Calculo 2 - 2 Equações Diferenciais Ordinárias

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Aula de Equações difereciais ordinárias

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  • Calculo 2 Introduo s Equaes Diferenciais

    Apresentador: Msc. Henrique Grangeiro

    b

    a

  • O que :

    Equao diferencial toda equao que contenha derivadas.

    Importncia do estudo:

    Devido observao e verificao de taxas nos quais as coisas acontecem.

  • Onde Ocorrem?

    Movimento de fluidos;

    O fluxo de corrente eltrica em circuitos;

    A dissipao de calor cm objetos slidos;

    A propagao e a deteco de ondas ssmicas;

    O aumento ou a diminuio de populaes;

    Modelos matemticos para processos fsicos, qumicos e biolgicos.

  • Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)

    Definio : Uma equao que envolve derivadas atordem n, chamada de equao diferencial ordinria(EDO) de ordem n e pode ser escrita na forma:

    Definio: A soluo da equao qualquerfuno y= f(x) que definida em [a,b] e tem nderivadas neste intervalo e que satisfaz aequao diferencial.

    y (n) (x)= f(x, y(x), y(x),..., y (n-1) (x))

    a x b

  • EDOs x EDPs

    EDPs so equaes diferenciais onde a funoincgnita depende duas ou mais variveis.

    EDOs so equaes diferenciais onde a funoincgnita depende apenas de uma nica varivel.

    Conhecer a resoluo e desenvolvimento de EDOsajuda no desenvolvimento e soluo de EDPs.

  • Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)

    Na soluo de uma EDO dois caminhos podem ser seguidos. Isto , o que tenta levar soluo exata do problema (mtodo analtico) ou o que encontra uma soluo aproximada (mtodo numrico).

  • Do ponto de vista analtico, resolver uma EDO do tipo y = f ( x, y ) encontrar uma funo y = F ( x ) que satisfaa a equao dada. Por exemplo, dada a equao diferencial y = f ( x, y ) = 2 x + 3, sua soluo obtida por

    y = ( 2x + 3) dx = x 2 + 3x + C .

    Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)

  • Na verdade, temos uma famlia de solues (para cada C Rtem-se uma soluo particular). Na figura abaixo so mostradas algumas destas solues. No caso para C = 0, C = 2 e C = 4.

    Equao Diferenciais Ordinrias (EDO)

    C = 0

    C = 2

    C = 4

    x

    y

  • Classificao das EDs

    Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) -- se a funo desconhecida depende de uma nica varivel independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples.

    Equaes Diferenciais Parciais (EDP) -- se a funo desconhecida depende de diversas variveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais.

    Sistema de equaes diferenciais -- se existem duas ou mais funes que devem ser determinadas, precisamos de um sistema de equaes.

  • Ordem -- a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada que aparece na equao.

    Exemplos:

    35 xdx

    dy 122

    3

    3

    4

    4

    ydtdy

    dt

    yd

    dt

    yd

    dt

    yd

    Geralmente a equao F(y, y, y, ..., y(n)) = 0 uma equao diferencial de ordem n.

    4'"2''' tyyyey t

  • Equaes Lineares e no -lineares -- A equao diferencial

    A equao diferencial que no da forma uma equao no-linear.

    Exemplo:

    4'"2''' tyyyey t

  • Solues: Uma soluo da equao

    y(n) = f (t, y, y`, y``, ..., y(n-1) ) em < t <

    uma funo tal que `, ``, ... (n)

    existem e satisfazem

    (n)(t) = f [t, (t), `(t), ``(t), ... (n-1) (t)]

    para todo t em < t <

    Soluo de Equaes Diferenciais

  • Uma equao diferencial sempre tem soluo? (existncia)

    Quantas solues tem uma equao diferencial dada que ela tem pelo menos uma? Que condies adicionais devem ser especificadas para se obter apenas uma nica soluo? (unicidade)

    Dada uma ED, podemos determinar, de fato, uma soluo? E, se for o caso, como?

    Soluo de Equaes Diferenciais

  • Classificao de Equaes Diferenciais

    Notao de Leibniz: ,...,,3

    3

    2

    2

    dx

    yd

    dx

    yd

    dx

    dyNotao linha: ```,...``,`, yyy

    Notao de Leibniz:

    Notao linha:

    ,xeydx

    dy 5 ,06

    2

    2

    ydx

    dy

    dx

    ydyx

    dt

    dy

    dt

    dx 2

    ,` xeyy 5 ,``` 06 yyy

    A notao linha usada somente para denotar as trs primeiras

    derivadas; a quarta derivada escrita como y(4), em vez de y.

  • Classificao de Equaes Diferenciais

    Sistema de equaes diferenciais: se existem duas ou

    mais funes que devem ser determinadas, precisamos

    de um sistema de equaes.

    Uma soluo de um sistema como (*) um par de funes

    diferenciais x = 1(t), y = 2(t), definidas em um intervalocomum I, que satisfazem cada equao do sistema neste

    intervalo.

    ),,( yxtfdt

    dx ),,( yxtg

    dt

    dy (*)

  • Classificao de Equaes Diferenciais

    Notao ponto de Newton (coc de mosca): s vezes usada

    em Fsica ou Engenharia para denotar derivadas em relao ao

    tempo.Assim sendo, a equao diferencial.

    322

    2

    dt

    sdtorna-se 32s

    Derivadas parciais so geralmente denotadas por uma notao

    em subscrito.Assim sendo, a equao diferencial

    tttxx uuu 2torna-se,2

    2

    2

    2

    2

    t

    u

    t

    u

    x

    u

  • Ordem: a ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada queaparece na equao.

    Exemplos:

    35)1 xdxdy

    1)2 22

    3

    3

    4

    4

    ydtdy

    dt

    yd

    dt

    yd

    dt

    yd

    Classificao por Ordem

  • uma equao diferencial de segunda ordem.

    xeydx

    dy

    dx

    yd

    45

    3

    2

    2

    segunda ordem primeira ordem

  • Classificao por Ordem

    Escreva as equaes diferenciais ordinrias na forma normal:

    xyyxa 2'5)2

    232') xyxyyb

  • Equaes Lineares e no-lineares: A equao diferencial

    0),...,",',( )(nyyyxF

    dita linear se F uma funo linear das varveis y, y, y,..., y(n-1)

    Assim a equao diferencial ordinria linear geral de ordem n

    Classificao por Linearidade

    )()()()()( xgyxadx

    dyxa

    dx

    ydxa

    dx

    ydxa

    n

    n

    nn

    n

    n

    011

    1

    1

  • Em (**) observamos as duas propriedades caractersticas de umaequao diferencial linear:

    1) A varivel dependente e todas as suas derivadas so do 1 grau,isto , a potncia de cada termo envolvendo y 1.

    2) Cada coeficiente depende no mximo da varivel independente x.As equaes diferenciais ordinrias lineares abaixo so,respectivamente, de 1, 2 e 3 ordem.

    Classificao por Linearidade

    )()()()()( xgyxadx

    dyxa

    dx

    ydxa

    dx

    ydxa

    n

    n

    nn

    n

    n

    011

    1

    1 (**)

  • b) y 2y + y = 0

    x

    dt

    dy

    dx

    yd eyxc 5) 33

    a) (y - x) dx + 4x dy = 0

    Classificao por OrdemExemplos

  • A equao diferencial que no da forma (1) uma equao no-

    linear. Exemplo: 4'"2''' tyyyey t

    Classificao por Linearidade

    Equaes no-lineares: Uma equao diferencial ordinriano-linear simplesmente uma que no linear.

    Funes no-lineares da varivel dependente ou de suas derivadas, como

    seny ou e y, no podem aparecer em uma equao linear.Assim sendo,

    ,02

    2

    senydx

    yd02

    4

    4

    ydx

    yd

    Termo no-linearFuno no-linear de y

    Termo no-linearPotncia diferente de 1

  • xeyyya 2')1()

    0)2

    2

    senydx

    ydb

    0) 24

    4

    ydx

    ydc

    Classificao por LinearidadeExemplos

  • 1 Exemplo solues de EDs: Verifique se a funo indicada

    uma soluo da equao diferencial dada no intervalo (-,).

    a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16

    b) y 2y + y = 0; y = xex

  • Calculo 2 Introduo s Equaes Diferenciais

    Apresentador: Msc. Henrique Grangeiro

    b

    a