Calculo 02

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Clculo IISoCristvo/SE2009Samuel da Cruz CanevariProjeto Grfico e CapaHermeson Alves de MenezesElaborao de ContedoSamuel da Cruz CanevariCanevari, Samuel da Cruz.C221c Clculo II / Samuel da Cruz Canevari -- SoCristvo:UniversidadeFederaldeSergipe,CESAD,2009.1. Clculo. 2. Matemtica. I. Ttulo. CDU 517.2/.3Copyright 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e grava-daporqualquermeioeletrnico,mecnico,porfotocpiaeoutros,semaprvia autorizao por escrito da UFS.FICHA CATALOGRFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEClculoIIUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidadeUniversitriaProf.Jos AlosiodeCamposAv. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - So Cristvo - SEFone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474Chefe de GabineteEdnalvaFreireCaetanoCoordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESADItamarFreitasVice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFbio Alves dos SantosCoordenador do Curso de LicenciaturaemMatemticaHassanSherafatPresidente da RepblicaLuiz Incio Lula da SilvaMinistro da EducaoFernandoHaddadSecretrio de Educao a DistnciaCarlosEduardoBielschowskyReitorJosuModestodosPassosSubrinhoVice-ReitorAngeloRoberto AntoniolliNCLEO DE MATERIAL DIDTICOHermeson Menezes (Coordenador)Jean Fbio B. Cerqueira (Coordenador)Baruch Blumberg Carvalho de MatosChristianne de Menezes GallyEdvar Freire CaetanoFabola Oliveira Criscuolo MeloGerri Sherlock ArajoIsabela Pinheiro EwertonJssica Gonalves de AndradeLara Anglica Vieira de AguiarLuclio do Nascimento FreitasNeverton Correia da SilvaNycolas Menezes MeloPricles Morais de Andrade JniorTas Cristina Samora de FigueiredoTatiane Heinemann BhmerDiretoria PedaggicaClotildesFarias(Diretora)HricadosSantosMatosDiretoria Administrativa e FinanceiraEdlzio Alves Costa Jnior (Diretor)Ncleo de TutoriaRosemeireMarcedoCosta(Coordenadora)CarlaDarlemSilvadosReisAmanda Mara SteinbachLusCarlosSilvaLimaRafaeldeJesusSantanaNcleo de Tecnologia daInformaoFbio Alves(Coordenador)AndrSantosSabniaDanielSIlvaCurvelloGustavo Almeida MeloJooEduardoBatistadeDeus AnselmoHeribaldoMachadoJuniorLuanaFariasOliveiraRafaelSilvaCurvelloNcleo de Formao ContinuadaAndrezza Maynard (Coordenadora)Assessoria de ComunicaoGuilhermeBorbaGouyNcleo de Servios Grficos eAudiovisuaisGiseldaBarrosSumrioAula 1: Integrais Imprprias 71.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Extremos de Integrao Innitos . . . . . . . . . . 81.3 Integrais Imprprias com descontinuidades. . . . . 111.4 Convergncia de Integrais Imprprias. . . . . . . . 141.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 171.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Aula 2: Seqncias de Nmeros Reais 192.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Seqncias e Subseqncias . . . . . . . . . . . . . 202.3 Seqncias Convergentes. . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Seqncias Montonas e Seqncia Limitadas . . . 292.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 352.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Aula 3: Sries de Nmeros Reais 373.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Sries Numricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 563.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Aula 4: Sries de Potncias 594.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Srie de Potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Representao de Funes . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 704.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Aula 5: Mtodos de Representao de Funes emSries de Potncias 735.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2 Diferenciao e Integrao . . . . . . . . . . . . . . 745.3 Sries de Taylor e de Maclaurin. . . . . . . . . . . 765.4 Sries Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 895.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Aula 6: Equaes Paramtricas 916.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 Equaes Paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Clculo com Curvas Paramtricas . . . . . . . . . . 956.3.1 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.2 reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . 1016.3.4 rea de Superfcie . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 1056.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Aula 7: Curvas Polares 1077.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3 Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4 Tangentes as Curvas Polares . . . . . . . . . . . . . 1147.5 reas e Comprimentos em Coordenadas Polares. . 1167.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.8 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 1227.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Aula 8: Funes com Valores Vetoriais 1238.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.2 Denies e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . 1248.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.5 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.8 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 1318.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Aula 9: Curvas Espaciais 1339.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.2 Movimentos no espao . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.3 Movimento no espao: Velocidade e Acelerao . . 1429.4 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.7 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 1499.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Aula10: FunesdeVariasVariveisReaisaValoresReais 15110.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.2Noes Topolgicas no R2. . . . . . . . . . . . . . 15210.3Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.4Grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.5Curvas de Nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.6Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.7Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.8Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 17010.9Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Aula 11: Limites, Continuidade e Derivadas Parciais 17311.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.2Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.3Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.4Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18411.5Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . 18711.6Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19011.7Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19111.8Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 19311.9Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Aula 12: Funes Diferenciveis 19512.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.2Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.3Plano Tangente e Reta Normal . . . . . . . . . . . 20412.4A Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712.5Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20912.6Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21012.7Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 21312.8Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Aula 13: Regra da Cadeia e Derivao Implcita 21513.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21613.2Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21613.3Derivao de funes denidas implicitamente. . . 21813.4Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22113.5Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.6Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 22413.7Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Aula 14: Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 22514.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22614.2Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22614.3Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22914.4Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23414.5Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23514.6Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 23714.7Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Aula 15: Mximos e Mnimos 23915.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24015.2Pontos de Mximo e Pontos de Mnimo . . . . . . 24015.3Mximos e Mnimos sobre Conjuntos Compactos . 24615.4Mximos e Mnimos Condicionados. . . . . . . . . 25015.5Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25615.6Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25815.7Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 26015.8Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2601AULA1LIVROIntegrais ImprpriasMETAApresentar os conceitos e pro-priedades de integrais com extremosde integraes innitos e integraisde funes com descontinuidade.OBJETIVOSCalcularreasderegiesnolimi-tadas.PR-REQUISITOSConceitosdefunesreais, funescontnuas e o Teorema Fundamentaldo Clculo.Integrais Imprprias1.1 IntroduoCaros alunos, estamos iniciando o curso de Clculo II. Neste curso,faremos uso de bastantes conceitos e resultados vistos no curso deClculo I. Esta primeira aula tem por objetivo estender o TeoremaFundamental do Clculo (TFC) e denir as Integrais Imprprias.NoTFC, oslimitesdeintegrao, aebem_baf(x)dx, sonmerosreaisefumafunocontnuanointervalo[a, b]. Podeacontecer que, ao aplicarmos estes conceitos, seja preciso ou con-veniente considerar os casos em quea = , b = +, oufsejadescontnua em um ou mais pontos do intervalo. Nestas condies, preciso ampliar conceito de integral e as tcnicas de integrao,de modo a incluir estes casos adicionais. Estas integrais, em quea = , b = + ou f descontnua em [a, b], so chamadas Inte-grais Imprprias. Nem sempre uma integral deste tipo representaumnmeroreal, isto, nemsempreumaintegral imprpriaex-iste. Quando ela existe, seu valor calculado levando-se em contaa generalizao do conceito de integral denida.1.2 Integrais Imprprias comExtremos deIntegrao InnitosExemplo1.2.1. Consideremos o problema de encontrar rea daregiolimitadapelacurvay=ex, peloeixoyepelaretax=b > 0 como mostra a Figura 1.1 abaixo.SeA unidades de rea for a rea da regio, entoA =_b0exdx = exb0 = 1 eb= 1 1eb.8Livro de Clculo II1AULAFigura 1.1: reaSe deixarmosb crescer sem limitaes, entolimb_b0exdx =limb(1 1eb) = 1. (1.1)Seguedaequao(1.1)quenoimportaquograndesejaovalor deb, a rea da regio ser sempre menor do que 1 unidadesde rea.A equao (1.1) estabelece que seb > 0 para todo > 0 existeumN> 0 tal quese b > N ento [_b0exdx 1[ < .Em lugar de (1.1) escrevemos_0exdx = 1. Em geral temosas seguintes denies:Denio 1.1. (i) Seffor contnua para todox a, ento_af(x)dx =limb_baf(x)dxse esse limite existir;(ii) Seffor contnua para todox b, ento_bf(x)dx = lima_baf(x)dx9Integrais Imprpriasse esse limite existir;(i)Sefforcontnuaparatodosvaloresdexecforumnmeroreal qualquer, ento_f(x)dx = lima_0af(x)dx + limb+_b0f(x)dxse esse limite existir;Na denio acima, se o limite existir, diremos que a integralimprpria convergente, caso caso contrrio, diremos que diver-gente.Exemplo 1.2.2. Calcule a integral, se ela convergir:_2dx(4 x)2.(Ver Figura 1.2)Figura 1.2: rea com extremo inferior indenido.Resoluo:_2dx(4 x)2= lima_2adx(4 x)2= lima_14 x_2a= lima(12 14 a) =12.Exemplo 1.2.3. Estude a convergncia da integral:_+0xexdx.10Livro de Clculo II1AULAResoluo:_+0xexdx = lima+_a0xexdxParacalcularessaintegral, usaremosintegraoporpartescomu = x, dv = ex, du = dx ev = ex. Assim,_+0xexdx = lima+_xexexa0= lima+(aeaea+ 1)= lima+aea 0 + 1.Aplicando a regra de LHospital temos quelima+aea= lima+1ea= 0e portanto_+0xexdx = 1.1.3 Integrais Imprprias com descontinuidadesExemplo1.3.1. Suponhaquequeremosobterareadaregiodo plano limitada pela curva cuja equao y =1x, pelo eixo-x,peloeixo-yepelaretax=4.ConformeilustradonaFigura1.3abaixo:Se for possvel ter um nmero que represente a medida da readessa regio, ele ser obtido pela integral_401x.Entretanto, ointegrandodescontnuonoextremoinferiorzero.Alm disso, limx+1x= +, assim dizemos que o integrando tem11Integrais ImprpriasFigura 1.3: rea com descontinuidade no extremo inferior de inte-graouma descontinuidade innita no extremo inferior. Essa integral imprpria e sua existncia pode ser determinada da seguinte forma:_401x=limt0+_4t1x=limt0+(2x4t) =limt0+(4 2t) = 4logo 4 ser a medida da rea da regio dada.Mais geralmente temos a seguinte denio:Denio1.2. (i)Se f forcontnuaparatodoxdointervalosemi-aberto esquerda (a, b], e se limxa+f(x) = , ento_baf(x)dx =limta+_btf(x)dxse esse limite existir;(ii) Se f for contnua para todo x do intervalo semi-aberto direita[a, b), e se limxbf(x) = , ento_baf(x)dx =limtb_taf(x)dxse esse limite existir;(iii)Sefforcontnuaparatodosvaloresdexnointervalo[a, b]12Livro de Clculo II1AULAexcetoc, ondea < c < b e se limxc[f(x)[ = +, ento_baf(x)dx =limtc_taf(x)dx +limsc+_bsf(x)dxse esse limite existir;Exemplo 1.3.2. Calcule a integral, se ela for convergente:_20dx(x 1)2.Resoluo:Ointegrandotemumadescontinuidade innitaem1, ouseja,limx1dx(x 1)2= +, portanto, peladenioqueacabamosdeestabelecer, temos_20dx(x 1)2= limt1_t0dx(x 1)2dx +lims1+_2sdx(x 1)2dx= limt1(1x 1)[t0 +lims1+(1x 1)[2s= limt1(1t 1 1) +lims1+(1s 1 1)Como nenhum desses limites existe, a integral imprpria diver-gente.Se no exemplo anterior no tivssemos notado a descontinuidadedo integrando em 1, teramos_20dx(x 1)2= (1x 1)[20 = 2.Esse resultado obviamente incorreto, uma vez que1(x 1)2 nunca negativo.Exemplo 1.3.3. Calcule a integral, se ela existir:_10xlnxdx.Resoluo:O integrando tem uma descontinuidade no extremo inferior. Por-tanto, escrevemos_10xlnxdx = limt0+_1txlnxdx13Integrais ImprpriasParacalcularessaintegral, usaremosintegraoporpartescomu = lnx, dv = xdx, du =1xdx ev =x22. Assim,_10xlnxdx = limt0+_1txlnxdx = limt0+(12x2lnx 14x)[1t= limt0+(12ln(1) 14 12t2ln(t) + 14t)= 14 12limt0+t2ln(t).Note que limt0+t2ln(t) uma indeterminao to tipo 0.(). Paracalcular esse limite, usaremos LHospital,limt0+t2ln(t) = limt0+ln(t)1t2= limt0+1t2t3= limt0+t22= 0.Logo,_10xlnxdx = 14.1.4 Convergncia e Divergncia de IntegraisImprprias: Critrio de ComparaoAlgumasvezesimpossvel encontrarovalorexatodeumain-tegral imprpria, maisaindaassimimportantesaberseelaconvergente ou divergente. Em tais casos o critrio de comparao til.Observamos, inicialmente, que se f for integrvel em [a, t], paratodot > a, e sef(x) 0 em [0, +), ento a funoF(x) =_xaf(t)dt, x aser crescente em [0, +). De fato, se x1 e x2 so dois valores reaisquaisquer, com 0 x1< x2 entoF(x2) F(x1) =_x2af(t)dt _x1af(t)dt =_x2x1f(t)dt 0.14Livro de Clculo II1AULASegue que, limx_xaf(t)dt ou ser nito ou +; ser nito eexistirM a tal que_xaf(t)dt Mpara todox a.Critrio da Comparao:Sejam fe g duas funes integrveisem [a, t], para todo t > a, e tais que, para todo x a, 0 f(x) g(x). Entoa)_+ag(x)dx converge =_+af(x)dx converge.b)_+af(x)dx diverge =_+ag(x)dx diverge.Demostrao:a) limt+_+ag(x)dx nito, pois por hiptese,_+ag(x)dx convergente. De 0 f(x) g(x), para todox a, resulta_taf(x)dx _tag(x)dx _+ag(x)dx.Sendo F(t) = _ta f(x)dx crescente e limitada, resulta que limt+_taf(x)dxser nito e, portanto,_+af(x)dx ser convergente.b) anloga. . Exemplo 1.4.1. Verique que_+0exsen2xdx convergente.Resoluo:Note que,0 exsen2x ex, para todo x 0e mais_+0exdx = limt_t0exdx = limt(et+ 1) = 1,15Integrais Imprpriaslogo,_+0exdx convergente. Segue do critrio de comparaoque_+0exsen2xdx convergente e, alm disso,_+0exsen2xdx 1.Exemplo 1.4.2. Verique que a integral imprpria_+1x3x4+ 3dx divergente.Resoluo:Note quemx3x4+ 3=1x x21 +3x4.Para todox 1,x21 +3x414, e, portanto,x3x4+ 3 14x> 0.De_+014xdx = +, segue, pelocritriodecomparao, que_+1x3x4+ 3dx divergente.1.5 ResumoNesta aula, voc aprendeu calcular a_baf(x)dx ondea = eb = +; ouf descontnua em um ou mais pontos do intervalo[a, b]. Esta ferramenta ser bastante til nas prximas aulas, ondeestudaremos convergncias de sries numricas.1.6 Atividades01. Estude a convergncia das integrais a seguir:(a)_+xexdx (c)_+xex2dx (e)_+1lnxxdx16Livro de Clculo II1AULA(b)_+11xdx (d)_+11x2(f)_+xdx02. Calcule as seguintes integrais, se existirem:(a)_101xdx (c)_10lnxdx (e)_2114 x2dx(b)_101xdx (d)_31x2x31(f)_ 40cosxsenxdx03. Suponhafintegrvel em [a, t), para todot a. Prove que se_+0[f(x)[dxconvergente, ento_+0f(x)dxtambmcon-vergente. (Sugesto: useque0 [f(x)[ + f(x) 2[f(x)[equef(x) = [f(x)[ + f(x) [f(x)[)04.Usando o exerccio 03., prove que a integral_+0exsen3xdx convergente.05. A integral_+1senxxdx convergente ou divergente?Justi-que sua resposta.1.7 Comentrio das AtividadesA atividade 01. para voc (aluno) praticar os conceitos vistos naSeo1.2. Sevocconseguiuresolvertodosostensdestaativi-dade, ento voc aprendeu a calcular integrais imprprias com ex-tremos de integrao innitos.A atividade 02. referente a Seo 1.3. Conseguiu resolver to-dos os tens desta atividade?Que bom!!! Voc aprendeu a calcular17Integrais Imprpriasintegrais imprprias com descontinuidades.Nas atividades 03., 04. e 05. devem usar os resultados vistos naSeo 1.4. Tais resultados so muito teis no clculo de integraisimprprias.1.8 RefernciasGUIDORIZZI, H. L., UmCurso deClculo (Vol. 1 e 2).Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.STEWART, J.,Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: PioneiraThomson Learning, 2006.THOMAS, G. B., Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: AddisonWesley, 2002.182AULA1LIVROSeqncias deNmeros ReaisMETAEstudar seqncias de nmerosreais.OBJETIVOSEstudar aconvergnciadeseqn-cias numricas innita.PR-REQUISITOSFunesReais, Limites, Derivadas,IntegraisdefunesreaiseaAula01.Seqncias de Nmeros Reais2.1 IntroduoNestaaulaestudaremosasseqnciasnumricasinnitas. Taisseqncias pode ser pensadas como uma lista de nmeros escritosem uma ordem denida:x1, x2, x3, , xn, O principal objetivo desta aula, estudar a convergncia de taisseqncias, em outras palavras, queremos calcular o limite dessasseqncias quandon tende ao innito.2.2 Seqncias e SubseqnciasDenio2.3. Umaseqnciadenmerosreaisumafunox : N R para a qual denotamos o valor dex emn porxnemvez dex(n).Geralmente usamos a notao(xn)nNpara representar a se-qnciax : N R. s vezes a notaremos tambm por(x1, x2, . . . , xn, . . .).Dizemos que xn o termo de ordem n ou que xn o n-simo termoda seqncia.Quando quisermos explicitar que a imagem da seqncia (xn)nNest contida emA R escrevemos (xn)nN A.Exemplo2.2.1. Sejaa R e tomemosxn = a para todon N.A seqncia (xn)nN constante.Exemplo 2.2.2. Seja a seqncia (xn)nN = 2n. Temosx0 = 20, x1 = 21, x2 = 22, . . .20Livro de Clculo II2AULAExemplo 2.2.3. Seja a seqncia (sn)nN =_n

k=1k_nNTemoss1 = 1, s2 = 1 + 2, s3 = 1 + 2 + 3, . . .Exemplo 2.2.4.Seja a seqncia (sn)nN =_n

k=11k_nN. Temoss1 = 1, s2 = 1 + 12, s3 = 1 + 12 + 13, . . .Exemplo 2.2.5. Considere a seqncia(sn)nN =_n

k=0tk_nN, t ,= 0 et ,= 1.Vamos vericar quesn =1 tn+11 t.Soluo:Note quesn = 1 + t + t2+ . . . + tn1+ tn. (2.1)Multiplicando ambos os membros de (2.1) port, obtemostsn = t + t2+ t3+ . . . + tn+ tn+1. (2.2)Subtraindo membro a membro (2.1) e (2.2), teremossn(1 t) = 1 tn+1.Logosn =1 tn+11 t.ObservequesnasomadostermosdaProgressoGeomtrica1, t, t2, t3, . . . , tn.21Seqncias de Nmeros ReaisDenio 2.4. Dizemos que (yk)kN uma subseqncia de (xn)nNse existe uma seqncia (nk)kN N comnk< nk+1, k N, talqueyk = xnkpara todok N.Exemplo 2.2.6. Sejam a, r N. Considere a seqncia (xn)nN =a + (n 1)r, n 1. Notequeaseqncia(xn)nNumaPro-gressoAritmticadeprimeirotermoaerazor. AProgressoAritmtica (yk)kN de termo inicial a e razo 2r uma subseqn-cia de (xn)nN. De fato, tomandonk = 2k 1 (k N) obtemos:xnk= a + (nk 1)r = a + (2k 2)r = a + (k 1)(2r) = yk.2.3 Seqncias ConvergentesIntuitivamente, umaseqncia(xn)nNconvergenteparaxseseus termos se aproximam dex quandon cresce. Esta idia noest todo errada. Porm, ela pode induzir a uma idia equivocadadeconvergncia. Somostentadosadizerque(xn)nNconvergeparaxquandoadistnciaentrexnexdiminuimedidaquencresce. No bem assim. Veja a gura 2.4.Ela Foge um pouco do assunto "seqncias de nmeros reais"maisilustra bem o que queremos dizer por "se aproximar".Imagine que,partindo do pontoA, percorremos no sentido anti-horrio o cam-inhodesenhadocomoindicadopelassetas. Ningumduvida, ecom razo, de que estaremos assim nos aproximando do pontoO.Porm, a idia de que a nossa distncia ao pontoO decresce como tempo mostra-se errada. Convena-se disto percebendo que pas-samos primeiro pelo pontoB antes de chegar aCe, entretanto, osegmentoBO menor que o segmentoCO. De fato, a distncia aO cresce quando percorremos o segmentoBC. Podemos perceber22Livro de Clculo II2AULAFigura 2.4: Espiral da Convergnciaque existem muitos trechos do caminho sobre os quais a distnciaaOcrescentecomotempo, demodoquenoexistenenhumponto a partir do qual a distncia a O passe a ser decrescente como tempo.Continuemos analisando a Figura 2.4 em busca da boa deniodeconvergncia. ObservamosquenossadistnciaaOcatopequenaquandoquisermos, bastandoparaistoquecontinuemosandando por um tempo sucientemente longo. Por exemplo, nossadistnciaaOsermenorque1depoisquepassamospelopontoD. Ou seja, em certo instante entramos na bola de raio 1 entradaemO e dela no samos mais. Da mesma forma, a partir de outroinstante (futuro) entramos na bola de raio 1/2, centrada emO, ea camos.De modo geral, dado qualquer nmero positivo , existeum instante a partir do qual nossa distncia a O ser menos que .A est a denio. Para seqncias reais ela expressa da seguintemaneira:Denio 2.5.Um seqncia (xn)nN dita convergente se existe23Seqncias de Nmeros Reaisx R de modo que > 0, N Ntal que n M=[xn x[ .Nestecaso, escrevemos xnxedizemos que xlimitedaseqncia (xn)nN ou que xn converge para (ou tende a) x quandontendeamaisinnito(n +). Se(xn)nNnoconverge,ento dizemos que ela divergente.Existem seqncias divergentes que possuem limite! Isto ape-nas um jogo de palavras. A denio seguinte diz que certas se-qncias tm limites que no so nmeros reais. No diremos quetais seqncias so convergentes.Denio2.6. Seja(xn)nNumaseqncia. Dizemos que xntende a mais innito quandon tende a mais innito ou que maisinnito limite da seqncia e escrevemosxn +ou limn+xn = +se,M R, N Ntal que n M=xn M.Denio2.7. Seja(xn)nNumaseqncia. Dizemos que xntende a menos innito quando n tende a mais innito ou que menosinnito limite da seqncia e escrevemosxn ou limn+xn = se,M R, N Ntal que n M=xn M.Observamos que as denies acima so exatamente as mesmasj vistas quando tratamos com limite de uma funof(x) quando24Livro de Clculo II2AULAx +; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limitesda forma limx+f(x) aplica-se aqui.Exemplo2.3.1. Sejax Reconsidereaseqnciadadaporxn = x para todo n N.Temos que xn x.De fato, [xnx[ = 0para todon N. Portanto, podemos escrever > 0, N Ntal que n N= [xn x[ < .Exemplo2.3.2. Considereaseqnciadadapor xn=1nparatodon N. Vamos mostrar quexn 0. Dado> 0, tomemosN N tal queN>1

. Temos ento 0 0. Comoxn x, existeN N tal quen N= [xn x[ < .Tambm temosxn y. Logo existeN

N tal quen N

= [xn y[ < .Seja n o maior dos nmeros Ne N

. Para tal n as duas conclusesanteriores so vlidas. Temos ento[x y[ [x xn[ +[xn y[ 0existeN Nquepodemossupormaiorquen1, tal quesen>N=L < an< L +e L < cn< L + .Tendo em vista a hiptese,n > n0 = L < an bn cn< L + e, portanto,n > n0 = L < bn< L + ,26Livro de Clculo II2AULAou seja,limn+bn = L.Exemplo 2.3.4. Suponha 0 < t < 1. Mostre quelimnn

k=0tk=11 t.Demonstrao: Temos pelo Exemplo 2.2.5 quesn =n

k=0tk=1 tn+11 t. Logolimnn

k=0tk= limn1 tn+11 t=11 t.A proxima proposio nos fornece um critrio para testarmosa convergncia de uma seqncia dada.Proposio1. Uma seqncia(xn)nNtende ax se,e somentese, toda subseqncia de (xn)nN tende ax.Demonstrao: Suponhamos que existax R tal quexn x.Seja (yk)kN uma subseqncia de (xn)nN, isto , yk = xnk paraalguma seqncia (nk)kN estritamente crescente. Mostremos queyk x. Seja> 0. Comoxn x,existeN N tal que sen N, ento [xnx[ < . Como (nk)kN estritamente crescente,existeK N tal que sek K, entonk N. Segue quek K = [yk x[ < .Portanto (yk)kNconverge parax. A recproca imediata (bastaobservar que (xn)nN uma subseqncia de si mesma).27Seqncias de Nmeros ReaisExemplo2.3.5. A seqncia (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) diver-gente. Defato, seelafosseconvergente, entopelaproposioanteriortodasassuassubseqnciasseriamconvergenteparaomesmo limite. Porm, (1, 1, 1, 1, 1, . . .) e (0, 0, 0, 0, 0, . . .) so duasdesuassubseqnciassendoqueaprimeiraconvergepara1easegunda para 0.Comocorolriodaproposioanterior, obtemos que se xntendeax, entoxn+2008tendeax. Nohnadadeespecialcomonmero2008. Maisgeralmente, xadop N, temosquesexntendeax, entoxn+ptendeax. fcil perceberquearecprocatambmvlida, ouseja, separaalgump Ntemosquexn+p tende ax, entoxn tende ax. A importncia deste fatooseguinte: Seconhecemosalgumapropriedadequegarantaaconvergnciadeumaseqnciaesoubermosquetalpropriedadesvlidaapartirdopsimotermoento, aindasim, pode-mos concluir que a seqncia convergente. Vejamos um exemploesclarecedor.Exemplo2.3.6. Sabemos que seqncias constantes so conver-gentes. Considereaseqncia(noconstante) dadapor xn=1000/n|, sendo x| a funo Parte Inteira dex, denida abaixo:x| = m se m Z e m x m + 1.fcil verquexn=0paratodon>1000. Ouseja, (xn)nNconstanteapartirdoseumilsimo-primeirotermo. Conclumosque ela convergente.Teorema 2.2. Toda seqncia convergente limitada.Demonstrao: Seja(xn)nNuma seqncia convergente parax R. Tomemos=1nadeniodeseqnciaconvergente,28Livro de Clculo II2AULAconclumos que existe N N tal que se n N, ento [xnx[ < 1,isto ,xn (x 1, x + 1). Tomandoa = minx1, . . . , xN, x 1 e b = maxx1, . . . , xN, x + 1temos imediatamente quexn [a, b] para todon N. Portanto(xn)nN limitada.2.4 Seqncias Montonas e Seqncia Lim-itadasA recproca do Teorema 2.2 falsa como mostra o Exemplo 2.3.5.Porm, existemalgumas recprocas parciais que veremos nestaseo.Seja (xn)nN uma seqncia. Dizemos que tal seqncia cres-cente se, quaisquer que sejamm, n N,m < n = xm xn.Se xm xn for trocado por xm xn, ento diremos que a seqn-cia decrescente.Uma seqncia dita montona se for crescente ou decrescente.Dizemosqueaseqncia(xn)nNlimitadainferiormenteseexistir um nmero real tal que, paraxn , n N.Dizemos que a seqncia (xn)nN limitada superiormente seexistir um nmero real tal que, paraxn , n N.Uma seqncia dita limitada se for limitada inferiormente esuperiormente.O teorema que enunciaremos, e provaremos a seguir, ser muitoimportante para o que segue.29Seqncias de Nmeros ReaisTeorema2.3. Se(xn)nN crescente elimitada superiormente,entoxn supxn; n N. Damesmaforma, se(xn)nNdecrescente e limitada inferiormente, ento xn infxn; n N.Demonstrao: Vamos provar apenas a primeira parte do teo-rema j que a segunda se demonstra de modo anlogo. Sejas =supxn; n N. Dado> 0, tome N N tal que x < xN s.Logo, paran N, temosx sm.Vamosprovar aseguir queaseqncialimitadasuperior-mente.Temos (Veja Figura 2.5)sn = 1 +122 +132 + . . . +1n2 1 +_n11x2dx30Livro de Clculo II2AULAFigura 2.5: Soma InferiorComo a seqncia de termo geral _n11x2 crescente elimn+_n11x2dx = limn+(1n+ 1) = 1resultasn 2, n 1.Seguequeaseqnciaconvergente, poiscrescenteelimitadasuperiormente por 2.Exemplo 2.4.2.A seqncia de termo geral sn =n

k=11k conver-gente ou divergente?Justique.Soluo:Para todon 1, (Veja Figura 2.6)sn = 1 + 12 + 13 + . . . +1n _n+111xdxComolimn+_n+111xdx = limn+ln n + 1 = +resultalimn+sn = +.31Seqncias de Nmeros ReaisFigura 2.6: Soma SuperiorExemplo2.4.3. Investigue seqncia de termo geralxn denidapela relao de recorrncia:x1 = 1, xn+1 =12(xn + 6), n > 1.Soluo: Observamos, inicialmente, que a seqncia crescente.De fato, usaremos induo nita:1) sen = 1 entox1 = 2 < 4 = x2;2) suponhamos quexk1< xk, k 2;3)provemosque xk n.Existem duas possibilidades: N innito ouN nito.1)N innito: EscrevamosN= n1, n2, n3, . . . comn1 0.Aps utilizar essa propriedade, basta aplicar o limite paran ten-dendo ao innito, de ambos os lados da desigualdade resultante.Conseguiu resolver a Atividade 05.? timo!!! Voc aprendeuque toda seqncia montona e limitada convergente.Lembrem-sesemprequehtutoresadistnciaepresenciaispara ajud-los na resoluo dessas atividades. Estudar em grupocom seus colegas, pode tornar a resoluo dessas atividades maisfcil e interessante.2.8 RefernciasGUIDORIZZI, H. L., UmCurso deClculo (Vol. 1 e 4).Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.STEWART, J.,Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: PioneiraThomson Learning, 2006.THOMAS, G. B., Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: AddisonWesley, 2002.363AULA1LIVROSries de NmerosReaisMETARepresentar funes como somas desries innitas.OBJETIVOSCalcular somas de innitos nmerosreais.PR-REQUISITOSSeqncias (Aula 02).Sries de Nmeros Reais3.1 IntroduoEstudaremos nesta aula, uma exemplo especial de seqncia. Seja(xn)nNumaseqncia, aseqnciacujotermogeral asomados nprimeirostermosdaseqnciaxn, denominadasriedenmeros reais (numrica).O principal objetivo dessa aula, estudar propriedades e a con-vergncia dessas sries. Veremos que quando uma srie convergir,digamos paraS entoS a soma de innitos nmeros reais.3.2 Sries NumricasDenio 3.8. Considere uma seqncia (xn)nN. Para cada n N denimosSn =n

i=1xi = x1 + x2 + . . . + xn.Aseqncia(Sn)nNdenomina-sesrienumricaassociadaase-qncia (xn)nN.Os nmerosxn, n 1, so denominados termos da srie;xn o termo geral da srie. Referir-nos-emos aSn =n

i=1xicomo soma parcial de ordemn da srie.O limite da srie, quando existe (nito ou innito), denomina-se soma da srie e indicada por+

n=1xn. Assim+

n=1xn = limn+n

i=1xi.38Livro de Clculo II3AULASe a soma for nita, diremos que a srie convergente. Se a somafor innita (+ ou ) ou se o limite no existir,diremos queasriedivergente. Finalmente, dizemosqueasrieconvergeabsolutamente se a srie+

n=1[xn[ for convergente.Osmbolo+

n=1xnfoi indicadoparaindicarasomadasrie.Porumabusodenotao, tal smboloserutilizadoaindapararepresentar aprpriasrie. Falaremos, ento, dasrie+

n=1xn,entendendo-sequesetratadasriecujasomaparcial deordemn Sn =n

i=1xi. Escreveremos com freqncia

xnpara repre-sentar a srie+

n=1xn.Exemplo3.2.1. Considere a Srie Geomtrica+

n=0arn, onder razo da srie e a R uma constante denominada termo inicialda srie. Vamos estudar a convergncia desta srie em funo dosvalores der. Temos queSn = a + ar + ar2+ ar3+ . . . + arn1+ arn.Se r =1, entoimediatoque Sn=na. Segueque(Sn)nNdiverge e, portanto arn= a diverge. Suponhamos que r ,= 1.MultiplicandoSn porr, obtemosrSn = ar + ar2+ ar3+ ar4+ . . . + arn+ arn+1.AgoraSn rSn = a arn+1e daSn = a1 rn+11 r.Assim, arnconverge se, e somente se, [r[ < 1 e, neste caso,+

n=0arn=a1 r.39Sries de Nmeros ReaisExemplo3.2.2. Considereasrie+

k=1xkesuponhaque xk=yk yk+1, k 1. (Uma tal srie denomina-se srie telescpica).a) Verique queSn =n

k=1xk = y1 yn+1.b) Conclua que se limn+yn = y, com b real, ento a soma da srieser nita e igual ay1 y.Soluo:a)n

k=1xk = (y1 y2) + (y2 y3) + . . . + (yn yn+1) = y1 yn+1b)+

k=1xk = limn+n

k=1xk = limn+(y1 yn+1) = y1 y.Exemplo 3.2.3. Calcule a soma+

k=11k(k + 1).Soluo: Note que1k(k + 1)=1k +1k + 1. Trata-se entodeuma srie telescpica. Segue do exemplo anterior quen

k=11k(k + 1)= 1 1n + 1.Logo,n

k=11k(k + 1)= 1, pois limn+1n + 1= 0.Proposio2. Sejam xne ynsuas sries convergentes ec R. Temos que(i) (xn + yn) convergente para xn +

yn;(ii) (cxn) convergente parac

xn.Demonstrao: A demonstrao trivial: basta aplicar as pro-priedadesdelimitedasomaedamultiplicaoporumescalar.Observamos que, em geral,+

n=0(xnyn) ,=+

n=0xn +

n=0yn.40Livro de Clculo II3AULAPassamos ao estudo da natureza de sries, isto , estamos in-teressados em critrios que determinam se uma srie convergenteou divergente.Teorema 3.5. (i) xn converge se, e somente se, > 0, N Ntal que n m N=n

i=mxi < .(ii) Se xn converge, entoxn 0, quandon +.(iii) Toda srie absolutamente convergente convergente.Demonstrao: (i)Suponhamosque xnconverge, isto, aseqncia de termo geral Sn =n

i=1xi convergente, digamos queparaS. Logo, dado> 0, existeN N tal que sen N, ento[Sn S[ 1 + n/2. Da, segue que limn+S2n = +. Con-clumos que a srie diverge.Vamostrataragoradealgunscritriosdeconvergnciaparasries de termos positivos. Claramente, todos os critrios aqui ex-postos podem ser adaptados para sries de termos negativos. Comefeito, se xn uma srie de termos negativos, ento (xn) umasriedetermospositivose, almdisso, aprimeiraconvergese, e somente se, a segunda converge.Eventualmente, podemos usar tambm critrios sobre sries determos positivos para uma srie xnque tenha termos de sinaisvariveis, tais sries so denominadas sries alternadas. Ora, se aoaplicarmos algum destes critrios para a srie [xn[ concluirmos42Livro de Clculo II3AULAque ela convergente, ento, como toda srie absolutamente con-vergente convergente, concluiremos que xnconverge. Poroutrolado, seocritrionadadisser, oumesmoseelenosinfor-marque [xn[ divergente, emgeral, nadapoderemosarmarsobre a convergncia da srie xn. Neste caso, temos o seguintecritrio de convergncia para Sries Alternadas:Teorema3.6. (Critriodeconvergnciaparasriesalternadas)Seja a srie+

n=0(1)nxn, onde xn> 0, n N (Sries Alternadas).Se a seqncia (xn)nNfor decrescente e se limn+xn = 0, entoa srie alternada+

n=0(1)nxn ser convergente.No faremos a demonstrao deste Critrio, pois baseada empropriedades dos Intervalos Encaixantes no vistos neste curso. Oleitor interessado pode encontra tal demonstrao no Livro "UmCurso de Clculo, Vol. 4"de Hamilton Luiz Guidorizzi.Antes de seguir para o estudo dos critrios de convergncia parasries de termos positivos, observamos tambm o seguinte fato, jmencionadonocasodeseqncia. Osprimeirostermosdeumasrienadainuemnasuanatureza. Defato, asrie xncon-vergese, esomentese, asrie xn+2008converge. Demaneirageral, xandop Nasrie xnconvergentese, esomentese, a srie xn+p convergente. Desta forma, todos os critriosque determinam a natureza de uma srie atravs de algumas pro-priedadesvericadaportodososseustermoscontinuamvlidosse a tal propriedade vericada partir de algum termo (por ex-emplo, 2008). Poroutrolado, nopodemosdesprezarnenhumtermo de uma srie convergente quando estamos interessados emdeterminar o valor de sua soma innita.43Sries de Nmeros ReaisProposio 3. Uma srie de termos positivos convergente se, esomente se, a seqncia de suas somas parciais limitada superi-ormente.Demonstrao: Por denio xn convergente se, e somentese, aseqncias desuas somas parciais (Sn)nNconvergente.Como xn0, temos imediatamente que (Sn)nN crescente.Logo, (Sn)nN convergente se, e somente se, ela limitada supe-riormente.Teorema 3.7. (Critrio da Integral) Consideremos a srie

k=0xkesuponhamosqueexistap Neumafunof:[p, +[ Rcontnua, decrescente e positiva tal que f(k) = xk para todo k p.Nestas condies, tem-se:(i)_+pf(x)dx convergente =

k=0xkconvergente;(ii)_+pf(x)dx divergente =

k=0xkdivergente.Demonstrao: Para n > p,n

k=0xk =p

k=0xk +n

k=p+1xk. Comop est xo, segue dessa relao que a srie

k=0xk ser convergente(ou divergente) se, e somente se,+

k=p+1xkfor convergente (ou di-vergente).(i) Temos que (Veja Figura 3.7)n

k=p+1xk _npf(x)dx _+pf(x)dx.Segue que a seqncian

k=p+1xk crescente e limitada superi-ormente por_+pf(x)dx. Logo a srie+

k=p+1xk convergente e,44Livro de Clculo II3AULAFigura 3.7: Soma Inferiorportanto,+

k=0xktambm convergente.(ii)Ademonstraodesteitemanlogaadoitem(i), porissodeixamos para o leitor.Exemplo 3.2.5. Seja > 0, com ,= 1, um real dado. Estude asrie+

k=21k(ln k)com relao a convergncia ou divergncia.Soluo: Se = 1 estudaremos a convergncia da srie+

k=21k ln katravs do Critrio da Integral, utilizando a funof(x) =1xln x, x 2.Tal funo positiva, contnua e decrescente em [2, +[ como severica facilmente. Temos_t21xln xdx = [ln(ln x)]t2 = ln(ln t) ln(ln 2).Como limtln(ln t)dt = +, resulta_+21xln xdx = +. Pelocritrio da integral a srie divergente.Suponhamos agora que > 0 e ,= 1. Vamos aplicar, novamente,o critrio da integral com a funof(x) =1x(ln x). Est funo claramente positiva, contnua e decrescente no intervalo [2, +[.45Sries de Nmeros ReaisTemos_t21x(ln x)dx =_1(1 )(ln x)1_t2= ln(ln t) ln(ln 2)e, portanto,_t21x(ln x)dx =11 _1(ln t)1 1(ln 2)1_.Para > 1 =limt1(ln t)1= 0e, para0 < < 1 =limt1(ln t)1= +. Pelocritriodaintegral, asrieconvergentepara>1edivergente para 0 < < 1.Teorema 3.8. (Critrio da Comparao) Sejam as sries

k=0xke

k=0yk. Suponhamosqueexistap Ntal que, paratodok p, 0 xk yk. Nestas condies, tem-se:(i)

n=0ykconvergente =

n=0xkconvergente;(ii)

n=0xkdivergente =

n=0ykdivergente.Demonstrao: (i)Bastaprovamosque

k=pxkconvergente.Como, para todok p, yk 0, a seqnciatn =n

n=0yk, n p, crescente. Da e pelo fato da srie

k=pyk ser convergente resulta,para todon p,n

k=pyk +

k=pyk.46Livro de Clculo II3AULAComo, para todok p, 0 xk yk, resulta que a seqnciasn =n

k=pxk, n p, (3.2) crescente e, para todon p,n

k=pxk +

k=pyk.Segue que a seqncia 3.2 convergente, ou seja, a srie+

k=pxkconvergente.(ii) Fica a cargo do leitor.Exemplo3.2.6. Vamosestudaranaturezadasrie

1npse-gundo os valores dep. claro que sep 0, ento ela diverge poisneste caso limn+xn ,= 0. Suponhamos 0 p 1. Temos1n 1nppara todo n N. Portanto, por comparao com a srie harmonica,conclumos que a srie diverge. Finalmente, consideramos o casop>1. MostraremosqueasrieconvergeatravsdoCritriodaIntegral, utilizando a funof(x) =1xp, p > 1. Tal funo posi-tiva, contnua e decrescente em [1, +[ como se verica facilmente.Temos_t11xpdx =_1(1 p)xp1_t1=1(1 p)tp1 11 p.Como limt1(1 p)tp1dt = 0, resulta_+11xpdx =1p 1. Pelocritrio da integral a srie convergente.Exemplo 3.2.7. A srie+

k=11ksen1k convergente ou divergente?Justique.Soluo: Para todok 1,0 1ksen1k 1k 1k.47Sries de Nmeros ReaisComo+

k=11k2 convergente (basta usar o exemplo 3.2.6 com p = 2),segue do Teorema da Comparao que+

k=11ksen1k convergente.Exemplo3.2.8. A srie+

k=1kk2+ 2k + 1 convergente ou diver-gente?Justique.Soluo:kk2+ 2k + 1=1k 11 +2k +1k2.Para todok 1,1 + 2k +1k2 4e, portanto, para todok 1,11 +2k +1k214.Segue que, para todok 1,11 + 2k + 1 14k.Como+

k=114k divergente resulta que+

k=1kk2+ 2k + 1diverge.Teorema3.9. (CritriodoLimite) Sejam xne ynduassries de termos positivos. Suponhamos quelimnxnyn= L.Ento:a) seL> 0, L real, ou ambas so convergentes ou ambas so di-vergentes;48Livro de Clculo II3AULAb) seL = + e se yn for divergente, xn tambm ser diver-gente;c) seL = 0 e se yn for convergente, xn tambm ser conver-gente.Demonstrao:a) De limnxkyk= L, L > 0 e real, segue que tomando=L2, existeN N tal quen > N= L L2 N=L2yn< xn N=xnyn> 1e, portanto,n > N= xn> yn.Segue do critrio da comparao que se yn for divergente, ento

xn tambm ser.c) De limnxkyk= 0, segue que tomando-se= 1, existe N N talquen > N=xnyn< 1e, portanto,n > N= xn< yn.Segue do critrio da comparao que se

yn for convergente, ento

xn tambm ser.49Sries de Nmeros ReaisExemplo 3.2.9. A srie+

n=1en convergente ou divergente?Jus-tique.Soluo: Asrie+

n=1en2convergente, poistrata-sedeumasrie geomtrica de razor = e12. Faamosxn = nene yn = en2.Temoslimnxnyn= limnnen2= 0.Pelo critrio do limite, a srie dada convergente.Observao 3.1. O sucesso na utilizao do critrio do limite estexatamentenaescolhaadequadadasrie yndecomparao.Emmuitoscasos, assriesharmonicasouassriesgeomtricasdesempenham muito bem este papel.Exemplo3.2.10. Asrie+

n=11ln kconvergenteoudivergente?Justique.Soluo: Vamostomarcomosriedecomparaoasriehar-monica+

k=11ln k. Temosxk =1ln ke yk =1k.Ento,limk+xkyk= limk+kln k= +.Pelo Critrio do Limite a srie dada divergente.Observe, no exemplo anterior, que se tivssemos tomado comosriadecomparaoaharmonicaconvergente+

n=11k2, teramos,50Livro de Clculo II3AULAtambm,limk+xkyk= limk+k2ln k= +.Entretanto, neste caso, o critrio do limite no nos fornecer infor-maes alguma sobre a convergncia ou divergncia da srie dada.Os prximos dois critrios de convergncias valem tambm parasries com termos negativos.Teorema3.10. (TestedaRazo, oudedAlembert)Seja(xn)nN uma seqncia no nula. Suponhamos que limn+xn+1xnexista, nito ou innito. Sejalimn+xn+1xn = L.Nesta condies, tem-se:(i) SeL < 1, a srie xn ser convergente;(ii) SeL > 1 ouL = +, a srie xn ser divergente;(iii) SeL = 1, o critrio nada revela.Demonstrao: (i)Aidiacompararasriedadacomumasrie geomtrica convergente. ComoL< 1, exister R tal quelimn+xn+1xn < r < 1. Seguedadeniodelimite, queexisteN N tal quexn+1xn < r para todon N. Temos ento:[xN+1[ < r[xN[;[xN+2[ < r[xN+1[ < r2[xN[;[xN+3[ < r[xN+2[ < r3[xN[;...De maneira geral, [xn[ 1 ou limn+xn+1xn = +, existe N N tal que, sen Nentoxn+1xn > 1.Isso signica que [xn+1[ > [xn[ quandon N, e assimlimnxn ,= 0.Portanto, xn diverge pelo teste da divergncia.A parte (iii) do Teste da Razo diz que, se limn+xn+1xn = 1,o Teste da Razo no d nenhuma informao. Por exemplo, paraa srie convergente

1n2, temosxn+1xn =1(n+1)21n2=n2(n + 1)2=1_1 +1n_2 1 quando n enquanto para a srie divergente

1n, obtemosxn+1xn =1n+11n=nn + 1=11 +1n 1 quando n .Portanto, se limn+xn+1xn = 1asrie xnpodeconvergiroudivergir. Neste caso, o Teste da Razo falha e devemos usar algumoutro teste.Exemplo 3.2.11. A srie+

n=11n! convergente, poislimn+xn+1xn = limn+1(n+1)!1n!= limn+n!(n + 1)!= limn+1n + 1= 0 < 1.52Livro de Clculo II3AULAExemplo 3.2.12. A srie+

n=1(1)nn33n convergente. De fato,limn+xn+1xn= limn+(1)n+1(n+1)33n+1(1)nn33n= limn+(n + 1)33n+1

3nn3= limn+13_n + 1n_3= limn+13_1 +1n_3=13< 1.Exemplo 3.2.13. A srie+

n=1nnn! divergente. Com efeito,limn+xn+1xn= limn+(n + 1)n+1(n + 1)!

n!nn= limn+(n + 1)(n + 1)n(n + 1)n!

n!nn= limn+_n + 1n_n= limn+_1 +1n_n= e > 1.Otesteaseguir convenienteparaser aplicadoquandoaspotncias den ocorrem. Sua prova similar do Teste da Razoe ca por conta do leitor.Teorema 3.11. (Teste da Raiz)(i) Se limnn_[xn[ = L < 1, ento a srie+

n=1xn absolutamenteconvergente e, portanto, convergente;(ii) Se limnn_[xn[ = L > 1, ento a srie+

n=1xn divergente;(iii) Se limnn_[xn[ = 1, ento o Teste da Raiz no conclusivo.OTestedaRaizmaisecientequeodaRazo. Maispre-cisamente, em todos os casos nos quais o Teste da Razo permite53Sries de Nmeros Reaisconcluir (seja por convergncia ou por divergncia) o Teste da Raiztambmserconcludente. Entretanto, oTestedaRazo, emgeral, mais fcil de ser aplicado.Exemplo 3.2.14. Teste a convergncia da srie

n=1_2n + 33n + 2_n.Soluo: Considerexn =_2n + 33n + 2_nelimnn_[xn[ = limn2n + 33n + 2= limn2 +3n3 +2n=23< 1Ento, a srie dada converge pelo Teste da Raiz.3.3 ResumoConsidere uma seqncia (xn)nN. Para cadan N denimosSn =n

i=1xi = x1 + x2 + . . . + xn.Aseqncia(Sn)nNdenomina-sesrie numricaassociadaaseqncia (xn)nN. O termo geral da (Sn)nN,Sn =n

i=1xi denominado soma parcial de ordemn da srie.O limite da srie, quando existe (nito ou innito), denomina-se soma da srie e indicada por+

n=1xn. Assim+

n=1xn = limn+n

i=1xi.54Livro de Clculo II3AULASe a soma for nita, diremos que a srie convergente. Se a somafor innita (+ ou ) ou se o limite no existir, diremos que asrie divergente.Nosso objetivo com essa aula era que voc (aluno) aprendesseatestaraconvergnciadesries. Paratanto, foiapresentadoosprincipais critrios de convergncias de sries. (Ver os Critrios eos Testes de convergncias)Os conceitos e os critrios de convergncia de sries sero essen-ciais no estudo de sries de potncias que faremos na prxima aula.3.4 Atividades01. (a) Qual a diferena entre uma seqncia e uma srie?(b) O que uma srie convergente?O que uma srie divergente?02. Sejaxn =nn + 1.(a) Determine se (xn)nN convergente.(b) Determine se

n=1xn convergente.03. Determine se a srie convergente ou divergente. Se for con-vergente, calcule sua soma.a)12 + 14 + 16 + 18 + (b) 3 + 2 + 43 + 89 +(c)

n=0_12_n(d)

n=1_23_n1(e)

n=2_2n21_(f)

n=1_3n+ 2n6n_(g)

n=12n(h)1(4n + 1)(4n + 5)55Sries de Nmeros Reais04. Mostre que a srie dada convergente.a)

n=1(1)n2n(b)

n=1(1)n+1ln nn.05. Estude a srie dada com relao a convergncia ou divergn-cia.(a)

n=1(1)n1n(b) (1)nnln n(c)

n=01n2+ 1(d)

n=21nln n(e)

n=1nen2(f)

n=31nln nln(ln n)(g)

n=152 + 3n(h)

n=14 + 3n2n(i)

n=0(10)nn!(j)

n=1enn!06. (a) Mostre que

n=0xnn!converge para todox.(b) Deduza que limnxnn!= 0.3.5 Comentrio das AtividadesSe voc (aluno) conseguiu resolver as Atividades 01. e 02., entoentendeuagrandediferenadeseqncias esries denmerosreais. Entender essa diferena muito importante.Na Atividade 03. voc utilizou (ou utilizar) as propriedadesde limites (vistas no Clculo I) para testar a convergncia das sriesdadas.Na Atividade 04. dada duas sries alternadas e pedido que56Livro de Clculo II3AULAvoc(aluno)testeaconvergnciadasmesmas. Nestaatividadepodemos usar o critrio de convergncia para sries alternadas oulanarmos mo da convergncia absoluta.A Atividade 05. voc utilizou (ou deve utilizar) os critrios deconvergnciavistosnestaAula, paraestudaraconvergnciadassries dadas.O Teste da Razo dever ser usado na resoluo da Atividade06.. Nesta atividade estamos interessados em encontrar o conjuntodosx tais que a srie numrica converge.Conseguiu resolver todas as Atividade?Sabe usar os critriosde convergncia (Critrio da Razo dentre outros) dados?timo!!!Voc esta com todos os requisitos necessrios para compreenso daprxima aula.Lembrem-sesemprequehtutoresadistnciaepresenciaispara ajud-los na resoluo dessas atividades. Estudar em grupocom seus colegas, pode tornar a resoluo dessas atividades maisfcil e interessante.3.6 RefernciasGUIDORIZZI, H. L., UmCursodeClculo (Vol. 1 e 4).Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.STEWART, J.,Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: PioneiraThomson Learning, 2006.THOMAS, G. B., Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: AddisonWesley, 2002.574AULA1LIVROSries de PotnciasMETAApresentar os conceitos e as prin-cipais propriedades de Sries dePotncias. Alm disso,introduzire-mos as primeiras maneiras deescrever uma funo dada comouma srie de potncias.OBJETIVOSRepresentar funes emsries depotncias.PR-REQUISITOSSries Numricas (Aula 3).Sries de Potncias4.1 IntroduoUma srie de potncias dex uma srie da forma+

n=0an(x x0)n= a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2+Observe que esta srie pode ser vista como a generalizao deum polinmio. O principal objetivo de estudar essas sries que possvel (veremos a diante) representar uma funo dada comouma srie de potncias.Vocpodeimaginarporquequeremosexpressarumafunoconhecida como uma soma innita de termos. Veremos mais tardequeessaestratgiatil paraintegrarfunesquenotman-tiderivadas elementares e para aproximar as funes por polinmios.Cientistas fazem isso para simplicar expresses que eles utilizam epara poder representar as funes em calculadoras e computadores.Nesta aula, introduziremos os conceitos de sries de potncias.Alm disso, iniciaremos o estudo de representao de funes emsries de potncias.4.2 Srie de PotnciasSejaan, n 0,uma seqncia numrica dada e sejax0um realdado. A srie+

n=0an(x x0)n(4.1)denomina-sesriedepotncias,comcoecientesan,emvolta dex0 (ou centrada emx0). Sex0 = 0, temos a srie de potncias emvolta de zero:+

n=0anxn= a0 + a1x + a2x2+. (4.2)60Livro de Clculo II4AULAParacadaxxo, asriedepotnciasumasriedeconstantesquepodemostestarsuaconvergnciaoudivergncia. Umasriedepotnciaspodeconvergirparaalgunsvaloresdexedivergirpara outros. A soma da srie uma funo de x, cujo domnio oconjunto de todos os x para os quais a srie converge. Esta funoassemelha a um polinmio. A nica diferena que f tem innitostermos.Exemplo 4.2.1.+

n=0xnn! uma srie de potncias em volta de zeroe com coecientesan =1n!.Nosso objetivo, de agora em diante, encontrar os valores dex para os quais uma srie de potncias convergente.Teorema4.12. Se+

n=0anxnforconvergenteparax=x1, comx1 ,=0, entoasrieconvergirabsolutamenteparatodoxnointervalo aberto ([x1[, [x1[).Demonstrao: Sendo, por hiptese,+

n=0anxn1 convergente, seguequelimn+anxn1= 0.Tomando-se = 1, existe umN N tal que, para todon N,[anxn1[ 1.Como[anxn[ = [anxn1[xx1n,resulta que, para todox e todon N,[anxn[ xx1n.61Sries de PotnciasPara [x[ < [x1[, a srie geomtrica+

n=0xx1n convergente. SeguedoTestedaComparaoque+

n=0anxnconvergeabsolutamentepara todox, com [x[ < [x1[.Exemplo 4.2.2. Asrie+

n=0xnnconverge para x =1. PeloTeoremaanterior, asrieconvergeabsolutamenteparatodox (1, 1). Parax = 1 a srie no absolutamente convergente.Exemplo4.2.3. Para quais valores dex a srie+

n=0n!xn con-vergente?Soluo: UsamosoTestedaRazo. Sezermosan, comoha-bitualmente, denotar o n-simo termo da srie, entoan=n!xn.Sex ,= 0, temoslimn+an+1an = limn+(n + 1)!xn+1n!xn = limn+(n + 1)[x[ = Pelo Teste da Razo, a srie diverge quandox ,= 0. Ento, a srieconverge apenas quandox = 0.Exemplo4.2.4. Paraquaisvaloresdexasrie+

n=0(x 3)nnconvergente?Soluo: Sejaan =(x3)nn. Entolimn+an+1an= limn+(x 3)n+1!n + 1

n(x 3)n= limn+11 +1n[x 3[ = [x 3[Pelo Teste da Razo, a srie dada absolutamente convergente, eportantoconvergente, quando [x 3[ 1. Agora[x 3[ < 1 1 < x 3 < 1 2 < x < 462Livro de Clculo II4AULAassim a srie converge quando 2 < x < 4 e diverge quando x < 2 ex > 4. O Teste da Razo no fornece informao quando [x3[ = 1;assim, devemos considerar x=2e x=4separadamente. Secolocarmos x = 4 na srie, ela se tornar+

n=01n, a srie harmonica,que divergente. Sex = 2, a srie +

n=0(1)nnque convergentepelo Teste da Srie Alternada. Ento a srie dada converge para2 x < 4.Exemplo 4.2.5. Encontre o domnio da funo denida porf(x) =+

n=0xnn!. Soluo: Sejaan =xnn! . Entolimn+an+1an = limn+xn+1(n + 1)! n!xn = limn+1n + 1[x[ = 0 < 1para todo x R. Ento pelo Teste da Razo, a srie dada convergeparatodososvaloresde x. Emoutraspalavras, odomniodafuno dada (, +) = R.Para as sries de potncias que temos vistos at agora, o con-junto de valores de x para os quais a srie convergente tem sempresido um intervalo (um intervalo nito nos exemplos 4.2.2 e 4.2.4,o intervalo innito (, +) no exemplo 4.2.5 e um intervalo co-lapsado[0, 0] = 0noexemplo4.2.3). Oteoremaaseguir, dizque isso, em geral, verdadeiro.Teorema 4.13. Para uma dada srie de potncias+

n=0an(x x0)nexistem apenas trs possibilidades:(i) a srie converge apenas quandox = x0;(ii) a srie converge para todox R;63Sries de Potncias(iii)existe um nmeroR tal que a srie converge se [x x0[R. Nos extremosx0 R ex0 + R a sriepoder convergir ou no.Demonstrao: Fazendou=x x0nasrie+

n=0an(x x0)nobtemos+

n=0anun, deste modo basta provarmos que(i) a srie converge apenas quandou = 0;(ii) a srie converge para todou R;(iii)existeumnmeroRtal queasrieconvergese [u[ R. Nos extremosR eR a srie poder convergirou no.Provemos: SejaA o conjunto de todosu 0 para os quais a srieconverge.1.0Caso: A = 0Se a srie convergisse para algum valor u1 ,= 0, pelo Teorema 4.12,convergiria, tambm, para todou ([u1[, [u1[), que contradiz ahiptese A = 0. Logo, se A = 0 a srie convergir apenas parau = 0.2.0Caso: A = (0, +) = R+Para todou R, existeu1> 0 tal que[u[ < u1.Comoasrie+

n=0anun1convergente, peloteorema4.12, asrieconvergir absolutamente para todou, com [u[ 0, existisseu1> r tal que+

n=0anun1fosse convergente,pelo teorema 4.12,a srie seria absolutamenteconvergente para todou, que contradiz a hipteseA ,= R+. Por-tanto, se A,=R+, entoAserlimitadosuperiormente; logo,admitir supremoR :R = sup A.Como A ,= 0, teremos, evidentemente, R > 0. Sendo R o supremodeA, paratodoxcom [u[ 1. Ento, elaconvergentese [x + 2[ < 2e65Sries de Potnciasdivergente se [x + 2[ > 2. Isso signica que o raio de convergnciaR =12.A desigualdade [x + 2[ < 2 pode ser escrita como 4 < x < 0;assim, testamos a srie nos extremos 4 e 0. Quandox = 4, asrie

n=1(1)n(4 + 2)nn2n=

n=11n.que uma srie harmonica e, portanto, diverge. Quandox = 0, asrie

n=1(1)n(0 + 2)nn2n=

n=1(1)n 1n.que converge pelo Teste das Sries Alternadas. Ento a srie con-verge apenas quando 4 < x 0, assim, o intervalo de convergn-cia (4, 0].Exemplo 4.2.7. Encontre o raio de convergncia e o intervalo deconvergncia da srie

n=1n!(2x 1)n.Soluo: Sejaan = n!(2x 1)n. Entolimn+an+1an= limn+(n + 1)!(2x 1)n+1n!(2x 1)n= limn+(n + 1)[2x 1[ = 0 < 1se, esomentese, [2x 1[ = 0, ouseja, x =12. Ento, oraiodeconvergncia R = 0. E o intervalo de convergncia _12_.66Livro de Clculo II4AULA4.3 RepresentaodeFunesemSriesdePotnciasNesta seo aprenderemos como representar certos tipos de funescomo soma de sries de potncias pela manipulao de sries ge-omtricas ou pela diferenciao ou integrao de tais sries.Comearemos com uma equao que vimos antes:11 x= 1 + x + x2+ x3+ . . . =

n=0xn, [x[ < 1 (4.1)Encontramos essa equao no Exemplo 3.2.1, onde a obtivemosobservandoqueelaumasriegeomtricacoma=1er=x.Mas aqui nosso ponto de vista diferente. Agora nos referiremos Equao 4.1 como uma expresso da funof(x) =11 xcomouma soma de uma srie de potncias.Uma ilustrao geomtrica da Equao 4.1 mostrada na Figura4.8. Como a soma de uma srie o limite da seqncia de somasparciais, temos11 x= limnSn(x)ondeSn =n

k=0xk a n-sima soma parcial. Note que,quandonaumenta, Sn(x) se torna uma aproximao de f(x) para 1 < x 0 tal queB(P, ) S.(b) dizemos queP ponto exterior aS, se existe> 0 tal queB(P, ) no contm qualquer elemento de S, isto , B(P, )S = .(c) dizemos queP ponto de fronteira deS, quandoPno interior nem exterior aS, isto , para todo> 0, B(P, ) contmpontos deS e pontos que no so deS.Exemplo10.2.1. Observando a Figura 10.43 fcil ver quePponto exterior a S, Q ponto interior a S e R ponto de fronteiradeS.Figura 10.43: Pontos interiores, exteriores e de fronteira.154Livro de Clculo II10AULAExemplo 10.2.2. Considere o conjunto S =__1n,1n_, n N_ R2.O esboo do conjuntoS em R2 dado na Figura 10.44. Note queos pontosPeQ so pontos de fronteira deS e o pontoR pontoexterior aS.Figura 10.44: Pontos exteriores e de fronteira.Denio 10.13. SejaA R2. Dizemos queA aberto, se todoponto deA for interior aA, isto , para todoP A existe> 0tal queB(P, ) A.Exemplo 10.2.3. R2 aberto em R2.Exemplo10.2.4. A = P= (x, y) R2; |(x, y)|< 1 abertoemR2. Defato: seja P0=(x0, y0)A. Logo |P0| =r 0 tal queA B(0, ).Figura 10.46: Conjunto limitadoExemplo 10.2.13. QualquerB(P, ) um conjunto limitado.Exemplo 10.2.14. (1, m) R2; m N no limitado.Desenhe-o.Denio10.17. Um conjuntoA R2se diz compacto quando fechado e limitado.Exemplo 10.2.15. Todo conjunto nito compacto.157Funes de Varias Variveis Reais a Valores Reais10.3 FunesNesta aula e nas seguintes daremos nfase ao estudo das funesreaisdeduasvariveisreais, evocalunosquechegouataqui,no ter diculdade em generalizar os resultados para funes demais de duas variveis, j que no h diferenas importantes.Denio 10.18.Seja D R2. Uma funo f denida em D comvalores em R uma correspondncia que associa a cada ponto deD um e um s nmero real.Notao 2. f: D R2ROconjuntoDchamadodomniodef erepresentadoporD(f) ou Df. O conjunto B = f(P); P D chamado imagemdefe denotado porIm(f).Figura 10.47: Funo de duas variveis reais a valores reais.Exemplo 10.3.1.Seja f a funo de duas variveis reais a valoresreais dada porf(x, y) =y_x y2.O domnio def o conjunto de todos os pares (x, y) de nmerosreais,comx y2> 0, ou seja, x>y2, isto : D(f) = (x, y) R2; x>y2. Estafunotransformaoparordenado(x, y)nonmero realyxy2. Uma representao grca do domnio defdada na Figura 10.48.158Livro de Clculo II10AULAFigura 10.48: Representao grca doD(f).Exemplo10.3.2. Represente gracamente o domnio da funof: D(f) R2R dada porf(x, y) = _y x2+_2x y.Soluo: O domnio def o conjunto de todos os pares (x, y),comy x2 0 e 2x y 0: D(f) = (x, y) R2; y x2ey 2x. ArepresentaogrcadodomniodefdadanaFigura10.49.Figura 10.49: Representao grca doD(f).Exemplo10.3.3. Represente gracamente o domnio da funo159Funes de Varias Variveis Reais a Valores Reaisz = f(x, y) dada porz2+ 4 = x2+ y2, z 0.Soluo: z2+4 = x2+y2, z 0 = z = _x2+ y24. Assim,f a funo dada porf(x, y) = _x2+ y24. Seu domnio oconjunto de todos (x, y), comx2+ y24 0. Ex2+ y24 0 x2+ y2 4.Portanto, o domnio def a parte exterior ao crculo de raio 2 ecentro na origem. A representao grca do domnio de f dadana Figura 10.50.Figura 10.50: Representao grca doD(f).Exemplo 10.3.4.(Funo Polinomial) Uma funo polinomial deduas variveis reais a valores reais uma funo f: R2R dadaporf(x, y) =

m+npamnxmyn160Livro de Clculo II10AULAonde p um natural xo e os amn so nmeros reais dados; a soma estendida a todas as solues (m, n), m e n naturais, da equaom + n p.(a)f(x, y) = 3x2y213xy +2 uma funo polinomial.(b) f(x, y) = ax+by+c, onde a, b, c so reais dados, uma funopolinomial; tal funo denominada funo am.Exemplo 10.3.5.(Funo linear) Toda funo f: R2R dadaporf(x, y) = ax + byondea, b so reais dados, denomina-se funo linear.Exemplo10.3.6. (Funoracional)Todafunof: R2 Rdada porf(x, y) =p(x, y)q(x, y)ondep eqso funes polinomiais, denomina-se funo racional.O domnio def o conjuntoD(f) = (x, y) R2; q(x, y) ,= 0.Observao10.9. Analogamentecomofeitoparafunes h:R R podemos denir,ponto a ponto,a soma,o produto e adiviso de duas funes f, g : A R2R. Por exemplo: a somaf +g denida por: (f +g)(x, y) = f(x, y) +g(x, y), (x, y) A.10.4 GrcosUma forma, bastante eciente, de visualizar o comportamento deuma funo de duas variveis atravs de seu grco.Denio 10.19. Se f uma funo de duas variveis com domnioD, ento o grco def o conjunto de todos os pontos (x, y, z) R3tal quez = f(x, y) e (x, y) pertenam aD.161Funes de Varias Variveis Reais a Valores ReaisNotao3. G(f) = (x, y, z) R3; z=f(x, y), (x, y) D =(x, y, f(x, y)); (x, y) DAssim como o grco de uma funofde uma varivel umacurvaCcom equaoy =f(x), o grco de uma funo de duasvariveisumasuperfcieScomequaoz=f(x, y). Podemosenxergar a superfcieSdefcomo estando diretamenteemcimaou abaixo de seu domnioD que est no planoxy. (Veja a Figura10.51).Figura10.51: Grcodeumafunodeduasvariveisavaloresreais.Exemplo 10.4.1.O grco da funo constante f(x, y) = k umplano paralelo ao planoxy.Exemplo10.4.2. O grco da funo linearf: R2 R dadaporz = f(x, y) = y um plano passando pela origem e normal ao162Livro de Clculo II10AULAFigura 10.52: Grco da funo constante.vetor (0, 1, 1) :z = y y z = 0 (0, 1, 1)[(x, y, z) (0, 0, 0)] = 0Figura 10.53: Grco da funof(x, y) = y.Exemplo10.4.3. Ogrcodafunof: D R2 Rdada163Funes de Varias Variveis Reais a Valores Reaisporf(x, y) = x2+ y2 dado porG(f) = (x, y, x2+ y2), (x, y) Ae denominado o parabolide.Figura10.54: Esboodoparabolide, feitonoSoftwareMapleatravs do comando plot3d(x2+ y2, x = 5..5, y = 5..5); .Exemplo 10.4.4.Considere a funo f: R2R dada pela dis-tncia do ponto (x, y) ao ponto (0, 0), ou seja f(x, y) = _x2+ y2.O grco def dado porG(f) = (x, y,_x2+ y2), (x, y) R2.10.5 Curvas de NvelAcabamos de estudar o grco de funes e vimos que este umimportante mtodo para visualizar funes. Vamos agora estudarumnovomtodo, empregadoporcartgrafos, devisualizaodefunes de duas variveis a valores reais. Trata-se de um mapa de164Livro de Clculo II10AULAFigura 10.55: Esboo do grco def(x, y) = _x2+ y2,feito noSoftwareMapleatravsdocomandoplot3d(sqrt(x2+y2), x=5..5, y = 5..5); .contornos, em que os pontos com elevaes constantes so ligadospara formar curvas de contorno ou curvas de nvel.Denio10.20. Sejamz=f(x, y)umafunoek Im(f).O conjunto de todos os pontos (x, y) D(f) tais quef(x, y) = kdenomina-se curva de nvel de f correspondente ao nvel z = k. Emoutras palavras,denomina-se curva de nvel defcorrespondenteao nvelz = k ao seguinte conjunto:(x, y) D(f); f(x, y) = k.Observao10.10. Uma curva de nvel defcorrespondente aonvelz =k o conjunto de todos os pontos do domnio defnosquais o valor defk.Voc pode ver na Figura 10.56 a relao entre as curvas de nvele os traos horizontais. As curvas de nvel defcorrespondente aonvelz = k so apenas traos do grco defno plano horizontalz = k projetado sobre o planoxy. Assim, se voc traar as curvas165Funes de Varias Variveis Reais a Valores Reaisdenvel dafunoevisualiza-las elevadas paraasuperfcienaaltura indicada, poder imaginar o grco da funo colocando asduas informaes juntas.Figura 10.56: Curvas de nvel defcorrespondente ao nvelz = k.Exemplo 10.5.1. Esboce algumas curvas de nvel da funo f(x, y) =x2+ y2.Soluo: A curva de nvel de f correspondente ao nvel k dadaporx2+ y2= kque, parak 0, descreve uma circunferncia de raio k centradanoponto(0, 0). AFigura10.57mostraascurvasdenvel defcorrespondentes a algunsk 0. Observe que, ao aumentarmos ovalor de k estaremos aumentando o raio das circunferncias. Destemodo, seelevarmosessascurvasaosseusnvel correspondenteeuni-las obtemos o grco do parabolide.166Livro de Clculo II10AULAFigura 10.57: Curvas de nvel de f(x, y) = x2+y2correspondenteao nvelz = k.Exemplo 10.5.2. Esboce algumas curvas de nvel da funo f(x, y) =1x2+y2.Soluo: A curva de nvel de f correspondente ao nvel k dadapor1x2+ y2= k x2+ y2=1kque, parak 0, descreve uma circunferncia de raio1kcentradanoponto(0, 0). AFigura10.58mostraascurvasdenvel defcorrespondentes a algunsk 0.Observeque, aoaumentarmosovalordekestaremosdimin-uindo o raio das circunferncias. Agora, se elevarmos essas curvasaos seus nvel correspondente e uni-las obtemos o seguinte grco(Ver Figura 10.59).Exemplo10.5.3. AsFiguras10.60e10.61mostram, respecti-vamente, algumascurvasdenveisdef(x, y) =3yx2+ y2+ 1eogrco correspondente.167Funes de Varias Variveis Reais a Valores ReaisFigura 10.58: Curvas denvel de f(x, y) = x2+y2correspondente ao nvelz = k.Figura10.59: Esboodogrco da funo f(x, y) =1x2+y2.Figura 10.60: Cur-vas de Nvel def(x, y) =3yx2+y2+1.Figura10.61: Esboodogrco da funo f(x, y) =3yx2+y2+1.10.6 ResumoUmafunofdeduasvariveisreaisavaloresreaisumacor-respondnciaqueassociaacadapontodeD R2umeumsnmero real.Notao 4. f: D R2ROconjuntoDchamadodomniodef erepresentadoporD(f) ou Df. O conjunto B = f(P); P A chamado imagem168Livro de Clculo II10AULAdefe denotado porIm(f).O grco uma funo f: D R2R o conjunto de todosos pontos (x, y, z) R3tal quez = f(x, y) e (x, y) D(f).O conjunto de todos os pontos (x, y) D(f) tais que f(x, y) =k denomina-se curva de nvel de f correspondente ao nvel z = k.A extenso desses conceitos para funes de trs ou mais var-iveis feita de modo natural. Se voc (aluno) entendeu os con-ceitosestudadosathojenessecurso, tercondiessucientespara estender os conceitos estudados nesta aula para mais de duasvariveis.10.7 Atividades01. Sejaf(x, y) = ln(x + y 1).(a) Estimef(1, 1).(b) Estimef(e, 1).(c) Determine o domnio def.(d) Estabelea a imagem def.02. Sejaf(x, y, z) = ln(25 x2y2z2).(a) Estimef(1, 1, 1).(b) Determine o domnio def.(c) Estabelea a imagem def.03. Determine e faa um esboo do domnio da funo:(a)f(x, y) = x + y(b)f(x, y) = ln(9 x2y2).(c)f(x, y) =3x + 5yx2+ y24.169Funes de Varias Variveis Reais a Valores Reais(d)f(x, y) =_y x21 x2.(e)f(x, y) = _x2+ y21 + ln(4 x2y2).04. Esboce o grco da funo:(a)f(x, y) = 1 x y(b)f(x, y) = 1 x2.(c)f(x, y) = y.(d)f(x, y) = 3 x2y2.(e)f(x, y) = cosx.05. Traar curvas de nveis para as funes:a)f(x, y) = xy;b)f(x, y) = cos(x).06. Ache as curvas de nvel de f: R2R denida por f(x, y) =sen(x y). Esboce o grco def.10.8 Comentrio das AtividadesEssas atividades, so referentes aos assuntos discutidos no decorrerdesta aula e tm o objetivo de voc (aluno) exercitar os conceitosaprendidos.Lembre-se, sempre, que existem tutores para ajuda-los na res-oluo dessas atividades.170Livro de Clculo II10AULA10.9 RefernciasGUIDORIZZI, H. L., UmCurso deClculo (Vol. 1 e 2).Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.STEWART, J.,Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: PioneiraThomson Learning, 2006.THOMAS, G. B., Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: AddisonWesley, 2002.17111AULA1LIVROLimites, Con-tinuidade eDerivadas ParciaisMETAEstudar limite, continuidade e asderivadas parciais de funes deduas variveis a valores reais.OBJETIVOSEstender os conceitos de limite econtinuidade, e estudar as derivadasparciais de funes de uma varivela valores reais.PR-REQUISITOSLimite, Continuidade e Derivadas defunes de uma varivel a valoresreais.Limites, Continuidade e Derivadas Parciais11.1 IntroduoNesta aula, vamos apresentar os conceitos de limite, continuidadeederivadasparciais. Vocqueentendeuelembradosconceitosdelimite, continuidadeederivadas defunes deumavarivelreal, visto no curso de Clculo 1, no ter diculdade alguma emcompreender o assunto dessa aula.11.2 LimiteDenio11.21. Sejamf:A R2 R uma funo, (x0, y0)um ponto de acumulao deA eL um nmero real. Dizemos queo limite da funofno ponto (x0, y0) igual aL e escrevemoslim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = Lquando:Paratodo>0,existe>0talque, paratodo(x, y) D(f),0 < |(x, y) (x0, y0)| < = [f(x, y) L[ < .Notao5. lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) =L ef(x, y) L quando(x, y) (x0, y0).Note que [f(x, y)L[ corresponde distncia entre os nmerosf(x, y) eL, e |(x, y) (x0, y0)| = _(x x0)2+ (y y0)2 a dis-tncia entre os pontos (x, y) e o ponto (x0, y0). Assim a Denio11.21dizqueadistnciaentre f(x, y)e Lpodeserarbitraria-mentepequenasetomarmosadistnciade(x, y)a(x0, y0)su-cientementepequena(maisnonula). AFigura11.62ilustraaDenio 11.21 por meio de um diagrama de setas. Se nos dadoum pequeno intervalo (L, L+) em torno de L, ento podemosdeterminar uma bola aberta B((x0, y0), ) com centro em (x0, y0)174Livro de Clculo II11AULAe raio > 0 tal que f leve todos os pontos de B((x0, y0), ) [excetopossivelmente (x0, y0)] no intervalo (L , L + ).Figura 11.62: Representao geomtrica do limite.Observao 11.11. De agora em diante, sempre que falarmos queftem limite em (x0, y0), ca subentendido que (x0, y0) ponto deacumulao deD(f).Exemplo11.2.1. Sef(x, y) = k uma funo constante, ento,para todo (x0, y0) R2,lim(x,y)(x0,y0)k = k.Soluo: Temosque [f(x, y) k[ = [k k[ =0. Assim, dado > 0 e tomando-se um> 0 qualquer,0 < |(x, y) (x0, y0)| < = [f(x, y) k[ < .Logolim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = lim(x,y)(x0,y0)k = k.Exemplo 11.2.2. Sef(x, y) = x, para todo (x0, y0) R2,lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = lim(x,y)(x0,y0)x = x0.175Limites, Continuidade e Derivadas ParciaisSoluo: Temos que[f(x, y) x0[ = [x x0[ = _(x x0)2_(x x0)2+ (y y0)2= |(x, y) (x0, y0)|Deste modo, dado > 0 e tomando =vem:0 < |(x, y) (x0, y0)| < = [f(x, y) k[ < .Logo,lim(x,y)(x0,y0)x = x0.Exemplo 11.2.3. Se f(x, y) = x+y2ento lim(x,y)(2,1)f(x, y) = 3.Soluo: Temos que[f(x, y) 3[ = [x + y23[ = [x 2 + y1[ [x 2[ +[y + 1[[y 1[.Ento, dado> 0 tomando = min1,

3 obtemos que [y+1[ < 3e|(x, y) (2, 1)| = _(x 2)2+ (y 1)2< == [f(x, y) 3[ [x 2[ +[y + 1[[y 1[ + 3 = 4 4

4= .Paraasfunesdeumanicavarivel, quandofazemosxseaproxima dex0, s existe duas direes possveis de aproximao:pela direita e pela esquerda. Lembremos la do Clculo 1 que,seos limites laterais so diferentes ento o limite no existe.Jparaasfunesdeduasvariveisessasituaonotosimplesporqueexisteminnitasmaneirasde(x, y)seaproximarde (x0, y0) por uma quantidade innita de direes e de qualquermaneira que se queira (veja a Figura 11.63),bastando que(x, y)se mantenha no domnio def.176Livro de Clculo II11AULAFigura 11.63: Innitas maneiras de (x, y) se aproximar de (x0, y0).Oproximoteoremanosdizqueseolimitedeumafunofexiste em (x0, y0) e igual aL ento no importa a maneira que(x, y) se aproxima de (x0, y0) que o limite sempre vai serL.Teorema11.21. Sejamf:A R2 R uma funo e (x0, y0)um ponto de acumulao. Suponha que lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L esejauma curva em R2, contnua emt0, com(t0) = (x0, y0) e,para todot ,= t0, (t) ,= (x0, y0) com(t) D(f). Entolimtt0f((t)) = L.Demonstrao: De lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L segue que dado>0, existe1> 0 tal que0 < |(x, y) (x0, y0)| < 1 = [f(x, y) L[ < . (11.1)Sendocontnua emt0, para todo1> 0 acima, existe> 0 talque0 < |t t0| < = [(t) (t0)[ < 1. (11.2)De (11.1) e (11.2) segue0 < |t t0| < = [f((t)) L[ < ,177Limites, Continuidade e Derivadas Parciaisou seja,limtt0f((t)) = L.Sejam1e2duascurvasnascondiesdoTeorema11.21.Segue do Teorema 11.21 que se ocorrerlimtt0f(1(t)) = L1e limtt0f(2(t)) = L2(11.3)comL1 ,=L2, ento lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) no existir. Da mesmaforma, tal limitenoexistirdeumdos limites em(11.1) noexistir.Exemplo 11.2.4. Considere a funof: R2R dada porf(x, y) =___1, parax ,= 00, parax = 0Noexisteo lim(x,y)(0,0)f(x, y). Defato, considerandoascurvas1(t) = (t, 0) e2(t) = (0, t), temos quelimt0f(1(t)) =limt01 = 1 e limt0f(2(t)) =limt00 = 0.Logo, lim(x,y)(0,0)f(x, y) no existe.Exemplo11.2.5. Considereafunof : R2 (0, 0) Rdada por f(x, y) =xyx2+ y2. Observe que f(x, y) 0 quando (x, y)est em um dos eixos coordenados, de modo quef(x, y) convergepara 0 quando (x, y) aproxima-se de (0, 0) pelos eixos. Por outrolado, considerando a curva:I R R2 (0, 0) dada por(t) = (t, t) temos quelimt0f((t)) =limt0t22t2=12.Portanto, lim(x,y)(0,0)xyx2+ y2no existe.178Livro de Clculo II11AULAObservamos que continuam vlidas para funes de duas var-iveisreaisavaloresreaisasseguintespropriedadesdoslimitescujasdemonstraessoexatamenteiguaissquevocefezparafunes de uma varivel real, na disciplina de Clculo 1.1. (Teorema do Confronto) Sef(x, y) g(x, y) h(x, y) para0 < |(x, y) (x0, y0)| < r e selim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L = lim(x,y)(x0,y0)h(x, y)entolim(x,y)(x0,y0)g(x, y) = L.2. Se lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = 0 e se [g(x, y)[ Mpara 0 0 eM> 0 so reais xos, entolim(x,y)(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = 0.3. lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = 0 lim(x,y)(x0,y0)[f(x, y)[ = 0.4. lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L lim(x,y)(x0,y0)[f(x, y) L] = 0.5. lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L lim(h,k)(0,0)f(x0 + h, y0 + k) = L.6. Se lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L1 e lim(x,y)(x0,y0)g(x, y) = L2, en-to,(a) lim(x,y)(x0,y0)[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2;(b) lim(x,y)(x0,y0)kf(x, y) = kL1; (k constante)179Limites, Continuidade e Derivadas Parciais(c) lim(x,y)(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = L1L2;(d) lim(x,y)(x0,y0)f(x, y)g(x, y)=L1L2desde queL2 ,= 0.7. (Conservaodosinal)Se lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L, L > 0,ento existir> 0, tal que, para todo (x, y) D(f),0 < |(x, y) (x0, y0)| < = f(x, y) > 0.Exemplo 11.2.6. Calcula, caso exista, lim(x,y)(0,0)x3x2+ y2.Soluo: Note quex3x2+ y2= x x2x2+ y2.lim(x,y)(x0,y0)x = 0 ex2x2+ y2 1, para todo (x, y) ,= (0, 0). Logo,segue da Propriedade 2 acima quelim(x,y)(0,0)x3x2+ y2= lim(x,y)(0,0)x x2x2+ y2= 0.11.3 ContinuidadeDenio 11.22. Sejamf: A R2R uma funo e (x0, y0)um ponto de acumulao deA com (x0, y0) A. Dizemos quefcontnua em (x0, y0) selim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0),ou seja:Paratodo>0,existe>0talque, paratodo(x, y) D(f),0 < |(x, y) (x0, y0)| < = [f(x, y) f(x0, y0)[ < .180Livro de Clculo II11AULADenio11.23. UmafunoditacontnuaemumconjuntoBquandoforcontnuaemtodosospontosdeB. Diremos, sim-plesmente, quefcontnuaseoforemtodosospontosdeseudomnio.Exemplo 11.3.1. A funo constante f(x, y) = k contnua, pois,lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = k = f(x0, y0)para todo (x0, y0) R2. (Veja Exemplo 11.2.1).Exemplo 11.3.2. A funof(x, y) = x contnua, pois,lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = lim(x,y)(x0,y0)x = x0 = f(x0, y0)para todo (x0, y0) R2. (Veja Exemplo 11.2.2).Exemplo 11.3.3. A funo f(x, y) =___x2y2x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0)nocontnuaem(0, 0).Defato, tomando-seascurvas1(t)=(t, 0) e2(t) = (0, t) vem,limt0f(1(t)) =limt0t2t2= 1elimt0f(2(t)) =limt0t2t2= 1.Segue das propriedades de limite, as seguintes propriedades defunes contnuas:1. A soma dem funes contnuas em um ponto uma funocontnua no ponto.2. Oprodutode mfunes contnuas emumpontoumafuno contnua no ponto.181Limites, Continuidade e Derivadas ParciaisConseqncia imediata dessas propriedades: A funo polino-mialp(x, y) emx ey dada pela soma de parcelas do tipoaxl1xl2onde a constante e l1, l2 N uma funo contnua como produtoe soma de funes contnuas.Denio 11.24. Sejamf: A R2 B R eg : B R. Afuno composta deg comf, indicada porg f denido porg f: A R2 R(g f)(x, y) = g(f(x, y))Figura 11.64: Funo compostaOprximoteoremanosdizqueseg(u)ef(x, y)foremcon-tnuasese Im(f) D(g), entoafunocompostah(x, y) =g(f(x, y)) tambm o ser.Teorema 11.22.Sejam f: A R2 B R e g : B R taisque fseja contnua em (x0, y0) e g contnua em f(x0, y0). Entog f contnua em (x0, y0).182Livro de Clculo II11AULADemonstrao: Dado > 0, queremos encontrar> 0 tal que,se (x, y) A,|(x, y) (x0, y0)| < = [(g f)(x, y) (g f)(x0, y0)[ < .Figura 11.65: Esboo da demonstraoSabemos que existe1 = 1(, f(x0, y0)) tal quez B, [z f(x0, y0)[ < 1 = [g(z) g(f(x0, y0))[ < Comofcontnuaem(x0, y0)sabemosquedado1>0,existe2> 0 tal que(x, y) A, |(x, y) (x0, y0)| < 2 = [f(x, y) f(x0, y0)[ < 1.Logo para(x, y) A, |(x, y) (x0, y0)| < 2 = [f(x, y) f(x0, y0)[ < 1= [g(f(x, y)) g(f(x0, y0))[ < .Portanto,g f contnua em (x0, y0).Como conseqncia deste teorema, segue que seg(x) for con-tnua, entoafunoh(x, y)=g(x)tambmsercontnua. Defato, sendof(x, y)=x,teremosh(x, y)=g(f(x, y)),comgefcontnuas.183Limites, Continuidade e Derivadas ParciaisExemplo 11.3.4. h(x, y) = x2+x contnua em seu domnio.Exemplo 11.3.5. Sendo f(x, y) contnua, as compostas sen f(x, y),cosf(x, y), [f(x, y)]2, etc.Exemplo11.3.6. f(x, y) =___x3x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0)con-tnua em R2. De fato, temos que (Veja Exemplo 11.2.6)lim(x,y)(0,0)x3x2+ y2= 0 = f(0, 0).11.4 Derivadas ParciaisSeja z =f(x, y) umafunodeduas variveis avalores reaisdenida em um conjunto abertoA e seja (x0, y0) A. Ento parax sucientemente prximo dex0todos os pontos (x, y0) esto emA, logo podemos considerar a funog de uma varivel real dadaporg(x) = f(x, y0).A derivada desta funo no ponto x = x0 (caso exista) denomina-sederivada parcial def, em relao ax, no ponto (x0, y0).Notao 6.fx(x0, y0);fx(x0, y0); f1(x0, y0); zx(x0, y0);zx(x0, y0).Assim:fx(x0, y0) =_dg(x)dx_x0= limx0g(x0 + x) g(x0)x= limx0f(x0 + x, y0) f(x0, y0)x.ou, ainda,fx(x0, y0) = limxx0f(x, y0) f(x0, y0)x x0.184Livro de Clculo II11AULASeja B o subconjunto aberto de A formado por todos os pontos(x, y) tais que fx(x, y) existe, ca assim denida uma nova funo,indicada por fx(x, y) e denida em B, para cada (x, y) B associao nmerofx(x, y), ondefx(x, y) = limx0f(x + x, y) f(x, y)x.Tal funo denomina-se funo derivada parcial de 1.aordem de f,em relao a x, ou simplesmente, derivada parcial de fem relaoax.Considerandoz = f(x, y) como uma funo dey, parax xo,obtemos de maneira semelhante a derivada parcial de f, em relaoay, no ponto (x0, y0).Notao 7.fy(x0, y0);fy(x0, y0); f2(x0, y0); zy(x0, y0);zy(x0, y0).Temosfy(x0, y0) = limy0f(x0, y0 + x) f(x0, y0)y.oufy(x0, y0) = limyy0f(x0, y) f(x0, y0)y y0.Interpretao Geomtrica da Derivada ParcialPodemos interpretar geometricamente a derivada parcial comouma inclinao: Consideremos a seco da superfciez=f(x, y)pelo plano vertical y=y0. Neste plano a curvaz=f(x, y0) temuma tangente com inclinaofx(x0, y0) emx0.185Limites, Continuidade e Derivadas ParciaisFigura 11.66: Interpretao geomtrica das derivadas parciaisAssecesdasuperfciez=f(x, y)comosplanosy=y0ex = x0 so dadas, respectivamente, nas Figuras 11.67 e 11.68.Figura11.67: Seces dasuperfciez =f(x, y) como planoy = y0.Figura11.68: Seces dasuperfciez =f(x, y) como planox = x0.186Livro de Clculo II11AULAParasecalcular fx(x0, y0)xa-se y =y0emz =f(x, y)ecalcula-se a derivada deg(x) =f(x, y0) emx =x0 : fx(x0, y0) =g

(x0). Damesmaforma, fx(x, y)aderivada, emrelaoax,def(x, y), mantendo-seyconstante. Por outro lado, fy(x, y) aderivada em relao ay, def(x, y), mantendo-sex constante.Exemplo11.4.1. Sef(x, y) = x2y + ycosx, determinefx(x, y),fy(x, y),fx(1, 0) efy(1, 0).Soluo: Para encontrarmos fx(x, y) devemos olhar y como con-stante emf(x, y) = x2+ ycosx e derivar em relao ax:fx(x, y) = 2xy ysenx.Paraencontramos fy(x, y)devemosolhar xcomoconstanteemf(x, y) = x2+ ycosx e derivar em relao ay:fy(x, y) = x2+ cosx.Agorafx(1, 0) = 210 0sen 1 = 0 efy(1, 0) = 12+ cos 1 =1 + cos 1.11.5 Derivadas parciais de ordem superiorSe z =f(x, y) umafunodeduas variveis reais avaloresreais, entofxefyso tambm funes de duas variveis reais avalores reais. Se estas duas funes fx e fy estiverem denidas emum abertoA poderemos considerar suas derivadas parciais (fx)x,(fx)y, (fy)xe (fy)ychamadas derivadas parciais de 2.a(segunda)187Limites, Continuidade e Derivadas Parciaisordem def, denotadas como segue:(fx)x = fxx = f11 =x_fx_ =2fx2(fx)y = fxx = f12 =y_fx_ =2fyx(fy)x = fxx = f21 =x_fy_ =2fxy(fy)y = fyy = f22 =y_fy_ =2fy2Se estas derivadas parciais existirem em todos os pontos de umabertoA, poderemos falar nas derivadas parciais de 3.a(Terceira)ordem, e assim sucessivamente.Denio 11.25.Seja f: A R2R, A aberto. Dizemos quef de classeCk(k 1) emB A sefe as derivadas parciaisat a ordemk forem contnuas em todos os pontos deB.f ditade classeC sef de classeCk, k 1.Notao 8. f Ckef C.Exemplo11.5.1. Sejaf(x, y)=xy. Temosque: fx(x, y)=y,fy(x, y) =x, fxx(x, y) =0, fxy(x, y) =1, f(yx)(x, y) =1efyy(x, y)=0. Observequeasderivadasdeordemk, k 3ex-istem e so todas nulas. Portantof C.Exemplo11.5.2. Afunoz=f(x, y)=xseny + y2cosxdeclasse C. Defato, temosque fx(x, y) =seny y2senx,fy(x, y)=xcosy + 2ycosx, fxx(x, y)= y2cosx, fxy(x, y)=cos y2ysen x, fyx(x, y) = cos y2ysen x e fyy(x, y) = xsen y+2cosx. Observe que existem e so contnuas todas derivadas par-ciais.Neste dois exemplos notamos quefxy(x, y) = fyx(x, y), isto ,a ordem de derivao no inui no resultado, mais isto nem sempre188Livro de Clculo II11AULA vlido. De fato: Consideremosz = f(x, y) = x +[y[. Temos quefx(x, y) 1 efxy(0, 0) = 0. No entanto,fy(0, 0) = limy0f(0, y) f(0, 0)y= limy0[y[yque no existe. e assimfyx(0, 0) no existe.Oprximoteoremafornececondiessobasquaispodemosarmar quefxy = fyx.Teorema11.23. (TeoremadeSchwartz)Sejaf : A R2R, A aberto. Seffor de classeC2emA, entofxy(x, y) = fyx(x, y)para todo (x, y) A.Vejamos outro exemplo, onde no temos a igualdade fxy = fyx.Exemplo 11.5.3. Consideremos f(x, y) =___xy3x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0)Neste caso, temos quefxy(0, 0) ,= fyx(0, 0). De fato,fx(x, y) =xy4+ 3x3y2(x2+ y2)2, se (x, y) ,= (0, 0)fy(x, y) =y5x2y3(x2+ y2)2, se (x, y) ,= (0, 0)fx(0, 0) = limx0f(x, 0) f(0, 0)x= 0fy(0, 0) = limy0f(0, y) f(0, 0)y= 0fxy(0, 0) = limy0fx(0, y) fx(0, 0)y= 1fyx(0, 0) = limx0fy(x, 0) fy(0, 0)x= 0Observao11.12. No exemplo anterior podemos observar quef, fx e fy so contnuas em todo R2. Assim, pelo Teorema anteriorfxynopodesercontnuaem(0, 0), poiscasofossefxy(0, 0)=fyx(0, 0), o que no o caso.189Limites, Continuidade e Derivadas Parciais11.6 ResumoFaremos, agora, um resumo das principais denies e resultadosvistos nesta aula.Denio11.26. Sejamf:A R2 R uma funo, (x0, y0)um ponto de acumulao deA eL um nmero real. Dizemos queo limite da funofno ponto (x0, y0) igual aL e escrevemoslim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = Lquando:Paratodo>0,existe>0talque, paratodo(x, y) D(f),0 < |(x, y) (x0, y0)| < = [f(x, y) L[ < .Teorema11.24. Sejamf:A R2 R uma funo e (x0, y0)um ponto de acumulao. Suponha que lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = L esejauma curva em R2, contnua emt0, com(t0) = (x0, y0) e,para todot ,= t0, (t) ,= (x0, y0) com(t) D(f). Entolimtt0f((t)) = L.Sejam1e2duascurvasnascondiesdoTeorema11.21.Segue do Teorema 11.21 que se ocorrerlimtt0f(1(t)) = L1e limtt0f(2(t)) = L2(11.1)comL1 ,=L2, ento lim(x,y)(x0,y0)f(x, y) no existir. Da mesmaforma, tal limitenoexistirdeumdos limites em(11.1) noexistir.Denio 11.27. Sejamf: A R2R uma funo e (x0, y0)um ponto de acumulao deA com (x0, y0) A. Dizemos quefcontnua em (x0, y0) selim(x,y)(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0),190Livro de Clculo II11AULAou seja:Paratodo>0,existe>0talque, paratodo(x, y) D(f),0 < |(x, y) (x0, y0)| < = [f(x, y) f(x0, y0)[ < .Denio11.28. UmafunoditacontnuaemumconjuntoBquandoforcontnuaemtodosospontosdeB. Diremos, sim-plesmente, quefcontnuaseoforemtodosospontosdeseudomnio.11.7 Atividades01. Mostre, pela denio, que:a) lim(x,y)(2,0)(x2+ y24) = 0;b) lim(x,y)(1,2)(x2+ 2xy + y2) = 9.02. Seja a funof(x) =___1, x 01, x < 0.Prove que a funo temlimite igual a1 nos pontos(x0, y0) comx0> 0 e que tem limiteigual a 1 nos pontos(x0, y0) comx0< 0. Prove ainda que notem limite non pontos (0, y0).03. Determine o valor dos limites, quando existirem:a) lim(x,y)(0,0)x2y21 + x2+ y2; b) lim(x,y)(0,0)xx2+ y2;c) lim(x,y)(0,0)x2+ y2sen1xy; d) lim(x,y)(4,)x2senyx;e) lim(x,y)(0,0)1 + y2senxx; f) lim(x,y)(0,0)1 + x yx2+ y2;g) lim(x,y,z)(0,0,0)4x y 3z2x 5y + 2z.04.Usandoadenio, provequef(x, y)=xy + 6xcontnuaem:191Limites, Continuidade e Derivadas Parciaisa) (1, 2); b) (x0, y0).05. Investigue a continuidade de cada uma das funes abaixo, noponto (0, 0) :a)f(x, y) =___x3x+5y, 3x + 5y ,= 00, 3x + 5y = 0;b)f(x, y) =___x2+ y2sen_1x2+y2_, se (x, y) ,= 00, se (x, y) = 0;c)f(x, y) =___xyxyx2+y2, se (x, y) ,= 00, se (x, y) = 0;06. Sef(x, y) =(x y)sen(3x + 2y)calcule: a) fx(0,3); b)fy(0,3).07. Calculeux euyquando:a) u(x, y) = exysen(x+y); b) u(x, y) = ln(x4+y4)arcsen_1 x2y2.08. Sef(x, y) =___x2y2+xyx+y, se x ,= y0, se x = y.a) Calculefx(x, 0) efy(0, y);b) Observe que f no constante em nenhuma vizinhana de (0, 0).09. Ache3fx2y(x, y) sef(x, y) = ln(x + y).10. Mostre que2fx2+2fy2= 0 esta satisfeita por:a)ln(x2+ y2); b)x33xy2.192Livro de Clculo II11AULA11. Calculefy(1, 2) ondef(x, y) = xxxy+ sen(x)[x2+ sen(x + y) + excos2y].11.8 Comentrio das AtividadesEssas atividades, so referentes aos assuntos discutidos no decorrerdesta aula e tm o objetivo de voc (aluno) exercitar os conceitosaprendidos.Lembre-se, sempre, que existem tutores para ajuda-los na res-oluo dessas atividades.11.9 RefernciasGUIDORIZZI, H. L., UmCurso deClculo (Vol. 1 e 2).Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.STEWART, J.,Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: PioneiraThomson Learning, 2006.THOMAS, G. B., Clculo (vol. 1 e 2). So Paulo: AddisonWesley, 2002.19312AULA1LIVROFunes Diferen-civeisMETAEstudar derivadas de funes deduas variveis a valores reais.OBJETIVOSEstender os conceitos de diferencia-bilidade de funes de uma varivela valores reais.PR-REQUISITOSLimite, continuidade e derivadasparciais de funes de duas variveisa valores reais.Funes Diferenciveis12.1 IntroduoNesta aula, vamos apresentar os conceitos de funes diferenciveis,estendendo os conceitos de derivadas de funes de uma varivelreal a valores reais, vistos no curso de clculo 1.12.2 DiferenciabilidadeSabemos que, quando uma funo de uma varivel real derivvelemumponto, elacontnuanesteponto. Observeagoraoqueacontece com o exemplo a seguir.Exemplo 12.2.1. Considere a funof(x, y) =___xyx2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0)Temos quef derivvel em relao ax e ayem (0, 0). De fato:xando-sey=0, entoz =f(x, 0) 0, eassimfx(0, 0) =0.Agora, xandox = 0, entoz = f(0, y) 0, e assimfy(0, 0) = 0.Mas, por outro lado,fno contnua em (0, 0). Com efeito, olim(x,y)(0,0)f(x, y) no existe, pois considerando as curvas1(t) =(t, 0) e2(t) = (t, t) temos quelimt0f(1(t)) =limt00 = 0 e limt0f(2(t)) =limt0t22t2=12.Assim possvel que uma funo tenha todas as derivadas par-ciais em um ponto e que no seja contnua naquele ponto.Vamosentointroduziroconceitodediferenciabilidade, queentre outras propriedades, vai garantir a continuidade da funo.Na realidade ele implicar que o grco da funo no tem quinas,e em particular, que no tem saltos. ser introduzido por analogia196Livro de Clculo II12AULAcom o conceito de diferenciabilidade de funes de uma varivel.Para uma varivel:y=f(x)diferencivel (VerFigura12.69)emx0, seexisteuma reta passando por (x0, f(x0)) de equaoY= f(x0) + m(x x0),tal quelimxx0f(x) Yx x0= 0Figura 12.69: Reta tangente ao grco de uma funo diferencivel.y = f(x) derivvel emx0, se existe o seguinte limitelimxx0f(x) f(x0)x x0.Observe que,para funes de uma varivel real,ser derivvelequivalenteaserdiferencivel. Defato: suponhamosquef derivvel emx0. Ento existelimxx0f(x) f(x0)x x0= m.Considerando a reta de equao Y= f(x0)+m(xx0), temos quelimxx0f(x) Yx x0= limxx0f(x) f(x0) m(x x0)x x0= limxx0_f(x) f(x0)x x0m_ = 0197Funes DiferenciveisPortantof diferencivel emx0.Por outro lado, suponhamos quef diferencivel emx0.0 = limxx0f(x) Yx x0= limxx0f(x) f(x0) m(x x0)x x0= limxx0_f(x) f(x0)x x0m_ =limxx0f(x) f(x0)x x0= m.Portanto,f derivvel emx0.Passaremos agora a denir a diferenciabilidade de funes deduas variveis reais a valores reais e faremos isso estendendo o con-ceito de diferenciabilidade de funes de uma varivel real a valoresreais.Para duas variveis:Diz-seque z =f(x, y)diferencivel numponto(x0, y0),seexistir umaplanopassandopeloponto(x0, y0, f(x0, y0)), deequaoz = f(x0, y0) + A(x x0) + B(y y0),tal quelim0f(x, y) z= 0 (12.1)onde = |(x, y)(x0, y0)| = _(x x0)2+ (y y0)2. Em notaoalternativa, tomandox = x0 + h ey = y0 + k e chamandoE(h, k) = f(x, y) z = f(x0 + h, y0 + k) [f(x0, y0) + Ah + Bk](12.1) pode ser reescrita comolim(h,k)(0,0)E(h, k)|(h, k)|= 0 (12.2)Ainda, com a notao alternativa, temos:f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + Ah + Bk + E(h, k).198Livro de Clculo II12AULAPassando o limite, com (h, k) (0, 0), obtemos:lim(h,k)(0,0)f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0).Acabamos de provar o seguinte:Teorema12.25. Seffor diferencivel em (x0, y0), entofsercontnua em (x0, y0).Voltemos em (12.2), fazendok = 0, obtemos:limh0f(x0 + h, y0) f(x0, y0) Ah[h[= 0Isto equivale a:limh0_f(x0 + h, y0) f(x0, y0)hA_ = 0oulimh0_f(x0 + h, y0) f(x0, y0)h_ = AAssim,fx(x0, y0) = A.Analogamente,fy(x0, y0) = B.Com isto, temos o seguinte:Teorema 12.26.Se ffor diferencivel em (x0, y0), ento fadmi-tir derivadas parciais neste ponto.As principais concluses sobre funes diferenciveis so dadasna Observao 12.13.Observao12.13. 1. Paramostrarmosquefunof difer-encivel em(x0, y0) sucienteprovar que f admitederivadasparciais em (x0, y0) e quelim(h,k)(0,0)f(x0 + h, y0 + k) f(x0, y0) fx(x0, y0)h fy(x0, y0)k|(h, k)|= 0.199Funes Diferenciveis2. Se uma das derivadas parciais no existirem em (x0, y0), entofno ser diferencivel neste ponto.3. Se ambas as derivadas parciais existirem em (x0, y0), mais se olimite acima no for zero, ento f no ser diferencivel em (x0, y0).4. Se fno for contnua em (x0, y0), ento fno ser diferencivelem (x0, y0).Dizemos quef diferencivel emB D(f) seffor diferen-civel em todo(x, y) B. Diremos,simplesmente,quef umafunodiferencivel seffordiferencivel emtodopontodeseudomnio.Exemplo12.2.2. Prove quef(x, y) = x + y uma funo difer-encivel.Soluo: Precisamos provar que f diferencivel em todo (x, y) R2. fadmite derivadas parciais em todo (x, y) R2efx(x, y) = 1 e fy(x, y) = 1.Por outro lado, para todo (x, y) R2,E(h, k) = f(x + h, y + k) f(x, y) fx(x, y)h fy(x, y)k= x + h + y + k x y h k = 0Dalim(h,k)(0,0)E(h, k)|(h, k)|= 0.Portanto,f diferencivel para todo (x, y) R2.Exemplo 12.2.3. Prove que z = f(x, y) = xy uma diferencivel.Soluo: Precisamos provar que f diferencivel em todo (x, y) R2. fadmite derivadas parciais em todo (x, y) R2efx(x, y) = y e fy(x, y) = x.200Livro de Clculo II12AULAPor outro lado, para todo (x, y) R2,E(h, k) = f(x + h, y + k) f(x, y) fx(x, y)h fy(x, y)k= (x + h)(y + k) xy yh xk= xy + xk + yh + hk xy yh xk = hkDalim(h,k)(0,0)E(h, k)|(h, k)|= lim(h,k)(0,0)hkh2+ k2= 0 (J visto anteriormente).Portanto,f diferencivel para todo (x, y) R2.Propriedades:1. A soma (tambm o produto) de duas funes diferenciveis emum ponto uma funo diferencivel no ponto.2. Toda funo polinomial em duas variveis P(x, y) =

ijaijxiyj diferencivel, como soma e produto de diferenciveis.Jvimosquetodafunodiferencivel contnua, masnemtoda funo contnua diferencivel. Por exemplo:Exemplo 12.2.4. A funof(x, y) =___x3x2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0) contnua em (0, 0) (J visto anteriormente), mais no diferen-civel em (0, 0). De fato, temos quefx(0, 0) =limx0f(x, 0) f(0, 0)x 0=limx0xx= 1fy(0, 0) =limy0f(0, y) f(0, 0)y 0= 0eE(h, k) = f(0 + h, 0 + k) f(0, 0) fx(0, 0)h fy(0, 0)k=h3h2+ k2 h201Funes DiferenciveisSegue queE(h, k)|(h, k)|=h3h2+k2 hh2+ k2=hk2(h2+ k2)h2+ k2= G(h, k)Como limt0G(t, t) =limt0t22[t[no existe, resulta quelim(h,k)(0,0)E(h, k)|(h, k)|no existe. Logo,fno diferencivel em (0, 0).Vimos que sez = f(x, y) diferencivel em (x0, y0), ento ex-istem fx(x0, y0) e fy(x0, y0). No entanto pode ocorrer que existamfx(x0, y0) efy(x0, y0) efno ser diferencivel em (x0, y0).Exemplo 12.2.5. Seja f(x, y) =___xyx2+y2se (x, y) ,= (0, 0)0 se (x, y) = (0, 0).Jfoivistoquefx(0, 0)=fy(0, 0)=0.Ainda: fnocontnuae,portanto, no diferencivel em (0, 0).Algumasvezesdifcil vericardiretamenteadiferenciabili-dadedeumafuno. Oprximoteoremadumacondiosu-cienteparaqueumafunofsejadiferenciveleimportantedada a facilidade de vericao de suas hipteses.Teorema 12.27. (Critrio de Diferenciabilidade) S