FTC Faculdade de Tecnologia e Cincias
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Cursos de Engenharia Clculo Avanado / Mtodos Matemticos / Clculo
IV
2 Lista de Exerccios: Tpicos de Clculo Vetorial 2012.2
Profs: Ilka Freire / Ricardo Luis Queiroz1. Esboar o grfico das
curvas representadas pelas seguintes funes vetoriais:
a) .d) .
b) .e)
c) .
2. Seja e , com e ; .
Calcule: a) . b) .
3. Uma partcula se desloca no espao. Em cada instante t ( t >
2) o seu vetor posio dado por .
a) Esboce a trajetria da partcula e determine a posio da
partcula nos instantes t = 3;
b) Quando t se aproxima de 2, o que ocorre com a posio da
partcula?
4. Calcule:
a)
b)
5. Determinar a derivada das seguintes funes vetoriais:
a)
c)
b)
d)
6. Determine as equaes paramtricas da reta tangente ao grfico de
r(t) no ponto em que t = toa) r(t) = t2 i + ( 2 ( lnt) j; to = 1;
b) r(t) = 2cos(t i + 2sen(t j + 3t k; to = 1/37. Seja o vetor posio
de uma partcula em movimento no espao. Determine os vetores
velocidade e acelerao para qualquer instante . Determinar, ainda, o
mdulo destes vetores no instante .
8. Se o vetor posio de uma partcula em movimento, mostrar que o
vetor velocidade da partcula perpendicular a .
9. Um ponto move-se sobre uma curva C de modo que o vetor posio
igual ao vetor tangente , para todo t. Encontre as equaes
paramtricas de C.
10. Se dois objetos viajam pelo espao ao longo de duas curvas
diferentes importante saber se eles vo colidir. Por exemplo, um
mssil vai atingir seu alvo? Duas aeronaves vo colidir?. As curvas
podem se interceptar mas precisamos saber se os objetos estaro na
mesma posio no mesmo instante t. Suponha que as trajetrias de duas
partculas P1 e P2 sejam dadas respectivamente pelas seguintes funes
vetoriais
e
a) Encontre o instante em que as duas partculas colidem e a
posio nesse instante.b) Calcule o vetor velocidade de P1 e o vetor
acelerao de P2 no instante da coliso.
11. Calcule a derivada direcional sendo dados:
(1,1) e o versor de ( 3, 4)b) ; (3, 3) e
(3, 2) e
d) ; e o vetor que faz ngulo com o eixo OXe)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 o vetor que faz ngulo com o eixo OX
f) . (1, 1, 1 ) e = ( 1, 0, (1 )
g) .
12. Determine o vetor posio de uma partcula em movimento sabendo
que o vetor tangente em cada ponto da sua trajetria igual a , sendo
e que no instante inicial do movimento a partcula se encontrava no
ponto ( 1,1). 13. Determine o gradiente de f no ponto indicado:
a) .
b) .
14. Esboce a curva de nvel de f que passa por P e desenhe o
vetor gradiente em P.
a) .
b) .
15. Uma chapa de metal est situada em um plano xy, de modo que a
temperatura T em (x,y) inversamente proporcional distncia da
origem, e a temperatura em P(3,4) 100o F.
a) Ache a taxa de variao de T em P na direo de i + j;
b) Em que direo e sentido T aumenta mais rapidamente, em P?
c) Em que direo e sentido T decresce mais rapidamente, em P?
d) Em que direo a taxa de variao nula?
16. Se um potencial eltrico em um ponto (x,y) do plano xy V(x,y)
ento o vetor de intensidade eltrica em um ponto (x,y) . Suponha que
. Determine o vetor intensidade eltrica em e verifique que, em cada
ponto do plano, o potencial eltrico decresce mais rapidamente na
direo e sentido do vetor E.
17. O potencial eltrico V em um ponto P(x,y,z) num sistema de
coordenadas retangulares dado por Determine a taxa de variao de V
em P(2, (1, 3) na direo de P para a origem, ou seja , na direo do
vetor . Determine a direo e sentido que produz taxa mxima de variao
de V em P. Qual a taxa mxima de variao em P?
18. Determine div F e rot F nos seguintes casos:a)
b)
c)
d)
19. Sendo F(x,y,z) = 2x i + j + 4 k e G(x,y,z) = x i + y j ( z
k, calcule ( . ( F ( G )
20. Sendo F(x,y,z) = senx i + cos(x y) j + z k, calcule ( . (( (
F)
21. Sendo F(x,y,z) = xy j + xyz k , calcule ( ( (( ( F)
22.
a) Seja u um campo escalar e um campo vetorial. Diga,
justificando, se cada expresso a seguir tem significado. Em caso
afirmativo diga se o resultado um campo escalar ou vetorial: a1) ;
a2) a3) a4) ; a5)
B) Calcule o valor das expresses que tm significado no item A)
para e
23. Define-se o operador (2 = ( .( = . Se (2 opera sobre
u(x,y,z) produz uma funo escalar chamada de Laplaciano de f , dada
por . Funes que satisfazem a equao de Laplace , (2 = 0, so chamadas
de funes harmnicas e desempenham papel importante nas aplicaes
fsicas.
Verifique se as seguintes funes so harmnicas em algum
domnio:
a)
b)
c)
24. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial
indicado
a) f(x,y ) = arctg (xy ); b) f(x,y,z) = x2 3y2 + 4z2; c)
f(x,y,z) = sen( x2 + y2 + z2 )
25. Confirme que u uma funo potencial de F
a) u(x,y) = 2y2 + 3x2y xy3 e F(x,y) = (6xy (y3) i + (4y + 3x2
(3xy2) j.
b) u(x,y,z) = xsenz + ysenx + zseny e F(x,y,z) = (senz + ycosx)
i + (senx + zcosy) j + (x cosz + seny) k.
26. Verifique se os campos vetoriais so conservativos e em caso
afirmativo determine uma funo potencial para os mesmos
a) F(x,y) = xi + yj
b) F(x,y) = x2 i + 5xy2 j
c) F(x,y) = (cosy + ycosx)i + (senx (xseny) jd)
e) = (ycosxy + yexy)+(xcosxy + xexy) +
f) = (yz + cosx)+(xz ( seny) +xy
27. Seja C a curva dada pelas equaes x = 2t; y = 3t2 ( 0 ( t (
1). Calcule as seguintes integrais de linha ao longo de C:
a)
b)
28. Calcule as seguintes integrais curvilneas ao longo de C
a)
C o grfico de y = x3 + 1 de ((1,0) a (1,2).
b)
C o grfico de x = y3 de (0,0) a (1,1).
c)
C o grfico de x = et; y = e(t; z = e2t 0 ( t ( 1.
d)
C o segmento de reta que liga A(1,2,3) a B(2,0,1).
29. Calcule ao longo de cada curva C abaixo de (0,0) at
(1,3).
a)
b)
c)
d)
30. A fora em um ponto (x,y,z) dada por F(x,y,z) = y i + z j + x
k . Ache o trabalho realizado por F(x,y,z) ao longo da cbica
reversa x = t; y = t2; z = t3 de ( 0,0,0) at (2,4,8)
31.
a) Mostre que a integral de linha independente do caminho
b) Calcule a integral ao longo do segmento de reta de ((1,2)
para (1,3)
c) Calcule a integral usando a funo potencial para confirmar que
o valor o mesmo obtido na parte b)
32. Mostre que as integrais a seguir so independentes do caminho
e calcule o seu valor
a)
b)
c)
d)
e)
f)
33. Determine o trabalho realizado pela fora para deslocar uma
partcula ao longo da curva , do ponto A( (1, (2, 0) ao B( (2, (1,
0). Esse trabalho maior, menor ou igual ao realizado pela mesma
fora para deslocar uma partcula em linha reta de A at B?
34. Calcule o trabalho realizado pela fora, sobre uma partcula,
ao longo de C, de A(2,4,2) a B(2,0,0), onde C
a) o segmento de reta AB; b) a parbola y = z2 no plano x = 2
35. Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais
curvilneas
a)
ao longo do tringulo de vrtices (0,0), (1,2) e (2,0) no sentido
anti-horrio.
b)
ao longo da elipse no sentido horrio.
c)
ao longo do retngulo de vrtices (0,0), (3,0),(3,2) e (0,2), no
sentido anti-horrio.
d)
ao longo do crculo x2 + y2 = 4, no sentido anti-horrio.
e) , sendo
C o tringulo de vrtices A(0,1); B(3,1) e C(2,2) no sentido
horrio.
Respostas
1.a) segmento de reta; b) elipse no plano y = 4; c) parbola no
plano x = 1; d) reta; e) parbola no plano y = 2
2. a) . b) .
3. a) ( 3, 1, 1 ) 4. a) . b)
5.a) . b) .
c) . d) .
6. a) x = 1 + 2t; y = 2 ( t; b)
7.
; .
9. x = aet; y = bet; z = cet , a, b e c constantes
arbitrrias.
10. a) As partculas colidem no instante t = 3 e esto na posio (
9,9,9)
b) ;
11. a) -2/5; b) zero; c) -6/169; d) e) . f) ; g) ; 12. 13. a)
-36i-12j; b) 4i+4j. 14. a) a curva de nvel a reta y = 2x e o vetor
gradiente (4, -2) b) a curva de nvel a elipse x2 + 4y2 = 4 e o
gradiente ( (4,0)
15. a) ; b) a direo de -12i -16j; c) a direo de 12i +16j; d) a
direo de 4i -3j.
16.. 17. ; 18. a) div F = 2x + y; rot F = z i
b) ;
c) ; ; d) ;
19. 0; 20. 0; 21. ( 1 + y ) i + x j; 22. a) a1) e a5) no tm
significado; a2) e a4) so campos vetoriais e a3) escalar; b) ; =
0;
. 23. b) e c) so harmnicas
24. a) ; b) F(x,y,z) = 2x i (6y j + 8z k;
c)F(x,y,z) = 2x cos(x2 +y2 +z2) i + 2y cos(x2 +y2 +z2) j + 2z
cos(x2 +y2 +z2) k
26. a) conservativo; ; b) e d) no conservativo
c) conservativo; u(x,y) = xcosy +ysenx + C; e) conservativo; u =
senxy + exy +z + C
f) conservativo; u = xyz + senx + cosy + C
26. 14; 27. a) 0; b) (1/2
28. a) 34/7; b) 0; c) c)(1/12) (3e4 + 6e (2 (12e + 8e3 ( 5 ); d)
12;
29. a) 15/2; b) 6; c) 7; d) 29/4 ; 30. 412/15
32. a) (6; b) 9e2; c) 32; d) 0; e) 5; f) 2e + e (2
33. 1; o trabalho igual; 34. a) e b) 2/3;
35. a) 8; b) (12 (; c) (36; d) 8 (; e) 3/2
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