidade, como uma nova forma de representao dessenmero. Diremos ento, naturalmente, que a dzima representa o nmero, podendoescrever-se .Para efetuar essa verificao basta notar que, das desigualdades

resulta, supondo que (se necessrio trocando as designaes dos nmeros):

Ento, se fosse , teramos para todo o , , o que absurdo, j que seteria ento um majorante para o conjunto dos nmeros naturais .


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Mostremos ento como o algoritmo da diviso, enquanto processo de obter aproximaes

de um nmero representado por uma frao, permite justamente construir uma dzima

que representa esse nmero. Para o efeito basta generalizar o argumento utilizado naInformao Complementar para o professor relativa a NO4-6.5, nesse caso apenas parauma aproximao at s centsimas. Para obter uma aproximao como dzima finita, com

erro inferior a , de um nmero racional representado por uma frao , sendo e respetivamente o quociente e o resto da diviso inteira de por , comecemos pornotar que:

Como a frao sempre prpria (o resto inferior ao divisor), a diferena entre e a

aproximao obtida , dada por , um nmero no negativo inferior a .Ora os algarismos da representao decimal de podem ser obtidos utilizando oalgoritmo da diviso inteira de

por

, conduzindo a uma dzima finita da forma

, aps o posicionamento da vrgula que resulta da diviso por . Como arbitrrio, este processo conduz a uma sucesso de dzimas finitas, tendo a de ordem exatamente algarismos aps a vrgula (parte decimal); alm disso cada uma delasobtm-se por aplicao do algoritmo da diviso a um dividendo que difere do utilizado naordem anterior apenas pelo acrescento de um zero direita e mantendo o divisor. Sendoassim, a dzima na ordem difere da anterior apenas pelo acrescento do algarismo dessaordem aps a vrgula, pelo que a sucesso de dzimas assim definida determina uma dzima( ) finita ou infinita consoante o resto da diviso ou no igual a zero emalgum dos passos, verificando-se portanto para cada

.Tomando agora um nmero

representado na forma de uma dzima infinita,

os alunos podero, em casos concretos (ver os Exemplos relativos aodescritor 1.5) efetuar as seguintes trs manipulaes algbricas, sem que se pea que asjustifiquem:

1. Multiplicao e diviso por uma potncia de Fixado um nmero natural e multiplicando, para cada , todos os membros dacadeia de desigualdades por obtemos a cadeiaequivalente de desigualdades (usando NO4-6.1):

A dzima finita tem comprimento , pelo que asdesigualdades acima, verificadas para todos os valores de no inferiores a , significamque o nmero representado pela dzima infinita Assim, multiplicao por corresponde um deslocamento de casas para a direita davrgula decimal:

Ou seja, se um nmero racional representado por uma dzima ento adzima representa o nmero racional . A recprocatambm vale, j que acima foi estabelecida uma equivalncia entre as cadeias de

desigualdades; ou seja, diviso por corresponde um deslocamento de casas para aesquerda da vrgula decimal.


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2. Separao de uma dzima infinita na soma de uma dzima finita com uma dzimainfinita

Observando que podemos concluir que se o nmero representado pela dzima infinita ento o nmero

representado pela dzima infinita

Ou seja, e portanto, como ,Raciocnio anlogo permite observar que se pode partir uma dzima infinita em qualquer

ordem: ou seja, se uma das dzimas ou representar umnmero racional ento a outra tambm representa e vale a igualdade acima.

3. Subtrao de dzimas

Como corolrio da propriedade anterior, podemos concluir que partes decimais iguais apartir de certa ordem se anulam por subtrao, obtendo-se assim uma dzima finita.

Dados dois nmeros representados por dzimas infinitas iguais a partir de uma ordem e ,

relativamente fcil observar que o algoritmo da diviso apenas produz dzimas finitas ou

dzimas infinitas peridicas. Com efeito, sabemos que, aps cada diviso, o resto obtido sempre inferior ao divisor. Assim, durante o clculo da parte decimal do quociente e caso oalgoritmo no termine (o algoritmo termina quando se obtm um resto nulo) ocorreobrigatoriamente a repetio de um resto parcial, ao fim de um nmero de iteraes nomximo igual ao valor do divisor: a dzima obtida peridica e o perodo tem um nmerode algarismos inferior ao divisor.

Inversamente, dada uma dzima infinita peridica, as manipulaes algbricas efetuadas apropsito do descritor 1.5 (cf.Texto de Apoio, adiante), e que utilizam as trs propriedadesalgbricas acima enunciadas, permitem obter sob a forma de frao um nmero racionalque se verifica ser representado por essa dzima. Ou seja, qualquer dzima infinitaperidica representa um nmero racional.

Desta forma, nesta fase, apenas podemos garantir que as dzimas finitas ou infinitasperidicas representam de facto nmeros conhecidos (os nmeros racionais) e que,inversamente, qualquer nmero racional pode ser representado por uma dzima finita ouinfinita peridica.

Alm disso, veremos em seguida que duas dzimas representando o mesmo nmeroracional (com uma exceo que no afeta a concluso seguinte) tm de ser constitudaspor uma mesma parte inteira e iguais sucesses de algarismos aps a vrgula (i

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CadernoApoio 3 Ciclo Final