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7/23/2019 Clculo Diferencial e Integral 2 - Unidade 6- Derivadas
Direcionais, Gradientes e Pontos Crticos
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Ensino Superior
6. Derivadas Direcionais, Gradientese Pontos Crticos
Amintas Paiva Afonso
Clculo 2
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Derivadas Direcionais
As derivadas parciais de uma funo de duas variveis f(x,y) so
consideradas na direo do eixo x (fx) ou do eixo y (fy).
Quando se considera uma direo qualquer no domnio de f(x,y),
ou seja, no plano xy, tm!se a derivada direcional que vale"
)..).(.sen.(cos jy
fi
x
fji
u
ffu
+
+=
=
Foi considerada a direo do vetor unitrio u, u = cosi + senj
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.
A curva z = f (x, y0)no planoy = yo
Esta reta tangente tem
coeficiente angular f (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)
no planox = xo
Esta reta tangente tem
coeficiente angular f (x0, y0)
Derivadas Parciais
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Derivadas Parciais
SuperfcieS:
Reta tangente
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ra ente e uma un o e v r asvariveis
O segundo termo do produto escalar daderivada direcional o vetor
gradiente.
Este vetor fornece a direo e sentido no
qual ocorre a maio variao das curvasde nveis da funo de duas
variveis.
jyfi
xfyxfyxfGrad ..),(),((
+
==
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Decrscimo mais
rpido de f
Aumento mais
rpido de f
Variao zero
de f
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urvas de !vel
A curva
Decrscimo mais
rpido de f
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E"erccios
#) $e f(x,y) % &x' y, ac*e o +radiente e o valor da funo
no
ponto (#,'). Ac*e t a taxa de variao de f(x,y) na direo de
-,'&p neste ponto.
') A temperatura em cada ponto (x,y) de uma placa retan+ular
situada no plano xy determinada pela expresso" /(x,y) % x'
y'.
(a) Ac*e a taxa de variao da temperatura no ponto (,0) na
direo e no sentido que fa1em um 2n+ulo de -,p com o eixo x
positivo. () ac*e a direo e o sentido em que a taxa de variaono
ponto (!,#) mxima.
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Pontos rticos
Mximo e Mnimo Local:
a) f(a,) um valor mximo local de f(x,y), se f(a,) 3 f(x,y)
para
todos os pontos do domnio (x,y) em um disco aerto centrado
em
(a,).
) f(a,) um valor mnimo local de f(x,y), se f(a,) 4 f(x,y) para
todos
os pontos do domnio (x,y) em um disco aerto centrado em
(a,).
5estes dois casos fx% fy% -
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#"imos e #nimos
!imo local
(no e!iste um valor defmaior pr"!imo)
#nimo local(no e!iste um valor de
fmenor pr"!imo)
$uperf#ciez = f(x, y)
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#"imos e #nimos
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!o Ponto de $ela.tam%m f" & f' & (
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Pontos rticos de f)"*'+
Critrios:
(a) 6ximo" fxxfyy7 (fxy)'3 - e fxx4 -
() 6nimo" fxxfyy7 (fxy)'3 - e fxx3 -
(c) 8onto de sela" fxxfyy7 (fxy)'4 -
(d) /este inconclusivo" fxxfyy7 (fxy)'% -
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E"erccios
,+ Encontrar os valores e"tremos locais da funo
f)"*'+ & "' - " - ' - " - '/ 0.
+ Encontrar os valores e"tremos locais da funo
f)"*'+ & "'.
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