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, CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL VOLUME 11 Armando Righetto Antonio Sérgio Ferraado Professores do Instituto Politécnico de Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda IBEC - Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. 1982

Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

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,CALCULO

DIFERENCIALE INTEGRAL

VOLUME 11

Armando RighettoAntonio Sérgio FerraadoProfessores do Instituto Politécnicode Ribeirão Preto daInstituição Moura Lacerda

IBEC - Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda.1982

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Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançarcertos objetivos.

Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores emquase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas.

Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indis-pensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicinae de Computação.

Os dois volumes são ricos em exercícids resolvidos e propostos. Estes, comrespostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução.

O primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano,com 4 ou 6 'horas aula semanais. '

Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limi-tes, derivadas e diferenciais. Cálculo, 11, no segundo termo letivo, com a mesmaduração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais defrnidas, cálculode áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.

O segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos.Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais,

diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Bio-logia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mÚlimos, derivadas direcionais,integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries.

Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos efunções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores eNúmeros complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto.

Procuramos familiarizar o aluno com o pesnamento matemático e a mani-pular modelos por métodos matemáticos.

Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for-maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões.

OS AUTORESRibeirão Preto, maio de 1981

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ÍNDICE

Capítulo 1

Funções de Várias Variáveis '. . . 3Conceitos Básicos. Limites. Continuidade. Problemas Resolvidos .. ProblemasPropostos.

Capítulo 2

Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . . . . . . . . . .. 19Acréscimos. Derivadas Parciais. Interpretação Geométrica das DerivadasParciais.Derivadas Parciais de Ordem Superior. Invertibilidade da Ordem de Derivação.Exercfcios Resolvidos. Exerdctos Propostos.

Capítulo 3

Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51Diferencial Total. Aplicações. Diferenciais de Ordem Supen'or. Problemas Resol·vidos. Problemas Propostos.

Capítulo 4

Funções Compostas 79Funções Compostas de uma VariávelIndependente. Funções Compostas de duasou mais VariáveisIndependentes. Diferenciação de Funções Compostas. FunçõesImpUcitas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 5

Máximos e Mínimos 109Máximos e Minimos Locais. Hessiano. Pontos Extremos de Funções ImpUcitas.Ajustamento de Retas. Máximos e Minimos Condicionados. Problemas Resolvi-dos. Problemas Propostos.

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Capitulo 6

Derivadas Direcionais 145Conceitos. Gradiente - Divergente e Rotacional. Campo Vetorial. Curvas deNevel. Funções de três Variáveis - Derivada Direcional. Problemas Resolvidos.Problemas Propostos.

Capitulo 7

Integrais Múltiplas 175Integrais Duplos. Integrais Triplos. Aplicações. Transformações das IntegraisMúltiplas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 8

Integrais Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223Definições. Notação Vetorial das Integrais CurviUneas. Propriedades das IntegraisCurviUneas. Teorema de Green no Plono. Teorema de Green no Espaço. Teore-ma de Stokes. Problemas Resolvidos. Probl~masPropostos.

Capítulo 9

Séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241Séries. Convergência Absoluta e Condicional. Critérios de Convergência e Diver-gência. Série~de Potências. Desenvolvimento em Séries de Potências. ProblemasResolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 10

Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269Definiç6es. Solução de uma Equação Diferencial. Equação Diferencial de Pri-meira Ordem e Primeiro Grau. Aplicações das Equações Diferenciais Lineares.Aplicaç6es das Equações Diferenciais à Biologia. Problemas Resolvidos. Proble-mas Propostos.

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1FUNÇÕES DE vÁRIAS VARIÁVEIS

Reaqueça a confzança nos irmãos que esmo-recem ao contato dos problemos do mundo e osajude a refletir na Bondade Divina que nos'acolhe a todos. ,-

As funções reais de váriasvariáveisreais aparecem naturalmente em problemaspráticos.

Quando procuramos a área S de um paralelogramo de base x e altura y,multiplicamos a base pela altura. Então, o valor de S :::::xy depende dos valoresda base e da altura.

Dizemos que a área S é função das duas variáveisx e y.Da mesma forma concluímos que o volume de um paralelepípedo, de

dimensões x, y e z é uma função de 3 variáveis, pois V = xyz e a cada temode valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume.

Inúmeras funções podem ser definidas por fórmulas.

Assim, z = x + .J Y - 4 é função das variáveis x e y. De fato, a cadax

par (x, y) de números reais, com x '* O e y ~ 4,. corresponde um valor bemdeterminado de z.

A Física, através de suas fórDulas, também oferece inúmeros exemplos defunções de várias variáveis.

Sejam X, Y e Z, conjuntos de números reais, tais que, a cada x E X e acada y E Y corresponda, mediante certa lei f, um e um só z E Z.

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1.1.1 - FUNÇÃO

Diremos que o conjunto Z é função dosY conjuntos X e Y.

Se a cada x E X e a cada y E Y corres-ponder mais de um z E Z, diremos queZ é uma relação de X e de Y.

Concluímos do exposto que

F = {(x, y, z) Ix E X, Y E Y, z E Z Iz = f(x, y)}

onde X e Y são denominados domínio e Z contradomínio. Usa-se representar afunção apenas pela lei de correspondência:

Façamos uma representação gráfica mais conveniente. Tomemos 3 eixosortogonais 2 a 2.

A cada par (x, y) corresponde um z.O terno ordenado (x, y, z) tem porimagem gráfica um ponto do espaço.

A função de 2 variáveis reais é defi-nida em certos pontos (x, y) do planoreal; portanto, o conjunto D destespontos, domínio da função, é uma super-fície de R2•

Fig. 1.2.

Quando a função f é de 3 variáveis x, y, z. A cada terno (x, y, z) corres-ponderá, através da lei f, um valor real w = f (x, y, z). O conjunto de todosos ternos ordenados (x, y, z) de números reais é o espaço R3 = R X R X R.Logo, toda a função real de 3 variáveis reais é definida em um subconjunto Ddo espaço tridimensional real.

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, ///................................................. 1.. .

Deternúnemos o domínio de algumas funções, construindo um esboço domesmo.

Exemplos:/'

E1 Seja z = xyx-y

A característica da função z é um quociente e ele só é defInido parax - y =1= O, isto é, para x =1= y.O domínio de z é o conjunto D ~ {(x, y) E R21 x =1=y }, conjunto dos pon-tos do plano xOy que não pertencem à bissetriz dos quadrantes ímparesx = y.

./../

././

/

Se· f - VX - 2Ja a unçao z = -_-_-_-_-_.yy - 4

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Além do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A função z édefinida para

x-2~O====>x~2y-4>O===>y>4D = {(x, y) E IR.2lx ~ 2 y > 4}

E3 \ Seja a função z = x2 - 3xy + y2 - 1.\~ Esta função é de.fmidapara \Ix e \ty E IR, então:

D.....:R2

o domínio D é todq o plano real R2•

E4 Seja a função w = 4xy - 6xz + 8yz.O valor de w é defmido em todo ponto (x, y, z) E R3• Podemos admitircomo domínio da função o espaço real R3•

D=R3

Es' Seja a função

w = J 1 - x2 - J 4 - y2 - 2 J 9 - Z2.

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Para w ser um número real bem definido

1 - x" ~ O, 4 - y" ~ O e 9 - z" ~ O

Resolvendo as desigualdades,.resulta-1 :S:;;;x:S:;;;I,-2:S:;;;y:S:;;;2e-3:S:;;;z:S:;;;3

o domínio da função éD = {(x, y, z) E IR31-1 :s:;;; x :s:;;; 1, - 2 :s:;;; y :s:;;; 2, - 3 :s:;;; z :s:;;; 3}

D ,-Geometricamente, o domínio D é um// paralelepípedo de faces paralelas aos pla-

,/ nos coordenados.,,/

No Capo 11I do 1Q volume estudamos limite de uma função real de umavariável. Estendamos tal conceito às funções de duas ou mais variáveis.

Consideremos a função z = f (x, y) de domínio D C IR" e um ponto(xo, Yo) E D, tais que f seja definida em pontos (x, y) bastante próximos doponto (xo, yo). Denominamos vizinhança circular de raio 6 do ponto (xo, Yo) aoconjunto dos pontos (x, y), tais que:

O < .J (x - XO)2 + (y - Yo)z < 6

o < (x - XO)2 + (y - Yo)" < 6"

que constitui o disco aberto de centro (x o, Yo)'

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Diremos que a constante Q E ]R é o limite da função f, quando o pontovariável (x, y) tende para o ponto (xo, Yo), quando dado um número E: > O,tão pequeno quanto desejarmos, for possível determinarmos em correspondênciacom ele um outro número ô > O, tal que para todo ponto (x, y) que satisfaça ademgwildade .

O < (x - xoi + (y - Yoi < ô2

tenhamos

If(x, y) - Q I < E:

1im f(x, y) = Q(x,y) ~(xo,Yo)

1im f(x, y) = Qx-+xoY-Yo

No cálculo de limites de funções de várias variáveis aplicamos as mesmaspropriedades estudadas no volume I.

Exemplos:

Calcule lim (1 + y2) sen 2 x .

x-o Xy-+l

Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ .

Levantamos a indeterminação

1irn (l + y2) sen 2x = lim sen 2xx -+0 xy x-o Xy-+l y-+l

lim 1 + y2x-o yy-+l

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FUNÇOES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

lim (l + y2) sen 2x = 2 [ lim sen 2X] • 1 + 1x~o xy x~o 2x 1Y~l Y~l

, v .J

-1

lim (l + y2) sçn 2x = 2 • 1 • 2 = 4x~o xyY~l

Calcule lim 2';.x~o X Yy~o

Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ .

Procuremos levantar a indeterminação. _O ponto (x, y) está próximo da origem. São ,inúmeros os caminhos deaproximação do ponto (x, y) à origem e sempre através de uma reta.

S . 2xy 2y drni' d vizinho d'eJa z = + - e a tin o que, nas anças a ongem,x y 1 +L

xo ponto (X, y) tenda a (xo, Yo) através da reta

y = mx ====>.L= mx

19 Caminho:

Segundo a reta y = x, portanto, m = 1. Daí,

lim 2xy = lim 2y = lim 2y = 2 • O = OX ~o x + Y x ~o 1 +.l. x ~o 1 + m 1 + 1y~o y~o X y~o

29 Caminho:

Segundo a reta y = O (eixo dos x) ====>- m = O. Assim,

lim 2xy = 1im 2y _ lim 2y =-º-= O(x,y)~(o,o) x + y . (x,y)~(o,o) 1 +1: (x,y)-(O,o) 1 + m 1

- x

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39 Caminho:11'

Segundo a reta x = O (eixo dos y) ====> m = tg 2" = 00. Neste caso,

lirn 2xy = lim 2y O O(x,y)-+(o,o)X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m - 1 + 00 =

49 Caminho:

Segundo a reta y. = - x ==:> m = - 1. Nestas condições,

lim _2_x~y_= lim _2 y__ O(x,y)-+(o,o) X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m O

Uma função z = [(x, y) diz·se contínua no ponto (xo, Yo) quando

lim [(x, y) = f(xo, Yo)X-+Xo

y-+Yo

Se esta condição não for satisfeita, a função será descontínua no ponto(xo, Yo)'

Exemplos:

E1 Verifique a continuidade da função z = 2xy - 4 no ponto (2, 1).Calculemos:

lim (2xy - 4) = OX-+2y-+l

~ Verifique se a função [(x, y) = 2 - Y senx é contínua no ponto (O, O).x

Calculemos:

[(O, O) = 2 ~ O sen O == g (Deixa de existir o valor da função).

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tim 2 - Y lim (2 ) ti sen x 2 1 2e --senx= -y m--= • =x-o X x-o x-o Xy-o y-o y-o

Nota: Em casos como este, onde deixa de existir o valor da função, masexiste o valor do limite, podemos modificar a definição da função de modo atomá-Ia contínua.~sim:

z =f(x. y) {_2_-_y_ senx para x =1=O

x

.;:) Determine o domínio da função z = Qn (4 - x - 2 y) e faça um esboço grá-J fico.

Solução: Examinemos a função

z = Qn (4 - x - 2y)

Existirá z real para

4 - x - 2y > O ou x + 2 Y - 4 < OD = {(x, y) E lR?lx + 2y - 4 < O}

Vejamos o esboço gráfico.A desigualdade x + 2 y - 4 = Oe não situados sobre a reta.Representemos a reta

x + 2y :- 4 = O

.paray = O--> x = 4para x = 0--> y = 2

Experimentemos o ponto (O, O) nadesigualdade x + 2y - 4 << O > O + O - 4 < O. Oponto (O, O) satisfaz a inequação,logo o semi-plano é o hachurado.

Ç\

~ Determine o domínio da função z = .j - x' + 5x - 4 - v' 3 Y - y' e repre-sente-o geometricamente.

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Solução: Examinando a função, notamos que z real acontece quando

- x2 + 5 x - 4 ~ O e 3 y - y2 ~ O

Resolvendo as inequações:.- x2 + 5 x - 4 ~ O =-~--->- 1 ~ x ~ 43y_y2~O_~>O~y~3

Então,

D = {(x, y)E R211 ~ x ~ 4 O ~y ~ 3}

Representemos graficamente

PR3 Calcule o lim _x_ (1 + yl )Y(x,Y)-+-(O,+oo) sen x \

lim x (1 +1..)y . lim 2:.- lim (1 + yl)Y =(x,y)-+-(o,+oo) sen x Y x-+-o sen X x-+-o

y-+-+oo y-+-oo

J (- 2)2XCalcule lim x (l + x) .-y-2--x-o Y ! - 4Y-2

Solução:

lim x~1 + x) (y - 2)2X = lim (1 + X)l/X (y - 2)2 =x-o V y2_ 4 x-o y2 - 4Y-+-2 Y-2

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PRs Calcule lirn (x2 + 2x - 3)(y2 - 1)"""J/ (x,y)-+( -3,1) xy - x + 3y - 3

Solução:

lirn (x2 + 2x - 3xy2- 1) =

(x,Y)-+(-3,l) xy - x + 3Y - 3

_ 1im (x + 3)(x - 1)(y + 1)(y - 1) =(x,:Y)-+(-3,1) x(y - 1) + 3(y - 1)

_ lim ..(x-l-3J(x - 1Xv + 1XJz--11 =(x,y)-+(-3,1) ~

PR6 Calcule 1im 1 - cos x Qn (1 + y)x-+o xy senxy-+o

Solução:

lirn 1 - cosx Qn (1 + y) = lim [1 - cosx] [.1. fln (1 + y)] _X-+O xy sen x X-+O X sen x yY-+O y-+o

= 1im [1 - cosx] [Qn (1 + y)l/Y] =x-+o X sen x X-+O .y-+o y-+o

= lirn (l - cos xXI + cos x) Qn [ lirn (1 + Y)l/Y] _x-+o (senx(1 + cosx) x-+o,Y-+O y-+o

sen2 x----------..= 1im 1 - cos

2x Qn [ 1im (1 + Y)l/Y] _

x-+o X senx(1 + cosx) x-+oY-+O Y-+O

= 1im senx 1im 1 Qn [ 1im (1 + y)1/Y] _x-+o X X-+O 1 + cos x x-+oy-+o· Y-+O Y-+O

=1 1 n ·11 + 1 Jt.ne =2"

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PR7

Calcule lim x2y - 2x

2- 5xy + lOx + 4y - 8

x -+ 1 x2y - 2 x2 - y + 2Y-+2

Solução: ~e passarmos ao linúte chegaremos a ~. Levantemos a indeter-

núTIação

lim x2 Y - 2 x2- 5 xy + 10 x + 4 Y - 8 =

X-+1 x2(y - 2) - (y - 2)Y-+2

= lim x2 (y - 2) - 5x (y - 2) + 4 (y - 2) =x -+ 1 x2 (y - 2) - (y - 2)y-+2

= lim (x2 - 5 x + 4)(;)z.----21= lim (x - 4)(x--t) _X-+1 (x2 - l~ X-+1 (x + l)(.x----t)-y-+2 y-+2

1 - 4 3- 1 + 1 = -2'"

Estude a continuidade da função z ::: Qn (x2 + y2).

SoluçãÓ: Como g (x, y) = x2 + y2 e f(w) = Qn w, podemos considerar afunção z = Qn (x2 + y2) como composta de g com f:

(fog)(x, y) = f[g(x, y)] = f(x2 + y2) = Qn (x2 + y2)

Esta função é descontínua apenas no ponto (O, O). Portanto, é contínua naregião R2 - {(O, O)},

aw = sen-(3

A função w é descontínua apenas para [3 = O. Portanto, é contínua nossemi-planos abertos

D1 = {(a, (3) E R21[3 > O} e D2 = {(a, (3) E R21[3 < O},

conforme o gráfico.

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PR 10 Estude a continuidade da função

w = 4xyz.J 9 - x2 - y2 - Z2

Solução: Existe w = f(x, y, z) se, e somente se, 9 - x2 - y2 - Z2 > Oou x2 + y2 + Z2 < 9. Portanto, a função w é contínua na bola aberta deraio 3.

PRll\Verifique se a função f(x, Y) = 11- yX . y

2- ; é contínua no ponto

- x y-(1, 2).Solução: Calculemos:

l-If(l, 2) = I _ I

4-4 O=-2 - 2 O

1 - . rx y2 - 4lim __ v_~. --- -l-x y-2-X-J

Y-2

= lim (1 - vx)(I + vx) lim (y + 2)(y - 2) =X-I (1 - x Xl + vx) X-I y - 2y-2 Y-2

1

= ;~1.L-.(l'---'lI:~)(1 :- vx) X~l (y + 2) = I ~ I (2 + 2) = 2Y-2 y-2

A função é descontínua no ponto (1, 2). Para torná-Ia contínua teremos queredefini·la, assim:

{

I - vx- . _y_2_-_4_ para x =1= I e y =1= 2f (x, y) = 1 - x y - 2

2 para x = 1 ey=2

Determine, em cada caso, o maior subconjunto de R3 no qual são defmidasas funções:

PP2

W = x + y - z + 2xyz

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pp4 Z = x - 2y + -J 12 + x - x2~4y _y2

PP5 z = -J Iy I - Ix I

~2x -y - 1z= .Jx+3y-4

Calcule lim 2y(x,y)-(o,o) x + y

Resp.: ~

Calcule 1im y [cotg xl ~n (1 + tg x)(X,y)-(O,o) e2Y - 11

Resp.: 2"

PP 10 Calcule lim 22xy 2

x-o x + Yy-o

Resp.: ~

PPu Calcule ~2 (V"X - ~ ;);1 + 2y)

y-o

V2Resp.: -2-

. esen2X - 1 y 3PP12 Calcule 1im ----. -

x -o sen x cos x y2 - 7y + 12y-3

Resp.: -2

f (x, y) = x2 - 4x + 3 • y2 + 4x2 - 6x + 9 Y - 2

Resp.: Contínua nos pontos {(x, y) E R21x =1=3 e y =1=2}

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PP13 Descreva o subconjunto de ]R'2 em que a função z = cos ; é contínu.a.

Resp.: É contínua nos semi-planos abertos

D" = {(x, y) E R"ly < O}

Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = x + Y .x-yResp.~· Semi-planos abertos {(x, y) E ]R" Ix #: y}.

PP1S Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = 2n (y - x).Resp.: Semi-planos abertos {(x, y) E]R21y > x}.

PP16 A função w = Ix + y - z + 21 é contínua em ]R2. Justifique.

PP17 Determine o conjunto de pontos para os quais a função [(x, y, z) -= ~ x2 + y2 + Z2 - 9 não é definida.

PP18 Determine o ponto para o qual não é definida a função w = X2y2 fn Izl.Resp.: z = O

PP19 Dê o domínio de [(x, y) = arc sen 2x +- y.x Y

12X -y!Resp. : x + y =:;;; 1

PP,o Sendo f(x, y) = x3 - 2xy +3 y2, Calcule f(;, ~).

1 4 ]2Resp.:---+-x3 xy y2

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2DERIVADAS PARCIAIS

Não te queixes, trabalha.Não te desculpes, aceita.Não te lastimes, age.Não provoques, silencia.Não acuses, ampara.Não te irrites, desculpa.Não grites, pondera e explica.Não reclames, coopera.Não condenes, socorre.Não te perturbes, espera.Nada exijas dos outros,Conta sempre com Deus.

Seja a função z = f(x, y) definida na região D C lR? Tomemos o ponto(x, y) E D e atribuamos a x o acréscimo 6.x e a y o acréscimo fj.y, tais que oponto (x + b,.x,y + fj.y) E D.

O acréscimo da função quando passamos do ponto (x, y) ao ponto(x + b,.x, Y + 6.y) é

fj.z = f(x + fj.x, y + fj.y) - f(x, y)

e se chama acréscimo total da função.A variação das variáveis independentes x e y pode ser aferida através da

distância fj.Qentre os pontos (x, y) e (x + fj.x, y + fj.y).

A - 6.z f(x + fj.x y + fj.y) - f1x y) - . alrazao - = ' " , é uma razao mcrement efj.Q 6.Qseu limite, para fj.Q ) Q, definiria a derivada de z = f(x, y), no ponto,

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caso o limite existisse.Entretanto, este limite quase sempre não existe, pois o ponto, (x, y)

poderá aproximar-se do ponto (x + ô'x, y + ô.y) de inúmeras maneiras e o limitevai depender da maneira de aproximação, isto é, da direção de aproximação.Estas considerações levar-nos':ão ao conceito de derivada direcional, que estuda-remps mais adiante.

I - Acréscimo parcial em x

Seja a função z = f(x, y) e o ponto (x, y) ED. Conservemosy constantee atribuamos a x o acréscimo ô'x, tal que o ponto (x + ô'x, y) E D. O acréscimoda função quando passamos do ponto (x, y) para o ponto (x + ô'x, y) é

t1xz = f(x + ô'x, y) - f(x, y)

I~~"~"T......... iz

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.II - Acréscimo parcial em y

Se na função z = {(x, y) conservarmos x constante e dermos a y o acr~s-cimo 6y, de modo a passarmos do ponto (x, y) ao ponto (x, y + 6y), tambémpertencente a D, teremos o acréscimo parcial em y,

6yz = {(x, y + 6y) - {(x, y) .

... -_......1"y Z

z I 1.<;:::/{li.Y::i

(ill.'!'~y

Vimos no capítulo anterior que 6xz = {(x + 6x, y) - [(x, y) e 6yz == {(x, y + 6y) - {(x, y) são os acréscimos parciais em x e y, respectivamente.As razões 6xz = {(x + 6x, y) - {(x, y) e 6yz = {(x, y + 6y) - [(x, y)

6x 6x 6y 6xsão as razões incrementais da função z em relação a x e a y.

Os limites destas razões para 6x ) O na primeira e 6y ) O nasegunda, caso existam, são as derivadas parciais da função Z ={(x, y).

Assim:

1im 6xz = {(x + lu, y) - {(x, y) = az = D {( ) = -r' ( )Ax -+0 6x lu ax x x, y J X x, Y

1im 6yz = {(x, y + 6y) -{(x, y)= az =D {(x ) ={,' ( )Ax-+o 6)' 6y ay y , y y x, y

Exemplos:

E1 Determine a derivada parcial de z = X2y2 - 3xy + 4 em relação a variávelx.Atribuamos a x o acréscimo 6x e façamos y fIxo, teremos:

Page 23: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Valor inicial da função:

f(x, y) = xZy2 - 3xy + 4

Valor acrescido da função:

f(x + Ôx, y) = (x + ÔX)2y2 - 3 (x + 6.x)y + 4

Valor acrescido Valor inicialr_--- Á , r__---A--- •••••••"

ÔxZ == (x + ÔX)2y2 - 3 (x + Ôx)y + 4 - (X2y2 - 3xy + 4)

6.xz _ [x2+ 2x Ôx + (ÔX)2]y2- 3 (x +Ôx)y + 4 _X2y2 + 3xy - 4Ôx - Ôx6.xz- =X2y2 + 2xy2ôx +y2(ÔX)2 ,- 3xy - 3y6.x + 4 _X2y2 + 3xy - 46x 6.x6.xz 2xy26.x - 3y 6.x +y2 (6.X)2 E&t d di·--Ô-x-= ------------'-Ô-x- ......•..--.....--· le uan O a Vlsao-->

6.xz=>--= 2xy2 - 3y +y2ôx

ÔX

Ôxzlim - = lim (2xy2 - 3y + y26.X)

tox-o 6.x tox-o'-----v-----'

ôz "-=2xy"- 3yôx

Observação: Chegaremos a este resultado de forma mais simples aplicandoas regras de derivação estudadas no Cap..N do volume I e considerandoy constante quando derivamos parcialmente em relação a x e, x constante,quando derivamos parcialmente em relação a y.Assim:

az 2

C-=2XY -3yaxz = X2y2 - 3 xy + 4az Z-= 2x Y - 3xay

Ez DeterIlÚne as derivadas parciais de z = sen (x + 3y) - cos (2 x - y).

Solução: Apliquemos a regra prática:

Page 24: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

der. sen • der. arco der. cos • der. arco__ Á A

az' --.., r. ---,

Z C aX = COS(X + 3y) + 2sen(2x - y)

azay = 3 cos (x + 3y) - sen (2x - y)

Uz~ •...2 ~ ~Determine as derivadas parciais de z = Q n x

2- yz com ".2 ~ Y ~:> (),'

x + Y x -,-y:l. I

Solução: Preparemos a função:

az xax = x2 _ yZ

_ 2xy2

- x4 _"y4

x = x3 + xy2 _ x3 + xy2 =XZ + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)

az -yay = xZ _ y2

2x2y- - x4 _ y4

y = _x2y _ y3 _ x2y + y3 _x2 + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)

Page 25: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2.3 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADASPARCIAIS

Seja z = f(x, y)urna função defInida naregião D C R 2 tendopor imagem gráfica asuperfície S do R3 quese projeta sobre D noplano xOy.

Fixemos x, fazendo-o igual a Xo. A função z = f(xo, y) será unicamenteda variável y e representará a curva Cb intersecção do plano x = xo, paraleloao plano yOz, com a superfície S de equação z = f(x, y).

Se fIZermos y = Yo, a função z = f (x, Yo) será unicamente da variávelx e representará a curva C2, intersecção do plano y =Yo, paralelo ao plano xOz,com a superfíCie S.

Obtemos, assim, o ponto Po(xo, Yo, zo) da superfície Se intersecção dascurvas C1 e C2•

A derivada parcial aaz nos dá o declive da tangente t2 à curva· C2 noXo

ponto Po (xo, Yo, zo), em relação à reta (7), paralela ao eixo dos x.

~z-= tgaaxo

A derivada p~cial aaz nos dá o declive da tangente ti à curva C1no pontoYo

Po, em relação à reta (s) paralela ao eixo dos y

I az ~p Iayo

Page 26: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

As duas tangentes tI e tz, tangentes à superfície S no ponto Po, determinamum plano tangente à superfície S, cuja equação geral é

Como ele passa pelo ponto Po (xo, Yo, zo), sua equação é satisfeita pelas coorde-nadas do ponto, assim:

Axo + Byo + CZo + D = O (2)

Subtraindo a (2) da (1) > A (x - xo) + B (y - Yo) + C(z - zo) = O.Isolandb o termo em z ->

A B. > z - Zo = -C(x - xo) -C(y - Yo) (3)

Para y = Yo na (3) ====> z - Zo = - ~ (x - xo), equação da reta tz, tangente-'

à S no ponto (xo, Yo, ~o).Portanto,

A az--=tga=-C axo

Para x = Xo na (3) ====> z - Zo = - ~ (y - Yo), equação da reta th tangente

à S no ponto Po.Portanto,

B az--=tg{3=-C ayo

-Substituindo na (3) - ~ e - ~ pelos seus respectivos valores, resulta

az az·z - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo

equação do plano (17) tangente à superfície S de equação z =I(x, y), no pontoPo (xo, Yô, zo). Deduzamos agora as equações canônicas (simétricas) da normalà superfície S no ponto Po (XO, Yo, zo).

A normal (n) à superfície S no ponto Po (xo, Yo, zo) é perpendicular aoplano (n) tangente à superfície no mesmo ponto e conseqüentemente perpendicularàs tangentes tI e tz.

O vetor diretor da reta (n), normal à superfície S é, portanto paralelo ao~

vetor normal do plano (17) Vn = (A, B, C).~

A normal n = [Po (xo, Yo, zo); Vn = (A, B, C)], terá por equações

Page 27: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x - Xo Y - Yo z - Zo- -A B C

x - Xo Y - Yo Z - Zo-C--= -C--= -C--A B Cx - Xo

A-C

Y - Yo Z - Zo- -B C

-C -C

A ôz B ôz CComo --= - -- =- e --= -1 resultaC ôXo' C ôYo C '

x - XoôzôXo

Y - Yo z - Zo- -ôz -1

ôYo

Exemplos:

E1 Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície z == x2 - 4 y2 no ponto P~(5, - 2).

Solução: Determinemos o ponto Po (xo, Yo, zo), determinando

Zo = (5)2 - 4 (- 2)2~ ~

Xo Yo

Zo = 25 - 16

Zo = 9

Então, Po (5, - 2, 9).As funções derivadas parciais são

C~=2Xôx

z = x2 ~ 4y2

ôz-= -8yôy

derivadas--> ====>no ponto

~. ôz

C- = 2·5 = 103xo

--->ôz- = -8(-2) = 16

ôYo

Page 28: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a) Equação do plano tangente:

az azz - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayoz - 9 = 10 (x - S) + 16 (y + 2)z - 9 = 10x - SO + 16y + 32

110X + 16y - z - 9 = O Ib)IEquação da normal:

x - Xoazaxo

x-S_y+2_z-910 - 16 - -1

Dada a função z = f (x, y), diferenciável, as suas derivadas, parciais sãofunções das -mesmas variáveis.

Assim, ~: = Ix (x, y) e ~; = I; (x, y).

Podemos querer derivar parcialmente estas derivadas. Se for possível, obte-remos as derivadas parciais de segunda ordem da função inicial. As derivadasparciais das derivadas de segunda ordem, se existirem, constituirão as: derivadasparciais de terceira ordem; e assim sucessivamente.

Partindo de z= 1(x, y)

a (az) a2z 4:"az C ax ax = ax2 = Jx,x (x, y).

ax = Ix (x, y) () 2a az a z ,ay ax = axay = Ix,y (X, y)

. a (az) a2z r' ( )

C ax ay = ayax =Jy,~ x, Yaz , ( )ay =Iy x, Y 2

a (az) a z r'- - =-=Jyy(x,y)ay ay ay2 '

Page 29: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Notamos no dispositivo acima que as derivadas parciais de primeira ordem sãoIx e /y. Se essas funçõe~ derivadas admitirem derivadas parciais, iremos obter4 funções derivadas parciais de segunda ordem:

h,x; Ix:y; íJ,x e íJ,ySe as derivadas parciais de 2' ordem admitirem derivadas parciais, iremos obter8 derivadas parciais de 3' ordem, conforme os dispositivo abaixo.

Se for possível continuar derivando, obteremos 16 derivadas de 4' ordem, e assim

sucessivamente. A função derivada parcial de 2' ordem a~2:yindica a derivada

obtida após derivar duas vezes, a primeira vez em relação a x e a segunda vezem relação a y.

Já a função derivada parcial a3z indica a derivada obtida após 3 deri·'axay2

váveis sucessivas, a primeira vez em relação a x, a segunda vez em relação a ye a terceira vez em relação a y.

Consideremos agora a função w = f (x, y, z) e consideremos possível asua derivação sucessiva.

Page 30: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

DElUV ADAS PARCIAIS 29

E4~Xh,x, h,~,yIx"X,x,Z

E4Y,XIx ' . "t'x,y t'x,y,yIx"x,y,z

/ E4~Xh,z h,~,y{;."x,z,zE!Y.~.x

t;,x 1J,~,y

h"Y,X,z

~"E y,y,xw = {(x, y, z) Íy tY.y, !Y.Y,y

. "'''" 'y,y,z

E!Y.~xt;,zt;,~,y

Ii,~z

Et.:~,xÍz:x Iz:~,y

. t'z"Z,X,z

Et.:~.xt;, h,y Iz:'y,y

Íz"z,y,z

Et.:~xIz:z . Iz:~,y

Iz"Z,Z,z

Page 31: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exemplo:

Dada a função z = x4 - 3x3y + 6X2y2 - 4xy3 - 6y4 + 2, determine as derivadas parciais de 3~ ordem

( te)\ - --- .\ '() "I /

Page 32: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

N d . das Ô3

Z Ô3

Z - difiotamos que as enva extremas -3 e -3 sao erentes, enquanto asôx ôy

mistas são iguais 3 a 3, mostrando-nos a invertibilidade da ordem de derivação:

2.5 - INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇAO

Conforme o exemplo estudado, notamos que a ordem de derivação é irrele-vante, se as derivadas parciais forem contínuas.

Teorema de Schwarz: Se a função f (x, y) admitir todas as derivadas parciaisde 2ª, ordem na região D C R2, e se estas derivadas forem funções contínuas emD, então:

ô2f ô2f-ô Ô =-ô ô emtodoponto~EDx y' y x

Este teorema se estende às derivadas mistas de ordem superior à 2ª, ordem. Assim:

ÔSz ôSz ôSzôxôxôxôxôy - ôxôxôxôyôx - ôxôxôyôxôx -

asz ôSz- ôxôyôxôxôx - ôyôxôxôxôx

podendo todas estas derivadas serem representadas unicamente por ô:z , indi-ôx ôy

cando que a função z deve ser derivada 4 vezes em relação a x ~ em relaçãoay.

O número de derivadas parciais distintas de ordem n nos é dado pelascombinações com repetição de m elementos (número de variáveis independentes)tomados n a n.

(CR) - C - (m + n - IXm + n - 2) ... em + 2Xm + 1)mm,n - m+n-l,n - n!

Uma função de várias variáveis y = F (x h X2, X3, ••• , xm) dir-se-á declasse Cn em uma região D C Rm, com n inteiro positivo, se e somente se exis-

Page 33: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

tirem e forem contínuas em D todas as derivadas parciais de F de ordens 1, 2,3, 4, ... , n. Escrevemos

F E Cn (classe de diferenciabilidade).

PR1 Deternúne, em cada caso, as derivadas parciais da função:

z = (x2 - xy +y2tSolução: Notemos a existência das componentes potência e base.

PR2 Z = xy • yX, com x > O e y > O.Solução: Nos dois fatores figuram x e y, teremos então a função produto

õz , ,

C õx = JlxV + JlVx

zõz , ,õy = Jlyv + JlVy

a) Deternúnação de ~:. Em relação a x

Il = xy (potência natural) ====>: Jl~ = yxY-1

V = yX (exponencial) ===.=-.::::.-~> v~ = yX ~n y

b) Detenninação de ~;. Em relação a y

Page 34: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

JJ. = xY (exponencial) --> JJ.~ = xY inx

v = yX (potência natural) ====:> Vy = xyX-l

PR3 Z = cos2(v'X - y).Solução: Notemos a existência das 3 componentes: potência, co-seno e arco.

~z = [2 cos(vx - y)][-sen(-vfX - y)]" _Ir::-x ,_______ ,;2 v xv

- seno do arco duplo

sen2(y'X - y)- -

2 v'X

az = [2 cos (-vfX - y)][-sen(v'X - y)](-I) = sen2(v'X - y)ay

PR4 Z = X3y2 + x22ny - cos(xy).

Solução: Na última parcela, quer em x ou y, temos as componentes co-senoe arco

z C ::= 3X2y2 + 2x 2ny + y sen(xy)

az x2- = 2x3y +- +x sen(xy)ay y

PRs z = xex-y +yex+y•

Solução: Em relação a x, a primeira parcela é função produto, pois tem x nosdois fatores e, em relação a y, a segunda parcela é função produto.

C .az = (1eX-Y + xex-y • 1) +yex+y • 1axz az = xeX-r(-I) + (1 eX+Y + y~+Y • 1)ay

Page 35: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

C~:= (l + x)eX-Y + yeX+Y

z ÔZ = (l + y)eX+Y _ xeX-Yôy

eX, PR6 w =- - ~nxyz + sen(x - 2z)eY

Solução:Preparemos a função: w = eX-Y - ~nx - ~ny - ~nz + sen(x - 2z)

ôw = eX-Y • 1 - 1-+ [cos (x - 2z)] 1ôx x

ôw = eX-Y (-1) _1-ôy y

ÔW 1 .ôz = - Z + [cos(x - 2z)](- 2)

ÔW eX 1- =- --+ cos(x - 2z)ÔX eY x .

ÔW eX 1-=----ôy eY y

ôw 1ôz =-z-2cos(x-2z)

PR7 Z = x2 ~nxy.

Solução: Notemos que em relação a x a função é do tipo JlV (produto),pois tem x nos dois fatores.

Função preparada: z = x2 (~n x + ~ny)

, , + ' Et-z = uv -~> Zx = UxV UVX. n ao, comou = x2 ====:::> u~ = 2x

v = ~nx + ~ny ====> v~ =-;, 2 1> zx = 2 x (~n x + ~n y) + x - >

x-> z~ = 2xQnxy + x

Page 36: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

az 2 1 x2-= X -=-ay y y

C z~ = 2x Qnxy + xz = x2(Qnx + Qny)-

, x2z =-y y

PRs z = f(senxy).

Solução: Notemos que a derivada da função f é a mesma, quer em relaçãoa x, quer em relação a y. O mesmo acontece com a derivada do seno. Apenasas derivadas do arco são diferentes

d . d f derivo d' denv. e d env. o arcoecosaz ---------- ,...-A--... ...----A----

C ax = rr (sen xy )][cos xy J y

z = f(sen xy) .-az rray = (senxy)][cosxy]x

a -- C a: = y rr (senxy)] cosxyz = f(senxy)

~; = x [f' (sen xy)] cos xy

Solução: Preparemos a função:

f(x, y) = senx-1 y + Qny - Qnx

af [ -1]( -2) 1

C-= cosx Y -x y--ax xf(x, y)

af = [cosx-1Y]X-1 +1.-ay y

af y y 1f(x, y) C ax = - x2 cos"X-X"

af 1 y 1-=-cos-+-ay x x y

PR10 Dada a função z = f(;), verifique se x :~ + y :; = o.

Page 37: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Solução:1. Deternúnemos as derivadas parciais de z

x af +yEt=~t(x) _x t(x) =0ax ay y y y YSim.

_ all all 31l 2PRu Dada a funçao Il = are sen (xyz), verfique se 3x • 3y • az = see Il tg Il·

Solução:1. Determinação das derivadas parciais

_a Il_ = --;:==1 ==yz3x v' 1 - (XYZ)2

all = 1 xz3y .J 1 - (XYZ)2

all 1-= ---""""'X.Yaz v' 1 - (xYZ)2

2. Verificação da igualdade ~~ • ~; • ~~ = see Il tg2 Jl. Montemos o produto

das 3 derivadas'"

a Il a Il a Il _ yz • xz • xyax . 3y • ai - [.J 1 - (XYZ)2]3

31l • all • all = (xYzi3x 3y ax [v' 1 - (xyz)2]3

De Il = are sen (xyz) > xyz = sen Jl.

Page 38: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

SubstitUindo em (1) =>

a p. a p. a p. sen" p.-->_.-.-= ------ ax ay az [y' 1 - sen"p.]3

sen" p. 1 sen" p.=--= __ 0_-

cos3 P. COS J.l cos" J.lv

COS J.L

PR 12 Ache a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfíciez" = x2 + y2 no ponto (3,4, 5).

Solução: Vimos que a equação do plano tangente (1T) à superfície z no pontoPo (xo, Yo, zo) é

az azz - Zo = axo (x - xo) + ayo (y - Yo)

Determinemos pois as derivadas parciais no ponto.De Z2 = x2 + y" > Z = .J x2 + y2 (z = 5 > O)

az 1 -\, azax = ~y'X2+y2 ""x => axo =

_ 1 3=1v9 + 16 S

az 1 -b azay =.~ y'x2 + y2 ",y => ayo =

_ 1 4 =.±..V9 + 16 S

Substit]lipdo na equação do plano (1T)

z'- 5 =l(x - 3) +.!(y - 4)5 55z - 2S = 3x - 9 + 4Y - 16

13X + 4y - 5z = O I

As equações simétricas da normal (n) são:

x - Xo Y - Yo z - Zo- -az az -1

axo ayo

Page 39: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Então, (n)

x-3_y-4_z-5__ x-3_y-4_z-53 - 4 - -1 --.> (n) 3 - 4 - -5- -5 5

PR 13 Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície x2 ++ y2 + Z2 = 38, no ponto que se projeta sobre o plano xOy em (2,3) etem z > O.

Solução:1. Determinação do ponto Po (xo, Yo, zo).

Temos Xo = 2 e Yo = 3. Substituindo na função, vem 4 + 9 + Z2 =

= 38 => 1 z 51, pois, z > O

2. Determinação das derivadas parciais em Po•Preparemos a função x2 + y2 + Z2 = 38:

z = ..j 38 - x2 _ y2

3. Determinação da equação do plano tangente.Como (1T)

-........

az az 2z - Zo = -ax-o (x - xo) + -ay-o (y - Yo) =-.::=----.> Z - 5 = - "5 (x -.2) -

3-SÓ' - 3)

5z-25=-2x+4-3y+9

\2x + 3 y + 5 z - 38 = O I

Page 40: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

4. Determinação das equações canânicas da normal (n).Como (n)

x - Xo Y - Yo z - Zo-õz õz -1- -õXo õYo

Substituindo em (n)

x-2_y-3_ z-52 - 3 - -1

-- --5 5

x-2_y-3_z-52 - 3 - 5

PR14 Determine o ponto da superfície z = x2 + y2 - 4x - 6y + 9 em que oplano tangente é paralelo ao plano cartesiano xOy.

Solução: Se o 'plano tangente à superfície z for paralelo ao plano xOy, asderivadas parciais de z serão nulas.

C _õ_z= 2x - 4==:> 2x -4 = 0==> x = 2ÕX

zõz- = 2y - 6===>" 2y - 6= 0--> Y = 3õy

z=4+9-8-l8+9z =-4

O ponto procurado é Po (2, 3, - 4).

PR 15 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da funçãoy2 x2

z=----X Y

Solução: Preparemos a função:

F.P. (função preparada)z = X-1y2 _ x2y-1

Page 41: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a2z 2 2x2- - 2x-1 2x2y-3-2 - - -----ay x y3

PR16 Calcule as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = e2Y sen x no pontoPo(rr/6, O).

z[

a2z = vf3

axoayo

a2z-=2ayJ

. X

PR17 Calcule as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = ey + Qn (xy).e

Solução: Preparemos a função

F.P. => z = eX-Y + Qnx + Qny

Aplicaremos a invertibilidade da ordem de derivação, calculando as derivadasparciais extremas e delas as mistas, assim:

Page 42: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

[

~: = eX-Y + ~ rz az _ x-y +1.-

ay - -e y l

PR V 'f' f - 2 xy , h ~.18 en lque se a unçao z = arc tg 2 2 e armomcaox -y

Solução: "Uma função z =f (x, y) diz-se harmônica quando satisfaz à equaçãoa2z a2zde Laplace - + - = O",ax2 ay2

a2z a2zCalculemos então --2 e -2 oax ay

derivo do arctg~

14X2y2

1 +---(x2 _ y2)2

1- (x2 _ y2)2 + 4X2y2

(x2 _ y2)2

azax -

az-=ay14X2y2

1 +---(x2 _ y2)2

derivo do quoçj.enteF .A ,

2y (x2 - y2) - 2xy • 2x _, (x2 _ y2)2

2x2y - 2y3 - 4x2y(x2 _ y2)'1.

2x(x2 - y2) - 2xy(-2y) =(x2 _ y2)2

1 2x3 - 2xy2 + 4xy2- ,--------(x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2

(x2 _ y2)2

, . ,Ob - 2xy • d t' U 1 _ UxV - UVxservaçao: 2 2 e o lpO-, portanto, em re açao a x ==--=--=....> 2

X -y V V

Page 43: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

U~V UV~, r A__ -.., ~

> Ux = 2y 2y(x2 _ y2) - 2xy • 2x=--=----> 2 2 2

V = X2 - y2 ====.> V~ = 2x (X - Y ), I

2xy U· UyV - UVy2 2 é do tipo -, portanto, em relação a y --> --v-

2--

X -y V

, UV'UyV Yr A \ ~

2x(x2 - y2) - 2xy (-2y)-->----------2 2 ' 2 (x2 _ y2)2V = X - Y => Vy = - y

--> U~ = 2x

az -2x2y - 2y3 = -2y(x2 + y2) =ax = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 x4 + 2X2y2 + y4

= -2y(x2 + y2) = _ 2y(x2 + y2i x2 +y2

az 2x3 + 2xy2 2x(x2 + y2)ay = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 - x4 + 2X2y2 + y4 -

= 2x(x2 + y2) = 2x(x2 + y2)2 x2 + y2

L a2z- = -2x(x2 + y2)-22y =ay2

4xy= -(x2 + y2l

a2z a2z 4xy-+-=----ax2 ay2 (x2 + y2)2

A função é harmônica.

Page 44: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR19 Determine as derivadas parciais de 4~ ordem da função z = sen (x - y) - cos (2 x + y).

Solução: Até às derivadas parciais de 3~ ordem determinamos apenas as extremas e a partir delas achalemos as de 4~ mnp.m.

32zr -2= -sen(x- y) + 4cos(2x + y)ax

az

C-= cos(x - y) + 2scn(2x + y)ax

z = sen(x - y) -- cos(2x + y)

az-= -cos(x - y) + sen(2x + y) Lay

a2z-2 = ~sen(x - y) + cos(2x + y)ay

Resp.:

a4z-4::: sen(x - y) - 16cos(2x + y)aX

34z a4z a4z a4Z '--::: --::: --- ---::: -sen(x - y) - 8cos(2x + y)ax3ay ayax3 ax3y3x2 3x23yax

34z-- :::sen(x - y) - 4cos(2x + y)3x23y2

a4z a4Z a4Z a4Z--::: -- = --- ----::: -sen(x - y) - 2cos(2x + y)3y3ax ax3y3 ày3xay2 3y23x3y

34z- ::: sen (x - y) - cos (2 x + y)ay4

a4z

C4= sen(x - y) - 16cos(2x + y)

a3 ax-4= -cos(x - y) - 8sen(2x + y)a.\" a4z

-- = -sen(x - y) - 8cos(2x + y)ax3ay

a3z-3 = cos(x - y) - sen(2x + y)ay

a4z

C-3- = -sen(x - y) - 2cos(2x + y)ay ax

a4z4 = sen(x - y) - cos(2x + y)ay

Page 45: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PRzo Verifique se a função w = e3X + 4Y cos 5 z é harmônica.

Solução: Será harmônica a função w = f(x, y, z) se, e somente se,

a2w a2w a2w-+-+-=0ax2 ay2 az2

a w = 3 e3X + 4Y cos S zax

a w = 4 e3X + 4Y cos Szay. a2w

j -= -25e3x+4Y cos 5zaz2

a w = _ 5 e3X + 4Y sen 5 zaz

Façamos a verificação:

a2w a2w a2w-- + - + - = ge3X+4Y cos 5z + 16e3x+4Y cos 5z -ax2 ay2 az2

- 2S e 3X + 4Y cos 5 z = O

PRZ1 Dadaafunçãof(x, y) = eX ~ny + (seny)~nx, determine as derivadas parciaisde 2~ ordem no ponto P~ (17/2, 7T).

Solução: Derivemos f (x, y)

af = eX ~ny + seny Cax xf(x,y)

ay y .

Page 46: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

No ponto P~ (rr/2, rr) as derivadas parciais de 2~ ordem assumem os valores:

- 1

~e 1T/2 cos x e 1T/2 - 2=-+--=---

rr rr 1T

2

oa2[ e 1T/2 ,,---A---,. rr e 1T/2

- = - - - (sen1T)Qn-= ---~J ~ 2 ~

Solução: Determinemos as derivadas parciais de 3a ordem que figuram naexpressão cujo valor procuramos.

a2z 1 a3z 1- = -sen(x +y) -- - -- = -cos(x +y) +-ayax x axax2 x2

az- = cos (x + y) - Q nxay a2z

C-2- = -cos(x + y)

a2z. ay ax-2= -scn(x + y)ay a3z

-= -cos(x + y)ay3

a~ a~ a~ 1--2 - 2 2 + -3 = - cos (x + y) + - + 2 cos (x + y) -ayax ay ax ay x2

1- cos(x + y) =""""2

x

Page 47: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

az ·2 2 X2-= xye _.--aX

2= 4xeX

'--v--'I

funçãoproduto em relação a x

PR24 Derive z = f(senxy).

Solução: Consideremos as componentes f, seno e arco xy

~: = [f' (sen xy)][cos xy]y = y 11' (sen xy)] cos xy

~; = [f' (sen xy)][cos xy] x = x [f' (sen xy)] cos xy

Dada a função Jl = Qn (x + Jx2 + y2), verifique se x ~~ + Y ~y= 1.

Resp.: Sim.

Calcule a Jl • a Jl • a Jl com Jl = arctg (xyz).ax ay az'

Resp.: sen2 Jl • cos4 Jl.

PP3 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem da função z = f (tg;).

Resp.: az = 1. t' [(tg~)] sec2~ax y y y

az = _ ~ t' [(tg X).]ay y2 \: y

PP4 Determine as derivadas parciais de 1a ordem da função z = 4 sen (; ) -

- Qn (~).

Page 48: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

ôz 4 ·x 1Resp.: _. = - cos - + -ôx y y x

ôz 4x x 1-=--cos---ôy y2 Y y

PP 5 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = xyeXY .

ôz yResp.: ôx = yeX (1 + xy)

ÔZ = xexy (l + xy)ôy

PP 6 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = arc tg (sen xy ).

Resp.: ÔZ = Y cos xyôx 1 + sen2 xyÔZ xcosxy-=----ôy 1 + sen2 xy

PP, Calcule x ~: + y ~; + z, quando z . ~ f(~).Resp.: O

, xYPPs Deterriúne as derivadas parciais de 1a ordem de z =x.

yÔZ xY-1 xY

Resp.: - =-- -- ~nyôx yX-l yX

ÔZ xY xY+1-=-~nx---ôy yX yX+l

PP9 Determine a equação do plano tangente à superfície 3x2 + y2 + Z2 + xy ++yz + z - 4 = Ono ponto P~(1, -1) de cota negativa.Resp.: 5 x - 2 Y - 2 z - 5 = O

PPut Determine a equação do plano tangente e o vetor normal da superfície z == .J x2 - y2 no ponto P~(5, 3).Resp.: (7T) 5x - 3y - 4z = O

~n = (5, -3, -4)

PP 11 Calcule as derivadas parciais de 2a ordem da função z = arc sen Y2' comx

Page 49: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a2z yay2 ..j (X4 _ y2)3

a2Z a2Z 2x3--=--=-axay ayax ..j (X4 _ y2)3

a2z yCalcule -a a da função z = (x2 + y2) arc tg-.x Y x. a2z x2 _ y2Resp.: -a a = 2 2,

X Y X + Y

PP13 Verifique a função z = eX seny + eY cos x é harmônica.

Resp.: Sim

2 a4fDada a função f (x, y) = yeX

, determine 2 2ax ayResp.: O

Resp.: a3z 3-= -y cosxyax3

a3z-- = - 2y sen xy - xy2 cos xyax2aya3z

-- = -2x senxy - x2y cosxyay2axa3z-= -x3cosxyay3 , '''\ . ,:: ~

C' -- "',.."'-',

PP16 Determine as derivadas parciais de 2éJ.ordem da função z = Qn.J x2 + y2.

a2z x2 _ y2Resp.: - = - ----ax2 (x2 + y2)2

a2z a2z 2xyaxay = ayax = - (x2 + y2)2a2z x2 _ y2--= --~-ay2 (x2 + y2i

Page 50: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Determine as derivadas parciais de H ordem da função z = are tgL... xaz -y az xResp'-=--- e -=---

.' ax x2 + v'2 ay x'2 + y2

_ y az azDada a funçao z = e are sen (x - y), calcule ax + ay'

Resp.: eY arc sen (x - y)

PP S xy 'fo a3z19 e z = e , ven lque que 2

ax ay

x2 + y2 az az 3PP20 Verifique se z = -=====tem-se x ax + y - =-2 z ...j x + y ay

x - y _ õz azPP21 Prove que se z = are sen + ' entao, x -a + y -a . = o.x y x y

_ / '2 2PP22 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = Qn x - v x - y .

. x + ..j x2 - y'2

a2z 2xResp.: -2 = '2 2 3/2ãx (x - y )

a2z a2z 2yãxay = ayax = - (x2 _ y2)312

ã2z = _ 2x (x2 - 2y2)ay2 y2 (x2 _ y2)3/2

PP23 Determine as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = x2seny + y2 senx.

a3zResp.: -3 = - y2cosxaxa3z ã3z a3z

- - axayax = 2 cosy - 2y senxãx2ay ayãx2

a3z ã3z a3z-- - -- - ayaxay = -2xseny + 2cosxay2ax axay2

a3z- = -x2eosyay3

Page 51: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2 2' aZ aZPP2S Se z = Qn (x + xy + Y ) verIfique que x ax + y ay = 2.

. az azDado z = f(tg xy), deterrmne x ax - y ay'Resp.: O

PP27 Determine o ângulo no ponto (3, 4, 5) do parabolóide hiperbólico 5xy -- 12 z = O e a esfera x2 + y2 + Z2 = 50.

Resp.: f) :::: 720 11'

az az , IPP28 Mostre que x ax + y ay =.xy + z para z = xy + X6Y'x.

ax axar a<p

{

X = r cos i{)

paray = r sen 'P

PP30 Verifique se para w = (x - y)(y - z)(z - x) tem-se aaW + aaW + aaW = o.x y z .

Page 52: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

DIFERENCIAÇÃO

Somos uma família só - a Humanidade. E oscompanheiros da família mais necessitados denós são aqueles irmãos sofredores e menospreparados para as lu tas da vida.

Seja a função z = f(x, y) definida e contínua na regiâ;oD C 1R2•

Atribuamos a x e a y os acréscimos b:.x e b:.y, respectivamente.O acréscimo total, como Vimos no Capo lI, será

b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y).

Por outro lado, no Capo V do Volume I, para a função de uma variável,y =f (x), vimos que o acréscimo da função

b:.y = t' (x) b:.x + 11b:.x'---v-----' '--y--/

parte parteprincipal secundária

dy

Então, tiramos para b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y) o valor

b:.z = [f~(x, y)] b:.x + 111b:.X+ l(;J (x, y)] b:.y + 112t:.y

b:.z = [f~(x, y)] b:.x + [f;(x, y)] b:.y + 111b:.X+ 112b:.y\~-----v /, v--_./

parte principal parte secundáriadz

Page 53: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Logo a diferencial total da função z = f (x, y) nos é dada por dz -= lf'x (x, y)] ~x + li;(x, y)] ~y ou

em que dx e dy são as diferenciais das variáveis livres x e y, respectivamente.Para o caso de função de 3 ou mais variáveis, procedemos da mesma forma.Assim, se

aw aw aww = f(x y z) => dw = - dx + . - dy + - rlz, , ax ôy az

Exemplos:

E1 Determine a diferencial total da função

z = 4x2y - tg(2x - y).

Solução: Vimos que dz = ~: dx + ~; dy. Determinemos, pois, as derivadas

parciais de 1~ ordem de z.

az 2ax = 8xy - 2sec (2x - y)

dz = [8xy - 2sec2(2x - y)]dx + [4x2 + sec2(2x - y)]dy

Ez Determine a diferencial total da função

w = eXY - 4 xz + yz

_ aw ax awSoluçao: dw = -dx + - dy + - dzax ax az

Page 54: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

aw xy 4-=ye - zax

aw-=-4x+yaz

Então,

dw = (yexy - 4z)dx + (xexy + z)dy - (4x - y)dz

3.2 - APLICAÇÕES

Seja a barra prismática de dimensões x, y e z fixada num suporte S.Apliquemos à extrenúdade livre uma força F. A barra sofre uma deformação

medida pela variação de volume.O volume inicial é xyz.O volume acrescido é

(x + .ôx)(y + b-y)(z + .ôz)

O acréscimo de volume nos é dado por

.ôV = (x' + b-x)(y + .ôy)(z + .ôz) - xyz

.ô V ...;~+ xz!::,.y+ yzb-x + z!::"x!::"y+ xy!::"z ++ x.ôy.ôz + y!::,.x!::,.z+ !::,.x!::,.y.ôz- ~

.ô V = (yz!::"x + xz!::"z+ xy.ôz) ++ (z.ôx!::,.y+ xb-y.ôz + y!::,.x.ôz + !::"x!::,.y!::"z)

.ô V :::yz.ôx + xz.ôy + xy.ôz I CD

Page 55: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

av-=yzax .

~; = xz e I dV = yz!J.x + xz!J.y + xy!J.z I @

av-=xyaz

Comparando CD e (3)

Na prática fazemos a deformação igual à diferencial.-~-------------

Como vimos no Capo V do Volume I, !J.x = X2 - Xl = dx, erro absolutona variável x,

dx. 1 .. sa- e o erro re atlvo = -x x

e 100 dx é o erro percentual = IDOs,x ..

E1 Deseja-se medir a distância dos pontos A e B separados por um obstáculo.Mediram-se, então, as distâncias x e y com erro de 3% em cada uma. Deter-mine o erro percentual cometido em AB"

AB = ~= f(x, y)z =.J x2 + y2

A

Obstáculo ~'<:.. xii' I7/ !

~~ IY

L/i;i/ !----- ~ J

B x C

1Q) Cálculo do erro absoluto

O erro absoluto é a diferencial dz

az azs =dz=-dx+-dya ax ay

Page 56: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Calculemos as derivadas parciais de 1~ ordem

_a_z = 1 2x = xax 2 ~ x2 + y2 ~ x2 + y2

_az_ = 1 2y = Yay 2 ~ x2 + y2 .J x2 + y2

Ea = dz = _..=-x..=-dx-=--===+ --;=y=d=O'==-v'x2 + y2 .J x2 + y2

29) Cálculo do erro relativo

O erro relativo

dz .QA...!E =- \..'

r Z

Dividamos, então, o erro absoluto dz por z

xdx + ydydz _ v' x2 + y2 .J x2 + y2Z - vx2 + y2

_d_z= xdx + ydyz x2 + y2 x2 + y2

39) Cálculo do erro percentual

O erro percentual é o erro relativo multiplicado por 100

dzEp = 100-

z

Portanto,

E = 100( xdx + ydy \p x2 + y2 x2 + y2)

Como vimos no problema, o erro percentual em x e em y foi de 3%.Logo:

100 dx = 3 => dx = 3xx 100

Page 57: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Substituindo fórmula de Ep

E - 100( x ~ + y ifo \p - x2 + y2 x2 + yi)

Ep = 100 [ 3x2

+ 3y2 ]

l00(x2 + y2) l00(x2 + y2)

Ep = 3C.:y' + x/; yi)x2 + y2

Ep = 3---x2 + y2

Ep = 3%

Ez Num triângulo os lados x e y mediram 2 dm e 10 cm com erros de 0,0005 cm

e 0,0002 cm, respectivamente, e o ângulo a por eles formado mediu ; rd,

com erro de ~ rd. Determine o erro relativo cometido na medida z do

lado oposto ao ângulo a.De acordo com o enunciado do problema,

x = 2dm= 20 em e dx = 0,0005 em B

y = 10 em e dy = 0,0002 em

1T v'3a =3rd e da = 100 rd

A medida z do lado BC depende das medidas x de AC e y de AB e da medidaa do ângulo A.Assim, z = f (x, y, z). Determinamos a lei f pela lei dos eo-senos

, Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa ==--=--> z = .v x2 + y2 - 2xy cosa

O erro absoluto cometido em z nos será dado por

dz = ~ dx + ~ d + az daax ay Y aa

Page 58: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

DIFERENCIAÇÃO 57

oz 1 (2x - 2y cos a)- -ox 2 y'x2 + y2 - 2xycosa

oz 1 (2y - 2 x cos a)z - -oy 2 y'x2 + y2 - 2xy cosa

oz 1 (- 2xyX- sen a)--oa 2 y'x2 + y2 - 2 xy cos a

Tiramos

dz = x - y cos a dx + y - x cos a dy +y'x2 + y2 - 2xy cosa y' x2 + y2 - 2xy cosa

+ xy sen a .--davi x" + y2 - 2xy cos a

x - y cos o: d Y - x cos o: d xy sen o: d-------- X -I- ------- Y + ------- o:

dz _.J x2 + y2 - 2xy coso: .J x2 + y" - 2xy coso: J x2 + y" - 2 xy coso:z - J x2 + y2 - 2xy coso:

dz _ (x - y COS0:) dx + (y - x COS0:) dy + (xy sen 0:) do:Z - x" + y2 - 2xycoso:

1/2 112 ../3/2~ ~ ,,-A-..

dz (20 - 10COS-f) 0,0005 + (10 -, 2ocosi) 0,0002 + (20' 10sen~)~-=z 20" + 102 - 2 • 20 • 10 cos ;

_dz _ 15 • 0,0005 + O + 3z 400 + 100 - 200

dz 3,0075 1,0025-= =z 300 100

dz= 0010025z '

Vimos no item 3.1 que o acréscimo total da função z = f(x, y) é

!:lz = f(x + !:lx, y + .6.y) - f(x, y)

Então, transpondo

f(x, y) --> f(x + .6.x, y + .6.y) = f(x, y) + .6.z CD

Page 59: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

az az . CDComo ôz = ax dx + ay dy + 17tÔX + 112ÔY a Igualdade 1 fica:

az azf(x + ôx, y + ôx) = f(x., y) + ax dx + ay dy + 1hÔX + 1l2l:iy, " \ ./

v infinitésimodz de ordem

superior

. az azf(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x,y) + ax dx + ay dy

I f(x + Ôx, y + ôy) == f(x, y) + dz I

Exemples:

E1 Calcule o valor aproximado de J (3,96)3 •V (8,002)2.

Solução:1. Fórmula:

f(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x, y) + dz

2. Substituição de f:

J(x+ ÔX)3 tt (y + Ôy)2 -::::.# VY2 + dz

3. Determinação de dz:

Page 60: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x + D.x = 3,96x =4

Subtraindo ==--=----"> D.x = - 0,04

--> valor mais aproximado dex + D.x, que admite raizquadrada exata

y + D.y = 8,002Y = 8 =='> valor mais aproximado de y + D.y,

===> D.y = 0,002 que admite ~~C1JJ?!~ª..~xata

Substituindo em CDv' (3,96)'!j (8,002)2:::.,j43W +;.J4 W (-0)04) + ; 4#(0,002)

.J (3,96)3 V (8,002)2:::: 23 • 22 + ~ 2 • 22 (- 0,04) + ~ 4 ; 2 0,002

.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,~16

.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,0053

.J (3,96)3 V (8,002)2 ,.., 31,5253

E2 Calcule o valor aproxfinado de J 36,24 ..tg 44° 40'. ~

Solução:1. Fórmula: f(x + D.x, y + D.y) ::::f(x, y) + dz

2. Substituição de f: .J (x + D.x) tg (y + D.y) ::::y'; tg Y + dz

3. Determinação de dz: z = f(x, y) = yX tgy

Page 61: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x + b.x = 36,24x = 36

--> b.x = 0,24

e y + b.y = 44° 40'y = 45° (pois tg 45° = 1)

==> b.y = - 20' ===> b.y = - ~~.0,017 = -0,0056 (veja

Capo V do Volume I)

Substituindo em Q)

.j 36,24 tg 44° 40' ::: ../36 tg 45° + C ~ tg 45°) 0,24 +

+ (../36 sec2 45°)(-0,0056)

.j 36,24 tg 44° 10' ::: 6 . 1 + 2 ~ 6 1 . 0,24 - 6(.}r)2 0,0056

~ 36,24 tg 44° 10' ~ 6 + 0,02 - 0,0672

~ 36,24 tg 44° 10' ,.....,5,9528

A diferencial de uma função z =f (x, y), normalmente é ainda uma função de. , d . d . . ô z .f' ( ) Ô z f' ( ) figx e y, Ja que as enva as parcIaIs. ôx = x x, y e ôy = y x, y que I uram

nela são funções de x e y.Se as funções derivadas parciais sucessivas de f (x, y) forem contínuas, pode-

remos calcular as diferenciais totais de ordem superior.Desta forma, a diferencial de 2~ ordem é a diferencial de dz:

d (dz) = d2z

A diferencial de 3~ ordem é a diferencial da de 2~ ordem

d (d2z) = d3z

Tomemos z = f (x, y) com

ÔZ ÔZdz=-dx+-dyôx ôy

Page 62: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

d (dz) = d (~~ dx + ~; dY)

d2z = d (~~ dx) + d (~; dY) (diferencial de soma)

d2z = [ d (;~) ] dx + ;~ [d (dx)] + [ d (;;) ] dy +

+ ~; [d (dy)] CD (diferencial de produto)

ôzôx = t

ôz-=JJ.ôy

d (ôz) = dt = E.!.dx + El.. d f2\ox ôx ôy y \.V

(ô z ) ô JJ. Ô JJ. /i)'-d - = dJJ. = - dx + - dy ( 3ôy ÔX ôy'

. f1\ ôz (;\ ÔZSubstItuamos em 0 t por ÔX e em 0 JJ. por ôy

Q) => d (~~) = [ô~ (~~)]®=>d(~;) =[ô~ (~~)]0=> dG~)'3' =-=> d (ÔÔyz) = Ê- dx + ô

2z d\.V ôxôy ôy2 y

(~:) ] dy

(~;) ] dy

Page 63: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a2zaxay dx dy

rA

,

d2z = a2Z (dx)2 + a2

Z d dx + az d2xaX2 ayax Y aX

Para x e y variáveis independentes, suas diferenciais de H ordem sãoconstantes e as de 2~ ordem, conseqüentemente, são nulas.

dx = constante ==~->- d2x = d (dx) = d (constante) = O

dy = constante ====>: d2y = d (dy) = d (constante) = O

Com esta simplificação a igualdade 0 se reduz a

Para facilitar a memorização da fórmula de d2z, podemos usar o quadradoda soma indicada de 2 parcelas, convencionando-se que o índice 2 seja expoentenas diferenciais dx e dy e seja ordem de derivação nas derivadas parciais.

d2z = (az dx + az dY) 2ax ay

d2z = a2z (dx)'- + 2 a2z dx d + a2z (d )2ax2 axay Y ay2 Y'------v----" ---v / '------v----"

quadrado dobro do 19 quadradodo 19 pelo 29 do 29

Page 64: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Podemos determinar d3z da mesma forma que o fizemos para d2z e com aconsideração que dx e dy sejam constantes, d2x = d3x = O e d2y = d3y = O.Então:

d3z = (_o_z dx + _o_zdY) 3 ====> d3z = _03_Z(dx)3 +ox oy ox3

'--y-----/cubo do 19

+ 3 03Z (dx)2dy + 3 03Z dx (dy)2 + 03Z (dy)302xoy . oxoy2 oy3

---v .J ~--v I '---v-------"3 x quadrado 3 X 19 pelo quadrado cubo do 29do 19 pelo 29 do 29

(o expoente na derivada indica ordem de derivação e na diférencial in~~c3:potência).

Exemplos:

E1 Determine a diferencial de 2~ ordem da função z = sen (2x - y).

Solução: A fórmula de d2z na forma sintética é:

d2z = (oz dx + oz dY\"3x oy)

Desenvolvendo, vem:

02. 32 02d2z = -2 (dx)2 + 2 _z_ dx d + --.:. (d )23x2 3x oy y oy~ lY

. 02Z-2 = -4sen(2x - y)

oz . ox-o = 2cos(2x - y) , .x 02Z 02Z

oz oxoy oyox-= -cos(2x - y)oy . 02Z

- = -sen(2x - y)oy2

Substituindo na fórmula de d2z, resulta

d2z = [-4sen(2x - Y)](dx)2 + [4sen(2x - y)ldxdy -- [sen(2x - y)](dYi

Page 65: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

~ Determine a diferencial de 3a ordem da função z = eX cos y.

Solução: A fórmula de d3z é

d3z = (3 z dx + 3Z dY) 33x 3y

3z

C -= eXcosy3xz = eX cosy

3z xay = -e senYL

Substituindo na fórmula de d3z, resulta:

d3z = (eX cosyXdx)3 - 3 [eX seny](dx)2dy - 3 [eX cosy]dx(dy)2 ++ [eX seny](dy)3

Para a diferencial de ordem n, podemos tomar a forma sintética e para usá-Iausamos o desenvolvimento pelo "Binômio de Newton".

Page 66: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

3.3.4 - FUNÇÕES DE 3 OU MAIS VARIÁVEIS

aw aw aww = f(x,y, z)--> dw = -a-dx + -a-dy + -a-dzx y z

d2w = (~; dx + ~w dy + ~: dZ) 2 (quadrado da soma indicada dey 3 parcelas)

[ aw aw aw]nw = f(x,y, z) --> dnw = -a- + -a-dy + - dzy y azPara mais de 3 variáveis, procedemos da mesma forma:Assim, se

t = f (xl> X2,X3,... , xm)·

n [at at at at]12d t= -dXl+-dx2+-dx3+""+-a-dxmaXl aX2 aX3 Xm

Determine as diferenciais totais de 1~ ordem em cada caso.

PR1

z = e2narc1gxy

_ az azSoluçao: dz = - dx + - dyax ay

F.P. Qnz = Qnarctgxy

z = arc tgxy

Page 67: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

3z 1

[

3x = 1 + (xy)2Y

ydx + xdyz => dz = --_~-

3z = 1 x 1 + X2y2

3y 1 + (xy)2

.J x2 - y2PR2 Z = Qn ----. 2xy

_ 3z 3zSoluçao: dz = - dx + - dy

3x 3y

1F.P. z =2Qn(x2 - y2) - Qn 2 - Qnx - Qny

y2dx x2dydz = ---- -----X (x2 _ y2) Y (x2 _ y2)

y3dx _ x3dydz=----

xy (x2 _ y2)

PR3 w =~ +L+-=-y z x

_ 3w 3w 3wSoluçao: dw = - dx + -dy + - dz3x 3y 3z

F.P. w = xy-I + yz-I + zx-I

3w -I -2 1 Z x2_yz-=y -zx =---=3x Y x2 x2y

élw _ . -2 + -I _ X + 1 _ -xz + y2- - -~y Z - - - --ély y2 Z y2z

él w _ -2 + -I _ - y + 1 _ - xy + Z2- - -yz x -- --3z Z2 X xz2

Page 68: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2 ·2 2dz = x - yz dx + y - xz dy + z - xy dz

x2y y2z XZ2

PR4 W = e2n(Qnxyz)

_ aW aW aWSoluçao: dw = - dx + - dy + - dzaX ay aZ

F.P. Qn w = Qn(Qnxyz)w = Qnxyzw = Qnx + Qny + Qnz

aw 1-=-ax x

aw 1-=-ay y

aw -az

Logo:

-dw = dx +!!l.- + dz. x. y z

PR 5 .Na medida da aceleração da gravidade g usou-se a fórmula h = ; gt 2• Calcule o

erro percentual resultante das medidas de h e t, com erros de 1%.

dh100-= 1%h

dt100- = 1%t

2hg=f

Procuremos o erro percentual em g, que é Ep = 100dg.g

dg = ~ dh + ~dt CDah at

Page 69: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2hDe g ==-t2

Substituamos em CD. 2 4h

dg == - dh - - dtt2 t3

dg = dh _ 2 dtg h t

O erro percentual é t.p = 100 dg, isto é, o erro relativo multiplicado por 100.g

E:p = 100 g = 100 dh - 2 • 100 dth t

Nota: Os erros cometidos podem ser por falta ou por excesso, portanto,negativo ou positivo. Para apreciarmos o erro máximo possível, no nossocaso, tomamos o erro

dt100 - = -1t

100 dh == 1h

!00 dg = 1% - 2 (- 1%) == 1 + 2 == 3%g

PRó No cálculo do comprimento Q de um pêndulo, usou-se a fórmula T == 211' A,O período da oscilação mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e g, acele-ração da gravidade mediu 10 m/ç2, com erro de 0,01 cm/ç2. Calcule oerro relativo em Q.

Solução: Do problema tiramos

Page 70: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

T = 2 s e dT = 0,001 s

g = 10 m/s-2 = 1.000 cm/s-2 e

Procuremos dQQ, então, de T = 21Th vem:

Como queremos d~, dividamos ambos os membros por Q

dQ = 0,01 cm/s-2 + 0,001 sQ 1.000 cm/s-2 2 s

~Q = 0,00001 + 0,0005

dQ = 000051Q ,

Page 71: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

As diagonais de um losango mediram 8 e 6 m com erros de 2 e 3 cm, respec-tivamente. Calcule o erro percentual cometido na sua área.

Solução: Do problema tiramos:--~T x = D = 8 m = 800 cm ey = d = 6 m = 600 cm

dx=2cm -< J

dy=3cm

A =f(x,y)->A =1'II

__.-1._.Ii

[

~~=~ .

De A = X; Então, da Q) => dA = ~ dx + ~ dyaA x-=-ay 2

Ldx ~dy_dA_ = 2 +_2_A xy xy

2 2

dA = dx + dyA x y

Substituindo pelos valores dados no pro~lema,

dA 2 3A = 800 + 600

dA 1 1 3A = 400 + 200 = 400

dAEp = 100 A' logo:

Page 72: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Sp = 0,75%

PRs Calcule o valor aproximado de (sen 30° 10')(cos 59° 50').

Solução:

1. Fórmula:

f(x + !::J.x,y + !::J.y)::::f(x, y) + dz

2. Substituição de f:

sen (x + !::J.x)cos (y + !::J.x)::::sen x cosy + dz

3. Determinação de dz:

z = f(x, y) = senx cosy

ôz

Ca = cosx cosyz x=> dz = (cosx cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y =>

ôz- = -senx senyôy

=> sen(x + !::J.x)cos(y + !::J.y)::::senx cosy + (cosx cosy)!::J.x -- (senx seny)!::J.y ,

x + !::J.x= 30° 10'x = 30°

, 10'=> !::J.x= 10 ==--==---->!::J.x= 60' • 0,017 = 0,003

e y + !::J.y= 59° 50'y = 60°

===> !::J.y~ - 10' ===.> !::J.y= - 0,003

Substituindo na CD =>

==:==>" sen 30° 10' cos 59° 50' ~ sen 30° cos 60° + (cos 30 cos 60)0,003

- (sen 30 sen 60)(- 0,003)

300' o, 1 1 V3 1 1 y'3"sen 10 cos 59 50 :::::.2" 2" + 22"0,003 + 2"-2- 0,003

Page 73: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

sen 30° 10' cos 59° 50' =.1 + 2 • 0,003 VI- 4 4

sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,25 + 0,0026

sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,2526

PR9 Calcule o valor aproximado de J (3,86)3 X 36,74 sen 150° 10'.

Solução: Temos uma função de 3 variáveis independentes

w = f(x, y, z)

1. Fórmula:

f(x + 6.x, y + 6.x, z + 6.z) :::::f(x, y, z) + dw

2. Substituição de f:

..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::J x3y senz + dw

3. Determinação de dW:

ow ow owdv..: = - b.x + - b.y + - 6.zox oy oz

w = f(x, y, z) =..j x3y senz

ow 1 2- = ---3x ysenzox 2 ..J x3y

d 3x2y senz A +=> w = 2..j x3y uX

ow r7C:-- = V x3y coszOZ

x3senz rr::+ ;-::;:::6.y + V X'Y cosz 6.z -->2vx~ .=> ..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::..J x3y senz +

3 2 3

+ x y sen z A + x sen Z A + ~ A CD~ uX ~ uy V .~"'Ycosz uZ2 vx3y 2 vx3y

x + 6.x = 3,86x =4

--> 6.x = - 0,14

y + b:.y = 36,74y = 36

=> 6.y = 0,74

Page 74: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

z + 6z = 150°10'z = 1500

10' .=> 6z = 10' ==> 6z = 60' • 0,017 = 0,003

Substituindo na CD >

=> ..j (3,86)336,74 sen 1500 10' '" ..j 43 . 36 sen 1500 +~

sen 30°

3· 42• 36sen1S0° (-O 14) + 43sen150° 074 +

+ 2 ..j 43 . 36 ' 2 ..j 43 . 36 '

+ (v'43 '36 cos 150°) 0,003

13 . 16 . 36 .-)(3,86)336,74 sen 150° 10' ::::::23 • 6 . ; + .2

•. 2 • 23 • 6

64 • 1.. (-0,14) + 2_ . 0,74 + 23 • 6 . _V3_3. 0,003

2 . 23 . 6 2

)(3,86)336,74 sen 150010' ::::::24 - 1.26 + 0,246 + 0,125

) (3,86)336,74 sen 150010' ::::::23,111

PI'it Ul Calcule o valor aproximado do número (0,998)4.003.

Solução: A função é do tipo z = xY

1. Fórmula:

f(x + 6.x, y + 6.)) ::::::f(x, y) + dz

2. Substituição de f:

(x + 6.xY'+6y ::::::xY + dz

3. Determinação de dz:

az azdz = -::- 6x + - 6yox ay

[

~=YXY_1axDe z = xY =-==--=--> dz = yxY -1 6.x +

az Y- = x Qnxay

Page 75: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

+ (xY Qnx)b.y ==> (x + b.x)Y+6Y :::: xY +- yxY-1b.x +

+ (xY Qnx)b.y CD4. Adaptação ao exercício:

x + b.x = 0,998x = 1

====>: b.x = - 0,002

y + b.y = 4,003Y =4

--> 6.y = 0,003

Substituindo na CD(0,998t,003:::: 14 + 4 • 13(-0,002) + (l4Qn 1)0,003

'--.r-"O

(0,998)4,003 :::: 1 - 0,008

(0,998)4,003 '" 0,992

PR 11 Determine a diferencial total, de 2? ordem da função z == x3 + 2 x2y -- 4xy2 - 2y3.

Solução:

d2z == (az dx + az d ) 2 = a2z (dx)2 + 2 ~ dx d +ax ay Y ax2 axay Y

+ a2z (d .)2ay2 Y

d2z = (6x + 4y)(dx)2 + 2(4x .- 8y)dxdy - (8x + 12y)(dyi

xPR 12 Calcule a diferencial total de 3? ordem da função z =!.-.ye

Page 76: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Solução: A fórmula de d3z é:

d3z = [az dx + az d ] 3 = a3z (dx 3 + 3. a3z . (dx)2d . +ax ay Y ax3) ax2ay y

+ 3. a3z dx (dy)2 + a3

z (dy)3axa2y ay3

. xDeterminemos as derivadas de 3~ ordem da função z = ey = eX - y

e

.. az _ x-y r- - e 1ax

ay

Determine as diferenciais totais de 1~ordem em cada caso:

PP1 z = e2n J 2xseny-y2

Resp.: dz = (seny)dx + (x cosy - y)dy.J 2x seny _ y2

x+yz~sen-.--1 + xy

Resp.: dz = [ 1 - y2 cos(1 + xy)2

.x + Y ] dx + [ 1 - x

2x '+ y ] d

1 + xy (1 + xy)2 cos 1 + xy . Y

Page 77: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x-yz=x + Y

R . d - 2 y dx - 2 x dyesp.. z - (x + y)2

pp4 W = xyeZ- xzeY + yzeX

Resp.: dw = (yeZ- zeY + yzeX)dx + (xeY - xzeY + zeX)dy +

+ (xyeZ- xeY + yeX) dz

PPs )Na medida da aceleração da gravidade usou-se a fórmula T = 217' fi,. Vg'tendo o comprimento Q do pêndulo medido 1 m, com erro de 0,01 cm, e operíodo da oscilação 2 s com erro de 0,001 s. Calcule o erro percentualcometido em g.

Resp.: 0,9% ," - ....•.• , ,......•..•

, "

PP6 Na medida da distância dos pontos A e B, em virtude do obstáculo O, foinecessário medir as distâncias AC = 150 m e BC = 200 m, perpendiculares,com erros de 1% e 2% respectivamente. Determine o erro absoluto emAB = z e o erro percentual em a.

daResp.: dz = 4,1 m e 100 - = 2,2%a

PP7 A área de um losango foi medida, determinando-se as medidas de suasdiagonais. A diagonal maior mediu 100 cm com erro de 0,002 e a diagonalmenor 50 cm com erro de 0,004. Calcule o erm absoluto cometido na áreado losango.

Resp.: 15 cm2

Page 78: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PPs Na determinação da medida do volume de um cone foi cometido um erro emvirtude dos erros de 2 • 10-3 e 1 . 10-3 cometidos, respectivamente, nasmedidas do raio e da altura. Calcule o erro percentual no volume.

Resp.: 0,5%

PP9 Na medida do pe;íodo de oscilação de um pêndulo (T = 2" A)cometeu-se

um erro motivado pelos erros cometidos nas medidas do comprimento Q e daaceleração g,que foram de 0,001 e 0,002, respectivamente. Calcule o errorelativo em T. .

PP 1. Calcule o erro relativo cometido na medida do volume de um paralelepípedoretângulo, sabendo-se que nas medidas de suas dimensões foram cometidos oserros de 0,02; 0,04 e 0,04, respectivamente.

Resp.: 0,10

sen 29° 55''Pu Calcule o valor aproximado de tg 45° 30'

Resp.: 0,4903

PP12 Calcule o valor aproximado de -y!57 cos 59° 50'. Sugestão: O númeroquadrado perfeito bastante próximo de 57 é 56,25. '

Resp.:· 3,793

24,93681,082 .

Resp. 0,5545

PP14 Calcule o valor aproximado de .J (4,99)3 - (2,02)2.

Sugestão: x + 6.x = 4,99Y + 6.x = 2,02

Resp.: 10,96

x=5y=2

PP1S Calcule o valor aproximado de sen 290 cos 610•

Resp.: 0,235278

j 1 +x(I + y)(1 + z)

Page 79: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Sugestão: Faça corresponder a x + D..x o valor 1 + x, o que dará D.x = 1.Proceda da mesma forma para 1 + Y e 1 + z.

Resp.: Ai [1 + ; C - ~ - ~)]PP17 Calcule o valor aproximado de V sen 30° 5' + cos 59° 58'.

Resp. : 1,00055

PP18 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função z = x2seny + y2senx.

Resp.: d2z = (2 seny - y2 senx)(dx)2 + (2 senx - x2 seny)(dy)2 ++ 2(2x cosy + 2y cosx) dxdy

PP19 Determine o diferencial de 2:(1 ordem da função w = eXYz.

Resp.: d2w = wy2z2(dx)2 + X2Z2W(dy)2 + X2y2W(dz)2 ++ 2 w(l + xyz)(z dx dy + ydxdz + x dydz)

PP20 Determine a diferencial de 3:(1 ordem da função z = Qn~.y

2 2Resp.: d3z = 3' (dxY -"3 (dy)3

X Y

PP21 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função w = eX Qn xy.

(2ex eX

) 2exResp.: d2z = eX Qnx + -- - 2 + eX Qny (dx)2 + - dxdy -

x x Y

eX__ (dy)2

y2

Page 80: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

4,

j

I'-o .I!

I

FUNÇÕES COMPOSTAS

A esperança e a alegria são remédios preciososna farmácia da alma.

4.1 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE UMA VARIÃVELINDEPENDENTE

Neste caso, z depende da única variável t e, para calcular sua derivada :'

podemos eliminar as variáveis intermediárias x e y, fazendo z = /111 (t), /2 (t)] == F(t) e derivar diretamente z em relação à t.

Procederemos de outra forma, sem eliminar x e y, estabelecendo uma regrade cadeia.

Para tanto, no ponto t, atribuamos à variável t um acréscimo D.t. Corres-ponderão os acréscimos ~x e D.y às variáveis x e y, e à função z, o acréscimo D.z.

Assim:

D.x = /1 (t + D.t) - /1 (t)

D.y = /2 (t + D.t) - /2 (t)

Como z = / (x, y) é diferenciável ==>

az az-> D.z = ax D.x + ay ó,y + 771.6.X + 772D.y

Page 81: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

~o~o-> o~o

I" f::.z dZ}" 6.x + dZ l' 6.y + I' 6.x + 1 f::.y'1m - = - 1m - - 1m - 1m T'/l - im T'/2 A t!H-O f::.t dX 6t-O 6.t dY 6t-"'0 6.t 6t-o 6.[ 6t-o u'--v---" '----y------" '-----v---" ~-v / '-v-------'

dz dx dy O Odt dt dt

Esta fórmula se estende para o caso de

Z = l(xI, X2, X3, .•. , xn)

onde cada Xi é função diferenciável da variável t:

dz dZ dXl dZ dX2 dZ dxn-=--+--+ +--dt dXl dt dXz dt . . . dXn dt

dz In dZ d:xidt =" dX' d;-

I = 1 1

Exemplos:

E1 Determine a derivada de Z = x3 - 4x2y + xy2 - y3 + 1, com x = sent ey = cost.

Solução: Notamos que

Z = I (x, y) e x = 11 (t) e

=> z = 1[11 (t), 12(t)] = F (t)

Page 82: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Determinamos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais dex e y em relação à t

az 2

C ax = 3x2- 8xy + Y

zaz 2 2- = - 4x + 2 xy - 3yay

dxdt = cos t

dy = -sentdt

E2 No exercício anterior, calcule a derivada no ponto t = ~.Solução: Como

~~ = (3x2 - 8xy + y2) cos t + (4x2 - 2xy + 3y2) sen t

calculemos:

1T 1x = sen"6=2"

1T -vf3y=cos-=--

6 2

Sb' 'd dzu StItUlD o em dt' vem:

dz = (3 . 1-_ 8 . 1. . ..j3+ 1)cos 1T +dt \ 4 2 2 4 6

+4 .l._ 2 .l.. v'3 + 3 .1-)sen!!.\ 4 2 2 4 6

dz = (~_ 2 v'3 + 3) y'3 + (1 _ y'3 + 9) . .l-dt \4 4 2 \ 2 4 2. .

dz =~. y'3 -2y'3 . ..j3 +.!i .1._ V3 . .l-dt 4 2 2 4 2 2 2

dz = 3 v'3 _ 3 + 13 _ v'3 )dt 4 8 4dz 2..j3 11-=----dt 4 8

_dz = _4 •..•...Y3_3_-_I_I__ o dz = _(11 - 4 Y3)dt 8 --.> dt \, 8

Page 83: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

F 3 Derive w = eXYz, com x = 2 t, Y = 1 - t 2 e z = 1 + t.

Solução: Como vemos, w = f (x, y, z) com x = fI (i); y . f2 (t) e z == f3(t). Então,

w = f (fI (t), f2 (t), f3 (t)] ==> w = 'P (t)

Logo:

dw = aw dx + aw dy + aw dz CDdt ax dt ay dt az dt

aw' dx- = yzexyz -=2ax dt

aw !!z = -2tw - = xzexyz eay dt

aw xy dz-=xye Z -= 1az dt

Substituindo em CD =>

dw==> - = 2yzexyz - 2 txzexyz + xyeXYzdt

dw = eXYz (2yz - 2 txz + xy)dt

4.2 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE 2 OU MAIS VARIÃVEISINDEPENDENTES

Seja a função z = f (x, y) uma função diferenciável e suponhamos x == f1 (s, t) e y = f2 (s, t), também diferenciáveis.

Neste caso, z depende das variáveis s e t e,. para calcular suas derivadas". az az d 1" ., . . d"' . f dparcIaIs a:; e ai' po emos e lmmar as vanavelS mterme lanas x e y, azen o

z = fft1 (s, t), f2 (s, t)] ==>- z = F(s, t)

e derivar z, parcialmente, em relação à variável s e em relação à t.Procederemos p~la regra de cadeia:

az = az ax + az ayas ax as ay asaz = az ax + az ayat ax at ay at

Page 84: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exemplo:

z = senxy + eX-Y,

onde x = p sen O e y = p cos O.

Solução:

z = f(x, y),

onde x = fi (p, O) e y = f2 (p, O) --> z = F (p, O).Logo:

az = az ax + az ayap ax ap ay apaz = az ax + az ayao ax ao ay ao

CD

Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relação às variáveis p e O.

C~~= y cosxy + eX

-Y

z = senxy + eX-Y

az X-Y- =xcosxy - eõyC élx= sene C ély= coseélp élp

x = pscne y = pcoseÔX ôyãe=pcose ae= -psene

Substituindo nas fórmulas CD -->

;~ = (ycosxy + eX~Y)senO + (xcosxy - eX-Y)cosO

~; = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy - eX-Y)psenO

Admitamos a função w = f(x y, z) com x = fi (p, O), Y = f2(P, O) e z = f3(P, O),todas diferenciáveis.

w = f Ifl (p, 0),12, (p, O), f3 (p, O)] --> w = F (p, O)

As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCIaiS e w sao a p e ao ' aSSIm c C a as:

Page 85: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Já a função z = f (x, y), onde x = fI (p, (J, a), y = f2 (p, O, a), todas diferen-ClavelS==>.z = f ftl (p, O, a), f2 (p, O, a)] --> z = F (p, O, a) e suas deri-vadas parciais:

az = az ax + az ayao ax ao ay ao

az = az ax + az ayaa dX aa ay aa

Como vemos, mediante esta regra, podemos estabelecer fórmulas de deri-vação, qualquer que seja o número de variáveis independentes.

Exemplo: Determine a~ derivadas parciais de z = 2x2y - 4xy'2 - y3, ondex = p2 Osen a e y = pO cos 2 a.

Solução: Em última análise, z = F (p, O, a). Então, suas derivadas parciaisaz az az . ,ap' ao e aa podem ser calculadas pelas formulas

az = az ax + az ayap ax ap ayap

az = az ax + az ayao ax ao ay ao

Calculemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relação às variáveis p, O e a.

az 2-. = 4xy - 4yaxa .-.!... = 2 x2 - 8 xy - 3y2ayaxap = 2pOsena ay = O cos2aap

ay- = pcos2aao

ax 2- = p senaao

ax 2-= P Ocosaaa ay = -2pO sen 2aaa

Page 86: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exemplo:

z = senxy + eX-Y,

onde x = p sen O e y = p cos O.

Solução:

z = I(x, y),

onde x = 11(p, O) e y = 12(p, O) --> z = F(p, O).Logo:

az = az ax + az ayap ax ap ay apaz = az ax + az ayao ax ao ay ao

CD

Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relação às variáveis p e O.

C~~= y cosxy + eX

-Y

z = senxy + eX-y

ÕZ x-y- =xcosxy - eõy

(

õX=sen8 ( õy =cos8õp õp

x = pscn8 y = pcoseõX õy- = p cose - = - p sen eõe õe

Substituindo nas fórmulas Q) ==>

~~= (y cosxy + eX~Y)sen O + (x cosxy - eX-Y) cos O

~~ = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy:"'- eX-Y)psenO

Admitamos a função w =I (x y, z) com x = 11(p, O), Y = 12(p, O) e z = /3 (p, O),todas diferenciáveis.

w = / [(1 (p, 0),12 (p, O), 13 (p, O)] ==> w = F (p, O)

As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCl3.1Se w sao a p e ao ' assun c c a as:

Page 87: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Ooz= (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap •

4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS

Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e yvariáveis livres, sua diferencial

oz ozdz=-dx+-dy

ox oy

Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentesp e O.

Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->

==> z = f [(1 (p, O), f2 (p, O)] ===>" Z = F (p, O)

Então a diferencial

dz = oz d + àz dOop p 00 CD

dx = ox d + ox dOop P õ'e

dy = oY dp + oy dOop 00 ®Multipliquemos a 0 por ~~ e a 0 por ~;:

OZ dx = OZ OX d + oz ox dOOX OX op p ox 00

OZ d = az ~ d + az ~ dOay Y ay ap p ay ao

Page 88: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Somanrfo membr-o a membro

az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay lY ax ap a~ ap p ax ae ay ae'---v'---/' v ,/ \ V' j

az az 6l1"\dz = ap dp + ae de ~

Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen ~ ey = p2e.

az- =y - 8xaxax- = seneap

az-=xay

ax- = pcos()ae

az dz dx dZ ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen () + x 2 p()dp ax ap ayap

az az ax az ay 2- = - - + - - = (y - 8 x) p cos () + xpae ax ae ay dedz = [0' - 8x)sene + 2pexld~ + [0' - 8x)pcos() + p2X] de

4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS

Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) == O. Podemos escrever tal equação C01l}.O F [x, f (x)] = O, portanto o 19 membroda equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudodestas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.

Derivamos a função considerando y = f (x), então a parcela 2 xy3 derivamoscomo produto, y3 como função de função.

Assim:

2y3 + 2x 3y2 dy + 2y dy + dy - 8x - 1 = Odx dx dx

Page 89: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

aaz = (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap •

4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS

Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e yvariáveis livres, sua diferencial

az azdz=-dx+-dyax ay

Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentesp e O.

Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->

==> z = f VI (p, O), f2 (p, O)] ==> Z = F (p, O)

Então a diferencial

dz = az d + ~dOap p ao CD

dx = ax d + ax dOap P nO

dy = ay dp + ay dOap ao ®Multipliquemos a (3) por ~~ e a ® por ~;:

az dx = az ax d + az ax dOax ax ap p ax aoaz d = az ~ d + az ~ dOay Y ay ap p ay ao

Page 90: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Somanrio membr-o a membro

az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay Y ax ap a;: ap p ax ae ay aeV

/ ,V

J /V

dz az az- -ap ae

az azdz = - dp + - deap a8

Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen (j ey = p28.

az- =y - 8xaxax- = sen8ap

az-=xayax- = pcoseae

az az ax az ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen e + x 2 peap ax ap ayap

az az ax az ay _ 2ae = ax ae + ay a8 - (y - 8x)pcose + xp

dz = [(y - 8x)sene + 2p8xlélp + [0' - 8x)pcos8 + p2x]d8

4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS

Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) == O. Podemos escrever tal equação corno F [x, f(x)] = O, portanto o 19 membroda equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudodestas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.

Derivamos a função considerando y = f(x), então a parcela 2xy3 derivamoscomo produto, y3 como função de função.

Assim:

2y3 + 2 x 3 y2 dy + 2y dy + dy - 8 x-I = Odx dx dx

Page 91: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Coloquemos : em evidência:

(6xy2 + 2y + 1) : + (2y3-_ 8x - 1) = O

2 ) dy (3 8 )(6 xy + 2y + 1 - = - 2y - x-Idx .

dy = _ 2y3 - 8 x-Idx 6xy2 + 2y + 1

aFdy _ axdx - - aF

ayCom o estudo das funções compostas estamos habilitados a dedüzi. esta fórmula apartir do exemplo genérico F [x, y] = O.

Assim:,

d aF dx aF dydx F [x, y] = axdx + ay dx= O (lembremo-nos que y = f(x))

'-v-"1

aF + aF !lJ!... = Oax ay dx

aF dy aFay dx = - ax

aFdy = _ axdx aF

ay

Tomemos z = f (x, y) definida implicitamente por F (x, y, z) = O, diferenciável.Como z é função de duas variáveis independentes, ela admitirá 2 derivadas

.. az az D .parcIaIs ax e ay' etermmemo-Ias:

Page 92: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

y constante emrelação ax

~

~ F (x y z) = aF dx + aF ay + aF az = Oax " ax dx ay ax az ax

~ '---y--/

1 Ox constante em

relação ay~

~ F (x z) = aFax + aF dy + aF az = Oay ,y, ax ay ay dy az ay

~ '-v-'O 1

aFaF + aF az = O __ > _az= __ax_ax az ax ax aF

azaF

aF + aF az = O > az = _ ayay az ay ay aF

az

Exemplo: Derive 2x2yz - 4xy2z2 + 6xz3 - 4 yz + 1 = O.

S I - D . aF aF aF E d d· - d 2o uçao: etermmemos ax' ay e az' m ca a envaçao estas, as outras

variáveis são consideradas constantes.

aF = 2x2z _ 8xyz2 - 4zay

~~ = 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4yv ••

aFaz ax- -- - ----ax aF

az

4xyz - 4y2z2 + 6z3

2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y

Page 93: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

oFoz _ õY _ 2x2z - 8xyz2 - 4zoy - - oF - - 2x2y - 8Xy2z + 18xz2 - 4y

õz

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Seja o sistema formado por duas eauações de três variáveis:

{f1 (x, y, z) = O

12 (x, y, z) = O

onde 11 e /2 são funções diferenciáveis.Cada equação representa, como vimos, uma superfície do R3 e o sistema

representa o lugar geométrico dos pontos de R3 comuns às duas superfícies, acurva intersecção das duas superfícies.

Procuremos as derivadas de x e de y em relação a z.Se pudermos resolver o sistema de modo a exprimir cada uma das duas

prime~ variáveis como função da terceira:

x = g (z) e y = h (z),

dx = g' (z)dz

dY=h'(z)dz

Se-não pudermos ou não quisermos explícitar as funções x e y, da variável z,

aplicamos as derivadas parciais de funções compostas na determinação de : e : .

Assim:

r 0/1 dx + 011 dy + 0/1 dz = Oox dz oy dz oz dz--10/2 ri» 0/2 dy Õ/2 dz--+--+--=0ox dz oy dz oz E!

1

af1 dx a/1 dy a/1--+---=--ox dz oy dz azal2 dx + al2 EJ: = _ 012ox dz oy dz az

Page 94: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Sistema de duas equações cujas incógnitas são : e : .

Calcule as derivadas : e : no ponto P (3, 1, 8).

Facilmente explicitamos x e y em função de z.Somando as duas equações, membro a membro, => 2x2 + Z2 = Z + 74

j_z2+ z + 74 .x = 2 . (no ponto consIderado x > O)

Subtraindo ==> - 2 y2 - Z2 = Z - 74

Y_- j~z2 - z + 74. - 2 (no ponto considerado y > O)

10) dx = 1. -2z + 1 = -16 + 1 = _ IS. dz ~2v'-Z2+Z+74 4.J-64+8+74 4.J18

20) E!l. = 1- - 2z - 1 = 1. -16 - 1 _ _ 17. dz 2 2 v' -Z2 - Z + 74 2 2 v' -64 - 8 + 74 4 '\Íf

I ~=_17j2

E D . dx dz ·t d -2 etermmemos dz e dy no SISema e equaçoes

{

X2 + 4 y2 + Z2 - 12 = Ox2 + y2 - 2 z - 1 = O

no ponto A (2, 1, 2).

Page 95: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Apliquemos as derivadas parciais de funções compostas.

à/1 dx à/1 dy à/1--+--=--àx dz ày dz õz

àlz dx + àlz ~ = _ àlzàx dz ày dz àz

2X: + 8y: =-2z

dx dy .2x dz + 2y dz = 2

No ponto A (2, 1, 2)

4 dx + 8 dy = -4dz dz

4dx+2El.=2dz dz

Subtraindo - > 6 t = - 6 > I t 1 I >1 ~~ 11

Substituindo na 2~ ddzY por - 1 ==.> 4 _dx - 2 '2 ==> I dx 1 Idz dz

PR1 Derive z = xZy - 4, onde x = senO e y = cosO.

Solução: Como z = I(x, y), onde x = /1(0) e y :- Iz(O) ==>" z == 1[(1(0),/2(8)] > z = F(O).Então

dz àz dx àz dydO = àx dO + ày dO

C àz = 2xyàx

zàz 2- =xày

dx- = cosOdO

!!l... = - sen OdO

Page 96: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

dzdO = 2 xy cos O - x2 sen O

~PR2 Determine a velocidáde angular do vetar posição OP, sendo O (O, O) e P(x, y),

com x = 1 - 2 t2 e y = 4 + t2, no instante t = 1 s.

Solução:

{X=1-2=-1

No instante t = 1 S ====> --> P(-l, 5)y=4+1=S

A velocidade angular do vetar oP é w = ~~'

derivada do ângulo O em relação a t, por sero ângulo descrito na unidade de tempo.

Da figura, tiramos tg O = L ==> O =X

= are tg L.x

Como y = g (t) e x = h (t) e O =f (x, y) >==-> O = f fg (t), h (t)] ==> O = F (t).

dO ao dx ao dyw::;;-=--+--dt ax dt ay dt

J:= -4t

1dy = 2tdt

W ====>: W = dO = 4 ty + 2 txdt x2 + y2 x2 + y2

_4ty+2tx diw- 2 2 r s

x + Y

{

X = -1No instante t = 1, >

y = 5

Page 97: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

4 . 1 • S + 2 . 1 (- 1)>w=---------1 + 2S

18w = 26

9w = - rd/s

13

De um funil cônico escoa água à razão de 36 7T cm3/s. Sabendo-se que age~atriz faz com o eixo do cone um ângulo a = 30°, ache a velocidade comque baixa o nível da água no funil, no instante em que o raio da base dovolume líquido for igual a 4 cm.

Solução: Consideremos um corte ABC do funil.B 7TR2h

O volume do funil é V = -3-' Logo, V =

= f(R, h), porém R = fI (t) e h = f2 (t),pois onível baixa com o. tempo, variando a altura e oraio conforme t.

dV = av dR + av dh CD (velocidade de variação do volume)dt aR dt ah dt

av 27TRh-=aR 3

av 7TR2-=-ah 3

Do triângulo retângulo ABD tiramos tg a = ~ ou

o R ..j3 R 3Rtg30 =- >-=- >h=- >h=R..j3h 3 h ..j3

avaRNo instante em que R = r = 4 cm ==> h = 4 -J3 cm,

27T • 4 • 4 ..j3 327T..j3 av 7T. 16 161T- 3 = 3 e ah = 3 = -3-

Page 98: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Como, ~~ = 36rrcm3/s, substituindo na CD, vem:

36rr = 32rr .v3 dR + 16rr dh3 dt 3 dt

h = R . ;-:::;-3 ===> dh = ;-:::;-3 dR === dR 1 dhV.:J dt V.:J dt > -dt =-y'3-3 -dt

36rr = 32 rr>p? 1 dh + 16rr dh3 ~dt 3 dt

108rr = 48rr dhdt

dh 108 1T dh 9 . .dt = 48 rr ---> dt = 4" cm/ s, velocIdade com que baixa a altura do

líquido no funil, no instante em que r = 4 cm.

PR4 Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retân-gulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de 2 cm/s cada umae a aresta vertical decresce à razão de 1 cm/s, no instante t, em que asarestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm.

Solução: V = xyz, logo:

V = f(x, y, z) e x = g (t), Y = h (t) e z = i (t)

~----------- --/'~~

Por outro lado, a velocidade de variação do volume é

dV , d ddt ' que nos e a a por

dV = a V dx + a V ~ + a V dzdt ax dt ay dt az dt CD

dx dy- = - = 2cm/sdt dt

dze dt = - 1 cm/s (velocidade decrescente)

Page 99: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

av-=yzax av = 20 X 60 = 1.200 em2

aXt

av-=xzay

av-=xyaz

av- = 30 X 60 = 1.800 em2

aYt

av- = 30 X 20 = 600 em2aZt

Substituindo na CDc;:; = 1.200 • 2 + 1.800 • 2 + 600(-1)

c;:; = 2.400 + 3.600 - 600

dVdt = 5.400 cm3/s

PRs Os lados de um triângulo em certo instante mediram 60 cm, 40 em e 70 cm.Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de 1 em/ s-1 e 2 cm/ ç 1,

respectivamente, e o 3Q decresce à razão de 2 cm/ç 1, determine a veloci-dade de variação do ângulo formado pelos 2 primeiros lados, no instanteconsiderado.

C Solução:

dx = I cm/s-1

dtd)!e - = 2 em/s-1

dt

dz 2 /-1dt = - em s

Fig.4.4.

Do triângulo ABC, através da lei dos eo-senos, tiramos:

Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa CDDo problema, concluímos que a =f (x, y, z), sendo x, y e z variáveis funçõesde t, logo a = F(t)

Da CD tiramos

x2 + y2 _ Z2 x2 + y2 _ Z2cosa = 2 ==> a = arccos 2xy xy

Page 100: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

dcx = acx dx + acx dy + acx dzdt ax dt ay dt az dt

acx 1 4x2y - 2y(x2 + y2 - Z2)

-ax- - - } _ (X'+2~~ - zy , 4_X:y2

u~v - uv~v2

..No instante considerado t

acx 1 4 • 3.600 • 40 - 2 • 40 • 300-ax = -) _ ( 300)2 4 . 3.600 • 1.600 -

1 4.800

1 576 - 24- --;;::===

j~56 - 1 360 • 64256

23- -60V25S

a cx 16 4, 60 • 1.600 - 2 • 60' 300 29-= - --ay ..J255 4 . 3.600 . 1.600 120..J255

acx 16 70 7- -az ..J255 60 • 40 15 V25S

dcx 23. 1 _ 29 • 2 + 7 (_ 2)dt = - 60 Vill 120 Vill 15 Villdcx -46 - 58 - 112

-dt .120 Vill

Page 101: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

da 216-=-----dt 120..j255

da = _ 9 rd S-1dt 5..j255

o ângulo a, no instante considerado, decresce à razão de Jm rd ç1.5 255

PR, D~ive z = t'tgy, onde x = p2 - 4 e y = 3p.

Solução: Concluímos que z = f(x, y), onde x = f1 (p) e y = f2 (p) do queresulta

dz = oz dx + oz dydp ox dp oy dp

Achemos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de x e y em p.Preparemos a função: F. P. > Z = (tgy)1/x.

~z = (tgy)1/X (-~)Qn(tgy) (derivada de funçãox \ x , exponencial de base

a)z = (tgy)l/X

OZ =.1 (tgy)(l/X)-l sec2y (derivada de potência daoy x tgy)

dxdp = 2p

Aplicando a fórmula CDdz = [_ Vtgy Qn(tgy)] 2p + [.1(tgy)1/x-isec2y] 3dp x2 X

dy = 3dp

(tgy)<1/X)-1 = (tgy)(l-X)/X = (tgy)-(X-1)/X = 1 _(X-l)

(tgy) x

1-V (tgy)(X-l)

Page 102: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

dz _ 2p X~t o (t ) + 3sec2y- - - - V 19y X.n gy ---dp x2 X ~ (tgy)(X-l)

eKx (v - z)PR7 Derive J.1. = 2 ' onde y = K senx e z = cosx e K constante.

K + 1

Solução: Derivemos como função composta.Numa 1~ análise J.1. = [(x, y, z), mas x = x (x), y = y (x) e z = z (x), então:

J.1. = F(x)

dJ.1. = a J.1. dx + a J.1. dy + a J.1. dzdx ax dx ay dx az dx

a J.1. _ KeKx (v - z)ax - K2 + 1

aJ.1. = eKx

ay K2 + 1

dx-= 1dx

dy = Kcosxdx

dzdx = -senx

Aplicando a fórmula de : ====->

dJ.1. _ eKx

dx --- (Ky - Kz + K cosx + senx)K2 + 1

Substituindo y e z pelos seus respectivos valores -->

dJ.1. eKx==.> - = --- (K2senx - K cosx + K cosx + senx)

dx K2 + 1

$ e~ efidx = 2 (K2senx + senx) = 2 senx (K2 + 1)

K + 1 K + 1

dJ.1. = eKx senxdx

Page 103: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR~ Determine a diferencial de z = senx + cosy com x = 2p e y = 1 _ p2.

Solução:

z = f (x, y) > z = F (p)

dz = (az dx + az dY) dax dp ay dp p

[az = cosxax

De z = senx + cosyaz- = -senyay

dx = 2dp

gz = -2pdp

PR9 Determine a diferencial de w = xeYz com x = pe, y, = p - e e z = 2 p + e.

Solução: w = f(x, y, z) > w = F (p, e).

- aw aw CDEntao, dw = ap dp + ae de 1

aw = aw ax + aw ay. + aw azap ax ap ay ap az ap

aw = aw ax + aw ay + aw azae ax ae ay aB az ae

x [~~ = eaxao = p

aw Y- = xze Zay Cay = 1ap

yay = -1ae

c~;= 2

z az = 1aeEntão dw = (e +xz + 2xy)eYz dp + (p -xz +xy)eYz de.

aw- = xyeYzaz

. az azPRlO Se z = f(x - y, y - x) venfique que ax + ay = o.

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Façamos x - y = t => Y - x = s.Então,

z=f(t,s) e t=fl(X,y) e S=f2(X,y)

Então:

az '(

[

a-=fr t,s)De z = f(t, s) . t

az ,as = fs (t, s)

at 1

[ax=

e de t = x - y

~= -1ay

Aplicando CD ====>

az , ) 1"' )ax = fr (t, s - J S (t, s

az , ,ay = - fr (t, s) + fs (t, s)

aFdy _ axd:x - - aF

ay

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aF

C-=yXQnyax

FaF _ X-I 1--xy -ay

dy =_dx

yXQny

yXx--ly

dy = _ yyX Qny = _ yX + I Qny

dx xyX _ Y xyX _ Y

dy =_dx

dy = yX+IQnydx y _ xyX

PRI2 Determine : sendo 1 + xy - Qn (exy + e-xy) = O.

Solução: Como vimos:

aFdy _ axd:x - - aF

ay

CaF = y - yexy_ ye-xy = yexy + ye-xy - yexy + ye-xy = 2ye-xy

ax eXY + e-xy eXY + e-xy eXY + e-xy

F aF = x _ xexy - xe-xy = xexy + xe-xy - xexy + xe-xy = 2xe-xy

ay eXY + e-xy eXY + e-xy eXY + e-xy

Aplicando a fórmula:

2ye-xy

dy = _ eXY + e-xy = _Ldx 2xe-xy x

eXY + e-xy

I dy - Y Id:x x

Page 106: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR13 Dada a equação x2 + y2 - Z2 - 4xy - 2x - y = O, determine ~: e ~;.

Solução: Vimos que dada F (x. Y. z) = O temos

aFaz axax - - aF

az

aFaz _ ayay - - aF

az

D. . aF aF aFeternunemos poIS ax' ay e az·

aF-= 2x - 4y - 2axaFay = 2y - 4x - 1

aF = -2zaz

az 2x - 4y - 2 = x - 2y ~ 1ax - - -2z z

az 2y - 4x - 1 _ 2y - 4x - 1ay - - -2z - 2z

PR'4 Dada a equação x2 + y2 = 16, determine .:; e ~;~.

Solução: De x2 + y2 = 16 ====> x2 + y2 - 16 = OProcuramos

aFdx _ aydy - - aF

ax

. aF aFDetcrnunemos ay e ax

aFF C ay = 2y

aF-=2xax

dx = _ 2y ==> dx = _Ldy 2x dy x

Page 107: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR1S Determine as equações das retas tangente e normal à curva x2 + y2 = 25 noponto T(3, -4).

Solução: Sabemos da geometria analítica que a equação

de (t) y - Yl ='a(x - Xl)

1-de (n)Y - Yl = --(x - Xl)a

onde a = :.Então (t) Y + 4 = a (x - 3)

e (n) Y + 4 :.- - ..!..(x - 3)a

aFdy axCalculemos a = - = ---dx aF

ayaF"-.c ax = 2X__ 2x xPartindo de F ==---:. aF --:> a = - -2y-= - y =-=2y

. . ~ 3 3= - -4 ="4Substituindo em (t) e (n) a por :.

3tangente (t) y + 4 ="4(x - 3) :> 4y + 16 =

= 3x - 9 ==:> 3x - 4y - 25 = O

.•. " 4normal (n) y + 4 = - 3" (x - 3) :> 3y +_12 =

= -4x + 12 ==> 4x +3y = O

Page 108: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

· d2y d 3 2 2PR16 Determme dx2 sen O x - 4 Y = 12.

aF'

Solução: Calculemos : = - ~~

ay

Partindo de F===="> C~~= 6x > dy = _ ~aF dx -8yay=-8y dy 3x

>-=-dx 4y

S h dy d I t- t ' d . d2y , 1/e c amarmos dx e y , en ao nos res ara etermmar dx2 que e y .

I 3xComo y = 4y , resulta

y" = ~(~~)

Lembrando-nos que y é função de x, devemos derivar ~; como quociente.

/IY =I I

UV - uvV2

3 • 4y - 3x • 4 • dy/I dx dy I 3x

y = - ----1-6-y-2---' mas dx = Y = 4Y

12y - 12x/Iy =-

3x.-4y _9x2

12y --y

16y216y2

/I _ 12y2 - 9x2

Y - - 16y3

12~

/I -3(3x2 - 4y2) .Y = - pOIS16y3

a equação dada é 3x2 - 4y2 = 12. Então,

Page 109: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

FUNÇÕES COMPOSTAS

" _ 3 • 12 --> I" 9 Iy - 16y3 -- Y - 4y3

2PP1 Derive z = x tg Y onde x = pef) e y = p2e2f).

Derive z = xy , onde x = J12 + V2 e y = J12 - V2.x2 + y2

PP3 Derive z = x + y2, onde x = p2 + senO e y = Qn(p + O).

az _ 2y

[ap - 2p + p + O

Resp.:az 2yae = cos O + P + O

PP. Derive z = J: : ;, onde x = -COSfJ e y = cosv.

Res . az = sen J1 e az = J 1 .+ x sen vp. . a J1 2 J (1 + x)(1 + y) av 2 (1 + y) J 1 + Y

PP5 Em certo instante as diagonais de um losango mediram 20 cm e 10 cm.Determine a velocidade de variação da área do losango, no instante conside-rado, sabendo-se que a diagonal maior decresce à razão de 0,5 cm/s e amenor cresce à razão de 1 em/ s.

dAResp.: dt = 7,50 em2/s

Page 110: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

pp 6 Um ponto se desloca sobre a esfera x2 + y2 + Z2 = 49, ao longo da circun-ferência do círculo máximo da esfera para a qual x = 2 sen t e y = 7 cos t -- 3, onde t representa o tempo.Detemilne a velocidade de ascenção· do ponto no instante em que suascoordenadas são (2, - 3, 6).

dz 7Resp.: dt = - 2"

PP7 Num instante t, as coordenadas de um ponto móvel P são x = 1 - 4 t2ey = 6 + 4t2

• -+Ache a velocidade angular do vetor OP, no instante t = 0,5 s.

dO 4Resp.: w = dt =7rd/s

PPs A altura de um cilindro circular reto mede 50 cm e o raio da base 20 em. Aaltura decresce à razão de 4 em/s, enquanto o raio da base cresce à razão de1 cm/s. Calcule a velocidade de variação do volume do cilindro no instanteem que foram medidos o raio e a altura.

dVResp.: dt = 400ll'cm3/s

PP9 O ângulo A de um triângulo decresce à razão de 2°/ s enquanto os lados AB eAC estão crescendo à razão de 2 cm/s e de 3 em/s, respectivamente.Calcule a velocidade de variação da área do triângulo no instante em queAB = 8 cm, AC = 5 cm e  = 60°.

Resp.: 14,36 cm2/s

PP 10 No problema anterior, calcule a velocidade de variação do lado BC noinstante considerado.

Resp.: 4,26 cm/seg

PPu Se Z = ~n~, onde x = 11.2+ V2 e y = Jl2 - V2, determine dz.y

R dz 2Jl(y-x)d +2v(Y+x)desp.: = Jl - vxy xy

PP12 Dada a função z = x3 - x2y + xy2 - y3, onde x = cos a + sen {3 e y =

= sen a + cos {3, determine dz no ponto a = ;e {3 = - ~.

3V3+9 3Y3-9Resp.: dz = - . 2 da + 2 d{3

Page 111: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

_ xy yz x az azPP13 Dada a equaçao e - e + ze - 1 = O, calcule ax e ay'

õz yexy + zex õz xeXY - zeYzResp.: - = ---- e - = -----õx yeYz _ eX õy yeYz _ eX

Dado arc tg L - 2n (x2 + y2) = O, calcule dxdY •. x. dy _ 2x + y

Resp.. dx - - -x + 2y> ~\.--_._., .. _~._--

pp 15 No exercício anterior deterrnine a equação da normal à curva representadapela equação no ponto T (1, O).

Resp.: x + 2 y - 1 = O

PP 16 Determine as derivadas parciais de z, dada a função z = f (x, y), defmidaimplicitamente por x2 + 2xz + y2 - 3z2 + 4xy = O.

. õz _ x + z + 2y

C õx - - x - 3zResp.: z

õz _ y + 2xõy - - x - 3z

PP17 Dada a superfície x2 + y2 - Z2 - xy = O, deternrlne a equação do planotangente a ela no ponto T (- 1, O, 1).

Resp.: 2x - y + 2z = O .

PP18 Determine a equação da tangente à curva 2xy - 2ex seny + 1 = O no

ponto T (o, ~j.1T-3 1T

Resp.: y = 3..J3x +"'6

PP19 Determine no sistema

{

X2 + y2 + Z2 - 14 = O

2x2 + 3y2 + Z2 - 20 = O

dx dydz e dz no ponto P (2, 1, 3).

Resp.: : = -3 e!frz = 3

Page 112: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PP20 Dada a equação x2 + y2 - 36 = O, determine d2; .

dx

d2y 36Resp.: --2 = --3

dx Y

(~

, ',,--._,,\J.

Page 113: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

5MÁXIMOS E MíNIMOS

Trabalharpelo mundo melhor é nosso dever detodos os instantes, construindo igualmentesantuários de amor e paz.

Sendo z = f(x, y) uma função definida e contínua na região D C R2,

dizemos que a função f assume um valor máximo em Mo(xo, Yo) E D se, esomente se, numa vizinhança V de Mo, suficientemente pequena, o valor dafunção neste ponto é maior que os valores assumidos por ela nos pontos vizinhosdele e pertencentes a V, isto é,

f(xo, Yo) > f(xo + b.xo, Yo + b.Yo)

No gráfico da função f não pode haver ponto mais alto que o pontoM (xo, Yo, f(xo, Yo))·

Page 114: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

De modo análogo, defInimos o mínimo local:

f(xo, Yo) <f(xo + 6.xo, Yo + 6.Yo)

Exemplos:

E1 Seja a função z = 4.- x2 - y2• No ponto Mo(O, O)--> Zo = 4 - 0-- O = 4 o máximo valor de z em R2, pois, qualquer que seja (x, y) ER2 ,

teremos x2 ~ O e y2 ~ O--> _x2 ~ O e _y2 ~ O, portanto,

_x2 - y2 ~ O CDE se somarmos 4 a ambos os membros de (D, resulta

4 - x2 - y2 ~ 4, mostrando-nos que f(fJ, O)>{(i + 6.xo, @ + 6.Ye)

Ez Seja a função z =.2x2 + 2y2.

Solução: No ponto Mo (O, O)==> Zo = O o mínimo valor de z em R2,pois qualquer que seja (x, y) E R2, teremos 2x2 ~ O e 2y2 ~ O, logo,2x2 + 2y2 ~ O, ou seja:

{(O, O) <{(O + 6.xo, O + 6.Yo)

Nas funções diferenciáveis, podemos estabelecer uma condição necessáriapara que em determinado ponto ocorra o máximo ou míni,mo da função.Seja a função z = {(x, y) uma função diferenciável. Se no pontoMo(xo, Yo) E D tivermos o valor de f(xo, Yo), máximo ou mínimo, o pla-no tang~nte à superfície no ponto M(xo, Yo, zo) será paralelo ao .planoxOy e, conseqüentemente, as tangentes tI e t2 serão também paralelas esuas declividadesnulas:

De fato, a equação do plano tangente é

az 3z .z - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)

3xo 3yo

3z 3zComo z = Zo >3xo (x - xo) + 3yo (y - Yo) = O-->

==>·1 aa:. O I e I :;. O IChamamos pontos críticos de uma função diferenciável numa região D

, 1 . d d 1 d . d .. 3z 3z Uaque es cUJascoar ena as anu am as enva as parCl31S-a e ~. fi pontoXo uYo

Page 115: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

crítico é também chamado estacionário.Concluímos do que foi exposto que os máximos e mínimos locais de uma

função diferenciável ocorrem em pontos críticos da função. Portanto, geralmentedescobrimos os máximos e os mínimos locais de uma função diferenciávelprocurando seus pontos críticos.

E1 Determine os pontos críticos da função

z = x3 - y2 - 12x + 4y + 2

Solução: Determinemos as funções derivadas parciais de 1ª ordem

[

~: = 3x2- 12

zaz-=-2y+4ay ,

Façamo-Ias iguais a zero

3x2 - 12 = O ==>. x2 = 4 ==» X = ±2

-2y + 4 = 0==>' -2y = -4 ===> Y = 2

~ Determine os pontos críticos de função z = x2 _ y2.

Solução: Procedemos da mesma forma que em Ei.

[

az = 2xaxz az = -2y

ay

o ponto Mo(O, O) é o único ponto crítico da função e não correspondenem a máximo, nem a mínimo local.

Numa vizinhança V deste ponto existem pontos tais como (Eb O) e(O, E2) com El =1= O e E2 =1= o.

Examinemos o comportamento da função nestes 2 pontos.

No ponto (El, O) ==> {(Eb O) = E; + 02 = El > O

No ponto (O, E2) ==. > {(O, E2) = 02 - E22= -E{ <: O

Page 116: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Assim, o ponto (O, O), ponto crítico, não corresponde nem a máximo nema mínimo e é chamado pPJ1to de sela. A função, graficamente, neste ponto temo aspecto de sela de montaria

Tomemos uma função z = f (x, y) diferenciável na região D C R2 e seja oponto Po(xo, Yo) ED um ponto crítico da função.

Como vimos Po é ponto solução do sistema de equações

az = Oax(condição necessária)

az = OayComo z = f (x, y), por mpótese, é diferenciável de classe C2, admite derivadasa2z a2z a2z a2zparciais de 2~ ordem, -2' -2 e -a a = -a a .ax ay x y y x

Com estas derivadas, formemos a função

a2z a2z- --ax2 ayax

H (x,y) = a2z a2z-- -axay ay2

que se chama hessiano da função z = f(x, y).Desenvolvendo o determinante, vem:

a2z a2z a2z a2zH=-------ax2 ay2 axay ayax

Page 117: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a2z a2Z a2Z a2Z (a2z )2Como axay = ayax => H = ax2 • ay2 - axayDeterminemos o valor do hessiano no ponto crítico Po (xo, Yo). Três resul-

tados podem ocorrer:

(a:.2:y.)2 > O e para esta diferença ser positiva,

.. a2z a2z_consequentemente --2 e --2 sao de mesmo sinal.axo ayo

Se a2z

2> O, há mínimo local no ponto Po

axo

Se a2z2 < O, há máXimo local no ponto Poaxo

Para o hessiano nulo nada podemos afirmar sobre o ponto crítico.,

Exemplo: Dada a função z = x2 + y2 - 4 x - 6y + 5, pesquise quantoao máximo e mínimo.

Solução: Procuremos o ponto crítico:

C az = 2x - 4axz

az- = 2y - 6ay

{2X-4=0 \x=21

> I 1===>Po(2, 3)2y - 6 = O . y = 3 .

Page 118: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Cà2Z = 2àx2

àzàx

à2z à2z

ày 2.à z' 2ày2

à2z= 4 > O e como - = 2 > O ====>àx2

Calculemos o valor mínimo da função

z = 2z + 32 - 4 • 2 - 6 • 3 + 5 = 4 + 9 - 8 - 18 + 5 ===:>==> Z =-8

IPm (2,~,-8) INuma função de 3 variáveis, w = f(x, y, z), os pontos críticos são deter-

minados da mesma forma:

àw = Oàx '

àw = Oày

àw = Oàz

àZw àZwàx2' àyz'

àZw à2wàyàz = àzày

A matriz hessiana de f é

àZw azwàxay = ayax'

a2w a2w a2w- --àx2 àyàx àzax

H= a2w a2w a2w-- - --àxày ay2 azaya2w à2w a2w-- --

àxàz ayàz àzz

Page 119: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

, . ,;/v,,/-

a2w a2W a2W--axcl aYoaxo azoaxoH3=

a2W a2W a2we --axoayo aycl azoayoa2w .a2w a2w--axoazo aYoazo azcl

Calculamos seus determinantes. Então:

1. Se 6.H1 > O, 6.H'1. > O e 6.H3> O mínimo local no ponto Po2. Se 6.H 1 < O, 6.H'1. > O e 6.H3 < O lnáximo local no ponto Po

Exemplo: DeteInÚne os máximos e os mínimos locais da função w = x +y2 Z2 2+ -4 +- +-, onde x =1= O, y =1= O e z =1= O.x y z

Solução: Condição necessária

aw y2-= 1--ax 4x2

aw y Z'1.

ay = 2x - y2

aw 2z 2az = y - Z2

Y Z2- __ = O ==>: y3 = 2xz2 ==>y3 = yz2 ==>2x y2

==> '-!-Z-=-zz-I ==> I y z 10_~_z__~ = 0===> 2z3 = 2y > 1_~_3_y_10

Page 120: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Comparando @ e ® >

> Z3 = Z => Z2 = 1 >I z = ± 1

Conseqüentemente: da 0 --> I y = ± 1 I e da CD====>-1 x± ~ I

Então: P 1( ;, 1, ~ e P2 (- ;, - 1, - 1) "

Condição de suficiência:Determinemos as derivadas de 2a ordem:

awax

a2w y2-=--ax2 2x3

a2w = _ Laxay 2x2

a2waxaz = (j)

a2w =_2-ayax 2x2

a2w 1 2z2

-=-+-ay2 2x - y3

a2w 2zayaz = - y2

a2w--=0)azaxa2w 2zazay = - y2

a2w =1. +-±-az2 y Z3

No ponto PJ(;, 1, 1) ==>

awaz

a2w a2w a2w---> -=4"-= 3"-ax2 ' ay2 ' az2

a2w a2w a2w a2w--=-- = Oe -- = --=-2axaz azax ayaz azay

Page 121: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

!J.H1 = 141 = 4 > O;

-23

-2

O- 2 = 72 - 24 - 16 > O

6

Mínimo local no ponto Pl( ~, 1, 1).

No ponto P2 (- ~, -1, -1) ====>"

a2w a2w a2w a2w a2w==> - = -4;- = -3- - = -6- -- = -- = 2-ax2 ay2 ' az2 ' axay ayax 'a2w a2w a2w a2w--=--=Oe--=--=2axaz azax ayaz azay

!J.H = 1-41 < O·1 '

2

-32

= 12 - 4 > O,

O

2 = - 72 + 24 + 16 < O

-6

'Mínimo local no ponto P2 (- ~, -1, -1).

5.3 - PONTOS EXTREMOS DE FUNÇOES IMPLíCITAS

No caso da pesquisa dos máximos e mínimos locais de funções diferenciáveisdefinidas implicitamente por equações, aplicamos as mesmas considerações.

Exemplo: Estude quanto ao máximo ou mínimo a função x2 + 2y2 -

- 12 x - 4 Y + Z2 - 3 z + 34 = O.

Solução:

Page 122: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

C d· - ,. P az azon lçao necessana: rocuremos ax e ay·

aFaz ax 2x - 12ax = - aF = - 2z - 3

azaF

az _ ay _ 4y - 4ay - - aF - - 2z - 3

az

- 2x - 12 = 0--"> 2x - 12= O > x = 62z - 3 --

4y - 4- 2-2' '- 3 = O --'> 4 y - 4 = O >y = 1

-------,/

Para x = 6 e y = 1 =--=-----> 36 + 2 - 72 - 4 + Z2 - 3 z + 34 = O >

=-==--=-_> Z2 _ 3z _ 4 = O =-~_-_>{z= 4z =-1

a2z a (az) a ( 2x - 12)ax2 = ax ax = ax - 2 z - 3

az2(2z - 3) - (2x - 12) • 2 -ax(2z - 3)2

a2z _ a (az) _ a ( 4y - 4)ay2 - ay ay - ay - 2z - 3

4(2z - 3) - (4y - 4) • 2 ~ay(2z - 3)2

Page 123: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

_0_2Z_ = _o (_OZ) = _o (__4Y_-_4) = _o (-(4y _ 4)(2z _ 3)-1]oxoy OX oy OX 2z - 3 OX

02Z -2 OZ-ox-o-y= (4y - 4X2z - 3) • 2 -ox

No ponto FI (6, 1, 4)

oz OZ O ( d' - , " )ãX = ãY = con lçao necessana

02Z __ 2 (2 • 4 - 3) _ 2 = __2ox2 (2 • 4 - 3)2 8 - 3 5

02Z _ _ 4 (2 • 4 - 3) = _ i.oy2 (2 • 4 - 3)2 502Z '.--=0oxoy

2 O5

H= >0O 4

5

o"z 2e como -2 = - -5 < O, no ponto (6, 1, 4) existe máximo local de valor 4.OX

No ponto F" (6, 1, -1)

OZ OZ O ( d" - , , )~ = ãY = con lçao necessana

02Z 2 (- 2 - 3) _ 2 _ 2ox2 - - (- 2 - 3)2 - - - 5 - 502Z _ 4 (-2 - 3) _ 4 _ 43y2 - - (- 2 - 3)2 - - - 5 -"502Z--=0oxoy

Page 124: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

e como a2z

2> O,no ponto (6, 1, -1) existe mínimo local de valor - l.ax

Nos problemas práticos sabemos de antemão se eles são de máximo oude mínimo, dispensando-se a verificação de suficiência.

Vejamos o problema do ajustamento de retas.As variáveis x e y estão relacionadas por dados experimentais conforme

a tabela.

cada um dos pares (x, y) determina um ponto do plano cartesiano xOy.Loquemos estes n pontos.

y = ax + b Observemos que os pontos estão apro-ximadamente alinhados.Desejamos ajustar ao conjunto dos npontos uma reta, a reta MELHORAJUSTADA .Para cada um dos x observados corres-pondem dois valores de y:

desvioI ................................

1Q) Y observado

29) y calculado

Denominamos desvio à diferença

d = Yobs. - Yca1c. = Y - (ax + b)

I di = Y; - axi - b I

Page 125: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

n n2: d2 = L (Yi-flXi- b)2=f(a,b)=wi=1 i=1

Nestas considerações, a e b serão os valores que tornam w mínimo.

A d" - '"' õ w O Õ w Ocon lçao necessana e õa = e õb = .Desenvolvamos a função w: -->.

n--> W = 2: (Yl + a2x? + b2 - 2axiYi - 2bYi + 2abxi)

í=1

n n n n n nW = 2: Yl + 2: a2xl + 2: b2

- 2: 2axiYí -; 2: 2 bYi + 2: 2abxií=1 í=1 í=1 i=1 i=1 i=1

n n n nW = I Y? + a2 I xl + nb2

- 2a I Xi Yi - 2 b I Yi +i=1 i=1 i=1 i=1

n+ 2ab L Xi

i=1

õ n n n

[

õ~ = 2a ~ xl -'2 ~ XiYí + 2b ~ XiZ=1 Z=1 Z=1

W

õw n n- = 2nb - 2 2: Yi + 2a 2: Xiõb i=1 i=1

n n n2a 2: xl- 2 2: XiYi + 2b L Xi = O

i=1 i=1 i=1

n n2nb - 2 I Yi + 2a I Xi = O

i=1 i=1

Page 126: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

n n na L xl + b L Xi = L XiYi

i=1 i=1 i=1

n na L Xi + nb = L Yi

i=1 i=1

Sistema chamado Sistema de Equações Nonnais do Ajustamento da RetaMelhor Ajustada y = ax + b.

Exemplo: As variáveis X e y estão relacionadas pelos seguintes dados experi-mentais:

-2 -1 O7 6 6

1 24 3

determine a equação da reta mais ajustada.

Solução:

1. Loquemos os pontos (diagrama dedispersão)

2. Loquemos a reta mais ajustada

3. Construamos a tabela abaixo de acordocom o sistema de equações normais

n n na L xl + b L Xi = L XiYi

i=1 i=1 i=1

n na L Xi + nb = L Yi

i=1 i=1

N9 de pontos Xi y. 2 x·y·1 Xi 1 1

1 -2 7 4 -142 -1 6 1 - 63 O 6 O O4 1 4 1 45 2 3 4 66 3 1 9 3

n=6 ~Xi = 3 ~Yi = 27 ~x;= 19 ~xiYi =-7

Page 127: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

{

19a + 3b =-7~> {19a + 3b = -7

3 a + 6 b = 27 a + 2 b = 9

H-2~X19====:> - 35 b = -178 > b = 5,086

o problema de máximos e mínimos condicionados consiste em determinaros máximos e mínimos locais da função z = f(Xb X2, X3, ... , xn) sob a restrição"P (Xb X2, X3, , xn) = O, sendo f e "P funções diferenciáveis. Se a funçãoz = f(Xb Xz, X3, , xn) e a restrição "P (Xb X2, X3, ... , xn) = Oforem lineares,teremos p~oblemas de Programação linear.

Consideremos a função de 2 variáveis z =f (x, y) e admitamos que as variáveisx e y devam satisfazer à equação "P (x, y) = O,sendo f e "P diferenciáveis. Queremosachar os extremos locais da função f.

Se pudermos resolver a equação "P (x, y) = O em refação à uma das variáveis,por exemplo, y = fI (x), resultará, z = f[x, fI (x)]. A função resultante é deuma única variável, z = F (x), aplicamos, então, a técnica estudada no Volume LÀs vezes, a resolução de I() (x,y) = O é muito difícil ou mesmo impossível.Teremos que examinar o problema de outra forma.

Estudemos o método dos multiplicadores de Lagrange, aplicável também afunções não lineares.

Método dos Multiplicadores de Lagrange

Seja a função z = f(x, y), sujeita à restrição (vínculo) I() (x, y) = O.Formemos a combinação linear entre z e I(), ambas funções diferen-

ciáveis ==> v = z + À"P ou v = f (x, y) + ÀI() (x, y), chamada função auxiliar.Diferenciando a função auxiliar

dv = av dx + ~ dax ay Y

onde av = af + À aI() e av = af + À a"Pax ax ax ay ay_ ay'

Page 128: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

dv = (ar + À a~) dx + (ar + À a~) dyax ax ay ayNum ponto extremo, a função nem cresce, nem decresce. Logo sua diferencialé nula. No nosso caso, dv = O. Então:

(ar + À a~)dx + (ar + À a'P)dY = 0==">ax ax ay ay

A estas equações juntamos o vínculo. O sistema assim obtido nos permitiráresolver o problema proposto.

ar + À a'P = oay ay~(x,y) = o

Exemplo: De todos os paralelepípedos retângulos de volume dado, qual ode área total mínima?

Solução: Estabeleçamos a função r e o vínculo ~.A função f é a que admite o ponto extremo. Nonosso caso a área total:

O vínculo é a restrição. No nosso caso, o volume é quedeve ser constante (dado):

V = xyz = K ====>I xyz - K = O I

{A = 2xy + 2xz + 2yz (função)xyz - K = O (vínculo)

I A = 2 xy + 2xz + 2yz IIII ZII)-------------- --/'

Page 129: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

v = 2 xy + 2xz + 2yz + À (xyz - K) >==>: V = F(x,y,z)-->

av av av> dv=-dx +-dy +-dzax ay az

av = Oax

~=oay

av = Oaz

av 2y + 2 z + yzÀ = O -À = 2y + 2z Q)- >ax yz

av 2x + 2 z + xz À = O -À = 2x + 2z @ay > xz

av 2x + 2y ®- 2x + 2y + xYÀ = O --> -À =az . xy

Comparemos Q) com ® e Q) com 0:

CD com 0 2y + 2z = 2x + 2z _> 2xy + 2xz=Yf xl

= 2xy + 2yz --> 2 xz = 2yz >I x y IQ) com ® 2y + 2z _ 2x + 2y __

jz - xl -->

-->. 2xy + 2xz = 2xz + 2yz ==>.

--> 2xy = 2yz --> I x z I

Page 130: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Do vínculo xyz - K = O ====>xxx =·K --> x3 = K ==>. X == VK. A aresta do cubo de volume K e área total mínima é x = VK.

27 27PR1 Z = xy + - + -x y

Solwção: Determinemos os pontos críticos da função

az 27z C ax =y - x2

az 27-=x--ay y2

27y--=Ox2

27x --= Oy2

x2y = 27

==> >x2y = xy2xy2 = 27

Resolvendo

x2y = xy2 ==> X = Y

Levando à uma equação

x2y = 27 > x2 • x = 27 ====>. x3 = 27 ====> x = 3

e como x = y ==>. Y = 3.Então, Po (3,3).Estudemos sua natureza. Determinemos as derivadas de 2a ordem

a2z 54

C-=-ax2 x3

azax a2z a2z

ay a2z 54-=-ay2 y3

Page 131: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a2z = 54 = 2

aX6- 27

a2z a2z---= 1axoayo aYoaxo

1 2

E a2z 2 > O d" .como --2 = correspon e a mmuno.axo

O valor mínimo da função é

27 27Zm = 3 • 3 + - + - = 9 + 9 + 9 = 273 3

I Pm (3, 3, 27) IPR2 Z = x4 + y4 - 3x2 + 6xy - 3y2.

Solução: Siga.TI1oSos mesmos passos

az 3

C ax = 4x - 6x + 6yz .

az = 4y3 + 6x - 6yay .

{

4X3 - 6x + 6 y = Osomando membro a membro ==>

4y3 + 6x - 6 y = O

> 4x3 + 4y3 = 0====>: 4x3 = _4y3 ====.>

Substituindo em 4x3 - 6x + 6y = O, resulta

4 x3 - 6 x - 6 x = O

4x3 - 12x = Ox3 - 3x = O

X (x2 - 3) = Ox=Ox2 - 3 = O ===> X = ± V3

Page 132: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Temos os pontos P1(O, O); P2 (VJ, - ..;3) e P3 (-....(3, V3).Determinemos as derivadas de 2ª ordem

a2z

C-= 12x2- 6ax2

azax a2z a2z

ay 2a z = 12y2 _ 6ay2

Pesquisemos o ponto P1(O, O)

a2z a2z a2z- = 12 • O - 6 = -6' -- = 6 e - = 12 • O - 6 =axo2 ' axoayo aYo2

= -6

Nada podemos afIrmar sobre o ponto P1(O, O).

Pesquisemos o ponto P2 (v'3: - ..;3)

a2z = 12 (..;3)2 _ 6 = 30; a2z = 6axl axoayo

a2z- = 12 (- ..;3)2 - 6 = 30ayo2

M' . , . a2z > O t d ,.axImo ou mlmmo e como --2 ===="> pon o e mmuno.axo

Valor mínimo da função:

z = (..;3t + (- ..;3)4 - 3 (V?,)2+ 6 V3 (-..;3) - 3 (- ...;3)2Z = 9 + 9 - 9 - 18 - 9z = -18P2,m (...;3, - ..j3, -18)

Page 133: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Pesquisemos, agora o ponto P3 (- .J?" V3)

a2z a2z-a 2 = 12(- y'3)2 - 6 = 30;~--= 6Xo axoayo

a2z- = 12 (y'3)2 - 6 = 30aYo2

H (- y'3, .vJ) = 864 > o ==> P3 mínimo

z = (- ..;3)4 + (v'3t - 3 (- .vJ)2 + 6 (- .vJXV3) - 3 (y'3)2Z = -18

I P3,m (- y'3, y'3, -11) I11ft 3 z = sen x + sen y + cos (x + y), com x e y arcos do 10 quadrante.

Solução:

az .z r 3x = cosx - sen(x + y) ==>

t az'-- - = cosy - sen(x + y)ay

{

cos x - sen (x + y) = o=--=----> . -> cos x = cós y >

cosy - sen (x + y) = o .'

==>Ix y I. .

De cos x - sen (x + y) =O para x =y ==.> 'cos X - sen 2x =O. >-> cosx - 2 senx.:cosX = O .~ > cosx (l - 2 serix) = 0==>

1rcosx = 0==.> x =-2

1 1r1 - 2senx =O --> senx ="2--> x =6

para x = ; ==> Y = ; ==> P1(;, ;)

para x = ~ ==>~ y = ~ ====>P2(~' ~)

Page 134: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a2z

[

- = -senx - COS(X + y)aX2aZ

[ax a2Z a2Z

Z -- =--= -COS(X +y)

[

axay ayaxaZay 2a z- = -seny - cos(x + y)ay2

NopontoPb temos:

a2z 7T- = - sen- - COS 7T = - 1 + 1 = Oax2 2

a2z 7T- = -sen-- COS7T = Oay2 2

a2z-- = -COS7T = 1axay

o pontodeselaé (~'%'1).NopontoP2, temos:

a2z 7T 7T 1 1- = -sen-- cos-= ----=-1ax2 6 3 2 2

a2z 7T 7T 1 1-. -= -sen-- cos~= ----=-1ax2 6 3 2 2

a2z 7T 1-- = -cos-=--axay 3 2

DeterIlÚnemosH (~, ~):

Page 135: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 3=1--=->04 4

e como -::-~ = - 1 < O ==>. máximo local eIP ~~, ~).

Calculemos z:I

D ={ (x, y, z) E R31 x, y, z E [ O, ; ]}

Solução:

aw _ aw _ aw - Oax - ay - az -

awcosx = O Ti- = cosx >x=-ax 2

aw-seny = O >y=Ow - = -seny >ay

àw .cosz = O 1r- = cosz >z=-az . 2

Temos o ponto crÚico A (;, O, ;~

Condição suficiente:

Page 136: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

ôwôx

ôwôy

ôwôz

ô2w- = -senxÔX2

Ô2W--=0ôxôy

Ô2WÔXÔZ = O

ô2w--=0ôyôx

Ô2W--= -cosyÔy2

Ô2W-=0ÔYÔZ

No ponto A ==>

ô2w 1T===> - = -sen-= -1·ax2 2 '

ô2w 1T-=-sen-=-1ôz2 . 2

ô2w--=0ôyôz

H1,A = 1-11 = -1 < O;

[

-1

H3,A = ~

O

-1

O

ô2w- = -cosO = -1·ôy2 '

ô2w ô2we ôxôy = O; ôxôz = O

[

-1H2,A = O O] = 1 > O;

-1

~]=-I<O-1

Page 137: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

No ponto A (;, O, ;) existe máximo local.

PRs x2 - 2y2 - 6x + 4y + Z2 - 2 = O sendo z =1=O.

Solução:

az = Oax

aFaz ax 2x - 6 x - 3-=--=- ----ax aF 2z

azaF

az _ ay _ -4y + 4 = _ -2y + 2ay - - aF - - 2z z

az

x-3---=0==>x-3=0 >x=3z

_ -2y + 2 = 0==>. -2y + 2 = 0==> y = 1z

Para x = 3 e y = 1 >

> 32 - 2 • 12 - 6 • 3 + 4 • 1 + Z2 - 2 = O

9 - 2 - 18 + 4 + Z2 - 2 = O

Z2 = 9 ====> Z = ± 3

Ternos 2 pontos críticos:

B (3, 1, - 3)'

Condição suficiente:

Calculemos as derivadas parciais de 2~ ordem em cada um dos pontos.

a2z a (az) a ( x - 3)ax2 = ax ax = ax - z = -

azz - (x - 3)-ax

Page 138: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

aza2Z = ~(az) == ~ (_ -2y + 2) == _ -2z - (-2y + 2) ãYay2 ay 3y 3y z Z2

a2Z == ~ ( az) = ~ (_ ...;.2y + 2) = -i. [_(_ 2 + 2) Z-l] ==3x3y 3x 3y 3x z ax y

= (_ 2y + 2)Z-2 3z3x

2=-"9<0 >23

==> No ponto A (3, 1, 3) há sela

No ponto B (3, 1, - 3) >

32z - 3 1 32z 6 2==> -= --=-" -== --=--3x2 9 3' 3y2 9 3

32z--=03x3y

2= --< O ===>9

PR6 A tabela abaixo traduz as vendas das lojas A • A nos anos de 1970 a 1974em bilhões de cruzeiros

t (ano)

Y (venda)

1970 1971

2 2,5

1972

3,1

1973

3,9

1974

4,8

Page 139: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Estime as vendas para 1975.

Solução: Organizemos a tabela tomando 1972 c·omo referência

t (ano) 1970 1971 1972 1973 1974

x -2 -1 O 1 2

Y (venda) 2 2,5 3,1 3,9 4,8

Detterminemos a reta y = ax + b, reta mais ajustada aos pares de pontos(- 2; 2), (-1; 2,5), (O; 3,1), (1; 3,9) e (2; 4,8)

Pontos Yi~ x·y·X· xiI I I

1 -2 2 4 -42 -1 2,5 1 -2,53 O 3,1 O O4 1 3,9 1 3,95 2 4,8 4 9,6

n = 5 ~Xi = O ~Yi = 16,3 ~xt = 10 ~xiYi = 7

n n na L xl + b L Xi = L XiYi

i=1 i=1 i=1

na I Xi + nb = I:fi

i=1

{

10a = 7 ---> a = 0,7--> e

5 b = 16,3 b = 3,26

a reta mais ajustada é y = 0,7 x + 3,26.O ano de 1975 corresponde a x = 3, então, a estimativa de venda éy = 0,7 . 3 + 3,26 -->- y = 5,36 bilhões de cruzeiros.

PR7 Determine a equação do plano que passa pelo ponto P(1, 2, 1) e que deter-mina; com os planos coordenados, o tetraedro de volume mínimo. Deter-mine este volume.

Page 140: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1A função é o volume V = 3" Bh,

mas B = i e h = "I.

Então, I V ~ a~r I

A equação do plano ABe é ~ + L(3 + ~ = 1 (equação segmentária)a "I

Como o suporte do plano é o ponto P (1,2,1) =>

Notamos que a função f é V = f(a, (3, "I) e o vínculo é dado pela equação4(J (a, ~,"I) == O tirada da equação do plano.Achemos a equação auxiliar v, combinando linearmente f e 4{):

1 (1 2 1 )v = - aç"l + À - + - + - - 16 a (3 "I

av av avdv = -da + -d(3 +-d"laa a(3 a"l

a v 1{3"1 _ ~ = o > À = a2

{3"1 CDaa 6 a2 6

av 1..a"l _ 2 À = o > À = a{32"1 f2\a{3 6 (32 12 \V

av 1 a{3 _ ~ == o ===> À = a{3"12 f3\

a"l 6 "12 6 \.V

1 2 1vínculo -+-+-- 1 = Oa {3 "I

Page 141: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

121-+-+--1=0a 2a a

o volume do tetraedro é V =.l. 3 • 6 . 3 = 9u36

e a equação do plano é [1-+í+1- = 11·

PRs Uma calha deve ser construída com uma chapa de 120 cm de largura. Dá-seà secção transversal da calha a forma de um trapézio isósceles. Qual deveser a largura da base e a inclinação das faces para que a capacidade da calhaseja máxima?

Solução: A função é a capacidade da calha e o vínculo é a largura dachapa, 120 cm.

A capacidade da calha será máxima se a secçãotransversal for máxima

,y x y

S=x+2z+xw2

S = (x + z)w

~

I~···!························r·····~: '(Iw '! ! yI Ix

Page 142: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x + 2Y = 120 -->- x + 2Y - 120 = O'---y---/largura

Combinemos linearmente f e r.p:

v = xy cos a + y2 sen a cos a + À (x + 2y - 120)

1v = xy cos a +"2y2 sen 2 a + À (x + 2y - 120)

av CDax y cos a + À = O 1

av ~ay x cos a + y sen 2 a + 2 À = O 0av ~aa -xysena + y2cos2a = O 0

~cos2 a: - sen2 a:

vínculo x + 2y - 120 = O 0Da CD ====>: À = - y cos a.Substituindo na equação @ > x cos a + 2y sen a cos a - 2y cos a =

= O. Dividindo por cos a (possível porque a =1= ; --> cos a =1=0)

resulta

-x + 2ysen a = ---- =>2y

e cos2a = 1 - (2Y 2~ X)2

Substituindo na equação ® ====>

=> -xy( -x 2: 2Y) + y2[ 1- eY2~ x)' - (2Y2~ xJ] =

= O >

__ - • x2 - 2xy + 2 [1 _ 4y2 - 4xy + x2 _-> 2 Y 4y2

_ 4 y2 - 4 xy + x2 ] = O ==>_4y2

Page 143: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x2-2xy+ 2[4y2_8y2+8XY-2X2]_0--> y - -->2 4y2

x2 - 2xy _2y2 + 4xy - x2

> 2 + 2 =0 >

> 2xy - 2y2 = O >

-->x-y=O >jx ylSubstituindo na equação 0 ====> X + 2x - 120 = O >3x= 120 ==> x = 40 cm e y = 40 cm.

sen a = _-_x_+_2y- > sen a = _-_4_0_+_80_= l =='> a = 30°2y 80 2

Logo, as dimensões da calha de volume máximosão x = Y = 40 cm e a inclinação das faces, a = 30° .

PR9 Inscreva em um círculo de raio R, o triângulo de área máxima.

Solução: A função é a área, A = A1 + A2 + A3 e o vínculo o raio dado R.

b a aDo ABDO==> 2 = R sen"2 e h = R cos 2'

Page 144: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

r A ,

R2 a: a: R2

> A 3 = 2" 2 sen 2" cos "2 -->- A3 =""2 sen a:

De modo análogo, tiramos AI = ~2 sen {3e A:! = ~2 sen "I. Logo a função

área nos é dada por

R2A ="2 (sena: + sen{3+ sen r)

A equação do vínculo é, a: + {3+ r = 2 1f e a equação auxiliar, v -R2

= 2" (sen a: + sen{3+ sen r) + À (a: + {3+ r - 2 1f).

Montemos o sistema resolutivo

õv R2 R2 Q)- -cosa: + À = O > -À =- cosa:õo: 2 2

õv R2 R2

0õ{3 2" cos{3+ À = O > - À = 2 cos{3

õv R2 R2

®õr-cos r + À = o > -À = -cosr2 2

vínculo o:+{3+r-21f=O 0Notamos a igualdade Q) = Q) = ® = - À. Então,

R2 R2 R2"2 cosa: = 2" cos{3= 2" cosr >

Da 0) > 3 a: = 2 1f> a: = 231f e o lado do triângulo Q = R fi.R2

De A = 2" (sen a: + sen{3+ senr) resulta,

Page 145: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

V30--

2

PR 10 Estudemos os máximos e os mínimos da função z = x3 + xy2, com xy = 1.

Sqlução: A função é

z = x3 + xy2

Do vínculo

1xy = 1 => Y =-

X

1 -->x2

1--> z = x3 +- função da única variável xx

Neste caso aplicamos o método estudado no Volu~e L

Derivada 1ª ==>' dz = 3 x2 __ 1_dx ,x2

2 13x --= Ox2

3 x4 - 1 = O > x = ± _1_V3Temos 2 pontos críticos.Determinemos a derivada 2ª

d2z 6 2--> -2 = -4- + -4-- > O, portanto,dx V3 V33

1Experimentemos na derivada 2ª os valores de x: para x = -- =>V31 . , .

para x = -4- eXiste mlnImOyr3

Page 146: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 d2zpara x = - --===> - =V3 dx2

= - ~ existe máximo local.yr3

6 2- --- -- < O, portanto, para x =V3 W

1 1 +4M"para x = -- ===>Z = -- v.;) ->V3 . W1+3 ~

> tr27=='>~

1 1para x = - --===> Z = - ---~ W

- V"J--+'M = - ~ I

Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:

PP1 z = x2 + y3 - 4x - 12y + 6

Resp.: P (2, 2, - 14) mínimo localP (2, - 2, 18) ponto de sela

PP2 Z = x2 - y4 - 6x + 4 y - 1

Resp.: P (3, 1, - 7) ponto de sela

1 8z=xy----x y

Resp.: P (- ;, -4, 6)8 8z=xy+-+-x y

Resp.: P (2, 2, 12) mínimo local

Page 147: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

x2 y2 Z2 xy 3PPs w=""2+2+2"-2""+2"x-z

Resp.: P0(- 2, - 1, 1) ponto crítico- 2 valor mínimo da função

PP6 x2 - y2 - 2x + 4y + Z - 2 = O

Resp.: Ps (l, 2, - 1) ponto de sela

PP7 xt2 - y2 - 2x + 4y + Z3 + 5 = O

Resp.: Ps (l' 2, - 2) ponto de sela

PPs w = senx + seny + senz na região D = {(x, y, z) E R31 x, y, z E ]0, 1T[}

Resp.: P (;, ;, ;) m~mo local e Wmáx = 3

PP9 x3 - y2 - 3x + 4y + Z2 + z - 8 = O

Resp.: (1, 2, 2) ponto de sela, (1, 2, - 3) ponto de sela;(- 1, 2, - 2) máximo local e (- 1, 2, 1) mínimo local

PP10 Z = 6X3y2, - X4y2 - X3y3 , D = {(x, y, z) E R~JResp.: (3, 2, 108) ponto de máximo local.'

PPn 2x3 + y3 - 3x2 - 3y - z + 1 = O

Resp.: em (O, 1) há sela; (O, -1) máximo local;em (1, 1) há mínimo local e em (1, - 1) há sela

PP12 Determine a equação da reta que mais se ajusta aos pontos A (-4, 1),B (- 3,2), C (- 2,2), D (0,3), E (1, 3) e F(2, 4).

Resp.: y = 0,43 x + 2,93

1977 - 1,81978 - 2,31979 - 2,31980 - 2,9

Qual a estima.tivade faturamento em 1981?Resp.: 3.15 !:ilhões de Cr$, aproximadamente

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PP14 Determine o máximo e o mínimo da função z = 2x + y sobre o círculox2 + y2 = s.Resp.: No ponto (2, 1) a função z assume o valor máximo 5 e

no ponto (-2, -1) ela assume o valor mínimo -S

PP IS Estude quanto ao máximo e ao mínimo a função z = xy havendo entrex e y a restrição x + 4y - 8 = O.Resp.: No ponto (4, 1) a função z assume o valor máximo absoluto 4.

PP16 Dentre os triângulos que têm o mesmo perímetro, qual o de área mínima?

Resp.: O triângulo é equilátero de lado x = 2:

PP17 Calcule as dimensões do paralelepípedo retângulo de volume máximo que2 2 2

se pode inscrever no elipsóide de equação x 2 +~ + z 2 = 1.a b c

,< 2 a 2 b 2 c , 8abcResp.'i$x = -y'3-3; Y = -y'3-3 e z = -y'3-3 e o volume e -3-y-f-3-

PP18 Ache o plano que passa pelo ponto P(3, -4,1) e forma com os três planoscoordenados o tetraedro de volume mínimo.Resp.: 4x - 3y + 12z - 36 = O

Page 149: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

fiDERIVADAS DIRECI8NAIS

É na palma de espinhos que o Céu instala asrosas.

Sejam a função z = f(x, y), diferenciável numa região D C R2, e o pontoP(a, b) E D. Consideremos a direção orientada no plano 1T, definida pelo vetorunitário tt, de ângulos diretores a e {3. Portanto, 11 = 1cos a + 1cos {3.

Tomemos o ponto Q (a + ~x, b + ~y) E D, próximo de P e tal, que o~ ~ ~

vetor PQ tenha a mesma direção e sentido do vetor u. Então, u é versor do~

vetor PQ.O acréscimo da função f, quando passamos de P para Q, é

~z = f(a + ~x, y + ~y) - f(a, b)

Page 150: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

I::::.z = :~ (P) I::::.x + :~ (P) I::::.y + 1hl::::.x + 112l::::.y CDonde 111 ) O e 1"/2 ) O quando I::::.s ) O.

Dividamos a CD por I::::. s =>

__ > I::::.z = aI (P\ I::::.x + aI (P\ I::::.y + I::::.x + .&.y f2\I::::.s ax ) I::::.s ay ) I::::.s 111 I::::.s 1"/2 I::::.s \.::.J

I::::. xPRQ - > I::::.s= cos a

Lly- = cos[3I::::.s

Substitum'do estes valores na 0 ==>

I::::.z aI aI> I::::.s= ax (P) cos a + ay (P) cos [3+ 111COS a + 112 COS [3

e 1im ~z = lim (aaI (P) cosoa + aal (P) cos [3+ 111 cos a + 112 COS [3\M~O uS M~O X Y ,j, ,j, ')

O O

o liro ~z quando existir e for tinito será chamado derivada da função I, noLis~O uS

pontoP, na direção do vetor z: e a indicaremos pelo símbolo a~ (P).au

Assim:

a~ (P) = aal (P) cos a + aal (P) cos [3 0au x y

Exemplo: Determine a derivada de z-+ -+ -+

direção v = 3 i - 4 j .

Solução: Preparemos a função: F.P: z = Qnx - Qny

= Qn ; no ponto p(;. - ~), na

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af (P) = 2axNo ponto p(;, - ;) ==>.

af (p) = 3ay

Por outro lado o versor lt é a razão do vetor -; pelo seu módulo (verVetores e Geometria Analítica de Righetto, A.).

Então,

~ -: (3,-4) (3 4)u = '-:1 = v' 9 + 16 = \5' -"5 ==>'

3> cosa =5" e 4cos {3= --5

Aplicando a defmição de a~ (P) ===='>au

Para defmirmos o gradiente, divergente e o rotacional, usaremos o operador

~ ~a~a ~a\l=i -+j -+k-ax ay az

01 GRADIENTE: Consideremos a função w = f (x, y, z), definida e contínua naregião S. Admitindo, portanto, derivadas parciais de 1ª ordem em S:af af dfax' ay e azo

-;:Z af ~ af ~ af ~O vetor V f(P) = ax (P) i + ay (P) j + ay (P) k, cujas coorde-

nadas são as derivadas parciais de 1ª ordem da função no ponto origem dovetor, é chamado gradiente da função f no ponto P. .

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ai (P) = ai (P) cos a + ai cos J3alt ax ay

e sendo o versor 1J' = (cos a, cos 11), poderemos imaginar ai (P) como. alrproduto escalar do versor ,; pelo vetor V f(P) = [~~ (P), ~: (P)]. De fato,

:f (P) = (1~~(P) + 1::(P») X (1cos" + 1cos (3) -->

==> a! (P) = aai (P) cos a + af (P) cos J3au x ay

o que concorda com 0.Lembrete: "O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dascoordenadas homônimas."

a~ (P) = Vf(P) X Z!au~

A derivada direcional é o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor u.Exemplo: Determine o gradiente e a derivada direcional de z =

= x3 - 2x2y + xy2 - 2y3 + 1 no ponto (1, O) e na direção da retatangente à circunferência x2 + y2 = 4 no ponto (l, ~).Solzlção:

C:~= 3x2 - 4xy + y2

Z ai = _ 2x2 + 2xy _ 6y2ay

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No ponto P (1, O) estas derivadas assumem os valores:

C af (p) = 3 • 12 - 4 • 1ax

af (P) = - 2 • 12 + 2 • 1 • O - 6 • 02 = - 2ay'::t -+ -+ -+

Logo, vf(P) = 3 i - 2j ou Vf(P) = (3, -2).

2~) Determinação de ltO vetar lt é o versar do veter diretor V da reta (t), tangente à circun-ferência x2 + y2 = 4, no ponto (1, y'3). A reta (t) Ax + Ry + C = O,

~tem por vetar normal um vetar paralelo ao vetar OT = T - O == (1, y3)- (O, O).

~OT = (1, y3)

-+ ---+ -+Podemos tomar o vetar normal n = OT = (1, y'3) e como n =

-+= (A, R) ==> V = (-R, A) = (- y'3", 1)

-+lt=~=(-y'3,I)=(_y'3" 1-)

IVi ..J 3 + 1 2 ' 2-+ -+ -7 -+ y'3" -7 1 -7. af

Com V f(P) = 3 i - 2] e u = - 2 1 + 2 ] , tIramos -+ (P) =au= (3 - 2) X (_ v'3 ~) = - 3 y'3 _ 2 = _ 3 y'3" + 2

, 2 ' 2 222

af (P) = _ 3 ..J3 + 2alt 2

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~ ~ ~ ~DIVERGENTE: Consideremos o vetor A = AI i + A2j + A3k. O produto

~ ~ ~escalar do vetor operador \J pelo vetor A é chamado divergente do vetor A.Assim:

~ ~ ~ (~a ~a ~ a) ~ ~ ~div A = \J X A = i ax + j ay + k az x (A I i +A2i +A3k) =

aAI aA2 aA3=-+-+-ax ay az

~ ~ ~ ~.03 ROTACIONAL: Consideremos o vetor A = AI i + A2i + A3k. O produto

vetorial do vetor operador V pelo vetor à é chamado de ROTACIONAL~ ~

DO VETOR A. Assim

-7 ~ ~1 i k

~ ~ ~ a a a CA. _ àA2)! +Rot A = A A = - - - -ax ay az ay azAI A2 A3

+ (aAI _ aA3) "7 + (aA2 _ aAI) kaz ax] ax ay

-7 ~ ~1 i k

0 9AÃ =a a a _ a (xz) -7 a (X2z2y) ~- - - - ay 1 + ax k +ax ay az

2xy x2z2y XZ

+ a (2xy) -7 a (2xy) ~k a (X2Z2Y)-7 a (xz) 7' _ 2 2 ~k~~-] - - ---1 - --I - xzy -az ay az ax

~ ~ ~ ~ ~ ~- 2xk - 2x2zyi - zj = - 2x2zyi - zi + (2xz2y - 2x)k

Page 155: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

~ ~Consideremos F, G, A e B tendo derivadas primeiras contínuas, então:

9(F + G) = 9F + 9G

~ ~~ ';::t~~~V X (A + B) = v X A + V X B

~~~ ';::t~~~V A (A + B) = V A A + V A BI

~ ~ ';:7; ~ ~ ~V X (FA) = (vF) X A + F(VX A)

~ ~ ';:7; ~ ~ ~V A (FA) = (v F) A A + F (V A A)

-+ ~ ~ ~ ';:7; ~ ~ ~ ~V X (A A B) = B X (v A A) - A X (V A B)

~ ~ ~V A (VF) = O®

®@

-+ ~ -+VX(VAA)=O

-+ ~ ~ ::%~ -+ ~~VA (VA A) = v(VX A) - V2A

6.2.3 - INTERPRETAÇÃO FíSICA.

Consideremos dois tipos de funções em um domínio S no espaçotridimensional :

i) as funções escalares F (x, y, z);ti) as funções vetoriais t = f(x, y, z) l' + g (x, y, z) 7 + h (x, y, z) k.

Estas funções em física são chamadas de campos: campos escalares ou vetoriais.Estes campos aparecem em várias aplicações. No movimento de um fluido, osvetares velocidade dos pontos formàID um campo vetorial t, enquanto que atemperatura forma um campo escalar F.

-+Através de um campo escalar F, podemos obter um campo vetorial VF

(vetar gradiente de F). Este campo recebe o nome de campo gradiente. Um outrocampo vetorial é o formado pelo rotacional de ;. Podemos imaginá-Iocomo medindo a extensão em que um movimento é como uma rotaçãoem torno de um eixo préfixado. Se rot -; = O, o movimento diz-se irrotacional.Já o divergente de t é uma função escalar ou um campo escalar construído a

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partir de 1". Em um campo de velocidades -:, div -: mede, por exemplo, oquanto um certo fluido se expande. Quando div -: = O, tal fluido diz-se incom-pressível e o campo vetorial 1" diz-se solenoidal.

A função z = I (x, y) foi suposta diferenciável na região D C R2, o quenos induz a considerar o seu gradiente defmido em cada ponto de D.

Desta forma, temos na região D, um campo vetorial, pois associado a cada-+

ponto P E D, existe um vetor \l I (P).-+ -+

Seja I{) o ângulo que o gradiente \lI (P) forma com o vetor u . Recordemos,

através da definição de produto escalar de 2 vetores, que a~ (P) =~I (P) X t =au-+ -+ -+ a/-+= I\lI (p)1 lu I cos I{) e como lu I = 1 > --:; (P) = 1\lI(P)1 cos I{) •au

Resultado que nos mostra ser a derivada de I, no ponto P, na direção dovetor Z:, a projeção do gradiente de I em P sobre a direção de t.

Se fixarmos o ponto P e fizermos variar z: = (cos 0:, COS (3) (variando 0:),

a derivada direcional a~ (P) variará, atingindo:au-+

19) Seu máximo valor, quando u tiver a direção e o sentido do gradiente, pois,"P = O e cos O = 1, valor máximo do co-seno

===>. a~ (P) = I~ I (P)I cos O ==.> ~I (P) = I~I (P)Iau aUmáx

Page 157: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Fig.6.4.

2.) Seu mínimo valor, quando z: tiver a mesma direção, porém, sentido contrárioao do gradiente, pois, 'P = 1r ecos 1r = - 1, valor mínimo do co-seno.

a~ (P) = I"vf (P)\ cos 1r ===>au-+

(P) = -1V'f(P)1

Fig.6.5.

39) O valor zero, quando 11' tiver direção perpendicular à direção do gradiente,. 1r 1r O

pOIS, 'P = 2" ecos 2" = ,

ar -+ 1r ar- (P) = lV'f(P)\ cos - ===> - (P) = OaZ: 2 aZ:

para 'P = O > af (P) = IVf(P)1 = derivada direcional máximaaZ:para l() = 1r ==> ar (P) = -IVf(P)1 = derivada direcional mínimaaZ:para l() =!!.. > _a r_ (P) = O

2 aZ:

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Exemplo: Determine o valor máximo da derivada direcional da funçãon x

2( 1 1) d" _ .Z = x'n y' no ponto 2' - 3" e em que lIeçao Isto acontece.

Solução: Vimos que

~f (P) = IVf(P)\aUmáx

Determinemos, pois, o gradiente e em seguida seu módulo.Preparemos a função: z = 2 Qn x - Qn y

No ponto p(;, - ;) ---->

af (p) =1..= 4ax 1

2

af -1ay (P) = _ 1 = 3

3

====>: Vf(P) = 41 + 3r ==.> IVf(P)1 = v'42 + 32 = 5

af = 5~

aumáx

Vejamos em que direção a derivada atinge seu valor máximo. Nestas con-dições, z: tem a mesma direção e o mesmo sentido de Vf (P), então, ,; =

Vf(P} ~ (4 3) (4 '3) 4 3= IVf(P)1 => u = -5- = 5' 5 ==> cosa ="5 e sena = 5' por-

tanto,

A velocidade atinge o valor máximo na direção a = arc tg ~ .

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Chama-se curva de nível ou de contorno de uma função ao lugar geométricodos pontos nas quais a função I tem valor constante.

as equações paramétricas da curva C3, nas proximidades de Po (a, b). Destasconsiderações ====>

===> I (fI (8), /2 (8)] = C

===> ai dx + ai dy = oax dO ay dO

Page 160: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

===> (:~ (P), :; (P~ x ,(f~(00), h (00»" = ov

, --_/-+-. V'". U = vetor tangen teV f (P) =õ gradiente à curva de

nível no pontoPo

Como o produto escalar dos 2 vetores, V[(P) e lt, é nulo, concluímos que ovetor gradiente de t' é normal à curva de nível desta função que passa por Po.

"Na direção das curvas de nível a derivada direcional em qualquer ponto énula."

6.5-FUNÇOES DE TReS VARIAvEIS- DERIVADA DIRECIONAL

Tudo que foi estudado sobre derivada direcional para funções de duasvariáveis se estende para funções de mais de duas variáveis.

Sejam w = [(x, y, z), função diferenciável na região S C R3, e o vetor uni-tário lt = (cos a, cos (3, cos ')').

A derivada direcional de f no ponto P e na direção do vetor z: é:

a [ (p):: aa[ (P) cos a + aa[ (P) cos (3 + aa[ (P) cos ')'ar: x y z

ou a~ (p) = V[(p) x z:au

Page 161: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exemplo: Sendo V = X2 + y2 - 2z2 a função potencial de um certo campo

eletrostático, determine a intensidade do campo no ponto ~, 1, ~).~ ~

Solução: A intensidade do campo é o módulo do gradiente, logo IE I = I'VV (P) I

oV-=2xoxoV - 2oy - y

av-= -4zoz

a V (P) = 2ox

No ponto (1, 1, ~) ==> a V (P) = 2oy

a v (P) = -1oz '

~ ~ -;;. -;;. ~E = 'VV (P) = 2 1 + 2] - k

~ ~e IE I = I 'VV (P)I = ~ 4 + 4 + 1 = 3 u

~ ~ ~ ~Se if> = xy3z4 e A = xzi - y3xj + 3xy2zk; calcular:

~ ~a) 'Vl/J; d) div (l/JA );

~ ~ ~b) 'VX A; e) rot (l/JA)

~ ~c) 'V 1\ A ;

Solução:

~ oA. ~ oA. ~ ol/J ~ 4~ 2 4~ 3 3~a)'Vl/J=-'I-' i +_'1-'j +-k =y3z i +3xyzj +4xyzk;ox oy õz

Page 162: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

= a (xz) + a (- y3X) + a (3xy2Z) =ax ay az

= z - 3 y2x + 3 xy2

-+ -+ -+i j k

c) ~ 1\1= a a a- - -ax ay az-xz _y3x 3xy2z

_ a (3xy2Z) "7 a (- y3X) -+ a (xz) "7 a (xz) -+ a (- y3X) "7- ay 1 + ax k + az J - ay k - az l'

a (3xy2Z) -+ -+ ~ -+ -+- 'ax i = 6xyzi - y3k + xi - 3y2zi =-+ -+-+= 6xyzi + (x - 3y2Z)i - y3k;

d) div(epA) = vx(ep1) = (1 aax + 7 :y + k :z) x-+ -+ -+

X [xy3z4 (xzi - y3xj + 3 xy2zk)] =

= (1~ + 7 1.- + k ~) x (X2y3z57 - X2y6z47 +ax ay az-++ 3X2y5z5k) =

= a (X2y3Z5) + a (_X2y6Z4) + a (3X2y5Z5) =ax ay az

= 2xy3z5 _ 6X2y5t4 + 15x2y5z4

-+ -+ -+e) rot (epA) = \J 1\ (epA) =

(-+ a -+ a -+ a\ -+ -+

= i - + i - + k -) 1\ (X2y3z5i - X2y6z4i +ax ay az-+ -+ -+i i k

-+ a a a+ 3X2y5zsk) = - - - -ax ay azX2y3z5 _X2y6z4 3X2y5z5

Page 163: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

~ ~ ~ ~= 15x2y4z5i - 2Xy6Z4k + 5x'y3z4j _ 3X2y2Z5k +~ ~ ~+ 4X2y6z3 i - 6xy5z5 j = (15 X2y4z5 + 4X2y6Z3) i +

~ ~+ (5x2y3z4 _ 6xy5Z5)j - (2xy6z4 + 3X2y2Z5)k

~~~ ~ ~ ~ ~PR2 Prove que 'VX( 'V 1\ A) = O onde A = Ali + A2j + A3k.

Prova:~ ~

Calculemos primeiramente 'V1\ A

~ka aA3 ~ aA2 ~ aAl ~

=-i +-k+-jaz ay ax azA3

PR3 Determine o gradiente da função z = V x2 + y2 no ponto P (- 1, O).

~ af ~ af ~Solução: O 'Vf(P) = ax (P) i + ay (P) j .

Determinemos, pois, as derivadas parciais de f no ponto P.

Page 164: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

ai = 1 2x = xz C ax 2 .J x2 + y2 .J x2 + y2

ai = 1 2y = Yay 2 .Jx2 + y2 .Jx2 + y2

af -1

==">C -ax (P) = v' 1 + o = - 1

No ponto P(-I, O)af O. ay (P) =1" = O

~ ~Então: 'Vf(P) = (-1, O) = - i .

Determine a derivada direcional da função z = eX cos y, no ponto P (O, O)e na direção em que faz com o eixo dos x um ângulo de 600

•~

Solução: O vetor diretor V faz com Ox o ângulode 600

, então:

a = 600

{3 = 300

~ ( o oLogo, u = cos a, cos (3) = (cos 60 , cos 30 ) =17+V37="21 2}'

Determinemos o vetor gradiente:

C af = eX cosyaxz = eX cosy

af = _ex senyay

C ai (P) = eO cos O = 1axNo ponto P (O, O) >

af (P) = - eO sen O = Oay~

Então: 'Vf (P) = (1, O).Como

af (P) = Vf(P) X 11 ==>ait

Page 165: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

> lL (P) = (1 O) X (lv'3) = 1 • 1..+ O • ..;3-+ ' 2' 2 2 2au

2Determine a derivada direcional da função z = 1'_ no ponto (1, ~) da

xelipse 2x2 + y2 = 4 e na direção da normal a esta elipse no mesmo ponto.

Solução: Representemos graficamente a elipse.

-+Vr = (ir, gr) = (-B, A)

ar -+ -+Procuremos -+ (P) = '\Jf (P) X u. Calculemos o gradiente:

au

No ponto P (l, ..;2) ==> C af 2-=--=-2ax 1

af = 2 ..j2= 2 fiay 1

-+Então: '\Jf(P) = (- 2, 2 vI2).

-+

D tOdO - -+ Ve enmnemos a ueçao u = -::;-.Ivl

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~o vetor V, diretor da normal (n), é igual ao vetor normal da reta tangente

(t): V = ~t) = (A, B) = (gt, - ft). A dec1ividade da reta (t) é yp = ~;.

Da equação 2x2 + y2 = 4 > y = vi 4 - 2x2 e y' = /' -/~ .YV'4 - 2x2/

. r;; , -2 . 1 2 V2 gtNo ponto P(1, v 2) =--=-----> yp = -~-------=- - = -- =-"';4-2 y'2 -1 [t"

Logo,~ ~V = nt = (gt, - [t) = (..;2, 1)

a[ (p) = Oaít

PR6 Determine a derivada direcional da função z = sen (2x - y), no ponto

p(;, 1f) e na direção do vetor AB, sendo A(5, 1) e B(2, -3).

Solução: Sabemos que a[ (p) = ~ f(P) X ít, então, determinemos os doisaítvetores.

~1. Determinação de 'iJ [(P)

C a[ = 2cos(2x - y)axz = sen (2x - y)

a[ = _ cos (2 x - y)ay

[

a[ (P) = 2 COS (1f - 1f) = 2

No ponto p(;, ,,) > axa[ (P) = _ cos (7T - 1f) = - 1ay

Page 167: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2. Determinação de lt~

~ AB ~u = ~, mas AB = B - A = (2, -3) - (5,1) = (-3, -4).IABI

:~ (1') = (2, -1) X (- ~, - :)= -~ +: = -;af 2- (P) =--alt 5

PR7 Calcule a derivada direcional máxima da função z ,= v'x2 - y2 no ponto(5, 4) e a direção em que ela acontece.Solução: Como vimos:

af (p) = l~f(P)1~

aUmáx

af 2xz [ ax = 2 v' x2 - y2

af -2yay = 2 v' x"2 - y2

af 5 5

==>C ax = '1'25 - 16 =3

No ponto P (5, 4)af _ -4 -.i.ay - y'25- _ 16 - - 3

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~ 57 47VI (P) = - l - - J3 3 IVf(P)1 = )25 + 16= v'4i

993

aI (P) = y'4T~ 3

aUmáx

Achemos a direção do vetor II

sen a cos {3tg a = cos a = cos a =

4

0IT =_~5 5

0IT

PRs Dados A (1, - ~) e B (- ~, ~) e a função z = Qn ~, determine o ângulo~ ~

formado pelos vetores VI (A) e VI (B).

Solução: Achemos cada vetor, preparando a função z --> z = Qnx - Qny.~

1. Determinação de VI(A)

z [:~ =~aI 1ay = - y

Por definição, Vf(A) =G (A), - ~ (A~ ===> V/(A) = (1, 2)

~2. Determinação de VI (B)

As funções derivadas parciais são as mesmas, porém, ~I (B) = - 2 edx

aIay (B) = -4.

Logo, I (B) = (- 2, - 4).

Page 169: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

~ ~,:f(A) X ~f(B).3. O ângulo () dos 2 vetores nos é dado por cos () = ---r--- ---r--I \7f(A)1 l\7f(B)1

(o co-seno do ângulo de 2 vetores é o produto escalar de seus versores).Substituindo, vem

cos () = (l, 2) X (- 2, - 4) = - 2 - 8 = _ .!Q = _ 1v' 1 + 4 v' 4 + 16 y'1õO 10

() = arc cos (- 1)

PR9 Calcule a derivada direcional da função z = x4 - 2 X2y2 - y3 + 4 xy - 2,no ponto (O, - 2) e na direção perpendicular à direção da reta3x + 4y - 12 = O.

Solução: Da definição de derivada direcional =--=----> af (P) = ~ f (P) X 11.a11

Determinemos os dois vetores.

~ af ~ af f ~1. Determinação de \7f (P) = ax (P) i + ay (P) j

Page 170: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

===> af (P) = 4(-2) = -8 e af (p) = -3(-2)2 = -12ax ay

I vf (P) = - 8 7' - 12 71~

2. Determinação de u~ ~

O vetor u é versor do vetor normal n = (A, B) da reta 3x + 4 Y - 12 = O.

~~ n _ (3,4)Logo u =- - ---, lril ~9 + 16

lI=(~±)5' 5

3. Determinação de af (P)alI

af (P) = (-8 -12) X (~ 4) = _ 24 _ 48 = _ 72~ , 5' 5 5 5 5au

af (p) = _ 72alt 5

PR 10 Determine a derivada direcional mínima da função z = ..j x2 + y2, noponto P (- 4, - 3) e a direção em que isto acontece.

Solução: ~ (p) = -IVf(P)1 e 'P = Tr.aUmín

Pois bem: Da função z = ..j x2 + y2 ====>_

af _ 2x af _ 4

[ax - 2 ~ x2 + y2 [ ax (p) - - 5

-->z =>af 2y af 3ay = 2 ~ x2 + y2 ay (p) = -5

Page 171: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

~ )16 9===> -1\7f(P)1 = - -25 + -25 = -1 ==> ~ (P) = -1aUmín

A direção do vetor lf é a mesma do vetor Vf (P), apenas com sentidocontrário. Como nos interessa a direção, podemos tirá-Ia de zr, que, neste

~caso, nos é dada por lf = ~f(P).

l\7f(P)1Assim '

4cosa = --5

>3sen a = --5

3

tg a = -~- = ~ ====> I Q = are tg t I5

PR 11 Determine a derivada direcional mínima da função w = sen (2 x - y) ++ cos(x + z) + tg(y - 2z), no ponto p(;, 7T, o) e a direção em que

sua derivada, neste ponto, se torna máxima.

Solução: Sabemos que af~

aUmínmínima quando lf paralelo aodeterminemos o gradiente:

~ ,

(P) = - I \7f (P)I e derivada máxima ou

Vf(P) = af (p)7 + af (p)7 + af (P)k, ax ay J ax

:~ = 2cos(2x - y) - sen(x + z)

af = -cos(2x -y) + sec2(y - 2z)ay

:~ = -sen(x + z) - 2sec2(y - 2z)

Page 172: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

af nax (P) = 2 cos O - sen 2" =

= 2 - 1 = 1

No ponto P (;, n, 0 --> ;~ (P) = -coso + sec2n =

= - 1 + (- 1)2 = O

af (P) = _ sen ~ _ 2 sec2 n .az 2=-1-2=-3

~ af ~\lf(P) = (1, O,-3) ===.> -- (P) = -1\7f(P)1 =~

aUmín

=-v'1+0+9=-v'TQ

af (P) = _ y'iO~

aUmín

~Determinemos a direção determinando U que tem a mesma direção dogradiente, portanto, ser o seu versor.

~f(P) = (1, O, -3) = (v'lO,O, _ 3 v'lO\=>l~f(P)1 y"TIf 10 10 ")

cos a = v'lO10

====> cos f3 = O

-3y'1Ocos'Y = 10

PR 12 Calcule a derivada da função w = .J x2 + y2 + Z2 no ponto P (- 2, 2, - 1)---+

e na direção do vetor AB, sendo A (1, - 2,1) e B (2, O, -1).

af -+ ~Solução: - (P) = \lf (P) X u.

alf~

1. Determinação de \l f (P)

Page 173: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

af 2xax = 2 ~~X-2-+-y-2-+-Z-2

af _ 2yay - 2 ~-X-2 -+-y-2-+-Z-2

af _ 2zaz - 2 "';-x-2-+-y-2-+-Z-2

af -2 2ax (P) = ...;4 + 4 + 1 - --3

af (P) _ 2 _ 2ay -...; 4 + 4 + 1 3

af -1 1- (P) - ----- -az - y-4-+-4-+-1 3

2. Determinação de z:~

~ _ AB _ B - A _ (1, 2, - 2) _ (1 2 2\u - IÃÊI - L4B1 - -J 1 + 4 + 4 - \3' 3"' - 3)

3. Determinação de aI (P)aZ:aI (P) = (_ ~ ~ _.l) x (1. 2 _ 2),= _ 2 +i + ~ =~ 3' 3' 3 3' 3' 3 9 9 9au

PR13 Calcule a derivada da função w = xy + yz + zx, no ponto (1, - 2, 1), nadireção cujos parâmetros diretores são 4, - 4 e 2.

aI ~ ~Solução: - (P) = 'iJI (p) x u.alt

Page 174: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

-7

1. Determinação de \Jf (P)

af = y + zaxaf --=x+zay

ai = y + xaz

~~ (P) =,-1

ai (PJ = 2ay

ai (P) = -107.

[Vf(P) = (-I, 2,-1) I2. Determinação de Lt = (cos a, cos (3, cos 1)

São dados os parâmetros diretores, portanto

442cos a = -..=-..=-..=-..=-..=-..=--=--=--== = - = -VI6+J6+4 6 3

221cos 1= -Y-I-6-+-16 +4 = 6" = "3

3. Determinação de aI (P)aLt:i (P) = - 1 ' ; + 2 (- t) - 1 • + = - ; - ~ - t

I aI 7 I-(P) = --II a~ 3I U

Page 175: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

3 -+ -+ -+ -')o. -+ -+-~Se ep = X3y2z e A = x2zi - y2 j + 3x2y2k achar: (a) vep; (b) vXA;

-+ -+ -+ -+(c) V 1\ A; (d) div (epA); (e) rot (epA ), todos no ponto P 1,1,1).

-+ -+ -+Resps.: a) 3 i + 2 j + 3 k ;

b) O;

)6~ 5~c l - J;

d) 1.0;-+ -+ -+

e) 15 i --. 11 j - 5 k

J-+ -+ -+ -+

PP2 Sendo ep = x2y + yz2 + zxy e A = xy2 i + yzj + z2xk, calcular:-+ -+ -+ -+ -+ -+

(a)AX vep; (b) epvX A; (c) (vep) 1\ A no ponto P(1, 2,1).

Resps.: a) 36b) 42

-+ -+c) - 9 i + 18 j

-+ -+ -+ -+ -+PP3 Sendo A = 3x2zi - y2zj + (x2 + z) k, calcule rot [rot (A)].

-+Respr: (6x + 2 - 2y) k.

-+ -+ ~PP 4 Prove que V 1\ (vF) = O.

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+PP 5 Prove que v X (A + B) = v X A + \l X B.

-+ a2F a2F a2FPP6 Prove que \l2F = - + - +-.ax2 ay2 az2

. x + vx2 + y2PP7 Determine a derivada de z = Qn ---~-_-_--=-...:=--= no ponto (3,4) e na

x - .J x2 + y2-+

direção do vetor AB, com A (3, 2) e B (7, -1).

Resp.: ai (P) = 21

aZ:PPs Ache a derivada direcional da função z = 4x2 + 9 y2 no ponto P (2, 1) e

na direção da reta normal à circunferência x2 + y2 = 25 no ponto (- 3,4).

ai (P) = 24alr 5

PP9 Ache a derivada direcional da função z = Qn (x2 + y2) no ponto P (1, 1)-+ -+ -+

e na direção do vetor v = 2 i + 3 j .

ai 5Resp.: - (P) =--aZ: VIT

Page 176: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

pp 10 Mostre que as derivadas direcionais da função z = r (x, y), no ponto gené--* -*rico P (x, y) e nas direções dos vetores i e j são, respectivamente, ar (P)

ar axe ay (P).

PPu Calcule a derivada direcional da função z = x2 + xy + y2 no pontoP (3, 2 y'3), na direção da tangente à parábola y2 = 4x, naquele ponto.

Resp.: ar (P) = 5 .J3 + 92al!

PR 12 Dada a função z = Qn .J x 2 + y2, calcule a r.erivada no ponto P (2, 1),-* -* -*na direção do vetor v = 5 i + 2 j .

125 -J29

PP 13 Calcule a derivada direcional maXlma da função w - sen (x + y) +

+ cos (y + z~, no ponto p(;, O, - ~).

V6Resp.: 2

PP 14 Calcule a derivada de z = eX y + xeY, no ponto P (O, O) e na direção do-*vetor que forma com o vetor i o ângulo de 60°.

I +~..,•.. .PP1S Ache a derivada da função z = eQn (x/y) no ponto P (2, - ~) e na direção

. ~do vetor AB, onde A (9, - 1) e B (- 3, - 6).

64Resp.: 13

x + 2yPP 16 Ache a derivada da função z = 2 2 ' no ponto P (- 1, 1), na

x + y + 1direção da tangente à curva x2 - 2xy + 2y2 = 5, no ponto dado.

239v03

Page 177: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

7INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Ofereçamos de nós mesmos a confiança e adiligência, a concórdia e o serviço e Jesus faráo resto.

Seja a função z = f (x, y) contínua numa reglao compacta D C R2•

Consideremos o sólido limitado superiormente pela superfície z = f (x, y),inferiormente pela superfície D C R2 e lateralmente pela superfície cilíndricadefinida pela curva fronteira da região D.

Page 178: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Tracemos planos paralelos ao plano yOz, partindo o intervalo fechado[a, b] em m partes.

De forma análoga, com planos paralelos ao plano xOz, façamos a partição,em n partes, do intervalo fechado [C, d].

A região D fica dividida em m X n retângulos elementares. Tomemos oretângulo elementar de área !:iix!:ijY. Por outro lado, o sólido S fica decompostoem m X n prismas elementares.

Tomemos o prisma elementar de base !:iix!:ijY, cujo volume é !:i V == {(Xi, Yi) !:iix!:ijY.

A soma dos volumes dos m X n prismas elementares será:

n m.L L {(Xi, Yj) !:iix !:ijYj=1 i=1

Se existir e for tinito o linúte desta sorna, com m ---) 00 e n ---) 00, eleserá chamado Integral Dupla.

n mlim L L {(Xi, Yj) !:iix!:ijY =

m~oo j=1 i=1n~oo

r r zdxdy =';"'D

( r zdxdyc a

N1 Se a função f for a soma de duas funções fI e {2, contínuas na regiãocompacta D, teremos:

r r f(x, y)dxdy =",JD

f r (fI (x, y) + f2 (x, y)]dxdy =-oID

f t ft(x,y)dxdy + Jtr {2 (x, y)dxdy-D

f f f(x, y)dxdy =D

fI K· {I (x, y)dxdy =D

fJ~f, (x, y)dxdy

N3 Se D = DI U Dz, onde DI e D2 são regiões também compactas, sem pontosinteriores comuns, então:

Page 179: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f L I(x,y)dxdy = f f f(x, y)dxdy +DI

f f f(x, y)dxdyn_

Esta consideração se estende à decomposição de D em regiões compactas,duas a duas, sem pontos interiores comuns.

N4 Se o sólido for limitado superiormente por ZI = fI (x, y) e interiormentepor Z2 = f2 (x, y), calcularemos o volume através de

De fato:

Consideremos o sólido limitado superiormente pela superfície fI (X, y),inferiormente pela f2 (x, y) e lateralmente pela superfície cilíndrica defi-nida pela fronteira da região D. Seu volume é a diferença entre os volumesV1 e V2, onde V1 é limitado superiormente pela superfície fI (X, y) einferiormente pela região D e V2, superiormente pela f2 (x, y) e inferior-mente pela D.

Assim, V, = f L f, (x,y)dxdy e v. = f L I. (x. y)dxdy e conse·

qüentemente V = VI - V2

Page 180: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

v = f f ff! (x, y) - f2 (X, y)] dxdyD

7.1.2 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Podemos dar à integral dupla uma interessante e importante interpretaçãogeométrica.

f f z dx dy é o volume exato do sólido limitado superiormente pelaD .

superfície z = f(x, y); inferiormente pela superfície D C R2 e lateralmente pelasuperfície cilíndrica definida pela curva fronteira da região D.

De fato:

portanto, a integral dupla é o limite de soma dos volumes dos m X n paralele-pípedos. As áreas dos retângulos bases vão' se diminuindo, tendendo a zero, eos referidos paralelepípedos vão se tornando mais delgados, e seu número ten-dendo ao infinito.

7.1.3 - INTEGRAL DUPLA APLICADA AO CÁLCULO DE ÁREA

fJD

zdxdy = V

z = 1 ====>: JfD dxdy = AD

Para z = I a integral dupla JJD dx dy é numericamente igual à área da

Page 181: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

região D; pois, como vimos na geometria V = B e h e para h = 1 =:-=> V = B,isto é, os números que exprimem o volume e a área da base são iguais.

• 2 .411 1xydydx. -

Sqlução: Inicialmente, integramos, a integral interior.

,.4 .4 [ 2]4 ..t xy dy = x 1ydy = x ~ 2 = x (8 - 2) = 6x

1 3

~ Calcule f. f. x2ydxdy.o 1

1= ro f 1 ~ 1\ 26[ 2] 1

o y\! -"3)dY =3 ~ o

26 1 13[= __e_=_3 2 3

rJ· ydxdyJ D -Jx + l'

sendo D a região limitada pelas retas y = O, x = O e x + y - 3 = O.

Solução: Representemos graficamente a região D e determinemos os limitesde integração.

Page 182: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Tomemos o retângulo elementar na posição da figura 7.3.Nesta posição os limites relativos a y são O e 3 e os relativos a x Oe (3 - y)(de x + y - 3 = O > x = 3 - y).

Então, II ydxdy = r 3 13-Yydx @ , dy exterior por ser a

D .Jx + 1 "0 t .JX. + 1base do retângulo elementar.Se tomássemos o retângulo elementar com base no eixo Ox, conforme afigura 7.4, teríamos

fI ydxdy = f 3 13,-x ydy @'" D.Jx+1 o o .Jx+l..

d~ 3y=o

Limites de x: Oe 3Linútes dey: Oe (3 -x) (De x +y - 3 = O >j= 3 -.Y)

Page 183: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

r 3 f 3-y dxd1= y y-.0 o V x + 1

- 3-Y

f. 3-y dx 10

(x .+ 1)-1/2d(x + 1) =";x + 1 -

o

[

(x + 1)1/2]3-Y= --- =2V4-y-212 e

l= r(2 v' 4 - Y - 2)y<u> = 2 r v' 4 ~ y Y<u> - 2o o

3

f ydyo

'---y--/B

3

19) A = 2 1 v 4 - Y ydyo

Façamos ..; 4 - y = t ====>: 4 - y = t1.===='> I y = 4 - t1.1.

De y = 4 - t 2, tiramos I dy = - 2 tdt I·Os limites, de integração para a nova variável são:

para y = O ==> t = V 4 - 0====> t = 2para y = 3 --> t = V 4 - 3 >t = 1Substituind~ na integral A, vem:

1

A=21 t(4-t1.)(-2tdt)2

1

A = -4 r (4t1.- t4)dt

"'2

Page 184: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A = -4 (20 - 3 _ 160 - 96)15 15

A = -4 • 17 - 64 --> I A 188115 -- 15

3

29) B = -2 f ydyo

I = J' 3 r-yydxdy = 188 - 9 = 188 - 135 = i 531

o o V x + 1 15 15 15

Resolvamos na ordem da segunda escolha

• 3 ,. 3-x . d dx fO 3 1I = I y Y = J -----

';0 .10 V x + 1 o V x + 1

fO 3 1 [2] 3-X f. 3 1I J --- Y dx - --- (3 x)2dx= o "';~x-+-1 2" o - o 2 "';-x-+-l -

f 3 1 (9 - 6x + x2)dxo 2vx+1

f. 3 __ 1__ dx _io 2V-x-+-1 2

3

f x dx+o .JX + 1

~~---v----,/ '"-----vA B

+..!.. r 3 x2 dx

2 "0 V x + 1

J.3 1 --3

A = 9 -.==-~~dx = 9 [Vx + 1] = 9(Y4 - 1) =o 2vx+1 o

Page 185: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f.3 X dxo v'x + 1

v'x + 1 = t==> x + 1 = t2 ===>1 x = t2- 1 lei dx = 2tdt I

Os limites de integração para a nova variável são:

para x = 3 > t = v' 3 + 1 = 2para x = O ===> t = v' O + 1 = 1

Substituindo em B, vem:

12t1.-1 ",2B = - 3 t 2 tdt = - 6 J (t 2 - 1)dt

1 1

B = -6(; + ;) = -6 . ~= -8I B = -81

c =; rv'xx: 1dx

Façamos

v' x + 1 = t ==>: X + 1 = t1. ===> I x = t1.- 1 Ie I dx = 2tdtl

1 f. 2 (t2 1)2 f 2C="2 ~ 2tdt= (t4-2t2+1)dt1 1

C = [~_ 2 t3 + t] 2 = (32 _ 16 + 2) _ (1. _1 + 1)

5 3 1 5 3 \5 3

C = 96 - 80 + 3q _ 3 - 10 + 1515 15

C = i~- 185= i~==> I C i~I

Page 186: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

13 13-X ydydx = 9 ,- 8 + 38 = 1 + 38 = 53

V x + 1 15 15 15o o

I I53

115

E4 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x2, pelo eixo dos ye pela reta y = 4, no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Solução: A área da região D é A =

f f dxdy.D

Façamos a representação gráfica de D.Como tomamos o retângulo elementarcom a base no eixo dos y, a ordem de

integração será f f dx @ e osD

limites serão para y, O e 4 e para x, OenA = r ((Y dx)dy

4 4A = 1 [x][y dy = f yydy =

o o

A =[f[= ; • 43n

= ; • 8 = 136

IA=!fuzl

Dos estudos feitos sobre integral, podemos concluir que, para funções deuma variável, te~nos integrais simples, para funções de duas variáveis, integraisduplas e para funções de 3 variáveis seremos levados às integrais triplas.

Page 187: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Consideremos em R3, referida no referencial cartesiano, uma região com-pacta S, um sólido limitado superiormente pela superfície /1 (X, y), inferiormentepela superfície f-J. (x, y) e, lateralmente, limitada pela superfície cilíndrica defInidapela fronteira da região D.

Seja a função w = / (x, y, z) defI-nida e contínua na região S.A integral tripla pode ser consi-derada como a integral dupla ,da

fft (;x,y)

integral / (x, y, z) dzfz(x,y)

f. f,(x,y)J JD . f2(x,y) f(x,y, z)dzdxdy

Fig.7.6.

Concluímos que a integral tripla consiste em três integrais simples. Salvopor orientação do problema, começa·se a integral tripla pela integral da diferencialdz.

O produto dxdydz representa um volume elementar, portanto, se fIzermos

f'J J ft(x,y)' ,/ (x, y, z) = I, a integral tripla dz dx dy dar-nos-á o volume

. D fz(;x,y)

123

E1 Calcule 1= f f f (2x - 4y - z)dxdydz.o o o

Solução: Seguimos a ordem de integração na ordem dada no problema:

1 2

I = i f [x2 - 4xy - xz]~dydz =o o

- 3z)dydz

1 2J J (9 - 12y -o o

Page 188: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f1

1=o f

2 • 1

(9 - 12y - 3z)clft= j [9y - 6y2 - 3yz]~dzo - o

1

I = f (18 - 24 - 6z)dz =o

1= [-6z - 3Z2]~ = (-6 - 3)

1f (-6 - 6z)dzo

E2 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 5, inferiormentepor z = 2 e lateralmente pelos planos y = O,y = 3, x = O e x = 1.

1 Y xdx y=O

Dx

Fig. 7.7.

Solução: Trata-se de um paralelepípedo. Representemo-Iograficarnente,bem como a região D.

v = ft rdzdxdy

1 3 5

V = f f. f. dzdy ®o o 2

1 3 1 3

V = f f [z]~dydx = f i (5 - 2)dydxo o o o

Page 189: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 1

V = J [3y]:dx = J 9dx = [9x]~O O

7.3 - APLICAÇÕES

Sejam os pontos materiais Pb P1" P3, "', Pn do plano, de massas mb

m1" m3, ... , mn, respectivamente.Tomemos um referenciàl cartesiano no plano considerado:

Seja o ponto Pi = (Xi,Yi), i = 1, 2, 3, ... , n.

Chama-se Momento Estático do sistema dos n pontos materiais em relação aoeixo dos Y à soma dos produtos mlxl + m1,X1,+ m3X3 + ... + mixi + ... +

n+ mnXn = L mixi· De modo análogo definimos -o momento estático dos n

i=1pontos em relação ao eixo dos x:

nmiYl + m2Y2 + m3Y3 + ... + miYi + ... + mnYn = 2 miYi

i=1

nM = ml + m2 + m3 + ... + mi + ... + mn = L mi

i=1

Baricentro, ou centro de gravidade, ou centro de massa do sistema dos mpontos é o ponto G (x, y), tal que

nM' x = L mixi

i=1

nM· Y = L miYi,

i=1

Page 190: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

nL mixii=lx= M

nL miYii=ly= M

Exemplos:

E1 Determine o baricentro do triângulo ABC,· sendo A (- 2,4), B (1,2) eC (4, - 3) de massas respectivas mA = 4; mB = 1 e me = 2.

Solução: A massa total é

M=4+1+2=7

nL miYi = 4 • 4 + 1 • 2 + 2 (-3) = 16 + 2 - 6 - 12i=l

nL mixi = 4 (- 2) + 1 • 1 + 2 • 4 = - 8 + 1 + 8 - 1i=l

nL miYii=ly= M

12=-7

nL mixii=l

o baricentro é G (;, 1/).Ez Determine o baricentro de uma região compacta Dcontida no plano carte-

siano.Suponhamos Uffig, região D C R2, compacta, de espessura desprezível, porémde massa M.A massa por unidade de área diz-se densidade da distribuição de massaque, em geral, é variável. Seja 5 (x, y) a densidade no ponto genéricoP(x, y) ED.Tomemos um elemento da ~uperfície contendo o ponto P de área dA == dxdy. A massa deste elemento é dM (massa elementar), produto dadensidade pela área elementar

dM = [j (x,y)dA = 5 (x,y)dxdy

Page 191: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

M = ff dM = ff 8 (x,y)dxdyD D

Multiplicando a massa elementar dM pela abscissa do ponto P e somandotodos os produtos assim encontrados, obteremos o momento estático daregião D em relação ao eixo dos y

f f @ dM = Jf ô (x, y) @ dxdyD D '

f f (8 dM=D

f f ô (x, y) 0 dxdy,D

momento estático da região D em relação ao eixo dos x.O baricentro, G (x, y), da região D, tal é tal que

f f ô (x, y)xdxdy

f f ô (X, y)xdxdy

MX= >x=D

MD

e

Mj= f f ô (x, y)ydxdy >y=

ft 8 (x, y)ydx,ry

MD

Page 192: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Como vimos, M = f f 8 (x, y)dxdy.D

f f 8 (x, y)xdxdyDx= fJD 6 (x, y)dxdy

Jt 6 (x, y)ydxdy

y= f f 8 (x, y)dxdyD

Page 193: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f f ydxdyD

ft dxdy

Observação: f f D dxdy = área da região D.

E3 Determine o baricentro da superfície D limitada pela curva y = 2 x2 e areta y = 8, supondo-a de material homogêneo.

Solução: Representemos graficamente a região D.

y = 2x2 y=8

x y reta paralelaao eixo dos x

-2 8-1 2

O O1 22 8

A área da região D é f f dxdy.D

. - 2t-l O I 2

dx

2 8

A= L L2dY ®

f· 2 [2 3]2A = (8 - 2x2)dx = 8x - ; -2

-2

Page 194: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A = (16 - 136) - (- 16 + 136) = 32 - 332

I A ~U21

II xdydx =D

I I xdydx =I 2x(8 - 2x2)dx = I 2 (8x - 2x')dxD -2 -2

It xdydx = [ 4x2 - ~4L = (16 - 8) - (16 - 8) = O

fI xdydx = oD

2I IYdYdx = ID -2

8 r 2 [ 2] 8f ydydx = .y2X2 ·'-2 2x2

ff ydydx = I 2 (32- 2x4)dx = [32X - 2tLD -2 .

ff ydydx = (64 - ~)- (-64 + ~) = 128 _ 1~8D

.II 512ydydx =-5D

x=-º--=o643

512

Y =_5_= 24 = 4864 5 '3

Page 195: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

cc:= (O; 4,8) Io baricentro pertence ao eixo de simetria da região D. Isto acontece paratodas as figuras planas que têm eixo de simetria.

Consideremos o sistema de n pontos materiais já considerado no 7.3.1.Tomembs o ponto Pi = (Xi, Yi) referido no referencia! cartesiano que estamosusando. Se (e), for uma reta (eixo) do plano e se ri for a distância do ponto Pi aesta reta (e), chamaremos a soma dos produtos das massas mi pelos quadrados desuas distâncias ri à reta (e) de momento de inércia do sistema de pontos emrelação ao eixo (e).

nle = mlr12 + m2r22 + m3r32 + ... + mnrn2 = L mirl

i~l

nle= L mir{

i~l

nIy = Lmix{ (Xi distância do ponto Pi ao eixo dos y)

i~l

nIx = L miY{ (Yi distância do ponto Pi ao eixo dos x)

i~l

Chamamos momento de inércia do sistema de pontos em relação à origem,à soma Ix + Iy e o indicamos por 10

n n10 = Ix + Iy = L miX{ + L miY{

i~l i~l

n10 - L mi (x7 + Y;) sendo X{ + y{ o quadrado da distância do

i~l

Page 196: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Consideremos uma região compacta D do plano, de espessura desprezível,com densidade ô (x, y) no ponto genérico P (x, y).

Já vimos que um elemento de superfície, contendo P, terá a área dA = dxdye a massa dM = ô (x, y) dx dy. Os momentos de inércia da região D em relaçãoaos eixos dos x e dos y são, respectivamente,

f f y2dM = f f y2ô (x, y)dxdy

.1

Ix =D D

e Iy = f f x2dM = f f x2 Ô (x, y)dxdy

D D-i

10 = Ix + Iy -

10= rf (X2+y2)Ô(X,y}dxdy01 D

f f y2dxdyD

f f Kx2dxdy = KD

Iy = f f x2dxdyD

Page 197: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exercício: Calcule o momento de inércia de um retângulo em relação aoeixo paralelo ao suporte de sua altura e conduzido pelo centro do retângulo.

Solução: Seja o retângulo de base b ealtura h. Tomemos o referencial xOy. Deacordo com o problema, o eixo dos y éparalelo à altura.Calculemos, então, o momento de inérciaem relação ao eixo dos y.

y

h/2

~-p (x, y)

.........~:: :1: :

i! i- b/2 O b/2 x

dx

- h/2

I = h (b3 + b3)y 3 8 8

bh3Se calcularmos Ix, acharemos 12·

Page 198: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

7.4 - TRANSFORMAÇÕES DAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Muitas vezes ao calcularmos o valor de uma integral múltipla sebre umdomínio R é conveniente usarmos outros referenciais.

Sejam (u, v, w), coordenadas curvilíneas em 3 dimensões e as funçõesx = I(u, v, w), y = g(u, v, w) e z = h(u, v, w).

A igualdade

ff t F(x,y, z)dxdydz = . ff t.G(u, v, w) : ~~ ~ dudvdw

ax ax ax- - -au av awNota:

a (x, y, z) _ ay ay aya (u, v, w) au av awaz az az- - -au av aw

é o jacobiano de x, y e z em relação a u, v, w.Estes resultados generalizam-se a outras dimensões.

E. Calcule, usando coordenadas polares, f f R ,j x' + y' dxdy, onde R é

limitado por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9, sabendo-se que:

{

X = P cos ()

Y = P sen () (coordenadas polares)

a (p cos ()) a (p cos ()) cos ()ap a()a (x, y) -a (p, ()) -

a (p sen ()) a (p sen ()) sen ()ap a()

= P cos2() + p sen2() = p > a (x, y) = p.a (p, ())

Page 199: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f f .J X2 + y2 dxdy =R

f f .J p2COS2O + p2sen20 •RI

521T=-3-

~ Calcule, usando coordenadas cilíndricas, f f f 8xydv onde R é a. R

região cilíndrica dada por x2 + y2 ~ 1, O ~ z ~ 1 e .sabendo-se que:r = pcos8y = p sen o (coordenadas cilíndricas)

z =z

Solução: Ojacobiano neste caso é:

I a (P cos O) a (p cos O) a (p cos O)ap ao az,a (x, y, z) a (p sen O) !fp sen O) a (p sen O)- -a (p, O,z) ap ao az

a (z) a (z) a (z)ap ao azcos O -p sen O O

- sen O p cos O O =p

O O 1

fff 21r I r 1

8xydv = f f J. 8 (p cos O)(p sen O)p dz dp dO =R o o o

r 21r 1 1 21r I

= 4 J. f f p3sen 20dzdpdO = 4 f f p3sen20dpdO =o o o o o

Page 200: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1=- .4 f

27T [1 ]27T 1 14 sen 2 e de = - - cos 2 e = - - + - = o

.0 2 o 2 2

Determine o volume da esfera de raio R, sabendo-se que

{

X = P sen I{) cos ey = p sen I{) sen e (coordenadas esféricas)

,z = p cos I{)

Solução: Calculando jacobiano de x, y e z em relação a p, I{) e e, encontramos:

a (x,y, z) ...= p"'sen I{).a (p, I{), e) I

f f xydxdy, sendoD

a região D limitada pelas retas x = 4, x = 1, y = O e pela curva y = 2 ~.

Solução: Representemos graficamentea região D para constatarmos a ordemde integração mais conveniente.A figura indica a melhor ordem deintegração, pois, se tomássemos oretângulo elementar com a base nareta x = 1, teríamos que fazer duasintegrações duplas: uma entre oslimite~ 1 e 2 e outra entre 2 e 4 paray. Portanto, na ordem indicada, oslimites de integração são 1 e 4 parax e O e 2 ~ para y.

dX~. y=o

x=oFig.7.11.

Page 201: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f4 f2.JX f4 (f2.JX )

1 O xydy @J = 1 X O ydy dx

f 4 [ 2] 2.JX f 4 4 f 4X ~ dx = X.; dx = 2 x2 dx1 O 1 1

1= 2 [X3]4 = 2 (64 _ 1-) = 2 • 63 = 423 1 333

f f xydxdy = 42D

y21 + x2 dxdy,

sendo D = {(x, y) ER21 O ~ x ~ 1 e O ~ y ~ n.y = 1 Solução: Façamos a representação grá-

fica da região D.Neste caso as duas ordens de inte-gração oferecem a mesma conve-niência.

y=o-_·-°1x=o

11=-3

1y=o

x=l

f1 1 [3]1o 1 + x2 ~ o dx

fl dx

o 1 + x2

Page 202: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 [ ]1 1I = 3" are tgx o = 3 (are tg 1 - are tg O)

~-~

1f 1f

PR3 Calcule f1f2 f"'3 eosx eosydydx"6 o

1f

r "2 1f/3I = cosx [seny]o dx

.J !!'..6

1f

1= J,,2 cosx (sen ; - seno) dx6

1f

1= v; J,,2 cosxdx

"6

..j3 1f/2 ~ (1r 1r)1= - [senx] = -- sen- - sen-2 1f/6 2 2 6

I=V;(l-D===>!I '713 y2

PR4 Integre f. t y dx dy representando graficamente a região de mte-

gração.

Page 203: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

I = r(y' - y2)dy = [~4_~']:I = (81 _ 27) _ (16 _~) = 135 _ ~

4 . 3 4 3 12 12

I I - 119112

Interpretamos a região D.Analisando os limites da integração, notamos que

D = {(x, y) E R21y ~x ~y21\ 2 ~y ~ 3}

Então:

y

y=3

f f (x + l)dxdy,D

D = {(x, y) E R211 ~ x ~ 2 1\ X ~ Y ~ 2x}

Page 204: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 dx 2 x

x=l x=2

Solução: Representemos graficamentea região D.Notamos que o retângulo elementardeve ter eixo vertical.

ff f.2 f2XI = (x + l)dx dy = (x + l)dy ®

D 1 X

[= j"(X+l)(fX

d)dx= (X + 1)LY1:1®1 x) 1

2

I = f. (x + lX2x - x)dx1

.•2I = J (x2 + x)dx

1

Page 205: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR6 Calcule, usando integral dupla, a área da superfície D, limitada pelas retasy = O, y = x, y = 3 e x + y - 3 = O.

Solução: Representemos D, grafi-camente.Calculemos a área de D, tomandoo dobro da área de um dos doistriângulos.

3- 3-YA=2 .f.2.f. dx@

o Y

A = 2 f.~( r-y

dx) dy

3

A=2 f2

[xl;-YdY'o

3 3

A = 2 f' (3 - Y - y)dy = 2 f 1"(3 - 2y)dyo o .

A = 2 [3y - y21:12 = 2(; - :) = 2 · :

I A ; u'l

PR7 Calcule, nas duas ordens de integração, f f x2 dx dy, onde D é a regiãoD

do plano xOy, limitada por y = x e y = x2•

Page 206: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 x

1= f f x2dy ®o X2

1= J.' (x' - x4)dx = [~4-.~l1=1-_1..

4 5

1 I io I

dy x=.JY

Page 207: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1= r[~3]~dy

_ J 1(y3/2 y3)1- --- dy. 3 3o

1= ; [Yi2 -~l= ;(; - ~)

1=1..8-53 20

1 31=-·-. 3 20

I I 2~ I

PRs Calcule, na ordem dada, f f (x - y) dy dx, sendo D a região de xOyD

limitada pelo eixo dos x e pelas retas y = x e x + 2y - 6 = O.

Solução: Representemos D, graficamente:

Na ordem dada, f f (x - y) dy @ , devemos tomar o retângulo ele-D

mentar com eixo vertical. Então, a região D será diviéJjdaem duas.

Page 208: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2f f (X - y)dydx = fD O

r (x - y)dydx +O

+ f. 6 f. 6-X2"" (X - y)dydx

2 O

1= f 2 ( r (x - Y)dY) dx = r r xY _ y;]X dx =O o o ~ o

=r (x2 - x;)dx =o J 2 2

~dx2

o

= r (6X ~ x2_ 36 - l;X + X2)dx

2

1 J 6 1 5x36II = 8" (36x - 5x2 - 36)dx = "8 [18x2 - 3 - 36x]2

2

II = ~ [(648 - 360 - 216) '- ~2 - ~o- 7~ 1II = 1(72 + 40) = 9 +~ = 32

8 3 3 3

Page 209: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Então, fI (x - y)dydx = ± + 32 = 36 = 12D 3 3 3

I ft (x -y)dydx = 121

A fIm de melhor compreendermos qual a ordem mais conveniente, inte-gremos na outra ordem.

f f (x -y)dx @D

- f 2 f 6-2Y(X - y)dxdy

o y

xx +2y- 6 = O

f I (x - y) dx dy =D f 2 ( f 6-2Y \

o y (x - Y)dx) dy

1= ff (x - y)dxdy = r[~2_Xy]6-2Ydy

D o y

1= J2o

2(18 - 12y + 2y2 - 6y + 2y2 _~ + y2)dy

Page 210: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

'" 2 (9 2 )I = J ; - 18y + 18 dyo

[3 3 ]2I = ; - 9y2 + 18y o = 12 - 36 + 36

I 1= 121

PR9 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 2 x + y + 4,inferiormente por z = -x - y + 2 e lateralmente pela superfície defmida

, 2

pelo contorno da região D, limitada pelas curvasy = x2 - 4 e y = ~ - 2.

Representemos, graficamente, a região D para a escolha da ordem de inte-gração mais conveniente.

2 X2_4

V = J fx2 [2x + y + 4) - (-x - y + 2)]dy @-2 "2-2

x2y =-- 22

2 xx2

y =-- 22

Page 211: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

v = f 2 fx:2-' (3x + 2y + 2)dydx-2 '2-2

2

V = f [3xy + y2 + 2yl::2/:>_2--2

v = t:{[3x (X2

- 4) + (X2 - 4)2 + 2 (x2 - 4)] -

v = t: [(3X3- 12x + x' - 8x2 + 16 + 2x2 - 8) '-

(3X

3X4 )]- 2 - 6x +""4 - 2x2 + 4 + x2 - 4 dx

f 2(3X4 3x3 \V = 4 + T - 5x2 - 6x + 8)dx)

-2

V= [3X5 + 3x

4_ 5x

3_ 3x2 + 8x]2

20 8 3 -2

V = (254 + 6 - ~O - 12 + 16) - (- ~4 + 6 +*-12 - 16)

V = (254 - ~O + 10) _ (_ 2

54+ ~ - 22)

V = (72 - 2~~ + 150) _ (-~72 + ;~ - 330)

V = 22 + 20215

V 224 3=1SU

PR10 Calcule, usando integral tripla, o volume do tetraedro ABCD, com A (4, O, O),B (O, 2, O), C (O, O, O) e D (O, O, 6).

Page 212: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A equação segmentária do plano ABeé

~+Z.+!..=1p q r

~+Z+!..=l426

I 3x + 6y + 2z = 12 I3z=6-2"x-3y

3z = 6 --x - 3y2

x,-- ~ +L= 14 2

e para y > O e y. 2 - ~ tirado de ~ +~ = 1

x 34 2-- 6--X-3Y

v= f f 2 f 2 dzdy @o o o

Page 213: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

xV = f.4 t2-, [Z]:-(3/2)X-3Y dydx

f4[ 3 3y2]2-<XI2)dxV= 6Y-"2xY-T

o o

PRu Calcule J J J s x dx dy dz, sendo S a superfície compacta limitada supe-

riormente por z = xy, inferiormente pelo plano ABC, onde A (O, O,O),B (4, O,O) e C (1, 2, 3) .e lateralmente pela superfície defInida pelo contornoda região D, limitada por y = O,Y = x e 3x + 2y '- 18 = O.

Solução: Determinemos a equação do plano ABC que nos dará o limite deintegração inferior Z2.

x y z 1O O O 1

1fABC > =0 >4 O O 11 2 3 1

x Y z= O > (_1)3 Y z__ > (_1)6 4 O O =0

2 31 2 3

-(3y - 2z) = O > -3y + 2z = O --> I Z ; Y I

Page 214: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

fff dxdydz = ffS D f xy

dzdxdy.!y2

{y = X . 18

De ==>: 5y - 18 = O =-=--=-> Y =-53x + 2y - 18 = O

2x = 6 --y3

Então,

18 2

f :f 6-.Y fXY1= ~y dzdx @

o y 2

r 6-~

1= f 3 [Z~~12 dxdyo y

18 6-~

1= 5S f 3 (XY - 3J)dxdyo y

1'8 [2 3 r-2Y131= s x y _ xy dy

2 2·o y

Page 215: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

18

I =; r [(6 - YYy - 3 (6 - 2J)y - y2y + 3y • y] dy

18

1= ~ 15(36Y - 8y2 + 4~3 _ 18y + 2y2 _y3 + 3y2)dY

o

181=; r ~8Y-3y2_5ndyo

I = 1- [9y2 _ y3 _ 5y4] 158

2 36 o

I = 1-(9 • 324 _ 5.832 _ 18 • 18 • 18 • 18)2 25 125 36 • 125:

I = .!(2.916 _ 5.832_ 2.916)2 25 125 125

I = 1.458 _ 2.916 _ 1.458 = 1.458 _ 4.37425 125 125 25 125

I I 2.916

1125

PR 12 Calcule o volume do sólido contido no primeiro octante, compreendidoentre o cilindro circular x2 + y2 :.- 9 e o cilindro parabólico x2 + 2 z = 9.

Page 216: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

v= JJJ dxdydzs

S, inferiormente é limitada pelo plano xOy de equação z = O, superior-

mente pelo cilindro parabólico x2 + 2 z = 9, que nos dá z = ~ (9 - x2).

Então,

JJ J~(9-X2)

dzdxdyD o

~ 1( 2f 3 rl'-~- f"2 .-~)dzdy d:x

o o o

3 .

V = ~ f (9 - x2)(9 - X2)112 dxo

Page 217: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

r 3

V =; J (9 - x2l/2 dxo

====> I dx = 3cosada I..J 9 - x2 = 3 cos a

J9 -x2

Fig.7.26.

I . J (3 cosa)33cosada

I = 81 f cos4ada

para· x = 3 > 3 = 3sena > sena = 1 > a = ;

1T

V = 821 f"2 cos4ada

o

1T 1T

V = 81 f 2 2 2 81 f"2 (1 + ~os2a)2dnJ2 (cos a) da = 2" ....o o

V = 812

1Tro 1 + 2cos 2a + cos22a4 da

Page 218: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

n n n

V = 8; f"2 da + 81 f Z cos 2 ada + 8; f"2 cosz2adao o o

V = 81 [ ]nl'2 + 81 [ 2 ]n12 + ~8 a o 8 sen a o 8'--y---/

O

+ cos4a2 da

v = 811T + ~16 16

n n

f '2 81 f"2da + 16 cos4ada

o o

v = 811T + ~ [ ]nl'216 16 a o

V = 811T + 811T = 2431T16 32 32

PR 13 Determine o centróide (baricentro) da área plana limitada se curva y -= 4x - x2 e pelo eixo dos x.

y = 4x - x'2

4x - x2 = Ox (4 - x) = Ox=Ox=4

~

y

-1 -5O O2 44 O5 -5

d~ xy=oFig.7.27.

Para determinarmos G (x, y) deveremos aplicar as fórmulas:

f f xdxdyD

x = f f dxdyD

f f ydxdyD

f f dxdyD

Page 219: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2r rx-x

xdy @o o

J 4 J 4X-X2

dydxo o4

[4X' _ xTJ (4x2 - x3)dx340o

x = -

[2X2- :'f -

4. J (4x - x2)dxo o

256 256 256--- -_ 3 4 =~= 2

32 _ 64 323 3

I x 21

roy= ro

3 1y =--32 2

4X-X2J ydy ®o

J4X-X2dy @

o .

fJf[-X2dx

32 '3

y = 2- (1.024 _ 512 + 1.024) = 2- . 51264 3 5 64 15

EIJy=-5

Page 220: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR 14 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitadapela curva y = 9 - XZ e pela reta y = O.

Solução: Representemos graficamente a região D.

y y = 9 - XZ x Y9 - XZ = O -3 Ox=±V9 O 9x = ±3 3 O

I(Fig.7.28.

A fórmula do momento pedido é

Iy = f f xZdxdyD

3 " 9-X2

Iy - f j x2dy @-3 o

Iy = C (9x' - x4)dx = [3X' - ~lIy = (81 _ 2~3) _ (-81 + 2~3)

I = 162 _ 486 = 324y 5 5

[y 3~41

Page 221: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR 15 Determine o momento estático em relação ao eixo dos x da área planalimitada pela curva y2 = X + 4, no 29 quadrante.Solução: Representemos graficamente a área D.

y2 =x + 4

I\-4, d O" x..•.....•1, = O

..................•.

- 2 .................•....•...•.---- ......•.

x y

-4 OO 25 3

Calculemos o momento da área D através da fórmula I I y dx dy.D

II 1 I o 1 [2 ] o 1D ydxdY=2 -4 (x+4)dx="2 ~ +4x -4 -2"(8-16)

86Resp.: 3"

Page 222: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f. I f. X-Ixdydx.

o 1

f; f 2X-4X

2

PP3 Calcule xydydx.o . X-2X2

1Resp.: 640

PP 4 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 + x2, inferior-mente pelo plano z = O e lateralmente pela superfície cilíndrica defInida por

D = {(x, y) E R21_ 1 ~ x ~ 1 A x2 ~ Y ~ I}

8 3Resp.: SU

PPs Calcule, aplicando integral dupla, a área da região D, limitada pela curvay = x3 + 2x2 e pela reta y = 3x.

71 2Resp.: 6" U

PP6 Determine o volume do sólido limitado superiormente por z = x + y - 1,inferiormente por z = O e lateralmente pela superfície defInida pela regiãolimitada por y = x, y = 2 - x e x = O.

1 3Resp.: 3U

PP7 Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z =- y , inferiormente por z = O e lateralmente pela superfíciex.J x2 - 1defInida pelo contorno da região

D = {(x, y) E R211 ~ x ~ .J5 A 2 ~ y ~ 3}

Resp.: 2,767 u3

ff ~dxdY2 sendo:D x + Y

D = {(x, y) E R211 ~ x ~ 2 A O ~ Y ~ I}

Page 223: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

pp9 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z =- x + y + 3,inferiormente por z = 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contornoda região D, limitada por y = 4 - x2, para -1 ~ x ~ 1;Y = 3x paraO ~ x ~ 1 e y = - 3x para - 1 ~ x ~ O.

223 3Resp.: 15U

PPlO Calcule fI x: dx dy, sendo D a região do primeiro quadrante, limi-., D Y

tada pelas retas x = 2, x = y e a curva xy = 1.

9Resp.: 4

I to d dxI y 2' sendo:• D (x + y)

D = {(x, y) E R213 ~ x ~ 4 e 1 ~ Y ~ 2}

25Resp.: Qn 24

PP 12 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 4 x, inferiormentepelo plano xOy e lateralmente pelo cilindro circular x2 + y2 = 16.

512 3Resp.: TU

PP 13 Calcule a área da região do plano xOy, limitada pelas duas4x - x2 2x2 - 11xe y = 4

125 2Resp.: ""8 U

PP14 Calcule rI x2 .J9 - y2 dydx, sendo.;D

D = {(x, y) E R21 x2 + y2 ~ 9}

864Resp.: -5-

PP 1S Calcule I I cos (x -+- y) dy dx, sendo D o triângulo de lados x - 1T,

DY = O e y = x.Resp.: -2

Page 224: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PP 16 Calcule f f f (x2 + 2y - z) dx dy dz, onde S é o paralelepípedoS

retângulo limitado pelos planos x = O, x = 3, y = O,y = 5, z = O e z = 8.

Resp.: 480

f f f s (x + y + z) dx dy dz, sendo S o tetraedro A (2, O,O),

B (O, 4, O), C (O, O, 3) e D (O, O, O).Resp.: 9

PP 18 Calcule f J f z dx dy dz, onde V é o tetraedro de vértices A (O, O, O),V

B (1, O, O), C(1, 1, O) e D (1, O, 1).1

Resp.: 24

PP 19 Calcule o volume do sólido situado no triedro formado pelas semi-retasOx. Oy e Oz e compreendido entre os planos z = O, y = z e x = 1 e ocilindro parabólico y2 = X.

.13Resp .. "4u

PP20 Calcule o momento estático, em relação ao eixo dos y, da área limitadapela curva y2 = X + 4, no 29 quadrante.

128Resp.: -15

PP21 Determine os momentos estáticos em relação aos eixos coordenados da áreaplana limitada pela curva y = 4x - x2, no 10 quadrante.

256 64Resp.: Mx =15 e My ="3

2PP22 Determine o baricentro da área limitada pela curva y = ~ e pela retay = x.

Resp.: G 0,~)PP23 Determine o momento de inércia, em relação a cada um dos eixos coorde-

nados, da área limitada pela curva y = sen x, desde x = O a x = 7T.

4Resp.: Ix ="ge Iy = 7T2 - 4

Page 225: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

8INTEGRAIS CURVILÍNEAS

Ofereçamos de nós mesmos a confiança e adiligência, a concórdia e o serviço. Jesus faráo resto.

8.1 DEFINIÇêES

Consideremos no plano xOy, wna ycurva C que une os pontos M (a, b) eN (c, á) conforme Fig. 1. Sejam P (x, y) eQ (x, y) funções definidas e contínuas emtodos os pontos de C. A integral curvilíneaao longo da curva C é dada por

f [P (x, y) dx + Q (x, y) dy]Jc

J(c,ei)

(Pdx + Qdy)(a, b)

('

No espaço tridimensional esta,integral é dada por J (A1dx + A2dy + A3dz),C

Page 226: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

8.2 - NeDTAÇAtI VET(f)RIAL DAS INTEGRAIS CURVILíNEAS

J (AIdx + A2dy + A3 dz) =c

= f à XdfC

-* -* ~ -* ~ ~ ~ -*onde A = AI i + A2j + A3k e dr = (dx)i + (dy)j + (dz) k.

Tais formas vetoriais são mais convenientes nas interpretações físicas ougeométricas, ou mesmo a simplificação da notação.

~Exemplo: Se a cada ponto (x, y, z) associarmos urna força F que atua

sobre um objeto, a integral f F X df representará, o trabalho total desen-C

volvido para o referido objeto ser deslocado ao longo da curva C.

p. f [P(x, y)dx + Q (x, y)dy] = f P(x, y)dx + f Q (x, y)dyC C C

(c,d) f (a,b)P2 f (Pdx + Qdy) = - Pdx + Qdy

~~ ~d)

f (c,d) f (m,n)(Pdx + Qdy) =' (Pdx + Qdy) +

(a,b) (a,b)

f(c,d)

+ (Pcix + Qdy)(m,n)

Page 227: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

(1,3)

Exemplo: Calculemos f [(x2 - y2)dx + 0'2 + x2)dy] a0 ICDngod0(0,2)

segmente de reta de extremes (m, 2) e (1, 3).

Solução: A equação da reta definida pelos pontqs «;), 2) e (1, 3) é

L

Diferenciando temos dy = dx e a integral é assim calculada:

dy ,

fI"

{[x2 - (x + 2)2] dx + [(x + 2)2 + x2]} dx =x=o

- f 1 (x2 - x2 - 4x - 4 + x2 + 4x + 4 + x2)dx =o

- f 1 2x2dx = [2 ~'J:-; ouo

3f. [0' - 2)2 - y2] dy + fy2 + (y - 2)21dy =2

= s: (2y2 - 8y + 8)dy = [ ; y3 - 4y2 + 8y]: =

(16 . ) 16 2= (18 - 36 + 24) - - - 16 + 16 = 6 - - = -333

Chama-se curva fechada simples uma curva fechada que não intercepta elaprópria em nenhum ponto.

Sejam as funções P (x, y), Q (x, y), ~~ e ~~ uniformes e contínuas num

domínio limitado por uma curva fechada simples C. Então,

Page 228: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

t(Pdx + Qdy) =C 55 (ôQ - ÔP)dxdôx ôy Y,

R

sendo o símbolo f usado para indicar que a curva é fechada e que é percorridaC

no sentido anti-horário (positivo).

Quando ~yP= ~; a integral curvilínea r (Pdx + Qdy) independe do., C

percurso C que liga dois pontos quaisquer do domínio R.

1=

A· ald d ÔP ô Q, b' d" - pax Q19u a e ôy = ôx e tam em con lçao para que + dy seja

uma diferencial exata, isto é, que exista uma função F (x, y) tal que Pax + Qdy ==dF.

ôP _ ôQ _Logo, se ôy - ôx entao

f (P dx + Q dy) = OC

Podemos fazer uma extensão dizendo que para a f (A1dx + Azdy +C

+ A 3dz) ser independente do percurso C, que liga dois pontos quaisquer de umôA1 ôAz ôA3 ôA1 ôAz ôA3

domínio R, é que, ôy = ôx' ôx = az' az = ôy' sendo as derivadas

parciais contínuas em R. Mas quando isto acontece (ver Capo VI - Defrnição-+ -+ -

de Rotacional) o rotacional de A é nulo, ou seja, 'V fi A = O, sendo esta umacondição para independência do percurso adotado na integral curvilínea.

-+Em física, por exemplo, se F representa um campo de força que age em

-+ -+um objeto ao se deslocar de um ponto a outro e se 'V fi F = O, diremos queo trabalho aí efetuado não dependerá do percurso e tal campo de força dir-se-á"CONSERVATIVO".

Podemos usar também a notação:

1 -+ -+'fAX dr = O

C

onde C é fechada e 'V fi à = Õ.

Page 229: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

E1 Calcule; ~ (- y dx + x dy).C

Solução: dx dy = dA (elemento de área), então pelo teorema de Green:

P Q1 ~ -1- -1- 1- (-ydx+xdy)=-2 C 2

f f (1 + l)dxdy =R

f f 2dA =R

1 ~K+2C

P

0ax+

- f f dA = A (área de R)R

Q

8 dy -

1- K+2

1- K+2 f f xK (K + 2)dA (momento MKx), K = O, 1, 2, ...R

Consideremos uma superfície fechada S, fronteira de um Volume V. SeA1, Az e Ag são funções contínuas, tendo no domínio V derivadas parciais tambémcontínuas, então:

fff (aAl aAz aA3)-+-+- dV=V ax ay az

f f (A1cosa + Azcosf3 + Agcos-y)dSs

Page 230: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

onde a, {3,-y são os ângulos diretores da normal à superfície S, traçada exterior-mente.

~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~Como A =Ali +Azj +A3K, n = icosa+jcos{3+Kcos-y,~ aA I aA z aA 3 ~ ~

'VX A = - + -- + -- e A X n = AI cosa + Azcos{3 + A3cos-y. Assim,ax ay az

fII CvXÃ)dV=V

que traduz o Teorema de Green no Espaço, também chamado Teorema daDivergência.

Sejam Ab Az e A3 contínuas tendo derivadas parciais de primeira ordemtambém contínuas em um domínio do espaço. Logo:

I (Aldx + Azdy + A3dz) =C II [(aAg aAz)

s ay - az cos a +

(aAI aAg)

+ a;- - ax cos{3+

(aAz aAI) ]+ ax - ay cos-y dS

~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~Como A - Ali + Azj + AgK, n = i cosa + i cos{3+ K cos-y,

~ (aA3 aA2\~ (aAI aAg)~'\7 J\ A = ay - az) i + az - ax j +

+ (aa~2_ a~l)K (Cap. VI) e

('\7 J\ Â) X -; = (aA3 _ aAZ) cosa + (aAI _ aA3)cos{3 +ay az az ax

+ (aAz _ aAI)cos-Yax ay

r ~ ~A X dr =

" C

Page 231: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Particularmente se 'iJ A Ã = Õ então ~ Ã X df = O o que era de se.lC

PR 1 C'}1culeo valor das integrais:

a) f (3 Y dx - 5x dy), C: x = 2 + t, Y = 2 - 4 t, O ~ t ~ 1C

Solução:

{

X = l + t > dx = dtY = 2 - 4t > dy = -4dt. Assim:

f~1

(3ydx - 5xdy) = J [3 (2 - 4t)dt + 5(2 + t)4dt] =C o

4 1- j (6 - 12 t + 40 + ,20 t) dt =o

- f \46 + 8t)dt = [46t + 4t2l~ = 50o

f(3,9)

b) (xy2 dx - yx2 dy), ao longo da parábola y = x2

(-2,4)

Solução: y = x2 ====>' dy = 2xdx. Assim:

= [_ X6]3 = _ ~ + (-2/ = _ 6656 -2 6 6 6

Page 232: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f xdx + ydyc) 2 2' C: X = cos t, Y = sen t, O ~ t ~ 217'.

C X + Y

{

X .= cost > dx = -sen tdty = sen t --> dy = cos t dt. Assim:

f X dx + y dy = J 21T - cos t sen ~dt + se~ t cos t dt = Ox2 + y2 COS t + sen tC o

d) f (y2dx + xydy), C: o caminho triangular de (1, O) para (1,1) paraC

(O, O) para (1, O).

Solução:

y(O, 1) (l, 1)

A equação da reta que passa pelos pontos (O, O) e (1, O) é y = 0=>=>dy=O.Assim:

f (y2dx + xydy) = OCl

A equação da reta que passa pelos pontos (1, O) e (1, 1) é x = 1 >--> dx = O.Assim:

Page 233: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A equação da reta que possa pelos pontos (1, 1) e (O, O) é y = x >=>dy=dx.Assim:

f c3(y2dx + xydy) = {O x2dx + x2dx = f, o2x2dx = [; x'J: =

2=-3"

~PR2 Ache o trabalho realizado pela força F dada, sobre uma partícula movendo-se

~ ~ ~ .em C, dados: F = 2 i - 5 j e C: caminho poligonal de (O, O) a (1, 1) a(1,2) a (2,2).

Y (1,2) C32 (2,2)T= f F X df =

C '

f ~ ~ ~= (2 i - 5 j ) X [(dx) i +C

+ (dy)11 = f (2dx - Sdy)C

f (2dx - 5dy) = J' (2dx - 5dx) = [-3x]~ = -3C1 o

f (2dx - 5dy) = f 2 -5dy = [-5y]~ = -5C2 1

Page 234: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f (2dx - 5dy) = f' 2dx = (2x]~= 2.C3 1

T = J (2 dx - 5 dy) = - 3 - 5 + 2 = - 6C

-l- -l- -l- -l-PR 3 Se A = (4 x3 - 2yz) i + (2y + 4 xz) j + (2 + 3 xy2 Z2) k, calcule

J Ã X dt de (O, O, O) a (1, 1, 1) ao longo de C: x = t2, Y = t, z = t3•C .

J Ã X dt = J [(4x3 - 2yz)t + (2y + 4xz)j +C C

-l- -l- -l- -l-+ (2 + 3xy2Z2) k] X [(dx) i + (dy)j + (dz)k)] =

= J [(4x3 - 2yz)dx + (2y + 4xz)dy +C

+ (2 + 3xy2Z2)dz]

x = t2 ==>" dx = 2tdtComo y=t ==>dy=dt

z = t3 > dz = 3 t2dt

f à X di = f 1 (4t' - 2t4)2tdt + (21 + 4t')dt +C o

+ (2 + 3 t1o)3 t2dtl =

_ fI (8t7 - 4t' + 2t + 4t' + 6t' + 9tlZ)dt =o

1

= J. (8t7+ 2t + 6 t' + 9tlZ)dt =

[9 ] 1 61= t8 + t2 + 2 t3 + - t13 = -13 o 13

Page 235: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

·PR4 Achar a área do círculo x = R cos O e y = R sen O.

Solução:

{X = R cos O > dx = - R sen OdO

y = R sen O > dy = R cos OdO

1 J, 1 r 21T

Área = '2 r(x dy - ydx) = '2 (R cosO· R cosO dO +"O

PRs Verifique o teorema de Green no plano para f [(3 x2y - x3) dx +C

+ (x2 + y2) dy), sendo C a curva fechada do domínio limitado entre y = x2 ey =x.Solução:

y

1 (1, 1)

Fig.8.4.

Ao longo de y = x2 temos dy = 2xdx e

,. 1

J [(3X2x2 - x3)dx + (x2 + x4) 2xdx) =O

1

= f (3x4 + x3 + 2x5)dx =o

= (} x5 + x4 + X6)1 = 1 +1.. +1.. = 2!.\S 4 3 o S 4 3 60

Page 236: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f.o [3x' - x')dx + (X2 + x2)dx] =

=(~4+ ; X'X = _ ~

1[ 2 3 2 2 ] 71 7 1(3 x y - x )dx + (x + Y ) dy = - - - = -C ~ 6 ~

1f (2x - 3x2)(x - x2)dx =O

1- f (2x2 - 2x3 - 3x3 + 3x4)dx =O

3 5 2 1=---+-= -5 4 3 60

(3,5)

PR6 Verifique se f [(2xy +y2)dx + (x2 +2xy - y)dy] é ind~pendente(1,2)

do percurso e calcule o valor dessa integral.

Solução:

1ap

p(x, y) = 2xy + y2 ===> -ay = 2x + 2y

Q(x,y) = x2 + 2xy - y ==>. aQ = 2x + 2yax

Page 237: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Então, ~~ = ~~ e a integral dada é independente do percurso.

Calculemos o seu valor.Como ela não depende do caminho escolhamos um qualquer. Usemos oda figura:

y(1,5)

········PJ (3, 5)C2 :

C1 :

2 , (1,2) II I

A reta que passa pelos pontos (1, 2) e (1,5)é x = 1 onde dx = O e a reta que passa pelospontos (1,5) e (3,5) é y = 5 onde dy = O.Então:

f [(2xy + y2)dx+ (x2 + 2xy - y)dy] =Cl

( 2)5 27= y +L =_222

5f. (1 + y)dy =2

f [(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y)dyf =C2

3

= f (lOx + 25)dx = (5x2 + 25x)~ = 901

r (3,5) 27 207[(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y)dy] =""2 + 90 = "2"

• (1,2)

PR7 No problema anterior, calcule f [(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y) dy]ao longo de y = x2 e y2 = X. •

Solução: Como aap = 2x + 2y = aaQ entãoy . x

~ [(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y)dy] = O (T. de Green)

Page 238: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

-'}- -'}- -'}-PRs V~rifique o teorema da divergência para A = (3x - 2z) i + (xy2Z) j +

-'}-+ (x2z) k, através do domínio limitado por x = O,x = 1, y = O,y = 1 ez = O, z = 1.Solução:

fff (ílXÃ)dV= Jl Jl fl(3+2XYZ+X2)dzdYdx=V o o o

I I- f f (3 + xy + x2) dy dx =

o o

1,1)

F(1,

1, O)y

A (1,

/x Fig. 8.6

f r -'}-J (A X ti) dS calcularemos face por face, pois S é superfície do cubo.S

-'}- -'}- -'}- -+ -'}--'}-1) Face ABGF: n = i , x = 1. Então A = (3 - 2z) i + (y2Z) j + zK e

'---v---'SI

Page 239: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1 1f f (1x ti) dS = f f (3 - 2 z) dy dz =SI o o

= (3z - Z2)~ = 2

~ ~ ~ ~ ~ ~2) Face BCDG: n = j ,y = 1. Então A = (3x - 2z) i + (xz) i + (x2z)K e

'--y--/

S2

1f (3 - 2z)dz =o

ff (Ã X rl)dS = r f ~2

S2 o o

= (~): = ~

fi 1dxdz = "2zdz =

o

~ ~ ~ ~3) Face OABC: n = -K e z = O. Então A = (3 x) i e

'---y--/83

J J (Ã X ri) dS = O83

~ ~ ~ ~ ~4) Face OEFA: n = - j e y = O. Então A = (3x - 2z) i + x2zK e

'----v--'S4

J f (Ã X ri) dS = O84 .

~ ~ ~ ~ ~5) Face DEFG: n = K e z - 1. Então A = (3 x - 2) i + (xy2) j +

'----v--'S5~+ (x2)K e

~ ~ ~ ~6) Face OCDE: n = - i e x = O. Então A = (- 2z) i e

'----v--'S6

ff1 1 1

(1' X ti) dS = f f 2 z dz dy = f dy = 1S6 o o o

Page 240: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

rf -+ -+ 1 1 43J (A X n) dS = 2 + - + O + O + - + 1 = -

S 4 3 12

(3,9)

PP1 Calcular f [(x + 2y)dx + (2y - x)dy] ao longo(1,1)

a) da parábola y = x2;

b) de uma reta;c) dos segmentos de reta desde (1, 1) a (3, 1) e de (3, 1) a (3, 9).

a) 84; b) 88; c) 8.

PP2 Calcular t [(3x - 2y - 4)dx + (6y - 3x + 4)dy] ao longo do triângulo

de vértices (O, O), (1, 2) e (5, 2).

a) f [2y2dx - 4xdy], C: x = 2 - t, Y = 4 + 3 t, 1 ~ t ~ 2.C

Resp.: -152

b) f [(5y +x)dx + (3y - 4)dy], C:x = 4 + 2t,y = 10 -2t,. CO ~ t ~ 3.

Resp.: 150

(2,4)

c) f [xZydx - 3y2dy], ao longo da parábola y = x2•

(-2,4)

64Resp.: 5

Page 241: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

(2,8) .

d) f [ ~ dx - ~ dY] ao longo da reta y = 2 + 3 x.(1,5) y

Resp.: 3,699 aproximadamente

'

" xdx - ydye) 2 2.' C: x = cos t, Y = sen t, O ~ t ~ 2 rr •

.; x + Y

f) f [2ydx + Sxdy]; C: x = sent, y = cost, O ~ t ~ 2rr.C

Resp.: - 3rr

g) f [y2xdx + 2x2ydy]; C: o caminho triangul~r de (1, O) para (2,2)C

para (-1,3) para (1,0).

77Resp.: 12

~PP4 Ache o trabalho realizado pela força F dada, atuando sobre uma partícula

que se move na trajetória C dada por:~ ~ ~

a) F = 2 i - 6 j , C: caminho poligonal de (O, O) a (1, 1) a (1,3) a (3, 3).

Resp.: -12~ ~ ~

b) F = i + 2 j , C: caminho poligonal de (1,2) a (1,3) a (3,4) a (4,4).

Resp.: 7

1 [(x2 - xy2)dx + 0'2 - 2xy)dy]C

onde C é o retângulo de vértices (O, O), (3, O), (3, 2) e (O, 2).

Resp.: 6

PP6 Calcular ~ [(2x - 3y - 2)dx + (3y + 2x - 6)dy] ao longo de um círculo

de raio 4 e centro em (O, O) usando o teorema do Green.Resp.: SOrr

Page 242: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f(2,1)

PP7 Prove que . [(2xy - y4 + 3)dx + (x2 - 4xy3)]dy independe do(1,0)

caminho entre (1, O) e (2, 1) e a seguir calcule o valor dessa integral.

Resp.: 5

PPs Calcule a área do círculo de raio 3 com centro em (O, O).

Resp.: 91T

PP9 Calcule a área da elípse x = 6 cos 8, y = 4 sen 8.

Resp.: 241T

PPlO Calcule a área do retângulo de vértices (1,1), (1,3), (5, 1) e (5,3).

Resp.: 8

PPll Calcule a área do trapézio isósceles de vértices (1, 1), (2,2), (4, 2) e (5, 1).

Resp.: 3

~ ~ ~ ~PP12 Verifique o teorema da divergência para A = (3 x - z) i + xy2 j - xzK

através do domínio limitado por x = O, x = 2, Y = O,Y = 2, z = O, z = 2.

Resp.: 32

~ ~ ~PP13 Verifique o teorema da divergência para A = (2xy + z) i + y2 j

~- (x + 3y)K tomado no domínio limitado por 2x + 2y + z = 6, x = O,y = O e z = o.Resp.: 27

~ ~ ~ ~PP14 Sendo F = (2xy + 3) i + (x2 - 4z) j - 4 yK calcule o trabalho reali-

zado por uma partícula sujeita a essa força ao se deslocar de (3, - 1, 2)a (2, 1, - 1).

Resp.: 6

PP15 Calcule novamente o problema anterior tomando outro caminho.

Resp.: 6

Page 243: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

9SÉRIES

Nada como compor um poema alegre ao somda verdade e à luz do Infinito.

Consideremos a sequencia de números a}, a2, a3, ... e Sn = ai + a2 ++ a3 + ... + an onde n = 1, 2, 3, ...

Assim:

S1'= ai

S2 = ai + a2

S3 = ai + a2 + a3

Temos então uma outra seqüência de números S b S2, S3, •.. a qual échamada série de termos an, a qual indicaremos por "'Ean. Cada Sn é chamadade soma parcial da série.

tal que lim Sn = S, diremos que a série I an = ai + a2 + a3 + ... é conver-n-+oo n=l

Page 244: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

gente e tem soma S. Quando tal limite não existir (ou for infinito), diremos que asérie é divergente.

00 nPodemos com isso escrever L an = lim L aj, quando existir o limite.

n=l n-oo j=l

00

E1 Consideremos a série L n (n 1+ 1)· Temos:n=l

00

" 1 111 1 1~ n (n + 1) = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ...n=l

1 1 1 1· ~Sn = '2 +"6+ 12 + 20 + ... = ~

Sn = lim 11n-oo n

00

- 1 diremos que a série L n (n 1+ 1) én=l

E2 A série L (_l)n-l = 1 - 1 + 1 - 1 + ... não é convergente pois sen=l

n é par Sn = O e se n é ímpar Sn = 1. Portanto não existe lim Sn e an-oo

Page 245: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Se I an e I bn são convergentes com somas A e B, respectivamente, en=l n=l

K é uma constante, então

a) I (an ± bn) = A ± Bn=l

b) I (K an) = K I an . KAn=l n=l

a) I (an ± bn) = A ± Bn=l

Consideremos as somas parciais

An = a I + a2 + a 3 + .Bn = bl + b2 + b3 + .==>. Sn = An ± Bn = (aI + a2 + a3 + ... + an) ±

± (bl + b2 + b3 + ... + bn) =

= (aI ± bl) + (a2 ± b2) + (a3 ± b3) + ... + (an ± bn)

Logo, lim Sn = lim (An ± Bn) = A ± B pois, por hipótese, An convergen-"oo n-..oo

2 (an ± bn) = A ± B.n=l

Propriedades

.PI Multiplicando cada termo de uma sene por uma constante não nula, asérie continua convergente ou divergente.

P2 Retirando ou acrescentando um número fmito de termos a uma série, estapermanecerá convergente ou divergente.

Page 246: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A série L an é absolutamente convergente quando I lan I converge. Se

I an converge, mas I lanl diverge, então I an é condicionalmente conver-n=l n=l n=lgente.

Toda série absolutamente convergente é convergente.

9.3 - CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA

Se não tivermos lim an = O entãon-oo

L an é uma série divergente.n=l

De fato se lim Sn = S temos lim Sn+ 1 = S e sendo an = Sn+ 1- Snn-oo n_oo

lim an = 1im (Sn+l - Sn) = Um Sn+l - Um Sn = S - S =n-+-oo n-+oo n-oo n-+oo

Logo, se an não converge para O, a série não pode convergir, sendo portantodivergente.

Este critério só pode ser usado para provar divergências e, também,

quando lim an = O, a série I an pode ser tanto convergente como diver-n-oo n=l .

00 2E A'"" 4 n + 1 , d" "1 sene L 2 e lvergente pOIS

n=l n

Page 247: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

00

E A'·" 3n - 1 b' di .2 sene L 8 n + 5 tam em verge pOISn=1

tim 3n - 1 = ~ * On-+oo 8n + 5 8

00

E3 A série I ~é chamada "série harmônica de ordem ]". Veremos,n=1

a seguir, que ela diverge, apesar de lim 1.= O.n-+Q n

Seja y = f (x) uma função definida, contínua, monótona decrescente parax crescente, lim f(x) = O e f(n) = ano

x-+oo

A série L an convergirá ou divergirá, conforme a integral impróprian=1

J. 00 f(x)dx convergir ou divergir, onde C é arbitrário.C

00 .

1 1 1 1 .L li =.p + li + P + ... conVt::rge.quando p > 1 e dIverge quandoií=1 n 1 2 3p<;l.

De fato: f(n) " ~;f(x) = ~ e ~ é decrescente quando x cresce. Logo,\·n x x

C = 1 vem:

foo _1 dx = limxP K-+oo

1fK 1 fK- dx = lim x -P dx =

xP K-+oo1 1

[Xl-P ]K 1 K

= lim 1 = 1 lim [X1-P]1 =K-+oo - p 1 . - P K-+oo

_ 1 lim (K1-P - 1) =1-P K-+oo

= 1 ~ lim ( ;-1 - 1)P K-+oo K

Page 248: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f.oo 1 dx 1 •. ~ 1 .- e a sene L -p sera conver·

Xp - P - 1 n1 n=l

2 Se p ~ 1 ====> f 00 ~ dx = 00 a série será divergente.1 x

Seja limn._OO

= L. A série L ann=l

a) Converge (absolutamente), se L < 1

b) Diverge, se L > 1

c) Se L = 1, nada se poderá afirmar.

00

A •. " 2 .sene L (n + 1)! converge, POIS:n=l

2[(n + 1) +' 1]!

2. (n + 1)!

(n + 1)!(n + 2)!

(n + I)!(n + 2)(n + 1)!

= lim I 1 1=0<1. n-+oo n + 2

. ;;8$-C4 Oitério da raiz ou de C'rZchy

Seja lim ~ = L. A série L ann_oo n=l

a) Converge (absolutamente), se L < 1

b) Diverge, se L > 1

c) Se L = 1, nada se poderá afirmar.

Page 249: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A série i 1 n é convergente pois:n=2 (logn)

lim n /1 1 n I = lim _1_ = O < 1n-H'" ';j (logn) n_oo logn

A série alternada al - az + a3 - a4 + ... = L (_l)n-lan tal que al ~n=l

~ a2 ~ a3 ~ ... e lim an = O é convergente.n-4oo

00 n+lA série L C;-nl~1 é convergente pois:

n=l1 1 1

an + 1 = 2 (n + 1) _ 1 = 2 n + 1 e Qn - 2 n _ l' concluindo-se que

1 ~ 1 I' 1 - O2n + 1 -..:::2n - 1 e n~ 2n - 1- .'----v--' ~

an+l an

Sejam as séries L an e L bn tais que O ~ an ~ bn para qualquer n. Se:n=l" n=l

a) L bn converge, então L an, também convergen=l n=l

b) L an diverge, então L bn, também diverge.n=l n=l

00

'" Qn(n)L 2n4 - 1·n=l

1 1 Qn(n) n 1Como Qnn < n e '-4-- ~ 4' temos 4 ~ - = 3' Mas

2 n 1 n 2 n - 1 n4 n

Page 250: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

00

L 1 é convergente conforme exemplo do critério da integral,n3

n=l

00

A série L -1 _1_ é divergente pois:ognn=l

n > logn

donde l.< -1 _1_ e a série i l. diverge (série harmônica de ordem 1).n ogn n=o n

Toda série da forma L an (x - a)n = ao + aI (x - a) + a2 (x - a)2 +n=o

+ ... + an (x - ar + ... , onde ao, ab a2, •.. , são constantes, chama-se "sé-rie de potências" em (x - a).

Toda série de potências tem um raio de convergência R, tal que, a sérieconverge quando Ix - ai < R e diverge quando Ix - ai > R (Fig. 1).

O intervalo Ix - ai < R ou a - R < x < a + R, com possível inclusãodos pontos extremos, chama-se "intervalo de convergência".

Quando R = O a série converge somente em x = a e quando R = 00 a sérieconverge para todo valor de x.

00 nP . al d ,." n (x - 1) .?ara quals v ores e x a sene L -'n converge.

. n=12 (3n-1)

(n + l)(x - l)n(x - 1)2 • 2n (3n + 2)

n(x - 1)n2n (3 n - 1)

Page 251: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

_ lim I (n + 1)(3 n - l)(x - 1) I =n-oo 2n(3n + 2)

3n2 + 2n - 1 1----- = Ix - 110-

6n2 + 4n 2

C Ix - 11 < 1 ( dO - ~ .)orno 2 con lçao para convergencla temos

Io

o

n(-2)n I"" (-lt na) Para x = - 1 > ---- - ---n=l 2n(3n -1) - n=l 3n -1'

Diverge, pois, lim 3 ~ 1 = 31* O.n -+00 n

00

b) Para x = 3 ==> I 3 n ~ l' também diverge pelo mesmo motivo.n=l

Portanto, a série dada converge para - 1 < x < 3.

00

~ xn lOg~n + 1)

Solução: Aplicando o critério da razão temos:

1x • xn 10g(n + 2)

1xn log(n + 1)

_ lim 110g(n + 1) _n_oo x1og(n+2)

1 l'=- 1mIxl n_oo

10gen + 1 = _1_ lim n + 2 =_110ge Ixl n_oo n + 1 Ixl

n + 2

Mas I~I < 1 (critério da razão), então:

1 < Ixl => Ixl > 1 => X > 1 ou x < - 1

Page 252: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

00

a) Para x = 1 temos a série I ·iog(~ 1+ 1)' Portanto, é divergenten=1

(omparar com i ~\.\ n=1 !)

00

b) Para x = -1 temos a série L n 1 , a qual é convergente,n=1 (-1) log(n + 1)

pois, é uma série alternada onde seus termos decrescem em valor absoluto

elim 1 =0n _00 log (n + 1) .

Portanto, o intervalo de convergência da série dada é x > 1 V x ~ -1.

Veremos, agora como representar através de uma série de potências, umaampla variedade de funções.

Suponhamos a existência de [(x) e suas derivadas[' (x),[" (x), ... ,rn) (x),contínuas num dado intervalo [a, b] e que rn + 1) (x) exista em (a, b). Assim

[(x) = [(a) + [' (a)(x - a) +f~~a) (x - a)2 + ... +

+rn) (a) (x _ a)n + Rn! n

onde Rn (resto) é dado pela forma:

rn)(Xl) \12+1

Rn = (n + I)! (x - aJ (resto de Lagrange)

r"~I ) ['" 3[(x) = [(a) + [' (aXx - a) + 2\~ (x _ a)2 + (a)~ - a) + ...

o qual é chamado desenvolvimento em série de Taylor de [(x). Ainda no casode a = O podemos simplificar [(x) obtendo

[(x) = [(O) + [' (O)x + ['~~O)x2 + r'~~o)x3 + ...

o qual é chamado desenvolvimento em série de Mac-Laurin de [(x) (veja adedução no livro Números Complexos e Funções Hiperbólicas, de Righetto, A.).

Page 253: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exemplos:

EI Desenvolver [(x) = eX segundo série de potências:

Solução::

[(Xl) = eXI; i' (Xd = eXl; f' (Xl) = eXl; •.. ; fn) (Xl) = eXl.

Para a = O, X > O e O < Xl < X temos:

00 x n+lMas a série ~ (~ : 1)1 é convergente para todo X (aplicar o critério da

n=lx n+l

razão) onde lim t : 1)' = O e conseqüentemente lim Rn = O. Con-n-oo n . n_oo

c1uímos que eX pode ser representado por urna série de Taylor.

eO eO eOex = eO + eOx +- x2 + - x3 +- x4 + =21 3! 4! ...

~ Desenvolver segundo o desenvolvimento de Taylor a função [(x) = senx.

Solução:

[(x) = senx; fI (x) = cosx; [u (x) = - senx; {m (x) = - cosx;

{IV (x) = senx;fV (x) = cosx; ...

para a = O temos:

x2 x3 x4senx = senO + xcosO + 2! (-senO) +3T (-cosO) + 4! (senO) +

x5

.+ 5T cos O + ...

Page 254: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

PR 1 O primeiro exemplo deste capítulo pode também ser resolvido assim:_ 1

Devemos transformar a fraçao n (n + 1) em uma soma algébrica de outras

frações ou seja:

1 = A + .-!!.- = A (n + 1) + Bn = (A + B)n + An(n+l) n n+l n(n+l) n(n+l)

{

A+B=Odonde

A=l->B=-l

111=----

n(n+l) n n+l

00 1 00 (1 "1) . n (1 1)~ n (n + 1)= {;l li - n + 1 = ,!~oo~l K - K + 1 =

=lim(l- 1 )=1n -+00 n + 1 '

I arn-1 = a + ar + ar'- + ar3 +

aonde a e r são constantes, converge para S = 1 se Irl < 1 e diverge-r

se Irl ~ 1.

Page 255: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

li S 1· a (l - rn)m n= 1m

n-'>oo n-'>oo 1 - r1 a lim (l - rn)

- r n-'>oo

Se Ir I < 1 ==> lim (l - rn) = 1 e lim Snn-'>oo n-'>oo

a A' .- 1 . sene-r

aconvergirá para -1--

-r

2 Se Ir I ~ 1 o termo geral da série não convergirá para zero, e a sérieserá divergente.

2 (25)2 + (2

5)3PR 3 Prove que "5 + -i (;Y converge e ache sua

n=l

2 (2)2 (2)3 (2)nSn = 5 +"5 + 5" + ... + 5"

Multipliquemos ambos os membros por ~ ====.>

2 (2)2 (2)3 (2)n + (2)n+l-> "5Sn ="5 +"5 + ... + "5' "5

, . d ' 2e, portanto, a sene em estu o e convergente com soma 3'

Page 256: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Como lim : 1 = 1 =1= O, a série em estudo é divergente.n -+00 n

PRs Provemos o critério da integral.Para esta prova tomaremos C = 1.Por hipótese f(x) é monótona decrescente, assim

an+l. f(n + 1) ~f(x) ~f(n) = an, n = 1,2,3, ...

Integrando de x = n a x = n + 1 vem:

Maz + a3 + a4 + ... + aM ~ f f(x)dx ~ ai + az + a3 + ... +

1

MSupondo que exista lim f f(x)dx = S, então az + a3 + a4 + ... +

M-+oo1

+ aM é monótona crescente sendo limitada superiormente por S e portanto

i an converge. Se lim f M f(x)dx não existe então i an diverge.M-+oon-+l 1 n=l

00

PRó Investigue pelo critério da integral o caráter da série L ne-n2

n=l2 2

Solução: f(n) = ne-n e f(x) = xe-x . Tomando C = 1, vem:

f 00 f(x)dx = f 00 xe-x2 dx = l~ f K xe-x2 dx =1 1 K 1

[K ]. 1 _x2 2= 11m - - J. e d(-x) =

K -+ 00 2 1 '----y---/-2xdx

Page 257: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

_ 1 lim [_x2)K 1 1· (_K2 -1)--- e =-- 1m e -e =2 K-+oc 1 2 K-+oc

" n2,L ne- e convergente.

n=lI

ocI Qnnn

n=l

f(n) = Qnnn

f(x) = Qn~x

f 00 f(x)dx = f oc Qnx dx = liro f K Qnx dx =x K-+oc X222

= lim f K Qnxd(Qn~) = 'lim [Qn2

2x]K _K-+oc 2 ~ K-+oc 2

dxx

oc

" Qnn , diL n e vergente.n=2

Prova: Seja 1im I an + 1 I = L. Provemos a convergência para L < 1.n-+oc an .

Escolhamos um número inteiro M tão grande que,

Page 258: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

aM+l < raM

aM+2 < raM+l < r2aM

aM+3 < raM+2 < r3aM

e assim por diante.Por soma teremos:

aM+l + aM+2 + aM..l..3+ ... < raM + r2aM + r3aM + ... =

= aM (r + r2 + r3 + ... )

CDA série CD com O < r < 1 é convergente (série geométrica), logo a sériedada converge.No caso de variar o sinal dos termos, teremos

e a série L an conv~rge absolutamente.n=l

De maneira análoga, provamos as partes (b) e (c) do critério da razão.

0Cl

c) L n!3 • 5 ... (2n + 3)

n=l

~ n2

b) L (n + I)!n=l

a) limn-4OCl

(_l)(n+ü-13n+1

(n + li(_l)n-13n

n2

(-lf3 • 3n

(n + 1)2(_1)n(_1)-13n

n2

Page 259: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

b) limn~oo

(n + 1)2(n + 2)!

n2

(n + I)!

(n + 1i(n + 1)!(n + 2)(n + I)! n2

(n + 1)2(n + 2)n2

2n + 23n2 + 4n

26n + 4 = O < 1

(n + I)!3 • 5 ... [2 (n + 1) + 3]

n!3 • 5 .. , (2 n + 3)

(n + l)n!3 • 5 ... (2 n + 3)(2 n + 5)

1-n!

3 • 5 " . (2 n + 3)

n+1 =1<12n + 5 2

c) limn~oo

Solução:

a) lim n I( n 3)n I = lim -~ = O< 1,n~oo 1 + n n~oo 1 + n

b) lim nn~oo I( n )

n21 . ( n)n . (n + l)-n-- =hm -- =hm -- =n + 1 n~oo n + 1 n~oo n

[ ( l)n]-l 1= lim 1 +- = e-I =-< 1,n~oo n e

Page 260: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

CC

PR Pr " n! , , .11 ove que L..J n e uma sene convergente.n=l n

(n + I)! (n + l)n!

lim(n + l)n+l

1im (n + l)n(n + 1)- n! -n-cc n! n-cc- -

nn nn

= liro __ n_n__ lim ( n )n _n"""cc (n + l)n n-cc n + 1/

=[n~

cc (_l)n+lna) L 4n-3

n=l

cc. 1b) L (_l)n arcsen-

nn=l

2 1 4 5 21~-~-~-~-~-~ ...5 3 13 17 7

o que nos leva a concluir que a série dada é divergente.

1 1 1b) L (-1) n are sen -;; = - are sen 1 + are sen "2 - are sen "3 +

1+ arcsen '4 1are sen "5 + .. . =

Page 261: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

= _90° + 30° - 19,47° + 14,47° -

- 11,53° + ...1Como vemos: a1 ~ a2 ~ a3 ~ a4 ~ ... e lim arc sen - = O, con-

n~oo n

00

a) L 1n 2n

n=1

c) i 1n=2 y'nlogn

00

)C 1 ~ 1 ,., 1, ,. ,. da orno -- -..;:::n e a sene ~ ---ri e uma sene geometnca on e r =n 2n 2 n=1 2

. • 00

.= ~ < 1 e conforme PR2 convergente, concluímos que a séri~ L ~n=1 n 2

também é convergente.

sen n ~ 1b) Como senn ~ 1 =='> --2- ::::::2'.

n n00 .

A série L ~ é convergente conforme exemplo do critério da integraln=1 n

00

. ,sen n ,e aSSIm ~ -2- e convergente.

n=1 n

logn<y'n===>_1_>_1_==> 1 >log n y'n ..;n log n

> 1 > 1 >1-y'n ..;n yn log n n·

00

Como a série harmônica L .l é divergente, concluímos que a sérien00

L 1 é divergente.n=1 ynlogn

Page 262: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Prova: A série 2 an ou é convergente ou é divergente. Se ela forn=l

ndivergente, lim L aK - 00. Como bn ~ an, por hipótese, teríamos

n_oo K=l

n 00

lim L bK = 00, donde concluiríamos que a série 2 bn divergiria, on-oo K=l n=l

que estaria em contradição com a lúpótese. Portanto a série I an con-n=l

(x - 2) + (x - 2)2 + (x - 2)3 +1 2 3 ...

_ (x - 2)(x - 2)nan+l - n + 1

para n = 1, 2, 3, ...Aplicando o critério da razão temos:

(x - 2Xx - 2)nn + 1

(x - 2)nn

- nl~ I (x - 2) n : 1 I =

= Ix - 21 lim n = Ix - 21n_oo n + 1

Para a convergência devemos impor Ix - 21 < 1 (critério da razão), donde:

~ (_l)n--> ~ --, >série convergente, pois, seusn

n=l

termos decrescem em valor absoluto e lim 1..= o.n-oo n

Page 263: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

00

b) Para x = 3 ==>' L ~ > divergente (série harmônica de ordemnn=1

p = 1).Portanto, o intervalo de convergência da série em estudo é 1 ~ x < 3.

PR16 Desenvolver f(x) - arc tg x segundo o desenvolvimento de Taylor paraa = O.Solução:

f(x) = arc tgx > f(O) = O

fI (x) = 1 ===> fI (O) = 11 + x2

fO (x) = - 2x ==> fII (O) = O(1 + X2)2

III 6x2- 2 IIIf (x) = (1 + x2i ===> f (O)=-2

f(lV) (x) = 24x - 24x3

===>. f(lV) (O) = O(1 + X2)4

f(V) (x) = 120x4

- 240x2 + 24 > f(V) (O) = 24

(1 + x2)s

2 24 x3 xS

.arc tg x = x - 3! x3 + S! XS

- ••• = x - 3"" + "5 - ... =

PR 17 Determine o intervalo de convergência para a função f (x) = arc tg x.

Solução: Conforme problema anterior temos:

Page 264: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

(_l)n+lX2(n+Ü+1

2(n + 1) + 1( _1)nX2n+l

2n + 1

-x2(2n + 1)2n + 3

Devemos ter pelo teste da razao Ix21 < 1 (convergência).Assim

1 Para x = 1 ====> i 2(~ 2n1 (série alternada convergente)

n=l

00 (_1)3n+ 12 Para x = -1 ====> " ---- (série alternada convergente)

~ 2n + 1n=o

1-1~x~11

Assim, trocando x por - x2 vem:

2 ( 2)2 ( 2)3 ( 2)4-x = 1 _ 2 + - x + - x + - x + ==>e x 2! 3! 4! ...

2 2 x4 x6 x8

---> e-x = 1 - x +"2 -"6 + 24 + ...

Page 265: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Portanto f.1 e-X' dx '" 0,747.o

ATENÇÃO: Só podemos integrar ou. diferenciar, termo a termo, uma sériede potências, dentro do intervalo no qual a série é convergente.

PP 1 Prove que as séries seguintes convergem e ache sua soma

1 1 1 1a) G3 +3:s +~+"7"=9 + ...

1Resp.: "2

co 1

b) L (n + 2)(n + 4)n=o5

Resp.: 12co

c) L n(n 1+ 2)n=l

3Resp':4 .~==~

"",co ,

\.. d) ~, (4n + 3)~4n - 1)'---- --- - ----r - -- 0'- • •.

Resp.: 12

Page 266: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

· ~ 1a) L -2--n=l n + 1

n + 13n2 + Sn + 2

00 2c) L nn

n=l 2

00 earctgn

e) L n2 + 1n=l

00 n

f) L ~n=l n

h) ~ (_l)n+lL 2n-1n=l

00

n!i) L (n + 2)!n=l

00

(n!)2j) L (2n)!

n=l

00 nk) L a :! (a > 1)

n=l n

00 n1) " !!-L n!

n=l

Page 267: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

00

m)L ;n=l

00

r) L log n : 1n=l

1 1 1 1t) 4' + 16 + 36 + 64 + ...

00

L [f(n + 1) - f(n - 1)] = lim [f(n) + f(n + 1)] -n=2 n-+oo

00 n.. , (x - 2)b) ~ 2

n=l n

Page 268: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

"'"c) L n!xn

n=o

co

d) L 1 • 3 • 5 (2 n - 1) xn2 • 4 • 6 (2n)

n=l

e) x + 1 + (x + 1? + (x + 1?1 y'2 fi + ...

f) x - 3 + (x - 3)2 + (x - 3)3 +1 2 3 .. ,

) x + 3 + (x + 3? + (x + 3)3 +g 1 y'2 fi ...

x2 x3

h) 1 + x + 2! + 3T + ...

x2 x4 x6 X2n-2

a) cosx = 1 - 2T + 4! - 6T + ... + (_l)n-l (2 n - 2)! + ... ,

- 00 < x < 00, para a = O

PPs Prove os seguintes desenvolvimentos em séries de potências e seus respectivosintervalos de. convergência; segundo Taylor:

CO ( l)n + l(X l)nb) logx = L - n - , Ix - 11 < 1, para a = 1

n=l

IC

O e (x l)nd) eX = - - 00 < x < 00 para a = 1n!' ,

n=o

Page 269: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

e ~ e (x - 1)3 e (x - 1)4eX = e + e(x - 1) +2! (x - 1) + 3! + 4! + ...

Calcule aproximadamente o valor de e3 nos dois casos e compare a diferençaverificando que ela é mínima quando o número de termos é muito grande.Qual dos dois desenvolvimentos se aproxima mais rápido do valor real?

ro 1 -x~-e2 dx

x

PPs' Calcular, erro inferior a 0,001:

a) sen 36°b) cos 45°c) tg 18°

Resp.: a) 0,586b) 0,706c) 0;323

d) Qn 4e) log 8

d) 1,386e) 0,903

Page 270: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

18EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

É na palma de espinhos que o Céu instala asrosas.

10.1 - DEFINiÇÕES

Toda equação que envolve derivadas ou diferenciais é chamada equaçãodiferencial.

Exemplos:

d2y + Y dy = O

dx2 dx

As equações diferenciais podem ser ordinárias ou parciais: :'..

Equações diferenciais ordinárias: Só possuem derivadas ordinárias, ouseja, uma única variável independente (E1 e E2 acima)'

Equações diferenciais parciais: Só possuem derivadas parciais, ou seja,possuem duas ou mais variáveis independentes (E3 acima)

Page 271: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada quenela aparece.

Nos exemplos E1, E2 e E3 as equações são de segunda ordem.O grau de uma equação diferencial é o valor do expoente da derivada de

maior ordem que nela aparece.Nos exemplos E1 e E3 as equações são do primeiro grau e no exemplo

E2 do segundo grau.Estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias.

10.2 - SOlUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Diz-se que uma função y = f(x) é solução de uma equação diferencialse tal. equação· é identicamente satisfeita ao se substituir y e suas derivadas porf (x) e suas derivadas correspondentes.

Exemplos:

C 'd - di&' 'al di á' d2yonSl eremos a equaçao J.erenCl or n na -2

dx2 dy + y - O e a

dx

função y = xex.dy d2y dy

Calculando dx e dx2 a partir de y = xex temos: dx = eX (x + 1) e

d2~ = eX (x + 2). Substituindo y, dxdye d2~ na equação temos:dx dx

d'y _ 2 dy + y = eX (x + 2) - 2 eX (x + 1) + xex =dx2 dx .

= xex + 2 eX- 2 xex - 2 eX + xex = O

Como vemos, a equação diferencial dada é identicamente satisfeita ao subs-tituir y e suas respectivas derivadas. Portanto, a função y = xex é soluçãodessa equação.

Consideremos a equação diferencial ordinária (x - 1) d2y - x ddxY+ y = O

dx2

e a função y = C1x + C2ex•Temos:

Page 272: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

(X - 1) Z - X : + y = (x - 1) C2ex - x (C1 + C2eX) +

+ C1x + C2ex == C2xex - C2ex - C1x - C2xex +

+ C1x + C2ex = O

Portanto, y = C1x + C2ex é solução da equação diferencial dada.

Observação: Neste último exemplo, a solução y = C1x + C2ex depende dasconstantes arbitrárias C1 e C2• Neste caso, a solução é chamada "soluçãogerar' pois admite uma infinidade de soluções.Quando os valores das constantes assumem valores calculados, segundocondições dadas, as soluções passam a ser chamadas soluções particulares.O gráfico da solução geral é uma faml1ia de curvas e o gráfico da soluçãoparticular é uma curva da família, dada pela solução geral (Fig. 1).

/' uma solução particular

10.3 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEME PRIMEI RO GRAU

É toda equação da forma:

M (x, y)dx + N (x, y)dy = O

Page 273: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

. Exemplo: A equação diferencial dxdY+ y2

;x = O pode ser escrita como, Y x

(y2 -x)dx + (y + x)dy = O. Neste exemplo,

. M(x,y) = y2 - X e N(x,y) = y + x

10.3.1 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

~ a equação M (x, y) dx + N (x, y) dy = O puder ser colocada na formaP(x)dx + Q (y)dy = O, a equação é chamada equação diferencial de variáveisseparáveis e sua solução é dada por:

Exemplos:

dy 1 + y2-=---dx x2

1 1onde P(x) =-- e Q(y) =--x2 1 + y2'

Sua solução é dada por:

f dy1 + y2 f dx = C ===> (are tgy) +..!.. = C

x2 X

dy = eXeY ===.> _dy e_x "--> eXdx - e-Y dy = O,dx dx' e-Y

onde P (x) = eX e Q (y) = - e-Y, cuja solução é dada por:

Page 274: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

E3 eX tgy dx + (5 ~ eX) sec2y dy = O

Poderemos separar as variáveis) se dividirmos toda a equação pelo produtodos termos mal situados:

eX sec2yonde P (x) = x e Q (,v) = -- cuja solução é dada por5 + e tgy

f eX dx + f sec2y d = C

5 + eX tgy Y 1

fd(5 + eX) + f d(tgy) = C

5 + eX tgy 1

Qn (5 + eX) + Qn (tgy) = C2

ou Qn [(5 + eX) tgy] = C2

ou (5 + eX) tgy = eC2

e fazendo eC2 = C tem-se I (5 + êX) tgy = C I

11.3.2 - EQUACÃCDDIFERENCIAL H8M8GÊNEA DE 1êll .RDEM

Se na equação diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = O pudermos escrever

: como uma função F(~), a equação diferencial diz-se homogênea.

Sua solução é obtida através da substituição v = y que a transforma emxequação diferencial de variáveis separáveis. Vejamos alguns exemplos:

E1 (9x - 3y)dx + (y + 3x)dy = O

Dividindo todos os termos da equação diferencial por dx resulta:

(9x - 3y) + (y + 3x) : = O

Page 275: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

onde : = 3; +- ;Xx, sendo o segundo membro uma função F(~), pois

3(L) - 9 (\dy _ x = F :), logo é homogênea.dx - (:) + 3

A sua solução é obtida fazendo y = v.xy ~ ~Sa-= v => y = vx ====>dy = vdx + xdv===='> - = v +x-x dx dx

dy 3v-9 ,e eorr.o dx = v + 3 eonclUlmos que:

+ dv 3v - 9v xdx= v+3

que é uma equação diferencial de variáveis separáveis.Multiplieando-a por dx obtemos:

3v - 9vdx + xdv = v + 3 dx =>

(3v - 9)- > v - v + 3 dx + x dv = O >

V2 + 9=> V + 3 dx + xdv = O >

dx v+3-> - + --- dv = O ====>

X V2 + 9

f _dxx+ f _v_+_3 dv = C =>V2 + 9 1

f"dx J> J ~ + v dv + 3 J dv = C1 ====>

V2 + 9 V2 + 9

=> Qn Ixl + ; Qn (V2 + 9) + are tg ; = C1 >

> (Qnx (~ V2 + 9)] -I- are tg ; = C2 -->

. V=> Qnx (~ V2 + 9) = - are tg"3 + C2 =--=---->

> x vi V2 + 9 = e-arctgvI3+C2 ====>

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_> v'y2 + 9x2 = C3e-arCtgYI3X =--=--_-'>

> I y2 + 9 x2 = Ce-2arc tgYI3X I (x :1=O)

~ xy dy = (x2 + y2)dx

. dy x2 + y2AqUI dx = --- -xy

~ = V ==> : = v + x :. (exemplo anterior).

V + x dv = 1 + V2 => (v _ 1 + V2)dx v v dx + x dv = O =='>

--> (- ~)dx + xdv = O--> -a;- - vdv = 0-->

==> f ~ - f vdv = Cl==> (Qn Ixl] - ~ = Cl >

=> 2Qn Ixl - V2 = 2el ::::===>

====>(Qnx2) _ :: = C => I y2 = x2Qnx2 + Cx21 ~ : ~

A equação diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = O é exata se M (x, y) dx ++ N (x, y)dy = du [eu = u (x, y)], ou seja, o primeiro membro é a diferencialtotal de uma função u (x, y).

Assim:

au auM(x,y)dx + N (x, y)dy = du = ax dx + ay dy

au auonde ax = M(x,y); ay = N(x,y) e du = O.

Page 277: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A condição necessária e suficiente para que a equação diferencial seja umaequação diferencial exata é que:

IaM aN I3y 3x

Exemplos:

E1 Resolva a equação diferencial (x3 +X2y3) dx + (X3y2 + y3) dy. Verifiquemosinicialmente se esta equação diferencial é exata.

3u .. 3 2 33x = M(x, y) = x + x Y

, x4 X3y3Integrando'esta expressão em relação a x, obtemos u =""4 + 3 +! (y)

onde !(Y) é~uma constante arbitrária que depende de y.Logo ,',

3u . ,3y =,'X3y2 + f (y) = N (x, y)

Assim: X3y2 + f' (y) = X3y2 + y3 ou f' (y) = y3.Integrando esta última expressão em relação a y obtemos:

4!(Y) =L

4

(não somamos constante, pois esta constante será absorvida pela constantefinal).

, x4 X3y3 LEntão: u (x, y) =4 + 3 + 4 e como du = O temos:

(x4 x3y3 v4)d-+ +L- =0434

E2 (seny + y cosx)dx + (x cosy + senx + y)dy = O

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aMM (x, y) = seny + y cosx => ay = cosy + cosx

aNN (x, y) = x cosy + senx + y --> ax = cosy + cosx

aM aN,====> - = - (e exata)ay ax

auax = seny + y cesx => u = x seny + y senx + f(y) ==>

au ,-> ay = x cosy + sen x + f (y) = x cosy + sen x + y --)

2> t' (y) = y ==="> f(y) =L

22

Logo u = x seny + y'senx +~ .Então:

d (x seny + y sen x + ~2)= O,

I x seny + y senx +f = C I

Se a equação diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = O não for exata,deveremos encontrar um fator chamado fator integrante, que introduzido naequação diferencial a torne exata.

A seguir, alguns critérios que determinam o fator integrante:

aM aN---I Se ay N ax = f(x) função 'somente de x, então eJ!(x)dx é um fator de

integração da equação diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = O, não exata.

é1Jl aN

2 Se ay M-- ax _---- - g (y), então ef g(y)dy é um fator de integração da refe-

rida equação.

3 Se M (x, y) dx + N (x, y) dy = O for homogênea e Mx + Ny =f= O, então

Mx ~ Ny será um fator de integração.

Page 279: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Exemplos:

E1 A equação diferencial x dy - y dx = O não é exata pois

àMM(x,y) = -y > ày =-1

N(x,y) = x ===> àN = 1àx

àM àNonde - =1=-ày àx

àM àN---M ày àx - 1 - 1 2 (f - '1 ) -as N - = - - unçao so (e x entao:x x

f d Q l2n -2 1F.1.= e - 2 IX X = e- 2 n X = e X = x - 2 =_x2

Logo, se multiplicarmos a equação diferencial dada por~, a equação dife·x

rencial tornar-se-á exata.De fato:

_xd_y __y dx_·= 0====·>1-dy _ -y dx = O.x2 x2 X x2

Y àM 1M(x,y)=-- >-=--x2 ày x2

1 àN 1N(x,y) =-=> - =--x àx x2

àM àNonde ày = àx' portanto, exata.

E2 2xy Qnydx + (x2 + y2 y'y2 + l)dy = O

àMM(x,y) = 2xyQny => ày = 2x + 2xQny

--- àNN (x, y) = x2 + Y 2 y'Y 2 + 1 =--=-=> àx = 2 x

àM -/- àN (_' )=> ày T àx nao e exata

àM àN---àY àx _ 2 x + 2 x Qny - 2 x -.1 (f - 'd )

M - 2 Q - unçao so e y .xy ny 'y

Page 280: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f.I. = e- J lIY dy = e-2ny _ 1y

Multiplicando-se a equação diferencial dada por 1.., ela tornar-se-á exat~.y

(2XYy2ny)dx + (Xl + yl fY' + 1 )dY = O =>

=> 2 x Qnydx + (;2 + y .Jy2 + 1) dy = OaM 2x

M(x,y) =2xQny -> -a =-y y aM==>

x2 ~-- aN 2x ayN(x,y) =-y + Y ..jy2 + 1 => - =-ax y

aNax

E3 (x2 - 3xy)dx + (y2 + x2)dy = O

aMM(x,y) = x2 - 3xy =='> - = -3xay

aNN(x,y) = y2 + x2 ~> ax = 2x

aM -J- aN (-' . )--> ay -r- ax nao e exata

Mas esta equação diferencial é homogênea pois:

3(L) - 1dy _ 3xy - x2 _ X _ F(L)dx - -y2 + x2 - (-; t + 1 - x

Mx + Ny = (x2 - 3xy)x + (y2 + x2)y =

= x3 _ 3 x2y + y3 + x2y = x'" + y'" - 2 x2y =1= O

1F.I. = 2

x3 + y3 - 2x y

Page 281: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

_ X2 - 3xy aM _X4 + 6Xy3 - 3X2y2M (x, y) - 3 3 2 ====> -a - = --3 --3---2--2-

X + y - 2x y Y (x + y - 2x y)

y2 + x2 aN _ x4 + 6 xy3 - 3 X2y2N(x,y) = 3' 3 2 ==>, -a-= --3--3---2--I X + y - 2x y x x + y - 2x y

aM aNonde -=-.ax axNota: Conhecendo-se a diferencial exata de uma certa função pode-se

- descobrir um fator integrante conforme exemplos a seguir:

Como sabemos d (Qn y) = dy - dx. Assim, a equação diferencial x dy -\: x y x

- y dx = O pode ser multiplicada por l..- resultando:xy

xdy _ydx = Oxy xy

dy dx---=0y x

ou d (QnL] = O,x,

cuja solução geral é QnL= c. Se QnL é a constante C, a razãoL= eC = K,x x x

também será constante. Logo y = Kx.

N 1, f .este caso - e um ator mtegrante.xy

Es' (x2 + y2 + x) dx + y dy = O

(x2 + y2)dx + xdx + ydy = O =>

=> (x2 + y2)dx = -(xdx + ydy) =>

=> dx = _ xdx + ydy =--=>x2 + y2

{I "=> dx = - d 2" Qn(x2 + y2) J

Page 282: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

: + P (x)y = º (x)

. é chamada equação diferencial de I? ordem linear.As equações lineares de I? ordem ou ordem superior são de grande impor-

tância, pois s.ão aplicadas, na resolução de problemas de eletricidade, mecânica,química, biologia, etc.

Determinação da solução geral

Encontremos a função u = u (x) tal que se multiplicarmos a equação dife-

rencial por u, o segundo membro se tornará :x (uy). Então:

u : + uP(x)y = uQ(x)

Impondo-se a condição, u : +uP(x)y = :x (uy) tem-se:

dy . dy duu - + uP(x)y = u - + Y -dx dx dx

du du .onde uP(x) = dx ou -:ç; = P(x)dx e aSSIm:

Qnu = f P(x)dx I u = eIP(x)dx I CD(não somamos constante de integração pois a mesma será absorvida pela cons-tante fInal).

Mas:X (uy) = uQ(x) ---> d(uy) = uQ(x)dx e por integração obtemos:

ruy = I uQ(x)dx + C ®

"' .

Page 283: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Usando CD e ® obtemos a súlução geral da equação diferencial linearde primeira ordem e primeiro gi·a'.l.

Achar a solução geral das equações diferenciais de pl imeira ordem lineara seguir:

dy 1a) - + ---- Y = cosxcix x+2

I

2b)dy + 2xycix = 2xe-x dx

dy 1a) cix + x + 2 Y = cos x

1P(x) = x + 2

Usando CDu = ef [1/(.x+2)ldx = e2n (.X+2) = X + 2

Assim, conforme @ temos:·

(O

(x + 2)y = j (x + 2)cosxcix + C -->

=> (x + 2)y = J x cosx cix + 2 J cosx dx + C >

. > [(x + 2)y = xsenx + cosx + 2senx + C

Observação: f x cosx cix = x senx + cosx + C (Voi. I) ..,2

b) dy + 2xy cix = 2xe-x cix

dy :-.Temos: cix + 2xy = 2xe-x

r P (x) = 2xlQ (x) = 2xe-x2

u = ef2Xdx = ex2

Page 284: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Como uy = f uQ (x) dx + C @ vem:

É toda equação que assume a forma

dy + P (x)y = ynQ (x)dx

onde n =1= O e 1.

Esta equação se reduz à linear fazendo a transformação z = _1_yn-l

Exemplo: Resolver a equação de Bemoulli:

dy x33x- - 2y =-dx y2

dy 2 x2---y=-dx 3x 3y2

Assim:

dy 2 1 2-2---y=-xydx 3x 3

z = _1_ = y3 ====> _dz = 3y2 _dyy-2-1 dx dx

dy 1 dzdx = 3y2 dx

Substituindo na equação diferencial dada tem-se:

x dz x3-- - 2y =-y2 dx y2

dz 2 3 2- --y = xdx x

I ~ - ~ z = X'! (equação diferencial 1~ ordem linear)

Page 285: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

@1-Z=f_1X2dx+C >..!...- = x + C -->X2 X2 X2

==> Z = X3 + CX2 ou I y3 = X3 + ex2 I

10.3.6 - EQUAÇÕES DI FERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS COMCOEFICIENTES CONSTANTES

Todas as equações da forma:

dny dn-Iy dn-2yao + ai I + a2 2 + ... + anY = Odxn dxn- dxn-

onde ao =1= O, a I, a2, ... , an são constantes, dizem-se equações diferenciais lineareshomogêneas com coeficientes constantes.

Podemos usar a seguinte notação : = Dy, Z = D2y, ... , transformando

(1) em:

(aoDn +aIDn-1 +a2Dn-2 + ... +an)y = O

onde D = :x é chamado operador D que atue sobre y.

Mostra-se que, em geral, a equação (1) pode ser escrita como:

equação característica, A ••••••

I ri =1= r2 =1= r3 =1= ••• =1= rn. Então, sua solução geral é dada por:

y = Clerlx + C2er2x + C3er3x + ... + Cnernx

II a) ri = rz =1= r3 =1= ••• =1= rn• Então, sua solução geral é dada por:

y = Cle'lx + Czxe'zx + C3e'3X + ... + Cne'nx

Page 286: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

b) r1 = r1. = r3 = ... = rn = m. Então:

y = C1emx + C1.xemx + C3x1.emx + ... + Cnxn-1emx

III Se os coeficientes de (1) forem reais e se a + bi for uma raiz complexa,a - bi também o será. Então, a solução geral para n = 2 é:

y = eox (C1 cosbx + C2 senbx)

Exemplos:

E1 Resolver a equação diferencial linear homogênea:

d1.y dy3--14-+ 8y= Odx1. dx

Solução: Podemos escrever a equação dada sob a forma

(3 D1.- 14 D + 8) y = O

ou 3 0 - ~1(D- 4)y= O

cuja solução geral é dada por y = C1e(2/3)X + c1.e4x pois r1 = ~ =1=r1. = 4.

d1.y dy--4-+4y=Odx1. dx

Solução: Podemos escrever a equação dada na forma (D2 - 4D + 4)y = Oou (D - 2)1.y = O cuja solução geral é dada por y = C1e2X + C1.xe2X poisr1 = r2 = 2.

E3 Resolver a equação diferencial linear homogênea

d2y _ 2 dy + 5 y = O

dx2 dx

Solução: Podemos escrever a equação dada na forma

(D2 - 2 D + 5) y = O

cujas raízes são (1 ± 2 i) e sua solução geral é

y = eX (C1 cos 2x + C2 sen 2x)

pois a = 1 e b = 2.

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10.3./ - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGÊNEASDE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES

É toda equação da forma:

d"y dyao dx" + aI dx + ai)J = F(x)

19 MÉTODO DOS COEFlaENTES INDETERMINADOSA solução de uma equação diferencia1linear é dada por Y = Yh + Yp onde

Yh é a solução homogênea e Yp é uma solução particular.Este método é aplicado supondo conhecida a forma da solução particular

yp, a menos de constantes arbitrárias multiplicativas. Estas são calculadas emseguida, levando-se a suposta solução particular na equação diferencial, em análiseatravés da identificação dos respectivos coeficientes.

Formas gerais de yp:

CD Yp = Anxn + An_1xn-1 + ... + Ao

@ Yp = eax (Anxn + An_1xn-1 + ... + Ao)

® yp = eox sen ax(Atxn + ... + Ao) + eax cos ax(Bnxn + ... + Bo)

onde An, An-1, ••• , Ao são coeficientes a determinar.

Exemplos:

Resolver as equações diferenciais seguintes:

d"y dy "- -- - 2y = 5xdx" dx

A equação dada tem solução homogênea:

Yh = Cte-X + C2e"x

A forma de yp deverá ser:

Y = A2x" + A IX + Ao

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Substituamos Y, :' Z na equação diferencial dada

2A2 - (2A2x + Al) - 2(A2x2 + A1x + Ao) = 5x2

ou - 2A2x2 - (2A2 + 2AI)x + (2A2 - AI - 2Ao) = 5 x2

Assim:

(-2A2=5 ~~ ~~-(2A2+2Al)=O > d'de~l2A2 - A I - 2Ao = O

5 2 5 15logo, Yp = - 2" x + 2" x - 4" e, portanto, a solução geral da equação

diferencial deve ser:

v--_/ '"-----v,----/Yh Yp

d2y. d1J-' - - 5 _'J_ + 6y = eX sen xdx2 dx

Esta equação tem solução geral Yh = C1e2X + C2e3X• A solução particulartem a forma geral:

Yp = Aex senx + Bex cosx

Então,

: = Aex cosx + Aex senx - Bex senx + Bex cosx

It = (A - B)eX senx + (A + B)eX cosx I

d2~ = (A - B)eX cosx + (A - B)eX senx - (A + B)eX senx +

dx

+ (A + B)eX cosx

Substituindo Z, : e Y na equação diferencial obtemos:

Page 289: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

-2Bex senx + 2Aex cosx - 5 [(A - B)eX senx ++ (A + B)eX cosx] + 6 (AeX senx + Bex cosx) = eX senx

ou (A + 3B)eX senx + (B - 3A)eX senx

{A + 3B = 1 ===> I A I I e I B :6J

B - 3A = O 10

1 x 3 xlogo, Yp = 10 e senx + 10 e cosx e, portanto, a solução geral da

equação diferencial deve ser:

Y = C1e2X + C2e3X + 1 eX senx + 3 eX cosx10 10

29 VARIAÇÃO DOS PARÂMETROSEste método é mais geral do que o anterior, pois não é necessário supormos

conhecida a forma de Yp, podendo ser aplicado a todas as equações diferenciaislineares. Aqui, daremos o método apenas para as equações diferenciais linearesde segunda ordem.

Método:

Como. vimos, a solução homogênea de uma equação diferencial linear desegunda ordem é dada por

Yh = C1YI (x) + C2Y2 (x).

Uma solução particular para esta equação diferencial tem a forma:

Yp = VtYI + V2Y2

onde VI e V2 são funções de x determinadas resolvendo-seo sistema de equações~ineares:

{V;;'l + V;Y2 = O

v~~ + v;Y; = F(x)

Exemplo: Resolver a equação diferencial linear:

d2y _ dy _ 2Y = 3 e3X

dx2 dx

Solução: Esta equação diferencial tem Yh = C1 e-x + C2 e2X • Resolvendo osistema de equações lineares. Yl Y2

Page 290: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

'.Não somamos constante de integração pelo fato de que estamos interessadosapenas na solução particular.

Substituindo @ em Q), vem:

, -x = _ e3XVle V, - e4X1- -

1 4XVI = - -e e assim:4

10.4 - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DI FERENCIAISLINEARES

As equações diferenciais lineares possuem um campo vasto de aplicações.Daremos a seguir algumas de suas aplicações.

1. Equação Diferencial Linear de 1~ OrdemSupondo t (tempo) variável independente temos:

I a~+x =F(t) I ~Se F (t) = K (constante), a solução geral é dada por x = K + Ce-tla•

As curvas desta solução (Fig. 2) ilustram fenômenos muito comuns, conhecidoscomo decréscimo exponencial, tais como: queda de luminosidade de uma lâmpadaquando se desliga a corrente, resfriamento de um termômetro, perda de rádio etc.A reta x = K representa onde tais sistemas se equilibram.

Page 291: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Se a <O, as soluções crescerão em valor absoluto quando o tempo crescer.Isto acontece também em inúmeros problemas práticos: o crescimento de popu-lação, o crescimento de bactérias, o crescimento de dinheiro a juros compostos, etc.

2. Equação Diferencial Linear de 2~ Ordem2.1~Aplicação à Mecânica

Conforme figura temos:

Fr = - K2x (força de restauração)

Fa = - 2c V = - 2c dxd (força de atrito) (C> O). t

Segundo lei de Newton a força resultante do sistema é dada por FR = ma =d2x

= m dt2 e como FR = F, + Fa + F (t) tem-se:

Page 292: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

d2x dx_2m - = -2c - - K x + F(t)dt2 dt

2.2. Aplicação a Circuitos Elétricos Simples

Em um circuito fechado (Fig. 3) a soma das quedas de tensão que ocorremnos elementos que o formam é igual à força eletromatriz E que o alimenta.

Fig.3.

As quedas de tensão são dadas por:

R • i queda num resistor de resistência R ohms

L ddi queda numa bobina de indutância L henriest .

'2 queda num condensador de capacidade C farads

Assim L ~~ + R • i + ~ = E (t) CDC"d R C L t dq " d2q di -onSl eremos , e cons antes e como -d = I e -2 = dt a expressao

t dtCD fica:

L d2q + R dq +iL= E(t)@I

dt2 dt C

Derivando CD temos:

L d2i + R di + ~ = E' (t) @)

dt2 dt C

Page 293: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

As equações diferenciais @ e @ determinam respectivamente q -= q (t) e i = i (t).

10.5 - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAISÀ BIOLOGIA

A matemática e principalmente as equações diferenciais muito contribuemna compreensão dos fenômenos biológicos. Acreditamos que, com o desenvol-vimento' das pesquisas científicas e tecnológicas, esta contribuição será ainda bemmaior.

Os modelos matemáticos a seguir são bem elementares e valem somente comcertas restrições, pois, caso contrário surgiriam dificuldades que fogem do âmbitodeste livro.

1. Modelo para crescimento de célulasSeja mo a massa inicial de uma célula e m (t) a massa num instante

al S d . dm d '1 1 ' . al'qu quer. e a taxa e crescunento dt a ce u a e proporclon a sua massa a

cada instante, tem-se:

I dm Km Idt

onde K é uma constante positiva de proporcionalidade.Resolvendo esta equação diferencial temos:

_~m_t= Km ==> -a;- = Kdt --> f d: = f Kdt + C1 ==>

====>Qnm = Kt + C1 ====>m = eKt+C1 ====>

Mas para t = O --> m = mo e assim:

mo = CeK-o===="> C = mo

e portanto

[ m = moeKt I (crescimento exponencial)

Observação: É claro que após certo tempo o crescimento se limitará, poisa célula se divide.

Page 294: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

2. Modelo para nascimento e morteSeja N = N (t) o número de indivíduos de uma população animal ou vegetal.

Esta função N (t) assume somente valores inteiros não sendo, por isso contínua.Porém se tomarmos a população com número de indivíduos suficientementegrande N (t) pode ser tomada como contínua e diferenciável.

Em um intervalo de tempo 6. t temos:

'Tamanho da população _ tamanho da populaçãoexistente - de nascimentos

tamanho da populaçãode mortes

6.N = DoP _ DoQ6.t 6.t Dot

I" DoN I" 6.P1m-=lm-

/::,.t-+o Dot /::"t-+oDot 1. DoQ1m--

/::,.t-+o Dot

dN = dP _dQ CDdt dt dt

(onde P(t) e Q(t) são consideradas contínuas e diferenciáveis).Concluímos que a taxa de variação da população é igual à taxa de nasci-

mentos menos a taxa de morte.Supondo que as taxas de nascimento e morte são proporcionais ao número

de indivíduos N (t) temos:

onde K 1 e K2 são constantes de propOicionalidade.

Substituindo estes valores em CD tem-se:

I ~ = (K1 - Kz)N I

Page 295: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

se K1 > K2 a população cresce

se K 1 = K2 a população permanece constante

se K 1 < K2 a população diminui

Este modelo se chama não-estocástico pois não leva em consideração flu-tuações aleatórias.

3. Modelo de crescimento sazonal

A equação diferencial : = rN(t) cos t, onde r > O, pode ser interpretado

como um modelo de crescimento sazonal. Quando t cresce, a taxa : é alterna-

damente positiva e negativa e conseqüentemente a população N(t) cresce edecresce. Isto pode acontecer, por exemplo, na alimentação.

Resolução desta equação diferencial

: = rN(t) cos t (equação diferencial linear de Iª, ordem em N)

dNdt - r costN(t) = O

e-rrent N(t) = C => N(t) = Cerrent

para t = O > I N(O) = C I e portanto

I N(t) = N(O)errent I

I••••

Page 296: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f,. 7T 57T 97T

maXImo em .2' T' .2 ....apresenta:

l ,. 37T 77T 117Tmll1lmO em 2' 2' ~ ....,

Neste modelo a população oscila entre N(O)e-r e N(O)er com período 2Ti'.

Os tempos t = O. 27T, 47T .•.• podem ser interpretados como pontos médiosdas estações de maior disponibilidade de alimentos (verão) e t = 7T. 3 7T. 511 •...

pontos médios das estações de maior carência de alimentos (inverno). O compri-mento do ano é 27T unidades de h'mpo.

4. Alimen fação de glicose illfrarenosa

A infusão de glicosc no sangue é uma importante técnica médica. Se ainfusão da glicosc é fcita a uma taxa constante K gramas por minuto e sendo Q(t)a quantidade dc glicosc no sangue do paciente no instante t tem-se:

r--.-····.---3I dQ = K - aQ .! c/tL ....__.._

onde a glicose é convertida e removida do sangue à taxa proporcional à quantidadede glicose presente c a. uma constante positiva.

Resolução:

. -'."C:"_7.> Q (t) = l\. + Ce-ara

r--

n(o) = l\. + (' ..-,-. I (' - Q(O)- .__...> - -:.:: a

l\. rQU) = -; + lQ(O)

--l\.-] '--:l.- - e I

a II

Page 297: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

/\.Com t crescendo Q (t) se aproxima d~ - (ponto de equil íbrio da glicosea

no sangue) pois [ Q (O) - ~ ] e-ar se aproxima de zero.

5. Modelo para propagação de infecção

Consideremos uma população de indivíduos igüalmente suscetlvels. Nesta.popuiação introduzimos um indivíduo infectante. Através do contato a doençase espalhará lentamente no início e depoIs o processo se acelerará até sc nivelar onúmerO de indivíduos suscetíveis e infectantes.

Considerando que o indivíduo infectante assim permaneccrá durante oprocesso c nenhum indivíduo será removido tem-se:

onde j = 1(t) é o número de indivíduos infectados. S =--= S (I) o número de indi-víduos suscetíveis e 11 o tamanho da população.

Supondo I (t) e S (t) cont ínuas. diferenciáveis c dI proporcional a jc/r

dI = KIS (K é constante positiva)dt

Como I + S = 11 + 1, d/I = K1(n +((

~~~~~~~~- ~ dI J (equação diferencial de variáveis separáveis) CDResolução:

___ l.__ _ = _A + __ B _ A (1__- Jl - 1) + BI _J (1- II -- 1) 1 1- 11 - - 1(1 - 11 - 1) -

(A + B)I + (-11 .- I)A= - -------,-----I(1-n-l)

A + B = O :=---=--'> I B = -.A IL- .. _

(-n - l)A = I ==> I A = - 1 I111+ 1IL.--- __

11 (I -- 11 - 1)

___1_ + 11 (11 + 1) (1 - n - 1)(11 + 1)

= (1 - }~-- 1 - ~) (11 ~ l~

Page 298: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Desse modo, podemos escrever a equação CD sob a forma

1 (1 1)n + 1 1- n - 1 - T dI = - K dt

n ~ 1 [f I - ~ - 1 - J f] = f -Kdt + C,

1 ( Qn (1- n - 1) - Qn 1] = - Kt + C1n + 1

(1- n - 1)Qn 1 = - K (n + 1) t + C2

1- n - 1 = e-K(n+l)t+C21

n + 1 = 1 + Ce-K (n+ I) t1

1= n+11 + Ce-K(n+l)t

Como para t = O > 1 (O) = 1 tem-se:

1 = ~ ~ ~ > I C = n ·1

1= n+11 + ne-K(n+ 1) t

o processo de infecção começa lentamente, é mais rápido no ponto de

inflexão da curva (~:; = O) e finalmente diminui. Este processo da propagação

da infecção segue a lei chamada logística a qual é conhecida como y =

- 1 + :e-ÀBt onde y = y (t) é o número de indivíduos em uma população

no instante t.Achemos o ponto de inflexâo.

Page 299: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

n+l2

. dIComo dt = Kl (n + 1 - f) tem-se:

d2I [( dI) dI ]- = K I - - + (n + 1 - f) -

dt2 dt dt

K ~ [-I + (n + I - f)] = O

n + 1 - 21 = O

I=n+l2

Concluímos então que o processo de infecção é mais rápido quando I = n ; 1

6. Modelo de espécies competitivas

Sejam x (t) e y (t) populações de espécies em um mesmo ambiente. Osistema linear homogêneo

dy = mx + ny@Idt

descreve a influência de populações de duas espécies competitivas em seu cresci-mento.

Resolução deste sistema linear

d2x = a dx + b dy =>

dt2 dt dt

d2x dx--> - = a - + b (mx + ny)

dt2 dt

Page 300: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Mas conforme CD y = ~ (: - ax) e assim

d2x dx [ 1(dx ) ]- = a - + bmx + bn - - - ax

dt2 dt b dt

d2x dx dx- = a - + bmx + n - - anxdt2 dt dt

d2x (+) dx + ( b) O (equação diferencial linear de--a n- an-mx=dt2 dt 2:i}. ordem homogênea)

Conforme vimos neste capítulo, esta equação diferencial apresenta solução,conforme as raízes da sua equação característica sejam reais e distintas, reais e

iguai~ ou imaginárias. Após termos encontrado x (t), a substituimos em CD para

encontrar y (t). Vejamos um exemplo para melhor compreensão.

Exemplo: Dado o sistema linear homogêneo, encontrar a população de ambasespécies nos tempos futuros onde x (O) = 200 e y (O) = 400

dx = 4x - y tí'dt \V

d; = -x + 4y ®

De CD vem

d2x dx dy dxdt2 = 4 dt - dt = 4 dt - (- x + 4 y) >

-> ~::= 4 : + x - 4 (4X - :)~

y

d2x _ 8 dx + 15x = O (equaç~o diferencial linear de 2éJ ordemdt2 dt homogenea)

Sua equação característica possui raízes 3 e 5 (ver seção 10.3.6 destecapítulo).

Assim, sua solução geral é dada por

Page 301: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

dxComo y (t) = 4x - dt tem-se

yJt) = 4 C1e3t + 4 C2est - 3 C1e3t - 5 C2est

ou I y (t) = C1e3l - C2est

Como x (O) = 200 e y (O) = 400 tem-se

{

200 = C1 + C, I I-> C1 = 300

400 = C1·- C2

A solução geral fica

x (t) = 300e3t - 100est

I C2 = -100

Y (t) = 300e3t + 100est

A primeira espécie se findará quando x (t) = O ou 300 e3t - 100 est = O

ou 3 - e2t = O ou e2t = 3 ou t = Q~ 3 ::::0,549, isto é, se findará quando

t = 0,549 unidade de tempo.Após este instante a segunda espécie y (t) continuará crescendo de acordo

com a equação @ tendo x (t) = O ou seja d; = 4y cuja solução damos a

seguir:

dy = 4y -> dy = 4dt =--=-_-_>Qny = 4t + C1 ====> Y = Ce4tdt y

Como para t = to, Y (t) = Y (to) tem-se

y (to) = Ce4to

onde C = y (to)e-4to e assim

y (t) = y (to) e-4toe4t

ou I y (t) = Y (to)e4U-tO) I (solução geral)

Esta solução com to '" 0,549 e y (to) = 300e3to + 100esto dá o desenvol-vimento da 2~ espécie, após a extinção da primeira espécie.

Resolva os problemas propostos de PP22 a PP2S•

Page 302: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

- di&' . 1 d2y 5 dy + 6 xequaçao lerenCla d:x2 - d:x Y = e senx.

Temos:

: = 2 C1e2X + 3 C2e3X + /0 eX cosx + 110eX senx -

3 x 3 x- 10 e sen x + 10 e cos x

dy = 2 C1e2X + 3 C e3X + 2 eX cosx _1.. eX senxd:x 255

d7 2 1d:x2 = 4 C1e2X + 9 C2e3X

- 5 eX senx - 5 eX cosx

1 x 2 x- 5" e sen x + 5e cos x

d2y 3 1-- = 4C1e2X + 9 C2e3X x + xd:x2 - "5 e senx 5 e cosx

Substituindo na equação diferencial tem-se:3 1

19 membro = (4C1e2X + 9C2e3X -Sexsenx +Sexcosx)-

- (lOC1e2X + 15 C2e3X + 2ex cosx - eX senx) +

+ (6 C e2X + 6 C e3X + ~ eX senx + .!.ª- eX cosx) =1 2 10 10

= (- ~ + 1 + to)eX sen x + (~ - 2 + 1~) eX cos x =

PR2 Ache uma solução particular da equação diferencial : = cosx satisfa-

zendo à condição inicial y = 2 para x = ;.

Solução:

dy = cosx => dy = cosxd:xd:x

Page 303: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

1r2 = sen - + C2 2=1+C==>IC=11

I y = 1 + senx I

PR3 A-ehe uma solução particular da equação diferencial d2.~ = 2 satisfazendodx

às condições de fronteira y = 1 para x = O e y = 3 para x = 2.

Solução:

-~-~ = 2 ===> :x (:) = 2

para y = 1 e x = O ====> I C2.= 1 Ipara y = 3 e x = 2 => 3 = 4 + 2 C1 + 1-->"~ -1 I

I y = x2. - x + 1 I

a) eY (1 + x2)dy - 2x(1 + eY)dx = O

Separando as variáveis temos:

eY dy _ 2 x dx _ O1 + eY 1 + x2

Page 304: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

f _2_X_2 dx = C11 + x

J dO + eY) _ Jd(l + x2) = C

1 + eY 1 + X2 1

Qn 1 + eY = C

1 + x2 1

1 + eY--=C1 + x2

b) X2(y2 + l)dx + 2y .Jx3 + 3 dy = O

x2

dx + 2y dy = O.J x3 + 3 y2 + 1

~#+3 + Qn(y2+ 1)=C1

ou 8 x3 + 3 + Qn (y2 + 1)3 = C IPRs Resolva as equações diferenciais de 1~ ordem homogêneas:

a) x dy = y + .J y2 - x2dx

Page 305: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

L= v . >y = vx > dy = v cix + x dv ====>X

>lt=v+x~I®Igualando CD com @ tem-se:

v +J V2 - 1 = v + x : =>

~ - .jv~v_ 1 > f ~ = f .jv~v_ 1+C,-->

-> ~nx = ~n(v + ..JV2 - 1) + C1 ->

v + JV2 - 1> ~n ----- = C2 - >x

=> v + ..J V2 - 1 = Cx =---~->

=> Y + ..J y2 - x2 = CX2 ==~>2 Cy = C2X2 + 1

b) (x sen y - y cos y) cix + x cosL dy = Ox x x

y y ydy_xsen- - ycos- + xcos- - - Ox x xcix

y yycos- - xsen-dy = x xcix xcosL

x

y y y- cos- - sen-dy = x x xdx cosL

x

rj'\ (dividiu-se todos os termos\.!:.) do 29 membro por x)

Page 306: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Como vemos é homogênea pois : = F~~).Fazendo a transformação

@Substituindo @ em CD e igualando a @ tem-se:

_v_co_s_v_-_s_e_n_v= v + x _dv_cosv dx

sen v dv---=x-cosv dx

dx- = -cotgvdvx

f ~ = - f cotgvdv + C1 --->

> Qnx = -Qnsenv + C1 ====>Qn(xse~v) = C1-->

PR6 Resolva a equação diferencial

(x3 - 3 xy2 + 2)dx - (3x2y - y2)dy = O

Esta equação diferencial é exata pois:

aMM(x,y) = x

3- 3xy2 + 2 > ay = -6xy [[]]

==> aM = aNaN ay ax

N(x,y) = -3x2y + y2 ===='> ax = -6xy

au = M(x,y) = x3 - 3xy2 + 2. Integrando em relação a x ==>axx4 x2 au=> u =- - 3-y2 + 2x + f(y) ===> -a =- 3x2y + ['(y)4 2 y

Page 307: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Mas ~~ = N(x, y) então -3x2y + t' (y) = -3x2y + y2 ou t' (y) = y2

3e assim f(y) = ~ . Logo

====> d(_x_4

_ i X2y2 + 2x + y3) = O423

PR7 Resolva a equação diferencial:

2xy Qnydx + (x2 + y2 Vy2 + l)dy = O

aMM (x, y) = 2xy Qny ==> ay = 2x (1 + Qny)

====>N(x,y) = x2 + y2 .Jy2 + 1==> _aN_= 2xax

aM =1= aN (-' )=> ay ax nao e exata

aM aNay - ãX 2x + 2x Qny - 2x 1

M = 2xyQny =y

F.I. = e-Idy/y = e-2ny _ 1y

1Se multiplicarmos a equação dada por - elay

2x~nyd< +(~2 + y Vy2 + l)dY = O

Page 308: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

aM xM(x,y) = 2xQny => -a· = 2-

Y Y=>

x2 --- aNN (x, y) = - + Y .Jy2 + 1 ===.> - = 2 ~

Y ax y

aM aN,=------> - = - (e exata)ay axaax u(x,y) = 2xQny => u = x2Qny + t(y) =>

au x2

>ay =y + ['(y) = N(x,y) -->

x2 x2===> - + ['(y) =- + Y .Jy2 + 1 >y y

====> t' (y) = y ...;y2 + 1 >

=> t(y) = J y ...;y2 + 1 dy ===>

> t(y) = ~ (y2 + 1) .Jy2 + 1

onde u (x, y) = x2 Qny + t (y2· + 1) .Jy2 + 1 e como du = O

I x2Rny +t(y2 + 1) y'y2+ 1 = C I

a) (x + l)dy - (2y + (x + 1)4]dx = O

Multiplicando esta equação toda por (x +11)dx tem-se:

dy _ [ 2y + (x + 1)4] = O oudx x+1

dl) 2_"/ - -- Y = (x + 1)3dx x + 1

Page 309: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

aM xM(x,y) = 2xQny => -a· = 2-

Y Y=>

x2 --- aNN (x, y) = - + Y .J y2 + 1 ==='> - = 2 ~y ax y

aM aN,=------> - = - (e exata)

ay ax

aax u(x,y) = 2xQny => u = x2Qny + f(y) =>

au x2I

> ay = y + f (y) = N (x, y) >

x2 x2===>- + t' (y) = - + Y .J y2 + 1 ->

Y Y__ >['(y)=y.vy2+1 >

=> f(y) = f y Jy2 + 1 dy ===>

onde u (x, y) = x2 Qny +t (y2' + 1) J y2 + 1 e como du = O

I x2 Rny +t (y2 + I) -fy2 + I = C I

PRs Resolver as equações diferenciais de 1~ ordem linear:

a) (x + l)dy - (2y + (x + 1)4]dx = O

Multiplicando esta equação toda por (x +11)dx tem-se:

dy _ [ 2y + (x + 1)4] = O oudx x+1

d1J 2_'.T Y = (x + 1)3dx x + 1

Page 310: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

!P(X) - - x 11Q (x) = (x + 1)3 ===">

u = e-2! dx/(x +1) = e-22n(x + 1) = 1(x + 1)2

(x 11)2 y = f (X 11)' (x + 1)3dx + C ->

IY X

2 I---=-+X+C__ > (X + 1)2 2

b) (2 + y2)dx - (xy + 2y + y3)dy = O

Esta equação diferencial é linear considerando x como função de y.

Multiplicando-a por 1 2 tem-se:(2 + Y )dy

dx _ (xy + 2 y + y3) = O I dx y Idy 2 + y2 ou di - 2 + y2 x = Y

e como ux = f uQ(y)dy + C resulta

1 x_r 1 d+C.J 2 + y2 - J J 2 + y2 Y Y ou

x = J2 + y2 + C..J 2 + y2

ou I x = 2 + y2 + C ..j 2 +y2

L di + R • i = E sen 2 tdt

onde L, R, E são constantes e i = O para t = O.A equação dada pode ser escrita assim:

Page 311: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

di R E- + - i = - sen 2 tdt L L

P(t) = ~=> U = e fP(t)dt = ef(R/L)dt = eRt/L

EQ (t) =T sen 2 t

e como u • i = f u Q(t)dt + C temos:

eRt/Li = f e Rt/L 1sen 2 tdt + C >

e R t/L ( R sen 2t - 2 cos 2 t)eR t/L i = E L + C ou

L R2 '-+4L2

i = E (R sen2t - 2L cos 2t) + Ce-Rt/LR2 + 4L2

A constante C pode aqui ser determinada pois é dada uma condição iniciali = O para t = O. Assim:

EO = R2 + 4 L 2 [R sen (2 • O) - 2 L cos (2 • O)] + C

C= 2ELR2 + 4L2

i = 2 E 2 (R sen 2t - 2L cos 2t + 2Le-Rt/L)R + 4L

ddxY + 1.y = y2 Qn (equação de Bernoulli)x x

Page 312: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

J.. dy + _1 = Qnx CDy2 dx xy x

Fazendo a transformação z =.l temos:y

dz - 1 dy dy 2 dz-- - --------> - = - y -dx y2 dx dx dx

e Iassim CD fica

_1 (_y2 dZ) +..!..z = Qnx ouy2 \ dx x x

dz 1 Qnx---z=---dx x x

1P(x) = --

x=====> u = ef(-lIx)dx =.l

Qnx xQ(x) =--

x

Ver resoluçãoVolume I, pág. 235

~

!-= - f Qnx dx + C oux x2 1

I Y = I + exl+ Qnx I í

Utilizando O operador D podemos escrever a equação dada na forma

(D3 - 4 D2 + D + 6) y = Oou (D + l)(D - 2XD - 3)y = O

Page 313: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

As raízes da equação característica são - 1, 2 e 3.Como as raízes são distintas, temos:

I y = C1e-x + C2e2X + C3e3X I

PR12 Resolver a equação diferencial

. d4y _ 4 d

3y _ 5 d

2y + 36 dy _ 36 = O

d:x4 d:x3 d:x2 d:x Y

Esta equação pode ser escrita na forma:

(D4 - 4D3 - 5 D2 + 36D - 36)y = O

ou (D - 2)2(D - 3)(D + 3)y = O

As raízes da equação característica são: 2 (raiz dupla), - 3 e 3. Logo,

I y = C1e-3X + C~e3X + c3éx + C4xe2X

PR 13 Resolva a equação diferencial

(D3 - 6 D2 + 12 D - 8) y = O

A raiz da equação característica é 2, porém com multiplicidade 3. Logo,

I y= C1e2X + C2xe

2X + C3x2

e2X I

PR14 Resolva a equação diferencial:

d3y _ d

2y + 9 dy _ 9 y = O

dx3 d:x2 dx

Solução:

(D3 - D2 + 9 D - 9) y = O (D - 1)(D2 + 9)y = O

As raízes da equação característica são 1 e ± 3 i. Logo,

I y = C1eX + C2 cos 3 x + C3 sen 3 x I

PR1S Uma barra de metal à temperatura de 60°C foi colocada em uma sala comtemperatura constante e igual a 5°C. Após 10 minutos mediu-se a tempe-ratura da barra acusando 40°C. Pergunta-se:

Page 314: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a) qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10°C?b) qual a temperatura da barra após 22 minutos?

Solução: A lei de Newton para variação da temperatura diz:

"a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferençade temperatura entre o corpo e o meio ambiente".

T a temperatura do corpo

Tm a temperatura do meio ambiente

~~ a taxa de variação da temperatura do corpo

onde (T - Tm) > O e K é uma constante de proporcionalidade, positiva.

O sinal negativo na frente de K aparece a fim de tornar ~~ negativa· em um

processo de resfriamento.

A expressão ® pode ser escrita assim:

I dT +KT=KT. dt m

T = Tm + Ce-Kt IAssim, T = 5 + Ce-Kt.

a) para T = 60°C, t = O segue-se que

60 = 5 + Ce-K•o ==> I C = 55° Ipara t = 10 minutos, T = 40° C onde

40 = 5 + 55 e-lOK ====> 35 = 55 e-1oK => K = 0,0451

e assim T = 5 + 55 e-O,045lt • Quando T = 100e tem-se:

10 = 5 + 55 e-O,0451t ====>.\ t == 53 minutos I

Page 315: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

T = 5 + 55 e-O,0451 <22 ====> I T == 25,4°C I

PR16 Uma certa cidade tem crescimento populacional a uma taxa proporcionalao número de habitantes existentes. Após 20 anos sua população triplicae após 6 anos é de 80.000 habitantes. Determine:

a) A população inicial,b) A população após 50 anos.

Solução: Seja 1'1 a população no instante t,No a população inicial e ~ a taxa

populacional. Assim,

dN dNdt = KN --> 1'1 = K dt >

> QnN = K t + C1 ====> I 1'1 = Ce K t I

a) para t = O ====> 1'1 = No > I No = C 1-> 1'1 = Noe Kt

para t = 20 ====> 1'1 = 31'10==>: 31'10 = Noe20K. >

--> e20K = 3 ====>_1K = 0,0549 Ipara t = 6 ====> 1'1 = 80.000 ==> 80.000 = Noeo,054906 >

====> i No == 57.548 habitantes I

PR17 Um corpo de 64 Newtons de peso cai de uma altura de 400 metros comvelocidade inicial de 5 m/sego Supondo a resistência do ar proporcional àvelocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite é de 140 m/segdetermine:

a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t.b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t.c) A posição do corpo após 3 segundos.

Page 316: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Solução:a)

Consideremos a massa e a gravidade constantes.

Conforme lei de Newton F = m c:;; (F é a força resultante que atua

sobre o corpo).Duas forças atuam no corpo: a força de atrito e a força peso. Assim:

F = Fa + P

e como Fa = - Kv e P = mg =->

dv .=> m dt = -Kv + mg >

dv dv + Kv __ g==">m - + Kv = mg =>dt dt m

I v =~ + Ce-Kt1m I

onde Vi = ~ é a velocidade limite do corpo para K > O.

Para P = 64N - >mg = 64 => I m = 6,53 kg I

Vi = 140 m/seg => "Jt = 140 ====>I K = 0,4571 I

Page 317: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Para t = O => V = 5 m/seg => 5 = 140 + C =>-->- C = - 135.

Logo a expressão procurada é:

I v = 140 - 135 e-O,o7t I

b) Como dy = v ---> dy = 140 - 135e-o,o7t oudt dt

dy = 140dt - 135 e-o,o7tdt

I y = 140 t + 1.928,57 e-O,o7t + C Ipara t = O -> y = O=> O = 140 o O + 1.928,57 e-O,07°0 +

+C

I y = 140 t + 1.928,57 e-O,o7t - 1.928 57l expressão .da posição do. ' _. corpo no mstante t

c) Após 3 segundos, temos

y = 140 o 3 + 1.928,57 e-O,07°3 - 1.928,57

onde y = 54,7 metros.

- PR 18 Um circuito RL tem força eletromatriz de· 10 volts, uma resistência de 5 ne indutância de 10 henrys. Determine a corrente no circuito no instantet = 3 segundos, sendo a corrente inicial nula.

Solução:

di di R. EE = Ri + L -====>-- + -[ =-=>dt dt L L

I· EL + C -Rt/L I=> l = li e solução geral

O O C EL .Como i = para t = -> = - R e aSSIm

. EL EL -Rt/L --> Iz. = É:-R'L(1 _ e-Rt/L)z=-R---R-e --.

Page 318: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

i = 10 ~ 10 (1 _ e-S-3IlO) => I i == 15,5 Ampêres

PR19 Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quanti-dade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas eapós duas horas perde-se 9% da massa original. Determine:

a) A massa restante após 12 horas.b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade

(half-life ).I

Solução: Seja N a quantidade de substância presente no instante t e comoa substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente tem-se:

dN dNdt=KN >/i=Kdt>QnN=Kt+C1-->

===-=>.\ N = CeKr[

para t = O => N = 80 ====>.80 = CeK-o ====>I C = 80 I

Assim I N = 80eKt I

para t = 2 h· - --> N = 72,8 miligramas ====> 72,8 = 80 e2K =>

===> ~ = -0,0471

a) para t = 12 horas tem-se:

N = 80 e-O,047-12 -> I N = 45,5 miligramas Ib) para N = 8

20= 40 miligramas tem-se:

40 = 80 e-O,047t => e-O,o47t = 0,5 ====>

QnO,5==:> -0,047 t = Qn 0,5 -->. t = 0,047

====> I t == 14,7 horas IPR20 Uma viga horizont3.l possui comprimento igual a 4 Q e está livremente supor-

tada por suas extremidades. Achar a equação da curva elástica e a deflexãomáxima da viga sendo a carga w kg por unidade de comprimento.

Page 319: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

ox=oy=o- R----1 x = 41y=o

2 wl

1--x-2

As forças externas que agem no segmento OP são:

a) A reação do apoio em O, a x metros de P, e igual à metade da carga,isto é, 2 wQ.

b) Uma força, orientada para baixo, de wx kg, admitida como concentrada

no meio de OP e, assim, a ; x metros de P.

Da mecânica temos:

E = módulo da elasticidade do material da viga

I = momento de inércia da seção transversal

R = raio de curvatux:a da curva elástica, no ponto P

M = momento fletor em P

Mas M = 2w/x - wx ; x = 2w/x'- ; wx2 e assim:

Integrando CD temos:

EI *= wlx2

- ~ + C, I®Como no meio da viga x = 21 e : = O, tem-se:

El' O = wl(21)2 _ w(21)3+ C1--> C1 = __8 w136 -- 3

e a @ fica:

Page 320: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Integrando @ temos:

wl 3 w 4 8 3EI Y = - x - - x - - wl x + C23 24 3

e a expressão ® fica:

wl 3 w 4 8 3EI y = 3" x - 24 x - 3" wl x

I y = z.fu (8lx3- x' - 64Z3x) I @)

A deflexão ou afundamento da viga em um ponto qualquer, distante x uni-dades de O, é dada por - y, sendo que a. deflexão máxima ocorre no meio

(x = 2l) e, conforme ®' temos:

w J4 4 4 80 w14 10 w14

-Ymáx = - 24EI(64t - 161 - 1281 ) = 24EI = 3EI

PR21 Uma viga horizontal engastada em uma extremidade e com a outra embalanço, está sujeita a uma carga uniformemente distribuída de w kg porunidade de comprimento. Ache a curva elástica e a deflexão máxima.

1-(1- x)2

dy = Od.x

Page 321: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Seja P (x, y) um ponto qualquer da curva.A única força agindo é a carga w (l - x) no me.lOde PR.Então,

M = -w(l- x).!..(l- x) = _.!..w(z- X)22 2

d2y 1e EI dx2 = -"2 w (l - X)2. Integrando esta expressão >

Eldy 1 ( 3- = - w Z - x) + C1dx 6 CDComo em O x = O e : = O temos:

1 3 C 1 3EI • O = 6" w (l - O) + C1 ==>: 1 = - 6" wl

A CD toma a forma

dv 1 1 ®EI ::::L. = - W (l - X)3 - - wz3 IIdx 6 6

Integrando a@==">

==>·1 Ely = - ~ w(l- X)4 -tWl3x +C21@)

e a @ fica

Ely = - _1 w(l - xt _ .!.."wI3x + _1 wZ4" ~ 6 ~

ou I y = 2iirr [-(I - X)4 - 4l"x + 1411 "curva elástica"

_Y' =- w [-(1-1)4-4-[3-1+14]=max 24EI

W wZ4

- - 24 EI (- 314) = 8 EI

Page 322: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

A equação diferencial é

O08 ~ + 20 E9.. + q = 11O, dt2 dt 80 X 10-6

~~ + 250 ~ + 156.250q = 1.375 CDSolução homogênea

(D2 + 250D + 156.250)q = O

[D - (-125 + 375 z)][D - (-125 - 375 z)]q = O

I qh = e-12st (C1 cos 375 t + C2 sen 375 t) I (solução homogênea)

Solução particular

q = A > dq = O > d2q = O

dt . dt2

Logo, substituindo em Q), tem-se:

O + 250 • O + 156.250A = 1.375 > A = 0,0088

I qp = 0,0088 (solução particular) IComo q = qh + qp >

==> q = e-12st (C1 cos 375 t + C2 sen 375 t) + 0,0088 ®(solução geral)

Page 323: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Como q = O e i = O, para t = O, vem

® ==> C1 = -0,0088

@ ---> 375 C2 - 125 C1 = 0=> C2 '" -0,003

q = e-125t (- 0,0088 cos 375 t - 0,003 sen 375 t) + 0,0088

I i = e-125t (3,675 sen 375 t - 0,025 cos 375 t I

a) (d3y)2 + 4 dy _ 2 = Odx3 dx

b) (dy)3 + 3 d2y - 4 Y = 6

dx dx2

c) j: + y = 5y2

PP2 Mostre que:

a) y = C1 COS 2x + C2 sen 2x + senx é solução de d2~ + 4 y = 3 senxdx

) x 2X C -x' 1 - d d3y 2 dy2 dy + 2 Ob Y = Cle + C2e + 3e e souçao e - - - -- y =

dx3 dx2 dx

c) Y = xe2X + eX é solução de d2

y _ 4 dy + 4 Y = eX

dx2 dx

d) y = C, + C2x - seu (x + Ci) é solução de (~;J+(a;;.y = I

Page 324: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a) dy = e3X - 4xdx

b) d3y = O

dx3

1Resp.: a)y =3ej~ - 2x2 + C

x2

b) y . Cl2" + C2x + C3

PP4 Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis:

a) (l + y2)dx + (1 + x2)dy = O

b) (1 + y2)dx - xdy = O

c) x .J 1 + y2 + Y !!:l... .J 1 + x2 = Odx

Resp. : -vi 1 + x2 + .J 1 + y2 = C

d) cos x vi 4 - y2 dx + Y vi 1 + sen x dy = O

Resp.: 2 -vi 1 + senx - -vi 4 - y2 = C

e) (3x + 1)2dy + dx = O(2y2 + 5)y

8Resp.: 3(2y2 + 5)2 - 3x + 1 = C

Resp.: (2x - l)e2X- 4e-Y = C

dxg) - = eX cosy

dy

Resp.: y = arcsen (C - e-X)

Page 325: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

h) ...;2xy dy = dx

PP5 Resolva as equações diferenciais de 1~ ordem homogêneas.

a) 4x - 3y + ~ (2y - 3x) = O

Resp.: y2 - 3xy + 2x2 = C

b) x dy = y + ..J y2 - x2dx

c) dy = 2xydx 3x2 _ y2

Resp.: y2 = x2 - Cx

e) xdy - ydx = xeY/xdx

Resp.: e-Y/x + Qn x = C

Resp.: )'2 = _x2 (1 + 1 )Qn Cx2

g) x cos.l. (ydx + xdy) = y sen y (xdy - ydx)x x

Resp.: xy cosL = Cx

PP6 Verifique se as equações diferenciais propostas são exatas. Em caso atir-mativo, resolva-as.

Page 326: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

c) (eX + 2y)dx + (4eY + 2x)dy = o

Resp.: eX + 2xy + 4eY = C

d) (3x2y - 4 ~nx)dx + (x3 - ~ny)dy = O

, Resp.: x3y - 4x ~nx - y(~ny) + y + 4x = C

e) _dy= _2_+_y_e_x_y_

dx 2y - xexy

Resp.: 2x + eYx - y2 = C

g) Lx cos (x + y) + sen (x + y)] dx + x cos (x + y) dy = O

Resp.: x sen (x + y) = C

PP7 Resolva as equações propostas usando um fator integrante conveniente.

a) xdy - ydx + x3dx = O

Resp.: 2y + x3 = Cx

b) (x2 + x - y)dx + xdy = O

c) (x + y2)dx - 2xydy = O

Resp.: x = CeYz/x

Page 327: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

d) (x + 3y) dx + x dy = C

a) dy + 8y = eXdx

Resp' Y =1.eX + Ce-8X.. 9

_X2 ..,Resp.: y = Ce + x~ - 1

dv 1c).::L. + -- Y = cosxdx x+l

Resp.: (x + l)y = (x + 1) senx + cosx + C

d) (sen2x - y)dx - tgxdy = O

e) (y2 - l)dx + (y3 - Y + 2x)dy = O

f) tg x ~ +y = sec x

g) (y2 + l)dx + (2xy + l)dy = O

C-yResp.: x =--1 +y2

h)~ + Y cotgx = 5eoosxdx

Page 328: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

a) 2 dy + 4xy + xy3 = Odx

1 1 2Resp.: "2 = -"4 + Ce2X

y

dv 1 1b).=L + - Y = - (1 - 4x) y6dx 5 5

Resp.: ~ = -4x - 3 + Cexy5

.c) y2 : - xy3 - X = O

Resp.: y3 = -1 + Ce(312)X2

dx x 3 Od) 2 - - - + x .cosy =dy Y

PP10 A.che uma solução parti.cular para as equações diferen.ciais propostas, .con-forme 'as .condições dadas:

a) t J 2 02 + 4 dt + O .J t2 + 5 dO = O (O = O para t = 2)

Resp.: 2.J t2 + 5 + J 2 02 + 4 = 8

b) (x + 3)3dy + (x + 3)2ydx = dx (y = 2 para x . 1)

1 33Resp.: y = - 2 + 4 ( + 3)(x + 3) x

.c) (x2 - xy)dy = (y2 - yx)dx (y = 2 para x = 3)

d)Z = 2x [f'(2) = 3, ['(1) = 2,[(0) = -2]

Page 329: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

e) 3xydx + x2dy = -2xdx (y = 1 para x = -1)

2 5Resp· y,v3 + - x3 + - = O.. ..•. 3 3

PP 11 Resolva as equações diferenciais lineares de 2~ ordem homogêneas (coe-ficientes constantes).

a) d2y + dy _ 12y = O

dx2 dx

d2y dyc) - - 4 - - 6y = Odx2 dx

d3y d'2y dyd) - - 6 - + 12 - - 8y = O

dx3 dx2 dx

d2y dye)3--2--5y=0dx2 dx

f) d4y _ 10 d

3y + 36 d2y _ 54 El.. + 27y = O

dx4 dx3 dx2 dx

Resp.: y = e2X (C1cos2x + C2sen 2x)

Page 330: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

h) d2y + 2 !JE. + 3y = O

dx2 dx

PP13 Resolva as equações diferenciais de 2~ ordem lineares (coeficientes cons-tantes) não homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar: .

a) d2y _ 2 dy + y = x3

dx2 d:x

( ) Kx eX

Resp.: y = C1 + C2x e + , 2(K - 1)

d2y dyc) - - 4 - + 3Y = cosxdx2 d:x

d2d) 2 ~ + y = 2 (x2 + x + 1)

Resp.: y = 2r + 2x - 6 + c,cos(V; x)+ c2sen(V; ~

Page 331: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

d2 de) ---2. - 2 2 + 2y = x2eXdx2 dx

d2 d1) ~ + 2 ~ + 2y = x2 + senxdx2 dx

PP14 Idem, pelo método "VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS"

a) d2y _ dy _ 2y = 5x2

dx2 dx

Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de 120°C em um ambientecuja temperatura é constante e vale 8°C. Após 30 minutos mediu-se atemperatura da barra encontrando o valor de 70°C. Pergunta-se:

a) qual o tempo para a barra atingir a temperatura de 65°C?b) após 50 minutos qual a temperatura da barra?

Resp.: a) 34 minutos aproximadamenteb) 49,8°C aproximadamente.

Um corpo estava inicialmente com temperatura de 10°C. Colocou-se estecorpo em um recipiente cuja temperatura constante era de 120°C. Veri-ficou-se que após 10 minutos a temperatura do corpo atingiu 32°C.Pergunta-se:

a) a temperatura do corpo após 40 minutos;b) o tempo necessário para o corpo atingir 43°C;

Resp.: a) 74,4°C aproximadamenteb) 16,2 minutos aproximadamente

Page 332: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

E= 3 cos 3tVolts ~

PP 17 No circuito ao lado determine acorrente no instante t supondo acorrente inicial igual a 4 amperes.

. . _ 200 ~ 6 236 -40tResp.. l-I 609 cos 3 t + I 609 sen 3 t + 1 609 e

PP18 Um corpo é abandonado de uma altura de 800 metros. Supondo a resistênciadoar proporcional à velocidade do corpo, e sabendo-se que a velocidadelimite e sua massa valem, respectivamente, 100 m/seg e 5 kg, determine:

a) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;b) uma expressão para a posição do corpo no instante t;c) a velocidade e a posição do corpo depois de 10 segundos.

Resp.: v = 100 - 100e-o,098t

y =.100 t + 1 020,4e-O,098t - 1020,4

PP19 Uma substância radioativa diminui a taxa proporcional à quantidade presente.Sendo a quantidade de material 80 miligramas e verificando-se que 3 horasdepois sua massa original diminui em 20%, determine:

a) a massa que resta após 6 horas;b) o tempo necessário para que a massa se reduza à metade.

Resp.: a) 51,3 miligramasb) 9,3 horas

PP20 A população de uma determinada cidade cresce a uma taxa que é propor-cional ao número de habitantes existentes. Após 7 anos a sua populaçãoaumenta em 28% e após 10 anos é de 60.000 habitantes. Qual a sua popu-lação após 20 anos da data inicial?

Resp.: 85.144 habitantes aproximadamente

PP21 Um paraquedista cai no espaço sob a ação da gravidade. Se a resistênciadoar é proporcional à velocidade da queda, determine a distância percorridano tempo t supondo que tal paraquedista parte do repouso para t = O.

Page 333: Cálculo Diferencial e Integral II - Armando Righetto e Antonio Sérgio Ferraudo

Resp.: y = m2![Kt + e-Ktm _ 1], onde m é a massa, g a aceleração da

K m J

gravidade e K o fator de proporcionalidade na resistência do ar.

PP22 Urna população de bactérias cresce a urna taxa proporcional à popu·lação. Após 2 horas a população cresceu para 10.000 bactérias e após 8 horascresceu para 180.000 bactérias. Pergunta-se:

a) o número de bactérias após 4 horas;b) o tempo necessário para o número de bactérias chegar a 650.000.

Resp.: a) 26.207 aproximadamenteb) 10 noras e 40 minutos aproximadamente

PP23 Num estudo de jejum, o peso de um indivíduo caiu de 95 kg para 78 kg em27 dias., Supondo que a perda foi proporcional ao péso do indivíduo per-gunta-se:

a) o peso do indivíduo após 12 dias;b) o número de dias para que seu peso alcançasse 80 kg.

Resp.: a) 87 kg aproximadamenteb) 24 dias aproximadamente

PP24 Urna população de bactérias cresce de um tamanho inicial de 200 para umlimite de 400.000. Suponhamos que, na primeira hora, a população cresceaté 800. Assumindo que o crescimento é governado pela lei logísticapergunta-se:

a) a população de bactérias após 6 horas;b) o tempc necessário para que a população inicial de bactérias cresça para

13.240.

Resp.: a) 269.700 bactérias aproximadamenteb) 3 horas aproximadamente

PPZ5 Em urna população de 10.000 indivíduos igualmente suscetíveis é introduzidoum indivíduo infectante. Considerando que o indivíduo infectante assimpermanecerá durante todo o processo de transmissão; nenhum indivíduoserá removido e que após 20 dias 6 indi'V1d'UOSjá se apresentavam infectados.Pergunta-se.a) o tempo necessário para que a metade da população esteja totalmente

infectada.b) o número de infectados após 3 meses e 8 dias.

Resp.: a) 3 mese~ e 14 dias aproximadamenteb) 3.803 aproximadamente