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Text of C´alculo Avanc¸ado. - edo- ?· variedade importante de equac¸˜oes diferenciais pode ser...

  • Calculo Avancado.

    Tarcisio Praciano-Pereira

    Departamento de Matematica

    Universidade Estadual Vale do Acarau

    Sobral, 27 de maio de 2007

    tarcisio@member.ams.org

    2

  • 28.8

    14.5

    0.2

    grafico - Scilab

    -5.0 -0.1 4.9

    -15

    -0

    15

    O plano de trabalho.Queremos sugerir-lhe um modo de usar este livro que se poderia se asse-

    melhar ao de um hipertexto 1. A ultima parte do livro e um ndice remissivoalfabetico em que todas as palavras-chave do texto se encontram al listadas comreferencia as paginas em que elas se encontram. Verifique agora, por exemplo,Fourier, ou vetor, e voce vera a lista das paginas em que estas palavras se en-contram pelo menos alguma vez com uma definicao adequada. Esta e formaque encontramos para algumas vezes lhe sugerir uma leitura la na frente, ilus-trando algum conceito que ainda viria no futuro. Parece-nos uma forma menosbrutal que a indicacao numerica. Faca uso intensivo do ndice remissivo comose voce se encontrasse na frente de um hipertexto e nos desculpe pela demorade acesso...e nao se esqueca de colocar um marcador de pagina para saber deonde saiu. . .

    Uma sntaxe se impoe nas comunicacoes, tentamos usar o italico com duasintencoes: palavras-chave que voce podera encontrar no ndice remissivo al-

    1que pretensao.. mas e mesmo assim!

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    fabetico, ou, palavras das quais voce deve desconfiar porque elas estao maldefinidas ou apresentadas de modo intuitivo. O negrito se encontra reservadopara as palavras tecnicas que tem uma definicao bem clara no texto. Estaregra, entretanto, ainda esta em construcao e podera falhar aqui ou al, pelomenos nesta edicao experimental.

    Um outro elemento sintatico e a letra pequena, ela indica que o texto escritocom ela pode ser ignorado numa primeira leitura, mas que nao precisa ser igno-rado definitivamente, representam exemplos ou observacoes mais aprofundadase que podem ser lidas como uma curiosidade teorica sem consequencias maiorespara o resto do texto.

    Este uso da enfase no texto, tem segundas intencoes, uma delas (das in-tencoes), de salientar uma bolha logica, nos vai permitir de falar de concei-tos que nao podemos definir no momento sem criar um texto ilegvel. E umaatitude propria de um livro didatico, nele se tem, como primeiro objetivo, acomunicacao com o estudante, a exposicao de Matematica para quem a queraprender, e obviamente, nao se dirige a quem ja a domina. Assim, avancaremosalguns conceitos cuja definicao formal seria crtica, mas sua apresentacao numestagio inicial completa uma visao global que o estudante ja deveria ate mesmoter, nao fosse a fragilidade do nosso sistema educacional.

    O uso de astersco nalgum exerccio, tem o sentido de que o mesmo podeser mais difcil ou que o mesmo se encontra fora do contexto. O objetivo naodeve ser o de desencorajar quem os tentem resolver. Afinal, difcil, nao e umqualificativo absoluto, nem siquer relativamente a uma mesma pessoa ao longodo tempo.

    Este livro tem duas partes dentro das quais distribuiremos os assuntos:

    1. Calculo Diferencial;

    2. Calculo Integral.

    Mas observe que as departamentalizacoes sao autoritarias e artificiais. Elas saofeitas para atender uma necessidade pratica de disposicao de assuntos, comobjetivo sistemico, mas nao se podem tornar camisas de forca nem sugerir que oconhecimento pode ser adquirido linearmente. Assim, voce ira encontrar muitouso da integral dentro da primeira parte... e muito uso da derivada na segundaparte apesar de que estas partes tem objetivos reversos, (na primeira parteestaremos derivada e na segunda a integral).

    Vamos a uma rapida justificativa de nossa escolha de desenvolvimento doassunto que tambem servira de uma introducao.

    A primeira razao das coisase que pretendemos escrever uma colecao de pe-quenos livros cobrindo toda a matematica do que se chama Calculo Avancadoe que em nossa opiniao deve ser estudado num segundo ano de graduacao portodos os estudantes de ciencias, sejam eles futuros engenheiros ou futuros pro-fessores da Escola Secundaria, ou futuros professores de Matematica da Univer-sidade. Observe nossa posicao, intencional, de associar profissionais, queremosdizer, sim, que o professor da Escola Secundaria deve ter uma base matematica

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    tao excelente quanto um professor da Universidade da mesma forma como ossalarios deveriam ser iguais.

    O conteudo de um tal curso deve estender as ideias do Calculo a uma variavelpara um ambiente em que as funcoes sao multivariadas, deve usar com grandeliberdade os conceitos de geometria e, portanto, de Algebra linear, que e alinguagem adequada para expressar este novo tipo de variavel, os vetores. Oselementos da Algebra Linear, sao variaveis multi-numericas. Uma consequenciadeste fazer consiste numa formalizacao intensa da linguagem matematica e devemostrar explicitamente que a Matematica e uma linguagem abstrata mas naopode deixar de traduzir a realidade de outras ciencias, ou do mundo real.

    Como a realidade das outras ciencias, com frequencia, se traduz sob formade uma taxa de variacao, entao as equacoes diferenciais tem de ser pelo me-nos iniciadas com um maximo de seriedade o que implica mostrar ao estudanteque sabemos pouco sobre elas, mas que sabemos alguma coisa e que uma certavariedade importante de equacoes diferenciais pode ser resolvida. Neste textonao incluiremos equacoes diferenciais diretamente, mas pretendemos que o lei-tor se encontre preparado para um curso moderno de equacoes diferenciaisordinarias ao termina-lo, em que moderno significa centrado nas equacoes linea-res, vistas como sistemas dinamicos2, e nas nao lineares como aproximacao daslineares. Consequentemente o conceito de aproximacao tem que estar presentede forma dominante.

    E preciso declarar que temos uma clareza completa da falta de organizacaoa que se chegou no ensino brasileiro, produto de anos sucessivos de descaso go-vernamental com a educacao, descaso este que apenas continua, sem mostrasde que um dia venha a se acabar. A consequencia disto e uma desorganizacaointelectual total. Apresentar Matematica seriamente numa situacao deste tipoapresenta dificuldades suplementares. Deve-se esperar que os estudantes dosegundo ano venham com bolhas de conhecimento significativas porque os pro-fessores do ano anterior tiveram que se ocupar de discutir inclusive a materiada escola secundaria.

    Parte do nosso objetivo, portanto, e fazer a ponte necessaria entre os co-nhecimentos rudimentares da matematica univariada a multivariada o que podeser feito se, pelo menos admitirmos como verdadeiro, que o estudante ganhoualguma experiencia nos cursos do primeiro ano.

    Queremos usar computacao como apoio para o aprendizado, neste sentidosugerimos que o estudante faca uso dos programas que escrevemos. Estes pro-gramas podem ser obtidos ou no disco que ecompanha este livro, ou em comu-nicacao com o autor,

    tarcisio at member.ams.org

    Entre as muitas dificuldades que voce podera encontrar com a presenca decomputacao neste livro e a simples dificuldade de usa-la por falta absolutade meios. Primeiro que tudo nao se sinta intimidado ou humilhado, procureencontrar uma solucao para este problema. Seria desonesto de nossa parte

    2moderno ? comecou com Poincare ha mais de um seculo...

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    omitir esta possibilidade, apenas porque vivemos num pas em que o governo seencontra de costas para a nacao e com isto deixa as Escolas e Universidades semos meios adequados para que elas cumpram a sua funcao.

    Tarcisio,e-mail tarcisio at member.ams.orgSobral, 27 de maio de 2007

  • Sumario

    I Calculo Diferencial no espaco vetorial R3 9

    1 Numeros e geometria no R3 13

    1.1 Operacoes com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Exemplos de espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Derivadas de funcoes bivariadas 29

    2.1 A derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3 Operacoes e derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4 A formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3 Series e aproximacao de funcoes. 61

    3.1 A serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.1 O erro medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.2 O erro integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.2 Polinomios Trigonometricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Aproximacao polinomial classica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    3.3.1 Quadrados mnimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.2 O metodo de Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    3.4 Series numericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.1 Definicoes e exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.2 Criterios de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    3.5 Series de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.5.1 Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    3.6 Generalizacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6.1 Espacos de funcoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6.2 Convergencia condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    4 Aplicacoes 113

    4.1 As series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Fenomenos vibratorios, a musica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3 As comunicacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4 Compactacao de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.5 Equacoes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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    6 SUMARIO

    4.6 Tabelas diversas . . .