CALCULO DIFERENCIAL E NOTAS DE AULASdcm.ffclrp.usp.br/~jair/listas/APOSTILA-CALCULO-UM_jmaa.pdf · CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Universidade de S~ao Paulo ... Note

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hallo

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CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL I

NOTAS DE AULAS

Universidade de Sao Paulo

Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de

Ribeirao Preto

Departamento de Computacao e Matematica

Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos

2

Contents

0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto . . . . . . . . . . . . . 60.0.2 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.0.3 Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.0.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 FUNCOES 111.1 Relacao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Grafico de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4 Funcao Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.6 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros . . . . . . . . . . . 251.2.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.9 Funcoes Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.10 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.11 Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.13 Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.14 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.15 Funcao exponencial e funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . 331.2.16 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3 Funcoes Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.1 DISTANCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Limite 432.0.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.0.2 Ponto de Acumulacao e Definicao de Limite . . . . . . . . . . . 442.0.3 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.0.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.0.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.0.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3

4 CONTENTS

2.1 LIMITES INFINITO E NO INFINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.1 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.3 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais . . . . . . . . . . 64

2.2 LIMITES FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.1 Primeiro Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Segundo Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2.3 Problema dos Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.5 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.3 Assıntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 CONTINUIDADE 79

4 DERIVADAS 814.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.3 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.4 Derivada do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.5 Derivada do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.6 Derivada da Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.7 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.8 Derivada da Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Aplicacoes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.1 Reta Tangente ao Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . 974.2.2 Extremos de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.3 Valor Crıtico e Ponto Crıtico de uma Funcao . . . . . . . . . . . 984.2.4 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2.5 Classificacao de pontos Crıticos de uma funcao . . . . . . . . . . 994.2.6 Derivada da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2.7 Concavidade do Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . 1054.2.8 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.9 Regra de L‘Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.10 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.11 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5 INTEGRAL 1215.1 Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.1 Propridades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.1.2 Teorema do Valor Medio Para Integrais . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.2.1 Funcao Primitiva e Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . 133

CONTENTS 5

5.2.2 Area Entre Graficos de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.2.3 Integral por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2.4 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2.5 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3 Integral Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.3.1 EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto

A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a ∈ R) para o valor b(b ∈ R) e dada por

i =b− aa

.

Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 e igual a

i =5− 4

4= 0, 25.

Exemplo 1. Suponha que uma populacao aumenta 2% ao ano. Entao, a quantidadePn de indivıduos desta populacao no ano n (n-esimo ano) sera igual a quantidadePn−1 de indivıduos desta populacao do ano anterior mais o aumento de populacao,que e igual a 2% de Pn−1, isto e

Pn = Pn−1 + (0, 02)Pn−1 = (1 + 0, 02)Pn−1 = 1, 02Pn−1.

Veja que a quantidade de indivıduos desta populacao em um determinado ano, dig-amos n-esimo ano, e proporcional a quantidade de indivıduos desta populacao no anosubsequente ou (n− 1)-esimo ano e a constante de proporcionalidade e 1, 02. Observeque a taxa de crescimento da grandeza quantidade de indivıduos desta populacao edada por

i =Pn − Pn−1

Pn−1

=1, 02Pn−1 − Pn−1

Pn−1

= 0, 02.

Exemplo 2. Suponha que uma bomba de succao retira de um vasilhame, em cadaintervalo de tempo, 3% do material existente neste vasilhame. Entao, a quantidade dematerial Pn existente no vasilhame apos n succoes (n-esima succao ) sera igual aquantidade de material Pn−1 que estava contida no vasilhame apos a succao anterior,menos o decrecimo de maretial causado por uma succao, que e igual a 3% de Pn−1,isto e

Pn = Pn−1 − (0, 03)Pn−1 = (1− 0, 03)Pn−1 = 0, 97Pn−1,

Pn−1 = Pn−2 − (0, 03)Pn−2 = (1− 0, 03)Pn−2 = 0, 97Pn−2,

......

......

P1 = P0 − (0, 03)P0 = (1− 0, 03)P0 = 0, 97P0.

Segue que a construcao acima que

Pn = Pn−1 − (0, 03)Pn−1 = (1− 0, 03)nP0 = (0, 97)nP0,

onde P0 e a quantidade inicial de material no vasilhame.

CONTENTS 7

0.0.2 Potenciacao

Sejam x, y e z numeros reais positivos e m, n numeros inteiros nao negativos. Entao

(i) xmxn = xm+n.

(ii) (xm)n = xmn.

(iii) (xyz)n = xnynzn.

(iv)(xy

)m=xm

ym.

(v) x−m =1

xm.

(vi)xm

xn= xm−n.

(vii) xmn = n

√xm.

OBSERVACAO: Se x ∈ R for nao nulo entao x0 = 1. Seja a ∈ R e a 6= 0, entao

x0 = xa−a =xa

xax 6=0= 1.

0.0.3 Valor Presente

a) Suponha que um indivıduo toma um emprestimo hoje de P0 unidades de moedaem uma instituicao financeira e ele repoe P0 em parcelas mensais a uma taxapreviamente combinada de 3% ao mes (desconto), entao o valor presente P1 aposo perıodo de um mes, e dado por

P1 = P0 − (0, 03)P0 = 0, 97P0.

A quantidade P1, o que resta da “ dıvida” ainda nao resgatada, e denominadada dıvida. Veja que a taxa de desconto e dada por

i =P1 − P0

P0

= −0, 03.

b) Se P0 unidades de moeda foi investido, a um ano atras, com taxa de atualizacaodo capital de 100r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao finaldo primeiro ano, teremos o valor dada por

P1 = P (um ano) = P0 + rP0 = (1 + r)P0.

b1) Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda sera dada por

P2 = P (dois anos) = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = (1 + r)2P0.

8 CONTENTS

b2) Ao final de n anos a quantidade atualizada de moeda sera dada por

P (n) = (1 + r)nP0.

Note que o juro no i−esimo perıodo (rPi−1) compoe o capital do (i − 1)−esimo(Pi−1) e forma a quantidade Pi = (1 + r)Pi−1. Observe que em cada perıodo e validaa regra

Pi − Pi−1

Pi−1

= r, (ver [3]).

c) Se a composicao fosse semestral terıamos r2

como taxa de juros e ao final de t anoso capital P0 composto com a taxa semestral de juros seria dado por P (n anos ) =

P (dois n semestres) = (1+r

2)2nP0. Neste caso os juros sao compostos duas vezes

ao ano.

d) Se os juros compuser o capital m vezes ao ano terıamos rm

como taxa de juros e

ao final de n anos o capital P0 composto com a taxar

mde juros seria dado por

P (n anos) = P (m.n perıodos) = (1 +r

m)m.nP0 (ver [3], [8]). (0.0.1)

Uma pergunta pertinente : Qual quantidade P de unidades moeda teremos queinvestir no instante atual, para que ao final de n anos tenhamos F unidades moeda, seos juros compuserem o capital P m-vezes ao ano, a taxa de juros 100r%? (ver [8])

Como vimos acima se o capital X for investido a taxa de juros 100r%, e os juroscompuserem o capital m-vezes ao ano, ao final de n anos a o capital atualizado seradado por

F = P (1 +r

m)m.n Valor Futuro (ver [3]). (0.0.2)

Portanto,

P = F (1 +r

m)−m.n, Valor Presente (ver [3])

e

(1 +r

m)−m.n, fator de desconto (ver [3])

Exemplo 3. Investe-se em uma carteira P0 = 5000, 00u.m. a 4% de juros ao ano. Qualsera o valor atualizado com os juros se quantidade de moeda P0 permanecer aplicada,sem retidadas, por 10 anos? Quanto este homem teria que aplicar a 4% de juros aoano para que ao final de quatro anos ele tivesse disponıvel 1200.00u.m.?

CONTENTS 9

Resolucao Veja que em (0.0.1),r

m= 0.4 e m.n = 10. Portanto,

P (10) = (1 + 0, 04)105000 ∼= 7.401, 22u.m.

Para responder a segunda pergunta, veja que em (0.0.2) temos F = 1.200,r

m= 0.4 e

m.n = 10. Entao

P = 1200(1 + 0.04)10 ∼= 810, 677.

Exemplo 4. Ao se tomar hoje, por empestimo, 150, 00u.m. a uma taxa de juros de12% ao mes, qual sera o valor corrigido com juros tres meses depois? Quanto deveriaser investido a taxa de juros de 12% ao mes para que ao final de cinco meses o valorpresente fosse 250, 00 u.m.?

Resolucao Veja que P0 = 150, a taxa anual de juros e m12

100= 0, 12m. Entao

r

m= 0, 12 e mt = 3, Como m = 12 teremos r = 1, 44 e n =

1

4= 0.25. Assim, segue de

(0.0.1) que

P (0.25) = (1 + 0, 12)3150 ∼= 210, 74.

Vamos responder a segunda pergunta: veja em (0.0.2) que F = 250,r

m= 0, 12 e

mt = 5. Entao

P = 250(1 + 0.12)−5 ∼= 141, 85.

0.0.4 Exercıcios

(i) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda,qual e o valor um vez ao ano, atualizado um dois anos depois.

(ii) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda,qual e o valor duas vezes ao ano, atualizado um ano depois (ver [8]).

(iii) Suponha que o capital investido sera atualizado uma vez ao ano. Quanto deve serinvestido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois127 unidades de moeda (ver [8]) ?

(iv) Suponha que o capital investido sera atualizado tres vezes ao ano. Quanto deveser investido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anosdepois 127 unidades de moeda (ver [8])?

10 CONTENTS

Chapter 1

FUNCOES

1.1 Relacao entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se de A por B ao conjunto

A× B = {(x, y) par ordenado tal que x ∈ A e y ∈ B}.Note que A = B entao (x, y) = (y, x) se e somente se x = y.

Definicao 1. Chama-se relacao entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto doproduto cartesiano de A por B.

Exemplo 5. Se A = {1, 2} e B = {a,−1}, R0 = φ (o conjunto vazio), R1 ={(1, a); (2; a)} e R2 = {(1,−1) ; (1, a)} sao relacoes entre A e B.

ResolucaoComo

A× B = {(1, a) ; (1,−1) ; (2, a) ; (2,−1)},segue da Definicao 1 que uma relacao entre A e B e qualquer um dos subconjuntos deA×B. Mas R0, R1 e R2 sao subconjuntos de A×B e assim, elas sao relacoes entre Ae B.

• O conjunto vazio dado por φ e uma destas relacoes. Aqui, nenhum elemento deA esta associado a qualquer elemento de B.

• Considere a relacao {(1, a); (2; a)} entre A e B. Veja que esta relacao entre A eB e constante, todos elementos de A estao associados a um unico elemento de B.

• Tome a relacao {(1,−1) ; (1, a)}. Veja que nesta relacao um elemento de A estaassociado dois elementos de B e o outro elemento de A nao tem seu correspondenteem B.

11

12 CHAPTER 1. FUNCOES

Definicao 2. Dados dois conjuntos A e B, chama-se funcao de A em B a qualquerrelacao entre A e B que a cada elemento do conjunto A assosia um unico elemento emB. Indica-se esta funcao por f : A→ B.

Dizemos que f esta definida em A e toma valores em B.

• Ao conjunto A denomina-se domınio da funcao f (Dm(f)).

• Ao conjunto B denomina-se Contradomınio de f .

• Ao conjunto Im(f) = {y ∈ B tais que existe x ∈ A que satisfaz f(x) = y}denomina-se aimagem da funcao f .

Nosso principal interesse sao as funcoes definidas e subconjuntos dos numeros reaise tomando valores reais; isto e, os conjuntos A e B serao subconjutos do conjunto dosnumeros reais.

1.1.1 Exercıcios

1 Considere os conjuntos A = {∇, a} e B = {α, γ},

• calcule o produto cartesiano de A por B,

• todas as relacoes possıveis

• indique aquelas relacoes que sao funcoes.

2 Dados S = {1, 3, 5} e P = {m,n}. Calcule

• o produto cartesiano de S por P ,

• todas as relacoes possıveis

• indique aquelas relacoes que sao funcoes.

3 Considere a tabela abaixo como a descricao dos elementos do produto cartesianode dois conjuntos A e B.

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

1.1. RELACAO ENTRE CONJUNTOS 13

• Descreva os dois conjuntos.

• Descreva quatro relacoes de modo que cada uma delas seja uma funcao.

• Descreva quatro relacoes de modo que cada uma delas nao seja seja umafuncao.

• Descreva as funcoes contantes.

4 Considere o conjunto R×R que aqui sera denotado por R2. Valha-se da definicaode coordenadas cartesianas e desenhe cada um dos conjuntos abaixo:

a- A1 = {(x, y) ∈ R2 tal que x+ 2y = 4, −2 < x ≤ 2}.b- A2 = {(x, y) ∈ R2 tal que x+ 2y < 4, −2 < x ≤ 2, y > 0}.c- A3 = {(x, y) ∈ R2 tal que x+ 2y ≤ 4, −2 < x ≤ 2, y ≥ 0}.d- B3 = {(x, y) ∈ R2 tal que x− y ≤ 0, −2 < x ≤ 2}.e- B3 = {(x, y) ∈ R2 tal que x− y ≥ 0, −2 < x ≤ 2}.

5 Dada f : R→ R uma funcao que satisfaz

f(2x+ 3) = x2.

Calcule f(0), f(3), f(2u) u ∈ R, g(x) = f(x+ 2), h(x) = f(x2).

6 Podemos afirmar que se f(2x+ 3) = x2, entao√f(2x+ 3) = x?

7 Podemos afirmar que se f(2x+ 3) = x2, entao 3√f(2x+ 3) = x?

8 Dada f : R→ R uma funcao que satisfaz

f(x) = 2x2 + 3.

Calcule f(−1), f(4), γ(v) = f(2v) v ∈ R, g(x) = f(x+ 5), h(x) = f(x3).

9 Existe uma funcao f : R→ R tal que

f(x2) = 2x+ 3.

10 Se f(x) = 3x−2 e g(x) =1

x, encontre todos os valores reais tais que f(x) = g(x).

11 Se m e um numero real constante e f(x) = mx + 5 e g(x) =1

x, encontre todos

os valores reais tais que f(x) = g(x).

12 Se m e um numero real constante e f(x) = −3x+ 5 e g(x) =m

x, encontre todos

os valores reais tais que f(x) = g(x).


13 Se m e n sao numeros reais constantes e f(x) = mx + n e g(x) =1

x, encontre

todos os valores reais tais que f(x) = g(x).

14 Se m e n sao numeros reais constantes e f(x) = −x + n e g(x) =m

x, encontre

todos os valores reais tais que f(x) = g(x).

1.2 Grafico de Funcao

Definicao 3. Dada f : A → B funcao, chama-se Grafico da funcao f ao conjuntoG(f) = {(x, y) ∈ A× B tal que y = f(x)}.

1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas

(i) Vamos denominar funcao linear aquelas funcoes cujo grafico e uma reta, ou sejaf : R → R dadas por f(x) = ax + b, onde a ∈ R. Se a = 0, f e uma funcaoconstante.

(ii) Se a, b e c sao numeros reais, considere a funcao quadratica f : R→ R dada por

f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. (1.2.1)

Queremos resolver a equacao f(x) = 0. Como em (1.2.1) a 6= 0 podemos somar

em ambos os membrosb2

4ae escrevermos

a[x2+2

( b2a

)x+

b2

4a2

]=b2

4a−c, ou seja a

(x+

b

2

)2

=b2 − 4ac

4a, entao

(x+

b

2

)2

=b2 − 4ac

4a2.

que e equivalente a

(x+

b

2a−√b2 − 4ac

2a

)(x+

b

2a+

√b2 − 4ac

2a

)= 0

Portanto,

x0 =−b+

√b2 − 4ac

2ae x1 =

−b−√b2 − 4ac

2a(1.2.2)

sao as raızes da equacao (1.2.1). Alem disso, em (1.2.2), x0 e x1 serao numerosreais se e somente se ∆ = b2 − 4ac for um numero real nao negativo, (∆ ≥ 0).

Exemplo 6. Seja f(x) = x2 − 4x+ 1. Vamos resolver a equacao f(x) = 0.

1.2. GRAFICO DE FUNCAO 15

Resolucao Veja que a = c = 1 e b = −4. Entao ∆ = (4)2 − 4 = 12. Segue de(1.2.2) que as raızes de f(x) = 0 sao x0 = 2−

√3 e x0 = 2 +

√3.

Como exemplo tome f : [0, 2]→ R dada por f(x) = x2.

-oxO

oy

x·...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·f(x)

(x, f(x))

6

Figura 1

1.2.2 Exercıcios

(i) Considere as curvas

π6

π3

π22π

3

5π6

π

7π6

4π3 3π

2

5π3

11π6

0 0.5 1 1.5 2

π6

π3

π22π

3

5π6

π

7π6

4π3 3π

2

5π3

11π6

0 2 4

π6

π3

π22π

3

5π6

π

7π6

4π3 3π

2

5π3

11π6

0 0.5 1 1.5 2

π6

π3

π22π

3

5π6

π

7π6

4π3 3π

2

5π3

11π6

0 1 2 3

Explique porque estas curvas nao podem ser graficos de funcao.


(ii) Condidere a figura

−10 −5 0 5 10

−10

−5

0

5

10

Podemos afirmar que esta curva e grafico de funcao?

(iii) a) Se o domınio da funcao f(x) = 5 + 3x for {x ∈ R, tais que 1 ≤ x ≤ 4},determine a imagem de f .

b) Se o domınio da funcao f(x) = 5 − 3x2 for {x ∈ R, tais que 1 ≤ x ≤ 4},determine a imagem de f .

(iv) Suponha que f(2) = 2 e descreva a funcao cujo grafico e dado pela curva,

−4 −2 2 4

−4

−2

2

4

x

y

(v) (FUVEST 2017) Considere uma folha de papel retangular com medida dos lados20 e 16. Apos remover um quadrado cuja medida do lado e lado x, de cada umdos cantos da folha de papel realize quatro dobras para voce obter uma caixasem tampa em forma de paralelepıpedo com altura x.

• Expresse o volume da caixa em funcao de x.

• Determine o intervalo real onde se encontra x para o qual o voluma da caixae maior que 384.

• Qual sao as medidas da caixa cujo volume e maximo.


(vi) (FUVEST 2017) Dado a ∈ R e 1 < a ≤ 2, considere a funcao fa : [0; 1]→ [0; 1]dada por

fa(x) =

{ax se 0 ≤ x ≤ 1

2,

a(1− x) se 12< x ≤ 1.

• Encontre x0 tal que fa(x0) = x0. Verifique que x0 = x(a).

• Mostre que fa(fa(12)) < 1

2para todo 1 < a < 2.

• Utilizando o ıtem anterior calcule encontre 1 < a < 2 tal que fa(fa(fa(12))) =

x0 .

• Faca o esboco do grafico de f .

Sugestao Resolva este problema para a = 32, depois para a = 4

3, em seguida

para 1 < a ≤ 2.

(vii) Considere a figura

−6 −4 −2 2 4 6

−2

2

4

6

x

y

Defina uma funcao cujo grafico seja a figura acima com f(12) =

1

2.

(viii) Suponha que f(1) = 3 e descreva uma funcao cujo grafico seja a segunte curva

−2 2 4

−2

2

4

x

y


(ix) Considere uma esfera de raio 3 e todos os cilindros retos que podem ser inscritosnesta esfera. Expresse o volume do cilindro em funcao do seu raio e de suaaltura, considerando que este cilindro esta inscrito na esfera.

Os exercıcios acima sugerem a ideia de desigualdades.

1.2.3 Inequacoes

Definicao 4. Dada f : A ⊂ R → B ⊂ R uma funcao. Uma equacao e expressao daforma f(x) = 0, onde x ∈ A. Uma inequacao e uma expressao com uma das formasf(x) > 0, ou f(x) ≤ 0, ou f(x) < 0, ou f(x) ≥ 0, onde x ∈ A.

Note que as desigualdades nos informam qual e o sinal da funcao f

• Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numero realpositivo, esta desigualdade matem-se com o mesmo sentido.

Veja que 2x−x3 > x2−2 e equivalente a (x2 +1)[2x−x3] > (x2 +1)[x2−2], porquex2 + 1 e positivo para todo numero real x .

• Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numeronegativo esta desigualdade troca o seu sentido.

Veja que 2x − x3 > x2 − 2 e equivalente a (x2 − 1)[2x − x3] > (x2 − 1)[x2 − 2];somente se x2 − 1 for positivo ou zero. Se x2 − 1 for negativo ou seja se x ∈ (−2; 2)(intrevalo), entao (x2 − 1)[2x− x3] < (x2 − 1)[x2 − 2].

1.2.4 Funcao Modulo

Definicao 5. O modulo de um numero real x e dado por

|x| ={

x; se x ≥ 0,−x; se x < 0.

• Temos |x| < m, se e somente se −m < x < m. Ainda, |x| ≤ m, se e somentese −m ≤ x ≤ m.

• Temos |x| > m, se e somente se x < −m ou x > m. Analogamente ao casoanterior, |x| ≥ m, se e somente se −m ≤ x ou x ≥ m.

Exemplo 7. Se f : R→ R for dada por f(x) = |x|, o grafico de f esta dado na figuraabaixo:

Observacao 1. Da definicao de modulo de um numero real segue que√x2 = |x|.

Exemplo 8. Seja f : R→ R dada por f(x) = |x2 + 4x− 5|.


Veja que o grafico de f esta esbocado na figura acima. Para compreender o graficoacima temos que resolver as inequacoes gerada pela definicao da funcao modulo, ouseja

f(x) =

{x2 + 4x− 5; se x2 + 4x− 5 ≥ 0,−(x2 + 4x− 5); se x2 + 4x− 5 < 0.

Veremos facil que se F1 = {x ∈ R (−∞ < x ≤ −5 ou 1 ≤ x < ∞} e F2 = {x ∈R (−5 < x ≤ 1}, teremos f(x) ≥ 0 para todo x ∈ F1 e f(x) ≤ 0 para todo x ∈ F2.

Exemplo 9. Encontre o conjunto de numeros reais que satisfaz |x− 5| < 4.

Resolucao Note que ha aqui um caso como acima, entao

−4 < x− 5 < 4, o que nos da 1 < x < 9.

Assim, o conjunto solucao e dado por {x ∈ R tais que 1 < x < 9}.

Exemplo 10. Encontre o conjunto de numeros reais que satisfaz∣∣∣3− 2x

2 + x

∣∣∣ ≤ 4. (1.2.3)

Resolucao Pelo que vimos acima

−4 ≤ 3− 2x

2 + x≤ 4. (1.2.4)


Para resolver a inequacao (1.2.4) devemos multiplicar todos os seus membros porx+ 2. Entao devemos saber mais sobre o sinal deste fator.• Note que se x ≥ −2 o fator x+ 2 sera positivo. Entao

−4(x+ 2) ≤ 3− 2x

2 + x(x+ 2) ≤ 4(x+ 2).

Observe que as desigualdades nao se alteram. O que nos da

−8− 4x ≤ 3− 2x ≤ 8 + 4x.

Temos entao duas desigualdades. E conveniente resolve-las separadamente. O con-junto solucao para estas desigualdades e igual ao conjunto sulucao para o sistema deinequacoes {

−8− 4x ≤ 3− 2x3− 2x ≤ 8 + 4x

Apos alguns calculos simples, vemos que, x sera solucao para a primeira inequacao

se x ≥ −11

2; e x sera solucao para a segunda inequacao se x ≥ −5

2. Como trata-se de

um sistema e inequacoes, devemos ter as duas inequacoes satisfeitas, entao x devera

ser maior que o maior entre tres numeros reais −2; −11

2e x = −5

6. Logo, x ≥ −5

6.

Temos assim a primeira parte da resposta, o conjunto

S0 = {x ∈ R, tal que x ≥ −5

6}.

• Veja que se x ≤ −2 o fator x+2 sera negativo. Entao −4(x+2) ≥ 3− 2x

2 + x(x+2) ≥

4(x+ 2). Note que as desigualdades se ateraram. Entao temos

−4(2 + x) ≥ 3− 2x ≥ (2 + x)4. (1.2.5)

O conjunto solucao para (1.2.5) e igual ao conjunto solucao para o sistema{−8− 4x ≥ 3− 2x3− 2x ≥ 8 + 4x

Repetindo o procedimento anterior vemos que x deve ser menor que o menor entre os

tres numeros −2, −5

6e −11

2.

Temos assim a segunda e ultima parte parte da resposta, o conjunto

S1 = {x ∈ R, tal que x ≤ −11

2}.

O conjunto solucao para a inequacao (1.2.3) e

S = S0 ∪ S1.


Exemplo 11. Encontre o conjunto de numeros reais que satisfaz |3x+ 2| > 5.

Resolucao Da definicao 5 vemos que a desigualdade do exemplo (5.1.1) e equiva-lente a

3x+ 2 > 5 ou 3x+ 2 < −5.

Neste caso, e conveniente resolver cada uma desas desigualdades em separado e depoisconstruir o conjunto solucao. Vemos facilmente que se x resolve a primeira inequacao,

entao x > 1. Analogamente, se x resolve a segunda inequacao entao x < −7

3. Portanto,

conjunto solucao que procuramos e dado por

S = {x ∈ R, tal que −∞ < x < −7

3ou 1 < x <∞}.

◦ Como encontrar o conjunto dos numeros reias tais que |x− 4| > |3x− 2| ?

Pela Observacao 1 temos |x − 4| =√

(x− 4)2 e |3x − 2| =√

(3x− 2)2. Portanto,a desigualdade em (◦) e equivalente a√

(x− 4)2 >√

(3x− 2)2; ou seja (x− 4)2 > (3x− 2)2.

Alguns calculos nos mostram que nosso problema e equivalente a 2x2 − x − 3 < 0.Para encontrar o conjunto solucao para esta ultima desigualdade devemos encontrar odiscriminante da equacao 2x2−x− 3 = 0 (ver (1.2.2)) que e dado por ∆ = 1 + 24 = 25e as suas raızes sao dadas por;

x0 =−b−

√∆

2a=−(−1)−

√25

4= −1 e x1 =

−b+√

∆

2a=−(−1) +

√25

4=

3

2.

Mas, 2x2 − x− 3 = 2(x− x0)(x− x1) = (x+ 1)(x− 3). Queremos que (x+ 21)(x− 3)seja negativo. Portanto, o conjunto solucao que procuramos e dado por

S = {x ∈ R, tal que − 1 < x <3

2}.

Observacao 2. Se x, y ∈ R podemos verificar que

min{x, y} =x+ y − |x− y|

2e max{x, y} =

x+ y + |x− y|2

. (1.2.6)

Valha-se das propriedades anteriores, resolva em R as igualdades, desigualdades edescreva geometricamente o conjunto solucao de cada uma delas:


1.2.5 Exercıcios

1 Um fabricante produz canetas ao custo de 10 u.m. (unidades de moeda) porunidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida por x u.m., os consumidorescomprarao aproximadamente 80 − x canetas por mes. Expresse o lucro mensaldo fabricante como funcao do preco devenda de cada caneta. Construa o graficodesta funcao e calcule o preco p0 para o qual o lucro mensal e o maior possıvel(Veja que o lucro e dado pelo produto do numero de canetas vendidas pelo lucropor caneta).

Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer:

• A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar. Istonos diz que as variaveis ofertada e preco estao de alguma forma relacionadas.

• A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar. Istonos diz que as variaveis demandada e preco estao de alguma forma relacionadas

2 Dez relogios de pulso sao vendidos quando o seu preco for 80 u.m.; 20 destesrelogios serao vendidos quando o preco for 60 u.m. Suponha que a demanda poreste tipo de relogio seja uma funcao linear do seu preco neste mercado. Qual ea equacao de demanda para este produto? Faca o grafico desta funcao.

3 Quando o preco for de 50 u.m., cinquenta maquinas fotograficas de um deter-minado tipo estarao disponıveis no mercado; quando o 75 u.m., cem maquinasfotograficas de um determinado tipo estarao disponıveis no mesmo mercado (pro-duto em oferta). Suponha que a oferta deste tipo de maquina seja uma funcaolinear do seu preco neste mercado. Qual e a equacao de oferta para este produto?Faca o grafico desta funcao.

4 Resolva as equacoes e inequacoes e represente graficamente o conjunto solucaode cada item.

(a) x− 2 < 18− 3x. S = {x ∈ R tal que −∞ < x < 5};(b) −4 < 2− 3x ≤ 17. S = {x ∈ R tal que − 5 ≤ x < 2};

(c)3x− 1

x+ 2≥ 5. S = {x ∈ R tal que − 11

2≤ x < −2};

(d) x2 ≤ 81. S = {x ∈ R tal que − 9 ≤ x ≤ 9};(e) x2 − x ≤ 0. S = {x ∈ R tal que 0 < x < 1};(f) Se f(x) = |5x+ 2|+ 3, resolva f(x) = 0; S = φ; Faca o grafico de f(x).

(g) Se f(x) = |2x−1|− |4x+3|, resolva f(x) = 0: S = {−2,−1

3}. Faca o grafico

de f(x).

(h) Se f(x) = |x − 5| − 1 + 2x, resolva f(x) = 0; S = {−4}. Faca o grafico def(x).

(i)∣∣∣3x+ 8

2x− 3

∣∣∣ = 4, S = { 4

11, 4};


(j) |2x− 1| > |x+ 2|. S = (−∞,−1

3) ∪ (3,∞);

(k) 1 < |x+ 2| < 4. S = {x ∈ R tal que − 6 < x < −3 ou − 1 < x < 2};

(k) |3x+ 7| > 2. S = {x ∈ R tal que −∞ < x < −3 ou − 5

3< x <∞};

(l) |x− 3| ≤ 2. S = {x ∈ R tal que 1 ≤ x ≤ 5}.

5 (a) 4x−6 < 11; (b) 7−2x > −3; (c) |x+4| < 7; Resp. {x ∈ R; −11 < x < 3};

(d) |3x− 4| ≤ 2; Resp. {x ∈ R; 23≤ x ≤ 2}; (e) |2x− 5| > 3;

Resp. {x ∈ R, −∞ < x < 1 ou 4 < x <∞};

(f) |x+ 4| ≤ |2x−6|; Resp R−{x ∈ R, 23< x < 10}; (g) |−2x+ 9| ≥ |4x|;

Resp {x ∈ R, −92≤ x ≤ 3

2}. (h) 2 ≥ 4x− x2 ≥ 0; (i)

4x− 1

x≤ 1;

(j) x(3x−1) ≥ 4; (k)2x2 − x− 3

x2 − 1≤ x; (l) (x+1)(2x−3) > 2; (m)

∣∣∣2x+ 3

5

∣∣∣ <2;

(n)∣∣∣7− 3x

2

∣∣∣ ≤ 1; (o) |x− 10| < 0, 3; (p) 3x2 + 5x− 2 < 0;

(q) 2x2− 9x+ 7 < 0; (r) 1x2 < 100; (s) −1 <

3− 7x

4≤ 6; (t)

3

x− 9>

2

x+ 2

(u) (x− 1)2(x− 2)(x+ 1)3 > 0 (v)(x− 1)2(x− 2)(x+ 1)3

x(x2 + 1)(x2 − 1)< 0.

(i) Faca o grafico de f(x) quando:

• f(x) = x2 + x + 1; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) ∈R2 tal que 0 ≤ f(x) ≤ x− 1} para −2 < x ≤ 2.

• f(x) = x2 + x − 2; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) ∈R2 tal que 0 ≤ f(x) ≤ x+ 1} para −3 < x ≤ 5.

(ii) Se f(x) = 3x + 2 e g(x) = −5x + 4, faca o grafico de h(x) = max{f(x), g(x)} eH(x) = min{f(x), g(x)} (Ver Observacao 2).

(iii) Se f(x) = x2 − 1 e g(x) = 2 − x2, faca o grafico de h(x) = max{f(x), g(x)} eH(x) = min{f(x), g(x)} (Ver (1.2.6)).


1.2.6 Polinomios

Definicao 6. Sejam ar, ar−1, · · · , a0 numeros reais. Um polinomio e uma funcao q :A ⊂ R → B ⊂ R dada por q(x) = arx

r + ar−1xr−1 + · · · + a0. Se ar for nao nulo

diremos que o grau de q e r e indicamos por ∂q = r.

• Seja q(x) um polinomio. Suponhamos que o grau de ∂q = r. Sabemos que opolinomio q pode ser decomposto em fatores da forma{

x− x∗, x∗ ∈ R;αx2 + βx+ γ, β2 − 4αγ < 0; α, β, γ ∈ R, (ver(1.2.2)).

o valor x∗ e denominado raiz real de q. Cada fator da forma αx2 + βx + γ com apropriedade β2 − 4αγ < 0 nao tem raiz real.• Suponha que q tenha apenas raızes reais. Sejam n ∈ N e x0, x1, · · · , xn as raızes

de q (n ≤ r). Ha que se lembrar que cada uma destas raızes tem sua multiplicidade.Entao suponha que s0, s1, · · · , sn ∈ N, indica respectivamente as multiplicidades dasraızes do polinomio q. Entao s0 + s1 + · · ·+ sn = ∂q.

Exemplo 12. Seja q(x) = x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2).

x0 = 1, s0 = 1,x1 = 2, s1 = 1s0 + s1 = ∂q = 2.

Exemplo 13. Seja q(x) = (x+ 1)2(x− 2)3.

x0 = −1, s0 = 2,x1 = 2, s1 = 3s0 + s1 = ∂q = 5.

Suponhamos que q : R→ R seja dado pela expressao q(x) = arxr+ar−1x

r−1+· · ·+a0

com ar 6= 0 e que todas as suas raızes sejam reais. Entao podemos escrever

q(x) = ar(x− x0)s0(x− x1)s1 · · · (x− xn)sn . (1.2.7)

e s0 + s1 + · · ·+ sn = ∂q = r.Ve-se facilmente que se alguma raiz de q tiver multiplicidade maior que um, algum

si sera nulo, e o fator correspondente x− xi nao aparecera na expressao (1.2.7).


1.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros

Veja que se p(x) = x − 5 e g(x) = x13 − 5

13 , podemos realizar adivisao do polinomio

p(x) por g(x) pelo metodo da chave e obtermos resto zero. Considere o esquema abaixocom suas instrucoes:

• Note que multiplicacao da primeira parcela do quociente pelo divisor nos dax− x 2

3a13 . Subtraia x− x 2

3 513 do dividendo.

• A multiplicacao da segunda parcela do quociente pelo divisor nos da x23 5

13−x 1

3 523 .

Sutraia-a do dividendo.

• A multiplicacao da ultima parcela do dividendo pelo divisor nos da x13 5

23 − 5.

Subtaria-a do dividendo e voce obtera resto ZERO.

∗∗•

◦

◦x− 5 x

13 − 5

13

−x+ x23 5

13 x

23 + x

13 5

13 + 5

23

x23 5

13 − 5

−x 23 5

13 + x

13 5

23

x13 5

13 − 5

−x 13 5

13 + 5

0 + 0

Portanto,

x− 5 = (x13 − 5

13 )[x

23 + x

13 5

13 + 5

23 ]

ou seja,

x− 5

x13 − 5

13

x 6=5= x

23 + x

13 5

13 + 5

23 .

Com este algorıtmo podemos escrever

x13 − 5

13

x− 5

x 6=5=

1

x23 + x

13 5

13 + 5

23

. (1.2.8)

1.2.8 Exercıcios

(i) Consider a curva γ na figura abaixo. Suponha que f(−32) = 0. Defina uma fuccao

polinomial tal que a curva γ seja o grafico da funcao f .


x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(ii) Sejam p(x) e q(x) polinomios dados abaixo. Calcule o resto da divisao de p(x)por q(x) (use o metodo da chave).

• p(x) = x3 − 2x2 + 1 e q(x) = x2 + 1;

• p(x) = x4 − x3 e q(x) = x2 − 4x+ 2.

(iii) Sejam f(x) e g(x) funcoes dados abaixo. Calcule o resto da divisao de f(x) porg(x) (use o metodo da chave).

• f(x) = x− 2 e g(x) = 3√x− 3√

2;

• f(x) = x− 3 e g(x) = 3√x− 3√

3 ,

• f(x) = x− 5 e g(x) = 4√x− 4√

5;

• f(x) = x+ 3 e g(x) = 3√x+ 3√

3.

• f(x) = x− a e g(x) = 3√x− 3√a;

• f(x) = x− a e g(x) = 3√x− 3√a ,

• f(x) = x− b e g(x) = 4√x− 4√b;

• f(x) = x+ b e g(x) = 5√x+ 5√b.

Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracao em (1.2.8).

(iv) - Dadas as funcoes abaixo, calcule g(x) =f(x)− f(a)

x− apara x 6= a, onde a e um

numero real que esta no domınio da funcao f . Em cada um dos casos acimaescreva a fracao analoga a fracao em (1.2.8).

• f(x) = x2 + 3 ,

• f(x) = x2 − x+ 1 ,

• f(x) = x13

• f(x) = x14

• f(x) = x15

• f(x) = sen (x)

• f(x) = cos(x), (compare os cinco primeiros ıtens com o exercıcio anterior).


(v) Seja a um numero real fixo, calcule g(h) =f(a+ h)− f(a)

hpara cada uma das

funcoes abaixo. Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracaoem (1.2.8).

• f(x) = x2 + 3,

• f(x) = x2 − x+ 1,

• f(x) = x13

• f(x) = x14

• f(x) = x15 ,

• f(x) = sen (x)

• f(x) = cos(x), (compare os com o exercıcio anterior).

1.2.9 Funcoes Pares e Impares

Uma funcao y = f(x) e uma (i) funcao par de x se f(x) = f(−x), (ii) funcaoımpar de x se f(x) = −f(−x). Verifique se as funcoes abaixo sao pares ou ımpares.

(i) f(x) = x2,

(ii) f(x) = x3 + x, (iv) f(x) = x2 + x3,

(iii) f(x) = x3 + x+ 1,

(iv) f(x) = x2 + 1

(v) f(x) = |x|

(vi) f(x) = |x − 1|. Esboce os grafico de cada uma das funcoes dos ıtens (i) e (vi);(vii) e (iii) e compare-os.

1.2.10 Composicao de Funcoes

Definicao 7. Dadas f : A → B e g : C → D duas funcoes. Se Im(f) ⊂ Dom(g)entao podemos definir uma outra funcao h : A → D tal que h(x) = g(f(x). A funcaoh e denominada composicao de g por f , . Denotaremos esta composicao por g ◦ f .

Note que se h(x) = 3√x2 − 4x+ 7, podemos dizer que h e uma composicao de

funcoes. As funcoes envolvidas sao g(x) = 3√x e f(x) = x2 − 4x+ 7.


(i) Determinar o domınio das seguintes funcoes e escreva a funcao h como composicaode duas outras funcoes:

• h(x) =1

x− 4,

• h(x) =√−x2 + 2x− 3,

• h(x) =

√x

x2 + 1,

• h(x) = 3

√x

x2 + 1,

• h(x) = 4

√x2 − 3x+ 5

x− 4.

(ii) Calcule, quando for possıvel, a composicao de f por g e de g por f nos casosabaixo e de o domınio de f , g, f ◦ g e g ◦ f

• f(s) = −s2 + 2s+ 1 e g(x) = 2x2 − 5;

• f(s) =√x e g(x) = −x2 + 1,

• f(s) = |s2 + 3| e g(x) =x2 + 1

x− 1.

• f(s) = sen (x2 + 1) e g(x) = 3√x

(iii) Calcule f(g(x)), g(f(x)), h(f(g(x))), verifique que f ◦ g 6= g ◦ f , de o domınio def , g e h, onde estas funcoes estao dadas abaixo e :

f(x) =x2 + 1

x− 1, h(x) =

√x, g(x) = x2 − 3x+ 2.g(x) = 1− x2, h(x) = x2 + 6x− 16.

Exemplo 14. Tome A um conjunto qualquer e f : A→ A dada por f(x) = x.

• Note que f(f(x)) = f(x) = x. A inversa de f e ela mesma (uma funcao Nacisista).Esta e uma razao muito forte para que f seja nomeada FUNCAO IDENTIDADE.

Definicao 8. Dadas f : A→ B e g : F→ G funcoes, Suponhamos que

Im(f) ⊂ Dm(g) e Im(g) ⊂ Dm(f)

Segue da Definicao 7 que pode ser definidas as funcoes f ◦ g : F→ B e g ◦ f : A→ Gdadas por

g ◦ f(x) = g(f(x)) para todo x ∈ A e f ◦ g(y) = f(g(y)) para todo y ∈ F.


Se

g ◦ f(x) = g(f(x)) = x para todo x ∈ A e f ◦ g(y) = f(g(y)) = y para todo y ∈ F,

dizemos que g e a funcao inversa da funcao f .

• No caso em que f : A → B e satisfaz uma condicao especial, isto e que existauma funcao g : B → A tal que

f(g(y) = y e g(f(x) = x,

dizemos que a func ao g e a Funcao Inversa da funcao f . Denotamos g por f−1. Oexemplo mais simples que ilustra tal situacao e o seguinte:

Exemplo 15. Tome R o conjunto dos numeros reais e f : R → R dada por f(x) =ax+ b, com a 6= 0.

∗ Note que g : R→ R dada por g(y) =1

a(y− b) satisfaz f(g(y)) = a

(1

a(y− b)

)+ b =

[y − b] + b = y e g(f(x) =1

a[(ax+ b)− b] = x

1.2.11 Exercıcio

Em cada um dos ıtens abaixo determine a funcao f−1 inversa. Faca os graficos dafuncao e de sua inversa, primeiro no m,esmo plano e depois em planos separados.

(i) f(x) = 3x+ 4, (ii) f(x) =1

x− a, a ∈ R (iii) f(x) =

x+ a

x− a, a ∈ R.

Funcao Injetora Uma funcao f : A → B e injetora se para todo x, y ∈ A talque f(x) = f(y), implicar que x = y.

Como exemplo tome f : R→ R dada por f(x) = ax + b, com a e b numeros reais,sendo a 6= 0.Vamos mostrar que f e injetora.

Se x, y ∈ R sao tais que f(x) = f(y), entao ax + b = ay + b. Ou seja, ax = ay.Como a 6= 0, temos que x = y. Portanto, f e injetora.

Funcao Sobrejetora Uma funcao f : A→ B e sobrejetora se Im(f) = B .

Funcao Bijetora Uma funcao f : A → B e Bijetora se ela for injetora esobrejetora .

Teorema 1. Uma funcao f : A→ B e Invertıvel se e somente se ela for bijetora.

Exemplo 16. Seja f : Z→ N dada por

f(n) =

n

2, se n for par,

−n− 1

2− 1, se n for ımpar.


E facil ver que f e uma bijecao.

• A quantidade demandada por um produto no mercado onde p e o nıvel de precodeste produto, e uma funcao do preco, isto e, D : [0,∞)→ [0,∞) e dada por D(p).

• A quantidade ofertada ao mercado de produto com preco p e uma funcao dopreco, isto e, S : [0,∞)→ [0,∞) e dada por S(p).

1.2.12 Exercıcios

(i) Uma lata fechada de estanho, de volume fixado V , deve ter a forma de um clindroreto, encontre o volume e a area deste cilindro como funcao apenas de r e depoisapenas de h respectivamente.

(ii) Como sabemos o volume e a area de qualquer cone reto sao funcoes do seu raio re da sua altura h. Um cone reto deve ser inscrito em uma esfera de raio conhecidoa0. Enconter a area e o volume deste cone como funcao apenas de r e depois deh

(iii) Como sabemos a area de um retangulo e uma funcao de seus lados, digamos xe y. Considere apenas os retangulos que tem mesmo perımetro p0, e obtenha aarea destes retangulos como funcao de apenas um de seus lados.

(iv) Como sabemos o volume e a area de qualquer cilindro reto sao funcoes do seuraio r e da sua altura h. De a expressao de cada uma destas funcoes. Considereum cilindro reto de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio fixo a. De ovolume e a area da deste cilindro em funcao apenas de h e a, e depois em funcaode r e a.

1.2.13 Oferta e Demanda

• Em um mercadode bens, tem-se quantidade ofertada de bens e a quantidade deman-dada de bens ao nıvel de preco p. Entao tem-se D,S : [0,∞)→ [0,∞) forem a funcaodemanda (D) ao preco p e a funcao oferta ao preco p , estas funcoes serao linearesse existirem numeros reais α0, α1, β0, β1 tais que

(a) D(p) = α0 + α1p ≥ 0(b) S(p) = β0 + β1p ≥ 0.

(1.2.9)

Veja que nao ha oferta nem demanda negativa.

• Diz-se que um mercado atua em O EQUILIBRIO ECONOMICO se existirum nıvel de preco p0 que faz a funcao a oferta calculada em p0 assumir o mesmo valorque a funcao demanda neste ponto, isto e D(p0) = S(p0). Neste caso diz-se que p0 enıvel de preco de equilıbrio para este mercado .


• Em linguagem costumeiramente usada em economia, para (1.2.9a) , p e denom-inada Variavel Exogena e D Variavel Endogena . Analogamente, para (1.2.9b) , p edenominada Variavel Exogena e S Variavel Endogena

Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer:• A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar α1 > 0

em (1.2.9a).• A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar, β1 > 0

em (1.2.9b).Veja em 1.2.9 as curvas de demanda e oferta sao retas. Nao podemos esperar que

as curvas de demanda e ofertas sejam retas. Nos grafico abaixo que as curvas O e Dsao curvas de Oferta e Demanda, respectivamente, nao sao retas . Veja a interpretacao

Economica da regioes delimitadas pelas duas curva, uma que contem o segmento−ab e

a outra contem o segmento−cd (ver [1, 11]).

Na Figura abaixo podemos observar interpretacao das regioes hachuradas. veja asjustificativas em [1, 11].

Para qualquer funcao de demanda dada por y = f(x) onde y e o preco e x, o custo


de producao e uma funcao C : [0,∞)→ R, e o Custo Medio e dada por

C(x) =y

x=f(x)

x,

a Receita Total R : [0,∞)→ R e dada por

R(x) = xy = xf(x).

e o Lucro e a funcao L : [0,∞)→ R a Receita Total menos o Custo.

1.2.14 Exercıcios

(i) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nıvel de preco p. Comeste nıvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap + 3 e a demanda e D(p) =−bp+ 17,onde a e b sao constantes positivas.

• Encontre nıvel de precop0 para que o mercado atue em equilıbrio.

• Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda.

• Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.

• CalculeD(p0 + 3)−D(p0)

3e

S(p0 + 3)− S(p0)

3. Interprete os numeros

que voce calculou.

• CalculeD(p0 + q)−D(p0)

qe

S(p0 + q)− S(p0)

q. Interprete os numeros

que voce calculou.

• Defina a funcao E : [0,∞)→ R dada por E(p) = D(p)−S(p). Qual o nomeque voce dariapara esta funcao ?

• Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee positiva.

• Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee negativa.

• CalculeE(p0 + 3)− E(p0)

3

(ii) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nıvel de preco p. Comeste nıvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap2 + 3 e a demanda e D(p) =−bp2 + 17,onde a e b sao constantes positivas. Encontre o intervalo de definicaopara D e S para que estas funcoes representem a Demanda e Oferta de umproduto em algum mercado.

• Encontre nıvel de preco p0 para que o mercado atue em equilıbrio.

• Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda.

• Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.


• CalculeD(p0 + 3)−D(p0)

3e

S(p0 + 3)− S(p0)

3. Interprete os numeros

que voce calculou.

• CalculeD(p0 + q)−D(p0)

qe

S(p0 + q)− S(p0)

q. Interprete os numeros

que voce calculou.

• Defina a funcao E : [0,∞)→ R dada por E(p) = D(p)−S(p). Qual o nomeque voce dariapara esta funcao ?

• Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee positiva.

• Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao Ee negativa.

• CalculeE(p0 + 3)− E(p0)

3

(iii) Se x e a quatidade demandada e y e o preco e 3x + y = 10, faca o grafico dafuncao receita.

(iv) Se x e a quatidade demandada e y e o preco e 5x + 7y = 13, faca o grafico dafuncao receita.

1.2.15 Funcao exponencial e funcao logarıtmica

Dados um numero real a positivo, chama-se funcao exponencial de a a relacao f : R→R dada por f(x) = ax.• Note que f toma qualquer numero real mas produz apenas numeros reais posi-

tivos.

? Note que f(x+ y) = f(x)f(y) para todo x ∈ R.

? Note que f(x− y) =f(x)

f(y)para todo x ∈ R.

Ainda, f(0) = f(1 + (−1)) = f(1)f(−1) = a1a−1 =a

a= 1.

Funcao Logarıtmica

Definicao 9. Dados a, b ∈ R positivos. Se a 6= 1, chama-se logarıtmo de b na base aum numero real y tal que ay = b .

Se g : (0,∞) → R for uma funcao dada g(x) = logax, diremos que g e a Funcao

Logarıtmica. Ainda Como ja vimos, se f : R → (0,∞), for dada por f(x) = ax,teremos

(i) f(g(y) = alogay = y.


(ii) g(f(x)) = logaax = x.

Pela Definicao 8, vemos que a funcao exponencial e a inversa da funcao logarıtmica.

Propriedades

1 : loga(xy) = log

ax+ loga y.

2 : logaa = 1 e log

a1 = 0.

3: loga(x−1) = − log

ax.

4 : loga(xy) = y log

ax.

NOTACAO : logab = y ⇐⇒ ay = b.

A figura abaixo mostra o grafico da funcao esponencial f a funcao logarıtimica g(uma inversa da outra) para o caso onde a > 1.

Exemplo 17. Suponha que uma certa quantidade de Moeda, digamos P0, e investidaem uma carteira de poupanca a uma taxa de r juros que compoe o capital inicial aofim de um determinado perıodo fixo de tempo, digamos trinta dias. Se nao houverretiradas, Qual quantidade de capital presente apos n > 1 perıodos ?

Resolucao ∗ Note que ao fim do primeiro perıodo o capital P1 e P0 composto coma parcela de juros rP0,o que nos da P1 = P0 + rP0 = P0(1 + r) .∗ Como nao ha retiradas, ao fim do segundo perıodo o capital P2 e composto da

seguinte forma P2 = P2 + rP2 = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = P0[1 + 2r+ r2] = P0(1 + r)2.∗ Analogamente, P3 = P2 + rP2 = P0(1 + r)2 + rP0(1 + r)2 = P0(1 + r)3

∗ Portanto, Pn = P0(1 + r)n.Veja que temos a seguinte funcao exponencial: f : N→ N tal que f(n) = P0(1+r)n.

Se tomarmos a = 1 + r, teremos f(n) = P0an que e a quantidade de capital presente

apos n perıodos.


1.2.16 Funcoes Trigonometricas

x

y

−1 1

−1

12

1

αsinα

cosα

tanα =sinα

cosα

No exemplo o angulo α e 30◦

(π/6 em radianos). O seno deα, que e o comprimento do seg-mento vermelho, e

sinα = 1/2.

Segue do Teorema de Pitagorasque cos2 α + sin2 α = 1. Enaoo comprimento do segmentoazul que e cosseno de α, deveser dado por

cosα =√

1− 1/4 = 12

√3.

Entao tanα, que e o compri-mento do segmento marrom edadao por

tanα =sinα

cosα= 1/

√3.

Lembrete sen (u+v) = senu cos v+senu cos v e cos(u+v) = cos u cos v−senusen v

O

A

G

X

B

6

-

• Lembrete Se, na circunferencia trigonometrica abaixo, x ∈ R for a medida doarco BX, teremos as coordenadas retangulares do ponto X dadas por (cos(x), sen (x)).Veja que o comprimento do segmento GX e o cosx e o comprimento do segmento AXe o senx . Entao, como o triangulo OGX e um triangulo retangulo cuja hipotenusatem comprimento um, segue do Teorema de Pitagoras que

cos2 x+ sen 2x = 1.


Se permitirmos que x percorra o conjunto dos numeros reais, teremos as funcoessen , cos : R→ [−1; 1] cujos graficos sao apresentados abaixo:

f(x) = cos x f(x) = sin x

Como se sabe

(i) sen (a+ b) = sen a cos b+ sen b cos a, e (ii) cos(a+ b) = cos a cos b− sen asen b.(1.2.10)

• Se a = b, segue de (1.2.10i) que

sen 2a = 2sen a cos b, (1.2.11)

e de (1.2.10ii) segue que

cos 2a = cos2 a− sen 2a. (1.2.12)

• Substituindo sen 2a = 1− cos2 a em (1.2.12), teremos

cos2 a =cos 2a+ 1

2. (1.2.13)

• Substituindo cos2 a = 1− sen 2a em (1.2.12), teremos

sen 2a =1− cos 2a

2. (1.2.14)

• Como cosx e uma funcao par, cos x = cos(−x) e senx e uma funcao ımpar,senx = −sen (−x). Entao

(i) sen (a− b) = sen a cos(−b) + sen (−b) cos a, sen (a− b) = sen a cos b− sen b cos a,e

(ii) cos(a− b) = cos a cos(−b)− sen a sen (−b), cos(a− b) = cos a cos b+ sen a sen b.(1.2.15)

1.3 Funcoes Limitadas

Definicao 10. Dada f : A ⊂ R→ B ⊂ R, dizemos que f e limitada em A se existiremM e N numeros reais tais que M ≤ f(x) ≤ N para todo x ∈ A .

Observacao 3. Se f : A ⊂ R → B ⊂ R for tal que M < f(x) < N , entao |f(x)| ≤max{|M |, |N |}. Neste caso M e um limitante inferior para f(x) e N a um limitantesuperior para f(x).

1.3. FUNCOES LIMITADAS 37

Observacao 4. Sejam f, h, g : R → R forem dadas por f(x) = −1, h(x) = cos(1

x

)e g(x) = 1, teremos f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ R. Veja na Figura a seguir ografico da funcao h.Como vemos a informacao de limitacao da funcao h nao nos assegura um compor-tamento sem oscilacoes para o conjunto Imagem da funcao h.

Exemplo 18. Seja f : R → R dada por f(x) =x

|x|+ 1. Mostre que M = −1 e

limitante inferior de f e N = 1 e limitante superior de f .

Resolucao Veja que∣∣∣ x

1 + |x|

∣∣∣ =|x|

1 + |x|≤ 1, por que na fracao

|x|1 + |x|

, o numerador e

menor que o denominador para todo x ∈ R. Por definicao de modulo −1 ≤ x

1 + |x|≤ 1.

Portanto, M = −1 e limitante inferior de f e N = 1 e limitante superior de f . Vejaainda que

f(x) =

x

x+ 1se x ≥ 0,

x

−x+ 1se x < 0.

Exemplo 19. Seja f : R − Sn → R, onde Sn = {π2

+ nπ, com n ∈ Z} dada por

f(x) =senx

cosx. Vemos facilmente que f nao e limitada. Veja figura abaixo.

1.3.1 DISTANCIAS

Se f : A ⊂ R→ B ⊂ R e uma funcao, entao tem-se x ∈ A e y = f(x) ∈ B. Se x0 ∈ Ae fixado, entao f(x0) ∈ B e podemos perguntar

• Se Dist(x, x0) < 2, entao podemos afirmar que Dis(f(x), f(x0) e menor que 3?


• Ha alguma relacao entre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0))?

Veja que na figura α (abaixo) se tomarmos f(x) = x2 para −2 ≤ x ≤ 2, teremos queDist(x, 0) < 2 e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))?Note que

Dis(f(x), f(0)) = |f(x)− f(0)| = |x2| = |(x− 0)(x− 0)| =

|(x− 0)||(x− 0)| = Dist(x, 0) ·Dist(x, 0) < 22 = 4.

-oxO

oy

4

(x, f(x))

−2 2

6

Figura α

Veja que na figura α se tomarmos f(x) = x2 para −2 ≤ x ≤ 2, teremos queDist(x, 0) < 1 e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))?Note que

Dis(f(x), f(0)) = |f(x)− f(0)| = |x2| = |(x− 0)(x− 0)| =

|(x− 0)||(x− 0)| = Dist(x, 0) ·Dist(x, 0) < 12 = 1.


a) Suponha que f : R → R, dada por f(x) = 3x − 4. Seja x ∈ R, tal queDist(x,−1) < 2. Vamos encontrar limites superior e inferior paraDist(f(x),−7).

Resolucao Veja que Dist(f(x),−7) = |f(x) − (−7)| = |3x − 4 + 7| = |3x +3| = |3(x + 1)| = 3Dist(x,−1) < 6. Portanto, um limitante inferior paraDist(f(x),−7) e M = −6 e um limitante superior para Dist(f(x),−7) e N = 6.Veja que ha relacao entre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0)).

b) Suponha que f : R → R, dada por f(x) = 3x − 1. Seja x ∈ R, tal queDist(x,−1) < 4. Vamos encontrar limites superior e inferior paraDist(f(x),−4).

Resolucao Veja que Dist(f(x),−4) = |f(x) − (−4)| = |3x − 1 − (−4)| =|3x+3| = |3(x+1)| = 3Dist(x,−1). Assim, Dist(f(x),−1) = 3Dist(x,−1) < 12.Portanto, um limitante inferior para Dist(f(x),−7) e M = −12 e um limitantesuperior para Dist(f(x),−7) e N = 12.

Exemplo 20. Suponha que f : R → R e dada por f(x) = (x + 2)(x − 1).Seja x ∈ R, tal que Dist(x,−1) < 2. Entao como f(x) = (x + 2)(x − 1) e seDist(x,−1) < 2, entao |x+ 1| < 2 e assim, −2 < x+ 1 < 2.

• Vemos que se somamos um em ambos os membros teremos −1 < x + 2 < 3 e|x+ 2|max{2, | − 1|} = 2 (veja Obeservacao 3).

• Em seguida se subtrairmos dois, teremos −3 < x− 1 < 0, o que nos da |x− 1| <max{| − 3|, 0} = 3 (veja Obeservacao 3).

Portanto,

Dist(f(x), 0) = Dist((x+2)(x−1), 0) = |(x+2)(x−1)| = |(x+2)||(x−1)| < 3·2 = 6.

Assim, esta definido um limitante inferior e superior para Dist(f(x), 0) .

-oxO

oy

4

(x, f(x))

−2−52

1 2

6

Figura 2


O grafico de f(x) = (x + 2)(x − 1) esta na Figura 2 acima. Localize o pontox0 = −1 e o conjunto dos pontos no eixo ox tal que Dist(x,−1) < 2 em seguidalocalize o conjunto dos pontos no eixo oy tal que Dist(f(x), 0) < 6.

Exemplo 21. Suponha que x ∈ R e tal que Dist(x, 2) < 1 e f(x) = x2 − 5x + 6.Vamos encontrar limites superior e inferior para Dist(f(x), 0).

Resolucao Como, Dist(x, 2) = |x − 2| < 1 usando a definicao de modulo temos−1 < x− 2 < 1, somando 5 nos tres membros da desigualdade teremos, 4 < x+ 3 < 6.Da Observacao 3 segue que se Dist(x, 2) < 1, entao |x+3| ≤ 6. Agora veja que f(x) =(x−2)(x+3), entao Dist(f(x), 0) = |x+3||x−2| < |x+3||x−2| ≤ 6Dist(x, 2). Assim,Dist(f(x), 0) ≤ 6Dist(x, 2) < 6. Portanto, um limitante inferior para Dist(f(x), 0) eM = −6 e um limitante superior para Dist(f(x), 0) e N = 6.

Exemplo 22. Suponha que x ∈ R e tal que Dist(x, 2) < 1 e f(x) = x2 + 4x − 21,encontre limitantes inferior e superior para Dist(f(x), 0).

Resolucao Vemos que f(x) = (x− 3)(x+ 7). Mas Dist(x, 2) < 1 nos faz ver que−1 ≤ x − 2 ≤ 1. Assim, 8 ≤ x + 2 ≤ 10. Segue que |x + 7| ≤ max{|9|; |10|} = 10.Entao |x + 7| ≤ 10. Ainda, Dist(f(x), 0) < |x + 7||x − 3| ≤ 10Dist(x, 2). Portanto,Dist(f(x), 0) ≤ 10Dist(x, 2) < 10 e esta definido um limitante inferior e superior para≤ Dist(f(x), 0) ≤ 10 .

1.3.2 Exercıcios

(i) Seja g : R → R dada por g(x) = 5x − 2. Se Dist(x, 45) < 1, encontre um limite

inferior e um limite superior para Dist(g(x), 2) (Use a Obeservacao 3).

(ii) Seja g : R → R dada por g(x) = 5x2 − 12x − 2. Se Dist(x, 25) < 1, mostre que

Dist(g(x),−6) ≤ βDist(x, 25). Resp β =

27

5(Use a Obeservacao 3). .

(iii) Seja h : R → R dada por h(x) = 5x2 − 12x − 2. Se Dist(x,−6) < 1. Encontreα > 0 tal que Dist(f(x),−6) ≤ αDist(x, 4).

(iv) Seja x ∈ R encontre limitantes inferior e superior para H(x) =x

1 + x2

(v) Seja x ∈ [−7, 9] encontre limitantes inferior e superior para H(x) = xsen (x)


(vi) Encontre limitantes inferior e superior para α(x) = x2−x−2 se α : [−4, 10]→ R(siga os passos do Exemplo 20).

(vii) Encontre limitantes inferior e superior para α(x) = x2− x− 2 se α : [−4, 5]→ R(siga os passos do Exemplo 20).

(viii) Uma companhia de televisao a cabo estima que com x milhares de assinantes, Ro faturamento e C os custos mensais (em milhares de unidades de moeda) saodados por

(a)

R(x) = 32x− 21

10x2,

C(x) =280

7+ 12x.

(b)

R(x) = 32x− 21

10x2,

C(x) =270

5+ 12x.

• Encontre os valores de x (numeros de assinantes) para os quais o faturamentoe igual ao custo.

Resp (a)280

21;

120

21Resp (b)

145

42;

155

42.

• Veja que faturamento e custo sao funcoes R,C : [0,100

7]→ R. Esboce o grafio

da funcao lucro. Determine a funcao lucro.

• Faca o grafico das funcoes faturamento e custo no mesmo plano cartesiano edetermine a regiao de lucro e regiao de perdas.

• Encontre limitantes inferior e superior para as funcoes, faturamento, custo elucro.


Chapter 2

Limite

Considere a funcao f(x) = 3x− 5 para x ∈ R. Seja x0 = 2 e L = 1.

Pergunta Quao proximo de x0 = 2 devemos tomar valores x para que a imagemcada um destes valores x pela funcao f que e f(x), esteja a uma distancia menor queum de L = 1 ?

Organizaremos nossa busca em duas etapas.

Primeiro Observemos a segunda parte da pergunta (a imagem de x pela funcaof dada por f(x) deve ficar a uma distancia menor que um de L = 1). Em linguagemMATEMATICA, o que queremos e resolver, para x 6= x0, a inequacao

Dist(f(x), 2) = |3x− 5− 1| < 1 = |3(x− 2)| < 1, ou seja, Dist(f(x), 2) = 3Dist(x, 2)

para todo x ∈ R, e assim, − 1

3< x− 2 <

1

3. Entao

5

6< x <

7

6.

Encontramos o conjunto solucao que procuravamos que, e o intervalo I = {x ∈ R,5

6<

x <7

6}. Note que I contem x0 = 2, mas x0 = 2 nao e exatamente ponto medio de

I (centro de I). Ainda, veja que nao exigimos que os valores de x ∈ I, para os quaiscalculamos o valor f(x), assuma o valor x0.

Segundo

Dado ε = 1 (epsilon igual a um), estaremos satisfeitos se determinarmos um numero

real δ > 0 (δ = min{|56|, |7

6|} ver Observacao 3), tal que (2 − δ, 2 + δ) ⊂ I, e se x ∈

(2− δ, 2 + δ) os calculos feitos acima nos mostram que a imagem deste x pela funcao f ,que e f(x), estara a uma distancia menor que um (ε = 1) de L = 2 (Dist(f(x), 1) < 1)).Portanto, f(x) ∈ (1− ε, 1 + ε) = (0, 2)

2.0.1 Exercıcios

(i) Considere a funcao f(x) = 4x− 2 para x ∈ R. Seja x0 = 2 e L = 6.

43

44 CHAPTER 2. LIMITE

Pergunta Quao proximo de x0 = 2, devemos tomar x para que a imagem destex pela funcao f , que e dada por f(x), esteja a uma distancia menor que 1

2de

L = 6 ?

Sugestao : siga os passos do exemplo anterior.

(ii) Considere a funcao f(x) = 3x − 2 para x ∈ R. Seja x0 = 2 e L = 4 siga ospassos do exemplo anterior e resolva o problema a segiur .

Pergunta Quao proximo de x0 = 2, devemos tomar x para que a imagem destex pela funcao f dada por f(x) = 3x − 2 fique a uma distancia menor que 1

2de

L = 4 ?

Pergunta Quao proximo de x0 = 5, devemos tomar x para que a imagem destex pela funcao f dada por f(x) = 3x + 1 fique a uma distancia menor que 1

3de

L = 16 ?

(iii) Considere a funcao f(x) = 2x2 − 3 para x ∈ R . Seja x0 = 1 e L = −1. sigaos passos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos doExemplo 20).

Pergunta Quao proximo de x0 = −1, devemos tomar x para que a imagemdeste x pela funcao f , f(x) fique a uma distancia menor que 1

2de L = −1 (siga

os passos do Exemplo 20).

Pergunta Dado ε > 0, quao proximo de x0 = 5, devemos tomar x para que aimagem deste x pela funcao f , f(x) fique a uma distancia menor que ε > 0 deL = −1 (siga os passos do Exemplo 20) ?

(iv) Considere a funcao f(x) = 2x2 + x− 3 para x ∈ R . Seja x0 = 1 e L = 0. sigaos passos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos doExemplo 20).

2.0.2 Ponto de Acumulacao e Definicao de Limite

Dado um subconjunto de numeros reais A (A ⊂ R), um numero real x0 e ponto deacumulacao de A se qualquer intervalo aberto J contendo x0, tambem contem infinitospontos de A.

Exemplo 23. Seja A = { xn ∈ R tal que xn =1

n} e x0 = 0.

Note que, x0 = 0 e ponto de acumulacao de A e x0 nao e elemento de A.

Exemplo 24. Seja A = { x ∈ R tal que − 1 ≤ x ≤ 2 }.

Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A.

Exemplo 25. Seja A = { x ∈ R tal que − 1 < x ≤ 2 }.

45

Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A. Ainda, x0 = −1 nao eelemento de A, mas tambem e ponto de acumulacao de A.

Definicao 11. Dada f : A ⊂ R→ R e x0 um ponto de acumulacao de A, dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 e um numero real L, se dado ε (epsilon)numero real positivo ( ε > 0), existir δ ∈ R positivo (δ > 0) tal que se x estiver auma distancia de x0 menor que δ, a imagem deste x por f que e f(x), estaraa uma distancia de menor que ε de L.

Em linguagem Matematica, escervemos limx→x0

f(x) = L.

Exemplo 26. Considere f : R→ R, dada por a funcao f(x) = 3x− 2, para x ∈ R.Mostre que lim

x→23x− 2 = 4.

Resolucao Vamos seguir os passos dos ıtnes (a) e (b), anterior ao Exemplo 20e posteriormente a Definicao 11. Observe que x0 = 2 e L = 4. Dado ε > 0, vamoscalcular a distancia de f(x) ate 4. Isto e,

Dist(f(x), 4) = |f(x)− 4| = |3x− 2− 4| = |3x− 6| = |3(x− 2)| = 3|x− 2|. (2.0.1)

Veja que Dist(f(x), 4) = 3Dist(x, 2) para todo x ∈ R. Ainda, note que, se a

distancia de x a 2 for menor que δ =ε

3, teremos Dist(x, 2) = |x− 2| < ε

3e a imagem

deste x pela funcao f , que e dada por f(x) estara a uma distancia menor que ε deL = 4. Veja as contas abaixo:

Dist(f(x), 4) = |f(x)− 4| = 3|x− 2| = 3Dist(x, 2) < 3( ε

3

)= ε.

Portanto, limx→2

3x− 2 = 4.

Teorema 2. Dadas f, g : A ⊂ R → R duas funcoes e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que

(i) f(x) = g(x) para todo x em A, que seja diferente de x0.(ii) lim

x→x0

g(x) = g(x0).

Entao o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 tambem e L. Isto e, limx→x0

f(x) =

g(x0).

Exemplo 27. Tomemos f : R → R dada por f(x) =x2 − 4

x− 2. Vamos calcular

limx→2

x2 − 4

x− 2.


ResolucaoNote que, o numerador e o denominador da fracao envolvida na expresao de f(x)

sao polinomios de graus diferentes. Entao ha a possibilidade de realizarmos a divisaode um polinomio pelo outro. Neste caso teremos

f(x) =(x− 2)(x+ 2)

x− 2

x 6=2= x+ 2.

• Tome g : R→ R, dada por g(x) = x + 2. Note que, g e f satisfazem a hipotese (i)do Teorema 2, ou seja f(x) = g(x) para x 6= 2. Veja que nao podemos calcular f(2).? O limite de g(x) quando x se aproxima de x0 = 2 e 4. Em linguagem Matematicalimx→2

x + 2 = 4. A seguir usaremos a Definicao 11 e provaremos esta ultima afirmacao.

Dado ε > 0, tome δ = ε. Como em (2.0.1) vamos calcular a distancia de g(x) ateL = 4.

|g(x)− 4| = |x+ 2− 4| = |x− 2|.

Veja que, se x estiver a uma distancia menor que δ de 2 (|x − 2| < δ ), a imagemdeste x pela funcao g que e dada por g(x), estara a uma distancia menor que ε de 4(|g(x) − 4| < ε). Entao, a Definicao 11 nos garante que lim

x→2g(x) = lim

x→2x + 2 = 4.

Agora a segunda hipotese do Teorema 2 esta satisfeita. Portanto, o Teorema 2 nos

asegura que limx→

x2 − 4

x− 2= 4 = g(2).

Observacao 5. Dizemos que o limite limx→x0

f(x) existe se ele for um numero real.

Exemplo 28. Seja a funcao for dada por

f(x) =

{x2 se x 6= 2,0 se x = 2.

(2.0.2)

Mostre que limx→2

f(x) = 4

Resolucao Seja ε > 0. Devemos encontrar δ > 0 tal que se

Dist(x, 2) < δ, entao Dist(f(x), 4) < ε.

Vamos calcular a distancia de f(x) a 4.

Dist(f(x), 4) = |f(x)− 4| = |x2 − 4| = |(x+ 2)(x− 2)| =

|x+ 2||x− 2| = |x+ 2|Dist(x, 2)(2.0.3)

Vemos que em (2.0.3) Dist(f(x), 4) e o produto do fator |x + 2| pela Dist(x, 2), oque faz entender que o fator |x + 2| deve ser estudado com detalhes. Queremos saberqual e o tamanho do fator |x+ 2| quando x estiver perto de 2. Vamos supor que x naose afasta de 2 mais que uma unidade, isto e Dist(x, 2) < 1 (a distancia de x ate 2 emenor que um).

47

Dist(x, 2) = |x− 2| < 1 implica que − 1 < x− 2 < 1, entao 1 < x < 3,

Somando 2 em ambos os membros da ultima desigualdade teremos 3 < x+2 < 5. Vejaque conseguimos uma limitacao para o fator |x + 2| se tomarmos valores x que naose afastam de 2 mais que uma unidade. Neste caso, se voltarmos em (2.0.3) e veremosque

Dist(f(x), 4) < 5Dist(x, 2), sempre que x

for escohido tal que Dist(x, 2) < 1.(2.0.4)

Agora, dado ε > 0 tomemos δ = min{1, ε5}. Observe que se Dist(x, 2) < δ, entao

Dist(x, 2) < 1 e assim, ao tomarmos valores x que nao se afastam de 2 mais queuma unidade, (2.0.4) sera verdadeiro. Mas, Dist(x, 2) < δ tambem nos faz ver que

Dist(x, 2) <ε

5, ou seja, estamos tomando valores x que nao se afastam de 2 mais que

ε

5unidades. Assim, tambem segue de (2.0.4) que

Dist(f(x), 4) < 5ε

5= ε.

Portanto, se for dado ε > 0, tomamos δ = min{1, ε5} e se

Dist(x, 2) < δ, entao Dist(f(x), 4) < ε, ou seja limx→2

x2 = 4.

Observacao 6. Note que no exemplo 28, limx→2

x2 = 4, mas a imagem de x0 = 2 pela

funcao f e zero (f(2) = 0). Ainda, na figura abaixo vemos o grafico de duas funcoesdelas, hm : R→ R dadas por

h(x) =

{x2 − 6x+ 10, se x 6= 30 se x = 3

e m(x) =

{x2 − 4x+ 1, se x < 3,x2 − 4x+ 3 se x ≥ 3.

2.0.3 Propriedades de Limite

Teorema 3. Seja f : A ⊂ R → R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Se existiro limite lim

x→x0

f(x) ele e unico .

Prova Como por hipotese o limite limx→x0

f(x) existe, entao existe um numero real L

tal que limx→x0

f(x) = L. Suponha (por absurdo) que existe M ∈ R tal que limx→x0

f(x) =


M . Vamos mostrar que M ’e igual a L. Ou seja que a diferenca L −M e zero. DaDefinicao 11, segue que dado ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tal que

|f(x)− L| < ε

2, se |x− x0| < δ1 e |f(x)−M | < ε

2, se |x− x0| < δ2.

Agora tome δ = min{δ1, δ2}. Veja que, se |x−x0| < δ, entao |x−x0| < δ1 e |x−x0| < δ2.Portanto,

|L−M | = |L+ [f(x)− f(x)]−M | ≤ |f(x)− L|+ |f(x)−M | < ε

2+ε

2= ε.

Note que, a diferenca |L−M | nao negativa e menor que qualquer numero real positivo.Isto significa que ela tem que ser zero, entao M = L.

Exemplo 29. Seja f : [−6, 8] − {−4} → R, cujo grafico esta esbocado na Figura aseguir:

Veja que ha uma dificuldade para se obter limx→1

f(x). Podemos ver que este limite

nao poderf ser calculado porque a Definicao 11 nao vale para este limite. Por outrolado, vemos que existe lim

x→−4f(x) = 2 e lim

x→6f(x) = 5. Note que −4 /∈ Dm(f), mas o

limite limx→−4

f(x) pode ser calculado, e apesar de 6 ∈ Dm(f) e o limite limx→6

f(x) poder

ser calculado, limx→6

f(x) 6= f(6) = 2.

49

Teorema 4. Sejam m e n numeros reais. Se f : R→ R for dada por f(x) = mx+ ne x0 estiver no domınio de f , entao lim

x→ x0

f(x) = f(x0) = mx0 + n.

Prova : Suponhamos m 6= 0. Dado ε > 0, seja δ =ε

|m|. Como antes, vamos

calcular a distancia de f(x) ate o numero real f(x0) = mx0 + n,

|f(x)− f(x0)| = |mx+ n− (mx0 + n)| = |m(x− x0)| = |m||x− x0|.

Veja que, se x estiver a uma distancia menor queε

|m|de x0, isto e se

|x− x0| <ε

|m|, entao |f(x)− f(x0)| = |m||x− x0| < |m|

ε

|m|= ε.

Portanto, distancia de f(x) ate f(x0) sera menor que ε. Segue da Definicao 11 quelimx→ x0

f(x) = f(x0) = mx0 + n. O caso m = 0 deve ser provado pelo leitor

Teorema 5. Dadas f ; g : A ⊂ R→ R e x0 ponto de acumulaca ao de A. Suponhamosque

limx→ x0

f(x) = L ∈ R. e limx→ x0

g(x) = M ∈ R. (2.0.5)

Entao,

(A) limx→ x0

[f(x) + g(x)] = limx→ x0

f(x) + limx→ x0

g(x) = L+M. (2.0.6)

(B) limx→ x0

[f(x).g(x)] = limx→ x0

f(x). limx→ x0

g(x) = L.M. (2.0.7)

(C) Se M 6= 0, entao limx→ x0

f(x)

g(x)=

limx→ x0

f(x)

limx→ x0

g(x)=

L

M. (2.0.8)

(D) Se x ≥ 0, limx→ x0

q√xp = q

√(x0)p = (x0)

pq , para todo p, q ∈ Z, q 6= 0. (2.0.9)

(E) Se x < 0, limx→ x0

q√xp = q

√(x0)p = (x0)

pq , para todo q ımpar e p ∈ Z. (2.0.10)

A prova deste Teorema pode ser encontrada na literatura proposta na ementa destadisciplina e sera omitida.

Exemplo 30. Encontre o limx→3

x2 − x+ 7.


Resolucao limx→3

x2−x+ 7ver(2.0.6)

= limx→3

x2− limx→3

x+ limx→3

7ver(2.0.9)

= 32− 3 + 7 = 13.

Exemplo 31. Encontre o limx→3

x3 − 27

x− 3.

Resolucao Note que, x0 = 3 e a funcao para a qual queremos calcular o limitee dada pela razao entre dois polinomios de graus diferentes. Ainda, x0 e raiz donumerador e do denominador da razao envolvida. O que nos sugere a fatoracao dospolinomios para eliminarmos aqueles fatores que sejam comuns.

f(x) =x3 − 27

x− 3=

(x− 3)[x2 + 3x+ 9]

x− 3=x− 3

x− 3[x2 + 3x+ 9]

x 6=3= [x2 + 3x+ 9] = g(x)

Veja que, f e g satisfazem a primeira hipotese do Teorema 2. Ainda, pelo Teorema 5temos lim

x→3x2 +3x+9 = 27. Portanto, a segunda hipotese do Teorema 2 esta satisfeita.

O que no faz concluir que limx→3

x3 − 27

x− 3= lim

x→3x2 + 3x+ 9 = 27.

Exemplo 32. Seja f : R→ R dada por

f(x) =

x3 − 27

x− 3; se x 6= 3;

9, se x = 3.

Resolucao Note que, pelo exemplo anterior limx→3

x3 − 27

x− 3= 27. Mas, veja que f(x0) = 9

que e diferente do limite.

Teorema 6. Dada f : A ⊂ R → R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A,suponha que lim

x→x0

f(x) = L ∈ R. Entao para todo numero inteiro positivo n tem-se

limx→x0

[f(x)]n = Ln.

Veja que limx→3

x5 = 35.

2.0.4 Exercıcios

Considere os limites abaixo. Retome as ideias acima e para cada um dos valores de ε;ε = 1; ε = 1

2; ε = 1

3encontre um δ > 0 que satisfaca a definicao 11.

1 (i) limx→2

6x+ 5 = 17 (ii) limx→−2

x2 − 3x+ 9 = 19 (iii) limx→−2

(x2 + 2x− 1) = −1

(ii) limx→−3

x2 − 9

x+ 3= −6. (ii) lim

x→3

x2 − 9

x− 3= 6.

51

2 (Leithold vol I, Exc 2.5 p 73 / resp. A 65) Encontre o valor do limite e conformeo caso indique os teoremas usados.

(i) limx→2

(x2 +2x−1) (ii) limx→2

x2 − 5

2x3 + 6(iii) lim

y→−2

y3 + 8

y + 2(vi) lim

x→−3

x2 + 5x+ 6

x2 − x− 12

(v) limr→1

√8r + 1

r + 3(vi) lim

y→−3

√y2 − 9

2y2 + 7y + 3(vii) lim

x→0

√x+ 2−

√2

x(Racionalize

o numerador) (viii) limh→0

√h+ 1− 1

h(ix) lim

x→3

2x3 − 5x2 − 2x− 3

4x3 − 13x2 + 4x− 3

Respostas ( 7, − 122

, 12, 17, 3

2, 1

5

√30, 1

4

√2, 1

3, 11

17).

3 Suponha que limx→0

f(x) = 1, limx→0

g(x) = −5, limx→1

h(x) = 5, limx→1

p(x) = 1 e

limx→1

r(x) = −2. Especifique as regras (Teoremas) que estao sendo utilizadas

para efetuar os calculos do seguinte limites:

(i) limx→0

2f(x)− g(x)

[f(x) + 7]23

=7

4(ii) lim

x→1

√5h(x)

p(x)[4− r(x)]=

5

6(iii) lim

x→0f(x)g(x) = −5

(iv) limx→0

f(x)

[f(x)− g(x)]23

(v) limx→0

x2f(x)− g(x)

[f(x) + 7]23

(vi) limx→1

(x2 − 1)

√5h(x)

p(x)[4− r(x)]= 0

(vii) limh→0

√h+ 3−

√3

h(viii) lim

t→0

2−√

4− tt

(ix) limh→ 3

2

√8t3 − 27

4t2 − 9

4 Em cada item abaixo calcule limx→a

f(x)− f(a)

x− a; a ∈ R, a 6= 0.

(i) f(x) = 3√x, R.

1

33√a2

; (ii) f(x) = 4√x, R.

1

44√a3

; (iii) f(x) = 5√x, R.

1

55√a4

; (iv) f(x) = x−2, R. −2a−3; (v) f(x) = x−3, R. −3a−4;

5 a Verifique que se f(x) = x2 + 5x− 3, entao limx→2

f(x) = f(2)

b Verifique que se g(x) =x2 − 4

x− 2, entao lim

x→2g(x) = 4; mas que g(2) nao esta

definida.

c Dada a funcao f , em cada um dos casos, verifique se limx→3

f(x) = f(3)

f(x) =

{x2 − 9, se x 6= 34, x = 3.

f(x) =

{x2−9x+3

, se x 6= 3

4, x = 3.


2.0.5 Limites Laterais

Definicao 12. Dada f : A ⊂ R→ R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Suponhaexiste r > 0 tal que o intervalo aberto (x0 − r, x0) e subconjunto de A. Dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 pela esquerda de x0 e L, se dado ε > 0,existir δ > 0 tal que para todo x < x0 e dist(x, x0) < δ tivermos dist(f(x), L) < ε.

Notacao limx→x−0

f(x) = L.

-oxO

oy

^

_

(x, f(x))

1

◦

−1− ε

−1 + ε

ε = δ(

x

...

...

.........

·

6

Figura 1

Exemplo 33. Seja

f(x) =

{1, se x > 0,−1, se x ≤ 0,

Note que, x0 = 0 e L = −1, entao dado ε > 0, o intervalo (0− ε, 0) e subconjuntodo domınio de f . Note ainda que, se tomarmos δ = ε, veremos que, se x ∈ (−ε, 0)entao dist(x, 0) < δ ou seja |x| < δ, e dist(f(x), 0) = | − 1 + 1| = 0 < |x| < ε.

Definicao 13. Dada f : A ⊂ R→ R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x0, x0+r) e subconjunto de A. Dizemosque o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 pela direita de x0 e L se dado ε > 0,existir δ > 0 tal que para todo x > x0 e dist(x, x0) < δ tivermos dist(f(x), L) < ε.

Notacao limx→x+

0

f(x) = L.

Exemplo 34. Seja f(x) =

{1, se x > 0,−1, se x ≤ 0,

53

-oxO

oy

_

^

(x, f(x))◦

1 + ε

1− ε

ε = δ

f(1) = 1

)x

...

...

...

...

...

·

6

Figura 2

Note que, x0 = 0 e L = 1. Dado ε > 0 que o intervalo (0, ε) e subconjunto dodomınio de f . Note ainda que, se tomarmos δ = ε, veremos que se x ∈ (0, ε) = (0, δ)entao dist(x, 0) < δ, ou seja |x| < δ, e dis(f(x), 0) = |1− 1| = 0 < |x| = x < ε.

Teorema 7. Dada f : A ⊂ R → R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.O limite de f(x) quando x se aproxima de x0 existe se e somente se os limites lateraisexistirem e forem iguais; ou seja lim

x→x0

f(x) = L ∈ R se e somente se limx→x−0

f(x) = L ∈

R; limx→x+

0

f(x) = M ∈ R e L = M .

Segue do Teorema 7 nos diz que se f for a funcao dada no exemplo 34 entao olimx→0

f(x) nao existe.

Exemplo 35. Seja f : [−4; 6] ∈ R funcao cujo grafico esta dado abaixo:

Veja que limx→1−

f(x) = 4 e limx→1+

f(x) = −2. Do Teorema 7 segue que limx→1

f(x) nao existe.


2.0.6 Exercıcios

(i) Calcule os limites:

(i) limx→π+

x2 − π2

π − x, Resp 0; (ii) lim

x→π−

x2 − π2

π − x, Resp 0

(iii) limx→π+

|x− π|2π − 2x

, Resp −12; (iv) lim

x→π−

|x− π|2π − 2x

, Resp 12.

2 Calcule os limites:

(i) limz→3−

|z − 3|z2 − 4z + 3

, Resp 12

(ii) limz→3+

|z − 3|z2 − 4z + 3

, Resp 12.

(iii) limu→−1+

u2 − 6u− 7

u3 + 1, Resp −8

3. (iv) lim

u→−1−

u2 − 6u− 7

u3 + 1, Resp −8

3.

(v) limz→2

|z3 − x− 6|2z2 + z − 10

, Resp 119

. (vi) limu→−1

|u2 − 6u− 7|u3 + 1

, Resp 83.

A equacao ax2 + 2x− 1 = 0, com a ∈ R uma constante, apresenta duas raızes sea > −1, uma positiva e a outra negativa.

r+(a) =−1 +

√1 + a

ae r−(a) =

−1−√

1 + a

a.

(a) O que acontece a funcao r+(a) quando a→ 0 ? Quando a→ −1+ ?

(a) O que acontece a funcao r−(a) quando a→ 0 ? Quando a→ −1+ ?

Fundamente suas conclusoes tracando os graficos de r+(a) e r−(a) em funcao dea. Descreva o que voce observa.

3 limx→a|x − a|, tome a = 5, a = 2 e a = 6. lim

x→a

|x2 − a2|x− a

, tome a = 5, a = 2 e

a = 6.

2.1 LIMITES INFINITO E NO INFINITO

Definicao 14. Dada f : (a,∞) → R uma funcao. Dizemos que o limite de f(x)quando x se aproxima do infinito e L se dado ε > 0, existir N ∈ R positivo tal que,para cada x > N tem-se dist(f(x), L) < ε.

2.1. LIMITES INFINITO E NO INFINITO 55

-oxO

_ b+ ε

^ b− ε •N x

•

f(x)

oy

(x,

bx2

(x− a)2

)y = b

x = a

6

Figura 3

Exemplo 36. Seja f : R− {0} → R dada por

f(x) =1

xentao temos lim

x→∞f(x) = 0.

Observe que L = 0. Dado ε > 0, tome N0 ∈ N (numero natural) tal que1

N0

< ε.

Note que se x > N0 entao 0 <1

x<

1

N0

< ε. Mas1

x= dist(f(x), 0) = dist(f(x), L) < ε.

Portanto, pela definicao 14, limx→∞

f(x) = 0.

Definicao 15. Dada f : (−∞, b) → R uma funcao. Dizemos que o limite de f(x)quando x se aproxima de menos infinito e L, se dado ε > 0, existir M ∈ R negativotal que, para todo x < M tem-se dist(f(x), L) < ε.


-oxO

_b+ ε

^b− ε•Mx

•

f(x)

oy

(x,

bx2

(x− a)2

)y = b

x = a

6

Figura 4


f(x) =1

xentao temos lim

x→∞f(x) = 0.

Observe que L = 0. Dado ε > 0, tome M0 ∈ Z ( inteiro negativo ) tal que1

|M0|< ε. Note que se x < M0 entao 0 <

1

|x|<

1

|M0|< ε. Mas

1

|x|= dist(f(x), 0) =

dist(f(x), L) < ε. Portanto, pela definicao 15, limx→∞

f(x) = 0.

Teorema 8. Sejam r for um numero real positivo qualquer, α e β numeros reaisquaisquer, entao

(i) limx→∞

α

xr= 0 e (ii) lim

x→−∞

β

xr= 0.

Demonstracao : Vamos supor que α > 0. Dado ε > 0 tome M =α

1r

ε1r

> 0. Veja

que M r =α

εe que se x > M entao xr > M r e assim,

α

xr<

α

M r= α

ε

α= ε. Como

f(x) =1

xr, temos que se x > M , f(x) < ε. Portanto, segue da Definicao 14 que


limx→∞

α

xr= 0.

As outras da prova partes deste Teorema sera omitida. O leitor pode encontra-laem algum dos livros citados na bibliografia desta disciplina.

Exemplo 38. Seja f : (0,∞) → R funcao cujo grafico aparece esbocado na fuguraabaixo. Podemos ver que lim

x→∞f(x) = L.

Veja que dad ε > 0 existe M > 0 tal que se x > M entao f(x) ∈ (ε− L; ε+ L).


f(x) =1

x2.

Veja que neste exemplo temos r = 2 e α = β = 1. Entao pelo Teorema 8, temos

limx→∞

1

x2= 0 e lim

x→−∞

1

x2= 0.

Exemplo 40. Dada f(x) =4x− 3

5x+ 5. Calcule lim

x→∞f(x).

Note que4x− 3

5x+ 7=

4− 3x

5 + 7x

para todo x ∈ R nao nulo. Ainda, pelo Teorema 8,

limx→∞

3

x= 0. Analogamente, lim

x→∞

7

x= 0. Portanto, podemos nos valer do Teorema 5(C)

para ver que

limx→∞

4x− 3

5x+ 7= lim

x→∞

(4− 3

x

)(

5 + 7x

) =limx→∞

(4− 3

x

)limx→∞

(5 +

7

x

) =4

5.


2.1.1 Limites Infinitos

Definicao 16. Seja f : A ⊂ R→ R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x ∈ (x0 − r, x0) ⊂ A. Dizemos que o limite def(x) quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e infinto se dado N0 ∈ N existe δ > 0tal que para cada x ∈ (x0 − δ, x0) tivermos f(x) > N0.


f(x) =∞.

-

6

x0 − ε

oxO

oy

(x

f(x)

·...

...

...

...

...

...

...

...

...· · · · · ·•N0

(x, f(x))

x0

6

Figura 5

Definicao 17. Seja f : A ⊂ R → R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que existe r > 0 tal que x ∈ (x0 − r, x0) ⊂ A. Dizemos que o limitede f(x) quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e menos infinto se dado N1 ∈ N,N1 < 0, existe δ > 0 tal que para cada x ∈ (x0 − δ, x0) tivermos f(x) < N1.


f(x) = −∞.

Teorema 9. Sejam f, g : A ⊂ R → R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponha que

limx→x−0

g(x) = 0 e limx→x−0

f(x) = α ∈ R, com α > 0 (2.1.11)

(i) Se existir δ > 0, tal que se x ∈ (x0− δ, x0), tem-se g(x) > 0, entao limx→x−0

f(x)

g(x)=

∞.

(ii) Se existir ε > 0, tal se x ∈ (x0−ε, x0), tem-se g(x) < 0, entao limx→x−0

f(x)

g(x)= −∞.


Definicao 18. Seja f : A ⊂ R → R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que existe r > 0 tal que x ∈ (x0, x0 + r) ⊂ A. Dizemos que o limitede f(x) quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e menos infinto se dado M1 ∈ Z,M1 < 0, existir δ > 0 tal que para cada x ∈ (x0, x0 + δ) tivermos f(x) < M−.

Notacao limx→x+

0

f(x) = −∞.

Definicao 19. Seja f : A ⊂ R→ R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x ∈ (x0, x0 + r) ⊂ A. Dizemos que o limite def(x) quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e infinto se dado M0 ∈ N, existir δ > 0tal que para cada x ∈ (x0, x0 + δ) tivermos f(x) > M0.

Notacao limx→x+

0

f(x) =∞.

Teorema 10. Sejam f, g : A ⊂ R→ R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponha que

limx→x+

0

g(x) = 0 e limx→x+

0

f(x) = α ∈ R, com α > 0 (2.1.12)

(i) Se existir δ > 0, tal que se x ∈ (x0, x0 +δ), tem-se g(x) > 0, entao limx→x+

0

f(x)

g(x)=

∞.

(ii) Se existir ε > 0, tal que se x ∈ (x0, x0 + ε), tem-se g(x) < 0, entao limx→x+

0

f(x)

g(x)=

−∞.

Exemplo 41. Seja h : (−5; 5) → R dada por h(x) =x2 + 2

x2 − 4se x 6= 2 e x 6= −2.

Calcule limx→2−

x2 + 2

x2 − 4e limx→2+

x2 + 2

x2 − 4.

Resolucao Veja que o sinal de x2 − 4 e dado por

-oxO-2 2

• •+ + + + + + + + + +− − − − − −

(i) Defina f(x) = x2 + 2 e f(x) = x2 − 4. Note que limx→2−

g(x) = 0 e limx→2−

f(x) =

6 > 0 (ver (2.1.12)). Ainda, se 0 < δ < 1 e x ∈ (2, 2 + δ), g(x) > 0, isto e, aimagem de cada um destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x), e umnumero real positivo (ver figura acima)). Entao, podemos nos valer do primeiro

item do Teorema 10 para obtermos limx→2+

x2 + 2

(x2 − 4)=∞.


(ii) Defina f(x) = x2 + 2 e g(x) = x2 − 4. Note agora que limx→2+

g(x) = 0 e

limx→2+

f(x) = 6 > 0 (ver (2.1.11)). Ainda, se 0 < ε < 1 e x ∈ (2− ε, 2), g(x) < 0,

isto e, a imagem de cada um destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x),e um numero real negativo (ver figura acima ). Entao, podemos nos valer do

primeiro item do Teorema 16 para obtermos limx→2−

x2 + 2

(x2 − 4)= −∞.

Teorema 11. Sejam f ; g : A ⊂ R→ R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

(i) limx→x+

0

g(x) = L ∈ R e limx→x+

0

f(x) =∞.

Entao(i) lim

x→x+0

g(x)f(x) =∞ se L > 0.

(ii) limx→x+

0

g(x)f(x) = −∞ se L < 0.

Teorema 12. Sejam f ; g : A ⊂ R → R funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

(i) limx→x−0

g(x) = L ∈ R e limx→x−0

f(x) =∞.

Entao(i) lim

x→x−0g(x)f(x) =∞ se L > 0.

(ii) limx→x−0

g(x)f(x) = −∞ se L < 0.

Exemplo 42. Seja h : A ⊂ R → R dada por h(x) =x2 + 3x+ 4

−3x2 + 15x− 12. Calcule

limx→4

h(x).

Resolucao Vamos denominar por g(x) = x2 + 3x + 4 e f(x) = −3x2 + 15x − 12.Veja que x0 = 4 e raiz de g(x). Entao por divisao de polinomios obtemos g(x) =−3(x− 3

2)(x− 4) e assim o sinal de g(x) e dado por.

-oxO3

24

• •− − − − − − − − − −+ + + + + + +

Tambem vemos que para calcular o limx→4

h(x) teremos que calcular limx→4−

h(x) e

limx→4+

h(x).


• Vamos calcular prmeiro limx→4−

h(x). Como limx→4

f(x) = limx→4

x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e

existe δ > 0 tal que se 4 − δ < x < 4 tem-se f(x) > 0 (veja figura acima), segue do

Teorema 6i que limx→4−

f(x) = limx→4−

x2 + 3x+ 4

−3x2 + 15x− 12=∞.

• Calcular agora limx→4+

h(x). Como limx→4

f(x) = limx→4

x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e existe

δ > 0 tal que se 4 < x < 4 + δ tem-se f(x) < 0 (veja figura acima), segue do Teorema

6ii que limx→4+

f(x) = limx→4+

x2 + 3x+ 4

−3x2 + 15x− 12= −∞. Podemos afirma que nao existe

nenhum dos limites limx→4−

f(x), limx→4+

f(x) e limx→4

f(x).

Exemplo 43. Calcule (a ) limx→3+

x2 + x+ 2

x2 − 2x− 3e ( b ) lim

x→3−

x2 + x+ 2

x2 − 2x− 3.

Note que, limx→3

g(x) = limx→3

x2 +x+2 = 14 = L > 0 e limx→3

f(x) = limx→3

x2−2x−3 = 0.

Ainda, f(x) = (x− 3)(x+ 1) e o sinal de f(x) aparece na figura abaixo:

-

−1 3• •

+ + + − − −− − − + + +)3 + δx

•

(a) Veja na figura que, se δ > 0 e x ∈ (3 ; 3 + δ) a imagem de x por f que e dada porf(x), e positiva. Como lim

x→3g(x) = lim

x→3x2 + x + 2 = 14 = L > 0, Teorema 6(iii) nos

faz concluir

limx→3+

x2 + x+ 2

x2 − 2x− 3=∞.

(b) Veja tambem na figura que, se δ > 0 e x ∈ (3 − δ ; 3) a imagem de x por f quee dada por f(x), e negativa. Como lim

x→3g(x) = lim

x→3x2 + x + 2 = 14 = L > 0, a parte

Teorema 6(ii) nos faz concluir

limx→3+

x2 + x+ 2

x2 − 2x− 3= −∞.

2.1.2 Exercıcios

1 Calcule os limites,

(i) limx→4+

x

x− 4; R. ∞; (ii) lim

h→2+

h+ 2

h2 − 4; R. ∞; (iii) lim

t→2−

t+ 2

t2 − 4; R. −∞;

(iv) limx→0−

√3 + x2

xR. −∞; (v) lim

x→3+

√x2 − 9

x− 3; R. ∞, (vi) lim

x→0−

√3 + x2

x; R.


−∞;

(vii) limx→0

√3 + x2

x; (viii) lim

h→3

h2

9− h2(ix) lim

x→∞

5x2 + 8x− 3

3x2 + 3; R 5

3.

(x) limx→−∞

5x2 + 8x− 3

3x2 + 3; R 5

3. (xi) lim

x→−∞

2x2 − 3

7x+ 4; R−∞. (xi) lim

x→−∞

−4x3 + 7x

2x2 − 3x− 10;

R ∞.

Encontre os limites a seguir. (i) limh→+∞

2h2 + 1

5h2 − 2; (ii) lim

x→+∞

x2 + 4

3x3 − 6; (iii)

limy→+∞

√y3 + 4

y + 4; (iv) lim

x→−∞

4x3 + 2x2 − 6

8x3 + x+ 2; (v) lim

x→+∞

√x2 + 1− x.

(Resp. 25, 0, ∞, 1

2, 1).

(vi) limx→±∞

x2 − 2x+ 5

7x3 + x+ 1(vii) lim

x→−∞

√x2 + 4

x+ 4(viii) lim

x→±∞

3x4 − 7x2 + 2

2x4 + 1.

(vii) Seja h : A ⊂ R → R dada por h(x) =x2 + 3x+ 4

−3x3 + 15x− 12. Calcule lim

x→1h(x),

limx→∞

h(x) e limx→−∞

h(x).

2 Investigue a continuidade das funcoes a seguir, e indique os pontos de descon-tinuidade em cada item:

(a) f(x) =

−2x+ 1, −∞ < x ≤ −1;x2 − 3x− 4, −1 < x ≤ 2;−x+ 1, 2 < x < 5.

(b) g(x) =

x2 + 1, −∞ < x < 1;x2 − 3x− 4, 1 ≤ x ≤ 2;−x+ 1, 2 < x <∞.

(c) f(x) =

2x+ 1, −∞ < x ≤ −2;log2(x+ 1), −2 < x ≤ 2;1

x; x > 2.

(d) g(x) =

2x+2, −∞ < x < 0;x2 − 4x− 5, 1 ≤ x ≤ 2;−2x+ 1, 2 < x <∞.

(e) f(x) =

1

x

sen (x)

xx 6= 0;

0, x = 0,

(f) g(x) =

x2 − 16

x+ 4, x 6= −4;

−8, x = −4.

Obs : Note que a composicao de funcoes contınuas e uma funcao contınua.

3 (a) Calcule limx→3

5

x2 − 3. (b) Calcule lim

x→−3

5

(x2 − 3)2.

(c) Calcule limx→3

5x

x2 − 3. (d) Calcule lim

x→−3

x3 + 3

(x2 − 3)2.

(e) Calcule limx→2

x3 − 8

x2 − 4. (f) Calcule lim

x→−2

x3 + 8

x2 − 4.


4 Investige a continuidade das funcoes f(x) e g(x) nos pontos x0, x1 e x2 indicados,quando x0 = 2, x1 = −1, x2 = 0 para f(x) e x0 = 1, x1 = 2, x2 = 0 para g(x) e

f(x) =

x3 − 8

x2 − 4, se x 6= 2;

3, se x = 2.

g(x) =

x2 + 1, se −∞ < x < 1;

x2 − 3x− 4, se 1 ≤ x ≤ 2;

−x+ 1, se 2 < x <∞.

5 Calcule cada um dos limites laterais em cada uma das raızes do denominador def , lim

x→∞f(x) e lim

x→−∞f(x) quando :

(a) f(x) =x+ 5

x− 3(b) f(x) =

2√x6 + 5

x3 − x2 + x+ 3(c) f(x) =

x2 + 5

x2 − 3

(d) f(x) =x+ 5

x(e) f(x) =

x+ 1

x2 + 3x+ 2(f) f(x) =

4x3 + 2x2 − 6

8x3 + x+ 2.

b - Calcule (i) limx→0

sen 10x

sen 7x; (ii) lim

x→0

1− cosx

x2; (iii) lim

h→0

sen (x+ h)− senx

h;

(iv) limh→0

cos(x+ h)− cosx

h6 Determine valor de α para que a funcao f seja lim

x→x0

f(x) = f(x0).

f(x) =

x3 − 8

x2 − 4, se x 6= 2;

α, se x = 2.

f(x) =

sen 10x

sen 7x, se x 6= 0,

α, se x = 0.

7 Em cada item abaixo calcule f ′(x) = limx→a

f(x)− f(a)

x− a; a ∈ R, a 6= 0.

(i) f(x) = 3√x, R. f ′(x) =

1

33√a2

; (ii) f(x) = 4√x, R. f ′(x) =

1

44√a3

; (iii)

f(x) = 5√x, R. f ′(x) =

1

55√a4

; (iv) f(x) = x−2, R. f ′(x) = −2a−3; (v)

f(x) = x−3, R. f ′(x) = −3a−4; (vi) f(x) = |x − 5|, tome a = 5, a = 2 ea = 6. Em cada um dos ıtens anteriores, encontre os valores a ∈ Dm(f) tais quef ′(a) = 0, f ′(a) < 0, f ′(a) > 0 e que f ′(a) nao exista.

8 Resolva as questoes abaixo verifique se a afirmacao e falsa ou verdadeira.

(i) Verifique se limx→0

3sen (x3 + π)

2(x2 − 1)=

3

2, e lim

x→−3

√x2 − 10x− 39

x2 + 2x− 3= 4,

(iii) Verifique se limx→∞

√4x2 − 10x− 39

x2 + 2x− 3= 4, e lim

x→5

4x2 − 100

x− 5= 40,

(v) Verifique se limx→3

√x2 + 2x− 15

x2 + 4x+ 3= 1, e lim

x→∞

x2

2sin(

4

x2) = 2.


2.1.3 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais

Teorema 13. Sejam f ; g : A ⊂ R→ R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

(i) limx→x0

f(x) = 0.

(ii) Existe M > 0 tal que |g(x)| < M.

Entao, limx→x−0

g(x)f(x) = 0

Exemplo 44. Seja h : A ⊂ R→ R dada por h(x) = x7 sen ( 1x). Calcule lim

x→0h(x).

Resolucao Nos podemos usar o Teorema 13 para calcular este limite. Veja queh(x) = f(x)g(x) onde f(x) = x7 e g(x) = sen ( 1

x). Ainda lim

x→0f(x) = lim

x→0x = 0 e

|g(x)| = |sen ( 1x)| ≤ 1. Pelo Teorema 13 lim

x→0h(x) = lim

x→0x7 sen (

1

x) = 0.

Teorema 14. Dadas f, g, h : A ⊂ R→ funcoes e x0 ponto de acumulacao de A.(i) Suponha existe ε > 0 tal que para cada x ∈ (x0 − ε;x0 + ε) tem-se f(x) ≤ h(x) ≤g(x).(ii) Suponha que lim

x→x0

f(x) = L e limx→x0

g(x) = L, onde L e um numero real.

Entao limx→x0

h(x) = L.

Exemplo 45. Seja h : A ⊂ R → R funcao dada por h(x) = x sen (1

x), e x0 = 0.

Calcule limx→0

h(x).

Note que, −x ≤ x sen (1

x) ≤ x, enta tome f(x) = −x e g(x) = x e teremos f(x) ≤

h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ R. Como limx→0−x = 0 = limx→0 x, o Teorema 14 nos

garante que limx→0 sen (1

x) = 0.

2.2. LIMITES FUNDAMENTAIS 65

2.2 LIMITES FUNDAMENTAIS

2.2.1 Primeiro Limite Fundamental

Provemos que limx→0

senx

x= 1.

Consideremos o arco de circunferencia de raio um AOC na Figura abaixo. Con-sidere tambem o setor circular AOC e os triangulos BOC e AOG cujas as areas saorepresentasdas por ∇s, ∇B e ∇G respectivamente.

O A

G

C

B

6

-

E facil ver que ∇B ≤ ∇s ≤ ∇G. Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observar

que a medida dos segmentos de reta OA, OB, BC, e AG sao um, cosx, senx esenx

cosxrespectivamente. Com estes valores em mentevemos que estas areas satisfazem

1

2(sen x cosx) ≤ x

2≤ 1

2

senx

cosxou seja sen x cosx ≤ x ≤ senx

cosx.

Invertendo todas as fracoes teremos

1

senx cosx≥ 1

x≥ cosx

senx.

Multiplicando todos os membros das inequacoes acima por sen x (veja que senx > 0)teremos

1

cosx≥ senx

x≥ cosx.


Agora estamos em condicoes de nos valer do Teorema 14 com as funcoes f(x) =1

cosx,

g(x) = cosx e h(x) =senx

x. Como lim

x→0+f(x) = lim

x→0+

1

cosx= 1 e lim

x→0+g(x) =

limx→0+

cosx = 1, o Teorema 14 nos asegura que

limx→0+

h(x) = limx→0+

senx

x= 1.

Note que todos os calculos acima podem ser desenvolvidos para x proximo de zero,mas pela esquerda de zero, o que nos faz ver que

limx→0−

h(x) = limx→0−

senx

x= 1.

Como os limites pela esquerda e pela direita de zero existem e sao iguais, teremos

limx→0

senx

x= 1.

Observacao 7. Veja que a hipotese limx→a

f(x) = limx→a

g(x) do Teorema 14 nao pode ser

suprimida, porque se f, h, g : R → R forem dadas por f(x) = −1, h(x) = cos(1

x

)e

g(x) = 1, teremos a hipotese f(x) ≤ h(x) ≤ f(x) do Teorema 14 satisfeita. Comolimx→a

f(x) = −1, limx→a

g(x) = 1 e limx→a

f(x) 6= limx→a

g(x), a hipotese limx→a

f(x) = limx→a

g(x) do

Teorema 14 nao esta satisfeita. Veja na Figura a seguir o grafico da funcao h. E facilver que a Definicao 11 nao vale para o limite lim

x→0f(x).

Exemplo 46. Vamos calcular limx→0

1− cos

x.

Veja que a fracao dentro do limite pode ser escrita como

1− cos

x=

1− cos

x· 1 + cos x

1 + cos x=

1− cos2 x

x[1 + cos x]=

senx

x· senx · 1

[1 + cos x].


Veja que limx→0

senx

x= 1 (limite fundamental), lim

x→0senx = 0 e lim

x→0

1

1 + cos x= 1. Entao

temos

limx→0

1− cos

x= lim

x→0

senx

x· senx · 1

[1 + cos x]= 1 · 0 · 1 = 0.

Exemplo 47. Seja h : R→ R dada por h(x) = x2 cos1

x. Calcule lim

x→0x2 cos

1

x

Resolucao Tome f, g : R → R dadas por f(x) = −x2 e g(x)x2 e veja quef(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ R (ver figura abaixo). Ainda lim

x→0f(x) = lim

x→0−x2 =

limx→0

x2 limx→0

g(x). Segue do Teorema 14 que limx→0

h(x) = limx→0

x2 cos1

x= 0.

Exemplo 48. Seja h : R→ R dada por h(x) = x2 cos1

x. Calcule lim

x→0x2 cos

1

x

Resolucao Tome f, g : R → R dadas por f(x) = −x2 e g(x)x2 e veja quef(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ R (ver figura abaixo). Ainda lim

x→0f(x) = lim

x→0−x2 =

limx→0

x2 limx→0

g(x). Segue do Teorema 14 que limx→0

h(x) = limx→0

x2 cos1

x= 0.

Exercıcio 1. (i) Calcule (i) limx→0

sen 3x

x; (ii) lim

x→0

senx

πx; (iii) lim

x→0

sen 3x

sen 5x; (iv)

limx→0

sen 211x

5x.

(ii) Tome f(x) = cos x e calcule limh→0

f(a+ h)− f(a)

h

(iii) (i) Calcule limx→1

sen πx

x− 1. (ii) lim

x→0

sen 17x

sen πx;


(iv) a - Calcule limx→−∞

2x2 − x− 3

x3 − 2x2 − x+ 2.

b - Seja f : R→ R dada por f(x) = x15 . Se a for um numero real fixo nao nulo,

calculef(x)− f(a)

x− a. Em seguida calcule lim

x→a(ax)−

15f(x)− f(a)

x− a.

(v) Calcule os limites abaixo :

(i) limx→0

5√

3 + x2

x3; (ii) lim

x→−1

2x2 − x− 3

x3 − 2x2 − x+ 2; (use o item (i) exercıcio 3).

(vi) Encontre em R o conjunto solucao para as inequacoes abaixo :

(a)2x2 − x− 3

x3 − 2x2 − x+ 2≥ 0; (b)

3

9− x≤ 2

x+ 2;

(c) Seja f : A ⊂ R → R dada por f(x) =√|2x− 1| − |x+ 1|. Descreva o

conjunto A.

(vii) a Calcule as assıntotas horizontais e verticais de f(x) =x2 − 4

x3 + 8,

b Como sabemos da definicao de limite que limx→2

x2 + 2x− 1 = 7 se dado ε > 0

existir δ > 0 tal que, se dist(x; 2) < δ, entao dist(f(x), 7) < ε. Dado ε = 10−4,encontre algum δ > 0 adequado que satisfaca a definicao de limite.

2.2.2 Segundo Limite Fundamental

• Primeiramente vamos mostrar que se n for um numero natural maior que dois entao[1 +

1

n

]n≥ 2 se n ≥ 2.

Usando o binomio de Newton, vemos facilmente que[1+

1

n

]n=

n∑i=0

(n

i

)1n−i

( 1

n

)i=

(n

0

)1n−0

( 1

n

)0

+

(n

1

)1n−1

( 1

n

)1

+n∑i=2

(n

i

)1n−i

( 1

n

)i,

mas veja que 1n−0( 1

n

)0

= 1 =

(n

1

)1n−1

( 1

n

)1

. Entao 1n−0( 1

n

)0

+

(n

1

)1n−1

( 1

n

)1

=

1 + 1 = 2, ainda note que n∑i=2

(n

i

)1n−i

( 1

n

)i> 0,

pois todas as suas parcelas sao positivas. Portanto, se n ≥ 2 teremos[1 +

1

n

]n≥ 2.


Proposicao 1. Se e for o numero irracional neperiano cujo valor aproximado e2, 718281828459..., entao

limt→+∞

[1 +

1

t

]t= e = lim

t→−∞

[1 +

1

t

]t.

A prova da Proposicao 1 envolve o conceito de Series de numericas e sera omitida,mas faremos alumas observacoes sobre este assunto. Faca t ∈ N, (t assumir apenasnumeros Naturais). Neste caso e facil ver que

Vamos provar que

lims→0

[1 + s

]1

s = e.(2.2.13)

Fazendo t =1

s, teremos que s→ +∞ se t→ 0+, entao

lims→0+

[1 + s

]1

s = limt→∞

[1 +

1

t

]t Prop 1= e.

Ainda teremos que s→ −∞ se t→ 0−, entao

lims→0−

[1 + s

]1

s = limt→−∞

[1 +

1

t

]t Prop= e.

Como os limites laterais sao iguais, teremos

lims→0

[1 + s

]1

s = e.

2.2.3 Problema dos Juros Compostos

Suponha que voce investiu um quantidade P0 de capital a uma taxa de juros de 6%ao ano. Entao uma conta simples mostra que ao final do primeiro perıodo, o PrincipalP (valor atualizado), sera dado por :


P = P0(1 + 0.06) se o juro for composto anualmente ao capital inicial P0.

P = P0

(1 +

0.06

2

)2

se o juro for composto semestralmente ao capital inicial P0.

P = P0

(1 +

0.06

3

)3

se o juro for composto quadrimestralmente ao capital inicial P0.

P = P0

(1 +

0.06

4

)4

se o juro for composto trimestralmente ao capital inicial P0.

......

......

......

P = P0

(1 +

0.06

12

)12

se o juro for composto mensalmente ao capital inicial P0.

(2.2.14)Pode-se ver facilmente que se a taxa anual de juros for um numero real r, 0 < r < 1,e o Principal for composto m vezes ao ano (m ∈ N), ao final de n anos (n ∈ N) seradado por:

Pn(m) = P0

[(1 +

r

m

)m]n(2.2.15)

Entao, Principal e uma funcao que relaciona o conjunto dos numeros naturais como conjunto do numeros reais sob a luz da igualdade (2.2.15). Observe que no sentidoacima a acumulacao de capital, em verdade, e uma maneira de dois conjuntos N e Rtrocarem informacoes de acordo com a expressao (2.2.15).Podemos ver facilmente que[(

1 +r

m

)m]n=[(

1 +r

m

)rmr]n

=(

1 +r

m

)mr]nr

(2.2.16)

Entao,

limm→∞

Pn(m) = P0 limm→∞

[(1 +

r

m

)m]n= P0 lim

m→∞

[(1 +

r

m

)rmr]n

=

P0 limm→∞

[(1 +

r

m

)mr]nr

= P0

[limm→∞

(1 +

r

m

)mr]nr

= P0ern

(2.2.17)

Apos n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, teremos

P (n) = P0ern. Substituindo n por t teremos P (t) = P0e

rt. (2.2.18)

Portanto, ao findar um perıodo de tempo t a quantidade de capital P0, quandocomposta instantaneamente ou continuamente a uma taxa de juros r por cento ao ano,sera dada por

P (t) = P0ert. (2.2.19)

Exemplo 49. Quanto tempo sera necessario para que Q0 = 1, 00 unidades de moedadobre o valor nominal quando aplicado em uma carteira a taxa de juros 4% ao nao?


Resolucao Segue de (2.2.19) que P (t) = P0e0,04t ou seja queremos saber para

qual valor t0 teremos P (t0) = 2P0. Isto e P0e0,04t0 = 2P0. O valor de t0 deve satis-

fazer e0,04t0 = 2. Calculando o logarıtmo m neperiano em amos os membros teremos.0, 04t0 = ln 2. Um calculo relativamente simples nos mostra que t0 = 17 anos e quatromeses, aproximadamente.

Sabemos da teoria de limite que dadas f, g : [a, b] → R tais que f e uma funcao

contınua em g(x0) ∈ [a, b] e existe limx→x0

g(x) = L ∈ R, enao limx→x0

f(g(x)) = f(

limx→x0

g(x))

=

f(L). Note que este resultado e util para se calcular o limite abaixo:

limx→0

ln[1 + x

]1

x = ln[

limx→0

(1 + x

)1

x]

= ln e = 1.(2.2.20)

Proposicao 2. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1, entao

limx→0

ax − 1

x= ln a.

Prova : Fazendo t = ax − 1, teremos ax = t + 1. Calculando Logaritmo Neparianoem ambos os membros teremos

ln ax = ln(t+ 1), entao x ln a = ln(t+ 1), portanto x =ln(t+ 1)

ln a.

E facil ver que se x→ 0 (x 6= 0) entao t→ 0 (t 6= 0), Assim teremos

limx→0

ax − 1

x= lim

x→0

t

ln(t+ 1)

ln a

= ln a limx→0

1

ln(t+ 1)

t

= ln a.limx→0

1

limx→0

ln(t+ 1)

t

ver(2)= ln a

2.2.4 Exercıcios

1 Calcule

(a) limx→0

sen (9x)

x, R. 9; (b) lim

x→0

sen (10x)

sen (9x), R. 10

9; (c) lim

x→0

1− cosxx2

,

(d) limx→0

sen 3 x2

x3. R.

1

8(e) lim

h→0

sen (π + h)

h− πR, −1 (e) lim

h→0

cos(π + h)

h− πR, −1

(i) Use a teoria acima e calcule os limites abaixo:

(a) limx→0

ax − bx

xa, b ∈ R tal que 0 < a, b 6= 1, (b) lim

n→∞

(1 +

1

n

)n+5

.

(c) limx→∞

(1 +

2

x

)x, ( d) lim

x→∞

( x

x+ 1

)x, (5) lim

n→∞

(2n+ 3

2n+ 1

)n.


(ii) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobre ovalor nominal quando aplicada em uma carteira a uma taxa de juros 5% ao nao?Rep. 13, 86 anos.

(iii) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nom-inal quando aplicada em uma carteira a taxa de juros 3% ao nao?

(iv) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nom-inal quando aplicada em uma carteira a taxa de juros 7% ao nao?

(v) Qual sera a taxa r de juros ao ano, para que Q0 unidades de moeda aplicada emuma carteira dobre o seu valor nominal em 12 meses? Rep. r = 5.78%.

2.2.5 Limites Infinitos no Infinito

Definicao 20. Dada f : (a,∞)→ R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se do infinito e infinito se dado M > 0 existe N0 > 0 tal que se

x > N0, entao f(x) > M. Notacao limx→∞

f(x) =∞.

-oxO

oy

(x·...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·f(x)

M •

(x, f(x))

N0

•

6

Figura 1

Exemplo 50. Seja f : [−1,∞)→ R dada por f(x) = x2. Mostremos que limx→∞

f(x) =∞.

Resolucao : Dado um numero real M > 1, tome N0 =√M . Veja que se

x > N0 =√M entao x2 > (N0)2 = M . Isto no diz que f(x) > M .

Definicao 21. Dada f : (−∞, b)→ R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se do menos infinito e infinito se dado M > 0 existe N < 0 tal que se

x < N, entao f(x) > M. Notacao limx→−∞

f(x) =∞.


Definicao 22. Dada f : (a,∞)→ R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se do infinito e menos infinito se dado M < 0 existe N > 0 tal que se

x > N, entao f(x) < M. Notacao limx→∞

f(x) = −∞.

Definicao 23. Dada f : (−∞, b)→ R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se do menos infinito e menos infinito se dado M < 0 existe N < 0 tal que se

x < N, entao f(x) < M. Notacao limx→−∞

f(x) = −∞.

Exemplo 51. Mostre que limx→∞

xn =∞.

Resolucao Dado M > 0 tome N0 = n√M . Veva que se x > N0 entao xn > Nn

0 =( n√M)n = M . Portanto f(x) > M .

Exemplo 52. Mostre que limx→−∞

xn =∞ se n for par.

Resolucao Dado M < 0 tome N0 = − n√|M |. Veja que se x < N0 entao xn <

Nn0 = ( n

√−|M |)n = −|M |. Mas como M < 0, |M | = −M . Assim xn < −(−M) = M .

Portanto f(x) < M .

Teorema 15. Sejam f ; g : A ⊂ R→ R funcoes. Suponhamos que existe a ∈ R tal queo intervalo [a,∞) ⊂ A e que

(i) limx→∞

g(x) = L ∈ R e limx→∞

f(x) =∞.

Entao(i) lim

x→∞g(x)f(x) =∞ se L > 0.

(ii) limx→∞

g(x)f(x) = −∞ se L < 0.

Teorema 16. Sejam f ; g : A ⊂ R→ R funcoes. Suponhamos que existe b ∈ R tal queo intervalo (∞; b] ⊂ A e que

(i) limx→−∞

g(x) = L ∈ R e limx→−∞

f(x) =∞.

Entao(i) lim

x→−∞g(x)f(x) =∞ se L > 0.

(ii) limx→−∞

g(x)f(x) = −∞ se L < 0.

Exemplo 53. Seja p : R→ R um polinomio dado por p(x) = anxn+an−1x

n−1+a1x+a0

com an 6= 0. Mostre que

{limx→∞

p(x) =∞ se an > 0,

limx→∞

p(x) = −∞ se an < 0.

{lim

x→−∞p(x) =∞ se an > 0 e n par

limx→−∞

p(x) = −∞ se an > 0 e n ımpar.


Resolucao Da definicao de limite segue que limx→∞

an = an. Para provar a primeira

parte vamos usar os Exemplos 51 e 52 e o Teorema 15. Veja que p(x) = xn(an+

an−1

x+

an−2

x2+ · · ·+ a1

xn−1+

a0

xn+1

). Segue do Teorema 8 que

limx→∞

an−1

x= 0, lim

x→∞

an−2

x2= 0, . . . lim

x→∞

a1

xn−1= 0, lim

x→∞

a0

xn+1= 0, (2.2.21)

Entao limx→∞

[an +

an−1

x+an−2

x2+ · · · + a1

xn−1+

a0

xn+1

]= an. No Teroema 15 escolha

f(x) = xn e g(x) = an +an−1

x+an−2

x2+ · · ·+ a1

xn−1+

a0

xn+1. Do Exemplo 52 segue que

limx→∞

xn = ∞. De (2.2.21) segue que limx→∞

g(x) = 0 = L. Portanto, segue da primeira

parte do Teorema 15 que limx→∞

xn(an +

an−1

x+an−2

x2+ · · · + a1

xn−1+

a0

xn+1

)= ∞ se

an > 0 e da segunda parte do Teoerema 15 segue que limx→∞

xn(an+

an−1

x+an−2

x2+ · · ·+

a1

xn−1+

a0

xn+1

)= −∞ se an < 0. A segunda parte da prova e deixada para o leitor.

2.3 Assıntotas Verticais e Horizontais

Definicao 24. Seja a um numero real qualquer. A reta x = a e uma AssıntotaVertical ao grafico da funcao f : A ⊂ R → R se uma das quatro condicoes abaixoestiver satisfeita.(i) lim

x→a−f(x) = −∞. (ii) lim

x→a−f(x) =∞; (iii) lim

x→a+f(x) = −∞; (vi) lim

x→a−f(x) =

∞.

-

6

x0 − ε

oxO

oy

(x

...

...

...

...

...

...

...

...

...· · · · ·•N0

(x, f(x))

x = a

6

Figura 1

2.3. ASSINTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 75

Definicao 25. Seja b um numero real qualquer. A reta y = b e uma AssıntotaHorizontal ao grafico da funcao f : A ⊂ R → R se uma das duas condicoes abaixoestiver satisfeita.

limx→−∞

f(x) = b. (ii) limx→∞

f(x) = b.

Exemplo 54. Calcule as Assıntotas Horizontais e Verticais ao grafico de f(x) =bx2

(x− a)2, onde a, b ∈ R, com a e b positivos.

• Note que limx→a+

bx2 = a2b. Ainda, limx→a+

(x− a)2 = 0 e se x ∈ (a, a + δ), tem-se

(x− a)2 > 0. Entao limx→a+

bx2

(x− a)2=∞.

? Note que limx→a−

bx2 = a2b. Ainda, limx→a−

(x− a)2 = 0 e se x ∈ (a − δ, x0), tem-se

(x− a)2 > 0. Entao limx→a+

bx2

(x− a)2=∞.

Portanto, segue da Definicao 24 que a reta x = a e Assıntota Vertical ao grafico(G(f)) da funcao f (ver Figura 2).

-oxO

oy

(x,

bx2

(x− a)2

)y = b

x = a

6

Figura 2

• Note que limx→∞

a

x2= 0, entao lim

x→∞1 +

a

x2= 1. Ainda,


limx→∞

bx2

(x− a)2= lim

x→∞

bx2

x2(

1− ax2

) =limx→∞

b

limx→∞

(1− a

x2

) =b

1= b.

Tambem podemos calcular o limite quando x tende para menos infinito. Isto e

limx→−∞

bx2

(x− a)2= lim

x→−∞

bx2

x2(

1− ax2

) =lim

x→−∞b

limx→−∞

(1− a

x2

) =b

1= b.

Segue da Definicao 25 que a reta y = b e Assıntota Vertical ao grafico de f (ver Figura2).

Exemplo 55. Seja f : (0,∞) → R funcao cujo grafico aparece esbocado na fuguraabaixo. Podemos ver que lim

x→∞f(x) = L.

Veja que dad ε > 0 existe M > 0 tal que se x > M entao f(x) ∈ (ε − L; ε + L).Assim, a reta y = L e assintota horizontal ao grafico da funcao f .

Exercıcios da AMPEC

(i) Em cada caso abaixo de o valor de a para que f seja contınua em x0 = 0

f(x) =

{ sen8x

x, para x 6= 0,

a, para x = 0.b : f(x) =

{ sen8x

sen3x, para x 6= 0,

a, para x = 0.

Em cada um dos exercıcios abaixo verifique a afirmacao e verdadeiraou falsa.

(ii) limx→1

(x− 1)(x12 − 1)−1 = 3.

(iii) limx→2

(x− 2)−1(x12 − 2

12 ) = 2

√2.

(iv) limx→64

(x12 − 8)(x

23 − 4)−1 = 3.

(v) limx→∞

x+ 5senx

x− cosx= 3.

(vi) limx→3

(x− 3)−1(x13 − 3

13 ) = 3

√3.

(vii) limx→3

(x− 5)(x15 − 3

15 )−1 = 5

√5.

2.3. ASSINTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS 77

(viii) A reta x = −1 e Assıntota Vertical ao grafico da funcao f(x) =x− 1

x+ 1, para

x 6= −1.

(ix) A reta x = 1 e Assıntota Vertical ao grafico da funcao f(x) =x+ 1

x− 1, para

x 6= 1.

(x) A reta x = −1 e Assıntota Vertical ao grafico da funcao f(x) =x2 − 1

x+ 1, para

x 6= −1.

(xi) A reta x = 1 e Assıntota Vertical ao grafico da funcao f(x) =x2 − 1

x+ 1, para

x 6= −1.

(xii) A reta x = −1 e Assıntota Vertical ao grafico da funcao f(x) =x2 − 1

x+ 1, para

x 6= −1.

(xiii) A reta y = 1 e Assıntota Horizontal ao grafico da funcao f(x) =x− 1

x2 − 1, para

x 6= 1 e x 6= −1.

(xiv) A reta y = 0 e Assıntota Horizontal ao grafico da funcao f(x) =x− 1

x2 − 1, para

x 6= 1 e x 6= −1.

(xv) O grafico da funcao f(x) =x− 1

x2 − 1, para x 6= 1 e x 6= −1 tem a reta x = 1 como

Assıntota Vertical.

(xvi) O grafico da funcao f(x) =x− 1

x2 − 1, para x 6= 1 e x 6= −1 tem a reta x = −1

como Assıntota Vertical.

(xvii) Se f(x) = x2 + 3x, entao limx→2

f(x)− f(2)

x− 2= 5.

(xviii) Se f(x) = x2 + 3x, entao limx→−2

f(x)− f(−2)

x+ 2= −1.


Chapter 3

CONTINUIDADE

Definicao 26. Dada f : A ⊂ R→ R e x0 ∈ R, dizemos que f e contınua em x0 se(i) existe f(x0),(ii) existe lim

x→x0

f(x) = M ;

(iii) f(x0) = M.

(3.0.1)

A continuitade de uma funcao no ponto x0 indicado, da informacoes sobre o com-portamento da funcao em um intervalo aberto suficientemente pequeno contendo oponto x0

Exemplo 56. Vamos etudar continuidade de

f(x) =

{ 1− cosx

x; se x 6= 0;

0; se x = 0.

• Veja que a condicao (i) da Definicao 26 esta saisfeita pois f(0) esiste.

• Verifiquemos a condicao (ii) da Definicao 26. Note que a fracao dentro do limitepode ser escrita como

1− cosx

x=

1− cosx

x· 1 + cos x

1 + cos x=

1− cos2 x

x[1 + cos x]=

senx

x· senx · 1

[1 + cos x].

Veja que limx→0

senx

x= 1 (limite fundamental), lim

x→0senx = 0 e lim

x→0

1

1 + cos x= 1. Entao

temos

limx→0

1− cosx

x= lim

x→0

senx

x· senx · 1

[1 + cos x]= 1 · 0 · 1 = 0.

Entao, a condicao (ii) da Definicao 26 esta verificada. Como M = 0 e f(0) = 0 temosa terceira condicao da Definicao 26 tambem verificada. Portanto, a definicao 26 nosassegura que f e contınua em x0 = 0.

79

80 CHAPTER 3. CONTINUIDADE

(i) Encontre os pontos de continuidade de cada uma das funcoes abaixo:f e g.

f(x) =

−2x+ 1, −∞ < x ≤ −1;x2 − 3x− 4, −1 < x ≤ 2;−x+ 1, 2 < x < 5;

g(x) =

x2 + 1, −∞ < x < 1;x2 − 3x− 4, 1 ≤ x ≤ 2;−x+ 1, 2 < x <∞.

(ii) Vefique a continuidade, em x1 = 1; x2 = 2. Encontre valor para a para que fseja contınua em x0 = −1

f(x) =

2x2 − x− 3

x3 − 2x2 − x+ 2; se x 6= −1;x 6= −2; x 6= 1;

a; se x = −1;2; se x = 1;3; se x = 2.

b - Seja f : R→ R dada por

f(x) =

x13 − 3

13

x− 3; se x 6= 3

λ; se x = 3.

Encontre λ ∈ R para que f seja contınua em x0 = 3.

c - Seja f : R→ R dada por

f(x) =

x14 − 3

14

x− 5; se x 6= 5

α; se x = 5.

Encontre α ∈ R para que f seja contınua em x0 = 5.

c - Seja f : R→ R dada por

f(x) =

x15 − 3

15

x− 4; se x 6= 4

β; se x = 4.

Encontre β ∈ R para que f seja contınua em x0 = 4.

Chapter 4

DERIVADAS

Definicao 27. Dados A ⊂ R um conjunto aberto, f : A → R uma funcao ex0 ∈ A, dizemos que f e derivavel em x0 se

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′(x0) ∈ R. (4.0.1)

Exemplo 57. Seja f : (0; 1)→ R dada por f(x) = x.

Note que limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

h→0

x0 + h− x0

h= lim

h→0

h

h= 1.

Portanto, f ′(x0) = 1 que e a derivada de f em x0. Note que, qualquer que sejax0 ∈ (0; 1), temos f ′(x0) = 1, o que nos permite definir uma funcao f ′ : (0; 1)→R. dada por f ′(x) = 1 chamada funcao derivada de f .

Exemplo 58. Seja f : (0; 1)→ R dada por f(x) = x2.

Note que limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

h→0

(x0 + h)2 − (x0)2

h= lim

h→0

2x0h+ h2

h=

2x0.

Portanto, da Definicao 27 segue que f ′(x0) = 2x0 que e a derivada de f em x0.Note que, qualquer que seja x0 ∈ (0; 1), o que nos permite definir uma funcaof ′ : (0; 1)→ R. dada por f ′(x) = 2x chamada funcao devivada de f .

4.1 Derivada

Se f : Aab⊂ R→ R for uma funcao e o limite

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h. (4.1.2)

81

82 CHAPTER 4. DERIVADAS

existir para todo x0 ∈ A, dizemos que f e derivavel em A . O Limite (4.1.2)define uma funcao f ′ : A→ R dada por

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x). (4.1.3)

• Se uma funcao for constante, entao sua derivada e a funcao nula.

Veja que se f for constante entao existira uma constante k tal que f(x) = k.Entao

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

k − kh

= 0 = f ′(x).

• Se f(x) = ax+ b com a, b ∈ R e a 6= 0, entao f ′(x) = a.

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

a(x+ h) + b− (ax+ b)

h= lim

h→0ah

h= a = f ′(x).

• Se f(x) = x2 entao f ′(x) = 2x.

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − x2)

h= lim

h→0

2xh+ h2

h= 2x = f ′(x).

Exemplo 59. Seja f : (0; 1)→ R dada por f(x) = x.

Note que limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

h→0

x0 + h− x0

h= lim

h→0

h

h= 1.

Portanto, f ′(x0) = 1 que e a derivada de f em x0. Note que, qualquer que sejax0 ∈ (0; 1), temos f ′(x0) = 1, o que nos permite definir uma funcao f ′ : (0; 1) → R.dada por f ′(x) = 1 chamada funcao derivada de f .

Exemplo 60. Seja f : (0; 1)→ R dada por f(x) = x2.

Note que limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

h→0

(x0 + h)2 − (x0)2

h= lim

h→0

2x0h+ h2

h= 2x0.

Portanto, f ′(x0) = 2x0 que e a derivada de f em x0. Note que, qualquer que sejax0 ∈ (0; 1), o que nos permite definir uma funcao f ′ : (0; 1)→ R. dada por f ′(x) = 2xchamada funcao derivada de f .

4.1. DERIVADA 83

4.1.1 Funcao Derivada

Se f : Aab⊂ R→ R for funcao e o limite

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(4.1.4)

existir para todo x0 ∈ A, diremos que f e derivavel em A. O Limite (4.1.2) define umafuncao f ′ : A→ R dada por

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x), (4.1.5)

denominada Funcao Derivada.

• Se uma funcao for constante, entao sua derivada e a funcao nula.Veja que se f for constante entao existira uma constante k tal que f(x) = k. Entao

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

k − kh

= 0 = f ′(x).

• Se f(x) = ax+ b com a, b ∈ R e a 6= 0, entao f ′(x) = a.

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

a(x+ h) + b− (ax+ b)

h= lim

h→0ah

h= a = f ′(x).

• Se f(x) = x2 entao f ′(x) = 2x.

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

(x+ h)2 − x2)

h= lim

h→0

2xh+ h2

h= 2x = f ′(x).

Observacao 8. Note que, se fizermos x = x0 +h no limite limh→0

f(x0 + h)− f(x)

h, tere-

mos x→ x0 se e somente se h→ 0. Portanto, limh→0

f(x0 + h)− f(x)

h= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

4.1.2 Exercıcios

(i) Calcule o limh→0

f(x+ h)− f(x)

hpara as funcoes indicadas.

a : f(x) = x3 + x2;


b: f(x) = x13 ; R :

x−23

3

c: f(x) = x−3; R : −3x−4

d: f(x) = x14 R :

x−34

4

e: f(x) = x−15 ; R :

x−45

5

f: f(x) = cos(x);

g: f(x) = 2x; R : 2x ln(2),

h: f(x) = 2−x R : −2−x ln(2) .

Calcule f ′(x) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

quando

1 : f(x) = x13 2 : f(x) = x−2 3 : f(x) = x−

13 4 : f(x) = x−

14

• Dado A ⊂ R um conjunto aberto de R e f : A → R. Dizemos que f e umafuncao derivavel em A se f for derivavel em cada ponto de A.

4.1.3 Propriedades da Derivada

Teorema 17. Dado A ⊂ R um conjunto aberto de R e f : A→ R. Se f for derivavelem A entao f sera uma funcao contınua em A .

Prova: Seja x0 ∈ A. Vamos provar que f e contınua em x0. Sabemos que existef ′(x0) ou seja

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

por definicao de limite, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se dist(x, x0) < δ entao

dist(f(x)− f(x0)

x− x0

; f(x0))

=∣∣∣f(x)− f(x0)

x− x0

− f(x0)∣∣∣ < ε.

Portanto,

−ε <∣∣∣f(x)− f(x0)

x− x0

− f(x0)∣∣∣ < ε ou seja − ε− f(x0) <

f(x)− f(x0)

x− x0

< ε+ f(x0)

4.1. DERIVADA 85

Agora, suponha que x > x0. Entao

H(x) = (−ε− f(x0))(x− x0) < f(x)− f(x0) < (ε+ f(x0))(x− x0) = G(x)

Veja que podemos aplicar o Teorema do Sanduiche para as funcoes H(x), F (x) =f(x)− f(x0) e G(x), o que nos faz ver que lim

x→x0

f(x)− f(x0) = 0. Entao, limx→x+

0

f(x) =

f(x0). Podemos executar novos calculos e aplicar novamente o Teorema do San-duiche para x < x0 e veremos que lim

x→x−0f(x) = f(x0). Portanto, lim

x→x0

f(x) = f(x0).

Isto nos diz que f e contınua em x0.

Teorema 18. Dado A ⊂ R um conjunto aberto de R e f ; g : A → R e λ um numeroreal. Se f e g forem derivaveis em A entao f + g e λ f serao funcoes derivaveis em Ae

(a) : [f(x) + g(x)]′ = f ′(x) + g′(x) e (b) : λf(x)]′ = λ f ′(x), para todo λ ∈ R.

A prova deste Teorema pode ser facilmente encontrada em livros textos de Calculo epor isto sera omitida.

Teorema 19. Seja f(x) = xn para n ∈ N. Entao f ′(x) = nxn−1.

Prova : Note que

(x+ h)n =

(n

0

)xnh0 +

(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−3h3 + · · ·+

(n

n

)x0hn.

Como(n0

)= 1, entao

(x+ h)n − xn =

(n

1

)xn−1h+

(n

2

)xn−3h3 + · · ·+

(n

n

)x0hn.

Note que h e fator comum em todas as parcelas do segundo membro da igualdadeacima, entao este fator comum pode ser fatorado, entao teremos

(x+ h)n − xn = h{(n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2h1 + · · ·+

(n

n

)x0hn−1

}.

Como h 6= 0, podemos dividir ambos os membros da igualdade anterior por h e teremosque,

(x+ h)n − xh

={(n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2h1 + · · ·+

(n

n

)x0hn−1

}.

• Veja tambem que


limh→0

{(n2

)xn−2h1 + · · ·+

(n

n

)x0hn−1

}= 0.

Agora e facil ver que

limh→0

(x+ h)n − xh

= nxn−1 + limh→0

{(n1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2h1 + · · ·+

(n

n

)x0hn−1

}= nxn−1.

Exemplo 61. Calcule a funcao derivada de h(x) = x3 + x4.

Resolucao Note que h(x) = f(x) + g(x), onde f(x) = x3 e g(x) = x4. Assim, oTeorema 19 nos assegura que f ′(x) = 3x2 e g′(x) = 4x3. O Teorema 18 nos assuguraque, h′(x) = 3x2 + 4x3.

Observacao 9. Note que se

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0.

(funcao polinomial) entao usando os Teoremas 18 e 19 teremos

p′(x) = nanxn−1 + (n− 1)an−1x

n−2 + · · ·+ a1.

4.1.4 Derivada do Produto

Teorema 20. Dado A ⊂ R um conjunto aberto de R e f ; g : A→ R . Se f e g foremderivaveis em A entao f.g funcao derivavel em A e

(a) : [f(x).g(x)]′ = f ′(x).g(x) + f(x).g′(x).

Prova : Devemos calcular o limite

limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h=

limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)− g(x+ h)f(x) + g(x+ h)f(x)

h=

limh→0

[f(x+ h)− f(x)]g(x+ h) + [g(x+ h)− g(x)]f(x)

h=

limh→0

{ [f(x+ h)− f(x)]

hg(x+ h) +

[g(x+ h)− g(x)])

hf(x}

(4.1.6)

4.1. DERIVADA 87

Como por hipotese g e uma funcao derivavel, segue do Teorema 17 que e uma funcaocontınua, estao

limh→0

g(x+ h) = g(

limh→0

x+ h)

= g(x).

Como f e uma funcao derivavel

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= f ′(x).

Ainda, como g tambem e diferenciavel,

limh→0

g(x+ h)− g(x)

h= g′(x).

Portanto, o ultimo limite em (47) poder ser calculada e e dado por

limh→0

{ [f(x+ h)− f(x)]

hg(x+ h) +

[g(x+ h)− g(x)])

hf(x}

= f ′(x).g(x) + f(x).g′(x).

4.1.5 Derivada do Quociente

Teorema 21. Dado A ⊂ R um conjunto aberto de R e f ; g : A→ R . Se f e g forem

derivaveis em A entao se g(x) 6= 0, a funcaof

ge derivavel em x e

[f(x)

g(x)

]′=f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)

[g(x)]2.

A prova do Teorema 21 sera omitida por ser analoga a prova do Teorama 20.

Exemplo 62. Calcule h′(x) quando h(x) =x2 + 1

x3 + 4

Resolucao Note que h(x) =f(x)

g(x), onde f(x) = x2 + 1 e g(x) = x3 + 4. Ainda,

f ′(x) = 2x e g′(x) = 3x. O Teorema 21 nos assegura que

h′(x) =f ′(x).g(x)− f(x).g′(x)

[g(x)]2=

2x.(x3 + 4)− (x2 + 1)3x

[x3 + 4]2.


4.1.6 Derivada da Funcao Seno

Vamos mostrar que a derivada de f(x) = sen x e f ′(x) = cos x .

limh→0

sen (x+ h)− senx

h= lim

h→0

senx cosh+ cosx senh− senx

h=

limh→0

senx [cosh− 1] + cos x senh

h= lim

h→0

[senx

[cosh− 1]

h+ cosx

senh

h

].

(4.1.7)

• Note que a primeira fracao dentro do ultimo limite em (4.1.7) pode ser escritacomo

1− cosh

h=

1− cosh

h· 1 + cosh

1 + cosh=

1− cos2 h

h[1 + cosh]=

senh · senh · 1

[1 + cosh].

Veja que limh→0

senh

h= 1 (limite fundamental), lim

h→0senh = 0 e lim

h→0

1

1 + cosh= 1. Entao

temos

limh→0

1− cosh

h= lim

h→0

senh

h· senh · 1

[1 + cosh]= 1 · 0 · 1 = 0.

Portanto, o limite em 4.1.7 pode ser calculado e

limx→0

senx[ [cosh− 1]

h+ cosx

senh

h

]= cosx = f ′(x).

4.1.7 Derivada da Funcao Exponencial

• Seja a ∈ R a > 0 e a 6= 1. Se f(x) = ax, entao f ′(x) = ax ln a.

O valor f ′(x) e dado pelo seguinte Limite :

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

a(x+h) − ax

h= lim

h→0ax[ah − 1

h

]= ax lim

h→0

[ah − 1

h

]Veja que a Proposicao 2 dos LIMITES FUNDAMENTAIS diz que lim

h→0

[ah − 1

h

]= lna.

Portanto,

4.1. DERIVADA 89

f ′(x) = ax.lna.

• Como sabemos um dos LIMITES FUNDAMENTAIS nos diz que

lims→0

[1 + s

]1

s = e.(4.1.8)

4.1.8 Derivada da Funcao Logarıtmica

• Seja a ∈ R a > 0 e a 6= 1. Se g(x) = logax, entao g′(x) =

1

x · lna.

A funcao g′(x) e dada pelo seguinte Limite :

g′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

h→0

1

h

[log

a(x+ h)− log

ax]

=

limh→0

1

h

[log

a

(x+ h)

x

]= lim

h→0log

a

[1 +

h

x

] 1h

= limh→0

loga

[1 +

h

x

] xh· 1x

=

1

x· limh→0

loga

[1 +

h

x

] xh (faca s=h

x)

=1

x· lims→0

loga

[1 + s

] 1s (ver (4.1.8))

=1

xlog

ae

Portanto

g′(x) =1

x · lna.

4.1.9 Exercıcios

1 (a) Calcule (i) limx→2

3x − 9

x− 2; Resp : 3x ln(3) (ii) lim

x→∞

(x+ 11

x

)xResp :

e11 (iii) limx→+∞

2x

2x − 1.

2 Calcule as derivadas das funcoes abaixo:


(i) f(x) = 18x8 − x4, R: : f ′(x) = x7 − 4x3; (ii) g(x) =

x3 − 6

x3 + 8, R: : g′(x) =

48x2

(x3 + 8)2;

(iii) h(s) =√

3[s3 − s2] R: : h′(x) = 3√

3s2 − 2√

3s;(iv) γ(x) = (2x4 − 1)(5x3 + 6x), R: : γ′(x) = 70x6 + 60x4 − 15x2 − 6;

(v) h(x) =2x+ 1

x+ 5(3x− 1), R: : h′(x) =:

6(x2 + 10x+ 1)

(x+ 5)2;

(vi) f(x) =x2 − 3x

x− 1, R: : f ′(x) =

2x2 − 7x+ 6

(x− 1)2,

(vii) g(x) =3√x2(x2 − 1), (viii) h(x) = (4x2 + 3)2.

3 Em cada item abaixo encontre f ′(x).

(i) f(x) = −10x+ 3 cosx, R: f ′(x) = −10− 3sen (x)

(ii ) f(x) =3

x+ sen (2x), R: f ′(x) = −3x−2 − 2 cos(2x)

(iii) f(x) = − 1

x2+ x2 cotx; R: f ′(x) = 2x−3 + x2 cot(x)− x2cossec (x)

(iv) f(x) = (secx+ tanx)(secx− tanx), : R f ′(x) = 0(v) f(x) = (sen x+ cosx) secx,

(vi ) f(x) =cotx

1 + tan x, (vii ) f(x) =

cosx

1 + sen x.

4 a: Ache a reta tangente ao grafico de f(x) = 2x3 + 4x2 − 4x − 3 nos pontosP = (0,−3), Q = (1,−1), S = (2, f(2)). Em cada item anterior determine areta normal ao G(f), nos pontos indicados.

b: Encontre a reta tangente a curva y =8

x2 + 3, no ponto (1,2).

5 Use o teste da primeira derivada para estudar a continuidade e o crescimento dasfuncoes f , g abaixo.

(i) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1; (ii) f(x) = −x4 + 4x3 + 8x2; (iii) f(x) =x2

x2 + 1;

(iv) g(x) =(x2 − 1)

x+ 1; (v) g(x) = x+ cos(x);x ∈ [0, 2π]

(vi) g(x) = tg x; (vii) g(x) =√x2 + 1.

Em uma operacao de manufatura o custo da producao C e uma funcao donumero de unidades produzidas x, portanto C = C(x). O custo marginalda producao e a TAXA DE VARIACAO do custo em relacao ao nıvel deproducao .

Suponha que C(x) represente o custo (em alguma unidade de moeda) semanalda producao de x toneladas de aco. Produzir x+ h toneladas por semana custamais; a diferenca de custo, dividida pela acrescimo na quantidade de unidadesproduzidas aqui reprsentada por h, e o custo medio para produzir cada toneladaadicional e dado por

4.1. DERIVADA 91

C(x+ h)− C(x)

h=

custo medio de cada uma dash toneladas de aco adicionais produzidas.

(4.1.9)

O limite desta razao 4.1.10 quando h → 0 e o custo marginal para produzirmais aco por semana quando a producao semanal de aco e de x toneladas. Nalinguagem Matematica representamos este limite por

limh→0

C(x+ h)− C(x)

h= C ′(x) = custo marginal de producao. (4.1.10)

Como exemplo, suponha que o custo seja C(x) = x3−6x2 +15x dolares para pro-duzir x unidades de aquecedores quando forem produzidos de 8 ate 30 unidadespor dia e que r(x) = x3 − 2x2 + 12x represente o rendimento da venda de xunidades. A venda diaria e x0 = 10 unidades. Qual sera o custo adicional aprox-imado para produzir um aquecedor a mais por dia e qual o aumento estimado dorendimento na venda de x0 + 1 = 11 aquecedor por dia ?.

Resolucao O custo para produzir uma unidade a mais, quando sao produzidas10 unidades por dia e aproximadamente C ′(10) :

C ′(x) = 3x2 − 12x+ 15 entao C ′(10) = 3(10)2 − 12(10) + 15 = 195.

O custo adicional sera de aproximadamente 195 dolares. Analogamente ao que foifeito para o custo em (4.1.9) e (4.1.10) podemos fazer para a funcao rendimentoe entao rendimento marginal sera dado por

r′(x) = 3x2 − 6x+ 12 entao r′(10) = 3(10)2 − 6(10) + 12 = 252.

Se voce atualmente vende 10 unidades por dia, voce pode esperar que seu rendi-mento aumente aproximadamente 252 dolares se a venda aumentar de 10 para11 unidades por dia.

• Suponha agora que o custo em unidades de moeda para produzir x maquinasde lavar seja C(x), e que o rendimento da venda de x maquinas de lavar seja r(x)onde

C(x) = 2000 + 100x− 1

10x2 e r(x) = 20000

(1− 1

x

)? Determine o custo madio por maquina prodizida durante a producao das 100primeiras maquinas.

? Calcule o custo marginal para a producao de 100 maquinas de lavar.


? Mostre que, para a producao de 100 maquinas de lavar o custo marginale aproximadamente o custo para a producao de uma maquina de lavar a mais(depois que as 100 primeiras unidades foram produzudas), calculando diretamenteo ultimo custo citado.

? Determine o rendimento marginal para aproducao de 100 maquinas de lavar.‘R:U$ 2.

? Use a funcao r′ para estimar o aumento resultante no rendimento, se a vendaaumentar de 100 para 101 maquinas de lavarU$ 2.

? Calcule o limite de r(x) quando x→∞. Como voce interpreta este limite U$0?

(i) (Leithold vol I, Exc 2.5 p 73 / resp. A 65) Encontre o valor do limite e conformeo caso indique os teoremas usados.

(i) limx→2

(x2 +2x−1) (ii) limx→2

x2 − 5

2x3 + 6(iii) lim

y→−2

y3 + 8

y + 2(vi) lim

x→−3

x2 + 5x+ 6

x2 − x− 12

(v) limr→1

√8r + 1

r + 3(vi) lim

y→−3

√y2 − 9

2y2 + 7y + 3(vii) lim

x→0

√x+ 2−

√2

x(Racionalize

o numerador) (viii) limh→0

√h+ 1− 1

h(ix) lim

x→3

2x3 − 5x2 − 2x− 3

4x3 − 13x2 + 4x− 3

Respostas ( 7, − 122

, 12, 17, 3

2, 1

5

√30, 1

4

√2, 1

3, 11

17).

(i) limx→0

2f(x)− g(x)

[f(x) + 7]23

=7

4(ii) lim

x→1

√5h(x)

p(x)[4− r(x)]=

5

2(iii) lim

x→0f(x)g(x) = −5

(iv) limx→0

f(x)

[f(x)− g(x)]23

(v) limx→0

x2f(x)− g(x)

[f(x) + 7]23

(vi) limx→1

(x2 − 1)

√5h(x)

p(x)[4− r(x)]= 0

(vii) limh→0

√h+ 3−

√3

h(viii) lim

t→0

2−√

4− tt

(ix) limh→ 3

2

√8t3 − 27

4t2 − 9

(ii) Em cada item abaixo calcule limx→a

f(x)− f(a)

x− a; a ∈ R, a 6= 0.

(i) f(x) = 3√x, R.

1

33√a2

; (ii) f(x) = 4√x, R.

1

44√a3

; (iii) f(x) = 5√x,

R.1

55√a4

; (iv) f(x) = x−2, R. −2a−3; (v) f(x) = x−3, R. −3a−4; (vi)

f(x) = |x− 5|, tome a = 5, a = 2 e a = 6.

(iii) Encontre os limites a seguir. (i) limh→+∞

2h+ 1

5h− 2; (ii) lim

x→+∞

x+ 4

3x2 − 5; (iii)

limy→+∞

√y2 + 4

y + 4; (iv) lim

x→−∞

4x3 + 2x2 − 5

8x3 + x+ 2; (v) lim

x→+∞

√x2 + 1− x.

(Resp. 25, 0, 1, 1

2, 0).

4.1. DERIVADA 93

(vi) limx→±∞

x2 − 2x+ 5

7x3 + x+ 1(vii) lim

x→−∞

√x2 + 4

x+ 4(viii) lim

x→±∞

3x4 − 7x2 + 2

2x4 + 1.

(iv) Calcule os limites, (i) limx→4

x

x− 4; (ii) lim

h→2+

h+ 2

h2 − 4; (iii) lim

t→2

t+ 2

t2 − 4;

(iv) limx→0−

√3 + x2

x(v) lim

x→3+

√x2 − 9

x− 3; ( Resp. ∞, ∞, ∞, −∞, ∞).

(vi) limx→0−

√3 + x2

x; (vii) lim

x→0

√3 + x2

x; (viii) lim

h→3

h2

9− h2(ix) lim

x→∞

5x2 + 8x− 3

3x2 + 3;

R 53. (x) lim

x→−∞

5x2 + 8x− 3

3x2 + 3; R 5

3. (xi) lim

x→−∞

2x2 − 3

7x+ 4; R −∞. (xi)

limx→−∞

−4x3 + 7x

2x2 − 3x− 10; R ∞.

(v) a Verifique que se f(x) = x2 + 5x− 3, entao limx→2

f(x) = f(2)

b Verifique que se g(x) =x2 − 4

x− 2, entao lim

x→2g(x) = 4; mas que g(2) nao esta

definida.

c Dada a funcao f , em cada um dos casos, verifique se limx→3

f(x) = f(3)

f(x) =

{x2 − 9, se x 6= 34, x = 3.

f(x) =

{x2−9x+3

, se x 6= 3

4, x = 3.

(vi) Se uma lata fechada de estanho, de volume fixado V0 deve ter a forma de umclindro reto, encontre o volume e a area deste cilindro como funcao apenas de re depois apenas de h respectivamente.

(vii) Como sabemos o volume e a area de qualquer cone reto sao funcoes do seu raio re da sua altura h. Um cone reto deve ser inscrito em uma esfera de raio conhecidoa0. Enconter a area e o volume deste cone como funcao apenas de r e depois deh

(viii) Como sabemos a area de um retangulo e uma funcao de seus lados, digamos xe y. Considere apenas os retangulos que tem mesmo perımetro p0, e obtenha aarea destes retangulos como funcao de apenas um de seus lados.

(ix) Como sabemos o volume e a area de qualquer cilindro reto sao funcoes do seuraio r e da sua altura h. De a expressao de cada uma destas funcoes. Considereum cilindro reto de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio fixo a. De ovolume e a area da deste cilindro em funcao apenas de h e a, e depois em funcaode r e a.

(x) A equacao ax2 + 2x− 1 = 0, com a ∈ R uma constante, apresenta duas raızes sea > −1, uma positiva e a outra negativa.

r+(a) =−1 +

√1 + a

ae r−(a) =

−1−√

1 + a

a.


(a) O que acontece a r+(a) quando a→ 0 ? Quando a→ −1+ ?

(a) O que acontece a r−(a) quando a→ 0 ? Quando a→ −1+ ?

Fundamente suas conclusoes tracando os graficos de r+(a) e r−(a) em funcao dea. Descreva o que voce observa.

4.1.10 Exercıcios

1 Calcule o limh→0

f(x+ h)− f(x)

hpara as funcoes indicadas.

a : f(x) = x3 + x2; b : f(x) = x13 ; c : f(x) = x−3; d : f(x) = x

14

e : f(x) = x−14 ; f : f(x) = cos(x); g : f(x) = 2x; i : f(x) = 2−x.

2 Seja f : R→ R.

(a) Assumindo que limx→2

f(x)

x2= 1, calcule lim

x→2

f(x)

x.

(b) Assumindo que limx→0

f(x)

x= 0, calcule lim

x→2f(x).

(c) Assumindo que limx→∞

f(x)

x2 + x=∞, calcule lim

x→∞f(x).

3 De exemplos de funcoes f e g tais que:

(i) limx→0+

f(x) =∞, limx→0+

g(x) =∞ e limx→0+

f(x)

g(x)= 0.

(ii) limx→0−

f(x) =∞, limx→0−

g(x) =∞ e limx→0−

f(x)

g(x)= 1.

(iii) limx→0+

f(x) =∞, limx→0+

g(x) =∞ e limx→0+

[f(x)− g(x)] = 0.

(iv) limx→0−

f(x)

g(x)= 1, e lim

x→0+[f(x)− g(x)] 6= 1.

4.2. APLICACOES DA DERIVADA 95

4.2 Aplicacoes da Derivada

Definicao 28. Dada f : [a, b]→ R uma funcao dizemos que f e uma funcao decres-cente se no intervalo [a, b] se para todo x, y ∈ [a, b] tais que x ≤ y, tem-se f(x) ≥ f(y).

Exemplo 63. Seja f : [−1, 3] → R funcao dada por f(x) = −3x. Mostre que f euma funcao dcrescente.

Resolucao Note que se x, y ∈ [a, b] forem tais que x ≤ y, multiplicando am-bos os membros desta desigualdade por −3 (negativo) teremos a inversao do sinal desesigualdade, isto e f(x) = −3x ≥ −3y = f(y). Pela definicao 28, f e uma funcaodecrescente.

Definicao 29. Dada f : [a, b]→ R uma funcao dizemos que f e uma funcao crescentese no intervalo [a, b] se para todo x, y ∈ [a, b] tais que x ≤ y, tem-se f(x) ≤ f(y).

Exemplo 64. Seja f : [0, 2] → R dada por f(x) = x2. Mostre que f e uma funcaocrescente.

-oxO 2

oy

4

(x, x2)

G(f)

6

Figura 2

Resolucao Note que se x, y ∈ [a, b] forem tais que x ≤ y, teremos f(x) = x2 ≤y2 = f(y). Da definicao 29 segue que f euma funcao crescente.

Exemplo 65. Suponha que um fabricante de brinquedos tem um custo fixo de 3.000, 00unidades de moeda (custo com aluguel,segurose emprestimos), que deve ser pago inde-pendentemente da quantidade que for produzida e vendida. Ainda, os custos variaveis


sao de 2 unidades de moeda por brinquedo. Em um regime de producao de x brinque-dos, os custos variaveis sao de 2x unidades de moeda e o custo total e funcao de x, ee dada por

C(x) = 3000 + 2x.

Mostre que esta funcao e crescente.f : [0, 2]→ R dada por f(x) = x2. Mostre que f e uma funcao crescente.

Resolucao Note que se x, y ∈ [0,∞] forem tais que x ≤ y, teremos 2x ≤ 2y eassim, C(x) = 2x + 3000 ≤ 2y + 3000 = C(y). Portanto da definicao 29 segue que Ce uma funcao crescente.

Exemplo 66. Ao planejar o crescimento futuro, uma companhia analisa os custos deproducao e estima que para operar no nıvel de producao x unidades produzidas porhora os custos sao dados pela funcao

C(x) = 150 + 54x− 95x2 + 6

50x3. (4.2.11)

Verifique se a funcao custo desta companhia e crescente.

Mas como saber se uma funcao e crescente ou dercescente sem quetenhamos que fazer os caculos acima?

Teorema 22. Dada f : [a, b]→ R uma funcao que tem um a derivada em cada valorx no intervalo (a, b). Entao.

(i) f sera uma funcao crescente em [a, b], se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b).(ii) f sera uma funcao decrescente em [a, b], se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b).

Prova Suponhamos que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b). Vamos mostrar que f euma funcao crescente em [a, b]. Como f tem uma derivada em x, o limite abaixo eum numero real positivo

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

Portanto, existe um numero real positivo δ e um intervalo aberto (0− δ; 0 + δ) tal que

se h ∈ (−δ; δ) fracaof(x+ h)− f(x)

he positiva. Vemos que se h estiver a esquerda

de 0, into e h < 0, entao o valor f(x + h) − f(x) e negativo, ou seja da definicao 29segue que f e uma funcao crescente. Ainda, se h estiver a dereita de 0, into e h > 0,entao o valor f(x + h) − f(x), e positivo ou seja da definicao 29 segue que f e umafuncao crescente.

Vamos voltar ao Exemplo 66, usar o Teorema 22 para verificar que quais sao osintervalos onde a funcao C em (4.2.11) e crescente ou decrescente. Note que a derivadade C que e dada por


C ′(x) =18

50[150− 10x+ x2].

Entao C ′(x) sera positivo se 150 − 10x + x2 > 0. Veja que o descriminente de 150 −10x + x2 = 0, e dado por ∆ = 100 − 600 = −500, e e um numero real negativo.Portanto, C ′(x) sera positivo para todo x (unidades produzidas), assim, o Teorema 22nos assegura que funcao C em (4.2.11) e uma funcao crescente para todo x (unidadesproduzidas).

4.2.1 Reta Tangente ao Grafico de uma Funcao

Dada f : Aab⊂ R → R uma funcao (A

ab⊂ R que dizer que A e um conjunto aberto de

R). Suponha que f seja derivavel em x0 ∈ A, entao a reta tangente ao G(f) (graficode f) no ponto (x0, f(x0)) tem equacao geral dada por

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).

Exemplo 67. Seja f : [−1, 2] → R dada por f(x) = x4. Veja que x0 = 1 Econtre areta tangente ao grafico da funcao f ( G(f)) no ponto (1, f(1)).

Resolucao Note que, para cada x ∈ [−1; 2] teremos f ′(x) = 4x3. Ainda,f ′(1) = 4 Portanto, a reta tangente ao grafico da funcao f no ponto (1, f(1)) e dadapor .

y = 4(x− 1) + 1.

4.2.2 Extremos de Funcao

Definicao 30. Dada f : A ⊂ R → R, dizemos que x0 ∈ A e um ponto de mınimoabsoluto de f se f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ A.

Exemplo 68. Seja f : [−2, 3] → R dada por f(x) = x2. Veja que x0 = 0 e um pontode mınimo da funcao f .

Resolucao Note que, para cada x ∈ [−2; 3] teremos f(x0) = f(0) = 0 ≤ x2 =f(x2). Portanto, da definicao 30 segue que x0 = 0 e ponto de mınimo absoluto de f .


Definicao 31. Dada f : A ⊂ R → R, dizemos que x0 ∈ A e um ponto de mınimolocal de f se um numero real ε positivo e um existir um intervalo aberto contendo x0

tal que, se x ∈ (x0 − ε;x0 + ε) ∩ A, entao f(x0) ≤ f(x).

Definicao 32. Dada f : A ⊂ R → R, dizemos que x0 ∈ A e um ponto de maximoabsoluto de f se f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ A.

Exemplo 69. Seja f : [−1, 2]→ R dada por f(x) = −x4. Veja que x0 = 0 e um pontode maximo da funcao f .

Resolucao Note que, para cada x ∈ [−1; 2] teremos f(x) = −x4 ≤ 0 = f(0) =f(x0). Portanto, da definicao 32 segue que x0 = 0 e ponto de maximo de f .

Definicao 33. Dada f : A ⊂ R → R, dizemos que x0 ∈ A e um ponto de maximolocal de f se existir um numero real δ positivo e um intervalo aberto contendo x0 talque, se x ∈ (x0 − δ;x0 + δ) ∩ A, entao f(x0) ≥ f(x).

4.2.3 Valor Crıtico e Ponto Crıtico de uma Funcao

Definicao 34. Dada f : Aab⊂ R → R uma funcao (A

ab⊂ R quer dizer que A e um

conjunto aberto de R). Um valor x0 ∈ A e um ponto de crıtico de f se f ′(x0) = 0.

Teorema 23. Dada f : Aab⊂ R→ R uma funcao derivavel em A. Suponha que x0 ∈ A

e um ponto de maximo ou mınimo local de f . Entao f ′(x0) = 0

O Teorema 23 nos da um criterio para encontrarmos os candidatos a pontos demaximo ou mınimos locais de uma funcao derivavel.

Exemplo 70. Seja f : (−π, π)→ R dada por f(x) = sen x. Encontre os pontos cıticosde f .

Resolucao Como a funcao seno e derivavel em todos os pontos x de (−π, π),podemos nos valer do Teorema 23 para encontrar os valores em (−π, π) que podem serpontos de maximo ou mınimos locais da funcao seno. Veja que

f ′(x) = − cosx


Seguindo as instrucao do Teorema 23, devemos encontras todos os valores em x em(−π, π) para os quais cosx = 0. Vemos que as solucao ou ospontoscrıticosde f sao

dados por x0 = −π2

e x1 =π

2.

4.2.4 Elasticidade

Se u e uma variavel real, entao %∆u =u− u0

u0

e a variacao percentual de u, para u

proximo de u0 6= 0 .

Definicao 35. Seja f : A ⊂ R → R funcao tal que y = f(x). A elasticidade davariavel endogena y em relacao a variavel exogena x no ponto x0 e dada por

ε = lim∆x→0

%∆y

%∆x= lim

∆x→0

y − y0

y0

x− x0

x0

= lim∆x→0

f(x)− f(x0)

f(x0)x− x0

x0

=x0

f(x0)limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0)= x0

f ′(x0)

f(x0).

(4.2.12)

4.2.5 Classificacao de pontos Crıticos de uma funcao

Como vimos os pontos crıticos de uma funcao derivavel sao os candidatos a extremoslocais (maximos ou mınimos locais), desta funcao. O Teorema a seguir nos permiteclassificar os extremos locais de uma funcao em maximos ou mınimos locais usandoapenas a primeira derivada desta funcao

Teorema 24. Dada f : Aab⊂ R → R uma funcao derivavel em A. Seja x0 ∈ A um

ponto crıtico de f .(A) x0 sera um ponto de maximo local de f se existir um δ > 0 tal que o intervalo

aberto (x0 − δ, x0 + δ) e um sbuconjunto de A e as duas condicoes abaixo estiveremsatisfeitas.

(i) para todo x ∈ (x0 − δ, x0) tem-se f ′(x) > 0.

(ii) para todo x ∈ (x0, x0 + δ) tem-se f ′(x) < 0.

(B) x0 sera um ponto de mınimo local de f se existir um ε > 0 tal que o intervaloaberto (x0 − ε, x0 + ε) e um sbuconjunto de A e as duas condicoes abaixo estiveremsatisfeitas.

(i) para todo x ∈ (x0 − ε, x0) tem-se f ′(x) < 0.

(ii) para todo x ∈ (x0, x0 + ε) tem-se f ′(x) > 0.


O Teorema 24 e conhecido pelas ruas das cidades como Teste da PrimeiraDerivada.

Exemplo 71. Seja f : R→ R dada por f(x) = x3− 6x2 + 9x+ 1. Encontre os pontosde maximo emınimos locais de f .

Resolucao O Teorema 24 nos instrue que devemos tomar funcao f , calcular asua primeira derivada f ′ e em seguida estudar o sinal de f ′. Note que

f ′(x) = 3x2 − 12x+ 9 = 3(x− 3)(x− 1).

-

1 3• •

+ + + − − −− − − + + +sinal f ′

• Uma analise da figura acima nos mostra que se x ∈ (−∞, 1) ∪ (3;∞) teremosf ′(x) > 0. Tambem emos que se δ for um numero real positivo e menor que dois (vejaque dois e a distancia de um ate tres 0 < δ < d(1, 3) = 2) entao

(i) para todo x ∈ (1− δ, 1) tem-se f ′(x) > 0.

(ii) para todo x ∈ (1, 1 + δ) tem-se f ′(x) < 0.

Pelo Teorema 24A, x0 = 1 e um ponto de maximo local de f .

• Uma analise da figura acima nos mostra que se x ∈ (1; 3) teremos f ′(x) < 0.Tambem vemos que se ε for um numero real positivo e menor que dois (veja que doise a distancia de um ate tres 0 < ε < d(1, 3) = 2) entao

(i) para todo x ∈ (1− ε, 1) tem-se f ′(x) < 0.

(ii) para todo x ∈ (1, 1 + ε) tem-se f ′(x) > 0.

Pelo Teorema 24B, x0 = 1 e um ponto de mınimo local de f .


• Ainda, analisando a figura acima, vemos que o Teorema 22(i) nos assegura que f ecrescente em todo o conjunto (−∞, 1] ∪ [3,∞) e que o Teorema 22(ii) f e dcrescenteem todo o conjunto (1, 3).

VALOR CRITICO

Definicao 36. Dada f : Aab⊂ R → R uma funcao (A

ab⊂ R quer dizer que A e um

conjunto aberto de R). Um valor x0 ∈ A e um valor de crıtico de f se f ′(x0) naoexistir.

Exemplo 72. Seja f : R→ R funcao dada f(x) =bx2

(x− a)2se x 6= a e f(a) = 2.

Veja na figura abaixo que f ′(a) nao existe.

-oxO

oy

(x,

bx2

(x− a)2

)y = b

x = a

6

Figura 2

Exemplo 73. Considere f : R → R dada por f(x) = |x|. Mostre que x0 = 0 e valorcrıtico de f

Resolucao Veja que f ′(0) = limx→0

f(0 + h)− f(0)

h, se estelimote for um numero

real. Mas

f(0 + h)− f(0)

h=|h|h

=

{1 se h > 0,−1 se h < 0.

Portanto, limx→0+

f(0 + h)− f(0)

h= lim

x→0+1 = 1 e lim

x→0−

f(0 + h)− f(0)

h= lim

x→0−−1 = −1.

Segue do Teorema 3 que o limite limx→0

f(0 + h)− f(0)

hnao existe. Veja grafico da funcao


derivada de f no figura abaixo. Potanto, x0 = 0 e um valor crıtico de f .

-oxO

oy

^

_

(x, f ′(x))

1

◦

−1− ε

−1 + ε

ε = δ(

x

...

...

.........

·

6

Figura 1EXERCICIOS

(i) Calcule as Assıntotas Horizontais e Verticais ao Grafico da funcao indicada.

(a) f(x) =x+ 3

x2 − 9; (b) f(x) =

x+ 3

x2 + 9; (c) f(x) =

5x3 − 12x+ 7

4x2 − 1;

(d) f(x) =x2

x2 + 1. (e) f(x) =

x2

x3 + 1. (f) f(x) =

x3

x5 + 1.

(ii) Encontre os pontos crıticos caso existao de f : [−3, 1] → R, dada por f(x) =x3 + 5x − 4. Encontre os intervalos onde f e crescente, e os intervalos onde f edecrescente. Encontre os pontos de maximo ou mınimos de f .

(iii) Encontre os pontos crıticos caso existao de f : [−4, 0] → R, dada por f(x) =x4 − 8x2 + 16. Encontre os intervalos onde f e crescente, e os intervalos onde fe decrescente. Encontre os pontos de maximo ou mınimos de f .

(iv) Calcule as derivadas das funcoes abaixo:

(i) f(x) = (x3 − 3x)√x2 + 2, (ii) g(x) =

x3 + x2

x− 1, (iii) h(x) = (x4 − x3)(x2 + 1)2,

(iv) γ(x) = (x+ 2)2 sin(x), (v) h(x) =cos(x)

sin(x2); (vi) f(x) =

x2 − 3x

x− 1,

(vii) g(x) = 3√x− 1, (viii) h(x) =

√1− x2, (xi) γ(x) = x2 sin(x), x ∈ [0, π].


(v) Para uma funcao derivavel, podemos verificar que nos intervalos abertos em quesua derivada for positiva a funcao sera crescente, nos intervalos abertos em que suaderivada for negativa a funcao sera decrescente e os pontos em que a devivada forzero serao denominados pontos crıticos. Considere as funcoes abaixo e verifiqueo crescimento e encontre os pontos crıticos.

(i) f(x) = x3 − 3x, (ii) g(x) = x3 + x2 − x− 1, (iii) h(x) = x4 − x3 − x2 + 1,

(iv) γ(x) = sin(x), (v) h(x) = cos(x); (vi) f(x) =x2 − 3x

x− 1, (vii) g(x) = 3

√x− 1,

(viii) h(x) =√

1− x2, (xi) γ(x) = x sin(x), x ∈ [0, π].

(vi) Calcule a derivada das funcoes indicadas abaixo:

(i) f(x) = sin(x2 − 1); (ii) f(x) = x cos(x2); (iii) f(x) =log(3x− 1)

x;

(vi) f(x) =√x2 + 1.

(vii) Use o teste da primeira derivada para estudar o crescimento das funcoes f , gabaixo e encontrar os pontos de maximo ou mınimos locais.

(i) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1; (ii) f(x) = −x4 + 4x3 + 8x2; (iii) f(x) =x2

x2 + 1;

(iv) g(x) = e(x2−1); (v) g(x) = x+ cos(x);x ∈ [0, 2π]

(vi) g(x) = xex; (vii) g(x) =√x2 + 1.

(viii) Divida o numero 100 em duas partes de modo que o produto destas partes sejamaximo.

(ix) Suponha que voce possui 40m de tela e dejesa consturir um jardim retangularencostado a um muro plano, cercado com esta tela e o muro. Determine asdimensoes deste jardim de modo que a area ocupada por ele seja maxima.

(x) Determine os crıticos, pontos de inflexao, intervalos de crescimento, decresci-mento, concavidade para cima ou para baixo das seguintes funcoes :

(i) f(x) = x2 + 4x+ 2; (ii) f(x) = x3 − 2x;

(iii) f(x) =x2

(x2 − 1)2; (iv) f(x) = x3 + x2 − x− 1.


4.2.6 Derivada da Funcao Composta

Teorema 25 (Regra da Cadeia). Dadas f : Aab⊂ R :→ R, e g : B

ab⊂ R :→ R tais

que Im(f) ⊂ B. Suponha que f e derivavel em todo ponto de A e que g e derivavel emtodo ponto de B. Entao g ◦ f : A→ R e derivavel e

[g(f(x))]′ = g′(f(x)).f ′(x) para todo x ∈ A.

Exemplo 74. Dadas h(x) = (x6 − 2x3 + 5)8 calcule h′(x).

Resolucao : Veja que se f(x) = x6−2x3 +5 e g(y) = y8, teremos h(x) = g(f(x)).Entao pela Regra da Cadeia

[g(f(x))]′ = g′(f(x)).f ′(x).

Mas, g′(y) = 8y7 e entao g′(f(x)) = 8(x6 − 2x3 + 5)7. Ainda, f ′(x) = 6x5 − 6x2.Portanto,

h′(x) = g′(f(x)).f ′(x) = 8(x6 − 2x3 + 5)7.(6x5 − 6x2) = 48.(x6− 2x3 + 5)7.(6x5− 6x2).

Exemplo 75. Seja h(x) = log3(x2 + x+ 3). Calcule h′(x).

Resolucao : Veja que se f(x) = x2+x+3 e g(y) = log3y, teremos h(x) = g(f(x)).

Entao pela Regra da Cadeia

[g(f(x))]′ = g′(f(x)).f ′(x)

Mas, g′(y) =1

y ln3e assim g′(f(x)) =

1

(x2 + x+ 3) ln3. Ainda, f ′(x) = 2x + 1.

Portanto,

h′(x) = g′(f(x)).f ′(x) =2x+ 1

(x2 + x+ 3) ln3.

Derivada Logarıtimica

Observacao 10. Uma funcao derivavel que tem uma certa importancia para osEconomistas e dada por h(x) = log

af(x) se a ∈ R , a > 0, a 6= 1 e f derivavel e

f(x) 6= 0 para todo x no domınio de f . A derivada de h e dada por

h′(x) =f ′(x)

f(x) ln a, e se a = e, entao h′(x) =

f ′(x)

f(x).

Corolario 1. Suponha que f : (0,∞) → (0,∞) e dada por f(x) = xk para k ∈ R.Entao f ′(x) = kxk−1.


Prova : Considere a funcao β(x) = ln(f(x)). Pela Obsevacao 10tem-se

β′(x) =f ′(x)

f(x).

Ainda, usando a expressao de f(x) teremos β(x) = ln xk) = k lnx. Entao

β′(x) =k

x.

Agora e facil ver que

k

x=f ′(x)

f(x), ou seja f ′(x) = f(x)

k

x= kxk−1.

Exemplo 76. Calcule β′(x) quando β(x) = x35 .

Resolucao : Usando o Corolario 1 teremos β′(x) =3

5x−

25

Exemplo 77. Calcule β′(x) quando β(x) = (x4 + x3)35 .

Resolucao : Usando a Regra da Cadeia e o Corolario 1 teremos β′(x) = g(f(x))

se g(y) = y35 e f(x) = x4 + x3. Como g′(x) =

3

5y−

25 , g′(f(x)) =

3

5(x4 + x3)−

25 , ainda

f ′(x) = 4x3 + 3x2. Portanto,

β′(x) =3

5(x4 + x3)−

25 [4x3 + 3x2] =

3

5

4x3 + 3x3

5√

(x4 + x3)2.

4.2.7 Concavidade do Grafico de uma Funcao

Dada f : [a; b] → R funcao , considere a reta r que passa pelos pontos (a, f(a))

e (b, f(b)) (ver Figura a). O coeficiente angular desta reta e dado porf(b)− f(a)

b− a.

Entao, e facil ver que, a reta r tem equacao geral dada por

y = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) ver Figura a (4.2.13)


-oxO�

��

bx

(x; f(x))

f(a) + f(b)−f(a)b−a (x− a)

a

f(a)

f(b)

oy G(f)6

Figura a

Exemplo 78. Considere f : [−1; 1] → R dada por f(x) = |x|. Mostre que G(f) temconcavidade voltada para cima.

Resolucao Note que a reta secante que passa por (−1, f(−1)) = (1, 1) e (1, f(1)) =(1, 1) tem equacao geral dada por y = 1. Seja x tal que −1 ≤ x ≤ 0 entao, multi-plicando esta desigualdade por −1 tem-se 0 ≤ −x ≤ 1 ou seja f(x) = −x < 1 = y,ainda se x tal que 0 ≤ x ≤ 1 entao, tem-se 0 ≤ x ≤ 1 ou seja f(x) = x < 1 = y.Portanto, a funcao safisstaz a desigualdade (4.2.15). Da definicao 37 o grafico de ftem concavidade voltada para cima.

Definicao 37. Dada f : [a; b] → R funcao , dizemos que grafico de G(f) tem con-cavidade voltada para cima em [a; b] se para cada x ∈ [a; b],

f(x) ≤ f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) ver Figura a (4.2.14)

Definicao 38. Dada f : [a; b] → R funcao , dizemos que grafico de G(f) tem con-cavidade voltada para baixo em [a; b] se para cada x ∈ [a; b],

f(x) ≥ f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a) ver Figura b (4.2.15)


-oxO�

��

bx

f(x)

f(a) + f(b)−f(a)b−a (x− a)

a

f(a)

f(b)

oy

G(f)

6

Figura b

Ha um teste que se pode aplicar a uma funcao com duas derivadas que nos indicaquais sao os intervalos onde se pode encolher x tais que o G(f) tera concavidade voltadapara cima.

Teorema 26. Dada f : [a; b]→ R uma funcao com duas derivadas. Suponha que f ′′

e uma funcao contınua em (a; b).(i) G(f) tem concavidade voltada para cima em [a; b] se f ′′(x) > 0 para todo

x ∈ (a; b).(ii) G(f) tem concavidade voltada para cima em [a; b] se f ′′(x) < 0 para todo

x ∈ (a; b).

Suponha que f : [a; b] → R tem duas derivadas e que o grafico esta indicado naFigura C abaixo. Entao podemos ver que f ′′(x) < 0 se x ∈ (a;x0) pois a concavidadedo grafico de f em [a;x0] e voltada para baixo. Ainda, f ′′(x) > 0 se x ∈ (x0; b) pois aconcavidade do grafico de f em [a;x0] e voltada para cima.O ponto x0 na Figura C e o ponto onde o grafico da funcao troca a concavidadeou seja no intervalo [a;x0] a concavidade do grafico de f e voltada para baixo e nointervalo [x0; b] a concavidade do grafico de f e voltada para cima. Este fato da aoponto x0 ∈ [a; b] o tıtulo de ponto de inflexao do grafico de f .

Ponto de Inflexao

Definicao 39. Dada f : [a; b] → R funacao . Um ponto x0 ∈ (a; b) e um ponto deinflexao do grafico de f se existir um δ > 0 tal que (x0 − δ;x0 + δ) ⊂ (a; b) e uma dascondicoes abaixo estiver satisfeita.


(i) G(f) tem concavidade voltada para baixo em (x0−δ;x0) e G(f) tem concavidadevoltada para cima em (x0;x0 + δ).

(ii) G(f) tem concavidade voltada para cima em (x0−δ;x0) e G(f) tem concavidadevoltada para baixo em (x0;x0 + δ).

-a oxO x0

b

f(x0)

oy G(f)6

Figura C

Vamos nos valer do Teorema 26 para decidirmos sobre a concavidade do grafico deuma funcao com duas derivadas.

Exemplo 79. Seja f : R→ R dada por f(x) = x3 + x2− x+ 1. Estude o crescimentode f e a concavidade do grafico de f .

Resolucao Veja que f ′(x) = 3x2 + 2x − 1. Nos encontramos os pontos crıticosde f se resolvermos a equacao f ′(x) = 0, ou seja 3x2 + 2x− 1 = 0. Teremos ∆ = 16 eas raızes que estamos procurando sao dadas por

x0 =−2− 4

6= −1, e x1 =

−2 + 4

6=

1

3.

Vemos que, se x ∈ (−∞;−1) ∪ (−1;∞), teremos f ′(x) > 0, entao, f serra crescenteno conjunto (−∞;−1) ∪ (−1;∞). Ainda, se x ∈ (−1; 1), teremos f ′(x) < 0, entao, fserra crescente no conjunto x ∈ (−1; 1).

Vamos nos valer do Teorema 26 para estudar a concavidade de G(f). Vemos quef ′′(x) = 6x + 2. Analisando as conlusoes do Teorema 26 vemos que e suficiente en-contrarmos os intervalos onde a segunda derivada de f e positisa ou negativa. Isto e,f ′′(x) < 0 ou f ′′(x) > 0. Teremos a resposta para estas duas perguntas se resolvermos

a equacao 6x + 2 = 0, cuja solucao e x2 = −1

3. Entao, se x ∈ (−∞;−1

3), teremos


f ′(x) < 0. O Teorema 26ii nos assegura que o G(f) (grafico de f) tem concavidade

voltada para baixo em x ∈ (−∞;−1

3). Ainda, se x ∈ (−1

3;∞), teremos f ′(x) > 0.

O Teorema 26i nos assegura que o G(f) (grafico de f) tem concavidade voltada para

cima em (−1

3;∞).

4.2.8 Teorema do Valor Medio

Teorema 27. Se f : [a; b]→ R for uma funcao contınua em [a; b] e derivavel em (a; b),entao existe c ∈ (a; b) tal que

f(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

Exemplo 80. Seja f : [1, 3] → R funcao dada por f(x) = x3 − 5x2 − 3x. Apliqueo Teorema do Valor Medio e encontre um valor c ∈ (1; 3) que seja ponto crıtico def(3)− f(1)

3− 1= f ′(c).

Resolucao Veja que f e contınua en [1, 3], derivavel em (1, 3). Vemos que f ′(x) =3x2 − 10x− 3. Ainda,

f ′(c) =f(3)− f(1)

3− 1=−27− (−7)

3− 1=−20

2= −10.

Agora, 0 Teorema do Valor Medio nos assegura que existe c ∈ (0; 2) tal que

f ′(c) = 3c2 − 10c− 3 = −10. ou seja 3c2 − 10c+ 7 = 0. (4.2.16)

Vamos em busca dele. Vemos que, c0 = 1 c1 =7

3sao raızes da segunda equacao em

(4.2.16). Observe que c0 = 1 nao pertence ao intervalo aberto (1, 3), o que impossibilita

este valor de satisfazer as condicoes do Teorema do Valor Medio. Mas, c1 =7

3pertence

ao intervalo aberto (1, 3), e portanto este e o valor que procuravamos.

Exercıcios

(i) - Use o Teorema do Valor Medio e encontre um valor c, se existir, tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a, quando

(i) f(x) = x3 + x2 − x, x ∈ [1, 3]; (ii) f(x) = x23 ; x ∈ [−1, 2];

(iii) f(x) =√

100− x2, x ∈ [−6, 8]; f(x) =x2 − 3x− 4

x+ 5, x ∈ [−1, 4].


4.2.9 Regra de L‘Hospital

Teorema de Guilluane Francois de L‘Hospital (1661-1707)

Teorema 28. Sejam f ; g : [a, b]→ R diferenciaveis em no intervalo aberto (a; b)exceto possivelmente em um ponto x0 ∈ (a; b).

(i) Suponha que para todo x 6= x0, tem-se g(x) 6= 0.

(ii) Suponha que limx→x0

f(x) = 0 e limx→x0

g(x) = 0.

(iii) Suponha que limx→x0

f ′(x)

g′(x)= M

Entao limx→x0

f(x)

g(x)= M

Exemplo 81. Sejam f(x) = x2 − x− 12, g(x) = x2 − 3x− 4 e x0 = 4. Calcule

limx→x0

f(x)

g(x).

Resolucao Veja que f e g sao funcoes polinomiais e portanto sao funcoesdiferenciaveis.

(a) Escolha um intervalo I aberto contendo x0 = 4 tal que se x ∈ I e x 6= 4tem-se f(x) 6= 0 e g(x) 6= 0.

(b) Note que limx→4

x2 − x− 12 = 0 e limx→4

x2 − 3x− 4 = 0.

(b) Veja que limx→4

f ′(x)

g′(x)= lim

x→4

2x− 1

2x− 3=

7

5.

Agora temos todas as condicoes do Teorema de L‘Hospital satisfeitas. Potanto,

limx→4

f(x)

g(x)=

7

5.

Exemplo 82. Calcule limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

x

1− ex.

Resolucao Veja que f(x) e uma funcao polinomial, g(x) e a diferenca entrea funcao constante e igual a um e a funcao exponencial. Portanto, f e g saofuncoes diferenciaveis.


(a) Escolha um intervalo I aberto contendo x0 = 0 tal que se x ∈ I e x 6= 0tem-se g(x) 6= 0.

(b) Note que limx→0

x = 0 e limx→0

1− ex = 0.

(b) Veja que limx→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

1

−ex= −1.

Agora temos todas as condicoes do Teorema de L‘Hospital satisfeitas. Potanto,

limx→0

x

1− ex= −1.

Exercıcios

(i) Use a o Teorema 28 para calcular os limites abaixo

a: limx→0

senx

x; b: lim

x→π

sen (x− π)

x− π; c: lim

x→0

sen 5x

x. d: lim

x→π

sen [3(x− π)]

x− π.

Teorema 29. Sejam f ; g : [a,∞)→ R diferenciaveis em no intervalo aberto (a;∞).(i) Suponha que existe N > 0 tal que se x > N tem-se g(x) 6= 0.(ii) Suponha que lim

x→∞f(x) =∞ e lim

x→∞g(x) =∞.

(iii) Suponha que limx→∞

f ′(x)

g′(x)= L

Entao limx→∞

f(x)

g(x)= L

Exemplo 83. Calcule limx→∞

xe−x.

Resolucao Veja que

xe−x =x

ex=f(x)

g(x),

e limx→∞

g(x) = limx→∞

ex =∞ e limx→∞

((x) = limx→∞

x =∞. Ainda,

limx→∞

f ′(x)

g′(x)= lim

x→∞

1

ex= 0 = L.

Portanto, O Teorema 29 nos assegura que limx→∞

xe−x = 0.

Teorema 30. Sejam f ; g : (−∞; b]→ R diferenciaveis em no intervalo aberto (−∞; b).(i) Suponha que existe N < 0 tal que se x < N tem-se g(x) 6= 0.(ii) Suponha que lim

x→−∞f(x) =∞ e lim

x→−∞g(x) =∞.

(iii) Suponha que limx→−∞

f ′(x)

g′(x)= L

Entao limx→−∞

f(x)

g(x)= L


Exemplo 84. Calcule limx→−∞

xex.

Resolucao Veja que

xex = −−xe−x

= −f(x)

g(x),

e limx→−∞

g(x) = limx→−∞

e−x =∞ e limx→−∞

f(x) = limx→−∞

− x =∞. Ainda,

limx→−∞

f ′(x)

g′(x)= lim

x→∞

−1

−e−x= 0 = L.

Portanto, O Teorema 29 nos assegura que limx→−∞

xex = 0.


4.2.10 Diferencial

Sabemos que a derivada de uma funcao y = f(x) foi definida por

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

∆x→0

∆y

∆x(4.2.17)

onde ∆x = h. Se for fixado x e tomarmos h como variavel, nos definimos a quantidadeε por

ε(h) =f(x+ h)− f(x)

h− f ′(x) =

∆y

∆x− f ′(x). (4.2.18)

Segue do fato que f ′(x) e a derivada de f no ponto x que

limh→0

ε(h) = 0.

• A quantidade ∆y = f(x + h) − f(x) representa a mudanca ou (Incremento) novalor de y (variavel dependente) que resulta quando o valor x (variavel independente)e mudado pela quantidade ∆x = h.Como

∆y = f ′(x)∆x+ ε∆x, (4.2.19)

a quantidade ∆y aparece como soma de duas partes; a parte f ′(x)∆x que e proporcionalao ∆x e a parte ε∆x que pode ser tomada tao pequena quanto se queira, quandocomparada ao ∆x que por sua vez deve ser pequeno.

O termo dominante ou parte linear em (4.2.19) sera denominada Diferencial dyde y e escrevemos

dy = df(x) = f ′(x)∆x (4.2.20)

Para qualquer funcao diferenciavel f e para um ponto fixado x esta diferencial euma funcao de h = ∆x.

Exemplo 85. Se f(x) = x2, nos temos dy = d(x2)ver(4.2.20)

= 2x∆x = 2xh.

Para o caso em que y = x = f(x) cuja derivada e tem valor constante um, nossimplesmente temos dy = dx = ∆x, (logo nossa definicao e consistente pois escrevemosdx para ∆x). Assim a diferencial de y = f(x) pode tambem ser escrita como

dy = df(x) = f ′(x)dx (4.2.21)

O incremento da variavel dependente fica entao escrito da seguinte forma:

∆y = f ′(x)dx+ εdx = dy + εdx, (4.2.22)


e prendendo nossa atencao nestas igualdades vemos que a diferencial difere do incre-mento da variavel dependente pela quantidade εdx, que em geral nao e zero.• No exemplo 85 y = f(x) = x2 temos dy = 2xdx, e

∆y = (x+ dx)2 − x2 = 2xdx+ (dx)2 = dy + εdx,

onde ε = dx.Voltando em (4.2.17) e fixando x,

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) + εh, (4.2.23)

vemos que f(x+ h) considerado como funcao de h, esta em (4.2.23) representado poruma funcao de f(x)+hf ′(x) com erro εh que e arbitrariamente pequeno se comparadocom h, se h for sufucientemente pequeno.• A representacao (4.2.23) aproxima f(x + h) pela funcao linear f(x) + hf ′(x)

de h o que geometricamente significa nos substituimos a curva (G(f)) por sua retatangente no ponto (x, f(x)) ∈ G(f).• Em outras palavras ao tomrmos o valor f(x)+hf ′(x) como sendo o valor f(x+h)

cometemos um erro εh. O valor f(x + h) − f(x) pode ser calculado em (4.2.23) porhf ′(x) + εh e pelo Teorema do Valor Medio e e dado por

f(x+ h)− f(x) ∼= f ′(ξ)h (4.2.24)

ou seja, o valor de ε e dado por

ε =f(x+ h)− f(x)

h− f ′(x) = f ′(ξ)− f ′(x).

Exemplo 86. Usando a diferencial podemos calcular um valor aproximado para√

98

Resolucao O numero 98 e proximo de 100, que e um quadrado perfeito ouseja

√100 = 10. Tomemos y = f(x) =

√x. Vemo que ao aplicarmos o incremento

h = ∆x = dx = −2 na variavel x calculado em x0 = 100 teremos x0 + h = x0 + dx =100 − 2 = 98. Vamos aplicar (4.2.24) para darsolucao ao nosso problema. Veja que

f ′(x) =1

2x−

12 . Entao f ′(100) =

1

2(100)−

12 =

1

20. Ainda,

f(100− 2)− f(100) ∼= f ′(100)(−2),

ou seja

f(100− 2) =√

98 ∼= 10− 1

10= 9, 9

Exemplo 87. Usando a diferencial podemos calcular um valor aproximado para 5√

33

Resolucao O numero 33 e proximo de 32, e 5√

32 = 2. Tomemos y = f(x) = 5√x.

Vemo que ao aplicarmos o incremento h = ∆x = dx = 1 na variavel x calculado em


x0 = 32 teremos x0+h = x0+dx = 32+1 = 33. Vamos aplicar (4.2.24) para darsolucao

ao nosso problema. Veja que f ′(x) =1

5x−

45 . Entao f ′(32) =

1

5(32)−

45 =

1

80. Ainda,

f(32 + 1)− f(32) ∼= f ′(32)(1),

ou seja

f(32 + 1) =5√

33 ∼= 2 +1

80∼= 2 + 0.0125 = 2.0125.

Se usarmos uma calculadora veremos que 5√

33 ∼= 2.01234, portanto ha um erro ra-zoavelmente pequeno.

Exemplo 88. Suponha que C(x) = 5 +5

3x +

1

5

√x seja o consumototal (em bilhoes

de unidades de moeda) e x e o rendimento disponıvel total (em bilhoes de unidades demoeda). Se x = 25 com um erro maximo de 0, 3, encontre o erro maximo aproximadono consumo total.

Resolucao Podemos usar (4.2.24) para oferecer uma resposta com uma certaprecesao a este problema. Veja que por (4.2.21) a diferencil de C e dada por

dC =[5

3+

1

5√x

]dx

onde dx e o incremento de erro maximo 0, 3 quando se estima que o rendimentodisponıvel total e x0 = 25. Portanto

dC =[5

3+

1

5√

25

](0, 3) ∼= 0, 186.

Se du for o erro em u, entaodu

usera o erro relativo em u, e 100

du

usera o erro percentual

em u. Entao, o erro relativo em C e dado por

dC

C∼=

0, 186

14.33333= 0, 01297.

Portanto, o erro percentual em C e dado por 1, 297.

Exercıcio Se a equacao de demanda de um certo comodity for dada por x =16

y4,

onde x e a quantidade de unidades demandadas e y eo preco em unidades de moeda,suponha que y seja igual a 200, com um erro maximo de 10. Determine o erro relativomaximo aproximado em x.

Resolucao Na expresao da demanda x =16

y4calcule o logarıtmo na base e em

ambos o membros, isto e

lnx = 16− 4 lny.

Diferenciando a expressao acima teremos


dx

x= −4

dy

y.

Para y0 = 200, dy = 10, e o erro relativo em x e dado por

dx

x= − 40

200= −1

5.

Portanto, o erro percentual em x e −20. O sinal negativo indica que os erros ao seestimar erro em x e erro4m y eles tem sinais opostos.

Aplicando novamente o Teorema do Valor Medio para f ′ teremos

f ′(ξ)− f ′(x) = (ξ − x)f ′′(η),

onde η ∈ (x, ξ) (intervalo aberto) e portanto η ∈ (x+ h, x), (intervalo aberto) se h < 0ou η ∈ (x, x+ h), (intervalo aberto) se h > 0.

Portanto

|ε| = |(ξ − x)f ′′(η)| = |(ξ − x)||f ′′(η)| ≤ hM,

onde M e o um extremo superior para o valor absoluto de f ′′(η) para η ∈ (x−h, x+h)

(i) Caucule as derivadas de primeira e segunda ordem de f(x) quando

(i) f(x) = e(x2+1) (ii) f(x) = 3(x2+1), (iii) f(x) = (12)(x2+1), (iv) f(x) =

loge(x2 + 4) (v) f(x) = log2(x2 + 4), (vi) f(x) = log0.5(x2 + 4). Em cada caso

anterior encontre os intervalos de crescimento descrecimento, pontos de maximos,mınimos locais e absolutos, intervalos de concavidade para baixo e/ou para cimado grafico de f e assıntotas ao G(f).

(ii) Calcule os limites abaixo

a: limx→∞

x2e−x b: limx→∞

(x+x3)e−x c: limx→−∞

[x2+x4]ex d: limx→∞

[x3−x2]e−x

(iii) Use o teste da primeira derivada os pontos de Maximo ou Mınimos locais de fem cada um dos casos abaixo:

a: f(x) = x2e−x b: f(x) = (x + x3)e−x c: f(x) = xe−x2

d:f(x) = [x3 − x2]ex

2

(iv) Use o teste da segunda derivada para encontrar os pontos de maximos e/oumınimos locais. Encontre tambem os intevalos de crescimento decrescimentoda funcao indicada e de posse destes dados encontre os valores maximos e/oumınimos absolutos das funcoes em cada um dos ıtens abaixo.

(i) f(x) = x4 − x3; x ∈ [−3, 4); (ii) f(x) = 2x3 − x2 + 3x− 1, (iii) f(x) =

x43 +4x

13 ; (iv) f(x) = 2x

√3− x; (vi) f(x) = x5−5x3−20x−2; x ∈ [−2, 3].


(v) Seja f uma funcao derivavel em um intervalo aberto contendo c. Entao

(i) - Se f ′′(c) > 0 o grafico de f sera concavo para cima em (c, f(c)).

(ii) - Se f ′′(c) < 0 o grafico de f sera concavo para baixo em (c, f(c))

(iii) - Se (c, f(c)) for um ponto de inflexao do grafico de f e existir f ′′(c), entaof ′′(c) = 0.

Use estas informacoes e o teste da primeira derivada para fazer um esboco dografico de f quando,

(i) f(x) = x4−x3; (ii) f(x) = 2x3−x2 +3x−1 (iii) f(x) = x5−5x3−20x−2;

(iv) f(x) =9x

x2 + 9; (v) f(x) =

x− 1

x2 + 2x+ 2

(vi) (a) Calcule (i) limx→2

3x − 9

x− 2; (ii) lim

x→∞

(x+ 11

x

)x(iii) lim

x→+∞

2x

2x − 1.

(vii) a: Dada f : [−2, 2]→ R dada por f(x) =1

10x6− 3

10x2, determine os extremos

absolutos e relativos de f . Faca um esboco do grafico desta funcao.

b: Faca um esboco do grafico de f(x) =x2 + 1

x2 − x, h(x) = x|x|, α(x) = x2ex,

γ(x) = xe−x e β(x) = x2e−x, F (x) = log2(x2 + 1) e Γ(x) = log

12

(x2 + 1).

(viii) Use a diferencial para calcular um valor aproximado para 3√

126.

(ix) Use a diferencial para calcular um valor aproximado para 4√

80 e 4√

78.

(x) Se a equacao de demanda de um certo comodity for dada por d =16

p5, onde d

e a quantidade de unidades demandadas e p e o preco em unidades de moeda,suponha que p seja igual a 200, com um erro maximo de 10. Determine o errorelativo maximo aproximado em d.

(xi) Se a equacao de oferta de um certo comodity for dada por s =16

p3, onde s

e a quantidade de unidades demandadas e p e o preco em unidades de moeda,suponha que y seja igual a 200, com um erro maximo de 5. Determine o errorelativo maximo aproximado em s.

(xii) Dada f(x) = x2√a2 − x2, com a numero real positivo e −a ≤ x ≤ a, encontre

a reta tangente ao G(f) no ponto( a√

2, f(

a√2

))

.

(xiii) Supondo que C(x) seja o custo (em alguma unidade de moeda) de producaode x unidades de uma certa mercadoria, a funcao C sera denominada FuncaoCusto Total. Se x = 0 for um ponto do domınio de C, entao C(0) representaraos Gastos Extras do custo de producao. O Custo Medio, Q(x) de producaosera obtido dividindo o Custo Total de Producao pela quantidade de unidadesproduzidas aquele custo, isto e


Q(x) =C(x)

x,

onde Q sera denominado Funcao Custo Medio.

Fixada uma producao, seja x0 a quantidade de unidades produzidas e suponhaque esta quantidade foi alterada por ∆x unidades. Esta alteracao causa umavariacao no custo total de producao que e calculada da segunte forma:

C(x0 + ∆x)− C(x0)

∆x,

em Economia e utilizado o termo Custo Marginal para o limite desta razao quando∆x tende a zero. Em Nosso curso de Calculo I reconhecemos o limite

lim∆x→0

C(x0 + ∆x)− C(x0)

∆x,

como a derivada da funcao C (Custo Total de Prodocao) calculada no pontox0. Ou seja, se C(x) for a Funcao Custo Total entao C ′(x) sera a Funcao CustoMarginal.

Se Q(x) for o Custo Medio da Producao de uma unidade de mercadoria, entaoo Custo Medio Marginal quando x = x0 sera dado por Q′(x0), se existir e Q′

sera denominada Funcao Custo Medio Marginal. Para o nosso curso de CalculoQ′(x0) sera a derivada de Q calculada em x0.

4a Suponha que C(x) seja o cuso total de producao de x molduras para fotos

(x ≥ 10) e que C(x) = 15 + 8x +50

x. Encontre a Funcao Custo Marginal; O

Custo Marginal quando x = 50; O Custo ao se produzir a quinquagezima primeiramoldura, O Custo Medio da Producao, O Custo Medio Marginal. Faca um esbocodo grafico de cada uma destas funcoes.

4b Suponha que C(x) seja uma funcao linear, ou seja C(x) = mx + b,parax ≥ 0 com m e b coonstantes reais. Encontre a Funcao Custo Marginal; O CustoMarginal quando x = 50; O Custo ao se produzir a quinquagezima primeiramoldura, O Custo Medio da Producao, O Custo Medio Marginal. Faca um esbocodo grafico de cada uma destas funcoes.

Observacao 11. Se f : Aab⊂ R→ R for uma funcao n vezes dervavel e f (n)A

ab⊂ R→ R

a derivada de oredem n de f for uma funcao contınua no intervalo (a, b), dizemos quef e uma funcao de classe Cn em Aou dizemos apenas que f ∈ Cn(A).


4.2.11 Formula de Taylor

Como nos sabemos da derivada da funcao exponencial, se f(x) = ex

limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0

ex − e0

x− 0= 1.

Segue da definicao de limite que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se

dist(x, 0) < δ, dist(f(x)− f(0)

x− 0, 1)< ε, ou seja dist

(ex − e0

x− 0, 1)< ε

Um calculo simples nos mostra que

∣∣∣ex − e0

x− 0− 1∣∣∣ < ε, ou seja

∣∣∣ex − 1− xx

∣∣∣ < ε, e assim, |ex − (1 + x)| < ε|x| = ε.dist(x, 0).

Veja que se q(x) = 1 + x para x tal que dist(x, 0) < δ, teremos dist(ex, q(x)) =|ex − q(x)| < εdist(x, 0). Assim se ε e dist(x, 0) forem dois numeros suficientementepequenos, q(x) e uma boa aproximacao para ex. Isto nos diz que q( 1

10) = q(0.1) =

1 + 0.1 = 1.1 e uma boa aproximacao para e0.1, ainda q(0.2) = 1 + 0.2 = 1.2 e umaboa aproximacao para e0.2. Use uma calculadora e verifique isto voce mesmo.

Exemplo 89. Considere f(x) = 4√x. Se x0 = 256 teremos f(x0) = 4. Se q(x) =

f(x0) + f ′(x0)(x−x0), teremos q(x) = 2 +1

256(x− 256). Mostre que q(255) e uma boa

aproximacao para f(255) = 4√

255.

Resolucao Veja que q(255) = 4− 1

256(255−256) =

1023

256' 3.9960938 e f(255) =

4√

255 ' 3.996088. Veja que o erro que cometemos tem a ordem de |f(255)− q(255| =|0.0000057| que e um erro pequeno.

Definicao 40. Se f e de classe Cn+1 (isto e, tem derivadas de ordem n+ 1 contınuas)em um intervalo aberto I contendo x0. Dado x ∈ (xo − δ, x0 + δ) ⊂ I, para algumδ > 0, o polinomio pn dado por

pn(x) = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)n, (4.2.25)

e denominado polinomio de Taylor de grau n de f em x0

Exemplo 90. Podemos ver facilmente que se f(x) = ex entao pn(x) = 1 + x +x2

2+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!=

n∑i=0

xi

i!.


Teorema 31. Se g e de classe Cn+1 (isto e, tem derivadas de ordem n+ 1 contınuas)em um intervalo aberto I contendo t0, entao, para todo t ∈ I, existe c entre t0 e t talque

g(t) = g(t0) +g′(t0) (t− t0) +g′′(t0)

2!(t− t0)2 + · · ·+ g(n)(t0)

n!(t− t0)n+Rn(t), (4.2.26)

e que Rn(t) =g(n+1)(c)

(n+ 1)!(t− t0)n+1.

A igualdade (4.2.26) chama-se formula de Taylor de ordem n de g em t0.

Observacao 12. No Teorema (31) o valor Rn(t) =g(n+1)(c)

(n+ 1)!(t− t0)n+1 e o erro que

se comete ao aproximar g(t) por pn(t), Na verdade o erro que se comete e exatamentedist(f(t), pn(t)). Mas dist(f(t), pn(t)) < |Rn(t)|.

Chapter 5

INTEGRAL

5.1 Calculo de Areas

• Prova-se facilmente por inducao finita que para todo n ∈ N,

1 + 2 + · · ·+ n =n∑i=1

i =n(n+ 1)

2,

1 + 22 + · · ·+ n2 =n∑i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

e

13 + 23 + · · ·+ n3 =n∑i=1

i3 =[n(n+ 1)

2

]2

.

Seja f : [a ; b] → R uma funcao. Chama-se area sob ao grafico de f , a area Acompreendida entre o grafico de f , o eixo ox e as retas x = a e x = b.

Como exemplo tome f : [0 ; 2]→ R dada por f(x) = x2 cujo grafico esta esbocadona Figura 1 .

Considere a area A sob o grafico da curva (x, x2) para x ∈ [0; 2]. Podemos calcularuma aproximacao para A utilizando a subdivisao do intervalo [0, 2] dada por x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 e x4 = 2. Calculando a area A5 hachurada na figura 2.vemos que A5 = 0.5(0.5)2 +0.5(1)2 +0.5(1.5)2 = 0.125+0.5+1.125. Ou seja A5 = 1.75.

-oxO 0.5 1 1.5 2

· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·

oy

(x, x2)

6

Figura 1121

122 CHAPTER 5. INTEGRAL

• Considere agora a subdivisao x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1, x5 =1.25, x6 = 1.5, x7 = 1.75 e x8 = 2. Seja A9 a area hachurada correspondente a estasubdivisao. Entao

A9 = 0.25[(0.25)2+(0.5)2+(.75)2+1+(1.25)2+(1.5)2+(1.75)2] = 0.25[19.375] = 2.1875.

Exercıcio 2. Calcule a aproximacao A17 da area A acima utilizando a seguinte sub-divisao de [0, 2]. x0 = 0, x1 = 0.125, x2 = 0.25, x3 = 0.375, x4 = 0.5, x5 = 0.625, x6 =0.75, x7 = 0.875, x8 = 1, x9 = 1.125, x10 = 1.25, x11 = 1.375, x12 = 1.5, x13 = 1.625, x14 =1.75, x15 = 1.875 e x16 = 2. Resp. A17 = 2.421875.

Veja nenhuma das aproximacoes A5 = 1.75, A9 = 2.421875 e A17 = 2.421875(resposta do Exercıcio 2) coincide com o valor exato da aarea A desejada. Qual sera ovalor exato ?

Tome o intervalo [0 ; 2]. Vamos dividir este intervalo em n intervalos, contidos

em [0 ; 2] de mesmo comprimento. Cosidere os intervalos[2(i− 1)

n;

2i

n

], para i =

1, 2, · · · , n. Observamos que todos estes intervalos estao contidos no intervalo [0 ; 2] e

que todos eles tem o mesmo comprimento, isto e,2

n. Chamamos o conjunto Pn = {xi =

2i

n, para i = 0, 1, 2, · · ·n} de Particao do intervalo [0 ; 2]. Os intervalos

[2(i− 1)

n;

2i

n

],

de subintervalos do intervalo [0 ; 2]. Denominamos soma de Riemann de f(x) = x2

relativa a Particao Pn o numero real

( 2

n− 0)f(

2

n) +

( 4

n− 2

n

)f(

4

n) + · · ·+

(2i

n− 2(i− 1)

n

)f(

2i

n) + · · ·+

(2− 2n− 2

n

)f(2) =

n−1∑i=0

f(2i

n) =

8

n3

n−1∑i=0

i2 =8

n3

[n(n+ 1)(2n− 1)

6

]=

8

3+

4

n+

8

n2.

Seja A(Pn) =8

3+

4

n+

8

n2. Para cada n temos A(Pn) uma aproximacao da area total

sob a curva (x, x2), que e a area sob o grafico de f(x) = x2. Ainda,

5.1. CALCULO DE AREAS 123

limn→∞

A(Pn) = limn→∞

8

3+

4

n+

8

n2=

8

3. (5.1.1)

Observamos que A =8

3e a area total que procuravamos. Compare

8

3' 2.6666... com

as aproximacoes A5, A9 calculadas acima e A17 (resposta do Exercıcio 2) .

Exercıcio 3. Considere g : [0 ; 2] → R dada por g(x) = x3. Repita todos os calculoanteriores para a a funcao g.

Para resolver o exercıcio acima sera necessario valer-se da seguinte expressao

1 + 23 + · · ·+ n3 =n∑i=1

i3 =[n(n+ 1)

2

]2

.

Definicao 41. Chama-se Particao de [a, b] a qualquer conjunto Pn = {x0, x1, · · ·xn}cujos elementos x0, x1, · · ·xn ∈ [a, b] e a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b. Seja ∆xi =xi − xi−1 para i = 1, 2, · · · , n. Denomina-se tamanho de Pn, o maior valor ∆xi entretodos os possıveis, e denota-se o tamanho de Pn por

‖Pn‖ = max{∆xi, para i = 1, 2, . . . n}.

Note que se os valores xi forem escolhidos da forma acima, ‖Pn‖ → 0 se e somente,se n→∞.

Exemplo 91. Se f [a, b]→ R dada por f(x) = x2 note que, na Figura 2, x0 = a, x1 =

a+b− a

5, x2 = a+2 · b− a

5, x3 = a+3 · b− a

5, x4 = a+4 · b− a

5e x5 = a+5 · b− a

5= b.

Vamos calcular a area entre as curvas x = a, y = b o eixo ox e o grafico de f .

Resolve Veja que P = {x0 = a, x1 = a +b− a

5, x2 = a + 2 · b− a

n, x3 = a + (i −

1) · b− an

, x4 = a+ i · b− an

, x5 = a+ n · b− an

= b}.

Observe que o comprimento do suintervalo [x(i−1), xi] e ∆xi = |xi−x(i−1)| =b− an

.

Entao a area entre as curvas x = a + (i − 1) · b− an

, y = a + i · b− an

o eixo ox e

y = f(a+ i · b− a

n

)e dada por

b− an

f(a+ i · b− a

n

)=b− an

[(a+ i · b− a

n

)2], mas

[(a+ i · b− a

n

)2]= a2 + 2a

b− an

i+(b− a

n

)2

i2

A soma de Riemann relativa a Particao P e dada por


n∑i=1

b− an

f(a+ i · b− a

n

)=

n∑i=1

b− an

[(a+ i · b− a

n

)2]=

b− an

{ n∑i=1

a2 + 2ab− an

n∑i=1

i+(b− a

n

)2n∑i=1

i2}

=

b− an

{na2 + 2a

b− an· n(n+ 1)

2+(b− a

n

)2n(n+ 1)(2n+ 1)

6

}(b− a)

{a2 + a(b− a)

(1 +

1

n

)+

(b− a)2

6

( 1

n2+

3

n+ 2)}

Mas, a area que queremos calcular e dada por

limn→∞

b− an

f(a+ i · b− a

n

)=

limn→∞

(b− a){a2 + a(b− a)

(1 +

1

n

)+

(b− a)2

6

( 1

n2+

3

n+ 2)}

=

(b− a){a2 + a(b− a) +

(b− a)2

3

)=b3

3− a3

3

Sejam f : [a ; b] → R uma funcao contınua, M e N o maximo e o mınimo de frespectivamente. Suponha que G(f) pode ser dado pela figura 2. Sejam A1 a areahachurada, A2 a area sob o grafico de f e A3 a area limitada pelas retas x = a, x = b,y = m e y = M . E facil ver que

m(b− a) = A1 ≤ A2 ≤ A3 = M(b− a).

-oxO a x1 x2 x3 x4 b

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · ·

· · · · ·

M

m

oy

(x, f(x))

6

Figura 2


Note que, na Figura 2, x0 = a, x1 = a +b− a

5, x2 = a + 2 · b− a

5, x3 = a + 3 · b− a

5,

x4 = a+ 4 · b− a5

e x5 = a+ 5 · b− a5

= b.

Os intervalos [xi−1 ; xi] serao denominados sub-intervalos de [a, b]. Tomemos umsub-intervalo [xi−1 ; xi] e designemos os valores mi e Mi como o mınimo e Maximo def no intervalo [xi−1 ; xi] respectivamente. Formemos as SOMAS

s(Pn) = m1∆x1 +m2∆x2 + · · ·+mn∆xn e S(Pn) = M1∆x1 +M2∆x2 + · · ·+Mn∆xn.(5.1.2)

Observamos que, s(Pn) e a soma inferior de Riemann e S(Pn) e a soma superior deRiemann relativa a Particao Pn.

Exemplo 92. Tome f : [0 ; 2] → R dada por f(x) = x2, a Particao P5 = {x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2}, ver Figura 3a e 3b.

• Pela Figura 3a temos

s(P5) = 0.5(0.5)2 + 0.5(1)2 + 0.5(1.5)2 = 0.125 + 0.5 + 1.125 = 1.75.

-oxO 0.5 1 1.5 2

· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·

oy

(x, x2)

6

Figura 3a

-oxO 0.5 1 1.5 2

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·oy

(x, x2)

6

Figura 3b

• Pela figura 3b temos

S(P5) = 0.5(0.5)2 + 0.5(1)2 + 0.5(1.5)2 + 0.5(2)2 = 0.125 + 0.5 + 1.125 + 2 = 3.75.

O valor exato da area sob o grafico de f e8

3ja calculado ( ver (5.1.1)).


Veja que s(P5) ≤ 8

3≤ S(P5).

-oxO a ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ4 b

− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −

− −− −− −− −− −− −− −−− − − − −−− − − − −−− − − − −−− − − − −−− − − − −−− − − − −−− − − − −−− − − − −

− −− −− −− −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −− − − −

· · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · ·

· ·...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

··...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

··...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

·...

...

...

...

f(b)

f(a)

oy

(x, f(x))

6

Figura 4

Agora, para cada sub-intervalo [xi−1 ; xi] de [a ; b], tomamos um valor ξi ∈(xi−1 ; xi) (ver figura 4), e calculamos a SOMA de Riemann relativa a particaoPn dada por

S(Pn) = f(ξ1)∆x1 + f(ξ2)∆x2 + · · ·+ f(ξn)∆xn =n∑i=1

f(ξi)∆xi.

Observamos que s(Pn) ≤ S(Pn) ≤ S(Pn).

Definicao 42. Dada f [a, b] → R contınua, seja Pn = {x0, x1, · · ·xn} cujos elementosx0, x1, · · ·xn ∈ [a, b] e a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b, Particao de [a, b]. ChamamosIntegral definida de f no intervalo [a, b] o seguinte limite (caso ele exista)

lim‖∆xi‖→0

n∑i=1

f(ξi)∆xi =

∫ b

a

f(x)dx.

EXERCICIOS

(i) Seja f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 3. Escolha a seguinte Particao P5 = {0, 12, 5

4, 7

4, 3},

ξ1 = 14, ξ2 = 1, ξ1 = 3

2e ξ1 = 5

2. Calcule a Soma Riemann relativa a Particao

P5. Resp.247

32. Calcule tambem as Soma de Riemann superiores e inferiores

relativa a Particao P5.

(ii) Calcule por Soma de Riemann

∫ 3

1

x3dx. Compare com os valores encontrados

no exercıcio anterior.


Sugestao : Tome a Particao: Pn ={

1, 1 + 3n, 1 + 2

(2n

), · · · , 1 + i

(2n

), · · · , 1 +

n(

2n

)}e escolha ξ1 = 1 + 2

n, ξ2 = 1 + 2

(2n

), ξ3 = 1 + 3

(2n

), ξi = 1 + i

(2n

),

ξn = · · · , 1 + n(

2n

).

Note que se f : [a, b] → R e contınua, a integral de Riemann nao necessariamentecalcula a area A sob o grafico da f , pois se para algum x ∈ [a, b], f(x) ≥ 0, entaoalgumas parcelas da Soma de Riemann sera negativa e o numero que se obtem com aintrgral nao representa a area A.

5.1.1 Propridades da Integral

Definicao 43. Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua tal que f(x) ≥ 0 para todox ∈ [a, b]. A area A da regiao R limitada entre as curvas G(f) (grafico de f), x = a ,

x = b e y = 0 e denominada area sob o grafico de f , e e dada por A =

∫ b

a

f(x)dx,

Note que se f for nao negativa, a funcao F e definida de tal modo que F (x) calculaa area hachurada na Figura 01.

-oxO a x b

····· · ·· · · ·· · · · ·· · · · · ·· · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · ·· · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · ·

��

��

��

∫ x

a

f(t)dt

oy

(x, f(x))

x = b

6

Figura 1

5.1.2 Teorema do Valor Medio Para Integrais

Teorema 32. Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua. Entao existe X ∈ [a, b] tal que∫ b

a

f(x) dx = f(X)(b− a).


Este Teorema nos diz que, se f : [a, b] → R for uma funcao nao negativa, entaoexistira um retangulo cujos lados paralelos tem medida f(X) e (b−a) respectivamente,

e a area A deste retangulo sera dada pelo numero real

∫ b

a

f(x) dx. Note que A e a

area sob o grafico de f .

Prova

Como f e contınua, existem dois numeors reais M e m, e dois valores xM e xm nointervalo [a, b] tais que

M = f(xM) = max{f(x), para x ∈ [a, b]}, e m = f(xm) = min{f(x), para x ∈[a, b]}.

E facil ver que

m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b].

A propriedade quatro no comeco desta lista nos diz que

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a),

ou seja

f(xm) = m ≤

∫ b

a

f(x)dx

(b− a)≤M = f(xM).

Como f e uma funcao contınua em [a, b], o Teorema do Valor Intermediario nos asseguraque existe um valor X ∈ (a, b) tal que

f(X) =

∫ b

a

f(x)dx

(b− a), e portanto

∫ b

a

f(x)dx = f(X)(b− a).

Exemplo 93. Seja f : [1 ; 2] → R dada por f(x) = x2. Encontre o valor X ∈ (a, b)que satisfaz o Teorema do Valor Medio para Integrais (TVMI).

Nos ja sabemos calcular

∫ 3

1

x2 dx que o valor desta integral e8

3. Entao pelo TVMI

temos

∫ 2

1

f(x)dx =8

3= f(X)(2− 1), portanto, X2 =

8

3ou seja X =

2√

3

3.

5.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 129

Definicao 44. Seja f : [a, b] → R funcao integravel. O valor medio de f em [a, b] e

dada por Vm =

∫ baf(x)dx

b− a.

Sejam f, g : [a, b]→ R funcoes integraveis. Entao

(i)

∫ b

a

[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx.

(ii) Se λ e um numero real,

∫ b

a

λf(x)dx = λ

∫ b

a

f(x)dx.

(iii) Se c ∈ (a, b),

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

(iv) Se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entao

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

A prova destas propriedades poder ser encontrada em O Calculo com GeometriaAnalıtica cujo autor e Luis Leithold.

5.2 Teorema Fundamental do Calculo

Definicao 45. Seja f : [a, b]→ R funcao integravel e x um numero qualquer em [a, b].Defina F : [a, b]→ R dada por

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt.

Teorema 33. Seja f : [a, b] → R funcao contınua e x um numero qualquer em [a, b].Entao se F : [a, b]→ R dada por

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt e diferenciavel e F ′(x) = f(x).

Prova

Consideremos dois numeros reais x0 e x0 + h, onde h 6= 0 e tal que x0 + h ∈ [a, b].Note que

F (x0 + h) =

∫ x0+h

a

f(t)dt entao F (x0 + h)− F (x0) =

∫ x0+h

a

f(t)dt−∫ x0

a

f(t)dt,

mas pela Propriedade (iii) da 8a Lista de Exercıcios tem-se∫ x0+h

a

f(t)dt =

∫ x0

a

f(t)dt+

∫ x0+h

x0

f(t)dt.


Entao,

F (x0 + h)− F (x0) =

∫ x0+h

x0

f(t)dt.

Pelo Teorema do Valor Medio para Integrais (8a Lista de Exercıcios) existe X ∈ [a, b]tal que ∫ x0+h

x0

f(t)dt = f(X)h.

Portanto,

limh→0

1

h

∫ x0+h

x0

f(t)dt = limh→0

F (x0 + h)− F (x0)

h= f(X) = F ′(X).

Teorema 34. Seja f : [a, b] → R funcao contınua. Se G : [a, b] → R for uma funcaoderivavel tal que para todo x ∈ [a, b]

G′(x) = f(x), (5.2.3)

entao ∫ b

a

f(x) dx = G(b)−G(a). (5.2.4)

ProvaSe em (5.2.3), x = a ou x = b, as derivadas envolvidas serao derivada a direita em

a e derivada a esquerda em b. Como f e contınua em, o Teorema 33 nos assegura quea integral ∫ x

a

f(t) dt,

define uma funcao F (x) derivavel, cuja derivada e f(x) para todo x ∈ [a, b]. Comopor (5.2.3) temos G′(x) = f(x), um Teorema ja visto na disciplina Caculo Diferenciale Integral I nos diz que se duas funcoes (F e G) tem mesma derivada, a diferenca entreelas e constante, ou seja

G(x) =

∫ x

a

f(t) dt+ k.

Calculando G(a) e G(b) teremos

G(a) =

∫ a

a

f(t) dt+ k = k e G(b) =

∫ b

a

f(t) dt+ k. (5.2.5)

Portanto, por (5.2.5) G(b)−G(a) =

∫ b

a

f(t) dt.


SOLIDO DE REVOLUCAO

Definicao 46. Considere a funcao f : [a, b]→ R, contınua, nao negativa e a regiao Rlimitada pelas curvas G(f), x = a, x = b e y = 0. A rotacao de 2π radianos da regiaoR em torno do eixo ox forma um solido S (ver figura abaixo). O volume V (S) desteSolido e dado por

V (S) =

∫ b

a

π[f(x)]2dx. (5.2.6)

-oxO a x b

···························

··

− − −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−

−−−−−−−−−−−−−

x = a

x = b

(x, f(x))

6

Exemplo 94. Considere a funcao f : [−r, r]→ R dada por f(x) =√r2 − x2. Calcule

o volume do solido S gerado pela revolucao de 2π radianos em torno do eixo ox daregiao R formada pelas curvas G(f), y = 0 x = −r e x = r.

Resolucao Como a regiao R e o semi-cırculo, o solido S e a esfera de raio r.Segue de (5.2.6) que

V (S) =

∫ r

−rπ(√

r2 − x2)2

dx.

Mas


∫ (√r2 − x2

)2

dx =

∫(r2 − x2)dx = r2x− 1

3x3 = G(x).

Portanto,

V (S) =

∫ r

−rπ(√

r2 − x2)2

dx = G(r)−G(−r) =4πr3

3.

EXERCICIOS1 Use a Definicao 0.3 da Lista 08 para resolver os ıtens abaixo.

(i) Dada f(x) = x√x− 4, calcule o valor medio de f no intervalo [0, 4], R. 466

45.

Encontre o valor X ∈ [0, 4] tal que f assume o valor medio.(ii) Dada f(x) = 8x − x2, calcule o valor medio de f no intervalo [5, 8]. R. 32

3.

Encontre o valor X ∈ [0, 4] tal que f assume o valor medio.

2 Use o Teorema 33 e calcule as seguintes derivadas :

(i)d

dx

∫ x

0

√4 + t2dt. (ii)

d

dx

∫ x

0

dt

1 + t2. (iii)

d

dx

∫ x

0

√4 + cos t2 dt.

3 Calcule a area A da regiao R localizada no semiplano {(x, y) ∈ R2, tal que y ≥ 0}e limitada y = |x| e x2 + y2 = a2, onde a > 0. Faca um esboco grafico da regiao R.

4 Considere a funcao f : [a, b] → R. Seja a regiao sob o grafico de f . Em cadaitem abaixo, rotacione R regiao em em torno do eixo ox e calcule o volume do solidogerado por esta rotacao.

(i) f : [−1, 2] → R dada por f(x) = x2 + 1. (ii) f : [0, 2] → R dada porf(x) =

√x. (iii) f : [−1, 2]→ R dada por f(x) =

√1− x2. (iv) Encontre a area A

da regiao R limitada entre as curvas y = x2 e y = −x2 + 4; Resp. 83

. (v) Calcule ovolume do solido regrado pela rotacao desta regiao em torno do eixo ox (vi) Calculeo volume da esfera de raio a, (a > 0). (vii) Encontre o volume do solido geradopela rotacao em torno do eixo 0x, da regiao limitada pela parabola y = x2 + 1 e a retay = x+ 3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -oxO a x b

····························

x = b

6

Figura 2


(i) 5.2.1 Funcao Primitiva e Integral Indefinida

Definicao 47. Dada uma funcao f : [a, b] → R, se existir uma outra funcaoderivavel F : [a, b]→ R tal que F ′(x) = f(x) para todo x ∈ (a, b). Esta funcao Fe denominada Primitiva da funcao f .

Seja f : [a, b] → R dada por f(x) = cosx, podemos ver facilmente que F (x) =senx e tal que F ′(x) = cosx = f(x). Portanto, pela definicao 47 a funcaoF (x) = senx e uma primitiva para f(x) = cosx. Tambem podemos ver queFk(x) = sen x + k, onde k ∈ R e uma constante, satisfaz F ′(x) = cosx = f(x)qualquer que seja k ∈ R. Portanto, segue da definicao 47 que para cada numeroreal k, a funcao Fk(x) = sen x+ k e uma primitiva para f(x) = cos x.

Vemos assim que se uma funcao qualquer f tiver uma primitiva, esta funcao tera,na verdade, uma familia de primitivas. Vejamos como confirmar esta propriedade.

Teorema 35. Se F1, F2 : [a, b] → R forem primitivas de uma mesma funcaof : [a, b]→ R, entao a diferenca e constante, isto e existe k ∈ R tal que F1(x)−F2(x) = k = para todo x ∈ [a, b].

Note que se F1(x) e F2(x) sao primitivas de f entao

F ′1(x) = f(x) e F ′2(x) = f(x).

Defina φ : [a, b] → R dada por φ(x) = F ′1(x) − F ′2(x). Note φ e derivavel eφ′(x) = F ′1(x) − F ′2(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema do Valor Medio,φ(x) − φ(a) = (x − a)φ′(ξ), onde ξ e um numero real no intervalo (a, x). Comoφ′(ξ) = 0, teremos φ(x) − φ(a) = 0 para todo x ∈ [a, b], o que nos diz queφ(x) = φ(a) ou seja F1(x)− F2(x) = φ(a) = constante.

Definicao 48. Dada uma funcao f : [a, b] → R, se F : [a, b] → R for umaprimitiva Primitiva da funcao f , entao∫

f(x)dx = F (x) + C, C ∈ R.


F (x) + C e a integral indefinida de f(x).

Exemplo 95. Seja f, g : [a, b]→ R dada por f(x) = x3 com g(x) = x4.

Note que

∫f(x)dx =

∫x3dx =

1

4x4 + C, C ∈ R, e

∫g(x) dx =

∫x4dx =

1

5x5 +K, K ∈ R;

5.2.2 Area Entre Graficos de funcao

Definicao 49. Seja f, g : [a, b] → R e a regiao R entre as curvas x = a, x = b,G(f) e G(g). Suponha que f(x) ≥ g(x) para tdo x ∈ [a, b]. Se area da regiao Rfor limitada entao a area de R e dada por

A(R) =

∫ b

a

(f(x)− g(x))dx

.

Exemplo 96. Se f, g : [0, 2π]→ R sao dada por f(x) = sen (x) e g(x) = cos(x),

entao observando a figura abaixo vemos que f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [π

4,5π

4].

Se R for a regiao limitada entre os graficos da duas funcoes para x ∈ [π

4,5π

4],

Resolucao Segue da Definicao 49 a area A da regiao R

A(R) =

∫ 5π4

π4

(f(x)− g(x))dx = G(5π

4)−G(0).

onde G(x) e uma primitiva para a funcao f(x)−g(x) = sen (x)−cos(x). Usandoo Definicao 47 vemos que G(x) = − cos(x)− sen (x). Entao

A(R) =

∫ 5π4

π4

(f(x)− g(x))dx = G(5π

4)−G(0) =

− cos(5π4

)− sin(5π4

)− [− cos(0)− sen (0)] = 2√

2.

Teorema 36. Seja f : [a; b]→ R dada por f(x) = xp. Entao;

a : Se p 6= −1;

∫f(x) dx =

1

p+ 1xp+1 + k, k ∈ R.

b : Se p = −1;

∫f(x) dx =

∫1

xdx = ln |x|+ k, k ∈ R.


Exemplo 97. Seja f(x) = x3 e g(x) = x−5. Calcule

∫f(x) dx e

∫g(x) dx.

Resolucao O Teorema 36 nos diz que∫x3 dx =

1

3 + 1x3+1 + k =

1

4x4 + k; k ∈ R

∫x−5 dx =

1

−5 + 1x−5+1 + k = −1

4x−4 + k; k ∈ R.

5.2.3 Integral por Substituicao

Sejam f(x) e g(x) duas funcoes e F (x) primitiva de f . Sabemos que

d

dx

[F (g(x))

]= F ′(g(x))g′(x)

•= f(g(x))g′(x).

A ultima igualdade • vale porque F e primitiva de f . Integrando em ambos oslados na igualdade acima teremos∫

f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) + k; k ∈ R. (5.2.7)

Exemplo 98. Calcule

∫(x2 + 1)2 · 2x dx.

Resolucao

Note que a integral

∫(x2+1)2·2x dx estara escrita na forma (5.2.7) se escolhermos

f(x) = x2 e g(x) = x2 + 1. Entao, F (x) =1

4x4. Portanto,∫

(x2 + 1)2 · 2x dx = F (g(x)) + k =1

4(x2 + 1)4 + k, k ∈ R

Exemplo 99. Calcule

∫ex

2 · 2x dx.


Resolucao

Note que a integral

∫ex

2 · 2x dx estara escrita na forma (5.2.7) se escolhermos

f(x) = ex e g(x) = x2. Entao, F (x) = ex. Portanto,

∫ex

2 · 2x dx = F (g(x)) + k = ex2

+ k k ∈ R

O mecanismo utilizado para se calcular as integrais acima segue o seguinte roteiro.

1 Defina uma nova variavel u = g(x) onde g(x) e escolhida de tal forma que,quando escrito em termos de u, o integrando torna-se mais simples de que ointegrando escrito em termos de x.

2 Transforme a integral em relacao a x em uma integral em relacao a u, substi-tuindo g(x) por u e g′(x)dx por du.

3 Integre a funcao de u obtida.

4 Reescreva a resposta em termos de x, substituindo u por g(x).

EXERCICIOS

1 Em cada caso abaixo, mostre que a funcao F (x) e primitiva para f(x).

(i) F (x) = ln |x|+ 3 e f(x) = x−1. (ii) F (x) = tg x+ 2 e f(x) = cos−2(x).(iii) F (x) = −cotg x + 2 e f(x) = sen −2(x). (vi) F (x) = arc tg x e f(x) =

1

1 + x2.

(v) f(x) =1

a2 − x2e F (x) =

1

2aln∣∣∣a+ x

a− x

∣∣∣+ 4.

2 Calcule as seguintes integrais

(a)

∫(x2 +5x−7)dx. (b)

∫ (3√x+

4

x2

)dx. (c)

∫ (3(x2−x)

√x+

4

x2

)dx.

(d)

∫(8t2 − t2

2+ t)dt. (e)

∫r

(r2 + 5)2dr. (f)

∫6r2

(r3 −√

2)2dr.

(g)

∫6r2

(r3 −√

2)3dr. (h)

∫3θ√

2− θ2dθ. (i)

∫(3θ2 − 2)

3√

2θ − θ3dθ.

(j)

5.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 137∫exsen (ex)dx. (j)

∫ex cos(ex)dx. (k)

∫ex sec2(ex − 7)dx.

(m)

∫3x2√

(x3 + 2) dx. (n)

∫cotg θ cossec 2θ dθ. (o)

∫esenx cosx dx.

(p)

∫(1 + etg x) sec2 x dx. (q)

∫1

x+ 3dx. (r)

∫x

x2 + 3dx. (s)

∫sen (2x−

6) dx

Resp. a F (x) = 13x3 + 5

2x − 7x + k; k ∈ R. b F (x) = 2

2√x3 − 4x−1 + k;

k ∈ R. e F (r) = 12(r2+5)

+ k k ∈ R. h F (θ) = −(2 − θ2)32 + k k ∈ R.

j F (x) = − cos(ex) + k; k ∈ R. k F (x) = tg (ex − 7) + k; k ∈ R. m

F (x) = 23(x3 + 2)

32 + k, k ∈ R. m F (θ) = −1

2cotg 2θ + k, k ∈ R. q

F (x) = ln |x+ 3|+ k k ∈ R. r F (x) = 12

ln(x2 + 3) + k k ∈ R.

BOA SORTE.

5.2.4 Integracao por Partes

Sejam u(x) e v(x) funcoes derivaveis, entao

[u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x),

Calculando a integral em ambos os membros termos

u(x)v(x) =

∫v(x)u′(x) dx+

∫u(x)v′(x) dx, portanto

∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx. (5.2.8)

Exemplo 100. Calcule

∫x senx dx.

Note que neste exemplo a integral pode ser escrita como em (5.2.8) se definirmos{u(x) = x ev′(x)dx = senx dx.

entaou′(x)dx = dx ev(x) = − cos x.

Portanto, aplicando (5.2.8) e estas ultimas informacoes na intgral do exemplo ter-emos

∫x senx dx = −x cosx+

∫cosx dx = −x cosx+ senx+ k k ∈ R.


Obsevacao

A Integral Por Partes pode ser um mecanismo impressimdıvel quando na funcaointegrando aparece um fator que e uma funcao com Derivada Cıclica.

EXERCICIOS

(i) Calcule as integrais abaixo :

a :

∫(x

12 +x5−3x7)dx ; b :

∫(x

1π +x

−32 −3x(1+

√2))dx d : c :

∫x(3+x2)3dx,

d :

∫x(3 + x2)4dx, e :

∫x(3 + x2)7dx, f :

∫x(3 + x2)11dx.

(ii) Calcule as seguinte integrais

(i)

∫x2ex dx; R. ex[x2−2x+2]+k, k ∈ R. (ii)

∫xe−x dx; R. −e−x[x+1]+k, k ∈

R .

(iii)

∫x3ex dx; R. ex[x3 − 3x2 + 6x − 6] + k, k ∈ R. (iv)

∫x3e−x dx; (v)∫

x2 cosx dx; R. x2senx+ 2x cosx− 2senx+ k; k ∈ R. (vi)

∫x2senx dx;

(iii) Calcule as integrais abaixo(nos ıtens f : g : h : e i : voce deve utilizar o metododa substituicao):

a :

∫(3x

23 + 5)dx, b :

∫3√x2dx, c :

∫ [ 1

x4+

24√x

]dx, d :

∫ (√2x −

1√2x

)dx,

e :

∫(2t− 8t3)

[√t2 − 2t4

]dt, f :

∫x2√x3 − 1dx, g :

∫tdt√t+1

,

h :

∫(x3 + 4)

14x5dx

(iv) Calcule as integrais abaixo( use o metodo da integracao por partes):

a:

∫xexdx Resp. ex(x− 1) + k; k ∈ R.

b:

∫x2exdx , Resp. ex(x2 − 2x+ 1) + k; k ∈ R.

c:

∫x3exdx , Resp. ex(x3 − 3x2 + 6x− 1) + k; k ∈ R.

d:

∫(x2 + x)exdx


e:

∫x cosx dx, Resp. xsenx+ cosx+ k k ∈ R.

f:

∫x senx dx, Resp. −x cosx+ senx+ k k ∈ R.

g:

∫x2 cosx dx, g:

∫x2senx dx, h:

∫(x2 + x) cosx dx,

i:

∫(2x+ x2)senx dx j:

∫(1 + e−at)

32 e−atdt, k :

∫x

1 + x2dx,

l:

∫(2x+ 1)e(x2+x)[cos(x2 + x)]dx,

m:

∫ex sin(x)dx, Resposta (

1

2ex[sen (x)− cos(x)];

n:

∫ex cos(x)dx, Resposta

1

2ex[sen (x) + cos(x)]

o:

∫eax sin(bx)dx, Resposta (

1

a2 + b2eax[asen (bx)− b cos(bx)];

p:

∫eax cos(bx)dx, Resposta

1

a2 + b2eax[bsen (bx) + a cos(bx)]

(v) Calcule as intergrais definidas abaixo :

d:

∫ 0

−2

(x3 + x2)exdx; e:

∫ 0

−π2

x cosxdx, f:

∫ π2

−π(2 + x3)sen 2xdx; g:

∫ 1

0

(1 +

e−2t)32 e−2tdt.

(vi) As funcoes seno hiperbolico e cosseno hiperbolico sao dadas por

sen h (x) =ex − e−x

2e cosh(x) =

ex + e−x

2.

a : Calcule as deivadas de primeira e segunda ordem de sinh(x) e cosh(x).

b : Mostre qued

dxsen h (x) = cosh(x);

d

dxcosh(x) = sen h (x).

c : Faca um esboco do grafico de sen h e cosh

(vii) Em cada caso abaixo faca um esboco da area limitada entre os conjuntos G(f) eG(g); graficos das funcoes f e g respectivamente.

a : f(x) = x2 − 4 e g(x) = 3x; b : f(x) = sin(x) e g(x) = cos(x); c :f(x) =

√x e g(x) = x3; d : f(x) = x4 − x2 e g(x) = 3x2.

(viii) Seja y = ex cosx. Verifique que sedy

dx= y′;

d2y

dx2= y′′, entao

• d2y

dx2− 2

dy

dx+ 2y = 0.

Neste caso dizemos que y(x) e solucao para a equacao diferencial (•) . Verifiquese φ(x) = exsenx, ξ(x) = cosh(x), ψ(x) = sen h (x) tambem sao sulucoes para aequacao diferencial (•) .


(ix) A funcao y = f(x) e dada implicitamente pela equcao

3y2 + 2xy + x2 = 0.

Sabe-se que para todo x ∈ Df , f(x) ≥ 0, (Df e o domınio de f) e o grafico de fadmite a reta tangente paralela a reta

t : 3y − x = 2.

Determine a reta t.

5.2.5 Fracoes Parciais

Podemos considerar, sem perder generalidade, que se q(x) = cmxm+cm−1x

m−1 +· · · , c0

com cm = 1, e a(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · , a0 com an = 1.

(i) Suponhamos que m < n e que p(x) = (x− x1)(x− x2)(x− x3) · · · (x− xn), ondexi para i ∈ {1, 2, · · · , n} sao dois a dois distinitos. Entao existem A1, A2, · · · , Annumeros reais tais que

q(x)

p(x)=

A1

x− x1

+A2

(x− x2)+ · · ·+ An

(x− xn). (5.2.9)

As FracoesA1

x− x1

,A2

(x− x2), · · · , An

(x− xn)sao denominadas Fraccoes Parciais

da fracaoq(x)

p(x).

Exemplo 101. Sejaq(x)

p(x)=

x− 1

x3 − x2 − 2x=

x− 1

x(x− 2)(x+ 1). Determine as

fracoes parciais da fracaoq(x)

p(x).

Resolucao Veja que x3 − x2 − 2x = x(x− 2)(x+ 1). Entao, devemos encontrarA1, A2 e A3 tais que

x− 1

x3 − x2 − 2x=A1

x+

A2

(x− 2)+

A3

(x+ 1)=

(A1(x− 2)(x+ 1) + A2x(x+ 1) + A3x(x− 2)

x(x− 2)(x+ 1).

(5.2.10)

Nas fracoes em (5.2.10) as igualdade tem que valr para todo x ∈ R, Como em(5.2.10) os denominadores iguais para todo x ∈ R, os numeradores tem que seremiguais para todo x ∈ R. Entao,

x− 1 = (A1 + A2 + A3)x2 + (−A1 + A2 − 2A3)x− 2A1.


para todo x ∈ R. Temos uma identidade de polinomios, que estara satisfeita see somente se

A1 + A2 + A3 = 0−A1 + A2 − 2A3 = 1−2A1 = −1.

Ao resolver-mos o sistema linear acima, teremos A1 =1

2, A2 =

1

6e A3 = −2

3,

Portanto as fracoes parciais dex− 1

x3 − x2 − 2xsao dada por

1

x,

1

6(x− 2)e−2

3(x+ 1).

(ii) Suponhamos que na decomposicao de p(x) em fatores primos, alguns dos fatoresde p(x) repetem-se. Se o fator de p(x) que repete, for x − xi, e este faor repetepi−vezes, ou seja a raiz xi de p(x) tem multipliciade algebrica p1, o fator querepete x− xi origina pi parcelas da seguinte forma:

1(x−xi)pi =

A1

x− xi+

A2

(x− xi)2+

A2

(x− xi)3+ · · ·+ An

(x− xi)pi(5.2.11)

na decomposicao da fraccao da fracaoq(x)

p(x).

Exemplo 102. Escreva em fracoes parciais da fracaox3 − 1

x2(x− 2)3.

Resolucao De (5.2.11) segue que

x3 − 1

x2(x− 2)3=A1

x+A2

x2+

A3

(x− 2)+

A4

(x− 2)2+

A5

(x− 2)3

Procedendo os calculos teremos A1 =1

8, A2 =

3

16, A3 =

7

4, A4 =

5

4e A6 =

−3

16.

Exemplo 103.

Calucule

∫x− 1

x3 − x2 − 2xdx

Resolucao Veja que no Exemplo 101 nos calculamos as fracoes parcias da fracaox− 1

x3 − x2 − 2x. Segue de do Exemplo 101 que

x− 1

x3 − x2 − 2x=

1

x+

1

6(x− 2)+

−2

3(x+ 1).

Entao ∫x− 1

x3 − x2 − 2xdx =

∫dx

x+

∫dx

6(x− 2)+

∫−2dx

3(x+ 1).


5.3 Integral Impropria

Ate agora calculamos as integrais

∫ b

a

f(x) dx quando f era uma funcao contınua no

intervao [a, b] e o intervalo tinha medida (comprimento) finita. Queremos agora mu-dar um pouco esta situacao. Comecamos por um intervalo de medida (comprimento)infinita .

Definicao 50. Sejam f : [a,∞) → R, g : (−∞, b) → R e h : (−∞,∞) → R tresfuncoes contınuas.

(a) Dizemos que f e integravel em [a,∞) se o seguinte limite existir:

limM→∞

∫ M

a

f(x) dx =

∫ ∞a

f(x) dx; (integral impropria).

Veja Figura abaixo.(b) Dizemos que g e integravel em (−∞, b) se o seguinte limite existir:

limN→∞

∫ b

−Ng(x) dx =

∫ b

−∞g(x) dx; (integral impropria).

(c) Dizemos que h e integravel em (−∞,∞) se os seguintes limite existirem:

limM→∞

∫ 0

−Mf(x) dx e lim

M→∞

∫ M

0

f(x) dx,

e neste caso

limM→∞

∫ M

−Mf(x) dx =

∫ ∞−∞

f(x) dx, (integral impropria).

Em cada item acima, se o limite existir diremos que a integral impropria e CON-VERGENTE, caso contrario, diremos que a integral e impropria DIVERGENTE.


∫ ∞7

dx

(4− x)2dx.

Resolucao: Neste caso, a funcao f : [7,∞) → R e e dada por f(x) =1

(4− x)2.

Pela definicao 50a, temos

∫ ∞7

dx

(4− x)2dx = lim

M→∞

∫ M

7

dx

(4− x)2dx = lim

M→∞

[ 1

4− x

]M7dx = lim

M→−∞

[−1

3− 1

4−M

]=−7

12.

Exercıcio 1 Faca o grafico da funcao f e interprete geometricamente o valor−7

12.

5.3. INTEGRAL IMPROPRIA 143


∫ 2

−∞

dx

(4− x)2dx.

Resolucao : Neste caso a funcao g : (−∞, 2] → R e e dada por g(x) =1

(4− x)2.

Pela definicao 50b, temos

∫ 2

−∞

dx

(4− x)2dx = lim

N→−∞

∫ 2

N

dx

(4− x)2dx = lim

N→−∞

[ 1

4− x

]2

Ndx = lim

N→−∞

[1

2− 1

4−N

]=

1

2.

Exercıcio 2 Faca o grafico da funcao g e interprete geometricamente o valor1

2.


∫ ∞−∞

xe−x2

dx.

Resolucao: Neste caso a funcao h : (−∞,∞)→ R e dada por h(x) = xe−x2. Pela

definicao 50c, temos

∫ ∞−∞

xe−x2

dx = limM→∞

∫ M

−Mxe−x

2

dx = limM→∞

[− e−x

2

2

]M−M

dx =

limM→∞

e−M2

2− lim

M→∞

e−(−M)2

2= 0 + 0 = 0.

Exercıcio 3 Faca o grafico da funcao f e interprete geometricamente o valor zero.

Vamos supor agora que f : [a, b] → R tenha um tipo especial de descontinuidadeem algum ponto c ∈ [a, b].

Definicao 51. Dada f : [a, b]→ R, contınua a menos de x0 = c ∈ (a, b).

(A) Se limx→c−

f(x) = ∞. Dizemos que f e integravel em [a, c] se o seguinte limite

existir

limδ→0+

∫ c−δ

a

f(x)dx. Neste caso limδ→0+

∫ c−δ

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x) dx;

integral impropria, veja Figura A.

(B) Se limx→c−

f(x) = −∞. Dizemos que f e integravel em [a, c], se o seguinte limite

existir


limδ→0+

∫ c−δ

a

f(x)dx. Neste caso limδ→0+

∫ c−δ

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x) dx; integral impropria.

-6 oxO

oy

x = x0 − δ

...

...

...

...

...

...

...

...

...

−.−.− ..−−−−

··x = a

(x, f(x))

x = x0

6

Figura A

Em cada item acima, se o limite existir diremos que a integral e CONVERGENTE,caso contrario, diremos que a integral e DIVERGENTE.

Exemplo 107. Seja f : [1, 2]→ R dada por f(x) =1

(x− 1)12

. Calcule

∫ 1

0

f(x) dx.

Resolucao Veja que a funcao f apresenta uma descontinuidade em x0 = 1. Ainda,limx→1−

=∞. Pela definicao 51A temos

∫ 1+δ

0

1

(x− 1)12

dx = limδ→0+

∫ 1+δ

0

1

(x− 1)12

dx = limδ→0+

2(x− 1)12

∣∣∣1+δ

0= lim

δ→0+2δ

12 + 1 = 1.


(x− 1)13

. Calcule

∫ 1

0

f(x) dx.

Resolucao: Veja que a funcao f apresenta uma descontinuidade em x0 = 1. Ainda,limx→1−

= −∞. Pela definicao 51B temos

∫ 1

0

f(x) dx = limδ→0+

∫ 1−δ

0

1

(x− 1)13

dx = limδ→0+

3

2(x− 1)

23

∣∣∣1−δ0

= limδ→0+

3

2δ

23 − 1

2= −1

2.


Definicao 52. Dada g : [a, b]→ R, contınua a menos de x0 = c ∈ (a, b).

(A) Se limx→c+

g(x) = ∞. Dizemos que g e integravel em [a, b] se o seguinte limite

existir

limε→0+

∫c+ε

b

g(x)dx. Neste caso limε→0+

∫ b

c+ε

g(x)dx =

∫ b

c

g(x) dx; (integral impropria).

(B) Se limx→c+

g(x) = −∞. Dizemos que g e integravel em [a, b] se o seguinte limite

existir

limε→0+

∫c+ε

b

g(x)dx. Neste caso limε→0+

∫ b

c+ε

g(x)dx =

∫ b

c

g(x) dx; (integral impropria).

Em cada item acima, se o limite existir diremos que a integral e CONVERGENTE,caso contrario, diremos que a integral e DIVERGENTE.


(x− 1)12

. Calcule

∫ 2

1

f(x) dx.

Resolucao : Veja que a funcao g apresenta uma descontinuidade em x0 = 1. Ainda,limx→1+

=∞. Pela definicao 52A temos

∫ 2

1

1

(x− 1)12

dx = limε→0+

∫ 2

1+ε

1

(x− 1)12

dx = limε→0+

2(x− 1)12

∣∣∣21+ε

= limε→0+

2ε12 + 1 = 1.


(x− 1)13

. Calcule

∫ 2

1

f(x) dx.

Resolucao: Veja que a funcao f apresenta uma descontinuidade em x0 = 1. Ainda,limx→1−

= −∞. Pela definicao 52B temos

∫ 2

1

1

(x− 1)13

dx = limε→0+

∫ 2

1+ε

1

(x− 1)13

dx = limε→0+

3

2(x− 1)

23

∣∣∣21+ε

= limε→0+

3

2ε

23 − 3

2= −3

2.

Teorema 37. Se para todo x ≥ a tem-se 0 ≤ f(x) ≤ g(x), entao;

(i) Se

∫ ∞a

g(x)dx for convergente, entao

∫ ∞a

f(x)dx sera convergente e∫ ∞a

f(x)dx ≤∫ ∞a

g(x)dx

(ii) Se

∫ ∞a

f(x)dx for divergente entao

∫ ∞a

g(x)dx sera divergente


Exemplo 111. Se f [1,∞]→ R for dada por f(x) =1

x2entao∫ ∞

1

1

x2dx = lim

M→∞

∫ M

1

1

x2dx = lim

M→∞−1

x

∣∣∣M1

= limM→∞

− 1

M+ 1 = 1.

Exemplo 112. Mostre que

∫ ∞1

senx

x2dx e convergente.

Resolucao: Note que − 1

x2≤ senx

x2≤ 1

x2para todo x ∈ [1,∞). Pelo Teorema 37∫ ∞

1

senx

x2dx ≤

∫ ∞1

1

x2dx = lim

M→∞

∫ M

1

1

x2dx = 1.

ainda,

∫ ∞1

senx

x2dx ≥

∫ ∞1

− 1

x2dx = − lim

M→∞

∫ M

1

1

x2dx = lim

M→∞

1

x

∣∣∣M1

= limM→∞

1

M− 1 = −1.

Portanto, −1 ≤∫ ∞

1

senx

x2dx ≤ 1.

Exemplo 113. Se f(0, 1] → R for dada por f(x) =1

x2entao, voce pode usar os

calculos do exemplo anterior e ver que

5.3.1 EXERCICIOS

1 Calcule as integrais abaixo usando a Definicao 50

(i)

∫ 0

−∞x25−x

3

dx; R. −1ln 25

. (ii)

∫ 0

−∞xe−xdx; R. −1. (iii)

∫ ∞−∞

e−|x|dx; R. 2.

(iv)

∫ 0

−∞

1

1 + x2dx; R. π

2. (v)

∫ ∞0

1

1 + x2dx; R. π

2e

∫ 0

−∞x2e−x

3

dx; (vi)∫ ∞−∞

xe−x2+1dx. (vii)

∫ 0

−∞x2e−xdx; (viii)

∫ ∞0

x2e−xdx; (ix)

∫ ∞−∞

1

1 + x2dx; R.


π. (x) Mostre que se α > 1, entao a integral

∫ ∞1

dx

xαe convergente. (xi) Mostre que

se α ≤ 1, entao a integral

∫ ∞1

dx

xαe divergente.

2 Calcule as integrais abaixo usando a Definicao 51 e 52.

(i)

∫ 1

0

dx

x3; R.∞. (ii)

∫ 1

0

dx√1− x

; R. 2. (iii)

∫ 0

−1

dx

x3; R. −∞. (iv)

∫ 1

0

x dx√1− x2

;

R. ∞.

(v) Mostre que se α ≥ 1, entao a integral

∫ 1

0

dx

xαe divergente. (vi) Mostre que

se α < 1, entao a integral

∫ 1

0

dx

xαe convergente.

3 Calcule as integrais abaixo:

(i)

∫ ∞−∞

dx

x2 + 2x+ 2Res. π. (ii) Use o Teorema 37 e discuta a convergencia das

integrais abaixo

(i)

∫ ∞1

cosx

x3. R. Convergente; (ii) ds

∫∞0e−xsen 2x dx; R. Convergente, (iii)∫ 1

0

lnx dx; R. Divergente. (iv)

∫ ∞0

arctanx dx; R. Convergente. (iii)

∫ 1

0

x lnx dx


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149

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Index

composicao de funcoes , 27Derivada da funcao seno, 88equacao, 18funcao par, ımpar, 27funcao quadratica, 14Juros compostos, 69produto cartesiano, 11relacao entre conjuntos, 11

Assıntotas horizontais, 75Assıntotas verticais, 74

Capital composto instantaneamente, 70

Definicao de limite, 45Derivada da funcao exponencial, 88Derivada da funcao logarıtmica, 89Derivada do produto, 86Derivada do quociente, 87divisao de polinomio, 25domınio da funcao , 12

Elasticidade, 99equilıbrio economico, 30

fuccoes trigonometricas, 35funcao derivada, 83funcao derivavel em um ponto, 81funcao exponencial, 33funcao logarıtmica , 33funcoes limitadas, 36funcao bijetora, 29

funcao injetora, 29funcao linear, 14funcao sobrejetora, 29funcao contınua, 79funcao derivavel, 82

Grafico da funcao , 14

imagem da funcao, 12inequacao, 18

Limite no infinito, 55Limite unico, 47Limite infinito, 58, 59Limite no infinito, 54Limites infinitos no infinito, 72, 73limites laterais, 52, 53

modulo, 18

oferta, demanda, 30

polinomio, 24ponto de acumulacao, 44Primeiro limite fundamental, 65Propriedades da derivada, 84

Segundo limite fundamental, 68

Teorema do Sanduiche, 64

Valor Presente, 7

151

Documents

CALCULO DIFERENCIAL E NOTAS DE AULASdcm.ffclrp.usp.br/~jair/listas/APOSTILA-CALCULO-UM_jmaa.pdf · CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Universidade de S~ao Paulo ... Note