CÁLCULO 4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1

Cap. 1 - Alguns Modelos Matemáticos; Campos direcionais

A queda de um objeto

Primeiramente queremos achar uma equação diferencial de um objeto caindo na

superfície da terra próximo ao nível do mar. De acordo com a lei de Newton temos

maF

onde

dt

dva

Logo

dt

dvmF

Considerando a força de arrasto (ou força de resistência do ar) temos

vmgFFF arrastog

Onde

= coeficiente de arrasto (depende do material)

Temos, então, que a equação diferencial que descreve a queda de um corpo

sobre a superfície da terra é dada por

vmgdt

dvm

Para achar a solução dessa equação devemos achar uma função que satisfaça

tvv

Fazendo, por exemplo,

kgm 10

2/2 skgm

Temos

vdt

dv29810

5

8,9v

dt

dv

Cálculo IV – Equações Diferenciais 2

A equação diferencial acima é chamada campo de direção ou algumas vezes

campo de encosta.

Solução de Equilíbrio

Para achar a solução de equilíbrio da equação diferencial fazemos

0dt

dv

E a partir disso achamos o valor de v para o qual a velocidade de queda do

objeto não varia, ou seja, a velocidade torna-se constante

58,90

v

8,95

v

smv /49

Então, quando a velocidade do objeto atinge a velocidade de smv /49 o

equilíbrio é atingido e a velocidade é constante.

Da mesma forma, podemos fazer

vmg 0

vmg

mgv

Onde

mgv

representa a solução de equilíbrio.

Campos Direcionais

Campos direcionais são equações diferenciais da forma

ytfdt

dy,

Onde f é uma função de duas variáveis. Esse tipo de equação também é chamado

de campo de taxa.

Campos dos ratos e corujas

Considere uma população de ratos em uma fazenda onde tp

expressa a

população de ratos e onde o crescimento da população é dado por

rpdt

dp


Onde r é chamado constante de taxa ou crescimento de taxa.

Por exemplo, suponha que o crescimento da população seja dado por 0,5/mês.

Então, cada termo terá unidade ratos/mês.

Agora, suponhamos que várias corujas vivam nas vizinhanças dessa fazenda e

que uma coruja mata 15 ratos por dia. Para incorporar esta informação a equação

diferencial devemos fazer

mrpdt

dp

Onde m é a taxa de mortalidade, ou seja, a taxa com a qual uma coruja mata os ratos.

3015/5,0 xratospmêsratosdt

dp

ratospmêsratosdt

dp450/5,0

Ou, simplificado

4505,0 pdt

dp

Para encontrarmos o valor de equilíbrio, fazemos

4505,00 p

4505,0 p

900p

Ou, de forma literal, temos

mrp 0

mrp

r

mp

Construindo Modelos Matemáticos

1 – Identificar as variáveis dependente e independente e atribuir letras para

representá-las. A variável independente é frequentemente o tempo.

2 – Escolher as unidades de medidas para cada variável. O sentido da escolha

das unidades é arbitrário, mas algumas escolhas são muito mais convenientes que

outras.

3 – Articular o princípio básico subjacente que baseia ou governa o problema

que você está investigando.

4 – Expressar o princípio ou lei no passo 3 em termos das variáveis que você

escolheu no passo 1.


5 – Tenha certeza que cada termo na sua equação tem a mesma unidade. Se não

for o caso, então sua equação está errada e você deverá procurar para consertá-la.

6 – Nos problemas considerados aqui o resultado do passo 4 é uma única

equação diferencial, que constitui o modelo matemático desejado.


Soluções de algumas equações diferenciais

vmgdt

dvm mrp

dt

dp

Ambas as equações diferenciais acima são da forma

baydt

dy

Onde a e b são constantes.

Considere a equação

4505,0 pdt

dp

2

900

p

dt

dp

900p

2

1

900

/

p

dtdp

A equação acima pode ser vista mais facilmente da forma

dtdpp 2

1

900

1

E integrando ambos os lados temos

dtdpp 2

1

900

1

Ctp

2

1900ln

Ctep 2/900

Ct eep 2/900

Ct eep 2/900

Onde podemos chamar fazer

Cec 2/900 Tcep

Para uma condição inicial de

8500 p

Temos

c 900850

50c

2/50900 tep

Agora, vamos fazer o mesmo procedimento para um caso geral


baydt

dy

a

bya

dt

dy

00 yy

a

aby

dtdy

/

/

adtdyaby /

1

Cataby /ln

Cateeaby /

Solução Geral

atceaby /

A representação geométrica da solução geral é uma família infinta de curvas, chamada

integral de curvas.

Fazendo 00 yy

Temos

caby /0 abyc /0 ateabyaby // 0

Agora analisando o caso do crecimento populacional de ratos, temos:

rtermprmy // 0

Para um objeto caindo na superfície da terra, temos:

ttemgvmgv // 0

Suponha que tenhamos a equação diferencial

58,9

v

dt

dv

E desejamos saber o quão rápido o objeto se move ao atingir o solo, quando este é

liberado de uma altura de 300 m, e quanto tempo dura essa queda.

Condição inicial

00 v

5

49 v

dt

dv

5

1

49

/

v

dtdv

dtdy

v 5

1

49

1

Ctv 5

149ln


5/49 tcev

Fazendo 00 v

Temos

c 490 49c 5/4949 tev

5/149 tev

dt

dxv

5/149 te

dt

dx

dtedx t 5/149

cetx t 5/24549

Fazendo 00 x

Temos

c 24500 245c

24524549 5/ tetx

Problemas

1) Resolva cada equação diferencial abaixo. (condição inicial: 00 yy )

a) 5 ydt

dy

b) 102 ydt

dy

c) 52 ydt

dy


Classificação de Equações Diferenciais

Equações Diferenciais ordinárias e parciais

As equações diferenciais ordinárias são aquelas que dependem de uma única

variável. Por exemplo, a equação diferencial abaixo depende da variável independente t

(tempo).

tEtQ

Cdt

tdQR

dt

tQdL

12

2

As equações diferenciais parciais são aquelas que dependem de duas ou mais

variáveis. Por exemplo, as equações de condução de calor, mostradas abaixo, dependem

de duas variáveis: o tempo (t) e a posição (x).

dt

txu

dx

txu ,,2

22

E a equação de onda

dt

txu

dx

txua

,,2

22

2 2a =constantes

Sistemas de Equações Diferenciais

Equação de Lotka-Volterra

xyaxdt

dx

Equação de predador-presa

xycxdt

dy

Onde x e y são as populações da presa e do predator, respectivamente.

0,...,',, tutututF n


É uma equação diferencial ordinária de ordem n

A equação acima pode ser escrita como

0,...,',, nyyytF

4'''''' 2 tyyyey t

1''' ,...,,,, nn yyyytfy

04'2' ytyy

2

162

'ytt

y

2

162

'ytt

y

Equações lineares e não lineares

0,...,',, nyyytF

A função F é linear se ela é uma função linear de variáveis

nyyy ,...,', .

Uma equação diferencial ordinária linear é da forma

tgytaytayta n

nn ...1

10

Uma equação diferente desta é chamada equação não linear, por causa do termo 'yy .

Similarmente cada equação do sistema (4) é não linear por causa do produto 'xy .

Um exemplo simples é a oscilação de um pendulo

02

2

senL

g

dt

d

O termo sen torna a equação não linear.

É mais difícil resolver equações não lineares. Em alguns casos, podemos

aproximar essas funções para equações lineares.

Quando o ângulo é muito pequeno, por exemplo, podemos aproximar sen e

a equação fica

02

2

L

g

dt

d

Que é uma equação linear.

Esse processo de aproximar equações não lineares para equações lineares é

chamado de linearização.


Soluções

A solução de uma equação diferencial ordinária no intervalo t é uma

função tal que n ,...,, '''

exista e satisfaça

tttttft nn 1''' ,...,,,,

Para todo t que pertença a t .

0'' yy

Mostre que a função tty cos' é solução da equação diferencial acima

sentty '' tty cos'''

0coscos'' ttyy

Mostre que a função sentty ' é solução da equação diferencial acima

tty cos' sentty ''

0'' sentsentyy

Problemas

7) 0'' yy

tety 1

tety '1 tety ''1

0'' tt eeyy

tty cosh2


senhtty '1 tty cosh''1

0coshcosh'' ttyy

8) 032 ''' yyy

tety 3

1

tety 3

1 3' tety 3

1 9''

0332932 333''' ttt eeeyyy

tety 2

tety '2 tety ''2

03232 ''' ttt eeeyyy

9) 2' tyty

Mostre que a função 23 tty é solução da equação diferencial acima.

tty 23' 2'' ty

22323 ttttt 222 323 ttttt OK


Capítulo 2 – Equações diferenciais de primeira ordem

ytfdt

dy,

2.1 – Equações lineares com coeficientes variáveis

baydt

dy

Onde a e b são constantes

De forma geral uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é da

forma

tgytpdt

dy

Onde p e g são funções da variável independente t.

baydt

dy

a

bya

dt

dy

00 yy

a

aby

dtdy

/

/

adtdyaby /

1

Cataby /ln

Cateeaby /

atceaby /

3,2 ba

32 ydt

dy

tcey 2

2

3

Exemplo 1: Resolva a equação diferencial abaixo.

32 ydt

dy

tytdt

dyt 32

t

dt

ytd

3

.

t

dt

td

2

dttd

t2

1

dttd

t2

1

Ctt 2ln

Ct eet .2

tcet 2

tcet 2

tet 2

tt

edt

yed 22

3.

dteyed tt

22 3.

2

3.

22

tt e

ye

tcey 2

2

3


Resposta:

tcey 2

2

3

Exemplo 2: Resolva a equação diferencial

tydt

dy 2

2

1

ttyt

dt

dyt

2

2

tt

dt

ytd

2

.

t

dt

td

2

1

dttd

t 2

11

dttd

t 2

11

Ctt

2

1ln

Ct eet .2/1

tet 2/1

t

t

etdt

yed 2/12/1

2.

tdteeyed ttt

2/12/12/1 2.

dtteeye ttt 2/12/12/1 4.

dtte t2/1

tt evdtedv

dtdutu

2/12/1 2,

,

ttttt etedtetedtte 2/12/12/12/12/1 4222 ceteeye tttt 2/12/12/12/1 424.

cteye tt 2/12/1 2

Resposta:

tcety 2/12

Exemplo 3: Resolva a equação diferencial

tydt

dy 42

E faça o gráfico de várias soluções.


ttytdt

dyt 42

tt

dt

ytd

4

.

t

dt

td

2

dttd

t2

1

dttd

t2

1

Ctt 2ln

Ct eet .2

tet 2

t

t

etdt

yed 22

4.

tdteeyed ttt

222 2.

dtteeye ttt 222/1 .

dtte t2

tt evdtedv

dtdutu

22

2

1,

,

422

1

2

22222/1

ttttt etedtee

tdtte

ceteeye tttt 2/12/12/12/1 424.

cteye tt 2/12/1 2

Resposta:

tcety 2/12

Equações Separáveis

baydt

dy

Equação de primeira ordem

yxfdt

dy,

Para identificar a classe da equação nós reescrevemos a equação (2) da forma

0,, dx

dyyxNyxM

0 dyyNdxxM

Exemplo 1: Mostre que a equação

2

2

1 y

x

dx

dy

É separável e então ache uma equação para a curva de sua integral.


221 xdx

dyy

01 22 dx

dyyx

É separável. Então,

01 22 dyydxx

033

33

yy

dx

dx

dx

d

033

33

yy

x

dx

d

cyyx 33 3

Essencialmente o mesmo procedimento pode ser seguido para qualquer equação

separável.

Capítulo 4 - A Tranformada de Laplace

4.1 – Resolução de equações diferenciais usanso a transformada de Laplace

0

dttyetyL st

0...21 yyyy nnn

0...00'00...0'0 211 sYyyysYsyyysYs nnnn

...

...00'00'01

2

nn

n

ss

yyyyysY

...

...00'00'01

211

nn

n

ss

yyyyyLsYL

Exemplo (1): Resolva a equação diferencial usando a Transformada de Laplace.

10',00,0'2" yyyyy

0020'02 sYyssYyysYs


0112 sYss 1

12

ss

sY

2

31,

2

31

331.1.41

01

21

2

2

is

is

i

ss

2

31

2

31

2/32/1

2

31

2

31

2

3

22

3

2

2

31

2

31

2

31

2

31

2

31

2

31

is

is

iBAsBA

is

is

BiBBs

AiAAs

sY

is

is

isB

isA

is

B

is

AsY

2/1,2/1

0

1

AB

BA

BA

2

31

2/1

2

31

2/1

is

is

sY

Transformada da solução da equação diferencial

2

31

2/1

2

31

2/1

is

is

sY

Assim, a transformada inversa é :

2/312/311

2

1

2

1 ii eesYL

4.2 - Transformada inversa


Exemplo (1): calcule

4

22

1

sL .

Solução:

2/1,2/1

1

0

22

22

2222

2

4

22

AB

BA

BA

ss

sBsA

s

B

s

A

ssssY

tsenheesss

sY tt 22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4

2 22

2

Exemplo (2): calcule

9

12

1

sL .

isiss

sY

BA

BA

BA

isis

isBisA

is

B

is

A

ssY

isiss

ssY

3

2/1

3

2/1

9

2

2/1,2/1

033

1

33

33

339

1

3,9,9

9

1

2

2

222

2

isL

isLsYL

3

2/1

3

2/1 111

Resposta:

ttisenttisenteesYL itit 3cos2

133cos33cos

2

1

2

1

2

1 331


Exemplo (3): Calcule

1

12

1

ssL .

Solução:

osi

ssi

s

i

ss

sssY

2

31,

2

31

331.1.41

01

1

1

201

2

2

2

3

11

3

11,1

1

0

1

1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

2

issA

issBssB

sBAs

BsAs

ssss

sBAssBA

ssss

ssBssA

ssss

ssBssA

ss

B

ss

A

sssY

2

31

1

3

1

2

31

1

3

1

is

iis

isY

tisenei

tisenei

sY

tisentei

tisentei

sY

eei

eei

sY

ei

ei

sY

ii

ii

2

3

3

1

2

3

3

1

2

3

2

3cos

3

1

2

3

2

3cos

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

2/12/1

2/12/1

2/32/12/32/1

2

31

2

31


Resposta:

tiseni

sY2

3

3

1

Capítulo 5 – Convolução

5.1 – Encontrando a transformada inversa da função

É uma forma conveniente de se obter o valor da função tf que é a

transformada inversa da tfL 1

.

Exemplo (1): Calcule

1

1.

122

1

ssL

Capítulo 6 – Variação dos Parâmetros: O Método de Lagrange

1) xeyyy 26'5"

1° passo:

06'5" yyy

xx ececy

sss

ss

2

2

3

1

21

2

2,3,2

15

16.1.425

065

2° Passo:

xeyyy 26'5"


xxxx

x

x

x

x

xxx

x

x

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

eceecexY

cexu

ee

exu

eeexu

cexu

exu

eexu

eexuexu

exuexu

exuexu

exuexu

exuexuxY

2

2

3

1

22

3

2

2

23

1

12

2

2

2

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

22

2

22

'

02'

2

2'

2'

2'2'3

0'3'3

0'2'3

0''

2) xeyyy 22'"

1° passo:

06'5" yyy xeyyy 26'5"

2° Passo:

xeyyy 22'"


xx ececy

sss

ss

2

2

1

21

2

1,2,2

31

92.1.41

02

xxxx

x

x

x

x

xxx

x

x

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

eceecexY

cexu

ee

exu

eeexu

cexu

exu

eexu

eexuexu

exuexu

exuexu

exuexu

exuexuxY

2

2

3

1

22

3

2

2

23

1

12

2

2

2

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

22

2

22

'

02'

2

2'

2'

2'2'3

0'3'3

0'2'3

0''

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xxx

xx

x

xxx

xx

xx

ece

ece

xY

ece

ece

xY

ce

dxe

xu

e

e

e

xu

exuee

ce

dxe

xu

exu

eexuexu

exuexu

exuexuxY

2

2

3

1

2

2

2

3

1

22

2

2

2

2

11

1

2

2

1

2

2

1

2

2

3

1

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

23

2

'

0'3

2

3

2

3

2

3

2'

2''2

0''


3) xeyyy 22'"

1° passo:

06'5" yyy

xx ececy

sss

ss

2

2

1

21

2

1,2,2

31

92.1.41

02

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xxx

xx

x

xxx

xx

xx

ece

ece

xY

ece

ece

xY

ce

dxe

xu

e

e

e

xu

exuee

ce

dxe

xu

exu

eexuexu

exuexu

exuexuxY

2

2

3

1

2

2

2

3

1

22

2

2

2

2

11

1

2

2

1

2

2

1

2

2

3

1

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

23

2

'

0'3

2

3

2

3

2

3

2'

2''2

0''

Equações diferenciais parciais e séries de Fourier

33cos

2 1

0 xnsenb

xna

axf nn

n

l

ldxxf

la

10

l

ln dx

l

xnxf

la

cos

1

l

ln dx

l

xnsenxf

lb

1


Exemplo 1: 31

11

13

0

1

0

x

x

x

xf

33cos

2 1

0 xnsenb

xna

axf nn

n

3

3

1

10

3

2

3

1

3

1dxdxxfa

3

2

33

1

33

3

3cos

3

1 3

3

1

1

nsen

n

nsen

nsen

n

xnsen

ndx

xnan

03

cos3

cos1

3cos

3

3

33

1 1

1

1

1

nn

n

xn

ndx

xnsenbn

...4

cos

2

2coscos

3

3

1

3cos

3

2

3

1

1

xxxxf

xnnsen

nxf

n

Exemplo 2: 20,

02,

xx

xxxf

Exercícios


14) xflxflxlxxf 2;;

022

1

2

111 222

0

ll

l

x

lxdx

ldxxf

la

l

l

l

l

l

l

nsenn

lnnsenn

n

l

l

xn

sennn

lsenn

n

ldx

l

xnsen

l

xnsen

n

xl

ldx

l

xnx

la

l

l

l

l

l

l

l

ln

2coscos

2cos

1cos

1

0.

cos.

cos1

cos.

1

l

ln

l

ln

nl

xn

nl

ldx

l

xnsen

lb

l

l

l

l

n

...3

/3cos

2

/2cos

1

/cos2

cos2

0

cos2

1

1

0

lxlxln

l

nsenxf

l

xn

l

nsen

n

lxf

l

xnsenb

l

xna

axf

n

nnn

15) xflxflx

xlxf

2;

0

0;

0

1

101111 00

0 l

lx

ldx

ldxxf

la l

l

l l

nsen

nnsen

nl

xnsen

nl

ldx

l

xn

la

l

ll

n

10

1

.cos

10

n

nl

xn

nl

ldx

l

xnsen

lb

ll

n cos11

cos.

1 00


...3

/3cos

2

/2cos

1

/cos2

cos11

cos1

0

cos2

1

1

0

lxlxln

l

nsenxf

l

xnsenn

nl

xnnsen

nxf

l

xnsenb

l

xna

axf

n

nnn

16) xflxflx

xl

xl

xlxf

2;

0

0;

22

22

2

0

20

2

0

0

0

222

01

22

1111

ll

ll

ll

xlx

xlx

ldxxl

ldxxl

ldxxf

la

l

l

l

l

l

l

l

l

ll

l

l

ln dx

l

xnxl

ldx

l

xnxl

ldx

l

xnxf

la

0

0cos

1cos

1cos

1

n

nl

xn

nl

ldx

l

xnsen

lb

ll

n cos11

cos.

1 00

...3

/3cos

2

/2cos

1

/cos2

cos11

cos1

0

cos2

1

1

0

lxlxln

l

nsenxf

l

xnsenn

nl

xnnsen

nxf

l

xnsenb

l

xna

axf

n

nnn

Problema de Dirichlet para o Disco

fau ,

011

22 u

ru

ru rrr

rRru ,


0''1

'1

''2

Rr

Rr

R

'''''2

R

Rr

R

Rr

0''2 RrRRr

0''

Problema de Dirichlet para o disco e o semi-disco

011

2

~

2

~

2

~2

t

u

rr

u

rr

u

0''1

'1

''2

RTr

TRr

TR ''1

'1

''2

RTr

Rr

RT

T

T

R

R

rR

Rr

'''

'1''2

0'' TT

Caso 1: 20 0'' 2 TT

ececy 21

Caso 2: 0 0'' T 1' cT 21 cxcT

Caso 3: 20

022 r ir 2,1 tsenctcT 21 cos

2coscos Tt

022cos02 21 senccy nsensen 222cos

n 22

n

n

0''2 RrRRr

r

rzRrzR

dr

drzR '

22

''''''

r

rzR

r

rzR

r

rzR

dr

drzR


rzRrzRrzRr '''''2 0'''' rzRrzRrzRrzR

0'' rzRrzR 022 nr nir nrnirzrreerR ln

11

nrnirzrreerR ln

22

n

n

rrrR

1,

Resposta:

senntrntrrR nn cos

Solução da equação geral para o disco

11

0 cos2 n

n

n

n

n

n senntrbntraa

tf

2

0cos

1ntdttfn

2

0

1senntdttfn

Exemplo: Resolver o probelma para o disco 4,cos5 Rttf

11

0 cos2 n

n

n

n

n

n senntrbntraa

tf

ttteeeeeeeee

eeeeeeeeeee

eeeeeeeeeet

ititititititititit

ititititititititititit

itititititititititit

cos103cos55cos22

.52

10

2

10

2

5

22.1

22.5

22.10

22.10

22.5

2.1

225

5

224

5

223

5

222

5

221

5

220

5

2cos

5

5

5

3

555

3

5

5

5

5

4

4

3

3

2

2

2

2

3

3

4

4

5

55041

32231405

5

0cos103cos55cos

1cos

11 5

´0 tdttttdtdxxf

la

l

l

l

ldxxf

la

10


ntdttnttnttntdttttn coscos10cos3cos5cos5cos

1coscos103cos55cos

1

0cos1 5 ímparímparxpartsenntdtn

1

cosn

n

n ntratf

# Resolva o problema do disco para

4,cos2 Rttf

11

0 cos2 n

n

n

n

n

n senntrbntraa

tf

0cos

11 2

´0 tdtdxxf

la

l

l

Semi-disco

0

2senntdttfRb n

n

Equação de Onda: Vibrações de uma corda Elástica

ttxx uua 2

Ta 2

0,0 tu 0, tlu

lxxftxu 0,,

lxxgxu 0,0,


Problema da onda para corda infinita

2

2

2

22

t

u

x

ua

00, xu

00,

t

xu

atxfatxftxu 2

1,

Passo1:

2

2

2

22

t

u

x

ua

xfxu 0,

00, xut

atx

atxduuf

atxu

2

1,

1,0

1,10,

x

xxfxu

1,0

1,1

atx

atxatxf

teres

atxatatxf

tan,0

11,1

teres

atxatatxf

tan,0

11,1

Passo 2

2

2

2

22

t

u

x

ua

00, xu

xgxut 0,

atx

atxduug

atxu

2

1,

0

~2

u

,~

U


Passo 3

2

2

2

22

t

u

x

ua

xfxu 0,

xgxut 0,

solução

atx

atx

atx

atxduug

aduuf

atxu

2

1

2

1,

Posição inicial

xfxu 0,

Velocidade Inicial

xgxut 0,

Fórmula de D´Alembert

0xf 0xg

atx

atxgatxfatxftxu

2

1,

Exemplo 1:

1,0

1,10,

x

xxfxu

1,1

1,20,

x

xxgxut

atx

atx

atx

atxduug

aduuf

atxu

2

1

2

1,

1,0

1,1

atx

atxatxf

teres

atxatatxf

tan,0

11,1

1,0

1,1

atx

atxatxf

teres

atxatatxf

tan,0

11,1


1,0

1,2

atx

atxatxg

teres

atxatatxf

tan,0

11,2

1,0

1,2

atx

atxatxg

teres

atxatatxg

tan,0

11,2

a

at

a

at

a

dxa

dxa

duatxfa

duatxfa

duufa

at

at

at

at

atx

atx

atx

atx

atx

atx

211

12

11

2

1

2

1

2

1

2

1 1

1

1

1

aaaaa

dxa

dxa

duatxga

duatxga

duuga

at

at

at

at

atx

atx

atx

atx

atx

atx

42222

2

122

2

1

22

12

2

1

2

1

2

1

2

1 1

1

1

1

Resposta:

a

at

aa

atduug

aduuf

atxu

atx

atx

atx

atx

642

2

1

2

1,

Problema 2

0xf 0xg

Condições

00 X

0lX

Passo 1

TXuxx ''

''XTutt

tTxXtTxXa ''''2

tT

tT

xX

xXa

''''2

0''2 xXxXa

0'' tTtT


Caso 1: 20

0'' 22 xXxXa

022 r 2,1r

Caso 2

Caso 3

Equação da Onda para corda finita com extremidades fixadas

ttxx uu 2

0,,0 tlutu

xfxu 0,

xgxut 0,

Problema

00, xut

xfxu 0,

2

2

2

22

t

u

x

ua

0,0,0 lutu

Buscamos

tTxXtxu ,

Solução do Problema da forma:

tTxXAtxu n

n

nn

0

,

l

n dxl

xnsenxf

lA

0

~ 2

tT

tT

xX

xXa

''''2

0''2 xXxXa

02 r

ir 2,1

xsencxcxX 21 cos

000 1 cX

l

nn

a

l

a

xsenclX

00 2


l

xnsencxX

2

l

nn dxl

xnsenxg

ll

anbc

0

2

l

atn

l

xnsenBtxu

n

n

1

2 cos,

Corda elástica com deslocamento inicial não nulo

ttxx uua 2

0,0 tu 0, tlu tTxXtxu ,

T

T

aX

X ''1''2

0''

0''

2

TaT

XX

00 X 0lX

l

atn

l

xnsentxun

cos,

l

atn

l

xnsentxvn

cos,

11

cos,,,n

nn

n

nnnnnl

atnk

l

atnsenc

l

xnsentxvktxuctxu

1

0,n

n xfl

xnsenkxu

Coeficiente

l

n dxl

xnsenxf

lk

0

2

xftxu , 00, xu


1

00,n

ntl

xnsen

l

xncxu

1

cos0,n

ntl

xn

l

xnsenkxu

Solução Geral

1

cos,n

nnl

atn

l

xnsenktxu

Problema geral da corda elástica

ttxx uua 2

Condições de contorno

0,0 tu 0, tlu

Condições iniciais

xftxu , xgxu 0,

f(x) – posição inicial da corda

g(x) – velocidade inicial da corda

1

00,n

nl

xnsenkxu

l

n dxl

xnsenxf

lk

0

2

1

0,n

nt xgl

xnsenc

l

xnxu

l

n dxl

xnsenxg

lc

l

an

0

2


Resumo para equação de onda

Solução Geral

l

atn

l

xnsenktxu

n

nn

cos,

1

Coeficiente

l

n dxl

xnsenxf

lk

0

2

Exemplo 1: Considere uma corda de L=30 vibrando e a equação de onda satisfaz a

equação

ttxx uu 4

Assumindo que o final da corda esteja presa e que o movimento da corda não

possui velocidade inicial. A posição inicial é dada por

3010,20/30

100,10/

xx

xxxf

Ache a equação do deslocamento da corda que descreva o movimento em um

período.

1 30

2cos

30,

n

nn

tnxnsenktxu


3cos

900cos

900

3

600cos

15

1

3

9002

3cos

2

30cos

900

3

600cos

15

1

3

9002

3cos

2

30

30

3030

30cos

15

1

30

90030

3cos

30

15

1

30cos30

30cos30

300

1

30cos

30

30cos

30

150

1

3020

30

30

2

301030

2

222222

30

10

2222

30

10

30

10

10

0

22

30

10

30

10

10

0

10

0

30

10

10

0

n

nn

n

nsen

nn

nsen

nn

n

n

xn

n

nsen

nn

nsen

nn

n

n

dxxn

senn

xnsenx

nn

xnsen

nn

n

n

xnx

xnxdx

xn

n

xn

n

x

dxxn

senx

dxxn

senx

kn

3

922

nsen

nkn

030

2cos

303

9,

122

n

n

tnxnsen

nsen

ntxu

O resultado mostra que não há deslocamento no intervalo de tempo especificado.

Exercícios

1) Achar o deslocamento u(x,t) em uma corda, fixa nas duas extremidades e que é

movimentada dedilhando-se no centro. Neste caso u(x,t) obedece às equações

com f(x) definida por

lxlxlA

lxAxxf

2/,

2/0,

3cos

900cos

900

3

600cos

15

1

3

9002

3cos

2

30cos

900

3

600cos

15

1

3

9002

3cos

2

30

30

3030

30cos

15

1

30

90030

3cos

30

15

1

coscoscoscos

3020

3022

222222

30

10

2222

30

10

30

10

10

0

22

2/

2/

02/

2/

2/

10

0

n

nn

n

nsen

nn

nsen

nn

n

n

xn

n

nsen

nn

nsen

nn

n

n

dxxn

senn

xnsenx

nn

xnsen

nn

n

n

dxl

xn

n

l

l

xnxl

n

lAdx

l

xn

n

l

l

xn

n

lxA

dxxn

senx

ldx

l

xnAxsen

lk

l

l

ll

l

l

l

l

ln


Autovalor

0,','' xyxLxyxpxy

Ache os autovalores e os autovetores de

01'2'' xyxyxy

Solução:

00 y

01 y

0122 rr

Seja uxsxy .

xsuuxsxy '.'.'

xsuxuxsxsuxsxsuxsuuxsxy ''''2''''''.'''.''.''

Documents

CÁLCULO 4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS