Cadernos de Engenharia de Estruturas v.11 n. 49 2009

São Carlos, v.11 n. 49 2009

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA

Vice-Reitor:

Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Diretor: Profa. Dra. MARIA DO CARMO CALIJURI

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Prof. Dr. ARTHUR JOSÉ VIEIRA PORTO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

Chefe do Departamento: Prof. Dr. CARLITO CALIL JUNIOR

Suplente do Chefe do Departamento:

Prof. Dr. SERGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA

Coordenador de Pós-Graduação: Prof. Dr. MARCIO ANTONIO RAMALHO

Editor Responsável:

Prof. Dr. MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA

Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: MARIA NADIR MINATEL e-mail: [email protected]

Editoração e Diagramação:

FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO MARIA NADIR MINATEL

MASAKI KAWABATA NETO MELINA BENATTI OSTINI

RODRIGO RIBEIRO PACCOLA TATIANE MALVESTIO SILVA

São Carlos, v.11 n. 49 2009

Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos – USP Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro

CEP: 13566-590 – São Carlos – SP Fone: (16) 3373-9481 Fax: (16) 3373-9482

site: http://www.set.eesc.usp.br

SSUUMMÁÁRRIIOO Formulação do Método dos Elementos de Contorno para placas considerando-se não-linearidades física e geométrica Leandro Waidemam & Wilson Sergio Venturini 1 Análise numérica de perfis de aço formados a frio comprimidos considerando imperfeições geométricas iniciais Saulo José de Castro Almeida & Jorge Munaiar Neto 17 Análise das pressões em silos esbeltos com descarga excêntrica Fernanda Scaramal Madrona & Carlito Calil Junior 37 Estruturas mistas de MLC-concreto: dimensionamento das vigas com almas reforçadas com fibras de vidro José Luiz Miotto & Antonio Alves Dias 57 Reforço e incremento da rigidez à flexão de ligações viga-pilar de estruturas de concreto pré-moldado com polímero reforçado com fibra de carbono (PRFC) Tatiana de Cássia Coutinho Silva da Fonseca & João Bento de Hanai 77 Concreto de alto desempenho aplicado a sistemas de processamento e armazenagem de alimentos em baixas temperaturas Sandra Maria de Lima & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 91 Almofada de apoio de compósito de cimento para ligações em concreto pré-moldado Gustavo Henrique Siqueira & Mounir Khalil El Debs 109 Concreto de alto desempenho aplicado a sistemas de processamento e armazenagem de alimentos em baixas temperaturas Charlton Okama de Souza & Sergio Persival Baroncini Proença 125 Aprimoramento de formulação de identificação e solução do impacto bidimensional entre estrutura e anteparo rígido Robenson Luiz Minski, João Batista de Paiva & Humberto Breves Coda 159 Aprimoramento de formulação do MEF para barra geral laminada tridimensional pela consideração da cinemática de empenamento para seção qualquer Ana Paula Ferreira Ramos; Humberto Breves Coda & Rodrigo Ribeiro Paccola 179

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 49, p. 1-15, 2009

FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PLACAS CONSIDERANDO-SE NÃO-LINEARIDADES FÍSICA E GEOMÉTRICA

Leandro Waidemam1 & Wilson Sergio Venturini2

R e s u m o Neste trabalho uma formulação do MEC para a análise de placas considerando-se as não-linearidades física e geométrica é apresentada. As equações integrais utilizadas são as baseadas na teoria de Kirchhoff com a incorporação de termos referentes à teoria de von Kármán. A não-linearidade física é introduzida a partir de um campo de tensões iniciais, sendo o critério elastoplástico de von Mises com encruamento isótropo linear utilizado para avaliar as regiões plastificadas. A discretização estrutural é feita com elementos de contorno isoparamétricos lineares e células triangulares com funções de aproximação lineares para aproximação das variáveis de domínio. A solução do sistema não-linear de equações é obtida utilizando-se um procedimento implícito, sendo o operador tangente consistente explicitado ao longo do trabalho. Ao final do trabalho são apresentados exemplos numéricos para atestar a validade da formulação proposta. Palavras-chave: MEC. Não-linearidades física e geométrica. Flexão de placas.

BEM FORMULATION FOR PLATES WITH MATERIAL AND GEOMETRICAL

NONLINEARITIES

A b s t r a c t In this paper a BEM formulation for bending plates with combined material and geometrical nonlinearity is presented. The von Mises criterion with linear isotropic hardening and the von Kármán hypothesis are considered to evaluate the plastic zone and the large deflections, respectively An initial stress field is applied to correct the true stress field according to the adopted criterion. Isoparametric linear elements are used to approximate the boundary unknown values while triangular internal cells with linear shape function are adopted to evaluate the domain value influences. The nonlinear system of equations is solved by using an implicit scheme together with the consistent tangent operator derived along the paper. Numerical examples are presented to demonstrate the accuracy and the validity of the proposed formulation. Keywords: BEM. Geometrical and material nonlinearities. Bending plates.

1 INTRODUÇÃO

O Método dos Elementos de Contorno (MEC) aplicado ao problema de flexão placas tem sido utilizado com sucesso já há algum tempo. Os primeiros trabalhos encontrados na literatura que apresentam uma formulação do MEC para flexão de placas são devidos a Jaswon et al (1967) e a Jaswon & Maiti (1968). A partir de então diversos outros trabalhos foram, ao longo do tempo, ampliando o uso do MEC em problemas de placas. No que diz respeito a modelagens considerando os efeitos de grandes deslocamentos e análise de instabilidade de placas, a maioria dos trabalhos que aparecem na literatura apresentam formulações derivadas da equação diferencial de Berger (1955), que é um modelo simplificado ao

1 Professor da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Leandro Waidemam & Wilson Sergio Venturini


2

tratamento apresentado por von Kármán. O problema foi inicialmente tratado por Kamiya & Sawaki (1982) e mais recentemente pode-se destacar os trabalhos de Purbolaksono & Aliabadi (2005) e Wen et al (2005), entre outros. Já em se tratando do problema não-linear físico em placas, em particular a inclusão de modelos elasto-plásticos na formulação do MEC, poucos trabalhos são encontrados na literatura. Moshaiov & Vorus (1986) iniciaram o estudo do problema ainda utilizando uma formulação bastante simples; alguns outros trabalhos podem ser destacados dentro do mesmo tema (Chueiri & Venturini, 1995; Telles & Karan, 1998; Fernandes & Venturini, 2002). Mais recentemente apenas dois trabalhos tratando de problemas elastoplásticos de placas combinado com a não-linearidade geométrica aparecem na literatura (Supriyono & Aliabadi 2006 e 2007).

2 EQUACIONAMENTO BÁSICO

Considere-se uma placa isotrópica qualquer de domínio finito Ω e contorno Γ submetida a um carregamento g perpendicular ao plano médio e distribuído em uma área de domínio Ωg ilustrada

na figura 1.

Figura 1 – Placa de domínio finito submetida a um carregamento distribuído.

A placa pode também estar sujeita a carregamentos definidos no plano 1 2x x , distribuídos ao longo do domínio da placa ou aplicados em seu contorno. A partir da configuração deformada da placa, representada na figura 2 apenas pelo seu plano médio, e considerando-se as forças e momentos atuantes em um elemento infinitesimal da placa, é possível escrever, para um ponto qualquer pertencente ao domínio Ω , as seguintes relações básicas:

• Equação de equilíbrio para o problema de flexão de placas:

+ − + + =ij,ij ij ij i i,iM N w, bw, M g 0 (1)

• Equação de equilíbrio para o problema de membrana:

+ =ij,j iN b 0 (2)

onde ijM são os momentos fletores e volventes; ijN são as forças normais no plano 1 2x x ; ib

representa o carregamento de domínio da placa no plano 1 2x x ; iM o momento aplicado no domínio da placa; e w o deslocamento transversal da placa. Na equação todas as variáveis são escritas em termos de taxas (variação com ao longo do tempo) e os índices i e j variam no intervalo { }1,2 .

Formulação do método dos elementos de contorno para placas considerando-se não-linearidades


3

(a)

(b)

Figura 2 – Placa na configuração deformada: (a) forças atuantes e (b) momentos atuantes.

• Relação aditiva em momento:

( ){ }⎡ ⎤= − = − δ ν + − ν −⎣ ⎦e p p

ij ij ij ij kk ij ijM M M D w, 1 w, M (3)

sendo eijM e p

ijM as parcelas elástica e plástica do momento, respectivamente; ( )= − ν3 2D Et 12 1 a

rigidez à flexão da placa; E e ν o módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson do material, respectivamente; t a espessura da placa; ijw, a curvatura da placa; e δij o delta de

Kronecker.

• Relação aditiva em força normal:

⎡ ⎤ν⎛ ⎞= − = ε + δ ε −⎜ ⎟⎢ ⎥− ν⎝ ⎠⎣ ⎦e p s s p

ij ij ij ij ij kk ijN N N 2Gt N1

(4)

sendo eijN e p

ijN as parcelas elástica e plástica da força normal, respectivamente; ( )= + νG E 2 1 o

módulo de elasticidade transversal do material; e εsij a deformação de membrana.

A definição do problema fica completa considerando-se as seguintes condições de contorno sobre Γ : =i iu u em Γ1 (deslocamentos e rotações) e =i ip p em Γ2 (momentos fletores, forças cortantes equivalentes e forças de superfície), com Γ ∪Γ = Γ1 2 .

3 EQUAÇÕES INTEGRAIS

Nesta seção as equações integrais necessárias para a aplicação do MEC ao problema elastoplástico de placas considerando-se a não-linearidade geométrica serão apresentadas. As equações integrais para o problema de flexão de placas e para o problema de membrana podem ser obtidas a partir do Teorema da Reciprocidade de Betti aplicado aos campos de deformação e nas parcelas elásticas dos campos de tensão. Dessa forma são definidas as equações de deslocamento, tanto para o problema de flexão de placas quanto para o problema de membrana como segue:



4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Γ =

Γ =

Ω Ω Ω

+ − Γ + =

− Γ + +

Ω + Ω − Ω

∑∫∑∫

∫ ∫ ∫

c

c

g

N* * *n n n c k c k

k 1N

* * *n n n c k c k

k 1

* * p *ij ,ij ijij

C S w S V S,P w P M S,P w, P d R S,C w C

V P w S,P M P w, S,P d R C w S,C

g p w S,p d N p w p w S,p d M p w, S,p d

(5)

onde nV , nM , w e nw, são as forças cortantes equivalentes, os momentos, os deslocamentos e as rotações ao longo do contorno, respectivamente; cR e cw representam as reações e os

deslocamentos dos cantos da placa; *nV , *

nM , *cR , *

nw, e *ijw, são soluções fundamentais obtidas a

partir de *w de acordo com suas definições (Brebbia et al, 1984); ijN , ijw, e pijM as forças normais do

problema de membrana, as curvaturas da placa e a parcela plástica do momento atuante no domínio da placa, respectivamente; S é o ponto de colocação; ( )C S é o conhecido termo livre para o problema de flexão de placas; e P , p e kC são os pontos campos definidos no contorno, interior ao domínio e cantos, respectivamente.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Γ Γ Ω

Ω Ω

= − Γ + Γ + Ω −

− Ω + ε Ω

∫ ∫ ∫∫ ∫

* * *ij j ij j ij j ij j

* * pikl k l ikl kl

C S u S P S,P u P d u S,P p P d u S,p b p d

1 N S,p w, p w, p d S,p N p d2

(6)

com { }=i, j,k,l 1,2 e sendo *iju , *

ijp , *iklN e ε*

ikl as soluções fundamentais para o problema de membrana

(Brebbia et al 1984); ( )C S é o termo livre para o problema de membrana igual a δij para pontos no

interior do domínio, 0 para pontos fora do domínio e definido em função da geometria do problema para pontos situados no contorno da membrana; ju e jp os deslocamentos e forças de superfície ao

longo do contorno; e kw, e pklN as rotações do problema de flexão de placas e a parcela plástica da

força normal atuante no domínio da placa, respectivamente. Completam o conjunto de equações necessárias para a resolução do problema elastoplástico não-linear geométrico de placas as equações integrais de rotação, curvatura e esforço normal apresentadas na seqüência:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ ( ) ( )} ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Γ =

Γ =

Ω Ω Ω

= − − Γ − +

− Γ + +

+ Ω + Ω − Ω

∑∫∑∫

∫ ∫ ∫

c

c

g

N* * *

i n i n i n c i k c k

k 1N

* * *n i n ni c k c i k

k 1

* * p *i jk ,jk i iklkl

w, s V , s,P w P M , s,P w, P d R , s,C w C

V P w, s,P M P w, s,P d R C w , s,C

g p w, s,p d N p w p w, s,p d M p w, S,p d

(7)



5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ ( ) ( )} ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Γ =

Γ =

Ω Ω

Ω

= − − Γ −

+ − Γ + +

+ Ω + Ω −

⎡ ⎤− Ω − + δ⎣ ⎦

∑∫∑∫

∫ ∫∫

c

c

g

N

* * *ij n ij n ij n c ij k c k

k 1N

* * *n ij n nij c k c ij k

k 1

* *ij kl ,kl ij

p * p pijkl ijkl ij kk

w, s V , s,P w P M , s,P w, P d R , s,C w C

V P w, s,P M P w, s,P d R C w , s,C

g p w, s,p d N p w p w, s,p d

1M p w, S,p d 2M s M s8D

(8)

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

Γ Γ Ω

Ω Ω

= Γ − Γ + Ω

− Ω + Ω +

+ + δ − + − υ δ− υ − υ

∫ ∫ ∫∫ ∫

ij ijk k ijk k ijk k

pijkl k l ijkl kl

,i ,j ij ,k ,k ij ij kk

N s D (s,P)p (p)d S (s,P)u (P)d D (s,p)b (p)d

1 T (s,p)w, (p)w, (p)d E (s,p)N (p)d2

Gh 12w (s)w (s) w (s)w (s) 2N (s) 1 4 N (s)8 1 8 1

(9)

onde ( )υ = υ + υ1 é o coeficiente de Poisson modificado usado para simular o estado plano de tensões. O termo livre que aparece nas equações (8) e (9) é devido à diferenciação de integrais singulares. O termo foi desenvolvido por Bui (1978) para problemas elásticos tridimensionais e referentes aos estados planos de tensão e de deformação, sendo estendido para várias outras integrais cujos núcleos possuem o mesmo grau de singularidade.

4 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Definidas as equações integrais necessárias para a resolução do problema, o contorno da placa Γ é dividido em elementos de contorno lineares isoparamétricos contínuos e descontínuos ao longo dos quais os deslocamentos e os esforços no contorno referentes aos problemas de flexão de placas e de membrana são aproximados. A descontinuidade é introduzida deslocando-se o ponto de colocação para o interior do elemento em um quarto de seu comprimento, porém mantendo-se os valores nodais em suas extremidades. Células triangulares com funções de aproximação lineares são usadas para avaliar as integrais de domínio. Apenas pontos internos ao domínio da placa foram utilizados para a aproximação dos campos de rotação, curvatura e força normal sobre as células. Sendo assim, células descontínuas foram definidas para células adjacentes ao contorno externo da placa conforme ilustra a figura 3.



6

(a)

(b) Figura 3 – Aproximação linear sobre o domínio: (a) célula contínua e (b) célula descontínua.

O sistema de equações é escrito apenas com equações de deslocamentos para os nós no contorno da placa. A equação de rotação é evitada escrevendo-se duas equações de deslocamento independentes para cada nó: uma com o ponto de colocação sobre o contorno, definida sobre o nó ou sobre o elemento e a segunda com o ponto de colocação definido fora do domínio, mas muito perto do contorno (Venturini & Paiva, 1993). As integrais singulares são resolvidas analiticamente e as demais através do procedimento numérico de Gauss-Legendre com a aplicação de um esquema de sub-elementação (Leite & Venturini, 2005). O procedimento de integração nas células segue um procedimento específico, onde a integral no domínio é transformada em integral sobre o contorno da célula. Dessa forma, para cada célula é realizado o procedimento de integração sobre os seus três lados, em sentido anti-horário, e utilizando-se dos mesmos procedimentos analítico e numérico definidos no processo de integração dos elementos do contorno. Após todo o processo de integração, assumindo-se as aproximações ao longo do contorno e sobre o domínio da placa, as equações (5) e (6) assumem a forma:

[ ][ ]

= + + ⋅ χ +

= + + θ⊗ θ +

w b w b w w w pb b b b b

u s u s u u u ps s s s s

H U G P T E N F M

H U G P T E F N (10)

Nas equações (10), bU e bP contém os deslocamentos e esforços nodais de contorno, adicionados dos deslocamentos e reações de canto, para o problema de flexão de placas; sU e sP contém os deslocamentos e forças nodais de contorno para o problema de membrana; [ ]⋅ χN

representa o produto escalar entre as forças normais e as curvaturas da placa; [ ]θ ⊗ θ representa o

produto tensorial do tensor de rotação para cada nó de célula; pM e pN representam as parcelas plásticas do momento e da força normal, respectivamente; w

bH , wbG e w

bT contém os coeficientes

resultantes do processo de integração no contorno para o problema de placas; usH , u

sG e usT contém

os coeficientes resultantes do processo de integração no contorno para o problema de membrana; e wbE , w

bF , usE , u

sF contém os coeficientes resultantes do processo de integração no domínio da placa.

Isolando-se as incógnitas de contorno nos vetores yX obtém-se:

[ ][ ]

= + ⋅ χ +

= + θ⊗ θ +

w w w w pb b b

u u u u ps s s

X L Q N R M

X L Q R N (11)



7

com −

⎡ ⎤= +⎣ ⎦1y y y y

x x x xL A B T , sendo a matriz yxA construída a partir da conveniente troca das colunas de

yxH e y

xG correspondentes às incógnitas do contorno e o vetor yxB composto pelas contribuições dos

valores prescritos no contorno e no domínio da placa; −

⎡ ⎤= ⎣ ⎦1y y y

x x xQ A E ; e −

⎡ ⎤= ⎣ ⎦1y y y

x x xR A F .

O conjunto de equações algébricas fica completo após o procedimento de integração das equações (7), (8) e (9) resultando em:

[ ][ ][ ]

θ θ θ θ θ

χ χ χ χ χ

= − + + + θ⊗ θ +

θ = − + + + ⋅ χ +

χ = − + + + ⋅ χ +

e N s N s N N N ps s s s s

b b pb b b b b

b b pb b b b b

N H U G P T E F N

H U G P T E N F M

H U G P T E N F M

(12)

Considerando-se as equações (3) e (4), trocando-se convenientemente as colunas de yxH e

yxG nas equações (12) e substituindo-se as equações (11) nas equações resultantes obtém-se as

equações finais de equilíbrio, que na forma incremental podem ser escritas como segue:

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]

ε

θ θ θθ

χ χ χχ

⎡ ⎤Δε Δθ = − Δε + Δ + Δθ⊗ θ + θ⊗ Δθ + Δε − Δ =⎣ ⎦⎡ ⎤Δε Δθ Δχ = −Δθ + Δ + Δ ⋅ χ + ⋅ Δχ + Δχ − Δ =⎣ ⎦⎡ ⎤Δε Δθ Δχ = −Δχ + Δ + Δ ⋅ χ + ⋅ Δχ + Δχ − Δ =⎣ ⎦

N N N N Ns s s s s s s s

Ms b b b b

Ms b b b b

F ; C L Q R C N 0

F ; ; L Q N N R C M 0

F ; ; L Q N N R C M 0

(13)

Nas equações (13) ΔεNs sC e ΔχM

bC são as parcelas elásticas da força normal e do momento,

respectivamente; e NsC e M

bC são matrizes compostas pelas constantes elásticas extraídas das relações (3) e (4).

5 MODELO ELASTOPLÁSTICO

Na análise elastoplástica é admitida a existência de uma função φ que define o limite entre os estados de tensões elásticos e os que produzem deformações plásticas residuais. A função φ é definida em função do estado de tensão atuante no ponto em análise e em termos do parâmetro de encruamento k , podendo ser definida como segue:

( ) ( ) ( )φ σ = σ − σ ≤ij ij y,k f k 0 (14)

onde ( )σijf representa a tensão efetiva ou equivalente calculada segundo o critério de plastificação

adotado e ( )σy k define a tensão de escoamento para um determinado nível de encruamento .

Neste trabalho adotou-se o critério de plastificação de von Mises, com encruamento isótropo linear e particularizado para o estado plano de tensão (Simo & Hughes, 1998). As regiões plastificadas da placa são definidas a partir de um modelo estratificado, onde para cada nó das células é definida uma distribuição de pontos de Gauss ao longo da espessura da placa. A verificação do critério e a



8

conseqüente definição do estado de tensão verdadeiro são efetuadas em cada ponto de Gauss definido, sendo os momentos e as forças normais verdadeiras atuantes na seção da placa em análise obtidos através do procedimento de integração numérica que segue:

+

−=

+

−=

= σ ⋅ = σ ξ

= σ ⋅ = σ

∑∫

∑∫

Ngt 2 2

3 3 ig ig igt 2 ig 1

Ngt 2

3 ig igt 2 ig 1

tM x dx W4

tN dx W2

(15)

onde ξig e igW são, respectivamente, a coordenada adimensional e a função peso definidas no

procedimento de integração numérica.

6 PROCEDIMENTO INCREMENTAL-ITERATIVO

Neste trabalho a solução do problema de placas considerando-se as não-linearidades física e geométrica é obtida através de um procedimento incremental-iterativo baseado em uma formulação implícita onde as correções que devem ser aplicadas no sistema são obtidas com o auxílio do operador tangente consistente. Inicialmente o carregamento aplicado na placa é dividido em um número finito de passos de carga. Para o primeiro passo resolve-se o problema de flexão de placas e o problema de membrana através das equações (9) e (10) sem considerar os efeitos da não-linearidade geométrica e dos momentos e forças normais plásticas. Com a solução obtida encontra-se o estado de tensão elástico (denominado de tentativa) e, através do critério elastoplástico discutido no item anterior, obtêm-se as tensões verdadeiras atuantes na placa e também o operador elastoplástico tangente consistente ∂σ ∂ε necessário para a avaliação do operador tangente consistente.

A seqüência do procedimento é caracterizada pelo início do processo iterativo, onde para cada nova iteração +i 1 são determinadas as correções δΔεi

s , δΔθi e δΔχi que devem ser aplicadas no estado de deformação de membrana, rotação e curvatura, respectivamente, de forma que

+Δε = Δε + δΔεi 1 i is s s , +Δθ = Δθ + δΔθi 1 i i e +Δχ = Δχ + δΔχi 1 i i . As correções podem ser obtidas pela forma

linearizada das equações de equilíbrio (13) considerando-se apenas o primeiro termo da expansão em série de Taylor, ou seja:

( )( )( )

ε ε ε

ε

θ θ θθ

χ χ χ χ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎧ ⎫ ∂Δε ∂Δθ ∂Δχ⎢ ⎥Δε Δθ ⎧ ⎫δΔε⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥Δε Δθ Δχ + δΔθ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂Δε ∂Δθ ∂Δχ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ δΔχ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δε Δθ Δχ ⎩ ⎭∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎩ ⎭⎢ ⎥∂Δε ∂Δθ ∂Δχ⎢ ⎥⎣ ⎦

i i ii i iss si i i is i i i

s ii i is

i i is

F F FF ;

F F FF ; ; 0

F ; ; F F F

(16)



9

sendo o operador tangente consistente obtido por meio das derivadas das funções εF , θF e χF em

relação as variáveis Δεis , Δθi e Δχi e podendo ser expresso por:

[ ]ε χ

θ θ θ θε ε χ χ

χ χ θ θε ε χ χ

⎡ ⎤⎡ ⎤− + − ⊗ θ + θ⊗ −⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ χ − − ⋅ χ + ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ χ − − + ⋅ χ + ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

N ep N N epN s N s sN N

ep ep ep epb b b b MN M N M

ep ep ep epb b Mb N b M N M

C II R C II C Q I I R C

C Q C R C I Q C N II R C II C

Q C R C 0 II Q C N II R C II C

(16)

onde as matrizes εepNC , χ

epNC , ε

epMC e χ

epMC são definidas a partir do operador elastoplástico tangente

consistente ∂σ ∂ε , e I e II representam os tensores identidade de segunda e quarta ordem, respectivamente. A cada iteração os valores das tensões na placa devem ser atualizados a partir da relação constitutiva elástica e, através do critério elastoplástico, um novo estado de tensões verdadeiras deve ser determinado. O processo iterativo deve ser repetido até que a solução encontrada satisfaça ao mesmo tempo as equações de equilíbrio estático e o modelo constitutivo empregado dentro de um critério de convergência pré-determinado.

Todo o procedimento deve ser repetido até que todo o carregamento seja introduzido na estrutura. Ressalta-se que, a partir do segundo incremento de carga, os valores finais de εs , θ e χ do

incremento de carga anterior devem ser utilizados nas primeiras “avaliações” do passo de carga atual e na avaliação inicial do critério de convergência.

7 EXEMPLOS

7.1 Placa quadrada

Este exemplo, proposto em Supriyono & Aliabadi (2006), consiste em analisar uma placa quadrada, de lados com dimensões iguais a a e espessura t , com relação t a igual a 0,01. A placa é

submetida a um carregamento q uniformemente distribuído em toda a sua área.

O comportamento do material foi admitido como elastoplástico perfeito, com módulo de elasticidade longitudinal =E 100 MPa , coeficiente de Poisson ν = 0,316 e tensão inicial de

escoamento −σ = ⋅ 2y 1,25 10 MPa .

Como condições de contorno foram admitidas bordas apoiadas ( = =nw M 0 ) com restrição

aos deslocamentos no plano 1 2x x , ou seja, = =1 2u u 0 . Para as análises efetuadas foi utilizada uma

malha composta por 256 elementos dispostos uniformemente ao longo das bordas da placa e 32 células triangulares utilizadas nas aproximações de domínio.

Foram feitas diversas análises tendo em vista a versatilidade da formulação proposta. Para efeito de comparação, foram efetuadas análises do tipo linear, considerando-se apenas a não-linearidade geométrica, considerando-se apenas o comportamento elastoplástico e uma última análise considerando-se a elastoplasticidade e a não-linearidade geométrica de forma combinada.



10

De forma a validar o correto desenvolvimento da formulação proposta os resultados obtidos foram comparados com os fornecidos por Supriyono & Aliabadi (2006) e também com uma análise efetuada com 144 elementos finitos do tipo Shell 93 (8 nós com 6 graus de liberdade por nó) através do programa ANSYS. Os resultados obtidos para deslocamento no centro da placa em função do carregamento aplicado são ilustrados na figura 4.

Figura 4 – Placa quadrada: dimensões, carregamento e malha de domínio.

Foram feitas diversas análises tendo em vista a versatilidade da formulação proposta. Para efeito de comparação, foram efetuadas análises do tipo linear, considerando-se apenas a não-linearidade geométrica, considerando-se apenas o comportamento elastoplástico e uma última análise considerando-se a elastoplasticidade e a não-linearidade geométrica de forma combinada.

De forma a validar o correto desenvolvimento da formulação proposta os resultados obtidos foram comparados com os fornecidos por Supriyono & Aliabadi (2006) e também com uma análise efetuada com 144 elementos finitos do tipo Shell 93 (8 nós com 6 graus de liberdade por nó) através do programa ANSYS. Os resultados obtidos para deslocamento no centro da placa em função do carregamento aplicado são ilustrados nas figuras 5 e 6.

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

17,5

20,0

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

(wmax/t)

(qa4 /E

t4 )

Solução linear Não-linear geométrico Elastoplástico Não-linear geométrico + elastoplástico Figura 5 – Curva carga x deslocamento máximo para os diversos tipos de análise.



11

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

17,5

20,0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60

(wmax/t)

(qa4 /E

t4 )

Programa Implementado Supriyono & Aliabadi (2006) ANSYS Figura 6 – Curva carga x deslocamento máximo para a análise elastoplástica considerando-se a não-linearidade

geométrica.

Os resultados de deslocamento ilustrados na figura 6 demonstram a correta implementação computacional e a versatilidade da formulação proposta. Na análise elastoplástica considerando o comportamento não-linear geométrico que a curva de carga x deslocamento obtida pelo programa implementado apresentou-se mais próxima da fornecidas pelo programa comercial ANSYS quando comparada aos resultados fornecidos por Supriyono & Aliabadi (2006). Vale ressaltar que em suas análises os autores citados utilizaram uma formulação do método dos elementos de contorno desenvolvida a partir da teoria de Reissner para flexão de placas, com malhas compostas por elementos de contorno quadráticos isoparamétricos e células quadrilaterais com 9 nós.

7.2 Placa circular

Neste segundo exemplo, proposto inicialmente por Supriyono & Aliabadi (2007), uma placa circular com diâmetro igual a 2a , espessura t , e relação t a igual a 0,1 é analisada. Sobre a placa atua um carregamento q uniformemente distribuído em toda a sua área.

As características físicas adotadas para o material são: comportamento elastoplástico perfeito, módulo de elasticidade longitudinal =E 200 GPa , coeficiente de Poisson ν = 0,3 e tensão inicial de escoamento σ =y 300 MPa .

Como condições de contorno foram admitidas bordas apoiadas ( = = 0nw M ) com restrição aos deslocamentos no plano 1 2x x , ou seja, = =1 2u u 0 em todo o contorno da placa.

As simulações foram realizadas utilizando-se uma malha composta por 80 elementos de contorno lineares de forma a reconstruir o contorno curvilíneo original da placa. Para a avaliação dos efeitos de domínio foi utilizada uma malha de domínio composta por 140 células triangulares dispostas de maneira simétrica ao centro da placa. A disposição da malha de contorno e das células triangulares estão ilustradas na figura 7.



12

Figura 7 – Placa circular: dimensões e discretização utilizada.

Os resultados obtidos para deslocamento no ponto central da placa em função do carregamento aplicado juntamente com os fornecidos por Supriyono & Aliabadi (2007) estão ilustrados nas figuras 8, 9 e 10.

Figura 8 – Placa circular: deslocamento do ponto central em função do carregamento aplicado.



13

Figura 9 – Placa circular: deslocamento do ponto central em função do carregamento aplicado para a análise

elastoplástica considerando-se não-linearidade geométrica.


não-linear geométrica.


elastoplástica.



14

Neste exemplo as curvas de deslocamento x carregamento obtidas pelo programa computacional implementado apresentaram-se muito próximas das fornecidas por Supriyono & Aliabadi (2007), o que reafirma o correto desenvolvimento da formulação proposta. É importante ressaltar que os autores citados utilizaram em suas análises uma formulação baseada na teoria de Reissner para flexão de placas, com malhas compostas por elementos de contorno quadráticos isoparamétricos e com integração no domínio realizada através do método da reciprocidade dual.

8 CONCLUSÕES

Neste trabalho foi apresentada uma formulação do MEC para a análise de placas considerando-se as não-linearidades física e geométrica. O desenvolvimento das equações integrais foi baseado nas hipóteses de Kirchhoff para flexão de placas e na teoria de von Kármán para a modelagem da não-linearidade geométrica. Como critério elastoplástico foi utilizado o critério de von Mises com encruamento isótropo linear. Toda a solução do sistema não-linear de equações foi obtida através de uma formulação implícita, sendo o operador tangente consistente apresentado no decorrer do trabalho. Os resultados obtidos nos exemplos estudados ilustraram o correto desenvolvimento formulação proposta. Vale ainda a agilidade no processo de convergência de resultados, característica inerente ao uso da formulação implícita na resolução do sistema não-linear de equações.

9 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem a Fundação em Amparo a Pesquisa o Estado de São Paulo-FAPESP pelo suporte financeiro ao trabalho.

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16

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v.11, n. 49, p. 17-35, 2009

ANÁLISE NUMÉRICA DE PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO COMPRIMIDOS CONSIDERANDO IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS

Saulo José de Castro Almeida1 & Jorge Munaiar Neto2

R e s u m o O presente trabalho apresenta proposta de análise numérica de perfis de aço formados a frio submetidos à compressão centrada. Trata-se de investigação, realizada por meio de elementos finitos, com vistas à análise da influência de imperfeições geométricas iniciais presentes em perfis U simples e U enrijecido, sob os aspectos de sua forma, magnitude e sinal. A imperfeição geométrica é adotada na forma de modos de falha local, global e distorcional, observando a suscetibilidade a tais modos para a seção de interesse. Cada tipo de imperfeição é avaliado de forma isolada e, em seguida, de forma associada (conjunta). São apresentados aspectos referentes à estratégia de modelagem adotada na construção dos modelos numéricos, bem como aspectos de interesse com relação às análises não-lineares aqui consideradas. Palavras-chave: Perfis de aço formados a frio. Análise numérica. Imperfeições geométricas.

NUMERICAL ANALYSIS OF COLD FORMED STEEL MEMBERS

CONSIDERING INITIAL GEOMETRIC IMPERFECTIONS

A b s t r a c t The work presents a numerical analysis on cold-formed steel members compressed between pinned ends. One is about an inquiry carried through in finite elements in which it was studied the influence of initial geometric imperfections, existing in plain channels and lipped channels, under the aspects of its form, magnitude and signal. The geometric imperfection is adopted on the forms of the local, global and distortional buckling modes, observing the susceptibility to such modes for each type of section. Each imperfection is evaluated on the isolated way and after that of associated way. Referring aspects to the strategy of modeling adopted in the construction of the numerical models are presented, as well as aspects of interest with regard to the developed nonlinear analyses. Keywords: Cold-formed steel members. Numerical analysis. Geometric imperfections.

1 INTRODUÇÃO

As imperfeições geométricas estão presentes nas barras de aço, inclusive naquelas constituídas por perfis formados a frio, decorrentes desde o próprio processo de fabricação. Estas imperfeições consistem basicamente de ondulações existentes nos elementos de uma barra ao longo do seu comprimento (neste caso, barra real), geralmente não consideradas na hipótese de barras prismáticas (neste caso, barra ideal).

As imperfeições geométricas aparecem, geralmente, por conseqüência do empenamento da seção, torção da seção, desvio do eixo global e ondulações locais, e constituem, portanto, não-linearidade geométrica que implica na ocorrência de esforços adicionais que podem comprometer a determinação da resistência de cálculo da barra comprimida.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Saulo José de Castro Almeida & Jorge Munaiar Neto


18

Geralmente os procedimentos normativos explicitam de maneira mais clara (ou melhor) a consideração da imperfeição global, na maioria dos casos de cunho senoidal e inserida por intermédio de um fator de ampliação da flecha (deslocamento transversal do eixo da barra no meio do vão). Por outro lado, as imperfeições locais não são mencionadas, tampouco aquelas inerentes aos efeitos distorcionais.

Quanto aos modos de falhas, pequena menção se faz sobre a influência de um modo de colapso sobre o outro, ou acerca de procedimentos pelos quais a mesma interação poderia ser considerada, demonstrando o fato de a interação entre os modos ainda ser pouco conhecida, razão pela qual têm sido emergentes as investigações realizadas nesta área.

Dessa forma, pesquisas como a que está sendo aqui proposta, são desenvolvidas procurando buscar conhecimento acerca das imperfeições geométricas em perfis formados a frio, avaliando sua magnitude e variação ao longo da seção, bem como do comprimento dos perfis. Uma vez que ainda não há consenso quanto aos aspectos supracitados, a questão da interação entre os modos de instabilidade se encontra, atualmente, pouco desenvolvida.

O presente trabalho tem por objetivo desenvolver, dentro do contexto numérico, análises de sensibilidade da solicitação normal de compressão resistente, em resposta às amplitudes, formato e sinal das imperfeições geométricas iniciais (global, local e distorcional), essas mesmas atuando isoladamente ou acopladas, consideradas em perfis de aço formados a frio, com seções tipo U simples e U enrijecido.

As análises numéricas serão realizadas por meio do aplicativo computacional Ansys ® v9.0, fundamentado no método dos elementos finitos, e que atende a demanda requerida ao estudo aqui proposto, no caso, análises considerando não linearidades do material e geométrica simultaneamente.

A estratégia de modelagem numérica adotada foi aquela empregada em Chodraui (2006), utilizando resultados apresentados em Schafer e Peköz (1998), para as amplitudes de imperfeições locais e distorcionais. Já as amplitudes das imperfeições globais estão fundamentadas em valores encontrados na literatura.

2 EFEITO DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS EM SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

A determinação da resistência máxima de uma barra comprimida pode constituir um processo custoso, em especial, quando as imperfeições iniciais e a não-linearidades do material ou tensões residuais devem ser consideradas, conforme mencionado em Galambos (1998).

É fato que as imperfeições geométricas estão presentes numa estrutura ou elemento estrutural de interesse. Portanto, não se pode garantir que um carregamento centrado ocorra, de fato, na prática. As barras, na prática das construções, resultam flexo-comprimidas, desenvolvendo deslocamentos laterais de alguns pontos das mesmas desde o início do carregamento. Por sua vez, os deslocamentos se traduzem em esforços adicionais que podem comprometer a determinação da resistência de uma barra solicitada à compressão.

No âmbito das análises numéricas a configuração das imperfeições geométricas iniciais adotadas, e correspondentes amplitudes, também podem afetar de forma significativa os valores de cargas últimas a serem obtidas numericamente.

Em Narayanan e Mahendran (2003) são apresentados estudos no referente a formas inovadoras de barras de aço formado a frio, observando que algumas seções apresentaram reduções nos valores de carga crítica de 44% e 52%, para magnitude de imperfeições distorcionais iguais a t e 2t (t é a espessura da chapa), respectivamente, em relação à barra sem imperfeição distorcional.

Em Dubina e Ungureanu (2002) se relata um estudo referente a algumas formas adotadas para imperfeições iniciais com relação à instabilidade local, em que foram identificadas cargas críticas

Análise numérica de perfis de aço formados a frio comprimidos considerando imperfeições geométricas


19

reduzidas em até 12% ou acrescidos em até 15%, quando comparadas a valores medidos em ensaios. Segundo a última referência, essa variação permite questionar a consideração de imperfeições iniciais em formato senoidal, relacionado, de certa forma, ao modo de instabilidade proveniente de um exame de autovalor, geralmente recomendado para análise não-linear geométrica.

Em Yang e Hancock (2004) conclui-se que imperfeições iniciais baseadas em um único modo de instabilidade, proveniente do estudo de autovalor, pode conduzir a resultados não conservativos. A mesma referência sugere que várias análises sejam realizadas, de modo a investigar a sensibilidade de uma estrutura às imperfeições.

Em Mullingan e Peköz (1984) foi destacada a relevância do sinal da imperfeição, cogitando a possibilidade de aumento da carga de colapso a depender do sinal da excentricidade adotado.

Em Yang e Hancock (2003) é descrito uma série de ensaios de compressão com seção U enrijecida, três modos de falha foram diagnosticados: O-O (open-open), O-I (open-inward) e I-I (inward-inward), referentes aos movimentos das abas. Nenhuma relação foi estabelecida entre a resistência última e a imperfeição geométrica inicial ou a deformada final nem entre o sinal da imperfeição inicial e a indução de um modo de falha específico.

De fato, há pouca informação sobre a distribuição real das imperfeições, a saber, acerca da variação da forma das imperfeições ao longo do comprimento do perfil, diferentemente das amplitudes máximas, local, global e distorcional, em que um número satisfatório de dados pode ser encontrado na literatura.

3 ANÁLISE NUMÉRICA – ASPECTOS DE INTERESSE

A seguir serão apresentados os aspectos relativos à estratégia de modelagem numérica aqui adotada e, consequentemente, desenvolvida.

3.1 Elementos finitos utilizados

A escolha dos elementos finitos a serem utilizados na construção dos modelos, se fez buscando a melhor forma de contemplar o comportamento do elemento estrutural de interesse, e que, ao mesmo tempo, possibilitasse obter o menor esforço computacional. A possibilidade de utilizar os modelos para futuras análises numéricas em barras comprimidas como, por exemplo, submetidas a tensões residuais ou sob temperaturas elevadas, também foi considerada quando da eleição dos elementos.

Para discretização dos perfis em elementos finitos, foram utilizados elementos bidimensionais do tipo SHELL. O elemento tipo casca é adequado para aplicações em análises de materiais com comportamento não-linear, e que apresentem grandes rotações e com grandes deformações. O elemento de casca utilizado foi o SHELL181, com quatro nós e seis graus de liberdade por nó, referentes às três rotações em x, y e z (ROTX, ROTY e ROTZ), bem como às três translações em x, y e z (UX, UY e UZ), conforme esquematiza a Figura 3.1a.

O elemento SOLID45, esquematizado na Figura 3.1b, foi inicialmente empregado para reproduzir as condições de extremidade das barras de ensaios experimentais realizados. Todavia, a possibilidade de utilizar futuramente os modelos construídos para avaliar o comportamento termo-estrutural das barras comprimidas em situação de incêndio, motivou considerar o uso desse elemento no modelo como todo, ou seja, aparelho de apoio e perfil, situação essa adotada como estratégia de interesse. O elemento SOLID45 possui oito nós com três graus de liberdade por nó, referente às três translações (UX, UY e UZ).



20

(a) (b)

Figura 3.1 – Elementos finitos utilizados: (a) Shell 181 e (b) Solid 45. Fonte: ANSYS v9.0.

4 RELAÇÃO CONSTITUTIVA ADOTADA

As análises numéricas foram realizadas com relações constitutivas obtidas experimentalmente em Chodraui (2006), de modo estabelecer confiabilidade os modelos numéricos aqui desenvolvidos. Embora baixos níveis de tensões fossem previstos para as análises de interesse, também foi feita uma breve investigação quanto a possíveis discrepâncias entre os resultados numéricos (valores “convencionais” e “verdadeiros” de Tensão x Deformação) e experimentais.

Os valores de Chodraui (2006), a saber, foram corrigidos mediante as equações (4.1) e (4.2), e os resultados das análises não-lineares para as relações constitutivas, convencional e verdadeira, foram comparados. Ambas as relações conduziram a resultados semelhantes em termos de carga de colapso e relação força x deslocamento.

( )nomnomtrue εσσ += 1 (4.1)

( )nomtrue εε += 1ln (4.2)

Com relação às equações (4.1) e (4.2), εtrue é denominada deformação total “verdadeira”, enquanto σnom e εnom são denominados valores nominais de tensão e deformação medidos em ensaio.

As relações constitutivas adotadas para realizar as análises de sensibilidade às imperfeições geométricas foram aquelas inerentes aos valores de tensões e deformações ditas “verdadeiras”, caracterizados para cada grupo de perfil analisados em Chodraui (2006).

Na Figura 4.1, extraída de Chodraui (2006), se encontra um exemplo de relação Tensão x Deformação, utilizada para os perfis.



21

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000

Deformação(μstrain)

Tens

ão (K

N/cm

2)Valores convencionais - Engineering stress x strain

Valores corrigidos - True stress x strain

Figura 4.1 – Diagrama tensão x deformação: para os perfis U225. Fonte: CHODRAUI (2006).

5 GEOMETRIA DOS MODELOS CONSTRUÍDOS

Inicialmente três modelos numéricos foram elaborados (figura 5.1) para investigar o comportamento estrutural de barras axialmente comprimidas com imperfeições iniciais, classificados basicamente em três grupos descritos como se segue:

a) Modelos mistos: modelos constituídos pela composição de elementos finitos do tipo sólido

com tipo casca. Possui aparelho de apoio representado por elementos sólidos, citado no texto como sólido de topo, e o corpo do perfil por elementos de casca;

b) Modelos integralmente em sólidos: formados estritamente por elementos sólidos, tanto no apoio como no perfil. A idéia é estruturar a modelagem com esta classe de elementos de modo a facilitar análises futuras em temperaturas elevadas;

c) Modelos integralmente em casca: são compostos exclusivamente por elementos de casca, ou seja, dispositivo de vinculação (denominada chapa de topo) e estrutura física do perfil. Diferentemente dos grupos anteriores, este se subdivide em: (i) modelos com chapa de topo e (ii) modelos sem chapa de topo.

Os modelos mistos foram os primeiros modelos construídos, conforme figura 5.1a, e tinham como objetivo recuperar os resultados obtidos com os modelos desenvolvidos em Chodraui (2006), calibrados mediante resultados da última referência, bem como, aprimorar a estratégia numérica utilizada nesta mesma referência. A figura 5.2 traz o esquema do experimento realizado em Chodraui (2006).

Os modelos integralmente sólidos, figura 5.1b, surgiram como tentativa de estabelecer um padrão de modelagem que pudesse não só subsidiar análises em temperatura ambiente, mas também futuras investigações envolvendo campo de temperatura. Para tanto, foram realizados estudos de caráter exploratório para investigar possíveis discrepâncias entre resultados de modelos constituídos apenas de elementos sólidos (aparelho de apoio e perfil em si, ambos sólidos) e modelos mistos (sólido com casca: aparelho de apoio com sólido e perfil com casca), bem como a diferença do esforço computacional despendido entre os mesmos.



22

(b)

(a)

(c)

Figura 5.1 – Esquema geral dos modelos: (a) modelo misto; (b) modelo integralmente em sólidos e (c) modelo

integralmente em elemento de casca.

Ambos os modelos representaram satisfatoriamente cargas de colapso e relações força x

deslocamento experimentais, porém, o esforço computacional dos modelos sólidos resultou maior se comparados aos mistos.

Os modelos integralmente em casca, conforme figura 5.1c, foram utilizados para realizar as análises de sensibilidade, pois, além de ter apresentado concordância satisfatória com resultados experimentais, apresentou também esforço computacional pouco inferior quando comparado aos demais modelos supracitados.

Na busca pela viabilidade de se utilizar modelos mais otimizados no referente à sua elaboração, foi estudada a possibilidade de se eliminar a chapa de topo, ou seja, aquelas chapas localizadas nas extremidades da barra, conforme figura 5.3a. Primeiramente, algumas condições de contorno de extremidade, bem como formas de aplicação de carga foram investigadas.

No entanto, tais procedimentos adotados para os modelos sem chapa de topo não atenderam às expectativas e apresentaram problemas, como efeitos localizados de instabilidade.



23

Figura 5.2 – Esquema do ensaio experimental. Fonte: CHODRAUI (2006)

Por outro lado, os modelos com chapa de topo (figura 5.3b) se mostraram mais adequados

para realizar as análises aqui de interesse. Todavia, se fez necessário a realização de alguns estudos adicionais para se definir as características da chapa de topo a ser empregada, a saber, espessura da chapa e propriedade de seu material.



24

(a)

(b)

Figura 5.3 – Modelos integralmente em casca: (a) modelo sem chapa de topo e (b) modelo com chapa de topo.

6 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ÀS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS INICIAIS

Foram elaborados quatro modelos numéricos, organizados por meio de dois grupos de perfis tipo U simples (grupos 1 e 2) e dois grupos do tipo U enrijecido (grupos 3 e 4), cujas informações de interesse e propriedades geométricas são apresentadas na Tabela 6.1, utilizando como base de referência a nomenclatura esquematizada na figura 6.1.

Tabela 6.1 – Propriedades geométricas das seções. Fonte: Chodraui (2006)

Enrijecedor Mesa Alma Espessura Raio Área

Seções

D

(mm)

Bf

(mm)

Bw

(mm)

t*

(mm)

ri

(mm)

A

(cm2)

GRUPO 1 U225 ------- 50 100 2,38 2,38 4,57

GRUPO 2 U375 ------- 50 100 3,88 3,88 7,27

GRUPO 3 Ue225 25 50 125 2,38 2,38 6,17

GRUPO 4 Ue375 25 50 125 3,88 3,88 9,68 *espessura média real dos perfis



25

Bf

r i

Bw

t

Bf

r i

Bw

t

D

ri

U simples U enrijecido

Figura 6.1 – Definição dos símbolos para perfil U simples e enrijecido.

Com base em Chodraui (2006), as barras investigadas tiveram relação ley/ry com valores em torno de 60, 90, 120 e 150, em cada grupo, em que ley é o comprimento efetivo de flambagem no menor eixo de inércia e ry o raio de giração em torno deste mesmo eixo.

A imperfeição geométrica foi adotada observando a suscetibilidade aos modos de falha local, global e disotorcional de cada tipo de seção, conforme a figura 6.2.

(a) (b)

Figura 6.2 – Modos de falha considerados para os modelos numéricos: (a) Perfil U simples e (b) Perfil U enrijecido.

Com relação às amplitudes local e distorcional, os valores adotados e investigados são

aqueles sugeridos em Schafer e Peköz (1998), os quais estão apresentados na Tabela 6.2, enquanto para o modo global, foram adotados valores de amplitude iguais a L/500, L/1000, L/1500 e L/5000.



26

Tabela 6.2 – Análise probabilística CDF* para imperfeições tipo 1 e tipo 2. (Adaptada de Schafer e Peköz (1998))

Tipo 1 Tipo 2 P(Δ>d) d1/t d2/t

0,75 0,14 0,64 0,50 0,34 0,94 0,25 0,66 1,55 0,05 1,35 3,44 0,01 3,87 4,47

Média 0,5 1,29 Desvio padrão 0,66 1,07

CDF* - Função de distribuição acumulada.

A figura 6.3 mostra a nomenclatura empregada para representar as séries de modelos investigados, de modo que é possível visualizar o tipo de perfil, espessura nominal e comprimento das barras. Por exemplo: U225L850, perfil U simples com espessura nominal de 2,25 mm, e comprimento de 850 mm.

Figura 6.3 – Sistema de legendas dos modelos.

Vale lembrar que, embora a terminologia esteja expressa em função da espessura nominal,

nos modelos numéricos foram empregadas as espessuras reais, conforme Tabela 5.1.

6.1 Sensibilidade à imperfeição do tipo local

Neste tópico foi investigada a sensibilidade dos perfis apenas com relação à imperfeição local. Para cada comprimento efetivo foi adotado como aproximação da imperfeição geométrica o primeiro modo local puro, ou seja, aquele modo local que apresentasse menos interação com outros modos.

As relações entre forças últimas e magnitudes de imperfeição local estão apresentadas de forma agrupada para cada tipo de seção, conforme figura 6.4a e figura 6.4b, com relação aos perfis U simples e U enrijecido respectivamente.

De acordo coma s informações apresentadas na figura 6.4, as barras com comprimento efetivo intermediário cuja relação Ley/ry correspondente foi de 90 e 120, se apresentaram mais suscetíveis a imperfeição local, seja seção U simples ou enrijecida.



27

(a)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4

Imperfeição local

Fu (k

N)

Lef-850-U225 Lef-1320-U225 Lef-1800-U225 Lef-2270-U225Lef-850-U375 Lef-1320-U375 Lef-1800-U375 Lef-2270-U375

100

502,25

100

503,75

0,14t 0,34t 0,66t

(b)

20406080

100120140160180200220240260

0 1 2 3 4

Imperfeição local

Fu (k

N)

Lef-1015-Ue225 Lef-1575-Ue225 Lef-2130-Ue225 Lef-2700-Ue225Lef-985-Ue375 Lef-1530-Ue375 Lef-2070-Ue375 Lef-2615-Ue375

0,14t 0,34t 0,66t

2,25

125

50

25

3,75

125

50

25

Figura 6.4 – Sensibilidade à imperfeição local: (a) U225 e U375 e (b) Ue225 e Ue375.

Com referência às espessuras avaliadas, ainda com relação às figuras 6.4a a 6.4b, as seções

mais espessas se mostraram menos suscetíveis à variação da amplitude local, independente do tipo da seção. Contudo, este aspecto foi mais relevante para seções U simples quando comparada às enrijecidas. Em geral, os perfis U simples sugeriram superior suscetibilidade às imperfeições locais em relação aos perfis U enrijecidos.

6.2 Sensibilidade à imperfeição do tipo distorcional

Tendo em vista que são poucas as chances de um modo distorcional prevalecer sobre os modos local ou global para perfis U simples, conforme verificações experimentais e até mesmo em análises elástica de autovalor, o objeto de estudo aqui investigado foi o perfil U enrijecido.

Nesta etapa, o primeiro modo distorcional puro obtido via ANSYS (com pouca ou nenhuma interação com outros modos) foi incorporado na forma de imperfeição geométrica.



28

As relações entre forças últimas e magnitudes de imperfeição distorcional para os grupos Ue225 e Ue375 foram reunidas na figura 6.5.

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0 1 2 3 4

Imperfeição distorcional

Fu (k

N)


2,25

125

50

25

3,75

125

50

25

0,64t 0,94t 1,55t

Figura 6.5 – Sensibilidade à imperfeição distorcional: Ue225 e Ue375.

Após análise referente à figura acima, nota-se que as barras de menores comprimentos

efetivos, cuja relação Ley/ry corresponde a 60 se apresentaram mais suscetíveis á imperfeição distorcional.

Outro aspecto interessante é que a sensibilidade a esta classe de imperfeição diminui à medida que o comprimento efetivo aumenta. Com relação à esbeltez da seção, a suscetibilidade à imperfeição distorcional se mostrou praticamente similar para os dois valores de espessuras avaliadas.

6.3 Sensibilidade à imperfeição do tipo global

A análise de sensibilidade acerca da imperfeição do tipo global foi realizada, a priori, utilizando o modo global de flexão apresentado pelo ANSYS, cuja configuração deformada final para todos os modelos, seção U simples e U enrijecida, foi aquela que figurou compressão na alma e tração nas abas. Para cada comprimento efetivo foram adotados fatores de escalas de imperfeições globais expressos em função dos comprimentos das barras, a saber, L/5000, L/1500, L/1000 e L/500, como mencionado anteriormente.

A Figura 6.6 mostra a variação das cargas de colapso encontradas numericamente em função dos fatores de escala para cada comprimento efetivo investigado.



29

(a)

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5

Imperfeição Global

Fu (k

N)

Lef-850-U225 Lef-1320-U225 Lef-1800-U225 Lef-2270-U225Lef-850-U375 Lef-1320-U375 Lef-1800-U375 Lef-2270-U375

L/5000 L/1500 L/1000 L/500

100

503,75

100

502,25

(b)

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

0 1 2 3 4 5

Imperfeição Global

Fu (k

N)


L/5000 L/1500 L/1000 L/500

2,25

125

50

25

3,75

125

50

25

Figura 6.6 – Sensibilidade à imperfeição global: (a) U225 e U375 e (b) Ue225 e Ue375.

Ao analisar as relações entre as forças últimas máxima e mínima apresentadas nas figuras

6.6a a 6.6b, foi observado que barras cujas relações Ley/ry resultam entre 90 e 120, em geral se apresentaram mais suscetíveis á imperfeição global para as duas classes de perfis investigadas.

Ainda com relação às figuras 6.6a a 6.6b, no referente à esbeltez da seção, a suscetibilidade a imperfeição global se mostrou praticamente similar para os dois valores de espessura de seção. As figuras também apontam que os perfis U simples se apresentaram igualmente suscetíveis às imperfeições globais quando comparados aos perfis U enrijecidos.

6.4 Sensibilidade à imperfeição – análise conjunta

Neste item foi investigada a sensibilidade dos perfis com relação à imperfeição do tipo global associada às do tipo local, para perfis U simples, e local com distorcional para perfis U enrijecido.



30

Para cada valor de imperfeição local e distorcional, a saber, 0,14t, 0,34t e 0,66t e 0,64t, 0,94t e 1,55t, respectivamente, foram adotados como fatores de escala da imperfeição global, os valores L/5000, L/1500, L/1000 e L/500, conforme as equações 5.1 para perfis U, bem como equações 5.2 para Ue, conservando o sinal da imperfeição global de flexão fornecida pelo ANSYS.

localtglobaliLI modo14,0modo%75 ×+×=

localtglobaliLI modo34,0modo%50 ×+×= (5.1)

localtglobaliLI modo66,0modo%25 ×+×=

.50001500,1000,500 ei =

aldistorciontlocaltglobaliLI modo64,0modo14,0modo%75 ×+×+×=

aldistorciontlocaltglobaliLI modo94,0modo34,0modo%50 ×+×+×= (5.2)

aldistorciontlocaltglobaliLI modo55,1modo66,0modo%25 ×+×+×=

.50001500,1000,500 ei =

A figura 6.7 retrata um exemplo da sensibilidade dos perfis U simples, em relação às

imperfeições geométricas geradas mediante acoplamento entre modos de falha, conforme fator de escala apresentado nesta figura.

Ao analisar os resultados referentes às análises conjuntas, se notou que para alguns comprimentos efetivos, o aumento da imperfeição global implicou em patamares mais elevados para forças últimas obtidas, como exemplifica a figura 6.7. Tal aspecto, sob a ótica apenas da imperfeição global não reflete, inicialmente, o resultado esperado.

Inicialmente, foi identificado que a relação entre as configurações de colapso individuais, relativa às imperfeições dos tipos local e global, resulta em aspecto bastante relevante na determinação da ocorrência ou não de combinações ditas favoráveis, lembrando, no entanto, que o grau das imperfeições também pode ser parâmetro determinante. Entende-se por combinações favoráveis aquelas em que, conservando o nível de imperfeição local ou distorcional adotado, a elevação da imperfeição global reflete a obtenção de força última maior para um mesmo comprimento efetivo de barra.

Para os perfis U simples, por exemplo, em geral, a deformada final alcançada para a imperfeição local, sempre apresentou deslocamento do eixo das barras na direção, que resulta em tração na alma e compressão nas abas. Por outro lado, a deformada no momento do colapso para a imperfeição global, sempre apresentou deslocamento do eixo das barras na direção, que resulta em compressão na alma e tração nas abas. Este aspecto induz uma predominância de um tipo de imperfeição sobre o outro, conforme combinação dos fatores de escala adotados para cada classe de imperfeição, esbeltez local e esbeltez global.



31

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5

Imperfeição global

Fu (k

N)

Lef-850mm Lef-1320mm Lef-1800mm Lef-2270mm

L/5000 L/1500 L/1000 L/500

max/min=1,12

max/min=1,34

max/min=1,24

max/min=1,21

Imperfeição Local = 0,66t (25%) 2,25

100

50

(a)

40

60

80

100

120

140

160

180

0 1 2 3 4 5


F (k

N)


L/5000 L/1500 L/1000 L/500

max/min=1,22

max/min=1,15

max/min=1,17

max/min=1,12

Imperfeição Local = 0,66t (25%) 3,75

100

50

(b)

Figura 6.7 – Sensibilidade à imperfeição conjunta: (a) U225 e (b) U375. Imperfeição global com alma comprimida.

Concernente aos modelos U225 com esbeltez global iguais a 60 e 90, a partir de valores de

imperfeição local igual 0,34t, houve predominância do efeito local no desenvolvimento da configuração deformada final dos modelos. Para valores de imperfeições globais iguais a L/1500 e L/1000 comumente sugeridos na literatura, essa predominância destacada aponta grandes chances de ocorrer.

No entanto, ainda no que cabe ao grupo U225, que para esbeltez igual a 120 ou 150, embora sejam as maiores barras, ainda pode ocorrer predominância do efeito local, a depender do nível de



32

imperfeição local com relação à imperfeição global. A combinação entre a imperfeição do tipo local cuja magnitude seja maior ou igual a 0,66t e, imperfeições globais em torno L/1000 a L/1500, também sugere forte possibilidade do efeito provocado pela imperfeição local prevalecer sobre o efeito da imperfeição do global, conforme figura 6.7a.

No que se refere aos perfis do grupo U375, que por sua vez são mais compactos que os do grupo U225, os mesmos não apresentaram combinação favorável entre imperfeições local-global para o nível local de 0,14t (75% de probabilidade de excedência), independente do comprimento efetivo e do grau de imperfeição global. A preponderância da influência da imperfeição local frente à global começa a se tornar relevante em níveis de magnitude local igual a 0,66t, no entanto, para níveis globais distintos com relação a alguns comprimentos efetivos, conforme figura 6.7b.

Ainda com relação à figura 6.7, caso fossem considerados apenas níveis de imperfeição global entre L/1500 e L/1000 associados à imperfeição local com amplitude de 0,66t para o grupo U375, os resultados sugerem chances plausíveis de predominância do comportamento da imperfeição local sobre a global para esbeltez em torno de 60 ou 90. Todavia para as esbeltezes por volta de 120 ou 150, uma combinação favorável é pouco provável.

6.5 Sensibilidade ao sinal da imperfeição

A sensibilidade ao sinal da imperfeição também foi investigada. Primeiramente cada tipo de imperfeição foi avaliado individualmente. Ao comparar as relações força versus deslocamento para os sinais positivo e negativo de imperfeições local, distorcional e global, com respeito aos casos investigados, nenhuma discrepância foi encontrada.

No entanto, no contexto da avaliação proposta neste item, onde os sinais das imperfeições foram opostos àqueles empregados no item 6.4, ao associar os modos de imperfeição geométrica nas barras em cada classe de seção avaliada, o efeito favorável ao acoplamento entre os modos local e global, anteriormente observado para os perfis U simples (item 6.5), também foi identificado para os grupos Ue225 e Ue375, porém não mais se verificou nos grupos U225 e U375.

Vale lembrar que, neste item, os papéis se invertem do ponto de vista da consideração de imperfeições conjuntas. Se para as seções U simples a configuração de colapso com relação à aplicação apenas da imperfeição do tipo local resultou igual ao da deformada final obtido para imperfeição global, para as seções U enrijecida as configurações resultaram diferentes.

As figuras 6.8 a 6.9 mostram dois exemplos da sensibilidade à imperfeição conjunta com imperfeição global em relação às seções enrijecidas.

Novamente a configuração de colapso das imperfeições local e global foram os fatores determinantes no que diz respeito à obtenção ou não de combinações favoráveis de imperfeições. Destaca-se ainda que ao investigar os resultados aqui obtidos para os perfis U enrijecidos, de fato, além da combinação dos sinais adotados para cada tipo de imperfeição geométrica, os fatores de escala também desempenharam papel importante na resposta dos modelos.

Em síntese, nos modelos Ue225 com esbeltez global iguais a 60 e 90, e patamar de imperfeição maior que 0,34t e 0,64t, inerente aos fatores de escalas local e distorcional, respectivamente, houve predominância do efeito local quando do desenvolvimento da configuração deformada final dos modelos, principalmente, quando associadas a imperfeições do tipo global com amplitudes entre L/1500 e L/1000, que sugere grandes chances de que o efeito favorável se desenvolva.

Para modelos Ue225 com esbeltez global em torno de 120 e 150 (grupo 3), uma combinação realizada em níveis de magnitudes de imperfeições local e distorcional maiores iguais a 0,66t e 1,55t, respectivamente, com imperfeições globais menores ou iguais a L/1500, sugere forte possibilidade do efeito provocado pelas imperfeições seccionais prevalecer àquele promovido pela imperfeição global.



33

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

0 1 2 3 4 5


Fu (k

N)


L/5000 L/1500 L/1000 L/500

max/min=1,07

max/min=1,08

max/min=1,23

max/min=1,16

Local = 0,66t e Distorcional = 1,55t - (25%) 2,25

125

50

25

Figura 6.8 – Sensibilidade ao acoplamento: Ue125x50x25x2,25. Imperfeição global com alma tracionada.

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 1 2 3 4 5


Fu (k

N)


L/5000 L/1500 L/1000 L/500

max/min=1,06

max/min=1,15

max/min=1,20

max/min=1,19

Local = 0,66t e Distorcional = 1,55t - (25%) 3,75

125

50

25

Figura 6.9 – Sensibilidade ao acoplamento: Ue125x50x25x3,75. Imperfeição global com alma tracionada.

No que se refere ao grupo 4 (Ue375), nenhum caso de combinação favorável entre

imperfeições global e seccional foi identificado para os menores níveis de imperfeição seccional (75% e 50% de probabilidade de excedência), independente do comprimento efetivo, bem como do grau de imperfeição global. A influência das imperfeições seccionais começa a prevalecer sobre a imperfeição



34

global para níveis de magnitude seccional maiores iguais que 0,66t e 1,55t, referente aos fatores de escala local e distorcional, respectivamente, conforme figura 6.9.

Para fatores de escala iguais a 0,66t e 1,55t, referente aos fatores de escala local e distorcional, ainda com relação aos modelos do grupo Ue375, caso fossem considerados apenas níveis de imperfeição global entre L/1500 e L/1000, os resultados sugerem plausível preponderância do comportamento da imperfeição de cunho seccional sobre o acoplamento à global, para esbeltez de 60. Todavia para as esbeltezes de 90, 120 e 150, a perspectiva de que este fenômeno seja verificado sugere pouca expressão.

7 CONCLUSÕES

Por meio das análises realizadas foi possível identificar numericamente, do ponto de vista de análise isolada, que a sensibilidade dos perfis às imperfeições do tipo local está correlacionada com a forma da seção, bem como com a esbeltez, enquanto que para imperfeições do tipo global a sensibilidade mantém pouca correlação com o tipo e esbeltez da seção. A imperfeição do tipo distorcional praticamente não apresentou correspondência com a variação de esbeltez da seção.

De forma mais clara, perfis U enrijecidos se apresentaram menos suscetíveis a imperfeições do tipo local se comparado aos perfis U simples. A sensibilidade com relação à imperfeição do tipo distorcional foi idêntica para os dois valores de esbeltez de seções U enrijecidas. Por fim, com relação à imperfeição do tipo global, a sensibilidade foi idêntica tanto para perfis da mesma classe com diferentes esbeltez como entre as duas classes de perfis distintas.

No referente aos comprimentos das barras, os modelos cujos comprimentos efetivos conduzem à obtenção da relação Ley/ry com valores em torno de 90 e de 120, em geral, apontaram maior susceptibilidade às imperfeições do tipo local e global. No entanto, para imperfeição do tipo distorcional, as barras com esbeltez global em torno de 60 são aquelas que expressam maior sensibilidade.

No contexto da análise conjunta, em primeira instância, o fator que apresentou maior relevância, foi o “sinal” da imperfeição global. Constatou-se que a associação deste tipo de imperfeição com aquelas dos tipos local e distorcional para perfis U enrijecido, bem como apenas local para perfis U simples, em geral, definiu o surgimento de combinações favoráveis ou conservadoras, no que se refere à determinação das forças últimas.

Em caráter complementar, aspectos como, grau de imperfeição local, grau de imperfeição global, grau de imperfeição distorcional, também foram parâmetros determinantes. Por exemplo, com relação aos perfis U simples, em caso de se adotar imperfeição global com sinal positivo (compressão na alma e tração nas abas) e magnitude entre L/1500 e L/1000, seria necessária uma imperfeição local em torno de 0,34t para que os resultados não fossem contra a segurança, em termos de valores médios para as relações entre força última experimental e numérica.

Por outro lado, ainda com relação aos perfis U simples, ao se adotar imperfeição global com sinal negativo (tração na alma e compressão nas abas), para o menor valor de imperfeição local investigado, 0,14t, a estimativa das forças últimas seriam no mínimo 10% conservativas, com relação a magnitudes entre L/1500 e L/1000, tendo em vista os valores médios das relações entre força última experimental e numérica.

Portanto, é possível notar que as duas situações mencionadas traduzem a importância da consideração do sinal da imperfeição global no que se refere à composição de imperfeições geométricas utilizando interação entre modos de falha como estratégia de modelagem numérica.

A rigor, as magnitudes e sinais de imperfeições para fins de modelagem numérica deveriam ser definidas para faixas de valores de esbeltez local em cada tipo de seção.



35

8 AGRADECIMENTOS

Os autores do presente trabalho expressam aqui seus sinceros agradecimentos à CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior pelo apoio financeiro concedido durante a realização dos mesmo.

9 REFERÊNCIAS

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ANSYS INC. Ansys Release 9.0 - Documentation. 2004.

CHODRAUI, G. M. B. Análise teórica e experimental de perfis de aço formados a frio submetidos à compressão. São Carlos. 2006. Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2006.

DUBINA, D.; UNGUREANU, V. Effect of imperfections on numerical simulation of instability behavior of cold-formed steel. Thin-Walled Struct. v. 40, p. 239-262, 2002.

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YANG, D.; HANCOCK, G. J. Compression tests of cold-reduced high strength steel channel columns failing in the distortional mode. Sydney, Australia: Department of Civil Engineering, University of Sydney. Research Report R825, 2003.

YANG, D.; HANCOCK, G. J. Numerical simulation of high strength steel lipped-channel Columns. Sydney, Australia: Department of Civil Engineering, University of Sydney, Research Report R843, 2004.

36

ISSN 1809-5860


ANÁLISE DAS PRESSÕES EM SILOS ESBELTOS COM DESCARGA EXCÊNTRICA

Fernanda Scaramal Madrona1 & Carlito Calil Junior2

R e s u m o Com a finalidade de avançar o conhecimento cientifico e tecnológico na área armazenamento de produtos, este trabalho tem por objetivo desenvolver um estudo teórico e numérico das pressões devidas ao produto armazenado em silos verticais com descarga excêntrica. Para isto foi desenvolvido um modelo numérico baseado no método dos elementos finitos (FEM) utilizando o programa ANSYS. Os resultados numéricos obtidos foram comparados com as recomendações das principais normas intenacionais: AS 3774 (1996), DIN 1055-87 (2005), EUROCODE 1 (2002) e ISO – 11697 (1995). A partir da comparação entre resulotados teóricos e numéricos foi possível estabelecer uma proposta de determinação de pressões devido ao armazenamento de produtos de fluxo livre em silos esbeltos com descarga excêntrica, tendo em vista a elaboração da primeira norma brasileira de ações em silos. Palavras-chave: Pressões. Silos. Esbeltos. Descarga excêntrica. Estruturas de armazenamento.

ANALYSIS OF PRESSURES IN SLENDER SILOS WITH ECCENTRIC

ECCENTRIC OUTLET HOPPER

A b s t r a c t In order to improve the scientific and technological knowledge in the field of bulk solids storage, this work aims to develop a theoretical and numeric study of pressures due to bulk solid storage in slender silos with eccentric discharge. The pressures were obtained through the development of a numeric model based on the finite element method (FEM) utilizing the structural software ANSYS. The numeric results obtained were compared with international normative recommendations: AS 3774 (1996), DIN 1055-87 (2005), EUROCODE 1 (2002) e ISO – 11697 (1995). From the comparison of theoretic and numeric results was possible to establish a proposal for determining pressures due to bulk solids storage in slender silos with eccentric discharge, aiming the elaboration of the first Brazilian regulation for determining pressures in silos. Keywords: Pressures. Silos. Slender. Eccentric discharge. Bulk solids storage.

1 INTRODUÇÃO

Grande parte dos silos existentes no mundo não possui condições ideais de operação porque não se conhece perfeitamente o comportamento das pressões exercidas pelo produto armazenado. Desde o século XIX numerosas teorias têm sido desenvolvidas para avaliar as pressões exercidas sobre as paredes dos silos. Contudo, muitos parâmetros de cálculo ainda não foram corretamente determinados, principalmente quando se trata de pressões relacionadas com a descarga excêntrica. A descarga excêntrica é interessante porque permite a otimização do uso de transportadores e facilita o acesso de caminhões e trens no descarregamento do produto. A desvantagem é que nesta


Fernanda Scaramal Madrona & Carlito Calil Junior


38

situação, surgem pressões não uniformes ao longo do perímetro do silo, consideradas a maior causa de colapsos em silos (Molenda et al., 2001). Dado a complexidade de previsão dessas pressões não uniformes, o método previsão das pressões dinâmicas adotado pela maioria dos códigos normativos internacionais consiste em determinar as pressões estáticas em silos concêntricos, calculados pela teoria de Janssen (1895) e posteriormente corrigir os resultados por meio da adoção de coeficientes multiplicadores denominados coeficientes de sobrepressão, que simulam o descarregamento do silo. Além disso, são aplicadas adicionais assimétricas de forma a cobrir incertezas a respeito de assimetrias de pressões que podem ocorrer durante a descarga. Segundo Gillie e Rotter (2002) a adoção de pressões adicionais tem sido realizada sem uma avaliação rigorosa das conseqüências estruturais nos silos, principalmente em silos metálicos. Sendo que, os poucos estudos existentes têm sido baseados em análises lineares por elementos finitos. Apesar de muitos experimentos internacionais já terem sido conduzidos no assunto, ainda faltam respostas com relação ao comportamento das pressões em silos com descarga excêntrica, assim como, o estabelecimento de um procedimento de cálculo satisfatório que considere esse tipo de situação. Na atualidade, com os sofisticados métodos de cálculo surge uma nova alternativa para o estudo das pressões nas paredes dos silos: a análise numérica por meio do método dos elementos finitos (MEF), assunto abordado neste trabalho. Este trabalho tem por finalidade o estudo teórico e numérico das pressões em silos verticais esbeltos exercidas por produtos granulares de não coesivos. Para isto foi desenvolvido um modelo numérico baseado no método dos elementos finitos (FEM) utilizando o programa ANSYS. Os resultados numéricos obtidos foram comparados com as recomendações das principais normas intenacionais: AS 3774 (1996), DIN 1055-87 (2005), EUROCODE 1 (2002) e ISO – 11697 (1995) de forma a elaborar recomendações de cálculo neste caso específico de unidades e contribuir na elaboração da primeira norma brasileira de silos.

2 PRESSÕES EM SILOS ESBELTOS

As pressões exercidas pelos produtos armazenados dependem de muitos fatores como as propriedades físicas do produto, o tipo de fluxo, o método de operação do silo, a geometria do silo, entre outros. No momento do cálculo das pressões é sempre desejável prever as piores condições de pressões que o silo estará sujeito durante sua vida útil, por isso a maioria das normas internacionais utiliza faixas de variação (limites superior e inferior) das propriedades do produto, que são: peso específico (γ), ângulo de atrito interno (φi), relação entre pressões horizontais e verticais (K), ângulo de atrito com a parede (φw), coeficiente de atrito com a parede (μw). As principais teorias desenvolvidas para o cálculo das pressões em silos esbeltos serão apresentadas neste item. A maioria delas constitui a base de cálculo das pressões nas normas vigentes que abordam ações em silos.

2.1 Teoria de Janssen (1895)

A teoria de Janssen é a mais utilizada atualmente para o cálculo das pressões no corpo de silos esbeltos. Ela é baseada no equilíbrio de forças em uma camada elementar do produto em repouso. A pressão vertical estática (pvf) segundo a teoria de Janssen é calculada com equação 1, sedo possível obter a pressão horizontal estática (phf) e a de atrito (pwf) a partir da Eq. (1), considerando as hipóteses K.dpvf=dphf e pwf=μ.phf.

Análise das pressões em silos esbeltos com descarga excêntrica


39

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−AUzK

vf eUA

Kzp

μ

μγ 1)(

(1)

)(.)( zpKzp vfhf = (2)

)(.)( zpzp hfwwf μ= (3)

A pressão de atrito na parede pwf equilibra parte do peso do produto e por isso as pressões horizontais que o produto exerce nas paredes não aumentam linearmente com a altura do silo como as pressões hidrostáticas, mas apresentam um crescimento que tende a um valor máximo exponencial. Todas as normas internacionais analisadas utilizam a teoria de Janssen para predição das pressões estáticas em silos elbeltos. As pressões dinâmicas são obtidas multiplicando-se as pressões estáticas por coeficientes de sobrepressão.

2.2 Teoria de Walker (1966)

Walker considerou o equilíbrio de forças verticais numa camada elementar de altura x na tremonha e estabeleceu uma formulação para o cálculo das pressões verticais (pv) dada pela Eq. (4):

n

hvft

n

hh

hv h

xphx

hx

nh

p ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

1γ

(4)

Sendo:

vftp = pressão vertical na transição

)1)cot(...( −+= FFSn heff βμ (5)

β= ângulo de inclinação da parede da tremonha com a vertical; S = 1 para tremonhas em cunha e S = 2 para tremonhas cônicas ou piramidais; As pressões estáticas normal (pnf) e tangente (ptf) à parede toda tremonha são obtidas a partir da Eq. (4):

vfnf pFp .= (6)

nfhefftf pp μ= (7)

Onde o F da Eq (5) será substituído por Ff , sendo:

hefff tg

tgFμβ

β+

=)(

)(

(8)

As pressões dinâmicas são obtidas a partir da Eq. (4) da seguinte forma:

vene pFp .= (9)



40

neheffte pp μ= (10)

substituindo a variável F da Eq. (5) por Fe , sendo:

( )).(2cos.1).2cos(.1

2

2

εβφεφ+−

+=

e

ee sen

senF

(11)

Com

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

e

ww sen

senasen

φφ

φε21

2

(12)

A teoria de Walker é válida apenas para o cálculo das pressões em tremonhas concêntricas. As normas internacionais AS 3774 (1996), DIN 1055-87 (2005), e EUROCODE 1 (2002) utilizam a teoria de Walker para predição das pressões nas tremonhas, enquanto a norma ISO – 11697 (1995) utiliza um método empírico.

2.3 Teoria de Safarian (1969)

Safarian (1969) se baseou nos resultados experimentais de Pieper e Wagner (1969) para propor um método de cálculo das pressões em silos com descarga excêntrica. Safarian propõe que as pressões de descarga sejam calculadas inicialmente com fórmula de Janssen multiplicada por um coeficiente de sobrepressão. O resultado obtido é, então, majorado no lado oposto à excentricidade e reduzido no lado próximo (Figura ). O aumento ou redução depende das pressões horizontais considerando um raio imaginário da seção transversal (ri) cujo centro coincide com o centro da boca de saída do silo.

Figura 1 – Distribuição das pressões dinâmicas na descarga excêntrica adotada por Safarian. Fonte: Calil

(1984).



41

O valor da pressão a ser adicionada no lado oposto e reduzida no lado adjacente à saída, varia linearmente na altura do silo na razão de z/hc e depende do valor da pressão phi que é a pressão de Janssen calculada utilizando o valor do raio imaginário (ri):

( )hehic

pe pphzzp −=)(

(13)

Que atua segundo uma distribuição variável ao redor na circunferência de acordo com a equação:

θθ cos)( pepes pp = (14)

2.4 Teoria de Rotter (1986)

Rotter (1986) estudou a descarga excêntrica para silos de fundo plano e sugere procedimentos para o cálculo das pressões que foram incluídos nas normas EUROCODE (2002) e DIN (2005). A principal diferença entre a teoria de Rotter (1986) com outros métodos de cálculo, é que ela satisfaz as equações de equilíbrio estáticas em qualquer seção transversal do silo. Porém possui algumas limitações, ou hipóteses de validade, como fluxo paralelo à parede do silo; valor de K constante tanto na zona de fluxo quanto nas zonas estáticas; pressão de atrito na parede é mobilizada integralmente pelo coeficiente de atrito da parede (μw); coeficiente de atrito no contato entre o sólido estático e o sólido fluindo (μsc) igual à tangente do ângulo de atrito interno (θi) no sólido, ou seja, μsc=tgφi e distribuição das pressões conforme Figura (b).

Figura 2 – (a) Parâmetros geométricos na seção transversal e (b) distribuição de pressões. Fonte: Rotter

(1986).

Segundo a teoria de Rotter, a pressão horizontal na parede em contato com o no canal de fluxo (phce) ilustrado na Figura (b) é dado por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=c

scwcwwc

scwcwwc

chce A

UUKz

UUA

pμμ

μμγ .exp1

(15)

Sendo:

Ac= área do canal de fluxo As= área do sólido estático;



42

Uwc= comprimento do perímetro de contato entre o canal de fluxo e a parede; Uws= comprimento do perímetro de contato entre sólido estático e a parede; Usc= comprimento do contato entre o canal de fluxo com o sólido estático;

θc= ângulo formado pela reta horizontal que passa pelo centro do silo e pelo centro do canal de fluxo e a reta que cruza o ponto de encontro do fluxo com a parede do silo sendo cc senrrsen θδ )/(= ;

ec = excentricidade do centro do canal de fluxo (ec=r.cosδ-rc cosθc);

A pressão horizontal na parede em contato com o produto em repouso ( hsep ) no lado distante do canal de fluxo é:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

++−++=−

s

wsAzKU

ws

shse A

zKUwuwwuew

UA

p s

ws μμ

γμ

exp)1(1 (16)

Onde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

iscwc

isc

s

c

UUsenU

AA

wθμ

θtan (17)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

μμμ

μμ

ws

s

scwcwwc

c

scwcwwc

c

UA

UUA

UUA

u

(18)

Sendo sempre válidas as relações pwce=μ.phce e pwse=μ.phse .

3 ANÁLISE NUMÉRICA

3.1 Geometrias dos silos estudados

Para fins de análise, foram adotadas três geometrias: silo de fundo plano, silo com tremonha concêntrica e silo com tremonha excêntrica conforme a Figura 3.



43

23°

Y

Z

2,8

11 3

23°

X

Z

11 3

0 ,9

X

Z

0,75

2,8

11 3

9°35°

Figura 3 – Desenho esquemático e dimensões, em metros, dos silos.

Os três silos estudados são classificados como esbeltos de acordo com as normas analisadas. O que apresenta fundo plano é de grande excentricidade com relação eo/D igual a 30%, o silo com tremonha excêntrica possui relação eo/D igual à 25%, valor limite segundo as normas EUROCODE, DIN e AS. Para garantir o fluxo de massa o ângulo entre a parede da tremonha com a direção vertical deve ser menor que 35,9˚. Foi adotado o valor de βs=35˚.

3.2 Propriedades físicas dos produtos

Os produtos analisados foram: (a) farelo de milho e (b) soja cujas propriedades físicas foram obtidas po meio do ensaio de cisalhamento direto com o produto e com a parede, utilizando o Jenike Shear Tester. Os dados experimentais foram analisados e os resultados são mostrados na Tabela 1. Estes foram os valores utilizados na determinação analítica das pressões, segundo as normas analisadas.



44

Tabela 1 – Valores inferiores, médios e superiores das propriedades físicas

Produto Farelo milho Soja Produto Farelo

milho Soja

γi (kN/m3) 6,36 7,05 μhi 0,19 0,18 γm(kN/m3) 6,42 7,11 μhm 0,22 0,20 Peso

específico γs (kN/m3) 6,45 7,13

Coef. de atrito com a tremonha μhs 0,24 0,22

φii (º) 34,4 33,3 Ki 0,41 0,45 φim (º) 37,1 34,7 Km 0,43 0,47 Ângulo de

atrito interno φis (º) 37,6 36,8

K (EURO, DIN e ISO)

Ks 0,45 0,50 φei (º) 37,1 32,3 Ki 0,42 0,44 φem (º) 37,6 34,6 Km 0,44 0,46 Ef. Atrito

interno φes (º) 38,3 36,8

K (AS) Ks 0,46 0,48

μeffi 0,44 0,38 ci (KPa) 0,00 0,00 μeffm 0,46 0,40 cm (KPa) 0,27 0,23

Coef. de atrito efetivo

parede μeffs 0,48 0,42

c cs (KPa) 0,82 0,37

3.3 Modelos de comportamento e parâmetros do produto armazenado

Neste trabalho foram adotados dois modelos de comportamento do produto: elástico (sigla EL) e elástico-perfeitamente plástico (sigla ELP), com critério de plastificação de Drucker-Prager (Figura 4) que já vem incluído biblioteca do programa ANSYS. A parte elástica é definida pelos parâmetros: módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do produto (ν). O limite de tensões a partir do qual o produto se plastifica é representado pelo critério de plastificação ou ainda superfície de fluência.

Figura 4 – Representação espacial do critério de ruptura de Drucker-Prager.

Figura 5 – Efeito da dilatância do produto nas linhas de deslizamento.

Para o emprego do modelo de Druck-Prager, três parâmetros dos produtos armazenados são necessários: coesão, ângulo de atrito interno e ângulo de dilatância. O ângulo de atrito interno do produto (φi) define a inclinação da superfície de fluência enquanto o ângulo de dilatância (ψ) corresponde ao ângulo formado entre a linha de deslizamento da amostra e a direção real do deslizamento (Figura5) por isso ele está relacionado com a dilatação volumétrica do produto



45

submetido ao cisalhamento. Vários autores acreditam que esta dilatação volumétrica é um dos fatores que causam o aumento das pressões na condição de descarga do silo. Os valores dos parâmetros adotados na simulação numérica com o programa ANSYS foram baseados nos testes experimentais e são mostrados na Tabela 2.

Tabela 2 – Propriedades físicas dos produtos utilizados na simulação numérica

Produto Farelo de milho Soja

Peso específico γs (kN/m3) 6,45 7,13 Módulo de elasticidade Es (kN/m2) 1647 1542 Coeficiente de Poisson ν 0,30 0,32 Ângulo de atrito interno φm (º) 37,6 34,8 Coesão c (kPa) 0,5 0,2 Ângulo de dilatância φd (º) 10 14 Atrito com parede corrugada μ eff, m 0,46 0,40 Atrito com a tremonha μ h, m 0,22 0,20 Atrito produto-canal de fluxo μ sc, m 0,77 0,68

O elemento utilizado para representar o produto nas análises bidimensionais no programa ANSYS foi o PLANE42 e na análise tridimensional o elemento SOLID45.

3.4 Simulação do contato produto-parede

As pressões do produto armazenado dependem significativamente da interação entre o produto armazenado e as paredes. Esta interação é caracterizada por elementos de contato que permitem estimar a pressão normal e a pressão de atrito na parede. O modelo de atrito utilizado no ANSYS para simular o contato neste trabalho foi o modelo de Mohr-Coulomb, baseado na equação:

σμτ .+= c (19)

O contado do produto com a parede no estudo dos silos é considerado como um problema de superfície-superfície que se baseia na definição da superfície alvo (parede do silo) e a superfície de contato (borda externa do produto). Os programas comerciais possuem muitas opções para simular o contato entre dois materiais. No programa ANSYS, existem vários parâmetros que estão relacionados com o contato. O fator de rigidez do contato (FKN) importante neste sentido. O valor 1 de FKN é adotado como padrão pelo ANSYS, ele fornece um balanço aceitável entre o tempo de convergência e a precisão da solução e pode ser modificado de acordo com o modelo estudado. Este valor pode não ser apropriado para o estudo das pressões nos silos, portanto neste trabalho foi realizado um estudo paramétrico para determinar o fator de rigidez normal que melhor descreve o comportamento das pressões na parede do silo. A interação produto-parede na análise bidimensional foi realizada com os elementos finitos CONTA171 e TARGE169 e na análise tridimensional o CONTA173 e o TARGE170.

3.5 Simulação da descarga

O descarregamento do silo é uma condição dinâmica que envolve o tempo como variável e requer a consideração do deslocamento de partículas individuais. Sendo o MEF fundamentado na hipótese de meio contínuo, a simulação do fluxo do produto se torna mais complexa. Portanto, a descarga no silo com fundo plano foi simulada aplicando-se um deslocamento no fundo do silo numa



46

área igual à área do canal de fluxo determinada segundo a teoria de Rotter (1986), conforme a Figura 6. O efeito de deslocamento de partículas individuais foram desprezadas.

Figura 6 – Deslocamento imposto na área canal de fluxo.

Nos silos com tremonha a simulação da descarga foi realizada com base a teoria de Jenike que afirma que no início da descarga há uma mudança do estado ativo para o estado passivo de tensões gerando durante este processo um aumento significativo no valor de K e consequentemente um aumento no coeficiente de Poisson. Então, a descarga do silo foi simulada a partir de um modelo estático com o coeficiente de Poisson igual a 0,48, que representa um aumento de 50% de K.

4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS RESULTADOS

4.1 Aspectos da modelagem numérica

A influência do fator de rigidez normal do contato (FKN) nas pressões normais é observada na Figura 7 para o silo com fundo plano.

1 1 3 5 7 9 11 13 15 17

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

M2D-EL-FKN 0.1M2D-EL-FKN 0.3M2D-EL-FKN 0.5M2D-EL-FKN 1M2D-EL-FKN 5M2D-EL-FKN 10M2D-EL-FKN 20

(a)

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

M2D-EL-FKN 0.2M2D-EL-FKN 0.3M2D-EL-FKN 1M2D-EL-FKN 5M2D-EL-FKN 10M2D-EL-FKN 20

(b)

Figura 7 – Pressão estática normal (kPa) de acordo com FKN para o farelo de milho (a) e a soja (b), com

comportamento elástico (EL) no silo com fundo plano.

Pode-se obervar que quanto maior FKN, maiores as pressões exercidas pelo produto na parede. Nos modelos simulados com valores de FKN entre 0,1 e 1, ocorre um alívio de tensões,



47

representando paredes flexíveis. Ou seja, quanto mais flexível a parede, maior deformação na mesma e menores as pressões à que ela está submetida. Em silos que possuem fundo com tremonhas, o efeito do FKN é mais acentuado, principalmente na tremonha, conforme a Figura 8.

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

M3E-EL-FKN 0.1M3E-EL-FKN 0.5M3E-EL-FKN 1M3E-EL-FKN 2M3E-EL-FKN 3M3E-EL-FKN 4M3E-EL-FKN 5M3E-EL-FKN 10

(a)

0 6 12 18 24 30 36 42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

M3E-EL-FKN 0.1M3E-EL-FKN 0.5M3E-EL-FKN 1M3E-EL-FKN 2M3E-EL-FKN 3M3E-EL-FKN 4M3E-EL-FKN 5M3E-EL-FKN 10

(b)

Figura 8 – Pressão estática normal (kPa) de acordo com FKN para o farelo de milho (a) e a soja (b), com comportamento elástico (EL) no silo com tremonha concêntrica.

Pode ser observado na Figura 9 que quanto maior o valor de FKN, menor a pressão na tremonha. Por isso ele deve ser ajustado para que as pressões não sejam subestimadas no corpo do silo e superestimadas na tremonha, como ocorre nos casos em que FKN é menor do que 1.

4.2 Análise das pressões estáticas normais à parede

4.2.1 Silo com fundo plano As curvas de pressão normal estática segundo as normas e o MEF para os dois produtos no silo com fundo plano são mostradas na Figura 9.



48

1 1 3 5 7 9 11 13 15

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

EURO/DIN C1EURO/DIN C2 C3ASM.E.F.-M2D-ELM.E.F.-M3D-EL

(a)

1 1 3 5 7 9 11 13 15 17

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

EURO/DIN C1EURO/DIN C2 C3ASM.E.F.-M2D-ELM.E.F.-M3D-EL

(b)

Figura 9 – Pressão estática normal à parede para farelo de milho (a) e a soja (b) no silo com fundo plano

com o ângulo θ=0˚ em kPa.

Com relação às normas, oberva-se que distribuição de pressões normais com a soja (≈13 kPa no fundo) é superior à do farelo de milho (≈10 kPa) devido ao maior peso específico da soja. A pressão estática adicional varia de zero a 1,4 kPa para o farelo de milho e de zero a 0,9 kPa para a soja, atuando numa altura z entre 3,2 m e 3,8 m. A curva de pressões obtida pelo MEF é quase coincidente com a curva de pressões para os silos da primeira classe de confiabilidade porque o coeficiente de Poisson e coeficiente de atrito com a parede adotado no modelo numérico foi calculado com base nos valores médios de K e μ. Portanto, excluindo a influência da variabilidade dos valores das propriedades físicas dos produtos, as pressões obtidas por meio do MEF concordam com as previstas pela equação de Janssen, com excessão da base do silo que foi considerada engastada no modelo numérico enquanto que a teoria de Janssen é baseada na hipótese de cilindro infinito.

4.2.2 Silo com tremonha concêntrica As curvas de a pressão normal estática segundo as normas e o MEF para os dois produtos são mostradas na Figura 10.



49

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

EURO/DIN C1EURO/DIN C2 C3 (0)ASISOMEF-M2D-ELPMEF-M3D-ELPMEF-M3D-EL

(a)

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

EURO/DIN C1EURO/DIN C2 C3 (0)ASISOMEF-M3D-ELMEF-M3D-ELP

(b)

Figura 10 – Pressão estática normal para o farelo de milho (a) e a soja (b) em kPa.

A pressão normal para a soja é superior à pressão normal com o farelo de milho, tanto no corpo quanto na tremonha. Na transição entre o corpo cilíndrico e a tremonha ocorre um pico de pressão em torno de 28 kPa para o farelo de milho e 32 kPa para a soja de acordo com as normas. Observa-se que as pressões na tremonha variam muito entre as normas. Isto acontece porque o cálculo das pressões exercidas na tremonha é um fenômeno que ainda não é completamente compreendido por isso as normas se mostram conservadoras neste caso. No corpo do silo, as pressões normais normativas são próximas às obtidas pelo MEF, porém na tremonha as normas indicam pressões superiores ao MEF, sendo que os silos da classe 2 e 3 são os que mais se aproximam com os resultados obtidos com o MEF na tremonha. Entretanto, continuam maiores. O pico de pressão na transição observada pelas curvas do MEF se deve à descontinuidade do modelo neste local, que causa dificuldade para o programa determinar com exatidão a pressão. Observa-se que no modelo bidimensional axissimétrico (M2D), o pico de pressões é maior do que no tridimensional (M3D) que comprova que o pico é realmente um problema numérico.

4.2.3 Silo com tremonha excêntrica As curvas de a pressão normal estática para o farelo de milho e para a soja são ilustradas respectivamente nas Figuras 11 e 12.



50

12581114172023262932

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


Lado Oposto

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14


Lado Próximo

Figura 11 – Pressão estática normal à parede para farelo de milho em kPa.

036912151821242730333639

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

EURO/DIN C1EURO/DIN C2 C3ASISOMEF-M3D-ELMEF-M3D-ELP

Lado Oposto

Pressão estática normal à parede em kPa

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

EURO/DIN C1EURO/DIN C2 C3ASISOMEF-M3D-ELMEF-M3D-ELP

Lado Próximo

Pressão estática normal à parede em kPa

Figura 12 – Pressão estática normal à parede para farelo de milho em kPa.

Para ambos os produtos, observa-se que no lado oposto à excentricidade são observados os maiores valores de pressão. Entretanto, estes valores são inferiores aos recomendados pelas normas (obtidos considerando a tremonha concêntrica). Em compensação ao acréscimo de pressões no lado



51

oposto ocorre um alívio de pressões no lado próximo à excentricidade, respeitando o equilíbrio entre o peso do produto no interior do silo.

4.3 Análise das pressões dinâmicas normais à parede

4.3.1 Silo com fundo plano O silo de fundo plano possui boca de saída com grande excentricidade. Neste caso, as normas EUROCODE, DIN e AS propõem distribuições assimétricas de pressão que variam com a altura e ângulo ao redor do perímetro do silo. As distribuições das pressões dinâmicas para o farelo de milho segundo estas normas e a teoria de Safarian são observadas na Figura 13.

Figura 13 – Pressão dinâmica normal assimétrica para o farelo de milho segundo a norma EUROCODE e

DIN classe 2 (a) e classe 3 (b) AS (c) e a teoria de Safarian (d).

(c)

(a)

(d)

(b)



52

24681012141618202224

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

MEF-M3D- 40cm (180)EURO/DIN C1 (0-360)EURO/DIN C2 (70-290)EURO/DIN C3 (64-296)AS (90-270)SAFARIAN (180)

Pressão dinâmica normal em kPa

1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

MEF-M3D-8cm (0)MEF-M3D-40cm (60)EURO/DIN C1 (0-360)EURO/DIN C2 (0-35/325-360)EURO/DIN C2 (35-70/290-325)EURO/DIN C3 (0-32/328-360)EURO/DIN C3 (32-64/296-328)AS (0-60/300-360)AS (60-90/270-300)SAFARIAN (0)

Pressão dinâmica normal em kPa

Figura 14 – Pressão dinâmica horizontal para o farelo de milho.

0123456789

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

MEF-M3D-31cm (180)EURO/DIN C1 (0-360)EURO/DIN C2 (70-290)EURO/DIN C3 (64-296)AS (0-360)

Pressão dinâmica de atrito em kPa

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

MEF-M3D- 8cm (0)MEF-M3D- 31cm (60)EURO/DIN C1 (0-360)EURO/DIN C2 (0-35/325-360)EURO/DIN C2 (35-70/290-325)EURO/DIN C3 (0-32/328-360)EURO/DIN C3 (32-64/296-328)AS

Pressão dinâmica de atrito em kPa

Figura 15 – Pressão dinâmica de atrito para a soja.



53

O modelo numérico para o estudo das pressões dinâmicas consistiu em aplicar um deslocamento de 50 cm numa área equivalente à área do canal de fluxo excêntrico determinada pela teoria de Rotter (1986). A distribuição das pressões dinâmicas normais às paredes foram comparadas com as do MEF e são mostradas na Figura 14 para o farelo de milho e na Figura 15 para a soja, sendo os números entre parênteses os intervalos de θ em que cada curva é válida. Pode ser observado que as pressões obtidas numericamente no lado próximo à boca de saída apresentam picos na altura intermediária da parede no início do deslocamento e decrescem no fundo do silo conforme aumenta o deslocamento do fundo. No lado oposto, as pressões aumentam na parte mais baixa com o aumento do deslocamento. Ainda pelo MEF, os ângulos θ=60˚ e θ=90˚ são os que indicam maiores valores das pressões, alcançando um coeficiente de sobrepressão máximo de 1,7 para θ=60˚ na altura z=8,7m e 1,5 para θ=90˚ na altura z=9,2 m. Para a soja a mesma tendência é observada. Para o farelo de milho as pressões dinâmicas normais em silos da classe 1 é simétrica e igual às pressões estáticas multiplicadas pelo coeficiente de sobrepressão de 1,51. Na norma australiana a distribuição inicialmente simétrica possui coeficiente de sobrepressão de 1,79 e se torna assimétrica a partir da redução de 5,2 kPa no lado próximo da boca de saída e acréscimo de 3,6 kPa no lado oposto para z≥7,7 m. Segundo Safarian, a pressão máxima (lado oposto) é de 13 kPa e a mínima (lado próximo) é de 9,5 kPa. Para a soja, as normas EUROCODE e DIN em silos da classe 1 o coeficiente de sobrepressão calculado segundo a equação empírica recomendada foi inferior à um que resulta em pressões dinâmicas inferiores às estáticas. Portanto, foi adotado o coeficiente 1,15. O coeficiente de sobrepressão da AS foi de 1,8 no com redução de 6,5 kPa no lado próximo e acréscimo de 4,5 kPa no lado oposto em z≥7,8 m. Segundo a Teoria de Safarian, a pressão máxima (lado oposto) é de 15 kPa e a mínima é de 13,6 kPa. Novamente a distribuição de pressões segundo as normas EUROCODE e DIN são as que mais se aproximam das pressões obtidas numericamente.

4.3.2 Silo com tremonha concêntrica A pressão dinâmica normal à parede para os dois produtos, analisada segundo as quatro normas é ilustrada na Figura1616. Os resultados do MEF na foram obtidos pela simulação estática com um aumento do coeficiente de Poisson para 0,48. Como pode ser observado na Figura 16, a pressão adicional segundo as normas EUROCODE e DIN atua em uma altura próxima ao topo do silo, em conformidade com a afirmação de Rotter (2001) que diz que as falhas que ocorrem em silos com fluxo excêntrico são geralmente devido à perda de estabilidade por compressão axial na altura média do silo ou nas proximidades do seu topo. Ainda segundo Rotter (2001), as pressões que acarretam a perda de estabilidade do silo atuam numa área quadrada de pequena altura ao longo do perímetro do silo e gera ondulações na parede do silo, podendo ocorrer várias ondas adjacentes. A pressão adicional segundo o EUROCODE varia de zero a 3,2 kPa para o farelo de milho e de zero a 2,1 kPa para a soja. Segundo a norma DIN ela varia de zero a 2,8 para o farelo de milho e 2,1 para a soja. A norma ISO estabelece que a pressão adicional de descarga deve ser aplicada em áreas quadradas de lados opostos da parede em qualquer altura do silo. Portando, de acordo com a ISO, a pressão adicional é constante e igual a 2,5 kPa para o farelo de milho e 3,1 kPa para a soja Para o farelo de milho, o coeficiente de sobrepressão aplicado às pressões horizontais estáticas nos silos de classe 1 é igual a 1,4, enquanto que nos silos de classe 2 e 3 este valor é de 1,15, que justifica os valores altos de pressões para aqueles. Com a soja, novamente o coeficiente de sobrepressão aplicado às pressões horizontais estáticas nos silos de classe 1 é menor do que 1 e, portanto adotou-se o valor de 1,15. Nos silos de classe 2 e 3 este valor é de 1,15. A ISO estabelece o



54

coeficiente de sobrepressão igual a 1,35 para ambos os produtos e a norma AS adotam 1,2 para ambos também.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

EURO/DIN C 1EURO C2 C3 (0)DIN C2 C3 (0)ASISO (0)MEF-M3D-EL

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

EURO/DIN C 1EURO C2 C3 (0)DIN C2 C3 (0)ASISO (0)MEF-M3D-EL

(b)

Figura16 – Pressão dinâmica normal para o farelo de milho (a) e a soja (b) em kPa.

No corpo do silo, segundo o MEF obtém-se o coeficiente de sobrepressão de 1,38 para o farelo de milho e 1,3 para a soja. As pressões na tremonha obtidas pelo MEF adotando-se um maior coeficiente de Poisson são inferiores até mesmo às pressões estáticas obtidas pelo MEF. Portanto, o processo simplificado de aumentar do coeficiente de Poisson do produto fornece uma boa aproximação para as pressões no corpo do silo, porém para a tremonha não.

5 DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

5.1 Modelo numérico

A modelagem numérica do contado entre dois corpos é importante para simular corretamente a interação entre eles, portanto a escolha do fator de rigidez normal do contato (FKN) deve ser ajustada para que a pressão normal às paredes e consequentemente a força dissipada por atrito em seu perímetro sejam coerentes. Com relação ao comportamento do produto armazenado, observou-se que os resultados obtidos considerando o modelo elastoplástico são próximos dos resultados obtidos com o produto elástico. Portanto, enquanto o produto se encontra armazenado em repouso no interior do silo a consideração de material elástico é adequada.



55

5.2 Pressões estáticas: considerações normativas e o MEF

As recomendações propostas pelas normas internacionais analisadas são, em sua totalidade, baseadas na teoria Janssen (1895) para as estimativas das pressões estáticas no corpo do silo. A validade da teoria de Janssen foi comprovada também pelo MEF, dado que as pressões estáticas no corpo do silo obtidas pelo MEF concordam muito bem com as obtidas a partir da teoria de Janssen, desde que o efeito da variabilidade das propriedades físicas dos produtos seja excluída. As pressões obtidas pelo MEF na tremonha são inferiores em comparação com as normas analisadas. Isto se deve ao fato de que as expressões adotadas pelas normas não satisfazem o equilíbrio com as cargas aplicadas, enquanto o MEF satisfaz. Cabe destacar que as normas não abordam uma metodologia para o cálculo das pressões em tremonhas excêntricas. Somente mencionam que para este tipo de situação deve ser utilizado um método de cálculo apropriado, não especificando qual. A partir dos resultados melo MEF em silos com tremonhas excêntricas pode-se concluir que as pressões estáticas são maiores no lado oposto à excentricidade e menores no lado próximo, fenômeno ainda mais acentuado conforme aumenta o valor da excentricidade o que gera assimetria de pressões na tremonha podendo causar ovalização das paredes do silo, efeito que se acentua ainda mais devido à elevada esbeltez das paredes.

5.3 Pressões dinâmicas: considerações normativas e o MEF

Nos silos com tremonha observou-se que o processo simplificado de aumentar o coeficiente de Poisson do produto para simular as pressões fornece uma boa aproximação para as pressões no corpo do silo, porém na tremonha não. No silo de grande excentricidade os resultados numéricos obtidos a partir da aplicação de deslocamento no fundo do silo mostram que a distribuição de pressões obtidas pela teoria de Rotter é satisfatória e é capaz de prever as máximas pressões em casos de fluxo excêntrico de forma que a distribuição de pressões das normas EUROCODE e DIN são as que mais se aproximam das pressões obtidas numericamente. Em contrapartida, o procedimento da norma AS e a teoria de Safarian não cobrem as faixas de máximas pressões nos silos.

5.4 Proposta de norma brasileira

Na maioria dos casos estudados neste trabalho, as normas EUROCODE e DIN foram as que apresentaram resultados de pressões mais próximos dos obtidos numericamente. Essas normas oferecem um melhor balanço entre segurança e economia da estrutura por considerar diferentes níveis de rigor de projeto em função de suas características e complexidade. Além disso, são as normas de publicação mais recentes que incluíram as mais novas teorias desenvolvidas no estudo dos silos. Portanto, para a determinação das ações em silos esbeltos para o armazenamento de produtos de fluxo livre uma boa alternativa é a utilização dos métodos recomendados pelas normas EUROCODE e DIN, com algumas ressalvas: pressão no fundo do silo segundo a AS e estabelecimento de coeficiente de sobrepressão mínimo de 1,2 e porcentagem mínima de variabilidade das propriedades dos produtos, mesmo quando elas forem obtidas por meio de testes experimentais.



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6 AGRADECIMENTOS

À FAPESP pela bolsa de mestrado concedida.

7 REFERÊNCIAS

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DEUTSCHE NORM. DIN 1055-6: Basis of design and actions on structures- Part 6: Design loads for buildings and loads in silos bins. Berlin, Verlaz, 2005.

EUROPEAN COMMITTEE OF STANDARDIZATION. PrEN 1991-4: Actions on silos and tanks. Brussels. 2002.

GILLIE M.; ROTTER J.M. The effects of patch loads on thin-walled steel silos. Thin-Walled Struct , v. 40, n. 10, p. 835-852, 2002.

INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDART. ISO – 11697: Bases for design of structures: loads due to bulk materials. London, 1995.

JANSSEN, H. A. Versuche Über Getreide Druck in Silozellen. Zeitschrift, Verein Deutscher Ingeniure, v. 39, p. 1045-1049, 1895.

MADRONA, F. S. Pressões em silos esbeltos com descarga excêntrica. 2008. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2008.

MOLENDA M.; HORABIK J.; THOMPSON S. A.; ROSS I. J.; BIN LOADS INDUCED BY ECCENTRIC FILLING AND DISCHARGE OF GRAIN. Structures & Environment Division of ASAE, v. 45, n. 3, p. 781-785, 2001.

PIEPER, K.; WAGNER, K. Der Einfluss Verscheidener Auslaufarten auf die Seitendrucke in Silozellen. Wiesbaden, Germany: Aufbereitungs-Technik, 1969.

ROTTER, J. M. (1986). The Analysis of Steel Bins Subject to Eccentric Discharge. In: INT. CONF. BULK MATERIALS STORAGE HANDLING AND TRANSPORTATION, 2., Proceedings… Wollongong, p. 264-271.

SAFARIAN, S. S. Design pressures of granular materials in silos. ACI Journal, n. 66-51, 1969.

WALKER, D. M. An approximate theory for pressures and arching in hoppers. Chem. Eng. Sci., v. 21, p. 975-997, 1966.

ISSN 1809-5860


ESTRUTURAS MISTAS DE MLC-CONCRETO: DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS COM ALMAS REFORÇADAS COM FIBRAS DE VIDRO

José Luiz Miotto1 & Antonio Alves Dias2

R e s u m o No cenário da produção de edificações sustentáveis, a MLC ocupa lugar de destaque, sobretudo pela possibilidade de emprego de madeiras provenientes de florestas plantadas. Com o propósito de amenizar os problemas de durabilidade, quando expostas às intempéries, uma solução pressupõe a associação das vigas de MLC com um tabuleiro de concreto armado, sendo as partes ligadas por meio de conexões flexíveis. No entanto, em situações de elevados carregamentos ou de grandes vãos, a aplicação de reforços com fibras sintéticas, na face tracionada das vigas de MLC, aprimora ainda mais essa técnica, refletindo-se em expressivos acréscimos nas forças de ruptura. Este trabalho enfoca, inicialmente, as avaliações experimentais realizadas em modelos – com dimensões estruturais – de vigas mistas de MLC-concreto com reforços de fibras de vidro, cujos elementos de conexão foram pinos de aço com diâmetro de 8 mm. Ao serem comparadas as vigas de MLC com as vigas mistas de MLC-concreto, ambas reforçadas com fibras de vidro, registrou-se acréscimo médio de 28% no MOR. Ademais, o emprego do reforço com fibras sintéticas se justifica pela diminuição na variabilidade dos resultados. Por fim, é proposto um algoritmo para o dimensionamento das vigas mistas de MLC-concreto com reforços de fibras de vidro, o qual permite, por sua objetividade e adequação aos resultados experimentais, ampliar os horizontes de aplicação das estruturas de madeira. Palavras-chave: Estruturas mistas de MLC-concreto. Reforço com fibras de vidro. Avaliações experimentais. Dimensionamento de vigas.

GLULAM-CONCRETE COMPOSITE STRUCTURES: DESIGN OF BEAMS IN WHICH WEBS ARE REINFORCED WITH FIBERGLASS

Abstract Production of sustainable constructions forms a scenario where the glulam occupy a prominence place, because wood that comes from planted forests can be used in its production. In order to reduce the durability problems, when exposed to the weather effects, a solution presupposes the association of glulam beams with a reinforced concrete slab, in which the components are linked by means of flexible connections. However, in situations where high loads or great spans are found, the application of synthetic fibers reinforcements in the tension side of glulam beams improves this technique, being reflected in significant increments in the rupture forces. This work focuses, initially, the experimental evaluations accomplished in glulam-concrete composite beams – with structural dimensions – in which the glulam was reinforced with fiberglass and steel hooks with 8 mm in diameter were used as connection elements. When glulam beams were compared with glulam-concrete composite beams, both reinforced with fiberglass, it was observed an average increment of 28% in modulus of rupture (MOR). In addition, data obtained from tests show that using synthetic fibers as reinforcement induces the decrease in the variability of the results. Finally, it is proposed an algorithm for the design of glulam-concrete composite beams reinforced with fiberglass. The objectivity of this algorithm and the good agreement with experimental results enlarge the horizons of application of wood in structures. Keywords: Glulam-concrete composite structures. Fiberglass reinforcement. Experimental evaluation. Design of beams.

1 Professor do Departamento de Engenharia Civil da UEM, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

José Luiz Miotto & Antonio Alves Dias


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1 INTRODUÇÃO

Nas últimas décadas, os produtos estruturais derivados de madeira – tal como a madeira laminada colada (MLC) – têm propiciado novos campos de aplicação para a madeira, uma vez que apresentam padrões compatíveis com as modernas exigências das construções. Embora seja um dos produtos mais antigos que resultam da colagem de lâminas, a MLC ainda não é um material plenamente justificável para o emprego nas construções brasileiras, resultado da pequena tradição no seu uso, elevado custo de adesivos e reduzido número de empresas envolvidas em sua fabricação. Em contraposição, suas vantagens em relação à madeira serrada são relevantes, especialmente quanto à possibilidade de se produzir peças com dimensões praticamente ilimitadas, com aumentos de resistência e rigidez. Para se obter uma maior resistência à flexão, desejável em situações de grandes vãos ou de elevadas solicitações, uma das soluções pressupõe a adoção de reforço com fibras sintéticas na face tracionada das peças de MLC. No entanto, o baixo módulo de elasticidade longitudinal da madeira, quando comparado a outros materiais estruturais, faz com que as deformações sejam fatores limitantes no projeto das vigas de MLC. Além disso, o emprego de fibras sintéticas, como reforço na zona tracionada, não resolve plenamente os problemas de deformabilidade dessas vigas, já que os acréscimos conferidos à sua rigidez são modestos. Assim, para assegurar um melhor desempenho à flexão, além de outras vantagens, propõe-se nesta pesquisa a associação entre o concreto armado e a MLC reforçada com fibras sintéticas, na forma de compósitos conhecidos como estruturas mistas. O estudo enfoca, particularmente, as avaliações experimentais e o dimensionamento das vigas mistas com seção transversal em T, cuja alma é de MLC reforçada com fibras de vidro e a mesa é de concreto armado, nas quais se utilizam conectores metálicos como elementos de ligação entre as partes.

2 ESTRUTURAS MISTAS DE MADEIRA-CONCRETO

Aplicar o material adequado no local mais apropriado, considerando suas características físicas e mecânicas, é uma das premissas básicas do projeto ideal das estruturas contemporâneas. Certamente essa consideração conduz à utilização das estruturas mistas de madeira-concreto e aço-concreto. A exposição direta e contínua das estruturas de madeira às intempéries é um motivo de constante preocupação, pois promove a sua deterioração e compromete a segurança dessas construções. Uma possibilidade para amenizar esse inconveniente consiste em associar uma laje de concreto armado à estrutura de madeira, gerando as chamadas estruturas mistas de madeira-concreto, conforme ilustrado na Fig. 1, que além de garantir o aumento da vida útil das estruturas de madeira, também é capaz de melhorar o seu comportamento mecânico. Por permitirem que as melhores qualidades da madeira e do concreto sejam aproveitadas, os compósitos desses materiais têm se tornado populares. De fato, a madeira é posicionada na região tracionada da seção mista, enquanto que o concreto é usado praticamente na compressão, obtendo-se, então, sua melhor performance em termos de resistência e rigidez. Dessa maneira é possível obter uma seção transversal estruturalmente eficiente, sendo rígida e leve ao mesmo tempo. Além dos benefícios em termos de isolamento acústico, Ceccotti (1995) ressalta que a colocação da laje de concreto sobre o piso de estrutura de madeira torna a edificação muito rígida, o que é conveniente para manter sua forma em caso de abalos sísmicos.

Estruturas mistas de MLC-concreto: dimensionamento das vigas com almas reforçadas com fibras de vidro


59

Figura 1 – Estrutura mista de madeira-concreto. Fonte: Adaptado de HBV – Systeme (2006).

2.1 Sistema de conexão

Para que o sistema misto funcione adequadamente é indispensável a presença do elemento de ligação entre os materiais, o qual assegura a transferência dos esforços de cisalhamento horizontal e também evita o desprendimento vertical entre as partes. É usual o emprego dos sistemas de ligação flexíveis, os quais podem ser obtidos por conectores metálicos, como pregos, parafusos, chapas metálicas, anéis metálicos e pinos obtidos a partir de barras de aço lisas ou nervuradas. O uso dos conectores metálicos representa grande facilidade de execução da ligação, além de ser mais econômico que as ligações rígidas obtidas pela aplicação de adesivo epóxi na interface dos materiais, afirma Soriano (2001). Miotto (2009) avaliou experimentalmente o comportamento de pinos com diâmetros de 8 e 10 mm, fixados em 45º com a direção das fibras da madeira, além de chapas metálicas perfuradas, com espessura de 4,75 mm. Para a fixação dos conectores metálicos nas peças de MLC foi utilizado o adesivo epóxi. Na Tab. 1 encontram-se relacionados os valores médios obtidos para os módulos de deslizamento iniciais, Kser, os quais representam a razão entre a força correspondente a 40% da força de ruptura e seu correspondente deslizamento.

Tabela 1 – Desempenho dos sistemas de conexão

Conectores Módulo de deslizamento Kser (N/mm)

Pinos – ø 8 mm 142.936

Pinos – ø 10 mm 112.998

Chapas perfuradas – # 4,75 mm 339.406

2.2 Dimensionamento dos sistemas mistos de madeira-concreto segundo o EUROCODE 5

Ceccotti (1995) apresenta os procedimentos para o cálculo das estruturas mistas de madeira-concreto, que são baseados nos critérios do EUROCODE 5 (1993). Essa norma considera a influência do deslizamento na interface do sistema pela adoção de um produto de rigidez efetivo, (EI)ef, calculado conforme a Eq. (1) e cujo valor procede da forma da seção transversal, dos módulos de elasticidade dos materiais constituintes, do espaçamento entre os conectores e do módulo de deslizamento da ligação.



60

2wwwwww

2ccccccef aAEyIEaAEyIE)EI( +++= (1)

Nessa equação Ec, Ew, Ic, Iw, Ac e Aw representam os valores médios dos módulos de elasticidade, dos momentos de inércia e das áreas da seção transversal do concreto e da madeira, respectivamente; yc é o fator parcial da mesa, calculado conforme Eq. (2); yw= 1,0 é o fator parcial da alma; aw e ac são as distâncias calculadas conforme as Eq. (3) e (4), respectivamente, e representadas na Fig. 2.

1

2cc

2

c KsAE

1y−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅

π+= (2)

)AEyAEy(2)hh(AEy

awwwccc

wccccw +

+= (3)

wwc

c a2

)hh(a −

+= (4)

Na Eq. (2), K indica o módulo de deslizamento da ligação, “s” representa o espaçamento dos conectores e ℓ é o vão teórico da viga. Nas Eq. (3) e (4), hc e hw são as alturas representadas na Fig. 2. Para efeito de cálculo do yc, no caso de vigas bi-apoiadas, o EUROCODE 5 (1993) recomenda que o vão teórico seja igual ao próprio vão da viga.

Figura 2 – Representação da seção mista e das tensões normais. Fonte: Adaptado do

EUROCODE 5 (1993).

Para o cálculo do módulo de deslizamento de serviço, Kser, de pinos fixados perpendicularmente às fibras da madeira, o EUROCODE 5 (2002) indica a Eq. (5), que é função da densidade média, mρ (kg/m³), e do diâmetro dos conectores, d (mm). Ainda, segundo esse mesmo código, para ligações entre madeira e concreto, Kser deve ser multiplicado por dois.



61

23d.2K

5,1m

ser⋅ρ

= (5)

Se as densidades dos materiais interligados são diferentes, deve-se adotar a densidade média calculada pela expressão abaixo, em que 1,mρ e 2,mρ são as densidades médias dos materiais 1 e 2,

respectivamente.

2,m1,mm ρ⋅ρ=ρ (6)

Nas análises dos Estados Limites Últimos, o valor do módulo de deslizamento a ser considerado é calculado por:

seru K32K = (7)

Para o cálculo das tensões normais na seção transversal, nas posições indicadas na Fig. 2, são indicadas as equações:

efcccc )EI(

MaEy=σ e ef

ccc,m )EI(MhE5,0=σ (8a,b)

efwwww )EI(

MaEy=σ e ef

www,m )EI(MhE5,0=σ (9a,b)

A máxima tensão de cisalhamento é obtida por:

V)EI(

hE5,0

ef

2ww

max,w ⋅=τ (10)

A força por conector é determinada por:

V)EI(

saAEyR

ef

cccc1 ⋅= (11)

Os conectores são espaçados, normalmente, de acordo com a intensidade da força cortante na interface dos materiais. Ceccotti (2002) observa que, no caso desse espaçamento variar, para o cálculo de yc deve-se considerar o espaçamento efetivo, sef, calculado pela Eq. (12), em que smin representa o espaçamento entre os conectores nas extremidades da viga e smax o espaçamento na parte central.



62

maxminef s25,0s75,0s += com minmax s4s ≤ (12)

Ceccotti et al. (2002) relatam as modificações decorrentes da versão de 2002 do EUROCODE 5 no projeto das estruturas mistas de madeira-concreto. Segundo os autores, a nova versão é mais restritiva que a versão de 1993, especialmente por conta dos menores valores adotados para a rigidez da conexão, sendo teoricamente mais correta. Deste modo, são consideradas integralmente, neste trabalho, as recomendações da versão normativa em vigor.

3 VIGAS MISTAS DE MLC-CONCRETO: AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL

Em busca de parâmetros norteadores do dimensionamento das vigas mistas, particularmente das constituídas pela associação de alma de MLC reforçada com fibras de vidro e mesa de concreto armado, foi proposto o programa experimental deste trabalho. Assim, inicialmente foram produzidas oito vigas de MLC, com 5,4 m de comprimento, por meio da colagem de lâminas de Lyptus e utilizando-se o adesivo do tipo isocianato Wonderbond EPI EL 70, com o catalisador EPI WS 742, produzidos pela Hexion Química. Essas vigas passaram por ensaios não-destrutivos, visando à determinação preliminar de seus parâmetros elásticos. Quatro vigas de MLC receberam mesa de concreto armado, das quais duas não receberam o reforço com fibras de vidro (V1 e V2) e duas delas foram reforçadas com fibras de vidro (V4 e V6). As vigas de MLC, designadas por V3 e V5, receberam apenas o reforço com fibras de vidro. Antes da aplicação do tecido de fibras de vidro e por recomendação do fabricante do adesivo, as faces das vigas que receberiam o reforço foram impregnadas com a mesma resina utilizada na laminação – resina epóxi AR-300 com o endurecedor AH-30, fabricados pela Barracuda Advanced Composites – evitando-se problemas com a colagem da primeira camada do tecido. As Fig. 3 e 4 mostram detalhes do processo de laminação, em que a resina foi aplicada com pincéis, e, para a eliminação das bolhas de ar, empregou-se um rolo desaerador. Em cada uma das vigas de MLC que receberam o reforço foram aplicadas 20 camadas de tecido de fibras de vidro, resultando em uma espessura de reforço de 10 mm e que equivale a 3,1% da área total da seção transversal. Na etapa seguinte procedeu-se à confecção das mesas de concreto armado. Antes, porém, com base nas prescrições do EUROCODE 5 (1993) para vigas mistas, foram determinados o espaçamento entre os pinos metálicos – 12 cm na região de maior fluxo de cisalhamento – e as dimensões da seção transversal. Assim, os pinos com 8 mm de diâmetro foram colados nas vigas de MLC, com adesivo epóxi, conforme esquema representado na Fig. 5.



63

Figura 3 – Aplicação do adesivo epóxi nas

camadas de tecido de fibras de vidro. Figura 4 – Rolo desaerador.

Figura 5 – Posicionamento dos pinos de 8 mm na parte simétrica das vigas mistas.

Seguindo as proposições do trabalho de Van der Linden (1999), a mesa de concreto deveria ter uma largura bc= 954 mm, para a altura hc= 70 mm. Por analogia ao trabalho de Brody et al. (2000), a mesa de concreto deveria ter largura bc= 420 mm. Deste modo, também por conta do efeito do shear lag, evitou-se a adoção de mesas com larguras exageradas, adotando-se bc= 350 mm e hc= 70 mm. A Fig. 6 mostra a concretagem das vigas mistas, realizada em 14/01/2008. Decorrido o tempo necessário à cura do concreto, em 03/03/2008 foram iniciados os ensaios das vigas mistas de MLC-concreto, observando-se as prescrições da ASTM D198-05a (2005). O carregamento F/2 foi aplicado nos terços das vigas, conforme arranjo de ensaio ilustrado na Fig. 7.



64

Figura 6 – Concretagem. Figura 7 – Arranjo de ensaio.

Em um ciclo de carga e descarga, o carregamento foi aplicado de forma monotônica crescente, com velocidade média de 12,9 kN/min, até aproximadamente 40% da força prevista para a ruptura; no segundo ciclo, mantidas as taxas de carregamento, as vigas foram, então, solicitadas até a ruptura. Por meio de uma célula de carga, com capacidade para 500 kN, foram realizadas as leituras das forças aplicadas. Para avaliar as deformações e a distribuição de tensões na seção transversal, localizada no centro da viga, foram instalados os extensômetros elétricos nas posições indicadas pelos números 1 a 9 na Fig. 8. Esses dispositivos foram, então, conectados ao sistema de aquisição de dados System 5000.

Figura 8 – Posicionamento dos extensômetros elétricos na seção transversal central.

As propriedades físicas e mecânicas dos materiais envolvidos nesta fase experimental encontram-se transcritas na Tab. 4. Na Tab. 2 se apresentam os módulos de ruptura (MOR) das vigas de MLC com reforço de fibras de vidro (V3 e V5) e das vigas mistas de MLC-concreto reforçadas com fibras de vidro (V4 e V6), registrando-se um conveniente aumento na resistência dos sistemas mistos.



65

Tabela 2 – Desempenho das vigas ensaiadas na ruptura: MORs

Tipo de viga Designação

MOR médio (kN)

Relação com V3 e V5

(%)

V3 e V5 66,6 ----

V4 e V6 85,3 28,1

Por envolver o uso de conexões flexíveis, a rigidez efetiva à flexão das vigas mistas de MLC-concreto sofreu redução de aproximadamente 40%, conforme constatado por Miotto (2009). A Fig. 9 ilustra a redução na rigidez da viga V6, a partir da representação das flechas correspondentes em três diferentes situações: (a) sob o efeito de composição total da seção transversal, ou seja, considerando que não houve escorregamentos entre a mesa de concreto armado e a alma de MLC, sendo as flechas calculadas a partir da rigidez obtida pelo Método da Seção Transformada; (b) sob o efeito de composição parcial, cujos valores foram obtidos experimentalmente; (c) sem efeito de composição da seção transversal, em que as flechas foram calculadas como se apenas as almas de MLC fossem responsáveis pelo suporte do conjunto.

Figura 9 – Flechas na viga V6 considerando-se os diversos efeitos de composição.

4 DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS MISTAS DE MLC-CONCRETO REFORÇADAS COM FIBRAS DE VIDRO

Com base no modelo de cálculo das estruturas mistas de madeira-concreto, proposto pelo EUROCODE 5 (2002), e a partir dos resultados revelados na componente experimental deste trabalho, em seguida se discute uma proposta de verificação das vigas mistas de MLC-concreto reforçadas com fibras de vidro, focando, unicamente, na determinação da resistência do elemento estrutural.



66

Ao escolher um método de verificação das vigas mistas com mesa de concreto armado e alma de MLC reforçada com fibras de vidro, uma das preocupações foi em proporcionar objetividade e simplicidade, de modo que o procedimento possa ser prontamente absorvido pela comunidade profissional. Com isto, pretende-se contribuir para a disseminação dessa tecnologia e possibilitar a obtenção dos benefícios de sua utilização. Ceccotti (2002) enfatiza que a validação de ensaios é muito delicada, pois os resultados são altamente dependentes do nível de tensões e deformações dos elementos, durante as condições específicas do ambiente e do ensaio.

4.1 Hipóteses de cálculo

Para a validade do método que adiante se propõe, as seguintes hipóteses devem ser consideradas:

Numa mesma posição ao longo da viga, o deslocamento vertical é igual para ambos os materiais e dado por uma função w(x), não ocorrendo separação entre o concreto e a madeira.

Ao longo da altura de cada material, as seções transversais permanecem planas; as deformações por cisalhamento dentro dos dois materiais não são consideradas.

As partes constituintes (madeira e concreto) são interligadas por meio de conectores discretizados, com um módulo de deslizamento K.

As vigas são simplesmente apoiadas, com vãos L.

O concreto e a madeira têm comportamento elástico-linear.

Não se considera o atrito entre a madeira e o concreto, isto é, a força de cisalhamento na interface é totalmente transmitida pelos conectores.

O espaçamento “s” entre os pinos é constante ou varia uniformemente conforme a variação da força cortante entre smin e smax, com smax < 4smin.

As vigas de MLC possuem a qualidade requerida, sendo garantidas as resistências de projeto; nas lâminas mais afastadas da linha neutra, particularmente naquelas solicitadas à tração, o posicionamento das emendas dentadas deve ser cuidadosamente verificado.

A lâmina inferior (bumper) tem apenas o papel de proteção da camada de reforço, não sendo considerada no dimensionamento do sistema.

O carregamento aplicado é do tipo estático e atua na direção das ações gravitacionais.

Para efeito de análise, as armaduras existentes no concreto foram desconsideradas.

Nenhum deslizamento é considerado entre as lâminas de MLC, bem como entre o reforço com fibras de vidro e a viga de MLC, a exemplo do que também admitem Brody et al. (2000), Davids (2001) e Weaver (2002).

Considerou-se, na determinação dos esforços solicitantes máximos e das flechas, a atuação do carregamento constituído pelas forças F/2 aplicadas nos terços das vigas, além do peso próprio.

4.2 Modelo de dimensionamento

O método que se propõe tem como objetivo o estabelecimento de uma relação íntima entre os fundamentos teóricos, demonstrados na revisão bibliográfica, e o produto das avaliações experimentais realizadas. Para tanto, inicialmente faz-se a aplicação do Método da Seção



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Transformada para, em seguida, empregar as recomendações do EUROCODE 5 (2002) no cálculo das solicitações de projeto e das normas NBR 7190 (1997) e NBR 6118 (2003) na determinação das resistências de projeto. Assim, as atividades para o dimensionamento se constituem em: A – Avaliação das dimensões da seção transversal B – Estabelecimento das propriedades mecânicas dos materiais C – Homogeneização da viga de MLC reforçada com fibras de vidro D – Determinação dos valores de projeto das resistências E – Determinação dos valores de projeto das solicitações F – Verificações

Quando Weaver (2002) projetou a primeira e única ponte que se tem notícia em Fairfield, Maine, empregando um tabuleiro de concreto apoiado sobre 6 vigas de MLC reforçadas com fibras de vidro – com 21,34 m de vão –, foi utilizado apenas o Método da Seção Transformada nas análises, com um fator de redução adotado de 30%, o qual foi aplicado ao momento de inércia transformado. As etapas que compõem o modelo de dimensionamento são delineadas a seguir, bem como são apresentados os resultados de sua aplicação na avaliação das vigas V4 e V6. A – Avaliação das dimensões da seção transversal Para a avaliação das dimensões da seção transversal, o projetista pode contar com a análise de desempenho de projetos correlatos. Adicionalmente, para a determinação da largura efetiva da mesa de concreto armado, sugere-se sejam consideradas as recomendações reunidas por Miotto (2009). Ainda, para subsidiar a definição das propriedades geométricas, buscando-se alcançar uma rigidez efetiva ideal, recomenda-se a apreciação da proposta elaborada por Van der Linden (1999). Na Fig. 10 se mostram as propriedades geométricas da seção transversal das vigas mistas de MLC-concreto com reforço de fibras de vidro, em que os subscritos “c”, “w” e “FRP” referem-se às seções transversais de concreto armado, MLC e reforço com fibras de vidro, respectivamente.

Figura 10 – Propriedades da seção transversal das vigas mistas de MLC-concreto com reforço

de fibras de vidro.

As dimensões das seções transversais das vigas mistas V4 e V6 encontram-se relacionadas na Tab. 3. É conveniente destacar que as propriedades geométricas relativas à MLC – especificamente a área da seção transversal e o momento de inércia – foram obtidos a partir da



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homogeneização da seção transversal reforçada com fibras de vidro, conforme se descreve no próximo item.

Tabela 3 – Propriedades geométricas das vigas mistas

Propriedades (símbolo) Unidade Viga V4 Viga V6

bc mm 350 350

hc mm 75 73

Ac mm2 26.250 25.550

Ic mm4 12.304.687,50 11.346.329,17

bw mm 80 84

hw mm 322 322

Aw mm2 27.312,00 28.699,59

Iw mm4 258.215.896,50 271.626.866,53

hFRP mm 10 10

L mm 5.000 5.000

smin mm 120 120

smax mm 240 240

sef mm 150 150

d mm 8 8

B – Estabelecimento das propriedades mecânicas dos materiais Na Tab. 4 encontram-se transcritas as propriedades dos materiais utilizados na confecção das vigas mistas, as quais foram obtidas por meio de ensaios. Na hipótese de não se dispor desses dados, na fase de projeto, deve-se considerar as recomendações normativas relativas às propriedades mínimas admissíveis, em cada caso.

Tabela 4 – Propriedades físicas e mecânicas


Ec MPa 36.436 36.436

ρm,c Kg/m3 2.500 2.500

Ew MPa 20.198 20.020

ρm,w Kg/m3 790 790

EFRP MPa 59.463 59.463



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C – Homogeneização da viga de MLC reforçada com fibras de vidro Apropriando-se do Método da Seção Transformada, as vigas de MLC reforçadas com fibras de vidro foram homogeneizadas, utilizando-se o módulo de elasticidade médio da madeira como referência para cálculo da razão modular, n. Objetivando a simplificação do processo de cálculo, optou-se por utilizar o módulo de elasticidade médio das lâminas de madeira que compõem cada uma das vigas, ao invés de discretizá-los. Homogeneizar a viga de MLC reforçada com fibras de vidro é uma hipótese razoável, visto que não há sinais de deslizamento, nos modelos físicos confeccionados, entre a camada de reforço e a viga de MLC. Nos estudos ou modelos desenvolvidos por Brody et al. (2000), Davids (2001) e Weaver (2002), a conexão entre esses materiais é igualmente admitida como rígida. D – Determinação dos valores de projeto das resistências O valor de cálculo da resistência à compressão do concreto, fcd, é determinado pela redução da resistência característica, fck, pela aplicação do coeficiente de ponderação nos Estados Limites Últimos, conforme especifica a NBR 6118 (2003). No caso da madeira, para o cálculo da resistência de projeto à tração paralela às fibras, ft0,d, adotou-se as recomendações da NBR 7190 (1997), com os seguintes valores para os coeficientes de modificação: kmod,1= 0,7, kmod,2= 1,0, kmod,3= 1,0. Observando-se também as recomendações da NBR 7190 (1997), foi determinado o valor de projeto da resistência ao cisalhamento na lâmina de cola, fgv,0,d. Embora a NBR 7190 (1997) trate da determinação da resistência dos conectores metálicos em ligações, ressalta-se que não há indicações para o cálculo da resistência de pinos colados e fixados em 45º com relação às fibras da madeira, como feito neste projeto. Assim, optou-se por considerar o valor característico da força de ruptura (123,9 kN) e dividi-la por 4 conectores, para, em seguida, aplicar um coeficiente de segurança, conforme mostra a Eq. (13). Para efeito de comparação, Pigozzo (2004) estudando os pinos com diâmetro de 8 mm, colados em forma de “X” e formando um ângulo de 45º com a direção das fibras da madeira, obteve a resistência média equivalente a 23.780 N por conector.

N125.224,1

)4/900.123(R d,1 == (13)

A partir dos ensaios de tração realizados em corpos-de-prova de tecido de fibras de vidro, foi possível a obtenção da resistência característica à tração, fFRP,k, considerando-se que os resultados acompanham a distribuição normal. Como o material é produto de uma transformação em ambiente industrial, com elevado controle de qualidade, sugere-se para o coeficiente de ponderação da resistência o mesmo valor do aço, ou seja, 1,1FRP =γ . Assim, o valor de projeto da resistência à tração das fibras de vidro pode ser determinado por:

FRP

k,FRPd,FRP

ff

γ= (14)

Por fim, a flecha limite, wlim, foi calculada a partir das recomendações da NBR 7190 (1997). Os valores determinados para as resistências de projeto e flecha limite estão relacionados na Tab. 5.



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Tabela 5 – Resistências de projeto e flecha limite para as vigas mistas.

Propriedades (símbolo) Unidade Vigas V4 e V6

fcd MPa 27,6

ft0,d MPa 23,3

fgv,0,d MPa 1,6

R1,d N 22.125

fFRP,d MPa 758,9

wlim mm 25

E – Determinação dos valores de projeto das solicitações O EUROCODE 5 (2002) recomenda que a rigidez do sistema de ligação seja avaliada por meio de ensaios. Na hipótese da indisponibilidade de realização desses ensaios, o código sugere fórmulas, tal qual a Eq. (5), as quais contemplam apenas os casos mais básicos dos sistemas de ligação. No caso desta pesquisa, adotou-se o valor médio do módulo de deslizamento inicial, Kser, obtido nos ensaios em que foram utilizados pinos com diâmetro de 8 mm e espaçados em 150 mm. Apesar de, nos terços extremos das vigas mistas, os conectores tenham sido espaçados a cada 120 mm, seus espaçamentos efetivos, calculados a partir da Eq. (12), resultaram no valor de 150 mm, justificando-se, assim, a adoção desse valor de Kser. Ceccotti (2002) observa que a consideração do módulo secante para o sistema de ligação é uma maneira indireta de considerar as deformações inelásticas do sistema misto. Também acrescenta que na análise global do sistema, para a determinação das ações internas, forças normais e momentos fletores, o concreto é considerado não-fissurado. Assim, o momento de inércia da área de concreto, Ic, é calculado a partir da seção transversal completa. Na Tab. 6 encontram-se transcritos os valores obtidos a partir da aplicação das Eq. (1) a (4) e Eq. (8) a (11), considerando-se os valores máximos de momento fletor e força cortante, obtidos a partir da ação do carregamento anteriormente especificado. Segundo a NBR 7190 (1997), a consideração dos efeitos da umidade e da duração do carregamento na rigidez da madeira, é feita considerando-se o módulo de elasticidade efetivo, Ec0,ef, determinado conforme a Eq. (15), em que kmod,1, kmod,2 e kmod,3 são os coeficientes de modificação fornecidos por essa norma e Ec0,m representa o valor médio do módulo de elasticidade na direção paralela às fibras.

m,0c3mod,2mod,1mod,ef,0c EkkkE ⋅⋅⋅= (15)

Assim, no cálculo das flechas instantâneas, ou seja, aquelas que ocorrem logo após a aplicação do carregamento, foram utilizados os valores médios do módulo de elasticidade, Ec0,m, como indica o EUROCODE 5 (2002), somente para efeito de comparação com as flechas geradas pelo carregamento de longa duração, designadas nessa tabela por wperm, e calculadas a partir do módulo de elasticidade efetivo, Ec0,ef. Observam-se variações de 28% entre os valores das flechas winst e wperm.



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Tabela 6 – Propriedades mecânicas e solicitações de projeto das vigas mistas


Kser N/mm 142.936 142.936

Ku N/mm 95.291 95.291

yc 0,6272 0,6335

yw 1,0 1,0

ac mm 95,09 97,46

aw mm 103,41 100,04

(EI)ef N.mm2 1,70+13 1,72E+13

σc MPa 5,4 5,7

σm,c MPa 3,4 3,3

σw MPa 5,2 5,0

σm,w MPa 7,9 7,9

σFRP MPa 13,3 13,1

τw,max MPa 1,6 1,6

R1 MPa 13.059 13.268

winst mm 6,35 6,41

wperm mm 8,13 8,19

Fd N 47.550 48.650

F – Verificações Comparando-se, então, os valores das resistências de projeto com os valores das solicitações de projeto, nota-se que as forças de projeto, Fd, foram alcançadas a partir da resistência ao cisalhamento na lâmina de cola. Com efeito, foi exatamente por cisalhamento nas lâminas de cola que se romperam as vigas mistas ensaiadas. Tabela 7 – Utilização das resistências de projeto dos materiais

Propriedades (símbolo) Unidade Viga V4 Utilização

(%) Viga V6 Utilização (%)

σc + σm,c MPa 8,8 32 9,4 33

σw + σm,w MPa 13,1 56 13,2 55

τw,max MPa 1,6 100 1,6 100

σFRP MPa 13,3 2 13,5 2

R1 MPa 13.059 59 13.268 60

wperm mm 8,13 33 8,5 33



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Tomando-se os picos das solicitações de projeto, conforme Tab. 7, e comparando-se novamente com as respectivas resistências de projeto, observa-se que o concreto é pouco solicitado nas vigas mistas de MLC-concreto. Assim, as armaduras adotadas para a mesa de concreto foram obtidas a partir da consideração de armadura mínima, proposta pela NBR 6118 (2003). Também se nota que a lâmina inferior de madeira está sendo solicitada em 56% de sua capacidade à tração; nos modelos confeccionados, nenhuma viga se rompeu por tração nas emendas coladas. Outra constatação refere-se ao baixo nível de solicitação das fibras de vidro. Nota-se que o método proposto é capaz de predizer, com excelente aproximação, as flechas verificadas nas vigas mistas de MLC-concreto com reforço de fibras de vidro. Na Tab. 8 se comparam as flechas calculadas, para o nível de força de 90 kN, com as flechas obtidas experimentalmente. No cálculo das flechas foram desprezados os pesos próprios das vigas e foram adotados os valores de

serK e Ec0,m. Também se considerou, no cálculo das flechas, o efeito do cortante, cuja parcela é somada à parcela da flexão e, para F/2 aplicada nos terços do vão, é determinada pela Eq. (16):

AKG6FLw

ws = (16)

Sendo Gw o módulo de cisalhamento médio da MLC, A é a área total da seção transversal transformada e K é o coeficiente de cisalhamento, que foi adotado igual a K= 0,371, conforme proposto por Brody et al. (2000).

Tabela 8 – Relação entre as flechas medidas e calculadas

Viga Força (kN)

Flecha calculada

[1] (mm)

Flecha experimental

[2] (mm)

]2[]1[

V4 90 15,01 14,96 1,003

V6 90 14,86 15,08 0,985

Da mesma forma, com boa concordância, o método é capaz de predizer as forças de ruptura das vigas mistas de MLC-concreto com reforço de fibras de vidro, conforme se pode constatar pelos valores contidos na Tab. 9. Os valores obtidos para as forças máximas admissíveis foram calculados a partir da consideração das resistências médias dos materiais e não de seus valores de cálculo.

Tabela 9 – Relação entre as forças máximas calculadas e as forças de ruptura

Viga

Força máxima calculada

[1] (kN)

Força de ruptura

[2] (mm)

]2[]1[

V4 129,0 157,4 0,82

V6 131,9 127,6 1,03



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Convém ressaltar, ainda, que um método alternativo, para o dimensionamento das vigas mistas de MLC-concreto reforçadas com fibras de vidro, consiste na adoção das solicitações determinadas a partir de modelos numéricos. Miotto (2009) obteve, nas simulações numéricas das vigas mistas de MLC-concreto, com e sem reforço com fibras de vidro, razoáveis concordâncias entre os valores experimentais e numéricos.

5 CONCLUSÕES

Considerada como o único material estrutural renovável disponível no mercado mundial, a madeira desempenha um papel fundamental no cenário das construções sustentáveis. Transformada em MLC, a partir de espécies provenientes de florestas plantadas, diversifica o campo de aplicações da madeira. Com o propósito de amenizar os problemas de durabilidade, decorrentes da exposição da madeira às intempéries, uma solução pressupõe a associação das vigas de MLC com um tabuleiro de concreto armado, sendo as partes ligadas por meio de conexões flexíveis. Essa técnica tem sido aplicada com sucesso, especialmente por conta do expressivo acréscimo de rigidez proporcionado pela composição e os desejáveis aumentos de durabilidade. No entanto, em situações de elevados carregamentos ou de grandes vãos, a aplicação de reforço com fibras sintéticas, na face tracionada das vigas de MLC, aprimora ainda mais essa técnica, refletindo-se em significativos acréscimos nas forças de ruptura, mas, sobretudo, na diminuição da variabilidade dos resultados, e, por conseguinte, no aumento da confiabilidade estrutural. Diante desse contexto foi desenvolvido um programa experimental em que se buscou, num primeiro momento, a caracterização completa dos materiais envolvidos. Numa segunda fase, duas vigas com reforços de fibras de vidro (V4 e V6) e outras duas sem os reforços (V1 e V2) receberam as mesas de concreto armado. Após os ensaios, foi possível verificar que as vigas mistas reforçadas com fibras de vidro demonstraram um acréscimo de 28% no MOR quando comparadas com as vigas de MLC, também reforçadas com fibras de vidro. Por outro lado, observou-se que a rigidez efetiva à flexão das vigas mistas de MLC-concreto foi equivalente a 60% da rigidez das vigas mistas sob o efeito da composição total. Além do desejável acréscimo na resistência, a inserção do reforço de fibras de vidro promove outras vantagens, tal como a diminuição na variabilidade dos resultados, e, assim, conferindo maior credibilidade ao sistema. Decorrente de intervenções em especificações normativas, o algoritmo proposto para o dimensionamento das vigas mistas de MLC-concreto reforçadas com fibras de vidro demonstrou objetividade e simplicidade. Ademais, as comparações entre as flechas calculadas e as obtidas experimentalmente revelaram expressiva concordância, não atingindo 2% de diferença. Da mesma forma, a predição da força de ruptura evidenciou concordância satisfatória entre os resultados. Por fim, a aplicação do modelo de dimensionamento ratificou o modo de ruptura verificado nas vigas mistas ensaiadas, ou seja, por cisalhamento nas lâminas de cola. A partir da divulgação da solução estrutural avaliada neste trabalho, espera-se que sejam plenamente atingidos os benefícios da sua utilização, estendendo o campo de aplicações da madeira.

6 AGRADECIMENTOS

Agradecemos ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq – pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.



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7 REFERÊNCIAS

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ISSN 1809-5860


REFORÇO E INCREMENTO DA RIGIDEZ À FLEXÃO DE LIGAÇÕES VIGA-PILAR DE ESTRUTURAS DE CONCRETO PRÉ-MOLDADO COM POLÍMERO

REFORÇADO COM FIBRA DE CARBONO (PRFC)

Tatiana de Cássia Coutinho Silva da Fonseca1 & João Bento de Hanai2

R e s u m o Este trabalho apresenta uma técnica para incremento da resistência e rigidez à flexão de ligações de elementos de concreto pré-moldado. O procedimento adotado consiste na colagem dos laminados de polímero reforçado com fibra de carbono (PRFC) em entalhes no concreto de cobrimento, de modo a incorporar à ligação novos elementos resistentes à tração. Para solidarizar a ligação e possibilitar a transferência de esforços de compressão entre os elementos de concreto existentes, preenchem-se os espaços vazios com argamassa fluida à base de cimento Portland. Os modelos em escala reduzida, foram concebidos pra apresentar os mecanismos resistentes de uma ligação viga-pilar composta por encaixe de dente Gerber e consolo. Realizaram-se ensaios para a caracterização da aderência segundo a configuração de reforço proposta para definir o comprimento de laminado a ancorar e do tipo de resina a empregar para colagem do reforço. Os modelos foram preparados pela montagem do elemento de pilar-consolo com elementos de viga com chumbadores e almofadas. Foram também preparados modelos para o estudo da influência da almofada de apoio e do grauteamento no comportamento da ligação. Nesses modelos, os trechos de viga foram concretados com um elemento pré-moldado de pilar-consolo posicionado dentro da fôrma, sem almofadas. Os modelos de ligação foram reforçados e submetidos a carregamento cíclico alternado de curta duração. Com o reforço, a ligação apresentou comportamento semi-rígido e adquiriu resistência à flexão compatível à de estrutura monolítica armada com barras de PRFC. Palavras-chave: Ligações viga-pilar. Estruturas pré-fabricadas. PRFC.

FLEXURAL STRENGTHENING AND STIFFNESS INCREASING OF PRECAST BEAM-TO-COLUMN CONNECTIONS BY NSM CFRP STRIPS

A b s t r a c t This work presents a technique for flexural strengthening and stiffness increasing of precast beam-to-column connections by the embedding of FRP strips into grooves made on the concrete cover. According to this technique, the tension in the connection is transferred by the Near-Surface Mounted (NSM) FRP strips. To allow the transference of compression efforts among the concrete elements, the empty spaces are filled out with grout. Small-scale specimens were developed to represent the resistant mechanisms of pined beam-to-column connection composed by elastomeric cushion and dowels. The results of bond tests conducted the decision about the adhesive type and bond length to be employed in the beam-to-column connection specimens. Each specimen was made of the assembly of a column section connected to beam sections through their respective dowels and cushions. The specimens were reinforced by embedding CFRP strips in the lateral concrete cover and filling out the spaces between beams and column. Control specimens were prepared to study the influence of the cushion and grout in the connection performance. In those models, the beam sections were laid inside the wooden forms and cast together with a precast column section with no cushions between them. Experimental static and dynamic tests were done. The tests results show that strengthened connection exhibits semi-rigid behavior and acquires flexural strength compatible to monolithic structure reinforced with FRP bars. Keywords: Beam-to-column connection. Precast structures. NSM. CFRP. Connection strengthening.


Tatiana de Cássia Coutinho Silva da Fonseca & João Bento de Hanai


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1 INTRODUÇÃO

A História da Construção mostra o homem em constante busca pelo desenvolvimento de materiais e métodos construtivos. Assim, observa-se a sua evolução desde o simples empilhamento de pedras, passando pela utilização de materiais cimentícios na união destes elementos, até a composição entre agregados, material cimentício e aço, que é o fundamento do concreto armado. Atualmente, os polímeros reforçados com fibras (PRF) ocupam o topo da cadeia evolutiva dos materiais de construção. Seu uso, em substituição ao aço, como reforço ou armadura de estruturas de concreto, se justifica pelas suas excelentes propriedades: baixo peso, elevada resistência e alto módulo de elasticidade, durabilidade, resistência à corrosão, resistência a ataques químicos, permeabilidade eletromagnética e resistência a impacto. O emprego do PRF como armadura foi impulsionado inicialmente pela necessidade de uma alternativa ao aço em estruturas sujeitas a ambientes corrosivos, como zonas costeiras. Contudo, o maior mercado para armaduras não metálicas é o de estruturas hospitalares nas quais o uso de armadura convencional se contrapõe ao funcionamento adequado de equipamentos médicos (ACI 440.1R-03, 2003). No reforço de estruturas de concreto, destacam-se a colagem externa de mantas e laminados pré-fabricados de PRF. As duas técnicas já consolidadas contam com recomendações internacionais como FIB (2001) e ACI 440.2R-02 (2002), entretanto apresentam desvantagens associadas à sua aplicação externa, apontadas por Fortes (2004): necessidade de proteção contra raios ultravioletas, em estruturas aparentes; necessidade de proteção contra ataques de vândalos; sensibilidade a temperaturas elevadas, acima da ambiente (acima de 70oC); pouco acréscimo de rigidez do elemento reforçado; aumento, apesar da pequena espessura, da dimensão do elemento reforçado em alguns milímetros; susceptibilidade à ruptura por descolamento do reforço; pequena mobilização da capacidade resistente do PRFC. Uma técnica recente, relatada por Blaschko e Zilch3 (1999 apud FORTES, 2004), soluciona ou pelo menos ameniza essas questões. Consiste na colagem de laminados em entalhes realizados no concreto de cobrimento. O reforço conta com maior proteção a atos de vandalismo, fogo e radiação ultravioleta. Os laminados inseridos são menos suscetíveis ao descolamento prematuro, permitindo maior mobilização da capacidade resistente do PRF. Não se alteram as dimensões originais dos elementos, o preparo do substrato é mais simples em relação à colagem externa. A inserção de laminados ou barras de PRF em entalhes no concreto de cobrimento é referenciada internacionalmente por Near-Surface Mounted (NSM). Existem estudos sobre seu emprego no reforço à flexão de vigas, pilares e consolos, reforço ao cisalhamento de vigas e reforço de ligações monolíticas viga-pilar. Diante do aspecto promissor da técnica, decidiu-se avaliar, nesta pesquisa, a sua eficiência no incremento de rigidez e resistência à flexão de ligações viga-pilar de estruturas de concreto pré-moldado. Duas aplicações podem ser exploradas: como reforço ou como recurso de projeto de novas estruturas. Uma vez constatada a sua eficiência, o reforço de ligações viga-pilar de estruturas pré-moldadas poderia se prestar à reabilitação de estruturas que apresentassem comportamento global insatisfatório, tanto do ponto de vista de capacidade resistente e instabilidade decorrente de deslocamentos laterais excessivos, como de uso por vibração excessiva. Poderia também aumentar a versatilidade das estruturas, viabilizando reformas e ampliações. Na pesquisa bibliográfica realizada, não se encontraram relatos sobre esse tipo de intervenção. Os estudos que mais se aproximam do presente trabalho são os de Prota et a. (2001) em que a técnica NSM foi empregada no reforço de ligação viga-pilar monolítica e o de Pantelides et al. (2003) em que mantas de polímero reforçado com fibra de carbono (PRFC), coladas externamente, foram utilizadas no reforço de ligações entre painéis pré-moldados.

3 BLASCHKO M.; ZILCH, K. Rehabilitation of concrete structures with PRFC strips glued into slits. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPOSITE MATERIALS, 12., Proceedings… Paris, 1999.

Reforço e incremento da rigidez à flexão de ligações viga-pilar de estruturas de concreto pré-moldado


79

A idéia de utilização de laminados inseridos como elemento de projeto de estruturas pré-moldadas é, à primeira vista, muito atrativa. Sua execução rápida e simples permitiria o estabelecimento de continuidade à flexão nas ligações sem prejuízo da rapidez executiva, característica das construções de estruturas pré-moldadas, e sem a necessidade de grande quantidade de funcionários ou equipamentos especiais.

2 METODOLOGIA

Executaram-se ensaios experimentais de aderência e ensaios estáticos e dinâmicos em modelos reduzidos de ligação com o intuito de avaliar a eficiência da técnica de reforço. Preliminarmente, realizaram-se ensaios de aderência que nortearam a escolha da resina para colagem dos laminados e a fixação do comprimento de ancoragem a ser empregado nos modelos de ligação.

2.1 Ensaios de aderência

Os ensaios de aderência tiveram por objetivo principal a determinação de um comprimento de ancoragem satisfatório a ser empregado nos modelos de ligação. A princípio, não se pretendia que a resina utilizada na colagem dos laminados fosse uma variável no estudo da aderência. Contudo, a primeira opção de resina “Epóxi Estruturante FC”, comercializada pela mesma empresa do laminado, apresentou resultados insatisfatórios nesta e em outras investigações realizadas paralelamente no Departamento de EESC. Por essa razão, são apresentados os resultados dos ensaios com dois tipos de resina: “Epóxi Estruturante FC”, adquirido junto à empresa “Rogertec” e “Sikadur 330”, fornecido pela empresa “Sika”. Para a série de ensaios com uso da resina do primeiro tipo, é adotada a referência R1. A série de ensaios com a resina “Sikadur 330” é referenciada por R2. A configuração do ensaio foi baseada nas recomendações da RILEM-CEB-FIB (1973) que originalmente se aplicam à caracterização da aderência de barras de aço, utilizadas como armadura em concreto. Foram feitas adaptações para que o ensaio se adequasse ao material estudado, bem como à configuração de utilização proposta. Os modelos foram confeccionados em concreto de resistência à compressão de 45,2 MPa, para a série R1, e de 50,0 MPa para a série R2. Utilizou-se armadura em aço CA 50 que foi dimensionada para evitar a ruptura por cisalhamento.

3010

050

50 325

375 50 375

180

100

5

18

50 Laminado

Medidas em milímetros

Bloco BBloco A

Zona de ancoragem

1 a 1

Zona de ancoragem

A

A

Vista frontal Corte A-A

Detalhe

Epóxi

Figura 1 – Características geométricas do modelo.



80

Conforme se pode observar na Figura 1, o modelo de ensaio consiste em dois blocos de concreto armado, A e B, unidos na parte superior por uma rótula e na parte inferior por laminados inseridos em entalhes no concreto de cobrimento lateral. Os entalhes foram executados com dimensões aproximadas de 18 mm de profundidade e 5 mm de largura, a uma altura de 50 mm a partir do fundo do modelo. A região de teste se restringiu ao bloco A no qual se variou o comprimento de ancoragem (ℓa). No bloco B foi mantido comprimento de ancoragem fixo igual a 325 mm. Foram estudados nos ensaios da série R1, os comprimentos de 90, 120 e 150 mm. Na série R2, os comprimentos foram de 70, 140 e 210 mm. Para ambas as séries, utilizaram-se dois modelos para cada comprimento de ancoragem estudado. Para realizar os entalhes utilizaram-se dois discos de corte justapostos, o que proporcionou uma largura do entalhe de aproximadamente 5 mm e profundidade de aproximadamente 18 mm. Na ocasião da colagem do laminado, foi realizada limpeza dos modelos com uso de jato de ar comprimido (Figura 2-a) e estopa embebida em álcool (Figura 2-b). Os laminados utilizados na confecção dos modelos foram cortados com comprimento de 80 cm. As zonas a serem ancoradas foram delimitadas por fita adesiva. Devido à natureza excessivamente fluida do adesivo utilizado na série R1, foram coladas sobre as fitas placas finas de poliestireno expandido, para prevenir que o adesivo escorresse da zona de ancoragem, ocasionando a existência de vazios entre o laminado e o concreto, ou mesmo a colagem do laminado em zonas indesejadas. As placas de poliestireno expandido proporcionaram a centralização do laminado no entalhe e foram utilizadas também na série R2. No início e fim da zona ancorada, foram coladas chapas metálicas com espessura de aproximadamente 1 mm, comprimento de aproximadamente 5 cm e largura de 2 cm, nas quais foram fixadas cantoneiras para medição do deslocamento relativo entre o concreto e o laminado. Extensômetros foram colados no laminado em posição correspondente à metade do vão da viga. O laminado foi limpo com acetona. Colocaram-se as duas partes da rótula nos blocos que foram posicionados de forma a apresentar a configuração definitiva do modelo. Misturaram-se dos dois componentes do adesivo conforme orientações do fabricante. Aplicou-se o adesivo no entalhe (Figura 2-c) ao longo do comprimento de ancoragem e nos laminados, com auxílio de uma espátula (Figura 2-d). Introduziram-se os laminados nos entalhes (Figura 2-e), retirou-se o excesso de adesivo com a espátula (Figura 2-f). Para a série R1, foi necessária a colagem de fita adesiva ao longo da zona ancorada para que o adesivo não escorresse. Os modelos foram mantidos nas dependências do Laboratório de Estruturas da EESC até a data do ensaio.

Figura 2 – Etapas da colagem dos laminados: (a) jateamento de ar; (b) limpeza do entalhe com estopa embebida em alcool; (c) aplicação do adesivo no entalhe; (d) aplicação do adesivo no laminado; (e) introdução do laminado

no entalhe e (f) acabamento.



81

A configuração do ensaio apresentou simetria em relação ao plano perpendicular que contém o eixo longitudinal da peça. O modelo foi bi-apoiado. Em cada apoio, posicionaram-se células de carga com capacidade de medida de 100 kN que permitiram a determinação da reação. Sobre as células, dispositivos de seção semicircular simularam a condição de articulação nos apoios. Dois cilindros metálicos foram utilizados para concentração da carga aplicada em pontos distantes 250 mm do apoio mais próximo a cada um deles. Posicionaram-se transdutores de deslocamento (LVDTs) no laminado, no início da zona de ancoragem (laminado tracionado) e fim da zona de ancoragem (laminado livre de esforços) do bloco A, para medir o deslizamento do laminado em relação ao concreto. Ao total foram utilizados quatro LVDTs com campo de medida de 10 mm, dois para cada laminado. A configuração esquemática do ensaio e a instrumentação podem ser visualizadas na Figura 3. Os ensaios foram realizados na máquina universal de ensaios servo-hidráulica INSTRON, sob controle de deslocamento do pistão à taxa de 0,005 mm/s.

Figura 3 – Configuração esquemática do ensaio.

2.1.1 Resultados e análises A deformação máxima (Figura 4-a), a força máxima no laminado e a tensão máxima no laminado, apresentaram a tendência de crescimento com o aumento do comprimento de ancoragem, para ambas as séries de ensaios (Fl máx, σmáx e εmáx têm seus valores atrelados e obrigatoriamente deveriam apresentar a mesma tendência, uma vez que Fl máx e σmáx são resultantes da multiplicação de εmáx por valores constantes e positivos). A tensão máxima de aderência (τmáx) apresentou decréscimo com o aumento do comprimento de ancoragem. O adesivo utilizado na série R2 teve um desempenho superior também em relação à facilidade de execução do reforço. A fluidez excessiva do adesivo utilizado na série R1 já foi mencionada ao longo do trabalho. A consistência do adesivo utilizado na série R2 foi bastante satisfatória, de modo que o entalhe foi preenchido com facilidade e não foi necessária a proteção do reforço para que o adesivo não escorresse. Essas características dos adesivos interferiram na uniformidade dos resultados obtidos. A trabalhabilidade dos adesivos interferiu também na qualidade final do reforço. O reforço com o adesivo utilizado na série R1 apresentou vazios na superfície, enquanto que o reforço com o adesivo da série R2, teve um bom acabamento superficial A ruptura do laminado não foi alcançada em nenhum dos ensaios das duas séries. A máxima deformação observada foi de 9,29 ‰, apenas 55% da deformação na ruptura (17 ‰). Com base nos resultados dos ensaios da serie R2 elaborou-se um gráfico “deformação x comprimento de ancoragem”. Determinou-se uma linha de



82

tendência que se adequasse aos dados experimentais e se aproximasse da origem do sistema cartesiano. Foi adotada uma função exponencial. De acordo com essa função, só se alcançaria a deformação na ruptura do laminado para um comprimento de ancoragem de 2600 mm (Figura 5-a). Estimou-se por meio dessa função a deformação que se obteria ao utilizar-se para ancoragem todo o comprimento da viga (375 mm) dos modelos de ligação (Figura 5-b).

Figura 4 – (a) Variação tensão de aderência máxima com o comprimento de ancoragem e (b) variação

deformação máxima no laminado com o comprimento de ancoragem.

2600,0; 17,0

y = 3,2087Ln(x) - 8,2207R2 = 0,9826

0

3

6

9

12

15

18

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700

Comprimento de ancoragem (mm)

Defo

rmaç

ão m

áxim

a (‰

)

(a)

375,0; 10,8

0

3

6

9

12

0 100 200 300 400 500

Comprimento de ancoragem (mm)

Defo

rmaç

ão m

áxim

a (‰

)

(b)

Figura 5 – Gráfico “deformação máxima x comprimento de ancoragem”: (a) para estimativa do comprimento de ancoragem correspondente a deformação na ruptura e (b) para estimativa da deformação correspondente ao

comprimento de 375 mm.

2.2 Ensaios em modelos reduzidos de ligação

Os modelos de ligação estudados foram concebidos para se assemelhar a um trecho de estrutura real (Figura 6). As dimensões dos elementos conectados, trechos de vigas e de pilar, foram reduzidas num fator de aproximadamente 1:3. A folga entre viga e pilar e o furo do chumbador não puderam ser reduzidos na mesma proporção, pois isso dificultaria a montagem do modelo e inviabilizaria o preenchimento por graute. A rigor, pela Teoria da Semelhança, o modelo não pode ser considerado representativo de uma ligação real. Seria necessário, para tanto, que não somente as dimensões dos elementos fossem reduzidas, mas também as dimensões dos materiais empregados na confecção dos modelos, como os agregados do concreto e as barras de aço. Embora a utilização de modelos reduzidos possa representar prejuízo em relação à equivalência a estruturas reais, alguns aspectos favoreceram a sua adoção nesta pesquisa a destacar: a possibilidade de caracterização dos mecanismos resistentes da ligação, a sua adequação aos ensaios dinâmicos, a possibilidade de



83

execução de vários modelos, o caráter exploratório do estudo, a facilidade de manuseio dos elementos.

Figura 6 – Porção de uma estrutura com trecho equivalente ao modelo de ensaio.

À exceção do modelo-piloto, os modelos de ensaio são referenciados por nomenclatura com quatro campos, por exemplo, “N1 CJ”. O primeiro campo a define o tipo de reforço. A letra “N” significa reforço a momento fletor Negativo e “P” significa reforço a momento fletor Positivo. O segundo campo designa o número do modelo, podendo ser igual a 1 ou 2. O terceiro e o quarto campos (CJ ou SJ) definem se o modelo foi confeccionado Com Junta grauteada ou Sem Junta grauteada. As características dos modelos estão resumidas na Tabela 1.

Tabela 1 – Características dos modelos

Modelo Características

Piloto Modelo para ensaio-piloto reforçado a momento positivo e negativo com juntas grauteadas (Figura 7)

N1 CJ/N2 CJ Modelos reforçados a momento negativo com juntas grauteadas

N1 SJ Modelo reforçado a momento negativo sem juntas grauteadas nem almofada de apoio

P1 CJ Modelo reforçado a momento positivo com juntas grauteadas

P1 SJ Modelo reforçado a momento positivo sem juntas grauteadas nem almofada de apoio

920

Almofada

Chumbador

Reforço

180

100

Reforço

305 10 290 10 305

28 42 10

15010 10

Graute

18

5

9010

80

3012

030

Medidas em milímetros

Vista frontal Vista lateral

Graute

Figura 7 – Características do modelo-piloto.



84

A Figura 8 ilustra a instrumentação interna que apresenta simetria em relação ao plano vertical que intercepta o eixo longitudinal da peça. O primeiro número na nomenclatura dos extensômetros particulariza o extensômetro na parte posterior do modelo e o segundo o extensômetro na parte anterior.

L 1,2 L 3,4

VS1,2E

PT1,2E PT1,2D

VS1,2D

Laminado Figura 8 – Posicionamento da instrumentação na armadura e laminado.

Os modelos foram dotados também de instrumentação externa. Utilizou-se um transdutor de deslocamento posicionado verticalmente a meio vão da viga para medição da flecha. As reações nos apoios foram obtidas nas leituras de células de carga posicionadas sob os apoios. Foram utilizados transdutores de deslocamento, fixados em quadros para suporte da instrumentação presos ao concreto por parafusos, para obtenção do deslocamento relativo entre as seções descontínuas. Assim como a instrumentação interna, a instrumentação externa apresenta simetria em relação ao plano perpendicular que contém o eixo longitudinal da peça. O primeiro número na nomenclatura dos transdutores posicionados horizontalmente particulariza o transdutor na parte posterior do modelo e o segundo, o transdutor na parte anterior. Buscou-se um posicionamento dos transdutores que permitisse a aferição da deformação tanto das juntas tracionadas quanto das juntas comprimidas. O quadro para suporte da instrumentação foi posicionado em um plano eqüidistante a dois outros planos de referencia no concreto em que foram coladas cantoneiras metálicas, conforme Figura 9. Mantiveram-se as distâncias verticais de 11 cm entre os transdutores e 17 cm entre os parafusos de fixação do quadro para suporte da instrumentação e a distância horizontal de 4 cm entre os planos referenciais.

Célula de carga 2Célula de carga 1

Dispositivo para distribuição do carregamento

7,5 77

Medidas em centímetros

7,5

T 5,7

T 6,8

T 1,3

T 2,4

T 9

0,5

311

30,

5

4 4

Força aplicada por atuador servo-controlado

4 4

Figura 9 – Configuração esquemática do ensaio e instrumentação externa.

O esquema estático do ensaio foi a mesma para todos os modelos (Figura 9). O modelo de ligação foi bi-apoiado em dispositivos prismáticos de seção semicircular. O carregamento foi aplicado por atuador servo-hidráulico e distribuído, com a utilização de blocos metálicos em uma área que



85

corresponderia à seção do pilar. Cabe observar que os modelos reforçados a momento fletor negativo foram submetidos a ensaio em posição inversa (rotacionados em 180º) à que ocupariam em uma estrutura real. Os ensaios foram realizados em ciclos de carga e descarga na máquina universal de ensaios servo-hidráulica INSTRON, sob controle de deslocamento do pistão a uma taxa de 0,005 mm/s. O sistema de aquisição de dados utilizado foi o System 5000 da Vishay. A realização do carregamento em ciclos visou à detecção da queda da rigidez com o processo de fissuração dos modelos. Nos dois primeiros ciclos de carregamento, aplicou-se uma força de 12 kN (aproximadamente 15% da força máxima estimada). No terceiro e quarto ciclos, aplicou-se uma força de 24 kN (aproximadamente 30% da força máxima estimada). Nesse ponto, o carregamento estático foi interrompido, modificou-se a vinculação do modelo e realizou-se o ensaio dinâmico. Após o ensaio dinâmico, restaurou-se a configuração do ensaio estático e realizou-se um ciclo de carregamento com uma força de 36 kN (aproximadamente 45% da força máxima estimada). O modelo foi levado à ruptura no sexto ciclo de carregamento.

2.2.1 Resultados e análises Os resultados estão apresentados separadamente conforme os itens que se julgaram mais importantes na avaliação do reforço: rigidez à flexão e deslocamento vertical. São apresentados os valores absolutos de força, momento, deslocamento e rotação para facilitar a comparação entre os resultados dos ensaios nos diversos modelos. Os resultados dos ensaios no modelo-piloto são apresentados numa seqüência com os demais modelos. Contudo, enfatiza-se que ele foi realizado antes, para avaliar a eficiência da metodologia de ensaio idealizada. Alguns ajustes foram feitos a partir dessa primeira experiência. As rigidezes dos modelos de ligação foram avaliadas em função das curvas “momento x rotação”. Para o modelo-piloto, o momento foi calculado em relação à face do pilar, distante 31 cm do apoio, por meio da Eq. (1). A distância vertical entre os transdutores (dv) foi de 8 cm (Figura 10). Para os demais modelos, o momento foi calculado na seção intermediária em relação às juntas, ou seja, a seção em que se fixou o quadro para suporte da instrumentação. Os valores da distância entre o apoio e a seção referencial para a determinação do momento fletor (ℓm) e da distância vertical entre os transdutores (dv) foram de 11 cm e 27 cm, respectivamente (Figura 11). A rotação foi calculada pela Eq. (2) em função da leitura dos transdutores de deslocamento e da distância vertical entre eles. É uma média das rotações obtidas para os dois lados da ligação de cada modelo.

mlFM ⋅−=2 (1)

vdTmédiaTmédia )8/6/4/2()7/5/3/1( +

=φ (2)

Onde: M - momento fletor na seção F - Força aplicada (soma das leituras das células de carga posicionadas nos apoios)

m - distância do apoio à seção referencial φ - rotação

)7/5/3/1(Tmédia - média das leituras dos transdutores superiores )8/6/4/2(Tmédia - média das leituras dos transdutores inferiores

vd - distância vertical entre os transdutores superiores e inferiores



86

dv =

8

Medidas em centímetros

3 3

T 1,3

T 2,4

T 5,7

T 6,8

F

F/2 F/2

m = 31

Figura 10 – Configuração esquemática do ensaio do modelo-piloto.

FMedidas em centímetros

T 5,7

T 6,8

T 1,3

T 2,4

dv =

11

F/2F/2

m = 27

4 44 4 Figura 11 – Configuração valida para os modelos N1CJ, N2 CJ, N1 SJ, P1 CJ e P1 SJ.

Descontaram-se das leituras dos transdutores os deslocamentos que ocorreriam em uma viga monolítica no trecho entre a seção que se fixou o quadro para suporte da instrumentação e a seções para a qual se calculou o momento fletor (seção em que se colaram as cantoneiras). Dessa forma, computa-se na determinação da rigidez apenas o acréscimo de deformabilidade introduzido pela descontinuidade na ligação.

Figura 12 – Curva “momento x rotação” do modelo-piloto e a aproximação bi-linear.



87

A curva “momento x rotação” é notadamente não-linear com os trechos inicial e final próximos da linearidade (Figura 12). Em vista disso se adotou uma simplificação do comportamento da ligação dividindo-o em dois estágios. Aproximou-se a curva a um comportamento bi-linear. As inclinações dos trechos inicial (Ki) e final (Kf) foram definidas pela regressão linear. No primeiro caso, de 0 a 30% da carga de ruptura. No segundo, de 70% até a carga de ruptura. O momento em que ocorre a passagem do primeiro para o segundo estágio foi definido como momento de plastificação da ligação. Os valores do momento de plastificação variaram de 54% a 64% do momento máximo na face do pilar (Tabela 2). A curva do modelo P1 SJ apresentou um trecho inicial com rigidez muito baixa, caracterizando uma fase de acomodação das deformações. Ela foi, por essa razão, dividida em três estágios. O primeiro estágio definiu a rigidez do trecho de acomodação de 960,5 kN.m/rad. O segundo estágio definiu a rigidez inicial, Ki, alvo de comparação com os demais modelos e o terceiro estágio, a rigidez final, Kf. Os valores das rigidezes inicial e final, das rotações máximas, momentos máximos (a meio vão e na face do pilar) e momento de plastificação estão reunidos na Tabela 2.

Tabela 2 – Resultados relacionados à curva “momento x rotação”

Modelo Mf,máx (kN.m)

Mv,máx (kN.m)

Фmáx (rad)

Ki (kN.m/rad)

Kf (kN.m/rad)

Mp (kN.m)

Mp/ Mf,máx (%)

Piloto 10,28 11,52 0,0108 1756,20 524,69 5,51 54

N1 CJ 11,30 12,66 0,0200 1514,10 191,70 6,67 59

N2 CJ 13,47 15,10 0,0243 1489,70 185,45 8,31 62

N1 SJ 12,97 14,54 0,0180 1736,30 279,59 8,06 62

P1 CJ 12,78 14,33 0,0160 1814,80 398,20 7,61 60

P1 SJ 12,68 14,21 0,0227 1484,10 243,55 8,13 64

Na Tabela 2, os símbolos têm os seguintes significados:

Mf, máx - momento máximo na face do pilar;

Mv, máx - momento máximo a meio vão do modelo;

Фmáx - rotação máxima;

Ki - rigidez inicial;

Kf - rigidez final;

Mp - momento de plastificação

Os limites de classificação quanto à rigidez propostos por Ferreira, El Debs e Elliot (2002) e pelo Eurocode 3 (2002) têm como variável o comprimento, L, da viga conectada pela ligação. Para que se possam classificar as ligações estudadas, pode-se estimar que o comprimento de uma viga compatível com a seção do trecho de viga do modelo (18 mm de altura) seria em torno de 1,80 m. Os limites de classificação segundo o Eurocode 3 (2002) e o fator γ na Tabela 1 foram calculados para esse comprimento de viga. Como todos os valores experimentais de rigidez foram menores que o limite superior (Ksuperior) e maiores que o limite inferior (Kinferior) do Eurocode 3 (2002), as ligações podem ser classificadas como semi-rígidas. De acordo com a proposta de classificação de Ferreira, El Debs e Elliot (2002), a maioria das ligações pertence à Zona II. São consideradas semi-rígidas com baixa resistência à flexão (0,14 < γ < 0,40). Apenas o modelo-piloto pode ser classificado semi-rígido com média resistência à flexão (Zona III - 0,40 < γ < 0,67).



88

Tabela 3 – Classificação das ligações quanto à rigidez

Modelo Ki (kN.m/rad) Ksuperior (kN.m/rad) Kinferior (kN.m/rad) γ

Piloto 1756,2 19601,07 392,02 0,43

N1 CJ 1514,1 26141,13 522,82 0,33

N2 CJ 1489,7 26141,13 522,82 0,32

N1 SJ 1736,3 25572,58 511,45 0,36

P1 CJ 1814,8 26141,13 522,82 0,37

P1 SJ 1484,1 25572,58 511,45 0,33

As considerações acerca da não-linearidade da curva “momento x rotação” são válidas também para a curva “força x deslocamento” (Figura 13). Adotou-se a mesma aproximação bi-linear para o comportamento desta curva. As inclinações dos trechos inicial e final, denominadas por (K’i) e (K’f), respectivamente, foram definidas pela regressão linear. No primeiro caso, de 0 a 30% da carga de ruptura. No segundo, de 70% até a carga de ruptura. A inclinação K’ é a rigidez que relaciona o deslocamento vertical a meio vão do modelo com a força vertical aplicada. A força correspondente à passagem do estágio 1 para o 2 foi denominada força de plastificação (Fp). A força de plastificação variou de 53 a 73% da força máxima. A Tabela 4 reúne os valores da força máxima (Fmáx), deslocamento máximo (δmáx), K’i, K’f e Fp para todos os modelos.

0

15

30

45

60

75

0 2 4 6 8 10 12

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Experimental

Estágio 1

Estágio 2

Figura 13 – Gráfico “força x deslocamento” no meio do vão - modelo-piloto.

Tabela 4 – Resultados relacionados à curva “força x deslocamento”

Modelo Fmáx (kN)

δ máx (mm)

K’i (kN/mm)

K’f (kN/mm)

Fp (kN)

K’i, teórico (kN/mm)

Fp/Fmáx (%) (K’i, teórico)/(K’i)

Piloto 66,30 11,44 8,80 3,70 44,07 12,71 66 1,44

N1 CJ 72,89 12,83 11,54 3,08 44,95 13,15 62 1,14

N2 CJ 86,93 13,78 12,45 3,28 56,79 13,15 65 1,06

N1 SJ 83,66 13,54 12,23 2,76 61,30 13,12 73 1,07

P1 CJ 82,46 12,62 12,50 4,26 43,71 13,15 53 1,05

P1 SJ 81,81 12,06 11,85 4,14 47,46 13,12 58 1,11

θ

φ

Fp

K’f = tgθ

K’i = tgφ



89

A despeito das diferenças geométricas e constitutivas dos modelos, eles apresentaram comportamento bastante semelhante entre si. A semelhança é bastante notável na Figura 14-b, que reúne as curvas “força x deslocamento” resultantes dos ensaios. Em relação às curvas “momento x rotação” (Figura 14-a) parece haver um maior distanciamento que deve estar relacionado à complexidade da instrumentação por meio da qual se obtiveram os resultados que permitiram o traçado das curvas. Aparentemente os modelos exibiram um comportamento de viga com seção previamente fissurada. Não se averiguou, portanto, influência da presença da almofada de apoio no desempenho da ligação.

0

2

4

6

8

10

12

14

0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028

Rotação (rad)

Mom

ento

flet

or (K

N.m

)

N1 CJ

N2 CJ

N1 SJ

P1 CJ

P1 SJ

0

15

30

45

60

75

90

0 2 4 6 8 10 12 14

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

N1 CJ

N2 CJ

N1 SJ

P1 CJ

P1 SJ

Figura 14 – (a) Curvas “momento rotação” e (b) curvas “força x deslocamento”.

3 CONCLUSÕES

O objetivo geral deste trabalho, foi avaliar a aplicabilidade da técnica NSM no reforço e incremento de rigidez de ligações viga-pilar de estruturas pré-moldadas. Para tanto, foram realizados ensaios experimentais de aderência e ensaios em modelos reduzidos de ligação reforçados pela técnica proposta. Os resultados dos ensaios foram avaliados e permitiram algumas conclusões. Como síntese final das conclusões da presente pesquisa, destacam-se os seguintes aspectos:

• O estudo realizado demonstrou que a técnica NSM é aplicável ao incremento da rigidez e da resistência de ligações de estruturas de concreto pré-moldado, com rapidez e eficiência compatíveis com o processo industrializado;

• O estudo da aderência dos laminados colados em entalhes demonstrou a sua efetividade e forneceu parâmetros confiáveis para avaliação da capacidade resistente do reforço em configuração semelhante à de uma situação de uso corrente na prática. O método de ensaio mostrou-se adequado;

• O processo de execução inerente à técnica de reforço foi testado, concluindo-se que ele tem condições de ser assimilado sem grandes dificuldades pelos agentes executores;

• No tipo de ligação e configuração particularmente analisada, a aplicação do graute mostrou-se satisfatória, praticamente reconstituindo a condição de ligação monolítica, em relação aos esforços de compressão. A existência da almofada não teve influência significativa no comportamento da ligação reforçada.

4 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo suporte financeiro que possibilitou a realização deste trabalho.



90

5 REFERÊNCIAS

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE COMMITTEE 440. ACI 440.1R-03: Guide for the design and construction of concrete reinforced with FRP bars. 2003.

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ISSN 1809-5860


CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO APLICADO A SISTEMAS DE PROCESSAMENTO E ARMAZENAGEM DE ALIMENTOS EM BAIXAS

TEMPERATURAS

Sandra Maria de Lima1 & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 2

R e s u m o O desenvolvimento de um concreto de alto desempenho aplicado a sistemas de processamento e armazenagem de alimentos em baixas temperaturas teve por objetivo atender às indústrias de alimentos no Brasil que se utilizam da tecnologia do frio em seu processo industrial. Desenvolveu-se um concreto de alto desempenho frente às possíveis situações em uma planta industrial: baixas temperaturas em ambientes secos e baixas temperaturas em ambientes sujeitos à umidade. A temperatura mínima a qual foram submetidos os concretos analisados foi de – 35° C. O método de dosagem e as diretrizes calcadas no reforço da matriz da pasta de cimento e refinamento de poros mostraram-se como uma alternativa para vencer as agressividades causadas pelas baixas temperaturas ao concreto. A produção de um concreto coeso, com teor de ar de 3,5%, poros com diâmetro médio de 0,02 µm com área específica de 2,84 m²/g, provaram ser duráveis quando expostos ao congelamento e a ciclos de gelo e degelo. O fator de durabilidade para estes concretos foi de 97%. Palavras-chave: Concreto. Durabilidade. Gelo e degelo. Armazenagem de alimentos.

HIGH PERFORMANCE CONCRETE APPLIED TO STORAGE AND PROCESSING SYSTEM BUILDINGS AT LOW TEMPERATURES

A b s t r a c t A high performance concrete (HPC), that can be applied to storage and processing system buildings at low temperatures, has been developed with the aim of answering the needs of Brazilian food manufacturers that use cooling technology during industrial process. A high performance concrete was designed to resist to low temperatures at dry environments as well as at moist ones. Concrete was exposed to a target temperature of -35°C. The dosage method and the guidelines based on the strengthening of bulk cement and the porous refinement showed to be an alternative to overcome the aggressiveness caused by low temperatures to concrete. Making a cohesive concrete, with 3,5% of air content and an average diameter porous of 0,02 µm with an specific surface of 2,84m²/g, resulted in a durable concrete, even when exposed to frost / thawing cycles. The durability factor of these concretes achieved 97%. Keywords: Concrete. Durability. Freezing-thawing cycles. Foodstuff storage.

1 INTRODUÇÃO

O concreto de alto desempenho proposto no início dos anos sessenta, com a utilização das sílicas ativas e dos aditivos tensoativos, vem sendo amplamente aprimorado, embora, muitos esforços ainda sejam necessários para que a aplicação deste novo material alcance o campo prático nas obras, fazendo assim a ciência colaborar com o desenvolvimento patrimonial do país. Para que essa tecnologia do concreto de alto desempenho torne-se prática comum na construção civil serão necessários esforços no sentido de se atribuir a ela sua específica função no 1 Doutora em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor e Coordenador do Laboratório de Materiais Avançados à Base de Cimento – EESC-USP, [email protected]

Sandra Maria de Lima & Jefferson Benedicto Libardi Liborio


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cenário da construção. Ou seja, há que se criarem nichos de mercado para aplicação de concreto de alto desempenho. Os concretos que vêm sendo ordinariamente utilizados (25 MPa a 30 MPa) ainda terão seu campo de aplicação em meios moderados, entretanto para ambientes severos, o uso de tais concretos deve ser contestado. O custo de produção do concreto de alto desempenho certamente será a primeira barreira a ser vencida para a fixação da sua utilização. Pensando nisso, Aïtcin (2000) argumenta que nos dias atuais, onde a sustentabilidade é condição indiscutível, o custo dos projetos no futuro deverá incorporar não somente os custos econômicos, mas, também, os custos sociais e ambientais os quais envolvem a extração da matéria-prima, a sua utilização, a sua eliminação (i.e. ao final da vida útil) passando então ser necessário proceder à análise do ciclo de vida desse produto na natureza. Bentur e Mitchell (2008) discorrem sobre as inúmeras técnicas desenvolvidas no campo do concreto de alto desempenho e sobre sua potencialidade em colaborar com a indústria da construção. Se por um lado, o desenvolvimento da ciência dos materiais criou um senso de satisfação na comunidade de cientistas, há também a decepção ao se constatar a enorme distância entre a tecnologia e a prática. Tendo por base tais argumentações, este trabalho apresenta um novo nicho para o concreto de alto desempenho: sistemas de armazenagem sob baixas temperaturas. A carência de materiais efetivamente duráveis para a construção de sistemas para armazenamento e conservação de gêneros alimentícios, com uma relação custo/benefício vantajosa em comparação às demais alternativas constitui um inaceitável contra-senso, posto a importância da cadeia do frio para um país como o Brasil, genuinamente agrícola, detentor de 33% do mercado mundial de carnes. A produção brasileira de carne bovina cresceu nos últimos sete anos 40% e a produção de carne de aves duplicou. Essa fatia de mercado rendeu ao Brasil 4,5 bilhões de dólares em exportações no ano de 2007 (GRADILONE; MARTINO, 2008). O objetivo desse estudo será a elaboração de uma dosagem de concreto aplicável aos mais variados elementos construtivos de plantas industriais, cujos ambientes são submetidos a baixas temperaturas Especificamente serão estudados os fenômenos físicos causadores dos danos aos concretos submetidos a congelamento sem a presença de umidade e concretos submetidos a ciclos de gelo e degelo. Essa última condição de exposição, refere-se às situações em que os elementos são submetidos às baixas temperaturas e, por conta de processos de sanitização com água a temperaturas elevadas, (i.e. 60° C) ficam sujeitos a um aquecimento que os expõe a ciclos de gelo e degelo. Essas duas condições simulam as possíveis situações ou adversidades às quais são submetidos os elementos construtivos em uma planta frigorífica ou em qualquer outra indústria que se utiliza da tecnologia do frio.

2 A AÇÃO DAS BAIXAS TEMPERATURAS E DOS CICLOS DE MOLHAGEM E SECAGEM EM ELEMENTOS DE CONCRETO

A problemática do concreto, quando submetido às baixas temperaturas, consiste no fato de que ele é um material poroso, capaz de armazenar água, a qual sob a ação do congelamento aumenta de volume e movimenta-se pelos capilares do concreto causando pressão em suas paredes. Powers (1945) e Powers e Helmuth (1953) desenvolveram uma série de experimentos que possibilitaram o entendimento da ação do congelamento sobre concretos, e designaram dois

Concreto de alto desempenho aplicado a sistemas de processamento e armazenagem de alimentos em baixas...


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fenômenos como sendo os causadores da deterioração deste material quando submetidos às baixas temperaturas: (1) a geração da pressão hidráulica; e (2) a difusão da água-gel e água capilar. Quando a água contida nos capilares do concreto passa para o estado sólido, causa pressão hidráulica por conta do aumento do volume da água e provoca a movimentação da quantidade excedente para as capilaridades ou cavidades mais próximas da primeira. Este movimento migratório causa pressão nas paredes dos capilares, os quais se deformarão, caso esta pressão supere a resistência do material. Por outro lado, o capilar inicialmente preenchido com gelo romperá, caso o fluxo migratório não seja suficiente para aliviar a pressão. O fenômeno descrito corresponde à geração da pressão hidráulica. Os vazios capilares no concreto são de diferentes tamanhos (figura 1). Quanto maior a dimensão desses vazios, maior a temperatura de congelamento da água nele contida. A coexistência da água em diferentes estados físicos além do congelamento em diferentes temperaturas no concreto, o que implica em diferentes níveis de energia, causa a depleção da água dos capilares menores para os maiores, pois, quanto menor o capilar e maior o grau de saturação do mesmo, maior será o nível de energia da água nele armazenada.

Figura 1 – Estrutura da pasta de cimento. Fonte: (POWERS E HELMUTH (1953)).

Esse fenômeno é denominado de difusão capilar e inicia-se na massa-gel, uma vez que possuem os menores vazios no concreto. A difusão da água-gel causa contração inicialmente, e numa segunda etapa, essa depleção para os capilares ou cavidades, provoca o aumento dos cristais de gelo nelas contidos, incorrendo na deformação dessas cavidades, caso não existam vazios próximos suficientes para acomodar o excesso de água. Os vazios de ar presentes nas pastas limitam a pressão hidráulica e o crescimento dos cristais de gelo pela difusão da água-gel ou água capilar, em função da distância entre estes vazios (Lcrítico). Powers (1949) sugere a incorporação de 6±1% de ar incorporado no concreto para protegê-lo da ação do congelamento, entretanto, tais vazios deverão estar próximos um dos outros, de maneira que o diâmetro dos mesmos seja em média, a distância entre suas paredes. Powers (1945) também demonstrou que se limitada a relação água/aglomerante em 0,25, pastas de cimento completamente hidratadas não sofrerão danos por baixas temperaturas em virtude da eliminação da água congelável armazenada nos poros destas pastas. Os vazios de ar presentes na matriz da pasta de cimento do concreto são preenchidos por cristais de gelo provenientes de diferentes capilares. Sendo assim, os vazios são preenchidos gradualmente por vários e discretos cristais de gelo. Estudos sobre a formação do gelo nos vazios do concreto, elaborados por Corr et. al. (2004) permitiram um avanço no entendimento da ação do congelamento sobre o concreto. Foram feitas observações sobre a microestrutura de vazios de ar com a utilização de microscópio eletrônico de varredura a baixas temperaturas (LTSEM). Esse microscópio produz as imagens das amostras mantendo-as em temperatura criogênica de -190° C. Essas pesquisas colaboraram para o melhor entendimento da morfologia e da formação dos cristais de gelo, pois essa técnica dispensa a dessecação da amostra.



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Um vazio de ar preenchido com pequenos cristais de gelo é mostrado na figura 2 a., e o mesmo vazio após a sublimação do gelo, é apresentado na figura 2 b.

(a) Vazio de ar com cristais de gelo. (b) Vazio de ar após a sublimação do gelo.

Figura 2 – Micrografias eletrônicas de varredura obtidas em temperatura criogênica: (a) vazio de ar preenchido parcialmente por cristais de gelo e (b) vazio de ar após a sublimação dos cristais de gelo. Fonte: (CORR et.al.

(2004)).

Considerando a superfície de um corpo-de-prova em contato com água por algum tempo anterior ao início do ciclo de gelo, observa-se que a camada superficial do corpo-de-prova estará saturada, ou próxima da saturação e, o conteúdo de água será maior nesta região do que nas camadas mais internas. Uma vez que o resfriamento do concreto ocorre junto à presença da água, o processo de congelamento terá uma seqüência de eventos tal que: primeiramente haverá a formação de gelo próximo à superfície, em seguida a água nos capilares próximos à superfície solidificará, expandindo, e o excesso de água, ainda em estado líquido, migrará para regiões mais internas e, assim, sucessivamente. A figura 3 ilustra o mecanismo descrito, que representa a seção transversal de um corpo-de-prova.

A BGELO

SUPERFÍCIE

CONCRETO

a

a

Figura 3 – Seção transversal esquemática de um corpo de prova de concreto submetido ao resfriamento. Fonte:

(LIMA (2006)).



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O plano (a-a) corresponde à superfície do concreto, a região A é a mais próxima do gelo e está saturada, B é a região mais distante da superfície do corpo-de-prova com menor conteúdo de água. O gelo se formará, primeiramente, sobre a superfície do corpo-de-prova (plano a-a) a 0°C, onde está sob a pressão atmosférica. A região saturada (A) terá parte de sua água congelada a 0°C e parte às temperaturas inferiores em virtude da pressão superior a uma atmosfera. O excesso de água supergelada migrará para a região mais interna e menos saturada. Em ciclos repetidos de gelo e degelo em água, a espessura da região A (figura 3) aumenta de acordo com a quantidade de água absorvida pelo corpo-de-prova de concreto. Enquanto a espessura da região A aumenta, a resistência à percolação da água para as regiões mais internas, menos saturadas, também aumenta, e, quando a região torna-se suficientemente espessa e a pressão hidráulica atingir valor superior ao da resistência do material, partes da região A sofrerão deterioração por desagregação. A espessura da região A no instante em que ocorre a desagregação é denominada de profundidade crítica de saturação. Uma das implicações desta teoria é que se um corpo-de-prova com estrutura uniforme não estiver totalmente saturado, mesmo que submetido à imersão em água antes do início dos ciclos, nenhuma desagregação ou esfarelamento ocorrerá por causa do gelo e degelo, até que tenha sido absorvida água suficiente para a saturação da profundidade crítica da sua superfície. A profundidade crítica de saturação dependerá das propriedades do concreto em relação à grandeza da pressão hidráulica gerada e da resistência do material, em função dos seguintes fatores: permeabilidade do material, quantidade de água congelável e diferença da quantidade de água na regia A e o grau de saturação desta região.

3 DOSAGEM DE CAD PARA AMBIENTES COM BAIXAS TEMPERATURAS

O CAD proposto foi constituído pela fase aglomerante composta por cimento Portland CP II E 32 e sílica ativa proveniente da fabricação de ligas de ferro-silício ou silício metálico (SA), os agregados miúdo e graúdo foram da região de São Carlos/SP: respectivamente, areia de rio, e de rochas de natureza basáltica com dimensão máxima de 19 mm. Os aditivos utilizados foram do tipo: superplastificante policarboxílico (Glenium 51) e incorporador de ar (IAR). As relações 1:m, com m definido como o total de agregados, e a/agl foram obtidas pelo ábaco de dosagem (figura 5) cuja determinação resultou do processo proposto por Helene e Terzian (1997) e adaptado por Liborio (2003). Este método consiste em dosar três misturas 1:m que fornecerão dados relativos ao consumo de cimento, relação a/agl, e a resistência mecânica. A partir dos três dados para cada propriedade é possível traçar as curvas de cada um destes parâmetros, as quais comporão o ábaco de dosagem. Uma vez que os materiais são os mesmos para os três traços, o teor de argamassa é determinado para a primeira mistura dosada e todas as outras misturas são produzidas com a mesma consistência. De acordo com a aplicação do concreto, adotou-se a medida de abatimento determinada pelo tronco de cone (NBR NM 67: 1998), sendo nesta pesquisa de 100 ± 10 mm. Dois procedimentos podem ser adotados para este método de dosagem: (1) fixar a relação a/agl ou (2) a dosagem de aditivos (superplastificante e incorporador de ar). Adotou-se o mesmo teor de superplastificante e incorporador de ar para a realização das dosagens. A escolha do teor de superplastificante foi feita a partir da análise do ensaio de Kantro, adotando-se para a dosagem inicial o ponto de saturação. Entretanto tal valor deve ser ajustado às propriedades almejadas para o concreto, tais como: consistência, durabilidade e permeabilidade. Em face destas questões, determinou-se o teor de 0,5% para as misturas sem agente incorporador de ar. Para as misturas com incorporador de ar, o teor de superplastificante foi ajustado para obter a



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consistência de 100 ± 10 mm e o volume total de ar em 6 ± 1 %, sendo determinados experimentalmente os teores de 0,25 % de superplastificante e 0,045 % para incorporador de ar. O teor de ar incorporado foi ajustado utilizando-se o método gravimétrico regulamentado pela NBR 9833: 1987. Além da análise de cada um dos materiais, diversas alternativas a respeito da seqüência de mistura dos materiais foram feitas, sendo que a mais adequada para o caso em estudo pode ser descrita conforme as etapas a seguir, baseadas nos estudos de Liborio e Castro (2004): 1. Mistura dos agregados graúdos com a sílica ativa e 10% da água de amassamento, misturando por 2 minutos; 2. Acréscimo do agregado miúdo, do cimento Portland CP II 32 E, 70% da água de amassamento, misturando por 5 minutos; 3. Adição do superplastificante e do incorporador de ar, para o concreto com ar incorporado, e 10% da água de amassamento, misturando por 2 minutos; 4. Acréscimo de 10% da água, misturando por 2 minutos. Esta seqüência de mistura propiciou a dopagem dos agregados graúdos, além de permitir que transcorresse o tempo necessário para o início da reação de hidratação do cimento Portland para então a adição do superplastificante e do incorporador de ar, direcionando a ação dos aditivos à superfície dos aglomerantes já adsorvidos nas paredes dos agregados, evitando assim, que parte do volume destes tensoativos fosse desperdiçada ao ser envolvida por agregados ainda não revestidos por pasta de cimento. Com os dados obtidos na dosagem delineou-se o ábaco de dosagem da figura 4, a partir do qual se optou pelo traço definitivo do concreto sem ar incorporado e do concreto com ar incorporado. A massa específica do concreto sem ar incorporado foi ρ = 2,46 g/cm3; para o concreto com ar incorporado foi de ρ = 2,32 g/cm3. A consistência de ambos os concretos ensaiados a baixas temperaturas foi a mesma, entretanto a trabalhabilidade do concreto com ar incorporado foi melhor, fato este atribuído à presença de bolhas de ar que facilitam a mistura, o lançamento e o adensamento do concreto. Estas características do concreto com ar incorporado foram confirmadas quando da moldagem dos corpos-de-prova cilíndricos, e principalmente dos corpos-de-prova prismáticos. Logo após a moldagem, a superfície exposta dos corpos-de-prova foi saturada por água e coberta por um filme plástico de modo a evitar as retrações: plástica, autógena e por secagem. Tanto os concretos dosados com o intuito da construção do ábaco de dosagem, como os concretos a serem ensaiados a baixas temperaturas, foram curados em câmara úmida após serem desmoldados, sendo que os corpos-de-prova cilíndricos foram curados até as datas de 1, 7 e 28 dias quando foram ensaiados para determinação da resistência a compressão, e os corpos-de-prova prismáticos foram curados até a idade de 28 dias. O teor de argamassa adequado para obtenção de uma mistura coesa, com bom acabamento superficial, e de fácil manipulação para os materiais estudados, foi determinado em 56%. Para a análise e definição das propriedades necessárias ao concreto para ambientes com baixas temperaturas, duas séries de corpos-de-prova foram moldadas, ambas compostas de concretos com mesmas relações a/agl e 1:m, distinguindo-se pelo uso ou não de agente incorporador de ar e teor de superplastificante. Conservou-se para as séries o teor de argamassa de 56 %, determinado por meio da dosagem, e a consistência foi estabelecido em k = 100 mm, com o uso do ensaio do tronco de cone. Nove corpos-de-prova, prismáticos com seção transversal quadrada de 100 x 100 mm e comprimento de 500 mm foram moldados para cada série.



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1 dia7 dias28 dias

consistência 100 mm

1:6,5

1:5

1:3

3

fcj (MPa)

Cimento (kg/m )

Total de agregados(kg)

a/agl (kg/kg)

600 400 200 0,600,20

8,0

6,0

4,0

2,0

110

90

70

50

30

10

m

0,40 0,80

Figura 4 – Ábaco de dosagem para determinação do traço do CAD para ambientes com

baixas temperaturas. Fonte: Lima (2006).

O período de cura dos corpos de prova foi de 28 dias. As justificativas para escolha deste período são duas: uma técnica, e outra construtiva. A justificativa técnica baseia-se no objetivo de eliminar o máximo de água congelável no concreto, além de atingir maior resistência à tração para melhor suportar a ação da pressão hidráulica e da expansão causados pelo congelamento dos corpos-de-prova. A justificativa construtiva baseia-se na experiência na construção de sistemas para armazenamento de produtos congelados, onde a construção dos elementos de concreto precede à montagem dos equipamentos de frios, instalações elétricas, mecânicas e sistemas de isolamento, sendo que estas atividades exigem, normalmente, mais de 28 dias para serem executadas. A cura foi realizada em câmara úmida. Com a definição dos parâmetros do projeto para o CAD para ambientes com baixas temperaturas, tais como: consistência, dosagem de aditivos, composição do aglomerante, teor de argamassa, consumo de cimento, relação a/agl e a relação 1:m, foram definidos os traços de concretos a serem submetidos a baixas temperaturas, como mostra a tabela 1.



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Tabela 1 – Traços para estudo do CAD para ambientes com baixas temperaturas

Concretos submetidos à baixas temperaturas

Parâmetros Referência (sem

aditivo incorporador de ar)

Concreto com aditivo incorporador de ar

1:M 1:5 1:a:p:a/agl 1:2,36:2,64:0,42

% S.P. 0,5 0,25 % IAR* - 0,045

Teor de ar incorporado (%)

2 7

Consumo de cimento (kg/m3)

384 379

Teor de argamassa (%) 56 Consistência (mm) 100±10

* Aditivo incorporador de ar – Norma Brasileira EB 1763

Os resultados dos ensaios de resistência à compressão para estes concretos são apresentados na tabela 2.

Tabela 2 – Resistência à compressão simples para os concretos que serão submetidos à temperatura de -35±2°C

Resistência à compressão simples (MPa)

Traço fck1 fck28 fck63 1:5 (s/IAR) 10 53 61 1:5 (c/IAR) 8 38 43

Consistência 100±10mm

4 ENSAIO DE GELO E DEGELO

O procedimento para a realização de ensaios para a verificação da durabilidade de concretos submetidos a ciclos de gelo/degelo é estabelecido pela ASTM C666-92 Standard Test Method for Resistance of Concrete to Rapid Freezing and Thawing. A ASTM C 666-92 recomenda a duração dos períodos de congelamento e descongelamento dos corpos-de-prova, a temperatura alvo, bem como a taxa de resfriamento. Além dessas instruções também descreve a maneira correta de acondicionamento dos corpos- de - prova em cada uma das fases. A temperatura alvo mínima recomendada pela ASTM C 666/92 é de - 17,80 C e máxima de 4,4 o C. O tempo de cada ciclo é de aproximadamente 5 horas, num total de 300 ciclos. Para a validade do ensaio no caso em estudo, concretos para construção de sistemas de armazenagem sob baixas temperaturas, os parâmetros utilizados para a realização do ensaio foram: 1. Temperatura alvo mínima: - 35oC; 2. Temperatura alvo máxima: 22o C; 3. Duração dos ciclos: 48 horas; 4. Número de ciclos: 32.



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A duração e o número de ciclos foram adotados de maneira que os corpos-de-prova permanecessem cerca de 1500 horas sob ciclos de gelo e degelo, o que equivale ao total de horas proposta pela ASTM C 666-92. Outros pesquisadores também adequaram estes dados de acordo com as necessidades e condições para realização do ensaio, tendo sido observado por esta pesquisadora, que em tais estudos era mantido o total de 1500 horas de ensaio. Dentre estas pesquisas cita-se o de Okamoto e Uomoto (1998) que adotaram 50 ciclos de 30 horas para ensaiar concretos de barragens submetidos a ciclos de gelo e degelo. O desempenho dos concretos é avaliado pelo fator de durabilidade (FD) proposto pela ASTM C666-92. Sendo que os concretos são considerados duráveis se o fator de durabilidade ao final dos ciclos for maior ou igual a 80%. A ruptura dos corpos-de-prova é constatada ao se atingir 60% do valor da freqüência natural inicial. O fator de durabilidade (FD) é calculado a partir do módulo dinâmico relativo dos corpos-de-prova como segue (equação 1) :

( ) 100/ 221 xnnDC = (1)

Onde: D = módulo de elasticidade dinâmico relativo, após C ciclos de gelo/degelo, em porcentagem; C = número de ciclos de gelo/degelo a que os corpos-de-prova foram submetidos; n = freqüência natural transversal do corpo-de-prova antes do ensaio de gelo/degelo; n1 = freqüência natural transversal do corpo-de-prova após C ciclos de gelo/degelo; Com estes dados calcula-se o fator de durabilidade como segue ( equação 2):

( ) MNDFD ×= (2) Onde: FD = fator de durabilidade para o corpo-de-prova ensaiado a gelo/degelo; D = módulo de elasticidade dinâmico relativo para N ciclos de gelo e degelo; N = número de ciclos de gelo/degelo para o qual o corpo-de-prova apresentou o menor módulo de elasticidade dinâmico relativo; M = número total de ciclos de gelo/degelo propostos para a realização do ensaio completo. O primeiro ensaio de gelo/degelo foi realizado para os dois concretos desenvolvidos por Lima (2006), ou seja, concretos com e sem ar incorporado. Foram moldados corpos-de-prova prismáticos com seção transversal de 10 cm x 10 cm e comprimento de 50 cm. Os corpos-de-prova foram moldados e curados em câmara úmida por 28 dias. Os equipamentos utilizados no ensaio de gelo/degelo (figura 5) foram: 1. Uma câmara-fria; 2. Uma caixa d’água em fibra de vidro; 3. Um acelerômetro piezoelétrico; 4. Um sistema de aquisição de dados Vishay sistema 6000.



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(a) Equipamentos para ensaio de gelo/degelo (b) Sistema de aquisição de dados

(c) Corpos-de-prova na câmara fria (d) Detalhe do acelerômetro

(e) Saída de dados – gráfico da freqüência x

amplitude (e) Caixa para degelo com água com cal

Figura 5 – Ensaio de gelo/degelo.

O ensaio consistiu em acondicionar os corpos-de-prova na câmara fria por 24 horas. Após este período eram lidas as medidas de freqüência natural para então submergi-los em água com cal na caixa de degelo, por um período de 24 horas, perfazendo assim o ciclo de 48 horas. O término do ciclo é considerado na saída dos corpos-de-prova da caixa de água. Ao final de cada ciclo foram feitas as leituras da freqüência natural dos corpos-de-prova. A figura 6 ilustra o procedimento do ensaio de gelo/degelo.



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Os corpos-de-prova foram acondicionados tanto na caixa de degelo como na câmara fria de modo que ficassem com a maior parte da superfície em contato com o ar frio ou a água. Para melhorar o contato entre a base do acelerômetro e o corpo-de-prova foram fixadas placas metálicas de alumínio.

5 RESULTADOS

Somente os corpos-de-prova com 6±1% de ar incorporado resistiram aos ciclos de gelo e degelo, apresentando fator de durabilidade mínimo de 96%. Os corpos-de-prova de concreto sem ar incorporado resistiram a ensaios de congelamento com temperaturas de até -35°C. Ensaios de porosimetria por intrusão de mercúrio foram realizados em amostras de concreto antes e após a exposição dos mesmos aos ciclos de gelo e degelo. A análise desses resultados possibilitou a constatação de um aumento da porosidade total nos concretos sem ar incorporado após a exposição aos ensaios de gelo e degelo, conforme apresentado nas tabelas 3 e 4. Tabela 3 – Dados da porosimetria por intrusão de mercúrio da amostra de CAD sem ar incorporado antes da exposição ao gelo e degelo. Fonte: Instituto de Física de São Carlos - EESC-USP

Dados do ensaio de porosimetria Volume total de mercúrio utilizado no ensaio 0,0063ml/g Área total de poro 1,197 m2/g Diâmetro médio dos poros (volume) 0,0278 μm Diâmetro médio dos poros (área) 0,0120 μm Diâmetro médio dos poros (4V/A) 0,0211 μm Massa específica 2,4844 g/cm3

Massa aparente 2,5240 g/cm3

Porosidade 1,57%

Os dados deste ensaio de porosimetria comparados aos dados da porosimetria realizada na amostra de concreto antes dos ciclos de gelo/degelo permitiram as seguintes observações: 1. A expansão causada pela ação dos ciclos de gelo/ degelo sobre o concreto aumentaram a sua porosidade de 1,57% para 4,22%; 2. Estes mecanismos de deterioração também causaram a redução da massa específica do concreto de 2,48 g/cm3 para 2,31 g/cm3; A partir desses dados optou-se pela elaboração de um novo concreto cujo teor de ar incorporado foi de 3,5%. Tabela 4 – Dados da porosimetria por intrusão de mercúrio da amostra de CAD sem ar incorporado após a exposição ao gelo e degelo. Fonte: Instituto de Física de São Carlos – EESC-USP

Dados do ensaio de porosimetria Volume total de mercúrio utilizado no ensaio 0,0182/g Área total de poro 3,806 m2/g Diâmetro médio dos poros (volume) 0,0267 μm Diâmetro médio dos poros (área) 0,0108 μm Diâmetro médio dos poros (4V/A) 0,0192 μm Massa específica 2,3145 g/cm3

Massa aparente 2,4164 g/cm3

Porosidade 4,22 %



102

Partiu-se para a determinação de um novo traço de concreto. Dois objetivos governaram o projeto desta nova dosagem: a diminuição ao máximo da quantidade de ar incorporado e o reforço da matriz da pasta de cimento. A nova dosagem de concreto baseou-se nas observações decorrentes do primeiro ensaio de gelo e degelo. Para esta nova moldagem também se adotou a prática da revibração com o intuito de tornar mais densa e, portanto, mais resistente a microestrutura do concreto. No concreto com ar incorporado desenvolvido por Lima (2006) notou-se uma melhoria significativa da trabalhabilidade em relação ao concreto sem ar incorporado. Esta diferença possibilitaria que o concreto com ar incorporado tivesse reduzido o seu teor de argamassa e até mesmo a quantidade de água de amassamento. Entretanto, na ocasião daquela pesquisa de mestrado, optou-se por manter os mesmos parâmetros de dosagem para os dois traços (i.e. concreto com e sem ar incorporado), para se ter bases de comparação. Para esta nova dosagem então, reduziu-se o teor de argamassa de 56% para 53% e a relação água/aglomerante de 0,42 para 0,41. O cimento utilizado foi o mesmo CP II E 32 com 10% de sílica ativa em substituição volumétrica. A tabela 5 apresenta o traço do concreto a ser submetido aos novos ciclos de gelo e degelo. Os corpos-de-prova de concreto expostos aos ciclos de gelo e degelo apresentaram ao final dos 32 ciclos de gelo/degelo fator de durabilidade mínimo de 96%. Com este ensaio pode-se atribuir o alto desempenho ao concreto projetado nesta pesquisa frente a ciclos de gelo/degelo. Tabela 5 – Concreto para ciclos de gelo/degelo - parâmetros de dosagem

Concretos submetidos a ciclos de gelo/degelo Parâmetros de Dosagem

1:M 1:5 1:a:p:a/agl 1:2,18:2,82:0,41

% S.P. 0,35 % IAR* 0,00925

Teor de ar incorporado (%)

3,5

Consumo de cimento (kg/m3)

384

Teor de argamassa (%) 53 Consistência (mm) 100±10

Fc28 (MPa) 49 * Aditivo incorporador de ar Uma terceira série de ensaios de gelo e degelo foi realizada a partir da qual confirmou o resultado obtido na segunda série. Os corpos-de-prova dessa terceira série foram moldados com concreto produzidos em dosagem com as mesmas características da segunda (i.e. concreto com 3,5 % de ar incorporado), entretanto foram analisadas as seguintes condições de cura e mistura: 1. Revibração e cura em água com cal (RAC); 2. Revibração e cura em câmara úmida (RCU); 3. Sem revibração e cura em água com cal (VAC); 4. Sem revibração e cura em câmara úmida (VCU).



103

Foram feitos ensaios de resistência à compressão e módulo de elasticidade para os concretos dosados de acordo com os procedimentos ora referenciados. Os resultados estão expressos na tabela 6. Tabela 6 – Resistência mecânica para os concretos dosados com e sem revibração e curados em água com cal e câmara úmida

Resistência à compressão (MPa) Concretos

fck7 fck29

Módulo de Elasticidade (GPa)

RCU 43 50 43

RAC 43 53 44

VCU 42 50 42

VAC 42 51 44

A tabela 7 sumariza os resultados do ensaio de gelo e degelo para estes concretos. Tabela 7 – Resultados da freqüência natural para concretos dosados com e sem revibração e curados em água com cal e câmara úmida, antes e após os ciclos de gelo e degelo

Freqüência Natural (hz)

Concretos

Inicial Final

FD (%)

VAC1 1535 1539 100

VAC2 1535 1535 101

RAC1 1526 1529 100

RAC2 1530 1533 100

VCU1 1504 1523 103

VCU2 1505 1539 105

RCU1 1517 1550 104

RCU2 1532 1553 103

Tabela 8 – Ensaio de porosimetria por intrusão de mercúrio em amostras de concreto - VAC, VCU e RCU

Amostras Dados do ensaio de porosimetria VAC VCU RCU Volume total de mercúrio utilizado no ensaio (ml/g)

0,0199 0,0193 0,0131

Área total de poro (m²/g) 6,201 4,238 2,014 Diâmetro médio dos poros (volume) (μm)

0,0108 0,0349 0,3525

Diâmetro médio dos poros (área) (μm) 0,0079 0,0079 0,0082 Diâmetro médio dos poros (4V/A) (μm) 0,0128 0,0182 0,0260 Massa específica (g/cm³) 2,2193 2,5533 2,3965 Massa aparente (g/cm³) 2,3218 2,3538 2,4742 Porosidade (%) 4,41 4,35 3,14



104

Ensaios de porosimetria por intrusão de mercúrio (tabela 8) foram realizados nos concretos dessa terceira série de gelo e degelo para a caracterização do sistema de vazios. A figura 6 ilustra as curvas de distribuição dos poros para as amostras de concreto da terceira e da segunda séries de ensaios de gelo e degelo além da curva para o concreto sem ar incorporado.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,001 0,01 0,1 1 10 100

Volu

me

de m

ercú

rio a

cum

ulad

o (m

l/g)

Diâmetro dos poros (µm)

VAC - 3ª serie de gelo/degeloVCU - 3ª série de gelo/degeloRCU - 3ª série de gelo/degeloCAD sem ar incorporadoRAC - 2ª série de gelo e degelo

Figura 6 – Curvas de distribuição de poros para os concretos expostos aos ciclos de gelo e delo nas três séries

de ensaios. Embora a forma das curvas seja distinta para as amostras, o tamanho crítico de poro para todas as amostras analisadas é muito próximo, sendo de 0,0061 µm para a VAC e para a RCU, 0,0062 µm para VCU, 0,0060 µm para RAC e para o concreto sem ar incorporado. O espaçamento crítico, calculado segundo Attiogbe3 (1993) está apresentado na tabela 9. Tabela 9 – Espaçamento crítico entre os vazios de ar nos concretos expostos aos ciclos de gelo e degelo

Espaçamento crítico entre os vazios de ar - _s (µm)

CAD sem ar incorporado 2,67

RAC 1,19

VAC 0,62

RCU 2,82

VCU 0,92

Observa-se que o espaçamento crítico para os vazios de ar do concreto RCU foi maior que o espaçamento do concreto sem ar incorporado, o qual não resistiu aos ciclos de gelo e degelo.

3 Apsα

2_2= , onde

_s = fator de espaçamento, P = taxa de pasta no concreto, α = área específica de vazios de ar,

A = teor de ar no concreto.



105

Entretanto, os corpos-de-prova do concreto RCU tiveram fator de durabilidade (FD) de 103%. Conclui-se que, de fato, o que influenciou para a durabilidade aos ciclos de gelo e degelo foi o volume de vazios. O CAD sem ar incorporado apresentou a porosidade de 1,57%, enquanto o concreto RCU teve sua porosidade de 3,14%.

(a) Interface pasta/agregado

500 x – 20 KV – 17,4 mm (b) Interface pasta/agregado 1000 x – 20 KV – 17,4 mm

(c) Interface bolha de ar/agregado

5000 x – 20 KV – 12,8 mm (d) Interface pasta/agregado 5000 x – 20KV – 30,1 mm

(e) C-S-H resultante de reação pozolânica 60000

x – 20 KV – 17,4 mm (f) Homogeneidade da zona de transição 10000

x – 20 KV – 12,5 mm

Figura 8 – Microestrutura do novo concreto com 3,5% de ar incorporado.

O fortalecimento da matriz da pasta de cimento do concreto dosado pode ser confirmado pelas micrografias apresentadas na figura 8. As micrografias 8 a, 8 b, 8 d e 8 f ilustram a interface pasta/agregado evidenciando a densidade e homogeneidades obtidas. A micrografia 8 c ilustra a interface pasta/bolha de ar, igualmente densa e homogênea.



106

A micrografia 8 e ilustra o C-S-H cuja estrutura reticular foi alterada por conta da reação pozolânica (MINDESS,1998).

6 CONCLUSÕES

A técnica de dosagem empregada possibilitou a produção de um concreto de alto desempenho frente a baixas temperaturas, inclusive em situações de ciclos de gelo e degelo. Com isso cria-se uma nova alternativa para construção de sistema de armazenagem e processamento de alimentos duráveis e viáveis economicamente. Pode-se destacar as seguintes conclusões a partir desses estudos: O concreto com 3,5% de ar incorporado teve fator de durabilidade mínimo de 96 % e máximo de 104 %. O método de dosagem, as práticas de cura e o teor de ar em 3,5% produziram um concreto de alto desempenho frente a temperaturas de até – 35° C e expostos a ciclos de gelo e degelo. O concreto produzido prescindiu a necessidade de se incorporar 6 ± 1% de ar ou a redução do fator a/agl em 0,27 para resistir aos ciclos de gelo e degelo; Os vazios de ar do concreto resistente aos ciclos de gelo e degelo apresentaram diâmetro médio de 0,2 µm. O espaçamento crítico entre os vazios de ar do concreto não foi fator determinante para seu alto desempenho e sim a área específica de seus poros. Para poros com diâmetro médio de 0,2 µm foi necessária uma área específica mínima de 2,014 m²/g para garantir o alto desempenho. Esta área específica levou a um espaçamento crítico entre os vazios de 2,82 µm. Esta pesquisa resultou na produção de um concreto de alto desempenho frente a ação de baixas temperaturas , inclusive ciclos de gelo e degelo, cuja resistência à compressão foi de 50 MPa, a resistência à tração na flexão de 4,9 MPa, módulo de elasticidade de 43 GPa com um consumo de 7,8 kg de aglomerante por 1 MPa.

7 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à CNPq pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

8 REFERÊNCIAS

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BENTUR, A.; MITCHELL, D. Materials performance lessons. Cement and Concrete Research, v. 38, p. 259-272, 2008.



107

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108

ISSN 1809-5860


ALMOFADA DE APOIO DE COMPÓSITO DE CIMENTO PARA LIGAÇÕES EM CONCRETO PRÉ-MOLDADO

Gustavo Henrique Siqueira1 & Mounir Khalil El Debs2

R e s u m o Este artigo apresenta um estudo de uma argamassa modificada para uso como elemento de ligação entre elementos de concreto pré-moldado. A argamassa utilizada nesta pesquisa é obtida pela introdução de látex estireno-butadieno (SB) e fibras de polipropileno a uma argamassa de cimento e areia. Estas adições modificam suas propriedades mecânicas, proporcionando o aumento da deformabilidade por diminuição do módulo de elasticidade do compósito, conferindo-lhe características favoráveis ao uso como elemento de apoio para elementos pré-moldados de concreto. Foram realizados ensaios de caracterização do compósito por meio da obtenção das resistências à compressão e à tração e, do módulo de elasticidade para corpos-de-prova cilíndricos com 50mm de diâmetro com 100mm de altura. Ensaios de capacidade de deformação, capacidade de rotação e capacidade de acomodação de imperfeições e distribuição das tensões foram realizados em almofadas de 150mm x 150mm com espessura de 10mm. Os resultados mostraram que o material possui boa capacidade de se deformar em níveis de tensão da ordem de 10 a 20MPa mantendo sua resiliência. Para os ensaios de rotação das almofadas, valores de rotações entre 0,01 e 0,02rad foram obtidos, sendo estes maiores que os valores necessários para a maioria dos casos convencionais de projeto. Na acomodação e distribuição das tensões, a presença das almofadas promoveu uma melhora de 25% no desempenho de ligações submetidas à compressão uniforme, com rugosidades de 1,0mm. Palavras-chave: Almofadas de apoio. Fibras de polipropileno. Látex estireno-butadieno. Ligações. Estruturas de concreto pré-moldado.

BEARING PAD OF CEMENT COMPOSITE FOR CONNECTIONS IN PRECAST

CONCRETE

A b s t r a c t This research presents a study of a mortar modified to use as bearing pad between precast concrete elements. The mortar used in this research is achieved by the introduction of styrene-butadiene latex (SB) and polypropylene fibers into a cement mortar and sand, modifying their mechanical properties, as increase of the potential deformation by decrease of the composite modulus of elasticity, providing favorable characteristics to the use as bearing pad for precast concrete elements. Cylindrical samples of 50mm of diameter with height of 100mm were used to determinate the compressive and the tensile strength and also the modulus of elasticity of the composite. Compression tests with cushions of 150mm x 150mm of base with thickness of 10mm were done to determinate the deformation capacity, rotation capacity and capacity of accommodation of imperfections and distribution of the stresses between precast elements. The results showed that the material has a capacity to deform in levels of tension from 10 to 20MPa maintaining his resilience. Values of rotations among 0.01 and 0.02rad were obtained, being these larger ones than the necessary values for most of the conventional cases of project. In the accommodation and distribution of the stresses, the presence of the bearing pad promoted an improvement of 25% in the strength of connections subject to uniform compressive stresses, with surface irregularities of 1.0mm. Keywords: Bearing pad. Polypropylene fibers. Styrene-butadiene látex. Connections. Precast concrete structures.


Gustavo Henrique Siqueira & Mounir Khalil El Debs


110

1 INTRODUÇÃO

As ligações entre elementos de concreto pré-moldado, geralmente, são a parte mais importante do projeto deste tipo de sistema estrutural. Elas são de fundamental importância na concepção da fabricação dos elementos adjacentes à região da ligação, no comportamento global da estrutura e nos serviços complementares realizados no local. Devido ao seu comportamento próprio, as ligações podem promover a redistribuição dos esforços nos elementos e ainda a modificação dos deslocamentos finais da estrutura. As falhas de certas ligações, quando submetidas a determinadas ações, bem como defeitos em sua execução, podem ocasionar deslocamentos excessivos e provocar o colapso da estrutura. Nas ligações entre elementos de concreto pré-moldado, a transferência das tensões de compressão pode ser de duas maneiras: (a) por contato direto; e (b) por inserção de material entre os elementos. Devido as baixas tensões e o comportamento frágil do concreto, o apoio por contato direto é raramente utilizado e limitado a baixas tensões de compressão. O uso de argamassa moldada no local pode ser uma alternativa para minimizar as irregularidades da superfície de contato. Sua gama de utilização é limitada e sua aplicação é restrita a baixos níveis de tensão de compressão, sendo que, esta ainda requer trabalhos adicionais na obra. Com relação à inserção de material entre os elementos pré-moldados, o material pode ser rígido ou flexível. A ligação com material rígido pode ser feita com elementos metálicos embutidos nas peças pré-moldadas de concreto e o contato feito por estes elementos. Este tipo de ligação requer cuidados para garantir a uniformidade dimensional da superfície de contato e freqüente manutenção, porque os elementos metálicos podem ser expostos às intempéries. As ligações com elementos flexíveis podem ser feitas à partir da utilisação de almofadas de elastômero. O elastômero mais comum utilizado nas ligações entre elementos de concreto pré-moldado é o policloropreno, conhecido comercialmente como neoprene. Devido a sua flexibilidade este acomoda as irregularidades das superfícies dos elementos pré-moldados, promovendo uma melhor distribuição das tensões, permitindo certas rotações e deslocamentos horizontais entre as peças. Este material apresenta como desvantagem de utilização seu alto custo e necessidade de manutenção periódica. O que se propõe neste trabalho é o desenvolvimento de um material à base de argamassa de cimento modificada pela introdução de fibras de polipropileno, látex estireno-butadieno (SB) e vermiculita. Este material deve possuir capacidade de deformação de modo que se adeque à utilização como elemento de apoio para os elementos de concreto pré-moldados de concreto. Este material possui a vantagem de ser mais barato que o neoprene comercializado atualmente, mas apresenta a desvantagem de não possuir a mesma gama de aplicações. Sua utilização fica restrita às ligações onde não se apresentam esforços na direção longitudinal da peça, sendo o exemplo mais comum de aplicação as ligações viga-pilar de estruturas de edifícios comerciais e residenciais e de galpões industriais, como apresentado na Figura 1.

Almofada de apoio de compósito de cimento para ligações em concreto pré-moldado


111

Figura 1 – Esquema de ligação viga-pilar.

2 METODOLOGIA

2.1 Caracterização do compósito

Na composição do material foi utilizada uma argamassa de cimento portland de alta resistência inicial (CPV-ARI) e areia, com diâmetro máximo de 2,4mm, passada na peneira 0,59mm. Esta argamassa foi alterada pela introdução de adições para promover uma maior capacidade de deformação ao material. As adições utilizadas nesta pesquisa foram: a) vermiculita termo-expandida, com diâmetro máximo de 2,4mm e massa específica de 0,173kg/dm3; b) látex estireno-butadieno, com concentração de sólidos de 50% e massa específica de 1,02kg/dm3 à 25ºC; c) fibras de polipropileno com diâmetro de 20μm e cortadas com 6,0mm de comprimento especialmente para esta pesquisa. O látex foi fornecido pela empresa Rhodia do Brasil e a fibra pela empresa Fitesa S.A. A relação água/cimento utilizada foi de 0,1. Devido a dificuldade no processo de mistura do compósito foi utilizado o Glenium 51, um superplastificante de 3a geração, na quantidade de 1,0% da massa de cimento para todos os traços estudados.

2.2 Almofadas de apoio – ensaios de força distribuída

Para verificação da capacidade de deformação do compósito e a capacidade de atuação como elemento de apoio foram moldadas placas de 150mm x 150mm de base com 10mm de espessura que foram submetidas à compressão uniformemente distribuída. Os ensaios de força distribuída compreenderam ensaios de carregamento monotônico e carregamento cíclico para verificação da capacidade resiliente do material.

2.3 Ensaios de força concentrada

Na tentativa de verificar a melhor quantidade de vermiculita a ser introduzida na amostra, e dando seqüência aos estudos realizados por Montedor (2004), foi realizado um ensaio com força concentrada em tiras da almofada do compósito. O ensaio consistiu em cortar as almofadas de 150mm x 150mm em tiras de 25mm x 150mm, nas quais foram aplicadas 2 cargas concentradas à 37,5mm da borda da tira.



112

2.4 Ensaios de ligação de blocos

Para justificar a capacidade de acomodação das almofadas do compósito, utilizou-se um ensaio que promovesse uma comparação entre elementos simulando peças de concreto moldado in loco e peças que foram sobrepostas simulando uma ligação de concreto pré-moldado. Estes ensaios são uma seqüência dos experimentos realizados por Montedor (2004), nos quais a presença de inclinação entre os elementos foi substituída pela introdução de uma rugosidade entre os blocos. Os ensaios consistiram basicamente na utilisação de prismas de concreto com 150mm x 150mm de base e 300mm de altura, que simulavam peças de concreto moldado in loco e cubos de concreto com 150mm de lado, onde duas peças foram sobrepostas para simular uma ligação entre elementos de concreto pré-moldado.

2.5 Ensaios de rotação de apoio

Na verificação da capacidade de acomodação de rotações relativas entre as peças de uma ligação de concreto pré-moldado, utilisou-ze uma chapa metálica de 1000mm de comprimento, 150mm de largura e 12,5mm de espessura. Sobre as extremidades desta placa foram colocadas almofadas do compósito atuando como um elemento de apoio submetido a rotação. Para tanto, foram aplicadas duas cargas excêntricas próximas aos apoios da chapa metálica. O ensaio pode ser comparado a um ensaio de flexão em quatro pontos, sendo que, os pontos de aplicação de carga ficam com uma pequena excentricidade em relação ao centro médio dos apoios.

3 DESENVOLVIMENTO


Para a obtenção da resistência à compressão, resistência à tração e módulo de elasticidade do material, vários traços foram estudados. O traço básico utilizado foi o mesmo das pesquisas realizadas anteriormente por El Debs et all. (2003) e El Debs et all. (2006) com relação cimento/agregado = 0,3 e relação água/cimento = 0,4. Na tabela 1 são apresentados os traços estudados, sendo que as quantidades de adições foram escolhidas baseadas nos seguintes aspectos:

Tabela 1 – Resumos das variáveis e traços estudados na caracterização do compósito

TRAÇOS

VARIÁVEIS V0PP5L30 V5PP4.5L30 V10PP4L30 V15PP3.5L30 V20PP3L30 V25PP2.5L30

Vermiculita 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Fibra 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5

Látex 30.0 30.0

• A vermiculita foi introduzida variando-se sua quantidade até um máximo de 25% da massa de agregado pois, quando introduzida em quantidades maiores, provoca uma redução muito acentuada na resistência da argamassa;

• A dosagem de fibra foi sendo verificada de acordo com a facilidade de preparação e moldagem de cada traço, levando-se em conta a quantidade de vermiculita já incorporada, ou



113

seja, uma dosagem de vermiculita foi fixada e a quantidade de fibra foi variada até encontrar-se uma quantidade que não provocasse a perda de trabalhabilidade da argamassa;

• A quantidade de látex adotada foi de 30% do volume, quando incorporado em quantidades maiores que estas, proporciona uma queda significativa de resistência para a argamassa e, em quantidades muito menores, não apresentava modificações significativas nas propriedades do compósito;

• Com a incorporação de grandes quantidades de vermiculita (20% e 25%), devido a grande capacidade de retenção de água da mesma, tornou-se necessário a utilização de superplastificante na razão de 1%. Esta incorporação foi padronizada para todos os traços de maneira que se pudesse equalizar a análise para todos os ensaios.

Para cada mistura foram moldados corpos-de-prova cilíndricos de 50mm x 100mm, sendo 4 espécimes para determinação da resistência à compressão, 4 para resistência à tração por compressão diametral e 3 para o módulo de elasticidade.

3.2 Ensaios de força distribuída – carregamento monotônico

Os ensaios de força distribuída foram realizados com carregamento monotônico e carregamento cíclico, visando a determinação da rigidez das almofadas, que é a relação entre a tensão e a deformação sofrida pelas mesmas, e sua evolução ao longo de ciclos de carga e descarga da peça. Na Figura 2 é apresentada uma curva tensão x deformação típica do material e como é efetuado o cálculo de sua rigidez O valor da rigidez (R) das placas do compósito é obtida através da tangente da reta que melhor se adequou aos pontos experimentais e desconsiderando-se o trecho de deformação inicial devido á acomodação das imperfeições das almofadas. Na Equação (1) mostra-se o cálculo da rigidez para o compósito.

-100

-80

-60

-40

-20

0-35%-30%-25%-20%-15%-10%-5%0%

Tensão(MPa) x deformação (%)

Figura 2 – Curva tensão x deformação típica do material.

R = hh

σΔ (1)

Onde: R = rigidez da placa; σ = tensão aplicada na placa;

R



114

hΔ = variação da espessura da placa;

h = espessura da placa.

3.3 Ensaios de força distribuída – carregamento cíclico

Na seqüência dos estudos, foram realizados ensaios cíclicos em algumas almofadas de argamassa para determinar a capacidade resiliente do material e a evolução de sua rigidez sob carregamento cíclico. Foram aplicados ciclos de carregamento com pressões de 2,5MPa, 5,0MPa, 10,0MPa e 20,0MPa. Na primeira fase do estudo, para cada pressão foram aplicados 50 ciclos de carga, totalizando 200 ciclos de carga e descarga. Na segunda fase foram aplicados 300 ciclos para cada pressão, totalizando 1200 ciclos de carga e descarga nas almofadas.


Nesta fase dos ensaios, três placas de 150mm x 150mm foram cortadas em tiras de 25mm x 150mm e, para cada traço estudado, foram ensaiadas 10 tiras de almofadas. Dentre estes resultados, foi realisada uma análise visual das curvas força x deformação e somente as curvas de comportamento mais homogêneo foram consideradas, sendo os outros resultados descartados. A partir dessas curvas foi traçada a curva média para cada traço do material. O esquema do ensaio é apresentado na Figura 3.

(a)

(b)

Figura 3 – (a) Esquema frontal ensaio de carga concentrada (medidas em cm) e (b) Esquema tridimensional do ensaio.


Nos ensaios simulando ligação entre elementos pré-moldados de concreto foram realizados ensaios com e sem presença da almofada como elemento de apoio, como apresentado na Figura 4. Para verificar a efetividade da acomodação das imperfeições das superfícies que formam o contato entre os cubos de concreto, foram introduzidas rugosidades na face de contato do bloco de que seria superposto. Na Figura 5 é apresentada a disposição da rugosidade criada na superfície dos blocos de concreto.

Atuador da Máquina

Fatia da Almofada

Dispositivo Metálico



115

A espessura das rugosidades introduzidas foram de 0,75mm, 1,00mm e 1,5mm, de maneira que se pudesse verificar a capacidade de acomodação das almofadas com a presença de imperfeições na superfície.

1 – Sem emenda 2 – Com emenda e sem almofada 3 – Com emenda e com almofada

1 2 3 Figura 4 – Esquema dos ensaios de ligação de blocos.

Figura 5 – Esquema das rugosidades e colocação dos blocos para ensaio.


Neste ensaio foram moldadas almofadas de 150mm x 150mm com 10,0mm de espessura de três traços do material. Os traços estudados foram o V5PP4,5L30, V10PP4L30 e o V15PP3,5L30. Estes traços foram escolhidos devido ao melhor desempenho apresentado nos resultados anteriores com valores de incorporação de vermiculita em torno de 10%. O esquema do ensaio é apresentado na Figura 6.



116

Figura 6 – Esquema do ensaio de rotação de apoio das almofadas.

A aplicação de carga foi realizada manualmente e por etapas, sendo que, em cada etapa aplicou-se um incremento de 100kN de carga e os valores de cada relógio analógico foram lidos e anotados. A força máxima aplicada foi de 900kN devido a limitação do macaco hidráulico, sendo esta distribuída aos apoios através de uma viga metálica enrigecida de perfil I. Para a obtenção das deformações, cinco relógios analógicos com precisão de 0,01mm foram distribuídos de cada lado da chapa metálica. Para cada apoio, foram utilisados dois relógios para a medição do afundamento sofrido nas almofadas, o que tornou possível o cálculo das rotações nos apoios. No centro da chapa metálica foi posicionado um relógio de deformação que ficou incumbido do controle de deslocamento desse ponto para que a tensão de escoamento desta não fosse atingida.

4 RESULTADOS


Os resultados médios para as resistências à compressão e à tração estão mostrados nas Figuras 7 e 8, respectivamente. O módulo de elasticidade foi determinado com o auxílio de dois clip-gauges posicionados diametralmente opostos nos corpos-de-prova, tornando possível a leitura de deformações para a evolução dos carregamentos. Os dados foram lançados em um gráfico e uma curva de ajuste do segundo grau foi traçada, sendo calculados os valores do módulo de elasticidade através dessa tangente com a origem dos pontos. A Figura 9 apresenta os valores médios para os traços estudados. Os valores de resistência à compressão, resistência à tração e módulo de elasticidade indicam que: (a) o aumento da quantidade de vermiculita proporciona a diminuição no valor do módulo de elasticidade, mas também diminui os valores das resistências à tração e à compressão; (b) a redução no módulo de elasticidade obtida com a introdução das adições atingem valores menores que 50% do valor do traço de referência; (c) o conjunto das adições promovem alterações que propiciam ao compósito deformabilidade com resistência à compressão acima de 20MPa, sendo assim, sua

Viga de Aplicação de carga Macaco-hidráulico Manual

Aplicadores de Carga Excêntrica

Chapa

AlmofadasApoio Almofada



117

utilização não provoca reduções de resistência para as ligações a níveis maiores que os de utilização normais.

Resistência à Compressão (em MPa)

01020304050

Referên

cia

V0PP5L

30

V5PP4,5

L30

V10PP4L

30

V15PP3,5

L30

V20PP3L

30

V25PP2.5

L30

Figura 7 – Resistência à compressão (média de quatro amostras).

Resistência à Tração (em MPa)

0

1

2

3

4

5

Referên

cia

V0PP5L

30

V5PP4,5

L30

V10PP4L

30

V15PP3,5

L30

V20PP3L

30

V25PP2.5

L30

Figura 8 – Resistência à tração (média de quatro amostras).

Módulo de Elasticidade (em GPa)

0369

1215182124

Referên

cia

V0PP5L

30

V5PP4,5

L30

V10PP4L

30

V15PP3,5

L30

V20PP3L

30

V25PP2,5

L30

Figura 9 – Módulo de elasticidade (média de três amostras).

4.2 Ensaios de força distribuída – carregamento monotônico

Os valores das rigidezes das almofadas dos traços do compósito estudados nesta pesquisa são apresentadas na Figura 10.



118

Rigidez (MPa)

0

100

200

300

400

500

Rigidez (MPa) 388 351 335 201 289V5F4,5L30 V10F4L30 V15F3,5L30 V20F3L30 V25F2,5L30

Figura 10 – Rigidezes das almofadas do compósito.

Como pode ser observado, o aumento na quantidade de vermiculita na amostra promove a redução da rigidez dos traços. Os valores de rigidez obtida para o compósito apresentam-se somente 3 a 5 vezes maiores que os valores da rigidez de almofadas de policloropreno. Esses resultados mostram que o material possui grande potencial para ser utilizado como elemento de apoio.

4.3 Ensaios de força distribuída – carregamento cíclico

Na tabela 2 são apresentados os resultados de valores comparativos das rigidezes para os diferentes tipos de carregamento aplicado.

Tabela 2 – Comparação entre as rigidezes para diferentes carregamentos

Rigidez (MPa) TRAÇOS 200 ciclos 1200 ciclos Monotônico

V5PP4,5L30 420 370 388 V10PP4L30 363 374 351

V15PP3,5L30 373 380 335

Analisando a tabela 2 vemos que as rigidezes não sofrem grandes variações mesmo após a aplicação de um grande número de repetições de carga, mostrando assim, que o material possui capacidade resiliente. A acomodação da rigidez após um determinado número de ciclos de carga mostra que a almofada está respondendo de maneira adequada ao seu propósito, pois, para a utilização a que se destina o material, essa capacidade resiliente é imprescindível. Acredita-se que essa propriedade fica conferida ao material devido à grande quantidade de fibra incorporada, que acaba atuando como elemento de costura das fissuras impedindo o seu aparecimento ou sua propagação, mantendo o material íntegro.


Na Figura 11 são apresentadas as curvas médias dos ensaios de força concentrada. No início do carregamento existe um comportamento bem definido do material, onde quanto menor a quantidade de vermiculita empregada na amostra existe um aumento da rigidez das almofadas, evidenciando o aumento da deformabilidade do compósito com a adição da vermiculita. Com a



119

evolução do carregamento esse comportamento começa a desaparecer, porque ocorre o esmagamento da almofada e as fibras começam a atuar no sentido de tentar manter a coesão da tira da almofada. Quando o carregamento começa a esmagar a tira da almofada e começa a fissuração na região localizada abaixo dos pontos de aplicação das forças, a inclinação da curva sofre uma pequena alteração.

0

10

20

30

40

50

60

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Forç

a (k

N)

Afundamento (mm)

Afundamento Médio

V0PP5L30

V5PP4,5L30

V10PP4L30

V15PP3,5L30

V20PP3L30

V25PP2,5L30

Figura 11 – Curvas médias das amostras dos ensaios de carga localizada.

Na tentativa de gerar valores que sejam palpáveis no que diz respeito à medida da melhor quantidade de vermiculita a ser incorporada ao compósito, teve-se a idéia de utilizar o produto entre a força aplicada e o afundamento máximo sofridos pela tira de almofada. Esse é um valor que tenta quantificar a melhor quantidade de vermiculita a ser incorporada no compósito, comparando-se todos os traços estudados. Portanto, na Figura 12, são apresentados os valores desse fator. Observa-se que o traço com 10% de vermiculita se mostrou com o maior valor para o produto entre a força e o afundamento, evidenciando sua maior habilidade em suportar maiores níveis de carregamento localizado sem sofrer ruptura ou danos irreversíveis às almofadas deste traço. O que se pode verificar analisando-se as Figuras 11 e 12 é que as almofadas com pequena quantidade de vermiculita e muita fibra possuem uma maior resistência inicial, rompendo-se com valores de afundamentos menores. As tiras com porcentagens altas de vermiculita incorporada são mais deformáveis, porém admitem cargas bem inferiores. Cabe aqui ressaltar que os afundamentos verificados nas tiras não correspondem aos seus valores reais. Somam-se a esses as folgas da máquina e dos equipamentos necessários ao ensaio, por isso, os valores obtidos podem ser adotados como valores de verificação, que tendem a mostrar um comportamento melhor para o traço V10PP4L30. De posse do conjunto de resultados, optou-se por continuar os estudos focando-se o traço com 10% de vermiculita para ser utilizado em ensaios simulando uma ligação pilar-pilar de elementos pré-moldados.



120

Afundamento x Força Aplicada

0

50

100

150

200

250

300

Traços

Afu

nd. x

For

ça (k

N.m

m)

Afund. x Força 229 245 260 175 181 172

V0F5L30 V5F4,5L30 V10F4,0L30 V15F3,5L30 V20F3,0L30 V25F2,5L30

Figura 12 – Gráfico do produto afundamento x força.


Na Figura 13 são apresentados os resultados para os ensaios de ligação de blocos. A presença da almofada nos blocos com emenda proporciona melhoras na acomodação das tensões e imperfeições da região das ligações. Este efeito se atenua com o aumento da espessura da rugosidade, como pode ser observado na diferença de resistência entre os resultados dos blocos com 0,75mm, 1,0mm e 1,5mm de rugosidade, mas sempre com valores maiores na presença da almofada, evidenciando que o comportamento da ligação tem seu desempenho melhorado nessa situação. O que fica evidente com esses resultados é que se os elementos pré-moldados se apresentarem perfeitamente acabados e com as superfícies perfeitamente lisas na região das ligações, a presença das almofadas é pouco efetiva. Por outro lado, na presença de uniformidades da espessura de um grão de areia, o desempenho da ligação é prejudicado. Como na prática é muito difícil a concretagem de peças perfeitamente lisas, a utilização das almofadas se faz necessária e com eficientes resultados para rugosidades de até 1,0mm. Para valores de rugosidades maiores que 1,5mm em ligações pilar-pilar, perde-se efetividade na utilização deste aparelho de apoio, pois devido a pequena espessura das almofadas, estas não são capazes de acomodar as imperfeições e transmitir as tensões adequadamente de uma peça à outra.


Os resultados de rotação das almofadas dos traços V5PP4,5L30, V10PP4L30 e o V15PP3,5L30 são apresentadas nas Figuras 14, 15 e 16. À partir da análise dos resultados pode-se observar que a capacidade de rotação aumenta com o aumento da quantidade de vermiculita incorporada. Para efeito de projeto, pode-se adotar uma capacidade de rotação de 0,02 rad para as almofadas com 10% e 15% de vermiculita na sua composição.



121

Blocos

0.05.0

10.015.020.025.030.035.040.045.0

Rug. 1,5mm Rug. 1,00mm Rug. 0,75mm Liso S/ emenda

Res

istê

ncia

(MPa

)

com almofada sem almofada

Figura 13 – Resistências dos ensaios de ligação de blocos.

Os valores de rotação normalmente encontrados na prática situam-se na faixa de 0,004 à 0,005 rad. Somando-se a estes valores às imprecisões de montagem de 0,01 rad (El Debs, 2000), teremos um valor máximo de rotação de 0,015 rad, sendo este, 25% menor que o valor da capacidade de rotação das almofadas. Estes resultados evidenciam a capacidade de utilização das almofadas do compósito como elemento de apoio para os elementos pré-moldados. As tensões aplicadas às almofadas equivalem a praticamente 2 vezes os valores de tensões máximas que pode ser aplicado em almofadas de elastômero, segundo a NBR 9062:2006, mostrando que o material pode ser utilizado em situações onde seria inviável a utilização do aparelho de apoio por elevar demais o custo da ligação.

Rotações Médias dos Apoios V5PP4,5L30 e=10mm

0

5

10

15

20

25

-1.0%-0.9%-0.8%-0.7%-0.6%-0.5%-0.4%-0.3%-0.2%-0.1%0.0%

Rotação (rad)

Tens

ão n

as a

lmof

adas

(M

Pa)

Figura 14 – Resultados de rotações médias de apoio para o traço V5PP4,5L30.



122

Rotações Médias dos Apoios V10PP4L30 e=10mm

0

5

10

15

20

25

-2.5%-2.0%-1.5%-1.0%-0.5%0.0%

Rotação (rad)

Tens

ão n

as a

lmof

adas

(M

Pa)

Figura 15 – Resultados de rotações médias de apoio para o traço V10PP4L30.

Rotações Médias dos Apoios V15PP3,5L30

0

5

10

15

20

25

-3.0%-2.5%-2.0%-1.5%-1.0%-0.5%0.0%

Rotação (rad)

Tens

ão n

as a

lmof

adas

(M

Pa)

Figura 16 – Resultados de rotações médias de apoio para o traço V15PP3,5L30.

5 CONCLUSÕES

A partir dos resultados obtidos através das séries ensaios realizados nesta pesquisa, pode-se concluir que: a) Com relação ao módulo de elasticidade e rigidez das almofadas, obteve-se um material com valores realmente reduzidos. Em se tratando de módulo de elasticidade dos corpos-de-prova, os valores obtidos encontram-se na ordem de 50 a 60% do valor de uma argamassa de cimento convencional de referencia. Para a rigidez das almofadas, obteve-se um material com valores apenas cinco a seis vezes maiores que para almofadas de policloropreno, evidenciando a capacidade de deformação do compósito. b) Na busca de uma relação entre a quantidade de vermiculita a ser incorporada e a deformabilidade do material, os ensaios mostraram uma indicação de qual traço a ser utilizado. O conjunto de resultados mostrou que o traço que apresenta as melhores características para ser utilizado como elemento de apoio é o V10PP4L30. c) O material apresentou capacidade resiliente, o que pode ser observado nos resultados dos ensaios de carregamento cíclico, onde as rigidezes do material submetido à carregamento monotônico se mostraram próximas às rigidezes do último ciclo de carga deste ensaio. O material também apresentou uma parcela de recuperação elástica de suas propriedades onde, após uma certa



123

deformação inicial, a rigidez do compósito permanece constante, mesmo para um nível de tensão da ordem de 20MPa, duas vezes uma tensão normal de serviço para este tipo de almofada de apoio. d) Nas ligações de concreto pré-moldado, a presença da almofada melhorou a performance da ligação quando da existência de imperfeições iniciais nas peças ou a presença de rugosidade entre as superfícies dos elementos pré-moldados da ligação. Para o caso dos elementos perfeitamente lisos o desempenho das almofadas ficou um pouco abaixo quando esta estava presente, mas deve-se ressaltar que, estes elementos lisos foram moldados com um rigoroso controle de qualidade para garantir a ausência de imperfeições. A existência de qualquer tipo de imperfeição mostra que os desempenho das ligações sem a presença das almofadas sofre uma queda. Para níveis de imperfeição e rugosidades muito elevados, maiores que 1,5mm, a efetividade das almofadas também é reduzida. e) A capacidade das almofadas em absorver rotações foi adequada. Os valores de rotações máximas obtidas para o compósito foram da ordem de 25% maiores que para casos convencionais. A capacidade de rotação do compósito não se compara à capacidade de elementos elastoméricos, mas, a grande vantagem da utilização das almofadas de argamassa de cimento como elemento de apoio é a economia gerada. Além desta se apresentar com um custo de produção significativamente menor que os aparelhos de apoio comerciais, esta também tem vantagem no que se diz respeito ao custo de manutenção. Sendo o elemento de apoio construído com o mesmo material básico da estrutura, acredita-se que este não necessite de manutenção ao longo do tempo, possuindo vida útil da ordem da vida útil da estrutura.

6 AGRADECIMENTOS

Agradecimentos à CNPq e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada e as empresas Ciminas e Fitesa pela doação de materiais.

7 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9062: Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro, 2006.

EL DEBS, M. K. Concreto pré-moldado: fundamentos e aplicações. São Carlos: EESC – USP, 2000. 465p.

EL DEBS, M. K; BARBOZA, A. S. R; MIOTTO, A. M. M. Development of material to be used as bearing pad in precast concrete connections. Struct Concr, v. 4, n. 4, p. 185-93, 2003

EL DEBS, M. K; MONTEDOR, L. C.; HANAI, J. B. Compression tests of cement-composite bearing pads for precast concrete connections. Cement & Concrete Composites, p. 621-29, 2006.

MONTEDOR, L. M. Desenvolvimento de compósito a ser utilizado como almofada de apoio nas ligações entre elementos pré-moldados. 144f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2004.



124

SIQUEIRA, G. H. Almofada de apoio de compósito de cimento para ligações em concreto pré-moldado. 2007. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2007.

ISSN 1809-5860


FORMULAÇÃO HÍBRIDA-TREFFTZ COM ENRIQUECIMENTO SELETIVO: APLICAÇÃO A PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS DA ELASTICIDADE

Charlton Okama de Souza1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o Este trabalho insere-se no âmbito das formulações não convencionais em elementos finitos. Particularmente, introduzem-se alguns aspectos do Método dos elementos Finitos Generalizados (MEFG) e do clássico refino-p na consagrada formulação híbrida-Trefftz de tensão para a elasticidade bidimensional. A formulação apresentada aproxima diretamente dois campos independentes: o de tensões no domínio do elemento e o de deslocamentos nas fronteiras dos elementos. Baseado na estrutura de enriquecimento centrada em nuvens, proposta pelo MEFG, podem ser selecionadas oportunamente regiões, formadas por um conjunto de elementos e fronteiras de elementos, onde o espaço da aproximação é adequadamente enriquecido mediante o refino-p. Aborda-se também, ainda que preliminarmente, um estudo de painéis com múltiplas fissuras pelo Método da Partição em formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo. As análises numéricas realizadas revelaram, em geral, uma formulação de ótimo desempenho, caracterizada por uma alta capacidade de aproximação dos campos de tensões e deslocamentos, elevada robustez numérica e reduzido dispêndio computacional. Palavras-chave: Formulação híbrida-Trefftz de tensa. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizados. Método da Partição.

THE HYBRID-TREFFTZ FORMULATION WITH SELECTIVE ENRICHMENT:

APPLICATION TO TWO-DIMENSIONAL PROBLEMS IN ELASTICITY

A b s t r a c t This work is inserted in the context of unconventional formulations for the Finite Element Method. Particularly, some aspects of the Generalized Finite Element Method (GFEM) and the classic p-refinement are introduced in the well known hybrid-Trefftz stress formulation for the two dimensional elasticity. The presented formulation approximates two independent fields: stresses in the elements domain and displacements in the elements boundaries. Based on the enrichment structure centered in clouds, proposed by the GFEM, some regions, formed by a group of elements and boundaries of elements can be opportunely selected for p-refinement of the approximations spaces. Besides, although preliminarily, a study of the multiple-cracked panels is presented combining the Splitting Method with the numerical hybrid-Trefftz formulation and selective enrichment here proposed. In general the numerical analyses done revealed that the formulation is characterized by its high performance in terms of approximation capacity, high numeric robustness and reduced computational cost. Keywords: Formulação híbrida-Trefftz de tensão. Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizados. Método da Partição.

1 INTRODUÇÃO

Buscando superar algumas limitações decorrentes da forma convencional do Método dos Elementos Finitos (MEF) formulações alternativas para o método têm sido propostas, essencialmente envolvendo o emprego de mais de um campo de aproximação. Dentre elas merecem destaque as


Charlton Okama de Souza & Sergio Persival Baroncini Proença


126

formulações híbrido-mista, híbrida e híbrida-Trefftz, as quais estão descritas, por exemplo, no trabalho de Freitas, Almeida e Pereira (1999).

Dentre as formulações híbridas citadas, a formulação híbrida-Trefftz, foco principal deste trabalho, é a mais restritiva em termos de condições prévias que devem ser satisfeitas pelas aproximações. As funções aproximativas do domínio não devem satisfazer apenas à condição de equilíbrio ou à de compatibilidade, mas à própria equação diferencial governativa do problema. Em virtude da restrição imposta sobre as funções aproximativas o campo aproximado no domínio do elemento é o de tensões. Por sua vez no contorno do elemento o campo aproximado depende das hipóteses de continuidade admitidas a priori entre elementos. Na formulação híbrida-Trefftz de deslocamentos o modelo é desenvolvido para propiciar uma solução cinematicamente admissível, de modo que o campo aproximado no contorno do elemento é o de tensões. Por outro lado, na formulação de tensão, busca-se um modelo que seja estaticamente admissível, aproximando-se, no contorno do elemento, o campo de deslocamentos.

A formulação híbrida-Trefftz baseia-se no Método de Trefftz (1926), o qual, em essência, consiste na aproximação das grandezas de interesse de um determinado problema mediante o uso adequado das próprias soluções analíticas de sua equação regente como funções de aproximação. Esta concepção não se aplica a um método numérico específico, sendo atualmente empregado nas mais diversas áreas, desde que a solução da equação regente do problema estudado seja factível.

À parte as formulações híbridas citadas, o Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) (Duarte; Babuška e Oden, 2000), também tem se apresentado como uma alternativa interessante, em termos numéricos, para superar as limitações inerentes à forma convencional do MEF. O MEFG combina aspectos positivos do MEF convencional, como a facilidade na imposição das condições de contorno, com recursos dos métodos sem malha, particularmente quanto ao enriquecimento da base de funções de aproximação. Dentre as potencialidades do referido método citam-se: a robustez numérica, a possibilidade de se priorizar regiões de interesse no domínio estrutural mediante o enriquecimento seletivo sobre malhas pouco refinadas e a versatilidade de enriquecimento com diferentes tipos de funções.

Mais recentemente, ainda em contraposição à forma convencional do MEF, têm sido desenvolvidas formulações que combinam aspectos das formulações híbridas com as técnicas de enriquecimento preconizadas pelo MEFG. Neste contexto, citam-se: Pimenta, Proença e Freitas (2002), onde se aplicam as técnicas de enriquecimento nodal à formulação híbrido-mista de tensão, e Góis (2004), o qual amplia as possibilidades de enriquecimento da formulação híbrido-mista de tensão mediante o emprego de funções que descrevem campos auto-equilibrados de tensões, funções trigonométricas, funções solução da mecânica da fratura elástico-linear, entre outras.

Na esteira das pesquisas iniciadas em Pimenta, Proença e Freitas (2002) e Góis (2004), este trabalho visa ampliar as possibilidades de refinamento das formulações não-convencionais em elementos finitos, particularmente introduzindo aspectos combinados do MEFG e do clássico refino-p na formulação híbrida-Trefftz de tensão para a elasticidade bidimensional. Tal concepção é uma alternativa aos processos exclusivos p-adaptativos, os quais já foram explorados em elementos híbridos-Trefftz de grande destaque na literatura, como por exemplo, o HTD (“hybrid Trefftz displacement”), descrito por Jirouseck e Wróblewski (1996), e o HTS (“hybrid Trefftz stress”), apresentado por Freitas (1998).

Um objetivo complementar é a aplicação da formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo à simulação numérica de problemas de fraturamento modelados segundo o Método da Partição (BABUŠKA; ANDERSSON, 2005). Particularmente, avalia-se a eficiência da alternativa numérica desenvolvida na resolução do problema de uma fissura inserida num domínio plano. Nesta avaliação analisa-se a influência tanto do número de termos da série de carregamentos fictícios inerente ao Método da Partição, quanto do enriquecimento seletivo, na extração do fator de intensidade de tensão.

Formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo: aplicação a problemas bidimensionais da elasticidade


127

2 CONSTRUÇÃO BASEADA NO MÉTODO DE TREFFTZ DE FUNÇÕES APROXIMATIVAS PARA PROBLEMAS DA ELASTICIDADE PLANA

2.1 Equação governativa em domínios contínuos

Em um problema de valor de contorno (PVC) da elasticidade linear, as equações de equilíbrio, compatibilidade e relação constitutiva, referentes a um sólido ocupando um domínio contínuo Ω , admitem as seguintes representações, segundo o sistema cartesiano:

0=+ bσLc , em Ω (equilíbrio) (1)

uLε Tc= , em Ω (compatibilidade) (2)

Dεσ = ou fσε = em Ω (lei constitutiva) (3)

Já as condições a serem verificadas no contorno Γ de Ω , dividido em partes denominadas fronteiras cinemática uΓ e estática tΓ , tal que ΓΓΓ =∪ tu , assumem o aspecto:

uu = , em uΓ (4)

tAσt == , em tΓ (5)

As grandezas envolvidas nas equações (1-5), particularizadas para o estado plano de tensão (EPT), apresentam as seguintes definições, segundo o sistema cartesiano:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂∂∂∂∂∂∂

=x/y/y/x/

00

cL é um operador diferencial matricial

{ }xyyx τσσ=Tσ o vetor representativo do tensor de tensões

{ }yxT bb=b o vetor das forças volúmicas

{ }xyyx γεε=Tε o vetor representativo do tensor de deformações

{ }yxT uu=u o vetor do campo de deslocamentos

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−= 2

21000101

1)(

ED e ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν+ν−

ν−=

)(E

12000101

1f as matrizes representativas dos

tensores constitutivos de rigidez, sendo E o módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

xy

yx

nnnn

00

A a matriz formada pelos co-senos diretores xn e yn do versor normal ao

contorno.

u o vetor de deslocamentos prescritos em uΓ

t o vetor de forças de superfície prescritas em tΓ

A equação regente do modelo elástico-linear pode ser obtida mediante a combinação das equações (1-3), sendo representada por:

buDLL Tcc −=])([ , em Ω (equação de Navier) (6)



128

2.2 Equação governativa em domínios com orifício circular

Num domínio contendo um orifício circular de raio r , conforme ilustrado na Figura (1), a adoção do sistema polar de coordenadas é mais conveniente, pois facilita a imposição de condições de contorno em forças ao longo da circunferência. Segundo este sistema de coordenadas as equações de equilíbrio e compatibilidade para o EPT adquirem as seguintes representações:

0=++ bσLσM pσ , em Ω (equilíbrio) (7)

uLuMε Tpε += , em Ω (compatibilidade) (8)

r = ac

(r,θ)

Ω

Figura 1 – Domínio com orifício circular.

Já a equação de Navier passa a ser escrita em coordenadas polares na forma:

buDLLuDMLuDLMuDMM Tppεp

Tpσεσ −=+++ )]([)()( , em Ω (9)

As novas grandezas e operadores envolvidos apresentam as seguintes representações:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂∂∂⋅

∂∂⋅∂∂=

r//)r/(/)r/(r/

θθ

1010

pL é um operador diferencial matricial

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

r/r/r/

200011

σM e ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

r/r/

100100

εM ; sendo r o raio polar

{ }θθ rr τσσ=Tσ o vetor representativo do tensor de tensões { }θbbr

T =b o vetor das forças volúmicas. { }θθ rr γεε=Tε o vetor representativo do tensor de deformações { }θuur

T =u o vetor do campo de deslocamentos

2.3 Campos aproximados: construção a partir da equação de Navier

Para funções aproximativas baseadas no Método de Trefftz adotam-se soluções da própria equação que rege o problema em estudo. Particularmente em problemas da elasticidade a equação de Navier constitui-se em forte restrição imposta às funções de aproximação.



129

Neste sentido, considera-se que o vetor solução geral seja genericamente composto de uma parcela formada por uma solução particular, função das forças volúmicas, outra oriunda da equação diferencial homogênea e de uma terceira, que incorpora os movimentos de corpo rígido.

2.3.1 Aproximação do campo de deslocamentos em domínios contínuos

A parcela de solução particular u ( }uu{ˆ yxT =u ) obedece à restrição:

Por sua vez, a parcela homogênea hu ( }uu{ hyhxT =hu ) pode ser expressa por uma combinação

linear de vetores, com a seguinte representação:

NcNu jh == ∑=

cn

jjc

1 em Ω (11)

Cada um dos vetores jN fica então submetido à restrição:

0=])([ jT

cc NDLL , para cn,,j 1= (12)

Nota-se que { }jyjxT NN=jN , para cn,,j 1= , onde as funções de aproximação jxN e jyN

em conjunto constituem uma solução da equação (12).

Na equação (11), o vetor c tem por componentes os parâmetros jc da combinação linear,

sendo representado por: }ccc{ cnjT

1=c . A matriz N é constituída pelos vetores jN ,

apresentando a forma: ][ cnj1 NNNN = .

Finalmente a solução de movimentos de corpo rígido Mu ( }uu{ MyMxT =Mu ) admite o

aspecto:

cNNu jM == ∑=

3

1jjc (13)

sendo a restrição a ser atendida idêntica à equação (12). Na equação (13) as representações das grandezas envolvidas são análogas àquelas da

parcela homogênea, admitindo as representações: }ccc{T321=c e ][ 32 NNNN 1= ; sendo

{ }jyjxT NN=jN , para 31 ,,j = . Contudo, ressalta-se que ao contrário dos vetores jN , os vetores

jN possuem significado físico, ou seja, as funções de aproximação jxN e jyN em conjunto

descrevem movimentos de corpo rígido, aos quais se associam tensores de tensões e deformações nulos.

Admitindo-se forças volúmicas nulas a solução particular torna-se trivial ( 0u =ˆ ) e o vetor solução geral assume o aspecto:

cNNNuu jjMh +=+=+= ∑∑==

Ncu3

11 jj

cn

jj cc , em Ω (14)

O conjunto de vetores jN , para o EPT, pode ser obtido de maneira sistemática pela

formulação, em variáveis complexas, proposta por Muskhelishvili (1953). Segundo esta formulação, as componentes xu e yu do campo de deslocamentos, referentes à parcela hu e que satisfazem à

equação (12), podem ser obtidas da equação:

])z(G)z(Fz)[(()uiu(E 'yx +ν+−ν)−=+ 1F(z)3 (15)

bDLL Tcc −=])ˆ([ u , em Ω (10)



130

onde E é o módulo de Young, ν o coeficiente de Poisson, ( )zF e ( )zG são pares de funções arbitrárias e iyxz += é um número complexo, sendo composto de uma parte real ( x)zRe( = ) e outra

imaginária ( y)zIm( = ). Nesta representação i é a unidade imaginária ( 1−=i ) e o conjugado de z,

representado por z ,é expresso por iyxz −= . A parcela )z(G é o conjugado de )z(G . Já )z(F' é o

conjugado de )z(F' , sendo dz

)z(dF)z(F' = .

Na obtenção dos vetores jN considerar-se-á o conjunto de soluções polinomiais, utilizado por

Jirouseck e Venkatesh (1992), gerado a partir das seguintes escolhas para os pares de funções ( )zF e ( )zG :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

========

k

k

k

k

z0F(z)zi0F(z)0zF(z)0ziF(z)

)z(Ge)z(Ge)z(Ge)z(Ge

; n,...,,k 21= (16)

Na equação (16) cada par de funções gera uma seqüência de vetores linearmente independentes. A base completa de vetores jN é formada pelas componentes das seqüências

oriundas dos quatro pares, denotadas por KAN , KBN , KCN e KDN ,com as seguintes representações:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)AIm()ARe(

E k

k1KAN , )z)(((Ak

1-kk zik1zi3 ν++ν)−= ; n,...,,k 21= (17)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)BIm()BRe(

E k

k1KBN , )z)(((Bk

1-kk zk1z3 ν+−ν)−= ; n,...,,k 21= (18)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)CIm()CRe(

E k

k1KCN , kz1 i)(Ck ν+= ; n,...,,k 21= (19)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)DIm()DRe(

E k

k1KDN , kz1 )(Dk ν+−= ; n,...,,k 21= (20)

Iniciando-se a seqüência para k=1, observa-se que os deslocamentos obtidos particularmente pela equação (17) representam movimentos de rotação de corpo rígido. De fato, para k=1 os deslocamentos são expressos por yEux

14 −−= e xEuy14 −= ; assim, a rotação

1421 −−=

∂∂

−∂∂

=ω E)xu

yu( yx é uma constante não nula. Portanto, na construção da seqüência dos

vetores jN , deve-se descartar a contribuição de 1AN , que, aliás, é um dos vetores que compõe a

matriz N .

Finalmente, a matriz N adquire o aspecto:

][][ nc DnCnBnAnD2C2B2A2D1C1B1 NNNNNNNNNNNNNN == 1 (21)

Enquanto a matriz referente à solução de movimentos de corpo rígido apresenta a forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

E/xE/y

410401

N (22)



131

2.3.2 Aproximação do campo de deslocamentos em domínios com orifício circular Na ausência de forças volúmicas a aproximação do campo de deslocamentos em domínios

com orifício circular continua sendo ditada pela equação (14), mas as matrizes e vetores envolvidos adquirem novas configurações.

Em razão da conveniência do sistema polar de coordenadas, a restrição imposta sobre a solução homogênea assume o aspecto:

0uDLLuDMLuDLMuDMM hT

pphεphT

pσhεσ =+++ )]([)()( , em Ω (23)

Admite-se, neste caso, que a solução da equação (23) seja da forma:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=θu

urhu , com:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

θθ

θθ

θ

θ

kcos)r(gueksen)r(fuou

ksen)r(guekcos)r(fu

kkr

kkr

; n,...,k 0= (24)

Cada par de soluções da equação (24) quando substituído na equação (23) conduz a um sistema de equações diferenciais ordinárias (Euler-Cauchy) em )r(fk e )r(gk . Para o primeiro par, onde θkcos)r(fu kr = e θθ ksen)r(gu k= , a resolução do sistema leva às seguintes expressões para as funções kf e kg :

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

=

+=

−

−

102010

102010

12 rCrC)r(g

rCrC)r(f

ν

; para k=0 (25)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+−+

=

+++=

−

−

rlnCCrCrC)r(g

rlnCCrCrC)r(f

14132

122

111

14132

122

111

315

νν ; para k=1 (26)

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

−++=

+++−=

−−

−−

rCrCrCrC)()r(g

rCrCrCr)r(f C

241

233

223

212

241

233

223

212

2132

4νν

ν ; para k=2 (27)

⎪⎩

⎪⎨⎧

−++=

+++=+−−−−+

+−−−−+

kk

kkk

kk

kkkk

kk

kk

kk

kkk

rrrr)r(

rrrr)r(

CCCCg

CCCCf

14

13

12

11

14

13

12

11

λλ ; para k ≥ 3 (28)

sendo )(k)(

)(kk νν

νλ

+−−

++=

11214 e

)(k)()(k

k ννν

λ++−

++−=

11214

As expressões encontradas para as funções kf e kg são absolutamente gerais, sem vínculo algum com as dimensões do orifício ou com as forças de superfície ali atuantes. Sempre considerando uma situação de solução particular nula, para que o par de funções analisado constitua a solução procurada, as condições de contorno em forças ao longo da circunferência devem ser impostas, quais sejam:

arem;r

r =⎩⎨⎧

==

00

θτσ

(29)

sendo “a” a dimensão do orifício. A imposição das condições de contorno sobre o campo de tensões requer o emprego das

relações de compatibilidade e constitutiva. Em razão das operações sucessivas o número de constantes kjC envolvidos nas equações (25-28) acaba sendo reduzido à metade. De forma análoga o

mesmo procedimento deve ser executado para o segundo par de equações θθ θ kcos)r(gueksen)r(fu kkr == . Contudo, observa-se que nem todos os vetores obtidos neste

processo compõem a matriz N , uma vez que três deles contêm movimentos de corpo rígido. É o que



132

ocorre para o segundo par de funções quando k=0 e para ambos pares quando k=1. Estes vetores, naturalmente, compõem a matriz N , representada na equação (30).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=rcossen

sencosθθθθ 0

N (30)

2.3.3 Aproximação do campo de tensões A aproximação do campo de tensões no domínio pode ser obtida a partir da aproximação do

campo de deslocamentos, mediante aplicação da equação de compatibilidade e da relação constitutiva, considerando-se evidentemente os vetores jN e a matriz N obtidos conforme o tipo de

domínio analisado (itens 2.3.1 e 2.3.2). O campo aproximado de tensões pode, então, ser escrito na forma:

cSSσ == ∑=

j

nc

jjc

1 , em Ω (31)

onde jT

c NDLS =j e NDLS Tc= , em domínios contínuos, ou jpjεj NDLNDMS T+= e

NDLNDMS pεT+= , em domínios com um orifício circular.

Por sua vez, a aproximação do campo de tensões no contorno externo do sólido pode ser obtida da aproximação do campo de tensões no domínio, aplicando-se o teorema de Cauchy:

cTTAσt j === ∑=

nc

jjc

1 , em Γ (32)

sendo jASTj = e AST = , para domínios contínuos ou jSART σθj = e SART σθ= , para

domínios com um orifício circular; σθR é a matriz de rotação de tensões dada pela equação (33).

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

θθθθθθθθθθθθθθ

2

2

2

sencoscossencossencossencossencossensencos

2

2

2

22

σθR (33)

3 FORMULAÇÃO HÍBRIDA-TREFFTZ COM ENRIQUECIMENTO SELETIVO

3.1 Aproximação básica

Adotam-se, neste trabalho, dois tipos de elementos finitos híbridos-Trefftz de tensão: o quadrilateral de quatro nós indicado na Figura (2a) e o elemento retangular, também de quatro nós, com um orifício circular inserido simetricamente no domínio do elemento, conforme ilustrado na Figura (2b).



133

1 2

3

Ω e

Γue

4

Γte

Γte

x

y

Γte

ξ

ξ

ξ

(a)

(r,θ)

r = a

Γte

Γte

Γte

Ω e

ξ

ξ

ξ

x

y

4 3

21

Γue

(b)

Figura 2 – (a) Elemento finito híbrido-Trefftz quadrilateral de quatro nós e (b) elemento retangular de quatro nós com orifício circular.

No domínio eΩ do elemento aproxima-se o campo de tensões, sendo a aproximação ditada pela equação (31), para um número conveniente de termos.

Por sua vez na fronteira estática teΓ , com o objetivo de aproximar o campo de deslocamentos, são definidas funções de forma escritas em cada lado do elemento mediante o uso da coordenada adimensional ξ . Tais funções formam a base inicial 0β de aproximação:

},{ 210 ϕϕβ = , com ( )121

+ξ−=1ϕ e ( )1+ξ+=2 21ϕ . (34)

Então, em cada lado estabelece-se uma aproximação básica construída pela combinação linear das funções de forma da base 0β , considerando-se como pesos os próprios graus de liberdade nodais. Para um lado contendo nós arbitrários i e j (vide figura (3)), escreve-se:

ijij~~ dU=iju (35)

onde }u~u~{~yijijx

Tij =u é a aproximação do campo de deslocamentos expresso por suas

componentes segundo os eixos cartesianos. Ainda na equação (35), ][]~~[~ij 22 IIUUU 2121

== ϕϕϕϕ é

a matriz que coleta as funções de forma da fronteira considerada, sendo 2I a matriz identidade de

ordem 2, e }uuuu{ yjxjyixiT =ijd é o vetor que coleta os graus de liberdade dos nós i e j .

Genericamente em toda a fronteira estática pode-se escrever:

dUu ~~ = ; em teΓ (36)

i jΓteξ

ϕ

ξ

ϕϕ

-1 1

1 21

Figura 3 – Funções de forma associadas a um lado arbitrário de um elemento.



134

3.2 Aproximação enriquecida

O enriquecimento das aproximações pode ser realizado por zonas de influência, ou nuvens, conforme preconiza o MEFG (DUARTE; BABUŠKA; ODEN, 2000). Em cada nuvem, formada por um conjunto de elementos e fronteiras estáticas (vide Figura (4)), o espaço da aproximação é adequadamente enriquecido. Na aproximação de tensões no domínio o enriquecimento consiste em tomar mais termos da série ditada pela equação (31). Nas fronteiras estáticas o enriquecimento consiste em ampliar a base inicial de aproximação adicionando funções enriquecedoras.

Região enriquecida, ou nuvem

Fronteiras enriquecidas

Ω

y

x

Figura 4 – Nuvem de influência do enriquecimento seletivo.

A base enriquecida de aproximação nas fronteiras estáticas passa a ter a seguinte representação:

{ }ng h,,h{}, 121 ∪= ϕϕβ (37)

onde jh , n,,j 1= , são funções enriquecedoras.

Então a nova aproximação numa fronteira enriquecida EΓ pode ser representada por:

EE dUu E~~ = ; em teE ΓΓ ⊂ (38)

onde ]~~[~EEE ΓΓ ΔUUU = , sendo ][~

E 22 IIU 21= ϕϕΓ a matriz que guarda as funções de forma

iniciais e ]hh[~Δ nE 22 IIU 1=Γ a matriz que coleta as funções enriquecedoras, sendo 2I a matriz

identidade de ordem 2. Enquanto, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

E

E

Γ

Γ

Δdd

dE , sendo EΓd o vetor que coleta os graus de liberdade

nodais e }uuuu{ ynxnyxT

EΔΔΔΔΔ Γ 11=d o vetor que coletas os graus de liberdade

decorrentes do enriquecimento, mas que não estão atrelados aos nós.

Genericamente, em toda a fronteira estática pode-se escrever:

EdUu E~~ = ; em teΓ (39)



135

Neste trabalho exploram-se, oportunamente, três bases ampliadas com funções do tipo “bolha”, assim designadas:

Base com refinamento polinomial hierárquico:

})({},{ n 21211 1 ξξϕϕβ −∪= −

Base com refinamento polinomial não hierárquico:

})()(,)()(,)()({},{ nnnnnn 12221222212 111111 −− −+−−+−+∪= ξξξξξξϕϕβ

Base com refinamento envolvendo funções trigonométricas:

})n(sen)(,)n(cos){(},{ ξξξξϕϕβ 22213 11 −−∪=

com 1n ≥ e Ζ∈n , sendo Ζ o conjunto dos números inteiros.

3.3 Equacionamento da formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo

Os campos aproximativos do domínio e do contorno, de naturezas distintas, precisam ser compatibilizados de alguma forma. Além disso, a condição de equilíbrio na fronteira estática precisa também ser respeitada.

A condição de compatibilidade entre deformações no domínio e deslocamentos no contorno, expressa mediante o princípio dos trabalhos virtuais complementares (PTVC), serve para harmonizar os campos aproximativos de domínio e de contorno. Por outro lado, o equilíbrio entre forças internas e externas é imposto em forma ponderada.

Assim sendo, considere-se que os elementos da Figura 2 sejam enriquecidos tanto no domínio

eΩ quanto na fronteira estática teΓ e que estejam submetidos a forças de superfície t em parte de

teΓ e deslocamentos impostos u na fronteira cinemática ueΓ . Seja, ainda, o contorno do elemento representado por eΓ ( eΓ = teΓ ∪ ueΓ ).

Então, na ausência de forças volúmicas, pelo PTVC escreve-se:

∫∫∫ +=ue

T

te

T

e

T dd~dΓΓΩ

ΓδΓδΩδ ututεσ (40)

A partir das relações (31) e (32) obtêm-se as respectivas variações virtuais, cSσ δδ = e cTt δδ = , que levadas na equação anterior fornecem:

∫∫∫ +=ue

T

te

T

e

T dd~dΓΓΩ

ΓδΓδΩδ uTcuTcεSc TTT , cδ∀ (41)

Sendo cδ arbitrário, levando-se em conta a relação constitutiva (equação (3)), e, finalmente, inserindo as aproximações de σ e u~ , dadas, respectivamente, pelas equações (31) e (39), obtém-se:

edGGdFc =−− ΔΔ (42)

onde ∫=e

T dΩ

ΩfSSF , ∫=te

d~Γ

ΓUΤG Τ , ∫=te

d~Γ

ΓΔΔ UΤG Τ e ∫=ue

dΓ

ΓuTe T

Verifica-se que a matriz F é simétrica e positivo-definida, uma vez que a matriz S apresenta colunas linearmente independentes. Além disso, valendo-se do teorema da divergência e da condição que as funções aproximativas de tensões ao satisfazerem à equação de Navier com forças volúmicas nulas descrevem campos auto-equilibrados de tensões, a integração da matriz F pode ser realizada somente no contorno. Assim, resulta que: ∫=

e

dΓ

ΓNTF T , em elementos de domínios contínuos ou



136

∫=e

dΓ

ΓNRTF uθT , em elementos com orifícios circulares, sendo uθR a matriz de rotação, representada

na equação (43).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

θθθθ

cossensencos

uθR (43)

Por sua vez, a ponderação do equilíbrio de forças internas e externas pode ser expressa na forma:

∫∫ =tete

d~d~ΓΓ

ΓδΓδ tutu TT (44)

A partir da equação (39) obtém-se a variação EE~~ dUu δ=δ que levada à equação anterior

fornece:

∫∫ =te

EEte

EE d~d~

ΓΓ

ΓδΓδ tUdtUd TTTT (45)

Sendo Edδ arbitrário, inserindo-se a definição de t dada pela relação (32), utilizando-se a

definição: ]~~[~E UUU Δ= e considerando-se as matrizes G e GΔ definidas a partir da equação (42),

obtêm-se as seguintes condições:

qcGT −=− (46)

qcGT ΔΔ −=− (47)

onde foram definidos os vetores: ∫=te

d~Γ

ΓtUq T e ∫=te

d~

Γ

ΓΔΔ tUq T .

O sistema resolvente para um único elemento é formado pelas equações (42), (46), (47), sendo expresso por:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

qq

e

ddc

00G00G

GGFT

ΔT ΔΔ

Δ (48)

O sistema resolvente global fica formado pela contribuição de todos os elementos da discretização adotada. Tal arranjo pode ser indicado pela seguinte forma genérica:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

−−

−−−−

t

t

n

2

1

n

2

1

n21

n21

nnn

222

111

qq

e

ee

ddc

cc

00GGG00GGGGGF00

GG0F0GG00F

ΔΔΔΔΔ

Δ

ΔΔ

Δ

t

t

TTT

TTT

t,

t, nn ,,,, 2121

(49)

onde foram introduzidos os vetores td e tdΔ que coletam, respectivamente, os tn e tnΔ graus de liberdade em deslocamentos, e os vetores de forças nodais equivalentes tq e tqΔ .

Há que se considerar ainda a compatibilidade de tensões e deslocamentos nas fronteiras comuns entre elementos, que compõem condições a serem introduzidas quando da montagem do sistema ditado pela equação (49).



137

Sendo i e j dois elementos contíguos quaisquer da discretização, cujos contornos são, respectivamente, denotados por i

eΓ e jeΓ , a compatibilidade de deslocamentos, imposta em forma

forte na interface comum, admite o aspecto:

0=− ji ~~ uu , em je

ie ΓΓ ∩ (50)

Por outro lado, por se tratar de um modelo estaticamente admissível a compatibilidade de tensões deve ser imposta de forma fraca, seja nos nós ou nas interfaces entre elementos.

Desta forma, nos nós deve-se ter:

∑∑ = lktσ qq kl ; Γ= n,,1l (51)

onde σklq representam forças nodais equivalentes provenientes das tensões, enquanto lktq

representam forças nodais equivalentes provenientes do carregamento. Elas atuam num nó k, sendo calculadas para cada fronteira l atrelado a ele.

Verifica-se que o equilíbrio ditado pela equação (51) é imposto no sistema pelo compartilhamento dos graus de liberdade nodais, mediante alocação das matrizes iG (mesma posição de colunas para cada grau de liberdade), mantendo-se, entretanto, o posicionamento das linhas correspondentes a cada elemento.

Enquanto numa interface enriquecida EΓ , cujas aproximações de tensões referentes aos elementos i e j são denotadas, respectivamente, por it e jt impõe-se:

0=+∫ ΓΓe

jT d)(~ ttUΔ i , em EΓ (52)

Para que a condição dada pela equação (52) seja introduzida no sistema, as parcelas das matrizes iGΔ e jGΔ referentes a uma fronteira enriquecida EΓ devem ser alocadas nas mesmas

colunas, mas nas linhas correspondentes ao posicionamento de cada elemento. Ressalta-se, ainda, que a existência e unicidade do sistema resolutivo global estão vinculadas

à condição de estabilidade (ZIENKIEWICZ et al. 1986). Tal condição, representada pela equação (53), deve ser verificada tanto para os elementos quanto para os possíveis “mosaicos” que podem ser construídos com os elementos da discretização adotada.

dc nn ≥ (53)

onde cn é o número de graus de liberdade em tensões e dn o número de graus de liberdade em deslocamentos.

4 MÉTODO DA PARTIÇÃO EM FORMULAÇÃO HÍBRIDA-TREFFTZ COM ENRIQUECIMENTO SELETIVO

Os fundamentos matemáticos do Método da Partição (MP), que trata da modelagem de problemas bidimensionais da elasticidade cujos domínios envolvam múltiplas fissuras, podem ser encontrados no trabalho de Babuška e Andersson (2005).

Neste trabalho a formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo é introduzida naquele método.

O MP fundamenta-se na divisão do problema original (vide Figura 5a) em subproblemas designados problema global 0PG , problemas locais kPL e problemas globais kPG , conforme ilustrado, respectivamente, nas Figuras (5b), (6a) e (6b).



138

(a)

Γu

t

Γt

Ω

f1f2

f3

a 1

aa

2

2

aa

3

3

(b)

ζ ζ

ζ

η

η

η

a1

2

3

aa 2

aa

3

L f

L f

L f

1

2

3

t

Figura 5 – (a) Problema original com múltiplas fissuras e (b) Problema global 0PG .

Após uma discretização adequada dos problemas locais e globais prossegue-se com as etapas de resolução inerentes a cada subproblema.

No problema global 0PG , considera-se o PVC sem as fissuras if e mantêm-se todas as condições de contorno. A meta da análise é obter as distribuições de tensões nas linhas fiL correspondentes a cada uma das fissuras realmente existentes.

Em cada linha, determina-se um vetor resultante de tensão representado por:

}tt{Tζη 00=0t , em fiL (54)

onde η0t e ζ0t são as componentes da resultante de tensão na direção da linha e perpendicular a ela,

respectivamente; ζ e η são eixos de referência posicionados nas faces das fissuras.

(a)

ζ

η

f3

Q (η)Lj

(t , u )j j

VfΓf3 3

(b)

ζ ζ

ζ

η

η

η

1

Γf2

Γf1

L f

L f

L f

1

2

3

a1

2

3

a2a

aa

3

(t , u )j j (t , u )j j

(t , u )j j

Γf3

Figura 6 – (a) Problemas locais kPL e (b) Problemas globais kPG .

Por sua vez nos problemas locais kPL , consideram-se individualmente domínios arbitrários de influência fiV , cada qual englobando uma fissura if do problema. As condições de contorno em cada

fiV são também arbitrárias, mas devem garantir o equilíbrio estático em qualquer situação de carregamento. Em cada fiV define-se um caminho interno de referência fiΓ no qual se insere toda a



139

fissura if . O objetivo de cada kPL é determinar, para um carregamento fictício jLQ aplicado sobre as

faces da fissura, os vetores de tensão ( jt ) e deslocamento ( ju ) ao longo do respectivo contorno fiΓ .

O carregamento fictício é descrito por um conjunto de funções-base hierárquicas. A série de carregamentos fictícios é aplicada nas faces de cada fissura, alternadamente segundo as direções ζ e η , conforme ilustrado na Figura (7).

ζ

η

...fi

QL1 QL(n-1)QL2 QLn

aa

Figura 7 – Série de carregamentos fictícios em uma fissura if .

Mais especificamente, em cada direção local de referência, a seqüência hierárquica de carregamentos fictícios adotada é escrita em função da coordenada adimensional η mediante o conjunto de funções:

11 −−= ii )()(g ηη , qn,,i 1= (55)

sendo a/u=η , onde a representa o comprimento efetivo da fissura e u é uma variável que toma valores num domínio definido de acordo com as suas características: numa fissura completamente inserida no domínio ]a,a[u −∈ , enquanto numa fissura de bordo ]a,[u 0∈ .

Na aplicação da equação (55) deve-se relacionar o sistema de coordenadas adimensionais de cada fissura η com o sistema local de coordenadas adimensionais ξ nos elementos contíguos às faces da fissura, de forma que o conjunto de funções ig seja função das coordenadas ξ , conforme ilustrado na Figura (8).

a

21 ξηη

η

1

2η1 η2+( ) / 2

g (η)

Simétrico

a ab

η

ζ

1 2

ζ

ηFace da fissura

i

fi

Figura 8 – Distribuição das forças fictícias numa das faces de uma fissura.



140

A partir de aspectos geométricos obtém-se a seguinte relação entre as coordenadas dos sistemas locais da fissura e do elemento:

ξηηηab

++

=2

21 (56)

sendo 1η e 2η valores adimensionais especificados para o sistema coordenado da fissura, referentes aos nós 1 e 2, respectivamente e b a metade do lado do elemento pertencente a uma das faces da fissura (vide Figura (8)).

Por conseguinte, o conjunto de funções representativo da distribuição de intensidade das forças fictícias dado pela equação (55) adquire a forma:

1

21 21

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−=

i

ab)(gi ξηηξ ; para qn,,i 1= (57)

A partir das considerações anteriores, verifica-se que a distribuição de tensões resultantes nas faces da referida fissura é composta de qn2 termos e assume o aspecto:

αQQt LLj == ∑=

qn

jjL

2

1α , em fiL (58)

onde o vetor α é formado pelos fatores de escala jα , sendo representado por:

}{ njT ααα1=α e ]gg[ qn 22L IIQ 1= ; onde 2I é a matriz identidade de ordem 2.

Finalmente, nos problemas globais kPG , considera-se o PVC novamente sem fissuras e mantêm-se somente as condições de contorno homogêneas em forças e em deslocamentos. Cada

kPG caracteriza-se pela aplicação das distribuições de tensões jt e deslocamentos ju provenientes

de um kPL , que atuam sobre um caminho fiΓ previamente definido, no correspondente kPG , de forma que a cada kPL corresponda um kPG . A meta de cada kPG é obter a distribuição de tensões na linha fiL da fissura if previamente desconsiderada.

Em cada linha, a distribuição de tensões resultante pode ser obtida pela contribuição das tensões provenientes de cada kPG , admitindo-se:

αQQt G== ∑=

Gj

qn

jjG

2

1α , em fiL (59)

onde a matriz GQ , constituída pelos vetores jQG , assume a forma:

][ GGGG nj1 QQQQ = ; onde { }ζGjηGjT

G QQ=jQ , sendo ηjGQ e ζjGQ , para n,,j 1= ,

componentes das tensões na linha nas direções η e ζ , respectivamente.

Admite-se que as soluções gerais do campo de deslocamentos e tensões sejam representadas, respectivamente, pelas equações (60) e (61), as quais decorrem da combinação das soluções: 0u~ e 0σ de 0PG , kuG

~ e kσG dos kPL e Lku~ e Lkσ dos kPG .

∑∑==

−+=pn

kk

pn

kGk

~~~~11

Lkk0 uuuu αα , em teΓ (60)

∑∑==

−+=pn

kk

pn

kGk

11Lkk0 σσσσ αα , em eΩ (61)

onde o número de termos pn depende do número de fissuras existentes e da quantidade de

problemas locais considerados para cada uma delas. Os parâmetros kα ( pn,,k 1= ) são obtidos da



141

imposição, em forma fraca, da nulidade de tensões nas faces de cada fissura if , como exposto no que se segue.

Considerando-se as equações (54), (58) e (59), admite-se que a distribuição de tensões na linha de uma if seja da forma:

αQQtt G0 )( L−+= (62)

Tomando-se como ponderação a primeira variação da aproximação ditada pela equação (58), a forma fraca da condição de nulidade admite o aspecto:

0αQQtt G0fiL

=−+∫ dL])([ LT

Lδ (63)

sendo equivalente a: 0αQQtQα

fiLG0L =−+∫ dL])([ L

TTδ , αδ∀ (64)

Uma vez que αδ é arbitrário resulta: pipi vαK −= (65)

onde dL)(TL∫ −=

fiLLGpi QQQK e dLT

L∫=fiL

0pi tQv

A solução do sistema (65) fornece os fatores kα utilizados para determinar os campos de deslocamentos e tensões, representados nas equações (60) e (61), respectivamente.

5 CONDICIONAMENTO NUMÉRICO

Para garantir bom condicionamento numérico do sistema resolutivo, as coordenadas cartesianas x e y inerentes à matriz N que coleta as funções aproximativas, soluções da equação de Navier, foram tornadas adimensionais, mediante divisões por uma distância de normalização Nd . Essa distância é resultante da média aritmética das distâncias de cada nó do elemento ao seu centróide, ou seja:

NN d/xx = (66)

NN d/yy = (67)

onde ∑=

+=4

1

22

41

kkkN )yx(d , sendo kx e ky , 41 ,,k = , as coordenadas cartesianas nodais.

Em virtude da mudança de configuração da matriz N verifica-se que a matriz S , referente ao sistema adimensional, deve ser dividida pela distância de normalização Nd , levando às seguintes alterações nas matrizes do sistema resolutivo:

∫=eN

dd Γ

ΓNTF T1 , ∫=teN

d~d Γ

ΓUΤG Τ1 , ∫=ueN

dd Γ

ΓuTe T1 , ΓΓ

d~Δd

te

T

N∫= UTΔG 1 (68)

onde, AST = , conforme já apresentado.

6 ANÁLISES NUMÉRICAS

Em todas as análises numéricas admitiram-se um regime de pequenas deformações, materiais com comportamento elástico-linear e hipótese de forças volúmicas nulas. Além disso, por mera simplicidade, suprimiram-se as unidades de todas as grandezas envolvidas.



142

1º Problema: chapa tracionada O primeiro problema refere-se a uma chapa submetida a certas condições de carregamento e

vinculação, conforme ilustrado na Figura (9). Os dados de interesse utilizados na análise foram os seguintes: a) Dimensões: 20=a e espessura unitária; b) carregamento 10=W ; c) propriedades do

material, módulo de Young 1000=E e o coeficiente de Poisson 30,=ν .

Valores de referência 4746,UREF = para a energia de deformação, e 28180,u refx = para o

deslocamento do canto superior direito foram obtidos com uso do software ANSYS® via uma análise pelo MEF convencional com elementos triangulares de 6 nós, envolvendo um total de 3256 graus de liberdade.

aa

a

w

x

y

u 0 =yu =x

u 0 =y

u 0 =y

aa

a

w

x

y

u 0 =yu =x

u 0 =y

u 0 =y

6a

aa

a

w

x

y

u 0 =yu =x

u 0 =y

u 0 =y

aa

a

w

x

y

u 0 =yu =x

u 0 =y

u 0 =y

6a

Figura 9 – Chapa analisada no 1º problema: geometria, carregamento e vinculação.

No refino-p adotou-se uma malha (4x6). Duas formas de refinamento foram realizadas. Na primeira, enriqueceram-se apenas os domínios dos elementos, mantendo-se a aproximação básica linear para os deslocamentos nos contornos. Na segunda, tanto o domínio quanto as fronteiras estáticas dos elementos foram enriquecidos, sempre atendendo ao teste do “mosaico”.

Na primeira forma de refinamento citada, os resultados obtidos estão indicados na Tabela (1).

Tabela 1 – Resultados do refino-p, quando se enriqueceu apenas o domínio dos elementos

Energia de deformação

4746,UREF =

Deslocamentos no ponto de referência

28180,uXREF =

Graus de liberdade em tensão

no eΩ Valor obtido Erro relativo (%) Valor obtido Erro relativo (%) 9 42,83 7,83 0,2965 -5,22

11 42,83 7,83 0,2965 -5,22 13 42,83 7,83 0,2966 -5,25 15 42,82 7,85 0,2966 -5,25 17 42,82 7,85 0,2966 -5,25 47 42,82 7,85 0,2967 -5,29

sendo eΩ o domínio de cada elemento.

Percebe-se claramente da Tabela (1) que o enriquecimento exclusivo sobre o campo de tensões nos domínios dos elementos não melhorou a qualidade das aproximações das grandezas consideradas. Os graus de liberdade foram despendidos inutilmente.



143

Por outro lado, o enriquecimento concomitante nos domínios dos elementos e nas fronteiras estáticas, promoveu melhorias significativas nas aproximações, conforme se observa na curva que quantifica o erro relativo referente à energia de deformação, Figura (10). Nela dim denota a dimensão da base de aproximação utilizada na aproximação do campo de deslocamentos nas fronteiras estáticas, enquanto 1β , 2β e 3β referenciam as bases apresentadas no item (3.2). Tal notação será doravante utilizada em todas as análises.

Além das análises anteriores, explorou-se ainda o enriquecimento seletivo. Na Figura (11) estão ilustrados a discretização adotada e a região enriquecida.

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-2

0

2

4

6

8

100

UUU

REF

REF ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

dim=8dim=7dim=6dim=5

dim=2

dim=4

Graus de liberdade

β1

β2

β3

dim=3

Figura 10 – Erro relativo da energia de deformação (%).

Malha regular 8 x 9

(a)

Nó de referência para os deslocamentos

Elementos enriquecidos


Nó de referência para os deslocamentos

Elementos enriquecidos


(b)

Figura 11 – (a) Discretização adotada no enriquecimento seletivo e (b) região enriquecida.

Na tabela (2) apresentam-se as situações de enriquecimento consideradas. Dentre elas, a de maior dispêndio envolveu apenas 1080 graus de liberdade.

As distribuições de tensões obtidas no enriquecimento com as três bases consideradas não apresentaram diferenças significativas. Na Figura (12), ilustra-se as representações de tensões na situação que não foi contemplada pelo enriquecimento e naquela que envolveu 936 graus de liberdade e utilizou a base 2β , onde é nítida a influência positiva do enriquecimento seletivo para a definição mais clara dos campos de tensão na vizinhança da região de aplicação do carregamento.



144

Tabela 2 – Grandezas de interesse aproximadas para algumas situações de enriquecimento

Condições de Enriquecimento Grandezas Aproximadas

Base em teΓ da região

enriquecida


4746,UREF =

Deslocamento no ponto de referência

28180,XREF =u

Graus de Liberdade

em tensão no eΩ da região

enriquecida Tipo Dim Valor obtido Erro (%) Valor obtido Erro (%)

9 0β 2 44,69 3,83 0,2871 -1,88 27 1β 5 46,10 0,796 0,2854 -1,27 45 1β 8 46,09 0,817 0,2854 -1,27 27 2β 5 46,11 0,775 0,2854 -1,27 45 2β 8 46,10 0,796 0,2854 -1,27 27 3β 5 46,10 0,796 0,2854 -1,27 45 3β 8 46,09 0,817 0,2854 -1,27

sendo eΩ e teΓ o domínio e a fronteira estática dos elementos, respectivamente.

0.501.001.502.002.503.003.504.004.505.005.506.006.507.007.508.008.50

xσ xσ 1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

σy -1.50-1.00-0.500.000.501.001.502.002.503.003.504.004.50

σy-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

τxy

(a) τxy

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

(b)

Figura 12 – Distribuição de tensões. (a) Situação não enriquecida e (b) enriquecimento com a base 2β com 5=dim .



145

2º Problema: análise de distorção da malha

O segundo problema trata de uma chapa com vinculação e carregamento, conforme ilustrado na Figura (13).

w

u u 0 = =x y

x

y

10a

2a

Figura 13 – Chapa analisada no 2º problema: geometria, carregamento e vinculação.

Idealiza-se o problema da seguinte maneira: a) Dimensões: 12=a e espessura unitária; b) Propriedades de interesse do material: módulo

de Young igual a 100000 e coeficiente de Poisson igual a 3,0 .

O valor de referência para a energia de deformação 68577,UREF = foi obtido por uma análise

via o MEF convencional com o uso do software ANSYS®, situação que despendeu 3138 graus de liberdade.

Com o propósito de avaliar a robustez dos elementos da formulação estudada utilizou-se um procedimento semelhante ao proposto por Bussamra (1999), onde se avalia a sensibilidade da energia de deformação em função da distorção da malha. Neste sentido, considerou-se uma discretização constituída por oito elementos, cada qual podendo sofrer alterações apreciáveis de forma, a depender da distância de distorção μ considerada ( 2500 ,<< μ ), conforme ilustrado na Figura (14).

aa

2,5a 2,5a 2,5a 2,5a

.10a .10a .10a .10aμ μ μ μ

Figura 14 – Discretização adotada na análise do 2º problema.

A curva que quantifica o erro relativo da energia de deformação quando do enriquecimento de todos os elementos e fronteiras estáticas para 0=μ está indicada na Figura (15).

No teste à distorção da malha aumentou-se gradativamente a distância de distorção μ e analisaram-se as alterações nos valores de energia de deformação. Cada valor normalizado foi obtido dividindo-se a grandeza analisada para certo nível de distorção da malha pelo respectivo valor obtido da malha não distorcida. Os resultados obtidos, quando do uso da base 1β , estão indicados na Figura (16).



146

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650-5

0

5

10

15

20

25

30

35

100

UUU

REF

REF ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

dim=8dim=7dim=6dim=5

dim=2

dim=4

Graus de liberdade

β1

β2

β3

dim=3

Figura 15 – Refino-p. Erro relativo da energia de deformação (%).

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,260,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

U(μ) / U(μ=0)

μ

β1; dim=2 β1; dim=4 β1; dim=6 β1; dim=8

Figura 16 – Sensibilidade da energia de deformação à distorção da malha.

Verificou-se que apenas a malha não enriquecida foi sensível à distorção da malha. Nas outras situações analisadas, onde se considerou o enriquecimento da malha, os elementos mostraram-se extremamente robustos, mesmo em situações extremas de distorção ( 2480,=μ ). Para 2490,=μ , quando do enriquecimento de 1β com 8=dim , verificou-se variações abruptas das grandezas analisadas, conseqüência provável de uma instabilidade numérica por perda de precisão.

3º Problema: chapa com um orifício circular excêntrico

O terceiro problema trata de uma chapa com um orifício circular excêntrico, conforme ilustrado na Figura (17).



147

r

W

6a

x

y

3a

ec

u u 0 = =x y

Figura 17 – Chapa analisada no 3º problema. Sua geometria, carregamento e vinculação.

Os valores de interesse utilizados na análise são os seguintes: a) Dimensões: 20== ae , relação fixa 2=e/c e espessura unitária; b) Carregamento

10W = ; c) Propriedades do material, módulo de Young 1000=E e o coeficiente de Poisson 3,0=ν .

O valor de referência 16417,UREF = para a energia de deformação foi obtido com uso do

software ANSYS® via uma análise pelo MEF convencional com elementos triangulares de 6 nós, envolvendo 5428 graus de liberdade. Para o fator de concentração de tensões no ponto A , adotou-se: 1404,)W/( REFMAX =σ (PETERSON, 1974).

A discretização envolvendo um elemento com orifício circular para aplicação do refino-p, está ilustrada na Figura (18).

Malha irregular 3 x 2

r 2aa

2a 2a 2a

a

2a

A

Figura 18 – Discretização adotada no refino-p.

A curva que quantifica o erro relativo do fator de concentração de tensões para uma relação fixa de 50,e/r = pode ser visualizada na Figura (19).



148

50 100 150 200 250 300 350 400 450-5

0

5

10

15

20

25

100

/W)(σ/W)(σ/W)(σ

REFMAX

MAXREFMAX ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

r/e=0,5

dim=7 dim=8dim=6

dim=2

dim=5

dim=4

Graus de liberdade

β1

β2

β3

dim=3

c/e=2

0

Figura 19 – Refino-p. Erro relativo do fator de concentração de tensões no ponto A (%).

Por outro lado variando-se a relação e/r , tal que 5010 ,e/r, ≤≤ , obtiveram-se as curvas indicadas na Figura (20).

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

c/e=2

σMAX/ W

r/e

β1 ; dim=7

β2 ; dim=7

β3 ; dim=7 curva exata

Figura 20 – Fator de concentração de tensões para diferentes relações de e/r .

Além do refino-p com a utilização de um elemento com orifício circular realizou-se uma análise mediante uma discretização caracterizada pela aproximação da geometria do furo, conforme ilustrado na Figura (21). Neste sentido o enriquecimento seletivo abrangeu a região no entorno do orifício.

Os resultados obtidos de algumas grandezas avaliadas nas situações de enriquecimento consideradas estão apresentados na Tabela (3). Dentre as situações analisadas a de maior dispêndio envolveu 2462 graus de liberdade.



149

Elementos enriquecidos Fronteiras enriquecidas

A

Figura 21 – Discretização adotada e região enriquecida.

Tabela 3 – Grandezas de interesse aproximadas para algumas situações de enriquecimento

Condições de Enriquecimento Grandezas Aproximadas Base em teΓ da

região enriquecida


16417,UREF =

Tensão máxima no ponto A

441,REF =σ

Graus de Liberdade em

tensão no eΩ da região enriquecida Tipo Dim Valor Erro (%) Valor Erro (%)

9 0β 2 409,46 1,84 31,40 24,15 43 1β 7 413,23 0,942 41,00 0,96 43 2β 7 413,23 0,942 41,00 0,96 43 3β 7 413,22 0,944 41,00 0,96

sendo eΩ e teΓ o domínio e a fronteira estática dos elementos, respectivamente.

4º Problema: painel de Cook

O quarto problema refere-se ao problema idealizado por Cook (1987), conforme ilustrado na Figura (22). Particularmente, nesta aplicação realiza-se uma análise comparativa com outros elementos da literatura, cujos resultados foram apresentados no trabalho de Piltner e Taylor (1999).

W 1644

48

44

ux uy= = 0

y

x

Figura 22 – Painel de Cook.



150

Os elementos comparados na referida análise serão assim designados:

a) Q4 (HUGHES, 1987; TAIG, 1961); b) QM6 (TAYLOR; BERESFORD; WILSON, 1976); c) P-S

(PIAN; SUMIHARA, 1984); d) QE2: (PILTNER; TAYLOR, 1995); e) B -QE4 (PILTNER; TAYLOR, 1999);

f) HTE: Elemento estudado neste trabalho. Utiliza-se ainda a notação da base utilizada no contorno do

elemento ( 3210 ββββ e,, ) com a respectiva dimensão (dim).

As discretizações utilizadas nas aproximações estão indicadas na Figura (23).

Malha 2x2 Malha 4x4

B B

AA

Malha 16x16

B

A

Figura 23 – Discretizações adotadas na análise comparativa.

Os valores de interesse utilizados na análise comparativa foram os seguintes: a) Dimensões indicadas na Figura (23) e espessura unitária; b) Propriedades de interesse do

material: módulo de Young 1=E e coeficiente de Poisson 31/=ν ; c) Carregamento equivalente a 06250,W = ; d) Valores de referência: 9523,u

REFy = para o deslocamento vertical no ponto A e

23680,REF =σ para a tensão normal máxima no ponto B (vide Figura (23)), valores obtidos via o MEF

convencional com uso do software ANSYS® numa discretização que envolveu 4144 graus de liberdade.

Na Tabela (4) encontram-se os erros relativos obtidos nas formulações comparadas enquanto nas Figuras (24) e (25) estão representadas as curvas que quantificam os erros relativos em função do número de graus de liberdade, respectivamente, para o deslocamento vertical no ponto A e tensão normal máxima no ponto B.

Conforme os resultados obtidos, observa-se que nas situações onde se utilizou o elemento HTE com 3=dim , na maioria das vezes, constataram-se erros relativos menores, principalmente na discretização mais simples considerada. Além disso, pode-se perceber que as taxas de convergências iniciais apresentaram a mesma magnitude daquelas obtidas pelos outros elementos que foram comparados.



151

Tabela 4 – Erros relativos nas aproximações do deslocamento vertical em A ( yu ) e tensão normal máxima em B

( MAXσ ) para diferentes formulações encontradas na literatura

Valores de referência: 9523,REFyu = e 23680,REF =σ

Discretização Malha 2x2 Malha 4x4 Malha 16x16

Erros relativos (%) Erros relativos (%) Erros relativos (%) Elemento

yu MAXσ yu MAXσ yu MAXσ Q4 50,52 54,48 23,59 23,40 2,17 0,63

QM6 12,11 25,13 3,88 6,04 0,29 0,17 P-S 11,77 21,71 3,88 5,36 0,29 0,17 QE2 10,86 17,40 3,88 4,52 0,29 0,17

B -QE4 10,86 17,40 3,88 4,52 0,29 0,17 HTE ( 0β ,dim=2) 37,91 50,72 14,07 19,05 1,13 2,28 HTE ( 1β ,dim=3) 0,92 -8,70 0,04 -2,53 -0,04 -0,21 HTE ( 1β ,dim=4) -0,25 0,30 -0,04 -0,34 -0,04 0,00 HTE ( 2β ,dim=3) 3,76 -5,74 0,75 -1,06 0,00 0,30 HTE ( 2β ,dim=4) -0,13 3,63 -0,04 -0,25 -0,04 0,00 HTE ( 3β ,dim=3) 1,59 -7,47 0,29 -1,73 -0,04 0,00 HTE ( 3β ,dim=4) 1,80 6,84 0,46 -2,15 -0,04 0,00

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000,01

0,1

1

10

100

100

uuu

REFY

YREFY ×−

Graus de liberdade

Q4 QM6 P-S B-QE4 HTE (βo; dim=2)

HTE (β1; dim=3)

HTE (β2; dim=3)

HTE (β3; dim=3)

Figura 24 – Refino-h. Erro relativo do deslocamento vertical no ponto A (%).



152

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000,01

0,1

1

10

100

100

σσσ

REF

MAXREF ×−

Graus de liberdade

Q4 QM6 P-S B-QE4 HTE (βo; dim=2)

HTE (β1; dim=3)

HTE (β2; dim=3)

HTE (β3; dim=3)

Figura 25 – Refino-h. Erro relativo da tensão normal máxima no ponto B (%).

5º Problema: chapa com fissura inserida no domínio

O quinto problema trata de uma chapa com uma fissura inserida simetricamente no domínio, conforme ilustrado na Figura (26).

W

2a 2a

y

x

W

aa

aa

Figura 26 – Chapa analisada no 5º problema. Sua geometria e carregamento.

Idealiza-se o problema da seguinte forma: a) Dimensões: 50,a = e espessura unitária; b) Carregamento auto-equilibrado com 1=W ; c)

Módulo de Young e coeficiente de Poisson, apresentam, respectivamente, os seguintes valores: 01,E = e 30,=ν d) valor de referência adotado para o fator de intensidade de tensões normalizado

33411,a/KrefK~ == πΙΙ (PEREIRA, 2004).

Este problema foi resolvido mediante o Método da Partição em formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo, apresentado no item (4). Particularmente, considerou-se o enriquecimento de todos os elementos e fronteiras estáticas apenas nos problemas locais. Além disso, oportunamente admitiu-se o contorno do domínio local de influência fV idêntico ao contorno local de influência fΓ ,



153

ambos fixos, considerando-se apenas as tensões em fΓ . Na Figura (27), encontram-se as discretizações adotadas nos problemas locais e globais.

(a)

1

... 1

Ponto de referência para o cálculo de K Ι

Série de carregamentosfictícios

Simétrico

(b)

fΓ fV

fL

( Contorno para o cálculo das tensões nos problemas locais )

( Linha da fissura) (c)

Figura 27 – (a) Discretização adotada em 0PG e nos kPG , (b) discretização adotada nos kPL e outros aspectos de interesse e (c) legenda das linhas coloridas.

Para a extração do fator de intensidade de tensões no modo de abertura ( ΙK ) utilizou-se a técnica de correlação dos deslocamentos, a qual pode ser encontrada, por exemplo, no trabalho de Bittencourt et. al (2003). Segundo esta técnica ΙK pode ser calculado a partir do deslocamento relativo de dois pontos contíguos localizados nas proximidades da extremidade da fissura, mediante a expressão:

ζΙ Δπκ r

GK 21+

= (69)

onde )(

EGν+

=12

é o modulo de elasticidade transversal, ννκ

+−

=13 para o estado plano de

tensão, sendo ν o coeficiente de Poisson, r a distância dos pontos considerados à extremidade da fissura e ζΔ o deslocamento relativo dos pontos considerados tomado na direção perpendicular às

faces da fissura.

A curva que quantifica o erro relativo do fator de intensidade de tensões normalizado ΙK~ , para diferentes situações de enriquecimento da base 1β , pode ser visualizada na Figura (28).



154

0 2 4 6 8 10-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

100

KKK

REFΙ

ΙREFΙ ×⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −~

~~

Número de termos da série de carregamentos fictícios

β1 ; dim=2

β1 ; dim=3

β1 ; dim=5

β1 ; dim=7

Figura 28 – Erro relativo do fator de intensidade de tensões (%).

Na Figura (28) observa-se a influência positiva tanto do número de termos tomados na série de carregamentos fictícios quanto do enriquecimento da base 1β .

7 CONCLUSÕES

Inserido no âmbito das formulações não convencionais em elementos finitos este trabalho pretendeu fornecer uma contribuição ao estudo da formulação híbrida-Trefftz de tensão.

A concepção primordial desta pesquisa, relativa ao enriquecimento de zonas de interesse no domínio estrutural, mostrou-se promissora. Designado neste trabalho de “enriquecimento seletivo” a combinação da forma clássica de refino-p do MEF com a estrutura de enriquecimento centrada em nuvens proposta pelo MEFG, assente sobre a formulação híbrida-Trefftz de tensão, apresentou-se como uma alternativa interessante aos procedimentos h-adaptativos ou p-adaptativos, sobretudo em termos de custo computacional.

Conceitualmente, a adequação da formulação híbrida-Trefftz ao enriquecimento do campo de deslocamentos merece destaque. Em virtude do sistema unidimensional de coordenadas locais, definido nas fronteiras estáticas dos elementos, uma nova base enriquecida de aproximação pode ser obtida sem maiores dificuldades. Em outras formulações, a aplicação da técnica sistemática de enriquecimento preconizada pelo MEFG, gera, na maioria das vezes, uma família de funções linearmente dependente, exigindo algoritmos específicos de eliminação de dependências lineares do sistema resolutivo. Neste contexto cita-se, por exemplo, o trabalho de Góis (2004), onde o procedimento de eliminação de dependências lineares proposto por Strouboulis, Babuška e Copps (2000) foi adaptado para viabilizar a introdução das técnicas de enriquecimento nodal do MEFG na formulação híbrido-mista de tensão.

Finalmente, pode-se concluir que a formulação híbrida-Trefftz de tensão apresenta uma elevada capacidade de aproximação e robustez numérica. Aliada à idéia do enriquecimento seletivo a referida formulação passa a ter maior potencialidade, permitindo racionalizar o dispêndio computacional inerente à maioria das análises numéricas.



155

Apesar da avaliação positiva deste trabalho algumas sugestões para o seu aperfeiçoamento ou para desenvolvimentos futuros podem ser fornecidas, quais sejam:

- Realização de um estudo mais aprofundado do Método da Partição em formulação híbrida-Trefftz com enriquecimento seletivo. Seria oportuno realizar simulações numéricas em domínios contendo múltiplas fissuras no âmbito da confiabilidade estrutural, de forma a definir estados limites últimos.

- Por fim trabalhos similares poderiam ser realizados com outras formulações não-convencionais, tais como, a formulação híbrida-Trefftz de deslocamento ou mesmo formulações híbridas puras.

8 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à CAPES e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido concebida.

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158

ISSN 1809-5860


APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO E SOLUÇÃO DO IMPACTO BIDIMENSIONAL ENTRE ESTRUTURA E ANTEPARO RÍGIDO

Robenson Luiz Minski1, João Batista de Paiva2 & Humberto Breves Coda3

R e s u m o Este trabalho tem como objetivo principal o desenvolvimento de uma formulação, via Método dos Elementos Finitos (MEF), para a identificação e solução do impacto não linear bidimensional entre estruturas anelares reticuladas e anteparo rígido fixo. O comportamento dinâmico não linear geométrico é feito por meio de uma formulação posicional classificada como Lagrangiana total com cinemática exata. Utiliza-se o integrador temporal de Newmark modificado, para descrever o comportamento dinâmico, de forma a garantir a estabilidade na análise do impacto. Desenvolveu-se um algoritmo de identificação da ocorrência do impacto, utilizando-se segmentos auxiliares que definem uma região formada por pontos passíveis de impacto. A solução do impacto é feita com um algoritmo de retorno geométrico segundo superfície curva com aproximação qualquer para o anteparo rígido, considerando situações com e sem atrito. Por fim, são apresentados exemplos numéricos gerais utilizando a técnica desenvolvida, onde se fez um estudo de convergência para discretização geométrica e temporal. Palavras-chave Método dos Elementos Finito. Não linearidade geométrica. Impacto. Controle de posições.

IMPROVEMENT OF FORMULATION OF IDENTIFICATION AND SOLUTION OF THE BIDIMENSIONAL IMPACT BETWEEN STRUCTURE AND RIGID

WALL

A b s t r a c t This work has as main goal the development of a formulation, based on the Finite Element Method (FEM), for the identification and solution of the bidimensional nonlinear impact between reticulated cyclics structures and fixed rigid wall. The dynamic geometrically nonlinear behavior is treated with a positional formulation classified as total Lagrangean with exact kinematics. The time integrator of modified Newmark is used, to describe the dynamic behavior, to assure the stability in the analysis of the impact. An algorithm of identification of the occurrence of the impact was developed, using auxiliary segments that define a region formed for feasible points of impact. The solution of the impact is made with an algorithm of geometric return as curve surface with any approach for the rigid wall, considering situations with and without friction. A comparison between the technique adopted and Lagrange multipliers and penalty is made. Finally, general numerical examples are presented, where a study of convergence was made. Keywords: Finite Element Method. Geometric non linearity. Impact. Position control.

1 INTRODUÇÃO

O grande crescimento no desenvolvimento de novos materiais e técnicas de manufatura, juntamente com a evolução generalizada nas aplicações da engenharia as quais se fizeram necessárias para suprir necessidades como, evolução tecnológica, padronização de novos materiais e

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected] 3 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Robenson Luiz Minski, João Batista de Paiva & Humberto Breves Coda


160

custo/tempo na confecção de estruturas, levam a concepção de materiais e mecanismos cada vez mais leves e versáteis. Logo, o intuito de conhecer as propriedades e comportamento mecânico dos materiais e das estruturas é essencial para criar critérios de segurança que garantam a integridade das mesmas, além de garantir a sua qualidade. Portanto, o conhecimento de conceitos que envolvam não linearidade geométrica, física, dinâmica, impacto etc., é de grande importância no desenvolvimento cientifico e tecnológico de ferramentas de cálculo adequadas, tentando simular o mais próximo possível o comportamento real do material e da estrutura. Seguindo esta linha de raciocínio, este trabalho tem por objetivo a implementação computacional, com o desenvolvimento de uma formulação para problemas dinâmicos de impacto bidirecional entre estrutura e anteparo rígido, tendo este um grau de aproximação geométrica qualquer, feita via Método dos Elementos Finitos (MEF). Foram considerados dois tipos de comportamento não linear, sendo a não linearidade geométrica, que descreve a influência das mudanças de configuração no comportamento da estrutura através da determinação do equilíbrio da mesma, e a não linearidade de contato, responsável pela caracterização da configuração deformada do contorno da estrutura após um contato/impacto. O tratamento da não linearidade geométrica da estrutura se dará pelo código computacional do SET, baseado numa formulação posicional (Método dos Elementos Finitos Posicional – MEF Posicional), desenvolvido em Coda (2003) e Coda & Greco (2004) para problemas estáticos, enquanto os problemas dinâmicos terão embasamento em um algoritmo baseado numa família de integradores temporais de Newmark, aplicado em Greco & Coda (2006). Finalmente, a formulação de problemas de impacto supracitados se dará por um algoritmo de impacto desenvolvido, consistindo numa interferência direta nas posições de cada nó da estrutura que tenha sido identificado como impactado, cuja posição final é definida através do modelo simplificado de atrito de Coulomb, sendo estes conceitos integrantes dos objetivos gerais na implementação do código computacional.

2 FORMULAÇÃO NÃO LINEAR GEOMÉTRICA DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POSICIONAL (MEF - POSICIONAL)

Aqui será descrito o desenvolvimento da formulação não linear geométrica para problemas estáticos e dinâmicos baseado na descrição de posições considerando grandes deslocamentos e rotações em estruturas planas, desenvolvida em Coda (2003), Coda & Greco (2004) e Greco & Coda (2006).

2.1 Método de solução

A formulação do (MEF-Posicional) para problemas de pórticos planos, utiliza o Princípio da Mínima Energia Potencial Total, e tem como parâmetros nodais, para um elemento com aproximação

geométrica qualquer, as posições liY e giro lθ , para cada nó l e direção i .

Para um problema estrutural associado com um sistema de referencia fixo, mostrado na Figura 1, o funcional de energia potencial total, pode ser escrito como a composição da energia de

deformação total eU , a energia potencial das forças conservativas (externas) aplicadas P e a

energia cinética K , como segue:

KPUe +−=Π (1)

Aprimoramento de formulação de identificação e solução do impacto bidimensional entre estrutura e anteparo...


161

A energia de deformação total do corpo é considerada armazenada no volume inicial e assumida como sendo nula na configuração de referência (inicial). A forma integral da energia de

deformação é escrita como a integral da energia de deformação específica eu em 0V (volume inicial), expressa por:

∫=0

0V

ee dVuU (2)

A energia de deformação específica Lagrangiana pode ser determinada utilizando qualquer conjugado tensão-deformação. Neste trabalho, utiliza-se a deformação de Green e sua tensão conjugada de Piola-Kirchhoff de 2ª espécie.

y

y

F0

Ue

y0

Ue

F

0

e

e

Figura 1 – Energia potencial total para um corpo em duas configurações distintas.

O tensor de deformação de Green é derivado do gradiente de deformação A e, conforme Ogden (1984), pode ser escrito como:

)(21)(

21

ijijijkjikij CAAE δδ −=−= (3)

onde as variáveis ijC e ijδ são o tensor de Cauchy-Green à direita e o delta de Kroenecker,

respectivamente. A energia de deformação quadrática, por unidade de volume inicial, foi adotada neste trabalho, sendo esta expressa por:

klijklije ECEu21

= (4)

A relação entre a deformação de Green e o tensor de tensão de Piola-Kirchhoff de 2ª espécie *ijS , é usualmente conhecida como lei elástica de Saint-Venant-Kirchhoff, isto é:

klijklij

eij EC

Eu

S =∂∂

=* (5)

O tensor elástico ijklC é dado por:

( ) ( )jkiljlikklijijkl GGC δδδδδδνν

++−

=21

2 (6)

onde, ( )( )ν+= 12*EG , é o módulo de cisalhamento, definido pelo módulo de Young *E e o coeficiente de Poisson ν .



162

Consequentemente de uma lei constitutiva elástica linear, Eq. (6), e com 0=ν , a energia de deformação específica fica determinada por:

( ) 221

212

222

211

*

2GEGEEEEue +++= (7)

A energia potencial das forças externas é escrita como:

iiYFP = (8)

onde iY representa o conjunto de parâmetros nodais (posições e giros) que o corpo pode exibir,

sendo independentes entre si, posicionados onde atuam as forças iF , na direção i . Nota-se que esta energia pode ser diferente de zero na configuração inicial. A energia cinética é dada por:

00

021 dVYYK ii

V

ρ∫= (9)

onde iY é a velocidade e 0ρ a densidade de massa no volume inicial. Substituindo-se as Eq.(s) (2), (8) e (9) na Eq. (1) tem-se:

000

0021 dVYYYFdVu ii

Vii

Ve ρ∫∫ +−=∏ (10)

Escrevendo o funcional da energia, Eq. (10), em termos de aproximação, para uma variável adimensional ξ , tem-se:

( ) ( ) ( ) 000 ,,21,

00

dVYYYYYFdVYu iiiiV

iiV

ie ξξρξ ∫∫ +−=∏ (11)

Minimizando-se o funcional de energia em relação a uma posição genérica lkY , com

k indicando a direção e l o nó, obtem-se a condição de estacionariedade, isto é:

( ) 0,

000

00

=+−∂

∂=

∂∏∂

∫∫ ji

ji

V

lk

lk

Vl

k

iel

k

YdVFdVY

YuY

φφρξ (12)

onde iY é a aceleração. A Eq. (12) pode ser escrita em uma forma simplificada:

0=+−∂∂

= inerextk

e FFYUg (13)

de forma que as variáveis ke YU ∂∂ , extF e inerF representam o vetor de forças internas, o vetor de forças externas e o vetor inercial, respectivamente. A conservação da energia em um sistema mecânico é garantida se o acréscimo e decréscimo de energia forem iguais na equação do balanço. No entanto, pode haver alguma dissipação de energia total ao longo do tempo. Um termo de energia dissipativa Q , que representa perda devido ao amortecimento, é dado na sua forma diferencial, em relação aos parâmetros nodais globais, por:

ji

V

ji

lkml

k

YdVYQ

∫=∂∂

0

00 φφρλ (14)

A Eq. (14) representa o vetor de forças referentes ao amortecimento amorF , onde mλ é o coeficiente de amortecimento. Sendo a matriz de massa para cada elemento definida por:

∫=0

00V

ji

lk dVM φφρ (15)



163

Têm-se o vetor de forças inerciais e o vetor de forças referentes ao amortecimento escritos como:

iiner YMF = (16.a)

iaamort YCF = (16.b)

onde aC representa a matriz de amortecimento proporcional à massa. Consequentemente, o equilíbrio dinâmico, Eq. (12), ou equação de balanceamento, torna-se:

0=++−∂∂

==∂∏∂

iaiextk

e

k

YCYMFYUg

Y (17)

Para determinar o vetor de forças internas, primeiramente determinam-se as derivadas primeiras da energia de deformação específica, dadas por:

( ) ( ) lk

lk

imimlk

imjkimjkimjkimjklk Y

ES

YE

ECYE

ECEE

ECEY ∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

∂∂

=∂∂ αβ

αβαβ

αβαβ

αβ

*

21

21

(18)

Logo, o vetor de forças internas fica determinado como sendo:

0(int)

0

dVY

EECF

Vl

kimim

lk ∫ ∂

∂= αβ

αβ (19)

Portanto, fica definida a equação de equilíbrio dinâmico. Como esta apresenta diferenciação em relação as variáveis, posição Y e tempo t se faz necessário adotar um algoritmo de integração. Adotando-se o algoritmo de Newmark, necessita-se, devido à formulação ser referente a um intervalo de tempo tΔ , apresentar duas configurações em instantes de tempo diferentes. Logo, a Eq. (17) é escrita, de maneira simplificada, para um instante de tempo atual ( )1+S , como:

011111

=++−∂∂

=∂∏∂

= +++++

SaSSS

e

S

YCYMFY

UY

g (20)

Aplicando-se a aproximação de Newmark para um instante atual de tempo, na descrição posicional, tem-se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Δ+Δ+= ++ 1

21 2

1SSSSS YYtYtYY ββ (21)

( ) 11 1 ++ Δ+−Δ+= SSSS YtYtYY γγ (22)

onde β e γ são parâmetros de integração de Newmark, e definem a variável aceleração no intervalo de tempo tΔ . Expressando-se a aceleração para o passo tempo atual a partir do rearranjo da Eq. (21), chega-se:

SSSS

S Yt

Yt

Yt

YY ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

Δ−

Δ−

Δ= +

+ 121

221

1 ββββ (23)

Substituindo as Eq.(s) (22) e (23) na Eq. (20) resulta em:

( ) 0112111

1 =Δ−Δ

++−Δ

+−∂∂

=∂∏∂

= +++++

+ SaSa

SaSSSS

e

SS QtCY

tC

RCMQYt

MFY

UY

Yg γβγ

β (24)

Com SQ e SR representando as variáveis do passo de tempo passado, mostrando a contribuição destas no equilíbrio dinâmico, dadas por:

SSS

S Yt

Yt

YQ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

Δ+

Δ= 1

21

2 βββ (25)

( ) SSS YtYR γ−Δ+= 1 (26)



164

Assegurando a igualdade da Eq. (24), está fica dita em equilíbrio dinâmico, de modo contrário ( )1+SYg será um vetor de resíduos, sendo g uma função vetorial não-linear. Para solucionar o sistema

não-linear o método de Newton-Raphson é utilizado por meio de uma expansão da série de Taylor, trucando a mesma nos termos de 1ª ordem, ou seja:

( ) ( ) ( ) YYgYgYg Δ∇+≅= 000 (27)

A partir do gradiente do vetor de resíduos ( )0Yg∇ chega-se a matriz Hessiana para problema

dinâmico, que está relacionada com o instante de tempo atual, logo 0Y representa a última

configuração de equilíbrio ( )01 YYS =+ , sendo determinada com a Eq. (24).

( )t

Ct

MYU

YYg a

S

e

S Δ+

Δ+

∂∂

=∂∏∂

=∇++

βγ

β 21

2

2

12

20 (28)

Determinam-se com a Eq. (27) as correções das posições YΔ , de forma a corrigir as posições nodais em cada iteração, com:

YYYS Δ+=+0

1 (29)

onde 0Y assume os novos valores para as posições no processo iterativo. Em seguida corrigem-se as acelerações.

SS

S Qt

YY −Δ

= ++ 2

11 β

(30)

Posteriormente as velocidades.

11 ++ Δ+= SSS YtRY γ (31)

Para o encerramento dos laços de iterações, ou seja, que os resíduos de posições sejam suficientemente pequenos em relação a uma tolerância, faz-se o uso de um critério de parada que utiliza o conceito da norma Euclidiana (norma vetorial) . , ou seja:

( ) TOLYg ≤0 ou TOLY ≤Δ (32)

Logo, obtendo a convergência pelo critério de parada para um determinado passo de tempo passa-se para o passo subseqüente.

3 ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO E RETORNO DO IMPACTO (CONTROLE DE POSIÇÕES)

Como o próprio nome sugere o modelo de identificação e solução do impacto apresentado neste trabalho, se dá pela interferência direta nas posições dos nós da estrutura móvel (projétil) referentes ao impacto da mesma contra um anteparo rígido (estrutura alvo), sendo ambas analisadas num plano bidimensional. Esta técnica teve inspiração na formulação desenvolvida por Greco (2004), onde se considerada o equilíbrio dinâmico a uma condição de penetração nula (CPN) entre corpos impactados. Naquele trabalho, ampliou-se o sistema de equações introduzindo o cálculo do multiplicador de Lagrange que se igualaria, no limite, as forças internas desenvolvidas no corpo impactante na região do contato. Aqui, como será visto nos desenvolvimentos, não se aplica o multiplicador de Lagrange, mas se considera a força de contato como aquela calculada a partir da energia de deformação no corpo. Considerando-se um problema unidirecional de impacto como o apresentado na Figura 2, que mostra uma estrutura unidimensional com sua configuração num certo tempo t a uma distância horizontal δ do anteparo rígido e, após um intervalo de tempo tΔ em uma outra configuração



165

( )tt Δ+ representando a posição da estrutura violando a CPN. Logo se pode definir que o impacto só irá acontecer quando 0≥− δX . Consequentemente, a interferência na posição do nó impactante se dará pela imposição nesta, eliminando-se XΔ . Isto provocará uma alteração no equilíbrio dinâmico do corpo, já que a mudança de configuração modifica o vetor de forças internas, gerando o desequilíbrio do vetor de resíduos, forçando assim a busca de uma nova configuração equilibrada, utilizando o integrador temporal de Newmark.

Logo, a anulação de XΔ se faz necessária para reconstituir a CPN, ou seja, retornar o nó impactante num ponto sobre a superfície da estrutura alvo (anteparo rígido), chamado de ponto de retorno, podendo este ser o próprio ponto impactado.

t+ t

X

X

t

Figura 2 – Configuração de estrutura no impacto contra anteparo rígido.

3.1 Determinação da ocorrência do impacto

Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo simples de identificação de impacto, porém eficiente quando aplicado aos problemas aqui estudados. Neste utilizam-se segmentos auxiliares lineares, parametrizados pela variável adimensional ξ que varia entre -1 e 1, para determinar uma região que facilitará a identificação do ponto impactante. Conforme mostra a Figura 3 para três possíveis trajetórias de penetração, um ponto dentro desta região será denotado como impactante quando:

( ) ( ) 0<ii drda (33)

A identificação do segmento auxiliar a ser usado é um dos problemas da formulação. Este se faz na primeira iteração de tempo, após o primeiro movimento, adotando-se aquele que não seja solução para a inequação, Eq. (33), e dentro os quais, se houver, o que esteja contido no intervalo prescrito para ξ do segmento auxiliar. Este procedimento só é adotado para nós cujas trajetórias cruzem com um ponto qualquer do anteparo rígido. Um problema que pode surgir na formulação proposta, ocorre no encontro entre o elemento do anteparo rígido e o segmento auxiliar, como visto na Figura 4. No entanto, pelo fato de se utilizar o algoritmo de integração temporal de Newmark modificado, este dificilmente ocorrerá, devido a adoção de passos de tempo tΔ pequenos. Mas no algoritmo desenvolvido, para solucionar o mesmo, guardou-se o valor calculado entre as diferenças de posições, do nó da estrutura e o nó do segmento auxiliar, da iteração anterior j para comparar com a atual 1+j , determinando-se que o impacto ocorre quando:



166

( ) ( ) 01 <+ji

ji dada (34)

Y

anteparo rígidosegmentos auxiliares

Xtrajetórias de impacto

P i

da

1dr

1

3

AR1

tP

3AR

AR2

dr 3

dr 2

3da2da

P1t

2tP

A3

1AA2

Figura 3 – Modelo de identificação do impacto com três trajetórias distintas.

jdai

AR

Y

PX

daij+1

A

tP

Figura 4 – Possível problema na identificação do impacto.

Devido as atuais dificuldades na identificação do segmento auxiliar a ser usado na determinação da ocorrência do impacto, uma proposta simplificada foi desenvolvida, onde se denota os segmentos auxiliares como segmentos de comparação. Diferentemente do caso anterior não há necessidade de identificar o segmento (auxiliar-comparação), mas este é fornecido pelo usuário.



167

Logo, o procedimento se torna mais direto, adotando-se vetores distâncias ( )21 ; dxdx e

( )21 ; dydy paralelos aos eixos coordenados, vistos na Figura 5. O par de vetor distância a ser utilizado depende do segmento de comparação que é utilizado para cada elemento da estrutura. Sendo assim, o impacto é dito ocorrido quando:

021 <dxdx (35)

ou:

021 <dydy (36)

Apesar de ter a desvantagem de fornecer todos os segmentos de comparação para cada elemento da estrutura, esta abordagem tem a vantagem de tornar o tempo de processamento menor.

P

xAR

Y

P

AR

segmentos de comparação

ARy

anteparo rígido

trajetória de impactoX

1

1 2

dy

dx dx Ax

2

t

dy

Ay

Figura 5 – Modelo do procedimento alternativo para identificação do impacto.

3.2 Determinação da posição de retorno

Para se determinar num plano bidimensional o ponto de retorno do nó considerado impactante, desenvolveu-se um algoritmo de retorno com a possibilidade da existência de atrito entre estrutura e superfície de contato da estrutura alvo, baseando-se em uma interpretação geométrica do modelo simplificado de atrito de Coulomb. Para isto, se estabeleceu uma proporção geométrica entre forças normais e forças tangenciais que ocorrem na região de contato, sendo as forças tangenciais originadas pelo atrito de contato.

Logo o ponto supracitado depende para sua determinação de um coeficiente de retorno R , que estabelece um intervalo de posições possíveis de retorno entre a posição sem atrito e a com atrito total, sendo este intervalo representado pela variação do coeficiente de retorno entre 0 e 1.



168

Portanto, como exemplo ilustrativo, um elemento de aproximação cúbica da estrutura alvo, lembrando que a formulação do método dos elementos finitos posicional trabalha com uma aproximação qualquer para o elemento, é mostrado na Figura 6, onde todos os dados requisitados para o desenvolvimento do algoritmo de retorno são fornecidos.

Y

1-10

1PP

vu

X

f i

mi2

vu

ni

P

34

Figura 6 – Dados pertinentes à análise do ponto de retorno.

Nesta figura os pontos P e PP representam os nós da estrutura móvel numa configuração anterior e numa configuração posterior ao impacto, respectivamente. Os pontos 1, 2, 3 e 4 são os nós da linha do anteparo rígido, e por fim os pontos m , n e f representam o ponto de impacto, o ponto de retorno para uma superfície considerada sem atrito e o ponto de retorno dado pelo valor do coeficiente de retorno, respectivamente.

A partir das funções de forma cúbicas, parametrizadas pela variável adimensional ξ variando entre -1 e 1, pode-se determinar o mapeamento dos pontos do elemento alvo por:

44

33

22

11 XXXXX φφφφ +++= (37)

44

33

22

11 YYYYY φφφφ +++= (38)

Além de se conhecer a discretização do elemento alvo, a trajetória (aproximada por uma reta) do ponto impactante é também conhecida, já que estas correspondem à posição do nó da estrutura na configuração passada e atual representadas na Figura 6 pelos pontos P e PP respectivamente. Consequentemente, a determinação do ponto de impacto m é obtida facilmente a partir das equações que regem a trajetória do nó do elemento móvel e a superfície do anteparo rígido. A equação da reta é dada por:

baxy += (39)

onde, os coeficientes angular a e linear b da mesma são:



169

( )αtan=−−

=PPP

PPP

XXYYa (40)

PP aXYb −= (41)

Deve ser observado que os sentidos adotados para os ângulos na Figura 6 denotam o sinal que estes levam, ou seja, para o sentido horário o sinal é negativo, de modo contrário é positivo. Substituindo as Eq.(s) (37) e (38) na Eq. (39), tem-se:

bXXXXaYYYY ++++=+++ )( 44

33

22

11

44

33

22

11 φφφφφφφφ (42)

Trabalhando a Eq. (42) chega-se na seguinte equação não linear para se determinar o valor de ξ que satisfaz o cruzamento da trajetória reta com o anteparo curvo:

bDCBAg −+++== 43210 φφφφ (43)

onde: 44332211 ;;; aXYDaXYCaXYBaXYA −=−=−=−= (44)

Expandindo-se em ξ a Eq. (43) por uma série de Taylor até primeira ordem e aplicando-se o método de Newton-Raphson, o mesmo procedimento adotado para determinação da configuração de equilíbrio, determina-se a correção para a variável adimensional ξ (Eq. (45)) dando por encerrado o processo ao se atingir uma determinada precisão definida pela norma euclidiana desta correção ou resíduo. Desta forma tem-se:

( )DCBA

bDCBAgg

4321

43210

1

φφφφφφφφ

ξ′+′+′+′−+++

−=∇−=Δ − (45)

Consequentemente a determinação de mξ (referida ao ponto m ), e com a utilização das Eq.(s) (37) e (38) determinam-se as coordenadas da posição do ponto.

44

33

22

11 XXXXX mmmm

m φφφφ +++= (46)

44

33

22

11 YYYYY mmmm

m φφφφ +++= (47)

De posse do ponto de impacto, podemos determinar as direções dos vetores u e v , tangente e normal à superfície do elemento alvo, respectivamente. Logo o coeficiente angular da reta tangente (direção de u ) ao elemento alvo no ponto m é obtido através da Eq. (48), onde os valores das

primeiras derivadas das funções de forma cúbica devem ser determinados para mξξ = .

( ) 44

33

22

11

44

33

22

11tan

XXXXYYYY

X

Y

XYa

m

m

mRT φφφφ

φφφφ

ξ

ξχ

ξ

ξ

ξ ′+′+′+′′+′+′+′

=

∂∂

∂∂

=∂∂

== (48)

Como o coeficiente angular de uma reta ortogonal a outra é o inverso do oposto desta, temos o coeficiente angular da reta normal (direção de v ) a superfície do anteparo rígido, ou seja:

( ) 44

33

22

11

44

33

22

11tan

YYYYXXXX

aRN φφφφφφφφ

β′+′+′+′′+′+′+′

−== (49)

Determinado este, pode-se determinar o coeficiente linear da reta PPn , como:



170

PPPPRNRN YXab −= (50)

Após determinados estes dois coeficientes (linear e angular) procede-se a determinação das coordenadas do ponto de cruzamento n entre a reta de retorno sem atrito com a mesma direção do vetor v , e a superfície curva do elemento alvo. Isto é feito determinando-se o novo valor da variável

adimensional nξ obtida pelo processo de iteração de Newton-Raphson.

De posse do intervalo de posições sobre a superfície do corpo rígido indicando a variação de atrito nulo (ponto n ) e atrito máximo (ponto m ) estima-se pela variável R (coeficiente de retorno)

um novo valor para ξ chamado de fξ , que aplicado nas funções de forma e posteriormente nas

Eq.(s) (46) e (47), determina as coordenadas do ponto de retorno f para o valor requerido de atrito.

Deve-se tomar cuidado para situações onde as Eq.(s) (40), (48) e (49) não são válidas, sendo estas nos casos em que PPP XX = , 2πχ = e 2πβ = , onde se devem fazer pequenos ajustes nas equações para suprimir estes eventuais casos. A Figura 7 apresenta estes três casos. O primeiro é definido quando a trajetória do elemento móvel tem abscissas constantes, neste teremos PPPm XXX == e as Eq.(s) (42) e (43) são substituídas por:

4

43

32

21

1 XXXXX m φφφφ +++= (51)

44

33

22

110 XXXXXg m φφφφ +++=== (52)

PP

u

caso 3

P

miv

caso 1

PP

caso 2

P

u

PP

v

miu

v

P

mi

Figura 7 – Casos especiais de determinação do ponto de retorno.



171

Definindo mξ e consequentemente pela Eq. (47) a coordenada mY . No caso 2 para

2πβ = , teremos apenas a substituição da variável mX por nX nas Eq.(s) (51) e (52), ou seja,

PPn XX = definindo posteriormente nξ que fornecerá a coordenada nY . O terceiro caso dispensa comentários pelo motivo que o coeficiente angular da reta tangente ao ponto m é dispensável no cálculo da posição de retorno, sendo a Eq. (48) desconsiderada.

4 EXEMPLOS NUMÉRICOS

Neste capítulo faz-se a utilização do método abordado, referente ao impacto entre estrutura e anteparo rígido curvo.

4.1 Impacto bidirecional de anel em anteparo rígido em forma de ampulheta

Este exemplo trata do impacto de uma estrutura reticulada anelar em um anteparo rígido em forma de ampulheta. A estrutura foi discretizada em 40 e 160 elementos finitos, sendo estes aproximados por uma função cúbica o que totaliza 120 nós e 480 nós, para o caso sem e com atrito respectivamente, onde o movimento da estrutura tem velocidade constante na direção do anteparo. Já o anteparo rígido foi discretizado em 25 elementos, 24 com a mesma função aproximação da estrutura além de um elemento linear que compõe a base da mesma, enquanto existem 5 segmentos de comparação, como pode ser visto na Figura 8.

Segmento auxiliar

EstruturaLegenda

22,8

1ve=6

91 40,7

20

361sem atrito com atrito

E*=100 In=0,08333333

Ar=1,0 ρ=0,01

Anteparo rígido

Figura 8 – Dados de entrada do problema.

Utilizou-se uma dicretização temporal constante igual 01,0=Δ t para o caso de impacto sem atrito e 001,0=Δ t para o caso com atrito, sendo os coeficientes de atrito equivalentes R=0 e R=0,2, respectivamente. Foram adotadas as constantes de integração modificadas de HU ( )0,1;5,1 == βγ , no integrador temporal de Newmark. As respostas obtidas são apresentadas na Figura 9 (a) e (b) (sem



172

atrito) e Figura 10 (com atrito), sendo o movimento em sentido a base (a) da ampulheta e sentido contrário (b), respectivamente.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 5 10 15 20 25 30 35

X

Y

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 5 10 15 20 25 30 35

X

Y

(a) (b)

Figura 9 – Configurações anelares para certos passos de tempo (sem atrito).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 5 10 15 20 25 30 35

X

Y

t=16.0

Figura 10 – Configurações anelares para certos passos de tempo (com atrito).



173

4.2 Impacto bidirecional de anel em anteparo rígido curvo

Com intuito de demonstrar a resposta da estrutura quando esta sofre impacto com um coeficiente de atrito não nulo, este exemplo mostra a trajetória percorrida por um dado nó (1) no decorrer do tempo, tanto para um coeficiente equivalente de atrito R=0 como para R=0,3, como visto nas Figuras 12 e 13, respectivamente, sendo os dados do problema apresentados na Figura 11.

E*=200 In=0,08333333

Ar=1,0 ρ=0,01

85,8

1,4

EstruturaLegenda

Segmento auxiliar

82

vx=0,1vy=4

20

Anteparo rígido

Figura 11 – Dados de entrada do problema.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

X

Y

t=34.0

Figura 12 – Configurações anelares obtidas para o caso sem atrito.



174

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

X

Y

t=50.0

Figura 13 – Configurações anelares obtidas para o caso com atrito.

As configurações mostradas nestas figuras demonstram o grau de implicação que o atrito causa na trajetória, já que para o caso sem atrito o ângulo de rotação do nó analisado até a última configuração, em negrito, é aproximadamente nulo para um `tempo de t=34.0, enquanto o caso com atrito o ângulo é θ=383.57º, com um tempo na sua configuração final em negrito de t=50.0. A estrutura anelar tem a sua discretização igual ao do exemplo anterior, já o anteparo contém 11 elementos com aproximação cúbica e 4 segmentos auxiliares lineares. Utilizou-se a mesma discretização temporal do exemplo anterior. No entanto, diferentemente do exemplo anterior, neste usou-se as constantes de integração clássicas de Newmark (regra do trapézio) 5.0=γ e 25.0=β , o qual se dá para uma aceleração constante igual à média entre a aceleração do passo anterior e atual.

5 CONCLUSÕES

Tendo como foco o comportamento dinâmico não linear geométrico de estruturas reticuladas anelares planas, esta dissertação aborda principalmente problemas de impacto bidirecional entre essas e anteparos rígidos. Baseada no Método dos Elementos Finitos (MEF), a formulação posicional não linear geométrica utilizada neste trabalho foi implementada por Coda (2003), para problemas estáticos, considerando grandes deslocamentos e rotações, tendo sua formulação validada por exemplos desenvolvidos por Coda & Greco (2004) e Greco (2004) sendo estes abordados pela literatura científica, além de apresentar resultados excelentes comparados com soluções analíticas. Já a formulação não linear geométrica dinâmica é apresentada em Greco (2004) e Greco & Coda (2006), a qual utiliza o integrador temporal de Newmark para descrever o comportamento dinâmico da estrutura adotando a cinemática de Euler/Bernoulli. De modo contrário aqui se apresenta uma formulação alternativa baseada na cinemática de Reissner. Logo, como supracitado o objetivo principal deste trabalho foi desenvolver um algoritmo que identifique o impacto, e um algoritmo geométrico de retorno, considerando o atrito na superfície de contato, para problemas dinâmicos com impacto entre estruturas bidimensionais e anteparos rígidos com aproximação geométrica qualquer.



175

Os resultados obtidos dos exemplos numéricos mostraram a eficiência na convergência e estabilidade da formulação com a utilização do algoritmo temporal de Newmark modificado por Hu (1997), mostrando sua propriedade de ser incondicionalmente estável para qualquer intervalo de tempo utilizado. No entanto resultados obtidos aqui comparados com a literatura mostraram a grande importância na discretização geométrica e temporal na busca da convergência para a resposta esperada, ou mais precisa. Outro fato importante de discussão é a dificuldade de correlacionar o atrito real da superfície de contato utilizando-se modelos numéricos de atrito, já que existem poucos dados experimentais quantificando esta propriedade. Deve-se comentar o excelente comportamento geral do Método dos Elementos Finitos Posicional (MEF-Posicional) equiparando resultados com relação a outras técnicas implementadas. Portanto, definem-se como trabalhos futuros o desenvolvimento de modelos de contato-impacto do tipo mestre-escravo (controle de posições) e sua implementação em software de análise dinâmica não linear geométrica de estruturas tridimensionais compostas por elementos de barra geral e casca. Além disto, estudos teóricos que verifiquem a equivalência do método apresentado aqui e o método dos multiplicadores de Lagrange para a análise de contato-impacto e ligações deslizantes no interior de estruturas, máquinas ou mecanismos. Em se tratando da parte prática, validar a técnica em aplicações de estruturas de antenas de satélites, garras mecânicas e biomecânicas, balões para exploração científica, absorvedores de energia para estruturas aeronáuticas além de considerar impacto entre duas ou mais estruturas.

6 AGRADECIMENTOS

Ao CNPQ pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

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178

ISSN 1809-5860


APRIMORAMENTO DE FORMULAÇÃO DO MEF PARA BARRA GERAL LAMINADA TRIDIMENSIONAL PELA CONSIDERAÇÃO DA CINEMÁTICA DE

EMPENAMENTO PARA SEÇÃO QUALQUER

Ana Paula Ferreira Ramos1; Humberto Breves Coda2 & Rodrigo Ribeiro Paccola3

R e s u m o Apresenta-se um aprimoramento de formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF) para barra geral laminada tridimensional pela consideração da cinemática de empenamento para seção qualquer. Desenvolve-se um código computacional para se solucionar o empenamento, considerando-se uma derivada do giro em relação ao eixo longitudinal de valor unitário, do problema de torção livre de Saint-Venant para uma seção transversal de geometria qualquer, homogênea e não-homogênea. Posteriormente o código desenvolvido é adaptado de forma a ser acoplado a um programa com formulação de barra geral tridimensional laminada, que segue a cinemática de Reissner-Timoshenko generalizada, enriquecendo-o com a consideração do empenamento. A primeira contribuição significativa do desenvolvimento do trabalho é a inclusão de geometrias quaisquer para a seção transversal, possibilitando, por exemplo, a consideração de núcleos estruturais mistos em edifícios, abertos e fechados por trechos. A segunda contribuição é referente à consideração de material laminado, possibilitando considerar núcleos estruturais de materiais compostos. Exemplos gerais são resolvidos para a verificação e validação da formulação proposta e implementada. Palavras-chave: Elementos Finitos. Empenamento. Barras gerais. Laminados.

AN IMPROVED FINITE ELEMENT FORMULATION FOR THE ANALYSIS OF

GENERAL THREE-DIMENSIONAL LAMINATED BARS WITH CONSIDERATION OF WARPING FOR ANY CROSS-SECTION

A b s t r a c t In the present work an improved Finite Element formulation for the analysis of three-dimensional laminated bars is presented. The improvement is made by introducing the warping mode into the previous model that follows a general Reissner-Timoshenko kinematics hypotesis. In order to do so, a two-dimensional code is developed, based on Saint Venant’s Torsion Problem; to find the warping mode for any considered cross-section, including inhomogeneous material. Each warping mode is achieved for unitary rotation by unit of length. This warping mode is weighted by a new parameter, the intensity of warping, and then added to the Reissner-Timoshenko kinematics, resulting into the enhanced formulation. The existent computational code is modified accordingly to this new kinematics and tested regarding its capacity of reproducing analytical results for Saint-Venant torsion and Vlasov bending-torsion theories. Some results for laminated cross sections are also provided. It is worth stressing that the main contributions of this work are two. The first is the consideration of warping for general 3D bars with any cross section, i.e., not limited to thin-walled cross sections. The second is the consideration of laminated materials for any cross section. Keywords: Finite elements. Warping. General bars. Laminated.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected] 3 Doutor em Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Ana Paula Ferreira Ramos; Humberto Breves Coda & Rodrigo Ribeiro Paccola


180

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho desenvolve-se e implementa-se computacionalmente uma formulação de elemento finito de barra geral tridimensional laminado, seguindo uma cinemática de Reissner-Timoshenko generalizada incluindo a consideração do empenamento à torção. Desta forma, o elemento finito resultante é capaz de simular, com precisão, problemas de torção e flexo-torção para seções de geometria qualquer incluindo materiais não homogêneos e barras com seções constantes por trechos. Para se atingir tal objetivo geral, desenvolveu-se e implementou-se um programa computacional para a solução da torção livre de Saint-Venant para barras com seção transversal não homogênea, criando-se o modo de empenamento generalizado. Finalmente, o modo de empenamento foi acoplado ao código de barra geral tridimensional laminada em PACCOLA (2004).

2 METODOLOGIA OPERACIONAL

As implementações numéricas foram feitas em software de análise estrutural aberto disponível no SET. Este código computacional está programado em ambiente visual utilizando a linguagem Delphi® em plataforma Windows®. No qual a consideração de elementos de barra geral e casca laminados com material em comportamento viscoplástico se encontram disponíveis. Sua entrada de dados é feita através de pré-processadores comerciais (PATRAN® e ANSYS®) e seu pós-processamento visual (in House) o tornam ambiente ótimo para desenvolvimentos de pesquisa em mecânica computacional. Comenta-se que o autor do software é o Dr. Rodrigo Ribeiro Paccola que acompanhou o desenvolvimento do presente trabalho na qualidade de co-orientador. Providenciando os comentários, no programa fonte, necessários para a boa implementação da formulação.

3 CINEMÁTICA DO MODO DE EMPENAMENTO GENERALIZADO

O problema da torção livre de Saint-Venant, considerando o estado plano de tensão, se compõe da equação de Poisson:

αφ G22 −=∇ (1)

A Figura 1 ilustra uma barra prismática com comprimento na direção z e seção transversal no plano yx − , com domínio Ω e contorno Γ . No contorno Γ há um sistema ortogonal com vetor

tangente n e normal [ ]Tyx μμμ ,= .

Figura 1 – Torção de uma barra prismática.

Aprimoramento de formulação do MEF para barra geral laminada tridimensional pela consideração


181

A superfície lateral da barra tem torção livre. Conseqüentemente, o vetor τ deve ser perpendicular à μ no contorno Γ . Negligenciando as forças de massa, o problema de valor de contorno fica:

3 , 0i iτ = ( )1,2i = no Ω

033 == μτμτ ii ( )1,2i = no Γ (2)

O sistema de coordenadas cartesianas em notação indicial é escrito assumindo-se a relação:

x 1⇒ , y 2⇒ , z 3⇒ (3)

Escrevendo-se a Lei de Hooke generalizada do problema de torção livre de Saint-Venant, de acordo com a Notação Indicial mostrada na Equação (3), tem-se:

( )21,31 xwG ατ −= (4)

e:

( )12,32 xwG ατ += (5)

A Equação de Equilíbrio é a primeira das Equações (2), que pode ser escrita na forma variacional, multiplicando-se a equação diferencial pela variação wδ , onde ( )yxw , é a função peso:

0,3 =iiwτδ (6)

Integrando-se ambos os lados da Equação (6) sobre o domínio Ω e posteriormente integrando por partes, tem-se:

∫ ∫Ω Γ

=Ω wdw ii δτδ ,3 iiμτ 3 ∫Ω

=Ω−Γ 03, dwd iiτδ

(7)

A partir da condição de contorno (2), como a função ( )w x, yδ é arbitrária resulta:

3 0i iw dδ τ μ Γ =∫ (8)

Assim, da segunda equação (2), tem-se que a integral no contorno em (7) é eliminada. Logo, a Equação (7) pode ser escrita da seguinte forma:

∫Ω

=Ω 03, dw iiτδ (9)

Substituindo (4) e (5) em (9), após fazer as simplificações possíveis, tem-se:

( ) ( )[ ] ( )∫ ∫Ω Ω

Ω−=Ω+ dxwxwGdwwwwG 12,21,22,1,1, δδαδδ (10)

A Equação (10) é a forma fraca da Equação de Equilíbrio e das Condições de Contorno naturais (2) que deve atender às condições de contorno essenciais (em deslocamentos). O Método dos Elementos Finitos será reconstruído sobre a Equação (10) aplicando-se a discretização do domínio descrita como se segue. Podem-se escrever as equações aproximadas para cada subdomínio do elemento designado por eΩ , chamadas de equações discretas. Considerando-se a subdivisão do domínio original em M elementos, pode-se inicialmente escrever a Equação (10) na seguinte forma:



182

( ) ( )[ ] ( )∑ ∫∑∫=

Ω=

ΩΩ−=Ω+

M

eee

M

eee

ee

dxwywGdwwwwG1

2,1,1

22,1,1, δδαδδ (11)

A Equação (11) estabelece simplesmente que a integral foi divida em uma soma de integrais parciais, abrangendo todos os M elementos que compõem o domínio. A fim de avaliar as integrais na Equação (11), é preciso substituir as funções ponderadora ( )wδ e incógnita ( )w por suas aproximações discretas. Para que a análise seja mais precisa admitiu-se funções quadráticas e elementos triangulares. No método de Galerkin, tanto as funções incógnitas quanto as funções peso são aproximadas de forma idênticas em cada triângulo. Com estas considerações resulta a matriz de rigidez do elemento [ ]eK como a integral sobre um elemento de domínio eΩ :

{ } [ ] { } ( ) ( )[ ]∫Ω Ω+=e

eeet dwwwwGwKDw 22,1,1, δδ (12)

onde { }Dw são valores nodais arbitrários da ponderadora e { }w o vetor incógnito.

Analogamente, o vetor de forças é dado por:

{ } { } ( )∫Ω Ω−=e

eeet dxwywGFDw 2,1, δδα (13)

Neste caso, as soluções aproximadas são encontradas por uma subdivisão do domínio de integração do problema em M elementos de tamanhos finitos, cada um tendo 6 pontos nodais.

Resolve-se a Equação (11) através do elemento finito triangular quadrático. A função empenamento é dada pela expressão:

665544332211 wwwwwww φφφφφφ +++++= (14)

Da Equação (14) encontra-se a derivada da função empenamento ( )w , em relação a uma

direção qualquer ( )j , dada por:

∑=

=6

1,,

iijij ww φ (15)

O mesmo é feito para a ponderadora:

∑=

=6

1iii ww δφδ (16)

Analogamente ao descrito para a derivada da função empenamento, a derivada da ponderadora é escrita da seguinte forma:

∑=

=6

1,,

iijij ww δφδ (17)

Após a contribuição de todos os elementos da malha obtém-se um sistema de equações lineares global, Equação (11), do tipo:

[ ]{ } { }FwK = (18)

Após montada a matriz de coeficientes, solucionou-se o sistema de equações resultante (global) obtendo-se os empenamentos ( )w .

Antes de resolver o sistema de Equações (18) é necessário solucionar as integrais. Resolvem-se estas, utilizando integração numérica com 7 pontos de Hammer.



183

Ao se resolver o sistema de equações (18) encontra-se um empenamento com eixo de referência arbitrário. Este empenamento não é o ideal a ser aplicado no programa geral. É importante se escolher uma origem com significado físico. Neste trabalho adotam-se o Centro de Cisalhamento ( )CC ou o Centro de Gravidade ( )CG da seção. O segundo é de determinação trivial.

Calculou-se o Centro de Cisalhamento a partir da função empenamento através do Método dos Elementos Finitos. Em uma origem diferente do centro de cisalhamento os resultados apresentariam movimento de corpo rígido. As tensões de cisalhamento para uma origem qualquer são calculadas a partir das Equações (4) e (5).

Determina-se uma nova origem ( )oo yx , , substituindo-se em todos os cálculos:

x por oxx −

y por oyy − (19)

Lembra-se que os operadores não são alterados de acordo com as coordenadas da nova origem, pois valem as relações:

)( oxxx −∂∂

=∂∂

)( oyyy −∂∂

=∂∂

(20)

Pelas expressões (20) sabe-se que a matriz de rigidez para o cálculo de w não se altera. Assim, para esta nova origem ( )oo yx , , tem-se o novo empenamento genérico, após substituição das Equações (19) e (20) nas Equações (4) e (5) e posteriormente na equação (10). E escrita em relação ao número de elementos tem-se:

( ) ( )[ ]

( ) ∑∫∑∫ ∑∫

∑∫

== =

=

+−−

=+

M

eA eoy

M

eA

M

eA eoxeyx

M

eA eyyxx

ee e

e

dAxwGdAywGdAxwywG

dAwwwwG

1,

1 1,,,

1,,,,

δαδαδδα

δδ (21)

A Equação (21) pode ser escrita particularizando-a para cada elemento:

[ ] { } { } { } { }eyoexoee FxFyFwk ααα ++= (22)

Pode-se dividir a solução da função empenamento ( )w como:

{ }yoxoo wxwyww ++= α (23)

Lembra-se que w é função da nova origem de acordo com a relação (19):

( ) ( )[ ]oo yyxxww −−= , (24)

Da Equação (22) após a contribuição de todos os elementos, tem-se o sistema de equações global:

[ ]{ } { } { } { }yoxo FxFyFwk ααα ++= (25)

Substituindo-se a Equação (23) na Equação (25), conclui-se que:



184

{ } [ ] { }FKwo1−= { } [ ] { }xx FKw 1−= { } [ ] { }yy FKw 1−= (26)

Segundo MORI (1978), adotando-se a origem no Centro de Gravidade ( )CG ou no Centro de

Cisalhamento ( )CC , as seguintes condições são verdadeiras:

0=∫ dAwxA

0=∫ dAwyA

(27)

Para se calcular o Centro de Cisalhamento ( )CC , adota-se a origem inicial no Centro de

Gravidade ( )CG e aplica-se ultimas Equações (27). Relativas à nova posição (centro) de referência para o qual a condição é válida tal como em (24), ou seja, o CC . Assim:

( ) ( )[ ]( ) 0, =−=−−− ∫∫∫ AccAA cccccc EwdAyEwydAdAyyyyxxEw (28)

Substituindo-se as Equações (27) na Equação (28), pode-se afirmar que:

( ) ( )[ ] 0, =−−∫A cccc ydAyyxxEw

( ) ( )[ ] 0, =−−∫A cccc xdAyyxxEw (29)

Portanto, reescreve-se a Equação (23), considerando-se a nova origem como sendo o Centro de Cisalhamento ( )CC :

( ) ( )[ ] { }yccxccocccc wxwywyyxxw ++=−− α, (30)

Substituindo-se a Equação (30) nas Equações (29), levando-se em consideração a Equação (26) e particularizando-a de acordo com o número total de elementos ( )M , após as simplificações têm-se:

( ) ( ) ( )∑∫∑∫∑∫===

−=+M

eA e

eoee

M

eA e

exeecc

M

eA e

eyeecc

eee

ydAwEydAwEyydAwEx111

φφφ

( ) ( ) ( )∑∫∑∫∑∫===

−=+M

eA e

eoee

M

eA e

exeecc

M

eA e

eyeecc

eee

xdAwExdAwEyxdAwEx111

φφφ

(31)

As Equações (31) representam um sistema de equações que tem como solução as coordenadas do Centro de Cisalhamento ( )cccc yxCC ; .

Muda-se o sistema de coordenadas fazendo:

ccxxx −=

ccyyy −= (32)

A partir do novo sistema de coordenadas encontram-se os empenamentos para o problema da torção livre de Saint-Venant, para qualquer seção transversal, homogênea ou não-homogênea, cuja origem do sistema de coordenadas é o Centro de Cisalhamento, independente da origem inicial adotada, resolvendo o sistema de equações global:

[ ]{ } { }FwK = (33)

Lembra-se ainda que o empenamento obtido para 1=α é chamado modo de empenamento e será adicionado à cinemática de Reissner-Timoshenko de barra geral laminada 3D de forma a incluir o parâmetro “intensidade de empenamento”.



185

4 ENRIQUECIMENTO DA CINEMÁTICA DO ELEMENTO DE BARRA GERAL

O elemento finito desenvolvido em PACCOLA (2004), utilizado no programa ACADSOFT do SET, é um elemento de barra geral reto com aproximação quadrática para deslocamentos e rotações no espaço tridimensional. Este elemento utiliza a cinemática de Reissner-Timoshenko no que diz respeito ao comportamento da barra geral à flexão. Entretanto, ao se considerar giros de torção, aplicou-se uma cinemática semelhante à de Reissner-Timoshenko, ou seja, os pontos da seção se movimentavam proporcionalmente ao giro de torção e à sua distância ao eixo de referência. Com esta simplificação a seção transversal era impedida de empenar, resultando em elemento muito mais rígido à torção do que aquele que se pretendia modelar. Naquele trabalho adotou-se coeficiente de penalização da rigidez à torção para contornar este travamento indesejado.

O modo de empenamento à torção livre será utilizado como função enriquecedora da cinemática de Reissner-Timoshenko, e introduzido no programa ACADSOFT melhorando seu desempenho no que diz respeito ao comportamento à torção.

Mostra-se a introdução do modo de empenamento na formulação, que será ponderada por um parâmetro livre (incógnito) chamado de intensidade de empenamento. Este será o sétimo parâmetro nodal da formulação e é semelhante (se confundindo com este em casos extremos) à taxa de giro por unidade de comprimento longitudinal, apresentada nas teorias clássicas de flexo-torção.

As coordenadas locais do elemento e a localização de uma lâmina genérica podem ser vistas, juntamente com os esforços solicitantes (conjugados dos graus de liberdade), na Figura 2.

(a) Coordenadas locais e lâmina genérica (b) Esforços solicitantes

Figura 2 – Configuração para determinação da cinemática do elemento 3D e esforços solicitantes (PACCOLA, 2004).

Uma vista lateral da cinemática de Reissner é apresentada na Figura 3 para auxiliar o

entendimento do que se segue.

Figura 3 – Vista lateral da cinemática de Reissner (PACCOLA, 2004).

Este elemento apresenta rigidez à torção muito superior ao problema real. Nas aplicações

correntes se faz uma penalização desta rigidez para atenuar seu efeito na deslocabilidade global da estrutura, porém as distribuições de deformações e tensões continuam apresentando resultados não satisfatórios.



186

Para corrigir esta deficiência propõe-se enriquecer a cinemática de Reissner introduzindo-se um modo de deslocamento proporcional ao empenamento da seção transversal quando submetida à torção livre de Saint Venant. Isto é feito como segue, tendo em vista as Figura 2 e Figura 3 da cinemática original de Reissner, descrita em PACCOLA (2004), para uma barra geral 3D, que desenvolve pequenos deslocamentos:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0Z Y X

P Y Z wpu X , y,z u X X ( f y ) X ( f z ) ( X )u ( y,z )θ θ α= − + + + +

( ) ( ) ( )0 0X

P Zv X , y,z v X X ( f z )θ= − +

( ) ( ) ( )0 0X

P Yw X , y,z w X X ( f y )θ= + +

(34)

onde X0 (X)α , que será escrito em função de novos parâmetros nodais, representa a intensidade do

empenamento que ocorre na seção transversal localizada na coordenada X e wpu ( y,z ) é o modo de

empenamento (warping) da seção transversal em questão. Este modo de empenamento foi calculado independentemente para qualquer seção transversal e material constituinte.

5 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

5.1 Seção transversal de concreto armado

Para este exemplo considerou-se uma seção transversal constituída por concreto armado, cuja armadura longitudinal inferior é igual à mm102φ .

Figura 4 – Seção transversal de concreto armado, cotas: cm.

Figura 5 – Seção equivalente de concreto armado, cotas: cm.

Detalhou-se a disposição de tais armaduras na Figura 4. A Figura 5 ilustra a seção transversal equivalente adotada para este exemplo.

Discretizou-se a malha em 120 elementos e 273 nós, sendo que a parte correspondente ao aço foi dividida em 4 elementos.

A origem do sistema de coordenadas é a extremidade inferior esquerda da seção transversal.



187

Figura 6 – Mapa de deslocamentos e configuração deformada do concreto armado,

unidade: cm.

Figura 7 – Mapa de deslocamentos e configuração deformada do concreto, unidade:

cm. A Figura 6 é o mapa de deslocamentos e a configuração deformada para a seção transversal

correspondente ao concreto armado. E para comparar os resultados, tem-se na Figura 7 o mapa do empenamento e a configuração deformada para a seção transversal correspondente, considerando-a constituída por concreto.

A Tabela 1 é a comparação entre os resultados da seção transversal correspondente ao concreto e ao concreto armado. Os valores do CG e CC estão em relação à origem do sistema de coordenadas.

Tabela 1 – Comparação entre o concreto e concreto armado

seção U 875150 ×× concreto concreto armado

CG ( )cm ( )00,10;00,5 ( )34,9;00,5

CC ( )cm ( )00,10;00,5 ( )56,9;00,5

minmax ww − ( )cm 481,52 852,56 Através da Figura 6, da Figura 7 e pela Tabela 1 verificam-se as diferenças entre as seções

consideradas. Para a seção com apenas um material o centro de gravidade coincide com o centro de cisalhamento e estão situados exatamente no centro da seção. O mesmo não ocorre para a seção de concreto armado, na qual o centro de gravidade não coincide com o centro de cisalhamento e o centro de cisalhamento está mais próximo do eixo da peça e o centro de gravidade mais abaixo. A diferença relativa do empenamento máximo é maior para a seção de concreto armado. Neste ponto se mostra uma aplicação interessante que é a informação da posição do Centro de Cisalhamento de seções transversais de concreto armado para projetistas.

5.2 Exemplos de núcleos estruturais

Apesar dos núcleos estruturais serem barras de seção de parede fina com múltiplas seções, adotou-se este nome para esta seção devido à grande importância deste elemento estrutural em aplicações na engenharia civil.

5.2.1 Seção transversal aberta Este exemplo refere-se a um núcleo estrutural isolado e encontra-se em SOUSA JUNIOR

(2001). Ele analisou a estrutura em três programas. O primeiro foi o desenvolvido por SOUSA JUNIOR (2001), que apresenta um estudo sobre a análise de edifícios altos enrijecidos com núcleos estruturais



188

analisados pela teoria da flexo-torção. O segundo programa utilizado foi o apresentado em MATIAS JUNIOR (1997) que também modela o núcleo estrutural como sendo formado por barras de núcleos de seção delgada analisadas pela teoria de Vlasov. E o terceiro programa, foi o programa ANSYS versão 5.4 que faz a análise pelo método dos elementos finitos de casca.

O presente trabalho objetiva comprovar a eficiência do processo de cálculo descrito. Portanto, maiores detalhes sobre os métodos utilizados para o cálculo desta estrutura, referentes aos outros trabalhos, encontram-se em SOUSA JUNIOR (2001).

Figura 8 – Seção transversal da estrutura,

unidade: cm. Figura 9 – Localização dos pontos na seção

transversal da estrutura. A estrutura deste exemplo representa o poço de um elevador de vinte andares. A Figura 8

ilustra a seção transversal desta estrutura. A altura do núcleo é igual a 60 metros e a espessura das paredes é igual a 15 centímetros. Adotou-se Coeficiente de Poisson igual a 0,25, Módulo de Elasticidade Longitudinal igual a 2.000 kN/cm², e Módulo de Elasticidade Transversal igual a 800 kN/cm². Considerou-se a estrutura totalmente engastada na base. Aplicou-se 20 cargas horizontais F de valor unitário (1kN) exatamente no ponto indicado na Figura 8, variando-se a cota de 3 em 3 metros de tal forma que a carga mais alta está aplicada no topo da estrutura, 60 metros.

Figura 10 – Malha da seção transversal. Figura 11 – Malha da barra.

Neste trabalho discretizou-se a malha da seção transversal em 288 elementos finitos

triangulares quadráticos e 657 nós, como mostra a Figura 10. Discretizou-se a barra em 100 elementos e 201 nós, Figura 11.

A ordenada do gráfico (pavimento) ilustrado na Figura 12 refere-se à altura onde se aplicou as cargas. Considerou-se que a cada 3 metros há um pavimento de um edifício de 20 andares. O pavimento 20 refere-se à cota de 60 metros.



189

Observa-se que os resultados obtidos no presente trabalho e nos outros são praticamente iguais, como mostra a representação gráfica do deslocamento horizontal no ponto 4, Figura .

Figura 12 – Representação gráfica do deslocamento horizontal no ponto 4.

5.2.2 Seções transversais com geometrias quaisquer

Este exemplo objetiva verificar a capacidade da técnica apresentada no presente trabalho em calcular estruturas de núcleos estruturais compostas por seções transversais abertas e fechadas ao longo do seu comprimento.

A seção transversal 1 é o perfil U simples, U 00,375100 ×× , a unidade é o milímetro. Para efeito de cálculo desprezou-se as curvaturas formadas por elementos adjacentes nos perfis formados a frio. Considerou-se que todos esses ângulos são iguais a °90 . E a seção transversal 2, tem as dimensões da seção 1, porém é um perfil fechado.

Figura 13 – Representação da estrutura do exemplo 2.

A estrutura é uma viga engastada de comprimento total igual a 3 metros, Figura 13.

Imaginando-se a barra dividida em três partes iguais, tem-se nos terços das extremidades o perfil U, e no terço médio a seção retangular fechada com as mesmas dimensões do perfil U simples.

Os valores necessários para o cálculo desta estrutura são: cmL 300= 2000.21 cmkNE = 3,0=ν



190

Adotou-se 265,398.2 kNcmB −= . E tem-se que ω=q , ou seja, para este exemplo, as cargas

por unidade de comprimento são iguais aos valores da área setorial e a unidade de q é cmkN . Aplicou-se o valor do Bimomento na direção 7 , que corresponde ao parâmetro α ,

encontrando-se os resultados para esta estrutura. Para a técnica proposta, discretizou-se a malha da seção transversal 1 e 2 em 160 elementos e 369 nós, e 256 elementos e 576 nós, respectivamente.

Tem-se para a malha da barra 150 elementos e 301 nós. A malha descrita para o presente trabalho corresponde a 107.2 graus de liberdade, já que apresenta 7 graus de liberdade por nó e os nós da seção transversal não geram equação de equilíbrio.

A carga aplicada no programa ANSYS que produz apenas deslocamento devido ao empenamento nesta estrutura, corresponde a uma tensão proporcional aos valores da área setorial do perfil U 00,375100 ×× . Aplicou-se a carga por unidade de comprimento. Para a modelagem no ANSYS adotou-se o elemento Shell 63. Os resultados finais apresentados correspondem à subdivisão das áreas da estrutura em 902.75 elementos e 421.38 nós, o que corresponde a 526.230 graus de liberdade, ou seja, 6 graus de liberdade por nó.

Fez-se uma análise de convergência em empenamento para a formulação proposta e a partir de 150 elementos finitos a solução se manteve estável, ou seja, a convergência foi atingida.

Assim, os valores referentes à formulação proposta apresentada na Figura 14 são para esta discretização, ou seja, 107.2 graus de liberdade.

A Figura 14 é a representação gráfica do empenamento máximo em função do número de graus de liberdades. Os dados referem-se tanto aos resultados obtidos por este trabalho quanto aos resultados do ANSYS. Como pode se observar para que o ANSYS apresentasse valor de empenamento próximo ao obtido pela formulação proposta foram necessários 100 vezes mais graus de liberdade.

Figura 14 – Representação gráfica do empenamento máximo. A Tabela 2 mostra que os valores do empenamento máximo, da seção transversal situada na

extremidade livre, obtidos tanto através do presente trabalho quanto do ANSYS são aproximadamente iguais para o número de graus de liberdade igual a 526.230 do ANSYS.

O mapa do empenamento e configuração deformada, unidade em centímetros (cm), referente ao presente trabalho, para a seção transversal na extremidade livre, é ilustrado na Figura 15. A Figura 16 é o resultado do programa ANSYS para o empenamento desta estrutura. A partir da Figura 15, da Figura 16 e da Tabela 2 observa-se que os resultados do ANSYS estão em boa concordância com os resultados do presente trabalho.



191

Figura 15 – Mapa de deslocamentos e configuração deformada na extremidade livre, unidade: cm.

Figura 16 – Representação do empenamento, ANSYS (10.0), unidade: cm.

Tabela 2 – Empenamento no máximo da seção transversal, unidade: ( )cm .

Presente Trabalho ( )cm

ANSYS ( )cm

Razão relativa (%)

0,265118 0,263016 0,79

5.2.3 Materiais compostos Propõe-se um exemplo de um núcleo estrutural composto por seções abertas e fechadas por

trecho, considerando-se como material o concreto armado. Como se trata de uma contribuição, ainda que modesta, apenas os resultados referentes ao presente trabalho serão apresentados.

Neste exemplo será analisada a estrutura de um edifício (Figura 19) de vinte pavimentos com m80,2 de pé direito, constituída exclusivamente por um núcleo de seção transversal constante ao

longo da sua altura, todas as suas paredes possuem 0,15m (Figura 17), sendo ainda contraventada por lintéis (Figura 18) ao nível de cada andar, com a mesma espessura das paredes e altura de 0,45m.

Para o concreto, o módulo de elasticidade longitudinal adotado é igual a ²101,2 9 mkgf× e

transversal ²1075,8 8 mkgf× . Para o aço, o módulo de elasticidade longitudinal adotado é igual a



192

²101,2 10 mkgf× e transversal ²1008,8 9 mkgf× . As ações aplicadas foram um momento torçor de kgfm10,756.3 atuando ao nível da cobertura e kgfm20,182.3 nos demais pavimentos.

Figura 17 – Seção transversal aberta.

Figura 18 – Seção transversal dos lintéis.

Figura 19 – Núcleo estrutural.

Distribuiu-se armadura na seção transversal da forma indicada na Figura 20 , considerando-se

mm0,8φ cmc 10 e cobrimento igual a cm2 . Lembrando que a armadura tem o comprimento do lintél (viga no nível do pavimento) na região correspondente a esse tipo de estrutura e que a outra seção é aberta.

Figura 20 – Detalhe de armadura (x20).

A malha foi gerada de acordo com a dimensão mínima da armadura idealizada em um

quadrado de lado igual a oito milímetros. Discretizou-se a malha da seção transversal aberta em 370.1 elementos finitos triangulares quadráticos e 028.3 nós. E para a seção transversal fechada tem-se uma malha com 560.1 elementos finitos triangulares quadráticos e 435.3 nós.

O núcleo foi discretizado ao longo do seu comprimento por uma malha com 40 elementos e 81 nós, de 0 a m56 . Sendo que existem dois elementos em cada pavimento, um elemento de comprimento igual a m35,2 e outro de comprimento igual a m45,0 , formados por nós nas extremidades e o terceiro no ponto médio do elemento.

Os valores das rotações em torno do eixo longitudinal são representados pela curva do gráfico da Figura 21. O parâmetro de intensidade de empenamento está representado na curva do gráfico da Figura 22 .



193

Figura 21 – Representação gráfica a rotação (radianos).

Figura 22 – Representação gráfica da intensidade do empenamento (rad/m).

Figura 23 – Mapa empenamento máximo,

unidade: m . Figura 24 – Mapa de xσ máximo, unidade:

2mkgf . A Figura 23 é o mapa de deslocamentos para o empenamento máximo no topo do edifício. A

Figura 24 refere-se ao mapa da tensão normal ( )xσ máxima que ocorre no penúltimo pavimento, na cota mx 20,53= .

O mapa da tensão de cisalhamento xyτ é ilustrado na Figura 25, este ocorre no penúltimo

pavimento, na cota mx 20,53= . Para xzτ o mapa da tensão de cisalhamento é ilustrado na Figura 26 , que ocorre no penúltimo pavimento, na cota mx 20,53= .



194

Figura 25 – Mapa de xyτ máximo,

unidade: 2mkgf .

Figura 26 – Mapa de xzτ máximo,

unidade: 2mkgf .

6 CONCLUSÕES

Este trabalho é um aprimoramento que resultou na melhora dos modelos usuais de barra geral, com a introdução da cinemática de empenamento para seção transversal de geometria qualquer. Com esse trabalho, houve um avanço ainda que modesto, nas técnicas usuais de análise estrutural via MEF disponíveis no SET, trazendo benefícios para trabalhos futuros.

7 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à FAPESP – Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - pelo financiamento desta pesquisa.

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