Cálculo e Desenho de Betão Armado (Roberto Magnani)

CLCULO E DESENHO DE

CONCRETO ARMADO

ROBERTO MAGNANI

ROBERTO MAGNANI

Engenheiro Civil

CLCULO E DESENHO DE

CONCRETO ARMADO

Araraquara-SP Internet: www.robertomagnani.com.br

http://rmagnani.tripod.com http://roberto.magnani.vila.bol.com.br

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[email protected]

1999

Clculo e Desenho de Concreto Armado Copyright 1999. Direitos Reservados pelo autor para a lngua portuguesa. - Reg. 183875 06/10/99

CATALOGAO NA FONTE DO DEPARTAMENTO NACIONAL DO LIVRO

M196c Magnani, Roberto: 1953 Clculo e desenho de concreto armado / Roberto Magnani. Araraquara, SP : 1999. ...p. ; cm.

ISBN 85 901150 1 1 Inclui bibliografia.

1. Concreto armado Desenhos. 2. Construes de concreto Armado. 3. Engenharia de estruturas. I. Ttulo. CDD-620.137

1999

ndices para catlogo sistemtico: 1. Concreto armado : manual tcnico : clculos : desenhos 2. Estruturas : projetos : engenharia civil

Ftima, Bruna,

Thiago e Isabela,

pela confiana e apoio constantes.

Este projeto dedicado aos meus professores, a todos que gostam de concreto armado e aos

mestres Paulo dos Santos Netto e Roberto Luiz de Arruda Barbato,

que com sua dedicao e sabedoria, nos ensinaram

os primeiros passos.

PREFCIO Dispomos hoje de uma vasta e excelente literatura a respeito dos conhecimentos tericos do con-creto armado. Este livro talvez se afaste um pouco desta tradio, ao apresentar um esquema pr-tico e profissional para o dimensionamento e desenho, como se procede na maioria dos escrit-rios de clculo de nosso pas. So dois os objetivos: antecipar ao engenheiro recm-formado alguns anos de experincia, para que possa aplicar sua teoria com segurana e tranquilidade, e que os profissionais na ativa te-nham sempre mo as tabelas para consulta, e um roteiro completo para a verificao de seus clculos, para as diversas solicitaes da estrutura, desde a fase de lanamento das cargas at o detalhamento e desenho final das armaduras. Apesar de se tratar de assunto muito extenso, procurou-se sintetiz-lo sem perder as funes de suas aplicaes no dia a dia, e obedecendo nossas rigorosas normas tcnicas. O problema de toro pode ser encontrado no captulo Vigas; o problema puno no captulo La-jes; presso em reas reduzidas no captulo Fundaes (Blocos sobre estacas); flexo composta e flexo oblqua no captulo Pilares. Outros assuntos, como Concreto Protendido e outros mtodos de clculo de esforos em estrutu-ras hiperestticas, tais como o Processo de Propagao, Processo das Grelhas e o clculo dos es-foros nos edifcios sob carga horizontal, tratando-os como Prticos, sero apresentados em um volume complementar. A matria foi exposta de tal modo que possa ser programada facilmente em um microcomputa-dor, e para que isto seja possvel, procurou-se nada omitir e apresent-la sequencialmente. Os programadores mais experientes podem at elaborar a impresso grfica dos resultados, comple-mentando com os desenhos de frma e tabela de armaduras. Desde j agradecemos e aguardamos as sugestes e crticas dos leitores, que podem ser encami-nhadas atravs do e-mail: [email protected]. Com elas pretendemos aperfeioar nos-so trabalho.

Araraquara, Julho de 1999

O Autor. Engenheiro civil graduado pela Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Pau-lo, com nfase em Estruturas. Engenheiro construtor de obras de saneamento e edificaes urbanas, hoje projetista de estruturas de concreto armado e fabricante de pr-moldados.

VI

SUMRIO

LAJES

1. INTRODUO 2. VINCULAES DAS LAJES 3. CARREGAMENTOS DAS LAJES 3.1- Classificao das lajes retangulares 3.2- Cargas acidentais ou sobrecargas 3.3- Peso prprio da laje 3.3.1- Vo terico (lt) 3.3.2- Altura da laje (h) 3.4- Peso do pavimento e revestimento das lajes 3.5- Peso de paredes sobre as lajes 3.5.1- Peso de paredes nas lajes armadas em cruz 3.5.2- Peso de paredes nas lajes armadas em uma direo 3.6- Peso do enchimento 3.7- Peso total das lajes (q) 4. CLCULO DOS ESFOROS NAS LAJES 4.1- Clculo dos esforos nas lajes retangulares 4.1.1- Esforos nas lajes retangulares armadas em uma direo a) Lajes isoladas b) Lajes contnuas c) Lajes em balano 4.1.2- Esforos nas lajes retangulares isoladas armadas em cruz a) Foras cortantes b) Momentos fletores 4.2- Clculo dos esforos nas lajes circulares 4.2.1- Dimenses e cargas 4.2.2- Clculo dos momentos fletores, foras cortantes e flechas a) Laje circular apoiada no contorno b) Laje circular engastada no contorno 5. DIMENSIONAMENTO DAS LAJES 5.1- Clculo das armaduras de flexo (As) 5.1.1- Armaduras de flexo das lajes retangulares 5.1.2- Armaduras de flexo das lajes circulares 5.2- Clculo das armaduras de cisalhamento (Asw) 5.2.1- Verificao da necessidade ou no da armadura transversal 5.2.2- Verificao do esmagamento das bielas de concreto comprimidas 5.2.3- Clculo da armadura transversal de cisalhamento (flexo simples) 5.3- Clculo da armadura de puno (Astp) 5.3.1- Hipteses 5.3.2- Tenso de clculo de puncionamento (fpd) ou resistncia do concreto ao puncionamento 5.3.3- Armadura transversal de puno 6. DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS LAJES 6.1- Disposies construtivas para as lajes em geral 6.2- Disposies construtivas para as lajes armadas em uma direo

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VII

7. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DAS LAJES 7.1- Detalhamento das armaduras de flexo das lajes retangulares 7.1.1- Armadura positiva a) Lajes simplesmente apoiadas b) Lajes apoiadas-engastadas c) Lajes engastadas 7.1.2- Armadura negativa a) Lajes armadas em uma direo b) Lajes armadas em duas direes (em cruz) b.1) Isolada b.2) Contnua c) Lajes em balano c.1) Laje isolada em balano c.2) Laje contnua em balano 7.1.3- Armadura nos cantos das lajes retangulares livremente apoiadas nas quatro bordas. 7.2- Detalhamento das armaduras de cisalhamento das lajes retangulares 7.3- Detalhes da armao de escadas e reservatrios 7.3.1- Escadas 7.3.2- Reservatrios 7.4- Detalhamento das armaduras de flexo e cisalhamento das lajes circulares

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VIGAS 1. INTRODUO 2. CARREGAMENTOS DAS VIGAS 2.1- Peso prprio das vigas (pp) 2.1.1- Vo terico (lt) 2.1.2- Largura das vigas (bw) 2.1.3- Altura total das vigas (h) 2.2- Cargas transmitidas pelas lajes 2.2.1- Cargas de lajes macias armadas em uma direo 2.2.2- Cargas de lajes macias armadas em duas direes (em cruz) 2.2.3- Cargas de lajes mistas ou pr-fabricadas 2.3- Cargas concentradas (de vigas ou de paredes) 2.4- Cargas de paredes 2.5- Carga total nas vigas (q) 3. CLCULO DOS ESFOROS NAS VIGAS 4. DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS 4.1- Clculo das armaduras de flexo - Seo retangular 4.1.1- Armadura simples na seo retangular (As+ e As-) 4.1.2- Armadura dupla na seo retangular (As e As) 4.2- Clculo das armaduras de flexo - Seo T 4.2.1- Definio da largura colaborante da laje (bf) 4.2.2- Armadura simples na seo T (As) 4.2.3- Armadura dupla na seo T (As e As) 4.3- Clculo das armaduras de cisalhamento (Asw) - Seo retangular e seo T 4.3.1- Introduo 4.3.2- Clculo da armadura de cisalhamento (Asw) 4.4- Clculo das armaduras de toro - Seo qualquer 4.4.1- Introduo 4.4.2- Tenses tangenciais devidas toro para o concreto fissurado 4.4.3- Clculo das armaduras de toro 4.4.4- Prescries regulamentares das armaduras de toro

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VIII

5. DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS VIGAS 5.1- Disposies construtivas da armadura transversal de cisalhamento 5.2- Disposies construtivas da armadura longitudinal de flexo 5.2.1- Ancoragem da armadura longitudinal de flexo 5.2.2- Porta-estribos 5.2.3- Armadura negativa mnima nos apoios extremos a) Ligaes entre vigas e pilares b) Ligaes entre vigas ou entre vigas e lajes 5.2.4- Armadura de pele 5.2.5- Emendas das barras 6. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DAS VIGAS

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PILARES 1. INTRODUO 2. CARREGAMENTOS DOS PILARES 2.1- Reaes das vigas nos pilares 2.2- Peso prprio dos pilares 2.2.1- Dimenses mnimas 2.2.2- Peso prprio dos pilares (P) 2.3- Cargas do vento nos pilares 2.4- Outras cargas 3. CLCULO DOS ESFOROS NOS PILARES 3.1- ndice de esbeltez, raio de girao e comprimento de flambagem 3.2- Valores do raio de girao (i) e do ndice de esbeltez () 4. DIMENSIONAMENTO DOS PILARES 4.1- Classificao dos pilares 4.2- Clculo da armadura longitudinal (As) 4.2.1- Pilares curtos ( 40) - PILARES INTERMEDIRIOS DE EDIFCIOS 4.2.2- Pilares moderadamente esbeltos (40 < 80) a) Flexo normal composta - PILARES DE EXTREMIDADE DE EDIFCIOS a.1) Clculo expedito quando 0,5 < 0,7 a.2) Clculo simplificado quando = Nd/Ac.fcd 0,7 b) Flexo normal oblqua - PILARES DE CANTO DE EDIFCIOS 4.2.3- Pilares esbeltos (80 < 140) 4.2.4- Pilares excessivamente esbeltos (140 < 200) 4.3- Clculo da armadura transversal (estribos) 5. DISPOSIES CONSTRUTIVAS DOS PILARES 5.1- Disposies construtivas da armadura longitudinal 5.1.1- Bitola mnima das barras 5.1.2- Nmero mnimo de barras 5.1.3- Espaamentos entre as barras longitudinais 5.1.4- Proteo contra a flambagem das barras 5.1.5- Emendas das barras 5.2- Disposies construtivas da armadura transversal 5.2.1- Bitola mnima dos estribos 5.2.2- Espaamento dos estribos 5.2.3- Estribos nas extremidades dos pilares

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IX

5.3- Disposies construtivas gerais para os pilares 5.3.1- Cobrimento das armaduras 5.3.2- Canalizaes embutidas 6. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DOS PILARES

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FUNDAES 1. INTRODUO 2. COMPORTAMENTO DAS FUNDAES 2.1- Capacidade de carga das fundaes 2.2- Capacidade de carga do solo 2.3- Coeficiente de segurana (C.S.) 2.4- Recalques 2.4.1- Danos provocados por recalques 2.4.2- Peculiaridades sobre recalques 2.4.3- Nvel de aceitao dos recalques 2.4.4- Estimativa do valor do recalque 2.5- Sondagens 2.5.1- Introduo 2.5.2- Nmero, locao e profundidade das sondagens 2.5.3- Relao entre SPT e adm a) Para fundaes rasas, ponta de estacas ou base de tubules b) Para estacas pr-moldadas cravadas 3. ESCOLHA DO TIPO DE FUNDAES 3.1- Informaes necessrias 3.2- Estimativa das cargas 3.2.1- rea de influncia 3.2.2- Residncia trrea a) Fundao rasa ou direta b) Brocas manuais c) Estacas 3.2.3- Residncia com dois pavimentos a) No estruturada b) Residncia estruturada 3.2.4- Edifcio com 10 pavimentos (porte mdio) a) Estaca Strauss b) Estaca pr-moldada c) Estaca Franki d) Tubulo 3.3- Fator custo 3.4- Perfil do sub-solo 3.5- Caractersticas das construes vizinhas 3.6- Escolha do tipo de fundao 3.6.1- Fundao rasa ou direta 3.6.2- Fundaes profundas 4. FUNDAES RASAS 4.1- Blocos de fundao em concreto simples 4.2- Sapatas 4.2.1- Centro de gravidade da sapata

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X

4.2.2- Relao entre as abas das sapata 4.2.3- Escolha das dimenses das sapatas a) Pilar isolado retangular b) Pilar isolado especial (seo qualquer) c) Pilar de divisa (sapata carregada excentricamente viga alavanca) 4.2.4- Dimensionamento e detalhamento das sapatas a) Sapata corrida flexvel b) Sapata isolada flexvel c) Sapata corrida rgida d) Sapata isolada rgida 5. FUNDAES PROFUNDAS 5.1- Introduo 5.2- Tubules 5.2.1- Introduo 5.2.2- Esquema estrutural do tubulo de fuste e base circulares 5.3- Estacas 5.3.1- Introduo 5.3.2- Locao das estacas 5.3.3- Capacidade de carga das estacas 5.3.4- Consumo de materiais e algumas caractersticas das estacas moldadas "in loco" a) Cota de arrasamento b) Estaca-broca com (Ne)adm = 10 tf c) Estaca tipo Strauss com (Ne)adm = 20 tf 6. BLOCOS SOBRE ESTACAS 6.1- Introduo - dimenses e limitaes 6.2- Bloco sobre uma estaca - presso em reas reduzidas ou parciais 6.2.1- Esmagamento da zona de contato 6.2.2- Absoro dos esforos de trao a) Esquema esttico b) Detalhamento das armaduras 6.3- Bloco sobre duas estacas 6.3.1- Dimenses recomendadas 6.3.2- Clculo dos esforos no bloco 6.3.3- Clculo e detalhamento das armaduras 6.4- Bloco sobre trs estacas 6.4.1- Dimenses recomendadas 6.4.2- Clculo dos esforos no bloco 6.4.3- Clculo e detalhamento das armaduras a) Armadura nas direes x e y b) Armadura em feixes laterais ou em camadas verticais c) Armadura na direo das bielas 6.5- Bloco sobre n estacas 6.5.1- Dimenses recomendadas 6.5.2- Clculo dos esforos no bloco 6.5.3- Clculo e detalhamento das armaduras

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DETALHES EXECUTIVOS

1. COBRIMENTOS MNIMOS (c) PARA PROTEO DA ARMADURA

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XI

2. GANCHOS E DOBRAS EM BARRAS E ESTRIBOS 2.1- Prolongamento reto e raio interno mnimo de dobramento 2.1.1- Ganchos para barras e para estribos 2.1.2- Barras dobradas a 45 (cavaletes) 2.2- Casos mais usados nos projetos 3. ANCORAGEM DAS ARMADURAS POR ADERNCIA 3.1- Introduo 3.2- Zonas de boa e de m aderncia 3.3- Comprimento de ancoragem de barras tracionadas (lb) 3.3.1- Ancoragem retilnea (sem gancho) 3.3.2- Ancoragem de feixe de barras 3.3.3- Ancoragem com ganchos 3.3.4- Ancoragem das barras dobradas a 45 (cavaletes) 3.4- Comprimento de ancoragem de barras comprimidas (lb) 3.5- Cobertura do diagrama de momentos fletores 3.5.1- Clculo da decalagem (al) 3.5.2- Ancoragem das barras a) Ancoragem das barras da armadura transversal b) Ancoragem das barras da armadura longitudinal b.1) Ancoragem nos vos b.2) Ancoragem nos apoios intermedirios b.3) Ancoragem nos apoios de extremidade 4. EMENDAS DAS BARRAS 4.1- Introduo 4.2- Emendas por traspasse 4.2.1- Comprimento de traspasse das barras tracionadas (lt) 4.2.2- Comprimento de traspasse das barras comprimidas (lt) 4.3- Emendas comprimidas de transio 5. APRESENTAO DO PROJETO 5.1- Escalas mais usadas nos desenhos 5.2- Numerao e simbologia dos elementos 5.3- Tabela de ferros e outros dados

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TABELAS TABELA 1- rea da seo de armadura (As) e largura mnima para uma camada de barras (bw) TABELA 2- Seo de ao por metro de largura de laje TABELA 3- Seo de ao - Estribos de dois ramos - Cisalhamento - Seo retangular TABELA 4- Ancoragem - Nmero de barras da armadura longitudinal que deve chegar ao apoio TABELA 5- Valores de ks e kc - Dimensionamento de seo retangular e seo T flexo simples TABELA 6- Valores de k7 e k8 para clculo da armadura dupla de sees retangulares - Flexo simples TABELA 7- Lajes retangulares armadas em cruz - Momentos fletores e reaes de apoio - Instrues TABELA 7-A- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga uniforme TABELA 7-B- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga uniforme TABELA 7-C- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga uniforme TABELA 8- Lajes com uma borda livre - Carga uniforme TABELA 9- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga triangular TABELA 9-A- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga triangular TABELA 9-B- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga triangular TABELA 9-C- Lajes apoiadas nos 4 lados - Carga triangular

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XII

TABELA 10- Lajes com uma borda livre - Carga triangular TABELA 11- Pilares esbeltos (40 < < 140) - Armaduras simtricas em 2 lados - Flexo-compresso TABELA 12- Pilares esbeltos (40 < < 140) - Armaduras simtricas nos 4 lados - Flexo-compresso TABELA 13- Pilares de seo circular - Flexo-compresso TABELA 14- Momentos de engastamento perfeito em barras prismticas TABELA 15- Fundaes - SPT, adm e f para areias e argilas

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ANEXOS ANEXO 1- Clculo da altura til (d) de lajes e vigas ANEXO 2- Clculo e limitao das flechas em lajes e vigas ANEXO 3- Carregamentos nas estruturas de concreto armado 1- Cargas permanentes 2- Cargas acidentais (ou sobrecargas) ANEXO 4- Exemplo de clculo dos esforos pelo Processo de Cross 1- Etapa hiperesttica 1.1- Grau de deslocabilidade 1.2- Momentos de engastamento perfeito 1.3- Coeficientes de rigidez 1.4- Coeficientes de distribuio e de propagao 1.5- Compensao dos momentos fletores 2- Etapa isosttica 2.1- Ao de n sobre barra 2.2- Diagrama das reaes de apoio 2.3- Diagrama de foras cortantes 2.4- Diagrama de momentos fletores 2.5- Clculo analtico das foras cortantes e dos momentos fletores

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BIBLIOGRAFIA 191

LAJES www.robertomagnani.com.br - [email protected] - [email protected]

Clculo e Desenho de Concreto Armado Lajes 2

1. INTRODUO As lajes so elementos estruturais onde duas dimenses (comprimento e largura), predominam sobre uma terceira (espessura). Normalmente, estas placas so executadas para suportar as cargas verticais transmitidas a um plano horizontal (piso dos edifcios), como tambm para forrar os compartimentos. As lajes planas e macias mais comuns de residncias e edifcios, tm espessuras que variam de 6 a 10cm, mas existem casos especiais em que esta espessura pode ter mais de um metro. Grandes vos podem ser atendidos com as lajes nervuradas, que so lajes compostas de vigas (nervuras), que mantm entre si um espaamento constante. Nas residncias e mesmo em edif-cios, comum o uso das lajes mistas, conhecidas como lajotas ou pr-moldadas. Nestas, signi-ficativa a reduo que se obtem no volume de concreto, diminuindo a quantidade de seus esco-ramentos e aliviando o peso da estrutura suportada pelas fundaes. Nos casos correntes, as lajes descarregam nas vigas o peso das cargas acidentais ou sobrecargas, e o seu peso prprio. Quando descarrega diretamente nos pilares, recebe o nome de laje cogume-lo. Neste livro dimensionaremos as lajes macias, de forma retangular e circular. 2. VINCULAES DAS LAJES Na obra, as lajes so concretadas junto com as vigas, entretanto, quase sempre os esforos (mo-mento fletor, fora cortante e reaes) so calculados como se as lajes estivessem simplesmente apoiadas nessas vigas. Esta simplificao de clculo pode ser feita quando a viga no tem condies de rigidez que im-peam a deformao da laje carregada, tornando desprezvel o engastamento laje-viga, na maioria dos casos. Devemos considerar o engastamento elstico viga-laje somente em casos especiais, como por exemplo, uma laje medindo 3,00 x 4,00m, de espessura 10cm, unida a uma viga de 1,00m de altura por 0,30m de largura, como mostra a figura abaixo.


Calculam-se tambm como lajes isoladas, aquelas que tm trechos contguos de espessuras muito diferentes, ou que so rebaixadas (casos de banheiros e terraos), que nesses casos so considera-das apoiadas ou engastadas em seus contornos. Calculam-se como lajes contnuas ou conjugadas, aquelas que tem espessura constante e trechos contguos que se inter-engastam sobre as vigas que constituem seus apoios intermedirios, e que tm apoios simples nas suas extremidades livres.. tambm comum o clculo aproximado, con-siderando cada trecho da laje contnua como se fosse uma laje isolada que mantm suas vincula-es primitivas. Desta maneira o clculo torna-se muito menos trabalhoso, no se cometem erros importantes e camos no caso descrito no pargrafo anterior. As lajes pr-moldadas que geralmente so armadas em uma nica direo, devem ser apoiadas diretamente nas vigas principais. De qualquer maneira, estas vigas acabaro recebendo toda a carga, mas pelo menos aliviaremos as vigas secundrias, que normalmente no contam com boas condies de apoio e ancoragens de suas armaduras, no causando assim toro nas vigas princi-pais. 3. CARREGAMENTOS DAS LAJES (q) As lajes esto sujeitas s seguintes cargas: acidentais - tambm conhecidas por sobrecargas -, pe-so prprio, peso do pavimento e revestimento, peso de paredes e peso do enchimento (quando fo-rem rebaixadas). 3.1- Classificao das lajes retangulares Levando em conta a sua geometria (comprimento e largura), as lajes retangulares so classifica-das em dois tipos. Chamando de

menorvomaior vo

= , temos

- Lajes armadas em uma direo, quando - Lajes armadas em cruz, quando uma uma dimenso maior do que o dobro dimenso no ultrapassa o dobro da da outra ( > 2). outra ( 2).


3.2- Cargas acidentais ou sobrecargas Estas cargas so constitudas pelo peso dos objetos sobre um piso. Como a posio destes objetos geralmente varivel e indeterminada, substitui-se seus pesos por uma sobrecarga superficial u-niforme, exceto em alguns casos especficos. Os valores destas sobrecargas encontram-se no ANEXO 3. 3.3- Peso prprio da laje (p) Para calcularmos o peso prprio da laje, devemos antes estabelecer as suas dimenses, que so o comprimento e a largura, chamados de vos, e a sua espessura, chamada de altura. 3.3.1- Vo terico (lt) O vo terico pode ser considerado como a distncia entre os centros dos apoios, no sendo ne-cessrio tomar valores maiores que os indicados nas expresses abaixo: a) em laje isolada: o vo livre acrescido da espessura da laje no meio do vo;

b) em laje contnua, vo extremo: o vo livre acrescido da semi-largura do apoio interno e da semi-espessura da laje no meio do vo;

c) nas lajes em balano, o vo terico o comprimento da extremidade at o centro do apoio, como vemos direita da figura acima.


3.3.2- Altura da laje (h) A altura da laje estabelecida obedecendo razes construtivas, arquitetnicas, estticas ou estruturais. Sabe-se que lajes com pequenas espessuras necessitam de fortes armaduras, podendo ser anti-econmicas e as vezes apresentam problemas de deformaes excessivas. A Norma NBR-6118 limita as flechas nas estruturas com vigas e lajes macias. Isto facilita a fixao do valor da altura (h) da laje, j que podemos dispensar o clculo das flechas se a altura til (d) fr calculada conforme o ANEXO 1. Quando houver necessidade de se calcular o valor das flechas, podemos usar o ANEXO 2, assi-milando a laje a uma viga com largura de 1,00 m. Para efeito de clculo e quando j se fixou o valor da altura (h) da laje, o valor da altura til (d) pode ser o da tabela abaixo, alm de se obedecer os valores mnimos para o cobrimento (c), da-dos no item 1 do captulo Detalhes Executivos.

para h (cm) entre d (cm) 5 e 9 cm h - 2,0

10 e 12 cm h - 2,5 13 e 25 cm h - 3,0

Podemos agora calcular a altura total da laje (h), que ser igual soma da altura til com o cobrimento:

Note que c vai do CG da armadura face inferior da laje. A NBR-6118 estabelece que a espessu-ra (h) das lajes no deve ser menor que: - 5 cm em lajes de frro no em balano; - 7 cm em lajes de piso e lajes em balano; - 12 cm em lajes destinadas passagem de veculos. Finalmente, admitindo o peso especfico para o concreto armado (ca) igual a 2,5 tf/m3, calcula-se o peso prprio da laje (p) por: h2,5p = (em tf/m2, com h em metros) 3.4- Peso do pavimento e revestimento das lajes De acrdo com os carregamentos do ANEXO 3, podemos resumir:


- para laje frro (s revestimento inferior).................. 0,02 tf/m2 - para laje piso (pavimento e revestimento)................ 0,05 tf/m2 3.5- Peso de paredes sobre as lajes As cargas devido s paredes que se apoiam diretamente na laje, incluindo a argamassa de assen-tamento e o revestimento so encontradas no ANEXO 3. 3.5.1- Peso de paredes nas lajes armadas em cruz

laje da totalreaparedes das totalpesop = (em tf/m2)

A carga das paredes distribuida em toda a superfcie da laje. No se deduz a parte vazia ocu- pada pelas esquadrias, como se faz no caso de vigas. 3.5.2- Peso de paredes nas lajes armadas em uma direo. Temos dois casos: a) Parede na direo paralela armadura b) Parede na direo normal armadura principal: distribui-se seu peso numa principal: considera-se como carga faixa de largura 2/3 do vo menor: concentrada apoiada em duas vigas paralelas parede considerada:

3.6- Peso do enchimento De acrdo com o material usado, tiramos o valor das cargas do ANEXO 4. Quanto espessura dos rebaixos, podemos considerar: - banheiros: de 25 a 30 cm - copas e cozinhas: dispensvel - varandas: 5 cm


3.7- Peso total das lajes (q) O peso total usado no clculo dos esforos, igual soma dos pesos considerados nos itens de 3.2 a 3.6, em tf/m2. Ento:

q = SOBRECARGA + PESO PRPRIO + PAV. E REV. + PAREDES + ENCHIMENTO

4. CLCULO DOS ESFOROS NAS LAJES Consiste na determinao dos momentos fletores no meio do vo (M) e nos apoios (X), das for-as cortantes (V) e os esforos de puno (fpd). 4.1- Clculo dos esforos nas lajes retangulares Nas lajes retangulares, os momentos fletores e as foras cortantes so determinadas de maneira diferenciada, caso se trate de lajes armadas em uma direo, lajes armadas em cruz, isoladas ou contnuas. 4.1.1- Esforos nas lajes retangulares armadas em uma direo Calculamos estes esforos como se a laje fosse formada por um conjunto de vigas simples, para-lelas e justapostas, de largura 1,00 metro, supostas apoiadas na direo das armaduras das lajes, e carregadas com a mesma carga (q) do item 3.7, s que agora em tf/m. a) Lajes isoladas armadas em uma direo

Supe-se que a carga total da laje q (em tf/m2) seja transferida e distribuda nas vigas de apoio V.1 e V.3. Pelo princpio da ao e reao, estas cargas distribudas Vx e Vy que agem nas vigas, so as mesmas reaes de apoio que agem na laje, ou as foras cortantes que agem nas extre-midades da laje, ou ainda conhecidas como os quinhes de carga da laje que descarregam nas vigas de apoio. O valor desta carga


xyy

yxy 2

qV 2

qV llll =

= (em tf/m) Teoricamente nenhuma carga transferida s vigas V.2 e V.4. Na prtica, costuma-se considerar uma carga residual nos apoios do vo menor lx, com o valor de

yx 8qV l= (em tf/m)

Nestes casos no se pode utilizar as Tabelas de Montoya, porque elas se aplicam somente s lajes armadas em cruz. Os momentos fletores e as foras cortantes so calculados por frmulas diretas, onde q = carga uniformemente distribuda na superfcie da laje (tf/m2) l = vo menor (m) V = fora cortante nos apoios (tf/m) M = momento positivo no meio do vo menor (tf.m/m) X = momento negativo no engaste (tf.m/m) Os esforos nas lajes isoladas (V, M e X) so dados a seguir, conforme o tipo de apoio da laje: a.1) Apoio simples

a.2) Engaste de um lado


a.3) Bi-engastada

b) Lajes contnuas armadas em uma direo Toma-se uma faixa de largura 1,00 metro e calcula-se como se fosse uma viga con-tnua com bw = 1,00 m. Para se determinar os valores das foras cortantes e dos momentos fletores, pode-se usar processos aproximados como o dos Esforos ou o de Cross, quando a di-ferena entre os vos das lajes no ultra-passa 20% do maior. Veja exemplo de clculo pelo Processo de Cross no ANEXO 4.

c) Lajes em balano armadas em uma direo Os diagramas de momentos e de foras cortantes so idnticos aos das vigas simples, que j vi-mos anteriormente. o caso de marquises, grandes beirais, sacadas, balces, etc.


4.1.2- Esforos nas lajes retangulares isoladas armadas em cruz - Processo de Montoya Por este processo aproximado pode-se calcular tanto as lajes isoladas como as lajes contnuas. Aplica-se a reservatrios, silos, caixas d'gua, placas de conteno de terra, etc. Na determinao do esforo cortante e do momento fletor, considera-se cada painel como se fos-se uma laje isolada, mantendo suas vinculaes primitivas. Para assimilar uma laje contnua de edifcios uma laje isolada, substituimos seus apoios internos por engastes teoricamente perfei-tos, e os apoios externos por apoios simples. a) Foras cortantes nas lajes armadas em cruz Nos apoios destas lajes isoladas, as foras cortantes mximas coincidem com as reaes de apoio e tambm so conhecidas como os quinhes de carga da laje que solicitam as vigas. De acordo com o carregamento e o tipo de vinculao que se considera nas bordas da laje, camos em um dos diversos casos apresentados nas TABELAS de 7 a 10, de onde tiramos os valores das reaes nos lados (Rx, Rx', Ry e Ry'). Ao usar estas TABELAS, observe que: - lx e ly so as dimenses dos vos tericos nas direes x e y, respectivamente (em metros). - q = carga total que atua na laje (do item 3.7, em tf/m2). - Vx = Rx e Vx = Rx' so os esforos cortantes distribuidos nos lados de medida lx (em tf/m).

yxx qkR l= yxx q 'k 'R l= - Vy = Ry e Vy = Ry' so os esforos cortantes distribuidos nos lados de medida ly (em tf/m).

xyy qkR l= xyy q 'k 'R l=

b) Momentos fletores nas lajes armadas em cruz Define-se: Mx, My = momentos fletores positivos no meio dos vos das direes x e y (em tf.m/m). Xx, Xy = momentos fletores negativos nos engastamentos (apoios) nas direes x e y (em tf.m/m). q = carga total que atua na laje (do item 3.7, em tf/m2).


Modo de se usar as Tabelas de Montoya por ns adaptadas, para as lajes retangulares: A. Com as consideraes de hipteses de apoios das lajes, verifica-se em qual dos casos nos encontramos; B. Observando em cada TABELA qual o valor que l deve assumir, calculamos o valor da relao = ly/lx, entramos nas TABELAS de 7 a 10 e tiramos o valor dos momentos unit- rios mx, my, xx e xy ; C. Em seguida calculamos os momentos fletores positivos M e negativos X (em tf.cm/m), com q em tf/m2, l em metros e o fator 100 significa que para um metro de largura de laje:

x

2

xm

q 100M l= y

2

ym

q 100M l=

x

2

xx

q 100X l= y

lx

q 100X2

y=

4.2- Clculo dos esforos nas lajes circulares A determinao das foras cortantes e dos momentos fletores feita de maneira anloga s lajes retangulares, com os esquemas estticos dados nas figuras a seguir. 4.2.1- Dimenses e cargas l = vo terico q = carga total uniformemente distribuida h = espessura total da laje 4.2.2- Clculo dos momentos fletores, foras cortantes e flechas a) Laje circular apoiada no contorno a.1) Fora cortante: ver diagrama na figura abaixo

a.2) Momento fletor em um ponto distante r do centro: ( )22r r12R11 64qM =

a.3) Flecha mxima no centro da laje: 34

max hERq 0,672f

= (E do Anexo 2) a.4) Clculo das armaduras: vide item 5.1.2 a.5) Detalhamento das armaduras: vide item 7.3


b) Laje circular engastada no contorno b.1) Fora cortante: ver diagrama na figura abaixo

b.2) Momento fletor em um ponto distante r do centro: ( )22r r3R 16qM =

b.3) Flecha mxima no centro: 34

max hERq 0,144f

= (E do Anexo 2) b.4) Clculo das armaduras: vide item 5.1.2 b.5) Detalhamento das armaduras: vide item 5.5.3


5. DIMENSIONAMENTO DAS LAJES Consiste na determinao das armaduras longitudinais de flexo, das armaduras transversais de cisalhamento, verificao da puno, ancoragem e detalhamento das armaduras. 5.1- Clculo das armaduras de flexo (As) 5.1.1- Armaduras de flexo das lajes retangulares Conhecidos os momentos fletores no meio do vo (Mx, My) e nos apoios (Xx, Xy), e admitida uma espessura (d, h), as armaduras so calculadas como se as lajes se comportassem como vigas de um metro de largura. Resolvendo as equaes de equilbrio aplicadas seo transversal (flexo normal simples), co-locamos o momento fletor e a rea da armadura de trao em funo dos coeficientes kc e ks, que j levam em conta os devidos coeficientes de segurana (vide final da TABELA 5) :

Mdbk

kdbM

2

cc

2 == onde: b = 100 cm (o clculo feito por metro de laje); d = distncia da borda mais comprimida ao centro de gravidade (CG) da armadura (cm). M (ou X) so os valores calculados pelas Tabelas de Montoya (lajes armadas em cruz), ou so os momentos nas lajes armadas em uma direo (em tf.cm/m). Conhecido kc, adotamos o fck do concreto e tipo do ao, e pela TABELA 5, na mesma linha, en-contramos o valor correspondente de ks. A seo transversal total da armadura longitudinal de trao, chamada de positiva (trao embai-xo) no meio do vo e de negativa (trao encima) nos apoios, por metro de largura de laje cal-culada por:

dMkA ss =+ ou d

XkA ss = (em cm2/m)


Estes valores de As devem superar o valor mnimo prescrito pela NBR-6118: (As)min = 0,25.h (em cm2/m) para os aos CA-25 (As)min = 0,15.h (em cm2/m) para os aos CA-50,60. Com o valor de As em cm2/m, e adotado o dimetro (ou bitola) das barras da armadura principal, pela TABELA 2 tiramos o espaamento destas barras, observando as disposies construtivas an-tes de detalhar as armaduras. 5.1.2- Armaduras de flexo das lajes circulares a) Laje circular apoiada no contorno - ver item 4.2.2.a

a.1) Armadura positiva de trao no centro: ( )minsOss A dM

k A =+ a.2) Armadura negativa de trao nas bordas: ( )minss A A = b) Laje circular engastada no contorno - ver item 4.2.2.b

b.1) Armadura positiva de trao no centro: ( )minsOss A dM

k A =+

b.2) Armadura negativa de trao nas bordas: ( )minsRss A dMk A =

Para os itens a) e b) acima, ks e (As)min tm os mesmos significados do item 5.1.1 anterior. 5.2- Clculo das armaduras de cisalhamento (Asw) raro o uso de armaduras de cisalhamento em lajes de edifcios, e melhor evit-las por questo de economia de mo de obra. Ento primeiro verificamos se ela necessria ou no, utilizando os valores das foras cortantes Vx e Vy calculadas no item 4. 5.2.1- Verificao da necessidade ou no da armadura transversal a) Tenso convencional de cisalhamento no concreto

dbV

w

dwd = (Vd em kgf/m, wd em kgf/cm

2.m)

Nas lajes toma-se Vd = 1,4.V em cada direo e como bw = 100 cm, temos


d100V1,4

xwdx = (em kgf/cm2.m) e

d100V1,4

ywdy = (em kgf/cm2.m)

Pode-se dispensar o uso da armadura transversal se wd wu1 e pelo menos metade da ar-madura longitudinal mxima de trao no vo prolongada, sem dobrar, at os apoios e a correta-mente ancorada. Neste caso, toma-se al = 1,5 .d, onde al o valor da decalagem do diagrama dos momentos fletores, e d altura til da laje. b) Tenso de referncia

ck4wu1 f 3,19 = (em kgf/cm2.m) 4 14 0,60 = para h 15 cm onde 4 14 h)0,0033-(0,65 = para 15 cm < h < 60 cm 4 14 0,45 = para h 60 cm e 1 calculado por: 1 a menor taxa da armadura longitudinal de trao no trecho de com-

d100A

s1 = primento 2 .h a partir da face do apoio, e 0,001 < 1 < 0,015 ; (As em cm2/m) Quando houver preponderncia de cisalhamento devido a cargas lineares paralelas ao apoio (caso de paredes de alvenaria apoiadas diretamente na laje), esses valores de 4 so reduzidos meta-de. 5.2.2- Verificao do esmagamento das bielas de concreto comprimidas Para que no ocorra o esmagamento das bielas de concreto, devemos ter

wud

wd d100V

= , onde wu = . 0,30 .fcd 56 kgf/cm2 se toda a armadura transversal for inclinada a 45 com o eixo da pea; wu = .0,25 .fcd 46 kgf/cm2 nos outros casos, 0,5 se h 15 cm e =

90h

31 + se 15 < h < 60 cm

1,0 se h 60 cm


Se ocorrer que wd > wu , devemos aumentar a altura til d. 5.2.3- Clculo da armadura transversal de cisalhamento Asw (flexo simples) nas lajes Nos raros casos em que houver necessidade da armadura transversal em lajes, o clculo deve ser feito com a tenso resultante de cisalhamento d. Para no nos tornarmos repetitivos, a partir des-te ponto continuamos nossos clculos da mesma maneira que no captulo Vigas, item 4.3.2.D, lembrando que podemos assimilar o clculo das lajes ao das vigas, com largura bw = 100 cm. Vi-de detalhamento no item 7.2. 5.3- Clculo da armadura de puno 5.3.1- Hipteses Em estruturas laminares, admite-se que a seo de ruptura onde se deve comprovar o esforo cor-tante por efeito de puno, vertical e situada a uma distncia d/2 do ponto de contato do suporte com a carga. o caso das lajes cogumelos.

Supe-se que a carga produza tenso tangencial uni-formemente distribuda na rea u.d, onde: - d = altura til da laje ao longo do contorno C da -rea de aplicao da carga - u = permetro do contorno C', distante d/2 do con-torno C


5.3.2- Tenso de clculo de puncionamento (fpd) ou resistncia do concreto ao puncionamento Esta tenso, determinada com a carga de clculo, no poder ultrapassar o valor ltimo wud, mesmo quando for colocada armadura:

c

ckwud

dpd

f 2,01

duN

f == com wud , fck em kgf/cm2 e c=1,4

5.3.3- Armadura transversal de puno (Astp) Sempre que possvel, melhor evitar a colocao desta armadura, aumentando-se a altura til da laje, aumentando-se as dimenses dos suportes (pilares) ou melhorando a qualidade do concreto. A armadura transversal de puno deve ser colocada se 0,5.wud < fpd < wud e para resistir for-a 0,75.Nd , e dispensada em caso contrrio. Calcula-se ento o seu valor total pela expresso Astp = 0,75.Nd/fyd. calculada para uma tenso no ao limitada ao valor fyd 3000 kgf/cm2, e colocada na faixa en-tre os contornos C e C, conforme a figura abaixo. Alm da armadura calculada para flexo (As), a armadura transversal para combater a puno na laje pode ser disposta de duas maneiras: atravs de estribos verticais ao redor do pilar e nas duas direes, ou de barras dobradas sobre a projeo do pilar e nas duas direes, como vemos na fi-gura abaixo. Note que a laje se apoia diretamente sobre o pilar, que funciona como o punciona-dor.


6. DISPOSIES CONSTRUTIVAS DAS LAJES 6.1- Disposies construtivas das lajes em geral 6.1.1- Espessura mnima como j vimos no item 3.3.2. 6.1.2- Espaamento das barras da armadura longitudinal principal (Asp): na regio dos maiores momentos nos vos das lajes (regio hachureada da figura abaixo), o espaamento dessas barras no deve ser maior que 20 cm.

6.1.3- O dimetro das barras da armadura longitudinal no deve ultrapassar 1/10 da espessura da laje (l h/10). 6.1.4- Extenso dos apoios extremos

espessura da laje no meio do vo x1 7 cm

6.1.5- Cobrimento das armaduras: como j vimos no item 3.3.2 e no item 1 do captulo Detalhes Executivos. 6.1.6- A armadura transversal de cisalhamento das lajes pode ser constituda somente de barras dobradas ou somente de estribos. A Norma NBR-6118 limita o valor da tenso nesta armadura: - somente estribos verticais tenso na armadura transversal fyd 435 Mpa - com barras dobradas tenso na armadura transversal 0,7.fyd 435 MPa


6.2- Disposies construtivas para as lajes armadas em uma direo

Asp = rea da seo transversal da armadura principal Asd = rea da seo transversal da armadura de distribuio

6.2.1- Espaamento das barras da armadura principal Asp: sp 20 cm 2.h 6.2.2- A armadura de distribuio Asd por metro de largura da laje tem as seguintes particularida-des, quanto rea e quanto ao espaamento: Asp/5 Asd 0,9 cm2 sd 33 cm mnimo de 3 barras por metro 7. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DAS LAJES 7.1- Detalhamento das armaduras de flexo das lajes retangulares Pelo fato de raramente haver armadura de cisalhamento nas lajes de edifcos, podemos dispensar a decalagem do diagrama de momentos fletores para o detalhamento das armaduras longitudinais, e passamos a aplicar algumas regras prticas comuns maioria das lajes correntes de edifcios. Este mtodo baseia-se na experincia e tambm na forma do diagrama de momentos fletores, conforme a vinculao das bordas da laje. 7.1.1- Armadura positiva Sem levar em conta a ancoragem e as vinculaes das bordas, a figura abaixo define, de um mo-do geral, as diversas zonas para a armao da laje. Asx/2 e Asy/2 significam que nesses intervalos o valor da seo de armadura a metade da arma-dura da regio central hachureada, ou que nesses intervalos seu espaamento o dobro.


A Norma NBR-6118 item 4.1.1.2 estabele-ce que para lajes sem armadura transversal calculada, a armadura longitudinal de fle-xo deve ser ancorada, levando-se em con-ta uma decalagem no diagrama de momen-tos fletores de al = 1,5.d.(Ver item 5.2.1a). Considerando este fato e analisando os di-versos casos de vinculaes das lajes, veri-ficamos que a armadura positiva deve ser colocada dentro de certas regies, confor-me as dimenses de seus vos. Temos as-

sim os novos limites de intervalos para se colocar as armaduras, conforme as lajes retangulares tenham apoios simples, um lado apoiado e o lado oposto engastado, ou os dois lados opostos en-gastados. a) Armadura positiva de lajes simplesmente apoiadas A figura abaixo mostra duas maneiras de se colocar as armaduras longitudinais de flexo em lajes isoladas. Nos dois casos, l1 o menor vo terico e lf o comprimento total dos ferros.

Nos dois casos, os ferros so colocados alternados, com maior concentrao de armadura na re-gio central da laje, onde os esforos de flexo so maiores, atendendo perfeitamente a variao dos momentos ao longo dos vos, nas direes x e y. Na prtica, para a armadura positiva, prefere-se armar as lajes como mostra a figura acima do la-do esquerdo, que oferece menor margem de erros na colocao dos ferros em sua posio correta.


b) Armadura positiva de lajes apoiadas-engastadas Este tipo de laje ocorre geralmente nas extremidades dos edifcios. Na figura abaixo, a diferena que na laje do lado esquerdo, o engaste ocorre na direo do menor vo; l1 o menor vo te-rico e lf o comprimento total dos ferros.

c) Armadura positiva de lajes engastadas

Nos edifcios correntes, este tipo corresponde s lajes centrais. l1 o menor vo terico e lf o comprimento total dos ferros

7.1.2- Armadura negativa Observamos que os ferros da armadura negativa geralmente so colocados quase no trmino da concretagem da laje, ficando assim suspensos em sua posio correta. Quando no se determinar o diagrama exato dos momentos negativos para as lajes, a armadura de trao sobre os apoios deve estender-se de acordo com o diagrama triangular de momentos, de base igual a x, dependendo da condio de serem armadas em cruz ou em uma direo.


x a base do diagrama triangular de momentos fletores, considerado j deslocado

a) Armadura negativa de lajes armadas em uma direo - em uma borda engastada, x = 0,25 do vo

b) Armadura negativa de lajes armadas em duas direes (em cruz):

b.1) Isolada em uma borda engastada, sendo cada uma das outras trs bordas livremen-te apoiada ou engastada, x = 0,25 do menor vo (l1)

b.2) Contnua nos dois lados de um apoio de laje contnua, x = 0,25 do maior dos vos menores das lajes contguas (l1)


c) Armadura negativa de lajes em balano Nas lajes e vigas em balano, a armadura principal de flexo negativa, isto , colocada prxima face superior. Observamos que aps a concretagem da pea, a retirada das formas, escoramen-tos ou cimbramentos deve ser iniciada prxima extremidade livre do balano e avanar em di-reo ao engastamento, pois do contrrio a pea fica bi-apoiada e sujeita a uma flexo positiva, e no contando com a armadura adequada na face inferior, pode romper-se bruscamente. c.1) Laje isolada em balano

lB = vo terico da laje em balano

c.2) Laje contnua em balano Nestas lajes podemos tomar o valor aproximado x 0,3.l no diagrama de momentos fletores j deslocado, levando em conta que a armadura encontra-se em zona de m aderncia.

l = vo terico da laje adjacente ao balano lB = vo terico da laje em balano


7.1.3- Armadura nos cantos das lajes retangulares livremente apoiadas nas quatro bordas o caso das lajes de frro apoiadas em alvenarias e das que tm a funo de tampa, e esta arma-dura previne contra os efeitos dos momentos de toro, tambm conhecidos por momentos vol-ventes:

Quando for possvel a execuo de uma cinta ou de uma viga para apoio da laje, que no sejam concretadas junto com a laje, podemos criar um semi-engaste entre laje e viga, atravs de peque-nos arranques feitos com ferros por ocasio da concretagem da viga. Este artifcio executivo me-lhora a absoro dos momentos volventes e a ligao entre vigas e lajes, como mostra a figura abaixo.

7.2- Detalhamento das armaduras de cisalhamento das lajes retangulares


Nas raras vezes em que houver necessidade da armadura de cisalhamento em lajes retangulares, traamos os diagramas de momentos fletores e de foras cortantes, e seguimos o mesmo proce-dimento a partir do item 3.5 do captulo Detalhes Executivos, dobrando barras alternadas da ar-madura de flexo. 7.3- Detalhes da armao de escadas e reservatrios 7.3.1- Escadas

p

e 1,5 cm

p

e

1,5 cm

- Nmero mximo de degraus sem patamar = 16 - Relao de Blondell (1680): p + 2.e = 62 a 64 cm p = passo e = espelho

7.3.2- Reservatrios


Os detalhes de dobramento e colocao da ferragem abaixo so caractersticos de encontros de paredes com paredes, de fundos com paredes e de paredes com tampas. Aplicam-se em caixas dgua, silos, placas de conteno de terra, etc.

7.4- Detalhamento das armaduras de flexo e cisalhamento das lajes circulares A figura abaixo apresenta um exemplo de detalhamento para laje circular apoiada no contorno. A armadura de flexo positiva constituda pelos ferros alternados N1 e N2, sendo que este lti-mo foi dobrado para atender ao pequeno cisalhamento e armadura negativa mnima de trao, onde al + lb = 70 cm, e al = 1,5.d (d = 22 cm).

VIGAS

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Clculo e Desenho de Concreto Armado Vigas 28

1. INTRODUO O roteiro de clculo abrange a determinao das cargas que atuam nas vigas, o clculo dos esfor-os a que esto sujeitas (momentos fletores, momentos de toro, reaes de apoio e foras cor-tantes), o dimensionamento e detalhamento das armaduras. Neste captulo dimensionaremos as vigas de seo retangular e de seo T. 2. CARREGAMENTOS DAS VIGAS As cargas a que as vigas esto sujeitas so: peso prprio, cargas transmitidas pelas lajes, cargas concentradas (de vigas ou pilares) e cargas de paredes. 2.1- Peso prprio das vigas (pp) Para a determinao do peso prprio, precisamos fixar as dimenses das vigas, como o seu com-primento (vo), a largura bw e a altura h de sua seo transversal. 2.1.1- Vo terico (lt) Nas vigas de seo retangular, o vo terico a distncia entre os centros dos apoios, no sendo necessrio adotar valores maiores que: a) em viga isolada: 1,05 . l0

b) em vo extremo de viga contnua: o vo livre (l0) acrescido da semi-largura do apoio inter-no e de 0,03.l0


Nas vigas em balano, o comprimento terico o comprimento da extremidade at o centro do apoio, no sendo necessrio considerar valores superiores a 1,03 vezes o comprimento livre l0, como vemos direita da figura acima. 2.1.2- Largura das vigas (bw) Nas estruturas de edifcios e em construes residenciais, na maioria dos casos as dimenses das sees das vigas so fixadas de tal maneira que atendam razes arquitetnicas. Quando no, e pa-ra facilitarem o posterior revestimento, pelo menos sua largura bw igual espessura dos tijolos da alvenaria; de 10 ou 12 cm quando a alvenaria de meio tijolo, e de 20 ou 22 cm quando a al-venaria de um tijolo. A norma fixa (bw)min = 8 cm para as vigas. 2.1.3- Altura total das vigas (h) Como acontece no caso das lajes, a altura til das vigas correntes de edifcios tambm pode ser adotada de acrdo com o item 4.2.3.1-C da NBR-6118. Deste modo dispensa-se a verificao de flechas (vide ANEXOS 1 e 2) e o clculo torna-se direto, sem a necessidade de se testar novas al-turas para a seo transversal. Alertamos que isto somente vlido para as vigas correntes de edifcios, que possuem carrega-mentos e dimenses geralmente padronizadas. Nos casos em que a altura da viga pequena e no pode ser alterada, devemos verificar o valor da flecha mxima, de acordo com o ANEXO 2. Analisamos este critrio da NBR-6118, e verificamos que a altura h da seo das vigas situa-se no intervalo de 1/5 a 1/15 de seu vo livre, de acrdo com as diferentes vinculaes existentes em seus apoios: - viga duplamente engastada h 6% do vo - viga contnua h 7% do vo - viga simplesmente apoiada h 8% do vo - viga em balano h 10% do vo Considerando o peso especfico do concreto armado de 2,5 tf/m3, fixados bw e h, o peso prprio da viga dado por: hb2,5p wp = em tf/m, com bw e h em metro 2.2- Cargas transmitidas pelas lajes (pl) A carga total q (tf/m2) a mesma que foi considerada no clculo das lajes macias, mas tambm pode ser estimada atravs do ANEXO 3. Os quinhes de carga da laje que descarregam nas vigas so determinados de maneira diferente, caso se trate de lajes armadas em uma direo, lajes ar-


madas em cruz ou lajes mistas pr-fabricadas. 2.2.1- Cargas de lajes macias armadas em uma direo

A carga total da laje ser transferida e distribuda para as vigas V.1 e V.3, que so paralelas di-reo da maior dimenso y. Para exemplificar, seja Q (em tf) a carga total da laje (Q = q.lx.ly). A carga ply que atua na viga V.1 ou na viga V.3, na direo y :

2q

2Qp x

yy

lll

== (em tf/m) Teoricamente, as vigas V.2 e V.4 na direo x no sofrem nenhum carregamento, mas na prtica costuma-se considerar uma carga residual plx que atua em cada uma delas, de valor:

2q

2Qp y

xx

lll

== (em tf/m) 2.2.2- Cargas de lajes macias armadas em duas direes (em cruz) Os quinhes de carga das lajes armadas em cruz que descarregam nas vigas, so as mesmas rea-es de apoio que encontramos nas TABELAS de 7 a 10, consideradas como no item 4.1.2.a do captulo Lajes. Observe neste item os cuidados a serem tomados para sua utilizao: - plx = Rx e plx' = Rx' so as cargas distribudas nos lados de medida lx (em tf/m). - ply = Ry e ply' = Ry' so as cargas distribudas nos lados de medida ly (em tf/m).


2.2.3- Cargas de lajes mistas ou pr-fabricadas As lajes mistas pr-moldadas que encontramos no mercado, geralmente so sempre armadas em uma s direo, mesmo quando lx 2.ly. Nestes casos podemos tomar 80% da carga total da laje descarregando nas vigas de apoio transversais s nervuras, e os restantes 20% desta carga descar-regando nas vigas de apoio paralelas s nervuras da laje pr-moldada.

plx = 0,2.Q = 0,1 . Q = 0,1.q.ly (em tf/m) 2.lx lx ply = 0,8.Q = 0,4 . Q = 0,4.q.lx (em tf/m) 2.ly ly

2.3- Cargas concentradas (de vigas ou de pilares) Quando existem cruzamentos de vigas sem haver pilares de apoio, e se para simplificar os clcu-los no considerarmos os efeitos de grelha, devemos estabelecer quais so as vigas secundrias que simplesmente se apoiam nas vigas principais. Geralmente consideramos como secundrias, as vigas que tenham menor rigidez. Na figura abai-xo, V.2 e V.3 so as vigas principais, e V.1 a viga secundria.

S consideramos os esforos de toro nas vigas principais, quando as vigas secundrias apresen-tam grandes vos, ou quando suportam grandes cargas. Uma viga simplesmente apoiada que recebe uma carga concentrada P, que pode ser um pilar ou mesmo uma viga secundria (por exemplo, a viga V.1 da figura acima), tem suas reaes de a-poio R1 e R2 determinadas pelo equilbrio de foras e pela somatria de momentos, como vemos


no esquema de foras estticas abaixo:

Note que temos uma equao a mais do que precisamos. Qualquer par de equaes que se tome resolve o problema, e determinamos os valores de R1 e de R2. 2.4- Cargas de paredes As cargas de paredes nas vigas so calculadas com os valores do item 1.9 do ANEXO 3. Para se obter o peso por metro linear que atua na viga, multiplica-se a carga em kgf/m2, pelo va-lor do p direito h, em metros. Pode-se deduzir a parte vazia originada pelas esquadrias. 2.5- Carga total nas vigas (q) O peso total usado no clculo dos esforos nas vigas, igual soma das cargas consideradas nos itens de 2.1 a 2.4, em tf/m. Ento:

q = PESO PRPRIO + LAJES + CARGAS CONCENTRADAS + PAREDES 3. CLCULO DOS ESFOROS NAS VIGAS Consiste em se determinar nas vigas, o diagrama de momentos fletores M, o diagrama de foras cortantes V, e as reaes de apoio R. De um modo geral, as vigas isostticas e hiperestticas das construes residenciais e de edifcios so consideradas contnuas. No ANEXO 4 introduzimos um exemplo de resoluo de viga pelo Mtodo de Cross, que nesse caso vantajoso pela sua simplicidade e rapidez. Determinados os valores Mmax e Vmax nos vos e nos apoios, podemos passar ao clculo e di-mensionamento das vigas.


4. DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS Consiste no clculo das armaduras de flexo e de cisalhamento, considerando a deformao e a fissurao da viga, o esmagamento das bielas e a verificao da ancoragem e emendas dessas ar-maduras. Dimensionaremos vigas de seo retangular e de seo T, com armadura simples e com armadura dupla. 4.1- Clculo das armaduras de flexo - Seo retangular 4.1.1- Armadura simples na seo retangular (As+ e As-) Como no caso das lajes submetidas flexo simples, resolvemos as equaes de equilbrio da se-o transversal mais solicitada da viga, e colocamos o momento fletor e a armadura em funo dos coeficientes kc e ks, que j levam em conta os devidos coeficientes de segurana (vide final da TABELA 5):

Assim, sendo M o momento fletor de servio (sem majoraes) que atua na seo transversal da viga, em um determinado ponto de seu comprimento, sabemos que:

M em t.cm

Md bk

2

wc = bw em cm dem cm

Como se conhece apenas o valor estimado da altura total h, o valor da altura til d, como primei-ra aproximao, pode ser tirado da Tabela abaixo:

para h (cm) entre: d (cm) 20 e 50 cm h - 3 60 e 80 cm h - 4

90 e 110 cm h - 5 120 e 150 cm h - 6


Adotado o valor para o fck do concreto, entramos na TABELA 5 com o valor de kc calculado pela frmula acima e tiramos na mesma linha, na coluna do tipo de ao escolhido, o valor correspon-dente de ks. Se no for encontrado um valor de ks no final desta tabela, significa que a viga talvez possa ser dimensionada com armadura dupla, assunto que veremos no prximo item. Quando existe o valor de ks na tabela, os valores das reas das sees das armaduras simples lon-gitudinais tracionadas de flexo, positivas nos vos (As+) e negativas nos apoios (As-), so: M e X em tf.cm

dMkA ss =+ e d

XkA ss = d em cm As em cm2 Estes valores devem ser maiores que o valor mnimo dado pela Norma:

(As)min = 0,0025.bw.h (em cm2) para os aos CA-25,32 (As)min = 0,0015.bw.h (em cm2) para os aos CA-40,50,60

No devemos nos esquecer que at o presente momento, o clculo das cargas, dos momentos fle-tores e das armaduras, baseou-se em uma altura total estimada h para a viga em questo. Do mo-do como foi feito, obtemos o valor da armadura As com boa preciso, mas podemos refinar ainda mais este clculo usando a Tabela abaixo, principalmente se constatarmos pela TABELA 1 que bw estreito e ser necessrio alojar os ferros da armadura As em mais de uma camada, o que diminui consideravelmente o valor da altura til d, afetando a resistncia da viga.

Desta maneira, refazemos todos os clculos com o novo valor de h = d + a, onde a pode ter os valores a, a' ou a'', conforme tenhamos uma, duas ou trs camadas de ferro respectivamente, e achamos o valor final para a armadura As (As)min. Se o valor de h for fixo, refazemos o clculo de kc a partir do item 4.1.1, com d = h - a. Podemos tambm verificar a posio da Linha Neutra x, til em diversos casos, como por exem-plo quando existem tubulaes eltricas e hidrulicas atravessando a viga, que devem faze-lo a-baixo da linha neutra na regio central da viga, e acima da linha neutra na regio prxima aos a-


poios intermedirios, isto , sempre na regio tracionada da seo da viga. Com o valor de kc (ou ks), pela TABELA 5, na mesma linha, acha-se o valor de x:

d x dx

xx == Nas situaes em que a escolha da altura h livre, podemos impor o critrio de que a pea esteja "subarmada" e que tenha "altura mnima". Isto significa que devemos usar os valores limites de ks e de kc. O valor limite de ks, o ltimo valor encontrado nas colunas da TABELA 5, de a-crdo com o tipo do ao. O valor limite de kc encontra-se na mesma linha, na coluna do fck adota-do. Saem os valores:

wclimmin b

Mk d = e min

slims dMkA =

onde As deve ser superior a (As)min , e dmin obedece a limitao de flechas, dada no ANEXO 2. Explicando melhor, significa que com valores maiores do que estes valores limites, a pea se tor-na "superarmada", isto , anti-econmica e com perigo de rompimento brusco do concreto sem aviso prvio, mas ainda assim com folga de esforos no ao. sempre prefervel que as peas es-tejam "subarmadas",quando a folga ocorre no concreto, dando avisos antecipados atravs de fis-suras excessivas, enquanto o ao ainda est no seu limite de escoamento. Para valores de ks maiores dos limites da TABELA 5, temos dois recursos: aumentar a altura da viga ou, se possvel, usar a armadura dupla. 4.1.2- Armadura dupla na seo retangular (As e As') A armadura comprimida As' usada quando h necessidade de se reduzir a altura da viga, no importando o fato da pea tornar-se superarmada e consequentemente anti-econmica. A caracterstica que tem o ao de ser um material muito mais nobre que o concreto, que suporta esforos de compresso 15 vezes maiores, pode ser aproveitada com vantagens, quando colocado na regio comprimida da viga. Apenas devemos observar que a limitao das cargas aplicadas e das dimenses da viga ser ago-ra feita atravs do clculo das flechas admissveis, de acrdo com o roteiro do ANEXO 2. Para que se possa aproveitar as Tabelas confeccionadas para o clculo de armaduras simples, empregamos o artifcio de decompor a seo em duas outras, como mostra a figura abaixo:


A armadura dupla de flexo pode ser determinada pelo seguinte roteiro de clculo: A. Calcula-se o valor kc = bw.d2/M onde M o momento de servio (sem majorar) em tf.cm. B. Com este valor de kc e mais fck e tipo do ao, entra-se na TABELA 5 e percebe-se que no e-xiste o valor correspondente de ks. Temos ento dois recursos: aumentar a altura h da seo da viga, ou aplicar armadura dupla, respeitado o valor da flecha mxima admissvel, calculada atra-vs do ANEXO 2. C. Para efeito de clculo da armadura dupla, supe-se a seo (0) decomposta em duas outras. Impe-se que a seo (1) seja simplesmente armada e que kc assuma o seu valor limite. O mo-mento fletor limite correspondente que atua nesta seo calculado por:

clim

2

wlim kd bM =

onde kclim tirado diretamente da TABELA 5, com os valores de fck e tipo do ao j conhecidos. Aproveitamos e tiramos tambm, na mesma linha, os valores de kslim e de xlim. D. Como Mlim sempre menor que M, existe uma diferena de momentos fletores M que a se-o simplesmente armada no absorveu, que :

M = M - Mlim E. Com o valor de xlim do item C, entramos na TABELA 6 e de acrdo com o tipo do ao, acha-mos os coeficientes k7 e k8. F. A armadura inferior total tracionada As+ calculada por:

dM k

dM k A 7limslims +=+

As1 As2 G. A armadura superior comprimida As' calculada por:


dM k ' 8 =sA

Estes valores de As e As' tambm deve ser maiores que os valores de (As)min dados no item 4.1.1. 4.2- Clculo das armaduras de flexo - Seo T Encontramos com frequncia a seo T em concreto armado, principalmente nas estruturas de e-difcios, dada a colaborao que a laje presta viga. Um caso caracterstico acontece nas lajes nervuradas, tambm conhecidas como caixo perdido. Na regio de momento fletor negativo, isto , onde houver compresso da nervura e no da mesa (caso de apoios intermedirios de vigas contnuas), a viga T calculada simplesmente como se fosse de seo retangular bw x h, onde h a altura total da viga. Na regio de momento fletor positivo, mas com x hf, isto , a linha neutra corta a mesa de al-tura hf e largura bf, trata-se de seo retangular bf x h. 4.2.1- Definio da largura colaborante da laje (bf).

bf = largura colaborante ba = largura fictcia obtida aumentando-se bw para cada lado de um valor igual ao do menor cateto do tringulo da mssula correspondente bw = largura real da nervura b2 = distncia entre as faces de nervuras sucessivas 0,1.a 0,1.a b1 8.hf b3 0,5.b2 6.hf


a = l para viga simplesmente apoiada a = distncia entre pontos de mo- a = 3/4.l para tramo com momento em um s extremo mento nulo, e que tem os va- a = 3/5.l para tramo com momentos nos dois extremos lores ao lado: a = 2.l para viga em balano Na realidade, a largura colaborante bf no constante ao longo da viga porque depende de vrios fatores. Para as vigas contnuas de edifcios, em forma de T, pode-se considerar bf constante ao longo de toda a viga, desde que o vo menor no seja inferior a 80% do maior e que a seo transversal seja aproximadamente a mesma em todos os vos. 4.2.2- Armadura simples na seo T (As)

f = mesa ou aba dx x = d

h ff = w = alma ou nervura

O primeiro passo saber a posio da Linha Neutra (x). Se ela cortar a mesa (x hf) o dimensio-namento o mesmo que para uma seo retangular bf x h. Se a linha neutra cortar a alma ou ner-vura da viga (x > hf), confirma-se que se trata mesmo de seo T, e o dimensionamento (geral-mente menos econmico) deve ser feito como tal. O roteiro o seguinte:

A. Verifica-se inicialmente na planta de forma qual a largura de mesa bf de que se dispe, con-forme o item 4.2.1 anterior. B. Partimos da hiptese de que a viga seja de seo retangular, com largura bf, altura til d e altu-ra total h. Para isto calculamos

Md bk

2

fc = e na TABELA 5 verificamos qual o valor correspondente de x, de acrdo com o tipo do ao e fck adotados no projeto. C. Com x, calcula-se a posio da linha neutra x = x .d


D. Se x < hf, a linha neutra corta a mesa, e a viga ser dimensionada com seo retangular bf x h. O valor de ks tirado na mesma linha do kc da TABELA 5, e o valor da armadura

dMkA ss =

com as mesmas limitaes da armadura mnima j vistas no item 4.1.1. E. Se x > f, a linha neutra corta a alma da viga e o seu dimensionamento deve ser feito como seo T. O valor de x no o real, e apenas serviu para definir o dimensionamento como seo T, e a verdadeira altura do bloco de tenses y = 0,8.x (diagrama retangular simplificado) F. A seo (1) tomada como tendo a altura do bloco de tenses coincidente com a altura da me-sa. Conhece-se portanto o valor x atravs do qual pode-se determinar kcf e ento o valor Mf, cor-respondente parcela de M que a seo (1) pode resistir. Utilizando o diagrama retangular simplificado de tenses de compresso, pode-se provar que sempre temos x = f/0,8. Como

d0,8h

dh fxff ==

G. Entra-se na TABELA 5 com este valor de x e encontram-se kcf e ksf.

H. A parcela do momento total M absorvido pelas abas da seo (1) cf

2wf

f kd)b(b

M=

I. A outra parcela de M absorvida pela alma ou nervura da seo (2) Mw = M - Mf

J. Calcula-se w

2

wcw Md b k =

K. Entra-se novamente na TABELA 5 com este ltimo valor de kcw e tira-se na mesma linha ksw e o valor de x, que define a posio real da Linha Neutra, devendo ser x (x)lim (pea no su-perarmada). L. Resulta a armadura de trao na seo T:

dMk

dM

kA fsfw

sws +=

Este valor no deve superar os valores mnimos, dados no item 4.1.1. M. Nos raros casos em que ocorrer x > (x)lim, recorre-se armadura dupla na seo retangular (2) bw x h, com os coeficientes k7 e k8 da TABELA 6, repetindo-se o mesmo processo de clculo


do item 4.1.2., como veremos a seguir. 4.2.3- Armadura dupla na seo T (As e As')

A parcela Mw dever ser resistida pela seo retangular com armadura dupla. Como este proble-ma admite infinitas solues, arbitra-se um valor para x (por exemplo x = (x)lim) e com ele de-termina-se o valor de kc, a partir do qual se pode calcular a parcela Mw1 e a armadura Aslw1. Por diferena obtem-se a parcela Mw2 e ento calculam-se as armaduras As' e Aslw2 :

d'-dM

k 'A d'-d

M k A

dM

k A w28sw2

7w2sw1

sw1s === ll As armaduras finais so: - Armadura tracionada: As = As1 + Aslw1 + Aslw2 - Armadura comprimida: As' 4.3- Clculo das armaduras de cisalhamento - Seo retangular e seo T 4.3.1- Introduo Em vigas e lajes, na regio prxima aos apoios, onde geralmente as foras cortantes adquirem seus maiores valores, nota-se a fissurao (cisalhamento) da regio central da seo da pea, a-presentando essas fissuras pouca inclinao em relao horizontal.


Estes esforos de trao que causam as fissuras, so combatidos atravs de uma armadura trans-versal ao eixo da pea, que pode ser constituda de estribos verticais acompanhados ou no de barras dobradas a 45 (cavaletes) nas regies prximas dos apoios, sendo que para estas barras dobradas aproveita-se parte da armadura longitudinal de flexo, que dimensionamos nos itens an-teriores.

Atualmente comum se utilizar apenas estribos verticais na armadura transversal. O uso de bar-ras dobradas s se justifica em grandes obras ou ento na construo de edifcios, onde o aumen-to do custo do detalhamento do projeto e da mo de obra especializada em ferragem, se dilui em face padronizao dos servios e economia que se obtem na quantidade dos ferros. Alm dis-so, os estribos verticais oferecem maior comodidade em sua montagem, permitem uma distribui-o mais uniforme da armadura transversal, e sendo de menor dimetro, favorecem as condies de aderncia e fissurao do concreto ao longo da viga. 4.3.2- Clculo da armadura de cisalhamento (Asw) A marcha de clculo da armadura de cisalhamento a que se segue, e deve ser feita para os dois lados de cada apoio, que geralmente possuem valores diferentes do esforo cortante: A. Calcula-se a menor taxa 1 de armadura longitudinal (Asl), distncia 2.h da face do apoio, lembrando que nas vigas simples ou contnuas, a quantia As/4 deve ser prolongada at os apoios intermedirios e que a quantia As/3 deve ser prolongada at os apoios de extremidade, onde As a armadura calculada com o mximo momento fletor positivo do vo. Para levar em conta a fora a ancorar e se o apoio de extremidade tem largura suficiente para alo-jar as barras, usamos a TABELA 4, que fornece o nmero mnimo de barras que devem chegar ao apoio considerado. Por fim, para podermos calcular 1, lembramos que deve haver ao longo de toda a viga, no mnimo dois pares de barras para se prestarem de porta-estribos, e quando for ne-cessria uma segunda barra para completar o par inferior, ela deve ter dimetro no mnimo igual ao dimetro dos estribos desta regio da viga.

100db

A

w

s1 =

l (em %)

onde:

Asl (cm2) = rea da armadura longitudinal de trao distncia 2.h da face do apoio

d (cm) = altura til e bw (cm) = largura da viga


B. Calcula-se c, parcela da tenso de cisalhamento que a armadura longitudinal absorve, na regi-o dos apoios (em kgf/cm2):

ck1c f =

+=

ck

cmdck1c f

31f

=

ck

tmdck1c f

91f

na flexo simples na flexo-compresso, com cmd = Ncd / Ac (tenso mdia de compresso, de clculo) na flexo-trao, com tmd = Ntd / Ac (tenso mdia de trao, de clculo)

onde o coeficiente 1 funo de 1 e tem os seguintes valores: 1 = 0,24 se 1 0,1% 1 = 0,24 + 0,15 . 1 se 0,1% < 1 < 1,5% (interpola-se linearmente) 1 = 0,45 se 1 1,5% com as seguintes unidades: fck e c em kgf/cm2; 1 em % C. Calcula-se wd, parcela de clculo da tenso de cisalhamento que absorvida pelo concreto:

dbV1,4

dbV

ww

dwd

== (em kgf/cm2)

bw (cm) d (cm) V (kgf) = fora cortante de servio, com as redues abaixo

O valor da fora cortante V na expresso acima, tirado diretamente do diagrama de esforos cortantes, e pode ter redues, nas regies prximas dos apoios extremos. Tem-se dois casos: a) Carga concentrada b) Carga distribuda


Verificao da compresso nas bielas de concreto: os valores de wd so limitados pela Norma (wd wu), para prevenir a ruptura das bielas. No caso de vigas ou peas lineares, com bw 5.h, os valores limites de wu so: a) Estribos a 90 e barras dobradas a 45 : wu = 0,25.fcd 45 kgf/cm2 b) Estribos a 45 e barras dobradas a 45 : wu = 0,30.fcd 55 kgf/cm2

Nestas verificaes, wuw

dwd db

V = , onde Vd deve entrar sem as redues acima citadas.

Caso estas condies no sejam obedecidas, a pea no resiste nem que aumentemos a armadura transversal, e a alternativa ser a de aumentar as dimenses de sua seo transversal. D. Calcula-se d, tenso resultante de cisalhamento (em kgf/cm2). com esta tenso que se calcu-la os esforos causados pela fora cortante:

d = 1,15 . wd - c 0 (wd com as redues do item C) E. Calcula-se ento a rea da armadura transversal. Considerando que a sua taxa vale

ywd

d

w

sw45

w

sw90w f

sb2A

sb

A =

== onde fywd = fywk/1,15 e s o espaamento dos ferros,

conclui-se que a seo de armadura transversal, por metro linear de viga ser:

100bf1,15

s2A

s

Adw

ywk

sw45sw90 == (em cm2/m) Os aos a serem utilizados nos estribos e barras dobradas devem ser escolhidos de tal maneira que a tenso na armadura fywd no exceda os valores abaixo: para estribos: fywd 435 Mpa (ou 4437 kgf/cm2) para barras dobradas: 0,7.fywd 435 Mpa (ou 4437 kgf/cm2) A figura a seguir mostra algumas disposies dos estribos nas vigas:


A Tabela abaixo fornece os valores da armadura transversal total Asw/s e (Asw/s)min em cm2/m, pa-ra estribos a 90 e para barras dobradas a 45, onde bw deve entrar em cm e

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Cálculo e Desenho de Betão Armado (Roberto Magnani)