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Calculando engrenagens cilndricas

Em uma empresa, o setor de manuteno mecnica desenvolve

um importante papel na continuidade do fluxo da produo. Aps

o diagnstico do defeito, realizam-se a desmontagem, limpeza

dos componentes, substituio dos elementos danificados, mon-

tagem, lubrificao e ajustes finais da mquina.

No entanto, muitas vezes no existem peas de reposio dispo-

nveis para consertar a mquina, principalmente quando ela an-

tiga.

Por causa disso, o setor de manuteno de muitas empresas

possui algumas mquinas operatrizes destinadas a produzir ele-

mentos mecnicos para a reposio de peas de mquinas sob

manuteno.

Esta uma situao que pode estar ocorrendo agora na sua em-

presa: a mquina foi desmontada e percebeu-se que uma de su-

as engrenagens est quebrada.

Voc acha que seria capaz de levantar os dados desse elemento

da mquina a partir dos fragmentos restantes e executar os cl-

culos para a confeco de uma nova engrenagem?

Se a sua resposta no, fique ligado nesta aula. Nela vamos en-

sinar a calcular engrenagens cilndricas de dentes retos.

118

Engrenagem cilndrica de dentes retos

A engrenagem cilndrica de dentes

retos a mais comum que existe.

Para a sua construo necessrio considerar uma srie de da-

dos, a saber:

nmero de dentes (Z)

dimetro externo (de)

mdulo (m)

dimetro primitivo (dp)

dimetro interno (di)

altura do dente (h)

altura da cabea (a)

altura do p do dente (b)

passo (p)

Clculo do mdulo

O mdulo (m) de uma engrenagem a medida que representa a

relao entre o dimetro primitivo (dp) dessa mesma engrena-

gem e seu nmero de dentes (Z). Essa relao representada

matematicamente do seguinte modo:

m = z

dp

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Dica

Os elementos dessa frmula podem ser usados tambm para

calcular o dimetro primitivo da engrenagem dp = m Z.

Servem igualmente para calcular o nmero de dentes: Z = .m

dp

Com o mdulo e o nmero de dentes determina-se a ferramenta

a ser usada para fresar a engrenagem.

O mdulo tambm auxilia nos clculos para se encontrar todas as

outras dimenses da engrenagem j citadas.

Por causa disso, na realidade, possvel calcular o mdulo partin-

do de qualquer medida conhecida da engrenagem a ele relaciona-

da. Por exemplo, voc pode calcular o mdulo a partir da medida

do dimetro externo e do nmero de dentes da engrenagem.

Ento, vamos voltar ao problema inicial: voc juntou os fragmen-

tos da engrenagem e contou o nmero de dentes: Z = 60.

Depois voc mediu o dimetro externo e obteve: de = 124mm.

Guarde esses dados para usar daqui a pouco.

Clculo do dimetro externo

O dimetro externo igual

ao dimetro primitivo (dp)

mais duas vezes a altura

da cabea do dente (a)

que, por sua vez, igual a

um mdulo. Isso fcil de

verificar, se voc observar

o desenho a seguir.

Matematicamente, isso corresponde a: de = dp + 2m

120

Como, para o nosso problema, j temos o valor do dimetro ex-

terno (que 124mm), no precisamos calcul-lo.

Para resolver o problema de construo da engrenagem que a-

presentamos a voc, preciso calcular o mdulo a partir das me-

didas que temos. Vamos ento trabalhar essa frmula de modo

que ela nos auxilie a fazer o clculo de que necessitamos.

J vimos l na Dica que dp = m Z. Como no temos um valor

numrico para dp, fazemos a substituio dentro da frmula de

clculo do dimetro externo (de). Ento temos:

de = dp + 2 m

de = m Z + 2 m

A partir dessa frmula, temos finalmente: de = m (Z + 2)

Substituindo os valores: 124 = m (60 + 2)

124 = m 62

m = 62

124

m = 2

Portanto, o mdulo da engrenagem que voc precisa construir

igual a 2. Observe como usamos a frmula do dimetro externo

para fazer esse clculo. Isso pode ser feito usando qualquer dado

conhecido relacionado ao mdulo.

Tente voc tambm

At agora estudamos as frmulas para calcular o dimetro primi-

tivo, o mdulo, o nmero de dentes e o dimetro externo de uma

engrenagem cilndrica de dentes retos.

Vamos aprender isso tudo, fazendo os exerccios a seguir.

Exerccio 1

Calcular o dimetro primitivo de uma engrenagem cilndrica de

dentes retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.

121

Soluo

Dados: m = 3

Z = 90

dp = ?

dp = m Z

dp = 3 90

dp =

Exerccio 2

Calcule o nmero de dentes da engrenagem que tenha um di-

metro primitivo (dp) de 240mm e um mdulo igual a 4.

Soluo

Dados: dp = 240mm

m = 4

Z = m

dp

Z = 4

240

Z =

Exerccio 3

Calcular o mdulo de uma engrenagem cilndrica de dentes retos

cujo dimetro externo (de) igual a 45mm e o nmero de dentes

(Z) 28.

Soluo

Dados: de = 45

Z = 28

m = ?

de = m (Z + 2)

45 = m (28 + 2)

45 =

m =

Exerccio 4

Qual o dimetro externo de uma engrenagem cilndrica de dentes

retos cujo mdulo (m) igual a 3,5 e o nmero de dentes (Z) igual

a 42.

122

Soluo

Dados disponveis: m = 3,5

Z = 42

de = ?

de = m (Z + 2)

de =

Clculo da altura total do dente

A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilndrica de den-

tes retos igual a 2 mdulos mais 6

1 de um mdulo. O desenho

a seguir ilustra esta definio. Observe.

Isso pode ser representado matematicamente:

h = 1m + 1m + 6

1 m

h = 6

6m +

6

6m +

6

1 m

h = 6

13 m

h = 2,166 . m

Voltemos engrenagem que voc tem de fabricar. J calculamos

o valor do mdulo: m = 2. A altura total do dente (h) ser:

h = 2,166 m

h = 2,166 2

h = 4,33mm

Ento, a altura do dente da engrenagem deve ser de 4,33mm.

123

Dica

A altura total do dente da engrenagem , tambm, a soma da al-

tura da cabea do dente (a) mais a altura do p do dente (b), ou

seja, h = a + b.

Tente voc tambm

Para ver como esse clculo simples, faa os exerccios que

preparamos para voc.

Exerccio 5

Calcule a altura total (h) dos dentes de uma engrenagem cujo

mdulo 1,75.

Soluo

h = 2,166 m

h =

Exerccio 6

Calcule o mdulo de uma engrenagem cuja altura total (h) do

dente 4,33mm.

Soluo

m = 2,166

h

m =

Clculo da altura do p do dente da engrenagem

A altura do p do dente da engrenagem (b) 1m + 6

1m, ou seja:

h = 1m + 6

1m

124

h = 6

6m +

6

1m

h = 6

7m

h = 1,166 . m

Vamos ento calcular a altura do p do dente da engrenagem do

nosso problema. J sabemos que o mdulo dessa engrenagem

2. Assim:

b = 1,166 m

b = 1,166 2

b = 2,332mm

Desse modo, a altura do p do dente da engrenagem (b) de

2,332mm.

Tente voc tambm

Agora vamos propor mais alguns clculos parecidos para voc

exercitar esse novo conhecimento.

Exerccio 7

Calcule a altura do p dente (b) de uma engrenagem cilndrica,

sabendo que o mdulo igual a 1,5.

Soluo

b = 1,166 m

b =

Exerccio 8

Calcule o mdulo de uma engrenagem cilndrica, sabendo que a

altura do p do dente (b) de 3,498mm.

125

b = 1,166 m

m = 1,166

b

m =

Clculo de dimetro interno

O dimetro interno (di) igual ao dime-

tro primitivo (dp) menos 2 vezes a altura

do p do dente (b).

Matematicamente isso o mesmo que: di = dp - 2b

Como b igual a 1,166 m, podemos escrever:

di = dp - 2 1,166 m

Portanto:

di = dp - 2,33 m

Como dp = m Z, tambm possvel fazer a substituio:

di = m Z - 2,33 m

Reescrevendo, temos:

di = m (Z - 2,33)

Substituindo os valores da engrenagem que voc precisa constru-

ir, temos:

di = 2(60 - 2,33)

di = 2 57,67

di = 115,34mm

126

Tente voc tambm

Este mais um clculo superfcil. Treine um pouco nos exerc-

cios a seguir.

Exerccio 9

Calcule o dimetro interno de uma engrenagem cilndrica que tem

um dimetro primitivo de 75mm e um mdulo igual a 1,5.

Soluo

di = dp - 2,33 m

di = 75 - 2,33 1,5

di =

Exerccio 10

Calcule o dimetro interno de uma engrenagem cilndrica com 50

dentes e mdulo igual a 1,5.

Soluo

di = m (Z - 2,33)

di =

Exerccio 11

Calcule o mdulo de uma engrenagem da qual voc conhece o

dimetro interno (di = 37,67mm) e o nmero de dentes (Z = 40).

Soluo

di = m (Z -2,33)

37,67 = m (40 - 2,33)

m =

Clculo do passo

O passo a medida do arco

da circunferncia do dime-

tro primitivo que correspon-

de a um dente e a um vo

da engrenagem.

127

Ele calculado a partir do permetro da circunferncia do dime-

tro primitivo (dp ) dividido pelo nmero de dentes da engrena-

gem, porque o nmero de dentes corresponde ao nmero de

passos. Matematicamente isso d:

p = Z

. dp

Como dp = m Z, podemos escrever: p = Z

. Z . m

Como Z

Z = 1, teremos: p = m

Assim, para calcular o passo, empregamos a frmula p = m .

Com ela, vamos calcular o passo da engrenagem que voc tem

de construir:

p = 2 3,14

p = 6,28mm

Portanto, o passo dessa engrenagem 6,28mm.

Tente voc tambm

O passo um dado muito importante entre as medidas de uma

engrenagem. Exercite esse clculo com ateno.

Exerccio 12

Calcule o passo de uma engrenagem cujo mdulo 3.

Exerccio 13

Sabendo que o passo de uma engrenagem 12,56mm, calcule

seu mdulo.

Clculo da distncia entre eixos

Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente,

d para perceber que, alm das medidas que j calculamos, pre-

cisamos conhecer tambm a distncia entre os centros dos eixos

128

que apoiam as engrenagens. Essa medida se baseia no ponto de

contato entre as engrenagens.

Esse ponto est lo-

calizado na tangente

das circunferncias

que correspondem

aos dimetros primi-

tivos das engrena-

gens.

Assim, a distncia entre os centros (d) igual metade do di-

metro primitivo da primeira engrenagem 2

dp1 mais a metade do

dimetro primitivo da segunda engrenagem 2

dp2 .

Portanto d = 2

dp1 +

2

dp2 ou d =

2

dpdp21 ,

Na mquina sob manuteno de nosso problema inicial, a engre-

nagem 1 tem o dimetro primitivo de 120mm (j dado) e o dp da

engrenagem 2 tem 60mm. Substituindo os valores, podemos cal-

cular:

d = 2

60120

d = 2

180

d = 90mm

Tente voc tambm

Releia essa parte da lio e faa o seguinte exerccio.

Exerccio 14

Sabendo que o nmero de dentes da engrenagem 1 60 e o da

engrenagem 2 150 e que seus mdulos so iguais a 2, calcule

a distncia entre seus centros.

129

Dica

Duas engrenagens acopladas sempre tm o mesmo mdulo.

Soluo

dp1 = m . Z

dp1 =

dp2 =

d = 2

dpdp21

d =

Teste o que voc aprendeu

Como voc pde perceber no decorrer da lio, os clculos de

todas as medidas de uma engrenagem cilndrica de dentes retos

esto relacionados entre si. Assim, quando voc precisa calcular

uma medida, geralmente necessrio tambm calcular alguma

outra a ela relacionada.

Leia novamente esta aula, estudando os exemplos com ateno,

e refaa os exerccios. Depois disso, encare os exerccios a se-

guir como um teste e verifique o que voc conseguiu reter.

Se errar alguma coisa, no desanime. Releia o trecho em que es-

t a informao de que voc precisa e retorne ao exerccio. O a-

prendizado s acontece com muita disciplina e persistncia.

Exerccio 15

Calcule dp, de, di, h, a, b e p de uma engrenagem cilndrica de

dentes retos com 45 dentes e mdulo 4.

Exerccio 16

Sabendo que o dimetro externo de uma engrenagem cilndrica

de 88mm e que ela tem 20 dentes, calcule m, dp, di, h, a, b e p.

Exerccio 17

Calcule a distncia entre centros das duas engrenagens dos e-

xerccios 15 e 16.

130

Gabarito

1. dp = 270mm

2. Z = 60

3. m = 1,5

4. de = 154mm

5. h = 3,79mm

6. m = 2

7. b = 1,75mm

8. m = 3

9. di = 71,50mm

10. di = 71,50mm

11. m = 1

12. p = 9,42mm

13. m = 4

14. d = 210mm

15. dp = 180mm, de = 188mm, di = 170,68mm

h = 8,664mm, a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm

16. m = 4, dp = 80mm, di = 70,68mm, h = 8,664mm,

a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm

17. d = 130mm